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TEORÍA DE TELECOMUNICACIONES ELECTRÓNICAS I

Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández SEÑALES ELÉCTRICAS

Para poder transmitir información de un transmisor a un receptor es necesario enviar información en forma de señales, la cual puede ser de voltaje o de corriente.

SEÑALES DETERMINISTAS : Aquellas que van a estar determinadas en función del tiempo. SEÑALES ALEATORIAS : Son aquellas que la probabilidad que sucedan estarán en función de la frecuencia. fr ecuencia. Las señales pueden ser :

• PERIÓDICAS : F(t + T) = f(t) Donde : T =1 / f , f : frecuencia fundamental

• NO PERIÓDICAS . SEÑALES FASORIALES : x(t) = Ae j(wot + ϕ) Donde : A

=

Amplitud

Wo

=

Frecuencia

ϕ

=

Fase

A cos( wot + ϕ) = Re Ae j( wot + ϕ)

1


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández IM

MAGNITUD

A

A wot+ϕ REAL

f 0

f

Espectro de Magnitud FASE

ϕ

f 0

f

Espectro de Fase

A cos( wot + ϕ) =

A j( wot + ϕ) A − j( Wot + ϕ) + e e 2 2 A/2

wot+ϕ wot+ϕ A/2

MAGNITUD

FASE A/2

ϕ -fo

- fo

fo

fo

−ϕ

2


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández SERIES DE FOURIER

Se usan en el análisis de señales para representar a los componentes senoidales senoidales de una forma de onda periódica no senoidal, es decir cambiar una señal en el dominio del tiempo a una señal en el dominio de la frecuencia.

• SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER :

f ( t ) = ao +

∞

∞

n=1

n=1

∑ an cos nwot + ∑ bn sen nwot

Donde : ao, an y bn representan los coeficientes de Fourier 2 ao = T 2 an = T 2 bn = T

T 2 T − 2

f ( t )dt

T 2 T − 2

f ( t ) cos(nwot ).dt

T 2 T − 2

f ( t ) sen( nwot ).dt

∫

∫ ∫

donde : T = periodo 2π/wo Si : F(t) = f(-t) , es función par ⇒ bn = 0 F(t) = - f(t), es función impar ⇒ an = 0

f ( t ) = Co +

∞

∑ Cn. cos(nwot + ϕ) −∞

Cn = (an 2 + bn 2 ) Co = ao

ϕ = tan −1

bn an

3


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER

f ( t ) =

∞

∑ Fne

jnwot

−∞

1 Fn = T

T 2 T − 2

∫

f ( t )e− jnWot dt

Fn = Fn e− jθ Magnitud : Fn =

1 (an 2 + bn 2 ) 2

Fase :

θ = tan-1( −

bn ) an

4


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández SERIES DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES PERIÓDICAS

V 2V 2V sen wt − cos 2wt − cos π 2 3π 15π ∞ V V V[1 + ( −1) N ] v( t ) = + sen wt + cos Nw 2 π 2 π − ( 1 N ) N= 2 v( t ) =

V(t) V

V

+

∑

T/2

T

t

V(t)

4V 4V cos wt − cos 2wt + ... π 3π 15π 2V ∞ 4V( −1) N + v( t ) = cos Nwt π N=1 π[1 − (2N) 2 ] v( t ) =

V

T

2V

+

∑

t

V(t)

v( t ) =

V/2

T

v( t ) =

t

2V

π

sen wt +

2V sen 3 wt + ... 3π

∞

2V sen Nwt π N N=impar

∑

-V/2

V(t)

2V 2V cos 3wt + cos 5wt π 3π 5π ∞ V sen Nπ / 2 v( t ) = cos Nwt π N / 2 N=impar v( t ) =

V/2

2V

cos wt −

∑

T

t

-V/2

V(t) V

v( t ) = T

Vt ∞  2Vt sen Nπt / T  +   cos Nwt T N=1  T Nπt / T 

∑

t

V(t)

v( t ) =

V

T

v( t ) =

t

-V

5

4V

π2 ∞

cos wt +

4V 4V + cos 3 wt cos (3π) 2 (5π ) 2

4V cos Nwt 2 π ( N ) N=impar

∑


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández TRANSFORMADAS DE FOURIER La función F(W) se conoce como transformada de Fourier directa o integral de Fourier y se define por : F( W ) = F[f ( t )] =

∞

∫

−∞

f ( t )e − jwt dt

La función F -1(W) se denomina transformada inversa de Fourier y se define por : f ( t ) = F −1 [F( W )] =

1 2π

∫

∞

−∞

F( W )e jwt dW

La transformada de Fourier existirá si la integral de Fourier es finita.

ESPECTRO DE FOURIER :

F(W ) = F(W ) e jθ( W ) Donde : |F(W)| : Espectro de magnitud

θ (W) : Espectro de Fase

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 1.

Propiedad de Linealidad : A1f 1(t) + a2f 2(t) + a3f 3(t) + …+ anf n(t) ↔ a1f 1(W) + a2f 2(W) + … + anf n(W)

1.

Propiedad de corrimiento en frecuencia : f(t) ↔ F(W)

Si :

F(t)e jwot ↔ F(W - Wo) 3. Propiedad de corrimiento en el tiempo :

f(t) ↔ F(W)

Si :

F(t - to) ↔ F(W)e-jwto 4. Propiedad de escala :

Si :

f(t) ↔ F(W) F(at) ↔ ( 1/iai ) F(W/a) 6


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández 5. Propiedad de Simetría :

Si :

f(t) ↔ F(W) F(t) ↔ 2π F(-W)

6. Propíedad de la convolución : Si :

f 1(t) ↔ F1(W) F2(t) ↔ F2(W)

⇒

f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) =

∫

∞

−∞

f 1 ( τ)f 2 ( t − τ)dτ

f 1 (t ) ∗ f 2 ( t) ↔ F1 ( W ).F ( W ) 1 f 1 (t ).f 2 (t ) ↔ F1 ( W ) ∗ F2 ( W ) 2π

Convolución en el tiempo Convolución en frecuencia

Propiedades de la convolucion : f ( t ) ∗ δ( t ) = f ( t ) f ( t ) ∗ δ( t − to) = f (t − to) f ( t − t 1 ) ∗ δ( t − t 2 ) = f ( t − t 1 − t 2 )

NOTA : Estas propiedades también se cumplen para el dominio de frecuencia. 7. Propiedad de la derivación :

Si : f(t) ↔ F(W)

⇒ df ( t ) ↔ jWF( W ) dt dn f ( t ) ↔ ( jW )n F( W ) n df 8. Teorema de la Modulación :

F(t). Coswot ↔ ½ F( W - Wo) + ½ F (W + Wo)

7


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández TABLA DE TRANSFORMADAS DE FOURIER

F(t)

F(W)

1. a1f 1(t) + a 2 f 2 (t)

a 1F1 (W ) + a 2F2 ( W )

2. f (at)

1 W F( ) a a

3. f ( − t)

F( − W )

4. f ( t − t 0 )

F(W )e − jwt0

5. f ( t)e jw 0 t

F(W − W0 )

6. f ( t) cos w 0 t

1 1 F( W − W0 ) + F( W + W0 ) 2 2

7. f ( t) sen w 0 t

1 1 F(W − W0 ) − F( W + W0 ) 2 j 2 j

8. f 0 ( t) =

1 [f (t) + f (− t )] 2

R(W )

9. f 0 ( t) =

1 [f (t) − f (− t)] 2

jX(W )

10. F( t)

2πf (− W )

11. f ' ( t)

jWF(W )

12. f n ( t)

( jW ) n F(W )

f (x )dx

1 F( W ) + πF(0)δ( W ) jW

− jtf ( t)

F' ( W )

15. ( − jt)n f (t)

Fn (W )

t

13.

∫

−∞

14.

16. f 1 ( t) ∗ f 2 ( t) =

∞

∫

f 1 (τ)f 2 (t − τ)dτ

F1 ( W )F2 ( W )

−∞

17. f 1 ( t)f 2 ( t)

1 F ( W ) ∗ F2 (W ) 2π 1

18. e − at u(t)

1 jW + a

8


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández 19. e

−a t

20. e − at

2a a2 + w2

2

π

2

−W e 4a

a 21. te − at u(t)

1 ( jW + a) 2

t n−1 −at 22. e u( t) (n − 1)!

1 ( jW + a)n

23. e − at sen bt.u( t)

b ( jW + a) 2 + b 2

24. e − at cos bt.u(t)

jW + a ( jW + a) 2 + b 2

25.

π

1 a +t 2

2

26.

cos bt a2 + t2

27.

sen bt a2 + t2

a

e −a W

π 2a

(e − a W −b + e − a W + b )

π 2aj

(e − a W − b − e − a W + b )

28. δ(t )

1

29. δ(t − t 0 )

e − jWt 0

30. δ' ( t)

jW

31. δ n ( t)

( jW )n

32. u(t) 33. u(t − t 0 )

πδ( W ) +

1 jW

πδ( W ) +

1 − jWt 0 e jW

34. 1

2πδ( W )

35. t

2π jδ' ( W )

36. t n

2π jn δ n (W )

37. e jw 0 t

2πδ( W − W0 )

38. cos W0 t

π[δ(W − W0 ) + δ(W + W0 )] 1 [δ − + δ(f + f 0 )] 2 ( f f 0 ) 9


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández − jπ[δ( W − W0 ) − δ( W + W0 )]

39. sen W0 t

j 2

− [δ( f − f 0 ) − δ( f + f 0 )] 40. sen W0 t.u(t)

W0 2

W0 − W 41. cos W0 t.u( t)

2

jW W0 2 − W 2

42. t.u( t)

jπδ' (W ) −

+

π 2 j

[δ(W − W0 ) − δ(W + W0 )]

π + [δ(W − W0 ) + δ( W + W0 )] 2

1 W2

43.

1 t

π j − 2π j.U(W )

44.

1 tn

( − jW ) n−1 [π j − 2π j.U(W )] (n − 1)!

45. sgn t

46. δ T (t) =

2 jW ∞

∑ δ(t − nT)

n = −∞

47. t

W0 δ W0 ( W ) = W0

−2 W2

10

∞

∑ δ(W − nW ) 0

n= −∞


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández NOTA :

♦ Si f(t) es una señal de banda limitada a Wm radianes por segundo : ⇒ ∞

♦

K

π

[f (t ) ∗ Sa(Kt )] = f ( t ) para K ≥ Wm

k

∫ π Sa(Kt)dt = 1

-∞

∞

♦

k

∫ π Sa (Kt)dt = 1 2

-∞

Estas relaciones también se cumplen para el dominio de frecuencia.

11


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández EJERCICIOS 1.

Mediante el uso de propiedades determinar la transformada de Fourier de las siguientes señales :

A) f(t) = sen2 5w0t[cos4w0t]u(t − 5) SOLUCIÓN: 1 1 Como: sen2 5w0t = − cos10w0t 2 2 1 1 1 1 1 ⇒ sen2 5w0t.cos4w0t = [ − cos10w0t]cos4w0t = cos4w0t − cos14w0t − cos6w0t 2 2 2 4 4 Aplicando la Transformada Nº 38 de la tabla al resultado obtenido se tiene : 1 1 1 1 F [sen2 5w0t.cos4w0t] = πδ(W + 4W0 ) + πδ(W − 4W0 ) − πδ(W + 14W0 ) − πδ(W − 14W0 ) 2 2 4 4 1 1 - πδ(W + 6W0 ) + πδ(W − 6W0 ) 4 4 AplicandoT.F. Nº33 de la tabla: 1 F u(t - 5)] = [πδ(W)+ ] e−5jW jW AplicandoT.F. Nº17 : 1 ⇒ F(W) = F[sen2 5w0t.cos4w0t] ∗ F[u(t− 5)] 2π 1 1 1 1 1 1 = [ πδ(W + 4W0 )] ∗ [πδ(W)+ ] e−5jW + [ πδ(W − 4W0 )] ∗ [πδ(W) + ] e−5jW 2π 2 jW 2 2 jW 1 1 1 1 1 1 + [− πδ(W + 14W0 )] ∗ [πδ(W)+ ] e−5jW + [− πδ(W − 14W0 )] ∗ [πδ(W)+ ] e−5jW 2π 4 jW 2π 4 jW 1 1 1 1 1 1 + [− πδ(W + 6W0 )] ∗ [πδ(W) + ] e−5jW + [− πδ(W − 6W0 )] ∗ [πδ(W)+ ] e−5jW 2π 4 jW 2π 4 jW Ordenando: 1 1 1 1 1 1 F(W)= πδ(W + 4W0 ) + ( )] e-5j(W+4Wo) + [ πδ(W − 4W0 ) + ( )] e-5j(W- 4Wo) 4 4 j(W + 4W0 ) 4 4 j(W + 4W0 ) 1 1 1 1 1 1 - [ πδ(W + 14Wo)+ ( )] e-5j(W+14Wo) - [ πδ(W − 14W0 ) + ( )] e-5j(W-14Wo) 8 8 j(W + 14W0 ) 8 8 j(W − 14W0 ) 1 1 1 1 1 1 - [ πδ(W + 6W0 ) + ( )] e-5j(W+6Wo) - [ πδ(W − 6W0 ) + ( )] e-5j(W-6Wo) 8 8 j(W + 6W0 ) 8 8 j(W − 6W0 )

12


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández B) f(t) = G 2 ( t ). sen 2 6wot SOLUCIÓN : Por identidad trigonomét rica se tiene que : 1 1 sen 2 6wot = − cos 12wot 2 2 Multiplicando por la función gate o compuerta : 1 1 1 1 G 2 ( t )[ − cos 12wot ] = G 2 ( t ) − G 2 ( t ). cos12wot 2 2 2 2 Aplicando la transformada de la función gate o compuerta y la propiedad Nº 6 : 1 1 F (W) = Sa(W) - Sa( W + 12Wo) + Sa(W − 12Wo) 2 2 2.

Si f(t) ↔ 6G4(w) Escribir f(t) en función del tiempo para cada uno de los siguientes casos :

A ) f(5t) B) f(t - 5)cos 8wot Solucion : A) La transformada de la función gate está dada por : Wτ A G τ ( t ) ↔ AτSa 2 Aplicando T.F Nº 10 de la tabla y ordenando se obtiene F(W) en función del tiempo : τ Aτ Sa t ↔ A G τ ( w ) 2π 2 Como : τ Aτ f(t) = Sa t y 2π 2 A Gτ (w ) = 6 G 4 (w ) Donde : A = 6; τ = 4 Reemplazando estos valores : 6x 4 4 12 Sa t = Sa2t π 2π 2 12 ⇒ f (5t ) = Sa10t f ( t ) =

π

B) Como ya se obtuvo f(t) 12 ⇒ f (t − 5). cos 8wot = Sa2(t − 5). cos 8wot

π

13


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández 3. Aplicando propiedades determinar el espectro de la señal en cada uno de los puntos del sistema mostrado : f(t)

+

1

2

+

Σ

+

Ganancia β

3 Σ

Retardo τ

-

Retardo τ

Considerar f(t) = 5 G 4(t) Solución : De acuerdo al diagrama se tiene que : f 1( t ) = f ( t ) + βf ( t − τ) Aplicando T.F de acuerdo con las tablas : F1( W ) = F( W ) + βF( W )e − jwτ (Prop.de transformada Nº 4 y 1) 1 F2 ( W ) = [F( W ) + βF( W )e − jW τ ] (Prop. Nº 13) jW F(W) βF( W )e − jW τ F( W )e − jW τ βF( W )e − j2Wτ − − F3 ( W ) = + (Prop. Nº 4 y 1) jW jW jW jW 1 F(W) βF( W )e − jW τ F( W )e − jW τ βF( W )e − j2Wτ − − F4 ( w ) = [ + ] jW jW jW jW jW F(W) βF( W )e − jW τ F( W )e − jW τ βF( W )e − j2 Wτ + + =(Prop. Nº 13) W2 W2 W2 W2 Hallando la transformada de f(t) : Aplicando transformada de una función compuerta, donde A=5

τ=4 ⇒ F(W) = 20 Sa2W Reemplazando F(W) en los resultados obtenidos se tiene :

14

4


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández F1(W ) = 20Sa2W + 20βSa2W.e − jWτ 1 F2 ( W ) = (20Sa2W + 20βSa2W.e − jWτ ) jW 20Sa2W 20βSa2W 20Sa2W.e − jW τ 20βSa2W.e − j2 Wτ + − − F3 ( W ) = jW jW jW jW 20Sa2W 20βSa2W 20Sa2W.e − jW τ 20βSa2W.e − j2Wτ − + + F4 ( W ) = − W2 W2 W2 W2

4. Encontrar y graficar los espectros de las señales : A) F(t)=4G1(5t) B) F(t)=10Sa240t Solución : A) Si la función solamente fuera : f(t)=4G 1(t) ⇒ F(W)=4Sa(W/2) Como el ángulo de la función está afectada por una constante, se aplicará la propiedad de escala (Prop. Nº 2 de la tabla ) : 4G1 (5t ) ↔

4 W Sa( ) 5 10

Su gráfica será : F(w) 4/5

−30π

−20π

−10π

10π

20π

30π

B) Se conoce que : A∆2τ(t) ↔ Aτ Sa2 (W τ/2) Por la propiedad de simetría se tiene (Prop. Nº 10) : Aτ Sa2 (τ/2) t ↔ 2π A∆2τ(W) Como f(t)=10Sa240t Se tiene que : 15

w


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Aτ =10; τ/2=40

⇒ τ =80 y A=1/8 Reemplazando : F(W)=2π (1/8)∆160(W) = (π /4)∆160(W)

Su gráfica será : F(W)

π/4

-80

80

W

5. Se conoce que dos funciones en el tiempo donde f(t) > g(t) satisfacen la siguiente integral : ∞

∫

g( t ) = g( τ)f ( t − τ)dτ + δ( t ) −∞

a. Si : f ( t ) ↔ F( W ) g( t ) ↔ G( W ) Hallar la relación entre F(W) y G(W). b. Si f(t) = e-2tu(t) hallar g(t). Soluciön : a. La integral es la definición de convolución de dos funciones lo que dá : g( t ) = g( t ) ∗ f ( t ) + δ( t ) Aplicando propiedades :

16


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández G(W) = G(W).F(W) + 1 G(W) - G(W).F(W) = 1 G(W)[1 - F(W)] = 1 1 G( W ) = 1 − F( W )

b. Determinando F(W) mediante Nº 18 de la tabla de T.F. :

F( W ) =

1 jW + 2

Reemplazando en G(W) : G( W ) = G( W ).F( W ) + 1 F( W ) +1 G( W ) = 1 − F( W ) 1 jW + 2 +1 G( W ) = 1 1− jW + 2 1 +1 G( W ) = jW + 1 Hallando la transformada inversa :

 1  −1 F −1 [G( W )] = F −1   + F [1]  jW + 1 g(t ) = e − t u( t ) + δ( t )

6. Hallar el valor de x(t) a partir de X(W) : X( W ) = [G Wo ( W − Wx ) + G Wo ( W + Wx )]e 5 jW Solución : Por el teorema de modulación se tiene :

17


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández 1 1 g( t ) = f ( t ) cos wpt ↔ F( W − Wp ) + F( W + Wp ) 2 2 Por propiedad de simetría :

τ

AG τ ( t ) ↔ AτSaW ( ) 2

τ

AτSa( )t ↔ 2πAG τ ( W ) 2 τ Aτ Sa( )t ↔ AG τ ( W ) 2π 2 En nuestro caso : A = 1, τ = Wo wo wo f(t) = Sa( )t 2π 2 Adecuando el teorema de la modulación : 2f ( t ). cos wpt ↔ F( W − Wp ) + F( W + Wp ) Por lo que será : 2wo wo g( t ) = Sa( )t. cos wpt 2π 2 Por prop. Nº 4 de la tabla de transformadas se sabe que : g( t + to) ↔ G( W )e jWto Por lo que : wo wo x( t ) = Sa ( t + to). cos wpt π 2 7. Encontrar F(W) en términos de X(W) cuando f(t) = x(2t-4). Solución : Por T.F Nº 2 de la tabla : 1 W x(2t) ↔ X( ) 2 2 X( W ) = F[x(2t − 4)] Por T.F. Nº 4 de la tabla : 1 W x(2t - 4) ↔ X( )e 2 2 1 W F( W ) = X( )e − 2 jW 2 2

− jW 4 2

18


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández 8. Graficar el espectro de frecuencia en cada uno de los puntos en el siguiente sistema :

x

f(t)

1

2

A

sen2π x103t

x

3

4

A

sen4π x103t

x

5

A

6

filtro pasabanda B=2,4 KHz fo=3 KHz

7

sen6π x103t

Si : F(f) 2 1

-200

200

f

Solución : Se dá como dato el espectro de la señal f(t), por lo que se trabajará con éste en el sistema. Al multiplicar la función f(t) por la función seno es factible aplicar el teorema de la modulación, la amplitud del espectro modulado será la mitad del espectro de la señal Los amplificadores afectarán únicamente el espectro de magnitud de cada señal que amplifiquen, su espectro de fase permanecerá inalterable. Por lo que los espectros de frecuencia serán : F1(f) 1 0,5 -1,2 -1 -0,8 0,8

A la salida del amplificador :

19

1

1,2

f(KHz)


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández F2(f) 4 2 -1,2 -1 -0,8 0,8 1

1,2

f(KHz)

Modulando F 2(f) a 2 khz : F3(f) 2 1 -3,2 -3 -2,8

0,8

1

1,2

-2 -1,2 -1 -0,8

2

2,8

3

3,2

f(KHz)

3 3,2

f(KHz)

A la salida del amplificador : F4(f) 8 4 -3,2 -3 -2,8

0,8 1 -2 -1,2 -1 -0,8

1,2 2 2,8

Modulando F 4(f) a 3 khz , se aprecia que los armónicos que aparecerán en cero Hz se cancelan mutuamente :

20


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández F5(f) 4 2 -6,2 -6 -5,8

-1,8

-2,2 -5 -4,2 -4 -3,8 -3

-2

1 -1

3,8 4 1,8 2 2,2

4,2

3

5 5,8

6

6,2

f(KHz)

A la salida del amplificador :

F6(f) 16 8 -6,2 -6 -5,8

-1,8

-2,2 -5 -4,2 -4 -3,8 -3

-2

3,8 4 4,2

1 -1

1,8 2 2,2 3

5 5,8 6 6,2

f(KHz)

A la salida del filtro pasabanda se tiene :

F7(f) 16 8 -1,8

-2,2 -4,2 -4 -3,8 -3

-2

3,8 4 4,2

1 -1

1,8 2 2,2 3

f(KHz)

9. Hallar y graficar el espectro de la señal :

21


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández m(t) A

-d/2

t(seg)

d/2 T

Si : 1 1 seg. , d = 4 20 1 1 b. T = seg., d = 4 5 1 a. T = 1 seg. , d = 20 a. T =

Solución : El espectro de la señal se obtiene de la transformada de la función periódica dada por : M( W ) = 2π

∞

∑ Fnδ( W − nWo )

..... (A)

n= −∞

donde : 1 Fn = F( W ) T

..... (B)

W =nWo

La función f(t) la representamos por :

f(t) A

-d/2

d/2

Por lo que F(W) es : F( W ) = AdSa

Wd 2

Reemplazando en (B) : Fn =

Ad nd Sa Wo T 2

.....(C) 22

t(seg)


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Reemplazando (C) en (A) : 2πAd ∞ nd M( W ) = Sa Wo.δ( W − nWo ) T n=−∞ 2

∑

Como : Wo = 2π / T se tiene : 2πAd ∞ ndπ  2π  M( W ) = Sa( ). δ  W − n( ) T n= −∞ T T  

∑

..... (D)

• Haciendo n = 0 se determina la amplitud de la función : (2 πAd) / T • Los valores de “n” en que la función Sa es cero determinan los cruces or cero. Haciendo : nd =K T Por lo que : nd π = Kπ , de donde : T n =

KT d

….. Valores de “n” en que la función Sa es cero.

a. Reemplazando los valores de T y d en la ecuación (D) se tiene : 2Aπ ∞ nπ M( W ) = Sa( ). δ[W − 8nπ] 5 n= −∞ 5

∑

Para graficar M(W) :

• Amplitud = (2Aπ) / 5 • Valores de K y n : K

± 1

± 2

± 3

N

± 5

± 10 ± 15 …..

…..

23


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández M(W) (2A π)/5

40π 8π 16π

80π

120π

W

B. Reemplazando los valores de T y d en la ecuación (D) se tiene : 8Aπ ∞ 4nπ M( W ) = Sa( ). δ[W − 8nπ] 5 n= −∞ 5

∑

Para graficar M(W) :

• Amplitud = (8Aπ) / 5 • Valores de K y n : K

± 1

± 2

± 3

± 4 …..

N ± 5/4 ± 5/2 ± 15/4 ± 5 …..

M(W) (8Aπ) /5

10π 8π

16π

20π 24π

C. Reemplazando los valores de T y d en la ecuación (D) se tiene : Aπ ∞ nπ M( W ) = Sa( ). δ[W − n2π] 10 n= −∞ 20

∑

Para graficar M(W) : 24

W


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández • Amplitud = (Aπ) / 10 • Valores de K y n : K

± 1

± 2

± 3

± 4

…..

N

± 20

± 40

± 60

± 80

…..

(A π)/10

M(W)

40π 2π

25

80π

W


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández

SISTEMAS LINEALES Un Sistema lineal es aquel que es invariante en el tiempo caracterizado por la dependencia de señal de salida sobre la señal de entrada.

SISTEMA LINEAL h(t) H(W)

f(t) F(W)

r(t)=f(t)∗h(t) R(W)=F(W).H(W)

Donde h(t) representa la función de transferencia del Sistema lineal. Si la señal f(t) fuera un impulso, entonces a la salida del sistema lineal se obtendrá: r ( t) = f (t) ∗ h(t) r ( t) = δ(t) ∗ h( t) Aplicando la propiedad de convolución con el impulso : r ( t) = h( t) Espectralmente se obtiene : R( W ) = H( W )

TRANSMISIÓN SIN DISTORSION Una transmisión a través de un sistema lineal es libre de distorsión si la entrada y la salida tienen idénticas formas de onda dentro de una constante multiplicativa. También se considera libre de distorsión a una salida retardada.

f(t) F(W)

r(t)=Kf(t-to) SISTEMA LINEAL

Del gráfico se aprecia que :

26

R(W)=KF(W) e -jWto


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández R(W) = F(W).H(W) Donde : H(W) = Ke-jwto H(W) = |H(W)| e jθW Para un retardo determinado de tiempo to corresponderá un retraso de fase Wto, que ocasionará que H(W) en cada componente de frecuencia sea proporcional a la frecuencia de esa componente. Las características ideales de magnitud y fase para una transmisión libre de distorsión son mostradas en el gráfico gr áfico siguiente:

|H(W)|

θ(W)

K

W

W

-wto

DISTORSIÓN LINEAL DE LA SEÑAL A TRAVÉS DE UN SISTEMA DE COMUNICACIÓN La distorsión lineal de una señal a través de un sistema de comunicación, puede ocasionarse por las características no ideales de la función de transferencia del sistema, ya sea de la magnitud, de la fase ó de ambas. La función de transferencia del sistema H(W) al no ser ideal (no es igual a una constante) ocasionará un desbalance en las magnitudes y fases en la señal de salida por lo que la suma de todas las componentes no podrá ser igual a cero fuera del intervalo de existencia de la señal, esto ocasionará una dispersión de la señal . Lo mismo ocurrirá si la característica de fase del sistema no es ideal. En sistemas TDM este tipo de distorsión ocasiona interferencia de voz o diafonía.

27


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández En sistemas FDM ocasiona dispersión en cada señal multiplexada.

DISTORSIÓN NO LINEAL Para ilustrar la idea de distorsión no lineal considérese un sistema no lineal con características de entrada y salida : y(t) = a1x(t) + a2 x 2 ( t) Con la entrada : x( t) = A1 cos w1t + A 2 cos w 2t Por lo tanto la salida es :

De acuerdo a la ecuación (A) el sistema ha producido frecuencias en la salida además de la frecuencia de entrada; además al primer término que se puede considerar hay armónicos de distorsión de las frecuencias de entrada, así como términos de distorsión que involucran sumas y diferencias de los armónicos de las frecuencias de entrada. A los primeros armónicos se les conoce como términos de distorsión armónica y a los segundos como términos de distorsión por intermodulación. En general la salida es : y(f ) = a1X( f ) + a2 X(f ) ∗ X( f ) NOTA : El ancho espectral del término de distorsión es el doble de la entrada. Por ejemplo : Si : X( W ) = AG2 wo (W ) X(W ) ∗ X(W ) = A 2 2Wo∆ 4 Wo )(W )

ANCHO DE BANDA El ancho de banda de un sistema de comunicaciones es el rango de frecuencias mínimo requerido para propagar la información a través del sistema; éste ancho de banda debe ser lo suficientemente grande para pasar todas las frecuencias significativas de la información.

28


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Para calcular el ancho de banda de una señal se requiere obtener su espectro de frecuencia (Transformada de Fourier) para realizar el análisis respectivo. En forma práctica se puede determinar el ancho de banda midiendo las frecuencias en que los niveles se encuentren debajo de los 3 db del nivel máximo.

Vo Vm

Vi -Vm

Vmax -3dB=Vmax/√2

fmin

fo

fmax

f

BW

FILTROS IDEALES Y REALES FILTRO IDEAL PASABAJAS PASABAJAS : Un filtro de éste tipo se caracteriza por permitir únicamente el paso de las frecuencias que se encuentran por debajo de la frecuencia de corte Wc. La gráfica siguiente muestra su respuesta en frecuencia :

29


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández H(W) K

-Wc

Wc

w

-wto

En la gráfica el valor de K indica la ganancia del filtro. La siguiente ecuación denota la función de transferencia de este filtro : H(W)=KG2Wc(W)e-jwto Wc=2 π fc Fc : frecuencia de corte del filtro

FILTRO REAL PASABAJAS : Es un filtro pasabajas realizable cuya respuesta en frecuencia atenuará los niveles de ganancia (Vo/Vi) a partir de la frecuencia corte fc (3 db por debajo de la máxima ganancia). El siguiente circuito representa un filtro real pasabajas pasivo : R

Vi

I

C

Vo

La función de transferencia del filtro es calculada por la relación del voltaje de salida entre el voltaje de entrada : 1 I( ) Vo jWC = H(W ) = Vi I( R ) 1 + jWC 1 H(W ) = 1 + jWRC Como W=2πf y fc=2πRC

30


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Reemplazando y ordenando se tiene : H(f ) =

1

f 1 + j( ) fc donde fc : frecuencia de corte del filtro.

El gráfico siguiente representa la respuesta en frecuencia de un filtro real pasabajos: Vmax Vmax/√2

fc

f

FILTRO IDEAL PASA-ALTAS : Este filtro se caracteriza por permitir únicamente el paso de las frecuencias que se encuentran por encima de la frecuencia de corte fc. La gráfica siguiente muestra su respuesta en frecuencia :

H(W) K

-Wc

Wc

w

-wto

En la gráfica se aprecia que el valor de K, representa la ganancia del filtro en todo el rango de frecuencia. La siguiente ecuación denota su función de transferencia : H(W)=[1-KG2Wc(W)] e-jwto Wc=2πfc Fc : frecuencia de corte del filtro

31


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández FILTRO REAL PASA-ALTAS : Es un filtro realizable cuya respuesta en frecuencia atenúa los niveles de ganancia (Vo/Vi) hasta la frecuencia corte fc (3 db por debajo de la máxima ganancia), permitiendo el paso de las frecuencias mayores a la frecuencia de corte con mayores niveles de ganancia. El siguiente circuito representa un filtro real pasa-altas pasivo :

C

Vi

I

R

Vo

La función de transferencia del filtro es calculada por la relación del voltaje de salida entre el voltaje de entrada : IR 1 + R) I( jWC jWC H(W ) = 1 + jWRC H(W ) =

Vo = Vi

Como W=2πf y fc=2πRC, reemplazando y ordenando se tiene :

El gráfico siguiente representa la respuesta en frecuencia de un filtro real pasa-altas :

32


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Vmax Vmax/√2

fc

f

FILTRO IDEAL PASABANDAS : Este filtro se caracteriza por permitir el paso de las frecuencias que se encuentran dentro de una banda de frecuencias, presentando dos frecuencias de corte (Wc-Wm y Wc+Wm). La gráfica siguiente muestra su respuesta en frecuencia :

H(W)

K 2Wm -(Wc+Wm)

-Wc

2Wm -(Wc-Wm)

Wc-Wm

Wc

Wc+Wm

W

-wto

En la gráfica K representa la ganancia del filtro. La función de transferencia de éste filtro se denota por : H(W) = [KG2WM(W+WC)+KG2WM(W-WC)]E-JWTO ·

SEÑALES DE POTENCIA Y ENERGÍA

·

Una señal de energía es una señal en forma de pulso que normalmente existe durante un intervalo finito de tiempo , o si está presente por un lapso infinito tiene al

menos la mayor parte de su energía concentrada en un intervalo finito de tiempo.

33


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Para los sistemas eléctricos una señal es un voltaje o una corriente. La potencia instantánea disipada por un voltaje e(t) en una resistencia R es :

P=

e 2 ( t) watts R

La potencia instantánea disipada por una corriente i(t) en una resistencia R es : P = i 2 (t).R watts Por lo general es usual referirse a la potencia normalizada (R=1 Ω). P = f 2 (t) De acuerdo a la normalización la energía disipada por la señal durante un intervalo de tiempo (t1, t2) es : t2

∫

E = f 2 (t).dt Joule ..................(A) t1

Se define como una señal de energía aquella para la cual la ecuación (A) es finita aún cuando el intervalo de tiempo sea infinito, esto es cuando : ∞

E=

∫ f (t).dt 2

<∞

−∞

Las siguientes gráficas muestran algunas señales de energía :

f(t)

t Pulso Rectangular

34


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández f(t)

t

Senoide Pulsante

f(t) e-ItI t Pulso exponencial bilateral

f(t)

e -t

2

t

Pulso Gausiano De lo anterior se concluye que f(t) es una señal de energía sí y sólo sí : 0< E<∞ Con lo que la P=0. No todas las señales de interés tienen energía finita, algunas tienen energía infinita, aunque el promedio en el tiempo puede ser finito. Este promedio se llama Potencia media y tales señales se denominan Señales de Potencia.

35


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández La potencia media de una señal viene dada por : T 2

1 2 f ( t).dt .................................(B) Potencia Normalizad a T →∞ T −T

P = lim

∫

2

En una señal periódica cada periodo contiene una réplica de la función y la operación de llevar al límite la ecuación (B) puede omitirse siempre que T se tome como el periodo, sin embargo hay señales de potencia que no son periódicas por lo que debe mantenerse la operación indicada para el caso general. La operación descrita en la ecuación (B), es el valor cuadrático medio de la señal f(t), denotado por : _______ 2

T

1 2 2 P = f (t) = lim f ( t).dt T→∞ T T −

∫

2

Se clasifica f(t) como una señal de potencia sí y sólo sí : 0< P<∞ Con lo que E = ∞ .

36


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández TEOREMA DE PARSEVAL

Este teorema establece : Si f(t) es una función real y periódica, con periodo T, entonces : T 2

1 2 P= f ( t).dt = T −T

∫

2

∞

∑ IFnI

2

−∞

Si se conoce la función f(t) puede determinarse la potencia media. Es factible también calcular la potencia si se conocen los coeficientes de Fourier, donde las respuestas obtenidas en el dominio del tiempo y en la frecuencia deben concordar. Estas concordancias se establecen en la siguiente relación :

∞

∑

P=

IFnI2 = Fo + 2

n = −∞

∞

∑ IFnI

2

n =1

También es posible calcular la potencia normalizada a partir de la Serie Trigonométrica de Fourier : x( t ) = a0 + P=

a02

+

∞

∞

∑ an cos nw t + ∑ bn senw t 0

n =1 ∞ an2

∑ n =1

0

n =1

∞

bn2 + 2 n =1 2

∑

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA Dado que la energía viene dada por : ∞

E=

∫ f (t).dt ó 2

−∞

∞

∞

1 2 2 E= F( W ) dW = F(f ) .df 2π − ∞ −∞

∫

∫

Esto se conoce como Teorema de la Energía de Rayleigh o Teorema de Parseval para las transformadas de Fourier donde :

37


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández G(W ) = F( W ) G(f ) = F(f )

2

2

Se denomina Densidad Espectral de Energía (DEE).

ESPECTRO DE DENSIDAD DE POTENCIA Una señal de potencia tiene energía infinita, por ende pueden no tener transformada de Fourier. Considerando la señal f(t) : f(t)

t

Si se multiplica la señal f(t) por la señal compuerta G T(t), se obtiene la siguiente gráfica : f T(t)

-T/2

T/2

t

La función que define la señal f(t) truncada es definida por :

f T ( t )

 f (t ), - T/2 < t < T/2 = 0, para otros valores

Dado que f t(t) es finita es factible aplicar el concepto de energía. Mientras T, sea finito, f t(t) tendrá energía finita y será transformable en Fourier, por lo que:

38


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández f T ( t) ↔ FT ( W ) La energía de la señal truncada es : T 2

∞

2 1 E = f ( t).dt = FT ( W ) .dW 2π − ∞ −T

∫

∫

2

2

Espectro de Densidad de Potencia es definido como :

F (W ) SF (W ) = lim T T→∞ T

2

Conociendo el espectro de Densidad de Potencia, es posible determinar la potencia de la señal : 2

∞ F (W ) 1 P= lim T .dW 2π − ∞ T → ∞ T

∫

P=

1

∞

∫ S (W).dW ó

π0

F

∞

∫

P = 2 SF ( f ).df 0

NOTA : Dos señales con igual espectro de magnitud pero con diferente espectro de fase tendrán el mismo espectro de densidad de potencia.

ESPECTRO DE DENSIDAD DE POTENCIA DE UNA SEÑAL PERIÓDICA Si f(t) es periódica se puede representar mediante su serie exponencial de Fourier : f (t) =

∞

∑F e n

jnW0 t

n = −∞

F (W ) SF (W ) = lim T T →∞ T

2

....................(A)

f T (t) = f ( t).GT (t) FT (W ) =

1 F( W ) ∗ F[GT ( t)] 2π

....................(1)

39


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández ∞

∑ Fnδ(W − nWo) ....................(2)

F[f ( t)] = 2π

n = −∞

WT 2

GT (t) ↔ T Sa

.................... (3)

∞ 1  WT  FT (W ) = 2π Fn δ( W − nWo) ∗ T Sa   2π  n= −∞ 2 

∑

FT (W ) = T

∞

∑ Fn Sa(W − nWo) T2 ................(4)

n = −∞

Reemplazando (4) en (A) :

SF (W ) = T

∞

∑ lim Fn

n=- ∞

T →∞

2

Sa 2 (W - nWo)

T ........(B) 2

K

δ(t) = Tlim Sa 2 (Kt) ....... Función de muestreo cuadrado →∞ π K

δ(W ) = Tlim Sa 2 (KW ) →∞ π

..................(5)

Multiplicando y dividiendo a (B) por 2 π y adecuando (5) :

S F ( W ) = 2π

∞

∑ Fn

2

δ(W - nWo) ..... ESPECTRO DE DENSIDAD DE POTENCIA

n=- ∞

DE UNA SEÑAL PERIÓDICA ∞

P=

∑ Fn

2

n = −∞

Donde : Fn =

1 (an2 + bn2 ) , 2

Si f(t) es par ⇒ bn = 0 Es factible calcular la energía a la entrada y salida de un sistema lineal si se conocen sus densidades espectrales de energía.

40



F(W) Si(W) ó Si(f) Ei

Gi( W ) = F( W ) Gi( f ) = F( f ) Ei =

1

2

R(W)=F(W).H(W) So(W) ó So(f) Eo 2

2

Go(W) = R(W) = F(W) H(W)

2

2

2

Go(f ) = R(f ) = F(f ) H(f )

∞

π∫

r(t)=f(t)∗h(t)


f(t)

Gi(W ).dW =

0

1

∞

π∫

2

F( W ) .dW

Eo =

0

∞

∞

∫

∫

2

Ei = 2 Gi( f ).df = 2 F( f ) .df 0

1∞

π ∫0

Go(W).dW =

∞

∞

0

0

∫

1∞

π ∫0

∫

2

2

2

2

F(W) H(W) .dW

2

2

Eo = 2 Go(f ).df =2 F(f ) H(f ) .df

0

También se puede calcular la potencia a la entrada y salida de un sistema lineal si se conocen sus espectros de densidad de potencia :

F(W) Si(W) ó Si(f) Pi

Si( W ) = F( W ) Si( f ) = F( f ) Pi =

1

2

2

2

2

1

0

∞

2

.dW

Po =

0

∞

∫

2

Pi = 2 Si(f ).df =2 F( f ) .df 0

2

2

2

2

So(f ) = R(f ) = Si(f ) H(f ) = F(f ) H(f )

Si( W ).dW = ∫ F( W ) π∫ π

∫

R(W)=F(W).H(W) So(W) ó So(f) Po

So(W) = R(W) = Si(W) H(W) = F(W) H(W)

∞

∞

r(t)=f(t)∗h(t)


f(t)

1

∞

1

∞

So(W).dW = ∫ F(W) π∫ π 0

∞

∫

2

H(W) .dW

0

∞

∫

2

2

Po = 2 So(f ).df =2 F(f ) H(f ) .df

0

0

41

0

2

2

2


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández EJERCICIOS 1. Encontrar y graficar las densidades espectrales de energía de las siguientes señales : a.

F(t) = 20 Sa30t Solución : AG τ t ↔ A τ Sa

τ 2

W

Aplicando Transformada Nº 10 de la tabla :

τ

AτSa t ↔ 2πAGτW 2 Se observa que : Aτ = 20

τ 2

= 30 ⇒ τ = 60

A=

20 2 = 60 3

Reemplazando estos valores en la transformada se obtiene : F( W ) =

2π G (W ) 3 60

La densidad espectral de energía está dada por : 4π 2 G( W ) = F(W ) = G60 (W ) 9 2

Nótese que la DEE afecta sólo al espectro de magnitud, no altera el espectro de fase. La gráfica de la DEE es : F(W) (4π 2)/9

30

-30

b.

F(t) = 4G(5t)cos(40πt)

Solución :

42

W


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Haciendo : f 1(t) = 4G(5t) f 2 (t) = cos(40πt) Lo que permite escribir a f(t) como : F(t) = f 1(t).cos(40πt) A esta última expresión se puede aplicar el teorema de la modulación : 1 1 f 1 ( t ). cos 40πt ↔ F1 ( W + 40π) + F1 ( W − 40π) 2 2

.....(A)

Queda por hallar la transformada de f 1(t) , aplicando T.F Nº 2 de la tabla :

F1(W ) =

4 W 4 Sa = Sa10 W 5 10 5

Reemplazando F 1(W) en la ecuación (A) : 1 4 1 4 F( W ) = . Sa10 (W + 40π) + . Sa10 (W − 40π) 2 5 2 5 F( W ) = 0,4Sa10 (W + 40π) + 0,4Sa10 ( W − 40π) Hallando la DEE : 2

G( W ) = F( W ) = [0,4Sa10 (W + 40π) + 0,4Sa10 ( W − 40π)]2 2 2 G( W ) = 0,16[Sa10 (W + 40π) + 2Sa10 ( W + 40π)Sa10 ( W − 40π) + Sa10 ( W − 40π)] 2 2 G( W ) = 0,16[Sa10 (W + 40π) + Sa10 (W − 40π)]

Graficando G(W) : G(W)

0.16

−40π

40π

43

W


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández 2. Clasificar las señales como se señales de potencia o de energía y determinar su potencia o su energía : A. F(t) = G2(t-3)+G(t-3) Para identificar mejor a la señal, se debe graficar f(t) : f(t) 2 1

2

2.5

3

3,5

4

t

De la gráfica se puede ver que es una señal de energía, por ser finita. 2,5

∫

3,5 2

E = (1) dt + 2

4

∫ (2) dt + ∫ (1) dt 2

2,5

2

3,4

E = 0,5 + 4 + 0,5 E = 5 Joules

b. F(t) = 2u(t) – 2u(t-10) La función f(t) es la diferencia de dos funciones Graficando : 2 u(t)

2 u(t-10)

2

2

t

10

t

f(t)=2 u(t) - 2 u(t-10)

2

10

44

t


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández La función f(t) es de energía. 10

∫

E = (2)2 dt 0

E = 40 Joules c.

F(t) = ASen(wt+θ)

F(t) es una función periódica con periodo π/w, por lo que es factible calcular su potencia : w

T

1 2 wπ 2 2 P= f (t).dt = A Sen( wt + θ) dt π0 T0

∫

∫

w

w π A2 P= [1 − cos[2(wt + θ)] ] dt π0 2

∫

A2 P = watts 2

. d. f ( t ) =

t e2

cos(10πt )

La función cosenoidal es de potencia, pero al multiplicarse con la función exponencial que es de energía, la función f(t) es de energía. 2

∞

 − 2t  E = e cos(10πt) dt  −∞

∫

∞

∞

1 1  E = 2 e cos (10πt )dt = 2 e − t  + cos 20πt dt 2 2  0 0

∫

∞

∫

−t

∫

∞

∫

E = e dt + e − t cos( 20πt )dt 0

−t

2

0

Re solviendo la integral : 1 E = 1+ 1 + (20π) 2 E = 1,0002532 Joules

45


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández e. f ( t ) = e − αt u( t ) F(t) es una señal de energía por la acción de la función exponencial. f(t) 1

t

∞

E=

2 − αt [ ] e u ( t ) dt ∫

−∞

Al aplicarse la integral, los límites de ésta cambian debido a la función escalón ∞

∫

E = e -2αt .dt 0

e − 2 αt E= − 2α E=

∞ 0

1 Joules 2α

3. Al circuito mostrado en la figura se le aplica la señal Vi(t) = 2e -tu(t). Determinar la respuesta a la salida del filtro en función del tiempo. R = 2 ohms Vi

L=1H

Vo

Solución : La señal de salida estará dada por : r ( t) = Vi( t) ∗ h(t) Es preferible trabajar en frecuencia y luego pasar al dominio del tiempo.

⇒ R( W ) = Vi( W )H( W )

46


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández H(W ) =

Vo( W ) jW = Vi( W ) R + jWL

Reemplazando los valores de R y L : H(W ) =

jW 2 + jW

Vi(W ) =

2 1 + jW

La transformada de Vi(t) es :

⇒ R( W ) =

2 jW (2 + jW )(1 + jW )

Descomponiendo R(W) en fracciones parciales : R( W ) =

A B + 2 + jW 1 + jW

.....(A)

Determinando los valores de A y B : A + AjW + 2B + BjW = 2 jW A + 2B + jW( A + B) = 2 jW De la última expresión se ve que : A+B=2 − A − 2B = 0 Resolviendo simultáneamente : B = -2 A=4 Reemplazando en (A) : R(W ) =

4 2 − 2 + jW 1 + jW

Para hallar la respuesta en función del tiempo se aplica la transformada inversa :

47


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández r (t) = F−1[R( W )] = 4e−2tu( t) − 2e − tu( t) 4. La señal f(t) = coswot + 2 sen3wot + 0,5 sen4wot es filtrada por un filtro pasabajas tipo RC con una frecuencia de corte en los 3 db de fc = 2 fo. Determinar : a. El espectro de densidad de potencia a la entrada del filtro. b. El espectro de densidad de potencia a la salida del filtro. c. La potencia de la señal a la salida del filtro. Solución : El filtro circuitalmente es de la forma R Vi

C

Vo

Su función de transferencia está dada por : H(f ) =

Vo 1 = Vi 1 + j( f ) fc

Fc = 1/(2πRC) A. Cálculo de la DEP a la entrada del filtro : Si( f ) = F( f )

2

Hallando F(f) : 1 1 [δ(f + fo) + δ(f − fo)] − j [δ( f − 3fo) − δ(f + 3fo)] − j [δ(f − 4fo) − δ( f + 4fo)] 2 4 Si( f ) = 0,25 [δ( f + fo) + δ( f − fo)] + [δ( f − 3fo) + δ( f + 3fo)] + 0,0625 [δ(f − 4fo) + δ(f + 4fo)]

F(f ) =

b. Para determinar la DEP a la salida del filtro es necesario establecer el comportamiento del filtro afectando a la señal de entrada.

48


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Por lo que : So( f ) = Si( f ) H( f )

2

.....(A)

Donde : 2

   1  1 2  = H( f ) =  1 + j( f )  1 + ( f )2   fc  fc  Como Si(f) presenta armónicos en las frecuencias positivas y negativas fo, 3fo y 4fo, se hallará el valor de H(f) 2 para éstas frecuencias, considerando que fc = 2fo. H( f )

2 f = fo

H( f )

2

H( f )

2 f = 4 fo

f =3 fo

1 1 = = 0,8 fo 2 1 1+ ( ) 1+ 2fo 4 1 1 = = = 0,3077 3fo 2 9 1+ ( ) 1+ 2fo 4 1 1 = = = 0,2 4fo 2 1 + 4 1+ ( ) 2fo

=

Con los valores obtenidos de H(f) 2 y Si(f) reemplazando en (A) se tiene : So( f ) = (0,25)(0,8) [δ(f + fo) + δ(f − fo)] + 0,3077 [δ( f − 3fo) + δ(f + 3fo)] + (0,0625)(0,2) [δ( f − 4fo) + δ( f + 4fo)] So( f ) = 0,2 [δ( f + fo) + δ( f − fo)] + 0,3077[δ( f − 3fo) + δ( f + 4fo)] + 0,0125 [δ( f − 3fo) + δ( f + 4fo)] c. Teniendo la DEP a la salida del filtro se determina el valor de la potencia de salida : ∞

∞

∫

∞

∫

∫

Po = 2 So( f )df = (2)(0,2) δ( f − fo)df +(2)(0,3077 ) δ( f − 3fo)df 0

0

0

∞

∫

+ (2)(0,0125 ) δ( f − 4fo)df 0

La integral del impulso tiene el valor de uno donde se encuentre

49


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández ubicado, por lo que : Po = 0,4 + 0,6154 + 0,025 Po = 1,0404 watts 5. La entrada a un filtro pasabajas RC es un pulso rectangular de ancho 1 ms y amplitud de 1 voltio. La frecuencia de corte del filtro es de 1khz. Encontrar : A. El espectro de densidad de energía a la salida del filtro. B. La energía normalizada a la entrada y salida del filtro. Solución : Graficando el pulso rectangular se observa que es una función compuerta : f(t) 1

-0.5

0.5

t(ms)

T = 1 ms W = 2 π / T = 2πx1khz a. El espectro de energía a la salida del filtro está dado por : Go( W ) = Gi( W ) H(W)

2

.....(A)

En ésta ecuación Gi(W) es la DEE del pulso rectangular y H(W) 2 es el cuadrado de la función de trasferencia del filtro pasabajas RC.

Calculando : Gi( W ) = F(W)

2

Gi( W ) = 1x10 −3 Sa(0,5 x10 −3 W )

2

Gi( W ) = 1x10 − 6 Sa 2 (0,5x10 −3 W )

50


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández H(W)

2

H(W)

2

1 W 2 1+ ( ) Wc 1 1 = = 2πx1K 2 2 1+ ( ) 2πx1K

=

Reemplazando en (A) : Go(W ) = 0,5x10−6 Sa2 (0,5x10−3 W ) b. Cálculo de la energía a la entrada y salida del filtro : ∞

1 Ei = Gi(W)dW 2π - ∞

∫

∞

1 Ei = 1x10 -6 Sa 2 (0,5x10 -3 W)dW 2π - ∞

∫

Se conoce que : ∞

K

∫ π Sa (KW )dW = 1 .........( α) 2

-∞

Adecuando ( α) a Ei, se tiene :

Ei = 10

−3

∞

∫

(0,5x10-3 )

-∞

π

Sa2 (0,5x10-3 ). dW

Ei = 10-3 Joules

Cálculo de la energía de salida : ∞

1 Eo = Go(W)dW 2π - ∞

∫

∞

1 Eo = 0,5x10 -6 Sa 2 (0,5x10 -3 W)dW 2π - ∞

∫

Adecuando a la ecuación ( α) :

51


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Eo = 0,25x10 −3 Joules

6. Una señal presenta un espectro de densidad de potencia como el mostrado en la figura: G(f)

10-6f 2

-10

10

f(KHz)

Si la señal se aplica a un filtro ideal pasabajas que tiene un ancho de banda de 5 khz y ganancia 3. Determinar : A. El espectro de densidad de potencia a la salida del filtro. B. La potencia promedio normalizada a la salida del filtro. Solución : A. El filtro ideal presenta la siguiente función de transferencia : H(f) 3

-5

5

f(KHz)

H(f) = 3 G 10K(f)

H(f)2 = 9 G10K(f)

El espectro de densidad de potencia está dado por : So(f) = Si(f) H(F)2

52


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández So(f) = 9x10-6 f 2 G10K(f) B. Cálculo de la potencia normalizada de salida : ∞

∫

P = 2 So( f )df ........( A ) 0

En So(f) la función compuerta limita la función cuadrática, por lo que : 5K

∫

P = 2 9x10 −6 f 2 df 0

P = 18 x10

−6

f 3 3

5K

0

P = 750 Kw

7. El espectro de una señal de audio es como el mostrado en la figura :

F(f) 1

-1 -f 1

f 1

1

f(KHz)

A. Encontrar el contenido de la energía normalizada de la onda. B. Calcular la frecuencia f 1, tal que la mitad de la energía normalizada esté en el rango de –f 1 a f 1. Solución : A. La función F(f) está definida por : (1 - 10 –3 f ) , 0
53


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández ∞

∫

1K

∫

2

E = 2 F( f ) df = 2 (1 − 10 −3 f ) 2 df 0 1K

0

∫

E = 2 (1 − 2x10 −3 f + 10 −6 f 2 )df 0

1K

−6 3   10 f  3 2 − E = 2 f − 10 f + 3  0  E = 666.67 Joules

B. Determinando el valor de f 1 : f 1

f 1

1 2 2 E = F( f ) df = 2 F( f ) df 2 0 − f 1

∫

∫

f 1

1 ( 666,67) = 333.335 = 2 (1 − 2x10− 3 f + 10− 6 f 2 )df 2 0

∫

f 1

10− 6 f 3 −3 2 333.335 = 2( f − 10 f + ) 3 0

10−6 f 13 166.6675 = f 1 − 10 f 1 + 3 −6 3 10 f 1 − 10−3 f 12 + f 1 − 166.6675 = 0 3 f 1 = 206,27 Hz −3 2

8. Hallar la potencia de cada una de las siguientes señales periódicas :

a. x 1 ( t ) =

∞

∑ G (t − 10n) 3

n = −∞

b. x 2 ( t ) =

∞

∑ ∆ (t − 4n) 4

n= −∞

Solución : A. Graficando x1(t) :

54


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández x1(t) 1

-11,5 -10

-8,5

-1,5

1,5

8,5

10

11,5

t

Del gráfico se observa que : T = 10 Cálculo de la potencia : T

1,5

10

1 2 1 P= f ( t )dt = ( 12 dt + 12 dt ) T0 10 0 8,5

∫

∫

∫

P = 0,3 watts

B. Graficando x2(t) : x2(t) 1

-6

-4

-2

2

Del gráfico se observa que : T=4 La función x2(t) es definida por : 1 t +1 2 1 1- t 2

, -2
0
Cálculo de la potencia :

55

4

6

t


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández T

1 2 P= f ( t )dt T0

∫

x 2 ( t ) es par por lo que : 2

2 1 P= (1 − t ) 2 dt 40 2

∫ 2

1 1 P= (1 − t + t 2 )dt 20 4

∫

2

1 t2 t3 P = (t − + ) 2 2 12 0 P = 0,333 watts

9. La señal de tensión f(t)=10te -tu(t) se aplica a una carga de 50 ohms. A. Calcular la energía total disipada por la carga. B. Determinar que fracción de la energía total se encuentra contenida a la salida de un filtro pasabanda ideal que tiene un ancho de banda de 2 rad/seg y frecuencia central de 4 rad/seg. Solución : A. Por ser una señal de tensión se tiene : ∞

1 2 E= f ( t )dt R −∞

∫

Como en la señal f(t) la señal exponencial es multiplicada por la función escalón unitario, entonces f(t) tendrá únicamente valores positivos, por lo que la energía se calcula como : ∞

1 E= (100t 2e− 2t )dt 50 0

∫

Integrando y estableciendo los límites, se obtiene : E = 0,5 Joules B. La señal f(t) ingresa al filtro pasabanda que tiene por característica :

56


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández F(W) 1

-5

-4

-3

3

4

5

W

La energía a la salida del filtro es : ∞

1 2 2 Eo = F( W ) H( W ) dW 2πR −∞

∫

.....(A)

Determinando F(W) : Aplicando transformada Nº 21 de la tabla : F( W ) =

10 (1 + jW )2

Como : F(W) 2 = F(W)  F(-W) 

⇒ F( W ) 2 =

100 (1 + W 2 )2

H(W) limitará la energía de salida de 3 a 5 rad/seg, por lo que : 5

1 100 Eo = dW 50π 3 (1 + W 2 )2

∫

5

 100  W 1 + Eo = arctan ( W )  50π  2( W 2 + 1) 2 3 Eo = 5,30x10−3 Joules La fracción de la energía total de entrada será : 5,30x10−3 x100 = 1,06% 0,5 10. Una señal de la forma f(t)=e -atu(t) se aplica a un sistema lineal invariable en el tiempo, la densidad espectral resultante a la salida del sistema es:

57


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández R( W ) =

c0 c 22 − W 2 + jc 1W

Donde las c k son constantes. Si se sabe que la respuesta al impulso del sistema es de la forma : h( t ) = b0e−b1tu( t ) . Determinar los valores de las constantes a, b k en términos de c k. Solución : Determinando las transformadas de f(t) y h(t) : 1 a + jW b0 h( t ) = b 0 e −b1t u( t ) ↔ H( W ) = b1 + jW f ( t ) = e −at u( t ) ↔ F( W ) =

La respuesta del sistema por ser lineal será : R( W ) = F( W ) H( W ) c0 b0 1 = ( )( ) a + jW b1 + jW c 22 − W 2 + jc 1W ab1 + (a + b1 ) jW − W 2 c 22 + jc 1W − W 2 = b0 c0 ab1 a + b1 c1 W 2 c 22 W2 +( = + ( ) jW − ) jW − b0 b0 b0 c0 c0 c0 Comparando ambos miembros de la igualdad se tiene que : ab1 c 22 = b0 c 0

.....(1)

 a + b1      jW =  c 1  jW  b 0   c 0  W2 W2 = b0 c0

.....(2)

.....(3)

De la ecuación (3) se tiene : b0 = c 0

.....(4)

Reemplazando (4) en (1) :

58


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández ab1 = c 22 c 22 a= b1

.....(5)

Reemplazando (4) en (2) : a + b1 = c 1

.....(6)

Reemplazando (5) en (6) : c 22 + b1 = c 1 b1 c 22 + b12 = c 1b1 b12 = c 1b1 + c 22 b12 − c 1b1 + c 22 = 0 c 1 ± c 12 − 4c 22 b1 = 2 De la ecuación (6) : a = c 1 − b1 c 1 ± c 12 − 4c 22 a = c1 − 2 11. La densidad de potencia S(W) (fig. A) corresponde a la señal f(t) que se transmite por el sistema cuya función de transferencia se muestra en la fig. B. a. Determinar la densidad espectral de potencia a la salida del sistema. b. En que porcentaje varía la potencia de salida con respecto a la potencia de entrada.

59


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández S(W)

8

8

6

6

fig. a

4

4

2

−360π

−210π −150π

2

−90π

90π

150π

210π

W

360π

H(W) 1

fig. b

−450π

−270π

−90π

90π

270π

−450π

Solución : a. La densidad espectral de potencia a la salida está definida por : 2

So( W ) = S( W ) H( W ) ……..(A) La función H(W) está definida por :

 450π − W , - 450π < W < 0  450π H( W ) =   450π − W , 0 < W < 450π  450π Como H(W) es una función par, se trabajará con los armónicos positivos. Determinando H(W) y H(W)2 para las frecuencias de interés de S(W) : 450π − 90π = 0,8 450π = 0,64

H( W ) W =90 π = 2

H( W ) W =90 π

450π − 150π = 0,67 450π = 0,44

H( W ) W =150 π = 2

H( W ) W =150 π

450π − 210π = 0,533 450π = 0,284

H( W ) W =210 π = 2

H( W ) W =210 π

450 π − 360π = 0,2 450 π = 0,04

H( W ) W =360 π = 2

H( W ) W =360 π

S( W ) = 4δ( W ± 90π) + 8δ( W ± 150π) + 2δ( W ± 210 π) + 6δ( W ± 360π)

60

W


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Reemplazando en (A) :

So(W) = 4x0,64δ(W ± 90π) + 8x0,44δ(W ± 150π) + 2x0,284δ(W ± 210π) + 6x0,04δ(W ± 360π) So(W) = 2,56δ(W ± 90π) + 3,52δ(W ± 150π) + 0,568δ(W ± 210π) + 0,24δ(W ± 360π) Graficando : So(W)

3,52 2,56

−360π

b. Po = Po =

1

2,56

0,568

0,24

1

3,52

−210π −150π

0,568

−90π

90π

150π

210π

0,24 360π

W

∞

∫ So( W )dW

π0

∞

∫ [ 2,56δ(W − 90π) + 3,52δ(W − 150π) + 0,568δ(W − 210π) + 0,24δ(W − 360π) ]dW

π0

1 Po = (2,56 + 3,52 + 0,568 + 0,24)

π

Po = 2,19 watts Pi =

1

∞

1

∞

∫ S(W )dW = π ∫ [ 4δ(W − 90π) + 8δ(W − 150π) + 2δ(W − 210π) + 6δ(W − 360π) ]dW

π0

Pi =

0

1

π

( 4 + 8 + 2 + 6)

Pi = 6,36 watts El porcentaje de variación de la potencia de salida respecto a la de entrada es : Po 2,19 = x100% = 34,43% de la potencia de entrada. Pi 6,36 Por lo que la potencia de salida varía : 100% - 34,43% = 65,57% menos. 12. La señal : F(t)=8cos 2πx106 t + [4cos 8πx103 t + 5cos 16πx103 t]cos2πx106 t ,

61


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Se aplica a la entrada de un filtro que tiene por función de transferencia H(f) tal como la mostrada en la figura :

H(f) 2

0,5 -1006

-1003

-1000

-997

-994

997

994

1000

1003

1006

f(KHz)

a. Determinar la potencia a la entrada del filtro. b. Determinar la potencia a la salida del filtro. Solución : A. Adecuando f(t) : f(t) = 8cos 2πx10 6 t + 4cos 8πx103 t + 5cos16πx10 3 t cos2πx10 6 t f ( t ) = 8cos2πx10 6 t + 2cos2πx1,004x10 6 t + 2cos2πx0,996x106 t + 2,5cos2πx1,008x10 6 t

+ 2,5cos2πx0,992x106 t Hallando F(f) : F(f ) = 4δ(f ± 1M) + δ(f ± 1,004 M) + δ(f ± 0,996 M) + 1,25δ(f ± 1,008 M) + 1,25δ(f ± 0,992 M) Si( f ) = [F( f )]2 = 16δ( f ± 1M) + δ(f ± 1,004 M) + δ( f ± 0,996 M) + 1,5625δ(f ± 1,008 M) + 1,5625δ( f ± 0,992 M)

Si(f)

16

1,5625

1,5625 1

-1,008

-1,004

1,5625

1

-1

-0,996

16

1,5625 1

-0,992

62

0,992

0,996

1

1

1,004

1,008

f(MHz)


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Cálculo de la potencia de entrada : ∞

∫

Pi = 2 Si(f ) 0

∞

∫

Pi = 2 [16δ(f − 1M) + δ(f - 1,004M) + δ(f − 0,996M) + 1,5625δ(f - 1,008M) + 1,5625δ(f − 0,992M)]df 0

Pi = 2(16 + 1+ 1+ 1,5625+ 1,5625) Pi = 42,25 watts b. La potencia a la salida del filtro será : ∞

∫

Po = 2 So( f )df 0

So( f ) = Si( f ) H( f )

2

.....(A)

Del gráfico se observa que : fcmin= 0,994 mhz y fcmáx=1,006 mhz, lo cual indica que únicamente los armónicos de f(t) que se encuentren dentro de éste rango serán afectados por la función de transferencia del filtro y los armónicos fuera del rango serán descartados. Determinando H(f) 2 para las frecuencias de interés : 2

H( f ) f =0,996 MHz = (0,5) 2 = 0,25 2

H( f ) f =1MHz = (2) 2 = 4 2

H( f ) f =1,004 MHz = (0,5) 2 = 0,25 Reemplazando en (A) : So( f ) = 16x 4δ( f ± 1M) + 0,25δ(f ± 1,004 M) + 0,25δ( f ± 0,996 M) So(f) = 64δ( f ± 1M) + 0,25δ(f ± 1,004 M) + 0,25δ( f ± 0,996 M) La potencia será : ∞

∫

Po = 2 [64δ(f − 1M) + 0,25δ(f - 1,004 M) + 0,25δ( f − 0,996 M)]df 0

Po = 2(64 + 0,25 + 0,25) = 129 watts

63


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández MODULACIÓN DE AMPLITUD (AM) La modulación en general es el proceso de transformar la información de su forma original a una forma más adecuada para efectuar la transmisión, éste proceso lo realiza el circuito modulador. La demodulación es el proceso inverso, es decir recuperar la señal original a partir de la señal modulada. La modulación de amplitud (AM) es el proceso en el que la amplitud de la portadora de radio frecuencia cambia de acuerdo a la forma de onda de la señal modulante ó información; ésta técnica de modulación es analógica su implementación es sencilla, barata y de baja calidad, se aplica en la radiodifusión de señales de audio y video. La banda de radiodifusión comercial AM está comprendida de 540 khz a 1610 khz. La radiodifusión comercial de televisión está compuesta de tres bandas: VHF baja, compuesta por los canales del 2 al 6 (54 a 88 mhz); VHF alta, compuesta por los canales 7 al 13 (124 a 216 mhz); UHF, conformada por los canales 14 al 83 (470 a 890 MHZ). Esta técnica también se usa en las comunicaciones de radio móvil. La modulación AM presenta como variantes la modulación AM convencional, la modulación AM banda lateral doble con portadora suprimida (DBLPS ó DSBSC) y la Banda Lateral Única ya sea ésta superior o inferior (BLU ó USB). Las señales que intervienen en un modulador AM son la señal modulante y la señal portadora, la salida del modulador es la señal modulada cuya forma de onda es la portadora adoptando como envolvente la forma de la señal modulante. El gráfico siguiente muestra el diagrama de bloques de un modulador AM :

f(t) señal modulante información ó señal de audio

Modulador AM

+

Σ

xAM(t)

+

Vpcoswpt señal portadora Por lo general, el modulador es un dispositivo no lineal y entre las categorías más

64


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández importantes se tienen :

♦ ♦ ♦ ♦

Moduladores Chopper o de Conmutación, Moduladores de dispositivos no lineales, Moduladores multiplicadores y Moduladores balanceados.

Un modulador debe efectuar la operación dada por la ecuación : x AM (t) = f(t).cos Wpt + Vp coswpt

..... (A)

La señal de salida modulada dependerá de las características lineales o no lineales que presente el modulador. Si se considera que el modulador tiene características lineales con ganancia K, se tiene : x AM (t) = Kf (t).cos Wpt + KVp coswpt

.....(B)

Para que exista modulación debe aplicarse señal mensaje al modulador, si no se ingresa ninguna señal como mensaje, la salida del modulador será la señal portadora amplificada, donde la amplificación dependerá de la ganancia K del modulador, es decir : Xam(t) = kvp cos wpt = Vpo coswpt El ancho de banda máximo permitido para la señal mensaje f(t) en AM es de 5 khz. La frecuencia de portadora fp será mucho mayor que la frecuencia de la señal modulante o mensaje. La señal mensaje puede ser tono único ó multitono. Para determinar el espectro de la señal x am(t) se obtiene la transformada de Fourier de la ecuación (B) : K K KVp KVp δ( f + fp) + δ( f − fp) F( f + fp) + F( f − fp) + 2 2 2 2 K K Vpo Vpo δ( f + fp) + δ( f − fp) X AM (f ) = F( f + fp) + F( f − fp) + 2 2 2 2 X AM (f ) =

65


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Por ejemplo, si el espectro de la señal mensaje fuera de la forma : F(f) A

-fm

fm

f

El espectro de la señal AM será : XAM(f)

Vpo/2

Vpo/2

KA/2 BLI BLS

-fp-fm

-fp

-fp+fm

fp-fm

fp

fp+fm

En el espectro AM se aprecia que el ancho de banda de la señal AM es : B = 2 fm En la gráfica se aprecian los espectros de : La banda lateral inferior (BLI) comprendida de (fp-fm) a fp. La banda lateral superior (BLS) comprendida de fp a (fp+fm). La portadora representada por el impulso ubicado en fp. Estos espectros también se ubican en las frecuencias negativas.

MODULACIÓN AM TONO ÚNICO Una modulación es tono único si la señal mensaje tiene una sola frecuencia. Considerando: Señal mensaje : f(t) = Vmcos wmt Señal portadora : Vpcoswpt La expresión de la señal modulada a la salida del modulador será :

66

f


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández x AM ( t ) = KVm cos wmt. cos wpt + KVp cos wpt x AM ( t ) = Vmo cos wmt. cos wpt + Vpo cos wpt Vmo Vmo x AM ( t ) = cos( wp + wm)t + cos( wp − wm)t + Vpo cos wpt ..... (α ) 2 2 Multiplicando y dividiendo (α ) por Vpo : Vmo.Vpo Vmo.Vpo x AM ( t ) = cos( wp + wm)t + cos( wp − wm)t + Vpo cos wpt 2Vpo 2Vpo Vmo haciendo m = , se tiene : Vpo mVpo mVpo x AM ( t ) = cos( wp + wmt ) + cos( wp − wm)t + Vpo cos wpt ..... (β) 2 2 Graficando la señal xam(t) :

Vp Vm t

-Vm

t

mensaje

-Vp

Vmáx=Vpo+Vmo Vpo Vmín=Vpo-Vmo

portadora

t

-Vmín=-(Vpo-Vmo) -Vpo -Vmáx=-(Vpo+Vmo) señal modulada

♦

En la gráfica de la señal modulada se observa que el envolvente adopta la forma de onda de la señal mensaje.

♦ La frecuencia del envolvente es la frecuencia de la señal de audio. ♦ Los niveles mostrados en la señal modulada están afectados por la ganancia K del modulador, el nivel de portadora de salida es : Vo = K Vp

♦ La portadora no es información, solo es el vehículo que transporta el mensaje. El espectro de líneas y fasorial de la ecuación ( β) son mostrados a continuación :

67


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Vpo 2

mVpo 2

wp-wm

mVpo 2

wp wp+wm ESPECTRO DE LÍNEAS mVpo 2 tono superior wm

wp portadora

wm tono inferior

Vpo cos wpt

mVpo 2 ESPECTRO FASORIAL

Para obtener el espectro de frecuencia de la señal x am(t) tono único se determina la trasformada de Fourier de la ecuación ( β), por lo que : mVpo mVpo mVpo δ( f + fp + fm) + δ( f − fp − fm) + δ( f + fp − fm) 4 4 4 mVpo Vpo Vpo + δ( f − fp + fm) + δ( f + fp) + δ( f − fp) 4 2 2

X AM ( f ) =

De ésta expresión se determina que el espectro de frecuencias de la señal AM tono único presenta los siguientes impulsos : Impulso ubicado en ± (fp+fm) es el tono superior. Impulso ubicado en ± (fp-fm) es el tono inferior. Impulso ubicado en ± fp es la portadora. Graficando :

68


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández XAM(f)

Vpo 2 mVpo 4

mVpo 4

-fp-fm

-fp

Vpo 2 mVpo 4

-fp+fm

fp-fm

mVpo 4

fp

fp+fm

f

La ecuación AM tono único está representada por : x AM ( t ) = Vmo cos wmt. cos wpt + Vpo cos wpt Y se puede adecuar a la forma :

 

x AM ( t ) = Vpo1 +

Haciendo : m =

 Vmo cos wmt  cos wpt Vpo 

Vmo Vpo

⇒ x AM ( t ) = Vpo[1 + m cos wmt ] cos wpt

ÍNDICE DE MODULACIÓN (m) : Describe la cantidad de cambio de amplitud en una onda modulada, se define por la siguiente relación : m =

Vmo Vpo

Donde : Vmo : amplitud pico de la señal mensaje en la onda modulada Vpo : amplitud pico de la portadora en la onda modulada. %m = mx100% ..... Porcentaje de modulación El valor de m debe ser : m ≤ 1 Si m > 1 se produce sobremodulación En la práctica se trabaja con m = 0,75 En forma ideal m = 1

69


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Para medir el índice de modulación de la gráfica de una señal modulada, se emplea la siguiente relación : m=

V máx − V mín V máx + V mín

Considerando la señal mensaje o modulante :

2

f(t)

-2 Las gráficas siguientes se muestran las señales moduladas para diferentes índices de modulación : M = 0,5 Vmáx = 6

Vp = 4 Vmín = 2

-Vmín = -2

-Vp = -4 -Vmáx = -6

70


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández M=1 Vmáx = 4 Vp = 2 Vmín = 0 -Vp = -2 -Vmáx = -4

M = 1,5 Vmáx = 3,33 Vp = 1,33 -Vmín = 0,67 Vmín = -0,67 -Vp = -1,33 -Vmáx = -3,33

En ésta última gráfica se aprecia que la portadora invierte su fase en la porción donde la señal está sobre modulada y los ± Vmín invierten su nivel .

MEDIDA DEL ÍNDICE DE MODULACIÓN POR EL MÉTODO TRAPEZOIDAL Para determinar el índice de modulación por el método trapezoidal, el osciloscopio debe configurarse para trabajar en el modo XY y conectar la salida de la señal AM al canal X del osciloscopio y la señal mensaje al canal Y tal como se muestra en el siguiente diagrama:

71


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Modulador AM G=K

f(t) señal modulante información ó señal de audio

+

xAM(t)

Σ

Vmín

Vmáx

+ CHY

CHX

Vpcoswpt señal portadora

Los diversos indices de modulación que se observarán en el osciloscopio son de las siguientes formas :

Vmín

Vmáx

m=1

m<1

m>1

POTENCIA DE UNA SEÑAL AM La señal AM a la salida del modulador está dada por : x AM (t) = K f(t).cos wpt + V po coswpt 14 4 244 3

BANDAS LATERALES

14 4 244 3

PORTADORA

Donde K : ganancia del modulador La potencia de las bandas laterales (P BL) representa potencia media (Pm) de la señal AM, y es el valor cuadrático medio de Kf(t).coswpt, por lo que: K2 2 PBL = f ( t ) = Pm , si RL=1Ω : 2 La potencia de la portadora Pp normalizada (RL=1 Ω), es el valor cuadrático medio de Vpo coswpt, por lo que:

72


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Vpo2 Pp = 2 La potencia total P normalizada, estará dada por : P = PBL + Pp =

1 Vpo2 + K 2 f 2 (t )   2

Si la señal modulada se aplicara a una carga RL, la potencia total será :

P=

[

1 Vpo 2 + K 2 f 2 ( t ) 2RL

]

Si la señal f(t) fuera senoidal y tono único :

x AM ( t ) =

mVpo mVpo cos( wp + wm)t + cos( wp − wm)t + Vpo cos wpt 2 2 PORTADORA

14 4 244 3

144 4 4 244 4 4 3

tono inferior

144 4 4 244 4 4 3

tono superior

144 4 4 4 4 4 4 4 244 4 4 4 4 4 4 4 3

BANDAS LATERALES

La potencia será : P = PBLI + PBLS + Pp = Pm + Pp Vpo2 Pp = 2

..... potencia de la portadora

Pm = PBL = PBLI + PBLS

m2 Vpo2 m2 Vpo2 m2 Vpo2 m2Pp = + = = 8 8 4 2

m2Pp ⇒P= + Pp 2

 m2  P = Pp1 +  ..... Potencia total 2   Si la señal modulada se aplica sobre una carga : Vpo2 P= 2RL

 m2  1 + 2   

73

.....potencia media


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández EFICIENCIA: Está dada por la relación :

η=

Pm x100% P

Si la señal mensaje es de forma senoidal : m2Pp 2 η= x100%  m2  Pp1 +  2   m2 η= x100% 2 + m2 Considerando el caso ideal donde m = 1, se tendrá : 12 η= x100% 2 + 12 n = 33,33 %

MODULACIÓN AM MULTITONO

En la práctica, las señales de información que ingresan a un modulador por lo general no son de tono único o frecuencia simple, sino señales multitonos compuestas por muchas ondas senoidales con diferentes amplitudes y frecuencias. Una señal multitono es de la forma : f ( t ) = Vm1 cos wm1t + Vm2 cos wm2t + Vm3 cos wm3 t + ... + Vmn cos wmnt La señal f(t) se modula con la portadora: Vpcoswpt Los índices o coeficientes de modulación para las señales de entrada están dados por: m1 =

Vm1 Vm2 Vm3 Vmn , m2 = , m3 = , ......, mn = Vp Vp Vp Vp

Dado que varias frecuencias modulan simultáneamente la amplitud de la portadora, el índice de modulación combinado es la raíz cuadrada de la suma cuadrática de los índices de modulación como la siguiente expresión:

74


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández m = m12 + m22 + m32 + ... + m2n Para los cálculos de las potencias y eficiencia de la modulación AM multitono se emplean el índice de modulación combinado y se emplean las mismas fórmulas que para la modulación tono único.

MODULADORES DE AMPLITUD Modulador Chopper o de Conmutación : La operación de multiplicación requerida para modular puede reemplazarse por la operación de conmutación. La conmutación se realiza si en lugar de emplear una senoide pura como portadora se emplea cualquier función periódica tal como un tren de pulsos cuadrados. La salida del conmutador debe filtrarse con un filtro pasabanda centrado a la frecuencia de la portadora y con ancho de banda igual al doble de la frecuencia de audio. El gráfico siguiente muestra el diagrama de bloques de un modulador de conmutación : x(t)

fs(t)

F.P.B Wo = fp B = 2fm

s(t)

La señal x(t) = A + Vm cos wmt, donde A es un nivel de contínua. La señal s(t) es de la forma : s(t) 1

t -1 T

T = 1/(2 πfp)

La señal s(t) se representa por la serie de Fourier :

75

x AM(t)


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández s( t ) =

4

π

cos wpt +

4 4 cos 3wpt + cos 5wpt + ... 3π 5π

La señal a la salida del conmutador es : fs( t ) = x( t ).s( t ) 4 4 4  fs( t ) = [A + Vm cos wmt ]  cos wpt + cos 3 wpt + cos 5wpt + ... 3π 5π π  4A 4A 4A fs( t ) = cos wpt + cos 3wpt + cos 5wpt + ... π 3π 5π 4Vm 4Vm + cos wpt. cos wmt + cos 3 wpt. cos wmt π 3π 4Vm + cos 5 wpt. cos wmt + ... 5π Del diagrama se aprecia que la señal fs(t) ingresa a un filtro pasabanda, cuyas características son : centrado en Wp y ancho de banda 2Wm. A la salida del filtro pasabanda, se tiene :

x AM ( t ) = x AM ( t ) =

4A

π

cos wpt +

4 Vm

π

cos wpt. cos wmt

4A  Vm  1+ cos wmt  cos wpt  π  A 

Haciendo : 4A Vp =

π

Vm A x AM ( t ) = Vp[1 + m cos wmt ] cos wpt

m=

El siguiente circuito es un modulador de diodos de puente en derivación que representa un modulador Chopper:

76


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández R1 D2

D1

f(t)

R

L

C

A D3

D4

señal AM

fp

MODULADOR DE DISPOSITIVO NO LINEAL: Es factible realizar también el proceso de modulación mediante un dispositivo no lineal tal como un diodo semiconductor o un transistor. El siguiente gráfico muestra el diagrama de bloques de un modulador de dispositivo no lineal :

Vi

dispositivo no lineal

Vo

F.P.Banda Wo = Wp B = 2 Wm

xAM(t)

La curva característica de un dispositivo no lineal típico es e la forma : vo

vi

En un dispositivo no lineal la salida Vo puede aproximarse mediante la siguiente expresión : v 0 = a0 + a1vi + a2v i2 + a3v i3 + .... + an v ni Donde :

77


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández a0, a1, a2,....an son constantes La señal de entrada al dispositivo no lineal, v i está formada por la adición de la señal mensaje y la señal portadora : v i = Vm cos wmt + Vp cos wpt A la salida del dispositivo no lineal se tendrá : v 0 = a0 + a1Vp cos wpt + a1Vm cos wmt + a2 (Vp cos wpt + Vm cos wmt )2

+ a3 (Vp cos wpt + Vm cos wmt )3 + ... + an (Vp cos wpt + Vm cos wmt )n DESARROLLANDO VO : V0 = a0 + a1Vp cos wpt + a1Vm cos wmt + a2 Vp2 cos2 wpt + 2a2 VpVm cos wpt. cos wmt

+ a2Vm2 cos2 wmt + a3 Vp3 cos3 wpt + 3a3 Vp2Vm cos2 wpt.. cos wmt + 3a3 VpVm2 cos wpt. cos2 wmt + a3 Vm3 cos3 wmt + ... + an (Vp cos wpt + Vm cos wmt )n La señal vo se aplica a la entrada de un filtro pasabanda centrado en wp y con ancho de banda de 2wm. A la salida del filtro se tendrá :

78


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández 3Vm 2 Vp x AM ( t ) = a1Vp cos wpt + 2VpVm cos wpt. cos wmt + a 3 cos wpt 2 2  3 Vm Vp  x Am ( t ) =  a1Vp + 2VmVp cos wmt + a 3  cos wpt 2  

 3vm 2   x AM ( t ) =  Vp(a1 + 2Vm cos wmt + a 3 )  cos wpt 2     3vm 2 x AM ( t ) = Vp (a1 + a 3 ) + 2Vm cos wmt  cos wpt 2   haciendo : 3Vm 2 K = a1 + a 3 2 ordenando : x AM ( t ) = Vp(K + 2Vm cos wmt ) cos wpt x AM ( t ) = VpK(1 +

2Vm cos wmt ) cos wpt K

Haciendo : Vpo = VpK 2Vm m= K Reemplazando, la ecuación am será : x AM ( t ) = Vpo(1 + m cos wmt ) cos wpt El siguiente circuito es un ejemplo del modulador no lineal : Vcc

RB1

PORTADORA xAM(t) SEÑAL MENSAJE

RB2 RE

79


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández MODULADOR MULTIPLICADOR : La modulación se logra directamente al multiplicar la señal f(t) por la portadora cos wpt empleando un multiplicador analógico cuya salida es proporcional al producto de las dos señales de entrada; en un amplificador de ganancia variable, el parámetro de la ganancia se controla por lo general por la señal mensaje f(t). El siguiente gráfico muestra el diagrama de bloques de este tipo de modulador :

x1(t)

modulador multiplicador G=K

x AM = Kx 1( t ).x 2 ( t )

x 2 (t) x1( t ) = A + Vm cos wmt donde A es un nivel de contínua x2 ( t ) = Vp cos wpt x AM ( t ) = K (A + Vm cos wmt )Vp cos wpt x AM ( t ) = KAVp cos wpt + KVmVp cos wpt. cos wt  Vm cos mwt  cos wpt x AM ( t ) = KAVp1 +   A  Vm Si : Vpo = KAVp y m = A x AM ( t ) = Vpo(1 + m cos mwt ) cos wpt

MODULACIÓN DOBLE BANDA LATERAL CON PORTADORA SUPRIMIDA (DBLPS Ó DSBSC) En la modulación de amplitud (am), se vió que la amplitud de la señal portadora: vpcoswpt varía en proporción a la señal mensaje. La frecuencia wp y la fase son constantes.

80


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Si vp se hace variar en forma directamente proporcional a la señal mensaje f(t), la portadora modulada es f(t).coswpt. Éste tipo de modulación desplaza espectralmente la señal f(t) a la frecuencia ± fp. A continuación se muestra el diagrama de bloques de la modulación dblps :

f(t) señal mensaje, señal de audio ó señal modulante

modulador DBLPS G=K

xDSB(t)=Kf(t).coswpt

señal portadora : Vp coswpt

Considerando como señal mensaje y portadora las siguientes señales :

portadora(t)

f(t) Vp

Vm t

t

La gráfica de la señal dblps es :

0 voltios

SEÑAL DBLPS En la señal dblps se observa que el nivel de contínua que presentaba la señal am es de 0 voltios, esto indica que la portadora ha sido suprimida. El espectro de la señal dblps es :

81


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández F[xDBLPS ] =

K K F( f + fp) + F( f − fp) 2 2

Asumiendo que el espectro de la señal mensaje f(f) es de la forma : A

F(f)

-fm

fm

f

El espectro dblps será : xDBL(f) KA/2 BLS

-(fp-fm)

BLI

-fp

BLI

-(fp+fm)

fp-fm

BLS

fp

fp+fm

f

En el espectro de la señal dblps se aprecia que está formado únicamente por las bandas laterales, el espectro de la portadora ha sido suprimido.

Potencia de la señal DBLPS : La potencia de la señal DBLPS es la potencia media de las bandas laterales dada por el valor cuadrático medio de de la señal f(t).coswpt, por lo que, PBL es la mitad del valor cuadrático medio de f(t) : K2 2 P= f ( t ) 2 La potencia de cada banda lateral es la mitad de la potencia total : PBLI = PBLS =

K2 2 f ( t ) 4

Si la señal modulada DBLPS se aplicara sobre una carga RL, la potencia será : K2 2 P= f ( t ) 2RL

82


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Si la señal f(t) fuera senoidal y tono único : x DBLPS ( t ) = Vmo cos wmt. cos wpt x DBLPS ( t ) =

Vmo Vmo cos( wp + wm)t + cos( wp − wm)t 2 2

La potencia será : Vmo 2 Vmo 2 Vmo 2 + = P= 8 8 4 Si la señal se aplica sobre una carga : Vmo 2 P= 4RL Generar una señal dblps es más complicado que generar un señal am convencional,

circuitalmente

se

emplean

moduladores

balanceados

con

características no lineales.

Modulador balanceado : Un modulador balanceado, permite generar de manera más sencilla la señal dblps utilizando un par de moduladores en configuración balanceada que suprimirán la portadora tal como se muestra a continuación :

f(t)

modulador AM

f(t)coswpt+Vpcoswpt

+ Vpcoswpt

Σ

2f(t).coswpt

-f(t)

modulador AM

-f(t)coswpt+Vpcoswpt

83


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández En el mercado están disponibles moduladores balanceados lineales de circuito integrado tal como el lm1496. Este integrado ofrece una excelente supresión de la portadora 50 db en 10 mhz y hasta 65 db en 500 mhz, ganancia ajustable, entradas y salidas balanceadas y una relación de rechazo en modo común alto (85db) El ci lm1496 es un modulador-demodulador doblemente balanceado que produce una señal de salida que es proporcional al producto de las señales de entrada. Cuando se utiliza como detector de productos, presenta una sensibilidad de 3 µv y un rango dinámico de 90 db al operar a una frecuencia intermedia (fi) de 9 mhz. El circuito siguiente muestra un modulador balanceado :

I1 + R

f(t)

C

-

xDBLPS (t)

+ f(t)

-

L

R

Vpcoswpt

I2

v1 = f (t ) + Vp cos wpt ER = (I1 − I2 )R I1 = a0 + a1v1 + a2 v12 I1 = a0 + a1[f ( t ) + Vp cos wpt ] + a2 [f ( t ) + Vp cos wpt ]2 I2 = a0 + a1[Vp cos wpt − f ( t )] + a2 [Vp cos wpt − f ( t )]2 ER = {a0 + a1[f ( t ) + Vp cos wpt ] + a2 [f ( t ) + Vp cos wpt ]2 }R

− {a0 + a1[Vp cos wpt − f ( t )] + a2 [Vp cos wpt − f ( t )]2 }R ER = 2a1f ( t )R + 4a2f ( t )Vp cos wpt.R

84

C

L


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández A la salida del filtro pasabanda :

xDBLPS = 4Ra2 f ( t ).Vp cos wpt El siguiente circuito permite obtener las señales am y dblps : 1K +12 Vcc 1K

0,1U

51K

1K

51K

4,7U

3,9K 3,9K

2

1K

3

8

1K

0,1U

PORTADORA

+

6 10

LM1496

1K

MENSAJE 1

12

14

10K

51K

vsalida

1K

4

10K

-

5

51K

50K

6,8K 0,1U

-8Vcc

La portadora se aplica al pin 10 que en conjunto con el pin 8 proporciona a una entrada a un amplificador de salida diferencial de conexión cruzada cuadrática. La señal modulante se aplica al pin 1 que en conjunto con el pin 4 proporciona una entrada diferencial a los transistores de excitación de corriente, para el amplificador diferencial de salida. El potenciómetro de 50k en conjunto con –vcc se utilizan para balancear las corrientes de polarización para los amplificadores diferenciales y para suprimir la portadora. Los pines 6 y 12 son las salidas modulada, cuando una de las salidas se invierte y se agraga la otra, la portadora se suprime y produce una señal de dblps, este proceso se realiza en el diferenciador del opamp. El diferenciador invierte la señal en la entrada inversora (-) y la agrega a la señal en la entrada no inversora (+). A la salida del opamp aparecerá una señal dblps.

85



86


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández MODULACIÓN BANDA LATERAL ÚNICA (BLU Ó SSB) Los sistemas am convencionales y dblps presentan desventajas : por lo menos los dos tercios de la potencia total transmitida es la potencia de la portadora. La información está contenida en las banda laterales y no en la portadora. La información contenida en la banda lateral inferior es idéntica a la información contenida en la banda lateral superior por lo que transmitir ambas bandas laterales es redudancia y desperdicio de ancho de banda. Frente a éstos problemas surge la modulación blu que transmite a toda potencia la portadora, pero solamente por una de las banda laterales ya sea la superior o inferior, por lo que el ancho de banda empleado es el mismo que de la señal mensaje.

GENERACION DE LA BLU Método del filtro : La obtención de la blu por este método se muestra en el siguiente gráfico :

f(t) mensaje

F.P.Banda fp+fm ó fp-fm

f(t).coswpt

modulador balanceado

Vpcoswpt

Considerando que el espectro de la señal mensaje f(f) es de la forma :

A

F(f)

-fm

fm

El espectro a la salida del modulador es :

87

f

xBLU(t)


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández xDBL(f) KA/2 BLS

BLI

-(fp-fm)

-fp

BLI

-(fp+fm)

fp-fm

BLS

fp

fp+fm

f

El espectro a la salida del filtro pasabanda considerando como frecuencias de corte

± fp y ± (fp+fm) será : xBLU(f) KA/2 BLS

-(fp-fm)

BLS

-fp

fp

fp+fm

f

El espectro a la salida del filtro pasabanda considerando como frecuencias de corte

± fp y ± (fp-fm) será : xBLU(f) KA/2 BLI

-fp

BLI

-(fp+fm)

fp-fm

fp

Potencia de la señal BLU : La potencia de la señal blu es la mitad de la potencia media : K2 2 PBLU = f ( t ) 4 Si la señal modulada blu se aplicara sobre una carga rl, la potencia será : K2 2 PBLU = f ( t ) 4RL

88

f


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Si la señal mensaje fuera senoidal : Vmo2 PBLU = 8 Si la señal BLU se aplica sobre una carga RL : Vmo2 PBLU = 8RL

Método del desplazamiento de fase : En éste método se trabaja con dos moduladores balanceados. Al primer modulador ingresa la señal mensaje y se modula con la portadora, al segundo modulador ingresan desfasadas 90º tanto la señal mensaje como la portadora. Las salidas moduladas en DBLPS ingresan al sumador-restador en cuya salida la banda lateral no deseada se cancela . Si las salidas se suman se obtendrá la señal BLU/BLI y si las salidas se restan, se obtendrá la señal BLU/BLS. Desde que la banda lateral no deseada se cancela, no es necesario el empleo de un filtro muy selectivo a la salida del sumador. La obtención de La BLU por este método se muestra en el siguiente gráfico :

89


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández modulador balanceado 1

f(t) desfasaje 90º

x1(t)

Vpcoswpt

Σ

xBLU(t)

±

desfasaje 90º

modulador balanceado 2

+

x2(t)

En el modulador 1 la señal mensaje f(t) se modula con la portadora Vpcoswpt, por lo que la señal x1(t) será : x 1 ( t ) = f ( t ). cos wpt En el modulador 2 el mensaje es desfasado 90º lo que indica inversión de la señal, la señal portadora también es desfasada 90º , por lo que la señal x 2(t) a la salida del modulador será : x 2 ( t ) = −f ( t ). sen wpt La señal BLU a la salida del sumador-restador será : x BLU = x 1 ± x 2 x BLU = f ( t ). cos wpt ± [− f ( t ). sen wpt ] Si : Xblu = x1 + x2 ⇒ BLU/BLI Xblu = x1 - x2 ⇒ BLU/BLS

90


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández TRANSMISORES AM

Transmisores de bajo nivel : El siguiente gráfico muestra el diagrama de bloques de un transmisor AM de bajo nivel :

antena preamplificador

excitador de la señal mensaje

amplificador de potencia intermedia lineal

Modulador

amplificador de potencia final lineal

red de acoplamiento

señal mensaje excitador de la portadora

amplificador de búfer

oscilador de portadora

♦

La señal mensaje es por lo general una señal de un micrófono, cinta magnética,

CD, disco fonográfico.

♦

El preamplificador es un amplificador lineal de voltaje configurado en clase A

sensible y tiene una impedancia de entrada alta, cuya función es levantar la amplitud de la señal mensaje a un nivel apropiado produciendo la mínima cantidad de distorsión no lineal y agregando la menor cantidad posible de ruido térmico.

♦

El excitador de la señal mensaje , es también un amplificador lineal que

proporciona el nivel adecuado para la entrada al modulador.

♦ ♦

El oscilador de portadora, por lo general un oscilador controlado por cristal. El amplificador búfer , es un amplificador lineal de impedancia de entrada alta y

ganancia baja, aisla al oscilador de los amplificadores de alta potencia y proporciona una carga constante al oscilador, se configuran como seguidor emisor.

♦

El excitador de portadora, proporciona el nivel adecuado de portadora para

ingresar al modulador.

91


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández ♦

Los amplificadores de potencia intermedia y final, son configurados en clase A

lineal o clase B push-pull .

♦

La red de acoplamiento, acopla la impedancia de salida del amplificador de

potencia final a la línea de transmisión y la antena. El uso de éstos transmisores están orientados a los sistemas de baja capacidad y baja potencia como los interfonos inalámbricos, unidades de control remoto, beepers y radio teléfonos portátiles de corto alcance.

Transmisores de alto nivel : El siguiente gráfico muestra el diagrama de bloques de un transmisor AM de alto nivel : antena preamplificador

excitador de la señal mensaje

amplificador de potencia de la señal mensaje

Modulador

red de acoplamiento

señal mensaje amplificador de potencia de la portadora

excitador de la portadora

amplificador de búfer

oscilador de portadora

La señal mensaje se procesa de igual forma que en el transmisor de bajo nivel con la excepción de que se ha adicionado un amplificador de potencia. La portadora está a su potencia total en el punto donde ocurre la modulación en el transmisor, y requiere una señal mensaje de alta amplitud para producir un índice m=1. El oscilador de portadora, su búfer asociado y el excitador de la portadora son similares a los circuitos empleados en el transmisor de bajo nivel, pero en el transmisor de alta potencia, la portadora pasa por un amplificador de potencia.

92


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández El modulador es también un amplificador clase C modulado en drenado, placa o colector. En los transistores de alto nivel el modulador tiene tres funciones : proporciona la circuitería necesaria para que ocurra la modulación, es el amplificador de potencia final, y es el conversor de frecuencia ascendente, osea que traslada las señales de baja frecuencia (mensaje) a señales de radiofrecuencia que se radían por la antena y se propagan por el espacio libre. LasseñalesAMpuedendemodularseenformacoherente,estoes multiplicandounaportadoralocaldereferenciaque está en fase con la frecuencia de la onda modulada recibida, pero ésta demodulación sincronizada anula el propósito verdaderodelaAM,porlocualesraramenteusadoenformapráctica. Seconsiderarántresmétodosnocoherentesde demodulacióndeseñalesAM: 1.

Detecciónderectificador

2.

Deteccióndeenvolvente

3.

Deteccióndeleycuadrada.

1.Detecciónderectificador: C

xAM(t)

1/π f(t)

filtro pasabajas

R1

R

93


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández CuandolaseñalAMseaplicaal circuitomostrado,la partenegativadela ondaAMesanuladadebidoalarectificaciónde la señal AM, esto indica que la señal AM se multiplica por el tren de pulsos cuadrados K(t) debido a la acción de conmutacióndeldiodo.Porlotantolaseñala lasalidadeR1 será: v R1 = x AM ( t ).K( t ) 1 1 1 2  v R1 = Vp[1 + f ( t )] cos wpt. + (cos wpt − cos 3 wpt + cos 5 wpt − ... 3 5 2 π  1 v R! = [Vp + f ( t )] + otros términos de frecuencias más altas

π

Laseñalvr! Seaplicaalfiltropasabajasconfrecuenciadecortefmloquedá: [Vp+f(t)]/π. ElvalorcontínuoVp/π sesuprimeporelcapacitorC,finalmentelasalidaes: 1/π f(t) Lasgráficassonlassiguientes:

♦

SeñalAM:

t

♦

Señalvr1:

[Vp + f (t)]

1

π

[Vp + f (t)]

94


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández ♦

Señalalasalidadelfiltro:

♦

Señalsinelniveldecontínua:

1.

Deteccióndeenvolvente:

95



Vo(t)

xAM(t) C

R

Enéstetipo dedetección,lasalidadeldetector siguealaenvolventedelaseñalmodulada.Elcircuitofuncionacomoun detectordeenvolvente;en elciclopositivodela señaldeentrada,elcondensadorCsecarga alvoltajepicodelaseñalAM, cuandolaseñalAMcaepor debajodedelvalorpicoeldiodoquedacortadodebidoaque elvoltajedelcondensadores mayor que el voltaje de la señal de entrada, haciendo que el diodo quede abierto. El condensador se descarga lentamente a través de R. Durante el siguiente ciclo positivo cuando el voltaje de entrada es mayor que el del condensador,eldiodovuelveaconducir.Elcondensadorsevuelveacargarhastaelvalorpicodelaseñalysedescarga lentamenteduranteelperiododecorte,cambiadoasísu voltajemuyligeramente. Durante cada ciclo positivo, el condensador se carga hasta el voltaje pico de la señal AM y luego decae lentamente hasta el siguiente ciclo positivo; el voltaje de salida seguirá así a la envolvente de entrada. Sin embargo, una señalderizodefrecuenciawp,esproducidaporladescargadelcondensadorenlospicospositivos.Esterizosereduce cuandoseincrementalaconstantedetiempoRC demodoqueelcondensadorsedescargamuypocoentrelosrizos positivos(RC>>1/wp). SisehacequeRCseamuygrande,esimposiblequeelvoltajedelcondensadorsigaalaenvolvente.Como semuestra enelsiguientegráfico:

Vo(t)

RC muy grande

Paraevitarésteproblema,debecumplirselasiguienterelación: 1 1 << RC << wp wm

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Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Lasalidadeldetectordeenvolventeestádadaporunacontínuamás laseñalf(t) conunrizodefrecuenciawp:

t

El término de contínua que presenta el gráfico anterior, se puede bloquear empleando un condensador un filtro simple pasaaltastipoRC.Elrizose puedereducirmásmedianteotrofiltropasabajastipoRC.

2.

Deteccióndeleycuadrada :

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Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Una señal AM se puede demodular elevándola al cuadrado y luego hacer pasar la señal cuadrada por un filtro pasabajas. LaseñalAMes: x AM ( t ) = [Vpo + f ( t )] cos wpt Alelevarlaalcuadrado:

1  x 2AM ( t ) = [Vpo 2 + 2Vpo.f ( t ) + f 2 (t )]  (1 + cos 2wpt ) 2  Laseñalalasalidadelfiltro pasabajasy0(t)confrecuenciadecortefmes: Vpo 2 y 0 (t) = 2

 f 2 ( t )  2 1 + Vpo f ( t ) +  Vpo 2  

Dadoquef(t)/Vpo<<1durantelamayorpartedetiemposalvoquef(t)seencuentrecercaasuvalormáximo,porloque: Vpo 2 + Vpo.f ( t ) y 0 (t) = 2 Paraeliminarlacontínuaseempleauncondensador,dandoporresultadolasalidaVpo.f(t).Sedebeobservarqueel detectordeleycuadradaproducedistorsiónenlaseñalaunqueparaseñalescon índicedemodulaciónpequeñoes despreciable.

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Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández RECEPTORESAM AM RECEPTORES Un receptor AM es capaz de recibir, amplificar y demodular la señal modulada o señal RF; también debe limitar las bandas del espectro total de radiofrecuencias a una banda específica de frecuencias. En muchas aplicaciones el receptor también debe cambiar el rango de frecuencias recibidas, este proceso se llama sintonizar el receptor. En el gráfico siguiente se muestra el diagrama de bloques simplificado de un receptor AM : antena de RX Etapa de RF

Etapa de mezclador / convertidor

Etapa de FI

Detector de AM

Etapa de audio parlante

La etapa de RF tiene las siguientes funciones : detectar, limitar las bandas y

amplifucar las señales RF recibidas en la antena; esta etapa establece el umbral del receptor (nivel mínimo de la señal de RF que el receptor puede detectar y demodular); está compuesta por los siguientes circuitos : antena, red de acoplamiento de la antena, filtro preselector y más de un amplificador de RF. La etapa de mezclador/convertidor , reduce las frecuencias de RF recibidas a

frecuencias intermedias (FI). La etapa de FI , tiene como función la amplificación y selectividad, incluye varios

amplificadores en cascada y los filtros de pasabanda, El detector de AM, demodula la señal modulada y recupera el mensaje original. La etapa de audio , amplifica la señal demodulada a un nivel audible.

PARÁMETROS DEL RECEPTOR :

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Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández Selectividad : Es la medida de la capacidad del receptor para aceptar una banda de frecuencias Determinada y rechazar las otras. En la radiodifusión comercial AM se asigna un ancho de banda de 10 khz. La selectividad se define como la medida de la extensión que un receptor es capaz de diferenciar entre las señales de información deseada y las perturbaciones o señales de información en otras frecuencias. Cuantitativamente se expresa por el factor de figura (SF) dada por la relación :

SF =

B( −60dB) B( −3dB)

Donde : B(-60 db) : ancho de banda del receptor atenuado en 60 db. B(-3 db) : ancho de banda en los – 3db o puntos de media potencia. Mejora del ancho de banda (BI) : Si se reduce el ancho de banda, el ruido también se reduce en la misma proporción, esto origina una mejora en la figura de ruido en el receptor . La mejora del ancho de banda (BI) está dada por la relación entre ancho de banda de RF y el nacho de banda de FI.

BI =

B RF (Hz) B FI (Hz)

Al mejorar el ancho de banda mejora la figura de ruido y se expresa : NFMEJORADO = 10 log BI dB Sensitividad : Es el nivel mínimo de señal de RF que puede detectarse en el receptor y producir una señal mensaje utilizable; la relación señal a ruido y la potencia de la señal en la salida de la etapa de audio se emplean para determinar la calidad de la señal y si

100


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández es utilizable o no. Para la AM comercial se considera una relación señal a ruido de 10 db o mayor con ½ watt de potencia (27 dbm) a la salida de la etapa de audio para ser utilizable. La sensitividad de un receptor se expresa en µV de señal recibida. Para un receptor AM se la sensitividad típica es de 50 µV. A la sensitividad del receptor también se le conoce como umbral del receptor. Para mejorar la sensitividad se debe reducir el nivel de ruido disminuyendo la temperatura, el ancho de banda del receptor o mejorando la figura del receptor. Rango dinámico : Es la diferencia en decibeles entere el mínimo nivel de netrada necesario para discernir una señal y el nivel de entrada que sobrecarga el receptor y produce una distorsión, o sea es el rango de potencia de entrada sobre el cual el receptor es útil. Fidelidad : Es la medida de la capacidad de un sistema de comunicaciones para producir en la salida del receptor una réplica exacta de la señal mensaje original. Cualquier variación en la frecuencia, fase o amplitud en la señal demodulada se considera distorsión.

Pérdida por inserción (IL) : Es el parámetro asociado a las frecuencias que caen dentro del filtro pasabanda y Se define como la relación entre la potencia de salida de un filtro y la potencia de entrada para las frecuencias que caen dentro del filtro pasabanda. IL = 10 log

Po (dB) Pi

Temperatura de ruido : Está dada por la expresión : T =

N (º K) KB

Donde : T : temperatura de ruido (ºK) N : potencia de ruido (watts) K : constante de Boltzman (1,38x10-23 J/ºK)

101


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández B : ancho de banda (Hz) Temperatura equivalente de Ruido (Te) : Es una indicación de la reducción en la relación señal a ruido, conforme la señal se propaga a través del receptor; mientras más baja sea Te, mejor será la calidad del receptor. Los valore típicos de Te para los receptores tranquilos y templados es 20 ºK y para los receptores ruidosos de 1000 ºK. Matemáticamente se expresa como : Te = T(F − 1)

(º K)

Donde : Te : temperatura equivalente de ruido (ºK) T : temperatura ambiente (ºK) F : figura de ruido (sin unidades)

TIPOS DE RECEPTORES AM : Hay dos tipos de receptores de radio : coherentes o síncronos y no coherentes o asíncronos. Con los primeros las frecuencias generadas en el receptor y empleadas para la demodulación se sincronizan para oscilar a frecuencias generadas en el transmisor, el receptor debe tener algún medio de recuperar la portadora recibida y de sincronizarse con ella. Con los receptores no coherentes, o no se generan las frecuencias en el receptor o las frecuencias usadas para demodular la señal son completamente independientes de la frecuencia de la portadora del transmisor. Tienen mayor aplicación los receptores no coherentes, entre ellos el receptor sintonizado a radiofrecuencia y el receptor superheterodino. Por su gran variedad de servicios que emplea el receptor superheterodino se pondrá énfasis en su estudio.

102



Receptor Superheterodino : En el gráfico se muestra el diagrama de bloques de un receptor superheterodino :

Antena receptora

Etapa de mezclador/convertidor

Etapa de RF preselector

amplificador de RF

mezclador

Etapa de FI

filfro de FI

amplificadores de FI

oscilador local señal RF

señal FI parlante

sintonización pasabanda

Etapa de amplificador amplificador de audio

Etapa de detección de audio

amplificadores de audio

detector de audio

frecuencias de audio

El receptor heterodino, mezcla dos frecuencias en un dispositivo no lineal o trasladar una frecuencia frecuencia a otra utilizando utilizando mezclas no lineales, lineales, como se aprecia en El gráfico presenta cinco etapas : Etapa de RF : Consiste en un preselector y una etapa de amplificación; pueden ser circuitos separados o un sólo circuito combinado. El preselector es un filtro pasabanda de sintonización amplia con frecuencia central ajustable, que se sintoniza a la frecuencia de la portadora transmitida, su función es proporcionar la suficiente limitación inicial de bandas para evitar que ingrese al receptor la frecuencia imagen.; también reduce el ancho de banda banda de ruido del receptor y proporciona la etapa inicial inicial para reducir al ancho de banda general del receptor al ancho de banda mínimo requerido para el paso de la señal mensaje. El amplificador de RF determina la sensitividad del receptor pueden haber más de un amplificador de RF o ninguno dependiendo de la sensitividad deseada, incluir varios receptores presenta las siguientes ventajas en el receptor :

103 103


Ms. Ing. Filiberto Azabache Fernández ♦ ♦ ♦ ♦

Ganancia más grande, por ende mejora la sensitividad. sensitividad. Mejor rechazo a la frecuencia imagen Mejora la relación S/N Mejora la selectividad. selectividad .

Etapa de mezclador-convertidor : Esta etapa incluye una etapa de oscilador de radiofrecuencia llamada oscilador local y y una etapa de mezclador-convertidor llamada primer detector que realiza el

heterodinaje convirtiendo convirtiendo las señales de radiofrecuencia a frecuencias intermedias. La forma de la envolvente permanece igual conservando la señal original sin cambios. En radiodifusión comercial AM la frecuencia intermedia es 455 khz. Etapa de FI : Consiste en una serie de amplificadores de FI y filtros pasabanda, la mayor parte de la ganancia y selectividad selectividad del receptor son logrados logrados en ésta sección; la fecuencia fecuencia central y el ancho de banda de FI son constantes para todas las estaciones, y se seleccionan para que su frecuencia sea menor que cualquiera de las señales de RF que se van a recibir. La FI es siempre menor que la RF. Etapa de detección : Convierte las señales de FI a la señal mensaje original; esta etapa también se conoce como detección de audio o segunda detección en un receptor de banda de radiodifusión debido a que las señales de información son audiofrecuencias. El detector puede ser un diodo, un circuito de fase cerrada o un demodulador balanceado. Etapa de audio : Abarca varios amplificadores de audio en cascada y uno o más parlantes; el número de amplificadores empleados depende de la potencia de salida deseada. En el siguiente circuito se muestra el diagrama esquemático de un receptor superheterodino sin incluir la etapa de audio que puede operarse con una batería de 9 V y puede observarse que no contiene amplificadores de RF y que los filtros de FI están formados por transformadores LC en sintonía única.

104 104



105 105



Antena de Ferrita Q1

C1

CT

2,2K

0,01

3,9K T1 RF 15K

Convertidor de frecuencias

0,01 C2

CT

T2 OL

+V

2da. Etapa de FI

!ra. Etapa de FI T3 455KHz

T4 455KHz

T5 455KHz

Q2

820

Detector

0,05

560

0,05

C3 0,022

0,05

5,6K

33K Rd 100

Cd 0,05

56k

C5 10

C6 0,05

Rd 100

Cd 0,05

R4 5,6k +v

-v

Cd 0,05

R 100

-V +V

10 Volumen R3 10K

D1

R2 2,2K

Q3

Al amplificador de AF

ETAPA DE SINTONIA106 DE UN RECEPTOR AM

+V

R1 4,7K

C4 0,01



107

232793207-Telecomunicaciones1-Doc.pdf

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