UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA
“ANALISIS DE PROBLEMAS DE TRANSFORMACION DE ESFUERZO PLANO CON MDSOLIDS”
MONOGRAFIA
Que para obtener el título de: INGENIERO MECÁNICO ELÉCTRICISTA
PRESENTA: LUIS MANUEL VALDEZ TEPETLA DIRECTOR DE MONOGRAFIA: ING. RODOLFO SOLORZANO HERNANDEZ
XALAPA, VER.
JUNIO 2012
Índice INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 1 CAPÍTULO 1 ............................................................................................................................. 2 TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZO PLANO .........................................................................................................................................................................2
CAPÍTULO 2 ............................................................................................................................. 6 ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO ..............................................................................................................................................6
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................................. 9 CÍRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO ....................................................................................................................................................................9
CAPÍTULO 4 ............................................................................................................................13 MDSOLIDS ..................................................................................................................................................................................................................13
CAPÍTULO 5 ............................................................................................................................29 ANÁLISIS DE PROBLEMAS SELECCIONADOS ....................................................................................................................................................................29
COMENTARIOS FINALES .....................................................................................................41 BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................................42
Introducción
Introducción
propuestos. Los problemas que se trabajan en el curso pueden ser de carácter numérico o de carácter simbólico (algebraico).
La mecánica de materiales es un tema básico en muchos campos de la ingeniería, su objetivo principal es determinar los
El objetivo del presente trabajo es aportar un instrumento que
esfuerzos, deformaciones unitarias y desplazamientos en
apoye el proceso de aprendizaje en lo que respecta a la
estructuras y en sus componentes, debido a las cargas que
resolución de problemas mediante la utilización de un software
actúan sobre ellos. En el nivel universitario, particularmente en
educativo para estudiantes que toman los cursos del área de la
el caso específico del programa educativo en Ingeniería
mecánica de materiales, llamado
Mecánica Eléctrica de la Universidad Veracruzana, la mecánica
dispone de módulos didácticos para el análisis de diversos
de materiales se enseña prácticamente al inicio de los estudios
tópicos de la mecánica de materiales, sin embargo, dentro de
de licenciatura, ya que como se ha dicho antes es un tema
los alcances de este trabajo se hará uso del MDSolids
básico y necesario para los alumnos de las diversas áreas de la
aplicándolo únicamente en la resolución de problemas de
ingeniería.
transformación de esfuerzo plano, tema que se estudia como
MDSolids. El software
parte del programa de la experiencia educativa Mecánica de Es importante tomar en cuenta que como en todos los cursos
Materiales del programa educativo en Ingeniería Mecánica
de mecánica, la solución de problemas es parte importante del
Eléctrica de la Universidad Veracruzana.
proceso de aprendizaje. Por tanto, al abordar la mecánica de materiales el alumno deberá estar consciente de que sus estudios se dividirán en forma natural en dos partes: primero, comprender el desarrollo lógico de los conceptos, y segundo, aplicar esos conceptos a situaciones prácticas. Lo primero se logra estudiando las deducciones, explicaciones y ejemplos, y la
segunda
parte
se
logra
resolviendo
los
problemas
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Página 1
Transformación de esfuerzo plano
Capítulo 1 Transformación de esfuerzo plano
En la figura 1.2 se observa el mismo estado de esfuerzos mediante un conjunto diferente de componentes debido a que se han girado los ejes.
La figura 1.1 muestra el estado más general de esfuerzo en un punto dado
, el cual incluye seis componentes de esfuerzo,
tres de las cuales
,
y
, definen los esfuerzos normales
ejercidos sobre las caras de un elemento cúbico centrado en y con la misma orientación de los ejes coordenados y las otras tres,
,
y
, las componentes de de los esfuerzos
cortantes del mismo elemento.
Figura 1.2
En este capítulo estudiaremos cómo se transforman las componentes de los esfuerzos cuando se giran los ejes coordenados.
El Figura 1.1
análisis
de
transformación
de
esfuerzos
tratará
principalmente con el esfuerzo plano, es decir, una situación en la cual dos caras del cubo están libres de esfuerzo, como se aprecia en la figura 1.3.
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Página 2
Transformación de esfuerzo plano
Figura 1.3
Tal situación ocurre en una placa delgada sometida a fuerzas
Figura 1.4
que actúan en su plano medio (figura 1.4) o en la superficie libre de un elemento estructural o elemento de máquina, es decir, en cualquier punto de la superficie que no está sujeto a una fuerza externa (figura 1.5).
Figura 1.5
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Página 3
Transformación de esfuerzo plano
A continuación aprenderemos a determinar el “comportamiento” de las componentes de esfuerzo
,
y
asociadas con el
elemento mostrado en la figura 1.6(a) después de que ha girado un ángulo esfuerzo
alrededor del eje , es decir, las componentes de ,
y
asociadas con el elemento mostrado en
la figura 1.6(b).
Figura 1.7
Figura 1.6
Consideremos el elemento prismático de la figura 1.7, cuyas caras son perpendiculares a los ejes ,
y
, y apliquemos la
primera condición de equilibrio sumando las componentes de fuerza a lo largo de los ejes
y
.
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Página 4
Transformación de esfuerzo plano
Resolviendo la primera ecuación para
y la segunda para
, se tiene:
y
Podemos simplificar las ecuaciones anteriores si utilizamos las
La expresión para el esfuerzo normal
siguientes relaciones trigonométricas:
reemplazando que el eje
en la ecuación de
se obtiene
, por el ángulo
forma con el eje , y por tanto:
Como
y
,
podemos verificar que la suma de los esfuerzos normales ejercidos
sobre
un
elemento
cúbico
de
material
es
independiente de la orientación del elemento. Sustituyendo adecuadamente las identidades trigonométricas en las ecuaciones de
y
, tenemos que:
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Página 5
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo
Capítulo 2 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo
Las ecuaciones obtenidas en el capítulo anterior son las ecuaciones paramétricas de un círculo, esto significa que si escogemos un sistema de ejes rectangulares y se gráfica un punto
de coordenadas
para cualquier valor de
los
puntos así obtenidos estarán situados en un círculo. La figura 2.1 representa un círculo de radio punto
de coordenadas
cuyo centro se ubica en el .
Figura 2.1
Los puntos
y
, donde el círculo interseca el eje horizontal,
son de especial interés, ya que corresponden al valor máximo y mínimo del esfuerzo normal
, respectivamente. Observe que
en ambos puntos el esfuerzo cortante “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
es cero. Página 6
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo
Los valores de puntos
y
del parámetro
que corresponden a los
pueden obtenerse haciendo
en la
segunda ecuación obtenida en el capítulo anterior.
Los planos que contienen las caras del elemento obtenido se llaman planos principales de esfuerzo en el punto valores correspondientes
y
, y los
del esfuerzo normal
ejercido sobre estos planos son los esfuerzos principales en
.
No hay esfuerzo cortante en los planos principales.
Esta ecuación define dos valores por tanto, dos valores
que difieren en 180° y, y
que difieren en 90°. Cualquiera de
estos dos valores puede usarse para determinar la orientación del elemento correspondiente (figura 2.2).
Haciendo referencia nuevamente al círculo de la figura 2.1, observe que los puntos
y
, localizados en el diámetro
vertical del círculo, corresponden al mayor valor numérico del esfuerzo valores de y
. La abscisa de los puntos del parámetro
y
es
. Los
que corresponden a los puntos
pueden obtenerse haciendo
en la primera
ecuación obtenida en el capitulo anterior.
Esta ecuación define dos valores Figura 2.2 “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
por tanto, dos valores
que difieren en 180° y, y
que difieren en 90°. Cualquiera de Página 7
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo
estos dos valores puede usarse para determinar la orientación
El esfuerzo normal correspondiente a la condición de esfuerzo
del elemento correspondiente al esfuerzo cortante máximo
cortante máximo es:
(figura 2.3).
Es importante destacar lo siguiente:
Los planos de esfuerzo cortante máximo están a 45° de los planos principales.
Se debe estar consciente de que el análisis sobre la transformación de esfuerzo plano se ha limitado a las rotaciones en el plano de esfuerzo.
Figura 2.3
Al observar en la figura 2.1 notamos que el valor máximo del esfuerzo cortante es igual al radio del círculo.
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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Círculo de Mohr para esfuerzo plano
Capítulo 3 Círculo de Mohr para esfuerzo plano El círculo usado en el capítulo anterior para obtener algunas de las ecuaciones básicas relativas a la transformación de un esfuerzo plano lo introdujo el ingeniero alemán Otto Mohr (1835 – 1918) por lo que se le conoce como círculo de Mohr para esfuerzo plano. Este círculo (figura 3.1) puede utilizarse como método alternativo de solución en problemas de transformación de esfuerzo plano. Este método se basa en consideraciones geométricas simples y no requiere el uso de ecuaciones especializadas. Aunque fue diseñado para obtener soluciones gráficas,
se
puede
aplicar
muy
bien
empleando
Figura 3.1
una
calculadora.
Figura 3.2 “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Página 9
Círculo de Mohr para esfuerzo plano
A continuación se describirá el procedimiento para dibujar el
obtenerse dividiendo por la mitad al ángulo
círculo de Mohr de la figura 3.1. Para ello, consideremos un
círculo de Mohr. Observe que si
elemento cuadrado de un material sometido a esfuerzo plano
caso que se representa en las figuras 3.1 y 3.2, la rotación de
cuyas componentes de esfuerzo se ilustran en la figura 3.2:
hacia
1. Trace un sistema de ejes rectangulares, el eje de las abscisas corresponderá a 2. Dibuje un punto
de coordenadas . Si
3. Una los puntos
y un punto
está situado debajo
y
con una línea recta y en la y con el eje
se identifique el
punto
que define la posición del centro del círculo. La
línea
es el diámetro del círculo.
4. Dibuje el círculo con centro en
Las abscisas de los puntos
esfuerzos principales ángulo
Por tanto, el sentido de rotación en ambas figuras es el mismo.
encima.
intersección de la línea
3.1) interseca el eje
es en sentido contrario a las manecillas del reloj.
es positivo, como se
supone en la figura 3.2, el punto y el punto
, como es el
y el de las ordenadas a .
de coordenadas
del eje
y
medido en el
y
y diámetro
.
, en donde el círculo (figura
, representan respectivamente los y
en el punto considerado. El
es igual en magnitud a uno de los ángulos
, así Figura 3.3
pues, el ángulo
que define la orientación del plano principal
(figura 3.2) correspondiente al punto
(figura 3.1) puede
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Página 10
Círculo de Mohr para esfuerzo plano
El círculo de Mohr está definido en forma única, por lo que el mismo círculo puede obtenerse considerando las componentes ,
y
, correspondientes a los ejes
y
de la figura
de la figura 3.3. Se observa que la rotación que hace coincidir el diámetro
con el diámetro
en la figura 3.4, tiene
igual sentido que la rotación que superpone los ejes
a los ejes
en la figura 3.3.
3.3.
La propiedad que acaba de indicar puede usarse para verificar el hecho de que los planos de esfuerzo cortante máximo están a 45° de los planos principales (figura 3.5).
Figura 3.4
En la figura 3.4 se identifican los puntos
y
localizados en el círculo de Mohr y el ángulo Figura 3.5
debe ser el doble del ángulo parte, en la figura 3.4 el ángulo
de la figura 3.3. Por otra es el doble del ángulo
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Página 11
Círculo de Mohr para esfuerzo plano
Figura 3.6 Círculo de Mohr para carga axial concéntrica
x
P , y xy 0 A
x y xy
P 2A
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Figura 3.7 Círculo de Mohr para carga de torsión
x y 0 xy x y
Tc J
Tc xy 0 J
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MDSolids
Capítulo 4 MDSolids MDSolids es un software educativo (en idioma inglés) para estudiantes de los cursos del área de la mecánica de materiales, disciplina básica de la mecánica aplicada en diversos
programas de ingeniería. El software dispone de
módulos didácticos para análisis de vigas estáticamente determinadas, miembros en torsión, columnas, estructuras sujetas a carga axial, armaduras, propiedades de secciones transversales, y el círculo de Mohr, incluyendo el análisis de las transformaciones de esfuerzo.
La idea que plantea MDSolids es que el estudiante obtenga una mayor compresión de los problemas y que el docente tenga una herramienta más para apoyar al alumno en la resolución de ciertos casos los cuales, en ocasiones, no pueden ser explicados de manera clara y concisa.
El software puede ayudar a desarrollar el problema que soluciona, proporcionando a los estudiantes una interface intuitiva que los dirige a los factores importantes que inciden en varios tipos de problema, les ayuda a visualizar la naturaleza de “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
esfuerzos internos y deformaciones, y proporciona un medio fácil de usar y de investigar un número mayor de problemas y variaciones.
Basado
en
esta
premisa,
MDSolids
fue
desarrollado con varios objetivos:
VERSATILIDAD MDSolids tiene rutinas que pertenecen a todos los aspectos enseñados en un curso típico de mecánica de materiales. Estas rutinas son agrupadas en doce módulos, similares a capítulos que pertenecen a una amplia gama de problemas de los textos comunes disponibles actualmente. Dentro de los módulos, cada rutina soluciona los tipos de problemas clásicos de la mecánica de materiales. El alcance de MDSolids ofrece rutinas para ayudar a estudiantes en todos los niveles de comprensión, ayudándole a resolver desde problemas de aplicación hasta problemas más complejos que requieren el análisis y la síntesis.
FACILIDAD DE ENTRADA La facilidad de entrada es un aspecto esencial en el concepto MDSolids. La solución de problemas de mecánica de materiales confunde bastante a los estudiantes. El estudiante debería ser capaz de definir un problema por intuición y directamente de un libro sin la necesidad del manual de usuario. MDSolids, Página 13
MDSolids
proporciona señales gráficas para dirigir a usuarios en la
estudiante compara cálculos de la mano con las explicaciones
entrada de datos. Las ilustraciones fácilmente pueden ser
de MDSolids.
ajustadas de modo que la pantalla introducida se vea muy CARÁCTERÍSTICAS
similar a la ilustración del libro.
MDSolids ofrece opciones gráficas al usuario para todos los COMUNICACIÓN VISUAL
datos requeridos o unidades. En el dibujo de la fuerza
En cada rutina MDSolids destaca un cuadro, el bosquejo y el
transversal y diagramas de momento, por ejemplo, el usuario
argumento
aspectos
puede pulsar sobre un cuadro de una flecha y entrar en la
importantes del problema. Los bosquejos son usados para
magnitud de la carga para definir una carga de punto hacia
mostrar la dirección de esfuerzos internos, cargas aplicadas, y
abajo vertical.
que
gráficamente
representa
los
reacciones. En la mayoría de los casos, cuatro unidades comunes (dos del EXPLICACIONES A BASE DE TEXTO
sistema inglés y dos del sistema internacional) son aseguradas
Muchos de los módulos MDSolids proporcionan explicaciones
en cada variable. Por ejemplo, la tensión puede ser calculada
suplementarias para describir en palabras cómo son realizados
en psi, ksi, kPa, o MPa. El usuario es libre de mezclar las
los cálculos. Estas explicaciones pueden ayudar a los
unidades de cualquier modo deseado. Por ejemplo, la sección
estudiantes a desarrollar los procesos usados en la solución de
transversal de una viga podría ser definida en milímetros, su
problemas de la mecánica de materiales. Las explicaciones de
longitud en pulgadas, un diagrama de momento flexionante en
texto son dinámicas y sensibles a contexto, adaptadas al
kN∙m, y presentar el esfuerzo de flexión en psi.
problema particular en términos de los valores y del sistema de
Todas estas opciones para fuerzas y unidades son hechas
unidades del problema. Errores comunes en ecuaciones de
simplemente pulsando los botones apropiados sobre las formas
equilibrio y manipulaciones de ecuación se corrigen cuando un
mostradas. Los conceptos de
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
mecánica de materiales son
Página 14
MDSolids
bastante difíciles sin añadir la confusión sobre convenciones de
MODULOS
signo y sistemas de unidades. Problem Library El software está escrito en Visual Basic para correr en el
Contiene rutinas diseñadas para doce tipos comunes de los
entorno de Windows, requiere resolución SVGA (800 x 600) y
problemas
para correrlo es suficientemente un ordenador 486-33MHz, pero
conceptos de esfuerzo y deformación (figura 4.1). Para cada
es recomendable emplear un equipo más rápido para obtener
tipo de problema, la rutina incluye preguntas típicas las cuales
una mayor visualización de los gráficos.
son relativas a la estructura, variaciones comunes (como el
frecuentemente
utilizados
para
introducir
los
corte doble o cortante simple) y una imagen o dibujo que describe la geometría del problema
Figura 4.1 - Pantalla principal de MDSolids (Módulos de MDSolids)
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Figura 4.2 – Menú módulos de MDSolids
Página 15
MDSolids
Después de que el estudiante hace clic en el botón compute, la
cuadrícula definida por el usuario de los puntos de nodo (figura
rutina prepara una explicación detallada del enfoque que se
4.3). Los miembros de la armadura son definidos con el mouse
debe tomar para resolver el problema con los datos de entrada
al dibujar las líneas que conectan los nodos deseados. El
suministrados por el usuario y las unidades.
software comprueba los miembros a medida que son definidos para garantizar que los supuestos de idealización de armadura
Por ejemplo, la rutina de la viga y el puntal se dedica a un grupo
están satisfechos (por ejemplo, los miembros conectados sólo
de problemas que comúnmente se utiliza para introducir los
en las articulaciones). Los apoyos y cargas también son
conceptos de esfuerzo y deformación. Estos problemas
definidos con movimientos del mouse. Los controles de
incluyen una viga que se fija en un extremo y con el apoyo de
software permiten al menos a tres limitaciones de apoyo y de
una barra o puntal en el otro extremo. A menudo, estos
aceptar cargas sólo en las articulaciones.
problemas requieren especificar el diámetro de los pernos y sus configuraciones, ya sea de corte simple o doble en las conexiones. El estudiante puede ser requerido para determinar la capacidad de la estructura teniendo en cuenta el esfuerzo normal permisible en el puntal y los esfuerzos de corte en las conexiones. Un problema de la viga y el puntal, en cualquier configuración, puede ser resuelto por este módulo.
Trusses Armaduras estáticamente determinadas pueden ser analizadas las fuerzas internas axiales. La entrada de datos es gráfica y sólo requiere la definición mínima por parte del usuario. Las
Figura 4.3 – Armadura estáticamente determinada
dimensiones de la armadura son establecidas creando una “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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MDSolids
El etiquetado de las uniones se realiza automáticamente. Los
cierra antes de aplicar una carga a la estructura, dos miembros
ángulos de los miembros de la armadura se calculan y se
axiales conectados a una barra fija rígida que gira, y, un cerrojo que
muestran cuando la armadura es creada. Los resultados del
pasa por una manga con una tuerca que es apretada.
análisis se muestran sobre la armadura. Los miembros de 1. tensión, de compresión y de fuerza cero son indicados cada uno por un color diferente.
Opcionalmente, los esfuerzos normales pueden ser calculados para los miembros de la armadura, o dado un límite de esfuerzos, el área de la sección transversal requerida para cada miembro puede ser calculada a partir de los resultados del análisis de armadura.
Indet Axial En este módulo se consideran estructuras estáticamente indeterminadas sujetas a carga axial compuestas por dos Figura 4.4 – Una de las pantalla del módulo indet axial
miembros (figura 4.4). Problemas de éste tipo son por lo general los que se indican en las siguientes variaciones: miembros coaxiales, miembros de extremo a extremo con una carga aplicada en la unión, miembros de extremo a extremo con una
Torsion
separación entre los dos y sujetos a una variación de temperatura,
La torsión de elementos con sección transversal circular es
miembros de extremo a extremo con un desajuste entre ellos que se “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
considerada por el software MDSolids. Cuatro opciones Página 17
MDSolids
diferentes de miembros sujetos a torsión están disponibles. El
Opcionalmente,
usuario puede definir un miembro en torsión simple (por
considerada en el problema, y si el eje es una forma de tubular,
ejemplo, un eje con un momento de rotación). Éste eje se
los efectos de la presión pueden ser incluidos. Esto permite a
muestra como una representación en tres dimensiones. Una
problemas
cuadrícula se sobrepone en el eje para ilustrar la torsión
considerados.
con
una
carga
fuerza
axial
axial
y
también
efectos
de
puede
torsión
ser
ser
producida por un momento de rotación (figura 4.5). La perspectiva del dibujo es variable de modo que el usuario
Los cálculos de círculo de Mohr también pueden ser iniciados
pueda observar el eje desde varios puntos de vista.
desde esta opción de torsión. Los valores estándar para los módulos de corte están disponibles para el usuario simplemente pulsando sobre el material deseado en un menú desplegable.
Dos opciones de torsión toman en cuenta los problemas de transmisión de potencia. Una de estas opciones considera un solo eje conectado a un motor mientras que la segunda opción considera un eje de potencia unido por engranajes a un eje simple.
La opción de eje de potencia simple, figura 4.6, también incluye un motor animado y el movimiento de engranaje con reguladores simulados de modo que los usuarios puedan observar los efectos producidos por el cambio de alimentación Figura 4.5 - Torsión simple “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
del motor, la velocidad, o relación de engranaje. Página 18
MDSolids
diagrama de momento de torsión, un diagrama esfuerzo cortante y un diagrama de ángulo de giro (figura 4.7).
Figura 4.6- Transmisión de potencia
Cada una de estas tres opciones tiene un ejercicio de formato de definición flexible. El usuario introduce las variables conocidas y el software soluciona para el resto de las variables. El software incluye explicaciones adicionales que describen el
Figura 4.7 - Eje de torsión con múltiples torques
procedimiento específico que debería ser usado para solucionar cada problema.
Una cuarta opción de torsión considera un solo eje con múltiples momentos de torsión. Esta opción produce un “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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MDSolids
Determinate Beams
Los iconos mostrados en un formato de barra de herramientas
El usuario puede definir a cualquier viga estáticamente
permiten a los usuarios seleccionar la carga deseada sin
determinada simplemente apoyada, con voladizo simple o doble
necesidad de la consideración de una convención de signos.
y
empotrada. Las cargas que pueden aplicarse a las vigas
incluyen carga puntual, uniformemente distribuida, linealmente variable y momentos de flexión (figura 4.8).
Figura 4.8 - Modulo de vigas estáticamente determinadas Figura 4.9 – Diagramas de fuerza cortante y momento flector “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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MDSolids
Los diagramas, figura 4.9, que muestran la fuerza cortante,
estructuras de acero y hormigón. Tres combinaciones de carga
momento flexionante, pendiente y deflexión son dibujados
están disponibles: 1.4D, 1.2D + 1.6L, y 1.4D + 1.7L.
inmediatamente después de la entrada de una carga. Esto
Con el mouse, el usuario puede pulsar en una posición
permite al usuario ver el efecto de cada carga al ser añadida.
específica sobre el diagrama de carga y obtener la fuerza cortante, momento, pendiente o la deflexión en ese punto.
MDSolids incluye explicaciones adicionales que describen:
1) La forma de configurar las ecuaciones de equilibrio necesario para resolver las reacciones de la viga,
Flexure Si una sección transversal se define, el software puede mostrar la forma de la sección transversal y trazar la distribución de
2) cómo las fuerzas concentradas y momentos afectan a la fuerza de corte y diagramas de momento, y
cualquier esfuerzo normal o cortante, los cuales varían en la profundidad de la sección (figura 4.10). El software incluye una pestaña desplegable en la que los usuarios puedan indicar una
3) la forma de calcular el área en cada parte del diagrama de fuerza cortante, como encontrar puntos de cero en fuerza cortante, y como construir el diagrama de momento a partir del diagrama de fuerza cortante.
Las cargas se pueden introducir, ya sea para análisis sin factor de carga o con factor. Las cargas sin factor se utilizan en la filosofía de diseño por esfuerzo permisible habitualmente encontrada en los textos de la mecánica de materiales. Las cargas con factor se utilizan en el diseño por resistencia para “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
posición específica en la profundidad de la sección transversal y muestra los valores de esfuerzo normal y cortante calculados para ese punto. En el cálculo del esfuerzo cortante, el valor de Q también se calcula para la posición elegida por el usuario.
Las distribuciones de esfuerzo se trazan y algunos ejercicios específicos pueden ser calculados para secciones transversales compuestas. Además, las fuerzas axiales en la sección transversal también pueden ser consideradas de modo que las cargas combinadas puedan ser analizadas. Página 21
MDSolids
El usuario puede definir esfuerzos admisibles para que la fuerza axial admisible, la fuerza cortante y el momento flexionante puedan ser calculados. Los estudiantes que lo requieran podrán resolver ejercicios de diseño de vigas para calcular el tamaño de viga necesaria. La flexión de formas asimétricas puede ser considerada.
Section Properties Los menús permiten al usuario calcular las propiedades de la sección transversal de 19 figuras genéricas diferentes. Las formas generales que se incluyen son: “I, T, C, L, Z", caja, circular sólida, tubular y las formas rectangulares. También se incluyen formas dobles I, T, C y L.
Los botones de visualización permiten al usuario hacer girar la forma a la orientación deseada. Por ejemplo, una forma de T se puede girar de modo que el tallo de la T señale hacia arriba. Esta característica permite a los usuarios hacer coincidir exactamente con lo planteado en el ejercicio particular que se esté analizando.
Las propiedades de la sección calculada incluyen: localización Figura 4.10 - Diversas pantalla del modulo de flexión “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
del centroide, momento de inercia, módulo de sección, radio de Página 22
MDSolids
giro, módulo plástico, momento polar de inercia y, momentos
recuperará un valor de 10,000,000 de psi para el módulo de
máximos y mínimos de inercia. La forma de la sección
elasticidad.
transversal se vuelve a dibujar a escala y se muestran los ejes centroidales.
Las propiedades de sección también pueden ser calculadas para
áreas
transversales
compuestas.
Dos
materiales
diferentes pueden ser seleccionados y asignados a las partes deseadas de las secciones transversales. Para las secciones transversales compuestas, los resultados se dan en términos del
método
de
área
transformada
para
posibles
transformaciones.
MDSolids incluye las dimensiones y propiedades seleccionadas por el American Institute of Steel Construction (AISC) de una lista de perfiles de acero estándar, en denominaciones usuales de los sistemas inglés (US) y métrico (SI).
En cada análisis de sección transversal el programa genera una Figura 4.11 - Modulo propiedades de la sección
tabla con los parámetros calculados, que incluyen: 1) centroide y momentos de inercia,
El módulo de elasticidad de la sección se puede introducir directamente o el usuario puede seleccionar de una lista de materiales comunes. Por ejemplo, el usuario simplemente
2) eje neutro (y/o plano neutro) y módulo de la sección, y 3) producto de inercia.
podría pulsar sobre " el Aluminio 6061-T6 " y el software “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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MDSolids
Para las áreas compuestas, el centroide y el momento de inercia están calculados con la conversión del material A en el material B y viceversa. Los cálculos de propiedades de sección actúan recíprocamente tanto con la viga, la flexión, como con la rutina de columna.
Columns Los cálculos de columnas se basan en la fórmula de pandeo de Euler:
Figura 4.12 - Módulo de pandeo de columnas
MDSolids muestra dos vistas de pandeo (figura 4.12), del eje fuerte y el eje débil, con las vistas de corte transversal correspondientes para cada columna. Cualquier condición de soporte en los extremos de la columna (articulado, fijo, empotrado y libre) puede ser seleccionada para uno u otro
El usuario también puede agregar soportes intermedios en cualquier dirección que se pueden colocar en cualquier posición entre los apoyos de los extremos. Un gráfico de esfuerzo crítico contra la relación de esbeltez se muestra y los resultados de las dos direcciones de pandeo se indican sobre la curva.
extremo de la columna. La carga crítica de pandeo y el esfuerzo son calculados por el software, que además, muestra la dirección del pandeo de la columna.
Opcionalmente, el usuario puede definir el límite de elasticidad del material y/o el límite de proporcionalidad de modo que el pandeo de Euler pueda ser evaluada.
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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MDSolids
Se pueden realizar diseños de columnas utilizando el acero
en términos de tensión o compresión y no como un número
estándar, el aluminio y/o madera.
positivo o negativo. El esfuerzo cortante se define en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario sobre la cara positiva del elemento de esfuerzos. Un diagrama de orientación aparece para mostrar el resultado de las condiciones de esfuerzo según lo especificado por el usuario.
El círculo de Mohr se dibuja, etiquetando los puntos que corresponden a la orientación de los ejes
y
del elemento de
esfuerzos. Se dibujan planos de esfuerzos separados para indicar la orientación de los esfuerzos principales en relación con el sistema de coordenadas
, así como la orientación del
esfuerzo cortante máximo.
Los diagramas de los estados de esfuerzos dan a los usuarios Figura 4.13 - Diseño de columnas
una clara representación visual de la orientación o dirección de rotación del estado de esfuerzos para representar los planos de esfuerzos principales y de esfuerzo cortante máximo. Los esfuerzos en cualquier orientación arbitraria pueden ser
Mohr’s circle El análisis del círculo de Mohr para esfuerzo plano y los momentos de inercia están disponible en MDSolids. Los esfuerzos normales en las direcciones
y
son especificados
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
obtenidos a partir del diagrama de un plano de esfuerzos ubicado en el interior de un transportador que permite al usuario obtener los valores correspondientes en cualquier orientación arbitraria con simplemente un clic del ratón. Página 25
MDSolids
Los cálculos del círculo de Mohr se pueden obtener tanto desde
Dos tipos de galgas extensómetricas, rectangulares y en delta,
el módulo de vigas estáticamente determinadas como de las
que pueden ser analizadas en este modulo (figura 4.15).
partes del módulo de miembros de torsión de MDSolids. Los datos de planos de esfuerzos combinados automáticamente son suministrados desde estas rutinas al cálculo de círculo de Mohr. Los cálculos de esfuerzo plano se pueden obtener a
Los momentos principales de inercia pueden ser calculados a partir de los momentos de inercia en torno a dos ejes ortogonales más el producto de inercia.
partir de los datos de deformación normal y cortante.
Figura 4.14 - Módulo de transformación por círculo de Mohr
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Figura 4.15 - Módulo de transformación por círculo de Mohr (galgas extensómetricas)
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MDSolids
Combined Loading
Figura 4.16 - Módulo de cargas combinadas
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Pressure Vessels
Figura 4.17 - Módulo de recipientes a presión
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MDSolids
General Analysis, Axial Torsion, Beams En este módulo se consideran estructuras axiales estáticamente determinadas e indeterminadas, ejes y vigas.
Figura 4.18 - Módulo de análisis general
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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Análisis de problemas seleccionados
Capítulo 5 Análisis de problemas seleccionados
Es conveniente hacer mención que para poder implementar el software en la resolución de los ejercicios, éstos deben adaptarse a las características de las rutinas disponibles que han sido diseñadas para problemas tipo de algunas ediciones de textos clásicos de mecánica de materiales.
En este capítulo se presenta una selección de problemas de elementos cargados axialmente (tomados del libro de texto
Para consultar el listado de ejercicios abra el programa y haga
“Mec nica de Materiales”, 5ª. edición de Ferdinand P. Beer, E.
clic en MDSolids Help Documents (Figura 5.1). En la ventana
Russell Johnston, Jr., John T. DeWolf y David F. Mazurek,
de la figura 5.1, seleccione MDSolids Navigator y haga clic en el
editorial McGraw-Hill) cuya solución puede realizarse con la
botón Open y se abrirá como en la figura 5.2 (a). El MDSolids
ayuda del MDSolids.
Navigator tiene la intención de ayudarle a utilizar MDSolids en el contexto del estudio de la mecánica de los materiales. Usted encontrará una serie de libros de texto que figuran en la tabla de contenidos (figura 5.2 (b)).
Abra el libro que corresponde a su libro de texto de clase y encontrará una lista de problemas que pueden ser resueltos y explicados por MDSolids. Haga clic en un número de problemas y el MDSolids Navigator le mostrará una breve descripción de los pasos que debe realizar para resolver el problema con la ayuda del software.
Figura 5.1 - MDSolids documentos de ayuda “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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Análisis de problemas seleccionados
En el caso de que la edición del libro de texto que utiliza en su curso no corresponda a la especificada por el programa deberá elegir problemas similares a los que se enlistan, por lo que sería conveniente contar con un ejemplar de ambas ediciones para realizar la comparativa.
Esperando que estas notas sirvan de apoyo a los estudiantes del curso de las experiencias educativas del área de la mecánica de materiales en lo concerniente al análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano, a continuación (a)
se presenta una selección de ejercicios resueltos aplicando el MDSolids.
(b) Figura 5.2 - MDSolids Navigator “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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Análisis de problemas seleccionados
Problema 1
Solución con MDSolids:
7.23 Se aplica una fuerza de 19.5 kN en el punto D del poste de hierro fundido que se muestra en la figura. Si se sabe que el poste tiene un diámetro de 60 mm, determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto H.
Previo a la apicación del software, es necesario establecer el sistema equivalente fuerza – par en la sección transversal que contiene a los puntos H y K.
7.24 Se aplica una fuerza de 19.5 kN en el punto D del poste de hierro fundido que se muestra en la figura (figura 5.3). Si se sabe que el poste tiene un diámetro de 60 mm, determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo en el punto K.
Si observamos la figura 5.3, la fuerza aplicada se representa con el vector:
El par lo definimos de la siguiente manera:
Por tanto, el sistema equivalente fuerza – par en dicha sección es: Figura 5.3 – Problema 1 (7.23 y 7.24)
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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Análisis de problemas seleccionados
Observe que la figura 5.4(a) se obtiene al rotar a la figura 5.3 de tal manera que la podemos hacer coincidir con la figura que presenta MDSolids en el módulo de cargas combinadas (Combined Loadings Module) con la configuración eje sólido doblado a la izquierda (Solid Shaft Bend Left) como se aprecia en la figura 5.4(b). Los puntos H y K de la figura original del problema que estamos analizando están representados por los puntos A y D en la figura 5.5, la longitud que se representa sobre el eje corresponde a la ubicación de la sección transversal que contiene a los puntos H y K. Tome en cuenta que debido a la rotación que le dimos a la figura debemos adaptar la dirección de las componentes de la fuerza aplicada como se muestra en la figura. (a)
(b) Figura 5.4 “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Figura 5.5
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Análisis de problemas seleccionados
Propiedades de la sección transversal del poste:
Para el punto H (representado por A en la figura 5.6); los subíndices en las siguientes ecuaciones corresponden a la figura original del problema. Figura 5.6
Como puede observarse los valores de esfuerzo normal y esfuerzo cortante para el plano de esfuerzos correspondiente al punto H corresponde a los del punto A de la figura 5.6. A continuación abrimos el módulo de círculo de Mohr (Mohr´s Circle), capturamos los valores calculados y hacemos clic en los botones compute y details para obtener la pantalla mostrada en la figura 5.7. “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Figura 5.7 Página 33
Análisis de problemas seleccionados
Tanto en la figura 5.6 como en la figura 5.7 podemos observar el valor de los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo, además en la figura 5.7 se despliegan un par de figuras que representan la orientación del plano de esfuerzos principales y el plano de esfuerzo cortante máximo. ;
;
Para el punto K (representado por D en la figura 5.8); los subíndices en las siguientes ecuaciones corresponden a la figura original del problema. Figura 5.8
Con los valores calculados, nuevamente vamos al módulo de círculo de Mohr, y obtenemos la pantalla mostrada en la figura 5.9. ;
; Figura 5.9
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Análisis de problemas seleccionados
Problema 2 7.31 Para el estado de esfuerzo dado, determine a) los planos principales, b) los esfuerzos principales. Utilice el círculo de Mohr para resolver este problema.
Figura 5.10 – Problema 1 (7.31)
Figura 5.11
Solución con MDSolids: Abrimos MDSolids y en la pantalla principal seleccionamos MDSolids Help Documents, damos clic en MDSolids Navigator, elegimos Beer, Johnston, and DeWolf, 3rd Edition y seleccionamos la rutina Prob. 7.31 thru 7.40, como se muestra en la figura 5.11. En la figura 5.12 se tiene el procedimiento que seguiremos en la solución de este problema y en la figura 5.13 se muestra la pantalla donde se indican los valores de solución.
Figura 5.12 “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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Análisis de problemas seleccionados
Problema 3 7.55 Determine los planos principales y los esfuerzos principales para el estado de esfuerzo plano resultante de la superposición de los dos estados de esfuerzo que se muestran en la figura.
Figura 5.13 Figura 5.14 – Problema 3 (7.55)
a)
; b)
, Solución con MDSolids: En problemas como este de superposición de estados de esfuerzo plano, podemos auxiliarnos con el software de la siguiente manera. En primer lugar abriremos el módulo de círculo de Mohr y supondremos que en el segundo plano de esfuerzos de la figura 5.14 se tiene un , capturamos este dato, hacemos clic en los botones Compute y Details, a continuación haremos girar 30° en sentido de las manecillas del reloj al estado de esfuerzos, véase la figura 5.15.
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Análisis de problemas seleccionados
Figura 5.15
Ahora, haremos la superposición del primer estado de esfuerzos de la figura 5.14 y los valores obtenidos en la figura 5.15 para la orientación de -30° del segundo de los estados de esfuerzo.
Figura 5.16
De la figura 5.16 se tiene que: y ,
Introducimos los valores anteriores al módulo de círculo de Mohr para obtener los valores de solución que pide el problema.
“Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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Análisis de problemas seleccionados
Problema 4 7.68 Para el estado de esfuerzo plano ilustrado en la figura, determine el esfuerzo cortante máximo cuando a) , b) . (Sugerencia: Considere los esfuerzos cortantes en el plano y fuera de éste)
Figura 5.18
Figura 5.17 – Problema 4 (7.68)
Solución con MDSolids: Abrimos MDSolids y en la pantalla principal seleccionamos MDSolids Help Documents, damos clic en MDSolids Navigator, elegimos Beer, Johnston, and DeWolf, 3rd Edition y seleccionamos la rutina Prob. 7.66 thru 7.68, como se muestra en la figura 5.18 en la cual se muestra el procedimiento que seguiremos en la solución de este problema y en la figuras 5.19 y 5.20 se muestran las pantallas donde se indican los valores de esfuerzo cortante máximo absoluto. “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
Figura 5.19 Página 38
Análisis de problemas seleccionados
Problema 5 7.120 Un par de torsión de magnitud de se aplica en el extremo de un tanque que contiene aire comprimido bajo una presión de 8 MPa. Si el tanque tiene 180 mm de diámetro interno y 12 mm de espesor de pared, determine el esfuerzo normal máximo y el esfuerzo cortante máximo en el tanque.
Figura 5.20 -
Figura 5.21 – Problema 5 (7.120)
Solución con MDSolids: Abrimos MDSolids y en la pantalla principal seleccionamos MDSolids Help Documents, damos clic en MDSolids Navigator, elegimos Beer, Johnston, and DeWolf, 3rd Edition y seleccionamos la rutina Prob. 7.118, como se muestra en la figura 5.22 en la cual se muestra el procedimiento que seguiremos en la solución de este problema. “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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Análisis de problemas seleccionados
Figura 5.22 Figura 5.24 – Módulo de círculo de Mohr
Del análisis por torsión simple (figura 5.23) y del análisis de transformación de esfuerzo plano por círculo de Mohr (figura 5.24), se concluye que los valores de los esfuerzos normal máximo y el esfuerzo cortante máximo en el tanque son:
(fuera del plano)
Figura 5.23 – Módulo de torsión (torsión simple) “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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Comentarios finales
Comentarios finales
Reitero la intención de que lo expuesto en este trabajo
La mecánica de materiales es un tema básico en muchos
sirva de apoyo a los estudiantes de las experiencias
campos de la ingeniería, se enseña prácticamente al
educativas del área de la mecánica de materiales en lo
inicio de los estudios de licenciatura, ya que como se ha
concerniente al análisis de problemas de transformación
dicho antes es un tema básico y necesario para los
de esfuerzo plano.
alumnos de las diversas áreas de la ingeniería. Este trabajo presenta una propuesta para complementar con software especializado la enseñanza presencial o el uso de libros texto, es decir, tomar ventaja de la tecnología disponible para mejorar la calidad y eficiencia del aprendizaje. Las posibilidades de usar visualizaciones y simulaciones animadas es una ventaja clara comparada con los libros, especialmente si hay que estudiar diagramas de cuerpo libre,
distribución
de
esfuerzos
y
procesos
de
deformación. El ambiente de poco estrés creado bajo un software adecuado para el aprendizaje autodidáctico permite a los estudiantes avanzar según su propio ritmo. “Análisis de problemas de transformación de esfuerzo plano con MDSolids”
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Bibliografía
Bibliografía
Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek, “MECÁNICA DE MATERIALES”, 5ª Edición, McGraw-Hill, México 2010
Gere, James M., “MECÁNICA DE MATERIALES”, 6ª Edición, Editorial Thomson, México 2006
http://www.mdsolids.com/
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