SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
2008
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL Singer Ferdinand L, Pytel Andrew; Resistencia de Materiales, introducción a la mecánica de sólidos; cuarta edición.
Karen A. Romero M. U.T.P.L.1 24/07/2008
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD TÉCNICA TÉCNICA PARTICULA R DE LOJA ESCUELA ESCUELA DE INGENIERÍA INGENIERÍA CIVIL CAPÍTULO I ESFUERZO SIMPLE 103. Determine
el máximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la figura P-103. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder 100 MPa, y 50 MPa, respectivamente. Las áreas transversales de ambos son: 400 mm 2 para el cable AB y 200 mm2 para el cable AC.
200 100 10 100400 10 40 109. En
la figura P-109 se muestra parte del tren de aterrizaje de una avioneta. Determine el esfuerzo de compresión en el tornapunta AB producido al aterrizar por una reacción del terreno R=20. kN. AB forma un ángulo de 53.1° con BC.
∑ 0 0.65 53.13°0.45 0 200.65 0.36 0 36.36.1 5.36.51013 65.7272 / / 0.02 0.015 5.510 2
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UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD TÉCNICA TÉCNICA PARTICULA R DE LOJA ESCUELA ESCUELA DE INGENIERÍA INGENIERÍA CIVIL CAPÍTULO I ESFUERZO SIMPLE 103. Determine
el máximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la figura P-103. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder 100 MPa, y 50 MPa, respectivamente. Las áreas transversales de ambos son: 400 mm 2 para el cable AB y 200 mm2 para el cable AC.
200 100 10 100400 10 40 109. En
la figura P-109 se muestra parte del tren de aterrizaje de una avioneta. Determine el esfuerzo de compresión en el tornapunta AB producido al aterrizar por una reacción del terreno R=20. kN. AB forma un ángulo de 53.1° con BC.
∑ 0 0.65 53.13°0.45 0 200.65 0.36 0 36.36.1 5.36.51013 65.7272 / / 0.02 0.015 5.510 2
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112. Calcule
el peso del cilindro más pesado que se coloca en la posición que se indica en la figura P-112, sin rebasar el esfuerzo de 50MN/m 2 en el cable BC. Desprecie el peso de la barra AB. El área transversal del cable BC es 100 mm 2.
5010⁄110 5 106 53.13° 53.53.13°13° 0.8 53.13°0.6 0 4000 40001010 4 10000 0 0.610000 6000 // º
3
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114. Se
quiere punzonar una placa, tal como se indica en la figura 1-10c, que tiene un esfuerzo cortante último de 300 MPa. (a) Si el esfuerzo de compresión admisible en el punzón es 400 MPa, determine el máximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de 100 mm de diámetro. (b) Si la placa tiene un espesor de 10 mm, calcule el máximo diámetro que puede punzonarse.
(a)
0.31416 400. . 3.1416 3.1416 300 3.0.13416 1416 3.141631416 3000. 0.033 (b)
0.01 1 100 100 . 1 100 4
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100 2 300 1 2 100 0.01 300 0.030 //. 115. figura
P-115 muestra la unión de un tirante y la base de una armadura de madera. Despreciando el rozamiento, (a) determine la dimensión b si el esfuerzo cortante admisible es de 900 kPa. (b) Calcule también la dimensión c si el esfuerzo de contacto no debe exceder de 7 MPa.
(a)
90010/ 5010 15030° 0 30300 0.50.86650100
86602.54
5 4 90010/ 30°86602. 0.150 5
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2 7 90010 ⁄ 0.43301. 150 135000 43301.27 0.321 321 //sol (b)
7.710/ 5030° 43.301 710/ 5030° 0.150 1050 43.301 0.04123 41.2 //sol
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La palanca acodada que se representa en la figura P-118 está en equilibrio. (a) Determine el diámetro de la barra AB si el esfuerzo normal está limitado a 100 MN/m2 . (b) Determine el esfuerzo cortante en el pasador situado en D, de 20 mm de diámetro. 118.
(a) D=?
100/ 0 0.23060°0.240 0.26.24 31.2 0 3060°0.24 31.215 46.2 0 7
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3060° 26 46.2 26 53 31200/ 10010 3.1210 2 2 2 3 . 1 210 2 7.0510 2 0.014101000/1 14.10 // (b)
τ=?
8
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0.53.4002 53.0 3.141510 168.7/ // 119. La
masa de la barra homogénea AB mostrada en la figura P-119 es 2000 kg. La barra está apoyada mediante un perno en B y mediante una superficie vertical lisa en A. Determine el diámetro del per no más pequeño que puede usarse en B si su esfuerzo cortante está limitado a 60 MPa. El detalle del apoyo en B es idéntico al apoyo b mostrado en la figura P-118
20009.8 19600 0 8 1960030 7350 0 7350 0 19600 7350 19600 20932.81
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20932.81 20932./ 81 6010 3.4910, 2 2 2 2 2 3.49102 7.452910 2 27.4510 0.01491000/1 14.9 //
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120.
Dos piezas de madera, de 50 mm de ancho y 20mm de espesor indica la figura P-120. (a) Aplicando las ideas que se expresan en la figura 1-4, determine la fuerza cortante y el esfuerzo cortante en la unión si P = 6000 N. (b) Generalice el procedimiento para demostrar que el esfuerzo cortante en una sección inclinada un ángulo θ respecto a una sección transversal de área A, tiene un valor dado por (a)
⁄22
600060° 5196.1524 600060° 3000 60° 50 57.74 57.7420 1154.80 0 60060° 3000 // 1154.3000 8010 11
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2.598. // (b)
22 2 2
L.Q.Q.D.
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Un recipiente cilíndrico a presión está fabricado de placas de acero que tienen un espesor de 20 mm. El diámetro del recipiente es 500 mm y su longitud, 3 m. Determine la máxima presión interna que puede aplicársele si el esfuerzo en el acero está limitado a 140 MPa. Si se aumentara la presión interna hasta que el recipiente fallara, bosqueje el tipo de fractura que ocurriría. 132.
0.02 0. 5 3 14010/ 2 2 2 14010 0.520.02 11200 / 11.20 .
Para cilindros en los que la parea tenga un espesor igual o menor que un décimo de su radio interior, el esfuerzo medio calculado es prácticamente igual al esfuerzo máximo que aparece en la superficie interior del cilindro:
110 0.250.025 0.020.025
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134. Un depósito cilíndrico de agua de eje vertical tiene 8 m de diámetro y 12 m de altura.
Si ha de llenarse hasta el borde, determinar el mínimo espesor de las placas que lo componen si el esfuerzo está limitado a 40 MPa.
4010/ í ? . 1000/9.8/ 9800/ 9800 12 117600/ . .2 117600/ 4010 / 2 8 0.01176 11.76
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135. En
el depósito cilíndrico de la figura 1-16 la resistencia de las juntas longitudinales es de 480 kN y de las trasversales, de 200 kN. Si la presión interior ha de ser de 1.5 MN/m 2, determinar el máximo diámetro que se puede dar al depósito.
1.510/ . . 200/ . 480/ . . . 1.5480/ 10/ 0.32 2 0.64 .2 2. . 2. / 1.2200 510/ 0.267 2 0.53 //
La resistencia interna admisible imprime de la resistencia de las juntas longitudinales
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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULA R DE LOJA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL CAPÍTULO II DEFORMACIÓN SIMPLE
204. Una barra prismática de longitud L, sección transversal A y densidad p se suspende verticalmente de un extremo. Demostrar que su alargamiento total es
. . . . ... . .... . 2 2 .2. ... . .... .2. , 2 ...
, llamando M a su masa total demostrar que también
a)
dy
b)
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205. Una varilla de acero que tiene una sección constante de 300 mm y una longitud de 150 m se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de 20 kN que pende de su extremo inferior. Si la densidad del acero es 7850 kg/m3 y , determinar el alargamiento de la varilla. Indicación: Aplique el resultado del problema 204.
E 200 x 103 MN/m2 300 0.0003 150 2020102040.82 7850/ 20010/ 20010/ 0.00037850150 353.25 . . 2 7850 9. 8 150 220010 0.004327 4.33 . .2. 259.8150 20.353.000320010 0.004327 4.33 .
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207. Una llanta de acero, de 10 mm de espesor, 80 mm de ancho y de 1500 mm de diámetro interior, se calienta y luego se monta sobre una rueda de acero de 1500.5 mm de diámetro. Si el coeficiente de fricción estática es 0.30, ¿qué par se requiere para girar la llanta con respecto a la rueda? Desprecie la deformación de la rueda y use E = 200 GPa,
: 100.01 800.08 15001.5 1500.51.5005 0.30 ? :
20010/
209. Una barra de aluminio de sección constante de 160 mm 2 soporta unas fuerzas axiales aplicadas en los puntos indicados en la figura. Si E= 70GPa. Determinar el alargamiento o acortamiento total de barra.
0. 1. 0.6 1010 8 510 0 3510 160107010 160107010 160107010 7.147104.46100.001875 0.001607 1.61 15 KN 0KN
30 KN 35 KN
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15 KN PAl
10KN
PAl
35 KN
210. Un tubo de aluminio está unido a una varilla de acero y a otra de bronce, tal como se indica en la figura P-210, y soporta unas fuerzas axiales en las posiciones señaladas. Determinar el valor de P con las siguientes condiciones: La deformación total no ha de exceder de 2 mm, ni las tensiones han de sobrepasar 140MPa en el acero, 80MPa en el aluminio ni 120MPa en el bronce. Se supone que el conjunto está convenientemente aislado para evitar el pandeo y que los módulos de elasticidad son para el acero, para el aluminio y para el bronce.
7010
8310
ALUMINIO BRONCE A=450 mm²
3P
3P
ACERO
A=600 mm² P
4P
2P
A=300 mm²
P PA
20010
PAL
2P
210 6 6001021.7010 0 3001020.20010 8 210 4501030.8310 37.1.855 242 1.606 210 4.82104.76102.6710210 0.691210
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2.89410 28.94 228.94 30010 192933.33/ 192.933 . 140 . í 140 300102 0.021 21 80 600102 24 120 450103 18 á 18 .
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211. Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente rígidas están articuladas en A y en D y separadas en C mediante un rodillo, como indica la figura P-211. En B, una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50 kN. Determinar el desplazamiento vertical del rodillo situado en C. 50 KN
A
B
D C
20010/ 300 3 ∑ 0 3254.50 37.5
T
25 KN
50 KN
C D
0 502 4 0 25 A
B
A
RC
C
y
C'
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3 3001037.520010 0.001875 ∆ 4.5 0.001875 3 30.0084375 0.002812 2.81 . 212. Un bloque prismático de concreto de masa M ha de ser suspendido de dos varillas cuyos extremos inferiores están al mismo nivel, tal como se indica en la figura P-212. Determinar la relación de las secciones de las varillas, de manera que el bloque no se desnivele.
.. .. 25 3 35 6 200 70 0.0 06 5. 1 410 0.006 . 5.1410. 8.57 8.57 .
ALUMINIO E=70 GPa L = 6m
ACERO E=200 GPa L = 3m
masa=M
TA
TAL
W
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213. La barra rígida AB, sujeta a dos varillas verticales como se muestra en la figura P-213, está en posición horizontal antes de aplicar la carga P. Si , determine el movimiento vertical de la barra.
50
ALUMINIO E=70 GPa L = 4m A=500 mm²
ACERO E=200 GPa L = 3m A=300 mm²
A
B
P
∑ 0 5 502 0 20 0 503 5 0 30
TA
TAL
50 KN
30 KN
20 KN
50 KN
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.. 30010300003 210/ 0.00151.5 .. 50010200004 710/ 2.286102.2 9 . 2.291.5 . 0.79 . 215. Una varilla de longitud L y sección circular tiene un diámetro que varía linealmente desde D en un extremo hasta d en el otro. Determinar el alargamiento que le producirá una fuer za P de tensión.
2 . 2 2 1
δ
P
4 4 . 4 4 24
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4 1 4 1 4 1 1 4 2 4 4 4 4 . 216. Una varilla de longitud L y sección recta constante, situada en un plano horizontal experimenta una rotación alrededor de un eje vertical que pasa por uno de sus extremos llamado a la densidad y a la velocidad angular. Demostrar
que el alargamiento total de la varilla viene dado por W dx
. 25
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2 2 . 2 .. . . . 2 . 2 2 2 6 2 6 3 ... 217. Dos varillas de aluminio AB y BC articuladas en A y C a soportes rígidos, como indica la figura P-217, están unidas en B mediante un pasador y soportan la carga P = 20 kN. Si las varillas tienen una sección de 400 mm 2 y E = 70 x 10 3 MN/m2, determinar las deformaciones totales de cada una y el desplazamiento horizontal y vertical del punto B. Considérese α = 30 y β = 30°. ˚
A
0 30 3020 0.5 0.5 20 1
L=3m
α
B θ
L=2 m P
C
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0 30 300 0.87 0.87 2 0.5 0.5 20 0.87 0.87 0.87 0.5 1 ^ 2 0.435 0.4350.5 17.4 0.435 0.435 0 0.87 17.4 20 20 40010202000 7010 1.43 , 0.80.720 87 20 400102030007010 2.14 , 3060 1.2380.5 27
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3060 1.8530.5 1.2380.51.8530.5 0.50.53.091 3 3060 0.7150.87 3060 1.070.87 0.7150.871.070.87 0.870.870.355 4 3 ^ 4 0.50.53.091 0.87 0.870.870.355 0.5 0.4350.4352.689 0.4350.4350.178 0.872.857 3.295 2.885 0.4095 3.579 28
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ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS O HIPERSTÁTICOS 232. Una barra de acero de 50 mm de diámetro y 2 m de longitud se envuelve con un cascarón de hierro fundido de 5 mm de espesor. Calcular la fuerza de compresión que es preciso aplicar para producir un acortamiento de 1 mm en la longitud de 2 m de la barra compuesta. Para el acero, E = 200 x 10 9 N/m 2, y para el hierro fundido, E = 100 x 10 9 N/m2.
. 0.025 2 0.005 20010/ 10010/ ∆1 0.001 0.03 0.025 8639410 0.0520.005 0.06 2 10010 2 20010 110 210 2 0.025220010
m 5 0 . 0
P
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5.0910 2 8.6391010010 2.31510 0.0015.0910 196463.65 0.0012.31510 43196.54 196463.6543196.54 240 233. Una columna de concreto armado de 250 mm de diámetro se diseña para soportar una fuerza axial de compresión de 400kN. Si el esfuerzo admisible en el concreto es de 6MPa y en el acero de 120 MPa, determinar la sección de refuerzo de acero que se necesitará. Ec = 14GPa y Ea = 200 GPa.
0.125 0.125 1410 20010 0.07 0.0712010 8.410/ 8.46 ,
30
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610 0.07 85.7110 / 85.71/ 40010 6100.125 85.7110 40010 294527.31610 85.7110 105475.6970710000 1.323210 1323 234. Una columna de madera de sección 250 x 250 mm se refuerza mediante placas de acero de 250 mm de ancho y espesor t, en sus cuatro caras laterales. Determinar el espesor de las placas de manera que el conjunto pueda soportar una carga axial de 1200kN sin que se excedan los esfuerzos admisibles de 8 MN/m 2 en la madera y de 140 MN/m2 en el acero. Los módulos elásticos son Em = 10 x 10 3 MN/m2 y Ea = 200 x 10 3 MN/m2
800 14010 800 175000 / 4 4 4 410 510 800 800810 640010/
1200 KN
t
t
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6400 140, 4 120010 4 120010 175100.250.254140100.25 120010 10937.514010 1189062.514010 8.493310 8.4933 235. Un bloque completamente rígido de masa M se apoya en tres varillas situadas en un mismo plano, como indica la figura P-235. Las varillas de cobre tienen una sección de 900 mm 2, E = 120GPa, y esfuerzo admisible de 70MPa. La varilla de acero tiene una sección de 1200mm 2 , E = 200GPa, y el esfuerzo admisible es 140MPa. Calcular el máximo valor de M.
∑ 0 2 20010 0.24 12010 0.16 1.210 1.3310 1.1110 1.117010 77700000 / 77.7 / 2
M
Cobre 160 mm
Acero 240mm
Cobre 160 mm
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2 77.710120010 2701090010 9.81 22348.62 22.35 237. Los extremos inferiores de las barras de la figura P-237 están en el mismo nivel antes de colgar de ellas un bloque rígido de masa 18Mg. Las barras de acero tienen una sección de 600mm 2 y E = 200 GN/m2. La barra de bronce tiene una sección de 900 mm 2 y E = 83 GN/m 2. Determinar el esfuerzo en las tres barras.
∑ 0 2 0 2 18109.81 2 17580 1 1. 6 6001020010 900108310 8.3310 2.1410 2.57 2 17580 73910.53 28753.96 73910.53 60010 123.1810/
o r m e 1 c = A L
e m c 6 . n 1 o r = B L
o r m e 1 c = A L
18 Mg
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28758.96 90010 31.910/ 238. La plataforma rígida de la figura P-238 tiene masa despreciable y descansa sobre dos barras de aluminio, cada una de 250.00 mm de longitud. La barra central es de acero y tiene una longitud de 249.90 mm. Calcule el esfuerzo en la barra de acero una vez que la carga central P de 400kN se haya aplicado. Cada barra de aluminio tiene un área de 120 mm 2 y un módulo E de 70GPa. La barra de acero tiene un área de 2400 mm 2 y un módulo E de 200GPa.
120 70 240 200 0.0001 0.0001 0.25 0.20010 2499 0.0001 7010 3.57101.25100.0001 3. 5 710 1.25100. 0001 2.858 8010 40010 2.856 8010 40010 120102.856 8010240010 40010 12010 0.00685 192000 5920000.00697 84935437.59 / O I N I M U L A
P
O R E C A
O I N I M U L A
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8510 / 85 2.858 8010 2.85885108010 162.7610 / 162.76 240. Como indica la figura P-240, tres alambres de acero de 30 mm 2 de sección cada uno soportan una carga de masa M. Las longitudes iniciales de los alambres son 19.994 m, 19.997 m y 20.000 m. (a) ¿Cuál es el esfuerzo en el alambre más largo, si M = 600 kg? (b) Si M = 200 kg, determinar el esfuerzo en el alambre más corto. Emplee
200/
300 19.994 19.997 20.000 600 9.81 5886 9 94 3010588619. 20010 0.01961 19.61
1
2
3
M
35
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
241. El conjunto de la figura P-241 consiste de una barra rígida AB, de masa despreciable, articulada en O mediante un perno y fija a las varillas de aluminio y de acero. En la configuración mostrada, la barra AB está en posición horizontal y hay un claro A= 4 mm entre la punta inferior de la varilla de aluminio y su articulación en D. Calcule el esfuerzo en la varilla de acero cuando la punta inferior de la varilla de aluminio se articuló en el apoyo D.
A
B 0 Aluminio (Al) A=400 mm² E=70 GPa
Acero (a) A=300 mm² E=200 GPa L= 1.5 m
C
D
?=
4 mm
0 0.6 1.2 0 2 1 ∆ ∆ 0.6 ∆1.2 2 ∆ 2 410 410 2 2 1 2 410 22 36
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2 496 3001021.20010 410 900101.7010 5 800001.068 2 3.068 80000 26075.6 26.1 2 52.2 52.2 30010 174000 / 174 242. Una varilla homogénea de sección constante se empotra en sus extremos en soportes indeformables . Soporta una carga axial P aplicada, como indica la y figura P-242. Demostrar que las reacciones vienen dadas por . Obsérvese que estas reacciones son análogas a las de una viga simplemente apoyada con una carga concentrada transversal aplicada en el mismo punto.
/
/
∑ 0 ∆∆
P R1
R2
37
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.
38
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244. La barra representada en la figura P-244 está firmemente empotrada en sus extremos. Determinar los esfuerzos en cada material cuando se aplica la fuerza axial P = 200 kN
P
A c e r o (a ) A = 1 20 0 m m ² E=200 GPa
A l u m i n io ( A l ) A = 9 00 m m ² E=70 GPa
0. 0. 3 2 12001020010 9001070010 1.2510 3.1710 2.336 0 2.586 200 200 3.536 56.561 56.561 90010 62.8 / 2.586 200 143.44 143.44 120010 120 /
Ta
Pa
Pa
P
PAL
39
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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246. Una varilla está formada de tres partes distintas, como indica la figura P-246, y soporta unas tuerzas axiales P 1 = 120kN y P 2 = 50kN. Determinar los esfuerzos en cada material si los extremos están firmemente empotrados en unos nudos rígidos e indeformables.
600 mm
400 mm P2
P1 Bronce A=2400 mm² E=87 GPa
0 0 120 120 120 0 12050 170 170 0
300 mm
Aluminio A=1200 mm² E=70 GPa
PB
R
PB
P1
R
R
Acero A=600 mm² E=200 GPa
P1
P2
PA
40
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0 0. 6 12010 0. 4 17010 0. 3 2400108310 1200107010 6001020010 0 3.0110 4.7610 5.7110 2510 4.2510 0 1.02710 9.9610 96981 96981..5 97 170 97170 73 73 6001073 1220 12200000 / / 122 / 251. Según se muestra en la figura P-251 una viga rígida de masa despreciable está articulada en O y sujeta mediante dos varillas de diferentes longitudes; pero por lo demás idé idénti nticas cas.. Determine la carga en cada varilla si P=30kN
2 3.5 ..1.5 ..2 0.75 0.571 0.76
O P
L-1.5 m
L-2m
A B
41
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0 302 2 3.5 0 600.762 3.5 0 601.52 3.5 0 60 5.02 11.11.95 0.76 0.7611.95 9.0808 252. Una viga rígida de masa despreciable está articulada en un extremo y suspendida de dos varillas. La viga está inicialmente en posición horizontal y en seguid seg uidaa se apl aplica ica la carga car ga P. Calcule Cal cule el movim movimien iento to verti vertical cal de de la ccarg arga a si P = 120kN. 120kN.
Acero A=600 mm² E=200 GPa L=4 m
3m
Aluminio A=900 mm² E=70 GPa L=3 m
2m
1m P
4 6001020010 3.3310 3 100107010 4.7610 42
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3 6 13 3.3310 16 4.7610 11110 7.9310 0.714714 0 3 1205 6 0 0.714 3 6000006 0 2.142 6000006 0 7369 73691.1.97 0.714714 0.714 73691. 73691.97 5261 526166 6 5 56 56 5 4. 7 610 673691.97 2.9210 2.9292 43
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
253. Una barra rígida, de masa despreciable, está articulada en un extremo y suspendida de una varilla de acero y una de bronce, según se muestra en la figura P-253. ¿Cuánto vale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de 120 MN/m 2 mínimo en el bronce de 70 MN/m 2?
0 2 5 60 200103 8310 2 1.510 2.4110 1.51 1.617010 112.710 / 120 112. 7 / / 2 5 60 62 5 62 5 62112.710800105701030010 47553.33 47.55 Acero A=900 mm² E=200 GPa L=3 m
2m
Bronce A=300 mm² E=83 GPa L=2 m
3m
1m P
, por tanto el acero no sobrepasará su esfuerzo admisible de sin que el bronce exceda el suyo.
44
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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255. Tres varillas, situadas en un mismo plano, soportan conjuntamente una fuerza de 10kN como se indica en la figura P-255. Suponiendo que antes de aplicar la carga ninguna de las tres estaba ni floja ni tensa, determinar las tensiones que aparecen en cada una. Para el acero, Ea = 200 x 10 9 N /m2, y para el bronce. Eb = 83 x 109 N /m2,
Acero L=3m Bronce
Bronce
10 kN
cos30° 3 3.46
h
3m
TA
TB
0 23010 á 0.87 0.87 3.8310 46 0.87 20010 3 4.1710 1.5100.87 0.313
TB
10 kN
δA
δB
45
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20.313 cos3010000 1.544 10000 6476.68 6.48 0.313 0.3136.48 2.03 256. Tres barras AB, AC y AD se articulan en A para soportar juntas un carga P= 20kN, como se indica en la figura P-256. El desplazamiento horizontal del punto A está impedido por una corta varilla horizontal AE que se supone infinitamente rígida. Determinar los esfuerzos en cada barra y la fuerza total en AE . Para la barra de acero, A = 200 m 2 y E = 200 GPa, y para cada una de las barras de aluminio, A 400 mm 2 y E = 70 GPa. C
B
D Acero L=3 m
Aluminio Aluminio
E P
cos45 cos30 cos45 cos30 3 1 3. 4 6 1 4. 2 4 . . 2001020010 cos30 400107010 cos45 400107010 7510 1.4210 2.1310
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1. 4 210 7510 1.89 1. 4 210 2.1310 0.66 ESFUERZOS DE ORIGEN TÉRMICO 261. Una varilla de acero de 150 mm 2 de sección está sujeta en sus extremos a dos puntos fijos, estando estirada con una fuerza total de 5000 N a 20º C. Calcular el esfuerzo de la varilla a -20ºC ¿A qué temperatura se anulará el esfuerzo? y 9 2 E = 200 x 10 N/m .
11.7/°c Acero A=150 mm² P=5000 N atº=20ºC
δT
∆ 20010 150105000 20010 11.71040 5101.66610 0.000468 5100.0006346 126.9210 / 127 / 01.66610 11.710∆ 1. 6 6610 ∆ 11.710 ∆14.24
δP1
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20 14.24 34.24 264. Una llanta de acero de 10 mm de espesor y 75 mm de ancho se coloca sobre una rueda motriz de locomotora, de 1.8 m de diámetro, calentándola a 90°C, temperatura a la cual encaja perfectamente sobre la rueda, que está a 20°C. Determinar la presión de contacto entre ambas ruedas al descender la temperatura común a 20°C. Despreciar la deformación de la rueda producida por la presión de contacto y E = 200 x 10 3 N/m2 .
11.7/°c
0.0750.01 0.00075 0.9 2.545 0.90.010.075 0.06825 ∆ 11.71020.990 5.9510 ∆ 11.71020.950 3.3110 654 3.3110 5.9510 7.5105.20010 0.002643.7710
Ac ero
m 0. 0 75
m 8 . 1
Rueda
A c e r o δTA δPA
48
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70026.53 5 3 70026. 0.06825 1026029.67 / . 1026029.67 0.90.7001 9 923426.700.91 1014454.62 / 1.015 / 265. Un aro de bronce de 20 mm de espesor cuyo diámetro interior es de 600mm se coloca perfectamente ajustado sobre otro de acero de 15 mm de espesor, a una temperatura común de 130°C. EI ancho, igual para los dos, es de 100 mm. Determinar la presión de contacto entre ambos aros cuando la temperatura descienda hasta 20°C. Despreciar el hecho de que el aro interior pueda abollarse por pandeo. Ea = 200GPa y . Eb= 83GPa y .
19/°c : ∆ 19100.3102110 3.9410 20.310 1.884 1.8843.9410 1.8800
11.7/°c Bronce Ac ero
m 6 . 0 = D D = 0 .5 7 m
0.1 m
t=0.02 m
t=0.015 m
49
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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2 1.8802 0.29921 : ∆ 11.7100.32110 2.42510 20.30 1.884 1.8842.42510 1.881 2 1.8812 0.29945 3.9410 2.42510 0.001515 0.001515 1.884 8310 1.884 0.001515 20010 0.0015156.2810 1.134910 0.0015151.76210 50
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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85981.84 0.210.015 0.0015 0.10.02 0.002 0.10.035 0.0035 8 4 85981. 0.0035 24566240 / . 245652400.30.035 2866061 / 2.87 /
51
U.T.P.L.
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
266. A una temperatura de 20°C se coloca una plancha rígida que tiene una masa de 55 Mg sobre dos varillas de bronce y una de acero, como se indica en la figura P-266. ¿A qué temperatura quedará descargada la varilla de acero? Datos Acero: A = 6000 mm 2, E = 200 x 10 9 N/m2 y Bronce (cada una): A = 6000 mm 2, E = 83 x 10 9 N/m2 y .
11. 7 /°c. 19/°c 55Mg
55109.81/ 539.55
Bronce
Acero
Bronce
∆ 269.7758310 0.25 19100.25∆11.7100.3∆ 60010 0.00000124∆1.35410 ∆109.22 109.22 20 129.22
52
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
∆
267. A una temperatura de 20°C hay un claro = 0.2 mm entre el extremo inferior de la barra de bronce y la losa rígida suspendida de las dos barras de acero, según se muestra en la figura P-267. Despreciando la masa de la losa, determine el esfuerzo en cada barra cuando la temperatura del conjunto se eleva a 100°C. Para la barra de bronce, A = 600 mm 2 , E = 83 x 10 9 N/m2 y . Para cada barra de acero, A = 400 mm 2, E = 200 x 10 9 N/m2 y
18. 9 /°c 11.7/°c.
O R E C A
E C N O R B
O R E C A
800 mm
Δ
∆ 0 ∆ ∆ ∆0 8 6001020.8310 8 0.0002 11.7100.880 400100.20010 18.910 0.880 0 0.00020.0007488110 3.21210 0.00120960 4.21210 0.0002608 6191.83 6.19183 40010 15473.53 / 19183 26.60010 20639.43 /
53
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
268. Un cilindro de aluminio y otro de bronce, perfectamente centrados, se aseguran entre dos placas rígidas que se pueden apresar mediante dos tornillos de acero, como se observa en la figura P-268. A 10°C no existen fuerzas axiales en conjunto del dispositivo. Determinar las tensiones en cada material a 90°C, con los siguientes datos: Aluminio, A = 1200 mm 2 , E = 70 x 10 9 N/m2; y Bronce, A = 1800 mm 2 , E = 83 x 109 N/m2, y Cada tornillo, A = 500 mm 2 , E = 200 x 10 9 N/m2 , y
20 mm
75 mm
ALUMINIO
100 mm
20 mm
BRONCE
20.07010 75 19100.180 23100.07580 120010 1 11.7100.21580 500100.220010 15 18001020.8310 13.810 1.7910 15.210 1.3410 20.12410 2.1510 88.7610 5.2810 16810.61 16811 2 2 33622 54
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
16811 50010 33.62 216811 33622 33622 120010 28.02 / 33622 180010 18.68 / 273. La barra compuesta de figura P-273, está firmemente sujeta a soportes indeformables. Se aplica una fuerza axial P = 200kN a una temperatura de 20°C. Calcular los esfuerzos en cada material a la temperatura de 60°C. para el acero y para el aluminio.
11.7/°c
23.0/°c P
Acero (a) A=1200 mm² E=200 GPa
Aluminio (Al) A=900 mm² E=70 GPa
0 0 200000
Ta
Pa
Pa
P
PAL 55
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
2000002 10010 23100.22011.7100.340 0.2 0.3 10010 900107010 12001020010 0.0001840.00014043.1710 1.2510 5920 / 5.920 / 10010 90010 111111111.1 / 111.111 / 275. Una varilla está formada por los tres segmentos que indica la figura P-275. Si las fuerzas axiales P 1 y P2 son nulas, determinar los esfuerzos en cada material al descender la temperatura 30°C en los casos siguientes: (a) los soportes no se mueven en absoluto, y (b) los soportes ceden 0.300 mm. Para el bronce, para el aluminio y para el acero.
18. 9 /°c 11.7/°c
23.0/°c
800 mm P1 Bronce A=2400 mm² E=83 GPa
500 mm
400 mm
P2 Aluminio A=1200 mm² E=70 GPa
Acero A=600 mm² E=200 GPa
a)
∆∆∆ 56
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0. 8 0. 3 0. 4 120010 2400108310 7010 60010 20010 18.9100.82023100.33011.7100.490 1.33109.3910 70602 70602 240010 29.42 / 70602 120010 58.84 / 70602 60010 117.7 / b)
0.310 1.33109.3910 0.310 1.33106.3910 48045.11 48045.11 240010 20 / 48045.11 120010 40 / 48045.11 60010 80 /
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277. La barra está articulada mediante un perno en O y conectada a dos varillas según se muestra en la figura P-277. Si la barra AB se mantiene en posición horizontal a determinada temperatura, calcule la relación de áreas de las varillas para que la barra AB se mantenga horizontal a cualquier temperatura. Desprecie la masa de la barra AB.
A
B 0
Aluminio E=70 GPa L=8 m
23.0/°c 11.7/°c ∆ ∆ 0 2310∆ 7010 1610090.5∆ 2340000 ∆ 0 3 4 0 43 34 2340000∆ 31210∆
Acero E=200 GPa L= 8 m
Aluminio Acero.
58
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31210∆ 1610090.5∆ 0.516 278. Una barra rígida horizontal de masa despreciable está conectada a dos varillas según se muestra en la figura P-278. Si el sistema está originalmente libre de esfuerzos, determine el cambio de temperatura que causará un esfuerzo de tensión de 60MPa en la varilla de acero.
18.9/°c 11.7/°c 2 5 0 250 52 2.5 2 5 12 18.9102∆ 1200102.528310 15 1.7103∆ 90010320010 1.8910∆2.5110 7.0210∆3.3310 11.8810∆2.1810 601090010 54000 11.8810∆0.0011772 ∆99 Bronce
Acero.
2m
Acero A=900 mm² E=200 GPa L=3 m
3m
Bronce A=1200 mm² E=83 GPa L=2 m
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SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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279. Para el conjunto mostrado en la figura P-279, determine el esfuerzo en cada una de las dos varillas verticales si la temperatura se eleva 40°C después que se aplica la carga P = 50 kN, Desprecie la deformación y la masa de la barra horizontal AB.
Alnuminio A=900 mm² E=70 GPa
3m
Acero A=600 mm² E=200 GPa 3m
4m
3m
3m 50 kN
23.0/°c 11.7/°c 0 3 6 50109 15010 2 1 6 3 2 2 4 6001020010 11.7310440 2900107010 2310 340 3.3310 178710 9.5210 5.5210 3.3310 9.5210 3.6510 3 1 3 3.3310 9.521015010 23.6510 Aluminio Acero.
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SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
2.23810 17.9510 80206 ó 10412 ó : 10412 90010 11.56 / 80206 60010 134 /
61
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULA R DE LOJA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL CAPÍTULO III TORSIÓN
304. Calcular el mínimo diámetro de un árbol de acero que, sometido a un momento torsionante de 14 , no debe experimentar una deformación angular superior a en una longitud de 6 m. ¿Cuál es entonces el esfuerzo cortante máximo que aparecerá en él? Use
. 83 / .. .. 1410 3 3180 8310 1.93210 . 32 1.93210 32/ 0.118 118 . 0.1218 1410 1.93210 43/
3°
62
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
305. En un árbol macizo de 5m de longitud, en el que el árbol total de torsión es de 4º, el esfuerzo cortante máximo es de 60 MPa. Si G= 83GPa, calcular su diámetro. ¿Qué pòtencia podrá transmitir a 20r/s?
. 6010 . 6010 . 6010 1 2 . 2 . 0.0130220 1.64 .. .. 8310 4 180 5 1158898623 . 1158.90 . 2 12 6010 1158.90 601158.90 5.17710 5.177 103.54 63
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
306. Hallar la longitud de una varilla de bronce de 2 mm de diámetro para que pueda torcerse dos vueltas completas sin sobrepasar el esfuerzo cortante admisible de . Use
70
35 . 40.0202 3510 7010 6.28310 6.283
308. Demostrar que un árbol hueco de sección, circular, cuyo diámetro interior sea la mitad del exterior, tiene una resistencia a la torsión que es igual a macizo del mismo diámetro exterior.
Á : 16 16 5.093 Á : 16 16 2 161616 1616 15 5.432
de la que tiene un árbol
64
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ó: 5.5.403293 1.0665 1615 1615 ... 311. Un árbol de transmisión de acero corista de una parte hueca de 2 m de longitud y diámetros de 100 mm y 70 mm, y otra parte maciza de 70 mm de diámetro y 1.5 ni de longitud. Determinar el máximo momento torsionante que puede soportar sin que el esfuerzo sobrepase el valor de , ni el ángulo total de torsión supere el valor de 2.5° en la longitud total de 3.5 m, Use .
70 / 83 /
2.1805 2 1.5 5 3.4910 7.461028310 2.357101.8310 83 10 / 3010 23./ 1591.55 . 1510 23./
313. El árbol de la figura P‐313 gira a 3 r/ s absorbiendo 30 kW en A y 15 kW en B de los 45 kW aplicados en C. Si , calcular el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de torsión de la rueda A respecto de la rueda C. (Material acero.)
65
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795.77 ./ 4510 23./ 2387.32 ./ 0. 0 5 32 6.1410 0. 0 75 32 3.1110 . 1591.6.1541050.025 64.80 . 20.0375 2387.3.13110 28.80 / 314. Un árbol de acero se encuentra cargado según se muestra en la figura P‐314. Usando un módulo , calcule el diámetro requerido del árbol si el esfuerzo cortante está limitado a y el ángulo de rotación en el extremo libre no debe exceder de 4°.
60083/ /
1804 6.9810 . 1000500 500 . 66
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500 . 1000 . 500 5005001000 .. 2 1000 3 6.9810 325008310 32 8310 6.9810 1.2310 3.6810 6.9810 4.9110 7.0343810 5.1510 51.5 16 6010 16500 188495559.2 8000 4.244 0.03488 34.88
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315. A un eje de sección constante y 5m de longitud que gira a 2 r/s se le aplican 70 kW a través de un engrane situado a 2 m del extremo izquierdo, en donde se absorben 20 kW Em el extremo derecho se utilizan 30 kW y a 1.5m de éste, los otros 20 kW. (a) Dimensionar el árbol si el esfuerzo cortante no ha de exceder 60 MN/m2. (b) Si el eje tiene un diámetro de 100mm, determinar el ángulo total de torsión de un extremo al otro. Use
83 / 2 70 20 30 20 6010 / 2 32 2702 5. 5 7 2502 3.98 . 2202 1.59 . 2230 2.39 . 2202 1.59 . 16 6010 165.5 7 6010 89.12 4.7310
68
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7.7910 47.9 16 16 6010 163.9 8 188495.55 63.68 3.378310 6.96410 69.64 .. 0.321 8310 3.985 9.82108310 19.90 0.81519.90 24.42180 0.426°
69
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316. Un eje de acero de 3 m de longitud tiene un diámetro que varía uniformemente desde 60 mm en un extremo hasta 30mm en el otro. Suponiendo que es válida la ecuación (3‐1) en cada elemento diferencial de longitud sin error apreciable, determinar el ángulo total de torsión si transmite un par torsor de 170 N.m. Use
8310 /
0.015 3 0.005 0.0320.005 0.030.01 0. 0 30. 0 1 32 0.030.01 310 110 103 .01. 32 0.030. 1017032 38310 2.093 2. 0 9 3 2.309 3 2.309 33 3 0.02257 180 1.29°
70
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317. Un árbol hueco de bronce de 75 mm de diámetro exterior y 50 mm interior tiene dentro un eje de acero de 50 mm de diámetro y de la misma longitud, estando ambos materiales firmemente unidos en los extremos del eje. Determinar el máximo esfuerzo en cada material cuando se somete el conjunto a un par torsor de 3 kN.m. para el bronce y para el acero.
83 / .. 32 0. 0 5 32 6.1410 32 0. 0 75 0. 0 5 32 2.4910 1 . . 6.14108310 2.49103510 1.96210 1.14710 0.585 2 2 1 310 0.585 310 1.585 1892.74 . 16
35 /
71
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2 6 161107. 0.05 45113831 / 45.11 / 310 1892.74 1107.26 . 16 . 160.1892.075740.0.00575 28474030 / 28.5 / 318. Un árbol compuesto está construido con tres materiales diferentes y sujeto a dos pares aplicados según se ilustra en la figura P‐318. (a) Calcule el máximo esfuerzo cortante desarrollado en cada material. (b) Calcule el ángulo de rotación del extremo libre del árbol. Use los siguientes valores:
28 /; 83 /; 35 /
0. 1 32 9.8210 32 0. 0 75 32 3.1110 1 72
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2 410 1.510 . 16 161. 5 10 0.075 18108396 / 18.11 / . 16 161. 5 10 0.075 18108396 / 18.11 / . 410 1.510 410 3 5.510 410 1.510 2.510 16 162. 5 10 0.1 12732406 / 12.73 / . 73
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.. 1. 5 10 5 3.11101.3510 2.06710180 1.1843° 1°113.48 319. En el árbol de la figura P‐319, firmemente empotrado en sus extremos, la porción AB tiene 75 mm de diámetro y es de bronce, con y La porción BC es de acero, de 50 mm de diámetro, Si a= 2 m y b= 1.5 m, determinar el par torsor máximo T que puede aplicarse en el punto B de unión de las dos partes.
35 /. 60 / 80 /; 83 /.
∑0 1 .. .. . 1. 5 . 2 6.14108310 3.11103510 2.93410 1.83710 0.624 1 0.624 1.624 1.602 1 1.602 74
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2.602 32 0.32075 3.106310 0. 0 5 32 32 6.1410 . 0. 0 5 2 8010 6.1410 1964.8 . 1.96410 . . 0. 0 5 2 6010 3.1110 4976 . 4.97610 . 1.6244.976 8.08 . 2.6021.964 5.11 . á 6.94 . á . 75
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320. En el problema anterior determinar la relación de longitudes b/a que debe existir para que el acero y el bronce trabajen al máximo esfuerzo posible. ¿Qué par torsor T es necesario para ello?
.. .. . . 6.14108310 3.11103510 1.96210.9.18610. .. .. 0.46819 1 . 80100.6.0251410 1964.8 . 3. 6010 1 110 0.0375 4976 . 1: 1964. 49768 . 1964. 49768 . 0.46819 1.19 1.964 . 4.976 . 6.94 .
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321. Un árbol compuesto, que consta de un segmento de aluminio y uno de acero, está some‐ tido a dos momentos de torsión como se muestra en la figura P‐321. Calcule el máximo valor admisible de T de acuerdo con las siguientes condiciones: y el ángulo de rotación del extremo libre, limitado a 12 . Use los valores .
83 ; 28 0. 0 75 32 32 3.1110 . 6.1410 10485.95 . 1 2 2 .. 5 6.14102.1.8310 12180 5.8910 3556.52 . 3 3556.522 1778.26 . 16 2 6 161778. 0.075 21.47 70
100 ; 70 , ˚
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16 7010 0.16075 5798.45 . 16 100100.05 16 2454.375 . 2 3 310485.95 . 3495.32 . 3 2 163495. 0.075 42.2 70 322. Un par torsor T se aplica, como indica la figura P ‐ 322, a un árbol macizo con extremos empotrados. Demostrar que los momentos torsionantes en los empotramientos son ¿Variarían estos valores si el árbol fuera hueco?
/ /
.. .. .. . . 78
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. ... . . . .... . ... . . . .... 324. Un árbol se compone de tres porciones AC, CD y DB soldadas entre sí y el conjunto firmemente empotrado en sus extremos y cargado como indica la figura P ‐ 324. Para el acero ; para el aluminio G= 28 GN/m2; y para el bronce . Determinar la tensión cortante máxima en cada material.
83 / 35 / ∑0 300700 1 300 2
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0. 0 25 32 32 3.8310 32 0.3205 6.1410 0. 0 25 32 32 3.8310 0 .. .. .. 0 . 2 10001 3001. 5 3.83108310 3.83103510 6.14102810 0 6.2910 0.745997.4610 0.026178.72510 0 0.00146225 0.77216 5281000 472 . . 0 125 4720. 3.8310 15610 / 528 . . 0 125 5280. 3.8310 17210 / 528300 80
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228 . . 0.025 2286.1410 9.310 / 338. Un tubo de 3mm de espesor, tiene una forma elíptica. Hallar el momento torsionante que producirá en el esfuerzo cortante de 60 MN/m2
.4. 0.150.4 075 8.8410 . 2 . 601028.8410310 3.182 .
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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULA R DE LOJA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL CAPÍTULO IV FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE EN VIGAS
Escribir las distribuciones de momentos flexionantes y fuerza cortante en las vigas de los problemas siguientes. Trazar también sus diagramas, marcando los valores en todos los puntos de discontinuidad, y en los de fuerza cortante nula, despreciar el peso propio de las vigas. 403. La viga cargada como se indica en la figura.
0 6 502 207 0 40 0 504 6 201 0 30 0 40305020 7070 30 30 3050 20 82
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30502 3050100 10020 305040 20 30502406 305010040240 20140 : : 10020 5
83
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406. La viga cargada como se indica en la figura.
0 2021202204240240 4040160804 40 0 40220212023420252060 80401204 2001200 140 84
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0 2040206 140402040120 180180 2020 20202 2010 2020140 20120 202201402 10 20140280 10 120280 140204020 8020 202201402404 10 2014028040160 10 80120 X 0 AB 2 2 BC 4 4 CD 6
V ‐20 ‐60 80 40 0 ‐40
M 0 ‐80 ‐80 40 40 0
85
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410. Ménsula cargada con la carga triangular que indica la figura.
2 . 2 2 .. 6 . 2 2 86
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413. Viga con la carga indicada en la figura.
∑ 0 255 504.5 0 40 0 5 25301.5 2010 5 254520 10
10 01 10 10 12 1025 10102 25 101020 3010 1025102 12 2 87
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1025522 102552 52 1025 1040102 57 501020 7010 1025405 102 12 2 10254020052 52 50270 : 30100 3 52 1025 532 10325 583025 0 303 10 1 3010 03010 3010 1
X 0 1 1 2 2 5 5 7
V 10 10 10 10 10 ‐20 20 0
M 0 10 ‐15 ‐5 ‐5 ‐30 ‐20 0
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418. Voladizo o ménsula cargada como indica la figura.
0 605240 20. 0 2060523 0 10 0 52 10 10010 10100 0 1020.5 10 10102 30 306030 3010120 20200
89
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419. Viga cargada como indica la figura.
0 30 0 2030.52335 605 12 3012 18
03 203 6.67 18 2 18 6.627. 183.33 90
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18 2 3 18 .. 181.11 35 18 2032 12 1830 23 3 183060 6012 á: 183.33 183.33 2.32 181.11 182.321.112.32 27.89 . X V AB 0 18 3 ‐12 BC 3 ‐12 5 ‐12
M 0 24 24 0
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420. Una carga distribuida con un total de 60 kN, soportada por una reacción uniforme como indica la figura.
7.5 7.5. 2 3.75 157. 5 2 151 7.522 151 3.752 )
15307. 5 6 157.56 1513.752 )
)
X 0 2 4
V 0 15 0
M 0 15 30
92
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422. Determinar las distribuciones de V y M en el arco semicircular de la figura, si (a) la fuerza P es vertical como se indica, y (b) si es horizontal y hacia la izquierda, pero aplicada en el mismo punto.
cos90 2 senθ 0θ90 2 x cosθ cosθ 1 2 1 93
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cos90 / cos180 cos180 cos180 cos 2 senθ 2 2 2 2 2 1
V 0 0 22.5 0.19 45 0.35 67.5 10.46 90 0.5 90 ‐0.5 112.5 ‐0.46 135 ‐0.35 157.5 ‐0.19 180 0
M 0 0.038 0.146 0.309 0.500 0.500 0.309 0.146 0.033 0
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Sin escribir la ecuaciones de momento flexionante y fuerza cortante, trazar los diagramas correspondientes a las vigas de los problemas siguientes. Dar los valores numéricos en todos los puntos de discontinuidad y en los de fuerza cortante nula. 429. Viga cargada como indica la figura.
: 0 2026 5 204 1042 1021 0 5 240808020 76 95
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0 202 106 7620 0 44 á : . 0 . 202 40 . 2027636 . 2027636 . 202 762016 . 202 7620104 24 . 244420 . 20102 0 ∆Á : ∆ 0 ∆0202 40 202 7636 ∆36036 ∆362016 ∆10 10424 ∆244420 ∆20102 0 96
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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á : ∆Á 0 ∆04020.5 40 ∆403614 ∆4161.60.5 8.8 ∆8. 8 242.40.520 ∆202020.5 0 16 424 641624 6440 1.60 24 2.4 10 8. 8 0. 2 0 8.810. 2 1.33 á 8.80 4.6
97
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431. Viga cargada y apoyada como indica la figura.
0 7 1073.5 505 2042 1031.5 4030 7 245250160451200 70 0 5021073.5204571038.540100 1002454007 2554000 200 98
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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0 70200501010 204 40 270270 7010 02 70102 705 705010 23 2010 70102502 705 50100 5 20100 705010203 37 7050102060 8030 70502102203 32 70501005 10 303090 15 8010 705010204 200 710 14010 2 1022045 70502007 5 140900 99
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
X AB 0 2 BC 2 3 CD 3 7 DE 7 10
V 70 50 0 ‐10 ‐10 ‐130 70 40
U.T.P.L.
M 0 120 120 115 115 ‐165 ‐165 0
434. Viga cargada como se muestra en la figura.
∑ 0 301 2031.5 605 0 24 0 306 5 2033.5 600 66 0 662430203 9090 30 01 30 3066201 14 362020 2056 30661 201 12 306666101
100
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101 3666 3066203 45 24 30661 2032.5 30666660150 2484 24 30661602. 560 24144 á 36 . X V AB 0 ‐30 1 ‐30 BC 1 36 4 ‐24 CD 4 ‐24 5 ‐24 DE 5 ‐24 6 ‐24
M 0 ‐30 ‐30 ‐12 ‐12 ‐36 24 0
101
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435. Viga cargada como indica la figura.
0 2040104 100 0 4021102120240350 5 40120 32 102
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
0 1045 5 203 402 1610.5 1610.50 20060805 68 : ∆Á 0 ∆0102 20 ∆206848 ∆48 10228 ∆28208 ∆808 ∆8 40 32 ∆321620 0 : ∆Á 0 ∆0 0.5202 20 ∆20 487282 256 ∆568164 ∆64 321 32 ∆32 3220.5 0 á 64 . 103
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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436. Viga en voladizo cargada como indica la figura.
0 2021 103 205 0 4030100 30 . 0 1010.5 109 2024 5 300 20160305 1505 30 104
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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0 2010202 0 30 : 0 0102 20 20020 201010 10010 10202 30 30300 : 0 00. 5202 20 20201 40 4010150 500. 5100.552.5 52.50.5301.5 30 á 52.5 . 402 10 0.5 105
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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439. Una viga apoyada en tres puntos como se muestra en la figura consiste en dos segmentos unidos en un perno liso en el que el momento flexionante es nulo.
0 . 404080 . 160 0 4 5 402 2021 0 4 5 120 1 0 5 403 1 2024 0 5 280 2 106
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
0 5 2043 0 48 0 2042 5 0 32 4 5 120 1 120532 4 70 5 280 2 18070 5 42 160 427048160 160 160 : ∆Á
0 ∆04242 ∆422202 ∆24038
107
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
∆38038 ∆387032 ∆32032 ∆32420 048 ∆48480 : ∆Á 0 02422244 44 382 32 3232232 32 3221.6 57.6 57.6 4822.4 0 á 57.6 . 1.6 32 448 1284832 1.6
108
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
440. Un marco ABCD, con esquinas rígidas en B y C, sostiene la carga concentrada P como se muestra en la figura
0 0 2 0 0 109
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
2 0 0 2 0 2 2 2 2
110
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
444. Viga cargada como indica la figura.
0 12 2 12 2 2 0 12 2 2 23 2 12 2 13 2 4 56 4 6 14 4 111
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
2 4 4 : ∆Á 0 ∆0 14 4 ∆ 4 12 2 0 0 ∆0 12 2 14 ∆ 4 4 0 : ∆Á 0 1 4 2 0 1 0 21 24 24 24 0 á 24
112
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
445. Viga cargada como indica la figura.
180 100 180402 402 100402 1802 4022 1402 2 2 1802 801 202 40 402 20 113
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
803 26.67 26.672 13.33 26.6723 4.44 18040426.675 12 2013.335 1802 14042 3 5 26.6725 2024.445 á 80.
114
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
447. Viga cargada como indica la figura.
0 6030.523320455 207 0 144 0 6030.5 1332202120215 202 0 46 115
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
∑ 0 461446030.520420 190190 603 20 2 46 20 2 46 10 46 30 46 2 3 46 206 466030.5 203 46902060 2016 46902203 32 4690180103 4690144202205 6020100 20160 4690214452024 205 52 116
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
469018014472040160105 105 60380 á 80. 461.75 46131.75 53.67 . 4636030.5133 48 . X AB 0 3 BC 3 5 CD 5 7
V 46 ‐44 ‐44 ‐84 60 20
M 0 48 48 ‐80 ‐80 0
117
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
448. Viga cargada como indica la figura.
FIGURA
Σ
.
ÁREA 20
0.5
10
90
3
270
60
2.5
150
170
430
170 2.53 118
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
0 5 1702.53 86 0 1702.47 5 84 0 170 8486170 170170 : ∆Á
0 84 84 201 64 64064 642030.560386 86860 642010.56.67140.66 : ∆Á 0 0.58464174 119
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
7463.53137.53 137.5346.235.8885.42 85.428610.58 á 137.53 803 26.67 26.67 803 1 603 20 0.51.07586 46.23 0.20586 2 5.88 64 20200.5 64 2010 640 5 10320 120
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
1.72 29.63 1.72 16.97 29.6641.720.516.97 63.53 449. Una viga sobre la cual actúa carga triangular de la figura, está sostenida por una reacción distribuida uniforme
121
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
20. 5660 2180 90 / 2 603 40 á :
0 0.5213226.67 6030.51339010.5 45 26.67 0
1 40212 26.67 130 1 30 110 3.33 21 301 11 15 Á 45 . 122
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
450. Viga cargada y apoyada como indica la figura.
204505040. 510.51 1804 36 : 0 ∆03610.518 50 185032 ∆3280364 32 ∆325018 ∆183610.50 123
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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6 232 11 32 32 6 : 0 6 26 6 0 á 26 .
124
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
452. Viga cargada como indica la figura.
FIGURA
Σ
0 634.579 32 0
ÁREA 36
2
27
8
63
. 72
216
288
63 4.57
125
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
9 634.43 31 0 63 313263 6363 : 31 311260.55 51830.5 32 32320 : 0 47.5 47.54.4543 4315271 126 2 31 312 1220.5 312 6 6310 31 126
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
9.32 31122.58 0.75533131 7.7575 312.580.5 40 47.47.75 á 47.5 .. 3.3333
127
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
453. Una carga variable uniformemente está sostenida por dos reacciones uniformemente distribuidas, como se muestra en la figura.
FIGURA 1 2 Σ
ÁREA 5 6 11
..
0.33 1.65 0.66 3.96 5.61
11 . 0.5151 126 1 2 / 126 5 10 / / 0 128
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
4 0.510 1055 13 5 11110.511 0 4 41.675.61 9.0 .. FIGURA 1 2 Σ
ÁREA 5 30 35
1.67 8.35 3.33 99.90 108.25
35 3.09 0 0.521 13 1 4 353.09 0 0.33108.154 27.27.0 0 1260.5 92736 3636
129
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULA R DE LOJA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL CAPÍTULO V ESFUERZOS EN VIGAS
503. Una viga en voladizo, de 60 mm de ancho por 200 mm de canto y 6 m de longitud, soporta una carga que varía uniformemente desde cero en el extremo libre hasta 1000 N/m en el empotramiento. Determinar el valor y el signo del esfuerzo en una fibra situada a 40 mm de l extremo superior de la viga en una sección a 3 m del extremo libre.
0. 0 60. 2 12 12 410 5002 3 13 3 750.
7504100.06 1125000 / 505. Una sierra de cinta de acero de alta resistencia, que tiene 20 mm de ancho y 0.8 mm de espesor, pasa por unas poleas de 600 mm de diámetro. ¿Qué esfuerzo máximo se desarrolló por la flexión al rodear las poleas? ¿Qué diámetro mínimo pueden tener las mismas sin que sobrepase el esfuerzo de 40 0 MPa. ? E = 20 0 GPa.
0. 0 2 0. 0 08 12 12 8.5310 1 2 1 2
130
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
20010 / 0.3 8.5310 5.6910. 8. 5 310 0.0004 2.1310 á . 5. 6 910 á 2.1310 á 267136.15 / á 267
131
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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508. Determinar el espesor mínimo b de la viga de la figura, de manera que el máximo esfuerzo normal no exceda de 10 MPa .
0 500020004 13000 0 50002 80001 3 6000 7000 : 0 020001 2000 200070005000 2000370001000 20003 700050004000 20004 700050006000 20004 7000500060000 : 0 200010.5 1000 10000.5500010002 5000 50000.54000600010 á 5000 . 132
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
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12 0.123 6.6710 1 1010 6.50000. 6710 0.075 75 510. Una barra de 40 mm ele diámetro se emplea como viga simplemente apoyada sobre un claro de 2 m. Determine la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a lo largo de la mitad derecha de la viga si el esfuerzo debido a la flexión está limitado a un valor de
60 /
0 1.5 2 0.75
1 133
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U.T.P.L.
0.25 : 0.25 0.25 0.75 : 1 0.25 0.25 0 0.25 0.250.031250.28125 0 Á 0.28125 0. 0 2 4 6.2810 á 8125 á 6.0.22810 6010 44785 1340 / 134
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518. Una viga de sección S380x74, está simplemente apoyada en sus extremos. Soporta una carga concentrada central de 40 kN y una uniformemente distribuida de 1.5 kN/m, incluido su peso propio. Calcular la máxima longitud que puede tener si el esfuerzo admisible es de 140 MPa. DENOMINACIÓN
ÁREA(mm2)
ALTURA(mm)
S380x74
9500
381
ANCHO (mm) 143
ESPESOR(mm) ALMA(mm) 15.87
14
10 /10 / 203
1060
146
0 21540 1540 2 7.520 7.520 135
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
0 7.520 7. 5 201527. 5 207. 5 20 204020 20152207. 5 207. 5 207. 5 0 Á 0. 5 27.52020 Á 0.257.540 Á 1.875 10 14010 / 220310 4061010 4.0610 0. 1 805 4010 0.2517.4.5040 610 56.840.357 1.905 5.08159.2150 10.33 . 15.41
136
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U.T.P.L.
520. Una viga de sección W200 x 27 se usa como viga en voladizo de 6 m de longitud. Calcule la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a todo lo largo de la viga, además de su propio peso, si el esfuerzo por flexión no ha de exceder el valor de 140MN/m2.
DENOMINACIÓN ALTURA(mm) W200x27 207
10 /10 25.80
249
Á . 14 14010/ 14010 2 25.8100.103510 7.22460.1035 7.2243.726 1.94 / 137
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
531. Se aplica una carga concentrada de 90 kN en el centro de una viga simplemente apoyada de 8m de claro. Si el esfuerzo admisible es de 120MN/m2, elegir la sección w más ligera.
18010 . 120010/ 10 0.0015 1 150010 10 74. 7 9.81 732.81/ 0.73281 / 155010 150010 48.710 155010 1548.710 1550
DENOMINACIÓN MASA (Kg/m) W530x74 74.7
A(mm2) 9520
I(106mm4) 411
138
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
15501012010 101 1548.710 155010 185844000 . 119.90 101 25 119.90 2.9240.55.84 . 5.84 12010 10 4.8710 1 48.710 567. Una viga de madera de 90 mm de ancho y 160 mm de altura está sometida a una fuerza cortante vertical de 20 kN. Determinar el esfuerzo cortante en puntos tomados de 20 en 20 mm a lo alto de la viga, a partir de su borde superior
0. 0 9 0. 1 60 12 12 30.7210 30.721020 0.09 0.090.020.07 911.46 / 30.721020 0.09 0.090.040.06 1562.50 / 139
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
30.721020 0.09 0.090.060.05 1953.125 / 30.721020 0.09 0.090.080.04 2083.33 / 32 32 0.020 90. 16 2083.33 / 570. Una viga simplemente apoyada de 4 m de claro tiene la sección indicada en la figura Determinar la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a todo lo largo de la viga si el esfuerzo está limitado a 1.2 MPa.
0. 1 50 0. 2 0. 1 0. 1 5 . 12 12 . 71.87510 050. 1 0. 0 250. 0 875 ∑ 220.10.071.250.87510 0.05 260.87 1.2 260.871.210 4600 / 4.6 /
140
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
573. la sección recta de una viga de madera es un triángulo isósceles, con el vértice hacia arriba, de altura h y de base b. Si V es el esfuerzo cortante vertical, demostrar también que , y que tiene lugar en el punto medio de la altura.
á 3/ á 3 23 13 13 23 29 3 23 29 2 2 23 . 36 2 4 9 á 3 2 3. 6 36 á 34 84 24 14 á 3 .... 36 2 23 23 29 62 18 23 3 9
141
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
32 2362 34 233 34 62 9 3 34 2 9 3 34 318 3180 183 16 581. Una viga está formada por tres tablas de sección 150 x 60 mm, encoladas entre sí para formar una sección de 150 mm de ancho por 180 mm de altura. Si el cortante admisible en las juntas es de 600 kPa, el cortante admisible en la madera es 900 kPa y el normal permisible también en la madera vale 8 MPa, determinar la carga máxima uniformemente distribuida que puede resistir la viga sobre un claro de 2 m.
142
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
.. 7.2910 á 7.29100.15 0.060.150.05 49.38 600 49.38 12.15 / 90.150.0.01455 . 0.7.20910 . 55.56 900 55.56 16.20 / 0. 0 9 2 7.2910 617.28 810/ 617.28 12.96 /
143
SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES
U.T.P.L.
582. Calcule las dimensiones del cuadrado más pequeño que sea la sección transversal de la viga mostrada en la figura, si y
900 80
∑ 0 4 0 542 3 0 583 1 3 0 313 352 2311 1110 á 3 á 3 . . 123 2 .4 29 900 / 29 9 9002 144