22287_14458_ModulPrinsipPigeonhole-_02_.docx;filename_= UTF-8''ModulPrinsipPigeonhole-(02)

Modul 02

Prinsip pigeonhole

Dalam modul ini kita perhatikan sebuah prinsip kombinasi yang penting dan elementer yang dapat digunakan untuk memecahkan sebuah variasi masalah yang menarik sering kali dengan kesimpulan kesimpulan yang mengheranka mengherankan. n. Prinsip Prinsip ini dikenal dikenal dengan nama, yang paling umum, prinsip pigeonhole ( pigeonhole pigeonhole principle), principle ), diilhami diilhami pengamatan pengamatan yang dila dilaku kuka kan n oleh oleh G. Le terhadap perilaku perilaku sekumpulan sekumpulan Lejeu jeune neDir Dirich ichlet let (1805 (1805-1 -1859 859)) terhadap burung merpati dan dinyatakan sebagai berikut : Jika terdapat banyak burung merpati dan tersedia lebih sedikit rumah burung merpati, maka terdapat rumah burung merpati yang ditempati lebih dari satu burung merpati. Prinsip ini juga dikenal dengan nama: Dirichlet drower principle, atau prinsip kotak shoebox principle). principle). sepatu ( shoebox

Tujuan Tu juan Instruksional !u!  !u! Setelah mengikuti pembelajaran ini dengan baik, mahasiswa memahami tentang prinsip pigeonhole dan mampu menerapkan dalam dalam membangun sebuah argumentasi. argumentasi.

Tujuan Tu juan Instruksional "husus 1. ahasiswa memahami prinsip pigeonhole pigeonhole bentuk sederhana dan mampu menerap! kannya dalam membangun sebuah argumentasi.

pigeonhole bentuk kuat dan dan mampu menerapkannya menerapkannya #. ahasiswa memahami prinsip pigeonhole dalam membangun sebuah argumentasi. $. ahasiswa memahami dan mampu menerapkan teorema "amsey dengan baik.

#.1 %&I'I% %IG*'+*L ,'T" ,'T" D&+' D&+' Copyright©2016, by Soetrisno, Jurusan atematika atematika !"#$%"&S. !"#$%"&S.

odul $'ar $nalisis (ombinatorik

#rinsip #igeonhole

Prinsip pigeonhole menjelaskan keberadaan # eksistensi (existence ( existence)) suatu si$at obyek tertent tertentu u dalam dalam suatu suatu kasus, kasus, tetapi tetapi tidak tidak menjela menjelaska skan n tentan tentang: g: dimana si)at tersebut ter'adi, ter'adi, ada berapa banyaknya, banyaknya , dan dan bagaimana mencarinya. mencarinya . Secara Secara lebih lebih abstrak abstrak prinsip pigeonhole dinyatakan dalam %eorema!&.' %eorema!&.' berikut

Teore!a-#.1. Jika n  ' obyek dimasukkan kedalam n kotak, maka terdapat sedikit% nya satu kotak berisi dua atau lebih obyek.

*ukti. ika masing!masing masing!masing dari n kotak berisi sebanyak!banyaknya satu obyek, maka total jumlah obyek sebanyak!banyaknya n. *arena kita memulai memulai dengan dengan n  ' obyek, obyek, maka beberapa kotak berisi sedikitnya dua obyek. +&erbukti &erbukti Sebagai Sebagai gambaran gambaran sederhana, sederhana, misalkan misalkan diberikan diberikan sebanyak sebanyak - obyek obyek dan  kotak. ika (a (a,b) diartikan kotak ke!a ke!a berisi sebanyak b obyek, maka kon$igurasi yang mungkin untuk sebuah urutan kotak / '!&! / adalah '. &. . -. 2. 3. 4. 5.

(1,), (1,$), (1,$), (1,#), (1,#), (1,#), (','), (','),

(&,0), (&,'), (&,0), (#,#), (&,'), (&,0), (#,$), (#,#),

(,0) (,0) (,') (,0) (,') ( $,#) (,0) (,')

1. '0. ''. '&. '. '-. '2.

(','), (','), (',0), (',0), (',0), (',0), (',0),

(&,'), (&,0), ( #,), ( #,$), ( #,#), (&,'), (&,0),

( $,#) ( $,$) (,0) (,') ($,#) ( $,$) ( $,)

6aitu ada '2 kon$igurasi jumlah obyek dalam kotak yang mungkin, dimana setiap kon! $igurasi memuat kotak yang berisi lebih dari satu obyek. Disini, setiap kon$igurasi jumlah obyek memiliki sebanyak ().(&).(') 7 3 urutan posisi kotak yang mungkin. adi adi seluruh seluruhny nyaa ada (3).(' (3).('2) 2) 7 10 kon$ig kon$igura urasi si berbed berbedaa yang yang semuany semuanyaa memenu memenuhi hi (artinya : setiap kon$igurasi memuat kotak yang berisilebih dari satu obyek). Perlu dicatat bahwa tidak satupun prinsip pigeonhole atau buktinya memberikan bantuan#arahan dalam mendapatkan sebuah kotak yang berisi dua atau lebih obyek. ereka hanya menyatakan#menerangkan bahwa jika seseorang menguji masing!masing kotak, seseorang akan menjumpai sebuah kotak yang berisi lebih dari satu obyek. Prinsip pigeonhole hanya menjamin keberadaan (eksistensi) sebuah kotak seperti itu. adi, adi, kapanp kapanpun un prinsi prinsip p pigeon pigeonhol holee diterap diterapkan kan untuk untuk membuk membuktik tikan an eksiste eksistensi nsi dari dari sebuah sebuah pengat pengatura uran n atau atau suatu suatu kejadi kejadian, an, ia tidak tidak akan akan mengin mengindik dikasik asikan an bagaima bagaimana na mengko mengkonst nstruk ruksi si pengat pengatura uran n atau mendap mendapaka akan n sebuah sebuah substan substansi si kejadi kejadian an dari dari pada pada menguji semua kemungkinan.

Copyright©2016, by Soetrisno, Jurusan atematika atematika !"#$%"&S !"#$%"&S


#rinsip #igeonhole

Dan perlu dicatat juga bahwa kesimpulan dari prinsip pigeonhole tidak dapat dijamin jika hanya terdapat n ( atau lebih sedikit) obyek. 8ni dikarenakan kita mungkin menaruh sebuah obyek dalam masing!masing dari n kotak. %entu, %entu, memungkinkan untuk untuk mendist mendistrib ribusi usikan kan # menaru menaruh h dua obyek obyek dianta diantara ra kotak kotak dalam dalam sebuah sebuah cara sehi sehing ngga ga sebu sebuah ah kota kotak k beri berisi si dua dua oby obyek, ek, teta tetapi pi tida tidak k ada ada jami jamina nan n itu itu terj terjad adii (dilak (dilakuka ukan). n). Prinsi Prinsip p pigeon pigeonhol holee menya menyataka takan n bahwa bahwa tidak tidak memperm mempermasal asalahk ahkan an bagaimana seseorang mendistribusikan n' obyek diantara n kotak, tetapi seseorang tidak dapat meng!hindar dari menaruh dua obyek dalam kotak yang sama. Disamping menaruh obyek kedalam kotak, seseorang mungkin ber$ikir untuk memberi warna masing!masing obyek dengan satu dari n warna berbeda. *emudian, prinsip pigeonhole menyatakan bahwa Jika n + ' obyek diberi arna dengan n arna berbeda, maka terdapat dua obyek yang mendapatkan - mempunyai mempunyai arna yang sama.

*ita mulai dengan beberapa beberapa contoh contoh penerapan penerapan prinsip pigeonhole pigeonhole sederhana, yaitu sebagai berikut : /ontoh-#.1. Diketahui dalam sebuah kantor terdapat ' )ile data karyawan. %unjuk! kan kan bahw bahwaa sedik sedikit itny nyaa dua dua dari dari para para kary karyaw awan an itu itu mempu mempuny nyai ai hari hari ulan ulang g tahun tahun kelahiran dalam bulan yang sama.

#emecahan. *arena *arena satu tahun terdiri terdiri dari dari '& bulan, bulan, dengan dengan mengamb mengambil il pemisal pemisalan an ' )ile data karyawan sebagai jumlah obyek dan '& bulan sebagai jumlah kotak, maka menurut prinsip pigeonhole bentuk sederhana (%eorema!&.') (%eorema!&.') terdapat paling sedikit satu bulan (kotak) (kotak) yang berhubungan berhubungan dengan dua (lebih) )ile data )ile data karyawan (obyek), ini berarti ada dua orang karyawan mempunyai hari ulang tahun kelahiran dalam bulan yang sama. orang mempunyai mempunyai nama depan : $li, $li, *ambang dan dan Candra serta Candra serta /ontoh-#.#. Sepuluh orang nama belakang (urnia, (urnia, uminto dan ulia. ulia. %unjukk %unjukkan an bahwa bahwa paling paling sedikit dua dua orang mempunyai nama depan dan nama belakang sama9 #emecahan. #emecahan. *arena nama depan dan nama belakang muncul berpasangan, maka ada sebanyak  7 1 nama berbeda (pasangan nama depan dan nama belakang berbeda). Dengan me! misalkan '0 orang sebagai jumlah obyek dan 1 nama sebagai jumlah kotak, maka menurut prinsip pigeonhole prinsip pigeonhole bentuk sederhana (%eorema!&.'), (%eorema!&.'), terdapat paling sedikit satu nama yang berhubungan dengan dua (lebih) orang, ini berati dua orang mem! punyai nama depan dan nama belakang sama.

Copyright©2016, by Soetrisno, Jurusan atematika atematika !"#$%"&S !"#$%"&S


+¿ , /ontoh-#.$. isalkan

#rinsip #igeonhole

¿

S ⊂ Z

dimana

|S| 7 4. %unjukkan bahwa S memuat

dua elemen yang mempunyai sisa sama jika dibagi dengan 3. #emecahan. Sebarang bilangan bulat positi$ n dibagi dengan 3, terdapat sebuah hasil bagi tung! gal / dan sisa tunggal r , dimana n =36 q + r , 0 ≤ r < 36. adi ada 4 bilangan bulat positi$ yang sisanya akan masuk dalam 3 kategori. Dengan memisalkan banyaknya bilangan bulat sebagai banyaknya obyek dan banyaknya kategori sisa sebagai banyaknya kotak, maka menurut %eorema!&.' terdapat sedikitnya dua bilangan bulat tersebut yang mempunyai sisa sama jika dibagi dengan 3. /ontoh-#.. Diketahui ada n pasangan menikah. ;erapa banyaknya dari &n orang itu harus dipilih untuk menjamin bahwa satu yang telah terpilih sebuah pasangan menikah.

#emecahan. ambar! &.'). %unjukkan bahwa jika lima titik diambil dalam daerah interior segitiga $C , maka terdapat sedikitnya dua titik yang mempunyai jarak kurang dari '#&.

Copyright©2016, by Soetrisno, Jurusan atematika !"#$%"&S


#rinsip #igeonhole

Ga!ar-#.1 . Segitiga samasisi $C dengan pan'ang sisi '.

#emecahan . ?mbil tiga titik *,  , dan ! masing!masing ditengah sisi $C , $ , dan C , dan tarik garis yang menghubungkan *, , dan ! . Daerah interior segitiga $C dipartisi me! jadi - daerah segitiga sama sisi yang masing!masing mempunyai panjang sisi '#&, dimana dua titik dalam masing!masing daerah segitiga mempunyai jarak kurang dari '#&. Dengan memisalkan banyaknya titik yang diambil, yaitu 2 titik, sebagai banyak! nya obyek dan banyaknya daerah segitiga, yaitu - daerah, sebagai banyaknya kotak, maka menurut %eorema!&.' ada dua titik yang diambil dari satu daerah. adi terdapat sedikitnya dua titik yang mempunyai jarak kurang dari '#&. /ontoh-#.. %unjukkan bahwa sembarang himpunan bagian berukuran 3 dari himpu! nan S 7 @', &, ..., 1A harus memuat dua elemen yang jika dijumlahkan nilainya '0.

#emecahan. Pasangan elemen dari S yang jika dijumlahkan nilainya tepat '0, adalah @',1A, @&,5A, @,4A, @-,3A, dan @2,2A, merupakan pasangan bilangan yang lebih kecil dari (atau sama dengan) 2 dan bilangan lebih besar dari (atau sama dengan) 2. Pemilihan 3 elemen dari S melibatkan sedikitnya satu bilangan yang kurang dari 2 (atau lebih dari 2). Dengan memisalkan ukuran himpunan bagian dari S , yaitu 3, sebagai banyaknya obyek dan banyaknya pasangan elemen dari S yang jika dijumlahkan nilainya tepat '0 yang melibatkan bilangan yang kurang dari atau sama dengan 2 (atau lebih dari atau sama dengan 2), sebagai banyaknya kotak, maka menurut prinsip pigeonhole bentuk sederhana (%eorema!&.') terdapat sedikitnya satu pasang anggota himpunan bagian dari S tersebut yang jika dijumlahkan nilainya tepat '0. ?kibat dari %eorema!&.', kita dapat juga mengatakan prinsip pigeonhole sebagai berikut



#rinsip #igeonhole

/orollar2-#.#. Jika n obyek dimasukkan kedalam n kotak, dimana

m > n , maka

sedikitnya satu kotak berisi dua atau lebih obyek.

/ontoh-#.3. Seorang administrator mengoperasikan sebuah sistem komputer dengan menggunakan sebuah magnetic tape drie. Pada suatu hari ia menggunakan sebuah tape yang memuat 200.000 ord yang terdiri dari empat (atau kurang) huru$ kecil. 3ord yang berurutan dalam tape dipisahkan oleh sebuah karakter kosong ( blank character ). Dapatkah terjadi bahwa 200.000 ord dalam tape itu semuanya berbeda B

#emecahan. Disini, total banyaknya ord berbeda menggunakan empat (atau kurang) huru$ kecil yang mungkin adalah -

.

&

&3  &3  &3  &3 7 -42.&2-. Dengan mengambil pemisalan 200.000 ord dalam tape sebagai jumlah obyek dan -42.&2- ord berbeda yang mungkin sebagai kotak, maka menurut prinsip pigeonhole bentuk sederhana (Corollary!&.&), terdapat paling sedikit satu ord yang berhubungan dengan dua (lebih) ord dalam tape, ini berarti ada dua lokasi dalam tape yang menyimpan ord yang sama. adi, tidak mungkin terjadi semua ord yang tersimpan dalam lokasi tape berbeda. %erdapat prinsip yang lain yang berhubungan dengan prinsip pigeonhole yang berharga, secara normal menyatakan :

(i ) Jika n obyek dimasukkan kedalam n kotak dan tidak ada kotak yang kosong, maka masing%masing kotak berisi tepat satu obyek . (ii ) Jika n obyek dimasukkan kedalam n kotak dan tidak ada kotak yang mendapat% kan lebih dari satu obyek, maka masing%masing kotak berisi tepat satu obyek .

Dengan merujuk Contoh!&.-, jika kita memilih n orang dalam sebuah cara sehingga kita telah memilih sedikinya satu orang dari setiap pasangan menikah, maka kita telah memilih tepat satu orang dari setiap pasangan. uga, jika kita memilih n orang tanpa memilih lebih dari satu orang dari setiap pasangan menikah, maka kita telah memilih sedikitnya satu (dan disini tepat satu) orang dari setiap pasangan. ormulasi yang lebih abstrak dari dua prinsip diatas adalah tiga prinsip yang dinyatakan sebagai berikut isalkan 4 dan 5 adalah himpunan terhingga dan misalkan sebuah )ungsi dari 4 ke 5. Copyright©2016, by Soetrisno, Jurusan atematika !"#$%"&S

f : X → Y

adalah


#rinsip #igeonhole

(i ) Jika 4 mempunyai elemen lebih banyak dari 5, maka ) bukan sebuah )ungsi satu%satu. (ii ) Jika 4 dan 5 mempunyai 'umlah elemen sama dan ) adalah onto, maka ) adalah )ungsi satu%satu. (iii ) Jika 4 dan 5 mempunyai 'umlah elemen sama dan ) adalah satu%satu, maka ) adalah )ungsi onto.

a1 , a2 , … , am ,

terdapat bilangan bulat k

ak +1+ ak +2 , … , al

dapat dibagi dengan m.

/ontoh-#.8. Diberikan m bilangan bulat

dan l dengan

0 ≤ k < l ≤ m

sehingga

Secara kurang $ormal, terdapat barisan rapat adalam baisan

a1 , a2 , … , am

yang

mem!punyai jumlahan dapat dibagi dengan m.

#emecahan.
k < l sehingga

a1 + a 2+ … + ak

dan

a1 + a 2+ … + al

mempunyai sisa

sama, r , ketika dibagi dengan m. Dan dapat ditulis sebagai a1 + a 2+ … + ak =bm+ r

dan

a1 + a 2+ … + al=cm + r

.

Dengan mengurangkan persamaan kiri terhadap persamaan kanan, kita mendapatkan bahwa

ak +1+ … + al=( c − b ) m

= jadi

ak +1+ … + al

dapat dibagi dengan m.



#rinsip #igeonhole

/ontoh-#.9. Seorang pemain catur yang mempunyaiwaktu '' minggu untuk mem! persiapkan diri dalam rangka sebuah pertandingan memutuskan bermain sedikitnya satu permainan setiap hari, tetapi dalam urutan yang tidak melelahkan dirinya sendiri, ia memutuskan tidak bermain lebih dari '& permainan selama suatu jadwal mingguan. %unjukkan bahwa terdapat sebuah periode hari!hari berurutan didalamnya dimana ia main tepat &' pertandingan.

#emecahan. i

isalkan a : menyatakan total jumlah pertandingan yang ia mainkan sampai dengan hari ke!i. elas bahwa barisan bilangan berikut '

.

&

44

a , a , a , ..., a '

≥

monoton naik dengan a berikut

44

' dan a

'

≤

'&'' 7 '&. Sehingga barisan bilangan

&

.

44

a &', a &', a &', ..., a

&'

monoton naik, dimana 22 ≤

'

a &'

¿ a + 21 <… <¿

≤ 132 + 21 =153.

44

a

&'

adi sebanyak '2- bilangan terentang dari ' sampai dengan '2 lokasi. *arena barisan monoton naik, dengan memisalkan '2- sebagai kardinal himpunan 4 dan '2 sebagai kardinal himpunan 5 , maka menurut prinsip pigeonhole bentuk sederhana terdapat paling sedikit dua bilangan sama masing!masing dari barisan pertama dan kedua. ?rtinya i

'

a 7 a  &' untuk beberapa i dan '. adi, pada hari ke '', '&, ..., i pemain catur itu memainkan total &' permainan. /ontoh-#.10. ika &0 processor dihubungkan, tunjukkan bahwa terdapat paling sedikit dua processor dihubungkan secara langsung pada sejumlah processor yang sama9

#emecahan. isalkan: semua processor tersebut diberi nomor ', &, , E, &0, dan ai : menyatakan jumlah processor yang dihubungkan secara langsung ke processor !i. Disini akan diperlihatkan bahwa ≠

ai 7 a ' untuk beberapa i '.



#rinsip #igeonhole

Daerah asal dari $ungsi a adalah 4 7 @',&,,E,&0A. *arena processor tersebut terhubung dan processori tidak akan dihubungkan ke processor i sendiri, maka

4

5

daerah hasil 5 adalah sebuah subhimpunan dari @',&,,E,'1A. adi F . Dengan prinsip pigeonhole bentuk sederhana dapat disimpulkan bahwa ai 7 a ' untuk beberapa ∈

≠

i, ' 4 , i '. /ontoh-#.11. %unjukkan bahwa jika kita menyeleksi '2' mata kuliah ilmu komputer berbeda yang diberi nomor antara ' dan 00, maka paling s edikit & kuliah diberi nomor secara berurutan.

#emecahan. isalkan nomor!nomor mata kuliah terpilih adalah c', c&, c, E, c'2'. aka sebanyak 0& nomor yang terdiri dari nomor dalam barisan diatas bersama!sama dengan nomor dalam barisan berikut c'  ', c&  ', c  ', E, c'2'  ' terentang dalam nilai antara ' dan 0'. enurut prinsip pigeonhole bentuk sederhana, paling sedikit dua dari nilai tersebut sama. *arena semua bilangan dalam barisan pertama berbeda dan semua bilangan dalam barisan kedua juga berbeda, maka bilangan pada barisan pertama ada yang sama dengan bilangan pada barisan kedua. adi kita mempunyai ai 7 a '  ' berarti kuliah ai mengikuti kuliah a '.

/ontoh-#.1#. Sebuah persediaan terdiri dari sebuah da$tar 50 jenis barang, setiap jenis barang ditandai dengan Gtersedia/ atau Gkosong/. %erdapat -2 jenis barang yang tersedia. %unjukkan bahwa terdapat paling sedikit dua jenis barang tersedia dalam da$tar sembilan jenis barang terpisah. (Sebagai contoh, jenis!jenis barang yang tersedia pada posisi ' dan && atau posisi 31 dan 45 memenuhi kondisi tersebut).

#emecahan. isalkan ai menyatakan posisi jenis barang ke!i yang tersedia. *ita harus menunjuk! kan bahwa ai H a ' 7 1

untuk beberapa i dan '.

Perhatikan posisi barang yang tersedia berikut a', a&, a, E, a-2 dan bilangan berikut a'  1, a&  1, a  1, E, a-2  1 Copyright©2016, by Soetrisno, Jurusan atematika !"#$%"&S


#rinsip #igeonhole

Sebanyak 10 bilangan dalam barisan pertama dan barisan kedua mempunyai nilai antara ' dan 51. enurut prinsip pigeonhole bentuk sederhana terdapat paling sedikit dua dari 10 bilangan tersebut sama. *arena semua bilangan dalam barisan pertama berbeda dan semua bilangan dalam barisan kedua juga berbeda maka bilangan dalam barisan pertama ada yang sama dengan bilangan dalam barisan kedua. adi ai 7 a '  1 atau ai ! a ' 7 1 untuk beberapa i dan '. /ontoh-#.1$. Dari bilangan bulat: ', &, ..., &00, kita harus memilih '0' bilangan bulat. %unjukkan bahwa diantara bilangan bulat yang terpilih terdapat dua bilangan dimana salah satu dari mereka dapat dibagi (habis dibagi) oleh yang lain.

#emecahan. Dengan mem$aktorkan & sebanyak mungkin, dapat kita lihat bahwa sebarang bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk 0

(semisal: ' 7

2 x 1 , & 7

k

k ≥0

2 x a , dimana

1

2 x 1,

0

 7

2 x 3,

dan a bilangan ganjil 2

2 x 1 , 2 7

- 7

0

2 x 5 , 3 7

1

2 x 3 dst).
ganjil: ', , 2, ..., '11. enurut prinsip pigeonhole, diantara '0' bilangan bulat yang terpilih, terdapat dua bilangan yang mempunyai a bernilai sama apabila dituliskan r

dalam bentuk ini. isalkan dua bilangan ini adalah r
2 x a dan

s

2 x a . ika

maka bilangan kedua dapat dibagi dengan bilangan pertama. ika

maka bilangan +&er'aab

pertama

dapat

dibagi

dengan

bilangan

r>s, kedua.

arilah kita catat bahwa hasil dari Contoh!&.'0 adalah kemungkinan terbaik dalam masalah bahwa seseorang boleh memilih '00 bilangan dari bilangan bulat: ', &, ..., &00 dalam sebuah cara sehingga tidak satupun dari bilangan bulat yang terpilih dapat dibagi dengan sembarang yang lain, sebagai contoh '00 bilangan bulat: '0', '0&, .., '11, &00, sehingga bilangan bulat yang ke '0' pasti membagi habis salah satu bilangan itu, (semisal: '00 membagi &00, 11 membagi '15, 15 membagi '13, dst.). *ita menyimpulkan bagian ini dengan penerapan yang lain dari teori bilangan.

ua bilangan bulat positi) m dan n dikatakan merupakan prima relatif (relatiely prime) 'ika pembagi persekutuan terbesarnya adalah '.

adi, '& dan 2 adalah prima relati$, tetapi '& dan '2 bukan prima relati$ karena  adalah sebuah pembagi persekutan dari '& dan '2.



#rinsip #igeonhole

Teore!a-#.$. Chinese remainder. isalkan m dan n adalah bilangan bulat positi) prima relati), dan misalkan a dan 0 ≤ a ≤ m −1

b adalah bilangan bulat dimana

dan

0 ≤ b ≤ n −1.

aka terdapat

sebuah bilangan bulat positi) x sehingga sisanya apabila x dibagi dengan m adalah a, dan sisanya apabila dibagi dengan n adalah b.

;ilangan x dapat ditulis dalam bentuk: x 7 pm  a dan x 7 /n  b untuk suatu bilangan bulat p dan /. *ukti.
qi

jm + a

ℑ+ a dan dan

q j

, dimana

0 ≤i < j≤ n−1.

sehingga

ℑ+ a= qi n +r dan jm + a=q j n + r

.

Dengan mengurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua, kita peroleh q

(¿ ¿ j −qi ) n. ( j −i ) m=¿ Persamaan ini memberitau kita bahwa

n

adalah sebuah $aktor dari bilangan

( j − i ) m. *arena n tidak mempunyai $aktor persekutuan selain ' dan m, hal itu memenuhi bahwa n adalah sebuah $aktor dari ' H i. %etapi, 0 < j − i ≤ n −1,

dan disini

n

0 ≤i < j≤ n−1

berakibat bahwa

tidak dapat menjadi sebuah $aktor dari ' H i.

*ontradiksi ini muncul dari pengandaian kita bahwa dua bilangan a , m + a , 2 m + a , … , ( n −1 ) m + a



#rinsip #igeonhole

mempunyai sisa sama apabila dibagi dengan n. *ita menyimpulkan bahwa masing! masing dari n bilangan ini mempunyai sebuah sisa yang berbeda apabila dibagi de! ngan n. Dengan prinsip pigeonhole masing!masing dari n bilangan 0, ', ..., n!' terjadi sebagai sebuah sisa= khususnya bilangan b terjadi. isalkan p adalah 0 ≤ p≤ n−1

bilangan bulat dengan

sehingga bilangan x 7 pm  a mempunyai sisa

b apabila dibagi dengan n. aka untuk suatu bilangan bulat /, x =qn + b . adi, x 7 pm  a dan x 7 /n  b, dan x mempunyai si$at yang diperlukan. +&erbukti aktanya bahwa sebuah bilangan rasional a#b mempunyai sebuah ekspansi desimal yang akhirnya berulang adalah sebuah konsekuensi dari prinsip pigeonhole, dan kita berikan sebuah bukti untuk $akta ini sebagai latihan.

#.# %&I'I% %IG*'+*L ,'T" "T Prinsip pigeonhole bentuk kuat diilhami oleh %eorema!&.- berikut yang didalamnya mengandung %eorema!&.' sebagai sebuah kasus khusus.

Teore!a-#.. isalkan

q1 , q2 ,

...,

qn

adalah bilangan bulat positi). Jika

q1 + q 2 + … + q n− n + 1 obyek dimasukkan kedalam n kotak, maka salah satu ter'adit : kotak pertama berisi sedikitnya

q1

, atau kotak kedua berisi sedikitnya obyek

ke-n berisi sedikitnya

qn

q2

, ..., kotak obyek

obyek .

*ukti. ?ndaikan kita distribusikan

q1 + q 2 + … + q n−n + 1

obyek diantara n kotak. ika

untuk setiap i 7 ', &, ..., n kotak ke!i berisi lebih sedikit dari jumlah obyek dalam semua kotak tidak melampaui q q (¿¿ n −1)= q1 + q 2+ … + q n−n .

(¿¿ 1−1 )+ ( q2 −1 ) + … +¿ ¿


qi

obyek, maka total


#rinsip #igeonhole

*arena jumlah ini adalah satu kurang dari jumlah obyek yang didistribusikan, maka kita simpulkan bahwa untuk suatu i 7 ', &, ..., n kotak ke!i berisi sedikitnya

qi

obyek. +&erbukti Perlu dicatat bahwa memungkinkan mendistribusikan

q1 + q 2 + … + q n− n

obyek diantara n kotak dalam sebuah cara sehingga untuk nomor i 7 ', &, , ..., n adalah benar bahwa kotak ke!i berisi sebanyak q1 − 1

ini dengan menaruh

qi

atau lebih obyek. *ita kerjakan

obyek kedalam kotak pertama,

q 2− 1

obyek

kedalam kotak kedua, dan seterusnya. ;entuk sederhana dari prinsip pigeonhole diperoleh dari bentuk kuat dengan mengambil

q1 =q2 =…= qn= 2.

*emudian

q1 + q 2 + … + q n−n + 1= 2 n− n+ 1=n + 1. Dalam masalah pewarnaan, bentuk kuat dari prinsip pigeonhole menyatakan : q1 + q 2 + … + q n− n + 1

Jika masing%masing dari

obyek menun'uk satu dari n arna,

maka terdapat sebuah i sehingga terdapat sedikinya

qi

obyek untuk arna ke%i.

Dalam matematika elementer, prinsip pigeonhole bentuk kuat adalah paling sering diterapkan dalam kasus khusus, yaitu ketika

q1 , q2 , … , qn

semuanya sama

dengan suatu bilangan bulat r . Dalam kasus ini, prinsip dibaca sebagai berikut:

(i ) Jika

n ( r −1 ) + 1

obyek ditaruh kedalam n kotak, maka sedikitnya satu dari

kotak berisi r atau lebih obyek. Secara ekivalen : (ii ) Jika rata%rata dari n bilangan bulat tak negati) besar dari r  ' , yaitu m1 + m 2 + … + mn n

> r −1


m1 , m 2 , … , mn

adalah lebih


#rinsip #igeonhole

maka sedikitnya satu dari bilangan bulat adalah lebih besar dari atau sama dengan r.

Iubungan antara dua $ormula ini diperoleh dengan mengambil

n ( r − 1 ) + 1 obyek

dan menaruh mereka dalam n kotak.
=

mi

m1 , m 2 , … , mn

adalah adalah

n ( r −1 ) + 1 1 =( r −1 )+ n n

*arena rata!rata ini lebih besar dari r H ', satu dari bilangan bulat

mi

sedikitnya r .

Dengan kata lain, salah satu dari kotak berisi sedikitnya r obyek. Sebuah prinsip rata!rata yang lain adalah sebagai berikut

Jika rata%rata dari n bilangan bulat tak negati)

m1 , m2 , … , mn

adalah kurang

dari r + ' , yaitu m1 + m 2 + … + mn n

< r +1

maka sedikitnya satu dari bilangan bulat itu kurang dari atau sama dengan r . /ontoh-#.1. Sekeranjang buah!buahan sedang diatur terdiri atas apel, pisang, dan jeruk. ;erapakah jumlah terkecil dari buah!buahan yang seharusnya ditaruh dalam keranjang agar dijamin bahwa salah satu terjadi: terdapat sedikitnya 5 apel atau sedikitnya 3 pisang atau sedikitnya 1 jeruk.

#emecahan. enurut prinsip pigeonhole bentuk kuat (%eorema!&.-), 5  3  1 H   ' 7 &' biji buah!buahan, tidak masalah bagaimana buah!buahan itu dipilih, akan menjamin sekeranjang buah!buahan itu memenuhi si$at!si$at yang diinginkan. %etapi, 4 apel, 2 pisang, dan 5 jeruk, dengan total jumlahnya &0 biji buah!buahan, tidak menjamin. ;erikut ini adalah masih sebuah prinsip perataan yang lain



Jika rata%rata dari

n

#rinsip #igeonhole

bilangan bulat tak negati)

m1 , m 2 , … , mn

m1 , m 2 , … , mn

kurangnya sama dengan r, maka sedikitnya satu bilangan bulat memenuhi

sekurang%

mi ≥ r .

/ontoh-#.15. Dua keping disk , satu lebih kecil dari yang lain, masing!masing dibagi kedalam &00 sektor yang sama dan sebangun. Dalam disk yang lebih besar, '00 dari sektor dipilih secara semaunya dan dicat merah= '00 sektor yang lain dicat biru. Dalam disk yang lebih kecil, masing!masing sektor dicat salah satu: merah atau birudengan tanpa penuntutan pada banyaknya sektor merah dan sektor biru. *emudian, disk kecil ditempatkan pada disk besar sehingga pusatnya berimpit. %unjukkan bahwa memung! kinkan untuk meluruskan posisi dua disk sehingga banyaknya sektor dari disk kecil yang mempunyai warna senada dengan sektor terkait dari disk besar sedikitnya '00.

#emecahan.
/ontoh-#.1.

%unjukkan bahwa setiap barisan

a1 , a2 , … , an +1 2

2

n

dari

+1

bilangan real memuat salah satu: sebuah subbarisan naik dengan panjang n  ' atau sebuah subbarisan turun dengan panjang n  '.

#emecahan. Pertama, kita klari$ikasi pengertian dari subbarisan. bi , bi , … , b i

sebuah barisan, maka 1 ≤ i 1< i2 < … < i k ≤ m.

b1 , b 2 , … , b 8

tetapi

1

2

adi, b2 , b6 , b5

k

ika

b1 , b2 , … , b m

adalah

adalah sebuah subbarisan, memberikan bahwa

b2 , b4 , b5 , b6

adalah sebuah subbarisan dari

bukan sebuah subbarisan. ;arisan


bi , bi , … , b i 1

2

k


#rinsip #igeonhole

bi ≤b i ≤ … ≤ bi

adalah meningkat (tidak menurun) jika bi ≥b i ≥ … ≥ bi 1

2

1

2

dan menurun jika

k

.

k

Sekarang, kita buktikan pernyataan itu. *ita andaikan bahwa tidak terdapat subbarisan meningkat dengan panjang n  ' dan menunjukkan bahwa harus terjadi 2

sebuah subbarisan menurun dengan panjang n  '.
misalkan

ak .

+1 ,

adalah panjang subbarisan meningkat terpanjang yangdimulai dengan

?ndaikan

mk ≤ n

untuk setiap k 7 ', &, ...,

n

2

+ 1 , sehingga tidak mk ≥ 1

terdapat sub! barisan meningkat dengan panjang n  '. *arena k 7 ', &, ...,

n

n

2

m 1 , m 2 , … , mn + 1

+1 , bilangan

2

2

n

adalah

+1

untuk setiap bilangan bulat

masing!masing diantara ' dan n. Dengan prinsip pigeonhole bentuk kuat, n  ' dari bilangan m 1 , m 2 , … , m n +1 2

adalah sama. isalkan mk =mk =… =m k + 1

2

1 ≤ k 1 < k 2< … < k n+ 1 ≤ n

dimana

ak < a k + . i

i 1

n 1

2

,

+ 1 . ?ndaikan bahwa untuk suatu i 7 ', &, , ..., n, k i < k i+ 1

Selanjutnya, karena

kita dapat mengambil sebuah subbarisan ak +

meningkat terpanjang dimulai dengan

i 1

ak

dan menaruh

ak .

mendapatkan sebuah subbarisan meningkat dimulai dengan berakibat bahwa

m k > mk + i

i 1

, kita menyimpulkan bahwa

didepan untuk

i

i

ak ≥ ak + . i

i 1

*arena ini *arena ini

adalah benar untuk setiap i 7 ', &, ..., n, kita peroleh ak ≥ ak ≥ … ≥ a k + 1

dan kita simpulkan bahwa

n 1

2

ak , ak , … . , a k + 1

2

n 1

adalah sebuah subbarisan menurun

dengan panjang n  '. Sebuah $ormulasi yang menyenangkan dari Contoh!&.'2 adalah sebagai berikut: 2

?ndaikan bahwa

n

+1

orang disusun bahu!membahu dalam sebuah garis lurus.

aka selalu memungkinkan untuk memilih n  ' orang untuk mengambil satu langkah kedepan sehingga berjalan dari kiri ke kanan tinggi mereka meningkat (atau



#rinsip #igeonhole

menurun). ?dalah mengandung ibarat membaca melalui bukti dari Contoh!&.'2 dalam masalah ini. &

/ontoh-#.13. %unjukkan bahwa dalam sebuah barisan n  ' bilangan bulat yang berbeda, terdapat salah satu dari berikut:

(a) (b)

sebuah subbarisan naik dengan panjang n  ', atau sebuah subbarisan turun dengan panjang n  ' juga

#emecahan. *ita misalkan struktur berikut '

n & +'

.

&

a , a , a , ..., a k

menyatakan sebuah barisan bilangan bulat. ;erikan label untuk bilangan bulat sebuah pasangan terurut k

k

k

k

( x ,y ) : x

panjang subbarisan naik terpanjang yang dimulai dari a

k

y

a

k

panjang subbarisan turun terpanjang yang dimulai dari a

Dengan bukti kontradiksi, andaikan tidak terdapat subbarisan naik atau subbarisan k

k

turun dengan panjang n ' dalam barisan bilangan diatas. ;erarti nilai x dan y &

berada diantara ' dan n, untuk k 7 ', &, , ..., n  '. Dengan hanya terdapat sebanyak &

n

&

pasangan terurut berbeda label yang mungkin untuk n  ' bilangan bulat, maka i

'

dalam barisan diatas harus ada a dan a yang berlabel pasangan terurut sama. %etapi, hal ini tidak mungkin terjadi, karena: i

!

i

'

jika a J a , maka harus diperoleh x F x , dan i

!

'

'

i

'

jika a F a , maka harus diperoleh y F y .

adi pengandaian diingkar, akibatnya: dalam barisan diatas terdapat salah satu, yaitu: ! !

sebuah subbarisan naik dengan panjang n', atau sebuah subbarisan turun dengan panjang n'.



#rinsip #igeonhole

#.$ ,+ T*&4 D&I &4 Sekarang, kita diskusikan tanpa membuktikan sebuah perhatian dan generalisasi pen! ting dari prinsip pigeonhole yang disebut teore!a &a!se2, setelah dikemukakan oleh ahli logika 8nggris, 6rank &a!se2. ;erikut ini diberikan substansi teorema "amsey yang sangat populer dan mudah untuk dimengerti Teore!a-#.5. &a!se2 theore!. ari enam (lebih) orang, salah satu ter'adi:ada tiga pasangan, masing%masing pasangan saling kenal, atau ada tiga pasangan, masing%masing pasangan tidak saling kenal.

*ukti. Salah satu cara untuk membuktikan hasil ini adalah menguji semua cara berbeda dimana 3 orang dapat di kenalkan atau tidak dapat di kenalkan. 8ni adalah sebuah tujuan menjemukan, tetapi sebuah pembuktian yang dapat di kerjakan dengan sedikit keteguhan hati. %erdapat sebuah bukti yang sederhana dan elegan yang mengabaikan pertimbangan kasus. Sebelum memberikan bukti ini, kita $ormulasikan hasil yang lebih abstrak sebagai berikut K 6 → K 3 , K 3

(baca

K 6 panah K 3 , K 3

). . . . . . . . . . .

(&!') ?pakah artinya ini B Pertama, dengan

K 6

kita artikan sebuah himpunan dari

3 obyek (semisal orang) dan terdapat semuanya '2 pasangan (tak berurutan) dari obyek. *ita dapat menggambarkan

K 6

dengan memilih 3 titik dalam bidang datar,

dimana tidak ada  titik diantaranya yang segaris, dan kemudian menggambarkan sisinya atau ruas garis yang menghubungkan setiap pasangan titik (sekarang sisi menyatakan pasangan), Secara umum, kita artikan

K n

(untuk n 7 ', &, , -, 2)

diberikan dalam >ambar!&.& berikut. Perhatikan bahwa gambar segitiga, dan kita sering merujuk

K 3

sebagai seuah segitiga.


K 3

adalah sebuah


K 1

#rinsip #igeonhole

K 2

K 3

K 4

K 5

Ga!ar-#.#. 7ra)

K n

(n 7 ', &, , -, 2).

*ita membedakan antara pasangan kenal dan tidak kenal dengan mewarnai sisi dengan warna merah untuk kenal dan warna biru untuk tidak kenal. Sekarang, tiga orang yang saling kenal berarti / sebuah merah: sebuah

K 3

membentuk sebuah

K 3

merah.

K 3

/

yang mana masing!masing mempunyai sisi berwarna Secara serupa,

tiga orang yang tidak saling kenal

biru. Sekarang, kita dapat menjelaskan ekspresi (&!') sebagai

berikut

K 6 → K 3 , K 3

adalah pernyataan baha tidak masalah bagaimana sisi dari

diberi arna dengan arna merah dan biru, selalu terdapat sebuah

K 3

K 6

merah (

dari 3 titik asal dengan  ruas garis diantara mereka semuanya berarna merah ) atau sebuah

K 3

biru ( dari 3 titik asal dengan  ruas garis diantara mereka semuanya

berarna biru) , pendek kata sebuah segitiga monokromatik (monochromatic triangle). *ukti.
K 6 → K 3 , K 3 K 6

Perhatikan satu dari titik p dari

, kita argumentasikan sebagai berikut:

telah diwarnai merah atau biru dalam suatu cara. K 6

. 8a bertemu 2 sisi. *arena masing!masing dari

2 sisi ini diwarnai merah atau biru, ia memenuhi (dari prinsip pigeonhole bentuk kuat) bahwa salah satu: sedikitnya tiga dari mereka berwarna merah atau sedikitnya tiga dari



#rinsip #igeonhole

mereka berwarna biru. *ita andaikan bahwa  dari 2 sisi yang menemui titik p adalah merah. (ika  adalah biru sebuah argumentasi serupa bekerja). isalkan  sisi merah yang menemui p berturut!turut menghubungkan p ketitik a, b, dan c. Perhatikan sisi yang menghubungkan a, b, c dalam pasangan. ika semua dari ini adalah biru, maka a, K 3

b, c menentukan sebuah

biru. ika salah satu dari mereka, katakan sisi yang K 3

menghubungkan a dan b adalah merah, maka p, a, b menentukan sebuah merah. adi, kita menjamin salah satu: sebuah

K 3

merah atau sebuah

K 3

biru.

+&erbukti

K 6 → K 3 , K 3

*ita amati bahwa pernyataan beberapa cara mewarnai sisi dari sebuah

K 3

K 5

adalah salah. 8ni karena terdapat

tanpa menciptakan sebuah

K 3

merah atau

biru. Ial ini diperlihatkan dalam >ambar!&., dimana sisi dari segi

lima (garis penuh) adalah sisi merah dan sisi dari garis putus!putus adalah sisi biru.

Ga!ar-#.$ . Sebuah segi lima.

Kebih umum, teorema "amsey, masuk tidak dalam keadaam umum secara penuh, menyatakan Jika

m≥ 2

dan

n ≥2

adalah blangan bulat, maka terdapat sebuah bilangan

bulat positi) p sehingga K p → K m , K n

Dalam kata!kata, diberikan m dan n terdapat sebuah bilangan bulat positi$ p sehingga, jika sisi dari sebuah

K m

K p

berwarna merah atau biru, maka salah satu:

merah atau terdapat sebuah

K n

terdapat

biru. *eberadaan dari salah satu:



sebuah

K m

#rinsip #igeonhole

merah atau sebuah

dari

K p

ika

K p → K m , K n

K n

biru dijamin, tidak masalah bagaimana sisi

diwarnai. , maka

K q → K m , K n

untuk suatu bilangan bulat

q≥ p.

,ilangan &a!se2, r (m,n), adalah bilangan bulat terkecil p sehingga

K p → K m , K n .

%eorema "amsey menyatakan keberadaan dari bilangan r (m,n). Pertama, kita buktikan bahwa r (,) 7 3 ;ilangan "amsey r (&,n) dan r (m,&) dapat ditentukan. *ita tunjukkan bahwa r (&,n) 7 n dengan argumentasi berikut: (r (#7n)

≤ n¿



ika kita mewarnai semua sisi dari

K n

dengan salah satu:

merah atau biru, maka salah satu: beberapa sisi berwarna merah (dan jadi K 2 kita mempunyai sebuah merah) atau semua sisi adalah biru (dan jadi kita mempunyai sebuah (r (#7n)

K 2

biru).

¿ n−1 ¿  ika kita mewarnai semua sisi dari

K n−1

dengan biru, maka

K 2

merah atau sebuah

kita tidak mendapatkan salah satu: sebuah K 2

biru.

Dalam sebuah cara serupa, seseorang menunjukkan bahwa r (m,&) 7 m. 8ni adalah ilangan &a!se2 triial. Secara umum, dengan menukarkan warna merah dan biru kita melihat bahwa r ( m , n ) =r ( n , m) Dengan pengamatan ini dalam pikiran kita, tabel berikut memuat $akta yang diketahui tentang bilangan "amsey tak trivial

r ( m, n ) :

r ($7$) : 7



#rinsip #igeonhole

r ($7) : r (7$) : 97 r ($75) : r (57$) : 17 r ($7) : r (7$) : 187 r ($73) : r (37$) : #$7 r ($78) : r (87$) : #87 r ($79) : r (97$) : $7 40 ≤ r (3,10 )= r ( 10,3 ) ≤ 43,

r (7) : 187 r (75) : r (57) : #57 43 ≤ r (5,5 ) ≤ 49.

K 43 → K 3 , K 10 dan

K 39 ↛ K 3 , K 10 . K 43

adi, tidak terdapat cara untuk mewarnai sisi dari satu: sebuah

K 3

K 39

mewarnai sisi dari sebuah

K 3

K 40 , K 41 ,

K 55 → K 5 , K 5

K 10

merah atau sebuah

tanpa menciptakan salah

biru= terdapat sebuah cara untuk

tanpa menciptakan salah satu: sebuah

K 3

merah atau

biru, tetapi, tak satupun dari kesimpulan berikut diketahui benar untuk dan

K 42 .

43 ≤ r (5,5 ) ≤ 55

Pernyataan

berakibat bahwa

dan bahwa terdapat sebuah cara untuk mewarnai sisi dari K 5

tanpa menciptakan sebuah monokromatik

K 42

.

%eorema "amsey digeneralisasi untuk sejumlah warna.

Jika

n1 , n 2 ,

dan

n3

adalah bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama

dengan & , maka terdapat sebuah bilangan bulat p sehingga K p → K n , K n , K n . 1

2

3



#rinsip #igeonhole

K p

Dalam kata!kata, jika setiap sisi dari

K n

maka terdapat salah satu: sebuah K n

3

diberi warna merah, biru, atau hijau,

merah atau sebuah

1

K n

2

biru atau sebuah

hijau. ;ilangan bulat terkecil p dalam mana pernyataan ini dipenuhi adalah

bilangan "amsey r (

n1 , n2 , n3 ¿

. Ianya bilangan "amsey tak trivial dari tipe ini

yang diketahui yaitu r (,,) 7 '4. ;ilangan "amsey r (

n1 , n2 , … , n k ¿

dide$inisikan dalam sebuah cara yang serupa,

dan teorema "amsey dalam keumuman penuhnya untuk pasangan menyatakan bahwa bilangan ini ada= yaitu terdapat sebuah bilangan bulat p sehingga K p → K n , K n , … , K n . 1

k

2

%erdapat sebuah bentuk yang lebih umum dari teorema "amsey dalam mana pasangan (subset dari dua elemen) diganti dengan subset daru t elemen untuk suatu bilangan bulat tertentu

t ≥ 1. isalkan t

K n enyatakan kumpulan dari semua subset dengan t elemen dari sebuah himpunan dengan n elemen. >eneralisasi notasi terdahulu kita, kita peroleh bentuk umum dari teorema "amsey:

t≥2

iberikan bilangan bulat

dan bilangan bulat

q1 , q2 , … , qk ≥ t ,

terdapat

sebuah bilangan bulat p sehingga t

t

t

t

K p → K q , K q , … , K q . 1

2

k

Dalam kata!kata, terdapat sebuah bilangan bulat p sehingga jika setiap subset dengan t elemen subset dengan sebuah p elemen ditunjuk salah satu dari k warna c 1 , c 2 , … , c k

q1

, maka terdapat salah satu:

t elemen ditunjuk warna elemen ditunjuk warna

c1 ,

c2 ,

elemen semuanya mempunyai subset

atau

q2

elemen semuanya mempunyai subset t

..., atau

q k

elemen semuanya mempunyai subset t



elemen ditunjuk warna

c k

#rinsip #igeonhole

. ;ilangan bulat terkecil seperti itu adalah bilangan

"amsey r t ( q 1 , q 2 , … , q k ) .

?ndaikan t 7 '. aka

r 1 ( q1 , q2 , … , qk )

adalah bilangan terkecil p sehingga, jika

elemen dari sebuah himpunan dengan p elemen diwarnai dengan salah satu dari warna c 1 , c 2 , … , c k

, maka terdapat salah satu:

elemen berwarna

c2

, atau ..., atau

q k

q1

elemen berwarna elemen berwarna

c1 , c k

atau

q2

. adi, dengan

prinsip pigeonhole bentuk kuat diperoleh r 1 ( q1 , q2 , … , qk ) =q1 + q 2+ … + q k −k + 1

.

8ni mendemonstrasikan bahwa teorema "amsey adalah sebuah generalisasi dari prinsip pigeonhole bentuk kuat. r t ( q 1 , q 2 , … , q k ) Penentuan biloangan "amsey umum adala sebuah masalah yang sulit. Sangat sedikit yang diketahu tentang nilai eksaknya. %idak sulit untuk melihat bahwa r t ( t ,q 2 , … , q k )= r t ( q2 , … , qk ) Dan bahwa urutan dalam mana

q1 , q2 , … , qk

dida$tar tidak mempengaruhi nilai

bilangan "amsey.

#. LTI+' 01. %unjukkan bahwa jika terdapat delapan orang dalam sebuah ruangan, sedikitnya dua dari mereka mempunyai hari kelahiran yang terjadi pada hari yang sama. 0#. ;erapa kaliharus kita lempar sebuah dadu agar mendapatkan skor yang sama B

(a) ?pakah sedikitnya dua kali B (b) ?pakah sedikitnya tiga kali B (c) ?pakah sedikitnya nn kali, untuk

n ≥ 4 B

0$. Diberikan 5 buku #$SC$, '4 buku !89&9$: , 3 buku $#, '& buku C8*8, &0 buku *$S"C . ;erapa banyak dari buku!buku ini harus kita pilih untuk menja! min bahwa kita mempunyai '0 buku yang berhubungan dengan bahasa komputer yang sama B



#rinsip #igeonhole

0. Sebuah auditorium mempunyai sebuah kapasitas tempat duduk 500. ;erapa ba! nyak tempat duduk harus disediakan untuk menjamin bahwa sedikitnya dua orang duduk dalam auditorium mempunyai inisial pertama dan terakhir sama.

+¿

¿

isalkan S ⊂ Z .

05.

|S|

;erapakah nilai terkecil dari

yang menjamin

keberadaan x , y ∈ S dimana x dan y mempunyai sisa sama atas pembagian

dua elemen oleh '000 B

+¿

¿

0. ika S ⊂ Z . %entukan nilai terkecil dari

|S|

sehingga terdapat tiga elemen,

yaitu: x , y , z ∈ S

dimana semua dari tiga elemen itu mempunyai sisa sama atas

pembagian oleh '000B 03. %uliskan sebuah pernyataanyang menggeneralisasi hasil soal (2) dan (3). 08. ;uktikan bahwajika '2' bilangan bulat dipilih dari @', &, ..., 00A, maka pemilihan mencakup dua bilangan bulat xdan y dimana x-y atau y-x. 09. ;uktikan bahwajika kita memilih '0' bilangan bulat dari himpunan S 7@', &, ..., &00A, maka terdapat bilangan m, n dalam pemilihan dimana (m,n) 7 '. 10. %unjukkan bahwajika sebarang '- bilangan bulat dipilih dari himpunan S 7@', &, ..., &2A, maka terdapat sedikitnya dua yang mempunyai jumlah sama dengan &3.

11. isalkan S 7 @, 4, '', ..., '0A. ;erapa banyaknya elemen harus dipilih dari S un! tuk menjamin bahwa akan terdapat sedikitnya dua bilangan yang mempunyai jum! lah sama dengan ''0. 1#. ika '' bilangan bulat dipilih dari @', &, ..., '00A, buktikan bahwa terdapat sedikit

nya dua bilangan yang terpilih, katakan x dan y,sehingga

0 <|√ x − √ y|< 1 .

1$. isalkan segitiga $*C sama sisi (e/uilateral ), dengan $* 7 '. %unjukkan bahwa jika kita memilih '0 titik dalam interior segitiga, harus terdapat sedikitnya dua titik yang mempunyai jarak terpisah kurang dari '#. 1. isalkan $*C adalah sebuah bujur sangkar dengan $* 7 '. %unjukkan bahwa jika kita memilih 2titik dalam interior bujur sangkar ini, terdapat sedikitnya dua

titik yang mempunyai jarak terpisah kurang dari '#

√ 2

.

15. isalkan S adalah sebuah himpunan dari lima bilangan bulat dengan nilai maksi!



#rinsip #igeonhole

mum sebesar!besarnya 1. ;uktikan bahwa jumlah dari elemen dalam semua subset tak kosong dari S tidak dapat semuanya berbeda. 1. Di sekolah menengah tingkat atas tertentu terdapat -2 siswa yang sedang berlatih untuk delapan jurusan dan bidang yang berbeda. ika masing!masing siswa hanya berlatih satu kasus, dan tidak ada kasus yang mempunyai lebih dari '0 siswa dalam pelatihannya, buktikan bahwa sedikitnya tiga kasus mempunyai lima atau lebih siswa dalam pelatihan untuk masing!masing kasus itu. 13. Selama enam minggu pertama dari tahun mahasiswa seniornya dalam akademi, ;race mengirimkan rangkumannya ke beberapa perusahaan berbeda. ika ia me! ngirimkan sedikitnya satu rangkuman ke masing!masing dan setiap hari, tetapi ti! dak lebih dari 30 rangkuman secara total, tunjukkan bahwa terdapat sebuah periode hari yang berpautan selama ia mengirimkan dimana ia mengirimkan tepat & rang! kuman.

+¿ 18. ika

¿

S ⊆ Z dan

|S|≥ 3,

x , y ∈ S

buktikan bahwa terdapat dua elemen

dimana x  y adalah genap. Z

¿ +¿ ¿ +¿ x Z . ¿ S⊆¿

19. isalkan

Dapatkan nilai minimum dari

beradaan pasangan terurut

( x

1

, x 2 ) , ( y 1 , y 2 ) ∈ S

|S| yang menjamin ke!

sehingga

x 1+ y 1

dan

x 2+ y 2 keduanya adalah genap.

#0. ika

+¿ +¿ x Z ¿ +¿ x Z ¿ ¿

Z

dan

|S|≥ 3,

buktikan bahwa terdapat

x , y ∈ S

dimana

S ⊆¿ x 1+ y 1

,

x 2+ y 2

x 3+ y3

dan

ketiganya adalah genap.

Z

#1. isalkan

¿ +¿ ¿ +¿ x Z . +¿ x Z ¿ ¿ S⊆¿

Dapatkan nilai minimum dari

keberadaan tripelterurut

( x

1

, x 2 , x 3 ) , ( y 1 , y 2 , y 3 ) ∈ S


|S| yang menjamin

sehingga

x 1+ y 1

,

x 2+ y 2


x 3+ y3

dan

#rinsip #igeonhole

ketiganya adalah genap.

##. Sebuah titik # ( x, y) dalam bidang *artesian disebut sebuah titik kisi (lattice point ) P1 ( x 1 , y 1 ) , P2 ( x 2 , y 2) , … , Pn ( x n , y n ) . jika x , y ∈ Z . Diberikan titik kisi:

%entukan nilai terkecil dari n yang menjamin keberadaan dari titik 1 ≤ i < j ≤ n ,

Pi ( x i , y i ) , P j ( x j , y j ) ,

sehingga titik tengah dari ruas garis yang menghubungkan

Pi ( x i , y i )

dan

P j ( x j , y j )

juga merupakan sebuah titik kisi.

#$. %unjukkan bahwa jika n  ' bilangan bulat dipilih dari himpunan @', &, ..., &nA, maka selalu terdapat dua bilangan yang berselisih '. #. %unjukkan bahwa jika n  ' bilangan bulat dipilih dari himpunan @', &, ..., nA, maka selalu terdapat dua bilangan yang berselisih sebanyak!banyaknya &. #5. >eneralisasi latihan & dan &-. #. %unjukkan bahwa untuk sebarang2& bilangan bulat yang diberikan terdapat dua dari mereka yang mempunyai jumlah, atau jika tidak mempunyai selisih, habis dibagi dengan '00. #3. >unakan prinsip pigeonhole untuk membuktikan bahwa ekspansi desimal dari sebuah bilangan rasional akhirnya berulang. Sebagai contoh,

-.-45#11.100 7 .-2'&2'&2'&2'&2'&..... #8. Dalam sebuah ruangan terdapat '0 orang, tidak ada yang berumur lebih dari 30 (umur diberikan hanya dalam angka bulat), tetapi masing!masing mempunyai umur umur sekurang!kurangnya ' tahun. ;uktikan bahwa sesorang selalu dapat me! nemukan dua kelompok orang (kedua kelompok saling asing) dimana jumlah umur nya sama. Dapatkah '0 diganti dengan bilangan yang lebih kecil B #9. Seorang anak melihat &; sedikitnya satu jam setiap hari untuk 4 minggu, tetapi tidak pernah melihat lebih dari '' jam dalam satu minggu. ;uktikan bahwa terda! pat sebuah periode hari yang berurutan dimana anak itu melihat tepat &; selama &0 jam. (Diasumsikan bahwa anak itu melihat &; selama sebuah bilangan bulat jam setiap hari). $0. Seorang siswamempunyai4 hari untuk mempersiapkan sebuah ujian. Dari penga! laman dimasa lalu ia tahu bahwa ia akan membutuhkan tidak lebih dari 30 hari belajar. 8a selalu berharap belajar sedikinya ' jam per hari. %unjukkan bahwa tidak masalah bagaimana ia menjadwal waktu belajarnya (sebuah bilangan bulat jam per hari), terdapat sebuah hari yang berurutan dimana ia belajar tepat ' jam. $1. %unjukkan dengan contoh bahwa kesimpulan dari Chinese remainder theorem tak



#rinsip #igeonhole

perlu dipenuhi ketika m dan n bukan prima relati$. $#. isalkan S adalah sebuah himpunan 3 titik dalam bidang, dengan tidak ada  titik yang segaris. Larna merah atau biru untuk masing!masing dari '2 ruas garis di! tentukan oleh titik!titik dalam S . %unjukkan bahwa terdapat sedikitnya dua buah segitiga yang ditentukan oleh titik!titik dalam S yang mana salah satu: segitiga merah atau segitiga biru. (*eduanya mungkin merah, atau keduanya biru, atau satu merah!satu biru). $$. Sebuah tas berisi '00 apel, '00 pisang '00 jeruk, dan seratus buah peer. ika kita mengeluarkan satu biji buah!buahan dari tas setiap menit, berapa lama akan terjadi sebelum kita menjamin telah mengeluarkan sedikitnya selosin buah!buahan dari jenis yang sama. $. ;uktikan bahwa untuk sebarang n  ' bilangan bulat

dua bilangan bulat

ai

dan

a j

dengan

i j

a1 , a2 , … , an+1 , sehingga

terdapat

ai− a j

habis

dibagi n. $5. ;uktikan bahwa dalam sebuah grup dari

n > 1 orang terdapat dua orang yang

mempunyai nomor pelunasan sama dalam grup. (diasumsikan bahwa tidak terdapat orang is ac/uainted dengan dirinya sendiri).

$. %erdapat '00 orang dalam sebuah pesta. Setiap orang mempunyai sejumlah bila! ngan genap (mungkin nul) dari ac/uaintances. ;uktikan bahwa terdapat tiga orang di pesta dengan bilangan sama ac/uaintances. $3. ;uktikan bahwa dari sebarang lima titik yang dipilih didalam sebuah persegi de! ngan panjang sisi &, terdapat dua titik yang mempunyai jarak apart sebesar!besar!

nya

√ 2

.

$8.(a) ;uktikan bahwa dari sebarang lima titik yang dipilih dalam sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi ', terdapat dua titik yang mempunyai jarak apart 1

sebesar!besarnya

2

.

(b) ;uktikan bahwa dari sebarang sepuluh titik yang dipilih dalam sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi ', terdapat dua titik yang mempunyai jarak apart 1

sebesar!besarnya

3

.

(c) %entukan sebuah bilangan bulat

mn

sehingga jika

sebuah


mn

titik dipilih


#rinsip #igeonhole

segitiga sama sisi dengan panjang sisi ', terdapat dua titik yang mempunyai ja! 1

rak apart sebesar!besarnya

n

.

r ( 3,3,3 ) ≤ 17.

$9. ;uktikan bahwa 0. ;uktikan bahwa

r ( 3,3,3 ) ≥ 17 dengan memperlihatkan sebuah pewarnaan,

de! ngan warna: merah, biru, dan hijau, dari ruas garis yang menghubungkan '3 titik dengan si$at bahwa tidak boleh ada  titik sehingga  ruas garis yang menghubung! kan mereka semuanya berwarna sama.

⏟ (⏟ )

r ( 3,3, … , 3 ) ( k + 1 ) r ( 3,3, … , 3 ) − 1 + 2. 1. ;uktikan bahwa

k +1

k

⏟

r ( 3,3, … , 3 ) . >unakan hasil ini untuk mendapatkan sebuah batas atas untuk

n

#. "uas garis yang menghubungkan '0 titik diwarnai merah atau biru. ;uktikan bah! wa harus ada  titik sehingga  ruas garis yang menghubungkan mereka semuanya berwarna merah, atau - titik sehingga 3 ruas garis yang menghubungkan mereka semuanya berwarna biru (yaitu: r ( 3,4 ) ≤ 10 ¿ . $. isalkan

q3

dan t adalah bilangan bulat positi$ dengan

q3 ≥ t .

%entukan

bila! ngan "amsey . isalkan

r t ( t ,t , q3 ) . q1 , q2 , … , qk , t

adalah

bilangan

bulat

positi$,

dimana

q1 ≥ t , q2 ≥t , … , q k ≥ t .

isalkan m bilangan terbesar dari

q1 , q2 , … , qk .

%unjukkan

bahwa

r t ( m , m , … , m ) ≥ r t ( q 1 , q 2 , … , q k ) . Simpulkan bahwa, untuk membuktikan %eorema "amsey, cukup membuktikannya q1 =q2 =…= qk . dalam kasus bahwa 5. ?ndaikan bahwa sebanyak m.n orang dari sebuah marching band sedang berdiri dalam sebuah $ormasi segi empat dari m baris dan n kolom dalam sebuah cara sehingga dalam setiap baris setiap orang lebih tinggi dari orang disebelah kirinya.



#rinsip #igeonhole

?ndaikan bahwa pemimpin mengatur ulang orang!orang dalam setiap kolom menu! rut tingginya menaik dari depan ke belakang. %unjukkan bahwa baris!baris yang masih teratur dalam urutan tinginya menaik dari kiri ke kanan.

{ 1,2, … , n }

. Sebuah koleksi dari himpunan bagian dari himpunan

mempunyai

si$at bahwa setiap pasangan himpunan bagian mempunyai sedikitnya satu elemen perse! kutuan. ;uktikan bahwa terdapat sebanyak!banyaknya

n−1

2

himpunan bagian

da! lam koleksi. 3. Di sebuah dance%hop terdapat '00 pria dan &0 wanita.
menari yang potensial (da$tar tariannya), tetapi dalam sebuah cara sehingga jika diberikan sebarang kelompok &0 pria, selalu memungkinkan memasangkan dengan &0 pria up ith &0 wanita dengan setiap pria berpasangan dengan seorang wanita pada da$tar a1 + a 2+ … + a100 tariannya. ;erapakah nilai terkecil dari jumlahan yang menja! min hal ini B

DAFTAR PUSTAKA th

,&LDI, &.., G "ntroductory  Combinatorics/, ersey, &00-.

Md., Prentice!Iall 8nc., New

G&I4LDI , &.%., G iscrete and Combinatorial athematics % $n $pplied "ntroduction/, ?ddison!Lesley Publishing Co., '151. LI7 /.L., G lements o) iscrete athematics/, c>raw!Iill, 8nc., '152. &*,&T, 6.., G $pplied Combinatorics/, Prentice!Iall 8nc., '15-. &*', ".+., G iscrete athematics and "ts $pplications/, c>raw!Iill, &00.



#rinsip #igeonhole

.

Copyright © 201<, by Soetrisno, Jurusan atematika !"#$%"&S.28 odul $'ar $nalisis (ombinatorik

%rinsip %igeonhole ,entuk "etiga


#rinsip #igeonhole


#rinsip #igeonhole

isalkan ) adalah $ungsi dari himpunan terhingga 4 ke himpunan terhingga 5 .

4 ?ndaikan bahwa

 mn 

5

7 n dan

7 m. isalkan

7 k . aka terdapat paling

∈

sedikit k nilai a1, a2, a=, E, ak 4 sehingga ) (a1) 7 ) (a2) 7 ) (a=) 7 E 7 ) (ak ) *ukti.
&

m

.

isalkan 5 7 @ y , y , y ,E, y A dan andaikan bahwa kesimpulan tersebut salah. aka ∈

'

terdapat paling banyak k !' nilai x 4 dengan ) ( x) 7 y , terdapat paling banyak k !' ∈

∈

&

m

nilai x 4 dengan ) ( x) 7 y , E, terdapat k !' nilai x 4 dengan ) ( x) 7 y . Sehingga terdapat paling banyak m(k !') anggota dalam daerah asal dari ) . ?kan tetapi Copyright © 2014, by Soetrisno, Jurusan Matematika FMIPAI!S" Mo#u$ A%arAna$isis Prinsip Pigeonho$e

14

&ombinatorik

n m

m(k !') Jm

7n '

yang merupakan sebuah kontradiksi. Oleh karena itu, terdapat paling sedikit k nilai a &

.

, a , a ,E, a

k

∈

4 sehingga '

&

k

.

) (a ) 7 ) (a ) 7 ) (a ) 7 E7 ) (a ) +&erbukti Sebuah penanda yang berguna dari gambar hitam putih adalah /ontoh-#.1. kecerahan rata!rata dari suatu gambar. isalkan dua gambar dikatakan sama jika kecerahan rata!ratanya mempunyai selisih tidak lebih dari suatu nilai tetap. %unjukkan bahwa diantara enam gambar, terdapat tiga gambar yang sama atau tiga gambar yang tidak sama. #emecahan. '

&

.

3

isalkan gambar!gambar dilambangkan dengan # , # , # , E, # . asing!masing pasangan dari lima pasangan Copyright©2016, by Soetrisno, Jurusan atematika !"#$%"&S


'

#rinsip #igeonhole

.

'

&

'

'

-

2

'

3

( # ,# ), ( # , # ), ( # , # ), ( # , # ), ( # , # ) mempunyai nilai Gsama/ atau Gtidak sama/. enurut prinsip Pigeonhole bentuk ketiga

 2&  terdapat paling sedikit pasangan

7  pasangan dengan nilai yang sama, yaitu terdapat tiga

'

i

'

'

'

k

( # ,# ), ( # ,# ), ( # , # ). yang semuanya sama atau semuanya tidak sama. ?ndaikan bahwa masing!masing pasangan sama. ika sembarang pasangan i

'

i

k

'

k

( # , # ), ( # , # ), ( # , # )

(&.1!') i

sama, maka kedua gambar ini bersama!sama dengan # adalah sama dan kita telah menemu!kan tiga gambar yang sama. Sebaliknya, masing!masing pasangan dari pasangan (&.1!') tidak sama dan kita telah menemukan tiga pasangan yang tidak sama.

/ontoh-#.13. ;erapakah jumlah minimum ahasiswa diperlukan dalam sebuah kelas ate!matika Diskrit agar dijamin bahwa sekurang!kurangnya enam ahasiswa mendapatkan nilai sama, jika tersedia 4 nilai yang mungkin, yaitu: $, $*, *, *C , C ,  dan  B

Copyright © 2014, by Soetrisno, Jurusan Matematika FMIPAI!S" Mo#u$ A%arAna$isis Prinsip Pigeonho$e

15

&ombinatorik

#emecahan. umlah minimum ahasiswa yang diperlukan untuk menjamin sekurang!kurangnya enam ahasiswa mendapatkan nilai sama adalah bilangan bulat terkecil : sehingga

 :  4

7 3. ;ilangan bulat tersebut adalah : 7 2.4  ' 7 3. ika hanya diikuti 2 mahasiswa, maka dimungkinkan terjadi ada 2 mahasiswa yang mendapatkan setiap jenjang nilai sehingga tidak terdapat 3 ahasiswa yang mendapatkan mnilai sama. adi 3 adalah jumlah minimum ahasiswa dibutuhkan untuk menjamin bahwa sekurang!kurangnya 3 ahasiswa mendapatkan nilai sama. /ontoh-#.18. Sebuah laboratorium computerscience mempunyai '2 orkstations dan '0 serers. Sebuah kabel dapat digunakan untuk menghubungkan secara langsung Copyright©2016, by Soetrisno, Jurusan atematika !"#$%"&S


#rinsip #igeonhole

sebuah ork%station ke sebuah serer. Ianya satu hubungan langsung ke sebuah serer yang dapat akti$ setiap saat. *ita ingin menjamin bahwa setiap saat sebanyak sepuluh atau kurang ork%stations dapat secara bersamaan mengakses serer berbeda lewat hubungan langsung. eski!pun kita dapat melakukannya dengan menghubungkan setiap orkstation secara langsung ke setiap serer dengan menggunakan '20 hubungan, berapakah jumlah minimum hubungan langsung yang dibutuhkan untuk mencapai tujuan iniB #emecahan. '

&

.

'2

isalkan: ! orkstations diberi label 3 , 3 , 3 , ..., 3 , '

!

&

.

dan

'0

serers diberi label S , S , S , ..., S . k

k

''

'&

?ndaikan kita menghubungkan 3 ke S untuk k 7 ', &, , ..., '0 dan setiap 3 , 3 '.

'-

'2

, 3 , 3 dan 3 ke sepuluh serers. *ita mempunyai 30 hubungan langsung. ≤ ≤

'

*ita melihat ini dengan mencatat bahwa jika orkstation 3 termasuk dengan ' ' 3 k ' ≥ '0, ia dapat mengakses sererS , dan untuk setiap orkstation dengan k '' ≤ ≤

'

termasuk, harus terdapat sebuah orkstation terkait 3 k

termasuk, sehingga 3

dengan '

'

'0 tidak

'

dapat mengakses sererS . (8ni dipenuhi karena terdapat '

'

sekurang!kurangnya sebanyak serer yang siap digunakan S , arkstation

3

≤ ≤

dengan ' ' '0 tidak termasuk). Sekarang andaikan terdapat kurang dari 30 hubungan langsung antara orkstations dan

 '021  serers. aka beberapa serers akan dihubungkan ke sebanyak!banyaknya 7 2 ork%stations. (ika semua serers dihubungkan ke sekurang!kurangnya 3 orkstations, akan ter!dapat sekurang!kurangnya 3.'0 7 30 hubungan langsung). 8ni berarti bahwa 1 serers yang tersisa tidak cukup untuk memungkinkan '0 orkstation yang lain untuk mengakses secara bersamaan ke berbeda serers. ?kibatnya, terdapat sekurang!kurangnya 30 hubungan lang!sung yang dibutuhkan. adi jawabannya adalah minimum 30 hubungan


22287_14458_ModulPrinsipPigeonhole-_02_.docx;filename_= UTF-8''ModulPrinsipPigeonhole-(02)

Recommend Documents