Problemas: “El valor del Dinero en el Tiempo” 1.1.- ¿Qué ¿Qué can cantda tdad d es necesar necesario io deposi deposiar ar en una una cuen cuena a de inver inversio siones nes en una instu instuci cin n bancaria !ue pa"a el 1#$ anual con capiali%acin mensual para acumular al &nal del ercer a'o (1))*)))))+
Datos: P = ¿? i = 15% anual i = 1.25% mensual n = 3 años = 36 meses F = $100,000.00 P=
i = 15% anual
P = ¿?
F = $100,000.00
2
1
n = 3 años
100,000
F
= = $63,940.91 $63,941.00 (1 +i )n (1+ 0.0125 )36 ≈
a !an"#a# ue es ne!esaia #e&osita es $63,941.00 ,- ¿ul es la asa de inerés e/ectva de una asa de inerés nominal de 1#$ anual si se capiali%a:
a' (nual nualme men nte: i)F =
( + )− 1
1
0.15 1
1 × 100 = 15%
*' +eme +emest stalme alment nte: e: i)F =
[(
1+
0.15 2
)− ] 2
1 × 100 = 15.56%
!' ensual sualme men nte: i)F =
( + ) − 1
0.15
12
12
1 × 100 = 16.0-%
#' Dia Diaia iam ment ente: i)F =
[(
1+
0.15 360
) −] 360
1 × 100 = 16.1-%
0.- na persona compra a crédio un anecomedor a crédio en la muebler2a “3a 4e5na”. El precio a crédio del anecomedor es de (61#.)). 3as condiciones de la operacin son las si"uienes: 7in en"anc8e 5 6 mensualidades de (1),.#). ¿ul es la asa de inerés anual !ue le esn cobrando en ese &nanciamieno+ El precio de conado del anecomedor es de (#1).)).
Datos: P = $510.00 n = 6 meses F = $615.00
i = 615/510'510 = 0.205 = 20.5% a tasa #e intes anual se #el 20.5%
9.9.- ¿Qué ¿Qué cant cantdad dad debe ser deposia deposiada da en una cuena cuena de a8o a8orr rro o !ue pa"a el 6$ anu anual* al* capiali%ados semesralmene* semesralmene* de modo !ue puedan retrar: ()).)) al &nal del a'o 1* (1*#)).)) al &nal del a'o , 5 (,*))).)) al &nal del a'o 0 5 la cuena !uede a"oada+
Datos P = ¿? i = 6% anual a&. +emes. = 0.62 = 0.3 n = 3 años = 6 semestes F1 = $-00.00 F2 = $1,500.00 F3 = $2,000.00 P
=
F n
(1 +i )
=
F1 = $-00.00
F2 = $1,500.00
i = 6% anual !on a&. +em.
F3 = $2,000.00
n = 3 años
P = ¿?
700
1500
2000
+ + = 414.20 525.35 414.35 = $1,353.-4 2 4 (1+ 0.3 ) (1 +0.3 ) (1 + 0.3 )6
≈
$1,354.00
La cantidad que debe ser depositada es $1,354.00 #.- na persona deposia (1)*))).)) por a'o* durane 1# a'os en una inversin !ue "enera una asa de inerés del 1)$ anual. ¿uno 8abr acumulado al &nal del décimo !uino depsio+
Datos: ( = $10,000.00 i = 10% anual n = 15 años F = ¿?
F =
A ×
[
F = ¿? i = 10% anual
n = 15 años
( = $10,000.00
( 1 + i ) n−1 i
]=
10,000 ×
[
( 1 +0.1 )15−1 0.1
]=
10,000 × 31.7724
=
$31-,-24.1
≈
$31-,-25.00 (l nal #el #!imo uinto &eio#o la &esona ten# a!umula#a la !an"#a# #e $ 31-,-25.00 6.- ¿uno se endr denro de 6 a'os* en una cuena en la !ue se deposian (1)*))).)) si el inerés es del ;$ semesral+ F = ¿? i = 9% mensual Datos:
P = $10,000.00 i = 9% semestal semestal n = 6 años P = $10,000.00
n = 6 años = 12 semestes F = ¿? F = P ( 1 + i)n =10,000 (1 + 0.09 )12 = $2,126.64
≈
$2,12-.00
a !an"#a# ue se ten# al nal #e 6 años es $2,12-.00
.- na persona presa (9*))).)) al ,#$ de inerés simple a cuaro a'os* al &nal de ese periodo inviere la cantdad oal al 1#$ de inerés compueso anualmene durane 1) a'os* ¿uno endr al &nal+ F14 = ¿? i = = 25% sim&le F4 = $,000.00 Datos:
P = $4,000.00 i = 25% sim&le' n = 4 años, 14 años F4 = $,000.00 F14 = ¿?
n = 14 años n = 4 años
P = $4,000.00
P = $,000.00
P × i × n )= 4000 +( 4000 × 0.25 × 4 ) = $,000.00 F4 = P + ( P×
F14 = P ( 1 + i)n =8,000 ( 1 + 0.15 )10 = $32,364.46
≈
$32,364.00
(l nal #el &eio#o ten# la !an"#a# #e $32,364.00 <.- na persona 8a soliciado un présamo de (1))*))).)) a una asa de inerés del 9$ mensual 5 a un pla%o de # a'os. Esa persona persona desea devolver devolver el présamo présamo en 6) mensualidades mensualidades i"uales i"uales =capial > inereses?. 7i esa persona después de 8aber 8ec8o 1# pa"os mensuales* decide pa"ar en un solo pa"o =al &nal del mes 16? el saldo de la deuda* ¿uno ¿uno endr2a !ue pa"ar+ pa"ar+
Datos: P = $100,000.00 i = 4% mensual n = 5 años = 60 meses F = ¿? F=
P
A =
n = 5 años
P = $100,000.00
(1 +i ) =100,000 (1 +0.04 )60 = $1,051,962.-4 n
P
( 1 +i )n−1 n i (1 + i)
A =
F = ¿?
i = 4% mensual
≈
$1,051,963.00
100,000
(1 + 0.04 )60−1 = $4420.1 60 0.04 ( 1 + 0.04 )
≈
$4,420.00 7onto #e &a8o mensual
4,420.00 × 15 = $66,300.00 Deu#a Final (*ono #e 15 &a8os mensuales = 1,051,963.00 66,300.00 = $95,663.00 Paa liui#a la #eu#a #es&us #e ese &eio#o ten#;a ue &a8a $95,663.00
;.- ¿ul es el ama'o de 6) mensualidades 5 de # anualidades !ue resulan de la compra de un erreno con valor de (#))*))).)) si la asa de inerés es del ,)$ anual 5 las condiciones de pa"o son #)$ de en"anc8e 5 el reso se repare por i"ual en mensualidades m ensualidades 5 anualidades+
Datos: P = $250,000.00 i = 20% anual n = 5 años = 60 meses F = ¿? F(nuali#a#es = P ( 1 + i)n =250,000 ( 1 + 0.2 )5 = $622,00.00 622,080 −250,000
= 1.4%
250,000
60 Fensuali#a#es = P ( 1 + i)n =250,000 ( 1 + 0. 0148 = $603,625.42 0148 )
≈
$603,625.00
1).- na persona 8a soliciado un présamo ()*))).)) para comprar un auomvil. Esa persona desea pa"ar ese présamo en 06 mensualidades i"uales. 7i la a"encia presamisa cobra un ,$ mensual 5 deermina el ama'o de los pa"os mensuales de la si"uiene manera: @ensualidad A
70,000.00 + 70,000.00 ( 0.02 ) 36
A (0*009.9# 36 ¿u ¿ull ser2 ser2a a la asa asa e/ec e/ectv tva a de ine ineré réss !ue !ue resu resul la a de acep acepa arr esa esa /uen /uene e de &nanciamieno+
Datos: P = $-0,000.00 i = 2% mensual n = 36 meses ( = $3,334.45 i)F =
[( ) ] 1+
i
M
M
−1
[( ) ]
× 100= 1 +
0.02
12
12
−1
× 100 = 2.01%
a tasa ee!">a #e intes es #e 2.01% 11.- na persona 8a soliciado a un banco un présamo !uiro"ra/ario por (,).))).)). El banco para ese tpo de présamo oor"a un pla%o de dos meses* a una asa de inerés del ,)$ anual los inereses del periodo los calcula en /orma simple 5 los descuena del présamo* adems cobra una comisin del 1$ por aperura del crédio* crédio* !ue ambién descuena descuena del présamo. ¿ul es la asa e/ectva de inerés !ue cobra el banco+
Datos: P = $20,000.00 i = 20% anual
i = 20% anual
P = $20,000.00
<)F = ¿?
n = 2 meses = 12 i)F =
( ) 1+
i
M
M
−1
× 100=
(
1+
0.2 12
)− 12
1 × 100 = 21.93%
a tasa ee!">a #e intes es 21.93%
1,.- na persona 8a soliciado al banco un présamo direco por la cantdad de (1)*))).)). El banco para ese tpo de présamo oor"a un pla%o de , meses a una asa de inerés del ,#$ anualB los inereses los calcula a inerés inerés simple 5 los descuena del mono del présamo* présamo* ¿ul es la asa de inerés e/ectvo e/ectvo anual !ue cobra el banco+
Datos: P = $10,000.00 i = 25% anual n = 2 meses = 12 i)F =
(+ )− 1
i
(
M
M
1 × 100= 1 +
) −
0.25
12
12
1 × 100 = 2%
a tasa #e intes ee!">o anual es #e 2% 10.- na persona planea casarse denro de cuaro meses. 7u principal preocupacin por el momeno es comprar lo indispensable para la casa* como lo son la esu/a* el comedor* el re/ri"erador re/ri"erador** la sala 5 la recamara. Espec2&camene esa persona es es ineresada en comprar una recama recamara ra modelo modelo “Prove “Proven%a n%all delici delicias” as”** la cua cuall es es marcad marcada a a un precio precio de (,*<9). (,*<9).)). )). 7in embar"o* esa persona tene dos opciones para comprar dic8a recamara: omprarla de conado a un precio de (,*))).)) o =,? comprarla a crédio =1, pa"os mensuales? a una asa de inerés del 0.#$ mensual. 3a muebler2a calcula los inereses a inerés simple* los suma al mono del présamo 5 a la suma la divide enre el nCmero de pa"os para as2 deerminar el mono del pa"o mensual. 7i esa persona comprara la recamara a crédio* ¿ul ser2a la asa de inerés i nerés e/ectva e/ectva anual+
(+ )− 1
i
M
M
(
1 × 100= 1 +
) −
0.42
12
12
a tasa #e intes ee!">a anual se;a #e 51.5%
1 × 100 = 51.1%
19.- na persona 8a soliciado un présamo de (1)*))).)) a una asa de inerés del 1.#$ mens mensua uall 7.7. 7.7.. . 5 a un pla% pla%o o de # a'os a'os.. Esa Esa pers person ona a dese desea a devo devolv lver er el prés présa amo mo en 6) mensualidades i"uales =capial > inereses?. 7i esa persona después de 8aber 8ec8o 1# pa"os mensuales* decide pa"ar en un solo pa"o =al &nal del mes 16? el saldo de la deuda* ¿uno endr2a !ue pa"ar+
Datos: P = $10,000.00 i = 1.5% mensual n = 5 años = 60 meses F = ¿?
n = 5 años
P = $10,000.00
F = P ( 1 + i)n =10,000 (1 + 0.015 )60 = $24,432.19
≈
A =
P n
( 1 + i ) −1 n i (1 + i)
A =
F = ¿?
i = 1.5% mensual
$24,432.00
10,000
60 0.0 .015 ) −1 = $253.93 (1 +0.0.015 60 0.015 (1 + 0.015 )
≈
$254.00 7onto #e &a8o mensual
254.00 × 15 = $3,10.00 Deu#a Final (*ono #e 15 &a8os mensuales = 24,432.00 3,10.00 = $20,622.00 Paa liui#a la #eu#a #es&us #e ese &eio#o ten#;a ue &a8a $20,622.00 1#.- 7e 8an presado (#*))).)) dlares a un pla%o de # a'os* a una asa de inerés del 6$ anual sobre saldos insoluos. 3a /orma de pa"ar los (#*))).)) dlares* es 8acer cuaro pa"os de &n de a'o de 1*))).)) dlares cada uno* se"uidos del Cltmo pa"o al &nali%ar el !uino a'o. ¿ cuno ascender2a ese Cltmo pa"o+
Datos: P = $5,000.00 #laes i = 6% anual n = 5 años ( = $1,000.00 (Final = ¿? F = P ( 1 + i)n =5,000 ( 1 + 0.06 )5 = $6,691.12
≈
$6,691.00
(Final = F onto #e los &imeos 4 &a8os = 6,691.00 4,000.00 = 2,691.00 )l @l"mo &a8o as!en#e a $2,691.00 16.- n médico pidi un présamo por (0*))).)) dlares a un banco noreamericano* pa"aderos en seis =6? pa"os i"uales a &n de a'o* al <$. El banco acord reducir el inerés en caso de !ue las asas baFaran anes de !ue el présamo esuviera saldado. Tres a'os ms arde* el banco reduFo la asa de inerés de <$ a $ sobre la deuda resane. ¿ul /ue el mono de los pa"os anuales i"uales para cada uno de los Cltmos res a'os+
Datos: P = $3,000.00
P = $3,000.00 #lls
n = 6 años
i = % anual
i = -% anual
(1 = ¿?
(2 = ¿?
i = % anual -% #es&us' n = 6 años ( = ¿?
A =
A =
P n
( 1 + i ) −1 n i (1 + i) P n
( 1 + i ) −1 n i (1 + i)
A =
3000
(1 +0.08 )6−1 = $64.94 $649.00 7onto #e &a8os &imeos 3 años 6 0.08 ( 1 + 0.08 ) ≈
A =
3000
(1 +0.07 )6− 1 = $629.3 $629.00 7onto #e &a8os se8un#os 3 años 6 0.07 ( 1 + 0.01 ) ≈
)l monto #e los &a8os anuales &aa !a#a uno #e los tes @l"mos años es $629.00 #laes.
1.- na persona desea recibir (,*))).)) al &nal de cada uno de los prGimos 9 semesres. 7i la cuena de inversiones pa"o 1)$ anual* con capiali%acin semesral* ¿ul es el deposio re!uerido+
Datos: P = ¿? i = 10% anual n = 4 semestes a&. +em. = 0.12 = 0.05 ( = $2,000.00
( = $2,000.00 ( = $2,000.00 ( = $2,000.00 ( = $2,000.00
i = 10% anual P = ¿?
n = 4 sem
a&. +emestal = 0.05
( 1+ i )n−1 ( 1 + 0.05 )4−1 =2,000 × P= A × = $-,091.90 n 4 i (1 +i ) 0.05 ( 1 + 0.05 )
≈
$-,092.00
)l #e&osito ue se euei#o es #e $-,092.00 1<.- na persona inviere (1)*))).)) a una asa de inerés del 1#$ anual durane un a'o 5 durane ese mismo periodo la asa de inHacin /ue del 1)$. ¿ul es la asa real de inerés !ue obuvo esa persona+ EGpli!ue brevemene el resulado.
Datos: P = $10,000.00 i = 15% anual ii inAa!in': 10% n = 1 año < = ¿?
i = 15% anual
< = ¿?
n = 1 año P = $10,000.00
[ ] (i −ii ) ( 1 +ii )
< =
× 100=
[
( 0.15−0.1 ) ( 1+ 0.1 )
]
× 100=
0.05
× 100 = 4.5% 7(oBo una tasa eal &osi">a
1.1
#el 4.5% +in inAa!in
on inAa!in
n
F = P ( 1 + i )
n
F = P ( 1 + i )
1
F =10000 ( 1 + 0.15 ) F =11500
1
F =10000 ( 1 + 0.045 ) F =10450
)n *ase a la inoma!in mosta#a nos &o#emos #a !uenta ue !on la inAa!in el >alo #e la !an"#a# nal F' #isminuCe a ta>s #el "em&o. 1;.- ¿Qué cantdad de dinero es necesario deposiar a8ora en una cuena de inversiones en un Ianco* !ue pa"a el 1,$ anual con capiali%acin mensual para acumular al &nal de un a'o (0*#)).))+
Datos: P = ¿? i = 12% anual a&. ens. = 0.1212 = 0.01 n = 1 año P = ¿? F = $3,500.00 P
=
F n
(1 +i )
=
3,500
( 1+ 0.01)12
i = 12% anual
F = $3,500.00
n = 1 año Cap. Mens = 0.01
= $3,016.0- $3,106.00 ≈
a !an"#a# ue es ne!esaia #e&osita es $3,106.00
,).- na persona pidi (#*))).)) presados el 1# de ocubre. Debe pa"ar el présamo en 16 pa"os mensuales i"uales =capial > inereses?* los d2as 1# de cada mes* comen%ando el 1# de noviembre. 7i el inerés se calcula al 1$ mensual 77* ¿uno debe pa"ar cada mes+ 7i después de e/ecuar 1) pa"os mensuales* decide reali%ar un solo pa"o por el reso de la deuda cuando va5a a real%ar el 11J pa"o* ¿de !ué mono ser dic8o pa"o a e/ecuar+
Datos: P = $5,000.00 i = 1% mensual n = 16 meses ( = ¿? A =
P
( 1 +i )n−1 n i (1 + i)
i = 1% mensual
( = ¿? A =
n = 16 meses
P = $5,000.00 5000
(1 +0.01 )16−1 = $339.-2 $340.00 7onto #e &a8os mensuales 16 0.01 ( 1+ 0.01)
F = P ( 1 + i)n =5000 ( 1 + 0.01 )16 = $5,62.9
≈
≈
$5,63.00
onto #el 11 &a8o: 563 340 × 10' = 2463 )l monto a ee!tua se #e $2,463.00 ,1.- ¿Qué cantdad de dinero 8o5* es e!uivalene a (<*,#).)) denro de dos a'os* si la asa de inerés es <$ anual con capiali%acin semesral+ F = ¿? Datos: i = % anual
P = $,250.00 i = % anual a&. +em. = 0.02 = 0.04 n = 2 años = 4 semestes F = ¿?
n = 2 años a&. +em. = 0.04
P = $,250.00
F = P ( 1 + i)n =8250 ( 1 + 0.04 ) 4 = $9651.33
≈
$9651.00
a !an"#a# #e #ineo eui>alente seia $9651.00
,,.- n banco local presara a uno de sus clienes (,)*))).)) a un pla%o de dos a'os para la compra de un auomvil compaco* como si"ue:
Dineo &aa &a8a el autom>il !om&a!to Dos años #e inteeses sim&les' $20,000.00 E 0.20 E 2 años = 24 &a8os mensuales: $2,000.0024 meses =
al
$20,000.00 20%: ,000.00 $2,000.00 $1,16-.00
)l &ime &a8o #e*e a!ese #ento #e un mes. ¿ul es la tasa #e intes nominal anual' ue e!i*i el *an!o? ¿ul es la tasa ee!">a #e intes ue !o*aa el *an!o? Datos: P = $20.000.00 i sim&le' = 20% n = 2 años F = $2 Gasa #e intes nominal: 2,000 20,000'20,000.00' = 40% Gasa ee!">a #e intes: i)F =
[( ) ] 1+
0.4 24
24
−1
× 100 = 4.69%
,0.- ¿Qué cantdad es necesario deposiar a8ora en una cuena de inversiones de un Ianco* !ue pa"a un rendimieno del 11$ anual de modo !ue se pueden retrar ()).)) al &nal del a'o 1* (1*,)).)) al &nal del a'o ,* (9*#)).)) al &nal del a'o 0 5 la cuena !uede a"oada+
Datos P = ¿? i = 11% anual n = 3 años F1 = $-00.00 F2 = $1,200.00 F3 = $4,500.00 P=
F1 = $-00.00
i = 11% anual
F3 = $4,500.00
n = 3 años
P = ¿? 700
F
F2 = $1,200.00
1200
4500
= + + = $630.63 9-3.94 3290.36 = $4,94.93 n 1 2 (1 +i ) (1+ 0.11 ) (1 + 0.11 ) (1 + 0.11 )3
≈
$4,95.00
La cantidad que debe ser depositada es $4,895.00
,9.,9.- na person persona a 8a solici soliciad ado o a un ban banco co un prés présamo amo !uiro" !uiro"ra ra/a /ario rio por la can cantda tdad d de (1,*))).)). El banco para ese tpo de crédio oor"a un pla%o de un mes 5 cobra una asa de inerés del 1<.#$ anual 5 una comisin por aperura de crédio del ,$B ano los inereses como la comisin los descuenan del mono del présamo 5 enre"a la di/erencia al acrediado. ¿ul es la asa e/ectva de inerés inerés en esa ransaccin+ ransaccin+
Datos: P = $12,000.00 i = 1.5% anual n = 1 mes i)F =
[(
1+
0.185 12
)−] 12
1 × 100 = 20.15%
a tasa ee!">a #e intes es #e 20.15% ,#.- 7e necesian ( 1,;*,)).)) al cabo de 1 a'os. 7e sabe !ue lo meFor es e/ecuar depsios depsios anuales i"uales en una cuena sobre la cual se puede "anar ;$ de inerés anual compueso. El primer depsio deber 8acerse al &nal del primer a'o. a? ¿Qué cantdad debe planearse como pa"o =deposio? anual para lo"rar el obFetvo+
P=
A =
F n
(1 +i )
=
129,200
= $29,54.65
(1+ 0.09 )17
P
( 1 +i )n−1 n i (1 + i)
A =
29,854.65
(1 +0.09 )17−1 = $3494.3- $3,494.00 7onto #e &a8os anuales 17 0.09 ( 1 + 0.09 ) ≈
)l monto #el &a8o #e !a#a año se;a $3,949.00 b? En ve% de 8acer pa"os anuales* se decide 8acer un solo pa"o acumulado el de 8o5* a &n de lo"rar el obFetvo de reunir (1,;*,)).)) al &nal de 1 a'os* ¿ul deber2a ser esa cantdad ="ana el ;$ anual compueso sobre la cuena?+ P
=
F n
(1 +i )
=
129,200
= $29,54.65
(1+ 0.09 )17
)sta !an"#a# seia $29,55.00 ,6.- 7e puede comprar un pa"aré de (1,*<0#.)). 7i lo compra recibir 1) pa"os anuales de (,*))).)). El primer pa"o se deber de recibir denro de un a'o a partr de 8o5. ¿Qué asa de rendimieno o/recer ese pa"aré+
Datos: P = $12,35.00 i = ¿? ( = $2,000.00 n = 10 años años 12,3520,000 = 0.641- = 64.1-% a tasa #e en#imiento en#imiento se #e 64.1-% ,.- n esudiane universiario es ineresado en aprovec8ar el sisema credilaniG para ad!uirir una compuadora personal personal 0<6 7K* las condiciones son las si"uienes: n en"anc8e de (1*))).)) 5 ,9 pa"os mensuales &Fos de (1;).)) 7i el precio de conado de la P es de (0*0)).)) ¿ul es el coso de ese &nanciamieno* eGpresado en asa e/ectva de inerés+ i nerés+
i = 5560 3300'3300' = 6.4% i)F =
[(
1+
0.6848 24
)−] 24
1 × 100 = 96.64%
a tasa ee!">a #e intes se;a #el 96.64% ,<.- 7e puede comprar un bono en (1*))).)) !ue no pa"ar inereses inereses durane sus < a'os de vida. 7in embar"o* endr un valor de (,*199.)) al vencimieno. ¿Qué asa de inerés "anar "anar si compra el bono 5 lo conserva 8asa su vencimieno+
Datos: P = $1,000.00 F = $2,144.00 i = ¿? F E i = 1144
→ i = 11442144 = 53.35%
)l intes ue 8anaa si !om&a el *ono es #e 53.35% ,;.- El 01 de diciembre el se'or Luan Mraciano compr un erreno en (<)*))).)) dando un en"anc8e del #)$ 5 conviniendo en pa"ar el saldo en dos a'os* en abonos semesrales i"uales =capial > inereses?. En los abonos se car"ar car"ar una asa de inerés compueso del 1<$ anual sobre saldos insoluos. a? ¿ul es el mono de los pa"os semesrales+ b? Elabore una abla de amort%acin donde se muesre el pa"o de capial e inereses.
Datos: P = $40,000.00 i = 1% anual 9% semestal' n = 2 años = 4 semestes
i = 9% semestal
( = ¿?
( = ¿?
( = ¿?
n = 4 sem
P = $40,000.00
=
A
P n
( 1 + i ) −1 i (1 + i) n
=
A
40000
(1 +0.09 )4 −1 = $12,346.-4 $12,34-.00 7onto #e &a8os 4 0.09 ( 1 + 0.09 ) ≈
semestales
Peio#o 1 2 3 4
Pa8o Gotal +emestal $12,34-.00 $12,34-.00 $12,34-.00 $12,34-.00
G(H( D) (IJG
+al#o
0).- 7i en una cuena de a8orros se pa"a el <$ anual con capiali%acin semesral se deposiaron (1*))).)) anuales durane # a'os. ¿Qué cantdad se acumular2a al &nal del a'o 1)* si el primer deposio se 8i%o al &nal del a'o 1+
Datos: ( = $1,000.00 i = % anual a&. en: 0.02 = 0.04
i = % anual a&. +em.'
( = $1,000.00
F = ¿?
n = 5 años
n = 5 años = 10 semestes F = ¿? F = A ×
[
( 1 + i )n−1 i
]=
1,000 ×
[
( 1 +0.04 )10−1 0.04
]=
1,000 × 12.00 = $12,000.00
(l nal #el año 10 se a*n a!umula#o $12,000.00 01.- ¿Qué cantdad es necesario deposiar a8ora en una cuena de inversiones !ue pa"a el 11.#$ anual compueso para acumular al &nal del !uino a'o (,)*))).))+ F = $20,000.00 i = 11.5% anual Datos:
P = ¿? i = 11.5% anual n = 5 años F = $20,000.00 P
=
F n
(1 +i )
=
n = 5 años P = ¿? 20,000
(1+ 0.115 )5
= $11,605.2 $11,605.00 ≈
a !an"#a# ue es ne!esaia #e&osita es $11,605.00 0,.- ¿ul es el ama'o de 6) mensualidades 5 de # anualidades !ue resulen de la compra de un edi&cio con valor de (1*)))*))).))* si la asa de inerés es del 16$ anual 77 * 5 las condiciones de compra son 6)$ de en"anc8e* 5 el reso se repare por i"ual en mensualidades 5 anualidades =el pla%o del crédio es de cinco a'os?+
Datos: P = $600,000.00 i = 16% anual n = 5 años = 60 meses F = ¿? F(nuali#a#es = P ( 1 + i)n =600 , 000 ( 1 + 0.16 )5 = $1,260,204.99
1,260,205 −600 , 000 600 , 000
$1,260,205.00
≈
= 1.1
60 Fensuali#a#es = P ( 1 + i)n =600 , 000 ( 1 + 0. 011 = $1,156,699.60 011 )
≈
$1,156,-00.00
00.- na persona deposia en una cuena de inversiones (1*))).)) anuales durane # a'os* al &nal de los cuales retra la miad de la cantdad acumulada. Poseriormene* deposia (,*))).)) anuales durane 9 a'os en la misma cuena* siendo el saldo acumulado retrado al &nal del a'o 11. 7i la cuena de inversiones se "ana el 1)$ anual* ¿Qué cantdad seria retrada+:
a' ¿(l nal #el uinto año? F=
A ×
[
( 1 + i ) −1 n
i
]
=1,000 ×
[
( 1 +0.01 )5−1 0.01
]
=1,000 × 5.10 = $5,100.002 = $2,550.00
*' ¿(l nal #el año 11? F = A ×
[
( 1 + i ) n −1 i
]=
2,000 ×
[
( 1 +0.01 )4 −1 0.01
]=
1,000 × 4.06 = $4,060.00 2,550.00 =
$6,610.00
09.- n rabaFador universiario pide un présamo a la caFa de a8orros de la instucin por (9<).)). 3a caFa de a8orros tene esablecidas las pol2tcas si"uienes al oor"ar crédio a sus a&liados: a? obra un inerés simple del 1,$ anual* en el cual descuena del mono m ono del présamo.
isim&le' = P E i E n' = 40 E 0.12 E 1' = $5-.60 b? obra una comisin del 1$ del mono del présamo* la cual ambién es desconada de la cantdad soliciada en crédio.
omisin = 40 E 0.01' = $4.0 c? 3a cantdad resulane después de desconarle inereses 5 comisiones se enre"a al acrediado.
40 5-.60 4.0 = $41-.60 d? El pla%o es a un a'o* con pa"os &Fos !uincenales de (9<).))N,9 !uincenas A (,).)) !uincenales.
( = $20.00 ¿ul es la asa e/ectva de inerés !ue cobra esa caFa de a8orros+ 7i la asa de inHacin esperada durane el mismo periodo ser de 1)$* ¿ul ser la asa real de inerés !ue le cobran a ese rabaFador universiario+ EGpli!ue el resulado.
i)F =
ir
[( ) ] 1+
=
0.12 24
24
−1
× 100 = 12.-1%
( i−ii ) (0.12−0.1 ) = = 0.019 = 1.9% 7(oB una tasa &osi">a #el 1.9% ( 1 +ii ) ( 1 +0.1 )
0#.- na persona pidi (#)*))).)) presados a un banco el 1# de ocubre. Debe pa"ar el présamo en 16 pa"os mensuales i"uales* los d2as 1# de cada mes* comen%ando el 1# de noviembre. 7i el inerés se calcula al 1$ mensual sobre saldos insoluos =77?* ¿uno debe pa"ar cada mes+
Datos: P = $50,000.00 i = 1% mensual n = 16 meses ( = ¿?
i = 1% mensual
n = 16 meses P = $50,000.00
( = ¿?
=
A
P n
( 1 + i ) −1 i (1 +i) n
¿
50000
( 1+ 0.01)16−1 16 0.01 (1 + 0.01 )
¿ 3397.22
$3,39-.00
≈
a &esona #e*e &a8a $3,39-.00 !a#a mes.
06.- na compa'2a local del &nanciamieno presar al propieario de una casa (1)*))).)). Esa cantdad deber pa"arse en ,9 pa"os mensuales de (9;;.)) cada uno. El primer pa"o deber 8acerse en 0) d2as después de recibir los (1)*))).)) ¿Qué asa de inerés le esn cobrando+
Datos: P = $10,000.00 n = 24 meses = 2 años ( = $499.00 × 24 = $11,9-6.00 i = 11,9-6 10,000'10,000 = 19.-6% a tasa #e intes ue se est !o*an#o es #e 19.-6% 0.0.- na compa' compa'2a 2a compr compr una Hotlla Hotlla de au auos os compa compaco coss en (1#6*) (1#6*))). )).)). )). Oi%o Oi%o un pa"o pa"o inmedi inmedia ao o en e/ect e/ectvo vo de (1)*)) (1)*))).) ).)) ) 5 1, pa"os pa"os mensual mensuales es de (1,*; (1,*;,.) ,.)) ) cad cada a uno uno.. ro ro concesionario le 8abla o/reciendo un &nanciamieno para la misma compra cobrndole cobrndole inereses del ).#$ mensual sobre saldos insoluos. ¿Qué o/era deber2a 8aber acepado la compa'2a+
Datos Ieta 1': P = $156,000.00 F = 10,000 12,9-2 × 12' = $165,664.00 Datos Ieta 2': P = $156,000.00 F = P ( 1 + i )n =156,000 ( 1 + 0.75 )1 = $2-3,000.00 )n !on!lusin &o#emos #e!i ue la !om&añ;a #e*e;a a*e a!e&ta#o la oeta #el &ime !on!esionaio, Ca ue &a8aa menos inteeses. 0<.- ¿Qué cantdad de dinero necesia pa"arse denro de res a'os* si se reciben presados 8o5 (#*#)).)) al 1#$ anual capiali%ado rimesralmene+ rimesralmene+ F = ¿?
Datos: P = $5,500.00 i = 15% anual a&. Gimes. = 0.154 = 0.03-5 n = 3 años = 12 timestes P = $5,500.00 F = ¿? F = P ( 1 + i)n =5500 ( 1 + 0.0375 )12 = $,554.99
i = 15% anual
a&. Gimes. = 0.03-5
≈
$,555.00
a !an"#a# ue ne!esita &a8ase #ento #e tes años es $,555.00
n = 12 timestes
0;.- ¿ !ué asa de inerés compueso anual sobre saldos insoluos le presaron a una persona !ue recibi (,,*))).)) 5 uvo !ue 8acer cuaro pa"os anuales i"uales de (*))).))+ ( *))).))+ F = $2,000.00
Datos: P = $22,000.00 n = 4 años F = $2,000.00 i = ¿?
i = ¿?
n = 4 años
P = $22,000.00
i = 2,000 22,000'22,000 = 2-.2-% a tasa #e intes !om&uesto anual ue #e 2-.2-% 9).- ¿ul es el valor presene de las si"uienes series de pa"os esperados:
a' $3,500.00 al año #uante #uante 4 años, al 9% anual !om&uesto. F = A ×
[
( 1 + i ) n −1 i
]=
3,500 ×
[
( 1 +0.09 ) 4−1 0.09
]=
3,500 × 4.57 = $15,995.00
*' $1,000.00 mensuales #uante un año, al 12%. F=
A ×
[
( 1 + i ) −1 n
i
]
=1,000 ×
[
( 1 +0.12 )12−1 0.12
]
=1,000 × 24.13 = $24,130.00
91.- na persona invirt (1*))).)) a una asa de inerés del 10$ anual durane un a'o 5 en ese mismo periodo la asa de inHacin /ue del 1)$. ¿ul /ue el rendimieno real !ue obuvo esa persona+ EGpli!ue el resulado. F = ¿?
Datos: P =$1,000.00 i =13% anual inAa!in ii' = 10% n = 1 año Gasa eal #e intes i'= ¿? ir =
i = 13% anual
< = ¿?
n = 1 año
P = $1,000.00
( i−ii ) (0.13− 0.1) = = 0.02- = 2.-2% 7(oB una tasa &osi">a #el 2.-2% ( 1 +ii ) ( 1 +0.1 )
Jen#imiento sin inAa!in n
F = P ( 1 + i )
Jen#imiento !on inAa!in n
1
F =1000 ( 1 + 0.13 ) F =1130
F = P ( 1 + i )
1
F =1000 ( 1 + 0.027 ) F =1027
)n *ase a la inoma!in &esenta#a nos &o#emos #a !uenta ue la inAa!in inAuCe en el
en#imiento en#imiento #e la in>esin, esto se #e*e al ee!to ee!to #el >alo #el #ineo en el "em&o. Po lo ue en !on!lusin &o#emos #e!i ue el en#imiento eal ue o*tu>o esa &esona ue #e $1,02-.00. 7i se 8ubiese dado el caso de !ue la asa de inerés 8ubiera sido del 1)$ 5 la asa de inHac inHacin in del 10$ ¿Qué ¿Qué 8ub 8ubier iera a pasado pasado+ + ¿Qué ¿Qué rendi rendimie mien no o real real obuv obuvo o baFo baFo esa 8ipesis+ EGpli!ue el resulado. F = ¿?
Datos: P = $1,000.00 i = 10% anual inAa!in ii' = 13% n= 1 año Gasa eal #e intes i' = ¿? ir =
ii = 13%
i = 10% anual < = ¿?
n = 1 año
P = $1,000.00
( i−ii ) (0.1−0.13 ) = = /0.026 = /2.65% ( 1 +ii ) (1 +0.13 )
Jen#imiento sin inAa!in
7(oBo una tasa ne8a">a ne8a">a #e 2.65%
Jen#imiento !on inAa!in
n
F = P ( 1 + i )
n
F = P ( 1 + i )
1
F =1000 ( 1 + 0.1 ) F =1100
1
F =1000 ( 1 +(−0.026 )) F =974
(l analiNa los #atos C #e i8ual manea ue en el &lanteamiento anteio nos &o#emos #a !uenta ue el en#imiento eal ue se o*tu>o *aBo esa i&tesis ue #e $9-4.00.
9,.- ¿Qué cantdad es necesaria deposiar en una cuena de inversiones en una instucin bancaria !ue pa"a el 1,$ anual con capiali%acin mensual para acumular (1,*#)).)) al &nal de dos a'os+ F = $12,500.00 i = = 12% anual Datos:
P = ¿? i = 12% anual a&. ens. = 0.1212 = 0.01 n = 2 años = 24 meses P = ¿? F = $12,500.00 P
=
F n
(1 +i )
=
12,500
(1+ 0.01)24
Cap. Mens = 0.01
n = 1 año
= $9,44.5- $9,45.00 ≈
a !an"#a# ue es ne!esaio #e&osita en la !uenta #e in>esiones es $9,45.00 90.- ¿uno se endr denro de res a'os en una cuena de a8orros !ue pa"a el <$ anual con capiali%acin semesral* si 8o5 se deposian (1*))).))+ F = ¿?
Datos: P = $1,000.00 i = % anual a&. +em. = 0.02 = 0.04 n = 3 años = 6 semestes F = ¿? F=
P
i = % anual !on a&. +em.
n = 3 años
P = $1,000.00
(1 +i ) =1000 (1 + 0.04 )6 = $1,265.31 n
≈
$1,265.00
Dento #e tes años se ten# la !an"#a# #e $1265.00 99.- na persona 8a soliciado un crédio por (,)*))).)) en una "encia de vena de auos usados para comprar un auomvil usado. Esa "encia le concede un pla%o de 1, meses para el pa"o. 3e cobra un inerés del 0$ mensual "lobal* 5 deermina las mensualidades de la si"uiene /orma:
ensuali#a#: 20,000.00 E 0.03 E 12' 20,000.00'12 = $2,666.-0 ¿ul se;a la tasa #e intes ee!">a ue le estn !o*an#o en este nan!iamiento? Datos: P = $20,000.00 i = 3% mensual n = 12 meses = 1 año ( = $2,666.-0 F = $32,000.4 i)F =
( + ) − 1
0.03
12
12
1 × 100 = 3.04%
a tasa #e intes ee!">a seia #e 3.04% 9#.9#.- ¿Qué ¿Qué es ms ms conv conven enie ien ne: e: reci recibi birr un 1,$ 1,$ con con capi capia ali li%a %aci cin n anua anual* l* o un 11$ 11$ con con capiali%acin mensual+
( una &esona le !on>en#;a ms in>e" en #on#e le oe!iean un 12% !on !a&italiNa!in anual, Ca ue la !an"#a# #e #ineo ue o*ten#;a al nal #el &eio#o seia maCo ue la #e 11% !on !a&italiNa!in mensual. )Bem&lo +u&uesto #e 1 año': a&. (nual #el 12%
a&. ensual #el 11%
n
F = P ( 1 + i )
n
1
F =1000 ( 1 + 0.12 ) F =1120
F = P ( 1 + i )
12
F =1000 ( 1 + 0.009 ) F =1009
96.- na persona se encuenra en res alernatvas de recibir un pa"o: 1? Oo5 recibir (1))*))).)) ,? 7iene anualidades de (,1*;,9.1)* recibiendo la primera anualidad denro de un a'o.
0? 4ecibir denro de a'os la cantdad de (,,1*)6<.,) 7i la asa de inerés !ue se usa para decidir alernatvas &nancieras es del 1,$ anual* ¿ul alernatva tene ma5or valor+
1' F = 2' F =
P
3'
P
(1 +i ) =100,000 (1 +0.12 )7 = $221,06.14 n
A ×
=
[
( 1 + i ) −1 n
i
F n
(1 +i )
=
]
=21,924.10 ×
221,068.20
(1 +0.12 )7
[
( 1 + 0.12 )7−1 0.12
= $100,000.02
]
≈
$221,06.20
=21,924.10 × 4.57 = $221,192.50
$100,000.00
≈
)n *ase a la inoma!in mosta#a &o#emos !on!lui ue toman#o en !uenta la tasa #e intes &esente, la o&!in 1' C 3' "enen el mismo >alo, &o lo ue la meBo altena">a es la 2' Ca ue su&ea la !an"#a# es&ea#a.
4-./ Ona #eu#a &o >alo #e $Q es !ontai8a en t=0. +i el intes ue se !o*a es #el 10% C los &a8os ue se a!o#aon a!e son #e $5,000.00, $4,000.00, $3,000.00, $2,000.00 C $1,000.00 en t=6, -, , 9, C 10 es&e!">amente, #etemine el >alo #e $Q.
9<.- 7e puede comprar una obli"acin 8ipoecaria de (1,*<)).)). 7i la compra recibir 1) pa"os anuales de (,*))).)). El primer pa"o se deber recibir denro de un a'o a partr de 8o5. ¿Qué asa de rendimieno rendimieno o/rece la inversin en esa obli"acin 8ipoecaria+
20,000 12,00'12,00 = 56.25% a tasa #e en#imiento ue oe!e la in>esin es 56.25% F = P ( 1 + i)n =12,800 (1 + 0.36 )10 = $-,12.0
≈
$-,129.00
9;.- na persona recibe presados (1)*))).)) al 1#$ anual sobre saldos insoluos* a un pla%o de # a'os* a pa"os anuales i"uales de capial ms inereses. 7i 8ace res pa"os anuales i"uales 5 decide li!uidar el saldo del présamo al &nal del cuaro a'o* ¿uno deber pa"ar en esa /ec8a+
Datos: P = $10,000.00 i = 15% anual +.+.<. n = 5 años = 60 meses
P = $10,000.00 i = 15% mensual
n = 5 años
=
A
P n
( 1 + i ) −1 i (1 + i) n
¿
( = ¿?
10000
(1 + 0.15 )5−1 = $2,93.15 $2,93.00 7onto #e &a8os anuales 5 0.15 (1 + 0.15 ) ≈
3 &a8os anuales: 293
× 3 = $,949.00
293 × 5' 949' = 5966 ( nales #el mes 11 ten#;a ue &a8a $5,966.00 &aa liui#a la #eu#a.
#).- na persona inviere (1)*))).)) a una asa de inerés del 1)$ anual durane un a'o 5 durane ese mismo periodo la asa de inHacin /ue del 6$. ¿ul es la asa real de inerés !ue obuvo esa persona+ EGpli!ue el resulado. F = ¿?
Datos: P = $10,000.00 i = 10% anual inAa!in ii' = 6% n= 1 año Gasa eal #e intes i' = ¿? ir =
i = 10% anual
ii = 6%
< = ¿?
n = 1 año
P = $10,000.00
( i−ii ) (0.1−0.06 ) = = 0.03-- = 3.--% ( 1 +ii ) (1 +0.06 )
7(oBo una tasa &osi">a #e 3.--%
Jen#imiento sin inAa!in Jen#imiento !on inAa!in n
F = P ( 1 + i )n F = P ( 1 + i ) 1 F =10000 ( 1 + 0.1 ) 1 F =10000 ( 1 + 0.0377 ) F =11,000 F =10,377
omo se muesta en el eBem&lo, el en#imiento sin toma en !uenta la inAa!in es maCo, es &o la manea en ue inAuCe la inAa!in #ento #el en#imiento #el #ineo a ta>s #el "em&o. #1.- na persona deposia al &nal de cada mes* durane dos a'os la cantdad de (,*))).)). 7i la cuena de inversiones le pa"a un rendimieno del 1,$ anual con capiali%acin mensual* ¿uno se abra acumulado al &nal del se"undo a'o+
Datos: P = $2,000.00 i = 12% anual a&. ens. = 0.1212 = 0.01
F = $12,500.00 i = 12% anual n = 2 años P = ¿?
a&. ens. = 0.01
n = 2 años = 24 meses F= ¿?
F = A ×
[
( 1 + i )n−1 i
]=
2,000 ×
[
( 1 +0.01 )24 −1 0.01
]=
2,000 × 26.9734 = $53,946.92 ≈ $53,94-.00
(l nal #el se8un#o año a* a!umula#o la !an"#a# #e $53,94-.00 )n !on!lusin, al nal #el se8un#o año la &esona ten# a!umula#a la !an"#a# #e $53,9-2.00, toman#o en !uenta la !a&italiNa!in mensual. #,.- na persona re!uiere de un présamo de (#*))).))* los cuales pa"ar en 1, mensualidades i"uales. Dispone de dos alernatvas:
a' e &estan el #ineo al 3% mensual +.+.<. F = P ( 1 + i)n =5,000 ( 1 + 0.03 )12 = $-,12.0
≈
$-,129.00
*' e &estan el #ineo al 2% mensual 8lo*al, intees sim&le ue lo suman al &stamo C la !an"#a# esultante la #i>i#en ente 12, C ese es el &a8o mensual. ( = PE i En' P'12' P'12' = 5000E0.0 5000E0.02E12' 2E12'5000' 5000'12 12 = 516.66 516.66 7ensual 7ensuali#a# i#a# F = 516.66 × 12 = 6199.92 $6,200.00 ≈
¿Ru altena">a la !on>iene? Po lo tanto le !on>iene meBo la altena">a *' Ca ue al nal >en#;a &a8an#o menos inteeses so*e el &stamo. #0.- na persona 8a soliciado un présamo de (6*))).)) a una asa de inerés del ,$ mensual 7.7.. 5 a un pla%o de dos a'os. Esa persona va a e/ecuar pa"os mensuales i"uales =capial > inereses?. 7i después de reali%ar 1) pa"os mensuales* decide pa"ar en un solo pa"o el saldo de la deuda* ¿uno endr2a !ue pa"ar a &nes del mes 11+
Datos: P = $6,000.00 i = 2% mensual +.+.<. n = 2 años = 24 meses
P = $6,000.00 i = 2% mensual
n = 2 años
=
A
P n
( 1 + i ) −1 i (1 + i) n
¿
( = ¿?
6000
(1+ 0.02)24 −1 = $31-.22 $31-.00 7onto #e &a8os mensuales 24 0.02 ( 1 + 0.02 )
10 &a8os mensuales: 31- × 10 = $3,1-0.00 31- × 24' 31-0' = 443
≈
( nales #el mes 11 ten#;a ue &a8a $4,43.00 &aa liui#a la #eu#a.
