Capitulo Ec acio acione ne
ejemplo,
dife difere renc ncia iale les; s; po
dy dx
dx
dife difere renc ncia iale le
3y
0,
dy
2y) dx,
(x
EI orden
etc.
el lineales
difere renc ncia ia es toda toda relacion ecuacion dife ni de ivad ivadas as dife difere re cial ciales es ue atis atisfa face ce identicamente la ecuacion, La solucion general ecuacion dife difere renc ncia ia de orde orde es aque aquell ll solucion qu cont contie iene ne el maximo rnimero cons n) de cons Una solucion
tante tante
O. gl(y gl(y
arbi arbitr trar arias ias
(Ver (Ver Probl Problem emas as 1-3.)
ecuacion ariabl bles es on separables 0, la aria
fl
sgl
h(x)
Un
func funci6 i6
dx
escribir la
f,,(x)
(Ver (Ver Prob Proble lema ma
02(Y)
es
si
es homogenea, si
4-6.)
La ecua ecuaci ci6n 6n is
son homogeneas
La sustituci6n
x,
dx
dy
(Ver (Ver Prob Proble lema ma 7- .)
terminos
integrables.
solucion
y,
grante de la ec aci6 aci6n. n.
metodo
(Ver (Ver Prob Proble lema ma Py
lame lament nte, e, tien tien como como fact factor or inte inte rant rant
e(x)
e'p4.I.
z,
dx 11'1
funciones (Ver
siendo
Py
yl-n
Q, siendo
dx
de
Prob Proble lema ma
func funcio ione ne de
:::!=
10-14.)
15-1 15-17. 7.
unicamente
ECUACIONES
336
DIFERENCIALE
mo
(a)
(c)
3x
2e", (b)
x)
3x resulta, v' x-
x~
(c)
C1e"
/:1.
ac
al
dada (solucio
solament
do
C.
Calx
(C e"
'e••
Cx'-x
er
ad
(!-'~
=~
sea
XI_X
Czx
r'
C. resulta,
y'x C., v"
3C
6C
%,
y'"
lY
contiene tres constantes arbitraria
Oz.
Luego
dx
Operando,
xyZ xyl(l
xl)dy
dv dx
y3
x'
211'\!1+y x'(l
yl
y3)dx
y3
Tendremo
2y'·
l)
dy
Resolver
2yy"
constante
2y'l
2yy"
dy
B, siendo
Ax
yl
2yy'
1I ya)1 re')'
dy
+-
x(1
11
r8(1
y3)a
(1
)3
x'
ag ar
dx
6~
~a
c.
dx
yl
l)
0,
y' dy -_,.
soluclones
ua
es
Clx·
erivando do veces, obtenemo
so
ci
x)
cial en soluciones particulates,
gene al result
xy'"
constantes arbitraria
2e".
y"
obtenemos r'
Dirivando
y"
e" e"
ac
ci (a)
C.
r"
C1x resulta, eOO- x)
La solucien (e) solucion genera arbitrarias. La soluciones (a) (b)
(b)
leo: O.
x)
(b)
(a)
e" -I C. x, siendo
leo: resulta, y'
(a)
(tp
resueltos
Problemas '.
[CAP,
C)
x+
arbitrarias.
6C
on
nt
dy
dx sen'
cos' Resolver
yl)
sec'
esc'
dy
dx
dx,
La ecuacion es ho ogenea
2x
el ca bi
In Ixj
In c,
sen
'I haciendo
C'
ylx,
Luego
Xl dv
(2 dx
I'X dx)
dv)
XI co
vx cos dv
In C',
ys
l) dy
9.
1.
l)
VX,
sen
dv obteriemos
dx
(x dy
'I
sen y(vx dx
dy
31n [x]
{~
Resolver
VX,
J_
dx
YX
Luego
8.
tas
'I
dv obtenemos
dx
(Xl dv cos
0,
sen
sen
dy
dx
dv
xy sen ylx
C,
dx
lx
La (l-2v )(vdx
xdv)
1-21'1
0,
2vdx
v(3 _2VI)
dx 0,
dv
dv
3v)-
-2 In C'
In Luego
'I y(3x
21'1)
10. Integrando
(x Integrando
y) dx
(yl
Xl dx
(y dx
x dx -
O.
x)dy=
:" sen y) dx
C.
l)
termino, obtenemos
y' dy
:" cos
(y
y dy -
(e-'" cos
dy
dx
y-
La expresion dy=s
dx
Xl
3. Resolver
dy
sen
lx dx
14•. Resolver
Xl
2x
dx
2x dx
y -
=;
ecuacion dada por $(x)
Cx.
dx
In
ev
d(ln xy)
x'
dx.
x~ez dx
Lueso, multiplicando.
C,
O. ~(x) =,.t obtenemos
Luego,
seny
dx dx nos
dx
dL
x'
Coy
c.
0,
dx) r'
(.!_)
dx
y -
La expresion dy
2x'dx.
-t£xy
O.
ix Resolver
~I
2e
C.
dy
3x
dx
x'e" dx,
ecuacion dada por :(x, y)
ECUACIONES DlFEREN IALES
Resolver
dy
':-4J.1~
[CAP.
6x·,
),
Aqul P(x)
In
P(x) dx
E(x)
l!
~(x)
x' obtenemos
..
Jr
ca
NOla
an el en
eI
c o m bi N lc iO n i nt eg ra b le .
Nota
eg an In
CXI.
de
x· dy
6x· dx Luego, x·y
2xy dx
eg an
pr
em
er
x'
c.
ac l, 3X',
nc
P(x)
ix',
sec x. cot cot x)
uego en
Resolver
dy
xy
Aqu( P(x) Luego,
esc x,
-ix
P(x) dx
_~/i.:'dx
e"';,II ..
dy
esc x, sen
sen
E(x)
:" ..• dx
aciend
el cambio -I
l-
-I
cos
dx
dx
--e-
..
C,
x.
dx
e="
ye-1la.I
yl
sec
dy
e'P-
el cambio
-I
E(x)
C,
sen
C.
dx
(Es
e-·dz-zfr"dx
tag
xe-·
sec x. 2z tag
Z, y-I:
e-I,u
COSI
d..
=cos' x. Luego, cos'
2z co
sen
dx
dx
COSI
C.
nd
49
ze-·
ce
__!_
es
en
na
c.
0 1 = 0 ,
-xe-·dx
X.
po segundo.
0,
lsen x]
teen
2.
e-'-
dy dx
Para
1n
dx
y-I,
tag
Para
~(x)
e~/~.
Qy" con
Z, -I
E(x)
aciend
In [sen x]
xyl. Py
dy dx
dy
dx
x.
-x,
Resolver dx
cot
P(x) dx
2V49
2";-;-=
100
100 kilograrnos. Se introduc extrae
AP
ECUA IONE
339
en el deposito al
Sea tidad
DIFERENC ALES
';00
de variacion
de dicha can-
t.
el tiem
1,
Q,QJq
l.~ -0,03'1
In
dt, -----0 03---
Para
0,
50
c.
=«
In 1,5
----0,00;
100
Para
50e-°.o
90,
50
de 30 minuto
ha
Sea
Para Para
0,
Para
90,
ns
30,
75 grarnos,
azucar
tran formad
nt da
e-G·031
53,35 kg.
50e-
condiciones, el azucar
ciertas
In
--O,03t
media.
minutos,
k(75
q), 75 d!_
8, 30k
In 75; In 75 .-In
In
C.
-k
q)
In 75.
q)
decir,
67,
rO.0038').
-= 21,6 grarnos.
Problemas propuestos Cx
(0)
(b)
Cx'
C'
(e)
C'x
2x y' r'
y -
(e)
(y')2
]x
sen
(g)
Cae
C1e
(f
Sol. (b)
CtX'
(g)
y'"
y" -I
lOy
2y
(f
C,cosx
C1e cos (3x
tz
Resolver: (0)
ydy-4xdx
(b)
y2 dy
~c),
3x
dx
I)y'
(x'
(h)
(x
(i)
x(x
(j)
Sol.
3x
Sol. y2
25.
(k)
dy
(I)
x'y'
2xy dy
(3y
dy
La tangent
xe 2Z dx
In Iyl
-I 2y+
Cx
)'2
Ce=r"
Sol.
In [Cx] (Ce%-
Sol. 2X
1)e2z
3x
en
P(x, y),
MP y2
100-1
X2
Sol. e·
dx
la
roblem ve
Cx2y
Sol.
I-
Sol. (0) xy 6. Resolver el
2y 2x
Sol.
(a) TP c=
Ind. dq
Sol.
(x-y)dx
dx
xy
Sol. In Ixyl
y)dy-y~dx
dy
3x'
(y
y2) dx y)dy
Sol. 2y Sol.
x)
(g)
4X2
4)
xly'
(d)'
Sol. ya
ad
(c) TP
OP
(d) NP
C,
suponiendo eposit Sol. 6,7 kg.
N,
al eje
en
respectivamente,
OP. y2
lleg agua pura
IS litros po minuto
que la mezcla
Capitulo OS TI
ECUA
(1)
ONES
(V
f(x)
(2)
Pr blem
X,
(3)
f(y)
dx
R, siendo
Pax+
constantes
un
onst nt
solamente. ri
Pm
P~dx -+ Qy
general de-
dx2
es
c.e=
m,
Clemj_"
,x
xemx
-frxcio
Qy
defun-
-1£-
complementaria
Qy
(x). Sif(x)
funcion comp!ementaria
}.
-"x
Tenemos
Luego, xp
Xy"
Hacemos
cos
xe dy dx dy -d
Hacernos
entonces-
-----
-d
O.
=:
cos
-2"X
dx
~-
sen
xe
2e"-
a.
In Ixl
y'
(x
0cu
-d
YI
dp
ll
~--*-
dy
~a
Yl
dp d',. uego, xp
f(x).
cos x.
xe/
y, xiix2
la soluci6n
distintas,
10
dp
dy dx
-4"X
340
dx
2'
C,
C••
141 Resolver
O. (y'S)
obtenemos
2y'
u"
4yy',
::0:
dy
Luego,
dx,
y2y'
Y2y2
CI'·-
Resolver Multiplicand (y')2
po
dy
Tendremos
I,
clez
ci
dx
"'
O.
l3y
4m
3;
l3
cos ax
sen ax, tendremo
sen 3x)
{(C
Tenemos rn
dy
dx
dx
C. (cos 3x
sen 3x}
sen 3x)
Cleiz
4m
e- 4r
3(2Ax
B)
Bx 4(Ax'
C, Bx x,
Luego
~
y'
B, y"
2Ax
R(x)
ui
Bx
Ax
Ax
CsXe"".
O.
4y
Xl,
2A
sen 3x,
sen 3x)}
C1e"
Sustituyendo
cos
;"
4y
dy dx
dl
sen
i(C
3x
e·% (A cos 3x
2-
cos 3x
3i
e!lz{C (cos 3x
day
C.e-4x
O.
dy
·"
Resolver
dx,
ClY·
3m
Resolver
10.
ydy
O.
4y
dy dx
Tenemos rn
y3
ClY'
3m
dx
Luego
~ _
dx
dx
Aqui
2y'y"
dy
y'
dx
Resolver
obtenemos
2y'
A,
cu
2A,
di eren (2A
C)
1,
-4A
A -
H,
0, 2A
3B
4C
ob
B-
O.
es un integral pa ticular. le
C.r4r
x·.
en
os x~
ci
2 : en
Cle-'"
t -
C2e~.
cos
Sustiluyendo cial oblenemo
sen x,
1,
B)
ol
eral
cornple-
sen x,
cos .t
2B
Cle-%
Bsen x)
co
2B) sen
2(A-
0,
sen x. en I a e e ua c i o
-A cos
sen
B) cos
-2(2A
La
m -
2(Bcos x-
COS
Luego -2(2A
CO!
sen
cos (-A
3y
cos
cos
1/
cos
C.e
sen
-lit
y.
16$ el ns
t. Si para
0,
1, hallar
Tenemos rn
0,
Para
0,
A, po tanto
Para
0, dsjdt
cos 41 os 41
sen 41
elon
t,
±4i,
-8
diferen-
sen 4/.
sen 4/.
cos 41
co 41
sen 4/ 25041
~:
0, hallar
2504
4m
0;
-2
La nt
-2
110/2504
Para
0,
Para
dI 0, dl
0,044; luego
sen SOt)
Ot-
de
de cadena Sea (a)
0,044.
-0,044. SOB) cos
e- [(-2A
sen 50/).
0,044.
r21 (A cos SO
Por
(A cos 501
(2B
50A) se
501]
--e-ZI (0,044 co 501
,_2A
SOB.
0,0018 se 501)
0,044.
(0)
(b)
fuerza
Fuerza
ma:sa
aceleraci6n
ms"
Imgs
t·
Para
0,
Para
4, s'
O. Luego
s'
s'
iV15g mjseg. dl
vs
In
Is
v'Si"=T
Para
0,
In(s
Para
4,
v'TI) sec.
(e el instant
lVi· v ' S 2
2'
lVi/.
O. HaIlar
0)
Sea
segundos, ms'
=Ks'
-ks'
AP
PO'
Para
0,
Para
0,
,.r
Luego
0.
20e-·/5,
ds dt
0,
O. Luego C.
Para
fuerza masa
,.
100,.
24
20e- /'
.r
-IOOt-1/
C•.
·/ ).
75 m.
100(1
Proble
as
ropuesto
Resolver: 16.
dly dxl 4(e4Z
el> d:'
18.
dly dx'
19.
: 1 ; -
20.
Sol.
dx
4x
3-+
Sol.
2x
dx
21. x---
2Z
e-'
CIX Clx
Sol.
sen 3x
Sol.
x,
C.x· /3
C2
C. C. C2
Cce'
Sol.
x·+C.x·+C.
Sol.
c,«
Sol.
C.e-'·
24
Sol.
C.
25
Sol.
C.xe·
Sol.
C. cos 3x
Sol.
c· (C. cos 2x
C. sen 2x)
Sol.
e"<(C. cos
C. sen x)
Sol.
C,e=
Sol.
C. sen 2x
Sol.
C.e'x
Sol.
Cce'
22
8x'
C.
Cc«
Sol.
dy dx
dx
6y
(l""2
26
dly dxl
911
27
dx
28
ely
29.
d'}!_
30.
(ix'
el'y
dy
6x ear
4y ell!
31. 32.
5y
d'y
cos 2x
se
2x
C.e
Cce:"
c,«
c,« C. sen 3x
se :"
2x
C. cos 2x
r/
e'r
Cs xe
C.e-
s2
0, Ind. Sol. Si
Si
sea dl
-dl c·,
votrM. V.
vet-b
senVc -b
2h dt
c-s
0,
O.
s'
