EAS KALKULUS 2 (4 SKS) Selasa, 23 Mei 2017 07.00-08.40 WIB
≤≤
1. Dapatkan luas kulit benda putar yang terjadi jka kurva berada Solusi
diputar terhadap garis
Perhatikan sketsa kurva
| |
||
̅, |2| ′ 1 ∫ ̅ ∫ 11 ′ ′ 1 ∫ ∫ 11 ′ 0≤≤2 2 ′ 1 11 1 1 ∫ ∫ √ √ ∫ ̅ ∫ 11 ′ ∫ √ √ 1 1 ∫√ √ √ √ 222 22√ √ √ √ 22 1
yang yang
Dengan menggunakan galil Guldin II kita perlu mencari titik pusat panjang busur dari kurva
, , misalkan titik titik pusatnya
maka maka untuk mencari
titik pusat pada suatu panjang busur
Karena yang diminta kurva pada interval
Kritik & saran : mid.firmansyah
maka kurva yang dipakai
′ 1 2 1 1 2 2 √ ∫ ∫ ∫ ∫ 1′ ∫ 1 1 ∫ √ 2 22√ √ 22 1 1,1 3 2 2 0≤≤2 2√ 2 2 2×2×2√ 2 8√ 2 Sehingga titik pusat panjang busur Misalkan
adalah jarak titik pusat panjang busur dengan garis
maka
Sehingga dengan menggunakan dalil guldin II, dan kita tahu bahwa pajang
busur kurva
pada interval
adalah
(dalil Phytagoras)
2. Diberikan bidang datar homogen yang dibatasi oleh kurva
dan
a. Sketsa daerah tersebut
b. Hitung luas daerah tersebut c. Tentukan titik berat dataran tersebut
d. Dengan menggunakan dalil Guldin, tentukan volume benda putar yang terjadi jika dataran diputar terhadap garis Solusi a. Sketsa daerah
Kritik & saran : mid.firmansyah
1 8 32 2 24 2[4 ]2[8 ] 30 3 3
b. Hitunglah luas dataran tersebut.
c. Tentukan titik berat datarn tersebut
Karena dataran tersebut simetri terhadap sumbu-y akibatnya selanjutnya akan dicari -
̅ 0
. Maka
Mencari momen statis terhadap sumbu-x
1 1 − 2 64128− 2 4 − 12 4 Sehingga
2 [64 5 ] 5 128 3253 1285 × 323 125
Sehingga titik pusat daerah dataran homogen tersebut
0,
82 0, 20 1280 12 8 5 √ 2 1 2825 √ 5 2× 2825 √ 5 × 323 1792√ 75 5
d. Dengan menggunakan dalil Guldin, tentukan volume benda putar yang terjadi jika dataran diputar terhadap garis -
Mencari jarak titik berat
dengan garis
Maka dengan menggunakan dalil guldin
Kritik & saran : mid.firmansyah
, misalkan jaraknya
3. Dapatkan luas dataran yang merupakan irisan dari kurva dengan
Solusi
Kedua kurva tersebut berbentuk Cardioda Sketsa gambar
2 2 4 4 12 44cos321cos 3212cos c os cos21 1 1 3212cos 22si n si n 2 2464 2 2 4 2 0 2464 Sehingga luasAN yang dimaksud sebesar
Kritik & saran : mid.firmansyah
satuan luas
,
4. Dapatkan semua paramater yang menyebabkan kurva mempunyai garis singgung horsontal.
Solusi Karena kurva parametrik tersebut memilki garis singgung horisontal maka gradien garis singgungnya sama dengan 0 atau
Sehingga
0 3 3024 21 0 210 ⟺ 12 ∑ = !
5. Gunakan uji rasio untuk menentukan apakah deret berikut
Konvergen atau divergen Solusi Misalkan
3 ! + 3 + 3 3 3 1 ! + lim→ l→i m 3! l→i m 1! × ! l→i m 1. 3! × 3! l→i m 13 0 0<1 ∑ 3 = !
Maka dengan menggunakan uji rasio
Karena
Maka dapat disimpulkan
Konvergen
Kritik & saran : mid.firmansyah
EAS KALKULUS 2 (4 SKS) Selasa, 24 Mei 2016 07.00-08.40 WIB 1. Diberikan dataran yang dibatasi oleh kurva a. Sketsa dataran tersebut.
dan
.
b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika dataran tersebut diputar pada garis
Solusi
a. Sketsa dataran tersebut
3
b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika dataran tersebut diputar pada garis
Untuk mempermudah perhitungan gunakan dalil Guldin I,
̅ , 2 1 2 4 2 2 ∫ ∫ ̅ ∫ 2 ∫ 2 3 134 200 343 1 1 1 1 2 8 1 1 2 2 ∫ ∫ ∫2 2 2 ∫ 2 10 2 13 320 0 1543 25 Maka kita harus tahu titik pusat dataran dan luasan dataran tersebut, misakan titik pusat dataran terebut
Kritik & saran : mid.firmansyah
maka
1, 1 4 2 2 3 3 0 3 22 53 × 43 409
Sehingga titik pusat datarannya Luasan dataran
Jaraka titik pusat ke sumbu putar
Maka dengan menggunaka dalil Guldin I
2. Dapatkan luas kulit benda putar yang terjadi jika busur astroida
,
kuadaran I diputar pada sumbu-x Solusi
Sketsa gambar
Misalkan
′ 2 1 ( ) ′ maka luas kulit kurva
Diketahui
Maka jika diturunkan cara implisit diperoleh
Sehingga
Kritik & saran : mid.firmansyah
pada interval
0,
adalah
2 1 ′ 2 1 ( ) ⟺2 2 ⟺2 − ⟹ ⟹
Misalkan Untuk Untuk
0 ⟹ ⟹0 3 − 2 2 . 2 2 2 3 3 5 0 3 × 5 × 65
Dengan menggunakan metode subtitusi
Luas kulit benda putar
satuan volume
3. Dapatkan luas daerah irisan lingkaran Solusi
Sketsa grafik
Kritik & saran : mid.firmansyah
dan kardioda
3cos1cos ⟺2cos1 ⟺cos 512 ⟺ 3 , 3 1 1 22 1cos 2 3cos 1cos 9cos cos2 1 cos2 1 12cos 9 2 2 2 2 2si n 14 sin2 12 3014 sin2 12 23 2 7√ 83 3π4 9√ 83 5π4 14 √ 3 − ≤≤ − − − − − 3 9 10 ⟺√ 1 0 − √ 310 −1 { }= Titik potong kedua kurva
Luas yang diarsir
4. Diberikan kurva dalam bentuk koordinat polar
. Tentukan panjang
kurva tersebut untuk Solusi
Misalkan panjang kurva yang dibentuk adalah
5.
a. Tuliskan lima suku pertama dari barisan berikut
b. Selidiki apakah barisan tersebut merupakah barisan yang monoton ? c. Selidiki apakah barisan tersebut konvergen ? Solusi
Kritik & saran : mid.firmansyah
4 2 { 31}= 1,2,3,4,5 63 , 198 , 3178 , 6296 , 13902 4 2 31 41 2 4 2 + 14842 31 311 4 2 21331 31 86 431 2 531212 53 ≥0, ∀ ∈ℕ 4 53 ++≥ ≥0
a. Tuliskan lima suku pertama dari barisan berikut
Suku pertama dari barisan tersebut ketika Sehingga kelima suku tersebut
b. Selidiki apakah barisan tersebut merupakah barisan yang monoton ? Diberikan
Pada poin a, dari suku pertama sampai suku ke lima
merupakan barisan
yang monoton naik.
Tinggal kita selidiki pada untuk setiap bilangan asli
juga merupakan
barisan yang monoton naik.
Sehingga diperoleh
‘
Jadi kesimpulannya barisan tersebut monoton naik. c. Selidiki apakah barisan tersebut konvergen ?
⟶∞
Untuk mengecek apakah sebuah barisan konvergen atau tidak , carilah limitnya untuk
Maka karena untuk
⟶∞
4 2 4 l→im 31 limitnya mendakti suatu nilai maka dapat
disimpulkan bahwa barisan tersebut konvergen, konvergen ke 4
Kritik & saran : mid.firmansyah
SOAL –SOAL DAN PEMBAHASAN
; 4 dan 4
1. Buat sketsa daerah yang dibatasi oleh kurva –kurva dapatkan luasanya. Solusi
daerah yang dibatasi oleh kurva –kurva
dan
4 √ 4 4,5 ≤ (√ 24) 45 ( 4) 4 √ 3 4 412 454 23 252 20 162 16 16
Misalkan bahwa
dan
Karena pada interval
dapat dilihat
, sehinggga
Jadi luasan daerah yang diarsir adalah satuan luas
2. Dapatkan volume benda padat yang dihasilkan bila daerah yang dibatasi oleh dan
diputar terhadapa garis
Solusi
.
Sketsa grafik Berdasarkan gambar disamping,
2 4 0( ) 24 25615 s a t u an gunakan metode cincin
Jadi volume yang dihasilka satuan volume
Kritik & saran : mid.firmansyah
, ,
. , 0 0, ℎ ℎ 0 ⟹ 0ℎ 0 ℎ ′ ′ =2 1 = 2 ℎ 1 ℎ 2ℎ ℎ 2 ℎ ℎ2ℎ ℎ 2ℎ ℎ0 2ℎ ℎ ℎ ℎ 2ℎ ℎ ℎ[ 2ℎℎ ℎ]2 ℎ 2 ℎ √ ℎ ,
3. Dapatkan luas permukaan yang dibentuk oleh garis yang mengubungkan titik Solusi
yang diputar terhadap garis
Persamaan garis yang menghubungkan titik
Kita tahu bahwa
Catatan :
dan
luas permukaan kulit(K)
Permasalahan diatas sama halnya dengan mencari luas suatu permukaan selimut sebuah kerucut dengan jari-jari
dan panjang garis pelukisya
.
4. Dapatkan titik berat volume benda putar yang terjadi jika daerah daerah yang dibentuk oleh lingkaran pusat
jari-jari dikuadran I diputar
terhadap sumbu-x Solusi
Sketsa gambar
Berdasarkan gambar diatas misalkan persaman lingkaran Kritik & saran : mid.firmansyah
,
→ 1 4 → 0 − 23 1 4 ̅ 23 38 , dan 23 0 0 ,0 Sehingga
Sehingga titik berat volumenya
.
5. Diberikan daerah S yang dibatasi antara kurva
tersebut dilintasi suatu garis
dan
. Jika daerah
Tentukan nilai sedemikian hingga garis
membagi daerah S menjadi dua daerah yang memiliki luas yang sama !
Solusi Ilustrasi Gambar
12 2 16 2 4 1 32 23 3 2 3 0 3 16 2 2 3 3 3 43 163 ⟹ 4 4 √ 16 √ Perhatikan gambar disamping garis
membagi daerah S menjadi
luasan yang sama jika dan hanya jka
N
sehingga
6. Dengan menggunakan metode cakram tentukan volume sebuah bola dengan jari-jari r. Solusi
Misalkan diberikan persamaan suatu lingkaran atas seperti dibawah ini :
Kritik & saran : mid.firmansyah
, dengan sketsa
− 1 − 1 [ 13 2 ] 4 [ 3 3 ][2 3 ] 3 − ≥ −
maka dengan menggunakan metode cakram, diperoleh volumenya
7. Perhatikan daerah sumbu-x dan kurva
untuk
, diputar terhadap
sumbu x. Tentukan volume benda padat yang dihasilkan. Solusi
Perhatikan grafik
dibawah ini
− ≥0 − l→im − li→m [ 12 − 0]
Sehingga berdasarkan gambar diatas, maka luasan dari diperoleh (Dengan menggunakan metode cakram)
Kritik & saran : mid.firmansyah
untuk
⇔li→m [ 12 − 12] 12 ⇔2142 223 ⇔ 1 22
8. Dapatkan titik berat keping datar homogen yang dibatasi oleh kurva dikuadran IV.
Solusi
Berdasarkan persaaman diatas diperoleh suatu parabola dengan grafik sebagai berikut :
0 0 1⟺ 122 2⟺23 2 0 ⟺1 1202 4 ⟺1±2 ⟺3 atau 1
Titik potong terhadap sumbu x ,
Titik potong terhadap sumbu y,
1 ̅, ⟹ ⟺Massa √ 4 21 √ 4 2 1
Karena yang diminta daerah pada kuadran VI maka Misakan
titik berat dataran yang dimaksud
Kritik & saran : mid.firmansyah
1 ⟺[ 3 4 2 10.5 10.5] 56 ⟹ 4 2 12053 ⟺ (√ 4 21)√ 1 ⟹1 7 ⟺ 2 2 (√ 4 21) 12 53 ̅ 12056 12053 × 65 10053 7 5612 127 × 65 107 , , l n Sehingga
Jadi titik berat keping homogennya di
9. Dapatkan volume benda putar kurva dikuadran I
Solusi
Perhatikan sketsa grafik
Kritik & saran : mid.firmansyah
jika diputar terhadap garis
4 ln 4ln l n 4 2ln1 4
Berdasarkan fakta diatas maka volume benda putar
4l n32ln4 0 4 1 3 8 32l3n4 8
Maka volume benda putarnya
Satuan volume
+ =∑ ! + 3 ∑ 1+9 34 =∑ 12+11! 9 34 =∑ 12 1 ! 4 = 2 1! sin + 3 ⋯ 3 sin 34 =∑ 12 1 ! 4 3! 5! 7! 4 +!9 34 =∑ 121 1 4 =∑ 121+!3+ 14 3 33! 35! 37! ⋯ sin3
10. Tunjukkan bahwa
∞
Solusi ∞
∞
∞
Berdasarkan bentuk taylor dari ∞
∞
∞
berdasarkan identitas trigonometri
sin33sin4sin 34 sin 14 sin 3sin + 3 1 1 9 sin 4 =∑ 2 1! Maka
Jadi terbukti
∞
Kritik & saran : mid.firmansyah
