Práctica N˚ 3: Intervalos de confianza
β α/ 2
α/2 0.4
0.2667
3
0.5333
0.2
Intervalos de confianza
OBJETIVOS Conocer el significado de los intervalos de confianza. Calcular el intervalo de confianza para la media. Calcular el intervalo de confianza para la diferencia de medias. Calcular el intervalo de confianza para la varianza y para el cociente de dos varianzas. Calcular el intervalo de confianza para proporciones. Calcular el tamaño de muestra. TEMAS A TRATAR
Intervalos de confianza. Muestreo. Tratamiento de los intervalos de confianza en una hoja de cálculo. DURACIÓN DE LA PRÁCTICA
Dos sesiones (4 horas).
MARCO TEÓRICO
1. Intervalos de confianza Un intervalo de confianza especifica el rango dentro del cual debería estar contenido el parámetro desconocido. Una estimación por intervalo 1, es la estimación de un parámetro θ dentro de un intervalo de extremos cerrados [a, b],donde los números a y b se obtienen a partir de la distribución de la estadística que estima puntualmente el parámetro; y a partir de los valores de la muestra. muestra. Simbólicamente Simbólicamente se tendría: La interpretación del del intervalo de confianza confianza es como sigue: Si a partir de los datos de una muestra aleatoria de tamaño n, hemos construido el intervalo a ≤ θ ≤ b con grado de confianza, por ejemplo, del 95% para el parámetro θ, entonces, si se seleccionan repetidamente 100 muestras de tamaño n, tendremos 100 intervalos semejantes al
1
Propuesto por J. Neyman en 1937.
intervalo [a,b], y se confía que 95 de estos 100 intervalos semejantes contenga el parámetro θ.
2. Intervalo de confianza para la media 2.1. Estimación para la media con varianza poblacional conocida Cuando n ≥ 5% de N
µ = x ± z α / 2
σ
µ = x ± z α / 2
n
σ
N−n
n
N −1
1-α α /2
α /2 −Ζ α /2
0
+Ζ α /2
a
X Intervalo de µ
b
2.2. Estimación para la media con varianza poblacional desconocida a) Muestras de tamaño inferior o igual a 30 (n < 30) – Se debe cumplir que los datos provienen de una población normal. µ = x
S
± t ( α ;( n −1 ))
n
b) Muestras de tamaño superior a 30 (n ≥ 30)
µ = x ± z α / 2
S n
2.3. Intervalo de confianza para la varianza de una población normal ( n − 1)S2 ( n − 1)S2 I= , 2 2
χ α / 2
χ1− α / 2
2.4. Intervalo de confianza para la razón de dos varianzas poblacionales normales
I=
S22 S12
×
1
S 22
, × Fα / 2 ( n 1 − 1, n 2 − 1) Fα / 2 ( n 2 − 1, n 1 − 1) S12
2.5. Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias a) Cuando las varianzas son conocidas
I = ( X1 − X 2 ) ± Zα / 2
σ12 n1
+
σ 22 n2
b) Cuando las varianzas son desconocidas
Caso I: (n1 + n2 < 30) y varianzas poblacionales desconocidas pero iguales. I = ( X1 − X 2 ) ± Tα / 2
1 1 S + n 1 n 2 2 p
2 p
S =
( n 1 − 1)S12 + ( n 2 − 1)S 22 n1 + n 2 − 2
Caso II: (n1 + n2 < 30) y varianzas poblacionales desconocidas y distintas. 2
I = ( X1 − X 2 ) ± Tα / 2 (g )
σ12
+
n1
S12 S22 n + n 1 2 g= 2 −2 2 2 2 S1 S2 n 1 + n2 n1 + 1 n 2 + 1
σ 22 n2
Caso III: (n1 + n2 ≥ 30) y varianzas poblacionales desconocidas. I = ( X1 − X 2 ) ± Z α / 2
S12 n1
+
S 22 n2
2.6. Intervalo de confianza para una proporción p = pˆ ± z α / 2
pˆqˆ
p = pˆ ± z α / 2
n
pˆqˆ
N−n
n
N −1
2.7. Intervalo de confianza para la diferencia entre dos proporciones poblacionales.
I = ( pˆ 1 − pˆ 2 ) ± z α / 2
pˆ 1qˆ 1 n1
+
pˆ 2 qˆ 2 n2
2.8. Tamaño de muestra
z ⋅ s n= E
2
n=
zα 2σ 2 N 2
2
2
zα σ + e ( N − 1 )
z n = p( 1 − p ) E
2
3. Ejemplos de aplicación. Ejemplo Nro 1
Un productor de orégano embasado, distribuye sus productos en bolsas de 50g. El dueño de un supermercado desea verificar si los contenidos de las bolsas de orégano es el mismo del que se menciona en la etiqueta, para ello ha seleccionado una muestra de 32 bolsas. Encontrar el intervalo de confianza para la media. ��������
����
��������
����
1 2 3 4 5 6 7 8 � 10 11 12 13 14 15 16
52 50 51 50 4� 47 45 50 4� 48 48 50 4� 48 4� 50
17 18 1� 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2� 30 31 32
50 4� 48 50 4� 51 50 51 4� 48 4� 54 4� 52 50 50
Procedimiento
1º. Se colocan los datos en excel y se calcula la media y la desviación estándar de la muestra.
X
=
4�.5
� � 1.626
���������(�2��33)
��������(�2��33)
2º. Luego se busca el valor de z en tablas o en excel.
95%
2.5% -1.96
2.5% 0
1.96
3º. Se halla el intervalo de confianza. µ =
49.5 ± 1.96 ×
µ =
49.5 ± 0.56
1.626 32
I = [ 48.94 , 50.06] Como conclusión se puede observar que 50g pertenece al intervalo encontrado. Otra forma de calcular el intervalo de confianza es utilizar funciones de excel.
Ejemplo Nro 2
Se toma una muestra del proceso productivo del llenado de gaseosas personales de la marca Super Kola para su tamaño mediano de 400 ml. Calcular el intervalo de confianza para la media. Se colocan los datos en excel:
Luego se calcula el intervalo de confianza.
Pero en excel se tiene un segundo procedimiento cuando se trata de la distribución t de student. Se carga el complemento
Se activan las siguientes opciones:
Esta opción es la que nos calculará la amplitud del intervalo de confianza.
Luego el resultado es: �������
�����
3�6.75
����� ������
1.30340463
�������
3�7
����
3��
���������� ��������
4.5151260�
�������� �� �� �������
20.3863636
��������
�0.3024186�
����������� �� ���������
0.07510�85
�����
15
������
3�0
������
405
����
4761
������
12
����� �� ���������(�5.0%)
2.86877425
Se suma y resta el valor de nivel de confianza (Amplitud del intervalo) al valor de la media. ��
Ejemplo Nro 3
Resolver el ejercicio 2 en SPSS. Solución Se introducen los datos en SPSS.
�3�3.88
,
3��.62�
Luego se activa el comando:
Se seleccionan las opciones siguientes:
Luego de presionar aceptar, el resultado es: Descriptivos Estadístico Volumen
Media Intervalo de confianza para la media al 95%
396.7500 Límite inferior
393.8812
Límite superior
399.6188
Media recortada al 5%
396.6667
Mediana
397.0000
Varianza
20.386
Desv. típ.
4.51513
Mínimo
390.00
Máximo
405.00
Rango
15.00
Error típ. 1.30340
Amplitud intercuartil
5.50
Asimetría
.075
.637
Curtosis
-.302
1.232
Nota: SPSS utiliza la distribución t-student para calcular el intervalo de confianza.
ACTIVIDADES
DE LA PRÁCTICA
1.
Se estima que una población tiene una desviación estándar de 10. Ha de evaluarse la media de la población dentro de 2, con un nivel de confianza de 95%. ¿Qué tamaño se requiere para la muestra?
2.
Se quiere estimar la media poblacional dentro de 5, con un nivel de confianza de 99%. La desviación estándar de la población se determina que es 15. ¿Qué tamaño debe tener la muestra?
3.
El valor de la proporción de población ha de estar entre ±0.05, con un nivel de confianza de 95%. El mejor cálculo de la proporción de la población es 0.15. ¿Qué tamaño se requiere para la muestra?
4.
La estimación de la proporción poblacional se encuentra entre t t).10, son un nivel de confianza de 99%. El mejor cálculo de la proporción de población es 0.45. ¿Qué tamaño necesita tener la muestra?
5.
Se planea una encuesta para determinar el tiempo promedio que los ejecutivos de una corporación ven la televisión. Un estudio piloto Indicó que el tiempo medio por semana es de 12 horas, con una desviación estándar de 3 horas. Se desea estimar el tiempo medio dentro de un cuarto de hora, utilizando el grado de confianza de 0.95. ¿Cuántos ejecutivos deben incluirse en el estudio?
6.
Supóngase que el presidente de un país desea un estimado de la proporción poblacional que apoya su política actual con respecto a una nación pequeña como Haiti.Tal funcionario desea que el cálculo se encuentre dentro de 0.04 de la proporción verdadera. Suponga un nivel de confianza de 95%. El secretario de Estado del gobierno estimó la proporción del apoyo a la política actual en 0.60. a) ¿Qué tamaño se requiere para la muestra? b) ¿De qué tamaño tendría que ser la muestra si el cálculo del secretario de Estado no estuviera disponible?
7.
Una muestra aleatoria de 85 dirigentes de grupo, supervisores y personal similar en una empresa reveló que, en promedio, una persona permanece 6.5 años en el puesto antes de que se le promueva. La desviación estándar de la muestra fue 1.7 años. Elabore un intervalo de confianza de 95%.
8.
Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 25 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3.
9.
Se quiere conocer la estancia media de turistas internacionales en el hotel Libertador con el fin de estudiar una ampliación del mismo. Se tiene datos referidos a la estancia expresados en días de 600 turistas, obteniéndose un promedio de 12,3 días con una desviación estándar de 8 días. Hallar el intervalo de confianza al 95% para la estancia media.
10. Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más
pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas. 11. De una población de 3000 empleados de una empresa industrial se seleccionó una m.a. de 300 para que participen en una encuesta. Entre los comprendidos de la muestra. 240 manifestaron que estaban satisfechos por completo con todas las condiciones laborales de la empresa. Construir el intervalo de confianza del 95% para la proporción real que opinan de esta manera. 12. Una m.a. de 400 domicilios mostró que el 25% de ellos son casas de alquiler. Hallar un intervalo de confianza del 98% para la proporción P. 13. Una determinada comunidad esta compuesta de 1,200 unidades habitacionales. De una muestra elegida a la zar de 200 unidades resultó que 50 necesitaban reparaciones urgentes. Construir el intervalo de confianza de 90 % para la proporción real de las unidades que necesitan reparación. 14. Después de recolectar una muestra de 250 elementos de una población con una desviación estándar conocida de 13.7, se encuentra que la media es 112.4. a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media. b) Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la media. 15. La enfermera de la secundaria de Westview está interesada en conocer la estatura promedio de los estudiantes del último año, pero no tiene suficiente tiempo para examinar los registros de los 430 estudiantes. Por ello, selecciona 48 al azar y encuentra que la media de la muestra es 64.5 pulgadas y la desviaciones estándar es 2.3 pulgadas. a) Encuentre la estimación del error estándar de la media. b) Construya un intervalo de confianza del 90% para la media. 16. La Autoridad para la Televisión por Cable de Nebraska (ATCN) realizó una prueba para determinar el tiempo que las personas pasan frente al televisor por semana. La ATCN encuestó a 84 suscriptores y encontró que el número promedio de horas que ven televisión por semana es 11.6 horas con una desviación estándar de 1.8 horas. a) ¿Cuál es la desviación estándar de la población estimada para esta población? (Existen cerca de 95,000 personas con televisión por cable en Nebraska.) b) Calcule el error estándar estimado de la media. c) Construya un intervalo de confianza del 98% para la media de la población. 17. Joel Friedlanderes un corredor de la Bolsa de Valores de Nueva York y tiene curiosidad acerca del tiempo que transcurre entre la colocación de una orden de venta y su ejecución. Joel hizo un muestreo de 45 órdenes y encontró que el tiempo medio para la ejecución fue 24.3 minutos, con una desviación estándar de 3.2 minutos. Ayude a Joel con la construcción de un intervalo de confianza del 95% para el tiempo medio para la ejecución de una orden. 18. La jefa de policía, Kathy Ackert , recientemente estableció medidas enérgicas para combatir a los traficantes de droga de su ciudad. Desde que se pusieron en funciona miento dichas medidas, han sido capturados 750 de los 12,368 traficantes de droga de la ciudad. El valor promedio, en dólares, de las drogas decomisadas a estos 750 traficantes es $250,000. La desviación estándar del valor de la droga de esos 750 traficantes es $41,000. Elabore para la jefa Ackert un intervalo de confianza del 90% para el valor medio en dólares de las drogas que están en manos de los traficantes de la ciudad.
19. Pascal Inc., una tienda de computación que compra al mayoreo chips sin probar para computadora, está considerando cambiar a su proveedor por otro que se los ofrece probados y con garantía, a un precio más alto. Con el fin de determinar si éste es un plan costeable, Pascal debe determinar la proporción de chips defectuosos que le entrega el proveedor actual. Se probó una muestra de 200 chips y 5% tenía defectos. a) Estime el error estándar de la proporción de chips defectuosos. b) Construya un intervalo de confianza del 98% para la proporción de chips defectuosos adquiridos. 20. General Cinema obtuvo una muestra de 55 personas que vieron Caza Fantasmas 8 y les preguntaron si planeaban veda de nuevo. Sólo 10 de ellos pensaron que valía la pena ver la película por segunda vez. a) Estime el error estándar de la proporción de asistentes al cine que verán la película por segunda vez. b) Construya un intervalo de confianza del 90% para esta proporción 21. La encargada de publicidad para el nuevo postre garapiñado de lima-limón de los productos Clear'n Light está intranquila por el mal desempeño del postre en el mercado y por su futuro en la empresa. Preocupada porque su estrategia de comercialización no ha producido una identificación apropiada de las características del producto, tomó una muestra de 1,500 consumidores y encontró que 956 de éstos pensaban que el producto era una cera para pulir pisos. a) Estime el error estándar de la proporción de personas que tuvo esta grave interpretación errónea del postre. b) Construya un intervalo de confianza del 96% para la proporción verdadera de la población. 22. Hace poco Snack More encuestó a 95 consumidores y encontró que el 80% compraba galletas sin grasa de Snack More cada mes. a) Estime el error estándar de la proporción. b) Construya un intervalo del 95% de confianza para la proporción verdadera de personas que compran las galletas cada mes. 23. El dueño de la empresa Home Loan Company investigó aleatoriamente 150 de las 3,000 cuentas de la compañía y determinó que el 60% estaba en una posición excelente. a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la proporción de cuentas que están exposición excelente. b) Con base en el inciso anterior, ¿qué tipo de estimación de intervalo podría dar para el número absoluto de cuentas que cumplen con el requisito de excelencia, manteniendo el mismo nivel de confianza del 95%? 24. Durante un año y medio las ventas han estado disminuyendo de manera consistente en las 1,500 sucursales de una cadena de comida rápida. Una empresa de asesores ha determinado que el 31% de una muestra de 95 sucursales tiene claros signos de una mala administración. Construya un intervalo de confianza del 98% para esta proporción. 25. Barry Tumbull, el famoso analista de WallStreet, está interesado en conocer la proporción de accionistas individuales que planean vender al menos un cuarto del total de sus valores el mes próximo. Barry ha efectuado una inspección aleatoria de 800 individuos que poseen acciones y ha establecido que el 25% de su muestra planea vender al menos la cuarta parte de sus acciones el mes siguiente. Barry está a punto de publicar su esperado informe mensual, "Pulso de Wall Street: indicador de cotizaciones", y le gustaría poder dar un intervalo de confianza a sus lectores. Está más preocupado por estar en lo correcto que por el ancho del intervalo. Construya un
intervalo de confianza del 90% para la proporción verdadera de accionistas individuales que planean vender al menos un cuarto de sus acciones durante el siguiente mes. 26. Una muestra de 12 elementos tiene una media de 62 y una desviación estándar de 10. Construya un intervalo de confianza del 95% para la media de la población. 27. Se obtuvo una muestra aleatoria de 12 cajeros de banco y se determinó que cometían un promedio de 3.6 errores por día con una desviación estándar muestral de 0.42 errores, Construya un intervalo del 90% de confianza para la media de la población de errores por día. ¿Qué suposición está implícita acerca del número de errores que cometen los cajeros? 28. Physicians Care Group opera varias clínicas que atienden sin cita. Los expedientes de los pacientes indican la hora en que llega a la clínica y la hora en que un médico atiende a ese paciente. El administrador Val Likmer acaba de recibir una desagradable llamada telefónica de un paciente que se quejó de una espera excesiva en la clínica de Rockridge. Val saca 49 expedientes al azar de la semana pasada y calcula un tiempo de espera promedio de 15.2 minutos. Un estudio anterior de gran escala del tiempo de espera en varias clínicas obtuvo una desviación estándar de 2.5 minutos. Elabore un intervalo de confianza para el tiempo de espera promedio con nivel de confianza del a) 90%. b) 99%. 29. Construya un intervalo de confianza para la media y la varianza de la siguiente muestra que se tomo de una población normal. 75.3
76.4
83.2
91.0
80.1
77.5
84.8
81.0
30. Extraída una muestra de 30 piezas, dio los siguientes pesos: 250
265
267
269
271
275
277
281
283
284.
287
289
291
293
293
298
301
303
306
307.
307
309
311
315
319
322
324
328
335
339.
Por medio de la construcción de intervalo de confianza, responder si ésta muestra satisface la especificación por la cual el peso medio debe ser 300kgr, Use α=5%. Calcular l intervalo de confianza para la varianza. 31. Gotchya es un centro de entretenimiento con instrumentos láser donde adultos y adolescentes rentan equipo y se enfrentan en un combate simulado. La instalación se usa a toda su capacidad los fines de semana. Los tres dueños quieren evaluar la efectividad de una nueva campaña de publicidad dirigida a aumentar su utilización entre semana. El número de clientes en 27 noches aleatorias entre semana está dado en la siguiente tabla. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para el número medio de clientes en una noche entre semana. 61 59 61 Halle también un
57 53 60 64 50 60 60 57 54 50 54 61 intervalo de confianza para
57 54 58 63 58 62 63 60 51 53 62 57 la varianza y la desviación estándar.
32. Los contenidos de una muestra aleatoria de 5 latas de café instantaneo de un productor han dado los siguientes pesos netos en gramos: 280
290
285
275
284
a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de los contenidos de todas las latas de café del productor. b) ¿Con que grado de confianza se estima que el contenido promedio de café tenga los limites de confianza 277.432 y 288.168 33. El encargado de compras de una cadena de restaurantes tiene que escoger entre dos variedades de arroz A y B. Selecciona dos muestras aleatorias independientes de 10 bolsas de arroz de un kilo de cada tipo y encuentra los siguientes porcentajes de granos quebrados por cada kilo:
A B
6 7
5 6
6 7
7 9
4 5
7 8
6 7
4 6
3 10
6 8
Estimar mediante un intervalo de confianza del 95% la diferencia promedio de porcentajes de granos quebrados por kilos de arroz de las dos variedades. ¿Se puede aceptar que no hay diferencias significativas entre las dos medias poblacionales?. Suponga que los porcentajes de granos quebrados por kilo en cada variedad se distribuyen normalmente con la misma varianza. 34. Se lleva a cabo un estudio para comparar el tiempo que tardan hombres y mujeres para realizar determinada tarea. Las experiencias anteriores indican que la distribución de tiempos tanto para hombres como para mujeres es normal con varianzas diferentes. Una muestra aleatoria de 9 hombres y 8 mujeres han dado los siguientes tiempos en minutos: Hombres 12 28 10 25 24 19 22 33 17 Mujeres 16 20 16 20 16 17 15 21 Mediante un intervalo de confianza del 95% para la verdadera diferencia de los promedios de tiempos de hombres y mujeres, ¿se puede concluir que los hombres emplean mayor tiempo que las mujeres para hacer la misma tarea? 35. Un fabricante afirma que su nuevo producto de consumo popular prefieren más los hombres que las mujeres. Para comprobar tal afirmación, se toma una muestra aleatoria de 250 hombres y 200 mujeres y se encuentra que 175 hombres y 120 mujeres prefieren el nuevo producto. Utilizando un intervalo de confianza del 95% para la verdadera diferencia de proporciones de preferencias entre los hombres y las mujeres, ¿Se puede concluir que el fabricante del nuevo producto tiene la razón? 36. Se quiere estimar la diferencia entre los promedios de tiempos en minutos que utilizan los hombres y las mujeres para realizar un test de aptitud. Se aplica el test a 20 hombres y 25 mujeres dando las medias respectivas de 110 y 100 puntos. Suponga que las dos poblaciones son normales con varianzas respectivas iguales a 100 y 64. a) Determine el intervalo de confianza del 98% para la diferencia de las medias. b) Es valida la afirmación µ1 – µ2 = 13 37. Un inversionista hace un estudio para elegir una de dos ciudades del interior del país para abrir un centro comercial. Escoge 21 hogares de la ciudad 1, determinando una media de $400 y una desviación estándar de $120 y escoge 16 hogares de la ciudad 2 calculado la media en $350 y la desviación en $60. Suponga poblaciones normales con
varianzas diferentes. Mediante un intervalo de confianza del 95%, ¿Se puede afirmar que son iguales los ingresos promedios de las dos ciudades?
EJERCICIOS 1. Un procesador de zanahorias corta la parte superior verde de cada una, las lava luego y coloca seis por paquete. Se colocan veinte paquetes en una caja para su envío. Se revisan algunas cajas para determinar su peso. El peso promedio fue de 20.4 libras (lb), y la desviación estándar, de 0.5 lb. ¿Cuántas cajas debe maestrear el procesador para tener un 95% de seguridad de que la media muestra no dif iera de la media poblacional en más de 0.2 Ib? 2. De 50,000 válvulas fabricadas por una compañía, se retira una muestra aleatoria de 400 válvulas, y se obtiene una vida media de 800 horas y una desviación estándar de 100 horas. ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la media de la población? 3. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96% para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa. 4. La prueba de corte sesgado es el procedimiento más aceptado para evaluar la calidad de una unión entre un material de reparación y su sustrato de concreto. El artículo “Testing the Bond Between Repair Materials and Concrete Substrate” informa que, en cierta investigación, se obtuvo una resistencia promedio muestral de 17.17 N/mm2, con una muestra de 12 observaciones de resistencia al corte, y la desviación estándar muestral fue 3.28 N/mm2. Utilice un nivel de confianza inferior del 95% para estimar la media real de la resistencia al corte. 5. En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90% de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienen consecuencias fatales. 6. Suponga que las alturas de los alumnos de la Facultad de Ingeniería de sistemas tienen distribución normal con σ =15 cm. Fue retirada una muestra de 100 alumnos obteniéndose una altura media de 175 cm. Construir el intervalo de confianza para la verdadera altura media de los alumnos con 95% de confianza? 7. Una muestra de 300 habitantes de una ciudad mostró que 180 deseaban agua filtrada. Encontrar los límites de confianza de 90 % y 95% para la proporción de la población favorable a la filtración. 8. El gerente de la división de bombillas de la Cardinal Electric debe estimar el número promedio de horas que durarán los focos fabricados por cada una de las máquinas. Fue elegida una muestra de 40 focos de la máquina A y el tiempo promedio de funcionamiento fue 1,416 horas. Se sabe que la desviación estándar de la duración es 30 horas.
a) Calcule el error estándar de la media. b) Construya un intervalo de confianza del 90% para la media de la población. 9. Jon Jackobsen, un pasante de postgrado muy dedicado, acaba de terminar una primera versión de su tesis de 700 páginas. Jon mecanografió el trabajo por sí mismo y está interesado en conocer el número promedio de errores tipográficos por página, pero no quiere leer todo el documento. Como sabe algo acerca de estadística para la administración, Jon leyó 40 páginas seleccionadas de manera aleatoria y encontró que el promedio de errores tipográficos por página fue 4.3 y la desviación estándar de la muestra fue 1.2 errores por página. a) Calcule el error estándar estimado de la media. b) Calcule un intervalo de confianza del 90% para el número promedio verdadero de errores por página en su trabajo. 10. Oscar T. Grady es el gerente de producción de la compañía Citrus Groves, localizada justo al norte de Ocala, Florida. Oscar está preocupado debido a que las heladas tardías de los últimos tres años han estado dañando los 2,500 naranjos que posee la Citrus Groves. Con el fin de determinar el grado del daño ocasionado a los árboles, Oscar ha recogido una muestra del número de naranjas producidas por cada árbol para 42 naranjos y encontró que la producción promedio fue 525 naranjas por árbol, con una desviación estándar de 30 naranjas por árbol. a) Estime la desviación estándar de la población a partir de la desviación estándar de la muestra. b) Estime el error estándar de la muestra de esta población finita. c) Construya un intervalo de confianza del 98% para la producción media por árbol del total de 2,500 árboles. d) Si la producción media de naranjas por árbol fue 600 frutas hace cinco años, ¿qué puede decir Oscar acerca de la posible existencia de daños en el presente? 11. Michael Gordon, un jugador profesional de básquetbol, lanzó 200 tiros de castigo y encestó 174 de ellos. a) Estime el error estándar de la proporción de todos los tiros que Michael falla. b) Construya un intervalo de confianza del 98% para la proporción de todos los tiros de castigo que Michael falla. 12. El consejo estudiantil de una universidad tomó una muestra de 45 libros de texto de la librería universitaria y determinó que de ellos, 60% se vendía en más del 50% arriba de su costo al mayoreo. Dé un intervalo de confianza del 96% para la proporción de libros cuyo precio sea más del 50% mayor que el costo al mayoreo. 13. Se obtuvo una muestra aleatoria de siete amas de casa y se determino que las distancias caminadas al realizar las tareas domésticas dentro de la casa tenían un promedio de 39.2 millas por semana y una desviación estándar de la muestra de 3.2 millas por semana. Construya un intervalo de confianza del 95% para la media de la población. 14. La senadora Hanna Rowe ha ordenado que se haga una investigación acerca del gran número de accidentes en bote que han ocurrido en el estado durante los últimos veranos. Siguiendo sus instrucciones, su ayudante, Geoff Spencer, ha seleccionado al azar 9 meses de verano entre los últimos años y ha recabado da-tos acerca de los accidentes en bote ocurridos en cada uno de esos meses. El número medio de accidentes que se presentaron en los 9 meses fue 31, Y la desviación estándar de esta muestra fue 9 accidentes por mes. Se pidió a Geoff que construyera un intervalo de confianza del 90% para el número real de accidentes por mes, pero él mismo
sufrió un accidente en bote recientemente, por lo que usted tendrá que terminar su trabajo. 15. Ellen Harris, una ingeniera industrial, estuvo acumulando tiempos normales para varias tareas sobre un proceso de ensamble de trabajo intensivo. Este proceso incluía 300 estaciones de trabajo diferentes, cada una efectuando las mismas actividades de ensamble. Muestreó siete estaciones y obtuvo los siguientes tiempos de ensamble, en minutos, para cada estación: 1.9, 2.5, 2.9, 1.3, 2.6, 2.8 Y 3.0. a) Calcule el tiempo medio de ensamble y la desviación estándar correspondiente para la muestra. b) Estime la desviación estándar de la población. c) Dé un intervalo de confianza del 98% para el tiempo medio de ensamble 16. Un agente de compras de una compañía esta tratando de decidir si comparar la marca A o la marca B de cierto tipo de focos ahorradores de energía. Para estimar la diferencia entre las dos marcas se lleva a cabo un experimento con dos muestras aleatorias independientes de 10 focos de cada marca, resultando las medias de vida útil respectivas de 1230 y 1190 horas. Estimar la verdadera diferencia entre las dos medias de vida útil, mediante un intervalo de confianza del 95%.?Es acertada la decisión del agente si adquiere cualquiera de las dos marcas?. Suponga que las dos poblaciones tienen distribución normal con desviación estándar de 120 y 60 horas para cada marca respectivamente. 17. Se ha escogido a 12 pares de vendedores sobre la base de la similaridad de sus ventas. A cada uno de cada par se lo preparo en una nueva técnica de ventas(X) y al otro vendedor con un método tradicional (Y) (mismo que ha sido utilizado por la compañía durante 8 años). Estos vendedores lograron en una semana las siguientes cantidades de ventas:
Par de Vendedores Técnica Nueva (Xi) Tradicional (Yi) Diferencias (di) di2
1 14 12 2
2 15 16 -1
3 12 12 0
4 13 11 2
5 15 12 3
6 11 09 2
7 10 07 3
8 15 13 2
9 15 14 1
10 16 15 1
11 14 12 2
12 08 10 -2
4
1
0
4
9
4
9
4
1
1
4
4
Mediante un intervalo de confianza del 95%, determinar si los dos métodos son igualmente efectivos. Suponga una distribución normal. 18. Para comparar dos métodos de la enseñanza de las matemáticas, se aplican a 200 alumnos elegidos al azar, el método tradicional y a otra muestra de 250 alumnos el método nuevo, resultando las calificaciones promedio respectivas de 13 y 15. Suponga que las varianzas poblacionales respectivas son 9 y 16. a) Determine un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las medias. b) ¿Podemos afirmar que el método nuevo es superior al método antiguo?. 19. Se quiere estimar la diferencia entre los promedios de tiempos en minutos que utilizan dos operarios para realizar una determinada tarea. Suponga que las poblaciones de los dos tiempos se distribuyen normalmente con varianza común. Estime la diferencia entre los dos promedios poblacionales mediante un intervalo de confianza del 95%, si el registro de 16 tiempos de cada operario han dado: X 1 = 38, S 1 = 6, X 2 = 35, S 2 = 4
20. Para comparar los gastos promedios mensuales de los alumnos de 2 universidades
particulares se escogen dos muestras aleatorias de 10 y 9 alumnos respectivamente, resultando los siguientes gastos en dólares:
Muestra1 Muestra2
400 410 420 380 390 410 400 405 405 400 390 395 380 390 400 380 370 390 380 Mediante un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de los promedios de los gastos mensuales, ¿se puede afirmar que los gastos promedios son iguales?. Suponga que ambas poblaciones son normales, independientes, con varianzas desconocidas supuestas iguales.
21. Una agencia de publicidad, realizo un estudio para comparar la efectividad de un anuncio de una radio en dos distritos. Después de difundir el aviso, se realizo una encuesta con 900 personas seleccionadas al azar, en cada uno de los distritos, resultando las proporciones 20% y 18% respectivamente. Si de los datos muestrales se infiere que p 1 – p2 ∈ [-0.0162 ; 0.0562], ¿Qué nivel de confianza se utilizó?
CUESTIONARIO a) ¿Qué son los intervalos de confianza? b) ¿Como se determinan los tamaños de muestra? c) Explique detalladamente todos los procedimientos para trabajar intervalos de confianza en excel.
REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS
1. Montgomery, Douglas y Runger, George. 2004. Probabilidad y estadística aplicadas a la Ingenieria. Ed. LIMUSA WILEY. Segunda Edición. 2. Cordova, Manuel. 2003. Estadística descriptiva e inferencial. Ed. MOSHERA SRL. Quinta Edición. 3. Lind, Douglas; Marchal, William Y Mason, Robert. 2004. Estadística para administración y economía. Editorial ALFAOMEGA. 11ava edición.
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