‘ANÁLISIS
MATE
MÁTICO
Curso intermedio
BIBLIOTECA DE MATEM~TICA SUPERIOR
-
bajo la dirección del Dr. Emilio Lluis R i e r a
Traducci6n: Federico Velasco Coba
Director del Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad Veracruzana
Rev1si6ntécnica:
Emilio LlUiS Riera Instituto de Matemáticas
Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México Supervisl6n editorial: Federico QbkBn Anaya
C a t e d r á h c o de Matemáticas Universidad'Nacional Autónoma de México
BIBLIOTECA DE MATEMÁTICA SUPERIOR
ANÁLISIS
MATE
MÁTICO
Curso intermedio
BIBLIOTECA DE MATEMÁTICA SUPERIOR
Volumen 2 Norman 6:Haaser
Catalogación en la fuente
Haaser, Morman B. Análisis matemático 2 : curso intermedio. -2a ed. -- México : Trillas, 1990 (reimp. 1995). v. 2 (786 p.) ;23 cm. -- (Bibliotecade matemática superior) Traducciónde: lntermediate analysis Bibliografia: p. 777-779 Incluye indices l5BM 968-24-3882-9
1. Análisis matemático. 1. LaSalle, Joseph P. /I. 5u//ivan,Joseph A. Ill. t. /V. 5er. LC -QA37'H3.3
D- 510'H736~
219
Titulo de esta obra en inglés: lntermediate Analysis
Versión autorizada en español de /a primera edición publicadaen inglés por 0 Blaisdell Publishing Company A division of Ginn and Company Waltham, Massachusetts, C. U. A. La presentación y,disposiciónen conjunto de
AMALl515 MAT€MATlCO, VOL. 2
son propiedad deleditor. Minguna parte de esta obra puede ser reproducidao trasmitida, mediante ningúnsistema o método, electrónico o mecánico (incluyendoel fotocopiado, la grabación o cualquier sistema de recuperación y almacenamiento de información), sin consentimiento por escrito del editor Derechos reservados en lengua española
0 1970, ¡Editorial Trillas, 5 . A.de C. V.,
Av. Rio Churubusco 385, Col. Pedro Maria Anaya, C.P. 03340, México, D. F.
*
División Comercial, Calz. de la Viga 1 132, C.P. 9439 México, D. F. Tel. 6330995, FAX 6330870 Miembro de la Cámara Macional de la lndustria €ditorial. Reg. núm. 158 Primera ediciónen español, 1970 (/SBM 968-24-0142-9) Reimpresiones, febrero y noviembre 1971, 1972, mayoyseptiembre 1973, 1974, 1975, 1976, 1977, 1979, 1980, 1982, 1983, 1985, 1986, 1987 y 1989
Segunda edicrón en español, 1990 [ISBM 968-24-3882-9) Reimpresión, 1992
Segunda reimpresión, febrero 1995 Impreso en México Printed in Mexico
Estelibroseescribiópensandohacer de éI un librodetextopara un segundo curso de matemáticas a nivel universitario. Presupone una introducción al cálculo de funciones reales de una variable real. Aunque es el segundovolumen deuna serie nosupone, sin embargo,que el estudiante debe haber estudiado el volumen I , Introducción alanálisis, de los mismo autores. Pero sí suponemos que el lector ha estudiado el sistema de los números reales y está familiarizado consus propiedades fundamentales y quetambién le sonfamiliareslasideasdelimite,derivadaeintegral. Este nuevo volumen ofreceal estudiante otra oportunidad para aumentar su comprensión y apreciación de lasideas fundamentales delanálisis.La geometría y el cálculo se extienden en dimensión con los vectores n-dimensionales. Mucho de este material debe ser ya familiar al estudiante, peroaquíaparece en un contexto más general. Le presentamos al lector numerosas extensiones y nuevastécnicas e introducimos nuevos e importantes . Nosotrosvemos el análisis no sólo comomatemáticas,sinotambién . como un instrumento de la ciencia. Según nos ha parecido posible y práctico presentamos el análisisa la luz de las matemáticascontemporáneas. La técnicaes importante y necesaria tanto para el matemáticocomopara el L': t ,: que usa las matemáticas,pero si algonoshaenseñado la marcha del desarrollo científico, ello ha sido la supremacía de las ideas. Las ideas y las : : ::: relaciones de las ideas hacen interesantese inteligibles las matemáticas; la T.'2 ;*,:~' * . apreciación de las ideas las hace útiles. El texto está dividido en forma que creemos natural, en cinco unidades, !< ? t:t T'E y es posible adaptarlo a una extensa variedad de cursos. & :: En los capítulos 1 y 2 se discuten el álgebra de los vectores en el espacio 0 /.' n-dimensional y la geometría del espacio n-dimensional con énfasis particular ; .: en el espacio de tres dimensiones. Para los estudiantes ya familiarizados con los vectores y el enfoquevectorial de la geometríabidimensional, los primeros dos capítulosle procuran u n repaso de este conocimiento,al mismo tiempoque extienden sus ideas dimensiones a más altas. Para tales estudiantes, el tiempo que deben dedicar a estos capítulos puede ser m u y breve. Para los que no estén familiarizadoscon los vectores y el cnfoque vectorial de la geometría es para los que hemos elaborado estos capítulos ampliamente. LOS capítulos 3, 4 y 5 están fundamentalmente dedicados a generalizar el cálculo diferencial de funciones reales de una sola variable real para los casos donde el rango es un conjunto de vectores, donde lo es el dominio, y dondetanto el dominiocomo el rango lo son. respectivamente.Estos capítulos proporcionan al estudiante oportunidades adicionales de conseguir i
:, ,
i',.
I i-
';
6
Prólogo
una mejor comprensión de los conceptos de límite. continuidad y derivada, queaparecencomo generalizacionesnaturale:,aespacios demásalta dimensión. En los capíttrlos 6 y 7 se generaliza el cálculo integral de funciones reales de una variable real a las funciones reales de u n dector, es decir. a funciones reales de diversas variables reales. Se estudian primero las integrales dobles y se da a continuación un bre1.e tratamiento de las integrales triples, Enla sección 19 del capítulo 6; se enuncia la mayoríade los resultadosde las secciones anteriores del capítulo, pero para mdilnensiones se indican cuáles serán las modificaciones quedebenhacerse en las pruebasanteriores. Enel capítulo 7 introducimos las funciones de *:onjunto (sobre familias de conjuntos) y probamos teoremas análogos a los teoremas fundamentales del cáIc~r10.Obtenemosdespués la fórmulaparae!cambiodevariablespara lasintegralestriples;primeroparacambios lineales y luego paratransformaciones de clase C ' . Los capítulos 8. 9 y 10 tratan de sucesiones. series infinitas J el tópico. intimamenterelacionadocon los anteriores, cle lasintegralesimpropias (infinitas). En el capítulo X se presenta una extensa discusión de las sucesiones como previa al tratamientode las series infinitas del capítulo 9. En la sección 7 del capítulo 8 se pruebanalg~rnosteoremassobrefunciones continuasde u n bector(funcionesdediversasvariables reales). Estos resultados se han estado usando sin prueba en partes anteriores del libro. perosiemprehaciendoreferenciaaesta seccitin. El capítulo IO, aunque estrictamentenodependede l o s capítulos 8 y 9. hace uso de la analogía entre series infinitas e integrales impropias.Aparte del estudiode las integrales impropias. en el capítulo 10 se derivan también algunas propiedades de las integrales definidas dependientes de u n parhmetro. En los capítulos I I y 12 se introducen las ecuacionesdiferenciales. El capítulo I 1 comienza con las ecuaciones lineales de primer orden. Sigue a esto una discusión de l o s sistema lineales bidimensionales con coeficientes constantes. Los resultados para las ecuaciones lineales de segundo orden ccn coeficientes constantes \e obtienendirectamentepartiendo del trabajo previo sobre sistemasbidimensionales. Los métodosaquíusados pueden generalizarse fácilmente a sistemas de dimensión mayor y a ecuaciones de ordenm8salto. Siguen despuésdiscusiones sobre oscilaciones lineales. ecuacionesexactas y c u n a s integrales. El capítulo 12 comienzacon la discusicin de u n teorema de punto fijo 4 nos llevaal teorema de existencia y unicidad de Picard-Lindelof para las ecuaciones diferenciales. La definición de funciones por ecuaciones diferenciales y el estudio de las propiedades de talesfunciones se ilustra a continuación.Concluye el capítuloconuna introduccidn al estudiode u n tópico íntirn; menterelacionadocon el precedente; el de las series y las aproximaciones de Fourier. Estamos profundamente agradecidos a los profesores René DeVogelaere.
Prólogo
7
LesterLange y Richard Otterporsusmuchosy útiles comentarios y sugerencias al comienzo de este trabajo; al profesorRichardBishopque leyó cuidadosamente todo e! manuscrito en u n primer borrador y nos dio una lista de errores y comentarios; y al profesor Harley Flanders que nos hizo numerosassugerenciasdespués de revisar el manuscrito. Apreciamos tambiénen todo su valor las oportunidades dadas por la Universidad de Notre Dame y el Colegio de Boston al permitirnos experimentar en nuestras cátedras.Aunque J.P. LaSalle no participd en estosexperimentos. tomó parte en el planeamiento y la primera redacción de este volumen y preparó el manuscrito de los capítulos 1 I y 12. Unapalabra final degratitud a nuestrosestudiantesque,desde 1957. han estadousando estelibro en edicionespreliminares y nos h a n permitidocalibrar la convenienciade nuestra presentación. N. B. HAASEK J . A . SULLIVAN
P
indice Beneral Prólogo
5 13
Índice de símbolos
Capítulo 1 ALGEBRAVECTORIAL
l . Introducción 2.Vectores 3. Representación geométrica de losvectores 4. Paralelismo de vectores 5. Ortogonalidad de vectores 6. Elproductoescalar 7.Proyecciónortogonal.Componentes 8. Vectores sobre un campo arbitrario 9.Resumen
GEOMETRfAANALfTICA
l . Introducción 2. Espacioeuclidianotridimensional 3.Rectas 4. Elproductovectorial 5. El tripleproductoescalar 6. Independencia lineal de vectores 7. La ecuación del plano 8.Interseccióndeplanos 9. Intersección de una recta y un plano 10.Bases 11. Coordenadas cilíndricas y esféricas 12. Espacios euclidianos n-dimensionales 13.Resumen
15 15 16
20 24 25 29 31 36 38
Capítulo 2 SOLIDA
Capítulo 3 FUNCIONESVECTORIALESDEUNA VARIABLE REAL l . Introducción 2. Funcionesvectoriales de una variable real 3. El límite de una función vectorial 4. Continuidad 5. Curvas 6. La derivada 7. Algunos teoremas sobre la derivada 8. La diferencial 9.Integración 10. Longituddearco 11. Tangente unitaria, normal principal y vectores binormales 12.Curvatura y torsión 13.Aplicacionesalamecánica 14. Resumen
41 41 42 48 54 59 63 67 73 76 79
85
89 94
97
97 98 101 108 110 115 123 129 131 136 143 149
154 160
lndice general
10
FUNCIONESREALES 1. Introducción 2.Funcionesrealesdeunvector:gráficas 3.Operacionessobrefunciones 4. Límites 5.Continuidad 6. Funcionesdiferenciables 7.Derivadasdireccionales 8. Derivadasparciales 9. Algunosejemplos 10.Derivadasparcialesdeordensuperior 1 1. El teorema de Taylor 12. Plano tangente a unasuperficie 13. El teoremade lafunciónimplícita 14.Máximos y mínimos 15.Resumen
Capítulo 4 DE UN VECTOR
FUNCIONES VECTORIALES DE UN
1. Introducción 2.Límite y continuidad 3.Matrices 4. La diferencial y la derivada 5. Reglade la cadena 6. Superficies 7. Multiplicadores de Lagrange 8. Integralescurvilíneas 9. Aplicaciones a la mecánica 1O. Resumen
CaDítulO 5
VBCTOR
Capítulo 6 INTEGRALESMOLTIPLES
1. Introducción 2.Integralesdobles 3. Propiedades básicas de labt 4. Integrales sobre conjuntos acotados en R' 5. Existenciadefuncionesintegrables 6. Propiedadesbásicas de 1 Integrales 7. iteradas 8.Teoremafundamentalpara lasintegralesdobles 9. Integralessobre regiones en R' 10. Área y momentos de regionesplanas 11. Volumenbajounasuperficie 12. Volúmenesde revolución y el teoremadePappus 13.Cambioen el ordende integración 14.Integralestriples 15.Integralesitcradas 16.Teoremafundamentalpara lasintegralestriples las integralestriples 17.Aplicacionesde 18. Área, volumen y momentos sin integración 19. Integralesmúltiples 20. Resumen *'I
163 163 167 171 174 185 188 195 20 1 207 212 217 222 227 235 245
249 249 25 1 254 262 268 279 288 293 303 308 311 311 312 322 328 337 34 1 346 347 352 357 3 65 3 69 374 376 380 382 386 39 1 395 403
lndicegeneral
1. 2. 3. 4.
Capítulo 7 FUNCIONES DE CONJUNTOE INTEGRALES MfrLTIPLES
Introducción Anillosdeconjuntos Funcionesdeconjunto El teoremafundamentaldelcálculo S . Cambio devariables en lasintegralesmúltiples. Un caso especial 6.Cambiodevariable en unaintegralmúltiple 7.Coordenadaspolares S. Coordenadas esféricas Capítulo 8 SUCESIONES 1. Introducción 2. Límite de una sucesión 3 . Convergenciade sucesiones 4. Divergenciahacia cc o hacia “o0 S. Sucesionesmonótonas 6. Puntos límites de una sucesión 7. Algunos teoremas sobre funciones continuas deun vector 8. Sucesionesdefunciones 9.Resumen Capítulo 9 SERIES l. Introducción 2. Series 3 . Pruebas de convergencia y divergencia de series 4. La suma de una serieconvergente 5. Reordenaciónde series 6. Seriesdefunciones 7.Integraciónydiferenciacióndeseries S. SeriedeTaylor 9. Series depotencias 10. Multiplicacicin de series de potencias 1 1. Resumen Capítulo 10 INTEGRALES IMPROPIAS I . Introducción 2. Integralesimpropias 3 . Criteriosdeconvergencia y divergencia para las integralesimpropias 4. Integralesdefinidasdependientesde unparámetro S . Integralesimpropiasdependientesdeunparámetro 6 . El valordeunaintegrdconvergente 7. Resumen Capitulo 11 ECUACIONESDIFERENCIALES l . Introducción 2. La ecuación y’ = f
11
405 405 406 407 410 417 426 443 448 451 45 1 452 45 7 463 467 470 47 6 48 1 488
491 49 1 49 3 497 508 512 517 521 526 5 30 538 543 545 S 4s 546 553 S 63 S 67 576 581
585 585 590
12
lndice general
3. La ecuación diferencial lineal de primer orden 4. Extensión de la función exponencial 5. Sistemas lineales bidimensionales. Coeficientes constantes 6.Ecuacionesdiferencialeslinealesdesegundoordencon coeficientesconstantes 7. La ecuación completa S = Ax+f 8. La ecuación completa x + b i +cx = f 9. El principio de superposición 10. Oscilaciones lineales x = Ax + f 11. Oscilacioneslineales x+2cti +o,lx = f’ 12.Ecuacionesexactas 13.Formasdiferencialeseintegrales lineales 14.Curvasintegrales Capítulo 12 FUNCIONESDEFINIDAS POR ECUACIONES DIFERENCIALES 1. Introducción 2. Teoremadepunto fiio: aproximacionessucesivas 3. Teoremade existencla y unicidadpara lasecuacíonesdiferenciales 4.Funcionescirculares 5. Soluciónenseriedelasccuacionesdiferenciales 6.Soluci6nnuméricadelasecuacionesdiferenciales 7. Los polinomiosdeLegendre 8. Seriesde Fourier 9. Aproximaciones de Fourier Respuestas a problemas escogidos Bibliografia Indice analítico
594 60 1 607 619 624 63 1 637 643 65 5 667 67 5 684
695 695 69 6 70 1 707 710 716 7 19 725 737 749 777
781
¡dice de simbmlms espacio vectorial n-dimensional u n vector en Y,, el sistema de los números reales la longitud de a producto escalar espacio vectorial n-dimensional sobre el campo F espacio euclidiano tridimensional producto vectorial triple producto escalar implica si y sólo si intervalo cerrado intervalo abierto función identidad vecindad de c de radio r vecindad reducida de c de radio r derivada de f composición y vector tangente unitario vector normal principal unitario vector binormal unitario curvatura radio de curvatura torsión complemento de u n conjunto 8 interior de 8 frontera de c" exterior de 6' cerradura de 6 función proyección diferencial de ,f derivada de ,/' derivada direccional derivada parcial ,/
Página 16
16 16 26 29 37 44 54 59 74 75 87 y sigtes. 87 y sigtes. 99 I 02 102 115 125 143 144 146 150 150 152 164 164
164
164
166 171 189 189 196 202
derivada parcial
205
gradiente de f
207
derivada parcial de segundo orden
213 13
lndice de sirnbolos
14
Página 21 5 258 jacobiano
274
intervalo regiones distancia entre el p u n t o x y el conjunto d jacoblano límite superior límite inferior
312 3 52 410 427 473 473
R
U I
1. INTRODUCCI~N
En 10s asuntoscotidianosdenuestras vidas y aúnmás en la ciencia es útil eincluso a veces esencial describirconnúmerosobjetos,eventos y fenómenos. Enalgunoscasos u n solo número nosbasta.Porejemplo la distancia entre Nueva York y Londres puede darse por u n solo número. Sin embargo, la localización de u n a ciudadsobre la Tierra requiere dos números, y la localizaciónde.un objeto enel espaciorequiere tres. Enla física, magnitudes tales como fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleración y momento pueden especificarse por tresnúmeros. Hay muchosejemplos en que, para describir una situación física, se necesitan más de tres números. Porejemplo,para localizarunapartícula enel espacio y el tiempo se necesitan cuatro números. La descripción del estado del mercado de valores 15
16
[Cap. 1
Algebra vectorial
o el estado de u n circuito eléctrico pueden fácilmente exigir el empleo de miles de números. Todos los ejemplos anteriores en que una colección de números especifica unamagnitud física o una situaciónfísica,química,económica o social. son ejemplos de vectores. Como enel caso de los números reales. sobre los vectorespodemosdefiniroperaciones. El conjuntodetodos los vectores especificados por u n número fijo de números reales con ciertas operaciones básicas definidas sobre estos vectores, se llama espacio vectorial y el estudio de estas operaclones sobre los vectores se llama álgebra vectorial o lineal. El númerodenúmeros reales necesarios para especificar los vectores en un espacio vectorial es la dimensicin del espacio. Así, un vector en el espacio de dimensión cuatro esunacuaternadenúmeros reales y, engeneral. u n vector en u n espacio n-dimensional es una 12-ada de números reales. Como las operacionesquedeben definirse sobre los vectores y sus propiedadesbásicas no dependendecuál seala dimensión del espacio, comenmmos con el estudio de las propiedades algebraicas de los espacios vectorialesn-dimensionales. En el próximocapítulo,usaremos el álgebra de los vectores en el espacio tridimensional enel estudio de la geometría analítica sólida. En los capítulos que siguen nos ocuparemos principalmente de los vectores en los espacios de dos y tres dimensiones.
2. VECTORES 2.1 Definición. El espaciovectorialn-dimensional V, es PI conjunto de t o d a Ius n-udus de números reufes. N Ius que denoturemos por x = (.Y‘ , . . . .Y,,). .yi€ R.’ (i = 1 . . .. n ) 1%lluníurenzos rectores. donde Ius reluciones de i,y~yuuldud 1,Ius operuciones de udición 1‘de rnultipficucidn por un número reul se definel?
.
como sigue :
2.2 Igualdad de vectores.
en C;,
Si x =
(.yl
entonctJs
x
=
y
2.3 Adición de vectores. en V,,, entonces
si
.Y)
=
Si x x+y =
=
. . . . , x,,)!
y =
y, puru todo (.yl
. . .. , S”)
(.Y, + J ” ,
rectores
.
i = 1. . . . n .
y y
==
(1,’ . . . . y n ) son rectores
. . . . -Y,+?/,).
2.4 Multiplicaciónde un vector por un númeroreal. un rector en V,,
.
( J . ’ , . . . J ’ , ~son )
r es un número reul, entonces
Si x
=
, ...
. .yn) es
r x = ( r . .~. .~. , r . ~ ~ ) .
’ En todo estevolumenrepresentaremos al conjunto de los numeros reales por R . La notazi6n X , € R se lee “ x , pertenece a R”, “ x , es u n elemento d e R”, o en forma más breve ‘‘S, esti en R”.
21
17
Vectores
En este libro los vectores se representanconletrasnegritas, x. Los vectores suelen también representarse por símbolos tales como: 2, X. _X, O 5. El número si se llama i-ésimo componente del vector x
=
( x , , . ... Xnj.
La relación de igualdad y la operación de adición y multiplicación por un número real pueden expresarse verbalmente como sigue:
2.2' Dos cectoresde V , soniguales si sus componentescorrespondientes son iguales. Por ejemplo, el vector x = (4, O. -8, 4, 7) no es igual al vector y
=
(4, o. -8, 7, 4).
P I cector obtenido sumando los componentes
Lu sumu de dos rectores es correspondientes.
2.3'
Por ejemplo, si x
=
(3. 16, -2, 6. IO) y y
=
(34,
-
16, -4, 5 , 271, entonces
x + y = (3+34, 16+(-16), -2+(-4),6+5, = (37. O, - 6, 1 1 , 37).
2.4' El producto de un número real r por obtiene al multiplicur cudu componente ie
Por ejemplo,
TI ( - I ,
o, 8) = (+( - I),
IOi-27)
un rector x es elvector que se
x por e l número real r.
+(O), f ( 8 ) ) = (-$,
o, 4).
Como las operacionesdeadicióndevectores y multiplicación de u n vector por un número real sonoperacionessobre los componentesde los vectores y los componentes son números reales, las propiedades algebraicas de los números reales inducenciertaspropiedadesalgebraicascorrespondientes en V,,.
2.5 Ejemplo. Establézcase la ley conmutativa para la adición de vectores: x + y = y + x para todos los vectores x, Y E V,.
SOLUCI~N Sean . u ui
= =
x+ y y v "¡+yi.
= y+x.
Entonces, según 2.3
ci = y,+x,
( i = l . ..., n).
Según la ley conmutativa para la adición de los números reales ui = c ,
Por tanto, de acuerdo con 2.2, u
(i =
v
=
1, .. . ) n ) .
y, es decir. x + y
=
y + x.
2.6 Ejemplo. Demuéstrese que: O = (O, . . . , O) es elÚnico propiedad de que x + O = x para toda X E V,, .
SOLUCI~N Es. claro que x + O
= x
para toda
XE
vectorcon
la
V,. Supongamos que O' es
'
Algebra vectorlal
18
[Cap. 1
otro vector con la misma propiedad: y+O' = y para todo y t L . , , . Entonceb. tomando x = O' y y = O. de acuerdo con el ejemplo 2.5 obtenemos O'
=
O'+O
=
010'
=
o.
2.7 Kjemplo. Establércase l a siguiente Icy ciistributlLa
p a t - a
\ectores:
r ( x + y ) = r x f r y para cualesquiera x . y t Y,, y todo V E R . SOLUC16N
r(x
+y) = =
r ( . y ,+ . I l
=
Y,!
+.l.,,)
(r(-\L+ J ' , 1. . . . r ( \ - , ) + j ' , z ) )
= (v.\-, =
. ....
+ I'J , . . . . . I' + Y,!
Y)',,)
. . _ .r \ - , 2 ) + ( r J , ,... . . Y),,!)
rx$ry.
12.31 12.41 [ley distr ibutiva para R 22.31 P. 41
Y esto completa la prueba. De modo a n i l o g o al empleado en los anterlores ejemplos. cada una de
las siguientes propic&(lc~s u1,qehrrrrc~rc.sf~clzrlurnetrtu1e.s del espaciovectorial 11-dimensional Vn se pueden establecer con facilidad:
21
19
Vectores
Nota. Las propiedades A , a A, del teorema 2.8 implican que el conjunto de vectores,?-dimensionales es u n grupo conmutativo bajo la operación de adición. La sustraccióndevectorespuede siguiente modo.
definirse en términosdeadición
2.9 Definición (sustracción). Puro x. es decir. x - y = (.Y,
x-y
=
.
-y,).
- J ~ , . .,
.xn
YE V,
del
cuulesyuieru
x+(-y);
Problemas 1. Sean a = (3. - 5 , 4 ) , b P , = ( - l . -5.2).
=
( 2 , S. 7 ) . c
=
(O, 2, I ) . Po
=
Encuéntrense:
afb b) a - b 3a+4b-3c d ) x si 4 x + a = 3 b e ) P" + f(P1 -Pol 1') + ( P , + P l ) .y) P,+ta; t = O. + I . i 2 , + 3 h) P,+sa+rb; (S, t ) = ( O , O), ( I . O), ( O , I ) . ( I , I ) . ( - 1 . - I ) u) c)
2. Pruébense las siguientes partes del teorema 2.8: u) A l e ) S,
h) A, f ) S,
d ) S,
c) A , Y) s 4 .
3. Demuéstrese que: Ox
=
O y rO
=
O.
4. Demuéstrese que:
si a + b = a + c . entonces b = c h ) si r x = O. entonces r = O o x = o' c ) si rx = sx y x # O, entonces r = S u)
5. Demuéstrese que: Si t # O, entonces sa+tx tiene la única solución x
=
I
-
t
=
b
(b-Ja).
6. Resuélvanse:
2(0.3)+8x = ( I . -7) h) - 3 ( 1 . -3, 5 ) + 2 ~= 5(0. -2. - 1 ) + 3 x c ) 3 [ ~ - ( 8 . -3. -2, I ) ] = 6(7. O, -S. - I O )
u )
(O. 5, 6), y
20
vectorial
Algebra
[Cap. 1
7. En cada una de las siguientesecuacionesdetermínese números reales r que las satisfagan : U ) (3, -2) = ~ ( 6 , 4 )
/I)
(3, -2)
= r(-6,
si hay o no
4)
I‘) r ( l , 12, X, 13) = ( 3 , -36, 24, 40) d ) r ( 4 , 2 , O. 5 ) + 3 ( 4 , - 2 . 6.0) = 2(6. - 3 , 9.O) e ) 2r(4. 6, - 10)+3( - 2 , 4, 8 ) = 2 ( -3. 6. 12)+4r(2, 3, - 5 ) . ~
8. En cadaunade lassiguientesecuacionesencuéntrense números reales r y .x que las satisfacen:
- 2 ) + ~ ( 6 .4) = O h ) r ( 3 , - 2 ) + ~ ( 6 , -4) l 4 ) + s ( - 12, 3, 2 ) = O d ) ( 5 . 5 ) = r(5. l ) + s ( 3 . 5 ) e ) ( 1 1 , 14, - 2 ) = r ( 3 . 0 . - 5 ) + s ( I , - 2 , -4). a) r ( 3 ,
I‘) r(X. -2.
todos los =
O
3. REPRESENTACIóN GEOMÉTRICA DE LOS VECTORES En esta sección discutiremos las ideasgeométricasintuitivasqueestán enel fondo del álgebravectorial y que nos guían enla construccidn de nuestro modelo analítico de espacio suclidiano n-dimensional. Describiremos el modo en que los vectores en el espacio tridimensional pueden representarse por “flechas” (también seles denomina “segmentos dirigidos”). Mediante construcciones con estas flechas posteriormente dibujaremos diagramas que ilustren el álgebra vectorial. Aunque esta imagen de u n vector como objeto geométricoconcretoestálimitadaa los espaciosvectoriales uni, bi, o tridimensionales, el lenguajeutilizado para los vectores de los espacios n-dimensionales se derivadeesta representacicin geométrica. Escojamos en u n espaciotridimensional(figura I ) : I ) u n punto O ; 2) tresrectasperpendicularesentre sí X , . X , y X , que pasen por O ; 3) direcciones positivas sobre estas tres rectas; y 4) una unidad para medir las distancias. U n sistema como el descrito se llama“sistema cartesiano” o de “coordenadas rectangulares”. Convenimos desde ahoru en que siempre u sistemas decoordenadaslerógiros o limitaremosnuestrusilustraciones “de muno derecha”. Esto significa que lasdireccionespositivasde las tres rectas(llamadas“ejes”) hansidoescogidas de tal modoquecuando el pulgar de la mano derecha apunta en la dirección positiva del eje X,y el dedo índice(dedicha mano)apunta en la direcciónpositiva del eje X , , el dedo cordial (el de en medio) puede señalarla dirección positiva del eje X , . Los sistemas levógiros de coordenadas pueden también describirse diciendo que la rotación en el plano X , X , de 90“ de la semirrecta positiva del eje X , a la semirrecta positiva del eje X , es contraria a la dirección de giro de las manecillas del reloj (es “hacia la izquierda”. es decir. levógira) cuando se ve desde la semirrectapositiva del eje X , . Aunquenousaremossistemasde
31
Representación degeométrica
21 los vectores
coordenadas dextrógiros en este libro, estos sistemas son de uso común en muchas ocasiones y puedendescribirse reemplazando en las descripciones anteriores las palabras “mano derecha” y “contraria a la dirección de giro de lasmanecillas del reloj” por“manoizquierda”e “iguala la dirección del giro de las manecillas del reloj”, respectivamente.
FIGURA 1
Dado u n vector a = ( a , ,a z , u 3 ) en Y,, construimosuna flecha que represente el vector a como sigue (figura I ) : elegimos u n punto arbitrario Po ; nos movemos la distancia u , paralelamente al eje X , desde Po y localizamos el punto P , (el número u , es una distancia dirigida; a , positivo significa quedebemosmovernos enla direcciónpositivadel eje X , y u , negativo quedebemosmovernos en la dirección opuesta);de P , nos movemos la distancia dirigida a z paralelamente al eje X , y localizamos así el punto P, ; nosmovemosde P, la distanciadirigida u, paralelamente al eje X , y localizamos el punto P , . La flecha de P u - a P , . quetambién denotaremos por a, es una representación geomktrica del vector a. A P, se le llama punto inicial de la flecha a y a! punto P, su puntoterminal. Recíprocamente, dada una flecha de P, a P , , construyendo u n paralelepípedo rectangulardelque P, y P, seanvértices opuestos y con caras paralelas a los planos X ,X , , X , X , y X , X , . u n vector a = ( a , ,u,, a 3 ) puede asignarse a una cualquiera de tales flechas. AI construir la flecha que representa u n vector a, elegimos arbitrariamente el punto inicial Po. U n mismo vector a puede estar representado por flechas diferentes. En algunas aplicaciones se establecenrestricciones sobre la localización de Po. Porejemplo.puede ser que se especifique cuál ha de I
\
.
22
[Cap
Algebra vectorlal
1
FIGURA 2
representen el mismovector a seránde la m~smalongltud (magnitud) y apuntarán enla misma direccicin. Es en estesentidoque se dice que un vector especifica una “magnitud” y una “dirección”. La suma a + b = ( u , + / I , . + / I , , u 3 + h , ) de u n par de vectores en V , estáilustrada enla figura 2. El punto inicial de b se coloca enel punto terminalde a. La flecha a + b esentonces la flecha que tiene como punto inicial el de a y como punto terminal el de b.
u,
r>O FIGURA 3
La figura 3 ilustra la multiplicaclón de u n vector a por u n nbmero real r . La flecha r a es paralela a la flecha a y SLI longitud es Ir1 veces la longitud de a ; r a apunta enla misma dirección que a si r > O. y si r < O. la dirección de r a es la opuesta a la de a .
31
Representaclón degeométrica
los vectores
23
La figura 4 ilustra laley conmutativa A, de la adicióndevectores. La suma a + b (figura 4 ) es una diagonal del paralelogramocuyoslados son a y b. La otra diagonal está relacionada con la diferencia de los dos
FIGURA 4
vectores. Esto se ilustra enla figura 5. Los vectores a y b están construidos con el mismo punto inicial. El vector a - b es, entonces, el vector del punto terminalde b al punto terminal de a. La figura 5 ilustratambién que b + ( a - b) = a. Laley asociativa A, se ilustra enla figura 6.
FIGURA 5
FIGURA 6
Problemas 1. Calcúlese gráficamente lo siguiente: 0 ) (3, -5)+(5. -3) h ) ( 3 . - 5 ) -5()2 . c ) (I. l ) + ( - 2 . 5 ) + ( - 3 . -2) d ) ( I , 1)+(-2. e ) (cos 30 , sen 30”) (cos 45’. sen 45‘).
+
2. Demuéstrese gráficamente que hay números reales r y c = ra+sb
donde N) a =
h) a L.)
=
a =
( 5 . I ) . b = (3, 5 ) , c = ( 5 , 5 ) ( 2 , - I ) . b = (3, 2). c = (5, 2) ( - I , -2), b = ( - 1. 3 ) . c = (4. I )
-2)
I)+(].
S
que satisfacen
24
vectorlal
[Cap. 1
Algebra
d ) a = ( - 2 , 3), b = (4. - I ) , c = ( - 3 . 4 ) e )a = ( l , l , l ) , b = ( 1 . 0 . 0 ) , ~ = ( 4 , 2 , 2 ) f)a ( l . I , O). b = ( - I . 2, O), c = (3. 5. O). 3. ¿Qué condicionessobre a , b y c nosaseguranque lados de u n triángulo? 4. ;cuáles teorema 2.8?
el significadogeométrico
a, b y c son 10s
de la ley distributiva S, del
4. PARALELISMODEVECTORES
Al discutir la interpretación geométrica de la multiplicaclón de u n vector por u n número real,vimos que los vectores a y ra, donde r f O, están representadospor flechas que son paralelas(figura 3). Definimos ahora el paralelismo entre vectores. 4.1 Definición. Se dice que dos rectores en V,, son paralelos si uno de ellos es igual al producto del otro por un número real.
Obsérvese que como O a todos los vectores.
=
Oa para todo a € Vn, el vector cero es paralelo
4.2 Definición. Dos rectores distintos de cero a y b en V,, se dice que tienen la misma dirección si b = r a donde r > O, y se dice que tienen direcciones opuestas si b = ra donde r < O. 4.3 Ejemplo. ;Son paralelos
S o ~ u c r ó ~Como . ; . (-6, -3, y de direcciones opuestas.
los vectores (2, 1, 5) y (-6, - 3 , - 15)'? - 15) = - 3(2. I ,
5), los vectores son paralelos
4.4 Ejemplo. ¿,Son paralelos los vectores ( 1 , 3 , 2) y (3, 9, 7)?
SOLUCI~N Si . los vectores fueran paralelos, como ninguno de ellos es cero, cada uno de ellos sería paralelo al otro y habría un número real r tal que ( I , 3 , 2) = r ( 3 , 9, 7 ) .
Pero esto implica que 3 r = I , 9r = 3 y 7 r = 2, y no hay ningún número real r conesta propiedad. Por tanto. los vectores n o son paralelos.
25
Problemas 1. ¿Cuálesde los siguientesparesdevectoresestán dirección?, ¿cuáles son paralelos?
en la
misma
(1, 11, (2,2) b) (3, 81, (8,241 (1, 2 , I , - l), (-3, -6, -3, -3) 4 (1, -2,2, - 11, ( " L 4 , -4,2) e) (5, 7, 2), ( - 15, -21, -6) f ) (3,9h (-4, -6) a) C)
2. Pruébeseque si c # O y si a y b sonparalelosa c, entonces a y b son paralelos. (Vectores paralelos a u n mismo vector no nulo son paralelos entre sí.)
3. Pruébeseque si d = b + c y si b esparaleloa a, entonces d es paralelo a a 5; y sólo si c es paralelo a a. Ilústrese este resultado gráficamente. 5. ORTOGONALIDAD DE VECTORES
.
Sea a = ( u , , a 2 , a 3 ) un vector en V , . Enla sección 3 dimos una interpretacióngeométrica del vector a como si fuerauna flecha en el espacio (figura 7). Si el espacio es euclidiano y si los ejes son rectangulares (mutuamente perpendiculares), entonces el teorema de Pitágoras se verifica y, por tanto, la longitud de la flecha que representa a a es v'a,2+a22 Como nuestra geometría tiene que ser euciidiana, definimos la longitud del ___" vector a en V , como V , u l 2 u Z 2+ a 3 2 . Generalizandoestalongitud euclidiana, introducimos la siguiente
+
26
vectorlal
[Cap. 1
Algebra
U n vector de longltud igual a la tlnldad se llama icctor unitario. A V,, con la longitud que acabamos de Jefinlr sele llama espac~ovectorial euclidiano n-dimensional.
5.4
iral = i r ( lal.
5.5
la+ b/
<
la/
+ lb1
(desigualdad del triángulo)
PRUEBAD E 5.3. Por definición. la1 3 O. Ahora bien lal' = u l L + . . _ +o,,>.y por tanto, si o i # O para u n cualquier i = I . . . . . 11, entonces /al # O. Por tanto /al = O implica [rI = O. . . , , u,, = O. luego a =
Recíprocamente. si a
=
( o I ,
. . . . u,,) = (O, _ . _ . O ) = O
O. entonces ( a ( = O.
P R U ~ HDL. A 5.4
FIGURA 8
51
Ortogonalidad d e vectores
27
Adviértase que la notacidnpara la longitudde u n vectores la misma que la usadapara el valorabsolutode u n número real. La razónpara haber elegido tal notación es que las propiedades fundamentales del valor absoluto de u n número real y las de la longitud de u n vector son las mismas. E n realidad, si consideramosa los números reales como vectores en Y , entoncesel valor absoluto es la longitud del vector unidimensional. es decir, ~
Ir1 =
\I r
2
.
Volviendo nuestra a imagen geométrica de los vectores, queremos motivar la definición que acabamos de dar. La palabra “ortogonal” significa “en ángulorecto” y es sinónimade“perpendicular”. Sean a y b los lados de u n paralelogramo (figura 9). Los vectores a + b y a - b son las
a
diagonales del paralelogramo. Expresada geométricamente, la definición de ortogonalidadpodríaser: a es “ortogonal”a b si las diagonales del paralelogramoformado por a y b sonde igual longitud,esdecir, si el paralelogramo es u n rectángulo. 5.6 Definición. Un
recfor a s e
dice que es ortogonal u
u11
rector b si
/ a + bl = / a - b / .
Como J a + b / = J b + a l y la-bl = l b - a l , esclaroque a ortogonal a b implica b ortogonal a a. Por esta razón se usa con frecuencia la expresión “mutuamenteortogonales”.Diremostambiénque,a veces. “ a y b son ortogonales”. El vector cero tiene la propiedad muy especial de ser ortogonal a todos los vectores.
5.7 Ejemplo. ;Son ortogonales los vectores a
=
( 5 . -8. 3 ) y b = (2, 5 , IO)?
SOLUCIÓN
/ a + b / = l(5. -8, 3 ) + ( 2 , 5, I O ) / = l(7, -3, 1 3 ) / = x 7’+( -3)’+ 13’ = \ 227 la-bl
= =
l(5, -8, 3 ) - ( 2 , 5 , -
lo)] = l(3, - 13, - 7 ) l
32+(-13)2+(-7)2
-
=
,‘227.
Álgebra vectorial
28
Como I a
+ b/ = 1 a
-
[Cap. 1
b/ . los vectores son ortogonales
5.8 Ejemplo. i, Los vectores a ortogonales?
= (-
2. 6. 4,- 3 ) 1' b
=
(3. 4. I .
-
1 ) son
Problemas 1. Si a
=
( 3 . O. 5 ) . b
=
a 3a
h) b f') -3(a-
i) a la1
i ) b !bl
0) P)
(2.
2. Demuéstrese que -al
-
(,) Y)
b)
=
SI
d ) a-b
a+h -i b
h) 3 a - t b
/al
3 . Demuéstrese que I/al- j bj 1 4. Determínese
1. -3). calcillese la longitud de:
<
la - b/ para todo a.
bE
Y,,.
los siguientespares de vectores son ortogonales.
N ) ( - 1 , 3 , - 3 ) y (3. 3 . 2 ) h ) (1. O. O) y (O. I , O) L . ) ( 2 , 8, 4) y (O.O. O) L / ) (3. 2. O) 1 ( l . - I . O)
5. u) Demuéstrese que a + b y a - b son ortogonales si y sólo si /al = l b / , h) i , C ~ ~esi lla interpretacicin geométricadelproblema 5a? 6. ;,Qué es lo que puede concluirse dicular a si mismo'?
si se sabe que u n vector es perpen-
7. Encuéntrense todos los vectores ortogonales a
u) ( 3 . 6)
/I)
d )
(u1 . L I Z )
(2.
-
(2.3.
1) - 1)
8. Demuéstrese que si a es u n vector distinto de cero. entonces
I - a es
/a/
u n kector de longitud igual a uno que esti en la dirección de a . A u n vector de longitud igual a la unidad se llama recfor unitario. 9 . Encuéntrense los vectorcs unitarios enla dirección de: u ) ( l . 1)
6) ( 1 . - 1 .
I)
c ) (2. 3. - 7 )
6
El producto escalar
29
10. Demuéstreseque si a y b sonvectoresdistintos de cero,entonces a ortogonal a b implica que a no es paralelo a b, y, recíprocamente, a paralelo a b implica que a n o es ortogonal a b. 6. EL PRODUCTO ESCALAR
Nuestra definición de ortogonalidad deu n par de vectoresa = ( a , ,. . . , a,) y b = (h, . . . ., h,) es equivalente a afirmar que l a diferencia de los cuadrados de laslongitudesdelasdiagonales a + b y a- b del paralelogramode lados a y b es cero; es decir. la+ b(’-
Como
6.1 Ia+b12-/a-bJ2
=
(a- biz =
”
n
k= I
k= I
O.
2 ( u k + b k ) ’ - 1 (~~-6,)’ n
=
la ortogonalidadde de
n
k= I
u, b,.
ukbk,
4 k= 1
los dos vectores a y b es equivalentea la anulación n
1 u,b,
Esta expresión
k= I
es de considerable importancia en
álgebra, geometría y física, y es porello que se le ha dadoun nombre especial.
ab -léase “a productoescalar b”, “a punto b”. o simplemente, “a por b”- de dos rectores a,bE.V,,, donde a = ( a , ,. ., u,) y b = (6,, .. .. b,,), está de3nido por
6.2 Definición. El productoescalar ,
a-b=
n
1
k= I
ukb, = a l b , + ...+ a , , b , .
Nótese que el producto escalar de dos vectores no es un vector, es un En física, magnitudestalescomo la longitud, el trabajo, la masa, la temperatura, etc., se llaman magnitudes “escalares”; tienen magnitud, pero no dirección y quedan especificadas (medidas) por números reales. En matemáticas,amenudo se usa el término“productointerior” en lugar del término “producto escalar”. Otro nombre para este producto -sugerido por la notación- es el de “producto punto”. La ecuación 6.1 puede escribirse ahora: 6.3 /a+b12 - la-bl’ = 4 ( a . b ) ; númeroreal.
y podemos enunciar:
30
[Cap. 1
Algebra vectorlal
6.4 Teorema. Dos rectores a
J.
b sot1 ortoyo/~crless i J ' sólo
.SI
a.b
=
O.
6.5 Ejemplo. Aplíq~leseel crlterioqueacabadeenunciarseparaestudiar la ortogonalidad en los ejemplos 5.7 y 5.8.
SOLUCIÓN~t 5.7
a.b
=
(5. - X . 3 ) . ( 2 . 5. 10) = I o - 40 + 30
=
Por tanto, los vectores son ortogonales.
o.
S O L U C I 01: ~ N5.8
a-b
=
( - 2 . 6 . 4 . -3).(3,$. 1. - 1 )
-6+3+3+3
=
4# o
Por tanto. los vectores no son ortogonales. 6.6 Teorema. Las propiedades fundamentales del producto escalar son: a - b = baa
6.7 6.8
a * ( b , + b , ) = a . h , + a * bZ
6.9 6.10
b = r ( a . b)
( r a )*
a
a
> O;
a a
=
si
0
J
.sólo si
a
= O .
La propiedad6.7 afirma que la ley conmutativa severifica para el productoescalar 4 la 6.9 que también se cumple laley distributiva. La propiedad 6.10 seve q u e esunareformulaciónde la propiedad5.3de la1 ya que 6.11
a-a
=
2
=
h= I
lal'.
La propiedades 6.7. 6.8 y 6.9. son simples consecuencias de las propleddeb de los nilmet-os reales (problema 4). Mostramosahoraque lasdefiniciones de longitud y ortogonalidad implican el teorema de Pitágoras. 6.12 Teorema. a
es orroyo//al u b
/a+b12
.Y/ J '
=
sólo si
/a~'+~b/'.
PRLLBA. De acuerdo con l a s propiedadesfundamentales escalar. / a + hi' = ( a + b ) * ( a + b ) = a ( a + b ) + h . ( a + b) = a * a + a * b + b * a + b - b = / a ( b 2 a -b+lbI'.
del producto
71 Componentes ortogonal. Proyecclón
31
-
+
Vemos pues que la+ b12 = la/’ /b12 si y sólo si a b = O: es decir, si y sólo si a es ortogonal a b. Problemas 1. S e a n a = ( 3 , 0 . 5 ) , b = ( 2 . - 1 . Encuéntrense
-3).P,=(l, -2,I),yP,
b b ( P , -P,) a.a ( a + b ) . ( a - b) a.
/I)
a.
(P,
4 b( a) .+ ( P I-P,)) 1) b*b i z )/ a + bl’
Determínese si los siguientes pares de vectores
(2. I , - 3 , 4 ) (3. 2, o. - I ) ( - I x, 2, 3, 4) ( 1. o. o, O)
=(2,3. - I ) .
y
y y
y
son ortogonales.
( 3 , 4 . 2, - I ) (4, - I , 7 . 2) (2, 6 , 12. 3 ) (O. o, I , O)
Encuéntrense todos los vectores ortogonales a : (3. 6 )
( l . 0,O)
y
(O. I , O )
h) (2.
#) (N,
( u , .L I Z )
-
N‘) ( I . I ) I . 3
I)
y
(O.
o.
I)
L I Z . 113)
Pruébese que el producto escalar satisface 6.7. 6.8 y 6.9. Demuéstrese que:
la+blZ = la12+2a. b+lblz ( a + b ) * ( a - b ) = la12-lb12 la+tb12 = J a I 2 + 2 t a *b+t’lbl2 Pruébese que la suma de los cuadrados de las longitudes de las di,gonales de u n paralelogramoes igual a la sumade los cuadradosde las longitudes de los cuatro lados del paralelogramo.
7 . PROYECCIóN ORTOCONAL,. COMPONENTES En esta sección discutiremos la significación geométrica del producto escalar en términosde“proyecciónortogonal” y “componente”. Estos conceptos son de importancia tanto en geometría como en física. Introducimos los conceptos de proyección ortogonal y componente en conexióncon el siguienteproblema. Dadosdos vectores no nulos a y b constrúyase u n triángulorectángulo conhipotenusa a y base ‘paralela a b (figura I O ) . Como cualquier vector paralelo a b puede representarse por
[Cap. 32
vectorial
1
Algebra
r b con r igual a algún número real, lo que deseamos es construirun triángulo delados a, r b y c = a - r b tal que c sea ortogonal a b. Pero a - r b es ortogonal a b si y sólo si ( a - r b ) . b = a . b-rlb12 = O .
a=rb+c FIGURA 10
Por tanto, r
=
a. b
7 es el Único número tal que a - r b es ortogonal a b y el
I bl
a-b b triángulo rectángulo deseado de hipotenusaa tiene lados T b y a - 7 b. I bl I bl a. b El lado __ b que es paralelo a b se llama proyección ortogonal de a sobre b. IblZ
7.1 Definición. Sean a, bE V , con b # O. Lu proyecciónortogonal de a sobre b, denotada p o r Proy, a, es e l rlector
Proy, a
a. b
= -
lb12 b
La proyección de a sobre b puede escribirse en la forma
Proy, a Como el vector
a * b b
= __
Ibl
-
lb/
.
b
a. b
es un vector unitario en la dirección de b, el número I bl lb1 es la “longituddirigida” de Proy, a. Este número se llama componente de a en la dirección de b. I
~
.
7.2 Definición. El número(ab)/jbl se llama componente de a en l a dirección de b y se denota p o r Comp, a; es decir.
Comp, a
= (ab)/lb/.
71 Componentes ortogonal. Proyeccijn
33
La relación entre proyección (un vector)
Proy, a
7.3
:=
a.
b
~
/b12
b
=
y componente (un número) es
b
(Comp, a) - . Ibl
Si Comp, a > O, entonces Proy, a está enla dirección de b (figura 11 a). Si Comp, a < O, entonces Proy, a y b están en direccionesopuestas (figura 1 I b). Si Comp, a = O, entonces los vectores a y b son ortogonales.
Proj, a
b
Proj, a
b
FIGURA 11
Nota. No hay mucha concordancia entre los distintos autores respecto a la terminología de componentes y proyecciones. Algunos autores usan el término“componente”tantopara el vectoralque nosotros hemos designado como Proy, a como para el número al que hemos denotado como Comp, a. Cuando se hace esto, es común hablar de “componente vectorial” y de “componente escalar” cuando se necesita distinguir entre los dosconceptos.Otrosautores usan tanto el término“componente” como el término “proyección” para denotar el número que aquí hemos denominado Comp, a. Nota. Si b’ es u n vectorcualquieranonuloparaleloa b, entonces Proy, a = Proy,. a (problema 5 0 ) . Así pues Proy, a no cambia porque reemplacemos b porcualquiervectornonuloparaleloa b. Porotra parte, si b‘ es un vector distinto de cero paralelo a b, entonces Comp,, a = Comp, a o Comp,. a = - Comp, a segúnque b y b’ tengan igual dirección o direcciones opuestas (problemas 5 h y 5 c).
Como el componente de u n vector en la dirección de otro vector tiene un significado geométrico definido, la relación entre componente y producto escalar introduce una interpretación geométrica del producto escalar. Según la definición de componente (definición 7.2), 7.4
a
*
b
=
I bl Comp,
a.
Esta ecuación nos dice: el productoesculur a b es /a longilud de el componente de a en la dirección de b. Enel espacio vectorial bidimensional V , (figura 1 I ) , Comp, a = /al cos O,
b por
34
Algebra vectortal
[Cap. 1
donde O es el ángulo de b a a y, por tanto, a
b
O
= / a / lb1 cos
La misma terminología puede extenderse para I’,,. Consideramos u n “ángulo” en el espaciou-dimensionalcomodeterminadopor u n parde vectores distintos de ceroa y b. Si @esel ángulo determinado porlos vectores no nulos a y b en V,,, definimos el coseno de U por la relación
7.5 La interpretacidn geométrica del producto escalar sugiere una importante propiedad llamada desigualdad de Schwal-z.
7.6 Teorema. (DesigualdaddeSchwarz.)
-
7.7
Para cuulyuier a, b c V,,.
d / a / lb/
la bl
donde In igualdad se 1.erGc.u si J. sólo si a y b son pardelos. PRUEBA. (Figura 10, pág. 32.) Si a no esparalelaa b. hay un triángulo rectángulo con hipotenusa a y base Proy, a. Sea c = a - Proy, a # O el tercer ladode este triángulorectángulo.Deacuerdocon el teoremade Pitágoras tenemos jProy, a / ’ = l a 1 2 - / c / 2 < lal2 O
IProyh a / <
‘
De las ecuaciones 7.4 y 7.3 se deduce / a b / = lb/ IComp, a / = lb/ /Proy, a /
< lb/ ¡ a /
de modo que si a no es paralelo a b, /a
-b
< / a l lb/
Si a es paralelo a b y a o b es nulo, entonces la igualdad se verifica (O = 0). Si a y b son vectoresparalelos no nulos,entonces a = r b paraalgún número real r y, por tanto,
-
/ a * b ( = I(rb) bj = Ir/ ibI2 = lrbl /bl = / a / lbl.
Esto completa la prueba.
Notu. Como una consecuencia inmediata de la desigualdad de Schwarz se sigue quecos 8, deacuerdo a como ha sido definida por la ecuación 7.5. satisface la desigualdad - J < cos 0 < 1.
71
ortogonal. Proyección
5.5 es ahora una simpleconsecuencia de
La desigualdad del triángulo la desigualdad de Schwarz.
TKIÁNGULO 5.5.
P K U E R A D t LA DESIGUALDAD DEL
de l a desigualdad de Schwarz se deduce a. b
35
Componentes
Como a b
< /a. b/,
< l a . bl < / a l jbl.
De donde la+b/’
( a + b ) . ( a + b ) = l a / ’ + 2 a - b+lbl’ l a ! 2 + 2 / a l IbI+Ibl’ = (lal+Ib1)*.
=
<
Esto implica la desigualdad del triángulo: /a+bl
< !al+/b/.
Es claro que si a es cero o lo es h. entonces se verifica la igualdad en la desigualdad del triángulo. Si a y b son distintos de cero, la igualdad se verifica si y solamente si a
b
= /a*
b/
=
/allbl.
desigualdaddeSchwarz (la b/ = l a / I bl), si a = rb para u n cierto número real r.
La igualdad severificaenla
y sólo si a y b son paralelas, es decir.
Si a
=
rb, entonces
/ a / lb/
y
=
Irbl lb1
=
Ir1 lblZ
a * b = (rb) b = rjbl’
y por tanto a b = la/ lb1 si y sólo si r = Iri, esdecir, Y 3 O. Vemos pues que la igualdad severificaenla desigualdad del triángulo si y sólo si a = O. b = O. o a y b estin en la misma dirección.
Problemas 1. Exprésese. en cada uno de los siguientescasos, a como la suma de u n vector paralelo a b y u n vector ortogonal a b.
u) a c) a e) a
= = =
(3. X), b = ( l . O ) ( - 5 , X). b = ( I , I ) ( l . 2 . 3), b = ( I . I , O )
h) a d) a
( l . O), b = (3, 8) ( I , 2. 3). b = (O, O, I ) ,/’) a = (2. 1, I ) . b = ( I , 2. O ) =
=
2. Ilústrense gráficamente las soluciones del problema
3 . En cada u n o de lossiguientescasoscalcúlense a c) a
N)
= =
(3. X), b = ( I . O) ( I . 2, -3). b = (O, O, I )
h) a d) a
= =
I.
Comp, a y Proy, a.
( - 5 . 8). b (1,1. I). b
=
=
(l. I ) (],O, I)
36
vectorial
e)
[Cap. 1
Algebra
a=(1.2.-3,6),b=jI,O.l,O)
a=(1,0.1), b = ( l , l , l ) f') = ( u i . u 2 ,uj). b = (O. ( I ? . O)
y) a
4. Demuéstrese que Comp, ( a , + a 2 ) = Comp, a , + Comp, a, (la componente de una suma esla suma de las componentes). Ilústrese este resultado grlificamente.
S. Demuéstrese que: u ) Si b y b' son vectores paralelos no nulos. entonces Proy, a = Proy,, a. h ) Si b y b' estlin en l a misma dirección, entonces Comp, a = Comp,, a. c) Si b y b' están en direcciones opuestas, entonces Comp, a = -Camp,, a. 6 . Obténgaseuna
nuevademostración la expresión
mediante la consideración de nulos a y b.
i2
i
de la desigualdad de Schwarz para vectores no
8. VECTORES SOBRE UN CAMPO ARBITRARIO
En la sección 2, el espacio vectorial n-dimensional V , fue definido como el conjunto de todaslas n-adas de númerosreales con la relación de igualdad 4 las operaciones de adicidn y multiplicación por un escalar (número real) definidas como sigue:
8.1 Igualdadde vectores. Si x vectores. entonces x = y
si
= (x,
.yi = J~
8.2 Adición de vectores. Si x entonces
= (x,
. . . . , x,)
paratodo
i
y =
y =
(J.,,
. . . . )*,I
son
I , . . . , n.
, . . . , .Y,) y y = ( y , , . . . , y,) son vectores.
x + y = (.u,+y, , . . . , X,+L'").
8.3 Multiplicación deunvectorpor vector y r es u n escalar, entonces
un escalar. Si x
=
(x,, . . . , x,) es un
r x = ( r . ~. ,. . . . r ~ , ) .
Observemos ahora que podemos definir una estructura a la que llamaremos V,(F) si,enlasanteriores definiciones. reemplazamos los números reales por elementos de algún conjunto F con tal de que los elementosde F puedansumarse y multiplicarse. Sin embargo,paraque podamos llamar a V n ( F jespaciovectorial,exigimos que V , ( F ) tengan las propiedadesqueaparecenenumeradas enel teorema 2.8, pág. 3. Para
81
Vectores sobre un campo arbitrario
37
asegurarnosdeque V,,(F) tengatalespropiedades, suponemosque F es un campo. U n campo es u n conjunto F y dos operaciones, adición y multiplicación, que satisfacen las siguientes propiedades: A, . A,. A,. A,.
Para todo u y b en F , a + bE F. Para todo a y b en F, a+b = b+a. Para todo a, b y c en F, (a+h)+c = a+(b+ c). Hay u n elemento en F , denotado por O, tal que para todo u en F ,
a+O =
u.
a en F , hay u n elemento en F, representadopor -U, tal que a+(-a) = O. M , . Para todo u y b en F, ab€ F. M , , Para todo U y b en F, ab = ha. M , . Para todo u, b y c en F , (ah)c = ~ ( h c ) . M,. Hay u n elemento en F, representado por I , diferente de O, tal que para todo a en F, u . 1 = a. M Para cada a en F, distinto de O, hay u n elemento en F, representado pol a". tal que u.a" = I . D. Para todo u. b y c en F. a ( b + c) = ab+uc.
A,. Paracada
Definimos ahora el espacio vectorial n-dimensional V , ( F ) como el conjuntodetodas lasn-adasdeelementos del campo F, denotadas por x = ( x , , . . . . x"), X ~ E (Fi = I , . . . n ) y llamadas vectores, donde la relación deigualdad y lasoperacionesdeadición y multiplicaciónpor un escalar (elemento de F ) satisfacen 8.1, 8.2 y 8.3. Como lasúnicaspropiedadesde los númerosrealesqueintervienen en la prueba del teorema 2.8 son las propiedades de campo, V,,( F ) tendrá también estas propiedades fundamentales. ~
8.4 Teorema. A , . Puru todo x y y en V,(F), x + y V ~,(F). A 2 . Pura todo x y en V,,(F), x+y = y+x. A , . Para todo x . y y z en V , ( F ) , ( x + y ) + z = x + ( y + z ) . A,. Hal: un y solamente un rector en V , ( F ) . denotido por O y //atnudo rector cero, con la propiedud de que x+O = x
pura todo
XEV,(F)
X E V , ( F ) hay un rector Lkico. denotado por - x , con la propiedud de que
A,. Puru cudu
x+(-x) S , . Puru todo S,. Pura todo S,.
XE XE
Pura todo r , s
V , , ( F ) y todo r E F , V,(F), 1 * X = X .
~ F todo y
XE
=
o.
rxE
V,,(F).
V n ( F ) .r ( s x ) = (rs)x
38
Algebra vectorial
[Cap 1
91
39
Resumen
2. ¿Cuálesde los siguientesparesdevectores dirección ?,;cuáles son paralelos? a)
c)
(2, 31, (-4, -6) (3. -21, (4, "5,
3. Si a
=
6) (1,-5), (-2, 15) 4 ( 2 , 3, 51, (1, 2, 4).
( I , 5, 2, 4), b = ( I , -2, 3,
a c) a + b
0)
están en la misma
-
I ) , calcúlese la longitud de
b) b h) a - b .
4. Véanse si son o no ortogonales los siguientes pares de vectores.
2). (-2. I ) c ) (3, 5), (-3. 2) u) ( I ,
h) (1, I , l), (1, - 1, O) 4 (1, -2, 3, 51, ( - 1 , 2 , 0 , 1).
5. Calcúlese en cada caso Comp, a y Proy, a.
1, 3). b = ( - 1 , 2, I ) ( I , 2, 1: l), b = ( - I , 3, -2, 2) c ) a = (1, 1, -21, b = (3, -1, 1) d ) a = (1, 5, 2), b = ( - 1 , O, 1).
a)
a
b) a
= (I, =
2
Gemmetria analítica
I. INTRODUCCI~N
A mediados del siglo XIX el matemáticoirlandésWilliamRowan Hamilton (1805-1865) cambió su interés de la física matemática al álgebra y elaboró el álgebradelosnúmeroscomplejosbasadaen los pares ordenadosdenúmeros reales.Después intentódesarrollar un álgebrade ternas y cuaternasdenúmeros.Unode sus hijos, quesabíaesto, le preguntó: “Bien, papá,¿puedes multiplicarternas ?” Por lo que se dice contestó: “No, sólopuedosumarlas y restarlas.” Lo que sí descubriófue un álgebra no conmutativa de dimensión cuatro (cuaternios).’ La El problemade definir una multiplicación en V. quedé a V, unaeslsucturade un álgebra con división tiene una historia larga e interesante. A mediados del slglo X I X , un matematico ingles, ArthurCayley,mostróqueestoeratambién posible para n = 8. 41
42
Geornt.:rla anaiitica s6ilda
(Cap. 2
denominada p a r t e ~ L I I ; L d e l prc)d~~c!ode cuaternios e%\ cuando be Isduct: a l a dimenzli,n tres. L.! ".producto\ectorial" que estudlal-emos en zs1e capítulo, Indepenciientzinenti. LIC.Hamilton, el nlatembtlco LtlemBn Hermann C~1111herC;I-a>smann(1809-1877) c x ~ e n d i óeste punto de \ista de los números complejos ;I la> r r - n d a \ iJi-dclladas de nilmeros reales. Estos números hipercomplejobgenerali/aban los númeroscomplejos y los cuaterniosde Hamilton. L a contribuci0ndeGrassmann pasó inad\crlida hasta su apllcacicin e n I91 5. en la teoría general de la relatividad. y es sólo hasta fecha muy reciente que SLI trabajo se ha apreciadoplenamente.Fueron, sin embargo, dos físico-matcnniticoslos que se dieron cuenta de la slgnificación quetenían los ~ e c t o r e sen física. el norteamericano Joslah Wlllard Gibbs ( I 839-1 903) 4 el inglés Oliver Heaviside ( 1 850-1925). 4 el desarrollodel análisis Lectorial tridimenbional de la primeraparte del presente siglo se debe en gran parte a estos dos hombres. En este capítulo. el Algebra vectorial se apllca al estudio de la geometría euclidiana 1ridimensional ! en la sección 12 algunosde los resultados obtenidospara el espaciotridimensional se gencrali7an para los espacios n-dimensionales. L a s propiedades de los vzctoresbajo las operacionesde adicidn. multiplicación por un escalar y producto escalar que se obtuvieron enel capítulo 1 se usan en éste.Introducimos.además, en V , unanueva operaclcin sobre vectores. el "producto \ectorial". Este producto vectorial se aplicaa dosvectores e n I..3 4 da como I-e\ultado u n vector en I,'3. El producto vectorial deriva SLI importancia del hecho de y ~ tanto ~ e s u longitud como su direccióntienenimportante significacitin engeometria y física.
2. ESPACIO EUCLIDIAN0 TRIDIMENSIONAL A fin de apreciar la terminología que va a introducirse en esta seccicin y también para ayudar a comprender la manera e n que el Algebra vectorial
se aplica en geometría.explicaremosprimero c ~ ~ á l eson s las imágenes geométricas que se encuentran tras el IenguaJe que vamos a utilizar. Cuando denotamos u n Lector por- una letra mayiwula digamos P = (k.. .l.. :)-~--' indicamos que P ha de consldcrarse como u n radlo x c t o r (es decir, el punto inicial de la flecha que representa P es el origen). o como el punto terminal de este radio vector (figura I). Si P = (.Y, J!, z) se llama punto. lo visualizamos como el punto terminal del radio \'ectorP = (.Y. J,, z ) , y los números .Y. J ' , z se llaman.entonces, coordenadas del punto P. Así pues. (.Y% y . z) puede Ilamarse u n vector, u n radio vector, o un punto, y los números x, ,I,. z pueden llamarsecomponentes o coordenadas. El lenguaje que se utilice depende ~~
h , por tanto, posible para )I = I , 2 , 4, y 8. 4 solamente cn fecha m u y reclente (1958) se probit q u e éstas eran las unlcas posibilidadea. 1 En la geometriatridimensional es unapracticacomundenotar las coordenadas por .Y, y , z en lugar de por . Y , , x 2 , x j y aqui seguiremos esa prictica.
43
de cualsea la aplicación que el usuariotiene i n mente. Si denotamos u n vector por una letra negrita a = (al. u2. ui),debemos entender que el vector se está usando para representar una direcci6n y unamagnitud. En cualquiercaso, los nombresqueusemos no afectaran el algebrade los vectores aunque la terminología puede resultar necesaria para comprender alguna aplicación particular del Qlgebra vectorial. Ahora estamos preparados para dar una descripción de nuestro modelo analítico del espacio euclidiano. Llamamos a este modelo “espacio analítico euclidianotridimensional” o, simplemente,“espacioeuclidianotridimensional”. El espacio euclidiano tridimensional se denota por R3 (léase: R tres). Enla definición de R3 debemos especificar qué es lo que \amos a entender porpuntos,rectas y planos.Los puntosde K 3 sonlasternas ordenadas ( S , ,L’, z) de V , . Los números Y, J’, z han de visualizarse conlo las coordenadas rectangulares del punto P = (.Y. y . z) (figura I ) . Nuestradefinicióndeuna recta en R3 nace de la idea intuitica de que una recta esta determinada por u n punto Po y unadirección a ( a es un vector nonulo)(figura 2). Los puntos P sobre la recta .Y que pasa por P,, en la dirección de a son, todos. puntosde la forma P = Po+ta, donde I es u n número real. Denotamos este conjunto por ( P , + t a I I E R ~lo. que leemos: “el conjunto de todos los puntos P,+ta con tGR”. Son todos los puntosque puedenalcanzarse desde Po, partiendodesde P,. siguiendounadirecciónparalelaa a. La definición de u n plano en R3 surge de la idea de que un plano esti determinado por dos rectas no paralelas L Y 1 y Y’, de direcciones respectivas a y b que se cortan en un punto Po (figura 3). Los puntos P sobre el plano Y : determinado por Y 1y - Y 2 son, todos. los puntos de la forma P = Po ua + rb, donde u y I ’ sonnilmerosreales. La distancia en el espacioeuclidiano tridimensional R” desde u n punto P , a un punto P, se define como la
+
[Cap44
sóllda
analítica Geometria
2
longitud del vector P, - P , que va de P I a P , . Nuestro espacio euclidiano tridimensional R 3 es, por tanto. con las nociones de p u n t o , recta.
FIGURA 2
Z
plano y distanciadefinldas comoacabade explicarse.Darnos ahora un enunciado preciso de la definicidn del espacio euclidiano tridimensional R3.
21
45
tridimensional euclidiano Espacio
2. I Definición. El espacio (analítico) euclidiano tridimensional, denotado
R3,es el espacio
l)ectorial tridimensional V , donde: y , z) de V , son los puntos de R3 ( f i g u r a I ) ; 2) un conjunto 2’de puntos de R3 es una -. recta .si hay un punto P,E R3 y un rector no nulo a € V , tal que ( f i g u r a 2 ) ,
por
1 ) los elementos
(.Y,
9 = jP,+ta 1
tER) ;
3 ) un conjunto 9‘ de puntos de R3 es un plano s i hay un punto P,€R3 y dos rectores no paralelos a y b de V , tales que ($gura 3), 8 = (P,+ua+rb
I
u, ~ E R } ;
4) IN distancia, denotadupor d ( P , , P,), delpunto P I = (.Y,, ( x 2 , y,. z,) es la longitud del rector P, - P I , es decir,
z,)
al punto P, =
2
d ( P ] , P * )= IP,-P,I
= ~ ~ ( x 2 - x I ) ’ + ( J i , - y , ) ~ + ( z , - z .I )
Las ecuaciones Y
P
=
=
P,+ua+rb
P
P,+ta
se llaman ecuaciones rectoriales de la recta y el plano,respectivamente, y las ecuaciones correspondientes entre los componentes .Y
Y
S
= .Y,
=
x,+ta,,
+ U U , +(./I, ,
y J’
=
= yo+ta,,
z
+ U U +~ r h , ,
=
z,+tu,
z = z,
+ uu3 + u6,
se llaman ecuaciones puramétricas de la recta y el plano.
2.2 Ejemplo. Determínese una recta que pase pot los puntos Po = ( I , I . 2 ) e , . y P I = (1,2, O). i>. - t . 1
_i
x FIGURA 4
~
,
,
S
~
4
46
[Cap 2
Geometrla analitlca sólida
x FIGURA 5
2.5 Ejemplo. Determínese 121 intersección de l a recta con el plano 4 del ejemplo 2.1.
i/'
del ejernplo 2.2
tridimensional 21 euclidiano
47
Espacio
de todos los puntos que pertenecen tanto a entonces P E Y de modo que
P
=
Y como a .Y. Si PEL? n 9,
paraalgún
(1, I + t , 2 - 2 r )
fER
y P E P de modo que P
=
( 1 ---u,
u, c)
para ciertos u , P E R .
Por tanto, P pertenece a la intersección si y sólo si (1, 1 + t , 2 - 2 t ) = (1 -u-",
u, c )
para algún r , u, ~ E R .
es decir, si y sólo si I = I-u-c
-
l+f=u 2 - 2 t = L'.
Resolviendo estas ecuaciones, encontramos t = 3,
11 =
4 , " = -4.
Por tanto,
P=(I,l+r,2-2t)=(l,4,-4)=(l-u-v,tr,¿!). Luego ( I , 4,-4) es el punto de intersección.
Problemas
,
/.
1. Encuéntrese la distanciaentre los siguientespares de puntos de
(1, 5, 3) Y (0, O, 0) c) (2, 1, - 5 ) Y (-- 1, o, 4)
4
R3:
b) ( - 2 , 4 , 3) y (1, 8, -2) c) (1, -9, 3) y ( - 7 , -2, 1) f') (O, o, O) y (x,y , z) h) Po y (1 -t)P,+rP,:
e> (X,,Y,>O)Y ( X Z , Y Z , O ) S> Po Y Po+ta
2. Determínese una recta que pasa por el punto Po paralela a a cuando:
Po = (O, O, O) y a = ( I , I , I ) b) Po = (5, 3, -2) y a = (2, -3, 2 ) c) Po = ( 7 , 12, - 11) y a = (O, O, 1) d ) Po = (5, 7 , 1 ) y a = (-2, 3, -5) e) Po = (-3, 2, - 1) y a = ( I , 5, -4) f j Po = ( - I , -3, -5) y a = (-2: -7, a)
-3).
3. Determinese en cada caso una recta que pase por dados y proporciónese su ecuación paramétrica:
4
(0,o, 0) Y (1, 1, 1)
c j (8, -3: 2) Y (5, 0,O) -l)y(-2,7,
e) ("$2,
o, 0) y (O, 1, O) d ) ( 5 , 8, 1 ) Y (2, 6, - 1 ) f') ( I , 1, I ) y ( - 3 , 2 , -1). b) (1,
-5)
los pares de puntos
48
Geometría analítlca sóllda
[Cap.
2
4. Determínese. en cada caso. un plano que pase por los puntos dados y proporciónese SLI ecuacicin paramétrica:
( 2 . 3 . I ) . ( l . 1. - 4 ) ) (-3.4. - 2 ) (l.l,O).(2,O,l)~(-l.6~-l) c ) (I. 1. I),(O,0.0) y ( 2 . 0 , O ) r l ) ( 2 . 3 , O ) . ( - 5 . I , 1,4’(O, I . I ) e ) ( l . I. I L ( 3 , - 2 . 0 ) ) (4.3.- I ) t ) (0.0.0). ( 2 . 3. - 5 ) y ( I . 2 . 0 ) . (0
/I)
S. ;Son colineales los puntos de los siguientes conjuntos ?
(o.O.O).(l,l.l)~(-l. -l. -1) h) ( 2 . 3. - 5 ) , (O. o. O), (3. - 2 . O) ( , ) ( 1 . 2. O). ( 5 . - 7 . X). (4.3. -1). (1)
6. i C u d es una condicidn necesaria puntos P , . P, y P, sean collneales ?
y suficiente para que tres
7 . Encuéntrese la intersección de la recta Y y el plano .Y en cada uno de los siguientes casos:
2)= ((I,1. l ) + r ( 2 . 3,4);. 9 = [ ( 2 , 3 . 4 ) + C ( ( l .1, I ) + r ( l , O . - 2 ) ; h ) Y = [ ( I , 2 , 0 ) + r ( - j . I, I ) ] . . ? ’ = ; ( 2 , 3 , l)+u(2.O,O)+r(2,6. - 1 ) ) c) .Y’ pasapor (O. O. O ) y (I, I , I ). . Y pasapor (2. 3. I ), (I. I , -4) y (-3.4,2) I / ) Y pasapor (X. 3. 2 ) y ( 5 . O,O), y Y pasa por ( I . I . 1 ), (O, O. O), y (2. o. O) e ) Y pasapor ( - 3. 2, - 1 ) y ( - 2 , 7 . - 5 ) . y .Y pasapor (I,1. I). (3. - 2 . O) y (4, 3. - I ) f ) Y pasa por (I, I . I ) y ( - 3 . 2. - 1 ) . y Y pasa por (2, 3 , I), ( I , I , - 4 )
u )
-
lj
( - 3 . 4, 2).
3 . RECTAS En esta seccicin demostraremosquedospuntosdistintosdeterminan inequívocamenteunarecta. es decir. que hay una recta y sólo una recta que pasa porcadapardepuntosdistintos de R3. Antesde probar este resultado daremos u n breve repaso de las operaciones entre conjuntos y SLI notación U n conjunto .d se dice que es u n subconjuntode u n conjunto ,H.! entonces se escribe .d c ,H.si todo elemento de .d es también u n elemento de d . Decimos quedosconjuntos son iguales si y sólo si sonidénticos. Así pues. ..d= .# si y sólo si ;d c y -8c d . Hemos tenido ya ocasión. en el ejemplo 2.5. de considerar la interseccidn de conjuntos. La i n t e r s e c r i d / ~ de l o s conjuntos .a‘ y .d, escrita SP n A . es e l conjunto de todoslos elementos . M
31
49
Rectas
que se encuentran tanto en sf’como en d.es decir, en los dos a la vez. Paraque la intersección de dos conjuntos sea siempre u n conjunto. es conveniente introducir el conjunto nulo o conjunto r.acío. El conjunto vacío es el conjuntoque n o tieneelementos y se denotapor 0. El conjunto vacío es u n subconjunto de todo conjunto. La unión de los conjuntos d y . 9 , escrita d u 8, es el conjunto de todoslos elementos que estánen d o en a,
3.1 Teorema. Para cada pur de puntos distintosde R3 hay unu y sólo recta que pasa por ellos.
una
PRUEBA.Sean P I y P, un par de puntos distintos de R3. Entonces S?
=
(Pl+t(P,-Pl) 1 ~ E R ]
es una recta que pasa por P I >’ P,. Supongamos que
Y’ = (P,+sa 1 S E R ) es una recta que pasa por P I y P , . Deseamosdemostrarque Y’ = 9. Como P I y P, son puntos en 9’ existen números reales. distintos, s I y S, tales que P , = P , + s , a y P , = P,+s, a. Si PES?’,entonces, para algún ~ E R
P
P I+ r ( P , - P I ) = P , + s , a + t ( s , - $ , ) a = P,+[s,+t(s,-s,)]a. =
Así pues, PES?’ y 9 c Y ’ , Recíprocamente, si P c Z‘, entonces,para algún S E R
P
=
P,+sa
Luego P E Y y Y ’ c
S?.
=
P I -sl a+sa
=
P I + -P - P , ) . S-S,
S2 -S 1
Como Y ’ c S? y Y c Z’,tenemos Y’
3.2 Definición. Dos rectus -4al
=
(P,+sa1 SER) y
se dicen paralelas si los rlectores
a
=
2.
S?,= / P , + t h l t c R )
b son paruIeIos.
3.3 Corolario. Puru todo punto P IE R 3 y fodu rectu 9 = (Po+sa 1 IAIZCI recta que pusu por P I purulelu u Y .
hay unu y solamente
SE
Rj,
PRUEBA.Y l = { P I + t aI ~ E Res; unarecta que pasapor P I y es paralela a Y. Sea Y, = ( P , u b 1 L I ER ) otra recta que pasa por P , y es paralela a 2 ’ . Como P , E Y , , existe u n número realtal que
+
PI
=
P 2 + u l h.
50
sólida
[Cap. 2
analítica Geometría
AdemBs. Y, paralela a 2’ implica que a
P,+a
=
=
rb para algún r e R . De donde
P,+(u,+r)b
y P I + a ~ 2 ’ , n Y 2 .Como P I y P I + a son puntos distintos de 9 , n y , , de acuerdo con el teorema 3.1. Y I = Y,.
3.4 Corolario. Si Y l = : P , + s a 1 S E R ! y Y , = {P,+rb 1 t c R ) son rectus purulelus, entonces Y l . = Y, o Y, n 9,= D.
PRL‘EBA.Supongamos que Y , n 9,# @ y sea Po un punto de 9, n LY2. Entonces existen números reales S, y t, tales que P,
=
P,+s,a
=
P2+t,b.
Además. como P I y Y, son paralelas. a = rb para algún r E R . De donde
P,+a
=
P I +(S,+
I)a
=
P,+(t,+r)b
y P, + a6LYl n 9,. Como P, y P, + a son puntos distintos en 3, y en y * , según el teorema 3. I , PI = Y,. 3.5 Corolario. Si las rectus Y l y 9, no sonparalelas,entonces Y , n = Y 2 es rucio o consiste en un solo punto.
-Y,
PRUEBA.Si n contienemásde un punto, entonces, de acuerdo con el teorema 3.1, tendríamos P I = Y,. Sin embargo Y , y L Y 2 no son paralelas y no pueden, por tanto, coincidir. De esta manera, Y , n Y2 n o puede contener más de u n punto.
La notaclón P I 6 - Y 2 denota que P I n o es un elemento de Y ’ ?
31
51
Rectas
Si P, EL?,,
O
entonces para algún
S E R.
( I , 3, -2)-(2,
=
I , 7)
(-I,
2. -9)
=
S ( - 2 . 4, -6)
Esta última ecuación es equivalente a las tres ecuaciones componentes -1
=
-2s.
2
=
4s. - 9
=
-6s.
Perono hay ningúnnúmero S que satisfaga simultáneamenteestastres ecuaciones y, por tanto, P I$Y,. Así que 9 ,n Y, = 0.
3.7 Ejemplo. Determínese si los siguientespares paralelos y determínese su intersección : 9 1=
{ ( I , 3, - 2 ) + t ( 3 , - 6 , 9 ) ) .
Y,
=
de rectas son
l(2. I , 7 ) + s ( l . -3, 4)]
SOLUCI~N Las . rectas Y , y Y, sonparalelas si paraalgún (3, - 6 , 9 )
=
o no
TER
r ( l , -3,4)
Como no hayningún número r quesatisfagaestaecuacibn, Y l y Y, no sonparalelas.Luego Y , n = Y 2 = 0 o Y , n 3,contiene u n punto. Si Y l n . Y 2 # 0hay u n puntoP,,eY, n = Y 2 . Esdecir, hay númerost,.scR tales que Po = ( I , 3, - 2 ) + t ( 3 , -6, 9) = (2, I . 7 ) + ~ ( 1 , -3,4) 0
t(3, -6.9)-~(1, -3,4)
=
(2. I , 7 ) - ( l , 3. - 2 )
Esta ecuación es equivalente a las tres ecuaciones
=
( l . -2,9).
d e componentes
3t- S = 1 - - 6 t + 3 ~ -2 9t-4s = 9 . Resolviendolas dosprimerasecuacionespara S y t . encontramos S = 0 y t = +. Como estosvaloresnosatisfacen la terceraecuación. no hay ninguna solución para el sistema y 2 ,n 3,= 0. 3.8 Definición. 0 es un ángulo entre Ius rectus 9 , y Y, si puru cierfm r>ectoresno nulos a y b, Y , = ( P i + s a ) , 9,= jP, + t b ) , U es el úngulo entre a J. b.
Hablaremosdeánguloentredos intersecten.
rectas aun en el caso deque
3.9 Ejemplo. Encuéntrese u n ánguloentre las dos rectasdelejemplo
no se 3.7.
[Cap. 52
sólida
2
analítica Geometría
S O L C I C I ~Sean N. a y h. entonces
a =
(3. -6, 9) y b
=
(I.
~
3. 4). Si 0 es el ángulo entre
.L O tiene como medtda en grados 5 12' o 354 48'.
A veces es convenienteexpresar los bectores de 1', en términos de los vectores unitarios (figura 6) 3.10
i
j
(1.0.0).
=
=
(0. 1.0). k
=
(0.0, I )
/
X
FIGURA 6
u
= (COS 9 ,cos
/f. cos y )
Sea a = (I, m. n ) u11 vector no nulo paraleloaunarecta 9.Los números 1. m. 17 se llaman t l h n e r o s directores de la recta Y. Sea CI el ángulo entre i y a; /) el ángulo entre j y a. y 7 elBngulo entre k y a (figura 6). Los ; i n g ~ ~ l ox,s /j', y 1' se llaman cinguIo.s directores de Y, y cos x, cos p. cos ;' se llaman ~~osetms directores de Y . Si u es el vector unitario en la dirección de a : (I, tn, n )
a
u - - - = la1
/
t'[2+tn2+r12
de donde se muestra fácilmente que (problema 4)
53
Rectas
31
cosa = i - u , c o s p
3.12
=
j - u , cosy = k - u
u = (cos u, cos b, cos y )
3.13 3.14
cos2 a
+ cos2 p + cos2 y
=
I
Sean a , , P I, y , y a 2 , p2, y 2 los ángulos directores de las rectas 9I y Y,, respectivamente. Si los ángulos de dirección de - Y l y 2 F 2 están determinados por los vectores a , y a,, respectivamente, y H es el ángulo entre a, y a 2 , entonces
3.15
cos
o = cos a1 cos L72 + cos P I cos Ir2 + cos y1 cos y 2
Problemas 1. Sean
((2, 1, 4)+r(1, 1,1))
-Yl
=
-Y2
= ( ( I , - 1,
9 3 = 2
4
3 5 =
4)+.~(2,- 1, 3))
{ ( I , -2, 5 ) + t ( l , -3,4)}
((3, -2, 7 ) + ~ ( 6 ,-3, 9)) ((3, 2, 3 ) + ~ ' ( - 2 , -2, -2)}
Determínese si son o noparaleloscadaunode rectas y determínense sus intersecciones.
2. identifíquese el conjuntodetodos satisfacen
los siguientesparesde
los puntos P
= (x, y ,
z ) que
3. Determínense: a ) Los ángulosentreunarectaparalela al vector ( I , I , I ) y los ejes de coordenadas; b ) los ángulos entre la recta que pasa por los puntos ( I , O, 1) y (O, I , O) y los ejes de coordenadas; c ) u n ángulo entre las rectas de los incisos ( a ) y ( h ) . 4. Demuéstresequelasecuaciones3.12,
3.13, 3.14 y 3.15 se verifican.
5. Determínense :
=(jo",
a ) lasrectasquepasanpor
fl
el origen con ángulosdirectores
=
45",
54
analítlca Geometría
[Cap. 2
sóllda
4. EL PRODUCTO VECTORIAL E l plano .P = IP,, + ua + r b L/, I ~ RE j puede descrlhirse como el conjunto de todos los puntos P tales que P-P,, es ortogonal a u n vector n donde n es ortogonaltantoa a como a h. Esto w r i demostrado en l a sección 7. En esta sección demostramos la manera en q u e 1111 Lector n puede encontrarsedados l o a Lectores a y h. Para este fin introducimos una operacicin sobre ceclores de C', a la quellamamos"producto Lectorial". Cuando se aplica a wctorcs a y b el espacio vectorial nos da como resultado un Lec'or ortogonaltantoa a como a h. Apartede este usogeométrico en l a descripción de u n plano. el producto vectorial tiene otras Importantes aplicaciones en geometría y en física. ~
4.1 Definición. El productovectorial (JP dos rv('tor(J.y a = ( u I , a 2 , u,) J J h = (17, . h, h,) de C', rtmoturlo por a X h. I o que leeremos " a cruz b",
r.r rl rector d@inido por a x h
=
(nzh,-~r,h,.a,h,-alh,.a,h,-~~zh,).
El producto a x b e5 u n vector. y. comc a ( a x b) = u t ( a ~ / ~ ~ - u ~ b -~u I) h+, ) + a a~ , ( u(, ~h 2~- ahz h~, ) = O i
b . ( a x b)
=
h , ( a ~ h , ~ ~ ~ ~ h , ) + h 2 ( u 3 h I - u I h 3 ) + h ~ ( u l h Z=- Oa ,z h I )
a x b es ortogonal tanto a a como a b
Las propiedades fundamentales del producto vectorial Para a, b, C E V , cuulesq~rieruJ. todo r c R. 4.2
4.3 4.4
-bxa
son:
axb= (ra)x b
ax(b+c)
=
=
r ( a X b)
axb+axc.
La ecuación 4.2 nosdice que el producto vectorial no es conmutativo (esanticonmutativo); la ecuación 4.3 muestra la relación entre l a multi-
El producto vectorial
41
55
plicaciin por un número real y el producto vectorial; y la ecuación 4.4 nos diceque el producto vectorialesdistributivorespecto a la adición.Estas propiedades son simples consecuencias de la definición 4.1 y las propiedades de los números reales (problema 5). Es fácil construir ejemplos que nos muestranque, en general, a X (bx c) # (a X b) X C , es decir,quela ley asociativa no se verifica (problema 6). Los vectores unitarios i = (1, O, O), j = (O, 1 , O), y k = (O,O, 1) satisfacen las relaciones ¡xi
=
IXJ
=
jxj = kxk = O k = -jxi jxk = i = -kxj kxi = j = -ixk.
. .
4.5
Lasecuaciones4.5sonfácilesderecordar. Los productos i X j = k, j x k = i y k x i = j se correspondenconlaspermutacionescíclicasde {i, j, k}, a saber, {i, j, k}, {j, k, i], y {k, i, j}. Usando las propiedades 4.3 y 4.4 y los resultadosde 4.5, podemosobtener el producto vectorialde dos vectores cualesquiera de V , como sigue: a x b = (u,i+u,j+a,k)x(b,i+b,j+b,k) = a,b,(i~i)+a,b~(i~j)+a,b,(i~k)+a~b,(jxi)+rr~h,(jxj)
+a2b,(jxk)+a3b,(kxi)+a3b2(kxj)+u3b3(kxk) = (a2b,-a,b2)i+(a3b,-alh,)j+(a,b2-a2b,)k.
Una representación más conveniente del producto vectorial puede darse en términos de determinantes. Una matriz m x u de números reales A es una funciónquetiene como dominio el conjuntode paresdeenteros { ( i , j ) I 1 < i d m, 1 d j d .} y el rango en R. U n valordelafunción A ( i , j ) que se representapor aij y que se llama entrada, y la matriz se describedesplegandolas entradas en formarectangular.Asociamos con cada matriz cuadrada (m = n) u n número al que llamamos determinante de la matriz. El determinante de una matriz 2 x 2 (2 renglones horizontales y 2 columnas verticales) se define como sigue:
(‘21
0221
El determinante de una matrix 3 x 3 ‘11
4.6
(‘21
‘31
‘12
‘13
‘22
a23)
‘32
u33
56
analíticaGeometría
sóllda
[Cap. 2
puede definirse en términos de matrices 2 x 2. Los determinantes
se llaman menores de las entradas u 1 l . u 1 2 , u I 3 , respectivamente, del primerrenglón. El menorde u l j (el primersubíndiceindica el renglón en que u l i j se encuentra y el segundo la columna) es el determinante que se obtiene omitiendo el rengldn i-ésimo y la co1umna.j-ésima enla matriz 4.6, es decir. tachando el renglón y la columna cn las que se encuentran y formando el determinantede la restantematriz 2 x 2. El determinante de la matriz 3 x 3 que aparece en 4.6, se define como 0 1 1
‘112
“21
‘22
(131
1/32
‘13
=
u22
u23
u21
~
(132
Ií131
u33
Esto se llama“desarrollodeldeterminante del primer- rengldn”. Por tanto 1/11
012
‘)I3
021
u22
u23
031
032
(133
u23
- ‘I2
‘11
u33
I !L I 1/21
+ ‘13
en términosde
a22
los menores
= ~ ~ I 1 ~ 2 2 ~ 3 3 + ‘ 1 2 ~ ; 3 ( ~ 3 1 + ~ 1 3 ~ ~ 2 1 ~ 3 , -‘I
l‘23“32-~112~’21
‘133-u13u22u31.
Puedeasignarse u n significado al determinante si los númerosdel primerrenglónsereemplazan por vectores.Escribimos
Ii kl
4.7 axb=lrl
uj2
u~l=i(~~2b~-u~b~)+j(u~hl-ul~3)+k(ulh2-u~~
bl
b2
63
Se ha señalado anteriormente queel producto vectorial a x b es ortogonal tantoa a comoa b. La longitud del vector a X b tiene u n significado geométrico.Calculando el cuadradode la longitudde a x b obtenemos, por el ilgebra elemental, l a x bl’ = ( ~ ~ / ~ ~ - a ~ h ~ ) ~ + ( a ~ h ~ - n , h , ) ~ + ( u , h , - r / ~ h , ) ~
( ~ ~ Z + ~ ~ 2 + ~ ~ 2 ) ( b 1 2 + h 2 2 + h+L12h2+03b3)2; ~2)-(~IbI
es decir. 4.8
lax bI2
= / a l 2 Ib12-(a. b)2.
57
FIGURA 7
La ecuación 7.5 (pág. 69) afirma que ab
= l a ] J b l cos 8,
donde U es unBngulo entre a y b. Así pues, si tomamos B como el ángulo O < O < rr entre a y b (figura 7 ) . tenemos / a x b i z = ] a l Z I b / ’ ( l -cosz 8) =
Y 4.9
b/ a x
= la1 l b ]
sen 6‘
donde sen Q 3 O ya que O < U < x. Como l b / sen U es la altura del paralelogramo de lados a y b (figura 7 ) , hemos demostrado que la longitud
de a X b es el úrea del paralelogramo de lados a
b.
J
La ecuación 4.9 sugiere el siguiente teorema.
4.10 Teorema. Dos Llectores a. b c V , son paralelos si y sólo si a X b
=
O.
P R U ~ R Aa.X b = O si y sólo si da X biz = O. De acuerdo con la ecuación 4.8 vemosqueesto esequivalentea (ab)’ = ( a / ’ / b i z o / a bl = ( a l l b l . Esta últimaigualdades la desigualdad de Schwarz(teorema 7.6, pág. 34) en el caso en que la igualdad se verifica, y ya hemosprobadoque en la desigualdad de Schwarz sólo se verifica la igualdad si a y b son paralelos. Problemas
9) a - ( b x c ) h) ( a X b) ( a x c) i) a . ( a x b) ;) a x ( a x b j k) a x ( b x c ) 0 (a+b)x(a-c)
-
58
sólida
[Cap. 2
analitlca Geometría
2. Establézcase l a identidad a x ( h x c ) = (a*c)b-(a* b)c.
3. Usando la identidad del problema 2 y el teorema4. IO, pruébese que: a ortogonal tanto a b como a c implica a paralelo a b X c.
4. Determínense todos los vectores no nulos ortogonales a : h) ( 1 , 1,1) 4' (1, o, O ) a ) ( I . O, O) y (O. I O) d ) ( I . -2, - 4 ) y (-3.2, - 6 ) c ) (2. -3.4) y ( - l . 5, 7) e ) (2, 6, -4) 4' (3. 9. -6) f . ) ( - 1 , I , 2) y ( 1 , I , 1). ~
5. Pruébense:
N) 4.2
4.3
h )
c ) 4.4
6. Usando la ecuaci6n 4.5 (pág. 55) encuéntrense i X (i X j) e (i X i) X j para demostrar con ello que la ley asociativa no se verifica para el producto vectorial.
7. Demuéstrese que:
8 . Demuéstrese que: a sólo si
;1
=
( u l , a,) y b
=
( h , , b 2 ) sonparalelos
ulb2-u2bl = O
=
9. Calcúlese el área de los paralelogramos de lados: ( 5 , 3, O) y (3, 7, O) h) i - j + 5 k y 2¡+4j-8k C) (4, 13, - 1 I ) y (8, -10, 21) d ) ( I , 3, 7) y (-2, -4, 3) e ) 2¡+3j+5k e i-2k f ' ) (-3.2. -4) y (1, I , 1 ) . a)
10. Calcúlese el área de los triángulos con vértices:
u ) ( 0 . 0 , O), ( I , O. O), (3. 8. O) h ) (5, O, 16), (8.4, 12). (1, - I .
1)
c) 5i-4j, 12k-5j, 8i+7j d ) ( I . 5.4), (8.2, 3). (22. -4. I )
si y
51
El triple
producto
e ) (0, o, O), (1, o. I ) , (O, 1. f) ( - 2 , 3 , I ) ,( I , 2, I ) , (1,
59
escalar
1) -3.4).
11. Demuéstrese que P I , P,. P, ( P 2 - P I )x ( P 3 - P 1 ) = o.
colineales son equivalentes a
12. Demuéstrese que si P I # P , , entonces {P 1 ( P - P , ) es la recta que pasa por P, y P, .
X
(Pz-P,) = O )
13. Sea S f l la recta que pasa por ( I , O. 1) y (2, I , 2). Sea 8 , la recta que pasa por el origen y esparalelaa ( I , O, 1). Determínese la rectaque pasa por el punto (2, O, - 3) ortogonal tanto a Y I como a 9,.
5. EL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Dados tres vectores cualesquiera a. b, y c en V 3 , entonces como b X c es u n vector, podemos formar el producto escalar de a con b X c. A este producto le llamamos “triple producto escalar”. 5.1 Definición. Dados tres rectores a, b,
derzotado p o r [abc],
de a, b, c,
sedefine
-
CE
por
c’,. el
triple producto escalar
[abc] = a ( b x c )
Nótese que expresiones tales como (a * b) x c no tienen significado alguno, ya que a b es u n número real y el producto vectorialesunaoperación entre pares de vectores de Y,. El triple producto escalar [abc] puede expresarse simplemente en términos de u n determinante 3 x 3:
-
[abc] = a * (b x c) =
=
(a,,a,,a,).(h,c,-b,c,,
1
h,c,-h,c,,
hlc,-h2r1)
+ a3 a1
a2
a3
b,
b,
b,
c,
c,
c,
Mediante el cálculo directo puede demostrarse (problema 5.2
[abc] = a (b X c) = b (c x a) = c * (a X b).
1 h) que
[Cap. 60
sólida
2
analítica Geometría
Como el producto escalar tiene la propiedad conmutativa, la ecuacidn 5.2 puede reformularse como
5.3
[abc] = ( b x c ) * a = ( c x a ) . b = ( a x b ) * c .
Laecuación 5.2 muestraque el triple productoescalar permutaciones cíclicas de los vectores:
[abc] = [bca]
=
no cambiapor
[cab]
y de la ecuación 5.3 se deduce queal expresar [abc] podemos colocarel punto y la cruz en cualquiera de las dos posiciones: [abc] = a ( b x c) = (a x b) c . El triple productoescalarpuede usarseparadescribir la orientación de R3. Si a, b y c son tres vectores mutuamente ortogonales y [abc] > O. entoncesdecimosque a, b, c es unaternapositivamenteorientada.Por ejemplo, los tres vectores unitarios i, j. k forman una terna positivamente orientada, ya que
[ijk]
=
i (j X k)
=
i .i
= 1
> O.
Ya hemos admitido que i, j, k forman un sistemalevógiro.Hemos,pues, convenido en que la orientaciónlevógira la tomaremos como orientación positiva.Luego. si a. b. c formanunaternapositivamenteorientadade vectores mutuamenteortogonales,entonces la rotaciónde b a c de u r ángulo igual a
71
aparece como si fuera contraria a la de las manecillas del 2 reloj cuando se ve desde a. Lanoción de ternaorientada puedeextenderseacualesquieratres vectores a, b, c (nonecesariamenteortogonales): a, b. c constituyenuna ternapositivamenteorientada si [abc] > O. Consideremosahora la terna b x c, b, c donde b y c no son paralelos. Entonces -
[(bxc)bc] = ( b x C ) * ( b x C ) = / b x c 1 2 > O Como hemos supuesto que la orientación levdgira es la orientacicin positiva, tenemosque el girode u n ángulo fl de b a c donde O < 0 < TI parece contrario al movimiento de las manecillas del reloj cuando se ve desde b X c (figura 8). Paraobtenerunainterpretacióngeométricade u n a ternaarbitraria positivamente orientada a. b. c. construimos a, b 4 c con el mismo punto inicial Po (figura 8) y denominamos .Y al plano que pasa por Po determinado por b y c. Como (ecuación 7.4. pág. 33)
[abc] = a ( b x c)
=
1 b x cI Comp,,,,,a.
vemos que la orientación positiva implica q u e Comp,,,,, a > O, y. por tanto,que Proy,,,,,a y b x c apuntan enla mismadirección. Es decir.
51
El triple producto escalar
61
si a, b y c forman una terna positivamente orientada,a y b x c se encuentran a un mismo lado del plano Y.
FIGURA 8
Nota. Podíamos haber tomado como orientación positiva la orientación dextrógira. Si hubiésemoshechotalelección, la hnicacosa que habría cambiadohabríansido las figurasdibujadas.Porejemplo, si b y c no sonparalelos, la rotaciónde b a c de u n ángulo 0 donde O < O < x habría parecido tener igual dirección que la de lasmanecillasdel reloj cuando es vista desde b X c.
FIGURA 9
Si la terna de vectores a, b. c está positivamente orientada, entonces[abc] es el volumen del paralelepípedo de lados a, b y c (figura 9). El volumen del paralelepípedoes el áreade la base por la altura. Labasees un paralelogramo de lados b y c y , por tanto, su área es I b X cI . Ahora bien. la altura esexactamente Comp(bxc,a,luego, por tanto, Volumen
=
1 b x c( Comp(bx,,a = a (b X c ) = [abc].
Si [abc] < O, entonces -[abc] es el volumen del paralelepípedo de lados a, b y c.
62
sólida
[Cap. 2
analítica Geometria
5.4 Ejemplo. Encuéntrese el \,olumen del paralelepípedo de lados a = (2,3. -I). b = (3. -7. 5 ) . 5 c = ( I . - 5 . 2 ) . SOLLC16N.
rabc] = a . ( b x c ) =
Luego. el olumen del paralelepípedoes 27.
5.5 Ejemplo. Encuéntrese el \olumen del tetraedrodelados iguales a los dados en el eJemplo 5.4.
a. b y c
S O L L : ( . I ~ N't.¡. \olumende 1111 tetraedroe> u n tercio del áreade la base por la altura. La base es u n triángulo con doslados b y c y su área es exactamente la mitad del Brea del paralelogramo de lados b y c. De donde e1 área de l a base es l b x c / y el volumen del tetraedro e5 1'
=
J(área de l a base) (altura)
=
: . + i b x c l Comp(bx,,a = A[abc]
Con a. b y c lguales a los dado, enel ejemplo 5.4, tenemos Volumen
=
& .27
=
y.
Problemas 1. Iktnuéstreseque: fl)
a x a
=o
a.(bxc) = b.(cxa) = c.(axb) c) a.(bxc) = -b*(axc) d ) a ( a x b ) = O. h )
2. ;,Conquépropiedadesde
los determinantes se corresponde I/"'!
3. Determínense los volúmenes de los paralelepípedos de aristas: u ) 3i. 4 j , 8 k C) (2. -3.4). ( l , l , l ) , ( l . -4. 7) P ) (2. 6. -4), (3, 2, 7). ( 2 . 4. 3)
h) 3 ii++4kk, , 2j+4k d ) (l.0,O). (8, 7 . 0 ) , (8, -4, 3) f ) (2. - 1 . - 3 ) . (4. I , 4), (O, I , 2).
4. Determínense los volúmenes de los tetraedros de aristas:
(2.2.4). ( I . s. 2). ( I , O , I ) c ) ( S , O . 16). ( l . - 1 . I ) . ( 8 . 2 . 3 ) P ) (2. 6. -4). ( I .I . I ) . ( I . -4. 3)
N)
h) (2, l.3), ( - 3 , 0 . 6 ) . (4, 5. - 1 ) d ) ( I , S,4). ( I , l , O ) , ( I . - 3 , 4 ) f ' ) (2. S . -2), ( I , 4, 2). ( I , 3. O).
63
- 6 . INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES
6.1 Definición. U n conjunto { a , , . . ., a,} de k vectores de V , se dice que linealmente independiente si
es
r , a, + ... +r,a,
=
O
(rieR)
implica r, = . . . = rk = O. Si ( a , , . . . , ak} no es linealmente independiente se dice que es linealmente dependiente.
Un conjunto de k vectores { a , , . . ., a,} es, pues, linealmente dependiente si y sólo si hay k números reales r , , . . . , rk no todos iguales a cero, tales que
+
r , a , + ... +r,a,
=
O.
La expresión r , a, . . . +r,ak donde r , , . . . , r k e R combinación lineal de los vectores a , , . . . , a,.
se diceque
es una
Con frecuencianospermitiremosciertaslibertadesdelenguaje y en lugardedecirque el conjunto { a , , ..., ak} es linealmenteindependiente (o dependiente), diremos que a , , ..., ak son linealmente independientes (o linealmente dependientes). Si dos vectores a, b sonlinealmentedependientes,entonces hay dos números S, t , que no son cero. tales que sa+tb = O .
Si
S
# O, entonces a = -
I
S
b mientras que si
t
# O, entonces b
=
S -
- a. t
En cualquiercaso,vemosque la dependencialinealdedosvectores a. b implicaque a, b son paralelos.Recíprocamente, si a y b sonparalelos (a = rb), entoncessonlinealmentedependientes ( l a - r b = O ) . Luego la
dependencia lineal de dos aectores es equivalente a que los dos cectores sean paralelos.
Si tres vectores a, b y c de V , son linealmente dependientes, entonces hay tres números r , S, t no todos iguales a cero, tales que ra+sb+tc S
I
Y
r
=
O.
Si r # O, entonces a = - - b - - c y a es una combinación lineal de b y c. Si b y c nosonparalelos(sonlinealmenteindependientes),entonces b y c determinan un plano 9 que pasa por cualquier punto dadoPo€ R3 y a es también paralelo a 9'. (Decimos que u n vector es paralelo a u n plano 9 si para cualquier punto P o c 9 la recta (Po fa} c P.) Si b y c son paralelos (linealmentedependientes),entonces a es tambiénparalelo a b y c y hay muchos planos por cualquier punto P,€R3 a los que a, b y c son paralelos. Análogamente, si S # O, entonces b es unacombinación lineal de a y c, y si t # O, entonces c es una combinación lineal de a y b. En cualquiera de los casos, hay al menos u n plano 9' por cualquiera de los puntos P0€R3
+
64
[Cap. 2
Geometría analítica sólida
tal que a, b y c sonparalelos a .f.Recíprocamente. si tres Lectores son paralelos a un mismo plano, puede demostrarse que s o n linealmente dependientes. De donde la riependencio lineul de tres rectores es e(pir.alente LI que los tres rectores seutl p ( ~ r u h 1 o N s un mismo p l ~ n o . En la sección IO se demostrara que cualquier- conjunto de Inas de tres vectores en ,C' es linealmente dependiente, Si algún subconjunto de u n conjunto de k vectores es linealmente dep.&diente. entonces el conjunto total de k vectores es linealmente dependiente. Supongamos que r l a , + _ . . -r,a,
6.2
con no todos los 6.3
ri
=
O
(.j
< k)
iguales a cero y consideremos la ecuaclón
r , a , + . . . + r , a j - r , - , a,+ I
+ . . . +r;a,
=
O
Deseamos demostrar que es posible escoger coeficientes r , , . . . . rk no todos cero, tales que la ecuacitin 6.3 se verifica. Podemos escoger r l . , , , r,. no todos cero, tales que la ecuación 6.2 se verifique. y escoger r i + I = , . . = rk= O. Entonces tenemos coeficientes Y , . . . . , r A para la ecuación 6.3, no todos cero (al menos uno de los nilmerns r , . . . , , r , no es cero) y, por tanto, el conjunto ja, , . , . , a,, a , + I , . . , . a,; es linealmente dependiente. Cualquier conjunto de vectores que contiene el vector cero es linealmente dependiente pues podemos escoger coeficientes no todos cero tales que la correspondiente combinacitin lineal es igual a cero. En particular, podemos tomar todos los coeficientes de los kectores no iguales a cero, iguales a cero y tomar el número uno como coeficiente del vector cero. Ahora demostraremos que el triple producto escalar nos proporciona un medio conveniente para comprobar la dependencia o independencia lineal de treskectores en 1', . Como hemos señalado antes, el valor absoluto de [abc] es el volumen de u n paralelepípedoconaristas a, b, c y es claro, geométricamente, que este volumen es cero si y sólo si a, b y c son paraleios a algún plano. Por otra parte. que tres vectores sean paralelos a un plano es equivalente a la dependencia lineal de los tres vectores. ~
6.4 Teorema. Tres wc'tores a. b. scilo .vi [abc] = a . ( b X c ) = O.
CE
V , son lineulrnet~trdependientes s i
J.
PKULBA.Probamosprimeroque a. b. c linealmentedependientesimplica = O. Si b y c sonlinealmentedependientes.entonces a. b y c son linealmentedependientes.Pero.entonces,por el teorema 4.10 (pág. 57) [abc] = a * ( b X c) = a * O = O. Si b y c sonlinealmenteindependientes rnientras que a. b y c son linealmente dependientes. entonces (problema 4) [abc]
a = sb+
IC
para algunos
S,
teR
vectores 61
de
65
linealIndependencia
De donde. como tanto b como c son. ambos, ortogonales a b X c, [abc] = a * ( b x c ) = s ( b . ( b x c ) ) + t ( c * ( b X C ) ) = O .
Recíprocamente,supongamosque [abc] = O. Entonces el vector b x c es ortogonal a a, puesto que a (b x c) = O. Además, b x c es ortogonal a b. Por tanto (problema 3, pág. ,58), b X c es paralelo a a X b. Consideramos dos casos: Cuso / . Si a x b = O. entonces a y b son linealmentedependientes y, por tanto, a, b y c son linealmente dependientes.
Cuso
2. Si a x b # O, entoncesparaalgún
R
b x c = r ( a x b).
De donde, reordenando. tenemos b x c + v ( b x a ) = O,
o bien,
bx(c+ra) = O.
Por tanto, b y c +va son paralelos. Pero b # O y, por tanto, para algún SER c + r a = sb. Lo que demuestra que a, b y c son linealmente dependientes.
6.5 Ejemplo. ¿Son los vectores a = ( 1 2, - 2), b = (O, 3, I ) , y c = ( - 1 1, 3) linealmente dependientes?
S O L U C I ~Como N. [abc] =
-1
I
2 -2
O
3
I
1
3
= l(9-1)-2(0+1)-2(0+3)
los vectoressonlinealmentedependientes.
O,
En realidad, a
=
b-c
Problemas 1 . Determínese si sí o n o sonlinealmenteindependienteslossiguientes vectores : a ) ( 2 , 5 , - 11, (3, - 7 , O), (O, 29, -3)
66
Geometría analitlca sóllda
[Cap.
2
2. Demuéstrese que el siste'ma homogéneo
- h 1'+ ,
(1 1 .\-
I
('
=
2
ilz.\+hzJ'+cz'
=
¿r,.\-+h3I~+(',;
=
tiene soluciones no triviales [es decir.
(.\Y.J.,
o o
o
z) # O]
SI
y sólo si
I
1
Suyermc,iu. El sistema de ecuacionesesequ~valente a la ecuación vectorla1 s a + 1 , b + x = O. Usese el teorema 6.4 y el problema 76, pág. 58.
3 . u) ;Paraquévaloresde i tiene soluc~ones no triviales el siguiente sistema de ecuaciones homogéneas'! ( 1 "i)s+,L-z
2.Y-iJ-2: Y-J
-(I
=
=
+i)z =
o
o
O'?
h ) Determínense las soluciones no triviales paracada valores de i que dan lugar a ellas.
uno de los
4. Llemuestrese que si a, h c sonlinealmentedependientesmientras que h y c son linealmente ~ndependientes, entonces hay números reales s. t tales que a = sbttc.
5. llemuéstrese que entonces
si a , . . . . . a, son linealmente independientes,
r , a , + . . . + r , a , = s , a , + . . . + $,a,
implica
rl =
S,
~
, . . , r k = S,
6. Demuéstreseque a , . . , . . a, linealmenteindependientes,implica a , . . . . . a, son vectores distintos de cero. 7. Demuéstreseque I, vectores son linealmentedependientes si y sólo si u n o de l o s vectoresesunacombinación lineal de los otros.
*8. Demuéstreseque u n conjunto l a , . . . _ ,a,) de vectores no nulos .es linealmente dependiente si y sólo si para algún j , 1 < .j < k - 1. ai+ es una combinación lineal de a , . . . . . a , ,
,
71
67
La ecuación del plano
*9. Sea 9, la recta que pasa por Po y es paralela a a. Sea Z2la recta que pasa por Qo y es paralela a b. Sea c = Qo-Po. Si Y I no es paralela a 9, demuéstrese que: N ) la distancia mínima entre
h) las rectas Z l y
-4pz
Y, y 3, está dada por
se intersectan si y sólo si [abc]
=
O.
10. Establézcanse las siguientes identidades:
+ -
+
b) [(a x c) x (a b)] = O h) a X [a X (a X b)] = (a :a) (b X a) c) ( a x b ) x ( c x d ) = [ ( a x b > * d ] c - [ ( a x b ) * c ] d d ) (axb).(cxd) = (a-c)(b.d)-(a-d)(b*c)
a) (a
e) ( a x b ) x ( a x c ) = [ a . ( b x c ) ] a f ’ ) a x ( b x c ) + b x ( c x a ) - t c x ( a x b) = O .
11. Demuéstrese que 4.8, pág. 56, es u n caso especial del problema IOd.
*12. Sea {a,, a2, a,) una ternapositivamenteorientadade sea A = [a, a2 a,]. Definamos a2 x a3a3 b, = ,
A
x al A
b2=-
vectores, y
a1 x a2 b3=->
9
A
y d i j (llamada delta de Kronecker) por
d1J. . =
1
para
i
=j
Demuéstrese que:
6) (b, , b,, b,) esunaternapositivamenteorientadade vectores. c) ai bj = d;j, i,,j = I , 2, 3. d ) Los vectores b, , b, y b, son los únicos vectores con l a propiedad c. e ) Si [ a 1 , a 2 , a,) esunaternapositivamenteorientadade vectores unitariosortogonalesdos a dos,entonces b, = a , , b, = a, y b, = a,. 7. LA ECUACION DEL PLANO Consideremos el plano (figura 10) 7.1
9 = fP,+ua+cb
1 u, c ~ R j .
[Cap. 68
sólida
2
analitica Geometría
9 es el planoque pasapor Po determinadopor el parde vectores no paralelos a y b. Cualquier vector no nulo ortogonal a ambos a y b se llama vector normal a 9). Así pues. a x b es u n vector normal (o, simplemente. una normal) a Y y toda otra normal es paralela a a X b (problema 3. pág. 158).
FIGURA 10
7.2 Lema. Si n es unu normal u1 pluno ;/p P I , P , E Y rntoncrs n es ortoyonul u P, - P I .
=
jP, + u a
+ r b 1 u. I ' E R )
'I.
PRUEBA. P I . P,E;'P implica P,
=
P o + u l a + r ,b
y
P,
=
P0+u,a+r2b
para algunas ul , L . , . u 2 , r 2 de R. Por tanto
P,-P,
= (U,--II~)~+(¿.,-I.,)~.
Como n es ortogonal tanto a a como a b, es claro que
n-(P,-P,)
=
O.
Y esto completa la prueba.
7.3 Lema. Si n es unu n o r n ~ u l u1 pluno .Y= (Po+ u a + rb I u. P - P o es ortoyonrrl N n. entonces P E J .
PRUEBA. Como n
= r(a
1.6
RJ
x b) y r # O, P - P o ortogonal a n implica
( P - P o ) (a X b)
=
O.
De acuerdo con el teorema 6.4 (pág. 64). esto implica que P - P o , a y b son linealmentedependientes.Como a y b son linealmenteindependientes, concluimos que existen u , r e R tales que
+
P-Po
=
Por tanto, P = Po + ua rb y P E ~ . De los lemas 7.2 y 7.3 se deduce
ua+Llb.
69
1.4 Teorema. Si n es una normal al plano
9’= ( P , + u a + r b I u , P E R } entonces
Y y
B es el Único plano
=
-
{P I n (P-Po)
=
O)
que pasa por Po con normal n.
PRUEBA. Sea Y = { P 1 n ( P - P o ) = O>. Deseamos demostrar que Y =B. Según el lema 7.2, si P E P , entoncesP-Po es ortogonal an y n ( P - P o ) = O . Dedonde P E P implica P E Y demodoque P c Y. Recíprocamente, si P E Y entonces P - P o es ortogonala n y según el lema 7.3 P E Y . Por tanto Y c Y . Luego Y = %?. Para demostrar que P es el Único plano que pasa por Po con normal n, supongamos que Y’ i po ‘ + s c + t d I s , t ~ R }
-
,
es otro plano que pase por Po y tenga también a n como normal. Entonces
-
9’= .(P I n (P-Po’)
=
O}.
Como Po€P’,n * (Po -Po’) = O o, lo que es lo mismo, n * Po = n Po‘. De donde n * ( P-Po) = n * ( P - P o ’ ) para todo P E R3 y en particular Y’ = {P I n * (P-P,‘)
=
O}
=
{P I n (P-Po)
=
O}
=
9.
Y esto completa la prueba. La ecuación 7.5
n*(P-P,)
=
O
se llama ecuación l>ectorialdel plano 9. Hemos demostrado que si 9 es u n plano que pasa por Po y tiene n como normal,entonces n ( P - P o ) = O es unaecuaciónvectorial de 9.Ahora demostraremos que, recíprocamente, toda ecuación vectorial n ( P - P o ) = O ( n # O ) es la ecuación vectorial de u n plano que pasa por Po. 7.6 Teorema. P a w todo rector distinto n ( P - P o ) = O , es unaecuuciónl,ectorial tiene n como normal.
de cero n y todo punto Po, de un plano yuepasapor P, J
PRUEBA.Desearnos demostrarque , ’ P=
(P I n * (P-Po)
=
O)
es u n plano que pasa por Po y tiene n como normal. Necesitamos demostrar
70
sólida
[Cap. 2
analítica Geometría
tan solo que existen vectoreslinealmenteindependientes ortogonales a n. Entonces. n e, una normal al plano 9 = (P, + ua + r b 1 u.
('E
a y b ambos
R}
y. por el teorema 7.4, .Y' = .Y. Sea n -= ( n , , n,, n 3 ) . Como n # O. a l menos u n o de sus componentes es dlstinto de cero. Supongamos que 1 2 , # O. Entonces a = (-n2.
n , , O)
es u n vectordistintodeceroortogonala 1 1 . Como a y n s o n vectores ortogonales distintos de cero, son linealmente independientes (problema IO, pág. 29). Entonces b = n x a es u n vector distinto de cero ortogonal a n y a a. Luego a y b son cectoreslinealmenteindependientes cadaunode los cuales es ortogonal a n. Lo que completa la prueba. 7.7 Corolario. Toda ecuucion l w t o r i u l n P de 1411 plurzo que tiene n como norrnul.
=
d ( n # O ) es una ecuación
PRUEBA. Sila ecuacidn n P = d tlene una solucicin P,, entonces n * P, = d . Dedonde n P = 0 = n P, esequivalente a n (P-P,) = O, y sabemos
queesta es una ecuacirin de u n plano.Queda. pues. porprobarque la ecuacidn n P = r l tieneunasolucidn. Sea n = ( a ,h. c ) . Como n # O, al menosunode s u s componentes es distintodecero. Deseamos, pues, encontrar un punto P = (.Y. J.. z) que satisfaga a
-
U.Y.
+ by + cz
=
d
.
Claramente. corno al menos uno de los números u. / J . c es distinto de cero, laecuacicin tiene soluciones [por ejemplo, ( d u.O. O) si N # O: (O, d'h. O) S I h # O : (O. O. d c ) si (' # O]. Y esto completa la prueba. Como enla pruebaanterior. sea n = (u,h, c) # O y P = (.Y,y , z). Entonces n * P = u.\- + I) 1' cz . +
y escrita en términos de componentes a l ecuación vectorial n * P
la forma
7.8
u.\-+ 11). + ( ' Z
=
=
d toma
d
Así pues. el conjunto .Y = j'.Z ) 1 r ~ s + / ~ ~ ~= + cdjz de todas las soluciones a7.8 es un planoconnormal n = (,Y. h. c , ) : 7.8 se llama ecuación dc.1 plum) .P.Una ecuacitin del tipo7.8. donde u '+/I' + C' # O. se llama tw,m.idn linrul en .Y. J.. z. I.uego rocla ecuucidtl lineul en .x. J'. 5 es I r ecuución de un plano. :(.Y?
71
plano
71
delLa ecuación
7.9 Ejemplo, Identifíquense cada u n o de los siguientes planos: 3(~--5)-2(~+4)+4(~-2) = O h) 2 x + 3 y = 2 c) x - 2 y + z = o.
U)
SOLUCION. U n plano queda inequívocamente determinado por una normal n y un punto Po del plano. De donde n y Po identifican un plano. U) n = (3, -2,4), Po = (5, -4, 2). h) (Endosdimensionesestoes una recta,pero se entiendequeaquí estamosdiscutiendolageometría del espacio euclidiano tridimensional.) n c) n = i -2j
(2, 3, O)
=
y
Po
+ k, y el plano pasa por
=
( I , O, O).
el origcn.
7.10 Ejemplo. Determínese la recta que pasa por el punto ( I , -5, 6 ) paralela a la normal al plano que contiene a los puntos (O. I , 2), (3, 2, 6) y ( - 2, o, 5).
S O L U C I ~ Seaa=(3,2,6)-(0,1,2)=(3,1,4)yb=(-2,0,5)-(0,l,2)= N. (-2, - I, 3). n = a x b es una normal a 9. Luego
1-2
-1
3)
De donde 2 = { ( I , -5, 6 ) + t ( 7 , - 17, -1)) es la recta.
= { ( I +7t,
7.11 Teorema. Tres puntos no colinealesdeterminanun
-5- 17t, 6 - t ) }
plano Único.
PRUEBA.Sean P o , P , y P, trespuntosno colineales.Entonces P I - P o y P 2 - P o sonlinealmenteindependientes (problema 6 , pág. 48). Luego
9 = (Po+u(P, -Po)+L:(P,-Po)} es un plano que pasa por los puntos P o , P I y P , . Ahora bien, n = (PI -Po)x (P2-Po)
es una normal a todo plano que pase por P o , Py, P, (lema 7.2 y problema 3, pág. 58). Luegodeacuerdocon el teorema 7.4, 9 es el único plano que pasa por los puntos no colineales Po, P I y P, ,
72
Problemas 1. Determínese una normal
a cada uno de
u) El plano cuyas ecuaciones paramétrlcas .Y = J'
=
.c =
los siguientes planos. \on
2-3t+.\ 8r+7.s -413s.
b) El plano
.Y = j(6. t , 3 - f ) j S. ~ E K ) . c ) El plano
,4= [ ( 6 - / r + 3 / . . 8 + 2 ~ + 3 [ . .- I + / . ) 1 u') El plano que pasa por e ) El plano que pasa por
u.I.ERI
los p ~ ~ n t o ( l s. O, O). (O. I . O). (O. O, 1). los puntos (2, - I , 3 ) , ( I I , - 13, 6). (5. 5, 5).
2. Determínese unaecuaciónparacada
u n o de los siguientes planos:
El plano que pasa por el origen con normal ( I , 1, I ). h ) El plano que pasa por el punto (O, O, a) con normal paralela al eje Z . c ) El plano que pasa por el punto ( I , -4, 3 ) connormalparalelaa la recta que pasa por (2. - I . 3) y (4. 8,O). d ) El planoquecontiene la recta Y = [ I , 2 + 3 t , 2 + r ] y el punto (2, -3. 8). e ) El planoquepasapor el puntomediodelsegmentorectilíneoque une P I y P, con normal paralela a dicho segmento. a)
3. Proporciónese una ecuación para cada uno problema 1.
de los planos de
4. Identifíquese el plano cuya ecuación es:
N ) 3.\--5y+,-
=
o
h) 3(.\"2)+5(,1.+3)-8~
z=6 d ) 2 . \ - + 3 ~ , - 8= ~ 13 e) 5 . \ - 7 ~ + 1 2 ~= -8.
=
O
C)
*S. Demuéstrese queel lugar geométrico de todoslos puntos equidistantes de u n par de puntos distintos es u n plano. 6 . Demuéstreseque
Po, P , , P , , P, son coplanares si y sólo si y a, = P,-Po sonlinealmentedependientes.
a , = P I -Po, a, = P,-Po
Sugerenciu. Demuéstrese que P o . P I , P , . P, coplanares es equivalente a a , ( a z X a 3 ) = O.
73
8. INTERSECCIóN DE PLANOS En esta sección discutiremos el problemade la determinaciónde la intersección de dos planos. El carácter de esta intersección depende de que los planos sean o n o paralelos. 8.1 Definición. Se dice quedos
planos son
paralelos si
sus normales son
puralelas.
Notu. Si dosplanos paralelos P i y g2 tienen normales n I y n, respectivamente,entonces n i y n2 sonvectoresparalelos no nulos. Ahora bien, como cualquier vector nonuloparaleloa n , esnormala P I ,n2 estambiénunanormal a .Pi.Análogamente, n , es unanormal a P 2 .Es decir, toda normal a u n o de los pianos de un par de planos paralelos es una normal común a los dos planos. Probaremos ahora que planos paralelos o coinciden o no tienen puntos en común, y que planos no paralelos se intersectan en una recta.
8.2 Teorema. Si 9,y Y 2 sonplanosparalelos, entonces Y i = ;Y2 o bien 9,n 9,= 0. Si 8I y Y , no son paralelos, entonces 9,n .P2es una recta.
Y ,
PRUEBA.Sean Y p = l { P I + u a + r b 1 u, ~ E R y} = ( P I ( P - P 2 ) . n = O} Un punto P = P , + u a + r b en 9,se encuentra también en . Y 2 si y sólo si (PI +ua+r'b-P,) * n o
bien
8.3
(a n)u+(b n ) c
=
(-PP2, )
=
O
-n
Si los planos 8, y 8,sonparalelos,entonces a * n = O y b n = O. En este caso o bien ningún par de números u, ~ E satisface R la ecuación 8.3, o bien cualesquier números u, ( ' E R la satisfacen, según que ( P , - P I ) n sea distinto de cero o sea igual a cero. Si ( P 2 - P I ) n # O, entonces no hay números u, L' que satisfagan la ecuación 8.3 y ;Y, n .Y2 = 0, Si ( P 2 - P I ) * n = O, entonces cualesquier números u, I' satisfacen la ecuación8.3 y 9,c P 2 .De lo que se sigue que =: Y, ya quetres puntos no colinealesdeterminan u n plano (teorema 7.1 1). Si 9, y P 2 son no paralelos, entonces a n # O o b n # O. Supongamos que a n # O. Entonces la ecuación 8.3 puede resolverse para u en términos de I' y para cada ~ E tenemos R
-
-
8.4
74
analitlca Geometría
[Cap. 2
sóllda
Así pues, u n p u n t o P = P I + u a + r b está e n .Yl n .Y2 si y sólo si u está determinada por 8.4. ks decll-.
y este conjunto es una recta, ya q u e a y b no paralelos impllca b
-
b-n
~a # O. a*n
8.5 Ejemplo. Encuéntrese la lnterseccidn del plan(>
.d,= ( ( I ? I , I ) + u ( ~ .
-
1. 3 ) + ~ . ( -1. O. 2 ) 1
I/.
I’ERJ
y el plano .Y, cuya ecuación es
2.\-+3,1-~
=
l.
S O L U C I ~ \ ,U . n punto
P
=
( I , I , l)+u(2. - I .
3)$1’(- I , O. 2)
=
( I f2u-t’.
1 -U, 1 + 3 ~ + 2 ¿ . )
en .Y, se encuentra también en .Y2 si y sólo si P . n = ( I +2u-1.. I -u. I + 3 c l ’ + 2 r ) . ( 2 , 3, - I )
=
7
o bien 4-2u-4~‘ = I
Luego
Y
u
P
z=
=
= -2C-J
( l . I . 1 ) - 3(2, - 1. 3)-21.(2, - I , 3 ) + ~-( I . O, 2) (-2, -;)+I>(-5.2. -4). ;%
La intersecclón de :Y, y :Yz e5 la recta
.Y, n.9, =
i(-2.
;,
--i)+r-5,2.
-4)l ~ E R ) .
Si los dos planos están dados en forma de ecuación, entonces podemos encontrar mejor la intersección expresandodosde las incógnitas en términosde la tercera. L a terceraincógnitapasaentoncesadesempeñar el papel de parámetro enla recta de intersección. Noru. Si P y Q son dos proposiciones, entonces “ P si y sólo si Q” significa que P implica Q y Q implica P . Es decir, “ P si y sólo si Q” significa que la proposicidn P es equivalentea la proposición Q . Es frecuente utilizar una flecha, a . para denotar “implica”; una flecha de dos cabezas, -. denota “si y sdlo si”. 8.6 Ejemplo. Encuéntrense los puntosde ~ , Y + ~ . v +=zO y s + . v - - z = 15.
intersección de los dosplanos
Intersección de planos
81
SOLUCI~N.
I
4x+3y+z =
o
+ y-z
15
x X
=
=
-y+;+
75
15
- 4 y + 4 ~ + 6 0 + 3 ~ ) += ~ O
X
= - 5 ~ - 6 0 + ~ + 1 5 = -42-45
y = 5zf60. Por tanto, los dos planos se intersectana ecuaciones paramétricas son
lo largo de la recta cuyas
.Y = - 4 t - 4 5
y
=
5f+60
z = f.
O
4(-4t-45)+3(5~+6O)+t (-4t-45)+(5[+60)-t
=
15.
8.7 Definición. Un ángulo entre dos pianos es un únyulo entre sus normules. 8.8 Ejemplo. Encuéntrese u n ángulo entre los dos planos del ejemplo 8.6.
SOLUCI~N Los . planos 4,\-+3y+z = 0 .u+
y-"
=
15
tienennormales n , = (4, 3, I ) y n, = ( I , 1, - 1) respectivamente.Por tanto, si 8 es u n ángulo entre los dos planos, entonces
y H
=
47" 12' o 312"48'
76
Problemas 1. Determínese la interseccibn de los planos: n )
y+'
C.)
h ) 3 ~ - 2 ~ ' +=5 2~ 4.\-+5J.f" = - 6 d ) 9 . \ . + 1 2 ~ ' + 3=~ -7 12~+ 16~'+4: = 9 f ) S+)'+: = o
7 ~ + 2 ~ 1 - =8 O~
12.\--5~'+7: 9.\-+ J"3Z
e ) .\-+y+? x
+ .v -
= =
.Y"+?
Z =
.y) 3.Y+21.+'
=
o
= =
I
13
5
o 1
=
V+" = o .U+)""- = o .Y-
2
h ) .Y-)-+"
.\.-2y+31= o 4.\-+J'+8r = 12
.X+J'+Z
.\"9J.+Z
=
=
I
o
=
2.
2. Determínense los ángulos entre los planos: u) del problema 1 a ; h ) del problema I h ; c ) del problema I c; d ) problema del 1d . 3 . Determínese el ánguloentre el plano que pasa por los puntos I . O). (O. O, 1 ) y el plano c ~ ~ ecuaclón ya es 3 .Y - 5.1,+ z = 8.
( 1 , O,O).(O.
9. INTERSECClÓN DE UNA RECTA Y UNPLANO
Paradiscutir la intersección deuna recta y u n plano.introducimos primero el concepto de recta paralela a u n plano.
PRUEBA.Sean Y = ( P , + t a 1 ~ E R )y .Y= [PI P . n = d P = P , + f a en Y también se encuentra en .Y si y sólo si ( P I+ l a ) n
l.
U n punto
d
=
o bien 9.3
(a n ) t
=
&PI
*
n.
SI 2 ' es paralela a ;Y.entonces a y n son ortogonales y a * n = O. En este caso y según que & P I * n sea distinto de cero o cero, respectivamente, o ningún número / o cualquiernúmero t satisfacen la ecuación 9.3. Si d-PI n # O. entonces ningún t E R satisface la ecuación 9.3 y Y n B = 0. Si d - P , n = O, entonces toda r c R satisface a la ecuación 9.3 y Y c 9.
91
una
Intersección de
77
recta y un plano
Si Y no es paralela a 9, entonces a y n no son ortogonales y a n # O. En este caso la ecuación 9.3 tiene la solución única
y el punto de intersección es PI
&Plan
+
a
a-n
9.4 Ejemplo. Encuéntrese la intersecciónde la recta
9 = { ( I , 1, l ) + r ( 2 , - 1, 3) 1 t E R } y el plano 9 cuya ecuación es ~ X + ~ Y - Z=
S O L U C I ~ NUn . punto P en 9 si y sólo si Pan
=
=
( I , I , 1)
7.
+ t(2. - I , 3 ) en -Y también se encuentra
(1+2t, I-[,
1+3t).(2,3, -1)
=
7
o bien 7.
4-2t Así pues, t =
-
3y
el punto de intersección es
(I, I , l)-3(2, - I ,
3)
=
(-2
> 2 5,
-1). 2
9.5 Definición. L a distanciude un punto Q a un plano 9 es Iu distanciu de Q alpunto de intersección con9de ¡u recta que pasa por Q y es normala 9'.
u n punto, Q a u n plano 9,
9.6 Ejemplo. Encuéntrese la distanciade
S O L U C ~ ~Sea N . n * P = d una ecuación de Y. La recta 2 que pasa por normal a 9 tiene la ecuación P = Q+tn. De acuerdo con el teorema 9.2, el punto de intersección de 9 y 9 es
PI y la distancia es
9.7
=
Q+t,n
=
Q
+ d-n*Q ~
n-n
n
Q
78
Geometría analítlca sóllda
Si P,t.b, entonces d
=
n * P, y podemos expresar la distancia en la forma
9.8 Ejemplo. Encuéntrese
plano .Y 2 . ~ - 1 3 + 3 ~= I O .
S O L U C I ~1.N n
tenemos
=
(2.
-
[Cap. 2
la distancia del punto Q
I , 3) esunanormala
SOL.WIÓN 2. n = ( 2 , - 1. 3) esunanormala plano y sea a = Q - P o . Entonces
9 .
=
( I , - 2 , 4) al
Usando la ecuación 9.7,
Y . Sea Po un punto del
Problemas 1. Determínese en cada caso la intersección de 9 y d y dígase si 9 es o no paralela a 9 . Y’ = [ ( 2 , l . 4 ) + / ( 1 , I . I ) ; . .Y’ = { ( 2 , 0 . 4 ) + ~ ( 17,, 3)+¿’(-3, 8 , O ) ) = ( ( l . - 1 , 4 ) + / ( 2 , - I , 3)). d = ((6, U./‘-i)] = ((3, 8, - I ) + / ( ] , 7, 1 ) ; . .Y= ( ( 6 - ~ + 3 ~ . . 8 + 2 ~ + -3 r1 .+L.)) L / ) Y = ((3. -2. 7 ) + ~ ( 2- -,l . 3 ) ; . Y es el planoque pasa por los puntos (2. - I . 3). ( 5 , - 5 , 4). (5, 5 , 8) e ) 9 = { ( 3 . 2. 3 ) + / ( - 2 , -2, - 2 ) j . .Y es el planoquepasapor el origen con normal ( I . I . I ).
U)
h) Y c) Y
2. Encuéntrese en cadacaso la recta 5” que pasa por el punto Q y es ortogonal al plano .Y. N ) Q = ( l . 2. 3 ) , ,4 = ( ( 2 . 1. - I ) + u ( ~ , I , I)+/’(I , l.O)) h) Q = ( 2 . 1. - 1). .Y= ( ( 2 . 1.3)+1/(5,2, - I)+r.(4, O. I ) ) c.) Q = (O. 2. 2). 9 que pasa por (2. I . - 1 ). (3. 1. O). (4, -6, 2) L / ) Q = ( l . - 1 . 4). ,Y: ~ Y + J + Z = 5. -
3 . Encuéntrese la distancia del punto Q al plano .Y en cada uno de los casos del problema 2.
1o1
79
Bases
4. Encuéntrese la intersección de la recta
9 = {(3, 1, 3)+t(l, 1, - I ) } con cada uno de los planos de coordenadas. 5. Determínese el punto donde la recta 2’que pasa por el punto (I, 3, 1) y es ortogonal al plano 9 : 3 x - 2 y + 5 z = 15 intersecta a 9. 6. Unapartículacomienzaamoverse enel punto (1 5 , -22, IO) y se mueve conunavelocidad constante (1, 1, I). ¿Cuánto tarda la partícula en alcanzar al plano x + I O y + 4 z = - 15 ?
7. ¿En qué dirección debería moverse la partícula del problema 6 para alcanzar el plano en tiempo mínimo?, siel valor absoluto de la velocidad es el mismo que en el problema 6, ¿cuál es el tiempo mínimo ? 8. Demuéstrese que los planos
9, ((2, O, 4 ) + ~ ( 1 , 7, 3 ) + ~ ( - 3 , 8, O)) Y 9 2
= {(3,2, 3)+s(4,
- 1 , 3)+t(9, 5,9)}
son paralelos. Encuéntrese la distancia e n t r e y , y Y 2si definimos la distancia entre planos paralelos se define como la distancia de un punto cualquiera de un plano al otro plano. 9. Sea 3 laintersecciónde los planosconecuaciones 3 x + y - 4 z = 5 = 4. Si 9 es el plano con ecuación s - 2 y + 3 z = 1, encuéntrese 3 n Y. y 2x+3y-z
10. Encuéntrese una ecuación del plano que contiene el punto ( 1 , 2, -3) y la recta 2 = ((1, I , l ) + t ( 5 , -2, 3)). 10. SASES
Hemos demostrado que cualquier vector a 6 V , puede expresarse en una forma única como una combinación lineal de los vectores unitarios i=(l,O,O), En realidad,
j=(O,l,O),
k=(O,O,l).
a = (u,,u2,a3= ) a,i+a,j+a,k
AsÍ pues, los vectores i, j, k tienen la propiedad de que todo vector de
V, puede expresarse como una combinación lineal de estos vectores.El conjunto de vectores i, j, k no es el Único conjunto devectores que tiene esta propiedad. Demostraremosquecualesquiertresvectoreslinealmenteindependientes tienen esta propiedad.
[Cap. 80
sólida
analítica Geometría
2
C E ,'bl son lineulmente independientes, entonc,es puru p~rntoP ER3 esistpn nlínleros reales Únicos 14. I ' . t tules yue
10.1 Teorema. Si a, b, cada
P
=
ua+r.b+tc.
P R U ~ B ADe . acuerdo con el problema 5, pig. 166, como a, b, c son linealmente independientes, si existen números u , I ' . /, que satisfacen
P
=
ua+rb+tc,
tales números son únicos. Que tales números existan es una consecuencia del teorema 9.2. Sea .Y= ( u a + r b ) y 40 = ( P + t c } . Como a. b y c son linealmente independientes, Y' no es paralela a Y . Luego si P I es el punto de intersección de .Yy Y hay números u , I ' . t , E R tales que PI
=
Por tanto donde t
= -t,
ua+rb
P
=
=
P+t,c.
ua+rb+tc
.
Nota. Como unaconsecuencia del teorema 10.1, vemosquecualquier conjuntodecuatro o m i s vectores en V, es linealmentedependiente. 10.2 Definición.
( u , . .. .,
U n conjunto
unu base de V , A i i ) ( a , , . . . . a k ) es
Y
uk}
de rectores en V , se dice que es
linealmente independiente
ii) todo rector de V,, puede e.\-presurse como unu combinación lineal de a , . . . . , a k . Si todo vector de V , puedeexpresarse comounacombinación lineal de a , . , . . . ak, entonces el conjunto [ a , . . . . . a L ] se dice que yeneru V,. 10.3 Corolario. Todo conjunto de tres rectores lineulmente independientes de V , es unu huse de
PRUEBA.Sean a, b. c tresvectoreslinealmenteindependientes de V , . Solo necesitamos demostrar que a, b, c generan V , . Sea d un vector arbitrario de V,. Sea P e R 3 tal que P = P - O = d. Entonces. deacuerdo con el teorema 10.1, existen números reales únicos u. t tales q ~ ~ e
r.
d
=
P
=
ua+rb+tc.
10.4 Corolario. Si
~
(1,
b,
c,
(13
63
c3
Bases
101
81
entonces el sistema de ecuaciones lindes a , x + b , y + c , z = dl
a 2 x + b 2 y + c 2 z = d2
tiene
una
u , x + ~ , ~ + c , z= d3
solución única.
PRUEBA.El sistema de tres ecuaciones lineales vectorial 10.5
ax+by+cz
donde a Como
=
( a l ,a 2 ,4
,
b
=
( b , ,b 2 ,U , c 101
[abc]
=
=
a - ( b x c ) = b,
=
es equivalente a la ecuación
d ( c I , c 2 , c,) y d = ( d l , d , , 4 ) .
0 2
031 =
b2
6,
c2
c31
; :1
b~
CI
b2
c2
l a 3 6,
1
# O,
clI
a, b,c sonlinealmenteindependientes(teorema 6.4, pág. 64). De donde se sigue,deacuerdo con el corolario 10.3, que la ecuación 10.5 tieneuna solución. La independencialinealde a. b, c implica la unicidadde la solución (problema 5, pág. 66). Hallando los productos escalares de la ecuación 10.5 por b x c, c x a, y a x b, sucesivamente, obtenemos
[abclx
[dbc],[abcly
=
=
[adcj,[abclz
=
[abd]
o bien
A-
=
Cdbcl
; :1
--
[abc]
u [ b,
la2
b,
1: 1 ,
c1
c,
l a 3 b3 c 3
1 1
z = - Cabdl -
Cabcl
y = - [adc]
-
la,
d,
al a2
b, h2
c1 L'2
0 3
b3
L'3
[abc]
1
'
82
sóllda
analitlca Geometría
[Cap. 2
,llo/(/. L a ftirmula para la solución de corolario 10.4 es el caso especial paratresecuaciones lineales con tres incógnitas de la r q l u (1. C'ycrl77er: si e l determinantede coeficientes es distinrodecero e n u n sistema de 11 ecuaciones lineales con I I incógnitas.entonces cada una de las inc6gnitaspuedeexpresarsecomo el cociente de dosdeterminantes el denominador es el determinante de los coeficientes y el numerador para la incógnitaj-ésima es el determlnanteobtenidocuando enel determinante de los coeficientes se reemplaza la ,j-ésima columna por l a columnade las constantesAunque la regla de Cramel- nos dauna solución formal a u n sistema de 11 ecuaciones lineales con I I inc6gnitas cuando el determinantede los coeficientes esdistinto de cero, no nos proporciona s i n embargo u n método prlictico de solucicin, excepto para los casos en que n espequefia. L a evaluación de u n determinantede orden / I requiere ( 1 1 - I ) x I Z ! multiplicaciones. luego resolver u n sistema de I I ecuacionespor la regla de Cramerrequeriría ( n - I ) x (nf I ) ! multiplicaciones. L a reducción deGauss-Jordan. de la que damos una muestraen la solución del ejemplo 10.7 q u e después del próximo corolario exponemos. requiere solamente j ( n 3 -t3n2- 1 2 ) multiplicaciones. Por ejemplo. para IO. la regla deCramerrequiere casi 359 millones de multiplicaciones. mientras que la reducción de Gauss-Jordan requiere solamente 430. La mayor parte de los métodos prácticos de resolución de tales sistemas son \ariaciones de la reducción de Gauss-Jordan.
PKL HA. Esta es la interpretacicin geométrica de1 anterior corolario cuando se consideranson las ecuaciones de tresplanos. Un punto de intersección de los planos corresponde a una solución del sistema de ecuaciones. las ecuaclonesque
10.7 Ejemplo. Encuéntrense todos los puntos de intersección de los planos
2 . \ - + ~ ' - 3= ~ 4 5.\-+4y+7: = 2 .\-+J,+2Z = -5. S O L U C I ~ XEscribiendo . primero >'
la últimaecuación.resolviéndola sustituyendo en las otras dos ecuaciones, tenemos:
para
S,
83
Bases
I
0
,y= -11 18 y = 1s8 z =
-5
6.
El puntode intersecciónes (-++, ++, -4). De nuevoseñalamosque aunque no es lógicamente necesario comprobar la solución, sin embargo, es prudente hacerlo. 10.8 Ejemplo. Si tresvectoresnonulos a, b, c en V , son mutuamente ortogonales,pruébesequeformanuna base de V,. Exprésese un vector d e V , como una combinación lineal de a, b y c.
S O L U C ~ ~Para N . que a, b, c constituyan una base de V , han de ser linealmenteindependientes. Es decir, debemos demostrar que la única solución de la ecuación 10.9
O = ua+vb+rc
es u = 1) = t = O. Tomando el producto escalar de ambos miembros de ecuación 10.9 por a, tenemos
a.0
=
la
ua.a+z;a- bfta-c
Como a es ortogonal tanto a b como a c, obtenemos u = O. Análogamente, tomando el producto escalarcon b y con c, obtenemos u = O y r = O. De donde a, b, c son linealmente independientes, luego, según corolario 1U.3, forman una base de V , . Como a, b, c forman una base de V,, todo vector d s V , puede expresarse como una combinación lineal d
=
ua+ub+rc.
Tomando el producto escalar con a, b,c sucesivamente, como a, b, c son mutuamente ortogonales, obtenemos
a - d = ua-a,bad
o bien
=
r;b.b, c - d
=
tc-c
84
Problemas 1. Demuéstreseque los vectores a, b, csonmutuamenteortogonales y exprésese d como u n a combinación lineal de a, b, c . a) a = (1,0,0), b = (O, I , I ) , c = (O, - I , I ) , d = (3,4. -2) h) a = ( l . l , O ) , b = ( O , O , 3 ) , c = ( l , - 1 , 0 ) , d = ( - 2 , S , 1 ) c) a = ( 1 , 2 , l ) , b = ( - I , 2 . - 3 ) , ~ = ( - 4 , 1 , 2 ) , d=(l,3,5) d ) a = (1, 1. I ) , b = (2, -3, I ) , c = (4, I , - S ) , d = (2, 6, -7).
2. Sean a, b, b,, c,, donde b,
V, linealmenteindependientes.Demuéstreseque
CE
=
b - Proy,b
y
c,
=
c-Proy,c
-
a,
Proy,,c
formanuna base de vectores mutuamenteortogonalesde Y , . La interpretacióngeométrica de b, y c i se muestra enla figura 1 1 . Esteproceso se conoce como el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.
Proj
a i FIGURA 11
3. Usese el método del problema 2 paraobtenerunabaseortogonal de V,, partiendo de los vectores a, b, c en cada u n o de los siguientes casos: a) a = ( l , 2 , I ) , b = (2, -3,2), c = (2, - 1 , I ) b) a = ( I , I ,I ) . b = (-2,3, I ) , c = (1,2, - 1 ) c) a = (l., O, O), b = (O, l , O ) , c = (O,O, I ) .
4. Exprésese el vector d como una combinación lineal de a, b y c . a) a =
h) a
=
(1, 2, I ) , b = (2, -3, 2), c = (2, - 1 , I ) , d = (3, 4, -2) ( I , 1 , I), b = (-2, 3, I ) . c = (l.2, - I ) , d = (5, -7, 2).
5. Encuéntrense todos los puntos de intersección de los planos u) 3 x + y + z = S
3x+y+5z x-y+3z
= =
7 3
b)
5-yfy-z = 6 - 2 x + y - 4 ~ = IO x - 3 y + z = 8.
111
cilindricas Coordenadas
85
y esféricas
6 . Demuéstreseque el conjuntode vectores { e , , e 2 , ..., e,,}, donde e , = ( l , O , ..., O), e2 = (O, ¡,O, ..., O), ..., e, = (O, ..., O, l), es unabase de V , . 11. COORDENADAS CIL~NDRICASY ESFÉRICAS
En el espaciobidimensionalocurre amenudoque es conveniente expresar la ecuación de una curva en coordenadas polares o en algún otro sistema de coordenadas distinto del de coordenadas rectangulares. Análogamente, en el espacio tridimensional a menudo son útiles otros sistemas de coordenadas distintos del de coordenadas rectangulares. Las coordenadas de uso más común en el espacio tridimensional, aparte de las rectangulares, son las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas. Los significados geométricos de las coordenadas cilíndricas ylesféricaslse muestran en las figuras 12 y 13. Denotamos a las coordenadas cilíndricas por ( r , U, z) y a las coordenadas esféricas por ( p , O, cp). Si ( r , 8, z) son las coordenadas cilíndricasde u n punto P en R3, entonces
P
11.1
= (r cos
O , r sen O, z). P
Y
x FIGURA 12
P = (x,y,z)
Así pues, si P = (x, y , z ) , la relaciónentrelas coordenadascartesianas y , z de P y las coordenadas cilíndricas de P es
x,
.Y
11.2
= r COS t3
sen O z = z.
y
=
r
Las coordenadas cilíndricas r y 8 sonlas coordenadas polares del punto en el plano X Y : (.u, y , O) es laproyecciónortogonalde P sobre
(.u, y , O)
[Cap. 86
s6lida
2
analítica Geometría
el plano X Y . La coordenada cilíndrica z de P es la altura de P sobre el plano X Y . Así pues, según I 1 . 1 o su equivalente I 1.2, cada conjunto (u, O, z ) de coordenadascilíndricas determina u n punt12 Único de R3. Recíprocamente, acadapunto P de R3 se le puedenasignarcoordenadas cilíndricas, es decir, dado P puedenencontrarsenúmeros ( r , U, z ) quesatisfagan 11.1. Esta asignación de coordenadas cilíndricas no es única. Excluido el eje Z , lasrestricciones r > O y O < I9 < 2 n hacen única la asignación. Si ( p , O, cp) son coordenadas esféricas (figL.ra 13) de u n punto P, entonces 11.3
P=(psencpcosQ.psencpsen%,pcoscp).
Cadaconjunto ( p , 19,cp) decoordenadas esféricasdetermina un punto Único P de R3. La coordenada esférica U es la mismaque la coordenada cilíndrica U y suele llamarse longitud o acimut de P. La coordenada esférica cp es el ángulo entre la dirección positiva del eje Z y el radio vector P. A este
c
).
ángulo cp se le llama colatitud de P - - cp se llama latitud de P
La
coordenada esférica p es la distancia de P al origen (si p > O). La relación entre coordenadas esféricas y coordenadas cartesianas es
x y
11.4
2
=
p sen cp cos O
=
p sencp se? O p cos cp.
=
X FIGURA 13
P
= (x,y,z)
Es claro que todo punto de R3 tiene conjuntos de coordenadas esféricas. De nuevo aquí, si excluimos los puntos del eje Z , las restricciones p > O, O < O < 2 n , y O < cp < n hacen única la asignaciónde coordenadas esféricas.
111
cilíndricas Coordenadas
87
y esféricas
Las notaciones para las coordenadas esféricas no son universales. Muchosautores usan O para la colatitud,a la quenosotroshemos denotado por cp, y v, para la longitud a la que nosotros denotamos por H. Cuando se hace esto, U no tiene la misma significación en coordenadas cilíndricasque en coordenadas esféricas,mientrasquecon la elección denotacionesquenosotros hemoshecho, H significa lo mismo en las coordenadas cilíndricas que en las esféricas. Otra dificultad que aparece en la notación más común es que la misma letra, generalmente Y , se usa paradenotartanto la distancia al eje enlas coordenadas cilíndricas ( r en nuestra notación) como la distancia al origen en las coordenadas esféricas ( p en nuestranotación).Algunosautores,particularmente en el campo de la mecánica de fluidos, usan LC) tanto en las coordenadas cilíndricas como en lasesféricaspararepresentar la longitud que aquí hemos denotado por H. En este caso. U se usa para denotar la colatitud, que aquí aparece representada por $9. Nota.
11.5 Definicion. U n cilindro (circularrecto) es un conjunto de puntos equidistuntes de una rectujjuu la que se llumu eje del cilindro.
La distanciade u n punto P pues, que el conjunto
w
11.6
= (x,
= { ( x , y , z)
y , z ) al eje Z es
I x’
+y’
=
Jx’ +y’.
Vemos,
u’}
es un cilindro circular de radiou cuyo eje es el eje Z. La ecuación x’ + y 2 = a se diceque es unaecuación(en coordenadascartesianas) delcilindro V. En términos de coordenadas cilíndricas, %? = {(rcos O, r sen 8, z ) 1 r = a } es el mismo cilindro, y r = u se llama ecuación del cilindro %? en coordenadas cilíndricas. Nótese también que podemos escribir’ %‘= {
Las ecuaciones 11.7
(acosu,usenu,c)~u~[0,2n],v~(-m,m)~. x = u cos u y = asen u z = c, U € [ 0 , 2 n ] ,
CE(-rn,
m),
se llaman ecuaciones paramétricas del cilindro V. 11.8 Definición. La esfera Y ( C; a) de radio a y centro en e l punto C = ( e I , c 2 , c3) es el conjunto de todos los puntos cuya distancia de C es a ; es decir,
1
9 ( C ;a) = {P IP-CI = a } = {(x,y , z)
I (x - C1)Z + ( y - c2)2+ ( z - c3)2 = u ’ } .
AI intervalocerradodeterminado por los números reales u y b (a < b ) 1representamos por [a, b] y al intervaloabiertocorrespondiente por
88
analítica Geometría
[Cap. 2
sólida
La ecuación
( s " , ) ~ + ( ~ - c ~ ) ~ + ( z - c c=3 )u2~
11.9
sellama ecuqión en coordenadascartesianas La esfera Y ( 0 ;u ) deradio CE y centro enel en coordenadas esféricas en la forma Y ( O ;a)
11.10
=
de la esfera .Y(C; u).' origen, se puedeexpresar
1
{ ( p sen cp cos 8, p sen cp sen H , p cos cp) p
=
a].
Laecuación p = u se llamaecuación en coordenadas esféricas de la esfera Y ( 0 ;U ) . Podemos también escribir Y ( O ;u )
=
{(u sen u cos I., u sen u sen
r,
a cos u
I
UG[O,
171.
(.€[O. 2 n ] }.
Las ecuaciones .Y
y
11.11
= =
z =
u sen u cos c u sen u sen c u cos u, U € [ O , n ] . ¿.€[O, 2x1
se llaman ecuaciones paramétricas de la esfera Y ( 0 ;a).
Problemas
los
1. Determínense las coordenadas cartesianas rectangulares de puntos cuyas coordenadas cilíndricas ( r , O, z ) son:
2. Determínense las coordenadascartesianasde coordenadas esféricas (p, O, cp) son
41,
(1,
e) (13, 12O", 30")
1)
los puntos cuyas
, f )
(-1,
-1,
-1).
3. Asígnense coordenadas cilíndricas y esféricas a los puntoscuyas coordenadas cartesianas son : 0) e ) (O. 0,O)
0)
6 ) (1, ¡,O) 1. 1)
f') (1,
(.I (O, O, 1) 9 ) (32, -25, 18)
d ) (O, 3,
-
1)
Nótese que estamos llamando esfera a lo que en la literatura matemática castellana es habitual llamar superficie esferica. [N. del T.]
121
89
n-dlrnensionales euclrdianos Espacios
4. Pruébese que la hélice cilíndrica W : f ( t ) = (a cos cot, u sen w t , bt),
t E ( - m, m),
se encuentra sobre u n cilindro. 5. Describase la superficie cuya ecuación a) r =
const
6) 8
=
const
6. Describaselasuperficiecuyaecuación u ) p = const
b) 8
=
const
en coordenadas cilíndricas es: c) z = const.
en coordenadas esféricas es:
c) cp
=
const.
12.ESPACIOSEUCLIDIANOSn-DIMENSIONALES En esta sección definiremos el espacio euclidiano n-dimensional. Tomaremoscomomodelo el espacioeuclidianotridimensional.Hemos visto que en el espaciotridimensionaltresvectoreslinealmenteindepcndientesgeneran el espaciototal(corolario10.3,pág. 80). Dos vectores linealmente independientes a, b E V , determinan un plano {ua+ ub I u, c’ER} quepasapor el origen. U n planoasí se llamasubespaciobidimensional de R3 y cada punto del subespacio está únicamente determinado por los dos parámetros u, u. Todoplano en R3 resultadeaplicarunatraslación a talsubespacio, {P,+ua+cb I u, c’ER}, de talsubespacio. Un vector linealmenteindependiente, es decir, un vectordistintodecero,determina una recta {fa I t E R } que pasa por el origen. Tal recta se llama subespacio unidimensionalde R3 y cada punto de estesubespacioestádeterminado inequívocamentepor el parámetro Único t . Toda recta en R3 esuna traslación, {Po+ta I tER}, de tal subespacio. En un espacio n-dimensional, podemos tener k vectoreslinealmenteindependientes a , , . . . , ak donde k = I , . .., n. También en este caso cuando k = n, los vectores a , , .. ., a, generan el espacio total y cuando k < n generan u n subespacio k-dimensional. Tales subespacios ( t , a , + . . . + t k a kI t , , . . . , t k E R } y sus traslaciones, conjuntos de la forma {Po+ t , a , + . . . +tkak1 t , , . . . , t k E R } , se llaman planos k-dimensionales en el espacio n-dimensional. El plano unidimensional se llama usualmente recta.
12.1 Definición. El espacio “anulitico” n-dimensional euclidiano, denotado
por
R“ es
el espacio vectorial n-dimensional V,, donde:
i) los elementos x = ( x , , . . . , x,,) de V, son los puntos de R“, ii) un conjunto 9 de puntos de R“ se llama planok-dimensional o hiperplano en R“ (k = 1, . . . , n - 1) si hay un punto PoE R “ y k vectores linealmente independientes a , , . . . , akE V, tales que 12.2
9 = ( P o + t ,a , + ... +tka, I t , , ..., t k e R ) ;
analitlca Geometría
90
[Cap. 2
sóllda
i i i ) lu distunciu. rscritu d(P. Q). desde el p m f o P = ( . y l . . , , , .xn) al punto R ” es lu lo/lyitlrrt del Iwtor Q - P . es decir
0 = ( J , ,. . . . . J,,) et7
d ( P . Q ) = :Q-PI
= [ ( J . ~ - . \ Y ~ ) ’.+. .
+(yn-.~n)2]”2.
Un plano unldlmensional
Y
=
[P,+ra j t E R ) (a # O )
se llama rectu. La ecuacicin
P
=
P,+r, a, +
. _ _+t,a,
se llama ecuocibn rectoriu/ de un plano y las ecuaciones de las componentes se llaman ecuuciones purumcJtricus del plano. Decimos que u n vector b es paralelo al plano .Y = {Po + t , a , + . . .t,a, I t , , . . . , t k E R ) si b = r , a , + _ . .+r,a, para algunos r l , . . . , r,ER.
12.3 Ejemplo. Determínese una recta (plano unidimensional) que pase por los puntos Po = ( I . 4. -2, 3) y P I = (2,O. I , O) de R4.
S O L U C I ~ Sea N. a
=
P I - P o . Entonces
1 TER]
Y = { P o + t ( P ,-Po)
es una recta que contiene a P, /! a P I : Po corresponde a t Luego 3 = ( ( I . 4. - 2 , 3 ) + t ( l , -4, 3, - 3 ) ) es una recta ( I , 4,
-
=
O y PI a t
=
1.
2, 3 ) y ( 2 , O, I , O).
12.4 Ejemplo. Determínese u n planoque
3. - 2 . 3 ) . P I
=
( 3 , 2 , 1. O ) , P,
=
pase por los puntos Po
(2. 1.0.0) y P,
=
=
(2,
(2, o, 2, O).
S O L U C I ~ N .Sean
a, a, a3
=
P I -Po P,-P,
=
P, -Po
=
=
= =
3. - 3 ) , (O. - 2 . 2 , - 3 ) , (O. - 3. 4, - 3 ) . (1, - I .
Con el fin de determinar la dimensidn del plano necesitamos conocer cuántos de los anteriorestresvectores s o n linealmenteindependientes.Lostres vectores son linealmentedependientes si existen ntimeros r , . r 2 , r 3 . no todos ceros. tales que r , a , + r , a L + r 3 a 3= O .
121 n-dirnensionales euclidianos Espacios
91
Esta ecuación vectorial es equivalente a las cuatro ecuaciones componentes:
=o
rl
- r l --2r2-3r3 = O 3r,+2r2+4r, = O -3r, - 3 r 2 - 3 r 3 = O.
Se encuentra que la única solución a estas ecuaciones es r, = r, = r 3 = O . Luego los tres vectores a , ,u 2 , u, son linealmente independientes. Por tanto P = { P o + t t ,a, +r,a,+t,a,} = ((2,3,-2, 3)+t1(1, - 1,3, -3)+t,(O, -2,2, -3)+t,(o, -3,4, -3)) es un plano tridimensional en R4 que pasa por los puntos Po, P,, P, y P, : Po correspondea t , = t, = t , = O ; P I correspondea t , = 1, t, = t , = O ; P, corresponde a t , = 1, t, = t , = O; y P, corresponde a t , = 1. t, = t, = O.
12.5 Ejemplo. Determínese la interseccióndelarecta y el plano 9 del ejemplo 12.4.
2 del ejemplo 12.3
SOLUCI~N. Supongamos P E Y n 9’. Entonces P E Y implica P
=
(1, 4, -2, 3)+t(l, -4, 3, -3) para algún t E R
y P E P implica
P
=
3 ) + t l ( l , -1,
(2,3,-2,
3, - 3 ) + t 2 ( O ,
Por tanto P pertenecealaintersección son iguales; es decir, si y sólo si 1+ t 4-4t -2+3t 3-3t
Resolviendoestasecuaciones, f , = 3.Por tanto
P
-2,2, -3)+t3(0, -3,4, -3)
para algunos t , , t , , t , E R.
si y sólo si estas dos expresiones
2+ t ,
=
3 - t1-2tt,-3t, -2+3tt,+2t2+4t, = 3-3t,-3t2-3t,.
= =
encontramos t
= (1, 4, -2, 3)+4(1,
-4, 3, -3)
=
3,
t, = -$,
t, = + y
= $ ( l l , 4, 3, 3)
es el punto de intersección de 2’y 9.
(2, 3, -2, 3)-&(1,
-
1, 3, -3)+3(0,
-2, 2, -3)+3(0,
-3, 4, -3) = &(11,4, 3, 3).
12.6 Definición. Dos planos en R“ ,
9,= (P, + S , a, + . . . +sjaj
I S ] , ..., s j € R }
92
[Cap 2
Geometría analítica sólida
I’
.Yz = ( P , + t , b ,
+ . . . + t , b k I t , . . . . t~, ~ R l
+
X- < n, sofz paralelos si cudu uno de los conjuntos de X I rectores { a i ,b , . . . . , b,) ( i = 1, . . . . j ) es linealmente dependiente; es decir- si cudu uno de los rectores a i (i = I , , . . . 1) es purulrlo ul pluno % Y 2 . donde j ,<
Mostramos ahora que si dos planos son paralelos, entonces o u n plano es u n subconjunto del otro o su intersección es vacía. Este teorema contiene el corolario 3.4 y las partesde los teoremas 8.2 y 9.2 concernientesa las rectas y planos paralelos como casos particulares. 12.7 Teorema. Si dos plunos en R” I’
donde j
<
.Y,= ( P I+ S , a , + . . . + s j a , 1
s l , _ . _ s, i € R )
Y,= { P 2 + t ,b , + . . . + t , b ,
t , , . _ _ t, h € R )
n, son purulelos. entonces
~
9 ,c 9zo Y l n 9,=
0
P R ~ E B AComo . b , , . . ., b, son linealmente independientes, a , , b , . . . ., b, linealmente dependientes implica que existen nilmeros Ai,,,tales que 12.8
ai =
h
1 111
l.¡,,, b,,
( i = 1 , ..., j ) .
= I
Supongamos P O c Y 1n .Y,. Entonces hay números S , ’ , . . . , S , , t , tales que Po = P , + S , ’ a , + . . . + S j ’ a j = P 2 + t l ’ b l +. . . + th’b,. I
,
. . . . . tA’
Por tanto
P,
=
P 2 + t l ’ b l + ... + t , ’ b A - s l ’ a l - . . . -sj‘a.;
=
P , + t l ’ b l + _ _ +. l , ’ b a - s l ’
h
1
“,=I
iIntb,,,- ... -sj‘
y portanto P I~ 9Sea~P u. n puntoarbitrario algunos S , . . . . . s,ER, por 12.8 y 12.9. tenemos P
=
P I + S , a , + . . _+ s j a ,
=
P,+h,
=
P z + [ f l ’+
h ”,=I
A
l.,,,b,,,+ ...
+S,
m= I
ir
I
m= I
I.,,b,,,
en Y l . Entoncespara
i .,”, b,,
1 ( S - S ~ ’ ) > . ~ ~ ] .~. ~. +[It,’ + + I
h
x i
i= 1
(.>i-Si‘)i.,k]bk
121 n-dimensionales euclidianos Espacios
93
luego PEP,, Hemos así demostradoque c 9,. Lo que completa la prueba.
9 ,
si 8,n 9,#
0,entonces
12.10 Ejemplo. i s o n paralelos los planos
9,= { ( l . 4, -2, 3 ) + ~ , ( lO,, 3. Y
=
-
1 2 ) + ~ 2 ( 2 ,5, -4, 6 ) )
((2,3, - 2 , 3 ) - t t ~ ( l , - l , 3 , - 3 ) + t ~ ( O , - 2 , 2 , 3 ) + t ~ ( O , - 3 . 4 , - 3 ) } ?
i Es vacía su intersección? S O L U C I ~ Sean N . a, = ( I , O, 3, --l2), a, = ( 2 , 5 , -4, 6 ) , b, = ( I , - I , 3, -3), b, = (O, -2,2, 3), y b, = (O, -3, 4, -3). Los conjuntos { a , , a,) y (b, , b,, b,] son linealmenteindependientes. Los planossonparalelos si { a l ,b , , b , , b 3 ) y (a,, b , , b , , b,} sonlinealmentedependientes.es decir, si a , y a, soncadaunocombinacioneslinealesde b,,b,,b,. Supongamos que a , = A , , b , + i . , , b z + A I 3 b 3 , entonces 1
=
o=
3 -12
= =
i ,,
-Al,-2)L12-3A,3 32, +2il,+41.,, -3~.,l+3A,2-3tl13.
,
,
Resolviendoestasecuaciones encontramos A , = I , A 1 2 Análogamente si a, = A 2 , b, fizz b, +l.,, b,, entonces
2 5 -4 6
=
-2,
j.,, =
I.
= izl = = =
-I,,, -2lLz,-3Az3 3A2, f2A2,+4/12, -3).21 +3).22-31123.
Resolviendoestasecuaciones, encontramos t l Z l = 2, E,,, = I , = -3. Como a, y a, soncombinacioneslinealesde b , , b,, b,, los planosson paralelos. Como, deacuerdoconelteorema 12.7, o 9 ,n 9,= P I o 9,n 9,= 0, es suficiente determinar si u n punto cualquiera de P I pertenece a 9,. Sea P I = ( l , 4 , - 2 , 3 ) ~ 9 , . Si P , E Y , entonces hay números t , , t , , r,ER tales que
(l,4,-2,3)=(2,3,-2,3)+t,(l,-1,3,-3)+~,(0,-2,2,3)+r3(O,-3,4,-3). Esta ecuación vectorial es equivalente al sistema de ecuaciones componentes -1
= t, 1 = -tl-2t2-3t3
o = 3t, +2t,+4t3 o = -3t,+3t2-3r,.
94
sólida
[Cap. 2
analítlca Geometría
Resolviendo las primerastresecuacionesdeestegrupoencontramosque siel sistematieneunasolución hade ser f , = - I , I , = - 2 , I, = 3. Sin embargo. estos \alores no satisfacen la cuarta ecuación. Luego el sistema notienesolución alguna.Portanto P , $ 9 , y, según el teorema 12.7.
.Y,n W z = D. Problemas
1. Determínese la dimensión del planoquepasa puntos dado y determínese el plano
por el conjuntode
N ) P" = (1. 1. I I. ) ,
PI = (1.2.3,4) P,=(I.I.I.I). P I =(0.-2,2.-3).P2=(0,3,2,1),P,=(l,2,3,4) c) P"=(l,O,2.O).PI=(0.2.3,1),P,=(O,0,1.-1),P,=(l,2,4,2) d ) P,, = ( I . o, o, O), P I = (O. I , o. O),P, = (0.0. I , 2),P, = (O, 2, - 1 , -2) /I)
2. Encuéntrese la distancia entre los siguientes pares de puntos LI)
P"
=
( I . 2, 3.4). P I
=
(-1,
3, - 2 , I )
O) P" = ( l . I , I . I . I ) . P I = (O. 2, -3, 7 . - 2 )
c ) P" = ( 3 , - 2 , 4 . "6. 5 ) . P I = ( I , O . 3. - 2 , 4 ) d ) P, = (O. O. O. O). P I = ( I . 2. -2. - I ) . 511
3 . Demuéstrese que los siguientesplanos intersección :
son paralelos y encuéntrese
2. 3. - 2 ) + t ( 0 , I , 1 , 1 ) ) [ ( l . O . 2 . O ) + r I ( l . -2, -1. - l ) + f 2 ( I , O ,
Y, = [(-I.
Y*
=
1, l)}.
4. Demuéstrese queios siguientes planos son no paralelosy, sin embargo, tienen u n a intersecciónvacía.Explíquese por qué puede suceder esto. .Yl = ! ( l . 1. I . l ) + t ( O . I , 2 . 3 ) )
.Y2 = { ( l , o . 2 . O ) + l I ( l . -2. - I .
-
l)+l2(1.O, I , 1)).
5. Demuéstrese que los siguientesplanostienenexactamente en común: 9 ,= ((O. o, o. O) I , ( I , o, o, 0 ) t , (O, 1, o, O)} Y P= r ( ( O , O , O , O ) + t , ( O . O , 1, O ) + r , ( O , O , O , I ) } .
+
un punto
+
13. RESUMEN
En este capítulo comenzamos nuestro estudio de la geometría tridimensional.Estudiamos la geometríadelasrectas y los planos.Encapítulos posteriores estudiaremos la geometría de las curvas y de las superficiea. Las curvas pueden considerarse como generalizaciones de las rectas y lassuperficies como generalizaciones de los planos.
131
Resumen
95
El producto vectorial dedos vectores se definió en el espaciotridimensional. Se usó el producto vectorial y el triple productoescalar (con el productovectorialintimamenteligado) enla discusión de la independencia lineal de los vectores en el espacio tridimensional. Puede expresarse unanormala un planocomo el producto vectorial dedos vectores linealmenteindependientesparalelos al plano, y la ecuaciónde u n plano puedeexpresarse en términos de unanormal al plano. Después de una discusión de la interseccibn de planos y de la intersección de un plano con una recta, introdujimos el concepto de base de u n espacio vectorial.Apesardequeconfinamos nue5tra discusibnabases enel espacio tridimensional V , , el concepto puedeextenderse a espacios vectoriales más generales. En la sección 12, dimos una breve introducción a los espacios euclidianos tz-dimensionales. Estos primeros dos capítulos complementan nuestro estudio del Algebra de los vectores y sirven como introducción a la rama del álgebra moderna llamadaálgebra lineal. Aunque el material que aquí hemos presentado es suficiente paranuestrospropósitos,nadieque se intereseseriamente en estudios más avanzados matemáticas, de pura o aplicada, puede arreglárselas s i n un conocimiento más extenso del álgebralineal. Para facilitar talextensión deconocimientos en esta ramafundamentalde la matemática damos en la bibliografía de la página 777 una lista de algunos textos y tratados sobre ella. Lo que aquí se hahechoesperamosprepare al lector para una apreciaciónadecuadade un desarrollo del tema más abstracto y sistemático.Pasamosahora del Algebra vectoriala lo que podríamos llamar cálculo vectorial.
Problemas de repaso 1. DadoslospuntosP, = ( I , I , l ) , P , = (-2, 1 , - 3 ) y P , = ( 3 ,
-2,4):
encuéntrese la recta 3, que pasa por P , y P,; demuéstrese que los puntos P , , P, y P, no son colineales; encuéntreseunaecuación del plano ~9que pasapor P , , P, y P,; encuéntrese el área del triángulo P , , P,, P,; encuéntrese la recta ,Y2 que pasapor P, = ( - 5, 2, - I ) y es ortogonal al plano Y de la parte c ; encuéntrese la distancia del punto P, = ( - 5 , 2. - 1 ) al plano 9’de la parte c; encuéntrese la intersección de la recta Y, que pasapor P, = ( - 5. 2, - 1) y P, = (2, - I , 2) con el plano : Y de la parte c ; h ) encuéntrese la recta 2,que pasapor P, = ( - 5. 2, - 1 ) paralela a la recta 9 , de l a parte u : i) encuéntrese un ángulo entre la recta T 2de la parte e y la recta Y, de la parte y ; .i determínense los cosenosdirectores de la recta p4v2 de la parte e.
[Cap. 96
sólida
2
analítica Geometría
Sugermciu. Véasela ecuación 3.12, pág. 53. 2. Dados los vectores a = ( I , - 2 . 3 ) . b = ( l . I . - 2 ) y c = ( I . - 3 , 4 ) . N ) calcúlese el área del paralelogramo de lados a J' b ; h) calcúles'e el área del triángulo de lados a, c y c - a ; c) calcúlese el volumen del paralelepípedo de aristas a. b y c : u') calcúlese el volumen del tetraedro con aristas a. b y c . 3 . Establézcase la identidad (ax b)xc
=
(a*c)b-(b.c)a.
4. Si l a / = 3 y lb/ = 4. ebalúese
( a x b ) * ( a x b ) + ( a b)'. 5. Determínese u n ángulo entre los planos de ecuaciones
3 . ~ + 2 ~ ' + 5 ;= 3 y
6.\-+y+z
=
7.
Funciones ueclmriales de una uariable real 1. INTRODUCCI~N Hemos definido la recta de R3 que pasa por Po y es paralela a a como el conjunto (Po fa I t E R}. En esta descripción de una recta a cada número real t corresponde el punto P,+ta de R3.Talcorrespondencia se llama función vectorial de una variable real. Si denotamos a esta función por f, entonces su regla de correspondencia es
+
f(r)
=
Po + ta
= (xo
+ tu,, y , + t u , , + tu,) Z,
donde Po = (x,, y,, z), y a = ( u l , u,, u3). El dominio de f es el conjunto de todos los números reales y el rango de f es la recta que pasa por Po y es paralela a a. Cualquierfunción que tiene un conjunto denúmerosrealescomo
98
3
[Cap. varlable real una Funciones vectoriales de
dominio y un conjunto devectores (o puntos)como su rango se llama funciónvectorialdeunavariablereal. E l este capítuloestudiaremos funciones de este tipo y consideraremos para tales funciones los conceptos delímite,continuidad,derivadaeintegral.Todoesto lleva consigopoco que sea realmente nuevo; en la mayor parte de los casos usamos las técnicas desarrolladas en el cálculo de funciones reales de una variable real. Despuésde la discusión del cálculodelasfuncionesvectoriales damos algunas aplicaciones en geometría y física.
2. FUNCIONES VECTORJALES DE UNA VARIABLE REAL Antes dediscutir las funcionesvectoriales,repasaremosbrevemente la nociónbásicade función. Una ,/unción f’ e’s unacorrespondenciade un conjunto A en un conjunto 3 tal que a cada elemento de A corresponde un y sólo un elemento de 33. En las funciones descutidas en la primera parte delcálculo, A y 33 son conjuntosdenúmerosreales; tales funciones se llaman funciones reales de una variable real. Sin embargo, la noción básica de función no establece restricción alguna sobre el carácter de los objetos quecomprenden los conjuntos y 33. En este capítulonosocuparemos delasfunciones en que A es un conjunto de números reales y 33 es un conjunto de vectores o puntos. El conjunto it se llama dominio de la función y el conjunto de elementos de 33 que se corresponden con elementosde A se llama el rangode la función. Si la función se denota por ,L entonces su dominio y su rango se denotan por 9If y .‘I{, respectivamente. Además,J’(x) denota el elemento de fj, quecorresponde al elemento x dea ,f(x)sele llamavalorde /en x . En general, una función se especifica dando su dominio y una regla de correspondencia; es decir, una prescripción para determinar f(x) para cada X E ‘A)f. Una,función rectorial de unu variable real es una función cuyo dominio es u n conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores o puntosde R”. Denotamos tales funciones por letras negrillastales como f, g, etc. Por ejemplo,
f(r)
= (I,
3, 2 ) + t ( l , I , 2) = (1 + t , 3 + t , 2 + 2 t ) ,
Q
=
R
describe una función vectorial de una variable real. El rango de esta función es unarecta en R3 y la función es una correspondencia o transformación de puntossobre la recta real R en puntossobre la recta quepasapor (1, 3 , 2 ) y es paralela a ( I , 1 . 2). El punto O de R se transforma en f(O) = ( 1 , 3, 2); - 1 se transforma en f ( - I ) = (O, 2, O); etc. Si escribimos f ( t ) en términos de sus componentes tenemos f ( t ) = ( f , ( t ) , f 2 ( t ) , f j ( t ) ) dondeJ;(t) = 1 +r, f 2 ( t ) = 3 + t , f j ( f ) = 2 + 2 t . Las funcionesf,,f2,f3 se
21
99
de una realvariable
vectoriales Funciones
llaman funciones componentes dela función f ; estas funciones componentes son funciones reales de una variable real. Si I denota la función identidad en los números reales, Z(t) = r, entonces f , = 1 I, f 2 = 3 I, y f 3 = 2 2 I. Podemos pues escribir la función f e n términos de componentes como sigue:
+
f
=
+
+
(fi, f 2 , f 3=) ( l + I , 3+I, 2 + 2 1 ) .
En general, si el rango de f es u n conjunto de vectores en R", podemos escribir donde f i ( t ) es el i-ésimo componentede f(t). La funciónreal fi con dominio grse llama la i-ésima componente de la función vectorial f. De estaforma,unafunción vectorial f conrango en R" define n funciones reales f l ,f 2 , . . . ,f , , todas lascualestienen gf como dominio. Como veremos,estarepresentacióndeunafunciónvectorial en términos de sus funciones componentes nos perxite ap:icar a las funciones vectoriales las técnicas desarrolladas en el cálculo de las funciones reales.
2.1 Ejemplo. Si f = (a cosh, b senh)donde a > O y b > O, demuéstrese que el rango de f es una rama de una hipérbola.
S O L U C I ~ Un N . punto (x,y ) pertenece al rango de f si y sólo si x y y = b senh t para algún t E R. Así pues, si (x,y ) € gr
= a
cosh t
Esto nos demuestra que si (x,y ) € gfentonces (x,y ) está sobre la hipérbola x2 y2 deecuación - - - = 1; en realidad, (x,y ) estásobre la ramaderecha a2 b2 de esta hipérbola ya que x = a cosh t > O. Llamemos a esta rama de la hipérbola H . Ahora bien, si (x,y ) € 2, entoncesexiste u n número t tal que y = b senh t. Usando la ecuación para ~ f l obtenemos , XZ
-= 1 U2
+ senh2 t
=
cosh2 t .
Como x es positiva, concluimos que x = a cosh t . Lo que nos demuestra que si (x,y ) € :F entonces (x,y ) € g f ,y, por tanto, el rango de f es . X .
2.2 Ejemplo. Dibújese el rango de f cuando f(t) SOLUCI~N.
=
( t , t, 2 t 2 ) Bf
=
[ - 3 , 31.
El rango de f es el conjunto de puntos {f(t) I f ( t ) = ( t , t , 2 t 2 ) , + t 2 ( 0 ,O, 2), vemos que f(t) es la
t ~- 3, [ 31). Si escribimos f ( t ) = t ( I , 1, O)
1 O0
[Cap. 3
Funciones variable real una vectoriales de
cI,
suma de un vector a lo largo de la recta y = x en el plano X Y y un vector perpendicular al plano X Y . Así pues el rango de f debe encontrarse en el plano de ecuación y = x. Podemos ver esto también delsiguiente modo: Para cada punto (x.y , z ) del rango de f, x = t , y = t , z = 2 t 2 . Como el planoconecuación y = x es el conjuntodetodos los puntos (x,y , z ) de R3 tales que y = x, el rango de f debe encontrarse en tal plano.
1
Z
3v4
/
/
U
X
FIGURA 1
Si hacemos u = x sec 2 = x, entonces u es unadistanciadirigida a lo largo de la recta y = x en el plano X Y . El rango de f es una porción de la parábola z = u' que se encuentra en el plano que contiene el eje Z y la recta y = x en el plano X Y (figura 1). -
Problemas 1. Proporcióneseunafunción rectilíneo que une los puntos
4
( - 1,2) Y (39 5) c) (154, 7 ) Y ( 3 , -2, 1)
del intervalo [O, 11 sobre el segmento
6) Po y P I en RZ c) Po y P, en R".
2. a) Proporciónese una función del intervalo [ -2, 31 sobre el segmento rectilíneo que une los puntos (1, O, 3) y (4, 2, - 1). 6) Proporcióneseunafuncióndelintervalo [a, b] sobre el segmento rectilíneo [ P o , P I ] .
3. Si f(t) = (a cos t, a sen t j donde a > O y gf = [O, 2n], demuéstrese que el rango de f es una circunferencia en RZ.
4. Si f ( t ) = ( a cos t , b sen t ) donde a > O, b > O, y gf = [O, 2n], demuéstrese que el rango de f es una elipse en R2. Si a = 2 y b = 4, dibújese la elipse.
31
El límite función de una
5. Si f
= (31, Z2),
1o1
vectorial
demuéstrese que el rango de f es una parábola en R2. describase el rango de f.
7. Dibújese el rango de f cuando f(t)
=
( t , t , sen r ) ,
t E [ O , 4z]
3. EL LÍMITE DEUNAFUNCIóN
VECTORIAL
En estasecciónextenderemos el conceptodelímitedeunafunción realdeunavariablerealalasfuncionesvectorialesdeunavariablereal. Pero revisemosprimeroladefinición de límite deunafunciónreal. Sea f una función real de una variable real y sea a un punto de acumulación de (el punto a es un punto de acumulación de 9 si todo intervalo abierto que contiene a contiene un punto t en 9fdistinto de a). Se dice que un número b es el limite de la función f en a si para cada número E > O, hay un número 6 > O tal que siempre que t&%, y O < (r-a( < 6 entonces 9If
Si b es el límite de
f’ en a, escribimos lím f
=
b o
lírn f ( t ) = b . t+a
U
El término I t -al es la distanciade t a a y I f ( t ) - bl es la distancia de f(t) a b sobre la recta real R. Así pues, la definición de lírn f = b afirma U
que f ( t ) permanece arbitrariamente próximo a b para todo t suficientemente próximo a a, pero distinto de a. Para funciones vectoriales el concepto de límitetiene el mismosignificado intuitivo: lím f = b si f(t) permanece U
arbitrariamentepróximoa b para t suficientementepróximoa a, pero distinto de a. Como en R” la distancia de f(t) a b es j f(t)- bl , la definición de lím f = b es por analogía: U
3.1 Definición. Se dice que el vector b es e l límite de la funciún f en a si para cada número E > O existe un número 6 > O tal que siempre que t está en el dominio de f y O < It-a/ < 6 entonces
/f(r)- b/ < E. Las notaciones
lírn f U
=
b y
lim f(t) = b t’U
se usan para denotar que b es el límite de f en a. Siempre que se trate del límite de f e n a se está suponiendo quea es un punto de acumulación de g f .
102
3
[Capvariable realFunciones una vectoriales de
lím f(r)
Notu. ObsCrvese que el límitevectorial límitereal
lím If(t)- bj
r -1 (I
=
b esequivalente a l
f -+o
=
O ; esdecir. cuando t tiende a
a, f ( t )
tiende
a b si y solo si la longitud del vector f ( t ) - b tiende a O. Para dar un sentido m i s geométrico a la definición de límite, introducimos la noción de vecindad en R,,. Una recir~r/ad de c de radio r es el interior de la esfera/7-dimensional de radio r y centro c : Y ( c ; r ) = { x ] / x - c j < r i . .4sí pues, en R una vecindad es L I intervalo ~ abierto, es decir r) =
Y(C:
;.Y
1 I~Y-ci
< rj
=
ctr).
En R’. una vecindad es el interior de un circulo y en R3 es el interior de una esfera. Si omitimos el puntc c de l a vecindad .u’(c: r ) . entoncestenemos L I I M w c k / u d reduciclu de c ; aestavecindadreducida la denotamospor Y‘(c; r). En términos de vecindades la definición de l í m f = b dice: b es el límite de f en
(I
si para cada veclndad .v’(b; E) de b. existe una vecindad reducida . Y ’ ( a ;i i ) de a tal que f transforma , Y ‘ ( a : 8) en ,Y@; E).’ N
3.2 Ejemplo. Si f
=
(3/. /’). determínese lím f. 2
so~uc.161. Para r proximoa 2. vemos que f ( t ) = (3r, t 2 ) e s t i proximo a (6.4). Así pues, suponemos que lím f = (6, 4) y verificamos despuCs que 2
6 > O tal tal es el caso.Sea c > O cualquiera.Queremosencontraruna que l ( 3 f 3r 2 ) - ( 6 . 4)/ < e siempre que O < It-21 < 8. Ahora bien j(3t. t2)-(6, 4)j = [(3t-6)2+(f2-4)2]”~: por tanto ~(3t. 12)-(6,4)j < c Como el lím 3 t 1-2
=
si
6. existe una
E
13t-6i < -= y l t 2 - 4 / < E . ,i 2 \‘2 t:
A, > O porejemplo,
d;,
=
~
E
j3t-61 < - siempre \
‘2
implica que existe una
t s claro que Io que realmente transforma f e n .Y(b; nunca vacío por ser (I de acumulación de L/f.[N. delT].
E)
es 9 ” ( u ; 6) n
Qf,
conjunto
31
vectorial El limite funci6n de una
103
siempre que O < It-21 < 6. Con lo que hemos verificado que lím
t’2
= (6, 4).
(3t, t 2 )
Utilizamos la figura 2 para dar ahora una interpretación geométrica de lasolución del ejemplo 3.2. Escogemosuna 6 talquesiempreque t se encuentreaunadistanciamenorque 6 de2,laslongitudesdeloslados del rectángulo sean menores que &/\,E. Entonces la longitud de la diagonal debe ser menor que E . En el ejemplo 3.2el límitede la funciónvectoriales el vectorcuyos componentesson los límitesde los correspondientescomponentesde la función. Esto es cierto para cualquier función vectorial y la prueba de este hechoesesencialmente la mismaque la prueba dada enlasolucióndel ejemplo 3.2 a que lím (3t, t 2 ) = (6,4). t+2
& _ I
”
Jz
/
u FIGURA 2
3.3 Teorema. Sea b = (6, , . . ., 6,)~ R“, f = ( f i , .. . ,fn) una función de R en R”, y a un punto de acumulación de g f .Entonces lírn f = b si y sólo si
límfi = b , p a r a i
U
=
1, ..., n.
=
b, entoncesparacualquier
U
PRUEBA.Si lím f tal aue
a
E
> O existeuna
i= I
siempre que
t E 9 % ,y
O < It- al < 6. De donde
Ifi(t)-b,l
<
E
para cada i = 1, ..., n
siempreque t e 9 , = gJi y O < It-al < 6. Estonosmuestraque Iím f = b implica que lím fi = hi (i = I , . .. , n). U
6 >O
[Cap. variable realFunciones una vectoriales de
104
Si lím fi= bi para cada
i
3 =
a
I , . . . , n, entonces para cualquier
existe una d i > O tal que
l fi(t)- bit < siempreque t€9,-$ y O < /t"nl < tenemos que
siempreque
ai.
E
fi
Tomando 6
=
lírn f = (lím ,fl , . .., lim
mín { d l ,
lím f
=
..., S,},
b. Y esto
a
completa la prueba. El teorema 3.3 nos dice que (si el límite existe): a
>O
-
r€gfy O < It-a/ < 6 ; es decir,que
(1
E
y").
(1
El límite de una función vectorial f puede, por tanto, calcularse de acuerdo con los límitesdelasfuncionesreales componentes f,. Por ejemplo, lím ( t , sen t , tan t ) =
r+n 4
El teorema 3.3 nos permiteprobaralgunosteoremassobre límitesde funciones vectoriales usando teoremas muy conocidos sobre límites de funciones reales; por ejemplo, el límite de una suma es la suma de los límites (si los límites existen). Pero antes de presentar estos teoremas definiremos algunasoperacionessobrefuncionesvectoriales. 3.4 Definición. Si f y g son funciones vectorialesconrangos en R" y dominios gfy ggen R, entonces f + g , f - g , f g , y f X g son,funciones con dominio gf n ggy reglas de correspondencia:
81 ( t ) = f ( t > + g ( t ) [ f - 81 ( t ) = f ( t ) - g ( t ) I f . 81 (1) = f ( t ) g ( t ) [f x g ] ( t ) = f ( t )X g ( t ) (de3nida solamente si R" [f+
=
R3).
Si f es una función vectorial y cp es una función real de una variable real, entonces la función q f está definida como sigue:
[ d l ( t ) = q ( t )f ( t >
gpf
=
gql n g
f .
31
105
El límite de una vectorial función
3.6 3.7 3.8
si f = (fl
(cpf,, ... , c p f n ) .
cpf = 9
f2
I
f3)
Y g
fxg
3.9
= (S,
1
S2
2
931,
entonces
= ( f Z ~ ~ - f 3 g 2 ~ f ~ g l - f I ~ 3 ~ f l g Z - f 2 ~ 1 ) .
Nóteseque f g esunafunciónrealdevariablereal. si f = (I,cos, sen) y g = (exp, P / 2 , P j , entonces
fag es decir,
=
[f. g]
+ 1 ' 1 ~ cos + sen,
I exp
(t) =
Por ejemplo,
te'
+ Jt cos t + t Z sen t .
Como gf = R y gg= [O, 00) (9&= [O, m)), entonces
9f.g= gfn gg= [O, m ) . Usando el teorema 3.3, podemosprobarfácilmente teoremas.
los siguientes
3.10 Teorema. Si f y g son,funciones cectoriales de una aariable real tales que lírn f
=
b y
a
lím g
=
c
a
y a es un punto de acumulación de gf n gg,' entonces
lím [f+g] = lírn f n
a
Obsérvese queestacondición acurnulaci6nde %f y deperonode
+ lírn g = b + c a
es necesaria.Podría ser,enefecto, B f n B g . [N. del T.]
que a fuesede
106
Funciones vectoriales de
!ím [ f - g ] I
lim < [f*gJ
= iím
f
[Cap. 3
una variable real
lírn g = b-c
-
==(lFf). I
b*c
(l:mg)=
iim [f x g] = (lí;n f ) x (]:m g)
=
b X c ( p u r a R 3 solarvente).
'I
PRUEBA. Solamente probaremos la fcirmula de l a suma. Las pruebas de las otras partes son análogas. Si f = ( f ,. . . . .,fn) y g = ( y I , . . . , gn), l í r n [f+g]
=
>
lím ( J ,i s , . ..., f;,+g,) il
iím (f',+ g l ) , ..., lím (f;+g,>
= i
o
U
=(.
+ lírn g , . ..., lírn
]ím /;
~
..., /;,)
i
=
lím f
n
u
= l í m (J;
fn
1
+ lím g ,
+ lím ( g l , ..., g,) il
+ lim g . (1
3.11 Teorema. Si f es una /unción rectorial y cp es una función real y
lírn f
=
b y
0
a es un
lírn cp
=
r
0
punto de acurnulación de
Q q r , entonces
lím (cpf) = l í r n cp lím f = r b . u
(1
P R L , ~ B ASi. f
=
c./'! , . . . . j';,).entonces
n
lim (cpf) = \ím (cp.f,, ..., cp.l,)
,
(I
=
(lim k c p , f ' , ) , ..., lim (cp.~)) (1
(I
lírn q~ lírn f , . . . ., lím cp lím LI
31
107
vectorial función una El límite de
de los límites, el límite del producto escalar es el producto escalar de los límites, y el límite del producto vectoriales el producto vectorialde los límites,contalde que, en todos los casos,existan los límitesdelas funciones. El teorema 3. I I afirma que el límite de una función real por una función vectorial es el límite de la función real por el límite de la función vectorial, si es que los límites de estas funciones existen. Nota. Los teoremas 3.10 y 3. I 1 podrían haberse probado directamente partiendo de la definición de límite. Las pruebas habrían sido análogas a las de los correspondientes teoremas para funciones reales, ya que la longitud de un vector tiene las mismas propiedades básicas que el valor absolutode un número real (problema 7).
Problemas 1. Si f(t) = ( t , t’), calcúlese y márquese la posicióndef(0.9),f(0.99), f(0.999), f(l.l),f(l .Ol), f(l.001). Úsese la definición 3.1 para verificar que lírn f(t) = (1,1). t-
1
2. Si f(t) = ([t], t), calcúlense y márqueme lasposicionesdef(1.9), f(1.99), f(2.1), f(2.01). ( [ t ]es el mayor entero no mayor que t.) Demuésrrese que lírn f(t) no existe. 1-12
3. Determínese lim f (si es que existe), cuando U
a)
f = (11”, I ’ , sen), u
b) f
=
(exp,senh, cosh),
d ) E(f) =
-’
=
2
a =
1
, li2[,3 9 , ~
t2
4. Si f(t) = ( [ t ] ,t ) , determínese
a =
3.
l í r n f(t) y lím f(t).
t-2
-
t-2+
El límite u lu izyuierdu de f en a es b, lo ql*r se escribe lím f(t) = b, s i para
t6gf
rwu
-
> O existe un 6 > O tal que I f(t)- b ( < c siempre que n ( u - 6, a ) ; ladefiniciónde l í r n f(t) = b llamado el límite a la todo
E
derecha de f en u, es análoga.
i-ll*
5. Si a es un punto de acumulación de gf y existe lírn f demuéstrese que
estelímitees entonces b
Único; es decir,demuéstreseque =
c.
U
si lím f U
=
b y lím f a
=
c,
108
3
[Cap. variable real Funciones una vectoriales de
6. a) Si lírn f = b, demuéstrese que la longitud de f ( t ) se aproxima a la t+a
longitud de b a medida que t se aproxima a a , es decir, que lírn If(t)i b) Si lím f(t)
=
I bl.
[+a
=
t’a
b # O , demuéstrese que la dirección de f(t) se aproxima
a la dirección de b a medida que t se aproxima a lim f(t> -
a, es
decir, que
~
r-0
If(t>l
lb1
7. Pruébesedirectamentepartiendo de la definición de límite 3.1 que si a es un punto de acumulación 9 f +yglím f = b y lírn g = c, entonces lím ( f + g )
=
U
b+c.
u
U
8. Úsese el teorema 3.3 para probar que si a es un punto de acumulación de 9f.g y lírn f = b y lím g = c, entonces lírn (f g) = b c. U
9. Si f(t)
a
‘1
=
( r , t 2 , t 3 ) , determínese lírn
f(t+h)-f(t)
-
h+O
h
4. CONTINUIDAD La extensión de :a noción de continuidad del caso de funciones reales al de funciones vectoriales es tan natural y directa como la extensión del concepto de límite.
4.1 Definición. L a función f es continua en el punto a de gf si para cada E > O existe una zj > O tal que If(t)-f(a)i siempre que t€Qf y It-al
< 6.
Si a no es un punto de acumulación de g f ,entonces f es continua en a , pues en estecasohay una 6 > O talque a es el Único puntoen gf n ( a - 6, a+ S), y entonces,paracualquier E > O, If(t)-f(a)I < c siempre que t € g f n ( a - 6, a + S ) . Si a esun punto de acumulación de Q f , entonces la definición 4.1 es equivalente a : la función f es continua en el punto a de gf si
lím f
=
f(a).
u
El siguiente teorema es una consecuenciainmediatadel (pág. 103)
teorema 3.3
41
4.2 Teorema. Si f
sólo si
1o9
Continuidad
fi
= (fi
, ...,f.)y a € g f , entonces f ..., n.
es continua en a, para todo i = I ,
es continua en a si y
PRUEBA.Si a no es un punto de acumulación de g f ,entonces la prueba es inmediata(recuérdeseque para todo i , gfi= 9,)Supongamos . que a es un punto de acumulación de Bf.Según el teorema 3.3, lírn f = f ( a ) si y sólo si límfi = f i ( a ) para todo i = 1 , a
a
. . ., n. Lo que completa la prueba.
Así pues, la continuidad de una función vectorial en un punto a puede determinarsecomprobando lacontinuidaddelasfuncionescomponentes en a. Por ejemplo, la función f = (Z, cos,sen)es continua en todos los puntos de R ya que I, cos y sen son continuas en todos los puntos de R. Correspondiéndose con los teoremas 3.10 y 3.11 sobre límites, tenemos el siguiente teorema sobre continuidad. 4.3 Teorema. Si lasfunciones f y g son continuas en a, entonces f + g, f- g, f g y f X g son continuas en a. Si f y cp son continuas en a, entonces cpf es continua en a.
PRUEBA.Probaremos solamente que f + g es continua en a. Las pruebas para lasrestantesoperacionessonanálogas. Si a noes unpuntode acumulación de 9f+gr entonces f + g és continua en a. Si a es un punto de acumulación de 9f+s, entonces a es un punto de acumulación de gfy de gg y lím f = f ( a ) y lírn g = g(a). Y tenemosentonces,deacuerdocon a
el teorema 3.10,
a
lírn [ f + g ] = lím f a
Luego f + g es eontinua en
+ lím g = f ( a ) + g ( a ) = [ f + g ] ( a ) . a
u
a.
4.4 Definición. L a función f es continua sobre un conjunto Y c Bf si la función restringida f , es continua en cada uno de los puntos de Y .
Como función restringida, f , , donde Y c 9,, entendemos la función con dominio Y y regla de correspondencia f y ( t ) = f ( t ) para todo t E Y . En la mayoría de los casosdeinterés el conjunto Y es un intervalo. Si Y es un intervalo abierto, entonces la definición 4.4 es equivalente a : la functidn f es continua sobre elintervaloabierto si f es continua en cada punto de 9. Si Y es un intervalo cerrado, entonces la definición 4.4 es equivalente a:la función f es continua sobre el intervalo cerrado[a, b] si f es continua sobre el intervalo abierto ( a , 6 )y si lírn f = f(a) y lím f = f(b). Unafunción dominio.
a+
b-
se llama continua si es continua encadapunto
de su
110
Problemas 1. Encuéntrense los puntos (si es que hay algunos) donde !as siguientes funciones no son continuas y delinéese el rango de cada funcicin. a)
f
=
(exp, I), Pf = [O. 21
S(0)
=
(O, 1)
L.) f ( t ) = ( t , t , [ t ] ) ,t € [ O . 41.
2. Si f ( r )
= (ltl,
214. r ) , r ~ [ - 2 , 21
Y
delinéese el rango de f 1 g.
3. Si f es continua sobre u n conjunto Y de muéstrese que If/ es continuasobre Y . La funcidn I f 1 tienedominio S, y regla decorrespondencia If1 ( t j = i f ( t ) i . 4. Si f tiene la propledaddeque if(t)-f(sjl d /t--sl paratoda en Yf demuéstrese que f es una funcidn continua.
t y
S
5. CURVAS
El término "turba" tienesignificadosdistintosen distintasáreasde la matemática. Aquí IC asignaremos u n significado apropiadoanuestro estudiode las funciones Lectoriales. Una posibilidad es la de definir una curva como el rangodeuna funcidnvectorial continuaque Tiene como dominio u n intervalo.Nosotrosllamaremosaestouna L‘IIYI‘U punteada. Esta definición es adecuada para la geometría analítica. Según los ejemplos y problemas de la sección 2 vemos que una recta, una circunferencia, una parábola, una elipse y una rama de una hipérbola son ejemplos de curvas punteadas. Si esunafunciónrealcontinuacon u n intervalo comodominio, entonces. si hacemos f = ( I ?y ) vemos que la gráfica de 9, { ( t . y ( t ) ) t ~ $ } es el rango de f y. por tanto, puede considerarse como una curva punteada en R 2 . Sin embargo. cuando se discutenlastangentesa la gráfica se hace LISO de la descripcidn analítica de ésta. Así pues. en este contexto la gráfica es másquesolamente u n conjuntodepuntos. Es u n conjunto de puntos trazadode la forma descritapor la función f = ( I ,y ) ; esdecir, f ( t ) va
1
Curvas
51
111
trazando el conjuntodepuntosdeizquierdaaderechaamedidaque t aumenta sobre el intervalo f . Consideremosahora el problemadedescribir el movimientodeuna partícula que se mueve en el espacio durante un intervalo de tiempo [a,61. Con cada punto t de [a,61 asociamos el punto f(t) que es la posición de la partículaen ese instante enrelaciónconciertosistemadecoordenadas rectangulares. De esta forma el movimiento de la partícula queda descrito por lafunciónvectorial f dedominio [a,b] y rangoen R3.Además, la función f será continua, pues en mecánica clásica suponemos que una partículanopuedecambiarinstantáneamentedeposición; esdecir, si la partícula está en el punto Po = f(to) en el instante to y 9’(Po;E ) esuna vecindadde Po entoncesexiste un intervalodetiempo (to - 6, to S) durante el cual la partículapermanece en la vecindad Y(Po;E ) . En problemas tales como éste, la curva de puntos que es el rango de f no nos da una descripción adecuada del movimiento de la partícula. Claramente la mismacurvade puntos puedehabersido trazada de modos muy diferentes;endiferentesdirecciones y con diferentesvelocidades.Para describir la forma en quese ha trazado la trayectoria de la partícula tenemos que conocer cuál es la función f, no sólo su rango. Definimos porellouna curca-trayectoria comounafunción vectorial continua con un intervalo como dominio. En este capítulo trataremos casi exclusivamente de curvas-trayectoria y, por ello, emplearemos simplemente el término “curva” para indicar “curva-trayectoria”. Por tanto, una curva es una función f. Sin embargo, como el télmino “curva” debe tener una connotación geométrica, pensamos en una curva como la curva punteada correspondiente (el rango de f) trazada en la formaque f prescribe. Denotaremos la curva por y diremos que %? es la curva descrita por f.
+
%j
FIGURA 3
Comounacurvaestá descritapor unafuncióncontinua,no puede haberinterrupcionesen su trazo.Por ejemplo, el conjuntodibujado en la figura 3 no es una curva de acuerdo con la definición que hemos aceptado. Supongamosqueesteconjuntofueraunacurvadescritapor la función continua f = (fi, fi) con el intervalo 2 como dominio. Entonces f i y f 2 serían continuas sobre f . De acuerdo con el teorema del valor intermedio
112
3
[Cap. variable realFunciones una vectoriales de
para funciones reales,’ f l y J; transforman intervalos sobre inrervalos. Sin embargo, en la figura 3 vemosque f z no transforma el intervalo [ t l , t 2 ] sobre un intervalo. 5.1 Ejemplo. Proporcióneseunadescripcióngeométricade descrita por f, donde f ( t ) = (cos t , sen t ) y gf = [O, 2x1.
la curva %?
SOLUCI~N La. curva-puntoque esel rangode f eslacircunferenciade radio uno con centro en el origen: ((x, y ) I x2 + y 2 = 1 }. A medida que t va de O a 211, el punto f(t) va recorriendo %?, la circunferencia,endirección contrariaa la delasmanecillas del relojdesde f(0) = (1, O) hasta f(2n) = (1, O]. La curva W del ejemplo 5.1 puede también describirse por
x
=
cos t , y
=
sen t ,
tE[O,
2n].
La variable t se llama parámetro, y estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de %.2 5.2 Ejemplo. Trácese la curva dada por x = cos t , y = sen t ,
lasecuaciones paramétricas:
z
=
jt,
t E [ O , 4n]
SOLUC~~ LaN distancia . del eje 2 a un punto (x, y , z> cualquieradela ___curva es Jx2 + y 2 = j c o s * + sen2 t = l . Así pues, lacurvadebe encontrarsesobre el cilindrocircularrectoconbasederadio 1 y el eje Z como eje (figura 4). A medidaque t aumenta de O a 4 n , el punto (x,y , z) = (cos t , sen t , 4t ) se mueve de (1, O, O) a (1, O, 2 n ) girando en dirección contrariaa la delasmanecillasdelreloj (cuando seve desde arriba) y moviéndosehacia arribasobre la superficie del cilindro.Esta curva es un arco de hélice cilíndrica. Nota. Si usamos los vectoresunitarios i = (1, O, O), j = (O, 1, O) y k = (O, O, I ) , la regla de correspondencia para la función f que describe la curva en el ejemplo 5.2 puede escribirse f ( t ) = cos t i + s e n t j++r k .
Volumen I , pág. 430. El lectorpuede ver que, segúnesto, ecuacionesparamétricasdeunacurvatrayectoria son las funciones componentes de la curva. En cuanto a parámetro, parece que el autor llama aquí así a la letra empleada para representar un elemento no determinado del dominio de la curva, pero esto no encaja bien con el uso de esta palabra en expresiones tales como, por ejemplo, “cambio de parámetro”. [N. del T.] 2
Curvas
51
113
f(0) = (1, o, O)
(3 (
f -
f(n) f -
(33
=
0 1 ' 7
3
=(-,,o,;) =
i o,
0-1' '3 3
f(2n) = (1,
f ( 9 ) = (o, 1,
y)
n)
(- o,): (3 (
f(3nj f -
1,
=
=
Y
0-1'
/
) :71
f(4n) = (1, o, 2x1
X FIGURA 4
5.3 Ejemplo. Provéase una funciónquetengacomorango
punteada trazada por un punto P de una circunferencia ferencia rueda (sindeslizamiento)sobreunarecta.Estacurva se llama cicloide.
la curva cuando la circunpunteada
SOLUCI~N (Figura . 5.) Supongamosque la recta sobre la que lacircunferencia rueda es eleje X y sea P el puntode la circunferencia que se
X "@-I
FIGURA 5
positlha dcl eje
.%' con
[Cap. 3
de una \,anable real
Funclones vectorlales
114
P - C . ('orno C'
=
(u')?a ) y (p+ O
37? tenemos 2
-,
=
Problemas 1. Proporciónensedescripcionesgeométricas descritasporlassiguientesfunciones:
u) f(t) h) f ( t ) c) f(r)
y dibujosde
lascurvas
2 n t , sen 2 n r ) e"(sen 2 n t . cos 2 n t ) ( 1 - sen t. - 2 + sen t. 2 sen t ) .
= c-'(cos = =
2. Dibújese la curva descrita por f(r) = cos t i t 2 cos t j +sen t k ,
tE[O,
2n].
3. Dlbiljese el arco de la hélice cónica descrita por
271 4. Proporcicinese una función que tenga como rango la curva punteada trazadapor u n punto P sobre una circunferencia deradio I cuando la circunferencia rueda sobre el lado interior deun círculo de radio4 y dibújese. A esta c u n a punteada se le llama hipocicloide.
5. Un punto P en el primer cuadrante de R2 se mueve de tal forma que su distancia al origen es igual a la pendiente t de la recta que va del origen a P. Proporcióneseunarepresentaciónparamétrica de la curvatrazada por P usando t como parámetro y dibújese.
6. Sea i ( . x ( r ) , y ( t ) ) 1 r c R ) la trayectoria de una partícula y denotemos por .t y las derivadas de las funciones x y y . Determínese la trayectoria si a) i =
h) S
o,
= .\-.
Suye,.e,7cia. c) i =
.Y.
-
j: = -9.1 ( 0 ) = I , j ( 0 ) = 2, x ( 0 ) = i. = 2y, x(0) = 1 , y(0) = 2. .i-
=
= .Y
D,(e"x(t)) =
2 y - s. x(0)
=
o
I , y ( 0 ) = 2.
o, y(0)
=
o
115
6. LA DERIVADA En el cálculo de funciones reales de una variable real la derivada de una función J’ se define como la función ,f’ cuya regla de correspondencia es f”(t) =
lírn
. / ( I + 11) -./‘(I)-
I1
two
y cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales t para los que el anterior límite está definido. Si f es una función vectorial de una variable real, definimos la derivada de f en la misma forma. Nota. Siempre que consideramos derivadas de funciones de una variable suponemos que todas las funciones que aparecen en la discusión están
definidas en u n intervalo que consta de más de un punto o por la unión de intervalos de tal tipo. rectorial f es la función
6.1 Definición. L a deriz7ada de
una ,función rectorial f ’ cuya regla de correspondencia es
f’(i)
=
lírn
f(z+h)-f(t)
h-O
h
y cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales t para los que el anterior límite existe.
Si
t
es u n número enel
diferenciable en t .
dominiode
f’, entoncessediceque
f es
Aplicando el teorema 3.3 (pág. 103), obtenemos la siguiente regla para calcular la derivada de una función vectorial: la derivada de la función f es la función vectorial cuyos componentes son las derivadas de las componentes de f. 6.2 Teorema. Si f
=
(fl, .. ., h), entonces f‘ =
u ; ‘ >. .., , f ” ’ ) ,
donde el dominio de f ’ es la interseccióntie fl’,
..., Jn‘.
PRUEBA.Deacuerdocon
los dominios de las dericadas
el teorema 3.3 sabemosque
116
variable Funciones una vectoriales de
real
[Cap. 3
existe. Esto prueba que el dominio de f ' es la intersección de los dominios de , f l ' , ... , f , ' . Si t está enel dominio de f', entonces, usando de nuevo el teorema 3.3, concluimos que f'(f) =
es decir, que f' =
....J;,'(t));
(fl'(f)>
( f ,', . . f,,'). . 1
6.3 Ejemplo. Encuéntrese f' cuando
f = (cos, sen) h) f ( t ) = ( t , 2 - t 3 , 4 In ( I - t ) ) . t < I c) f ( t ) = e-'(l, cos cor, sen w t ) . a)
SOLUCI~N.
u) f'
=
( - sen, cos)
c ) f(t) = ( e - ' , C ' c o s w t , e" sen u t ) y
f'(t)
= (-e"',e~'(-cos(r~t-cosenwt),e"(-senwt+wcoswt)) =
-
e-'( I , cos of,sen cot)
+ e"(O,
- w sell cot, o cos u t ) .
Damosahoraunainterpretacióngeométricade la derivadadeuna funciónvectorial. Sea W la curvadescrita por la función f cuyo dominio
r +h están en 2 (I7
1
( f ( t + h ) - . f ( r ) ) es un vector h paralelo a la cuerda que une f(t) con f ( t + h ) (figura 6). SI f es diferenciable en t y f ' ( t ) # O . entonces la dirección del vector
es f
.
Si t y
1
-
h
# O). entonces
-
[f(t+h)-f(t)l
FIGURA 6
La derivada
61
117
se aproxima a la dirección del f ’ ( t ) cuando t tiende a cero, puesto que
f ’ ( t ) = lím h+O
Es, por tanto, natural dar
f(t+h)-f(t) h
la siguientedefinición.
6.4 Definición. Si W es una curca descrita por f y s i f’(t) existe y es distinta de cero, entonces f ‘ ( t )se llama vector tangente a la curca % en el punto f ( t ) , y la recta 2’ = ( f ( t ) + r f ’ ( t )I r E R }
se llama recta tangente u la curw %7en f ( t ) . El vector tangente f ‘ ( t )apunta en la dirección en que la curva va siendo trazada en f ( t ) cuando t aumenta. El siguiente ejemplo muestra que la definición de recta tangente a una curva es unaextensión del conceptoderectatangentea la gráfica de una función real de variable real. 6.5 Ejemplo. Si W es la gráfica de la función real g, demuéstrese que g ‘ ( x ) esla pendiente de la recta tangente (definida en 6.4) en el punto (x, g(x)) de V.
S O L U C I ~%? N es . la curva descrita por la función f y la recta tangente en el punto (x, g(x)) de %? es
2 = {(x, g(x))+ 4 1 , g ’ ( x ) ) I
= (I,9).
Luego f ’
=(I, g’)
TER}.
La pendiente de 2’ es g ’ ( x ) . Introducimosahoraotranotaciónpara la derivada. Si lacurvaestá descrita por la transformación f del intervalo%, entonces%?= { x I x = f ( t ) t , E 4 } y decimos que W está descrita por la ecuación paramétrica x = f(t).
Sea
dx
- = f’(t)
dt
Si W es una curva en el espacio tridimensional, entonces tiene una ecuación
x Y
= (x, y , 2) =
f(t)
118
Funciones vectoriales
[Cap. 3
variable real de una
6.6 Ejemplo. Encuéntrese la recta tangente a la hélice cilíndrica (figura 4. p i g . 113 ) descrita por las ecuaciones paramétricas .Y
y
=
z =
S O I . U C ' I ~Ndtese N . que
cos t sen I
ir,
f€(-rn,
.o)
el puntocorresponde
a
1 =
n - . L a curva % 2
esti descrita por laecuaclcin (.\'.y.-7) = (cos. t. sen t. i t ) = f ( t ) .
Entonces =
(-sen t , cost, f)
Y
i3
Por tanto, la recta tangente a K en O, 1 , - es
y son ecuaciones paramétricas de
$P
Los siguientesejemplosilustran a l manera en que la derivadapuede usarse como una ayuda para el dibujo de la curva. 6.7 Ejemplo. Dibújese l a curva % descrita por
f
=
(13-4/, 1 2 - 4 )
61
119
La derivada
S O L U C I ~Como N. f’, = 1 3 - 4 / es unafunciónimpar y f ; = 12-4 esuna funciónpar, la curvaes si:métrica respecto al eje Y ; si f(r,) = ( x o , .YO) entonces f ( - t o ) = (-.Y”. Podemos pues restringirnuestraatencidna valores no negativos de t . Como f’ = ( 3 1 2 - 4 , 2 / j %la curva tiene u n vector tangente f ’ ( t ) = (3f2--4, 21) en cada punto f(fj. AI dibujar $9 los puntos donde f ’ ( t ) eshorizontal(consegundacomponentecero) o vertical (con primera componente cero) son de interés particular. En f ( O ) = (O. - 4 ) tiene u n vector tangente horiLontalf’(O)
= (
-4, O ) y en f
la curva tiene un vector tangejlte vertical f ’
($1
=i o ,
3
8). Considerando,
además, la expresión general del vector tangente f’(t)
=
(31”4,2t)>
tenemos : Si [ € ( O , entonces f ’ ( t ) apunta hacia la izquierda y hacia arriba puesto que 3 r 2 - 4 es negativa y 2 t es positiva. Si re(:&, a ) ,entonces f’(t) apunta a la derecha y hacia arriba puesto que 3 t 2 - 4 y 21 son positivas. Marcando ahora algunos puntos (entre los que deben incluirse toda5 las interseccionescon los ejes coordenados)podemosdibujar W (figura 7 ) . El punto (O,O) se llama punto doble de %: f(-2) = f(2) = (O, O). Nótese que ’f tiene dos vectores tangentesen este punto: f ’ ( -2) = (8. - 4) y f’(2) = (8.4).
$a),
FIGURA 7
Obsérvese que en la definicicin 6.4 no se define ningúnvector tangente en el punto f(r) si f’(fj = O. En tal punto puede suceder que la curva tenga un cambio de direccicin abrupto. Ilustramos esto enel siguienteejemplo.
120
Funciones vectoriales variable una real de
[Cap. 3
6.8 Ejemplo. Dibújese la curva %? descritapor
SOLUCIÓN. Como .f, es una función par y f2 es una función impar, %? e5 simétrica con respectoal eje X;si f(to) = (.xo,y o )entonces f ( - to) = ( x o , - y o ) . Considerando el vector tangente
vemos que % no tienetangenteshorizontales ni verticales.Sin embargo f’(0) = O . Investigamos ahora el comportamiento de en el punto f(0) = (O, O). Escribiendo
f’(t)
t
(1
(2, f3+3t),
+ t2)2
= ____
vemos que, para t < O, f ’ ( t ) tiene la misma dirección que -(2, t 3 + 3 1 ) y, para t > O, f’(t) tiene la mismadirección que (2, t 3 + 3 t ) . Como lím - ( 2 , t 3 + 3 t ) 1+0 -
=
(-2, O ) y
lim (2, t 3 + 3 t ) t-0+
=
(2,0),
la curvatiene un abruptocambiodedirecciónen f(0) (figura 8). A tal punto se le llama cúspide o punto cuspidal. La recta x = 1 es una asíntota vertical de V : t2 t3 lím = 1 y lím = m. ~
f+-*:
~
1+t2
t-m
FIGURA 8
1+t2
61
La derivada
121
Si unafunción f describe el movimientodeunapartículaduranteun intervalo de tiempo 2 [es decir, para cualquier t ~ f f(t) , es la posición de la partículaen el tiempo t ] , entonces f’(t) es la velocidad y if’(t)l es la rapidez o velocidad modular de la partícula en el instante t. Así pues, f’(t) = O significa que la partícula tiene velocidad cero en el instante t. Como hemosvisto,puede quehaya un cambioabruptode dirección enla trayectoria en el punto f(t). Sin embargo, no es este necesariamente el caso.Porejemplo,supongamos f = (I3,1’). Entonces f ’ = ( 3 1 2 , 3 1 2 ) y f’(0) = O. La curva descrita por f es la recta con ecuación y = x trazada de izquierda a derecha cuando t aumenta. El hecho de que f’(0) = O significa que la partícula se para enel origen.
Problemas Determínese f ’ cuando
f f
= =
(I”’, 3 1 2 , sen)
(exp, senh, cosh)
Pruébese que si f es diferenciable en el punto t , entonces f es continua Encuéntrese un vector tangente y la recta tangente a la elipseconecuacionesparamétricas x = 4 cos o y = 3 sen O, B E [ O , 2 n]
+A),
en 10s puntos (O,3 ) , (2J5, (4, O); b) la recta de representación paramétrica f(t) = ( 5 , -3, 8 ) + t ( 8 ,
-
17, 32)
en los puntos (5, -3, 8), (13, -20,40), (29, - 54, 104); c) la hélice cónica de representación paramétrica
O cos O, U sen U ,
( I:!
en los puntos (O, O, O), O, -, - .
-
2n
Funclones [Cap. varlable realuna vectorlales de
122
3
4. Trácese la curva '6 descrita por lafuncicin f e n cada uno de los casos quesiguen.Encuéntrensetodos los puntos en que (6 tiene 1111 vector tangente horizontal o \'ertical. a)
f
h) f
=
( 1 3 ,/ 2 + 2 / )
= (/&
c) f ( r )
=
-4/.
/3)
(cos r. sen 3 t ) . t t [ O , 2711
S. I'rácese la cur\a (6 descritapor lafuncicin f en cadaunode los casos que higuen. Encuéntrense todos los puntos en que $5 tiene u n vector tangente paralelo a tino de 105 planos coordenados.
f ( t ) = (sen t . cos t. sen 3 t ) h) f ( r ) = (sen 2 t . cos t . sen 3 r ) . u)
6. Demuéstrese que l a clcloidedescritapor f = a ( / - sen, I - cos) tiene u n puntocuspidal c n los puntosf(0) = (O, O ) y f(27r) = (27~2,O). (Véase la figura 5. pág. 113.)
7. Trácese la curva % descritapor la función f en cadaunode siguientescasos.Determínense todos l o s puntos de V en que f'(t) disctítase el comportamiento de (6 en estos puntos.
=
los O y
f(t) = ( t 2 , t 3 ) ,t E [ " l , I ] h ) f(r) = ( P . t ) . tt[- I , I ] a)
c)
f(t) =
(r3.
t 3 . it3I). t t [ - I . I ]
d ) f(t) = (tJ-2t2. t3). t t [
-
I .I ]
8. SI f está definida sobre [ a ,h] y f ' ( r ) que f es una constante sobre [ u , h].
=
O para todo [ € [ u , h]. demuéstrese
9. Supongamosquetenemos u n espejoparabólicoformado rotación alrededor de SLI eje de la parábola descrita por
f(O)
=
il 1
-
cos il
por la
(cos O, sen O )
Demuéstrese que un rayo de ILIZ queenlana refleia paralelamente al eje.
del foco de la parábola se
123
7. ALGUNOSTEOREMAS
SOBRE LA DERIVADA
Se dice que una función es diferenciable en u n punto si la derivada de la función existe en tal punto. Definimos ahora lo que significa decir que u n a función es diferenciable en u n intervalo. La función f es dIferenciable sobre el interraloabierto ( a , b) si f esdiferenciable en cada punto de ( u , b), y la función f es diferenciablesobreelinterralocerrado [u, b ] si f es diferenciablesobre el intervaloabierto ( a , 6 ) y si existen las siguientes derivadas laterales en los puntos extremos:
f ’ + ( a ) = Iim 11-01
Y
f”(0)
=
lím
1,-o-
f(u-t h ) - f ( u ) h f(b+h)-f(b) h
El siguiente teorema es unasimpleconsecuencia continuidad y diferenciabilidad sobre un intervalo.
de las definiciones de
7.1 Teorema. Si la junción f es d(ferencia0le sobre entonces f es continua sobre 2.
un interralo
2,
Enel cálculodefunciones vectoriales h a y reglas para el cálculode derivadasquesonanálogasalasexistentesparafuncionesreales;por ejemplo, la derivada de unasuma es la sumadelasderivadas.Antes de dar estas reglas introduciremos una notación que nos permita form~~larlas de un modo conveniente. Hagamos f’ = Df; D es una función (operador) cuyo valor en f es f’. Las funciones cuyo dominio y rango son conjuntos de funcionessellamanusualmenteoperadores.Deahora en adelanre diremos que la función f’ se obtiene cuando aplicamos el operador D a f.
7.2 Teorema. Si f, g y cp son diferenciubles sobre un i n t e r d o 3 , entonces f + g, f - g, f * g, f X g y cpf son dijierenciuhles sobre 2 y , sobre 2 , D(f+ g) D(f-g) D(f g) D ( f x g) m
D(cpf1
=
Df+ Dg Df-Dg f Dg+ Df g f x D g + D f xg
=
cp(Df)+(Dv)f.
=
= =
PRUEBA.Probaremossolamente la partedelteoremasobre vectorial. Las pruebas de las restantes fórmulas son análogas. f = (J1, .f*, J ; ) Y g = (91 > 9 2 9 3 ) . entonces 1
fxg
= (J;Y3-./392,
f ; y , “f’lY3, f’,Yz-J2Y,).
el producto Si
Funciones vectoriales de
124
[Cap. 3
una variable real
Por el teorema 6.2 (pág. 00), sobre el intervalo 9, D ( f x 9) = (D(,f2Y3-.f;Y2). =
D G Y I -f’1Y3). 1
=
(./’
Dg3
=
r;
-.f3 D.42, . f ;4 4 1-.fi DY3, l‘¡.
m -Y*
+(Y3
=
D(f1Yz-fYJ)
~f2D93+Y3~fZ-f3DYZ-Y*Df3~J3DYI+YlDf~-.fID93 - Y 3 Of; D Y 2 + Y 2 Of, -.f2 DYI -Y1 Df2)
( / I . . / * - j i ) X ( ~ ~Q 2l ,, f x D g + D f xg .
Of;
7
$71
DY2 - f 2
Of3 - Y 3
D,~I)
Dl’’ 1 . 4 2 Df1-91
Of21
D ~ , ) + ( q f ; .Dfr, D j 3 ) X ( g 1 , g z , ~ 3 )
Nota. Como el producto vectorial no es conmutativo, se debetener cuidado enescribir los factoresen la fórmulapara la derivadadel producto vectorial en el orden correcto. Esta fórmula es para funciones vectoriales conrango en R3. solamente;todas las otrasf6rmulas se verifican para funciones vectoriales con rango en un espacio euclidiano de una dimensión finita cualquiera. y
7.3 Ejemplo. Demuéstreseque si If/esunaconstante,entoncesf(t) f’(t) son ortogonales para todo t E P f , . SOLUCIÓN. Para todo
t E 9 ,
f ( t ) . f(t) = if(t)12 = jfI2 ( t ) .
Por tanto, si /fI 4’
= c’
f.f =
If12
= cz
D ( f * f )= f . D f + D f * f
=
2 f . Df
=
O.
Así pues, paratodo t € P f , ,f ( t ) f ’ ( t ) = O ; es decir, f ( t ) y f ’ ( t ) son ortogonales. Los símbolos “Dr” y “d/dt” estántambién en LISO paradenotar la derivación :
u‘
es decir, si f(t) es la regla de correspondencia para f, entonces D,f(t) = - f(t) Lit denota la regla de correspondencia para f’.‘ Sea f una función diferenciable que describe la circunferencia W(P,; r ) con centro en P, y radio r. Para todo t e Q f , 1 f(t) -POI = r y, por tanto, de acuerdo con el ejemplo 7.3, f(t)-Po es ortogonal a D,[f(t)-P,]
=
D,f(t)-D,P,
=
f’(t);
Es m i s frecuente decir quef ( f ) denota la Imagen de f según f , etc., que decir que f ( r ) es la regla de correspondencia para f . etc. [N. del T.]
71
derivada
la
125
Algunos sobreteoremas
es decir, el radio trazado desde Po al punto f(t) sobre la circunferencia es ortogonal al vector tangente en este punto. 7.4 Ejemplo. Si f
=
(I, cos, sen) y cp = exp
0
21, determínese D(cpf).
Antes de dar la solución de 7.4 repasaremos la definición de composición de funciones reales de una variable real. La función f .g (lo que se lee: “J’composición y” o “ f círculo g ” ) es la función con regla de correspondencia [f g ] (x) = f ( g ( x ) ) y el conjunto { x ~ L 12g~( x ) E g , j como dominio. Por tanto: cp(t) = [exp 211 ( t ) = exp ( 2 t ) = e’‘ i;
y Q q = R. La fórmula para
l a derivada de f - g , llamada regla de la ca-
dena, es
(f Por tanto, D(exp , 2 I )
=
L/)’ = ( f ’
<’
g)y‘.
(exp - 2 1 ) 2 ; es decir, cp’(t) = 2e2’
SOLUCIÓNDI: 7.4. Las funciones f y cp son diferenciables sobre R y
cp(Df)+(Dcp)f [exp , 2 I] ( I , - sen, cos) + [2 exp 211 (I,cos, sen) = [exp 211 (1 + 2 / , 2 cos - sen, cos + 2 sen);
Ncpf) = =
O
es decir, para todo t E R , D,[cpf](t)
=
e2‘(I+2t,2cost-sent,cost+2sent).
Definimos ahora la composiciónde una funciónvectorial f conuna función real cp y pasamosaestudiaralgunasde las propiedades de esta composición. una función real de pariable real y f es una función rectorial de r>ariable real, f . cp es la función rectorial de variable real con regla de correspondencia
7.5 Definición. Si cp es
[f
91 ( t > = f(cp(t))
9,,, = { l ~ :9 cp(t).gf). , Si t E 9 f 7 q y f = ( f l , .. ., , f n ) , entonces
y dominio
[f
O
cp1 ( f ) = f(cp(t)) = ( f l (cp(t))>. .. f , ( c p ( t ) ) ) = u , ‘ cp1 O)>. . [S” cp1 ( t > ) . >
. 1
Por tanto
f
L’
cp = (f,0 cp,
. . ., f“ cp). J
126
[Cap. 3
de una real variable
Funciones vectoriales
7.6 Teorema. Si q es continua en f cp es c~ontinuuen t o .
to
-v f es continua en q ( t o ) , entonces
PRCERA.De acuerdo con el teorema 4.2, pág. 109, f q es continua en I, si y sdlo si ,!, q ( i = 1. . . . , n ) es continua en t,, . Como y es continua en t , y ,/; es continua en cp(to), sabemos, de acuerdo con a l teoría de funciones reales de variables real que f ; cp es continua en t,.' Y estocompleta la prueba. 7.7 Teorema. S i cp e5 chferewiahle sobre un intrrralo f y f es cliferenciahke sobre un i n t e r d o que contiene a ~ ( f = ) { q ( t )1 i, entonces f y es tliferenciuble sobre ,f J. D(f y) = [(Uf) c p ] L ) c p
sobre
8.
PRUEBA. Segihel teorema 6.2 (pág. 115). sobre el intervalo ,f, D ( f ' 4))
=
(D(f,
4)). . . . ,
D(,f,2 V I ) .
De acuerdo con la regla de la cadena para funciones reales de variable real tenemos: para i = I . . . . . n D ( f , q ) = [(Uti, cp1Dq
sobre 2.
Así pues
U(f
cp) =
( [ ( D / , ,cpIDc?.' " . [ ( U / " ) cp1DV)
1 (p. . .
=
((41'1
=
[ ( - m (PI Dcp.
. 1
( D L ) q)D(f
Y esto completa la prueba. Podemos escribir la f6rmula delteorema 7.7 enla
forma
D,f(cp(t)) = V { ( t ) f ' ( c p ( f ) ) .
U n teoremaimportante en el cálculodefunciones real es el teorema del valormedio:
reales de variable
7.8 Si ,f es continua sobre [u,b] y diferenciable sobre (u,h ) entonces hay u n punto ( . € ( U , h ) t a l que f ~ b ) - . / ( a= ) (b-a)J'(c).
La generalización del teorema delvalormedioparafuncionesvectoriales e5 la siguiente:
7.9 Teorema. Si f
es continua sobre [u. b] y es difkrenciuble sobre ( a . b ) entonces e.\-isten C ~ (Ea . b ) tales yue
f(b)-f(a) Volumen I , p i g . 367
= (&U)
(ji'(~1). . . . . .f , ' ( ~ ' , ) ) .
71
derivada
la
127
Algunos sobreteoremas
PRUEBA.La hipótesis sobre f implica quecadacomponente fi,esuna funcióncontinuasobre [u.h] y diferenciable sobre ( a , b). La conclusión del teorema sigue de la aplicación de 7.8 a cada componente f;de f.
Nora. El teorema 5 muestraquebajo las hipótesis del teorema 7.9 no podemos concluir que f(b)-f(al = ( b - a ) f'(c) para alguna c ~ ( ab). , Problemas 1. Si
f ( t ) = ( t , tZ, j t " , t E [ O . m )
g = (cos, sen, I ) cp(t) =
-21 >
[€[IO, m >
bi g'
c) f"( t)
2. Determínense
u ) D,(u cos w t , u sen w t )
b)
D,~(u cos wt, u sen ut).
3. ¿Cuál es el dominio y regla de correspondenciapara
4. Supongamos que una curva punteada % está descrita por la funcicin f de [a,b] y por la función de [O. b-a] por g, donde g(u) = f(b-u). ;Cuál es la relación entrelos vectores tangentes determinados porf y g en cualquier punto de la curva ? 5. Consideremos el arco %' de hélice cilíndrica descrito por
Demuéstreseque enningúnpuntode
[(O) a f(').
% f ' ( t ) esparalela
a la cuerdade
128
[Cap. variable realFunciones una vectoriales de
3
6. Determínese el componenteradial [es decir, el componente en la dirección de f(t)j de f’(r) y de f”(r), cuando
u ) f(r) h) f(t)
= (r = (r
cos ut. r sen w t ) cos t 2 , r sen t ’ ) .
7. Lagráfica polar de ecuacionesparamétricasde
B esunaespiral de Arquímedes. Son, pues, la espiral deArquímedes .Y = 8 cos y = H sen H.
r =
u
Determínese un vector tangente a
la espiral enel
punto ( - 7 ~ .0).
8. Sea 9 unafunción real diferenciablesobre [ a , p ] y sea % la gráfica polar de r = g(0). Entonces V está descrita por la función f = gu de [M, P] donde u = (cos, sen). Uemuéstrese que f’ = g’ufgu’ donde u’ = ( - sen,cos)
e interprétese este resultado geométricamente. 9. Resuélvase el problema 7 usando el problema 8. 10. Determínese un vector tangente en cualquier punto de cuya ecuación polar es r = I + cos H . Dibújese la curva.
la cardioide
11. Supongamos que f es una función de R a R2 que es continua sobre [u,/I] y diferenciable sobre ( a , h ) , donde a < h. a) Demuéstrese que existe un número C E ( a , h ) tal que [f(b)-f(a)]’ f’(c) = o.
-
Interpréteseesteresultadogeométricamente.Notación: si a esel vector R2, entonces ai denota al vector ( - u 2 , a , ). h) Si .f’,(h)-fI ( a ) # O y, para todo x ~ ( ah), , f’(x) # O , demuéstrese que la fórmula de la parte u puede escribirse en la forma ( a , .a r ) en
f;(b)-/z(a) -~ .t2’((,) f ; ( b ) - f ;(0) J ; ’ ( c )
Esta es la generalización de Cauchy del teorema del valor medio. Se reduce al teorema del valor medio cuando J ) = I. L.) Demuéstreseque,con lascondicionesde la parte b,si f(u) = 0 y lím f ” t x ) existe, -’
x-u
/l’(x)
entonces [ím -.f2 ( x )
.r-u
/; (.u)
=
‘(x) lim J’ L. r-a
,/I ’ ( x )
Se conoce esto como la regla de I’Hospital.
81
La diferenclal
129
d ) Úsese la regla de 1’Hospital para evaluar los siguienteslímites
2)
x
x-o
lílll
x-o
ex- 1
In (1 + x )
In (4x2-3) 4) lírn ~-
tan 3 t 3) lírn -~ r w n (t-x) COS t
In x
x+l
8. LA DIFERENCIAL Sea f una función vectorial definida sobre [a, 61 y sean t y t + h puntos distintos en [a,h]. El vector Af(t; h) = f(t+h)-f(t) se llamaincremento d e f e n t correspondiente al incremento h de t ; éste es el cambio de f debido al cambio h en t. Si f es diferenciable en t , entonces Af(t; h)
donde Y ( t ; h) =
=
f(t+h)-f(t)
=
hf’(t)+hcp(t; h)
I
[ i ( t + h ) - f ( t ) J - f ’ ( t ) . Como lírn cp(l;h) = O , el increh 1,- o mento Af(t; h) es aproximadamente igual a hf’(t) parapequeñosvalores de h. Al término hf’(t) se le llama diferencial. -
8.1 Definición. El cector hf’(t) se llamadiferencial de f e n f correspondiente al incremento h en t y se denota por df(t; h); es decir,
df(t; h)
=
hf’(t).
En términos de la diferencial tenemos Af(t; h)
donde lím cp(t; 17)
=
=
df(t; h)+hcp(t; h )
O. Por tanto, para h pequeños,
h-0
Af(t; h) z df(t; h)
Y 8.2
f(r+h)
=
f ( t ) + A f ( t ; 17) z f ( t ) + d f ( t ; h).
Sea % la curva descrita por la transformación f de [a, 61.Si f’(t) # O, entonces d ( t ; h) = hf’(t) esunvectorparalelo al vector tangente a %? en el punto f ( t ) (figura 9). La ecuación 8.2 implica que cerca de f ( t ) la recta tangente a en f ( t ) está muy cerca de la curva
130
o FIGURA 9
u‘rar (ir en lugar de h y abreviar (if([; (if) por df.
Es prácticacomún Por tanto.
(if y f ’ ( t ) es -,
dr
df
=
(/f(f : ( / I )
=
f’(2 ) df
una notaclcin ya introducldapara
la derivada.Cuando
LIsamos df para denotar u n valor de la diferenclal, es generalmente posible determinar- por el contexto de la discusiónlosvalores de r y dt que el usuario tiene i n mente. Si f = ( f l . . . . . fn). entonces
df
=
f ’ ( r j d t = ( f ,‘ ( [ ) c h . . . ., f , ’ ( r ) d f )
es decir df
8.3
SI hacemos x = escribir dx = df y
=
( ( I f , , . . . , djfb,.
f(t), entoncespodemos d f , y. de aquí. 8.3 toma la forma
. , . . .l., =,) ( / , ( I ) . . _ . , f;,(t)j , = (/.Y,
=
dx = ((/,Y, , . . . . d.Y,z) .
De l a definición de diferencial y las fórmulasde desarrollado. se deduce fácilmente que 8.4
d ( f + g)
=
df+c/g
8.5
t/(f - g )
=
df - d g
8.6
(/(f. g )
=
f . dgidf. g
8.7
d(f x g )
=
8.8 8.9
t/(cpf) =
t/(f
.
cp) =
f x rlg + df x g cpc/f+(dq)f
(f’ cp)c/cp.
derivación quehemos
91
131
lntegracibn
Estas fórmulas se verifican bajo las condiciones especificadas en el teorema 7.2 (pág. 123) y en el teorema 7.7 (pág. 126). La fórmula 8.9 es de especialinterés. Si hacemos x = f(t) y t = cp(u) entonces x = f(cp(u)) = g(u), donde g = f : cp. En tal caso,lanotación dx para la diferencial palece ambigua; puede querer decir f'(t)dt o g'(u)du. Sin embargo, esta ambigiiedalj sólo es aparente, ya que según 8.9 g'(u)du = f'(t)dt, y, en realidad, es precisamenre a causa de esta aparente ambigüedad que la notación diferencial resulta conveniente.
Problemas 1. Determínense Af(t; d t ) y df(t; d t ) , cuando f(t) = (1, t', t 3 ) y
O, dt = O, dt = IO3 IO3, dt = 10"
a) t =
c) r e) t
= =
b) t
=
O, dt
=
10"
u') t = IO, dt = .IO" .f) t = lo'', dt = 10'
2. Hállese el valor aproxirnado de f(10-3) cuando a) f = (cos, sen, tan)
b) f(t) = e"( I , sen t , cos 2 t )
c) f(t)
=
sen' t , cos' t ) .
3. Demuéstrese que bajo hipótesis adecuadas a) d(f g) = f dg+df * g b) d(f cp) = (f' cp)dq.
-
0
0
Y. I N T E C R A C I ~ N
Una curvapuededescribirseespecificandouno de sus puntos y un vector tangente en cada uno de sus puntos. Supongamos que conocemos que unacurvapasa pot el punto x. y que,paracada r E [ a , 61, f(t) es un vector tangente a V. Deseamos determinar una transformación x de [a,b] tal que x(t,) = x. para algún t , ~ [ ah], y x'(t) = f(t) para todo tE[u. b]. Entonces V es descrita por la transformación x de [a,61. Para determinar x debemos resolver la ecuación diferencial x' = f
sobre
[a,b]
sujeta a la condición x(t,) = xo. La solución de esta ecuación diferencial es simple unavez que hemos introducidola integral de una función vectorial.
132
[Cap. 3
variable realFunciones una vectoriales de
9.1 Definición. Si
f
=
(f, , . . . , f,)
es
una junciónrectorialdefinida
sobre [a, b ] , entonces f =
Job
Usamostambién Así pues
la notación
jObf jab
(l)dl =
La integral i
=
(Job
ii*
lab
Jn).
J l , ...,
c
f(t)dt para la integral de f de a a b.
fl(t)df,
'">
job
/ W t )
f existesiemprequecadauna
de lasintegrales
1, ..., n, existe. En particular, si f es continua sobre
[ a , 61
c
ji,
entonces
Jt:f existe.
El primer teorema fundamental del cálculo -si intervalo 2 y a,
t E 2 ,
entonces D,
f es continua sobre un
j = j ( f ) - puede extenderse a
funciones vectoriales como sigue.
9.2 Teorema. S i f
=
(f,, . . . , f,)es
entonces
D,
j;
f
continua sobre un interralo f y a € % ,
= f(t),
f € f .
PRUEBA.La prueba se obtiene por la aplicacióndelprimerteorema fundamental del cálculo a cada una de las funciones componentes:
=
(Ji(t)> ..., L ( t ) )
=f(t)
Laextensióndelsegundoteoremafundamentaldelcálculo continuasobre un intervalo
y
y
a, b e y ,
se obtiene también en forma análoga.
entonces
C
-si
F' es
F' = F(b)-F'(a)-
91
133
Integraci6n
9.3 Teorema. Si F = ( F , , .. ., F,) tieneunaderivadacontinuasobreun intervalo y , entonces para todo a, b E f
job F‘
=
F(b)-F(a) .
PRUEBA.Dejamos la prueba como ejercicio para el estudiante. Como el teorema fundamental del cálculo puede extenderse a funciones vectoriales. la ecuacióndiferencial x’ = f puederesolverse en la forma habitual.
9,si t o € 9 ,y si x. es un c3ector cualquiera, entonces hay una y sólo una solución sobre3 de la ecuación dqerencial x) = f
9.4 Teorema. Si f es continua sobre un intervalo
que satisface x ( t o )
=
x. . La solución es X([) = x0
+
j-1
f.
PRUEBA.Supongamos que x’ = f y x(to) = xo. Entonces, de acuerdo con el segundo teorema fundamental
f
=
j,:
x’ = x(t)-x(t,)
Y
Recíprocamente, si x(t)
= x0
+
jl:
t€Y
f,
entonces x(to) = x. y según el primer teorema fundamental
x’ = f sobre 2 Así pues, si una curva (?? pasa por el punto x. enel tiempo to y f(t) es un vector tangente a V para cualquier t E [ a , 61, entonces, suponiendo que f sea continua sobre [a, b ] , 59 está descrita por la transformación x de [u, h] donde
x ( t ) = x0
+
?:: f,
? € [ u ,61
Sea x(t) el vector de posición de una partícula P de masa t n . v ( t ) = x‘(t) la velocidad de P, y a ( t ) = v ’ ( t ) la aceleración de P enel instante t. Si la
134
de una [Cap. real variable
Funciones vectoriales
3
fuerza que actúa sobre P en el instante I es F I , ~ entonces, ), según la segunda ley del movimiento de Newton, x debe satisfacer la ecuación m a = n7x” = F .
Así pues, la trayectoria d e la partícula esti ceterminada por esta ecuación diferencial junto con algunas condiciones iniciales.
9.5 Ejemplo. No teniendi,encuenta lafricc:ión y suponiendounafuerza gravitacional constante, proporciónese una descripción del movimiento de una partícula de masa m cuya belocidad inicill es v,, y c ~ ~ posición ya inicial es x”.
/
z
FIGURA 10
S O L U C : I ~Sea ~ . nlg la fuerr.a constante. Tenemos
a=v‘=g Luego
v(t)
= vg
Y X(l) = x g
=
?’1 + 1::
+
g
=
v,+gt
(v,+gu)du
x,+v,t+:gt2.
Para facilitar el dibujo de la trayectoria de la partícula seleccionaremos un sistema decoordenadas (figura I O ) tal que xg = (O, O.O). g = (O, -g, O) y vg = ( c , , c 2 , O ) : el origen se colocaen el punto inicial, la fuerzaestá en la dirección negativa del eje Y , y la dirección del eje X se elige de modo
Integración
91
135
que vo es paralelo al plano X Y . Las ecuaciones paramétrlcas que describen el movimiento de la partícula son, entonces. .Y
y
= =
:=
(‘1
f
- 1 t2$.[’ 2Y
2
o.
t
Si c , # 0, éstas son ecuaciones paramétricas de una parabola enel plano X Y . (‘2 c La altura maxima de Ia trayecloria es y esta se alcanza con r = 2. 7
2g
Y
El eje de la parábola es vertical y s u vértice es el punto
c 1 c2
C’2
Problemas Evalúense las siguientes integrales
i:
exp)
(I,I I ” ,
(sen
1,
cos
t,
tan t ) d r
Resuélvanselassiguientesecuacionesdiferenciables descrita por x en cada caso. x ’ ( t ) = c, x(0) = o x ’ ( t ) = at+ b, x(0) = ( I , O. I ) x’(f) = w ( - sen tot, cos cut. O), x(0) = ( I , C, O).
y dibújese la
Si no estan actuando ningunas fuerzas sobre una partícula de masa tn y su posición y velocidad iniciales son x. y vo. respectivamente, describase la trayectoria de la partícula. 4. Prescindiendo de los efectos de la atmcisfera y suponiendo u n suelo perfectamente nivelado estímese la \.elocidad inicial mínima requerida pal-a hacer q ~ una ~ epelota de golf recorra 250 yardas.
S. ;,Cuál es la contestacicin al problema 4 siel puntode pelota está a 25 pies por encima del nivel de la pista ? 6. Puedemostrarsequecadaunade diferencial x” = - w Z x .
las (11
soluciones
unaconstante
.Y
salida de la
de l a ecuacicin
136
[Cap. 3
variable real una Funciones vectoriales de
tiene una regla decorrespondenciade la fotma x ( t ) = a cos (ut+U), t G ( - m , x,). Verifíquese quetoda funciónquetieneuna regla de correspondencia de esa forma es una solución. Determínese la solución que satisface: a) x(0) = s o . s’(0) = O ; b) x ( 0 ) = O, .\”(O) = r,,, c ) .v(O) = .\-o, x’ (O) = 1‘0
7. ¿Cuál es la forma general de la soluciónde la ecuacióndiferencial vectorial P I X ’ ’ = - k x , k > O, m > O ?
8. Laecuacicin diferencial del problema 7 es la ecuación de movimiento deunapartícula P demasa m sobre la queactúaunafuerzacentralque está siempre dirigida hacia O y cuya magnitud es proporcional a la distancia de la partícula a O. a) Descríbase el movimiento de la partícula si: I ) x(0) = O. x’(0) = O ; 2 ) x(0) = X(), x’(0) = o; 3) x(0)= O , x’(0) = v g . h) Demuéstreseque la sumadedossolucionesde la ecuación de movimiento es una solucicin. Describase el movimientode la partícula cuando x(0) = x. y x’(0) = vu . c) Determínensecuálesdeben ser la posición y velocidadiniciales de la partícula para que se mueva a lo largo de una circunferencia de radio r alrededor del origen. 10; LONGITUD DE ARCO
Sea ‘I: unacurvadescritapor la transformación f de un intervalo cerrado [a,h] en R”. Consideremos una partición P = { t i j i = O, . . . , k ) de [a, h] donde a = to < t , < . . . < t, = b. Toda partición P de [a, h] define una poligonal constituida por los segmentos rectilíneos de f(t,) a f ( t l ) , de f(r,) a f(t,), .. ., de f ( f k - ,) a f(rk). (Esto está ilustrado en la figura 1 1 para el caso P = { t o ,t , , t,,t,. t,, r 5 ] . ) Denotamos la longituddeeste arco poligonal por L,p; es decir, k
L P
=
;= 1
l f ( ~ i ) - f ~ ~ ; - l ) l’
Nuestra ideaintuitivade lo que la longitudde % será, nosdice que deberíasernosposibleaproximarnosa la longitudde %‘ tantocomo deséasemosmidiendo las longitudes L P dearcos poligonales como los descritos.Además.como la distanciaa lo largo de una línearecta debe ser la distancia más corta entre puntos, L , debe ser menor que la longitud de % y , si añadimospuntosa la partición P , la longitud del nuevoarco poligonal debe sermejoraproximaciónque la primitivaa la longituddel
137
arco W. Estosugiere la siguientedefinición.Vamos adenotar por 9 al conjunto de todas las particiones del intervalo [a,b ] .
enella
10.1 Definición. La curva V descritapor una transjormación f de [a, b] se dice que es rectificable si ( L , I P E P ) tiene una cota superior. Si (6? es rectificable, la longitud L de V es el supremo de ( L , I P E P } ;es decir,
L
=
sup { L , 1 P E P ’ ) .
Estalongituddeunacurva se conformaalasideasintuitivasantes mencionadas. Como L es una cotasuperior de { L , I P E P } , L esmayor que o igual a la longitud L , de cualquier arco poligonal obtenido tomando una partición P de [a,b ] . Por otra parte, para cualquier E > O, existe una partición P de [a, b] talque L--E < L , 6 L ; deotraforma L nosería el supremo (la cota superior minima) de { L , 1 P E P } . Mostramos ahora que si obtenemos una partición P , de [a,b] añadiendo algunospuntosalapartición P , de [a,h ] , entonces L,, 6 L,,. A P , le llamamos refinamiento de P , . 10.2 Lema. Si P , es un rejinamiento de P , , entonces L,,
< L,,
PKUEBA.Estelema es unasimpleconsecuenciade la desigualdad del triángulo. Sea T~ el primer punto de P , que no está en P , . Entonces, para algiln i, t i P 1< z j < t i y if(ri)-f(ti-,)1
= Ifcti)-r(zj)+f(Zi)-f(ti-,)1
lf(ti) - f ( ~ j ) l +l f ( z j ) - f ( r i -
111
Por un número finitodetalespasos podemos añadir todos los puntos de P , a P , y obtener L,, I L p l . Si tuviésemos que usarladefiniciónparacalcular la longituddeuna curva,nuestratarea no sería nadafácil. Sin embargo,paramayoríade
138
Funciones vectorlales
variable de una
real
[Cap. 3
las ctl~nas de ¡!iter& podemos encontrar la longlttd calculando una Integral.
Consideremos la curva ‘6 descrita por la transformaci6n f de [N. h] como la trayectoria de una partícula, donde f ( r ) es la posicicin de l a partícula en el instante t . Suponganios que f es diferenclable sobre [u.h ] . Entonces f ’ ( t ) es la Lelocldad de la particula en el insranw t > j f ’ ( t ) / es la “rapidez” dc la particuIaen el instante t . Supongamosquetomamosunaparticibn P de [u.h] tal que la velocidad “cambiamu) poco” sobrecada arc3 de f ( t , ” a f ( t , ) : digamosque es aproxirnadamente f ’ ( t , * ) sobre este arco donde ti* E [ t , - ! , t , ] . Entonces. usando l a nocicin elemental de que la distancia es igual a a l ”rapidez”multiplicada por el tiempo. la longitud de %- es aproximadamente h
1o1
Longitud d e arco
1 39
para todo t , s1 , . . . , S,,€ [a, h] cot? la propiedaddeque i = 1 , ..., H.
It -sil < 6 para
PRUEBA. Comog es continua sobre [ a , b ]cada , una de las funciones componentes gi es continuasobre [a, b] y, portanto,uniformementecontinua sobre [a, 61. Luego, para c > O hay una S, > O tal que E
lgi(~)-g¡(%)l < n
paratodo t,siE[a, h] con la propiedaddeque 6 = min { d i 1 i = 1. . . , , n ) , tenemos
It - s i /
< 6,. Haciendo
para t , sl, . .. , S , E [ U , b] con la propiedad de que I t - s , < 6, i = I , . .. , n. Y esto completa la prueba. Ahora estamos en posici6n de probar la fórmula integral para la longitud de una curva. 10.4 Teorema. Si f tieneunadeviradacontinuasobre cuma Y? descrita por f es rectificable y
L
=
Jab
[u,b], entonces la
If‘/
PRUEBA.Enla pruebaconsideramos % comounacurva en R3, aunque el método se puede aplicar cualquiera que sea la dimensión del espacio en que la curvaestédefinida.Sea P = {t,),. . . . f k ) una partición de [u, b ] . De acuerdo con el teorema del valor medio (7.9, pág. 126)
2 h
L,
=
¿ =1
If(li>-f(ti-,)I
k
=
i= 1
l(J,’(fi’),
/2’(?Y), ./;’“‘’‘) I
(ti-zi-
I)
paraalgunos ti‘, ti”, t i ” ’ s ( t iI _, t i ) . Como f i ’ , f 2 ‘ y f 3 ’ soncontinuas sobre [a,b ] , estánacotadassobre [a,b ] . Supongamos I f ; ‘ ( t ) l I M , , Ifz’(t>l 5 M , y iJ3‘(t)l I M,, paratoda t e [ a ,b ] . Entonces L, 2
i=l
, , / M , 2+ Mz 2 + M3 2
=
(O-U) ~ A 4 , 2 + M , 2 + M , 2
para toda partición P de [a, 61. Por tanto, {L, I P E P } está superiormente acotada y Y? es tectificable; sea L la longitud de V.
140
Queda pot mostrar que L
=
3
[Cap. variable realFunciones una vectoriales de
L
=
/ f ‘ I , Sea
sup { L , 1 PEYP),existe una partición P , de
10.5
I>-€ < L,, 2 L .
Como If‘/ es continua sobre
[a, b],
If’/
= lim
S,
=
Iiln
IP/-O
I
1
i=l
E
> O cualquiera.Como
[a,61 tal
que
lf’(ti*)l ( t i - ti-
Luego existe un 6 , > O tal que
< t: siempre que
10.6
1Pl < 6 , .
Ahora bien
Hemos demostrado que podemos hacer el primero y últimotérminosdel segundo miembro de la anterior desigualdad tan pequeños como queramos. Si podemos escoger una partici6n P tal que la suma de todos los términos delúltimomiembro de la desigualdad sea menorquecualquiernúmero positio dado, habremos entonces demostrado que
L
=
con el lema 10.3, existe un 6, > O tal que 10.7
/S,-L,l
=
k
< ~ ( b - u ) siempreque
I P I < 6,.
Luego, si P , es un refinamiento de P, tal que lP,l < mín ( 6 , . b 2 } ,
110.61
1o1
141
Longitud de arco
C10.71
Por tanto,
10.8 Ejemplo. Sea V la hélice cilíndrica(figura 4, pág. 23) descritapor f = (cos,sen, fZ). Determíneselalongitud L del arco de V de (1, O, O)
a(-l,o,;). S O L U C I ~ NComo . f(O)
=
( I , O, O) y f(n)
=
i 3
- 1, O, - ,
10.9 Ejemplo. Determínese la longitud de = (cos t , sen r ) , rE[O, 4 n ] .
la curva V descrita por
f(t)
S O L U C I ~ NLa. curva V es la circunferenciaunitaria % ( O ; 1) recorrida dos veces bajo la transformación f de [O, 4 n ] . Usando el teorema 10.4 obtenemos
Problemas 1. Determínese la longitud f(t) = (t2, 2t), r e p , I ] . 2. Determíneselalongitudde x=oyx=+.
f
del arco de la
pari’lola descrita por y = In (1 -x2) entre
la gráficade
3. Determínese la longitudde un arcode a(Z- sen, 1 - cos), donde a > O.
la cicloidedescrita
por
=
4. Encuéntreselalongitudde t ~ [ - 3 31. ,
la curvadescritapor
f(t) = ( t , t , 2t2),
142
[Cap. 3
variable realFunciones una vectoriales de
5. Determínese la longitud del arcode = (6 cos O, H sen U. U), UE[O, I ] .
f(O)
la hélice cónicadescrita
6. Determínese la longitudde la curvadescritapor q
sen
~
cp. 1
-
por
la transformaci6n
delintervalo [O, 2 n ] .
cos cp, 4 sen
7. Considérese la curva V descritapor S
= t
2
=
1
u senh -. LI
Demuéstrese que la distancia a lo largo de % desde el punto (O, a, O) hasta u n punto P, sobre 6' esproporcionala la distanciade Po alplano X Y . 8. Consideremos la elipse descrita por .Y
sen (p h COS^.
= u =
~ E [ [ O27~1, , U
2 b > O.
Demuestrese que la longitud de tal elipse es
donde r
=
(
1
- : ; y 2
es lrt excentricidad de l a elipse. Esta es una integral
elíptica de segunda clase. Consúltense tablas y determínese a l longitud de la elipse con semieje mayor a y e = O. i, 4, 2 y 0.99. 9 . La gráficapolar de Y = 1 t cos O es una cardioide.Lasecuaciones paramétricas de la cardiolde son, por tanto, S = ( I + cos U) cos H J = ( 1 + c o s U) sen U. UE[O. 2x1.
Determínese la longitud de la cardioide. 10. Sea y unafunción real conunaderivadacontinuasobre [ S , p] y sea % lagrBtica polar de r = y(0). Entonces V está descrita por la función f = yu de [x. /I] donde u = (cos, sen). Demuéstrese que la longitud de Y es
111
Tangente unltaria, normal princlpal
y vectores binormales
143
11. Resuélvase el problema 9 usando el problema IO. 12. Unaecuacidnpolar de la espiral deArquímedes es r Encuéntrese la longitudde la espiraldesde O = O hasta O = 2 ~ . 13. Considérese la parábolacuyaecuación y =
= aO.
en coordenadaspolares es
Cl 1
-
cos ii
Determínese la lor,gitud de la parhbola desde el punto sobre el foco hasta el vértice. 14. Si el movimiento de una particula esta descrito por
f(t)
=
(cos t o t , cos u t ) , w >
o.
dibújese la trayectoria y encuéntrese la distancia recorrida por 2n desde el instante t = O hasta el r = - con y sin integración.
la partícula
w
11. TANGENTEUNITARIA,NORMALPRINCIPAI, Y VECTORES BINORMALES Supongamos que la función f definida sobre [a,b] tiene una derivada continua distinta de cero sobre [a,h ] . Entonces la curva %' descrita por la transformación f de [u,b] se llama c11~1.u lisu. Como f tiene una derivada distinta decerosobre [u, b], la curvatiene u n vectortangente f ' ( t ) en cada punto f(t). Obtenemos el rector fauge/lte unitario T(t) en el punto f(t) dividiendo el vector tangen,e f ' ( t ) por SLI longitud If'(t)i. es decir,
11.1 Como l a función f tiene u n a derivada continua sobre [u,b ] , la curva % descrita por f es rectificable. La longitud / ( t ) del arco de % correspondiente la transformación f de [a,f ] es
11.2 El número [ ( t ) es la distancia a lo largodc la curva % del punto f ( u ) al punto f(t). Deacuerdocon el primerteoremafundamental del cálculo. la función 1 definida por 11.2 tiene una derivada 11.3
I'
=
If'/.
144
[Cap. variable realFunciones una vectorlales de
3
Luego, usando 1 1.1, tenemos
f’
11.4
=
/’T.
Si consideramos la curva lisa % descrita por f como la trayectoria de una partícula,entonces la ecuación 11.4 nos dice que la dirección del vector velocidad f’(t) es la del bector tangenteunitario T ( f ) y la magnituddel vector velocidad -la “rapidez”- es [ ’ ( f ) : la razóndecambiode la distancia a lo largo de la curva. Si x = f ( t ) es la ecuación de unacurvaen R3 y si hacemos S = / ( I ) entonces 11.3 puede escribirse en la forma 11.3’
o, en términos de diferenciales.
d~= *
d.y2
+ dy’ + riz2
Con esta notación, 11.4 se convierte en dx
11.4‘
-
dt
=
ds
-T. dt
Supongamos ahora que f ’ es diferenciable sobre [a,b]; es decir, que f ” existe sobre [a,61. Entonces esgún el problema 3 , pág. 127, I“ y T’ existen sobre [a,b] y diferenciando 11.4 obtenemos
f”
11.5
=
I”T+/’T’.
Como IT1 = I sobre [a,61, sabemos,por el ejemplo 7.3, pág. 124, que T’(t) es ortogonal al vector tangente T ( / ) para todo [ € [ a 61. , Cualquier recta que pase por el punto f ( / ) de una curva V y sea ortogonal a la tangente a la curva en ese punto se llama normal a la curva. A causa de l a significación particular del vectornormal T’(t), la recta quepasa por f(t) en la dirección de T ’ ( t ) (si T’(f) # O) se llama normal principal a la curva W en f ( t ) . Si T ’ ( t )# O , entoncesdefinimos el rector unitario normal principal N ( t ) como sigue: 11.6 Así pues, podemos escribir 11.5 en la forma
11.7
f
=
I”T+I’lT‘IN,
111
Tangente unitaria, normal principal
y vectores binormales
145
o, lo que es equivalente,
d2x dt2
-=
d2s
-T
dt2
ds +JT‘IN
dt
donde x = f(t) y s = l ( t ) . Si es la trayectoria de una partícula que se mueve en R3, entonces f ( t ) es la aceleración de la partícula en el tiempo t. La ecuación 11.7 nos dice que elvectoraceleración se encuentra en el planodeterminadopor los vectores tangente y normal principal. %j
11.8 Ejemplo. Determínense los componentes tangencial y normal (normal principal) de f”(t) en el punto f(t) de la hélice descrita por f = (cos, sen, 41).
S O L U C I ~1.NDeacuerdocon es l”(t), Como tenemos
11.7, el componentetangencialde
f(r)
f’(t)
=
=
f”(f)
(cos t , sen t, ft),
( - sen
t,
cos t , j),
V ( t ) = If’(?)[ = +,/S,
Y
/“(t) =
o.
Dedonde el componentetangencialde normal es l f ( t ) / = I( - cos t ,
f”(t) escero, -
y el componente
sen t , 0)l = 1.
SOLUCIÓN 2.
T(t)
Y
De donde, Y
f’(t)
2
= - = - (-
If’(t)l
JS
sen
t,
cos t , f)
f ( t ) = ( - cos t , - sen t , O).
CompT(t,f”(t)
= f”(f)
- T(t) = O
CompN(,)f ( t ) = f”(t) N ( t ) = 1 .
En nuestra discusión sobre las curvas hemos definido una curva como una función vectorial continua que tiene un intervalo como dominio. N o
146
Funciones vectoriales
[Cap. variable real de una
3
hemos hechoningunarestricciónrespectoaladimensión del espacioen el que se encuentra el rango de la función. Así pues, la teoría desarrollada hasta este puntose aplica a una curva enun espacio de dimensión cualquiera. Sin embargo, los ejemplos discutidos nos muestran claramente que nuestro interés principal está en las curvas en R2 o R3. Si %? es unacurvaenR2 y T = (a, b) es unvectortangente unitario aenalgunode sus puntos, es fácil ver que el vector unitarionormal principal N en este punto debe ser o T' = ( - 6, a ) o -T' = (6, -a). Restringimos ahora nuestra atención a las curvas en R3. El plano que pasapor f ( t ) determinado por los vectores T(t) y N ( t ) se llama plano osculador de %? en f ( t ) . Y el vector B ( t ) = T ( t ) x N ( t ) se llama oector binormal; el binormales un vector unitarionormal al planoosculador. En cada punto f ( t ) de V los vectores T ( t ) , N(t) y B ( t ) forman un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales. Por ejemplo, en cada puntof ( t )de la hélice descrita por f = (cos, sen, 41) (ejemplo 11.8) tenemos L
T(t) = -= ( - sen f, cos t , \I 5
4)
N(t)
=
( - cos I, - sen t , O)
B(t)
=
--(sen J5
1
Y una ecuación del plano osculador .Y
t , - cos t ,
2)
es
sen t - y cos t + 2 z
=
t.
11.9 Ejemplo. Demuéstrese que si una curva V se encuentra en el plano 9 en R3 entonces el plano osculador en cualquier punto de V es 9.
S O L U C I ~ NSea . 9 = {(P I P n = c) y supongamos que 9 está descrita por lafunción f . Como %' c 9,paracada t € g f , f ( t ) n = c. Diferenciando una vez tenemos f ' ( t ) 3' = O y, de aquí, T ( t ) n = O. Diferenciandode nuevotenemos T ' ( t ) n = O y, por tanto, N(t) n = O. Estonosmuestra que n es ortogonal a T ( t ) y N ( t ) . Además, f ( t ) pertenece a 9 y al plano osculador de %? en f ( t ) . Por tanto, estos planos deben coincidir. Problemas
1. Determínense T y N para cada unadelassiguientes curvas: a ) La parábola: x = p t 2 , y = 2pt. b) La elipse: f ( 8 ) = (a cos B, b sen e), O E [ O , 2711; a, b > O. c) La rama de la hipérbola: x = a cosh t , y = b senh f.
111
Tangente unitaria,
147
ncNrmal principal y vectores binormales
d ) La hélice cónica: f (6) = ( O cos 6, O sen O, aO). e) La recta: x = Po+ ta. 2. Sea %? lacurvadescritaporlatransformación f de [a,b]. Puede suceder que en u n punto f(to) de W donde fr(to) = 0, exista lím T(t). En t-to
este caso definimos
T(to) = l í m T(t) t-to
y a T(to) se le llama vector unitario tungente a % en f(to). Determínese la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en los puntos indicados: a) f(t) = ( t 3 , t 3 ) para t = 0 b) f(t) = ( 3 t 2 , 2 + 8 t 2 , -5t’) para t = 0 c) f(t) = ( r 2 , t 3 , t 4 ) para t = c) y t = 1.
3. Cada una de las siguientes es una regla de correspondencia descrita por el movimientodeunapartícula ( t es el tiempo). En t = O y t = 1 encuéntrense la velocidad, la “rapidez”, la aceleración, y las componentes normal y tangencia1 de la aceleración. (10 sen 2nt, 10 cos 2nt) (10cos2nt, 10 sen2nt) = (cos nt’, sen nt’)
a) f(t) =
b) f(t) c) f(t)
=
2
cos 200nr, sen 200nt, 2n 4. Sean r(t) y O(t) las coordenadaspolares deunapartícula en el instante t , y sea x ( t ) el radio vector que localiza la partícula en el instante t. Entonces x = ru
donde u = (cos O, sen O); es decir O
x(t)
3
=
r(t) u ( t ) = r(t) (cos 8 ( t ) , sen
e([))
donde ~ ( t es ) un vector unitarioradiala la trayectoria (figura 12). Sea u’(t) = (-sen 8, cos 8); u’(t) es ~ ( t girado ) 90” endirección contraria a la de las manecillas del reloj. Derívense las siguientes fórmulas para la velocidad v = x’, rapidez I‘ = Ix’/,y aceleración a = x” de la partícula : v = r’u+rH‘u’ 1’2 = rt2+r2&2 r)
0
a = (r”-r8’Z)u+(r8”+2r‘8’)u’.
X
' \"I
FIGURA12
5. El movimiento de una partícula por:
d ) r ( t ) = e-',
o(t) =
e) r ( t ) = e-', o ( t ) =
n
-
2
71
-
4
se describe en coordenadas polares
t
t
Describase en cada caso la trayectoria de la partícula y en t = O y t = 1 determínenselavelocidad, la rapidez,laaceleración y lascomponentes radial, tangencia1 y normal de la aceleración. [El componente radial es el componente en la dirección de u = (cos f?, sen = O ) . ] r:
6. Si '$ es una curva en
R3 descrita por f demuéstrese que
B = - It" x f" , E = B x T = (f' x f") x f ' If' x f"l l(f' x f") x f'l 7. Si unacurva está descritapor f(t) = (f, t 2 , t 3 ) , determínenseT(t), N ( t ) , B(t) y el plano osculador cuando t = O y t = 1.
121
149
Curvatura y torsidn
8. Determínense T, N y E y el plano osculador en f(0) para las curvas en seguida descritas. u) f(t) = (t cos t , t sen r,r) 6) f(t) = (t - sen t , 1 - cos t , t ) .
R3 y B'(t) existe,demuéstreseque
9. Si %' es unacurvaen paralela a N(t).
B'(t) es
12. CURVATURA Y TORSION Suponemos en toda estasecciónque % es una curva lisa descrita por una transformación f de [u, b ] . Nuestro objetivo es definir una medida del pandeo de la curva V en un punto. Sean f(to) y f(tl) dos puntos sobre V.
Entonces T(to) y T(t,) son los vectoresunitariostangentes a V en los puntos f(to) y f(tl) respectivamente (figura 13a). La cantidad (T(t,)-T(t,)( es una medida de cuánto ha cambiado la dirección de la curva entre f(to) y f(t,). En realidad iT(h)-T(~o)12 = IT(~,)i2-2T(~o~.T(~,)+lT(~,)12
(
3'
= 2(1 - c o s @ = 2 s e n -
:y
donde B es el
(2
sen
ánguloentreT(to)
,
y T(t,) (figura 13b). Nótese
O2 para B pequeño. Como lalongituddelarcode
que % desde
f(to) hasta f(tl) es Il(t,) - / ( t o ) [ ,el cambio promedio dedirección por unidad
de distancia sobre este arco es
12.1
150
unci[Cap. variable real
Funciones vectoriales de
3
Para obtener la razón instantánea del cambio de dirección con respecto a la distanciaalolargode la curvaen el punto f(to), hacemosque t , se aproxime a t o . Si f”(t) existe, entoncesel límite de 12.1 cuando t , se aproxima a to también existirá. Este límite es
lT1(to)l
se llama curtutura rc(to) de W 1‘ (to) en f(t,). Así pues, la curvatura rc(tO)de %‘ en f(to) se define como ~
12.2 12.3 Ejemplo. Determínese la curvaturade lacircunferencia %?(O; r )
SOLUCI~N % .( O ;
r)
= {(r cos
está descrita por
t , r sen t ) I t € [ O , 2x1).
la función f, donde
f ( t ) = ( r cos t , r sen t ) .
Entonces
f’(t)
Y
= (-r
sen t , r cos t )
f ” ( t ) = ( - r cos t , - r sen t ) .
Por tanto
If’(t)/
= r,
T(t)
=
1 -f’(t), r
1 T’(1) = - f ” ( t ) , r
Y
Definimos el radio de curvatura p ( t ) de una curva como el recíproco de la curvatura en ese punto:
%? en el punto f ( t )
12.4
En vista del resultado delejemplo 12.3, el radio de curvatura p ( t ) de %? en f(t) es el radiodeuna circunferencia quetiene la curvatura IC(!).El punto f(t) + p ( t ) N(t) se llama centro de curtutura de la curva W correspondiente al punto f(t), y la circunferencia de radio p ( t ) y centro el centro de curvatura se llama círculo de curvatura o circulo osculador de V correspondiente a f(t). Como K = IT‘i , podemos escribir (11.7), pág. 1 4 4 como sigue : 1
12.5
f” = I ” T + K P N ,
121
151
Curvatura y torsión
o, lo que es equivalente,
donde x = f(t) y
S =
I(f).
12.6 Ejemplo. Encuéntrese la curvatura de por f(t) = ( t , t 2 , t3) en el punto (I, 1, I).
la cúbica alabeada
S O L U C I ~ El N . punto (1, 1 , 1) es el correspondientea fórmula 12.5 para calcular ~ ( 1 ) . f'(t)
=
W descrita
t = l . Usaremos la
(1,2t, 3t2), f'(1) = ( I , 2,3), l'(1) = Ji4 = (O, 2, 6).
f ( t ) = (O, 2, 6 t ) , f"(1) Entonces, usando 12.5,
Y
~ ( 1 ) 1 ' ~ ( l ) N ( 1 ) = f ( l ) - l " ( I ) T ( 1 ) = ( O ,2, 6)-++(1, 2, 3)=4(-11, Por tanto,
~ ( 1= ) &I(
- 11,
-
8,9)1 = &,/266. <-
Nota. El ejemplo 12.6 puederesolverse fórmula del problema 2.
másfácilmenteusando
12.7 Ejemplo. Si %' eslagráficadeunafunción K=-
I
L
[Il+(s)213 1 2 I
g, demuéstreseque '
SOLUCI~N. Usaremos la fórmula 12.5. %? está descritaporlafunción f = (I,g ) y tenemos f' = (1, g') y f" = (O, 9").Luego, por 12.5,
Y
-8, 9).
la
152
Funciones vectoriales variable una real de
Por tanto,
1
[Cap. 3
l(-s’s“> s”)l
lg“1
(1 + g ‘ 2 ) 3 ’ 2 , (I+g 1 Supongamos ahora que % es unacurva en R3 descritapor f y que el vectorbinormal B(t) esdiferenciableen todos los puntos f(t). En f ( t ) K=
,2
=
-~
el vector B’(t) _ _ describe la .razón de cambio del vector binormal respecto l‘(t1 a la distancia a lo largo de la curva. Como este vector B’‘f) es paralelo j‘(t)
a N ( t ) (problema 9, pág. 1491, es igual a un número realpor N ( t ) . El negativo (el inverso aditivo) de este número se llama torsión de %‘ en f(t) y se denota por z ( t ) . Es decir,latorsión z está definidapor la relación
B‘
12.8
=
-zl’N
Como labinormaldeunacurvaplanaesconstante(ejemplo 11.9, pág. 146, la totsióndeunatalcurva es cero. Si unacurvano es una curva plana, entoncesla torsión dauna rnedida.de1“torcimiento” dela curva respecto al plano osculador. Porejemplo, en el caso de la hélice descritapor f = (cos,sen, +Z), 1 1 tenemos N = (-cos, -sen, O), B = - (sen, -cos, 2), B‘ = (cos, sen, O) V f5 V15 y l‘=+js.Sustituyendo en 12.8, obtenemos
Problemas
1. Derívese la siguiente por f :
fórmula para la curvatura de la curva descrita K = Jlrl2Ifl*-(f’-ff’)2 /f’j3
Sugerencia. Úsese 12.5.
2. Si %? es una curva en R3 descrita por f, derívese la siguiente fórmula para la curvatura If‘ x f “ / K=-
1 f 1 1 ~
121
153
Curvatura y torsi6n
3. Determínese la curvaturaparacada
unadelassiguientes
+
La recta: x = Po ta. b ) La parábola: y = 4 p 2 . c) La elipse: f(t) = (a cos O, b sen O ) , @€[O, 2771; a, b > O. d ) La hélice cilíndrica: f(t) = (cos t , sen t , t ) . e) La hélice cónica: f(O) = (O cos O, O sen O, O). a)
curvas:
4. Sea g una función real con segunda derivada sobre [a,p] y sea V la gráfica polar de r = g(O). Derívese la siguiente fórmula para la curvatura de V :
5. Determínese la curvaturadelascurvasque ecuaciones polares: a) La espiral de Arquímedes: r = a8. b) La cardioide: r = 1 + cos 8.
tienenlassiguientes
6. Demuéstreseque a) T’ = KI’N b) N ’ =z -tiIfT+71’B. Nota. Las dos fórmulas del problema 6 junto con 12.8 se conocen como las fórmulas de Frenet, por el matemático francés F. Frenet. Juegan un importante papel en la geometría de las curvas en el espacio. 7. Si V es una curva en R3 descrita por f, úsense 12.5 y el problema 6 para mostrar que f”’ = ( I ” ‘ - K ~ Z ’ ~ ) T + ( ~ ~ ~ ~ ’ ~ ‘ ‘ + ~ K ~ ’ ~ ’ ~ ) N + ~ ~ T Z ’ ~ B . 8. Si V es una curva para demostrar que
en R3 descrita por f, úsense 12.5 y el problema 7 z=
(f’ x f”)*f”’ If’x €”12
9. Determínese torsión la de f(t) = ( t , t 2 ,t 3 ) .
la cúbica alabeada
10. Determínese la torsión de la hélice cónica descrita por f(r) = ( t cos t , t sen t , t )
en el punto (O, O, O). 11. Determínese la torsión de la curva descrita por f(t) = ( t - sen r, 1 - cos t , t ) en los puntos correspondientes a t
=
O, t
=
71
-, t 2
=
x.
descrita por
1 54
13.APLICACIONES
A LA MECÁNICA
Supongamos que x = f ( t ) describe la trayectoria de una partícula en R3. En la dinámica es común usar el “punto” como notación para la derivada; es, además,práctica generalusar ‘‘S” en lugarde “I” para la función “longitud de arco”’. Entonces, la velocidad v = x viene dada por
13.1
v
y para laaceleración
a
=
13.2
=
ST
[ 1 1.4, pág. 1441
v = X , tenemos la siguiente fórmula:
a
=
[12.5, pág. 1501
ST+K?N.
Por 13.1 vemos que la magnitud de la velocidad --la “rapidez”-- es S, la razóndecambiode la longituddearcoa lo largode la trayectoria, y ladireccióndelavelocidad esla delvector tangenteunitario T. La ecuación 13.2 nos dice que la aceleración se encuentra en un plano determinado por T y N. Si representamospor aT = a * T, a la componente tangencial de la aceleración, y por aN = a N, a la componentenormalde la aceleración, tenemos por 13.2
13.3
Y 13.4
aN = JIal’ -aT’
= Ks’.
Otra expresión para la componentenormalde la aceleración puede obtenerse de 13.2 como sigue: como a X T = a N ( N X T) y ( N X TI = 1 ,
13.5 13.6 Ejemplo. Sila trayectoria de una partícula está dada por x = ( t ’ , cos t , sen t ) ,
determínenselavelocidad, normal de la aceleración.
la aceleración y lascomponentestangencial
SOLUC1óN.
v
=
x
=
(2t, -sen t , cos t )
a = v. = (2, -cos t , -sen t ) UT
a-v
= -IV/
+ sen t cos t sen t cos t (41’ + sen’ t + cos2 t)’i’
4t
-
-
-
4t - I
d’1+4t2
y
131
Aplicaciones a
aN = JIal'-at2
=
4
155
la m e c h i c a
+ cos2 t + sen2 t
16t2 )'I2=
- -
1+4t2
j4Tri-j
4t2+ 1 '
Si unapartícula tiene masa m, el vector mx = mv se llama momento (lineal)de lapartícula.Lasegunda ley delmovimientodeNewtonnos dice: La razón de cambio del momento es igual a la fuerza; es decir,
13.7
D(mv) = F .
En la mecánica no relativista, m es una constante y esta ecuación de movimiento toma la forma ma = F ;
13.8
masa por aceleración es igual a fuerza.
En algunas aplicaciones es conveniente representar la trayectoria de una partícula en forma polar. Consideramos primero el caso especial en que la trayectoria se encuentra en el plano X Y y extendemos luego los resultados a trayectorias cualesquiera en R3.Sean r y O las coordenadas polares del vector de posición x. Entonces
x
Y
Si hacemos u
Y
v = =
=
r(cos
O, sen 8, O)
COS 8,sen O, O) + r e (
(cos 8, sen
e, O),
x
entonces =
ru
v = iu+ru
IY
FIGURA 14
-
sen 8,cos O, O),
156
Funciones vectoriales de
3
[Cap. una real variable
o(
donde u = - sen O, cos 0, O) es ortogonal a u (figura 14). A i. le llamamos componente radial de la relocidad y a rlul componentetransversade la eelocidad. El número lul = 141 es la razónde cambio del ángulopolar; este número mide la razón angular de giro alrededor del eje Z. Definimos la celocidad angular como el vector o = dk. Como u X u = (cos O , sen 0, O) x
d(- sen 8, cos O, O)
= Uk,
podemos escribir o = u x u. La velocidad angular es, por tanto, un vector cuyamagnitud es la razóndecambio del ángulopolar y cuyadirección es la del eje de rotación y es tal que u, u y o forman un sistema levógiro. Extendemosahora los anterioresconceptosacualquiertrayectoria '8 en R3. Sea x el vector de posición de la partícula y sean r=IxI
y
u=";
x
/x/
r es la distanciade la partículaalorigen y u es un vectorunitario en la dirección del vector de posición x (figura 15). Entonces
13.9
x = ru
y a esto se llama representación polar de O .
X FIGURA 15
Nota. Hemosrepresentadopuntos enestaformapolar siempreque hemosusado coordenadas esféricas (pág. 86). En estecaso r = p y u = (sen cp cos 0, sen cp sen O, cos cp). En la representación polar la velocidad puede escribirse 13.10
Y = tu+ru.
131
Aplicaciones a la m e c h i c a
157
Como u es delongitudconstante, u y u son ortogonales. Llamamos a i componente radial de la velocidad y a r/ul componente transversa de la velocidad; y definimos la velocidad angular o por
13.11
w = uxu.
La velocidad angular o es un vector en la dirección del eje instantáneo de rotación alrededor del origen y su magnitud lul es una medida de la razón angular del giro alrededor de este eje. Usando 13.10 tenemos
.
13.12
1
o =uxu =-uxv = r
xxv
~.
/XI2
Se sigue del problema 2, pág. 58, que w x u = ( u x 6 ) x u = -[(u~u)u-(u'u)u]
Usando esta expresión para
U
en 13.10 obtenemos
v
13.13
=u.
= iu+wxx.
Así pues, por ejemplo, si lapartícula
se mueve con velocidad angular o con centro en el origen, entonces i = O y
sobre la superficie de una esfera
v
Si F es una fuerza que respecto x. se define por
wxx.
actúa en un punto x, el momento L de la fuerza
L
13.14
=
= (X-X~)X
F.
Este vector es perpendicular al plano determinado por F y x-x.
y la magnitud de L es
]L\ = IF1 Ix-xoI sen 0 (O 5 O <
(figura 16)
71).
Es decir, la magnitudde L es la magnituddelafuerzapor el brazode palanca (la distancia de x. a la recta de aplicación de la fuerza) y es una medida de la efectividad de F para producir una rotación alrededor de xo. Eleje de rotación es una recta que pasa por x. y es paralela a L y, siel punto inicial de L está en x. entonces la rotación parece, vista desdela punta de L, como contraria al movimiento de las manecillas del reloj. Sea P una partícula de masa m y sea x el vector de posición de P . El vector m1xI2 o = x x (mv) se llama momento angular o momento de la cantidad de mouimiento de P (respecto al origen). Como D [ x x [mv)] = v x [mvj+x x (ma) = x x [ma),
158
FIGURA 1 6
la segunda ley de Newton implica 13.15
D[XX(WZV)] = xx F
la razdn de cambio del momento angular
=
L;
es igual al momento
de la fuerza.
13.16 Ejemplo. Unapartículade masa m se mueve sobreunacircunferencia de radio r o convelocidad angularconstante wo. Determínese la fuerza que actúa sobre la partícula y el momento angular de la partícula.
SOLUCI~N Coloquemos . el origen denuestrosistema decoordenadasen el centro de la circunferencia y orientemos el plano X Y de modo tal que: 1) la circunferencia se encuentra en este plano; 2 ) el movimiento alrededor de la circunferenciavistodesde la direcciónpositivadel eje Z parece contrario al movimiento de las manecillas del reloj, y 3) la partículascruza el eje X en el instante t = O. Entonces u = (cos w o t , sen wot, O)
Y
x
De donde Y
El momento angular es Nótese también que
= rou.
a = rou = - r o w o 2 u
F
=
ma
= -mrowo2u
n 7 J x J 2 0= n7r02wok.
S = IvI = ! r o u / = r o w o .
131
159
Aplicaciones a la mecdnica
Expresado en términos de “rapidez” tenemos entonces
y el momento angular es
mIxl2o
=
mroIvlk.
Problemas 1. La función de
posición x de la partícula de masa
m está dada por
T
27t
27t T
c ) x(t) = a sen - t, y ( l ) = a cos - t , z(t) =
T
b sen - t T
.
T Determínese en los instantes t = O? -, T, la velocidad, la aceleración, las 2 componentes normal y tangencia1 de la aceleración, la velocidad angular, y el momento angular de la partícula. 2. Demuéstrese que el momento respecto de x. de una fuerza F aplicada en x no cambia si F se desliza a lo largo de su recta de acción (la recta por x paralela a FI. 3. Un sistema de dos fuerzas F, y F, aplicadas en x 1 y x, respectivamente se llama par si F, F, = O . Demuéstreseque la suma C de los momentos de F, y F, no depende del punto respecto del cualsecalcule el momento; C se llama momento del par. Pruébese, además, que U ) C = (X1-X,)X F,. b) Lamagnitudde C es lamagnitudde F, por la distanciaentrelas rectas de acción de F, y F, .
+
4. Una fuerza central respecto a O es una que siempre se dirige hacia O o en la dirección opuesta a O. Demuéstrese que
160
3
[Cap. variable realFunciones una vectoriales de
El momentoangular respecto a O deunapartículasobre la que actúaunafuerzacentral respecto a O esunaconstante(segunda ley de Kepler del movimiento planetario). 6) La partícula se mueve en un plano que pasa por O.
a)
14. RESUMEN
En este capítulo consideramos el cálculo de funciones vectoriales de una variablereal.Estematerial comúnmente se llamacálculovectorial; el análisis vectorial es álgebra vectorial (capítulo 1) y cálculo vectorial. Vimos que el cálculo de funciones vectoriales de una variable real es análogo y puedeensu mayorpartereducirsealcálculodefuncionesrealesdeuna variable real. La derivada de una función vectorial puede obtenersetomando lasderivadasde las funcionesrealescomponentes. La integraldeuna funciónvectorial se obtiene integrando lasfuncionesrealescomponentes. Despuésdediscutir el cálculovectorialconsideramosalgunasaplicaciones a la geometría y a la física. La aplicación del cálculo vectorial a la geometría se llamageometríadiferencial. En estecapítulopresentamos algunos hechos elementales de la geometría diferencial de curvas. Otrosproblemas geométricos y físicosexigen el estudiodefunciones realesdevariablevectorial:funcionescon dominio en R, y rangoen R. Estas funciones se estudiarán en el próximo capítulo.
Problemas de repaso 1. Dibújese la curva descrita por f(t) b) f ( t ) a)
f cuando
t , COS 2 t ) , Y, = [O, 4x1 (cos t , cos t , cos 2 r ) , gf = [O, 4x1.
= (COS =
2. Proporcióneseunarepresentaciónparamétricade la curvadescrita por un punto P sobre una circunferencia de radio uno cuando ésta rueda sobre el lado exterior de una circunferencia de radio 4. Dibújese la curva. Esta curva se llama epicicloide.
3. Si
%j
tiene la representaciónparamétrica
determínense todos los puntos en donde V tiene un vector tangente paralelo a uno de los planos coordenados. Dibújese.
141
Resumen
161
4. Demuéstresequelahipocicloidedefinidaporlasecuacionespara. métricas x = 4 cos3
e
c
3 1 4
tiene puntos cuspidales en los correspondientes a O = O, -, x, -. 2 2 R
5. Determínese la longitud de la hipocicloide en
3R
el problema 4.
6. Demuéstreseque si unapartícula se muevesiemprecon“rapidez” constante, su aceleración es siempre ortogonal a su velocidad.
7. ¿Cuándo es cierto que la aceleración y la velocidad de una partícula
son paralelas?
8. Encuéntrese latrayectoria x = f ( t ) deunapartícula dadoque f(0) = (O, O, I 600), f’(t) = (500, 1 000, - 3 2 t ) . ¿Qué distancia recorre la partículacomenzandoen el instante f = O antes de tocar al plano X Y ? Proporciónense fórmulas para las componentes normal y tangencia1 de la aceleración. ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria cuando t = 5 ?
9. Una partícula se mueve en el plano a lo largo de la espiral r = e’ con una rapidez constante de 5 pies por segundo. a) ¿Cuáles
son lavelocidad
y laaceleracióndelapartículacuando
0 = -? 4 IC
b) ¿Cuántotarda la partículaen ir desde el puntocorrespondiente a 0 = O hasta el punto correspondiente a 0 = n ? c) Si B = O cuando t = O, proporciónense ecuaciones paramétricas para la trayectoria de la partícula. 10. Encuéntrense la tangente unitaria T, la normal principal unitaria N, la curvatura K y la longitud L de las curvas descritas por a) x = acoscp+acp sencp cpE[O, 2x1, a > o y = a sencp-acp coscp b) f(0) = (5 cos 0 - cos 58, 5 sen O - sen 5 O).
Funciones reales de un uector I. INTRODUCCI~N
En este capítulo discutiremos sobre las funciones con dominio en R" y rango en R. Una funciónes una correspondencia de un conjunto de vectores en un conjunto de números reales. Estas funciones también suelen llamarse funciones reales de n variables reales. Los casos donde n es 2 o 3 son los que ocurren con mayor frecuenciaenlasaplicacioneselementales y son, por consiguiente, los de más interés para nosotros. Sin embargo, como los conceptos fundamentales asociados con funciones de un vector y las propiedades de estas funciones no dependen realmente de la dimensión del espacio(número delasvariables), podemos sin añadir dificultadalguna, estudiar el caso general. Un ejemplo de función real de un vector es la temperatura en un cuarto. 163
164
reales Funciones vector de un
[Cap. 4
Siestablecemospara el cuarto un sistemade coordenadas,definimos la función temperatura T como sigue: en cualquier punto P = ( x , y , z ) de lahabitación, T(P) es la temperatura enestepunto. El dominiodeesta funciónes el conjuntode los puntos en lahabitación y el rango es un conjunto de números reales: las temperaturasen los puntos de la habitación. Análogamente, si tenemosencuenta ladependenciadelatemperatura respecto al tiempo, tenemos un ejemplo de una función de cuatro variables reales: T ( x , y , z , t ) esla temperatura en el punto P = ( x , y , z ) en el instante t . Después de introducir los conceptos de límite, continuidad y derivada parafuncionesde unvector,presentamos el cálculodiferencialdetales funciones. En numerosas ocasiones, queremos establecer ciertas restricciones sobre el dominiodeunafunción deunvector.Introducimosahora terminología para algunos tipos de conjuntos en R" que tendremos ocasión de usar. Sea d un conjunto cualquiera en R".El complemento de 8, representado por %€, es el conjunto de puntos de R" que no son de b. Para cualquier punto x en R" definimos las siguientes relaciones entre x y 6: I
x es un punto interior de & si existe alguna vecindad de x que esté contenida en &; x es un punto frontera de & si toda vecindad de x contiene al menos un punto de d y al menos un punto de %&; x es un punto exterior de & si hay alguna vecindad de x que está contenida en %d.
El conjuntodetodos los puntosinterioresde € se llama interior de 8 , y se representapor bi ; el conjuntodepuntosfronterade 6 se llama frontera de 8, y se representa por 6,;y el conjunto de todos los puntos exteriores de 6 se llama exterior de € y se representa por 8,.
Lassiguientesobservaciones se deducenenforma evidentedeestas definiciones. El interior de d está contenido en & y el exterior de 6 está contenido en 96. En realidad, el exteriorde d es el interiorde %&. Un punto frontera de& puede estar en & o en %&. Si llamamos a dos conjuntos ajenos cuando tienenunaintersecciónvacía,entonces b i , 8, y b, son ajenos dos a dos. Además, R" = 6 ¡u 6, u &,. Así pues, para cualquier conjunto 6 y cualquierpunto x en R" una y sólounade lassiguientes proposiciones se verifica: x€€¡, x&,, X€&,. Supongamos que € = { ( x , y ) I y < x}. Este es el conjunto de puntos en R2 que se encuentran debajo de la recta y = x (figura 1). Si x = (x, y ) estáen 6 , entonces x - y > O y vemos que lavecindad Y"(; r ) , donde 1 r = - ( x - y ) , se encuentra en 8. Así pues, x es un punto interior de d.
J2
Análogamente,podemosdemostrarque
si x = ( x , y) es un punto por
165
FIGURA 1
encima de la rectay = x (es decir, si y > x), entonces x es un punto exterior de &. Si x se encuentra en la recta y = x, entonces cualquier vecindad de x contendrá puntos de & y puntos de %?&y, por tanto, x es un punto frontera de d. Así pues, el interior de & es d,el conjunto de puntos debajo de la recta y = x; la frontera de & es la recta y = x ; y el exterior de d esel conjunto de puntos por encima de la recta y = x. Si & es un conjunto tal que todos los puntos de d son puntos interiores de d,entonces se dice que & es abierto; es decir, d es abierto si d = di. Como todo punto de d esun punto interior o un punto frontera de I, podemos también describir un conjunto abierto como uno que no contiene ningunodesuspuntosfrontera. El conjunto d = {(x,y) I y < x} que acabamosdeestudiar es un ejemplodeunconjuntoabiertode RZ. Un conjunto d sedice que es cerrado si su complemento V I es abierto; es decir, & es cerrado si %?CY = C Y , o d = B iu & b . Así pues, un conjunto es cerrado si y sólo si contienetodossuspuntosfrontera. Si unconjunto contiene alguno o algunos de sus puntos frontera, pero no todos, entonces no es ni cerrado ni abierto.
1.1 Ejemplo. Demuéstresequeunavecindad abierto.
Y ( a ; r ) esun
conjunto
SOLUCI~N. Si x E Y ( a ; r ) , entonces Ix- al < r . Sea ] x - al = s. Podemos ver que la vecindad 9 ( x ; r -S) de x está contenida en Y ( a ; r ) como sigue. Si y ~ 9 ( x r; - S ) entonces \y-al
< Jy-xJ+Jx-al
<
r-s+s
=
r
y, por tanto, y E Y ( a ; r ) . Lo que muestra que Y ( a ; r ) es abierto. Probamos ahora un par de sencillos resultados sobre conjuntos abiertos.
166
Funciones reales de un vector
[Cap. 4
1.2 Teorema. Si d y 9 sonconjuntosabiertosen abierto.
R", entonces d n 9 es
PRUEBA. Si B n F es vacío, entonces es abierto (problema 3). Supongamos que B n 9 no es vacío. Tomemos x & n F.Como W y 9 son abiertos, existen vecindades Y ( x ; r ) y Y ( x ; S ) tales que Y ( x ;r ) c & y Y(x; S) c 9. Luego, si r = mín { r , S } , Y ( x ; t ) c 6" n F. Lo que muestra que 6" n 9 es abierto.
1.3 Teorema. Para todo conjunto & en R", bi es abierto.
PRUEBA. Si es vacío,entonces es abierto.Supongamos A , no vacío. Si x&'",, entonces hay una vecindad Y ( x ; r ) de x que está contenida en 6. Como Y ( x ; r ) es abierto, todo punto y en Y(x; r ) es un punto interior de Y ( x ; r ) y, por ello, un punto interior de B. Esto nos muestra que Y ( x ;r ) está contenida en 8 , y por tanto que 8 , es abierto. Como 6 , es el interiorde gab, 8, es abierto. Luego, el complemento de Bees un cerrado. El complemento de de,que es igual a &, u b b se llama cerradura de € y se representa por 2. Recuérdese que ya hemos demostrado que un conjunto 8 es cerrado si y sólo si 8 = 6 , u b b = d. Problemas 1. Determínese el interior, la frontera y el exterior de cada uno de los siguientes conjuntos. Dígase si sonabiertos,cerrados, o ni abiertos ni cerrados.
{ ( & y ) ¡x-al < r, ly-61 b ) ( ( x , y ) 4x2+9y2 < 36) 4 { ( x ,Y , 2) 2 < X + Y ) a)
f) { ( x , y , z ) I ¡ x - a i d r, ly-61
< r},r > O C)
I
{ ( x , ~ )4x2-9g2
e) { ( x ,y , z)
1
.x2
d 36)
+ y 2 + z 2 < 4)
< r, Iz-CI < r } , r > O.
2. Demuéstresequelosintervalos
( - m , m ) son conjuntos abiertos en R .
( a ,b ) ,
{a, m),
(-
00,
b), y
3 . Demuéstreseque el conjunto vacío @ y R" son abiertos y cerrados en R". 4. Pruébeseque la intersecciónde abiertos es u n conjunto abierto.
un número finitode
conjuntos
S. Si { g d1 a ~ g P }esunafamiliadeconjuntos en R", launióndela familia,representadapor Q,, es el conjuntode los puntos x de R"
u
a e S
paraalgún a € $ . Pruébesequelaunióndeunafamilia talesque x&, de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. 6. Si (8, I a € % ) es una familia de
conjuntos en R", laintersecciónde
21
Funciones reales vector: de un
la familia, representada por
167
gráficas
,nB d,, es el conjunto de puntos
RE
x de R" tales
que X € € , para todo a€$. Muéstreseque la interseccióndeunafamilia de conjuntos abiertos no es necesariamente abierta. 7. Usando la terminología introducida en los problemas 5 y 6 muéFtrese que a) v 8, = gd, y v Q, = w,.
u
a € g
n
a € y
n
us%
u
R E 9
6) la intersección de una familia de
conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. c) la unión de una familia finita de conjuntos cerrados es cerrada.
8. Si d es un conjunto cualquiera en R" demuéstrese que 6,es cerrado. 9. Si & es un conjunto cualquiera en R" demuéstrese que a) W i esel mayor conjunto abielto contenido en d.
b)
d es el
menor conjunto cerrado que contiene a
8.
2. FUNCIONESREALES DE UN VECTOR: GRÁFICAS Una función real f de un vector es una correspondencia deun conjunto sd de vectores a un conjunto W de números realestalquepara cada aesd existe un y sólo un elemento f(a)EB que denominamos su correspondiente. Así pues, una tal función puede considerarse como una transformación del conjunto a2 en R" sobre un conjunto de números reales. Sugiere esto una terminología conveniente para estas funciones: funciones de R" en R. Por ejemplo, la función f con dominio R2 y regla de correspondencia f(x) = 1x1,donde x € R 2 , transforma el espacio R2 sobre el intervalo [O, a ) ; cada punto de R2 se transforma en el número real que es la distancia del punto al origen. Puede darse una imagen geométrica de l a función distinguiendo los puntos que se transforman sobre el mismo número. Queremos, pues, determinar cuál es el conjunto de los puntos que se transforman sobre el número c, donde c O. Este es el conjunto {x 1x1 = c ) . Si c = O, el conjunto se compone del punto Único O ; si c > O, el conjunto es una circunferenciacon centro en O y radio c. Marcando como c al conjunto {x f(x) = e}, obtenemos ladeseadaimagengeométricade la función (figura 2). En general, una funciónf de R2 a R puede representarse geométricamente localizando los conjuntosdepuntosdonde lafuncióntiene el mismo valor y marcándoloscontal valor. Estos conjuntos sellaman curvas de nivel delafunción.Lacurvade nivel correspondientea un número c es el conjunto {(x,y ) f ( x , y ) = c>.
1
1
I
168
reales Funciones un
de [Cap. vector
4
Los mapas de contornos o topográficos son ejemplos de este medio de representar una función. Las desigualdades del terreno se muestran en el mapa trazando las curvas de nivel “todos los puntos que están a la misma altura. En los mapas meteorológicos se dibujan las curvas de igual presión barométrica. Estas curvas se llaman isobaras. Y en física, la relación entre la presión y el volumen de un gas ideal ( T = pv) con !a temperatura mantenida constante está representada geométricamente por tal mapa. En este caso las curvas de nivel se llaman curvas isotermas.
FIGURA 2
Si j e s una función de R2 en R, la gráfica d e f es el conjunto de puntos
I
((x, y , z) z = f(x,y ) , (x, y)egf). Este conjunto es una superficie en R3,
y un dibujoen perspectiva de lagráfica es otro mediodeobteneruna representación geométrica de una función de R2 en R. Consideremos de nuevo la función f con dominio R2 y regla de correspondencia j ( x ) = 1x1 o f(x,y ) Al dibujar la gráfica defusamos la información ganada en la anterior discusión sobre las curvas de nivel
=Jm.
X’ FIGURA 3
21
reales Funciones vector: de un
grhficas
169
N o hay puntosde lagráficabajo el plano X Y , ya que O. En el plano X Y (z = O) el ímico punto de la gráfica es el O. El conjunto de puntos en la gráfica de ,f que se encuentran en el plano z = c > O, es una circunferencia de radio c. En general, las curvas de nivel de la función son las curvas de intersección de la gráfica con los planos paralelos al plano X Y . Análogamente, ayuda al dibujo de la gráfica localizar la intersección de la gráfica con los planos X Z y Y Z . La intersección de la superficie de la ecuación z = con el plano X Z ( y = O) viene dadaporla ecuación z = = 1x1 y laintersección con el plano YZ (x = O) viene dada por z = d y = ( y ( . La gráficaaparece dibujada en lafigura 3. Es unconogenerado porla rotaciónalrededor del eje Z del rayo z = x, x 2 O, en el plano X Z . deestafunción.
z =
4-
3
3
Jm
2.1 Ejemplo. Proporciónese una representación geométrica de la función de dominio R2 y regla de correspondencia f(x, y ) = x’ + 2xy.
f
SOLUCI~N. Lacurvade nivel sobre laquelafuncióntiene el valor c es el conjunto {(x, y ) x2+2xy = c}. Si c = O, entonceslacurva de nivel consiste en las rectas x = O y y = -+x. Si c # O, la curva de nivel es la
1
c
x
hipérbola y = - - - (figura 4a). Esta hipérbola tiene asintotas x =O y 2x 2 y = -+x. La gráfica de .f es el conjunto {(x, y , z) z = x2+ 2xy). La intersección deesta superficie con el plano y = MX está dada por z = (1 + 2 m ) x 2 ; esta es una parábola si m # -3. Un dibujo de la gráfica de f se da en la figura 4b.
I
FIGURA 4
170
Funciones reales de un vector
[Cap. 4
Consideremos ahora la gráfica deunafunción f’ de R3 en R. Es ésta el conjunto {(x,y , z,u,) u) = f ( x , y , z)}, u n conjunto de R4. Aunque la gráfica es aún un concepto útil, no podemos visualizar un conjunto en u n espacio de cuatro dimensiones. Sin embargo, se obtiene una imagen gráfica deunafunción de R3 en R determinando el conjuntodepuntosque se transforman en un número especificado c ; es decir, el conjunto {(x,y , z) f’(x, y , z) = c } . A este conjuntose le llama superficie de nivel de f’. Un ejemplo físico de una función de R3 en R es la función potencial de uncampo eléctrico. En estecaso las superficies de nivel de la función se llaman superficies equipotenciales.
1
,f’
I
2.2 Ejemplo. Seaf la función con dominio R3 y regla de correspondencia ,/(x) = 1x1. Describanse las superficies de nivel de esta función.
SOLUCI~N Las .superficies de nivel de estafunciónson los conjuntos {x 1x1 = c}. Si c < O, el conjunto esvacío; si c = O, el conjunto es el punto Único O ; si c > O, el conjunto es una superficie esférica con centro O y radio c (figura 5).
1
FIGURA 5
Nota. Frecuentementedescribimosunafunciónenunciando tan solo una regla de correspondencia. Ha de entenderse entonces que el dominio de la función consiste en todos los puntos sobre los que la regla puede aplicarse con sentido.
Problemas 1. Determínenselascurvasde una de las funciones siguientes:
nivel y dibújenselasgráficasdecada
u ) ./‘(x, y ) = x + y 2
b) fix, y)
= 2x-y
c ) f ’ ( x , y) = x2+).2
d ) f.(& y )
= 2.2fy2
31
171
Operaciones sobre funciones
e) f ( x , y)
=
S> f ( x , Y )
= x3 -Y
0
2x2 -y2 hj f ( x , y )
f ( x , Y > = sen (X+Y)
=
j ) f(x, Y > =
ex?
d'i-~. c = -2, O, 2
2. Dibújenselassuperficiesdenivelcorrespondientesa para las siguientes funciones:
+
a ) f(x, y , z> = x2 y 2 - z 4 f(x, Y , z> = x 2 +Y2
1
b) f ( x , yz) , d ) f ( x ,y , Z )
= =
+
-J.' y2 3~+4y-z.
2
3. Si f * ( & ) = {x ~ ( x ) E & }demuéstrese , que
a ) f * ( & u 9) = f * ( & ) u f * ( F ) b) f * ( & n 9) = y*(&)n f * ( 9 ) .
3. OPERACIONESSOBREFUNCIONES En el estudiodefunciones realesdevariablereal, comenzamoscon ciertasfuncionesbásicas.Estudiamossuspropiedades,vimoscuángrandes clases de funciones podían formarse por combinación de las funciones básicas, y cómo podían derivarse propiedades para las funciones más complejas en base a las que sabíamos tenian las funciones básicas. Seguimos el mismo procedimiento en nuestro estudio de las funciones rea!es de un vector.Ejemplosdefuncionesbásicas entrelas funcionesrealesdeuna variablerealsonlasfuncionesconstantes y lafunciónidentidad.Aquí, las funciones correspondientes son las funciones constantes y las funciones proyección.
3.1 Definición. La función constante c es la función con R" comodominio y cuyo rango consiste en tan solo el número c.
3.2 Definición. La funcidn proyección In. ( k = 1, .. .,n) es la función con R" como dominioyconregla de correspondencia I k ( x ) = xk, donde xk es el componente k-ésimo de x. Así pues, la función constante c transforma el espacio total R" sobre el número, Único, c. Lafuncióndeproyección Ik transformacadapunto de R" sobre su proyección ortogonal soble el eje X , ; es decir, I , (x, y , z ) = x, [ 2 ( X , Y , z> = Y , e [ 3 ( X , Y , z ) = z. Para las funciones de R" en R definimos las mismas operaciones que las que definimos parafuncionesde R en R : adición,sustracción,multiplicación, división y composición.
Funciones reales de un vector
172
[Cap. 4
3.3 Definición. Si f y g son funciones de R” en R con dominios respectivos gf y gg,entonces f +g, f -g, f g , y f / g se definen como sigue: Bf+g
=
9f n 9g>
C f +s1( x ) = .l’(x)+s(x)
9 f - y
=
9f n gg>
Cf-sl(x)
9fg= 9f n 9
[./SI
9>
=
f(x)-s(x)
(x) = A x >9 ( x )
Es fácil ver porlasanterioresdefinicionesquelaadición y lamultiplicación de funciones de R” en R son operaciones asociativa y conmutativa; también se verifica la ley distributiva: f+(g+h)
( f + g ) + hf ( g h )
=
f + s = gf +g f
f(g+h)
= =
=
(fdh
sf
fg+fh.
3.4 Definición. Si f es una función de R” en R y g es una,función de R en R, entonces la composición de g con f , que representamos por g s f , se define como sigue 9 9 f = {x XGBf .f(X)EqJ> [9 o f 1 ( x ) = g ( f ( x > > .
I
9
Todas las funciones dadas en la sección previa pueden expresarse como combinacionesdefuncionesde R en R y lasfuncionesbásicasdefinidas en 3.1 y 3.2. Por ejemplo,
l l 2+21,1,
si
f ( x , y ) = x2+ 2 x y ,
f
si
x , / ( x , y ) = -,
f = - 1,
f ( x , y ) = exy,
f
=
f
= I ~ - I ~ ’ ~ ~ ( I ~ ~ + I ~ ~
=
11 + I 2
X+Y
si
-
I
si f ( x , y , z ) = z - J x z + y 2 ,
exPo(IlI2)
Una .función polinomial de R” en R es una función que puede obtenerse delasfuncionesconstantes y proyección efectuando lasoperacionesde adición,sustracción y multiplicación un número finitode veces. Por ejemplo, p = 3z,2z2z3-4z*41j2+ 10I32 es una función polinomial de R3 en R. La regla de correspondencia para esta función es p ( x , y , z ) = 3x2yz-4x4z2+
Y
1022
31
173
Operaciones sobre funciones
Una función racional r de R” en R es un cociente de polinomiales, es decir, r = p / q donde p y q son polinomiales de R” en R. Por ejemplo,
R’ en R. Laregla
es unafunciónracionalde esta función es
de correspondenciapara
Y Problemas 1. Proporciónese el dominio y regla de correspondencia para cada una de las siguientes funciones de R3 en R. a)
f = I , z,’+I,
b ) f = 21,1,+1,~
c) f’=- III2I3 ‘1
d ) f = - ” 1,’+313 . I, - 1 2
+I3
2. Si f = 21,+1, y g =
en el punto (2, 1).
1, 12 determínense I,’ I,Z ’ ~
+
3. Si f = I l l z y g = In, determínese g
of
f
+g,
f -9, f g , Y
flg
en (2, 1).
4. Proporciónese el dominio y regla de correspondencia de cada una de estas funciones de R3 en R.
f = z1I2 c) f = exp
a)
0
O
(I3+ c o s (II1’1,).
5. Proporciónese
0
1,Z2)
6)
f = In (21, +I3) 0
f como una combinación de funciones cuando
a ) f k Y ) = X Y 2 +Y 6) f ( x , y ) = sen (x’ +Y’). 6. Si f es una función de pruébese que: a)
h “(9 o f ) = (h 0s)of
c) (gh) “ f = (9 o f ) (h of).
R” en R y g y h son funciones de R en R, b) (g+h) 0 f = g
of+h
of
4. LÍMITES
En esta sección discutiremos el concepto de límite de una función real de un vector. Por nuestra experiencia anterior con límites, esperamos que el “límite de . f e n a es 6” (lo que escribiremos: lím f = b o lírn f(x) = 6) a
x-a
significará que f(x)está próximo a b cuando x está próximo a a. Definimos, pues, el límitede f’ solamente en puntos de acumulación de su dominio. El punto a es un punto de acumulación de g f si toda vecindad reducida de a, Y’(a; S), contiene un punto de g f . Damos ahora una definición analítica de lírn f’ = b, suponiendo que a es a
un punto de acumulación de gJ.
FIGURA 6
4.1 Definición. El número b se dice que es el limite de la función f en a E > O, hay un número 6 > O, tal que
s i para cada número
i.f(x)-bi
siempre que ~
<
E
€y O9< ¡x~ a/ < 6.
Geométricamente la definición nos dice que lírn f = b si para cualquier a
vecindad dada Y ( b ; E ) de 6 existeunavecindad Y ( a ; 6) de a talque x en Y ’ ( a ; 6) y x en Qfimplica que f(x)está en Y ( 6 ; E ) ; es decir, si f transforma gJ n Y ’ ( a ;6) en Y(b; E ) = ( b - E , b + ~ )(figura 6). Damosahora un ejemplopara ilustrar el conceptodelímitedeuna función real de un vector. 4.2 Ejemplo. Si f esla
trese
lím
(x,Y)-(3
- 1)
funcióndefinida
f(x,y ) si es que existe.
por
f(x, y )
= x2+2xy,
encuén-
S O L U C I ~(Figura N. 4, pág. 169.) Si (x, y ) está próximo a ( 3 , - I ) , entonces f ( x , y ) está próximo a 3. Esperamos, pues, que el límite de f e n (3, - 1) sea 3. Para verificarlo, para cada E > O debemos encontrar una 6 > O tal que lx2+2xy-3/
siempre que O < I(x, y ) - ( 3 , - l)i < 6.
<
E
41
175
Límites
Enlafigura 7, laregión sombreada se transforma en (3 -E, 3 +E). Nuestropropósito es encontrar una 6 > O talque Y'((3, - 1); S ) se encuentre en la región sombreada. No intentamos determinar la mayor de tales 6 sinoquenoscontentamosconencontrarde un modo sencillo una 6 adecuada.
FIGURA 7
Expresamos /x2+2xy- 31 entérminosde [ x - 31 y ly+ 1 1 . Como Ix-31 < I(x,y)-(3, -1)I y / y + 11 < I(x,y)-(3, - I ) [ , lamagnitudde estos terminos puede controlarse con la elección de 6. I x 2 + 2 ~ ~ - 3= 1 I(~-3)~+2(~-3)(y+l)+4(~-3)+6(y+l)l < I ~ - 3 1 ~ + 2 1 ~ - 3ly+11+41~-31+61y+ll. 1 Para simplificar esta expresión podemos restringir la elección de S de modo que 6 < 1 . Entonces, si I(x,y)-(3, - 1 ) l < 6 < 1, Ix-31 < 1 y Ix2+2x~-31 < I~-31+21~~+11+41~-31+61y+11 < 136.
Por tanto, si escogemos 6
=
mín { I , 8/13) Ix2+2xy-31 <
E
siempre que O < /(x,y)-(3, - 1)1 < 6. Lo que prueba que 3 es el límite de f e n (3, - 1). Dimos el ejemplo 4.2 simplemente para ilustrar la definición de límite. Esfácildeterminarestelímiteuna vez que se ha dado un tratamiento sistemático de los límites. Es lo que vamos a hacer ahora. Comenzamos por determinar los límites de algunas funciones básicas. 4.3 Ejemplo. Si c es una función constante de cualquiera en R", demuéstrese que lím c = c.
R" en R y a es un punto
a
S O L U C I ~Tómese N.
E
> O. Queremos demostrar que existeuna
6 > O tal
176
4
[Cap. vector Funciones un reales de
que Jc-cI < E siempre que O < / x- al < 6. Es claro que podemos tomar como 6 un número positivo cualquiera. 4.4 Ejemplo. Si Ik es una función proyección de R" en R y a es un punto cualquiera en R", demuéstrese que lím Zk = a k . a
S O L U C I ~ NTómese . E > O. Deseamos demostrar que hay una 6 > O tal que IZ,(x) -a,[ = Ix,-a,l < E siempre que O < / x - al < 6. Sea 6 = E. Entonces, como Ixk-akJ < Ix-al, O < /x- al < 6 implica
Ixk-u,l <
E.
Damosahoraalgunosteoremassobre límitesdecombinacionesde funciones bajo las operaciones definidas en la sección anterior. 4.5 Teorema. Si f y g son funciones de R" en R tales que lírn f y lírn g
existen y si a es un punto de acumulación de gf n gg,entonces lírn ( f + g) = lím f a
a
lím (J-y) a
=
a
a
+ lírn g a
lírn f - l í m y a
a
lím ( f g ) = (lím f )(lím g) a
a
a
lírn ( f i g ) = (lím f)/(lím y ) , a
a
a
( s i lírn g #
O).
a
Omitimos la prueba de este teorema, ya que es la misma que la del teorema correspondiente para funciones de R en R (problema 4).
PRUEBA.Aunque la prueba de este teorema es la misma que la prueba del teorema correspondiente para funciones de R en R, la damos aquí denuevo. Tomemos E > O. Como g es continua en b , existe un número q > O tal que Ig(y)-g(b)l <
Como lírn f que ~
a
=
E
siempreque ~ €y ly-bl 9 ~<
b, existe un número 6 > O tal que lf(x)
€y O9< Ix-al ~ < 6.
-
v. bl < q siempre
41
177
Límites
Esto prueba que lírn (g
=
of)
a
g(b).
FIGURA 8
Podemosdeterminarloslímitesdelasfuncionespolinomialesusando ejemplos 4.3 y 4.4 y el teorema 4.5. Por ejemplo, si f = I,' +21, z2 (ejemplo 4.2), entonces 10s
lim
lírn I , 2 + lím (21,1,>
=
( 3 , - 1)
(3, -1)
= ( =
¡3,-1)
lím I,) ( lírn I]) + ( lím 2 ) ( lírn I ] ) ( lírn I,)
( 3 - 1 ) ( 3(,3-(,13-¡),13-),1-)1 )
(3) (3)+(2) (3) (-1)
=
3,
Usando losejemplos 4 . 3 y 4.4 y el teorema 4.5 podemos,ciertamente, determinar el límite de cualquier función racional con tal de que el límite del denominador no sea cero. De acuerdo con el teorema 4.6, también a nuestra disposición, podemos manejar la mayoría de las funciones en que estamos interesados. Por ejemplo, lim
(x,Y)-(2,3)
yaque la funciónexponencial
ex" = e6
es continuaen 6 y
lím
(x,y)+(2.3)
xy = 6.
Consideraremos ahora algunos ejemplos en que tenemos qué determinar el límite de una función racional, donde no podemos aplicar el teorema 4.5 por ser cero el límite del denominador. Consideremos el límite en (O, O) de la función f definida por f(x, y ) =
1
m.Como x +Y
1m
4.
lírn
(x2 + y 2 ) = O, nopodemosaplicar
(x,Y)-(o,o)
teorema 4.5. La curva de nivel de fcorrespondiente al valor ((x, y )
1
=
si c < o,
este conjunto es vacío.
si
el
c
es el conjunto
c
> o, la curva
1 de nivel es la circunferencia de ecuaciónx2+ y 2 = - (figura 9). Del diagrama C
178
vector
un
[Cap. 4
FlJnCiOneS de reales
de lascurvasde nivel se deduceque si (x,y ) estápróximoalorigen, entonces f ( x , y ) es grande.Parecería,pues,que lím f no existe y, en realidad, íím f
( O , O)
co.
=
(0.0)
IY
FIGURA 9
4.7 Definición. La ,función f se dice que tiene limite infinito en a, lo que se escribe lím f = co o lim f(x) = 03, si a esunpunto deacumulación x-a
a
de gf y para cada número M > O hay un número 6 > O tal que
f(x) siempre que x€gfy Nota. Si lírn f a
= co
'M
O < jx-al
< 6.
seguiremos diciendo que no existe límite de f ' e n a
ya que m no es un número real.
Si definimosunavecindaddeinfinito como unintervalodela forma ( M , m ) , entonces las definiciones 4.1 y 4.7 puedenconsiderarsecasos especiales de la siguiente definición: lím f a
=
p (donde p es un número real o m) si para toda
vecindad N ( p )
de p existe una uecindad reducida &"'(a) de a tal que
f ( J ' ( a ) n 9f) = J(P). Si una vecindad de - oc) se define como un intervalo ( - m, M ) , entonces, haciendo p = - GO en la anterior definición obtenemos una de lírn f = - CO. 4.8 Ejemplo. Muéstrese que
lím (x,y)-(O,O)
1 x +y
a
= co .
41
179
Límites
S O L U C I ~ NTomemos . un M > O. Deseamos encontrar un número S > O 1 1 tal que > M siempre que O < ixI = J x 2 + y 2 < S. Sea S = -. X2+ y 2 L/ M Consideraremos ahora el límiteen (O, O) de la función ,f definidapor ~
X
f(x3 Y ) = 2 . De nuevo no podemos aplicar el teorema 4.5 porque el x 2+ y límite del denominador es cero. En estecaso el límite del numerador es también cero y no es claro cuál será el valor defcerca del origen. La curva
de nivel de ,/' correspondientea Si c
=
curvade
c es el conjunto
O, la curva de nivel es el eje Y con el origen omitido. Si c # O, la 2
nivel es la circunferencia
1
nivel se deduce omitido (figura IO). De la consideracióndelascurvasde que f' tomatodos los valoresreales enpuntosarbitrariamentecercanos al origen. Parecería pues que lím ,f no existe. Podemos demostrar que tal (0.0)
es el casoextendiendolanocióndelímitesderechoseizquierdosdelas funciones de una variable real.
IY
FIGURA 10
Sij'es una función de R" en R y 8 es u n conjunto en R", sea,f8 la función con dominio d n 9,y regla de correspondencia
f;F(x) = f(x)
para
x&
nPf.
Entonces decimos que el límite de la restricción de escribimos l í r n j' = b (sobre d) o a
a
6 en a es 6, lo que
lírn J(x) = b ( X E B'I2 f ) ,
x-a
si lím& a
,f
=
b.
180 vector
un
de
reales Funciones
[Cap. 4
De esta definición resulta claro que si lím .f = b, entonces para cualquier a
conjunto 6 tal que a sea un punto de acumulación de 8 n lím ,/
=
b
L2f
(sobre 8 ' ) .
S
Así pues, si hay alguna restricción def'que no tiene límite en a o hay dos restricciones de f que tienen en a límites distintos, ello indica que no existe
el límite de
,f'
en a.
I
Si ,/' = A , pruébese que no existe l í m J ' . O I , 2+1,
4.9 Ejemplo.
S o ~ u c r ó ~Si. hacemos 6 nivel de f- entonces lím (.x.y~-(o,o)
=
S
x2 + y 2
~
I
{(x. y ) (,Y-h)' + y 2 = h 2 } " u n a
1
X
lim
curvade
- = - (sobre & ) .
Ix,y)+(o.o)
2hx 2h
Como los límites de f ' enel origen cuando lo restringimosadiferentes circunferencias que pasan por el origen son distintos, de acuerdo a lo que hemos visto, lím f' no existe. O
Ji:kL F7y-l-rF 2
I
1
t
;i,
0
0
,
4
,
! X
2
3
- 2"
-3
-2
-1 1 -3"
1 1
FIGURA 11
Como último ejemplo, consideremos el límite en el origen de la función
41
181
Límites
como límiteen
f son los conjuntos
el origen.Lascurvasdenivelde
nivel consiste en los ejes X y Y sin el origen. Si c > O, la curva de nivel tiene la ecuación (x2-c) ( y 2 - c) = c2 (figura 11). Del diagrama de curvas de nivel parece resultar que lím f = O. O
4.10 Ejemplo. Si f’ =
SOLUCI~N Tómese .
E
i, 21,
demuéstrese que lím f = O. O Il2+lZ2’ ~
> O. Si x # O, entonces
Si x = O, entonces
demuestra que lím J’ = O. O
Otro tipo delímitequealgunas veces se presentaen la consideración defuncionesrealesde u n vector es el delímite iterado,talcomo, por ejemplo, lírn lím f ( x , y ) . Estelímite iterado tiene el significadosiguiente: x-x0
v+yo
Para cada x fijo en una vecindad reducida 9”(x,; r ) de x o , tómese el límite de la función y en yo donde g ( y ) = ,#(x,y ) . Si este límite existe para cada x en ,4p‘(xo; r ) , entonces la función h, definidapor h(x) = lím f ( x , y ) , Y‘YO
existe en Y ’ ( x , ; r ) . El límite de h en xo, si este límite existe, eslírn límf(x, y ) . x-x0
Y-YO
4.11 Ejemplo. Encuéntreselím lím (x2y+ 2xy’). x-3
y-2
S O L U C I ~ lím N . lím (x2y+2xy2) = lírn (2x2+8x) = 42. 1-3
Nótese que
y-2
x-3
(x2y+2xy2) = 42 también. El siguiente teorema
lírn
(.r,Y)-l3.2)
establece una relación entre
lím lím f ( x , y ) y x-x0
4.12 Teorema. S i
lírn
Y-YO
f(x, y).
lírn (X,Y)’(XO
,YO)
f ( x , y ) existe, y si, para cada x en una
(X.Y)-(XO.)’Ol
recindad reducida de x,, lím f ( x , y ) existe, entonces Y +YO
lím lim J(x, y ) x-x0
Y-YO
=
lím (x.Y)-(xo.Yo)
f(x,
y).
182 vector
un
de
PRUEBA.Sea
[Cap. 4
reales Funciones
lírn f ( x , y )
, f ( x ,y ) = b y
lírn (x.Y)-(xo.Yo)
=
h(x). La función
/I
Y-YO
está definidapara todo X en unavecindadreducida A”(x,) de xo. Tomemos E > O. Deseamos demostrar que existe una 6 > O tal que Ih(x)-bl <
siempreque
E
< 6. Como
.xcAJlr’(x0)y
f ( x ,y) = b, existe
lírn
~ x ” x 0 ~
:-~,Y)‘(xo,Yo)
una S > O tal q u e
I .f(.x,
y ) -61 < c/2
siempre que (x,y ) € 9’((xo, y o ) ; 6) n g f .Ccmo lírn
f(x,
y ) = h(x), para
Y-YO
~ ) que / x - x o / < 6, eAiste un número y (figura 12) cualquier . u ~ . . I / ” ( xtal tal que (x, y ) ~ . Y ’ ( ( xy~o ), ; d ) n %’J. y
I .f(xY )-
Por tanto, para
lh(x)-b Así pues, l í r n
< /h(X~”(X,y)l+If(x,y)-bl
lírn f ( x , y )
x-x0
x o I < 6 (y para una y adecuada)
/x-
X E . A ~ ’ ( X ~y)
(x11 < c12 ’
lírn
b =
=
< E/2+E/2
= E.
f ( x , y).
(x.Y)-(xo,Y,)
Y-YO
FIGURA 12
El teorema 4.12 implica que: si cada x en una vecindad reducida de en una vecindad reducida de
y,,
lírn
f ( x , y ) existe y si, para
(X,Y)’(XO.YU)
X,,
lírn ,f(x,y ) existe y si, para cada y
Y-YO
lírn f ( x , y ) existe, entonces x-x0
lírn X-IO
l í m ,/‘(x, y ) y-y”
Este resultadopuede Por ejemplo,
si f ( x , y )
una vecindad reducida de
,f(x, y ) = lírn lírn ,/‘(x,y ) .
lírn
= (X
Y)-lxo,Yo)
Y-YO
ser útil parademostrarque x
+y2
= -(ejemplo
x2
O,
un límitenoexiste.
4.9), entoncesparacada I
l í r n f ( x , y ) = -. Y +o
x-xn
X
x en
Entonces, si existe
Limites
41
183
I f ( x , y ) , también existe lím lím f ( x , y ) . Sin embargo, lírn - no
lím
ix,Y)-io,o)
existe y, portanto,
x-o
x+o
y-o
f ( x , y ) no existe.
lím
(X,Y)+(O,O)
x
Problemas 1. Úsese la definición de límite para verificar que Iim
a)
b)
=5
(x+y’)
(x,Y)-(1,2)
lírn
(x,y)-r(-3,2)
(xy+3y)
=
O.
2. Pruébese que si lírn f existe, entonces es Único. Es decir, si
lírn f a
=
L , y lím f a
a
L, , entonces L ,
=
=
L, .
3. Determínense los siguientes límites: a)
lím
xy
x f y f z
( x , . v 3 z ) + ( 3 , - 1 1) I
4. Si lím f = L , y lím g a
a
a)
lím
b)
(X,Y)-r(2.1)
lím(f’+g)
=
a
L,
=
L2,pruébese que
+ L,
b ) íím ( c , f ) = cL, a
c) lírn ( . f ” g )
=
a
L, -L,
d ) lím f ’
=
L2 (Sugerencia :f 2
e) lím fg
=
L , L , (Sugerencia: J g = $ [ ( f + g 1 2 - ( j ’ - g ) 2 ] . )
a
a
f ) líma
1
ag
1
+ 0)
= - (L,
L2
g ) Jim - = -L( L2 # O ) . a
9
L2
i
=
I
2~ f
1
, úsese el teorema 4.6.)
Sugerencicl: - = 1 - 1 o g , 9
ses se el t e o r e a 4 . 6 . )
184
4
Funciones un reales de [Cap. vector
lírn f'= L. Demuéstresecon
5. Si lírn J' = L demuéstreseque a
a
ejemplo que lo recíproco no es cierto. 6. Demuéstrese que lírn d
I J'i
=
O implica que lírn .f'
=
a
7. Determínese si cadaunade en (O, O).
un
O.
las siguientesfuncionestiene
un límite
v
8. Si existe una vecindad .Y(a; r ) de a tal que
y si
lím f'
=
L
=
lim h
a
demuéstrese que lírn y existe y lírn y a
~
a
=
a
L.
9. Si lírn f(h) = L y u esunvector
unitario fijo,demuéstreseque
h-O
límf(h) = L.
h-O
10. Determínese lím lím J'(s,y ) , l i m lírn f ( x , y ) , y x-x0
cuando 3
Y-YO
a) f ( X > Y , = x +xy2, (xo, yo) =
y-YO
x-x0
(-1,3)
lírn (X.V)'(XO,YO)
f'(x, y )
51
Continuidad
x
2
185
-y 2
determínese Iím lím J(x, y ) y lím lírn f ’ ( x , y ) . 11. Si f ( s , y ) = 2, y-o x-+o x +Y %+O y - o ¿Quépuededecirsesobre lírn f ( x ,y )? Ix,y)-(o.o)
1 12. Si ,/(x, y ) = x sen -, determínense Y y lím lím f ( x , y ) si existen. ])+O
lírn (x,y)-(o.o)
/(x, y ) , lírn lírn f(x, y ) , x-o
y-o
x-o
5. CONTINUIDAD 5.1 Definición. La función f es continua en E
> O existe
una
6 > O tal que
el punto a de gf si para cada
IfW -f(a)l < E siempre que ~ €y 19 x - a(~< 6 . Enel lenguajedelasvecindadesestadefiniciónpuedeenunciarse como sigue: f es continuaen a € g f si para cada vecindad Jf de f(a) existe una vecindad A de a tal que
f ( A ’ n gf)c M . Si a pertenece a g f ,pero no está en un punto de acumulación de g f , entonces f es continua en a, pues en este caso existe una vecindad &if de a tal que dl n gf = (a}. Entonces, si .Mes una vecindad cualquiera def(a),
Si a es un puntodeacumulaciónde g f ,entoncesladefinición equivalente a la función f es continua en el punto a de gf si líln f a
=
5.1 es
f(a) .
Correspondiéndose con el teorema sobre límites 4.5, tenemos el siguiente teorema sobre continuidad. 5.2 Teorema. Si las funciones f y g soncontinuasen a, entonces f + g , f -9, y f g son continuas en a y f / g es continua en a siempre que g(a) # O.
PRUEBA.Si a no es un punto de acumulación de gJ n gg,entonces estas funciones son todas continuas en a. Si a es un punto de acumulación de
186
4
[Cap. vector Funciones un reales de
gfn S g ,entonces a es un punto de acumulación tanto de gfcomo de GBg y el teorema sigue del teorema 4.5. Por ejemplo, lírn ( f + y)
=
a
Como lírn c a
= c
lírn J’ a
y lírn 1,
+ iím y
= ak =
a
Ik(a), las funcionesconstantes
y las
funciones proyección son continuas en cualquier punto a. Así pues, según el teorema 5.2, lasfuncionespolinomialessoncontinuasentodos los puntos de R”; las funcionesracionalesson continuas en todos los puntos de R” en que el denominador es distinto decero, es decir,en todos los puntos en que las funciones están definidas.
5.3 Teorema. Si f’ es una función de R” en R que es continua en a y y es R en R que es continua en f(a), entonces y f’es continua en a.
una función de
PRUEBA. si a no es un punto de acumulación de g g o entonces f, g ,, J’ es continua en a. Si a es un punto de acumulación de 9,,,entonces, como ggar c gf,a debe ser un punto deacumulaciónde gfy lírn f = f(a). a
Luego de acuerdo con el teorema 4.6 lím ( 9 a
4
’
)
= y(/’(a)) =
cs ’/-I (a)
5.4 Ejemplo. Demuéstrese que la función f definida por Jxx, y )
es continua en todos los puntos de R2.
=
sen xy
SOLUCI~N La. función ,f’ es sen (I, f2). Como I , I, es unafunciónpolinomial, es continua en todos los puntos de R 2 ; la función seno es continua en todos los puntos de R. Luego, según el teorema 5.3, f es continua en todos los puntos de R2. Lanociónbásica en continuidad es la de continuidad en un punto. Pero también usamos la terminología: “f es continua” o “f’ es continua sobre u n conjunto Y”. Definimos ahora estos términos. 5.5 Definición. Una función es continua si es continua en cada punto de su dominio.
5.6 Definición. Una función,fes continua sobre función restringida ,fv es continua.
un conjucto Y c gfsi la
Así pues, podemos decir que la funciónf’del ejemplo 5.4 es continua, equivalentemente, que es continua en R2.
O,
51
187
Continuidad
Toda funciónracional función racional J' =
1
es continua. Obsérvese,sin
~
i,2+1,2
embargo,que
la
no es continua sobre el conjunto
Y(0; 1) = {(X,Y) I X2+Y2 < 1 1 ,
ya que Y(0; 1) no está contenida en 9f. Una funciónrealdeunavariablerealcontinuasobre un intervalo posee la propiedad del valor intermedio: si f es continua sobre [a, b] y f(a) < f ( b ) y t es un númerocualquieratalque f ( a ) < t < J'(b), entonces existe un punto C E (a, b ) tal que f ( c ) = t . Demostraremos que lasfuncionesrealesdeunvectorposeentambiénestapropiedad.Introduciremos primero algunos términos de la terminología usual. Si & c F c R", entoncesdecimosque & es abierto respecto a F si existeun conjunto abierto 9 en R" talque B = 9 n F. Así pues, & es abierto respecto a F si y sólo si para todo x d hay una vecindad Y ( x ; r ) de x tal que Y(x; r ) n 9 c 6 . Por ejemplo, en R el conjunto [O, I ) es abierto relativo a [O, 03)ya que [O, I ) = ( - I , I ) n [O, m). Un conjunto d c R" se dice que es conexo si no existen dos conjuntos no vacíos ajenos d y 9l ambos abiertos respecto a d tales que & = d u :%l. Si d es abierto, entonces d es conexo si nopuederepresentarse como la uniónde dosconjuntosajenos,no vacíos y abiertos.Porejemplo, un intervalo es un conjuntoconexo en R, un círculo y un rectánguloson conjuntos conexos en R 2 , y unavecindadesun conjunto conexo en R". Un conjunto de la forma (x 1x1 > I } no es conexo en R, pero es conexo si es un conjunto en R" para n > 1. I 5.7 Teorema. (Teorema del valorintermedio.) Sea J' unaJincidnrea
I
continua sobre un conjunto abierto y conexo 6 c R" y sea f(a) < ,f(b) para algunos a, b d . Para cada t tal que ,f(a) < t < f(b) hay un punto CE& tal que f ( c ) = t .
I
I
Sea d = {x X E y~ f(x) < t } y 8 = {x X E W y f(x) > 1). Claramente d y 9l son ajenos y no vacíos: a E d y b E @ . Sea x e d . Como f(x) < t yf'es continua en x, existe una vecindad Y ( x ) c 6 tal quef(y) < t para todo y ~ Y ( x ) Luego . d es abierto. Análogamente puede verse que .@' es también abierto. Pero d es conexo. Luego no puede ser la unión de dos conjuntosajenos,no vacíos y abiertos d y 39. Luego hay almenos un punto CE& tal que c 6 . d u 9, es decir, tal que f ( c ) = t. PRUEBA.
Problemas 1. Si es continua en a y b < f'(a) < e, demuéstresequeexisteuna vecindad Y ( a ; 6) de a tal que b < f(x) < c para todo ~ €n Y 9( a ;~S). ,f'
2. Úseseladefinición 5.1 paraverificarque continua en (O, O) y en (2, 1).
la función f'
=
+ IZ3es
188
reales Funciones vector de un
[Cap. 4
3. Determínese el conjuntodepuntosenque f es continuacuando 2 xyz 0 ) ./(x, y . z ) = __ h) /'(x, y ) = tan xy x-y
c)
/'
=
1
d ) /' = exp ( I , + I 2 ) .
f,2+21,+zzz
~
4. ¿Es continua en (O, O) la función ,f definida por
/'(O, 0) = O 5. ¿Es continua en (O, O) la funciónf'definida por
6. Supongamos que f es una función de R3 en R y que ,f es continua en el punto (x,, y,, z,). Definamos la función g de R2 en R de acuerdo con la regla g ( s ,y )
=
/(x, y. = o ) .
Demuéstrese que y es continua en el punto (x(,,y o ) .
7. Si a esun que a € & .
puntode
acumL~laciónde un conjunto d. demuéstrese
8. Demuéstreseque si 6 es abiertaentoncestodopuntode punto de acumulación de 6.
A es un
*9. Demuéstrese que un conjunto G' en R es conexo si y sólo si R es u n intervalo.' 6. FUNCIONES DIFERENCIABLES
Supongamos que J'es unafunciónrealdevariable real definidasobre un intervalo abierto f . Si l a derivada de,fexiste en el punto X E ~ entonces ,
-
, f " ( . ~= ) lím li
'
Volumen I , p i g . 434, teorema 4.5
0
/(S
+ 17) -./(x) h
61
diferenciables
1 Haciendo cp ( x ; h ) = - [ f ( x h ’ 6.1
189
Funciones
+ h) -f(x)]
-f ’ ( x )
cuando h # O, obtenemos
f ( x + h ) = J’(x>+J’’(x)h+cp(.x; h)h donde lírn q ( x ; h)
=
h-O
O.
Larelación 6.1 se verifica paratodos los valoresdistintosdecerode h tales que x + h ~ 2 . Decimos que la función f de R en R es diferenciable en el punto x si f está definida en unavecindad Y ( x ; r ) de x y si existe un número a (independiente de h) tal que para cualquier punto x + h en Y’(x; r ) f ’ ( x + h ) = f’(x)+ah+cp(.u: h)h donde lím q ( x ; h) = O . h-O
El término ah se llama diferencial de f e n x y h y se representa por df(x; h). Hemos demostrado en los anteriores renglones que si f tiene una derivada en el punto x , entoncesf es diferenciable en x con a = f ‘ ( x ) y, por tanto, d f ( x ; h) = f ’ ( x ) h . Probaremos ahora que si la función ,f de R en R es diferenciable en x, entoncesftiene una derivada en x. Como para todo x + h en una vecindad reducida de x, , f ( x + h ) = f ’ ( x ) + a h + c p ( x ; h)h donde lírn q(x; h) = O , h+O
tenemos lír n
-’
f(x+h)-f(x)
h+O
h
= u
Por tanto, f ’ ( x ) existe y es igual a a. Análogamente,unafunciónde R en R” es diferenciable en un punto si y sólo si tiene una derivada enel punto. En el caso de funciones de R” en R noexisteunaextensióndirectade la definición común de derivada. Sin embargo, como la notación de diferenciabilidad se extiende fácilmente, tomamos esta noción como básica y definimos la derivada en este contexto. 6.2 Definición. Si f es una funciónde R” en R, decimos quef es difrenciable en el punto x si ,f está definida en una recindad Y (x ; r ) de x y si existe un uector a (independiente de h) tal que para cualquier punto x + h en Y ’ ( x ;r ) 6.3
f(x+h) = f(x)+a- h+cp(x;
h). h
donde
lírn cp(x; h)
=
O.
h-O
El término a h se llama dijeremial de J’ en x y h y se denota por df(x ; h). El zlector a se llama derivada d e f e n x y se denota por Df(x).
Nótese que q ( x ; h), para u n x fijo, es una función de R” en R”. Consideraremostalesfuncionesen el próximocapítulo,peroahoradebemos
190
reales Funciones [Cap. vector de un
4
explicar qué es lo que queremos decir por lírn q ( x ; h) h-O
cp(x; h) entonces lím q ( x , h) h-O
=
= (cpl
(x; h), . . . >
=
O . Si escribimos
h)),
%(X;
O quiere decir lim qk(x; h) h-O
=
O para k
1 , . . . , n.
=
6.4 Ejemplo. Demuéstrese que la función f definida por f(x,y ) = x 2 +xy
es diferenciable en todo punto de R2. SOLUCI~ Sea . x = (x,y ) unpuntocualquiera cualquierade R2. Entonces
f(x+h)
y h = (h, , /z2)
un vector
(.~+h,)’+(x+hl) ( ~ + h , ) x 2 + 2 . y / ? , + h I 2 + ~ ~ + y +X/?2+/71h2 h,
= f ( x + h , . y+/?,) = =
= =
x2+.~y+(2x+y,x).(h,,h,)+(h,,h,).(h,,h,) f’(x)+a.h+q(x;h).h,
donde a = ( 2 x + y , x) y cp(x; h) = (h,, h,). Queda por probar que l í r n q ( x ; h) = O. Pero es claro que h-O
lírn ( h
h-O
, , h ,)
= (
Por tanto, ,f es diferenciable en de .f en x y h es
L/~’(x; h)
=
lím
h-O
17
, , lím II ,j
(O, O).
todo punto de R2. Además, la diferencial
(~.u+J,
y la derivada de f e n x es
=
h-O
h,)
=
( 2 . ~ + y ) h+xh2 ,
D~(x= ) (2x+y, X ) .
Cuando decimos de una función que es diferenciable sobre un conjunto queremos decir que la función ha de estar definida en una vecindad de cada punto del conjunto. De aquí que consideremos solamente l a diferenciabilidad sobre conjuntos abiertos. 6.5 Teorema. Si f’es dijerenciahle en x, entonces es continua en x. PRUEBA.
Como ,f es diferenciable en x,
.f’
Y (X;P ) de x . Deseamos ahora probar que lírn f ( x + h ) h-O
=
estádefinidaenuna
./‘(x).
vecindad
61
diferenciables
191
Funciones
Para cualquier punto x + h de .Y’(X; r)tenemos f(x+h)
=
f ( x ) + a - h + q ( x ; h ) - h donde lím q ( x ; h) = O. h+O
Por tanto,
lírn f (x +h) = f ( x )
h+O
y f es continua en x. El recíprocodeesteteorema no se verifica.Porejemplo, la función definida por f(x, y ) = v x + y 2 es continua en el origen,pero no es diferenciable en el (problema 2). Como enel caso de funciones reales de variable real, la suma, el producto y la composición de funciones diferenciables son diferenciables.
: z
6.6 Teorema. Si f y g son diferenciables en un punto x en R”, entonces f +g y f g son diferenciables en x y
W + g l (x; h) = df(x; h)+dg(x; h) D[f+gl(x) = Df(x)+Dg(x) 4fsl (x ; h) = f (x) (x ; h) +9 (x) d f (x ; h) D [ f g l (x) = f(x>Dg(x)+g(x)Df(x). PRUEBA.Probaremos el teoremasolamentepara el producto. La prueba para la suma se dejapara el estudiante(problema 3). Como f y g son diferenciables en x, existen vectores a y b y una vecindad Y ( x ; r ) de x tales que para cualquier punto x h en Y’(x; r)
+
f’(x+h) = J’jx)+a*h+cp(x; h)*h donde lím cp(x; h) = O. h-O
Y
g(x+h) = g(x)+b.h+$(x; h)-h donde
Entonces, si x + he Y’(x;r )
lím +(x; h) = O .
h-.O
[fg](x+h) = [f(x)+a-h+q(x;h).h][g(x)+b.h++(x;h)-h] =
[fgl ( ~ ) + I f ( ~ ) b + g ( x ) a l - h + e (h) x; h
donde
e(x; h) = f(x)+(x; h)+(a h ) b + ( a h) @(x; h)+g(x) q(x;h) + ( b h) q(x; h)+[cp(x; h) hl +(x; h).
-
m
Como lím 9(x; h) = O, fg es diferenciable en x y h-O
4fgl (x ; h) = f (x) ds(x ; h) + y (x) df(x; h) D [fill (x) = ”(x> Dg(x) +9 (x)D m ) .
Funciones reales de un vector
192
[Cap. 4
6.7 Teorema. SiJ'es una,/unción de R,, en R que es diferenciable en x y y cs una ,/unción de R en R que es diferenciable en f(x). entonces g f es d(ferenciah1e en x y
f l (x;h) = 49(f(x); u'f'(x; h)) DIy f l (x) = 4 4 ( . f ( x ) )D f ' ( x ) .
d[g
~
PRUEBA.ComoJ'es diferenciable en x, existe una vecindad Y ( x ; r ) de x y un vector a tales que para cualquier punto x + h en Y"(x; r ) ./'(x+h) = f ' ( x ) + a . h + c p ( x ; h ) . h donde lím q ( x ; h) h-O
=
O.
La diferenciabilidad de y en J(x) implica que existe una vecindad Y(J(x); de f(x) tal que para cualquier punto f(x)+k en Y'(f(x); S ) .Y(f(x)+k)
=
S)
.Y(.f(x))+,9'(J'(x))k+$(/(x); k ) k
O. Si hacemos $(J(x); O) O, entonces la expresión anterior se verifica para todos los puntos , f ' ( x ) + k en . V ( f ( x ) ; Como,/ es
donde lím $(,f'(x);k ) O
k
=
=
S).
continua en x podemossuponerque Y ( x ; Y ) está escogida de tal modo que f(Y(x; Y ) ) c .Y'(J(x); S ) . Luego si x + h € Y ' ( x ; r ) ,
[+fI(x+h) =.y(.f'(x)+a.h+cp(x;h).h) = s(/(x))+g'(f'(x)) [ah+cp(x; h) hl +[a h+cp(x; h ) h] $ ( , f ( x ) ; a h+cp(x; h)h) = g(f(x))+y'Cf'(x))a h+Wx; h) h
-
donde
O(x; h)
=
g'(f'(x)) q ( x ; h)+[a+cp(x; h)] $(f(x): a h+cp(x; h) h ) .
Como lím $(.f(x); a h+cp(x; h) * h) = O (teorema 4.6, pág. 17.5). lim
O(x; h)
h-O
=
O y , por tanto. y f e s diferenciable en x y
.fl(x: h) = d,(f(x); @(x; h)) D [ y , f l (x) = & l ( / ( x ) ) D f ( x ) .
h-O
d[g
6.8 Corolario. Si f ' y ,q son d(ferenciab1e.y en un punto x de R" y y ( x ) # O, enlonces
J
'-
Y
es d i l e r e n c i a b l e et7 x y
61
diferenciables
193
Funciones
1 PRUEBAComo J' - =f . -, 9 9
1 Además, Y
=
I"
(X;
- g y, por tanto,
h) = dl"(g(x); dg(x; h)) = -I-'(g(x))
&(x; h)
Como
La pruebadelsiguienteteorema dejapara el estudiante(problema
es análoga a la del teorema 6.7 y se 4).
6.9 Teorema. S i g es una función de R en R" queesdijerenciable en el punto t y f es una,función de R" en R que es diferenciable en g(t), entonces
f
g es dijerenciable en t y
d [ f c 81 ( t ; h) = d f ( g ( r ) ; A)) D [ f ' 81 ( t ) = DJ'Mt)) & ( t ) .
-
Esta fórmula que acabamos de dar para la derivada de la composición de funciones se llama a veces regla de la cadena. Usando el teorema 6.9 y el teorema del valormedioparafunciones realesdevariablereal, podemosfácilmentederivar u n teorema del valor medio para funciones reales de u n vector.
194 vector
un
de
reales Funciones
[Cap. 4
6.10 Teorema. (Teorema del valor medio.) Si J' es diferenciable sobre un conjunto abierto G que contiene el segmento rectilíneo cerrado que va de x a y , entonces existe un núnlero H E (O. 1 ) tal que .f'(Y)-.f'(x) = (Y - x) * D f ( x + 0(Y - x ) ) .
PRUEBA.Sea g ( r )
=
x+
t(y-x)
f'(y)-J'(x)
y F =
=
,f' g Entonces
F(l)-F(O).
.f'(g(l))-flg(O))=
De acuerdo con el teorema 6.9, F es diferenciable sobre [O, 11. Aplicando el teorema del valor medio para funciones reales de una variable real a F, obtenemos F ( l ) - F ( O ) = F ' ( 0 ) paraalgu1 BE(O, 1). Esto implica
f ( Y ) -m = D [ f '' 81 (0) =
(y-X)
= I?f'(g(Q))
*
Q(0)
*Df(x+O(y-x)).
Problemas 1. Demuéstrese que las siguientes funciones son diferenciables en cualquier punto x de R2 y proporciónese el valor de la diferencial en x y h y el valor de la derivada en x. a) c)
.f'k Y ) = X+Y f ( x , y ) = x2 +y2
6) f ( x , y ) = 2 x y d ) f ( x , y ) = ,?y
+
x3.
f(x, y )
2. Demuéstrese que la funcióndefinidapor continua en el origen. pero no es diferenciable allí.
=
J x 2 + y 2 es
3. SiJ'y g son diferenciables en x, demuéstrese que J'+g es diferenciable en x y que d[J'+g] ( X ; h) = df(x; h)+dg(x; h) DLf+gl (x)
= Df'(x>+Dg(x).
4. Pruébese el teorema 6.9. 5. Demuéstrese que D c
en R.
=
O, donde c es una función constante
6. Si I , e I, sonlasfuncionesproyecciónde U ) DI, = (1,O) b) DI,
=
7. Determínese DJ'(x,y ) si a) f ( x , y ) = 3 x + 2 y c ) f ( x , Y ) = x2
Y> =
e)
f(x, Y ) =
X2 -
y
R2, demuéstreseque (O, I ) .
b) "m,Y ) = XY
4
de R"
X2Y
f')f ( x , Y ) = sen ( X Y ) .
71
direccionales
195
Derivadas
8. Un conjunto6 se dice que es c'onzexo si, para dos puntos cualesquiera
x y y de 8 , el segmento rectilíneo de x a y se encuentra en 6 .
Demuéstrese que una vecindad Y ( a ; r ) es convexa. b) Demuéstrese que si Df'(x) = O en todos los puntos x de u n conjunto abierto y convexo G, entonces es una constante sobre A . a)
9. a) Demuéstreseque si DJ'(x) = O en todo punto x deunconjunto abierto y conexo A , entoncesf'es una constante sobre 8. Sugerencia. Úsese el problema 8 para demostrar que,/*(c)= {x ,#(x) = c )
1
es abierto. b) Proporciónese un ejemplo de una función #definida en u11 conjunto abierto 8 de R2 tal que D#(.u, y ) = O para todo (x, y ) & tal que f' no sea constante sobre 8'.
7 . DERIVADAS DIRECCIONALES A fin de disponerdeunaimagengeométricasencilla,inicialmente restringiremosnuestradiscusiónafuncionesde RZ en R. Entonces la gráfica de f'es una superficie en R 3 (figura I3a). En u n punto x del dominio de la función no tendrk en general una razón de cambio única sino que cambiarit en proporciones distintas, según cuál sea la dirección en que x se mueva. La razón de cambio d e , f e n la dirección u, donde u es un vector unitario.estádadapor ,f'
7.1
196
4
[Cap. vector Funciones un reales de
Esta razón de cambio se llama derirada direccional de / e n la dirección u en el punto x y se representa por el símbolo D,f'(x). Nótese que el valor de la derivada direccional D , , / ( x ) depende solamente de los valores de la funciónf'en los puntos sobre la recta que pasa por x y es paralela a u : { x f h u h ~ R j Los . puntos sobre esta recta quedan especificados por el valor del parátnetro h. Si definimos la función F por l a regla
1
F(h)
=
/(x
+hu) .
entonces F e s una función real de una variable real cuya gráfica corresponde a la intersección de la gráfica de f'con el plano .Y que es perpendicular al plano X Y y contiene la recta que pasa por x y es paralela a u (figura 13). El punto (O, F(0)) corresponde al punto (x, y . ,/(.u, y ) ) . Como 7.2
D,/'(x)
=
-
iím
I,
+ IlU)
J'(x ~
o
I1
-
/ (x)
=
iím
i,
+
E ' ( h ) - E'(0)
o
I1
=
F'(@),
decimos que D,J'(x) es la pendiente en (.Y. y , ,/(x, y ) ) de la curva (6 formada por la intersección de la gráfica de f' y el plano 9 . Definimos ahora la derivadadireccional enel caso generaldeuna funciónde R" a R. En esta definición suponemosque la función está definida sobre un con.junto abierto en R". 1.3 Definición. La derivada diveccionalde f'en la diveccidn u, donde u es un rector unitario en R", es la función nu,/ con regla de correspondencia
y con dominio el conjunto de todos los puntos x del dominio de f'para los que existe tal límite.
Nota. Obsérvese que si f'es unafunciónde R en R y u se haceigual al número 1 , entonces esta definición es la misma que la definición de la
derivada de una función
real de variable real.
El valor de la derivada direccional, D,f'(x), es la razón de cambio de ,f en la dirección u en el punto x. Por ejemplo. si,f(x,y,z) es la temperatura en el punto ( x , y , z ) , entonces D,f'(x-, y , z)es la razón del cambio de temperatura en (x, y , z ) conrespecto a la distancia a lo largode la recta que pasa por (x, y , z) en la dirección u. Consideremos como otro ejemplol a funciónf de R4 en R donde f ( x , y , z, t ) es la temperatura en el punto (x, y, z ) en el instante t. Si u = ( u , , u 2 . u i , O), entonces D,J'(x, y, 2 , t ) esla razón de cambiode la temperatura [enel punto (x, y, z ) y en el instante t ] con respecto a la distanciaa lo largode la recta quepasapor (x,y, z ) en la dirección ( u , , u 2 , u 3 ) .Y , si u = ( O , O,O, l), entonces D,f((x,y,z.t) es la
71
Derivadas direccionales
197
razón de cambio de la temperatura [en el punto (x, y , z ) en el instante t ] con respecto al tiempo. Si para x y u fijos hacemos F(h) = f(x hu), entonces, como antesvimos
+
7.4
D,.f(xj
= lím h-O
/(x
+ h u )-f(x> h
=
lim F ( h ) - F ( 0 ) = F ’ ( 0 ) . h+O h
Así pues, nada nuevo necesitamos aprender para calcular derivadas direccionales : pueden caicularse diferenciando una función real de variable real. Usamos esto en la solución 2 del siguiente ejemplo.
SOLUCIÓN 1.
=
2
46
--(2x-y+z)
Por tanto,
2
D , f ( x , y , z) = :(2x-y+z)
6
Y
SOLUCIÓN 2. Si hacemos F ( h )
=
J’(x+hu> entonces D,f(xj
=
F’(0).
198
de
reales Funciones
[Cap. 4
un vector
Luego 4
D,f'(x) = F ' ( O ) = E J6
X -
2
-y
,/6
2
+ "z J6
Y
Aunque la derivadadireccionalparece una extensión naturalde la derivadadeunafunciónrealdevariablereal, hay algunaspropiedades importantes de ésta que no se conservan en esta extensión. Por ejemplo, una función puede tener en un punto derivadas direccionales en todas las direcciones y, sin embargo, no ser continua en ese punto. 7.6 Ejemplo. Sea f ' l a función de R2 en R definidapor
/'(O, O)
=
o.
Demuéstrese que en el origen existe la derivada direccional def'en cualquier dirección, pero que f n o es continua en el origen. SOLUCIÓK.Sea u
= (u,, u2) u n
=
vectorunitario.Entonces
lím - U l z u Z h-O
[o,
U,2+h2U14
si
u2
=o.
71
199
D 3rivadas direccionales
Así pues, en el origen, la derivada direccional de ,f en cualquier dirección existe. Para demostrar que f no es continua en el origen, consideremos la parábola 8 = {(x, y ) y = x 2 } . Entonces
1
X2)l
lím (x,Y)-(o,o)
-= iím f = y * + x4 (x,Yr-(o,o)
+
(sobre 6).
Como f ( 0 , O) = O, f no es continua en (O, O). Ahora demostraremos que si j es diferenciable en un punto, entonces todas las derivadas direccionales existen en ese punto.
1.7 Teorema. Sifesdiferenciable en x , entonces la deriradadireccional de f en cualquier dirección u (existe en x y = Dj(x)* U =
D,j(x)
d f ( x ; U).
PRUEBA.Si hacemos g(h) = x f h u y F = f g, entonces F ( h ) = f ( x + h u ) 7.4, D , j ( x ) = F'(0). Usando el teorema 6.9 obtenemos I
y de acuerdo con
F' (0)
=
D [J'
81 (0)
y, por tanto,
D,j(x)
= Dj(x)
=
D f k (0))- Q (0)
. U = d j ( x ; U).
El recíprocodeesteteoremano se verifica. Unafunciónde R" en R puedetenerderivadasdireccionales en todas lasdireccionesen un punto y no ser diferenciable en ese punto. La función considerada en el ejemplo 7.6 tiene derivadas direccionales en todas direcciones en el origen, pero no es ni tan siquiera continua en el origen, y, por tanto, ciertamente no diferenciable. Como el productoescalardedos vectoresalcanza su valormáximo cuando los vectores están en la mismadirección, D , f ( x ) = D f ( x ) * u = Comp, D f ( x ) implica que D f ( x ) es un vector en la dirección de la máxima razón de cambio d e f y que esta máxima razón de cambio es la longitud de D f ( x ) . Nótese que si hacemos h = hu donde h = Ih/, entonces d f ( x ; h)
=
h u * D f ( x )= h D , f ( x ) .
Así pues, el valor d f ( x ; h) de la diferencial es la longitudde
valor en x de la derivada direccional de f en la dirección u
=
h
-.
h veces el
Ihl Usando los teoremas 7.7, 6.6 y 6.7 y el corolario 6.8, podíamos proceder a derivar las fórmulas para la derivada direccional de la suma, producto, composición y cocientedefuncionesdiferenciables(problemas 6, 7 y 8). Sin embargo, estas fórmulas no son necesarias para propósitos de cálculo.
200
Funclones de reales
[Cap. 4
un vector
En la sección 9 derivaremos un método sencillo para obtener las derivadas direccionales. Paraderivadasdireccionalespodemosprobar u n teorema del valor medio que es análogo al dado para las derivadas (teorema 6.10). 7.8 Teorema. (Teorema del valor medio.)
S i D , j e.yiste sobre u17 conjurzto abiertoquecontieneelsegmento rectilíneo cerrado que sa de x a x +lzu, donde u es un rector unitario. entonces existe un número B E ( O , 1 ) tal que ,/(X
+ hu) -f(x)
=
hD,f(x
+ Bhu).
PRUEBA.Si hacemos F ( t ) = f ( x + t u ) , tE[O,h], entonces, usando la definición dederivadadireccional,vemosque F‘(t ) = D,J’(x+ tu). De donde F resulta ser continuasobre [O, h] y diferenciable sobre (O, h). Aplicandoa F el teorema delvalormedioparafuncionesde R en R, obtenemos
F(h)-F(0) Luego,
j(x
=
hF’(Oh) paraalgún
+ hu) -f’(x)
=
hD,f(x
OE (O, 1 ) .
+ Ohu).
Problemas
2. Si J ’ ( x , y , z)
=
a) u = i = ( l , O , O )
xz + 4 ~
S+L’
, determínese D, J’cuando b) u = j = ( O , I , O )
e) u = k = ( O , O , I ) .
3. Encuéntrese “Df mediante la determinación de F’(O), donde F ( h ) = f(x hu), cuando
+
81 parciales
201
Derivadas
4. Demuéstreseque D,c = O cuando y u un vector unitario en R". 5. Demuéstrese que D-, f
c
es unaconstantede
R" en R
= - D,f.
6. Si j y g son diferenciables sobre un que sobre &
conjunto abierto 6 , demuéstrese
D , ( S + Y ) = D.J'+Dus
D,(ls)
= fD,s
+ s D , I'.
7. S i j e s una función de R" en R que es diferenciable sobre un conjunto abierto B y g es unafunciónde R en R que es diferenciablesobre un conjunto abierto que contiene a f(&), demuéstrese que sobre & D,(g 4 )
= (g'
-.f')D,f'.
8. Si,f'y g son diferenciables sobre un conjunto abierto B y g es distinta de cero sobre 6, demuéstrese que sobre €
9. Si f es diferenciablesobre x. y ,f tiene un máximo relativoen x", demuéstrese que Duf(x,) = O para toda dirección u. 10. Si f es una función de R2 en R que es diferenciable en el punto x, demuéstrese que Df(x)
=
(Dif(x),Djf(x)),
donde i = (1, O) y j = (O, 1).
11. Un conjunto 6 se llama conwxo si,paracualesquier dospuntos t", el segmentorectilíneode x a y se encuentraen 8. Pruébese que si para todo u, D,f(x) = O en todo punto x de un conjunto abierto y convexo 6, entonces f es constante sobre 8.
x y y en
8. DERIVADAS PARCIALES Las derivadas direccionales en ladirecciónde se llaman derivadas parciales.
los ejes de coordenadas
8.1 Definición. Si f es una función real definida sobre un conjunto abierto de R" y uk es el uector con componente k-ésimo I y todos los otros componentes O, entonces llamamos a Duk f la derivada parcial de f con respecto a la k-ésima coordenada.
202
Por brevedad denotaremos D,,f con regla de correspondencia, 8.2
[Cap. 4
vector Funciones un reales de
D k , f ' ( x )= lím h-O
por Dkf.Así pues, Dkf es la función
~
+ huk)
h
y dominio el conjunto de puntos x en el dominio defpara los que el límite que aparece en 8.2 existe. Sea f una función de R2 en R. Supongamos que la gráfica de f, {(x, Y , 2) I z = f ( X 3 Y>> 9
es la superficie dibujada en la figura 14a. De acuerdo con 8.2, las derivadas parciales de ,f en el punto (xo, yo) vienen dadas por
Estasderivadasparcialespuedencalcularsepor el métododadopara calcular derivadas direccionales o por un método ligeramente diferente que es especialmente adecuado para el cálculo de las derivadas parciales. Claramente, el valor de D,,f(x,,y,) depende solamente delos valores defen puntos sobre la rectaparalela al eje X quepasapor el punto (xo,y,). Los puntos sobre esta recta pueden describirse simplemente dando solamente su primera coordenada; esdecir, x especifica el punto (x, yo) sobre la recta y = y,. Si definimos la función g , por la regla Y! (x) = f ( x , Y o )>
entonces
Análogamente, si definimos gz por entonces
9 2
( y ) = .f(.o> Y ) ,
zh 203
I
I
I
Yo
Y
(cj
X
FIGURA 1 4
Las gráficas de g1 y g2 (figuras 14b y c) son la curvas de intersección de la superficie z = f ( x , y) con los planos y = yo y x = .xo, respectivamente.
8.3 Ejemplo. Si f
= Z,2+Z,2,
determínense las derivadasparciales
de f .
SOLUCI~N. Si paracualquierpunto (xo, yo)€R2 (figura 15), hacemos gl(x) = f ( x , yo>,entonces ~ , f ( x , y,) , = g,’(x0).Como f = z,’+z~’, g , (x) = x2 +yo2
IZ
-X
Z
-“--Y
Yo
204
Funciones reales d e un vector
Y (1
,
'(.Y)
=
[Cap. 4
2.x.
Así pues, D,J'(x,, y o ) = 2x,, y D , f '= 2f . Haciendo tenemos D2f(xo. y o ) = ,qr'(.yo). Luego y2
(y, =
Y /2'(y) =
.xo2
( y ) = ,f'(xo, y ) ,
+FZ
21'.
Así pues, D,f ( s o ,yo) = 2 y , y D 2 f ' = 2 J 2 . En la resolución del ejemplo 8.3 n o necesitamos introducir explícitamente las funciones %qly y 2 . Para encontrar D,,fconsideramos y en 8.4
f(x, y ) =
.Y2 + y 2
como número fijo. Entonces, para u n y fijo. 8.4 define una funcicin de una variable real (la función S , ) cuya derivada nos da D ,f . Análogamente, para encontrar D 2 f ; se considera x en 8.4 como número fijo. Entonces, para un .x- fijo, 8.4 define una función de una variable real (la función yz) cuya derivada nos da DJ. Este método puedeemplearse enel caso general paraencontrar las derivadas parciales de una función de R" en R. Para encontrar la derivada parcial de f respectoa la k-ésima coordenada.consideramostodas las coordenadas excepto la k-ésima como números fijos. Obtenemos entonces una función de una variable real cuya derivada es D, f . Es decir, si
.
SL(S,) = f ( a , . . . . -x/(, . . . , a,)
entonces D,.f'(a) = lím ir+O
/-(u
1
, . . ., Uk
+ h, . .., LI,)
-./'(u, , . . ., L l k , . . . , a , , ) h
Así pues, el problemadeencontrar las derivadasparciales, lo mismo que el de encontrar las derivadas direccionales de cualquier dirección, se reduce al de diferenciar una funcicin real de una variable real.
8.5 Ejemplo. Encuéntrense las derivadas parciales de por f(s, y, z) = ,\-y + cos ( y ) .
la función fdefinida
SOLUCI~N Considerando . J. y :como números fijos,diferenciamos funcicin g1 (x) = f'(.Y, y , z ) = .YJ + cos (y:).
la
205
Derivadas parciales
81
Entonces,
Y , 2)
D If(& Considerando
x
=
y.
y z como números fijos, obtenemos D2J(x,y, z) = x - z sen ( y z ).
Considerando x y y como números fijos, obtenemos
D,,f(x, y,z)
- y sen ( y ) .
=
Las notaciones para derivadas parciales son muchas y variadas. Si ,f es una función de RZ en R y si hacemos z = f ( x , y ) , las derivadas parciales pueden denotarse como sigue :
Por ejemplo, si f' = II2+ 1,' (ejemplo 8.3) y si hacemos 5
=
f(x, y )
entonces las derivadas parciales pueden 62
"22x dX
Si f
=
I , i2
+ cos
O
=
x* +y2 ,
denotarse por OZ
y
--=y ÜY
(I2i3) (ejemplo 8.5) y si hacemos U'
=
f(x,y , z) = xy
+ cos ( y z ) ,
entonces las derivadas parciales pueden denotarse por
au,
-y,
"
(?x
JW
-
x--z sen ( y z ) ,
"
dy
dW
- = - y sen ( y z ) , ZZ
Laconsideraciónde las derivadasparciales deunafunciónpuede proveerunaforma sencilla de demostrar que la función es diferenciable. El ejemplo 7.6 muestraque la existencia de todas las derivadasparciales no es suficiente para garantizar quela función es diferenciable. Sin embargo, ahora vamos a probar que la continuidadde lasderivadasparcialesnos permite afirmar que la función es diferenciable. 8.6 Teorema. Si todas las deriltadas parciales de f existen y son continuas sobre un conjunto abierto 8 , entonces es diferenciable sobre 8'. , f
[Cap.206 vector
un
de
reales Funciones
4
PRUEBA.Damos la pruebaparaunafunciónde R2 en R. Sinembargo, el métodoempleado es general y con la introduccióndeunanotación adecuada podría adaptarse para una funcicin de R" en R. Tomemos x = (x, y ) € & y sea Y ( x ; r ) una vecindad de x contenida en 8. Tomemos h = ( h , , h2) talque Ihl < r. Entonces,usando el teorema del valor medio(teorema 7.8. pág. 200). tenemos .f'(x+h)-,f(x) = . f ( x + I ? , . y + h , ) - f ( ( . \ - , . ~ ) Y + / ? 2 ) f , f ( x,b+h,)-,f(x, ,
= , f ' ( . u + h ~J .' + h z ) - J ' ( X , =
donde H i € ( O , I ) . i
h , D~.f'(x+01171, y+h,)+h2
=
O , 1 7 1 . y+h,)
DZ.f(x, J'+
Luego,
h-O
f'(x+h)-f(x) donde q ( x ; h) l í m q ( x ; h)
h-O
=
=
D,,f'(.Y.
1. 2. Como D l f y DJ son continuas sobre 6 ,
Dl.f(.u+
donde lím y i ( x ; h)
y+ @ 2 h , )
O, i
=
02/72)
=
Dlf'\.\-. y ) + q l (X; h)
D2.f'(.~. . J ' ) + c ~ ~ (h)x ;
1 , 2.
=
/ 7 , ( D , f ( - u . . ~ ) + c p , ( x h))+h,(D2J'(.\-,It)+cp2(x;h)) ;
=
(D,.f'(x),D,f'(x)) * h + q ( x ; h) * h.
= (cpl
y)
(x: h ) . cp2(x; h)). Como lím cpi(x; h) h-O
=
O, i
=
1, 2,
O y esto nos dice quef'es diferenciable en x.
El recíproco de este teorema no se verifica (problema 4). Como lasderivadaspalcialesde un polinomio son ellas mismas polinomios y, por tanto, continuas en todos los puntos de R". el teorema 8.6 implica que los polinomiossondiferenciablessobre R". Análogamente, las funciones racionales son diferenciables en todos los puntos en que están definidas. Problemas l . Determínense las derivadas parciales de .f' cuando
c ) /'(.x, y ,
xZ;+y+2
z) = -
x2+ 1
d ) f ' ( x , y , z)
=
sen ( x ~ l + z )
91
Algunos ejemplos
207
2. Si las derivadas parcialesdeJ’ y y con respecto a la k-ésima coordenada existen sobre un conjunto abierto 6, demuéstrese que sobre &, a) Dk(f+g) = Dkf+ D k g bj Dk(fgj = f D k s + g w
(3
Dk
-
= @&J”fDky
Y2
si g es distinto de cero sobre B
3. Si Z j es la j-ésima función proyección
4. Demuéstrese que la función f(x,
y)
= (x2
+y’)
= .yj)
pruébese que
f definida por 1
sen
___ \/X2+
f(0, O) = o
esdiferenciableen en el origen.
(Zj(x)
el origen, pero no
y2
, (x, y) z (O, O)
tiene derivadas parciales continuas
9. ALGUNOS EJEMPLOS Enestaseccióndiscutiremostécnicasparadeterminar la diferencial, laderivada y lasderivadasdireccionalesdefuncionesdiferenciablesde R” en R. El teorema 7.7, pág. 199, nosdiceque si f es diferenciable en x entonces
9.1
D,f(xj
=
Df(x)
-u
donde u es un vector unitario. Si uk denota el vector unitario con 1 como componente k-ésima y todas las demáscomponentes iguales acero, entonces Dkf(X)
Como Df(xj
Df(x) 9.2
=
Df(x)“k
.
- uk es la k-ésima componente de Df(x), tenemos =
(D,f(x), . .. , D,f(x)).
El vector ( D , f ( x ) ,. .. , D,f(x)) se llama gradirnfe de f en x y se denota por V f ( x ) (y se lee “nabla f e n x” o “gradiente de f en x”). Hemos, pues, demostrado que si f e s diferenciable en x, entonces la derivada d e f e n x es el gradiente de f en x. Como lasderivadasparcialessonfácilesdecalcular,9.2nosfacilita un métodoconvenienteparadeterminar los valoresde la derivada y la
208 [Cap vector
un
vectorlales de Funciones
4
diferencial.Luego, usando 9.1, podemosencontrar los valoresde las deri\.adas direccionales. Damos continuación a algunosejemplospara ilustrar estos métodos. Primero, una palabra acerca de la notación. Al discutir l a s diferenciales esprácticacorntinusar d x en lugar de h. Además. si / esunafunción de R3 en R y si IC = ,/'(.I. y. 2). escribimos d f ' ( x :dx) comc sigue :
=
0'14' ~
i .Y
d U'
(1s -t -(1). (1y
+
CU?
-Liz 6:
.
9.3 Ejemplo. Si /'es la función de R3 en R definida por .f'(s.y , z) determínese la diferencial de f'.
=
.\-"y+ se',
S O L ~ U C IEl~ N gradiente . de f'está dado por V/'(S, J'.
z) =
(2XJI
+2
.
.xz, x r Z ) .
Como el gradiente def'es continuo sobre R3, el teorema 8.6 implica queyes diferenciable sobre R3. Haciendo 11%= f ( . ~ y. , z), tenemos
(//'(x: dx) =
d l l ;
=
( 2 X J ' + rZ, s 2 ,x 2 ) (ds, tiJ., Liz) '
= (2X~+r')dx-t.*-2dy+.Ye;d=.
S O L U C I ~El N . gradiente de /' es V.f' = ( 2 / , + I , , I , ) . Como el gradiente es continuo, /'es diferenciable sobre R2 y , por tanto, D J ' = u * Vf. Por tanro, ,. 1 D"/ = y ( 2 . I, 5
-
1).(2/, +I2,I,) =
1
7
\5
(31, +21,).
9.5 Ejemplo. Encuéntrese la dirección y magnitudde la razón de cambio máxima de la función .f' = /2 en el punto (2, 3).
S O L U C I ~El N .gradientees un vector que tienen la dirección y magnitud de la razón de cambio máxima de la función. Como V./(.\-. y ) = ( ~ . Y + Jx>) ,, A f ( 2 . 3 ) = (7, 2). Así pues, ,ftiene su razcin de cambio máxima en (2. 3)
en ia dirección u maxima es
1
= -
53
(7,2) y la magnitud de estarazón
jVj'(2, 3)/
=
l(7, 2)/
=
JB.
decambio
91
209
Algunos ejemplos
Supongamos u' = J'(x), donde f e s una función real que es diferenciable sobre R3, y supongamosque % es unacurvalisa en R3 descritapor la ecuación x = h ( t ) , t E $ . Consideremos el problema de encontrar la razón de cambio de conrespecto a la distanciaa lo largode la curva V. Si ,f'
hacemos
S
= I(t) =
l
,
Ih'l, donde
l o ~ f ,entonces S
es la
longituddel
arco de W desde el punto h(t,) hasta el punto h(t). Como V es una curva lisa, 1es una función creciente y, por ranto, tiene una inversa I*. Haciendo g = h I * , podemosescribir x = g(s) y LC = ,f(g(s)) sobre V. Entoncesla
dw dS
razón de cambio de /'con respecto ala distancia a lo largo dela curva es -. Usando el teorema 6.9, pág. 193. tenemos
D[J' 81 (S)
=
es decir,
DfMSN
aw
, -,
ay
az
* &(S)>
dx ds
Según el teorema 7.7, pág. 126, y 1 1.4', pág. 144,
-dx - "-- =d x- Td -r = Tds ds d t ds Lit
dt ds
donde T es el vector unitario tangente a V. Así pues, la razón de cambio de J' conrespecto a la distanciaa lo largode es la derivadadireccional %j
de ,I'en la dirección T :
dw
-
dS
9.6 Ejemplo. Si f ( x , y , z ) por (x, y , z) =
=
=
DT.f'. x 2 + y 2 + z 2 y V esla hélice cilíndrica definida
(cos t , sen t , i t ) , te ( - m, m ) ,
3
encuéntrese la razón de cambio d e f c o n respecto a l a distancia a lo largo de la curva
% en el punto
O, 1, - .
SOLUCIÓN1. Haciendo w = , f ( x , y , 2). expresamos w entérminosde d 1c encontramos -. Sea g ( t ) = (cos t , sen t , f l ) . Entonces dS
g'(t)
=
( - sen t , cos t , f)
S
y
21 o
de un vector [Cap.
Funciones vectorlales
5
Y
Por tanto, sobre % 11‘
=
cos2 t
+ sen2 t + $ t 2
=
I +it2
y la razón de cambio de u: con respecto a
corresponde a t
S
= I
++S’,
es
7I
= -
2
y a
S
=
,/S
-71, la razón de
i 3:
4
cambio d e j ’ c o n respecto a la distancia a lo largo de % en 0, 1, - es - 7 1 . S O L U C I 2. ~ N En esta solución usamos
el hecho de que la razón de cambio
d e j con respecto a la distancia a io largo de % en x es DT,f’(x).En
Así pues, la razón de cambio de f’ respecto a la distancia a lo largo de Ven ~
La diferenciales a menudounaaproximaciónpráctica y muy exacta de un incremento (problemas 8-10). Haciendo Af(x; h) = f ( x + h)-f’(x), tenemos. si / e s diferenciable en x, &/(x; h) = df(x; h)
+ h . ‘p (x; h) donde lím ~ ( xh); = O . h-O
Así pues. si la longitudde h es “pequeña”, df(x; h) es aproximadamente igual al incremento Aj(x: h). Más adelante,enla sección 11, podremos
establece1 cotas para el error que se comete en este tipo de aproximaciones.
21 1
Problemas 1. Determínese el gradiente deJ'cuando u)
,/
=
1,2+122+1,2
h j ./'(.x,
=
11212~32
it)
c) ./' e)
y) = e" cos ( x
f'(X,
2. Si w
= f'(x),
+y )
c)
y)
/'(S,
= ./(x,
y ) =
~
x
+z
exy2
f ' ) /(x. y . z) = I n (x2+ y 2 + z Z )
=
+3 y
arctan
/ (x) = ./(.u, y . z) = \;x2
d ) .!'(x,
x-y
~
encuéntrese d~ = df'(x; dx) cuando
a ) j ' ( x ) = ,f.(., y ) = x 2 y 3
h) /(x) =
./(.x,
J', Z ) =
y,
2)
=
v
X
+ y2 + z2 -
z cosz ( x + y ) .
3. Determínese DJcuando x2+ y u ) ,/(x, y ) = -,
u
X -i '
b)
.f
=
=
I
T
\
!IO
(-3,l)
1,~-1,~1~, I
u = -(I, y'
3
1, I )
4. Encuéntrese la razón de cambio maxima de las siguientes funciones en los puntos que en cada caso se indican: u ) f = 1,1,2+11213: (3, I,
2)
1113 . O) .I' = _ _ , (1, - L O )
l I+ I ,
c ) ./'(x, y , 2 )
= Jx2fy2
u') ,/.(x, y, z,t )
=
+ 2 ; ( 3 , 3,
xz+y2r;
(I,
-
3)
O, - 3 . 2 ) .
21 2
y exprésense 6. Si u:
tu; y - en noiac~cinfuncional. d t ?x
LIU;
-
z2 y x
'
= .Y),'+
=
cos t ,
J
=
e', :=
1'
lafórmula del problema 5 y tambiénexpresando diferenciando a continuaci6n. 7. Si
[Cap 4
de un vector
Funciones vectoriales
,/'(X, y
j=
XL
y
.x2+ y
~
tl M usando , determinese ri I
IC
entérminosde
t y
, determínense tl,f'((1,2j ; (4,t)) y A/'(( 1 , 2 ) ; (+,i)).
8. Un tanque cilíndrico de hierro tiene 6 pies de altura y u n diámetro exterior de 2 pies. Si la tapa y la parte inferior del tanque tienen $ pulgada degrosor y lasparedesdepulgada, úsese la diferencial paracalcular en forma aproximada el peso del tanque si el peso del hierro es de 450 libras por pie cúbico.
9. El resultado de medir una habitación nos indica que sus dimensiones son 12 x 16 x 8 pies. Sabemos que el error cometido en cada una de ellas es menor de 1 pulgada. Calcúlese aproximadamente el máximo error posible que ese cometealaceptarcomo volumen de la habitación el anterior producto. 10. El voltaje E en unaresistencia
R y la corriente I que pasapor R t; están relacionados de acuerdo con la ley de Ohm: I = -. Si se sabe que R la resistencia R es de 100 O00 ohms & 2 "h y E es igual a 150 volts con una variaciónposiblede 5 volts,calcúleseen formaaproximadacuál es el máximoerror posible que se comete al calcular I tomando R iguala 100 O00 ohms y E igual a 150 volts.
10. DERIVADASPARCIALES
DEORDENSUPERIOR
Como la derivada parcial D, f de una función f de R" en R es asimismo unafunciónde R" en R, podemostomarderivadas parciales de Dk,f. La derivada parcial de DkJ'con respecto a la coordenada j-ésima es D j ( D k f ) . Esta se denotarápor D j , kf . Lafunción j' sellamaderivadaparcial segundade ,f. Es claro que podemos seguir tomando derivadasparciales y obtener derivadas parciales de J' de órdenes más altos.
1o1
21 3
Derivadas superior orden parciales de
"m,
En nuestra notación para derivadas parciales, si hacemos =
entonces
=
f b , ,f . . , xn),
10.1 Ejemplo. Si ,f está definida por f(x, y ) derivadas parciales de segundo orden de f .
SOLUCI~N Sea . z
dz
-
i X
= f(x,
=
x 2 + 3 x y , encuéntrense las
y ) . Entonces
D l f ' ( x ,y )
=
2 ~ + 3 ~ .
l3Z
-
ay
= 0 2 J ' ( x ,y
) = 3x
Nótese que enesteejemplo D 2 , ,J' = D l , f. Demostraremos que esta igualdad de las derivadas parciales mixtas severifica en una gran clase de funciones. Antes de dar u n teoremasobre la igualdadde las derivadas parciales mixtas de una función de R2 en R, probaremos u n lema que usamos en la demostración de tal teorema. 10.2 Lema. Si D,,, J'existe en el interior y en la frontera del rectángulo % h, y , k ) , (xo,yo k), entonces
+
con vértices (x,, , yo). (xo h, y o ) ,(x,
+
+
+
+ h, Yo + k ) -f'(xo + h, Y011 -
para algún punto (x, y ) en 2
[f(%Yo + k ) -.Ax0 Yo)] = hkD2,I . 1
1
m
Y)
Funciones reales d e un vector
21 4
[Cap. 4
Como D l , f existe sobre d . 9' existe sobre [x". . Y " + / ? ] ([s,,+h, Usando el teorema del Lalor medio tenemos
S,]si
h < O).
[.f~.U,+'I..~g+k)~,f(.\-~J+~I,~o)]-[f('~~,~~+k)-/(x",~,)] = {](.Y,,
+/I)
-y(.\-,)
-= /?Y'(.Y) =
h [ D , /(.Y. y , + k ) - Dl
paraalgún .Y entre .Y" y medio a la funci6n D l f .
+/I.
+
[./'(X" +h. y ( ] k ) /(X" -
y")]
Entonces,aplicando
+h. yo)] - [.f(.uo
J'"
h k D 2 , 1. f l . ~ , ~
2
1
el teorema del valor
+k )
/'(X.J.(,+ k ) - D l /(.Y. yo)]
= /I[L),
=
/'(.Y,
-f(so.
Y")]
)
para algún J' entre y , y +k. Lo que completa la prueba del lema. Enunciamos y probarnoh ahora el teoremasobre la igualdadde derivadas parciales mixtas de una función de R 2 en R. ~
1
~
)
las
PRUEBA.Por definicicin
existe.Llamemos
a
estelimite
.y(/?). Ahorademostraremosque
lím 1, -0
g(h)
existe y es igual a 112,1/(x,,). 'Tomemos c > O. Como D 2 , 1./'es continua en x,,. exlste u n i j > O tal que 0 < r 4
Tomemos /I tal q u e 0 <
<
h.
Entoncestomemos k # O tal que
\!h2+liz
1 o1
superior orden de Derivadas parciales
21 5
E
<-
2
Para /I y k tales, el lema 10.2 implica que existe u n punto x en el rectángulo con vértices (xo,y o ) , (xo+ / I , y o ) , (xo+ / I , y , + k ) , (x", y o + k ) tal que [./'(x0
+ h, + k)-./'(xo + h, YO
J'O)]
- [./'(~.o
, yo
hk
+ i)-./'(-yo
, yo)J
=
1
./(x).
Nótese que este punto x estri en Y ( x O ; (2). Tenemos I9 (h) - D2,l f(X0)l g(h) -
C.f(x0
+ h, Y o + k)-f'(xo + h, Yo)]
-
Cf(.o
9
hk
YO + ~ ~ ) - . / ( x o y011 1
1 I
& E <"$--=E.
2
2
Lo que nos muestra que lím g(h) = D 2 , ,,f'(xo)y completa la prueba. h-tO
El teorema 10.3 puedeaplicarseaderivadasparcialesmixtasdeorden mayor que dos. Pasamos ahora, antes de dar algunos ejemplos, a definir un nuevo concepto. 10.4 Definición. Se dice que una ,función ,f pertenece a la clase C" sobre un conjunto abierto 8 , lo que escribiremos: f EC" sobre 8 , si todas las deritwdus parciales de orden n dej'son continuas sobre8. Supongamos que,f€ C 3sobre algún conjunto abierto8 de R2. Demostraremos que D 2 , z,I ,f = D l , 2 , 2 f ' sobre 8. Como todas las derivadas parciales de tercer orden d e f s o n continuas sobre 6, todas las derivadas parciales de orden más bajo de,fexisteny son continuas sobre Q (teoremas 8.6, pág. 205, y 6.5, pág.190). Por tanto,aplicando el teorema 10.3 a j , tenemos D 2 , 1f = D 1 , 2 , fsobre 6 y por tanto D 2 , 2 3 , ,= f D 2 , 1 , 2 f sobre 8 .
Aplicando el teorema 10.3 a f>,J'tenemos D2,1,2J'=
D,,l(D,f)
= D1,2(Dz.f') = D l , 2 , 2 /
Por tanto, D L , 2 , f, ' = D ,, 2 , 2 , f sobre 8 .
sobre 8 .
21 6
[Cap. reales Funclones vector un
4
de
El teorema 10.3 puede también aplicarse derivadas a parciales de funclones definidas en R ' o , en general, en R". Por ejemplo. \ i / E('' sobre u n conjunto abierto X en R 3 , entonces podemos demostrar que D l , ,/ = / I 2 , ,/ sobre X . Paracualquierpunto (s. y. zo) en X , sea ,g(.u,~.) = ~'(.Y.J'. zo). Entonces D1.2.f(-u.y, Z") =
D,.Z,qY(-U,J)=
D 2 , l g ( . Y , y ) = ~,,,/'(.x..v.;,,).
Por tanto, D , , 2 f ' = D 2 , 1fsobre C . En general, si , / E C " sobre un conjunto abierto d . podemos decir que cualesquierdosderivadas parcialesdeorden I I o menor, con los mismos subindices, son iguales en R aunque el orden en que los subindices aparecen sea diferente. El hechodeque las derivadasparcialesmixtas deuna funcicin no son siempre iguales se demuestran en el siguiente e.jemplo. 10.5 Ejemplo. Encuéntrense D 2 , 1 /(O, O) y I), ,2f'(0.O) cuando
.J'(O, O) =
o
SOLUCI~N. D , J ' ( x , y j = xy-
2x(.x2+1'2)-2x(sZ-y2)
(x2+.V2)2
+ J)-x 2 - J ' 2 .Y2
+ y2
21 7
El teorema de Taylor
Así pues, en este ejemplo D l ,2,f'(0, O) # D l , f(0, O).
Problemas 1 . Determínensetodas las derivadasparciales cuando il)
f ( x , y ) = xyz +e"? b)
f(x,
desegundoordende
J'
-
y, 2 ) = J x 2 i y 2 + z 2
2. Encuéntrense los valores de las derivadas parciales orden de en los puntos que se indican:
desegundo
,f'
u)
,/'(.Y,
y ) = s 2 y 3 + x 3 y : (-3, 2 )
b) ./' = In ( 1 , 2 + 1 2 2 + 1 3 2 ) ; ( - 2 , ,i3,2j
3. Determínensetodas cuando a)
f(x, y )
=
las derivadasparciales
b) f(x, ,Y,Z ) =
cos xy
4. Si f ( x , y )
=
de tercer ordende
1
x 2 y sen - para x
.Y
J
X~Z+JIZ.
# O y ,f(O, y ) = O, determínense
D l , , ,/'(O, O ) y D ,, 2 f ( 0 ,O). ¿ E s continua D 2 , , . / en (O, O ) ?
11. EL TEOREMA DE TAYLOR En esta sección extendemos el teorema de Taylor a funciones reales de un vector.Seobtienefácilmenteestaextensiónpartiendo del teorema de Taylor para funciones reales de una variable real.
21 8
vector
un
de
reales Funclones
[Cap. 4
El teorema de Taylor para funciones de R en R dice: s i j t i e n e deriaudutas continuas hasta la de orden n+ I sobre el it?tc'rr.alof y ~ " €entonces 2 , para cualquier .Y en f distinta de .Yg
.'' (hi
)I
k!
h=O
(x -X"y
+K ,
donde
para alqlin c entre .x-" 4' .Y. El símbolo que anteriormente aparece denota a ,f. esdecir, f(') = j . Este teorema da unaexpresión (la de R,) del error cometido al aproximarnos a la función f por el polinomio
en el intervalo 2. Sea ahora ,f una funcicin de R2 en R y sean x. y x dos puntos en el dominiode f . S1 nos limitamos a la consideraciónde los valores dela función sobre el segmento rectilíneo [xo, x], entonces podemos considerar ,f como una función de una sola variable real; nos basta definir g por la regla I
y ( t ) = . f ' ( x o + t ( x - x " ) ) donde te[O, I ] .
Aplicandoluego el teoremadeTaylora quepuedehacerse),obtenemos
y sobre el intervalo [O, I ] (si es
11.1
donde K =
" ( o ) paraalgún
"~
(H+ 1 ) !
D i ~ ( 0 ,1).
Esto dará lugar a la fórmula de Taylor paraf'cuando reemplacemos g y sus derivadas por las expresiones apropiadas enf'y sus derivadas parciales. Investigamos ahora q u é condicionesson las quedebe exigirse que cumpla f' para que pueda obtenerse 1 I . I . La expresión 1 1 . I es válida si g tiene derivadas continuas hasta de orden / I + I sobre [O, I ] . Debemos, pues, encontrar la relacidn existenteentrelasderivadas de y y las derivadas parciales de j . Sea x - x(, = h = ( 1 1 , . I r 2 ) . Enronces, g ( t ) = f(xo+ th). Usando laregla de la cadena (6.9. pág. 193), obtenemos g'(1) =
Df(x,+th)* h
=
/I,
D,f(xo+th)+h2D2,f(xo+th)
111
21 9
El teorema de Taylor
Y ~ " ( t=) h 1 1 ) r [ I ~ , f ~ , f ( x , , + t h ) + I ~ , D 2 f ' ( x , + t h ) ] + h 2 D 2 [ hD I l /'(xo+th)+h2I~,,/(x,+th)] = I ? 1 2 D fl (, x r ,,+th)+II,I~2D,,,/(x~+th) /I, Ir I D , , /'(x,, t h ) h Z 2 D , , f'(xo r h ) .
+
+ +
+
Así pues, si ,f'ECZsobre u n conjunto abierto L que contiene el segmento [x". x,+ h ] , entonces y tendri derivadascontinuashastadeorden 2 sobre [O, I ] . Ademhs, si , / ' E C . ~ sobre A , entonces D , , * , f = D , , ,,f sobre [x". x.
+ h] y. por tanto
<]''(f) =
I~12DI,I.~(~~l+th)+2~~1I~21~,,Z/(x,,+rh)+I~22Dz,2f'
En general. si suponemosque , / E C " ~ sobre ' u n conjuntoabierto que contiene el segmento [X,].x(] + h], entonces, para k = 1. .... n + 1. yik' es continua sobre [O. I] y 11.2
segundomiembrode 11.2 es anhlogo a unaexpresión en el teorema del binonlio y la pruebadc 11.2 porinducciónmatemáticaesparalela a la del teorema del binomio. Con el teorema del binomio en mente. es natural escribir 11.2 de la siguiente forma 11.3
g'"(t)
[I?,Dl +/12 112]' f'(xo + th),
k
=
.
I . . . . H +1 .
Si hacemos [ h 1 D l +I?, /I,](' f ( x , , + t h ) = ,f'(x,,+ rh). entonces 1 1.3 se veritica para k = O, . . . , 17 + 1. Damos ahora el teorema de Taylor para funciones de RZ en R.
220
Funciones un reales de
vector
[Cap. 4
Así pues, 9 tiene derivadas continuas hasta de orden n + I sobre [O. I ] y el teorema de Taylor aplicado a y sobre [O, I ] nos da
Tenemos, por tanto,
donde
La f6rmula I I .5 en el teoremadeTaylor se llama fiirmulu 7b,,/or en xg y al término R,, se le llama el resichro. SI hacemos YI = I en l a fiirnlula de Taylor obtenemos una f6rmula para la aproximaci6n por diferenciales:
donde para cierto
C E (xg. x)
donde
El teoremadeTaylorparafuncionesde R" en R puedeescribirseen esta misma forma pero la prueba sería más complicada.
El teorema de Taylor
111
22 1
11.6 Ejemplo. Desarróllese la fólmuladeTayloren
n = 3 para la función
,/definida por ,/(x,y )
SOLUCI~N Las . derivadas parciales D l /'(-x, y )
= ex cos J',
D,.,J'(x, y ) D , , I , ,/'(X, y j
=
D l ,,, ,,f'(x, y )
=
Dl.
=
= ex cos y .
D , ~ ( x ,y )
L),
Dl.
(O, O) y con
de ,/hasta el orden cuatro son: =
-ee" sen y =
-excosy
,,
1 , 2 , / ' ( ~ ,J.)
= -ex
y ) = -ex cos y , D l , 2 , 2 . 2 / ' ( xy, ) D 2 , z , 2 , 2 # ' (yx j, = excos y .
~1,1.2,2J'(x,
=ex
sen y , sen .Y,
RZ y. por tanto, para cualquier punto (x,y ) € R 2 ,
e'' = - (x4 cos c,-4x3y
24
para un cierto
=
e"cosy,D,,,,#'(x,y) = -e"seny,D,,,f(x,y) ex cos y , , I ,,J(x,y ) = -e" sen y , --ex cos y , L),, * f ' ( x , y ) = ex sen y ,
,, ,,,J(.Y, y ) = ex cos y ,
Así pues, f e C 4 en
x.
( e I ,c2)e ((O,
2
2
sen c2-6x y cos c,+4xy3 sen c,+y4 cos c,) O), (x,y ) ) .
Problemas 1. Escríbase la fórmula de Taylor en los siguientes casos, especificando para qué puntos (x, y ) tiene validez.
x-
f ( x ,y ) = 3xy+4y2, x() = (O, O ) , n = 2 b ) . f ( x , y ) = x 2 - 3 x y + 4 y 2 , x. = (2, -3), n = 2
a)
deFunclones reales
222
vectol un
[Cap. 4
12. PLANO TANGENTE A Ui%A SUPERFICIE
X
/ FIGURA 16
121
tangente Plano
223
a una superficle
Llamamostambién “superficies de nivel”, al discutir la representaciónde una función F de R3 en R, a conjuntos de la forma 12.2
{(x,y ,
Z)
I F ( x ,y ,
2)
=
Los conjuntosde la forma 12.1 o 12.2 queencontramos tienen una propiedadcomúnquepodemos describirdiciendoque u n puntopuede moverse en el conjunto con dos grados de libertad. Dejamos por el momento la noción de superficie en este vago estado. Aunque seremos un poco más precisos sobre este punto en el próximo capítulo, una descripción completa del concepto es bastante complicada y se encontraría aquí fuera de lugar. Es claro que cualquier conjunto de la forma 12.1 puede escribirse en la forma 12.2;simplemente,haciendo F ( x , y , z ) = J(x, y ) - z . Bajociertas circunstancias (que discutiremos en la próxima sección) un conjunto de la forma 12.2 puedeescribirse enla forma 12.1 . Sea F una función de R3 en R que e: diferenciable sobre u n conjunto abierto d y sea Y la superficie Y
Sea x, = (x,, y,,
2,)
=
((x, y , Z)E8
I F(x, y , z ) = c } .
un punto sobre Y y sea
x
= g(t,, t E ( a , b )
la ecuación de una curva V sobre Y que pasa por x, (figura 16). Como so está sobreg’,x, = g(to) para un cierto t o € ( a , 6 ) . Y como %? se encuentra sobre Y,
F ( g ( t ) ) = c paratodo
tE(a,
b).
Si suponemos que g es diferenciable sobre (a, 6), entonces, de acuerdo con el teorema 6.9 (pág. 193), F g es diferenciable sobre ( a , b ) y 0
V F ( g ( t ) ) g’(r) = O paratodo En particular, cuando t
[E(@,
6).
= to
12.3
Según la ecuación 12.3 vemos que en x. el pudiente de F es ortogonul al
vector tangente a cualquier curca x = g ( t ) que se encuentre sobre la superj c i e Y y pase por x,. Así, pues, si VF(x,) # O , las tangentes de rodajas las curvas sobre Y en el punto x, se encuentran sobre un mismo p[ano. Si VF(x,) # O, definimos como plano tangente a la superficie
Y
= {(x,Y , Z )
1 F ( x ,y ,
Z)
= c)
en el punto x, al plano que pasa por x. y tiene como normal Así pues, el plano tangente a Y en x. tiene la ecuación 12.4
(x - x,) VF(x,)
=
O
a VF(x,).
224
Funclones reales d e un vectot
o. en otra notaci6n.
donde las derivadasparciales son evaluada5 en el punto (.uo. -vo VP(x,,) = O. entonces .Y no tiene plano tangente en x".
L
FIGURA17
Y
V F ( 2 , 3.
-
,/3)
=
( 1 , 2. 2 J 3 ) . 1-
Por tanto. una ecuación del plano tangente es ( I , 2,2,/3).[(.u,y,
o bien
:j-(2,
~
3, -,/3)]
~ f 2 y f 2 ~ i 3 z - 2= O .
=
z0).
Si
121
tangente Plano
225
superficie a una
Sea Y una superficie dada en la forma: Y
=
1
{(x,y . z ) z
=
f ( x , y ) , (x,Y ) € & )
donde ,f es diferenciable sobre el conjuntoabierto W de R2. Haciendo F(x, y , z ) = f ( x , y ) - z , podemos escribir 9 en la forma:
I
9 = {(x, y , z ) w
, Y , z) = 0)
I
donde F e s diferenciable sobre el conjunto abierto {(x, y , z) (x, y ) € & ,ZER}. Así pues, si VF(xo) # O , unaecuación del planotangentea Y en x0 = ( x 0 > Y o , zo) es (x - xo) * VF(xo) = o. Escribiendo esto en términos de 12.6
(.x - x01 Dl .
m 03
obtenemos
f’,
Y o ) + (Y -Yo) D , f(xo Y o ) - ( z - zo) = 0 3
como una ecuación del plano tangente a Y en (xo,y,, zo). La ecuación 12.6 puede también escribirse en la forma
donde las derivadas parciales están evaluadas en el punto (xo, yo). Como V F ( x o ,y o , zo) = (olf ( x o , yo), D2J’(xo,yo), - l), el gradientede F no puede ser cero y, por tanto, existe un plano tangente en todo punto de Y. 12.7 Ejemplo. Determínese el planotangente superficie Y de ecuación z = 2 x 2 + y 2 .
en el punto (1,2, 6) ala
IZ
FIGURA 18
/
X
S O L U C I ~La N . superficie Y se llamaparaboloideelíptico(figura Haciendo f ( x , y ) = 2 x 2 + y 2 , tenemos Y
18).
226
u n vector
deFunciones reales
[Cap. 4
Por tanto. una ecuacldn del plano tangente es 4(.1-- 1 ) + 4 ( ~ - 2 ) - ( ~ - 6 ) = O o bien 4.~t4y-2-6
O.
De la ecuacidn 12.6 puedededucirseunainterpretaclcingeométrica de la diferencial.Sean ( x o , J , ~=) x y (s. y ) = x. Entonces zo = .f'(xo) y la ecuacicin 12.6 puede escribirse en la forma := . f ' ( X " ) + V f ( X g ) . ( X - x X g ) =
f(x,)
+ df'(x,
: x -Xo!.
Así pues. cuando nos aproximamos al incremento Af(xo; x - x o ) por la diferencial df(xo; x - x o ) para un / x - xol pequeño,nosestamosaproximando a la superficie por SLI plano tangente en la vecindad de x. (figura 19).
Problemas 1. Dibújese la superficie dada y encuéntrese el planotangente superficie en elípunto dado:
u ) escera:
.Y*
+y2 +z2
= 1 6 , (2,
3, $)
x
O ) hiperboloide de dos hojas : - + y 2 - z 2 4
=
-
1, (-2, 3,
411)
a la
131 implícita funci6n
deEl teorema
la
227
2. Dibújese el cono elíptico recto de ecuación 4x2-y2+z2 = O. ¿Tiene este cono un plano tangente en su vértice (O, O, O)?
3. Dibújeselasuperficie superficie en el punto dado. a) plano: z =
dada y encuéntrese el planotangentea
x+y, (1, 1,2)
b ) hemisferio : z
"
= -&-x2
-y2
1
x2
(2, 1, -2)
c j paraboloide hiperbólico : z = - - -, 4 9
d) z
=
la
y2
(2, 3, O)
xzyz, (1, 2,4). 13. EL TEOREMA DE LA FUNCIóN IMPLÍCITA
En la sección precedente
13.1
considerábamos superficie de la
I
{ ( 4Y ,z) z = m
Y 13.2
{ ( x ,Y
2
4
forma
,Y))
1 F(x, Y , 4 = 01.
Mientras que es claro que una superficie que se da en la forma 13.1 puede tambiénrepresentarse en la forma 13.2,lareciproca no es generalmente cierta. Es decir, no toda superficiedela forma 13.2 es lagráficadeuna función de R2 en R. Una superficie no puede ser la gráfica de una func,ión de R2 en R si tiene más de una intersección con una recta perpendicular al plano X Y .
FIGURA 20
228
Funciones reales de un vector
[Cap. 4
en el disco Y’((0, O) ; 2), la recta que pasapor ( x , y ) perpendicular al planoX Y intersecta a la esfera en dos puntos (figura 20). Si resolvemoslaecuación x’ + y z + z 2- 4 = O para z , obtenemos z = fJ4-x2 - y 2 . Si f,y fz son las funciones definidas por las reglas f ; (x, y ) = j 4 - x 2 - y2 f;(X,
y)
=
____
-J4-xz-y2,
vemosque laesfera es launióndelasgráficasdeestasdosfunciones, es decir, Y’ = {> {(X> z> z = f2 (x, Y,>. La gráfica de f l es el hemisferio superior y la gráfica de .fz es el hemisferio inferior.Enestecasodecimosquelasfunciones f, y fz están definidas implícitamente por la ecuación x2 + y 2 + z 2 - 4 = O. Engeneral,decimosqueunafunción f está definidaimplícitamente por la ecuación m , y , z> = 0
”
I
si, para todo (x, y ) e g J ,
Y3
F ( x , y , . f k y>) =
I
o.
Podemos escribir esto en términos de conjuntos como sigue: f está definido implícitamente por la ecuación F(x, y , z) = O si
1
{ ( x , Y , z) z = f(x, Y ) , (x, Y ) q ) c
1
{O>Y , z> F(x,
Y3
z> =
o>
’
Volviendo a una consideración de la esfera
I
Y = { ( x , ~Z) , ~ ~ + y ~ += ~O}, ~ - 4 tomemos un punto (xo,yo,zo)sobre el hemisferio superior (z, > O). Entonces, parauna vecindadsuficientementepequeña N de (x, yo) en el plano X Y , laecuaciónde la esferadefineimplícitamenteunafunción continua única de dominio N y que contiene ( x , , y,. z,) en su gráfica (figura 21). Esta es la funciónfcon dominio N y regla de correspondencia -~ f(x, y) = J 4 - x 2 4
Si (x,, y,, z,) esun punto del hemisferioinferior (z, < O), entonces el mismo resultado se obtiene con f dado por laregladecorrespondencia
J(x, y )
-~
= -J4-x”$.
Sin embargo, si tomamos un punto (xo, y o , z,) sobre la esfera con z, = O, digamos el (O, 2, O), entonces no es posible encontrar una vecindad de (O, 2 ) en el plano X Y para laquehayaunafunciónimplícitaúnica,continua, quetengaestavecindadcomodominioyquecontenga (O, 2, O) en su
229
FIGURA 21
gráfica. Los puntos (xo, y o ,O) difieren de los otros puntos de la esfera en que en estos puntos el plano tangente a la esfera es paralelo al eje Z . En el anterior ejemplo fue fácil resolver la ecuación para z en términos de x y y y determinarasíexplícitamentelasfuncionesdefinidasimplícitamente por la ecuación.Sinembargo,engeneralesto no esfactible. El siguiente teorema afirma la existencia de funciones implícitas bajo ciertas circunstancias y da fórmulas para las derivadasparciales de estas funciones.
13.3 Teorema. (Teoremade la funciónimplícita.) Sea F una funcidn de R3 en R que pertenece a la clase C’ en un conjunto abierto d.Si F(xo) = O y D 3 F ( x o ) # O, donde x. = ( x o ,y,, Z ~ ) E € , entonces existe una vecindad N de (x,, yo),una vecindad (zo - c , zo c > de z, y una función única f EC’ sobre N tal que
+
f(x0 > Yo)
= zo
y , para todo (x, ~ ) E J V , f(x,y~E(Zo-C,Zo+C)
Y
F(x, Y , f Además, para (x, Y ) E N ,
k Y>) = o.
230
Funciones vectoriales de un vector
[Cap. 4
Y
PRUEBA.Supongamos D , F(xo)> O. (La prueha es análoga si D,F ( x , ) < O.) Como D , F es continua en 8 , D , F(x) > O para todo x en cierta vecindad Y ( x , ; 6) de x,. Tomemos O < c < d. Para x y y fijos, D , F(x, y , z ) > O implicaque F(x, y , z ) aumentacuando z aumenta. Por tanto,como F(xo) = O, tenemos F ( x o ,y o , z , -c) < O y F ( x , , y,, z o i c ) > O. La continuidad de F en 8 implica la existencia de un número r < ,!a2 - c' tal que, para todo (x. J J ) E ~ ( ( Xy~o ),; r ) , F(x, y ,
io- c )
y
F ( x , y , z, + - e ) > O (figura 22).
Sea = Y ( ( x , , y o ) ; r ) . Tomemos (x, y ) ~ . / ly' sea g(z) = F(x, y , z). Entonces g es continua y creciente en [z, - c , ;:, + c]. Además, g(zo - c) < O y g(z, + c) > O. Luego hay un y sólo u n punto Z E (z, - c, z, c ) tal A y
+
que g ( z ) = O. Así pues, para cada punto (x,Y ) E Mexiste un z y sólo uno en la vecindad (zo-c, z,+c), talque F(x, y , z ) = O. Si pordefinición hacemos f ( x , y ) igual a este -7,entonces la función está definida sobre Jf y F ( x , y , ,f(.x, y ) ) = O para todo (x, y)€&". Además, ,f(x,, y,) = zo. Obsérvese que para cualquier ( x , y ) ~ ~ &; f"(,x , y ) - f ( x , , yo)l < c. Probamos a continuación quefes continua en,N. Tomemos (x, y ) en M , sea z = f ( x , y ) , y tomemos E talque O < E < min { z o + c - z , z - z o + c } . ,f'
El teorema de la funci6n implícita
131
231
+
Consideremos la región cilíndrica que se extiendede Z - E a z E y que tiene N como sección,esdecir, como proyecciónsobre el plano X Y . De acuerdo conel argumento usado para demostrar la existencia y unicidad de f podemoscomprobar la existenciade una vecindad N ( x , y ) de (x, y ) tal que para todo punto (x’, y ’ ) ~ J l r ( xy, )
I f(x’,
Y‘) -Ax,
A l < E.
Por tanto, f es continua en N. Probaremos ahora que feci en M . Tomemos (x, y ) e N y (h, k) tales q u e ( x + h , y + k ) E N . SeaZ(h,k) = f(x+h,y+k)-f(x,y). Usandoentonces el teorema del valor medio (teorema 6.10, pág. 194), tenemos 0 = ~ ( +xh, Y + k , AX +A,Y + k)) - ~ ( xY,, f ( x , Y ) ) = F ( x + h, Y + k, f(x, Y ) + Z(h, k))- U x , Y , f(x, Y ) ) =
(h,k,f(h,k)).DF(~+Bh,y+Bk,f(~,y)+Bl(h,k))dondeB~(O,l).
Si hacemos k hD,
=
O, obtenemos
m + dh, Y , f(x, Y )+ Wh, 0))
+f(h,O)D,F(x+Bh,y,f(x,y)+Bl(h,O))
=
O.
Luego, para h # O,
l(h, 0 ) - f ( x + h , Y)-S(x, Y ) h h
”
D ,F ( x + Oh, Y , f(x, Y ) + O l ( k 0)) D3 F ( x
+ Oh, Y , f(x, Y ) + Ol(h, O))
Como J’es continua en (x, y ) y D l F y D, F son continuas en ( x ,y , f(x, y)), ellímitedelsegundo miembrocuando h tiendea O existe y, portanto,
De un modo análogo obtenemos
Lo que completa la prueba del teorema. El teorema 13.3 tiene la siguiente interpretación geométrica: supongamos que se nos da una superficie en la forma {(x, y , z) F(x, y , z ) = O ) donde FECI en un ciertoconjuntoabierto y supongamosque x. es un punto sobre lasuperficie en el que el planotangenteno es paraleloal eje Z ( D , F ( x , , ) # O). Entonces, en una vecindad de x,,, la superficie tiene una representación unica en la forma {(x,y , z ) z = f(x, y ) } . Según teorema 13.3 puede enunciarse también, usando otra terminología, como sigue :
I
1
232
[Cap. 4
Funciones reales de un vector
Supongamos que F pertenece a la clase C' en un conjunto abierto Q de R3
y sea
UI =
F ( x , y, z). Si w
=
dU>
O y - # O en ( x , , y,, z,), la ecuación
aZ
única para z en términos de
F ( x , y , z) = O tiene una solución continua y y en cierta vecindad de (x,, yo) y
a
-
ÜZ
-
ax
az
-
al.
al&
" "
ax
x
dW -
ay
-
" "
az
aW
8Z
Nota. El teorema 13.3 fue enunciado en términos de resolución respecto a la tercera variable, pero es claro que un enunciado análogo también se verifica para el caso en que resolvamos respecto a cualquiera de las otras variables. 13.4 Ejemplo. Demuéstrese que en una vecindad de (O, 2, - 3 ) la ecuación X Z ~ + ~ Z = + O ~
puederesolverse
para z entérminosde
x y y y encuéntrense
este punto.
SOLUCI~N Sea .
1u
=
F(x,y , z ) dW
-
ax
dW
-
32
=
xz3+yz+6.
ax
y
ÜZ
ay
en
Entonces
z3
=
D,F(x, y, Z)
=
D 3 F ( x , y ,Z ) = 3 x z 2 + y .
=
dz
Tenemos pues que FECI sobre R3 y D , F(O,2, - 3 ) = 2 # O. Por tanto, la ecuación puede resolverse para z en términos de x y y en alguna vecindad de (O, 2, - 3) y en esta vecindad dZ
-~
Z3
"
dX
3xz2+y
aZ
Y -
ay
-~
"
Z
3xzZ+y
'
131
El teorema de teorema 13.3
funci6n implícita
deEl teorema
la
233
la función implícita bidimensional es análogo al
13.5 Teorema. Sea F una función de R2 en R que pertenece a la clase C1 en un conjunto abierto &. Si F(xo)= O y 0,F ( x o ) # O, donde x. = (xo, y o ) € & , entonces existe una vecindad Jlr de x o , una vecindad ( y o - c , y , + c ) de y o , y una función zinica f E C1 sobre .N tal que f(xo> = Yo
y , para todo X E M ,f ( x ) ~ ( y ~ - yco,+ c ) , F(x, f ( 4 > = 0,
Y
La prueba de este teorema se sigue del teorema 13.3 si consideramos F como una funcióndefinida sobre R3, es decir, si hacemos F(x, y ) = G(x, y , 2) y aplicamos el teorema 13.3 a G (resuelto para y). La fórmula para f ’ dada en el teorema 13.5 puede también obtenerse usando la regla de la cadena. Si suponemos que f es una función diferenciable definida sobre algún intervalo abierto f tal que
F ( x , f ( x ) )= O y
D,F ( x , f ( x ) ) # O paratoda
~ € 2
entonces, haciendo g ( x ) = F ( x , f ( x ) ) para ~ € tenemos 3, 0 = $?’(x) = D m , fb))* (1 9 f ’(x)) = D 1 F(x, fW> +f ’ ( 4 D2 F ( x , f ( 4 )
De donde
Consideremos, por ejemplo, la ecuación
x2+y2-4
=
o.
Si suponemos que hay una función diferenciablefdefinida sobreun intervalo abierto 3 tal que x’+.f’(x)-4 = o, x € g entonces, tomando la deri-.ada, obtenemos 2x
+ 2f(x)f’(x)
=
o
234
[Cap. 4
reales Funciones vector de un
En estecálculono se necesitaintroducirexplícitamente la función f. Supongamos que laecuación x 2 +y2 - 4 = O define y como una función diferenciable de x sobre algún intervalo abierto y derivemos a continuación. El cálculo toma entonces la forma: x2 + y 2 -4 = O
2 x + 2 I ' -d y = o dx
dY dx
-
S
""
I'
A esto le llamamos diferenciación implícita. Según el teorema de la funcion implícita podemos ver queestafórmulapara la derivada se verifica en cualquierpunto (x, y ) sobre la circunferenciadeecuación x 2 + y 2 = 4, excepto en los puntos (2, O) y ( - 2 , O) donde D,F es O.
Problemas 1. Dado el elipsoide definido por
la ecuación
4 x 2 + 3 y 2 + z 2 - 1 2 = O. a) Dibújese la gráfica. b) Determínese el plano tangente al elipsoide en cualquier punto (xo, y,, z,) de la superficie. c) Resuélvase la ecuación para z en términos de x y y , y encuéntrense
2z
-
iiz
y -.
ax ay d ) i, En qué puntos de la superficie es le plano tangente paraleloal eje 2 ? e) Usando el teorema 13.3, determínense los puntos sobre la superficie en una vecindad delos cuales la ecuación puede resolverseen formaúnica
aZ
para z en términos de x y y y encuéntrense - y
ax
dz
-
G~
.
f ) LEn qué puntos de la superficie es el plano tangente paralelo al eje X ? g ) Determínense los puntos sobre la superficie en unavecindadde los
cuales la ecuación puede resolverse en forma única para x en términos
ax
dx
de y y z,y encuéntrense - y ay ~ 7 "
2. ¿Puede resolverse la ecuación x 2 y + sen y z = O en forma única para z en términos de x y y en una vecindad de (4, O, 3) '? Demuéstrese que
141
235
Máximos y mínimos
puede resolverse para y en términos de x y z en una vecindad de ese punto ay y encuéntrense ay -y -.
ax aZ
3. Demuéstrese que la ecuación yz2 + z + 3xy = O, puede resolverse en forma única para z en términos de x y y en una vecindad de (O, O, O). Así pues, en una vecindad de (O, O, O), la superficie puede representarse por una ecuación de la forma z = f(x,y ) donde f EC'. Determíneselareglade correspondencia para f . 4. Demuéstrese que en una vecindad del punto que se señala las siguientes ecuaciones pueden resolverse en forma única para z en términos de x y y ,
aZ
y encuéntrense - y - .
ax ay
= O; (O, 5, 3) 6) eXYZ+3z = O; (4,0, -3) e) Jx2+y2+22"2x2z5 = o; (2,\/59, 1) d ) zY-xzz+9y = O; (-3,2, 3).
a) x s e n y z - 4 2 + 6
5. Por diferenciación implícita, encuéntrese
=
- SI dx
6) x senxy+y
xy3+3xy-1 = O c) xeY+3y = O
U)
e) s e n h y + y 2 - x
dY .
d)
O
=
O
C O S ~ ~ +=X O~
J ' ) arctan Y- - y' = O X
6. Consideremos la ecuación F ( x , y ) = y 3 "x = O.
a) Dibújese la gráfica de esta curva.
b) Resuélvase la ecuación para y en términos de x. e ) Demuéstrese que D,F(O, O) = O. d ) ¿Hay algunas discrepancias entre las partes b y c ? 7. Pruébese el teorema 13.5. 14. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Enesta secciónconsideramos el problemadedeterminar los valores máximo y mínimo relativos de una función realfdefinida sobreun conjunto abierto d de R". Encontramos primero una condición necesaria: si f tiene un valormáximo o mínimorelativoen x. entoncestodaslasderivadas parciales de orden uno o son nulas o no existen en x,; podemos también demostrar que en x. todas las derivadas direccionales o son iguales a cero o no existen. En cualquier caso la condición no es suficiente para asegurar
236
vector Funciones un reales de
[Cap. 4
la existencia de un valor máximo o mínimo relativo de la función en xO. Parafunciones de R2 en R obtenemos unacondiciónsuficientepara la existencia de un máximo o mínimo relativo que puede extenderse, aunque condificultad, afuncionesdefinidassobreespaciosdemayordimensión.
14.1 Definición. La función f tiene un múximo relativo en el punto x,, si existe una z3ecindad N de xO tal que, para todo X E N n 9,-, f ( x ) d f(xo). Un mínimorelatiro deunafunción se definede modo análogo. 14.2 Definición. Los valores extremos deuna función son los máximos y mínimos relativos de la ,función. Ahoraprobaremosque losvaloresextremosdeunafuncióndefinida sobre un conjunto abierto de R" pueden ocurrir solamente en puntos donde todas las derivadas parciales de primer orden son cero o no existen.
14.3 Teorema. Si la función f dejinidasobre un conjuntoabierto c" de R" tiene un valor extremo en x O d y D , f ( x o ) existe,entonces D k f ( x O )= O.
PRUEBA.Supongamos que f tiene un máximo relativo en x,,. Entonces lím f ( x o + h ~ k ) - f J ' ( X O<) 0 h-O
+
h
Y
Como D k f ( x o )existe, los dos anteriores límites deben ser iguales a D k f ( x 0 ) . Luego Dkf(X0) = o. Si f' tiene un mínimorelativo en x o , entonces -f tiene un máximo relativo en x O .Aplicando la parte del teorema ya probada a -J obtenemos Dkf(X0) = 0. Los puntosdondetodas lasderivadasparcialesde f son cero o no existen se llaman puntos críticos de ,f. Así pues, el teorema 14.3 nosdice que los valores extremos de una función definida sobre un conjunlo abierto pueden ocurlir solamente en los puntos críticos de la función. Sin embargo, la función no necesariamentetieneunvalorextremoen cada uno de sus puntos críticos; demostraremos esto en el ejemplo 14.5.
14.4 Ejemplo. Determínense los valores extremos de porf(x,y) = 2 x 2 + 4 x y + 5 y 2 + 2 x - y .
la función f definida
141
237
Máximos y mínimos
SOLUCI~N. Como
Dlf(x,y)= 4~+4y+2 D2 f(x, y ) = 4x+ 1 0 ~ -I ,
.\i
r,.
.j
.I
=
Dl f y D,f existen en todos los puntos de R2 y, por tanto, el Único punto crítico es (- I , 4) donde Dl f y D,f son cero. Por tanto, si f tiene algún valor extremo, tal valor extremo debe ocurrir en el punto (- 1, 4) y ser f( - 1, +) = Podemos demostrar que es el valor mínimo de f. Por una rotación de los ejes, podemos escribir'
-4.
-4
2~ 2 +4xy+5y2+2x-y
= x t 2 + 6 y " - J'sx'
Así pues, f(x, y ) -$ para todo (x, y)€R2 y, por tanto, -$ es el valor mínimo de f.Las curvas de nivel de f aparecen señaladas en la figura 23.
Y' FIGURA 23
14.5 Ejemplo. Determínensecualesquiervaloresextremosde x2 3y2 definida por f ( x , y ) = - - - .
3
la función f
16
SOLUCI~N. Como D , f ( x ,Y> = + x
Y
D2f(x,
Y > = --+Y>
D ,.f y D2f existen en todos los puntos de R2 y son cero solamente en (O, O). Es pues (O, O) el Único punto crítico de f. Por tanto, si f tiene un valor
extremo, tal valor debe ocurrir en el punto (O, O) y Fer f(0, O) = O. En este
Volumen I , pág. 257.
238
[Cap. 4
vector Funciones un reales de
caso es fácil demostrar que no tiene un valor extremoen (O, O). Considerando los valores de f en los punros sobre el eje X,tenemos ,f’
f ( x , O) = 3x2.
Así pues. f no puede tener un máximo relativo en (O, O). Pero considerando
los valores de
,f’
en los puntos del eje Y , tenemos
f(0,Y ) = -&Y’, Luego f’ tampoco puedetener u n mínimorelativoen (O, O). Por tanto, no tiene un valor extremo en (O, O). Las curvas de nivel y gráficas de f están dibujadas en las figuras 24a y 24b. El punto (O, O) se llama punto de ensilladura de f . La gráfica de f tiene un plano tangente horizontal en ese punto, pero la función no alcanza en él un valor extremo.
,f’
(b) FIGURA 24
El teorema 14.3 nos indica dónde debemos buscar los valores extremos -en los puntos críticos- pero no nos dice cómo saber cuando nos hemos encontradoconuno. En los ejemplos 14.4 y 14.5 tuvimosquehaceruna investigación completa de la función, antes de poder decidir si la función tenía o no unvalorextremo en el puntocrítico. Sin embargo, hay un teorema, análogoal criterio dela segunda derivada para funciones de R en R, que nos proporciona un método sencillo para conocer cuándo,en un punto crítico, una función de R2 en R alcanza un valor extremo. Supongamos que f es una función de R2 en R que pertenece a la clase Cz enunavecindad ,4p(xo;r ) de x. = (xo, yo) y que Df(xo) = O. Entonces, para toda dirección u, D , f ( x o ) = O y. por tanto, la curva formada por la interseccióndelasuperficie z = f ( x , y ) y el plano verticalquepasapor (x,, , y,, O) y es paralelo al vect.or (u,, u 2 , O), tiene una tangente horizontal
141
239
MBximos y mínimos
en el punto (x,, y , , f(xo, y,)) (figura 25). Si f tiene un máximo (mínimo) en x,, entonces (xo, y,, f(xo, y,)) es un puntomáximo(mínimo)deesta curva de intersección.Si O,," f(xo)< O para todo u donde O,,,f = D,[D,f], entonces, por el criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos defuncionesde R en R, f tiene un máximosobrecadaunade tales curvas de intersección en x,. Análogamente, si Du,,f(x0)> O para toda u, entonces .f tiene un mínimo sobre cada una de tales curvas de intersección, y si O,,, f(xo)< O para algún u y Du,,f(x0) > O para algún otro u, f tiene un máximo en x, sobre algunas de estas curvasde intersección y un mínimo en x, sobre otras. Así pues, es de esperar que si O,,+ f(xo)< O para toda u, entonces f tenga un máximo en x, y si D,,,f(xo) > O para todo u, f tenga un mínimo en x,; mientras que si O,,, f(xo)es negativaparaalgún u y positiva para algún otro, entonces ,f tenga un punto de ensilladura en x,.
IZ
FIGURA 25
Mostraremos que, como esperábamos, es este un criterio para máximos, mínimos y puntos de ensilladura de f,pero, primero, lo transformaremos para ponerlo en términos de derivadas parciales. ~ u , u f ( x o )=
*D[u .Dfl (x01
= ~ , 2 ~ l , l f ~ ~ o ~ + ~ ~ l ~ 2 ~ 1 , Z f ' ( ~ O ~ + ~ 2 2 ~ Z , Z ~ ( ~ O ) =a u , 2 + 2 b ~ l u 2 + ~ ~ ~
donde a = D l , l f(x,),b =
f(x,),y c
=
D,,,f(x,). Si a
f
O, entonces
Vemos por esto que si a c - b 2 > O, entonces D,,,f(xo)es o positivo para todo u o negativo para todo u, según cuál sea el signo de a. Si a c - b 2 < O, entoncespodemosescoger u deformaque O,,, f(xo)sea, a voluntad, positivo o negativo. Si c # O, los resultados son los mismos. Si a = c = O
240
Funciones un reales de
[Cap. 4
vector
y b $1 O, entonces ac-b2 < O. En estecaso O,,,f(xo) = 2bu, u 2 , que puede hacerse positivo o negativo con elecciones apropiadas de u. Ahora enunciaremos y probaremos este criterio. 14.6 Teorema. Supongamos que ,f es una función de R2 en R que pertenece a la clase C2 en una vecindad Y (xo; r ) de x,, y supongamos que D,,f(xo) =
D2f(Xo) = 0. 1. Si Dl,lf(xo)D2,2.f(~0)-(D1,2,f(~0))2 > O, entonces f tiene un ualor extremo en x. : un mdximo relatiz>osi D l , j ( x o ) < O y un mínimo relatico si D , , l f ( X , ) > 0. 2. Si Dl,lf(xo)D2,2,f(~0)-(D1,2f(~0))2 < O, entonces f no tiene un ualor extremo en x,: tiene un punto de ensilladura.
PRUEBA. Tomemos un punto x o + h en la vecindadreducida .4p’(xo;r ) y sea h = (h, , h2). Usando el teorema de Taylor, pág. 219, obtenemos que para un cierto B E (O, 1) f(xo+h)-f(xo)
=
h,D,f(x,)+h2D,.f(x,)+3[h,2D,,,f’(x,+Oh) + 2 ~ , ~ 2 ~ , , 2 f ( ~ o + ~ ~ ~ + ~ 2 2 ~ Z , 2 f ~ ~
=
-t~~12~~,lf~xo+Oh~+2h,h2D,,2.f’(~o+Oh)
=
)[Ah,2+2BhIh,+Ch,2]
+h
2 D2.2 .f’(xo
+ 8h)l
donde A = D l , .f(xo + Oh), B = D l ,2.f(xo+ Oh), C = D,, .f’(xo+ Oh). Sea g = ~ l , l , f ’ D 2 , 2 . f - (,D 2 f, ) ’ ; entonces g es continuasobre Y(xo;r). I . Si g(x,) > O y D , , , f ( x , ) < O, entoncesexisteunavecindad c Y ( x , ; r ) tal que para todo x e Y ( x , ; 6)
Si tomamos x,
g(x) > 0 Y
Dl,lf’(X) < 0 .
+ h e Y ( x o ; 6), entonces x,+ OhEY(x,;
g(x,+Oh)
=
Y(xo;6)
AC-B2 > O y
D,,,f(x,+Oh)
6) y =
A < O.
Por tanto, para todo x , + h e Y ‘ ( x , ; 6),
f’(xo+h)-f(xo)
=
t[Ah,2+2Bh1h2+Ch22] 1
= - [ ( A h ,+ B / r 2 ) 2 + ( A C - B 2 ) h 2 2 ]
2A
< o. Esto prueba queftiene u n máximo relativo en x, si g(x,) > O y D , , ,,f(xo) < O. La prueba queftiene un mínimo relativo en x. si g(x,) > O y D l , l f ( x o ) > O es análoga a la anterior.
141
24 1
Máximos y minimos
2. Si g(xo) < O, demostraremosquehaydosrectas Y1 y Y2 quepasan por x. tales que f ( x o ) es un mínimo relativo de los valores de la función sobreunadelasrectas y es un máximo relativo de los valoresdela función sobre la otra recta. Si h = Ihl u = Ihl ( u , , u2),entonces
f’(xo+h)-f(xo)
=
flhl’ [ A u ~ ~ + ~ B u ~ u ~ + C U ~ ~ ] .
Sea a = D,,,f(x,), b = D,,,f(x,), c = D,,,f(x,). Como ~ E C ‘sobre ,4a(xo;r ) , para toda jh( suficientemente pequeña AuI2+2Bu1u2 + CuZ2,y por tanto f(xo+ h)-f(x,), tiene el mismo signo que aut2+2bu, u,+cuZ2, con tal queeste Último sea realmente distinto de cero. Ahora demostraremos que siempre hay dos elecciones deu = (uI , u 2 )tales que auI2+2bu, u2 cuZ2 tiene signos opuestos para estas dos elecciones. Es decir, tales que .fxo) es un mínimo relativo para una de estas dos elecciones y un máximo relativo para la otra. Consideraremos tres casos.
+
caso 1. a #
O.
Si (u1, u 2 ) = ( I , O), entonces a u 1 2+2bu1 u 2 + c u 22 = a.
Así pues g(xo) < O, para Ihl suficientementepequeño,perono cero, el signo de f(xo+h)-f(x,) será diferente cuando x , + h ~ Y ,= {xo+ t(1, O)] quecuando x,+ h E Y 2 = ( x o + t(b, - a ) } . Así pues f(xo) es un valor mínimo relativo sobre una de las rectas y un valor máximo relativo sobre la otra. Caso 2. c # O.
Este caso es análogo al caso 1, Aquí f(x0) es un valor mínimo relativo respecto a una de la rectas, Y , = {x, + t ( O , 1) } y Y, = {x, t ( c , -b)}, y es un máximo relativo sobre la otra recta.
+
3. a = c = O. Como g(xo) = ac-b2 < O, debemos tener b # O. Caso
1
Si (u1, u 2 ) = “(1, J 2 1
I ) , entonces a u I 2 + 2 b u , u , + ~ u , ~= 6 .
Si ( u , , u 2 )= - (1, - l ) , entonces a u , 2 + 2 b u l ~ 2 + ~=~ 2- b2.
JZ
de
[Cap. 4
reales Funciones 242
Así pues,para Ihl suficientementepequeño,pero nocero, el signode f(xo+h)-f(x0)será diferentecuando x o + h E Y l = { x o + t ( l , l)} que cuando xo+hEY2= {xo+ t ( l , - I ) } . Y de nuevo f(xo) es un valor mínimo relativo sobre una de las rectas y un valor máximo relativo sobre la otra. Y esto completa la prueba. Aplicamosahora el teorema 14.6 a lasfuncionesconsideradas en los qjemplos 14.4 y 14.5.
14.7 Ejemplo. ¿Tienelafunción
,f definidapor
f ( ~ , y=) 2 . ~ ~ + 4 x y + 5 y ~ + 2 x - y
un valor extremo en su punto crítico
( - 1 , +)?
SOLUCI~N Las . derivadasparcialesprimeras
y segundas de J’son
D l f ( x , y ) = 4 ~ + 4 , ~ + 2 D 2 J ’ ( x , y )= 4 ~ + 1 0 ~ - 1 =
Dl,lf(.X,Y)
Como D l f ( - I , t )
=
D , , 1 f ( - 1,
4
D,,,.f(x,y= ) 4
O, D 2 f ( - l , + )
f)D2,2f’(-
=
4,2J’(X,Y) =
10.
O, y
1, +)-(D1,2J’(- 1,
+)I2
= 24
>
4). Para ser precisos, f’ tiene 1, 3) > O.
.f tiene u n valor extremo en ( - I , relativo en ( - I , i), ya q u e D l , J(-
o, un mínimo
14.8 Ejemplo. ;Tiene la función f definida por /‘(x, y ) =
.X2
- -
3
3 y2
-
16
u n valor extremo en su punto crítico (O, O)? S O L U C I ~ Las N . derivadasparcialesprimeras D , f’(x, y )
Dl.l.f(x3.Y)= Como D l f(0, O)
4. no
=
3
=
+x
y segundas de f son:
D 2 f ( X ,y )
D,,,f(X,Y) = 0
=
,Y
-3
Dz,,J’(x,Y>
=
-P.
O, D , f(0, O) = O, y
~1,1f(0,0)~2,,f’(0,0)-(~,,,f(0,0))2 = -t
tiene un valor extremo en (O, O); f’tiene en(O, O) un punto de ensilladura.
En muchosproblemasbuscamos los valoresextremosdeunafunción sujeta a ciertas restricciones. Por ejemplo, podemos necesitar encontrar los valoresextremosdeunafunción F de R3 en R parapuntossobreuna superficie G(x, y , z ) = O. La ecuación C(x, y , z ) = O se llama restricción o ecuación de enlace. Un posible método para manejar tales problemas es el
141
243
rhAximos y mínimos
de resolver la ecuación de en12 ce para una de lasvariables en términos de las otras, por ejemplo z = g(x, y ) , y luego hacer f ( x ,y ) = F ( x , y , g(x, y)), para encontrar finalmente los valores extremos de f. 14.9 Ejemplo. Una caja reaangular sin tapaha detenerunasuperficie de área S. Encuéntrense las dimensiones de la caja de máximo volumen.
SOLUCI~N. Supongamos que la caja tiene las dimensiones x , y y z , donde z es la altura.Entonces el volumenes xyz y el áreadelasuperficiees 2 x z + 2 y z + x y = S. Deseamos,pues, encontrar el valor máximode la función F ( x , y ,z ) = x y z sujetaalarestricción 2 x z + 2 y z + x y - S = O. Resolviendo la ecuación de enlace para z , obtenemos z = - S-xy 2x+2y Sea f(x, y ) = x y
S-xy 2x+2y ~
Dlf(X,
Y) = -
Y
wk Y ) = -
. Entonces
XY
- 2 x y - 2 y 2 -S2- sx+y 2 x y (2x+2 y)2
+Y--"
2x+2y
2y2 (-2xy+S-x2) ( 2 x 2 y)'
+
XY
- -22xxy - 2 s +S2-xxyy (2x 2x 2
+2
y>2
+ X -
2x+2y
(-2xy+S-y2).
"
(2x+2y)2
Como en este problema x y y deben ser positivas, todos los puntos y son cero si y sólo si
x*+2xy-s y2 + 2 x y - s
= =
Dl f y D 2 f existen en
o
o.
Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos x2 - y 2 = O y, por tanto, x = y . Sustituyendoentoncesenlaprimeraecuación,tenemos 3 x 2 - S = O y, por tanto, -
x
=
y
=
&.
244
Funciones reales de un vector
[Cap. 4
Así pues, para x y y positivos, la función f’tiene u n valor extremo solamente
en
(Jf ,
i f ) .
Debidoa
valor máximodeseado.
la naturaleza del problema este debe ser le
Por tanto, la caja tiene volumen máximo cuando
En el próximocapítulodiscutiremosotrométodopara el manejode problemas extremos con restricciones en el que no resolvemos explícitamente la ecuacidn de enlace para una variable en términos de las otras. Este nuevo método se llama el de los multiplicadores de Lagrange. Problemas 1. Encuéntrense los valores extremos de las siguientes funciones, primero sin usar el cálculo y después usándolo. Dibújese en cada caso un diagrama de curvas de nivel y la gráfica.
b) j ( x , y ) d ) f(x,y)
a ) f ( x , y ) = x2+ y 2 C)
.f(x,y) = x2+y2+2x-3y+4
= =
Jx2 + y 2
senxy.
2. Encuéntrense los puntos críticos de las siguientes funciones e identifíqueseles comomáximosrelativos,mínimosrelativos o puntos de ensilladura. & , y ) = x3+3xl-y2+4 6) f ( x , y ) = x 2 - y 2 + 2 x - 3 y + 4 a)
c ) f ( x , Y ) = ex’ d) f ( x , y ) = x 4 - 3 x 2 - y 2 + 1 2 e) f ( x , y ) = sen x sen y
.f)f ( x , y )
=
x2+3xy+2y2-x+3
y) f ’ ( x , y ) = x2y2+x2-4y2+5x-3 h) f(x, y ) = x4 -y4 - 2x2 + y 2 5.
+
3. Encuéntrese la distancia más corta entre P
( 1 , 3 ,5 ) + ~ ( 2 , 0 , - 1 )
y
P
=
las rectas definidaspor
(2, 8, I l ) + t ( - 4 , 3 , 1 ) ;
Encuéntrense los puntos sobre las rectas que están entre sí a tal distancia y demuéstreseque la rectaquepasaporestospuntos es ortogonala las dos rectas dadas. 4. Encuéntrese la distancia más corta ecuación z = 2 x + 5 y - 3 .
del punto ( 2 , -3, 1) al plano de
5. Si f ( x , y ) = ( y -x2) (y-2x2) demuéstresequesobrecada recta que pasa por el origen f tiene un mínimo relativo en el origen. Dibújense
151
245
Resumen
las parábolas y = x’ y y = 2x2 e indiquese en qué regiones del plano f’ tiene valorespositivos y en cuálesnegativos.Dedúzcasedeesto que f no tiene u n valor extremo en (O, O). 6. Encuéntrense los valores extremos de las siguientes funciones sujetas a las restricciones que se señalan. f(x, y , Z ) b) f ( x , y , z ) U)
x ’ + ~ ’ - z , 2x-3yS-z-6
1
= ze-xy, x’ + y 2 “z = O
c) f’(x,y, z) = x’+y2+2’-2x+
=
O
I , v’x2+y’-z
=
o.
7. Determínese el paralelepípedorectangulardemáximovolumen área total igual a 48.
y
8. Determínese el paralelepípedorectangularde máximo volumen y lados paralelos a los planos coordenados que puede inscribirse en el elipsoide x2
y2
z2
2
5
4
-+-+-=l.
15. RESUMEN
Enestecapítulohemospresentado el cálc~dodiferencialdefunciones realesde un vector(tambiénllamadasfuncionesrealesdemásdeuna variable). La teoría para funciones de una variable vectorial, aunque más complicada en detalle, es unaextensión natural de la teoría de funciones deunavariablereal. La definicióndelímitedeunafunciónde un vector es formalmente la misma que la de límite para una función de variable real. Laextensiónde la derivada se efectúadefiniendo la nocióndediferenciabilidad para definir la derivada en términos de esta noción. Las derivadasdireccionales y lasderivadasparcialestambiénfueron otros conceptos definidos y se estudiaron las relaciones entre estos distintos tipos de derivadas.lLas derivadas parciales son derivadas direccionales en direccionesparticulares. Si J’ es diferenciable en un punto x entonces todas las derivadas direccionales de J’ existen en ese punto y el valor de la derivada es u n vector cuya dirección es aquella en que la derivada direccional tiene su valormáximo, y cuyalongitud esel valordeestaderivada direccional máxima. Además, la derivada def’en x es el gradiente de f en x: un vector cuyos componentes son las derivadas parciales def’en x. El cálculodelasderivadasparcialesdeunafunciónpuedehacerse calculando la derivada de una función real de una variable real. Por tanto, como los valoresde la derivada y delasderivadasdireccionalesdeuna funcióndiferenciablepuedenobtenerse partiendo de los valoresdelas derivadas parciales, no son necesarias, realmente, ningunas nuevas técnicas
246
de
reales Funciones
un vector
[Cap. 4
de cálculo. Además, la consideración de las derivadas parciales proporciona unacondiciónsuficientementesencilladediferenciabilidad: si una función tiene derivadas parciales continuas, es diferenciable.
nos
Problemas de repaso Verifíquese,usando
la definiciónde línite, que Iim
(xZ+y) = 3
(X*Yl-(l,2)
X3
S e a f ( x , y ) = ___ xy+y
Demuéstreseque
lírn
f(x, y ) =
O si (x, y ) € {(x,y ) 1 y
= mx},
I-~,Y)-(O,O)
donde m # O. Demuéstreseque
lírn
1Existe lírn f ?
~x.Y)-(o.ol
f ( x , y ) = 1 si ( x , y ) € {(x, y ) 1 y = x 3 ] .
(0.0)
Sea J'(x, y ) = -. Determínese línl lím f i x , y ) y lírn lím ./(x, y ) y+x2
¿Qué puede decirse de
lírn
x-o
y+o
y+o
x-ro
f i x , y)'?
(x,Y)-(o,o)
5. Si f ( x , y , z ) = x2 sen ( y z ) , determínense las derivadas parciales de f .
XY 6. Si j ' ( x , y ) = m para (x, y ) # (O, O) y f ( O , O) = O, determínense x +Y
~ l J ( 0 , OY) D,.f(O,O). 7. Encuéntrese la dirección y magnitud dl: la máxima razón de cambio de la función f definida por f ( x , y , z ) = 3x4y-yz2, en el punto (O, 3, 1). 8. Si lasderivadasparcialesdelasfunciones respectoa la coordenada k-ésimaexistensobre demuéstreseque
fi(i = 1, . . ., m ) con un conjuntoabierto b,
151
247
Resumen m
b ) D, I7 .fi = i= 1
1 m
j=1
fi h.
Dkfj fj
9. Si la función f de R2 en R está definida sobreuna vecindad = O para todo ( x , y ) ~ 9 ( (ba) ;, r ) , demuéstrese quepodemosconsiderar f comounafunción de unasolavariable;es decir,demuéstresequepodemosdefinirunafunción g de R en R porla regla g(x) = f ( x , y ) sobre Y ( ( a , 6); r ) .
Y ( ( u ,b); r ) y si D2f ( x , y )
10. DesarrólleselafórmuladeTaylorcon (O, O) comopunto inicial paralafunción f definida por f ( x , y ) = ex seny, incluyendotodos los términos de tercer grado.
11. Determínese laecuacióndelplanotangentealcilindrocircular recto de ecuación x2+y2 = 9 en el punto (O, 3 , 2 ) . 12. Determínese la ecuación del plano tangente de ecuación z = Jx' + 2 y Z en el punto (2, O, 2).
13. Encuéntrense los valores extremosde f(x, y ) = x 2 - 3 x y + 3 y 2 - 4 x + 5 .
al conoelípticorecto
la función f definidapor
14. Un punto x. se llama punto aislado de 6 si ~ reducidade x. contenidaen V b . Demuéstreseque de 6 es un punto frontera de 6.
~y hay € una 8 vecindad
todopuntoaislado
15. Proporciónense b , , &,, &,, b, y el conjunto de puntosaislados de 6 cuando U ) 6 = { ( x , y ) I O < x2+yZ < 16) b) 6 = { ( x , y )I x4-y4-4x2-4y2 = O} c) 6 = { ( x , y , z ) I 2 > x2+y2}
'I . 4
(x, y ) l y = s e n -
Funciones uectoriales de un uector I. INTRODUCCI~N
Una función vectorial f de unvector es una correspondencia desde un conjunto d devectoresa un conjunto B de vectorestalque para cada vector a € & hayun y sólo un vectorcorrespondiente f(a)EB; es decir, es unatransformación del conjunto d en el conjunto B. Si d es un conjunto en R" y B es un conjunto en R", entonces decimos que f es una función de R" en R". Las funciones deR en R" y de R"en R que consideramos en los dos capítulos anteriores son casos especiales de este tipo de funciones. En geometría analítica se consideran transformaciones del plano; estas son funcionesvectoriales de un vectorcondominio y rango en RZ. Por ejemplo, la función f definida por f(X,Y)
= (&Y)+(2,3)
= (X+2,Y+3) 249
250 [Cap.vector un
vectoriales de Funciones
5
es una traslación del plano;cadapunto ( x , y ) en R 2 se transforma en el punto (x+2, ~ ' + 3 en ) R2. El gradientedeunafunciónde R" en R es unafunciónde R" en R". Por ejemplo, si f(x, y , z) = x2y+yz entonces
V f k y, z ) es decir, si
f
= ( 2 x y , xz
=
+ z, y ) ;
1,212+1213
entonces
Vf
=
(211Z2, I , Z + f , , 12).
Lasfunciones 2 l 1 f 2 , l I 2 + I 3 ,e f Z sonfuncionesde R 3 en R y se llaman funciones componentes de V f . Engeneral, si f es unafunción de R" en R", entoncesescribimos f = ( f , ..., f,) donde la funcióncomponente fk(k = I , ..., m ) esla función de R" en R con dominio 9fy regla de correspondencia: fk(x) es el k-ésimo componente del vector f(x). Veremos que, como en el caso de funciones de R en R" (capítulo 3), el cálculo de funciones deR" en R" puede expresarse en términos de las funciones componentes que en este caso son funciones de R" en R. E n los problemas físicos, donde usualmente n es 2, 3 o 4 y m es 2 o 3, las funcionesde R" en R" se llamanamenudocampos vectoriales. Un ejemplo deunafunción de R3 en R3 esel campo develocidades deuna corrienteestacionaria (es decir,convelocidadindependiente del tiempo) de u n fluido. A cadapunto x del fluidocorrespondeun vector v(x): la velocidad de una partícula en el punto x. Una representación geométrica de la función v puedeobtenersedibujando enel punto x una flecha que represente el vector v(x). Sila corriente del fluido no es fija, es decir, si depende del tiempo,entonces la velocidad es unafunciónde R4 en R3: v(x, y , z , t ) es la velocidad de una partícula en el punto (x,y , z ) en el instante t. Problema
Proporciónese una imagengeométricade la función f dibujandouna flecha que represente f(x) en el punto x cuando a)
f(x, Y )
= -
-,
1
v x2+yZ
(x,
y)
b) f(x, Y ) = ( - y , x ) .
251
2. LÍMITE Y CONTINUIDAD
'\,m
Como es deesperar,dadasnuestras experienciaspreviasconlímites, f = b quiere decir que f(x) está próximo a b cuando x está próximo a, pero es distinto de, a. También como de costumbre, suponemos que a es un punto de acumulación del dominiode f. Definimosentonces el límite como sigue. 2.1 Definición. Se dice que elvector b es el limite de la función f en a, y escribimos lírn f = b o lím f(x) = b, si para cada número E > 0, hay un a
x+a
número 6 > O , tal que siempre que x esté en el dominio de f y O < Ix - al < 6 entonces If(x)- bl < E . Así pues,decimosque
lírn f a
=
b si para cada vecindad Y ( b ;
E)
de b
hay una vecindad reducida Y ' ( a ; S ) de a tal que f ( x ) s Y ( b ; E ) siempre que x € g f n Y ' ( a ; 6) (figura 1).
FIGURA 1
Larelaciónentre el límitedeunafunciónvectorial de un vector y los límites de sus funciones componentes está dada en el siguiente teorema.
b = ( b , , . . ., b,)E R", f = (J; , .. .,f,) una función de R" en R", y a un punto de acumulación de gf.Entonces lím f = b s i y a sólo si lírn fk = 6, para cada k = 1 , . .., m. 2.2 Teorema. Sea a
Omitimos la prueba de este teorema ya que esla misma que la prueba del teorema correspondiente para funciones de R en R" (pág. 00). Como un resultado del teorema 2.2, los problemas respecto al límite de unafunciónde R" en R" puedenreducirseaproblemas sobre loslímites de funciones de R" en R. Para funciones de R" en R" definimos en la forma usual las operaciones deadición,sustracción,multiplicaciónporunescalar,productoescalar y producto vectorial(solamente si m = 3) (véase pág. 104); por ejemplo, f + g es lafuncióncondominio gfn gg y regla decorrespondencia
252
vector
un
[Cap. 5
de vectorlales Funciones
[f + g] (x) = f(x) + g(x). Partiendo de la definición de estas operaciones es fácil demostrar que si f = (y,,...,f;,)y g = ( S , , . . . ,S,) entonces f+g
=
(fl+ S I , "',,,m+9,)
f-g
=
(fl
cpf =
-91
(cpf',
>
' " 1
3
. ' . > L-9,)
cp.L,,)
ni
f-g =
k= 1
fxg
./k&
= (f293-/392..f;91-f193,
.f'lg2-.fZYI)'
Usando el teorema 2.2 y el teorema del límite para operaciones sobre funcionesde R" en R (teorema 4.5, pág. 176), obtenemos el siguiente teorema.
2.3 Teorema. S i f y g son.funcionesde
R" en R"' talesque lírn f y lírn g
existen y si a es un punto de acumulación de
lím (f+ g) = lím f a
9,n g g ,entonces
a
a
+ lírn g a
a
lírn (f- g) = lírn f - líln g a
a
U
lím (f g) = (iím f ) (lím g) a
a
lím (f x g)
=
a
[ m = 31.
(lím f ) x (lím g) a
a
a
Además, si cp es unafunción de R" en R y a es unpunto de acumulación
de Bf n B q ,entonces
l í r n (cpf) = (lím cp) (lím f ) . a
a
Lanoción de continuidad puede funciones vectoriales de un vector:
a
extenderse de u n modo natural a
las
2.4 Definición. L a función f es continua en el punto a de 9, si para todo E > O existe un 6 > O tal que
If(x)-f(a)l < siempre que x e 9 , y Ix - a /
E
<6
Si a no es un punto de acumulación de %,, entonces f es continua en a. Si a es un puntodeacumulaciónde g f , entonces la definición 2.4 es equivalente a la función f es continua en a si lírn f = f(a). P
21
Limite y continuidad
253
Los siguientes teoremas se siguen fácilmente de los teoremas 2.2 y 2.3. 2.5 Teorema. La función f es continuaen a si y sólo sicada una de sus funciones componentes es continua en a .
2.6 Teorema. S i las funciones f , g y cp son continuasen a, entonces f + g, f - g, f g, f x g y cpf son continuas en a .
-
Decimos que f es continua si es continua en cada punto de su dominio f es continuasobre un conjunto Y c gf sila función restringida f9 es continua. Recordemosque f, esla funcióncondominio gfn Y tal que f9(x) = f(x) si ~ €n Y. 9 ~ El siguiente teorema es una generalización del teorema del valor intermedio(teorema 5.7, pág. 187). Probamosprimero un lema. y decimosque
2.1 Lema. Sea f una Junción continua de R" en R" con dominio 9. Si d es un abierto relativo a
respecto a 9.
R
=
f ( 9 ) , entonces f* (d) = (x I f ( x ) E d } es abierto
PRUEBA. Tomemosx o E f * ( d )y sea yo = f(xo). Como &' es abierto relativo a 92 y yo€&, existeunavecindad 9 ( y o ; E) talque 9 ( y o ; E) n 92 c d. Por otra parte, como f es continua en xo, correspondiéndose con el E hay una 6 > O tal que x ~ Y ( x6)~ n; 9 implica f(x)E9'(yo; E) n R c d . Así pues Y ( x o ; 6) n 9 está contenida en f * ( d ) , de donde f * ( d ) es abierto relativo a 9.
2.8 Teorema. Sea f una ,funcióncontinuade R" en R". Si 8 es cualquier subconjunto conexo del dominio de f, entonces f(&) es conexo. PRUEBA.Podemossuponer que € esel dominiode f. Supongamos ahora que f ( 8 ) no es conexo. Entonces existen dos conjuntos no vacíos ajenos d y 3 ambosabiertos relativamente a f ( 8 ) talesque f(&) = d u 8. De acuerdo con el lema 2.7 los conjuntos f*(&') y f*(B) son abiertos relativos a b. Además, estos dos conjuntos son ajenos y no vacíos y 8 = f * ( d u 8 )= f * ( d ) u f * ( B ) .
Esto significa que B no es conexo. Esta contradicción implica que conexo.
Problemas 1. Pruébese el teorema 2.2
2. Determínense los siguientes límites: a>
Km
(X,Y)+(l,')
( x ' y , x+y, 2 x 1
f ( b ) es
254
b)
vector de un
Funciones vectoriales
Jim
[Cap. 5
,
( I , 1 , 1 3 , I -I3)
1-1.5.2)
3. Pruébese el teorema 2.3. 4. Si lím f(x) = b, pruébese que x-a
lírn If(x)l = lb1 x-a
Y
5. Si f tiene la propiedaddeque lf(xj-f(y)/ x, ~ € 9 demuéstrese ~ . que f es una función continua.
< Ix-
y / paratodo
6. Sea f una función de R" en R" con dominio 9 y sea 8 = f ( 9 j . Si para todo conjunto at' abiertorelativamente a ,%, f * ( d ) es abiertorelativamente a 9, demuéstrese que f es continua.
7. Usando el hechodeque un intervalo en R es conexo,demuéstrese que u n segmento rectilíneo en R" es conexo. 8. Pruébesequeun conexo.
conjunto convexo(problema 8, pág. 195j en R" es
9. Demuéstresequeunacurva
punteada,pág.
110, en R" es conexa.
10. Si 8 es u n conjunto en R" con la propiedaddequecualesquier dos puntos de d puedenunirseporunacurva punteada contenida en 8 , demuéstrese que d es conexo.
3. MATRICES
Antesdeproceder a unadiscusiónde la derivadadeunafunciónde R en R", introduciremosbrevemente la nocióndematrizdenúmeros reales. Una matriz m x n de números reales, A , es una ,función con dominio
el conjunto de pares de enteros en R.
{ ( i ,j ) I 1
< i < m, 1
con rango
U n valorde la función A ( i , j ) se llama entrada de la matriz; la entrada A ( i , J ) suele también denotarse por a i j . Usualmente una matriz se
31
Matrices
describedesplegandolasentradas ejemplo
255
en una disposición rectangular;por
Nótese que el arreglo con que describimos la matriz m x nA tiene m renglones y n columnas; aij es la entrada enel i-ésimorenglón y j-ésima columna. Como dos funciones soniguales si y sólo si tienen el mismo dominio y la misma regla de correspondencia, vemos que dos matrices A y B son iguales si y sólo si tienen el mismo número de renglones, el mismo número de columnas y, además, las entradas correspondientes son iguales, es decir, A ( i ,j ) = B(i,,j). Pasamosahoraa definirlasoperacionesdeadicióndematrices y multiplicación de una matriz por un número real. 3.1 Definición. Si A y B son matricesm x n, entonces la suma de A y B
es la matriz m x n A + B tal que ( A + B ) ( i , j ) = A ( i , , j ) + B ( i , j ) para 1 d i d m y 1 djdn. La suma A + B está definida solamente si A y B tienen el mismo número de renglones y el mismo número de columnas; cada entrada de la suma se obtiene sumando las entradas correspondientes de A y B. Expresando las matrices por sus arreglos rectangulares, tenemos 011
a12
...
01,
611
61,
...
am,
am2
...
amn
bm,
brn,
... bmn
all+bll
a , , + b , ~ ...
am,+bm1
am,+brnz ’.’ amn+bmn
bln
aln+bln
3.2 Definición. Si A es una matriz m x n y r es un número real, entonces r A es la matriz m x n tal que [rA](i,j ) = rA(i,j ) para 1 i m y 1 j n
< <
Así pues
rull
r a , 2 ... r a l n
ram,ram,
... ramn
< <
256
Funciones vectoriales de un vector
[Cap. 5
Es fácil ver que, para m y n fijos, el conjunto de todas las matrices m x n denúmeros realesconestasoperacionesdeadición y multiplicación por unreal forman un espaciovectorialsobre el campo real (problema 2). La matriz m x n, O , es la matriz todas cuyas entradas son iguales a cero y - A , la inversa aditiva deA , es la matriz con entradas[ - A ] ( i , j )= - A ( i , , j ) . Ahora demostraremos que el espacio vectorial constituido por todas las matrices 1 x n de números reales es isomorfo a R"; es decir, que existe una correspondenciabiyectiva(unoauno y sobre)entre lasmatrices 1 x n y los vectores de R" tal que las operaciones de adición y multiplicación por un número real se preservan bajo esta correspondencia. Sea a = (a,, . . ., a,) el vectorcorrespondientea A = (a, . . . al,,) si y sólo si ai = a I j para 1 < j 6 n. Entonces. si a y b se corresponden con A y B respectivamente
,
a+
b
= (a,+ b , , . . . , a,+b,)
se corresponde con A + B = (u11+6,1, ..., a,,+b,,)
r a = ( r a , , . . . , r a n ) se corresponde con r A = ( r a ,
, . . . ral,,).
Como lasmatrices 1 x n tiene lascaracterísticasdelosvectores en R" identificaremos una matriz 1 x n con el vector correspondiente; las matrices 1 x n se llaman uectores renglón. De un modo análogo podemos establecer u n isomorfismo entre el espacio de las matrices n x 1 y R". Por tanto, una matriz n x 1 puedeidentificarsecon el vectorcorrespondiente en R"; a las matricesn x 1 se lesllama rectores columna.En general, el espacio vectorial consistente en todas las matrices m x n de números reales es isomorfo a R'"" (problema 6). Las definiciones dadas para laadicióndematrices y la multiplicación de una matriz por u n número real son conformes al modo habitual de sumar y multiplicarpor u n número reallasfuncionesrealesde un vector. Sin embargo,ladefinicióndemultiplicacióndematricesqueahoradaremos difiere esencialmente de la dada para la multiplicación de funciones reales de un vector.
3.3 Definición. SiA
producto de
A
es una matrizm
y B es la matriz
1
x n y B es una matrizn
m x p C tal que c i j =
"
k= I
xp,el
a i k b k j ,para
El producto A B está definido solamente siel número de columnas de A es igual al número de renglones de B. Si convenimos en denotar por a, el i-ésimorenglónde A y por b' la j-ésimacolumnade B , entoncespodemos considerar a, y bj como vectores de R" y c i j = a, * b'. AsÍ pues, podemos escribir
257
Matrices
31
3.4 \
b'
a,,,
a;
b2 ... a;
bP
Por ejemplo,
Si A es una matriz 1 x 1 podemos establecer la siguiente correspondencia biunívoca: A se corresponde con su única entrada a , . Es fácil ver que las operaciones de adicióny multiplicación se preservan en esta correspondencia entre matrices I x 1 y númerosreales.Podemos,pues.identificaruna matriz 1 x 1 con el número real que es SLI única entrada. Observemos ahora que si .4 es unamatriz 1 x n y B una matriz n x I y a y b son los vectorescorrespondientes en R", entonces el producto escalar a * b se corresponde con A B . Por ejemplo,
[-;I
( 2 , - I , 5) * ( - 3, O, 7 ) = 29 se corresponde con (2
-1
5)
=
(29).
Como u n tratamientocompletode la multiplicacióndematrices nos llevaríamuchotiempo,limitaremosnuestradiscusión a las propiedades que vamos a necesitar en nuestro estudio de las derivadas.
3.5 Teorema. Si A
es una matriz m x n , matriz p x 9 , entonces A ( B C ) = ( A B )C.
"
=
1=1
k=t
B
una mztriz n
~n
P Uik O k l C l j =
I=1
1
k=l
uik b k l c I j
xp, y C
es :117u
258
31
Matrlces
259
n-dimellsional conlas matriws I I x I ( o con las matrices I x n ) , entonces la distancia euclidiana es una norma matricial: lxi > o 5i x # o. \ I O ' = o (rxI = Ir1 1x1 lx + y1 < 1x1 + I y (desigualdad del triángulo) ~x y1 < 1x1 191 (desigualdadde Schuarz).
-
Como otro e.jemplo podemosobservarquepara vectores en el espacio real n-dimensionalpodemosdefiniruna norma vectorial (matricial)por la regla ¡ X ,= ¡ . u , l t i , u z ~ + ... +IX,,J. Que Csta satisface las propizdades(1)-(4) verificarse fricilmente. Por ejemplo l x + y l ~ = /-u,+J,I+Ix,+)',/+
de l a definición 3.7. puede
. . . +jx,+l.',ll
< l . ~ ~ l + l . l ~ l l + ! ~ ~ ~ l .+' l. ~+l-~,,l+IY,,l ~~l+
= llXl/+lIYll.
3.8 Teorema. L a firnción real definida sohrr el conjunto d de todas las r m t r i c e s de entradas reales por la regla ';AI! ( l o n r l ~A es una rrlatriz matricial euclidiana
n /
1
[2 i-1
.i,jq:z j L I
x n , r s ~rnatlornla n-ratric,iai. La Ilunmrenms
normu
PRUFRA.Si identificamos A E . ~ .matriz m x t i , con u n vectoren R"" (problema 6). entonces IIAII es exactamente la longitudeuclidianadeeste vector, 1 las propiedades ( I ) , (2) y (3) son las propiedadesfundamentales de la longitud de un vector (teorema 5.2. pág. 26). Paraprobar la propiedad (4), observamos que si C == .AB. entonces
4'
260
un Funciones vectoriales de
De donde
vector
[Cap. 5
':.4j1' IIBI,?3 ~ I A B ~ ~ '
lo que implica la propiedad (4). En lo quefaltade este libro siempre queaparezca la normade L I matrizhadeentenderse que esta es la norma matricialeuclidiana de! teorema 3.8. Finalmente, introducinlos, !a nocibn de límite para funciones matriciales (es decir, con un conjunto de matrices como rango) de u n vector. Sea F la función matricial definida por j i l ( y j ... F(y) = . . . . . . . . . . . . . .
i
donde cada función f,, es una función real de u n vector. Como es usual. enla definición de lím F que sigue suponemosque x es u n p;intO de x
acumulacicin de! dominio de 3.9 Definición. Se dice que
ia
en x, lo yzre se escribe. lím F X
F.'
nlurriz 4 cs el límite de la función matricial F A o l í m F ( y ) = A . si para u d a rtLin1ert~e 9,
=
y *x
hay un n l h e r o d > O, tal que siempre
~ €1' O9 < I y~ - x / < 6 entoncer
~:IP
~I F i y ) - .4 ,~ i: c.
N ótese que si F es una función cuyo3 valores son matrices n2 X n, entonces .4 es una matriz n i x n . 3.10 Teorema. Sea A una matriz n1 x n , F U I ,funcicin ~ cuyos : d o r e s sot? matrices I?: x n y dominio un conjwzro de rtcfores, y x un punto de acwnlrluc,iórl de SF. Entonces lím F = .4 s i ,\' sólo \i !ím fi., = uij para todo i = l . . . ni y j = 1, ..., n. L a prueba se omite ya que es la misma que la prueba del teorema correspondienteparafuncionesde R en R" (pág. 103). ,
Y
,
Y
Problemas
En esto y en lo que sigue siempresupondremosquetodos los vectore. q u e constituyen el dominio de una funclón son del mismo espacio vectorial. [N. del T.]
~
31
261
Matrices
determínense
c ) BA
b) A B e) AB+AC
B+C d ) (AB)C 0)
J') A ( B + C ) .
2. Demuéstrese que el conjunto M detodas las matrices m x n de números reales e5 un espacio vectorial sobre el campo real, pág. 37; es decir, demuéstrese que A , . A + B = B + A p a r a t o d a A y Ben M. A , . ( , 4 + B ) + C = A + ( B + C ) p a r a toda A , B y C e n M . A , . Existe una matriz O en M tal que, para toda A en M , A O =d . A , . Para cada A en M existe una matriz - A en M tal que A + ( - A ) = O. S,. 1 * A = A para toda A en M . S,. r ( s A ) = (rS)A para toda A en M y r y S en R. S,. ( r + s ) A = r A + S A para toda A en M y r y s en R. S , . r ( A + B ) = r A + r B para toda A y B en M y r en R.
+
3 Si A es unamatriz m x n e I esla matriz n x n con entradas l ( i , j ) = di,, donde di, (llamada delta de Kronecker) es 1 si i = ,j y es cero si i # j , demuéstrese que A l = A . I se llama la matriz identidad n x n. 4. Si
determínese A b .
5. SI r es u n número real, A es unamatriz
tz
x p , demuéstrese que
117
x n, yB
es unamatriz
r(AB) = (rA)B = A(rB). 6. Demuéstrese que la correspondencia uno-uno
establece u n isomorfismo entre el espacio Lectorial M de todas las matrlces HI x I? de nrimeros reales y el espacio vectorial R""'; es decir, demuéstrese que si A ti a y B +-+ b, entonces A + B ti a + b y rA c-f ra para todo número rea¡ r . 7. I>ernuéstrese que .4x
= Bx
para toda x implica A
=
B.
41
4.5
La diferencial v la derivada
263
264
de vectoriales Funciones
[Cap. 81- vector
5
41
diferencial
y ia derivada
La
265
Lo que completa la prueba. 4.1 Definición. Una función f de R" en R" se dice que pertenece a la clase Ck en vn conjunto abierto 8, lo que Pscribiremos feCh sobre 6 ,si cada una (le las funciones componentes j ) (i = t , . . . , m ) es de clase C k sobre 8 ; PS decir, si todas (as derirdas parciales k-ésimas de ji son continuus sohrcj 6 para todo i = 1, , . . , m. 4.8 Ejemplo. Si f(x, y , z) = ( x ' + y z , z sen xy). demuéstrese que f es diferenciabie en cualquier punto (x. y , z) de R 3 y determínense Df(x, y , z) y
df((X, J',
2):
(&.
6f-v, d Z ) ) .
SOLUCIÓN.El valor de la matriz jacobiana def e n cualquier punto (x, y . z j es
i.
y z cos 2x X J
-
I
.YZ
cos xp sen!' xy
).
Como la matriz jacobiana es continua en todos los puntos (x, J.. 2 ) de R3, f es diferenciable en (x, y , z ) .
Ademis.
Nótese que en el ejemplo 4.8 las únicas técnicas que se utilizaron fueron las de la diferenciación parcial. Ahoraconsideraremosalgunaspropiedadesde la diferenciabilidad de una función de R" en R". 4.9 Teorema. Si f es dijerenciahle en x, enronces f
PS
confitzua r n x.
41
id
dlferencial y la derivada
267
268
vectorlales Functones
de u n vector
5,REGIA
[Cap. 5
DE LA CADENA
51
Regla de la
cadena
269
un conjunto abierto que contiene S(&). Entonces f g es dijerenciuble sobre 6' y para toda x€& se Ljerifican las siguientes,fórmulus:
D[f :' 81 (x) = Df(g(x)) Dg(x)
5.5 I' 4 f
'
gl (x; h)
=
Df(g(x))
h)
=
df(g(x);dg(x;h)).
PRUEBA.Sea x&'. Como f esdiferenciable en g(x), existe una p x nz matriz A tal que para todos los puntos g(x) + k en cierta vecindad reducida Y'(g(x); S ) de g(x), 5.6
f ( g ( x ) + k ) = f(g(x))+[A+@(k)]kdonde
lím @(k) = O .
k-O
Definimos ahora @(O) como la p x m matriz cero O y observamos que @ es entonces continua en O. Nótese también que 5.6 se verificará entonces para todo g(x)+kEY(g(x); S ) . Como g es diferenciable y, por tanto, continua en x existe una vecindad 9 ( x ; r ) de x tal que g ( Y ( x ; r ) ) c Y ( g ( x ) ; S ) y existe una matriz m x n B tal que, para todo x + hEY'(x; r ) . 5.7
g(x+h)
=
g(x)+[B+Y(h)]h donde
lím "(h)
=
O.
h-O
Tomemos ahora x + h en .Y '(x; v ) y sea k(h) lím k(h) = O. Y de 5.6 y 5.7 obtenemos
=
g(x+ h)- g(x). Entonces
h -0
[fLg] (X+h)
=
f(g(x)+k(h))
f(g(x))+lA+@(k(h))lk(h) f(g(x))+[A+@(k(h))l [B+'i"(h)lh = f(g(x))+ABh+O(h)h.
=
=
Como
lím O(h)
h-O
=
lím [@(k(h))B+AY(h)+@(k(h))Y(h)] = O ,
h-O
f ges diferenciable en x. Usando el hecho deque B = Dg(x), obtenemos ,
A = Df(g(x)) y
D[f 81 (x) = Df(g(x))Dg(x).
Además
d[f g] (X; h) I-'
= =
IIf(g(x))Dg(x) h = Df(g(x)) dg(x; h) df(g(x); dg(x; h)).
Lo que completa la prueba.
Por 5.5 vemos que la entrada D i [ f i g] (x) en el i-ésimo renglón y j-ésima columna de D(f g) (x) es el i-ésimo renglón de Df(g(x)) por la ,j-ésima columna de Dg(x), es decir. 5.8 D j [ A 81 (x) = Djl(g(x)) * Djg(x) -I
Llamamostambiéna dondeDjg = ( D j g , , ..., Dig,,,). cadena ya que es equivalente a 5.5
5.8 la regla de la
51
271
SOLII(.I~)N 2. Podemosobtenerestos definicibn
resultados usando diferenciales. Por
d F ( ( r . U): ( h . (io))= D l F ( r . U ) d r t -
L),F ( r , U)dO.
Usando la regla de la cadena tcnemos d F ( ( r , O): ( d r , dU))= L//(g(r, O): t / g ( ( r .(I); (fir? d i ) ) ) ) = = =
D l . f ( g ( r , U ) ) d g ,((Y. O); (dr, dU)j + D z f { g ( r . . O ) ) ( l g 2 ( ( rU); , (dr, d l ) ) (cos fl dr - I' sen O (10) I1 I ,f(r cos O, r sen O ) +(sen OIIr+r cos OdO) D z , f ( r cos O, r sen O) [cosII D , f ( r cos 0. I' sen O) + sen U D,,f'(rcos O, r sen O)]dr + [ - Y sen 0 D l f'(r cos 0 , r sen U) + r cos 0 D 2 .f(r cos U, r sen U)] C/U.
Por tanto,
D l F ( r ,0)
=
D2 F ( r , 0 ) =
cox 0 D , f ( r cos O. r sen ())+sen 0 D z f ( r cos -r
sen ti D l f { r cos O, r sen O )
O, r sen O), r sen O ) .
+ r cos O D , f'(r cos O,
Usando la notación de variables, podemos escribir delejemplo 5.9 como sigue. Sea (x, y ) = g ( r . O) z = F ( Y . O ) = f { x . J ' ) . Entonces
la segunda solución cos O , Y sen O ) y
= (r
271
Funciones vectoriales de u n w x r
;Cap. 5
Ademas,
El resultado se escribiría mronces
('2
-
i0
=
-
r sen 0
?.Y c4z
--
7
cos íi
L';
-
?j,
.
llustramos ahora el uso de la regia de la cadena para !a determinación de las derivadas de orden mayor.
F = ,f. g donde g (r. O ) = (Y cos 0, r sen S). proporciónese una expresión para D 2 , ,F en terminos de las derkadas parciales de .f. Se supone que las deribadas parciales de segundo orden de .f son continuas.
5.10 Ejemplo. Si
Regla d e la cadena
51
iF
-
i r
= cos
$1'
273
¿f '
0 p + sen 0 <'.Y
Flegla de la cadena
51
275
y con las variables omitidas p ) r brevedad. 5.13
5.14
donde las funciones a la derecha estiin evaluadas en (x. y. /'(x. y ) ,.9(x, y)). Ademis D,g(x,.r.) =
Di/l(X,J'.
/(x.
I?))+
Usando S. 12 y 5.15, obtenemos
5.16
9. Demuéstrese que 11 = F ( s - u t ) + (;(x k u r ) ,donde F y 6' son funciones arbitrarias con derivadas parciales segundas continuas, satisfacena l ecuación de onda
10. Si
11
= F ( s -J-, J.-
:.
demuéstrese que
:-S)
dl1
-
ax
+
611
ay
+ 211 = O. cz
11. Demuéstrese que la ecuación
toma la forma
.z
(3
11
+ i 211 = O bajo el cambiodevariables: ~
?S2
(t"
12. Si u,
L'..Y y
J.
están relacionadas por l a s ecuaciones
.YJ'l{-yr2+.Y~
=
o
4L12+2L'2-x3). =
o
x = e',
J
=
e'.
61
279
Superficles
ill r'u
ill &r encuéntrense -, ,, ?.u
--,
T,
O)'
?.Y
ill -.
ir
--
C'L' c'z
6. SlJPERFICIES
E n el estudio de ias superficies nos enfrentamos con u n problema atlidogo a uno con que nos encontramos al discutir las curvas: unasuperficie, i,qué va a ser'!, ; u n conjunto de puntos o una función? En conformidad con nuestro tratamiento de las curvas elegimos definir una superficie como unafunción o, lo que es equivalente, u n conjuntodepuntos descrito de una forma particular. 6.1 Definición. Una superficie en R" es una fi/ncidn continua de un subconjunto conexo de R 2 en R" . Nosostros aquí vamos a considerar tan solo superficies en R 3 y, por tanto, el término "superficie" significará una función continua de RZ en R 3 . Asociadoaunasuperficie f siempretenemos u n conjuntodepuntos en R 3 : el rango de f. Podemos considerar la superficie como este conjunto de puntos descrito enla forma particular determinada por f. Denotamos por ello a unasuperficie por Y, por ejemplo, y decimosque Y es la superficiedescritapor f. Si Y estádescrita por f, entonceslaecuación x = f(u, 1') se llama ecuación paramétrica de Y. Por ejemplo, si f tiene como dominio Q = {(u, u) I U € [ O , 2x1, U € ( - m , m ) }
y regla de correspondencia f(u, r)
= (a cos
u, a sen u, P ) . donde a > O ,
entonces la superficie descrita por la transformación f de d es el cilindro con ecuaciones paramétricas x = a c o s u , y = a s e n u , ~= c ;
u ~ [ O , 2 n ]P, E ( - C D , m ) .
Podemos ver que 9 es u n cilindro circular de radio a con el eje Z como eje observando que la distancia del eje Z a cualquier punto (x,y , z) en Y es ,/x
2
+y2
=
-
,;'a2 cos2 u + a 2 sen2 u
= u.
Bajo la transformación f de la faja vertical Q, cada recta vertical u = u. en B se transforma sobre la recta vertical =
((acosu,,asenu,,~)~v~(-w,w)}
6.2 Ejemplo. Encuéntrese t.!plano tangente a l cilindro circular de radio 1 ~~
SOLUCI~N El. cilindro
csln
descritopor a l transformación
f i l l . I') = (COS I / .
Así pues. el planotangente
al cilindro en
S , 10) 2 ~~
~~~
sen
ii, i
i
).
- -
2 '
2
con normal (1.1,0). Una ecuacibn
61
283
Superficies
implícita de este plano es
x -1 y
+ \,'2 = o
Una ecuación vectorial del plano tangente es
y las correspondientes ecuaciones paramétricas son
Una claseimportante de superficies son lassuperficiesderevolución Sea V unacurva enel plano X 2 dadapor las ecuacionesparamétricas: x = g ( r ) , y = O,
z
=
h ( r ) , donde
LEY.
FIGURA 4
Entonces, paracualquier c0 fijado, l a circunferenciaobtenida al hacer girar el punto x. = ( g ( r 0 ) ,O, A(q,)) alrededor del eje Z (figura 4) tiene ecuaciones paramétricas: x = g ( t l 0 )cos
u, y
= g(ao)sen
u, z
= h(uo),
donde UE[O, 2x1.
El parkmetro u esel ingulo de rotación alrededor del eje Z medido desde l a dirección positiva del eje X (u = O corresponde al punto xo). Haciendo girar todos los puntos de % alrededor deleje Z , obtenemoslasuperficie
Superficies
FiGURA 6
J
= bc sen L I
z =
t 2 c o s 2 r r , L i E [ 0 , 2 7 ? ] , lre[o.m).
285
u ) Determínense la4 curvasC-coordenadas > las curvasIJ-coordenadas % ," . b ) Digase ccimo se forma el cono por la transformacicin f de 6 . c ) Encuéntrese el plano tangente del cono en el punto (O, I , 1 ). u') ;,Tiene el cono un plano tangente en (O, O, O ) ? %,*(;
2. Determínese el plano tangetlte a la superficie 5" en el punto x. cuando a) 9 es el cilindro circular de radio L O alrededor del eje Z : x,, = (5, 2. 5,12, O). b ) Y es l a esfera de radio c) Y
y
,2 alrededor del origen;
x.
es el paraboloide hiperbólico de ecuaciones S = I ' cos 24 1: = usen u 2 = f . * C O S ~ U , U€[(). 2711, [ . € [ O . m ) x0 =
=
(i, \i' , I ) . ,2
-
2
,( 2 , ,,2, O ) .
u') Y es el elipsoide de ecuaciones S
y
X() =
= 2
cos 1: cos u
(O. 1, O).
3. Demuéstrese queuna esfera es la superficie de revolucióngenerada por la rotación de u n circulo alrededor de un diámetro del círculo. 4. Demuistrese que u n oro es la superficie de revolucicin generada por la rotacicin de una circunferencia alrededor de ~ l n arecta que no intersecta a l a circunferencia.
S. Determínense ecuaciones paramétricas para las superficies generadas por la rotación de: u ) una elipse alrededor de su eje mayor. h ) una parábola alrededor de su eje, c.) unaparábolaalrededor dc ¡a recta que pasa por s u vértice y es paralela a s u directriz, N ' ) una parabola alrededol. de siL] directriy. 6. Determínese la curvaque es la intersección de las superficies dadas por las ecuaciones: -y3 -- ,;+ 3 = ()
Y
xj-z-2
= (),
71
Lagrange
289
de Multiplicación
Si definimos una función H de R"+k en R por t i ( x , , ..., x,,
A , , ..., Ak)
donde ( x , , . . . , x,)€& y
;.,E
=
F ( x , , ...) x,)
k
+ 1 iiCi(X,, i- I
..., x,)
R, entonces
y, por tanto, las relaciones 7.2 se verifican si y sólo si DH(x,) = O . Así pues, parece que un valor extremo de F sujeto a las restricciones Gi(x) = O puedeocurrirsolamente en u n punto x = ( x I .. .. , x,) solamente si ( x I ,..., x,, I , , , .. ., A k ) es un punto críticode H paraalgunosvalores i i ( i = 1, . . ., k ) . Los parcimetros Ai se llaman multiplicadores de Lagrange. Demostraremosque este método es vilidopara el caso especial en q u e n = 3 y k = I.
7.3 Teorema. Supongamos que t-4'G sonfi~ncione.~ de R 3 en R quepertenecen u la clase C ' en un conjuntoubierto 6 y DG es distinta de cero en (4;. Si x,, = (x,, J,, zo) es un punto en 6 en el 41re F tiene un raior extrenlo sujeto u lu restricción G(x) = O, entonces, para algúncalor de )., (x,,, g o , z,,. A) es un punto critico de H ( x , y, Z,lb) = F(x,y. z)+iG(x.
13,
z).
PRUEBA.Supongamosque F restringido a la superficie .Y descritapor (;(x) = O tiene u n valor extremo enel punto x,. Como DG(x,) # O . una de las derivadas parciales de G es distintadecero en x,,, digamos D , G(x,) # O. De acuerdo con el teorema de la función implícita, pág. 229. existe una vecindad . 1' de (x,,, y o ) y una función y € C ' sobre . 1 tal que g(x,, y,) = z ~ y. , para todo ( x , , v ) E . ~ '
'-
Y
G(x, .Y> g(-LL.)) = O
290
vectorun Funciones vectoriales de
[Cap. 5
7.4 Ejemplo. (Véase pág. 243.) Unacajarectangular sin tapa ha de tener una superficie deárea S. Encuéntrense las dimensionesde la caja que le
darán el volumen miximo.
S O L U C I ~ Supongamos N. que la caja tiene dimensiones x, y y z donde z es la altura. Deseamos encontrar el valor máximo de xyz cuando esta función está sujeta a la restricción 2xz+ ~ J T +x y - S = O. Sea
H (x, J.. z. 2.)
+ i.(2 xz + 2yz + xy
= ,Y)'Z
-
S).
Paraencontrar
los puntos criticos de H debemos resolver las ecuaciones
7.5
D l H ( x , J,z. i ) u, H ( x . J., z. i )
= J,Z+2RZ+lLJ3
=
o
.rz+2/iz+i.x
=
O
=
D , H ( X , J .2. , i ) = xJ~+2i.x+2i.y =
D,H(x,y.
Z,
2 ) = 2 ~ ~ + 2 ~ + x y=- O. S
De la primera ecuación obtenemos 7.6
o
27.A
=
, ,'.7 -
~~
-
/..y .
Sustituyendo esto enla segunda ecuación tenemos xi
J'Z
~
- ;.y
(i+Z) .
> 1.
+ ;.x
(x-y)
= =
o
o.
Así pues. L = - 2 o ,Y = J.. S I = "z, entonces la ecuación 7.6 implica que z = O. Así pues, i = - 2 no da lugar al valor extremo deseado. Tomando 1, = x , la terceraecuaciónde 7.5 implica que 3, = -$x. Entonces, de la prifnera ecuación de 7.5 obtenemos z = +x. Así pues, la última ecuación
291
MultLagrange plicación de
71
de 7.5 toma la forma 3x2 = S y, por tanto, x = Estas son las dimensiones de l a caja de volumen máximo.
7.7 Ejemplo. Determínese el valor mínimo dez para puntos sobrelacurva que es la intersección de la superficie descrita por z = J3x2 + 8 y 2 + 4 y el plano de ecuación x + 3y-:: = O (figura 8).
FIGURA 8
S O L U C I ~ NDeseamos . encontrar el valorpositivomínimodelafunción F definida por F ( x , y , z ) = z sujeta a las restricciones 3x2+ 8 y 2 - z 2 + 4 = O y x t 3 y - z = o. Sea
H ( ~ ,z ,~A , ,
= z+a,(3X2+8y~-z2+4)+~2(x+3y-z).
Para determinar los valorescríticosde H debemosresolverlassiguientes ecuaciones : D l H(x,y , Z , A , , i2) = 6x1, + = i, O D 2 H ( x , y ,Z , 1 , , A 2 ) = 16yA,+3i2 = O 7.8 D , H ( x , y , Z, 21, 2 2 ) 1-221, - 1 2 = O D 4 H ( ~ , y , z , A 1 , A= 2 )3 x 2 + 8 y 2 - z 2 + 4 = O D , H ( x , y , 2 , A , , A,) = x + 3 y - z = o. Multiplicando la tresprimerasecuacionespor y sumando, obtenemos
x, y
y z , respectivamente,
~A,(~x~+~JJ~-z~)+A~(x+~ = ~O.- z ) + z
1
292
un vector
vectorlales de Funciones
[Cap. 5
Usando las últimas dos ecuaciones de 7.8, tenemos z = 8 i , . Susti~uyendo esto en a l terceraecuacihn de 7.8, obtenemos 2, = I - 16L,'. Luego. según las dos primeras cc~~aciones de 7.8, \enlos que y
= í6;.i2-- 1
6i,
y
?;=
48j.,'-3 1o i
,
Sustituyendo estob Lalores de .Y. 1' : en l a última ecuacicin de 7.8. obtenenlos = t 414 385. C'omo sol,mentc estamosinteresados en __ valorespositivos de 2 , tomamos z = ,'385. Basindose en consideraciones geométricas es ficil ver que éste es el valor mínimo deseado.
2,
~
Problemas 1. Encuéntrense los valores extremos de las siguientes funciones sujetas a las restricciones que se indican:
C)
F(X,J',Z)
= X+J'+Z;
X z - + J ~ 2 + z 2=
1.
2. Úsense los multiplicadores deLagrangeparademostrarque distancia más corta desde el punto (.Y,,, . I , " , zo) al plano ax+ h?;+ c.:+ d es la distancia perpendicular.
3. Determínese el paralelepípedorectangulardevolumen superficie de área igual a 48.
la =
O
miximo con
4. Determínese el paralelepípedorectangulardevolumenmáximoque q2 ,'Z zz
puede inscribirse en
el elipsoide
(I
+
h
+
C-
=
1.
5. Demuéstrese quesi x , y , z son no negativos. entonces F(x, y, z) =
6. Demuéstreseque entonces
si todos los
i= I
s i
(i = 1 , . . . , n ) son no negativos,
n
i=1
81
curvilineas
293
Integrales
7. Encuéntrense los puntos más cercanos al origen de la intersección del hiperboloide de una hoja x 2 + ~ ' - z 2 = 1 y el plano 2 x + y + z = O. 8. INTEGRALES CURVLLiNEAS
En esta sección discutiremos un tipo de integral que seusaen muchas aplicaciones físicas. Es éstaunaintegralde una funciónvectorial de un vector a I o largo de cierta curva en el dominio dela función. Para simplificar l a discusión de tales integrales, nos restringiremosa la consideraciónde funciones y curvasque son del tipoque con más frecuencia ocurren en las aplicaciones físicas. Sea (6 la curvadescrita por la transformación x de [a,h] unacurva lisaen R": es decir, supongamosque x' es continua y distinta de cero sobre [a,h]. Sea f una función de R" en R" que es continua sobre un conjunto abierto que contiene a S. 8.1 Definición. Lu integral cuvvilínea de f u lo largo de la curru lisa W 1'
j:6
f-tlx
J
,'h
=
f(x(l)).x'(l)dr.
u
Como supusimosque x ' es continuasobre [u, 61 y que f es continua sobre S'. la integral que aparece en el segundo miembro existe. 8.2 Ejemplo. Evalúese ¡a integra¡ cur\ilínea semicircunferencia descrita por
S
=
cos 1, y
i: =
8.3 Ejemplo. Evalúese la integral cuwilínea
arco de La parkbola
J. = .y2
(.y2,
2 x y ) * d xdonde
esla
sen t , (€[O, z].
( ~ * , x ) * ddonde x W es el
desde (O, O) hasta (2, 4).
294
i i
y
(:2,4,
FIGURA 9
SOLUCI~N L a. curva ‘c (figura 9) tlene una representación paramétrica = t , y = f 2 . /€[O, 21. Así pues,
S
Laintegralcurvilínea
deunafunción
curva ‘t se escribe frecuentemente entonces es natural escribir
).
‘6
f-cix
=
.j.
%
i.
./
f
( , I , ,fi) , a lo largodeuna
=
1’1x c i + J 2 t i f . Si hacemos dx = ( d x , cly),
b,
(J’, , f 2 ) . ( d X , d y )
=
[ ./I
&’
%
dx+f, dy
Además, si la curva ‘G esta descrita por las ecuaciones x = x ( t ) , J. = y ( t ) , [ € [ a h, ] , entonces la integral curvilínea de f ’ a lo largo de V está definida por la integral de Riemann
Así pues, en
i:
,/; tix + 1; d y podemos considerar tix y (/J. como dlterenciales,
y esta notación nos guía en una evaluación correcta de la integral curvilínea. I Obsérvese que no se ha probado l a independencia de la representación paramétrica. [ N . del T.]
81 curvilíneas
295
lnregrales
Así, en el ejemplo 8.3 deseamos evaluar la integral curvilínea
donde %? está descrita por x
=
t,
=
t 2 , [€[O, 21.
De la definición de integral curvilínea y de las propiedades de la integral de Riemann es fácil deducir que
g-dx. (f+g).dx = f-dx + Si W es la curva lisa descrita por la ecuación x = g(t), t E [ a , 61, entonces denotamos por - V la curva “recorrida” en dirección opuesta a la de la V; es decir, - V está descrita por x = g ( - f ) , t E [ - 6, - a ] . Entonces,
J
J;.
Y,
1-6
f.dx
Haciendo
= -
obtenemos
= -t
J
J::
f(g(-t)).g’(-t)dt.
j-% j‘ ~4
f.dx
f(g(u)).g’(u)du
=
b
= -
[
”
%
=
-
1:
f(g(u))*g’(u)du
f-dx.’
Además, si la curva %? está compuesta de las curvas si V se trazaprimero V, y después ‘ X 2 ) , entonces
jq jv, + j f-dx =
f*dx
‘X, y V2 (es decir,
fwdx.
‘%.I
’
Quizllconvengaprecisarunpoco mis. Si V es la curva dada por g : [u, b]--+R”, entonces - % es la curva dada por h : [ -b, -a]+ R” tal que h ( r ) = g ( - r ) . De acuerdo con las definiciones dadas y el cambio de variable r : [ - b , -a] -+ [u, b] tal que r ( t ) = --I, se tiene : !-%
f*dx= =
1’
-U
f(h(rj).h‘(r)dr =
-h
-
-
j‘ f(g(t))*g’(r)(-dt) =
lab b
=
-
i
v
f(g(t))*g‘(t)dt=
-
f(g(-r))*g’(-rjdr
-- bO
j:.
f(g(t)).g’(t)dt
296
Fcinclones vectcrrlales d e un vector
x
[Cap. 5
81 curvilineos
297
Integrales
(6 I tiene como ecuación 1, = + x donde x va de O a 3. Podemos usar x como u n parámetro para esta curva: x = x , J = :x, xe[O, 31. Entonces
La curva - K 2 tiene la representación paramétrica: x 31. Entonces
,YE [ 1
~
2XJ. du
+ x L dj, =
"
-% 2
3.Y? d.U + x2 1lp
=
s. y = 5 - $(x-- I ) ,
Funclones vectoriales de un vector
298
8.6 Ejemplo. 9.x2+4.\,'
=
Evalúese
1
J '/
+
riu + ( S I )
[Cap. 5
donde (6- es e1 arco de la elipse
36 desde (2. O) hasta (O. 3j.
S O L ~ J C I ~ Usaremos N. el teorema 8.5 para evaluar esta integral. Si x+ 1 ) e5 l a derivada de una función q. entonces debemos tener D , g ( s , y ) = y y ecuación D z g ( x ,y ) = .Y+ I . Considerando D ,g(x, y ) = J conlouna diferencial en la que J' es una constante. vemos que (J?
8.7
g ( x . y ) = .x>.+q(y).
Además. D 2 g ( x .J . ) = x + 1 implica que 8.8
g(x, y ) =
.Yj+J+$(.X).
Así pues. si tomamos q ( y )= J. y $(x.)= O y. por tanto, g ( x , J . )= ,xy+y. vemos quetanto 8.7 como 8.8 se satisfacen. Es fácil verificar quepara esta función y U g ( s . y ) = ( J *.Y. + 1 1 .
Luego
Tenemos el siguiente corolario al teorema 8.5.
81
curvilíneas
299
Integrales
8.9 Corolario. Supongamos que f es continua sobre un conjunto abierto d y f = Dg sobre 8. Entonces, si $? rs una curva cerrada lisa a trozos en 6 ,
Ji
f.dx
=
O.
PRUEBA.En el teorema 8.5 noexigimosque los puntos extremos x 1 y xz fueran distintos. Si %? es una curva cerrada, entonces los puntos extremos coinciden y tenemos
js
f-dx = g(x,)-g(x,)
=
o.
L
Podemosusarestecorolarioparademostrarque
2 x y d x + x 2 dy = O
donde V es la frontera del triángulocon vértices (O, O), (3, 2) y (1, 5) (ejemplo 8.4). Si (2xy, x 2 ) esla derivadadeunafunción g , entonces D , g ( x , y ) = 2xy y D,g(x, y) = x2. La ecuación D , g ( x , y ) = 2 x y implica que g ( x , y ) = x2Y+cp(Y) y D,g(x, y ) = x' implica que
g(x,Y ) = x2v+$(x). Si tomamos cp(y) = O = $(x), entonces g ( x , y) que la derivada de g es ( 2 x y , x'). Por tanto [v2xydx+x'dy
=
x'y. Se verifica fácilmente
=o.
No toda función continua de R" en R" esla derivada de una función de R" en R. Consideremos, por ejemplo, la función f definida por f(x, y ) = (2xy, x3). Si f fuera la derivadadeunafunción g , entonces D , g ( x , y ) = 2xy y D , g ( x , y ) = x3. La ecuación D , g ( x , y ) = 2xy implica que 8.10
g ( x , y ) = X2Y+Cp(Y)
y D,g(x, y ) = x 3 implica que
8.1 1
g(x,y) =
X'Y+$(X).
Claramente no hay función alguna que pueda satisfacer simultáneamente a 8.10 y 8. I I , por tanto, f no es la derivada de función alguna. La expresión f dx se llama diferencial exacta sobre un conjunto abierto6 de R" si hay una función g de R" en R tal que f = Dg sobre &, y, por tanto,
f(x) dx
=
Dg(x) dx = &(x; dx).
300
Funclones vectoriales de u n vector
[Cap. 5
81 curvllineas
Integrales
301
g(x) no depende de la eleccicin de la curva %. Consideremos ahora u n punto particulbi x en A y sea V, una curva lisa a trozos de x. a x que pasa por A . Como ri' es abierto, hay una vecindad JV(X: 6) de x contenida en R. Entonces, para 1/71 < (5 el segmento rectilíneo
(6, = {x+rhu, I t € [ O , I ] ] ; donde uk denota el vector unitario en la dirección del eje X,,se encuentra en 8. Sea V3 la trayectoriacompuestade y %j2. Tenemosentonces
=
Izfk(x+Ohukj paraalgún UE(O, 1).
donde el último paso se obtuvo al aplicar el primer teorema del valor medio para integrales. Así pues, como f es continua sobre 8 ,
es decir, Dkg(x) = , f i ( x ) . Esto demuestra que Dy f dx es una diferencial exacta sobre 6.
-
=
f sobre c" y, por tanto,
Problemas
1%
1. Evalúense las siguientes integrales curvilíneas: U)
(XJJ',
X
b)
X).
dx donde %? es el arco de la elipse :
=cos t, y
j,&
=
3 sen t , t ~ [ O , n ]
( ~ , , ~ ) . donde d x % es el arco de la hiperbola : x=cosht,y=senht,t~[-l,2]
1-
C)
J
(X,
v X
d)
J
'y
y).dx donde % es e l arco de la parribola :
=
t 2 , y = r, t ~ C - 2 ~ 2 1
( x y , z 2 , yj * tix donde % es el arco de la hélice cilíndrica :
x =cos
r,
y
=
sen t ,
z = t,
t~[O,21s]
302 ej
jld
un
(.x* Y
17,
1
*
x
+
vector
de vectorales Ftinciones
[Cap. 5
y:, x + 3 J ' ) . tix donde % es el arco de la cilbica alabeada :
J*,
= t> .=
t'.
2
r'. r ~ I 0 . 2 1
=
x y (/.u + 7 ciJ.+sz A ;donde E e>!la curva : x = f.
J'=
f,
z = f', f€[-3,31(.
2. Evalliense las siguientesintegralescurvilíneas: II j
1
L
b)
c)
.)
J'tíx %
't
1
la recta y =
1 6
.x dx
+3
+ y t l y donde W es el arco de la curva y = x 3 de (2,8) a (O,O) r :
sen x de (O, O)
a (71/2,1)
3 x y dx +(xy2 + y ) riy donde %'es el arco de la curva x - y 4 = O
desde (1, I ) a (0,O).
3. Evalúenselasintegralescurvilíneas
/.
,%
xy dx
+
(J .i/6
LiJj
+ 3)clx +(x - 2)dy e
cuando
es la frontera del rectángulo con vértices (O, O), (2, O), recorrida en dirección levógira. h ) % es ía circunferencia x = cos t , J' = sen t , T E [ O , 2x1.
a) 'cl;
-
4. Determínese si sí o no f dx es una diferencial exacta:
f(x, y ) h ) f(x, y) a)
2x
de ( - 1 , l ) a ( 2 , 7 )
( x + y ) d x + x2 d y donde V es el arco de la curva y
dit
d )
+ x 2 dy donde Vi es el segmentode
= (x+
3, ?'- 2)
= (y- 2 , 2 x )
c j f(x, y, z j d) f ( X , J ' , Z )
=
(x+y, 22, yz)
= (2xz+21', 2x,x2+3).
(2, 1) y (O,
1)
91
303
mecánica Aplicaciones a la
5. Evalúese la integral
J
( 2 x y 3 + 2 x ) d x + ( 3 x 2 y 2 + l ) d y , cuando V es 0
el arco de la cicloide : x = t - sen t , y
6 . Evalúese
-y -d x x2+y2
=
1 -cos t , t e [O, 2x1.
+ =dyX
x +y
cuando
es la circunferencia unitaria: x = cos t , y = sen 1, t E [ O , 2711, b) %’ es la circunferenciaunitariarecorrida dos veces: x = cos t , y = sen t , te[O, 4 n ] , c) %? es la circunferencia: x = 3 +cos t , y = 2 sen t , ?€[O, 2711. a) %
+
9. APLiCACIONES A LA
MECANICA
Supongamosque F es un campode fuerzastridimensional; es decir, F es una función que asigna a cada punto x de alguna región (5” de R 3 la fuerza F(x) queactuaríasobreunapartícula en este punto. Deseamos definir el trabajo hecho por el campo de fuerzas almover una partícula a lo largo de una curva %? en B. El concepto básico de trabajo hecho por una fuerza al mover una partícula de una posición a otra es el componente de la fuerza enla direccióndelmovimiento por la distanciarecorrida. Sea % unacurva lisa descrita por la ecuación x = x(t), t e [ a , b ] . Enel punto x(t) e! componente de la fuerza en la dirección del movimiento es
x‘(t)
x’(t) es un vector tangente unitario enla dirección F(x(t)) -donde Ix‘(t)l
Ix’(t)l
del crecimiento del parámetro. Así pues, si tomamos una partición ( t i I i = O, . . . , n > del intervalo [a, h], el trabajo hecho por el campo de fuerza al mover unapartículaa lo largode %? sería aproximadamente
1 F(x(ii))*x’(ii)Aitdonde n
Ait
=
t j - t i _ , y tiE[ti-l,
ti]. Si estas sumas
i=1
aproximativas tienden a un número cuando la norma de la partición tiende a cero, entonces ese límite es, por definición, el trabajo hecho por el campo defuerzas.Suponiendoque F(x(t)) x’(t) es continuaatrozos,sabemos que tal límite existe y es la integral
Iob
F(x(t)).x’(t)dt=
Así pues, el trabajo
hecho por
i:
F-dx.
un campo de fuerzas F al mouer una partícula
a io l a r g o d e una curva % es, por de3nición, la integral curvilíneu
1%
Nota. Para asegurarnos de la existencia de la integral curvilínea!
F . clx.
f
%
F-dx
91
a
Aplicaciones
la mecánica
305
Esta es la ley delaconservacióndela energía: si el cumpo de fuerza es conservativo, la suma de la energía cinética y de la energía potencial es una constante. Si U es una función potencial para F, entonces F = -DU. Esto implica que en un punto x la fuerza es ortogonal a la superficie que pasa porx sobre la que U es constante. Tal superficie se llama equipotencial.
9.2 Ejemplo. En un punto x la fuerza que actúa sobre una partícula de masa m debida al campo gravitacional terrestre, es F(x) = - m(0, O, 9). Demuéstrese que este campo de fuerzas es conservativo. SOLUCI~N Deseamos . demostrarque hay unafunciónpotencial que - D U = F. Es este el caso si y sólo si
D ,U
=
O,
D, U
=
O,
D, U
U tal
= mg
Una solucióndeestasecuaciones es U ( x , y, z ) = mgz. Así pues,este campodefuerza es conservativo. Las superficies equipotenciales son planoshorizontales.
9.3 Ejemplo. Supongamosqueunapartícula de masa m convelocidad inicial (a,O, b) y posición inicial (O, O, O) se mueve bajo la influencia del campogravitacionaldefuerzas F(x, y , z ) = “(0, O, g ) . Verifíqueseen este caso la ley de conservación de la energía.
SOLUCI~N. La partícula se mueve de acuerdo a la ley de Newton F Así pues, si x(t) denota la posición de la partícula en el tiempo t ,
= ma.
x ( t ) = (O, o, - g ) X ( t ) = (a, o, -gt+b) x(t) = (at, O, - f g t 2 + b t ) .
En cualquier tiempo t , como U ( x , y , z ) = mgz,
+miv(t)I2+(/(x(t)) = + m ( a 2 + g 2 t 2 - 2 b g t + b 2 ) + m g ( - t g t 2 + b t ) = +m(a2+b2).
En un campo de fuerzas conservativo una partícula está en equilibrio estable en los puntos donde la energía potencial tiene un mínimo relativo. 9.4 Ejemplo. En el campo gravitacional defuerzas F(x, y , z )
=
determínense los puntossobre la superficie 9 x 2 + 4 y 2 - y z + 4 una partícula de masa m estaría en equilibrio estable.
-
m(0, O, g)
=
O donde
S O L U C I ~ NComo . la función potencial es L’(x, y , z ) = mgz donde m y g son positivos, determinaremos dónde z tieneunmínimorelativo.Resolviendo
306
vector un
[Cap. 5
vectoriales Funciones de
la ecuación de la superficie para z,vemos que lo que hemos de son los puntos en que 1
f ’ ( - & Y ) = 4.v
+
tiene u n mínimo relativo. Igualando
-
Y
encontrar
(9x2+4)
a cero la derivada de f’, tenemos
FIGURA 11
y, por tanto, x
=
Oyy
=
i 1 . Como
la expresión D l j ’ D , , , f - ( D , , 2,f’)2 es positiva en los puntos (O, 1 ) y (O, - I). Además, D , f(O, 1 ) > O y D l ,I f(0, - 1 ) < O. Por tanto, f tiene u n mínimo relativo en (O, 1) y u n máximo relativo en (O, - 1 ) . Por tanto, elÚnico punto de equilibrio estable sobre la superficie dada es el (O, 1, 8).
,,
L a gráfica de la superficie aparece bosquejada en la figura 1 1 .
Demuéstrese que este campo de fuerza es conservativo. ¿Cuáles son las superficies equipotenciales ? Verifíqueseque en el punto(2, I , 2) la fuerza es ortogonal a la superficie equipotencial que pasa por (2, I , 2). Encuéntrese la máximarazónde cambio del potencialen el punto (2, 1, 2). Si unapartícula sólo puede moversesobre la cúbicaalabeada x([) = ( t , t 2 3, t 3 -2), determínense los puntos de equilibrio estable.
+
Si F es un campo de fuerzas conservativo definido sobre un conjunto abierto y conexo,demuéstresequecualesquierdosfuncionespotenciales de F pueden diferir solamente en una constante. 3. Supongamos que la fuerza que actúa sobre una partícula de en el punto x es F(x) = -mkx, donde k > O.
masa
m
Demuéstreseque F es conservativo. b) Verifíquese laley de conservación de la energía para este campo de fuerzas. c) ¿Cuáles son las superficiesequipotenciales? d ) Encuéntrese el trabajo hecho por F cuando la partícula se mueve desde el punto ( I , O, 3) hasta el punto ( - 2, 1, 5). e ) Si la partícula sólopuedemoverse sobre el elipsoide x’ 3 y 2 +4z2 = 12, encuéntrense los puntos de equilibrio estable. a)
+
4. Supongamos que la fuerza sobre una partícula en el punto (x, y , z ) es
F(x, Y , z ) = ( Y , -x, O). ;Es conservativo este campo de fuerzas? 6) Encuéntrese el trabajo hecho al mover una partícula desde el punto ( I . O. O) hasta el ( - I , O, O) a lo largode la mitadsuperior de la circunferenciaunitaria enel plano X Y . c) Encuéntrese el trabajo hecho al mover unapartículadesde(1, O, O) a (- I , O. O) a lo largo del eje X. a)
5. Si unapartículademasa m sujeta al campogravitacionalterrestre sólo puede moverse sobre la elipse (~X+J’+Z)~+Y’ =
I,
2x-3y = O,
determínense los puntos de equilibrio estable.
308
10. RESUMEN
Estudiamos el c á l c ~ ~ l diferencial o de funciones vectoriales de L I I M variable real enel capítulo 3 y el defunciones reales de un vector enel capítulo 4. Enestecapítulocompletamosnuestradiscusi6n dcl crilculo diferencial considerando el casogeneral defuncionesvectorialesde un vector. Como los fundamentqs de este caso general se siguen fácilmente del material estudiado en los capítulos 3 y 4, en este capítulo no hemos tenido realmente mucho nuevo que aprender. Después de discutirlos fundamentos del cálculo diferencial, consideramos algunas aplicaciones de las funciones vectoriales de u n vector. La superficie se definió como una funcihn de R 2 en R3. Con el fin de discutir a l aplicaci6n física a los campos de fuerzas4 al trabajo, introdujimos la integral curvilínea de una función vectorial a lo largo de una curca. Es esta esencialmente una integral unidimensional. Enel pr6ximo capítulo consideraremos integrales múltiples; es decir, integrales defunciones reales sobreconjuntosde dimensión mayor que uno.
Problemas de repaso 1. Determínense Dfen x cuando a)
f(x, y , 2)
=
(cos xz, y 2 z). x
6) f(x,y) = (In
=
(2, I , 1)
lx+)>l.2xy-3), x =
2. Encuéntrensetodas orden de f cuando
f(x,y) = (&S-<,,
(3, -5).
lasderivadasparciales
deprimero
eXiY).
Si u, r , x y y están relacionadas por las ecuaciones xu2 - 1 . 2 1' = - 2
encuéntrense
du
zll aL'
21'2
u + .xy11 =
5
u'u
, -, - Y ax ay ax dy
-
-
f
4. En la hipótesis de que J' es diferenciable, exprésese
2- f (.xy - x , xz+ y ) dx
en términos de las derivadas parciales de f .
y segundo
1 o1
y
309
Resumen
5. En la hipótesis de que g es diferenciable, si u r senh U, demuéstrese que
=
g(x, y ) y
=
x
=
r cos 8,
6. Determínese el planotangentealparaboloideelíptico x = 11 cos u J = 3~sen u z = c.2 , U € [ O , 2711, L.€[O, m ) en el punto ( - 2, O, 4).
7. Dada la elipse 3x2+ 2 x y + y 2 = I con centro en el origen, encuéntrense sus puntos más lejanos del origen, determinando así su eje mayor. 8. Evalúese
i:
y dx + 2 x d y cuando
es la frontera del rectángulo con vértices (3, -2), (3, 2), (- 3, 2) y (- 3, - 2) recorrida en dirección levógira. b) esla elipse x = 3 cos t , = 2 sen t , t € [ O , 2711.
a) c4/
9. Sea F un campo de fuerzas definido por F(x) =
-
k 7 x, donde k > O.
1x1
Demuéstrese que F es conservativo. b) ¿Cuáles son lassuperficiesequipotenciales? c) Verifíqueseque enel punto (3, 2, 5) la fuerza es ortogonala la superficie equipotencial que contiene a (3, 2, 5). d ) Encuéntrese la razón máxima de cambio del potencial en el punto (3, 2, 5). e ) Encuéntrese el trabajo hecho al mover unapartícula desde el punto (3, 2, 5) hasta el (1, O, - 4). , f )Si una partícula está reducida moverse a sobre el elipsoide a)
X2
-
4
+ y’ +
Z 2
-
9
=I,
encuéntrense puntos cualesquieraen los que la par-
ticula estaría en equilibrlo estable.
Integrales múltiples 1. INTRODUCCI~N En laintroducción
de Riemann,
1
b
[
b
al cálculohemosestudiado
la integral(definida)
,f = J'(x)dx, de una funclón real de variable real. En este J. J. capítulo consideraremos la generalización del concepto de integral a dimensiones más altas " p a r a funciones reales de diversas variablesrealesy a conjuntos que son más generales que intervalos. Comenzaremos primero con la extensión en dimensión y posteriormente consideraremos integrales sobreconjuntoscerrados y acotados.Aunquelaextensiónadimensiones más altas aumenta el problema del cálculo de la evaluación de la integral, la generalización es directa y natural. La extensión es tanto deinterés matemático como de importancia considerable en las aplicaciones. Comen31 1
31 2
[Cap.
mútiples
Integrales
6
zaremos con la dimensión dos, dondeel cuadro geométricoes completamente claro. La generalización a dimensiones arbitrarias es luegounfácil paso.
2. INTEGRALES DOBLES Definiremos primero la integral definida paraintervalos en R2. En anteriorescapítulosencontramosconveniente‘tomar el interiordeuna esfera n-dimensionalcomonuestrageneralizaciónde un intervalo unidimensional. Nos estábamosocupandode vectores y la distanciaentre puntos y el interior de una esfera es la generalización’ natural del intervalo en este caso. El interior de una esfera nos proporciona una generalización de la vecindad unidimensional que es expresable en términos de distancia de un modo sencillo : ,J~’(x,; 6) = (x jx -xo[ < S}. Aquínosocuparemos de los componentes de los vectores y consideraremos nuestro espacio como un producto cartesiano de espacios unidimensionales. Para nuestros propósitos presentes es más conveniente y natural convenir en que nuestros intervalos son rectángulos.
I
2.1 Definición. Si a = ( a ,, a,) y b = ( 6 , , b 2 ) con a , < 6 , , a, 6 b, , entonces el intervalo cerrado [a, b] en R2 es el conjunto de todos los puntos x = (x, y ) € R2 tales que a,
6 x 6 b, Y
a,
d b,.
El intervalocerrado [a, b] en R 2 es un rectángulocon vértices en los puntos ( a , , a , )(,b , , a 2 ) ,( b , , b,) y ( a , ,b,). Los lados del rectángulo son paralelosa los ejes coordenados (figura 1). Laslongitudesde los lados de [a, b] son los números b, - a , y b,-a,. Si b , - a , = b, - a 2 , entonces [a, b] es un cuadrado. Y
I
I
a1
bl
x
FIGURA 1
2.2 Definición. El áreadelintervalo
[a, b], denotada p o r A([a, b]), es,
21
313
Integrales dobles
por definición, el producto de las longitudes de los lados, es decir,
bl)
=
@,-a,)(b,-a,).
Si [a, b] es unintervalocerrado en R, definimos unapartición P de [a, b] como un conjunto finito de números x,, x,, . . ., xk tales que a = x, Q x, < . .. < xj- Q xj < ... < xk = 6. Denotamos una partición de [a,b] por P = {xj 1 j = O, 1, . . . , k } , y definimos la norma o malla de P, lo que escribimos IPI, por
,
IPI
=
máx
{ X ~ - X ~ l -j ~=
1, ..., k } .
Generalizaremos estos conceptos para intervalos .en R2. 2.3 Definición. Sea [a, b] c R2 con a = ( a , , a,) y b = ( b , , 6,). S i P , = {xj,I,jl = O, 1, ..., k , } es una partición de [ a , , b,] y P, = {yj,I.j2 =:
O, 1, .. , , k,} es una partición de [a,, b2], entonces
P
=
P,
X
P,
= { ( x j 1 , y j 2l)j , =
O, 1, ..., k, ; j ,
=
O, I , ..., k2)
se dice quees una partición de [a, b] y dejinimos la norma de P,escrito I PI ,por
IPI
=
m i x {IPl
I
>
IP2lI.
Así pues, una partición P subdivide alrectángulo [a, b] (figura 2) en ciertonúmeroderectángulosmáspequeños.Lanormade lapartición es la mayor de las dimensiones (largo o ancho) de todos estos rectángulos más pequeños y mide la finura de la partición. Si la partición P , subdivide a [ a , ,b,] en k , subintervalos y P , subdivide a [a,, b,] en k, subintervalos, entonces P = P , x P , subdividea [a, b] en k = k , k, subintervalos. Los subintervalosbidimensionales de [a, b] obtenidosporunapartición P de [a, b] puedenenumerarseconsecutivamenteydenotarsepor gi con i = 1 . . ., k donde k = k , k , . La figura 2 ilustraunaparticióndeun intervalo [a, b] de R2 con k, = 5 y k , = 4.
.
IY
31 4
Integrales múltiples
[Cap. 6
Sea f una función real que está acotada sobre [a, b] de modo que hay números m y M tales que m 6 f(x) < M para todo x€[a, b]. Definamos mi(f) =
2.4
ínf { f (x) I x E gi}
M , ( J ’ ) = sup{f’(x) 1 x € g i }
El supremo de un conjunto Y de números reales, denotado por sup Y (o lub Y), es un número c tal queparatodo X E Yx, < c y si b < c entonces hay un X E Ytal que x > b ; es decir, el supremo de Y es una cota superior de Y y cualquier número menor que é1 no es una cota superior de Y. El ínfimo de Y, ínf Y (o glb Y), se define de un modo análogo. Es una propiedad básica del sistema de los números reales que todo conjunto novacío Y de números reales tiene u n supremo si Y está superiormente acotado, y tiene un ínfimo si Y está inferiormente acotado. Comoestamossuponiendoque estáacotadosobre [a, b], M i ( f )y n z i ( f ) existen para todo i = 1. . . . , k, y ,f
2.5
m
< m ( j 7 < Mi(f) < M .
La definición de una integral la daremos en términos de sumas de siguientes tipos :
los
k
L ( f ;P> =
1 i=
mi(f)A(gi)
1
Y
donde A(9ti) esel área del i-ésimosubintervalo g i enla partición P. Llamamosa L ( f , P ) “sumainferior”, y a U ( f , P ) “sumasuperior” correspondientes a la partición P. Estas sumas tienen una sencilla interpretación geométrica para funciones no negativas en u n intervalo [a, b] en R2, aunque debemos recordar que la sola restricción que hemos impuesto sobre nuestras funciones es que han de ser acotadas. La gráficade unafunción nonegativa y acotadasobre u n intervalo [a, b] aparecerepresentadaen la figura 3. Lasumainferior k
L(f; P ) =
ml(f’)A(gl)+
es la sumade los volúmenesde superior
... + m k ( f ) A [ g ’ , ) =
1 mi(f)A(gi) i= 1
los paralelepípedosinteriores.
U ( L P ) = M l ( f ) A ( 9 1 ) + ... + M k ( f ) A ( 9 t k = )
La suma
1 Mi(j’)A(&) h
i= I
es la suma de los volúmenes de los paralelepípedos exteriores.
31 5
X
Y
/ b FIGURA 3
De acuerdo con 2.5, si f’ está acotada sobre de [a, b], entonces
1 mA(W i= k
mA(Ca, b l ) =
1
d
[a, b] y
P es unapartición
1 mi(f’)A(%j k
i= 1
o bien
Sea P el conjuntodetodas lasparticiones del intervalo [a, b]. La desigualdad 2.6 se verifica para cada partición P en P y nos muestra que el conjunto de todoslos números { L ( f ,P) I P E P }-el conjunto de todaslas sumas inferiores obtenidas tomando todas las posibles particiones de[a, b]tiene una cota superior; a saber, M A ( [ a , b]). El conjunto (L(f, P) I P E P } tiene, por tanto, un supremo. Análogamente, el conjunto { U ( f , P ) 1 P E P } tiene una cota inferior mA ([a, b]) y, por tanto, { U ( f , P ) 1 P E P ’ )tiene un ínfimo. Este supremo y esteínfimo son suficientemente importantes para que introduzcamos nombres y símbolos que los denominen y denoten.
31 6
[Cap.
múltiples
Integrales
f se l l a m a integral inferior de j sobre [a, b], y
integral superior de f’ sobre [a, b] . La discusión que precede a esta definición establece de
jab Ib si
f’paratodas las funciones
f’ e
c
6
f se llama la existencia
que son acotadas en [a, b].
,f’
a
P y P’ sonparticionesde un intervalo [a, b], P c P‘ significa que cada punto de división de P es también un punto de división de P‘. Cuando éste es el caso, P’ se dice que es un refinamiento de P. Demostraremos que ningúnrefinamientode una particiónhacedecrecer la suma inferior ni aumentar la suma superior. Enunciado en forma precisa, probaremos que para toda función acotada , f :
2.8 Lema. Si P c P‘, entonces L ( f , P )
< L ( j , P’) y
U(f’,P’) ,< U ( f , p ) .
PRUEBA. Si P = P’ el lema es obviamente cierto. Supongamos que P = P , x P, y P‘ = P I ’ x P2’, con P # P’ y P c P‘. Supongamos también que P I # P , ’. Sea x,’ el primer punto de división de P I ’ que no está en P , . Entonces,para algún I, x I - ,< xj’< x [ . Definamos P I por =
{
~
Y
~
P’
~
~
=
l
~
~
~
~
~
x
i
-
~
~
~
P,’xP,.
,
Las subregiones 9, limitadas por x I - y xI están, cada una, divididasen dos partes distintas por la inserción de x j ’ . Un caso particular de esto aparece ilustrado enla figura 4. Y
b
I I
O
a1
I
1
XL-lXj
I
X¿
FIGURA 4
I
l
b,
X
j
‘
~
~
l
21
31 7
Integrales dobles
Y
Mi**(f) =
ínf (f(x) 1 x€Wi**).
De la definición de m , ( / ’ )se deduce que mi (f)< m,* (J’) y mi(J’) dm,**(f). Por tanto rni(f) = n q ( f ’ ) A ( g i * ) S m i ( f ) A(%!i**) 6 r n i * ( f ) A(B?,*)+m,**(f)A @ , * * ) de donde
L ( f , P ) = M,(f)’4(2,)+... +rni(f’)A(L%,)+ ... + r n k ( f ) A ( L % k ) < r n , ( f ) A ( B , ) +... + m , * ( f ) A ( W ; ” ) +nq**(f)A(.%;**)+
... + m k ( f ) A ( g k ) .
Hay un número finitodesubregiones &?i queestánsubdivididaspor la adiciónde x j ‘ . Luego, por repetición del anterior argumento u n número finito de veces, tenemos L ( f ,P ) d L ( f ,P I ) . Repitiendo todo el proceso un número finito deveces, podemos añadir todos lospuntosdeP,’ que no están en P , y en la misma forma podemos añadirlos puntos de P,’ quenoestán en P,. Así obtenemos Líf’, P ) < L(f,P’). De una forma análoga -con todas las desigualdades que aquí aparecieron invertidas- obtenemos que U ( f , P ) >, U(f,P’). Aplicamos ahora el lema 2.8 junto con 2.6 paraobtener lasiguiente importante propiedad sobre integrales superiores e inferiores.
2.9 Lema. S i j es acotada sobre [a, b], de [a, bl, ”b
p> 6
Ja
J’
-
PRUEBA.
Como
6:’
= sup
Jab
Análogamente,
f
entonces, para cualquier partición -
J
*b
6
P
a
Y d W;
PI.
{ L ( f ,p ) I P E 4 p , se sigueque L ( , f ;p ) 6
< U ( J ; P).Queda, pues, pormostrarque
jab Y.
lah :p
-
J’
Sea P = P , X P, y Q = Q , X Q , un par cualquiera de particiones de [a, b] y sea P‘ = ( P I u Q , )x ( P , u Q 2 ) . Es claro que P c P‘ y Q c P’, es decir, que P‘ es un refinamiento tanto de P como de Q. Luego, de acuerdo con el lema 2.8,
L(f,P) G
U f ,P’)
y
U(f>P’) 6 U(f,
Como, según 2.6, L ( j ,P’) d U ( f , P’), tenemos L(f> P) d U(f,
e>
e,.
31 8
[Cap.
múltiples
Integrales
6
P y Q de [a, b]. Así pues,paratoda
para cualquierpardeparticiones
, 1 P €9'). Como partición Q, U ( j ;Q) es una cota superior de { L ( fP)
el supremo de ( L ( f , P ) 1 P Eg},
j:
/ '
< O ' ( f Q)
1:
,f'
es
para todo Q E Y,
-
-
e Jab /'es una cota superior de {U(,/, (2) I Q € Y } . Como de-jU(f, Q ) 1 Q E Y ) ,
1;
-
f
<
,f.
J b a
-
Esto completa la prueba. Definimos ahora lasfuncionesintegrable5 una función integrable sobre u n intervalo.
y la integraldefinida
de
2.10 Definición. Una fimcidn .f sobre [a, b] se dice que es (de Riemann) integrable sobre [a, b] si J' es acotada sobre [a, b] e
jab f'
-
j;
f.
Si ,f es inregruble sobre [a, b] entonces la integral definida (de Riemann)
de f sobre [a, b], escritu
lab
jy
'b
,f; estú de$nida por -
/'=
jy , / ' = I) 'b
'mb
-
a
/'.
Puede también usarse para denotar la integral de f'lanotación
.c
!'(x) dx.
La integral deunafunción f sobre u n intervalo [a, b] c R 2 se llama integraldoble. El término "doble" se refiere a la dimensión del intervalo[a. b]. Las notaciones
B'
f ( x ,y ) d x d y
e
[l
f ( x , y )d A
se usan a veces para denotar la integral doble de f'sobre [a, b]. El siguiente resultado es una consecuencia directa del lema 2.9.
21
2-11 Teorema. Si f esintegrablesobre cualquiera de [a, b], entonces L ( J ;P ) PRUEBA.
31 9
Integrales dobles
<
[a, b] c R2 y p es una partición
lab
f d
u(J;P )
De acuerdo con el lema 2.9, para cualquier partición p de [a, b],
lab < jab < -
Uf, p> < Como f es integrablesobre
-
[a, b],
f
f’
jab
f =
J:
U(f, P ) .
f y el teoremasigue.
Este teorema muestra que cualquier suma inferior es una cota inferior para la integraldefinida y cualquier suma superior es una cota superior. Ilustraremos el método parala aproximación al valor de la integral mediante el cálculo de las sumas superiores e inferiores.
X 2 =
f ( x , y ) = 5-+(x’+y2) FIGURA 5
2.12 Ejemplo. Supongamosque sobre [a, b] donde a = (O, O) y b
f ( x , y ) = 5 - + ( x 2 + y 2 ) es integrable =
(4, 3) (lo que
más adelante sabremos
que es cierto). Calcúlese en forma aproximada S O L U C I ~ NSea . P = P , x P , donde P I = {O, 1 , 2 , 3 , 4 ) y P , = ( O , 1,2,3}. Esto está ilustrado en la figura 5. Como la función es monótona decreciente
[Cap. 320
múltiples
Integrales
6
2.13 El nilmero aproximar
i [U(j",P ) jab
L ( f , P)]es una cota superior del error cometido al
,f' por f[L(.f; P ) + U ( . f ; P ) ] . Así pues,en
nuestro ejemplo el
error al tomar como valor de la integral el de 39.2 es menor que o igual a t(47.6 - 30.8) = 8.4. La aproximación es -como el aspecto de la figura 5 nos sugiere- mucho mejor que esto. En realidad, el valor de la integral es 40. A continuación demostraremos que una función acotada es integrable sobre el intervalo [a, b] si y sólo si la diferencia entre una suma superior y la suma inferiorcorrespondientepuedehacersearbitrariamentepequeña. 2.14 Teorema. Una función acotada f ' es integrable sobre [a, b] s i y sólo si para cada E > O existe una partición P de [a, b] con la propiedad de que
U(f>P ) - L ( f , PI < E .
21
Integrales dobles
PRUEBA.Supongamos que para cada con el lema 2.9,
E
321
> O una tal P existe. De acuerdo
-
-
J’;
Como U(f, P ) - L ( J ; P ) < E, se sigue que
y .f es integrable
sobre [a, b]. Recíprocamente, supongamos que f es integrable sobre [a, b] . Entonces f = sup {L(f, P ) } = ínf { U ( J ; P)}.Luego
para cada
E
> O existe una partición P’ tal que
Jab
E
f ” L ( , J P’) < 2
y una partición P 2 tal que
u(j;P’)
-
jab f’ -. <
E
2
Aií adiendo estas dos desigualdades obtenemos U ( f , P 2 ) - L (f,P’) <
6.
Luego, para todo refinamiento comim P de P1 y P 2 , U ( f ,P ) - L ( f , P )
< U(f,P ’ ) - L ( f , P ’ )
<
E.
Y esto completa la prueba. De acuerdo con el teorema 2.14, vemos que siempre es posible aproximar integrables definidas por medio de sus sumas superiores e inferiores tanto como deseemos. Problemas
1. Encuéntrese el área del intervalo [a, b] si
a) a = e) a =
(1,2), b
(-2, - I ) ,
=
(3, 5 )
b = (1, 3)
b) a = (O, O), b = (3, 4) d ) a = (-3, I ) , b = (2, 1).
2. Sean a = (O, O), b = ( I , 2), y f(x, y ) = 2 x + y . Encuéntrense L(,f; P ) y(/(f,P)cuandoP=P,xP2siP,={O,~,3,~,I}yP2=~0,p,l,t,2). 3. Supongamos ”como es el caso- que las funciones que a continuación aparecensonintegrablessobre los intervalosdados. Demuéstrese que: a)
2Q
J’.”
f’ Q $, si
a = (O,O), b = (1, I ) , f ’ ( x , y ) = x f y
Integrales múltiples
322
[Cap 6
3. PROPIEDADES Estableceremos ahora algunas propiedades doble
jah
BASKAS
1
(/+g) =
* a
'h a
,/'
bitsicas de la integral
f que son anilogas a Iaa propiedadesbásicas
.f'+g es i n t e g r a b l e sobre [a,b] e
DE
ja / ' + .)
a
de la integral
y.
3.4 La función ,f es integrable sobre [a, b] si y sdlo si las jirnciones f" y ,f' dejinicias por las reglas , J + (x) =
{,/'(x)si f(x) 3 O O si /(x) < 0
1
son unlbas integrables sobre [a,
=
O si f ( x ) > O - j ' ( x ) si ./'(x)< o
b].
3.5 Si la firnción / es integrable sobre [a, b], entonces sobre [a?b].
f2
es integrable
31
de
básicas Propledades
lah f
323
3.6 Si las Jimcionesf’y g son integrubles sobre [ a , b] entonces el producto fg es integrable sobre [a,
3.1 Si las junciones
b].
,f
1
y g son integrables sobre
todo x E [ a , b], entonces
?b
fb
.f
a
robre[a,blrija
fl
b] y f(x)
< g(x) p a r a
f
es integrable
y.
a
[a, b], entonces
3.8 Si la junción f’ es integrablesobre “b
[a,
I/.¡.
PRUEBADE 3. I . Sea P unaparticióncualquiera de [ a , b] y denotemos por % iel i-ésimosubintervalode la partición P. Si c O, entoncespara todo i tenemos mi(cf) = inf {cf(x) I x e R i ) = c ínf {f(x)
I
XE:%?~}=
cmi(J’>
de donde L(C/:f;P )
=
1 rni(c.f’)A(.‘Ri)= 2 k
h
i= 1
i= 1
cnli(f)A(Bj) = cL(f;P ) .
De donde se sigue que -
Análogamente, para c 3 O
1,”
-
c,f’ = c‘
lb
J^.”
Como f se supone integrable sobre [a, b] ,
jb
-
a
J~
1’=
-
a
=
a
cf
=
j” a
y cf’ es también integrable sobre [ a , b] con
jy
J’.
c
jab J
Si c < O, entonces mi(cf)
= ínf {cf(x)
1 xe?,}
= c
sup {f(x) 1 ~ € 2 = C~M )~
Y M i ( c f ) = SUP {cf(x)
1xegij
= c
inf (f’(x) I x E % ~ )
=
( ~ )
crni(f).
324
Integrales múltiples
[Cap. 6
En este caso
De nuevo, como J' se supone integrable sobre [a, b].
j;
?:" j; -
(.f. =
<
-
.f' =
c
jab -
j , = < Jab
.f'
=
-
cj
y en este caso c j ' e s también integrable sobre [a, b] con
PRUEBA DE 3.2. Para cualquier partición P de [a, b], L(c, P) = cA([a, b]) =
U(c,P ) .
De donde, según el lema 2.9,
y vemos que c es integrable sobre [a, b] con c = rA([a, b])
Jab
.
Antes de probar 3.3 estableceremos el siguiente lema.
3.9 Lema . Si J' y g están
acotados sobre [a,
b], entonces
r b
PRUEBA.Sea P unaparticióncualquierade [a, b] y denotemos por g iel i-ésimo subintervalo de la partición. Para todo i tenemos mi(.f'+9) = ínf {J'(x)+g(x) 3 ínf {f(x)
I
x&¡}
1
x&¡}
+ ínf jg(x) j
= rni(.f)+m,(g)
Y
De estasdesigualdades
se sigueque
si P' y P 2 sonparticionesde
[a, b]
Propiedades básicas
31
de
1:
f
325
y P es un refinamiento común de P’ y P 2 , entonces
e
Como estas desigualdades se verifican para P I , P’EY arbitrarios, tenemos Jb
(f+g) 3
-a
1:
-
j:
S+
-
PRUEBADE 3.3. De acuerdo con
e
g
j;
-
-
(f’+g)
<
$.”
f+J:g .
el lema 3.9 tenemos
j; j; jab -
1:
j; j.”
g.
Como f y g sesuponenintegrablessobre [a, b], en estarelacióndebe verificarse la igualdad y f + g es integrable sobre [a, b] con
jab la f +j; b
(1’+9>=
v
9.
PRUEBA DE 3.4. Probaremos que 3-14)
U(f,P)-L(f, P )
=
[ U ( f + , P ) - W + , P)I+[U(J”, p)-L(f-,
Lapropiedad 3.4 se sigueentoncesde 3.10 por unaaplicación teorema 2.14. Sea P unaparticiónde [a, b]. Probaremosprimeroquesobrecada intervalo W i
M,(f)-rn,(f’)
3.11
=
M,(f+)-l?l,(f’+)+M,(f-)-m,(f’-).
Consideraremos tres casos: Caso 1.
rni(f)
3 O. Aquí
M,Cf+) = Mi(f),
.zi(f+) =
q(f),
Mi(f-)
=
m&-)
=
o
y 3.1 1 se verifica. Caso 2.
M i ( f ) d O. Aquí
Mi(f+= )
r n i ( f + ) = o,
Mi(f-)
=
y 3.1 1 se verifica también en este caso.
-m,(f),
n?,(f-) =
-Mi(f)
P)1. del
[Cap 326
múltiple;
6
Integrales
y , d e nue\o, según el teorema
?.fa, !'es integrable sobre
[a, b]
Antes de probar 3.5 en e l caso general, lo probaremospara especial.
PRUEIM.Sea P una particibn de [a. b]. Para todo subintervalo
Por tanto,
u n caso
4,.
327
31
Como / es integrable sobre [a. b], según el teorema 2.14 ha de haber para cada F > O unapartición P de [a, b] talque el segundomiembro de la anterior desigualdad es menor que c . Luego, de nuevo según el teorema 2.14 f“ es integrable bobre [a, b].
P K L J ~ HDAE 3.5. Tenemos f’2=
(j’”J-12
== ( , f ’ ” ) ” f ” / ”
=
+(.f-)2
(,j’+y+(j”y
puestoque al menos uno de los dos, f” (x) o J (x), es cero para todo xe[a, b]. Por 3.4, , f t y .f” sonintegrables sobre [a, b], luego,según el lema 3.12, ( f ” ) 2 y ( , j - j 2 sonintegrablessobre [a, b]. La integrabilidad de se sigueentonces ;le 3.3. ~
PRUEBA DE 3.6. Scghn 3.3 y 3.2, ,f’+y y /‘-y son integrables sobre [a, b]. Luego,por 3.5, (,f’+g)’ y (./”y)’ son integrables sobre [a, b]. La integrabilidad de se sigue entonces de 3.3 y 3.2 observando que
,fu
.fi= ,‘[J’+y]’
-
4[J”y]’.
PRUEBADE 3.7. -Es claro- que f(x) ,< ,q(x) para todo
J
’b
-a
<
j jh j’ “b
-
a
y y
a
./’6
a
xE[a, b] implica
lab
y. Como / . y y se hansupuestointegrables,
cualquiera de las anterioresdesigualdades se sigue que
de
”h
f’
4’
a
xE[a, b], /’*(x)
PRL:EBA DE 3.8. Comoparatodo .f(x) = f”(x)-f’-
Y
(x)
-/‘(x, = -f’(s,+f”(x)
< f’+(x)+.J’
,< f-+;x,+f’-
Oy
(x) = l.f(x)l
(x)
=
/.f(x)l.
Por3.4, f’” y , f - sonintegrables sobre [a. b], y por 3.3 I f sobre [ a , b]. Por 3.7 tenemos
Combinando estas dos desigualdades tenemos
1 ./,I Jab
<
jab If’l .
O, tenemos
(x)
es integrable
328
4. INTEGRALES SOBRE CONJUNTOS ACOTADOS EN R'
En estasecciónextendemos la definicióndeintegralde acotados más generales 6 en R Z.
f a conjuntos
4.1 Definición. Si f' es una,funcióndejnida y morada sobre un conjunto acotado G" c R', definimos la ,función f, por la regla fc(x) =
i
xt8 x€%&
j ' ( x ) para O para
donde % 6 , el complemento de 6 ,es el conjunto de todos los puntos d e R2 que no están en G . Nota. Recuérdesequehemosusado anteriormente la notación JC para denotar la restricción de una función f'a u n conjunto 8 c 9,, es decir, , f G ( x )= ./(x) para x&. En este capítulo usamos la misma notación para denotar la función que es igual af'sobre R y cero en cualquier otro punto.
c
4.2 Definición. Si d es un conjunto acotado et? R', si [a, b] es un intervalo e11
R' t a l que 6 c [a, b], y si
El valorde
i,f'
1:
,fa
=
existe,entoncesdejnimos
Iab
fk' [a, b]. Si así no
/ n o dependede la eleccióndelintervalo
fuera estaintegralnoestaríadefinida.Para mostraresto necesitamos primero probar que la intersección de dos intervalos es o u n intervalo o el conjunto vacío. Sea
Y
[a'. b'] [a',
=
{(x,y) 1
a,'
d bl', a'' d y
b2] = { ( x , y ) I a l L < x d b , ' ,
Entonces
[ a ' , b'] n [a', b']
=
a*'
< b,'}
d b,'}
[a" b3]
donde los componentes de a3 y b3 están definidos por ai3 =
máx
( a , ' ,u i ' j
y
6:
=
mín (bi', b,')
Si b , 3 < a l 3 o h,3 < a Z 3 ,entonces [a3,b3]
=
(i
=
1, 2).
4.
Sean [a', b'] y [a', b'] dos intervalos que contienen B . Entonces 8 c [a', b'] n [a', b'] = [a" b3]. Esta relación está ilustrada en la figura 6. Como &(x) = O para aquellos puntos de [a', b'] que no están en [a3,b3]
329
IY
b1
b2
a1
X [a2,b2] %‘([al,bl]) FIGURA 6
la3 la.
y para aquellos puntos de [a’, b’] que no están en [a” b3],
ja,.fe ‘b‘
hJ
=
J8
hz
=
f8.
4.3 Ejemplo. Sea 8 = {x I X E [ O , I ] , )€[O, 11, y x, y racionales). Demuéstrese
que
J
1 noexiste. 8
S O L U C I ~Tomemos N. a = (O, O) y b = ( I , 1). Entonces 6 es el conjunto de todos los puntos en [a, b] conambascoordenadasnúmeros racionales. La función 1, está definida por
Sea P una partición de [a, b]. Como todo subintervalo . ~en¡ la partición P contienepuntosconambascoordenadas racionalesaligualque puntos con, al menos, una de las coordenadas irracional, mi = ínf {l,(x)
Y
De donde{:
Mi 1,
=
1e
j: -
=
sup { I J X )
1,
=
IX
I
E ~ = ~ O}
x&?¡}
O, Por tanto,
= l.
j8
1 no existe.
4.4 Ejemplo. Sea f’ la función con regla de correspondencia f ’ ( x ,y ) = J1-
(x’
+y 2 )
330
IY
y numeremos las 4 x 4 = 16 subregiones .Hiconlo se n1Lmtra en la tigura 7. L o s valores d e 1 1 7 , y '2.1, se exhiben en la siguiente tabla.
i
/?I
0.935 0.830 0.613 0.000 0.830 0.707 0.434 o . o00
\,I,
1.000
0.969
0.867
0.60'
0.969 0.935 0.X30
0.613
i
/)I,
0.61 3 0.434 0.000 0.000 o.000 0.000 0.000 0.000
.L/,
0.867 0.830 0.707 0.434 0.662 0.6 13 0.434 0.000
41
Tenemos L ( / ; f')
4
I6
16
1 7 ? i ( / ) A ( % ~=)
i=1
desigualdad. Podríamosesperarque aproximacicin a pág. 3571
j.
331
en R'
Integrales conjuntos sobre acotados
7%
ITI,
i= I
( f . ) =:(5.396)
= 1.349
i[L(f, C')+ U(,f'. P)]= 2.098 sería unabuena
J: E,n realidad,como veremos más tarde[probiema
,i;
- I 6.
,
/' = z3 TI
2
(e).
2.094.
El cálculo del ejemplo 4.4 es realmente largo. Sin embargo,con las modernas calculadoras, conseguir una gran exactitud en el cálculo de tales integrales es una tarea sencilla. 4.5 Definición. Si et1
R Z tal y ~ r er4"
(4'
c [a.
es un conjunto acotado et1 R 2 y [a, b], entonces1
A ( & )=
-
Jab
Id,
A(B)=
y
"r
b] es un intercalo
I,
se IIamun, respecricunlente, área interiory área exteriurde&.Si A (6 = A(&1, entomes el ralor c o t n h , denotudo por A (B), se llama úrea de A .
Puede probarse fácilmente que d(6)y A ( 6 ) no dependen de la elección del intervalo [a, b] que contiene a (4'. Como demostraremos a continuación enel teorema 4.6, si G tiene área, entonces A(8)=
1
'h
1,.
. a
La función I , se llama firnción característica del conjunto 6. Cuando 6 es u n intervalo, la definición 4.5 concuerda con la previamente dada para el área de u n intervalo. pág. 313. I Como es comun, las p i g i n a s 164 y 166.
6,
denota el interior de
A, 4
Z denota la cerradura de
A.
Véame
332
U FIGURA 8
El área interior de S, como integralinferior que es, es el supremo de sumas inferiores. Si P es unapartición de [a, b] y # j denota el j-ésimo intervalo de P, entonces r n j ( I , , ) = O para cada subintervalo R j que contiene puntos de 8 , u d e y ? por tanto, k U ] & , >
P) =
j= 1
mj(lE,)A(gj)
es la suma de las áreas de aquellos subintervalos de P que son subconjuntos de A,. Por otra parte, el área exterior de 6 es una integral superior y como tal es el ínfimo desumas superiores. Ahora bien, M j ( l , ) = O solamente paraaquellossubintervalosde P que no contienenningúnpuntode I, es decir. M j ( l z ) = O para aquellos subintervalos que contienen solamente puntos de e,, luego
U ( 12, P )
k
= j= 1
Mi(1,)
es la suma de las áreas de aquellos subintervalos de P que contienen puntos de 8. Vemos pues, que la suma inferior se aproxima al área de6 por el área de un conjunto inscrito de rectángulos y las sumas superiores se aproximan al área de 8 por el área de un conjunto circunscrito de rectángulos. Enla figura 8 las sumas superior e inferior están ilustradas para un conjunto B en R Z donde 8 es el conjunto de todos los puntos enel interior y sobre la curva cerrada que allí se muestra. Los subintervalos que aparecen a la suma inferior estánsornbreados y !os que se encuentran en el interior de la poligonal gruesa son los que pertenecen a la suma superior.
rab
4.6 Teorema. Si un conjunto acotado B en R 2 tiene área y [a, b] es un intercalo tal que t: c [a, b], entonces A(&) =
1,
333
Integrales sobre conjuntos acotados en R 2
41
PRUEBA.Para todo xrs[a, b], O d l,](x) d 18(x) d lz(x). Luego, 4.7
O
< _A(&) =
jab< jab jab< -
l&
-
1, 6
1,
-
12 =
Jab
A(&).
-
Como B tiene área, _A(&) =
A(&),y por tanto A(&) =
S:
1,.
Demostraremos que el área tiene las siguientes propiedades fundamentales: si d y 9 son conjuntos en R2 que tienen área, entonces A($j 3 O ; si 6 c 9 , entonces A ( & ) < A (9) ; si A(& n 9) = O, entonces A (6 u 9) = A (a)+ A (9).
4.8 Teorema. Si un conjunto mofado d en RZ tiene área, entonces O < A(&). PRUEBA.El teorema se sigue inmediatamentede la desigualdad 4.7. 4.9 Lema. Si 6 y 9 son conjuntos acotados en RZ y B A(&)
c
< _A (9)y A(&) < A ( 8 ) .
F,entonces
PRUEBA.Sea [a, b] un intervalo en R 2 tal que 9 c [a, b]. Entonces, como c 9, Ixi(x) < lsi(x) y I,(x) 6 l ~ ( x para ) todo xG[a, b]. De donde
d
o bien A(&)
< A(9)
y
A(&) < A(9).
4.10 Teorema. Si dos conjuntos acotados € y 9 en R2 tienen área y d c 9, entonces
A(&)
< A(9).
PRUEBA.La desigualdad del teorema se sigue inmediatamente de cualquiera de las desigualdades del lema 4.9. 4.11 Lema. Si 6 y B son conjuntos acotados en R2, entonces A ( € n Bj+A(&? u
Y
9) 3 _A(bj+A(Y)
A(& n F ) + A ( € u 9) 6 A(&)+A(F).
334
Integrales rnúltlples
[Cap 6
como A , n 9 , = ( A n Y ) , y A , u 3 , c ( h u .F),. Así pues. ri P I y P' son particiones cualesquiera de [a- b] y P es u n refinamiento común de PI y P 2 . entonces
Ninguno de los términos de la izquierda es mayor que el correspondiente
41
335
Integrales sobre conjuntos acotados en R Z
término de la derecha. De donde concluimos que CI 3 ) = A ( & u .F)y
4' &(Ci
_A(& n .9) = A(& n 9)
A(6' n . F ) + A ( A u S ) = A ( & ) + A ( B ) . 4.13 Corolario. Si dos conjuntosacotados A ( 6 n 3 ) = O, entomes
A(&
U
t'
y
F
en
R'
tienenúrea
y
F)= A ( b ) + A ( F )
Hemos probado las propiedades fundamentales del área: s i 6 y 3 son
conjuntos en R 2 que tienen (írea, entonces
(4.8')
(4.13')
A(&) 3
c;
si A ( A n F)= O, entonces A ( &
u9 )= A(G)+A(B)
Es decir, el área es no negativa, el área de una parte no es mayor que el área del todo, y si u n conjuntoestá dividido en dospartesque n o se traslapan, la suma de las áreas de las partes es igual al área del conjunto. Hacemosahora la conexiónentre Area definida porintegrales simples y área definida por integrales dobles. Si el Area debe tener estas propiedades (4.8, 4.10 y 4.13), esto se demostró enel volumen I , páginas 543 a 545, que el área bajo la gráfica de una función f ' n o negativa e integrable sobre un intervalo
[ a , b]
es
lab ,J
Así pues, si una región tal tiene área en el sentido
definido en esta sección "y probaremos enla sección 9 que la tieneentonces las dos definiciones de área son las mismas para estas regiones. Así pues, la definición de área en términos de integrales dobles incluye la primera definición en términos de integrales simples. Sin embargo, la definición de área aquí dada, asigna área a conjuntos para los cuales la definición previa en términos de la integral simple no es aplicable. Es decir, la definición dada en esta sección amplía l a clase de conjuntos de puntos enel planoa los que podemos asignar u n área. Si JZ? y J 9 son dos conjuntos, definimos el con,junto dijhrencia de G? y :a, y denotamos por sd--.B, al conjunto de todos los elementos de .dque no son elementos de %, es decir, d - & = (x I x € d y x
+a).
No requerimosqueseaunsubconjunto de .d parapoderconsiderar la diferencia d - .%. Antes deprobar u n teoremaconcerniente al áreade la diferenciade conjuntosobservemosque A ( [ a , b])- U ( ] ? , P ) esla suma de las áreas
336
Integrales múltiples
[Cap. 6
de los subintervalosde P que son subconjuntosde (%&)<(figura 8). Por tanto. A([a, b1)- L J ( I 2 , P ) =
Ul(fg8),.P ) .
Usamos este hecho en la prueba del siguiente lema. 4.14 Lema. S i b es unconjuntoacotado en R 2 que tieneúrea y [a, b] es un interralo en R 2 tal que t' c [a, b], entonces [a, b ] - 8 = tiene úrea y
A (%[a.bj6)
PRUEBA.Porbrevedad
=
A ([a, bl) - A ( g ) .
denotaremospor
A([a, b])-A(&)
6 . Entonces
(58 a %
ínf { U ( l z , P ) 1 P E ? } A ([a, b]) sup { - U(12, P ) I P E Y } sup [A([a, b])- U ( l g ,P) I P E P )
= A([a, b]) = =
+
SUP
1
{ L ( l ( v g ) i ,P ) 1 P E P }
=
A(%?&).
Análogamente A([a, b])-,4(6)
=
A(%&).
Como t" tiene área, A(+?&)= A ( V 6 ) y A ( % & ) = A([a, b])-A(&).
4.15 Teorema. Si dos conj~rntos acotados 6 entonces 8 - 9tiene área J.
.Fen R 2
tienen área,
A ( & - F ) = A ( & ) - A ( B n 9).
PRUEBA.Tomemos [a, b] tal que B u F c [a, b]. Observemosprimero que 6 -.B= 6 n %.F donde, por brevedad, hemos denotado a g,,,,,B por %F.Por el lema 4.14, %F tiene área.Como 6 y %',F tienen área, según el teorema 4.12, R -.F = B n %Y tiene área. Ahora bien, ( 8 - 9 )n (6 n .F)= O de modo que A ( ( & - 9 ) n (6' n .F) = )O y de acuerdo con el corolario 4.13, A(&)
=
4.16 Teorema. Si tienen úrea y
PRUEBA.Como
u ( 8 n ~F)) = A ( B - F ) + A ( & n F).
A((&-.F) u17
conjunto acotado 8 en R 2 tiene área, entonces Q i y 6 A(&,, = A ( 6 , =
(&¡)¡ =
tenemos A ( & ¡ ) = _A(&)
t"¡
c
A(2).
(b)¡ 4' (di)c d
< A($)
y
=
8,
A ( & ¡ )< A(&)= A($).
51
Existencia funciones de
Así pues
A ( € ) = A(&¡)d A(&J
Y
6
A(&)
e A(Z> = A ( € ) .
_A(@
A(&)
Como
337
integrables
A(&) = A(€), tenemos A(&¡) = A(€¡), A(@ = A(&),y A(bi) = A ( € ) = A ( Z ) .
4.17 Teorema. Si un conjunto acotado 6 en R2 tiene área, entonces la frontera de 8 tiene área y A(&,) = 0. PRUEBA.Como & tiene área, según el teorema 4.16, € y d tienen área y A ( € J = A (6)= A De donde, de acuerdo conel teorema 4.15, tenemos
(a).
A(&,)
=
A ( f F 4 J = A(&)-A(&i)
=
o.
Problemas 1. Supóngase -como es elcasoque cada una de las funciones que abajo aparecen es integrable en el conjunto que se indica. Demuéstrese que: u ) 0.2 d
P
J’ J8
< 1.1,
siJ’(x,
y) = x + y ,
2. Pruébese que:
5. EXISTENCIA DE FUNCIONES INTEGRABLES El numero denotado por J 8
f ’ y que se liama integral definida de f sobre d
hasidodefinidoparafuncionesintegrables.Pero, ¿qué son lasfunciones integrables? En esta sección demostraremos que si una función es acotada sobre [a, b] y siel conjunto de puntos sobre [a, b] donde es discontinua tiene áreacero,entonces esintegrablesobre [a, b]. Se probará en el capítulo 8 (pág. 478), que si una funciónf’es continua sobre[a, b] entoncesf
338
[Cap. 6
Integrales múltiples
es acotadasobre [a, b]. Deaquípodemosconcluirque continuas sobre [a, b] son integrables sobre [a, b].
las funciones
5.1 Teorema. Sea f ' una ,fi/ncidn acotada sobre un interralo [a, b] tal q ~ r e el conjunto 8 de puntos de discontinuidud de,f sobre [a, b] tenga úre, ce.01
PRUEBA.Como el conjunto 6 tiene área cero y por tanto Brea exterior cero, para cada E > O hay una partición P' de [a, b] tal que la unión d de todos los subintervalos de la partición P ' que contienen puntos de 6 tiene área A ( & ) < E. L a unión de los subintervalos no en d forma un conjunto cerrado y acotado J que no contiene punto alguno de d. La función f ' e s continuasobre .B y como , 9 es cerrado y acotado,deacuerdocon el teorema 7.6, pág. 488, /'es uniformemente continua (definición 7.5. pág. 477) sobre .#. Así pues, hay una ci > O tal que x i . x2€,H y Ix' -x21 < , ' 2 6 implica If(x')-.f(x2)i < E . Sea P un refinamiento de P' de norma IPl < 6. Separando la diferencia entre las sumas superior e inferior correspondientes aP e n las contribuciones de aquellos subintervalos en d y en las contribuciones de los subintervalos en 99, tenemos
u ( I ;P ) - U f ;P ) d
c "
d
Como .f' es acotadosobre xg[a, b]. Entonces iR,c d
+ 1
[Mi(f')-mi(,f')]A(~,)
=
[Mi(.~'~-t)~i(.~)]A(~i).
4, c 8
[a, b] supongamos
m
< f(x) < M
paratodo
[~i(/')-~)~i(~')]A < ( ~1i ) [M-t?J]A(Bi) 8, c d
=
[ M - ??I] A (.&) < [lb" - l?J]
E
.
Como lPI < 6, lj(x')-,/(x2)l < E siempreque x' , x 2 e & , c a. Esto implica M i ( f ) - m i ( f ' ) < E siempreque %?¡c y portanto
1
..A, c
Por tanto
24
[ M i ( f ) - m i ( . f ) ] A ( 9 j )<
1 d ,c 3
E A ( % ) < EANa, b l ) .
51
339
Existencia de funciones integrables
y según el teorema 2.14, piig. 320 "con A ([a, b])}
se sigue que
E-
[
b
E
reemplazada por { M - m
J' existe.
J. a
Enumeramos ahora
+
dlversos resultados que son corolarios
del
teorema 5.1. El primer corolario demuestra que el valordelaintegral
j:
j
es independiente de la elección de los valores de f sobre un subconjunto de [a, b] de área cero. 5.2 Corolario. Sean f y g dos ,funciones acotadas sobre un interz;alo [a, b] y continuassobre [a, b]-€ donde d es un subconjuntode [a, b] que tiene úrea cero. Si f = g sobre [a, b]-&, entonces
j: f jab 9.
=
PRUEBA.Como f y g están acotadas sobre [a, b], existen números m y M tales que m 6 f(x) 6 M y m 6 g(x) 6 M para toda xE[a, b]. Definamos las particiones P',P y el conjunto d ' en igual forma que en el teorema 5.1. Entonces,
lab
(d-s) L
U)=
L(f"g,
-
e
j:
(f-9)
Así pues
-("m)& y como
E>
6
9i
1d m i ( . f - s ) A ( W i ) L (m")&
9?¡
1d M , ( . f - g ) A ( % )
P> =
c
j*b
-
,< ("m)e.
c
jab -
(f"g) 6
O es arbitraria,tenemos
(f-g)
< ("m)&
(f-g)=O.
Según el teorema 5.1,
¡.'ab
f y g son integrables sobre [a, b]. Por tanto Jab
J" Jab
9 =
jab
U - S ) = 0.
El siguiente corolario esel recíproco del teorema 4.17, pág. 337. 5.3 Corolario. Un conjuntoacotado 6 en tiene úrea cero.
R 2 tiene úrea si hfrontera de 6'
[Cap. 6
Integrales múltiples
340
PRUEBA.Sea [a, b] un intervalo que contiene a 6. Las funciones I g i y 1, soncontinuaseiguales en todos los puntosde [a, b]-6,. Luego,según el corolario 5.2, A(&) =
-
r"
l&
=
" a
jab 1,
5.4 Corolario. Sea 6 un conjuntoacotado
=
en
A(6). R2
quetiene
área. P
acotada sobre 6 y continua en el interior de 8, entonces
Si f es
jexiste. J 8
PRUEBA. La función fe es acotada y puede tener puntos de discontinuidad solamenteenpuntosde la fronterade d. Sea [a, b] unintervalo en R2 talque 8 c [a; b]. Entonces el conjuntodepuntosdediscontinuidad de fc:sobre [a, b] estácontenido en la fronterade d y como,según el teorema 4.17, esta frontera tiene área cero, de acuerdo con el teorema 5.1
j8f
=
1;
f8
existe. La pequeña generalización siguiente, del corolario 5.4, resulta a veces útil. 5.5 Corolario. Sea 6 unconjuntoacotadoen R 2 que tiene área. Si f' es acotada sobre 6 y continua en el interior de d, excepto sobre un conjunto % deáreacero,
entonces
J:
f existe.
PRUEBA. Los puntos de discontinuidad de f8 están contenidos en 6, u F. Como B y d tienen,ambos,áreacero, su unióntieneáreacero. Sea [a, b] c R 2 tal que 8 c [a, b]. Entonces, según el teorema 5.1,
existe. 5.6 Corolario. Sea L un conjunto cerrado Sif'escontinuosobre
&, entonces
J#
y acotado en
R2
que tiene área.
.j existe.
PRUEBA.Como 8 es cerrado y acotado, ,f continua sobre & implica que f' está acotada sobre B (teorema 7.7, pág. 488). Luego conforme al corolario 5.4,
J: j ' existe.
Problemas 1. Pruébese que los siguientes conjuntos tienen
área cero
Propiedades básicas de
61
I 8
f
341
a ) un número finito de puntos, 6 ) un segmentorectilíneo, c) un número finito de segmentos rectilíneos. 2. Pruébese que un disco circular tiene área. *3. Supongamos que f esdiferenciablesobre [a, b] y que IDf(x)l < K para todo xE[a, b]. Apliquese el teorema 6.10, pág. 194, y dedúzcase que: 1) para toda partición P , U ( f , P ) - L ( f , P ) < & IPI K A ( [ a , b]); 2) f es
integrablesobre[a,b];y3) *4. ¿Cuán pequeñotendríaquehacerse /PI parapoderestar seguro de que el error en la aproximación de cada una de las siguientes integrales por sumas superiores e inferiores era menor que 0.0005 ?
6. PROPIEDADES BÁSICAS DE
f JI
Estableceremos ahora algunas propiedades doble
'"
J
I
básicas de la integral
f donde 8 es un conjunto acotado en R2. Estas propiedades son
generalizaciones de las propiedades de
Pb
J
a
f dadas en la sección 3.
6.1 Si la funciónfes integrablesobreunconjuntoacotado 8 y c es una función constante de R2 en R, entonces la función cf es integrable sobre I
6.2 Si c es una función constante de
RZ en R y 8 es un conjunto acotado que
tiene área, entonces c es integrable sobre & e 6.3
Si lasfuncionesf
y gsonintegrablessobre
n
un conjuntoacotado
erllonces l a f u n c i ó n f + g es integrable sobre 8 e j (f-tg).
j8f + j g . n
=
8,
n
S
342
[Cap. 6
Integrales múltiples
6.4 La ,función f ' es integrable sobre un conjunto acotado 8 si y sólo si la5 ,funciones ,f J de$nidas por Ius reglas ,
+
j
f.(.) si f ' ( x )3 o y O si ,/'(x)< O
f'+(X) =
J"(x)
O s i .f'(x) 3 O -f'(x) si f'(x) < O
=
son, urnbas, integrables sobre A .
6.5 Si la jiunción ,f es integrable sobreun es integrable sobre R.
conjunto acotado 8 , entonces
6.6 Si las funciones f ' J g sonintegrablessobreunconjuntoacotado entonces el producto ,fg es integrable sobre 8 .
:1
un conjuntoacotado
6.7 Si las funciones ,f' y gsonintegrablessobre
f(x)
< g(x)p u m
toda
x€&, entonces
Ijii
es
integrablesobre R e
8 J
J8
.f'
1j6 1
6.8 Si la función f esintegrablesobre función
8,
un conjuntoacotado 8 , entonces la
PKUEBA.Estas propiedades sesiguen directamente de las propiedades 3. I a 3.8 de
jabj ;
pág. 323, y de la definición 4.1! de 6 c [a, b].
un intervalo en R2 tal que
J; pág. 328.Sea [a, b] J-8
(6.1) De acuerdo con la propiedad 3.1,
:j
c./' =
Jab
(cf
=
)8
jab jab j: cf& = c
f,
=
c
f'.
(6.2) Reemplazandof'por 1 en 6.1, tenemos
(6.3)Segúnla
I,
(./'+g) =
Iab
propiedad 3.3,
(I +y),
'b
=
J.
+g8) =
Jab
j>+
Jab
sw =
j8 + .I'
9.
(6.4) Como ,f8 = (f' - . f - ) 8 = Jd+ -f'&-, por la propiedad 3.4, f s es integrable sobre [a, b] si y sólo si ,f8' y ,f.&- son integrables sobre [a, b] y
j;,f=j,f8=J *b
'b
-b
, . , i - f ' 8 - ~ = ~ , i . + - ~ , b , . = J I i - . - i : f ' - .
(6.5) Según la definición 4.2, f es integrablesobre
€ si fg es integrable
61
de
básicas Propiedades J 8
343
J’
sobre [a, b]. Por la propiedad 3.5, fs integrablesobre [a, b] implica fsZ integrablesobre [a, b], y de aquí, de nuevo, por la definición4.2,resulta que ,f2 es integrable sobre 8. (6.6) Según la definición 4.2, f’ y g son integrables sobre 8 si j s y gc son integrables sobre [a, b]. Según la propiedad 3.6 esto implica quef&, = ( f g ) B es integrable sobre [a, b] y, de nuevo, por la definición 4.2 esto, a su vez, implica que f’g es integrable sobre 6‘. (6.7) ,f(x) d g(x) para todo x & implica f8(x) 6 gG(x) para toda xE[a, b]. De donde, de acuerdo con la propiedad 3.7, tenemos
(6.8) Según la definición 4.2, f ’ es integrablesobre B si fs esintegrable sobre [a, b]. Pero I f 8 [ = l f I 6 y, por tanto, de nuevo,según4.2,tenemos
6.9 Teorema. Si f es integrable sobre un conjunto acotado 8 que tiene área, entonces
donde N es algún número entre m
=
ínf {f’(x) j x € & }y M
= SUP
f’(x)
I
X€&}.
PRUEBA. Conforme a las propiedades 6.2 y 6.7 r
r
De donde el teorema se sigue.
Nota. Si J’es continua sobre 8, /(x) > m para todo x€&, y A (6)> O, entonces se verifica la desigualdad estricta
y N > m. De modo análogo, si Jlx) < M para toda X E B y A ( & ) > O, entonces N < M . 6.10 Corolario. [Teorema del valor medio para integrales). Si f ’ e s continua
344
[Cap. 6
Integrales múltiples
J
e
J'
=
J'(x0)A ( & ) .
PRUEBA. Como d tiene área, A (&& = O y A ( & ) = A ( € , ) . Sea [a, b] c R2 un intervalo que contiene a 6. Por el corolario 5.2
j8f' jab jab =
Según el teorema 6.9
J'G
j8
=
fe, =
I
r
J'= N A ( & J
donde N se encuentra entre m = ínf { f(x) I x€&¡} y A4 = sup {f(x) 1 Entonces, existe un punto a€& tal que f(a) = m o, en otro caso, f(x) > m para todo x e b i y, según la observación anterior, existe un punto a € b i tal que m < f(a) d N . Análogamente, existe un punto begi tal que N d f(b). Luego, deconformidadcon el teoremadelvalorintermedio(pág. 187) existe un punto x0edi tal que f(xo) = N . De donde f J p
f
=
1 r
f
=
N A ( d i ) = f'(xo)A(b)
gi
Antes de proseguir estableciendo nuevas propiedades de el siguiente lema.
6.11 Lema. Si f es acotada sobre un conjunto & y A ( € )
=
O, entonces f es
f = O.
integruble sobre & e j 8
PRUEBA.De acuerdo al corolario 5.5 f es integrable sobre 8. Como f es acotadasobre d, hay un número M tal que I f ( x ) < M para todo x€&. Según las propiedades 6.8, 6.7 y 6.2
Para las integrales simples sabemos que si una función f es integrable sobre los intervalos [a, b] y [b, c] entonces f es integrablesobre [a,c] e
1; j y + 1; f
=
f
J: Probaremos ahora que lasintegrales dobles satisfacen
una relación análoga.
6.12 Teorema.
Si f es integrable sobre los conjuntos acotados &,y &,
y si
345
f
Propiedades básicas de
61
18
al menos uno de los conjuntos 6 ,, b , , o &, n b, tiene área, entonces f es integrable sobre la intersección &, n b, y la unión b , u b, e
,.
c
P
P
PRUEBA. Sea[a, b] un intervalo en R 2 tal q u e b , u b, c [a, b]. Claramente, = ftpl l g l n P 2 = f 8 , l B 2 = fa2 16,. Comofes integrable sobre &, y 8 , , f g , y f g 2 son integrables sobre [a, b]. Por otra parte, al menos una de lasfunciones 1 8 1 n g 2 , 1 o l g 2 es integrablesobre [a, b]. Dedonde, por la propiedad 3.6, n62 es integrable sobre [a, b]; es decir,fes integrable sobre &, n &, . Probamos a continuación que
JbInb2
f & l
u82
= f&1 +JGz-f&l
n
Si X € & , u &,, entonces x € € , o x € € , . Pero x € & , implica fgIus2(x) = f ( x ) = f ~ , ( xY) f ~ , ( x >= f&lntp2(x) mientras que x€€, implica fgIuta2(x)= f(x) = fg2(x) y f8,(x) = f ~ , n g 2 ( x ) Así . pues, si x € € , u &, entonces fB,v&2(x)= f B , ( X > + f 6 2 ( X ) - - f g , n g 2 ( X ) . si x w , u 6 2 , entonces f B I W = ftp2(x) = fglUg,(x) = Je,,g2(x) = O y de nuevo la fórmula se verifica. Como f a , , fg2 y f E l n g 2 son integrables sobre [a, b] de acuerdo con las propiedades 3.3 y 3.1, tenemos
j&l f 62
= Jab
f8l u 82
6.13 Corolario. Si f
=
j;
+f8,-f8,
es integrable sobre
sal L
los
n B2)
conjuntos acotados b , y &,
si A ( & , n d,) = O, entonces f es integrable sobre 6 , u d, e
u82
=
+
y
j&2 f.
PRUEBA. Segúnel teorema 6.12 f es integrable sobre b , n &, y, por tanto, acotada sobre &, n 8,. Luego, por el lema 6.11,
I
8 1 n 82
f = O y el corolario
se sigue del teorema 6.12. Usaremos para probar un recíproco parcial el teorema 6.12.
6.14 Corolario.
S i &, y 8 , son conjuntos que tienen área y la funcidn f es integrable sobre &,u &, , entonces f es integrable sobre 6 ,, &, y 8 , n &, e
[Cap. 346
múltiples
Integrales
6
PRUEBA.Sea [a, b] un intervalo en R2 tal que
r,,
=
/6>
“d.2.
Y
16,
&‘,u B,
li, = . / d l
c [a,
b]. Tenemos
u&2,i,52
y, como f s l v B , , 1 y 1 c $ 2 son integrablessobre [a, h] por la propiedad 3.6 f ’ & , y f c , son integrables sobre [a. h]; es decir. f es integrable sobre 6 , y 8,. Los conjuntos G I y 6 tienen área, de forma que el teorema 6.12 es ahora aplicable con lo que se prueba el corolario.
,
7. INTEGRALESlTERADAS
j;
Una integral de la forma
j;El
7.1 se llama i n t e g r a / donde para cada
La integral 7.1 seinterpretacomo
itrrada.
XE
J(X,L‘)dJJdX
[a, b], F ( x ) =
1
rb
F(x)dx
f (x, y ) d y .
Si J’ es continuasobre {(.x, J) 1 a < x < h, g(x) < y < h ( x ) J 4 G es cualquier función tal que D , G(x, J.) = f x x , J,). entonces, según el segundo teorema fundamental del cálculo ,J
J
9(x,
J
‘hW)
‘h(X)
F ( x )=
({(X)
!‘(x, y ) d y =
D,c;(X,L’)dL’
=
G(x,h(x))-G(x,g(x))
d X )
Puedentambiénpresentarseintegralesiteradasendosdimensiones en que la integración deba efectuarse en primer lugar respecto a x con límites que dependen de J’ y luego con respecto a J entre limites constantes.
7.2 Ejemplo. Evalúese
SOLlJCIóK
Teorema fundamental para las integrales dobles
81
347
Problemas Evalúense las siguientes integrales iteradas.
i) J o
J
O
ey’”dydx
8. TEOREMAFUNDAMENTAL PARA LAS INTEGRALES DOBLES En estasección probaremos unteoremaqueestableceunarelación fundamentalentre las integrales dobles y las integrales iteradas.Este teorema nos da un método importante deevaluación de las integrales dobles.
8.1 Teorema. S i
1;
f(x)dx exisze y si F ( x )
cada x ~ [ c l , ,b , ] , entonces
ja:
f(x, y ) d y existe para
= Sab:
f(x,y)dydx =
F(x)dx existe e Jay
PRUEBA. Primero demostraremos que para cualquier partición de [a, bl, L(f, P ) G L ( F , f‘1) G u(F,PI) G u(f, P). En esta desigualdad L ( f , P ) esla
P = P Ix P,
sumainferiorcorrespondientea I“ b
partición P de [a, b] para la integral doble J
,
a
inferior correspondiente a la partición P de
la
f ’ ( x )dx y L ( F , P I )es la suma
[ a , ,b,]
para la integral simple
[Cap. 6
Integrales múltiples
348
jab:
F(x)dx. U ( J ; P ) y U ( F , P I ) las correspondientes sumas superiores. La
jab:
existencia de la integraliterada igualdad de la integral doble
l b
F(x)dx =
jab:ja:
f ( x , y ) d y d x y la
f’(x)dx y la integral iterada es consecuencia
de esta desigualdad. Sea P = P , x P , una partición cualquiera de
[a,
b] y sean
Es decir, para cada x€[xi- ,, xi],
Como la anterior desigualdad se verifica para todo que
XE[X~-
donde, como habitualmente,
Y
m , ( F ) = ínf { F ( x ) 1
XE[X¡-,,
xi]}
M i ( F ) = sup { F ( x ) I
XE[Xi-
1 , Xi]}.
xi], concluimos
81
349
integrales dobles las Teorema fundamental para
Multiplicandolasdesigualdades8.2por hasta i = k , , obtenemos
o bien
8.3 Como
5
w
b
a
-
9
P > Q U F , PI)
y sumandodesde
xi-xi-
existe una partición P tal que U ( f , P ) - L ( f , P ) < PI)
=
E
>O
< U ( F , PI) Q U(f,P ) .
J’(x)dx existe,según el teorema 2.14, pág. 320, dada U(F,P , ) - L ( F ,
1
i
De 8.3 concluimos que
E.
< U ( LP)-L(f,
P> <
E
y esto implica, por el análogo del teorema 2.14 para integrales simples, que fbl
J
at
<
F ( x ) d x existe. Además L ( J ;P ) Q
ja:
f b
J
f(x)dx 6 U ( f ;P ) y L ( F , P I )
a
F ( x ) d x Q U ( F , P1) de modo que
Por tanto
ljab
f(x)dx -
jab
.f(x) dx
=
J’”;
F(x)dxl d
u(J;P ) - L ( f ,
P) < E .
jab; J”: jay F(x)dx
=
J’(x, Y )d y
Y esto completa la prueba. Si intercambiamos x y y en el teorema 8.1, obtenemos 8.4 Teorema. Si toda Y E [ U , , b2],
jab
J’(x)dx existe y F ( y ) =
entonces
Ja:
jab,’
f ( x , y ) d xe x i s f e j a y
f ( x , y ) d xd y
=
para
350
rnúltlples
Integrales
=
=
=
[Cap. 6
ip j
o
[xZy+fy3]:,dx
[5x2
+y] dx
- + x 3 +1 2y5x ] o2
=
2 9 0 3 .
Probaremos ahora que la integral simple está contenida en la teoría de la integral doble como u n caso particular. Supongamos la función F definida y acotada sobre un intervalo [a,61 en R. Definamos la función f sobre el intervalo [a, b] en R2 donde a = (a, O) y b = (h, 1) (figura 9) por la regla de correspondencia: .f'(x) = F ( x ) para toda x = (x, y)E[a, b].
1
b=ib,l)
" "
b
x FIGURA 9
c
Según el teorema 8.1, si f es integrable sobre [a, b], entonces 8.6
f'(x)dx
Nótesequehemosusado
=
j;
JO1
F(x)dydx =
el hecho deque F ( x )
=
Jab .i:
F(x)dx.
F ( x ) d y está definida
para toda x ~ [ ah],. De los teoremas 8.1 y 5.1 (págs. 347 y 338)obtenemos el siguiente teorema de existencia para las integrales simples como un caso particular de 8.6.
81
integrales dobles las Teorema fundamental para
351
8.7 Teorema. Si la función real de una cariable real F está dejinida y es acotada sobre [a,b] y es continua sobre [a,61, excepto en un número finito de puntos, entonces
J"
F ( x ) d x existe.
PRUEBA.Sean xl, .. ., x,¡ los puntos dediscontinuidadde F donde < x , < x2 6 ... 6 x,¡ d b. Definamos f' sobre [a, b] donde a = (a, O) y b = (6, I ) por la regla decorrespondencia f(x) = F(x) paratoda x = ( x , y ) ~ [ a ,b]. La función J' es continuasobre [a, b] exceptosobre los segmentos rectilíneos desde ( x i , O) hasta ( x i , I ) , i = I , . . . , I ? . Como estos segmentos rectilíneos son finitos ennúmero. su unión tiene u n área cero a
(problema I C , pág. 341 j. Entonces, por el teorema 5.1, pág. 338, existe. Como F ( x ) =
F ( x ) d y también existe paratodo
lbf(xjdx
x ~ [ ab],,
por
J O
el teorema 8.1,
jub
F(x)dx =
lub j1 O
F(x)dydx =
lab /'(x)dx
existe. Damos a continuación condiciones suficientes para asegurar la existencia de las integrales del teorema 8.1. 8.8 'Teorema. Sea .f una ,función acotada sobre un interualo [a, b] en R2 y continua sobre [a, b], excepto sobreun conjunto 6 de área cero con la propiedad de que toda recta paralela al eje Y intersecta a 6 en cuando más un número ,finito de puntos. Entonces
jab
J'(X)dX
=
ju;JUT
PRUEBA.Según el teorema 5.1, pág. 338,
f ' ( x , y ) ddyx
jab
.
./(xjdx existe. Además,toda
recta paralela al eje Y entre x = a , y x = 6 , intersecta a 6 en cuando más un número finito de puntos, de modo que J'tiene cuando más u n número finito de discontinuidades sobre una tal recta. De donde, según el teorema 8.7,
F(x) =
/'(x, y ) d y .lay
lay
existe para todo x ~ [ a b,]. , , Luego según el teorema 8.1, Jab
f(x) dx
=
F ( x ) dx =
/ ' ( x ,y ) d y d x .
352
Problemas
1. Encuéntrese
Jab
las siguientes fu1lciones.
f(x)dx paracadaunade
a) f(x) = x + 3 y , a = (O, O), b = (1, 2 ) 6 ) f(x) = x2 sen y , a = ( a , ,a,), b = (b, , b,) c ) f(x) = 2 x t y - 3 , a = (1, - 1), b = (4, 2 ) d ) f(x) = x y 2 , a = (O, O), b = (2, 3 ) I
e ) ,/’(x) = - e”’,, a = ( l , O ) , b = ( 3 , 2 ) x3
J ) f(x)
=
y s e n x t x e ’ , a = ( O , - l ) , b = (7c/2,1).
2. Encuéntrese
Jab
J(x)dx paracadaunadelas
siguientesfunciones.
a) f(x) = 3 x - y t 4 , [a, b] acotada por x = 2, x = O , y = -1, y = 1 b ) .f’(x) = x y -xy, [a, b] acotada por x = O, x = 2 , y = O, y = 3 1 C ) ,/’(x)= , , [a, b] acotada por x = 1, x = 2, Y = O, Y = 1
+
X2\jX2”Y2
d ) f’(x) =
1 x(x2
+ y,)
, [a, b] acotada por x
=
1, x
= $,
y = O, y = l .
9. INTEGRALES SOBRE REGIONES EN R2 En lasseccionesanterioresconsideramosintegralessobreconjuntos acotados B en R2. Aquí consideraremos un tipo particular de conjunto &. Peroantesintroduciremosalgunaterminología. Recordemos (pág. 187) que un conjuntoabierto 8 en R2 se dice que es conexo si no puede representarse como la unión de dos conjuntos abiertos, ajenos y no vacíos. Un conjunto en R2 se llama regidn si es la unión de un conjuntoabierto conexo junto conalgunos,ninguno o todos sus puntos frontera. Nosotros usaremosel término región en un sentido más restringido. Supondremos que todas las regiones consideradas en esta y las siguientes secciones son la unión de un número finito de regiones de la forma
a, = o bien
{ ( x ,y ) 1 a
gy = {(x,Y ) I a
< x < b, g ( x ) d y
Q h(x))
Q 4Y)J
Q b, g ( y )
donde g y h son funciones continuas sobre el intervalo cerrado [a,b] en R con g(x) < h ( x ) para todo x ~ [ ab], (o g ( y ) < h ( y ) para todo Y E [ U , b]).
353
Y b
I
a
X FIGURA 10
FIGURA 11
Una regióndeltipo ,Bx estáilustrada en la figura 10, y una región del tipo gV está ilustrada en figura la 1 1 . En la figura 12, la región B = u , B 2 u B 3 donde , cada una delasregiones B i ( i = I , 2, 3) es del tipo B x .
FIGURA 12
Probaremos primero que lasregiones(deltipo de lasque aquí hemos considerado) tienen área. Por el corolario 5.3 (pág. 339) sabemos que un conjuntoacotado 8 c R2 tiene área si su frontera tiene área cero. Consideremos una región B x .Como g y h son continuas sobre [a,b ] , son acotadassobre [a,b]. Portanto, .%, es un conjunto acotado en R2 y es suficientedemostrarque la fronterade Bx tieneáreacero. Ahora bien, la frontera de @x consiste en las gráficas de g y h sobre el intervalo [a,b] y los segmentosrectilíneosdesde (a,g(a)) hasta (a,h ( a ) ) y desde (b, g ( b ) ) hasta (b, h(b)). Los segmentosrectilíneostienenáreacero. Por ejemplo el segmento entre (a,g(a)) y (a,h(a)) puede encerrarse en un rectángulo de altura h ( a ) - g ( a ) y de ancho &/[h(a) -g(a) I ] . Este rectángulo tiene área
+
354
tu
FIGURA 13
Y
“----X
O
Así pues, sólo queda por demostrar que la gráfica de una función continua sobre u n intervalo [a,h] en R tiene área cero en R2. 9.1 Teorema. en
R,entonces
Si la función
,f’
es continuasobre
elinterralo
la grufica u‘ejtiene úrea cero en R2.
cerrado [a, b]
P K U ~ R A(Figura . 13.) Como /es continua sobre [a,b ] , ,/es uniformemente continuasobre [a,b] (teorema 7.6, pág. 478). Luego, dado una E > O, podemosencontraruna n‘ > O tal que I,f(x)-f(y)I < c siempre que .X, y ~ [ a b], y Ix-y( < d. Sea P = ( a = x, < x, < ... < xk = b ) una partición de [a,b] de módulo If I < 6. Como t’es continua sobre [xi- 1 , x i ] para todo i = 1, . . . . k, existen nilmeros x i ’ y xi” en [xi- , xi] tales que 1 7 ? ¡ ( j ) = ,/(Xi‘)
,
d .f’(x)d
/”(Xi”) =
Mi(f)
para todo .xE[,x~. , x i ] (teorema 7.9, pág. 479). Así pues, la porción de la gráfica de f’entre xi.. y x i está contenida enel rectángulo [ ( x i - ,. , / ( x i ’ ) ) , ( x i , ,/(,xi”))].Luego si A(f)denota el área exterior en R 2 de la gráfica de f. tenemos
A(f) ,<
k
i= 1
,
[ / ( x i ” ) - , f ( x i ’ ) ] ( x i - x i - l< )
1 E(xi-xi-,) k
i= 1
=
t.(b-a).
Luego, para todo E > O, A(f) < e ( b - a ) ; de donde se sigue que la gráfica de ,f tiene área y que A (.f)= O. 9.2 Corolario. Si 2 es una región. entonces %’ tiene úrea.
Pnum.4. Si 99 es unaregiónde tipo . % x , entoncesdeacuerdocon el teorema 9.1 con .f reemplazado por g y h y por la discusión precedente al
91
Integralesen sobre regiones
RZ
355
teorema 9.1, la frontera de Bxtiene área cero. Del corolario 5.3 (pág. 339) se sigue que .%, tiene área. Una región del tipo %?y se reduce a una región del tipo 2, si intercambiamos x y y. Si 97 es la unión de un número finito de regiones del tipo W, y g Y ,podemos aplicar el teorema 4.12 (pág. 334) sobre el área de la unión de conjuntos. Probaremos ahora que si J’ es continua sobre una región 9,entonces
J:.
f’puede expresarse en términos de una integral iterada.
9.3 Teorema. S i f’ es continua sobre una región R, = {(x, y) I a g(x) 6 y < h ( x ) } , entonces
J’
loI,, h
=
< x < b,
h(x)
J’(% Y)dY d x .
PRUEBA. Sean u, y b, números tales que a , < g(x) y h(x) < b, para toda sea a = (a,a,), b = (6, b2). Entonces f,, está acotada sobre [a, b] exceptoposiblementesobrelasgráficasde g y h quetienen áreacero. Porotraparte,cualquier rectaparalelaal eje Y entre x = a y x = b intersecta las gráficas de g y h sólo una vez cada una de ellas. De donde según el teorema 8.8 x e [ a , b] y
J:. f
= =
=
j%
jo:’
[;y;:’ lb
Job
f*, =
J;(y)
Odydx
Y)dydx
f.%(X,
+
p(x,y)dydx
. I
&?(x)
+
j;Jhz
Odydx
h íx)
f.(&y ) d y d x .
Si intercambiamos x y y en el teorema 9.3, obtenemos 9.4 Corolario. S i f ’ e s continua sobre una región 2,,= {(x,y) I a < x < h ( y ) } , entonces
g(y)
J:, .f =
la b
d y 6 b,
My)
JgiY,
f(x3y)dxdy.
En la evaluación de una integral doble sobre % por’, medio de la integral iterada del teorema 9.3 nótese que integramos primero respecto a lay desde la frontera inferior a la frontera superior, y luego respecto a la x sobrelaproyecciónde W, sobre el eje X . Parauna región . B y , enla integral iterada del corolario 9.4 primero integramos respecto a x desdela frontera izquierda a la frontera derecha y luegoconrespecto a y sobre la proyección de g,, sobre el eje Y . Nota.
356
[Cap. 6
Integrales múltiples
1 (x2
R’ limitada
+ y 2 ) dx donde 2 es la región en
9.5 Ejemplo. Evalúese
J9
por las parábolas y = x’ y x
=
y’ (figura 14)
SOLUCIÓN 1. 2 es el conjunto % = gX= {(x,y ) 1 0 < x < 1, x ’ < y < & } modo que según el teorema 9.3, tenemos
i:
(x’ + y 2 ) dx =
Esta integraliteradafueevaluada encontró que
?,
SOLUCIÓN 2 . En este caso
g = gy = {(x,y ) 1 0 < y ,< 1 , y’ tenemos
Supongamosquepuede finitoderegionesajenas
B
=
u 2¡
de
jo’i:”
(x’ i- y’) d y d x .
enel
ejemplo 7.2 (pág. 346) donde se
( x 2 + y 2 ) d x = 3%.
By:
.% también es una región del tipo
< x ,< &}.
De donde, según el corolario 9.4,
expresarse como launiónde
un conjunto
{gi I i = 1, . . . , n } del tipo Bx y .@,, esdecir, donde
A ( B i n B j )= O para i # j .
i= 1
Si f es continua sobre 92, como cada unadelas
corolario 5.6, pág. 340,
f existe.Luegoconforme
pág. 345,
f=C
g itiene área, según el al corolario6.13,
357
Problemas Encuéntrese
I
J’ paralassiguientesfunciones
si 92 es la regiónlimitada
por las curvas dadas. y ; W limitada a la izquierda por y2 = x, y a la derecha pot xz+y2 = 2. 6) f(x, y ) = x; 92 limitada por y’ = x y x2 = y. a)
f(x,y )
=
1 al
”
c) f ( x , y ) = y ’ ;
W limitadapor y
=
sen x, y = cos x, x E O,
.
d ) f(x, y) = x+2y-5; W limitada por y‘ = x y x2 = y . e ) f(x,y ) = 92 limitada por una circunferencia de radio 1 y centro en el origen. f ) f ’ ( x , y ) = y ; W limitada por x2+y2 = 2 porarriba, y porabajo por x2 = y. S) f ( x , y ) = 92 limitada por x = O, x = 1, y = O, y = x 2 . A) f(x, y ) = y2 sen x; 92 limitada por x = O, x = n, y = O, y = 1 COS x. i) f(x, y ) = x + y ; W limitada por x2+y2 = a ’ . Y j ) f(x, y ) = senh ; cosh x; 92 limitada por x = O, x = 1, y = 2x, y = 2.
+
&‘/X;
k ) f ( x , y ) = 4-x2; 9 limitada por 2 x + y = 6, y I) f(x, y ) = 2 - 2y2 - & x 2 ; 92 limitada por x + 2 y
= =
x, x = O. 2, x = O, y = O.
10. ÁREA Y MOMENTOSDEREGIONES
PLANAS
Ladeterminación del áreade lasregionesdeltipo BXse considera usualmente en el cálculo de funciones reales de una variable real. Si gx= {(x, y ) I a
d x
< 6,
g(x)
6 h(x)}:
entonces el área de W x es =
Jab
[Ih(x)-g(x)ldx.
De acuerdo con el teorema 4.6, pág. 332, tenemos
Por el teorema 9.3,
[Cap. 358
múltiple:;
Integrales
6
Así pues,para regiones del tipo -9, estos dosmétodosdedeterminación del área s o n acordes y esencialmente el mismo. 10.1 Ejemplo. Encuéntrese el áreade = x2 2 y la recta y = .Y 4.
1'
+
+
la regiónlimitadapor
la parabola
FIGURA 1 5
Definimos ahora el primermomento región plana con respecto a una recta.
y el segundomomentodeuna
10.2 Definicion. (Figura 15.) Sea Y una recta con normal n J sea xu LM punto fijo tie 9.El (prirnerJ momento My el momento de inercia segundo tnonwntoj I , de una región ./A en R 2 con respecto a la recta 9 se definen por
M ,=
j:,
comp,(x-x,)(/x
1o1
359
Area y momentos regiones de planas
e
[Comp,(x-xo)J2dx
I, =
respectiuamente.
El número Comp, (x -xo)
=
n-(x-xo)
I n/
es la distanciadirigida
del
punto x a la recta Y. Así pues, M, es la integral sobre 92 de la distancia dirigida de Y a los puntos de B e I, esla integral sobre 92 del cuadrado de la distanciade 2 ' a los puntos de .g. El signode M 9 dependede la elección de n ya que Comp-, (x - xo) = - Comp (x-xo). Sea ax+by+ c = O unaecuación de la recta 2.El vector n = (a,b) es una normal a Y. Si x. = (xo,yo) es u n punto de 9 y x = (x,y ) es u n punto de B, entonces n x. = axo+byo = - c Y
Comp, (x - xo) =
(10.3) -
n - ( x -nx-ox)- n-- x , -
I nl 1
(ax+by+c).
"
\Íu'+
I nl
b2
FIGURA 1 6
360
[Cap. 6
Integrales múltiples
e
10.4 Ejemplo. Encuéntrense los momentos primero y segundo con respecto a la recta 2': ax+by+ c = 0 de la región .A, limitada por la recta y = x + 1 y la parábola y = (x- I)'.
SOLUCI~N (Figura . 17.)
+c[-x2+3x]}dx
-
I
-[-U
a2+b2
243 20
+
423 -b 28
+ -9c 2
513 20
+-ab
FIGURA 17
+ -27a c + 2
-be 72 5
1
.
1o1
planas Área regiones y momentos de
361
En la definición de M , y en la de Z2 cuando 2’es el eje X , es habitual escoger n en la dirección positiva del eje Y . Entonces Comp,(x-x,) Y
M,
r
=
J
4
=
j*(x-x,)
ydx,
I,
=
J
=
y
y2dx.
24
Cuando 2 es el eje Y , lo habitual es escoger n enla del eje X . Entonces
Comp,(x-x,) Y
M, =
3
8
=
i.(x-x,)
xdx,
I, =
J
=
1
direcciónpositiva
x
x’dx
Además del momento de inercia con respecto a rectas, se define también el momento de inercia con respecto al origen. A éste sele llama momento polar de inercia y está definido por:
J8 r
J =I = =
Ix12dx =
J4
(x2+y2)L(x
=
Iy+I,.
10.5 Ejemplo. Encuéntrense los momentos primero y segundo con respecto a los ejes X y Y y el momento polar de inercia de la región limitada por la parábola y = x2 + 2 y la recta y = x + 4. SOLUCI~N. La región es la misma que la del ejemplo 10.1 y aparece en la figura 1 5 . 9 = {(x,y) 1 - 1 6 x < 2, x 2 + 2 < y 6 x f 4 ) . =
M,
=
i:
ydx
jB
x dx
2
=
1x2+2 x+4
=
x d y dx
= 9/4
jx2 + xf4
=
ydydx
Iz = I,+ I , = 2277135.
Slj5
362
múltiples
Integrales
[Cap. 6
10.6 Definición. El punto
se llarna
centroirle de una región .X.
10.7 Teorema. Si 3 'es una recta que pasa por el centroide de una regi& plana 2 , entonces M,, = O.
PRUEBA.Sea n = ( n , , n,) una normal unitaria a un punto sobre 9, tenemos
=
I
Comp,(x-2)dx
9'.
Entonces, corno
X es
=
[n,(X")+n,(y-y)]dx
.1
=
n , ( M , - x A ( ~ ) ) + t I , ( M , - y A ( ~ )=) O.
10.8 Teorema. Si Y, J' 9,son rectasparalelasdenormal n, x l y x 2 de Y , 1' - Y 2 respectiramente, y .?4 es una región, entonces
puntosjjos
I,, = ~,.2+2[Comp,(x2-xl)]~~y2+[C~~npn(x2-xl,]2~(~) =
+ 2 dM,, + d 2 A ( 2 )
donde A (2)es el brea de d de Y, a Y , . PRUEBA. Como x - x 1
=
J'
d = Cornp,(x, - x,) es la distancia dirigida
(x - x 2 )+ (x2- xl),tenemos
363
Un resultado análogo para los primeros momentos se da en el problema 9. 10.9 Corolario. (Teoremade pasa por el centroide de .
2
y
9
los ejes paralelos.) Si y 2 es una recta que es una recta paralela a Y 2 ,entonces
IT1=
f y 2
+&A(%?).
PRUEBA.Según el teorema 10.7, My2 = O. Problemas 1. Encuéntrense los centroides de siguientes conjuntos de curvas:
por los
las regiones limitadas
= a l i 2 y los ejes coordenados 6 ) la hipérbola y = 4/(4-x) y la parábola y = (xc) por la parte superior por la elipse 25x2 + 16y2 = 400 y por la parte inferior por el eje X d ) la región del primer cuadrante limitada por y = x 3 y x = y 3
a)
e) y’
=
x3 y y = x
f’) la región de1 primer cuadrante en el interior de la elipse - + - = x2
y2
4
9
I
Y2 = I. y fuera de la elipse x2 + 9
2. Encuéntrense los momentos de inercia conrespecto a cada uno de los ejes coordenados de las regiones limitadas por los siguientes conjuntos de curvas : a) y = 2 x - x 2 y y = x b) y = 2 x - x 2 y x + y = 2
[Cap. 364
múltiples
6
Integrales
c) a la izquierda por y 2 = 4x, a la derecha por x 2 + y 2 = 32 y en la parte inferior por el eje X d) y2 = l + x y y 2 = 1-2x x2 y2 e) - + - = l a2 b2 f ) X-
a
+Y
-
b
=
1 y los ejes coordenados
3. Encuéntrese el área, M,, M,, las siguientes regiones :
I,, I, y el centroidedecadaunade
limitada en la parte de arriba por x’ + y 2 = 2 y en la parte de abajo por y = x’ 6) limitada a la izquierda por y = x2, a la derecha por x 2 + y 2 = 2 y debajo por el eje X c) limitada por y = x2 y x = y’ d ) limitada por y = sen x , y = cos x, x€[ -7r/4, n/4] e ) limitada por y = x2+2 y y = x + 4 f) limitada enla parte superior por x 2 + y 2 = a2 y en la parte inferior por el eje X. a)
4. Sea 2 la región limitada por
y
=
x2 y y’ = x. Encuéntrese:
M , cuando 2 es la recta y = 1 M , cuando Y es la recta x = - 1 M , cuando 2 es la recta x + y = O M , cuando 3 es la recta x - y = O I p cuando 2 es la recta y = - 3 f ) Ip cuando 2 es la recta x = 2 g) I , cuando 9 es la recta x + y + 5 = O h ) I , cuando 2 es la recta x - y = O. a)
h) c) d) e)
5. Demuéstrese que el centroide de un triángulo está a distancia de un lado al vértice opuesto.
un tercio de
la
6. Demuéstrese que si una región 8 tiene un eje de simetría, entonces el centroide se encuentra sobre este eje de simetría.
7. Demuéstreseque el áreadeuna región limitada por una parábola al eje de la parábola es igual ados tercios del área de un rectángulo circunscrito.
y unacuerdaortogonal
8. Encuéntrese el centroide de la región del problema 7 y los momentos de inercia de esta región con respecto a los ejes que pasan por el centroide paralelo y perpendicular al eje de la parábola.
superficie
111una
bajo
365
Volumen
9. Pruébese que si 2,y T2son rectas paralelas de normal n, x1 y x2 puntos fijossobre 9, y respectivamente, y 2 es una región,entonces
+ [Camp,(x* - x 111 A (3).
= MY2
10. Pruébese que si los ejes de coordenadas son elegidosde modo que el origenestéen el centroidedeunaregión 2 , entoncesparaunarecta cualquiera 2’ que pase por el centroide con ángulo de inclinación LY,
I,
donde I,,
=
I
=
I, sen 2
a-
2 I,, sen a cos a+ I, cos2 a
x y d x . Al número I,, se Le llamaproductode
Sugerencia. Tómese el punto x. = O sobre
Ty n
=
inercia.
(sen LY, - cos a).
11. Encuéntrese el momentode inerciade un rectángulodebase w y altura h conrespectoa la recta 2’: a x + by+ c = O. Especialícese el resultado para obtener el momento de inercia con respecto a : a) la base
b) una recta que pasa por el centroide paralela a la base c) una diagonal. 11. VOLUMEN BAJO UNA SUPERFICIE
En esta sección consideraremos el volumen de una región en R3 de un tipo muy especial. Suponemos que el volumen tiene propiedades similares a las del área.Si 6 es un conjunto de puntosen R3 con volumen, denotaremos el volumen de 8 por Y(&). Para aquellos conjuntos de puntos 8, 9, 9, . . . para los que el volumen está definido suponemos
11.1 V ( 8 ) 3
o.
11.2 Si 6 c
F,entonces V(&) < V ( F ) .
11.3 Si 9 = & u % y V(& n 9) = O, entonces V ( 9 ) = V ( € ) + Y(%). 11.4 El volumen de un paralelepípedorectangular
longitudes de los lados.
es el producto de las
Supongamos que una región en R3 está lateralmente limitada por una superficie cilíndrica con un generador paralelo al eje Z , limitada superiormente por una superficie z = f ( x , y ) , y limitadainferiormenteporuna región cerrada y acotada3 del plano X Y (figura 19). Sea [a, b] un intervalo en R2 tal que 3 c [a, b] y sea P una partición de [a, b] en subintervalos R i .
[Cap. 6
Integrales rnúltlples
366
Definamos
FIGURA 19
Entonces, el volumen V i del cilindro de base .%’, acotado superiormente por z = .f,(x, y ) es una cantidad intermedia entre rni(jd)A (.%l) y Mi(/>) A (gi) donde A(%?¡)es el área del subintervalo .#¡: rni[.f>)A ( d J d
vi 6
Mi(/d) A @ ¡ ) .
De donde k
L(.jd, P ) =
1 rni(f,)A(.%i)
i= 1
v 6 1 M i ( f , J ) ’ 4 ( 8 ¡ =) U ( & , k
6
i= 1
P).
Por tanto, si f’ está acotado sobre d .
y j ’ es integrable sobre ,‘A
Por el teorema 9.3. pág. 355. si .R = .&,r d y d h ( x ) ) y f’ es continua sobre luego
g(x)
11.5
&.
= [(x. y
)1 u d x
< b.
superficie 111una
bajo
367
Volumen
y por el corolario 9.4 si 2 = f es continua sobre 9, entonces
=
{(x, y ) I a 6 y 6 6, g(y) 6 x
< h ( y ) }y
11.6 11.7 Ejemplo. Encuéntrese el volumenlimitado enla partesuperiorpor el paraboloide de revolución z = x 2 + y 2 , inferiormente por el plano X Y , y lateralmente por el cilindro circular x2+ y 2 = 4.
X FIGURA 20
S O L U C I ~ N(Figura . 20.) La región 9 en el plano X Y sobre la que integramos es la base del cilindro: 2
=
%x
= {@,y)
I -2 < x
6 2,
-m<
y
< J4-x2}.
De donde
Como tanto el integrandocomo la región 9 sonsimétricosconrespecto a los planos X Z y Y Z , podemos escribir
v=4
jo2 S:”
(x’
+
y 2 ) dy
Podíamos haber descrito nuestra región 9 como
dx .
368
Integrales múltiples
[Cap. 6
y en este caso habríamos obtenido
11.8 Ejemplo. tncuéntrese el volumen del sólidolimitadopor x
u
+1 .- ’+ z b
-
c
=
el plano
I (a, 0, c todos positivos) y los planos coordenados.
SOLUCI~N (Figura . 21 .) La regiónbase R es b
R x = {(x, y ) I o d x 6 a , o 6 y 6 - ( a
- x)}
U
X‘ FIGURA 21
De donde
Problemas 1. Encuéntrese el volumen del sólido que está sobre la región 9 y tiene la gráfica de f’ como su superficie superior.Dibújeseuna figura. a) %lesel
triángulolimitado
por los ejes decoordenadas
y la recta
x+y = I ; f(x,y) = I -xz. b) W es el rectángulo limitado por los ejes de coordenadas y las rectas x = 2 , y = 3 ; f’(x,y) = x z + y 2 . c) 9 está limitada por la circunferencia x’ + y 2 = 1 ; f ( x , y ) = y + 2. d ) W está limitada por la circunferencia x 2 + y 2 = 1 ; f(x, y ) = 3 x + 4 .
121
Volúmenes revolución de
y el teorema de
2. Encuéntrese el volumen de un hemisferio de
Pappus
369
radio la unidad.
3. Encuéntrese el volumende la región en R3 limitadasuperiormente por z = 1 -x2 - y 2 y debajo por el plano X Y .
4. Encuéntrese el volumende la región en R3 limitadaarribapor lateralmente por x’ + y 2 = 1, y debajo por el plano X Y .
z = 4-x,
12. VOLúMENES DE REVOLUCIÓN Y EL TEOREMA DE PAPPUS En la sección 11 consideramos el volumen de un tipo muy particular de región en R3 “regiones limitadas lateralmente por una superficie cilíndrica con un generador paralelo al eje Z , arriba por una superficie z = f ( x , y ) y debajo por el plano X Y . En esta sección consideraremos el volumen de un sólido de revolución generado al hacer girar una región plana alrededor de una recta del plano.
71
FIGURA 22
Laregión en R3 (figura 22) que se encuentrasobre = { ( Y cos O, r sen 0) 1 O < f3 < M , Y , < r < r 2 } y estálimitadasuperiormente por el plano z = h tiene volumen u ? ( Y , - Y ~ )donde ~ f = + ( r l + Y , ) . Esta región puede imaginarse que está generada por el giro de un rectángulo de lados r2 - rl y h un ángulo cx alrededor de una recta paralela al lado de longitud h a una distancia + ( r l +r2)del centroide del rectángulo. Supongamos que W es una región enel plano (figura 23). Sea [a, b] un intervalotalque 9 c [a, b] y sea P una partición de [a, b] en subintervalos g j j .Siel intervalo [a, b] se hace girar u n ángulo c( alrededor de la recta y = c donde c < u2 o c b,, entonces el subintervalo g j j genera una regiónen R3 de volumen: u I j j - c ( A(%¡,) donde j j = +(yj- +yj). Supongamos que la intersección de esta región con el sólido de revolución
370 [Cap.
múltiples
6
Integrales
generadohaciendogirar .% un ángulo CY alrededorde y = c tiene un volumen V i j . Entonces mij(la)CYlyj”cl A(.%?ij) < vij 6 Mij(l,)CY lyj”-cl donde yj‘ = y j - si c < u2 y yj’ = si c 3 h , y y,” = y j si c < a2 y y,” = r j - si c 3 b,. De aquí que si el sólidoderevolucióngeneradoal hacer girar 9 un ángulo CY alrededor de y = c tiene volumen V i ,entonces
,
y,
,
L(CYII,-cl
l,,P) =
1 kl
kz
i=1
j=1
mij(l,)CYlyj”clA(W,j)
y=c
-X
FIGURA 23
Por tanto
x(y-c/dx<
v
6
-
Como W tiene área,
cr 11, - CI
es integrable sobre 2 y
12.1
Si 9 se hace girar un ángulo CY alrededor de la recta x = c donde c o c 3 b , , entonces puede probarse de un modo análogo que
< u,
12.2 Obtenemos casosespeciales particularmente importantes de los anteriores resultadoscuando z = 2n. En los siguientesejemplossiempre queno
Volúmenes de revolucidn y el teorema de Pappus
121
371
hagamos mención del ángulo de revolución supondremos que la región ha girado una revolución completa.
CY
= 271 y
12.3 Ejemplo. Encuéntrese el volumengeneradocuando se hace girar alrededor del eje X la región limitada inferiormente por el eje X , en la parte superior por la curva y = x2 y a la derecha por la recta x = 2.
FIGURA 24
SOLUCI~N. Por 12.1
P
=
27T
joz [Z] 71J; 2 0
dx =
X4dX
32 12.4 Ejemplo. Encuéntrese el volumengeneradocuando región del ejemplo 12.3 alrededor de la recta x = 5.
S O L U C I ~ Por N . 12.2, tenemos I/ =
271
=
21.r
J’: 1 : lx-S(dydx Jo2
se hacegirarla
Io2 J1’ [: 4 1
= 27t
(5 - x ) d y dx
I ( 5 - x ) x 2 d x = 271 - x 3 - - x 4
o
=
567t
-. 3
[Cap. 6
Integrales múltiples
372
12.5 Teorema. (Pappus, 300 A.C.) Si a una región plana B la hacemos girar alrededor de una recta 6p del plano, y si 9 no intersecta a W ,entonces el volumen generado es igual al producto delárea de . 9 por la distancia recorrida por el centroide de B. PRUEBA.Probaremos el teorema solamente para el caso especial en que 9 es una recta horizontal. Si 9 es la recta y = c, entonces por 12.1 ly-c/dx.
I/ =
Por otra parte (definición 10.2, pág. 356),
M,
=
Cornp,(x-x,)dx.
Como Comp, (x- xo) =
n-(x-xo)
I 4
=
y-c,
tenemos
Por tanto
= ccIj,-clA(B)
donde c( Ij - cj es la distancia recorrida por el centroide de 12.6 Ejemplo. Encuéntrese el volumendeun altura h y radio r.
~92.
cono circularrectode
S O L U C I ~ El N .cono puede generarse haciendo girar un triángulo rectángulo de catetos h y r alrededor del cateto de longitud h. Según el problema 5, pág. 364, el centroide está a una distancia r/3 del lado de longitud h. De donde, usando el teorema de Pappus, tenemos
v=2 para el volumen del cono.
rrh 1 ~ - = -m h 3 2 3
Volúmenes de revolución y elPappus teorema de
121
373
12.7 Ejemplo. Encuéntrese el volumen del toroobtenidohaciendogirar un círculo de radio a alrededor de una recta 2 a una distancia b del centro del círculo (a < b). SOLUCI~N. Como el centroidede el teorema de Pappus tenemos V
=
un círculo está en su centro,usando
2nrb(na2) = 2 n 2 a 2 b .
12.8 Ejemplo. Encuéntrese el centroide de un semicírculo.
SOLUCI~N. Supongamos que el semicírculo es la parte superior del círculo limitado por la circunferencia x 2 + y 2 = r2. El eje Y es entonces un eje de simetría y, por tanto, de acuerdo a lovistoen el problema 6, pág. 364, 1 = O. Ahora bien, el área del semicírculo es $ n r 2 y el sólido generado al hacer girar el semicírculo alrededor del eje X es una esfera de volumen $nr3. Pero, por el teorema de Pappus
v = 2njA
luego -
4r 4nr3 2 n 3An r 2 3n'
Y=--
V
" "
Problemas 1. Sea B una región plana limitada por las parábolas y = x' y x Encuéntrese el volumen generado si hacemos girar 92 alrededor de: b) la recta x = 1 a) el eje X d ) la recta x = -3. c) la recta y = 2
=
y'.
2. Una esfera de radio a tiene un hoyo cilíndrico de radio al2 con un diámetro como eje. Encuéntrese el volumen del material que queda. 3. En un cilindro de 3 pulgadas de radio ha dehacerse una acanalamiento de 3 pulgada de ancho y de pulgada de profundo. Úsese el teorema de Pappus para encontrar el volumen del material que ha de quitarse.
+
4. Alrededorde u n cilindroderadio 3a seva ahacer u n hendidura semicircular deradio a. Encuéntrese el volumendelmaterial que va a quitarse.
Sugerencia. Úsese el resultado del ejemplo 12.8. 5. Un cilindro ha de recortarse en la forma que aparece en la figura 25. Encuéntrese el volumen del material que ha de quitarse.
374
FIGURA 25
13. CAMBIOEN
EL ORDENDEINTEGRACIóN
En algunos casos una integral iterada puede evaluarse más fácilmente si se invierte el orden de integración. Siel integrando es continuo es posible conseguirestousando el teorema 9.3 y el corolario 9.4, pág. 355, para mostrarque la integraliterada dada es igual aunadoble integral sobre alguna región y que esta doble integral es igual a una integral iterada con orden deintegracióndiferente del ordendeintegraciónde la integral iteradaoriginal.Esteprocedimiento se ilustraen los siguientesejemplos.
13.1 Ejemplo. Evalúese e-x2 dx d y .
SOLUCI~N No. hayningunafunciónelementalquetenga e - x 2 como su derivada, luego la integraciónconrespecto a x nopuedeefectuarse en términos de funciones elementales. Si 22 = {(x, y ) 1 O d y < A , y 6 x d A } , entonces
La región 9 es el triángulo de la figura 26.
FIGURA 26
375
Cambio en el orden de integraci6n
131
[A
Y
e-"'dxdy
=
e - X Z d x=
j: j' O
~ e - dx ~ '=
e-"'dydx
=
3 [I-
e-A'] .
13.2 Ejemplo. Demuéstrese que sif'es continua sobreW = { ( x 7 y1)a d y d 6, a 6 x d y } , entonces
1;jay
f(X,Y)dXdY =
S O L U C I ~ N(Figura . 27.) Si By =
jabj; f I
{ ( x ,y ) a d
( x ,Y ) dY d x .
y 6 6, a d x < y } , entonces
FIGURA 27
Como 9,, = gX,
Problemas 1. En cada una de las siguientes integrales iteradas, inviértase el orden de integración y luego evalúese la integral iterada que parezca más sencilla.
376
rnúltlples
Integrales
[Cap. 6
2. a) ilsese la relación del ejemplo 13.2 parademostrarque
jab
f’(x)dx d y
=
b) Demuéstreseporinducciónque
jab
(6-x)f(x)dx.
la integraliteradan-ésima
14. INTEGRALES TRIPLES La integral doble se introdujo en la sección 2 para intervalos en R2 y en secciones subsecuentes el concepto se extendió a conjuntos más generales de R2. En esta sección daremos una breve introducción a las integrales sobre conjuntos en R3, a las quellamaremosintegrales triples. El tratamiento será breve porque es análogo al tratamiento de las integrales dobles y es u n caso especial de la discusión de integrales en R” queencontraremos en la sección 19, pág. 395. U n intervalocerrado [a, b] en R3 esel conjunto de todos los puntos xeR3 para los cuales a i< xi< b i (i = I , 2, 3) donde a , < b,. Un intervalo cerrado [a, b] en R3 es un paralelepípedo rectangular de volumen 3
VC[a, b])
=
(b, - a , ) ( b 2 - a 2 ) (b,-u,)
=
i= 1
(h-4.
Definimos una partición [a, b] c R3 de una manera análoga a la que usamos para los intervalos en R2. Si a = ( a , ,a 2 ,a,) y b = (b, , b 2 , b,), tomamosparticiones P , de [ a , ,b,], P , de [ a , ,b21, y P , de [ a , , b31. Entonces P = P , x P , x P , se dice que es unaparticiónde [a, b] y la norma de P se define por IPI
=
máx (IPII,I P 2 I ,
IP3I).
Si la partición Pi subdivide [ a , ,bi] en k , subintervalosunidimensionales entonces P subdividea [a, b] en k = k , k , k , subintervalostridimen-
141
Integrales triples
377
sionales. Los k subintervalos pueden enumerarse consecutivamente y denotarse por Ri ( i = I , . . ., k). Sea f unafunciónreal acotadasobre [a, b]. Como en R2, definimos ínf (f’(x) I X E B ? ~ }
m,(f’)
=
Mi(f)
= SUP
(f(x) I
X E g i )
y formamos sumas inferiores y superiores: L ( J ;P )
I,
=
u ( f ;0 = donde V ( 9 J esel
i= 1
.li(f)
V(&J
h
1
i =
1
M,(f) V(&i)
volumen del subintervaloi-ésimo.
La desigualdad
donde m y M son el ínfimo y el supremo de f sobre [a, b] se verifica para todaslasparticiones P de [a, b]. Como el conjunto de todas las sumas inferioresestásuperiormente acotado, tieneun supremo.Análogamente, el conjunto detodaslassumassuperiorestiene u n ínfimo. Tenemos así integrales inferiores y superiores definidas como sigue:
j:
f
=
sup ( L ( f ;P ) ) P E P }
-
Y
donde 9 es el conjunto de todas las particiones de [a, b]. De nuevo nuestro maxlmo interés recae en aquellasfuncionespara las que lasintegrales inferior y superiorcoinciden. AI valorcomún sele llama la integral (de
Riemann) de f sobre [a, b], y se denota por
jab jb f o
a
f ( x ) dx. La integral
de una funciónf’sobre un intervalo [a, b] en R3 se llama una integral triple. El términointegraltriple se derivadelanaturalezatridimensional del intervalo de integración. Las notaciones h
h
a
a
son a veces usadas para denotar a
la integral triple de
j sobre [a, b].
[Cap. 378
múltiples
Integrales
Se puede mostrar que básicas :
6
la integral triple tiene las siguientes propiedades
lab 1;
14.1 SiJ'es integrable sobre [a, b] y c es una función constante de R3 en R , enionces l a f u n c i ó n cf es integrable e
cf = c
,f.
14.2 S i c es una función constante de R3 en R , entonces para todo intervalo Pb
J.
[a, b ] e R 3 , c es integrable sobre [a, b] ec
= c V ( [ a , b]).
,f y g son integrablessobre [a, b] entonces f + g f b rb rb [a, b] e ! (.f'+g) = f g.
14.3 Si lasfunciones integrablesobre
+J
a
14.4 La función f es integrable sobre definidas por las reglas
J, f"
es
a
[a, b] si y sólo silas ,funciones f +
son, ambas, integrables sobre [a, b].
14.5 S i la función f es integrablesobre[a, sobre [a, b] .
b], entonces f
es integrable
14.6 Si las funcionesf'yg son integrables sobre [a, b], entonces e l p r o d u c t o f g es integrable sobre [a, b]. 14.7 Si las funciones toda
X E
[a,
f
b], entonces
1 J:
1;
~
g' son integrables sobre [a, b] y ,f(x)
j;
f 6
Y'
14.8 Si la función f es integrable sobre sobre [a, bl e
b
i,l G
jaI f ' l . b
[a, b], entonces I f
I
La integral de una función f sobre un conjunto acotado definida en términos de la función f8 donde
{
f(x)
"(X)
donde
=
%e, el complemento de
0
para x € & para x
j8f' jab =
es integrable
c" c R3 está
c:
8 , esel conjunto de todos los puntos de
no en 8. Si [ a , b] es un intervalo en R 3 tal que & c [a, b] y si entonces
< g(x) para
fs
R3
existe,
fe. La integral no depende del intervalo [a, b] escogido
141
Integrales triples
379
para contener 6. Las propiedades básicas 14.1-14.8 puede demostrarse que son válidas para
j8
f.
Si & es u n conjunto acotado en R3 y [a, b] es u n intervalo en R3 tal que B c [a, b],
entonces
y ( & )=
I,,
y V (8) =
{ab
s."
12 se llaman,
respectivamente, uolumen interior y volumen exterior de 6 . Si y(&)= Y (8) entonces I, es integrable sobre [a, b] y el volumen de B es, por definición, este valor común y se sigue que
V ( & )=
jab j8 I, =
l.
Si u n conjunto € tiene volumen, entonces la frontera de 6 tiene volumen cero (véase el teorema 4.17, pág. 337). Fácilmente se puede probar (problema 3) que el volumen tiene propiedades análogas a las propiedades del área dadas en los teoremas 4.8, 4.10, y corolario 4.13 (pág. 333). S i & y F son conjuntos en R3 que tienen volumen, entonces 14.9
V ( 6 ) 3 O.
14.10 Si & c B , entonces Y(&)
<
V(F).
+V(9).
14.11 Si V(& n F )= O, entonces V(& u F)= V ( 8 )
14.12 Teorema. Si f es una función acotada sobre un intervalo [a, b] c R3 y el conjunto € de puntos de discontinuidad de f sobre [a, b] tiene volumen cero, entonces
1:
,f existe.
Como este teorema es análogo alteorema 5.1 (pág. 338), omitimos aquí su prueba. Del teorema 14.!2 se siguen varios importantes corolarios. Estos corolarios son análogos a los corolarios de la seccicin 5. 14.13 Corolario. Sean J' y g dos.funciones acotadassobre un intervalo [a, b] c R3 y continuas sobre [a, b ] - 6 , donde 6 es un subconjunto de [a, b] de volumen cero. Si j = g sobre [a, b] - 8 , entonces
jnb jnb .f
=
14.14 Corolario. Un conjunto acotado de 8 tiene volumen cero.
9.
& c R3 tieneuolumensi
la jrontera
380
[Cap. 6
Integrales múltiples
14.15 Corolario. Sea 8 un Llolumen acotadoen S i f está acotada sobre 8
J,
R3 yuetienevolumen.
es continua en el interior de 6 , entonces
existe.
r
.Ie .f
14.16 Corolario. Sea 8 un conjuntoacotadoen R3 que tienevolumen. Si f está acotada sobre B y es continua en el interior de Q, excepto sobre u n subconjunto
L r
B devolumencero,entonces
14.17 Corolario. Sea B un conjuntocerrado
f existe.
y acotadoen
volumen. Si f es continuasobre 6 , entonces
R 3 quetiene
f’ existe. J 8
Problemas 1. Pruébese que los siguientes conjuntos tienen volumen cero. a) u n número finito de puntos b ) u n segmentorectilíneo c) u n subconjunto acotado de un plano. 2. Pruébese que una esfera tiene volumen. 3. Demuéstrese que el volumen tiene las propiedades
14.9, 14.10 y 14.1 I .
15. INTEGRALES ITERADAS
Las integrales iteradas en dos dimensiones se consideraron en la sección 7 . Aquíconsideraremosintegralesiteradasentresdimensiones. La integral iterada
15.1
151
iteradas
=
Problemas Evalúense las siguientes integrales iteradas. a) b)
lo5lo’ll3 + (x’
lo1 1;: J1:’
381
Integrales
2 y z )dx dy d z
zdzdydx
1 - ;)y
%I0 2
-
b( 1 - x / a )
dx
Integrales múltiples
jozn j:.
r dz
J vO m
[Cap. 6
d r dl)
16. TEOREMA FUNDAMENTAL PARA LAS INTEGRALES TRIPLES En esta sección enunciaremos u n teoremaque establece una relación fundamentalentre las integralestriples y lasintegralesiteradas.Este teoremanosmuestraunimportantemétodopara la evaluación de las integrales triples. Este teorema es el análogo para los intervalos tridimensionales del teorema 8. I , pág. 347, para los intervalos bidimensionales.
16.1 Teorema. Si
jab
.f'(x)dx existe y a = ( u l ,u,, u,)
y b = (bl, b,, b3)
y s i F ( x , ~ )= ) ~~~J(x,y,~~~~~ex~steparu~~do(x,~)~[c,d]co~
y d = (b,, b,), entonces
existe e
!Y i" iT
j(X,J., 2 ) rlz d A =
, f ( x )d x
:j
=
L:
Jcd
F ( x ,y ) d A
J ( x , y, z ) d z d A .
L a prueba del teorema 16.1 es esencialmente la mismaquelaprueba del teorema 8.1 y no la daremos. El siguiente corolario da condiciones suficientes para asegurar la existencia de las integrales del teorema 16.1.
16.2 Corolario. Sea f ' u n a , f u n c i h uc,otaclu sobre el i n t e r d o [a, b] en R 3 J' continua sobre [a. b] excepto sobre 1111 conjunto 6 de rolutnen cero con la propiedud de I ~ I P la rer'tu paralela al qie Z intersecta a B en cuando tnds
161
Teorema fundamental
las para
383
integrales triples
un nzimerojnito de puntos. Entonces las integrales del teorema 16.1 existen e
j:
f ( x ) dx
=
J
Jcd
f ( x , y , z)d z d A .
b3
a3
La prueba de este corolario es esencialmente la misma que del teorema 8.8, pág. 351.
16.3 Corolario. S i i)
c
existe e
jb a
f ( x ) d x existe, ii) F ( x , y )
( x , Y ) E [c, d] donde c
existeparatodo iii) G ( x ) =
jab
sur
F ( x , y ) d y existeparatodo
f ( x ) d x=
juy
G(x)dx
=
=
X E
de
=
jcd
jP
f ( x , y , z ) d z paratodo
c
f(x)dx
Ahorabien,según
G(x) = existe e
j;
=
jcd
=
jcd ju;Jay
F(x,y)dA
G(x)dx
j a y
f ( x , y , z ) d z d y. d x f ( x ) d xy la existenciade
ICdjay
f ( x , Y ,2) d.2 d’4.
5:
F ( x ,y ) d A y de
x ~ [ a , b, , ] implica que
=
(6, , b2), e
[ a , , b,], entonces
el teorema 8. I , laexistenciade
=
f ( xy,z, ) d z
(x, y ) € [c, d] implicalaexistencia
F ( x , y ) d A=
F ( x , y ) d y para toda
f(x)dx
=
J’.” ja: S:
F ( x , y ) deA
1;
Se.
( a , , a2) y d
PRUEBA.Por el teorema 16.1, laexistenciade F(x, y)
=
la prueba
I*:
G(x)dx
G(x)dx
:a’¡.
F(x, Y ) d Y d x =
Jay jarj;;
f ( x , Y , Z)dZdY d x .
16.4 Corolario. Si f es continua sobre [a, b], entonces
jab
f ( x > d x=
ju; jayjay
f(x,y,z)dzdy dx.
PRUEBA.La continuidad de f implica la existencia y continuidad de F y G del corolario 16.3 y de ello sigue el resultado.
384
[Cap. 6
Integrales múltiples
Enunciamosahora, sin prueba, u n teoremapara análogo al corolario 16.4 para intervalos.
regiones d,, que es
16.5 Teorema. SiJ'es continuu .sobro /u región = {(x.J , z ) 1 a < x < b, g 1(x) < y < g 2 (x), 11, (x, J ) < 2 < (x,J ) ) donde y l , gz .con continuas sobre [u, b] J' h, , /I, son continuas sobre -X, = :(x.J.) I u < x < b, g1(x) S y < g 2 ( x ) } ,
h,
entonces
i.
t'h
=
* d.A,,
"q21.v)
.'A,t,.
'hz(x. Y)
f '.x, jqr(.ti
.c', z ) LIZ
d y dx .
jh,lx,v)
Resultados andogos a los del teorema 16.5 puedenobtenersepara varias permutaciones de x. y. z.
las
Nora. En la evaluación de unaintegraltriple sobre .#,y por medio de la integral iterada del teorema 16.5, nótese que integramos primero con respecto a z desde la superficie límite inferior a la superficie límite superior y luegoconrespectoa x y sobre la proyección de g X y sobre el plano X Y . 16.6 Ejemplo. Evalúese la integral
S O L U C I ~ N .Como J' = f l z+ f 2 2 + I , z es continua sobre [(O, O,O), (2, 5, 3)].
según el corolario 16.4 tenemos (x' (0.0.0)
+ + z 2 )dx JZ
(x2
=
16.7 Ejemplo. Evalúese la integral
+ + 2 ' ) d z d y d x = 380. )s2
[' x 2 d x donde
J"A
2 es el tetraedro
limitado por los planos coordenados y el plano 2 x + 3 y + z
(0,2,0)
X
FIGURA 28
Y
=
6.
161
Teorema fundamental
para las integrales triples
385
SOLUCI~N. (Figura 28.) 9 estálimitadahaciaarribapor z = 6-2x-3y y hacia abajo por el plano z = O. La proyección %!x de 9 paralela al eje Z es el triángulo limitado por la recta 2x+3y = 6 y los ejes coordenados: x = O, y = O. De donde
1
6-2x-3~
x2dz
dA
Problemas 1. Encuéntrese
j:
,f(x)dx paracadaunade
las siguientes funciones.
u ) f(x) = xyz, a = (O, 2,4), b = (1, 6, 5) 6) f(x) = x2, a = (-1, 2 , -3), b = (1, 3, -2) e ) .f(x) = xz cos (xy). a = (O, 2, I ) , b = (2, 5 , 2) d ) f(x) = sen (x - t y ) , a = (O, I ,I ) , b = (2, 2: 2) e) f ( x ) = )x/’, a = (O,O,O), b = ( I , I , 1) .f’> f(x) = z2 sen y , a = (O, 0: O), b = (27r. n, u).
2. Evalúense las siguientes integrales: a)
j:
dx con g = {(x, y , z ) 10 6 x
< a, 0 < y < J X P ,
[Cap. 386
múltiples
3. Evalúese
j
Integrales
donde
xdx
6
.?A
está superiormente acotado por
d
z = 16-4.x2-y2 e inferiormente acotada por
tfx donde :‘A esla
z = 12x2+~,*.
región enel
y 2 O, z 3 O) limitadapor el elipsoide
x2 u
primer octante (x 3 O,
v2 z2 + L; + =I. b
c
17. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES E n la sección 14 indicamosque
es
j8
el volumende
u n conjunto R en
I paraaquellosconjuntosquetienenvolumen.También
R3
se señaló
que si G y 9 son conjuntos en R3 que tienen volumen, entonces V ( 8 )3 O ; si 6 c 9 , entonces V ( 8 ) < V ( F ) :y si V ( 6 n 9 ) = O. entonces V ( 8 u F) = V ( 8 ) + V ( 9 ) . Antes, enla sección I I , se probó que si el volumen tiene estas propiedades, entonces, para regiones :%’x,., en R3 del tipo .#xy
donde
=
= {(x.
( ( x ,y ) 1 u
d
x
.l..z ) I o
< 2 < h ( x , y ) , (.x,J,)€8x;
d O. g , (x) d
J’
d g 2 ( x ) } , tenemos
Por el teorema 16.5,
=
j,#x
h(x,L’)dxclL’.
Así pues,para regiones del tipo 9 estosdosmétodos :y del volumen coinciden y sonesenclalmente el mismo.
d e determinación
17.1 Ejemplo. Encuéntrese el volumen del tetraedro limitado por X
-
u
+Y +Z -
b
-
c
=
1
( a , b,
c todos positivos) y los planos coordenados.
el plano
171
Aplicaciones de
387
las integrales triples
SOLUCI~N. (Figura 29.) Aquí la región es
x FIGURA 29
donde
De donde c( 1 - xla- y l b )
1
dz d A
I
dz dy dx
Las definiciones deprimermomento y segundomomentoderegiones en R 3 conrespectoa planossonanálogas a las definiciones dadas enla definición 10.2, pág. 356, para momentos de regiones planas con respecto a rectas.
388
[Cap. 6
Integrales múltiples
17.2 Definición. Sea 9 un planoen R3 con normal n y sea x, un punto de 9.El (primer) momento M p y el momento deinercia Ip de una región R en R3 con respecto al plano 9 están definidos por
fijo
M, =
jd
Comp, (x - x,) dx
e [Comp, (x - x,)]
’dx
respectivamente. Enla definiciónde M , e I, cuando 9 es el plano X Y , es habitual escoger n en la dirección positiva del eje Z. Entonces Comp, (x - x,)
=
k (x - x,)
Y zdx,
I,, =
J
-.
=
z
z 2dx.
Cuando 9 es el plano Y Z , se escoge n en la dirección positiva del eje X. Entonces Comp,(x-x,) = i.(x-x,) = x
Y
j P
l.
xdx,
I,,
=
x’dx.
d
Cuando 9 es el plano X Z , escogemos n en ladirecciónpositiva eje Y . Entonces Comp,(x-x,) = j.(x-x,) = y
del
Y
El momentode inerciade una región 9 en R3 conrespectoa una recta 2 puede definirse como la suma de los momentos de inercia con respectoacualquierpardeplanosortogonalesquetengana 2 como su recta de intersección.
17.3 Definición. El punto
se llama centroide de 9.
171
de Aplicaciones
389
las integrales triples
17.4 Ejemplo. Encuéntrense los momentos primero y segundo con respectoa los planoscoordenados del tetraedrolimitadopor el plano
+ Y- + Z- = 1 y losplanosdecoordenadas.Encuéntrensetambién el a b c centroide y los segundos momentos con respecto a los ejes de coordenadas.
X
-
SOLUCI~N. (Figura 29.) Esta es la región del ejemplo 17.1 :
De donde =
J’,,
1: i
b( 1 - ,/a)
x dx =
j0
c( 1 - x j a - yjb)
xdzdydx.
Las integraciones con respecto a z y y son exactamente las mismas que las dadaspara el volumen en el ejemplo 17.1 exceptoenque el integrando aparece multiplicado por x.
M,,
=
2
0
x(L
=
-
-$j:
(a2x-2ax2+x3)dx
3 Para encontrar M,, observamos que no es necesario efectuar de nuevo la integración. Si reemplazamos (x, y , z) por (y, z, x ) y (a, b, c) por (b, c, a) en el cálculo de M,,, obtenemos ab2c
M,,
=
M,,
= -.
~
24
Análogamente, a bc2
24
Para los segundos momentos tenemos, x2 d z dy dx
Integrales múltiples
390
[Cap. 6
Denuevo,como en el casode los primerosmomentos, por intercambio c k k o de (x, z ) y (u, 6, c ) obtenemos, I,, =
60
a b 3c ~
60
e
ubc3
I,, = _ _
Como V ( M ) = habc, tenemos
Los segundosmomentosconrespectoa I, =
J
(y2+z2)dx =
ab3c + 60
-~ -
60 I,
=
abc
"(a
I
&'
a x ,
2
60
los ejes coordenados son
+J
y2~ ' x dX,
.#.X,
z 2 ( ~ x= I ~ , + I,,
abc3 _ _ =abc -(b2+c2),
60
+ c 2),
e I, =
a bc ~
60
(a2
+ b2)
Problemas
1. Encuéntrese el volumen del elipsoide 2. Encuéntrese el centroide de ia porcióndelelipsoide
x2
u
+
,'2
b
+
z? c
=
1
que se encuentra en el primer octante. 3. Encuéntrense los momentosdeinerciacon respectoa cada uno de los planos coordenados de la región del problema 2. 4. Encuéntrese el volumende la región limitada por los paraboloides z = 4 x ' + y 2 y z = 4-X2"J'2 5. Encuéntrese el volumende = 4, z = 4 - y 2 y z = 0.
la
región limitada por lassuperficies
x2+y2
6. Encuéntrese el centroide de la región del problema 5.
181
Área, volumen integración y momentos sin
391
7. Encuéntrese el volumende la región situada enel limitada por los cilindros x 2 + z 2 = u' y y 2 + z z = a 2 .
primeroctante
8 . Encuéntrese el centroide de la región del problema 7.
*9. Encuéntrese el volumende x2 a2
+
y2
-
b2
la regiónlimitada
por el conoelíptico
z2 = - y el plano z = c. c2
18. ÁREA, VOLUMEN Y MOMENTOS SININTEGRACIóN En muchoscasos es posible encontrar los primeros y los segundos momentos, los centroides, las áreas y los volúmenes de ciertas regiones sin necesidadderecurrir a la integración. Sise conocen el área y los momentos para los rectángulos, los triángulos y los semicírculos (y cuartos de círculos)entonces el área, los momentos y los centroidesdelasregiones queconsistan en combinacionesdetalesfiguraspuedenencontrarse sin dificultad. Además, por el uso del teoremadePappus,puedencalcularse fácilmentetambién los volúmenesderevoluciónque se obtienenpor el giro de tales regiones. A continuación enumeramos algunos de los resultados queyapreviamente se habían obtenido respecto al rectángulo, alcírculo y al semicírculo en la tabla I . En esta tabla, CG denota al centroide (CC, por centro de gravedad) y J , denota al momento polar de inercia con respecto al centroide. I,,, etc., representan los momentos de inercia respecto a los ejes A A , etc.queaparecenmarcados en lascorrespondientesfiguras. 18.1 Ejemplo. Encuéntrense el centroide y el momentode inercia con respecto a la base de la región en forma de L que se muestra en la figura 30.
A-
FIGURA 30
392
TABLAI
Región
Centroide
Momento de inercia bh3
Rectángulo Rectangle
IAA = 12
IB
b3h 12
I,,
=-
bh3 3
I,, = J,
=
bh3
+ b3h
12
Triángulo 'l'nangle
I-'
B -a
--
"
bh3 IAA = 36 bh3 IBB = 12
-"_- A B
I,,
=
x=y=r "
-A
J
nr4 4
nr4
"
=-
2
Semicírculo
Semi-circle
I
r4
I
-
AL""" Y
Bf
r
\
y=-
A
t " " I CG II
"
E
4r 37r
IAA = - (9n2 - 64) 72n 7rr4 8
IBB = -
181
393
Área, volumen y momentos integración sin
SOLUCI~N. La regiónconsiste en dosrectángulos. Escogiendo los ejes de coordenadas como se indica en la figura 30, los centroides de los rectángulos a y b son -
x,
Y
=
(x,, Y,) = (f , 3)
-
Xb = (- ) = (11) xb, Y b 2 , 2
respectivamente. Denotando las áreas por A, y A, respectivamente, tenemos =
M,
A,j,+A,jb
=
1 ~ 6 ~ 3 + X5+ ~ 18+1 ;1
42' ~
pulg3.
Dividiendo por el área total tenemos
Por simetría, X = j = $3 pulgadas. Para encontrar el momento deinerciarespecto a labase -el notemosprimeroque los rectángulostienen,ambos,susbasessobre eje X . Por tanto 1,
3
=
1 ~
~ 3
+ 65 x l~. 3 ~-
-
216+5
3
221
- -
3
pulg
eje X-
el
.
18.2 Ejemplo. Encuéntrese el momento deinerciaconrespecto a larecta que pasa por el centroide y es paralela a la base de la región de la figura30.
S O L U C I ~ Podemos N. usar el teorenla de los ejes paralelos (corolario 10.9, pág. 363). Para el rectángulo a la distancia usada en el teorema de los ejes paralelos es l j , - y l , y para el rectángulo 6 la distanciausadaes lyb-yl. Como el momento de inercia de un rectángulo con respecto a la recta que pasa por el centroide y es paralela a la base es bh3 tenemos para toda la región considerada : I,,
1x 6 3
=-
+ 5 X l X
12
=18+-
3 750
5
+ - + " - N
484484 12
4 500
-
51 491 1 452
N
35,46 pulg4
Problemas 1. Encuéntrese el centroide de cada una de
las siguientes regiones.
394
6)
2. Encuéntrense los momentosde inercia con respectoa una recta paralela que pasa por el centroide de cada una de del problema 1.
la base y a las regiones
3. Encuéntrese el volumen de la región cilíndricacuya sección aparece en la figura 3 l .
t
FIGURA 31
395
19. INTEGRALES MúLTIPLES En esta sección, indicaremos cómo puede generalizarse la integral de Riemann a intervalos en R”. Los casos particulares mas importantes son aquellos en que n = 1, 2 y 3. Los teoremas de esta sección son generalizaciones directas de los teoremas de las secciones 2, 3, 4, 5, 6 y 8. En general, no daremos sus pruebas completas, pero indicaremos cuáles son las modificacionesnecesarias de las pruebasdadasparasusanálogos en el caso bidimensional. 19.1 Definición. S i a = ( a l , ..., a,) y b = ( b l , ..., b,) con ai 6 b j ( i = I , . . ., n), entonces el intervalo cerrado [a, b] en R” es el conjunto de todos los puntos X E R” para los cuales a,
6 x , 6 hi (i
= 1,
2, ..., n ) .
El intervalo cerrado [a, b] en R2 es un rectángulo con vértices ( a , ,a,), (6, , a,), (b, , 6,) y ( a , ,b2). Los lados del rectángulo son paralelos a los ejes coordenados. Las longitudes de los lados de [a, b] son los números b, - a , Yk a , . El intervalocerrado [a, b] en R3 es unparalelepípedorectangularde vértices (a,, a2 > a3), ( a , b, 0 3 1 , io, > 6, > 6 3 ) . (a, a, 631, (6,> a , , a,), (6, , b, , a3),(6, , 6,, b3)y (6,, a 2 ,b3).De nuevo, los lados del paralelepípedo son paralelos a los ejes de coordenadas y las longitudesde los lados son hi-ai (i = I , 2, 3). En R, el intervalo [a,61 tienelongitud b - a ; en R2, el intervalo [a, b] tiene área (b, - a l ) ( b 2 - a 2 ) ; en R3, el intervalo [a, b] tiene volumen (b, - a l ) (6,- a 2 ) (6,- a 3 ) . Necesitamos un término general que reemplace en R” a las palabras“longitud”para R, “área”paraRZ, y “volumen” para R3. 2
1
2
7
19.2 Definición. El contenido del intervalo [a, b] en R“, denotado por
c([a, b]), es, por definición, el producto
c([a,b])
=
n
i= I
(bi-ai)
En los ejemplosparticulares en R, R2 o R3, la palabra“contenido” se reemplaza por longitud, área o volumen, respectivamente. 19.3 Definición. Sea [a, b] c R” donde a = ( a , , .. ., a,) y b = (b, , ... , h,,). Si para todo i = 1, . . . , n, tenemos una partición P i = {x: I j = O, I , . . ., k i } de [ a , , b i ] ,donde ai = x i o J’ hi = xik’, entonces
P
=
P , x P, x
... x P,
396
dice y w es utlu partición l o q r v e.wrihit?70~1 PI por
.
iPI ('S
[Cap. 6
Integrales múltiples
tlec,ir
PI
=
m i x
=
~ C J[a,
b]
J'
1
definimos ía norma o malla de P,
mix { I P , ~i
I.Y,'-X!"'II
=
= I,
..., n )
I ,..., L , ,
I
=
I, . . . , H } .
SI la particicin P , subdivide a [ u i . h i ] en k i subintervalosunidimen\~onales.entonces P subdih~dea [a. b] en k = I(, .. . k, subintervalos n-din~ensionales.Los subinter-\alos de [a. b] obtenidos por una partición P de [a. b] puedcn enumerarse consecut~vamente y denotarsepor,g1con i = I , . . . , k d o n d e I, = I,
,.
.
.
I,,,
SI / es una func16n l-eal acotadasobre [a, b ] , entonces hay números 1 .If [ales q ~ m~
a\ .SLI/IIUS
itlferiorc>sy las
superiores se definen por
S I I I ~ S
lah ~
f ' = inf ( u ( f , P ) l P E p ~ ) .
respectivamente, donde 9 es e l conjunto de todas las particiones de [a, b]. Si la integral inferior y l a integral superior defsobre [a, b] son iguales, decimos q u e ,/'es integrable sobre [a, b].
191
Integrales múltiples
397
19.5 Definición. Unafunción f sobre [a, b] se dice que integrable sobre [a, b] si f está acotada sobre [a, b] e
es (Riemunn)
Si
f
es integrable sobre [a,
de f sobre [a, b],
símbolo
b],
1:
entonces la integral definida (de Riemann)
f , es[á dejnida por
S . " f =-c / = J : " / . La notación
j:
f(x)dx puede también usarse para representar
intervalo [a, b] es unintervalo
de f . Siel
en R 2 , laintegral
la integral se llama
integral doble y si [a, b] es un intervalo en R3 la integral se llama integral triple. En general, si [a, b] está en R" con n > 1, laintegral se llama integral múltiple y si n = I , la integral se llamaintegralsimple.Algunas
g
veces se usan notaciones tales como
f ( x l > x21 dx, dx2
a
e
jJ
f(x1,
x2
7
x3)
d x , d x 2 dx3
para denotar a las integrales dobles y triples. El siguientes resultado es una consecuencia directa de la desigualdad 19.4 y de las definiciones de las integrales inferior y superior.
19.6 Teorema. Si f es [a, b], entonces
integrable sobre [a, b] y
P es una partición cualquiera
de
PRUEBA.Véase el teorema 2.1 I , pág. 3 19. El siguienteteoremamuestraque una funciónacotada es integrable sobre el intervalo [a, b] en R" si y sólo si ladiferencia entreunasuma superior y la correspondiente suma inferior puede hacerse arbitrariamente pequeña. 19.7 Teorema. Una función acotada f es integrable sobre [a, b] si y sólo si para cada E > O hay una partición P de [a, b] con la propiedad de que U(f, P I - U f , PI < E .
[Cap. 398
múltiples
Integrales
6
PRUEBA.Véase el teorema 2.14, pág. 320.
Las propiedadesbásicasde
la integral
'J:
.f' son las mismas que
Ids
de la integral doble (propiedades 3.1-3.8, pág. 322). Pasamos a continuación al problema de las integrales sobre conjuntos t' más generales sobre R".
19.8 Definición. S i ,f es una,funcióndefinida y acotada sobre acotado 8 en R", definimos la,función ,fB por la regla pura x ~ W 6
O donde V6 es el complemento de 6 -el no en 8.
rb
un conjunto
coruuntodetodos
los puntos de R"
19.9 Definición. S i 8 es un conjunto acotado en R", si [a, b] es un intervalo en R" tal que B c [a,
b]
J
si
existe,entonces,por
f8
d a
definición,
j8f jbf , . =
19.10 Definición. Si d es un conjunto acotado en R" y [a, b] es un intervalo t" c [a, b], entonces
en R" tal que
se llaman, respecticamente, contenido interior y contenido exterior de Si ~ ( 8=)?(a), entonces 1, es integrablesobre [a, b] y elcalorcomún se llama contenido de 6.
Si 8 tiene contenido se sigue que c(6) =
d.
jab I,.
El contenido interior de 8 , siendo una integral inferior, es el supremo de sumas inferiores. Si P es una partición de [a, b] y ,gjdenota el j-ésimo subintervalode P , entonces m j ( 1 8 , ) = O paratodosubintervaloque contenga puntos que pertenezcan a gbu Q, y por tanto k
L(18,>P ) =
j= 1
m,('&,)c ( B j )
191
399
Integrales múltiples
es la suma de los contenidos de aquellos subintervalos de P que son subconjuntos de di. Por otra parte, el contenido exterior de d es una integral superior y, por tanto, es el ínfimo de sumas superiores. Pero Mj(lz)= O solamentepara aquellossubintervalosde P quenocontenganningún punto de B y por tanto k
U ( l 8 , P) =
1
j= 1
Mj(12)c(&?j)
es la suma de los contenidos de aquellos subintervalos de P que contengan puntos de 8. Así pues, la suma inferior se aproxima al contenido de d por el contenidodeunconjunto inscritodeintervalos y la sumasuperior se aproxima al contenido de c" por el contenido de u n conjunto circunscrito de intervalos. Podemos demostrar que el contenido tiene propiedades análogas a las propiedades del área. Vemos así que el contenido es nonegativo,que el contenidodeunaparteno es mayor que el contenido del total, y que si un conjunto está dividido en dos partes que no se traslapan, entonces la sumade los contenidosdelaspartes es igualalcontenido del total. Las pruebas de estas propiedades son las mismas que las pruebas de las propiedades correspondientes del área (págs. 333-334). A continuación demostraremos que el conjunto de las funciones integrables sobre un intervalo cerrado [a, b] contiene el conjunto de todas lasfuncionesquesonacotadassobre [a, b] para lasque el conjunto de puntos de discontinuidad sobre [a, b] tiene contenido cero.
19.11 Teorema. Sea j una junción acotada sobre un intervalo [a, b] tal que &, el conjunto de puntos de discontinuidad de j sobre [a, b],
en R" tenga
contenido cero. Entonces
PRUEBA.Véase el teorema 5. I , pág. 338. Reemplácese área por contenido y escójase 6 de forma talque xl, x 2 € B y Ixl - x 2 / < ,,m implique If(X')-f(X')l < E. Los corolarios 5.2 a 5.6, págs. ,339-340,se generalizanimnediatamente a R" al igual que todos los resultados de la sección 6. Es posible introducir regiones en R" y discutir integrales sobre regiones. N o haremos esto; en lugar de ello estableceremos la relación fundamental entre las integrales múltiples y las integrales iteradas. 19.12 Teorema. S i laproyecciónde
lab
[a, b]
f' existe, y s i p a r a c a d a y € [c,d], donde [c,d] es
p a r a l e l a a l eje
X,,, F ( y ) =
10:
f(y,x,)dx,existe,
400
Integrales múltip
c!
[Cap. 6
donde P‘ = P , x P , x . . . x P,- es l a partición de [c, d] inducida por l a partición P de [a, b]. La existencia de la integral iterada y la igualdad de l a integral múltiple y la integral iterada se sigue de esta desigualdad. Sea P = P , x P , x . . . x P, una partición cualquiera de [a, b]. P induce una partición P’ = PI x P , x . . _x P,de [c, dl en k = k , k , ... k n - l subintervalos g i . Sean
,
Entonces, para cualquier YE%¡,
<
h, j =1
Mij(j’)(x;-X;-’)
Es decir, para toda YEB¡
Como l a anterior desigualdad se verifica para toda y € B i , de ello se sigue que
191
401
Integrales múltiples
donde
m , ( F ) = ínf { F ( y ) I Y E @ ¡ )
Y
M , ( F ) = sup {F(y) I y&;}.
Multiplicando la desigualdad 19.13 por c(,%J y sumandodesde hasta i = k , obtenemos
h
6
rni(F)C ( B i )
=
i = 1
L ( F , P’)
i= 1
<
U ( F , P’)
h
=
Mi(F)c(3i) i= 1
o bien 19.14
Como
J^%
L(f,P ) d L(F, P’)< U(F, P ’ ) d U ( f , P ) . J’ existe, dada una
que U ( j , P ) - L ( f , P ) <
E.
> O existe una partición
E
De 19.14 se concluye que
U ( F , P ’ ) - L ( F , P‘)
y por tanto
S:
de modo que
<
L ( F , P’) G
lCd
F(y) dy 6 U ( F , P’)
E
f’ 6 U ( j ,P ) y
iJab J’-Icd <
Por tanto
.r
U(f,P ) - L ( f , Y) <
F(y)dy existe. Por otra parte L(f; P ) 6
P de [a, b] tal
u(f,P,-L(f;P)
lab ICd { j”;; f
=
F =
Jcd
f(Y,
xn) C
k
1
dY.
Y esto completa la prueba. Damos a continuación condiciones suficientes para asegurar la existencia de las integrales del teorema 19.12.
402
6
[Cap. Integrales múltiples
19.15 Corolario. Seaj'unajunción acotada sobre un intercalo [a, b] en R" y continuasobre [a, b], exceptosobre un conjunto G de contenidocero, con la propiedad de que toda recta paralela al eje X,,intersecta con, cuando más, en
un número .finito de puntos. Entonces
.f
Jab
=
jcd{jar
f ( y , x,) CixnJdy
donde [c, dl es la proyección de [a, b] paralela al eje
PRUEBA.Por el teorema 19.1I ,
,f existe. Por
X,. otraparte,toda
recta
jab
paralelaal eje X, que pasa por [c, dl intersecta a 6 en, cuando más, un número finito de puntos de modo que,ftiene cuando más un número finito de discontinuidades sobre tal recta. Luego
F(Y) existe para toda
Y E [c, dl.
=
joy
f ( Y 9
X")dX"
Por tanto, por el teorema 19.12,
19.16 Corolario. Sea J'una función acotada sobreun interralo [a, b] en R" y continua sobre [a, b], excepto sobre un conjunto t" de contenido cero, con la propiedad de que toda recta paralelaal eje Xi ( i = I , . . . , n ) intersecta a & en, cuando más, un número finito de puntos. Entonces f ( x l , ..., X,,)dx,dx1
PRUEBA.El corolario siguedelteorema 19.12 por inducción. Sea Y el conjunto de todoslos enteros positivos n para los que el corolario se verifica. Claramente 1 ~ 9 Supongamos . que m E 9 , es decir, que Jcd
F(Y)dY
= Jab;
"'
Jo;
F ( x 1 , ..., ~ , ) d x ; . . d x l
Consideremos ahora n = m + 1. Si toda recta paralela al eje X,, intersecta con d en cuando más un número finito de puntos, entonces ,ftiene cuando más u n número finito de discontinuidades sobre una tal recta. Luego
F(y)
=
F(x, ,
'")X,)
=
...>X m >
x,+ l)dXm+ 1
201
403
Resumen
existe para todo y ~ [ c dl, , y, por el teorema 19.12,
20. RESUMEN
En este capítuloextendimos la teoríadelaintegracióndesdelas integralessimpleshastalasintegralesmúltiples. Vimos quedespuésde definir los intervalos en R2, R3 o, en general, R", la teoríade la integral múltipleesexactamenteparalelaaladelaintegralsimple. En realidad, si se desarrolla la teoría para intervalos en R", obtenemos la integral simple como el caso particular en que n = 1. Deben introducirse algunas nuevas consideraciones cuando deseamosextender el conceptodelaintegrala conjuntosacotados más generalesde R". La evaluacióndeintegrales múltiplespuedereducirse en muchoscasosalaevaluacióndeintegrales iteradas, es decir,a la evaluacióndeintegralessimplessucesivas.Las integralessimplessucesivaspuedenevaluarsea veces usando el segundo teoremafundamentaldelcálculo: si F es unafuncióntalque F' = J sobre [a, b] entonces
J:
f = F ( b ) - - F ( a ) . Si el teoremafundamentaldel
cálculo se prueba que es inaplicable, entonces puede usarse la integración numérica.
Problemas 1. Encuéntrese el área delasregioneslimitadas por los siguientes conjuntos de curvas. U ) y 2 = 2+2x, y 2 = 2 - 4 ~ b) x = O , y = O , x = 4 , y = e X C) JS+,b = ,IÚ, X = O, y = (4 d ) el rizo de la hoja de Descartes y 2 (u +x) = x2(312- x).
404
[Cap, 6
Integrales múltiples
2. Encuéntrese el centroide de las regiones limitadas por conjuntos de curvas.
los siguientes
a) x = O, x = 1, y = senhx, y = cosh x b ) y = 2-x2, y = x
c) x = y 2 , I’ = x-2 d ) I’ = sen m , y = x’ - x .
3 . Encuéntrese el momento de inercia de las regiones limitadas siguientes curvas con respecto a la recta dada. a)
y
6) y
= =
2 -x2, y 2- 2 , y
-
conrespecto a x = 2 x con respecto a 1’ = I .
= x =
por las
4. Encuéntrese el momento de inercia con respecto al eje Y de la región limitadasuperiormenteporlaserpentina (a2+ x 2 ) y = 2a2x, enla parte inferior por el eje X , a la izquierdapor la rectavertical que pasa por el punto máximo, y a la derecha por la recta vertical que pasa por el punto de inflexión con abscisa positiva. 5. Lafuerzatotalejercidapor u n fluidosobre una regiónplanaestá definida como la integral sobre la región de la presión del fluido donde la presión en u n punto es el producto del peso porunidadde volumen del fluido por la profundidad del punto respecto a lasuperficiedelfluido. Demuéstrese que para una región en u n plano vertical la fuerza es igual al producto del área de la región por la presión enel centroide de la región.
6 . Encuéntrese la fuerza total debida a la presión del agua sobre cada unadelassiguientessuperficiesverticales.Todaslasdistanciasestán medidas en pies. El pesodelagua es aproximadamentede 62.5 libras por pie cúbico.
limitada por la circunferencia x 2 + y z = 2 5 ; el nivel del agua sobre el eje X b ) limitadapor la parábola y = x z - 4 y e! eje X; el nivel del agua sobre el eje X c) limitadapor la elipse 16x2+ 2 5 y 2 = 300; el nivel del aguasobre el eje X d ) limitada por la elipse 16x2+ 2 5 y 2 = 400; el nivel del agua sobre la recta y = 4. a)
1. INTRODUCCI~N Enlamayoríade loscasos,lasfuncionesquehasta ahorahemos considerado tenian conjuntos de puntos de un espacio euclidiano R" como dominio. Ahora consideraremos funciones con una familia(conjunto)de conjuntos como dominio; tales funciones se llaman funciones de conjunto. En particular, nos ocuparemos de funciones de conjunto con una familia de conjuntos en R" como dominioy con rangoen R. Ya nos hemos encontrado conalgunasfuncionesdetaltipo.Por ejemplo, si tg es la familiade subconjuntos de R2 que tienen área,entonces la función A conregla de correspondencia
406
406
7
integrales múltiples conjunto Funciones [Cap. e de
es unafunción real deconjunto(una f u n c i h deconjuntovaluada en el campo real). A las funcionescuyodominio es un conjunto de puntos en R" las llamaremos funcionesdepunto paradistinguirlasde las funcionesde conjunto.
2. ANILLOS DE CONJUNTOS Recuérdese que si d c Y, el complementode d conrespecto a Y, denotadopor W y d , esel conjuntodetodos los elementos X E Ytales que x$&. Cuando en una discusión determinada Y es fijo, denotamos al complementode d conrespectoa Y por V d yhablamossimplemente de1 complemento de d.Si d y B son dos subconjuntos de un conjunto Y, el conjunto diferencia d - B es el conjunto de todos los elementos x ~ tales que ~ $ 9 es , decir, &-&I = d n W B . No exigimos que 8 seaun subconjunto de d para que la diferencia d - B esté definida. 2.1 Definición. Sea Y un conjunto, y 3 unafamilia no vacía de subconjuntos de Y . La,familia 31 se llamaanillo(de c'nnjuntos), o anillo booleano, s i &, 9E 31 implica & U 9 € %
y
8-F€3.
Como consecuencia inmediata de la definición de un anillo, si &, Y E S , entonces 8 n FE% ya que & n F = & - ( b - F).Además, todo anillo contiene el conjunto vacío, 0, ya que 8-8 = 0 para todo 863.
2.2 Ejemplo. Demuéstreseque si Y es unconjuntoacotado en R2 que tiene área y3,es la familia de subconjuntos de 3 que tienen área, entonces3 es un anillo. SOLUCI~N 3. no es vacío ya que ~ E . X . Sean 8 y F elementosde 3. Entonces d u 9 c Y y por el teorema 4.12, pág. 334, & u 9 tiene área y por tanto pertenece a 3.Además, 8 - F e 3 ya que 8 - 9 c Y y, por el teorema 4.15, pág. 336, &-9 tiene área. El ejemplo 2.2 se generaliza inmediatamente ala familia de subconjuntos de un conjunto acotado que tienen contenido en R". En este capítulo nos ocuparemos exclusivamente de funciones de conjunto reales definidas sobre un anillo de conjuntos con contenido en R". Enálgebramodernaun anillo es un conjunto R con dosoperaciones, adición y multiplicación, que satisfacen las propiedades A , a A , , M , , M , , y D enumeradas en la página 37. Si laley conmutativa para la multiplicación, M , , también se verifica, el anillo se llama anillo conmutativo. Si consideramos la diferencia simétrica deconjuntos definida por
d
31
Funciones de conjunto
407
& A 9 = (8 - 9) u (9 - &) como operación de adición y la intersección de conjuntoscomo la operacióndemultiplicación,entoncesesfácil probar que u n anillo de conjuntos es un anillo, y precisamente un anillo conmutativo, enel sentido del álgebra.Comoparatodo &^“E%,@ A & = &, el conjunto vacío juega el papel de O enel anillo de conjuntos. Si .”%= d
u
8 €a?
está en 3,entonces para todo &ES, 5 n & = G y X desempeña el papel de 1 en el anillo de conjuntos. Un anillo de conjuntos se llama álgebra o dgebra booleana si X ‘ E X
3. FUNCIONES DE CONJUNTO
3.1 Definición. Una función de conjunto F sobre un anillo 8 de conjuntos en R” se dice que esfinitamente aditiva si
F(& siempre que Q ,
U
F)= F(&) + F ( 9 )
FE(@ y c ( 8 n F)= O.
Por ejemplo, la función contenido es finitamente aditiva sobre un anillo de conjuntos que tengan contenido. Nota. En lo quefalta deestecapítulousaremos para indicar “finitamente aditiva”.
el término“aditiva”
3.2 Ejemplo. Pruébese que sif’es integrable sobre un intervalo [a, b] c RZ, entonces la función F definida sobre el anillo Ji de subconjuntos de [a, b]
que tienen área por la regla
es finitamente aditiva. S O L U C I ~ Primero N. demostraremosque si f es integrablesobre [a, b], entonces F está definida sobre el anillo 31. Si & E X , entonces G tiene área. Como [a, b] tienetambién área y f es integrablesobre [a, b], por el corolario 6.14, pág. 345, podemosconcluirque f’ es integrablesobre &. Si 8, 9 sonsubconjuntosde [a, b] quetienenárea y A ( & n F)= O, entonces, según el corolario 6.13, p i g . 345,
El ejemplo 3.2 se generalizainmediatamente a conjuntosque tienen contenido en R”. Definimos la suma de dos funciones de conjunto reales F y G como la
408
conjunto Funciones de
7
Integrales múlttples [Cap. e
función de conjunto F+ G de dominio
n SGy regla de correspondencia
.17F
6 ~ 2 1 ~ ~ 2 ~ .
[ F + G ] ( d )= F ( 6 ) + G ( 8 )
Análogamente, definimos la diferencia F- G. Si F y G son funcionesdeconjuntofinitamente aditivassobre un anillo (9, entonces F+ G y F- G son finitamenteaditivassobre 8 . Por ejemplo, si 8 , F d 9 y c ( 8 n ~ F=)O, entonces
F) F ( & ) + F ( Y ) - G(G)- G(9)
[F- G] (6 u 9) = F ( B J 9)G(8 =
U
[ F - GI (8)+ [ F - GI (9').
3.3 Definición. Una Junción de conjunto adititla F se dice yue es monótona ( n o decreciente) si sus ralores son todos no negativos.
Se siguefácilmentede la definición 3.3 que si F es unafunciónde conjunto aditiva monótonadefinida sobre u n anillo .X y 8 ,c F ~ con 3 Q c 9, entonces F ( 6 ) < F ( 9 ) ; en efecto, 8,9 " ~y s 6 c F implica F-6?e.X y F ( . F ) = F(t"
U
(9 - (5")) = F(B) + F ( F -8)
3 F(Q).
La función contenido es un ejemplo de una función monótona. Además, si lafunción J' del ejemplo 3.2 tienesólovalorespositivossobre [a, b], entonces, para & E S , por la propiedad 6.7, pág. 342, F(6)
= {&
J' 3
{
8
o
=
o
y F es monótona. Definimos acontinuación los conceptosdelímite y derivada.Siempre quehablamos del límite deuna funciónde conjunto F en un punto x. suponemos que x. es un puntodeacumulación deldominiode F. Un punto x. se dice que es un punto de acumulación de una familia 3 de subconjuntosde R" si para todo número 6 > O existe un conjunto de contenido positivo que contiene a x. y tiene diámetro d ( € ) < 6, donde d ( b ) = sup {lx-yl I x, y&}. 3.4 Definición. Sea F una funciónreal de conjunto de$nida sobre la familia BFde conjuntos de R". Lafunción F se dice que tiene ellimite b en x. , lo que se escribe: lím F = b o lím F ( € ) = b, s i x. es un punto de acumulación de la familia
X0
%If
E-xo
y si para cada
E
=. O existe una 6 > O tal que
IF(b)-bl siempre que &e5IF es unconjunto
d ( d ) < 6.
<
E
de contenidopositivo
tal que ~
~y €
8
31
Funciones de conjunto
Si lím F existe paratodo
x en un conjunto Y, entoncesobtenemos
f definidasobre
una función de punto f ( x ) = lírn F.
409
Y con regladecorrespondencia
X
Puede probarse fácilmente que si lírn F y lírn G existen y x. es un punto x0
x0
de acumulación de BFn BG,entonces
lím [ F + G ] x0
Y
x0
=
lím F x0
lím [I;-GI = lím x0
+ lím G
I; -
lírn G x0
X0
Si definimos el producto y el cociente de dos funciones de conjunto reales como las funciones FG y FIG con reglas de correspondencia
y dominios BFG= BFn y B)F,G == {&eDFn aG I G(&) # O ) , respectivamente,entonces los teoremas sobre producto y cociente de límitesson válidos también para estas funciones.
aG
3.5 Definición. Sea Y un conjunto de puntos de acumulación del dominio BF de una función de conjunto F. Una función de puntof se dice que es el límite uniforme de F sobre Y si para todo E > O existe un numero 6 > O tal que
IF(4-,f(x)l <
siempreque X E Yy &eBFes unconjunto y d ( € ) < 6.
con contenido positivotal
que
X€&
3.6 Definición. Una función deconjunto F dejnida sobreuna familia de conjuntosen R" se diceque esdiferenciable en el punto x y que tiene derivada [DF](x) si el limite
F (CY) [ D F ] ( x ) := lim 8-x
c(&)
existe. L a función de conjunto F es dijerenciable sobre un conjunto Y si F es diferenciable en cada punto de Y y F es uniformemente difi?renciahle sobre Y si DF es el límite uniforme de Flc sobre Y . La función de punto D F se llama la deriaada de F. Se prueba fácilmente que las reglas para la derivada de una suma y una diferencia de dos funciones de conjunto reales toman la misma forma que las reglas dadas para el caso de funciones reales de una variable real.
41 O
CALCULO
4. EL TEOREMAFUNDAMENTALDEL
En esta sección probaremos dos teoremas que son análogos a l primero y segundoteoremasfundamentalesdelcálculo.Parafunciones reales de variable real el primerteoremafundamental del cálculorezaba: si ,f' es continua sobre u n intervalo f , entonces
para a , x ~ : &cualesquiera. El segundoteoremafundamentalnosdice: si F tiene unaderivadacontinuasobre u n intervalo f . entoncespara todo a, bE$
rb
D,[F(x)]dx
=
k(b)-F(u).
u a
Antes de considerar los anidogosde los teoremasfundamentalesdel cálculo introducimos las nociones de distancia entreu n punto y u n conjunto y dedistanciaentredosconjuntos. Ladistancia deunpunto x a un conjunto .den R". denotada por (/(x..d). se define como sigue:
d(x. .d)= í n f ; i x - y /
I y€.&).
Claramente, d(x, s f ) b O y si X E . ~ ,entonces d(x, ,d) = O. Probaremos ahora que si ,des cerrado y x entonces d(x, d)> O. Como x€%'& y V d es abierto, existe una vecindad ; Y ( x ;E) de x que está contenidaen % d . Luego d(x, d)3 E > O. Si sd no es cerrado, podemos tener d(x,.d) = O, aun cuandox $ d . Por ejemplo. si .des el disco abierto unitario (x 1x1 < 1 en RZ y x = ( 1 . O), entonces d(x. .d)= O. E n general, si x es un punto fronterade .d, entonces d(x, d ) = O. Para un conjunto S fijo en R". la función d.d definida por d,(x) = d(x,. d ) es continuasobre R". La continuidad de se sigue de l a desigualdad del triángulo:
e-&,
I
< Ix-y/+ly-zl.
jx-zl
Así pues, para cualesquier x, Y E R". (/&(x)
=
=
í n f {Ix-zi /x-yl+ínf
1Z
E
~
{ly-zl
de modo que i c / d ( x ) - d d ( y ) l <
E
{/x-y/+Iy-z/ 1 z e d } I Z E , ~ ;=, ix-y~+d,,(y).
<) inf
siempre que / x - y / < b =
E.
del cálculo
41 1
Si d y B sonconjuntos en R", ladistanciaentre por d ( d , B), se define como sigue:
d y B, denotada
41
fundamental El teorema
d ( d , 93) = ínf {d,(x) I x e d ) . Tendremos ocasión de usar el siguiente 4.1 Teorema. Si d es un conjuntocerrado
conjuntocerrado en R" tal que d
r-1
y acotadoen
R" y 9Y es un
B = 0, entonces d ( d , 8 ) > O.
PRUEBA. Como dd es continuasobre el conjuntocerrado y acotado d, da tiene un mínimo sobre d (teorema 7.9, pág. 479). Es decir, para algún x 0 € d , d ( d , a) = da(x,,) = d(x,, a).Como d n = 0 y B es cerrado, d(x,, a)> O. Luego d ( d , a) > O. 4.2 Teorema. (El primerteoremafundamental
delcálculo.) Sea 9 un conjunto abierto en R" y sea una ,función de punto continua en 9. Si B es un subconjuntocerrado y acotado de 9 que tienecontenido,entonces la función de conjunto F, definida sobre el anillo 31 de subconjuntos de 9 que tienen contenido de acuerdo con la regla ,f
F(€)
=
.I,
f
6€31
es uniformemente dijerenciable sobre % y DF
=
f sobre 9.
PRUEBA.Sea E > O cualquiera. Deseamos demostrar que existe un número 6 > O tal Que
siempre X E Fy & E % esun conjuntoquecontienea x , tienecontenido positivo y diámetro menor que 6. Como 9 es cerrado y acotado y %?9 es cerrado, el teorema 4.1 implica que d ( F , %Y) > O. Sea r = $ d ( F , %?3)y sea X = { x I d ( x , F)< r } . Entonces X es un conjunto cerrado y acotado y 9 c c 9.Como f es continuasobre 9, f es uniformementecontinuasobre X (teorema 7.6, pág. 478). Luego para cada E > O existe un 6, > O tal que I f ( x ) - f ( y ) l < E siempre que x , y ~ 2 - Fy Ix-yl < 6 , . Sea ahora 6 = mín {al, r } . Entonces X E y ~(x-y1 < 6 implica EX y I f ( x ) - f ( y ) l < E. Tomemos X E Py sea & E % un conjuntoquecontienea x , tiene contenidopositivo y diámetromenorque 6. Si m = ínf {f(y) 1 y e 8 y M = sup jJ'(y) 1 Y E & } , entonces
o
6
E
y
o
< "f(x)
< E.
41 2
[Cap. 7
integrales Funciones conjunto múltiples ede
Además, por las propiedades 6.2 y 6.7, pág. 341, generalizadas a R", tenemos rnC(8)
6 F(6) =
Por tanto,
o bien
I=-
F (8)
f(x)
6c
Lo que muestra que F es uniformemente diferenciable sobre 9 y D F = .f sobre 9 . Antes de probarel análogo del segundo teorema fundamental del cálculo, probamos dos lemas. El primerlema es uncaso especialdel teorema de extensión de Tietze. Unafunción g se dice que es una extensión de una función , f s i gf c Qq y f ( x ) = g(x) para todo X E 9,. Si g es una extensión de ,f, entonces ,f es la restricción de g al dominio de ,f. 4.3 Lema. (Teoremade extensión deTietze.) Sea .d un conjunto cerrado en R" J sea J' una ,fimción real, acotada y continua definida en d . Entonces existe una,función realJ' continua g definida en R" que es una extensión d e f y es tal que sup {g(x) I XER"} = sup { , f ( x )1 xed) = M e ínf {g(x) I XGR") = ínf {f'(x) 1 x s d j = m. PRUEBA.Sin pérdida de generalidad podemos suponer que que en casocontrariopodríamosañadir unafunción Definamos g sobre R" por la regla de correspondencia para
m > O, puesto constantea f'. X
E
Si x s v d , entonces d(x, d)> O, digamos d(x, d ) = r. Para todo
~
YE&,
mIx-Yl Q f(Y) lx-Yl G Mlx-yl. Por tanto ínf mlx-Yl
~
inf
~
Y E d
es decir, m
m
< g(x) G
d g(x) M.
I'
Y t d
f(Y)IX-Y/
r
inf M Ix-Yl r
para xsW&. Dedondeparatoda
XER",
41
fundamental del El teorema
41 3
cálculo
Pasamosahoraaprobar la continuidadde g. Consideramospuntos de d id ,e= W d y d,separadamente. 1. La continuidad de g sobre d ise sigue inmediatamente de la de f .
2. Sobre el conjunto abierto V d = d esea g(x)
h(x) donde d (x, 4 h(x) = ínf f ( y ) ( x - y / . Como d(x, .d)> O para x€%& y d es continua =
~
YE&
sobre V d ,g es continua sobre V d si y sólo si h es continua sobre V d . Sea d ( x , d ) = r . Para x, x’€W& con ( x - x ’ ( < G < r y para y ~ d tenemos ,
Ix-y( <
IX”YI+E.
Luego f(Y) Ix-YI < A Y )
IX”YI+f(Y)&
Q A Y ) IX”YI+ME
y, por tanto, h(x) 6 h(x’)+ME. Análogamente, h(x’) 6 h(x)+ME demodoque Ih(x)-h(x’)l Q ME siempre que J x - x ’ ( < E Q r . Así pues, h es continuasobre V d y, por tanto, g es continua sobre W d .
FIGURA 1
3. Paradado un E > O sea 6 > O tal que y ~ ndY ( x ; S) implica lf(y)-f(x) < E. Tomemos x ‘ ~ % ‘ dtalque Ix - x ) [ < q6 donde m q=(figura 1). Deseamos mostrar que M m
+
4.4
1
d(x’, d)= inf { ~ x ’ - y ( y
~ ndY(x; 6))
Funciones conjunto integrales de e múltiples
41 4
Y
4.5
y
í n f f(y) J x J - y ( = E
y
.d
[Cap. 7
inf
E
.Ay) /X”Y/
d n Y ( x ; S)
Si y ~ d - - Y ( x ;6), entonces Ix“yI
3 (x-y1
-
‘U
/x-x’( 3 ( I - q ) d
M
~
>, q6 > (x”xI.
+m
La ecuación 4.4 se sigue de esta desigualdad. Además ínf
yE,d”,‘/(x: S )
f’(y)lx’-yl 3 m ( l - q ) 6
=
M q 6 >f(x)lx’-xl
y la ecuación 4.5 se sigue de esta desigualdad. Ahora y ~ n dY ( x ; 6) y ~ ’ € 5 5 n ~ 2Y ( x ; q 6 ) , tenemos
[f’(X)-61
< If(X>+EI I X “ Y / .
< .fly) lx”y/
/X”Y/
bien, para
Por tanto y
ínf
~ n .dY ( x ;
[J’(x)-E] /x’-yJ
a)
< <
y
ínf
t d n
Y(x: S )
ínf
y E d nY(x:
j ( y ) Jx’-yl [f(x)+e] Ix’-yI
S)
y, por las ecuaciones 4.4 y 4.5,
[ f ( x ) - ~ ] d(x’, 4
< inf f(y)
Ix’-yI
Y E d
de modo que
< [f(x>+e] d(x’, d)
f(x) - 6 d g(x’) d .f(x)
+
E.
Así pues, para x e W d y Ix-x’J < q6, tenemos lg(x’)-g(x)l = Ig(x’)-f’(x)/ d c .
Por otra parte, para x ’ e d y / x - x ) / < 46, lg(x’)-g(x)J
=
lf(x’)-,f(xN < c .
Por tanto, (x-x’J < q6 implica (g(x’)-g(x)l < E y g es continua en x. Y esto completa la prueba del lema. El siguiente lema es u n caso particular del segundo teorema fundamental del cálculo. 4.6 Lema. Sea [a, b] un intervalo eu R” y sea F una función de conjunto
adiitira definida sobre el anillo .Xde subconjunfos de [a, b] que tienen contenido. Si I.‘ es uniformemente diferenciable en [a, b] y s i sobre [a, b] la función de
41 punto
fundamental del El teorema ,f
41 5
cálculo
es igual a DF, entonces ,f' es uniJormemente continua sobre [a, b] y
par-a cada intervalo
2 c [a, b],
F(2)
=
PRUEBA. Como F es uniformemente diferenciable sobre cualquier E > O existe u n S > O tal que
[a, b],
para
siempre que xE[a, b] y & E X contenga x, tenga contenido positivo y tenga diámetro menor que S . Sean x, yE[a, b] tales que /x-y1 < 6 y escojamos 8 ~ de3modo tal que x, Y E & , c ( 8 ) > O y u'(&) < 6. Entonces
y J'es uniformemente continua sobre [a, b]. Según el teoremadeextensióndeTietze,existeunafuncióncontinua g sobre R" con valores en R que coincide con J' sobre [a, b] y es tal que sup (g(x)I XER"}= sup {f(x> I x 4 a , bl} e
ínf { g ( x )I X G R " } = ínf {f(x) I xE[a, b]}.
Sea G la función de conjunto definida sobre el anillo '3' de subconjuntos de R" que tienen contenido por la regla G(&) =
IC
y
&E%'.
Según el primerteoremafundamental, G es uniformementediferenciable sobre [a, b] y DG = g = f sobre [a, b]. Sea H = F- C. Sobre [a, b], D H = D F - DG = f - g = O y deseamos demostrarqueparacualquier intervalo f c [a, b], F ( f ) = G ( f ) o, lo que es equivalente, que H ( $ ) = O. Tomemos $ c [a, b]. Como H = F - G es uniformementediferenciable sobreconderivada O, para cada E > O existe una 6 > O talque si c" es un subconjuntode 2 quetienecontenidodistintodecero y diámetro d(&) < 6, entonces
o bien
El intervalo
I H ( 6 ) / < &e(&).
8
puededividirse
en un número finitodesubintervalos
41 6
conjunto e integrales múltiples
Funclones de
[Cap. 7
.
1 , . . . k ) de diámetro menor que 6 con ~ ( 2n.f j ~ ) Ahora bien, G' es aditiva. luego H = F - G es aditiva
di(,j =
i
h
O para i # j .
h
Como c > U es arbitraria, concluimos q u e N ( 2 )
f c [a, b]. Por tanto
F(3)= G(A
=
=
.!y
=
O paracualquier
y =.li
4.7 Teorema. (Segundoteoremafundamental del crilculo.) Sea [a, b] un intervalo en R" y sea F una,firnción de conjunto mono'tona y aditira definida sobre el utlillo S d~ sub conjunto.^ de [a, b] que tienencontenido. Si F es urlijornwnente dqerenciable sobre [a, b] 1% si D F = ,f sobre [a, b], entonces
sobre el anillo
F(8)=
i
J'
S€9.
,6
PRUEBA.Sea EX. Como (5' tiene contenido, por el teorema 4.17, pág. 337, generalizado a R", la frontera 8!, de G tiene contenido cero.Luego, para u n c > O cualquier dado, existe una partición P de [ a , b] tal que la unión .dde todos aquellos subintervalos de l a partición P que contienen puntos de A, tiene un contenido c ( d ) < c. Sea & la uniónde todos aquellos subintervalos dela partición P q u e contienen solamente puntos del interior de G . Como .dy son,cada uno, la unióndeintervalos y F es aditiva, de acuerdo con el lema 4.6 tenemos . M
Sea M
=
sup
{ljlx)l 1 x r [ a , b ] ) .
Entonces
y como F es aditiva y monótona,
Combinando estas dos desigualdades, tenemos
Como
E
> O es arbitrario, esto nos dice que F(Q) =
!8
j.
41 7
5. CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES M~LTIPLES. UN CASOESPECIAL
c
En el caso de las integrales simples, sabemos que si se efectúa un cambio de variable y = f ( t ) , entonceslaintegral g(f(t))
g ( y ) d y se convierteenla
f’(t) d t , es decir, tenemos el teorema: si
1) g es continua sobre un intervalo F. 2 ) f tiene una derivada continua sobre un intervalo € 3) f(€)= { f ( t ) I & S } c 9. 4) f ( a ) = a y f ( p ) = b para algunos M , bel?, entonces
Enestasección y en la próxima obtendremos un resultado análogo para las integrales triples. Ahoradaremosunaprueba del teoremaquepara integralessimples acabamosdeenunciar.Nuestraprueba delteoremasobrecambiode variable en lasintegralestriples se modelarásobre esta pruebapara integrales simples. Sean G(x) =
1:
9
F(t)
Y
=
G(f(t)).
Entonces, según el primer teorema fundamental del cálculo G ’ ( 4 = g(x)
y de acuerdo con compuestas,
la regla de
F’(t)
=
la cadena para la derivada de las funciones
G‘(f(t))f’(t) = s(f(t))f’(t)
De donde, según el segundo teorema fundamental del cálculo,
jaP
s(f(t))f‘(l)dt= =
jaP
F’(t)dt
= F(b)-F(4 =
G(b)-G(a)
=
G(b)=
rb
G(f(P>)-G(f(a>)
9.
.,a
En esta prueba hemos usado tanto el primero como el segundo teoremas fundamentales del cálculo y la regla de la cadena. Otro hecho que implícitamente se está usando en la prueba, es el resultado de que la continuidad de f sobre el intervalo € implica que f ( S ) es un intervalo. Para la integral
Funciones de conjunto e integrales múltiples
41 8
[Cap. 7
triple consideramos una función de conjunto G definida, sobre un anillo 3 de conjuntos que tienen kolumen, según la regla de correspondencia r
y deseamos obtener u n teorema para un cambio de variable dado por una transformación' .f' de R3 en R3. En vistade nuestra anunciada intención de darunapruebamodeladasobre la prueba del casounidimensional, notamos que en la sección 4 obtuvimos los dos teoremas fundamentales del cálculo, el primero y el segundo, para funciones de conjunto.Necesitaremos una regla de la cadena para la derivada de G f, y también será necesario demostrarque las transformacionesqueconsideramosquetransforman conjuntos q u e tienen volumen en conjuntos que tienen volumen. En esta sección consideraremos transformaciones lineales de R3 en R3. Una transformación f de R" en R" con regla de correspondencia
f(x)
=
Ax+yO,
donde A es una matriz 171 x 12 de constantes y yo es u n punto en R", se llama transforn~aciónlineal.' Si yo = O la transformación es una transformación linealhomog&nea y si yo f 0 la transformación es no homogénea. Cada transformaciónlineal homogéneatransforma el origende R" enel origen de R". Una transformación lineal no homogénea esla composición de una transformaciónlinealhomogéneaseguidadeunatraslaciónque mueve cada punto de R" una "cantidad" y o .
Nota. Es práctica común decir que una transformación es lineal si f(rx+sy) = rf(x)+sf(y)
f de R" en R"
paratodo r, S E R y x, ~ E R y" llamara esta propiedadpropiedadde linealidad. Con esta terminología una transformación lineal es homogénea.Una transformación lineal se llamacomúnmente transformación afín. Unatransformaciónlineal f de R" en R" es continuasobre cualesquier xl,X'E R". tenemos
If(x')-f(x2)/
=
jA(x"xZ)I
<
R". Para
IIAI! /x1-x21
donde l l A j 1 esla norma matricialeuclidianade A , pág. 259. Si IlAlI = o, entonces f es una transformación constante y if(x1)-f(x2)1 = O < E para El termino"transformación" es sinónimo del término "función" y a menudo se emplea para funciones de R" en R" cuando m y n son, ambos, mayores que uno. A taltransformación es muyfrecuentellamarla afin, reservando el nombrede lineales a las que los autores llaman lineales homogéneas. [N. del T.]
*
51
en las integrales múltiples.
Cambio de variables
cualesquier
XI,
U n caso especial
x 2 e R". Si 1 All > O, entoncesparacada
E
E
> O podemos
-. Entonces ( x 1 - x 2 < / 6 implica If(x')-f(x2)1 I1 A II Sea f una transformación lineal de R3 en R3:
tomar 6
=
f(x)
donde A =
(! ;
=
41 9
Ax+yO
u12
a13
'22
.23)
'32
a33
Veamosprimeroalgunosresultadossobre conjuntos bajo la transformación f.
'
el cambiodevolumende
10s
5.1 Lema. Sea f una transformación lineal de R3 en R3. Si [a, b] es un inferllalo en R', entonceS f([a, b]) tiene volumen y V(f[a, bl)
=
ldet (AllV([a, bl)
donde det ( A ) denota el determinante & la matriz A
PRUEBA. El intervalo [a, b] es un paralelepípedo rectangular con lados x 1 = ( b l - a l , O, O),
x'
= (O, b , - a 2 , 0 ) ,
x3
=
(O,O,
b3-a3)
paralelos a los ejes coordenados, es decir, [a, b] es el conjunto de puntos tales que
x
X
= a+t,(bl -al)i+t2(b2-a2)j+t3(b3-a,)k
1, 2,3. Como
donde tiEIO, I ] , i
=
f(x)
Aa+yo+t,(bl-al)Ai+t2(b2-a,)~j+t3(bJ-u,)Ak
=
Ax+yo
=
fla)+f,(b,-al)A1+t2(b,-~2)A2+t3(b3-a,)A3,
=
f([a, b]) es u n paralelepípedo de lados y'
= (b,-a,)A',
i
=
1 , 2,3
donde A' es la i-ésima columna de la matriz A . Ahora bien, el volumen del paralelepípedo f([a, b]) esel valor absoluto del triple producto escalar de 10s lados (pág. 61). Por tanto, usando el problema 7b, página 58, obtenemos
~ [ ab1)),
11 = I W . ( y 2 x y3)1 (b,-al)(b,-a2)(b,-a,) /AI . ( A ~ X A ~ I I bl) ldet (AT)I = V([a, b]) ldet i A ) l 1
2
= I[Y Y Y = =
3
420
7
e integrales múltiples [Cap.
conjunto Funciones de
donde AT es la transpuesta de la matriz A , es decir, AT es la matriz que se obtiene escribiendo los renglones de A como las columnas de AT. 5.2 Teorema.
Sea f una transformación de R3 en R3 con regla de correspondencia f(x) = A x + yo. Si B c R3 es un conjunto acotado que tiene volumen, entonces f(B) tienevolumen y V(f(6)) = ldet ( A ) / V(6).
PRUEBA.Sea [c, dl un intervaloen R3 talque d c [c, dl. Como 6 tiene volumen, para cada E > O hay una partición P de [c, dl tal que U(I2, P)-E < V(6) < L(I&, P)+E.
5.3
Sea d launióndelossubintervalosde y sea @ launióndelossubintervalosde Entonces W & > P) = Y y la desigualdad 5.3 se hace
V(B)
5.4
-E
P queestáncontenidos en 6, P quecontienenpuntosde 2. U(12, P )
V(B)
=
< V(6) < V ( d )+ E .
Como d c 6 c 97, tenemos f ( d ) c f(6) c f(@) y por la desigualdad 4.7 y el lema 4.9, pág. 333,
Y ( f ( 4 ) Y(f(6)) 6 V(f(6)) V ( f ( B N .
5.5
Y ahora, porel lema 5.1, como d y B son, cada uno,la unión de un conjunto de intervalos que no se traslapan (es decir, V(Bin Bj)= O para i # j ) , concluimos que V(f(d))
=
Wet ( 4 1 V d ) Y
V(f(g))
=
jdet ( 4 1 V @ ) .
Por tanto, por las desigualdades 5.4 y 5.5, -
V ( f ( 4 ) -Y (f(6))d V(f(@)) - V ( f ( d ) ) = ldet ( A ) / [ V ( B )- V(d)] < 2 E ldet (A)I -
> O es arbitrario, V(f(6)) = Jf(f(€)) y f(6) tiene volumen. De donde la desigualdad 5.5 toma la forma
y como
E
ldet ( A ) / V ( d ) d V(f(6))
< ldet (All
V(B).
Como d c 6 c @ y todas tienen volumen, se tiene
ldet (A)I V ( d ) < ldet ( A ) [ V(6) d ldet (A)I V ( B ) .
De estas dos últimas desigualdades y de 5.4, obtenemos
I V(f(6))- ldet (A)I y de nuevo, como
E
V(&)l d ldet (A)I [ V ( B ) - V ( 4 1 < 2~ ldet (
> O es arbitraria, concluimos V(f(6))
=
ldet ( 4 1 Y(&)
41
51
Cambio de variables en
Un caso especial
las integrales múltiples.
421
5.6 Ejemplo. Sea 9 la regiónlimitadapor el planoconecuación z = x+ 2 y 1 por la parte superior, debajo porel plano XU,y lateralmente por el cilindro elíptico de ecuación 2 x 3 + 4 x y + 5 y 2 + 2 x - y - 4 = O. Encuéntrese el volumen de F .
+
SOLUCI~N. Buscaremos una transformación f con regla de correspondencia de la forma y = f(x) = A x + yo tal que % = f(&) con una & que tenga una descripciónrelativamentesimple. Comolafronteralateralde B es un cilindro elíptico, hay cilindros elípticos de la misma forma con ejes sobre el eje 2 y los ejes de una sección normal paralelos a los ejes decoordenadas. Luegopodemosconsiderara % como laimagende una región F con frontera lateral del tipo descrito al aplicársele una rotación alrededor del eje 2 seguida deuna traslación.Bajolatransformaciónconreglade correspondencia (véase el vol. I, pág. 257)
encontramos que la frontera lateral de % es la imagen del cilindro elíptico con ecuación u2 621’ = 9.La descripciónde E se simplifica aún más si la frontera lateral es un cilindro circular. Reemplazando u en la trans1 formación anterior por -u, es fácil verificar que la transformación f con
+
J6
regla de correspondencia
donde
2 -
$S 1
1
m
”
O
Funciones de conjunto e Integrales múltiples
422
[Cap 7
Consideraremos a conttnuación u n a regla de l a cadena. t i n a función de conjunto G detinida sobre u n a familia .X de conjuntos en R3 que tienen volumen, es diferenciable sobre u n conjunto .4' c R3 si para cada yc.Y',
existe. Luego si G es diferenciable s o b r e 9. entonces
5.7
G(.F)= D(;(y)
V(.F)+CD(y:-8)V ( F )
donde D G ( y ) es Independiente de .P,la función CD estadefinidasobre Y X 3,y lím @ ( y : .P) = O para todo y€:/. Sea f u n a transformación f -y
lineal de R3 en R3. Si 6 es un conjunto acotado en R3 que tiene volumen, entonces, por el teorema 5.2, ,F= f ( 6 ) tienevolumen. Definamos l a
función de conjunto
F
=
G f por la regla de correspondencia F ( 6 ) = G(f(8))
donde G es u n conjuntoacotado en R3 quetienevolumen y f(c(")c'J)G. Supongamos que x € R 3 es UJI punto tal que y = f(x)EI(P. Entonces, como = ldet ( A ) j V ( 6 ) . la ecuación 5.7 toma la forma 5.8
F(c('i = ~ ( f ( 8 ) = ) DG(f(x)) /det ( A ) ( V ( 6 )
+ @ ( f ( x ) ;f ( A ) ) ldet ( A ) j V ( G ) .
Por otra parte F es diferenciable en x si y sólo si
+
F ( G ) = D F - ( x ) V ( & ) Y (x;A ) V ( G )
donde D F ( x ) es independiente de 6 y lím "(x: 8 ) = O. Comparando B-x
esto con la ecuación 5.8 vemos que F es diferen:iable en x con 5.9
Y
D F ( x ) = DG(f(x)) (det ;A)l
y ( x ; A ) = @(f(x);f(6))(det ( A ) ¡ . La ecuación 5.9 es la regla de la cadena que buscábamos.
51
Cambio de variables
en las integrales rnóltiples.
Un caso especial
423
Recordemosahora la definicióndefunciónunivalente o uno-uno.' Una función es un conjunto de pares ordenadostal que no hay dos pares distintosquetengan el mismoprimerelemento. Si, además,no hay pares distintos que tengan el mismo segundo elemento, la función se dice que es univalente o urro-uno. Una función univalente establece una correspondencia uno-uno entre su dominio y su rango.
5.10 Lema. Sea f unatransformaciónlineal de R3 en R3 con regla de correspondencia f(x) = Ax+ yo. Si det (A) # O, entonces f es unatransJormaciónunivalentesobre R3 y si det ( A ) = O, entonces f transforma U todos los puntos de R3 sobre un plano que pasa por yo, sobre una recta que pasa por yo o sobre yo.
Llamadas tambitn "inyectivas". [N. del T.]
424
integrales múltiples conjunto Funciones [Cap. e de
7
PRUEBA. Si det ( A ) = O, el teorema es ciertoperotrivial ya quese encuentra sobre un plano, recta o punto y V ( F ) = O. Supondremos, pues, que det ( A ) # O. Definamos la función de conjunto G, sobre el anillo 31 de subconjuntos de f([a, b]) quetienenvolumen, por la regla de correspondencia
G(F)
=
IF
g>
y sea E'(&) = G(f(8)). Si g es una función constante, el teorema se sigue directamente del teorema 5.2. Como G es continuasobre el conjunto cerrado y acotado f([a, b]), por el teorema 7.7, pág. 478, g es acotada en tal conjunto.Podemossuponerquegsólotoma valorespositivossobre f([a, b])pues en casocontrariog-m+ 1 donde m = mín {g(y) I yEf([a, b])}. Luego, después de demostrar que el teorema se verifica para la función con todos sus valorespositivos g "m + 1 y para la función constante m - 1, obtendríamos por adición el teorema para g = (9-m+ 1) +(m - 1). Por el primerteoremafundamental del cálculo, D C ( y ) = g(y)paratodo ysf([a, b])y, por la regla de la cadena (ecuación 5.9), F es diferenciable sobre [a, b] con DF(x) = DG(f(x)) Jdet (A)I = g(f(x)) ldet ( A ) / .
Demostraremos que F satisface las condiciones del segundo teorema fundamental del cálculo. El teorema se sigueentonces del segundoteorema fundamental del cálculo. Comoel det (A) # O, f es univalente y V(&l n 8,)= O implica que V(f(€,) n f(&,)) = V(f(8, n & 2 ) ) = O (teorema 5.2). Luego F es aditivayaquelo es G. Comoestamossuponiendoque g toma sólo valorespositivos, F es monótona.Por el primerteoremafundamental, G es uniformemente diferenciable sobre f([a, b]) y, por tanto, la ecuación 5.8 implicaque F es uniformementediferenciablesobre [a, b). Dedonde F satisfacelascondiciones del segundoteoremafundamental del cálculoe
i
g = C ( F ) = G(f(6)) = F ( B )=
i:
DF(x)dx =
j:
g(f(x)) /det ( A ) (dx
5.12 Ejemplo. Encuéntrese el momento de inercia con respecto al eje Z de la región F limitada superiormente por el plano de ecuación z = x+2y+ 1, inferiormente por el plano X Y , y lateralmentepor el cilindroelípticode ecuación 2x2+4xy+5y2+2x-y-4 = o.
SOLUCI~N La. región 9 es la misma que la del ejemplo 5.6. Si
51
Cambio de variables en
las integrales múltiples. Un caso especial
425
donde
entonces 9 es la imagen bajo f de la región I acotada superiormente por el plano de ecuación w = - + ~ o z ; +1, debajo por el plano UV, y lateralmente por el cilindro circular de ecuación u2 u' = El momento de
I
+
r
inercia de % con respecto al eje Z es
Luego
=
+.
g donde g(x, y, z) = x 2 + y 2 .
.F
u2+6v'+fiu+f$
y según el teorema 5.1 1 , el momento de inercia de 9con respecto al eje 2 es g (f(u, u, to)) ldet ( A ) !d w d v d u
Problemas 1. Un conjunto de puntos de la forma
9 '= (P,+ua+vb+u?c I
u, u, t o ~ [ O I]} ,
es un paralelepípedo con un vértice en Po y lados a, b, e. La transformación
transforma el cubo unitario [(O, O, O), (1, 1, l)] sobre 9.
426
Funciones conjunto de
e integrales múltiples
[Cap. 7
a) Usando la transformación f, encuéntrese el volumen de Y.
h ) Encuintrese el momento de 9 con respecto al plano X Y . C.) Encuéntrese el momento de inercia de 9'conrespecto al plano X Y .
2. Encuéntrese la transformación lineal f quetransforma unitariaconcentro
en el origenen el eiipsoide de ecuación
y encuéntrese el volumendelelipsoideusandola para el volumen de la esfera.
x2
u
+
la esfera )!Z
b
+
z2
c
=
1
bien conocidafórmula
3. La transformación f tal que
transformauna región d en una región .F limitadainferiormente por el plano X Y , lateralmente por el cilindro parabólico de ecuación
O
X ~ - ~ X . V + , V ~ + X - ~ =~ + ~
y el plano de ecuación x - 3 y f I5 = O, y superiormente por el paraboloide de revolución deecuación z = u 2 + y 2 . Encuéntrese la región 6 y úsese l a transformación f para encontrar el volumen de 9. 6. CAMBIO DE VARIABLE ENUNA
INTEGRAL MúLTIPLE
En l a sección previa consideramos el teorema para el cambio de variable en integrales triples paracambio lineal de variable. En esta sección consideraremosestemismoproblemapara un tipo más general de transformación de R3 en R 3 . Si una transformación f es diferenciable en xo, entonces f está definida en alguna vecindad de x' y para x en esta vecindad
f(x)
= =
f(xO)+A(x-xO)+@(xO; x - x O ) ( x - x ~ ) Ax+[f(xO)-AxO]+qxO; x - x ~ ) ( x - x ~ )
donde lím @'(xo; x-xo) = O y A
=
Df(xo) es independiente de x. Si f es
una transformación lineal, y = f(x) = A x + y", donde A es una función matricial de valores constantes, entoncesDf(x) = A y @ = O. Sabemos pue bajo tal transformación el volumen está multiplicado por el factor Jdet( A ) J y que x- **U
c
c
61
una en variable de Cambio
integral múltiple
427
En el caso de una función f diferenciable en xo, tenemos y
=
f(x) a [Df(xO)]x+yO
para Ix-xoI suficientementepequeño donde yo = f(xo)-[Df(xo)]xo. De todoesto resultarazonableesperarque ldet (Df(xo))l debereemplazar a ldet ( A ) I en la fórmula para el cambio de volumen, al menos localmente, y en l a fórmula para el cambio de variable en la integral. Que esta conjetura es correcta cuando la transformación f cumple determinadas condiciones es lo que demostraremos en esta sección.
Nota. El determinante de la derivada se llama determinante jacobiano de f en x o, simplemente, jacobiano de f en x y se denota por Jf(x). Si (x,y , z) = f(u, u, w), entonces el jacobiano se denotatambien
Enla pruebadelteoremasobrecambiodevariableenlasintegrales triples para cambio lineal de variable, usamos una regla de la cadena. Esta regla de la cadena se obtiene al expresar el volumen de un conjunto imagen 9 = f(6) en términos del volumen del conjunto 8. Para llevar al cabo la prueba de la fórmula del cambio de variable para una transformación más general f investigaremoslarelación del volumen de 9 = f(&) con el volumen de 8. Estableceremos primero algunos resultados preliminares.
6.1 Lema. Si una transformación f de R3 en R3 es de clase C' sobre un conjuntoabierto 93 y el jucobiuno Jf(x) # O para todo ~ € 9 3 ,entonces f es localmente u n i d e n t e , es decir, para cadu~ € 9 hay 3 una recindad Y (x ; 6) c 9 tal que f es uniralente sobre .V(x ; 6). PRUEBA.Sea x un punto de 9 y sea .Y") c Y una vecindad de x. Si y', Y'EY(X), entonces el segmentoque une y' y y' pertenece a Y ( X ) E ~ . Por el teorema del valormedio (teorema 6.10, pág. 194), existe un punto z ' ~ ( y ' ,y') tal que 6'2
f(y2)-f(y')
Dlfl(z')
D2fl(Z')
03fl(z1)
Dl
D2fZ(z2)
D3f2(z2)
f2(z2)
Dl f 3 (z3> D* f ;(z') =
A ( z 1 , 2 2 , z3)(y2-y')
D,
f 3
(z')
428
[Cap. 7
Funciones integrales múltiples conjunto e de
Como det ( A ( z ' , z2, 2')) = Dfl(z') . D f 2 ( z 2 ) x D f 3 ( z 3 ) es una suma de productos de Di f i ( z ' ) y las derivadas parciales Djfi son continuas sobre 9, det ( A ) es continua sobre Y"() x Y(x) x Y"). Como det ( A (x, x, x)) = Jf(x) # O hayun S > O talque si d , z2, z 3 € Y ( x ;S) c Y(x) entonces det ( A ( z ' , z2, z')) # O. Tomemos y', y2e.4P(x; S ) . Entonces, en la ecuación 6.2, det ( A ( z ' , z 2 , z 3 ) )= Dfi ( z ' ) . Df2 (z') XDf3(Z3) # O. Si f(y2) -f(y') = O, entonces, por la ecuación 6.2, vemos que A ( z ' , z 2 , z3)(y2-y1) =
o.
Pero como el determinante de los coeficientes en este sistema de ecuaciones lineales es distinto de cero, y2 - y' = O (corolario 10.4, pág. 80). Así pues, y', y ' ~ Y ( x ;S) y f(y2) = f(y') implican y* = y' y esto demuestra que f es univalente sobre Y"(; 6).
6.3 Teorema. Si una transformación f de R3 en R3 es de clase C' sobre un conjunto abierto 9 y el jacobiano Jf(x) # O para todo ~ € 9entonces , f (9) es abierto.
PRUEBA.Tomemos yOEf(9). Deseamos demostrar que existe una vecindad de yo que está contenida en f(9j. Sea x ' ~ 9un punto tal que f(xo) = yo. Por el lema 6.1, existe una vecindad Y de x' cuya cerradura está contenida en 9 tal que f es univalente sobre 7.Por el teorema 7.8, pág. 478, f(Yb) es un conjuntocerrado y acotado. Sea d = d(yo,f(Yb)). Como y0#f(Yb) y f(Yb) es cerrado, d > O. Demostraremos que si [y' - yoI < d/2, entonces y'Ef(9) c f(9). Es decir, probaremosque existe un X'EY talque f(x*) = y'. Sea g la función definida sobre 7 por la regla g(x) = If(X)-Y'I2
=
(f(X)-Yl). (f(X)-Y');
g(x) es el cuadrado de la distancia de f(xj a y'. Deseamos probar que hay un x' € 9 ' tal que g(x') = O, es decir, tal que f(x') = y'. Como g es continua sobre el conjunto cerrado y acotado 7,por el teorema 7.9, pág. 479, g tiene unvalormínimosobre p.Por otraparte,estemínimonoocurre en un punto de Y, ya que si X E Y,, tenemos If(x)-y'J 2 /f(x)-yo)-Jyo-y'l > d-+d = + d mientras que
/f(x')-y')
=
/yo-y'l < +d.
Como f es de clase C' sobre 9,g es de clase C' sobre Y y el mínimo de g se presenta en u n punto x' donde todas las derivadas parciales de g se anulan:
DjS(X')
=
2(f(x')-y')
'
Djf(X')
=
o.
( j = 1, 2 , 3 j .
Es este un sistema de tres ecuaciones lineales homogéneas en tres incógnitas [f(x')- y'Ii. Como el determinantede este sistema es distintodecero,
61
429
múltiple integral en una
variable de Cambio
Jf(xl) # O, el sistema tiene la solución única [f(x')- y'], = O para cada i (problema 2, pág. 66). Es decir, f(x') = y' para algún punto ~ ' € 9 . Nota. Los resultados del lema 6.1 y el teorema 6.3 se verifican cuando reemplazamos R3 por R". Laspruebas son esencialmentelasmismas. Sin embargo, para una función de R" en R" el jacobiano es el determinante de una matriz n x n, un concepto que nosotros hemos discutido solamente en los casos n = 2 y n = 3. 6.4 Lema. Sea B? un intervalo en R3 conladosdelongitudes a
c V ( Y J<243nV(W).
mn
Yl u ... uYmn 3,B? y
i=1
PRUEBA.Porlapropiedadarquimedianade los númerosreales(vol. pág. 429, problema 3) existen enteros m y n tales que (m-1)a
(n-l)a
< c.
I,
< b < ma, < c < nu.
De dondeB? puede ser cubierto por mn cubos de volumena3 cada uno,y cada uno de estos mn cubos puede cubrirse por una vecindad de diámetro &a
y volumen f -nu2. i 2 casos. Caso I. Si 2
Como b
2. Si 1
m 6 n. Consideramos estos tres
< m < n, entonces
mn-na3 fi 2 Caso
< c, tenemos
=
n -J3 -a3 2
fi
6 2(m-l)2(n-l)-na3
2
m <2
< n ( b = a), entonces
< 2(n-
Caso 3. Si m = n = I
2
<2$nabc.
@
< a n a b c < 2$nabc.
1) -nu3
(a =
b
=
c), entonces
< 2$na3
=2finabc.
6.5 Teorema. Sea 8 c [a, b] un conjunto en R3 de volumen cero y sea f una transformaciónde R3 en R3 declase C' sobre un conjuntoabierto 9 que contiéne [a, b]. Entonces la imagen f(€) de € bajo f tienevolumencero.
430
conjunto Funciones de
e integrales múltiples
[Cap. 7
PRUEBA. Como f es de clase C ' sobre %, las derivadasparciales D J f ; son continuas sobre % y Dfli = [
1 3
t=1
3
( D j . f l )] 2
,=1
I12
es continua sobre Y. Por tanto iJDfl/es acotada sobre [a, b]: es decir, para algúnnilmero K , lJDf(x),I< K paratodo xE[a, b]. Por el teorema 4.6, pip. 264, f es diferenciablesobre [a. b] y paracada F, > O hay una S O tal que x. y E [ a , b] y / y - x ~ < S implica
If(y)-f(x)l
=
lDf(x) ( y - x ) + c p ( x : y - x ) ( y - x ) / < [iiDf(X)lI,+- ,"@(x:y-x)1!] ¡y-x1 < .zil/y-xl
donde M = K t c. Así pues, si Y' es una vecindad d e radio r < 6 y centro x, entonces f transforma .Yn [a, b] en el interior de una vecindad de radio IWr. De aquí que I / ( f ( Y n [a, b])) < x ( M r ) ' = M 3 V ( . Y ) , Pero como (7 tiene y n volumen cero. para cada c > O hay una partición P de [a, b] tal que la unión .& de aquellos subintervalos determinadospor P que contienen puntosde tiene volumen V(;#) < E.Sea P' un refinamiento de P de norma menor que h. Según el lema 6.4, cada intervalo 2 determinado por la partición P ' puede ser cubierto por una colección finita de vecindades esféricas de dirimetro menor que \ Í 3 6 la suma de cuyos volúmenes es menorque 2, 3 n V(.@). Dedonde .2 puedecubrirsecon una - colección finita de vecindades . Y , , . . . ,
-
-
2 , 3nV(&) < 2 , 3 n e .
Sea .d = [a, b] n
h'
U
I =
-
V(f(8))
I
:fl.
Entonces A c .4 c .cu' y f(6) c f ( B ) . Por tanto
lY
< V(f(d)) < 1 I -
I
V ( f ( Y i n La, 21))
N
i= I
v(Y'¡)
Pero i: > O es arbitrario, de modo que f ( Q ) tiene volumen exterior cero por conslguiente volumen cero.
y
PRC~ERA Primero . demostramosque la fronterade la imagen de 8 está contenida e n la imagen de la frontera de 6 :f ( B ) , c f(8,). Como S es un
61múltiple integral una
431
en variable de Cambio
conjunto cerrado y acotado y f es continua sobre 2, f ( 8 ) es cerrado según el teorema7.8,pág. 478. Así pues, como f(6j c f ( 8 ) y f(8) es cerrado,
f(&), c f(&) = f(dj u 8 b )
=
f(8i) u f(8b)
Según el teorema 6.3, f ( 6 J es abierto, de modo que f(&,) = f ( 6 J i c f(€),. Luego f(Gi) n f(&), c f(&)¡ n f(&), = @ y como f(&j, c f(d,) u f(bb) tenemos f(&)b c f(dbj. Como d tiene volumen, &, tiene volumen cero (teorema 4.17, pág. 337, generalizado a R3). Según el teorema 6.5, f(db) tiene volumen cero y, por tanto, f(&), tienevolumencero. Dedonde f(&j tienevolumen,según el corolario 14.14, pág. 379. En el próximo lema demostraremos que si f es una transformación de R3 en R3 declase C' sobre un conjuntoabierto 3 y si Jf(x') # O para un punto ~ ' € 9 entonces , la imagen f ( 9 ) de cualquier intervalo suficientemente pequeño B que no difiera demasiado de un cubo y tenga centro en x' tiene volumen V(f(9)j aproximadamente igual a V ( 9 )Jf(xc). 6.7 Lema. Sea f una trunsjormación de clqse C' de R3 en R3 dejnida sobre B ysea eljacobiano Jf(x') distintodecero enun unconjuntoabierto . cada E > O hay una 6 > O tal quesi .%?es un intercalo punto ~ ' € 9Para longitud 2u, talesque en B con centro en x', diúrnetro 2 r < 6, yladosde O < a ak 2u para todo k = 1, 2, 3, donde a = mín ( a , , a 2 , a sentonces },
< <
I V(f(9))-
V ( 9 ) I Jf(XC)lj < E V ( 9 ) M(x")
donde M(x') es independiente de
9,
PRUEBA.Como f es diferenciable en xc, f(x)
=
f(x')+Df(x') (x-x')+@(x';
x-xcj (x-xc) para X E Y
donde lím @(xc;x - x') = O. Por tanto, para cada
E
> O hay una 6 > O
x-xc
talque II@(x";x-x')I/ < E siempreque x ~ Y ( x ' ;S). Como 9 es abierto, podemostomaruna 6 > O tanpequeñaque Y(x'; 6) c 3. Sea g' la transformación definida sobre Y por la regla de correspondencia
g' (x)
=
f (xC) + Df (xC) (x- x') .
Si 9 esel intervaloen el enunciado del lemacon S, entonces para cada X E ~ ?
2r <
If(x)-g'(xjl
=
[@(xc; x-x') (x-xc)I
centro x' y diámetro
< Il@(x'; x-xc)I/
El intervalo 9 es el paralelepípedo rectangular 3
3 = (xc+
k= I
tkaku,IfkE["l,1])
Ix-xcl < er.
432
Funciones de conjunto integrales e
múltiples
[Cap. 7
y la imagen de W bajo g' es el paralelepípedo
donde b, = Dkf(xC). Demostraremos que f(.@)se encuentra en el interior de un paralelepípedo Y l que es semejante a g'(.%) y tiene caras a una distancia er fuera de las de g'(.%) y que f ( 8 ) cubre un paralelepípedo Y 2que es análogo a g ' ( 9 ) y tiene caras a una distancia er hacia el interior de las de g ' ( 9 ) : 9 1
.\/a2
+ (2u)Z+ ( 2 0 ) 2
=
{f(x')
= 3,
1 3
f
k= 1
t , bk(akfErdk)I t k E [ - l ,
I]}
e, sin pérdidade Erd > O es tan pequeña que 1 > 3&d,
y d , es independientede
generalidad podemos suponer que
E
ak
para k = 1, 2, 3. Pero X E W implica I f(x) - g'(x)l < er y por tanto f ( x ) E g l . De donde f(x)cT,. Por otra parte g' transforma la frontera de .% sobre la fronterade g ' ( 9 ) de modoque si f(x) estáa unadistanciamenor que er de la frontera de g ' ( 9 ) y, por tanto, se encuentra fuera de Y 2 .Luego f ( 9 J se encuentrafuerade 9..Pero f(x')EP2 y si cualquierpunto de
Por tanto - F V ( 9 ) M ( X C ) < V ( Y z ) - V ( 3 ) JJf(x')l d V ( f ( 9 ) ) - V ( 9 ) IJf(x')l < V ( P l ) - V(&) IJf(x')l < E V ( 9 f ) M ( x C )
61
433
integral Cambio variable una múltiple de en
Enel próximolemaprobaremosque ciable sobre todo intervalo [a, b] c Y.
V f esuniformementediferen-
6.8 Lema. Sea unatransformación f de R3 en R3 de clase C ' sobre un conjunto abierto Y y sea e1,jacobiano Jf(x) distinto de cero para todo ~ € 3 . S i [a, b] c 9,entonces para xE[a, b]
y el límite es uniforme sobre [a, b] PRUEBA. Sea 2 6, = d([a, b], qhj. Entonces 6 , > O según el teorema 4. I , pág. 41 I . Sea 5 = {x 1 d(x, [a, b]) < \:.'?S, ) . Entonces .Fes u n subconjunto cerrado de Y. Como f es de clase C' sobre Y, f es diferenciable en todo X'EF y
f(x) donde
=
f ( x 0 ) + D f ( x " j ( x - x O ) + @ ( x ~ x-x"(x-x") ;
lím @(xo;x-x")
=
O uniformementesobre
X+XU
pág. 263). Luego, paracualquier t: > O quetomemos tal que I,O(x":X"X0)1' < E
cF (teorema 4.6,
hay una 6, > O
siempreque x", X E F y ~ x - x o < ~ 8,. Como f es de clase C ' sobre 9 . según el teorema 7.6, pág. 478, el jacobiano Jf es uniformemente continuo sobre 9 . Hay pues una 6, > O tal que lJf(xj-Jf(xo)l < c siempre que xo, X EyF/x-xoI < 6,. Además, de acuerdo con el teorema 7.7, pág. 478, la continuidad de Jf sobre 9 implica que Jf está acotado en .F y existe un número J tal que lJf(x)l < J para todo ~ € 9 . Tómese xoE[a, b] y s e a 4 el intervalo (cubo) con centro x" y lados de longitud 2 6 donde d = mín { S , , 6,. (S3). Entonces . Y ( x " ; 6) c .Yc 9 c 9. Demostraremos que si 8 es u n subconjunto de . Y ( x " ; a) que contiene a x' y tiene volumen positivo, entonces 6.9
i
m
V (8)
-
/Jf(x")l
N
donde N es independiente de 8 . Ahora bien, W c . Y ( x 0 ;6 ) c 4 y como G >
o bien.
de modo que si probamos que los miembros extremos de estas desigualdades difieren en menos de algún múltiplo de E independientemente de 8 , entonces
61
Cambio de variable múltiple integral en una
lo mismo ocurrirácon los dostérminos establecer 6.9. Pero como
435
medios y seremoscapacesde
V ( B ) - V ( d ) < EV(8) < & V ( B ) ,
tenemos
(1 - E ) V(B)< V ( d ) .
Suponiendo -
~
E
< 1, tenemos
"
1 1 --E
< -[IJf(x0)~+&M]-(1")[~Jf(X0)J-&M] -
2E--E 2
I-&
< &
IJf(xO)l+
-J+
2-2&$.E2 &M I "E
2-2&+&24 1--E
donde J es una cota superior para IJf(x)l sobre [a, b]. De donde
donde N
=
1 ~
1 "E
[(2 -E)J + (3 - 3~ +&')M]es independiente ded y x0 E [a, b].
Esto completa la prueba del lema, De acuerdo con el lema 6.8, V(f(8))
6.12
donde lím, Y (x;&)
=
=
IJf(x)/ V ( € ) + Y(x; 8 ) V ( 8 )
O uniformemente para xe[a, b]. Sea 9 , una función de
d+X
X deconjuntos en R3 que tienen conjunto definida sobreunafamilia volumen,diferenciablesobre un conjunto Y c R 3 . Entonces 6.13
G(F)
=
D C ( y ) V ( F ) + Q ) ( y ; 9) V(9)
donde D G ( y ) es independiente de 9 y lím @ ( y ; F )= O para todo ~ E Y . Sea f, unatransformación
*-+Y
de R3 en R3,declase
C' sobre u n conjunto
436
7
integrales múltiples conjunto Funciones [Cap. e de
abierto 9 y sea Jf(x), el jacobiano de f, distinto de cero para todo ~€3. Definamos la función de conjunto F = G f por la regla de correspondencia ~
F(B) = G(f(G'))
donde 8 es un subconjunto de9 que tiene volumen y f(Q)EDG. Supongamos que X E Y y f(x)EY. Entonces, por las ecuaciones 6.12 y 6.13, tenemos 6.14
F ( 8 ) = G(f(8)) 7 [DG(f(x))+@(f(x);f(&))] V(f(G")) = [DG(f(x))+@(f(x); f(Q))] [IJf(x)l + Y (x; a)] V ( 8 ) = DG(f(x)) IJf(x)l V(E)+@(x; 8 ) V ( 8 )
donde DG(f(x)) IJf(x)l es independiente de d y
lím @(x;8 ) = lím {@(f(x); f(&)) [IJf(x)l +"(x; &)]+DG(f(x)) "(x;&)}=O
e-x
8-X
Así pues, F es diferenciable en x y tenemos la regla de la cadena 6.15
DF(x)
=
DG(f(x)) IJf(x)l.
Estamos ahora en posición de probar nuestro teorema sobre cambio de variable en las integrales triples. 6.16 Teorema. Sea f una transJbrrnación de R3 en R3 de clase C' y unimlente sobre un conjunto abierto 59 de jacobiano Jf(x) # Opara todo X E y ~seag una ,función de R3 en R continua sobre f(9). Si [a, b] c 9 , 8 c [a, b] tiene columen. y 9 = f(&), entonces
PRUEBA. Si g es una función constante, el teorema se sigue del lema 6.8 y del segundo teorema fundamental.Según el lema 6.8, V f es uniformemente diferenciable sobre [a, b] con 2
D[V(f(x))]
=
1Jf(x)/sobre[a,
b].
Como f es univalente, V f es aditiva y monótona sobre el anillo de los subconjuntos de [a, b] que tienen volumen. Si 9 = f(&) y & c [a, b] tiene volumen,entonces 9 tienevolumensegún el corolario 6.6 y el segundo teorema fundamental ~
V ( F ) = V(f(6))
IJf(x)/dx.
= 1 8
Definamos la funciónde conjunto 59, sobre el anillo .X desubconjuntos de f([a, b]) que tienen volumen, por la regla de correspondencia G(F)=
&Iy
61
437
Cambio integral variable una de múltiple en
Entonces, para g una función constante,
Si g es no constante, como g es continua sobre el conjunto cerrado y acotado f([a, b]), g es acotada en él. Podemos suponer que g toma solo valores positivos sobre f([a, b]), puesto que en otro caso podríamos considerara ( g - m + l ) - ( - m f l ) donde m = mín {g(y) I yEf([a, b])}. Definamos la función de conjunto F por la regla de correspondencia F(G) = G(f(8))
donde 6 es un subconjunto de [a, b] que tiene volumen y f(€)E ‘aG. Por el primer teorema fundamental del cálculo, DG(y) = g(y) para todo yEf([a, b]) y por la regla de la cadena (ecuación 6.15), F es diferenciable sobre [a, b] con
DF(x)
=
DG(f(x)) IJf(x)l
=
g(f(x)) lJf(X)I.
Como f es univalente, V(gl n 8,) = O implicaque V(f(6,) n f(8,)) = V(f(&, n a,)) = O yportanto F es aditivaya que loes C. Como se supone que g sólo toma valores positivos, F es monótona. De acuerdo con el primerteoremafundamental, G es uniformementediferenciable sobre f([a, b]) y, por tanto, la ecuación 6.14 implicaque F es uniformemente diferenciablesobre [a, b]. Luego F satisfacelascondiciones del segundo teorema fundamental del cálculo e R
g
=
G(B)
=
G(f(8))
=
F(I)
=
J9
!e
D F ( ~dx )
=
J
g(f(x)) IJf(x)l dx. I
Nota. Si Jf(x) = O sobre un conjunto B de volumen cero y 6 - 9 es la unión de un número finito de conjuntos que tienen volumen, entonces la fórmula del teorema 6.16 aún se verifica. Supongamos &=(6?nF)u€,u&,u ... u&,
donde 6 , , G,, ... , &, no se traslapan y tienen volumen y 6 n F tiene volumen cero. Según el teorema 6.5, V(f(& n 9)) = O, y el lema 6.1 1 , pág. 3 14, generalizado a R3
i
Por tanto =
9 =0 =
n9
f ( 8 n 9)
jf(8
n 9) + $1
jf(Ek)
=
]E
n
(9 o f )
IJfl.
ij
(Y of) lJfl + k = l
Pi,
(9 o f )
IJfl
438
7
integrales múltiples conjunto Funciones [Cap. e de
6.17 Ejemplo. Sea f la transformacióndefinida pondencia (x,y , 2) = f(u, l?, u*) = (u2+ L ,
y sea 6' el tetraedro con vértices (O,O,O), Encuéntrese el volumen de f(8).
por la regla decorresli-
21,
u.)
(O, O, l), (O, 1, O) y (1, O, O).
S O L U C I ~La N . región Q se muestra enla figura 2 a y f(&) se muestra en la figura 2b. La transformación f no es univalent? en R3, pero para u 3 -4, f es univalente y tiene inversa f " : x =
f: y
u = --Jz+Jx+y++
ZIZ-Cl?
= u-[I)
f*: u =
z=u:
"
L'-+.tJS
ui = 2.
El conjunto B se encuentra enla región donde u 3 O y está limitada por los planos de coordenadas y el plano u + L' +z' = 1. El plano u: = O S
IW
IZ
transforma enel plano z = O; el plano r = O se transforma en el cilindro parabólico x = y ' ; el plano u = O se transforma enel plano x+y = O ; yelplanou+u+u~= 1 setransformaenlasuperficiez-y+2Jx+y~~ = 2 . Tenemos 2u 1 O Jf(u,v,w) =
I
1
-1
01 = - 2 u - 1
61Integral ulia
en variable de Cambio
439
rnljltlple
Podemos obtener la fórmula para cambio devariable en lasintegrales dobles considerando regiones acotadas inferiormente por el plano 1c = O, superiormente por el plano u’ = I , y iateralnxnte por unasuperficie cilíndrica y restringiendo la clase de las transformaciones a aquellas en que u = z . Sea 8 un conjunto en R3 y sea .F¡a proyecciónde 8‘ sobre RZ (figura 3a). Sea f una transformación de R3 en It3 que satisface las condiciones dei teorema 6. ! h definido pos la regla de correspondencia y
=
f(x)
=
(fl r ) , ,fz ( u ;
(u, r ) ,w j .
Entonces, si f es la función de Rz en RZ definida por f(u, u)
=
(JI ( 4 c), f;(.,
u))
tenemos
I
o
O
X FIGURA 3
(b)
Sea g(x, y ) = g(x, y , z ) independiente de z , y que satisfaga las condiciones del teorema 6.16 y sea 9 = T(F).Tenemos entonces
Funclones conlunto de
440
Integrales e
Luego, si prescindimos delas barrassobre el siguiente corolario al teorema 6.16.
donde & : =
múltiples
las funciones f y
Cap. 7 g,
tenemos
f(F)
Nota. Si Jf(u, r ) = O sobre u n conjunto de área cero y si 4 menos tal conjunto esla unión de un número finito de conjuntos que tienen área cero,entoncescomo en la notaque siguió al teorema 6.16, puede demostrarse que la fórmula del corolario 6.18 aún es válida.
6.19 Ejemplo. Sea f la transformación definida por la regla de correspondencia (x, y ) = f(u, u ) = (uZ+ o', u - u)
y sea F el triángulo limitado por los ejes coordenados y la recta u + o' Encuéntrese el área de d = f ( B ) .
=
1.
SOLUCI~N La. región 9 se muestra en la figura 4a y W = f ( 9 ) se muestra en la figura 4h. La transformación f es univalente para u 3 y para tal caso se tiene:
-+
x =
u =
U2+U
f :
y = u-u
f* :
-r,+&+x+y
u = -y-++
J++x+y.
61
variable de Cambio
441
múltiple integral en una
Latransformación f transforma LI = O en x + y = I en x = $ y 2 +.;.. Tenemos
y u+ u
Jf(u,u)
2u
I =
=
A(g)=
I:
=
O en x
=
y';
-2u-1
-I
1
Y
O;
=
j; j "'
( 2 u + 1)dvdu =
O
+
Problemas I -Y
1. Evalúese
, ~ 2 - ~ dx 2
d y por medio de la translbrmación
Io1 J:
(x,y ) = ( u " U U , uu). 2. Evalúese (x, Y ) = ( u , uu).
3. Evalúese
(I,I),
d
13' .*
m
d
y dx pormediode
la transformación
(x2+y2)dx dy donde 9 esel paralelogramoconvértices
(5, 2), (6, 5 ) y (2, 4) por medio de la transformación (x, y )
u(4, I ) + c ( l , 3).
= (I,I)
+
4. U n conjunto de puntos de la forma
9 = {P,+ua+ub
I
u, U E [ O , I ] }
es u n paralelogramo con vértices Po, P, + a, Po+ a + b, y PO+ b. La transformación P = f(u, @)= Po +ua+ub transforma el cuadradounitario Y = {(u, u ) 1 u, U E [ O , I ] ) sobre 9. Usando la transformación f, encuéntrese el área de 9. b) Encuéntrese el momentodeinerciaconrespecto al eje X del paralelogramo Y = { ( I , I)+u(2, 3 ) + u ( l , S) 1 u , ¿:€[O, I ] } . e) Encuéntrese el área del paralelogramoconvértices en (1, l ) , (5, 21, (6, 5) Y (2, 4). a)
5. a) Pruébese que las coordenadas parabólicas (u, u) donde (x, y ) = E(u, u) = (uc, 4 ( u - c 2 ) ) transforman las rectas u = constante y v = constante en parribolas con vértices en
respectivamente, y con focos enel origen.
i3i 3 O,
-
y O,
6) Encuéntrese el área de la región .% limitada superiormente por !a
442
d ) Encuéntrese el área de la región denadas elípticas.
.A de la partL- h usandocoor-.
7 . Las coordenadas esféricas alargadas ( o elípticas)estánrelacionadas con las coordenadas rectangui:lres por (.Y, y , z ) = f(u, I:. u') donde
a)
Demuéstrese que las superficies u alargados (elipsoides)
y las superficies I' = revolución de dos hojas
=
u.
=
constante, son los esferoides
constante. son los hiperboloides de
z2 X2+J2 "____ r02
=
=
1- v o z
b ) Encuéntrese el jacobiano J f ( u ,
I', LO).
u2
443
Coordenadas polares
Encuéntrese el volumendelesferoide
z2 -
x2 y' ++ - = a 2 ( u o = 2)
4 3 3 usando coordenadas rectangulares. Encuéntrese el volumen del esferoide dela partec usando coordenadas esféricasalargadas (Sugerencia: en el espacio UVW lasuperficie limita a u superiormente por 2; u y u' toman el rango completo de valores.) Encuéntrese el momentode inerciaconrespectoal plano X Y del esferoide de la parte c. 7. COORDENADAS POLARES
La transformación f que expresa un punto en el plano R2 en términos de coordenadas polares viene dada por la regla de correspondencia
(x,y )
=
f(r, O )
=
(r cos O , r sen e).
El jacobiano de f es cos f3 - r sen O
Jf(r,O) =
sen 0
=
r cos O
r(cos'
e + sen' e) = r
demodoque al transformaruna integraldoble en coordenadaspolares reemplazamos dx dy por Y dr de. Lascondicionesdelcorolario 6.18 no están satisfechas por estatransformación. No es univalente y, además, Jf(x) = O sobrelarecta r = O enel plano R e . Sin embargo,podemos probar que si restringimos el dominio de f a una franja Y = {(r, O ) I O
< r, ct < 0 < cr+27r}
FIGURA 5
444
[Cap. 7
integrales múltiples conjunto Funciones e de
enel plano R e , entonces la fórmula del corolario 6.18 se verifica para cualquier subconjunto de ,Y’ que tenga área. Para ello basta demostrar que se verifica sobre cualquier rectángulo de la forma 4
=
< rl, x < H
{(r,O)IO d r
d c(+2n;
Para cada par de números positivos d, E con 6 < r , y .Yae = { ( r , O ) 1 6 d r
< rl,
%+e
E
< 2 n , sea
< H < cr+27cj.
La transformación f es univalente sobre u n conjunto abierto que contiene y Jf(r, O ) = r # O sobre .Yae La transformación f transforma X, sobre f(Y,,) = F a E donde F a e esel anillo limitado por las circunferencias deradios 6 y irl con una muescade ángulo e quitada (figura 5). De aquí que si y es continuasobre f ( 4 ) , la fórmula del corolario 6.18 se verifica sobre Y,, e
Y,
g ( r cos O, r sen O)rdrdO Fat.
.Y&
para 6 y t: positivos cualesquiera. Tomando el límite cuando 6 y c tienden a cero obtenemos g(x,y)dxdy =
JJ
g ( r cos O, r sen 0 ) r d r d d
.Y
donde 9 es el disco de radio r l con centro enel origen, De donde si 92 es cualquier conjunto en Y que tiene área y si 9 = f(W), entonces
7.1
i” .F
g(x,y)dxdy =
J.í
g ( r c o s 8r ,s e n 0 ) r d r d O .
.3
IY
FIGURA 6
71
polares
445
Coordenadas
Consideremos un conjuntode la forma Bo = { ( r , U) I N d Q d /3, O < Al(@ < r < h2(Q)},donde O < / 3 - x < 271 y h,, h, sonfunciones continuas sobre el intervalo [a, p] con O < h, (O> d h 2 ( 0 ) para toda O E [ ~ , p ] . Laregióncorrespondiente en el plano X Y es go= { r cos O , r sen O) I E < O < p, O < hl(0) 6 r < h,(O)) (figura 6). Si g es continua sobre Po, entonces
1%. j{ g =
g ( r cos
0, r sen O>rdrdO =
ae
Si el integrando eslafunciónconstante de g o Y A(Foj
=
5," j::(:))
g(rcos0, rsen0)rdrdQ.
1, entonces
I es el área L
IF,] lap j::,:))
o
r d r dU.
I =
7.2 Ejemplo. Encuéntrese el área de la región que se localiza en el interior del círculo r = 3 sen O y en el exterior de la cardioide r = 1 sen O .
+
SOLUCI~N. El áreadeseada es la de la regiónsombreada Se encuentra el límite de O haciendo 3 sen Q
y resolviendo :
1
=:
senQ = - , 2
enla
1 + sen U
O
n 5n -. 6' 6
=-
Entonces 1 +sen 0
IY
FIGURA 7
rdrdO
= 71.
figura 7.
446
integrales conjunto Funciones e de
[Cap. 7
rnúlt~ples
7.3 Ejemplo. Encuéntrese el centroidede ia regi6n del ejemplo 7.2.
S O L U C ~ ~Corno N . la región ,Fo es simétricarespecto
a l rayo 6’ =
-.
71
2
cl
centroide se encuentrasobre este rayo.Necesitamos,pues,solamente encontrar el momento con respecto aleje X-y dividir por el Area para encontrar X a segundacoordenada del centroide.
4 s i pues
if
de modo que las coordenadas rectangulares del centroide son O, - +
:a --
Nuestradiscusiónprevia (pág. 365) del volumendeunaregión en R3 limitada lateralmente por unasuperficie cilíndrica con un generador paralelo al eje Z,superiormente limitada por una superficie z = g(x,y ) e inferiormente por una región cerrada y acotada en el plano X Y se sigue aplicando en el caso en que !a región está descrita en coordenadas cilíndricas (x, y , z ) = ( r cos N , r sen
Si unatal región de R3 tiene 7.4
L.
J.
z).
como su fronterainferior,entonces
‘j?‘ n R r ( 0 )
=
O,
g ( r cos O , r sen O ) r d r d O .
7.5 Ejemplo. Encuéntrese el volumen de la región limitada superiormente por el paraboloide de revolución z = x2+ y 2 inferiormente por el plano X Y , y lateralmente por el cilindro circular x2+ y 2 = 4. S O L U C I ~(Figura N. 20, pág. 367.) En coordenadas cilíndricas, la región está limitada superiormente por la superficie z = r 2y lateralmente por el cilindro circular r = 2. La región base F e= { ( r cos 0, r sen O ) 1 O G r d 2 , O G 8 < 2 n ) . De donde L.=
“2n JO
j
‘2 O
r 2 rclrde =
r3drd0 = 8 n .
447
Problemas 1. Encuéntrese el área de cada
unadelassiguientesregiones. a) Limitada por la cardioide r = a ( l cos O) h) dentro de la cardioide r = a ( l + cos O ) y fuera del círculo r = a c) interior del círculo r = 6 y a la derecha de la recta r cos 8 = 3 d ) interior del círculo r = cos O sen O y exterior del círculo r = 1 e ) interior del circulo r = cos O y exterior de la cardioide r = 1 - cos O f’) limitada poruna de las hojas la de rosa de cuatro hojas r = a sen 2 0 g ) limitada por el bifolio r = a sen U cos’ 0 h) limitada por una hoja de l a lemniscata r 2 = 2a2 cos 20.
+
+
2. Encuéntrese el centroide de cada una de a) Problema 1 a b) Problema 1 c c) Problema I e d ) Problema lg e ) Problema 1 d. (Sugerencia. M,
=
M , por simetría.)
f ) Limitada por la parábola r =
-
1
las siguientes regiones.
d
cos o
I _ -
-
y el eje Y
g) limitada por una hoja de la lemniscata r 2 = 2 a L cos 2V. (Sugerencia. Hágase t ’ c 20 ~ ~= sen v.) h ) Limitada por el lazo de la estrofoide r = a cos 2U sec O .
3. Encuéntrese el momentgdeinerciadecada unade lassiguientes regiones con respecto a la recta que se indica. a) limitada por una sola hoja de la rosa de cuatro hojas r = a sen 20 conrespecto al eje Y. (Sugerencia: adviértaseque por simetría I, = f , y que f x + I , es más fácil calcular que f , ) 6) interior’del círculo r = cos O t sen O y exterior del círculo Y = 1 con respecto al eje X c) limitada por una hoja de la lemniscata r 2 = 2a2 cos 28 con respecto al eje Y d ) interior de la cardioide r = a( 1 + cos O) y exterior del círculo r = a con respecto al eje Y . 4. Encuéntrese el volumen de una semiesfera de radio coordenadas cilíndricas.
la unidad usando
5. Encuéntrese el volumende la región de R 3 limitada arriba por z = 1 -x2 - y 2 y abajo por el plano X Y usando coordenadascilíndricas. 6. Encuéntrese el volumende la regiónde R3 limitada arribapor z = 4-x, lateralmente por x2+ y 2 = I , y debajo por el plano X Y , usando coordenadas cilíndricas.
[Cap. 5
Funclones de conjunto e integrales rnúltlples
44%
7 . Encuéntrese el holumen dc la regi6n del primer octante limitada arriba por := .Y y lateralmente enel interiorpor I’ = I + sen O y en el exterior por I’ == 3 sen 0. 8. Demuéstresc que la región de K3 que se encuentra sobre
.F0 =
[ ( u cos
O,
r
sen O) 1 O
< O < x,
y esti limitada superiormente por el plano z donde r’ = ;(yz t r , ) .
1
rl
< r < rz\
h ticne volumen x?(r2-r,)/7
9. u ) Encuéntrese el volumen del segmento esfértco de una base limitado por la esfera r 2 z 2 = u’ 4 el plano z = u - h donde O < h < u. h ) Encuéntrese el \olumen del segmento esférico de dos bases limitadopor la esfera r 2+ z 2 = u2 y los planos z = 0 - h I y z = Ndonde O < h, < Ir, < u.
h,
8. COORDENADAS ESFÉRICAS
La transformación f que expresa u n puntode R 3 en términosde coordenadas esféricas viene dada por la regla de correspondencia
(X. J.. z) F f(p, O. c p )
donde y 3 O, O 6 O J f ( p . O,cp)
=
(p sen cp cos O , p sen cp sen
< 2 x >O < cp <
=
1 ~
I ~
sen cp cos O sen cp sen II cos cp
TI.
O,
las
p cos cp)
El jacobiano de f es
O
p cos cp cos U
p sen cp cos O
p cos cp sen H
- p sen cp sen
O
- p sen cp
demodoque al transformaruna integraltriplea coordenadas esféricas reemplazamos d u (1).(17 por IJf(p. O, cp) 1 d p d f l c k p . Aquí las condiciones del teorema 6. I6 no son satisfechas. Tenemos Jf(p, U, (p) = O s i /I = O, y, = O o cp = n y f no es univalentesobre l a s fronteras del dominiode f. Sin embargo, u n argumentoanálogo al usadopara las coordenadaspolares muestra que la fórmula del teorema 6.16 se verifica tambiénparalas coordenadas esféricas y 8.1
j]j
g ( s , .L., 7 ) t l u tl). i l l
f(C I
=
Jj!
g ( p sen (p cos
0, p sen cp sen 0, p cos ( p ) p 2 sen cp Lip d~ tlcp .
81
449
Coordenadas esféricas
8.2 Ejemplo. Encuéntrese el volumen de la región limitada por una esfera de radio a. SOLUCI~N.
8.3 Ejemplo. Encuéntrese el centroidede semiesfera de radio a.
la regiónlimitadaporuna
S O L U C I ~ NSupongamos . que el hemisferio esla mitad superior de la esfera del ejemplo 8.2. Por simetría concluimos que el centroide se encuentra sobre el eje Z. Necesitamossolamentecalcular,portanto,
Como z
=
M,,
=
p cos cp, tenemos
Por tanto
Problemas 1. Úsese la integraciónen coordenadas esféricas paraencontrar el volumen de la región acotada por la esfera x2+ y 2 + z 2 = 4 superiormente y por el cono z2 = 3 ( x 2 + y 2 ) inferiormente.
2. Encuéntrese el centroide de la región del problema 1. 3. Encuéntrese el momento de inercia de la región del problema I respecto aleje Z y úsese esto paraencontrar los momentosde inercia con respecto al plano XZ y al plano YZ. 4. Encuéntrese el momentode inercia de la regiónlimitada esfera de radio a con respecto a u n diámetro.
por una
5. Úsense coordenadas esféricas para encontrar el volumen del esferoide b 2 ( x 2+ y 2 ) + a 2 z z = a2b2. (Sugerencia : despuésdeintegrarconrespecto a p y O , hágase cos cp = u . )
6 . Encuéntrese el centroidede la regiónen el primer octante limitada por la esfera p = a y los planos coordenados. (Sugerencia : encuéntrese Z y úsese la simetría.)
Sucesiones 1. INTRODUCCI~N Una sucesión es unafunciónque tiene comodominio el conjunto de los enteros positivos. Así pues, una sucesión es una función de una variable real.En el capítulo 3 se consideraronlasfuncionesvectorialesdeuna variable real, pero la mayor parte del análisis de tales funciones que allí vimosno se aplicaalassucesiones.Lasoperacionesdediferenciacióne integración se definieron para funciones cuyo dominio es un intervalo no degenerado o una unión deintervalosno degenerados. (Porintervalo no degenerado entendemos u n intervalo que contiene más de un punto.) Tales funciones a veces se llaman funciones de una variable real continua. Pero lassucesionessonfuncionesdefinidassolamentesobre un conjunto
452
Sucesiones
[Cap. 8
discreto de puntos de la recta y, por tanto, las operaciones de diferenciación e integración no se definen para las sucesiones. La nocióndelímitede una funcióndevariable real se aplica a las sucesiones y en estecapítuloestudiaremosdetalladamente el conceptode límite. Recuérdese que el límite de una sucesión se definesolamente en puntos de acumulación del dominio de la función. Aquí incluiremos los puntos ideales cc, y - c;~i cpmo posibles puntos de acumulación del dominio de una función. U n punto p es un punto de acumulación de un conjunto si toda vecindad de p contiene u n punto del conjunto distinto de p . Si p es u n número real, entonces una vecindad de p es u n intervalo abierto ( a , b) que contiene a p . Si p es m ( - "o), entonces una vecindad de p es u n intervalo ( u , m ) (( - m , b)). Como el dominio de una sucesión es el conjunto de los enterospositivos, so es el Único puntodeacumulación del dominio deunasucesión.Por tanto,para sucesiones, sólo consideraremoslímites en co. Si en el capítulo 3 hubiésemosconsideradolímites en co de funciones vectorialesdeunavariablereal,entonces el límitedeunasucesiónsería u n caso particularde lo que allí habríamos visto. Como taleslímitesno fueron consideradosentonces.nuestradiscusióndelímitesdesucesiones principiadesde el comienzo en este capitulo. Sin embargo, muchode lo que aquí vamos a hacer es muy semejante a lo que hicimos al estudiar los límites en el capítulo 3.
2. LÍMITE DE UNA SUCESIóN 2.1 Definición. Una sucesión de puntos en R" es una,firncidn cuyo d o m i n i o es el conjunto de enterospositiros y cuyo rango es LIM conjunto de puntos en R". Así pues, una sucesión de puntos S es una correspondencia del conjunto de los enteros positivos a u n conjunto de puntos; es decir, para cada entero positivo n hay u n punto s ( n ) que le corresponde. Es más común escribir S, que s(n) y denotar la sucesión por {S,,} en lugarde por s. El punto S,, se llama n-Psimo término de la sucesión. U n ejemplodeunasucesión {S,,) de puntos en R viene dadopor la
regla decorrespondencia
S,
=
I
-. Estasucesióntambiénpuededescribirse
n
t)
escribiendo cierto número de sus primeros términos en orden: I , La regladecorrespondencia
S,, = ( , I ,
nZ,
4, $, +. . . .
describeunasucesiónde
puntos en R 3 : ( I , I , I ) , (2, 4, i), ( 3 . 9, +), . .. Como una sucesión {S,,) de puntos en R" es una función de R en R" cuyo dominio tiene so como su Único punto de acumulación, la noción de límite
453
R”
R N
n
FIGURA 1
sólo puede definirse en OO. Por tanto, el límite de (S,) en m puede llamarse simplemente el límitede {S,} y puede denotarse por lím S, lo mismoque por lím S,. n-,
ic
2.2 Definición. El limite de {S,} es b, lo que se denota por lím S, = b o lírn S, = b, s i para cada E > O existe un número N tal que (S, - bl < E n-n
siempre que n > N . Reformulandoestadefinición en términosdevecindades,tenemosque l í r n S,, = b si para cada vecindad Y(b; E) de b existe una vecindad ( N , ,m) de co tal que s,EYY(b; E) siempre que n e ( N , m) (figura 1). Intuitivamente, lírn S, = b significa que S, está “próximo” a b para todo n suficientemente grande. Si lím S, existe, entonces decimos que la sucesión (S,) converge. Si una sucesión no converge, entonces decimos que diverge.’ 1
2.3 Ejemplo. Demuéstrese que para
S, = -
n
, lírn S, = O.
SOLUCI~N Sea . E > O cualquiera.Deseamosdemostrarqueexiste número N tal que
ls,-ol Si hacemos N
=
I
= -, E
:1
- 01 =
1
- < E
n
un
siempreque n > N .
entonces n > N implica
I
-
n
1 < - = E . Así pues,hemos N
i probado que l í m - = O. n 1
que
En este casoalgunosautores dicen q u e {s.} “noconverge”,reservando “diverge” cuando {S”) tiene como límite X o - ZC. [N. del T.]
decir
45fi
[Cap. 8
Sucesiones
2.4 Ejemplo. Demuéstrese que lírn
r'l
=
O si O < Ir1 < l .
S O L U C I ~ Sea N . E > O cualquiera. Queremos probar que existe un número N tal que Ir"-Ol = lrl" < E siempreque n > N . In Ahora bien, Ir[" < E si n In Ir1 < In e, es decir, si n > -.
111 Ir1 < O ya que Ir1 < 1. Así pues, si N IrJ"< E. 2.5 Ejemplo. Demuéstrese que lírn
S O L U C I ~ NSea .
E
In Ir1
In E
= __,
E
In Ir1
Notese que
entonces n > N implica
(A,n L) = (O, O). 2"
> O. Queremos probar que exi:;te un número N tal que
Ahora bien
luego
1 Como lírn - = O, existe un número N , n 1
porejemplo,
N, = E
c
1 - < - siempre que n > N , . Por otra parte, lírn - = O implica que existe
n J . r
2"
por ejemplo,
N,
=
2
in2 que N > N , . Entonces, si N = máx { N , N , )
,
1 E .tal que - < -
2"
n 2" siempre que n > N . Con lo que hemos demostrado que lim
(L. n
J2
') 2"
siempre
= (O,
O).
21
Límite de una sucesión
455
Nótesequeenesteejemplo el límitedelasucesióndepuntos es un punto cuyos componentes son los límites de lassucesionescomponentes. Esto es cierto en todos los casos. 2.6 Teorema. Sea b = (b, , .. ., b,,,) y S, = (S,', .. ., S,"), donde snk ( k = 1. . , . , m ) es el k-ésimo componente de S , . Entonces lírn S, = b si y sólo J i snk = 6, para cada k = 1, .. . , m.
No se da la prueba deesteteorema por seresencialmentelamisma que la prueba del teorema 3.3, pág. OO. Una aplicación importante de este teorema es la determinacióndellímitedeunasucesióndenúmeros complejos. Los números complejos z,, = .x, + iy, pueden considerarse como puntos (x,, y,) de R'. Entonces lírn z,
=
(lím x , , lím y,) = lírn x, + i lím y ,
si lírn x, y lírn y, existen. Así por ejemplo, lim
(: 2 -
+-
=O+Oi=O.
Si formamosuna sucesiónprescindiendodealgunosdelostérminos de una sucesión dada, entonces esta nueva sucesión se llama subsucesión de la sucesión original.
2.7 Definición. si (S,} es unasucesión y {nk} es unasucesióncrecientede enteros positivos, entonces la sucesión {S,,} se llama subsucesión de la {S,}. Nótese que snk está definidamedianteunacomposición de funciones. Esto se hace más aparente si escribimos S,* en la forma s(n(k)). Por ejemplo, 1 1 si S, = - y nk = 2 k , entonces ,S, = s ( n ( k ) ) = s(2 k ) = - y, por tanto, n 2k
I es una subsucesiónde 12kl los términosparesde
{!l.
la sucesión
Es lasubsucesiónconsistente
1:
.
2.8 Teorema. Si {S,} converge,entoncescualquiersubsucesiónde converge al mismo punto. PRIJEBA. Si lím
sucesión
,-+m
{S,,}
de
S,
=
{S,},
en todos
la {S,}
b, deseamosdemostrarque,paracualquiersublím
k-+m
S,*
=
b. Es decir,queremosprobarquepara
cualquier E > O existe un número K tal que snrE Y ( b ; E ) para todo k > K . Tomemos E > O. Como lírn S, = b, existe u n número N tal que s , E Y ( b ; E)
456
[Cap. 8
Sucesiones
para todo M > N . Además. como {nh)es una aucesión creciente de números positivos existe u n número K tal que n k > N siempre que k > K . Así pues. si k > K , n, > N y. por tanto. s , * ~ . Y ( b ; c).
2.9 Ejemplo. Pruébese que considerarsecomouna
I L 1donde p es algun entero positivo. puede Ill + p J ' I
subsucesicin de [ I 1 y, portanto,
l í m __ = O.
In l
n+ P
n-x
S O L U C I ~ NS1. I
Por tanto, por el teorema 2.8, lírn __
subsucesión de
~ - r k+p
=
¡ím
n-7
1
- = O.
IZ
Problemas 1. Escríbanse los primeros cinco términos de cada una de las siguientes sucesiones { S , ) :
u) S, d)
b)
= n2
1
e)
S, = t~
S,
= c
S,=
c.)
1 I f -
= (
S,
-
I )"
f ) 5 ,= I+(-ly-
I1
I tl
2. Usando la definición 2.2, verifíquese lo siguiente:
u) lírn c c) lírn
1 n
=
b ) lírn
c
=
1
n-
=
O
O I
j') lím - = O 4n
3. úsese ¡a definición 2.2 paraprobarque
1
lím - = O, donde p es ,I-a
t1p
algún entero positivo. 4. ;Convergen las siguientes sucesiones de puntos límites de las que convergen.
'?
Proporciónense los
u) 5" = ( I , 1 t1
4 1
( -2)"
sucesiones 31
de
457
Convergencia
5. Proporciónense los límites de las siguientesfuncionescomplejas:
6. Pruébese que lím
7. Si lírn s p f k que lírn
k+ m
S,
=
=
S,
=
O si y sólo si l í r n Is,]
=
O.
b donde p es algún enteropositivo,demuéstrese
b.
n-m
8. Demuéstrese que
, donde p es u n cierto entero cualquiera
'
positivo,puedenambasconslderarsecomosubsucesionesde
1tJ
tanto, deben converglr a O.
J
y, por
9. Si las sucesiones {x,) y ( y , ) convergen y x, < y, paratodo n, pruébese que lírn x, < lím y,. ¿Cuál es la conclusión si x, < y, para toda n ? 10. Si { s n ) es una sucesión de puntos tales que ]ím
muéstrese que lírn n-u
S,
= b.
h - m-
=
b y ¡ím S Z k + ,
= b,
n-o,
3. CONVERGENCIA DE SUCESIONES Según el teorema 2.6 se ve que las cuestiones de convergencia de sucesiones de puntos deR" pueden reducirse a cuestiones sobre convergencia de sucesiones de números reales. En esta sección probaremosalgunos teoremasqueson útiles en la determinación de límites de sucesiones específicas de números reales. 3.1 Teorema. Si f es una función de R"' a R" yur es continua en el punto p y {S,,} es una sucesiónde puntos en %, tulesque l í r n S, = p, entonces lírn f(s,) = f(p).
PRUEBA.Tomemos c > O. Deseamosdemostrarque existe u n número N tal que f(s,)EY(f(p); E) siempre que n > N . Como f es continua en p, existe unavecindad .Y'(p; 6) de p tal que f(x)sY'(f(p); E) siempreque x ~ Y ( p6)n9'%s. ; Además, como lím S, = p y S , E ~ existe ~ , u n número N tal que s , ~ Y ( p 6; ) n 9, siempre que 17 '7 N . Portanto, si n > N , f(s,)EY((f'(p); E) y esto completa la prueba.
458
[Cap. 8
Suceslones
3.2 Corolario. Si lírn x,
=
x y lím y,
= y , entonces
I ) lim (xn+y,) = -u+>' 2 ) lím ( x , - y , ) = x - y 3) lírn (x,y,) = xy
4) lím
x
x
Y,
Y
2 = -,
si y , # O pura toda n y y # O.
PRUEBA.Solamenteprobaremos 1 ) . Las pruebas de las restantesafirmaciones son análogas.Seafla función definida por ,f(u, c ) = u z', s, = (x,, y,), y p = (x, y). Entonces lím S , = p. Como , / es un polinomio, es continuo en todos los puntos en R2. Por tanto, de acuerdo con el teorema 3. I ,
+
lírn (x, +y,)
=
lim .f'(s,)
=
,f(p)
= x+y.
3n2-5n+2
3.3 Ejemplo. Determínese lírn
n2+7n-4
'
SOLUCI~N No. podemos aplicar el corolario 3.2 a esta sucesión en la forma en queaparece ya que los límites del numerador y del denominador no existen.Sacandocomofactoren el numerador y enel denominador la máxima potencia con que n aparece en ellos, obtenemos 2
n 3n2-5n+2 -n 2n+27 n - 4
( + -7 (
Como
lím 3 - -
Y
lím 1
lím
+
-
n22)
5 5 2 2 3 " + 73 " + 7 n
I+"?
=
7 n
n
4
n
n
-
1+">
5
lírn 3 - lírn n
7 n
n
4
n
2 + lím =3
7
n2
4
- - = lím 1 + l í m - - l í m l = n n421 n n
1,
3n2-5n+2 n2+7n-4
3.4 Ejemplo. Pruébese que lírn n'
=
SOLUCI~N Sea . b = - a . Entonces ny
=(:>"
O, si a es un número racional negativo.
donde b es un número racional
31
de
Convergencia
459
sucesiones
positivo. La función f definida por f(x) = xb es continua en O. Además I lím - = O. Luego,según el teorema 3.1, n
CY
limn" = l b -
=ob=O.
Si una sucesión no puede escribirse como una combinación desucesiones convergentes conocidas, a veces podemos determinar su límite comparando lasucesiónconsucestones cuyo comportamiento seconoce.Estemétodo se basa en el siguiente teorema. 3.5 Teorema. Si paratodos los enteros positiuos n, x, lím x,,= b = lím z, entonces (y,} converge y lírn y, = 6.
< y , < z,
y si
PRUEBA.Sea un E > O cualquiera. Como lím x, = 6, existe un número N , tal que b " E < x, < b+e siempreque n > N , . Como lírn z, = b, existe un número N 2 tal que 6--E < z, < b+-E siempre que n > N , .
Sea N = max { N , , N 2 ) . Entonces b--E < x ,
y, por tanto, lírn y ,
< y, < z,
< b+E
= 6.
sen y1 3.6 Ejemplo. Pruébese que lírn __ n
SOLUCI~N. Para todo n
Además, lím
siempre que n > N ,
(- t)
1
n
=
sen n
n
O.
1
<-
n
(3
= O = lim -
sen n lím -= O. n
. Portanto,por
ei teorema 3.5,
Otro útil resultado respecto a la convergencia de una sucesión, conocido como prueba de la razón, se deduce también fácilmente del teorema 3.5.
I 1
3.7 Teorema. Si lírn s,+1 < 1, entonces lírn S"
S, = O.
[Cap. 8
Sucesiones
460
Entonces existe un número N tal que
siempreque n > N
Sea p cualquierenteropositivomayorque N. Entonces, Isp+ 1 , 1 < rIsP(, ¡xp+ 1 < r I s p + I 1 < r 2Ispl y, en general, para cualquier entero posltivo k es decir.
< rklsp/
- r h Is,,
Como rt(O, I ) ,
lím r h = O. Portanto,deacuerdocon
h -* v.
el teorema 3.5,
lím s P f k = O, y por tanto, lím S, = O.
I - x
11-
I
3.8 Ejemplo. Demuéstrese q u e lím SOLUCIóN.
Para
S,,
2"
-
fl!
=
O.
2"
= - , tenemos 17
!
2"t I flfl
Luego, segun el teorema 3.7. lím
2" n!
-
=
O.
L a siguienteobservaciónnospermitiráobtener el límite dealgunas sucesiones de ni~meros reales inmediatamente partiendo de105 resultados que ya conocemos. Si f ' e s unafunción real devariable real y lím f(x)= h,
entonces lím I,-
7
{'(I?) =
h. Puestoque,
silím I
-
I
,{'(x)
x-
=
Y'
h y si Y ( b ; E) esuna
vecindad cualquiera de h, entonces existe u n número N tal que, para todos los nilmeros reales x mayores que N. , / ( x ) E , ~ P ( ~c). ; En consecuencia, para cualquier entero positivo 17 mayor que N . , f ' ( x ) ~ Y ( hE).' ; I Es claro q u e se esta auponlendo que / ( n ) esta delinlda. Es d e a r que 4? a rodos los enteros positivo\. [ N .del T . ]
contlene
461
Convergencia de sucesiones
31
Puede que el lector recuerde de sus anteriores estudios que
Si a
> o, y ]ím
x-+m
Xn
- = O si
b"
b z 1. De donde tenemos:
(
3.9
lim 1 + -
= e
3.10
In n lírn - = O cuando na
3.11
n lírn - = O b"
3.12 Ejemplo. Pruébeseque lirn
S O L U C I ~ Podemos N. escriblr : Iím
inn
7;
a
>O
cuando b > 1. = 1,
7%= n""
e(""' I n n . Como lirn __ In n = O, n = eo = 1 (teorema 3.1). Por tanto, lírn
i
Problemas 1. Determínese lírn
S,
si S, es
2n+5 n-3
b)
a) -
d)
f , i
S> -
h)
3+5"
2. Determínese lírn
S,,
n-7 n2+2n
~
3n4+n3-6n 5n4+12n2+7
$5 + 4
7 ntanh n
si S, es
nZ-7
a)
e'/"
b) cos ___
C)
In ( n + 1) - In n
d ) tan-
2n2+3n n n+2
.
462
Sucesiones
[Cap. 8
-
3. Úsese el teorema 3. I para probar que lím $ a = I , si a > O. 4. Determínese el limite de ( s n ) si
S,
es
5"
a> -
n!
c)
n2 + 3
-
2"+ n e) , , r n + l- d'n. 5. Si a es un número real cualquiera demuéstrese que 6. Si a es un número real cualquiera y si x€(
lím
a(u-1)".(a-n) i
9.
a)
=a
;/p.
Demuéstreseque
b) Determínese lírn 10. Determínese lírn a)
;h
S,
si S, es I
3 V'
c)
e)
n3
7 4
5+1nn ~
n2+n
2 n - f n4
f) 3' - n7
U"
-
n!
=
O.
1 , I ) , demuéstrese que
x n = o.
n!
7. Si O < b < u , demuéstrese que lírn qan+bn 8. Determínese lím
-
iím
463
4. DIVERGENCIA HACIA
GO
O HACIA
"03
La sucesión {S,,> donde S, = n no converge; los términos de esta sucesión no tienden a ningún número, sino que en lugar de ello se hacen indefinidamente grandes. En tal caso decimos que lím S, = OO.
4.1 Definición. lírn S, = GO si para cada número K > O existe un ntimero N tal que S, > K siempre que n > N.' Reformulando la definición en términos de vecindades tenemos: lírn S',, = GO si, para cualquier vecindad ( K , co)de c o , existe una vecindad { N , m) de co tal que SE, ( K , GO) siempre que ne ( N , GO). De un modo análogo definimos lírn S, = - co.
4.2 Definición. lírn S, = - GO si para cada número K < O existe un número N tal que S, < K siempre que n > N.' Si lím
S,
=
03,entoncesdecimosque
4.3 Ejemplo. Demuéstresequelím r"
{sn> diverge a
= GO
m.
si r > 1
SOLUCI~N. Tómese K > O. Deseamos demostrar que existe un número N tal que rn > K siempre que n > N . Ahora bien, r" > K si n In r > In N , In K es decir, si n > -. (Nótese que In r > O puesto que r > 1.) Así pues, In r In K si N = -, entonces rn > K siempre que n > N In r Este resultado pudo también haberse obtenido usando siguienteteorema.
4.4 Teorema. Si para todo n,
S,
> O y lírn
S,
= O,
1 entonces lim - = m .3 S,
PRUEBA. Sea K > O cualquiera. Deseamos probar que existe un número N 1 tal que - > K siempre que n > N . Como lím S, = O, existe un número N tal Sn
Puede prescindirse de la condición K ; , O. [N. del T.] Puede prescindirse de la condición K < O. [N. del T.] Es frecuentedenotarpor f c o (con el signoexpreso) el límitequeaquíaparece indicado por m . En tal caso sedice que lim S, = m (sin ningún signo) cuando (bien sea {s.} una sucesión realo una sucesión compleja) lírn 1s.J = + m . Nótese que lírn S, = + m o lírn S, = - m implica Km s. = m. Con estos convenios son válidas las implicaciones: I i) lírn S, = O, implica lírn - = co ; S"
1
ii) lim s. = m , implica lim S"
= O.
[N. del T.]
464
[Cap. 8
Suceslones
I
4.5 Ejemplo. Demuéstreseque
lim no
positivo.
SOLUCI~N Sea . h
Entonces n"
= -u.
=
= a
1
-
nh
si u es u n número racional
donde O es u n número racional
negativo. Como Iím n" = O (ejemplo 3.4) y n h > O, Iím nu = x según el teorema 4.4 Combinando los resultados de los ejemplos 3.4 y 4.5 y usan do el hecho de que lírn 1 = 1 . tenemos,paracualquiernúmeroracional a,
lím nu
=
J I
O
si
a
I
hi
u =O
si
u
>o.
Podríamos dar bastantes teoremas queenunciasen propiedades de limites infinitos de sucesiones análogas a las propiedades de límites finitos dadas en el corolario 3.2, pág. 458, peroaquísolamenteenunciaremosdosmás y en l a lista deproblemas al final de esta sección daremosalgunosotros. 4.6 Teorema. Si lím x,
=
'c'
1.
línl
J" =
> O. entonces lím (x,,y,)
= cc'.
PRUEBA.Tomemos K > O. Como l í r n y,, = J > O, existe un número N , tal que y,, > j ~siempre , que n > N , . Además. como lírn x,, = m , existe u n número N , tal que
S,
2K
>-
Entonces
y, por tanto, lím (x,yn)
4.7 Teorema. Si l í r n x,
?'
aiempre que
IJ
> ,Y2. Sea A'
=
máx !I N 1 ,
N2).
= x,. =
cc J. lím
y , = J'
< O. entonces l í r n (x,y,,) = - a.
PRUEBA.La prueba es análoga a la del teorema 4.6 y se dejapara el estudiante. Estamos ahora en posición de determinar el límite de cualquier sucesión racional.
41
cc o hacia
hacia Divergencia
4.8 Ejemplo. Si
S,
pruébese que
=
465
-
a,+a,n+ ... +a,nP , donde bo+b,n+ ... + b q n 4 O
lírn S , =
. a,/bq 00 --CO
si
q>p
si
q =p
a, #
O y
b, # O ,
si q < p y u,b,> O q < p y a,b,
si
SoLucróN
Por el corolario 3.2
lim
a,/nP+a,/nP"+
b,/n4fb,/n4"+
... + a ,
... +b,
-
5 b,
Entonces, si q > p, lírn = O y lírn s , ~= O (corolario 3.2). Si p = q, lím nP-¶= 1 y lírn S, = a,/b, (corolario 3.2). Si q < p , lírn npp4= M y lírn S, = 00 si aJb, O y lírn S, = - M si a,/b, < O (teoremas 4.6 y 4.7). Cuando en el cálculo se introducen las funciones trascendentes In y exp, es habitualprobarque lírn In x = M y lim ex = 00. Admitiendoesto, tenemos,
X - 5
X'30
4.9
lírn In n =
03
4.10
lírn e'
m.
=
En algunos problemas es útil tener un teorema análogo al teorema 3.1, pág. 457, en donde la continuidad de f' en p estáreemplazadaporuna condición sobre el límite def en p. En el enunciado abajo dado,p y q pueden ser o números reales o & a. 4.11 Teorema. Supongamos q u e j e s una jurzción de R en R y que p es un punto de acumulación de @ . Si lim j ' = q y {S,} es una sucesión de puntos en gf tal que, para toda n, S, # pPpero lírn S, = p , entonces lírn f(s,) = q.
La prueba de este teorema es análoga ala del teorema 3.1 y la omitimos. 4.12 Ejemplo. Demuéstrese que si a es u n número rest positivo, entonces lím nu = OO.
466
Sucesiones
[Cap. 8
Problemas 1- Determínese lím
S,
si
S,
es
a ) 2"
b) 2"'
3n-2 c) ___ 5n+12
e)
ns-12n4
f')
-2n2+3n-1
12n+3 n2-2n+7
b" 2. Pruébese que lím - = m cuando b > 1
nu
3. Determínese lím
a)
S, =
S,
si
3"-n2 n5+2
-
b)
S,
=
In n+5 ~
n2+n
4. Demuéstrese que si iím x, = m y lim y , entonces lím (x,+y,) = m. 5. Demuéstrese que si lím x,
= m.
=
co y lím y,
(unnumero
=y
real),
= m, entonces lím (x,+y,)
6 . Si lím X , = m y lím y, = - m , entonces,pruébesemediante ejemplos, que todo lo que sigue puede ocurrir: a) lím (xn+yn)= co 6) lírn ( x , + y , ) = 6 (un número real) c) Km (x,+y,) = - m d l lím ( x , + y , ) # 6, i m . 7. Si {snk} es una subsucesión de
y lím
{S,}
S,
= co,
pruébeseque
n-cc
lím s,,~ = m.
k-m
8. Pruébeseque a)
lím In 2 k = co
k+m
9. Si lím
S,
= m,
pruébese que lím
6 ) lím In (k + 1) k+
i
-
S"
c c ,
= O.
= m.
51
Sucesiones mon6tonas
467
Un
10. Usando el hecho de quelírn - = O para todo número real a , pruébese n! directamente, partiendo de la definición, que lírn ;’n ! = co.
11. Si u, 2 6, y lírn b, =
GO,
pruébese que lírn a, = co.
12. Pruébese el teorema 4.1 1.
5. SUCESIONESMONóTONAS La definiciónde una sucesión monótonaestácomprendida en la definición de unafunciónmonótona. Sin embargo, enunciamos aquí las definiciones pertinentes para este caso particular que son las sucesiones. 5.1 Definición. Unasucesión (s.) S,, 6 S,, I (S, 3 S,+ paratodo n.
es no decreciente(nocreciente)
si
Si la desigualdad se verifica siempre en la definición anterior, es decir, si S, S,,+ para todo n, entonces decimos que (S,,) es creciente (decreciente). Claramente, una sucesión creciente es no decreciente y una decreciente es no creciente.’ 5.2 Definición. Unasucesión es monótona si es no decreciente o no c r e c i h e .
Es fácilimaginar el comportamientodeuna sucesión monótona. Por ejemplo, supongamos que {S,,} es una sucesión creciente que está acotada superiormente por el número 6. Entonces, los términos de lasucesión se
FIGURA 2
mueven a la derecha sobre la recta de los números (figura 2), pero nunca llegan a estar a la derecha de 6. En realidad, los términos nunca llegan a estar a la derecha del supremo de {S,,}, pero sí llegan a estar tan cerca como se desee de estenúmero.Parece,porello,queestasucesiónhabríade convergir a su supremo. Esto es lo que se prueba en el siguiente teorema.
5.3 Teorema. Cualquiersucesiónmonótonaacotada {S,,} conuerge. Si es no decreciente (no creciente) entonces lírn S, = sup {S?,} (ínf {S,,}).
{S,,}
Algunos autores prefieren llamar “crecientes” a las sucesiones que aquí se llaman “no decrecientes”, y “decrecientes” a las que aquí se llaman “no crecientes”. Cuando tal es el caso, a las que aquí se llaman “crecientes” se les llama “estrictamente Crecientes”, y a las “decrecientes”, “estrictamente decrecientes”. [N. del T.]
468
[Cap. 8
Sucesiones
PRUEBA.Supongamosque {.S,,} es no decreciente y S, < h paratodo Y!. Como los términos de la sucesiónconstituyen u n conjunto no nulo de nilmeros reales queestá huperiormente acotado, este conjunto tiene u n supremo. llamémosle c. Probamos ahora que lim S,, = c. Tornemos E > O. El nilmero c-1: nopuede ser unacotasuperlor de {x,,). Por tanto,para algúnentero )V. A\. > (~-z;. Corno [S,,!es nodecreciente, .S,I
( ~ -t:
'=.
Por otra parte, para todo
\,,
17.
para toda n >
< c.
N .
Por tanto.
. s ~ E ( ( , - ~ ; .c , + E )
para t o d a n =. ,li
y. por tanto, lit11 S,, = C'. Si { s , ~ )es no creciente y acotada, entonces acotada y, por tanto. converge. De esta manera.
líms,,
=
lím
[-(-S,,)]
=
-[ím ( - A " )
=
-sup
es no decreciente y {-.yn)
=
ínf
{S,,}.
Y esto completa la prueba. Si (S,,) es no decreciente, pero no acotada. es decir, no acotada superior-mente, enlonces (sni diverge a m. Si { S ,es } no creciente, pero no acotada, entonces (.sn) diverge a - 'z (La . fhcil prueba de estas afirmaciones se deja como ejercicio para el estudiante.) Tenemos, pues. el siguiente corolario del teorema 5.3. 5.4 Corolario. dirergc a
Citw
slrc,e.sici~~no ~lec,reciet~re (17o sea acotada o m .
cm(- x )s e g h que
creciente)
o c7onwrge
o
Notu. Como el límite de una s~~cesión dependesolamente del comportamiento de los términosde la sucesión a partir de algiln término en adelante. el anteriorteorema se veritica también para sucesiones que son monótonas a partir de u n término cualquiera.
5.5 Ejemplo. Ilemuéstreseque lím I n SOLECIÓY, Como u, I n x
=
YI =
1 - > 0 para x
S
X
> O. laluncicin
logaritmicaes
Llna función creciente y. portanto, { I n n i es una sucesión creciente.Por tanto, según el corolario 5.4, lim In n = donde p es u n nilmero real o m . La sucesión {In 211) es una subsucesión de la In .x y , por tanto. lím In 2rr = p . Como In 2 n = I n 2 + In P I ,
p.
si p fuera u n número real tendríamo\ p = In 2 + p
lo que es imposible. Por tanto. p
= X.
51
469
Sucesiones monótonas
5.6 Ejemplo. Pruébesequelasucesión
converge a 2.
S O L U C ~ ~Damos N . primero una
S,, =
descripción más explícitadelasucesión:
,
J ~ s ,,.
n
> I.
Probaremos ahora que (sn} es una sucesión no decreciente acotada superiormente por 2. La prueba es por inducción matemática. Sea .Y el conjunto de los enteros positivos n tales que S, < 2 y S, < S,,+, . ~1) IEY ya que S, = d'2 < 2 y s 1 = \.!2 < .12,/2 = S ~ . 2) Supongamosque m E Y , es decir,que S, d 2 y S, d S,+ Entonces
-
Por tanto, m E Y implica m+ I €9. Y es, pues, el conjunto de todos los enteros positivos de acuerdo con el principio de inducción, y hemos mostrado que (S,} es una sucesión no decreciente acotada. Luego { S , , } converge. Sea lírn S, = c. Como S,,+ = 7 2sn y ¡ím S+, I = e, tenemos c = 4 27 c . Por tanto, c2 = 2 c y c(c-2) = O. c es, pues, o O o 2. Pero como { S " } es una sucesión de términos positivos, O no puede ser el supremo de { S " } y, por tanto, L' = 2.
,
Problemas 1. Pruébeseque lírn en 2. Pruébeseque
Inx
__ Xa
= co.
(donde u > O) es decreciente sobrealgun
inter-
In n valo (xo, m ) y pruébese luego que lírn __ = O. na 3. Determínese el límite de la siguiente sucesión:
,\/Z+\m, .. .
4. Si {S"} es unasucesiónnodecrecienteque que lírn S, = m.
,IT, ,Í2+ ,;T,
no es acotada, pruébese
470
[Cap.
8
Sucesiones
y
S,,+
= !(S,,),
determínese lím
S,
6. PUNTOS LIMITES DEUNA
cuando
SUCESIóN
Lasucesión {( - I)”} ni converge ni diverge a i: a. Hayuna infinidad de términos de esta sucesión “próximos” a 1 y también una infinidad “próximos” a - 1. Decimos que 1 y - 1 son puntos límites de la sucesión.’ 6.1 Definición. Un punto p (número real o m,/ es un punto limite ( o punto de acumulación) de una sucesión {S,} de números reales si toda cecindad de p contiene infinitos términos de la sucesión.
Es decir, si el punto límite p es finito (un número real), entonces para cualquier E > O y para cualquier entero positivo m existe un entero n > m talque S , E ~ ( ~ ; E ) = ( p - ~ , p + ~ ) Si . el puntolímite p es m ( - m ) entonces,paracualquiernúmero a y cualquiere.lteropositivo m , existe un entero n > m tal que s,,E(a, m ) (( - m, a)). 6.2 Ejemplo. Pruébese que 1 y - 1 sonlosímicos sucesión (( - I y}.
puntos límitesde
la
S O L U C I ~ NLos . puntos I y - 1 son puntos límites de la sucesión: cualquier vecindad de I contiene infinitos términos de la sucesión “todos los términos pares. Todos los términos impares de la sucesión se encuentran en cualquier vecindad de - 1. Ningún otro punto es un punto límite ya que podemos encontrar una vecindad del punto que no contiene ni 1 ni - 1 y, por tanto, no contienen ningún término de la sucesión. Usaremos el término“punto límite”conpreferencia al de“puntode acumulación”,aunque esteúltimo es muy sugestivo:unnúmeroinfinito de términos de la sucesión se acumulan alrededor del punto. Sin embargo, debeadvertirseque un puntodeacumulacióndeuna sucesiónno es necesariamente un punto de acumulación del rango de la sucesión. El rango de lasucesión {(- 1)”) es el conjunto { - 1 , I } quenotienepuntosde Enotrasterminologíastambikn en uso, a los que aquí sellamanpuntoslímites se les llama “límites de oscilación”. [N. delT.1
61
Puntos límites sucesión de una
47 1
acumulación. Por otra parte, si un punto es un punto de acumulación del rango de una sucesión, entonces es un punto límite o de acumulación de la sucesión. Debe tenersecuidado en noconfundir los términos “punto límitede una sucesión” y “límitede una sucesión”. Un punto es el límitedeuna sucesión si cualquier vecindad del punto contiene a todos los términos de la sucesión, salvo un número finito. Por otra parte, un punto es un punto límite de una sucesión si cualquier vecindad del punto contiene infinitos términos de la sucesión. Claramente, el límite de una sucesión es un punto límite deuna sucesión. Sin embargo, el recíproco no es cierto necesariamente, ya que una vecindad puede contener infinitos términos de una sucesión y, al mismotiempo,puedehaberinfinitostérminosde la sucesión queno estén en la vecindad. Por ejemplo, la vecindad (O, 2) de 1 contiene todos los términos pares, pero ninguno de los impares de la sucesión {(- 1>”}. El número de puntos límites de una sucesión caracteriza su comportamiento respecto a la convergencia. Toda sucesión tiene al menos un punto límite(quepuede ser + cc o -m). Si una sucesióntienesolamente un punto límite y es finito(esdecir, un número real),entonceslasucesión converge a ese punto. Si una sucesión tiene co o - co como su solo punto límite,entonceslasucesióndivergea co o - m , respectivamente. Si una sucesióntienemásdeun punto límite,entonces ni converge ni diverge a m ; decimos que la sucesión oscila ( o quees oscilante). En seguida probaremos estas afirmaciones.
6.3 Teorema. Cualquiersucesión punto límite.
{S,,}
denúmerosrealestienealmenos
un
PRUEBA.Sea Y el conjuntodenúmeros reales x talesque x < S, para infinitas n. Si el conjunto Y es vacío,entonces - m es un punto límite de ( S , } ya que todos, salvo un número finito de términos de isn), se encuentran en cualquier vecindad ( - 00, x) de - co. Si Y no está superiormente acotado,entonces infinitostérminosde (S,,} se encuentran en cualquier vecindad ( x , m ) de co y, por tanto, cr3 es un punto límite de {S,,}. Si Y es no vacío y superiormente acotado, entonces Y tiene un supremo, llamémosle c. Probemosque c es un punto límite de {S,,). En cualquier vecindad ( e - E , e + & ) de c hay un punto XEY.Como XES”, x < S,, para infinitos n. Por otra parte, c + E # Y y, por tanto, S, >, c + E para solamente un número finitodevalores de n. Así pues,infinitostérminosde {S,,) se encuentran en (c - E , c + E ) . Esto prueba que c es un punto límite de (S,,} y completa la prueba. Como una sucesión acotadanopuede tener f co como punto límite, podemos enunciar: unasucesiónacotada tiene,almenos, un puntolimite finito.
472
[Cap 8
Sucesiones
6.4 Teorema. lím S, = p (donde p puede ser tanto sólo si (S,,} tiene p como Único punto límite.
ut7 r e a l c o ~ n o
J'
im)
si
PRUEBA.Supongamos que l í m A,, = p . Entoncesp es un punto límite de { S " } . Sea y u n punto cualquiera distinto de p . Tómese una vecindad cualquiera ~ h ' de , , p y unavecindadcualquiera .4', de q talesque N,,n . I r q = @. Como lim S, = p . todos,salvo un número finitodetérminosde { S , , ) , se encuentran en . 1 ' p . Por tinto, la vecindad A T q de y nopuedecontener infinitos términos de {A,,). Esto prueba, que q no puede, ser u n punto límite de {sn) y, por tanto, si lím S, = p, {S,,} puedetenersolamente a p como punto límite. Supongamos que {S,,) tiene a p como su Único punto límite. Deseamos demostrarque lim S, = p. Tomemosuna vecindadcualquiera .h.,, de p. Supongamos que hay u n número infinito de términos de {S,,) que no están en . , V V . Entonces,estostérminosconstituyen una subsucesiónde i s n } y estasubsucesióntiene un punto límitesegún el teorema 6.3. Este punto limite es un punto límite de la sucesión {S,,} distinto de p . Esto contradice el hecho deque p eselÚnico punto límitede {sn}. Por tanto, todos los términosde { S , , } , salvo cuando más un número finito de ellos,deben encontrarse en cualquiervecindadde p y, por tanto, lím S,, = p . Lo que completa la prueba. 6.5 Ejemplo. Pruébeseque la sucesión {F}, donde
Y
< - I . oscila.
SOLUCI~N Probaremos . que ( y n } tiene los dospuntos límites co y - co. Tómese K > O. Como ir1 > 1 , lím lrln = co (ejemplo 4.3, pág. 463). Por tanto, existe un número N tal que / r / ' c ( K , siempre quen > N . Así pues, si n es par y t7 > N , r " E ( K , 00)y,si n es impar y n > N , r n E ( - m , - K ) . Estopruebaquecualquier vecindadde m y cualquiervecindadde - co contienen infinitos términos de la sucesión y, por tanto, que oo y - co son puntos límitesde {Y"). Así pues, { r " } , cuando r < - 1 , noconverge ni diverge a m ; oscila. Combinando el resultado del ejemplo 6.5 con los resultados previamente derivados,podemosenunciar; {Y"} converge a O si Ir1 < 1, converge a 1 si r = 1, diverge a m si r > I , y oscila si r < - 1. Ahora estableceremos una relación entre puntos límites y subsucesiones de una sucesión.
.o>
6.6 Teorema. Un punto p ( u n número real o OO) es un punto limite de la sucesión {S,,) si y sólo si hay una subsucesiónde la {sn} que converge a p si p es un número real o diuerge a p si p = & OO. PRUEBA.Sea {S,,} unasubsucesiónde la sucesión i d n } y sea lím S,, = p . Sea N una vecindad cualquiera de p . Todos los términos de { S , , * } , salvo un
61
473
Puntos limites de una sucesión
número finito, se encuentran en M . Luego, de aquí que en M se encuentran infinitos términos de {S,,). Luego p es un punto límite de {S,,). Supongamos que el número real p es un punto límite de {S,,}. Entonces toda vecindad de p contiene infinitos términos de {S,,). Podemos escoger una subsucesión {sflk}queconverjaa p como sigue. Sea snl untérmino cualquiera de {S,} que pertenezca a Y ( p ; 1). Sea S,,* un término cualquiera posteriora snl en (S,} quepertenezcaa Y ( p ; +). Sea sn3 untérmino cualquiera posterior akn2en {S,,} que pertenezca a Y ( p ; S). Si continuamos escogiendo términos de esta forma, obtenemos una subsucesión {snk)que converge a p . Si a es un punto límitede {S,,}, entoncesescogemos una subsucesión {S,,,} que divergea a3 como sigue. Tomamos como snlcualquier término de (S,,} que se encuentre en (1, a). S,,, es cualquier término posterior a S,,, en {S,} que se encuentreen (2, a). Si continuamosnuestra elecciónde tkrminos de este modo obtenemos una subsucesión (S,,*} que diverge a OO. Si es - co el que es un punto límite de {S,,}, podemos escoger una subsucesión {snk> que diverja a - co de modo análogo.Esto completa la prueba. Sea Y el conjunto de todos los puntos límitesde una sucesión {S,). Probaremosque Y tienemáximo y mínimo.(Cuandointrodujimos los puntos ideales 00 y - m establecimos que - m < x < 00 paratodo número real x.) Seap el supremo de9; si Y no está superiormente acotado, entonces p = a. Probaremos ahora que p es un punto límite de {S,,} y, por tanto, que p es el máximo de Y . Sea N una vecindad cualquiera de p. Como p es el supremo de 9, hay un punto límite b de {S,} en M . Si A es una vecindad de b tal que A c M , entonces hay infinitos términos de { S , } en A, luego en N . Así pues, toda vecindad de p contiene infinitos términos de {S,,} y p esun punto límitede (S,,}. Prueba esto que p es el miximo punto límite de {S,,}. Podríamos probar en forma análoga que {S,,} tiene un punto límite mínimo.
6.7 Definición. El límite superior de una sucesión es el máximo punto límite de (S,,}. 6.8 Definición. El límite inferior de una sucesión
es el punto limite mínimo de { S , , } .
lim S,,
{S,,},
denotado por
{S,,},
denotado por lím - S,,,
Reformularemos ahora el teorema 6.4 en términos de límites superior e inferior. 6.9 Teorema. lím S,, = p lírn S, = p = lírn S,. 6.10 Ejemplo.
(donde p puede ser
i Converge la sucesión
k m ) si y
sólo
Si
474
S O L U C I ~Nótese, N. en primer término, Si n es de la forma8 k
[Cap. 8
Sucesiones
que - 1
< sen nn - < 1 para todo 4
n.
+ 2, donde k es un entero, entoncessen nn - = 1. Vemos. 4 -
nn lírn sen - = I . 4 nn nn Si n es de la forma8 k + 6, entonces sen - = - 1. Por tanto,lim sen- = - 1 . 4 4 Como los límites superior einferior dela sucesión son diferentes, la sucesión oscila.
pues, que 1 es un punto límite de la sucesión, en realidad,
6.11Ejemplo. Si lím x, que lírn x,y, = xy.
= x
-
> O y lím y ,
=
y (donde x , y ~ R )pruébese ,
S O L U C I ~ NComo . lírn y , = y , y es un punto límite de {y,} y, por tanto, existe una subsucesión { y f l k }tal que lírn y,,* = y . Además, lím . x n k = x ya que lírn x, = x. Por tanto, lím {xflk.ynk} = xy. Prueba esto que xy es un punto límite de (.X,JJ,,}, Supongamosque {x,v,> tiene unpunto limite mayor que xy, llamémosle p. Entonces existe una subsucesión { x f l J y f l Jtal } que lím x,,y,, = p . Si p es finito, entonces
Si p = a, entonces
Encualquiercaso {y;> tendría un punto límite mayor que y. Por tanto. xy es el máximo punto límite de (X,J,,~. Podemoscaracterizar
el límitesuperior
deuna
sucesión como sigue.
6.12 Teorema. lím S,, = p si J. sólo si para cualquiervecindad ~ N de p p. se tiene: elrlúmero de tkrminos de {S"} en A T p es infinito y elnúmero de tkrminos de (S,, ) a la derecha de < V D es finito (posiblemente cero).
PRUEBA. Supongamosque hayinfinitostérminos de { S , , ) en cualquier vecindad . J r p de p p. también cualquier vecindad de p , . M p , tan solo un número finito de términos a su derecha.Tomemos un punto cualquiera y > p . Consideremos vecindades~ Ndepp y de q tales que .Npn N , = B. Como .M, está a la derecha denopuedecontener infinitostérminos
Y,
61
de
475
una sucesi6n
límites Puntos
de {S,,} y, por tanto, q no puede ser un punto límite de {S,}. Luego p es el máximo punto límite de {S,,). Supongamosque lím S, = p. Entoncescualquiervecindad Npde p contiene infinitos términos de {S,}. Si hubiera infinitos términos de {S,,} a la derecha de AFP,entonces estos términos constituirían una subsucesión que tendría un punto límitesegún el teorema 6.3. Este punto límiteseriaun punto límite de {S,} mayor que p. Así pues, sólo puede haber un número finito de términos de a la derecha de M P .Y esto completa la prueba. Podemoscaracterizar el límiteinferiorde una sucesión deunmodo análogo -simplemente cambiando la palabra “derecha” en el teorema 6.12 por la palabra “izquierda”.
IS,)
Problemas 1. Determínense todoslos puntos límites de lassiguientes sucesiones {S,}.
c)
S,
(-1)”n
=
b)
S,
=
nn sen 3
d)
S,
=
n+(-l>”n.
2. Si p es un puntodeacumulación del rangodeunasucesión pruébese q u e p es un punto límite de { S , } . 3. Si p es un punto límite de una subsucesión que p es un punto límite de {S,}.
{S,,*}
de
{S,},
{S,),
pruébese
-
4. Pruébese que lím S, = -1im (-S,). 5. Determíneselím - S, y a)
n.n
n sen 3
c) (1
e)
4
+ -
:)
1:)
sen donde
S,
si S, es 1 n7c b) - sen n 3 n7c n + n 2 sen3 d) n 2+ 4
3 es lafunción“máximoentero”.
7. Proporciónese un ejemplo en el que se verifiqueladesigualdaddel problema 6 a.
476
[Cap. 8
Sucesiones
11. Si
DSU
S,, = __ 7
+ ( - 1)" h - u donde u ~
2
12. Proporcióneseuna sucesión superior:
< O. determínese lim
{s,~}con
s , ~y
-
¡ S, I . ;
los siguientes límites inferior y
-
u) l í m S, = 2 y lim s , ~= 8 h) Iím - s,~= - 5 y lim S,, = 21.
7 . ALGUNOS TEOREMAS SOBRE FUNCIONES CONTINUAS DE UN VECTOR Si unafunción real de variable reales continuasobreunintervalo cerrado.entonces la función es uniformementecontinua y acotadasobre el intervalocerrado.Resultados similares se verifican para funciones continuas de K m en R" si se reemplaza el intervalo cerrado por un conjunto cerrado y acotado en R"'. Paraobtenerestosresultadosusaremosaquí sucesiones de puntos de R"'. Dadauna sucesión depuntos en R" definimos un punto límite de la sucesión demodoanilogo al empleadopara definir u n punto límite parauna sucesicin denilmerosreales: u n punto c es u n punto límite de una sucesión isn). si toda vecindad de c contieneinfinitostérminos de la sucesión.Parasucesiones depuntostenemosresultadosanálogosa los enunciados en los teoremas 6.6 y 6.3 para sucesiones denúmeros reales. 7.1 Teorema. Un punto c es W I punto limite de la sucesión si hay una suhsl~cesiónde { S " ) yue conrerye a c . L a pruebade
esteteorema
y por ello no la daremos.
es similara
{S,,)
si y sólo
la del teorema 6.6, phg. 472.
PRUEBA.Probaremos este teorema para el caso en que {S,,} es una sucesión de puntos en R2. El caso general podría probarse en forma análoga usando
71
Algunos teoremas
477
sobre funciones continuas vector unde
inducción. Sea S, = ( x , , y n ) . La sucesión {x,} es unasucesión acotada de númerosreales y, portanto, tiene u n punto límite c. Hay entonces, deacuerdocon el teorema 6.6; una subsucesión {x,,,) de {x,,} talque lím x,,,, = c. Lasucesión {y,,,] es unasucesión acotada de números reales y tiene, por tanto, un punto límite d. Hay entonces una subsucesión ( y n r , ) de {y,,,} tal que lím y,, = d. Por tanto
lirn
S,,
=
lím ( x n k ,.ynki) ,
= (c, d
) = c.
Luego, según el teorema 7.1, c es u n punto límite de {S,,}. Y esto completa la prueba. Probaremos ahora que si el rango de una sucesión (S,} se encuentra en u n conjunto acotado y cerrado B , entonces {S,,) tiene un punto límite en 8 . Nuestra prueba consistirá en demostrar que cualquier punto límite de la sucesión (S,} es o un punto del rango de {S,,} o un punto de acumulación del rango de (S,} y usar luego el hecho de que un conjunto cerrado contiene a todos sus puntos de acumulación. 7.3 Lema. Unpunto
conjunto
{S,,}
limite c de una sucesiún {S,) es o un elementodel o un punto de acuvrzulaciún de este conjunto.
PRUEBA.Supongamosque c#s,. Tomemos unavecindad ,4p(c; E ) de c. Como c es un punto límite de la sucesión ( s n } ,Y ( c ; c ) contiene infinitos términos de la sucesión. Luego Y ( c ; c) contiene u n punto del conjunto {S,] y ha de ser distinto de c. Lo que prueba que si c no es u n elementodel conjunto (S,,}, entonces c es un puntode acumulaciónde ese conjunto. 7.4 Teorema. S i conjunto cerrado
J'
es una sucesidnde puntos que se encuentran en un acotado 8 , entonces {S,,) tiene un punto limite en 6.
{S,}
PRUEBA.Por el teorema 7.2 sabemosque (S,,} tiene un punto límite c. El punto c es o u n elemento o u n punto de acumulación del conjunto {S,} y, portanto, del conjunto Q (lema 7.3). Luego c ~ d la , cerradurade Q , y, como R es cerrado. ~ € 8 " . Podemos ahora probar que una funciónde R" a R" que es continua sobre un conjunto cerrado y acotado 8 es uniformemente continua sobre 8 . Primero definimos la continuidad uniforme para una función de u n vector. 7.5 Definición. La,fitnciún f de R" en R" es uniformemente continua sobre el conjunto B s i C; estú contenido en el dominio de f y si para cualquier E > O existe una S > O mayor que O tal que si x y y pertenecen a d y ( x- y ( < S , entonces
IfW-f(Y)I <
E.
478
Sucesiones
7.6 Teorema. Si f es continuasobre un conjuntocerrado entonces f es uniformemente continua sobre 8.
[Cap. 8
y acotado 8 ,
PRUEBA. Supongamos quef no es uniformemente continua sobre d. Existe entonces un número E > O tal que para todos los enteros positivos n existen puntos x, y y, en 8 talesque /x,-y,I < l / n y 1 f(x,)-f(y,,)/ > E. La sucesión {x,} tiene un punto límite c en G y, por tanto, una subsucesión {xflk) tal que lím x,, = c . 1
Como Ix,, -ynkl < l / n , y lírn
-
k-a
= O,
Ilk
lím y,,
=
c.
Como f es continua sobre 6 , usando el teorema 3.1, pág. 457, tenemos lírn f(x,,) = f(c)
Y
lírn f(y,,) = f(c).
Pero,paratodo k, lf(xflk)-f('yflk)1 2 E. Estacontradicciónpruebaque la suposicióndeque f no es uniformementecontinuasobre & nopuede verificarse. Lo que completa la prueba.
7.7 Teorema. Si f es continuasobre entonces f es acotada sobre 8.
un conjuntocerrado
y acotado 8
PRUEBA. Supongamos quef no fuera acotada sobre B. Entonces para todo entero positivo n existeun punto x, en 8 talque If(x,)/ > n. Por tanto, Iím If(x,)/ = m. Lasucesión {x,} tieneun puntolímite c en 8 y, por tanto, tiene una subsucesión {xflk>tal que lírn xflk= c. Como f es continua sobre 8 , lírn If(x,,,)/ =-I f(c)l. Porotraparte,como lírn If(x,)/ = GO, lírn If(x,,)l = m . Esta contradicción demuestra que la hipótesis de que f no es acotada sobre Q no puede verificarse. Y esto completa la prueba.
7.8 Teorema. Si
una función cerrado y acotado Q, entonces
f de R" en R" es continua sobre un conjunto f(&) es u11 conjunto cerrado y acotado.
PRUEBA. Que f(8) es un conjunto acotado se sigue del teorema 7.7. Para probar que f(8) es cerrado,probaremosquecualquierpuntofrontera y de f(8) pertenece a f(8). Como y es un punto frontera de f(B), cualquier vecindad de y contiene un punto def(8). Luego para todo entero positivo n,
(
3
existe un punto ~ " € y; -9n f(b). Claramente, la sucesión {y,} converge
71
Algunos teoremas sobre funciones continuas vector unde
479
a y. Sea ahora {x,) una sucesión de puntos en d tal que f(x,) = y,, . Como 6 es cerrado y acotado, {x,,} tiene un punto límite x en 8. Sea {xnk}una subsucesión de (x,) queconvergea x. La subsucesióncorrespondiente {y,,) de {y,,} converge a y. Como f es continua en x usamos el teorema 3.1 para obtener y = lím y,, = lírn f(x,,,) = f(x). k-- m
k-m
Luego yEf(€), y f(&) es cerrado.
7.9 Teorema. Si f es una función de R" en R que es continua sobre un conjunto cerrado y acotado 8 , entonces f tiene un valor máximo y un valor mínimo sobre 6.
PRUEBA. Sea b = sup {f'(x) I x€€}. Para cualquier entero positivo n existe un punto x, en d tal que 1
6 - - < f(x,) 6 6. n
Así pues, lírn f(x,) = b. La sucesión {x,,}tiene un punto límite c en d y, portanto, tieneunasubsucesión {xnk)tal que lírn x,, = c . Como f es continua sobre 8, lírn f(x,,) = f ( c ) . Por otra parte, como Iím f(x,) = 6, lírn f(x,,) = 6. Luego f ( c ) = b y b es el máximovalor de f sobre d. Que,f tiene un valor mínimo sobre&, lo podemos probar de modo análogo.' El teorema 7.9 nos muestra que una función f continua sobreun conjunto cerrado y acotado tieneunvalormáximo y un valormínimosobre ese conjunto. Los valoresmáximo y mínimopuedenocurrirsolamente en puntos críticos d e f q u e estén en el interior de d y en puntos de la frontera de &. Así pues, podemos determinar los valoresmáximo y mínimo de f sobre d calculando los valores d e f e n esos puntos.
7.10 Ejemplo. Determínense los valores máximo y mínimo de la funciónf sobre el conjunto 6 = {(x,y ) 1 x 2 + y z < 4) cuandofestá definida por f(x, y )
=
+ +y2 .
$-x2
SOLUCI~N. Como f es continuasobre el conjunto Q que es cerrado y acotado, el teorema 7.9 asegurala existencia de unvalormáximo y un valor mínimo de f sobre &. Las derivadas parciales de f son D , f(x, Y ) = +x Y
D,f(X, Y > = +Y,
estasderivadasparcialesexisten en todos los puntos y son,ambas,cero solamenteen (O, O). Así pues, el Único puntocríticode f es (O, O) y Lo habitual es pasar a considerar
-f. [N. del T.]
480
Sucesiones
,f'(O, O) = O. En la frontera de
( Y , { ( x ,y )
están dados por
j ( x , J!) =
t3 .x2 + $
[Cap. 8
1
,Y'
donde
+ y 2
=
.YE[--:
4), los valores de f
21.
Por tanto, sobre la frontera de d la función f ' toma todos los valores del intervalo cerrado [ 3 . 31. Así pues, el valor mBximo de f' sobre 8 es 3 y el valormínimo es O. El diagrama de las curvas de nivel y la gráfica de f' aparecen dibujados en la figura 3.
Y
I
X FIGURA 3
Problemas
1. Supongamosque (x,,] esuna sucesión acotadadepuntosen R"'. Pruébeseque lím x,, = c si y sólo si c es elÚnico punto límite de {xn}.
2. Sea {x,,j I I = O. 1. . . . { una sucesión de puntos en R" con la propiedad de que para algiln A E ( ~ , I ) para todo n 3 2. a)
-x,,- I I G
j L
1%-
I -
x,1- 2 I
Pruébese que para n 3 O y k 3 1 /Y /x,+k-xnI 6 __ 1x1 -%l. 1 -A
h) Pruébese que {x,,)es acotada. c ) Pruébese que {x,,) tiene un punto límite Único y, portanto,
sucesión converge.
3 . Determínense los valores máximo
la
y mínimo de las siguientes
81
48 1
Sucesiones de funciones
funciones f sobre el conjunto dado 8. Dibújense el diagrama de curvas de nivel y la gráfica en cada uno de los casos.
4
f ( X > Y > = XY "y b) f ( x ,Y > = +x2-&Y' c> f ( x ,Y ) = X'Y' d ) f ( x , y ) = 5 -x2-y2 e ) f ( x , y ) = I +x2 - y 2 f> f ( x , Y >= 3-d='
8 8 8 6
<
< 2}
= {(x, Y >I 1x1 3 , lyl = {(x,Y ) 1x1 6 3, IYI d = {(x,y)I x2+y2 6 9)
I
3)
I
= {(x,Y > 1x1 6 4, IYl 6 4) = {(x,y ) I x 2 + y 2 6 4 )
6' = { ( x , Y ) I 4 x 2 + 9 y 2
< 36).
8. SUCESIONES DE FUNCIONES
Consideraremos ahora sucesiones cuyos términos son funciones.
8.1 Definición. Una sucesidn de funciones de RP en R"' es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de funciones de RP en R". A unasucesión de funciones de RP en R" la representamos por {f,} . Para cada punto x del dominio de todos los términos de la sucesión de funciones (f"}, hay una sucesiónde puntos {fn(x)}. Si {fn(x)) converge para cada punto x de un conjunto 8 y hacemos f(x) = lím fn(x),entonces decimos que ifn) converge puntualmente a f sobre 6.
n-m
Consideremos,porejemplo, la sucesión { I " } defuncionesrealesde variable real donde I es la función real identidad (figura 4). Para cualquier xeR, {x") es una sucesión de números reales cada término de la cual es el valorde la función en x del correspondientetérminode {f"}. Como {x") converge a O si x € ( - 1 , i ) , converge a 1 si x = 1, y diverge si X€(",
- l ] u ( l , m},
482
[Cap. 8
Sucestones
la sucesión {I"}converge puntualmente sobre ( - I , 1J a la función ,f'donde O si X € ( - I , 1 ) y f(l) = 1. Nótese que,aunque {f"; es una sucesióndefuncionescontinuas,la función límite J' no es continua. Definimos ahora otro tipo de convergencia para sucesiones de funciones --convergencia uniform-- y probaremosque el límitedeunasucesión uniformemente convergente de funciones continuas es continua.
f(x) =
8.2 Definición. Una suesión de funciones {f,,) convergeunijormemente a f sobre un conjunto 6 s i para c~.~da E > O existe un número .,l.' la/ que para todo x € ¿ I f,,(x) - f(x)l < E siempre yue n > N . Lo que es importante observar respecto a l a convergenciauniforme es que el número N depende solamente de E ; es independiente del punto x de R . Por otra parte, si (f,,) converge puntualmente a f sobre 8 , entonces para cualquier x € & y para cualquier número positivo E existe un número N ( x ) , que depende en general tanto de c como de x , tal que
If,,(x)-f(x)/ < c
siempreque n > N ( x ) .
Es claroque si (f,,\i convergeuniformementea f sobre 6 ,entonces la sucesión es puntualmenteconvergentea f sobre d. Pero la convergencia puntualde (f,,} a f sobre 6 noimplica la convergenciauniformede la sucesión a f sobre 6'. En realidad, podemos ver que una sucesión puntualmenteconvergente {f,,] sobre 6' es uniformementeconvergentesobre 8 si y sólo si para cada E > O existe un conjunto de números correspondientes { N ( x ) / x € & } que es superiormente acotado. Si {f") es convergente puntualmentea f sobre (5' y N es unacotasuperiorde {N(x) I x€&!"), entonces para todo x ~ t ' If,(x)-f(x)/ < c
siempreque n > N .
Así pues, {f,I} es uniformemente convergente a f sobre 8 . Además, si {fa} es uniformementeconvergente a f sobre 6' y N corresponde a E > O, entonces para cada x 6 6 podemos tomar N ( x ) = N y el conjunto {N(x) I x€&} quedará superiormente acotado por N .
8.3 Ejemplo. Pruébese que [ - a , a ] donde O < a < I. SOLUCI~N Para . cada
{ I " ) es uniformemente convergente sobre
XE[-U,U],
lím ,I-
Para cualquier
E
> O,
a"
< E si
para cualquier x € [ - a , a ] , i/"(x)-OI
17
>
In
,yn =
O e lI"(x)-OI
7
E
__ In a
. Así pues, si N
< c siempre que
n
> N.
=
=
In In --
E
a
/XI"
< a'.
, se tiene
81
funciones
483
Sucesiones de
Lo quedemuestra que {I"}convergeuniformementea 8.4 Ejemplo. Pruébese que sobre ( - 1 , 1 ).
O sobre [-a, a ] .
{I"} no es uniformemente convergente
SOLUCI~N Tómese . un t: cualquiera tal que O < E < I . Para cada x€( - 1, l ) , lím x" = O y por tanto. existe u n número N ( x ) tal que If"(x)-OJ = JxJ' <
E
siempreque n > N ( x ) .
In E In E Como 1x1'' < E si y sólo si n > - y como lím - = m , el conjunto x + r In x In 1x1 { N ( x ) 1 x € ( - 1, I ) } no puede estar acotado superiormente. Así pues, no puede haber ningún número N tal que para todo x€( - 1, 1) II"(x)-OJ <
t:
siempre que n > N .
Ahoraprobaremosqueuna sucesiónuniformementeconvergentede funciones continuas converge a una función continua. 8.5 Teorema. Si la sucesión {fn} convergeunifbrmementea f sobreel conjunto 8 y cada uno de los términos f,, es continuo sobre 8 , entonces f es continua sobre 8 .
PRUEBA.Sea x. u n punto cualquiera en d y tomemos u n Deseamos probar que hay u n número S > O tal que
if(x)-f(x,)/ <
E
E
> O cualquiera.
siempreque x ~ 8 n Y ( x , 6). ;
if,,} a f sobre d implicaque
La convergenciauniformede entero positivo n
E
If,,(x)-f(x)I < - paratodo 3
~€6".
Como f,, es continua en xo, existe una S > O tal que E
If,,(x)-f,,(x,)J < - siempreque x ~ & n Y ( x ,6) ; 3
E & & < - + - + - = E .
3
3
Lo que completa la prueba.
3
para algún
484
[Cap. 8
Sucesiones
Aunque la convergenciauniforme es suficiente paraasegurarque el límite deuna sucesióndefunciones continuas es continua,no es una condición necesaria para este resultado. Seve esto en el siguiente ejemplo de sucesiónno uniformementeconvergentedefuncionescontinuascuyo límite es una función continua. Sea Jl (x) y para
n 3
1
=
si
11
X€[O,
2 (figura 5 ) sea
8.6
IY
FIGURA 5
Para cada XE[O,
11,
2 . lím f n ( x ) = O ya que f n ( x ) = O para n > - SI x # O X
n+cL
y fA(0) = O para todo n > 1 . Así pues, la función límitefes la función cero sobre [O, I ] que es ciertamente continua. Sin embargo, la convergencia no
es uniforme ya que para cualquier
n
si x
=
1
-
n
entonces If,(x)-f(x)l
=
I.
Damos ahora algunos resultadosrespecto a la integración y diferenciación de los términos de una sucesión de funciones reales de variable real. 8.7 Teorema. Si la sucesión { jii\ converge unijormemente a j sobre el intercalocerrado [a,b] y si cada uno de los tPrminos f, esintegrable
81
485
Sucesiones de funciones
entonces {g,,} converge uniformemente u g sobre [a.61.
PRUEBA.Probaremos primero que f es integrable sobre [a,b ] .Tómese E > O. Como i f n } converge uniformemente a f sobre [a,b ] , para alguna n para todo
XE
[ a , b ].
Así pues, para cualquier partición P de
y, por tanto
E
U ( f , , P ) - L ( f , , P ) < - para alguna 3 partición P de [a,61. Para esta partición tenemos Como
fn
es integrable sobre
[u, b ] ,
uu,P ) -
L(f,P) <
E
Lo que prueba que f e s integrable sobre [a,61. Probamos ahora que (9,) converge uniformemente a g sobre [u,b] ; es decir, para cualquier E > O existe un número N tal que para todo .v.E[u,b]
1 lox -j: I .f
f, < E
siempreque n > N .
Como { h }converge uniformemente a f' sobre tal que para todo t ~ [ ab],
c
Por tanto, para todo n > N y para toda
IJ:
-
Esto completa la prueba.
[u,61,
X E [ U , 61
existe u n número N
486
[Cap. 8
Suceslones
Nota. Recuérdeseque si integrable sobre [a.b].
es continuasobre
fn
[a,b ] ,
entonces
Jn
es
El teorema 8.7 demuestra que la convergencia uriforme de una sucesión de funciones integrables (fnj aj’sobre [a,b] implica que 8.8
Sin embargo 8.8 puede ser ciertopara unasuceslónno uniformemente convergente.Porejemplo, si esla sucesióndefinidaen 8.6, entonces
if;)
]ím
n * m-
joi fn
lim
=
n-tr-
n
Volviendo ahora a una consideración de diferenliación de los términos de una sucesión, nos encontramos con que si {fn}es una sucesión uniformementeconvergentedefuncionesdiferenciables con la función J’ como límite, no es necesariamente cierto que f ’ = l í r n f,’. 1
Porejemplo,
sea .fn(x)= - sen nx. Entonces la sucesión { j n }converge n
a O sobre R. Además, para todo ~ E yRpara cualquier
E
>O
1
1
n
E
Isen nxl 6 - < E siempre que n > - , Así pues,
if;} converge uniformemente a
f n ‘ ( x ) = cos nx, la sucesión dederivadas
I %I
decir, cos n - no converge. Por tanto,
f ’ = O sobre R y f” = O. Como { f n ’ } no converge sobre R; es
f ’ # lírn fn’
El siguiente teorema nos da unacondición el límite de la sucesión { j ; , ’ } .
8.9 Teorema. Si {j : }
suficiente para que j” sea
converge a j ’ s o b r e [a,b ] , si cada una de las deriuadas continua sobre [a,61, y si converge uniJbrmemente sobre [a, 61, entonces J” = l í r n fn‘ sobre [a, b ] .
{fn‘)
f,’es
PRUEBA.Sea g = l í r n f ” ’ . Deseamosprobar que g = f ‘ sobre [a, 61. Sea x ~ [ ah,] . Como if:’) converge uniformemente a g sobre [a. b ] , tenemos g
=
lim
:j .fi =
Tomandoderivadas,obtenemos sobre [a,b ] .
lim [ . f n ( x ) - f n ( u ) ]= f ( x ) - j ( a ) .
n - 2
g(x) = ,/‘(x) y, portanto,
lírn j i ’
=
j”
487
Problemas 1. Determínese el conjunto sobre el que { j : } converge si f,(n) es n-3
f ) -.
e) n!
n+l
X,
2. Si f,(x) = - pruébeseque
{f,} es uniformementeconvergente
n
sobre [ - I , I].
=x
y g,(x) = x
+
xn2 3
X*
d ) nxe-"x
3. Si f,(x)
2 c) nx+ 1
2n+x
-
b)
I + -, n
demuéstreseque
{ j , } y (9,) son
uniformemente convergentes sobre ( - -0 0 , m). 4. Si f,(x) =
2n+x ~
n+3
sobre cualquier intervalo
pruébese que [-a,
{fn)
es uniformementeconvergente
a] donde a > O.
if,}
5. Si .f,(x) = nxe"'' pruébese que no es uniformementeconvergente sobre [O, I]. Sugerencia :considérese el valor máximo de f, sobre [O, I ] .
6. Pruébese que (f,,} es uniformementeconvergentea conjunto 6 si y sólo si lím sup I f(x) -f,(x)l = O. n-o:
f sobre el
x€&'
7. Sea if,} una sucesión de funciones de RP en R" y f, = ( f " ' ,.. . , f,") donde es la función componente k-ésima de f,. Demuéstrese que {f,,} es uniformemente convergente a f = f ' , . . . ,f" sobre 6 si y sólo si cada una de las sucesiones de las componentes {Lk} es uniformemente convergente a f k sobre B. 8. Si {f,).{ g , } y {h,) sonsucesionesdefuncionesde R P en R, si {I"} y (A,} son uniformemente convergentes a f en G", y si para toda n y para toda X E . ~ L(X,
G g,(x) G
/?,(X)
pruébese que {Sn}converge uniformemente a
,f'
sobre 8.
9. Si .f;,(x) = e " ' 2 x 2 , pruébeseque {fn'}no es uniformementeconvergente sobre [O, 11. Pruébese que, sin embargo, f ' = lím f,' donde f = lím .h. 10. Si f,(x) = (sen nx)n, Les {f,}uniformemente convergente sobre [O, l]? ¿Es if,'} uniformemente convergente sobre [O. 13 ?
Sucestones
488
11.
si
/,(.x)
=
[a. m ] donde a
nx ~
1 +n2x2'
[Cap. 8
Les { f n } unilormementeconvergentesobre
> O '? ¿ E s { j : ) uniformemente convergente sobre (O, .o) ?
12. Si {f,jj y {g,] son uniformemente convergentes sobre pruébeseque {f,+g,} esuniformementeconvergentesobre
u n conjunto d R.
13. Proporciónese un ejemplodesucesiones {.Az] y {u,}que sonuni€ormementeconvergentessobre un conjunto 6, pero tales que { f i g , t ) no es uniformemente convergente sobre A . 9. RESUMEN
En estecapítulohemosconsideradolímites de sucesiones depuntos. Como la convergencia de una sucesión de puntos depende dela convergencia de sus sucesiones componentes, dirigimos nuestra mayor atención a sucesiones de números reales. Vimos que las sucesiones de números reales pueden convergir, divergir a i m u oscilar, y desarrollamos métodos para determinar el comportamiento de sucesiones específicas. En el próximocapítuloestudiaremos las series, que sonsucesiones formadas de un modo particular. La mayor parte del material que hemos discutido en este capítulo es prerrequisitoindispensablepara un estudio de la convergencia de las series.
Problemas de repaso ,I-
1. Si
.\,,
1
=
r k ,discútase
la convergencia de {sn}
k=O
2. Determínese lím
S,
cuando S, es -3n2+5
b) n+2 c) In ___
Ir)
n2+5n
n+3
In n + 2 ~
n-3
n4 +en
e ) __ n-5"
3. Si lím x, = .o y lím y,, = O, pruébese, por medio de ejemplos, que todos los casos que siguen pueden ocurrir a) lím x,,y, =
cxj
C.) Iim x " ~ = , ~b (un número real)
h) lím x,y, = - m d ) lím x,y, # h, + a .
91
489
Resumen
4. Pruébese que si
S,
< O y lím S,
= O,
entonces Jim
1
-
S,
= - m.
5. Pruébese lo siguiente: S,+ I > O y lím > 1, entonces l í r n
a)
Si
b)
si S,, < O y \ím s,+I > I , entonces lím s,
S,
S,
S, = m = - co
S,
c ) Si
S,
=
6 # O, entonces lím5"+1 S
,
= 1.
6. Proporciónense ejemplos de sucesiones a)
lím
S,
=
b ) l í r n S, = O
b # O
(S,}
tales que lím c)
lím
S,
* S"
= 1
y
= m.
S,+ I 7. Proporciónense ejemplos de sucesiones { S , } Lales que lím __ =
-
I y
S,
a)
{S,)
converge a
O
b)
{Sn} oscila.
8. Definimos unasucesióndeCauchy denúmeros reales comosigue: una sucesión { s , ~se ) llama sucesión de Catrch)~si, paracualquier E > O, existe un número N tal que (s,--s,I <: E siempre que n, m > N . a) Pruébesequetoda
sucesiónconvergente es unasucesiónde Cauchy. b) Pruébesequeuna sucesiónde Cauchy es acotada y , por tanto, tiene un punto límite finito. c) Pruébese que una sucesión de Cauchy converge.
9. Pruébese que si
S,
>O
U
Series I . INTRODUCCI~N
El teoremadeTaylorpara funciones reales de unavariable real, nos dice 1 si f’ tiene derizwdas continuas hasta las de orden n-ésimo inclusirle sobre el interualo 9 y X ~ 9, E entonces para todo X E 9 f(x) = donde
n- I
f y X 0 . )
k=O
k!
~-
(x -
+ R, (x)
492
[Cap. 5
Series
podemos escribir el residuo !?,,(x) de la siguiente forma (forma de Lagrange) : R,(x) =
(x-xo)n paraalgún
n!
c,
entre x y x.
Si x = xo, entonces R,(xo) es cero y la fórmuladeTaylorsimplemente afirma que f ( x o ) = ,f(xo). En lugar de señalar excepciones sin importancia supondremosque el residuopuedeescribirse en la formadeLagrange paracualquier valor de x y convendremosque es cerocuando x = x,,. Porejemplo, si ,f es la funciónexponencial y x. es O; entonces.para cualquier número real x ,t-
1.1
I
ex =
-
k=O
donde R , ( x )
ern
= - .xn para I1
!
Xk
k!
+ R,(x)
algún c, entre x y O. Como la función exponencial todos los órdenes, la n en 1 . 1 puedeser
tienederivadascontinuasde
cualquier entero positivo.Para cada entero positivo n , sea s,(x) Entonces,paracadanúmero
Probaremosahoraque Si
x
> O, entonces
real x, tenemosdossucesiones,
n
lím ~-
=
e'
1
X
k
. k! {.s,(x)}y -
k=O
e" = lím s,(x).
7
O < &(x)
y, portanto,
/?,(x)= O y, portanto,
n - I
=
n-a
X"
- X" < ex - . '7
n!
n!
lím R n ( x )= O. Portanto.paracualquiernúmero
real
x,
"-T
, t -. ,1h
1.3
En 1.3 el número e* estáexpresadocomo el límite deunasumade números: a medida que sumamos más y más términos obtenemos números más y máspróximosa e". Así pues,consideramosa e" como la suma
21
493
Series
1
infinita
Xk
. Desdeluego, ni sumamos ni podemossumarrealmente k! infinitos números; lo que hacemoses tomar el límite de las sumas finitas s,(x). La sucesión {s,(x)} se llama serie infinita o simplemente serie. Si lím s,(x) -
k=O
n- CO
existe,como, por ejemplo,ocurre enel caso anterior,entoncesdecimos que la serie converge. Lasseriesson Útiles tanto en el cálculo como en el estudiodelas propiedades de las funciones. Como las series están definidas en términos desumas, esdeesperarsequetenganpropiedadesanálogasalasdelas sumas. Veremos que, ciertamente, las series convergentes poseen la mayoría de las propiedades algebraicas de las sumas. Para algunas otras necesitamos que la convergencia sea uniforme.Sontodas estascuestioneslas que discutiremosampliamente en estecapítulo. 2. SERIES
2.1 Definición. Sea {ak} una sucesiónde puntos en R" y sucesión (sn>se le llama de la serie.
S,
=
$ a k . A la
k=l
serie y a los términos de (ak) se les llama términos
Comúnmente denotamos
las series
{S,}
por
CCI
k= 1
ak o, simplemente,
por Z ak. Si la sucesión { s n } converge al punto a, entonces decimos que la serie
1
m
k= 1
ak tiene la suma a o que
2 7)
k= 1
ak converge a a. La suma
primeros n términosde la serie se llamaalgunas pues,nuestradefiniciónnosdicequeuna serie sucesión de sumas parciales converge. Como una o no, una serie puede tener una suma o puede ser Si la serie Dedonde
02
k= I
n+m
pues, la notación
veces suma parcial. Así converge si y sólo si la sucesión puede convergir que no la tenga.
ak tiene la suma a, entonces a = lírn
a = lím
n
k=l
2 a
1
k= 1
S,
a k . Es prácticaconstanteescribir
ak se usa tanto para representar una
representar su suma. Sin embargo.,esteusodual
de los
S,
donde S, a =
= m
1
k=l
k= 1
ak.
ak. Así
serie como para
del símbolo
1 ak no 0)
k= 1
debe causar ninguna confusión. Como una serie es una sucesión, la teoría de las sucesiones desarrollada en el capítuloanterior se aplica a lasseries.Unasucesiónde puntos converge si y sólo si las sucesiones componentes convergen. Así pues, una
494
[Cap. 9
Series
serie depuntos converge si y sólo si las series componentesconvergen. Porejemplo, si { a k )es una sucesión de puntos (xk, en R2. entonces n
2
lím
n- x
y
5
k= 1
1 I,
k=: 1
ak = Iim n-)7
( x k ,J ~ = ) ]ím
h=l
ak converge si y sólo si
restringir nuestra atención a
n-
2
xk y
h= 1
' h )
1
k= 1
1 y k convergen.Por x
k= I
tanto,podemos
las series de números reales.
1 I
Consideremos las series geométricas
x h
o
~
A= I
1 xh T
h=O
1 .xk
Nota. Usualmente, la serie geométrica forma
k'
x
k= 1
I
se escribe en la
1 .yk. En general. cuando ello resulta más conveniente, 7
k=O
escribir una serie enla forma notación
1 a, donde p
h=p
1 uk significa lo mismo 1
k = ,I
estanotación
S, =
"
1 b,
k= I
pill- I
1
=
x.
que
k= 1
podemos
cs u n entero cualquiera. La
b, donde b,
=
u k + p -I y. con
uk
k=p
En la investigación de la convergencia de las series geométricas consideramosdoscasos:
1 y
x =
>), =
I . Si x
x # 1 ,
-- 1
k
0
1
=
1 .xh d.
k=O
1, entonces
= t1
y, por tanto, (sn} diverge. Si x # 1, entonces I
1
,I-
S,-xs,,
=
k -- O
Y S,,
Como la sucesión x = - 1,
{S,,}
{x") converge
convergea
Así pues,hemos
1 ~
I
-.Y
SI
1 xk = 1 -x" n
xh
-
h= 1
1 -xn
= ___
1 "x
acero jx/
.
si / x / < I y diverge si 1x1 > I o
< I y diverge si 1 x 1 > 1 o
probado lo siguiente: / u serie geonzkrricu
1
h =O
x = S'
-
I,
tiene
21
495
Series
I
7 = 2. 2
“l
2.2 Ejemplo. Pruébese q u e
k=O
SoLucrON.
1 ‘U
I
2 la serie converge y
a
es la serie geomCtrica
X’
k=O
k=O
“ 1 k=O
con x = f. Como 1x1 < I ,
-I = - = 12 .
1-4
2k
Dargmosahoraalgunaspropiedadesde las series denúmeros reales que se corresponden con propiedades sencillas de las sumas finitas de los números reales. Usando la teoría de las sucesiones, obtenemos estas propiedades de las series partiendo d i las propiedades correspondientes de las sumas finitas.
2.3 Teorema. Si
1 ak y 1 6, n
U-
k= L
k= I
son series comergentes
con
sumas a y.6,
respectioamente, y si c es un número real, entonces
2)
5
(uk-bk)convergeu
a - b ; es d e c i r ,
k= 1
1 cakconuerge 5
3)
k= 1
u c a ; es decir,
x
k= I
5
( a kb- k ) oc
cak = c
k= 1
=
k= I
ak -
uk k= 1
PRUEBA.Solamente probaremos 1). Las pruebasde análogas. Usando el corolario 3.2, p,ág. 458,
las otraspartes
lím
“-
n
=
lím II-CT,
=
2.4 Ejemplo. Demuéstreseque
S O L U C I ~ Como N.
x “
k=l
3 2k
- =
“ 1 k=O
1 k=l
3 1 - . :;y 2
“ 3 I k=O 2 2k
uk k=l
+
lím
n-n,
n
1 b, k=l
a+&.
1 2
A!
=
bk k= 1
3. vz
k=O
1
.
-tiene la suma 2,
zk
3 2=3. 2
son
496
Problemas
1. Determinese si las siguientes series convergen cióneme las sumas de las que converjan.
O
divergen. Propor-
I
2. Determínese si las siguientes series de números complejos convergen o divergen. Proporciónese la suma de las que converjan.
u) k= 1
(;
+ i29
3. Demuestrese que
k2+k
k=l
4. Demuéstrese que
ic
5. Pruébese que
k=l
-l 1kk+l I*-
2
!,=I
In
~-
k
k+l
-
I.
I
--
2.
diverge.
6. Pruébese que si C a , diverge y c # O , entonces C c a , diverge.
7. Pruébese que si Xuk diverge y Cb, converge, entonces x((uk+b,) diverge. 8. Proporciónenseejemplosdonde a) Z(ak
+ bk) converge;
9. ¿Converge
u k=O
5k+3k
-'?
4h
E a k y Zb, djvergen y
b) C (ak+ bk) diverge.
497
3. PRUEBAS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SERIES Deacuerdocon k= 1
ak converge,
de la sucesión
las definiciones dadas, si queremossaber
si la serie
todo lo que tenemos que hacer es investigar la convergencia
{S,)
donde
S,,
=
f
k= I
tikSin .
embargo, en muchoscasosno
somos capaces de obtener una expresión para S, que nos sirva para poder determinar la convergencia de (S,,). Es, pues,convenientedesarrollar criterios para la convergencia de la serie L a k en términos de l a sucesión { u k } . Es esto lo que haremos. Obtenemosprimerounapruebadedivergencia. Si la serieconverge a a , entonces lím ak = lím (sk-sk- ,) = u - a = O . Así pues, si C a , converge,entonces
siguiente prueba de divergencia.
lím a,
=
O. Este hecho da lugar a l a
3.1 Si { a k }no conuerge a cero, entonces E a k direrye. k2+3k
3.2 Ejemplo. ¿Converge SOLUC16N.
Como lim
___
2k2+5
k2+3k ~
2k2+5
~,
1
= -, a l serie diverge
2
Debe tenerse cuidado en no creer que C a , converge si lím ak Esto no es necesariamente cierto.Porejemplo,
Z
I
-
k
=
O.
diverge (lo que
I
probaremos más tarde), pero l í m - = O. k Si los términos de una serie Xu, son no negativos, entonces sucesión isn}, donde 5, =
2
k=
:
a & ,es
la
una sucesión no decreciente. De donde,
la sucesión (S,} (es decir, la serie C a , ) o converge o diverge a m según que esté acotada o no. Por tanto, si o k 3 O, los criterios para conocer si l a sucesión {sn) es o no acotada, constituyen u n criterio para la convergencia de la serie Xa,. La prueba básica para la convergencia y divergencia de seriescontérminos no negativos es c l criterio de comparación dado en el teorema 3.3 y en el corolario 3.4 que a continuación presentamos.
3.3 Teorema. Si Za, y X 6 k son series con tc;rminos no negativos, si Zb, conrwrge y si uk < b, para lodo k suficientemente grande, ent0nce.Y Z a, conrerge.
498
[Cap. 9
Series
PRUEBA. Supongamos ah < h, para todo k mayor que cierto entero tivo N y Cb, = b. Entonces, para todo n > N . S,=
i:
aaaa,,,,+ < + = k= 1
k= 1
Como b 3 O,
S,
N
6
k= 1
,=N+
ak+b
1
k= 1
,=N+
b,< 1
para todo n y, portanto,
i:
posi-
a,+b.
k= 1
{S,,)
es acotada.
Luego C a , converge.
3.4 Corolario. Si Ta, y Cb, sonseriescontérminosnonegaticos, si Cb, direrge y si ak 3 6, para todo k sujicientemente grande, entonces Cak diverge. PRUEBA.
Supongamosque Cak converge.Entonces,según el teorema 3.3, que prueba el corolario.
Cb, converge en contra de la hipótesis. Lo
Otra forma del criterio de comparación de aplicar que la de 3.3 o 3.4 es:
que esgeneralmentemásfácil
3.5 Corolario. Supongamosque Xuk es una seriedetérminos y .X h, es una serie de términos positivos. a
I ) Si lím 2 = c 3 O y Z: 6, converge, entonces bk
no negatiros
X ah converge.
a
2) Si lím 2 = c > O o cc y Cb, diverge, entonces Xuk diverge. b, PRUEBA.Solamenteprobaremos 1 ) ; la prueba de 2) es del todo análoga. a
U
Como lím 2 = c, existe un numero N tal que A < c f 1 siempre que k > N. b, bk
Si C bk converge, zntonces C(c + l)bk converge y, por tanto, Xuk converge, ya que a, < (e+ 1)6, para todo k suficientemente grande. k3 3.6 Ejemplo. Determínese si laserie C- converge. 2,
SOLUCI~N. Determinamos primero el límite de
{a,}:
k3 lím- = O . 4
L
Y:¡
es mayorque k 3 . Por tanto,
Aquípues, 3.1 no se aplica.Para k grande,
\
/
k3 para k suficientemente grande, - es menor que 2k
k3
. Comparando C - con 2k
31
Pruebasconvergencia de
la serie C
CY -
y divergencia de
499
series
queconverge,tenemos
k3
Portanto,
Cconverge deacuerdocon elcriterio decomparación 2k (corolario 3.5). Aunque el criterio de comparación es un criterio de convergencia para series con términos no negativos, podemos a veces usarlo para probar la convergencia deotras series. Si Eak esunaseriecualquieradenúmeros reales, entonces Clakl es una serie de: términos no negativos y, por tanto, el criteriodecomparaciónpuedeaplicarsea Clakl. A continuación probaremos que si Cjakl converge, entonces Cak converge también.
3.7 Teorema. Si E a ,
converge, entonces C laki converge.
PRUEBA.Supongamosque Clakl converge. Como - (ak(< ak O 6 a,+ lakl
< 21akl.
< /ak(,
+ no negativos cada uno. de cuyos términos es menor que o igual a l término correspondiente de la serie convergente C 2 (ak(.Por tanto, según el criterio de comparación (teorema 3.3) C ( a k + lakl) converge. Luego Ca, = X(ak+lakl- lak/)converge de acuerdo con el teorema 2.3. Esto completa la. prueba. Decimos que la serie C ak es absolutamente convergentesi C lakl converge. Así pues, el teorema 3.7 nos dice que una serie absolutamente convergente es convergente. Es posible, como mástardeveremos,que Cak converja aunque Cla,l diverja. Si Eak converge, pero C.la,( diverge, entonces decimos que Cakes condicionalmente convergente. La utilidad del criterio de comparación para determinar la convergencia de una serie dadadependedequetengamosciertacantidadde series convergentes o divergentesconocidasconlasque podamos comparar las series dadas.Hasta el momentotenemos esencialmente sólo un tipode serie convergente o divergente conocida: la serie geométrica. Sin embargo, comparando series con series de este tipo (geométricas) podemos desarrollar algunos criterios de convergencia muy útiles. Así pues, C(ak la,[)es una serie con términos
3.8 Teorema. (Criterio de la razón.) Si ak # O -
1 1
k+ 1 1) lím a< I implica que X u A es absolutamente convergente, ak
500
Series
2) lím PRUEBA
I
'k+ 1
__ ak
I
1 > 1 implica
1 ) Tomemosuna
ntlmero N la1 que 3 ak
~
que Eak es divergente.
E uk+l
talque
r
1<
[Cap. 9
~
ak
r siempre que k
!
< r < 1. Entonces existe un > N. Es decir.
o lo que es equivalente,
'"+"
yk+l < !?!
siempre quek > N
'k
Por tanto, para k suficientemente grande,
{y/
es una sucesión no creciente
de términos positivos y, por tanto. es acotada. Así pues, existe un número b k, la
talque,paratoda
I < b , o lo que es lo mismo,
rk
laki
< buk.
Como I r \ < 1, C b r k converge y, por tanto, C j a k / converge según el criterio decomparación. Y esto prueba la parte 1).
I
2 ) Si lim 2 s > I , entonces existe un numero N tal que -Iuuk
i p + l I >
siempre que k > N ; es decir, lak+,\ > /ak( siempreque k
1
>N
Así pues, para k suficientemente grande, { j a k l } es una sucesión creciente de términos positivos. Por tanto, { a k }no puede convergir a cero y, por tanto, Zak diverge según 3. I , pág. 497.
Si
{I I}
tieneunlímite,entonces
podemosenunciar el criterio dela
razón en la siguiente forma.
entonces C a , es absolutamenteconvergente. divergente.
Si L > 1, entonces C a , es
31
Pruebasconvergencia de
501
y divergencia series de
k3
3.10 Ejemplo. Pruébese que C - converge. k!
SOLUCI~N.
k3 Por tanto, C- converge por el criterio de la razón. k!
3.11 Teorema. (Criterio de la raíz.) 1) Si lim &I < 1, entonces C a , es absolutamente convergente. 2 ) S i lim &I > I , entonces x u , es divergente.
PRUEBA. 1) Tomemos un número r tal que lim < r < l . Entoncesexiste un número N talque < r siempreque k > N . Es decir la,l 6 r k siempreque k > N .
Como r < I , C r k converge y, por tanto, clakl converge según el criterio de comparación. 2 ) Si lim > 1, entonces > 1 para infinitos k . Es decir, la,/ > 1 para infinitos k y, { a k }no converge a cero. Y esto prueba que Z a , diverge. Si {&I} tiene un límite, entonces el criterio de l a raíz puede enunciarse en la siguiente forma.
m
"m
3.12 Corolario. Supongamos qrre lím = L. Si L < 1 entonces C a , es absolutamente convergente. Si L > 1, entonces Cu, es divergente. II
3.13 Ejemplo. ¿Converge serie la k=l
SOLUCI~N. Aplicando el criterio de
-? 2,
a l raíz tenemos
(ejemplo 3.12, pág. 461.)
k4
Por tanto, X- converge. 2,
1 1
Si ai aplicar ei criterio de la razón, lím ak+l
=
1, o al aplicar el criterio
502
Series
m
[Cap. 9
de la raíz, lím = I , entoncesestoscriterios no nos danninguna información respecto a la convergencia de Z a k . Por ejemplo, consideremos 1
la serie X- donde r es cierto número real. Como se probará en el próximo k' ejemplo 3.1 5, si r > 1 estaserieconverge mientrlsque si r < 1 la serie diverge. Sin embargo,
Y
Por tanto, laconvergenciade
1
C- no puededeterminarsemediante la k' aplicación del criterio de la razón o el criterio de la raíz. Hemosestadoenunciandocriteriosde convergencia para seriesde números reales ya que una serie de puntos en R" converge si y solo si las series componentes convergen. Sin embargo, es conveniente señalar que los criteriosdecomparación, razón y raízpuedenaplicarsedirectamente a series de puntos. Por ejemplo, tenemos el siguiente criterio de comparación: Si C ak es una serie de puntos en R" y C b, es undz serie de números reales que converge si la,\ 6 6, para todo k sufcientemerlte grande, entonces C ak converge. Puedeversefácilmenteesto como sigue. Si ak= (ak',. . . , akm) entonces Ja,jJ 6 /a,\ ( j = 1, .. ., m). Así pues la,jl 6 lb,] paratodo k suficientemente grande y, por tanto, cada una de las series componentes Ea,' converge según el teorema 3.3. Luego la serie de puntos Cak converge. Las otras formas del criterio de comparacióny de los criterio de la razón y la raíz para series de puntos se deducen fácilmente del anterior criterio de comparación. Todo lo que se necesita es reemplazar el v'alor absoluto lakl
FIGURA 1
31
Pruebas convergencia de
y divergencia de
503
series
por la longitud del vector lakl en el enunciado y prueba de cada uno de estos teoremas. Damos ahora otro criterio deconvergencia para series de números reales en el que comparamos una serie con una integral impropia relacionada con 1 ella. Podremos determinar la convergencia de C - aplicando este criterio.
k'
3.14 Teorema. (Criterio de la integral.) S i Z a k es una serie de términos no negativos y f es una función continua no creciente sobre el intervalo [ l , 00)
tal que f ( k ) = a k , entonces Ea, e
divergen.
PRUEBA.Recuérdese que el lím
b-+ m
S:
:S
f o ambas, convergen o ambas,
l : 1;
f esta definida
la integral impropia
f.Así pues, si definimos g ( b )
f,entonces
=
j
m
I
f
=
como lím g(b).
b+m
Como sobre [I, co) los valores def son no negativos, g es una función no decreciente. Luego, lím g (b) = c o lím g (b) = 00.
1
b+m
1) Supongamosque
m
J1
b+m
c. Como f es una función no
f convergea
creciente (figura l ) , si k 2 2 entonces ak = f ( k ) por tanto, Entonces
f ak
=
S,
Así pues, converge.
{S,,}
k= 1
k
k--1
k=2
f
es una sucesiónnodecreciente
2) Supongamosque ak =
S:
f divergea
f(k) 3 f ( x ) para ak =
JI
Entonces
n
J
1
.f divergea
ak
n
co,
3
Pk+l
lasucesión
Ea, diverge. Y esto completa la prueba.
+jnf
Xuk
cx).Como
k+ 1
y, como
= a,
< f(x) para x ~ [ k 1,- k ] y,
+
x ~ [ kk , 11,
l k k+I
f. Pn+ 1
isn} divergea
co. Portanto,
504
S O L U C I ~ NSi. C
I
-
k'
< O,
I'
entonces
dlvergesegún 3. I . Si
continua decrecientesobre
1'
I
rl x x
I
[Cap. 9
Serles
converge si
y diverge si r
<
I'
I'
J
I
1
IF/
> O. sea f [I,
noconverge
(S) =
I
La función I es unafunción
.Y
x ) tal que
> 1 y diverge s i r
<
cero y. portanto,
;I
I ( k ) = -.
Por tanto. si
k'
1 . Así pues, Z
1
-
k'
I'
> O,
converge si r > 1
1.
En particular, Z
1
-
k
.
I
dlverge y C I converge. 'Tanto en una como en otra k
de estas series el término general tiende a cero; en el caso de C se hace pequeño con suficiente rapider para que las sumas S, I
en el caso de Z - , la rapidez no es suficiente paraque k acotación de las sumas parciales.
1
el término k estén acotadas,
se produzca la
. r as series del tipo z -l Junto con las series geometricas x x k proveen una
k' reserva adecuada de series de carácter convergente o divergenteconocido para su uso enel criterio de comparación. Hay muchos más criterios para la convergencia de series de términos no negativos que los que aquí podemos dar, pero los que discutamos seránsuficientes para nuestros propósitos.' Comoseñalamosantes, los criteriospara la convergenciade series con términos no negativos son también criterios para la convergencia absoluta I de series contérminos de signoarbitrario.Porejemplo, Z( - es
1
absolutamente convergente, ya que Z ( - I ) k 1
Una discusión
extensiva
puede encontrarse en
k2
1
-
k.1
Id
-
I
X7 converge. k
referencia [40]
31
Pruebas convergenclla de
505
y series divergencia de
1
Consideremosahora laserie X( -
-
k
I
.
I -
k
k
1
no es absoiutamenteconvergente. Sin embargo, la serie X ( convergir;esdecir,puede algunas de las sumas S,,
I
. Como I; - dwerge, C( -
- puede k ser condicionalmenteconvergente.Calculando tenemos :
sl=l, S2=l-t=+,
Sj=S2+l--, 3 - 6
s5 =s,+'=41, 5
6 0 '
h =
5
s 4 = s 3 - 4L-- L1
2 r
-1-Ll
6 - 60'
Si trazamos estas sumas sobreuna recta (figura 2), la forma en que aparecen distribuidas sugiere que l a serie converge: las sumas avanzan y retroceden en la recta y cada vez se mueven una distancia m i s corta.
Mirándolo desde otro punto de vista, parece que las sumas pares forman una sucesión acotada superiormente por S , y las sumas impares una sucesión decrecienteinferiormenteacotadapor s2. De dondecada una de estas subsucesiones de { s a } converge y, conno los términos de estas subsucesiones seaproximancada vez más, ambas debenconvergir al mismo punto. Podríamosprobartodas estasafirmaciones,pero en lugardehacerlo probamos un teorema general que demuestra la convergencia de esta serie como un caso particular. L a prueba del teoremasigue los lineamientos que acabamos de exponer. 3.16 Teorema. (Criteriode las series alternantes.) S i ( a k }es no creciente de términos positivos y converge.
lím ak =
o,
una sucesidn
1 (oc
entonces
h= 1
I ) ~ +ak
506
[Cap. 9
Series
Así pues, is2,,> está acotada superiormente por s1 y Iszn-I ] está acotada inferiormente por s2. Por tanto, (sZn} y { s Z n - ,} convergen. Como lírn s Z n - , - lím s Z n = lírn (sZn-, - s Z n ) = lím aZn= O , estas dos sucesionesconvergen al mismo punto, llamémosle c. Luego, lírn S, = c (problema 10, pág. 457). Y esto completa la prueba.
3.17 Ejemplo. ¿Converge la serie
m
1 (-
k-2
1)'"
-?
k2+3k'
k= 1
S O L U C I ~ NSi. hacemos uk
k-2
= -,
k2+3k
tenemos lím uk = O. Si { u k } es una
sucesión no crecientedetérminospositivos,entonces el criteriodelas series alternantes demuestra que la serie converge. Claramente, los términos a, son positivos para k > 2. Además, k-I ak+l
akG
<"-
k-2
k 2 + 5 kk+24+ 3 k
-k3+2k2-3k< k3+3k2-6k-8 -kz-3k-8
3O
-k>5.
Por tanto, {ak}es una sucesión no creciente de términospositivos para k 3 5. Como la convergencia de una sucesión y, por tanto, de una serie, depende solamentedelcomportamientode los términosdesdealgúnpunto en adelante, X ( -
k-2 ~
k2+3k
convergede
acuerdocon
el criteriodelas
series alternantes.
Problemas 1. Determínese si las siguientes series convergen o divergen. b)
f
k=i
f) f k=l
2k
-
3k+k
k3+3k
5,+2
2. Si ak 2 O y lím r k a k = O para algún r > 1, pruébeseque
converge.
k+m
Xak
31
convergencia Pruebas de
507
y series divergencia de
3. Si Eak es absolutamente convergente, pruébese que
gente.
4. Determínese si las siguientes series convergen
c m
a)
k=l
c)
f k=l
qk
L_
k!
k=i
3k+4k2 k!+7k
d)
c
k=l
C a t es conver-
o divergen.
k! k4+3 k!
< k
m
k3+5k
k= 1 m
1
k=2
k(ln k)'
5. Pruébeseque
converge cuando r > 1 y diverge cuando
r < 1. 6 . Determínese si lassiguientesseriesconvergen m
o divergen.
Ink
k= 1
c m
c>
k=2
1
@ ln k
k=l
1 k=4
k In k InIn k
k=l
k+7 3k2+k-2
ffi
i)
(-l)k+l-" k=l m
k)
3k2-1
m
1
k=2
(In k)k
k=l
4k4+7k3+9
J)
k3-5k k2+4
m
kf2 3k2+5
j)
1(
k= 1
- I ) ' + ' ~ ~
k=l
k2
k-3
1 ( - I l k -4 k + 7
k= I
OC
Ink
k= 1
1 1
k+ 1 6 1-2 7 . Si ak # O y aak k convergente.
1 pruébese que C a , es absolutamente + --,
k2
a 8 . Si X ak2converge, pruébese que Z .A converge.
k
508
[Cap. 9
Series
9 . En la
prueba del teorema 3.8 probamosque
entoncesparacualquiernúmero
SI
-
1
ak+ 1 lírn -
ak
r tai
número b talque
¡ a k /6 brk para todo k . Conclúyasedeestoquepara
cualquiernúmero
S
talque
-
lím
lak\ 6 sk paratoda
k
suficientemente grande.
4. LA SUMA DE UNA SERIE CONVERGENTE Cuandoprobamosque
laseriegeométrica
.xk
converge para 1x1 < 1,
k=O
I
obtuvimos la suma de la serie : -. Sin embargo, si usamos uno de los 1 “x
criterios discutidos en la sección precedente para mostrar la convergencia de una serie, no obtenemos la suma; sabemos que la sucesión {S,} tiene un límite, pero no sabemos cuál es éste. Sabemos, sin embargo, que podemos aproximarnosa la sumatantocomo deseemosconlas S, tomando n suficientemente grande. En estasección daremosalgunas estimacionesde cuán grande debe ser 11 para que S, se aproxime a la suma de la serie con un grado especificado de precisión. Si probamos que la serieXuk es absolutamente convergente comparándola conlaserieconvergente Ch,, entoncespodemosobteneruna estimación del error que se comete al usar S, como una aproximación a la suma a, como sigue. Si lakl < b, siempre que k > N , entonces m > n 3 N implica ¡sm”sn¡
=
Por tanto. 4.1
/ a-S”\ =
Iím m-m
If 1 k=n+ 1
~s,,,--s,~
uk
6
G
k=n+ 1
lakt
30
b, k=n+ 1
f
k=n+ 1
siempre que
bk.
n >, N .
Al número la--s,l sele llama error de truncación. Recuérdese que, al probar la convergenciadeunaseriemediante el criterio de la razón o el de la raíz, estamos en realidad comparando la serie -
¡ I ak+l
-
=c
< 1,
entonces, tomando cualquier numero r tal que c < r < 1, tenemos lakl para todo k suficientemente grande.
< rk
dada conuna
serie geométrica. Si lím
ak
=
c < 1 o lírn
vergente serie
una 41
de
suma
509
La
k2 3
4.2 Ejemplo. Demuéstrese que converge
k=l
y estímese a
partir de
qué n las sumasS, se aproximan al valor de la serie con unerror de truncación menor que 1 x . 1 ~ ~ .
SOLUCI~N. Usando el criterio de la razón, tenemos
7/7
lim (k+ 1)’
k2 Así pues, Cconverge y 2k 3h grande. En realidad, k2
k2
- serámenorque
-<
3k
--(T)
k2 = lím 1 k S 1
3k 1
-
2k
=
1
-
1
para k suficientemente
siempre que k Z 13.
Si llamamos a la suma de la serie resulta de aproximar a a por S, es
o,
entonces el error de truncación que De acuerdo con 4.1
ILZ--S,I.
aproxima a la suma de ía serie con un error menor que 1 x Supongamos que hemos probado (que Cak es absolutamente convergente según el criterio de la integral. Si f es una función continua no creciente sobre [l, m) tal que f ( k ) = lakl, entonces para m > n
Por tanto, si la suma de la serie es error de truncación :
61,
obtenemos la siguiente cota para
el
4.3
error de truncacibn que no exceda a 0.1 SOLUCIÓN.
1 dx zconverge, ya queconverge. k2
Si la sumade
la serie
51 O
es
[Cap. 9
Series
a , entonces
de acuerdo con 4.3
Luego, Iu--s,J tcnemos
0.1 si n
noexcederáa
=
10. Calculando s l 0 =
lo k=l
1 k
1.54 < sl0 < 1.55.
1 Como X7 es una serie contérminos k por tanto,
positivos, a es mayorque
s l 0 y,
1.54 < a < 1.65.
De donde a es aproximadamente 1.6. Si Eak es una serie de términos no negativos que se conoce es convergente mediante el criterio dela integral, entoncesnos encontramos conla acotación más estricta
i::
<
f < a-S,
1
:j
f.
Así pues, en el ejemplo 4.4 tenemos
1
__
n f l
y, para n = 10, 1.63 < 1.54
< a-S,
+ A-<
U
6
1
-
n
< 1.55 +
&=
1.65.
Si { a k }es una sucesión no creciente de términos positivos entonces
a
( - l ) k + l a kvemosque
convergede
y lím ak = O,
acuerdo con el criterio
k= 1
de la serie aiternante.Además, si a es la sumade la serie, sabemosque a = sup {s2"} = ínf {s2,-, } . Luego, para cualquier n, s2,
es decir Y
<
a
0 <
Y
< sln+
Q-5'2,
< SZ,+
sZn < a
Luego, para cualquier n, 4 .S
Ia-Jnl
U*,+ 1
I -S2,
o > a-ss,,-, > S2,-S2,-, < an+ 1 .
<~
=
- q n .
2
~ ;
-
51 1
La suma de una serie convergente
41
Es decir, si aproximamos la suma a mediante una suma finita S,, entonces el error de truncación es menor que el valor absoluto del primer término que no se ha tenido en cuenta. k-2 3k2+4k partir de qué valor de n la suma parcial S, se aproxima a la suma con un error de truncación menor que 0.01. 4.6 Ejemplo. Pruébese que
- converge y estímesea
C( -
k-2
SOLUCI~N. Sea ak = ____ . Entonces ak > O si k 2 3 y lím a k = O. 3k2+4k Ademas, ak+l
k- 1
d -"ka
3k2+10k+7
k-2
d
+3k2-9k-14>
___
3k2+4k
O
ok>5. Así pues, para k 2 5, {uk} es una suce:sión no creciente de términos positivos
k-2 que converge a cero. Luego X( - ilk.+ ___ converge de acuerdo con 3k2+4k el criterio de la serie alternante. Si la suma de la serie es a, entonces la-s,(
n-1
3n2+10n+7
para
n
2 5.
Tenemos n-1
3n2+IOn+7
<
1
- e3n2-9On+107 > O
100
e-3 ( n - Y g 2 - 5 6 8
<>
Así pues, el error detruncación valor aproximado de a a s 2 9 .
n
>O
> 29.
será. menorque 0.01 si tomamoscomo
Nota. En general,lasseriescondicionalmenteconvergentesconvergen lentamente y, por ello,noson muy adecuadasparapropósitosde cálculo.
Problemas
1 . Pruébesequelassiguientesseriesconvergen
y estímese a partir de
51 2
[Cap. 9
Serles
qué n podernos asegurar que la suma f n se aproxima a la suma de la serie con u n error de truncaci6n menor que el n~imero quese da. I
,
5. KEORDENACIÓN DE SERIES Dos propiedades fundarncntales de la adición de los números reales son las leyes asociativa y conmutativa: u + ( b + c ) = ( a + b ) + c y a+b = h + a . Estas propiedades pueden extenderse cualesquier a sumas finitas por inducción matemritica. Investigaremos ahora su extensión a las series infinitas. Supongamos que L a , es una serie convergente de suma u.Si agrupamos los términos de esta serie dentro de paréntesis para formar nuevos términos. entonces la serie resultante I b L también converge a o. Esto esfácilver ya que la sucesi6n donde S,, =
A-
1
{ l n )donde .
=
u&,Por ejemplo. si
b,+h,+b,+h,+
"'
x fi
r,
A= 1
hh. es una subsucesión de
=(LIT +L~2)+U3+(U4tLIj+Ub)+(l,+
'".
entonces f , = s 2 . l2= .yj, I j = s 6 . I , = S,. Ademis. si Cu, diverge a 2 'm. entonces la serie Ch, divergiráa _i Sin embargo. si XuA oscila.entonces la inserción deparéntesispuede producir una serie convergente. Por ejemplo, la serie
1
(-l)ki'
= 1"1+1-1+
...
m .
,
h= I
oscila. Pero si agrupamos los términos por parejas de modo que entonces obtenemosla serie convergente cuyos términos son cero. Mirándolo desde otro punto de vista. s i quitamos paréntesis en una serie convergente entonces l a nueva serie puede divergir.
51
de
Reordenación
serles
51 3
5.1 Ejemplo. Pruébeseque el decimalperiódico 0.51375 es un número racionalcuando la barrasobre 375 significaqueeste es el grupo que se repite. SOLUCI~N.
0.51375
=
0.51375375..
5 71 3 75 3 5 =-+-+y+-+-+-+-+-+ 10 IO* IO lo4 lo6lo5 lo7 IO*
i
l a serie geomCtrica E
Como estaserieconvergecompáresecon podemos agrupar términos. Entonces
375 + 375 + __ 375 + - 51 + "
lo2
IOS
IOS
IO"
...
51 + -375 . - lo3 io2 io5 999
" -
51 324 --
99 900 *
Consideramosahora laextensiónde laley conmutativaa lasseries. ¿Podremos cambiar el ordende los términos en unaserie sin afectar la convergenciade la serie? Probaremos que podemos hacerlo si laserie es absolutamente convergente. Cambiando el ordende los términosde una serie se produce una nueva serie que :se llama una reordenación de la serie original. Es decir, Cb, es una reora'enación de Cak si existeuna trans-
formación uno-uno ,f' de los enteros positivos sobre los enterospositivos tal que 6, = Estudiaremos primero las series convergentes de términos no negativos.
5.2 Teorema. Si Ea, es utlu serie de tkrwitzos /lo twgatirm que c'unrerge a a, enronces cualquier reordenación de L a , conrerge u c. Sea Zh, unareordenación
PRUEBA.
de Za, y sea
=
J,
k= I
ak y I , =
i
h,.
k= 1
Si a, es el término de indice mayor en I,,, entonce:, t,, < s , ~ .Así pues, para cualquier entero positivo YI hay u n entero positivo m tal que I,,
Si hacemos h
L
d
S,, d a .
h, (Zh, converge ya que
=
it,,}
está superlormente
k= I
acotado por u ) , entonces h < N. Por otra parte, L a , es una reordenación de Zb, y. por tanto, u < h. Así pues, b = a. Y estocompleta la prueba. Para el propósito de extender este resultado a una serie absolutamente convergente La,. escribiremos ak como la diferencia dedostérminos no negativos. Sean *A
Entonces,
a, =
+
- / ' k b -
'1
2
y
u, -
/uk/-uh
=--
2
< / a k / tenemos , y 0 < gk" lakl
a k r - u h - . Como +a, 0
< aki
6
lokl
En realidad, 5i u, es positivo,entonces negativo, entonces a h +es cero y ak- es
a k A es
y a,- escero.
si
uk es
-ak.
5.3 Teorema. S i Z a h es una serie absolutamente conrergenre cuya s l u m es a. entonces cLtalquier rrordenación de C a , converge a a.
P R U ~ B AConsideremos . las series Xu,' y Z a k - ~donde aki y ah- est&n definidascomoacabamosde explicar.Estas series sonnonegativas y los términos de las mismas son menores que o iguales a los términos correspondientes de la serie convergente C l a k l . Luego. Za,' y Xuh- son series convergentes de términos n o negativos y Xuk = Xu,+ - E a k - . Sea Zbk una reordenación de Xu,. Entonces Zh,+ y Zh,- sonreordenacionesde las series Xu,* y Xu,-, respectivamente; por ello, de acuerdo con el teorema 5.2 Zb,' = Xuk+ y Z h k - = X u k - . Portanto.
x b k = C b k + - x b k -= ~ a h + - x a a=k a~k . Y esto completa l a prueba
51
51 5
Reordenacidn d e series
Si E a , escondicionalmenteconvergente (Ea, converge, pero ClakI diverge),entonces podemosreordenar Eak demaneraque se formeuna nuevaserie C b , queconverjaacualquiernúmeroreal, diverja a f cc u oscile. Es decir, si p y q son dos puntos cualesquiera (posiblemente & m ) tales que p d q, entoncesexisteunareordenación Cbk de Cak talque -
lírn t , = p y lírn
-
t, =
q donde tn =
1 b,. n
k= 1
Indicaremos cómo formar esta
reordenación C bk. Primero,probamosque sies !condicionalmenteconvergente,entonces Eak+ y Ea,- divergen. Supongamosque Eak+ converge.Entonces, como a,- = ak+- a k , Cak- converge. Luego, E(a,l converge ya que j a k [ =a,+ +a,-. Lo que contradice el hecho de que C u , es condicionalmente convergente. Luego, Eak+ diverge. De un modo análogo podemos demostrar que Ea,diverge. Así pues, Ea,+ y Ea,- divergen; en realidad,comoambas son series de términos no negativos, divtxgen a m. Es decir, la serie compuesta de los términos positivos de Cak diverge a co y la serie compuesta de los términosnegativosde Ea, diverge .a - m . Supongamos ahora que p y q ( p < q ) son números reales. Formemos la reordenación Cb, como sigue. Tomemos de manera ordenada exactamente el número de términospositivos de Ea, necesarios para que la suma obtenida sea mayorque q. Tómenseacontinuaciónsuficientestérminosnegativos para quela suma deestos, junto con la de los términos positivos ya escogidos, sea menor que p . Tómense luego suficientes términos positivos para hacer la suma mayor que q y a continuación bastantes términos negativos para que la suma sea de nuevo menor que p. Si continuamos escogiendo términos de esta manera obtenemos la reordenación E 6,tal que lírn t, = p y lírn t, = q donde f, =
n
k= I
6,. Estaconstruccitin
puede efectuarse ya que la seriede
términospositivos de diverge a co y la seriedetérminosnegativos diverge a “00. El hechodeque los límites superior e inferior tengan los valores prescritos depende del hecho de que lím ak = O. Sip es un número real, peroy es a),entonces modificamos la construcción como sigue. En los pasosdonde escogíamosexactamente el número de términos positivos necesarios para hacer que la suma fuera mayor que 9, tomamos ahora exactamente los términos positivos necesarios para hacer la sumamayorque I , 2, . . . sucesivamente. La elección de los términos negativos es la misma que la delaconstrucciónprecedente.Análogas modificaciones pueden hacerse si p := - m. 5.4 Ejemplo. Describase la formacitin de unareordenaciónde
que converja a cero.
cc
k=l
( - 11,’
1 k
I-
[Cap. 9
Series
51 6
S O L U C I ~ La N . serie
1,
k= 1
(- I)kc'
I
-
I,
e5 condicionalmenteconvergente
y, por
tanto. existe una reordenación Zb, cuya suma es cero. Sea h, = I , entonces 1, = 1 . Tomemosacontinuación los términosnegativos suficientes para que la correspondiente suma finita sea negativa:
Para hacer la suma negativa tomamos los términos
Si continuamos la elección de términosde reordenación Eb, cuya suma es cero.
-&, -&, --A, -=. t .
esta manera,obtenemos
la
Problemas
1 . Encuéntrese la expansión decimal de racionales : a) T3¡
h)
los siguientes números
+
(.)
2. Demuéstresequecualquiernúmeroracional
r =
enteros tiene una expansión decimal periódica. 3 . Demuéstreseque
913'
4
donde p y q son
los siguientesdecimalesperiódicosson
racionales representándolos en ¡a forma
P
-
4
números
donde p y 4 son enteros.
b) 0.3 u')
4. Pruébese que todo
0.32594
decimalperiódico es u n númeroracional.
5. Describase la formacióndeunareordenaciónde
Z( - I ) k + '
1
-
k
que
61
51 7
funciones Series de
a ) converja a I 6) converja a - 1 c) diverja a m d ) diverja a - 00 e ) oscile, con los puntos límites O y I . 6. SERIES DE FUNCIONES
La definición de una serie de funciones es análoga a la de una serie de puntos o números: si {fk}es una sucesión de funciones de RP a R", entonces laserie
m
k=
1
fk es la sucesión
{S,,}
donde
una funci6n: es la función con dominio
s,(x)
n
=
k= 1
fk(x). Si para cada
1 fk. Nótese queahora n
S, =
S,
k= 1
es
n Of, y regla de correspondencia n
k= 1
x en u n conjunto 8 ,
rr:
k= 1
fk(x) (es decir,
{s,(x)}) converge a un punto f(x), entlonces decimos que la serieCf, conL;erge puntualmente a f sobre 6 . Por ejemplo, en la introducción a este capítulo probamos que
m
1
k=O
..k
a
- = ex para cualquier número real x ; expresando esto k!
m
1 1, = exp.
en términos de funciones, tenemos
rk
~1
k=O
~
k!
6.1 Ejemplo. Determínese el conjuntosobre el quelaserie
n
Ik converge
k=O
y proporciónese la suma. m
m
SOLUCI~N. La serie geometrica
x k
=
1 l k ( x ) converge
1
a _ _ para
k=O k=O 1 "x y diverge para x fuera de este intervalo. Por tanto, la serie X i k converge puntualmente sobre ( - 1, I > y la suma de la serie esla función
x€(
-1, I}
1
-col] dominio restringido a ( - 1, I}. 1 -I
6.2 Definición. La serie
conjunto 8 si para cada
E
f fk convergeuniformemente
k= 1
a
f sobre el
> O, existe un número N tal que para todo
Is,(x)-f(x)J <
E
siempre que n
x ~ t "
> N.
ESdecir, Zfkconverge uniformemente a f sobre 6 si la sucesión I s n ) converge uniformemente a f sobre $. Nota. A causa de la intima conexión entre
la serie de funciones
Cf, y
51 8
[Cap. 9
Serles
las series de valoresfuncionales Zf,(x), frecuentementehablaremos de las series de valores de la función como si fueran la serie de funciones.
2 .x
6.3 Ejemplo. Pruébeseque
e - k x convergeuniformemente
k=O
sobre [ 1, 51.
S O L U C I ~Sea N . un
E
E
51
Esto pruebaque
1 ' E
1 "e-s
> O cualquiera y xc[l, 51.
Ahora bien, 2e"' < e si n > -In -. Luego si N 2
XE[I,
1 a ___
convergeuniformemente
k=O
=
E
-In -, para cualquier 2
a ___ sobre [ I , 51. 1- e - x
De acuerdo con nuestra discusión sobre las sucesiones de funciones del capítulo 8, sabemosqueuna serieuniformementeconvergentesobre un conjunto 8' es puntualmente convergente sobre 8 , pero que una serie que es puntualmente convergente sobre & no es necesariamente uniformemente convergentesobre B. Nótese que si a partir de una sucesión dada {S,,} construimos la serie Cf, donde f , = s1 y fk = s k - s k - para k > 1, entonces esta serie tendrá {S,,} como su sucesión de sumas parciales. Así pues, de la sucesión { I " }que es convergente puntualmente, pero no uniformemente convergente sobre
,
( - 1, 1 J obtenemos la serie I
+ 2 CL
(Ik-Ik-l)
queexhibe
el mismo
k=2
comportamiento. Hay un criterio para la convergencia uniforme de una serie de funciones que es análogo al criterio de comparación para la convergencia de una serie depuntos. Este criterio,llamado criterio M de Weierstrass, se da en el siguiente teorema. 6.4 Teorema. Si C Mk converge
toda k suficientementegrande, uniformemente sobre 8 .
si I fk(x)i < M, para todo x € & y para entonces Ifk comergeabsolutamente J'
13
61
funciones
Series de
51 9
497) cfk(x) es
PRUEBA.De acuerdocon el criterio de comparación (pig.
x € & . Sean f(x)
absolutamente convergente para todo
s,(x)
=
f f,(x). M
k= I
1 n
=
M,, y
k= 1
5
1,
k= 1
M,.si
Ifk(x)l <
1 fk(x), m
=
k= I
paratodo
k > N , , entonces para todo x ~ y 6para todos los enteros positivos n y m con m > n > N , tenemos
Portanto,
m
Tomemos
M - t, <
E
-
lírn ~ s , ( x > - s ~ ( x )<~ lím (t,,,-t,,); es decir. m + z.
m.
If(x)-s,(x)l
> O. Como lím
=
< M-t,,
M , existe u n número N > N , tal que
n+a
E
siempre que n > N . Luego para toda X E C
If(x)-s,(x)l <
siempreque n > N
E
Lo que demuestra que Zfk es uniformemente convergente sobre 8. Ahoraprobaremosque si una serie defuncionescontinuasconverge uniformementeaunafunción f sobre algún conjunto 8, entonces f es continua sobre B. 6.5 Teorema. Si la serie Cf, concergeunifbrmenwnfesobreelconjunto 8 y cada uno de los términos fk es una ,función continua sobre I ,entonces la suma de la serie es una función continua sobre 6.
PRUEBA.La convergencia uniforme de la serie cfk a f es equivalente a la convergenciauniforme de la sucesión {S,,) a f. Comocadaunode los términos fk de la serie es una función continua sobre 8 , de ello resulta que cada uno de los términos sobre 8. Dedonde pág. 483. 6-6
S,
=
1 fk de l a sucesión es una función continua
k=l
la continuidad cie f sobre 6 sigue del teorema 8.5,
Ejemplo. Pruébese que
la suma de
la serie
rk
m.
1
- es una función
k=i
k2
continua. S O L U C I ~ Determinaremos N. primero converge, es decir, los valores de
x
el conjuntosobre Xh
el que la serie
para los que C- converge. Usando k2
520
Serles
el crlterio de la razón tenemos
y , portanto. a l serie converge para I.x! < 1 y diverge para (,Y/ > I . si x = .+ I , el criterio de la razón no da informaciónalguna. Sin embargo.
sabemos que
ias series
1
k
y
X-( - I ) k
kl
convergenambab.Por
tanto, la
Ik serie 2- converge sobre el intervalo [ - 1 , 1 J. Como cadaunode k2
los
términos de esta serie es continuo sobre [ - 1 , I], si podemos probar que la convergenciaesuniformesobre [ - I , I ] entonces,según el teorema 6.5. k. 1 para sabremos que ia suma es conunua sobre [ - I , I]. Pero,
1$1
todo x t 1- I .
11y para todos los enteros positivos k. Adernis, I3 I k converge. k
I
LUS~O de acuerdo con el criterio M dc Weierstrass E- es uniformemente k' convergente sobre [ - 1, I ] y. por tanto. s u suma es continua sobre [ - I , I ] . Problemas 1. Determínese el conjuntosobre serles converge.
e)
1
I- 1
las siguientes
el quecadaunade
k 2 expk
k=l
k(k+l)
Xk
.
2. Si I f , es uniformemente convergente sobre un conjunto pruébese que Xfk es uniformemente convergente sobre 8.
8 y 9c 6 ,
3. Si Cf, y 2 g k son uniformemente convergentes sobre u n conjunto Q , pruébese que X(f, + g k ) es uniformemente convergente sobre 8 .
71
Integración y diferenciaclón de
“
n
k=l
521
series
I
3n
;rl
k
5. Pruébeseque Exk esuniformementeconvergentesobrecualquier intervalo [-a, a] donde O < a < 1.
6. Si Cf, es una serie de funciones de RP en R” y fk = (,ji’, . . ., ,fkm)’ pruébese que Cf, es uniformemente (convergente sobre u n conjunto 8 si y sólo si cada una de las series componentes Z j i j es uniformemente convergente sobre A. 7. Si {,fi)es una sucesión de funciones reales que están acotadas y son distintas de cero sobre un conjunto t f y existen números K y r con r
I ’&!& I 6 r
paratodo k > K y todo x € G ,
í;(X)
pruébese que Zfk es uniformemente convergente sobre A
8. Si f ; ( x )
=(-
I
1 ~
k+x2
pruébese que Z f,
2s
unilhrmemente
convergente sobre ( - m , m)
7. INTEGRACIóN Y DIFERENCIAClÓN DE SERIES En esta sección, en realidad en 121 resto del capítulo,consideraremos solamente series de funciones reales de unavariable real. Sabemosque para sumas finitas la integral de una suma es la suma de las integrales y la derivada de u n a suma es la suma de las derivadas. Daremos ahora extensiones de estas propiedades a las series. 7.1 Teorema. Si la serie 2.f; conrerge unfornwmente a,f’sohre e l interr.alo cerrado [a, h] y si cada uno de los fc;rminos fi es integrable sobre [a, b ] . entonces 1 es inregrubie S(JhW [ a , b ] . Además, si y,(x) = f para x ~ [ ah]. . entonces
Zg,,converge uniformemente
[:
j , j’ y ( x ) =
a g sobre [a. b].
i:
f
P R ~ L B AEste . teorema es una consecuencia inmediata del teorema correspondiente para sucesiones (teorema 8.7. pág. 484) usando el hecho de
que si cada
fh
sobre [o, h] e
1
I
es integrablesobre [ u . h] entonces S,, = I/
x
o
.S,,
=
k = l
1
'S
fk
h= I
es integrable
jh,
fa
-0
El teorema 7.1 implica que si X converge uniformemente a,f sobre [u. h] y cadaunode los términos jkes integrable sobre [a.h] entonces f es integrable sobre [u. h] e
1 j = c .1 'b
c 0
7
'h
k- I
o
1h
Este resultadoa ~ e c e sse enuncia como sigue:una serie uniformemente convergentedefuncionesintegrablessobre u n intervalo cerradopuede integrarse término a término sobre este intervalo. 7.2 Ejemplo. Pruébese que I n
I ~
1 "x
=
x x
X
h
h=I
k
-para
,xe(-~. I )
Supongamos que .YE[O, I ) . Como para cualquier tc[O.S ] . l t h l < .Y' y z s h converge. ZI A es uniíormemente convergente sobre [O, x ] según el criterio ,M de Weierstrass.De donde esta serie puedeintegrarsetérmino a término sobre el intervalo [O. x ] por lo que obtenemos
Si .TE( -. I . O). entoncespodemosprobarque Z I h es uniformemente convergentesobre [.u. O] de u n modoanálogo:paracualquier t ~ [ xO]. . jtAl < /XI' y EIxlh converge. Por tanto.
k=O
k+l
523
Integración y diferenciación de series
71
Y
1
En el ejemplo 7 . 2 , podíamoshaberenunciadoque
-= I-X
2 ir
Xk
k=l
k
- para
x € [ - I , 1). Sin embargo, cuando incluimos el punto - 1 en el intervalo, la solución exige algo más queunaaplicacióndirecta del teorema 7.1. i r k x Si X . [ - I , O), entonces - es ulna serie alternanteque converge a, k=L k digamos, f ( x ) . Entonces, de acuerdo Ison 4.5, pág. 510,
Así pues,para
todo
X€[ -
E
> O existe un número N
I , O)
i
a saber, N
=
< e ,siempreque n > N .
If(x)-s,(x)l
lk Esto prueba que Z - es uniformemerlte convergente sobre [ - I , O) y, por k tanto, su suma es continua sobre [ - l., O). Por ello, , f -
I) =
lím
x+-
1
lím
f(x) =
X"]+
~
In
~
1 I-x
= In+.
Hemos, pues, probado que
In
I ~
1-X
=
a
xh
k=l
k
y, en particular,
In+=
-
c
k=L
paraxE[-I,
I)
(-l)k ~
k
o bien
De acuerdo con el teoremasobrediferenciacióndeunasucesiónde funciones(teorema 8.9, pág. 486) obtenemos el teoremacorrespondiente sobre diferenciación de una serie de funciones.
7.3 Teorema. Si ,X/i conrerye u,fsobre [a. h],si cada una de las derivadasj,' e s c ~ n t i n u asobre [a,h], J ' s i C /;' comerge unijorrne!nente sobre [a,h], entonces ,f" = I f , ' sobre [a. b ] .
PRUEBA.Como la deribada de una suma es la suma de las derivadas, este teorema es una consecuencia inmediata del teorema 8.9. pág. 486.
I
~.
1-X-
1 i
=
xk
para x € ( - 1,
I).
k=O
x
k.xk- I . Usando el criterio
-
1 , I ) . Tomemos u n punto
I
Consideremosahora la serie dederivadas: de la razón, tenemos
y. portanto,
k= 1
kxk" converge para x€(
A= 1
cualquiera x € ( - I . 1) y una a tal que / x / < a < 1. Como para cualquier
nos dice que
1 kf' ' %
~
k= 1
es uniformemente convergente sobre
tanto. según el teorema 7.3 (1-f)'
sobre [ - u ,
klk"
-
"
~
h=1
Así pues, para cada X E ( - I . I ) I
~-
(I-X)'
-
1
kxk".
k = l
Problemas 1. Pruébese que cc
a)
I
(-1)hXZk k=O
1
- sobre ( - I , 1 j .
I
+S'
a]
[ - a , a ] . Por
lntegraclón y dlferenciación serlesde
71
525
Sugerencia. I ~ ( - x ’ ) = ( - I ) ~ X ’ ’ . 6) La convergenciadeesta se.riees uniformesobrecualquier valo [ - a, a] donde O < a <: I .
x
(X2k+ -
‘”
d)
1
2k+l
k=O
es uniformemente convergente sobre
[O.
inter-
11
2. Pruébeseque
c) Si m es un entero positivo cualquiera I
-c
(k+rn-l)(,k+m-2)...(k+I)
O0
”
(I-X)“
(m-l)!
k=O
3. Verifíqueseque 1
E m
Xk
k=O
k!
DX
c)
dx =
00
((S)
~
(2k- I ) !
[’(S)
=
m
1
-
1
k”
k=l
k=l
1
-
k
m
k=O
I para S > 1 , pruébeseque
=
-
k
k!
X2k- I
m
k= 1
- arctan
-, para toda x
k=O
d ) DX 1 4. Si
“ 1
Xk
=
-
x
k=l
Ink ~
k”
xk sobre ( - I , I ) .
para
S
>I
(2k) !
, para loda x .
526
8. SERIEDE
TAYLOR
8.1 Definición. Si la ,fitnción f tiene dericudus de todos los órcietws en el f 'k) ( X o ) punto x 0 , enlonces / a serir (I -xo)I' se Ilartra serie de Taylor k=O h! d e / alrededor d e x , ~ , ~
8.2 Ejemplo. Proporciónese la fórmula de Taylorde alrededor de O.
la funciónseno
Si f = sen,entonces j " " = cos, f'" = -sen, j I 3 ' = -cos, I4hf2) sen, en y, general, f ' 4 k ' = sen, I ' = cos, f' - -sen, (4h+ I i f " 4 k + 3 i = -cos. Portanto, f ' 4 h i ( ~ ) = O, j ' ( O ) = I , j . ( 4 k + 2 ) (0) = o, f ( 4 k + 3 ) ( O ) = - 1 y la serie de Taylor del seno alrededor de O es' SOLUCIÓN. =
1 I o+I+o---13+0+--1s+... 3! 5!
=
x
k=O
(-It ~
(2b- I)!
Para definir la serie deTaylordeunafunción alrededordealgún punto x o , todo lo que necesitamos esla existenciade todas las derivadas deJ'en .xo. Sin embargo, es posible que la serie resultante no converja en ningún punto distinto del x. e incluso sila serie converge en otros puntos puede ser que no converja al valor que la función f toma en esos puntos (problema 5). Ahoraestudiemosbajoquécondiciones la serie de Taylor de una función ,f converge a f . Por el teorema de Taylor supimos que si la función ./tiene derivadas de todoordensobre u n intervalo $ y 4, entonces,paracualquier XE 4 y para cualquier entero positivo n ,;
Es, pues, claro que la serie cie Tuylor de faalrededor de x,,conrerge u J ' e n un p m r o X E 4 si J' sólo s i lím & ( x ) = O. n "3 Jc
En la determinación del límite de R,jx) es usualmenteconveniente A la serie de Taylor de una función de Mac Laurin de /; [N. del T.]
/ alrededor de O, eshabitualllamarlaserie
81
Taylor
527
Serie de
emplear lafbrma de Lagrange para el residuo
para algún cn entre x y x. si x # xo.
8.3 Ejemplo. Pruébese que la serie deTaylor converge al seno en toda la recta real.
del senoalrededor
de O
SOLUCI~N Como . el seno tiene derivadas de todos los órdenes sobre toda la recta real. tenemos, para cualquier.XE R y para cualquier entero positivon , sen x =
n- I
1
k=O
I)'
~(X
( 2 k + I)!
+ Rz,+ +
~ I ~
I
(X)
cos C z n + , x Z n fI para algún c Z n +I entre donde R2,,+l(0) = O y Rz,+ , ( x ) k--~ (:2n+ I ) !
O y x si x # O. Así pues, para cualquier x E R,
y, por tanto, lím &(x) = O. Lo que prueba que n-
sen x
=
3:
1
h=O
(-Ilkx 2 k + (2k+ l ) ! ~
I
para cualquier numero
real x,
luego.
En algunos casos, es otra forma del residuo, la llama,/brma de Cauchy, lím &(x). La forma de
la que resulta adecuada para la determinación de
n
-
7.
Cauchypuedederivarsede la formaintegral del residuomediante el uso del primer teorema del valormedio para integrales: si x # x.
528
Serles
donde cn es u n número entre x y x(). 8.4 Ejemplo. Pruébese que (I+x)" = I
para cualquier
serie binomial.
f'l'(X)
x.
ir(u-I)...(u-k+I) k !
k=l
Xh
I, I ) y para cualquier número real a. Se llama a ésta
XE( -
SOLL~CIÓN.Sea / ( x )
+
( I + x ) " . Tenemos.entonces:
=
=
u ( l +x)"",
y, en general, =
f""(X)
/ ' 2 ' ( ~ )=
~ ( u I- ) ( I
-X)"-',
u(u-l)...(u-k+I)(l+x)"-k
Así pues. la serie de Taylor de f alrededor de O es 1 + k- 1
u(u-l).~~(u-k+l) Ik. k!
Usando la forma de Cauchy para el residuo, tenemos K,(x) =
donde
u(u-l).~.(U-n+1)
estáentre O y
Supongamos ahora que
(n-I)! x.
Sea c,
=
/ I +Uxl"" ysia<
Entonces
< (1 +/X()a-l
1.
Por tanto
x
Hx, entonces H E ( O , 1 ) y
x E ( - I , 1).
si u > I ,
(1 +Cn)a-n(X-C")n-I
1 1 + o x ( " - 1 & ( I -lxl)'-l
< 1. Además,
529
Serie de Taylor
81
y lím R n ( x ) = O ya que n-r
m
lim n-rm
1
a(a-l)...(u-n+l)
(n- 1) !
Esto prueba que
(I+x)"
= 1
+
k= 1
a(a-l)...(a-k+l) X k -
k!
para cualquier x€( - 1, 1). Si a es un entero positivo, entonces la anterior serie se reduce auna suma finita y lo que tenemos es simplementeel teorema del binomio. Las funciones que son la suma de su serie de Taylor constituyen una clase importante de funciones y tienen u n nombre:funcionesanalíticas. 8.5 Definición. La función j e s analitica en un punto x. si hay un interralo abierto 9 que contiene a x. tal que f' tiene clericadas de todos los órdenes en 9
En los ejemplos 8.3 y 8.4 mostramos que la función seno y la función ./' definida por f ( x ) = ( I +x)" son analíticas en O.
Problemas 1. Hállense los primeros cuatro términos de la serie de Taylorde las siguientesfunciones alrededor de los puntos que se indican. a)
cos; O
b) tan: O
I
x .f cos; - . 2
ej - ; 1
1
,
2. Proporciónese la serie de Taylor de la función coseno alrededor de O
y pruébese que converge a coseno sobre toda la recta real.
3. Proporciónese la serie de Taylor de In alrededor de I y pruébese que converge a In sobre {O, 21. Sugerencia; úsese la forma de Cauchy del residuo. 4. Pruébeseque
530
Series
[Cap. 9
h) ( 1 -x2)-'
c) Laconvergencia de la serie de la parti: h esuniformesobre cualquier intervalo [-a. a] donde O < a -< 1. d ) arcsen .Y
+ 1 ( - I ) (-4)( - $ ) . . . ( 1,
= x
-4-k-t
A
1)
k!(2k+l)
A= 1
I).
X Z k i ' . .YE(-1,
e ) Escríbanse los primeroscuatrotérminosdistintosdecerode la serie de Taylorde arcsenalrededor de O y compárensecon la serie de parte d.
5. Sea ,/'l a funcióndefinida por ,!('O) = O y f ' ( x ) = , si x # o. Proporciónese la serie de Taylor de,/alrededor deO. i,Para quévalores de s converge la serie de Taylor a , f ( x ) ' ? 6. Pruébese que la5 siguientes funciones son analíticas sobre la recta real: a)
exp
h) sen
i.)
toda
cos.
7. Si f y g son analíticas en xu, pruébese que f+g es analítica en s o . 9. SERIES DE POTENCIAS
9.1 Definición. Una potencias en I - -yo.
2 x
serie de la,fornm
k =O
~ ~ ( 1 - se x ~llama ) ~ serie
de
Así pues, la serie de Taylor de una función alrededordel punto x. es u n a serie de potencias en /-x,. En realidad, toda serie depotenciasque converge en másde un punto es una serie de Taylor.Probaremosesta afirmación posteriormente.
Consideremos ahora
la convergencia de
la serie
z
k=O
ak(~-,~o)A.
Claramente esta serie converge para x = x o . Usamos el criterio de la raíz para determinar si la serle converge en otrospur-tos. Si lim l ~ , l * ' ~ = ~j mtonces para x # x. lím (la,i ~ x - x o ~ h ) l = 'k m
y, por tanto, luk,"k <
-
Jim
531
Series de potencias
91
~ u ~ ( 1 - xconverge ~ ) ~solamente m , entonces
l i m (IUkl ix-xolk)"~
=
el en
punto x,.
Si
lim lakll~~ /x-xoI.
Así pues, si ¡ h lakiljk= O entonces : C ~ , ( l - x , )es~ absolutamente convergente en toda la rectareal. Si O < ¡im J u , J " ~< m, entonces C U , ( I - X , ) ~
¡x-xoI < -
es absolutamenteconvergentecuando
I
Iim lukl
y e5 divergente
I . Enunciaremos en forma de teorema lim [ukl'" acabamos de probar.
lo que
cuando Ix - x o ] >
9.2 Teorema. Si ¡% en
lak,';'
-
=
x,entclnces
el punto xo. Si lím Iukl1~'= O,
Convergentesobre
2
~ ~ ( 1 - convergesolamente x ~ ) ~ k=O
entonces
Z a k ( I - x O ) k es absolutamente
-
( - m , m). Si O < lím IukJ'Ik< m y r
entonces Z ~ ~ ( 1 - x es ~absolutumenrt. ) ~ convergente sobre es divergente sobre (-m, xo-r)
LJ
=-
I
!ím lak\"'
(xo - r , x. + r )
J'
(xo+r, m).
Así pues, si lim ]ukllik < m , C U , ( / - X , ) ~es absolutamente convergente sobre un intervaloabierto: o ( - m , m ) o (xo-r, x o + r ) . Esteintervalo se llama el intervalo de convergencia de la serie. Siel intervalo de convergencia es el intervalo finito ( x o - r , x,)+ r ) , el teorema 9.2 nada nos dice sobre la convergenciade la serieen los puntosextremos - r y xo+r. La seriepuedeconvergir o divergir en estospuntos; la convergencia en estos puntos debeinvestigarse paracada caso particular deserie de potencias que se considere.
x.
9.3 Ejemplo. Determínese el conjuntosobre series de potencias converge:
el quecadaunadeestas
532
[Cap. 9
Serles
I
(k+ 1jk
(I+3)k
converge
( - 2, 2 ) . Investiguemos ahora la convergencia en los puntos Como "
-
2 y 2.
I k=O
serie diverge tanto
la
sobre
k=O
uno como cn otropuntos.
e11
Por tanto,
I
I; - I hconverge sobre ( - 2, 2).
2k
=
1"-( k + 1)2k '
1
-,
el intervalo de convergencia de
i-"
I
( k + 1)2k
L=O
(-1)k"
h=O
k=O
Y
1 I
k
f (-2)=
I k ( 2 )=
" k=O
1
k+l
1
__
k+l
I
Por tanto. 1 -__ I A converge en - 2 y diverge en 2 y, por tanto. (h+
1)2h
esta serie converge en
e ) Como
~mr[
tenemos
j'$A-.
I ( k + 1)22h
x ~ _I _ _es ( - 2 , ( I ; + 1)22h
[ - 2 , 2).
f h
=
I
2
el
intervalo de convergencia de
2). lnvestlgando la convergencla en - 2 y 2,
533
Series de potencias
Y k=O
I
"
(k+ 1)'2'
h=O
series que, ambas, convergen.
Por tanto,
sobre [ - 2, 21.
I (k+l)* Z
1
(k + 1)'2'
l k converge
9.4 Teorema. Si 9 es el intervalo de conuergencia de E a k ( l- xo)', entonces C U , ( / - X , ) ~ es unqormemente convergente sobre cualquier i n f e r d o cerrado contenido en 4.
PRUEBA.Consideremos un intervalo cerrado [a, b] c 4. Para todo x e [ a , 61, Ix-xOl
segúncuálsea
< la-xol
o
Ix-x~I
el mayor.Supongamosque
(a-xo( y Ib-xo(. Entonces \ak(x-xo)"(
< lb-xOl, lb-xo(
es el máximoentre
< /ah(b-xo)klpara toda
x ~ [ ab], y,
como c ( a , ( b - ~ , ) ~converge, ( zak(I-.xo)k esuniformementeconvergente sobre [a,b] según el criterio M de Weierstrass. De acuerdo con el teorema 9.4, lo anterior nos dice que sobre el intervalo de convergencia la suma de una serie d.e potencias es continua. Supongamos que el intervalo de convergencia de I a serie Zak(I-XO)' es 4. Claramente cadaunode los términosdeestaserie es continuosobre 4. Además, si X E 9,entonces existe un intervalo cerrado [a,61 tal que x ~ [ ab] , c 4. Por tanto, usando el teorema 6.5, pág. 519, tenemos: l a suma de la serie de potencias
Eak(/-
es continua sobre .su intercalo de conuergencia.
Usando el teorema 9.4 y el teorema '7.1, pág. 52 I , obtenemos : una serie de
potencias puede integrarse término a tir,mino sobre cualquier intervalo cerrado contenido en su intervalo de convergencia.
Es decir, si f
1 a k ( fm
=
k=O
y [a,b] está contenido en el intervalo de convergencia de esta serie, entonces
9.5 Ejemplo. Exprésese
potencias en 1.
dt como el valor en x de una serie de
Serles
534
[Cap. 9
Por tanto
una
Probaremosahoraque d'jerenciarse término
serie (le potencias
Demostraremosprimeroque
I
h=O
fr;rrl?im sohre
u
1 a k ( l - x c l ) A puede
su
illterrlalo
la serie de las derivadas
de
conrergenria.
1 A-ah(/-,xo)' x
I
A= 1
tiene el mismointervalodeconvergenciaque la serie original. Esto es cierto, ya que lím k ' I k = I implica que ¡6ñ l/¿aki'lA= lím ( a k / ' / ' .Si el intervalo común de convergencia es .Y,entonces, para cualquier .YE . Y hay u n intervalocerrado [u. h] tal que x E [ a , h] c .f.Según el teorema 9.4,
>3
A= 1
kaA(/-.vc,)h" es uniformementeconvergentesobre
segilnel
teorema 7.3, prig. 524. si
.f"
=
,f'
=
[a. h]
y, por tanto,
1 ak(/-xO)' entonces
k= 1
1 ku,(l-xo)k"
h= 1
Hemos. pues, probado el siguiente teorema. 9.6 Teorema. Si urla serie de potencias tiene el intervalo de conrergerrciu 3 , etztonces la s u l m de la serie es continua .sobre Y, la serie puede integrarse tPrminoatérmino sobre c~ralyuier interralo wrrudo contenido serie puede diferenciarse tc;rmino a término en f.
en X ,
y la
El teorema que sigue es una consecuencia inmediata del anterior teorema. 9.1 'Teorema. laSi
>*
lmreryenciu 4 su de f ' alrededor de xg .
serie de potencias tiene el interralo de sunla es f . entonces esta serie es l a serie de Taylor
,
PRUEBA.Para probar que
C a k ( / - - x , ) Aesla
serie de Taylor de,f'alrededor
(k)
.f' ( x ~ ) .Claramente f(.xO) de x o , debemos demostrar que uk = ___ k!
= do.
535
Series de potencias
91
Como la serie puede diferenciarse término a término sobre9,es decir, como
f"
2
kak(I-xO)k-l
= k= 1
sobre Y, tenemos f ' ( x , , ) = a , . La serie de derivadas es también una serie de potencias con intervalo de convergencia 9 y, por tanto, puede diferenciarse término a término sobre 4:
1"'
m
k(k-- I ) u ~ ( I - x , ) ~ - ~
= k=2
'
sobre 9. Por tanto, f"(:x,) = 2 ! a , . Continuando de esta manera podemos demostrarque ak = - f ,IkJ (x,) paracualquierentero positivo k. (Sepuede k probar por inducción matemática.) Y esto completa la prueba. Este teorema prueba que la represlentación de una función por una serie de potencias en /-xO es única: cualquier representación de una función por unaseriedepotencias en / - x , es laseriedeTaylorde la función alrededor de x,. Así pues, si
k=O
k=O
en alguna vecindad de x, entonces ak = b, (k = O, I , . . .). Además, para encontrar la seriedeTaylorde unafunción, no es necesario que los 1
coeficientes se calculen mediante la fórmula ak = - f'"(xo). Frecuentemente k! hay una forma más fácil de obtener una representación en serie de potencias deunafunción y noimportacómo se obtenga la serie depotencias,esa serie es la serie de Taylor de f .
9.8 Ejemplo. Obténgase la serie de Taylor alrededor de I definida por j ( x ) = -. 3x2+2
S O L U C I ~ Como N.
Y
I I 1 f ( x ) = _ _ - - _____
3x2+2
1
O de la función f
536
[Cap. 9
Serles
tenemos
Y
Los teoremas 9.6 y 9.7 tlenen interpretaciones interesantes en términos de funciones analíticas. El teorema 9.7 implica que si la serie de potencias C a , ( l - ~ , ) ~tiene u n intervalodeconvergencia,entonces ia sumade la serie es analítica en xO. Este teorema t a m b i h implica que si f'es analítica en xO, entonces ,f tiene una representación única como una serie de potencias en / - x , . Del teorema 9.6 se deduce que si ,f es analítica en Xg, entonces todas las derivadas de f'son analíticas en x,.
Problemas 1. Pruébese que
bolamente enel
bi
I u::*:,' I
m , entonces zuk(/-x,)k
lux1I
en ( - m , m ) . Si O < lírn
lím __ , entonces Z u k ( l
sobre ( x O - r , x , +
r)
converge
21: k 2 ( f+
!
Ok+ I
Y
~
uk
es absolutamente convergente
y es divergente sobre
2. Determínese el conjuntosobre potencias converge : a )
=
punto x O, Si lim __ = O, entonces ~ a , ( -lx o l k es
absolutamenteconvergente r =
I 'x*:,' 1
lím __
(-a. x o - r ) u ( x O + r , m ) .
el quecada
6)
k=O
f
__ I k
"
I "lk
k=O
7
d )
unadeestasseriesde
k=O
I
k+2
k!
rkIk
f) h=O
3. Proporciónese la serie de Taylor de las siguientes funciones del punto que en cada caso se indica:
alrededor
537
Series de potencias
91
c)
f (x)
=
1
;o
x2+x-2
d ) senh; O sen x
f (x> = -;
e) cosh ; O
X
S(0) = 1
g ) f(x) = sen x' ; O
h) f(x)
=
o
a";
O
(u > O ) .
4. Proporciónese la serie de Taylor alrededor de O para cada una de las siguientes funciones:
b) d)
sen t2d t
Io1 ext-Le-x'
dt .
5. Pruébeseque:
sen x a ) lím -= 1 "-+O x
c ) lím
exl-e-"'
t
t-10
e)
lim (X.Y)+(OOO)
1 - cos x
b) lírn x+
=
2x
o
d ) lím
X
ax- 1 ~
x-o
x
=
=o
lna
1
f(x, y ) = O donde f ( x , y ) = -sen xy,y # O y/(x, O) = x.
Y
6. Pruébese que: a) Si f =
zakIk sobre ( - r , r ) y f e s una función par, es decir, sise tiene f(x) = f( -x) para toda x € ( - Y , r ) , entonces a,,, = O ( n = O, 1, ...). Así pues, la serie de potencias es en este caso una serie de potencias pares de: I.
,
b) Si f = ZakZk sobre ( - r , r ) y f es una función impar, es decir, f(-x) = -f(x), entonces uZn= O ( n = 1, 2 , . . .). Laseriede potencias es, pues, una serie de potencias impares de I.
7. Encuéntrese la suma de
538 10. MULTIPLICACIóN DE SERIES DE POTENCIAS
La expansión en serie de potencias de un producto ,j'sde funciones puede obtenerse multiplicando la serie de potencias p a r a f p o r la serie de potencias para g. Estamultiplicacióndeseriesdepotenciases análoga a la multiplicación de polinomios. Es decir. si f = XakIk y y = CbkZk, entonces
j'q
= ( u O + a , l + a , 1 2 + . . . ) ( b , + b , I - t b , l ' + ...) = aObO+(aOb+ , u , bO)l+(a,bz+a, b , +u,bO)12+
1 m-
=
c k l k donde ck =
k=O
k
2
;
L
0
aibn-j
Con el fin dejustificarestamultiplicación probaremos el siguiente teorema. 10.1 Teorema. Si sun1as a J.
z k=O
I
ak J
k=O
...
deseriesdepotencias
6, son serirs ahsolutatnente conr.er,yenfe.v con
h respectil.anlPtlre, entonces
7
k=O
ch = ab donde ck
k
=
;=O
a j b k -j
.
PRUEBA.Ordenemos los productos ajbk en serie como sigue 10.2
a O h O + a O h , + u , h , + u , b O + a O b , + a , h , + a , b , + a , b+a,bO+ ,
...
Consideremosahora lasseriescuyostérminosson los valores absolutos de los términos de 10.2. Cualquiera de las sumas finitas de esta serie será menor que o igual a
( f I d ) (i ibklj k=O
k:O
Por tanto, la serie 10.2 es absolutamente convergente. Probemos ahora que la suma de 10.2 es ab. Sea t, la suma de los primeros n términos de 10.2. Entonces
y, por tanto, lím tnr = ah. Como ifn} converge y la subsucesión
converge a ab, lím
t, = ah.
Obsérveseque la serie Zck donde ch =
.itn2)
k
ajhk_ j=O
puedeobtenersede la 10.2 porreordenacióndetérminoseinserciónde paréntesis.Como estasoperacionesnoafectan la suma deuna serie absolutamente convergente, 1 ck = ah. Aplicamos ahora este teorema a la multiplicación de series de potencias.
1o1
Multiplicación de series de potencias
539
10.3 Corolario. Si J' = Z U ~ ( I - X ~ sobre , ) ~ el intervalo abierto Y y g = E b k ( I - x o ) k sobre el intervalo ubierto Y', entonces sobre Y n Y ' j'g =
Z~ ~ ( 1 - xd o~r ~) d~eck
k
=
1
j=O
ajb,- .
PRUEBA.Si X E Y n Y', entonces Z.ak(xy C b k ( x - xo)ksonabsolutamente convergentes. Por tanto, segi'n el teorema 1 O. I , ,/(x)g(x) = Cck(x-xo)iB donde ck =
1 ajbk-j. k
j=O
Y esto completa la prueba. El corolario 10.3 implica que si f' y g son analíticas en xo, entonces su producto es f g es analítica en x,. 10.4 Ejemplo. Proporciónense los primeroscuatrotérminosdistintosde cero de la expansión en serie de potencias alrededor de O de ex sen x .
SOLUCI~N.
i
x2 x3 x4 x5 I+x+-+-+-+-++.. 2 ! 3! 4! 5!
120
Estaexpansión
12
24
en seriedepotencias
es válidasobre
toda la rectareal.
10.5 Ejemplo. Proporciónese la expansión en seriedepotenciasalrededor de O de sen2. SOLUC~ÓN.
c o m o sen
1 X
=
k=O
( - I)''
'
r 2k+ 1
(2k+ I ) !
y esta expansión
es válida
540
Series
1
22k+ I
2
=
(-I)"
( 2k
k=O
+2 ) !
12k+2
22k- 1
2
=
[Cap. 9
(-1)k"
k= 1
-I Z k .
( 2k ) !
Esta expansión en serie de potencias puede obtenerse también usando la identidad:
Mediante una operación formal de las series de potencias podemos también obtener la expansión en serie de potencias de u n cociente de funciones, de la composicióndefunciones, y de la inversa deunafunción.Solamente enunciaremos el teorema para cocientes. Los teoremas que justifican estas operacionesde las series depotencias, junto con sus pruebas,pueden encontrarse en los trabajos sobre series infinitas tales como la Theory and Application of In$nire Series de K. Knopp (Blackie, Londres, 1951). Sin embargo, tales cuestiones es más conveniente considerarlas en el marco de la teoría de las funciones complejas. 10.6 Teorema. Si .f y g son analíticas en x. y g(xo) # O, entonces el cociente f%y es una,función analíticaen x. .
Sea f ( x ) = X a k ( x - x o ) k y g(x) = Cbk(x-xo)k. Sabiendo que f(x)/g(x) tiene una expansión en serie de potencias Cck(x-xo)k, podemos determinar los coeficientes ck mediante multiplicación :
1.
Así pues, uk
=
1
j=O
cjbk-j
.
1o1
Multiplicación de potencias series de
541
10.7 Ejemplo. Proporciónense los primeroscuatrotérminosdistintosde cero de la expansión en serie de potencias de tan alrededor de O. SOLUCI~N. Como tan
sen
sen
= -y
cos
1 m
=
(- ilk
k=O
tan tiene unaexpansión en serie
m
ckIk k=O
( 2 k + 1) !
k=O
que es válida en algunavecindad
de cero. En realidad, ésta ha de seruna serie de potencias de potencias imparesde Z yaquetan es una funciónimpar(problema 6 , pág. 536). Tenemos, por tanto,
z 3- " i5 ~"+ + 3! 5!
I~
... =
7!
2!
6!
4!
x ( c l I + c 3 1 3 + c 5 1 5 + c 7 1 7 + ...)
+ 1' Así pues,
c1 =
2!
4!
'
1
c3"-"
2!
1 ; 3!
-
c 5 - 2 !c3 +4?= c15 ? ;
1
4!
Por tanto, tan = I
1
2
6
c5=:-
-
:
3
1 +""1
12024 6
,7-cs+-3-2 c c
2!
1
c 3 = - - - - -
6!
c
1
7!'
1 - 15
1
2
15 1
1
72
720
1 2 17 + -z3 + -z5 + -z7+
3
15
315
...
Un método equivalente para la obtención de la serie d e potencias de tan es mediante el proceso de la división larga. Tenemos x - -. + - 3! 5! tan x = x2 x 4 1--+---+... 2! 4!
- + ...
7!
xb 6!
Series
542
[Cap. 9
Luego, mediante la división larga,
X"
x3 x5 xi + - - - + ... 2 24 720 x
3
S
xi
5
84030 3 x3
--
3
-
x 5 --
6
2
+
-xs
15
si
+ ...
~-
72
4
+ ...
- "x7
31 5
"17'
+
315
17 -x 315
7
f . .
+ ...
Nótese que podemos obtener tantos términos como deseemos de la serie del cociente, pero no tenemos una fórmula para el término general. Problemas 1. Proporciónense los primeros cuatro términos distintos de cero de las expansiones en series de potencias alrededor deO de las siguientes funciones:
b) f ' ( x j = c)
cos x x +5 ~
f ( x ) = ex cos x
2. a) Obténgase la expansiónen serie depotenciasalrededorde de cos'. b) Usando series depotencias,pruébesequesen2 +cos2 = 1.
O
543
3. Usando series de potencias pruébese que a) eXey = ex+Y 6) 2 sen x cos x
=
sen 2x
4. Proporciónense los primeros cuatro términos distintos de cero de las expansiones en series de potencias alrededor de O de las siguientes funciones: a) sec b) tanh .
11. RESUMEN En este capítulo presentamos algunos tópicos importantes de la teoría de series. Consideramos primero la convergencia de series de puntos en R"'. Como laconvergenciadetalesseriesdependedelaconvergenciadelas series componentes, nos restringimos a la discusión de las series de números reales y desarrollamosunoscuantoscriteriosde convergencia paraestas series. Este tipo de serie es importante para el cálculo. Además, un estudio de laconvergenciadeseriesde números realesnos da una base para el estudio de la convergencia de series de funciones. El concepto de convergencia uniforme cobra importancia cuando estudiamos las propiedades analíticas de las series de funciones. Enfatizamos un tipo particular de series de funciones "las series de potencias- ya que laexpansióndeuna función en una seriedepotencias es un método importante para la resolución de muchos problemas. Mediante el uso del teorema de Taylor podemos determinar si una función tiene una representación en seriedepotencias; es decir, si una función es analítica.Este teorema también nos provee de un método para encontrar la expansión en seriedepotenciasde una función analítica,aunque,como hemosvisto, puede que haya procedimientos más sencillos de obtener la expansión.
Problemas de repaso
1. Determínense si las siguientes series convergen o divergen. a) f k 3 + 3 k k+3 k=l 2kf2 k= 1 2k2-5 k+3
2. Obténgase el valoraproximadode
la suma dé laserie
error de truncación menor que 1 x 3. Determínense los valoresde
x para losquelaserie
x
1
k=l
,
k
1 k=1
converge.
con un
(x-l)k k3k
544
[Cap. 9
Series
4. Pruébeseque
" 1
k=1
I
-
k"
es uniformementeconvergentepara
x ~ [ a.o) ,
donde u > O.
5. Si Cfk es uniformementeconvergentesobreunconjunto & y la función g es acotadasobre 8,pruébeseque Xgfk es uniformemente convergente sobre &. 6. Sea Y el conjuntodetodas las funciones reales acotadas definidas sobre un conjunto 8. Si f' y g están en Y, definamos
llf-sll a)
=
sup If(x)-g(x)l.
x
€8
Pruébeseque 1 ) l l f - - g l l 3 O ; IlJ-glI
2) llf-YII = 3) llf-sli 6
=O
implica f
=g
sobre 6
11s-fll ll1"~~ll+ l l ~ l - d l .
6) Si f k E 9 (k = I , 2, . . .) pruébeseque C j i es uniformemente convergente sobre d a la función ~ E . si Y y sólo si para cualquier E > O existe u n número N tal que
<
~ ~ j ' - - . s n ~ ~c
siempreque n > N .
lntegales impropias I. INTRODUCCI~N
Recuérdesequelaintegraldefinid.asolamente lo está para funciones acotadas y sobre un intervalo finito. La definición de la integral definida de Riemannno puede aplicarse ni en el caso en que la función no es acotada ni en el caso en el que el intervalo es infinito. Cuando éste es el caso, la definición de la integral se generaliza tomando la integral sobre intervalos finitos adecuados sobrelos que la funcihnes acotada y considerando después el límite de estas integrales. Si el límite existe, la integral generalizada se dice que converge y si el límite no existe, se: dice que diverge. Tales integrales se llaman impropias o infinitas. Aparte de lasintegralesimpropias, en este capítulodiscutiremoslasintegralesdependientesdeunparámetro.Una integraldependientedeunparámetro define unafunción cuyo dominio
546
impropias
[Cap. 10
Integrales
es el conjunto de valores del parámetro para los que la integral está definida. Trataremos cuestiones sobre la continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad de tales funciones. En todo este capítulo, las integrales consideradas serin integralessimples(unidimensionales).
2. INTEGRALESIMPROPIAS Mucho de lo que fue discutido en el capítulo 9 respecto a series infinitas tiene un estrecho paralelo con las integrales impropias (infinitas). Para las integralesimpropias tomamos la integralsobreintervalos finitos sobre los que el integrando está acotado y luego consideramos el límite de estas integrales. Para series finitas tomamos sumas finitas "las sumas parcialesy luego consideramos el límite de estas sumas. Supongamosque ,f es integrablesobre [ u , h ] paratodo O u y sea F(b)
=
J:'
jab
r
f d o n d e b e l a , m). Entonces J'se llama
integrul impropia
( i n j n i t u ) d e primera clase. Decimos quej'converge
en tal caso el valor de
:j
2.1
Si lím F no existe, m
corresponde a
1 = lírn F ( b ) = lím
I::
b-.a
' '
1 se
ffi
.c
f .
dice que diverge. Eí número F ( b ) = n
la suma parcial
F corresponde a lím
b-rm
si lírn F existe y
S,
= k= 1
ak deunaserieinfinita
x
2.2 Ejemplo. Evalúese
1:
x" dx,
(a
f
y lím m
la suma, de la serie infinita.
S,,
I::
> O).
SOLUCI~N Para . n # - 1,
Si n >
-
1, entonces lírn F =
la integral converge y
u^
00
e
xndx diverge; si n < an
z
xndx = -
-.
+1
n+l
-
1, entonces
Integrales impropias
21
Para n = -1, F(b) =
y como lím F m
= m , la
Supongamosque
Jub
$
=
547
In b - I n a
integral diverge.
f es integrablesobre
a 6 b y sea
[u, b] paratodo
f . El valor de la integral impropia
existe. Así pues
2.3 2.4 Ejemplo. Evalúese
e*dx.
m
luo
SOLUCI~N.
I:m
jr
exdx = ]ím
eXdx = lím
u+-m
u-+ - m
lo
=
ex
lim [l-e"]
=
a+-m
u
1.
Supongamos que f es acotada e integrable sobre todo intervalo donde c e l a , b), pero no acotadasobre
[ a , b) y sea Fjc)
b
c ~ [ ab). , Entonces
[
f' se llama inlegralimpropia
J.
./ab
b-
2.5 Jab
2.6 Ejemplo. Evalúese
SOLUCI~N.
f
=
lím F ( c ) = lím
c-tb-
c-b-
j: f.
, donde a < b.
S:
de segunda
f es lím F sies que este límite existe. Asi pues
el valor de
=
[a,c ] ,
f donde ciase y
548
Integrales impropias
[Cap. 10
Sea f’ acotada e integrable sobre todo intervalo [c, 61, donde peronoacotadasobre
(a,
jab
f’ se dicequeconverge
es lím
I;,
”+
jab
2.7
j:
/donde c t ( a , h ] . Entonces
si lím F existe, y entalcaso
es decir,
a-
b ] y sea F ( c ) =
,f = liln F ( c ) = lir n
Si Ilm E‘ no existe ai
c-a+
?+u+
c ~ ( ah,] ,
el valorde
ICb
,f.
J‘ be dicequediverge.
2.8 Ejemplo. Evalúese
lb
ti x
n
(x - u)3’2
, donde a < b.
SOLUCI~N.
Luego la integral diverge. La integralimpropia
J se define como
u n número real cualquiera. Si ambasintegrales entonces
i’
J’
J
I“
(1
-m
J eJ
a
J’se dice que converge y si cualquiera de las dos
diverge,entonces --
j:z +:jr.;
{Irn
J’ se dicequediverge.
/donde a es j ’ convergen,
ja -m
f o j mf
Podemosprobarque
independiente de la eleccion de u como sigue : como
se sigueque si una de las dos integrales
otra también converge. Análogamente,
Ja
f a
J’ o
J
rc
converge,entonces la C
f o ambas convergen
21
549
Integrales impropias
o ambas divergen. Por otra parte, como
j:f e
j:, f
se sigue que
=s.'/
=
S_ f j:, I + ;j =
y el valorde
Sr,
S_
J'
+ j;f
f
=
-
j; f ,
jImf + J:
f
f esindependientedelaeleccióndelnúmero
u.
Finalmente, si la funciónftiene infinitas discontinuidades en un número finito de puntos xl, . .., x, donde u 6 x1< x2 < . . . < x,, < b, definimos la
c
integralimpropia
jabf=:j
f
+
f como sigue
j:; + j1.i+...+ f
Xn- 1
f
+jxn J'+ j1"l Y,-
1
donde y i esalgúnpuntoconvenientementeescogidoentre xi y x i + ,. Si todas las integrales del segundo miembro de la ecuación anterior convergen, entonces
jabf
valores delas
sedice que converge y tieneunvalorigualala
suma de los
Si cualquiera de las
integralesdeestesegundomiembro.
integrales de la derecha diverge, entlonces se dice que
f diverge. Tenemos
jab
una extensión obvia si a = - 00 o b = co. Toda integral impropiadeltipo 2.3, 2.5 o 2.7 es equivalenteauna integral impropia de la primera clase. .f
Las integrales del tipo
S'
r
puedenreducirseaintegrales
W
de la primera clase por el cambio de variable y 2.9
-02
f(x)dx
=
lím a-02
f (x) d x = lím a+m
ja -b
=
impropias
"x: W
J'( - y ) d y =
-b
f(-y,dy.
Si f es continua sobre [a,b ) , pero no acotada sobre [a,b ) , entonces la integralimpropiadesegundaclase
,f, puedereducirseaunaintegral
[Cap. 550
impropias
Integrales
Si f es continua sobre la integral impropia
i:
( a , h],
10
pero no es acotada sobre
( a , h],
entonces
/ puede reducirse a una intelyal impropia de primera 1
clase mediante el cambio de variable y
=
:
~
x-a
Como todotipodeintegralimpropiapuede,mediante u n cambio adecuado de variable, transformarse en una integral impropia de primera clase, enunciaremos y probaremos todos nuestros resultados para este caso. Los resultados para los otros casos pueden darse como corolarios. Comouna simpleconsecuenciade los teoremassobre límites en m , tenemos el siguiente teorema. 212. Teorema. Si ,f y y esfdn acotadas sobre [ a , c o) e
convergen 1)
2)
J: J:
ambas,
entonces
(]“kg)converge e
;j
c,f
converge e
(f’+g)
1:
=
Cf
para cualquier función constante c.
J; = c
.f’
:j
2
j-.
f
B;
21
impropias
551
Integrales
PRUEBA.Como para toda b ~ [ am, )
b-r m
b+m
Además, como b+ m
b-oo
Laintegraciónporpartes es amenudo útil en la evaluacióndelas integralesimpropias. Si f y g tienenderivadascontinuassobre [a, m), entonces, para todo be[a, m )
jabfu'
b
= J'lUl
-
jabS's
'
Si se sabe que dos de los tres límites: b-'m
b-rm
b- m
existen, entonces el tercero también Iexiste y
2.13 2.14 Ejemplo. Evalúese
J:
xe-x k c .
SOLUCI~N. Si integramosporpartestomando obtenemos
g'(x) = e-x, y g(x) = -e-x,
SR
x e - x d x = lím b+m
=
íb
y
O
x e - x d x = lím ( - ~ e - ~ ] ;
lim -e-"] b-rm
f ( x ) = x, f ' ( x ) = 1,
b- m
b
O
=
1.
+
552
Problemas 1. Evalúense las siguientes integrales impropias:
c)
J
R=
2
dx x4+4x2 ___
i’ ?’
f’) 11)
=
o
k)
i’
dx
___
1)
2
J P
1
rm
d)
3. Encuéntrese el áreadecadaunade
abajo aparecen, si es que tal área existe.
tX-2l3 xdx
1+x2
111 x -“x x
i’:
x dx
a-
dx
__
J1
i’J 6
In x d x .
las regiones no acotadas que
1 < x < m, O < y < eCx]
~1) {(x, y ) O
d )
2x-1
__
J(x,y ) / O < x < 4,o < y < ___ x3‘2 \ 1 JGJ
31
convergencia de Criterios
553
y divergencia
4. Encuéntrese lalongituddearcode para &[O, m).
la espirallogaritmica
r
=
e-8
5. Demuéstrese, integrando por partes, que
S:
x"e"xdx = n ! .
6. Pruébese, integrando por partes, que
n! 2 7. Pruébese que si F es una función monótona acotada sobre el intervalo [u, a), entonces lírn F existe. Si F es nodecreciente (no creciente)
1
m "
lím F = sup { F ( x ) I XE[U, a)] (ínf { F ( x ) x ~ [ am)]). , 'x
3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA PARA LAS INTEGRALES IMPROPIAS Comoconlas convergenciade
seriesinfinitas,necesitamosalgunoscriterios la integral
S:
f quepuedanexpresarse
para la en términos del
integrandof. En esta secciónobtendremos algunos criterios de convergencia. Para una serieinfinita C a n , tenemos lírn a, = O comounacondición m
necesaria de convergenciade la serie (3.1, pág. 497). Para lasintegrales impropias se tiene un resultado análogo. 3.1 Teorema. Si f es continua sobre [a, m ) y lírn
lim f = 0 es una condición tlecesaria paru m
co
f existe, entonces
la convergencia del:
f.
PRUEBA.Supongamosque lím f = L # O. Si L > O, entoncesexiste un número N 3 u talque f(x) > +Id paratodo b con b > x, > N , tenemos
I;, S,; f>
Como lírn Q L ( b - a ) b-rc
=
co,
x > N . Paratodo
1
+L. = + L( b - x , ) . f' también diverge.
x,,
Ahora bien,
c
f' =
[Cap. 554
impropias
Integrales
f de modo que
pruebapara
[:
c.
lim h-?r
f' =
LC
implica líln
.i:
h- x
c
10
f
= m.
La
L < O es análoga. Lasdesigualdadesestáninvertidase
f' = - m . Portanto,
si
I_. # O entonces
, j diverge.
Sabemos que paralas series infinitas lím u,,
=
para la convergencia de la serie Xun. Tambiénaquínosencontramos que lím 1'= O no escondición
i::
O no es condición suficiente
3
suficiente para la convergznciade
f.
0
Para n c [ - 1 , O), l í m x" = O, pero como vimos enel ejemplo 2.2, pág. 546,
:[
x-
.xn
Y,
cix ( u > Oj, diverge para
II
3
La convergencia de la integral
-
1':
I.
f' no siempreimplica
que ¡ím
.f'
= O.
7
Puede ser que el límite n o exista. Como se muestra enel siguiente ejemplo, [a, a),
en incluso cuando .f es continua y no negativa convergir aunque lím f no exisla 5
n-1
n-l+--,1
n
n+-
FIGURA 1
1 (ll+l)'
3.2 Ejemplo. Pruébeseque si 2n2(x-rII+l) 1 n-l
IC paratodoenteropositivo
n , entonces
1:
+ - 3
2 n2 n - l
.f' converge.
.f puede
31
convergencia de Criterios
y divergencia
555
S O L U C I ~ (Figura N. 1.) La funciónfes continua sobre [O, m) y es acotada: O 6 f ( x ) 6 1 para toda X E [ O , m). Por otra parte lím f n o existe ya que en m
toda vecindad de c o , f toma todos los valores entre O y I ambos inclusive.
J:
Como 1‘es unafunción
no negativa, F ( x ) =
áreabajo
f sobre el intervaio [n - 1, n] es -
para
XE
la gráficade
j” es nodecreciente.
1
1
1
-
2 n2
[n - 1, n],
y como la serie a la derecha converge,
. Luego
F es acotado. Como F es acotado y
el problema 7, pig. 553, lím F =
nodecreciente,deacuerdocon
El
X
1:
f
existe. El criterio básico paralas integrales impropias de funciones no negativas, comopara lasseriesinfinitasdetérminos no negativos, esel criterio de comparación.
3.3 Teorema. Si f y g son continuas sobre [a, m), O 6 f(x) 6 g(x) para toda
XE
[ a , co)e
P m
g converge, entonces 1’ h
PRUEBA.
Sea ~ ( b = )
J u
.f y ~ ( b = )
r b
J
J.
P X
f converge.
g . Como f’ y g sonfunciones
(I
r
no
negativas, F y G son no decrecientes y para todo b e [ a , m),
o 6 F(b) < G(b) <
y.
Así pues F es una función monótona acotaday según el problema 7, pág. 553, m
r
r
3.4 Corolario. S i f y g son continuae sobre [a, m ) , O
todo x [ a , co),e
g diverge, entonces
i::
PRUEBA.Supongamosquef’converge.Entonces,
< g(x) d f ( x ) para
,f diverge.
según el teorema 3.3,
g converge en contra de la hipótesis. Lo que prueba el corolario.
[Cap. 556
lrnproplas
Integrales
10
es a menudo más fácil de
La forma límite del criterio de comparación aplicar.
3.5 Corolario. Supongamos que f y g son continuassobre[a. O < f ( x ) y O < g ( x ) para toda x ~ [ am, ) . 1) Si lím .f - = c 3 O e
m 9
2) Si lím diverge
f
-
r - 9
=
.o) y que
g converge,entonces
c, dondec > O o c = m , eydiverge,entonces
PRUEBA.Damos la pruebasolamentepara el caso c > O. Las pruebas para c = O y c = o son análogas (problema IO).
cy converge y según ei criteriodecomparación g diverge,entonces
r=
el corolario 3.4, J
Y
J'
diverge.De donde
3.6 Ejemplo. i Converge la integral
r=
J.
is r:
diverge.
dx ?
-
S O L U C I ~ Como N. para x suficientemente grande 2" es mucho mayor que x 3 , I
x3
se comporta como - . Así pues, podemos intentar aplicar el corolario 3.5 2" x3 1 con f ' ( x ) = - y g ( x ) = -. Sin embargo, en este caso 2" 2"
-
2"
y corno
.lo
-
d x converge el criterio no puedeaplicarse
Podemos aplicar el corolario 3.5 si tomamos una función un poco mayor
31
convergencia Criterios de
557
y divergencia
para g. Tomando g(x) = (+)”, tenemos lím f- = lím g
m
x-tm
--
x3
x3
-- = 0 ,
=
2”(f)“
“+m
(4)”
Ahora bien
De donde según el corolario 3.5, Como uncaso potencia.
S: ”,:
dx converge.
-
particulardelcorolario
3.5 obtenemos el criterio dela
r
3.1 Corolario. Supongamosque J’ es continuasobre [a, 00) donde a > O y que O 6 f ( x ) para toda X E [ U , a). t) S i lírn x r f ’ ( x ) = c 3 O para algtinnúmero real r > 1, entonces x+m
converge. 2) S i lím x r f ( x ) x+ m
=
c, donde c > O
o
c = co, y r
< 1, entonces
f
diverge.
PRUEBA.Tómese g(x)
=
ejemplo 2.2, pág. 546. 3.8 Ejemplo. ¿ Converge
1
-
Xr
en el corolario 3.5 y úsese el resultado del
1: &$+!
gral dada diverge. El teorema 3.3 y los corolarios 3.4., 3.5 y 3.7 pueden aplicarse a integrales sobre el intervalo < - m , b] usando larelación 2.9, pág. 549. Podemos, además, obtener resultados análogos para integrales impropias de segunda claseusandolasrelaciones (2.10, 2.1 1) entre lasintegrales impropias de segundaclase y las deprimera clase. Damosahora el análogo del corolario 3.5 para integralesdesegundaclase. Otros resultados aparecen en los problemas. 3.9 Corolario.Supongamos
que f y g son continuas sobre [a, 6) y que
558
Impropias
O < f(x) lírn j ' =
b-
b-
9
2 ) S i lím t b-
9
=
c.
.i:
g converge,entonces
donde c
>O o c
= m , t'
PRUEBA.Mediante el cambio de variable y
y que
1;
Supongarnos,
adetruis,
que
y lím y = x .
Si lírn f- = c 3 O e
diverge.
[Cap. 10
todo x ~ [ ab). ,
O < y(x) pura
'I,
b-
1)
Integrales
f' e
[:
:j
f converge
IUb
=
y diverge, entonces
1 ~
, vemos que
b-x
y son equivalentes a
respectivamente. El corolario se sigue entonces del corolario dx 3.10 Ejemplo. ¿Converge
SOLUCI~N El. integrando f ( x )
=
lírn f ( x ) = m . Tomando g(x) =
1 d(1-x> (2+x)
es no
3.5.
negativo
y
1
~
x - + -
lírn x-1-
.f (x) ~
g(x)
- - >I lírn _1_ -
=
o
Js
x'l-
y deacuerdo con el corolario 3.9 la illtegral dada converge si y scilo si dx
converge.Ahora
jd
e
x =
b?-
bien
j%
luego la integral dada converge.
dx
- lim [-2JI-X]b,=2
-
b-1-
31
convergencia de Criterios
559
y divergencia
Aunque el criterio de comparacid'n es un criterio de convergencia para integrales con integrandospositivos., como con seriesinfinitas, podemos aplicarlo para mostrar también la convergencia de ciertas otras integrales.
1
fcc
Dadaunaintegral
, f , laintegral
R
.. I f 1 PW
es unaintegralconintegrando
:j I
no negativo y, por tanto, el criterio de comparación puede aplicarsea Probaremos ahora que
3.11 Teorema. S i
IIf :
si
S:
I
If1
converge, entonces
converge, entonces
PRUEBA.Supongamosque
If1
S:
J:
f
I.
f' converge.
f' converge.
converge.Como - If(x)l
< f(x) 6 If(x)l,
tenemos
Así pues,segun
el criteriodecomparación(teorema
3.3),
converge. De donde
converge según el teorema 2.12. Y es1.o completa la prueba. Decimosque
la integral
r m
J.
f es absoiutarnenleconvergente
si
I'
J
]jl U
converge. Lo que nos dicepor tanto el teorema 3.1 1 es que una integral absolutamenteconvergente es convergente. Es posible que fcomverge, pero decimos que
r m
J.
,f
GS
if'l
( J.
m
.f' converja
diverge, entonces
condicionalmenle convergente.
De acuerdo con el criterio de la integral para series infinitas si f es una función no creciente y no negativasobre
[ l . m ) entonces
I:
f y Cf(k)
o ambas convergen o ambas divergen. Este criterio puede usarse como un criterio para las integrales cuando la convergencia o divergencia de la serie correspondiente pueda determinarse, por ejemplo, con la ayuda del criterio de la razón o del criterio de la raíz.
.c:
El autorsuponequef'está
definida para toda b ~ [ aw>. , [ N . del T.]
560
Impropias
Integrales
3.12 Ejemplo. Determínese si la integral
i'
[Cap. 10
x
--u" converge o no
',
3
SOLUCI~N El. integrando es no negativo y decreciente en [ I , m ) . Sesatisfacen,pues. las condiciones del criteriode la integral. Ahora bien
de modo queX , f ( n ) converge y, por tanto, la integral dada también converge. Del criterio para las series alternantes podemos obtener u n criterio que es a veces útil parademostrar la convergencia deunaintegralen que el integrando va cambiando de signo.
3.13 Teorema. Sea ,/' continua sobre [ b , . m ) y sea { b k ] una slrcesión creciente de ceros de f' tal que lírn b, = c .Si ,f no cambia de signo sobre el interralo [bk, b, , ] para toda k J' si { u k }, donde
es una sucesión
no
creciente de términos positiz.os talesque
lím ak
=
O,
PRUEBA.Por el criteriopara series alternantes(págs. 505 y 511) sabemos n
que Z ( - I
) k +
entonces Is-s,/
u, converge a una suma S y que si S, =
<
j:l 1
k= 1
Queremos probar que dado
a,?+ I ,
número M 2 b, tal que s ~
-
.f'
1(
-
I )k+
ak
=
lb:
+
f,
'
un e > O existe un
< E siempre que x
3 M.
Ahora bien,
como lím ak = O, dada E > O existe url entero N tal que a,, < 4 2 siempre que n > N . Si x > M = b,v+,, existe u n entero n >, N tal que X E [ ~ , + h,, 2 ) . Entonces
31
convergencia Crlterios de
3.14 Ejemplo. Pruébeseque
y dlvergencia
sen x
561
dx converge
SOLUCI~N Sea .
Entonces
Y
Luego lím uk
=
O y la sucesicin
teorema 3.13. Por tanlo,
{uk)
satisface las condiciones del
dx convergc.
Problemas
1. Determínese si las siguientes integrales convergen o divergen.
dx
dX
x2+4x+4
J.2- u 2
2. Establézcase el criterio de la potencia: sea sobre todo interrralo [a, c] don& a < c < 6, y sea r
,/
continua y no negativa número real.
ut1
562
I ) Si lím ( b - x ) ' f ' ( x )
=c
2O
pura r
x+b-
2) S i lím
( b - x ) ' j ( x ) = c donde c
x-tb-
Jab
[Cap. 1O
Integrales impropias
< 1,
>O
f converge.
entonces l
b
o c = m , para r
> 1, enlonces
f diverge. o divergen.
3. Determínese si las siguientes integrales convergen
jzdx
n .
b)
o
x*-4
dx x +senx
Jo
J ( x - 1 ) (2-x)
4. Enúncieme los análogosdelteorema3.3 integrales impropias de segunda clase.
y delcorolario
3.4 para
5. Prutbesequecadaunadelas siguientesintegralessatisfacelas condiciones del criterio de la integral y aplíquese el criterio de la razóna las series correspondientes para determinar la convergencia o divergencia.
j
x3+3x ~
1
5"+2
d)
dX
j;
2"dx. 3" + x
6. Pruébese el criterio de la raíz s i f e s continua sobre [a, m ) y
]ím ~ . f ( x ) l " " = L. < 1 , X-m
entonces
j:-
f
es absolutamente convergente.
7. Aplíquese el criterio de la raíz del problema 6 para probar la convergencia de las siguientes integrales. a)
j':
e-02X2
cos bxdx ( a
Sugerenciu : hágase
In
1
-
X
O)
= u.
cosh bx d x
(a
O)
41
Integrales definidas dependientes
563
paremetro de un
8. osese el criterio del teorema 3.13 para establecer la convergencia de las siguientes integrales. a)
c)
jI
( a > U)
xe-ax sen x d x
jr
O) d)
sen x 2 dx
I
dx m
sen ax cos bx
I
X2
dx .
9. Lagráficadelaecuación y 2 ( a - x ) = x 3 se llama“cisoidede Diodes”. Establézcase cuál es la integral para el área entre la cisoide y su asíntota. Demuéstrese que la integral es convergente y evalúese. Sugerencia : hágase x = a cos2 O.
10. Supongamos que f y g son continuas sobre [a, co)y que O O < g ( x ) para todo x ~ [ am, ) . Pruébese que:
< f(x)
y
g converge, enlonces
g diverge, entonces
4. INTEGRAJLES DEFINIDASDEPENDIENTES DE UN PARAMETRO Sea f una función continua sobre el rectángulo
9?= { ( x , y ) ( a < x < b , c < y < d } y sea F la función definida sobre
F(y)
=
[c, dl según la regla de correspondencia
Jab
/(x, y)dx.
Primerodemostraremosque F es continuasobre [c, dl. La continuidad de F sobre [e, d ] implicaque F es tambiénintegrablesobre [c, dl. Si aceptamos la hipótesisadicional deque D,f es continuasobre 9, probaremos que F es diferenciable sobre [c, dl. 4.1 Teorema. c
Si f es continua sobre el rectángulo
< y < d}, enloaces
PRUEBA. Para todo
F(y) = YE[C,
92 = {(x,y ) 1 a < x
< b,
f(x, y ) d x es continua sobre [ c , d l .
dl fijo, la función g definida por g ( x )
= f(x, y )
564
tmpropias
[Cap. 10
Integrales
es continua y, por tanto, integrable sobre [a,b]. Así pues, F está definida sobre [c, dl. Como f es continua sobre el conjunto cerrado y acotado 9, f’es uniformemente continua sobre &, y para cada E > O existe una 6 > O tal que
siempre que y + h ~ [ cdj , y lhl < 6. Lo que completa la prueba. 4.2 Teorema. Si las ,firnciones f’ y D,j son continuas sobre el rectúngulo 39 = ((x, y ) 1 u
6, c 6 y 6
d ) , entonces F ( y ) =
f ’ ( x , y ) d x es {ab
diJerenciable sobre [ e , u‘] J’
DYla’ J(x, y ) d x = F ’ ( y ) =
D,fjx, y ) d x
sobre [c,
Job
PRUEBA. Sea g ( y ) =
dl.
job
D, f’(x, y ) dx sobre [c, d l . Por el teorema 4. I
supimos q u e g es continua sobre [c, d ] ya que D , f es continua sobre 9. Por tanto, para ~ E [ cd, ] , g es integrable sobre [c, y ] e D z / ( x , u ) d x du =
j
‘b
=
[ f ( x , L’)-f’(X,
c,]dx
=
F(y)-F(c).
U
El cambio de orden de integración está justificado ya que D,J’es continua sobre B (teorema 9.3 y corolario 9.4, pág. 355). Diferenciando miembros lados de la anterior ecuacion, obtenemos porel primer teorema fundamental del cálculo F ’ ( y ) = g(y) =
jOh
D2.f‘(x, Y ) d x .
41
Integrales definidas dependientes un de
565
parámetro
4.3 Corolario. (RegladeLeibniz.) Si f y D,f son continuassobre el rectángulo 9 2 = {(x, y ) 1 a < x < b, c < y < d ) y las funciones g y h son diferenciables sobre [c, dl con g ( y )[a, ~ b]y h ( y ) € [a, b]para todo Y E [c, d l ,
entonces F ( y ) D,
j
“Ny)
=
f ( x , y ) dx
f (x, y ) d x es dijbrenciable sobre [c, d
l
y
S(Y)
=
F’(Y) D2J’(x, y b ~ x + f ’ ( W , yl i~ ’ ( y j - f ’ ( g ( y ) 3Y ) g ’ W .
PRUEBA.Sea G ( u , u, y )
=
1:
f ( x , .y)&. Entonces F ( y ) = G(g(y), h ( y ) , y).
De acuerdo con el primer teorema fundamental del cálculo
Y
D,G(u, u, Y )
a ” 11 au .,u
= -
De acuerdo con el teorema 4.2,
.f(,x, y ) dx: = f ( u , y ) .
566
[Cap.
g ) ~ ( y =)
2. Sea F ( y )
impropias Integrales
.
j
=
y2
O
arctan
1:
j:
Y
11) F ( y ) == / y
dx
cos 4'
( y 2-x2)"dx :
eXYdx. Evalúese E' y luego dii'erénciese tanto en
la forma integral como en de
X
10
la forma evaluada. Obténgase de aquí
el valor
xeXyd x .
3. Pruébese que si w ( t ) satisface la ecuación diferencial con coeficientes constantes: ~ [ ~ ( t =) x] ( ~ ) ( ~ ) + u , x ( ~ - ~ ...) (+za), -+, x ' ( t ) + u , x ( t )
=o
y las condiciones iniciales:
entonces
J:: io1 m, x(t) =
w(2-S) f(s)ds
satisface la ecuación diferencial L [ x ( t ) ]= ,f'(t). 4. Sea F ( y > =
xy- 1
d x . Encuéntrese F ' ( y ) y evalúese la integral.
Partiendode F ' ( y ) evalúese F ( y ) . ¿Cuál esel dominiode F ? 5. Sea F ( y )
=
j ( x )dx.
Pruébese que
F ( 0 ) = F ' ( 0 ) = t.. =
6. La funciónde Bessel Jo puede definirse por la regla de correspondencia
Integrales impropias dependientes de
51
un paremetro
Pruébese que J, satisface la ecuación diferencial (ecuación J,”(x)
567
de Bessel)
+ -1 J,,’(x)+J,(x) = o . X
Sugerencia: intégrese J,,’ por partes. 7. Supongamos que y satisface la ecuación integral Y(X) =
26~-10+6
sd
(t-x) Y(t)dt.
y y resuélvase para y.
Encuéntreselaecuacióndiferencialsatisfechapor
8. Supongamos que y satisface l a ecuación integral
y(x)=
+J”
Px
1-2x-4x2
O
[3+6(x-t)-4(~-t)~]
y(t)dt.
y . ¿Cuálessonlas
Encuéntreselaecuacióndiferencialsatisfechapor condiciones iniciales y(O), y’(0) y y”(0) ?
9. Resuélvase la ecuación integral y ( x ) = a sen x
+
10. La integralelípticaincompleta regla de correspondencia
S:
sen (x - r) y(t) d t . deprimera
clase se define por la
, 06kGt. Pruébese que: a)
F(z, k ) crece con k para z :> O
6) lím F(+.rr,k ) = k-I
OO.
5. INTEGRALES IMPROPIASDEPENDIENTES DE UN PARAMETRO En la sección previa las integrales consideradas eran integrales definidas. En esta sección extenderemos los resultados obtenidos allí a las integrales impropias. Recuérdese que cuando consideramos cuestiones de continuidad, integrabilidad y diferenciabilidad de series infinitas de funciones,se introdujo el concepto de convergencia uniformle para obtener condiciones suficientes que nos asegurasenestaspropiedades. De nuevointroduciremoseste
[Cap. 1O
lmproplas Integrales
568
concepto de convergencia uniforme en las integrales impropias para proveernosdecondiciones suficientes y asegurarnos la continuidad. integrabilidad y diferenciabilidad de las integralesimpropiasdependientes de u n parámetro. 5.1 Definición. Sea E un c,onjunto denúmeros
(ir R' en R tiefitlidasobre
[u,
m ) X R . La i n t e g r a /
existe un número ,Y t a l que pura todo . F E & ,*h
que J
O
6
=
[I,
1' convergeuniformemente a I
'
S O L U C I ~ Tomemos N. una
Ahora bien, e - h <
E
1 N = In - , entonces
E
>O
1
5.2 Ejemplo. Supongamosque l-0
f' se d i c e q u e es
C: si para cada
uniformemente convergente a F' sobre el conjunto I
r
reales y sea f ' una función
t' >
51 y
f (x, 4') = L
X
v
.
Pruébese
sobre [ I , S].
O. Si y ~ ; [ 51, l , entonces
si -b < In e, esdecir,
si h > -In e. Así pues, si
E
Probaremosahoraque si la integral deunafuncióncontinuadedos variables converge uniformemente a una función F sobre u n intervalo [c, d ] , entonces F es continuasobre [c, d l . Este teoremaes el análogo del teorema 6.5, pág. 519, sobre la continuidad de una serie uniformemente de funciones continuas. Generaliza el resultado del teorema 4.1 a las funciones impropias.
r
5.3 Teorema. SI f' es confinua sobre la franja ,9= ((x, y ) j x ~ [ aco ,) YE
[c, d l ) y F(y) =
f ( x , y ) d x conuergeuniformementesobre
entonces F es continuu sobre [ c ,
[c. d l ,
dl.
PRUEBA. Sea y un punto cualquiera de [c, d ] y sea
E
> O. Deseamos probar
51
569
Integrales impropias dependientes parámetro unde
Según el teorema 4.1, pág. 563,
f ' ( x , y) L / S es continuasobre [c, d ] . Así
pues, existe una d =. O tal que
siempreque y + h ~ [ cu'] , y 1/11
+
J , + / ~ E [ cu'] ,
I
1 i'h
&
E
&
3
3
3
<"+--+"=E.
Y esto completa la prueba. La prueba más sencilla para la convergencia uniforme de
las integrales infinitas es la correspondiente al criterio M de Weierstrass para la convergencia uniforme de las series infinitas.
5.4 Teorema. S i
/
m
M ( x ) d x converge
absoluta y unijormemetlte sobre
[c,
J
si If(x, y ) /
a
r m
J
a
M(x) yuru toda
dl.
PRUEBA. Por el criterio de comparación (teorema .f J /(x, y ) d x esabsoitriamenteconvergenteparatodo F(y)=
<
J'(x, y ) d x . Si / f ( x , y ) / d M ( x ) paratodo
3 . 3 , pág. JE[C,
dl.
555), bea
x > N , y para
570
impropias
Integrales
[Cap. 10
todo ~ E [ c ,d l , entonces para todo JIG [c, d ] y para todos los números b , y b , tales que b , > 6, > N , tenemos
'Iómese un
1 :'
> O cualquiera. Como
E
número N 3 N , tal que
[
M ( x ) d x converge, existe un
X
M ( x ) d x < e siempre que b , > N . Luego para
Lo que prueba que
f ( x , y ) dx
es
uniformemente convergente
sobre [c, dl. 5.5 Ejemplo. La"función
gamma" está definida por la integralimpropia
ros) =
1:' x)"
e - x dx
(Y
> 0).
Pruébese que la función gamma es continua sobre (O. m).
SOLUCI~N Probaremos . primero que
F ,( y ) =
1:'
es unicor-
xY-l
memente convergente sobre [O, dl para todo d > O. Luego F, es continua sobre [O, u'] para todo d > O. Por tanto, F, es continua sobre [O, dl y como d es u n número positivo arbitrario, F , es continua sobre [O, m). Ahora bien, liln x'
,yd-' e - x
x- x
y, portanto,
según el criteriode
xd" e-"dx
converge. Como
= linl x d + ' e - x = 0 x-02
la potencia(corolario O G x."-'
< xd-
3.7, pág. 557) eKx
para todo
Integrales irnproplas dependientes de
51
un parámetro
571
x€[],m ) y para toda ~ E [ O ,d l , F , (y) converge uniformemente sobre [O, dl según el criterio M de Weierstrass. Para y 2 1, ~ , ( y )=
1:'
x Y - ' e " * dx es una integral
definida y la
continuidad de F2 sobre [ I , m ) se sigue del teorema 4.1, pág. 563. Para y < 1 , F2 ( y ) es una integralimpropia.Demostraremosacontinuación que F 2 ( y ) convergeuniformementesobre [c, 11 paratodo ce(0, 1). Luego F2 es continua sobre[c, 11 y como c es u n número arbitrario de (O, I ) , F2 es continua sobre [O, 11. Sea c ~ ( 0 , 1). Entonces
o <. A
.Y-l
para todo ~ E [ c ,I ] y todo
XE
e- X G x c - l
e-x
< xc-I
j:
(O, I]. (Como
x c - ' dx converge para c > O ,
F 2 ( y ) converge uniformemente sobre [c, 11 según el criterio M de Weierstrass. Hemos probado que F , es continua sobre [O, GO)y F, es continua sobre (O, m). Por tanto l- = F , F2 es continua sobre (O, m). Sabemos que para integralesdefinidasdependientes de un parámetro si f es continua sobre el rectángulo 9 = { ( x , y ) I a ,< x d b, c < y < d }
+
c J:" ICd y si F ( y ) =
f(x, y ) d x , entonces
J': F ( y )dy
=
j: job
f(x, y ) dx dy =
f(x, y ) d y dx " e l orden de integración puede intercambiarse. Ademhs,
si.f'y D,,fson continuas sobreel rectángulo 9, entonces F ' ( y ) =
Job
D,f(x, y) d x
" e l ordende integración y diferenciaciónpuedeintercambiarse.Extenderemos ahora estos resultados a las integrales impropias. Paralas integralesimpropiasestasoperacionescorrespondenalaintegración y diferenciación término a término de las series.
PRUEBA.Como f es continuasobre 9 y laintegralimpropiaconverge uniformementesobre [c, u'], F es continuasobre [c, d l . Portanto,
jcd
I;(y)dy existe e
f(x, y)dy existe paratodo
x € [a, a>.Queremos
572
Integrales improplas
probar que
Ird
F(y)c/y
=
lím
h-cc
lh ICd
.f(x, .udytix ;
d a
es decir, queremos probar que para todo tal que ~
j:
F(y)dy
-
[Cap. 10
IobICd
E
, J ( x , y ) dydx-
I
> O existe un número N 3
1
a
siempre que O > N .
Ahora bien
Como
:j
, f ( x , y ) d x converge a F ( y ) uniformemente sobre
un numero rV 2 u tal que para todo y
E [c,
dl
E
Lo que prueba que
lCd
loh l:
h - a
f ( x , y)dydx
ib
e-‘”
SOLUCI~N Tenemos .
=
C
5.7 Ejemplo. Sea F ( y ) =
determínese
siempre que b > N .
d
F;(y)d,v= lítn
1
-
-
e-“”sen y x d x ,
cos yx x
dx.
[c,
dl,
existe
51
573
parámetro Integrales impropias dependientes un de
Como le-ax sen yxl < eKas paratodo ~ E R según , el criterio M de Weierstrass la convergencia es uniforme con respecto a y sobre R. Luego podemos cambiar el orden de integración:
1;
F(u)du =
1:
[m
O
e-ax sen u x d x d u =
j:
e-ax
11
sen u x du dx
Por otra parte,
De donde e-ax
1 - cos y x X
1
dx = 2In
(a.)
a2+y2
para y e R y a > O. 5.8 Teorema. Si las funciones f y D , f son continuas sobre la jianja
d
=
{(x, y ) I X E [ a , a), y e [c,
[c, d l , eJ:
D2.f‘(x,y ) d y
es dijkrenciable sobre [ c ,
PRUEBA.Sea g ( y j
=
S:
dl),
1.
J(x, y ) &
converge u
conuerye uv;~(jormementesobre [ c ,
dl
F ( y ) sobre
dl, enroj~cesF
J
D , f ( x , y ) d x $obre [c, d]. Por el teorema 5.3
sabemos que g es continua sobre [c, dl ya que D, f es continua sobre %? y la integral converge uniformemente sobre [e, dl. Por tanto, para y e [ c ,d l , g es integrable sobre [c, y ] e
1;
y(u) du
=
1; I6:
D2j’(x, u ) d x du .
Según el teorema 5.6, el ordendeintegraciónpuedeinvertirse D z f ( x , y ) d x convergeuniformementesobre
ya que [c, y ] c [e, d l .
574
impropias
Integrales
[Cap. 10
=
Según el primer teorema fundamental
F(J-F(c).
del cálculo
Problemas 1. Pruébese que las siguientes integrales convergen uniformemente sobre el intervalo especificado.
2. Sea F ( a , 0)
c
=
eCax sen b x d x , a
> O,
b e R . Evalilese F ( a , b ) y
pruébese que se puede diferenciar con respecto tanto tanto. evaluar:
a
a
como a b y. por
xeCYxsen bx dx
e
3. Sea ~ ( y =)
para ?'€(O,
I),
jb
.i:
integración.Evalúese
:j
cos bx dx .
x y X p 1dx. Pruébesequeparauna
F ( u ) c/u puede evaiuarse cambiando
jay
F ( u ) d u y úsese el
del cilcuio para determinar F ( J ) .
U E ( O , I ) fija y
el orden de
primerteoremafundamental
51
Integrales impropias dependientes de
4. Sea F ( y j
:j &,
e X Y d x .Pruébeseque
=
órdenes sobre ( -
O) : F'"'(y)
1:
=
575
un parámetro
los
F tienederivadasdetodos
x" eXYdx.
Evalúese F b ) y úsese este valor para evaluar x " e x Y d x.
5. Sea F ( y ) =
e " d x . Encuéntrese F ' ( y )y evalúese la integral
para F ' ( y ) . Partiendo del valor de F ' ( y ) determínese el valor de F b ) . 6. L a funciónde puede definirse por
Demuéstreseque modificada)
Bessel modificada de segundaclasedeorden
KO satisfacelaecuacióndiferencial(ecuaciónde
+
1
K ~ " ( x ) -Ko'(x)-KO(x) X
cero
Bessel
=O.
7. Para un entero positivo n, la función de Bessel modificada de segunda clase de orden n puede definirse por Kfl(x) =
X"
e -x
(2n-l)!!
Kn"(x)
+ -X1K , ' ( x )
-
cosh t
senh2"tdf ( x > O)
( +3 1
-
&(x) =
o.
Sugerencia: reemplácesecosh2 t por 1 + senh2 t , combínenselasintegrales, e intégrese una de las dos integrales resultantes por partes.
8. a ) Pruébeseque UE
dx
Jo
(x'
+ U)"+ '
-
es uniformementeconvergente
si
(d, co ), donde d > O y n es un entero positivo cualquiera.
576
Integrales lrnproplas
c)
Dlferenciandorespecto a
CI
[Cap. 10
pruébeseque
para todo entero positlvon donde ( 2 n - I )!! = I . 3 . -S . . . ( 2 ~ I).’ r [’* - e-hr
9. Evaluese [u
Y ,
LIX evaluando
i’
r - i X ~ l xy
probando que
0 0
es permisible integrar aobre el irltervalo [u,h ) , u > U. 10. La función gamma (ejemplo 5.5) esti definida por
r(.v)=
1:
,yv-
J
e? L l U
()
> O).
Pruébese mediante integración por partes que
r(js+I ) Pruébesetambién positivo
que T ( I )
=
=JqJ.)
1 . Dedúzcase de ello que para
rol+I )
un
11
entero
=
6. JLL VALOR DE UNA INTEGRAL CONVERGENTE Si probamos que f = lím h.- 7
!”
!
f converge mediante
uso el
de la delinición
o’
f , entonces obtenemos el valor de la Integral infinita en
(1
!<:
el proceso de demostrar la convergencia. Este método puede usarse solamente en casosenque
ia integral
.f puedeevaiuarse
por unode
los lnérodoa
considerados enel cálculo elemental. Hemos visto que los teoremas de l a sección previa pueden usarse también para la evaluación de las integrales impropias. Sin embargo, este método es de aplicabilidad muy limitada. Si probamos que una integral impropia converge mediante la aplicación de uno de los criterios de la sección 3, entonces, en general, no conocemos el valor de la integral. Sabemos que podemos hallar una aproximación al valor de unaintegraiconvergenteimpropla
/ ‘ c o n errormenorque
un
convergente 61integral una
de
El valor
577
número positivoprefijadocualquieramediante
b suficientemente grande. En estaseccióndaremosalgunas ser b para que
estimaciones sobrecuángrandedebe
J:
f' contal L b
detomar
a
e¡ cálculode
jub
f se aproxime
J' con un grado especificado de preqisión. Es entoncesposible
f numéricamente y obtenerasí
evaluar
un valor aproximadode
L b
Siprobamosquef'es
del errorcometidoaltomar
si
I.f(x)i < g(x)
f.
absolutamenteconvergentecomparándolacon
J"am
laintegralconvergente
l:
j:
g, entomespodemosobteneruna
j: >
estimación
f'como aproximacióndeJ'como
siempre que x
sigue :
N , entonces para b, > b > N
Por tanto 6.1
siempreque b > N .
i numero
1 j:
J' -
J":1 f
sellama
errordetrun-
cacidn. La desigualdad 6.1 nos da una cota superior del error de truncación.
6.2 Ejemplo. Estímese cuán grande debe
aproximea
la integralimpropia
ser b paraque
b 1
G d x se 3"
dx conerrordetruncaciónmenor
que I x 1 0 - ~
SOLUCI~N. En el ejemplo 3.12, pág. 560, se probó que la integral impropia converge. La desigualdad
6.3
$ < 13" xr
se verifica para x Suficientemente grandee
J-::
- convergepara
r > 1.
[Cap. 578
impropias
10
Integrales
Si tomarnos r = 2, entonces 6.3 se verifica para todo x > O. Parahacer
es necesario tomar b > IO4. Así pues, si usamos r = 2, parece que debemos tomar b muy grande con el fin de asegurar una cota superiorsuficientemente pequeñadelerrordetruncación. Si r = 3. entonces6.3 se verifica para todo x > 6 e
para b 3 71. Si r
=
4, entonces 6.3 se verifica para x > 9 e
para b 3 15. Si r
=
5, entonces 6.3 se verifica para x 3 13 mientrasque
para b > 7.07. Es, pues, suficiente tomar h = 13. Si el integrando de unaintegralimpropiacambiaalternativamentede signo,entoncespodemosconstruiruna serie alternantepartiendode tal integral. El teorema 3.13, pág. 560,nosdice que si la serie alternante así construida satisfacelascondicionesdelcriteriode la serie alternante, entonces nuestra integral converge y su valor es igual a la suma de la serie alternante. Sabemos también que la suma de una serie alternante puede aproximarse por una suma parcial con un error de truncación menor que el valor absoluto del primer término omitido.
cos x
6.4 Ejemplo. Estímese cuán grande debe ser n para que
se aproxime a JnI2
7(¡x cos x
con error de truncacihn menor que
dX
E.
n SOLUCI~N Sea . { b k j = (2 k + 1) - y
2
Uk =
(- l)k+
Entonces { a k } es unasucesiónno
’ crecientedetérminospositivos
con
579
El valor de una integral convergente
61
lím uk = 0. De acuerdo con el teorema 3.13,
y el error de truncación es menor que
El error de truncación es menor que
En particular si
E
=
E
si
0.005, entonces tomaríamos n
Es decir, tomaríamos n
=
20 3 > - - - = 4.87. n
2
5.
Nota. En el anterior ejemplo habríamospodidotambiénprobar convergencia de la integral mediante el criterio de comparación:
la
l Sin embargo, si hubiéramosestimado el errordetruncaciónusando este criterio, habríamos llegado a la conclusión de que
1 3 para n > - - - . En particular,para XE 2 rt
200 n
> --
3 2
= 62.66
on
= 63.
E
= 0.0005
habríamostomado
580
Problemas
jobI
1. Úsese el criteriodecomparaciónparaestimarcuángrande
tomarse 6 para que
-
siguientes integrales :
c)
j
E
en cada una de las
Inx l+x2
O0
-dx
s1 1
lnxdx
m
e)
j' sea menor que
debe
h)
I jab
S:
e-x In x d x
I I sab, I & + i
2. úsese el criterio de comparación para estimar cuán próximo a cero debe
escogerse d paraque que
E
.f -
[ab+a,
o
-
f
Jab-'
sea menor
en cada una de las siguientes integrales : a)
lo17 sen x
dx
dx
*I2
o
senx
x
dx
d, l o =
3. Estímese cuángrandedebe sea menor que
E
escogerse 6 paraque
J:
is:
f
-labfl
mediante la consideración de la serie alternante asociada :
sen x
dx
sen x
s
d
x
581
7. RESUMEN En este capítulo hemos considerado ciertasgeneralizaciones de la noción de integral. En el capitulo 6 , la integral definida
jab
f se generalizó primero
reemplazando el intervalo [a,b] en .R por un intervalo en R" y después reemplazando [a, b] por ciertos conjuntosacotadosmás generales en R". Aquí las generalizaciones tomaron direcciones diferentes. Hemos estudiado integrales impropias -integrales impropias de primera clase en que el intervalo de integración es infinito e integrales impropias de segunda clase en que el intervalo es finito, pero el integrando no es acotado. Vimos que en muchos respectos las integrales impropias son completamente análogas a lasseriesinfinitas.Derivamosvarioscriterios de convergencia para las derivadas impropias y se consideraron algunos métodos para su evaluación. Como otra generalización de la integral, estudiamos también las integrales, tanto propias como impropias, dependientes de un parámetro: F(Y) =
S'
!(x,
Y)dx
donde a y b pueden ser númerosreales,funcionesde y o más o menos infinito. Las integralesdependientesde un parámetro ya se noshabían presentado en conexiónconlasintegralesiteradas. Aquíhemosdado condicionessuficientesde continuidad, diferenciabilidadeintegrabilidad de F.
Problemas de repaso 1. Evalúense las siguientes integrales impropias. 'I2
sen x
dx
6)
Pm
J
O
e-%senxdx
dx
2. Pruébeseque laregiónlimitadasuperiormente por la hipérbola xy = 1, inferiormente por el eje X , a la izquierda por la recta x = I , y no limitada hacia la derecha, no tiene área alguna definible. Pruébese también que si esta región se hace girar alrededor del eje X , entonces el sólido de revolución generado tiene un volumen definible. Encuéntrese este volumen.
582 [Cap.
impropias
Integrales
10
3. Encuéntrese el área total limitada por
la gráfica de la ecuación
x 2 y 2 + 2 x 2 - 4 y 2= O
y sus asintotas.
4. Para
a)
m
y n positivos, puede definirse la f u n c i h beta por
Pruébese mediante integración por partes
h) Dedúzcass que para
171
y
tI
que
enteros positibos,
donde r es la función gamma que introdujimos en el ejemplo 5.5, pág. 570. 5. Sean N y D polinomios de grados IZ y d respectivamente. Demuéstrese
que si u es mayorque
D , entonces
el mayorcero(real)de
a.
N(x.1 d x
{U
converge si y sólo si d > IZ + 1 .
6. Determínese si las siguientes integrales convergen o divergen. u:
arctan x
dX
7. Diferénciense cada una de las siguientes funciones a)
J;
cos (xy2)dx
I
’
__
D(x)
71
583
Resumen
8. Sea F ( y ) =
1:
sen (xy)dx. Evalúese F y, luego,diferénciese
tanto
en la forma integral comoen la forma. evaluada. Partiendo deello, obténgase el valor de
9. Sea F,(y)
=
J:
j:
x
CCIS(xy)
dx .
( y - x ) " cos x d x donde n es un enteropositivo.
b) Encuéntrense F,'(y), F,"(y), . . . sin integración, y pruébese que ~ r ' ( y= ) n ! sen y .
b) Basándose en los resultados de la parte a, pruébese que Fnb) =
~!I'(Y)+p n -
donde P , - l ( y ) = a,,+a,y+ grado, cuando más, n - 1 y
1
j ( y ) = ("l) ( - t I+("+
sen y
,011
... + a , - , , ~ ' " ~es un polinomiode
')cos y
para n par para n impar.
c ) Obsérvese que F,(O) = F,,'(O) = . .. = F,'")(O) = O. Useseeste hecho para determinar los coeficientes de P 5 ( y ) y luego evalúese
F,(y)
=
j:
(.y - x ) ~ cos x dx .
10. Pruébese que las siguientes integrales convergen uniformemente sobre el intervalo que, en cada caso, se señala.
c)
yj
te-s'dt;
11. Seaf(s) = a)
S >
o j=
6>0
d)j:tfle-*'dt;n>O,
s>6>0.
e-**dt, para s ~ ( 0 00). ,
Pruébese que f ( s ) =
1
-
S
para s ~ ( 0 m). ,
b) Pruébese que es permisible diferenciar f(s) n veces bajo el signo integral para SE(O, co). c ) Dedúzcase que para un entero positivo cualquiera n y s ~ ( 0co), ,
Ecuacimnes
diferenciales
1. INTRODUCCI~N
Este capítulo es una bkeve introducciónalasecuacionesdiferenciales y en éI queremos conocer lo que una ecuación diferencial es, y comprender lo quequieredecirsecuando se habladeunasolucióndeunaecuacióndiferencial. Nos limitamosaalgunostipossencillosdeecuaciones que pueden resolverse en términos de funciones elementales o cuya solución puede expresarse analíticamente en télrminos de una integral definida. Los problemas y los ejemplos nos demuestran algunas de las formas en que se aplican las ecuaciones diferenciales a problemas concretos, y veremos cómo lasecuacionesdiferenciales,másciertascondicionesiniciales, determinan solucionesúnicas.Lasecuacionesdiferencialesquehemoselegido como 585
586 [Cap.
11
diferenciales Ecuaciones
objetodeestudiosontambiénlasquesirvencomoejemploselementales importantes en ciencia e ingeniería. El problema central en las ecuaciones diferenciales puede describirse en toda su generalidad como el estudio de u n conjunto de funciones definido por el requerimiento de que la función y algunas de sus derivadas tengan propiedades especiales. Por ejemplo, el conjunto puede ser el conjunto de todas las funciones reales con la propiedad de que la derivada de cada una de las funciones sobre ( - P.;, m ) sea la propia función. Este requerimiento puede expresarse por la ecuación
1.1
y’ = y
sobre ( -mJ3, 03)
o por la ecuación escrita como regla de correspondencia
1.1‘
y ’ ( x ) = y(x),
m).
X€<”,
Laecuación 1.1 se Ilzma “ecuacicin diferencial”, y cualquierfuncióncon estapropiedad se llama“solución”de la ecuacióndiferencial. Sabemos que D(exp) = exp. Por tanto, y = exp es una solución de la ecuación 1. l . Podemos también decir que y(x) = ex es una solución, y entender por esto que estamos enunciando la regla de correspondencia de una solución. Sea c una constante cualquiera y y ( x ) = cex, entonces y’(x) = cex = y ( x ) . Por tanto, y ( x ) = cex es una solución para cualquier constante c. ¿Tiene esta ecuación diferencial algunas otras soluciones ? Para contestar a esta pregunta supongamos que u es una solución de la ecuación 1.l. Entonces u’(x)-u(x) =
o
Y e-”(u’(x)-u(x>)
= D,(e-”u(x)) = O .
De donde e-xu(x) = c
y
.(X)
= cex.
Portanto,toda soluciónde la ecuación 1.1 sobre ( - m , m) es de la forma cex, donde c es una constante y cex se llama “solución general” de la ecuación l . 1. Toda solución es de la forma de la solución general, y todas las funciones de esta forma son soluciones. El conjunto de funciones definido por una ecuacióndiferencialpuede restringirse más por las que se llaman “condiciones iniciales” o “condiciones de frontera”. Volviendo a nuestro ejemplo, consideremos
1.2
y’ = y
sobre ( - c o , m), y ( 0 ) = 1 .
Deseamos encontrar todas las soluciones de la ecuación l . 1 que satisfacen lacondicióninicial y ( 0 ) = 1. Sabemosquela solucióngeneral dela ecuación 1.1 es y ( x ) = cex. Como y ( 0 ) = c = 1 , y ( x ) = ex es la Única solución de la ecuación 1.2.
11
587
Introducción
Otros ejemplos de ecuaciones diferenciales son : La ecuación que describe el movirniento de un péndulo:
d + sen
1.3
0
e=O
(ti(t)
+ sen ~ ( t=) O).
Laecuacióndiferencial para un(circuitoeléctrico que consiste en una inductancia (L), unaresistencia (R) y una capacitancia (C) dispuestas en dq serie q = carga; q = - = corriente; E , voltajeaplicado dt
i
1.4
Lg+Rq
+ -C14
=
E
1 ( L ¿ j ( t ) + R q ( t ) + -q(t) C
Un par de ecuaciones diferenciales i= a x + b y j = cx+dy
1.5
=
E(t)).
en dos funciones incógnitas
x y y:
(
ax(t)+by(t) j ( t ) = c x ( t ) + d y ( t )).
i(t) =
La ecuación de Newton (1 671) para el movimiento de una partícula en el campo gravitatorio terrestre (el problema de los dos cuerpos):
mr
1.6
=
-k
r <,
r
donde r = J r J
La ecuación de Bessel. (El primer estudio sistemático de las soluciones fue dado por Bessel en 1824) :
o.
1.7
X * ~ " ( X ) + X ~ ' ( X ) + ( X ~ - - ~ )= ~(~)
Nota. Esta ecuación se escribe amenudo
en la lorma x 2
d2y
+ x-dy
dx dX O o, simplemente, x 2 y " + xy' +(x2- n 2 ) y = O. Aunque la notaciónesincompleta,nodebehaberdentro del contextodelas ecuaciones diferenciales ningún mal entendido. En lugar de la ecuaciónI .3 d 20 podemos escribir 7 + sen O = O o U + sen O = O. Se entiende, entonces, dt que B es una función y que sen O es una composicióndefunciones. Si quisiéramos que fuera el producto de funciones, escribiríamos d+(sen r)B = O. Además, si en la ecuación 1.5 no supusiéramos que a, b, c y deran constantes escribiríamos i= a ( t ) x + b ( t ) y , j = c ( t ) x + d ( t ) y .
+ (x2- n 2 ) y
=
La ecuación de Laplace (1787), introducida por Laplace en una memoria sobre los anillos de Saturno:
1.8
D,2U+D22u+D32u = o
d2u a2u [ uyu + 7 +1 2= O / .2
1 7
\L.x
ay
oz
588
[Cap. 11
diferenciales Ecuaciones
L a eacucióndeMathieu (1868), queaparece vibraciones de una membrana elíptica:
dy
1.9
-
dx
en el estudiodelas
+ (u+bco~2x)y=o.
L a ecuación de Van der Pol (1 922), la ecuación diferencial de un oscilador triódico :
1.10
l)i+x
i+E(XZ-
=
o.
Una ecuación diferencial aproximada para l a vibración torsional de una estructuramecánicasujeta a amortiguamientoaerodinámico y friccional (un estudio de esta ec1:ación ayuda a comprender la sensacional falla del puente colgante de Tacoma en 1940): 1.11
d+(f(8)+g(B))k+H
Lasecuacionesdiferenciales
=
o
para u n sistema automáticodecontrol:
E+a6+bE = cz
1.12
i
=
,;+m!; =
f'(k,L"k,z) dd+h.
Las ecuacionesdiferenciales se dividen en dosclases: 1 ) ecuaciones diferencialesordinarias,quedefinenfuncionesde una sola variablereal, y 2) ecuacionesdiferencialesparciales, como laecuación 1.8, quedefinen funciones de dos o más variables reales. Con excepción de la ecuación 1.8, todas las anteriores ecuaciones son ecuaciones diferenciales ordinarias. Nuestro interés primario en este capítulo es el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, y seránde la forma
donde y(') = D k y y F es una función de R n m fen l R". Una función g de R en R" se dice que es una solución de la ecuación 1.13 sobre un intervalo 9 si g ( m ) = F 0 (I, g, g', g("- ')) sobre 4 ; es decir, g'")(t) =
F ( t , g ( t ) , g ' ( t ) , ..., g(""')(t))
para todo te 4 .
El rangode F está en R" y la ecuación 1.13 representa un sistema de n ecuaciones. El número m esel orden de la derivada de orden más alto en l a ecuación, y l a ecuación I . 13 se dice que es un sisrema de n ec~raciones dgerenciules ordinarias de orden m .
589
Problemas Verifíqueseque cada una de las siguientesfuncioneses sobre 9 de la ecuación diferencial dada. sen, y ” + y = O, 9 = (-(x), co)
1. y
=
2. y
= e,
sen
+ c2 cos, y ” + y = O,
9 = (-a, CO)
3. y(x> = A sen (x+¿j), y ” + y =O, 9 = (-00, co) 4. y ( t >= c1 sen t + c , cos t++e‘, y ” + y = e*, 4 = ( -
5. y ( x ) = s e n h x = - ,
ex-eWx
=
1
- 2y“y J1-x’
3
00,
co)
y”--y=O,9=(-co,00)
2
6. y(x) = cleX+cze-”, y”-y
7. y (x)
una solución
O, 9 = ( - m , m)
=
=o,
4 = (-00, 1)
9. r(l) = (cos o t , sen wt), r + W 2 r = O, 4 = ( - 00, m )
10. z ( t )
=
ep‘(cos o t + z sen ut), = ( B + L W > Z , 9 = (--co, c o)
11. Pruébese que e’‘‘ es una solución de a i + b i + c ~= O
(bZ-4ac 2 O)
si y sólo si A , es una raíz de a l z + b l + c
=
O.
12. Verifíqueseque
es una solución de la ecuación de Laplace
D , ~ u + D ~ ~ u=+O. D~~u 13. Verifiquese que
1 u(r) = -, r # O , Ir1
es una solución de
vu (Vu
=
=-
r
-
1r13
grad u = (Dlu, D,u, D3u)).
590
diferenciales Ecuaciones
Supongamosque Verifíquese que:
*
Jo 1%
f es continuasobre
(t-S)
14. x(*) = satisface x(0) = i ( 0 )
16. ~ ( t =)
J:
=
unintervalo
S(sjcEs es una soluciónsobre
9 y que OE X. 9 de x
=f
que
= O. f(s)
que satisface x (O)
[Cap. 11
ds es una solución sobre 9 de
(O) = . . . = x
sen ( t -
que satisface x(0) = i ( 0 )
S)
X(")
=f
9 de x -+ x
= f'
')(O) = O.
("-
f ( s j ds es unasoluciónsobre
= O.
17. (Problema 3, pág. 567:) Si A es una solución sobre .Y de , i + bx = 0 que satisface A(0) = 1, entonces
x(t)
=
xoA(t)
+
I o
A(t-s)f(s)ds
es una solución sobre 3 de i + bx = f que satisface x(0) = x.
.
2. LA ECUACIóN y' = f
Lahistoriadelestudiodelasecuacionesdiferencialescomienzaen la última parte delsiglodiecisietecon la fundación del cálculopor Isaac Newton y GottfriedLeibniz.' En 1671 Leibniz introdujo la terminología "aequaticdiferencialis".Newton y Leibnizhabíandescubiertoindependientemente los teoremasfundamentales del cálculo, y estosteoremas (capítulo 3, pág. 132) proporcionaron el teoremabásicodeexistencia y unicidad de las ecuacioncs diferenciales.
' Es cierto, sin embargo, que John Napier (1550-1617) definió la función logaritmica cinematicamente, y su definición era equivalente a definirla función L "logaritmo de Napier- como la solución y(x) = L ( x ) de l a ecuación diferencial z '*x
Esto es equivalente a definir L ( x )= -
j I O 7
107 - d t , y, portanto, f
Napier calcuió una tabla de logaritmos mediante un método de aproximación derivado de esta descripción cinemritica de su definición de L .
La ecuacibn y' = f
21
591
2.1 Teorema. Si f es continua sobre un intervalo 3,si X ~ 9, E y si yo es un número cualquiera en ( - m, m), entonces la ecuación diferencial
2.2
Y'
tiene una solución
=f
única sobre 9 que gutisface y(xo)=yo. Esta solución es
Y@> = Yo
+
f.
PRUEBA. Supongamos quey es una solución de la ecuación2.2 que satisface
y(xo) = y,. Entonces, de acuerdo con el segundo teorema fundamental
Y 2.3 El primer teorema fundamental nos dice que la función definida por 2.3 es una solución y, claramente, esta función satisface la condición inicial. Y esto completa la prueba.
Nota. La notación de la integral indefinida se usa con frecuencia en las ecuaciones diferenciales. Si f es continua sobre 4, entonces F = f es equivalente a decir que F es una solución de y' = f sobre 4. Así pues, en este caso, Jfpuede usarse para denotar una solución y es meramente unanotaciónquedenotaunasolución.Podemos,por ejemplo,decir que y = c es la solución general de y' = f. Esto significa que si conocemos una solución sobre Y>entonces cualquier constante más esa solución, es una solución sobre 9 y todas las soluciones sonde esa forma.
1
sf+
2.4 Ejemplo. Se dispara verticalmenteunproyectildesde la superficie de la tierra con una velocidad inicial de 1 O00 pies por segundo. Prescindiendo del efecto de la atmósfera y suponiendo la fuerza de la gravedad constante, estímese la máxima altura alcanzada por el proyectil.
SOLUCI~N. Sea y ( t ) la distancia (en pies)delproyectil sobre la tierra t segundosdespuésdehaberiadejado.Aquílascondicionesinicialesson y(0) = O y j (O) = 1 000. Sea g la acelrxación (pies/segundo2) dela gravedad. Entonces jj = -9,
rr Jo
j j = j(t)-j(O) = -
r*
Jo
g = -gt
592
Ecuaciones diferenciales
[Cap. 11
Luego j ( t ) = jJ(0)-gt
Y
=
Por tanto
En t
=
j (0)
-,
9
y(0)+j(0)t-4gt2.
y(t) = y(0)+j(0)t-tgt2 j ( t ) = O,
=
j(0)t-+gt2.
y es claro [ya que j ( t ) < O para todo t ] que
La constante g es aproximadamente 32.2 pies/segundo2 y $(O) = 1 000 pies/ segundo. Luego ymex= 155 x lo2 pies = 15 500 pies. 2.5 Ejemplo. Resuklvase yf =
-1 . ?
SOLUCI~N Supongamos . que la ecuación diferencial tiene una solución sobre algún intervalo. Entonces, como yy’ = 1, tenemos yy’ = i D ( y 2 ) = 1,
Y
y2(x) = 2 x + c .
De donde (como y debe ser diferenciable) =
7 2x+c para
y(x> =
-,/%para
?(x)
x > -
C
-
2
o bien x
C
> -2
ES fácil verificar ahora que estas son soluciones sobre ( -c/2, m), y que, por tanto, la solución general sobre
(- i,
Y(X) =
m) es
21
La ecuación
o bien
y’
593
= f’
,,/=
-.JG.
=
Así pues, si, por ejemplo, y ( 0 ) = 1, entoncesy(x) =
sobre ( - 3 , 00).
Problemas 1. Determínense todas las soluciones sobre ( - m , 00) de
+
6) ~ ’ ( x= ) x2-3x5 d ) x)($) = In (1 + s 2 ) .
a) y’ = 1 cos c ) u ’ ( t ) = e“*
2. Determínese la función definida por a) y’(x) = l / x sobre (O, m), y(1) = O 6) y ’ ( x ) = I/x sobre ( - m, O), y ( - 1) C)
y‘
= f’,
donde f ( x ) =
sen :c
~-
X
=
O
cuando x # O y f ( 0 ) = 1, y y(0) = 10.
3. La función sgn (léase “signo”) esta definida por sgn (x)
=
Considérese la ecuación diferencial
1
I, x > o 0, x = O “1, x
y’ (x) = sgn x . Determínense todas las soluciones sobre (O, cc j. 6) Determínense todas las soluciones sobre (-o, O). c ) Determínense todas las soluciones sobre ( - m , 00). a)
4. Si se supone,además,que satisface la ecuacióndiferencialdel problema 3 sobre todo intervalo donde sgn es continuo, que y es continua, determínese y dado que y ( 0 ) = y,, .
5. Pruébese que e“”[y’(x)+ay(n:)] = D,(e””y(x)). Partiendode ello resuélvase (es decir, determínensetodas las soluciones) la ecuación diferencial
u) y ” 2 y = 0
b)
JJ’ =
2y+6
IY’(X)+4Y(X) = x , ly(0) = 1 f ) X+f = o 9 ) X ( f ) + 3 i ( t ) = 30, ~ ( 0 =) 1 , i ( 0 ) 6. Resuélvase
dado que r(0) = c .
C)
Y ’ ( x ) + ~ ~ (=xex )
[ y ‘ + y = sen, e) \4.(0) = o =
i(t)+ar.(t) = o
1.
594
Ecuaciones diferenciales
[Cap. 11
7. Resuélvanse y ” ( t ) = 32 b ) y”(t) = r + 4 c) y ” ( t ) = sen t
~ ’ ( 0 )= 28 ~ ’ ( 0 )= o y ’ ( 0 ) = 1.
~ ( 0 )= 19 y(0) = 2 y(0) = O
U)
4 y que OE 4.
8. Supóngaseque f es continuasobreunintervalo Intercambiando el orden de.integración pruébese que
jox j:
f ( s ) ds d t =
1:
f(s)ds .
(X-S)
Pruébese, partiendo de ello, que la solución de y” = f que satisface y ( 0 ) = yo y y’(0) = j o es y(x) = j o x + y ,
1:
+
9. Resuélvanse
4
Y ( 4 y’ (x)
=
c) y(x)y’(x)
=
b)
x
Y(X)Y’(X) = x
-x
Y(0) = 1 y(0) = 1
d) y’ (x) = - sobre (O, X
(X-S)f(S)dS.
co).
10. Interprétense las ecuaciones diferenciales de los problemas 9 b y 9 d geométricamente como condiciones sobre la gráfica de y. 11. ¿Hay funciones g continuas sobre ( - c o , co)que satisfagan sobre
<-a,a> a)
x2
=
j:
g?
b ) 5ex
=
1+
jnx g?
c ) e2x =
1:’
g?
12. Verifíquese quey(x) = O y y ( x ) = $x3son soluciones sobre ( - co, a ) de y’(x) = que satisfacen y(0) = O.
45)
3. LA ECUACIóN DIFERENCIALLINEAL DE PRIMERORDEN x‘+px =y La ecuación diferencial lineal generaldeprimer de la forma
3.1
Ax‘
+ Bx = c
+
orden es una ecuación
( A ( t ) x ‘ ( t ) B ( t ) x(t> = C ( t ) )
31
595
orden primerecuación de diferencial lineal La
que es una ecuación de la forma
3.2
x'+px = 4
( x ' ( r ) + p ( t )X(?)
= y([),
donde p y q se supone que son continuas sobre u n intervalo 4 . Probaremos ahora que multiplicando ambos lad.os de esta ecuación por una función, a la que llamamos "factor de integración", el primer miembro de la ecuación se convierte en una derivada y la ecu.ación se reduce a una de la forma y' = y . Para lasecuacioneslinealesdeprimerorden factor de integración. Sea t o € J y
es decir, P(t) Entonces
=
se encuentra fácilmente un
sf:
p ( s ) d s para todo
P' = p
fey.
sobre 4 ,
y si x es una ecuación diferenciable cualquiera sobre 3, 3.3
K P i r ) ( x ' ( t ) + p ( t )x ( t ) ) =
Dc(eP(rjx([)).
Como ep(')nunca es cero, multiplicando ambos lados de 3.2 por el factor de integración e P ( t )encontramos , que la ecuación 3.2 es equivalente a
D1(ep")x ( t ) ) = e''') 4 ( t ) . Si ~ ( t , =) x o "y nótese que,por definición, P ( t o ) =Oentoncesesta ecuación tiene, de acuerdo con el teorema 2.1, la solución Única sobre Y : I
o bien 3.4
596 [Cap.
i:
diferenciales Ecuaciones
Así pues, lamultiplicación
P(t) =
p , nosda
11
por el factordeintegración
un métododesolución.Nótesetambiénque
ep('), donde hemos
probado el siguiente teorema de unicidad.
3.5 Teorema. Si p y q son conrinuassobre un intercalo Y,si toe Y, y si x. es un número real 'cualquiera, entonces la ecuación dijierencial i+px =q
riene una solución única sobre 4 que satisface x ( t O )= x,.
3.6 Ejemplo. Resuélvanse a) f + 3 x =
b) i(t)-22tx(t) = e 2 , , x(0) = 1 .
cos
SOLUCIÓN . a) Un factor de integración e3r
Por tanto, e3t e 3 r x ( t )= - (3 cos t 10
+ sen t > + c ,
es la solución general. 6) Aquí p ( t ) = - 2 t y un factor de integración es e " 2 .
e-"(i(t)-2tx(t))
=
D,(e-"x(t>> = e - r 2 + 2 c ,
e"*x(t)-x(0) =
e-"2f2sds,
Y
La integral
J:
x(t) = e f 2 + e r 2 j i e C S 2 + 2 2 d s .
e - s 2 + 2 s d snopuedeexpresarse
en términosdelasfunciones
elementales, pero puede expresarseen términos de una función muy conocida
31
597
La ecuaci6n diferencialorden lineal primerde
paralaque existentablasextensas. "fer" está definida por
Lafuncióndeerror,denotadapor
Ahora bien
1 r-
=
e
1
e"''du
-1
=
e
e""du + e "
e :rl
= --
2
lo'
[fer (t- 1) + fer
eCU2du
11.
Por tanto, la solución expresada en términos de la función de error es x(t) = e'
2
+ - e' &
2
2
[fer (t- 1) + fer I ] .
Usandotablasdelafuncióndeerror,puedecalcularsefácilmenteuna tabla para la solución. En cualquier caso, debe recordarse que hay muchos métodos numéricos para calcular valores de una integraldefinida y que con las modernas máquinas calculadoras esto es un trabajo de rutina.
3.7 Ejemplo. Larazóndedecaimientoradiactivodeunelemento
se encuentra que es proporcional al número de átomos presentes. Así pues, si N ( t ) es el número de átomos en el instante t , entonces
N= -AN: a il se le llama la constante de decaimiento.' El tiempo T requerido para que se desintegre la mitad del número original se llama la vida media del elemento. Pruébese que la vida media T y la constante de decaimiento 3, están relacionadas por la fórmula
T3, := 1112.
' La función N estávaluadaen los enteros y amenosqueseaconstantenoes continua y ciertamentenotienederivada. Es, sin embargo,ciertoquepara un gran númerodepartículas el procesopuedeconsiderarsecontinuomás bien quediscreto, y la función continua N es un útil tipo de aproximación. Vease R. P. Agnew, Diferential Equations, I1 Edic., McGraw-Hill, págs. 85-90.
598
Ecuaciones diferenciales
SOLUCI~N
h+m
0
=
= D,[k‘”‘h’(T)]
d‘(N(T)+iN(T))
[Cap. 11
=
0
Haciendo N ( 0 ) = N , , obtenemos, por integración. rr
De donde N ( t ) = N,e-”‘ . Por la definición de T N(T) = +N, =
Y
ei T
Por tanto,
1.T
=
=
N,P”.T,
2.
In 2 .
Problemas Resuélvanse. (Proporciónense las soluciones en :I intervalo o intervalos mayores que se pueda. No hay por qué suponer que siempre será posible expresar las soluciones en términos de funciones elementales.)
o
1. i + 3 x = 0
2. i - 3 x
=
4. i + 3 x = e‘
5. i + 3 x
= e3‘
7. i + b x = eat
8. 4R+x = 1
10. t x ’ + x 12. fX’+X X”
16.
X“fX
= t2,
x(0)
=
18. i - t b i 19. 1 = 20.
x(1) = 3
t x = O,
14.
i R
= t2,
I,
3. i + b x = O
6. 1 + 3 x = eC3‘
9.
11. t x ’ + x = t 2 ,
1
= l.,x+y j. = & y ,
21. i = I , x + y
~ ( 1 =) O
15. X“tx 1,
~ ( 0 =) O
~ ( 0= ) 1
17. x ‘ + ~ x= 1,
~ ( 0=) 2
x(0) = ,I1
#
,I2,
(‘1
y y(0) =
c2
x ( 0 ) = c, , y ( 0 ) = c2
& y , 2, = &, x(0) = c , , y ( 0 ) = cz 22. i = 1, x j = x + l . , y , x ( 0 ) = c j , y(0) = c2 j
=
x(0) = o
~ ( 0= ) O
X
= x+y,
X
13. x ’ + t x = t ,
=
x ( 0 ) = 1, i ( 0 ) = 0
= f,
X y’ = Y _- _
31
La ecuaci6n diferencialorden lineal primerde
599
23. El torioC tiene una vidamedia de 61 minutos. ¿Qué tiempo transcurrirá para que se desintegre el 90% de torio C ? 24. El radiocarbono (C'")se forma en laatmósferasuperiorpor el bombardeode los rayoscósmicos., entra en los sistemasvivosporun proceso de intercambio, alcanzándose al cabo del tiempo una concentración de equilibrio. El radiocarbono tiene una vida media de 5.6 x lo3 años.
a) Una viga de ciprés de la tumba de Sneferu en Egipto contiene el 55% de la cantidad de radiocarbono quetiene la materia viva. Estímese su edad. b ) El carbón vegetalprocedentedeunárbolquemurióacausade la erupción del volcán que formó el Lago del Cráter en Oregón, contiene el 45%dela cantidadderadiocarbonoque tienela materia viva. Estímese la fecha de la erupción. 25. El torioA se desintegra(dejandolibre unapartícula alfa) y formatorio B. El torio B se desintegra(liberando unapartículabeta) y forma torio C. El torio A tiene una vida media de 0.14 segundos. El torio B tiene una vida media de 10.6 horas. El torio C tiene una vida media de 61 minutos. Si comenzamos con el torio A, ¿qué porcentajes de torio B y C se tendrían después de una hora ? 26. En 1701 Newton propuso una ley aproximada para la razón con que un cuerpocede calor al ambiente que le rodea. Si la capacidadcalorífica del cuerpo es una constante, la ley (llamada ley del enfriamiento de Nezoton) nos dice que la temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es propcrcionalala diferencia detemperaturaentre el cuerpo y el medio que le rodea. Un termómetro que lnarca 35.5"C se coloca en la boca de unpaciente. Un minutomástarde lalectura es de 36.6"C, y después de un minuto más se lee 37.5"C. Estímese la temperatura del paciente.
27. Un químico desea enfriar un recipiente hasta80". Coloca el recipiente en una gran pila de agua corriente ;I 45" de temperatura. Al comienzo, la temperatura del contenido del vaso era de 120". Lo agita constantemente y nota que después de 10 minutos la temperatura ha descendido hasta 100". Estímese el tiempo total que se necesita para enfriarlo hasta la temperatura deseada. 28. Considérese la ecuación diferencial
f + c x = f'
donde c es una constante y f es la función definida por '3,
1
(3,
t
>1
\
600
[Cap.
diferenciales Ecuaclones
11
En muchas aplicaciones físicas se sabe que, aparte de satisfacer la ecuación diferencialsobrecadaintcrvalo donde ,f es continua, x es unafunción continua. Bajo estas condiciones determínese x dado que x ( 0 ) = O. Dibújese la gráfica de la solución (suponiendo c positivo).
29. Supongamos que J' es una función positiva y es una solución sobre un intervalo 4 de l a ecuacióndiferencial(llamada rcuaciótl de Bernoulli) 1) '
+pJ,= qy"
donde n es una constante diferente de 0 y 1. Pruébese que z =y'" solución sobre f de la ecuación diferencial lineal
es una
z ' + ( l -n)pz = (1 - n ) q .
Resuélvase la ecuación de Bernoulli ) ~ ' ( X ) + x y ( x=)y I ' * ( x ) .
30. Si N(t)esel número de individuos de una población enel instante se sabe que para poblaciones homogéneas aisladas la velocidad de crecimiento de la población es aproximadamente igual a N'
=kN(c-
f
N ) (ecuación logística de Verhulst-Pearl).
El número c representa la población maxima que el medio puede soportar. Se sabe,deacuerdo con los teoremasdeexistencia y unicidad, q u e esta ecuacióntieneunasoluciónúnicaquesatisface N ( 0 ) = N,. Usando el resultado del problema 29, demuéstreseque la soluciónquesatisface la ecuación logística es N(t) =
c
1 + beékcr'
donde b
=
c
N (0) ~
- 1.
31. Sobre la base de los siguientes conjuntos de datos sobre el crecimiento de la población en los Estados Unidos, predígase la población en 1960.
63 106 106 132
Censo
Población en millones
a)
1800 1850 1900
5 25 76
h)
1860 1890 1920
31
c)
1920 1930 1940
123
41
601
Extensión exponencial d e la función
32. U n tanque de mezcla de 378.5 litrosdecapacidad se llenadeuna salmuera que contiene 18 kilogramos de sal. La soluciónen el tanque va saliendo a razón de 37.87 litros por segundo y, al mismo tiempo, el tanque se está llenando con una salmuera que contiene 90 gramos de sal por litro. ¿Cuál es la concentración de sal de la salmuera del tanque en el instante t ? 4. EXTENSIóN DE LA FUNCIóN EXPONENCIAL A todos nos es familiar la función exponencial como una función real devariable real (es decir, como unafunciónde R en R). En estasección queremos extender el dominio de definición de la función exponencial del sistemade los númerosreales R al sistemadelosnúmeroscomplejos C. Estudiaremos a continuación algunas de las propiedades fundamentales de esta función exponencial extendida. Comenzaremos con una definición. 4.1 Definición
eie = cos Ofisen U,
UGR.
En el plano complejo eie es el punto (cos O, sen O), o si lo interpretamos como u n vector eie es el vector unitario cuyo ángulo de inclinación con el eje real es H (figura I). Para decirlo de otra forma, eiOes el número complejo cuyo valor absoluto es 1 y cuyo argumento es O. Es entoncesunasimpleconsecuenciadelasfórmulasdeadiciónpara las funciones seno y coseno' que
eie = (cos 8, sen 8) FIGURA 1
' En el capítulo 13, sección 4, la función exponencial e', con z = x + i y es un número complejo, sedefine independientementede lasfuncionestrigonom8tricas.Seestablece
602
Ecuaciones diferenciales
e i e ~eitl;'
4.2
[Cap. 11
+ i sen O , ) (cos O , + i sen O , )
=
(cos O1
=
(cos O , cos O , - sen O1 sen O , )
=
cos ( O ,
+ i(cos O1 sen O , + cos O , sen O , ) +e,)+
i sen ( O ,
+ 6,)
=
ei(ol+ez) .
Vemos también que esta ley de exponentes implica las fórmulas de adición de la trigonometría y la simplicidad de operar con la exponencial compleja hace ventajoso trabajar con la funciónexponencialcompleja en lugar de con las funciones trigonométricas. Antes de ilustrar esto con varios ejemplos, nótese quees una consecuencia directa de la definición de eieque
cos O
4.3
=
eis+e"'
R1 (e")
= ____
2
Y eiS
sen O = Im (eie)= ~.
4.4
- e - ill
2i
4.5 Ejemplo. Pruébese que 2 sen a cos 6 = sen (a+b)
+ sen (a-6).
SOLUCI~N. 2 sen a cos b
=
2
eib+e-ib
eia-e-ia ~
2i
~
2
= 1 [ei(a+b)-
e-i(a+b)+ei(u-b)-e-i(a-b)
2i
=
sen(a+b)
la ley de exponentes ell e"2 = e"1 +'z, coseno mediante
+ sen(a-6).
y se definen las funciones trigonométricas
cosz = sen z Las fórmulas de adición para los exponentes.
1
+
eiz e-'' ~
eir
=
seno y
~
2 - e - iz 2i
.
el seno y el coseno resultan una consecuencia de la
ley de
603
IY
(a
+ ;,bje''
FIGURA 2
4.6 Ejemplo. Pruébese que: a
sen H+b cos O == A sen (0+d),
donde a+ ib = Ae" ; es decir, A
S O L U C I ~(Figura N. 2.) (a
+ ib) e''
=
x G wy 6 = Arg (a+ i6).
+ ih) (cos 6,+ i sen H ) (a cos O - 0 sen O ) i(a sen 0 + 6 cos U).
= (a
=
+
Además, : = A cos ( O + d ) + i A sen (Q+S).
(a+ib)e" = Ae"e"=
Por tanto A cos (Q+d)+iA sen (O+d) = (acos O-h sen Q ) + i ( asen H+h cos 0 ) .
Igualando las partes reales e imaginarias, tenemos a cos O - b a sen 0+6
sen 0 cos O
:= :=
+
A cos (O 6) A sen ( Q + d ) .
Definimos ahora e' para cualquier número complejo z
=x
+ iy.
4.7 Definición. e' = exel" = e" (cos y i-i sen y ) para todo z = x
+ iy
en C.
La función exponencial compleja exp detinida por exp z = e' es ahora una función de C en C. Cuando restringimos z a R(es decir, cuando y = O), esta función exponencial se reduce a l a función exponencial real de variable real. Las siguientes propiedades se derivan fácilmente: 4.8
e=le;2
=
$,+zr
para cualesquier z , , z z E C .
604
diferenciales Ecuaciones
4.9
e' # O ; y (e')
4.10
e' e''
4.11
~
'
[Cap. 11
= 1 0 z = 27cni
= e Z 2 0 z 1=
paratodo
z E C.
para algún entero
n.
= e
"
"
z,+2nni para algún entero
n.
En nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales estamos principalmente interesados en la función ,/definida por f ( t ) = e"', donde 3, es un número complejo y t es un número real. La función f es una función compleja de variable real ; una función de R en C. Denotemos por f'cualquier función de R en C, y sea f' = u+ ic = (u, u) ( f ( t )= u ( t )+iv(t>). Entonces, f puede considerarse también como una función de R en R 2 , y el límite y la derivada de j - q u e fueron definidas para funciones de R en R2- están definidas para f . Así pues, f = u + ic es continua sobre9 si y sólo si u y v son continuas sobre Y. La derivada de j ' e s ,f' = u' + iv'.
Si f = u+ iu es una función de R en C y si u y integrables sobre 9,definirnos entonces para cada a, bE 4 :
4.12 Definición.
ZI
son
j: la* f' =
u+iIa* v.
Es entonces evidente que el teorema fundamental del cálculo se verlfica para funciones de R en C (para funciones complejas de una variable real). Definamos f por f ( t ) = e" para toda t c R y un cierto número complejo 1. = x + ifi. Entonces f(t> =
Y f'(t) =
=
D,(e")
=
e"
=
aeOLf(cospt
ezf(cosp t + i sen fit>
+ i sen p t ) + pear(- sen Pt + i cos Pt>
cleat e i l r f + ipeaf
- (+ .ip>e("+i S ) f - Ae"' ,
De donde 4.13
D,(e")
=
Le At
Como el teoremafundamentaldel cálculo se verifica parafunciones de R en C, el teorema 2.1, pág. 591, se verifica si y, es un número complejo cualquiera y si f es unafuncióncontinuade R en C. Además,como D,(e") = Le" donde L es un número complejo, los resultados obtenidos en la sección 3 para la ecuación lineal de primer orden x' + p x = q se verifican cuando p y q son funciones complejas. 4.14 Ejemplo. Determínese
earcos btdt, a y b realescon a2 +b2 # O.
41
la funcibn exponencial
Extensión de
SOLUCI~N. De acuerdo con 4.13 e(a
s
+ ib)r d t = -,(a+ib)t ,a ib
+
Igualando las partes reales y las partes imaginarias, obtenemos
eaí cos
btdt =
-
1 R1 -a
+ ib
ear
e('+ib)t
(a cos bt
"
a'+ b2
+ b sen bt)
e
-
4.15 Ejemplo. Resuélvase
SOLUCI~N. Sea z
= x+iy.
ear
+ b2
(a sen bt - b cos bt) .
"
a'
i = LEX- by J; = b x + a y .
Entonces x y y son soluciones si y sólo si
i =i+ij
=
(ax-by)+i(bx+ay)
= (a+ib)x+(a+ib)iy = (a+ib)z.
De donde z(t) =
+
.
Haciendo C = C , i C , , obtenemos x ( t ) = ear(C,cos b t - C , sen bt) y ( t ) = e"'(C, sen bt+ C, cos b t ) .
O, haciendo C = Ae'" obtenemos x(t) =
R1 [Ae"
=
Aeat cos (bt+6)
y ( t ) = Im [Aei'e("+'b)r]= Aearsen( b t f d ) .
605
606
Problemas
1. Pruébeseque a) 2 sen a sen b = cos (a-6) - cos (a+b) b) sen3 Q = i ( 3 sen O - sen 30) C) cos4 o = ; ( 3 + 4 COS 2 0 + COS 4 8 ) .
2. Exprésense a) 2 cos 8 - 2 sen O b) 5 sen 0 + 4 cos O
Obténganse A y 6 tanto analítica como
en la forma A sen (Of6) gráficamente.
3. Pruébese que: a) 4.8
6) 4.9
c ) 4.10
d ) 4.11.
4. Demuéstreseque
b)
jo2'
sen
1710 sen
nOLIO
=
=
c)
cos /VU sen
t70dO =
5. Si i.es unnúmero es la única solución de 6. Pruébese que
1:
cos m0 cos n0dO
10 si m # n 1. si = n # O 1.17
O,
IM
y n enteros.
complejocualquiera,pruébeseque i=
i,X
x ( 0 ) = 1.
x ( r ) = ej.' es una solución de
... +a,,x
D",X+U,LT'X+
si y sólo si ies una raír. de q ( i )=
7. Pruébese que s ( r )
7." + u , 2"-
= c,
=
o
+ . . . +a,, = o .
e'.'+ c2ej.2fes una solución de
X-(il
+i.,)X+3.,
i 2 x= o .
8. Pruébese que a) Si # i , , entonccs c , e'"'+c2e'2' implica c , = c2 = O.
A,
~ ( t=)e"
=O
para todo
t E ( - m, m )
51
607
Sistemas lineales bidimensionales. Coeficientes constantes
b) c , eL1'+ c, teA1'= O para tod.0 t E ( - a, 03)implica c1 = c2 = O. (Funciones con esta propiedad se dice que son linealmenteindependientes sobre, en este caso, el intervalo ( - a3, m).) 9. Si b , c, o y A son números reales z"
y z = x + iy es una solución de
+bz' + cz = Aeio)'
pruébese que x = Rl(z) es una soluciión de
x"+bx'+c.w= A
yy
= Im ( z )
COS
wt
es una solución de
y"+by'+cy
=A
sen or
.
10. En cada una de las esquinas de una mesita se posa una mosca. Las moscasmiranhacia el interiorycomienzanamoversealmismotiempo y caminan a la misma velocidad, cada una de ellas hacia la posición que en cadamomentoocupalaque estáa su izquierda.¿Quécamino recorre cada mosca ?, ¿cuánto caminan antes de encontrarse ?
11. Derívense las fórmulas (6 # 2mn) n U)
1 cosk6=1+cose+...+cosn6,=-+2
k=O
sen (n++)fI 2sen+O
.
5. SISTEMAS LINEALES BIDIMENSIONALES COEFICIENTES CONSTANTES Queremos estudiar aquí primer orden
un par de ecuaciones diferenciales lineales
de
kl=all.xl+a,,x, 12=a,1.x1+a,,x, enlas dos incógnitas x1 y x , . Los coeficientes a , , , a , , , a Z 1 ,a,, son números reales o complejos dados (constantes). Hay dos casos en que la solucióngeneral puede formularse inmediatam mente. Supongamos que las ecuaciones tienen la sencilla forma 5.1
i, = I,x, 1, = 1, x , .
Entonces, las dos ecuaciones son independientes una de otra y la solución
608
Ecuaclones diferenciales
[Cap. 1 1
general es xl( f ) = c1e l l ' , x,(t) = c2ei2'. El otro caso que es sencillo resolver, es cuando a , , = O y las ecuaciones son de la forma i
]
= I.:xI
i, = iL2X,+a2,xl
El problemaentonces primer orden :
es resolver sucesivamente un par de ecuaciones de x 1( t ) = c I e"" iz(tl = i 2 ~ 2 ( t ) + u C, 2 1e"'
No formularemos en este momento la solttción de x , , sino que nos limitaremos a señalar que éstaes una ecuación de las que sabemos cómo resolver. La forma en que resolveremos el sistemageneral 5.1 serátnediante un cambio de coordenadas que lo reduzca a una de las formas sencillas que acabamosdemencionar.Nuestra discusión se simplifica en granparte si introducimos la notación matricial. En la sección 3 del capítulo S consideramos matrices de números reales. Aquí tomaremos como sistema de nilmeros el campo de los números complejos C y nos ocuparemos, por tanto, de matrices denúmeros comple.jos. Es fácil ver queestas matrices tienenlas propiedadesqueprobamos en el cxpítulo S para matrices de números reales. Sean
A es una matriz 2 x 2 de números complejos 4 x es una función con dominio en K y rango en C ' , el espaciovectorialbidimensional sobre el campo complejo (capítulo I . sección 8). Podemos escribir entonces S. 1 en l a forma
5.4
; i = .Ax
X((t) = Ax(t)).
Así pues, en la notaci6n matricial el sistema de ecuaciones diferenciales 5.1
se transforma en la ecuación diferencial vectorial de primer orden simple 5.4, donde y = A x es la función \ectorial cuyo valor en t es el vector y ( t ) = A x ( t ) en c'. La matriz A define una función cuyo dominio es C2 y cuyo rango está en Cz:paracualquier v s C z , A v corresponde a v. Tal función se llama trat7sfOrrnacio'n de C 2 . Estatransformacióntiene la propiedad de que A (c, Y'
+ c 2 v2) = C ] Av' + c, A v 2
para todos los números complejos e l , cz y todos los vectores Y', v2 en C 2 . Una transformaciónconestapropiedad se dice que es lineal. Es fácil probar que la linealidad de la transformación asociada con A implica que cLlulqcrier comhinuc.icit~ litwul de sohccionrs de 5.4 es una solución: sean x'
51
609
Sistemas lineales bidimensionales. Coeficientes constantes
y x 2 solucionesde 5.4 y sean c1 y c2 un par de constantes cualesquiera. Entonces x = c , x 1+ c 2 x 2 es una solución de 5.4 ya que k((t) = c,k:'(t)+c,hZ(t) = c 1 A x ' ( t ) + c , A x 2 ( t ) = A ( c , x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t )= ) Ax(t).
Nuestro objetivo es encontrar soluciones de la ecuación 5.4, que es el sistema S. 1 en la notación matricial. Resulta, como veremos dentro de poco, que el problemaderesolver el sistemalinealdeecuacionesdiferenciales puederesolverse como si fuera un sistemadeálgebralineal. El problema algebraic0 es el de resolver AV = AV
5.5
Queremos encontrar un vectornotrivial (no cero) v y u n número 3, que satisfagan S.S. El número 1, se llama calorcaracterístico de la matriz A , y el vector v un uectorcaracteristico de A (v # O ) . El número A se llama también valor propio o eigencalor de A , y v se llama vectorpropio o eigenuector de A . Si escribimos esta ecuación Av = Av en términos de sus componentes, tenemos a,,u,+a,,v, = At) a,,vl +a,,v, = ?"U,. Queremos,portanto,encontrar lineales homogéneas
solucionesnotrivialesdelasecuaciones
( a l l - A ) c , -ta,,u,
=O a,, c, + ( u , ~ ~ - - I .=) ~O.~
5.6
Sabemos que hay soluciones no triviales si y sólo si
Así pues, los valores característicos son los ceros del polinomio cp(4
= ~2-(~II+~22)~"+(~,1~22--a12a21).
A este polinomio se le llama polinomio característico de A . cp(3,) = O se llama ecuación caracteristica de A , y los valores característicos i, y 1, se llaman también raices caracteristicas de A . Sean i., y i ,las raíces características de A. Entonces cp(A) = (3L-A,) (;L-E.,) y
si a , ,=
A , +A2 = o,
= a , , + a , , , d.,
entoncespor
E.,
=
5.6 vemosque
vectores característicos correspondientes son
.
a,,a,,-a,,a,, E.,
vi =
(b),
=a,
v2
(y).
1, = a , , , y los =
Eneste
la solución general de la caso, como ya hemos señalado, podemos hallar ecuacióndiferencial 5.1 inmediatamente. Por tanto, excluyendoestecaso
61 O
11
[Cap. diferenciales Ecuaciones
trivial, podemossuponer --cambiando los subindices sies necesarioque # O. Entonces, correspondiéndose con el valor característico l., tenemos el vector característico v' = el valorcaracterísticotenemos
( :,I,
y correspondiéndose con
el vectorcaracterístico
A, # A 2 , es fácil ver que
v2
=
v l y v2 son linealmente independientes. Volviendo anuestraecuacióndiferencial 5.1 o 5.4, suponemos, en primer término, que los valores característicos de A son distintos (IL, # A,) yque a I 2# O. Entonces V I y v2 sonlinealmenteindependientes y todo vector x(t) es expresable de modo tínico en la forma
Si
x(t)
=
y , (t)v' +y2(t)v2.
Esto es un cambio de coordenadas con los nuevos ejes de coordenadas en las direcciones V I y Y'. Si x = y , v 1 +y,v2 es una solución de 5.1, entonces t = j 1 v ' + j 2 v 2 = A(y1v'+y,v2) = y1Av'+y,Av2 =
1*,y,v'+A2y,v2.
Por tanto, como
VI
y v2 sonlinealmenteindependientes j 1
= 1.1Yl
y2
=
A2y2.
El cambio de coordenadas nos lleva a este sencillo sistema cuya solución es
y , (t>
= c1 e'.",
y 2 ( t ) = c2eA2'.
Hemos, por tanto, probado que si Al # A2 y a 1 2# O, toda solución de 5.1 es de la forma x(t> = c, eil'vl c2 eA"v2 donde vi
=
(,
'I2
Ai-al,
1.
+
La solución general puede también escribirse
xl(t> = a,,c,eA"+a,,c2eA2"
5.7
x 2 ( t ) = (l1- a , , ) c , e " " + ( ~ , - - a , , ) c , e ~ ~ '
Recíprocamente se verifica contodafacilidadquecadafunción deesta forma es una solución. Por tanto 5.7 es la solución general de 5.1 cuando 1, # y a,, # o. l b ,
5.8 Ejemplo. Resuélvase 1 = x+y
j = x-y.
51
Sistemas linea
SOLUCI~N. Aquí A
Por tanto,
i1 =
es bidimensionales. Coeficientes constantes
=
(i i),
61 1
y su ecuación característica es
-
8, v ' = (&)>
22
-8, v =
=
y la
solución general es
De donde
E);(:
=
+ c,e- P
c l e J";($"I)
(
1 -8-1
).
+c,e-
x(t) = c , e
y(t> = ( J Z - l ) c , e P - ( J Z + l ) c , e - l / r ;
es la solución general. Veamos ahora lo que sucede cuando Al = A, = iy a l , # O. Aquí los vectores v =
( )
y u =,@) son linealmenteindependientes.Efectuando
i-all el cambio de coordenadas
x(t)
= Yl(t)v+Y,(t)u.
Entonces, si x es una solución de 5.1,
k = jlv+y,u
Como 1 = 1, = A,, 2.A
=
= a , ,+ a , , y
(;;;) ( =
A(y,v+y,u)
2A-a,,
)
Ji,V+Ji,U
=
y,Av+y,Au
) + (3
(
= ,A-U1,
De donde
=
=V+iU
(~Yl+Y,)V+~Y2U,
y nuevamente, de acuerdo con la independencia lineal de v y u tenemos, en las nuevas coordenadas, el sistema de ecuaciones diferenciales J'1
=
kv1
j , = Ay,.
+Y,
+
De donde y 2 ( t )= cI e"', y Jil( t ) = ?y, ( t ) c , e". Sabemos cómo resolver estaecuacióndiferenciallineal de primer orden para y , . Haciéndoloasí
61 2
11
[Cap. diferenciales Ecuaciones
obtenemos y1 (t) = c, ?eAi+c2eir. De donde, la solución general de 5.1, es
x(t)
=
(clt+c2)e"v+c,e"u;
es decir 5.9
x l ( t ) = u12(clt+c2)eAr x2(t) = (A-ull)
(clt+c2)eAr+cleAi
es la solución general cuando 1, = 1, = 1 y a12# O. 5.10 Ejemplo. Resuélvase f = x--y 3 = x+3y.
SOLUCI~N. La ecuación característica es
A l = A2
Estees,entonces, un casoderaícesiguales: con 5.9 la solución general es
= 2.
Deacuerdo
x ( t ) = - (c1t+c2)c2' y(t) = (c,t+c2+Cl)C2'.
Sumario. La solución general de il = a l l x l + a 1 2 x 2 f2
es: 5.7'
5.9'
= a , , ~ , + a ~ ~ ax1~2 ,# 0
xl(t) = u 1 2 ~ l e ' ~ 1 i + a 1 2 ~ 2 e 1 2 f x 2 ( t ) = (~1-all)cle"f+(A2--a,l)c2e"i, si
A, +A,.
x l ( t ) = a12(clt+c2)eAr x2(t) = (~-a1,)(c,t+c2)e"+cc,e"',
si
,il
= A, = 2 .
Cambiando los indices, si es necesario, el ímico caso restante es f , = A , x , y f2= ~~x~ y en este caso la solución general es x , ( t >= c1e"", x2( t ) = c2e'''. Así pues, hemos encontrado la solución general sobre ( - m, a>de 5.1 y vemos que la solución de los sistemas lineales bidimensionales k = Axcon
coeficientes constantes puede reducirse al problema algebraic0 de resolver el problema del nalor característico Av = Av. Esta afirmación se generaliza a los sistemas n-dimensionales de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Las dificultades para el cálculo aumentan tremen-
51
613
Sistemas lineales bidimensionsles. Coeficientes constantes
damentecon las mismas.
el aumentodedimensión,perolas
ideasmatemáticasson
5.11 Ejemplo. Resuélvase i= x + y + 2 z 3 = 2y+2z
i
=
x-y.
SOLUCI~N. El problema del valor tau-acterístico es x + y + 2 z = ax 2 y t 2 z = Ay x - y = Az
o bien (1 -;l)x+y+%z (2-l)y+2z x"y-1z
= = =
o
o o.
Para que existan soluciones no triviales el determinante de debe ser cero:
1-1 O 1
1 2-1 -1
2 2 -1
=
-(A3-3A2+2A)=
los coeficientes
O.
Los valores característicos son O, 1,2..Los vectores característicos correspondientes son
Hagamos el cambio de coordenadas
r = Xu~+jv+Zw,
i:)
donde r = y ; es decir, x =
x+y+z
y = x+2y+i z = -.xY.
Ahora r es una solución del sistema si y sólo si
i
=
x'u+jv+iw
=
Ar
=
XAu+yAv+zAw
=
0~u+yv+2~w,
614
(: -1
donde A = O
diferenciales Ecuaciones
2
:i 2
[Cap. 11
. (Los números O, I, 2 sonlosvalorescaracterísticos
de A y u, v, w sonvectorescaracterísticoscorrespondientes Av = v, Aw = 2w.) De donde
x =.o,
y
=
y,
i
: Au = Ou,
22,
=
y la solución general es x ( t ) = c l , j ( t ) = c 2 e f , ~ ( t=:) c 3 e z t . En términos de las coordenadas originales, la solución general es x(t> = c1
+ c2e'+ c3 eZt
y(t) = z(t) = - c C 1 - c 2 e r .
Ahora que conocemos la
solucióngeneral
de 5.1 es fácil probar que:
5.12 Teorema. Dado un númeroreal to y cualquiervectorconstante xo, la ecuación j , = Ax tiene una solucidn única sobre ( - 00, que satisface x (to) = xo.
.o>
PRUEBA.Vamos a probar el resultado sólo para el caso de valores caracteristicos distintos A l # A2 y a , # O. Como c, y c2 son constantes arbitrarias, podemos escribir la solución general en la forma
x(t) =
C1ei.~(t-r~)vl+c,e"2(r-'~)V2
Queremosencontrar las soluciones que satisfacen x(to) = x o ; es decir, queremos encontrar c, y c2 que satisfagan
c,v'+c,v,
=
xo.
Pero v1 y v2 sonlinealmenteindependientes, y estaecuaciónalgebraica tiene soluciones únicas. Por tanto, la ecuación diferencial tiene una solución única que satisface x(to) = x o . Unargumentoanálogopuedeusarse cuando A , = A 2 .
5.13 Ejemplo. Determínese la solución de i = y
j = -2x- 3Y
que satisface x(0) = O, y(0) = 1 .
51
61 5
Sistemas lineales bidimensionales. Coeficientes constantes
SOLUCI~N. La ecuación característica es
11;
=
y las raíces características son
l?+3A+2
=
O,
I , = - I y I , = -2. La solución general es
o bien x(t> = c, e - r + c 2 e - 2 '
y(t) = --~,e-~-2c,e-~'.
Queremos que
x(0)
= c1+ e , =
y(0j
=
o
--c,-2c2
=
1.
De donde c1 = 1, c2 = - 1, y la solución requerida es x(t> = y ( t ) = --e"+2e-2r
5.14 Ejemplo. Determíneselasolución
de
i = y
j = --5~+2y
que satisface x(0) = I , y(0) = O.
SOLUCI~N. La ecuación característica es
Al
= 1 +2i, I , = 1 - 2i.
La solución general es
o bien x(t) =
qe"+2"'
+ c2 e"
- 2i)r
y(t> =
Queremos que x(0) = c,+cz .= 1 y(0) = (1 +2i)t7, +(1-2ijc2
=
O.
61 6
diferenciales Ecuaciones
Resolviendo el sistema obtenemos,
[Cap. 11
2+i
t i = __
4
. c,
=
2-i ~
4
, y de aqui
Problemas l. Resuélvanse a) 1, = -3x,
b) il = -2x1
1, = 2x2
x2
c) il = -2x, i2 = X I -2x2 e) 1 = 3 x - 2 y j , = 2 y , x(0) = 1,
f) fi = 5 ~ 1 - 3 1 ~
= x1 -x2
d ) i= 3 x - 2 ~ j = 3y y(0) = 5
i = 12r, u(0) = o, v(0) = o g ) iI = -3x, i 2 = 2xl-3x,, ~ ~ ( =0U ), ~ ~ ( =0b ) I?) 1 = x j = x-,$, x t f i = 5 , Y ( J 2 ) = -7 i) i1 = Rlxl 1, =
U21XI
j ) i1 = ).,x,
k)
1, = QIX1
+&x,,
A1
#
A2
+&X,,
A,
=
2 ,=
= A,x,+a,,x, i , = A2x2.
?L
1 1
2. Determínense los valores característicos y los vectores característicos correspondientes de las matrices :
51
61 7
Sistemas lineales bidimensionales coeficientes constantes
3. Unamatriz
a i j = U j i , i, j
es autoadjunta ( o hermitiana) si es el conjugado complejo de a j i ) .
2 x 2 A se diceque
= I , 2 (Uji
a) Pruébese que los valores característicos de una matriz autoadjunta
son reales. b) Si A , # l., , pruébese que los vectorescaracterísticoscorrespondientes son ortogonales.
4. Resuélvanse los siguientessistemas: U) i, =
b) 1 = -X- Y j = x-5y
Xli-3X2
1, = 2 x , c) 1 = x - y j = 5x+3y e) i= 3 x + 2 y j = 3y
d ) zi = 3 u + 6 v d = u+v f) i = 4 x - 3 y j =3~-2y
g) 1 = 2 x - 3 ~ j = 2x-2y,
x(0)
h) i = y Jj =
- X " j
2Y
y(0) =
= 1,
o
3
i) i = y j = -a2x-2ay, j) 1 = 5~+3y-ll Jj = 8 ~ + 3 ~ - 1 4 . Sugerencia: resuélvase el sistema 5 x + 3 y - 1 1 = O, 8 x + 3 y - 14 = O, y trasládese el origen al punto solución.
k) 1 = - 2 ~ + e - ~ ' j = 3 ~ - 2 y , ~ ( 0 )= ~ ( 0= O) .
5. Ciertareacciónentre siguiente ley :
dos sustancias se encuentraqueobedecea
i= - u x + b y Jj = a x - b y ,
donde x ( t ) y y ( ? ) son las masas de las
la
a > O, b > O
dos sustancias en el tiempo
t.
Demuéstrese que la masa se conserva. 6) Determínense los productos finales de la reacción suponiendo que a)
x(O)+y(O) = M .
y en el plano X Y . Proporcióneseunarepresentacióngeométricadelareacción trazando tales curvas. Indiquese con flechas sobre las curvas cuál es la dirección de lareacción cuando el tiempoavanza. ¿Qué
c) Cada solución x(t), y ( t ) define unacurva
618
11
[Cap. diferenciales Ecuaciones
(S)
es lo que tiene de significativo la recta que pasa por la dirección
el origen en
?
6. Laprobabilidadp,(t) de queen un contador se registren exactamente I I partículas enel intervalo de tiempo (O, I) viene dada por
PO(t)
donde
a
=
es unaconstante
pruébeseque
m
2
p,(t)
fl=O
=
1 “x
i‘:
Po(T)dT
positiva.Deríveseuna
fórmulapara
p,,(t) y
1 para cualquier t.
7. Resuélvanse los siguientes sistemas: a)
i = y+: y = x+7
i
dY = 2 2 b) dX dz
= x+y
- = 224,
dx
dl0
- = 2y.
dx
8. Sean x 1 y x‘ solucionesde x’(0)
=(y).
S = Ax quesatisfacen
a x 1(O)
=
(3
y
A éstas seíes llama soluciones principales. Pruébeseque la
solución general de i= Ax es c , x ’
+ c2x 2 .
9. Sean x 1 y x 2 u n par de soluciones de S = Ax. Pruébese que:
Si x 1 (O) y ~ ’ ( 0 son ) linealmenteindependientes,entoncesla solución general de i = Ax es c l x’ + c2x 2 . 6) Si x’ ( t o ) y x2(toj sonlinealmenteindependientes para algún t o , entonces x’ ( t ) y x2(f) son linealmente independientes para todo f . c) Si xl(to) y ~ ’ ( t , ) son linealmentedependientesparaalgún to, entonces x 1 ( t ) y x2(t) son linealmente dependientes para todo f. a)
61 9
6. ECUACIONESDIFERENCIALESLINEALES DE SEGUNDO ORDENCONCOEFICIENTESCONSTANTES La ecuación diferencial lineal constantes es 6.1
de segundo orden con
coeficientes
f f - + b i + c x = f,
donde b y c son constantes dadas, y f es una función dada. Consideramos primero la ecuación homogénea 6.2
X+bi+cx
=
O.
Queremos encontrar todas las funciones x que satisfacenestaecuación. Haciendo i = y podemos reducir inmediatamente 6.2 a un sistema de dos ecuaciones de primer orden:
6.3 6.2 en el siguiente sentido: si x es
Este sistema lineal 6.3 es equivalente a una solución de 6.2 entonces
(i)(;>
es una solución de 6.3, y si
=
0
es una solución de 6.3 entonces x es una solución de 6.2. Hay una sencilla correspondencia uno-uno entre las soluciones de las dos ecuaciones6.2 y 6.3. Aquí
y la ecuación característica de A es
11;
=
A2+6A+c = O .
Las raíces características son Y 112 =
+(-b-&C$
De acuerdo con las ecuaciones 5.7' y 5.9', pbg. 612, vemos que la solución general de 6.2 es 6.4
x(t) = c1e"'+c,e"'
si A,# A~
Y 6.5
x(t> = (clt+c2)eArsi
rll = A, =
A.
620 [Cap.
11
diferencialesEcuaciones
Estas son las soluciones generales para funciones complejas. Los números J., y 1, lo mismo que los c I y c2 pueden ser complejos. El interés usual generalmente estáen las ecuaciones reales( b y c reales) y las soluciones reales. Aclaremos la cuestión de las soluciones reales para el sistema i, = a,,x,+a,,x,
6.6
i2 = a,,x,+a,,x,.
Escrito como una ecuación vectorial simple, tenemos 6.1
donde A =
x = Ax,
(::: :::).
Supongamosque la matriz A es real,con lo que
queremos decir que los coeficientesa i j son reales. En general, una solución x de 6.7 puede ser compleja, y podemos escribirla en la forma x = u + iv donde u y v son funciones vectoriales reales. Como A es real, A u y Av son también reales. De donde
k
=
U+ii = A ( u + i v ) = A u f i A v ,
e igualando las partes real e imaginaria: U
=
AU,
i = AV.
Las partes real e imaginaria de una solución de 6.7 son también soluciones. Supongamos, para una solucióncualquiera x = u+ iv, que lacondición inicial x ( t o )= x’ es real. Entonces v(to) = O . Como i = A v con v(t,) = O tieneunasoluciónímica,sesigueque v es la solucióntrivial O ; es decir, v(t) =O para toda t . Y hemos probado así que: 6.8 Lema. Si la matriz A es real y si unasoluciónde algún instante t o , entonces x(t) es real para todo t .
x =Ax
es realen
El teoremade launicidad y el anteriorresultadopuedenenunciarse como sigue para laecuacióndiferenciallinealdesegundoorden 6.2 que es equivalente al sistema 6.3. 6.9 Teorema. Dados x, ,y , y to hay una y sólo una solución de x + b i + cx = O que satisface x(t,) = x, y i( t o )= y o . Si 6 , c, x, y yo son reales, entonces la solución de x + b f + c x = O que satisface x ( t o ) = x, y i(t,) = y o es real para todo t . En la hipótesis de que b y c son reales, entonces no es difícil probar que la solución real general de x + b f + cx = O es como sigue:
S i I , y I , son reales, entonces x(t) =
~ ~ e ’ ~ ~ + c , e ” ~A , # I~
61
o bien x(t) = (c,t+c,)e""
donde c1 y
c2
621
linealessegundo de orden
Ecuaciones diferenciales
,
A , = A, ,
son reales. Si 1, y A, son complejos, entonces I , x(t) =
-
= 1,
y
R1 (cl e"")
donde c , es un número complejo cualquiera.
Así pues,en el casoderaícescomplejas (Al solución general puede expresarse en la forma
= p+ io, A, =
p-
io) la
x ( t > = eSt(a, cos o t + a , sen w t )
o en la forma
x(t) =
AeS"cos ( o t + d ) ,
donde a , , a,, A y 6 son números reales arbitrarios (problema 3).
6.10 Ejemplo. Obténganse todas las soluciones reales de
Y +oO2x= O,
donde w, es un número real distinto de cero.
SOLUCI~N. La ecuación característica es A2f(jlO* =
o
de forma que lasraíces características son 1, = io,, Az = -io,.La solución general es ,y(t) = C1eiwo"+Cze-iwor. La solución real general es x(t) =
Rl (cl eiwo').
Si c , = a , -ib, , entonces la solución real general es
+
x ( t ) = a , cos o,, t 6, sen o,t
o bien x(t) =
a cos
(w,t+S),
donde aeid= a, - ib, . Nótese, en particular, quex ( t ) = cos m, t es la solución 1 que satisface x(0) = 1, i(0) = O, y x(t) = - sen w, t es la solución que satisface x (O) = O, i(O) = l .
0 0
6.11 Ejemplo. Obténganse las solucnones de
Y - wo2x
=
O, donde o, es un número real distinto de cero,
que satisfacen : a) x ( 0 ) = 1, i(O) = O ; b) x ( 0 ) = O, .t(O) = l.
622
[Cap. 11
diferenciales Ecuaciones
SOLUCI~N. La ecuación característica es p-wo2 =
o,
de modo que Al = wo, A2 = -oo.Por tanto, la solución general es
x ( t ) = cleWor+c2e-00f. a)
x(0) = c1 +c2 = 1 i(0) = o o c ~ - w o c 2 = o.
Por tanto, c1 = c2 = 3 , y la solución que satisface esta condición inicial x(t) = b) Aqui
e
emof + - WOf
=
2
es
cash w0t .
c1+c2 = o ooc1-ooc2 = 1,
Y
c1 = - c
1
2 = - .
2 0 0
Así pues x(t) =
p o r
- e - mor 2w0
=
1
-
senh m o t .
@O
Problemas
l . Resuélvanse a) x - x = o C)
X-2ff3x
e ) 3 -d2Y + - = O dY ddxx 2
=
O
b) z + x = o d ) 9 X + 9 i + 2 ~= O
f) D 2 x + 6 D x + 9 x
=O.
2. Resuélvanse
o, o, = o,
x ( 0 ) = o, i ( 0 ) = 10 x ( 0 ) = o, i ( 0 ) = 10 x+3i x ( 0 ) = x,, i(0) = io 4 x + 4 i + x = o, x ( 0 ) = 2, i ( 0 ) = - 1 e) 2 + 4 i + 5 x = O, x(0) = 2, i ( 0 ) = O f) 4 X + 1 2 i + 2 5 ~= O, ~ ( 0 =) 5 , i(0) = - 3 . a) 6) c) d)
x-4x x+4x
= =
3. Si b y c son reales y las raíces características de x
+b i + cx = O son
61
623
Ecuaciones segundo diferenciales ordende lineales
complejas, demuéstrese que las soluciones reales de esta ecuación diferencial son de la forma a) x(t) =
=
b ) x(t)
=
c) x(t> =
c1 e'P+iw)f+c,
,(P-iwP
2eP' RI (cI e'O') e B z ( a ,cos o t + a , sen wt) aePtcos (ot+a).
(Exprésense
fl y o en términos de
b y c.)
4. Si b > O y c > O, pruébese que los valores característicos de I+bf+cx = O
tienen partes realesnegativas. ¿Qué significaestorespectoal miento de las soluciones cuando r tiende a infinito ? 5. Discútase la equivalencia
comporta-
entre las soluciones reales del sistema i = y
p
y las soluciones de
= "x
i + i z = O.
Sea z = x + iy. Obténganse de aquí las soluciones reales del sistema. 6. Generalícese el problema 5 comenzando con i+(a+ib)z = O
7. Usando la sustitución y ( z ) = x(e3 redúzcase el problema de resolver (la ecuación equidimensional) x(t)
+ -b i ( t ) + - x(t) C
t2
t
=
O sobre (O, 03)
al de resolver la ecuación lineal homogénea
jj+(b-l)p+cy
= O.
8. Resuélvase a) t 2 j i . ( t ) - 2 t i ( r ) + 2 x ( t ) = O sobre (O, 00)
c)
rZx(r)+ri(t) = O sobre (O, m ) .
9. Resuélvase a) 2 X - i - 3 ~ =
O
624
[Cap. 11
diferencialesEcuacrones
6) Lq+R4
+ -14 c
=
O dados
= 1 0 0 IO-.', ~ R = 3Ox IO', q(0) = i o o x lo"c, i ( O ) = o
L
C = IOOX
10-l2.
c) Resuélvase h cuando R = O.
7. LA ECUACIóN COMPLETA X
= AX+f
El sistema de ecuaciones diferenciales
7.1
al1xI+a,,x,+.f,
i 1
=
-y2
= a21 XI + a , , x , + . / 2
se llama sistema "completo" en contraste con el sistema 7.2
YI = a , , x , + a , , x ,
1 2
= a , , XI + u , , x ,
que se llama sistema "homogéneo". Con
estos sistemas pueden escribirse
7.3
x
=
AXff
Y 7.4
X = AX.
Suponemos que f es continua sobre ( - m , x). Será claro, sin embargo, que la discusión puede restringirse a cualquier intervalo 4 en el que f sea continua. La introducción de l a notación vector-matricial nos permitirá ver que la teoría del sistema lineal 7.1 no es más difícil que la de la ecuación simple 2 = ax+f'.
Aquí e""' es un factor integrante:
Y es la solución general de l a ecuación completa.
71
X =
completa ecuaci6n La
Ax+f
625
Definiremos ahora la exponencialmatricial e - A ry demostraremos que es un factor de integración de 7.3. Una matriz se dice que es no singular si A x = O implica x =O. Denotemos el determinante de A por det ( A ) , es decir
En esta notación la ecuación característica de
A es
Una matriz A se dicequetiene una inversa si existe unamatriz con la propiedad de que A"A = A A - ' = 1 .
A" se llama el inuerso de A . Es fácil demostrar que A" gamos que A es también un inverso. Entonces A* = A*(AA")
si A
=
(A*A).4"
=
A"
es Gnico. Supon-
A-'.
tiene una matriz inversa entonces
A X = O * A"(Ax) (A"A)x
=
O
= h = X
=O.
Así pues, si A tiene una inversa entonces A es no singular. También puede probarse lo recíproco. Por lo que sabemos acerca de la solución de ecuaciones algebraicas lineales vemos que una matriz A es no singular (Ax = O sólo si x = O ) si y sólo si det ( A ) f O. Así pues, si A es no singular, entonces dada y la ecuación y = AX
tiene una solución Gnica
Es fácil comprobarque A B = BA = 1 y, portanto,que completa la prueba del siguiente lema.
B = A".
Esto
7.5 Lema. Una matriz A es no sirlgular si y sólo s i tiene una inversa.
Sea X = ( x i j ) una función matricial (con valores matrices) definida
por
626
[Cap. 11
diferencialesEcuaciones
Los conceptos y operacionessobrefunciones matricialesson los mismos que loscorrespondientessobrefuncionesvectoriales.Consideraremos la matriz como un vector tetradimensional: X ( t ) es continua sobre un intervalo .a si todos los x,,son continuos sobre .f, .Q(t) =
(i,j(f)).
e
Por ejemplo
(
.’
cos t (it -sen
De donde X ( t )
=
i
sen cos
t
cos I “sen
t
=
(
cos ”sen -cos t
t -sen t
cost -sen t t
sen t es soluuibn de X cos 1
Se prueba entonces fácilmente (problema 1 ) que
7.6
-(XY)
7.7
- (Xv) = X v +
il
L/ t
=
kY+xY
(1
dl
xi.
donde A es una matriz constante. Como
vemos que X es una solución de 7.8 si y sólo si
=
sent cos t
71
i= A x + f
completa La ecuaci6n
627
Esta es exactamentenuestrarazónparaintroducirlaecuaciónmatricial. Es un lenguajeconveniente(quepuedegeneralizarse para n dimensiones) para hablar de u n par de soluciones de 7.9 (o, en general, de n soluciones de u n sirtemade n ecuacionesdiferencialeslineales). Las dos soluciones en queestamosintere,adosson lassolucionesde 7.9 que satisfacen
x(0) =
(A)
y x(0) =
(y).
Se llaman a éstas las soluciones principales de 7.9.
La soluciónmatricialprincipal de 7.8 es la soluciónde 7.8 quesatisface X ( 0 ) = 1. Denotemos por P a la soluciónmatricialprincipalde 7.8. Las columnas de P son las soluciones principales de 7.9. Como lassolucionesmatricialesde 7.8 se correspondenconparesde solucionesde7.9,sabemos,según el teorema 5.12 (pág. 614) que: duda una matriz constanfe X, hay una matriz solución y sólo una matriz solución de 7.8 que satisface a X ( 0 ) = X,. Usamos ahora este resultado de existencia y unicidad para demostrar que la soluciónmatricialprincipal P tienelas propiedades de una exponencial. Definamos la funciónmatricial Y por Y ( t ) = P ( t + 7 ) , donde 7 es un número real cualquiera. Entonces 11
P(t) = -[P(t+z)] =
dr
P(t+.r)
=
A P ( Z + T ) = AY(^),
lo que nos dice que Y ( r ) es la solución de 10.8 que satisface Y(0) = P(T). Ahora bien, Z ( r ) = P ( t ) P ( T ) es también una solución de 7.8 que satisface la mismacondicióninicial: Z(0) = P(0) P ( r ) = IP(7) = P(.r). De donde 2 = Y ; es decir P(t) P(T) = P ( t tz)
7.10
para toda t y toda 7 . Esta es la ley de los exponentes y, como P ( t ) = A P ( t ) y P(0) = 1, la solución matricial principal se escribe a menudo como una exponencial: P ( t ) -= eAr, y, por analogía con la exponencialreal y compleja, se llama exponencia/ rnafricial. Podemos entonces escribir 7.10 en la forma
-
g A ~ e A r- eAir+i)
Nótese entonces que eAIp-At
=
e-Af
eA t
=I
eo = P ( 0 ) = I.
De donde P ( t ) = eA' es no singular para toda f y P - ' ( f )= e - A t . Con estamatrizexponencial podemos fácilmenteresolver la ecuación completa 7.11
2 = Axff.
628
[Cap. 11
diferencialesEcuaciones
Como -(e - A t ) = - P ( - t ) = - P ( - t ) = - A l ' ( - t ) = - A e P A ' , podemos dt dt imaginarnos,basándonos en lo que sucedeen el casounidimensional, que e-*' es un factor de integración de7.1 I . Para comprobarlo, necesitamos saberque A y e - A t conmutan; es decir,que AeTA' = Sean
Y ( t ) = Ae-A': ~ ( t =) e - A ' A Entonces Y(t> =
Y
- A 2 e - A ' = AY(^)
i ( t ) = - A e P A t A = -AZ(t).
Como Z(0) = Y(0)= A , usando de nuevo el argumento de la unicidad, tenemos Z = Y. De donde Ae-A' = e P A ' A . Por tanto,
= ePA'(jr(t)-Ax(t))
Supongamosque x es una solucióndelaecuación satisface x(0) = c . Entonces
e-A'(x(t)-Ax(t))
=
completa 7.1 I que
e-A'f(t)
o bien
Por tanto e-A'x(t)-x(0)
Y 7.12
x(t) = eA'c
+
=
j:
1:
e-A"f(s)ds
eA('-S)f(s)ds.
Es fácil comprobar que x(t) es una solución de 7.11 y que x ( 0 ) = c. De donde 7.12 es la soluciónde laecuacióncompleta 7.1 I quesatisface x(0) = c ; es lasolucióngeneralde7.11. El término eArces lasolución general de laecuaci6nhomogénea
y eA'
e - A s f ( s ) d s esunasolución
71
+f
629
[es lasoluciónde
7.1 1 que satisface
ir = Ax
La ecuaci6n completa
particularde laecuacióncompleta x(0) =O, problema 51.
7.13 Ejemplo. Resuélvase
x+wo2x = s e n o t ,
o
z
O, o,
+ O.
SOLUCI~N. Un sistema equivalente es i = y
J; = -o,Zx
+ sen ut.
-oo sen o. t
cos 0 0 t La solución matricial principal es
1
cos wo f -mo sen o. t
cos wo t
Usando 7.12 tenemos que
1 sen wo(t-s)
cos o o ( t - s )
w0
-oo sen wo( t -.
S)
cos o. ( t - S)
1
(se:ws)
ds *
Como estamos solamente interesados en x, tenemos x ( t ) = c l c o s w o t + - c1C i s e n w o t + - ~1~ s e n w o ( t - s ) s e n w s d s . 0 0
U 0
630
Ecuaciones diferenciales
[Cap. 11
Por tanto, si w # coo, w(t)
=
c l cos wot
1 +c 2 sen coot
-
0 0
= k,cosw,t+k,senw,t
w
wg (oo2 - w2)
senmot
1 +m sen 0 0
ut
"w
I +m sen w t wg
"O
Si o = wo, x(t) = k,coswot+k,senw,t
1
- -tcoSwot 2%
Si w = oo,tenemos lo que se llama resonancia. Si w # coo, las oscilaciones son acotadas para todo t y (u fijo, aunque la amplitud del término sen ot tiende a m cuando co"twg. Enel casoderesonancia w = coo, lím x ( t ) noexiste. Este fenómenoderesonancia sección 1 1.
Problemas 1. Pruébense: a) 7.6 2. Pruébese que: d t
6) 7.7 =
-X-'?$)X'.
3. Pruébeseque
o I f
e)
0)
4. Resuélvase : a) i= y
(
cosh t = senh t
1-
Y-
se discutecon más detalke en la
senh t cosh t
j = -x-2y+e1, x(0) = y ( 0 ) = O 6) i = y j = x+fe", x(0) = 1, y ( 0 ) = O
81
X+bi
La ecuacidn completa
c) i= x - y 4 - r j = -x+y
+rZ,
= ax - by j = bx+ay+e-"',
+ cx
=f
631
~ ( 0=) 1, y ( 0 ) = 3
d) i
5. Pruébeseque
x(0) = xu, y ( 0 )
=
yo.
rr
es la solución de i= A x + f que satisface x(0) = O 6 . Pruébeseque
1 7-
eA' =
n=u
1
n
Ant".
8. LA ECUACIóN COMPLETA
X+hi
+ cx = f
La ecuación diferencial lineal de segundo orden 8.1
f + b i + c x = ,f.
es, desde luego,un caso particular del sistema que estudiamos en la sección 7. Pero es u n casoparticularmenteimportante, y la solucióngeneraltiene una forma sencilla. U n sistema equivalente es: % = y
8.2
j = -(X-hy+,f.
<
Suponemos que .f es continua sobre - m , m), o bien podíamos suponer que.f es continua sobre 4 y restringir la discusión a 9.Sean
Sabemos cómo obtener p2 =
(;::)
las
soluciones principales
pl
del sistema homogéneo i = y
8.3
,
j = -cx-~Y.
La función p l es la solución de la ecuación homogénea 8.4
jt+b%+cx =
o
que satisface x(0) = I y i ( 0 ) = O . Análogamente p l z es la solución de 8.4 que satisface x(0) = O, i ( 0 ) = 1 . Sabemos, por tanto, que la solución
632
[Cap. 11
diferenciales Ecuaclones
matricial principal P ( t ) = ( p i j ( t ) )= eA' y, por la ecuación 7.12, la solución general de la ecuación completa 8.2 es 8.5
Aquí
Nuestro interés está en x ( t ) y la solución general de la ecuación completa 8.1 es 8 .6
X(l)
=
c,p,,(t)+(.*PIz(t)
+
i':
Plz(t-s)f(s)ds.
Haciendo u ( t ) = p , I ( t ) y w ( t ) = p l 2 ( t ) , tenemos
8.7 Teorema. Sean o y IC las soluciones de x + b i + cx = O yue satisfacen ~ ( 0= ) 1, zi(0) = O y w(0) = O, io ( O ) = 1. Entonces la solucióngeneral de x+bR+cx = f'es x(t) = c1 c ( t ) + c Z w ( t )
La integral
i':
+
1:
w(t-s)f(s)ds.
u:( t - S) f ( s ) d s es la solución particular de 2
+ bP + cx = f'
que satisface x(0) = X(0) = O . (Véase en conexión con esto el problema 3, pág. 635.) La diferenciaentre dos solucionescualesquierade la ecuación completa es una solución de las ecuaciones homogéneas. Podemos por ello enunciar: la solución general de la ecuacidn completa es la solución general de la ecuaciónhomogkneamdsunasoluciónparticularcualquieradela ecuación completa.
8.8 Ejemplo. Resuélvase .Y + 2X + x = e', x(0) = 1 (O) = O .
SOLUCIÓN 1. La ecuacióncaracterística es i.2+2ii+ I = (I,+ 1 y = O
y - 1 es una raízmúltiple.De donde la solucióngeneralde la ecuación homogénea es (cl + c , f ) e - ' , y vemos que w ( t ) = t e - ' . Por tanto, (t-s)e"""ee"ds
que es la solución buscada.
81
x+bi+cx = f
completa ecuaciónLa
S O L U C I ~2.N Busquemos una solución particular de sustituyendo en laecuacióndiferencial,tenemos c+2c+c = 1 o
c
633
la forma ce'. Entonces, como ecuación para c
4.
=
De donde l a solución general es x ( r ) = (cl +c,t)e"+$ef.
Las condiciones iniciales son x(0)
= CI
+$
=
o
i(0) = -c,+c,+;t
Por tanto, c , = - 4,c2 =
=
o.
-4,y la solución buscada
es
x ( t ) = -&(I +-2t)e"+4e1.
8.9 Ejemplo. Resuélvase x +x
= f , x(0) = i ( 0 ) = O,
o,
donde
t
t,
2n-f,
o,
O
SOLUCI~N. L a solución w de la ecuación homogénea que satisface w(0) = O, L I ( O ) = 1 es w(t) De donde
Por tanto
o,
?
:=
sen t .
634
[Cap. 11
Ecuaciones diferenciales
o,
t
t-sent, -
O
2 n - 1 - 3 sent, - 4 sen t ,
2n
n
< 2n
La funciónf, que en una aplicación, puede ser u n a fuerza o voltaje aplicado. puedeconsiderarsecomounaenergía de ciertotipoqueentra en u n sistema (figura 3). En el instante t = O el sistema está parado en SLI posición deequilibrio; y la solución x puede verse como la energía de salida (figura 4) que corresponde a la de entrada f .
FIGURA3
FIGURA4
Problemas l . Resuélvanse:
X + 3 i + 2 ~= t 2 - f . ~ ( 0 =) i ( 0 ) = O 6) P + 2 , t + X = cost, s(0) = i ( 0 ) = o C) 2 X + 7 i + 3 x 5-ef, ~ ( 0= ) O, i ( 0 ) d ) x + 4 i = e', ~ ( 0 =) X", i ( 0 ) = .to
a)
=
1
La ecuacidn completa X + b i
81
e) x + c z x = e‘,
donde
f(t) =
1
635
i ( 0 ) = io
o,
= f , x(0) = i ( 0 ) =
g) X + 2 i + 2 x
O,
x(0) = x , ,
+ cx = f
t
t,
O
I,
I ,
2. Pruébese quepara diferencial
el caso o # wo (no resonancia),laecuación X + o 0 2 x =: a cos ot
tiene una solución periódica de periodo
211
-. Trácese la amplitud (el valor
o máximo) de esta solución periódica como función de o.
3 . Una función se dice que es continua a trozos sobre un intervalo [a, b] si J’ es continua en todos, salvoun número finitodepuntos, y en cada puntodediscontinuidad existenlímites a laderecha y a la izquierda. Decimos que f es continua a trozos en ( - m, m) sifes continua a trozos sobre todo intervalo [a,61. Cuandofes continua a trozos sobre ( - 03,m), decimos que y es una solución de (*) X + b i c x = f si y es continua sobre ( - 00, m) y satisface (*) en todo punto donde f es continua. Bajola hipótesis de que f escontinuaatrozossobre { - m, c o) pruébeseque
+
x(t) = c,u(t)+c,w(t)
+
sobre ( - m , m ) ; u y
u!
1:
w(t-s)f(s)ds
es la
solucióngeneral
de (*)
definidos como en el teorema 8.7.
Nota. Esta es la extensión a impulsos de entrada continuos a trozosf del teorema 8.7. Si g es continua a trozos sobre [a,61, entonces g es integrable sobre [a, b). Si g es integrablesobre continua sobre G ’ ( t )= g(t).
[a,b]
4. Resuélvase
donde
I
entonces G(t) =
I,
o,
o
t
[o,
t 3 1
o,
od t<1
S:
g es
t de [a,b] donde g es continua
X + x = f , x(0) = 1(0)=
o,
a) f ( t ) =
y en cada punto
[a, b]
1
t 2 1
636
[Cap. 11
diferencialesEcuaciones
Trácese la gráfica de “salidas”).
los impulsos de entrada f y de las soluciones x (las
5. Supongamos que f y g son continuas sobre un intervalo 4 con OE 4. La función f * g definida por
( f *S) ( 0
=
j;
f ( t - 4 s(s)ds
se llama convolución de f y 9. Pruébese que f * g = g ,f;es decir,
Nota. Este resultado puede a rt
w ( t - S ) f(s)ds.
veces simplificar el
cálculo
de
La convolución puede también definirse por
J O
(f * g ) ( t )
=
jm -m
f’(t - S ) g (S) ds.
si f ( t ) = g ( t ) = O para t
Las dos definicionessonequivalentes 6. Resuélvase
X + 3 k + 2 ~= f, ~ ( 0 = ) i(0) = O, donde f es a ) la f del problema 4 a 6) la f del problema 46 c ) la f del problema 4c. 7. La función u del escalón unitario es la función definida por u ( t ) = O, t < O, y u ( t ) = 1, t 2 O. Sea y la solución de x bx cx = u que satisface a
+ +
x(0) = k(0) = O. (a y se le llama la respuesta del sistema a la función del escalón unitario) a)
Pruébesequesobre
[O, m] j
=w
y, por tanto, y ( t )
=
j:
w(s)ds,
donde w es la función dada en el teorema 8.7. Así pues, se sabe o puede medirse la respuesta de este sistema lineal a una función de escalón unitario, entonces puede calcularse la respuesta x(t) =
S:
w ( t - s ) f ( s ) d s acualquierimpulsodeentrada
b) La respuesta deun
sistema a unafunciónde
f.
escalón unitario
El superposici6n principio de
91
637
es (para t 2 O) 1 - (1 +?)e". Determínese la respuesta de este sistema lineal al pulso cuadrado
o,
t t o
o,
t
26.
9. EL PRINCIPIODESUPERPOSICIÓN El principiodesuperposición,que en estasecciónprobaremos y discutiremos, es la propiedad característica de los sistemaslineales. Es la falta de este principio la que complica el estudio de los sistemas no lineales. Hasta cierto punto, este principio ha llevado a un estudio de los sistemas lineales completamente separado de las ecuaciones diferenciales, lo que ha probado ser causa de confusión. Los métodos lineales son adecuados dentro de su rango deaplicabilidad, pero nosirven en general más que para sistemas lineales y no se debe esperar poder, en general,aplicar métodos lineales al estudio de sistemas no lineales. No queremos asegurar con esto que el estudio de los sistemas lineales no es importante. Las rectas son el punto de partida más naturalpara el estudiodelageometría, lasecuaciones lineales son el puntonaturaldepartidapara el estudiodelasecuaciones algebraicas y trascendentes y, de igual modo, lo son las ecuaciones diferenciales lineales para el estudio de las ecuaciones diferenciales. Pero es, sin embargo, de esperar que la no linealidad planteará nuevos problemas, requerirámétodos diferentes y que los sistemasno linealesexhibirán comportamientosquenopodránencontrarse en los sistemaslineales. El comportamiento no lineal no es forzosamente indeseable.En realidad, lo que quiere decirse es que en los sistemasno lineales puedenesperarse queocurrancosasque en lossistemaslinealesnuncaocurrirá. Significa también que para muchos propósitos la aproximación lineal de un sistema no puede porsí misma ser adecuada para la explicación de ciertos fenómenos. Consideremos el sistema lineal % ( t ) = A ( t ) X(t)+f(?),
9.1
donde suponemos que la función matricial A y la función vectorial f son continuassobre ( - 00, 00). Elprincipiodesuperposición es, como veremos, una consecuencia directa de linealidad la de A ( ? )x(t): A ( t ) [ c ,x 1( t ) c2x2 ( t ) ] = c1 A (?)x' ( t ) + c2 A ( t )X2(t).
+
9.2 Teorema. (El principiodesuperposición.) % ( t ) = A(t)x(t)+f'(t) y y2 es unasolución entonces y = c1y' + c2y2 es una solución de
Si y' es unasolución de de ;ir(?)= A(t)x(t)+f2(t),
k(t) = A(t)x(t)+c,f'(t)+c,fZ(t).
638 [Cap.
PRUEBA.
diferenciales Ecuaciones
i
11
c,Ay'+c,f'+c2Ay2+czf2 A[c1y'+c2y2]+c1f1+e2f2 Ay+(.,f'+c2f2.
= cly'+c2j12 = = =
En la hipótesis de queA y f sean continuas sobre( - c o , m) ( o sobre cualquierintervalo 9)se sabeque 9.1 tiene unasoluciónúnica x sobre ( - c o , .o) ( o sobre Y) que satisface x ( t o )= x , , ( t , ~Y). Hemos mostrado esto para coeficientes constantes y aceptamos el resultado más general sin prueba.Supongamosque el sistemacomienzaen su posición dereposo x(0) =O. Entonces la ecuación 9.1 tiene una solución única y que satisface estacondición inicial. Considerando a A ( t ) comounafunción matricial fijaasociamosentoncesconcadafunción f continuasobre ( - m , m ) la solución y. Denotamos esta correspondencia por L = ((f, y)} y
y
=
L(f).
L es una transformación definida sobre el espacio de funciones f continuas sobre ( - m , m ) . Lafunción f se llama a veces entrada (figura 5 ) y, la solución y , salida. El principiodesuperposiciónafirmaque L es una transformación lineal : L(c,f'+c,f2) f
cf
=
c1 L(f')+c2L(f2).
+T+ L:f)
"-1 L
+-
CL(f)
FIGURA 5
Es fácil de ver esto. Las funciones y' = L(fl) y y2 = L(f2) son las soluciones de 8 = A x + f ' y 8 = A x + f 2 que satisfacen x(O)=O. Por el principiode superposición c1y' c2y2 es una solución dex = Ax' + e l f 1 c2 f 2 y satisface x(O)=O. Por tanto, L ( c , f ' + c 2 f 2 ) = c I y i + c 2 y 2 = c 1 L ( f 1 ) + c 2 L ( f 2 ) . En términos de entradas y salidas el principio de superposición afirma que : silas entradas sot? añadidas, ILIS salidas se añaden (L(f' + f 2 ) = L(f')+ L(f2)); si la entrada es multiplicada por una constante, la salida es multiplicada por /a misma constante (L(cf) = cL(f)) (figura 5). Si P es la solución matricial principal de
+
b
+
x ( t )= A ( t ) x([>,
sabemos (problema 4) que y 9.3
y(t)
= L(f)
=
J r
O
viene dada por
P(t)P"I(.s)f(s)ns,
91
El
principio d e superposici6n
639
y en el caso particular en que A es una matriz constante 9.4
Observemosuna propiedad de la salida y queuno esperade u n sistema físico real. El valor presente y ( t ) de la salida debe depender solamente de los valores pasados de la entrada. El sistema no puede prever la entrada. El sistemacomienza en el tiempo t = O, el tiempo en que la entrada es aplicada, de modo que f ( t ) = O para t < O. Luego y([) = O para t < O y en cualquier t > O vemos, por 9.3, que la salida dependesolamente de los ralores pasados de la entrada
f.
Desde el punto de vista que estamos ahora tomando podemos ver una diferencia entre los coeficientes constantes y los coeficientes no constantes. El sistema lineal estácaracterizadopor la matriz A ( t ) . Si A es constante tenemos u n “sistema estacionario”; nocambiacon el tiempo.Con coeficientes no constantes el sistema cambia. Así pues, para un sistema estacionario, esperamos, independientemente de cuando sea el momento en que la entrada se aplique, puesto que la salida debe ser la misma. Se dice a veces que “el sistema es invariante respecto a u n cambio enel origen del tiempo”. En forma más precisa lo que se quiere decir es que si y = L ( f ) y y* = L(f*), donde f * ( r ) = f ( t - 6 ) y f(t) = O para t < O, entonces y * ( t ) = y ( t - 6). S i la entrada de un sistema estacionario se cambia en el tiempo en la cantidad 6 > O, entonces la salida es cambiuda en el tiempo la misma cantidad. Estosiguefácilmentede 9.4 por unsimplecambiodevariable en la integral :
=
j:-’
eA(r-d-u)
f(u>du
=
y(t-S).
En términos de la solución matricial principal cientes constantes y coeficientes no constantes Constante
P la diferencia entre coefies ésta: para A una matriz
P(t)P-l(s) = P(t-S); para matrices no constantes esto no
es cierto (véase el problema 5).
Nota. Enla anterior discusiónnoslimitamos afunciones f continuas sobre ( - m , m). Todo lo que aquí hemosdicho puede extenderse a funciones integrables sobre ( - GO,m>. Si f es integrable sobre ( - m , m ) , entonces x se dice que es una solución de i= Ax+f sobre ( - m , GO) si x es continua sobre ( - m , co)y satisface la ecuación diferencial en todos los puntos en que f es continua.
640
Ecuaciones diferenciales
Si g es integrable sobre ( -
a',a ) l a
[Cap. 11
i:
siguiente extensión del teorema
fundamental del cilculo es cierta : si C ( r ) =
y(s)ds, entonces G es
continua sobre ( - x.x-) y en cada t donde g es continua G ' ( t ) =g(t). Se sigue de ello que
x(r)
=
1:
P ( ~ ) c + P ( z ) P"'(sjf(s)ds
es la soluciónsobre ( - m . x) de k(t) = A ( t j x ( t ) + f ( t ) quesatisface x(0) = c . En particular,no debetenerse dudaalguna en cuantoa lo correcto de aplicar l o que aquí hemos aprendido a entradas continuas a trozos (problema 3, pig. 635). Debe tenerse presente que l a ecuación diferencial lineal de segundo orden i ( t ) + h ( t )i ( t ) + c ( t ) x ( t )
9.5
= f(t)
es un casoespecial del sistema 9.1. U n sistemaequivalente es
9.6
es el primer componente de x. Así pues, el teorema de superposición nos diceque. s i .xi es una solución de ,V(t)+h(t) .i+(t)+r.(f) ~ ( t= .)f ) ( t ) , Para coeficientes constantes b y c, correspondiéndose con 9.4, tenemos que 9.7
es la salida para una entrada f , donde w esla c.x(t) = O que satisface w(0) = 0, k(0) = I .
O I
I
L
soluciónde X ( t ) + h * ( t ) +
641
El principio de superposición
91
9.8 Ejemplo. Determínese la respuesta (la salida) de
X + 6 i + 5 ~= f al impulso de entrada cuadrado f(t) =
1
o,
1,
o,
t
od t <1 t 2 1.
SOLUCI~N. La ecuacióncaracterísticaes ,I2+ 6 A + 5 = O, y lasraíces características son ,I= - 1, - 5. Encontramos entonces que w(t) = t(e"-e-5f). Sea u la función de escalón unitario ( ~ ( t=) O, t < O , u ( t ) = 1, t 2 O). Entonces el pulso cuadrado f(t) = u ( f ) - u ( t - 1) (figura 6). La respuesta y a la función de escalón unitario es (problema 7, pág. 636): y ( t ) = O para t
y(t) = =
1: 4
~ ( t - S )u(s)ds =
j'
1 - _"
O
1
(e-'-
e-5')
e-2 + h e - 5 '
1:
~ ( s u(t-s)ds )
=
JI:
w(s)ds
ds
para
12
O.
Estees un sistemaestacionario(decoeficientesconstantes).Luegoia respuesta y* correspondiente a la entrada u ( t - I ) es y*(?) = y ( ? - 1). Por tanto, la respuesta x al impulso cuadrado es
x@) = y ( t > " y ( t - 1)
Esta salida se ha representado en la figura 7.
FIGURA 7
642 [Cap.
diferenciales Ecuacinnes
Algunas consecuencias simples
11
del principio de superposición son
PRUEBA. Hágase f ’ = f 2 =O enel teorema 9.2.
9.10 Corolario. La .solució,l general dr la ecuaciótl ronzpleta k ( f ) = A ( t ) x ( t ) + f ( t ) es la solución general de la ecuación hon7ogchea nzás cualquier solución particular de la ecuación completa. PRUEBA. Sea y unasolución (particular) de x = A x + f y sea x cualquier otrasolución.Entonces,segi~n el principiodesuperposición x - y es una soluciónde la ecuaciónhomogénea.De donde x(f)-y(t) = P ( t ) c y ~ ( t=) P ( t ) c + y ( t ) . Denuevo,según el principiodesuperposición,toda función de esta forma es una solución de la ecuación completa, de donde ésta es la solución general. Problemas 1. Determínense las respuestas
x+ 1o.11+x = ./‘ 6) X + l l O i + l ooox
a)
x y i de
J’
=
donde J’ es el pulso cuadrado del ejemplo 9.8. Grafiquense las respuestas x y i.
2. Resuélvase el ejemplo 9.8 con a ) f(2)
=
ilo,
o, / < o I , o ,
,
3 . Determinese la respuesta x de x + l O i + 2 4 x
2d
1lo, o,
b ) f(t) =
1.
Dibújense las grhiicas de las entradas y salidas
I,
=
t
o ,< 2 < 5 5Gt.
f’donde
1o1
oscilaciones lineales. X =
Ax+f
643
4. Suponiendo la unicidadde las soluciones,pruébese que si P ( t ) es la soluciónmatricialprincipal de X ( t ) = A ( t j X ( t ) , entonces9.3esla solución de X(c) = A ( t ) x(t)+f(t) que satisface x(0) = O . 5. Supongamosque A ( t ) es continuaparatodo t. Sea P la solución matricial principal de d! = A ( t ) X . Pruébese que, si P ( t ) P - l ( s ) = P ( t - S ) para toda t y toda S, entonces A ( [ ) es una matriz constante.
6. Si i w no es un valor característico de A , pruébese que
x ( t ) = eA*c + (io1- A ) - beior es la solución general de Conclilyase de aquí que, puros, entonces
x(t)
X
=
A X + beiWt.
si A notienevalorescaracterísticosimaginarios
=: eA'c
t-
n
( i o k 1 - A ) - ' bkeiokf h= 1
es la solución general de
k(tj = Ax(t) -t
n
1 bkeiwkf.
k= 1
7. Determínese una solución particulardecadauna ecuaciones diferenciales : a) i ( 1 ) = 2x(t)-y(t) j ( t ) = X(t)+J,(t)+4 cos 3 t
c)
i ( t ) = x ( t ) + y ( r j - cos
j ( t ) = x([)-y(t)
2t
+ sen 3 t
delassiguientes
b) i = x + y - 2 c o s j = x-y-4
sen
d ) X(tj+5i(t)+3x(t)
e ) 3 x ( r ) + 7 i ( t ) + 9 x ( t ) = cos !-+cos
=
cos l o t
3t.
10. OSCILACIONES LINEALES.
X =
Ax+f
Al estudiar el sistema lineal 10.1
X = Ax+f
A hasidouna matrizcompleja y f unafunciónvectorialcompleja. La principal razón para tomar como sistema numérico el campo complejo fue la de introducir valorescaracterísticos y vectorescaracterísticos.Nuestro interés,sinembargo,recae primariamente en los sistemasreales y enlas soluciones reales. Supondremos por ello en toda esta sección que A es una matriz constantereal y f una función vectorial real continua sobre ( - 00, m). Lo que queremos es investigar en forma más detallada que anteriormente
Ecuaciones diferenciales
644
[Cap. 11
el carácter de las soluciones reales de IO. 1. Nos interesaremos particularmente en las soluciones periódicas. Comenzaremos por discutir las soluciones reales de la ecuación homogénea
10.2
X =
AX.
Sean A l y A 2 los valorescaracterísticosde A . Pueden,desdeluego, ser reales o complejos. Si son complejos,entonces, como A es real, son complejosconjugadosunodeotro. El carácterde las solucionesdepende delanaturalezade y i.., Caso f. A l , A2 reales y distintos (j., # A2). Designemos por jL1 a la mayor de las dos raíces (IL1> i 2 ) , y sean Y ' y v2 vectorescaracterísticoscorrespondientes.Como A y sus valores característicos son reales, los vectores característicos son reales. Supondremos, lo que desde luego podemos hacer, que los vectores característicos Y' y vz son unitarios. La solución general de 10.2 es
10.3
x(t) = ~ ~ e ' ~ l ' v ' + c ~ e ~ 2 l ' v ~ .
Toda solución x de 10.2 define unacurva y en el plano.Queremos investigarprimero lo que sucede a ladirecciónde y cuando t + m y cuando t - m . Si A x o = O , entonces el punto x' se llama estadode equilibrio o punto crítico delsistema 10.2. Así pues, si x' es un estado deequilibrio x = x" es una soluciónde 10.2 y lacurvasolución y es simplemente u n punto. Si A l y 2, son distintas de cero, entonces A es no singular y elÚnico estado de equilibrio es el origen. Si A I = O, entonces Av' =O y todo punto sobre la rectaquepasa por el origen y tiene la dirección de vl es un estado de equilibrio. En cualquier punto que no sea un estado de equilibrio, la curva solución y tiene u n vector tangente unitario "-f
kit)
"
iX(t)i
Como
-
c 1 iL, ei~lrv'+c2~.2eA2fv2
1
~ ~ , 2 ~ 1 2 ~ 2 a ~ r + ~ ~ ~ ~ 2 ~ L 1 ~ 2 ~ " ~ + 1 ~ ~ ' ~ ' ~ y 2 + ~ 2
2, > jL2, vemos que
i) Si c , i, # O , la tangenteunitaria a & Y ' cuando t + m.
a la curva solución y tiende
Análogamente, ii) S i c 2 I 2# O, la tangenteunitaria a v2 cuando t + - m .
a la curm solución y tiende
1o1
Oscilaciones lineales.
=
A x ff
645
Esto está ilustrado en las figuras 8 y 9. El significado de c t 1, = O es claro. Si e , = 0 la solución comienza sobre la recta 5 f 2 a través del origen en la dirección v2 (ecuación 10.3) y permanece en estarecta. Si 2, = O , entonces todas las curvas solución son rectas paralelas a Y’.
FIGURA 8
Nudo estable
(i2
< i, < O)
1 a) Valores característicos negatirjos (IL2< 1, < O). Se sigue entonces de 10.3 que
iii) Toda solución x ( t ) -+ O cuando
t
m,
El estado de equilibrio en el origen se dice entonces que es “asintóticamente estable”. No importa hasta qué punto el sistema esté perturbado, siempre tiende a volver al estado de equilibrio. Además
iv) Ix(t)l-+ co cuando
t - t - co
(x(0) # O ) .
Con la información obtenida (i-iv) podemos dibujar las curvas solución (figura 8). En este caso, el estado de equilibrio O se llama nudo o nodo estable.
646
FIGURA 9
Puntodeensilladura
(IL2 < O <
1b) Valores característicos positicos ( A , > 2, > O). Es análogo al 1a ) si reemplazamos t por -t. Las flechas en la figura 8 tienen que invertir su dirección. Todo lo cerca del origen que queramos hay soluciones que dejan la vecindad del origen(cualquiervecindaddada). El estadode equilibrio se dice que es “inestable” y se llama nudo o nodoinestable. 1 c) tin valorcaracterísticopositivo y otro negafico ( A 2 < O < Vemos, por 10.3, que hay solamente dos curvas solución que tienden al origen. Éstas se corresponden con c, = O y c2 > O o c2 < O. Todas las otras soluciones tienden a infinito cuando t + m. El origen es “inestable” y se llama punto de ensilladura (figura 9). Caso 2. Raíces complejas. A , = p+ iw, A 2 = B- iw. Aquíen el plano,que es real, no tenemosyavectores característicos. Con A real las raíces son complejas conjugadas
reales una de
1O1
i= A x + f
647
la otra y así lo son los vectores característicos. De reales están dadas por
donde las soluciones
Oscilaciones lineales.
donde e l es u n número complejo arbitrario. Sea v ’ = u + iv donde u y v son vectores reales linealmente independientes (problema 3), y 2 c , = ad6. Entonces la solución general real es 10.4
x([)
=
ae”‘[cos (ot+S)u - sen (a,t+S)v].
De donde,cuando o t + S = k n , la soluciónestá en la dirección u. Cuando c v r + c S = f ( 2 k + 1 ) r r la soluciónest6 en la dirección v. Los componentes en las direcciones u y v oscilan y están 90” fuera de fase. 2a) Raíces i~7uginariuspuras O . l = iw, i2 = - io)). Aquí
x(t)
=
a[cos (wt+S)u - sen (o)t+ij)v],
y toda solución es periódica con periodo 2 x 1 ~ .Las curvas solución son curvascerradas. Si u y v fueranortogonales,seríanelipses con centro en el origen. De otra forma, son elipses distorsionadas (figura IO). Las solucionesquecomienzancerca del origenpermanecencercade él. El origen es “estable” y se llama centro.
\
FIGURA 10
I
Centro (I., = itu
-
i2)
2h) Partes reales negutiras ( p
648
FIGURA 11
Focoestable (/3 < O)
espiralalrededor del origen. El origenesasintóticamenteestable llama joco estable (figura 11).
y se
2c) Partesreales positivas (B < O). Aquí las soluciones se enroscan en espiral alrededor y hacia afuera del origen. El origen es inestable y se llamajbco inestable. Las curvas solución son como las de la figura 1 1 con las flechas en dirección contraria.
Caso 3 . Raíces iguales (l., = &). Como A l = ,I2, las raíces son reales. Si las raíces son negativas, todas las soluciones tienden a cero cuando r + m. El origen es asintóticamente estable y el cuadro no es muy diferente del que aparece en la figura 8 (figura 12). Lassolucionesnooscilan y el origen es una vez más u n móddo estable. Si las raíces son positivas, el origen es inestable y se llama nodo inestable. Oscilacionesforzadas. Deseamosdiscutirlassolucionesperiódicasdela ecuación completa 10.1 cuando f # O . Las soluciones periódicas se llaman “oscilaciones forzadas”. Sea g una función vectorial definida sobre ( - 0 0 , m). Lafunción g se diceque es periódica si para algún T # O, g ( t + 7‘) = g ( r ) para todo t en ( - m , m). El número T se llama periodo de g. Las funciones periódicas triuiules son las funciones constantes. Si g es una soluciónperiódica n o trivial,tieneun periodo positivomínimo T. Llamaremos a tal periodo positivo mínimo, simplemente periodonzinimo. Hemos visto que la ecuación homogénea x = Ax tienesoluciones periódicas no triviales si y sólo si las raíces características de .4 son imaginarias puras. Cuando 1, = iw, todas las soluciones (salvo la solución trivial)
649
FIGURA 1 2
Nodo estable (A1 = 2, < o)
son periódicas con periodo mínimo 2nlw. Éstas son las llamadas “oscilaciones libres” del sistema. Queremos ahora discutir las oscilaciones forzadas. Son éstas, como hemos dicho, las soluciones periódicas de
10.5
x
=
Ax-tf, f # O .
Observamos primero quesi debemos tener soluciones periódicas necesitamos suponer que el término forzante f es periódico.
10.6 Lema. Si = Ax+f tiene una solución periódica de periodo mínimo To, entonces f es periódica de periodo To. Si T es el periodo rninimo de f , entonces To = k T para algún entero positivo k.
PRUEBA. Sea x una soluciónperiódicade 10.5 deperiodomínimo To. Entonces x es también periódica de periodo To. Como f(t) = K(t)-Ax(t), se sigue que f cs periódicadeperiodo T o . Si f es periódicadeperiodo mínimo T, entonces sus únicos periodos positivos son T, 2T, ..., kT, ... Por tanto, para algún entero positivo k , To = kT. Y esto completa la prueba.
650
[Cap. 11
diferenciales Ecuaciones
En conexión son este lema, si T(]= k T con k > 1 la soiucicin periódica se llama suburn~ónicade O T ~ P k. M Se dice que es "sub" porque l a frecuencia de la solución periódica cs
I
1
- = --, que es u n k-ksimo de la frecuencia del T,, k T término forzante. Por ejemplo, la solución general de
10.7
XfX
=
cos 2 t
a cos ( t t c 5 - i cos 2 t . El periodo mínimo del término for'zante cos 2 t es n. Si u # O, la solucióntiene un periodomínimo igual a 2n, y estas soluciones son subarmónicadeorden 2. La única solución deperiodo TC es -4 cos 2 t , que corresponde a a = O. Si 10.5 ha de tenersolucionesperiódicas, de acuerdo con el lenla 10.6 debemos suponer quef es periódica. Pero esto en sí no implica, sin embargo,
es
que habrh soluciones periódicas. U n ejemplo es Y, + x = cos f .
La solución general esa cos ( t + b )+ 4 sen t , y no hay soluciones periódicas. Lo que es particular en este ejemplo es que hay una oscilación libre cuyo periodo es el mismo que el del término forzante. Lo que queremos demostrar es que si no es éste el casu, siempre hay soluciones periódicas. Llegamos a este resultado a través de varios lemas que en sí mismos son de interés.
PRUEBA.La solucióngeneral es x ( [ ) = e A f c . Hayentoncesunasolución periódica de periodo T si y scilo si P . ~ ( ' + ~ )=c 8 ' c para todo t o e,4 t e'4 7 c = e A f l cpara toda t . Por tanto, hay una solución periódica distinta de cero si y sólo si la ecuación (/-P"7)C
=
o
tiene una solucióndistinta de cero c . Esto es cierto si y sólo si / - e A r es singular. Lo que nos interesarespecto a lo que acabamos de afirmar no es que nos dé u n criterio sobre la existencia de soluciones periódicas de 2 = A x . Esto ya era conocido. Lo que es importante es que, cotno sabemos acerca de soluciones periódicas de 2 = A x . el lema 10.8 nos da u n criterio sobre la no singularidad de /-e.'".
P R U K B ALa . necesidad de la condición es trivial; si x es periódicade periodo T. entoncej u ( t + 7 ' ) = X ( ~ para I todo f. y por tanto. x ( T ) = x(0).
1o1
k = Ax+f
Oscilaciones lineales.
651
Para prabar lasuficiencia de la condición supongamos que x es una solución
y que x(0) = x(T).Definamos y(t) = x(t+ T). Entonces y(t) =
d
-
dt
x(t-1-T)= X(t+T)
= Ax(t+T)+f(t+T) =
AY ( t ) + f(t>
>
y y es tambiénuna solución.(Aquí hemosusado el hechodeque f es periódicadeperiodo T.) Como y(0) = x(T)= x(O), tenemos,según la unicidad de las soluciones, que x(t+-T ) = y ( t ) = x(t) para toda r. Y esto completa la prueba. Llegamos ahora al resultado principal. 10.10 Teorema. Sea f continua y periódica de periodo T. La ecuación k = Ax + f tiene una solución periódica única de periodo T si y sólo si la ecuación k = Ax notienesoluciónperiódicaalgunadistintadecero de periodo T. PRUEBA.La solución general de x = .4x + f es
De acuerdo con el lema 10.9, hay una solución periódica de periodo y sólo si
T si
PT
es decir, si y sólo si para algún c
(I-eAT)c !oT
eA(T-S)f OS d 5
’
Así pues, hay una solución periódica única si y sólo si la anterior ecuación tiene una solución única c. Esto es cierto si y sólo si [---eA*es no singular, y la conclusión de este teorema se sigue del lema 10.8. Nótese que el anterior teorema implica la existencia y unicidad de una soluciónperiódica de periodo T . Porejemplo,laecuacióndiferencial homogéneacorrespondientea 10.7 no tieneningunasoluciónperiódica distintadecerodeperiodo n. Laecuacióncompletatiene una solución periódica única de periodo n, pero una infinidad de soluciones periódicas. Tenemos, sin embargo, como una sencilla consecuencia del anterior teorema y del lema 10.6 :
652
[Cap.
11
diferenciales Ecuaciones
10.11 Corolario. Sea f continm y periódica con periodo lrlinimo T. Si no tiene nitrgcttm soiztció~fperiódica de periodo k T para ni17gún entero positico k, entowces k = A x f tiene U M U solución periódicaúnica, y esta
x =Ax
+-
solución periódica tiene periodo T.
PRULRA.Según el lema 10.6 las únicassolucionesperiódicasposibles son lasdeperiodo kT donde h es u n enteropositivo. De acuerdo con el teorema 10.10 hay, para cada k = I , 2. . . . una solución periódica única de periodo kT. De donde, como la soluciónperiódicadeperiodo T tiene también periodo kT paracualquierenteropositivo k, ésta es l a única solución periódica posible. Las condicionesdeestecorolario son ciertamentesatisfechas si las raíces características de A tienen partes reales no nulas. También se satisfacen si hay raícescaracterísticasimaginariaspuras +io(a, > O), pero 2n/(u i: kT para k = I , 2, ... Sin embargo, en esteúltimocasoderaíces imaginarias puras hayunainfinidaddelo que se llamansoluciones“casi periódicas” que se comportan en cierta medida como soluciones periódicas. Supongamosque las raícescaracterísticasde A tienen partes reales distintas de cero. Entonces hay una solución periódica única de k = Ax+f y estasoluciónperiódicatieneperiodo T. (Aunestamossuponiendo, desdeluego.que f es periódicadeperiodo T.) Denotemos estasolución periódica por % ( I ) . Si hay una raíz característicade A con parte real positiva,entonces hay soluciones y de x = A x con l a propiedaddeque ly(t)i x cuando t + x,. Ahora bien, c y + C es una solución de k = A x + f paratoda c. Así pues,arbitrariamentepróximasa lasoluciónperiódica haysolucionesque no permanecenpróximas. y la soluciónperiódica se dice que es “inestable”. Si todaslasraícescaracterísticastienenpartes realesnegativas,entoncestoda solución y de i = A x tiene l a propiedad de que y ( t ) - O cuando f + x.Toda solución de x = Ax+f es de la forma y+x, de donde toda solución tiende a la solución periódica X cuando f + co. Estasoluciónperiódica X se llama,entonces, solución de estadoestable. Así pues. si x es una soluci6n cualquiera que satisface x(0) = xo, entonces x = y + ? , donde y es la solución de h = A x que satisface y(0) = xo-T7(0). A l a solución y se le llama transitoria, ya que tiende a cero cuando t - rc’ y describe la forma en que l a solución se aproxima a l a solución de estado estable. --f
10.12 Ejemplo. Determínese la solucióndeestadoestablede ,+2ri+x
cuando a ) x = 100, h ) IX
=
cos
I,
= 0.001.
SOLUCI~N Para . un términoforzantesinusoidal
es particularnlente fácil
1o1
oscilaciones lineales. x = A x
encontrar lasoluciónde general
10.13
653
+f
estadoestable.Consideremoslaecuaciónmás X+2CIl+wo2x
COSWt.
=
El polinomio característico es q ( A ) = ,I2 + 2 c t 2 + w O 2 , y vemos para
wo2> O que las raíces características tienen partes reales negativas y hay
CI
>O y
una solución de estado estable. Una sencilla forma de determinarla solución de estado estable es considerar la ecuación
10.14
jt+2af+wo2x = eiWf,
y buscarunasoluciónparticularde ecuación nos da
la forma aeiWf. Sustituyendoenla
ae'"'((io)* + 2 a ( i w ) + w O 2 ) = acp(io)eiw' = eiWf.
Como no hay raíces características imaginarias, cp(iw) # O y ueiwt
-
1
eiwr
cp (io)
ÉStaes entonces la solución deestado establede 10.14 (podemosahora decirqueesto es una consecuenciadel teoremadesuperposición) y la solución de estado estable x ( ? ) de 10.13 es x(t) = RI
--
e?
Para la ecuación particular de este ejemplo (w = o. = 1)
1 Lasalidatiene ¡a mismafrecuenciaque la entrada (a esto se le llama resonancia), y la salidaestá 90" fuerade faserespectoa laentrada. La derivada x está en fase con la entrada. La amplitud de la solución de estado estable depende inversamente de CY. Las soluciones son: a) x ( t ) = 0.005 sen t . b) x ( t ) = 500 sen t . Problemas
1 . Determínese para cada uno de los siguientessistemaslanaturaleza del equilibrio estable (nodo estable, foco estable, punto de ensilladura, etc.) U) 1 = 2 ~ + 4 y b) f = x-y j = 5x+3y j = 3x+7y C) i = 3 x - 2 ~ d) 1 = x-5y 3 = -4x+7y 3 = 12x-y
654
[Cap. 11
diferenciales Ecuaciones
e ) i = 2x-3y j = 6x-y g) 1 = x - 3 y j =6~-2y.
.f) 1 j,
= =
x+5y 12x-y
2. Pruébese que el estado de equilibrio del sistema i = a,,x+a,,y
j = az,x+azzY
es estable si
> 0 Y a l , + ~ z z< 0 ;
~ l l ~ z z - ~ l z ~ z l
inestable si
a,,a,,-a,,a,,
u,,+uz2
> o.
3. Pruébese que:
Si u+iv y u-iv son vectores linealmente independientes, donde u y v son vectores reales, entonces u y v son linealmente independientes. Si A es unamatriz realconvalorescaracterísticoscomplejos, entonces las partes real e imaginaria de un vector característico son vectores linealmente independientes (es decir, si w = u+iv es un vector característico de A , con u y v reales, entonces u y v son linealmente independientes). 4. Determínese la solución de estado estable de
X + 3 1 + 2 5 x = COSwt b) M+O.O03i+225x = 1 + c o s u t c) i = x + 2 y + c o s t j = - 3 x - 2 y + sen t .
U)
5. Determínese en qué frecuencia angular w la amplitud de la solución de estado estable toma su valor máximo y determínese la amplitud máxima. a)
i+5x
=
cos w t
6) 1 0 x + 2 5 i + 1 6 0 x =
COS
wt
l O X + O . O 0 1 i + 1 6 0 ~= COS ut d ) lOX+O.OOl i +1 6 0 ~= COS (ut+¿?).
C)
6. Determínese la solución de estado estable de x +i+ 2 x = f donde f es periódica de periodo 1 y
{
1, O < t < 6 6
f ( t ) = o,
7. Pruébese que si f es periódica de periodo T y si x = A x + f tiene una solución acotada para todo t 2 O, entonces el sistema tiene una solución periódica de periodo T.
655
11. OSCILACIONES LINEALES.
X
+2 a i +
coo2 X
= f’
El estudio de las oscilaciones (vibraciones) de los sistemas mecánicos y eléctricos siempre envuelve una idealización considerable del sistema físico, y una aproximación primera al sistema bastante natural es suponer que éste es lineal. El comportamiento de los sistemas simples (un grado de libertad) puede a menudo describirse por una ecuación diferencial la forma de 11.1
X+2criit-WO2X
=f
donde CI y ojo son constantes positivas. U n ejemplo mecánico típico es el de unamasa m unida a u n muelle“elástico”confrenamiento “viscoso” (figura 13). Los términos“elástico” y “viscoso”indican que el muelle y
---, ,
k
FIGURA 13
el frenamiento se supone que son lineales. Denotemos por x ( t ) el desplazamiento de la masa m desde su posición de equilibrio a su posición en el instante t. La fuerza del muelle es - k x ( t ) y la fuerza de freno es -Pi(f). La constante k mide la rigidez del muelle y se llama “constante del muelle” y a p se llama “constante de freno”. Sea F ( t ) la fuerza aplicada (externa) enel instante t . La ecuación vectorial de movimiento está de acuerdo con la segunda ley de Newton mx(t) = -pi(t)-kkx(t)+F(t)
o bien 11.2 Una analogía eléctrica de este oscilador mecánico simple es un circuito conunaresistencia,unabobina y u n condensador en serie(figura 14). Sea q ( t ) la carga del condensador, i ( t ) = i ( t ) es la corriente, y E ( t ) es el
656 [Cap.
diferenciales Ecuaciones
11
voltaje aplicado. Los tres elementos están idealizados como elementos del circuito linealmente colocados. La caída de voltaje a través de la bobina es LD,i(t) = Lij(l), y la caída de voltaje a través del condensador
es
Por la segunda ley de Kirchhoff 1
11.3
L¿j+Rrj+-q
=
C
1
-
C
q(t).
E
A L sele
llama“inductancia”,a R “resistencia”, y a C “capacitancia”. El comportamiento de cada uno de los anteriores sistemas está descrito poruna ecuacióndiferencial de la forma 11.1 concoeficientespositivos. En el ejemplo mecánico: 2 a = Plrn,
coo2 =
y J’ = F / m .
k/m,
En el ejemplo eléctrico
2’2 = R / L ,
wO2= 1/LC,
y f
=
E/L
TC
”1- ( FIGURA 14
Movimientos libres. Suponemosaquíque no hay fuerzas ( o voltajes) externas: ,f = O. La ecuación diferencial es entonces la ecuación homogénea S S .4
X+2ai+~Uo2x =
Consideremosprimero el caso en queno Entonces la ecuación diferencial es x +oo2x
cuya solución general es
=
o.
existe frenajealguno:
c(
= O.
o,
~ ( t=) a cos (coot+6).
La frecuenciadelaoscilación es wo y se le llama frecuencianatural de oscilación delsistema. De donde para los sistemasmecánicos y eléctricos la frecuencia natural de oscilación está dada por
11.5
La frecuencia natural (uo no depende de las condiciones iniciales y es una característicaimportante del sistema. Nos daremos más cuentade la importancia de estoa medida que nuestra discusión progrese. La au~plitudA y la fase is de la oscilación libre depende de las condiciones iniciales. Confrenaje (a > O ) la ecuacióncaracterísticapara las oscilaciones libres es 11.6
donde
cp(I) =
/7.2f2XA+coG2
=
o
(a = D/Zn?, Y = R/2 L).
Las raíces características son
1, =
11.7
-a++!
2-00 2
, A* = - . - J a i . las gráficas
Queremosdiscutir lascurvassolución enel planoasícomo de x, y para esto introduciremos el sistema equivalente 11.S
Aquí A =
(-Eo2
Los valorescaracterísticosde
1 1.7 y vectorescaracterísticoscorrespondientesson
VI
A estindados v2 =
=
por
(;l.
E n el ejemplomecánico x es el desplazamiento y y la velocidad. Enel ejemplo eléctrico x es la carga y y la corriente. El origen ( x = O, y = O) es el ímico punto de equilibrio del sistema bajo nuestra hipótesis de quea > O y coo2 > O , que se aplica a nuestros ejemplos fisicos. Las raíces características tienen partes reales negativas.
El estado de equilibrio
(;) (:)
= es asintóticamente estable: con ,frenuje todo mouitniento libre tiende u1 origen (el estudo de equilibrio) cuando t tiende a infinito (x(t)+O y k ( t ) - f O CUUHdO t m). "f
Asentamiento. a2 > u 1 ~ ' ( / 7>~4kn7, R 2 C > 4L). Las raíces características i, , A 2 son reales y negativas (1, < vectores característicos son reales. La solución general es Caso I.
< O) y los
es decir,
El origen es un nodo estable.Lascurvassolución
se muestranen
la
658
diferencialesEcuaciones
[Cap. 11
figura 16. Para el circuito eléctrico generalmente se está más interesado en la corriente (es más facil de medir) y se puede graficar J = ie n lugar de x. La figura 15 muestra el comportamiento tanto de x como de i .
2. Oscilaciones amortiguadas u2 < wo2(p' < 4 k m , R2 C < 4L). Lasraícescaracterísticassoncomplejasconpartesrealesnegativas. El vector característico v1 es Caso
Deaquíque
v1
=
u + iv, donde u =
general es (10.4, pág. 647) =
1('
y v
=
(',I,
y lasolución
ae~a'[cos(w,t+6)u-sen(o,t+b)v];
, .
Y=X
FIGURA 15 c 1 2 > O ~ 2
659
1. Estadoinicialenelprimercuadrante(figura 2. estado inicial sobre el eje X; 3. estado inicial en el cuarto cuadrante debajo
15): de
Faz
FIGURA 16
El origen es un foco estable (figura 17) y tenemos oscilaciones amortiguadas (figura 18).
FIGURA 17 cr2
660
IX
1
FlGURA 18
Caso
Oscilación amortiguada 'x2 < c o o 2
3. Frenajecrítico.
ES éste el caso frontera entre el asentamiento y las oscilaciones amortiguadas. Aquí i.= ,iLz = --a. Hay unasoladireccióncaracterística
Y' =
('l).
L a solución general es (pág. 612)
es decir x(t) = (e1 + C 2 t ) e - l r y(1) = (c,-SIC,-stc,t)e-"'
El origen es u n nodo estable (figura 19).
Oscilaciones forzadas. Sabemos por lo que hemos aprendido en la sección precedente que, comolas raíces características tienen partes reales negativas, la ecuación ,Y+2crli-w0~= x f
tiene una solución de estado estable para cada término forzante periódicof . Toda solución entonces tiende según que t + co a esta solución de estado estable. Es particularmente fácil determinar la solución deestadoestable para entradas sinusoidales cos w t . Consideramos las ecuaciones 11.9
c ( ~ + 2 s r i + w , ~ x ) = a cos wr
Y
11.10
~ ( x + 2 2 . ~ + ~=~ae'"', , ~ x ) donde c = m
o L.
La parte real de l a solucióndeestadoestablede 11.10 es la soluciónde estado estable de 1 1.9. Busquemos una solución de estado estable de 1 1. I O de la forma x ( t ) = heim'.
Sustituyendo en I I . IO obtenemos corno la ecuación para h o bien
donde ~ ( 1=) ~ ( 1 ~ + 2 a A + ~es, ~el) polinomiocaracterístico.Dedonde la solución de estado estable de 1 I . 1 O es
Haciendo cp(iw) = p ( ~ ) e ' " ~ obtenemos ), como solución de estado estable de 11.9
donde Y
662
La solución de estado establetiene el mismo periodo queel término forzante. Su amplitud esla de la entrada amplificada por el factor k (u) = I/p(w), y su fase está corrida respecto a la de la entrada en d(w) radianes. Ahora
[ w
11.11
Cp(i0) = i w 2 a
+
1 -(02-wo2)
1
c.
En el ejemplo mecánico c = nz, a = P/2m, oo2= k/m, y
En el ejemplo eléctrico c = L,
CI
=
R/2L, coo2 = 11L.C. y
Estudiaremosprimero el factorde amplificación k ( w ) = l/p(w).' Encontremosdónde es un máximo k(w), que es donde p(o) es un mínimo. Nótese que D,z [p' (o)] = 2 c2(2 !x2 + w2 - wo'!). Caso 1. coo2 6 2cr2. Entonces w2+2a2 > O para o > O: p(w) aumentacon w y el mínimode p ( o ) ocurre :n w = O. De donde kmAx= ~ / (O) p = I / C W , ~(figura 20).
02
Caso 2. o$ km&
=
1 2aC,roo2"2
> 2 a 2 . El mínimo de p(w) ocurre en w,' = wO2-22a2, y (figura 21). Nótese que
cuando
CA -+
O, o, =
wo y kmax+ a. El máximode k (w) ocurre en la frecuencia w, , que es siempre menor que la frecuencia de resonancia. (Éstacorresponde a la amplitud del desplazamiento de estado estable y la carga del estado estable.)
J 0 ~ 2 - 2 ~ 1 2 -+
I
O
I WO
w -
FIG U RA 20 Amplificación (desplazamiento, carga)
y frecuencia
663
FIG U RA 21
El corrimiento de
Amplificación (desplazamiento, carga) y frecuencia (mo' G 2 2 ) la fase 6(w) =
+ arg
muestra en la figura 22.
c +i L
2r
1J
- (m' -u,,')
w
se
""""""""_""""-
"I
FIGURA 22
w-
WO
Corrimiento de fase (desplazamiento, carga) y frecuencia (wo2 > 2 2 )
Cuando se discute el circuito eléctrico, se está más interesado, en general, comoantesseñalábamos, en la corriente.Lacorrientecorrespondea 1, y el estado estable 1 es
La cantidad z(w) = q(iw)/iw se llama impedancia delcircuito.Entonces el estado estable 1 es i ( t ) = R1
i
(w'-wo2)
1
[&
eimt]
c. Para el oscilador mechico
664
[Cap. 11
diferencialesEcuaciones
y para el oscilador eléctrico
La impedancia de una resistencia es R, la impedancia de una inductancia es koL, y l a impedanciade u n condensador es l/iwC. Laimpedanciade los elementos en serie es la suma de las impedancias. Haciendo z(co) = y(w)eiB('O). tenemos para el estado estable jc (velocidad o corriente) U
i ( t ) = COS ( u t - O ( w ) ) ,
donde y'(w)
= lz(o)l- =
'
[2crw+i(w2-wo2)].
[
Y (u)
i uT:1
4% t w
'
-
~
c2 y O(w)
=
arg(z(w)) =
El mínimo de ~ ( w siempre ) ocurre en resonancia (w = to0) y, por tanto, el máximo del factor de amplificación l/y(w) ocurre en w = w,,. El factor deamplificación l / y ( w )y el corrimientodefase B ( o ) se muestran en las figuras 23 y 24.
FIGURA 23
FIGURA 24
Amplificación(velocidad, corriente) y frecuencia
Corrimiento de fase (velocidad,corriente) y frecuencia
11.12 Ejemplo. Encuéntrese la solución del estado estable de 0.52+0.Ii+fOx = 1 + s e n 3 w t enw=w,=lO.
665
111
SOLUCI~N.
Queremos, pues, resolver 0.5X+O.Ii+50x = R1
11.13
Aquí ~ p ( i= ~ )- 0 . 5 ~ ~ + 0 . l i 0 + 5 0 ,
y la solución de estado estable de 0.5X+O.li-t50x = aeiW' es
De donde,deacuerdo con el principiodesuperposición, estado estable de 11.13 es
En particular,queremos la soluciónde co = IO. Obtenemos, entonces,
" S
1
50
3
"OS
4
lot
la soluciónde
estado establecorrespondientea
1 + ~(3 cos 30 t + 400 sen 30 t) . 4(16x 104+9)
De donde x(t) = &-$ cos 10r es una buena aproximación de la solución de estado estable.
666
Problemas 1. Dibújese en el plano (x, 1) (el plano fase) las curvas solución de
2 + 5 1 + 6 ~= O 6) X + 2 1 + 5 ~= O c) X + 2 i + x = o . U)
2. El sistema x + 5 1 + 6 x = O comienza en el instante t = O con x(0) = 1 y 2(0) = u. ¿Para qué valores de 21 permanece positivo ~ ( t para: ) a) todo t > O ? 6) todo t ? 3. Determínese la solución de estado estable para x y 1 de U ) 103X+5i+ 105x = COS 3 t b) 103X+5i+105x = sen 3 t C) X+ 1 6 i + 3 6 ~ = a COS wt d ) X+161+36x = U COS (wt+R) e) X+O.O3i+lOOx = sen 10t + sen3 10t f) X + 3 1 + 2 x = COS^^ g) x + 7 2 + 1 4 i + 8 x = sen mt d4x d3x d 2x dx cos W t . h) - + 6 3 . 1 3 7 + 12- + 4 x dt4 dt dt dt
+
4. Determínese la solución general de a) X + 4 i + 4 x = e" cos 3 t b) x++,,2x = e-2arcos w,t c) X+3i--lOx = acosot.
5. Determínese la amplitud de la corriente de estado estable i = q para el circuito cuya ecuación diferencial es a) 0.10q+1004+2x 1 0 4 ~= E C O S 120nt 6) O.lOij+O.10~j+14x 104q = Ecos 120nt c) O.l0q+1O5q+14x 104q = Ecos 120nt.
6 . Una boya cilíndrica de u centímetros de diámetro, pesa W kilogramos. Flota en una posición vertical en aguacuyadensidad es x gramos/cm3. Proporciónese una fórmula para su periodo natural de oscilación.
7. En muchos instrumentos sencillos de medida el impulso de entrada a medir es f ( t ) = c para t 3 O, y la lectura wo2y del instrumento satisface la ecuación diferencial (t 3 O)
y+2aj+cU02y
=
c, ).(O)
=j(0)
=o.
Demuéstrese que si ct > O, entonces o O 2 y ( t+ ) c cuando t -+ m. El error
x(t)
121 exactas
667
Ecuaciones
en u n momento cualquiera t 2 O es entonces x ( t ) = c - w O 2 y ( t ) . Para X+2ai+wo’oZx =
Una medida de cuán rápidamente
o,
x(0)
=
c, i ( 0 )
=
o
el error tiende a cero es
Determínese el valor d e x queparatodo
c minimiza
som
1:
t3
O
Jx(t)I2dl.
I x ( t ) l 2 dt.
8. Con la notación del problema 7 supongamos que x ( 0 ) = O, i ( 0 ) = u.
Determínese el valor de a que minimiza
rm
J
O
Ix(t)I2 dt para todo u.
12. ECUACIONES EXACTAS
En toda esta sección Fix, y ) representará una función real con derivadas parcialesdeprimerordencontinuassobre un conjuntoabierto Q del plano R2. A ( x , y ) y B ( x , y ) serán u n par defuncionesrealescontinuas sobre 8‘. Usamos y para denotar una curva diferenciable en 8 cuya parametrización es x = u ( t ) ,y = u ( t ) , t en ( a , b ) . La ecuación diferencial 12.1
A(x,y)i+B(x,y)j
=
0
es entonces una ecuación diferencial de curvas y con la propiedad de que en cadapunto ( x , y ) la curva y esortogonala ( A ( x ,y ) , B ( x , y ) ) . Estrechamenteasociada con estaecuacióndiferencialtenemos la forma diferencial A (x, y)dx+ B ( x , y)&. Nuestro primer objetivo es ver cuál es la relaciónentrela forma diferencial A ( x , y j d x + B ( x , y ) d y y la ecuación diferencial 12.1. Recuérdese (pág. 000) que la forma diferencial A ( x , y)dx+ B ( x , y)dy se dice que es exacta sobre 8 si hay una función F con la propiedad de que
12.2
m x , y ; dx, dv) = ’4 (x, y)dx+ B(x, y)dy
paratodo (x,y ) en & y cualesquier dx, dy. En lugarde dF
=
12.2 escribimos
A(x,y)dx+B(x,y)dy.
Según la definiciónde la diferencial, se sigueentoncesque A ( x , y)dx+ B ( x , y)dy es exacta sobre Q si y sólo si hay una función F que sobre 8 es una solución de
12.3
dF OX
= A ( x , y),
l3F
- = B(x, y ) . dY
12.4 Ejemplo. Determínese si las siguientes formas diferencialesson
o
668
diferenciales Ecuaciones
[Cap. 11
S O L U C I ~aN). Supongamos que d F ' = cos yd,x-x sen y d y . Entonces,
dE -=cosy
dF 7-"x sen
y
?X
ay
J
La primera de estas ecuaciones implica que F(x, y ) = x cos ~ ' + u ( y para ) c;F = "x sen J + [['(JI) y vemos, Lomando un u ( ) , ) arbitrario.Entonces 6'J'
O, que d F = d(x cos .y) = cos ~ h - sen x ~ , d y La . forma diferencial es exacta sobre R'. h ) Observemos que d ( x y ) = yrlx+xd,%y que d(+x3) = x'dx. De donde d ( x . v + ~ ~ . x 3=) ( ~ ~ + x ~ ) d x + + . w y tla l ~ forma ., diferencial es exacta sobre R 2 . c) Supongamos que x d J - J . d x es exacta con d F = x d y - y d x . Entonces 14 =
?F
- =x
a.Y
i3F
y
La primera de estas funciones implica F(X,y ) = xy
para alguna función
11.
- - )'.
ax
"
+ .(x)
La segunda ecuación implica que
Esto no puede verificarse sobreningún conjuntoabiertode R2 y, por tanto, la forma diferencial no es exacta sobre ningún conjunto abierto deR2. Si d F = A ( x , ~ z ) d x + B ( . uJ,)(~J, , sobre 6 , diremos que F ( x , y ) = c es una sohcio'n sobre G de la ecuación diferencial 12.5
A(x,y)dx+B(x,y)dy =
o.
Así pues, las soluciones sobre h' de 12.5 son las curvas de nivel F(x, y ) = c en 8.Por ejemplo, las soluciones sobre R 2 de xdx+ydy = 0 son los circulos de la familia de círculos +J" = c 2 . Vimos. enel ejemplo 12.4c, que x d y - y d x n u es exacta. Sin embargo, el dividir esta forma diferencial por ,x2 la hace exacta (x # o):
x '
x d y - J' d x 7
X-
121
exactas
669
Ecuaciones
Si hay una función p(x, y ) que es continua y nose anula sobre € y tal que p ( x , y ) A ( x , y ) d x + p ( x , y ) B ( x , y ) & es exacta sobre d con dF = pLAdx+ p B d y , diremos también de nuevo que F(x, y ) = c es una solución sobre 8 de 12.5. Lafunción p se llama factor deintegración. Todo esto parece puro formulismo, pero ahora veremos por qué está justificado este lenguaje. Una solución x = u ( t ) , y = v ( t ) de A(x,y)i+B(x,y ) j
12.6
=
o
defineunacurva y. Hay, por tanto, unasencillarelaciónentre las curvas solución y y las curvas de nivel F(x, JJ) = c que son soluciones de 12.5.
12.7 Teorema. Sea F(x, y ) = c una solución sobre d de A(x, y)&+ B(x, y)dy
=
O.
+
Si y es una curva solución en 6 de A (x,y ) i B(x, y ) j = O, entonces se encuentra sobre una curca de nivel F ( x , y ) = c. Recíprocamente, s i y es una curvadiferenciableque se encuentra sobre una curca de nivel F(x, y ) = c, entonces y es una curva solución de A ( x ,y ) i + B ( x , y )j = O.
dF
ZF
- = D , [ F ( u ( t ) , ~ ( t ) )=] - u'(t)
ax
dt
+
= P(U(t)? v(t)> iA(u(t), 4 0 ) u ' ( t ) + N u ( t ) , u(t)> u ' ( t ) ) .
Bajo la hipótesis de que la curva y : x == m ( t ) , y
= a(t),
tE(a,
dF
b ) , es una curva
= O sobre ( a , 6). De dt donde, para alguna cierta constante c., F ( u ( t ) , v ( t ) ) = c para todo t e ( a , b); es decir, y está sobre la curva de nivel F(x, y ) = c. Recíprocamente, y sobre d f" F ( x , y ) = c implica - = O . Como p ( x , y ) es un factorde integración
solución de A ( x , y ) i + B ( x , y ) j = O, se sigue que
-
dt
dF sobre e, p ( x , y ) no se anula sobre 8 ; de donde - = O implica dt
A ( u ( t ) , z l ( t ) ) u ' ( t ) t B ( I A ( t )z:(t)) , c ' ( t ) = o.
La curva y es una curva solución de A ( x , y ) i + B ( x : y ) j = O . Y esto completa la prueba. El anterior teorema nos dice que si F(x, y ) = c es una solución sobre c" de
A ( x , y ) d ~ + l ? ( x , y ) d y= O ,
670
[Cap. 11
diferenciales Ecuaciones
entoncestodas lassolucionesde A ( x , y ) i + B ( x ,y ) j = O están dadas implícitanlente por F ( x , y ) = C. En relación con esto señalamosque como una consecuencia del teorema general de existencia para las ecuaciones diferenciales, resulta que para cada (xo,yo) de G hay funciones u y I‘ diferenciablessobrealgunavecindad .,Ir = ( -d, S) talesque F ( u ( f ) ,c ( t ) )= F(x,,, yo) para todo t en A~Imponiendo condiciones u n poco másfuertessobre F, esteteoremade la funciónimplícita se prueba en el problema 4, pág. 707.
12.8 Ejemplo. Determínensetodas las curvasortogonalesalafamiliade circunferencias x’ +y2 = 2 .
S O L U C I ~ NEn . un punto (x, y ) la tangente a l a circunferencia es paralela a ( - y , x). Laecuacióndiferencialdelascurvasquebuscamoses, por tanto, ( - y , x). (m, j)= x j - y i = o. Consideramos entonces la ecuación diferencial xdy-},tlx Estaecuaciónsabemosque
y
1 X
=
o.
no es exacta(ejemplo
es un factordeintegración.
1 2 . 4 ~ ) .Sin embargo,
D e donde,para
solución. Las curvas son rectas que pasan por
x # O,
X
=c
es una
el origen.
Ecuaciones separables. Sea 9 u n rectángulo (intervalo) abierto. Si hay un factor de integración ,LL sobre d tal que
~ ( x , ~ ~ ) ~ ~ x , y ~ ~ / ~ =f(.x)dXxfg(y)dJ’, + ~ ~ ( ~ , . ~ ) ~ ( x , J ~ ) ~ entoncesdecimosquelasecuaciones que . f ( x ) d x + g ( y ) d y es exactasobre un ( x ” , y,) en A’ fijo F ( x , y)
=
J;o
f(s)
12.5 y 12.6 son separables. Es claro 92. Para verlobastadefinir para ds
Entonces d F ’ = f ( x ) d . x + g ( ~ ~ ) d v . 12.9 Ejemplo. Obténgansesolucionesde yd,u-xdy = o 6 ) x 2 ( y ‘ e X - y ) h + y 2 x 3 senydJ’ = O . a)
+
jy;
g (S) u‘s.
Ecuaciones exactas
121
671
SOLUCI~N. a) (Compárese con el ejemplo 12.8.) Dividiendo por xy tenemos dx
dy
x
.Y
-
o.
De donde In 1x1 - In J y J= k para x #O, y # O . Y podemos escribir esto X
como Y
=
c.
6) Dividiendo por x 2 y obtenemos
1
-(eX-I)dx+,y X
sen y d y = O .
En el primer cuadrante (x > O, y > O) tenemos como una solución
Una condicihn necesariapara la exactitud sobre un conjunto abierto. En el capítulo 5, pág. 299, se probó que si f = ( A , B ) E C ' sobre un conjunto abierto & y hay una función F tal que DF = f sobre 8, entonces F € C 2 sobre 8 y, por tanto,
aF aF como - = A y - = B sobre 8, obtenemos ax
ay
"_-
12.10 como una condción
ay
ax
sobre 8
necesaria paralaexactitudde
A ( x ,y)dx+ B ( x , y)dy sobre el conjunto abierto &.
Unacondiciónsujiciente
la forma diferencial
para la exactitud sobre un rectángulo.
Supongamos que A y B tienen primeras derivadas parciales continuas sobre un rectángulo 2 y que la condición 12.10 se satisface en B. Sea (x,, yo) un punto cualquiera en W y definamos
Entonces
672
[Cap. 11
dlferenciales Ecuaciones
Usando 12.10 tenemos sobre .# que
Anrilogamente podemos verificar que hemos demostrado que
dF
-
??'
=
B ( x , v j sobre .1. Con lo que
12.11 Teorema. Si A J B tic wet^ primeras ~lericudusparcialescontinuas sobre un rectdngulo ubierto 9 J, s i iA
-
dB
so6rr 9 4 ,
"
dl'
?x
entonces la fbrma difhrencial A (x, y)dx+ B ( x , y ) d y es exacta sohre .#. 12.12 Ejemplo. Resuélvanse ( 3 ~ ' ~ ~ + 4l y) d+2 ~ + ( 2 ~ ~ 3 ~ ~ = + 4Ox ) d y 6 ) 3 cos ~ v d x - x sen yc/.v = O.
a)
S O L U W ~ Na.)
;A
=
¿?B 6 s L ~ t 4, = 6 x 2 y+ 4. L a ecuación es exacta ax
= .x+s3si4x1~.
De donde x+ .xJ,vz +4,q3 = c es una solución sobre R 2 . h ) Estaecuación no es exacta.Busquemos un factordeintegración /[(,x, J.). Podemos hacer esto si es que podemos encontrar una solución de
aP - x sen y - .
ax
Vemos que si hacemos
,LC(,\-. J.) =
p(.x) (una función de
[:::
s e n y x-
I
- 2p = O .
sólo x), entonces
121 exactas
673
Ecuaciones
Una solución es p ( x ) = x 2 % y x 2 es un factor deintegración para x # O . La forma diferencial 3 x 2 cos ydx-..x3 sen y d y es exacta, y podemos ver inmediatamente que una solución para x # O es x3 cosy = c .
dY Ecuaciones de primer orden. B (x, y ) - + A ( x , y )= O. dx
Estaecuación es u n casoespecialde 12. I . Aquí nos restringiremosa unacurva y que esla gráficadeuna función: x = t, y = u ( t ) , tE(a, b ) . Si dF = A (x, y ) d x + B ( x , y)dy sobre 8 , entonces la gráfica de cada solución de 12.13
en 8 está sobre la curva de nivel F ( x , y ) = c. Recíprocamente, si la gráfica de = ['(x)en W está sobre una curva denivel F ( x , y ) = c y u es diferenciable, entonces !>(X)es una solución de 12.13. Las soluciones de 12.13 están dadas implícitamente por las curvas de nivel F(x, y ) = c. ~3
12.14 Ejemplo. Determínense todas lassoluciones de
S O L U C I ~Consideremos N. la ecuacióndiferencial
dy-.v2dx=0. Esta ecuación es separable para y # O. Dividiendo por y* tenemos
y-Zdy-dX
=
-d(y"+x)
y para y # O las soluciones vienen dadas implícitamente por 1
-+x=c,
Y
de donde las soluciones para y # O son
Nótese que para x < c, y tiende a infinito cuando
x
4
c. La solución que
674
diferenciales Ecuaciones
[Cap. 11
satisface y(xo) = yo # O es
Si yo > O , la solución que satisface y(x,) =yo esti definida para < y,- + x , . Si y, < O, la solución está definida para x > yo- + x. . Por la J = y 2 vemosque si y , = O, la solución es y = O. ecuación original dx
dx
Problemas l . Resuélvanse =O 6) x3dx-jJ3dy = O e) (y+x3)dx-xdy = o d ) y3dx-x3dy = o e) (3x2y2+3 seny)dx+(2x3y+3xcosy)dy f) (y-2)dx+xydy = o g ) xdx+ J=dy = O. a) ( 2 x + y ) d k + ( x + 2 y ) d y
=
O
2. Supongamos que A (x, y ) y B ( x , y ) tienen primeras derivadas parciales continuas en un rectángulo M . Supongamos que p ( x ) y q ( y ) son continuas para todo x y para todo y. Definamos P ( x ) = p ( x ) d x y Q ( y ) = q ( y ) d y . Pruébese que p (x,y ) = e P ( X )+ Q(y) es un factor de integración de
aA
-
aY
A ( x , y ) d x + B ( x , y)dy sobre 9 si y sólo si
aB + 4(y)A = + p(x)B
ax
2 para resolverlassiguientes
3. Úsese el resultado delproblema ecuaciones :
ydx-(2x+y)dy = o 6) (P(x)Y-q(x))dx+& = 0 c) (y+xy+y3)dx+(2x+4y2)dy
sobre & .
a)
=
O.
4. Considérensedosfamiliasdecurvasdefinidaspor F(x,y ) = c y C(x, y ) = c. Si en cada punto de una curva de la familia F(x, y ) = c la
curva es ortogonal a una curva del a familia G ( x , y ) = c, entonces hablamos de ellas como familias ortogonales de curvas. Si A (x, y ) d x + B ( x , y)dy = O es una ecuación diferencial de la familia F(x, y ) = c, pruébeseque B(x, y ) d x - A (x, y)dy = O es unaecuación diferencial de la familia G ( x , y ) = c ortogonal a la F ( x , y ) = c.
131
Formas diferenciales
5. Encuéntrese la familia de curvas ortogonales
x2 -y2
=
675
e integrales lineales
a
c2
4x-2y = c
circunferencias por el origen con centros sobre el eje X X2 -+"?
1
y2
ab22++cc elipses con centros en el origen y vértices en (- 1, O) y (1, O).
6. ,Encuéntrense las curvas de descenso más rápido sobre la superficie de silla de montar z = xy.
13. FORMAS DIFERENCIALES E INTEGRALESLINEALES
El estudioqueaquíhemos hechodeecuacionesexactas y formas diferencialesestáestrechamenterelacionadoconlas integrales curvilíneas (sección 8 del capítulo 5), y es nuestropropósitoexaminarahora esta conexión. Sea 8 un conjunto abierto y conexo de R2, y supongamos que A y B son funcionesrealescontinuassobre 6. Sea y unacurva lisa a trozos en 6 descritapor x = u ( t ) , y = v ( t ) , tE[a, b ] . Con la forma diferencial A = A ( x , y)&+ B ( x , y ) d y y la curva y asociamos la integral curvilínea 13.1
A(?)
==
jy j A
=
[Adx+Bdy];
i
es decir, definimos,
A(Y) =
Iab
[A(u(t),o ( t ) ) u ' ( t ) + B ( u ( t ) ,
13.2 Ejemplo. Evalúese A(y)
=
jy
[X* dx
=
v'(t)]dt.
+ (x2 - y 2 )d y ]
a lo largo del arco de parábola y : x = t , y = t 2 , SOLUCI~N. A(?)
U(t>)
[t2+(t2-t4)2t]dt
=
tE[O,
11.
1 -.
2
Esta asociación de una integral curvilínea con una forma diferencial nos permite dar una interpretación de una formadiferencial A. A es una función real con ecuación 13.1 como regladecorrespondencia y el conjunto de
676
Ecuaciones diferenciales
[Cap. 11
todas las curvas y lisas a trozos en 8 como dominio. Sabemos capítulo 5 ) que A ( - ? ) = -A(?).
(sección 8,
Invirtiendo la orientación de y cambia el signo de la integralcurvilínea. Si y = y 1 + y 2 + ... +y, esla unión de u n número finito de curvas lisas y, entonces, pág. 296,
A(y)
= A(Y~+Y~+ +y,) . . . = A ( ~ I ) + A ( Y ~ )+A(Y,). +...
13.3 Ejemplo. Evalúese
i’,
A
=
Jl
[(X+Y3)dX+XYdY1
a lo largo del cuadrado y que se muestra en la figura 25.
IY
FIGURA 25
S O L U C I ~ Tomando N. la parametrizaciónobviaparacadauno segmentos rectilíneos, tenemos
jy
A =
lo1 + lo’ +jo i: xdx
ydy
(x+I)dx+
1
FIGURA 26
de los
Ody =
-5.
FIGURA 27
Recuérdese queunacurva y se dice que es lisa a trozos (figura 26) si y =y y 2 ... +yn es la unión de curvas lisas
+ +
y”t . x = u ,. ( t ) , y = v , ( t ) ,
t ~ [ a ,b,], ,
i = 1,
. .. , n ,
131 lineales integrales diferenciales e Formas
677
donde el puntoterminal Q i= ( u j ( b i ) ,v,(b,)) de y1 es el punto inicial = (ui+ I (ui+ ui+ (ai+,)) de y i + , i = 1, ... , n - 1. Si, además, el punto terminal Q, de yn es el punto inicial P, de y , , lacurva y se dice que es una curva cerrada lisa a trozos (figura 27). Supongamos ahora que A = A (x,y ) & + B ( x , y)dy es exacta sobre 8 con A = dF. Sea y una curva lisa a trozos en & que va del punto P al punto Q dF (P es el punto inicial de y y Q es el punto terminal). Entonces A i + B j =dt la derivada de F a lo largo de y , y
,
Pi+
jy A
13.4
dF = Jab Z d r = F ( Q ) - F ( P ) .
=
Decir que A es exacta con A = dF es equivalente a decir que ( A , B ) = AF. Este resultado sobre las integrales curvilíneas nos da un medio sencillo de evaluar algunas de ellas. Nos dice ta~nbiénque si A es exacta en d entonces la integralcurvilínea
jl
A dependesolamente
de cuálesseanlos
puntos
inicial y terminal de y y no de cuál sea la curva particular en d que una los dos puntos a lo largo de la cual la integral se calcule. 13.5 Ejemplo. Evalúese
A(?)
=
S,
(y sen x y d x + x sen x y d y )
a lo largo de la curva y : x = et(t-rr)cos t, y = et2 sen
I , t E [ O , JT].
SOLUCIÓN I . Si nos damoscuentadeque d( - cos xy) =y sen x y d x - t x sen xydy, entonces, como la curva va de ( I , O) a ( - 1, O) sabemos, puesto
que A es exacta, que A(?) = "cos O + cos O = O.
a
S O L U C I 2~.N- y sen x y = ay
d
"x
ax
sen x y en R2. Por tanto A es exacta en R 2
y la integral curvilínea es independiente de la trayectoria. Integrando a lo largo del segmento rectilíneo de ( I , O) a ( - I , O), vemos que, como y = O a lo largo de esta curva, A(y) = O. Estos resultados tienen muchas interpretaciones físicas importantes. Sea, como en la sección 9 del capítulo 5, F ( x , y ) = ( A (x,y ) , B ( x , y)) una función vectorial continua con un dominio d en el plano R2.Supongamos que F(x) es la fuerza que actúa sobre una partícula unitaria en el punto x = (x, y). La forma diferencial A = A (x,y ) & + B ( x , y ) d y puede escribirse entonces como A = F(x) . dx,
678
diferenciales Ecuaciones
[Cap. 11
es el trabajo efectuado a l mover la partícula a l o largo de y desde su posición inicial hasta el puntoterminal. El campo F st: diceque es consercatico en d si
[A
=
F(x) . d Z es ceroa
lo largodetodacurvacerrada
y
JY
contenida en 8 ; es decir, el trabajo efectuado a: mover una partícula a lo largo de una curva cerrada es cero. Por curva eltendemos aquí una curva lisa a trozos. Supongamos que el campo F puede ser derivado como el gradiente de una función escalar (es decir, real; valuada en lo:, reales) U . A Use le llama función potencial. Entonces
F lo quequiere decir que
=
i3U OX
=
Grad U -
=
V Uen 8 ,
A ( x . y) y
CiU
-
C'y
= - B ( x , )I)
en t". Así pues,
decir que F es igual al gradiente de una potencial U es equivalente a afirmar que la diferencial A = F(x) . dx es exacta con F(x) . dx = dU. De donde, si en G puede derirurse el campo E como elgradiente de uulafunción potencial U , entonces el campo E es consercatico en G y e l trabajo hecho al mocer una partícula unitaria de P a Q u lo largo de ~tnacurca en R es igual a la dijirencia en potencial entre los dos punfos. La introducción de la integral curvilínea y lo que conocemos acerca de ella arrojanueva l u z sobre el teorema 12.1 1. Tal teoremaafirmaque, si A y B tienenprimerasderivadasparcialescontinuas en u n rectingulo abierto 22 entonces
13.6 es una condición suficiente para que A = A(x, y ) d x + B ( x , y ) d y sea exacta sobre 2. Se demostró que si 13.6 se satisface en 2 entonces A = dF donde
F(x, y )
=
J:"
A ( s , yo)ds
+
Jy:
B ( x , S) ds.
Esto puede ahora interpretarse como una integral curvilínea a lo largo de una curva y . Es l a integral curvilínea de A a lo largo del segmento rectilíneo de (x,,y,,) hasta (x,y,,) más el segmento rectilíneo de (x.y,,) hasta (x: y). L a hipótesis de que .2 es u n rectingulo abierto nos asegura que esta curva p est&en -3'. Coino A es exacta. la integral curvilínea que define F no depende
131
679
lineales integrales diferenciales e Formas
de la trayectoria y F puede calcularse a lo largo de cualquier curva lisa a trozos que se desee con tal de que esté en 92 y vaya del punto fijo (xo,y o ) al ( x ,Y>.
13.7 Ejemplo. Resuélvase A
=
( x 2 + 4 ~ ~ - y 2 ) d x + ( 2 x 2 - 2 x y + y 2 ) d y= O
SOLUCI~N.
y portanto A es exactasobre rectilíneo de (O, O) a (x, y ) :
K2. integrandoa
lo largo del segmento
{(tx, ty>I f E P , 11), entonces
A
=
(t2~2+4t~ty-t2y2)~dt+(2t2~2-2t~ty+t2yZ)ydl
y tenemos fl
Por tanto +x3+ 2 x 2y - xy2 ++y3 = c. Probemosahoraque si 13.6 se verifica sobreunconjuntoabierto convexo 8 entonces A es exactasobre 8'. (Un conjunto es convexo siel segmentorectilíneo queune un par cualquieradepuntos del conjunto está todo éI contenido en el conjunto.) 13.8 Teorema. Si A y Btienenderivadasparciales un conjunto abierto y convexo & y si dA - _. dB
13.9 entonces A
ay
"
= A (x,
ax
primerascontinuasen
en Q,
y ) d x + B ( xy, ) d y es exacta en 8.
PRUEBA.Podemos suponer que el origenestá en el conjunto B. Si así no fuerapodemostrasladar un punto de 8 alorigen y estonoafecta la convexidad de 8 ni la exactitud de A. Definamos F ( x , y ) como la integral
680
[Cap.
diferenciales Ecuaciones
curvilínea de A a lo largo del segmento rectilíneo que va de (O. O) a Entonces
1
11
(x, y ) .
.I
F(x,y)
=
,o
[ X A ( f x , t y ) + ~ B ( t x t,y ) ] d t ,
Usando 13.9 vemos que
13.10 Ejemplo. Pruébeseque A
=
_
_
~
v~.”~[2f(4x2--~~)~~+f~2~Z-S~)d~]
es exacta para y ,< x 2
La región R definida por j’ < ,Y’ está fuera de la parábola y no es un conjunto abierto convexo. En realidad no podemos encontrar n i u n solo punto (xo,y o ) de R con la propicdad de que el segmento rectilíneo de (xo,y,) a (x,y ) esté en X para todo (x..v) en 8 , Sin embargo, sabemos que alrededor de cada punto de R hay u n círculo enel interior del cual 13.9 se satisface y, por tanto, A es localmenteexacta(exacta en unavecindaddecadapunto).
I
FIGURA 28
681
131 lineales integrales diferenciales e Formas
;No será A, entonces, exacta en todo 6 ? (Esto no es en general cierto como veremos dentro de u n momento.)Definamos F ( x , V) como la integral curvilínea de A a lo largo de la parábola x = xt, y = j t 2 desde (O, O) a (X, y) (figura 28).
Es entonces fácil verificar que dF = A para y < x2. Hemos probado,pág. 671, que 13.9 es una condción necesaria para que A sea exactasobre u n conjuntoabierto 8. Comoseñalamos en el anteriorejemplo, si esta condición se satisface en un conjunto abierto 8 , entonces A es localmente exacta; es decir, A es exacta en una vecindad de cada punto.Plantea esto el problema de si 13.9es una condición suficiente paraque A sea exacta en d (exactaglobalmente). El siguienteejemplo muestra que en general esto no es cierto. Consideremos la forma diferencial 13.1 1
A =
xdy-ydx
+
x2 y 2
,
x 2 + y 2# O .
Se verifica fácilmente(problema 6) que 13.9 se satisface en todo el plano excluyendo el origen, y A y B tienen derivadas parciales continuas de todos los órdenes para x’ + y 2 # O. Calculando
alrededor de obtenemos
la circunferencia r 277 A(?) = J O (cos2 0
y:
x =a
cos O, y = a sen O, QE[O, 2x1
+ sen2 0)dO =
f 2n
dO
=
2z.
J O
La integral curvilínea no se anula alrededor de ninguna circunferencia con centro en el origen y, por tanto, no puede ser exacta en ninguna región que contenga una circunferencia con centro en el origen. Así pues, para resumir,sabemosque 13.9 es unacondiciónnecesaria
pura la exactitud sobre conjuntos abiertos 8, pero no siempre es suficiente. Si 8 es un conjunto abierto conzlexo, entonces 13.9 es tanto necesaria como sujciente. No proseguiremoscon el estudiodeesteproblema. El lector
interesado puede consultar las referencias [6] y [16].
682
Problemas
1. Evalúese A(?)
=
j:
[x’ d x + (x’ -y’) d y ] a lo largo de
a) La recta y de (O, O) a (1, I). 6) La parábola x = y 2 de (O, O> a (1, 1). c) El arco poligonal de (O, O) a (O, 1) a ( I , 1). d ) El arco poligonal de (O, O) a ( I , O) a ( 1 , 1).
2. Evalúese A(y)
[ y 2 d x + 2 x y d y ] a lo largode
=
las curvas del
.l?
problema 1.
3. Evalúese A(y)
=
1)’
[ x y d x+ x’ d y ] en dirección de las manecillas del
reloj alrededor del cuadrado y con vértices (O, O), (O, l), (1, I ) , (1, O).
[ x y dx - y’ d y ] donde
4. Evalúese
a) y : x = t , y = t
2
, t E [ O , 11.
b) y es el segmento rectilíneo de (O, O) a (1, I). c) y es el triángulo de vértices sucesivos (O, O), (O, I ) , ( I , O).
(x d x +y d y ) a lo largodelascurvas
5. Evalúese
y delproblema 4.
6. Pruébeseque la forma diferencial 13.1 1 satisface la condición 13.9 en todo el plano con excepción del origen.
7. Sean P, = rl (cos 0, , sen O , ) , P, = r2 (cos d,, sen O,) puntos en el semiplano superior; O , , O,E(O, n ) , r 1 > O, r2 > O. Sea y una curva lisa a trozos situada en el seniplano superior que va de P , a P,. Pruébese que
8 . Evalúese
S?
xdy-ydx x2+yz
donde y es cualquiercurvasimplecerrada
del plano que no pasa por el origen. 9. Pruébese que el campo de fuerza F(x, y ) = (sen y , x cos y ) es conservativo y calcúlese el trabajo hecho al mover una partícula del punto (O, n ) al punto (2 n, - n).
10. Determínese cuál o cuálesde
los siguientes camposdefuerza
son
131
683
lineales integrales diferenciales e Formas
conservativos. Cuando sea posible exprésese gradiente de una función potencial. a)
el campo de fuerza como
el
F(x,y) = (3xzy2-3y2, 2x3y-6xy) b) F(x, y ) = ( y 2 cos x y + x 3 , x ycos x y sen xy) c) F ( x , y ) = ( 2 x sen ( x - y ) , x' sen ( x - y ) ) d ) F ( x ,y ) = e"(2x+.x2 + y 2 , 2 y ) .
+
11. Sean
y : x = u(t), y * : X = u*(t),
y = V(l), y = v*(t),
te[a,b] = 9 t E [ a * , b*] =
9*
un par de curvas lisas. Si hay una función q con las siguientes propiedades: 1) q transforma 9 sobre 9*((~(9) = Y*), 2) cp tiene una derivada continua positiva sobre 9, y 3 ) ( u * ( ( P ( ~ u* ) ) ,( ~ ( t ) )=) ( ~ ( t ~) ,( t )para ) todo t en 9, entonceslascurvas y y y* se dice que son diferencialmenteequivalentes. Pruébese que: si y y y* son diferencialmente equivalentes, entonces A(Y>= A b * > .
12. Supongamos que A y B tienen primeras derivadas parciales continuas sobre un conjunto convexo y abierto b . a)
Pruébese que p(x, y ) es un factor de integración de
A
=
A ( x , y ) d x + B ( x ,y ) &
si y sólo si ,u no se anula y es una solución sobre 8' de
b) Obténgaseunacondición necesaria y suficiente paraque p(x) sea un factor de integración deA. ¿Qué es el factor de integración? c ) A se dice que es homogénea de grado k sobre G si A ( t x , t y )= tkA(x,y )
para todo (x, y ) en 8 y todo t con la propiedad de que ( t x , t y ) esté en &. Si A y B son, ambas, homogéneas de grado k sobre 8, entonces se dice que A es homogéneadegrado k . Bajo las hipótesis de que A es homogénea de grado k sobre & y de que P ( x , Y > = x A (x, Y >+ y w , Y )
no se anula en 6, pruébese que p - ' es un factor de integración (sobre 8 ) de A. d ) Si A es tanto exacta como homogénea sobre &, resuélvase A = O.
684
14. CURVAS INTEGRALES
En esta sección queremos discutir
un sistema
1 = P(x,y ) i = P(x, Y )
de dos ecuaciones diferenciales de primer orden para las funciones desconocidas x y y . Para relacionarlo con lo que antes hemos estado viendo reemplazamos P por B y Q por - A . El sistema es, entonces, 14.1
y suponemos en todo lo que sigue que A y B son continuas en un conjunto abierto d de R2. El espacio R2 se llama espacio fuse o espacio estado. Cada punto (x,y ) del espacio fase se corresponde con un estado del sistema. Las ecuaciones diferenciales 14.1 describen la manera en que el sistema cambia con el tiempo. Una solución x = u ( t ) ,y = z;(t), t E ( a , b ) , define una curva y en el espacio fase. Piénsesedelsistema 14.1 como si definieraunflujoen el espaciofase, En cadapunto (x, y ) la velocidadde unapartícula en el flujo es (1,Q ) = ( B ( x ,y ) , - A (x,y)). Una solución describe el movimiento de una partícula enel flujo y la curva y es una trayectoria de una partícula en el flujo. Toda solución de 14.1es obviamenteuna soluciónde 14.2
A ( x , y ) l + B ( x , y ) J j = 0,
pero lorecíprocono es cierto. No toda soluciónde 14.2 esunasolución de 14.1. Larazón deesto es que 14.2 solamenteafirmaquelacurva y definida por una solución de 14.2 está en cada punto (x,y ) en la dirección ( B ( x ,y ) , - A (x, y ) ) . Nada se dice acerca de la magnitud de la velocidad del movimiento en esa dirección. El campo vectorial (B(x,y), - A (x, y ) ) es un “campo direccional” según 14.2, pero u n “campo de velocidades” según 14.1. Parasistemasnolinealesnosiempre podemos sercapacesde dar solucionesgenerales en términosdefuncioneselementales, ni aun en términos de funciones de aquéllas de cualquier clase para las que se hayan calculado tablas o cuyas propiedades hayan sido estudiadascon anterioridad. Es, sin embargo, posible a menudo obtener una gran cantidad información de acerca de las soluciones sin resolver las ecuaciones. Lo que estamos a punto dediscutireilustrar es cómo puedeobtenerseinformaciónacercadelas trayectoriasdefinidasporlassoluciones inclusG cuando estasúltimasno nos son conocidas. 14.3 Definición. Una .firnción real F ( x , y ) definida sobre un conjunto abierto 6 de R2 se dice que es una integral de 14.1 s i F es constante a lo largo de toda solucidn. Esto significa que si ( u ( t ) , t‘(t))es una solución de 14.1 en &
141
685
Curvas integrales
para t e ( a , 6 ) entonces F(u(t), v(t))= c para alguna constante c y para todo te ( a , 6 ) .Las curvas de nivel F(x, y ) = c se llaman curvas integrales de 14.1. Cualquier funciónFque es constante sobred es, desde luego,una integral, pero es una integral trivial sin ningún interés. Probaremos ahora que una solución F(x, y ) = c de A ( x , y ) d x + B ( x , y ) d y = O nos da una integral de 14.1. 14.4 Teorema. Supongamos que A yB soncontinuas abierto 6 de R2.Si F(x, y ) = c es una solución en &' de 14.5
sobre un conjunto
Y ) ~ Y= O ,
y )Ad(xx+, B ( x ,
entonces F es una integral sobre d de
1 = B(x, y )
3
=
-A(x,~).
PRUEBA.Comotodasoluciónde 14.1 estambiénunasoluciónde 14.2, este teorema es una consecuencia de lo que probamos en la sección anterior. Unapruebadirecta estambiénsimpleeinstructiva.Nuestrashipótesis sobre F implican que i= B(x, y ) =
donde no
I*- l ( X , y) aF(x? Y> ~
ay
lo largodelassoluciones
se anula en 6 . Portant.0,a
dF
aF
- "f
"
dt
ax
de 14.1
+ d- yF =.o . ay
F es constante a lo largo de las soluciones y es una integral. Y esto completa la prueba. Estudiemos el movimiento de una partícula a lo largo de una recta y sujeta a la fuerza restauradora x + x 2 , donde x es la distancia dirigida de la partícula a un punto O. La segunda ley de Newton nos dice que, entonces, mx+x+x2
=
O.
Con y = m i , el momento, esta ecuación es equivalente al sistema 14.6
mi =y
j =
""-2.
686
[Cap. 11
diferenciales Ecuaciones
La ecuación diferencial para una integral es (x+x’)dx+nz”ydy
=
o.
1 1 1 De donde vemos que H ( x , y) = -x7. + - x 3 + -y 2 es una integral y las 2 nz 2 3 solucionesde 14.6 se encuentran sobre las curvas integrales H ( x , y ) = c. Las curvas integrales se muestran en la figura 29. Físicamente H ( x , y ) es la energía total del sistema. La cantidad +x’++x3 es la energía potencial 1 1 del sistema y - y 2 = - m i 2 es la energía cinética. A H se le llama integral 2m 2 de energía, y el hecho de que H sea constante es la ley de conservación de laenergía.Por la figura 29 vemos que unconocimientode las curvas integrales nos da una gran cantidad de información acerca del comportamiento del sistema.Lasflechasmuestranladireccióndelassoluciones cuando el tiempotranscurre. Esto se determinafácilmente por 14.6. Por encima del eje X,i > O y x es creciente. Por debajo del eje X,i < O y x es decreciente. Nótese particularmente la diferencia entre el comportamiento delsistemacercade (O, O) y de (- 1, O). Estosestadosson“estadosde equilibrio” del sistema: (O, O) y (- 1, O) son soluciones de 14.6. En estos puntos el campode velocidades (y, - x - x’) se anula. Si el sistema se inicia en cualquiera de estos dos estados, permanece en ese estado. Siel sistema está en el estado (O, O) y se perturba ligeramente, se moverá a una de lascurvasintegralesvecinas,peropermanecerácerca del estadode equilibrio. El estadodeequilibrio es “estable” y por lascurvascerradas a su alrededor se llama un “centro”. Las curvas cerradas corresponden a solucionesperiódicas(problema 6, pág. 707). Si laenergíatotalno es Y
Y /
-1
O.’
FIGURA 29
x
y
14integrales 1
Curvas
687
demasiado grande, el sistema oscila alrededor del estado de equilibrio. Para valores grandes de la energía total las soluciones pueden escapar y tender al infinito cuando t tiende al infinito (problema 3, pág. 693). Si el sistema está en el estadodeequilibrio (- 1, O) y es perturbado ligeramente, no necesariamente permanecerá cerca del estado de equilibrio. Con laexcepción de las dos curvasintegrales que tienden al estado de equilibrio, una perturbaciónserácausadeque el sistemaescapeuoscile alrededor de (O, O). A causa de la naturaleza de las curvas integrales cerca de (- 1, O), este estado de equilibrio se llama “punto de ensilladura”, y es “inestable”. Los valoresmáximosdelasoscilacionesde x ( t ) corresponden en dondelas curvas integrales cerradas intersectan el eje X . Para determinar los periodos de estas oscilaciones se necesitaríaunanálisis más profundo. Este ejemplo y el que a continuación daremos nos muestran la riqueza de información que puede obtenerse sin resolver la ecuación, y sirve también para demostrar la complejidad de comportamiento que puede esperarse en los sistemas no lineales. Ambas ecuaciones(la 14.6 y la ecuación del ejemplo 14.7) tienenlamismaaproximaciónlineal i= y , j = -x, pero se comportan muy diferentemente. La aproximación lineal resulta que nos da en amboscasosinformaciónacerca del comportamiento cercadel origenpero ni incluso esto sucede en general.Por ejemplo, i = y , j = -x+ y 3 tiene un estado de equilibrioÚnico en el origen, que es inestable, y toda solución tiende a infinito cuando t tiende a infinito. Hay casos en queunaaproximación lineal da algunainformaciónlocalacercadel comportamiento de los sistemas no lineales. Lo que aquí hemos dicho debe, sin embargo, hacernos ver el cuidado que es necesario tener al usar aproximaciones lineales. 14.7 Ejemplo. Obténgase una integral de
) -x(l-y2)
f = y(1-x
3
=
2
y dibújense las curvas integrales.
SOLUCI~N. Consideremos la ecuación diferencial x(1 - y 2 ) d x + y ( l -.”>y
=
o.
L a ecuación es separable. Separando variables obtenemos ydy +2 = o, 2 xdx
1-x
In
11
-x21 +In (1 -xZ)
1-y
1 1 - y 2 ] = In c , (1 -y*> = c .
En lugar de dejarnos arrastrar porel hecho de que la ecuación es separable
688
lineales
[Cap. 11
Ecuaciones
habría sido mejor que hubiésemos notado inmediatamente que la ecuación esexacta.Obtenemosentonces la integral ( 1 - x 2 ) ( I - y 2 ) sin que se nos presenten problemas acerca de la anulación de ( I - x 2 ) ( I - J , ’ ) . Las curvas integrales aparecen en la figura 30. El sistema tiene cinco estadosde equilibrio obtenidos al igualar el campo de velocidades (,J(I -x2), - x ( l - y 2 ) ) a cero. Son: (O, O), (1, 1). ( - 1, I ) , (- l . - 1 ) y ( I , - I ) . Otro término para designar los estados de equilibrioes“puntocrítico”.Como en e1 estudiode los valoresmáximo y mínimode las funciones,haytambiénpuntoscríticos
IY
-X
I FIGURA 30
enla integral. Las curvascerradasalrededor del origen correspondena solucionesperiódicas. Siel estado inicial está en el interior del cuadrado, el sistema oscila alrededor del origen.Fueradel cuadrado lassoluciones, con excepción de aquellasque tienden al estadodeequilibrio, tiendena infinito cuando / tiendeainfinito.Estassolucionesexcepcionales son altamente inestables. Una ligera perturbación lleva el sistema a una solución quetiende al infinito LI oscila. Los cuatroestados de equilibrio en los vértices del cuadrado son puntos de ensilladura y son inestables. Enel próximoejemploestudiaremos el clásico problemade mecánica del movimientode u n péndulo. Veremos cómo un conocimientode las curvasintegrales nos da algunainformacióncuantitativa y una buena visión de los aspectos cualitativos del comportamiento de u n péndulo. 14.8 Ejemplo. Discútase el movimiento de u n péndulo simple despreciando la fricción.
141 integrales
689
Curvas
SOLUCI~N Consideremos . u n péndulo de longitud I y masa m (figura 31).
IY
FIGURA 31
Sea ( ( x ( t ) ,y ( t ) ) la posición de la partícula en el instante t. De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton ma = m (x, -G) = (O, -mg)
sujeto a la constricción x 2 + y 2 = 12. Ahora bien, x = 1sen 0 y = I - [ c o s 8,
de modo que
De donde
x = -/O2 sen O + l O cos O , j; = I d 2 cos tl t /B sen 0. 10 = cos Ox + sen #j;
= -g
sen O
y la ecuación diferencial para el ángulo O es I8+g sen 6 = O .
Haciendo el cambio t =m en la unidaddetiempo, y u ( z ) = U(xz), la ecuación diferencial para el ángulo como función del nuevo tiempo es r-21u“+g sen u = O.
Con u2 = //gl a ecuación diferencial para el ángulo u es M”
El ángulo u y el tiempo
7
+ sen u = O .
son cantidades sin dimensión. Podemos ver tanto
690
[Cap. 11
diferencia!es Ectiaciones
directamenteenlaecuacióndiferencialcomo
u’ u’
en el sistemaequivalente
=
2,
=
-sen u ,
que uv’+u’ sen u = ~,(+u’+ 1 - cos u ) = O y +UZ+(l -cos u) es una integral y de nuevo una integral de energía. pueden escribirse
Las curvas integrales
2u
2
v +4sen - = 2 c 2 .
2
Estas curvas integrales están dibujadas I
en la figura
32. Observemos ahora
v=u’
U
lo siguiente: 1) Los estadosdeequilibrio,quecorresponden a v = O, sen u = O , están en los puntos E, = ( k z , O); k, un entero cualquiera. Físicamente éstos correspondenalos dos estadosdeequilibrio del sistema. Los puntos E,, corresponden a las posiciones más bajas del péndulo con el péndulo inmóvil. Estos son centros y son estables. Los puntm EZk+corresponden al péndulo inmóvil en su posición más alta (O = z). Estos puntos son puntos de ensilladura y soninestables.Estoconfirmaloquesabemosfísicamente acerca de un péndulo en equilibrio en la posición vertical 0 = n. 2) Si el estado inicialde los sistemas se encuentra cercadelorigen dentro del área sombreada de la figura 32 (c’ < 2) el péndulo oscila para atrás y adelante alrededor desu estado de equilibrio E,. En el caso llamado delas“pequeñas oscilaciones”, donde u permanecepequeño,podemos aproximar sen u por u y lascurvasintegralessoncasicircunferencias:
141
691
Curvas integrales
u2+ u z = 2c2. Laaproximaciónlinealdelaecuacióndiferencialpara pequeñas oscilaciones es u”+u = O, y u ( z ) = a sen (z+d),
U(%) = a
cos (z+6),
a =
El periodo de las pequeñas oscilaciones es aproximadamente 271. En tiempo real r el periodo es 2 7 1 a 3) A medida que el estado inicial del péndulo se aproxima a la frontera de la región sombreada (que c2 tiende a 2), las curvas integrales tienden a tomar la forma de la frontera
k
2
):.
= 4 COS
-
, y no pueden seguir
aproximándose por circunferencias. 4) La frontera de la región sombreada corresponde a las condiciones iniciales para las queel péndulo se aproxima al estado de equilibrio E, o EPodemos esperar a medida que las oscilaciones se aproximan a la frontera que los periodos de las oscilaciones tiendan a infinito. Más adelante, en 7), hablaremos más de esto. 5) Si el estado inicial se encuentra fuera dela región sombreada, entonces el péndulo deja de oscilar adelante y atrás y entonces gira. Las revoluciones son en dirección contraria a las de la!; manecillas del reloj por encima de la región sombreaday en la dirección de lasmanecillasdelreloj debajo. 6) Los valores extremos de u (las amplitudes de las oscilaciones) ocurren dondelascurvasintegralescortanal eje X (u = u‘ = O), y los valores extremos de u’ puedendeterminarseporlasinterseccionesdelascurvas integrales con el eje U (u = O) y la recta vertical u = x. 7) Supongamos que u(0) = O, ~(10)= u’(0) = u, ; donde O < u, < 2, de manera que el péndulo oscila. Sea ( B , , O) el punto donde la curva integral en la dirección de 7 creciente encuentra por primera vez el eje u. Entonces 8, es la amplitud de la oscilación. Sea T~ el tiempo para que el sistema vaya del estado (O, uo) alestado (O,O). Entonces u ( T ~=) O, y por razones de simetría el periodode la oscilación es 47,, o en tiemporeal, el periodo
es T
= 4
J:
- 71. Queremos ahora obtener una fórmula para el periodo como
una función de la amplitud 8. Por la integral d.s energía tenemos
donde u(7), v(z) son las soluciones correspondientes a De donde 2
u(0) = O, v ( 0 ) = u,.
692
[Cap. 11
diferencialesEcuaciones
donde k = +uo = sen 40,. De esto obtenemos
c(
Haciendo el cambio de variable sen 2
donde k sen h ( 7 ) = sen
=
k sen cp, vemos que
u (7)
. Esta integral es una integral elíptica de primera 2 clase, y la función definida por la integral es ~
F ( z , k) =
jz o
dcp (1 - k 2 sen2 q)’”
’
Existen tablas muy extensas de esta función y de acuerdo con ellas podemos calcular los tiempos empleados en moverse de un punto a otro a lo largo delascurvasintegrales.Recíprocamente, dada T podemoscalcular el 71
ángulo u ( T ) . En particular, como u ( T ’ ) = O , , sen h ( r , ) = 1 y h ( ~ , )= - . El / 2
FIGURA 33
Periodo ante amplitud
141 integrales
693
Curvas
(;
3
periodo de la oscilación de amplitud O , , (O < O , < n) es 42, = 4F -, sen -
En tiempo real
t
el periodo í“(O,) es
.
Se sigue del problema IO, página 567, que T ( 0 )tiende a co cuando 8, tiende ,
\
7
,y F es continua, 2 n para pequeñas
es una buena aproximación
33). F
oscilaciones (figura
se llama integral elíptica
completa de primera clase.
Problemas 1. Escríbase cada una de las siguientes como un sistema de dos ecuaciones de primerorden,obténgaseunaintegral y dibújenselascurvas integrales : a)
x+x
=
o
c ) i!+x+x3 = e ) x sen = O
+
b) x - x = o d ) i!-x+x3
o
J’) 2 =
y
2. La ecuación de un oscilador (ecuación
=
i= p [ y - - ( x - f x y =
o
-y(2x3-y3)
de Van der Pol) es
X+p(l -x2)f+x = Pruébese que
=
x(2y3 -x3)
o
3 )]
1
-”x
P
es un sistema equivalente. Discútanse las trayectorias definidas por soluciones en el caso en que p es muy grande por un estudio del flujo definido por la ecuacióndiferencialen el plano fase.Unagran p resulta en las que se llaman “oscilaciones de relajación”.
3. Demuéstresequehaysoluciones
t + co.
de 14.6 quetiendena
co cuando
Funciones definidas por ecuaciones diferenciales 1. INTRODUCCI~N Continuando con nuestro estudio introductorio de ecuaciones diferenciales, abordaremos en primer lugarel problema de la existencia y unicidad de soluciones de las ecuaciones diferenciales. Al hacer esto introduciremos dostópicosdeconsiderableimportanciamatemática:losteoremasde punto fijo y las aproximaciones sucesivas. Probaremos primero un teorema de punto fijo para espacios vectoriales finitodimensionales y luego mostraremos cómo es queeste teorema puede extenderse a espacios en que los elementossonfunciones.Estosespaciosdefuncionessonespacios vectoriales infinitodimensionales, pero vemos que para estos problemas la dimensión del espacio no juega papel alguno. El teorema del punto fijo paraespacios de funcionesnos da unteoremade existencia y unicidad
696
Funciones definidas
[Cap. 1 2
por ecuaciones diferenciales
para las solucionesdelasecuacionesdiferenciales.Ilustraremosdespués cómo es que este teorema de existencia y unicidad nos lleva a la definición de funciones por ecuaciones diferenciales, y aprenderemos un poco acerea de cómo podemos estudiar las propiedades de funciones definidas porecuaciones diferenciales. El capítulo se concluyecon un estudiode un sujeto íntimamente relacionado con los tratados: lasseriesde Fourier y lasaproximacionesdeFourier. Aquí, denuevoveremosunaanalogía entre espacios de funciones y espacios vectoriales finitodimensionales.
2. TEOREMA DEPUNTOFIJO:
APROXIMACIONES SUCESIVAS
El método de Newton para resolver la ecuación f ( x ) = x2 - 2 =
o
consiste en convertir el problema en éI al equivalente por resolver
Una solución de x = T ( x ) se llama punto j j o de T ; comenzaremos con una aproximacióninicial x. y definiremos una sucesión de lo queesperamos sean aproximaciones sucesivas de un punto fijo por x1 =
T(xo)
x2
=
T ( x , ) = T[2'(Xo)
x,
=
T ( x , _ , ) = T["'(x,).
X
Por ejemplo, con T ( x ) = -
2
+ -I y x. x
=
1 , obtenemos
x , = T(1) = 1.5 x2 = T(1.5) = 1.417 x3 = T(1.42) = 1.41425
y tenemosyaunabuenaaproximación(con seis cifras significativas d j = 1.41421). ¿Por qué y cuándotrabajaesto ? Notemosprimeroque si T es continuo sobre un intervalo cerrado 9 y si la sucesión de aproximaciones sucesivas está en 9 y converge, entonces el límite de la sucesión es un punto fijo de T. Sea x, + X cuando n + OO. Entonces
X
=
lím x,, = lím T(x,-
n-
02
n-tm
=
7( lím ,-+m
X,-,)
=
T(2).
21
697
Teorema aproximaciones de fijo:punto sucesivas
Obtendremos ahora un teorema de punto fijo excepcionalmente simple, pero muy importante y sorprendentemente poderoso.
2.1 Teorema. Unafunciónreal T definidasobreunintervalo dice que es una contracción sobre 9 si
9 de R se
I T ( x ) - T ( y ) l GAIX-Yl para todo x,y en 9 y üfgún AE ( O , I ). Una contracción transforma todo par de puntos x,y en un par T ( x ) , T ( y ) queson más próximos.Ciertamente, si T es unacontracciónsobre 9 entonces T es continuasobre 9 (problema 1). El recíprocono es cierto. Sin embargo, si T es dferenciablesobre 9 y si IT'(x)l < A < 1 sobre 9, entonces T es una contracción sobre 9 (problema 2).
2.2 Teorema. S i T es una contracción sobre un intervalo cerrado Y y si T transforma 9 en s i mismo ( T ( 9 )c 9), entonces T tieneun Único punto fijo X en 9. Más especcjicarnente, si x. es un punto cualquiera en 4, entonces X,, = T["'(x,)+ X cuando n -+ co y
2.3 PRUEBA. Como la transformación se contrae sobre 9, no puede tener dos puntos fijos en 9. Supongamos que x 1 y Xz son puntos fijos en 9.Entonces ( X I -221 = IT(x,)- T(X2)(G A J X , - % 2 / .
Como i< 1, X, = X2. Necesitamos ahora probar la existencia de un punto fijo. Para hacer esto tomamos en 9 un punto x,, cualquiera y definimos la sucesión de aproximaciones sucesivas x, = T(x,- = T["'(x0).Entonces
/ x , - x , - ~ /= / T ( X , - ~ ) - T ( X , - ~ ) ~ G A l x n - ~ - x n - 2 1 . Como A < I , la sucesión converge (problema
2, pág. 480). Sea lím x, = 2, n+ w
como 9 es cerrado, .W está en 9.Entonces, como T es continua sobre 9, X = lim x, = lím T ( x , - , ) = T ( X ) . n-m
n-m
Portanto X es el punto fijo en 9.Todo lo quequeda establecer 2.3. Tenemos
por h-acer es
IX-X,,~ = / T ( Z ) - T ( x n - l ) /Q l l X - x , - , I ~ l [ l x , - ~ , _ , I + I X - x , l ] .
Por tanto
y 2.3 se sigue.
(1 -A) IX-Xnl
< l/x,-x,-,l
698
12
por ecuaciones diferenciales [Cap.
Funciones definidas
La desigualdad 2.3 nos da una estimación útil del error en la n-ésima aproximación en términosdeladiferenciaentreestaaproximación y la precedente y nosdice cuándo podemos parar el cálculo.(Veásetambién el problema 4.) Nuestropropósitoaquíno es proseguircon el problemade resolver ecuaciones f ( x ) = O. Nuestra finalidad principal es introducir en la forma más sencillaposible el métododelasaproximaciones sucesivas. Muchos problemasdelanálisispuedenreducirseaproblemas depunto fijo de transformacionesdefunciones en lugardenúmeros.Entreéstosestá el problemaderesolverunaecuacióndiferencial.Queremosahoraextender elteorema 2.2 y el métododeaproximaciones sucesivasalas transformaciones de funciones. Sea S el intervalo cerrado 9 = [to- a , to + a ] y denotemos por %? el conjuntodetodaslasfuncionescontinuas x de 9 en R”. Paracada x en %? definimos 2.4
llxll
=
Máx {Ix(t)l Ire S } .
Esta función real sobre Q se llama norma, y llxll se lee “norma de x”. Es lo correspondientea un valor absoluto y es una medida de la distancia de una función al origen. La distancia entre dos funciones x y y en V es x-y. La norma tienelaspropiedadescaracterísticasdeunvalorabsoluto (problema 10) :
llxll >, O; //x11= O si y sólo si x = O .
2.5 2.6
2.7
Para una sucesión de funciones {x”} en V definimos lím x”= x si n-t m
lím I/xn-x/I = O.
n- m
Así pues, la convergencia de una sucesión de funcionesen %? es la convergencia uniforme de la sucesión sobre el intervalo S. Necesitamos ahoraconsiderartransformaciones T de %? en sí mismo. Ejemplos de tales transformaciones son y = T(x) donde 2.8 2.9
2.10 2.11
21
Teorema de punto fijo: aproximaciones sucesivas
699
La últimatransformacióneslademayorinterésparanosotrosporel momento. Si x es un punto fijo de la transformación T definida por 2.1 1 (T(SZ)= E), entonces E es una solución de k ( t ) = f ( x ( t ) , t )quesatisface x(to) = xo. A las transformaciones de funciones en funciones se les llama a veces "operadores".
2.12 Definición. Sea % un subconjunto de V. Unatransfornzación T de F en %? se dice que es una contracción sobre F si IlT(X)-T(Y)/l G
4lX-YIl
para todo x, y en 9 y algún A E ( O , l}. 2.13 Teorema. Sea u una función cualquiera en V. Definamos F como el conjunto de todas las funciones x en %? que satisfacen IJx- u11 G b. Si T es una contracción sobre F y si T transforma S en sí mismo, entonces T tiene un punto Único fijo X en F . En realidad, si x' es una función cualquiera en SF, entonces x" = T'")(xQ)-+E cuando n 03 y --f
2.14 PRUEBA.Laprueba es esencialmente la mismaqueladel teorema 2.2. Reemplazamos 1x1 por Ijx((y 9 por %. La convergencia sobre la recta real se reemplaza por la convergencia uniforme de las funciones. En lugar del problema 2, pág. 480, tenemoselproblema 13 que sigue.Necesitamos tambiénobservarque lím y" = yimplicalím llfll = (/yII.Estoesla n-,
m
"-+m
continuidad de la norma. Por la desigualdad del triángulo
de donde se sigue que lírn //y"//= llyll. La continuidad de la norma y el hecho deque el límite deuna sucesiónuniformementeconvergentede funcionescontinuas es continua implica que 9 es cerrado (y" en F y lím y" = y implica que y está en S). Además, vemos que como T es una contracción, luego continua: lírn 11 T(y") - T(y)I1 =O; es decir, lírn T(y") = T(y). La prueba del teorema 2.2 es, entonces, una copia exacta de la prueba de este teorema.
Problemas 1. Pruébese que si T es una contracción sobre un intervalo 9,entonces T es continua en 9. 2. Pruébeseque si T esdiferenciablesobre un intervalo f y si IT'(x)J< A < 1 para todo x en 9 , entonces T es una contraccidn en f.
700
Funciones definidas
3. Pruébese quepara
por ecuaciones diferenciales [Cap.
T(x)=
x
-
2
+1
-
x
y paracualquier
12
x,, en [ I , 21,
T'"'(xo) J j cuando n + m. 4. Bajo las condiciones del teorema 2.2 pruébese que --f
IX-x,l
<
2" ~
1-2
~T(x,,)-x,,~.
Nota. Esto demuestra la ventaja decomenzar con unabuenaaproximación inicial. Sin embargo, esto también prueba que tal cosa no esni con mucho tan importante como arreglar el problema de forma que E, sea pequeño. Para resolver, por ejemplo, J ( x ) = O hay una infinidad de formas de convertir el problema en u n problema equivalente de punto fijo. Algunosproblemas de punto fijo daránunaconvergencia más rápida que otros de las aproximaciones sucesivas.
5. Sea f el intervalocerradodefinidopor Ix-xoI < a (4= [xo-a, x. + a ] ) . Pruébese que si I ) T es una contracción sobre 9 = [x,, - a , x,, +a] con I T ( x )- T(y)l < E. Ix -1'1, O < , I< I pura todo x, y en 4,y 2) 1 T ( x o )- xoI <
(1 - i ) a , entonces T tiene un punto .fijo Único .Y en f y T("'(xo)-+ X cuando n+m.
6. El método de Newton. Supongamos que
para todo x en [xo- a, x,, + a ] . Pruébese que la sucesión de aproximaciones sucesivasdefinidapor la relación de recurrencia
converge a una solución de f ( x ) = O .
7. Calcúlesecon
x - 2 sen x = O.
tres cifras significativas exactas la raíz positivade
8. Calcúlese con tres cifras significativas exactas la solución de e"'
= x.
Y. Supongamos que T es continua sobre [a,b] y que a < T ( a )y T ( b )< 6.
Conclúyase que hay puntos fijos de T en ( a , b ) . b ) Si T es no creciente sobre [a, b] pruébese que hay Único de T e n ( u , h). a)
IO.
Pruébese que
a)
2.5 b ) 2.6
c) 2.7.
un punto fijo
31
Teorema de existencia
701
y unicidad para las ecuaciones diferenciales
11. Generalícese el teorema 2.2 a transformaciones T de R" en R".
12. Teorema de función implícita. Supongamosque 1) f(xo, yo) = O, 2) f y D2.f son continuas en una vecindad de (xo,y,,), 3 ) D , f ( x o , yo) # O. Usando el teorema 2.13, pruébese la existencia de una función cp continua sobre algún intervalo [x,,- a , x. + z], tal que cp (xo)= y o y f(x, cp (x))= O para todo x en [x,,- x,, + N ] . Sugerencia: consideremos z Y (x))
=
T(y) donde z(x)
=
T ( y ) (x) = y(x)-
f'(x9
D, f(x0 Yo) ?
13. Sea {x") unasucesióndefunciones para algún AE(O, I ) (/X"-X""((
en %? con la propiedaddeque
< A/(X""-Xfl-2/1,
n 2 2.
Pruébese que entonces la sucesión converge.
3. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD PARALAS ECUACIONES DIFERENCIALES
El primer teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales lo probó alrededor de 1825 Agustín Cauchy (1789-1857), uno de los más grandes matemáticos de Francia. Unos cincuenta años más tarde, en 1876, R. Lipschitz (1832-1903) probó un teorema análogo bajo condiciones algo más débiles que las de Cauchy. El teorema que presentamos en esta sección usa la condiciónde Lipschitz, y el métododeprueba,que es el delas aproximaciones sucesivas, lo introdujo porvez primera E. Picard (1857-1941) en 1890. Consideramos u n sistema f l
( t ) = ./;(x1 ( t ) , x,(t), . . .%(t), f ) 0 ) = f 2 (x, ( t ) , x, ( t ) , .. . , x,,O), r )
f,
3.1
. 9
=
de
/I
ecuacionesdiferenciales
L(xl ( t ) , x 2 ( r ) ,.. . , x,@), 11, deprimerorden en n funcionesincógnitas orden n-ésimo
x , , x * , . .., x,(.La ecuación diferencial de
3.2
es un caso especial.
dX d"- I x Sea x 1 = x , x2 = - , ' . . , x,, = __ . Entonces 3 . 2
flt
dt"
702
Funciones definidas ecuaciones por diferenclales
[Cap. 12
Si x es una solución de 3.2, entonces (x, , x 2 , ... , x,) = es unasoluciónde 3.3. Recíprocamente, si ( x , , . . . , x,) es una solución de 3.3, entonces x l es una solución de 3.2. En notación vectorial 3.1 puede escribirse
3.4
X(t)
=
f ( x ( t ) ,f ) ,
donde x = ( x I ,.. ., x,,), f = (J; , . . . , f,). La función f es una función de R" x R en R". Sea 4 el intervalo cerrado [to-a, to + a ] , Y = (VER"1 Iv-voI Q b } , y 6'= 9x 4 = {(v, t ) 1 ~ €t9 c 4). , El conjunto &' es un conjunto cerrado y acotadodepuntos enR"". Como antes V denotará el conjuntode funciones continuas x de 9en R". 9- será el conjunto de todaslas funciones continuas x de 4 a 9. El conjunto 9- es el subconjuntode V conla propiedad de que x en F implica ( ~ ( t )t ), en d para todo t en 9 (la gráfica de x está en 8). Supongamos que f es continua sobre 8. Entonces la transformación T definida por
3.5
~ ( t= )
T ( x )( t ) =
VO
+
61
f(x(T), T
) ~ T
está definida sobre 9 . Vemos entonces que x está en 9 es una solución de 3.4 que satisface x ( t o )= vo si y sólo s i x es un punto fijo de T. Si x es un punto fijo ( T ( x ) = x ) en F ,entonces
3.6 Y
f ( x ( 7 ) ,T) d T ,
X ( t ) = f ( x ( t ) ,t ) ,
fE
?€Y,
9
con x ( t o )= y o . Recíprocamente, si x es unasoluciónde 3.4 que satisface x ( t o )= Y', entoncesobtenemos 3.6 porintegración.Estamosahora en posición de aplicar nuestro teorema de punto fijo para transformaciones de funciones.
[Cap. 12
Teoremade existencia y unicldad para las ecuacionesdiferenciales
703
3.7 Definición. La función f se dice que satisface una condición de Lipschitz en d con respecto a v si hay un número real K con la propiedad de que If(vl, t)-f(v2, t)l G ~ l v ' - v * (
para cualesquier (VI,t ) , (v2, t ) en 8. La condición de Cauchy fue la hipótesis de que f era continua sobre 8 y tenía primeras derivadas parciales continuas Dl f , .. ., D,f sobre d. Para la mayor parte de las aplicaciones puede admitirse la hipótesis de Cauchy,
y esta condición implica la condición de Lipschitz (problema5).
3.8 Teorema. Si lafunción f es continua ysatisface una condición de Lipschitz (conrespectoa v) enuna vecindad 8 , de (vo, t ) , entonces para algún a > O hay una solución única sobre Y = [to- a , to + a ] de k(t) = f(x(t), t ) que satisface x (to) = yo.
PRUEBA.Nuestra hipótesis es (expresada con la notación que antes hemos adoptado) que f satisface una condición de
Lipschitz
If(v', t)-f(v2, t)l G Klv'-v2I paratodo(v', t)y(v2, t)end, = {(v, t ) 1 (v-vol < b , I t - r o l < a 1 >= Y x Y l , y que f es continua en 8 , . La prueba consistirá en demostrar que para una a suficientemente pequeña la transformación T definida por 3.5 es una contracciónsobre F quetransforma F en sí mismo.Entonces,por el teorema 2.13? T tiene un punto fijo Único en F, que es entonces la solución única que estamos buscando. Demostramos primero que para a suficientemente pequeña T ( F )c F. Sea Máx{If(v, t)l I (v, t ) d l }= M. Para todo x en P I ,y = T(x) satisface
.
para todo t E Yl Elíjase a de modo que a ia , y Ma < b. Entonces, recordando la definición de la norma como el valor máximo, tenemos
Ily-vOII
= IIT(x)-voll ,< b
paratodox en F. Esto significa paraun a suficientementepequeño que T ( F )c F,y T transforma en sí mismo. Queda por demostrar que para a suficientementepequeño T es una contracción sobre P.Aquí es
704
Funciones definidas
por ecuaciones diferenciales [Cap.
=
K
lt-tt,l
12
~ I x1 - X 21 1 .
Por tanto, para x l . x 2en .F
ljT(x')- T(x2)1! < aKlIx'-x21/.
Elijamos a de forma queaK < 1 . Entonces T es una contracción sobre , F . Y esto completa la prueba. Como una consecuencia del teorema 2.13 sabemos también que para a y b suficientemente pequeños y cualquier x" en .F, la sucesión x" = T(X'"') = T'"'(x") converge nifo forme mente sobre 9 a la solución de x ( t ) = f(x(t).t ) que satisface x(f,) =.'Y Por ejemplo, siempre se puede tornar x' como la funcióndefinida por .u'([) = Y". Aunque éste no es a menudo u n procedimientopráctico para calcularunasolucióndeunaecuacióndiferencial, es un método de gran generalidady tiene otras aplicaciones. Consideraremos dos ejemplos,unoextremadamentesencillo para ilustrar el método y el otro para ilustrar la dificultad.
3.9 Ejemplo. Obteneraproximaciones sucesivas de
mando x()= O, tenemos
31
Teorema de existencia
=
y unicidad para las ecuaciones diferenciales
-22
2
- 4 - t 3 - - t8
3
3.4
705
4
3! Aquí vemosque
la sucesión deaproximacionessucesivasconvergea e Z t , que es lasoluciónque podríamoshaberobtenido directamente resolviendo la ecuación lineal.
x(?)= 1
+ 2r-
b ) T ( x )( I )
= 1
x2(t) = T(x')(t)
+
=
1; ,,/m&.
Hagamos xo = I . Entonces
1
aj
+
4
m
d
7
Ya a esta altura podemos darnos cuenta de la dificultad de seguir calculando aproximaciones sucesivas. El valor de este método de aproximaciones sucesivas en las ecuaciones diferenciales no estriba solamente en que éI nos da un teorema de existencia y unicidad,sinoquepuedetambiénusarseparaderivarpropiedades generales de las soluciones: la dependencia de las soluciones de las condicionesiniciales, la dependenciadelassolucionesdeunparámetroque aparece en las ecuaciones diferenciales, y así por el estilo. Usualmente no es un método práctico para el cálculo numérico de las soluciones. Pensemosdenuevo en el teoremade existencia y unicidad.Nótese primero que es un teorema local. Solamente afirma la existencia y unicidad de una solución en una vecindad del punto inicial (vo, to). La solución se sabe que existe para todo t que satisfaga It- to/ < a, donde a es suficientemente pequeño. La prueba nos permite hacer una estimación de a que depende de la cuantía de K y M . Sin embargo, puede que sea posible continuar la
706
12
Funciones ecuaciones definidas por diferenciales [Cap.
solución mucho más de lo que esta estimación indica. Supongamos que las condiciones del teorema 3.8 se satisfacen en una vecindadde cada punto (v, t ) de un conjuntoabierto 9 de R" x R. Consideremos la solución x definida en una vecindad de un punto (vo, t ) en 9que pasa por este punto (es decir, tal que x ( r o ) = v'). Sabemos que la solución está definida sobre u n intervalo [to-a, I, +a] y permanece en 9. Hay, por tanto, una solución única a través del punto (x(?,,,+a), to +a). A la izquierda de t, + u coincide con la solucióncon la que hemoscomenzado.Esta es, portanto,una extensión única de la solución X. Continuando en esta forma tanto para t creciente como para t decreciente, puede argumentarse que hay un intervalo máximo 9 = (SI,b) sobre el que la solución puede continuarse en 9. Esta solución sobre 9 se llama solución completa en 9 quepasapor el punto (vo, to). Es, en general, difícil determinar la amplitud del intervalo 4. Puede, por ejemplo, ser finito.Laecuación no linealmássencillailustra lo que puede suceder. La solución completa de 1= x* que satisface x(0) = 1 es (1 - t ) - l . El intervalo máximo 9 es ( - GO, 1). La solución va a infinito en untiempofinito y nopuedeextendersemásalláde t = 1. Para el sistema lineal k((t) = A ( t ) x ( r ) +f(t) probamos para coeficientes constantes y supusimosciertoparanoconstantesque, si A y f soncontinuos sobre ( - GO, GO),entonces las soluciones completas están definidas sobre ( - m , GO). Para sistemas no lineales no hayrespuestastansencillas.
Nota. Todo lo que hemos probado en esta sección y la sección previa puedeextendersefácilmenteafuncionesvectorialescomplejas y la existencia y unicidad se aplica la aecuacióndiferencialvectorial compleja i = f(z, t). La función f es de C" x R en C", y una solución es una función z de R en C". Es suficientereemplazar C" por R2". Problemas
1. Úsese el método de aproximaciones sucesivas para resolver U ) i ( t > + 2 x ( t ) = 3 t 2 - 1, x(0) = 1 b) x + x = o, x(0) = o, i(0) = 1 c) 2 i ( t ) + t x ( t ) =
o, x(0)
= 1.
2. Obténgase,comenzandocon aproximaciones sucesivas de 1 = x 2 , x(0) = 1
dy dx
2
- = x +y
2
,
la conhción inicial,lastres
y(0) = 1
i= x 2 + y 2 j = x--y, x(0) = o, y(0) = 1 x + x - + x ' = o, x(0) = i(0) = 1.
primeras
41 circulares
707
Funciones
3. Considéreselaecuacióndiferencialautónoma de t )
(*I
Ti
=
(f es independiente
f(x(t))
donde f es una función de R" en R" que es continua sobre un conjunto abierto d en R". Supongamos que x es una solución de (*) sobre [O, 03) y que x ( t ) -+ vo cuando t -+ 00 donde vo es un punto de€. Conclúyase que vo es un estado de equilibrio (de (*); es decir, f(vo) = O . 4. Sea F(x, y ) una función de R2 en R con derivadas parciales continuas desegundoordensobre un conjuntoabierto Q de R2. Sea ( x o ,yo) un punto en€ y supongamos clue [Dl F ( x o ,yo)l2 [O,F ( x o ,yO)l2# O. Pruébese que hay entonces u n a c u n a lisa y que pasa por ( x o ,yo) sobre la curva de nivel F(x, y ) = F(xo,yo).Si D2 F(xo, yo)# O, pruébese quey puede representarse en la vecindad de ( x o ,yo) como la gráfica de una función y = f(x). Formúlense estos resultados como teoremas de función implicita.
+
5. Sea f una función de R"" a R" continua sobre el conjunto d = Y x 4 d o n d e Y = { v [ ~ v - v o ( ~ b } c R " e ~ = [ [ t o - - a , t o + a ] y s eD a n, f , ..., D,f continuas sobre 8. Demuéstrese que f satisface la condición de Lipschitz: hay un número real K tal que
If(+, t)-f(v2, t)l
< Klv"v2I
para cualesquier (v' , t ) , (v', t ) en d. 6. Considérese la ecuación diferencial autónoma
(*>
X ( t ) = f(x(t))
donde f es continua y satisface una condición de Lipschitz en la vecindad de cada punto vo de R". Sea x unasoluciónde (*). Pruébeseque x es periódica si y sólo si x(tl) = x(t2) para algún t , # t , (es decir, la curva descrita por la solución es cerrada). ¿Qué es el periodo mínimo ?
4. FUNCIONES CIRCULARES Ahoraque tenemosunteoremadeexistencia y unicidadparalas ecuaciones diferenciales, sabemos que ecuaciones diferenciales más condicionesinicialesdefinenfunciones.Éstees el origen demuchasde las funcionescuyaspropiedadeshansidoestudiadaspor los matemáticos y para las cuales se han calculado tablas. Como u n sencillo ejemplo de esto definiremos las funciones circulares por medio de una ecuación diferencial. Puedeserquelasfuncionescirculares o trigonométricas se hayan definidobien en el cursodeestudiosdel lector, o puedequeno. Pero cualquiera que sea el caso nosotros vamos a imaginar en lo que sigue que
708
Funclones definidas
por ecuaclones diferenclales [Cap.
12
nada sabemos de estas funciones,y que estamos interesados en las soluciones de l a ecuación diferencial x+x = O.
4.1
U n sistema equivalente es
4.2 y éste puede reemplazarse por una sola ecuación compleja por la sustitución z = x+ iy. Entonces i = i + i j = - y + ix = iz, de modo que tenemos que habérnosla con la ecuación diferencial
i
=
iz.
I
I
Es ventajoso y nomásdifícil,estudiar .
4.3
la ecuacióndiferencial
z = /.z,
donde 1. es u n número complejo arbitrario. Designemos por E la solución de 4.3 quesatisface z(O) = 1. Por el teoremadeexistencia y unicidad extendido a funcionescomplejas,sabemosque E estádefinida al menos en una vecindadde O. Una de las cosasquenecesitamos probar primero es que E est6 definida sobre < - m , a). La función E es u n punto fijo (el Único punto fijo) de
T ( z )( t )
= 1+A
i:
z ( T ) ~ T ,
y es el límite de una sucesión de aproximaciones sucesivas. Tornando zO= I , la condición inicial, obtenemos T(Z,)(t) = 1 + A
Z,(t)
=
Zj(t)
= 1 +At
Z,(T)dZ
=
t +At,
(At)' (At)3 + __ + __
2!
3!
y, por inducción,
-.,(t)
=
1 +At
+
"'
+ (At)" __ = n!
(nty __ k=O
k!
La sucesión {z,,} converge absoluta y uniformemente sobre todo intervalo
41
Funciones circulares
finito.De aquí se sigue (o puedeverificarsedirectamente en 4.3) que 4.4
E(t)
=
1 x
709
porsustitución
(/It)k ~
k!
k=O
es la soluciónsobre ( - c o , a) de4.3 que satisface z(0) = I . Si ies u n número real,entonces E ( t ) = e'.t, y si 2. es un númerocomplejo E ( t ) es entonces la extensiónde la funciónexponencialreal.Escribimospara toda i. real o compleja, E ( [ )= e','. De donde
Esta es la única función con estas propiedades. Usemos ahora la ecuacióndiferencial 4.3 para derivar algunas propiedadesde e". Sabemos,por el teoremade unicidad,que ceAt es laúnica soluciónsobre (-m,m) de 4.3 quesatisface z(0) = c. Consideremos ahora las funciones
E , ( t ) = e"e'.' y
~ ~ (= te a)+ " .
Como E l ' ( t )= /IEl ( t ) y E 2 ' ( t ) = j.E2(t), E , y E , son, ambas, soluciones de 4.3. Satisfacen las mismas condiciones iniciales E , (O) = &(O) = ea y, por tanto, por la unicidad de las soluciones, E , ( t ) = E,(t) para todo t. Tomando f = I tenemos la ley de los exponentes 4.5
En particular,
eleA
= eo = 1
=
e"+Á.
y, portanto. =
(e"".
Vemos inmediatamente por esto que e'# 0 paracualquiernúmero complejo i. En el capitulo 1 1, sección 4, usamoslasfuncionesseno y coseno para definir e". Ahoraque ya hemosdefinido eit independientementedelas funciones circulares, podemos seguir el camino inverso y usar esta función exponencial compleja para definir el seno y el coseno. Definimos
Así pues, eit = cos t + i sen t y la función vectorial (cos, sen) es entonces la única solución de 4.2 que satisface (x(O), y(0)) = (1, O). Podemos ahora derivar las propiedades de las funciones seno y coseno
71 O
12
Funciones definidas ecuaciones por diferenciales [Cap.
delaspropiedadesde eit o directamentede Por 4.4 sabemos que la serie para eit es
y por tanto
cost = 1
sen
= t
t2 .
--
2! t3
- -
3!
t4 +- ...
4!
t 5 - ... +5!
=
la ecuacióndiferencial4.2.
;
( q k -
k=O
=
tZk
(2 k ) !
m
t2k+ 1 ~
(2k+ 1) !
k=O
Como (x, y ) = (cos, sen) es una solución de 4.2 vemos que Dcos = -sen
y
Dsen
=:
cos.
La curva y definida por x = cos t , y = sen t se encuentra sobre la curva integral x2+ y 2 = 1 de 4.2. Así pues, cos2 + sen2 = 1. Probamos ahora que seno y cosenotienen Z!n como periodo mínimo. No es difícil demostrar que hay un tiempo mínimo T > O con la propiedad de que cos T = O y sen T = 1. Como (cos, sen) es una solución de 4.2 con la condición inicial (cos O, sen O) = (1, O), cos t > O para todo t positivo y suficientemente pequeño. Para tales t la curva y está en el primer cuadrante, ya que de 4.2 se sigue que sen t es creciente y cos t es decreciente. Además, después de un tiempo t > E > O, 1 = - y < - sen E < O. Así pues, en un tiempo finito la curva y alcanza el eje Y y x se hace negativo. Por tanto, hay un T > O mínimocon la propiedad de que cos T = O y sen T = 1. Como x 2 + y 2 = 1 sobre y , t esla longituddelarcoa lo largodela circunferencia (unitaria). Se sigue entonces fácilmente que en el tiempo 4 T el punto x = cos t , y = sen t ha dado una vuelta alrededor de la circunferencia y 4 T = 2n. Vemos, por tanto, que 271. es el periodo mínimo del seno y el coseno.Como eit = cos t + i sen t , 2n es también el periodo mínimo de eit . Hemos, pues,definidolasfuncionescircularesseno y coseno,hemos hallado su expansión en series de potencias para calcularlas y hemos deducidotodas laspropiedadesbásicasdeestasfunciones.Laspropiedades de adicióndel seno y el coseno se siguen fácilmente de la ley de exponentes 4.5 como se mostró en la sección 4 del capítulo 11. 5. SOLUCIONEN
SERIE DELASECUACIONES DIFERENCIALES
La ideade obtener soluciones en seriedelasecuacionesdiferenciales se remonta más de300 años hasta Newton. Una de las ecuaciones estudiadas
51
Soluci6nserie de en
las ecuaciones diferenciales
71 1
por Newton era *=I+-
5.1
dX
Desarrollando (1 - x ) - '
y
1-x
, y(O)=O.
escribió la ecuación en la forma dy - 1 + y ( l + x + x 2 + .-)
"
dx
y obtuvo la solución
y ( x ) = x++(x2+x3+
...).
Veremos dentro de un momento cómo es que esto puede hacerse. Notando que x' x 3 ... = x z / (I -x), la solución es
+ +
y(x) = x++x2/(1-x).
E n lo queestamosinteresados es en los métodosparalaobtenciónde aproximacionesenserie y, conunaspocaspalabrasdeadvertencia,ésta que hemos expuesto es adecuada para ser la primera que consideremos. La advertencia es que este ejemplo no debe llevarnos a creer que va a sernos siempreposible, y especialmente con lasecuacionesnolineales, obtener la seriecompleta,einclusocuandoesto es posible no se debentener demasiadasesperanzasenlaposibilidaddeexpresarlasumadelaserieen términos de funciones conocidas. Para muchos propósitos todo lo que se necesitaes obtenersólounoscuantosde los primerostérminos y para muchas aplicacionesestonos dauna útilprimeraaproximación.Tal aproximación es a menudo, como más tarde veremos, el punto de partida para un cálculo numérico de la solución. Ilustramosahoradosmétodosparaobteneraproximaciones en serie. Supongamos que 5.1 tiene una solución analítica en la vecindad del origen: 5.2
y(x) = a,+a,x+a,x
2
+ ... =
2 m
a$.
n=O
Método 1. Serie de Taylor Sabemos que los coeficientes a, vienen dados por n!a, = ~("'(0).Por la ecuacióndiferencial 5.1 podemosentoncescalcular sucesivamente tantas derivadas evaluadas en el origen como deseemos.
y ( 0 ) = o = a, y'(0) = l+y(O) = 1 = a, y"(x) = (l-x)-1y'(x)+(l -x)-2y(x) y"(0) = 1 = 2a, y"'(x) = (1 - x ) " y " ( x ) + 2 ( 1 - X ) - Z y ' ( x ) + 2 ( 1 - x ) - 3 y ( x ) y"'(0) = 3 = 3 ! a 3 .
.
71 2
Funciones definidas
[Cap. 12
por ecuaciones diferenciales
Tenemos entonces como una solución aproximada v(x) = x+
ix2+
)x"
Para esta ecuación en particular no sería muy difícil probar que y(")(O)= & H !
, y que a, = 4.
Método 2. Coeficientesindeterminados Antes de comenzar a exponer este método, recuérdense nuestros resultadossobrediferenciación,adicióneigualdadde series depotencias (capítulo 9, sección 9). Es conveniente escribir la ecuación diferencial 5.1 en la forma (1 -x) L1 I' = I -x+I'
dx
Supongamos,antetodo,queestamosinteresados en una aproximación hasta el orden 3. Los puntosdenotan los términos de ordenmásalto. Sustituyendo la serie 5.2 en estaecuacióndiferencial, obtenemos (1 - x ) ( a , + 2 u , x + 3 a , x 2 + 4 a 4 x 3 +
...) =
1 -,s+a"+u,x+a,X2+a3X3+
Igualando los coeficientes de potencias iguales de x , tenemos las ecuaciones a , = I +u,
2a2 - a
1
=
-l+a,
3 ~ 3 - 2 ~= 2 ~
Como a,
= y ( 0 ) = O,
2
.
obtenemos u, = 1 u2 = - & + a , =
y la aproximación deseada es Supongamos ahora que deseamosver si es posible encontrar el coeficiente K
general
a,.
Tenemos entonces
al sustituir y
=
a,,x"
,= o
Agrupando términos, obtenemos
1 "
[(n+l)a,+,-nu,-aJx"
= I-x
en la
ecuación
Solución en serie de las ecuaciones diferenciales
51
De donde a,-a,
=
71 3
1
2a2-2a, = - 1 ( n + l ) ( a " + , - a n ) = o, n 3 2 . Estesistemainfinitodeecuacioneslineales se resuelvefácilmente
El mayor intervalo en el que la solución que satisface y ( 0 ) = O está definida es ( - m , 1). La solución aproximada,hasta el términodeorden 3, es, segúnsabemos,suficientementebuenapara x pequeño y no muy buena cuando x es cercano a 1. Para una discusión más detallada de las aproximaciones en serie, para una justificación de la hipótesis de que hay una solución analítica, para el estudio de estimaciones del error, enviamos al lector a las referencias enumeradas en la bibliografía, particularmente a [58]. Enel próximo ejemplo ilustramos la aplicación de estos métodos a una ecuacióndesegundo grado. 5.3 Ejemplo. Obténganseaproximaciones
u"+ sen u = O,
5.4
en serie de la solución de
u(0) = O,
u'(0) = u,,.
ÉSta es la ecuación que describe el movimiento de un péndulo (ejemplo 14.8, pág. 688).
SOLUCIONES. Método I. Supongamos una solución de
la forma
u([) = a,+a, t + a , t + . . . Entonces u(0) =
o
= a,,
u'(0) = u,,
= a,
u"(0) = -sen u @ ) = 0 = 2 ! a ,
71 4
Funciones definidas por ecuaciones diferenciales
u"'(0) =
-
[Cap. 12
u'(0) cos u ( 0 ) = - u o = 3 ! clj
*(4)
(O)
=
-
u"(O) COS u(O) +(u'(O))~ sen
u(5)
(O)
=
-
~ " ' ( 0COS ) u (O) -t3 ú ' ( O ) ~ ' ( 0sen ) u (01
U(O)
=
O
=
4 u4
= u O + u o 3= 5 ! a , .
COS U ( O )
De donde
u ( t ) = u,t -
1
+ -5-!u , ( 1 + u o Z p 5 +
3
1
3!
...
Método 11. Puedeconseguirseunasimplificaciónconsiderable si notamos deinmediatoque la solución es impar(problema 6, pág. 537). Podemos entonces suponer una serie solución de la forma u ( t ) = a , t + a 3 t 3 + u s t 5 + ...
Este uso de la simetría corta en dos el número de coeficientes a determinar. Reemplazando sen u por su serie y sustituyendo la serie para u ( t ) en 5.4, tenemos 3 . 2 u 3 t + 5 . 4 a 5 t 3 + ... + ( u , t + u , t 3 + ...)
donde los puntos representan términos de orden mayor que los coeficientes de potencias iguales de ? obtenemos 6a,+u,
=
20u,+a3 Como
O 1
" a l 3
3!
=
o.
u ' ( 0 ) = a , = uo,
a3
-L
u5 =
&(+uO++u3).
6 '0
Una solución aproximada es
La ecuación para el siguiente coeficiente es
"a, 2 u3 + "a,
7.6u,+u5 - 3 3!
1
5!
5
=O,
3. Igualando
51
Solución en
71 5
serie de ecuaciones lasdiferenciales
y con esto podemos comenzar aver la dificultad para determinar el término general.
Problemas 1. Determínense los primeros cuatro términos distintos de cero expansión en serie de la solución de i(t) =
senx(t)+ef,
de la
x(0) = n
por a) método I; b) método 11. 2. Úsese el método I para determinar la solución en serie de i= x 2 , x(0) = 1.
Sugerencia: para obtener el término general Leibniz para la derivada n-ésima de un producto: D”(fg) =
k=O
úsese la regla de
($D”*/Dkg.
3. En el ejemplo 5.3 pruébese que u.
=do -. Véase la pág. 689.
4. Aproxímese hasta el término de tercer grado la solución de
1
a ) - dY =-“-
dx 1-x-y
, Y ( 1 ) = -2
b) 2(t)+tx(t)i(t)+x(t)+t3 = O, ~ ( 0 = ) 1, i(0) c) f = y+x2 3 = - x + y , x(0) = o, y ( 0 ) = 1
d)
i ( t ) = x(t)+tx(t) j ( t ) = 2tx(t)+y(t),
e)
i ( t ) = y(r)+t+l
=
O
x(0) = a, y(0) = b
j ( t ) = y(t)+x’(t), x(0) = 2, y(0) = 2 = o, x(0) = 2, i ( 0 ) =
f) X + & ( x 2 - I ) i + X
o.
5. a) Determínese una solución en serie de
dx
(X-l)(X-k)-
d2Y dx2
- ( ~ + 1 - 2 k ) dY -
+ y=O
que satisfaga y(0) = 1 - 2 k , y‘(0) = 1. 6 ) Para k # O la solución en serie obtenida en la parte a es la solución que satisface la condición inicial. Cuando k = O, pruébese que
71 6
Funclones definidas ecuaciones por diferenciales [Cap.
12
( 1 - x ) - ' es también una solución que satisfacela misma condición
inicial.
6 . Aproxímese hasta el término de grado 3 la solución de
6. SOLUCIóN NUMBRICA DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
Hay u n gran número de métodos para el cálculo de soluciones de las ecuaciones diferenciales. Presentaremos como ejemplo u n método iterativo adecuadopara el empleodecalculadoras y que en algunos casos da resultadosplenamentesatisfactorios.Con las calculadorasmodernasde alta \docidadno hay. salvo paraalgunosproblemas especiales. gran dificultad enel cálculo de solucionesparticulares. No vamos a efectuar ninguna comparación entre los distintos métodos ni vamos a entrar en los problemas del análisis de error. Es una historia demasiado larga para que comencemosadiscutirlaaquí. El puntoqueaquíqueremosseñalar es que existen métodos para el cálculodesolucionesparticulares y que no es ning6n problema de mayor cuantía calcular una tabla de valores pala una solución particular, cuando la solución del problema ha sido reducida a la de una ecuación diferencial. A menudo se necesitan conocer las propiedades generales de unasolución o de u n conjunto de soluciones, y aunque una miquina calculadora. cuando se usa inteligentemente. puede ser iltil tamhiénpara tal tarea.puedequeno sea suficiente. El LISO inteligente de las m&quinas y de los métodosnuméricos y la investigaci6n de las propiedades generales de solucionesrequiere el conocimiento de a l teoría de ccuaciones diferenciales. Consideremos el sistema n-dimensional de ecuaciones diferenciales definido por X([) =
6.1
y supongamosquequeremoscalcular
f(X(I),
t).
la solución de 6.1 que satisface T I . Subdividamos el intervalo en un nilmero finito de partes dc longitud /I. Sea ti = fo+,j/7. Definimos el método por inducción. Supongamos que hemos calculado ya x(fo), x ( [ , ) , ..., x([,,), y queremos calcular x ( / , ~ ,+) = x ( r , , + h ) . La función x(f,)
= x()
sobre el intervalo
[lo,
61
Solución numérica de las ecuaciones diferenciales
71 7
f(x(r,-l), t n - l ] y f(x(t,), t,) en t = t,-l y t = t,, respectivamente. Usando q ( t ) para aproximar f(x(t), t ) sobre el intervalo [t,, t,+ 1] y el símbolo ‘‘S” para indicar “es aproximadamente igual a”, de 6.1 obtenemos X(?,+ I)-x(tn)
zz
I;;+ ’
cp(t) d t =
hf(x(t,), t,)++h[f(x(t,), t,)-f(x(t,-l)> t , - l , l .
Usando la notación más convenientex, tenemos entonces
= x([,),
f,
= f(x,,
t,) y A f, = f, - f,-
x , + ~z x,+hf,+fhAf,.
6.3
Nótesequecalcular x,+ requiereque conozcamos x, y x,-, . Así, para calcular x2 debemos conocer x. y x 1. El valorde x,, está dadopor la condición inicial, y para calcular x, debeutilizarsealgún método aproximativo. Un método conveniente esla aproximación por la serie de Taylor discutida enla sección 5. No hemos dado ni intentaremos dar una justificacióndeeste método decálculoaproximativodeunasolución.Parece razonable y podemosesperarpara u n sistema dado 6.1, que laprecisión del método dependerá del tamaño de h y de cuán buena sea en realidad la aproximaciónobtenidapara x,. Tambiénpodríamosesperarmejorar el método reemplazando q ( t ) en 6.2 por u n polinomio de segundo grado que tome los valores f,, f,- I , fn-2 en t,, t,_, , t,-* (problema 4). Ilustramos este método (a veces llamado mktodo de Aduam) aplicándolo primero a una ecuación de primer orden, y luego, a una de segundo. 6.4 Ejemplo. Calcúleseunasolución ,i =
aproximada de
(I-x2)”2,
x(0)
=
o
sobre el intervalo [O, 11. SOLUCI~N Tomando . h = 0.100 y usando los primeros dos términos serie de Taylor para la solución, tenemos XI =
x ( h ) E x ( O ) + h ( l -x”0))”2
=
h
=
en la
0.100.
Calculamos entonces los valores paso a paso usando x,+, 2 x,,+hf,++hAf,.
Aquí f ( x ) = (1 t , = nh, x, = x(t,), fi = f(x,), y AI; = fi -f;- . La siguientetablacontiene los resultadosdeestecálculocontrescifras significativas. La solución exacta es la función seno, y comparando con la última columna vemos la precisión de nuestros cálculos.
71 8
t"
x,
f,
O 1 2 3 4 5 6 7 8
0.000 o. 100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800
9 10
0.900 1 .o00
0.000 o. 1 O0 0.199 0.296 0.389 0.479 0.565 0.645 0.718 0.784 0.842
1.o00 0.995 0.980 0.955 0.921 0.878 0.825 0.764 0.696 0.620
n
Afn
0.005 - 0.015 - 0.025 - 0.034 - 0.043 - 0.053 - 0.061 - 0.068 - 0.076 -
sen
I,
0.0000 0.0998 O. 1987 0.2955 0.3894 0.4794 0.5646 0.6442 0.7174 0.7833 0.8415
6.5 Ejemplo. Calcúlese una solución aproximada de
x+x-x2
o,
=
x(0)
=
o,
i(0)
= 1
sobre el intervalo [O, 0.21.
SOLUCI~N. Haciendo 1 = y tenemos el siguientesistemaequivalente x =y .i, = x 2 - x ,
x(0) =
o,
y(0) = 1
Tomamos h = 0.05 y definimos t" = nh,
x, = X(&),
y , = y(t,).
Usando los primeros dos términos de la serie de Taylor, obtenemos xi = x ( h ) Z x(O)+lzi(O) = h = 0.050 y , = y ( h ) y(O)+hj(O) = ~ ( 0 = ) 1.000.
Por 6.3 x , + ~E xn+hy,+&hAy, y,+, z ~,+~(x,~-x,)+&~A(x,Z-X,)
De donde obtenemos
0.100
n
t,
Xn
O 1 2 3 4
0.000
0.000
0.050 0.150 0.200
0.050 0.100 0.150 0.200
Y"
x,2-xn
1.000 0.000 1.000 -0.048 0.996 -0.042 -0.004 -0.090 0.990 -0.038 -0.006 -0.128 0.975
AYn
0.000
A (X; - X"> - 0.048
71 9
Problemas 1. Usando h = 0.05 en el ejemplo 6.4, calcúlese sen 1 con cuatro cifras significativas. 2. Calcúlese unatablade valoresde la solución decadaunadelas siguientes ecuaciones diferencialesusando los valores de h y n que se indican. Siempre que sea posible, compárese con la solución exacta.
0.10, n = 5 b) el mismo problema que (a) con h = 0.05 y n a) i ( t ) = x ( t ) + 2 t , x(0) = 1, h =
c)
9 = &+y, dx
d)
i ( t ) = XZ(t)+t,
y(1) = o, h x(0)
e) i= x y 2
Ji
= -yx2,
3. Calcúlese
?I
x(0)
=
=
=
0.10,
Iz
=
10
=5
1, h = 0.10, n = 5
1, y(0) = 2, h = 0.10, n = 5 .
por la solución numérica de
9 = (1+xZ)-1. dx
4. Supongamosque x,, x,-, y x,- hansidocalculadas.Reemplácese la ecuación q ( t ) de 6.2 por un polinomio de grado dos que tomelos valores f,, f,- 1 , fn-2 en t,, t,t n - 2 . Obténgase de aquí la fórmula
x , + ~r x , + h [ f , + t A f , - , + ~ A 2 f , ~ ~ 2 ]
donde Afk = f k + 1 -fk y A2fk= A(Afk) = Afk+ - Af,. Esta es una fórmula del tipo “paso a paso” para la solución numérica de x(t) = f(x(t), t ) que tiene en cuenta las “segundas diferencias” A2fk. Inicialmente se da x,, y deben entoncescalcularse x1 y x2 poralgúnotrométodocomo,por ejemplo, una aproximación por la serie de Taylor. 5. asese el método del problema 4 para resolver: a) Ejemplo 6.4. 6) Problema 2a. c) Problema 2 c . d ) Problema 2e.
7. LOS POLINOMIOSDE
LEGENDRE
Muchas funciones especiales han surgido de la física matemática, y en estasecciónilustraremos lo que, para una gran clasedetalesfunciones, esunestudiotípicodealgunasdesuspropiedades. Los polinomiosde
720
Funciones definidas
[Cap. 12
por ecuaciones diferenciales
Legendrefueronintroducidos en1784 por AdrienLegendre(1752-1833) y son soluciones de la ecuación diferencial (1 - t 2 ) i(t)-22tl(t)+n(n+
7.1
I ) x(t) =
o
Estaecuacióndiferencial lineal se llama ecuación diferencial de Legendre. Sea n un entero no negativo y busquemos una solución x(t) =
1
a,tk,
k=O
analíticaenunavecindaddelorigen.Sustituyendo obtenemos
las series en 7.1,
r,
1 { ( l - ~ z ) k ( k - I ) u , t ~ - ~ - 2 2 ~ U k I ~ - 1 + n ( n + l ) u= ,ot .k }
k=O
AI igualar el coeficiente de t k acero,obtenemos Las soluciones principales, que denotamos por u, y r,,, corresponden a las condiciones iniciales (u,(O), zi,(O)) = ( I , O) y (v,(O), 6,(0)) = (O, I ) . Examinando lasseries para u,, notamos en primer lugar que la serie es par: a , = O y se sigue de 7.2 quetodos los coeficientes imparessoncero.La ecuación para los coeficientes pares es 7.3
(2k+ 1) (2k+2)U2,,,
=
[2k(2k+ I ) - n ( n +
I)]U2k.
Si n es un entero par, la serie termina con a,t"(a,+, = O) y u, es u n polinomio par de grado n. Si n es impar, se sigue de 7.3 y el criterio de la razón, que la serie converge en el intervalo abierto ( - 1, I ) (problema 1 a). Se puede probarque diverge en los puntosextremos & 1 (problema 1 b). Análogamente, para la serie es impar, es un polinomio impar de grado n si IZ es impar, y en otro caso es una serie infinita cuyo intervalo de convergencia es ( - 1, 1). Restringiremosnuestraatenciónaestassolucionespolinomialesque denotaremos por y,. Entonces
u,.
donde el máximo entero [in] es igual a f n si n es par y a $ ( u - 1 ) si n es impar. Sustituyendo en 7.1 obtenemos la fórmula de recursión b,
=
-
(n-2k+2) (n-2k+ 2k(2n-2k+ I )
I)
6,-
1
721
Los polinomlos Legendre de
71
De donde las soluciones polinomiales son n(n-1)
tn-2
2 ( 2 n - 1)
+ n(n-l)(n-2)(n-3)t,-4 2.4(2n-l)(2n-3)
-
...I
El polinomio de Legendre P, de grado n se define por 7.4
que corresponde a tomar bo = ( 2 n, ! . Esta elección de bo es conveniente 2"(n !12 para muchos propósitos (véase, por ejemplo, 7.5 y problema 4). He aquí unos pocos de los primeros polinomios de Legendre:
P O ( t )= 1 ,
P2(t) = +(3t2-1),
P L ( t )= t ,
P 3 ( t ) = 3(5t3-33),P4(t)
=
+(35t4-30t2+3)
P 5 ( t ) = +(63t5-70t3+15t).
Una consecuencia (problema 5) de esta elección de bo es que P,(I)
7 .S
=
I,
P,( - 1)
=
( - 1)"
Lo que ahora queremos hacer es ilustrar de qué modo podemos derivar de la propia ecuacióndiferencialalgunaspropiedadesgenerales de los polinomios de Legendre. Podemos escribir la ecuación diferencial de Legendre 7.1 en la forma d -[(l-t2)i(f)]+n(n+I)x(t)=O. dt
Si definimos
L(x)( t )
expresar esto por 7.6
=
d -((I - t L ) i ( t ) ) y
dt
L(x) = kc,
3,
=
- n ( n + l), podemos
722
Funciones definidas por ecuaciones diferenciales
[Cap. 12
lo que se llama un “problema de valor característico”. Los polinomios de Legendre son soluciones de la ecuación de Legendre; es decir Así pues, poranalogíacon el problema del valorcaracterísticopara matrices - n ( n + 1) se llama valor característico y P,,se llama una función característica. Es ésta unaqnalogíaprovechosaquehasidoexplotada y nos proporciona una vía de acceso general al estudio de una amplia clase de ecuaciones diferenciales lineales y de problemas de frontera de interés en la física matemática y en otrasmuchasramas (sistemas deSturmLiouville).Nuestroobjetivoes el mucho más modesto: queremos ilustrar simplemente u n casoespecial. Tenemosla siguienteidentidad para el operador o transformación L : sean x1 y x2 un par de funciones diferenciables sobre ( - a, m). Entonces 7.8
x,L(x,)-X,L(X,) =
d
-[(1-t2)(Xli*-X2i1)].
dt
De esta simple identidad, llamada identidad de Lagrange, podemos deducir lasiguiente importante propiedad de lospolinomiosdeLegendre: 7.9
.I
fl
P,P,
=
o
-1
Por 7.7 y 7.8 tenemos [m(m+l)-n(n+l>]
!
P,P,
=
-1
-I
- [(I - tZ) ( P , ( t ) P , ( t ) - P , ( t ) P , ( t ) ) ] d t
dt
=O .
Bajo la hipótesis n # m (n y m son enteros no negativos), obtenemos 7.9. Esta propiedad 7.9 se llama “ortogonalidad” de los polinomios de Legendre sobre el intervalo [ - I , 11. En la sección 9 veremos más sobre la significación de esta propiedad. Podemos usar ahora la ortogonalidad 7.9 y el teorema de existencia y unicidadpara ecuacionesdiferencialesparaestablecerunapropiedadde las raíces de P,,. 7.10 Teorema. Todaslas raícesde intervalo ( - 1 , 1 ).
P,, son distintas y se encuentran en el
PRUEBA.Sea R, un polinomiodegrado m. Elíjase cm demaneraque el coeficiente de t m en cmP,(t) sea el mismo que el que tiene en R,. Elíjase
71
723
Los polinomios de Legendre
después cm- demodoque el coeficientede tm" en e,-, P,- ( t ) sea el mismoque el quetiene en R,(t)-c, P,(t). En estaforma vemos que podemos determinar cfnr. . ., co de modo que
7.11
R,
=
c o P 0 +P~, ,
+ .._+ c , P , .
Todo polinot,;!o de grado m puede expresarse como una cornbinacidn lineal de los polinomiosdeLegendre P o , . .., P,. Se sigue entonces por 7.9 que, si R, es un polinomio cualquiera de grado m
R,Pn = O para
7.12
m < n.
Estamos ahora preparados para investigar las raíces de P,. Como P, es una solución de la ecuación diferencial 7.1 no puede tener una raíz múltiple en ( - I , I ) . Si tuviera una raíz múltiple r en ( - I ,I ) , entonces P,(r) = P,'(r) = O. Pero la única solución de 7.1 sobre ( - 1, I ) que satisface esta condición inicial es la función cero. Luego las raíces de P, en ( - I , I ) son distintas.Supongamosquelasraícesen ( - I , 1) son t , , t,, .. ., t,. Definamos R,(t) = ( t - t , ) ( t - t Z ) ..*(t-t,). R, tiene las mismas raíces en el intervalo ( - I , 1) que P, y tiene el mismo signo que P, en t = I (ambos son positivos). Luego
Como m < n, se sigue de 7.12 que m = n, lo que completa la prueba. Para otra prueba del teorema 7.10 véase problema 7.
Problemas 1. Consideremoslaserie
m k=O
a,kt2kc'onde a, = 1 y los coeficientes
están definidos por 7.3. Pruébese que: a ) La serie converge en el intervalo ( - 1, 1). 6) La serie diverge en t = Ifr 1.
2. Lléneme los detallesfaltantesde la discusiónque condujo a la fórmula para las soluciones polinomias de la ecuación de Legendre. 3. Derívese una expansión en serie para la solucióngeneralde la ecuacióndeLegendresobre el intervalo ( - 1, 1 ) suponiendosolamente que n es un número real. 4. Pruébese que (1 -2tx+x2)"'2
= P,(t)+P,(t)x+
... =
1 P,(t)x" m
n=O
724
Funciones definidas por ecuaciones diferenciales [Cap.
12
para cualquier valor de t y para 1x1 suficientemente pequeña. (( 1 -2 tx+x')-* se llamafuncidn generadora de los polinomios de Legendre.) 5. Pruébese 7.5. Sugerencia: úsese la función generadora del problema 4.
6. Pruébese que
t,,(t) =
1
d"
2
-( t
2"n! dt"
~
-
1)"
A esto se llama jbrmula de Rodrigues (1815). 7. Pruébese el teorema 7.10 usando la fórmulade problema 6 y el teorema de Rolle.
Rodriguesdel
8. Pruébese que :
Sugerencia: puede establecerse esto usando la fórmula de Rodrigues y la integraciónporpartes.Unaprueba más ingeniosapuedebasarse en el cuadrado de la expansión en problema 4 y la propiedad de ortogonalidad de los polinomios de Legendre.
9. Pruébese que: a) (n+1)P"+,(t)-(2n+1)tP,(t)+nP"~,(t)=0 6) tP,'(t)- PI,*- 1 ( t ) = nP,(t) c) P',,,(t)-tPfl'(t) = ( n + l ) P f l ( t ) . Sugerencia: a) considérese (1 - 2 t x + x')
v
=
(1 - 2 2 x + x 2 ) - 1 ' 2 .
av ax
-
=
( x - t ) V donde
av
i3V b) Considérese x y = ( t - x ) - . at
OX
10. Pruébese que: implica co = cl =... independientes).
c,P,+clP,
= c, = 0
+... +C"P"
=
o
(los polinomios de Legendre son linealmente
11. Si f es un polinomio de grado n, pruébese que f'=
donde
ck =
~
coPo+c, P,+... +C"P"
81
725
Series de Fourier
12. Pruébese que: a ) Las funciones y n = e'"', n = O, rt: 1, .. . , son ortogonales sobre el intervalo [ - 71, n]. b) c ~ , q n ~ , + c ~ , + , c p ~ , + , +c,qn,+c,y, ~~~ +... +cncpn = O, i m p l i c a c-, = c-,+ = ... = c, = c1 = ... = c, = O (lasfunciones ( P k , k = - m , . . . , n, son linealmente independientes). c) sen t , sen 2 t , . . ., son ortogonales y linealmente independientes sobre el intervalo [O, n ] . 13. L a ecuación diferencial de Hermite es Z(t)-2ti(t)+2nx(t) = O
La solución polinomial H , de esta ecuación diferencial en que el coeficiente de t " es 2" se llama polinomio de Hermite de grado n. Pruébese que:
c)
Jm -m
e-f2H , ( t ) H , ( t ) d t
= O, IE
# m.
Sugerencia: nótese que L(H,(t)) = - 2 n e - ' 2 H , ( t ) donde L(H,(t))=
d dt
- (e-'2 H,,' (t)).
8. SERIESDEFOURIER
Las series de Fourier tuvieron su origen en el siglo XVIII en el trabajo deDanielBernoulli (1700-1782) enconexióncon el problemadeuna cuerdavibrante. Su trabajo (Sur les CordesVibrantes, 1753) planteó la cuestión de si toda función f que es continua sobre un intervalo [O, x] y se anula en los puntos extremos puede representarse por una serie de senos; es decir, ¿puede uno encontrar constantes b, tales que
1 b, sen nx m
8.1
f'(x)
=
n=
1
sobre [O, n] ? Basándoseen laintuiciónfísica,Bernoullidijoque sí. Los matemáticos más distinguidos de entonces dijeron que no. Sus argumentos contra Bernoulli se basaban en unaintuiciónmatemáticaingenua y en
726
por ecuaciones diferenciales [Cap.
Funciones definidas
12
un conceptolimitadode lo queesunafunción. En 1822, JuanBautista Fourier ( I 768-1830) usó series trigonométricas en su teoría de la conducción del calor ( L a Théorie Analytique de la Chafeur). Su trabajo hizo surgir el problema de si las funciones j continuas sobre [ - n , n] con ,f(-x) = f ( n ) puedenrepresentarseporseriesdesenos y cosenos; es decir,¿pueden encontrarse constantes a,, b, tales que
f(x)=
8.2
$ao
+
n= I
( a , cos n x + b, sen n x )
sobre [ - n, x] ? El uso de Fourier de estas series era puramente formal, y ellorenovó la controversiaquehabíacomenzadoconBernoulli. Esta controversia tuvo u n profundo efecto sobre las matemáticas y condujo a la clarificación de muchas cuestiones relacionadas con las seriesy las funciones. Es mucho más conveniente expresar el problema de representación que plantea 8.2 en términos de la exponencial compleja. Supongamos que f es continua sobre [ - n , 771 y que f(-n) = f(n). Nos preguntamos entonces si podemos encontrar coeficientes c, con la propiedad de que
8.3 8.4 Teorema. Si la serie
f-
n=
c,einxconverge
uniformemente a f sobre
clr
[ - n, 711, entonces los coeJcientes c, ~ ~ i e n edados n por 8.5
PRUEBA.Como 13 serie converge uniformemente afsobre [ - n, n] podemos integrar término a término. Usando la propiedad de ortogonalidad
para calcular los coeficientes, obtenemos
II.
m
f(x)e"""dx
=
einx
e - i m x dx = 271~".
n= -m
De donde cm = -
f(x)e""" dx .
Llamamos a éstos coeficientes de Fourier de f
81
727
Series d e Fouriel
Si preferimos trabajar con la serie trigonométrica 8.2, tenemos m n= - m
m
c,einx =
c,(cos n x
n= - m
= co
+
+ i sen nx)
m fl= 1
cos n x + i ( c , - c - , )
[(c,+c-,)
sen n x ] .
Por tanto
n
=
O, 1,2,
8.6
n = 1, 2,
b, = i(c,-c-,,) =
Estos son los coeficientes de Fourier de f para la serie trigonométrica 8.2.
3% + 1 (a, cos nx+b, sen nx) converge uni1 [ - n, 711, entonces los coeficientes a, y b, están dados m
8.7 Corolario. Si laserie
formemente a f sobre por 8.6.
n=
Si f es continua sobre [ -n, 711, entonces los coeficientes de Fourier c,, a, y b, están definidos y la serie correspondiente se llama serie de Fourier de f.Escribimos entonces
f
o bien f
-
$ao
+
-
m
cneinX n= - m
m n=O
(a, cos
n x + b , sen n x ) ,
donde c,, a, y b, son los coeficientes de Fourier de f dados por 8.5 y 8.6. Esto es simplemente una asociación formal de una serie con una función y nada queda implicado respecto a la convergencia de la serie. Uno de los problemasenlasseriesdeFourieres el deprocurarunainterpretación de " ". Cuándo, por ejemplo, podemos reemplazar " por " =" donde "-, , - significa convergenciauniformea f o algúntipomásdébilde convergencia.Sesabe mucho acerca de este problema, pero no podemos entrar aquí en muchos detalles. Hay muchas referenciasexcelentes (unas cuantas deellas aparecenen la bibliografía en la página 777) y sólo queremos presentar una breve introducción a este importante tema. La primera pregunta que contestaremos concierne a la unicidad de la seriede Fourier de f. Supongamos que f y g son un par de funciones
-
"
-
728
Funclones ecuaciones definidas por diferenclales [Cap.
12
continuas sobre [ - n, n]. Queremos probar que las series de Fourier son las mismas si y sólo si .f' = 9. Es inmediato que si f = g entonces f y g tienen los mismoscoeficientesdeFourier. El problemarecíproco es algo mis difícil. 8.8 Teorema. S i J' y g soncontinuassobre [ - n, n] y tienen los mismos Coeficientes de Fourier, entonces f' = y sobre [ - n, n].
PRUEBA. Se sigue d e inmediato el enunciado si demostramosque la sola función continua concoeficientesde Fouriercero esla funcióncero. Entonces, si los coeficientes de Fourier d e f y y son iguales, los coeficientes de Fourier de J"g son todos cero. Luego ,f-g = O y f ' = g . Supongamos que hay una función continua h distinta de cero y continua sobre [ - n, n] con la propiedad de que
1:.
h ( x ) e i m x d x= O,
nz
=
O,
I , f2, ...
Claramente, la conjugada compleja de h también tiene esta propiedad de modo que podemos suponer que hay una función real distinta de cero /I con esta propiedad.Extendamos l a definiciónde /I a (-a, m ) haciendo 17 periódica de periodo 2 n ; es decir, para cada x en [ - T I , n] y todo entero k se define h(x+2kn) = h(x). Entonces para cualquier c (problema 1) 8.9
para toda nz = O, & I , i:2, . . . . Como h # O, entonces, para algún c, h ( c ) # O. (Como h se supuso continua sobre [ "n, n ] , podemos suponer que c está en ("n, n), y la función extendida h es por tanto continua en c.) Por 8.9 la propiedad de tenercoeficientes deFouriercero es invariantebajolas traslaciones y, además, no cambia por la multiplicación por - 1. Podemos, por tanto, suponer que h(0) > O y que h es continua en O. Entonces, para algún 6 > O, h(x) > +h(O)> O cuando 1x1 < 6. Podemos suponer O < 6 < n. Definamos P,(x) = (1 -cos 6++(eix+e"X))".
No es difícil probar (problema 2) que 1 - cos 6++(eix+e-i-') = 1 - cos 6 + cos x es mayor que 1 cuando 1x1 < 6 < n y es menor que 1 en valor absoluto cuando 6 < 1x1 < n. Como todos los coeficientes de Fourier de h son cero, h(x)P,(x)dx
=O
para todo n = I , 2, ...
729
Series de Fourier
81
Pero
J’’;
h (x) pn (x>dx
I
h(x)P,(x)dx
=
Como(problema 3)
I jI:
Sr,
5:d
h(x)P,(x)dx
+
+
:j
h(x)P,(x)dx
J’:
h(x)P,(x)dx
-+
+
c
h(x)P,(x)dx.
co cuando n -+ co e
h(x)P,(x)dx
I /Iz <
Ih(x)jdx
para todo
h(x)P,(x) d x + co cuando n + m. Esto es una contradicción
n,
y, por
tanto, h = O es la única función continua sobre [-x, n] con la propiedad de que todossus coeficientes de Fourier son cero.Y esto completa la prueba. El siguiente corolario nos demuestra la importancia del anterior teorema. [ - I T , x] y si su seriedeFourier converge unijormemente sobre [ - 71, I T ] , entonces converge a f.
8.10 Corolario. S i ,f es continuasobre
PRUEBA. Sea
5
n=
1 a;
n=-a
f , y supongamosque
c,einx la seriedeFourierde
c,einx converge uniformemente sobre [ - n, IT]a g . Entonces
-a;
m
1
n=-m
c,einx
es también (teorema 8.4) la serie deFourier de g. Por tanto, por el teorema 8.8 f = g , lo que completa la prueba. Una función ,f sobre cualquier intervalo 4 se dice que es lisa a trozos sobre 4 si tanto ,f como ,f’ son continuas a trozos sobre 4. Para muchas
aplicaciones el siguiente resultado esu n teorema de representación adecuado.
8.11 Teorema. Supongamos que f es lisa a trozos sobre [ -n, n] y luego es extendida a ( - m , co)de f o r m a que es periódica de periodo 271. Entonces la serie de Fourier de f conuerge en cada punto x a +(f(x- O) f ( x + O)).
+
PRUEBA.Sea n
s,(x> =
ekeikx
k= -n
’ f(x+O)
es el límitea
es el límite izquierdo de f e n
la derechade f e n x : f ( x f 0 ) = l í r n f ( x + r ) , y f ( x - O ) r40+
X.
730
Funciones definidas por ecuaciones diferenciales
la n-ésima sumaparcialde problemas 5 y 1
4x1
=
la seriede
1
k=-n
'I'
-
271
-n
[Cap. 12
Fourierde
f. Entoncespor
f ( u )e - iku ei k x du
sen ( n + + ) ( u - x )
=
=
1
-
2n
27t
j jn
du
sen +(u-x)
n--x
los
f(2S.x)
sen (n++)t sen 3 t
"c-x
sen ( n
f(t+r)
-4
dt
+ 3)t d t .
sen + t
De donde obtenemos
8.12
&(X)
=
-
f ( t + x ) sen(n++)t d t . sen t
+
Definamos
Es claro que h es continua a trozos (en realidad, lisa a trozos) sobre (O, n]. Necesitamos saber que h es continua a trozos sobre [O, z].Ahora bien lím h (.t.) = lírn
t-n
f(x+t)-f(x+O) t
1+0+
+
si este límite existe. Pero según cientemente pequeña
t
2 sen + t
el teorema del valor medio
f(x+t)-f(x+O) t
=
J'/(x+e,j
y para t sufi-
81
Fourier
Series de
731
para algún O < 0, < t. Como se supuso que f era lisa a trozos, se sigue entonces que lim h(r) = f ' ( x + O ) . f-tO
+
Esteresultadopuedetambiénobtenersedirectamenteusandola regla de 1'Hopital (pág. 128). Por tanto, h es continua a trozos en [O, n] y, por el problema 4b, lím
n-tm
S:
I 7C
h(t) s e n ( n + f ) t d t
=
sen (n+J)t
lírn
-
sen f t
dt
I " sen ( n + f)t dt=0. ]ím ,f(x+O)
n'm
J
271 o
sen k t
Se sigue entonces del problema 6 que lírn n-m 2n
S'
o
f(x+t)
sen ( n + f ) t dt sen f t
=
$f(X+O).
Análogamente,
Combinando estos dos límites, tenemos (véase 8.12) lím sn(x) = f ( f ' ( x - O ) + f ( x + O ) ) ,
n-r m
lo que completa la prueba. Al discutir la serie de Fourier de una función tomábamos [ - n,n] como intervalobásico. Lo mismopodíamoshabertomadocualquierintervalo cerrado finito -31, fr. Cambiando a este intervalo tenemos 8.13 donde
o bien 8.15
X
n=l
uncos2nn1
+ bnsen2nn-
732
[Cap. 12
Funciones definidas ecuaciones por diferenciales
donde an=zJ
1
8.16
b,
=
x
112
-1j2
f ( x ) cos 2 nn - dx 1
,:it,
2
X
f ( x ) sen 2nn - d x 1
FIGURA 1
8.17 Ejemplo. Sea f laserieperiódicadepulsosrectangularesunitarios que mostramos en la figura 1 . Por conveniencia tomamos como periodo la unidad de tiempo. Calcúlese la serie de Fourier de f'.
SOLUCI~N Los . coeficientes de Fourier de f son
Y cg =
De donde
=
En t
=
6+26
j
t
-f
f(t)dt = 6
2 sennn6nn6 cos 2 nn1 cc
~
n= 1
al valormedio 4.Lasamplitudes 1 2nnt varían como - sen x , donde x = nn6.
la seriedeFourierconverge
relativasdelasarmónicas
X
81
733
Series de Fourier
Por tanto, podemos esperar que cuanto más pequeño sea 6 mayor será la importanciade las armónicasmásaltas.Esto sesabemuybienpor los diseñadores de amplificadores de pulsos rectangulares. Mencionamosalprincipioqueamenudo se estáinteresado en la representación de una función f sobre un intervalo [O, 11 por una serie de senos. Si definimos f ( - x ) = -f(x), entoncesobtenemosestocomo un casoparticularde lasmásgeneralesseriestrigonométricasde Fourier. Sobre el intervalo [ - 1, 11
n= 1
Pero como f es una función impar, u, = O para todo n (problema sa) y
f(x)
-f n=l
X
b, sen n x E
donde
b
"
=
1I
X
f(x) sen nx -dx
1
Se sigue entonces del teorema 8.11 que si f es lisa a trozos sobre [O, 11 esta serie de senos converge para cada x a +(j(x-O) +j(x+O)).
FIGURA 2
8.18 Ejemplo. Represénteselafunción j queaparece en la figura 2 por una serie de senos sobre el intervalo [O, 11. SOLUCI~N. Como j(l-x) b, =
l
j' o
= "(x),
x
f ( x ) sen nn - d x 1
tenemos que
734
Funciones definidas
De donde bzn= O y
b2n+l =
41
1:’
[Cap. 12
por ecuaciones diferenciales
- x s e n ( 2 n + I ) n -Xd x = ( - l ) ” 8 1 I (2 n + 1)’ n2
Por tanto
3TIX ~
1
TI
1 + -sen-
25
5nx I
1
+ ...
Como el términogeneral en la serie es en valor absolutomenorque 1/(2n+ I ) ’ , sabemosque la serieconvergeuniformementesobre [O, I ] . Por tanto, por el corolario 8.10 laserieconvergeuniformemente a f’ sobre [O, I ] . En particular, tenemos al evaluar la serie en x = 4 que n2
1
1
1
8
32
52
7
-=1+-+-+++...
Problemas 1. Si f’es continua y periódica de periodo JOT
f
=
T pruébese que para todo
j;+Tt
c
2. Pruébese que 1 - cos 6 + cos x > 1 cuando 1x1 < 6 < TI y
cuando O < 6 < 1x1 < IT
11 - c o s 6 + c o s x ~ < 1
3. Con h ( x ) , P , ( x ) y 6 definidas como en la pruebadelteorema pruébese que *)
i’r,
h (x) P,(x)d x
--f
cc cuando n ”+
00
8.8
81
735
Series de Fourier
4. a) Sif es continua sobre [a,61 pruébese que
lím W-)
m
jab
f ( t ) sen wt dt
=
O.
Sugerencia: pruébese primero que 2 j a bf ( t ) sen w t d t = -
f(t+e)
+ jab-& [f(t) - f ( t + donde
E
sen w t d t
sen wt dt
E)]
+
lb:
f(t) sen wt dt , E
n
= -. W
b) Conclúyase que l a parte a) se verifica si f es continua a trozos sobre [a,61. n
5. Pruébese que
e-iko =
k = -n
sen (n++)B sen 4 9
6. Pruébeseque
sen ( n + f ) t
dt = n.
7. Derívense a)
8.14
6) 8.16.
8. Si f es integrable sobre[ - n,x] pruébese que :
a) Si f es impar,entonces f(x)
6,
=
n
1;
-
n=
1
b, sen nx, donde
f ( x ) sen n x d x
b) Si f es par, f ( x )
-
+ao
+
m n=
1
a, cos nx, donde
f ( x ) cos nx dx. 9. Encuéntrense las series de Fourier de a)
f(x)
= x * sobre
[-x, n]
[Iz. :I
b) f ( x ) = x' sobre -
Funciones definidas por ecuaciones diferenciales
736
[Cap. 1 2
c) J’(x) = e“ sobre [ - 1, 11 d ) , f ( x ) = x sobre [ - n , n] e) f ( x ) = J x I sobre [ - n , n ] J’) f = - 1 sobre [-n, O], J’= I sobre (O, n ]
y) f’=Osobre[-l,O], f’(x)=xparaxen[O. I].
10. Discútase la representación en serie de cosenos deunafunción sobre el intervalo [O, I]. Pruébese para j(X)
-2 I
-“o
+
X
7,
)I=
J
1
u, cos nn I
que
11. Proporciónense las representaciones en serie de senos y las representaciones en serie de cosenos decadaunade las siguientesfunciones: J’ = 1 , sobre [O, n] c) f’ = sen sobre [O, n] e) ./(x) = x ( n - x ) sobre [O, n].
a)
b ) ,f = I sobre [O, n] d ) f ’ = cos sobre [O, n]
12. S i j ’ yy son reales y continuas sobre
[a,b] pruébese
que
13. Suponiendo que J’ es real y continua sobre [-n, n] establézcase la ckesigualdud de Bessel
donde c k , a, y h, son los coeficientes de Fourier de f . 14. Supongamosque ,f tiene unaderivadasegundacontinuasobre [-x, n] y que f( - n ) = f ( n ) y ,f.’(- n ) = f ’ ( n ) . Pruébese que a) los coeficientes deFourier, c k , de f tienen la propiedad de que para algún CI > O lckj <
Ix
-
k’
paratodo k.
Sugerencia: intégrese por partes. de ,f convergeuniforme
b) La serie deFourier a f sobre [ - 71, n].
y absolutamente
de Aproximaciones
91
737
Fourier
c) Generalícese el resultadode la parte a) paracuando derivada m-ésima continua sobre[ - n, n ] .
f tiene
15. Supongamos que f es continua sobre [ - n, n ] . Pruébese que: a) para cada E > O hay una función poligonal continua (su gráfica está formada de segmentos rectilíneos) p con la propiedad de que
para toda x en [-x, n] .
I f(x)-p(x)l < E
E un número positivo cualquiera y [a,b] un intervalo cerrado cualquiera en el interior de [ - E , n] ( “ n < a < b < x). Sea p una función poligonal cualquiera continua sobre [ -x, n ] . Entonces existeunafunción g con una derivada segunda continua sobre [-x, x] tal queg(-n) = g ( n ) , S ’ ( - n ) = g ’ ( ny) ,con la propiedad de que
6) Sea
Ip(x)-g(x)l
< E para toda
c) Para todo E > O y todo intervalo hay un polinomio trigonométrico
x en [a, b].
[a, 61
en el interior de [-x, n ]
n
T(x) =
Ctkeikx k = -n
con la propiedad de que
I f(x)- T(x)l < E para toda 16.
[a, b],
x en [a, 61.
Teorema de la aproximación de Weierstruss. Si f es continua sobre entonces para todo E > O hay un polinomio p con la propiedad de que
I f(x) - p Sugerencia:
(x)/<
E
para toda x en [a,b] .
véase el problema 15.
9. APROXIMACIONES DE FOURIER Hemos discutido el problema de la representación de una función por una serietrigonométrica.Lasfuncionesexponencialescomplejas y las funcionestrigonométricassonnadamásquedoselementosdelagran clasedelasllamadasfunciones “ortogonales”.’ Vamosa continuación a considerar el problemamásgeneraldeaproximarnosaunafunción arbitraria por una combinación lineal de funciones “ortogonales”. Estamos interesados en el problema de la aproximación en el espacio %‘ de todas las Como el lector verá, no hay funciones ortogonales, sino “Familias defunciones” ortogonales. Lasfuncionesexponencialescomplejasconstituyenunafamiliadefunciones ortogonales; las trigonomktricas, otra. [N. del T.]
738
Funciones definidas
por ecuaciones diferenciales
[Cap. 12
funcionescomplejas(convaloresen el campocomplejo)continuassobre un intervalo [a,61 de la recta real. Este espacio es completamente análogo a los espaciosvectoriales R" y C". Laprincipaldiferencia es queno es finitodimensional. Estamos ya familiarizados con las operaciones algebraicas sobrefunciones y la ímicanuevacaracterística en este espacio es la introducción de u n productointerior o escalardefuncionesanálogo al productoescalarde vectores finito dimensionales. El espacio V es un espacio vectorial con u n producto interior. Resolveremos el problema de la aproximación en unespacio vectorial V con un productointerior y, finalmente, aplicaremos esto a la aproximación de funciones por funciones ortogonales.
9.1 Definición. Un espacio vectorial (conzplejo) es un conjunto de elementos f ,g,h, . . . , llamadoscectores,con las siguientespropiedades (a, son números complejos): A , . A cada par de vectoresj y g de V corresponde un tercer vector h de V , llamado suma d e f y g y escrito h = f +g. A,. f +g = g+ f . A,. ( f + g ) + h = f + ( g + h ) . A,. Hay un rector (Único) O en V , llamado vector cero, con la propiedad de que f + O = .f para todo f ' d e V. A,. Para cada,f en V hay un vector (Único), denotado por - J' y llamado inverso de f con la propiedad de que f (- f )= O. S , . Para cada número complejo CI y cada vector J' en V hay un vector h en V , escrito h = CIf . S,. 1 f = , f . S, (flf)= (aPlf. S,. (a+fl)f = af'+flf'. S,. a ( f + g ) = CIf+ag.
+
'
9.2 Definición. Un producto interior o escalar sobre un espacio vectorial V, escrito ( j ,g),es una ,funcióncomplejasobre V x V con las siguientes propiedade.,: 9.3 9.4
9) =
( f + g , h)
9.5
9.6
( f ,h) + ( ah)
( f , f ) O ; (f, f ) = O
Nótese que por 9.3 y 9.4
9.7
=
.u> S> si y s d l o s i f = O.
Fourier 91
de
739
Aproximaciones
9.8 Definición. Un conjunto j n i t o de vectores f l ,f2, . . . ,f , se dice que es linealmente independiente si a , f i + a 2 f i + .. . +a,,f,= O implica = u2 = ... = a, = O. En cualquier otro caso el conjunto se dice que es linealmente dependiente(esdecir,existennúmeros ai,no todoscero, que satisjacen
01,
k= 1
aifi= O). Los vectores f, g se dice que son ortogonales si
El ntimero real 11 f 11
= (f,
f
?I2
(f,g ) = O.
se llama norma o longitud de f .
Supongamos quef y g son ortogonales. Entonces tenemos
/lf+~l12
= (f+s,f+g> =
Y de aquí, como(9,f 1 = (f,g) = o,
II l'+gll
9.9
=
(f,f)+(g,f)+(f,9)+(979)
I1 f I/ + llsll 2 .
Lo que se corresponde con el teorema de Pitágoras. Sean f y g unparde vectorescualesquiera con f # O. Entonces (f,S) f es ortogonal a f : (f, h ) = g ) - (f ( f ,f ) = o. h =g - (,f,
(f f>
(f f> >
9
Por tanto,
Continuando tenemos
De donde 0G
( f 7 f )
Ilhii2 = ( f 7 f > ( s , g ) - I ( S 9 g ) I 2 .
Esta desigualdad se verifica también si f = O, y es válida, por tanto, para todo f.Como claramente (f, f ) llhli = O si y sólo si f y g son linealmente dependientes, hemos probado la desigualdad de Schwarz
9.10
I(f,dI
9
l l f l l llgll
donde se tiene la igualdad si y sólo si f y g son linealmente dependientes. Nuestro interés principal recae en un problema de aproximación, y este problemaadquiere su significación másaltaen espaciosqueno son finitodimensionales. Tiene, sin embargo, un sencillo significado geométrico en espacios finitodimensionales. Sean u1 y u2 un par de vectores ortogonales unitarios en R3 (figura 3 ) , es decir, u1 . u2 = O, u , . u1 = 1, u2 u2 = 1 . Sea x otro vector cualquiera en R3.Queremos aproximarnos a x por una combinación lineal y = alu1+ a 2 u2 de uI y u 2 . La aproximación ha de
740
12
Funciones definidas ecuaciones por diferenciales [Cap.
encontrarse, pues, en el plano 9 que pasa por el origen y está determinado por los vectores u , y u * . Tomamoscomoerrorde la aproximación E = (x- y ( = ((x -y) . (x -y)) l’’. Esta es la ”raíz del error cuadrático”,’ y la “mejor” aproximación y es la que minimiza este error. Esta distancia Ix-y1 se minimiza tomando como aproximación y la proyección ortogonal de x sobre el plano 9’. Portanto, la “mejor”aproximación y se obtiene tomando x i = (x . ui).
FIGURA 3
La extensión de este resultado a cualquier espacio vectorial Ves directa. Una sucesión de vectores ‘pl,‘ p 2 , . . ., ‘ p n , . . . en V se dice que es ortonormal si tienen longitud unidad y son ortogonales a pares;es decir, ( ‘ p j , ‘ p k ) = O si j # k y (qj,‘ p j ) = 1 para cualesquier j , k = 1, 2, ... Sea f un vector arbitrario en V. Queremosaproximar f porunacombinación lineal n
gn =
akce, k = l
de los primeros n vectores de
una sucesión ortonormal
q1,q 2 ,. . . El error de una aproximación
I/ f-g,,i\. La mejor aproximación
9.11 Teorema. Si lamejoraproximación
‘p, ,
‘p2, n
k= 1
g,, es E, = (f-g,,, f-g,,)”2 g,, es aquella que minimiza el error
=
E,,.
. . . , q,,,. . . es una sucesión ortonormal, entonces u k q kde f’estú dada tomando
9.12
uk
=
(f,q k ) .
El error cuadrutico minimo es
9.13
Sien unespaciovectorialhemosdefinidounanorma \III, distancia: d ( u , v) = J J u - v I I . Estamos,pues,tomandocomoerror vector x y la aproximación y . [N. del T.]
ella nos induceuna ladistanciaentre el
91
741
Aproximaciones de Fourier
PRUEBA. Calculando el error cuadrático, tenemos
Haciendo Pk
=
( f q~ k)?
y recordando que las (Pk son ortonormales, obtenemos n
=
l/fl¡’
+ 2 lpk-(xk12
Es entonces evidente que la elección y el error cuadrático mínimo es En’U) =
n
n
IIftI’
cck =
C P k I k .
/& = ( f , ( P k )
minimiza el error,
n
-
C IP~I’. k= 1
Los coeficientes = (f, qk)se llaman coeficientesde Fourier de f con respectoa la sucesión ortonormal q l , q z ,..., qn,... Laaproximación
f ukqk se llama n-ésima aproximación de Fourier. Como E:(f)
k= 1
m
no creciente lím E:(f) existe y, portanto,también tenemos
lakl’.
3 O y es
Dedonde
k= 1
n+m m
O ,< Iim E , ’ ( f ) n-tm
Y
=
iIfIIz
-
bk1’ k= 1
n
9.14
Desigualdad a la que se llama desigualdad de Bessel. Aumentando el número de términos en la aproximación nos gustaría ser capaces de reducir el error en laaproximación si, desdeluego,el error no es ya cero. Una propiedad de los sistemas ortonormales que nos asegura esto es la complitud: una sucesión ortonormal { ( P k } se dice que es completa si no existe ningún vector distinto de cero en V ortogonal a todas y cada una de las qk; es decir (h, qk)= O para toda k = 1, 2, . .. implica h = O. Por 9.13 vemosque el errorpuede siemprereducirseamenos que c(k
= (f,
(Pk)
=O
para todo k > n ; es decir,amenosque
I1 = f
”
aLqk
-
k= 1
742
[Cap. 12
Funciones ecuaciones definidas por diferenciales
sea ortogonal a toda q k ,k = I , 2, . . . De donde para una sucesión completa o la aproximación n-ésima es exacta (h = O ) o el errorpuedereducirse añadiendo m i s términos. Una propiedad aún má5 conveniente es la de lím E,(f) = O para todof n+u:
en V. Una sucesión ortonormal con esta propiedad se dice que es cerrada. Con un sistema ortonormalcerrado, el error en laaproximaciónpuede hacersetan pequeñocomo se quieratomando un número suficiente de términoseniaaproximacióndeFourier. Es claroque si unasucesión ortonormal es cerrada entonces es también completa, pues, ciertamente no puedesercerrada si existe un vector distintodecero h en V todoslos coeficientes de Fourier del cual son cero. Veamos ahora cómo se aplica esto a la aproximación de funciones. Sea %’ el espaciodetodas lasfuncionescomplejascontinuassobre un intervalo [a,61 de la recta real. Para funciones J; y en y cualquier número complejo a , J’+g se definen en l a forma usual. Definimostambién %j
9.15 Puedeentoncesverificarse(problema 1) que % es un espaciovectorial Los siguientessonejemplosdesucesiones
( f , g) un productointerior.’ ortonormales en W:
9.16 Las funciones exponenciales complejas normalizadas L e - i x
1 1 e2ix
,-2ix
v’2n 4271 ’v 2r n sobre el intervalo [ - 71, n] . -,
>
y
1 1 -== , =eix,
J2n
J2n
, ... , forman una sucesión ortonormal
1 1 1 9.17 Las funciones trigonométricas normalizadas - - cos x, - sen x, &’ 1,71 1 - cos
\K
2x,
1
\i
71
&
sen 2x, ... , formanuna
sucesión ortonormalsobre el
intervalo [ - n, n ] .
9.18 Las funciones trigonométricas normalizadas forman una sucesión ortonormal sobre el intervalo [O,
E].
Entonces I \ . f I ” = ~ f ~ En * . la sección 2, pág. 698, consideramosunanorma diferente y m i s “fuerte”, y no debemos confundir una con otra. La norma de la sección 2 se dice que es mis “fuerte” porque la convergencia según esa norma (que es convergencia uniformesobre [u,b ] ) implica la convergenciasegúnestaúltimaquehemosdefinido.
743
Aproximaciones de Fourier
91
9.19 Las funciones trigonométricas normalizadas forman una sucesión ortonormal sobre el intervalo [O, n ]
9.20 Los polinomios de Legendre normalizados %(X)
=
d F
P,,(X), n = 0,1.2,
...
forman una sucesión ortonormal sobre el intervalo [ - I , 11. Enla sección 8 loscoeficientes deFourier son los delasfunciones trigonométricas y exponenciales y aquí, en esta sección, los coeficientes de Fourier son coeficientesdelasfuncionesnormalizadas. Ambos conducen a las mismas aproximaciones d e f y si S,, es la n-ésima aproximación son ellos los que minimizan el error cuadrático
E,2(f) =
jab
If-snl
2
Para algunos propósitos, el error cuadrático medio e: = (b-a)" E: es el que se usa, y la raíz del error cuadrático medio es e,, = (b-a)- ' I z E,,. Los coeficientes de Fourier minimizan e,, al igual que E,, y se dice que dan la mejor aproximación cuadrática media.
9.21 Ejemplo. Calcúleselaraízdel errorcuadráticomedioen 8.18 usando los primerostresttrminosdistintos decerode Fourier como aproximación.
el ejemplo la seriede X
SOLUCI~N. El factornormaiizanteparalasucesiónortogonalsen k
=
1,2,
e . . ,
sobre el intervalo [O,
11 es
. Portanto,
del ejemplo 8.18 y los x k en 9.12 estQn relacionadas por donde
Ahora
Y
Es2(f) = 1[+-0.33308]
=
0.000251
kn-, 1
los coeficientes b,
b,
=
744
Funciones definidas ecuaciones por diferenciales
[Cap. 12
La raíz del error cuadrático medio es entonces e5 = 0.016.
9.22 Ejemplo. Determínese la mejor aproxlmación cuadrática media de 1x1 por un polinomio de grado 4 sobre el intervalo [ - 1, I ] . Calcúlese la raíz del error cuadrático medio.
SOLUCI~N. Los polinomios de Legendre normalizados
son
Como todo polinomio de grado n puede expresarse como una combinación linealde los primeros n polinomiosdeLegendre, se sigueque la mejor aproximación cuadrática mediade 1x1 de grado n sobre [ - 1 , I ] es n sn(x)
k=O
donde xk =
akqk(x)
1’
qk(x)dx.
- 1
Como Pk(x)es impar si k es impar y par si k es par, a2k+l
=
o
Y
Ahora
3
q 4 ( x ) = 7 ( 3 5 -~30x2 ~
8 J2
+ 3).
De donde
1 a, =
$> -
l i s a2=id2.
z(4=--
1 %$’
91
Aproximaciones de Fourier
745
y la mejor aproximación cuadrática media de grado 4 es s4(x)
1 2
5 + -(3x2-1I) 16
3
- -(35x4-30x2+3)
=
-
=
1 -(-105x4+210x2+15) 128
I28
FIGURA 4
Esta aproximación polinomial está dibujada en la figura 4. Obtenemos entonces
-
2 3
85 - 1 128 384
Y
Todas las sucesiones de funciones ortonormales que hemos mencionado hasta el momento se sabe que son cerradas (problemas 7 y 8) y son, por tanto,completas. El teorema8.8fueunapruebade la complitudde la sucesión exponencial9.16 y, como consecuencia, una prueba de la complitud de las sucesiones trigonométricas 9.1 7, 9.18 y 9.19. Estas sucesiones ortonormales son, todas, soluciones de una clase especial de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, y la teoría de tales sucesiones ortonormales se llama teoría de Sturm-Liouville (referencias [58] y [%I).
746
Problemas 1. Pruébese que: a) el espacio + ' ? detodas
complejas sobre u n intervalo
[ a , b]
las funcionescontinuas
es u n espacio vectorial. b) ( f ,g) =
es un producto interior de %.
fg
jab
2. Problema 12, sección 8.
3. Problema 13, sección 8. 4. Obténgase la mejor aproximación cuadrática media defsobre [ - 1, 11 por un polinomio de grado 3 y calcúlese la raíz del error cuadrático medio de la aproximación. a)
f(x)
b) f ( x )
= ex =
1xp2
5. Calcúlese la raíz del error cuadrático medio de la aproximación de Fourier de
a) f(x)
=
x por
1 bk sen kx sobre [O, n
n], n
= 1, 2,
3, 4
k= 1
b) f(x)
1 n
=
bk sen knx sobre [O, 11, n = 1, 3, 5, 7 " x' por + a o + ak cos kx sobre [O, n ] , n = 1, 2, 3 , 4 1 por
k= 1
c) f(x) =
d ) f ( x ) = O para x n
+ao
k= 1
+ 1 ( a k cos kx+ k= I
f(x)
=
x para x > O sobre [ -n, n ] por
bk sen kx) para n = O, 1 , 2 , 3,4.
6 . Determínese la mejor aproximacióncuadráticamediadesenopor un polinomio de grado 5 sobre el intervalo
7. Pruébese que las sucesionestrigonométricas 9.17, 9.18 y 9.19son sucesiones ortonormalescerradas. Sugerencia: véase el problema 15 e, sección 8. 8 . Pruébese que la sucesióndepolinomios deLegendrenormalizados de 9.20 es una sucesión ortonormal cerrada. Sugerencia: véase el problema 16, sección 8 y 7.1 1.
91
747
Aproximaciones de Fourier
9. Sea {qk} una sucesión ortonormal en un espacio vectorial V. Sean { ( x k } los coeficientes de Fourier d e f y { P k } los coeficientes de Fourier de g . Pruébese que { ( P k } es cerrada si y sólo si
para toda f ,g en V Sugerencia: 4(f,g) = llf+sl12-Ilf-~I12+~/If+~Sl12-~l/f-~S112. 10. El espacio 1’ es el conjunto de todas las sucesiones complejas a = {a,} con la propiedad de que
1 m
laJ2 converja. Pruébese que con la definición
k=O
habitual de adición de sucesiones y de multiplicación de una sucesión por un complejo, 1’ es un espacio vectorial. Para a = {a,,},b = (6,) definamos
1 akhk. Pruébeseque m
(a, b)
=
(a, b) es unproductointeriorsobre
k=O
11. Sea {qk}una sucesión ortonormal en un espaciovectorial, producto interior. Para cada f en V definamos
e=
1’.
V, con
{ak)
donde { ( x k ) es lasucesión de coeficientesde Fourier (xk = cf, q k ) . Q es entoncesunafunciónde V en 1’. Estafunción Q puedepensarsecomo reemplazandoalaasociaciónformal
f
-f k=O
(xkqkde f con su seriede
Fourier. La sucesión ortonormal { q k }es análoga a una base de V y las ak soncomocoordenadascartesianas. Derívensealgunas propiedadesde la función Q. En este contexto, ¿cuál es el significado de la hipótesis de que 1) {qk}es completa?, 2) {qk}¿escerrada?
Nota. No es, en general, cierto que toda sucesión en l 2 es una sucesión de coeficientes de Fourier de alguna f en V. El rango de Q puede no ser 12. Un teorema ahora famoso -llamado teorema de Riesz-Fischer-afirma que para algunos espacios(espacios L 2 ) toda sucesiónen l 2 es una sucesión de coeficientes de Fourier de alguna función en el espacio. Este importanteresultadofuedescubierto casisimultáneamente por Friedrich Riesz y Ernst Fischer en 1907.
Respuestas a oroblemas esmidos m
U
Páginas 19-20 1.
a) ( 5 , O, 11); c) (17, - I , 37); e) ( - t , 5-10t, 6-4t); 9) t -3, (-9, 20, -6); t = -2, ( - 6 , 15, - 2 ) ; t = - 1 , ( - 3 , l0,2); t = O,(O, 5 , 6). 6. U) + ( I , -13); C ) (22, -3, -12, -19). 7. a) No haysoluciones; e) no haysoluciones; e) todo r real. 8. a) r = s = O ; c ) r = s = O ; e) r = 6 , S = - 7 .
Página 24 1. a) Igualdirección ; e) no paralelas;
e) direcciónopuesta.
Página 28
a;
1. a> J34; e> ,,%; e> 3 9) 3J14; i) 1; 4. a) Ortogonal; e) ortogonal. 7. a) r ( - 2 , I), r E R ; e) r ( - a z , a , ) , TER.
k) 1.
Página 31 1. 2. 3.
a) -9; c) 3; e ) 34; g) 20. a) Ortogonal; e ) noortogonal. a) r ( - 2 , I), r E R ; e) r(O,O, l),
r E R ; e) r ( - a , , a , ) , rER. 749
Respuestas a problemas escogidos
7 50
Páginas 35-36 1. U) 3(1, O)+S(O, 1); c) * ( I , I ) + '$(- 1, 1); e) + ( I , 1, 0)+4(-1, 1, 6) 3. a) Comp, a = 3, Proy, a = (3, O); c) Comp, a = - 3, Proyb a = (O, O, - 3); e) Comp, a = Proy, a = f(1, 1 , 1 ) ; g) Comp, a = la21,Proy,a = b. Páginas 38-39 1. a) (-2, 3,9,0);
b ) O;
c) 18;
d ) $6;
b ) noparalela; c ) igual dirección; d ) no paralela. 3. a) v%; 6) $15; c ) ,/E 4 \l%. 4. a) Ortogonal; 6) ortogonal; c) no ortogonal; d ) ortogonal. 5. a) Comp, a = Proy,a = +(- I , 2, 1); b) Comp, a = +,/j, Proy, a = &(- 1, 3, -2, 2); c) Comp, a = O, Proyba = O ; d ) Comp, a = &JT, Proy, a = 1-(-1,O, 1). 2. a) Dirección opuesta;
+&
Páginas 53-54 1. a) No paralelas, 0;c) no paralelas, e) noparalelas {(+, -4, I$)}.
0;
751
Respuestas a problemas escogidos
Páginas 57-58-59 1. a ) (-42, 13, 59); c) (-42,-73, 16); e) (-252, 78, 354); 9 ) 903; i) O; k) (-134,-25, 155). 4. a ) r(0, O, I), r c R ; c) r(-41, -18, 7), r E R ; e ) r(2, O, 1)+s(-3, l , O ) , r, S E R . 9. a) 26; c ) ,/ZJiiG; e) 3 J E . 10. a) 4; c ) e) 3 4 .
m;
Página 62
3.
a)
96; e) 20; e) 46.
4. a )
$; c)
; e)
'2 .
Páginas 65-66-67 1. a)
Dependientes;
3.
c) independientes.
a) -2,
O, 2.
Página 72 1. a) (24, 9, -29); c) (2, 1, -9); e) -3(14, 3, -30). U) X + Y + Z = O; C) 2 ~ + 9 ~ -= 3-43; ~
2.
e ) (P2 -PI) . P = +(P2-PI) (P, +PI). U) 2 4 ~ + 9 , ~ - 2= 9 ~164; C) ~ X + Y - ~ Z= 29; e ) 1 4 ~ + 3 y - 3 0 z = -65. 5. Sugerencia: pruébese que IP-P,I = IP-P,I si y sólo si n . (P-Po) donde Po = +(PI +P2)y n = P,-P,.
3.
=O
Página 75 ( t ( l 0 , - 7 , 7 ) ) ; C) {(G,-1,O)+t(8, e ) { H I , 1,011; S) {&(-29,44,39)). -6 2. a) arccos -= 113" 5' ; c) arccos $3-4 1.
U)
99, 57));
82
,/m 54"24'. ~
=
-I
3. arccos -= 95" 36'
vfis
Páginas 77-78 1 . a) {t(- 1, - 5, 7)}, noparalela: e) {+(I, -2, I)}, no paralela.
c)
0, paralela;
.
.
. .
Respuestas a problemas escogidos
752
Páginas 84-85 1. 3. 4.
a) a) a)
d = 3 a ~ b - 3 ~ c) ; d = 2a-+b++c. ( l , 2 , l ) , + ( l , - 1 , I), $ ( I , O , - 1 ) ; C) b, d = -$-a-'+ b + 5 c . 5. a) ( 3 , O,*).
=
b, c ,
=
c.
Páginas 88-89
Página 94
Páginas 95-96
Páginas 100-101 1. a) f(t)
=
(-1,
2)+t(4, 3);
C)
f(t) = ( 2 t i - 1 , -6t+4,
Páginas 107-108
-6t+7).
Respuestas a problemas escogidos
753
Página 110 l . a) Ninguno; L.) 1, 2, 3, 4.
Página 114 1. u ) Espiral;
c) segmento rectilíneo.
Páginas 121-122
Tangentehorizontal
en (- I , - I ) ;
tangente vertical en (O, O);
; tangente vertical en ( I ,
Punto cuspidal en (O, O).
Páginas 127-128-129
O), ( - 1, O).
7 54
problemas Respuestas a
escogidos
d m ) - g(t2) = 2t(-sen t 2 , cos t 2 , 1); dt
2.
a)
am( - sen wt, cos wt).
3. a) ( t I t € D , , f(t) # O}; D,lf(t)l
f(t). f(t)
= ___
If(t>l 6. a) Compf(,)f'(t) = O ; Compf(,,f(t) = - - u 2 . 7. (-1, -x). 11. d ) 3) 2, 1) -3, 5) -3.
Página 131 1.
Af(0; lop3) = iop3) df(0; = c) Af(0; lo3) = (lo3, lo6, IO9); &(O;IO3) = (IO3, O, O); e ) Af(i03; lo-') = (0.1, 200.01, 30030.001); df(103; lo-') = (0.1, 200, 30000). 2. a) (1, I O w 3 ) ; c) (0.999, O, 0.999). U)
O, O);
Páginas 135-136
2. a) x(t) = ct ; c) x(t) = (cos u t , sen ut, O). 3. x(t) = vo t x. . 5. 152 pies/seg.
+
k 7. x(t) = c1 cos wt+c2 sen wt, w 2 = . m
8 . a) 1) x(t)=O;
2) x ( t ) = x , c o s w t ;
1 3) x ( t ) = - v v , s e n w t ; 0
c) x,, I vo y lxol
=
r, lvol
=
wr.
Páginas 141-142-143
7.
$a
t
senh-. U
9. 8.
d 13. -[$ - I n ( f i - I ) ] . 2
755
Respuestas a problemas escogidos
Páginas 146-147-148-149
1.
U)
T(t) =
C)
T(t) = N(t) =
1
-( t , 11, N ( 4
4Z-i
=
1 ~
d a 2 senh2 t
(1, -t>;
b cosh
+ b2 cosh’ t
( a senh t,
+ b’
( b cosh t , -a senh 2);
1 J a 2 senh2 t
1
cosh2 t
t);
a e ) T = - , N no definida. la1
2. a) ts(1,l) I S E R ) ; c ) ningunarectatangentecuando cuando t = 1.
t = O;
{(1,1,1)+s(2,3,4) 1 S E R }
3. a) v(0)
= v(1) = 2 0 4 , O), /V(O)l = IV(1)j = 2071; a(0) = a(1) = 40n2(0, - I), Camp,(,, a(0) = Camp,(,, a(1) = O; Camp,(,) a(0) = Camp,(,, a(1) = 4011’ ; e) v(0) = O, lv(0)I = O, a(0) = 2n(0,1); Camp,(,) a(0) = 211, Camp,(,, a(0) = O; v(1) = 2n(0, - 11, Iv(I)( = 271, a(1) = (4n2,-2n), Camp,(,, a(1) = 2n,CompN(,, a(1) = -411’ ;
e ) v(0) = v(1) =
, lv(0)I
=
Iv(l)l =
a(0) = a(1) = (-40 0007~~ ,O,O), Camp,(,, a(0) = Camp,(,, a(1) = O, Camp,(,, a(0) = Camp,(,, a(1) = 40000n2 . 5. a) v(0) = v(1) = (2011,O), l’(0) = l’(1) = 20n, a(0) = a ( l ) =(O, -40x2), Camp,(,) a(0) = Camp,(,, a(1) = -40n2, Com~T(o)a(O) = C O ~ P T ( , ) 4= 1 0, ) Camp,(,, a(0) = Camp,(,, a(1) = 4011’. c) v(0) = O, /’(O) = O, a(0) = 2n(0,1), Comp,(,,a(O) = O, Camp,(,, a(0) = 211, Camp,(,, a(0) = O ; v(1) = 27((0, - I ) , ~ ’ ( 1 )= 271, a ( l > = (4n2, -271), Camp,,,, a(1) = -4z2, Comp,,,, a ( l ) = 2n, Camp,(,, a(1) = 471’;
(
n2
a(0) = 1 - - , 16
-
i)’
756
Respuestas a problemas escogidos
Páginas 152-153 3.
a) ti =
5. a)
.(e)
o; c) =
ti(@
=
ab
(a2sen2 0
d 2+2 . l a [ (e2+ 1)3/2
; e) ti(@ =
+ b2cos2 3
9.
9t4+9t2+l
.
11. T ( 0 )
=
-1
Páginas 159-160 1. a) ~ ( 0 = ) v(T)
20 71
= -(O,
T
1 , O), v
40 n2
(:> -
=
a(0) = a(T) = - -(1, O, O), a(:) T2 40 n2 aN = T2 C)
20 n -(O,
-
T
I , O),
40 n2 T2
= -(1,
o, 01,
, momento angular = 271
~ ( 0= ) v(T)
= - ( a , O,
a@) = a(T)
= - ~
T
(i)
271 b), v - = - -(a, O, b),
4 n2 ( 0 a,,O), a($) T2
T
=
$(O,
a, O),
UT
= o,
Respuestas a problemas escogidos = aT(T) = O,
(z)
aN(0)= a N
-,o,
7 57
4n2a
= aN(T) = -9
TZ
-1
2 nm momento angular = -(ab, O, -az).
T
Páginas 160-161 2.
P
= (5 cos O - cos 50, 5 sen 8 - sen 58). = ae"+ b o f(t) = at+ b.
7. f(t)
8. f(t) = (500t, 1000t, -16t2+1600),
aT =
1024 t J1024tz
K(0)
=
+ 125 x lo4
10 Isen 201
9
aN
5. 24.
11,284,
=
1280 x lo6
, L=40. Páginas 166-167
1.
a)
Abierto;
c) cerrado; e) cerrado. Página 173
1. a) 9f= R3,f ( ~y, , Z) c> 9f= ((x, Y , 4 I x
3. In 2.
+
= xyz+z; XYZ
# O}, f(x, y , z ) = x+z
p ( 5 ) = 40950.
Respuestas a problemas escogidos
758
4. 5.
o>,
a) 9 f = (x z +cos x y 3 f(x, c) 9 = R3,f(x,y , z) = exyz. a) f = I, z22 +I,.
I
y z) ,
=
J";
Páginas 183-184-185 a) 2; c) sen 2 ; e ) '19; g ) O. 7. a) Ningúnlímite; c) ningúnlímite;
3. 10.
a)
lim
¡ím (x3 + x y 2 ) = lím
yx - r-3r - 1
Y-r3
Iim
( x 3+ x y 2 ) =
-
¡ím
e ) ningún límite. (x3+x$)
=
x--1
IO;
(X,Y)+( - 133)
c) lim Jim f ( x , y ) = lírn lírn f ( x , y ) x-ro
y-o
y-o
11. lím lím f ( x , y ) = 1, lírn lírn f ( x , y = ) x+o y + o
y+o
=
x+o
x-ro
-
1,
Páginas 194-195
Páginas 200-201 a)
2. a) 3.
a)
1 2 x y ; c) - ( x - 5 z + 4 ) .
J;rz
yz -4
X
. c)-. ( x +Y S ' X+Y ~
1 ( 3 x - 2 y ) cos x y .
m
Páginas 206-207 1. a ) D l f ( x , y )
=
2xy2, D 2 f ( x ,y )
f ( x ,y )
lím
f ( x , y ) no existe.
(x,Y)-(o,o)
Páginas 187-188
1.
lím
(x,Y)-(o>o)
=
2xZy+ 1 ;
= O.
759
Respuestas a problemas escogidos
Páginas 211-212 1.
a)
2(113 1 2 , 1 3 ) ;
c,
( 2 z 1 z 2 ~ 3 2 9 z121327 2 z 1 2 z Z z 3 ) ;
e) ex(cos (x+y) - sen ( x + y ) , - sen ( x + y ) ) . 2. U ) dw = 2 ~ y ~ d ~ + 3 ( ~ ~ y ~ + l ) d y ; xdx+ydy+zdz C ) dw =
”4
3. a )
1
-Y I 2
(-2x2+6xy+3y+x);
4. a) m 6 ; C) 1. 7. dj’((1,2); (+,+)) =
+;
Af((1, 2);
2 Y , D ~2 f, ( x , y )= - sec2 tan x2 x x
C)
1
-( y z + x z - x y ) . $ZZ
(3,$)) = +$.
9. 9 f t 3 .
Respuestas a problemas escogldos
760
Páginas 221-222 1.
a) f ( X , y ) C)
f(x, y ) =
X 2 - 3 3 J ’ + 4 y 2(, X , y ) E R 2 : 8 c1x3+ 2.x~’ - 5y” ( x ,y ) € R 2 ;
e) f ’ ( x , y ) = ( x - ~ ) y ~ - - : ( ~2 y-2~+) ? cz2 (x-I)~-
S(.,
7 c2 ( x - 1 ) 4 y + - 3 ( x - ~1 ) 2Cl g) f(x,y)=
3
I 2] , x a o ,
J ) E ~ ;
3c1 2
y 2 ¡+- ;- [x1 [ c 2 7 x 7 + 7 c 1 c ; x 6 y i 7!
21(c,2c25-20c23jx5y2+3S(c~3c24-36ele22)~4~~3+ 35(c14c23-36c12c2)~3y4+21(clsc22-20c~3)x2y5+
7 c , 6 c 2 x y 6 + c 1 7 y 7sen ] clc2-
I
-
7!
[42c,5~h~+2~~clc,4x5y2-
420(c,2c23-2c,)x4y3-420(cl~c22-2c,)x3y42 1 0 c , 4 c , x 2 y 5 + 4 2 c , ~ x y cos ~ ] e l c,; i) f ( x , y ) = ,/?[I +$(X¡)+;(Y-~)++(XI)’+~(xI ) (y-3)‘7 (2y - 3 ) 2 11-6-(x,f(x( y - 3 ) - & ( x l- ) ( y - 3 ) 2 +
3. a)
o; e ) o. Páginas 226-227
1. 3.
U)
2 ~ + 3 y + J 7 =~ 16; C ) 6 ~ + 9 , \ : 1 5 y= 72. x+y; c) z = x - - ;Y
a) z =
’
761
Respuestas a problemas escogidos
az -
-3y
"
fy12-4x2-3~72 '
ay
e) cualquier punto (x, y, z ) sobre la superficie tal z # O dZ 4x az 3)) . - - - - - - - __
z
3X
dy
g) cualquier punto'
ax - -
3y
"
4x
í?Y
4. a)
c)
dZ
-
¿)x
=
d- z=
dx
-
(x, y, z ) sobre la superficie tal que x # O
dx - -
Z "
4x
c7z
sen y z 4-xycos y z '
-
Z
az -(3y
x z cos y z
4-xycosyz '
x-4xzsJTjT7 z-
,
az
IO^^^^^'^^+^^+^^ d y
Y
-
"
z-lox
2
4
z
4
Páginas 244-245 c) f ( - I , 2) = 3 mín. (O, O) punto de ensilladura; ( - 2 , O) mín. rel.; c) (O, O) punto de ensilladura;
I . a) f(0, O) = O mín.;
2.
a)
e) punlos de ensilladura en( m n , n n ) ; mín. rel. en
g) (-+, O) mín. rel.; (-2, 3. 7 , (3, 3, 4), (6, 5, 10). 6. a) ( - I , +) mín. rel.; 7. Cubo de lado 24'2.
-4) y
n
( - 2 , j - j puntos de ensilladura.
c) (+, O) mín. rel.
7
x + y +z
;
762
Respuestas a problemas escogidos
Páginas 246-241 3. No. 4. lírn lírn f ( x , y ) = O, lírn lírn f ( x , y ) x-ro
y-o
5. D lf ( x , y , z ) 0 3 f ( x ,Y, 4
x-o
y+o
= 2x
=
1;
lírn
(X,Y)-+(O,O)
f ( x , y ) no existe.
sen yz, D 2 f ( x ,y , z ) = x2z cos yz, cos yz,
= X2Y
1
~ , f ( x , y , z ) = - ( - 2 x sen y z + 2 x 2 z cos y z + x 2 y cos y z ) .
4
6. Dlf(0,
o) = O,
D Z f ( 0 , O)
= O.
7. -
1 (O, 1, 6), f i .
m
10. ~ ( x , . Y=) y + x y + i x 2 y - + y 3 + R 3 . 11. y = 3. 12. z = x. 13. f(8, 4) = - 11 mín. 15. a) 8i = 8 , 8 ,= {(O, O)} U {(X, y ) I x2+y2 = 161, 8, = {(x, y ) I x 2 + y 2 > 161, 2 = {(X, y ) I xZ+y2< 16}, ningún punto aislado; c) bi = 8, 8, = {(x,y , z ) I z = x2+y21 Q, = { ( x ,y, z ) 1 z < x2 + y 2 } , 8 = {(x,y , z ) I z x2 + y 2 } , ningún punto aislado. Páginas 253-254 2. a) (2, 3, 2);
c) (sen 6, tan
3).
Páginas 260-261-262
8
-2 Páginas 267-268
1. u) D f ( x , y , z ) =
(i T) df
((X,
+
y , z ) ; (dx, d y , d z ) ) = (z dx + X d z , d y d z ) ;
763
Respuestas a problemas escogidos
X
df((x, y , z); (dx,'dy, d z ) ) =
2dy, z2dx+2xzdz
Páginas 277-278-279
aZ aZ ax az ax ayaz az +" au ax au ay au' a. at 2 3 at
1"="
a az ax a Z 2 ="+" ay ao ' aw ax aw ay
ax av
3
at aw
3
3. - = 3u w sent?, - = u w coso,
au
ay
+"
"="
3
ay aw
2
- = 3u w senv.
av
+
5. D , F(r, 8, z ) = cos OD, f ( r cos 8, r sen 8, z) sen 8 D 2 f ( r cos 8, r sen 8, z) D , F(r, 8, z ) = -r sen OD, f ( r cos 8, r sen 8, z) r cos 8 D 2 f ( r cos 8, r D,F(r, 8, z ) = D, f ( r cos 8, r sen 8, z). sen O, z)
6.
D , F(u, U)
U)
=
2~
COS' U ,
D2 F(u, U)
=
+
O.
au 4 x ~ u 2 u + ~ z v 2 + 3 z au - ~ Y * ~ - X Z 2V- Z 2 U 13. - = ax y z 2 -4x2yuv ' ay yZ2-4x2yu~ au - 2 x u 2 - z u aU 2x2yuu2-6x2u-~xyzu2-yz2v -aZ z 2 - 4 x 2 u v ' ax xyz2 -4x3 yuv av - 2 x 3 u v 2 + 2 x 2 z u 2 - ~ y 2 z av - 2 x 2 y u 2 - x y z v "
"
"
x y z 2 -4x3yuu
ay
'
aZ
"
xyz2-4x3yuv
Páginas 286-287
5. a) x = b cos u cos u, y = b cos u sen u, z = a sen u, U E [ O , 2 n ] , U€[O,
c) x
2n], a >b;
= pu2 cos u, y = pv2 sen u, z = 2pv,
Páginas 292-293 1. a) F(0, o, k c ) =
c2
;
U E [ O , 2n],U E R .
764
Respuestas a problemas escogidos
3. Cubo de lado 2 a .
Páginas 301-302-303 1.
a)
371 2
-:
c) O;
3. a) O, -2.
e)
l1 1o7 0s8 ;
4. a) Sí;
g) -
c) no.
w . 2.
?I2 63; c) 3- 1. 8
a)
6. a) 2 n ;
5. 471'.
c) O.
Página 307
k
1. a) U(x) = - -; e ) (O, 3, -2). 1x1 3. a) U(x) = +mklx12 ; c) esfera con centro en el origen ; e ) (O, O, fJ j ) . 1 4. a) NO; C) O. 5. (6, 4, - 17).
-
m
1. 2.
a)
a)
(
Páginas 308-309 -sen2
o
-2sen2
O 2); 1
b)
( -+
-10
-46) .
Dlf(x, y, z) =
Y
, D , , , f ( x , y , z) 2 x 2 zx x sec2 - tan
=
+ 2xz
sec 2 -xt a n -x Y Y
-
2 -sec Y2
2x Y
Y
765
Respuestas a problemas escogidos
)
(
D2,3f(x, y , z) = D 3 , 2 f ( x , y , z) = - - sec -, x ; ;2 2 Yx b) D , f ( x , y )
3.
= D 2 f ( x , y= ) (+(x+y)”/’, ex+”)D , , , f ( x ,y) = ~ , , , f ( x , y=) D i , l f ( x , y ) = ~ , , , f ( x , y = ) (-$(~+y)-~’~,e~+~). X U ~ + Y ~ V au 2xyv-4y2u-xyv
au - = ax
-
av
+ y 3 ) ’ ay
yu2 -xuD
--
ax
+
-
”
2 ( x 2u
’
x 2 ~ + y 3
(i, +?,
av
-
-
”
ay
2(x2u y3)
3
4xyu2+x2uv+2y3v x2yu+y4
4. b - l ) D l f ( x y - ~ , X ~ + ~ ) + ~ X D Z ~ ( Xx 2Y +- yX) ., 7.
-
d)
k
-.
J58’
( - 2 1. 1 +
2
e) a k l n s ; f ) (O, +1,0).
Página 321 1. u) 6;
c) 12.
Páginas 340-341 4.
a)
0.00025. Página 347
Página 352
Página 357
6 . 4 ~ + ~ += 4O.
766
Respuestas a
problemas escogidos
Páginas 363-364-365
1.
a) ) ( a ,a ) ;
11. I, =
c)
I
+
6(a2 b 2 )
(
3
O, - ; e )
(3, E).
[2a2w3h+2b2wh3+
Páginas 368-369 1.
a)
&
; e ) 271.
3. 7112. Páginas 372-373
Páginas 375-376
Páginas 381-382
a)
y-; c) $ ( n - 2 ) ;
e ) +abc; g ) &abc2
Páginas 385-386
l.
a)
+ nabc,
5. 127r.
Páginas 390-391
3. Iyz= &na3 be, I=, = &nab3 c, I,? = & z u ~ c ~ . 7. .+a3, 9. i n a b c .
767
Respuestas a problemas escogidos
Páginas 393-394 44+ 1271
Páginas 403-404
Páginas 425-426 1. a) [abc]; [abcl
') 60a3b, c3
[(zo
+ a3+ b3+ c3)5 -(zo + a3+ b315-
(zo+a3+~3)5-(~O+b3+~3)5+(~O+a3)5+(~O+b~)5+ (zo+C3)-zo51-
45 522 3. -. 35
Páginas 441-442-443 1. +. 3. 9. 6. b) $za'senh 2.
4. a) la,b,-a,b,l; c) 11. 7. c) 871a3; e ) Y z a ' .
5. c)
4.
Páginas 447-448 1. a) $ n u Z ; c) 1 2 n - 9 f i ; 2. a) ( 5 a / 6 , O);
3.
a)
9. a)
e ) &-+x;
c) 2471-33@, O); (48,/3- 16n
3a4z/128; c) a4(3n+8)/96. 71 -(3a-h)h2. 3
g ) &nu2.
e ) (+x,471); 5. z/2.
7.
g ) (+nu, O).
w.
768
Respuestas a problemas escogldos
Página 449 1. - : ~ ( 2 - & ) .
3.
fxz
= fJz =
-
5. $ n u L h .
,4s71(16-0,,!3).
Páginas 456-457
Páginas 461-462 1. u ) 2 ;
4.
a)
o;
o;
c) c)
E)
o;
o: e ) o.
,q)
o.
2.
a)
10. u ) 1 ;
1;
c)
c) o ;
o.
e ) O.
Páginas 466-467
Páginas 469-470
Páginas 475-476 1. u) - 2 , 2 ;
e ) -",
02.
lím c) - S,, = O, I í m S,, = -
11. l i m
J,,
"
=
u, l i m
S,,
=
2
h.
Páginas 480-481
3.
a)
mix.
=
8, m í n .
=
-8;
e) m i x . = 5, m i n . = - 3 .
c.)
mix.
= I$,
mín. = O ;
Páginas 487-488 1.
a ) [ -1,
I];
e) (-m, m);
e ) (-m..x).11.
si, 110.
769
Respuestas a problemas escogidos
13. f , ( x )
= X, g,(x)
=X
+ n1
-
Páginas 488-489 1. Converge para Ir1 < I , diverge para Ir1b I . a) c ) - m : e ) O.
S;
2.
Página 496 1. a) Converge a S; e ) diverge; 2. a) Diverge 9. No.
e) converge a
3.
Páginas 506-507
I
1. a) Diverge; c) diverge; e ) converge. 4. a) Converge; c) converge: e ) converge. 6. a) Diverge; e ) diverge; e ) diverge; g) diverge; i) converge; k ) diverge; m ) converge.
Página 512 1. a) n c) n
X(+)'));
= 14 (comparando con = IO (comparando con
e) n = 15;
g ) n = 32.
Páginas 516-517 1.
U)
3. u) I ;
0.27; c) 0.692307.
c)
6%.
Páginas 520-521 1. a) [ - l , l } ;
I};
c) {-1,
e ) (-cx),O);
Páginas 529-530 XL
1. a) I+O"+00; 2 e ) 1 -(x- I )
c)
+ (x-
XL
1+0+-+0; 2
1)' - (x-
g)
{-m,a).
770
Respuestas a escogidos problemas
3.
i(x-l)h
k
k= 1
5.
x
o x k , convergea
solamentepara x
J(X>
= O.
k=O
Páginas 536-537
Páginas 542-543 1.
a) ,y+'y3+
2. u ) I +
c) 1 + x " x 3 - ~ x 4 .
,30"u'++-fx';
i3 -a,
(-
k= I
1 ) k p
'
,YZk.
(2k)!
4. u ) 1 +)x2+$@
4
61
f n X
6
~
Páginas 543-544 I . U) Converge;
h) converge; 3. [-2, 4).
2. 1.20.
c ) diverge; d ) diverge.
Páginas 552-553 1. a) + :
2.
a)
~
1:
c ) (4-n)/32; e ) diverge: g) ni4; L.) 2. 3 . a) 1 ; c ) 2 .
i ) 2,:3n/9;
k) n/2.
Paginas 561-562-563 1. a) Diverge:
L.) converge; e ) diverge causa a del comportamiento en x 3 . a ) Converge; L.) converge. 5. a) Converge: c ) converge.
=
-2;
g) converge
Respuestas a problemas escogidos
c) converge. 8. a) Converge; c) converge.
7. a) Converge;
9. 3a2n/4.
Páginas 565-566-567
Páginas 574-575-576
Página 580 1. a) Comparando con tómese b > E - ' ; c ) comparando con x - ~ /tómese ~ , b>4C2; e ) comparando con x - 3 , tómese b > ( 2 ~ ) " ' ~ ; y) comparando con e - x , tómese h > máx { 1, -In 2. a) Comparando con x-'/*, tómese b' < & c 2 ; c) comparando con x - L / 2 , tómese d < $E'. 3. a ) b = nn > (n/t:)'I2; c) b = nn > en/'.
E}.
Páginas 581-582-583 1. a) Diverge; 6) f ; c) f ; d ) f arccos 2 / 5 ; e) nl(2ab); ,f>2. 2. n. 3. 8 j 2 . 6. a) Converge; h ) converge; c ) diverge; d ) converge; e ) diverge (Sugerencia: véase problema 2, pág. 561); f ) converge.
7.
a)
d)
-2y
J*;
j;
sen(xy2)dx; b) -
1' 3
cos(x-y)dx;
[-y(y-X)4-4(y-x)3]e-XYdy+2xe-x3(x2-x~4.
772
problemas Respuestas a
8. -y-'+y-*
cos y 2 + sen y 2 .
escogidos
Páginas 593-594 1.
a) I
2.
a)
3.
+ sen + c ;
c) c
In x ; c> 10 +
j:
+
j: e
eCS2ds.
dt.
t
c) ningunasolución.
a) x + c ;
5. a) ceZx; e) $ e X + c e - 3 x ; e) ce-"++(senx-cosx);
g) 101+3e-31-2. 7. a) 1 6 t 2 + 2 8 t + 19; c) 2r-sen 9. a) J x G ; c) J1 - x z . 11. a) Solamente si a = O ; c) no
1.
Páginas 598-599-600-601 1. ~ e - ~ ' . 3. c e - h f . 7. ce-br +
9. - x l n Ixl+cx. 15. eft'
5. ~ e - ~ ~ + + e ~ '
1 ear a+b e-+"'ds.
11.
13. 1 - e (
StZ.
17. e-*'* [2
+
jI
1 -- f 2 ) / 2 .
ets2d i ] .
19. x([) = c I e ' , y ( { ) = (c2 + c , t)e'. 21. x(?) = (c, +c2f)eA1",y ( [ ) = c2eA1'. 23. 202.6 mín. 25. Torio B 93.67%, Torio C 4.56%. 27. 24.5 min. 29. $e-*.'[
ji
etl'dt+cI2.
31. u ) 115.5;
Páginas 606-607
Páginas 616-617-618 I.
a) x , ( ? )=
x2(t) =
c2e2';
c) 136.
Respuestas a problemas escogidos
2.
a)
1, = 2, 1,
c) 4 , 1,
VI
= -3,
v =
(:) ,
v2 =
=(;), " q ) ;
773
C):
e ) Io es un valor característico doble y todos los vectores característicos
son de la forma
(p,i, \
g ) Al = I ,
4.
R,
=
-b,
I
VI
yo # O;
=('Teb), v2
I(;).
a) x,(T) = c,er+3c,e2'', x z ( t ) =
c2e2'; e) x ( t ) = e2'[c1 cos 2t+c, sen 2 r ] , y ( [ ) = e2'[(-cl - 2 c 2 ) cos 2 t + (2c1- e 2 ) sen 2 t ] ; e ) x ( t ) = ( 2 c , t + c 1 ) e 3 ' , y ( t ) = c 2 e 3 ' ; g) x ( t ) = cos Jir+J;i sen J 2 t , y ( t ) = JZ sen J Z r ; i) x([) = [xo+(yo+axo)te-", y ( t ) = [ ~ o - ( y o + a x o ) a r ] e - " ' ; k ) x(t) = te-,', y ( t ) = + t 2 e - , ' .
5. b) x ( c / ~=)
bM
-, Y(C0) = ->. a+b
u+b
e) contiene el punto (x(m),y ( c o ) ) . 7. a) x([) = el e"+c3e2', y ( t ) = cZe"+c3e2', -(e1 + C 2 ) e " + c 3 e 2 r .
Páginas 622-623-624
Páginas 630-631
z(t) =
774
Respuestas a problemas escogidos
Páginas 634-635-636-637
e) x. cos ct
1 + -2,
sen c t
C
+
~
I +c2
C
Páginas 642-643 1. a) x([) = y ( t ) - y ( t - 1 ) donde y ( t ) = O para t < O y y ( t ) = I +&(e"or100e"l'O) para o< t , i ( t ) = j ( t ) - j ( t - 1)
1
donde j ( t ) = O para t < O y j ( t ) = -(e""u-e"or) 9.9
2.
U)
x ( t ) = y ( t ) - y ( / - + ) donde y(O) = O para t < O y
;- d e - ' +
para 0 < f .
2 L u- e - 5 r para O < t . O para / < O y x ( t ) = &K(9e-4'-4e-6r+ 12t-5)parao < t ; c ) X([) = y ( t ) - 2 y ( t -I ) + y ( t - 2 ) donde y ( [ ) es la respuesta del problema 3 a . 7. a ) x([) = &(S cos 3 t + 12 sen 3t), y ( [ ) = &(-2Ocos 3 t + 4 8 sen 3 r ) ; e ) x([) = :(cos 2 t - 2 sen 2 t ) - ~ f , sen 3t, y(/) = ~cos2/t,'~(-3cos3/+sen3t); e ) -(i 6s cos t + 7 sen t ) + j&3-(6 cos 3 t - 7 sen 3 t ) .
y(f)
3.
a)
x(0)
=
Páginas 653-654 1. a) Punto de ensilladura;
e ) nodoestable; e ) foco inestable; g ) foco estable.
4. u )
1 ~
w4-44w2+625
[(25 - w 2 ) cos wt + 3w sen w t ] ;
;(cos t + sen t ) = - . ~ ( t ) . para m = O ; e ) 1 0 3 [ ~ 0 2 + 1 0 8 ( 1 6 - ~ 0 2 ) 2z] ~$ 'x~ IO3 Z para LO^ = 5 X 10"52[64X 108-23]1'2 z 4.
e)
5. a)
x(!) =
775
Respuestas a problemas escogidos
Piginas 665-666-667 2. a) u > -3.
3. a) [ 9 1 ’ ~ 1 0 ~ + 2 2 5 ] - ~ ~ ’ [ 9 1 x l O ~ c o s 3 t + 1 5 s e n 3 t ] ; c) a[(36-to2)’+ 162w2]-1 [(36-w2)cos ut+16u sen w r ] ; e)
4.
32 COS 101 +
’
”
640,000.81
10.22.5 cos 30 t + 200 sen 30 t ] ;
9) [~’(wZ-14)2+(S-7w2)2]~1x[o(w2-14)cosut+(S-7u’)seno3?].
5. a)
(~~+c~r)e-’~-~(4cos3t-3sen3r)e“; n I 0 ) ’ + 9 ~ ’ ] - ~[3w sen w t - ( w 2 + 1 0 ) x c o s w t ] . 2.32 x I O - ’ E ; c ) I O - S E .
7. E’
=
a)
c) ~ ~ e ” ‘ + c , e ~ ’ + u [ ( w ’ +
1
-
4a
, tómese
c(
tan grande como sea posible.
Páginas 674-675 1. a ) x 2 + x y + y z = c ;
3. 5.
e) +x’
- 4‘ X
- c;
e ) x 3 y 2 + 3 x sen y = c; g) y = c + J n . a) x + y = cy2 ; c) ex(xy’+y4) = c. = c 2 ; e ) x 2 + y 2 - In x’ a) xy = c , ; c) x 2 + ( y - c ) ’ Páginas 682-683
I. a) + ; c) O. 2. U ) 1 ; c) I . 3. 4. a) - & ; c) +. S. a) I ; c) O . 10. a) - x 3 y 2 + 3 x y 2 ; c) noconservativo.
-t.
9. 0.
Páginas 699-700-701 7. 1.90. Páginas 706-707
= c.
Respuestas a problemas escogidos
776
Páginas 715-716 t4 + t3 + + ."
1. n + t 4.
-
3!
4!
a) y(x) = - 2 + 3 ( x - I)+-&(x- 1)2+&(x- 1 ) 3 + ... ; c) x ( t ) = t + + t 2 + 3 t 3 + ...) y ( t ) = 1 + l - + t 3 ...; e) x ( t ) = 2 + 3 t + + t 2 + 3 t 3 + ..., y ( t ) = 2 + 6 t + 9 t 2 + 9 t 3 +
5. a) I - 2 k + x .
Página 719 2.
U) X,
C)
5.
=
1, 1.1, 1.245, 1.427, 1.649, 1.915;
y, = 0, 0.1,0.222,0.362, 0.521,0.702;
e) x, = 1, 1.4, 1.88, 2.18, 2.22, 2.22, y , = 2, 1.8, 1.37, 0.82, 0.48, 0.32. U ) X, = O, 0.1,0.199,0.285,0.380,0.470,0.556,0.636,0.710,0.777,0.836; C) y , = 0, 0.1, 0.222, 0.363, 0.523, 0.705.
Páginas 734-735-736-131 2
9 . a) 5 + 4 3
" (-I)"cosnx, n2
n= 1 W
3+ n=l
~
(-
z 4 " 1 e) - - - 1 2 n n = l (2n-1)'
11. u )
c"
2
t-7 71
4
-
71 n = l
n=l
1 (2n-I)
sennx ~
2n-1
1
;
cos(2n-])x;
~
S)
',In2 (cos nzx - nn: sen nzx)
l+n z
2
x cos (2n- 1)x -
, 1 ; c) sen x,
- -
-
1
-
" (-1)" sen nzx n
77 n = l
cos nx
,
2
Páginas 746-147 4. 5.
$e(-3+105x 1295x3), E,' = -90e2+1331 -4921e-' = 0; s 3 ( x ) = : n + 2 ( 3 - z ) ~ ( 3 ~ ~ - 1 ) ,E,' = - 2 2 + 9 n - ~ l t 2 = 0 . 0 0 1 2.01, 1.575, 1.335, 1.179; e ) 1.439, 0.706,0.434,0.300.
a) s3(x) = C)
a)
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Absoluta,convergencia,499,559 Acumulación,puntode,101 de una famila de conjuntos, 408 Adicióndevectores,16,36,738 Algebra booleana, 497 Alternantes, criterio para series, 505, 51 I Amplitud,657 Analítica,función,529 Angular,velocidad,157 Anillobooleano,406 deconjuntos,406 AproximacióndeFourier,741 Area, de regiones planas, 357 deunconjunto,331 interior,331 exterior,331 de un intervalo en Rs,312 propiedadesfundamentalesdel.333 Aientimiento,657 Base, de un espacio vectorial, 80 Bernoulli,Daniel,725 Bessel,desigualdadde,736(prob.13), 741
funció;de,566(prob. 6) modificada,575(probs.6,7) Beta,función,582(prob.4) Binormal,vector,146 Cadena,regladela,126,191,193,268 para funciones de conjunto, 436 Cambio de variable, en integrales dobles, 440 en integrales triples: transformación de clase, U , 436 transformaciónlineal,423 Campo, 37 Cauchy,Agustín,701 sucesiónde,489(prob. 8) Característico,polinomio,609 valor,609 vector,609 Carbono-14, determinación de fechas medianteel,599(prob.24) Cardioide,128(prob.lo),142(prob.9), 153(prob. 5) Cayley,Arturo,41ysiguientes Centro, 647 Centroide,362,388 Cerradaortonormal, sucesión,741 Cicloide, 113, 122 (prob. 6), 141 (prob. 3) Cilindro.284 circularrecto,87 elíptico,286 CisoidedeDiodes,563(prob.9) Clase 0 , 215,265 Coeficientes de Fourier, 726, 727, 742 Comparación,criteriode,paraintegra-
lesimpropias, 555 para series,497,499 Complementodeunconjunto,164 Completa,ortonormal,sucesión,741 Componente,32 función,99,250 normaldelaaceleración,154 radial,128(prob.6),148(prob. 51, 157 tangencia1 de la aceleración, 154 transversaldelavelocidad,157 Composicióndefunciones,125 derivadade, (vCase, Regla ,de lacadena) de R a R a Rn, 125 de R a Rn a R, 193 de Rn a R a R, 172 de R n a K”L a RIJ, 268 Condicional,convergencia,499,559 Conjunto(s)abierto,165 anillode,406 arcoconectable,300 cerrado, 165 cerradura de un,166 complementodeun,164 conexo, I 87 convexo,195(prob. 8). 201 (prob. Il), 679 diferenciade,335,406 exteriordeun,164 familiade,406 frontera deun,164 interior de un, 164 intersecciónde,48 puntoaisladode un, 247 (prob.14) relativamenteabierto,187 subconjunto, 48 vacío,49 uniónde, 49 Cono,284,286 Conservatorio, campo de fuerza, 304, 67 8 Constante,función,171 Constricción,142,288 Contenido,395, 399 de un intervalo,395 exterior, 398 interior, 398 Continuidad, en un punto, 108, 185, 252, 264 atrozos,635(prob.3) sobreunconjunto,109,186,253 uniforme,477 Contracción,funciónde,697,699 Convergencia, absoluta, 499, 559 condicional,499,559 intervalode,531 uniforme,482, 518, 568 781
.
...
782
indice analítico
deunaintegral,568 deunaserie,517 de una sucesión,482 Convolución,636(prob. S) Coordenadas,cartesianas.20 cilíndricas, 85 elípticas,442(prob. 6) esféricas,86,448 S) parabólicas,441(prob. polares, 443 rectangulares,20 Crítico,punto,236 Curva(s),cerrada,299 denivel,167 d i f e r e n c i a l m e n t e equivalentes, 683 (prob. 1 I ) integral,685 lisa, 143 lisaatrozos,296,676 longituddeuna,137,139,142(prob. 10) ortogonales.familiade,674(prob. punteada,110 rectificable, 137 trayectoria, 11 1 Curvatura. 150 centrode, 150 círculode,IS0 fórmulapara la, 1.51. 152(probs. 2),153(prob.4) radiode,IS0 Cúspide, 120
Distancia,deunpunto a unplano, en Kt<. 45 en Rn, 102 entre dos conjuntos, 4 11 entre un punto y unconjunto,410
77
Ecuacióndeonda,278(prob. 8, 9) Ecuaciónlineal,70 Ecuación(nes)diferencial(es),586 autónomas,707(prob.3, 6) deBernoulli,600(proh. 29) deBessel,S67(prob.6),S03 modificada,S75(prob.6,7) deexistencia y unicidad,teoremade, 701, 591, 596,614,620 deHermite,725(prob.12) deLaplace,278(prob. 71, 587,589 (prob. 12) deLegendre,720 deMathieu. S88 deprimerorden,673 4) de primer orden lineales, S94 existencia y unicidad,teoremade, 596 desegundo ordenlineales,619 devander Pol, 588,693(prob.2) exactas,667 existencia y unicidad, teorema de, 620 1, integral de una, 684 logística,600(prob.30) separable,670 sistemas lineales bidimensionales de, 607 Decaimiento,constantede,S97 solucióndeestadoestable,653 radiactivo, S97 solución en serie de, 7 10 Dependencialineal,63,739 por coeficientes indeterminados, 712 Derivada,deunafuncióndeconjunto, porseriedeTaylor, 71 1 409 soluciónmatricialprincipal,627 de una funciónde R en R", 115 soluciónnuméricade.716 de unafunciónde R'l en R , 189 método de Adam, 7 17 de una función de Rlz en R T p l262 , soluciónperiódica,648 direccional,196 solucionesprincipales,618(prob. 8), . parcial. 201 627 Derivadasparciales,igualdadde,215 solucióntransitoria,652 Desigualdad. deBessel,736(prob. 13). Ejesparalelos,teoremade los. 363 Elipse, 100 (prob.3),146(prob. 741 I ) , 153 deSchwarz.34. 2S9. 736(prob. 12). (prob. 3) 739 Elipsoide,284 Elíptica,integral,deprimeraclase, S67 deltrisngulo,26,35,259 Determinante, S6 (prob. IO), 693 desegundaclase,142(prob.8) jacobiano,274,427 Energía,cinética,304 Dlfcrenciaci6nimplícita,234 la, 304 leydeconservaciónde Diferencial, de una función de R en Enfriamiento,leydeNewtondel,S99 KlI, 1 2 q , (prob.26) deunafunclonde K" en R , 189 Ensilladura. punto de, 238, 646 de una funcicin de K" en K ~ ~ 262 l, Entrada, 638 exacta,300 Epicicloide.160(proh. 2) Difercnclales, ecuaciones ( , ~ ~ ; ~ . Ecuaciosr Equilibrioestable,305 ncs diferenciales) Equipotencial.superficie,305 Diferenciales,formas,668,675 Error cuadr-áticomedio.raízdel,743 Direccional,derivada,196 Error,funciónde, S97 Direccionales,Bngdós,52 Esfera. 88 cosenos,52 Espiral de Arquímedes. 43 (prob. 12). números, 5T
783
analitico
indice
153(prob. 5) Espacio fase, 684 Espacion-dimensional,89 Espaciotridimensional,45 Espaciovectorialcomplejo,738 n-dimensional,16 Estadodeequilibrio,686 Euclidiana,normamatricial,259 Euclidiano, espaclo, tridimensional, 45 mdimensional,89 Exacta,diferencial,299 Exponencial,función,601,708 matriz, 627 Exteriordeunconjunto,164 Exterior, punto, 164 Extremo,valor,236 Factordeintegración,596,669 Familia de conjuntos,406 Fase, 657 Foco,estable,648 inestable, 648 Fórmula de Taylor, 220 residuoenla,220 FórmulasdeFrenet,153 1 Fourier,aproximaciónde,74 coeficientesde,726,727,742 Jean Baptiste,726 seriesde,728 Frecuencianatural,656 Frenajecrítico,660 Frenet,fórmulasde,153 Frontera,deunconjunto,164 punto,164 Fuerzacentral,159(prob.4), 48 Función(nes)analíticas(s),529 beta,[email protected]) característica,331 circulares,707 componente,99,250 constante,171 de Bessel,566 (prob. 6), 587 de Bessel modificada, 575 (probs. 6, 7) deconjunto,405 derivada de una,409 finitamenteaditiva, 407 monótona,408 teoremas fundamentales para las, 411, 416 depunto,406 deRa Rn, 98 continuidadde,108 operacionessobre,104 de Rn a R, 167 continuidadde,185 diferenciable,189 operacionessobre,171 de R 7 ~a RnL, 250 continuidad de, 253 diferenciable,262 operacionessobre,251 designo,593 (prob.3) definiciónde, 98 diferenciable, 192,262
elíptica,142@rob. S), 567(prob. IO), 693 error, 597 exponencial,601,708 gamma,570,576(prob.10) gráfica deuna,169 homogénea de grado k , 683(prob.12) integrable,337,379,399 lisaatrozos,729 matricial,260 continuidaddeuna,264 norma,544(prob.6),698,742 Y siguientes potencial;304,678 proyecclon, 17 1 seriesde,517 sucesionesde,482 univalente(uno-uno),423 vectorial,98,249 Fundamental delcálculo,teorema,para funcionesdeconjunto primer, 41 1 segundo, 4 16 para funciones de R en Rn primer,I32 segundo,133 para integralescurvilíneas,297 Fundamental,teorema paraintegralesdobles,247 para integralestriples,382 Gamma,función,570,576 (prob. 10) Gauss-Jordan,reducciónde, 82 Geométricas,series,494 Gibbs,JosianWillard,41 Gradiente, 207 Gráfica de unafunción, 168 Grassman,HermannGunther, 41 Hamilton, William Rowan, 41 Heaviside,Oliver,41 Hélice cilíndrica, 112, 118, 127 (prob. 5). 153@rob. 3) Hélicecónica,114,(prob. 3), 121(prob. 3), 142(prob. S), [email protected]), 153(probs.3, 10) Hermite,polinomiosde,[email protected]) Hipérbola,99,146(prob.1) Hiperboloide,285 Hipocicloide,114(prob. 4), 161(probs. 4, 5) HojadeDescartes,403(prob. 1) Igualdad de vectores,16, 36 Impedancia,663 Implícita,diferenciación,234 Implícita,teoremadelafunción,229, 233,701(prob.12) Independencialineal,63,739 Inercia,momentode,356,388 momentopolarde,361 productode,365(prob.10) Integración, cambio en el orden de, 374 Integral(es)curvilínea,293,675 independiente de la trayectoria, 298
784
analítico
lndice
teoremasfundamentales,298 deenergía,686 dependientedeunparámetro,563 doble,318 propiedadesbásicas,322 impropias, 546 condicionalmente convergentes, 5 1 1 convergenciaabsoluta,559 convergenciauniforme,568 deprimeraclase,546 desegundaclase,547 diferenciacióndelas,573 integraciónde las, 571 criteriodecomparación,555 criterio de la potencia, 557, 561 (prob. 2) criterio de laraíz,562(prob.6) truncación,errorde,577 Weierstrass, criterio M de, 569 inferior,316,377,396 iterada,346,380 múltiple, 397 sobre conjuntos acotados en R2, 328 propiedadesbásicasde, 341 superior,318,377,396 triple,376 propiedadesbásicasde,378 Interior de unconjunto,164 Interior,punto,164 Intermedio,teoremadelvalor,187,253 Interseccióndeconjuntos, 48 Intervaloen R’, 312 Intervaloen R”, 376 Intervaloen R7’. 395 Jacobiana.matriz,263 Jacobian0(determinante),274,427 Kepler,segunda Kronecker,delta,
ley de,160(prob.4) 261 (prob. 3 )
Lagrange,identidadde.722 José Luis,288 multiplicadores de, 288 Legendre,Adrien,720 polinomiosde,722 fórmula de Rodrigues, 724 (prob. 6) función generadora de los, 724 (prob.4) Ixibniz,reglade, 565 L’Hospital.reglade, 128 (prob. 11) Límitede una función de R a R“. 101 a la derecha, 107 (prob. 4) a la izquierda, 107 (prob. 4) de R ” a R, 174 iterado,181 restringido,179 ade R”I,251 matrlcial.260 Límitedeunafuncióndeconjunto,409 6)(prob. Paraboloide 309 uniforme, elíptico, 285, 409 Límitedeuna sucesión,453 Lipschitz,condiciónde,703
Lipschitz, R., 701 Longituddeunacurva,137 fórmulapara la, 139,142(prob.10) Longitudde un vector, 26 Matriz(ces),56,254 adiciónde,255 autoadjunta,617(prob. 3) exponente,627 identidad,261(prob. 3), 267(prob. jacohiana,263 límite de,260 multiplicaciónde,256 multiplicaciónporunnúmero,256 nosingular,625 norma, 258 euclidiana,259 MBximo relativo,236 Mecánica,154,303 Mínimorelativo,236 Momento,angular,158 de inercia (segundo), 356, 361, 388 de momentos, 157 de una fuerza, 158 Momento(Cont.) lineal, 155 polar, 361 primer,356,388 Monótona,funcióndeconjunto,408
3)
Newton, ley de enfriamiento de, 599 (mob. 26) método de, 7ÓO (prob. 6) segundaleydelmovimiento,155 Nivel,superficiede,170 Nodo,estable,645,648 inestable,646,648 Norma deunapartición,313, 376, 396 Norma. función, 544 (prob. 6), 698, 773 ysiguientes matricial,258 euclidiana,259 8), 739 vectorial.262(prob. principal,144 Ortogonal, proyección, 32 Ortogonales,vectores,27,739 Ortonormal,sucesión.740 cerrada,742 completa, 741 Oscilaciones.amortiguadas,658 derelajación,693(prob.2) forzadas,648. 661 libres.657 lineales.655 Osculador. plano, 146 Pappus,teoremade,372 Par.momentodeun,159(prob.3) Parábola,I22(prob. 9). 146 153 (prob. 3) Paraboloidehiperbólico,285 Paralelismo,deplanos,73,92
(prob. 1)
lndiceanalitico derecta y plano, 76 derectas, 49 de vectores. 24 Partición, 136, 3 13, 376, 396 normadeuna. 313,376.396 refinamientodeuna. 137. 316 Péndulo, 684 Perindn. ~ . . ._ , 648 Picard, E., 701 Planofase, 666 (prob. !) Plano(s), ángulo entre. 75 ecucióndel, 69 en R3,45 ecuación paramétrica del. 45, 90 intersecciónde, 74 k-dimensional, 89 osculador, 146 paralelismode. 73,92 tangente, 223,281 Polares,coordenadas, 443 Productoescalar, 31, 738 triple, 59 Productopunto, 29 Productovectorial, 54 Proyeccicinortogonal, 32 Punto,aislado, 247 (prob. 14) crítico, 236 deacumulación, 101 fijo, 696 teoremadel, 697, 699 interior, 164 limite, 470,473 ~
~
Radiocarbono- 14. determinaciónde la edadmedianteel, 599 (prob. 24) Rapidez, :2 1 Recta(s) ángulo entre, 5 1 en R S , 45 ecuacionesparamétricasde, 45 paralelismode, 49 tangente, I 17 Refinamiento (de una particicin), 137, 316 Región en R'. 352 área de una, 357 en R3. 384 volumendeuna, 386 RegladeCramer, X2 RegladeL'Hospital, 128 (prob. 11) Residuo,en la f6rmula de Taylor, 220 Resonancia, 630, 653 Respuesta, 641 Salida, 638 Schwarz, desigualdad de, 34, 259, 736 (prob. 12), 739 SeriedeFourier, 72X SeriedeTaylor, 526, 7 I I Serie(sj, 493 alternante,criteriopara las, 505, 5 1 1 binomial, 528 criteriodecomparaci6n. 497 forma límite, 498
-
785
criteriodelaintegral, 503 criteriodelaraíz, 501 criteriodelarazón, 499 criteriodelk-ésimotérmino, 497 convergencia, 493 absoluta, 499 condicional, 499 uniforme, 578 defunciones, 517 depotencias, 517 diferenciaciónde, 534 integraciónde, 533 intervalodeconvergencia, 531 multiplicaciónde, 538 diferenciaciónde, 523 errordetruncación, 509 geométricas, 494 integraciónde, 521 reordenación de, 51 3 sumade, 493 sumasparciales, 493 término deuna, 493 Weierstrass,criterio M de, 569 Serpentina, 404 (prob. 4) Sistemaestacionario, 639 Solucióndeestadoestable, 657 Subarmónica, 650 Subconjunto. 48 Subsucesión, 455 Sucesión(es). 452 convergenciade. 453,457 uniforme, 482 deCauchy, 489 (proh. 8) defunciones, 482 diferenciacibnde, 487 divergenciade, 453,463 integraciónde. 484 límitede, 453 límite inferior, 473 límite superior, 473 moncitona, 467 no creciente, 467 n o decrecienle, 467 ortonormal, 740 cerrada, 742 completa, 74 I punto límitede una, 470 s u h s u c e s i h , 455 cl-iteriode la razOn, 459 Suma ~nferior,314,377, 396 Sumasuperior, 314,377, 396 Sumas parciales, 493 Superficie. 279 de nivel. 170 equipotencial. 305 lisa, 305 Superposicicin,principio de, 637
Taylor, fcirmulade, 220 residuoenla, 220 serie de, 526, 71 I teoremade. 217,219 Tietze,teoremadeextensiónde, Toro. 286
412
7 86
lndice analítico
Torsión, 152 Trabajo,303,, Transformaclonafín,418 Transformaciónlineal, 418,608,638 Transitoria,solución, 652 Triángulo,desigualdaddel, 26. 35,259 Tripleproductoescalar,59 Truncación.errorde, enunaintegral,577 enunaserie,509 Unióndeconjuntos,49 Valor medio, teorema del, 126, 194, 200 Valormedio,fJrmula deCauchy,128 (prob. 1 I) paraintegrales,344 Valorpropio,609 Vecindad, 102 reducida, 102 Vector(es),adicihde. 16, 36. 738 base de, 80 binormal, 146 característico, 609 componentede un. 33 de direccionesopuestas,24 de igual direccibn, 24 i-ésimo componentede un, 7 igualdad de. 16, 36 longitud de,26
multiplicación por unnúmero,16,36 norma.262(prob.8).739 normalaunacurva,144 principal, 144 normalaunplano,68 ortogonales,27,739 paralelismode,24 productoescalarde,29,738 productopuntode, 30 propiedades algebraicas de, 18, 37, 738 propio,609, representaclon geométrica de, 20 sustracción de, 19 tangente, 117, 143 unitario, 28 (prob. 8) Velocidad, 12 I angular, 157 Vidamedia,597 Volumen,379 bajounasuperficie,365,446 de revoluci6n.369 exterior.379 interior. 379 propiedadesdel,379 Weierstrass, criteric M de, para integrales impropias, 569 paraseries, 5 I9 teorema aproximacih de de, 737 (prob. 16)
