FASE 2 DERIVADAS PARCIALES, DERIVADAS DIRECCIONALES, ELEMENTOS DE LÍNEA Y ÁREAS, MÁXIMOS Y MÍNIMOS
FENER MARIN LÓPEZ DAZA CÓDIGO 17.588.908 IVAN DARIO LÓPEZ DAZA CÓDIGO 17.592.377 HELBER GUSTAVO DONCEL CODIGO 1.115.911.933 MIGUEL ANGEL VERGARA
CALCULO MULTIVARIADO GRUPO: 203057_59
DCIRECTOR DE CURSO GUSTAVO SALAZAR CEDEÑO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD OCTUBRE DE 2018
INTRODUCCION
Es difícil describir la derivada de una función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al plano del eje x con z, y aquellas que son paralelas al plano del eje y con z. Para el desarrollo de la presente actividad colaborativa se realizará mediante la participación de todos los integrantes del grupo, aportando la solución a cada uno de los ejercicios seleccionados y de acuerdo a la guía de actividades de la fase 2, la cual nos brinda la adquisición de conocimiento y competencia en las temáticas de Derivadas Parciales, derivadas direccionales, elementos de línea y áreas, máximos y mínimos, de la misma forma estamos fortaleciendo nuestro conocimiento conocimiento interactuando el trabajo en equipo.
A C TIVID A DE S A DE S A R R OL LA R
1.
La ecuación de onda
Si nos paramos en la orilla del mar y tomamos una foto de las ondas, el rango muestra un patrón regular de picos y valles en un instante de tiempo. Vemos el movimiento vertical periódico en el espacio, con respecto a la distancia. Si nos paramos en el agua, podemos sentir como sube y baja el agua con las olas. Vemos el movimiento vertical periódico en el tiempo. En física, esta bella simetría se expresa mediante la ecuación de onda en una dimensión (espacial)
Donde es la altura de la onda, es la variable de distancia, es la variable de tiempo y es la velocidad de propagación de las ondas.
En nuestro ejemplo, es la posición a través de las superficies del océano, aunque en otras aplicaciones podría ser la posición a lo largo de una cuerda vibrante, la distancia en el aire (para ondas sonoras) o la posición en el espacio (ondas de luz). El número varía con el medio y el tipo de onda.
Muestre que todas las funciones de los ítems a – e son soluciones de la ecuación de onda.
, 2 −2 + 53 3 2 2 2 2 a.
donde es una función diferenciable de
es una constante.
b. c.
d. e.
, donde
S olución B , Helber Doncel
Primera derivada
Segunda derivada
2 − 2 2 − 2 2 −2 .2 22 −
22 − 84(2 −)(2 − ) 2(2 −)
S olución C , Fener L ópez
53 3 + Hallamos la primera derivada,
(53 3 +) , ± ′± ′ Tomamos
como constante y aplicamos la regla de la suma/diferencia,
Entonces, =
53 3 +
53 3 . .′ 5 3 3 ∗ , 3 3 Sacamos la constante,
Aplicamos la regla de la cadena,
5 3 3 5(−) ∗ 3 3 3 5(−3 3) ∗3 −153 3 Reemplazamos
Realizamos el mismo procedimiento para
+ Aplicamos la regla de la cadena,
, 1 + ∗ 1 + −153 3 +
+
∗
Reemplazamos
Luego hallamos la segunda derivada,
−153 3+ −153 3+ , ± ′± ′ Tomamos
como constante y aplicamos la regla de la suma/diferencia,
Entonces,
−153 3 + −153 3 . .′ 15 3 3 ∗ , 3 3 15 3 3 3 3 3 15 ∗ 3 3 3 15 3 3 ∗ 3 45 3 3 + ∗ , Sacamos la constante,
Aplicamos la regla de la cadena,
Reemplazamos
Aplicamos la regla de la cadena,
1
Reemplazamos
+ ∗ 1 + −453 3 + S olución E , Iván López
. 2 2 2 2
Aplicando la primera derivada,
2 2 −22 2; Aplicando la segunda derivada,
−22 2 ∗ , − −22 2 − −42 2 , − −42 2 ó ó ó , − −42 2 Resolviendo y aplicando la regla de la cadena, Donde,
2.
Cotas s uperiores para errores en las aprox imaciones lineales
, || , , ≈ , , − 3 5 2,1, : | −2| ≤ 0.1, | −1| ≤ 0.1 , 3 −3 4 2,2, | : | −2| ≤ 0.1, | −2 ≤ 0. 1 , −1 1,2, : | −1| ≤ 0.1, | −2| ≤ 0.1 , 1 0,0, : || ≤ 0.2, || ≤ 0.2 || ≤ 1 || ≤ 1 . , 1,1, : | −1| ≤ 0.2, | −1| ≤ 0.2
Determine la linealización de de la función en . Luego determine una cuota superior para la magnitud del error de la aproximación en el rectángulo .
A.
en
B.
en
C.
en
D.
en
(Use E.
en
S olución B , Helber Doncel
, 3 −3 4 2,2, : | −2| ≤ 0.1, | −2| ≤ 0.1 en
Linealizar (ecuación) L(x,y) = f(x ₀,y ₀ ) + fx(x ₀,y ₀ ) ·(x-x ₀ ) + fy(x ₀,y ₀ )·(y-y ₀ ) función evaluada en el punto: f(2,2) = 0.5(2)² + (2)(2) + 0.25(2)² + 3(2) - 3(2) + 4 = 11 Derivación respecto a x : fx = x + y + 3 ∴ fx(2,2) = 2 + 2 +3 = 7 fy = x + (1/2)· y -3 ∴ fy(2,2) = 2 + 1/2 · 2 - 3 = 0 Linealización: L(x,y) = 11 + 7·(x-2) + 0·(y-2) L(x,y) = 7x -3
Calcular el error: E(x,y) = 1/2 · M · |x-x ₀| · |y-y ₀| Valor máximo (M) con segundas derivadas: fxx = 1 fyy = 1/2 fxy = 1 fyx = 1 M = 1 empleat la ecuación: E(x,y) = 1/2 · 1 · |0.1| · |0.1| E(x,y) = 0.5 % El modulo del error máximo viene dado por el 0.5 %. 3. Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos. A. B. C. D. E.
, − 1 −3 , 5 − −3 − 2 , 1 , 2 −6 6 , − − 10 12 −64
S olución B , Helber Doncel
, 5− −3 − 2 , 5 − − 6 9 − 4 4
Puntos críticos y extremos relativos
Calcular las derivadas parciales de la función: Derivadas de primer orden:
, −2 6 , −2 6
Derivadas de segundo orden:
Derivada cruzada:
, −2 , −2 , 0
Puntos críticos, igualando las derivadas de primer orden a cero:
, −2 6 0 3 , −2 6 0 2
Punto crítico P(5,6) Discriminante:
− −2 −2 .−0 4
El discriminaste es positivo y las derivadas de segundo orden son negativos, por lo tanto: Es un máximo local
S olución C , Fener L ópez
. , 1
Para hallar los extremos relativos, primero hallamos las primeras derivadas parciales.
1 1
Ahora procedemos a buscar los puntos críticos de f.
Hallándose definidas para todo , los puntos críticos son aquellos en que se anulan ambas derivadas parciales primeras.
, 1 , 1 0 1 0 0 1 0 1 0 , , ,, , ≠ 0,0 , 1
Para localizar estos puntos, anulamos ecuaciones de la siguiente manera,
, y resolvemos el sistema de
Las ecuaciones se podrán anular si, y solo si están definidas para todo punto en el plano
son igual a cero. excepto para .
De esta manera, si un valor máximo relativo.
, por lo que
, entonces
0,0 0,0 1
es
S olución D , Mig uel Verg ara
, 2 −6 6 2 −6 6 2 1 −1−6 69 −9 , 1 − 3 − 4
Para este ejercicio lo primero que hacemos es completar los cuadrados:
Como podemos observar, tenemos que en el rango de esta función todos son reales y mayores o iguales a -4, es decir, que en x=-1 y y=3 hay un mínimo local. Si queremos calcular los puntos críticos tenemos que:
2 1 2 2
Ahora igualamos a 0,
0 2 2 0 −1 2 −3 2 −6 0 2 −6 0 3
Despejamos, Ahora:
Ahora igualamos a 0,
Despejamos,
Lo anterior nos indica que tenemos un punto crítico en (-1,3). Ahora si queremos saber la naturaleza del punto crítico realizamos lo siguiente.
2, 2, 0 −1,3 , − 22 −0 4 −1,3 2 −1,3 > 0,−1,3 > 0
Como se pudo observar, tenemos que
Por lo tanto en ese punto hay un mínimo local que es mínimo absoluto.
S olución E , Iván López
, − − 10 12 −64 Desarrollo
A partir de la función
− − 10 12 −64
Agrupamos términos para completar cuadrados:
− 10 − 12 −64 − − 10 − − 12 − 64 − − 10 25 − − 12 36 − 64 25 36 − −5 − −6 − 3
Es un cono circular que se abre bajo el eje Comprobando esto por GeoGebra
Ahora se verifica esto hallando los puntos críticos de la ecuación:
, − − 10 12 −64 , , −2 10 , −2 12 0 −2 10 5 0 −2 12 6 5,6
Para esto se hallan las derivadas respecto a
Igualando ambas a 0 se obtiene
Se tiene entonces un punto critico
y luego se igualan a 0
Se usa ahora el criterio de la segunda derivada para saber qué tipo de punto crítico es: Calculamos
, , , −[ ,] , −2 , −2 , 0 5,6 −2−2 −0 5, 6 4 , > 0 5,6 −2
Reemplazando:
Como se tiene se tiene que es un mínimo o un máximo local, para determinarlo se debe evaluar en el punto crítico:
< 0
Al ser se tiene que en punto critico es un mínimo local como se puede comprobar en la figura 4. Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos con restricciones de la función dada. a. b. c. d. e.
, √ 1 , 3 3 5 2 5 , 2 , 2 30 , 1, > 0, > 0, > 0 , sujeta a
, sujeta
, sujeta
, sujeta
, sujeta
S olución C , Fener L ópez
,
, sujeta
2
Lo primero que debemos hacer es tomar a, como función e igualar a 0, para aplicar correctamente el método de Lagrange, para lo cual debemos resolver las derivadas parciales de f. Derivadas parciales de f:
1 1
Derivadas parciales de a:
− 2 2 − 2 2 Método de Lagrange:
0 Reemplazando obtenemos,
2 2 − 2 0 2 2 Despejamos,
− 2 0 − 2 0 2 22 2 ≅ ±1 Reemplazamos el valor obtenido,
±1 1,1 −1 −1 −1,−1 −2 1,1 2
Los valores extremos dada la restricción son:
−2 2
5. Después de que fue desarrollado un nuevo turbopropulsor para un motor de automóvil, se obtuvieron los datos experimentales siguientes de velocidad y en millas por hora a intervalos x de tiempo en segundos. Hallar un modelo cuadrático de regresión de mínimos cuadrados para los datos y estimar la velocidad para 30 segundos y 3 minutos. A. Tiempo, x
0
2
4
6
10
Velocidad, y
0
15
30
50
70
Tiempo, x
0
3
6
9
12
Velocidad, y
0
10
25
40
65
Tiempo, x
0
4
5
6
7
Velocidad, y
0
40
50
60
70
Tiempo, x
0
2
5
8
11
Velocidad, y
0
18
35
55
75
Tiempo, x
0
5
10
15
20
Velocidad, y
0
90
75
52
30
Tiempo, x
0
2
4
6
10
Velocidad, y
0
15
30
50
70
B.
C.
D.
E.
S olución A , Helber doncel
x 0 2 4 6 10
y 0 15 30 50 70
X 2 0 4 16 36 100
X 3 0 8 64 216 1000
5
xy 0 30 120 300 700
X 4 0 16 256 1296 10000
X 2 y 0 60 480 1800 7000
22 156 22 156 1288 156 1288 11568 165 1150 9340 5 22 156 165 22 156 1288 1150 156 1288 11568 9340 − 815 679 −1,2 6235 679 9,1826 − 135 679 −0,1988
Resolver sistema de ecuaciones 3 x 3:
Modelo
6 235 135 − 815 − 679 679 679 679 −135 6235 − 815 S olución C , Fener L ópez
Tiempo, x
0
4
5
6
7
Velocidad, y
0
40
50
60
70
Para este caso la tabla nos quedaría de la siguiente manera,
22
126
748
4578
220
1260
Dada la siguiente ecuación lineal de la correlación entre la variable “y” y la variable “x”
∗ Entonces la ecuación para “a”, donde “n” es el número de variables,
∑ ∑ ∑∑− − ∑ Reemplazamos en la ecuación “a”,
∑ ∑ ∑∑− − ∑ − − Entonces la ecuación para “b” donde “n” es el número de variables.
∑ − ∑
Reemplazamos,
−∗ ------
7480
La ecuación lineal seria
∗ 10 ∗
Reemplazando,
Estimando la velocidad en 30 segundos y 3 minutos.
30 10 ∗30 300 300 3 3 180 10 ∗180 1800 Si
Si
----
S olución D , Mig uel Verg ara
Velocidad, y
0
18
35
55
75
Para el caso de este ejercicio tenemos lo siguiente:
26
214
1976
19378
183
1476
13542
A partir de los daos anteriores podemos decir que tenemos las siguientes ecuaciones:
5 2 214 183 1 26 214 1976 1476 2 214 1976 19378 13542 3 Pasamos a solucionar el sistema de ecuaciones y nos queda lo siguiente:
1.348, 7.155, 0.0457 Por lo tanto, la ecuación cuadrática más aproximada es:
1.348 7.155 −0.0457
A partir de dicha ecuación se pueden obtener los valores de velocidad cuando x=30s y x=180.
174.868 30 1. 3 48 7. 1 55 30 − 0. 0 457 30 180 1.348 7.155180 − 0.0457180 −191.432 S olución E , Iván López
Tiempo, x
0
5
10
15
20
Velocidad, y
0
90
75
52
30
Dado que la velocidad y el tiempo están dados en diferentes unidades se deben pasar a la misma escala de tiempo, por medio de la equivalencia:
36001 ℎ
Se tiene entonces la tabla donde el tiempo está en segundos y la velocidad en millas por segundo Tiempo, x
0
Velocidad, y
0
5
10
15
20
3.2410 2.710 1.87210 7.210
Se desarrolla la tabla con los cálculos necesarios para hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados usando n=5
0 5 10 15 20 ∑ 50
La
recta
de
3.2.27410 10 1.7.827210 10 8.5310
1.2.67210 010 2.1.84110 410 10
0
∑
regresión
0
0 25 100 225 400
∑
∑ 750
8.57 de
mínimos
{.,,,.....,} ∑= ∑= − −∑=∑= ∗∑ = Está dada por
Y
cuadrados , donde:
para.
1 − =
=
Aplicando los valores a la formula tenemos:
− 50∗ 8.5310 5 8. 5 710 5750 − 50 1251 144 15 8.5310 − 14450 1.69210 La recta de regresión de mínimos cuadrados es:
144 / 1.69210/
Observando la gráfica:
Se tiene que el primer dato (0,0) arruina la línea de tendencia ya que se tiene un proceso de aceleración del intervalo y un proceso de desaceleración del intervalo
0, 5 5,20
Es por esto que para obtener mejores resultados se ha decidido partir el problema en dos, la aceleración y la desaceleración Para el primero solo se tienen dos puntos, así que calcular la ecuación no se debe hacer con mínimos cuadrados sino con la fórmula de la pendiente: Tiempo, x
0
Velocidad, y
0
5
3.2410
− 0 − 3 . 2 410 − 5 −0 6.4810 0 0 6.4810/
Donde:
Como es el punto de conrte con el eje cuando se tiene
por los datos definidos
Es decir que la ecuación de la aceleración para este intervalo será: Con la gráfica:
Velocidad vs Tiempo
y = 64800x R² = 1
1
4
) 350000 o d n 300000 u g e 250000 s r o p 200000 s a l l i 150000 m ( d 100000 a d i c 50000 o l e V 0
0
2
3
5
6
Tiempo(segundos)
5,20 3.2410 2.710 1.87210 7.210
Ahora para el segundo intervalo de desaceleración Tiempo, x Velocidad, y
5
10
se tiene:
15
20
Se desarrolla la tabla con los cálculos necesarios para hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados usando n=4 con la mismas formulas iniciales, pero cambiando los datos a:
5 10 15 20 ∑ 50
3.2.27410 10 1.7.827210 10 8.5310
∑
1.2.67210 010 2.1.84110 410 ∑
25 100 225 400 ∑ 750
10
8.57 Aplicando los valores a la formula tenemos:
− 50∗ 8.5310 4 8. 5 710 5750 − 50 −1.710 14 8.5310 − −1.71050 4.2310 La recta de regresión de mínimos cuadrados es:
−1.710/ 4.2310/ Observando la gráfica:
Ahora se puede estimar la velocidad para 30 segundos y 3 minutos, como ambos tiempos están incluidos en el modelo de desaceleración, se usará este para estimar los valores de velocidad:
:
−1.710/ 30 4.2310/ −8.710/
Pasando este valor a millar por hora por medio de la misma transformación inicial
−24.16 /ℎ
: −1.710/180 4.2310/ −2.610/
Pasando este valor a millar por hora por medio de la misma transformación inicial
−732.5 /ℎ
CONCLUSION
En el desarrollo de esta actividad hemos podido notar la aplicación de las diferentes funciones de las derivadas dato que con ella se puede determinar los puntos extremos, a través de una función y su respectivo dominio. Se puede comprobar de donde se desprende el nombre de estas funciones ya que su valor depende de más de una variable. Así mismo son denominadas como global de funciones de varias variables o funciones de variable vectorial. Con el numeral que se encarga de las derivadas parciales, podemos observar que este tipo de nueva derivada es cuando una función es multivariable, y como esta cambia al mover una variable. Pudimos ver que la variantes en las derivadas direccionales tienen función f(x,y), y un vector, en el espacio, la derivada por consiguiente a lo largo del vector se dirá que está a la tasa de cambio a medida que la entrada se mueve con el vector.
BIBLIOGRAFIA
Galván, D. y otros. Cálculo diferencial: Un enfoque constructivista para el desarrollo de competencias mediante la reflexión y la interacción. Quinta edición. México DF, 2012.[2] James Stewart. Cálculo de una variable: Conceptos y contextos. Cengage Learning. Cuarta edición. México DF, 2010.[3] Guía de actividades y rúbrica de evaluación - Fase 2 - Trabajo colaborativo 2, Unad 2018
