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APUNTES DE FISICA

FISICA MODERNA

MsC.JESÚS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

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PARTE 6 FISICA MODERNA Hacia el fin del siglo XIX, la mayoría de los científicos estaba convencida de que habían aprendido la mayor parte de lo que se necesitaba saber acerca de la Física. Las leyes del movimiento de Newton y su teoría de la gravitación universal, el trabajo teórico de Maxwell en la unificación de la electricidad y el magnetismo, así como las leyes de la termodinámica y la teoría cinética explicaron con gran éxito una amplia variedad de fenómenos. Sin embargo, al comenzar el nuevo siglo, una revolución más importante impactó al mundo de la Física. En 1900 Planck proporcionó las ideas básicas que llevaron a la formulación de la teoría cuántica, y en 1905 Einstein formuló su admirable teoría especial de la relatividad. Las palabras del propio Einstein expresan la emoción de la época: "Fue una época maravillosa para vivir." Las dos ideas tuvieron un profundo efecto en la comprensión de la naturaleza. En unas cuantas décadas esas dos teorías inspiraron nuevos desarrollos y otras teorías en los campos de la Física atómica, la física nuclear y la física de la materia condensada. En el capítulo 39 se presenta la teoría especial de la relatividad. Dicha teoría proporciona una nueva y más profunda visión de las leyes físicas. Aunque los conceptos que fundamentan esta teoría parecen contradecir el sentido común, la misma predice de manera correcta los resultados de los experimentos que involucran rapidez cercana a la de la luz. En la versión amplia del presente libro de texto, Física para ciencias e ingeniería, se cubren Los conceptos básicos de la mecánica cuántica y su aplicación a las físicas atómica y molecular, y se introducen la física del estado sólido, la física nuclear, la física de partículas y la cosmología. Usted no debe perder de vista que, si bien La física desarrollada durante el siglo XX ha permitido numerosos e importantes logros tecnológicos, La historia aún no termina. Los descubrimientos continuarán surgiendo durante el transcurso de su vida, y muchos de ellos harán más profunda o perfeccionarán La comprensión de la naturaleza y del mundo que le rodea. Aún es "una época maravillosa para vivir".

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CAPITULO 39 RELATIVIDAD ACERTIJO

Los relojes de pulsera que usan los pasajeros de este vuelo comercial registran de manera adecuada el paso del tiempo, según lo experimentan los viajeros. De forma sorprendente, sin embargo, la duración del viaje como lo mide un observador que se encuentra en la Tierra es ligeramente más largo. ¿Cómo pueden afectar los viajes a alta rapidez rapidez algo tan regular como el tictac de un reloj? ((C) Larry Mulvehill/Photo Researchers, Inc.)

Lineas generales del capitulo 39.1 39.2 39.3 39.4 39.5 39.6 39.7 39.8 39.9 39.10

El principio de la relatividad galileana El experimento de Michelson-Morley Principio de la relatividad de Einstein Consecuencias de la teoría especial de la relatividad Las ecuaciones de transformación de Lorentz Momentum lineal relativista y forma relativista de las leyes de Newton Energía relativista Equivalencia de la masa y la energía Relatividad y electromagnetismo La teoría general de la relatividad

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La mayor parte de las experiencias y observaciones cotidianas se relacionan con objetos que se mueven con rapidez mucho menor que la de la luz. La mecánica newtoniana se formuló para describir el movimiento de dichos objetos, y este formalismo todavía es muy útil al describir una amplia gama de fenómenos que ocurren a rapidez baja. Sin embargo, fracasa cuando se aplica a partículas cuya rapidez se acerca a la de la luz. Experimentalmente, las predicciones de la teoría newtoniana pueden probarse a elevada rapidez por medio de electrones en aceleración u otras partículas cargadas a través de una gran diferencia de potencial eléctrico. Por ejemplo, es posible acelerar un electrón a una rapidez de 0.99c (donde c es la rapidez de la luz) empleando una diferencia de potencial de varios millones de volts. De acuerdo con la mecánica newtoniana, si la diferencia de potencial se incrementa por un factor de 4, la energía cinética del electrón es cuatro veces mayor y su rapidez debe duplicarse a 1.98c. A pesar de ello los experimentos muestran que la rapidez del electrón -así como la de cualquier otra partícula en el universo-- siempre permanece menor que la rapidez de la luz, independientemente de la cantidad del voltaje de aceleración. Como no impone un límite superior a la rapidez, la mecánica newtoniana es contraria a los resultados experimentales modernos y salta a la vista que es una teoría limitada. En 1905, a la edad de sólo 26 años, Einstein publicó su teoría especial de la relatividad. En relación con la misma, Einstein escribió: La teoría de la relatividad surge de una necesidad, por contradicciones serias y profundas en la vieja teoría, de las cuales parece no haber salida. La fuerza de la nueva teoría radica en la consistencia y 1 simplicidad con la cual resuelve todas estas dificultades 1

A Einstein y L. Infeld, The Evolution of Physics, Simon and Schuster, Nueva York, 1961.

Aunque Einstein hizo muchas otras contribuciones importantes a la ciencia, la sola teoría especial de la relatividad representa una de las hazañas intelectuales más grandes de todos los tiempos. Con esta teoría las observaciones experimentales pueden predecirse correctamente en la gama de rapidez de v = 0 a rapidez que se acerca a la de la luz. A baja rapidez, la teoría de Einstein se reduce a la mecánica newtoniana como situación límite. Es importante reconocer que Einstein trabajaba en electromagnetismo cuando desarrolló la teoría especial de la relatividad. Él estaba convencido de que las ecuaciones de Maxwell eran correctas, y para reconciliarlas con uno de sus postulados, fue forzado a la excéntrica noción de suponer que el espacio y el tiempo no eran absolutos. El presente capítulo ofrece una introducción a la teoría especial de la relatividad, con énfasis en algunas de sus consecuencias. La relatividad especial comprende fenómenos como el retraso de relojes y la contracción de longitudes en marcos de referencia en movimiento cuando son medidos por un observador estacionario. También se analizan las formas relativistas del momentum y la energía, así como algunas consecuencias de la famosa fórmula masa-energía, E = mc2. Además de su bien conocido y esencial papel en la Física teórica, la teoría especial de la .relatividad tiene aplicaciones prácticas que incluyen el diseño de plantas nucleoeléctricas y modernos sistemas de posicionamiento global (GPS, por sus siglas en inglés). Tales dispositivos no funcionan si se diseñan de acuerdo con principios no relativistas. Habrá ocasión de emplear la relatividad en algunos capítulos subsecuentes de la versión extendida de este texto, presentando con mayor frecuencia sólo los l os resultados de los efectos relativistas.

39-1.

EL PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA

Para describir un evento físico es necesario establecer un marco de referencia. Recuerde del capítulo 5 que las leyes de Newton son válidas en todos los marcos de referencia inerciales. Puesto que un marco inercial se define como aquel en el cual la primera ley de Newton es válida, puede decirse que un marco de referencia inercial es uno en el cual se observa que un objeto no tiene aceleración cuando no actúa fuerza alguna sobre el mismo. Además, cualquier sistema que se mueve a velocidad constante respecto de un sistema inercial también debe ser un sistema inercial.

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No hay un marco de referencia inercial privilegiado. Esto significa que los resultados de un experimento efectuado en un vehículo que se mueve a velocidad uniforme serán idénticos a los resultados del mismo experimento efectuado en un vehículo estacionario. El enunciado formal de este resultado se denomina principio de la relatividad galileana: Las leyes de la mecánica deben ser ser las mismas en todos todos los marcos de referencia referencia inerciales.

Considere una observación que ilustra la equivalencia de las leyes de la mecánica en diferentes marcos inerciales. Una camioneta pickup se mueve a una velocidad constante, como se muestra en la figura 39.1a. Si un pasajero en la camioneta lanza una pelota en línea recta hacia arriba, y se ignoran los efectos del aire, el pasajero observa que la pelota se mueve en una trayectoria vertical. El movimiento de la pelota parece ser precisamente el mismo que sería si la bola fuera lanzada por una persona en reposo sobre la Tierra. La ley de la gravedad y las ecuaciones de movimiento bajo aceleración constante se cumplen independientemente de si la camioneta está en reposo o en movimiento uniforme.

Figura 39.1 a) El observador en el vehículo ve que la bola se mueve en una trayectoria vertical cuando la lanza hacia arriba. b) El observador en la Tierra ve la trayectoria de la bola como una parábola.

Considere a continuación el mismo experimento visto por un observador en reposo sobre la Tierra. El observador estacionario percibe la trayectoria de la pelota como una parábola, según se muestra en la figura 39.1b. Además, de acuerdo con este observador, la pelota tiene una componente horizontal de velocidad igual a la velocidad de la camioneta. A pesar de que los dos observadores están en desacuerdo con ciertos aspectos de la situación, coinciden en la validez de las leyes de Newton y de principios clásicos como la conservación de la energía y la conservación del momentum lineal. Dicha concordancia implica que ningún experimento mecánico puede detectar diferencia alguna entre los dos marcos inerciales. La única cosa que puede detectarse es el movimiento relativo de un marco respecto del otro. Es decir, la noción de movimiento absoluto a través del espacio no tiene sentido, como ocurre con la noción de un marco de referencia privilegiado. Pregunta sorpresa 39-1. ¿Cuál observador en la figura 39.1 tiene razón acerca de la trayectoria de la bola? Suponga que algún fenómeno físico, al cual se puede llamar evento, ocurre en un sistema inercial. La localización y tiempo de ocurrencia del evento pueden especificarse por medio de las cuatro coordenadas ( x ). Se desearía transformar dichas coordenadas de un sistema inercial a otro que se mueva a x, y, z, t ). velocidad relativa uniforme.

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Figura 39.2 Un evento ocurre en el punto P. El evento es visto por dos observadores en marcos inerciales S y S', donde S' se mueve a una velocidad v relativa a S.

Considere dos sistemas inerciales S y S' (Fig. 39.2). El sistema S' se mueve a una velocidad constante v a lo largo de los ejes xx', donde v se mide en relación con S. Suponga que un evento ocurre en el punto P y que los orígenes de S y S' coinciden en t = 0. Un observador en S describe el evento con coordenadas espacio-tiempo ( x, y, z, t ), en tanto que un observador en S' emplea ( x' , y' , z' , t' ) para describir el mismo evento. Como se ve en la figura 39.2, las relaciones entre estas varias coordenadas se pueden escribir: x' = x − vt y' = y z’ = z t' = t

Ecuaciones de transformación espacio-tiempo galilanas

(39.1)

Tales ecuaciones son las ecuaciones de transformación espacio-tiempo galileanas. Advierta que se considera que el tiempo es igual en ambos sistemas inerciales. Es decir, dentro del marco de la mecánica clásica, todos los relojes funcionan al mismo ritmo, sin importar su velocidad, de modo que el tiempo en el cual ocurre un evento para un observador en S es igual que el tiempo para el mismo! evento en S'. En consecuencia, el intervalo de tiempo entre dos eventos sucesivos debe ser el mismo para ambos observadores. Aunque tal suposición puede ser obvia, se vuelve incorrecta en situaciones donde v es comparable con la rapidez de la luz. Ahora suponga que una partícula se mueve una distancia dx en un intervalo de tiempo dt según lo mide un observador en S. Se deduce de las ecuaciones 39.1 que la distancia correspondiente dx' medida por un observador en S' es dx' = dx − v de donde el marco S' se está moviendo a rapidez v en relación con el marco S. Puesto que dt = dt' , se encuentra que:

Ecuación transformación de velocidad galileana

dx' d t

=

d x d t

−v

o u x'

= u x − v

(39.2)

donde u x y u x' son las componentes x de la velocidad en relación con S y S', respectivamente. (Se usa el símbolo u para velocidad de partícula en lugar de v, la cual se usa para la velocidad relativa de dos marcos de referencia.) Es la ecuación de transformación de velocidad galileana. Se emplea en observaciones cotidianas y es consistente con la noción intuitiva de tiempo y espacio. Sin embargo, como se verá más adelante, conduce a serias contradicciones cuando se aplica a ondas electromagnéticas. Pregunta sorpresa 39-2 Aplicando la ecuación de transformación de velocidad galileana, determine cuán rápido (en relación con la Tierra) un pítcher de béisbol con una bola rápida de 90 mi/h puede lanzar una pelota mientras está parado sobre un vagón que se mueve a 110 mi/h.

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La rapidez de la luz Es muy natural preguntar si el principio de la relatividad galileana también se aplica a la electricidad, magnetismo y óptica. Los experimentos indican que la respuesta es no. Recuerde del capítulo 34 que Maxwell demostró que la rapidez de la luz en el espacio libre es c = 3,00 x 108 m/s. Los fisicos de finales del siglo XIX pensaban que las ondas luminosas se movían a través de un medio denominado éter, y que la rapidez de la luz sólo era c en un marco especial de referencia absoluto, en reposo respecto del éter. Se esperaba que la ecuación de transformación de velocidad galileana se cumpliera en cualquier otro marco moviéndose a rapidez v en relación con el marco del éter absoluto. Puesto que la existencia de un marco del éter absoluto y privilegiado hubiera mostrado que la luz era similar a otras ondas clásicas, y que las ideas newtonianas de un marco absoluto eran ciertas, se dio considerable importancia al establecimiento de la existencia del marco del éter. Antes de que finalizara el siglo XIX, los experimentos que implicaban el viaje de la luz en medios moviéndose a las más altas magnitudes de velocidad de laboratorio alcanzables en ese tiempo no habían sido capaces de detectar cambios tan pequeños como c ± v. Iniciando en aproximadamente 1880, los científicos decidieron emplear a la Tierra como marco móvil en un intento por mejorar sus oportunidades para detectar estos pequeños cambios en la rapidez de la luz. Los observadores fijos sobre la Tierra pueden afirmar que están estacionarios y que el marco del éter absoluto contiene al medio para la propagación de la luz que pasa a su lado con rapidez v. Determinar la rapidez de la luz en estas circunstancias es exactamente lo mismo que determinar la rapidez de un avión que viaja en una corriente de aire en movimiento, o viento; consecuentemente, se habla de un "viento de éter" que sopla a través de su aparato fijo a la Tierra. Un método directo para detectar un viento de éter sería usar un aparato fijo a la Tierra para medir la influencia del viento en la rapidez de la luz. Si v es la rapidez del éter en relación con la Ti6rra, entonces la rapidez de la luz debe tener su valor máximo, c + v, cuando se propague en la dirección del viento, como se ilustra en la figura 39.3a. Del mismo modo, la rapidez de la luz debe tener su valor mínimo, c − 2 2 v, cuando se propague contra el viento, como se ilustra en la figura 39.3b, y un valor intermedio, ( c – v 1/2 ) , en la dirección perpendicular al viento de éter, como se muestra en la figura 39.3c. Si se supone que el Sol está en reposo en el éter, entonces la velocidad del viento de éter sería igual a la velocidad orbital de la Tierra alrededor del Sol, la cual tiene una magnitud de aproximadamente 3 x 10 4 m/s. En vista de que c = 3 x 108 m/s, debe ser posible detectar un cambio en la rapidez de aproximadamente una parte en 104 para mediciones en las direcciones a favor o en contra del viento. Sin embargo, como se verá en la siguiente sección, todos los intentos para detectar dichos cambios y establecer la existencia del viento de éter (y, por tanto, el marco absoluto) ¡han sido inútiles! (Quizá usted desee regresar al problema 40 del capítulo 4 para ver una situación en la cual la ecuación galileana de transformación de velocidad sí se mantiene.)

Figura 39.3 Si la velocidad del viento de éter en relación con la Tierra es v, y la velocidad de la luz relativa al éter es c, entonces la rapidez de la luz relativa a la Tierra es (a) c + v en la dirección del viento, (b) c – v en la dirección contra el viento, y (c) (c2 − v2)1/2 en la dirección perpendicular al viento.

Si se supone que las leyes de la electricidad y el magnetismo son las mismas en todos los marcos inerciales, de inmediato surge una paradoja relacionada con la rapidez de la luz. Lo anterior puede entenderse si se reconoce que las ecuaciones de Maxwell parecen implicar que la rapidez de la luz

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siempre tiene el valor fijo 3,00 x 108 m/s en todos los marcos inerciales, un resultado en directa contradicción con lo que se esperaría con base en la ecuación de transformación de velocidad gaiileana o e acuerdo con la relatividad galileana, la rapidez de la luz no debería ser la misma en todos los marcos inerciales. Por ejemplo, suponga que un pulso de luz es enviado por un observador S' de pie sobre un vagón que se mueve a una velocidad v relativa a un observador estacionario de pie junto a la vía (Fig. 39.4). El pulso de luz tiene una rapidez c en relación con S'. De acuerdo con la relatividad galileana, la rapidez del pulso relativa a S debe ser c + v, lo cual contradice la teoría especial de la relatividad de Einstein, donde, como se verá, se postula que la rapidez del pulso de luz es la misma para todos los observadores.

Figura 39.4 Un pulso luminoso es enviado por una persona en un vagón en movimiento. De acuerdo con la relatividad galileana, la rapidez del pulso debe ser c + v relativa a un observador estacionario.

Para resolver esta contradicción en las teorías, debe concluirse que 1) las leyes de la electricidad y el magnetismo no son las mismas en todos los marcos inerciales, o que 2) la ecuación de transformación de velocidad galileana es incorrecta. Si se supone la primera alternativa, entonces debe existir un marco de referencia privilegiado en el cual la rapidez de la luz tiene el valor c y la rapidez medida debe ser mayor o menor que este valor en cualquier otro marco de referencia, en concordancia con la ecuación de transformación de velocidad galileana. Si se supone la segunda alternativa, se tiene que abandonar las nociones de tiempo absoluto y longitud absoluta que forman la base de las ecuaciones galileanas de transformación espacio-tiempo.

39-2. EL EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY El más famoso experimento ideado para detectar pequeños cambios en la rapidez de la luz fue efectuado por primera vez en 1881 por Albert A Michelson (véase la sección 37.7), y más tarde repetido en diversas condiciones por Michelson y Edward W. Morley (1838-1923). Al principio se estableció que el resultado del experimento contradecía la hipótesis del éter.

Figura 39.5 De acuerdo con la teoría del viento de éter, la rapidez de la luz debe ser c − v a medida que el haz se acerca al espejo M2 y c + v después de la reflexión.

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El experimento se diseñó para determinar la velocidad de la Tierra en relación con el éter hipotético. La herramienta experimental utilizada fue el interferómetro de Michelson, el cual fue analizado en la sección 37.7, y de nuevo se muestra en la figura 39.5. El brazo 2 se alinea a lo largo de la dirección del movimiento de la Tierra a través del espacio. La Tierra que se mueve a través del éter a rapidez v es equivalente al éter que fluye más allá de la Tierra en dirección opuesta a la rapidez v. El viento del éter, que sopla en dirección opuesta a la dirección del movimiento de la Tierra, debería hacer que la rapidez de la luz medida en el marco de referencia de la Tierra sea c − v a medida que la luz se aproxima al espejo M2 y c + v después de la reflexión, donde c es la rapidez de la luz en el marco del éter. Los dos haces reflejados desde M 1 y M2 se recombinan y forman un patrón de interferencia compuesto de franjas oscuras y brillantes alternas. El patrón de interferencia se observó mientras el interferómetro se había rotado un ángulo de 90°. Tal rotación supuestamente cambiaría la rapidez del viento del éter a lo largo de los brazos del interferómetro. La rotación debía haber causado que el patrón de franjas se corriera ligera pero mesurablemente, ¡pero las mediciones fracasaron en la demostración de algún cambio en el patrón de interferencia! El experimento de Michelson-Morley se repitió en diferentes épocas del año en que se esperaba que el viento del éter cambiara de dirección y magnitud, pero los resultados siempre fueron los mismos: nunca se observó un corrimiento de franjas de la magnitud requerida 2 2

Desde el punto de vista de un observador terrestre, los cambios en la rapidez y dirección del movimiento de la Tierra en el transcurso de un año se ven como desplazamiento del viento de éter. Incluso si la rapidez de la Tierra respecto del éter fuera cero en algún momento, seis meses después la rapidez de la Tierra sería de 60 km/s respecto al éter, y como resultado se debe advertir un claro corrimiento de franjas. Sin embargo, nunca se ha observado ningún corrimiento.

Los resultados negativos del experimento de Michelson-Morley no sólo contradijeron la hipótesis del éter, sino que también demostraron que es imposible medir la velocidad absoluta de la Tierra respecto del marco del éter. Sin embargo, como se verá en la siguiente sección, Einstein ofreció un postulado de su teoría especial de la relatividad que dio una interpretación bastante diferente de estos resultados nulos. En años ulteriores, cuando se conoció más acerca de la naturaleza de la luz, la idea de un éter que permea todo el espacio fue reducida al montón de cenizas de los conceptos que implicaba. Ahora se considera a la luz como una onda electromagnética, la cual no requiere un medio para su propagación . Como resultado, la idea de tener un éter en el cual estas ondas podrían viajar se vuelve innecesaria.

Detalles del experimento de Michelson-Morley Para comprender los resultados del experimento de Michelson-Morley, suponga que los dos brazos del interferómetro de la figura 39.5 son de igual longitud L La situación se analizará como si hubiera un viento de éter, pues se trata de lo que Michelson y Morley esperaban encontrar. Como antes se señaló, la rapidez del haz de luz a lo largo del brazo 2 debería ser c − v a medida que el haz se acerca a M 2 y c + v después de que el haz es reflejado. De este modo, el tiempo del viaje hacia la derecha es L/ ( c − v), y el tiempo del viaje hacia la izquierda es L/ ( c + v). El tiempo total necesario para el viaje redondo a lo largo del brazo 2 es: t 1

=

L c+v

+

L c−v

=

2 L c c

2

− v2

2 L  v 2  = 1 − 2  c 

−1

c 

Considere a continuación el haz de luz que viaja a lo largo del brazo 1, perpendicular al viento de éter. Ya que la rapidez del haz en relación con la Tierra es ( c2 − v2)1/2 en este caso (véase la Fig. 39.3-); el tiempo de viaje para cada mitad de este recorrido es L/(c 2 − v2)1/2, y el tiempo total para el recorrido completo es: t 2

=

2 L (c 2 − v 2 )1 / 2

=

2 L c

2 L  v 2  = 1 − 2  c 

−1 / 2

c 

De este modo, la diferencia de tiempo entre el viaje horizontal completo (brazo 2) y el viaje vertical completo (brazo 1) es:

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−1 −1 / 2  v 2   2 L  v 2  1 − 2  − 1 − 2   ∆ t = t 1 − t 2 =

c  

c 



c 



Ya que v2 / c2 << 1, esta expresión puede simplificarse empleando el siguiente desarrollo del binomio después de eliminar todos los términos de orden más alto que el segundo: (1 - x)n = 1 - nx

para x << 1

Aquí x = v2 / c2, y se encuentra que:

∆ x = t 1 − t 2 =

L v c

3

2

(39.3)

Tal diferencia de tiempo entre los dos instantes en los que los haces reflejados llegan al telescopio origina una diferencia de fase entre los haces, produciendo un patrón de interferencia cuando se combinan en la posición del telescopio. Cuando el interferómetro se gira 90° en un plano horizontal, de manera que los dos haces intercambien posiciones, debería detectarse un corrimiento en el patrón de interferencia. Lo anterior produce una diferencia de tiempo del doble de la dada por la ecuación 39.3. Así, la diferencia de trayectoria que corresponde a esa diferencia de tiempo es:

∆ d = c (2 ∆t ) =

2 L v 2 c

2

Puesto que un cambio en la longitud de la trayectoria de una longitud de onda corresponde al corrimiento de una franja, el correspondiente corrimiento de las franjas es igual a esta diferencia de trayectoria dividida entre la longitud de onda de la luz: Corrimiento =

2 L v 2 λ c 2

(39.4)

En los experimentos de Michelson y Morley, cada haz luminoso se reflejaba en espejos varias veces para producir una longitud de trayectoria efectiva L de aproximadamente 11 m. Si se emplea este valor, y se considera v igual a 3,0 x 10 4 m/s, la rapidez de la Tierra alrededor del Sol, se obtiene una diferencia de trayectoria de:

2 (11 m) (3,0 x 10 4 m / s ) 2 ∆ d = = 2,2 x 10 −7 m 8 2 (3,0 x 10 m / s) Esta distancia de viaje adicional debería producir un corrimiento notable en el patrón de franjas. En especial, si emplea luz de 500 nm, se esperaría un corrimiento de franja para una rotación de 90° de: λ 2,2 x 10 −7 ∆ Corrimiento: = −7 λ

5,0 x 10

m m

= 0,44

El instrumento que Michelson y Morley emplearon tiene la capacidad de detectar corrimientos tan pequeños como 0,01 de franja. Sin embargo, no detectó corrimiento en parte alguna del patrón de franjas. Desde entonces el experimento se ha repetido muchas veces por diferentes científicos bajo una amplia variedad de condiciones, y nunca se ha detectado un corrimiento de franjas. Por ende, se concluyó que el movimiento de la Tierra respecto al postulado éter no puede detectarse. Se hicieron muchos esfuerzos para explicar los resultados nulos de los experimentos de MichelsonMorley y para salvar el concepto del marco del éter y de la ecuación de transformación de velocidad galileana para la luz. Todas las propuestas resultantes de estos esfuerzos han mostrado estar equivocadas. A ningún experimento en la historia de la Física se le han dedicado tan valientes esfuerzos para explicar la ausencia de un resultado esperado como el de Michelson−Morley. El escenario estaba puesto para Einstein, quien resolvió el problema en 1905 con su teoría especial de la relatividad.

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Albert Einstein (1879 – 1955) Einstein, uno de los más grandes físicos de todos los tiempos, nació en Alemania. En 1905, a la edad de 26 años, publicó cuatro ensayos científicos que revolucionaron la Física. Dos de esos ensayos estaban relacionados con lo que ahora considera su más grande contribución: la teoría de la relatividad. En 1916 Einstein publicó su trabajo acerca de la teoría general de la relatividad. La predicción más dramática de esta teoría es el grado en el cual la luz se desvía por un campo gravitacional Las mediciones realizadas por los astrónomos sobre las estrellas brillantes en la vecindad del Sol eclipsado en 1919 confirmaron la predicción de Einstein, el cual, en consecuencia, se volvió una celebridad mundial. Einstein estaba muy inquieto por el desarrollo de la mecánica cuántica en los años 1920, a pesar de su propio papel como científico revolucionario. En particular, él nunca pudo aceptar la visión probabilística de los eventos en la naturaleza, que es un postulado central de la teoría cuántica. Las últimas décadas de su vida las dedicó a una búsqueda sin éxito de una teoría unificada que combinaría la gravitación y el electromagnetismo. (AIP Niels Bohr Library)

39-3. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN En la sección anterior se señaló la imposibilidad de medir la rapidez del éter respecto de la Tierra y el fracaso de la ecuación de transformación de velocidad galileana en el caso de la luz. Einstein propuso una teoría que eliminó audazmente estas dificultades y al mismo tiempo alteró por completo las nociones de espacio y tiempo3. Einstein basó su teoría especial de la relatividad en dos postulados: 1.

El principio de la relatividad: Las leyes de la física deben ser las mismas en todos los marcos de referencia inerciales.

2.

La constancia de la rapidez de la luz: La rapidez de la luz en el vacío tiene el mismo valor, c = 3.00 x 10 8 m/s, en todos los marcos inerciales, independientemente de la velocidad del observador o de la velocidad de la fuente que emite la luz.

1

A. Einstein, "On the ElectTodynamics of Moving Bodies”, Ann. Physik 17:891, 1905. Para una traducción al inglés de este artículo y otras publicaciones de Einstein, véase el libro de H. Lorentz, A. Einsrein, H. Minkowski y H. Weyl, The Principie o/ Relativity, Dover, 1958.

El primer postulado sostiene que todas las leyes de la Física -aquellas que se ocupan de la mecánica, la electricidad y el magnetismo, la óptica, la termodinámica, etcétera- son las mismas en todos los marcos de referencia que se mueven a velocidad constante relativa entre sí. Dicho postulado es una extensa generalización del principio de la relatividad galileana que sólo se refiere a las leyes de la mecánica. Desde un punto de vista experimental, el principio de la relatividad de Einstein significa que cualquier tipo de experimento (la medición de la rapidez de la luz, por ejemplo) efectuado en un laboratorio en reposo debe dar el mismo resultado cuando se realiza en un laboratorio que se mueve a velocidad constante respecto del primero. Por tanto, no existe un marco de referencia inercial privilegiado, y es imposible detectar movimiento absoluto.

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Observe que el postulado 2 es requerido por el postulado 1: Si la rapidez de la luz no fuera la misma en todos los marcos inerciales, la medición de diferentes magnitudes de velocidad haría posible distinguir entre marcos inerciales; como resultado, se podría identificar un marco absoluto privilegiado, en contradicción con el postulado l. Aunque el experimento de Michelson-Morley se llevó a cabo antes de que Einstein publicara su trabajo sobre la relatividad, no es claro si Einstein estaba al tanto o no de los detalles del experimento. De cualquier modo, el resultado nulo del experimento puede entenderse fácilmente dentro del esquema de la teoría de Einstein. De acuerdo con su principio de la relatividad, las premisas del experimento de Michelson-Morley eran incorrectas. En el proceso de tratar de explicar los resultados esperados, se ha establecido que cuando la luz viajó contra el viento del éter su rapidez era c − v, de acuerdo con la ecuación de transformación de velocidad galileana. Sin embargo, si el estado de movimiento del observador o de la fuente no tiene influencia sobre el valor encontrado para la rapidez de la luz, uno siempre medirá el valor igual a c. De manera similar, la luz hace el viaje de regreso después de la reflexión en el espejo a rapidez c, no a la rapidez c + v. Por consiguiente, el movimiento de la Tierra no afecta el patrón de franjas observado en el experimento de Michelson-Morley y se esperaría el resultado nulo. Si se acepta la teoría de la relatividad de Einstein, se debe concluir que el movimiento relativo no es importante cuando se mide la rapidez de la luz. Al mismo tiempo, se debe modificar la noción basada en el sentido común acerca del espacio y del tiempo y estar preparado para algunas de las consecuencias más inesperadas. Leer las páginas siguientes puede ayudarle a tener en mente que las ideas apoyadas por el sentido común están basadas en una vida de experiencias cotidianas y no en observaciones de objetos que se mueven a cientos o miles de kilómetros por segundo.

39-4.

CONSECUENCIAS DE LA TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

Antes de estudiar las consecuencias de la teoría especial de la relatividad de Eistein, primero debe entender cómo describe un evento un observador localizado en un marco de referencia inercial. Como se mencionó antes, un evento es una ocurrencia que puede describirse por medio de tres coordenadas espaciales y una coordenada de tiempo. Diferentes observadores en diferentes marcos inerciales suelen describir el mismo evento con diferentes coordenadas. El marco de referencia utilizado para describir un evento consta de una cuadrícula de coordenadas y de un conjunto de relojes sincronizados que se ubican en las intersecciones de la cuadrícula, como se muestra en la figura 39.6 en dos dimensiones. Los relojes pueden sincronizarse de muchas maneras con la ayuda de señales luminosas. Por ejemplo, suponga que un observador se localiza en el origen con un reloj maestro y envía hacia afuera un pulso luminoso en t = 0. El pulso tarda un tiempo r / c para llegar a un reloj localizado a una distancia r del origen. Por tanto, este reloj se sincroniza con el reloj maestro si éste registra un tiempo r / c en el instante en que el pulso lo alcanza. Este procedimiento de sincronización supone que la rapidez de la luz tiene el mismo valor en todas las direcciones y en todos los marcos inerciales. Además, el procedimiento se relaciona con un evento registrado por un observador en un marco de referencia inercial específico. Un observador en algún otro marco inercial asignaría diferentes coordenadas espacio-tiempo a eventos que se están observando utilizando otra cuadrícula de coordenadas y otro arreglo de relojes.

Figura 39.6 Al estudiar relatividad, se usa un marco de referencia que consta de una cuadrícula coordenada y un conjunto de relojes sincronizados.

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Conforme se examinen algunas de las consecuencias de la relatividad en el resto de esta sección, el análisis se restringe a los conceptos de simultaneidad, tiempo y longitud, los cuales son bastante diferentes en la mecánica relativista de lo que son en la mecánica newtoniana. Por ejemplo, en la mecánica relativista la distancia entre dos puntos y el intervalo de tiempo entre dos eventos depende del marco de referencia en el cual se miden, lo cual significa que en mecánica relativista no hay tal cosa como la longitud absoluta o el tiempo absoluto. Además, los eventos en diferentes posiciones que ocurren de manera simultánea en un marco no son simultáneos en otro marco que se mueve de manera uniforme respecto al primero.

Simultaneidad y relatividad del tiempo Una premisa básica de la mecánica newtoniana es que existe una escala de tiempo universal que es la misma para todos los observadores. De hecho, Newton escribió que "el tiempo absoluto, verdadero y matemático, por sí mismo, y a partir de su propia naturaleza, fluye de manera uniforme sin relación con nada externo". Así, Newton y sus seguidores hablaron de la simultaneidad dándola simplemente por un hecho. En su teoría especial de la relatividad Einstein abandonó esta suposición.

Figura 39.7 a) Dos relámpagos golpean los extremos de un vagón en movimiento. b) Los eventos parecen ser simultáneos al observador estacionario O, quien se encuentra a la mitad entre A y B. Los eventos no parecen ser simultáneos al observador O', quien indica que la parte frontal del carro es golpeada antes que la parte trasera. Advierta que en b) la señal de luz que viaja hacia la izquierda ya ha pasado O', pero la señal que viaja hacia la derecha aún no ha alcanzado O'.

Einstein ideó el siguiente experimento mental para ilustrar este punto. Un vagón se mueve a velocidad uniforme y dos relámpagos inciden en sus extremos, cono se ilustra en la figura 39.7a, dejando marcas sobre el vagón y el suelo. Las marcas sobre el vagón se denominan A' y B', en tanto que aquellas sobre el suelo se denominan A y B. Un observador O' que se mueve con el vagón está a la mitad entre A' y B', mientras que un observador O en el suelo está a la mitad entre A y B. Los acontecimientos registrados por los observadores son las marcas sobre el vagón realizadas por los dos relámpagos. Las señales luminosas registran el instante en que los dos relámpagos golpean y alcanzan al observador O al mismo tiempo, como se indica en la figura 39.7b. Tal observador se da cuenta de que las señales han viajado a la misma rapidez a lo largo de distancias iguales, de manera que concluye correctamente que los eventos en A y B ocurrieron en forma simultánea. Considere ahora los mismos eventos como los ve el observador O'. En el momento en que las señales han llegado al observador O, el observador O' se ha movido como se indica en la figura 39.7b. De este modo, la señal desde B' ha rebasado a O', en tanto que la señal de A' no ha llegado aún a O'. En otras palabras, O' ve la1señal desde B' antes de ver la señal desde A'. De acuerdo con Einstein, los dos observadores deben descubrir que la luz viaja a la misma rapidez.. Por consiguiente, el observador O' concluye que el rayo incide sobre el frente del vagón antes de incidir en la parte posterior. El anterior experimento mental demuestra claramente que los dos acontecimientos, los cuales parecen ser simultáneos para el observador O, no parecen serlo para el observador O'. En otras palabras:

dos eventos que son simultáneos en un marco de referencia en general no son simultáneos en un segundo marco que se mueve en relación con el primero. Es decir, la simultaneidad no es un concepto absoluto sino que depende del estado de movimiento del observador.

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Pregunta sorpresa 39-3 ¿Cuál observador en la figura 39.7 está en lo correcto? El punto central de la relatividad es éste: cualquier marco de referencia inercial puede usarse para describir acontecimientos y hacer física. No hay un marco de referencia inercia preferido. Sin embargo, los observadores en diferentes marcos de referencia inerciales siempre miden diferentes intervalos de tiempo con sus relojes y distintas distancias con sus regletas de medir. A pesar de eso, todos los observadores concuerdan en las formas de las leyes de la física en sus respectivos marcos, porque estas leyes deben ser las mismas para todos los observadores en movimiento uniforme. Por ejemplo, la relación F = ma en un marco S tiene la misma forma F' = ma' en un marco S' que se está moviendo a velocidad constante en relación con el marco S. Es la alteración del tiempo y del espacio lo que permite a las leyes de la Física (incluidas las ecuaciones de Maxwell) ser las mismas para todos los observadores en movimiento uniforme.

Dilatación del tiempo El hecho de que observadores en diferentes marcos inerciales siempre midan distintos intervalos de tiempo entre un par de eventos puede ilustrarse considerando un vehículo que se mueve hacia la derecha a rapidez v, como se observa en la figura 39.8a. Un espejo se fija al techo del vehículo, y la observadora O' en reposo en este sistema sostiene un láser a una distancia d debajo del espejo. En cierto momento el láser emite un pulso de luz dirigido hacia el espejo (evento 1), y cierto tiempo después de reflejarse en el espejo, el pulso regresa al láser (evento 2). La observadora O' lleva un reloj C' y lo usa para medir el intervalo de tiempo ∆tp entre estos dos eventos. (El subíndice p se emplea para representar propio, como se verá en seguida.) Puesto que el pulso luminoso tiene una rapidez c, el tiempo que tarda el pulso en viajar de O' al espejo y regresar a O' es:

∆t p =

Dis tan cia recorrida Rapidez

=

2 d c

(39.5)

Este intervalo de tiempo ∆t p medido por O' requiere de un solo reloj C' localizado en el mismo lugar que el láser en este marco.

Figura 39.8 a) Un espejo está fijo a un vehículo en movimiento, y un pulso luminoso es enviado por el observador O' en reposo en el vehículo. b) En relación con un observador estacionario O parado junto al vehículo, el espejo y O' se mueven a una rapidez v. Note que lo que el observador O mide para la distancia que el pulso viaja es mayor que 2d. c) Triángulo rectángulo para calcular la relación entre ∆t y ∆t p

Considere a continuación el mismo par de eventos visto por el observador O en un segundo marco, como en la figura 39.8b. De acuerdo con este observador, el espejo y el láser se mueven a la derecha a una rapidez v, y como resultado la secuencia de eventos aparece por completo diferente. En el momento en que la luz del láser llega al espejo, éste se ha movido a la derecha una distancia v ∆t/2, donde ∆t es el tiempo que tarda la luz en viajar de O' al espejo y regresar al O', según mide el observador O. En otras palabras, O concluye que, debido al movimiento del vehículo, si la luz va a incidir sobre el espejo, debe salir del láser a un ángulo respecto de la dirección vertical. Al comparar las figuras 39.8a y b, se ve que la

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luz debe viajar más lejos en b) que en a). (Advierta que ningún observador "sabe" que se está moviendo. Cada uno está en reposo en su propio marco inercial.) De acuerdo con el segundo postulado de la teoría especial de la relatividad, ambos observadores deben medir c para la rapidez de la luz. En virtud de que la luz viaja más lejos en el marco de O, se concluye que el intervalo de tiempo ∆t medido por O es más largo que el intervalo de tiempo ∆tp medido por O'. Para obtener una relación entre estos dos intervalos de tiempo, es conveniente usar el triángulo rectángulo que se muestra en la figura 39.8c. El teorema de Pitágoras produce: 2

2

 c ∆t   v ∆t    =  + d 2  2   2  Resolviendo para ∆t se obtiene:

2 d

∆t = c

−v

2

2

2 d

=

1−

v

2

c

2

(36-6)

Ya que ∆tp = 2d/ C, también se puede expresar como:

∆t =

∆t p 1−

v

2

c

2

= γ ∆t p

(39.7)

donde γ =

1 1−

 v 2  = 1 − 2  2 v  c  c

−1 / 2

(39.8)

2

Puesto que γ siempre es más grande que la unidad, este resultado dice que el intervalo de tiempo ∆t medido por un observador que se mueve respecto de un reloj es más largo que el intervalo de tiempo ∆tp medido por un observador en reposo respecto del reloj. (Esto es, ∆t > ∆tp) Dicho efecto se conoce como dilatación del tiempo. La figura 39.9 señala que conforme la velocidad tiende a la rapidez de la luz, γ aumenta de manera dramática. Advierta que para magnitudes de velocidad menores a un décimo de la rapidez de la luz, y está muy cerca de ser igual a la unidad.

Figura 39.9 Gráfica de γ versus v. Conforme la velocidad se aproxima a la rapidez de la luz, γ aumenta rápidamente.

El intervalo de tiempo ∆tp en las ecuaciones 39.5 y 39.7 se denomina tiempo propio. (En alemán, Einstein usó el término Eigenzeit, lo cual significa "tiempo-propio".) En general, el tiempo propio es el intervalo de tiempo entre dos eventos medidos por un observador que ve que los acontecimientos ocurren en el

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mismo punto en el espacio. El tiempo propio siempre es el tiempo medido con un solo reloj (aquí el reloj C') en reposo en el marco en el cual ocurre el evento. Si un reloj está en movimiento respecto a usted, parecerá retrasarse (su tictac es más lento) en comparación con los relojes en la cuadricula de relojes sincronizados en su marco de referencia. Ya que el intervalo de tiempo γ (2d/ c), el intervalo entre cada tictac de un reloj en movimiento resulta ser más largo que 2d/c, el intervalo de tiempo entre los tictac de un reloj idéntico en su marco de referencia, se dice con frecuencia que un reloj en movimiento funciona más despacio que un reloj en su marco de referencia por un factor γ . Esto es cierto tanto para relojes mecánicos ordinarios como para el reloj de luz que se acaba de describir. Se pueden generalizar estos resultados estableciendo que todos los procesos físicos, incluyendo los químicos y biológicos, se retardan respecto de un reloj estacionario cuando dichos procesos ocurren en un marco en movimiento. Por ejemplo, el latido del corazón de un astronauta que se mueve por el espacio mantendría el tiempo con un reloj dentro de la nave espacial. Tanto el reloj del astronauta como su latido cardiaco se retrasan respecto de un reloj estacionario allá en la Tierra (aunque el astronauta no tendría ninguna sensación de que la vida se está retrasando en la nave espacial). Pregunta sorpresa 39-4 Un cohete tiene un reloj construido dentro de su panel de control. Use la figura 39.9 para determinar aproximadamente qué tan rápido se está moviendo el cohete antes de que a un observador terrestre le parezca que su reloj está pulsando a un quinto de la rapidez de un reloj sobre la pared del Control de la Misión. ¿Qué observa un astronauta en el cohete? Por extraño que parezca, la dilatación del tiempo es un fenómeno verificable. Un experimento reportado por Hafele y Keating proporcionó evidencia directa de la dilatación del tiempo 4 Los intervalos de tiempo medidos con cuatro relojes atómicos de cesio en un vuelo de jet se compararon con los intervalos de tiempo medidos por relojes atómicos de referencia con base en la Tierra. Para comparar los resultados con la teoría, se deben considerar muchos factores, incluyendo periodos de aceleración y desaceleración relativos a la Tierra, variaciones en la dirección del viaje y el hecho de que el campo gravitacional experimentado por los relojes en vuelo fue más débil que el experimentado por los relojes terrestres. Los resultados correspondieron con las predicciones de la teoría especial de la relatividad y se pueden explicar en términos del movimiento relativo entre la Tierra y el avión jet. En su reporte, Hafele y Keating establecieron que: "En relación con la escala de tiempo atómico del Observatorio Naval de Estados Unidos, los relojes en vuelo perdieron (59 ± 10) ns durante el viaje hacia el este y ganaron (273 ± 7) ns durante el viaje hacia el oeste... Estos resultados proporcionan una resolución empírica clara de la famosa paradoja de los relojes con relojes macroscópicos." Otro interesante ejemplo de la dilatación del tiempo involucra la observación de muones, partículas elementales inestables que tienen una carga igual a la del electrón y 207 veces su masa. Los muones pueden producirse por el choque de radiación cósmica con átomos a gran altura en la atmósfera. Estas partículas tienen una vida media de 2,2 µs cuando se miden en un marco de referencia en el cual están en reposo o moviéndose lentamente. Si se toma 2,2 µs como el tiempo de vida promedio de un muón, y se supone que su rapidez es cercana a la de la luz, se encuentra que estas partículas viajan sólo una distancia aproximada de 600 m antes de su decaimiento (Fig. 39.10a). En consecuencia, no pueden alcanzar la Tierra desde la atmósfera superior donde se producen. Sin embargo, los experimentos muestran que un gran número de muones llegan a la Tierra. El fenómeno de la dilatación del tiempo explica este efecto. En relación con un observador sobre la Tierra, los muones tienen un tiempo de vida igual a γτp, donde τp = 2,2 µs es el tiempo de vida en el marco de referencia que viaja con los muones o el tiempo de vida propio. Por ejemplo, para una rapidez de muón v = 0.99c, γ ≈ 7,1 y γτp ≈ 16 µs. Por tanto, la distancia promedio recorrida, según la mide un observador en la Tierra, es γ vτp ≈ 4800 m, como se indica en la figura 39.10b.

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Figura 39.10 a) Los muones que se mueven a una rapidez de 0.99c viajan aproximadamente 600 m según se mide en el marco de referencia de los muones, donde su vida media es de alrededor de 2,2 µs. b) Los muones viajan a alrededor de 4 800 m según mide un observador sobre la Tierra. 1

J. C. Hafele y R. E. Keating, "Around fue World Atomic Clocks: Relativistic Time Gains Observed",

1972.

Scie1u;e, 177:168,

En 1976, en el laboratorio del Consejo Europeo para Investigación Nuclear (CERN) en Ginebra, muones inyectados en un gran anillo de almacenamiento alcanzaron magnitudes de velocidad de aproximadamente 0.9994c. Los electrones producidos por los muones en decaimiento fueron detectados mediante contadores alrededor del anillo, lo que permitió a los científicos medir la rapidez de decaimiento y, por consiguiente, el tiempo de vida del muón. Se midió el tiempo de vida de los muones en movimiento y se obtuvo un valor casi 30 veces mayor que el de un muón estacionario (Fig. 39.11), de acuerdo con la predicción de la relatividad dentro de dos partes en mil.

Figura 39.11 Curvas de decaimiento para muones en reposo y para muones que viajan a una rapidez de 0.9994c.

EJEMPL0 39-1 ¿Cuál es el periodo del péndulo? El periodo medido de un péndulo es de 3,0 s en el marco de referencia del péndulo. ¿Cuál es el periodo cuando lo mide un observador que se mueve a una rapidez de 0.95c respecto del péndulo? Solución En lugar del observador moviéndose a 0.95c, se considera el punto de vista equivalente de que el observador está en reposo y que el péndulo se mueve a 0.95c con respecto al observador estacionario. Por tanto, el péndulo es un ejemplo de un reloj en movimiento. El tiempo propio es ∆tp = 3,0 s. Puesto que un reloj en movimiento funciona más lentamente que uno estacionario por un factor γ , la ecuación 39.7 produce

∆t = γ ∆t p = 1−

1 1 ∆ ∆t p = (3,2) 3,0 s) = 9,6 s t p = 1 − 0,9002 (0,95 c) 2 c

2

Es decir, un péndulo en movimiento tarda más en completar un periodo que un péndulo en reposo.

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EJEMPLO 39-2. ¿Cuán largo fue su viaje? Suponga que usted está manejando su carro en un viaje de negocios y se está desplazando a 30 m/s. Su jefe, quien lo espera en su destino, espera que el viaje tarde 5.0 h. Cuando llega tarde, su excusa es que el reloj de su carro registró el paso de las 5,0 h pero que usted estaba viajando más rápido, de modo que su reloj funcionó más lentamente que el reloj de su jefe. Si el reloj de su carro en realidad indicó un viaje de 5,0 h, ¿cuánto tiempo pasó en el reloj de su jefe, que estaba en reposo sobre la Tierra? Solución Comience por calcular y a partir de la ecuación 39.8: γ =

1 1−

v

2

c

2

=

1 (3,00 x 101 m / s) 2 1− (3,00 x 10 8 m / s) 2

=

1 1 − 10 −14

Si usted intenta determinar este valor en su calculadora, probablemente obtendrá γ = 1. Sin embargo, si desarrolla una expansión binomial, puede determinar con mayor precisión el valor como: γ = (1 − 10 −14 ) −1 / 2

1 2

= 1 + (10 −14 ) = 1 + 5,0 x10 −15

Dicho resultado indica que a magnitudes de velocidad típicas en un automóvil, γ no es muy diferente de 1. Al aplicar la ecuación 39.7 se encuentra ∆t, el intervalo de tiempo medido por su jefe, como:

∆t = γ ∆t p = (1 + 5,0 x10 −15 ) (5,0 h) = 5,0 h + 2,5 x 10 −14 h = 5,0 h + 0,09 ns El reloj de su jefe estaría sólo 0.09 ns adelantado del reloj de su carro. ¡Usted debe intentar otra excusa!

La paradoja de los gemelos Una fascinante consecuencia de la dilatación del tiempo es la llamada paradoja de los gemelos (Fig. 39.12). Considere un experimento con dos hermanos gemelos llamados Acelerado y Lentonio. Cuando tienen 20 años de edad, Acelerado, el más aventurero de los dos, emprende un épico viaje al planeta X, localizado a 20 años luz de la Tierra. Además, su nave espacial es capaz de alcanzar una rapidez de 0,95c en relación con el marco inercial de su hermano gemelo en la Tierra. Después de llegar al planeta X, Acelerado se pone nostálgico y de inmediato regresa a la Tierra a la misma rapidez de 0,95c. Una vez de regreso, Acelerado se impresiona al descubrir que Lentonio ha envejecido 42 años y ahora tiene 62. Acelerado, en cambio, sólo ha envejecido 13 años. Aquí es necesario plantear la siguiente pregunta: ¿cuál de los gemelos es el que viaja y cuál es en realidad el más joven como resultado de este experimento? Desde el marco de referencia de Lentonio, él estaba en reposo mientras su hermano viajó rápido. Pero desde la perspectiva de Acelerado, él era quien se encontraba en reposo mientras Lentonio efectuaba un recorrido espacial rápido. Según Acelerado, él mismo permanecía estacionario mientras Lentonio y la Tierra fueron los que se embarcaron en un viaje de 6,5 años y después volvieron en otros 6,5 años. Esto conduce a una aparente contradicción. ¿Cuál de los gemelos ha desarrollado señales de envejecimiento excesivo? Para resolver esta aparente paradoja, recuerde que la teoría especial de la relatividad trata con marcos de referencia inerciales que se mueven unos respecto de otros a rapidez uniforme. Sin embargo, el viaje en este problema no es simétrico. Acelerado, el viajero espacial, debe sufrir una serie de aceleraciones durante su trayecto, de modo que su rapidez no siempre es uniforme y, por tanto, no está en un marco inercial. Él no puede considerarse como si siempre estuviera en reposo mientras Lentonio está en movimiento uniforme, ya que hacerlo así sería una aplicación incorrecta de la teoría especial de la

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relatividad. Por tanto, no hay paradoja. Durante cada año transcurrido percibido por Lentonio, ligeramente menos de 4 meses pasaban para Acelerado. La conclusión de que Acelerado está en un marco no inercial es ineludible. Cada gemelo observa al otro como si acelerara, pero es Acelerado quien experimenta en realidad aceleración dinámica debido a las fuerzas reales que actúan sobre él. El tiempo requerido para acelerar y desacelerar la nave de Acelerado puede hacerse muy pequeño empleando grandes cohetes, por lo que Acelerado puede afirmar que gastó más tiempo viajando al planeta X a 0,95c en un marco inercial. Sin, embargo, Acelerado debe frenar, invertir su movimiento y regresar a la Tierra en un marco inercial por completo diferente. En el mejor de los casos Acelerado se encuentra en dos marcos inerciales diferentes durante su viaje. Únicamente Lentonio, quien está en un solo marco inercial, puede aplicar la fórmula simple de la dilatación del tiempo al recorrido de Acelerado. Así, Lentonio descubre que en vez de envejecer 42 años, Acelerado envejece sólo (1 - v2 /c2 )1/2( 42 años) = 13 años. Por otra parte, Acelerado tarda 6,5 años en viajar al planeta X y 6,5 años en regresar, para un tiempo de viaje total de 13 años, lo cual concuerda con el primer enunciado.

Figura 39.12 a) Cuando uno de los gemelos deja a su hermano en la Tierra, ambos tienen la misma edad. b) Cuando Acelerado regresa de su viaje al planeta X, él es más joven que su gemelo Lentonio.

Pregunta sorpresa 39-5 Suponga que a los astronautas se les paga de acuerdo con la cantidad de tiempo que pasan viajando en el espacio. Después de un largo viaje a una rapidez cercana a c, ¿a una tripulación se le debería pagar de acuerdo con un reloj con base en la Tierra o con el reloj de su nave espacial?

Contracción de la longitud La distancia medida entre dos puntos depende también del marco de referencia. La longitud propia L p de un objeto es la longitud medida por alguien que está en reposo respecto del objeto. La longitud de un objeto medida por alguien en un marco de referencia que se mueve respecto del objeto siempre es menor que la longitud propia. Este efecto se conoce como contracción de la longitud. Considere una nave espacial que viaja a una rapidez v de una estrella a otra. Hay dos observadores: uno en la Tierra y el otro en la nave espacial. El observador en reposo en la Tierra (y que también se supone está en reposo respecto de las dos estrellas) mide la distancia entre las estrellas como la longitud propia L p. De acuerdo con este observador, el tiempo que tarda la nave espacial en completar el viaje es ∆t = L p / v. Debido a la dilatación del tiempo, el viajero espacial mide un tiempo de viaje más pequeño mediante el reloj de la nave espacial: ∆t p = ∆t/ γ . El viajero espacial afirma que está en reposo y ve la estrella de destino moviéndose hacia la nave espacial a rapidez v. Como el viajero espacial alcanza la estrella en un tiempo ∆t p, concluye que la distancia L entre las estrellas es más corta que Lp. La distancia medida por el viajero espacial es: L

= v ∆t p = v

∆t γ

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Puesto que Lp = v ∆t, se ve que: Contracción de la longitud:

 v 2  = L p 1 − 2  L = γ  c  L p

1 / 2

(39.9)

donde (1 − v2 / c2)1/2 es un factor menor que uno. El resultado puede interpretarse como sigue: Si un objeto tiene una longitud propia L p cuando está en reposo, entonces cuando se mueve a rapidez v en una dirección paralela a su longitud, se contrae hasta la longitud L = Lp (1 - v 2 / c2)1/2 = L p / γ . Por ejemplo, suponga que una regleta pasa a rapidez vallado de un observador estacionario en la Tierra, como se muestra en la figura 39.13. La longitud de la regleta según la mide un observador en un marco unido a la misma es la longitud propia L p mostrada en la figura 39.13a. La longitud de la regleta L medida por el observador terrestre es más corta que L p por un factor (1 - v 2 /c2 )1/2. Además, la contracción de la longitud es un efecto simétrico: Si la regleta está en reposo sobre la Tierra, un observador en un marco móvil mediría también una longitud más corta por el mismo factor (1 - v2 / c2 )1/2. Advierta que la contracción de la longitud tiene lugar sólo a lo largo de la dirección del movimiento.

Figura 39.13 a) Una regleta medida por un observador en un marco unido a la misma (lo cual significa que ambos tienen la misma velocidad) posee su longitud propia Lp b) La regleta medida por un observador en un marco en el cual la regleta tiene una velocidad v relativa al marco es más corta que su longitud propia Lp por un factor (1 - v2 / c2)1/2.

Es importante subrayar que la longitud propia y el tiempo propio se miden en diferentes marcos de referencia. Como un ejemplo de este punto, regrese a los muones en decaimiento que se mueven a magnitudes de velocidad próximas a la de la luz. Un observador en el marco de referencia del muón mediría el tiempo de vida propio (esto es, el intervalo de tiempo τp), en tanto que un observador con base en la Tierra mediría un tiempo de vida dilatado. Sin embargo, el observador basado en la Tierra mide la altura propia (la longitud Lp) de la montaña de la figura 39.10b. En el marco de referencia del muón, esta altura es menor que Lp, como muestra la figura. Por tanto, en el marco del muón ocurre la contracción de la longitud pero no la dilatación del tiempo. En el marco de referencia del observador terrestre hay dilatación del tiempo pero no contracción de la longitud. Por ende, cuando se efectúan los cálculos sobre el muón en ambos marcos, aparece el efecto de "castigo por fuera de lugar" y ¡el resultado del experimento en un marco es el mismo que el resultado en el otro marco! EJEMPLO 39-3. La contracción de una nave espacial Se mide una nave espacial y se encuentra que tiene 120 m de largo y 20,0 m de diámetro mientras está en reposo respecto de un observador. Si esta nave espacial después es tripulada por el observador a una rapidez de 0,99c, ¿qué longitud y diámetro mide el observador?

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Solución De la ecuación 39.9, la longitud medida por el observador es: L = L p

1−

v

2

c

2

= (120 m) 1 −

(0,99 c) 2 c

2

= 17 m

El diámetro medido por el observador todavía es de 20,0 m porque el diámetro es una dimensión perpendicular al movimiento y la contracción de la longitud ocurre sólo a lo largo de la dirección del movimiento. Ejercicio: Si la nave pasa al lado del observador a una rapidez de 0,100 0 c, ¿qué longitud mide el observador? Respuesta: 119,4 m. EJEMPLO 39-4 ¿Qué tan largo es su carro? En el ejemplo 39.2 usted estaba conduciendo a 30 m/s y afirmó que su reloj estaba funcionando más lentamente que el reloj estacionario de su jefe. Aunque su enunciado fuese cierto, la dilatación del tiempo es despreciable. Si su carro tiene 4,3 m de largo cuando está estacionado, ¿cuánto más corto le parecerá a un observador estacionario al lado del camino cuando usted maneja a 30 m/s? Solución El observador ve la longitud horizontal del carro contraído a una longitud: L = L p

 1 v 2  1 − 2 = L p 1 − 2  c  2 c  v

2

donde de nuevo se ha usado la expansión binomial para el factor

1−

v

2

c

2

. El observador al lado del

camino ve que la longitud del carro ha cambiado por una cantidad L p – L: 2

3,00 x 101 m / s   4,3 m    = 2,2 x 10 −14 m  2  =  L p − L =   8 2  c   2   3,0 x 10 m / s  L p  v 2 

¡Esto es mucho más pequeño que el diámetro de un átomo! EJEMPLO 39-5. Un viaje a Sirio Una astronauta viaja a Sirio, que está localizado a una distancia de 8 años luz de la Tierra. (Note que un año luz (ly, por sus siglas en inglés) es la distancia que viaja la luz a través del espacio libre en un año [yr].) La astronauta calcula que el viaje de ida durará 6 años. Si la nave espacial se desplaza a una rapidez constante de 0,8c, ¿cómo puede la distancia de 8 años luz concordar con el tiempo de 6 años medido por la astronauta? Solución Los 8 años luz representan la longitud propia de la Tierra a Sirio medida por un observador que ve a ambos cuerpos casi en reposo. La astronauta ve a Sirio acercándose a ella a 0,8c, aunque también observa que la distancia se contrae a:

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8 ly γ

= (8 ly) 1 −

v

2

c2

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= (8 ly ) 1 −

(0,8 c) 2 c2


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= 5 ly

Así, el tiempo de viaje medido en su reloj es: t =

5 ly = 6 yr d 0,8 c t

=

Gráficas espacio-tiempo En ocasiones es útil hacer gráficas espacio-tiempo, en las cuales el tiempo es la ordenada y el desplazamiento es la abscisa. La paradoja de los gemelos se muestra en una gráfica de este tipo en la figura 39.14. Una trayectoria a través del espacio-tiempo se llama línea-de-mundo. En el origen, las líneas-de-mundo de Acelerado y Lentonio coinciden porque los gemelos están en la misma ubicación en el mismo tiempo. Después de que Acelerado inicia su viaje, su línea-de-mundo diverge de la de su hermano. Al momento de reunirse las dos líneas-de-mundo de nuevo se juntan. Advierta que la línea-demundo de Lentonio es vertical, lo cual indica que no hay desplazamiento de su ubicación original. También note que sería imposible para Acelerado tener una línea-de-mundo que cruce la trayectoria de un haz de luz que deje la Tierra cuando él lo haga. Para que esto sucediera se requeriría que él viajara a rapidez más grande que c. Las líneas-de-mundo para haces de luz son líneas diagonales en las gráficas espacio-tiempo, que por lo común se dibujan a 45° hacia la derecha o izquierda de la vertical, dependiendo de si el haz de luz está viajando en la dirección de aumento o disminución de x. Las dos líneas-de-mundo significan que todos los posibles eventos futuros para Lentonio y Acelerado caen entre dos líneas de 45° que se extienden desde el origen. La presencia de cualquiera de los gemelos en un evento afuera de este "cono de luz" requeriría que el gemelo se moviera a una rapidez mayor que c, lo cual, como se verá en la sección 39.5, no es posible. Además, los únicos eventos pasados que Lentonio y Acelerado podrían haber experimentado ocurrieron dentro de dos líneas-de-mundo similares de 45° que se acercan al origen desde abajo del eje x.

Figura 39.14 La paradoja de los gemelos en una gráfica espacio-tiempo. El gemelo que permanece en la Tierra tiene una línea-de - mundo a lo largo del eje t. La trayectoria del gemelo viajero a través del espacio-tiempo está representada por una línea-demundo que cambia de dirección.

Pregunta sorpresa 39-6 ¿Cómo está indicada la aceleración en una gráfica espacio-tiempo?

El efecto Doppler relativista Otra importante consecuencia de la dilatación del tiempo es el corrimiento en la frecuencia encontrada para la luz emitida por átomos en movimiento conforme se oponen a la luz emitida por átomos en reposo. Dicho fenómeno, conocido como el efecto Doppler, se introdujo en el capítulo 17 como se aprecia en las ondas sonoras. En el caso del sonido, el movimiento de la fuente respecto al medio de propagación se

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puede distinguir del movimiento del observador respecto al medio. Sin embargo, las ondas luminosas se deben analizar de manera diferente, ya que no requieren medio de propagación, y no existe método para distinguir el movimiento de una fuente de luz del movimiento del observador. Si una fuente de luz y un observador se aproximan entre ellos a una rapidez relativa v, la frecuencia f obs medida por el observador es: f obs

=

1 + v / c f fuente 1 − v / c

(39.10)

donde f fuente es la frecuencia de la fuente medida en su marco en reposo. Advierta que esta fórmula de corrimiento Doppler relativista, a diferencia de la fórmula de corrimiento Doppler para el sonido, sólo depende de la rapidez relativa v de la fuente y el observador, y se mantiene para magnitudes de velocidad relativas tan grandes como c. Como usted podría esperar, la fórmula predice que f obs > f fuente cuando la fuente y el observador se aproximan entre sí. La expresión para el caso en el que la fuente y el observador se alejan uno de otro, se obtiene al sustituir v con –v en la ecuación 39.10. El uso más espectacular y dramático del efecto Doppler relativista es la medición le los corrimientos en la frecuencia de la luz emitida por un objeto astronómico en movimiento, como una galaxia. Las líneas espectrales por lo general se encuentran en la región extrema del violeta para las galaxias en reposo respecto a la Tierra, y se corren en casi 100 nm hacia el extremo rojo del espectro para galaxias distantes esto indica que dichas galaxias se están alejando de la Tierra-. El astrónomo estadounidense Edwin Hubble (1889-1953) realizó medidas extensas de este corrimiento hacia el rojo para confirmar que la mayor parte de las galaxias se están alejando de la Tierra, lo cual indica que el universo está en expansión.

39-5.

LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ

Se ha visto que las ecuaciones de transformación galileana no son válidas cuando v se aproxima a la rapidez de la luz. En esta sección se establecen las ecuaciones de transformación correctas que se aplican a todas las magnitudes de velocidad en el intervalo 0 ≤ v ≤ c. Suponga que un evento que ocurre en algún punto P es boletinado por dos observadores, uno en reposo en el marco S y otro en el marco S’ que se mueve hacia la deecha a rapidez v, como en la figura 39.15. El observador en S reporta el evento con coordenadas espacio-tiempo ( x, y, z, t ), mientras el observador en S' informa el misno evento empleando las coordenadas ( x' , y' , z' , t' ). Se requiere encontrar una relación entre estas coordenadas que sea válida para todas las magnitudes de velocidad.

Figura 39.15 Un evento que ocurre en algún punto P es observado por dos personas, una en reposo en el marco S y la otra en el marco S', el cual se mueve hacia la derecha a rapidez v.

Las ecuaciones que son válidas de v = 0 a v = c y permiten transformar las coordenadas de S a S' son las ecuaciones de transformación de Lorentz: x' = γ ( x - vt ) y' = y z’ = z

 

t ' = γ  t −

v  x c 2 

(39-11)

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FISICA MODERNA


23

Tales ecuaciones de transformación fueron desarrolladas por Hendrik A Lorente (1853-1928) en 1890 en conexión con el electromagnetismo. Sin embargo, fue Einstein quien reconoció su significado físico y dio el audaz paso de interpretarlas dentro del marco conceptual de la teoría especial de la relatividad. Note la diferencia entre las ecuaciones de tiempo galileanas y las de Lorentz. En el caso galileano, t = t' , pero en el caso de Lorentz el valor de t' asignado a un evento por un observador O' que permanece en el origen del marco S' en la figura 39.15 depende tanto del tiempo t como de la coordenada x según los mide un observador O que permanece en el marco S. Lo anterior es consistente con la noción de que un evento está caracterizado por cuanto coordenadas espacio-tiempo ( x, y, z, t ). En otras palabras, en la relatividad, el espacio y el tiempo no son conceptos separados sino que están estrechamente vinculados uno con el otro. Si desea transformar las coordenadas en el marco S' a coordenadas en el marco S, sólo sustituya v por −v e intercambie las coordenadas prima y no prima en las ecuaciones 39.11: x = γ ( x' + v t' ) y = y' z = z’

t = γ (t '

+

v c

2

(39.12) x' )

Cuando v << c, las ecuaciones de transformación de Lorentz deben reducirse a las ecuaciones galileanas. Para confirmar esto observe que cuando v tiende a cero, v / c << 1 y v2 / c2 << 1; por lo que γ = 1, y las ecuaciones 39.11 se reducen a las ecuaciones de transformación espacio-tiempo galileanas: x' = x – v t

y' = y

z' = z

t' = t

En muchas situaciones se desearía conocer la diferencia en coordenadas entre dos eventos o el intervalo de tiempo entre dos eventos según los ven los observadores O y O', lo cual se consigue escribiendo las ecuaciones de Lorentz en una forma adecuada para describir pares de eventos. A partir de las ecuaciones 39.11 y 39.12 se pueden expresar las diferencias entre las cuatro variables x, x' , t y t' en la forma:

∆ x ' = γ (∆ x − v ∆t ) 

  S → S ' ∆ t ' = γ (∆t − 2 ∆ x  c  v

(39-13)

∆ x = γ (∆ x '+v ∆t ' ) 

  S ' → S ∆ t = γ (∆ t ' + 2 ∆ x ' c  v

(39-14)

donde ∆x ' = x2’ – x 1’ y ∆t’ = t 2’ – t 1’ son las diferencias medidas por el observador O’, y ∆x = x2 – x 1 y ∆t = t2 – t1 son las diferencias medidas por el observador O. (No se han incluido las expresiones para relacionar las coordenadas y y z debido a que no son afectadas por el movimiento a lo largo de la dirección x.5) 5

Aunque el movimiento relativo de los dos marcos a lo largo de x no cambia las coordenadas y y z de un objeto, sí cambia las componentes y y z de la velocidad de un objeto que se mueve en cualquier marco, como se verá pronto. EJEMPLO 39-6. Repaso de la simultaneidad y de la dilatación del tiempo Emplee las ecuaciones de transformación de Lorentz en forma de diferencia para mostrar que a) la simultaneidad no es un concepto absoluto y b) los relojes en movimiento funcionan más lentamente que los relojes estacionarios.

24

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Solución a) Suponga que dos eventos son simultáneos de acuerdo con un observador en movimiento O', de modo que ∆t’ = 0. A partir de las expresiones para ∆t dadas en la ecuación 39.14 se ve que en este caso el intervalo de tiempo ∆t medido por un observador estacionario O es ∆t = γ v ∆x’ /c2. Es decir, el intervalo de tiempo para los mismos dos eventos según mide O no es cero, así que los eventos no parecen ser simultáneos a O. b) Suponga que un observador O' encuentra que dos eventos ocurren en el mismo lugar ( ∆x' = 0) pero en tiempos diferentes (∆t' ≠ 0). Aquí la expresión para ∆t dada en la ecuación 39.14 se convierte en ∆t = γ ∆t'. Se trata de la ecuación para la dilatación del tiempo encontrada antes (Ec. 39.7), donde ∆t' = ∆tp es el tiempo propio medido por un reloj localizado en el marco en movimiento del observador O'. Ejercicio Emplee las ecuaciones de transformación de Lorentz en forma de diferencia para confirmar que L = Lp / γ (Ec. 39.9).

Derivación de la ecuación de transformación de velocidad de Lorentz Una vez más S es nuestro marco de referencia estacionario, y S' nuestro marco de referencia que se mueve a una rapidez v en relación con S. Suponga que un objeto tiene una rapidez u x medida en el marco S', donde: '

u x

d x'

=

d t

(39.15)

Empleando la ecuación 39.11 se obtiene d x ' =

(d x − v dt )  

d t ' = γ  d t −

v c2

 

dx 

Al sustituir estos valores en la ecuación 39.15 se tiene '

u x

=

d x' d t

=

dx − v dt v dt − 2 dx c

dx

−v dt v dx

=

1−

c

2

dt

Pero dx/dt es justo la componente de velocidad u x del objeto medida por un observador en S, así que esta expresión se convierte en: '

u x

=

u x

1−

−v

u x v c

(39.16)

2

Si el objeto tiene componentes de velocidad a lo largo de los ejes y y z, las componentes medidas por un observador en S' son: '

u y

=

u y

 

γ 1 −

'

u x v 

 c  2

u z

=

u z

 

γ 1 −

u x v 



c 2 

Observe que u y y u z no contienen al parámetro v en el numerador porque la velocidad relativa está a lo largo del eje x.

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25

Cuando u x y u son mucho más pequeñas que c (el caso no relativista), el denominador de la ecuación 39.16 se aproxima a la unidad, así que u x ≈ u x − v, la cual es la ecuación de transformación de velocidad galileana. En el otro extremo, cuando u x = c, la ecuación 39.16 se vuelve:

'

u x

=

c−v cv

1−

c

=

 v  c 1 −   c  v

1−

2

=c

c

A partir del resultado se ve que un objeto que se mueve a una rapidez c relativa a un observador en S tiene también una rapidez c relativa a un observador en S' -independientemente del movimiento relativo de S y S'-. Advierta que esta conclusión es consistente con el segundo postulado de Einstein -de que la rapidez de la luz debe ser c relativa a todos los marcos de referencia inerciales-. Además, la rapidez de un objeto nunca puede ser mayor que c. Esto significa que la rapidez de la luz es la rapidez límite. Después se regresará a este punto, cuando se considere la energía de una partícula. Para obtener u x en función de u x' sustituya v por –v en la ecuación 39.16 e intercambie los papeles de u x y u x'

Ecuación de transformación de velocidades de Lorentz para S’ → S u x

=

u x

+v

1+

u x v

'

'

(39.18)

c2

La rapidez de la luz es la rapidez límite del universo. Es la máxima rapidez posible para la transferencia de energía y para la transmisión de información. Cualquier objeto con masa debe moverse a una rapidez menor. EJEMPLO 39-7 Velocidad relativa de naves espaciales Dos naves espaciales A y B se mueven en direcciones opuestas, como se muestra en la figura 39.16. Un observador en la Tierra mide 0,750c como la rapidez de la nave A, y 0.850 c como la rapidez de la nave B. Determine la velocidad de la nave B según la observa la tripulación de la nave A.

Figura 39.16 Dos naves espaciales A y B se mueven en direcciones opuestas. La rapidez de B relativa a A es menor que c y se obtiene a partir de la ecuación de transformación de velocidad relativista.

26

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Solución El problema se resuelve considerando el marco S' como si estuviera unido a la nave A, de modo que v = 0.750c relativa al observador en la Tierra (el marco S). Se considera que la nave B se mueve a una velocidad u x = − 0.850c relativa la Tierra. Por tanto, la velocidad de la nave B respecto de la nave A puede obtenerse empleando la ecuación 39.16: '

u x

=

u x

1−

−v u x v c

=

2

− 0,850 c − 0,750 c = −0,977 c (−0,850 c) (0,750 c) 1− 2 c

El signo negativo indica que la nave B se mueve en la dirección x negativa, según observa la tripulación de la nave A. Observe que la rapidez es menor que c. Ello significa que un cuerpo cuya rapidez es menor que c en un marco de referencia, debe tener una rapidez menor que c en cualquier otro marco. (Si la ecuación de transformación de velocidad galileana se usara en este ejemplo, se encontraría que u x’ = ux - v = - 0.850 c - 0. 750 c = -1.60 c, lo cual es imposible. La ecuación de transformación galileana no funciona en situaciones relativistas. ) EJEMPLO 39-8. El motociclista veloz Suponga un motociclista que se mueve a una rapidez de 0,80c con respecto a un observador estacionario, como se muestra en la figura 39.17. Si el motociclista lanza una pelota hacia adelante a una rapidez de 0,70c relativa a sí mismo, ¿cuál es la rapidez de la pelota según el observador estacionario?

Figura 39.17 Un motociclista pasa junto a un observador estacionario a una rapidez de 0,80c y lanza una pelota en la dirección del movimiento a una rapidez de 0.70c en relación con él mismo.

Solución La rapidez del motociclista respecto del observador estacionario es v = 0.80c. La rapidez de la pelota en el marco de referencia del motociclista es u x = 0.70c. Por tanto, la rapidez u x de la pelota en relación con el observador estacionario es u x

=

'

u x

1+

+v '

u x v c

2

=

0,70 c + 0,80 c = 0,96 c (0,70 c) (0,80 c)

1−

c

2

Ejercicio Suponga que el motociclista activa un haz de luz de modo que se aleja de él hacia adelante a una rapidez c. ¿Cuál es la rapidez de la luz que mide el observador estacionario? Respuesta c.

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27

EJEMPLO 39-9 Mensajeros relativistas Dos motociclistas mensajeros llamados David y Emilia corren a magnitudes de velocidad relativistas a lo largo de trayectorias perpendiculares, como se muestra en la figura 39.18. ¿Qué tan rápido se aleja Emilia del hombro derecho de David según este último?

Figura 39.18 David se mueve hacia el este a una rapidez de 0,75c respecto al oficial de policía, y Emilia viaja hacia el sur a una rapidez de 0.90c relativa al oficial.

Solución La figura 39.18 representa la situación como la ve un oficial de policía que se encuentra en reposo en el marco S, quien observa lo siguiente: David: u x = 0.75c u y = 0 Emilia: u x = 0 u y = -0,90c Para calcular la rapidez de alejamiento de Emilia según David, considere S' como si se moviera junto con David y luego calcule u x y u y para Emilia empleando las ecuaciones 39.16 y 39.17: '

u x

'

u y

=

u x

1−

=

−v u x v c

=

1−

2

 

c

1−

u y

γ 1 −

0 − 0,75 c = −0,75 c (0) (0,75 c)

u x v 

 c  2

=

2

(0,75 c) 2

 1 − 

c

(−0,90 c)

2

(0) (0,75 c)  c

2

= −0,60 c

 

De este modo, la velocidad de Emilia según observa David es u' =

(u x' ) 2 + (u y' ) 2 = (−0,75 c) 2 + (−0,60 c) 2 = 0,96 c

Advierta que esta rapidez es menor que c, tal como la requiere la teoría especial de la relatividad. Ejercicio Use la ecuación de transformación de velocidad galileana para calcular la rapidez de retroceso clásica para Emilia según observa David. Respuesta 1,2 c.

28

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39-6

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MOMENTUM LINEAL RELATIVISTA Y FORMA RELATIVISTA DE LAS LEYES DE NEWTON

Se ha visto que para describir de manera apropiada el movimiento de partículas dentro del esquema de la teoría especial de la relatividad, las ecuaciones de transformación galileanas deben sustituirse por las ecuaciones de transformación de Lorentz. Debido a que las leyes de la física deben permanecer inalterables bajo la transformación de Lorentz, se deben generalizar las leyes de Newton y las definiciones de momentum lineal y energía para ajustarlas a las ecuaciones de transformación de Lorente y al principio de la relatividad. Tales definiciones generalizadas deben reducirse a las definiciones clásicas (no relativistas) para v << c. En primer lugar, recuerde que la ley de la conservación del momentum lineal establece que cuando dos objetos aislados chocan, su momentum total combinado permanece constante. Suponga que el choque se describe en un marco de referencia S en el cual se conserva el momentum lineal. Si las velocidades se calculan en un segundo marco de referencia S' empleando la ecuación de transformación de velocidad de Lorentz y la definición clásica de momentum lineal, p = mu (donde u es la velocidad de cualquier objeto), se encuentra que el momentum lineal no se conserva en S'. Sin embargo, como las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales, el momentum lineal debe conservarse en todos los marcos. En vista de esta condición, y suponiendo que la ecuación de transformación de velocidad de Lorentz es correcta, se debe modificar la definición de momentum lineal para satisfacer las siguientes condiciones:

• •

El momentum lineal p debe conservarse en todas las colisiones. El valor relativista calculado para p debe aproximarse al valor clásico mu a medida que u tiende a cero.

Para cualquier partícula, la ecuación relativista correcta para el momentum lineal que satisface estas condiciones es: →

P

→

=

→

mu

1−

u

2

c

2

= γ m u

(39.19)

donde u es la velocidad de la partícula y m es la masa de la partícula. Cuando u es mucho menor que c, γ = (1 - u2 /c2 ) -1/2 tiende a la unidad, y p se acerca a mu. Por consiguiente, la ecuación relativista para p de hecho se reduce a la expresión clásica cuando u es mucho más pequeña comparada con c. La fuerza relativista F que actúa sobre una partícula cuyo momentum lineal es p se define como: →

F =

→

d p d t

(39.20)

donde p está dada por la ecuación 39.19. Esta expresión, que es la forma relativista de la segunda ley de Newton, es razonable debido a que mantiene la mecánica clásica en el límite de las bajas velocidades y requiere la conservación del momentum lineal en un sistema aislado (F = 0) tanto relativista como clásicamente. Se deja como un problema de fin de capítulo (problema 63) mostrar que, en condiciones relativistas, la aceleración a de una partícula disminuye bajo la acción de una fuerza constante, en cuyo caso a α : (1 − u2 /c2)3/2. A partir de esta fórmula advierta que conforme la rapidez de la partícula se aproxima a c, la aceleración causada por una fuerza finita tiende a cero. En consecuencia, es imposible acelerar una partícula desde el reposo hasta una rapidez u ≥ c. EJEMPLO 39-10 Momentum lineal de un electrón Un electrón, que tiene una masa de 9,11 x 10 -31 kg, se mueve a una rapidez de 0,750c. Encuentre su momentum relativista y compárelo con el momentum calculado a partir de la expresión clásica.

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29

Solución Empleando la ecuación 39.19, con u = 0.750c, se tiene:

(9,11 x 10 −31 kg ) (0,750 x 3,00 x 10 8 m / s ) 3,10 x10 −22 kg · m / s = = p = 2 (0,750 c) 2 u 1− 2 1− 2 me u

c

c

La expresión clásica (incorrecta) da pclásica = me u = 2,05 x 10 -22 kg · m/s. Por tanto, ¡el resultado relativista correcto es 50 % mayor que el resultado clásico!

39-7. ENERGÍA RELATIVISTA Se ha visto que la definición de momentum lineal y las leyes de movimiento requieren de una generalización para hacerlas compatibles con el principio de la relatividad, lo que implica que la definición de energía cinética también debe modificarse. Para obtener la forma relativista del teorema del trabajo-energía cinética, primero use la definición de fuerza relativista, ecuación 39.20, para determinar el trabajo realizado sobre una partícula por una fuerza: W =

x2

∫

F dx =

x1

x2

d p

∫ d t dx

(39.21)

x1

para la fuerza y el movimiento, ambos a lo largo del eje x. Con el fin de efectuar esta integración, y encontrar el trabajo hecho sobre una partícula, así como la energía cinética relativista como una función de u, primero evalúe dp/dt:

d p d t

=

  d u   m d t d  m u  = 2  2 3 / 2 d t  u   1 − u   1 −   2  c   c 2  

Sustituyendo esta expresión para dp/dt y dx = u dt en la ecuación 39.21 se obtiene: W =

t

∫0

m (du / dt ) u dt

 u  1 − 2   c  2

3 / 2

u

= m∫ 0

u

 u  1 − 2   c  2

3 / 2

du

donde se usan los límites 0 y u en la integral del extremo derecho porque se ha supuesto que la partícula se acelera desde el reposo hasta cierta rapidez final u. Al evaluar la integral se encuentra que: W =

mc

2

1−

u

2

c

2

− mc2

(39.22)

Recuerde del capítulo 7 que el trabajo hecho por una fuerza que actúa sobre una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la misma. Debido a la suposición de que la rapidez inicial de la partícula es cero, se sabe que la energía cinética inicial es cero. Por tanto, se concluye que el trabajo W es equivalente a la energía cinética relativista K:

30

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Energía cinética relativista

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mc

K =

1−

2

v

2

c

2


− m c 2 = γ m c 2 − m c 2

(39.23)

Dicha ecuación por lo regular se confirma mediante experimentos que emplean aceleradores de partículas de alta energía. A bajas magnitudes de velocidad, donde u / c << 1, la ecuación 39.23 debe reducirse a la expresión clásica K = ½ mu2. Se verifica empleando la expansión del binomio (1 − x2)-1/2 = 1 + ½ x2 + ... para x << 1, donde las potencias de orden más alto de x se desprecian en la expansión. En el presente caso x = u / c, de modo que:

 u 2  = 1 − 2   c 

1 1−

u

2

c

2

−1 / 2

1 u2 = 1+ 2 2 c

La sustitución de esto en la ecuación 39.23 produce:

 1 u 2  1 2 2  − = K = m c 1 + m c mu 2  2  2 c  2

que es la expresión clásica para la energía cinética. Una gráfica que compara las expresiones relativista y no relativista se proporciona en la figura 39.19. En el caso relativista, la rapidez de la partícula nunca es mayor que c, independientemente de la energía cinética. Las dos curvas concuerdan bien cuando u << c. El término constante mc2 en la ecuación 39.23, el cual es independiente de la rapidez de la partícula, se denomina energía en reposo ER de la partícula (véase la sección 8.9). El término γ mc2, que sí depende de la rapidez de la partícula es, por tanto, la suma de las energías cinética y en reposo. Se define γ mc2 como la energía total E: Energía total = energía cinética + energía en reposo Definición de energía total: o

E = γ m c E =

2

mc

1−

= K + mc 2

(39.24)

2

u

2

c

2

(39.25)

Es la famosa ecuación respecto de la equivalencia masa-energía de Einstein.

Figura 39.19 Una gráfica donde se comparan las energías cinéticas relativista y no relativista. Las energías están trazadas como función de la rapidez. En el caso relativista u siempre es menor que c.

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31

La relación E = K + mc2 muestra que la masa es una forma de energía , donde c en el término de la energía en reposo es sólo un factor de conversión constante. Dicha expresión también demuestra que una masa pequeña corresponde a una cantidad enorme de energía, un concepto fundamental para las físicas nuclear y de partículas elementales. En muchas situaciones el momentum lineal o la energía de una partícula se mide en lugar de su rapidez. Por consiguiente, es útil tener una expresión que relacione la energía total E con el momentum lineal relativista p. Lo anterior se logra empleando las expresiones E = γ mc2 y p = γ mu. Al elevar al cuadrado estas ecuaciones y restar, se puede eliminar u (problema 39). El resultado, después de un poco de álgebra, es6: Relación energía-momentum

E 2

= p 2 c 2 + (m c 2 ) 2

(39.26)

Cuando la partícula está en reposo, p = 0, así que E = E R = mc2. Para partículas que tienen masa cero, como los fotones, se establece m = 0 en la ecuación 39.26, y se ve que: E = p c

(39.27)

La ecuación es una expresión exacta que relaciona la energía total y el momentum lineal para fotones, los cuales viajan siempre a la rapidez de la luz. Por último, advierta que en vista de que la masa m de una partícula es independiente de su movimiento, m debe tener el mismo valor en todos los marcos de referencia. Por esta razón, m se conoce con frecuencia como masa invariante. Por otra parte, puesto que la energía total y el momentum lineal de una partícula dependen de la velocidad, estas cantidades dependen del marco de referencia en el cual se miden. Puesto que m es una constante, se concluye a partir de la ecuación 39.26 que la cantidad E2 − p 2c2 debe tener el mismo valor en todos los marcos de referencia. Es decir, E 2 − p2c2 es invariante bajo una transformación de Lorentz. (Las ecuaciones 39.26 y 39.27 aún no toman en cuenta la energía potencial.) Cuando se trabaja con partículas subatómicas, es conveniente expresar su energía en electronvolts porque a las partículas por lo común se les da esta energía mediante aceleración a través de una diferencia de potencial. El factor de conversión, como usted recordará de la ecuación 25.5, es: 1.00 eV = 1.602 x 10 -19 J Por ejemplo, la masa de un electrón es 9,109 x 10 -31 kg. Por tanto, la energía en reposo del electrón es: mec2 = (9.109 x 10 -31 kg) (2.9979 x 10 8 m/s)2 = 8,187 x 10-14 J = (8.187 x 10-14 J) (1 eV /1.602 x 10 -19 J) = 0.511 MeV 6

Una forma de recordar esta relación es dibujar un triángulo rectángulo que tenga una hipotenusa de longitud E y catetos de longitudes pc y mc2. EJEMPLO 39-11 La energía de un electrón rápido Un electrón en un cinescopio de televisión típico se mueve a una rapidez u = 0.250c. Encuentre sus energías total y cinética en electronvolts. Solución Empleando el hecho de que la energía en reposo del electrón es 0,511 MeV junto con la ecuación 39.25, se tiene:

32

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me c

E =

1−

2

u

2

c

2

=

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0,511 MeV = 1,03 (0,511 MeV ) = 0,528 MeV 2 (0,250 c) 1− 2 c

Esto es 3 % mayor que la energía en reposo. La energía cinética se obtiene sustrayendo la energía en reposo de la energía total: K = E − mec2 = 0.528 MeV − 0.511 MeV = 0.017 MeV EJEMPLO 39-12. La energía de un protón rápido a) Encuentre la energía en reposo de un protón en electronvolts. b) Si la energía total de un protón es tres veces su energía en reposo, ¿a qué rapidez se mueve el protón? c) Determine la energía cinética del protón en electronvolts. d) ¿Cuál es el momentum del protón? Solución (a) ER = mpc2 = (1.67 x 10 -27 kg) (3,00 x 10 8 m/s)2 = (1.50 x 10-10 J)(l,00 eV/1.60 x 10 -19 J) = 938 MeV (b) La ecuación 39.25 produce: E = 3 m p c

2

=

m p c2

1−

u

2

c

2

3=

1 1−

u

2

c

2

u

=

Resolviendo para u se obtiene 2

1 1− 2 = 9 c u

u

2

c

2

=

8 9

8 8 c = 2,83 x10 m / s 9

(c) A partir de la ecuación 39.24: K = E − mpc2 = 3mpc2 − mpc2 = 2mpc2 Puesto que mpc2 = 938 MeV, K = 1 880 MeV (d) Se puede usar la ecuación 39.26 para calcular el momentum con E = 3m pc2: E2 = p2c2 + (mpc2)2 = (3mpc2)2 p2c2 = 9(mpc2)2 − (mpc2)2 = 8(mpc2)2 p =

8

mp c2 c

= 8

(938 MeV ) c

= 2 650 MeV

Por conveniencia, la unidad de momentum se escribe MeV/c.

39-8.

EQUIVALENCIA DE LA MASA Y LA ENERGÍA

Para entender la equivalencia de la masa y la energía, considere el siguiente experimento mental propuesto por Einstein al desarrollar su famosa ecuación E = mc2. Suponga una caja aislada de masa M caja y longitud L inicialmente en reposo, como se muestra en la figura 39.20a. Suponga que un pulso de luz se emite desde el lado izquierdo de la caja, como se muestra en la figura 39.20b. A partir de la ecuación

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33

39.27 se sabe que luz de energía E transporta un momentum lineal p = E / c. Por tanto, para conservar el momentum, la caja debe retroceder hacia la izquierda a una rapidez v.

Figura 39.20 a) Una caja de longitud L en reposo. b) Cuando un pulso luminoso dirigido hacia la derecha es emitido en el extremo izquierdo de la caja, ésta retrocede hacia la izquierda hasta que el pulso golpea el extremo derecho.

Suponiendo que la masa de la caja es muy grande, la rapidez de retroceso es muy pequeña comparada con la rapidez de la luz, y la conservación del momentum produce M caja v = E/c, o: El tiempo que tarda el pulso de luz en recorrer la longitud de la caja es aproximadamente ∆t = L/c. En este intervalo de tiempo la caja se mueve una pequeña distancia ∆x hacia la izquierda, donde:

∆ x = v ∆t =

EL M caja c 2

Luego la luz golpea el extremo derecho de la caja y le transfiere su momentum a la misma, lo que hace que la caja se detenga. Con la caja en su nueva posición, su centro de masa parece haberse movido a la izquierda. Sin embargo, su centro de masa no puede haberse movido, puesto que la caja es un sistema aislado. Einstein resolvió esta situación desconcertante suponiendo que además de la energía y el momentum, la luz también conduce masa. Si Mpulso es la masa efectiva conducida por el pulso luminoso, y si el centro de masa del sistema (caja más pulso luminoso) se mantiene fijo, entonces: M pulso L = M caja ∆ x

Resolviendo para Mpulso y empleando la expresión anterior para ∆x, se obtiene: M pulso

=

M caja ∆ x L

=

M caja L

EL M caja c

2

=

E c

2

o E = M pulso c

2

Einstein llegó a la profunda conclusión de que "si un cuerpo proporciona la energía E en la forma de radiación, su masa disminuye en E/c2,..." Aunque la relación E = mc2 se dedujo para la energía luminosa, la equivalencia de la masa y la energía es universal. La ecuación 39.24, E = γ mc2, la cual representa la energía total de cualquier partícula, sugiere que aun cuando una partícula está en reposo ( γ = 1), ésta todavía posee una energía enorme debido a su masa. Probablemente la prueba experimental más clara de la equivalencia de la masa y la energía ocurre en interacciones nucleares y de partículas elementales, donde se liberan grandes cantidades de energía, acompañadas por una disminución de masa. Ya que la energía y la masa están relacionadas, se ve que las leyes de la conservación de la energía y de la conservación de la masa son una y la misma. En términos sencillos, esta ley establece que la energía de un sistema de partículas antes de la interacción debe ser igual a la energía del sistema después de la interacción, donde la energía de la iésima partícula está dada por la expresión: Conversion de masa-energia

E i

=

mi c 2

1−

u i2 c2

= γ mi c 2

34

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La liberación de enormes cantidades de energía de las partículas subatómicas, acompañada por cambio en sus masas, es la base de todas las reacciones nucleares. En un reactor nuclear convencional, el núcleo de uranio experimenta fisión, una reacción que da lugar a varios fragmentos más ligeros que tienen energía cinética considerable. La masa combinada de todos los fragmentos es menor que la masa de los núcleos de uranio padres en una cantidad ∆m. La energía correspondiente ∆mc2 asociada con esta diferencia de masa es exactamente igual a la energía cinética total de los fragmentos. Tal energía cinética eleva la temperatura del agua en el reactor, convirtiéndola en vapor para la generación de energía eléctrica. En la reacción nuclear llamada fusión, dos núcleos atómicos se combinan para formar un núcleo individual. La reacción de fusión en la cual dos núcleos de deuterio se combinan para formar un núcleo de helio es de gran importancia en la investigación y desarrollo actuales de los reactores de fusión controlada. La reducción de la masa que resulta de la creación de un núcleo de helio a partir de dos núcleos de deuterio es ∆m = 4,25 x 10-29 kg. Por tanto, el correspondiente exceso de energía que se origina de una reacción de fusión es ∆mc2 = 3.83 x 10 -12 J = 23.9 MeV. Para apreciar la magnitud de este resultado, observe que si 1 g de deuterio se convierte en helio, ¡la energía liberada es casi de 10 12 J! A los costos actuales de la energía eléctrica (en Estados Unidos), esta cantidad de energía tendría un costo de casi 70 000 dólares. EJEMPLO CONCEPTUAL 39-13 Como la masa es una medida de energía, ¿puede concluirse que la masa de un resorte comprimido es mayor que la masa del mismo resorte cuando no está comprimido? Solución Recuerde que cuando un resorte con constante de fuerza k se comprime (o alarga) una distancia x a partir de su posición de equilibrio, almacena energía potencial elástica U = ½ kx2. De acuerdo con la teoría especial de la relatividad, cualquier cambio en la energía total de un sistema es equivalente a un cambio en la masa del sistema. Por tanto, la masa de un resorte comprimido (o alargado) es mayor que la masa del resorte en su posición de equilibrio en una cantidad U/c 2. EJEMPLO 39-14 Energía de enlace del deuterón Un deuterón, el cual es el núcleo de un átomo de deuterio, contiene un protón y un neutrón, y tiene una masa de 2,013 553 u. La masa total del deuterón no es igual a la suma de las masas del protón y el neutrón. Calcule la diferencia de masa y determine su equivalencia de energía, la cual se conoce como energía de enlace del núcleo. Solución Empleando unidades de masa atómica (u), se tiene mp = masa del protón = 1.007276 u mn = masa del neutrón = 1.008 665 u mp + mn = 2.015 941 u La diferencia de masa ∆m es, por tanto, 0.002 388 u. Por definición, 1 u = 1.66 x 10 -27 kg, y, en consecuencia:

∆m = 0.002 388 u = 3,96 x 10 -30 kg Al emplear E = ∆m c2 se encuentra que la energía de enlace es: E = ∆mc2 = (3.96 x 10-30 kg) (3,00 x 108 m/s)2 = 3,56 x 10−13 J = 2,23 MeV

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En consecuencia, la mínima energía requerida para separar el protón del neutrón en el núcleo de deuterio (la energía de enlace) es 2,23 MeV.

39-9. RELATIVIDAD Y ELECTROMAGNETISMO Considere dos marcos de referencia S y S' que están en movimiento relativo, y suponga que una carga individual q está en reposo en el marco de referencia S'. De acuerdo con un observador en este marco, un campo eléctrico rodea a la carga. Sin embargo, un observador en el marco S dice que la carga está en movimiento y, en consecuencia, mide tanto un campo eléctrico como un campo magnético. El campo magnético medido por el observador en el marco S es creado por la carga en movimiento, lo cual constituye una corriente eléctrica. En otras palabras, los campos eléctrico y magnético son visualizados de manera diferente en marcos de referencia que están en movimiento relativo uno con respecto del otro. En seguida se describe una situación que muestra cómo un campo eléctrico en un marco de referencia se ve como un campo magnético en otro marco de referencia. Una carga de prueba positiva q se mueve paralela a un alambre que conduce corriente con velocidad v relativa al alambre en el marco S, como se muestra en la figura 39.21a. Suponga que la carga neta en el alambre es cero y que los electrones en el alambre también se mueven a velocidad v en una línea recta. La corriente hacia la izquierda en el alambre produce un campo magnético que forma círculos alrededor del alambre y se dirige hacia adentro de la página en la ubicación de la carga de prueba móvil. Por tanto, una fuerza magnética FB = q v x B que se aleja del alambre actúa sobre la carga de prueba. Sin embargo, ninguna fuerza eléctrica actúa sobre la carga de prueba debido a que la carga neta sobre el alambre es cero cuando se observa en este marco.

Figura 39.21 a) En un marco S, la carga positiva q se mueve hacia la derecha con una velocidad v, y el alambre conductor de corriente está estacionario. Un campo magnético B rodea al alambre, y la carga experimenta una fuerza magnética dirigida alejándose del alambre. b) En el marco S' el alambre se mueve hacia la izquierda a una velocidad − v, y la carga q está estacionaria. El alambre crea un campo eléctrico E, y la carga experimenta una fuerza eléctrica dirigida alejándose del alambre.

Ahora considere la misma situación vista desde el marco S', donde la carga de prueba está en reposo (figura 39.21b). En tal marco las cargas positivas en el alambre se mueven hacia la izquierda, los electrones en el alambre están en reposo, y el alambre aún conduce una corriente. Puesto que la carga de prueba no se está moviendo en el marco, FB = q v x B = 0; no hay fuerza magnética ejercida sobre la carga de prueba cuando se visualiza en este marco. Sin embargo, si una fuerza es ejercida sobre la carga de prueba en el marco S', el marco del alambre, como antes se describió, una fuerza debe ser ejercida sobre ella en cualquier otro marco. ¿Cuál es el origen de esta fuerza en el marco S, el marco de la carga de prueba? La respuesta a esta pregunta la proporciona la teoría especial de la relatividad. Cuando la situación se visualiza en el marco S, como en la figura 39.21a, las cargas positivas están en reposo y los electrones en el alambre se mueven hacia la derecha a una velocidad v. Debido a la contracción de la longitud, los electrones parecen estar más cercanos que su separación propia. Como no existe carga neta en el alambre, esta separación contraída debe ser igual a la separación entre las cargas positivas estacionarias. La situación es muy diferente cuando se visualiza en el marco S' mostrado en la figura 39.21b. En este marco las cargas positivas aparecen más cercanas debido a la contracción de la longitud, y los electrones en el alambre están en reposo con una separación que es mayor a la percibida en el marco S. Por tanto, existe una carga positiva neta sobre el alambre cuando se visualiza en el marco S'. La carga neta positiva produce que un campo eléctrico apunte alejándose del alambre hacia la carga de prueba, y de este modo la

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carga de prueba experimenta una, fuerza eléctrica que se aleja del alambre. En consecuencia, lo que se percibe como un campo magnético (y una fuerza magnética correspondiente) en el marco del alambre, se transforma en un campo eléctrico (y una fuerza eléctrica correspondiente) en el marco de la carga de prueba.

39-10. LA TEORÍA GENERAL DE LA RELATIVIDAD Hasta aquí se ha evadido un curioso acertijo. La masa tiene dos propiedades aparentemente diferentes: una atracción gravitacional con otras masas, y una propiedad inercial que se opone a la aceleración. Para designar estos dos atributos se emplean los subíndices g e i y se escribe: Propiedad gravitacional: Propiedad inercial :

Fg = mg g ΣF = mi a

El valor para la constante gravitacional G fue elegido para hacer numéricamente iguales las magnitudes de mg y m i. Sin embargo, de manera independiente a cómo se elija G, la proporcionalidad estricta de m g y mi se ha establecido de manera experimental hasta un grado muy alto: unas cuantas partes en 10 12. Así, parece que la masa gravitacional y la masa inercial pueden en efecto ser exactamente iguales. ¿Pero por qué? Ellos parecen involucrar dos conceptos diferentes por completo: una fuerza de atracción gravitacional mutua entre dos masas, y la resistencia de una sola masa a ser acelerada. La pregunta, que intrigó a Newton y a muchos otros físicos durante años, fue contestada cuando Einstein publicó en 1916 su teoría de la gravitación, conocida como teoría genéral de la relatividad. Como ésta es una teoría matemáticamente compleja, sólo se ofrece una muestra de su elegancia y profundidad. Desde el punto de vista de Einstein, la notable coincidencia de que mg y mi parecen ser proporcionales entre sí fue una señal de la muy íntima y básica conexión entre los dos conceptos. Einstein señaló que ningún experimento mecánico (como dejar caer una masa) podría distinguir entre las dos situaciones ilustradas en las figuras 39.22a y b. En cada caso la maleta que cae se somete a una aceleración g hacia abajo respecto al piso.

Figura 39.22 a) El observador está en reposo en un campo gravitacional uniforme g. b) El observador está en una región donde la gravedad es despreciable, pero el marco de referencia es acelerado por una fuerza externa F que produce una aceleración g. De acuerdo con Einstein, los marcos de referencia en las partes a) y b) son equivalentes en todos sentidos. Ningún experimento local puede distinguir diferencia alguna entre los dos marcos. c) Si las partes a) y b) en verdad son equivalentes, como Einstein propuso, entonces un rayo de luz debería doblarse en un campo gravitacional.

Einstein llevó esta idea más allá y propuso que ningún experimento, mecánico o de otra índole, podría distinguir entre los dos casos. La extensión para incluir todos los fenómenos (no sólo los mecánicos) tiene interesantes consecuencias. Por ejemplo, suponga que un pulso luminoso se envía horizontalmente a través del elevador, como se bosqueja en la figura 39.22c. Durante el tiempo que tarda la luz en efectuar el viaje, la pared derecha del elevador ha acelerado hacia arriba. Lo anterior provoca que la luz llegue a una ubicación más baja sobre la pared de lo que el punto habría golpeado si el elevador no estuviese acelerado. Por ende, en el marco del elevador, la trayectoria del pulso de luz se desvía hacia abajo cuando

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el elevador acelera hacia arriba para encontrarlo. Como el elevador acelerado no se puede distinguir de uno no acelerado ubicado en un campo gravitacional, Einstein propuso que un haz de luz también debe desviarse hacia abajo por efecto de un campo gravitacional. Los experimentos han verificado el efecto, aunque la desviación es pequeña. Un láser disparado al horizonte cae menos de un cm después de viajar 6 000 km. (Ninguna desviación así se predice en la teoría de la gravitación de Newton.) Los dos postulados de la teoría general de la relatividad de Einstein son:

• •

Todas las leyes de la naturaleza tienen la misma forma para observadores en cualquier marco de referencia, esté o no acelerado. En los alrededores de cualquier punto, un campo gravitacional es equivalente a un marco de referencia acelerado en ausencia de efectos gravitacionales. (Éste es el principio de equivalencia.)

El segundo postulado implica que la masa gravitacional y la masa inercial son completamente equivalentes, no sólo proporcionales. Lo que se pensaba que eran dos tipos diferentes de masa en realidad son masas idénticas. . Un efecto interesante predicho por la teoría general es que las escalas de tiempo son alteradas por la gravedad. Un reloj en presencia de la gravedad funciona más lentamente que uno donde la gravedad es despreciable. En consecuencia, las frecuencias de la radiación emitida por átomos en presencia de un intenso campo gravitacional están corridas al rojo hacia frecuencias menores cuando se comparan con las mismas emisiones en presencia de un campo débil. Este corrimiento gravitacional hacia el rojo se ha detectado en líneas espectrales emitidas por átomos en estrellas de gran masa. También se ha verificado sobre la Tierra comparando las frecuencias de rayos gamma (una forma de radiación electromagnética de alta energía) emitidos por núcleos separados verticalmente casi 20 m.

Esta unidad del Sistema Global de Posicionamiento (GPS, por sus siglas en inglés) incorpora, en los análisis de las señales que recibe de los satélites en órbita, cálculos de tiempo corregidos de manera relativista. Estas correcciones permiten a la unidad determinar su posición sobre la superficie de la Tierra hasta unos cuantos metros. Si las correcciones no se hubiesen realizado, el error de ubicación sería de casi un km. (Corlesía de Thmble Navigation Limited) PREGUNTA SORPRESA 39-7 Dos relojes idénticos están en la misma casa, uno en la planta alta, en una recámara, y el otro en la planta baja, en la cocina. ¿Cuál reloj funciona más lentamente? El segundo postulado sugiere que un campo gravitacional puede "transformarse a distancia" en algún punto si se elige un marco de referencia acelerado apropiado -por ejemplo, uno cayendo libremente-. Einstein desarrolló un ingenioso método para describir la aceleración necesaria para "desaparecer" el campo gravitacional. Especificó un concepto, la curvatura del espacio-tiempo, que describe el efecto gravitacional en cada punto. De hecho, la curvatura del espacio-tiempo reemplaza por completo la teoría gravitacional de Newton. De acuerdo con Einstein, no hay una cosa como una fuerza gravitacional. En lugar de eso la presencia de una masa ocasiona una curvatura del espacio-tiempo en la vecindad de la masa, y esta curvatura dicta la trayectoria del espacio-tiempo que todos los objetos que se mueven libremente deben seguir. En 1979 John Wheeler resumió la teoría general de la relatividad de Einstein en una simple oración: "El espacio le dice a la materia cómo moverse y la materia le dice al espacio cómo curvarse."

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Considere dos viajeros sobre la superficie de la Tierra que caminan directamente hacia el Polo Norte pero parten de diferentes puntos. Aun cuando ambos digan que están caminando hacia el norte y, en consecuencia, deberían seguir trayectorias paralelas, se ven acercándose cada vez más, como si fuesen atraídos de algún modo, uno respecto del otro. La curvatura de la Tierra provoca este efecto. En una forma similar, lo que se suele considerar como la atracción gravitacional entre dos masas son, desde el punto de vista de Einstein, dos masas curvando el espacio-tiempo y atrayéndose una hacia la otra como resultado, en forma muy parecida a dos bolas de boliche rodando juntas sobre una mesa. Una predicción de la teoría genera1 de la relatividad es que un rayo de luz que pase cerca del Sol deberá desviarse en el espacio-tiempo curvo creado por la masa del Sol. Tal predicción fue confirmada cuando los astrónomos detectaron el curvado de la luz estelar cerca del Sol durante un eclipse solar total que sucedió poco después de la Primera Guerra Mundial (Fig. 39-23). Cuando se anunció el descubrimiento, Einstein se convirtió en una celebridad internacional. Si la concentración de la masa se vuelve muy grande, como se cree que ocurre cuando una gran estrella agota su combustible nuclear y se colapsa hasta un volumen muy pequeño, es posible que se forme un agujero negro. Aquí, la curvatura del espacio-tiempo es tan extrema que, dentro de cierta distancia desde el centro del agujero negro, toda la materia y la luz quedan atrapadas.

Figura 39.23 Desviación de luz estelar que pasa cerca del Sol. Debido a este efecto, el Solo algún otro objeto remoto puede actuar como una lente gravitacional En su teoría general de la relatividad, Einstein calculó que la luz estelar que apenas roza la superficie del Sol deberá desviarse un ángulo de 1.75".

Cruz de Einstein. Los cuatro puntos brillantes son imágenes de la misma galaxia que se doblaron alrededor de un objeto masivo ubicado entre la galaxia y la Tierra. El objeto actúa como una lente, provocando que los rayos de luz que fueron desviados de la galaxia distante converjan en la Tierra. (Si el objeto interventor tuviera una distribución de masa uniforme, se vería un anillo brillante en lugar de cuatro puntos.) (Cortesía de la NASA)

RESUMEN Los dos postulados básicos de la teoría especial de la relatividad son:

•

Las leyes de la física deben ser las mismas en todos los marcos de referencia inerciales

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•

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La rapidez de la luz en el vacío tiene el mismo valor, c = 3,00 x 108 m/s, en todos los marcos inerciales, independientemente de la velocidad del observador o de la velocidad de la fuente que emite la luz.

Tres consecuencias de la teoría especial de la relatividad son:

• • •

Los eventos que son simultáneos para un observador no son simultáneos para otro observador que se encuentre en movimiento relativo respecto del primero. Los relojes en movimiento relativo a un observador parecen retardarse por un factor γ = (1 − v2 /c2)−1/2. Este fenómeno se conoce como dilatación del tiempo. Las longitudes de los objetos en movimiento parecen contraerse en la dirección de movimiento por un factor l/ γ = (1 − v2 /c2)1/2. Este fenómeno se conoce como contracción de la longitud.

Para satisfacer los postulados de la relatividad especial, las ecuaciones de transformación galileanas deben sustituirse por las ecuaciones de transformación de Lorentz: x' = γ ( x − vt ) y' = y z' = z 2 t’ = γ ( t −(v / c ) x )

(39.11)

donde γ = (1 − v2 / c2)−1/2. La forma relativista de la ecuación de transformación de la velocidad es:

=

'

u x

u x

−v

1−

u x v c

(39.16)

2

donde u x es la rapidez de un objeto como se mide en el marco S y u x' es su rapidez medida en el marco S'. La expresión relativista para el momentum lineal de una partícula que se mueve a una velocidad u es: →

p

→

=

→

mu

1−

v

2

c

2

= γ m u

(39.19)

La expresión relativista para la energía cinética de una partícula es: Ec

= K = γ m c 2 − m c 2

(39.23)

donde mc2 se denomina energía en reposo de la partícula. La energía total E de una partícula se relaciona con la masa m de la partícula mediante la famosa expresión de la equivalencia masa-energía: E =

mc

1−

2

u

2

(39.25)

c2

El momentum lineal relativista se relaciona con la energía total por medio de la ecuación: E 2

= p 2 c 2 + (m c 2 ) 2

(39.26)

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PREGUNTAS 1.

¿Cuáles dos mediciones de rapidez que hacen dos observadores en movimiento relativo concuerdan siempre?

2.

Una nave espacial en forma de esfera con respecto a un observador sobre la Tierra pasa a una rapidez de 0,5c. ¿Qué forma ve el observador cuando la nave espacial pasa junto a él?

3.

Un astronauta se aleja de la Tierra a una rapidez cercana a la de la luz. Si un observador sobre la Tierra mide el tamaño y el pulso del astronauta, ¿qué cambios (si los hay) mediría el observador? ¿El astronauta mediría algunos cambios sobre sí mismo?

4.

Dos relojes idénticos están sincronizados. Uno se pone en órbita dirigido hacia el este alrededor de la Tierra, mientras el otro permanece en la misma. ¿Cuál reloj funciona más lentamente? Cuando el reloj en movimiento regresa a la Tierra, ¿los dos siguen sincronizados?

5.

Dos láseres situados sobre una nave espacial en movimiento se disparan simultáneamente. Un observador sobre la nave espacial afirma que vio los pulsos de luz de manera simultánea. ¿Qué condición es necesaria de manera que concuerde un segundo observador?

6.

Cuando se dice que un reloj en movimiento funciona más despacio que uno estacionario, ¿significa que hay algo físicamente inusual relacionado con el reloj en movimiento?

7.

Liste algunas maneras en las que la vida cotidiana cambiaría si la rapidez de la luz fuera de sólo 50 m/s.

8.

Proporcione un argumento fisico que muestre que es imposible acelerar un objeto de masa m a la rapidez de la luz, incluso con una fuerza continua que actúe sobre él.

9.

Se dice que Einstein, en sus años de adolescente, planteó la pregunta: .. ¿Qué vería en un espejo si lo llevara en mis manos y corriera a la rapidez de la luz?" ¿Cómo respondería usted a esta pregunta?

10.

Algunos objetos estelares distantes, llamados quasares, se alejan de la Tierra a la mitad (o más) de la rapidez de la luz. ¿Cuál es la rapidez de la luz que se recibe de estos quasares?

11.

¿Cómo es posible que los fotones de luz, los cuales tienen masa cero, tengan momentum?

12.

Respecto de marcos de referencia, ¿cómo difiere la relatividad general de la relatividad especial?

13.

Describa cómo cambiarían los resultados del ejemplo 39.7 si, en lugar de naves espaciales rápidas, dos carros ordinarios estuviesen acercándose entre sí a magnitudes de velocidad de carretera.

14.

Dos objetos son idénticos, sólo que uno está más caliente que el otro. Compare cómo responden a fuerzas idénticas.

PROBLEMAS Sección 39.1 El principio de la relatividad galileana 39-1. Un carro de 2 000 kg que se desplaza a 20,0 m/s choca y se queda pegado a un carro de 1 500 kg en reposo en un semáforo. Demuestre que el momentum se conserva en un marco de referencia que se mueve a 10,0 m/s en la dirección del carro en movimiento. RESPUESTA:

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39-2. Una bola se lanza a 20,0 m/s dentro de un vagón que se mueve sobre las vías a 40,0 m/s. ¿Cuál es la rapidez de la bola relativa al suelo si ésta se lanza a) hacia adelante, b) hacia atrás y c) fuera de la puerta lateral? 39-3. En un marco de referencia de un laboratorio, un observador nota que la segunda ley de Newton es válida. Muestre que ésta también es válida para un observador que se mueve a una rapidez constante, pequeña en comparación con la rapidez de la luz, relativa al marco d laboratorio. RESPUESTA: 39-4. Muestre que la segunda ley de Newton no es válida en un marco de referencia que se mueve respecto del marco del laboratorio del problema 3 con una aceleración constante. Sección 39.2 El experimento de Michelson-Morley Sección 39.3 Principio de la relatividad de Einstein Sección 39.4 Consecuencias de la teoría especial de la relatividad 39-5. ¿Qué tan rápido debe moverse una cinta métrica si se observa que su longitud se contrae a 0,500 m? RESPUESTA: 0,866 c 39-6. ¿A qué rapidez tiene que moverse un reloj para funcionar a un ritmo igual a la mitad del correspondiente a un reloj en reposo? 39-7. Un astronauta está viajando en un vehículo espacial que tiene una rapidez de 0,500c respecto a la Tierra. El astronauta mide su pulso en 75,0 latidos por minuto. Señales generadas por el pulso del astronauta son radiadas a la Tierra cuando el vehículo se mueve en una dirección perpendicular a una línea que enlaza al vehículo con un observador sobre la Tierra. ¿Qué pulso mide el observador terrestre? ¿Cuál sería el pulso si la rapidez del vehículo espacial se incrementara a 0,990c? RESPUESTA: 64,9/min; 10,6/min 39-8. La longitud propia de una nave espacial es tres veces la de otra. Las dos naves espaciales viajan en la misma dirección y, mientras ambas pasan arriba, un observador en la Tierra las mide y obtiene la misma longitud. Si la nave más lenta se desplaza a una rapidez de 0,350c, determine la rapidez de la más rápida. 39-9. Un reloj atómico se mueve a 1 000 km/h durante una hora mientras es medido por un reloj idéntico sobre la Tierra. ¿Cuántos nanosegundos se retrasará el reloj en movimiento al final del intervalo de una hora? RESPUESTA: 1,54 nm 39-10. Si unos astronautas pudieran viajar a v = 0,950c, en la Tierra se afirmaría que tardan (4,20/0,950) = 4.42 años para llegar a Alfa Centauri, a 4,20 años luz de distancia. Los astronautas no estarían de acuerdo. a) ¿Cuánto tiempo pasa en los relojes de los astronautas? b) ¿Qué distancia a Alfa Centauri miden los astronautas? 39-11. Una nave espacial con una longitud propia de 300 m tarda 0,750 p.s en pasar a un observador terrestre. Determine la rapidez de esta nave espacial de acuerdo a como la mide el observador en la Tierra. RESPUESTA: 0,800 c

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39-12. A una nave espacial con una longitud propia L p le toma t tiempo pasar a un observador terrestre. Determine la rapidez de esta nave espacial de acuerdo con la manera en que la mide el observador en la Tierra. 39-13. Un muón formado a gran altura en la atmósfera de la Tierra viaja a una rapidez v = 0,990c a lo largo de una distancia de 4,60 km antes de decaer en un electrón, un neutrino y un antineutrino −

−

−

(µ → e + v + v ). a) ¿Cuánto vive el muón, según se mide en su marco de referencia? b) ¿Qué tan lejos viaja el muón, según se mide en su marco de referencia? RESPUESTA: (a) 2,18 µs; (b) 649 m 39-14. En 1962, cuando el astronauta del Mercury, Scott Carpenter, orbitó la Tierra 22 veces, la prensa señaló que por cada órbita que recorría envejecía 2 millonésimas de segundo menos de los que hubiera envejecido al permanecer en la Tierra. a) Suponiendo que él estaba a 160 km sobre la Tierra en una órbita circular, determine la diferencia de tiempo entre alguien en la Tierra y Carpenter para las 22 órbitas. Necesitará usar la aproximación 1 − x ≈ 1 − x / 2 para x pequeñas. b) ¿La información de la prensa es exacta? Explique. 39-15. El pión tiene una vida promedio de 26,0 ns cuando está en reposo. Para que recorra 10,0 m, ¿con qué rapidez debe moverse? RESPUESTA: 0,789 c 39-16. ¿Para qué valores de v, γ = 1,01? Observe que para magnitudes de velocidad menores que este valor, la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud son efectos menores al uno por ciento. 39-17. Uno de sus amigos pasa junto a usted en una nave espacial que viaja a alta rapidez. Él le dice que su nave mide 20,0 m de largo y que la nave en la que usted está sentado, construida de manera idéntica, mide 19,0 m de largo. De acuerdo con sus observaciones, a) ¿cuánto mide su nave? b) ¿cuánto mide la nave de su amigo? y c) ¿cuál es la rapidez de la nave de su amigo? RESPUESTA: (a) 20,0 m; (b) 19,0 m; (c9 0,312 c 39-18. Desde la Tierra se lanza una sonda espacial interestelar. Después de un breve periodo de aceleración la sonda se mueve a una velocidad constante, 70,0% de la rapidez de la luz. Sus baterías nucleares le proporcionan la energía para mantener continuamente activo su transmisor de datos. Las baterías tienen un tiempo de vida de 15,0 años, medidos en un marco en reposo. a) ¿Cuánto duran las baterías en la sonda espacial, medidas en el Control de la Misión en la Tierra? b) ¿A qué distancia de la Tierra está la sonda cuando se agotan sus baterías, según mide el Control de la Misión? c) ¿Qué tan lejos está la sonda de la Tierra cuando sus baterías se agotan, según mide su propio odómetro de viaje? d) ¿Durante cuánto tiempo total después del lanzamiento se reciben datos desde la sonda en el Control de la Misión? Advierta que las ondas de radio viajan a la rapidez de la luz y llenan el espacio entre la sonda y la Tierra en el momento en que se agota la batería. 39-19. Una civilización extraterrestre ocupa una enana café, casi estacionaria en relación con el Sol, a muchos años luz de distancia. Los extraterrestres han llegado a amar las transmisiones originales del The Ed Sullivan Show, en el canal 2 de televisión, a una frecuencia de 57,0 MHz. Su línea de visión hacia la Tierra está en el plano de la órbita terrestre. Encuentre la diferencia entre las frecuencias mayor y menor que ellos reciben debido al movimiento orbital de la Tierra alrededor del Sol. RESPUESTA: 1,13 x 104 Hz 39-20. El radar de policía detecta la rapidez de un auto (Fig. P39.20) del modo siguiente: se transmiten hacia el auto microondas de una frecuencia conocida con precisión. El auto en movimiento refleja

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las microondas con un corrimiento Doppler. Las ondas reflejadas se reciben y combinan con una versión atenuada de la onda transmitida. Entre las dos señales de microondas ocurren golpeteos rítmicos. Se mide la frecuencia del golpeteo. a) Para una onda electromagnética reflejada de regreso a su fuente desde un espejo acercándose a rapidez v, demuestre que la onda reflejada tiene frecuencia: f = f fuente

c+v c−v

donde f fuente es la frecuencia de la fuente. b) Cuando v es mucho

menor que c, la frecuencia del golpeteo es mucho menor que la frecuencia transmitida. En este caso use la aproximación f + f fuente = 2 f fuente y muestre que la frecuencia del golpeteo se puede escribir como f b = 2v / λ. c) ¿Qué frecuencia de golpeteo se mide para una rapidez de auto de 30,0 m/s si las microondas tienen frecuencia de 10,0 GHz? d) Si la medida de la frecuencia del golpeteo es precisa a ± 5 Hz, ¿qué tan precisa es la medición de velocidad?

Figura P39.20 (Trent Steffler/David R. Frazier Photolibrary)

39-21. El corrimiento hacia el rojo. Una fuente luminosa se aleja de un observador a rapidez v fuent , , la cual es pequeña comparada con c. a) Muestre que el corrimiento fraccionario en la longitud de onda medida está dado por la expresión aproximada:

∆ f f

=

v fuente c

. Este fenómeno se conoce

como el corrimiento hacia el rojo debido a que la luz visible se desplaza hacia el rojo. b) Las mediciones espectroscópicas de luz a λ = 397 nm provenientes de una galaxia en la Osa Mayor revelan un corrimiento hacia el rojo de 20 nm. ¿Cuál es la rapidez de retroceso de la galaxia? RESPUESTA: (b) 0,050 4 c Sección 39.5 las ecuaciones de transformación de Lorente 39-22. Una nave espacial viaja a 0,750c respecto de la Tierra. Si la nave espacial dispara un pequeño cohete hacia adelante, ¿con qué rapidez (en relación con la nave) se debe disparar el cohete para que viaje a 0,950c respecto de la Tierra? 39-23. Dos chorros de material provenientes del centro de una diogalaxia vuelan alejándose en direcciones opuestas. Ambos chorros se mueven a 0,750c respecto de la galaxia. Determine la rapidez de un chorro en relación con el otro. RESPUESTA: 0,960 c 39-24. Una barra en movimiento tiene una longitud de 2,00 m, y está orientada a un ángulo de 30,0° respecto a la dirección del movimiento (Fig. P39.24). La barra tiene una rapidez de 0,995c. a) ¿Cuál es la longitud propia de la barra? b) ¿Cuál es el ángulo de orientación en el marco propio?

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Figura P39.24

39-25. Una nave espacial Klingon se mueve alejándose de la Tierra a una rapidez de 0,800c (Fig. P39.25). La nave estelar Enterprise la persigue a una rapidez de 0,900c respecto de la Tierra. Los observadores en la Tierra ven que la Enterprise alcanza a la nave Klingon a una rapidez relativa de 0,100c. ¿A qué rapidez la Enterprise alcanza a la nave Klingon según observa la tripulación del Entelprise?

Figura P39.25

RESPUESTA: 0,357 c 39-26. Una luz roja destella en la posición x R = 3,00 m y el tiempo t R = 1,00 x 10 -9 s, y una luz azul destella en x B = (5,00 t ) m y t B= 9,00 x 10-9 s (todos los valores están medidos en C el marco de referencia S). El marco de referencia S' tiene su origen en el mismo punto que S en t = t' = 0; el marco S' se mueve de manera constante hacia la derecha. Se observa que ambos destellos ocurren en el mismo lugar en S'. a) Encuentre la velocidad relativa entre S y S'. b) Encuentre la ubicación de los dos destellos en el marco S'. c) ¿En qué tiempo ocurre el destello rojo en el marco S'? Sección 39.6 Momentum lineal relativista y forma relativista de las leyes de Newton 39-27. Calcule el momentum de un electrón que se mueve a a) 0,010 0 c, b) 0,500c, c) 0.900c. RESPUESTA: (a) 2,73 x 10 −24 kg · m/s; (b) 1,58 x 10 −22 kg · m/s; (c) 5,64 x 10 −22 kg · m/s 39-28. La expresión no relativista para el momentum de una partícula, p = mu, se puede usar si u << c. ¿Para qué rapidez el uso de esta fórmula registra un error en el momentum de a) 1,00 por ciento y b) 10,0 por ciento? 39-29. Una pelota de golf viaja a una rapidez de 90,0 m/s. ¿En qué fracción su momentum relativista p difiere de su valor clásico mu? Esto es, encuentre la proporción ( p - mu)/ mu. RESPUESTA: 4,50 x 10−14 39-30. Muestre que la rapidez de un objeto que tiene un momentum p y masa m es: u =

c

1 − (mc / p) 2

39-31. Una partícula inestable en reposo se rompe en dos fragmentos de masas distintas. La masa del fragmento más ligero es 2,50 x 10-28 kg, y la del fragmento más pesado es 1,67 x 10 -27 kg. Si el fragmento más ligero tiene una rapidez de 0,893 c después del rompimiento, ¿cuál es la rapidez del fragmento más pesado?

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RESPUESTA: 0,285 c Sección 39.7 Energía relativista 39-32. Determine la energía requerida para acelerar un electrón a) desde 0,500c a 0,900c, y b) desde 0,900c a 0,990c. 39-33. Encuentre el momentum de un protón en unidades de MeV / c, si su energía total es el doble de su energía en reposo. RESPUESTA: 1,63 x 103 MeV 39-34. Demuestre que, para cualquier objeto que se mueve a menos de un décimo de la rapidez de la luz, la energía cinética relativista concuerda con el resultado de la ecuación clásica K = mu2 /2 a una precisión menor de 1 %. Por tanto, para la mayor parte de los propósitos, la ecuación clásica es lo suficientemente buena para describir estos objetos, cuyo movimiento se denomina no relativista. 39-35. Un protón se mueve a 0,950c. Calcule a) su energía en reposo, b) su energía total y c) su energía cinética. RESPUESTA: (a) 99 MeV, (b) 3,01 GeV; (c) 2,07 GeV 39-36. Un electrón tiene una energía cinética cinco veces mayor que su energía en reposo. Encuentre a) su energía total y b) su rapidez. 39-37. Un cubo de acero tiene un volumen de 1,00 cm y una masa de 8,00 g cuando está en reposo en la Tierra. Si a este cubo ahora se le da una rapidez u = 0.900c, ¿cuál es su densidad cuando es medida por un observador estacionario? Advierta que la densidad relativista es E R / c2V RESPUESTA: 18,4 g/cm3 39-38. Una partícula inestable con una masa de 3.,4 x 10 -27 kg está inicialmente en reposo. La partícula decae en dos fragmentos que vuelan alejándose a velocidades de 0,987c y −0.868c. Encuentre las masas de los fragmentos. (Sugerencia: se conserva tanto la masa-energía como el momentum.) 39-39. Muestre que la relación energía-momentum E2 = p2c2 + (mc2)2 se deriva de las expresiones E = γ mc2 y p = γ mu. RESPUESTA: 39-40. Un protón en un acelerador de alta energía adquiere una energía cinética de 50,0 GeV. Determine a) su momentum y b) su rapidez. 39-41. En un cinescopio de televisión a color ordinario, los electrones se aceleran a través de una diferencia de potencial de 25 000 V. a) ¿Qué rapidez tienen los electrones cuando golpean sobre la pantalla? b) ¿Cuál es su energía cinética en joules? RESPUESTA: (a) o,302 c;(b9 4,00 f J 39-42. Se aceleran electrones hasta una energía de 20,0 GeV en el acelerador lineal de Stanford de 3,00 km de largo. a) ¿Cuál es el factor γ para los electrones? b) ¿Cuál es su rapidez? c) ¿Qué tan largo parece el acelerador para ellos? 39-43. Un pión en reposo (mπ = 270m.) decae en un muón ( m µ = 206m.) y un antineutrino (mν = 0). La −

reacción se escribe π− → µ− + v . Encuentre la energía cinética del muón y del antineutrino en electronvolts. (Sugerencia: el momentum relativista se conserva.)

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RESPUESTA: 3,88 MeV y 28,8 MeV Sección 39.8 Equivalencia de la masa y la energía 39-44. Realice una estimación del orden de magnitud de la proporción del aumento de masa a la masa original de una bandera conforme usted la sube por el asta-bandera. En su solución explique qué cantidades tomó como datos y los valores que estimó o midió para ellos. 39-45. Cuando 1,00 g de hidrógeno se combina con 8,00 g de oxígeno, se forman 9,00 g de agua. Durante esta reacción química se liberan 2,86 x 105 J de energía. ¿Cuánta masa pierden los constituyentes de esta reacción? ¿Es posible detectar la pérdida de masa? RESPUESTA: 3,18 x 10−12 kg; no detectable 39-46. Una nave espacial de 1,00 x 10 6 kg de masa se va a acelerar hasta 0.600c. a) ¿Cuánta energía requiere lo anterior? b) ¿Cuántos kilogramos de materia tomaría proporcionar toda esta energía? 39-47. En una planta nucleoeléctrica las barras de combustible duran tres años antes de ser reemplazadas. Si una planta con potencia térmica nominal de 1,00 GW opera a 80,0 % de capacidad durante los tres años, ¿cuál es la pérdida de masa del combustible? RESPUESTA: 0,842 kg 39-48. Un núcleo de 57Fe en reposo emite un fotón de 14,0 keV. Emplee la conservación de la energía y el momentum para deducir la energía cinética del núcleo que retrocede en electronvolts. (Emplee mc2 = 8,60 x 10 -9 J para el estado final del núcleo de 57Fe.) 39-49. La salida de potencia del Sol es de 3,77 x 10 26 W. ¿Cuánta masa se convierte en energía en el Sol cada segundo? RESPUESTA: 4,19 x 109 kg/s 39-50. Un rayo gamma (un fotón de luz de alta energía) puede producir un electrón (e −) y un positrón (e+) cuando entra en el campo eléctrico de un núcleo pesado: ( γ → e+ + e −). ¿Qué energía de rayo gamma mínima se requiere para llevar a cabo esta tarea? (Sugerencia: las masas del electrón y el positrón son iguales.) Sección 39.9 Relatividad y electromagnetismo 39-51. Según miden observadores en un marco de referencia S, una partícula que tiene carga q se mueve a velocidad v en un campo magnético B y un campo eléctrico E. Luego se mide que la fuerza resultante sobre la partícula es F = q (E + v x B). Otro observador se mueve junto con la partícula cargada y también mide su carga como q pero mide un campo eléctrico E'. Si ambos observadores van a medir la misma fuerza F, muestre que E ' = E + v x B. RESPUESTA: PROBLEMAS ADICIONALES 39-52. Un electrón tiene una rapidez de 0,750c. Encuentre la rapidez de un protón que tiene a) la misma energía cinética que el electrón; b) el mismo momentum que el electrón. 39-53. Los rayos cósmicos de energía más alta son protones que tienen una energía cinética del orden de 1013 MeV. a) ¿Cuánto tardaría un protón de esta energía en viajar a través de la galaxia Vía Láctea, la cual tiene un diámetro de ∼105 años luz, de acuerdo a como se mediría en el marco del protón? b) Desde el punto de vista del protón, ¿cuántos kilómetros tiene de largo la galaxia? RESPUESTA: (a) unos cien segundos; (b) ∼108 km

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39-54. Una nave espacial se aleja de la Tierra a 0,500c y dispara una nave transbordadora que viaja hacia adelante a 0,500c relativa a la nave espacial. El piloto del trasbordador dispara una sonda hacia adelante a una rapidez de 0,500c relativa al trasbordador. Determine a) la rapidez del trasbordador relativa a la Tierra y b) la rapidez de la sonda relativa a la Tierra. 39-55. La reacción de fusión nuclear neta dentro del Sol puede escribirse como 4 1H → 4He + ∆E. Si la energía en reposo de cada átomo de hidrógeno es de 938,78 MeV, y la energía en reposo del átomo de heliom He−4 es de 3 728,4 MeV, ¿cuál es el porcentaje de la masa inicial que se libera como energía? RESPUESTA: 0,712 % 39-56. Un astronauta desea visitar la galaxia Andrómeda (a 2,00 millones de años luz de distancia), en un viaje de ida que tardará 30,0 años en el marco de referencia de la nave espacial. Si su rapidez es constante, ¿qué tan rápido debe viajar respecto de la Tierra? 39-57. Una nave espacial extraterrestre que viaja a 0,600c hacia la Tierra lanza una cápsula de aterrizaje con una vanguardia de agentes de conquista. La nave de aterrizaje viaja en la misma dirección a una velocidad de 0,800c relativa a la nave espacial. Según se observa desde la Tierra, la nave espacial está a 0,200 años luz de la Tierra cuando se lanza la cápsula de aterrizaje. a) ¿A qué velocidad observan en la Tierra que ésta se acerca? b) ¿Cuál es la distancia a la Tierra en el momento en que se lanza la cápsula de aterrizaje, según observan los extraterrestres? c) ¿Cuánto tarda la cápsula en alcanzar la Tierra, según observan los extraterrestres en la nave madre? d) Si la cápsula tiene una masa de 4,00 x 10 5 kg, ¿cuál es su energía cinética, según se observa en el marco de referencia de la Tierra? RESPUESTA: (a) 0,946 c;(b9 0,160 años luz; (c) 0,114 años; (d) 7,50 x 10 22 J 39-58. Una profesora de Física en la Tierra aplica un examen a sus estudiantes, quienes se encuentran en un cohete espacial que viaja a una rapidez v respecto de la Tierra. En el momento en que el cohete pasa sobre la profesora, ésta da la señal para iniciar el examen. Ella desea que sus estudiantes tengan el tiempo T0 (tiempo del cohete) para completar el examen. Muestre que ella debe esperar un tiempo (terrestre) de: T = T 0

1 − v / c antes de enviar una señal luminosa que les indique que 1 + v / c

terminen. (Sugerencia: recuerde que transcurre cierto tiempo para que la segunda señal luminosa viaje desde la profesora hasta los estudiantes.) 39-59. La nave espacial I, la cual contiene estudiantes que realizan un examen de Física, se acerca a la Tierra a una rapidez de 0,600c (respecto de la Tierra), mientras que la nave espacial II, la cual contiene a los profesores que vigilan el examen, se mueve a 0,280c (en relación con la Tierra) directamente hacia los estudiantes. Si los profesores detienen el examen después de que han pasado 50,0 min en sus relojes, ¿cuánto dura el examen según miden a) los estudiantes y b) un observador en la Tierra? RESPUESTA: (a) 76,0 min; (b) 52,1 min 39-60. La energía desde el Sol alcanza los estratos superiores de la atmósfera de la Tierra a una proporción de 1,79 x 10 17 W. Si toda esta energía fuese absorbida por la Tierra y no se volviese a emitir, ¿cuánto aumentaría la masa de la Tierra en un año? 39-61. Un supertrén (longitud propia, 100 m) viaja a una rapidez de 0.950c Mientras pasa por un túnel (longitud propia, 50.0 m). Según observa una persona al lado de la vía, ¿en algún momento el tren está por completo dentro del túnel? Si es así, ¿de cuánto espacio dispone? RESPUESTA: Sí, con 18,8 m para pasar

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39-62. Imagine que el Sol entero colapsa hacia una esfera de radio Rg tal que el trabajo requerido para remover una pequeña masa m de su superficie sería igual a su energía en reposo mc2. Este radio se llama radio gravitacional para el Sol. Encuentre Rg (Se cree que el último destino de las estrellas es colapsar más allá de sus radios gravitacionales en agujeros negros.) 39-63. Una partícula cargada se mueve a rapidez u a lo largo de una línea recta en un campo eléctrico uniforme E. Si el movimiento y el campo eléctrico están en la dirección x, a) muestre que la 3 / 2 d u q E  u 2  1 −  b) Analice la = aceleración de la carga q en la dirección x está dada por: a = d t m  c 2  importancia del hecho de que la aceleración depende de la rapidez. c) Si la partícula parte desde el reposo en x = 0 en t = 0, ¿cómo procedería para encontrar la rapidez de la partícula y su posición después de que ha transcurrido un tiempo t ? RESPUESTA: 39-64. a) Muestre que el corrimiento Doppler ∆λ en la longitud de onda de la luz es descrito por la expresión:

∆ λ λ

+1 =

c−v c+v

donde λ es la longitud de onda fuente, y v es la rapidez del

acercamiento relativo entre la fuente y el observador. b) ¿Qué tan rápido tendría que ir un motociclista para que una luz roja parezca verde? Tome 650 nm como la longitud de onda típica de la luz roja, y 550 nm como la longitud de onda típica de la luz verde. 39-65. Un cohete se mueve hacia un espejo a 0,800c en relación con el marco de referencia S en la figura P39.65. El espejo está estacionario respecto de S. Un pulso de luz emitido por el cohete viaja hacia el espejo y se refleja de regreso al cohete. El frente del cohete está a 1,80 x 10 12 m del espejo (según miden los observadores en S) en el momento en que el pulso luminoso sale del cohete. ¿Cuál es el tiempo total de viaje del pulso según miden los observadores en a) el marco S y b) el frente del cohete?

Figura P39.65 Problemas 65 y 66.

RESPUESTA: (a) 6,67 ks; (b) 4,00 ks 39-66. Un observador en un cohete se mueve hacia un espejo a una rapidez v respecto al marco de referencia S en la figura P39.65. El espejo está estacionario respecto a S. Un pulso luminoso emitido por el cohete viaja hacia el espejo y se refleja de regreso al cohete. El frente del cohete está a una distancia d del espejo (según miden los observadores en S) en el momento en que el pulso luminoso sale del cohete. ¿Cuál es el tiempo total de viaje del pulso según miden los observadores en a) el marco S y b) el frente del cohete? 39-67. Teodoro y Mari están jugando a atrapar una pelota en el marco S', el cual se mueve a 0,6001c mientras Jaime observa la acción en el marco S (Fig. P39.67). Teodoro lanza la pelota a Mari a 0.800c (según Teodoro) y su separación (medida en S') es 1,80 x 10 12 m. a) De acuerdo con Mari, ¿qué tan rápido se mueve la pelota? b) De acuerdo con Mari, ¿cuánto tarda la pelota en llegar a ella? c) De acuerdo con Jaime, ¿qué distancia están separados Teodoro y Mari y qué tan rápido se mueve la pelota? d) De acuerdo con Jaime, ¿cuánto tarda la pelota en llegar a Mari?

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Figura P39.67

RESPUESTA: (a) 0,800 c; (b) 7,50 ks; (c) 1,44 Tm, −0,385 c; (d) 12,5 ks 39-68. Una barra de longitud L 0 que se mueve a una rapidez v a lo largo de la dirección horizontal forma un ángulo θ0 respecto del eje x'. a) Muestre que la longitud de la barra medida por un observador estacionario es L = L0 [1 − (v2 /c2) cos θ0]1/2. b) Muestre que el ángulo que la barra forma con el eje x está dado por tan θ = γ tan θ0. Estos resultados demuestran que la barra se contrae y gira. (Considere que el extremo inferior de la barra está en el origen del sistema de coordenadas primario.) 39-69. Considere dos marcos de referencia inerciales S y S', donde S' se mueve hacia la derecha a una rapidez constante de 0,600c según mide un observador en S. Una regleta de 1,00 m de longitud propia se mueve desde la izquierda hacia los orígenes de S y S', y la longitud de la misma es de 50,0 cm cuando la mide un observador en S'. a) Determine la rapidez de la regleta de acuerdo con la manera en que la miden observadores en S y S'. b) ¿Cuál es la longitud de la regleta cuando la mide un observador en S? RESPUESTA: (a) 0,544 c; 0,866 c; (b) 0,833 m 39-70. Suponga que el Sol está a punto de explotar. Tratando de escapar sale en una nave espacial a v = 0,800c y se dirige hacia la estrella Tau Ceti, a 12,0 años luz de distancia. Cuando alcanza el punto medio de su viaje desde la Tierra, se ve que el Sol estalla y, desafortunadamente, al mismo tiempo observa que Tau Ceti explota también. a) En el marco de referencia de la nave espacial, ¿debe concluir que las dos explosiones ocurren de manera simultánea?. Si no, ¿cuál ocurre primero? b) En un marco de referencia en el cual el Sol y Tau Ceti están en reposo, ¿ambos explotan simultáneamente? Si no, ¿cuál explota primero? 39-71. La luz emitida por una galaxia muestra una distribución continua de longitudes de onda porque la galaxia está compuesta de miles de millones de estrellas diferentes y otros emisores térmicos. No obstante, se presentan algunas estrechas aberturas en el espectro continuo donde la luz ha sido absorbida por los gases más fríos en la fotosfera exterior de las estrellas normales. En particular, los átomos de calcio ionizados en reposo producen una fuerte absorción a una longitud de onda de 394 nm. Para una galaxia en la constelación Hydra, a 2 mil millones de años luz de distancia, esta línea de absorción se corre a 475 nm. ¿Qué tan rápido se está alejando la galaxia de la Tierra? (Nota: la suposición de que la rapidez de retroceso es pequeña comparada con c, como se hizo en el problema 21, no es una buena aproximación aquí.) RESPUESTA: 0,185 c = 55,4 Mm/s 39-72. Prepare una gráfica de la energía cinética relativista y la energía cinética clásica, ambas como una función de la rapidez, para un objeto con una masa de su elección. ¿A qué rapidez la energía cinética clásica subestima el valor relativista en uno por ciento? ¿En 5 por ciento? ¿En 50 por ciento?

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39-73. El volumen total del agua en los océanos es aproximadamente 1,40 x 10 9 km3. La densidad del agua de mar es 1 030 kg/m 3 y su calor específico es de 4 186 J/ (kg' °C). Encuentre el aumento en la masa de los océanos producida por un aumento en la temperatura de 10,0 °C. RESPUESTA: 6,71 x 108 kg RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS SORPRESA 39.1

Son los dos, porque ellos pueden reportar sólo lo que ven. Asimismo, concuerdan en que la persona en el camión lanza la bola hacia arriba y luego la atrapa un poco después.

39.2

Depende de la dirección del lanzamiento. Considerando la dirección en la cual el tren está viajando como la dirección x positiva, use los valores u x' = + 90 mi/h y v = +110 mi/h, con u x en la ecuación 39.2 como el valor que está buscando. Si el lanzador arroja la bola en la misma dirección que el tren, una persona en reposo sobre la Tierra ve que la bola se mueve a 110 mi/h + 90 mi/h = 200 mi/h. Si el lanzador la arroja en la dirección opuesta, la persona sobre la Tierra ve que la bola se mueve en la misma dirección que el tren, pero sólo a 110 mi/h - 90 mi/h = 20 mi/h.

39.3

Ambos son correctos. Aunque los dos observadores alcanzan conclusiones diferentes, cada uno es correcto en su propio marco de referencia porque el concepto de simultaneidad no es absoluto.

39.4

Alrededor de 2,9 x 108 m/s, porque ésta es la rapidez a la cual γ = 5. Por cada 5 s de tictac en el reloj del Control de la Misión, el observador [yo en la Tierra (¡con un poderoso telescopio!) ve que el reloj del cohete emite tictacs cada segundo. La astronauta ve su propio reloj operando a una rapidez normal. Para ella el Control de la Misión se está alejando a una rapidez de 2,9 x 10 8 m/s, y ve que el reloj del Control de la Misión marcha más lento. ¡Extraña cosa esta relatividad!

39.5

Si su tiempo de trabajo está basado en relojes que permanecen en la Tierra, tendrán unos cheques de pago más jugosos. Habrá pasado menos tiempo para los astronautas en sus marcos de referencia que para sus empleadores en la Tierra.

39.6

Por una línea curva. Esto se puede ver en la mitad de la línea-de-mundo de Acelerado en la figura 39.14, donde él da vuelta y comienza su viaje a casa.

39.7

El reloj de la planta baja funciona más lentamente porque está más cerca de la Tierra y, por tanto, experimenta un campo gravitacional más intenso que el reloj de la planta alta.

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CAPITULO 40 INTRODUCCION A LA FISICA CUANTICA ACERTIJO

Las calles en Las Vegas están llenas de luces de "neón" de varios brillantes colores. ¿Cómo funcionan estas luces y qué determina el color de un tubo de luz particular? (Dembinsky Photo Associates)

Líneas generales del capitulo 40.1 40.2 40.3 40.4 40.5 40.6 40.7

Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck El efecto fotoeléctrico El efecto Compton Espectros atómicos Modelo cuántico del átomo de Bohr Fotones y ondas electromagnéticas Las propiedades ondulatorias de las partículas

En el capítulo anterior se analizó el hecho de que la mecánica newtoniana debe ser reemplazada por la teoría especial de la relatividad de Einstein cuando se trabaja con magnitudes de velocidad de partícula comparables con la rapidez de la luz. Conforme avanzaba el siglo XX, muchos problemas experimentales y teóricos fueron resueltos por la teoría especial. Sin embargo, la Física clásica no pudo proporcionar una respuesta teórica para muchos otros problemas. Los intentos por aplicar las leyes de la Física clásica para explicar el comportamiento de la materia en la escala atómica fueron consistentemente infructuosos. Por ejemplo, la radiación de cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y la emisión de líneas espectrales bien definidas de los átomos no se podían explicar dentro del marco conceptual de la Física clásica.

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Cuando los físicos buscaron nuevas formas de resolver dichos acertijos, otra revolución se desarrolló en la Física entre 1900 y 1930. Una nueva teoría denominada mecánica cuántica tuvo mucho éxito al explicar el comportamiento de átomos, moléculas y núcleos. Al igual que la teoría especial de la relatividad, la teoría cuántica requiere una modificación de las ideas respecto del mundo físico. Las ideas básicas de la teoría cuántica fueron introducidas por Max Planck, pero la mayor parte de los desarrollos e interpretaciones matemáticas subsecuentes fueron hechos por varios físicos distinguidos, entre los que sobresalen Einstein, Bohr, Schrodinger, De Broglie, Heisenberg, Bom y Dirac. A pesar del gran éxito de la teoría cuántica, Einstein con frecuencia desempeñó el papel de crítico, especialmente en relación con la manera en la cual se interpretó la teoría. En particular, Einstein no aceptó la interpretación de Heisenberg del principio de incertidumbre, según el cual es imposible obtener una medición simultánea precisa de la posición y la velocidad de una partícula. De acuerdo con este principio, lo mejor que se puede hacer es predecir la probabilidad del futuro de un sistema, lo que se opone a la visión determinista sostenida por Einstein.1 Ya que un extenso estudio de la teoría cuántica está más allá del alcance de este libro, el presente capítulo sólo es una introducción a sus ideas fundamentales. 1

Los puntos de vista de Einstein acerca de la naturaleza probabilística de la teoría cuántica se plasman en su enunciado: "Dios no juega a los dados con el universo."

40-1. RADIACIÓN DE CUERPO NEGRO E HIPÓTESIS DE PLANCK Un objeto a cualquier temperatura emite una radiación a la que algunas veces se hace referencia como radiación térmica, la cual fue estudiada en la sección 20.7. Las características de dicha radiación dependen de la temperatura y las propiedades del objeto. A bajas temperaturas las longitudes de onda de la radiación térmica están principalmente en la región infrarroja del espectro electromagnético y, en consecuencia, la radiación no es observada por el ojo. A medida que la temperatura del objeto aumenta, éste comienza a emitir un brillo rojo --en otras palabras, emite suficiente radiación visible de manera que el objeto parece brillar-. A temperaturas suficientemente altas, el objeto parece ser blanco, como el brillo del filamento caliente de tungsteno en un foco eléctrico. Un estudio cuidadoso muestra que, conforme la temperatura del objeto aumenta, la radiación térmica que emite se compone de una distribución continua de longitudes de onda de las porciones infrarroja, visible y ultravioleta del espectro.

Figura 40.1 La abertura a la cavidad dentro de un objeto hueco es una buena aproximación de un cuerpo negro. La luz que entra por la pequeña abertura golpea la pared más alejada, donde parte de ella es absorbida y otra reflejada en un ángulo aleatorio. La luz continúa siendo reflejada, y en cada reflexión una parte de la luz es absorbida por las paredes de la cavidad. Después de muchas reflexiones, en esencia toda la energía incidente ha sido absorbida.

Desde el punto de vista clásico, la radiación térmica se origina de partículas cargadas aceleradas cerca de .la superficie del objeto; dichas partículas cargadas emiten una radiación tan pequeña como la emitida por muchas antenas. Las partículas agitadas térmicamente pueden tener una distribución de aceleraciones, lo cual explica el espectro continuo de radiación emitido por el objeto. Cerca del final del siglo XIX, sin embargo, se puso en evidencia que la teoría clásica de la radiación térmica era inadecuada. El problema principal fue la comprensión de la distribución de longitudes de onda observada en la radiación emitida por un cuerpo negro. Como se vio en la sección 20.7, un cuerpo negro es un sistema ideal que absorbe toda la radiación que incide sobre él. Una buena aproximación al cuerpo negro es un agujero que conduce al interior de un objeto hueco, como se muestra en la figura 40.1. La naturaleza de la radiación emitida a través de un pequeño agujero que conduce a la cavidad depende sólo de la temperatura de las paredes de la cavidad y no del material del cual están hechas las paredes. Los espacios entre trozos de carbón caliente

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(Fig. 40.2) emiten luz que es muy parecida a la radiación de cuerpo negro.

Figura 40.2 El brillo que emana de los espacios entre esta briqueta de carbón caliente es, hasta una aproximación muy cercana, radiación de cuerpo negro. El color de la luz depende sólo de la temperatura de la briqueta. (Corbis)

En la figura 40.3 se observa cómo la energía de la radiación de cuerpo negro varía con la temperatura y la longitud de onda. A medida que se incrementa la temperatura del cuerpo negro, se observan dos comportamientos distintos. El primer efecto es que el pico de la distribución se corre hacia las longitudes de onda más cortas. Por ello el objeto descrito al principio de esta sección cambia de no parecer brillar (pico en el infrarrojo) a rojo radiante (pico en la cercanía del infrarrojo con algo visible en el extremo rojo del espectro) a blanco radiante (pico en el visible).

Figura 40.3 Intensidad de radiación de cuerpo negro versus longitud de onda a tres temperaturas. Observe que la cantidad de radiación emitida (el área bajo una curva) aumenta con el incremento de la temperatura.

Experimento sorpresa Use un marcador negro o piezas de cinta eléctrica negra para confeccionar un área muy negra sobre la parte exterior de una caja de zapatos. Perfore un agujero en el centro del área negra con un lápiz. Ahora coloque una tapa sobre la caja y compare la negrura del agujero con la negrura del área oscura que lo rodea. El agujero actúa como un cuerpo negro. Se descubrió que este corrimiento obedecía la siguiente relación denominada ley de desplazamiento de Wien: λ máx T = 2,898 x 10 −3 m · K

(40.1)

donde λmáx es la longitud de onda a la cual la curva tiene su pico y T es la temperatura absoluta del objeto que emite la radiación. La longitud de onda en el pico de la curva es inversamente proporcional a la temperatura absoluta; es decir, conforme la temperatura aumenta, el pico se "desplaza" a longitudes de onda más cortas.

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El segundo efecto es que la cantidad total de energía que el objeto emite aumenta con la temperatura, lo cual se describe por la ley de Stefan, la cual se proporciona en la ecuación 20.18, que se escribió en la forma P = σ A e T 4 . Recordando que I = P / A es la intensidad de la radiación sobre la superficie del objeto y que e = 1 para un cuerpo negro, la ley de Stefan se puede escribir en la forma I = σ T 4 . Para describir la distribución de energía de un cuerpo negro es útil definir I ( λ, T)dλ como la potencia por unidad de área emitida en el intervalo de longitud de onda d λ. El resultado de un cálculo basado en un modelo clásico de la radiación de cuerpo negro conocido como la ley de Rayleigh-Jeans es: I (λ , T ) =

2 π c k B T λ 4

(40.2)

donde kB es la constante de Boltzmann. En este modelo clásico de radiación de cuerpo negro, los átomos en las paredes de la cavidad se consideran como un conjunto de osciladores que emiten ondas electromagnéticas en todas las longitudes de onda. Tal modelo conduce a una energía promedio por oscilador que es proporcional a T.

Figura 40.4 Comparación de resultados experimentales y la curva predicha por la ley de Rayleigh-Jeans para la distribución de radiación de cuerpo negro.

Una gráfica experimental del espectro de radiación de cuerpo negro se muestra en la figura 40.4, junto con la predicción teórica de la ley de Rayleigp-Jeans. A longitudes de onda largas, la ley de RayleighJeans está en razonable concordancia con los datos experimentales, pero a longitudes de onda cortas parece haber un mayor desacuerdo. Lo anterior se observa al advertir que cuando λ tiende a cero, la función I(λ, T) dada por la ecuación 40.2 tiende al infinito. Por tanto, en el espectro de cuerpo negro no sólo debe predominar la longitud de onda corta, sino que la energía emitida por cualquier cuerpo negro debe volverse infinita en el límite de cero longitudes de onda. En contraste con esta predicción, los datos experimentales graficados en la figura 40.4 muestran que conforme λ se acerca a cero, I( λ, T) también tiende a cero. Tal disparidad de la teoría y el experimento fue tan desconcertante que los científicos la denominaron catástrofe ultravioleta. (Este nombre es un término inadecuado, ya que la "catástrofe" energía infinita- ocurre cuando la longitud de onda tiende a cero, no las longitudes de onda ultravioleta.) Otra discrepancia entre la teoría y el experimento tiene relación con la energía total emitida por el cuerpo negro. Experimentalmente, la energía total por unidad de área dada por

∞

∫0 I (λ , T ) d λ permanece finita

aun cuando la ley de Rayleigh-Jeans (Ec. 40.2) dice que debería divergir al infinito. En 1900 Planck descubrió una fórmula para la radiación de cuerpo negro que concordaba por completo con los experimentos en todas las longitudes de onda. El análisis de Planck llevó a la curva roja mostrada en la figura 40.4. La función propuesta por Planck es: I (λ , T ) =

2 π h c 2 λ 5 (e hc / λ k T − 1) B

(40.3)

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Es una función que incluye un parámetro h, la cual Planck ajustó de modo que su curva concordara con los datos experimentales en todas las longitudes de onda. Se encontró que el valor de este parámetro es independiente del material del que está hecho el cuerpo negro e independiente de la temperatura. Más que un parámetro variable, se trata de una constante fundamental de la naturaleza. El valor de h, la constante de Planck, la cual se vio por primera vez en el capítulo 11 y de nuevo en el capítulo 35, es: h = 6.626 x 10

−

34 J · s

(40.4)

A longitudes de onda largas la ecuación 40.3 se reduce a la expresión de Rayleigh-Jeans, ecuación 40.2, y a longitudes de onda cortas predice una reducción exponencial en I(λ , T) con las longitudes de onda decrecientes, en concordancia con los resultados experimentales. En su teoría, Planck hizo dos osadas y controversiales suposiciones respecto de la naturaleza de las moléculas oscilantes en la superficie del cuerpo negro: 1.

Las moléculas sólo pueden tener valores discretos de energía E n, dados por:

Cuantización de la energía

E n

= n h f

(40.5)

donde n es un entero positivo denominado número cuántico y f es la frecuencia natural de oscilación de las moléculas. Esto es muy diferente del modelo clásico del oscilador armónico, en el cual la energía de osciladores idénticos se relaciona con la amplitud del movimiento y no se relaciona con la frecuencia. Ya que la energía de una molécula sólo puede tener valores discretos dados por la ecuación 40.5, se dice que la energía está cuantizada. Cada valor de energía discreto representa un estado cuántico diferente para la molécula, con cada valor de n representando un estado cuántico específico. Cuando la molécula está en el estado cuántico n = 1, su energía es hf , cuando está en el estado cuántico n = 2, su energía es 2hf ; y así sucesivamente. 2.

Las moléculas emiten o absorben energía en paquetes discretos que después se llaman fotones. Las moléculas emiten o absorben estos fotones "saltando" de un estado cuántico a otro. Si el salto es hacia abajo de un estado a un estado adyacente inferior, la ecuación 40.5 muestra que la cantidad de energía radiada por la molécula en un fotón individual es igual a hf Por tanto, la energía de un fotón correspondiente a la diferencia de energía entre dos estados cuánticos adyacentes es

Energía de un fotón

E = h f

(40.6)

Una molécula emite o absorbe energía sólo cuando cambia de estados cuánticos. Si permanece en un estado cuántico, no se emite o absorbe energía. La figura 40.5 muestra los niveles de energía cuantizados y las transiciones entre estados adyacentes.

Figura 40.5 Niveles de energía permitidos para una molécula que oscila a su frecuencia natural f . Las transiciones permitidas están indicadas mediante las flechas con doble punta.

El punto clave de la teoría de Planck es la suposición radical de los estados de energía cuantizados. Dicho desarrollo marcó el nacimiento de la teoría cuántica. Cuando Planck presentó su teoría, la mayoría de los científicos (¡incluso Planck!) no consideraron realista el concepto cuántico. En consecuencia, Planck y

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otros continuaron buscando una explicación más racional de la radiación de cuerpo negro. Sin embargo, los avances subsecuentes demostraron que una teoría basada en el concepto cuántico (más que en los conceptos clásicos) tenía que emplearse para explicar muchos otros fenómenos a nivel atómico.

Max Planck (1858-1947): Planck introdujo el concepto de cuanto de acción" (constante de Planck, h) en un intento por explicar la distribución espectral de la radiación de cuerpo negro, la cual establece los fundamentos de la teoría cuántica. En 1918 fue galardonado con el premio Nóbel por su descubrimiento de la naturaleza cuantizada de la energía. (Fotografía cortesía de AIP Niels Bohr Library. W F Meggers Collection) Experimento sorpresa En una noche clara, salga de la ciudad, a un sitio alejado de las luces, y encuentre la constelación Orión (visible desde noviembre hasta abril en el cielo vespertino). Mire con mucho cuidado el color de Betelgeuse y Rigel. ¿Puede usted decir cuál estrella está más caliente? Si Orión está bajo el horizonte, compare dos de las estrellas más brillantes que pueda ver, como Vega en Lyra y Arcturus en Boótes. (John Chumack/Photo Researrhers, Inc.)

Pregunta sorpresa 40-1. ¿Cuál es más probable que cause una quemadura solar (porque se absorbe más energía por las células de la piel): a) la luz infrarroja, b) la luz visible o c) la luz ultravioleta? EJEMPLO 40-1 Radiación térmica de diferentes objetos Encuentre la longitud de onda pico de la radiación emitida por cada uno de lo siguiente: a) el cuerpo humano cuando la temperatura de la piel es de 35°C. b) El filamento de tungsteno de un foco, que funciona a 2 000K. c) El Sol, el cual tiene una temperatura superficial de alrededor de 5 800 K. Solución

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(a) De acuerdo con la ley de desplazamiento de Wien (Ec. 40.1), se tiene λmáx T = 2.898 x 10 -3 m · K. Resolviendo para λmáx y al observar que 35°C corresponden a una temperatura absoluta de 308 K, entonces: λ máx

2,898 x10 −3 m · K 2,898 x 10 −3 m · K = = = 9,4 x 10 −6 m = 9,4 µ m T 308 K

Esta radiación está en la región infrarroja del espectro y es invisible para el ojo humano. Algunos animales (las serpientes, por ejemplo) pueden detectar radiación de esta longitud de onda y en consecuencia, pueden localizar presas de sangre caliente incluso en la oscuridad. (b) Siguiendo el mismo procedimiento que en la parte a), se encuentra: λ máx

2,898 x10 −3 m · K 2,898 x 10 −3 m · K = = = 1,4 x 10 −6 m = 1,4 µ m 2 000 K T

Ésta también está en la región infrarroja, lo cual significa que la mayor parte de la energía emitida por un foco no es visible para los humanos. (c) Siguiendo de nuevo el mismo procedimiento se tiene: λ máx

2,898 x10 −3 m · K 2,898 x 10 −3 m · K = = = 0,50 x 10 −6 m = 0,50 µ m 5 800 K T

Ello está casi en el centro del espectro visible, más o menos el color de una pelota de tenis amarillo verdoso. Como éste es el color prevaleciente en la luz solar, los ojos humanos han evolucionado para ser más sensibles a la luz de aproximadamente esta longitud de onda. EJEMPLO 40-2. El oscilador cuantizado Un bloque de 2,0 kg se une a un resorte de masa despreciable que tiene una constante de fuerza k = 25 N/m. El resorte se alarga 0,40 m desde su posición de equilibrio y se suelta. a) Encuentre la energía total del sistema y la frecuencia de oscilación de acuerdo con los cálculos clásicos. b) Suponiendo que la energía está cuantizada, encuentre el número cuántico n para el sistema. c) ¿Cuánta energía se lleva en el cambio de un cuanto? Solución (a) La energía total de un oscilador armónico simple que tiene una amplitud A es ½ kA 2 (Ec. 13.22). Por tanto: E = ½ kA2 = ½ (25 N/m) (0,40 m) 2 = 2,0 J La frecuencia de oscilación es (Ec. 13.19) f =

1 k 1 25 N / m = = 0,56 Hz 2 π m 2 π 2,0 kg

(b) Si la energía está cuantizada se tiene: E = n h f

n=

E h f

=

2,0 J = 5,4 x 10 33 −34 (6,626 x 10 J · s) (0,56 Hz)

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(c) De la ecuación 40.6 E = hf = (6.626 x 10

-34

J · s) (0,56 Hz) = 3,7 x 10 -34 J

La energía que se lleva en un cambio de un cuanto es una fracción tan pequeña de la energía total del oscilador que no se puede detectar. De este modo, aun cuando la energía de un sistema bloque-resorte está cuantizada, y efectivamente se reduce por medio de pequeños saltos cuánticos, los sentidos perciben la disminución como continua. Los efectos cuán ticos se vuelven importantes y mensurables sólo al nivel submicroscópico de átomos y moléculas.

40-2. EL EFECTO FOTOELÉCTRICO. A finales del siglo XIX los experimentos mostraron que la luz incidente sobre ciertas superficies metálicas ocasionaba que se emitieran electrones desde ellas. Este fenómeno, el cual se encontró primero en la sección 35.1, se conoce como efecto fotoeléctrico, y los electrones emitidos reciben el nombre de fotoelectrones.

Figura 40.6 Diagrama de circuito para observar el efecto fotoeléctrico. Cuando la luz golpea la placa E (el emisor), se emiten fotoelectrones desde la placa. Los electrones que se mueven desde la placa E hacia la placa C (el colector) constituyen una corriente en el circuito.

La figura 40.6 es el diagrama de un aparato en el cual puede ocurrir el efecto fotoeléctrico. Un tubo de vidrio o cuarzo donde se ha hecho vacío contiene una placa metálica E unida a la terminal negativa de una batería y otra placa metálica C unida a la terminal positiva de la batería. Cuando el tubo se mantiene en la oscuridad, el amperímetro registra cero, lo que indica que no hay corriente en el circuito. Sin embargo, cuando la placa E se ilumina con luz que tiene longitud de onda más corta comparada con alguna longitud de onda particular qué depende del metal usado para hacer la placa E, el amperímetro detecta una corriente, lo que es indicio de un flujo de cargas a través del espacio entre las placas E y C. Esta corriente surge de los fotoelectrones emitidos desde la placa negativa (el emisor) y colectados en la placa positiva (el colector). La figura 40.7 es una gráfica de la corriente fotoeléctrica versus la diferencia de potencial ∆V entre las placas E y C para dos intensidades luminosas. Para grandes valores de ∆V; la corriente alcanza un valor máximo. Además, la corriente aumenta cuando aumenta la intensidad de la luz incidente, como usted tal vez esperaría. Por último, cuando ∆V es negativo −es decir, cuando la batería en el circuito se invierte para hacer positiva la placa E y negativa la placa C− la corriente cae a un valor muy bajo debido a que la mayor parte de los fotoelectrones emitidos son repelidos ahora por la placa negativa C. En esta situación sólo aquellos fotoelectrones que tienen una energía cinética mayor que la magnitud de e ∆V llegarán a la placa C, donde e es la carga en el electrón.

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Figura 40.7 Corriente fotoeléctrica versus diferencia de potencial aplicada para dos intensidades luminosas. La corriente aumenta con la intensidad pero alcanza un nivel de saturación para grandes valores de ∆V. A voltajes iguales a o más negativos que −∆Vs, el potencial de frenado, la corriente es cero.

Cuando ∆Ves igual a o más negativo que −∆Vs, el potencial de frenado, ningún fotoelectrón llega a C y la corriente es cero. El potencial de frenado es independiente de la intensidad de la radiación. La energía cinética máxima de los fotoelectrones se relaciona con el potencial de frenado por medio de la relación: K máx

= e ∆V s

(40.7)

Varias características del efecto fotoeléctrico no podrían explicarse con la física clásica o con la teoría ondulatoria de la luz:

•

No se emiten fotoelectrones si la frecuencia de la luz incidente cae por debajo de cierta frecuencia de corte f c la cual es característica del material que se está iluminando. Ello es inconsistente con la teoría ondulatoria, que predice que el efecto fotoeléctrico debe ocurrir a cualquier frecuencia, siempre que la intensidad de la luz sea suficientemente alta.

•

La energía cinética máxima de los fotoelectrones es independiente de la intensidad luminosa. De acuerdo con la teoría ondulatoria, la luz de mayor intensidad debería conducir más energía al metal por unidad de tiempo y, por tanto, emitir fotoelectrones que tengan mayores energías cinéticas.

•

La energía cinética máxima de los fotoelectrones aumenta con el incremento de la frecuencia de la luz. La teoría ondulatoria no predice relación entre la energía de los fotoelectrones y la frecuencia de luz incidente.

•

Los fotoelectrones se emiten desde la superficie en forma casi instantánea (menos de 10 -9 s después de que se ilumina la superficie), incluso a bajas intensidades luminosas. Desde el punto de vista clásico, se esperaría que los fotoelectrones requirieran algún tiempo para absorber la radiación incidente antes de adquirir la suficiente energía cinética para escapar del metal.

Una explicación exitosa del efecto fotoeléctrico fue dada por Einstein en 1905, el mismo año en que publicó su teoría especial de la relatividad. Como parte de un artículo general sobre radiación electromagnética, por el cual recibió el premio Nóbel en 1921, Einstein extendió el concepto de Planck de la cuantización a las ondas electromagnéticas. Supuso que la luz (o cualquier otra onda electromagnética) de frecuencia f puede considerarse como una corriente de fotones. Cada fotón tiene una energía E , dada por la ecuación 40.6, E = h f . Una sugestiva imagen de varios fotones, que no debe tomarse de manera muy literal, se muestra en la figura 40.8.

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Figura 40.8 Representación de fotones. Cada fotón tiene una energía discreta hf

En el modelo de Einstein, un fotón estaba localizado de tal modo que daba toda su energía hf a un solo electrón en el metal. De acuerdo con Einstein, la energía cinética máxima para estos fotoelectrones liberados es: Ecuación de efecto fotoelectrico

K máx

= h f − φ

(40.8)

donde φ se llama función de trabajo del metal. La función de trabajo representa la energía mínima con la cual un electrón está ligado al metal, y es del orden de unos cuantos electronvolts. La tabla 40.1 registra las funciones de trabajo para diferentes metales. TABLA 40-1. Funciones de trabajo de metales seleccionados Metal Na Al Cu Zn Ag Pt Pb Fe

φ (V) 2,46 4,08 4,70 4,31 4,73 6,35 4,14 4,50

Con la teoría fotónica de la luz se pueden explicar las características antes mencionadas del efecto fotoeléctrico que no es posible entender utilizando conceptos de la física clásica:

•

Que el efecto no se observe debajo de cierta frecuencia de corte es una consecuencia del hecho de que la energía del fotón debe ser mayor o igual que φ. Si la energía del fotón que llega no satisface esta condición, los electrones nunca serán liberados desde la superficie, independientemente de la intensidad de la luz.

•

El que Kmáx sea independiente de la intensidad de la luz puede comprenderse con el siguiente argumento: Si la intensidad de la luz se duplica, el número de fotones se duplica, lo cual duplica el número de fotoelectrones emitidos. Sin embargo, su energía cinética máxima, que es igual a hf − φ, depende sólo de la frecuencia de la luz y de la función de trabajo, no de la intensidad luminosa.

•

El que Kmáx aumente con las frecuencias crecientes se entiende fácilmente con la ecuación 40-8.

•

El que los fotoelectrones sean emitidos casi instantáneamente concuerda con la teoría corpuscular de la luz, en la cual la energía incidente llega a la superficie en pequeños paquetes y hay una interacción uno a uno entre los fotones y los fotoelectrones. En dicha interacción la energía de los fotones es impartida a un electrón que luego tiene suficiente energía para dejar al metal. Esto contrasta con la teoría ondulatoria, en la cual la energía incidente se distribuye de manera uniforme sobre una gran área de la superficie del metal.

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Figura 40.9 Gráfica de Kmáx de los fotoelectrones como función de la frecuencia de luz incidente en un experimento de efecto fotoeléctrico típico. Los fotones que tienen una frecuencia menor que f c; no tienen suficiente energía para emitir un electrón del metal.

La observación experimental de una relación lineal entre f y K máx sería una confirmación final de la teoría de Einstein. De hecho, tal relación lineal se observa según se ilustra en la figura 40.9. La intersección en el eje horizontal da la frecuencia de corte debajo de la cual no se emiten fotoelectrones, sin importar la intensidad de la luz. La frecuencia se relaciona con la función de trabajo por medio de la relación f c = φ / h La frecuencia de corte corresponde a una longitud de onda de corte de: λ c

=

c f c

=

c

φ / h

=

hc

φ

(40.9)

donde se usó la ecuación 16.14 y c es la rapidez de la luz. Longitudes de onda más grandes que λc incidentes sobre un material que tiene una función de trabajo φ no originan la emisión de fotoelectrones. Uno de los primeros usos prácticos del efecto fotoeléctrico fue el detector en el medidor de luz de una cámara fotográfica. La luz reflejada desde el objeto que se va a fotografiar incide sobre una superficie fotoeléctrica en el medidor, y hace que ésta emita fotoelectrones que luego pasan por un amperímetro sensible. La magnitud de la corriente en el amperímetro depende de la intensidad luminosa. El fototubo,* otra aplicación anticipada del efecto fotoeléctrico, actúa de manera muy parecida a un interruptor en un circuito eléctrico. Se produce una corriente en el circuito cuando la luz de frecuencia suficientemente alta cae sobre una placa metálica en el fototubo, pero no produce corriente en la oscuridad. Los fototubos se usaron en alarmas antiasalto y en la detección de la pista sonora en las cintas cinematográficas. Ahora los modernos dispositivos semiconductores reemplazaron a los que se basaban en el efecto fotoeléctrico. *Al fototubo también se le conoce como “celda fotoeléctrica" y, de manera más popular, como ojo eléctrico". (N. del T)

Pregunta sorpresa 40-2 ¿Qué representa la pendiente de la línea en la figura 40.9? ¿Qué representa la intersección en y? ¿Cómo compararía entre sí una serie de estas gráficas para diferentes metales? Pregunta sorpresa 40-3. Realice un bosquejo de cómo los físicos clásicos esperaban que se viera la figura 40.9. EJEMPLO 40-3. El efecto fotoeléctrico para el sodio Una superficie de sodio se ilumina con luz de 300 nm de longitud de onda. La función de trabajo para el metal de sodio es 2,46 eV. Encuentre a) la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos y b) la longitud de onda de corte para el sodio. Solución

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a) La energía de cada fotón del haz de luz incidente es:

(6,626 x 10 −34 J · s ) (3,00 x 10 8 m / s) = = 6,63 x 10 −19 J E = h f = −9 λ 300 x 10 m hc



 1eV  = 4,14 eV −19 1 , 60 10 x J  

E = 6,63 x 10 − J  19

El empleo de la ecuación 40.8 produce: K máx

= h f − φ = 4,14 eV − 2,46 eV = 1,68 eV

b) La longitud de onda de corte puede calcularse a partir de la ecuación 40.9, después de convertir φ de electronvolts a joules:

 1,6 x 10 −19 J   = 3,94 x 10 −19 J φ = 2,46 eV  1eV  

(6,626 x10 − 34 J · s) (3,00 x 10 8 m / s) λ c = = = 5,05 x 10 −7 m = 505 nm −19 φ 3,94 x10 J hc

Esta longitud de onda está en la región amarillo - verde del espectro visible. Ejercicio Calcule la rapidez máxima del efecto fotoeléctrico en las condiciones descritas en este ejemplo. Respuesta 7,68 x 105 m/s.

40-3. EL EFECTO COMPTON En 1919 Einstein concluyó que un fotón de energía E viaja en una sola dirección (a diferencia de una onda esférica) y lleva un momentum igual a E / c = hf / c. En sus propias palabras, "si un haz de radiación origina que una molécula emita o absorba un paquete de energía hf , entonces se transfiere a la molécula un momentum de cantidad hf / c, dirigida a lo largo de la línea del haz en la absorción y opuesta al haz en la emisión". En 1923 Arthur Holly Compton (1892-1962) y Peter Debye (1884-1966) ampliaron, por separado, la idea del momentum del fotón de Einstein. Antes de 1922 Compton y sus colaboradores habían acumulado evidencias de que la teoría ondulatoria clásica de la luz fracasaba al tratar de explicar la dispersión de rayos X a partir de electrones. De acuerdo con la teoría clásica, las ondas electromagnéticas de frecuencia f 0 que inciden sobre los electrones deberían tener dos efectos, como se muestra en la figura 40.10a: 1) la presión de radiación (véase la sección 34.4) debería provocar que los electrones aceleraran en la dirección de propagación de las ondas, y 2) el campo eléctrico oscilatorio de la radiación incidente debería poner a los electrones en oscilación en la frecuencia aparente f´’ donde f ‘ es la frecuencia en el marco de los electrones en movimiento. La frecuencia aparente f ‘ es diferente de la frecuencia lo de la radiación incidente debido al efecto Doppler (véase la sección 17.5): Cada electrón primero absorbe como una partícula en movimiento y luego rerradia como partícula en movimiento, por lo que exhibe dos corrimientos Doppler en la frecuencia de radiación. Como diferentes electrones se moverán a diferentes magnitudes de velocidad después de la interacción, dependiendo de la cantidad de energía absorbida de las ondas electromagnéticas, la frecuencia de la onda dispersada a un ángulo dado deberá mostrar una distribución de valores de corrimiento Doppler. Contrario a tal predicción, los experimentos de Compton mostraron que, a un ángulo dado, sólo fue absorbida una frecuencia de radiación. Compton y sus colegas se dieron cuenta de que podrían explicar estos experimentos si trataban a los fotones no como ondas sino como partículas puntuales que tienen

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energía hf y momentum hf / c, y suponiendo que se conservan la energía y el momentum de cualquier par fotón-electrón en colisión. Compton estaba adoptando un modelo de partícula para algo que era bien conocido como onda, y hoy este fenómeno de dispersión se conoce como efecto Compton. La figura 40.10b presenta el dibujo cuántico del intercambio de momentum y energía entre un fotón de rayos X individual y un electrón.

Figura 40.10 Dispersión de rayos X a partir de un electrón: a) el modelo clásico; b) el modelo cuántico.

La segunda diferencia entre los modelos clásico y cuántico también se muestra en la figura 40.10b. En el modelo clásico el electrón es empujado a lo largo de la dirección de propagación del rayo X incidente mediante presión de radiación. En el modelo cuántico el electrón se dispersa a través de un ángulo φ respecto a su dirección, como si esto fuese una colisión del tipo bolas de billar. (El símbolo φ usado aquí no debe ser confundido con la función de trabajo, la cual fue estudiada en la sección anterior.) La figura 40.11a es un diagrama esquemático del aparato utilizado por Compton. Los rayos X, dispersados en un blanco de grafito, fueron analizados con un espectrómetro de cristal giratorio, y la intensidad se midió con una cámara de ionización que generaba una corriente proporcional a la intensidad. El haz incidente consistía en rayos X monocromáticos de longitud de onda λ0 = 0,071 nm. Las gráficas de intensidad experimental versus longitud de onda observadas por Compton para cuatro ángulos de dispersión (correspondientes a θ en la figura 40.10) se observan en la figura 40.11b. Las gráficas para los tres ángulos diferentes de cero presentan dos picos, uno en λ0 y uno en λ' > λ0. El pico corrido en λ' es provocado por la dispersión de rayos X a partir de electrones libres, y Compton predijo que dependería del ángulo de dispersión como Ecuación de corrimiento Comptom

λ '−λ 0

=

h me c

(1 − cos θ )

(40.10)

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donde me es la masa del electrón. Esta expresión se conoce como la ecuación de corrimiento Compton, y el factor h / mec recibe el nombre de longitud de onda Compton λC del electrón. Ésta tiene un valor actualmente aceptado de: Longitud de onda Compton

λ C =

h me c

= 0,003 43 nm

El pico no corrido en λ0 de la figura 40.11b es ocasionado por los rayos X dispersados por electrones estrechamente ligados a los átomos del blanco. El pico sin corrimiento también es predicho por la ecuación 40.10 si la masa del electrón se sustituye por la masa de un átomo de carbono, la cual es casi 23 000 veces la masa del electrón. En consecuencia, existe un corrimiento de longitud de onda de un electrón ligado a un átomo, pero es tan pequeño que no fue detectado en el experimento de Compton.

Figura 40.11 a) Diagrama esquemático del aparato de Compton. La longitud de onda fue medida con un espectrómetro de cristal rotatorio usando grafito (carbono) como el blanco. b) La intensidad de los rayos X dispersados contra la longitud de onda para la dispersión Compton a θ = 0°, 45º , 90º y 135°.

Las mediciones de Compton concordaron de manera excelente con las predicciones de la ecuación 40.10. Es justo decir que estos resultados ¡fueron los primeros que realmente convencieron a la mayoría de los físicos de la validez fundamental de la teoría cuántica!

Arthur Holly Compton (1892-1962)

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Pregunta sorpresa 40-4 Observe que para cualquier ángulo de dispersión θ dado, la ecuación 40.10 proporciona el mismo valor para el corrimiento de la longitud de onda Compton para cualquier longitud de onda. Con esto en mente, explique por qué el experimento se realiza por lo común con rayos X en lugar de luz visible.

Deducción de la ecuación de corrimiento Compton Es posible deducir la ecuación de corrimiento Compton suponiendo que el fotón se comporta como una partícula y choca de manera elástica con un electrón libre inicialmente en reposo, como se muestra en la figura 40.12a.

Figura 40.12 a) Dispersión Compton de un fotón por un electrón. El fotón dispersado tiene menos energía (longitud de onda más larga) que el fotón incidente. b) Vectores de momentum para dispersión Compton.

En este modelo el fotón se considera como una partícula con energía E = hf = hc / λ y masa cero. En el proceso de dispersión la energía y el momentum lineal totales del sistema deben conservarse. La aplicación del principio de la conservación de la energía a este proceso produce: hc

λ 0

=

hc

λ '

+ K e

donde hc / λ0 es la energía del fotón incidente, hc / λ es la energía del fotón dispersado y K e es la energía cinética del electrón que retrocede. Ya que el electrón puede retroceder a magnitudes de velocidad comparables con la de la luz, se debe emplear la expresión relativista K e = γ mec2 - mec2 (Ec. 39.23). Por consiguiente: hc

λ 0

=

hc

λ '

+ γ me c 2

(40-12)

donde γ = 1 − v 2 / c 2 Luego, aplique la ley de la conservación del momentum a este choque, pero observando que se conservan las componentes de momentumen x y y. La ecuación 39.27 indica que el momentum de un fotón tiene magnitud p = E / c, y se sabe de la ecuación 40.6 que E = hf . Por tanto, p = hf / c. Sustituyendo λ f para c (Ec. 16.14) en esta expresión se obtiene p = h/ λ.. Como la expresión relativista para el momentum del electrón que retrocede es pe = γ mev (Ec. 39.19), se obtienen las siguientes expresiones para las componentes x y y del momentum lineal, donde los ángulos son como se describen en la figura 40.12b:

66

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h

Componente x:

λ 0

0=

Componente y:

=

h

λ '

h

λ '


cos θ + γ me v cos φ

sen θ − γ me v sen φ

(40.12)

(40.13)

Al eliminar v y φ de las ecuaciones 40.11 a 40.13 se obtiene una sola expresión que relaciona las tres variables restantes (λ', λ0y θ). Después de un poco de álgebra (véase el problema 68) se obtiene la ecuación de corrimiento Compton:

∆λ = λ '−λ =

h me c

(1 − cos θ )

EJEMPLO 40-4. Dispersión Compton a 45° Se dispersan rayos X de longitud de onda λ0 = 0,200 nm de un bloque de material. Los rayos X dispersados se observan a un ángulo de 45,0° en relación con el haz incidente. Calcule su longitud de onda. Solución El corrimiento en la longitud de onda de los rayos X dispersados está dado por la ecuación 40.10:

6,626 x 10 −34 J · s (1 − cos θ ) = (1 − cos 45 0 ) = 7,10 x 10 −13 m ∆λ = λ '−λ = −31 8 me c (9,11 x 10 kg ) (3,0 x 10 m / s ) h

∆λ = 0,000710 nm Por tanto, la longitud de onda de los rayos X dispersados a este ángulo es: λ ' = ∆λ + λ 0

= 0,000710 nm + 0,200 nm = 0,200710 nm

Ejercicio Encuentre la fracción de energía perdida por el fotón en este choque. Respuesta ∆E/E = 0.003 54.

40-4

ESPECTROS ATÓMICOS

Como se señaló en la sección 40.1, todos los objetos emiten radiación térmica caracterizada por una distribución continua de longitudes de onda. En nítido contraste con este espectro de distribución continua está el espectro de líneas discreto emitido por un gas a baja presión sujeto a una descarga eléctrica. (La descarga eléctrica ocurre cuando el gas es sujeto a una diferencia de potencial que crea un campo eléctrico más grande que la resistencia dieléctrica del gas.) La observación y el análisis de esta luz emitida se denomina emisión espectroscópica. Cuando la luz de dicha descarga de gas se examina con el espectroscopio, se descubre que se compone de unas cuantas líneas brillantes de color sobre un fondo que por lo general es oscuro. (Las líneas se deben a la colimación de la luz a través de una rendija.) Tal espectro de líneas discreto contrasta en forma marcada con el arco iris continuo de colores que se ve cuando un sólido que brilla se mira a través de un espectroscopio. Además, como usted percibe en la figura 40.13a, las longitudes de onda contenidas en un espectro de líneas determinado son características del elemento que emite la luz. El espectro de líneas más simple es el del hidrógeno atómico, el cual se describe en detalle. Otros átomos exhiben espectros de líneas por completo diferentes. Puesto que no hay dos elementos que tengan el mismo espectro de líneas,

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67

este fenómeno representa una técnica práctica y sensible para identificar los elementos presentes en muestras desconocidas.

Figura 40.13 a) Emisión de espectros de líneas para el hidrógeno, el mercurio y el neón. b) Espectro de absorción para el hidrógeno. Advierta que las líneas de absorción oscuras ocurren a las mismas longitudes de onda que las líneas de emisión del hidrógeno para la parte a). (K. W Whitttn, R. E. Davis y M. L Pech, General Chemistry, 6ta. ed., Philadelphia, Saunders Co/kge Publishing, 2000.)

Otra forma de espectroscopia muy útil en el análisis de sustancias es la espectroscopia por absorción. Un espectro de absorción se obtiene pasando luz de una fuente continua por un gas o solución diluida del elemento que será analizado. El espectro de absorción se compone de una serie de líneas oscuras sobreimpuestas en el espectro continuo de la fuente de luz, como se ilustra en la figura 40.13b para el hidrógeno atómico. En general, no todas las líneas presentes en el espectro de emisión de un elemento están presentes en el espectro de absorción del elemento. El espectro de absorción de un elemento tiene muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, el espectro continuo de la radiación emitida por el Sol debe atravesar los gases más fríos de la atmósfera solar y la atmósfera de la Tierra. Las diversas líneas de absorción observadas en el espectro solar se han empleado para identificar elementos en la atmósfera del Sol. En los primeros estudios del espectro solar los experimentadores descubrieron algunas líneas que no correspondían a ningún elemento conocido. ¡Se había descubierto un nuevo elemento! El nuevo elemento recibió el nombre de helio, por la palabra griega correspondiente al Sol, helios. Posteriormente el helio fue aislado de gas subterráneo en la Tierra. Los científicos podían examinar en esta forma la luz de otras estrellas, además del Sol, pero los elementos no presentes en la Tierra nunca se habían detectado. La espectroscopia por absorción también ha sido una útil técnica para analizar contaminación por metales pesados en la cadena alimenticia. Por ejemplo, la primera determinación de altos niveles de mercurio en atún se realizó con el uso de espectroscopia por absorción atómica. Las emisiones discretas de luz de las descargas de gas se usan en las señales de "neón", como se ve en la fotografia de apertura de este capítulo. El neón, el primer gas que se usó en este tipo de señales, y del cual toman su nombre, emite intensamente en la región roja. Como resultado, un tubo de vidrio lleno con gas neón emite luz roja brillante cuando la aplicación de un voltaje causa una descarga continua. Los primeros signos usaban gases diferentes para proporcionar diferentes colores, aunque la brillantez de estas señales por lo general era muy baja. Muchas señales de "neón" contemporáneas contienen vapor de mercurio, el cual emite intensamente en el rango ultravioleta del espectro electromagnético. El interior del tubo de vidrio está revestido con fósforo, un material que emite un color particular cuando absorbe radiación ultravioleta del mercurio. El color de la luz del tubo se debe a la elección del tipo particular de

68

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fósforo. Una luz fluorescente opera en la misma forma, con un fósforo de emisión blanca revistiendo el interior del tubo de vidrio.

Figura 40.14 La serie de Balmer de líneas espectrales para el hidrógeno atómico. La línea etiquetada 364.6 es la longitud de onda más corta y está en la región ultravioleta del espectro electromagnético. Las otras líneas etiquetadas están en la región visible.

De 1860 a 1885 los científicos acumularon una gran cantidad de datos sobre emisiones atómicas utilizando mediciones espectroscópicas: En 1885, un profesor suizo, Johann Jacob Balmer (1825-1898) encontró una ecuación empírica que predecía correctamente las longitudes de onda de cuatro líneas de emisión visibles del hidrógeno: Hα(roja), Hβ(verde), Hγ .(azul) y Hδ(violeta). La figura 40.14 muestra éstas y otras líneas (en el ultravioleta) en el espectro de emisión del hidrógeno. El conjunto completo de líneas se llama serie de Ba1mer. Las cuatro líneas visibles ocurren en las longitudes de onda de 656,3 nm, 486,1 nm, 434,1 nm y 410,2 nm. Las longitudes de onda de estas líneas pueden describirse por medio de la siguiente ecuación, la cual es una modificación de la ecuación original de Balmer hecha por Johannes Rydberg (1854-1919): Serie de Balmer:

1 λ

1 1  − 2  2 n   2

= R H  

(40.14)

donde n puede tener valores enteros de 3, 4,5,... y R H es una constante que ahora recibe el nombre de constante de Rydberg. Si la longitud de onda está en metros, R H tiene el valor 1,097 373 2 x 10 7 m -l. La línea en la serie de Balmer en 656,3 nm corresponde a n = 3 en la ecuación 40.14; la línea en 486,1 nm corresponde a n = 4, y así sucesivamente. Las líneas espectrales medidas concuerdan con esta fórmula empírica hasta en 0,1 %. Otras líneas en el espectro del hidrógeno se encontraron siguiendo el descubrimiento de Balmer. Dichos espectros recibieron el nombre de series de Lyman, Paschen y Brackett, en honor a sus descubridores. Las longitudes de onda de las líneas en estas series se calculan usando las siguientes fórmulas empíricas: Serie de Lyman

Serie de Paschen:

Serie de Bracken

1 λ

= R H  1 −

λ

1 λ



n = 2,3,4,….

(40.15)



n = 4,5,6,...

(40.16)

1 1  − 2 2 n   4

n = 5,6,7,...

(40.17)



1

1 

1  3

n 2 

= R H   2 −

= R H  

1  n 2 

Todas estas ecuaciones fueron puramente empíricas, lo cual significa que no existieron bases teóricas para las mismas, sólo funcionaron. En la siguiente sección se analizará el importantísimo logro de una teoría para el átomo de hidrógeno que proporcionó una base teórica para estas ecuaciones.

40-5. MODELO CUÁNTICO DEL ÁTOMO DE BOHR A principios del siglo XX, los científicos estaban perplejos por el fracaso de la Física clásica al explicar las características de los espectros atómicos. ¿Por qué los átomos de un elemento determinado exhiben sólo ciertas líneas espectrales? Además, ¿por qué los átomos absorben sólo aquellas longitudes de onda que ellos emiten? En 1913 Niels Bohr proporcionó una explicación de los espectros atómicos que incluye algunos aspectos de la teoría aceptada en la actualidad. La teoría de Bohr contenía una combinación de

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69

ideas de la teoría cuántica original de Planck, la teoría fotónica de la luz de Einstein, los modelos iniciales del átomo y la mecánica newtoniana. Empleando el átomo más simple, el hidrógeno, Bohr describió un modelo de lo que él pensaba debía ser la estructura del átomo. Su modelo del átomo de hidrógeno contenía algunas características clásicas, así como algunos postulados revolucionarios que no podían justificarse dentro del marco de la física clásica. Las ideas básicas de la teoría de Bohr cuando se aplican al átomo de hidrógeno son como siguen: 1)

El electrón se mueve en órbitas circulares alrededor del protón bajo la influencia de la fuerza de atracción de Coulomb, como se muestra en la figura 40.15.

Figura 40.15 Diagrama que representa el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, en el cual al electrón en órbita se le permite estar sólo en órbitas específicas de radios discretos.

2)

Sólo ciertas órbitas electrónicas son estables. Tales órbitas estables son unas en las cuales el electrón no emite energía en forma de radiación. Por tanto, la energía total del átomo permanece constante, y la mecánica clásica puede usarse para describir el movimiento del electrón. Advierta que esta representación es por completo diferente del modelo clásico de un electrón en una órbita circular. De acuerdo con la Física clásica, el electrón acelerado de manera centrípeta debería emitir radiación continuamente, perdiendo energía y eventualmente cayendo en espiral hacia el núcleo.

3)

La radiación es emitida por el átomo cuando el electrón "salta" de una órbita inicial más energética a una órbita de energía inferior. Este salto no puede visualizarse o tratarse en la forma clásica. En particular, la frecuencia f del fotón emitido en el salto se relaciona con el cambio en la energía del átomo y es independiente de la frecuencia del movimiento orbital del electrón. La frecuencia de la radiación emitida se encuentra a partir de la expresión de conservación de la energía: E i − E f

= h f

(40.18)

donde E i, es la energía del estado inicial, E f es la energía del estado final y E i > E f . 4)

El tamaño de las órbitas permitidas al electrón se determina por una condición impuesta sobre el momentum angular orbital del electrón: las órbitas permitidas son aquellas para las cuales el momentum angular orbital del electrón alrededor del núcleo es un múltiplo entero de h = h/2π: me v r = n h

n = 1, 2, 3,...

(40.19)

Empleando estas cuatro suposiciones se pueden calcular los niveles de energía permitidos y las longitudes de onda de emisión del átomo de hidrógeno. Es posible encontrar la energía potencial eléctrica del sistema mostrado en la figura 40.15 a partir de la ecuación 25.13, U = k eq1q2 / r = − kee2 /r, donde k e es la constante de Coulomb, y el signo negativo surge de la carga −e en el electrón. De este modo, la energía total del átomo, la cual incluye tanto el término de la energía cinética como el de la potencial, es: 2 k e e 1 2 E = K + U = me v − 2 r

(40.20)

70

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Al aplicar la segunda ley de Newton a este sistema se ve que la fuerza atractiva de Coulomb sobre el electrón, ke e2 /r, debe ser igual a la masa por la aceleración centrípeta (a = v2 / r) del electrón: k e e

2

me v

=

r

2

2

A partir de esta expresión se observa que la energía cinética del electrón es: K =

me v

2

=

2

k e e

2

2 r

(40.21)

Al sustituir dicho valor de K en la ecuación 40.20 se encuentra que la energía total del átomo es E = −

k e e

2

2 r

(40.22)

Observe que la energía total es negativa, lo que indica un sistema ligado electrón-protón. Lo anterior significa que se debe sumar al átomo energía en la cantidad de k ee2 /2r para eliminar el electrón e igualar la energía total del sistema a cero. Una expresión para r, el radio de las órbitas permitidas, puede obtenerse despejando v de las ecuaciones 40.19 y 40.21 e igualando los resultados: v

2

r n

= =

n

2

h

2

2

2

2

h

me r n

=

k e e

2

me r

2

me k e e

n = 1,2,3,...

2

(40.23)

Esta ecuación muestra que los radios tienen valores discretos −están cuantizados−. El resultado se basa en la suposición de que el electrón sólo puede existir en ciertas órbitas permitidas determinadas por el entero n. La órbita con el radio más pequeño, llamado radio de Bohr a0, corresponde a n = 1 y tiene el valor: a0

=

h

2

me k e e

2

= 0,0529 nm

(40.24)

Una expresión general para el radio de cualquier órbita en el átomo de hidrógeno se obtiene sustituyendo la ecuación 40.24 en la ecuación 40.23: r n

= n 2 a0

(40.25)

La teoría de Bohr proporcionó un valor de orden de magnitud exacto para el radio del átomo de hidrógeno a partir de principios básicos en lugar de cualquier suposición empírica acerca del tamaño de la órbita. Este resultado se consideró un triunfo contundente de la teoría de Bohr. Las primeras tres órbitas de Bohr se muestran a escala en la figura 40.16.

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71

Figura 40.16 Las primeras tres órbitas circulares predichas por el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno.

La cuantización de los radios de la órbita llevó de inmediato a la cuantización de la energía, lo que se observa sustituyendo r n = n2a0 en la ecuación 40.22, lo cual produce para los niveles de energía permitidos: 2

k e  1  E n = − e   2 a 0  n 2 

n = 1,2,3,...

(40.26)

n = 1,2,3,...

(40.27)

La inserción de valores numéricos en esta expresión resulta en: E n

=−

13,606 n

2

eV

Sólo son permitidas las energías que satisfacen esta ecuación (llamada niveles de energía). El nivel de energía más bajo permitido, denominado estado base, tiene n = 1 y energía E l = -13.606 eV. El siguiente 2 nivel de energía, el primer estado excitado, tiene n = 2 y energía E2 = E /2 = −3.401 eV. La figura 40.17 l es un diagrama de niveles de energía que muestra las energías de estos estados de energía discretos y los correspondientes números cuánticos n. El nivel más alto, correspondiente a n = ∞ (o r = ∞) y E = 0, representa el estado para el cual el electrón se separa del átomo. La energía mínima requerida para ionizar al átomo (esto es, para liberar completamente un electrón en el estado base de la influencia del protón) recibe el nombre de energía de ionización. Como puede verse en la figura 40.17, la energía de ionización para el hidrógeno en el estado base, de acuerdo con el cálculo de Bohr, es 13.6 eV. Ello constituyó otro logro fundamental de la teoría de Bohr porque la energía de ionización para el hidrógeno ya se había determinado que era 13,6 eV:

Figura 40.17 Diagrama de niveles de energía para el hidrógeno. Las energías discretas permitidas se grafican sobre el eje vertical. Nada está graficado sobre el eje horizontal, pero la extensión horizontal del diagrama está hecha lo suficientemente grande para mostrar las transiciones permitidas. Los números cuánticos están dados a la izquierda y las energías (en electronvolts) a la derecha.

72

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Las ecuaciones 40.18 y 40.26 sirven para calcular la frecuencia del fotón emitido cuando el electrón salta de una órbita exterior a una interior: 2  E i − E f k e e   1 − 1  (40.28) = f =  n f 2 ni2  h 2 a 0 h   Puesto que la cantidad medida en forma experimental es la longitud de onda, es conveniente usar c = λ f para convertir la frecuencia a longitud de onda:

1 λ

=

f c

=

 1   − 1   n f 2 ni2  2 a0 h c   k e e

2

(40.29)

El hecho sobresaliente es que esta expresión, la cual es puramente teórica, es idéntica a una forma generalizada de las relaciones empíricas descubiertas por Balmer y Rydberg y dadas por las ecuaciones de la 40.14 a la 40.17:  1 1 f 1  (40.30) = = R H  2 − 2  λ c n n i   f siempre que la constante kee2 /2 a0 h c sea igual a la constante de Rydberg determinada en forma experimental, RH = 1,097 373 2 x 10 7 m -l. Después dé que Bohr demostró la concordancia entre estas dos cantidades hasta una precisión de aproximadamente 1 %, este trabajo se reconoció de inmediato como el logro que coronaba su nueva teoría de la mecánica cuántica. Además, Bohr demostró que todas las series espectrales para el hidrógeno tenían una interpretación natural en su teoría. La figura 40.17 muestra estas series espectrales como transiciones entre niveles de energía. Bohr de inmediato extendió su modelo para el hidrógeno a otros elementos en los cuales todos menos un electrón se habían eliminado. Se sospechaba que elementos ionizados, ionizados, como He+, Li2+ y Be3+, existían en atmósferas estelares calientes, donde los choques atómicos con frecuencia tienen la suficiente energía para remover por completo uno o más electrones atómicos. Bohr demostró que muchas misteriosas líneas observada en el espectro del Sol y varias estrellas más podrían no deberse al hidrógeno pero fue correctamente predicha por su teoría si se atribuían sólo a helio ionizado. En general, para describir un solo electrón que orbita a un núcleo fijo de carga +Ze, donde Z es el número atómico del elemento (véase la sección 1.2), la teoría de Bohr produce: r n

E n

= (n 2 )

=−

a0 Z

2 k e e  Z 2 

 2  2 a 0  n 

(40.31)

n = 1,2,3,...

(40.32)

EJEMPLO 40-5 Líneas espectrales de de la estrella ξ - Puppis Algunas misteriosas líneas observadas en 1896 en el espectro de emisión de la estrella ξ - Puppis corresponden con la fórmula empírica

1 λ



1 1  − 2 (ni / 2) 2   (n f / 2)

= R H 

Muestre que estas líneas pueden explicarse mediante la teoría de Bohr cuando se originan del He +. Solución

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73

El ión He+ tiene Z = 2. Por tanto, los niveles de energía permitidos están dados por la ecuación 40.32 como: E n

2 k e e  Z 2 

2

k e 4   2  = − e   2 2 a 0  n  2 a0  n 

=−

Empleando la ecuación 40.28 se tiene f =

E i − E n h

=

2 k e e 



4

2 a 0 h  n f 2

−

4

= 2

ni 

2 k e e  

1 1  −  (n f / 2) 2 (ni / 2) 2  2 a 0 h  

1 1  = = −  (n f / 2) 2 (ni / 2) 2  λ c 2 a0 h   1

2 k e e  

f

Ésta es la solución deseada cuando se reconoce que R H = kee2 /2a0hc (véase el texto de análisis que sigue inmediatamente a la Ec. 40.30). EJEMPLO 40-6 Transiciones electrónicas en el hidrógeno hi drógeno a) El electrón en un átomo de hidrógeno realiza una transición del estado de energía n = 2 al estado base (n = 1). Encuentre la longitud de onda y frecuencia del fotón emitido. b) En el espacio interestelar se han observado átomos de hidrógeno altamente excitados, llamados átomos Rydberg. Encuentre la longitud de onda a la cual los radioastrónomos deben sintonizar para detectar señales de electrones decayendo del nivel n = 273 a n = 272. c) ¿Cuál es el radio de la órbita del electrón en el caso de un átomo Rydberg para el cual n = 272? Solución (a) Se puede emplear la ecuación 40.30 en forma directa para obtener λ, con ni = 2 y n f = 1:

1 λ

=

λ =

f c

 1

= R H 

2

 n f

4 3 R H

=

−

1 

 1 1  3 R H R = = H  2 − 2  2 

ni 

 1

2 

4

4 −7 m = 121,5 nm −1 = 1,215 x 10 7 3 (1,097 x 10 m )

Puesto que c = λ f la frecuencia del fotón es:

3,00 x 10 8 m / s = 2,47 x 1015 Hz f = = −7 λ 1,215 x 10 m c

(b) De nuevo se puede usar la ecuación 40.30, esta vez con n i = 273 y n f = 272:

1 λ

=

f c

 1

= R H 

2

 n f

−

1 

1 1  −  2 273 2   272

 = R  H 2 

ni 

λ = 0,922 nm

(c)Usando la ecuación 40.25 se encuentra:

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74 r n

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= n 2 a0 = (272) 2 (0,0529 n m) = 3,91 x 10 −6


m = 3,91 µ m

¡Esto es tan grande que el átomo está en el límite de volverse macroscópico! EJEMPLO 40-7 La serie de Balmer para el hidrógeno (a) La serie de Balmer para el átomo de hidrógeno corresponde a las transiciones electrónicas que terminan en el estado n = 2. como se muestra en la figura 40.18. a) Encuentre el fotón de longitud de onda más larga emitido en esta serie y determine su energía. b) Encuentre el fotón con la longitud de onda más corta emitido en la serie de Balmer.

Figura 40.18 Transiciones responsables de la serie de Balmer para el átomo de hidrógeno. Todas las transiciones terminan en el nivel de energía n = 2. Los niveles de energía no están dibujados a escala.

Solución (a) El fotón con la longitud de onda más larga (menor energía) en la serie de Balmer es producto de la transición de n = 3 a n = 2. Se trata del fotón con la menor energía en esta serie porque involucra el cambio de energía más pequeño posible. La ecuación 40.30 da

1 λ máx λ máx

= =

f c

 1

= R H 

2

 n f

−

1  2

1 1  5 R H − 2= 2 36 3   2

 R H  = 

ni 

36 36 = = 656,3 nm 5 R H 5 (1,097 x 10 7 m −1 )

(rojo)

La energía de este fotón es E = h f =

hc

λ máx

(6,626 x 10 −34 J · s ) (2,998 x 10 8 m / s ) = = 3,03 x 10 −19 J = 1,89 eV −9 656,3 x 10 m

También se podría obtener la energía utilizando la expresión hf = E3 − E2 donde E2 y E3 se calculan a partir de la ecuación 40.26. (b) El fotón con la longitud de onda más corta en la serie de Balmer se emite cuando el electrón realiza una transición de n = ∞ a n = 2. Por consiguiente,

1 λ min λ min

 1

= f = R H  c

=

4 R H

2

 n f

=

−

1 

1 1  R H − = 2 ∞ 2  4  2

= R H   2 

ni 

4 = 364 nm 1,097 x 10 7 m −1

Esta longitud de onda está en la región ultravioleta y corresponde al límite de la serie.

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75

Ejercicio Encuentre la energía del fotón de longitud de onda más corta. Respuesta 3.40 eVo

Niels Bohr (1885-1962) Bohr, físico danés, fue un activo participante en el desarrollo temprano de 1a mecánica cuántica y proporcionó mucho de su marco filosófico. Durante 1920 y 1930 encabezó el Instituto para Estudios Avanzados de Copenhague. El instituto fue un imán para muchos de los mejores físicos del mundo y proporcionó un foro para el intercambio de ideas. Cuando Bohr visitó Estados Unidos en 1939 para asistir a una conferencia científica, trajo noticias de que la fisión del uranio había sido observada por Hahn y Strassman en Berlín. Los resultados fueron el fundamento de la bomba atómica desarrollada en Estados Unidos durante la Segunda Guerra Mundial. Bohr recibió el premio Nóbel en 1922 por su investigación de la estructura de los átomos y la radiación que emana de ellos. (Fotografía cortesía de AIP Níels Bohr Library; Margarethe Bohr Collectíon)

Principio de correspondencia de Bohr En el estudio de la relatividad se encontró que la mecánica newtoniana es un caso especial de la mecánica relativista y es utilizable sólo cuando v es mucho menor que c. De manera similar, la física cuántica concuerda con la física clásica donde la diferencia entre los niveles cuantizados desaparece . Este principio, expuesto por primera vez por Bohr, recibe el nombre de principio de correspondencia. Por ejemplo, considere un electrón dando vueltas alrededor del átomo de hidrógeno con n > 10 000. Para valores tan grandes de n, las diferencias de energía entre niveles adyacentes tienden a cero y, en consecuencia, los niveles son casi continuos. En consecuencia, el modelo clásico es razonablemente preciso al describir el sistema para grandes valores de n. De acuerdo con la imagen clásica, la frecuencia de la luz emitida por el átomo es igual a la frecuencia de revolución del electrón en su órbita alrededor del núcleo. Los cálculos muestran que para n > 10 000, esta frecuencia es diferente de la predicha por la mecánica cuántica en menos de 0.015 %.

40-6

FOTONES Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Fenómenos como el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton ofrecen una rigurosa evidencia de que cuando la luz (u otras formas de radiación electromagnética) y la materia interactúan, la luz se comporta como si estuviera compuesta de partículas con energía hf y momentum h/ λ. Una pregunta obvia en este punto es: "¿cómo puede considerarse a la luz como un fotón (en otras palabras, una partícula) cuando se sabe que es una onda?" Por una parte, se describe a la luz en términos de fotones que tienen energía y momentum. Por otra parte, se reconoce que la luz y otras ondas electromagnéticas muestran efectos de interferencia y difracción, los cuales sólo son consistentes con una interpretación ondulatoria. ¿Cuál modelo es el correcto? ¿La luz es una onda o una partícula? La respuesta depende del fenómeno que se observa. Algunos experimentos pueden explicarse mejor o únicamente con el concepto de fotón, en tanto que otros se describen de modo más adecuado, o sólo se pueden describir con un modelo ondulatorio. El resultado final es que se deben aceptar ambos modelos y admitir que la verdadera naturaleza de la luz no puede describirse en términos de alguna imagen clásica simple. Sin embargo, usted debe darse cuenta de que el mismo haz que puede eliminar fotoelectrones de un metal (que significa que el haz está compuesto por fotones) puede también difractarse por medio de una rejilla (que significa que el haz es una onda). En otras palabras, el modelo corpuscular y el modelo ondulatorio de la luz se complementan.

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El éxito del modelo corpuscular de la luz en la explicación del efecto fotoeléctrico y del efecto Compton da lugar a muchas otras preguntas. Si la luz es una partícula, ¿cuál es el significado de su "frecuencia" y "longitud de onda", y cuál de estas dos propiedades determina su energía y momentum? ¿La luz es simultáneamente una onda y una partícula? Aunque los fotones no tienen energía en reposo (¡una cantidad no observable porque un fotón no puede estar en reposo!), ¿hay una expresión simple para la masa efectiva de un fotón en movimiento? Si los fotones tienen masa efectiva, ¿experimentan atracción gravitacional? ¿Cuál es la extensión espacial de un fotón, y cómo un electrón absorbe o dispersa a un fotón? Si bien algunas de estas cuestiones quizá tengan respuesta, otras son difíciles de contestar porque la experiencia del mundo macroscópico cotidiano es muy diferente del comportamiento de las partículas microscópicas. Muchas de estas: preguntas surgen de analogías clásicas, como los choques de las bolas de billar y las ondas en el agua que rompen en una playa. La mecánica cuántica da luz a una naturaleza más fluida y flexible al incorporar tanto el modelo corpuscular como el modelo ondulatorio cuando sea necesario y complementario. Por consiguiente, la luz tiene una naturaleza dual: muestra características tanto de onda como de partícula. Para entender por qué los fotones son compatibles con ondas electromagnéticas, considere como un ejemplo ondas de radio de 2.5 MHz. La energía de un fotón que tiene esta frecuencia es sólo de aproximadamente 104 eV, demasiado pequeña para permitir que se detecte el fotón. Un receptor de radio sensible podría requerir casi 1010 de estos fotones para producir una señal detectable. Un número tan grande de fotones aparecería, en promedio, como una onda continua. Con tantos fotones llegando al detector cada segundo, es improbable que alguna disposición apareciera en la señal detectada. Es decir, con ondas de 2.5 MHz, uno no podría detectar los fotones individuales que golpean en la antena. Considere a continuación lo que ocurre cuando se pasa a frecuencias más altas. En la región visible es posible observar tanto las características corpusculares como ondulatorias de la luz. Como se mencionó antes, un haz de luz visible muestra fenómenos de interferencia (así que es una onda) y al mismo tiempo puede producir fotoelectrones (por consiguiente, es una partícula). En frecuencias incluso más altas el momentum y la energía del fotón aumentan. En consecuencia, la naturaleza corpuscular de la luz se vuelve más evidente que su naturaleza ondulatoria. Por ejemplo, la absorción de un fotón de rayos X se detecta con facilidad como un evento aislado, pero los efectos ondulatorios son muy difíciles de observar.

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LAS PROPIEDADES ONDULATORIAS DE LAS PARTÍCULAS. HIPOTESIS DE DE BROGLIE

A los estudiantes que se les presenta la naturaleza dual de la luz a menudo les parece difícil aceptar el concepto. En el mundo circundante uno está acostumbrado a considerar cosas como pelotas de beisbol exclusivamente como partículas, y cosas como las ondas sonoras sólo como formas de movimiento ondulatorio. Cada observación a gran escala puede interpretarse considerando una explicación ondulatoria o una explicación corpuscular, pero en el mundo de los fotones y los electrones estas distinciones no están claramente definidas. Es incluso más desconcertante el hecho de que en ciertas condiciones, las cosas que sin ambigüedad se denominan "partículas", ¡muestran características de onda! En 1923 Louis de Broglie postuló en su disertación doctoral que como los fotones tienen características de onda y de partícula, quizá todas las formas de la materia tienen ambas propiedades. Fue una idea muy revolucionaria sin confirmación experimental en esa época. De acuerdo con De Broglie, los electrones, como la luz, tienen una naturaleza dual partícula-onda. Acompañando a cada electrón está una onda (¡no una onda electromagnética!). De Broglie explicó la fuente de esta afirmación en su discurso de aceptación del premio Nobel en 1929: Por un lado la teoría cuántica de la luz no puede considerarse satisfactoria, puesto que define la energía de un corpúsculo luminoso por medio de la ecuación E = hf que contiene la frecuencia f Ahora bien, una teoría sólo corpuscular no contiene nada que permita definir una frecuencia; por esta sola razón, en consecuencia, se está obligado, en el caso de la luz, a introducir la idea de un corpúsculo y la de la periodicidad en forma simultánea. Por otro lado, la determinación del movimiento estable de electrones en el átomo introduce enteros, y hasta este punto los únicos fenómenos que implican enteros en la física fueron los de la interferencia y los de los modos normales de vibración. Tal hecho me sugirió la idea de que los electrones también

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podrían considerarse no sólo como corpúsculos, sino que también debía asignárseles periodicidad. En la sección 39.7 se encontró que la relación entre la energía y el momentum lineal de un fotón, el cual tiene una energía en reposo cero, es p = E / c. También se sabe que la energía de un fotón es E = hf = hc / λ. De este modo, el momentum de un fotón puede expresarse como: p

= E = c

hc

λ c

=

h

λ

A partir de esta ecuación se ve que la longitud de onda del fotón se puede especificar por su momentum: λ = h / p. De Broglie sugirió que las partículas materiales de momentum p tienen una longitud de onda característica λ = h / p. Ya que el momentum de una partícula de masa m y rapidez v es p = mv, la longitud de onda de De Broglie de esa partícula es: 2 λ =

h p

=

h mv

(40.33)

Además, de manera similar a los fotones, De Broglie postuló que la frecuencia de las ondas materiales (es decir, ondas asociadas con partículas que tienen energía en reposo diferente de cero) obedecen la relación de Einstein E = hf , donde E es la energía total de la partícula, por lo que: f =

E h

(40.34)

La naturaleza dual de la materia es aparente en estas dos ecuaciones debido a que cada una contiene tanto los conceptos de partícula (mv y E ) como los conceptos de onda ( λ y f ). El hecho de que estas relaciones se establezcan experimentalmente para fotones hace a la hipótesis de De Broglie mucho más fácil de aceptar. La longitud de onda de De Broglie para una partícula en movimiento con cualquier rapidez v es λ = h / γmv , donde γ = (1 + v 2 /c2)−1/2. 2

Louis de BrogL1e (1892-1987) Físico francés, De Broglie recibió el premio Nóbel en 1929 por su predicción de la naturaleza ondulatoria de los electrones. (A/P Niels Bohr Library)

El experimento de Davisson-Germer La propuesta de De Broglie en 1923 de que la materia muestra tanto propiedades de onda como de partícula se consideró como pura especulación. Si partículas como los electrones tuvieran propiedades ondulatorias, entonces en condiciones adecuadas deberían mostrar efectos de difracción. Sólo tres años después, C.J. Davisson (1881-1958) y L.R. Germer (1896-1971) de Estados Unidos, tuvieron éxito en la medición de la longitud de onda de los electrones. Su importante descubrimiento proporcionó la primera confirmación experimental de las ondas de materia propuesta por De Broglie.

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Curiosamente, el intento del experimento inicial de Davisson-Germer no fue confirmar la hipótesis de De Broglie. De hecho, su descubrimiento fue hecho por accidente (como a menudo es el caso). El experimento implicaba la dispersión de electrones de baja energía (alrededor de 54 eV) desde un blanco de níquel en el vacío. Durante un experimento, la superficie de níquel se oxidó de manera incorrecta debido a una ruptura accidental en el sistema de vacío. Después de que el blanco se calentó en una corriente de hidrógeno que circulaba para remover el revestimiento de óxido, los electrones que dispersó exhibieron intensidades máxima y mínima a ángulos específicos. Los experimentadores se dieron cuenta finalmente de que el níquel había formado grandes regiones cristalinas después del calentamiento y que los planos espaciados en forma regular de los átomos en esas regiones servían como una rejilla de difracción para las ondas de materia del electrón. Poco después Davisson y Germer efectuaron mediciones de difracción más amplias en electrones dispersados a partir de blancos de un solo cristal. Sus resultados mostraron de manera definitiva la naturaleza ondulatoria de los electrones y confirmaron la relación de De Broglie p = h / λ. En el mismo año el escocés G. P. Thomson (1892~1975) también observó patrones de difracción de electrones al hacer pasar electrones a través de hojas de oro muy delgadas. Desde entonces se han observado patrones de difracción para átomos de helio, átomos de hidrógeno y neutrones. En consecuencia, la naturaleza universal de las ondas de materia se ha establecido de diversas maneras. El problema de comprender la naturaleza dual de la materia y la radiación es conceptualmente difícil debido a que los dos modelos parecen contradecirse entre sí. Este problema, aplicado a la luz, se estudió antes. Bohr ayudó a resolverlo con su principio de complementariedad, el cual establece que los modelos de onda y partícula, ya sea de la materia o de la radiación, se complementan entre sí . Ningún modelo puede usarse sólo para describir de manera adecuada la materia o la radiación. Como los humanos sólo pueden generar imágenes mentales basadas en sus experiencias del mundo cotidiano (pelotas de beisbol, ondas de agua y cosas por el estilo), se usan ambas descripciones en una forma complementaria para explicar cualquier conjunto de datos a partir del mundo cuántico. EJEMPLO 40-8 La longitud de onda de un electrón Calcule la longitud de onda de De Broglie para un electrón (m = 9.11 x 10 -31 kg) que se mueve a 1,00 x 107 m/s. Solución La ecuación 40.33 produce

6,63 x 10 −34 J · s λ = = = 7,28 x10 −11 m 7 −31 m v (9,11 x 10 kg ) (1,00 x 10 m / s) h

Ejercicio Encuentre la longitud de onda de De Broglie de una piedra de 50 g de masa lanzada a una rapidez de 40 m/s. Respuesta 3.3 x 10-34 m. EJEMPLO 40-9 Una partícula cargada acelerada Una partícula de carga q y masa m se aceleró desde el reposo a través de una diferencia de potencial ∆V Encuentre una expresión para su longitud de onda de De Broglie. Solución Cuando una partícula cargada se acelera desde el reposo a través de una diferencia de potencial ∆V; su ganancia en energía cinética ½ mv2 debe ser igual a su pérdida de energía potencial q ∆V: ½ mv2 = q ∆V

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Puesto que p = mv, esta ecuación se puede expresar en la forma: p

2

2m

= q ∆V

p =

2 m q ∆V

Sustituyendo esta expresión para p en la ecuación 40.33 se obtiene λ =

h p

=

h

2 m q ∆V

Ejercicio Calcule la longitud de onda de De Broglie de un electrón acelerado a través de una diferencia de potencial de 50V. Respuesta 0,174 nm.

RESUMEN Las características de la radiación de cuerpo negro no pueden explicarse con los conceptos clásicos. Planck introdujo el concepto cuántico cuando supuso que los osciladores atómicos responsables de esta radiación existían sólo en estados discretos de energía. La radiación se emite en paquetes cuantizados individuales siempre que un oscilador realice una transición entre estados discretos de energía. El efecto fotoeléctrico es un proceso por medio del cual los electrones se expulsan de una superficie metálica cuando la luz incide sobre dicha superficie. Einstein proporcionó una explicación útil de este efecto extendiendo la hipótesis cuántica de Planck a la radiación electromagnética. En tal modelo la luz se considera como una corriente de partículas de luz, o fotones, cada uno con energía E = hf ; donde f es la frecuencia y h es la constante de Planck. La energía cinética máxima del fotoelectrón expulsado es: E Cmáx

= K máx = h f − φ

(40.8)

donde φ es la función de trabajo del metal. Los rayos X son dispersados a diversos ángulos por los electrones en el blanco. En dicha dispersión se observa un corrimiento de la longitud de onda de los rayos X desviados, y el fenómeno se conoce como el efecto Compton. La física clásica no explica este efecto. Si el rayo X se trata como un fotón, la conservación de la energía y el momentum lineal aplicados a los choques fotón-electrón dan lugar para el corrimiento Compton:

∆ λ = λ '−λ =

h me c

(1 − cos θ )

(40.10)

donde me es la masa del electrón, c es la rapidez de la luz y θ es el ángulo de dispersión. El modelo de Bohr del átomo describe con éxito los espectros del hidrógeno atómico y de iones similares a él. Una de las suposiciones básicas del modelo es que el electrón puede existir sólo en órbitas discretas, de modo que el momentum angular mvr sea un múltiplo entero de h/2π = ћ Cuando se suponen órbitas circulares y una simple atracción de Coulomb entre el electrón y el protón, se calcula que las energías de los estados cuánticos para el hidrógeno son: 2

k e  1  E n = − e  2  2 a 0  n 

n = 1,2,3,…

(40.26)

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donde k e es la constante de Coulomb, e es la carga del electrón, n es un entero llamado número cuántico y a0 = 0,0529 nm es el radio de Bohr. Si el electrón en un átomo de hidrógeno realiza una transición de una órbita cuyo número cuántico es ni a una cuyo número cuántico es n f donde ni < n f , el átomo emite un fotón y la frecuencia de éste es: f =

2 k e e 

  1 − 1  2 a0 h  n f 2 ni2 

(40.28)

La luz tiene una naturaleza dual en tanto que presenta características de onda y de partícula. Algunos experimentos se pueden explicar mejor únicamente mediante el modelo corpuscular, mientras que otros pueden explicarse mejor o sólo mediante el modelo ondulatorio. Cada objeto de masa m y momentum p = mv tiene propiedades ondulatorias, con una longitud de onda dada por la relación de De Broglie: λ =

h p

=

h mv

(40.33)

PREGUNTAS 1.

¿Qué suposiciones fueron hechas por Planck al abordar el problema de radiación de cuerpo negro? Analice las consecuencias de estas suposiciones.

2.

El modelo clásico de la radiación de cuerpo negro dado por la ley de Rayleigh-Jeans tuvo dos defectos principales. Identifiquelos y explique cómo los trató la ley de Planck.

3.

Si el efecto fotoeléctrico se observa para un metal, ¿puede usted concluir que el efecto también será observado para otro metal en las mismas condiciones? Explique.

4.

En el efecto fotoeléctrico explique por qué el potencial de frenado depende de la frecuencia de la luz pero no de la intensidad.

5.

Suponga que el efecto fotoeléctrico ocurre en un blanco gaseoso y no en una placa sólida. ¿Se producirán fotoelectrones a todas las frecuencias del fotón incidente? Explique.

6.

¿En qué difiere el efecto Compton del efecto fotoeléctrico?

7.

¿Qué suposiciones hizo Compton al trabajar con la dispersión de un fotón a partir de un electrón?

8.

La teoría de Bohr del átomo de hidrógeno se basa en varias suposiciones. Analice estas suposiciones y su significado. ¿Alguna de ellas contradice la física clásica?

9.

Suponga que el electrón en el átomo de hidrógeno obedece la mecánica clásica en vez de la mecánica cuántica. ¿Por qué debe tal átomo "hipotético" emitir un espectro continuo en lugar del espectro de líneas observado?

10.

¿Puede el electrón en el estado base del hidrógeno absorber un fotón de energía a) menor que 13,6 eV y b) mayor que 13,6 eV?

11.

¿Por qué las líneas espectrales del hidrógeno diatómico serían diferentes a las del hidrógeno monoatómico?

12.

Explique por qué, en el modelo de Bohr, la energía total del átomo es negativa.

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13.

Un fotón de rayos X es dispersado por un electrón. ¿Qué pasa con la frecuencia del fotón dispersado relativa a la del fotón incidente?

14.

¿Por qué la existencia de una frecuencia de corte en el efecto fotoeléctrico favorece una teoría corpuscular para la luz en vez de una teoría ondulatoria?

15.

Un estudiante afirma que desprenderá electrones de una pieza de metal mediante la colocación de una antena transmisora de radio junto al metal y enviando una intensa señal de radio AM hacia la antena. La función de trabajo de un metal por lo común es de unos cuantos electron-volts. ¿Funcionará esto?

16.

Todos los objetos radian energía. ¿Por qué, entonces, los humanos no pueden ver todos los objetos en un cuarto oscuro?

17.

¿Qué tiene más energía, un fotón de radiación ultravioleta o un fotón de luz amarilla?

18.

¿Por qué fue tan importante el experimento de Davisson-Germer que involucró la difracción de electrones?

PROBLEMAS Sección 40.1 Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck 40-1.

El ojo humano es más sensible a la luz de 560 nm. ¿Cuál es la temperatura de un cuerpo negro que radiaría más intensamente a esta longitud de onda?

RESPUESTA: 5,18 x 103 K 40-2.

a) Los relámpagos producen una máxima temperatura del aire del orden de 10 4 K, mientras b) una explosión nuclear produce una temperatura del orden de 10 7 K. Use la ley de desplazamiento de Wien para encontrar el orden de magnitud de la longitud de onda de los fotones radiados con la mayor intensidad, producidos térmicamente por cada una de estas fuentes. Nombre la parte del espectro electromagnético donde usted esperaría que cada uno radiara con más intensidad.

40-3.

a) Suponiendo que el filamento de tungsteno de un foco eléctrico es un cuerpo negro, determine su longitud de onda pico si su temperatura es de 2 900 K. b) ¿Por qué su respuesta al inciso á) sugiere que más energía de un foco se convierte en radiación infrarroja que en luz visible?

RESPUESTA: (a) 999 nm; (b) La región infrarroja del espectro es mucho más ancha que la región visible, y la función de distribución espectral es más alta en el infrarojo. 40-4.

Un cuerpo negro a 7 500 K tiene una abertura de 0,050 0 mm de diámetro, considerando dentro de un horno. Estime el número de fotones por segundo que salen por el agujero con longitudes de onda de entre 500 nm y 501 nm.

40-5.

Considere un cuerpo negro de 20,0 cm 2 d área y 5 000 K de temperatura. a) ¿Cuanta potencia radia? b) ¿A que longitud de onda radia con más intensidad? Encuentre la potencia espectral por longitud de onda en c) esta longitud de onda y en longitudes de onda de d) 1,00 nm (un rayo X o γ ), e) 5,00 nm (luz ultravioleta o un rayo X), f) 400 nm (en la frontera entre UV y la luz visible) , g) 700 nm (en la frontera entre la luz visible y la infrarroja), h) 1,00 mm (luz infrarroja o una microonda) e i) 10.0 cm (una microonda u onda de radio).j) ¿Cerca de cuánta potencia radia el objeto como luz visible?

RESPUESTA: (a) 70,9 kW; (b) 580 nm; (c) 7,99 x 10 10 W/m; (d) 9,42 x 10−1226 W/m; (e) 1,00 x 10−227 W/m; (f) 5,44 x 10 10 W/m; (g) 7,38 x 10 10 W/m; (h) 0,260 W/m; (i) 2,60 x 10 −9 W/m; (j) ≈ 20 kW

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40-6.

El radio del Sol es 6,96 x 10 8 m, y su salida de potencia total corresponde a 3,77 x 10 26 W. a) Suponiendo que la superficie solar emite como un cuerpo negro calcule su temperatura superficial. b) Empleando el resultado del inciso a) encuentre λmáx del Sol.

40-7.

Calcule la energía, en electronvolts, de un fotón cuya frecuencia es a) 620 THz, b) 3,10 GHz, c) 46,0 MHz. d) Determine las longitudes de onda correspondientes a esos fotones y establezca la clasificación de cada uno sobre el espectro electromagnético.

RESPUESTA: (a) 2,57 eV; (b) 12,8 µeV;(c) 191 neV 40-8.

Una lámpara de vapor de sodio tiene una salida de potencia de 10,0 W. Empleando 589,3 nm como la longitud de onda promedio de esta fuente calcule el número de fotones emitidos por segundo.

40-9.

Un transmisor de radio de FM tiene una salida de potencia de 150 kW y funciona a una frecuencia de 99,7 MHz. ¿Cuántos fotones por segundo emite el transmisor?

RESPUESTA: 2,27 x 1030 fotones/s 40-10. El umbral promedio de la visión adaptada a la oscuridad (escotópica) es de 4,00 x 10 -11W/m2 a una longitud de onda central de 500 nm. Si la luz que tiene esta intensidad y longitud de onda entra alojo y la pupila está abierta a su máximo diámetro de 8,50 mm, ¿cuántos fotones por segundo entran al ojo? 40-11. Un péndulo simple tiene una longitud de 1,00 m y una masa de 1,00 kg. Si la amplitud de oscilaciones del péndulo es; de 3,00 cm, estime el número cuántico para el péndulo. RESPUESTA: 1,34 x 1031 40-12. Una estrella que se aleja de la Tierra a 0,280c emite radiación que tiene una intensidad máxima a una longitud de onda de 500 nm. Determine la temperatura superficial de esta estrella. 40-13. Muestre que a cortas longitudes de onda o bajas temperaturas la ley de radiación de Planck (Ec. 40.3) predice una reducción exponencial en I( λ,t) dada por la ley de radiación de Wien: I (λ , T ) =

2 π h c 2 5

λ

e

− hc / λ k BT

RESPUESTA: 40-14. Demuestre que a grandes longitudes de onda la ley de radiación de Planck (Ec. 40.3) se reduce a la ley de Rayleigh-Jeans (Ec. 40.2). Sección 40.2 El efecto fotoeléctrico 40-15. El molibdeno tiene una función de trabajo de 4,20 eV. a) Encuentre la longitud de onda de corte y la frecuencia de corte para el efecto fotoeléctrico. b) Calcule el potencial de frenado si la luz incidente tiene una longitud de onda de 180 nm. RESPUESTA: (a) 296 nm; 1,01 PHz; (b) 2,71 V 40-16. De una superficie metálica se liberan electrones con rangos de rapidez de hasta 4,60 X 10 5 m/s cuando se usa luz con longitud de onda λ = 625 nm. a) ¿Cuál es la función de trabajo de la superficie? b) ¿Cuál es la frecuencia de corte de esta superficie? 40-17. El litio, el berilio y el mercurio tienen funciones de trabajo de 2,30 eV, 3,90 eV y 4,50 eV, respectivamente. Si luz de 400 nm incide sobre cada uno de estos metales, determine a) cuál de

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ellos exhibe el efecto fotoeléctrico y b) la energía cinética máxima para los fotoelectrones en cada caso. RESPUESTA: (a) sólo litio; (b) 0,808 eV 40-18. Un estudiante que analiza el efecto fotoeléctrico de dos metales diferentes registra la siguiente información: i) el potencial de frenado para los fotoelectrones liberados en el metal 1 es 1,48 V mayor que para el metal 2, y ii) la frecuencia de corte para el metal 1 es 40,0 % más pequeña que para el metal 2. Determine la función de trabajo para cada metal. 40-19. Dos fuentes luminosas se utilizan en un experimento fotoeléctrico para determinar la función de trabajo para una superficie metálica particular. Cuando se emplea luz verde de una lámpara de mercurio (λ = 546,1 nm),un potencial de frenado de 0,376 V reduce la fotocorriente a cero. a) Con base en esta medición, ¿cuál es la función de trabajo para este metal? b) ¿Qué potencial de frenado se observaría al usar la luz amarilla de un tubo de descarga de helio,( λ = 587,5 nm)? RESPUESTA: (a) 1,90 eV;(b) 0,216 V 40-20. Cuando luz de 445 nm incíde sobre cierta superficie metálica, el potencial de frenado es 70,0 % del que resulta cuando luz de 410 nm incide sobre la misma superficie metálica. Con base en esta información, y la siguiente tabla de funciones de trabajo, identifique el metal implicado en el experimento. Metal Cesio Potasio Plata Tungsteno

Función de trabajo (eV) 1,90 2,23 4,73 4,58

40-21. A partir de la dispersión de la luz solar Thomson calculó el radio clásico del electrón que tiene un valor de 2,82 x 10 -15 m. Si luz del Sol con una intensidad de 500 W/m 2 cae sobre un disco con este radio, calcule el tiempo requerido para acumular 1,00 eV de energía. Suponga que la luz es una onda clásica y que la luz que golpea al disco es absorbida por completo. ¿Cómo se compara su resultado con la observación de que los fotoelectrones son emitidos con rapidez (dentro de 10-9 s)? RESPUESTA: 148 días; absurdamente largo 40-22. Una esfera de cobre aislada de 5,00 cm de radio, inicialmente sin carga, se ilumina con luz ultravioleta de longitud de onda de 200 nm. ¿Qué carga inducirá el efecto fotoeléctrico sobre la esfera? La función de trabajo para el cobre es 4,70 eV. 40-23. Una fuente luminosa que emite radiación a 7,00 x 10 14 Hz es incapaz de liberar fotoelectrones de cierto metal. Con la intención de utilizar esta fuente para extraer fotoelectrones del metal, a la fuente se le da una velocidad hacia el metal. a) Explique cómo este procedimiento produce fotoelectrones. b) Cuando la rapidez de la fuente luminosa es igual a 0,280c, los fotoelectrones empiezan a ser expulsados del metal. ¿Cuál es la función de trabajo del metal? c) Cuando la rapidez de la fuente luminosa se incrementa a 0,900c, determine la máxima energía cinética de los fotoelectrones. RESPUESTA: (a) Elefecto Doppler aumenta la frecuencia incidente sobre elmetal; (b) 3,87 eV; (c) 8,78 eV Sección 40.3 El efecto Compton 40-24. Calcule la energía y momentum de un fotón de 700 nm de longitud de onda.

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40-25. Rayos X que tienen una energía de 300 keV experimentan dispersión Compton desde un blanco. Si los rayos dispersados se detectan a 37,0° respecto de los rayos incidentes, encuentre a) el corrimiento Compton a este ángulo, b) la energía de los rayos X dispersados y c) la energía del electrón de retroceso. RESPUESTA: (a) 488 fm; (b) 268 keV; (c) 31,5 keV 40-26. Un fotón de 0,110 nm choca con un electrón estacionario. Después del choque el electrón se mueve hacia adelante y el fotón retrocede. Encuentre el momentum y la energía cinética del electrón. 40-27. Un fotón de 0,001 60 nm se dispersa a partir de un electrón libre. ¿Para qué ángulo de dispersión (fotón) el electrón de retroceso tiene la misma energía cinética que la energía del fotón dispersado? RESPUESTA: 70,1º 40-28. En un experimento de dispersión Compton un fotón se desvía un ángulo de 90,0° y el electrón se desvía un ángulo de 20,0°: Determine la longitud de onda del fotón dispersado. 40-29. Un fotón de 0,880 MeV es dispersado por un electrón libre inicialmente en reposo de tal manera que el ángulo de dispersión del electrón dispersado es igual al del fotón dispersado ( θ = φ en la figura 40.10b). a) Determine los ángulos θ y φ, b) la energía y mamentum del fotón dispersado y c) la energía cinética y el momentum del electrón dispersado. RESPUESTA: (a) 43,0º; (b) 602 keV; 3,21 x 10 −22 kg · m/s; (c) 278 keV; 3,21 x 10 −22 kg · m/s 40-30. Un fotón que tiene energía E 0 es dispersado por un electrón libre inicialmente en reposo, de tal manera que el ángulo de dispersión del electrón dispersado es igual al del fotón dispersado ( θ = φ en la figura 40.10b). a) Determine los ángulos θ y φ, b) la energía y mamentum del fotón dispersado y c) la energía cinética y el momentum del fotón dispersado. 40-31. Un fotón de 0,700 MeV dispersa a un electrón libre de modo que el ángulo de dispersión del fotón es el doble del ángulo de dispersión del electrón (Fig. P40.31). Determine a) el ángulo de dispersión para el electrón y b) la rapidez final del electrón.

Figura P40.31

RESPUESTA: (a) 33,0º; (b9 0,785 c 40-32. Un fotón que tiene una longitud de onda λ dispersa a un electrón libre en A (Fig. P40.32) produciendo un segundo fotón que tiene longitud de onda λ'. Este fotón dispersa después otro electrón libre en B produciendo un tercer fotón con longitud de onda λ" que se mueve directamente opuesta al fotón original, como se muestra en la figura P40.32. Determine el valor numérico de ∆λ = λ" − λ.

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Figura P40.32

40-33. Después de que un fotón de rayos X de 0,800 nm se dispersa a partir de un electrón libre, el electrón retrocede a 1,40 x 106 m/s. a) ¿Cuál fue el corrimiento Compton en la longitud de onda del fotón? b) ¿Qué ángulo se dispersó el fotón? RESPUESTA: (a) 2,88 pm; (b) 101º 40-34. Encuentre la pérdida de energía fraccionaria. Máxima para un rayo gamma de 0,511 MeV que tiene dispersión Compton a partir de a) un electrón libre y b) un protón libre. Sección 40.4 Espectros atómicos 40-35. Muestre que las longitudes de onda para la serie de Balmer satisfacen la ecuación:

364,5 n 2 λ = 2 nm donde n = 3,4,5,… n −4 RESPUESTA: 40-36. a) Suponga que la constante de Rydberg estuvo dada por R H = 2,00 x 107 m -l. ¿En qué parte del espectro electromagnético se encontraría la serie de Balmer? b) Repita para RH = 0,500 x 10 7 m-l. 40-37. a) ¿Qué valor de n se asocia con la línea de 94,96 nm en la serie de hidrógeno de Lyman? b) ¿Esta longitud de onda podría estar asociada con las series de Paschen o Brackett? RESPUESTA: (a) 5; (b) no; no 40-38. a) Calcule la longitud de onda más corta en cada una de estas series espectrales del hidrógeno: Lyman, Balmer, Paschen y Brackett. b) Calcule la energía (en electronvolts) del fotón de más alta energía producido en cada serie. 40-39. El oxígeno líquido tiene un color azulado, lo que significa que absorbe en forma preferente luz hacia el extremo rojo del espectro visible. Aunque la molécula de oxígeno (O 2) no absorbe intensamente radiación visible, lo hace en esa forma a 1 269 nm, que es la región infrarroja del espectro. Las investigaciones han mostrado que es posible que dos moléculas de O 2 que choquen absorban un solo fotón, compartiendo de manera equitativa su energía. La transición que ambas moléculas experimentan es la misma que la producida cuando absorben radiación de 1 269 nm. ¿Cuál es la longitud de onda del fotón aislado que ocasiona esta doble transición? ¿Cuál es el color de esta radiación? RESPUESTA: 634 nm; rojo Sección 40.5 Modelo cuántico del átomo de Bohr 40-40. Para el átomo de hidrógeno en el estado base utilice el modelo de Bohr para calcular a) la rapidez orbital del electrón, b) su energía cinética y c) la energía potencial eléctrica del átomo.

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40-41. Un átomo de hidrógeno está en su primer estado excitado ( n = 2). Empleando la teoría del átomo de Bohr calcule a) el radio de la órbita, b) el momentum lineal del electrón, c) el momentum angular del electrón, d) la energía cinética, e) la energía potencial y f) la energía total. RESPUESTA: (a) 0,212 nm, (b) 9,95 x 10 −25 kg · m/s; (c) 2,11 x 10 −34 kg · m/s; (d) 3,40 eV; (e) −6,80 eV 40-42. A continuación se proporcionan cuatro transiciones posibles para el átomo de hidrógeno: A) ni = 2; n f = 5 B) ni = 5; n f = 3 C) ni = 7 ; n f = 4 D) ni = 4; n f = 7 a) ¿Cuál de las transiciones emite los fotones que tienen la longitud de onda más corta? b) ¿En cuál transición el átomo gana mayor cantidad de energía? c) ¿Para cuál (es) transición(es) el átomo pierde energía? 40-43. Un fotón se emite cuando un átomo de hidrógeno experimenta una transición del estado n = 6 al estado n = 2. Calcule a) la energía, b) la longitud de onda y c) la frecuencia del fotón emitido. RESPUESTA: (a) 3,03 eV; (b) 410nm; (c) 732 THz 40-44. Cuánta energía se requiere para ionizar hidrógeno a) ¿cuando está en el estado base? b) ¿cuando está en el estado para el cual n = 3? 40-45. Demuestre que la rapidez del electrón en la n-ésima órbita de Bohr en el hidrógeno está dada por vn

=

k e e

2

nh

RESPUESTA: 40-46. a) Calcule el momentum angular de la Luna debido a su movimiento orbital alrededor de la Tierra. En su cálculo use 3,84 x 10 8 m como el promedio de la distancia Tierra-Luna, y 2,36 x 10 6 s como el periodo de la Luna en su órbita. b) Determine el número cuántico correspondiente si el momentum angular de la Luna está dado por la suposición de Bohr mvr = nћ. c) ¿En qué fracción la distancia Tierra-Luna debería incrementarse al aumentar el número cuántico en 1? 40-47. Un haz de luz monocromática es absorbido por una acumulación de átomos de hidrógeno en estado base, de modo que es posible observar seis diferentes longitudes de onda cuando el hidrógeno regresa de nuevo al estado base. ¿Cuál es la longitud de onda del haz incidente? RESPUESTA: 97,5 nm 40-48. Dos átomos de hidrógeno chocan frontalmente y terminan con energía cinética cero. Cada uno emite después un fotón de 121,6 nm (una transición de n = 2 a n = 1). ¿A qué rapidez se movían los átomos antes del choque? 40-49. a) Construya un diagrama de niveles de energía para el ion He +, para el cual Z = 2. b) ¿Cuál es la energía de ionización para el He +? RESPUESTA: (a) En = −54,4 eV/n2 para n = 1,2,3,..; (b) 54,4 eV 40-50. ¿Cuál es el radio de la primera órbita de Bohr en a) He +, b) Li2+ y c) Be3+? 40-51. Una partícula de carga q y masa m, que se mueve a rapidez constante v perpendicular a un campo magnético constante B, sigue una trayectoria circular. Si el momentum angular alrededor del centro de este círculo está cuantizado de manera que mvr = nћ, muestre que los radios permitidos para la partícula son: r n

=

nh q B

donde n = 1, 2, 3,...

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RESPUESTA: 40-52. Un electrón está en la n-ésima órbita de Bohr del átomo de hidrógeno. a) Muestre que el periodo del electrón es T = t 0 n3 y determine el valor numérico de t 0. b) En promedio, un electrón permanece en la órbita n = 2 por aproximadamente 10 µs antes de saltar a la órbita n = 1 (estado base).. ¿Cuántas revoluciones efectúa el electrón antes de saltar al estado base? c) Si una revolución del electrón se define como un "año electrón" (de la misma forma en que un año terrestre es una revolución de la Tierra alrededor del Sol), ¿el electrón en la órbita n = 2 "vive" mucho? Explique. Sección 40.6 Fotones y ondas electromagnéticas Sección 40.7 Las propiedades ondulatorias de las partículas 40-53. Calcule la longitud de onda de De Broglie para un protón que se mueve a una rapidez de 1,00 x 106 m/s. RESPUESTA: 397 fm 40-54. Calcule la longitud de onda de De Broglie para un electrón que tiene energía cinética de a) 50,0 eV y b) 50,0 keV. 40-55. a) Un electrón tiene 3,00 eV de energía cinética. Encuentre su longitud de onda. b) Un fotón tiene 3.00 eV de energía. Encuentre su longitud de onda. RESPUESTA: (a) 0,709 nm; (b) 414 nm 40-56. En el experimento Davisson-Germer, 54,0 eV electrones fueron difractados de una rejilla de níquel. Si el primer máximo en el patrón de difracción se observó en φ = 50.00 (Fig. P40.56), ¿cuál fue el espaciamiento a de la rejilla?

Problema P40.56

40-57. El núcleo de un átomo está en el orden de 10 -14 m de diámetro. Para que un electrón esté confinado a un núcleo, su longitud de onda de De Broglie debería ser de este orden de magnitud o más pequeña. a) ¿Cuál sería la energía cinética de un electrón confinado a esta región? b) Sobre la base de este resultado, ¿usted esperaría encontrar un electrón en un núcleo? Explique. RESPUESTA: (a) ∼ 100MeV;(b) No. Con energía cinética mucho mayor que la magnitud de su energía potencial eléctrica negativa, el electrón escaparía inmediatamente 40-58. Robert Hofstadter ganó el premio Nobel de Física en 1961 por su trabajo pionero en dispersar electrones de 20 GeV de núcleos. a) ¿Cuál es el factor γ para un electrón de 20,0 GeV, donde γ = (1 - v2 /c2)−1/2? b) ¿Cuál es el momentum del electrón en kg · m/s? c) ¿Cuál es la longitud de onda de un electrón de 20,0 GeV y cómo se le compara con el tamaño de un núcleo? 40-59. a) Muestre que la frecuencia f y la longitud de onda λ de una partícula que se mueve con libertad 2  f 2  1 1  = 2 − 2 donde λC = h / mc es la longitud están relacionadas por medio de la expresión  λ λ C  c 

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de onda Compton de la partícula. b) ¿Es posible alguna vez que una partícula con una masa diferente de cero tenga la misma longitud de onda y frecuencia que un fotón? Explique. RESPUESTA: (b) No. λ−2 + λC−2 no puede ser igual a λ−2 40-60. Después de aprender acerca de la hipótesis de De Broglie de que las partículas de momentum p tienen características de onda con longitud de onda λ = h / p, un estudiante de 80,0 kg se preocupó acerca de ser difractado cuando pasara por una puerta de 75,0 cm de ancho. Suponga que una difracción significativa ocurre cuando el ancho de la apertura de difracción es menor en 10,0 veces la longitud de onda de la onda que se difracta. a) Determine la rapidez máxima a la cual el estudiante puede pasar por la puerta para tener una difracción significativa. b) Con dicha rapidez, ¿cuánto tardaría el estudiante en pasar por la puerta si ésta mide 15,0 cm de ancho? Compare su resultado con la edad del universo actualmente aceptada, la cual es de 4 x 10 17 s. c) ¿Se justifica la preocupación del estudiante respecto de ser difractado? 40-61. ¿Cuál es la rapidez de un electrón si su longitud de onda de De Broglie es igual a su longitud de onda de Compton? (Sugerencia: Si usted obtiene una respuesta de c, vea el problema 71.) RESPUESTA: c / 2 = 212 Mm/s PROBLEMAS ADICIONALES 40-62. La figura P40.62 muestra el potencial de frenado versus la frecuencia de los fotones incidentes en el efecto fotoeléctrico para el sodio. Use la gráfica para encontrar a) la función de trabajo, b) la relación h / e y c) la longitud de onda de corte. (Datos tomados de R. A. Millikan, Phys. Rev. 7:362, 1916.)

Figura P40.62

40-63. Fotones de 450 nm de longitud de onda inciden sobre un metal, Los electrones más energéticos expulsados del metal se desvían en un arco circular de 20,0 cm de radio por medio de un campo magnético con una magnitud de 2,00 x 10 -5 T. ¿Cuál es la función de trabajo del metal? RESPUESTA: 1,36 eV 40-64. Fotones de longitud de onda λ inciden sobre un metal. Los electrones más energéticos expulsados del metal se desvían en un arco circular de radio R por medio de un campo magnético cuya magnitud es B. ¿Cuál es la función de trabajo del metal? 40-65. La tabla siguiente muestra datos obtenidos en un experimento fotoeléctrico. a) Utilizando estos datos haga una gráfica similar a la de la figura 40.9 que se trace como una línea recta. A partir de esta gráfica determine b) un valor experimental para la constante de Planck (en joule-segundos), y c) la función de trabajo (en electronvolts) para la superficie. (Dos cifras significativas para cada respuesta son suficientes.)

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Longitud de onda (nm)


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Energía cinética máxima de los fotoe1ectrones (eV)

588 505 445 399

0,67 0,98 1,35 1,63

RESPUESTA: (b) 6,4 x 10−34 J · s ± 8 %; (c) 1,4 eV 40-66. Un fotón de 200 MeVes dispersado a 40,0° por un protón libre inicialmente en reposo. a) Encuentre la energía (en MeV) del fotón dispersado. b) ¿Qué energía cinética (en MeV) adquiere el protón? 40-67. El positronio es un átomo similar al hidrógeno compuesto por un positrón (un electrón cargado positivamente) y un electrón que giran uno alrededor del otro. Empleando el modelo de Bohr determine los radios permitidos (relativos a los centros de masa de las dos partículas) y las energías permitidas del sistema. RESPUESTA: Las partículas están separadas por r a = (0,106 nm) n2 y E n = −6,80 eV/n2, para n = 1, 2, 3, 40-68. Deduzca la fórmula para el corrimiento Compton (Ec. 40.10) a partir de las ecuaciones 40.11, 40.12 y 40.13. 40-69. Un ejemplo del principio de correspondencia. Emplee el modelo del átomo de hidrógeno de Bohr para mostrar que cuando el electrón se mueve del estado n al estado n - 1, la frecuencia de la luz 2 π 2 me k e2 e 4  2 n − 1  emitida es: f = Muestre que cuando n → ∞, esta expresión varía  3 2 2 ( 1 ) − h n n   3 como 1/ n y se reduce a la frecuencia clásica que se espera que emita el átomo. (Sugerencia: para calcular la frecuencia clásica advierta que la frecuencia de revolución es v /2πr, donde r está dada por la Ec. 40.25.) RESPUESTA: La frecuencia clásica es 4π mek e2 /h3n3. 40-70. Muestre que un fotón no puede transferir toda su energía a un electrón libre. (Sugerencia: recuerde que la energía y el momentum deben conservarse.) 40-71. Demuestre que la rapidez de una partícula que tiene longitud de onda de De Broglie λ y longitud de onda Compton λC = h /(mc) es: v =

c

1 − (λ / λ C )2

40-72. La serie de Lyman para un (¿nuevo?) átomo de un electrón se observa en la luz de una galaxia distante. Las longitudes de onda de las primeras cuatro líneas y el límite de la longitud de onda corta de esta serie están dadas por el diagrama de niveles de energía en la figura P40.72. Con base en esta información calcule a) las energías del estado base y de los primeros cuatro estados excitados para este átomo de un electrón y b) las longitudes de onda de las primeras tres líneas y el límite de la longitud de onda corta en la serie de Balmer correspondiente a este átomo. c) Muestre que las longitudes de onda de las primeras cuatro líneas y el límite de la longitud de onda corta de la serie de Lyman para el átomo de hidrógeno son todas 60,0 % de las longitudes de onda para la serie de Lyman en el átomo de un electrón descrito en el inciso b). d) Con base en esta observación explique por qué este átomo podría ser hidrógeno.

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Figura P40.72

40-73. La potencia total por unidad de área radiada por un cuerpo negro a una temperatura T es el área bajo la curva I(λ , T) versus la curva λ, como se muestra en la figura 40.3. a) Muestre que esta ∞

potencia por unidad de área es: ∫ I (λ , T ) d λ = σ T 4 donde I(λ , T) está dada por la ley de 0

radiación de Planck, y σ es una constante independiente de T: Este resultado se conoce como ley de Stefan-Boltzmann (véase la sección 20.7). Para efectuar la integración usted debe hacer el ∞

cambio de variable x = hc/ λkBT y aprovechar el hecho de que

x 3 dx

∫0 e

x

π 4

= b) Muestre que la − 1 15

2 π 5 k B4 constante de Stefan-Boltzmann σ tiene el valor: σ = = 5,67 x 10 −8 W / m 2 · K 4 2 5 15 c h 40-74. Deduzca la ley de desplazamiento de Wien a partir de la ley de Planck. Proceda como se indica a continuación: En la figura 40.3 observe que la longitud de onda a la cual un cuerpo negro radia con mayor intensidad es la longitud de onda para la cual la gráfica de I( λ , T) versus λ tiene una tangente horizontal. A partir de la ecuación 40.3 evalúe la derivada dI/d λ. Establézcala igual a cero. Resuelva numéricamente la ecuación trascendental resultante para probar hc/ λmáxkBT = 4.965... o λmáxT= hc/4,965kB. Evalúe la constante de manera tan precisa como sea posible y compárela con el valor experimental de Wien. 40-75. Un fotón de energía inicial E0 sufre una dispersión Compton a un ángulo θ a partir de un electrón libre (masa me) inicialmente en reposo. Utilizando las ecuaciones relativistas para la conservación de la energía y el momentum, obtenga la siguiente relación para la energía final E' del fotón dispersado: E' = E0 [1 + (E0 /mec2) (1 − cos θ) ]−1 40-76. Como aprendió en la sección 39.4, un muón tiene una carga de −e y una masa igual a 207 veces la masa de un electrón. Plomo muónico se forma cuando un núcleo de plomo captura un muón. De acuerdo con la teoría de Bohr, ¿cuáles son el radio y la energía del estado base del plomo muónico? 40-77. Un electrón inicialmente en reposo retrocede en un choque frontal con un fotón. Demuestre que la energía cinética adquirida por el electrón es 2hfa /(1 + 2a), donde a es la proporción de la energía inicial del fotón a la energía en reposo del electrón. 40-78. La función de distribución espectral I(λ , T) para un cuerpo negro ideal a temperatura absoluta T se muestra en la figura P40.78. a) Muestre que el porcentaje de la potencia total radiada por

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unidad de área en el intervalo 0 ≤ λ ≤ λmáx es independiente del valor de T, b) Usando A A + B

= 1−

15 π 4

4 ,965

∫0

x 3 x

e

−1

dx integración numérica muestre que esta proporción es

aproximadamente 1/4.

Figura P40.78

40-79. Muestre que la proporción entre la longitud de onda Compton λC y la longitud de onda de De 2  λ C  E    Broglie λ = h / p para un electrón relativista es: 1 =  − λ  me c 2    total del electrón y m, es su masa.

1 / 2

donde E es la energía

40-80. El neutrón tiene una masa de 1,67 x 10-27 kg. Los neutrones emitidos en las reacciones nucleares pueden frenarse mediante colisiones con la materia. Se hace referencia a ellos como neutrones térmicos una vez que han llegado al equilibrio térmico con su entorno. La energía cinética promedio (3kBT/2) de un neutrón térmico es aproximadamente 0,04 eVo Calcule la longitud de onda de De Broglie de un neutrón con una energía cinética de 0,040 0 eV. ¿Cómo se le compara con el espaciamiento atómico característico en un cristal? ¿Usted esperaría que los neutrones térmicos exhibieran efectos de difracción cuando son desviados por un cristal? 40-81. Un fotón con longitud de onda λ0 se mueve hacia un electrón libre que se desplaza a rapidez u en la misma dirección que el fotón (Fig. P40.81a). Si el fotón se dispersa a un ángulo θ (Fig. P40.81b), muestre que la longitud de onda del fotón dispersado es:

 1 − (u / c) cosθ  1 + u / c h  + (1 − cos θ ) 1 / 1 / − − u c m c u c   e

λ ' = λ 0 

Figura P40.81

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RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS SORPRESA 40.1

c). La luz ultravioleta tiene las frecuencias más altas de los tres, y, por ende, cada fotón entrega más energía a una célula de la piel. (Esto explica por qué usted puede broncearse en un día nublado: las nubes bloquean la luz visible pero no mucha luz ultravioleta. Usted usualmente no se broncea a través del vidrio de una ventana, aunque sienta el calor debido a los rayos infrarrojos del Sol, porque el vidrio bloquea la luz ultravioleta.)

40.2

Comparando la ecuación 40.8 con la forma de intersección de la pendiente de la ecuación para una línea recta, y = mx + b, se ve que la pendiente en la figura 40.9 es la constante de Planck h y que la intersección y es −φ, el negativo de la función de trabajo. Si se hubiese usado un metal diferente, la pendiente permanecería igual pero la función de trabajo sería diferente. En consecuencia, los datos para los distintos metales aparecen como líneas paralelas sobre la gráfica.

40.3

La física clásica predice que la luz de intensidad suficiente provoca la emisión de fotoelectrones, de manera independiente de la frecuencia y sin duda sin una frecuencia de corte. Además, cuanto mayor sea la intensidad, mayor será la energía cinética máxima, con algún retraso en el tiempo de emisión a bajas intensidades. Por tanto, la expectativa clásica (la cual no equipara al experimento) produce una gráfica que se parece a ésta:

40.4 El cambio fraccionario en la longitud de onda ∆λ / λ es más grande (y, por tanto, más fácil de medir) para longitudes de onda pequeñas, y los rayos X tienen longitudes de onda mucho más pequeña que la luz visible.

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CAPITULO 41 MECANICA CUANTICA ACERTIJO

Este encantador amiguito y cientos de miles como él viven en su almohada, recolectando pequeños pedazos de piel muerta. El ácaro de la almohada es tan pequeño que los microscopios ordinarios no revelan sus detalles anatómicos. Por otra parte, ¡esta fotografía tomada con un microscopio electrónico muestra quizá más de lo que se quisiera ver! ¿Por qué un microscopio electrónico puede ver objetos mucho más pequeños de los que pueden ser vistos a través de un microscopio óptico? (Oliver MeckeS/Photo Researchers, Inc.)

Lineas generales del capitulo 41.1 41.2 41.3 41.4 41.5 41.6 41.7 41.8 41.9

Regreso al experimento de doble rendija El principio de incertidumbre Densidad de probabilidad Una partícula en una caja La ecuación de Schr6dinger Una partícula en un pozo de altura finita Efecto túnel a través de una barrera El microscopio de efecto túnel exploratorio El oscilador armónico simple

El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el cual se presentó en el capítulo 40, tiene serias limitaciones. Presenta al electrón en movimiento en tomo a la circunferencia de un círculo plano, pero los experimentos de dispersión muestran que el electrón llena una esfera alrededor del núcleo, con una probabilidad que disminuye exponencialmente ya que se encuentra a mayores y mayores distancias a partir del núcleo. El modelo de Bohr no considera el movimiento ondulatorio del electrón. Bohr supuso que el momentum

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angular mínimo del electrón era ħ; de hecho, es cero. Además, el modelo no se puede extender para explicar los espectros de absorción y emisión de átomos complejos, ni predice detalles como las variaciones en las intensidades de las líneas espectrales y los desdoblamientos observados en ciertas líneas espectrales en condiciones de laboratorio controladas. Por último, no permite entender cómo interactúan entre sí los átomos y cómo dichas interacciones afectan las propiedades físicas y químicas observadas de la materia. En el presente capítulo se estudia la mecánica cuántica, una teoría que explica con éxito la estructura atómica. Tal teoría, desarrollada de 1925 a 1926 por Erwin Shrodinger, Werner Heisenberg y otros, se enfoca en las limitaciones del modelo de Bohr y permite comprender una gran cantidad de fenómenos que involucran átomos, moléculas, núcleos y sólidos. Básicamente se estudiará la ecuación de movimiento de ondas materiales, así como algunas de las características principales de la mecánica cuántica y su aplicación a sistemas sencillos unidimensionales. Por ejemplo, se tratará el problema de una partícula confinada a un potencial de pozo que tiene barreras infinitamente altas.

41-1. REGRESO AL EXPERIMENTO DE DOBLE RENDIJA Como se expuso en el capítulo 40, el concepto de dualidad onda-partícula en la física moderna es muy difícil de comprender. Una manera de cristalizar las ideas acerca de esta dualidad es considerar la difracción de electrones que pasan a través de una doble rendija. El experimento muestra la imposibilidad de medir de manera simultánea las propiedades ondulatorias y corpusculares e incorpora todas las extrañas consecuencias de la mecánica cuántica.

Figura 41.1 Difracción de electrones. La separación entre rendijas D es mucho mayor que el ancho de cada rendija y mucho menor que la distancia entre las rendijas y el detector.

Considere un haz de electrones que tienen la misma energía e inciden sobre una barrera de doble rendija, como se muestra en la figura 41.1, donde el ancho de las rendijas es mucho menor que la separación D entre las mismas. Un detector de electrones se coloca alejado de las rendijas a una distancia mucho mayor que D. Si el detector registra electrones en diferentes posiciones por un tiempo suficientemente largo, se encuentra un patrón de interferencia que representa el número de electrones que llegan en cualquier posición a lo largo de la línea del detector. Tal patrón de interferencia no ocurre si los electrones se comportan como partículas clásicas y, por ende, se debe inferir que los electrones se comportan como ondas. Si el experimento se efectúa a intensidades más bajas del haz durante un periodo bastante largo, el patrón de interferencia continúa observándose. En primer lugar, uno sólo observa puntos de luz que son como "balas" fotónicas que golpean en una forma aparentemente aleatoria, pero después de una larga

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exposición se observa un patrón de puntos luminosos. Esto se ilustra en los patrones simulados por computadora en la figura 41.2. Advierta que el patrón de interferencia se vuelve más claro conforme aumenta el número de electrones que alcanzan al detector.

Figura 41.2 a), b), c) Patrones de interferencia simulados por computadora para un haz de electrones que inciden sobre una doble rendija. (Tomado de E. R. Huggins, Physics 1, New Yort, W A. Benjamín, 1968) d) Fotografía de un patrón de interferencia de doble rendija producido por electrones. (Tomado de C. Jansson, Zeitschrift für Physik 161:454, 1961; usado con permiso.)

Si un solo electrón produce ondas en fase cuando llega a una de las rendijas, la teoría ondulatoria estándar puede emplearse para determinar la separación angular θ entre el máximo de probabilidad central y su mínimo vecino. El mínimo ocurre cuando la diferencia de longitud de la trayectoria entre A y B en la figura 41.1 es la mitad de una longitud de onda, o: D sen θ =

λ

2

Puesto que la longitud de onda de De Broglie del electrón está dada por λ = h / p, se ve que, para θ pequeña: sen θ = θ =

h

2 p x d

De este modo, la naturaleza dual del electrón se muestra claramente en el experimento: Aunque los electrones se detectan como partículas en un punto localizado en algún instante de tiempo, la probabilidad de llegada en ese punto se determina por la intensidad de dos ondas de materia que interfieren. En la mecánica cuántica las ondas materiales son descritas mediante la función de onda ψ con valor complejo. El cuadrado absoluto ψ2 = ψ *ψ , donde ψ * es la conjugada compleja de ψ , da la probabilidad de encontrar una partícula en un punto dado en algún instante. La función de onda contiene toda la información que puede conocerse acerca de la partícula. Ahora se usará la noción de la función de onda para investigar algunos otros resultados inusuales del experimento de doble rendija. Si una rendija se cubre durante el experimento, se obtiene una curva simétrica con un pico alrededor del centro de la rendija abierta, muy similar al patrón formado por las balas disparadas a través de un agujero en una placa blindada. Las dos curvas azules traslapadas en el centro de la figura 41.3 son gráficas de electrones detectados por minuto, con sólo una rendija abierta. Estas curvas se expresan como ψ 12 = ψ 1*ψ 1 y ψ 22 = ψ 2*ψ 2, donde ψ 1 y ψ 2 representan al electrón que pasa por las rendijas 1 y 2, respectivamente.

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Figura 41.3 Las dos curvas azules en la mitad representan los patrones de rendijas individuales con la rendija superior o inferior cerrada. La curva azul sola en la gráfica de la derecha representa el patrón acumulado de conteos por minuto cuando cada rendija se cierra la mitad del tiempo. La curva roja representa el patrón de difracción con ambas rendijas abiertas al mismo tiempo.

Si un experimento se lleva a cabo con la rendija 2 bloqueada durante la primera mitad del experimento y luego la rendija 1 se bloquea durante el tiempo restante, el patrón acumulado de electrones detectados por minuto, mostrado por la curva azul sobre el lado derecho de la figura 41.3, es por completo diferente del patrón obtenido con ambas rendijas abiertas (curva roja). En la curva de la rendija sola ya no hay una probabilidad máxima de llegada en θ = 0. De hecho, se ha perdido el patrón de interferencia y el resultado acumulado es simplemente la suma de los resultados individuales. Ya que el electrón debe pasar por la rendija 1 o por la 2, está tan localizado e indivisible en las rendijas como cuando se mide en el detector. De este modo, el patrón azul a la derecha en la figura 41.3 debe representar la suma de aquellos electrones que provienen de la rendija 1, ψ 12, y aquellos que provienen de la rendija 2, ψ 22. Cuando ambas rendijas están abiertas es tentador suponer que el electrón pasa a través de la rendija 1 o de la 2, y que los conteos por minuto están dados de nuevo por ψ 12 + ψ 22. Sin embargo, los resultados experimentales, indicados por el patrón de interferencia rojo en la figura 41.3, contradice esta suposición. Así, la creencia de que el electrón se localiza y atraviesa sólo una rendija cuando ambas están abiertas es errónea (¡una conclusión dolorosa!) De alguna manera la propiedad ondulatoria del electrón está presente en ambas rendijas. Para encontrar la probabilidad de detectar al electrón en un punto particular en el detector cuando ambas rendijas están abiertas, se puede decir que el electrón está en un estado de superposición dado por:

ψ = ψ 1 + ψ 2 De esta manera, la probabilidad de hallar al electrón con el detector es ψ 1 + ψ 22 y no ψ 12 + ψ 22. Ya que en general las ondas de materia que parten en fase en las rendijas recorren diferentes distancias hasta el detector, ψ 1 y ψ 2 poseen una diferencia de fase relativa φ en el detector. Empleando un diagrama de fasores (Fig. 41.4) para encontrar ψ 1 + ψ 22 , se obtiene de inmediato:

ψ 12 = ψ 1 + ψ 22 = ψ 12 + ψ 22 + 2 ψ 1ψ 2cos φ donde ψ 12 es la probabilidad de detección si la rendija 1 está abierta y la 2 cerrada, y ψ 22 es la probabilidad de detección si la rendija 2 está abierta y la 1 cerrada. El término 2 ψ 1ψ 2cos φ , en dicha expresión es el término de interferencia, el cual surge de la fase relativa φ, de las ondas, en analogía con la suma de fasores usada en óptica ondulatoria (véase el capítulo 37).

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97

Figura 41.4 Diagrama de fasores para representar la adición de dos cantidades complejas ψ 1 y ψ 2.

Para interpretar tales resultados se tiene que concluir que la propiedad ondulatoria de un electrón interactúa con ambas rendijas en forma simultánea. Si intenta determinar por medios experimentales cuál rendija atraviesa el electrón, el simple hecho de medir destruye el patrón de interferencia. Por tanto, es imposible realizar tal determinación. En efecto, sólo se puede decir que ¡el electrón pasa a través de ambas rendijas! Los mismos argumentos se aplican a los fotones. Pregunta sorpresa 41-1 Describa la señal de un detector de electrones conforme se aleja de manera lateral frente a tres rendijas donde se están difractando electrones con la misma energía.

El microscopio electrónico

Figura 41.5 a) Diagrama de un microscopio electrónico de transmisión para visualizar una muestra finamente seccionada. Las lentes que controlan el haz de electrones son bobinas de deflexión magnética. b) Un microscopio electrónico. (W Ormerod/Visuals Unlimited)

Un práctico dispositivo que se basa en las características ondulatorias de los electrones es el microscopio electrónico. En la figura 41.5 se presenta un microscopio electrónico de transmisión, usado para visualizar muestras planas muy delgadas. En muchos aspectos es similar a un microscopio óptico, pero el

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microscopio electrónico tiene una potencia de resolución mucho mayor debido a que los electrones pueden acelerarse hasta energías cinéticas muy altas, proporcionándoles longitudes de onda muy cortas. Ningún microscopio puede detectar detalles que son significativamente menores que la longitud de onda de la radiación utilizada para iluminar el objeto. Por lo común, las longitudes de onda de los electrones son casi 100 veces más cortas que las de la luz visible empleada en microscopios ópticos. Como resultado, los microscopios electrónicos con lentes ideales podrían distinguir detalles casi 100 veces menores que aquellos distinguidos mediante un microscopio óptico. (Radiación de la misma longitud de onda que los electrones en un microscopio electrónico se encuentra en la región de rayos X del espectro.) El haz de electrones en un microscopio electrónico se controla mediante desviación electrostática o magnética, la cual actúa sobre los electrones para enfocar el haz en una imagen. En vez de examinar la imagen a través de un ocular, como en un microscopio ordinario, el observador mira una imagen formada sobre una pantalla fluorescente. (La pantalla de observación debe ser fluorescente porque de otro modo la imagen producida no sería visible.) Al principio del capítulo se muestra una fotografia tomada con un microscopio electrónico exploratorio, el cual opera de una manera algo diferente para revelar detalles superficiales de una muestra tridimensional.

41-2. EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE Si usted fuera a medir la posición y rapidez de una partícula en cualquier instante, siempre se enfrentaría con incertidumbres experimentales en sus mediciones. De acuerdo con la mecánica clásica, no hay una barrera fundamental para un mejoramiento final de los aparatos o procedimientos experimentales existentes. En otras palabras es posible, en principio, hacer estas mediciones con una incertidumbre arbitrariamente pequeña. La teoría cuántica predice, sin embargo, que tal barrera existe. En 1927 Werner Heisenberg (1901-1976) introdujo esta noción, la cual ahora se conoce como principio de incertidumbre de Heísenberg: Si una medición de la posición se hace con precisión ∆x y una medición simultánea de momentum lineal se lleva a cabo con precisión ∆px entonces el producto de las dos incertidumbres nunca puede ser más pequeño que ħ /2: Principio de incertidumbre de Heisemberg h

∆ x ∆ p x ≥ 2

(41.1)

donde ħ = h /2π. En otras palabras, es físicamente imposible medir en forma simultánea la posición exacta y el momentum lineal exacto de una partícula. Si ∆x es muy pequeña, entonces ∆px es grande, y viceversa. Heisenberg tuvo cuidado en señalar que las inevitables incertidumbres ∆x y ∆px no surgen de imperfecciones en los instrumentos de medida. Más bien, provienen de la estructura cuántica de la materia --de efectos como el retroceso impredecible de un electrón cuando choca contra él un fotón, o la difracción de la luz o electrones pasando por una pequeña abertura--. Para comprender el principio de incertidumbre, considere el siguiente experimento mental introducido por Heisenberg. Suponga que usted desea medir la posición y el momentum lineal de un electrón de la manera más exacta posible. Usted podría efectuar lo anterior viendo el electrón con un potente microscopio óptico. Con el fin de ver el electrón, y de esa manera determinar su posición, al menos un fotón de luz debe rebotar en el electrón, como se muestra en la figura 41.6a, y después pasar a través del microscopio hasta su ojo, como se muestra en la figura 41.6b. Sin embargo, cuando choca con el electrón, el fotón transfiere cierta cantidad desconocida de su momentum al electrón. Por tanto, en el proceso de localizar el electrón con mucha exactitud -es decir, haciendo ∆x muy pequeña mediante el uso de luz con una longitud de onda corta (y en consecuencia un momentum elevado )—la misma luz que le permite a usted conseguir su propósito cambia el momentum del electrón hasta un grado indeterminado (haciendo ∆px muy grande).

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Figura 41.6 Un experimento mental para visualizar un electrón con un poderoso microscopio óptico. a) El electrón se mueve hacia la derecha antes de chocar con el fotón. b) El electrón retrocede (su momentum cambia) corno resultado de la colisión

con el fotón. Analice el choque advirtiendo primero que el fotón incidente tiene momentum h/ λ. Como resultado del choque, el fotón transfiere parte o todo su momentum a lo largo del eje x al electrón. En consecuencia, la incertidumbre en el momentum del electrón después del choque es tan grande como el momentum del fotón incidente: ∆px = h/ λ. Asimismo, puesto que el fotón posee también propiedades ondulatorias, se esperaría determinar la posición del electrón hasta dentro de una longitud de onda de la luz que se está usando para verlo, de modo que ∆x = λ. La multiplicación de estas dos incertidumbres produce:

∆ x ∆ p x = λ   h  = h  λ 

El valor h representa el mínimo en los productos de las incertidumbres. Puesto que tal incertidumbre siempre puede ser más grande que este mínimo, se tiene:

∆ x ∆ p x ≥ h Aparte del factor numérico de 1/4π introducido por el análisis más precisó de Heisenberg, el resultado concuerda con la ecuación 41.1. Pregunta sorpresa 41-2 Para determinar el emplazamiento de un electrón se envía a través de una rendija estrecha. Cuanto más estrecha sea la rendija, se conocerá de manera más precisa la ubicación del electrón. ¿Por qué lo anterior no proporciona un escape de las limitaciones del principio de incertidumbre de Heisenberg? El principio de incertidumbre de Heisenberg permite entender mejor la naturaleza dual onda-partícula de la luz y la materia. Se ha visto que la descripción ondulatoria de cualquier entidad que se esté estudiando es bastante diferente de la descripción corpuscular. Por tanto, si un experimento (como el efecto fotoeléctrico) se diseña para revelar el carácter de partícula de, por ejemplo, un electrón, su carácter de onda se vuelve menos aparente. Si un experimento (como la difracción por medio de un cristal) se diseña para medir las propiedades de onda del electrón, su carácter de partícula se vuelve menos aparente. Otra relación de incertidumbre impone un límite en la exactitud con la cual la energía de un sistema ∆E puede medirse en un intervalo de tiempo finito ∆t: h

∆ E ∆t ≥ 2

(41.2)

Tal relación es plausible si se considera una medición de frecuencia de cualquier onda. Por ejemplo, considere medir la frecuencia de una onda electromagnética de 1 000 Hz. Si su dispositivo de medición de frecuencia tiene una sensibilidad fija de ± 1 ciclo, en 1 s se mide una frecuencia de (1 000 ± 1) ciclos/1

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s, pero en 2 s se mide una frecuencia de (2 000 ± 1) ciclos/2 s. Así, la incertidumbre en la frecuencia ∆ f es inversamente proporcional a ∆t, el intervalo de tiempo durante el cual se efectúa la medición. La relación se establece como:

∆ f ∆t ≈ 1 Puesto que todos los sistemas cuánticos son similares a las ondas y pueden describirse por medio de la relación E = h f , se sustituye ∆ f = ∆ E / h en la expresión anterior para obtener:

∆ E ∆t ≈ h en concordancia básica con la ecuación 41.2, aparte del factor de 1/4 π. La presente sección concluye con ejemplos de los tipos de cálculos que pueden hacerse con el principio de incertidumbre. Tales "cálculos de atrás hacia adelante" son sorprendentes por su simplicidad y por su descripción esencial de sistemas cuánticos, de los cuales se desconocen los detalles.

Werner Heisenberg Físico teórico alemán (1901-1976): Heisenberg realizó muchas contribuciones significativas a la física, incluyendo su famoso principio de incertidumbre, por el cual recibió el premio Nobel en 1932; el desarrollo de un modelo abstracto de mecánica cuántica denominado mecánica de matriz; la predicción de dos formas de hidrógeno molecular; y modelos teóricos del núcleo. (Cortesía de la Universidad de Hamburgo) EJEMPLO CONCEPTUAL ¿El modelo de Bohr es realista? De acuerdo con el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón en el estado base se mueve en una órbita circular de 0,529 x 10 -10 m de radio. En vista del principio de incertidumbre de Heisenberg, ¿es realista este modelo? Solución Según el principio de incertidumbre, el producto ∆pr ∆r ≥ ħ /2, donde ∆pr es la incertidumbre en el momentum lineal del electrón en la dirección radial. Calcule ahora dicha incertidumbre. El modelo especifica el radio de la órbita circular de manera muy preciso. Cuando se señala el radio a tres dígitos significativos, se implica que la incertidumbre en la posición radial es a lo sumo ∆r ≈ 0.000 5 x 10 -10 m. La incertidumbre correspondiente en el momentum del electrón en la dirección radial es al menos

1,05 x 10 −34 J · s ∆ p r ≈ = ≈ 1 x 10 −21 kg · m / s −10 2 ∆r 2 (0,000 5 x 10 m) h

La incertidumbre correspondiente en la rapidez radial del electrón (haciendo uso de cálculos no relativistas) es:

∆ pr 1 x 10 −21 ∆ vr ≈ = me

kg · m / s

9,1 x 10

−31

kg

≈ 1 x 10 9 m / s

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MsC.JESÚS ROBERTO GAVIDIA IBERICO101

Un cálculo relativista también daría una mayor incertidumbre en la rapidez. Como la incertidumbre de la rapidez radial es del orden de diez veces la velocidad de la luz, se debe concluir que ¡el modelo de Bohr no es una descripción razonable del átomo de hidrógeno! EJEMPLO 41-2. Localización de un electrón Se mide un valor de 5,00 x 10 3 m/s para la rapidez de un electrón, hasta una precisión de 0.003 00 %. Encuentre la incertidumbre mínima al determinar la posición del electrón. Solución El monumtum del electrón es: px = mvx = (9.11 x 10-31 kg) (5,00 x 10 3 m/s) = 4.56 x 10-27 kg · m/s La incertidumbre en px es 0.003 00 % de tal valor:

∆px = (0.0000300)(4,56 x 10 -27 kg · m/s) = 1,37 x 10-31 kg · m/s Ahora puede calcularse la incertidumbre mínima en la posición empleando este valor de ∆px y la ecuación 41-1:

∆ p x ∆x ≥

h

2

1,05 x 10 −34 J · s ∆ x = = = 0,383 mm 2 ∆ p x 2 (1,37 x 10 −31 kg · m / s h

EJEMPLO 41-3. El ancho de líneas espectrales (a) A pesar de que un átomo excitado puede radiar en cualquier tiempo desde t = 0 a t = ∞, el tiempo promedio después de la excitación a la cual un grupo de átomos radia se llama tiempo de vida T. a) Si T = 1,0 x 10-8 s, utilice el principio de incertidumbre para calcular el ancho de línea ∆f producido por dicho tiempo de vida finito. b) Si la longitud de onda de la línea espectral involucrada en el proceso es 500 nm, ¿cuál es la fracción de ensanchamiento ∆ f / f ? Solución Utilice ∆E ∆t ≥ ħ /2, donde ∆E = h ∆ f y ∆t = 1,0 x 10-8 s es el tiempo promedio disponible para medir el estado excitado. Así, el valor mínimo de ∆ f es:

∆ f =

1 4 π (1,0 x10

−8

s)

= 8,0 x 10 6 Hz

. Observe que ∆E es la incertidumbre en la energía del átomo excitado. Es también la incertidumbre en la energía del fotón emitido por un átomo en este estado. (Advierta que en la teoría de Bohr las líneas espectrales tendrían anchos de línea infinitamente pequeños pues los niveles de energía son precisos.) (b) Primero encuentre la frecuencia f de esta línea:

3,00 x 10 8 m / s = 6,00 x 1014 Hz f = = −9 λ 500 x 10 m c

Por consiguiente,


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∆ f 8,00 x 10 6 Hz = = 1,3 x 10 −8 14 f

6,00 x 10 Hz

Tal estrechez de línea natural podría verse con un interferómetro sensible. Sin embargo, por lo general los efectos de presión y temperatura suelen oscurecer el ancho de la línea natural y ensanchar la línea por medio de mecanismos asociados con el efecto Doppler y colisiones.

41-3. DENSIDAD DE PROBABILIDAD En los capítulos 34, 37 y 40 se revelaron varios aspectos de la luz, por tanto, se puede proporcionar un resumen detallado de la naturaleza de la luz del modo siguiente: Un fotón es una partícula cuántica que tiene masa cero y transporta energía y momentum conforme se mueve como una onda de campos eléctrico y magnético. Su ecuación de movimiento es la ecuación de onda para las ondas electromagnéticas:

∂ 2 E ∂ 2 E = µ 0 ε 0 2 ∂ x 2 ∂ t para el campo eléctrico, y una ecuación similar para el campo magnético. La intensidad de la onda es proporcional al cuadrado del campo eléctrico y se mide como la rapidez de bombardeo de fotones sobre un detector. El propósito en el presente capítulo es proporcionar una visión análoga de cualquier partícula material (una que tenga masa distinta de cero). Como se advirtió en la sección 41.1, la probabilidad de encontrar una partícula material en un punto dado en algún instante está dada por ψ2, el cuadrado absoluto de una función de onda de valor complejo ψ . Una función de onda de este tipo contiene toda la información que se puede conocer acerca de la partícula. Tal interpretación de ondas materiales fue sugerida por primera vez por Max Born (1882-1970) en 1928. En 1926 Erwin Schrodinger (1887-1961) propuso una ecuación de onda que describe cómo las ondas de materia cambian en el espacio y en el tiempo. (La propagación análoga de as ondas electromagnéticas está gobernada por las ecuaciones de Maxwell.) La ecuación de Schrodinger representa un elemento clave en la teoría de la mecánica cuántica. Una pregunta surge de manera bastante natural a partir del enunciado de que la materia tiene tanto una naturaleza ondulatoria como una naturaleza corpuscular: si se está describiendo una partícula, ¿cómo se observa que está ondulando? En los casos de ondas en cuerdas, en el agua y sonoras, la onda se representa por medio le alguna cantidad que varía con el tiempo y la posición. De manera similar, la función de onda ψ para ondas materiales depende tanto de la posición de todas las partículas en un sistema como del tiempo, por lo que suele escribirse ψ ( x, y, z, t). Si ψ se conoce para una partícula, entonces es posible describir las propiedades corpusculares de la partícula. De hecho, el problema fundamental de la mecánica cuántica es éste: dada la función de onda en algún instante, encuentre la función de onda en algún tiempo ulterior t. En la sección 40.7 se encontró que la ecuación de De Broglie relaciona el momentum de una partícula con su longitud de onda por medio de la relación p = h / λ y una partícula libre tiene un momentum conocido con precisión, su función de onda es una onda sinusoidal de longitud de onda λ = h / p, y la partícula tiene igual prolabilidad de estar en algún punto a lo largo del eje x. La función de onda para esa partícula libre que se mueve a lo largo del eje x puede escribirse como

 2 π x   = A sen (k x)  λ 

ψ ( x) = A seb 

(41.3)

donde k = 2 π / λ es el número de onda angular y A es una amplitud constante. Como se mencionó antes, la función de onda es generalmente una función tanto de la posición como del tiempo. La ecuación 41.3 representa la parte de la función de onda que depende sólo de la posición. Por tal razón se puede ver ψ (x)

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como una "instantánea" de la función de onda en un instante dado, como se muestra en la figura 41.7a. La función de onda para una partícula cuya longitud de onda no se define le manera precisa se muestra en la figura 41.7b. Puesto que la longitud de onda no se define precisamente, se deduce que el momentum lineal se conoce sólo de manea aproximada. Esto es, si se midiera el momentum de la partícula, el resultado tendría cualquier valor en algún intervalo, determinado por la dispersión de la longitud de onda. Cuanto más grande sea la incertidumbre en el momentum, mayor será la ubicación de la partícula, lo cual se refleja en una densidad de probabilidad incrementada en la posición de la partícula.

Figura 41.7 a) Función de onda para una partícula cuya longitud de onda es conocida con precisión. b) Función de onda para una partícula cuya longitud de onda no se conoce con precisión y, por tanto, su momentum se conoce sólo sobre cierto intervalo de valores.

Aunque no se puede medir ψ , en la sección 41.1 se vio que sí se puede medir ψ2, una cantidad que describe la probabilidad de encontrar la partícula en una posición particular y en cierto momento. Para ser más específica, si ψ representa a una onda partícula, entonces ψ (x)2 --llamada densidad de probabilidad-- es la probabilidad por unidad de volumen de que una partícula se encontrará dentro de un volumen infinitesimal que contenga al punto x. Esta interpretación, sugerida por primera vez por Born en 1928, también puede establecerse de la siguiente manera: Si dV es un pequeño elemento de volumen que rodea a algún punto, la probabilidad de encontrar la partícula en ese elemento de volumen es ψ2 dV. En el presente capítulo se trata sólo con sistemas unidimensionales, en los que la partícula debe localizarse a lo largo del eje x; por ello, se sustituye dV por dx. En tal caso la probabililad, P(x) dx, de que la partícula se encontrará en el intervalo infinitesimal dx alrededor del punto x es: Densidad de probabilidad:

P ( x) dx

=

ψ

2

dx

Ya que la partícula debe estar en algún lugar a lo largo del eje x, la suma de las prolabilidades sobre todos los valores de x debe ser 1: ∞

Condición de normalización sobre ψ

∫−∞ ψ

2

dx

= 1

(41.4)

Cualquier función de onda que satisfaga la ecuación 41.4 se dice que está normalizada y cumple la condición de normalización. La normalización es simplemente un enunciado de que la partícula existe en algun punto todo el tiempo. Por consiguiente, aunque no es posible especificar la posición de una partícula con completa certidumbre, es posible, por medio de ψ2, especificar la probabilidad de observarla en una posición dada. Además, la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo a ≤ x ≤ b es: b

Pab

= ∫ ψ

2

dx

(41.5)

a

La probabilidad Pab es el área bajo la curva de densidad de probabilidad versus x entre x = a y x = b, como en la figura 41.8.


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Figura 41.8 La probabilidad de que una partícula se encuentre en el intervalo a ≤ x ≤ b es el área bajo la curva desde a hasta b.

Experimentalmente, siempre existe una probabilidad finita de encontrar una partícula en algún punto y en cierto instante, por lo que el valor de la probabilidad debe estar entre los límites 0 y l. Por ejemplo, si la densidad de probabilidad es 0.3 m -1 en algún punto, la probabilidad de encontrar la partícula en algún pequeño intervalo ∆x centrado en dicho punto es 0.3 ∆x. La función de onda ψ satisface una ecuación de onda, del mismo modo que el campo eléctrico asociado con una onda electromagnética satisface una ecuación de onda que se obtiene de las ecuaciones de Maxwell. La ecuación de onda satisfecha por ψ , que es la ecuación de Schrodinger, no se puede derivar a partir de cualesquiera leyes fundamentales, pero ψ se puede calcular a partir de ella. Aunque ψ no es una cantidad mensurable, todas las cantidades mensurables de una partícula, como su energía y momentum lineal, pueden derivarse a partir del conocimiento de ψ . Por ejemplo, una vez que se conoce la función de onda para una partícula, es posible calcular la posición promedio x de la partícula, después de muchos ensayos experimentales. Esta posición promedio recibe el nombre de valor de esperanza de x y está definida por la ecuación

< x >=

∞

∫ −∞

x ψ

2

dx

(41.6)

(Los paréntesis angulares < > denotan valores de esperanza.) Esta expresión implica que la partícula se encuentra en un estado definido, de manera que la densidad de probabilidad es independiente del tiempo. Advierta que el valor de esperanza es equivalente al valor promedio de x que se obtendría al tratar con un gran número de partículas en el mismo estado. Además, el valor de esperanza de cualquier función f ( x) se encuentra empleando la ecuación 41.6 con x sustituida por f ( x). EJEMPLO 40-4. Demuestre que Ψ = ψ e − i ω t es una función de onda de un estado estacionario Solución Si Ψ es la función de onda de un estado estacionario, entonces el valor Ψ2 en todo punto debe ser constante, e independiente del tiempo. Para encontrar Ψ2, formamos primero el complejo conjugado de Ψ = ψ e − i ω t, que es Ψ* = ψ * e + i ω t. Entonces:

Ψ 2 = Ψ * Ψ = (ψ * e +iω t )(ψ e −i ω t ) = ψ *ψ e 0 = ψ 2 Recuerde que ψ no es una función del tiempo, por lo que ψ2 también es independiente del tiempo. Hemos demostrado que Ψ2 = ψ2, por lo que Ψ2 es independiente del tiempo y Ψ = ψ e − i ω t es una función de onda de un estado estacionario

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41-4

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UNA PARTÍCULA EN UNA CAJA

Desde un punto de vista clásico, si una partícula está confinada moviéndose paralela a un eje xy a rebotar atrás y adelante entre dos paredes impenetrables (Fig. 41.9), es fácil describir su movimiento. Si la rapidez de la partícula es v, entonces la magnitud de su momentum lineal ( mv) permanece constante, como sucede con su energía cinética. Además, la física clásica no impone restricciones en los valores de su momentum y energía. El enfoque de la mecánica cuántica de este problema es muy diferente y requiere que se encuentre la función de onda apropiada acorde con las condiciones de la situación.

Figura 41.9 Una partícula de masa m y velocidad v confinada a moverse paralela al eje x y que rebota entre dos paredes impenetrables.

Antes de abordar el problema anterior resulta instructivo repasar la situación clásica de ondas estacionarias en una cuerda alargada (véanse las secciones 18.2 y 18.3). Si una cuerda de longitud L se fija en cada extremo, las ondas estacionarias establecidas en la cuerda deben tener nodos en los extremos, como se indica en la figura 41.10, debido a que la función de onda debe desaparecer en las fronteras. Las ondas estacionarias existen sólo cuando la longitud L de la cuerda es algún múltiplo entero de medias longitudes de onda. Es decir, se requiere que: L = n

λ

2

o λ =

2 L n

n = 1, 2, 3, ….

Este resultado muestra que la longitud de onda de una onda estacionaria en una cuerda está cuantizada.

Figura 41.10 Ondas estacionarias establecidas en una cuerda de longitud L, estirada.

Como se expuso en la sección 18.2, cada punto sobre una onda estacionaria oscila con movimiento armónico simple. Además, todos los puntos oscilan con la misma frecuencia, pero la amplitud y del movimiento armónico símple de cualquier partícula en el medio difiere de un punto al siguiente y depende de qué tan lejos está un punto dado de un extremo. Se encuentra que la parte dependiente de la posición de la función de onda para una onda estacionaria es: y( x) = A sen ( kx)

(41.7)


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donde A es la amplitud máxima de la onda y k = 2 π / λ. Puesto que λ = 2L/ n, se ve que: k =

2 π λ

=

2 π π =n 2 L / n L

Sustituyendo este valor en la ecuación 41.7 se obtiene y ( x)

= A sen  

n π x 



 L 

De acuerdo con tal expresión, se ve que la función de onda para una onda estacionaria en una cuerda cumple con las condiciones de frontera requeridas --a saber, que para todos los valores de n, y = 0 en x = 0 y en x = L--. Las funciones de onda para n = 1, 2 y 3 se grafican en la figura 41.10. Regrese ahora a la descripción mecánico-cuántica de una partícula en una caja. Ya que las paredes son impenetrables, la función de onda ψ ( x) = 0 para x = ≤ 0 y para x ≥ L, donde L es ahora la distancia entre las dos paredes, lo cual significa que la partícula nunca puede encontrarse afuera de la caja. Más aún, puesto que la función de onda debe ser continua en todas partes, se requiere que ψ (0) = ψ (L) = 0. Sólo son permitidas aquellas funciones de onda que satisfagan esta condición. En analogía con las ondas estacionarias sobre una cuerda, las funciones de onda permitidas para la partícula en la caja son sinusoidales y están dadas por: Funciones de onda permitidas para una partícula en una caja

 n π x   L  

ψ ( x) = A sen 

n = 1,2,3,...

(41.8)

donde A es el valor máximo de la función de onda. Esta expresión muestra que, para una partícula confinada en una caja y que tiene una longitud de onda de De Broglie bien definida, ψ se representa por medio de una onda sinusoidal. Las longitudes de onda permitidas son aquellas para las cuales L = n λ /2. Tales estados permitidos del sistema se denominan estados estacionarios debido a que son ondas estacionarias.

Figura 41.11 Los primeros tres estados estacionarios permitidos para una partícula confinada en una caja unidimensional. a) Las funciones de onda para n = 1, 2 y 3. b) Las densidades de probabilidad ψ2 para n = 1, 2 y 3.

La figura 41.11 presenta gráficas de ψ versus x y ψ2 versus x para n = 1, 2 y 3. Como pronto se verá, dichos estados corresponden a las tres energías permitidas más bajas de la partícula. Para n = 1, la probabilidad de encontrar la partícula es mayor en x = L/2 --tal posición es la más probable para una

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partícula en este estado--. Para n = 2, ψ2 es un máximo en x = L/4 y de nuevo en x = 3L/4; lo anterior significa que ambos puntos son lugares igualmente probables para encontrar una partícula en este estado. También existen puntos dentro de la caja en los cuales es imposible encontrar la partícula. Para n = 2, ψ2 es cero en el punto medio, x = L/2; para n = 3, ψ2 = 0 en x = L/3 y x = 2L/3; etcétera. Pero, ¿cómo la partícula va de un lugar a otro cuando no hay probabilidad de que exista en puntos intermedios? Se trata de una extraña consecuencia de la mecánica cuántica -se debe hacer a un lado la noción de que una partícula se mueve de un punto a otro mediante la ocupación de todas las posiciones involucradas--. En la mecánica cuántica los objetos no se visualizan como partículas sino como objetos más complicados que tienen atributos de partícula y de onda. Pregunta sorpresa 41-3 Dibuje de nuevo la figura 41.11b, la probabilidad de encontrar una partícula en cierta posición en una caja, sobre la base de la mecánica clásica en lugar de la mecánica cuántica. Pregunta sorpresa 41-4 a) Realice un bosquejo como la figura 41.11b para n = 20. Suponga que coloca en los confines de la caja un detector que muestrea la probabilidad de encontrar una partícula dentro de algunos estrechos límites ∆x. ¿Qué mediría el detector conforme n tiende al infinito? Ya que las longitudes de onda de la partícula están restringidas por la condición λ = 2L/ n la magnitud del momentum lineal se restringe a los valores: p

=

h

λ

=

h

2 L / n

=

nh

2 L

La energía potencial dentro de la caja es constante, y es conveniente establecerla en U = 0. Por tanto, la energía total de la partícula es igual a su energía cinética. Empleando p = mv se encuentra que los valores permitidos de la energía son:

1 2 p 2 (n h / 2 L) 2  h 2  2 n = =  E n = m v = 2  2 2m 2m 8 m L  

n = 1,2,3,...

(41.9)

Como se ve a partir de esta expresión, la energía de la partícula está cuantizada, como se esperaba. La energía permitida más baja corresponde a n = 1, para la cual E1 = h2 /8mL2. Puesto que E n = n2 E 1, los estados excitados correspondientes a n = 2, 3, 4,... tienen energías dadas por 4E l, 9El, 16El,... La figura 41.12 es un diagrama de niveles de energía que describe las posiciones de los estados permitidos. Observe que el estado n = 0 no está permitido, lo cual significa que, de acuerdo con la mecánica cuántica, la partícula nunca puede estar en reposo; la menor energía que ella puede tener, correspondiente a n = 1, se denomina energía del punto cero. Este resultado es claramente contradictorio con el punto de vista clásico, en el cual E = 0 es un estado aceptable. En el análisis de la mecánica cuántica, sólo los valores positivos diferentes de cero de E son considerados, ya que la energía total E es igual a la energía cinética y la energía potencial es cero.


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Figura 41.12 Diagrama de niveles de energía para una partícula confinada a una caja unidimensional de ancho L. La energía más baja permitida es E l = h2 /8mL2.

Los niveles de energía son de especial importancia por la siguiente razón. Si la partícula se carga eléctricamente, puede emitir un fotón cuando desciende de un estado excitado, como E3, a uno inferior, como E2. También puede absorber un fotón cuya energía iguala la diferencia de energía entre dos estados permitidos. Por ejemplo, si la frecuencia del fotón es f , la partícula salta del estado El al E2 si hf = = E 2 - El. Como se hizo notar en el capítulo 40, la emisión y absorción de fotones puede observarse por medio de espectroscopia, en la cual las longitudes de onda espectrales son una medida directa de estas diferencias de energía. EJEMPLO 41-4. Un electrón ligado Un electrón está confinado entre dos paredes impenetrables separadas por 0,200 nm. Determine los niveles de energía para los estados n = 1, 2 y 3. Solución Para el estado n = 1 la ecuación 41.9 produce:

(6,63 x10 −34 J · s) 2 = = 1,51 x 10 −18 J = 9,42 eV E 1 = 2 2 −31 −10 8 m L 8 (9,11 x 10 kg ) (2,00 x 10 m) h

2

Para n = 2 y n = 3, E2 = 4El = 37.7 eV eV y E3 = 9El = 84,8 eV, Aunque éste es un modelo algo primitivo, puede usarse para describir un electrón atrapado en un sitio vacío de un cristal. EJEMPLO 41-6. Cuantización de energía de un objeto microscopico Un objeto de 1,00 mg está confinado a moverse entre dos paredes rígidas separadas por 1,00 cm. Calcule la rapidez mínima del objeto. Solución La rapidez mínima corresponde al estado para el cual n = l. Empleando la ecuación 41.9 con n = 1, se obtiene la energía del punto cero:

(6,63 x10 −34 J · s) 2 = = 5,49 x 10 −58 J E 1 = −6 −10 2 2 8 m L 8 (1,00 x 10 kg ) (1,00 x 10 m) h

2

Puesto que E = K = ½ mv2, se tiene:

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½ mv2 = 5.49 x 10 -58 J

2 (5,49 x 10 −58 J ) v= = 3,31 x 10 −26 m / s 1,00 x 10 − 6 kg Tal rapidez es tan pequeña que el objeto se considera como si estuviera en reposo, que es lo que uno esperaría para la rapidez mínima de un objeto macroscópico. Ejercicio Si la rapidez de la partícula es 3,00 cm/s, encuentre su energía y el valor de n que corresponde a Ejercicio Si dicha energía. Respuesta 4,50 x 10 -10 J; n = 9.05 x 10 23. (Advierta que, para valores n tan grandes, nunca sería posible Respuesta 4,50 distinguir la naturaleza cuantizada de los l os niveles de energía, pues la diferencia entre los niveles n = 9,05 x 23 1023 y n + 1 = 9,05 x 10 + 1 es demasiado pequeña.) EJEMPLO 41-6. Modelo de un átomo Un átomo puede verse como varios electrones en movimiento alrededor de un núcleo con carga positiva, donde los electrones están sujetos principalmente a la atracción eléctrica del núcleo. (Esta atracción está "oculta" en parte por los electrones del núcleo interno y, por tanto, está disminuida.) La figura 41.13 representa la energía potencial del electrón como una función de r . a) Emplee el modelo simple de una partícula en una caja para estimar la energía (en electronvolts) requerida para llevar a un electrón del estado n = 1 al n = 2, suponiendo que el átomo tiene un radio de 0,100 nm. b) Calcule la longitud de onda del fotón que causaría esta transición.

Figura 41.13 Modelo de energía potencial versus r para para un átomo.

Solución (a) Empleando la ecuación 41.9 y considerando la longitud L de la caja igual a 0,200 nm (el diámetro del átomo) y m = 9,11 x 10 -31 kg, se encuentra que, como en el ejemplo 41.4,

(6,63 x10 −34 J · s) 2 2 2 2 E n = n = n = (1,51 x 10 − 18 ) n J = 9,42 n eV −31 −10 2 2 8 m L 8 (9,11 x 10 kg ) (2,00 x 10 m) h

2

2

Por tanto, la diferencia de energía entre los estados n = 1 y n = 2 es:

∆ E = E 2 − E 1 = 9,42 (2) 2

eV − 9,42 (1) 2 eV = 28,3 eV

(b) Empleando el hecho de que ∆E = hc/ λ se obtiene


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6,63 x 10 −34 J ·s) (3,00 x 10 8 m / s) λ = = = 43,9 nm ∆ E (28,3 eV ) (1,6 x 10 −19 J / 1eV ) hc

Esta longitud de onda se encuentra en la región del ultravioleta lejano, y es interesante notar que el resultado es más o menos correcto. A pesar de que el modelo sobresimplificado da una buena estimación para las transiciones entre los niveles inferiores del átomo, la estimación se vuelve progresivamente errónea para transiciones de mayor energía.

41-5.

LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER

Como se mencionó antes, la función de onda para las ondas de De Broglie debe satisfacer una ecuación desarrollada por Schrodinger. Uno de los métodos de la mecánica cuántica es determinar una solución a esta ecuación, la cual produce a su vez las funciones de onda permitidas y los niveles de energía del sistema en consideración. Las manipulaciones apropiadas de las funciones de onda permiten el cálculo de todas las características mensurables del sistema. En la sección 16.9 se dedujo la ecuación 16.26, la forma general de la ecuación de onda para ondas que viajan a lo largo del eje x.

∂ 2 y 1 ∂ 2 y = ∂ x 2 v 2 ∂ t 2

(41.10)

donde v es la rapidez de la onda y la variable y depende de x y t . Las ondas materiales son más complicadas y no obedecen esta ecuación de onda. La función de onda para una partícula confinada a una dimensión es: (x) e-iωt Ψ (x, t) = ψ (x)

(41.11)

donde ω es la frecuencia angular de la onda material y Ψ(x, t) representa la función de onda dependiente del tiempo completo y el espacio. En la investigación se necesitará enfocar la atención sólo en ψ (x), (x), la parte espacial de la función de onda. Lo anterior satisface la ecuación:

2m ∂ 2 ψ ( E − U )ψ = − 2 h ∂ x 2

(41.12)

Se trata de la famosa ecuación de Schrodinger aplicada Schrodinger aplicada a una partícula confinada a moverse a lo largo del eje x. Debido a que dicha ecuación es independiente del tiempo, se conoce comúnmente como ecuación de Schrodinger independiente del tiempo. (No se estudiará la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo en este texto.) En un principio!, si se conoce la energía potencial U(x) del sistema, se puede resolver la ecuación 41.12 y obtener las funciones de onda y energías energías para para los estados permitidos. Puesto que U puede variar con la posición, tal vez sea necesario resolver la ecuación en partes. En el proceso las funciones de onda para las diferentes regiones deben unirse uniformemente en las fronteras. En el lenguaje de las matemáticas se requiere que ψ (x) (x) sea continua. continua. Además, para que ψ (x) (x) obedezca la condición de normalización (véase el texto que sigue a la ecuación 41.4), es necesario que ψ (x) (x) se aproxime a cero conforme x tiende a ± ∞. Por último, ψ (x) (x) debe ser univaluada y d ψ /dx también debe ser continua para continua para valores finitos de U(x). La tarea de resolver la ecuación de Schrodinger puede ser muy difícil, dependiendo de la forma de la función de energía potencial. Como se ha indicado, la ecuación de Schrodinger ha sido en extremo útil al explicar el comportamiento de los sistemas atómicos y nucleares, en tanto que la Física clásica ha fracasado al intentarlo. Además, cuando la mecánica cuántica se aplica a objetos macroscópicos, los resultados concuerdan con la Física clásica, como requiere el principio de correspondencia.

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Erwin Schrodinger Físico Schrodinger Físico teórico austriaco (1887-1961): Schrodinger es mejor conocido como el creador de la mecánica cuántica. También produjo importantes ensayos en los campos de la mecánica estadística, la visión a color y la relatividad general. Schr6dinger hizo mucho para acelerar la aceptación universal de la teoría cuántica mediante la demostración de la equivalencia matemática entre su mecánica cuántica y la más abstracta mecánica matricial desarrollada por Heisenberg.

Regreso a la partícula en una caja Ahora se resolverá la ecuación de Schrodinger para la partícula en una caja unidimensional de ancho L (Fig. 41.14). Las paredes son infinitamente altas, lo que corresponde a U(x) = ∞ para x = 0 y x = L. La energía potencial es constante dentro de la caja, y de nuevo es conveniente elegir U = 0 como su valor.

Figura 41.14 Una caja unidimensional de ancho L y paredes de altura infinita.

Por tanto, en la región 0 < x < L la ecuación de Schrodinger se puede expresar en la forma: 2

d ψ d x

2

=−

2 m E h

2

ψ = − k 2 ψ

(41.13)

donde

2 m E

k =

h

Puesto que las paredes son infinitamente altas, la partícula no puede existir afuera de la caja. La partícula está confinada en forma permanente en la caja y no se puede encontrar afuera del intervalo 0 < x < L En consecuencia, ψ (x) (x) debe ser cero afuera de la caja y en las paredes. La solución de la ecuación 41.13 que satisface las condiciones de frontera ψ (x) (x) = 0 en x = 0 y x = L es: 2 d ψ

d x

2

= C 2 ψ

(41.14)

Esto puede verificarse sin dificultades por medio de la sustitución en la ecuación 41.13. Advierta que la primera condición de frontera, ψ (0) (0) = 0, se satisface por la ecuación 41.14, pues sen 0 = 0. La segunda


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condición de frontera, ψ (L) = 0, se satisface sólo si kL es un múltiplo entero de π --esto es, si kL = nπ, donde n es un entero--. Puesto que k = 2 m E / h , se ve que: k L

2 m E

=

h

L = n π

La solución para las energías permitidas E produce:

 h 2  2 n E n =  2  8 m L   Del mismo modo, las funciones de onda permitidas están dadas por

 n π x    L 

ψ n ( x) = A sen 

Estos resultados concuerdan con los obtenidos en la sección anterior (ecuaciones 41.8 y 41.9). Se deja como tarea (problema 25) demostrar que la constante de normalización A de esta solución es igual a (2/L)1/2.

41-6.

UNA PARTÍCULA EN UN POZO DE ALTURA FINITA

Considere una partícula cuya energía potencial es cero en la región 0 < x < L –la cual se puede llamar potencial de pozo− y tiene un valor finito U afuera de esta región, como en la figura 41.15.

Figura41-15. Diagrama de energía potencial de un pozo de altura finita U y ancho L. La energía total E de la partícula es menor que U.

Si la energía total E de la partícula es menor que U; clásicamente la partícula está confinada en forma permanente en el potencial de pozo. Sin embargo, de acuerdo con la mecánica cuántica hay una probabilidad finita de que la partícula pueda encontrarse afuera del pozo, aun si E < U Esto es, la función de onda ψ por lo general no es cero afuera del pozo −en las regiones I y III en la figura 41.15 − y por ello la densidad de probabilidad |ψ|2 también es diferente de cero en estas regiones. En la región II, donde U = 0, las funciones de onda permitidas son de nuevo sinusoidales porque representan soluciones de la ecuación 41.13. Sin embargo, las condiciones de frontera no requieren ya que ψ sea cero en las paredes, como fue el caso con paredes infinitamente altas. La ecuación de Schrodinger para las regiones I y III puede escribirse: 2 d ψ

d x

2

=

2 m (U − E ) h

2

ψ

(41.15)

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Como U > E, el coeficiente del lado derecho es por fuerza positivo. Por tanto, se puede expresar la ecuación 41.15 en la forma: 2 d ψ

d x

2

= C 2 ψ

(41.16)

. donde C2 = 2m( U − E) / ħ2 es una constante positiva en las regiones I y III. Como usted puede verificar por medio de sustitución, la solución general de la ecuación 41.16 es: ψ ( x) = Ae C x + B e −C x

donde A y B son constantes. Se puede emplear esta solución general como un punto de partida para determinar la solución apropiada en el caso de las regiones I y III. La función que se elija para la solución debe permanecer finita sobre toda la región que se considera. En la región I, donde x < 0, se debe eliminar el término Be -Cx. En otras palabras, se requiere que B = 0 en la región I para evitar un valor infinito de ψ correspondiente a grandes valores negativos de x. Del mismo modo, en la región III, donde x > L, debe eliminar el término AeCx esto se consigue haciendo que A = 0 en esta región; con ello evita un valor infinito de ψ para grandes valores positivos de x. Por tanto, las soluciones en las regiones I y III son: ψ I ( x) = A e C x

para x < O

ψ III ( x) = B e C x

para x > L

En la región II la función de onda es sinusoidal y tiene la forma general: ψ II ( x) = Fsen (k x) + G cos (k x)

donde F y G son constantes. Lo anterior muestra que las funciones de onda afuera del potencial de pozo (donde la física clásica prohíbe la presencia de la partícula) decaen en forma exponencial con la distancia. A grandes valores negativos de x, ψ 1 se aproxima a cero en forma exponencial; a grandes valores positivos de x, ψ III se acerca a cero en la misma forma. Estas funciones, junto con la solución sinusoidal en la región II, se muestran en la figura 41.16a para los primeros tres estados de energía. Al evaluar la función de onda completa se requiere que: ψ I = ψ II

y

ψ II = ψ II

y

d ψ I d x d ψ II d x

=

d ψ II

=

d ψ III

dx

dx

en x = 0

en x = L

La figura 41.16b ilustra las densidades de probabilidad para los estados mencionados. Observe que en cada caso las funciones de onda interior y exterior se unen uniformemente en las fronteras del potencial de pozo. Estas condiciones de frontera y gráficas provienen de la ecuación de Schrodinger. La figura 41.16a muestra que las funciones de onda ψ no son iguales a cero en las paredes del potencial de pozo y en las regiones exteriores. Por tanto, las densidades de probabilidad |ψ|2 son diferentes de cero en estos puntos. El hecho de que ψ sea diferente de cero en las paredes aumenta la longitud de onda de De Broglie en la región II (compare el caso de una partícula en un potencial de pozo de profundidad infinita; véase la Fig. 41.11), lo cual, a su vez, disminuye la energía y el momentum lineal de la partícula.


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Figura 41.16 a) Funciones de onda ψ y b) densidades de probabilidad |ψ|2 para los tres estados de energía más bajos para una partícula en un potencial de pozo de altura finita.

41-7.

EFECTO TÚNEL A TRAVÉS DE UNA BARRERA

Un fenómeno muy interesante y peculiar ocurre cuando una partícula incide en una barrera de altura y ancho finitos. Considere una partícula de energía E incidente sobre una barrera rectangular de altura U y ancho L, donde E < U (Fig. 41.17).

Figura 41.17 Función de onda ψ para una partícula incidente desde la izquierda sobre una barrera de altura U. La función de onda es sinusoidal en las regiones I y III pero decae exponencialmente en la región II.

Desde el punto de vista clásico, la partícula se refleja porque no tiene suficiente energía para cruzar o incluso penetrar la barrera. Por consiguiente, las regiones II y III están clásicamente prohibidas para la partícula. Sin embargo, de acuerdo con la mecánica cuántica, todas las regiones son accesibles a la partícula, sin importar su energía, ya que la amplitud de la onda de materia de De Broglie asociada con la partícula es diferente de cero en todos lados. Una forma de onda típica para este caso, ilustrada en la figura 41.17, muestra a la onda penetrando en la barrera y más allá. Las funciones de onda son sinusoidales a la izquierda (región I) ya la derecha (región III) de la barrera, y se unen uniformemente con una función que decae en forma exponencial dentro de la barrera (región II). Como la probabilidad de localizar a la partícula es proporcional a |ψ|2, la cual no es cero dentro de la barrera y más allá, se concluye que la partícula se puede encontrar en la región III. Esta penetración de la barrera está en completo desacuerdo con la física clásica. La posibilidad de encontrar la partícula en el lado lejano de la barrera se denomina efecto túnel o penetración de barrera. Un análisis detallado muestra que si el efecto túnel tiene lugar, la barrera debe ser lo suficientemente estrecha para que el tiempo de paso ∆t sea muy corto. Entonces la incertidumbre en la energía ∆E ≤ ħ /2∆t es tan grande que de hecho no se puede atribuir energía cinética negativa a la partícula en efecto túnel. ¡Aunque sea difícil de creer, existe una posibilidad finita (aunque muy pequeña) de que una canica colocada dentro de una caja de zapatos de pronto aparecerá afuera de la caja (véase el problema 47)! Sin embargo, usted tendría que esperar durante varias vidas del universo para observar esto.

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La probabilidad de efecto túnel puede describirse con un coeficiente de transmisión T y un coeficiente de reflexión R El coeficiente de transmisión es la probabilidad de que la partícula pase a través de la barrera, y el coeficiente de reflexión es la probabilidad de que la partícula sea reflejada por la barrera. Porque la partícula incidente se refleja o se transmite, debe requerir que T + R = 1. Una expresión aproximada para T cuando T << 1 (una barrera muy alta o muy ancha) es: T = e2CL

(41.17)

donde C =

2 m (U − E ) h

(41 . 18)

EJEMPLO 41-7 Coeficiente de transmisión de un electrón Un electrón de 30 eV incide sobre una barrera cuya sección transversal es un cuadrado de 40 eV de altura. ¿Cuál es la probabilidad de que el electrón realice efecto túnel a través de la barrera si el ancho de ésta es a) 1,0 nm y b) 0,10 nm.? Solución a) En esta situación la cantidad (U − E) tiene el valor U − E = (40 eV − 30 eV) = 10 eV = 1,6 x 10 -18 J Empleando la ecuación 41.18 se encuentra que:

 2 (9,11 x 10 −31 kg ) (1,6 x10 − 18 J )   2 m (U − E )   (1,0 x 10 −9 m) = 32,4  L = 2  2 CL = 2  − 34     h 1,054 x 10 J · s     Así, la probabilidad de efecto túnel a través de la barrera es T = e − 2CL = e−32,4 = 8,5 x 10 15 El electrón tiene sólo alrededor de una oportunidad en 10 14 para realizar efecto túnel a través de la barrera de 1,0 nm de espesor. b) Para L = 0.10 nm, 2CL = 3,24 y T = e−2CL = e−5,24 = 0.039 El electrón tiene ahora una elevada probabilidad (4 %) de penetrar la barrera. Así, la reducción del espesor de la barrera en sólo un orden de magnitud ¡ha aumentado la probabilidad de efecto túnel en casi 12 órdenes de magnitud!

Algunas aplicaciones del efecto túnel Como se ha visto, el efecto túnel es un fenómeno cuántico, una manifestación de la naturaleza ondulatoria de la materia. Hay muchos ejemplos en la naturaleza para los cuales el efecto túnel es muy importante, en las escalas atómica y nuclear.

•

Diodo túnel El diodo túnel es un dispositivo semiconductor que se compone de dos regiones cargadas de manera opuesta y separadas por una región eléctricamente neutra muy estrecha. La corriente eléctrica (en especial la rapidez de efecto túnel) puede controlarse sobre un amplio intervalo variando la diferencia de potencial a través de las regiones cargadas, lo cual es equivalente a cambiar la altura de la barrera.


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•

Unión de Josephson Una unión Josephson consta de dos superconductores separados por una delgada capa de óxido aislante, de 1 a 2 nm de espesor. En condiciones apropiadas, los electrones en el superconductor viajan como pares y realizan efecto túnel de un superconductor a otro a través de la capa de óxido. Se han observado varios efectos en este tipo de unión. Por ejemplo, una corriente directa se observa a través de la unión en ausencia de campos eléctricos o magnéticos. La corriente es proporcional a sen φ donde φ es la diferencia de fase entre las funciones de onda en los dos superconductores. Cuando una diferencia de potencial ∆V se aplica a través de la unión, la corriente oscila con una frecuencia f = 2 e ∆V/ h, donde e es la carga del electrón.

•

Decaimiento alfa Una forma de decaimiento radiactivo es la emisión de partículas alfa (los núcleos de átomos de helio) por medio de núcleos pesados inestables. Para escapar del núcleo una partícula alfa debe penetrar una barrera que surge de la combinación de la fuerza nuclear atractiva y de la repulsión eléctrica entre la partícula alfa con carga positiva y el resto del núcleo (con carga positiva). En ocasiones una partícula alfa realiza efecto túnel a través de la barrera, lo cual explica el mecanismo básico de este tipo de decaimiento y las grandes variaciones en los tiempos de vida de diversos núcleos radiactivos.

•

Energía solar De acuerdo con la Física clásica, los iones de hidrógeno con carga positiva en el Sol no pueden superar su repulsión mutua y penetrar la barrera causada por la repulsión eléctrica. Sin embargo, desde la perspectiva mecánico-cuántica, los iones son capaces de realizar efecto túnel a través de la barrera y fundirse juntos para formar helio. Esta es la reacción básica que da potencia al Sol e indirectamente, a casi todo en el Sistema Solar.

•

Trampas cuánticas Los científicos están comenzando a experimentar con puntos cuánticos que atrapan electrones individuales y corrales cuánticos hechos de un pequeño número de átomos, como se muestra en la figura 41.18. Tales pequeñas trampas eventualmente pueden colocarse para su uso en dispositivos electrónicos.

Figura 41.18 Un corral cuántico consiste de un anillo de 48 átomos de hierro sobre una superficie de cobre. El diámetro del anillo es de 143 nm, y la fotografia se obtuvo usando un microscopio de efecto túnel exploratorio de baja temperatura. Los corrales y otras estructuras pueden confinar ondas de electrones. El estudio de tales estructuras desempeñará un importante papel en la determinación del futuro de pequeños dispositivos electrónicos. (IBM Corporation Research Division)

• 41-8

Microscopios de efecto túnel exploratorio, analizados en la sección 41.8. EL MICROSCOPIO DE EFECTO TÚNEL EXPLORATORIO1

Uno de los fenómenos básicos de la mecánica cuántica −el efecto túnel− es el corazón de un dispositivo muy práctico, el microscopio de efecto túnel exploratorio (MTE), el cual permite obtener imágenes muy detalladas de superficies con resoluciones comparables con el tamaño de un solo átomo. Las figuras 41.18 (átomos de hierro sobre cobre) y 41.19 (la superficie de un pedazo de grafito) muestran lo que el MTE puede hacer. Observe la alta calidad de las imágenes y los anillos reconocibles de los átomos de carbono en la figura 41.19. Lo que hace que esta imagen sea tan importante es que su resolución es de casi 0,2 nm.

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En un microscopio ordinario la resolución está limitada por la longitud de onda de la luz usada para hacer la imagen. Por consiguiente, un microscopio óptico tiene una resolución no mejor que 200 nm, casi la mitad de la longitud de onda de la luz visible, por lo que nunca podría mostrar el detalle exhibido en la figura 41.19. Un microscopio electrónico ideal (sección 41.1) puede tener una resolución de 0,2 nm empleando ondas electrónicas de esta longitud de onda, dada por la fórmula de De Broglie λ = h / p. El momentum lineal p de un electrón requerido para producir esta longitud de onda es 10 000 eV/ c, lo que corresponde a una rapidez del electrón de 2 % de la rapidez de la luz. Los electrones que viajan a esta rapidez penetrarían en el interior del grafito en la figura 41.19, por tanto, no podrían proporcionar información acerca de los átomos de la superficie individual.

Figura 41.19 La superficie del grafito es "vista" con un microscopio de efecto túnel exploratorio. Este tipo de microscopio permite a los científicos observar detalles con una resolución lateral de aproximadamente 0,2 nm y una resolución vertical de 0,001 nm. El contorno visto aquí representa al arreglo con forma de anillo de átomos de carbono individuales sobre la superficie de cristal.

El MTE alcanza su resolución muy fina empleando la idea básica ilustrada en la figura 41.20. Una sonda conductora de electricidad con una punta muy afilada se acerca a la superficie que se va a estudiar. El espacio vacío entre la punta y la superficie representa la "barrera" que se ha analizado, y la punta y la superficie son las dos paredes del "potencial de pozo". Ya que los electrones obedecen reglas de la mecánica cuántica en lugar de reglas newtonianas, pueden "tunelar" a través de la barrera del espacio vacío. Si se aplica un voltaje entre la superficie y la punta, puede hacerse que los electrones en los átomos de la superficie del material réalicen el efecto túnel preferentemente desde la superficie hasta la punta para producir una corriente de efecto túnel. En consecuencia, la punta muestrea la distribución de electrones justo arriba de la superficie.

Figura 41.20 Vista esquemática de un MTE. La punta, mostrada como un cono redondeado, está montada sobre un explorador piezoeléctrico xyz. Una exploración de la punta sobre la muestra puede revelar contornos de la superficie debajo del nivel atómico. Una imagen de MTE se compone de una serie de exploraciones desplazadas en forma lateral una de otra. (Con base en un dibujo de P. K. Hansma, V.B. Elings, O. Marti y C. Bracker; Science 242:209, 1988. Copyright 1988 por AAAS.)

Debido a la naturaleza del efecto túnel, el MTE es muy sensible a la distancia z de la punta a la superficie −en otras palabras, al grosor de la barrera (véase el ejemplo 41.7) −. La razón es que en el espacio vacío


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entre la punta y la superficie, la función de onda del electrón disminuye en forma exponencial (véase la región II en la Fig. 41.17) con una longitud de decaimiento del orden de 0,1 nm; esto es, la función de onda disminuye l/e a lo largo de esa distancia. Para distancias z > 1 nm (es decir, más allá de unos cuantos diámetros atómicos), en esencia no ocurre efecto túnel. Tal comportamiento exponencial ocasiona que la corriente de electrones que realizan efecto túnel de la superficie a la punta dependa fuertemente de z. Dicha sensibilidad es la base de la operación del MTE: monitoreando la corriente de efecto túnel cuando la punta explora la superficie, los científicos obtienen una medida sensible de la topografía de la distribución de electrones en la superficie. El resultado de la exploración se usa para hacer imágenes como la de la figura 41.19. Así, el MTE puede medir la altura de los rasgos de la superficie hasta adentro de 0,001 nm, ¡casi 1/100 de un diámetro atómico! Usted puede ver con exactitud cuán sensible es el MFE examinando la figura 41.19. De los seis átomos de carbono en cada anillo, tres aparecen más abajo que los otros tres. De hecho, los seis átomos se ubican al mismo nivel, pero todos tienen una distribución de electrones un poco diferente. Los tres átomos que aparecen inferiores están ligados a otros átomos de carbono directamente por debajo de ellos en la capa atómica subyacente; como resultado, sus distribuciones electrónicas, las cuales son responsables de los enlaces, se extienden hacia abajo de la superficie. Los átomos en la capa de la superficie que aparece superior no yacen en forma directa sobre los átomos de la superficie y, consecuentemente, no están ligados a los átomos subyacentes. Para estos átomos que aparecen superiores, la distribución de electrones se extiende hacia arriba en el espacio sobre la superficie. Esta densidad adicional de electrones es lo que hace que los electrones parezcan más altos en la figura 41.19, ya que lo que el MFE rastrea es la topografía de la distribución de electrones. El MFE tiene, sin embargo, una seria limitación: depende de la conductividad eléctrica de la muestra y de la punta. Por desgracia, la mayor parte de los materiales no son eléctricamente conductivos en su superficie. Incluso los metales, que por lo general son excelentes conductores eléctricos, se cubren con óxidos no conductores. Un microscopio más reciente, el microscopio de fuerza atómica (MFA), supera esta limitación. Mide la fuerza eléctrica que actúa entre una punta y la muestra, en lugar de una corriente eléctrica. Dicha fuerza, la cual por lo general es un resultado del principio de exclusión, depende fuertemente de la distancia de separación punta-muestra, del mismo modo que la comente de efecto túnel de los electrones lo hace para el MFE. De este modo, el MFA tiene una sensibilidad comparable para medir la topografía, y su uso se ha extendido con amplitud en aplicaciones tecnológicas. Quizá el aspecto más sobresaliente acerca del MFE es que su operación se basa en un fenómeno de la mecánica cuántica −el efecto túnel− que se comprendió a la perfección en la década de 1920, aun cuando el primer MFE se construyó hasta la década de 1980. ¿Qué otras aplicaciones de la mecánica cuántica todavía esperan a ser descubiertas? 1

Esta sección fue escrita por Roger A. Freedman y Paul K. Hansma, Universidad de California -Santa Bárbara-.

41-9. EL OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE Finalmente, considere el problema de una partícula sujeta a una fuerza restauradora lineal F = −kx, donde x es la magnitud del desplazamiento de la partícula a partir del equilibrio ( x = 0) y k es la constante de fuerza. (Se trata de una situación importante para comprender, ya que las fuerzas entre átomos en un sólido se pueden aproximar mediante dicha interacción.) El movimiento clásico de una partícula sujeta a tal fuerza es el armónico simple, el cual se estudió en el capítulo 13. La energía potencial del sistema es, a partir de la ecuación 13.21: U =

1 2 1 2 2 k x = m ω x 2 2

donde la frecuencia angular de vibración es ω = k / m . Desde el punto de vista clásico, si la partícula se desplaza desde su posición de equilibrio y se libera, oscila entre los puntos x = −A y x = A, donde A es la amplitud del movimiento. Además, su energía total E es, a partir de la ecuación 13.22:

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E = K + U =


1 2 1 2 2 k A = m ω A 2 2

En el modelo clásico cualquier valor de E es permitido, incluso E = 0, que es la energía total cuando la partícula está en reposo en x = 0. La ecuación de Schrodinger para este problema se obtiene sustituyendo U = ½ m ω2x2 en la ecuación 41.12:

 2 m E   m ω  2 2  = −  2  −   x  ψ 2 h h d x     

2 d ψ

(41.19)

La técnica matemática para resolver esta ecuación rebasa el nivel del presente texto. Sin embargo, es instructivo predecir una solución. Considere como predicción la siguiente función de onda: 2

ψ = B e −C x

(41.20)

Sustituyendo esta función en la ecuación 41.19 se encuentra que es una solución satisfactoria de la ecuación de Schrodinger, puesto que: C =

m ω

E =

y

2h

1 h ω 2

Esto rechaza que la solución supuesta corresponde al estado base del sistema, el cual tiene una energía ½ ħω, la energía del punto cero del sistema. Debido a que C = mω /2ħ, se deduce de la ecuación 41.20 que la función de onda para este estado es: 2

ψ = B e − ( mω / 2h ) x

(41.21)

La anterior es sólo una solución a la ecuación 41.19. Las soluciones restantes, las cuales describen los 2 estados excitados, son más complicadas, pero todas las soluciones incluyen el factor exponencial e − C x . Los niveles de energía de un oscilador armónico están cuantizados, como se esperaría al usar mecánica cuántica para analizar la situación. La energía del estado para el cual el número cuántico es n es: E n

1 =   n +  h ω 

2 

n = 0, 1,2,..,

El estado n = 0 corresponde al estado base, donde E 0 = ½ ħω; el estado n = 1 corresponde al primer estado excitado, donde El = 3/2 ħω y así sucesivamente. El diagrama del nivel de energía para este sistema se muestra en la figura 41.21. Advierta que las separaciones entre niveles adyacentes son iguales y se proporcionan por

∆E = ħω

(41.22)


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Figura41-21. Diagramas de nivel de energía para un oscilador armónico simple. Los niveles están separados por los mismos espacios, como separación ħω. El punto cero de energía es E0 = ½ ħω

Las curvas rojas en la figura 41.22 indican densidades de probabilidad |ψ|2 para los primeros tres estados de un oscilador armónico simple. Las curvas azules representan las densidades de probabilidad clásica que corresponden a la misma energía, y se mencionan como comparación. Advierta que cuando n aumenta, la concordancia entre la mecánica clásica y la cuántica mejora, como se esperaba.

Figura 41.22 Las curvas rojas representan densidades de probabilidad |ψ|2 para los tres primeros estados de un oscilador armónico simple. Las curvas azules representan densidades de probabilidades clásicas, correspondientes a las mismas energías. (Tomado de C. W Sherwin, Introduction to Quantum Mechanics, New York, Holt, Rinehart and Winston, 1959. Usado con permiso.)

Pregunta sorpresa 41-5 a) ¿Por qué las curvas de densidad de probabilidad clásica en la figura 41.22 se doblan en los extremos? b) ¿Cómo esperaría usted ver las curvas de densidad de probabilidad mecánico-cuánticas a valores de n muy grandes?

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RESUMEN El principio de incertidumbre de Heisenberg establece que si una medida de la posición se hace con una precisión ∆x y una medición simultánea del momentum lineal se realiza con una precisión ∆Px, el producto de las dos incertidumbres nunca puede ser más pequeño que ћ /2. h

∆ x ∆ p x ≥

(41.1)

2

En la mecánica cuántica las ondas de materia de De Broglie se representan por medio de una función de onda Ψ ( x, y, z, t ). La probabilidad por unidad de volumen (o densidad de probabilidad) de que la partícula se encontrará en un punto es |Ψ|2. Si la partícula está restringida a moverse a lo largo del eje x, entonces la probabilidad de que se localizará en un intervalo dx es |Ψ|2 dx. Además, la suma de todas estas probabilidades sobre los valores de x debe ser 1: ∞

∫ −∞

Ψ

2

dx = 1

(41.4)

Ello recibe el nombre de condición de normalización. La posición medida x de la partícula, promediada a lo largo de muchos ensayos, se llama valor de esperanza de x y se define por medio de:

< x >=

∞

∫−∞ x

Ψ

2

dx

(41.6)

Si una partícula de masa m se confina a moverse en una caja unidimensional de ancho L cuyas paredes son impenetrables, se requiere que Ψ sea cero en las paredes y fuera de la caja. Las funciones de onda permitidas para la partícula están dadas por:

Ψ ( x) = A sen  

n π x 



 L 

n = 1,2,3,..,

(41.8)

donde A es el valor máximo de Ψ. La partícula tiene una longitud de onda bien definida λ con valores tales como L = nλ /2. Los estados permitidos se llaman estados estacionarios del sistema. Las energías de una partícula en la caja están cuantizadas y dadas por:

 h 2  2 n E n =  2  8 m L  

n = 1,2,3,...

(41.9)

La función de onda debe satisfacer la ecuación de Schrodinger. La ecuación de Schrodinger independiente del tiempo para una partícula confinada a moverse a lo largo del eje x es: 2

d ψ d x

2

=−

2m h

2

( E − U )ψ

(41-12)

donde E es la energía total del sistema y U la energía potencial. El enfoque de la mecánica cuántica es resolver la ecuación 41.12 para ψ y E, dada la energía potencial U(x) del sistema. Al hacerlo de ese modo debe poner restricciones sobre ψ (x): 1) ψ (x) debe ser continua, 2) ψ (x) debe tender a cero cuando x tienda a ∞, 3) ψ (x) debe tener un solo valor, y 4) d ψ / dx debe ser continua para todos los valores finitos de U(x).


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PREGUNTAS 1.

¿Un electrón es una partícula o una onda? Apoye su respuesta citando algunos resultados experimentales.

2.

Un electrón y un protón se aceleran desde el reposo a través de la misma diferencia de potencial. ¿Cuál partícula tiene la longitud de onda más larga?

3.

Si la materia tiene una naturaleza ondulatoria, ¿por qué esta característica similar a la de las ondas no se observa en las experiencias cotidianas?

4.

¿De qué forma el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno viola el principio de incertidumbre?

5.

¿Por qué es imposible medir en forma simultánea, con exactitud infinita, la posición y rapidez de una partícula?

6.

Al describir el paso de electrones a través de una rendija y su arribo a una pantalla, el físico Richard Feynman dijo que "los electrones llegan en montones, como partículas, pero la probabilidad de arribo de estos montones se determina como la intensidad que las ondas tendrían. Es en este sentido que el electrón se comporta a veces como una partícula y a veces como una onda". Enuncie este punto en sus propias palabras. (Para un análisis más amplio respecto de este punto, véase R. Feynman, The Character of Physical Law, Cambridge, MA., MIT Press, 1980, capítulo 6.)

7.

Para una partícula en una caja la densidad de probabilidad en ciertos puntos es cero, como se ve en la figura 41.11b. ¿Esto implica que la partícula no puede moverse a través de estos puntos? Explique.

8.

Analice la relación entre el punto cero de energía y el principio de incertidumbre.

9.

Cuando una partícula de energía E se refleja desde una barrera de potencial de altura U; donde E < U; ¿cómo cambia la amplitud de la onda reflejada al reducirse la altura de la barrera?

10.

Un filósofo dijo una vez que "es necesario para la propia existencia de la ciencia que las mismas condiciones siempre produzcan los mismos resultados", En vista de lo que se ha estudiado en este capítulo, presente un argumento mostrando que este enunciado es falso, ¿Cómo se puede reescribir el enunciado para que sea cierto?

11.

En la mecánica cuántica es posible que la energía E de una partícula sea menor que la energía potencial, pero desde la perspectiva clásica esto no es posible, Explique.

12.

Considere dos pozos cuadrados del mismo ancho, uno con paredes finitas y el otro con paredes infinitas. Compare la energía y momentum de una partícula atrapada en el pozo finito, con la energía y el momentum de una partícula idéntica en el pozo infinito.

13.

¿Por qué es imposible que el estado de menor energía de un oscilador armónico sea cero?

14.

¿Por qué un microscopio electrónico es más apropiado que un microscopio óptico para "ver" objetos de tamaño menor a 1 µm?

15.

¿Qué es la ecuación de Schrodinger? ¿De qué modo es útil al describir los fenómenos atómicos?

PROBLEMAS Sección 41.1 Regreso al experimento de doble rendija 41-1. Neutrones que viajan a 0,400 m/s se conducen a través de una doble rendija que tiene una separación de 1,00 mm. Un arreglo de detectores se coloca a 10,0 m desde la rendija. a) ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de los neutrones? b) ¿A qué distancia del eje está el primer

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punto de intensidad cero en el arreglo de detectores? c) Cuando un neutrón alcanza un detector, ¿puede decir a través de cuál rendija pasó el neutrón? Explique. RESPUESTA: 41-2. Se emplea un osciloscopio modificado para efectuar un experimento de interferencia de electrones. Éstos inciden sobre un par de rendijas estrechas separadas 0,060 0 µm. Las bandas brillantes en el patrón de interferencia están separadas por 0,400 mm sobre una pantalla a 20,0 cm de las rendijas. Determine la diferencia de potencial a través de la cual se aceleraron los electrones para producir este patrón. 41-3. a) Muestre que la longitud de onda de un neutrón es: λ =

2,86 x 10 −11 K n

m donde Kn es la energía

cinética del neutrón en electronvolts. b) ¿Cuál es la longitud de onda de un neutrón de 1,00 keV? 41-4. La distancia entre átomos adyacentes en cristales es del orden de 0,1 nm. El empleo de electrones en estudios de difracción de cristales requiere que la longitud de onda de De Broglie de los electrones sea del mismo orden que la distancia entre los átomos de los cristales. ¿Cuál es el orden de magnitud de la energía mínima requerida (en electronvolts) de los electrones que se van a emplear con estos fines? 41-5. La potencia de resolución de un microscopio depende de la longitud de onda empleada. Si uno desea "ver" un átomo, se requeriría una resolución de casi 1,00 x 10 -11 m. a) Si se emplean electrones (en un microscopio electrónico), ¿qué energía cinética mínima se requiere para los electrones? b) Si se utilizan fotones, ¿qué energía mínima del fotón es necesaria para obtener la resolución requerida? RESPUESTA: (a) 41-6. Se aceleran electrones a través de 40 000 V en un microcopio electrónico. En forma ideal, ¿cuál es la distancia observable más pequeña entre objetos vistos con este microscopio? 41-7. Un haz de electrones con una energía cinética de 1,00 MeV incide en dirección normal en un arreglo de átomos en filas separadas por 0,250 nm. Si el arreglo funciona como una rejilla de difracción plana, ¿en qué dirección se espera que se muevan los electrones del quinto orden? Sección 41.2 El principio de incertidumbre 41-8. Suponga que Fuzzy, un pato mecánico-cuántico, vive en un mundo en el que h = 2π J · s. Fuzzy tiene una masa de 2,00 kg y se sabe al principio que se encuentra dentro de una región de 1,00 m de ancho. a) ¿Cuál es la incertidumbre mínima en su rapidez? b) Suponiendo que tal incertidumbre va a prevalecer durante 5,00 s, determine la incertidumbre en la posición después de este tiempo. 41-9. Un electrón (me = 9,11 x 10 -31 kg) y una bala (m = 0.0200 kg) tienen cada uno una rapidez de 500 m/s, con una precisión hasta dentro de 0,010 0 %. ¿Dentro de qué límites podrían determinarse las posiciones de los objetos? 41-10. Un rifle de aire se emplea para disparar partículas de 1,00 g a 100 m/s a través de un agujero de 2,00 mm de diámetro. ¿A qué distancia del rifle debe estar un observador para ver el haz dispersado 1,00 cm debido al principio de incertidumbre? Compare esta respuesta con el diámetro del universo visible (2 x 10 26 m). 41-11. Una fuente luminosa se usa para determinar la localización de un electrón en un átomo hasta una precisión de 0,050 0 nm. ¿Cuál es la mínima incertidumbre posible en la rapidez del electrón?


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41-12. Use el principio de incertidumbre para mostrar que si un electrón estuviese confinado dentro de un núcleo atómico de 2 x 10 -15 m de diámetro, debería moverse de manera relativista, mientras un protón confinado al mimo núcleo podría estarse moviendo de manera no relativista. 41-13. Una mujer sobre una escalera tira pequeños perdigones hacia un blanco sobre el piso. a) Muestre que, de acuerdo con el principio de incertidumbre, la distancia promedio errada debe ser al menos de ∆ x f = (2 / h m)1 / 2 (2 / Hg )1 / 4 donde H es la altura inicial de cada perdigón sobre el suelo y m es la masa de cada uno. Suponga que la dispersión en los puntos de impacto está dada por ∆ x f = ∆ xi + (∆v x ) t b) Si H = 2,00 m y m = 0,500 g, ¿cuál es ∆ x f ¿ Sección 41.3 Densidad de probabilidad 41-14. La función de onda para una partícula es: ψ ( x) =

a

π ( x

2

+ a2 )

para a > 0 y − ∞ < x < + ∞.

Determine la probabilidad de que la partícula se localice en algún punto entre x = − a y x = + a. 41-15. Un electrón libre tiene una función de onda ψ (x) = A sen (5,00 x 1010 x) donde x se mide en metros. Encuentre a) la longitud de onda de De Broglie, b) el momentum lineal y c) la energía cinética en electronvolts. Sección 41.4 Una partícula en una caja 41-16. Un electrón que tiene una energía de aproximadamente 6 eV sé mueve entre paredes rígidas con 1,00 nm de separación. Encuentre a) el número cuántico n para el estado de energía que el electrón ocupa, y b) la energía precisa del electrón. 41-17. Un electrón está contenido en una caja unidimensional de 0,100 nm de ancho. a) Dibuje un diagrama de nivel de energía para el electrón en niveles hasta n = 4. b) Encuentre las longitudes de onda de todos los fotones que el electrón puede emitir al hacer transiciones del estado n = 4 al estado n = 1 (mediante todas las trayectorias espontáneas). 41-18. Un electrón está confinado en una región unidimensional en la cual su energía en el estado base (n = 1) es 2,00 eV a) ¿Cuál es el ancho de la región? b) ¿Cuánta energía se requiere para promover al electrón a su primer estado excitado? 41-19. Un láser de rubí emite luz de 694,3 nm. Suponiendo que esta luz se debe a transiciones de un electrón en una caja del estado n = 2 al estado n = 1, encuentre el ancho de la caja. 41-20. Un láser de rubí emite luz de longitud de onda λ. Suponiendo que dicha luz se debe a transiciones de un electrón en una caja del estado n = 2 al estado n = 1, encuentre el ancho de la caja. 41-21. La energía potencial nuclear que liga a los protones y a los neutrones en un núcleo a menudo se considera de manera aproximada por medio de un pozo cuadrado. Suponga un protón confinado en un pozo cuadrado infinitamente alto de 10,0 fm de ancho, un diámetro nuclear común. Calcule la longitud de onda y la energía asociada con el fotón emitido cuando el protón se mueve del estado n = 2 al estado base. ¿A qué región del espectro electromagnético pertenece esta longitud de onda? 41-22. Una partícula alfa en un núcleo se puede considerar como una partícula que se mueve en una caja de 1,00 x 10 -14 m de ancho (el diámetro aproximado del núcleo). Aplicando este modelo estime la energía y el momentum de una partícula alfa en su estado de energía más bajo (m α = 6,64 x 10 -27 kg). 41-23. Emplee el modelo de la partícula en una caja para calcular los primeros tres niveles de energía de un neutrón atrapado en un núcleo de 20,0 fm de diámetro. ¿Las diferencias de los niveles de energía tienen un orden de magnitud realista?

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41-24. Una partícula en un pozo cuadrado de profundidad infinita tiene una función de onda dada por: 2  2 π x  ψ 2 ( x) = sen   para 0 ≤ x ≤ L y cero en otro caso. Determine a) el valor de esperanza L  L  de x, b) la probabilidad de encontrar la partícula cerca de L/2, calculando la probabilidad de que la misma se encuentre en el intervalo 0,490L ≤ x ≤ 0,510L y c) la probabilidad de encontrar la partícula cerca de L/4, al calcular la probabilidad de que la misma esté en el intervalo 0,240L ≤ x ≤ 0.260L. d) Argumente que no existe contradicción entre el resultado de la parte a y los de las partes b) y c). 41-25. La función de onda para una partícula restringida a moverse en una caja unidimensional es:  2 π x  ψ ( x) = A sen   Emplee la condición de normalización en ψ para demostrar que: L   A =

2 L

Sugerencia: como el ancho de la caja es L, la función de onda es cero para x < 0 y para L

x > L, de modo que la condición de normalización (ecuación 41.4) se reduce a

41-26. La función de onda de un electrón es: ψ 2 ( x) =

2 L

∫0

2

ψ dx = 1

 2 π x   Calcule la probabilidad de L  

sen 

encontrar al electrón entre x = 0 y x = L/4. 41-27. Un electrón en un pozo cuadrado de profundidad infinita tiene una función de onda dada por: 2  2 π x  ψ 2 ( x) = sen   para 0 ≤ x ≤ L y cero en cualquier otro caso. ¿Cuáles son las L  L  posiciones más probables de los electrones? 41-28. Una partícula en un pozo cuadrado infinito tiene una función de onda dada por: 2  π x  ψ 1 ( x) = sen   para 0 ≤ x ≤ L y cero en cualquier otro caso. a) Determine la L L   probabilidad de encontrar la partícula entre x = 0 y x = L/3. b) Use el resultado de este cálculo y argumentos de simetría para encontrar la probabilidad de hallar la partícula entre x = L/3 y x = 2L/3. No reevalúe la integral. c) Compare el resultado de la parte a) con la probabilidad clásica. 41-29. Se limita a un protón a moverse en una caja unidimensional de 0,200 nm de ancho. a) Encuentre la energía más baja posible del protón. b) ¿Cuál es la energía más baja posible de un electrón confinado en la misma caja? c) ¿Cómo puede usted explicar la gran diferencia en sus resultados para a) y b)? 41-30. Considere una partícula que se mueve en una caja unidimensional para la cual las paredes están en x = − L/2 y x = L/2. a) Escriba las funciones de onda y las de densidad de probabilidad para n = 1, n = 2 y n = 3. b) Dibuje las funciones de onda y las densidades de probabilidad. (Sugerencia: haga una analogía con el caso de una partícula en una caja para la cual las paredes están en x = 0 y x = L) Secci6n 41.5 La ecuación de Schrodinger 41-31. Muestre que la función de onda ψ ( x) = Ae i ( k x−ω t ) es una solución de la ecuación de Schrodinger (Ec. 41.12) donde k = 2 π / λ y U = 0. 41-32. La función de onda de una partícula está dada por: ψ (x) = A cos(kx) + B sen(kx) donde A, B y k son constantes. Demuestre que ψ es una solución de la ecuación de Schr6dinger (Ec. 41.12),


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suponiendo que la partícula está libre (U = O), y encuentre la correspondiente energía E de la partícula. 41-33. Una partícula de masa m se mueve en un potencial de pozo de ancho 2L. Su energía potencial es infinita para x < - L y para x > +L Dentro de la región - L < x < + L, su energía potencial está

− h 2 x 2 dada por: U ( x) = Además, la partícula se encuentra en un estado estacionario 2 2 2 m L ( L − x ) descrito por la función de onda, ψ ( x) = A (1 − x 2 / L2 ) para − L < x < + L, y ψ (x) = 0 en cualquier otro lado. a) Determine la energía de la partícula en términos de ћ, m y L. (Sugerencia: emplee la ecuación de Schrodinger, ecuación 41.12.) b) Muestre que A = (15/16L) 1/2. c) Determine la probabilidad de que la partícula se localice entre x = − L/3 y x = + L/3. 41-34. En una región del espacio, una partícula con energía total cero tiene una función de onda 2 2 ψ ( x) = A x e − x / L a) Encuentre la energía potencial U como una función de x. b) Elabore una gráfica de U( x) versus x. Sección 41.6 Una partícula en un pozo de altura finita 41-35. Suponga que sea atrapada una partícula en su estado base en una caja que tiene paredes infinitamente altas (véase la Fig. 41.11). Suponga después que la pared de la izquierda se baja en forma repentina hasta una altura y ancho finitos. a) Dibuje cualitativamente la función de onda para la partícula poco después. b) Si la caja tiene un ancho L, ¿cuál es la longitud de onda de la onda que penetra la pared izquierda? 41-36. Dibuje la función de onda I/I( x) y la densidad de probabilidad |ψ (x) |2 para el estado n = 4 de una partícula en un potencial de pozo finito. (Véase la figura 41.16.) Sección 41.7 Efecto túnel a través de una barrera 41-37. Un electrón con energía cinética E = 5,00 eV incide sobre una barrera con grosor L = 0,200 nm y altura U = 10,0 eV (Fig. P41.37). ¿Cuál es la probabilidad de que el electrón a) realizará efecto túnel a través de la barrera y b) se reflejará?

Figura P41.37 Problemas 37 y 38.

41-38. Un electrón con energía total E = 4,50 eV se acerca a una barrera rectangular de energía donde U = 5,00 eV y L = 950 pm, como en la figura P41.37. Desde el punto de vista clásico, el electrón no podría atravesar la barrera debido a que E < U Sin embargo, de acuerdo con la mecánica cuántica, hay una probabilidad finita de efecto túnel. Calcule esta probabilidad, la cual es el coeficiente de transmisión. 41-39. En el problema 38, ¿en cuánto tendría que incrementarse el ancho L de la barrera de potencial para que la posibilidad de que un electrón incidente de 4,50 eV produzca efecto túnel a través de la barrera sea de uno en un millón? Sección 41.8 El microscopio de efecto túnel exploratorio 41-40. Un microscopio de efecto túnel exploratorio (MTE) puede determinar con precisión las profundidades de las superficies de las muestras porque la corriente a través de su punta es muy sensible a diferencias en el ancho del espacio entre la punta y la superficie de la muestra. Suponga

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que en esta dirección la función de onda del electrón cae exponencialmente con una longitud de decaímiento de 0,100 nm -es decir, con C = 10.0 /nm. ( Determine la relación de la corriente cuando la punta del MTE se encuentra a 0,500 nm sobre la característica superficial a la corriente cuando la punta está 0,515 nm sobre la superficie. 41-41. El criterio de diseño para un microscopio de efecto túnel exploratorio típico especifica que debe ser capaz de detectar, sobre la muestra bajo su punta, características superficiales que difieren en altura por sólo 0.002 00 nm. ¿Qué porcentaje de cambio en la transmisión electrónica debe ser capaz de detectar la electrónica del MTE para lograr esta resolución? Suponga que el coeficiente de transmisión electrónica es e−2CL, con C = 10.0 /nm. Sección 41.9 El oscilador armónico simple 41-42. Demuestre que la ecuación 41.21 es una solución de la ecuación 41.19, con energía E = ½ ћω. 2

41-43. Una función de onda de un oscilador armónico unidimensional es ψ ( x) = A x e − bx a) Muestre que ψ satisface la ecuación 41.19. b) Encuentre b y la energía total E. c) ¿Se trata de un estado base o un primer estado excitado? 41-44. Un oscilador armónico simple cuántico consta de un electrón enlazado mediante una fuerza restauradora proporcional a su desplazamiento a partir de cierto punto de equilibrio. La constante de proporcionalidad es 8,99 N/m. ¿Cuál es la longitud de onda de luz más larga que puede excitar al oscilador? 41-45. a) Normalice la función de onda para el estado base de un oscilador armónico simple. Esto es, aplique la ecuación 41.4 a la 41.21 y encuentre el valor requerido para el coeficiente B, en términos de m, ω y constantes. b) Determine la probabilidad de encontrar al oscilador en un intervalo estrecho −δ /2 < x < δ /2 alrededor de su posición de equilibrio. 41-46. La energía total de una partícula que se mueve con movimiento armónico simple a lo largo del eje x es: E =

2

p x

2m

+

k x

2

2

donde p x es el momentum de la partícula y k es la constante de resorte. a)

Empleando el principio de incertidumbre muestre que esta expresión puede escribirse también como: E ≥

2

p x

+

k h

2

b) Muestre que la energía mínima del oscilador armónico es:

2 m 8 p x2 k h ω h ω 1 + = Emín = K + U = h 4 m 4 2 PROBLEMAS ADICIONALES

41-47. Manteniendo una rapidez constante de 0,8 m/s, una canica rueda atrás y adelante a través de una caja de zapatos. Realice una estimación del orden de magnitud de la probabilidad de que escape a través de la pared de la caja mediante efecto túnel cuántico. Establezca las cantidades que toma como datos y los valores que mida o estime para las mismas. 41-48. Una partícula de 2,00 x 10-28 kg de masa está confinada en una caja unidimensional de 1,00 x l0-10 m de ancho. Para n = 1, ¿cuáles son a) la longitud de onda de la partícula, b) su momentum, y c) su energía de estado base? 41-49. Se representa un electrón por medio de la función de onda independiente del tiempo:

128APUNTES DE FISICA  Ae −α x ψ ( x) =  +α x  Ae

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>0 para x < 0 para x

a) Dibuje la función de onda como una función de x. b) Dibuje la probabilidad de que el electrón se encuentre entre x y x + dx. c) Demuestre que ésta puede ser una función de onda físicamente razonable. d) Normalice la función de onda. e) Determine la probabilidad de encontrar al electrón en algún lugar en el intervalo: x1

=−

1 1 a x 2 = 2 α 2 α

41-50. Partículas que inciden a partir de la izquierda se enfrentan con un escalón de energía potencial como se muestra en la figura P41.50. El escalón tiene una altura U; y las partículas tienen energía E > U. Por lo común se esperaría que todas las partículas continuaran su camino, aunque a rapidez reducida. De acuerdo con la mecánica cuántica, una fracción de las partículas se refleja en

(k 1 − k 2 ) 2 la barrera. a) Pruebe que el coeficiente de reflexión R para este caso es: R = donde k1 (k 1 + k 2 ) 2 = 2π / λ1 y k2 = 2π / λ2 son los números de onda angular de las partículas incidente y transmitida, respectivamente. Proceda del modo siguiente: demuestre que la función de onda ψ 1 = A cos k1x +

B cos(-k1x) satisface la ecuación de Schrodinger en la región 1, donde x < 0. Aquí, A cos k 1x representa al haz incidente, y B cos (-k1x) representa a las partículas reflejadas. Demuestre que ψ 2 = C cos k2x satisface la ecuación de Schrodinger en la región 2 para x > 0. Imponga las condiciones de frontera ψ 1 = ψ 2 y dψ 1 /dx = dψ 2 /dx en x = 0, para encontrar la relación entre B y A. Luego evalúe R = B2 /A2. b) Una partícula que tiene energía cinética E = 7,00 eV incide desde una región donde la energía potencial es cero hasta una en la cual U = 5,00 eV. Encuentre su probabilidad de ser reflejada lo mismo que transmitida.

Figura P41-50. Problemas 50 y 51.

41-51. Partículas incidentes desde la izquierda se confrontan con un escalón de energía potencial como se muestra en la figura P41.50. El escalón tiene una altura U y las partículas tienen energía E = 2 U. Según el punto de vista clásico, todas las partículas pasarían hacia la región de mayor energía potencial a la derecha. Sin embargo, de acuerdo con la mecánica cuántica, una fracción de las partículas se refleja en la barrera. Use el resultado del problema 50 para determinar la fracción de las partículas incidentes que se reflejan. (Esta situación es similar a la reflexión y transmisión parcial de la luz que golpea una interface entre dos medios diferentes.) 41-52. Un electrón está atrapado en un defecto de un cristal. (Un defecto es una imperfección de otra forma en el arreglo ordenado de átomos.) La deficiencia puede modelarse como una caja unidimensional de paredes rígidas de 1,00 nm de ancho. a) Dibuje las funciones de onda y las densidades de probabilidad para los estados n = 1 y n = 2. b) Para el estado n = 1 calcule la probabilidad de encontrar al electrón entre x1 = 0,150 nm y x2 = 0.350 nm, donde x = 0 es el lado izquierdo de la caja. c) Repita el inciso b) para el estado n = 2. d) Calcule las energías, en electronvolts, de los estados n = 1 y n = 2. Sugerencia: para los incisos b) y c), emplee la ecuación

1 2

41.5 y note que ∫ sen 2 ax dx = x −

1 sen 2 a x 4a

41-53. El truco favorito de Juan saltarín es brincar 50,0 m desde la ventana de un edificio de 16 pisos y caer en una alberca. Un reportero de prensa emplea un tiempo de exposición de 5,00 ms para

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tomar una foto de Juan (quien pesa 75,0 kg) justo antes de golpear el agua. Encuentre a) la longitud de onda de De Broglie de Juan en este momento, b) la incertidumbre de su medición de energía cinética durante tal intervalo de tiempo, y c) el error porcentual causado por dicha incertidumbre. 41-54. Un mesón π° es una partícula inestable producida en choques de partículas de alta energía. Su energía en reposo es de aproximadamente 135 MeV, y existe durante un tiempo de vida promedio de sólo 8,70 x 10-17 s antes de decaer en dos rayos gamma. Empleando el principio de incertidumbre estime la incertidumbre fraccionaria ∆m/m en su determinación de masa. 41-55. Un átomo en un estado excitado 1,80 eV arriba del estado base permanece en ese estado 2,00 µs antes de moverse hacia el estado base. Encuentre a) la frecuencia y b) la longitud de onda del fotón emitido. c) Determine la incertidumbre aproximada en energía del fotón. 41-56. Un átomo en un estado excitado E arriba del estado base permanece en ese estado por un tiempo T antes de moverse hacia el estado base. Encuentre a) la frecuencia y b) la longitud de onda del fotón emitido. c) Localice la incertidumbre aproximada en energía del fotón. 41-57. Para una partícula descrita por una función de onda ψ (x), el valor esperado de una cantidad física f

(x) asociado con la partícula está definido por:

< f ( x) >

∞

∫ −∞

f ( x) ψ ( x)

2

dx . Para una

partícula en una caja unidimensional que se extiende de x = 0 a x = L, muestre que:

< x >= 2

2

L

3

−

2

L

2 n 2π 2

41-58. Una partícula se describe por medio de la función de onda:

  2 π x    A cos  ψ ( x) =  L   0 

para −

L

4

≤ x ≤

L

4

para otro valores de x

a) Determine la constante de normalización A. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la partícula se encontrará entre x = 0 y x = L/8 si se mide su posición? (Sugerencia: emplee la ecuación 41.5.) 41-59. Una partícula tiene una función de onda:

 2 − x / a e  ψ ( x) =  a 0 

para x

>0

parax < 0

a) Encuentre y grafique la densidad de probabilidad. b) Localice la probabilidad de que la partícula estará en algún punto donde x < 0. c) Muestre que ψ está normalizada y luego señale la probabilidad de que la partícula se encontrará entre x = 0 y x = a. 41-60. Cierto microscopio electrónico acelera electrones hasta una energía de 65,0 keV. a) Encuentre la longitud de onda de estos electrones. b) Si pueden resolverse dos puntos separados por al menos 50,0 longitudes de onda, ¿cuál es la separación más pequeña (o tamaño mínimo del objeto) que puede definirse con este microscopio? 41-61. Un electrón de momentum p está a una distancia r de un protón estacionario. El electrón tiene energía cinética K = p2 /2me energía potencial U = − ke2 /r, y energía total E = K + U: Si el electrón se enlaza a un protón para formar un átomo de hidrógeno, su posición promedio está en el protón, pero la incertidumbre en su posición es casi igual al radio r de su órbita. El vector de momentum promedio del electrón es cero, pero su momentum promedio al cuadrado es aproximadamente


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igual a la incertidumbre al cuadrado en su momentum, como está señalado por el principio de incertidumbre. Al tratar al átomo como un sistema unidimensional, a) estime la incertidumbre en el momentum del electrón en términos de r . b) Calcule las energías cinética, potencial y total del electrón considerando a r . c) El valor real de r es aquel que minimiza la energía total, lo que produce un átomo estable. Encuentre el valor de r y la energía total resultante. Compare su respuesta con las predicciones de la teoría de Bohr. 41-62. Una partícula de masa m se sitúa en una caja unidimensional de ancho L. Suponga que la caja es tan pequeña que el movimiento de la partícula es relativista, de modo que E = p2 /2m no es válida. a) Obtenga una expresión para los niveles de energía de la partícula. b) Si la partícula es un electrón en una caja de ancho L = 1,00 x 10 -12 m, encuentre su energía cinética más baja posible. ¿En qué porcentaje está equivocada la fórmula no relativista? (Sugerencia: véase la ecuación 39.26.) 41-63. Considere un "cristal" consistente de dos núcleos y dos electrones, como se muestra en la figura P41.63. a) Tomando en cuenta todos los pares de interacciones, encuentre la energía potencial del sistema como una función de d . b) Suponiendo que los electrones van a estar restringidos en una caja unidimensional de ancho 3d , localice la energía cinética mínima de los dos electrones. c) Determine el valor de d para el cual la energía total es un mínimo. d) Compare este valor de d con el espaciamiento de los átomos en litio, el cual tiene una densidad de 0,530 g/cm3 y una masa atómica de 7 u. (Este tipo de cálculo puede usarse para estimar las densidades de cristales y ciertas estrellas.)

Figura P41.63 2

41-64. El oscilador armónico simple en un estado excitado. La función de onda: ψ ( x) = B x e − ( mω / 2h ) x también es una solución al problema del oscilador armónico simple. a) Encuentre la energía de este estado. b) ¿En qué posición es menos probable que usted halle la partícula? c) ¿En qué posiciones quizás usted ubique la partícula? d) Determine el valor de B requerido para normalizar la función de onda. e) Indique la probabilidad clásica de encontrar la partícula en un intervalo de ancho pequeño δ centrado en la posición x = 2 ( ћ /mω)1/2. f) ¿Cuál es la probabilidad real de encontrar la partícula en este intervalo? 41-65. Normalización de funciones de onda: a) Determine la constante de normalización A para una función de onda compuesta a partir de los dos estados más bajos de una partícula en una caja:   π x   2 π x  ψ ( x) = A  sen   + 4 sen   b) Una partícula se describe en el espacio -a ≤ x ≤ a por L L        π x   π x   + B sen  medio de la función de onda: ψ ( x) = A cos   . Determine la relación entre  a   2 a  los valores de A y B que se requieren para la normalización. (Sugerencia: emplee la identidad sen 2θ = 2 sen θ cos θ.) 41-66. Un experimento de difracción de electrones en doble rendija se realiza con rendijas de anchos distintos. El número de electrones que alcanzan la pantalla por segundo cuando sólo la rendija 1 está abierta es 25,0 veces el número de electrones que alcanzan la pantalla por segundo cuando la rendija 2 está abierta. Cuando ambas rendijas están abiertas, resulta un patrón de interferencia en el cual la interferencia destructiva no es completa. Encuentre la proporción entre la probabilidad de que un electrón llegará a una máxima interferencia y la posibilidad de que un electrón llegue a un mínimo de interferencia adyacente. (Sugerencia: use el principio de superposición.)

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41-67. Considere una extensión del experimento de doble rendija de Young, realizado con fotones. Piense en la figura 41.3 como una vista superior, con el lector mirando hacia abajo por el aparato. La pantalla de visualización puede ser un gran arreglo plano de detecciones de carga acoplada. Cada celda en el arreglo registra fotones individuales con alta eficiencia, de modo que se puede ver, en tiempo real, dónde golpean la pantalla los fotones individuales. Se cubre la rendija 1 con un polarizador con su eje de transmisión horizontal, y la rendija 2 con un polarizador con eje de transmisión vertical. Cualquier fotón puede absorberse por un filtro de polarización o dejarse pasar por él. Los fotones que vienen a través de un polarizador tienen su campo eléctrico oscilando en el plano definido por su dirección de movimiento y el filtro del eje. Ahora se coloca otra gran lámina cuadrada de material polarizante justo enfrente de la pantalla. Para la prueba experimental 1 se hace que el eje de transmisión de este tercer polarizador esté horizontal. Esta elección, en efecto, bloquea la rendija 2. Después de que se ha enviado muchos fotones a través del aparato, su distribución sobre la pantalla de visualización se muestra mediante la curva azul |ψ 1|2 en la figura 41.3. Para la prueba 2 se voltea el polarizador en la pantalla para hacer su eje de transmisión vertical. Luego la pantalla recibe fotones sólo por la vía de la rendija 2, y su distribución se muestra como |ψ 2|2. Para la prueba 3, temporalmente se remueve la tercera lámina de material polarizante. En seguida aparece el patrón de interferencia mostrado por la curva roja |ψ 1|2 + |ψ 2|2. a) ¿La luz que llega a la pantalla forma el patrón de interferencia polarizado? Explique su respuesta. b) A continuación, en la prueba 4 se gira el gran cuadrado de material polarizante enfrente de la pantalla y se establece su eje de transmisión en 45°, a la mitad entre la horizontal y la vertical. ¿Qué aparece sobre la pantalla? c) Suponga que se repiten todas las pruebas, de la 1 a la 4, con muy baja intensidad de luz, de modo que sólo un fotón a la vez está presente en el aparato. ¿Cuáles son ahora los resultados? d) Por conveniencia, regrese a las intensidades de luz altas, y en la prueba 5 haga que el gran cuadrado de polarización gire lenta y constantemente en tomo a un eje de rotación que pasa por su centro, perpendicular a su área. ¿Qué aparece sobre la pantalla? e) Por último, regrese a la intensidad de luz muy baja y reemplace la gran lámina cuadrada de plástico polarizador con una capa plana de cristal líquido, al cual se le pueda aplicar un campo eléctrico en dirección horizontal o vertical. Con el campo aplicado se puede activar con rapidez el cristal líquido, de modo que transmita sólo fotones con campo eléctrico horizontal, actuar como un polarizador con un eje de transmisión vertical o transmitir todos los fotones con alta eficiencia. Se conserva el trayecto de los fotones conforme son emitidos en forma individual por la fuente. Para cada fotón se espera hasta que éste haya pasado por el par de rendijas. Luego rápidamente se selecciona la configuración del cristal líquido, y se hace que el fotón arribe a un polarizador horizontal, a un polarizador vertical o a ningún polarizador antes de que llegue al arreglo de detectores. Es posible alternar entre las condiciones antes establecidas en las pruebas 1, 2 y 3. Se conserva el trayecto de las configuraciones del cristal líquido y se ordena cómo se comportan los fotones en las diferentes condiciones, para finalizar con un juego completo de datos para las tres pruebas. ¿Cuáles son los resultados? RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS SORPRESA 41.1

El patrón de difracción se parece al patrón para las ondas luminosas que pasan por tres rendijas, el cual se muestra en la figura 37.13.

41.2

Si la rendija es ancha, como en la parte a) de la figura en el fondo de la página, no se puede conocer con precisión la posición horizontal de un electrón particular dentro del haz de electrones. Si se comprime el haz a través de una rendija estrecha, como en la parte b) de la figura, disminuimos ∆ x, pero el efecto aumentado de difracción significa que se ha incrementado la incertidumbre en P.. (Dependiendo de su momentum, un electrón puede aparecer en cualquier parte en una amplia área horizontal de la pantalla de visualización.)

41.3

Por lo común, se espera que la partícula rebote atrás y adelante entre las dos paredes a rapidez constante. En consecuencia, es tan probable encontrarla en el lado izquierdo de la caja como en la mitad, el lado derecho o cualquier otra parte dentro de la caja. La gráfica de densidad de probabilidad versus x, por tanto, sería una línea horizontal con un área total bajo la línea de unidad.


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41.4

La figura 41.11b dibujada para n = 20 tendría 20 picos muy juntos entre ellos. Conforme aumenta el valor de n, los picos se vuelven progresivamente más cercanos entre sí, y el detector tiene más probabilidad de señalar varios picos y valles al mismo tiempo. Conforme n → ∞, el detector registra el valor promedio de muchos ciclos de la función de onda oscilatoria. Da el mismo valor promedio en cualquier parte dentro de la caja, igualando la respuesta clásica proporcionada en la pregunta sorpresa

41.5

a) Las partes de las gráficas clásicas que se curvan hacia arriba representan valores mayores de densidad de probabilidad, lo cual significa que el oscilador armónico gasta más tiempo cerca de los puntos de máximo desplazamiento. Un bloque que oscila en el extremo de un resorte vertical, por ejemplo, se mueve con más lentitud cuando el resorte está cerca de sus posiciones de alargamiento completo o compresión completa. Por tanto, una persona que echa un vistazo rápido tiene más probabilidad de ver el bloque cerca de uno de estos dos puntos de máximo alejamiento del equilibrio. b) Conforme n aumenta, si se promedia sobre los picos y valles no resueltos en la densidad de probabilidad, las predicciones de la mecánica cuántica se vuelven cada vez más cercanas a las predicciones clásicas; para n suficientemente grande, las dos curvas son indistinguibles una de la otra.

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CAPITULO 42 FISICA ATOMICA ACERTIJO

El escáner de supermercado usa luz de un láser para identificar los productos que van a comprarse. La palabra láser es un acrónimo de light amplification by stimulated emission of radiation (amplificación de luz mediante emisión estimulada de radiación). ¿Cómo funciona un láser y qué le brinda las propiedades especiales a la luz emitida por tales dispositivos? (Paul Shambroom/Photo Researchers. Inc.)

Líneas generales del capitulo 42.1 42.2 42.3 42.4 42.5 42.6 42.7 42.8 42.9

Los primeros modelos del átomo Nueva visita al átomo de hidrógeno El número cuántico magnético del espín Las funciones de onda para el hidrógeno Los otros números cuánticos El principio de exclusión y la tabla periódica Espectros atómicos Transiciones atómicas Rayos láser y holografía

En el capítulo 41 se presentaron algunos de los conceptos y técnicas básicas empleadas en la mecánica cuántica, junto con sus aplicaciones a diversos sistemas unidimensionales. Este capítulo aplica la mecánica cuántica al mundo real de la estructura atómica, y gran parte del capítulo es una aplicación de la mecánica cuántica al estudio del átomo de hidrógeno. Comprender el átomo de hidrógeno, el sistema atómico más simple, es importante por varias razones:

• •

El átomo de hidrógeno es el único sistema atómico que se puede resolver con exactitud. Mucho de lo que se aprende acerca del átomo de hidrógeno, con su único electrón, puede extenderse a iones de un solo electrón, como He+ y Li2+.


• •

•

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El átomo de hidrógeno es un sistema ideal para efectuar pruebas precisas de teoría contra experimento y para mejorar en general la comprensión de la estructura atómica. Los números cuánticos empleados para caracterizar los estados permitidos del hidrógeno también se pueden usar para describir los estados permitidos de átomos más complejos, y tal descripción permite comprender la tabla periódica de los elementos. Esta comprensión es uno de los más grandes triunfos de la mecánica cuántica. Las ideas básicas acerca de la estructura atómica deben comprenderse muy bien antes de que se intente trabajar con las complejidades de las estructuras moleculares y de la estructura electrónica de sólidos.

La solución matemática completa de la ecuación de Schrodinger aplicada al átomo de hidrógeno proporciona una hermosa y completa descripción de las propiedades del átomo. Sin embargo, como los procedimientos matemáticos que están involucrados se encuentran más allá del alcance de este texto, se omiten los detalles. Se analizan las soluciones para algunos estados del hidrógeno junto con los números cuánticos utilizados para caracterizar diversos estados estacionarios permitidos. También se estudia el significado físico de los números cuánticos y el efecto de un campo magnético en ciertos estados cuánticos. Una nueva idea fisica, el principio de exclusión, se presenta en este capítulo. Se trata de un principio que es muy importante para entender las propiedades de átomos de múltiples electrones y la disposición de los elementos en la tabla periódica. De hecho, las implicaciones del principio de exclusión son casi de la misma importancia que las de la ecuación de Schrodinger. Por último, se aplica el conocimiento de la estructura atómica para describir los mecanismos implicados en la producción de rayos X y en la operación de un láser.

42-1. LOS PRIMEROS MODELOS DEL ÁTOMO El modelo del átomo en los días de Newton fue una diminuta esfera, indestructible y dura. Aunque este modelo proporcionó una buena base para la teoría cinética de los gases, fue necesario idear nuevos modelos cuando experimentos posteriores revelaron la naturaleza eléctrica del átomo. J.J. Thomson sugirió un modelo que describe al átomo como un volumen de carga positiva con electrones incrustados por todo el volumen, muy semejante a las semillas en una sandía o a pasas en un espeso pudín (Fig. 42.1).

Figura 42.1 Modelo de Thomson del átomo: electrones con carga negativa en un volumen de carga positiva continua.

En 1911 Ernest Rutherford (1871-1937) y sus alumnos Hans Geiger y Ernest Marsden efectuaron un experimento crítico que mostró que el modelo de Thomson podría ser incorrecto. En el experimento un haz de partículas alfa con carga positiva (núcleos de helio) se proyectó contra una delgada hoja metálica, como el blanco en la figura 42.2a. La mayor parte de las partículas atravesaron la hoja como si fuera un espacio vacío; pero algunos resultados del experimento fueron asombrosos: muchas de las partículas desviadas de sus direcciones originales de recorrido se dispersaron en ángulos muy grandes. Algunas partículas incluso se desviaron hacia atrás, ¡invirtiendo su dirección de viaje! Cuando Geiger informó a Rutherford que algunas partículas alfa se desviaron hacia atrás, Rutherford escribió: "Fue con mucho el más increíble evento que me había sucedido en la vida. Fue casi tan increíble como si usted disparara una pieza de artillería de 15 pulgadas contra un pedazo de papel facial y que aquélla regresara y lo golpeara."

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Figura 42.2 a) Técnica de Rutherford para observar la dispersión de partículas alfa desde un blanco de una delgada hoja. La fuente es una sustancia radiactiva que se encuentra en la naturaleza, como el radio. b) Modelo planetario del átomo de Rutherford.

No se esperaban tan grandes desviaciones con base en el modelo de Thomson. De acuerdo con este modelo, la carga positiva de un átomo en la hoja está tan dispersa sobre un Volumen tan grande (todo el átomo) que una partícula alfa con carga positiva nunca se acercaría lo suficiente a una carga positiva tan grande como para producir desviaciones a ángulos tan grandes. Rutherford explicó sus asombrosos resultados mediante el desarrollo de un nuevo modelo atómico, uno que supuso que la carga positiva en el átomo estaba concentrada en una región que era pequeña en relación con el tamaño del átomo. A dicha concentración de carga positiva él la denominó núcleo del átomo. Se supuso que todos los electrones que pertenecían al átomo estaban en un volumen relativamente grande afuera del núcleo. Para explicar por qué estos electrones no eran atraídos al núcleo, Rutherford consideró que los electrones se movían en órbitas alrededor del núcleo con carga positiva, en la misma forma que los planetas giran alrededor del Sol (Fig. 42.2b). Hay dos dificultades básicas con el modelo planetario de Rutherford. Como se expuso en el capítulo 40, un átomo emite ciertas frecuencias características de radiación electromagnética y no otras; el modelo de Rutherford no puede explicar este fenómeno. Una segunda dificultad es que los electrones de Rutherford están sometidos a una aceleración centrípeta. De acuerdo con la teoría del electromagnetismo de Maxwell, las cargas aceleradas en forma centrípeta que giran con frecuencia f deben radiar ondas electromagnéticas de frecuencia f . Desafortunadamente, este modelo clásico conduce a un desastre cuando se aplica al átomo. Conforme el electrón radia energía, el radio de su órbita disminuye de forma estable y su frecuencia de revolución aumenta, lo cual lleva a una frecuencia siempre en aumento de la radiación emitida y a un colapso final del átomo cuando el electrón se precipita al núcleo (Fig. 42.3).

Figura 42.3 Modelo clásico del átomo nuclear.

Ahora el escenario quedaba listo para Bohr. Para evitar las deducciones erróneas de que los electrones se precipitaban hacia el núcleo, y una emisión continua desde los átomos, Bohr postuló que la teoría de la radiación clásica no se cumplía en sistemas de tamaño atómico. Él superó los problemas del electrón clásico que pierde energía en forma continua aplicando las ideas de Planck de los niveles de energía cuantizados para los electrones que giran alrededor del núcleo. Así, Bohr postuló que los átomos están por lo general confinados a niveles de energía no radiantes y estables, con cada nivel representando un estado estacionario (véase la sección 40.5). Más aún, aplicó el concepto del fotón de Einstein para llegar a


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una expresión para la frecuencia de la luz emitida cuando el electrón salta de un estado estacionario a otro. Uno de los primeros indicios de que la teoría de Bohr necesitaba modificarse surgió cuando se usaron técnicas espectroscópicas mejoradas para examinar las líneas espectrales del hidrógeno. Se encontró que muchas de las líneas en la serie de Balmer, junto con otras, no eran líneas únicas en absoluto. En lugar de eso, cada una correspondía a un grupo de líneas muy próximas entre sí. Una dificultad adicional se presentó cuando se observó que, en algunas situaciones, ciertas líneas espectrales individuales se dividían en tres líneas muy cercanas entre sí cuando los átomos se ponían en un campo magnético intenso. Los esfuerzos por explicar estas desviaciones del modelo de Bohr llevaron a mejorar la teoría. Uno de los cambios introducidos en la teoría original fue el postulado de que el electrón podría girar en tomo de su propio eje. Asimismo, Arnold Sommerfeld (1868-1951) mejoró la teoría de Bohr al introducir la teoría de la relatividad en el análisis del movimiento del electrón.

Joseph John Thomson: Físico inglés (1856-1940). Receptor del premio Nóbel en 1906, Thomson por lo general es considerado el descubridor del electrón. Abrió el campo de la física de partículas subatómicas con su extenso trabajo sobre la desviación de rayos catódicos (electrones) en un campo eléctrico. (Stock Montage, Inc.)

42-2

NUEVA VISITA AL ÁTOMO DE HIDRÓGENO

En el capítulo 40 se describió la manera en que el modelo de Bohr ve al electrón: como una partícula que orbita alrededor del núcleo en niveles de energía cuantizados que no radian. El modelo de De Broglie dio a los electrones una naturaleza ondulatoria, un modelo que permite cierta comprensión más profunda del átomo de hidrógeno. Sin embargo, dicho modelo no supera todas las objeciones al modelo de Bohr e introduce algunas de sus propias dificultades. Por fortuna, estas dificultades se hicieron a un lado cuando los métodos de la mecánica cuántica se utilizaron para describir átomos.

Figura 42.4 Energía potencial U(r) versus la proporción r / a0 para el átomo de hidrógeno. La constante a0 es el radio de Bohr, y r es la distancia de separación electrón-protón.

La función de energía potencial para el átomo de hidrógeno es: U ( r ) = − k e

e

2

r

(42.1)

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donde ke = 8,99 x 10 9 N-m2 /C2 es la constante de Coulomb y r es la distancia radial del protón (situado en r = 0) al electrón. La figura 42.4 es una gráfica de esta función versus r / a0, donde a0 es el radio de Bohr, 0,052 9 nm (véase la Ec. 40.24). El procedimiento formal para resolver el problema del átomo de hidrógeno es sustituir U(r) en la ecuación de Schrodinger y encontrar soluciones apropiadas a la ecuación, como se hizo para la partícula en una caja en el capítulo 41. Sin embargo, el presente problema es más complicado porque es tridimensional y porque U depende de la coordenada radial r: No se intentará obtener estas soluciones. En vez de eso, sólo se describirán sus propiedades y algunas de sus implicaciones respecto a la estructura atómica. De acuerdo con la mecánica cuántica, las energías de los estados permitidos para el átomo de hidrógeno son:

 k e e 2  1 13,606  2 = − E n = −  eV 2 2 a n n  0 

n = 1,2,3,.. (42-2)

Este resultado tiene exacta concordancia con el obtenido en la teoría de Bohr. En dicha solución a la ecuación de Schrodinger, tres números cuánticos, todos ellos con valores enteros, son necesarios para cada estado estacionario, lo que corresponde a tres grados de libertad independientes para el electrón: número cuántico principal n, número cuántico orbital ℓ, y número cuántico magnético orbital mℓ Un cuarto número cuántico, resultado de un tratamiento relativista del átomo de hidrógeno, se analiza en la sección 42.3. Hay ciertas relaciones importantes entre estos tres números cuánticos, así como ciertas restricciones en sus valores: Los valores de n pueden variar de 1 a ∞ Los valores de ℓ pueden variar de 0 a n − 1. Los valores de mℓ pueden variar de − ℓ a ℓ. Por ejemplo, si n = 1, sólo se permite ℓ = 0 y mℓ = 0. Si n = 2, ℓ puede ser 0 o 1; si ℓ = 0, entonces mℓ = 0; pero si ℓ = 1, entonces mℓ puede ser 1, 0 o −1. La tabla 42.1 resume las reglas para determinar los valores permitidos de ℓ y mℓ para un n dado.

TABLA 42-1. Tres números cuánticos para el átomo de hidrógeno Números cuánticos n ℓ mℓ

Nombre Numero cuántico principal Numero cuántico orbital Numero cuántico magnético orbital

Valores permitidos 1,2,3,… 0,1,2,.., n-1 0,…,ℓ,ℓ-1

Números de estados Cualquier número n

2ℓ + 1

Por razones históricas, se dice que todos los estados que tienen el mismo número cuántico principal forman una capa. Las capas se identifican por medio de las letras K, L, M,..., las cuales designan los estados para los que n = 1, 2, 3,... Del mismo modo, todos los estados que tienen los mismos valores de n y ℓ se dice que forman una subcapa. Las letras1 s, p, d , f , g, h,... se emplean para designar las subcapas para las cuales ℓ = 0, 1, 2, 3,... Por ejemplo, el estado designado por 3 p tiene los números cuánticos n = 3 y ℓ = 1; y el estado 2s tiene los números cuánticos n = 2 y ℓ = 0. Estas notaciones se resumen en la tabla 42.2. 1

Las primeras cuatro de estas letras vienen de las clasificaciones tempranas de las líneas espectrales: sharp, principal, diffuse y fundamental. Las letras restantes están en orden alfabético.


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Los estados que violan las reglas dadas en la tabla 42.1 no pueden existir. Por ejemplo, el estado 2d, el cual tendría n = 2 y ℓ = 2, no puede existir debido a que el valor más alto permitido de ℓ es n − 1, el cual en este caso es 1. Por tanto; para n = 2, 2s y 2 p son estados permitidos, pero 2 d , 2 f ;... no lo son. Para n = 3, las subcapas permitidas son 3s, 3 p y 3d .

TABLA 42-2. Notación de capas y subcapas atómicas Símbolo de la capa K L M N O P .

n

1 2 3 4 5 6 .

ℓ

Símbolo de subcapa

0 1 2 3 4 5 .

s p d f g h .

EJEMPLO 42-1 El nivel n = 2 del hidrógeno Para un átomo de hidrógeno determine el número de estados permitidos correspondientes al número cuántico principal n = 2, y calcule las energías de estos estados. Solución Cuando n = 2, ℓ puede ser 0 o l. Si ℓ = 0, el único valor que mℓ puede tener es 0; para ℓ = 1, mℓ puede ser −1, 0 o l. En consecuencia, se tiene un estado, designado como el estado 2 s, que se asocia con los números cuánticos n = 2, ℓ = 0 y mℓ = 0, Y tres estados, designados como estados 2 p, para los cuales los números cuánticos son n = 2, ℓ = 1, mℓ = −1; n = 2, ℓ = 1, mℓ = 0; y n = 2, ℓ = 1, mℓ = l. Como los cuatro estados tienen el mismo número cuántico principal n = 2, poseen la misma energía, de acuerdo con la ecuación 42.2: E 2

=−

13,606 eV 13,606 = − eV = −3,401 eV 4 22

Ejercicio ¿Cuántos estados posibles existen para el nivel n = 3 del hidrógeno? ¿Para el nivel n = 4? Respuesta 9; 16.

42-3. EL NÚMERO CUÁNTICO MAGNÉTICO DEL ESPÍN En el ejemplo 42.1 se encontraron cuatro estados cuánticos que corresponden a n = 2. Sin embargo, en realidad ocurren ocho de tales estados. Los cuatro estados adicionales pueden explicarse requiriendo un cuarto número cuántico para cada estado: el número cuántico magnético del espín ms. La necesidad de este nuevo número cuántico surgió más o menos debido a una característica inusual que se advirtió en los espectros de ciertos gases, como el vapor de sodio. La inspección detallada de una línea sobresaliente en el espectro de emisión del sodio muestra que la línea es, en realidad, dos líneas muy próximas una de la otra llamadas doblete. Las longitudes de onda de estas líneas ocurren en la región amarilla del espectro electromagnético a 589,0 nm y 589,6 nm. En 1925, cuando este doblete fue observado por primera vez, la teoría atómica no pudo explicarla. Para resolver este dilema Samuel Goudsmit (1902-1978) Y George Uhlenbeck (1900-1988), siguiendo una sugerencia del físico austríaco Wolfgang Pauli (1900-1958), propusieron el número cuántico de espín. Para describir este nuevo número cuántico, es conveniente (aunque técnicamente incorrecto) considerar al electrón como si girara sobre su eje a medida que orbita el núcleo, como se describió en la sección 30.8. Sólo dos direcciones existen para el espín del electrón, como se muestra en la figura 42.5. Si la dirección

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del espín es como se indica en la figura 42.5a, se dice que el electrón tiene espín arriba. Si la dirección del espín se invierte, como en la figura 42.5b, se afirma que el electrón tiene espín abajo. En presencia de un campo magnético externo, la energía del electrón es ligeramente diferente para las dos direcciones del espín, y esta diferencia de energía explica el doblete del sodio. Los números cuánticos asociados con el espín del electrón son ms = ½ para el estado de espín arriba y ms = − ½ para el estado de espín abajo.

Figura 42.5 El espín de un electrón puede ser a) arriba o b) abajo, en relación con un campo magnético externo.

La descripción clásica del espín del electrón −como resultante de un electrón que gira− es incorrecta, porque la mecánica cuántica dice que un grado de libertad rotacional requeriría demasiados números cuánticos, y la teoría más reciente indica que el electrón es una partícula puntual, sin extensión espacial. Por tanto, no puede considerarse que el electrón gire como se ilustra en la figura 42.5. A pesar de esta dificultad conceptual todas las evidencias experimentales respaldan la idea de que un electrón tiene alguna propiedad intrínseca que puede describirse por medio del número cuántico magnético del espín. Sommerfeld y Paul Dirac (1902-1984) mostraron que este cuarto número cuántico se origina en las propiedades relativistas del electrón. EJEMPLO 42-2 Añadiendo algún espín al hidrógeno Para un átomo de hidrógeno determine los números cuánticos asociados con los posibles estados que corresponden al número cuántico principal n = 2. Solución Con la adición del número cuántico del espín se tienen las posibilidades dadas en la tabla siguiente.

Ejercicio Muestre que para n = 3 hay 18 estados posibles.

42-4. LAS FUNCIONES DE ONDA PARA EL HIDRÓGENO Si por ahora ignora el espín del electrón, la energía potencial del átomo de hidrógeno depende sólo de la distancia radial r entre el núcleo y el electrón. Se espera, por tanto, que alguno de los estados permitidos para este átomo pueda representarse por medio de las funciones de onda que dependen sólo de r . Desde luego, éste es el caso. La función de onda más simple para el hidrógeno es una que describe el estado 1s y se designa ψ 1s(r):


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1

ψ 1s ( r ) =

π a 03


e

− r / a0

(42.3)

donde a0 es el radio de Bohr. Observe que ψ 1s tiende a cero a medida que r tiende a ∞, y está normalizada como se presenta (véase la Ec. 41.4). Además, como ψ 1s depende sólo de r , es esféricamente simétrica, lo cual, de hecho, es válido para todos los estados s.

Figura 42.6 Un cascarón esférico de radio r y espesor dr tiene un volumen igual a 4πr2 dr.

Recuerde que la probabilidad de encontrar al electrón en cualquier región es igual a una integral de la densidad de probabilidad ψ2 sobre la región. La densidad de probabilidad para el estado l s es: ψ 1s

2

 1  −2 r / a0 e 3  π a  0 

= 

(42.4)

y la probabilidad real de encontrar el electrón en un elemento de volumen dV es ψ2 dV Resulta conveniente definir la función de densidad de probabilidad radial P( r) como la probabilidad, por unidad de longitud radial, de encontrar el electrón en un cascarón esférico de radio r y espesor dr . Por tanto, P(r)dr es la probabilidad de encontrar al electrón en este cascarón. El volumen dV de dicho cascarón infinitesimalmente delgado es igual al área de su superficie, 4πr2, multiplicada por el espesor del cascarón dr (Fig. 42.6), por lo que esta probabilidad se puede escribir como: P ( r ) dr = ψ

2

dV = ψ

2

4 π r 2 dr

En consecuencia, la función de densidad de probabilidad radial es: 2

P ( r ) = 4 π r 2 ψ

(42,5)

La sustitución de la ecuación 42.4 en la 42.5 proporciona la función de densidad de probabilidad radial para el átomo de hidrógeno en su estado base:

 4 r 2  −2 r / a0 P1s ( r ) =  3  e a  0 

(42.6)

En la figura 42.7a se muestra una gráfica de la función P 1s( r) versus r . El pico de la curva corresponde al valor más probable de r para este estado particular. La simetría esférica de la función de densidad de probabilidad radial se observa en la figura 42.7b.

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Figura 42.7 a) La probabilidad de encontrar al electrón como una función de la distancia desde el núcleo para el átomo de hidrógeno en el estado (base) ls. Advierta que la probabilidad tiene su valor máximo cuando r es igual al radio de Bohr a0. b) Distribución de carga electrónica esférica para el átomo de hidrógeno en su estado ls.

Pregunta sorpresa 42-1 Bosqueje una sección transversal de la distribución de carga tridimensional mostrada en la figura 42.7b, imaginando a la esfera como "deslizándose" en el plano xy. EJEMPLO 42-3. El estado base del hidrógeno Calcule el valor más probable de r para un electrón en el estado base del átomo de hidrógeno. Solución El valor más probable de r corresponde al pico de la gráfica P(r) versus r . Puesto que la pendiente de la curva en este punto es cero, se puede evaluar el valor más probable de r si considera dP/ dr = 0 y se resuelve para r . Con la ecuación 42.6 se obtiene

 4 r 2  −2 r / a0 P (r ) =  3 e  a 0  d P d r

=

2 d  4 r  −2 r / a0   3  e  d r  a 0  

=0

Al realizar la operación derivada y simplificar la expresión, se obtiene: e

− 2 r / a0

d d r

(r 2 ) + r 2

d d r

(e −2 r / a0 ) = 0

2 r e −2 r / a0 + (r 2 ) (−2 / a 0 ) e −2 r / a0 = 0 

2 r 1 − 

r  − 2 r / a0 e a0 

=0

Dicha expresión se satisface si

1−

r a0

=0

(1)


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r = a 0

¡El valor más probable de r es el radio de Bohr! El resultado y la ecuación 42.2 son conexiones interesantes entre la teoría de Bohr y la más sofisticada teoría cuántica. La ecuación (1) también es satisfecha en r = 0. Éste es un punto de probabilidad mínima, el cual es igual a cero, como se vio en la figura 42.7a. EJEMPLO 42-4. Probabilidades del electrón en el hidrogeno Calcule la probabilidad de que el electrón en el estado base del hidrógeno se encontrará fuera del primer radio de Bohr. Solución La probabilidad se encuentra integrando la función de densidad de probabilidad radial para este estado P1s(r) desde el radio de Bohr a0 hasta ∞. Utilizando la ecuación 42.6 se obtiene: ∞

P

= ∫ P1s (r ) dr = a0

4

∞

∫ r e 2

a03 a0

− 2 r / a0

dr

Es posible poner la integral en forma adimensional cambiando variables de r a z = 2 r / a0. Observando que z = 2 cuando r = a0 y que dr = (a0 /2)dz, se obtiene:

1 ∞ 2 − z 1 2 z P = ∫ z e dz = − ( z + 2 z + 2)e − 22 2

∞ 2

= 5 e −2 = 0,677

o P =67,7% El ejemplo 42.3 muestra que, para el estado base del hidrógeno, el valor más probable de r es igual al radio de Bohr a 0. Éste indica que el valor promedio de r para el estado base del hidrógeno es 3/2 a0, el cual es 50 % más grande que el valor más probable (véase el problema 49). La razón de que el valor promedio sea tan grande es la asimetría en la función de densidad de probabilidad radial (Fig. 42.7a), la cual tiene más área a la derecha del pico. De acuerdo con la mecánica cuántica, el átomo no tiene una frontera claramente definida. Por consiguiente, la distribución de probabilidad para el electrón puede verse como si fuera una región difusa del espacio, conocida por lo general como nube de electrones. La siguiente función de onda más simple para el átomo de hidrógeno es la que corresponde al estado 2 s (n = 2, ℓ = 0). La función de onda normalizada para este estado es:

1  1    ψ 2 s (r ) = 4 2 π  a0 

3 / 2

 r   2 −  e −r / 2 a0  a 0 

(42.7)

También en este caso se ve que ψ 2s depende sólo de r y es simétrica esféricamente. La energía correspondiente a este estado es E 2 = −(13.606/4) eV = −3.401 eV. Dicho nivel de energía representa el primer estado excitado del hidrógeno. Gráficas de la función de densidad de probabilidad radial para este y otros estados se muestran en la figura 42.8. La gráfica para el estado 2s tiene dos picos. En tal caso el valor más probable corresponde al valor de r que tiene el valor más alto de P( = 5a0). Un electrón en el estado 2s estaría más alejado del núcleo (en promedio) que un electrón en el estado ls. El valor promedio de r es incluso mayor para los estados 3d , 3 p, y 4d .

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Figura 42.8 Función de densidad de probabilidad radial versus r / a0 para varios estados del átomo de hidrógeno. (Tomado de E. U. Condon and G.H. Shortiey, The Theory of Atomic Spectra. Cambridge , England, Cambridge University Press, 1953. Usado con permiso.)

Figura 42.9 Dependencia angular de la distribución de carga para un electrón en un estado p. Las tres distribuciones de carga p x,

p y y p z tienen la misma estructura y difieren sólo en su orientación en el espacio.

Como se ha mencionado, todos los estados s tienen funciones de onda simétricas esféricamente. Los otros estados no tienen esta simetría. Por ejemplo, las tres funciones de onda correspondientes a los estados para los cuales n = 2, ℓ = 1 mℓ = 1, 0 o −1) pueden expresarse como combinaciones lineales apropiadas de los tres estados p. Aunque la mecánica cuántica limita el conocimiento del momentum angular a la proyección a lo largo de cualquier eje a la vez, estos estados p pueden describirse en forma matemática como combinaciones lineales de funciones mutuamente perpendiculares p x, p y y p z como se representa en la figura 42.9, donde sólo se muestra la dependencia angular de estas funciones. Observe que las tres nubes tienen estructura idéntica pero difieren en su orientación respecto de los ejes x, y y z. Las funciones de onda no esféricas para esos estados son: ψ 2 p

x

ψ 2 p

y

ψ 2 p

z

= x F (r ) = y F (r ) = z F (r )

(42.8)


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donde F( r) es alguna función exponencial de r . Las funciones de onda con un carácter altamente direccional como éstas, son convenientes en descripciones de enlaces químicos, la formación de moléculas y propiedades químicas.

42-5. LOS OTROS NÚMEROS CUÁNTICOS La energía de un estado particular en el átomo de hidrógeno depende del número cuántico principal n. A continuación verá qué aportan los otros tres números cuánricos al modelo atómico.

El número cuántico orbital ℓ Si una partícula se mueve en un círculo de radio r , la magnitud de su momentum angular relativa al centro del círculo es L = mvr . La dirección de L es perpendicular al plano del círculo y está dada por la regla de la mano derecha.2 De acuerdo con la fisica clásica, L puede tener cualquier valor. Sin embargo, el modelo de Bohr del hidrógeno postula que la magnitud del momentum angular del electrón está restringida a múltiplos de ħ; esto es, mvr = nħ. Este modelo debe modificarse debido a que predice (de manera incorrecta) que el estado base del hidrógeno ( n = 1) tiene una unidad de momentum angular. Además, si L se considera como cero en el modelo de Bohr, uno está obligado a aceptar una descripción del electrón como una partícula que oscila a lo largo de una línea recta a través del núcleo, una situación fisicamente inaceptable. 2

Véanse las secciones 11.3 y 11.4 para detalles sobre el momentum angular y una revisión de este material. Las dificultades se resuelven con el modelo de la mecánica cuántica del átomo. De acuerdo con la mecánica cuántica, un átomo en un estado cuyo número cuánrico principal es n puede tomar los siguientes valores discretos de la magnitud del momentum angular orbital: L =

l (l

+ 1)

h

ℓ = 0,1,2,..., n -1

(42.9)

En virtud de que ℓ está restringido a los valores ℓ = 0, 1, 2,..., n − 1, se ve que L = 0 (correspondiente a ℓ = 0) es un valor aceptable de la magnitud del momentum angular. El hecho de que L puede ser cero en este modelo sirve para señalar las dificultades inherentes en cualquier intento por describir resultados basados en la mecánica cuántica en función simplemente de un modelo (clásico) de partícula. En la interpretación de la mecánica cuántica, la nube de electrones para el estado L = 0 es simétrica esféricarnente y no tiene eje de revolución fundamental. EJEMPLO 42-5. Cálculo de L para un estado p Calcule la magnitud del momentum angular orbital de un electrón en un estado p del hidrógeno. Solución Como se sabe que ħ = 1,054 x 10−34 J · s, puede utilizar la ecuación 42.9 para calcular L Con ℓ = 1 para un estado p, se tiene: L

=

l (l

+ 1) h = 1(1 + 1) h = 2 h = 2 (1,054 x 10 −34 J · s = 1,49 x 10 −34 J · s

Este número es extremadamente pequeño en relación con, por ejemplo, el monumtum angular orbital de la Tierra dando vueltas alrededor del Sol, el cual es aproximadamente de 2,7 x 10 40 J · s. El número cuántico que describe L para objetos macroscópicos, como la Tierra, es tan grande que la separación entre estados adyacentes no puede medirse. Otra vez, se sostiene el principio de correspondencia.

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El número cuántico orbital magnético m


ℓ

Debido a que el momentum angular es un vector, su dirección debe especificarse. Recuerde del capítulo 30 que un electrón orbitando puede considerarse como una espira de corriente efectiva con un momento magnético correspondiente. Un momento de este tipo puesto en un campo magnético B interactúa con el campo. Suponga que un campo magnético débil aplicado a lo largo del eje z define una dirección en el espacio. De acuerdo con la mecánica cuántica, L2 y Lz (la proyección de L a lo largo del eje z) sólo puede tener valores discretos. El número cuántico magnético orbital mℓ especifica los valores permitidos de la componente z del momentum angular orbital de acuerdo con la expresión L z

= m h

(42.10)

l

La cuantización de la dirección de L respecto de un campo magnético externo con frecuencia se conoce como cuantización del espacio. Vea ahora las posibles orientaciones de L para un valor dado de ℓ. Recuerde que mℓ puede tener valores que varían de - ℓ a ℓ. Si ℓ = 0, entonces mℓ = 0 y Lz = 0. Si ℓ= 1, entonces los posibles valores de mℓ son −1, 0 y 1; en consecuencia, Lz puede ser −ħ, 0 o ħ. Si ℓ = 2, entonces mℓ puede ser −2, −1, 0, 1 o 2, lo cual corresponde a valores Lz de −2ħ , −ħ, 0, ħ, 2ħ, y así sucesivamente.

Figura 42.10 a) Las proyecciones permitidas del momentum angular orbital L para el caso ℓ = 2. b) El vector de momentum angular orbital L yace sobre la superficie de un cono y realiza precesión en torno al eje z cuando se aplica un campo magnético B en la dirección z.

La figura 42.10a presenta un modelo vectorial que describe la cuantización del espacio para ℓ = 2. Advierta que L nunca puede estar alineado paralelo o antiparalelo a B porque Lz debe ser más pequeño que el momentum angular total L. Para que Lz sea cero, L debe estar perpendicular a B. Desde un punto de vista tridimensional, L debe encontrarse sobre la superficie de un cono que forma un ángulo θ con el eje z, como se indica en la figura 42.10b. De acuerdo con la figura, se ve que θ también está cuantizado y que sus valores se especifican por medio de la relación:

cos θ =

L z →

L

=

ml l (l

+ 1)

(42.11)

Observe que mℓ nunca es mayor que ℓ y, en consecuencia, θ nunca puede ser cero. (Según el punto de vista clásico, θ puede tener cualquier valor.) Debido al principio de incertidumbre, L no apunta en una dirección específica. Se le puede imaginar trazando un cono en el espacio. Si L se conociera con exactitud, entonces las tres componentes L x, L y, y Lz estarían especificadas. Por el momento, suponga que éste es el caso y que el electrón se mueve en el plano xy, de modo que L está en la dirección z y la componente z de su momentum lineal p z = 0. Lo que significa que p z se conoce con precisión, lo cual es una violación al principio de incertidumbre, ∆pz ∆z ≥ ħ /2. En realidad, sólo la magnitud de L y una componente (por ejemplo, Lz) pueden tener valores


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definidos. En otras palabras, la mecánica cuántica permite especificar L y L z. pero no Lx y Ly. Debido a que la dirección de L cambia constantemente cuando se le imagina realizando precesión alrededor del eje z, los valores promedio de Lx y Ly, son cero, y L z mantiene un valor fijo de mℓ ħ. Los niveles de energía adicional proporcionados por el número cuántico magnético orbital explican el efecto Zeeman, en el cual se observa que las líneas espectrales se escinden cuando un campo magnético está presente, como se muestra en la figura 42.11.

Figura 42,11 Niveles de energía de escisión para los estados base y primero excitado de un átomo de hidrógeno inmerso en un campo magnético B. Un átomo en uno de los estados excitados decae al estado base con la emisión de un fotón, dando origen a líneas de emisión en f 0, f 0 + f L y f 0 − f L. Éste es el efecto Zeeman. Cuando B = 0 sólo se observa la línea en f 0.

Experimento sorpresa Haga girar un trompo o un giroscopio con rapidez, y observe cómo su eje de rotación lentamente realiza precesión en torno a una línea vertical que pasa por el punto de soporte. Lo anterior modela la precesión del vector de momentum angular, como se muestra en la figura 42.10b. En la fotografia, Wolfgang Pauli y Niels Bohr están mirando este hecho por ellos mismos. (Cortesía de AIP Niels Bohr Librory, Margarethe Bohr Collection)

EJEMPLO 42-6. Cuantización espacial para el hidrógeno Considere el átomo de hidrógeno en el estado ℓ = 3. Calcule la magnitud de L y los valores permitidos de Lz y θ. Solución

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Se puede calcular la magnitud del momentum angular orbital empleando la ecuación 42.9: L

=

l (l

+ 1) h = 3 (3 + 1) h = 2 3 h

Los valores permitidos de Lz pueden calcularse empleando Lz = mℓ ħ, con mℓ = -3, -2, -1, 0, 1, 2 y 3: Lz = -3 ħ, -2 ħ, - ħ, 0, ħ , 2 ħ y 3 ħ Por último, los valores permitidos de θ se calculan utilizando la ecuación 42.11:

cos θ =

L z →

L

=

ml l (l

+ 1)

=

ml

2 3

Al sustituir los valores permitidos de mℓ se obtiene: cos θ = ± 0.866, ± 0,577, ± 0,289 y 0 73,2°, 90,0°, 107°, 125° y 150 0 θ = 30,0°, 54,8º, 73,2°, Pregunta sorpresa 42-2 Realice dos dibujos como la figura 42.10a, uno para ℓ = 1 y el otro para ℓ = 3.

El número cuántico magnético de espín m

s

En 1921 Otto Stern (1888-1969) Stern (1888-1969) y Walter Gerlach (1889-1979) Gerlach (1889-1979) efectuaron un experimento que demostró la cuantización del espacio. Sin embargo, sus resultados no concordaron cuantitativamente con la teoria que existía en ese tiempo. En su experimento, un haz de átomos de plata enviado a través de un campo magnético no uniforme se dividía en dos componentes (Fig. 42.12). Ellos repitieron el experimento con otros átomos y en cada caso el haz se dividía en dos o más componentes. El argumento clásico es el siguiente: si se elige la dirección z como la dirección de máxima no uniformidad de B, la fuerza magnética neta sobre los átomos está a lo largo del eje z y es proporcional a la componente del momento magnético µ, del átomo en la dirección z. (Véase la pregunta sorpresa 29.4 para una revisión de la causa de este fenómeno.) Clásicamente µ, puede tener cualquier orientación, por lo que el haz desviado debe dispersarse en forma continua. Sin embargo, de acuerdo con la mecánica cuántica, el haz desviado tiene varios componentes y el número de componentes determina el número de posibles valores de µz. Por tanto, como el experimento de Stern-Gerlach mostraba haces divididos, la cuantización del espacio se verificó al menos cualitativamente.

Figura 42.12 El aparato usado por Steen y Gerlach para comprobar la cuantización del espacio. Un haz de átomos de plata se divide en dos mediante un campo magnético no uniforme.


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Por el momento, suponga que el momento magnético µ del átomo se debe al momentum angular orbital. En vista de que µz es proporcional a mℓ , el número de posibles valores de µz es 2ℓ + l. Además, como ℓ es un entero, el número de valores de µz siempre es impar. Dicha predicción es sin duda inconsistente con las observaciones de Stern y Gerlach de dos componentes (un número par) en el haz desviado de átomos de plata. Por tanto, uno está obligado a concluir que o la mecánica cuánrica es incorrecta o el modelo necesita mejorarse. En 1927 Phipps y Taylor repitieron el experimento de Stern-Gerlach usando un haz de átomos de hidrógeno. Este experimento fue importante debido a que trató con un átomo que contiene un solo electrón en su estado base, para el cual la teoría cuántica hace predicciones confiables. Recuerde que ℓ = 0 para el hidrógeno en su estado base, por lo que mℓ = 0. En consecuencia, no se esperaría que el haz fuera desviado por el campo porque el momento magnético µ del átomo es cero. Sin embargo, el haz en el experimento Phipps-Taylor se divide otra vez en dos componentes. A partir de este resultado se llega a una única conclusión: algo más que el movimiento orbital está contribuyendo al momento magnético. Como aprendió con anterioridad, Goudsmit y Uhlenbeck habían propuesto que el electrón tiene un momentum angular intrínseco además de su momentum angular orbital. Desde un punto de vista clásico, este momentum angular intrínseco se atribuye al giro del electrón cargado alrededor de su propio eje y, por consiguiente, recibe el nombre de espín del electrón. electrón.3 En otras palabras, el momentum angular total del electrón en un estado electrónico particular contiene tanto una contribución orbital L como una contribución del espín S. El resultado de Phipps- Taylor confirmó esta hipótesis de Goudsmit y Uhlenbeck. 3

Con frecuencia los físicos emplean la palabra espín cuando se refieren al momentum angular del espín. Por ejemplo, es común utilizar la frase "el electrón tiene un espín de ½ . Pregunta sorpresa Explique por qué la teoría clásica predice el resultado marcado como "patrón clásico" en la figura 42.12. En 1929 Dirac resolvió la ecuación de onda relativista para el electrón en un potencial de pozo utilizando la forma relativista de la energía total de un sistema. Su análisis confirmó la naturaleza fundamental del espín del electrón. (El espín, como la masa y la carga, es una propiedad intrínseca de una partícula, independiente de sus alrededores.) Además, el análisis mostró que el espín del electrón puede describirse por medio de un solo número cuántico s, cuyo valor sólo podría ser ½ . El momentum angular de espín del electrón nunca cambia. Esta noción contradice las leyes clásicas, las cuales dictan que una carga en rotación se frena en presencia de un campo magnético aplicado debido a la fem de Faraday que acompaña al campo variable. Más aún, si el electrón fuese visto como una bola de carga giratoria sujeta a leyes clásicas, partes de ella cerca de su superficie rotarían con rapidez que sobrepasaría la rapidez de la luz. En consecuencia, la visión clásica no se debe llevar tan lejos; a final de cuentas, el electrón giratorio es una entidad cuántica que desafía cualquier descripción clásica simple. La magnitud del momentum angular del espín S para el electrón es: S =

s ( s + 1)

h

=

3 2

h

(42.12)

Del mismo modo que el momentum angular orbital L, el momentum angular del espín S está cuantizado en el espacio, como se describe en la figura 42.13. Puede tener dos orientaciones relativas a un campo magnético externo, especificadas por el número cuántico magnético del espín ms = ± ½ . La componente z del momentum angular del espín es S z

= ms h = ±

1 h 2

(42.13)

Los dos valores de ± ħ /2 para S, corresponden a las dos posibles orientaciones de S mostradas mostradas en la figura 42.13. El valor ms = + ½ se refiere al caso del espín arriba, y al valor ms = − ½ del espín abajo.

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El momento magnético del espín µespín del electrón se relaciona con su momentum angular de espín S por medio de la expresión: µ espín

=−

e → S me

(42.14)

donde e es la carga electrónica y me es la masa del electrón. Puesto que S z = ± ½ ħ, la componente z del momento magnético del espín puede tener los valores: µ espín, z

=±

eh

2 me

(42.15)

Como aprendió en la sección 30.8, la cantidad e ħ /2me es el magnetón de Bohr µB = 9,27 x 10 -24 J/T. Advierta que la proporción del momento magnético al momentum angular es el doble de grande para el momentum angular del espín (Ec. 42.14) como lo es para el momentum angular orbital (Ec. 30.25). El factor de 2 se explica en un tratamiento relativista que Dirac realizó por primera vez.

Figura 42.13 El momentum angular del espín S exhibe la cuantización del espacio. Esta figura muestra las dos orientaciones permitidas del vector momentum angular del espín S y el momento magnético del espín µespín para una partícula de ½ espín, como el electrón.

Los físicos actuales explican el experimento de Stern-Gerlach de la siguiente manera. Los momentos magnéticos observados tanto para la plata como para el hidrógeno se deben sólo al momentum angular del espín, sin contribución del momentum angular orbital. Un átomo de un solo electrón, como el hidrógeno, tiene su espín de electrón cuantizado en el campo magnético de tal modo que la componente z del momentum angular del espín es o ½ ħ o − ½ ħ, lo que corresponde a ms = ± ½ . Los electrones con espín + ½ se desvían hacia abajo, y aquellos con espín − ½ se desvían hacia arriba. El experimento de Stern-Gerlach proporcionó dos importantes resultados. Primero, verificó el concepto de cuantización del espacio. Segundo, mostró que el momentum angular de espín existe, aun cuando esta propiedad no se reconoció sino hasta cuatro años después de que se llevó a cabo el experimento.


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42-6. EL PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN Y LA TABLA PERIODICA En párrafos anteriores se encontró que el estado del átomo de hidrógeno está especificado por cuatro números cuánticos: n, ℓ, mℓ y ms. Como se señaló, el estado de un electrón en cualquier otro átomo también puede especificarse mediante este mismo conjunto de números cuánticos. De hecho, estos cuatro números cuánticos pueden emplearse para describir todos los estados electrónicos de un átomo independientemente del número de electrones en su estructura. Una pregunta obvia que surge aquí es: "¿Cuántos electrones pueden estar en un estado cuántico particular?" Esta importante pregunta fue contestada por Pauli en 1925, en un enunciado conocido como el principio de exclusión: exclusión: Dos electrones en el mismo átomo nunca pueden estar en el mismo estado cuántico; en consecuencia, dos electrones en el mismo átomo no pueden tener el mismo conjunto de números cuánticos. Si tal principio no fuera válido, cualquier electrón en un átomo podría terminar en el estado de energía más bajo posible del átomo y el comportamiento químico de los elementos se modificaría de manera considerable. ¡La naturaleza como la conocemos no existiría! En realidad, la estructura electrónica de átomos complejos se puede, ver como una sucesión de niveles llenos que crecen en energía. Como una regla general, el orden de llenado de las subcapas de un átomo es como sigue. Una vez que se llena una subcapa, el siguiente electrón va a la subcapa vacía de menor energía. Es un comportamiento que se comprende al reconocer que si un átomo no estuviera en su estado de energía más bajo disponible, radiaría energía hasta alcanzar este estado. Antes de estudiar la configuración electrónica de diversos elementos, es conveniente definir un orbital como el estado de un electrón caracterizado por los números cuánticos n, ℓ y mℓ . A partir del principio de exclusión, se ve que sólo dos electrones pueden estar presentes en cualquier orbital. orbital . Uno de estos electrones tiene un número cuántico magnético de espín ms = + ½ y el otro tiene ms = − ½ . Ya que cada orbital está limitado a dos electrones, el número de éstos que pueden ocupar las diferentes capas también está limitado. La tabla 42.3 indica el número de estados cuánticos permitidos para un átomo en el cual n = 3. Las flechas que apuntan hacia arriba indican un átomo en el cual el electrón es descrito mediante ms = + ½, y aquellas que apuntan hacia abajo indican que ms = − ½. La capa n = 1 puede acomodar sólo dos electrones debido a que mℓ = 0 significa que sólo hay un orbital permitido. (Los tres números cuánticos que describen a este orbital son n = 1, ℓ = 0 y mℓ = 0.) La capa n = 2 tiene dos subcapas, una para ℓ = 0 y una para ℓ = 1. La subcapa ℓ = 0 está limitada a dos electrones debido a que mℓ = 0. La subcapa ℓ = 1 tiene tres orbitales permitidos, lo que corresponde a mℓ = 1, 0 y −1. Puesto que cada orbital puede acomodar dos electrones, la subcapa ℓ = 1 puede contener seis electrones. Por tanto, la capa n = 2 puede contener ocho electrones. La capa n = 3 tiene tres subcapas ( ℓ = 0, 1, 2) y nueve orbitales, y puede acomodar hasta 18 electrones. En general, cada capa puede acomodar hasta 2n2 electrones.

El principio de exclusión se ilustra mediante un examen del arreglo electrónico en unos cuantos de los átomos más ligeros. Primero, recuerde de la sección 1.2 que el número atómico Z de cualquier elemento es el número de protones en el núcleo de un átomo de éste. El hidrógeno (Z = 1) sólo tiene un electrón -el cual, en el estado base del átomo, puede describirse por medio de alguno de dos conjuntos de números cuánticos: 1, 0, 0, ½ o 1, 1, 0, 0, − ½ . Dicha configuración electrónica suele escribirse como 1 s1. La notación 1s se refiere al estado para el cual n = 1 y ℓ = 0, y el superíndice indica que un electrón está presente en la subcapa s.

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El helio neutro (Z = 2) tiene dos electrones. En el estado base, sus números cuánticos son 1, 0, 0, ½ y 1, 0, 0, − ½ . No hay otras combinaciones posibles de números cuánticos para este nivel, y se dice que la capa K está llena. La configuración electrónica se escribe 1s2. El litio neutro (Z = 3) tiene tres electrones. En el estado base, dos de éstos están en la subcapa l s. El tercero está en la subcapa 2s, porque esta subcapa es ligeramente inferior en energía que la subcapa 2 p.4 Por tanto, la configuración electrónica para el litio es 1s22s1.. 4

En una primera aproximación, la energía depende sólo del número cuántico n, como se ha analizado. Sin embargo, debido al efecto de la carga electrónica que protege la carga nuclear en los átomos con varios electrones, la energía depende también de ℓ. Su efecto de cobertura se estudiará en la sección 42.7. Las configuraciones electrónicas del litio y de algunos elementos sucesivos están dadas en la figura 42.14. La configuración electrónica del berilio (Z = 4), con sus cuatro electrones, es 1s 22s2, y el boro (Z = 5) tiene una configuración de 1s 22s22p1. El electrón 2 p en el boro puede describirse mediante cualquiera de seis conjuntos de números cuánticos igualmente probables. En la figura 42.14 se muestra este electrón en la caja 2 p del extremo izquierdo, con espín arriba, pero es igualmente probable que esté en cualquiera de las cajas 2 p con espín ya sea arriba o abajo.

Figura 42.14 El llenado de los estados electrónicos debe obedecer el principio de exclusión y la regla de Hund.

El carbono (Z = 6) tiene seis electrones, y da origen a una pregunta relativa a cómo asignar los dos electrones 2 p. ¿Van dentro del mismo orbital con espines pareados ↑↓ u ocupan diferentes orbitales con espines no pareados ↑↑? Los datos experimentales muestran que la configuración más estable (es decir, la que es preferida energéticamente) es la última, donde los espines no están pareados. En consecuencia, los dos electrones 2 p en el carbono y los tres electrones 2 p en el nitrógeno (Z = 7) tienen espines no pareados, como se observa en la figura 42.14. La regla general que gobierna estas situaciones, conocida como regla de Hund, establece que: cuando un átomo tiene orbitales de igual energía, el orden en el cual se llenan de electrones es uno en el que un número máximo de electrones tienen espines no pareados.


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Wolfgang Pauli Físico teórico austriaco (1900-1958) Teórico extremadamente talentoso, quien realizó importantes contribuciones en muchas áreas de la física moderna, Pauli adquirió reconocimiento público a la edad de 21 años con un ensayo de revisión maestro acerca de la relatividad que todavía se considera uno de los más finos y comprensivos artículos introductorios al tema, Sus otras contribuciones importantes fueron el descubrimiento del principio de exclusión, la explicación de la conexión entre espín de partícula y estadística, y teorías de electrodinámica cuántica relativista, la hipótesis del neutrino y la hipótesis del espín nuclear. (CERN, cortesía de AIP Emilio Segre Visual Archive) Algunas excepciones a dicha regla ocurren en elementos que tienen subcapas que están casi llenas o medio llenas. En la tabla 42.4 se proporciona una lista completa de las configuraciones electrónicas. En 1871, sin comprensión alguna de la mecánica cuántica que se tiene en la actualidad, el químico ruso Dmitri Mendeleev (1834-1907) realizó un primer intento por encontrar algún orden entre los elementos. Él estaba intentando organizar los elementos para la tabla de contenido de un libro que estaba escribiendo. Dispuso los átomos en una tabla similar a la que se muestra en el apéndice C, según sus masas atómicas y similitudes químicas. La primera tabla propuesta por Mendeleev contenía muchos espacios en blanco, y él audazmente señaló que los huecos estaban ahí sólo porque los elementos aún no habían sido descubiertos. Al advertir que la columna en la cual algunos elementos faltantes debían localizarse, pudo hacer predicciones aproximadas acerca de sus propiedades químicas. Dentro de los 20 años posteriores a su señalamiento, la mayor parte de estos elementos en efecto fueron descubiertos. Los elementos en la tabla periódica están dispuestos de manera que todos aquellos en una columna tienen propiedades químicas similares. Por ejemplo, considere los elementos en la última columna que son todos gases a temperatura ambiente: He (helio), Ne (neón) , Ar (argón), Kr (kriptón), Xe (xenón) y Rn (radón). La característica distintiva de todos estos elementos es que normalmente no toman parte en las reacciones químicas −es decir, no se unen a otros átomos para formar moléculas. Por tanto, se clasifican como gases inertes−. Puede entender en parte este comportamiento si observa las configuraciones electrónicas en la tabla 42.4. El comportamiento químico de un elemento depende de la capa más externa que contiene electrones. Las capas dentro de aquélla están llenas y no contribuyen al comportamiento químico. La configuración electrónica para el helio es 1s2 −la capa n = 1 (que es la capa más externa porque es la única capa) está llena. De manera adicional, la energía del átomo en esta configuración es considerablemente menor que la energía para la configuración en la cual un electrón está en el siguiente nivel disponible, la subcapa 2s. Luego, considere la configuración electrónica para el neón, 1s 22s2p6 De nueva cuenta, la capa más externa (n = 2 en este caso) está llena y una amplia brecha de energía ocurre entre la subcapa 2p llena y la siguiente subcapa disponible, la 3s. El argón tiene la configuración 1s22s22p63s23p6. Aquí, sólo la subcapa 3p está llena, pero de nuevo ocurre una amplia brecha en la energía entre la subcapa 3p llena y la siguiente subcapa disponible, la 3d. Podría continuar este procedimiento en todos los gases inertes; el patrón seria el mismo. Un gas inerte se forma cuando una capa o una subcapa se llena y hay una gran brecha de energía entre la capa llena o subcapa llena y la siguiente más alta disponible.

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Nota: La notación entre corchetes se usa como un método abreviado para evitar repetición al indicar Nota: electrones en la capa interna. Por ende, [He] representa 1s 2, [Ne] representa 1s 22s22p6, [Ar] representa 1s22s22p63s23p6, y así sucesivamente.

42-7. ESPECTROS ATÓMICOS En el capítulo 40 se estudió brevemente el origen de las líneas espectrales visibles para el átomo de hidrógeno y iones similares al hidrógeno. Recuerde que un átomo emite radiación electromagnética si el átomo en un estado excitado hace una transición hacia un estado de menor energía. El conjunto de longitudes de onda que se observa cuando un átomo específico experimenta dicho tipo de procesos se denomina espectro de emisión para emisión para dicho átomo. De igual modo, los átomos que tienen electrones en la configuración del estado base pueden absorber radiación electromagnética en longitudes de onda específicas, lo que produce un espectro de absorción. absorción. Estos espectros pueden utilizarse para identificar elementos.

Figura 42.15 Algunas transiciones electrónicas permitidas para el hidrógeno, representado por las líneas coloreadas. Dichas transiciones deben obedecer la regla de selección ∆ℓ = ± l.

El diagrama de niveles de energía para el hidrógeno se presenta en la figura 42.15. Las diferentes líneas diagonales representan transiciones permitidas entre estados estacionarios. Cada vez que un átomo efectúa una transición de un estado de energía mayor a uno menor, se emite un fotón de luz. La frecuencia de este fotón es f = = ∆E/ h, donde ∆E es la diferencia de energía entre los dos estados y h es la constante de Planck. Las reglas de selección para selección para las transiciones permitidas son:


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∆l = ± 1


∆m = 0, ± 1

y

l

(42.16)

Se dice que las transiciones que no obedecen las reglas de selección están prohibidas prohibidas.. (Dichas transiciones pueden ocurrir, pero su probabilidad es baja comparada con la probabilidad de las transiciones permitidas.) En virtud de que el momentum angular orbital de un átomo cambia cuando un fotón se emite o absorbe (es decir, como resultado de una transición entre estados) y ya que el momentum angular debe conservarse, se concluye que el fotón implicado en el proceso debe tener momentum angular. angular . De hecho, el fotón tiene un momentum angular equivalente al de una partícula que tiene un espín de 1. En consecuencia, un fotón tiene energía, momentum lineal y momentum angular. Recuerde de la ecuación 40.32 que las energías permitidas para átomos de un electrón, como el hidrógeno y el He+, son: E n

=−

2 k e e  Z 2 

 2  = − 2 a0  n 

13,6 Z 2 n

2

eV

(42.17)

Para átomos con numerosos electrones la carga nuclear positiva Ze, es cubierta en forma considerable por la carga negativa de los electrones de la capa interna. Por tanto, los electrones exteriores interactúan con una carga neta que es mucho menor que la carga nuclear. La expresión para las energías permitidas a átomos con numerosos electrones tienen la misma forma que la ecuación 42.17 con Z sustituida por un número atómico efectivo Zeff : E n

=−

2 13,6 Z eff

n

2

eV

(42.18)

donde Zeff depende de n y ℓ. Es interesante graficar la energía de ionización (véase la sección 40.5) versus el número atómico Z, como en la figura 42.16. Advierta el patrón de ∆Z = 2, 8, 8, 18, 18,32 para los diversos máximos. Este patrón se obtiene a partir del principio de exclusión y ayuda a explicar por qué los elementos repiten sus propiedades químicas en grupos. Por ejemplo, los picos en Z = 2, 10, 18 y 36 corresponden a los elementos helio, neón, argón y kriptón, los cuales tienen sus capas externas llenas. Estos elementos tienen energías de ionización relativamente altas y comportamiento químico similar.

Figura 42.16 Energía de ionización de los elementos contra número atómico Z (Adaptado de J Orear. Physics, New Yorlt, Macmillan, 1979.)

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Espectros de rayos X Los rayos X se emiten cuando un blanco metálico es bombardeado con electrones de alta energía o cualquier otra partícula cargada. El espectro de rayos X consiste por lo común de una amplia banda continua que contiene una serie de líneas definidas, como se muestra en la figura 42.17. El espectro continuo es el resultado de colisiones entre electrones incidentes y átomos en el blanco. La energía cinética perdida por los electrones durante las colisiones emerge como la energía (E = hf ) de los fotones de rayos X radiados del blanco. Las líneas definidas superpuestas sobre el espectro continuo se conocen como rayos X característicos, característicos, puesto que son privativas del material del blanco. Se descubrieron en 1908, aunque su origen permaneció sin explicar hasta que los detalles de la estructura atómica, en particular la estructura de capas del átomo, fueron descubiertos. La emisión de rayos X característicos ocurre cuando un electrón bombardeado que choca con un átomo blanco tiene suficiente energía para separar un electrón de una capa interna del átomo. El vacío creado en la capa se llena cuando un electrón de un nivel más alto desciende y lo ocupa. La transición se acompaña con la emisión de un fotón cuya energía es igual a la diferencia de energía entre los dos niveles. Es común que la energía de dichas transiciones sea mayor que 10 000 eV, y los fotones emitidos tienen longitudes de onda en el intervalo de 0.001 nm a 0.1 nm, en la región de rayos X del espectro electromagnético. Suponga que el electrón incidente tiene un electrón atómico desalojado de su capa más interna −la capa K Si el lugar vacío se llena con un electrón que desciende de la siguiente capa más alta −la capa L− el fotón emitido tiene una energía correspondiente a la línea de rayos X característica K α en la curva de la figura 42.17.. Si el espacio vacío se llena con un electrón que desciende de la capa M, se produce la línea K β en 1a figura 42.17.

Figura 42.17 El espectro de rayos X de un blanco metálico consiste en un amplio espectro continuo que contiene un número de líneas definidas; las líneas se deben a rayos X característicos. Los datos mostrados fueron obtenidos cuando electrones de 37 keV bombardearon un blanco de molibdeno.

Otras líneas de rayos X características se forman cuando los electrones descienden de niveles superiores a espacios vacíos diferentes a los de la capa K Por ejemplo, las líneas L son producidas cuando los vacíos de la capa L se llenan con electrones que descienden de capas más altas. Una línea L α se produce cuando un electrón cae de la capa M a la capa L, y una línea L β se produce por una transición de la capa N a la capa L. Aunque los átomos con muchos electrones no pueden ser analizados con exactitud ni con el modelo de Bohr ni con la ecuación de Schrodinger, se puede aplicar el conocimiento de la ley de Gauss del capítulo 24 para realizar algunas estimaciones sorprendentemente precisas de las longitudes de onda y las energías de rayos X esperadas. Considere un átomo de número atómico Z en el cual se ha expulsado uno de los dos electrones en la capa K. Suponga que se dibuja una esfera gaussiana dentro del radio más probable de los electrones L. El campo eléctrico en la posición de los electrones L es una combinación de los campos creados por el núcleo, el electrón individual K, los otros electrones L y los electrones exteriores. Las funciones de onda de los electrones exteriores son tales que los electrones tienen una probabilidad muy alta de encontrarse más allá del núcleo de lo que están los electrones L. Por ende, ellos tienen mucha más probabilidad de encontrarse afuera de la superficie gaussiana que adentro y, en promedio, no contribuyen de manera significativa al campo eléctrico en la posición de los electrones L. La carga efectiva dentro de la superficie gaussiana es la carga nuclear positiva y una carga negativa debida al electrón individual K.


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Si ignora las interacciones entre los electrones L, un electrón individual L se comporta como si experimentara un campo eléctrico debido a una carga (Z − 1) e encerrada por la superficie gaussiana. La carga nuclear está bloqueada por el electrón en la capa K, tal como Zeff en la ecuación 42.18 es Z − l. Para capas de niveles más altos, la carga nuclear está bloqueada por los electrones en todas las capas internas. Ahora puede usar la ecuación 42.18 para estimar la energía asociada con un electrón en la capa L: E L

= − ( Z − 1) 2

13,6 eV 22

Después de que el átomo efectúa la transición, existen dos electrones en la capa K. Usando un argumento similar para una superficie gaussiana dibujada dentro del radio más probable para el electrón individual K, se puede argüir que la energía asociada con uno de dichos electrones es aproximadamente el de un átomo con un electrón con la carga nuclear reducida por la carga negativa del otro electrón. Por tanto: E K

= − ( Z − 1) 2 (13,6 eV )

(42.19)

Como indica el ejemplo 42.7, la energía del átomo con un electrón en una capa M puede estimarse de un modo similar. Considerando la diferencia de energía entre los niveles inicial y final, puede calcularse la energía y la longitud de onda del fotón emitido. Pregunta sorpresa 42-4 Advierta en la figura 42.17 que el espectro continuo se detiene de manera repentina en la longitud de onda de corte de aproximadamente 34 pm. ¿Por qué ocurre una longitud de onda de corte? ' En 1914, Henry G. J. Moseley (1887-1915) Moseley (1887-1915) graficó los valores de Z para varios elementos versus 1 / λ , donde λ es la longitud de onda de la línea K α de cada elemento. Encontró que la gráfica es una línea recta, como en la figura 42.18. Lo anterior concuerda con el cálculo cálcul o aproximado de los niveles de energía dados por la ecuación 42.19. A partir de esta gráfica Moseley determinó los valores Z de elementos que aún no se habían descubierto y produjo una tabla periódica que concordaba muy bien con las propiedades químicas conocidas de los elementos. Hasta dicho experimento, los números atómicos habían sido meros soportes para los elementos que aparecían en la tabla periódica, los elementos eran ordenados de acuerdo con su masa.

Figura 42.18 Una gráfica Moseley de número atómico Z

1 / λ versus Z, donde λ es la longitud de onda de la línea de rayos X Kα del elemento de

EJEMPLO 42-7. 42-7. La energía de un rayo X Determine la energía del rayo X característico emitido por un blanco de tungsteno (símbolo químico W) cuando un electrón desciende de la capa M (n = 3) a un espacio vacío en la capa K (n = 1). Solución

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El número atómico del tungsteno es Z = 74. Con la ecuación 42.19 se ve que la energía asociada con el electrón en la capa K es aproximadamente: E C

= −( Z − 1) 2 (13,6 eV ) = −(74 − 1) 2 (13,6 eV ) = −72 500 eV

Un electrón en la capa M está sujeto a una carga nuclear efectiva que depende del número de electrones en los estados n = 1 y n = 2 porque dichos electrones bloquean a los electrones M del núcleo. Dado que existen ocho electrones en el estado n = 2 y uno permanece en el estado n = 1, casi nueve electrones tapan al electrón M del núcleo, por lo que Zeff = Z − 9. Por tanto, la energía asociada con un electrón en la capa M es, a partir de la ecuación 42.18: E n

=−

2 13,6 Z eff

n

2

13,6 ( Z − 9) 2 13,6 (74 − 9) 2 eV = − eV = − eV = −6 380 eV 9 32

Por consiguiente, el rayo X emitido tiene una energía igual a EM − E K = −6380 eV − ( −72 500 eV) = 66 100 eV. A pesar de la aproximación efectuada al desarrollar las ecuaciones 42.18 y 42.19 y la estimación de la carga nuclear efectiva, este resultado está en excelente concordancia con las medidas realizadas de los rayos X de los blancos de tungsteno. Ejercicio Calcule la longitud de onda del rayo X emitido en esta transición. Respuesta 0.018 8 nm.

42-8. TRANSICIONES ATOMICAS Se ha visto que un átomo absorbe y emite radiación electromagnética sólo a frecuencias que corresponden a la separación de energía entre los estados permitidos. A continuación considere los detalles de estos procesos. Considere un átomo que tiene los estados de energía permitidos denominados E 1, E2, E3,... en la figura 42.19.

Figura 42.19 Diagrama de niveles de energía de un átomo que tiene varios estados permitidos. El estado de menor energía El es el estado base. Todos los demás son estados excitados.

Cuando la radiación incide sobre el átomo, sólo aquellos fotones cuya energía hf es igual a la separación de energía ∆E entre dos niveles de energía pueden ser absorbidos por el átomo. La figura 42.20 es un diagrama esquemático que representa dicho proceso, el cual se denomina absorción estimulada, debido a que el fotón estimula al átomo que hace la transición ascendente. A temperaturas ordinarias, la mayor parte de los átomos en una muestra, están en el estado base. Si un recipiente que contiene muchos átomos de un elemento gaseoso se ilumina con radiación de todas las frecuencias de fotón posibles (es decir, un espectro continuo), sólo los fotones de energías E 2 − El, E3 − El, E4 − El, E3 − E2, E4 − E2, etc. son absorbidos por los átomos. Como resultado de esta absorción, algunos átomos se llevan a niveles de energía permitidos más altos, los cuales, como se aprendió en la sección 40.5, se denominan estados excitados.


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Figura 42.20 Absorción estimulada de un fotón. Los puntos representan electrones. Un electrón es transferido desde el estado base al estado excitado cuando el átomo absorbe un fotón de energía hf = E2 − E1

Una vez que un átomo está en estado excitado, hay cierta probabilidad de que el átomo excitado saltará de regreso al nivel de energía inferior y emitirá un fotón durante el proceso, como en la figura 42.21. Se trata de un proceso que se conoce como emisión espontánea porque ocurre de manera aleatoria, sin requerir un evento que "dispare" la transición. En general, un átomo permanece en estado excitado sólo por aproximadamente 10-8 s. Cuando un átomo en estado excitado regresa al estado base vía dos o más pasos intermedios, los fotones emitidos durante el proceso son más bajos en energía que el fotón original absorbido por el átomo. Este proceso se conoce como fluorescencia. En un tubo de luz fluorescente, los electrones que dejan un filamento en el extremo del tubo chocan con átomos de vapor de mercurio presente en el tubo, provocando que los átomos de mercurio se eleven a estados excitados. Conforme estos átomos realizan transiciones a estados más bajos, emiten fotones ultravioleta que golpean un recubrimiento sobre la superficie interior del tubo. El recubrimiento absorbe los fotones y emite luz visible mediante la fluorescencia. Los materiales fosforescentes brillan debido a un proceso similar, pero los átomos excitados pueden permanecer en estado excitado por periodos que abarcan desde unos cuantos segundos a varias horas. Eventualmente, los átomos caen al estado base y, mientras esto sucede, emiten luz visible. Por esta razón, los materiales fosforescentes emiten luz mucho tiempo después de haber sido colocados en la oscuridad. Pregunta sorpresa 42-5 Haga un dibujo similar al de la figura 42.21 para la fluorescencia.

Figura 42.21 Emisión espontánea de un fotón por un átomo que inicialmente está en el estado excitado E2. Cuando el átomo cae al estado base, emite un fotón de energía hf = E2 − E1.

Además de la emisión espontánea, también ocurre la emisión estimulada. Suponga que un átomo permanece en estado excitado E2, como en la figura 42.22. Si el dicho estado es un estado metaestable −es decir, si su tiempo de vida es mucho mayor que el típico tiempo de vida de 10 -8 s de los estados excitados− entonces el intervalo de tiempo hasta que ocurra la emisión espontánea será relativamente largo. Suponga que en dicho intervalo un fotón de energía hf = E2 – E1 incide sobre el átomo. Una posibilidad es que la energía del fotón será suficiente para que el fotón ionice al átomo. Otra posibilidad es que la interacción entre el fotón incidente y el átomo causará que el átomo regrese al estado base y por

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tanto emita un segundo fotón con energía hf = E2 − E1. En este proceso el fotón incidente no es absorbido; por tanto, después de la emisión estimulada, existen dos fotones con idéntica energía −el fotón incidente y el fotón emitido−. Los dos están en fase; una importante consideración en los rayos láser, los cuales se estudiarán en la siguiente sección.

Figura 42.22 Emisión estimulada de un fotón por un fotón incidente de energía hf . Inicialmente, el átomo está en estado excitado. El fotón incidente estimula al átomo para que emita un segundo fotón de energía hf = E2 − E1.

A mediados de la década de 1980 se volvió posible "atrapar" electromagnéticamente un ión individual (Fig. 42.23) y estimularlo para emitir luz. Tal procedimiento confirmó de manera directa la existencia de niveles de energía discretos en los átomos.

Figura 42.23 Un ión de bario individual (el punto pequeño en el centro) brilla debido a que está estimulado por un haz láser (no mostrado). La estructura circunvecina es la trampa electromagnética que mantiene al ión en su lugar. (Cortesía de David Wineland, National Institule of Standard. and Technology)

Experimento sorpresa Coloque un objeto que brille en la oscuridad en un cajón durante un día. Mientras el cuarto está oscuro, abra el cajón y observe el objeto. ¿Brilla? Ahora exponga el objeto a la luz de una lámpara incandescente.


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Apague la luz y observe la brillantez del objeto resplandeciente en la oscuridad. A continuación exponga el objeto a la luz de un tubo de luz fluorescente (el cual emite alguna luz ultravioleta). Apague la luz y de nuevo observe la brillantez del resplandor. ¿El objeto ahora es más brillante o más opaco de lo que estaba después de exponerlo a la lámpara incandescente?

49-2. RAYOS LÁSER Y HOLOGRAFÍA Ya se ha descrito cómo un fotón incidente puede producir transiciones de energía atómica hacia arriba (absorción estimulada) o hacia abajo (emisión estimulada). Los dos procesos son igualmente probables. Cuando incide luz sobre un conjunto de átomos, suele haber una absorción neta de energía debido a que, cuando el sistema está en equilibrio térmico, hay muchos más átomos en el estado base que en los estados excitados. Sin embargo, si la situación se invirtiera de manera que haya más átomos en un estado excitado que en el estado base, puede producirse una emisión neta de fotones. A este tipo de situaciones se le conoce como inversión de población. De hecho, éste es el principio fundamental involucrado en la operación de un láser −acrónimo de light amplification by stimulated emission of radiation (amplificación de luz mediante emisión estimulada de radiación)−. La amplificación corresponde a la acumulación de fotones en el sistema como una consecuencia de una reacción en cadena de eventos. Las tres condiciones siguientes deben satisfacerse para conseguir la acción láser:

• • •

El sistema debe estar en estado de inversión de población. El estado excitado del sistema debe ser un estado metaestable. Cuando esta condición se alcanza, la emisión estimulada ocurre antes que la emisión espontánea. Los fotones emitidos deben estar confinados en el sistema suficiente tiempo para estimular la emisión adicional de otros átomos excitados. Tal confinamiento se consigue usando espejos de reflexión en los extremos del sistema. Un extremo se hace totalmente reflejante y el otro es hasta cierto punto transparente para dejar que escape parte del haz láser.

Figura 42.24 a) Diagrama esquemático de un diseño láser, El tubo contiene los átomos que son el medio activo, Una fuente externa de energía (por ejemplo, un dispositivo óptico o eléctrico) "bombea" los átomos a estados excitados. Los espejos paralelos de los extremos confinan los fotones al tubo, pero el espejo 2 es ligeramente transparente. b) Fotografia del primer láser de rubí, mostrando la lámpara de destello que rodea la barra de rubí. (b, Cortesía de HRL Laburatories LLC, Malibú, CA) ,

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En un láser gaseoso de helio-neón, una mezcla de helio y neón se confina en un tubo de vidrio sellado (Fig. 42.24a). Un oscilador conectado al tubo ocasiona que los electrones lo barran, chocando con los átomos del gas y llevándolos a estados excitados. Como se muestra en la figura 42.25, los átomos de neón se excitan hasta el estado E3* por medio de este proceso (el asterisco * indica un estado metaestable) y también como consecuencia de los choques con átomos de helio excitados. La emisión estimulada ocurre cuando los átomos de neón hacen una transición al estado E 2 y los átomos excitados cercanos se estimulan. El resultado de esto es la producción de luz coherente a una longitud de onda de 632,8 nm.

Figura 42.25 Diagrama de niveles de energía para un átomo de neón en un láser helio-neón. El átomo emite fotones de 632,8 nm mediante emisión estimulada en la transición E3*. Ésta es la fuente de luz coherente en el láser.

Aplicaciones Desde el desarrollo del primer Láser en 1960 (mostrado en la Fig. 42.24b), la tecnología láser ha crecido de manera muy importante. Ahora se pueden conseguir rayos láser que cubren longitudes de onda en las regiones infrarroja, visible y ultravioleta. Las aplicaciones incluyen la "soldadura" quirúrgica de retinas desprendidas, agrimensura de precisión y mediciones de longitud, corte preciso de metales y otros materiales (como las telas en la figura 42.26), así como comunicaciones telefónicas por fibra óptica. Estas y otras aplicaciones son posibles gracias a las características únicas de la luz láser. Además de ser altamente monocromática, la luz láser también es muy direccional y puede enfocarse con exactitud para producir regiones de energía luminosa muy intensa (con densidades de energía 10 12 veces las de la flama de una antorcha de corte típica).

Figura 42.26 Este robot que porta unas tijeras láser, con las cuales puede cortar hasta 50 capas de tela a la vez, es una de las muchas aplicaciones de la tecnología láser. (Philippe Plaily/SPL/Photo Rtsearches Inc.)

Los rayos láser se utilizan en mediciones de precisión de grandes distancias (determinación de alcance). En años recientes se ha vuelto importante, para fines astronómicos y geofisicos, medir lo más exacto posible la distancia desde diferentes puntos sobre la superficie de la Tierra hasta un punto en la superficie


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lunar. Para facilitar esto los astronautas del Apolo instalaron prismas reflectores de 0,5 m cuadrados sobre la Luna, lo cual permite que los pulsos láser dirigidos desde una estación terrestre sean retrorreflejados hacia la misma estación (véase la Fig. 35.8a). Empleando la rapidez conocida de la luz y el tiempo de recorrido medido del viaje redondo de un pulso de 1 ns, es posible determinar la distancia Tierra-Luna, 380 000 km, hasta una precisión de 10 cm. Las aplicaciones médicas aprovechan el hecho de que diferentes longitudes de onda láser pueden absorberse en tejidos biológicos específicos. Por ejemplo, ciertos procedimientos láser han reducido enormemente la ceguera producida por glaucoma y por diabetes. El glaucoma es una enfermedad de ojos muy extendida, la cual se caracteriza por una alta presión de fluido en el ojo que puede conducir a la destrucción del nervio óptico. Una sencilla operación láser (iridectomía) puede "quemar" y abrir un pequeño agujero en una membrana obstruida, y liberar la presión destructiva. Asimismo, un serio efecto colateral de la diabetes es la neovascularización, o formación de vasos sanguíneos débiles, los cuales a menudo pierden sangre, cuando esto ocurre en la retina la visión se deteriora (retinopatía diabética) y finalmente se destruye. En la actualidad es posible dirigir la luz verde de un láser de ión de argón a través del lente del cristalino y el fluido ocular, enfocar sobre los bordes de la retina y fotocoagular los vasos rotos. Incluso gente que sólo tiene defectos de visión menores, como la miopía, se está beneficiando del uso de rayos láser para darle nueva forma a la córnea, cambiando con ello su longitud focal y reduciendo la necesidad de anteojos. La cirugía láser es ahora una práctica cotidiana en los hospitales alrededor del mundo. Luz infrarroja a 10 µm de un láser de bióxido de carbono puede cortar tejido muscular, evaporando principalmente el agua contenida en el material celular. En dicha técnica se necesita una potencia de láser cercana a 100 W. La ventaja de este "bisturí láser" sobre los métodos convencionales es que la radiación láser corta el tejido y coagula la sangre al mismo tiempo, lo cual reduce de manera sustancial la pérdida de sangre. Además, la técnica elimina virtualmente la migración de células, lo cual es muy importante al extirpar un tumor. Un haz láser puede atraparse en finas guías luminosas de fibra de vidrio (endoscopios) mediante la reflexión total interna. Las fibras de luz pueden introducirse por orificios naturales, conducirse alrededor de órganos internos y dirigirse a puntos específicos interiores del cuerpo, eliminando la necesidad de cirugía invasiva. Por ejemplo, el sangrado en el tracto gastrointestinal puede cauterizarse óptimamente mediante endoscopios de fibra óptica introducidos por la boca. En investigaciones biológicas y médicas, con frecuencia es importante aislar y extraer células raras para estudio y crecimiento. Un separador de células láser aprovecha que células específicas pueden marcarse con tinturas fluorescentes. Después, todas las células se dejan caer desde una delgada boquilla cargada y se exploran con un láser para el etiquetado. Si se activan mediante la etiqueta de emisión de luz correcta, un pequeño voltaje aplicado a placas paralelas desvía la célula cargada eléctricamente que cae en un vaso colector. Éste es un método eficiente para extraer las proverbiales agujas de un pajar. Una de las más inusuales e interesantes aplicaciones del láser es la producción de imágenes tridimensionales en un proceso llamado holografía. La figura 42.27 muestra cómo se hace un holograma. La luz de un láser se divide en dos partes por medio de un espejo semiplateado en B. Luego de pasar por el lente L1, el cual diverge los rayos de luz, una parte del haz se refleja en el objeto que se va a fotografiar e incide sobre una película fotográfica ordinaria. La otra mitad del haz se hace divergir por medio del lente E2, se refleja en los espejos M 1 y M2, y finalmente llega a la película. Los dos haces se superponen en la película para formar un patrón de interferencia muy complicado. Este modelo de interferencia puede producirse sólo si la relación de fase de las ondas en los dos haces es constante durante toda la exposición de la película. Es una condición que se consigue si se ilumina la escena con radiación láser coherente. El holograma no sólo registra la intensidad de la luz dispersada en el objeto (como en una fotografía convencional) sino también la diferencia de fase entre el haz reflejado de los espejos y el haz dispersado en el objeto. Debido a esta diferencia de fase, el patrón de interferencia que se forma produce una imagen que tiene una perspectiva completa en tres dimensiones. Un holograma se observa mejor si se permite que luz coherente pase a través de la película revelada cuando uno mira hacia atrás en dirección de donde proviene el haz. La luz que pasa a través del holograma se difracta. Emerge en una forma idéntica a la luz que deja el objeto mientras el holograma se estaba registrando; como resultado, ver el holograma es casi como mirar a través de una ventana hacia el

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objeto. La figura 42.27b es la fotografía de un holograma que fue elaborado mediante el empleo de una película cilíndrica. Uno ve una imagen tridimensional en la cual la perspectiva cambia conforme la cabeza del observador se mueve.

Figura 42.27 a) Arreglo para producir un holograma. b) Fotografía de un holograma que usa una película cilíndrica. (Cortesía de Central Scientific Company.)

RESUMEN La mecánica cuántica puede aplicarse al átomo de hidrógeno empleando la función de energía potencial U( r) = kee2 /r en la ecuación de Schrodinger. La solución a esta ecuación produce las funciones de onda para los estados permitidos y las energías permitidas:

 k e e 2  1 13, 606  2 = − E n = − eV 2 2 a n n  0 

n = 1,2,3,..

(42.2)

donde n es el número cuántico principal. Las funciones de onda permitidas dependen de tres números cuánticos: n, ℓ y mℓ, donde ℓ es el número cuántico orbital, y m ℓ es el número cuántico magnético orbital. Las restricciones sobre los números cuánticos son: n = 1, 2, 3,... ℓ = 0, 1, 2,..., n - 1 mℓ = - ℓ, - ℓ + 1,..., ℓ - 1, ℓ

Todos los estados que tienen el mismo número cuántico principal n forman una capa, identificada por las letras K, L, M,... (que corresponden a n = 1, 2, 3,...). Todos los estados que tienen los mismos valores de n y ℓ forman una subcapa, designada por las letras s, p, d, f,... (que corresponden a ℓ = 0, 1, 2, 3,...). Con el fin de describir de manera completa un estado cuántico, es necesario incluir un cuarto número cuántico ms, llamado número cuántico magnético de espín. Este número cuántico puede tener sólo dos valores ± ½ Un átomo en un estado caracterizado por un valor específico de n puede tener los siguientes valores de L, la magnitud del momentum angular orbital del átomo L: L =

l (l

+ 1)

h

ℓ = 0,1,2,... ,n -1

(42.9)

Los valores permitidos de la proyección de L a lo largo del eje z son: L z

= m h l

(42.10)

Solo se permiten valores discretos de L z, y éstos están determinados por las restricciones en m ℓ. La cuantización de L. se conoce como cuantización del espacio.


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El electrón tiene un momentum angular intrínseco denominado momentum angular de espín. Lo anterior significa que el momentum angular total de un electrón en un átomo puede tener dos contribuciones, una que surge del espín del electrón ( S) y otra que proviene del movimiento orbital del electrón (L). El espín electrónico puede describirse con un solo número cuántico s = ½ . La magnitud del momentum angular de espín es: S =

3 2

h

(42.12)

= ms h

(42.13)

Y la componente z de S es: S z

Es decir, el momentum angular de espín también está cuantizado en el espacio, como lo especifica el número cuántico magnético de espín ms = ± ½ . El momeqto magnético µespín asociado con el momentum angular de espín de un electrón es:

µespín = −

e me

S

(42.14)

La componente z de µespín puede tener los valores: µ espín

=±

e

h

2 me

(42.15)

El principio de exclusión de Pauli establece que dos electrones en un átomo no pueden estar en el mismo estado cuántico. En otras palabras, dos electrones no pueden tener el mismo conjunto de números cuánticos n, ℓ, mℓ y ms.. Con este principio es posible determinar la configuración electrónica de los elementos. Esto sirve como base para comprender la estructura atómica y las propiedades químicas de los elementos. Las transiciones electrónicas permitidas entre dos niveles cualesquiera en un átomo están gobernadas por las reglas de selección:

∆ l = ±1

y

∆m = 0, ± 1 l

(42.16)

El espectro de rayos X de un blanco de metal consta de un conjunto de líneas características definidas, superpuestas a un amplio espectro continuo. Los rayos X característicos son emitidos por átomos cuando un electrón experimenta una transición de una capa externa a un espacio vacío en una capa interna. Las transiciones atómicas pueden ser descritas con tres procesos: absorción estimulada, en la cual un fotón incidente eleva el átomo a un estado de energía mayor; emisión espontánea, en la cual el átomo realiza una transición a un estado de energía menor, emitiendo un fotón; y emisión estimulada, en la cual un fotón incidente provoca que un átomo excitado efectúe una transición descendente, emitiendo un fotón idéntico al incidente.

PREGUNTAS 1.

¿Por qué se necesitan tres números cuánticos para describir el estado de un átomo de un electrón (ignorando el espín)?

2.

Compare la teoría de Bohr y el tratamiento de Schrodinger del átomo de hidrógeno. Comente sobre la energía total y el momentum angular orbital.

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3.

¿Por qué la dirección del momentum angular orbital de un electrón es opuesta a la de su momento magnético?

4.

¿Por qué se utiliza un campo magnético no uniforme en el experimento Stern-Gerlach?

5.

¿El experimento de Stern-Gerlach podría realizarse con iones en vez de átomos neutros? Explique.

6.

Describa algunos experimentos que apoyen la conclusión de que el número cuántico magnético de espín de los electrones sólo puede tener los valores ± ½

7.

Explique algunas de las consecuencias del principio de exclusión de Pauli.

8.

¿Por qué el litio, el potasio y el sodio muestran propiedades químicas similares?

9.

Explique por qué un fotón debe tener un espín de l.

10.

Se necesita una energía de aproximadamente 21 eV para excitar un electrón en un átomo de helio a partir del estado 1s al estado 2s. La misma transición para el ión He + requiere casi el doble de dicha energía. Explique.

11.

¿La intensidad de la luz de un láser disminuye como 1/ r 2?

12.

El espectro de absorción o emisión de un gas está compuesto por líneas que se ensanchan conforme la densidad de las moléculas del gas aumentan. ¿Por qué supone usted que ocurre lo anterior?

13.

¿Cómo es posible que los electrones, cuyas posiciones están descritas por una distribución de probabilidad alrededor de un núcleo, puedan existir en estados de energía definida (por ejemplo: 1s, 2p, 3d,...)?

14.

Es fácil entender cómo dos electrones (uno con espín arriba, otro con espín abajo) pueden llenar la capa 1s de un átomo de helio. ¿Cómo es posible que ocho electrones más puedan caber en el nivel 2s, 2p para completar la capa 1s 22s22p6 de un átomo de neón?

15.

En 1914 Henry Moseley descubrió cómo definir el número atómico de un elemento a partir de su espectro de rayos X característico. ¿Cómo fue posible esto? (Sugerencia: Véanse las Figs. 42.17 y 42.18.)

16.

¿Cuáles son las ventajas de usar luz monocromática para ver una imagen holográfica?

17.

¿Por qué la emisión estimulada es tan importante en la operación de un láser?

PROBLEMAS Sección 42.1 los primeros modelos del átomo 42-1.

En el experimento de dispersión de Rutherford, partículas alfa de 4,00 MeV (núcleos de 4He que contienen 2 protones y 2 neutrones) dispersan núcleos de oro (que contienen 79 protones y 118 neutrones). Si una partícula alfa choca de frente con el núcleo de oro y se dispersa de regreso a 180°, determine a) la distancia de máximo acercamiento de la partícula alfa al núcleo de oro y b) la fuerza máxima ejercida sobre la partícula alfa. Suponga que el núcleo de oro permanece fijo a lo largo de todo el proceso.

42-2.

En el experimento de dispersión de Rutherford, partículas alfa de energía E (núcleos de 4He que contienen 2 protones y 2 neutrones) se dispersan en un blanco cuyos átomos tienen un número atómico Z Si una partícula alfa choca de frente con un núcleo objetivo y se dispersa de regreso a 180°, determine a) la distancia de máximo acercamiento de la partícula alfa al núcleo objetivo y b) la fuerza máxima ejercida sobre la partícula alfa. Suponga que el núcleo objetivo permanece fijo a lo largo de todo el proceso.


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Sección 42.2 Nueva visita al átomo de hidrógeno 42-3.

Un fotón con 2,28 eV de energía apenas es capaz de producir un efecto fotoeléctrico cuando incide sobre una placa de sodio. Suponga que el fotón es más bien absorbido por el hidrógeno. Encuentre a) el mínimo n para un átomo de hidrógeno que puede ser ionizado por medio de este fotón y b) la rapidez del electrón liberado que se aleja del núcleo.

42-4.

La serie de Balmer para el átomo de hidrógeno corresponde a transiciones electrónicas que terminan en el estado con número cuántico n = 2, como se muestra en la figura 40.18. a) Considere el fotón de longitud de onda más larga; determine su energía y longitud de onda. b) Considere la línea espectral de longitud de onda más corta; encuentre su energía fotónica y longitud de onda.

42-5.

Una expresión general para los niveles de energía de átomos y iones de un electrón es E n

=−

µ k e2 q12 q 22

donde k e es la constante de Coulomb, q1 y q2 son las cargas de las dos

2 h 2 n2 partículas y µ es la masa reducida, dada por µ = m1 m2 /(m1 + m2 ) . En el problema 4 se encontró que la longitud de onda para la transición de n = 3 a n = 2 del átomo de hidrógeno es 656,3 nm (luz roja visible). ¿Cuáles son las longitudes de onda para esta misma transición en a) positronio, el cual se compone de un electrón y de un positrón, y b) de helio ionizado individualmente? (Nota: Un positrón es un electrón con carga positiva.)

42-6.

El hidrógeno gaseoso ordinario es una mezcla de dos clases de átomos (isótopos) que contienen un núcleo de una o dos partículas. Estos isótopos son hidrógeno-1 con un núcleo protón y deuterio con un núcleo deuterón. (Un deuterón es un protón y un neutrón ligados.) El hidrógeno-1 y el deuterio tienen propiedades químicas idénticas pero pueden ser separados mediante una ultracentrifugadora u otro método. Su espectro de emisión muestra líneas de los mismos colores a longitudes de onda muy poco diferentes. a) Use la ecuación dada en el problema 5 para mostrar que la diferencia en longitud de onda entre las líneas espectrales del hidrógeno y el deuterio asociadas con una transición electrónica particular está dada por: λ H − λ D = (1 − µ H / µ D ) λ H b) Evalúe la diferencia en longitúd de onda para la línea H α del hidrógeno, con longitud de onda de 656,3 nm, emitida por un átomo que hace una transición desde un estado n = 3 a un estado n = 2.

Sección 42.3 El número cuántico magnético del espín 42-7.

Enumere los posibles conjuntos de números cuánticos para electrones en a) la subcapa 3d y b) la subcapa 3p.

Sección 42.4 Las funciones de onda para el hidrógeno 42-8.

Grafique la función de onda ψ 1s(r) (véase la Ec. 42.3) y la función de densidad de probabilidad radial P1s( r) (véase la Ec. 42.6) para el hidrógeno. Considere que r varía de 0 a 1,5 a0, donde a0 es el radio de Bohr.

42-9.

La función de onda del estado base para el electrón en un átomo de hidrógeno es: ψ 1s ( r ) =

1 π a02

e

− r / a0

donde r es la coordenada radial del electrón y a0 es el radio de Bohr. a) Demuestre que la función de onda como está dada es normalizada. b) Encuentre la probabilidad de localizar al electrón entre r 1 = a0 /2 y r 2 = 3a0 /2. 42-10. La función de onda para un electrón en el estado 2p del hidrógeno está descrita por la expresión:

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ψ 2 p ( r ) =

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1

r

3 (2 a0 )

3 / 2

a0

e


− r / 2 a0

¿Cuál es la distancia más probable desde el núcleo para encontrar un electrón en el estado 2p? (véase la figura 42.8). 42-11. Muestre que una función de onda ls para un electrón en el hidrógeno: ψ 1s ( r ) =

1 π a02

e

− r / a0

satisface la ecuación de Schrodinger simétrica radialmente:

 d 2ψ 2 d ψ  k e e 2  − ψ = E ψ − + 2 me  dr 2 r d r  r h

2

42-12. Durante un periodo particular, un electrón en el estado base de un átomo de hidrógeno se "observa" 1 000 veces a una distancia a0 /2 del núcleo. ¿Cuántas veces se observa este electrón a una distancia 2a0 del núcleo durante este periodo de "observación"? Sección 42.5 Los otros números cuánticos 42-13. Calcule el momentum angular de un electrón en a) el estado 4 d y b) el estado 6 f . 42-14. Si un electrón tiene un momentum angular orbital de 4,714 x 10 -34 J .s, ¿cuál es el número cuántico orbital para el estado del electrón? 42-15. Un átomo de hidrógeno está en su quinto estado excitado. El átomo emite un fotón de 1 090 nm de longitud de onda. Determine el máximo momentum angular orbital posible del electrón después de la emisión. 42-16. Encuentre todos los valores posibles de L, Lz y θ para un electrón en el estado 3 d del hidrógeno. 42-17. ¿Cuántos conjuntos de números cuánticos son posibles para un electrón en el cual a) n = 1, b) n = 2, c) n = 3, d) n = 4 y e) n = 5? Verifique sus resultados para mostrar que concuerdan con la regla general de que el número de conjuntos de números cuánticos es igual a 2 n2. 42-18. La componente z del momento magnético de espín del electrón está dada por el magnetón de Bohr, µB = eћ /2me Muestre que el magnetón de Bohr tiene el valor numérico 9,27 x 10 -24 J/T = 5,79 x 10-5 eV/T. 42-19. a) Encuentre la densidad de masa de un protón, bosquejándolo como una esfera sólida de 1,00 x 10-15 m de radio. b) Considere un modelo clásico de un electrón como una esfera sólida con la misma densidad que el protón. Encuentre su radio. c) Si este electrón posee momentum angular de espín Iω = ћ /2 debido a rotación clásica en tomo al eje z, determine la rapidez de un punto sobre el ecuador del electrón, y d) compare esta rapidez con la de la luz. 42-20. Todos los objetos, grandes y pequeños, se comportan de manera mecánico-cuántica. a) Estime el número cuántico ℓ para la Tierra en su órbita alrededor del Sol. b) ¿Qué cambio de energía (en joules) ocurriría si la Tierra hiciera una transición a un estado adyacente permitido? 42-21. Como el electrón, el núcleo de un átomo tiene momentum angular de espín y un momento magnético correspondiente. La componente z del momento magnético de espín para un núcleo está caracterizada por el magnetón nuclear µn = eћ /2m p donde m p es la masa del protón. a) Calcule


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el valor de µm en joules por tesla y en electronvolts por tesla. b) Determine la proporción µn / µB y comente su resultado. 42-22. Un electrón está en la capa N. Determine el valor máximo de la componente z de su momentum angular. 42-23. Un mesón ρ tiene una carga de −e, un número cuántico de espín de 1 y una masa 1 507 veces la del electrón. Suponga que los electrones en los átomos son sustituidos por mesones ρ y enumere los posibles conjuntos de números cuánticos para mesones ρ en la subcapa 3 d . Sección 42.6 El principio de exclusión y la tabla periódica 42-24. a) Escriba la configuración electrónica para el estado base del oxígeno (Z = 8). b) Escriba los valores para el conjunto de números cuánticos n, ℓ, mℓ y ms, para cada electrón en el oxígeno. 42-25. Bajando por la tabla periódica, ¿cuál subcapa se llena primero, la 3 d o la 4s? ¿Cuál configuración electrónica tiene energía inferior: [Ar]3d44s2 o [Ar]3d54s1? ¿Cuál tiene el mayor número de espines no pareados? Identifique este elemento y analice la regla de Hund en este caso. (Nota: La notación [Ar] representa la configuración llena del argón.) 42-26. Dos electrones en el mismo átomo tienen n = 3 y ℓ = l. Enumere los números cuánticos para los posibles estados del átomo. ¿Cuántos estados serían posibles si el principio de exclusión fuese inoperante? 42-27. Considere un átomo en su estado base, con sus electrones exteriores llenando por completo la capa M. a) Identifique el átomo. b) Enumere el número de electrones en cada subcapa. 42-28. Para un átomo neutro del elemento 110, ¿cuál sería su configuración electrónica probable? 42-29. a) Revise la tabla 42.4 en orden de número atómico ascendente y advierta que los electrones llenan las subcapas de tal manera Que aquellas con los valores más bajos de n + ℓ se llenan primero. Si dos subcapas tienen el mismo valor de n + ℓ, la que tiene el valor más bajo de n se llena primero. Con estas dos reglas escriba el orden en el cual se llenan las subcapas hasta n + ℓ = 7. b) Prediga la valencia química para los elementos que tienen números atómicos 15, 47 y 86, y compare sus predicciones con las valencias reales. 42-30. Diseñe una tabla similar a la que se muestra en la figura 42.14 para átomos que contienen de 11 a 19 electrones. Emplee la regla de Hund y conjeture a partir de esta información. Sección 42.7 Espectros atómicos 42-31. a) Determine los posibles valores de los números cuánticos ℓ y mℓ para el ión He+ en el estado correspondiente a n = 3. b) ¿Cuál es la energía de este estado? 42-32. Si usted desea producir en el laboratorio rayos X de 10,0 nm, ¿cuál es el voltaje mínimo que debe usar al acelerar los electrones? 42-33. Un blanco de tungsteno es golpeado por electrones que han sido acelerados desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 40,0 kV. Encuentre la longitud de onda más corta de la radiación emitida. 42-34. En la producción de rayos X los electrones se aceleran a través de un alto voltaje ∆V y luego se desaceleran incidiendo en un blanco. Muestre que la longitud de onda más corta de los rayos X que pueden producirse es: λ mín

=

1 240 nm ·V

∆V

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42-35. Utilice el método ilustrado en el ejemplo 42.7 para calcular la longitud de onda de los rayos X emitidos por un blanco de molibdeno (Z = 42) cuando un electrón se mueve de la capa L (n = 2) a la capa K (n = 1). 42-36. La longitud de onda de rayos X característicos correspondientes a la línea K β es 0,152 nm. Determine el material en el blanco. 42-37. Se disparan electrones hacia un blanco de bismuto y se emiten rayos X. Determine a) la energía de transición de las capas M a la L para el Bi y b) la longitud de onda de los rayos X emitidos cuando un electrón desciende de la capa M a la capa L. 42-38. La serie K del espectro discreto del tungsteno contiene longitudes de onda de 0,018 5 nm, 0,020 9 nm y 0.021 5 nm. La energía de ionización de la capa K es 69,5 keV. Determine las energías de ionización de las capas L, M y N. Bosqueje las transiciones. 42-39. Cuando el electrón más externo de un átomo de álcali es excitado, se encuentra que los estados con la misma n pero diferente ℓ tienen energías hasta cierto punto diferentes porque penetran en el núcleo central a diferentes grados. Los orbitales de baja ℓ penetran más, mientras que los orbitales de alta ℓ penetran menos. Las longitudes de onda de las líneas de absorción están dadas aproximadamente por la ecuación 1 / λ nl→n 'l ' = R H (n − δ l ) −2 − (n'−δ l ) −2 Observe que ésta es parecida a la ecuación 40.29, la cual describe al hidrógeno, pero con los números cuánticos principales n sustituidos por números cuánticos efectivos. Aquí δℓ es el "defecto cuántico” asociado con el número cuántico orbital ℓ. El valor de δℓ es independiente de n. Para el sodio (Na), δ0 = 1,35. La longitud de onda más larga para una transición de absorción que lleva Na desde su estado base a un estado con número cuántico principal más alto es de 330 nm. a) ¿Para qué otro valor de ℓ puede usted determinar el defecto cuántico y b) cuál es el valor de dicho defecto? Sección 42.8 Transiciones at6micas 42-40. La familiar luz amarilla de una lámpara de vapor de sodio se produce; a partir de una transición 3 p → 3 s en 11Na. Evalúe la longitud de onda de esta luz dado que la diferencia de energía E 3p – E3s = 2,10 eV. 42-41. Suponga que un gran número n de átomos idénticos están en un primer estado excitado. La rapidez dn /dt a la cual esta población "desexcitarán es dn/ dt = - Pn, donde P es la rapidez de probabilidad de transición cuántica. La rapidez de transición está dada, a su vez, por P = A + u f B, donde A es el coeficiente de Einstein para emisión espontánea y B es el coeficiente de Einstein para emisión estimulada debida a la presencia de fotones con densidad de energía u f por unidad de frecuencia. Einstein mostró que estos coeficientes están relacionados mediante A = 16 π2ћB/ λ3. Para una transición atómica de 645 nm de longitud de onda, ¿cuál debe ser la densidad de energía de los fotones para que la emisión estimulada sea tan importante como la emisión espontánea? Sección 42.9 Rayos láser y holografía 42-42. El láser de bióxido de carbono es uno de los más poderosos que se han desarrollado. La diferencia de energía entre los dos niveles del láser es 0,117 eVo Determine la frecuencia y la longitud de onda de la radiación emitida por este láser. ¿En qué parte del espectro electromagnético se encuentra esta radiación? 42-43. Un láser de rubí entrega un pulso de 10,0 ns a 1,00 MW de potencia promedio. Si los fotones tienen una longitud de onda de 694,3 nm, ¿cuántos están contenidos en el pulso? 42-44. Una importante característica de un láser es su ganancia G, la cual especifica el mejoramiento relativo de la intensidad del haz luminoso sobre la longitud L del láser. Cuando G = 1,05, ocurre un incremento en la intensidad del 5 % mientras la luz realiza un pase a través del láser. La ganancia está dada por G = e σ(nu - nℓ)L En esta ecuación σ es la absorción atómica transversal para la transición láser, con unidades de longitud al cuadrado. Está relacionada con la probabilidad de


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transición cuántica. Las variables nu y nℓ son las densidades numéricas (unidades de longitud -3) de átomos activos en los estados de energía superior e inferior de la transición láser. Si L = 0,500 m y σ = 1,00 x 10-18 m2 para un láser particular, ¿qué inversión nu - nℓ de densidad numérica debe mantenerse para tener una ganancia de 1,05? 42-45. El número N de átomos en un estado particular recibe el nombre de población de dicho estado. Este número depende de la energía de tal estado y la temperatura. En equilibrio térmico la población de átomos en un estado de energía E n está dada por una expresión de la distribución de Boltzmann: N = Nge−(En - Eg)/kBT donde T es la temperatura absoluta y N g es la población del estado base, de energía Eg a) Antes de que la potencia se active, los átomos de neón en un láser están en equilibrio térmico a 27,0 °C. Encuentre la relación de equilibrio entre las poblaciones de los estados E3* y E 2 mostrada en la figura 42.25. b) Encuentre la relación de equilibrio a 4,00 K de las población de los dos estados en un láser de rubí que puede producir un haz luminoso de 694,3 nm de longitud de onda. 42-46. Los rayos láser funcionan mediante una ingeniosa producción artificial de una "inversión de población" entre los estados de energía atómica inferior y superior involucrados en el procesamiento láser. Esto significa que más átomos vienen con electrones en el estado excitado superior que en el inferior. Considere la transición de láser de rubí a 694,3 nm. Suponga que 2 % más átomos vienen en el estado superior que en el inferior. Por simplicidad, suponga que ambos niveles tienen sólo un estado cuántico asociado con ellos. a) Para demostrar cuán no natural es tal situación, encuentre la temperatura para la cual la distribución de Boltzmann describe una inversión de población del 2,00 %. b) ¿Por qué tal situación no ocurre de manera natural?

PROBLEMAS ADICIONALES 42-47. Un láser de Nd:YAG que se utiliza en cirugía del ojo emite un pulso de 3,00 mJ en 1,00 ns, enfocado en un punto de 30,0 µm de diámetro sobre la retina. a) Encuentre (en unidades del SI) la potencia por unidad de área en la retina. (Esta cantidad se denomina irradiancia.) b) ¿Qué energía se entrega a un área de tamaño molecular, considerada como un área circular de 0,600 nm de diámetro? 42-48. a) ¿Cuánta energía se requiere para provocar que un electrón en hidrógeno se mueva desde el estado n = 1 al estado n = 2? b) Suponga que los electrones ganan esta energía a través de colisiones entre átomos de hidrógeno a una alta temperatura. ¿A qué temperatura la energía cinética atómica promedio 3kBT/2, donde kB es la constante de Boltzmann, sería lo suficientemente grande para excitar los electrones? 42-49. Muestre que el valor promedio de r para el estado 1s del hidrógeno tiene el valor 3a0 /2. (Sugerencia: Utilice la ecuación 42.6.) 42-50. Encuentre el valor (de esperanza) promedio de 1/r en el estado 1s del hidrógeno. Está dado por:

∫

< 1 / r >=

Todo el espacio

2

∞

∫0

ψ (1 / r ) dV = P( r ) (1 / r ) dr ¿El resultado es igual al inverso del valor

promedio de r? 42-51. Suponga que un átomo de hidrógeno está en el estado 2s. Tomando r = a0, calcule valores para a) ψ 2(a0), b) |ψ 2(a0)|2 y c) P2s (a0). (Sugerencia: Use la ecuación 42.7.) 42-52. Como se hizo notar en un capítulo anterior, el muón es una partícula elemental con la carga de un electrón pero una masa 207 veces mayor que la de un electrón. El muonio es un "átomo" compuesto de un muón y un protón. Usando la fórmula para los niveles de energía de los átomos parecidos al hidrógeno dada en el problema 42-5, encuentre la energía de ionización del estado base del muonio. 42-53. Un láser de rubí de pulsos emite luz a 694,3 nm. Para un pulso de 14,0 ps que contiene 3,00 J de energía, encuentre a) la longitud física del pulso conforme viaja por el espacio y b) el número de

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fotones en él. c) Si el haz tiene una sección transversal circular de 0,600 cm de diámetro, encuentre el número de fotones por milímetro cúbico. 42-54. Un láser de pulsos emite luz de longitud de onda λ. Para un pulso de duración t que tiene energía E, encuentre a) la longitud física del pulso conforme viaja por el espacio y b) el número de fotones en él. c) Si el haz tiene una sección transversal circular de diámetro d , encuentre el número de fotones por unidad de volumen. 42-55. a) Demuestre que la posición radial más probable para un electrón en el estado 2s del hidrógeno es r = 5,236a0. b) Demuestre que la función de onda dada por la ecuación 42.7 está normalizada. 42-56. La fuerza sobre un momento magnético µz, en un campo magnético no uniforme B, está dada por F z = µ z (dB z / dz) Si un haz de átomos de plata viaja una distancia horizontal de 1,00 m a través de tal campo y cada átomo tiene una rapidez de 100 m/s, ¿cuán intenso debe ser el gradiente del campo dB z / d.r para desviar al haz 1,00 mm? 42-57. Un electrón en cromo se mueve desde el estado n = 2 al estado n = 1 sin emitir un fotón. En vez de eso, la energía en exceso es transferida a un electrón exterior (uno en el estado n = 4), el cual luego es expulsado por el átomo. (Esto se llama proceso Auger [pronunciado "ohjay"] y el electrón expulsado es referido como un electrón Auger.) Use la teoría de Bohr para encontrar la energía cinética del electrón Auger. 42-58. Suponga que la energía de ionización de un átomo es 4,10 eV. En el espectro de este mismo átomo se observan líneas de emisión con longitudes de onda de 310 nm, 400 nm y 1 377,8 nm. Use esta información para construir el diagrama de niveles de energía con el menor número de niveles. Suponga que los niveles más altos están muy juntos entre ellos. 42-59. Todos los átomos tienen el mismo tamaño hasta un orden de magnitud. a) Para demostrarlo estime los diámetros del aluminio (con masa molar = 27,0 g/mol y densidad 2,70 g/cm3) y el uranio (con masa molar = 238 g/mol y densidad 18,9 g/cm 3). b) ¿Qué implican los resultados acerca de las funciones de onda para electrones de capa interna cuando se avanza hacia átomos de masas atómicas más y más grandes? (Sugerencia: El volumen molar es aproximadamente D3NA, donde D es el diámetro atómico y NA es el número de Avogadro.) 42-60. En el espacio interestelar el hidrógeno atómico produce la línea espectral definida conocida como radiación de 21 cm, la cual los astrónomos han encontrado muy útil para detectar nubes de hidrógeno entre estrellas. Esta radiación es útil porque el polvo interestelar que oscurece las longitudes de onda visibles es transparente a estas longitudes de onda de radio. La radiación no es generada por una transición electrónica entre estados de energía caracterizados por n. En lugar de eso, en el estado base ( n = 1), los espines del electrón y el protón pueden ser paralelos o antiparalelos, con una resultante más o menos diferente en esto de energía. a) ¿Cuál condición tiene la energía más alta ? b) De manera más precisa, la línea tiene 1ongitud de onda de 21,11 cm. ¿Cuál es la diferencia de energía entre los estados? c) El tiempo de vida promedio en el estado excitado es aproximadamente de 107 años. Calcule la incertidumbre asociada en la energía de este nivel de energía excitado. 42-61. Para hidrógeno en el estado 1s, ¿cuál es la probabilidad de encontrar el electrón más allá de 2.50a0 del núcleo? 42-62. En el estado base del hidrógeno, ¿cuál es la probabilidad de encontrar un electrón más cerca del núcleo que el radio de Bohr? 42-63. De acuerdo con la física clásica, una carga e que se mueve con una aceleración a radia a una rapidez:

dE dt

=−

1

2

e a

6 π ε 0 c 3

2

a) Demuestre que un electrón en un átomo de hidrógeno clásico

(véase la figura 42.3) gira en espiral dentro del núcleo a una rapidez de:

174APUNTES DE FISICA d r d t

=−

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e


4

12 π 2 ε 02 r 2 me2 c 3

b) Encuentre el tiempo que tarda el electrón en llegar a r = 0,

empezando desde r 0 = 2,00 x 10-10 m. 42-64. En un átomo de litio la nube electrónica del electrón exterior se traslapa con las nubes de electrones de los dos electrones de la capa K. Un cálculo detallado de la carga efectiva que ejerce una fuerza eléctrica sobre otro electrón puede realizarse usando la mecánica cuántica. Para el caso del átomo de litio, la carga efectiva sobre cada electrón interior es −0.85e. Use este valor para encontrar a) la carga efectiva sobre el núcleo como "se ve" por el electrón de valencia exterior y b) la energía de ionización(compare ésta con 5,4 eV). 42-65. En la técnica conocida como resonancia del espín electrón (REE), una muestra que contiene electrones no pareados se pone en un campo magnético. Considere la situación más simple, aquella en la cual sólo hay un electrón y, por tanto, sólo son posibles dos estados de energía, que corresponden a ms = ± ½ . En la REE, la absorción de un fotón hace que el momento magnético del espín del electrón pase de un estado de energía menor a uno de energía mayor. (El estado de energía inferior corresponde al caso en el que el momento magnético µespín se alinea con el campo magnético, y el estado de energía superior corresponde al caso en el que µespín se alinea contra el campo.) ¿Cuál es la frecuencia requerida del fotón para excitar una transición de REE en un campo magnético de 0,350 T? 42-66. La figura P42.66 muestra los diagramas de niveles de energía del He y el Ne. Un voltaje eléctrico excita el átomo de He de su estado base a su estado excitado de 20,61 eV. El átomo de He excitado choca con un átomo de Ne en su estado base y lo excita hasta el estado a 20.66 eV. El procesamiento láser ocurre en la transición electrónica de E3* a E2 en los átomos de Ne. Muestre que la longitud de onda de la luz roja del láser de He- Ne es aproximadamente de 633 nm.

Figura P42.66

42-67. Un número adimensional que aparece a menudo en la física atómica es la constante de estructura fina α = kee2 / ћc, donde ke es la constante de Coulomb. a) Obtenga un valor numérico para l/ α. b) En experimentos de dispersión se considera que el tamaño del electrón es igual al radio clásico del electrón, r e = kee2 / m ec2. En función de α, ¿cuál es la proporción entre la longitud de onda de Compton (véase la sección 40.3), λC = h/mec, y el radio clásico del electrón? c) En función de α, ¿cuál es la proporción entre el radio de Bohr, a0, y la longitud de onda de Compton? d) En términos de α, ¿cuál es la proporción entre la longitud de onda de Rydberg, 1/ R H y el radio de Bohr? (véase la sección 40.5). 42-68. Muestre que la función de onda para un electrón en el estado 2s en el hidrógeno: 3 / 2 1  1   r     2 −  e − r / 2 a0 satisface la ecuación de Schrodinger simétrica ψ 2 s (r ) = 4 2 π  a0   a0  radialmente dada en el problema 11. 42-69. Un haz luminoso colimado de frecuencia f pasa en la dirección x a través de una muestra de una sustancia transparente con índice de refracción n. La longitud de su trayectoria es L La frecuencia se sintoniza para ser resonante con una transición entre dos niveles atómicos en la sustancia. El haz puede inducir emisión estimulada desde átomos en el estado superior, y puede ser absorbido

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por átomos en el estado inferior. La intensidad del haz es, por tanto, una función I(x) de la posición. El número de transiciones por unidad de tiempo y por área que el haz inducirá sobre una pequeña distancia dx en el material es igual a BNI( x) n dx / c, donde B es el coeficiente de Einstein para la transición (relacionado con la probabilidad de transición) y N es la densidad numérica (por ejemplo, densidad de población) de los átomos del estado inicial en la transición. La misma ecuación se mantiene tanto para la emisión como para la absorción estimuladas. Demuestre que si lo es la intensidad del haz antes de que entre al material, la intensidad del haz en el otro extremo es: I ( L) = I 0 e −α L donde α = h f B ∆N n / c, y donde ∆N es la diferencia en densidades numéricas entre estados inferior y superior. (Sugerencia: La intensidad es (energía/tiempo)/área y los fotones tienen energía.) 42-70. El premio Nobel de Fisica de 1997 fue otorgado a Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji y William Phillips por "el desarrollo de métodos para enfriar y atrapar átomos con luz láser". Una parte de su trabajo fue la producción de un haz de átomos (masa ∼ 10 -25 kg) que se mueven a una rapidez del orden de 1 km/s, similar a la rapidez de las moléculas en el aire a temperatura ambiente. Un intenso rayo de luz láser sintonizado a una transición atómica visible (suponga 500 nm) se dirige de frente hacia el haz de átomos. Esto es, el haz de átomos y el haz de luz se están contrapropagando. Un átomo en el estado base inmediatamente absorbe un fotón. El momentum total se conserva en el proceso de absorción. Después de un tiempo de vida del orden de 10 -8 s, el átomo excitado radia mediante emisión espontánea. Éste tiene una probabilidad igual de emitir un fotón en cualquier dirección. Por tanto, el "retroceso" promedio del átomo es cero a lo largo de muchos ciclos de absorción y emisión. a) Estime la desaceleración promedio del haz de átomos. b) ¿Cuál es el orden de magnitud de la distancia a lo largo de la cual los átomos en el haz llegarán a detenerse? RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS SORPRESA 42.1

La distribución de carga tridimensional mostrada en la figura 42.7b no es uniforme -tiene un pico en el radio de Bohr. La figura 42.7a representa la probabilidad de encontrar al electrón como una función de la distancia desde el centro del núcleo. Puesto que dicha probabilidad es una función de r pero no de x o y individualmente, la oportunidad de encontrar al electrón en el plano xy es un máximo en cualquier punto para el cual r = a0. Para r < a0, la probabilidad cae con rapidez -lo cual indica que es improbable encontrar al electrón muy cerca de o dentro del núcleo-. Conforme r se vuelve muy grande, la probabilidad de nuevo tiende a cero, lo que significa que el enlace del electrón no tiene una probabilidad significativa de estar alejado del núcleo. Imagine que usted está viendo hacia abajo del eje z de la figura 42.7b, hacia el plano xy. El área pico, donde se tiene más probabilidad de encontrar al electrón, aparecería más oscura, y las áreas de menor probabilidad serían más claras.

42.2

El dibujo ℓ = 3 es una representación gráfica de los resultados del ejemplo 42.6. Cálculos similares producen la magnitud y dirección del momentum angular para el caso ℓ = l.


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42.3

La Física clásica no pone restricciones al momentum angular L del átomo en el haz. En consecuencia, el momento magnético µ, de un átomo puede apuntar en cualquier dirección. Cada átomo interactúa de manera diferente con el campo magnético no uniforme y es desviado en concordancia. Esta variación aleatoria en la desviación resulta en un patrón de exposición uniformemente distribuido sobre la placa fotográfica, como el patrón clásico en la figura 42.12. Desde luego, experimentalmente éste no es el caso.

42.4

Los electrones que bombardean tienen una energía de 37 keV. La longitud de onda de corte corresponde a uno de dichos electrones que pierde toda su energía cinética en una sola colisión, energía que es emitida desde el blanco como un solo fotón. Se puede calcular la longitud de onda de este fotón a partir de las ecuaciones 16.14 y 40.6: λ = c/ f = hc / E = 34 pm. Longitudes de onda más cortas que esta pueden aparecer en el espectro continuo sólo si la energía de los electrones bombarderos está aumentando.

42.5

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CAPITULO 43 MOLECULAS Y SÓLIDOS

ACERTIJO La copa de vidrio y los cubiertos de plata tras ella son muy diferentes, aunque las mismas leyes de la física gobiernan la apariencia de ambos. ¿Qué hace al vidrio transparente y proporciona a los metales su brillo? (George Semple) Líneas generales del capitulo 43.1 43.2 43.3 43.4 43.5 43.6 43.7 43.8

Enlaces moleculares La energía y espectros de moléculas Enlaces en sólidos Teoría de bandas de sólidos Teoría de electrones libres de Metales Conducción eléctrica en metales, aislantes y semiconductores Dispositivos semiconductores Superconductividad

La hermosa simetría y regularidad de los sólidos cristalinos ha estimulado y permitido rápidos avances en el campo de la física de estado sólido en el siglo XX. El arreglo atómico más aleatorio, el de un gas, fue bien comprendido en el siglo XIX, como se estudió en el capítulo 21. Al inicio del siglo XX los grandes progresos se realizaron primero en aclarar las propiedades de los arreglos atómicos más regulares, el de los sólidos cristalinos. Más recientemente, ha avanzado la comprensión de los líquidos y sólidos amorfos (irregulares). El reciente interés de la física en los materiales amorfos de bajo costo ha sido motivado por su empleo en dispositivos como las celdas solares, elementos de memoria y guías de onda de fibra óptica.

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En el presente capítulo se estudian los conjuntos de átomos conocidos como, moléculas. Primero se describen los mecanismos de enlace en las moléculas, los diversos modos de excitación molecular y la radiación emitida o absorbida por moléculas. Luego se da el siguiente paso lógico, al mostrar cómo se combinan las moléculas para formar sólidos- Después, mediante el examen de sus distribuciones electrónicas, se explicarán las diferencias entre materiales aislantes, conductores, semiconductores y superconductores. El capítulo también incluye análisis de uniones semiconductoras y varios dispositivos semiconductores, y concluye con un tratamiento más amplio de los superconductores.

43-1. ENLACES MOLECULARES La energía de una molécula estable es menor que la energía total de los átomos separados. Los mecanismos de enlace en una molécula se deben principalmente a fuerzas eléctricas entre átomos (o iones). Cuando dos átomos están separados por una distancia infinita, la fuerza eléctrica entre ellos es cero, como lo es la energía potencial eléctrica del sistema que constituyen. A medida que los átomos se aproximan entre sí, actúan tanto fuerzas atractivas como repulsivas. A separaciones muy grandes, las fuerzas dominantes son atractivas. Para pequeñas separaciones las fuerzas electrostáticas y el principio de exclusión resultan en una fuerza repulsiva, como se analizará en breve. . La energía potencial de un sistema de átomos puede ser positiva o negativa, dependiendo de la distancia entre los átomos constituyentes. Como se vio en el ejemplo 8.11, la energía potencial total de un sistema de dos átomos puede aproximarse por una expresión de la forma: U = −

A n

r

+

B m

r

(43.1)

donde r es la distancia de separación internuclear, A y B son parámetros asociados con las fuerzas atractiva y repulsiva, y n y m son enteros pequeños. En la figura 43.1 se grafica la energía potencial total versus la distancia de separación intemuclear para un sistema de dos átomos. A grandes distancias de separación, la pendiente de la curva es positiva, lo que corresponde a una fuerza atractiva neta. Cuando los átomos están muy próximos entre sí, la pendiente es negativa, lo cual indica una fuerza repulsiva neta. En la distancia de separación de equilibrio, las fuerzas atractiva y repulsiva apenas se equilibran, la energía potencial tiene su valor mínimo y la pendiente de la curva es cero.

Figura 43.1 Energía potencial total como función de la distancia de separación internuclear para un sistema de dos átomos. Una descripción completa de los mecanismos de enlace en moléculas es muy complicada debido a que involucra las interacciones mutuas de muchas partículas. En esta sección, por tanto, sólo se analizan algunos modelos simplificados: enlace iónico, enlace covalente, enlace de van der Waals y enlace de hidrógeno.


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Enlace iónico Cuando dos átomos se combinan de tal manera que uno de ellos proporciona uno o más de sus electrones exteriores al otro, el enlace formado se denomina enlace iónico. Los enlaces iónicos se deben fundamentalmente a la atracción de Coulomb entre iones con cargas opuestas. Un ejemplo conocido de un sólido enlazado iónicamente es el cloruro de sodio, NaCl, la familiar sal de mesa. El sodio, que tiene la configuración electrónica 1s 22s22p63s, es relativamente fácil de ionizar, al proporcionar su electrón 3s para formar un ión Na +. La energía requerida para ionizar el átomo con el fin de formar Na+ es 5.1 eV. El cloro, cuya configuración electrónica es 1s 22s22p5, tiene un electrón menos que la estructura de capa llena del argón. Porque las configuraciones de capa llena son energéticamente más favorables que las configuraciones de capa no llena, el ión Cl − es más estable que el átomo Cl neutro. La energía liberada cuando un átomo toma un electrón recibe el nombre de afinidad electrónica del átomo. Para el cloro, la afinidad electrónica es 3.7 eV. Por tanto, la energía requerida para formar Na + y Cl− a partir de átomos aislados es 5.1 − 3.7= 1.4 eV. La energía total versus la distancia de separación internuclear para el NaCl se grafica en la figura 43.2. La energía total tiene un valor mínimo de −4.2 eV a la distancia de separación de equilibrio, la cual es aproximadamente de 0.24 nm. Lo anterior significa que la energía necesaria para romper el enlace Na + − Cl− y formar átomos neutros de sodio y cloro, denominada energía de disociación, es igual a 4.2 eV.

Figura 43.2 Energía total versus distancia de separación internuclear para iones Na + y Cl −. La energía requerida para separar la molécula de NaCl en átomos neutros de Na y Cl es 4.2 eV.

Cuando los dos iones se acercan hasta 0.24 nm uno del otro, sus capas exteriores llenas se traslapan, lo cual produce una repulsión entre las capas. Tal repulsión es en parte electrostática en origen y en parte el resultado del principio de exclusión. Puesto que todos los electrones deben obedecer el principio de exclusión, algunos de ellos en las capas traslapadas son forzados hacia estados de mayor energía, y la energía del sistema aumenta, como si una fuerza repulsiva existiera entre ellos. Pregunta sorpresa 43.1 La figura 43.2 muestra la energía total versus la distancia de separación internuclear para iones Na + y Cl−. Una vez que los iones están separados más de 0.24 nm, la energía aumenta pero no sin límite. ¿Cuál es el máximo valor de la energía para r > 0.24 nm?

Enlaces covalentes Un enlace covalente entre dos átomos es uno en el cual los electrones suministrados por uno o ambos átomos son compartidos. Muchas moléculas diatómicas, como H 2, F2 y CO deben su estabilidad a enlaces covalentes. En el caso de la molécula H2, los dos electrones son compartidos igualmente por los núcleos y ocupan lo que se conoce como arbital molecular. La densidad electrónica es grande en la región entre los dos núcleos, con los electrones actuando como el "pegamento" que mantiene unidos a los núcleos.

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La formación orbital molecular a partir de los orbitales s de los dos átomos de hidrógeno en H 2 aparece en la figura 43.3. Debido al principio de exclusión, los dos electrones en el estado base de H 2 deben tener espines antiparalelos. Asimismo, debido al principio de exclusión, si un tercer átomo H se lleva cerca de la molécula H2, el tercer electrón tendría que ocupa un nivel de mayor energía, lo cual es una situación energéticamente desfavorable. En consecuencia, la molécula de H3 no es estable y no se forma.

Figura 43.3 Enlace covalente formado por los dos electrones 1 s de la molécula H 2. La profundidad del color azul en cualquier posición es proporcional a la probabilidad de encontrar un electrón en dicho sitio.

Moléculas estables más complejas que H2, como H 2O, CO2 y CH 4 también contienen enlaces covalentes. Considere al metano, CH4, una molécula orgánica común que se muestra de manera esquemática en el diagrama de electrones compartidos de la figura 43.4a. En este caso, un enlace covalente se forma entre el átomo de carbono y cada átomo de hidrógeno, resultando en un total de cuatro enlaces covalentes C −H. El arreglo geométrico de los cuatro enlaces se muestra en la figura 43.4b. Los cuatro núcleos de hidrógeno están en las esquinas de un tetraedro regular, con el núcleo de carbono en el centro.

Figura 43.4 a) Una representación muy esquemática de los cuatro enlaces covalentes en la molécula CH 4. b) El arreglo espacial de estos cuatro enlaces. El átomo de carbono está en el centro de un tetraedro que tiene átomos de hidrógeno en sus esquinas. La densidad electrónica es mucho mayor entre los núcleos.

Como los orbitales moleculares externos de las moléculas covalentes están llenos, las interacciones entre tales moléculas son muy débiles. De hecho, muchas moléculas covalentes forman gases o líquidos en lugar de sólidos.

Enlace de van der Waals Si dos moléculas están separadas a cierta distancia, se atraen entre ellas por fuerzas electrostáticas débiles denominadas fuerzas de van der Waals. De igual modo, los átomos que no forman enlaces iónicos o covalentes se atraen mutuamente por medio de fuerzas de van der Waals . Por tal razón, a temperaturas muy bajas donde las excitaciones térmicas son despreciables, los gases primero se condensan en líquidos y después se solidifican (excepto el helio, el cual no se solidifica a presión atmosférica) . Hay tres tipos de fuerzas de van der Waals. El primer tipo denominado fuerza de dipolo−dipolo, es una interacción entre dos moléculas, cada una con un momento de dipolo eléctrico permanente −por ejemplo, moléculas polares, como el H2O, tienen momentos de dipolo eléctrico permanente y atraen a otras


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moléculas polares (Fig. 43.5)-. En efecto, una molécula interactúa con el campo eléctrico producido por otra molécula.

Figura 43.5 Las moléculas de agua tienen un momento de dipolo eléctrico permanente p. Las moléculas se atraen mutuamente ya que el campo eléctrico producido por una molécula interactúa con y orienta el momento de dipolo de una molécula vecina.

El segundo tipo, la fuerza de dipolo−dipolo inducido, resulta cuando una molécula polar que tiene un momento de dipolo eléctrico permanente induce un momento de dipolo en una molécula no polar. El tercer tipo se llama fuerza de dispersión, una fuerza atractiva que ocurre entre dos moléculas no polares. Aquí, la interacción es resultado de que, aunque el momento de dipolo promedio de una molécula no polar es cero, el promedio del cuadrado del momento de dipolo es diferente de cero debido a las fluctuaciones de carga. En consecuencia, dos moléculas no polares cerca una de otra tienden a estar correlacionadas como para producir una fuerza atractiva de van der Waals.

El enlace de hidrógeno Ya que el hidrógeno sólo tiene un electrón, se espera que forme un enlace covalente sólo con otro átomo. Sin embargo, un átomo de hidrógeno en una molécula dada también puede confiar un segundo tipo de enlace con un átomo en otra molécula vía un enlace de hidrógeno. Tome la molécula de agua como ejemplo. En los dos enlaces covalentes en esta molécula, los electrones de los átomos de hidrógeno es más probable que se encuentren cerca del átomo de oxígeno que de los átomos de hidrógeno, lo cual deja esencialmente descubiertos protones en las posiciones de los átomos de hidrógeno. Dicha carga positiva destapada puede ser atraída al extremo negativo de otra molécula polar. Debido a que el protón no está cubierto por los electrones, el extremo negativo de la otra molécula puede acercarse mucho al protón para confiar un enlace que es lo suficientemente intenso para Confiar una estructura cristalina sólida, como la del hielo. Los enlaces dentro de una molécula de agua son covalentes, pero los enlaces entre moléculas de agua en el hielo son enlaces de hidrógeno. Ya que los enlaces de hidrógeno son relativamente débiles, el hielo se derrite a la baja temperatura de 0 °C. El enlace de hidrógeno tiene una energía de enlace de alrededor de 0.1 eV. Aunque es relativamente débil en comparación con los otros enlaces químicos, el enlace de hidrógeno es el mecanismo responsable del enlace de moléculas biológicas y polímeros. Por ejemplo, en el caso de la famosa molécula de ADN (ácido desoxirribonucleico), que tiene una estructura de doble hélice (Fig. 43.6), los enlaces de hidrógeno que se forman cuando dos átomos comparten un protón crea uniones entre las vueltas de la hélice.

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Figura 43.6 Las moléculas de ADN se mantienen juntas mediante enlaces de hidrógeno. (Douglas Struthns/Tony Stone Images)

APLICACIÓN Midiendo fuerzas de enlace molecular con un microscopio de fuerza atómica (nueva visita al ejemplo 8.11) Como se destacó en la sección 41.8, un microscopio de fuerza atómica (MFA) usa una punta muy fina montada sobre una ménsula en cercana proximidad a una superficie para poder visualizar la topografía superficial con resolución nanométrica. El MFA es similar al microscopio de efecto túnel exploratorio, sólo que aquí la punta interactúa con la superficie para medir fuerza en lugar de corriente de efecto túnel. Una variación de la técnica del MFA permite medir las fuerzas de enlace entre átomos o entre vínculos en moléculas biológicas u otras macromoléculas, como se ilustra en la figura 43.7. En esta figura la molécula está ligada a una superficie que se puede mover verticalmente con precisión nanométrica. La fuerza ejercida sobre la punta donde otra parte de la molécula está anclada provoca que la ménsula se pandee. La ménsula puede ser considerada como un resorte simple; por tanto, su combado es proporcional a la fuerza ejercida sobre ella (ley de Hooke). El MFA llega a medir fuerzas tan diminutas como piconewtons. En un experimento para medir fuerzas de enlace, una punta especialmente preparada se pone con cuidado en contacto con una superficie revestida con las moléculas de interés. Varias moléculas pueden unirse a la punta, pero una cuidadosa extensión continua (mediante el movimiento de la superficie hacia abajo) deja unida a la punta sólo la molécula más larga puenteando la distancia superficie −punta. La fuerza necesaria para romper el siguiente enlace más débil se mide mediante el registro de la curvatura de la ménsula conforme la punta se retrae.


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Figura 43.7 Midiendo fuerzas de enlace con la punta de un MFA. Una sola cadena macromolecular se une covalentemente a la punta en dos partes. Aumentar el alargamiento rompe un enlace, lo que produce un cambio repentino en la curva fuerza versus separación conforme la separación se incrementa. (Adaptado de M. Grandbois, M. Beyer;M. Reif, H. Clausen −Schaumann, H. Goub, "How Strong Is a Covalent Bond?" Science 283:1727-1730, 1999.)

Considere la fuerza requerida para romper un solo enlace covalente en una molécula. Este problema se simplifica enormemente mediante la consideración del rompimiento de enlace para una función de energía potencial, que ya se conoce la interacción de van der Waals descrita con anterioridad en esta sección. La función de energía potencial establecida en forma general en la ecuación 43.1 toma la forma de la ecuación de Lennard−Jones citada en el ejemplo 8.11:

 σ 12  σ  6  U ( r ) = 4 ε   −     r    r  Dicha función está graficada en la figura 43.8 para el argón, un gas inerte que interactúa mediante la fuerza de van der Waals, con parámetros experimentalmente determinados σ = 0.340 nm y ε = 0.010 4 eV. La forma de esta función de energía potencial es genérica para muchos tipos de enlaces (compárese con la gráfica en la Fig. 43.2). La posición de la energía mínima representa la distancia de equilibrio para el enlace. Las interacciones repulsivas entre los electrones de capa interior provoca un gran aumento en la energía si los átomos se acercan, y la energía de interacción tiende a cero cuando los átomos están alejados lo suficiente. (Advierta que para cada pequeña desviación de la distancia de equilibrio, el primer término en una expansión de la serie de Taylor es cuadrática, lo cual es la forma de la función de energía potencial para un oscilador armónico.)

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Figura 43.8 Energía potencial versus distancia de separación intemuclear para dos átomos de argón enlazados por la interacción de van der Waals.

La distancia de equilibrio internuclear se calcula al encontrar la posición del mínimo en U( r), esto es, donde dU(r) / dr = 0: d U (r )

13 7 4 ε   σ   σ   = − 12   − 6    = 0

σ 

d r

 r 

 r  

Esto es equivalente a la posición de fuerza neta cero. Resolviendo para la posición de equilibrio r eq se encuentra en: r eq

= 21 / 6 σ

que para el argón es 0.382 nm. Cuando se aplica fuerza mediante un MFA, el enlace se rompe en el punto para el cual la fuerza es un máximo. Puesto que la fuerza es F = − dU/dr, la máxima fuerza atractiva ocurre en d2U/dr2 = 0. Se calcula 2

d U ( r ) 2

d r

14 8 4ε   σ   σ   = 2 156   − 42    = 0

σ 

 r 

 r  

y se encuentra que r ruptura = 0.423 nm, lo cual corresponde a una fuerza de 7.33 x 10 −2 eV/nm = 11.7 pN. Una ménsula con una constante de resorte de 0.12 N/m se combaría casi 0.1 nm con esta fuerza. Usando técnicas similares, Grandbois y colaboradores1 encontraron que el enlace covalente silicio−carbono se rompe con una fuerza de casi 2 nN y que el enlace azufre−carbono se rompe con una fuerza de aproximadamente 1.4 nN. Un análisis completo de un experimento con MFA también incluiría la energía potencial de la ménsula combada.2 Sin embargo, el análisis simplificado de la ruptura de enlace para un sistema modelo sugiere cómo se pueden aplicar las técnicas de MFA para sistemas macromoleculares más complejos e importantes. 1

M. Grandbois, M. Beyer, M. Rief, H. Clausen-Schaumann y H. Gaub, "How Strong Is a Covalent Bond?" Science283:1727-1730, 1999. 2

Para mayores detalles véase B. Shapiro y H. Qian, "A Quantitative Analysis of Single Protein-Ligand Complex Separation with fue Atomic Force Microscope", Biophys. Chem. 67:211−219,1997.

43.2.

LA ENERGÍA Y ESPECTROS DE MOLÉCULAS

Como en el caso de los átomos, la estructura y propiedades de moléculas pueden estudiarse al examinar la radiación que emiten o absorben. Antes de describir estos procesos es importante entender las distintas maneras en que puede excitarse una molécula. Considere una molécula individual en la fase gaseosa. La energía de la molécula puede dividirse en cuatro categorías: 1) energía electrónica, debida a interacciones entre los electrones y núcleos de las moléculas; 2) energía traslacional, la cual se debe al movimiento del centro de masa de la molécula a través del espacio; 3) energía rotacional, debida a la rotación de la molécula alrededor de su centro de masa, y 4) energía vibratoria, consecuencia de la vibración de los átomos constituyentes de la molécula: Energía total de una molécula:

E = E el

+ E tras + E rot + E vib


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La energía electrónica de una molécula es muy compleja ya que incluye la interacción de muchas partículas cargadas; sin embargo, se han desarrollado algunas técnicas para aproximar sus valores. Puesto que la energía traslacional no se relaciona con la estructura interna, esta energía molecular no es importante al interpretar los espectros moleculares.

Figura 43.9 a) Una molécula diatómica orientada a lo largo del eje x tiene dos grados de libertad rotacional, los que corresponden a rotaciones alrededor de los ejes y y z. b) Energías rotacionales permitidas de una molécula diatómica calculada con la ecuación 43.6.

Movimiento rotacional de una molécula Considere la rotación de una molécula alrededor de su centro de masa, limitando el análisis al caso diatómico (Fig. 43−9a), pero observando que las mismas ideas pueden extenderse a moléculas poliatómicas. Una molécula diatómica alineada a lo largo del eje x sólo tiene dos grados de libertad rotacionales, lo que corresponde a rotaciones alrededor de los ejes y y z. Si ω es la frecuencia angular de rotación alrededor de uno de estos ejes, la energía cinética rotacional de la molécula en tomo a dicho eje se puede expresar en la forma: E rot

=

1 2 I ω 2

(43.2)

donde I es el momento de inercia de la molécula, dado por: Momento de inercia para una molécula diatómica

 m1 m2  2  r = µ r 2  m1 + m2 

I = 

(43.3)

donde m1 y m2 son las masas de los átomos que forman la molécula, r es la separación atómica y µ es la masa reducida de la molécula: Masa reducida de una molécula:

µ =

m1 m2 m1

+ m2

(43.4)

La magnitud del momentum angular de la molécula es Iω, la cual, de manera clásica, puede tener cualquier valor. La mecánica cuántica, sin embargo, restringe el momentum angular a los valores: Valores permitidos del momentun angular rotacional I ω = J ( J + 1)

h

(J = 0,1,2,3,……

(43.5)

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donde J es un entero conocido como número cuántico rotacional. Al sustituir la ecuación 43.5 en la 43.2 se obtiene una expresión para los valores permitidos de la energía cinética rotacional: ,

( J ( J + 1) 1 1 2 ( I ω ) 2 = E rot = I ω = 2 2 I 2 I

h

)2

Valores permitidos de la energía rotacional E rot

=

h

2

J ( J + 1)

(43.6)

2 I

Así, se ve que la energía rotacional de la molécula está cuantizada y depende de su momento de inercia. Las energías rotacionales permitidas de una molécula diatómica se grafican en la figura 43.9b. Para la mayor parte de las moléculas, las transiciones entre niveles de energía rotacionales adyacentes resulta en radiación que se encuentra en el intervalo de frecuencias de las microondas ( f ∼1011 Hz). Cuando una molécula absorbe un fotón de microondas, la molécula salta de un nivel de energía rotacional inferior a uno superior. Las transiciones rotacionales permitidas de moléculas lineales se regulan mediante la regla de selección ∆J = ± l. Es decir, una línea de absorción en el espectro de microondas de una molécula lineal corresponde a una separación de energía igual a E J − EJ−1. De acuerdo con la ecuación 43.6, se observa que las transiciones permitidas están dadas por la condición:

∆ E = E J − E J −1 =

h

2

2 I

[ J ( J − 1) − ( J − 1) J ]

Separación entre niveles rotacionales adyacentes

∆ E =

h

2

I

J =

h

2

4 π 2 I

J

(43.7)

donde J es el número cuántico rotacional del estado de energía más alto. Porque ∆E = h f , donde f es la frecuencia del fotón absorbido, se ve que la frecuencia permitida de la transición J = 0 a J = 1 es f 1 = h/ 4π2I. La frecuencia correspondiente a la transición J = 1 a J = 2 es 2 f 1, y así sucesivamente. Tales predicciones concuerdan muy bien con las frecuencias observadas. Las longitudes de onda y frecuencias para el espectro de absorción de microondas de la molécula de monóxido de carbono están dadas en la tabla 43.1. A partir de estos datos pueden evaluarse el momento de inercia y la longitud del enlace de la molécula. TABLA 43.1. Diversas transiciones rotacionales de la molécula de CO Transición rotacional J = 0 → J = 1 J = 1 → J = 2 J = 2 → J = 3 J = 3 → j = 4

Longitud de onda del fotón absorbido 2,60 x 10−3 1,30 x 10−3 8,77 x 10−3 0,50 x 10−3

Frecuencia del fotón absorbido (Hz) 1,55 x 1011 2,30 x 1011 3,46 x 1011 4,61 x 1011

Tomado de G. M. Barrows, The Structure of Molecules, Nueva York, W. A. Benjamin, 1963.


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EJEMPLO 43.1. Rotación de la molécula de CO La transición rotacional de J = 0 a J = 1 de la molécula de CO ocurre a 1.15 x 10 11 Hz. a) Emplee esta información para calcular el momento de inercia de la molécula. b) Calcule la longitud del enlace de la molécula. Solución a) De acuerdo con la ecuación 43.7, se ve que la diferencia de energía entre los niveles rotacionales J = 0 y J = 1 es h 2 /4π2I. Igualando dicho valor de ∆E con la energía del fotón absorbido se tiene:

∆ E =

h

2

4 π 2 I

= h f

Resolviendo para I se obtiene

6,626 x 10 −34 J · s = = 1,46 x10 −46 kg · m 2 I = 2 11 −1 4 π f 4 π 2 (1,15 x10 s ) h

b) La ecuación 43.3 sirve para calcular la longitud del enlace; aunque primero es necesario conocer el valor de la masa reducida µ de la molécula de CO: µ =

m1 m2 m1

+ m2

=

(12 u ) (16 u ) = 6,86 u 12 u + 16 u

 1,66 x 10 −27 kg   = 1,14 x 10 −26 kg µ = 6,86 u  1u   donde se ha usado el hecho de que 1 u = 1.66 x 10 −27 kg. Al sustituir este valor y el resultado del inciso a) en la ecuación 43.3, y resolviendo para r se obtiene:

1,46 x 10 −46 kg · m 2 r = = = 1,13 x 10 −10 m = 0,113 nm − 26 µ 1.14 x 10 kg I

Movimiento vibratorio de moléculas Una molécula es una estructura flexible en la cual los átomos están ligados entre sí, por lo que se pueden considerar "resortes efectivos" (véase la Fig. 13.11). Si se perturba, la molécula puede vibrar y adquirir energía vibratoria. Este movimiento vibratorio y la energía vibratoria correspondiente pueden alterarse si la molécula se expone a ondas electromagnéticas de la frecuencia adecuada. Considere la molécula diatómica que se muestra en la figura 43.10a. Su resorte efectivo tiene una constante de fuerza k. Una gráfica de la energía potencial versus la separación atómica para una de estas moléculas se dibuja en la figura 43.10b, donde T 0 es la separación atómica de equilibrio. De acuerdo con la mecánica clásica, la frecuencia de vibración para este sistema es: f =

1 k 2 π µ

donde de nuevo µ es la masa reducida dada por la ecuación 43.4.

(43.8)

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Como se esperaba, la solución de la mecánica cuántica a este sistema muestra que la energía está cuantizada, con energías permitidas: E vib

1 =   v +  h f 2 



v = 0,1,2,...

(43.9)

donde v es un entero llamado número cuántico vibratorio. Si el sistema permanece en el estado de vibración más bajo, para el cual v = 0, su energía de punto cero es ½ hf La vibración acompañante −el movimiento del punto cero− siempre está presente, incluso si la molécula no está excitada. En el primer estado excitado, v = 1 y la energía vibratoria es 3/2 hf ; y así sucesivamente. Sustituyendo la ecuación 43.8 en la 43.9 se obtiene la siguiente expresión para la energía vibratoria: Valores permitidos de energía de vibración E vib

1 =   v + 

h

k

2  2 π µ



v = 0,1,2,...,

(43.10)

La regla de selección para las transiciones vibratorias permitidas es ∆v = ± 1. De acuerdo con la ecuación 43.10 se ve que la diferencia de energía entre cualesquiera dos niveles vibratorios sucesivos es:

∆ E vib =

h

k

2 π µ

= h f

(43.11)

Figura 43.10 a) Modelo de resorte efectivo para una molécula diatómica. La vibración está a lo largo del eje molecular. b) Gráfica de la energía potencial de una molécula diatómica versus la distancia de separación atómica, donde v0 es la distancia de separación de equilibrio de los átomos.

Las energías vibratorias de una molécula diatómica se grafican en la figura 43.11. A temperaturas ordinarias la mayor parte de las moléculas tienen energías vibratorias correspondientes al estado v = 0, debido a que el espaciamiento entre estados vibratorios es mucho más grande que kBT. Las moléculas no están excitadas térmicamente en los estados superiores. Las transiciones entre niveles vibratorios son causadas por absorción en la región infrarroja del espectro, es decir, una molécula salta de un nivel de energía vibratoria menor a uno mayor absorbiendo un fotón que tiene una frecuencia en el intervalo infrarrojo. Las frecuencias de fotón correspondientes a la transición v = 0 a v = 1 de diversas moléculas diatómicas se registran en la tabla 43.2, junto con las constantes de fuerza de los resortes efectivos que mantienen unidas a las moléculas. Los últimos valores fueron calculados empleando la ecuación 43.11. La "rigidez" de un enlace puede medirse por medio del tamaño de la constante de fuerza efectiva.


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Figura 43.11 Energías vibratorias permitidas de una molécula diatómica, donde f es la frecuencia de vibración de la moléculá, dada por la ecuación 43.8. Los espaciamientos entre niveles vibratorios adyacentes son iguales si la molécula se comporta como un oscilador armónico.

TABLA 43.2. Frecuencia de fotón y constante de fuerza de resorte efectivo para la transición v = 0 a v = 1 en algunas moléculas diatómicas Molécula HF HCI HBr HI CO NO

Frecuencia de fotón (Hz) 8.72 x 1013 8.66 x 1013 7.68 x 1013 6.69 x 1013 6.42 x 1013 5.63 x 1013

Constante de fuerza (N/m) 970 480 410 320 1 850 1 530

Tomado de G. M. Barrows, The Structure of Molecules, Nueva York, W. A. Benjamin, 1963. El valor k fue calculado a partir de la ecuación 43.11. EJEMPLO 43.2. Vibración de la molécula de CO La frecuencia del fotón que causa la transición v = 0 a v = 1 en la molécula de CO es 6.42 x 1013 Hz. a) Calcule la constante de fuerza k para esa molécula. b) ¿Cuál es la máxima amplitud de vibración de esta molécula en el estado vibratorio v = O? Solución a) Se puede usar la ecuación 43.11 y el valor µ = 1.14 x 10 −26 kg que se calculó en el ejemplo 43.1b: h

k

2 π µ

= h f

2 2 k = 4 π µ f

= 4 π 2 (1,14 x10 −26

kg ) (6,42 x 10 s − 13

) = 1,85 x 103 N / m

1 2

b) La energía potencial máxima almacenada en la molécula es ½ kA 2, donde A es la amplitud de vibración. Igualando tal energía máxima con la energía vibratoria dada por la ecuación 43.10, con v = 0 se obtiene:

1 2 h k k A = 2 4 π µ

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Sustituyendo el valor k = 1.85 x 10 3 N/m y el valor para µ del inciso a) se obtiene:

6,626 x 10 −34 J · s 1,85 x 10 3 N / m = = 2,30 x 10 − 23 m 2 A = − 26 3 2 π k µ 2 π (1,85 x 10 N / m 1,14 x 10 kg 2

h

k

De manera que A = 4.79 x 10 −12 m = 4.79 x 10 −3 nm Al comparar este resultado con la longitud del enlace de 0.113 nm que se calculó en el ejemplo 43.1b, se ve que la amplitud de vibración es casi 4 % de la longitud del enlace. Por tanto, observe que la espectroscopia infrarroja proporciona información útil acerca de las propiedades elásticas (resistencias del enlace) de las moléculas.

Espectros moleculares En general, una molécula gira y vibra de manera simultánea. En una primera aproximación estos movimientos son independientes uno del otro, por lo que la energía total de la molécula es la suma de las ecuaciones 43.6 y 43.9: 2 h 1 E = (v + ) h f + J ( J + 1) 2 2 I

(43.12)

Los niveles de energía de cualquier molécula pueden calcularse a partir de esta expresión, y cada nivel es indicado mediante dos números cuánticos, J y v. A partir de estos cálculos se construye un diagrama de niveles de energía, como el que se muestra en la figura 43.12a. Para cada valor permitido del número cuántico vibratorio v hay un conjunto completo de niveles rotacionales que corresponden ∆J = 0, 1, 2,... Note que la separación de energía entre niveles rotacionales sucesivos es mucho más pequeña que la separación entre niveles vibratorios sucesivos. Como se destacó con anterioridad, la mayor parte de las moléculas a temperaturas ordinarias están en el estado vibratorio v = 0; dichas moléculas pueden estar en varios estados rotacionales, como se muestra en la figura 43.12a.


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Figura 43.12. a) Transiciones absorbentes entre los estados vibratorios v = 0 y v = 1 de una molécula diatómica. Las transiciones obedecen la regla de selección ∆J = ± 1 y caen en dos secuencias, la de ∆J = +1 y la de ∆J = −1. Las energías de transición están dadas por la ecuación 43.12. b) Líneas esperadas en el espectro de absorción de una molécula. Las líneas a la derecha de la marca central corresponden a transiciones en las cuales J cambia por +1; las líneas a la izquierda de la marca central corresponden a transiciones para las cuales J cambia por −1. Estas mismas líneas aparecen en el espectro de emisión .

Cuando una molécula absorbe un fotón infrarrojo, el número cuántico vibratorio v aumenta en una unidad en tanto que el número cuántico rotacional J aumenta o disminuye en una unidad, como se percibe en la figura 43.12. Así, el espectro de absorción molecular se compone de dos grupos de líneas: el grupo a la derecha del centro satisface las reglas de selección ∆J = 1 y ∆v = 1, y el grupo a la izquierda del centro satisface3 las reglas de selección ∆J = − 1 y ∆v = l. Las energías de los fotones absorbidos se calculan a partir de la ecuación 43.12:

∆ E = h f +

h

∆ E = h f +

h

2

I

( J + 1)

J = 0,1,2,3,….( ∆J = 1)

(43.13)

J

J = 1,2,3,...( ∆J = −1)

(43.14)

2

I

donde ahora J es el número cuántico rotacional del estado inicial La ecuación 43.13 genera la serie de líneas igualmente espaciadas superiores a la frecuencia f , en tanto la ecuación 43.14 genera la serie inferior a esta frecuencia. Las líneas adyacentes están separadas en frecuencia por la unidad fundamental h/2πI; lo anterior se observa al sustituir hf por ∆E en la ecuación 43.7 y establecer J = l. La figura 43.12b muestra las frecuencias esperadas en el espectro de absorción de la molécula; estas mismas frecuencias aparecen en el espectro de emisión. 3 La regla de selección ∆J = ± 1 implica que el fotón que provoca la transición es una partícula de espín 1 con número cuántico de espín s = l. Por tanto, esta regla de selección describe la conservación del momentum angular del sistema que consta de la molécula y el fotón.

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Figura 43.13 Espectro de absorción de la molécula HCI. Cada línea se divide en un doblete porque la muestra contiene dos isótopos de cloro que poseen diferente masa y, en consecuencia, distintos momentos de inercia.

El espectro de absorción de la molécula HCl mostrado en la figura 43.13 sigue muy bien este patrón y refuerza el modelo. Sin embargo, es patente una peculiaridad: cada línea se divide en un doblete. Este doblamiento ocurre debido a que dos isótopos del cloro (véase la sección 1.2) estuvieron presentes en la muestra usada para obtener este espectro. Ya que los isótopos tienen diferentes masas, las dos moléculas de HCl tienen diferentes valores de I. Pregunta sorpresa 43.2 Usando la figura 43.13 estime el momento de inercia de una molécula de HCl . Para moléculas de CO2 la mayor parte de las líneas de absorción están en la porción infrarroja del espectro. Por tanto, la luz visible del Sol no es absorbida por el CO 2 atmosférico sino que, en vez de eso, golpea la superficie de la Tierra, calentándola. A su vez, la Tierra emite radiación infrarroja. Estas ondas IR son absorbidas por el CO 2 en el aire en lugar de radiarlo hacia el espacio. En consecuencia, el CO2 atmosférico actúa como una válvula de una vía para la energía proveniente del Sol. El quemado de combustibles fósiles puede añadir más CO2 a la atmósfera. Muchos científicos temen que lleguen a ocasionarse cambios climáticos sustanciales a partir de un "efecto invernadero" mejorado.

43.3.

ENLACES EN SÓLIDOS

Un sólido cristalino se compone de un gran número de átomos dispuestos en una configuración regular, formando una estructura periódica (en otras palabras, repetitiva). Dos de los mecanismos de enlace descritos en la sección 43.1 −iónico y covalente− también son apropiados al describir los enlaces en sólidos. Por ejemplo, los iones del cristal NaCl están enlazados iónicamente, como ya se había señalado, y los átomos de carbono en el cristal al que se le denomina diamante forman enlaces covalentes entre ellos. El enlace metálico descrito al final de la presente sección es responsable de la cohesión del cobre, plata, sodio y otros metales sólidos.


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Sólidos cristalinos. a) Un cilindro de silicio (Si) cristalino casi puro, de aproximadamente 25 cm de largo. Tales cristales son cortados en obleas y procesados para hacer varios dispositivos semiconductores. b) Aunque este cristal se llama "diamante" Herkimer, es cuarzo natural (SiO 2), uno de los minerales más comunes en la Tierra. Los cristales de cuarzo se emplean para hacer lentes y prismas para cámaras especiales y en ciertas aplicaciones de electrónica. (Charles D. Winters)

Figura 43.14 a) Estructura cristalina de NaCl. b) Cada ión de sodio positivo (esferas rojas) está rodeado por seis iones de cloro negativos (esferas azules), y cada ión de cloro está rodeado por seis iones de sodio.

Sólidos iónicos Muchos cristales se forman mediante enlace iónico, donde la interacción dominante entre los iones es la interacción de Coulomb. Considere el cristal de NaCl en la figura 43.14. Cada ión Na+ tiene seis iones Cl− vecinos más cercanos, y cada ión Cl − tiene seis iones Na+ vecinos más cercanos. Cada ion Na + es atraído hacia sus seis vecinos Cl −. La energía potencial atractiva correspondiente es −6ke e2 /r, donde ke es la constante de Coulomb y r es la distancia de separación entre cada Na + y Cl −. Además, hay 12 iones Na+ a una distancia de 2 r desde el Na +, y estos 12 iones positivos ejercen fuerzas repulsivas más débiles sobre el Na+ central. Asimismo, más allá de estos 12 iones de Na + están más iones Cl− que ejercen una fuerza atractiva, etcétera. El efecto neto de todas estas interacciones es una energía potencial eléctrica negativa resultante:

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U atracción


= − α k e

e

2

r

(43.15)

donde α es un número puro conocido como constante de Madelung. El valor de α depende sólo de la estructura del cristal. Por ejemplo, α = 1,747 6 para la estructura del NaCl. Cuando los iones constituyentes de un cristal se acercan unos a otros, existe una fuerza repulsiva debida a las fuerzas electrostáticas y al principio de exclusión, como se estudió en la sección 43.1. Es así tomando en cuenta el término de energía potencial B/rm en la ecuación 43.1. Por tanto, la energía potencial total es: U total

= −α k e

e

2

r

+

B m

r

(43.16)

donde m en esta expresión es algún pequeño entero. Una gráfica de la energía potencial total contra la separación de iones se muestra en la figura 43.15. La energía potencial tiene su valor mínimo U0 en la separación de equilibrio, cuando r = r 0. Se deja como un problema (problema 47) mostrar que: 2

e  1  U 0 = −α k e 1 −  r 0  m 

(43.17)

Dicha energía mínima U0 se conoce como energía cohesiva iónica del sólido, y su valor absoluto representa la energía requerida para separar el sólido en una colección de iones aislados positivos y negativos. Su valor para NaCI es −7.84 eV por ión par.

Figura 43..15 Energía potencial total versus distancia de separación de iones para un sólido iónico, donde U 0 es la energía cohesiva iónica y r 0 es la distancia de separación de equilibrio entre iones.

Con el fin de calcular la energía cohesiva atómica, la cual es la energía de enlace relativa a la energía de los átomos neutros, se deben sumar 5.14 eV al valor de la energía cohesiva iónica para explicar la transición desde Na+ a Na, y se deben sustraer 3.61 eV para convertir el Cl − en Cl. Por ende, la energía cohesiva atómica del NaCl es:

− 7.84 eV + 5.14 eV − 3.61 eV = − 6.31 eV Los cristales iónicos tienen las siguientes propiedades generales:

• • • •

Forman cristales relativamente estables y duros. (El punto de fusión del NaCl es 801°C.) Son pobres conductores eléctricos debido a que no contienen electrones libres. Tienen altas temperaturas de evaporación. Son transparentes a la radiación visible pero absorben intensamente en la región infrarroja. La luz visible no es absorbida porque las capas formadas por los electrones en los sólidos iónicos están


•

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enlazadas en forma tan estrecha que la radiación visible no posee suficiente energía para estimular a los electrones a la siguiente capa permitida. La radiación infrarroja se absorbe con intensidad porque las vibraciones de los iones tienen una frecuencia resonante natural en la región infrarroja de baja energía. Muchos son bastante solubles en líquidos polares, como el agua. Las moléculas solventes polares ejercen una fuerza eléctrica atractiva sobre los iones cargados, la cual rompe los enlaces iónicos y disuelve el sólido.

Sólidos covalentes El carbono sólido, en forma de diamante, es un cristal cuyos átomos están enlazados covalentemente. Ya que el carbono atómico tiene la configuración electrónica 1s22s22p2, le faltan cuatro electrones para llenar su capa n = 2, la cual puede acomodar ocho electrones. Por tanto, dos átomos de carbono tienen una intensa atracción entre sí, con una energía cohesiva de 7.37 eV. En la estructura del diamante cada átomo de carbono está enlazado covalentemente a otros cuatro átomos de carbono localizados en las cuatro esquinas de un cubo, como se muestra en la figura 43.16a. Para formar dicha configuración de enlaces, un electrón 2s de cada átomo debe ascenderse a la subcapa 2p de modo que la configuración electrónica se convierta en 1s 22s12p3, la cual corresponde a una subcapa p medio llena. La promoción de este electrón requiere una energía de casi 4eV.

Figura 43.16 a) Cada átomo de carbono en un cristal de diamante está enlazado en forma covalente a otros cuatro átomos e carbono y forma una estructura tetraédrica. b) La estructura cristalina del diamante que muestra el arreglo de enlace tetraédrico.

La estructura cristalina del diamante se muestra en la figura 43.16b. Observe que cada átomo de carbono forma enlaces covalentes con cuatro átomos vecinos cercanos. La estructura básica del diamante se denomina tetraédrica (cada átomo de carbono está en el centro de un tetraedro regular), y el ángulo entre los enlaces es de 109.5°. Otros cristales, como el silicio y el germanio, tienen estructuras similares. Cuando los átomos de carbono forman una gran estructura hueca, la combinación recibe el nombre de bucklnmsterfullerene (buckyballs), en honor al famoso arquitecto que inventó la cúpula geodésica. La forma única de esta molécula (Fig. 43.17) proporciona una "caja" para mantener a otros átomos o moléculas. Estructuras relacionadas, llamadas "buckytubes" debido a sus largos y estrechos arreglos cilíndricos de átomos de carbono, proporcionan la base para materiales sumamente fuertes, aunque muy ligeros. Las energías cohesivas atómicas de algunos sólidos covalentes se proporcionan en la tabla 43.3. Las grandes energías explican la dureza de los sólidos covalentes. El diamante es particularmente duro y tiene un punto de fusión muy alto (alrededor de 4 000 K). Los sólidos enlazados en forma covalente con frecuencia son muy duros, tienen grandes energías de enlace y altos puntos de fusión, además de ser buenos aislantes eléctricos.

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Figura 43.17 Representación de computadora de una "buckyball" abreviatura para la molécula buckminsterfullerene. Estas estructuras moleculares casi esféricas que parecen balones de sóccer fueron llamadas así en honor de R Buckminster Fuller, el inventor de la cúpula geodésica. Esta forma de carbono, C 60, fue descubierta por astrofisicos mientras investigaban el gas de carbono que existe entre las estrellas. Los científicos están estudiando activamente las propiedades y usos potenciales de la buckminsterfullerene y moléculas relacionadas. (Charles D. Winters)

TABLA 43.3. Energía cohesiva de algunos sólidos covalentes Sólido C (diamante) Si Ge IDAs SiC ZnS CuCI

Energía cohesiva (eV) 7,37 4,63 3,85 5,70 6,15 6,32 9,24

Sólidos metálicos Los enlaces metálicos son por lo general más débiles que los enlaces iónicos o covalentes. Los electrones exteriores en los átomos de un metal son relativamente libres de moverse a través del material, y el número de tales electrones móviles en un metal es grande. La estructura del metal puede verse como un "mar" o "gas" de electrones casi libres que rodean una rejilla de iones positivos (Fig. 43.18). El mecanismo de enlace en un metal es la fuerza atractiva entre los iones positivos y el gas de electrones. Los metales tienen una energía cohesiva en el intervalo de 1 a 3 eV, el cual es más pequeño que las energías cohesivas de sólidos iónicos o covalentes.

Figura 43.18 Diagrama altamente esquemático de un metal. El área azul representa el gas de electrones y los círculos anaranjados representan los iones metálicos positivos.

La luz interactúa intensamente con los electrones libres en los metales: Por esa razón, la luz visible se absorbe y vuelve a emitirse muy cerca de la superficie de un metal, lo cual explica la naturaleza brillante de las superficies metálicas. (Compare esto con la transparencia del vidrio mostrado en la fotografía al


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comienzo del capítulo. La luz visible no interactúa de manera intensa con los electrones del vidrio.) Además de la alta conductividad eléctrica de los metales producidos por electrones libres, la naturaleza no direccional del enlace metálico permite que muchos diferentes tipos de átomos metálicos se disuelvan en un metal anfitrión en cantidades variables. Las soluciones sólidas resultantes, o aleaciones, pueden ser diseñadas para tener propiedades particulares, como resistencia a la tensión, ductilidad, conductividad eléctrica y térmica, así como resistencia a la corrosión. Tales propiedades suelen ser controlables y en muchos casos predecibles.

43.4

TEORÍA DE BANDAS DE SÓLIDOS

Si dos átomos idénticos se apartan una distancia considerable, no interactúan y sus niveles de energía electrónica pueden considerarse como los de átomos aislados. Suponga que los dos átomos son sodio, cada uno con un electrón solitario 3s que tiene una energía específica bien definida. Cuando los dos átomos de sodio se juntan, sus órbitas exteriores empiezan a traslaparse. Cuando la interacción entre ellos es suficientemente intensa, se forman 4 dos niveles de energía 3s, como se muestra en la figura 43.19a. Cuando un gran número de átomos se juntan para formar un sólido, ocurre un fenómeno similar. Conforme los átomos se acercan unos a otros los diversos niveles de energía atómica empiezan a dividirse. Esta división de niveles para seis átomos muy próximos se muestra en la figura 43.19b. En tal caso hay seis niveles de energía que corresponden a seis diferentes combinaciones de funciones de onda de átomos aislados. Puesto que el intervalo de valores de energía en los cuales se dividen los niveles que se traslapan no es una función del número de átomos que se combinan, los niveles de energía de los seis átomos están espaciados de manera más próxima que los niveles de dos átomos. Si el argumento anterior se extiende al gran número de átomos que se encuentran en los sólidos (del. orden de 1023 átomos por cm3), se obtiene un gran número de niveles con un espaciamiento tan próximo que es posible considerarlos como una banda continua de niveles de energía, como está mostrado en la figura 43.19c. En el caso del sodio, se acostumbra referirse a la distribución continua de niveles de energía permitidos como banda 3s, ya que la banda se origina a partir de los niveles 3s de átomos de sodio individuales.

Figura 43.19 a) División de los niveles 3s cuando dos átomos de sodio se acercan. b) División de los niveles 3s cuando seis átomos de sodio se acercan. c) Formación de una banda 3s cuando un gran número de átomos de sodio se ensamblan para formar un sólido.

En general, un sólido cristalino tiene un número considerable de bandas de energía permitidas que proviene de los diferentes niveles de energía atómicos. La figura 43.20 muestra las bandas de energía permitidas del sodio. Advierta, que la energía de desdoblamiento, denominada bandas de energía prohibidas, ocurre entre las bandas permitidas. 4

Existe una división en los niveles de energía debido a las dos maneras de las funciones de onda de los átomos que se pueden combinar. Si ψ 1 y ψ 2 son dos funciones de onda, el estado ψ 1 + ψ 2 resulta en una mayor densidad de electrones entre los dos núcleos atómicos, mientras que el estado ψ 1 − ψ 2 tiene cero probabilidad de encontrar al electrón entre los dos núcleos. Como el electrón está enlazado más apretadamente (tiene menor energía) cuando está entre los átomos, el estado ψ 1 + ψ 2 tiene una energía un poco menor que el estado ψ 1 − ψ 2. En consecuencia, existen dos niveles de energía ligeramente separados para el electrón cuando los dos átomos se acercan.

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Figura 43.20 Bandas de energía del sodio. Advierta la energía de desdoblamiento (regiones blancas) entre las bandas permitidas; los electrones no pueden ocupar estados que se encuentran en estos espacios prohibidos. Lo azul representa bandas de energía ocupadas por los 11 electrones del sodio cuando el átomo está en su estado base. Lo amarillo representa bandas de energía que están vacías.

Para N átomos combinados en cualquier sólido cada banda de energía tiene N niveles de energía. En el caso del sodio las bandas 1s, 2s y 2p están llenas, como se indica por medio de las áreas de color azul en la figura 43.20. Un nivel de energía cuyo momentum angular orbital es ℓ puede contener 2 (2 ℓ +1) electrones. El factor 2 surge de las dos posibles orientaciones del espín del electrón, en tanto que el factor 2 ℓ + 1 corresponde al número de posibles orientaciones del momentum angular orbital. La capacidad de cada banda para un sistema de N átomos es 2(2 ℓ + 1)N electrones. Por tanto, las bandas 1s y 2s contienen cada una 2N electrones ( ℓ = 0), y la banda 2p contiene 6N electrones (ℓ = 1). Ya que el sodio sólo tiene un electrón 3s y hay un total de N átomos en el sólido, la banda 3s contiene sólo N electrones y sólo está medio llena, como está indicado mediante la coloración azul −amarillo en la figura 43.20. La banda 3p, la cual se encuentra arriba de la banda 3s, está vacía por completo (totalmente amarilla en la figura). En la sección 43.6 se analizará cómo la teoría de bandas permite comprender el comportamiento de conductores, aislantes y semiconductores.

43.5

TEORÍA DE ELECTRONES LIBRES DE METALES

En la sección 27.3 se describió una teoría clásica de la conducción eléctrica en metales, lo que condujo a la ley de Ohm. De acuerdo con esta teoría, un metal puede ser modelado como un clásico gas de conducción de electrones que se mueve a través de un enrejado (fijo) de núcleos de ión. Aunque tal teoría predice la forma funcional correcta de la ley de Ohm, no predice los valores correctos de las conductividades eléctrica y térmica. En esta sección se estudia la teoría de electrones libres de metales, la cual remedia las deficiencias del modelo clásico al tomar en cuenta la naturaleza ondulatoria de los electrones. En dicho modelo uno imagina que los electrones de la capa exterior tienen libertad de movimiento a través del metal, pero están atrapados dentro de una cavidad formada por -la superficie del metal. La física estadística puede aplicarse a una colección de partículas con el propósito de relacionar las propiedades microscópicas con las macroscópicas. En el caso de los electrones es necesario recurrir a la estadística cuántica, con el requisito de que cada estado del sistema puede ser ocupado por sólo un electrón. Cada estado se especifica por medio de un conjunto de números cuánticos. La probabilidad de que un estado particular con energía E sea ocupado, por uno de los electrones en un sólido está dada por, Función de distribución Fermi−Dirac

f ( E ) =

1 e

( E − E F ) / k BT

+1

(43.18)


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donde f(E) se denomina función de distribución Fermi−Dirac y EF recibe el nombre de energía de Fermi. Se trata de una expresión que describe cómo se distribuye la energía entre los electrones. Una gráfica de f(E) versus E en T = 0 K se muestra en la figura 43.21a. Observe que f(E) = 1 para E < E F, y f(E) = 0 para E > E F . Es decir, en 0 K, todos los estados cuyas energías están debajo de la energía de Fermi están ocupados, en tanto que todos los estados con energías mayores que la energía de Fermi están vacíos. Una gráfica de f(E) versus E a cierta temperatura T > 0 K se observa en la figura 43.21b. La curva muestra que conforme aumenta T, la distribución se redondea ligeramente, con los estados entre E y E − kBT perdiendo población y los estados entre E y E + k BT ganando población. La energía de Fermi E F también depende de la temperatura, pero en los metales la dependencia es débil.

Figura 43.21 Gráfica de la función de distribución Fenni −Dirac f(E) versus energía en a) T = 0 K y b) T > 0 K. La energía EF es la energía de Fermi.

Pregunta sorpresa 43.3 En la figura 43.21b, ¿cuál es el significado fisico de la parte curva de la gráfica cerca de E F? Pregunta sorpresa 43.4 ¿Dónde está el nivel de energía Fermi en la figura 43.20? En la sección 41.4 se encontró que si una partícula de masa m está confinada a moverse en una caja unidimensional de longitud L, los estados permitidos tienen niveles de energía cuantizados: E n

=

h

2

8 m L2

n

2

=

h

2

π 2

2 m L2

n = 1,2,3,...

Las funciones de onda para estos estados permitidos son ondas estacionarias dadas por ψ = A sen (nπx/ L), la cual satisface la condición de frontera ψ = 0; en x = 0 y x = L. Suponga a continuación una pieza de metal con la forma de un cubo sólido de lado L y volumen L 3, y enfóquese sobre un electrón que tiene libertad de moverse en todas direcciones en este volumen. En dicho modelo se requiere que ψ (x, y, z) = 0 en las fronteras. Este requisito resulta en soluciones que son ondas estacionarias en tres dimensiones. Puede mostrarse (véase el problema 30) que la energía para uno de tales electrones es: E =

h

2

π 2 2

2 me L

(n x2 + n y2 + n z2 )

donde me es la masa del electrón y n x, n y y n z son números cuánticos. También en este caso los niveles de energía están cuantizados, y cada uno está caracterizado por este conjunto de tres números cuánticos (uno para cada grado de libertad) y el número cuántico de espín ms. Por ejemplo, el estado base correspondiente a n x = n y = n z = 1 tiene una energía igual a 3 ħ2π2 /2meL2.

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Si los números cuánticos se tratan como variables continuas, el número de estados permitidos por unidad de volumen que tienen energías entre E y E + dE es: g ( E ) dE = C E 1 / 2 dE

(43.20)

donde C =

8 2 π me3 / 2 h

3

(43.21)

La función g(E) = CE1/2 recibe el nombre de función de densidad de estados. En un metal en equilibrio térmico, el número de electrones por unidad de volumen que tienen energía entre E y E + dE es igual al producto f(E) g(E) dE: N ( E ) dE = C

1 / 2

E e

dE

( E − E F ) / k BT

+1

(43.22)

Una gráfica de N(E) versus E para dos temperaturas se proporciona en la figura I43.22.

Figura 43.22 Gráfica de distribución electrónica contra energía en un metal a T = 0 K (líneas rojizas curva y vertical) y T = 300 K (líneas rojiza curva y discontinua negra). La energía de Fermi E F es 3 eV.

Si ne es el número total de electrones por unidad de volumen, se requiere que: ∞

ne

∞

= ∫ N ( E ) dE = C ∫ 0

0

1 / 2

E e

( E − E F ) / k BT

+1

(43.23)

Se puede usar esta condición para calcular la energía de Fermi. En T = 0 K, la función de distribución de Fermi f(E) = 1 para E < E F, y f(E) = 0 para E > E F. Por tanto, en T = 0 K, la ecuación 43.23 se convierte en: E F

ne

= C ∫ E 1 / 2

2 3 / 2 C E F 3

dE =

0

(43.24)

La sustitución de la ecuación 43.21 en la 43.24 produce, para la energía de Fermi a 0 K Energía de Fermi a T = 0 K

 3 ne    E F (0) = 2 me  8 π  h

2

2 / 3

(43.25)

De acuerdo con este resultado, E F muestra un aumento gradual con la concentración de electrones crecientes. Lo anterior se esperaba, pues los electrones llenan los estados de energía disponibles, dos electrones por estado, en concordancia con el principio de exclusión, hasta la energía de Feemi.


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El orden de magnitud de la energía de Fermi para metales es aproximadamente de 5 eV. Valores representativos de varios metales están proporcionados en la tabla 43.4, junto con valores para la rapidez de Fermi vF de los electrones, la cual es la rapidez de los electrones cuando su energía es igual a la energía de Fermi. La rapidez de Fermi está definida por la relación:

1 2 me v F = E F 2

(43.26)

La tabla 43.4 también enumera la temperatura de Fermi, T F, definida por la relación: k BT = E F

(43.27)

Se deja como una tarea (problema 29) mostrar que la energía promedio de un electrón libre en un metal a 0 K es: E promedio

=

2 E 5 F

(43.28)

En resumen, un metal se puede considerar como un sistema que contiene un número muy grande de niveles de energía disponibles para los electrones libres, los cuales llenan tales niveles en concordancia con el principio de exclusión, empezando con E = 0 y terminando con E F. En T= 0 K todos los niveles debajo de la energía de Fermi están llenos y todos los niveles arriba de la energía de Fermi están vacíos. Aunque los niveles son discretos, están tan próximos que los electrones tienen una distribución de energía casi continua. A 300 K, una muy pequeña fracción de los electrones libres se excitan por arriba de la energía de Fermi. TABLA 43.4 Valores calculados de varios parámetros para metales a 300 K basados en la teoría de electrones libres Metal

Concentración de electrones (m3) 4.70 x 1028 2.65 x 1028 1.40 x 1028 8.49 x 1028 5.85 x 1028 5.90 x 1028

Li Na K Cu Ag Au

Energía de Fermi (eV) 4.72 3.23 2.12 7.05 5.48 5.53

Rapidez de Fermi (m/s) 1.29 x 106 1.07 x 106 0.86 x 106 1.57 x 106 1.39 x 106 1.39 x 106

Temperatura de Fermi (K) 5.48 x 104 3.75 x 104 2.46 x 104 8.12 x 104 6.36 x 104 6.41 x 104

EJEMPLO 43.3 La energía de Fermi del oro Cada átomo de oro (Au) contribuye con un electrón libre para el metal. Calcule a) la energía de Fermi, b) la rapidez de Fermi y c) la temperatura de Fermi para el oro. Solución a) La concentración de electrones libres en el oro es 5.90 x 1028 m −3 (véase la tabla 43.4). La sustitución de este valor en la ecuación 43.25 produce:

 3 ne    E F (0) = 2 me  8 π  h

2

2 / 3

(6,63 x10 −34 J · s) 2  3 (5 ,90 x10 28 m −3 )    = 8 π 2 (9,11 x 10 −31 kg )  

2 / 3

= 8,85 x 10 −18 J = 5,53 eV

b) La rapidez de Fermi se define mediante la ecuación 43.26, ½ me v F 2 = EF. Resolviendo para vF se obtiene:

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v F

=

2 E F me

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2 (8,85 x 10 −19 J ) = = 1,39 x 10 6 m / s −31 9,11 x 10 kg

c) La temperatura de Fermi está definida por la ecuación 43.27:

8.85 x 10 −19 J = = 6,41 x10 4 K T F = − 23 k B 1,38 x 10 J ( K E F

Así, ¡la temperatura de un gas de partículas clásicas tendría que elevarse hasta cerca de 64 000 K para tener una energía promedio por partícula igual a la energía de Fermi a 0 K!

43.6

CONDUCCIÓN ELÉCTRICA EN METALES, AISLANTES Y SEMICONDUCTORES

Los buenos conductores eléctricos contienen una alta densidad de portadores de carga, en tanto que la densidad de portadores de carga en aislantes es casi cero. Los semiconductores son una clase de materiales tecnológicamente importantes en los cuales las densidades de portadores de carga son intermedias entre las de los aislantes y las de los conductores. En esta sección se estudian los mecanismos de conducción en las tres clases de materiales. Las enormes variaciones en sus conductividades eléctricas pueden explicarse en función de las bandas de energía.

Metales Si un material conducirá electricidad, los portadores de carga en el material deben tener libertad de moverse en respuesta a un campo eléctrico aplicado. Considere los electrones en un metal como los portadores de carga que se investigarán. El movimiento de los electrones en respuesta a un campo eléctrico representa un aumento en la energía correspondiente a la energía cinética adicional de los electrones en movimiento. En consecuencia, para responder a un campo eléctrico, los electrones deben moverse hacia un estado de energía más alto sobre un diagrama de niveles de energía. Para que puedan hacer esto, los estados de energía deben estar disponibles sobre los estados llenos en la banda. Si una banda queda completamente llena con electrones, ninguno de tales estados está disponible, y los electrones no pueden responder al campo eléctrico mediante movimiento. En la sección 43.4 se describió la configuración de la banda de energía para el estado base del sodio metálico. Es posible obtener una mejor comprensión de cómo actúan los metales como conductores eléctricos considerando una banda medio llena, como la banda 35 del sodio.

Figura 43.23 Banda medio llena de un metal, un conductor eléctrico. En T = 0 K, la energía de Fermi se encuentra en la mitad de la banda.

La figura 43.23 presenta una banda medio llena en un metal en T = 0 K, donde la región azul representa niveles llenos con electrones. Debido a que los electrones obedecen la estadística de Fermi−Dirac, todos los niveles debajo de la energía de Fermi están llenos con electrones y todos los niveles arriba de la energía de Fermi están vacíos. La energía de Fermi se encuentra en la mitad de la banda, como se estudió para el sodio en la pregunta sorpresa 43.4. A temperaturas un poco mayores de 0 K, algunos electrones son excitados térmicamente hasta niveles arriba de EF, pero todo lo que ocurre es un cambio menor respecto del caso de 0 K. Sin embargo, si una diferencia de potencial se aplica al metal, los electrones que tienen energías cercanas a la de Fermi sólo requieren una pequeña cantidad de energía adicional del campo aplicado para alcanzar estados cercanos de energía vacíos sobre la energía de Fermi. Así, los electrones en un metal experimentan sólo un pequeño campo aplicado y tienen libertad para moverse porque hay muchos estados vacíos disponibles cerca de los estados de energía ocupados. A


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partir de dicho alto grado de movilidad de los electrones se concluye que los metales son excelentes conductores eléctricos.

Aislantes Considere a continuación las dos bandas de energía más exteriores de un material, donde la banda inferior está llena con electrones y la superior vacía a 0 K (Fig. 43.24). Es común referirse a la energía de separación entre la banda más exterior llena y la banda vacía adyacente como la energía de desdoblamiento E g del material. La energía de desdoblamiento para un aislante es grande ( ≈ 10 eV). La banda inferior llena se conoce como banda de valencia, y la banda superior vacía es la banda de conducción. La energía de Fermi está en algún lugar en la energía de desdoblamiento, como se observa en la figura 43.24. A 300 K (temperatura ambiente), kBT = 0.025 eV, la cual es mucho más pequeña que la energía de desdoblamiento en un aislante. A estas temperaturas la distribución de Fermi −Dirac predice que muy pocos electrones se excitan térmicamente en la banda de conducción. Por tanto, aunque un aislante tiene muchos estados vacíos que pueden aceptar electrones en su banda de conducción, hay tan pocos electrones ocupando estos estados que la conductividad eléctrica total es muy pequeña, lo que da como resultado una alta resistividad de los aislantes.

Figura 43.24 Un aislante eléctrico a T = 0 K tiene una banda de valencia llena y una banda de conducción vacía. El nivel de Fermi se encuentra en algún lugar entre estas bandas, en la región conocida como energía de desdoblamiento.

Semiconductores Los semiconductores tienen la estructura de banda de un aislante y una energía de desdoblamiento del orden de 1 eV. La tabla 43.5 muestra la energía de desdoblamiento para algunos materiales representativos. En T = 0 K, todos los electrones en estos materiales están en la banda de valencia y no hay energía disponible para excitarlos a través de la brecha de energía de desdoblamiento. De este modo, los semiconductores son pobres conductores a temperaturas muy bajas. Sin embargo, a temperaturas ordinarias la situación es bastante diferente. Por ejemplo, la conductividad del silicio a temperatura ambiente es de aproximadamente 1.6 x 10−3 (Ω · m) −1.

Figura 43.25 Estructura de bandas de un semiconductor a temperatura ordinaria (T = 300 K). La energía de desdoblamiento es mucho menor que en un aislante, y muchos electrones ocupan estados en la banda de conducción.

La estructura de bandas de un semiconductor se muestra en la figura 43.25. Ya que el nivel de Fermi se localiza cerca de la parte media del hueco para un semiconductor y en virtud de que E g es pequeña, un número apreciable de electrones son excitados térmicamente desde la banda de valencia hasta la banda de conducción. Hay muchos niveles vacíos en la banda de conducción; por tanto, la aplicación de una

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pequeña diferencia de potencial puede incrementar sin dificultad la energía de los electrones en la banda de conducción, originando una corriente moderada. Dado que para los electrones el ser excitados térmicamente a través de la angosta brecha es más probable a temperaturas más altas, la conductividad de semiconductores aumenta muy rápido con la temperatura. Ello contrasta claramente con la conductividad de los metales, la cual disminuye en forma lenta con la temperatura, como se describe al final de la sección 27.3. TABLA 43.5. Valores de la energía de desdoblamiento para algunos semiconductores* Cristal Si Ge InP GaP GaAs CdS CdTe ZnO ZnS

Eg (eV) 0 K 300 K 1.17 1.14 0.744 0.67 1.42 1.35 2.32 2.26 1.52 1.43 2.582 2.42 1.607 1.45 3.436 3.2 3.91 3.6

* Tornado de C. Kittel. lntroduction lo Solid State Physics, 5a. ed., Nueva York, John Wiley & Sons, 1976. Los portadores de carga en un semiconductor pueden ser negativos, positivos o ambos. Cuando un electrón se mueve desde la banda de valencia hacia la banda de conducción, deja atrás un sitio vacío, que recibe el nombre de hoyo, en la de otro modo banda de valencia llena. Este hoyo (sitio deficiente de electrones) aparece como una carga positiva + e y actúa como un portador de carga en el sentido de que un electrón libre de un sitio cercano puede transferirlo dentro de un hoyo. Siempre que un electrón se comporta así, crea un nuevo hoyo en el sitio que abandonó. Por ende, el efecto neto puede verse como el hoyo emigrando a través del material en la dirección opuesta a la dirección del movimiento del electrón. En un cristal puro que contiene sólo un elemento o compuesto, hay igual número de hoyos y electrones de conducción. Tales combinaciones de cargas reciben el nombre de pares electrón−hoyo, y un semi conductor puro que contiene dichos pares se denomina semiconductor intrínseco (Fig. 43.26). En presencia de un campo eléctrico externo, los hoyos se mueven en la dirección del campo y los electrones de conducción se mueven en la dirección opuesta al campo.

Figura 43.26 Movimiento de cargas (hoyos y electrones) en un semiconductor intrínseco. Los electrones se mueven en la dirección opuesta a la dirección del campo eléctrico externo, y los hoyos se mueven en la dirección del campo.

Semiconductores dopados Cuando se añaden impurezas a semiconductores, tanto su estructura de bandas como su resistividad se modifican. El proceso de agregar impurezas, denominado dopaje, es importante al fabricar dispositivos y


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semiconductores que tengan regiones bien definidas de diferente conductividad. Por ejemplo, cuando un átomo que contiene cinco electrones en la capa exterior, como el arsénico, se añade a un semiconductor, cuatro de los electrones participan en los enlaces covalentes con átomos del semiconductor y uno queda afuera (Fig. 43.27a). El electrón adicional está casi libre de su átomo padre y tiene un nivel de energía que se encuentra dentro de la energía de desdoblamiento, justo debajo de la banda de conducción (Fig. 43.27b). El átomo pentavalente dona en efecto un electrón a la estructura y, en consecuencia, se conoce como átomo donador. Puesto que los espaciamientos entre los niveles de energía del electrón del átomo donador y la parte inferior de la banda de conducción son muy pequeños (por lo común, casi de 0.05 eV), sólo una pequeña cantidad de excitación térmica se necesita para hacer que este electrón se mueva dentro de la banda de conducción. (Recuerde que la energía promedio de un electrón a temperatura ambiente es aproximadamente kBT ≈ 0.025 eV.) Los semiconductores dopados con átomos donadores reciben el nombre de semiconductores tipo n ya que la mayoría de los portadores de cargas son electrones, los cuales tienen carga negativa. .

Figura 43.27 a) Representación bidimensional de un semiconductor (gris) que contiene un átomo impuro (amarillo−naranja), el cual tiene cinco electrones de capa exterior. Cada línea doble representa un enlace covalente. b) Diagrama de banda de energía para un semiconductor en el cual el electrón casi libre del átomo impuro se encuentra en la brecha prohibida, justo abajo del fondo de la banda de conducción. )

Si el semiconductor se dopa con átomos que contienen tres electrones en la capa exterior, como indio y aluminio, los tres forman enlaces covalentes con sus átomos semiconductores vecinos, dejando una deficiencia −un hoyo− de electrón, donde estaría el cuarto enlace si un electrón de átomo impuro estuviese disponible para formarlo (Fig. 43.28a). El nivel de energía de este hoyo está dentro de la energía de desdoblamiento, justo arriba de la banda de valencia, como se muestra en la figura 43.28b. Un electrón de la banda de valencia tiene suficiente energía a temperatura ambiente para llenar estos niveles de impurezas, dejando detrás un hoyo en la banda de valencia. Ya que un átomo trivalente acepta en efecto un electrón de la banda de valencia, estas impurezas se conocen como átomos aceptores. Un semiconductor dopado con impurezas trivalentes (aceptor) se conoce como semiconductor tipo p porque la mayoría de los portadores de carga son poyos con carga positiva.

Figura 43.28 a) Representación bidimensional de un semiconductor (gris) que contiene un átomo impuro (amarillo−naranja) con tres electrones en su capa externa. b) Diagrama de energía −banda para un semiconductor, en el cual el hoyo que resulta del átomo impuro trivalente está en la abertura prohibida, justo arriba de la parte superior de la banda de valencia.

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Cuando la conducción en un semiconductor es el resultado de impurezas de aceptor o donador, el material se denomina semiconductor extrínseco. El intervalo normal de densidades de dopaje para semiconductores extrínsecos es de 1013 a 1019 cm−3, mientras la densidad de electrones en un semiconductor común es de aproximadamente 10 21 cm−3.

43.7

DISPOSITIVOS SEMICONDUCTORES

La unión p−n Considere ahora qué pasa cuando un semiconductor tipo p se une a un semiconductor tipo n para formar una unión p−n. La unión se compone de las tres distintas regiones mostradas en la figura 43.29a: una región p, una región de agotamiento y una región n.

Figura 43.29 a) Arreglo físico de una unión p −n. b) Campo eléctrico interno versus x para la unión p −n. c) Diferencia de potencial eléctrico interno ∆V versus x para la unión p −n. La diferencia de potencial ∆V0 representa la diferencia de potencial a través de la unión en ausencia de un campo eléctrico aplicado.

La región de agotamiento, que se extiende varios micrómetros a cualquiera de los lados del centro de la unión, puede considerarse como si surgiera cuando las dos mitades de la unión se juntan. Los electrones donadores móviles del lado n más cercano a la unión (área azul oscuro en la figura 43.29a) se difunden hacia el lado p, dejando atrás iones positivos inmóviles. Al mismo tiempo los hoyos del lado p más cercanos a la unión se difunden hacia el lado n y dejan atrás una región (área café en la Fig. 43.29a) de iones negativos fijos. La región de agotamiento contiene un campo eléctrico interno (el cual surge de las cargas de los iones fijos) del orden de 10 4 a 106 V/cm (véase la Fig. 43.29b). Este campo barre cargas móviles fuera de esta región. Por tanto, la región de agotamiento se llama así porque carece de portadores de carga móviles. Este campo eléctrico interno crea una diferencia de potencial interna ∆V0 que evita la difusión adicional de hoyos y electrones a través de la unión y asegura una corriente cero a través de la unión cuando no se aplica diferencia de potencial. Quizá el rasgo más notable de la unión p−n es su capacidad para pasar corriente en una sola dirección. Esta acción es más fácil de entender en función de la gráfica de diferencia de potencial mostrada en la figura 43.29c. Si un voltaje ∆V se aplica a la unión de tal modo que el lado p esté conectado a la terminal positiva de una fuente de voltaje, como se muestra en la figura 43.30a, la diferencia de potencial interna ∆V0 va a través de la unión está disminuyendo; la disminución resulta en una corriente que aumenta


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exponencialmente con el voltaje directo creciente, o polarización directa. En la polarización inversa (donde el lado n de la unión está conectado a la terminal positiva de una fuente de voltaje) la diferencia de potencial interna ∆V0 se incrementa con la polarización inversa creciente; el aumento origina una corriente inversa muy pequeña que alcanza con rapidez un valor de saturación I0. La relación corriente−voltaje para un diodo ideal es: I = I 0 (e

e ∆V / k B T

− 1)

(43.29)

donde la primera e es la base del logaritmo natural, la segunda e representa la magnitud de la carga del electrón, kB es la constante de Boltzmann y T es la temperatura en kelvins. La figura 43.30b indica una curva característica I ∆V de una unión p −n real.

Figura 43.30 a) Esquema de una unión p-n bajo polarización directa. b) La curva característica de una unión p −n real.

Pregunta sorpresa 43.5 ¿La unión p−n descrita en la figura 43.30 obedece la ley de Ohm?

Diodos emisores y absorbedores de luz La emisión y absorción de luz en semiconductores es similar a la emisión y absorción de luz de los átomos gaseosos, excepto que en el análisis de los semiconductores los niveles de energía atómica discretos deben ser sustituidos por bandas. Como se observa en la figura 43.31a, un electrón excitado eléctricamente dentro de la banda de conducción puede recombinarse sin dificultad con un hoyo (especialmente si el electrón se inyecta dentro de una región p). Conforme ocurre esta recombinación, se emite un fotón de energía Eg. Los diodos emisores de luz (LED) y los rayos láser semiconductores son ejemplos típicos de dispositivos que usan este fenómeno. De manera inversa, un electrón en la banda de valencia puede absorber un fotón de luz y ser promovido a la banda de conducción, dejando un hoyo tras de sí (Fig. 43.3lb). Un dispositivo que opera con este principio es la celda solar fotovoltaica.

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Figura 43.31 a) Emisión de luz a partir de un semiconductor. b) Absorción de luz mediante un semiconductor.

Experimento sorpresa Apunte un control remoto de televisión a la lente de una videograbadora y grabe durante unos cuantos segundos mientras usted oprime los botones del control remoto. Cuando reproduzca la cinta verá los destellos "invisibles" del control remoto. Él dispositivo semiconductor en la videograbadora que percibe la luz que entra a la lente es sensible a los pulsos infrarrojos que salen del control remoto.

El Sojourner, visto aquí recorriendo la superficie de Marte en 1997, usó celdas solares fotovoltaicas para convertir luz solar en electricidad. (Cortesía de la NASA)

EJEMPLO 43.4 ¿Dónde está el control remoto? Estime la banda de desdoblamiento del semiconductor en el LED infrarrojo de un control remoto de televisión típico. Solución En el capítulo 34 se aprendió que la longitud de onda de la luz infrarroja va de los 700 nm a 1 mm. Elija un número con el que sea fácil trabajar, como 1 000 nm. (Ésta no es una mala estimación. Los controles remotos por lo general operan en el intervalo de 880 a 950 nm.) La energía de un fotón está dada por E = h c/ λ, así que la energía de los fotones del control remoto es de aproximadamente 2.0 x 10−19 J = 1.2 eV, lo cual corresponde a una energía de desdoblamiento Eg de más o menos 1.2 eV en el semiconductor del LED.

El transistor de unión La invención del transistor, en 1948, por John Bardeen (1908 −1991), Walter Brattain (1902−1987) y William Shockley (1910−1989) revolucionó por completo el mundo de la electrónica. Por este trabajo estos tres hombres compartieron el premio Nóbel en 1956. Hacia 1960 el transistor había sustituido al tubo de vacío en muchas aplicaciones electrónicas. La llegada del transistor creó una industria de miles de millones de dólares que produce dispositivos tan populares como los radios portátiles, las calculadoras de bolsillo, computadoras, receptores de televisión y juegos electrónicos. Una forma del transistor de unión consta de un material semiconductor en el cual una región n muy estrecha esta en medio de dos regiones p. Dicha configuración se denomina transistor pnp. Otra configuración es el transistor npn, el cual se compone de una región p en medio de dos regiones n. Ya que el funcionamiento de los dos transistores en esencia es el mismo, sólo se describirá al transistor pnp.


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La estructura del transistor pnp junto con sus símbolos de circuito se muestra en la figura 43.32. Las regiones exteriores se denominan emisor y colector, y la estrecha región central se conoce como base. La configuración contiene dos uniones: la interfase emisor−base y la interfase colector−base.

Figura 43.32 a) El transistor pnp consta de una región n (base) en medio de dos regiones p (emisor y colector). b) Símbolo de circuito para el transistor pnp. WEB: Para aprender más acerca de los controles remotos de TV y cientos de otros dispositivos cotidianos visite www.howsfuffworks.com Suponga que se aplica un voltaje al transistor de modo que el emisor está a un potencial eléctrico más alto que el colector. (Esto se consigue con la batería ∆Vec, en la figura 43.33.) Si considera al transistor como dos uniones p−n espalda con espalda, se ve que la unión emisor −base está directamente polarizada, y que la unión base−colector está polarizada en forma inversa. El emisor está excesivamente dopado en relación con la base, de modo que casi toda la corriente se compone de hoyos que se mueven a través de la unión emisor−base. La mayor parte de estos hoyos no se recombinan con los electrones en la base debido a que ésta es muy estrecha. En vez de ello, los hoyos se aceleran a través de la unión base −colector polarizada en forma inversa, produciendo la corriente de emisor I e que aparece en la figura 43.33.

Figura 43.33 Un voltaje de polarización ∆Veb aplicado a la base como se muestra produce una pequeña corriente de base Ib que se usa para controlar la corriente del colector I c en un transistor pnp.

Aunque sólo un pequeño porcentaje de los hoyos se recombina en la base, los que lo hacen limitan la corriente del emisor a un valor pequeño porque los portadores de carga positiva se acumulan en la base y evitan que los hoyos fluyan en ella. Con el objetivo de evitar esta limitación de corriente, una parte de la carga positiva en la base debe extraerse; esto se logra conectando la base a la batería rotulada como ∆Veb como se muestra en la figura 43.33. Aquellas cargas positivas que no son barridas a través de la unión base−colector salen de la base por medio de esta trayectoria agregada. Esta corriente de la base I b es muy pequeña, pero un mínimo cambio en ella puede alterar de manera significativa la corriente del colector Ic. Si el transistor está polarizado apropiadamente, la corriente del colector (salida) es directamente proporcional a la corriente de la base (entrada), y el transistor actúa como un amplificador de corriente. Esta condición puede escribirse como: I c

= β I b

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donde β, el factor ganancia de corriente, por lo general está en el intervalo de 10 a 100. El transistor puede emplearse para amplificar una señal pequeña. El pequeño voltaje que se va a amplificar se pone en serie con la batería ∆Veb. La señal de entrada produce una pequeña variación en la corriente de la base, lo que produce un gran cambio en la corriente del colector y, consecuentemente, un gran cambio en el voltaje a través del resistor de salida.

El circuito integrado Inventado en forma independiente por Jack Kilby (n. 1923) en Texas Instruments al final de 1958, y por Robert Noyce (n. 1927) en Fairchild Camera and Instrument a principios de 1959, el circuito integrado ha sido llamado con justicia "la más extraordinaria tecnología que jamás impactara a la humanidad". El primer dispositivo de Kilby se muestra en la figura 43.34. Los circuitos integrados en efecto han iniciado una "segunda revolución industrial" y se encuentran en el corazón de computadoras, relojes, cámaras, automóviles, aeronaves, robots, vehículos espaciales y todo tipo de redes de comunicación y conmutación.

Figura 43.34 El primer circuito integrado de Jack Kilby, probado el 12 de septiembre de 1958. (Cortesía de Texas 1nstruments, Inc.)

Figura 43.35 Los circuitos integrados continúan reduciéndose en tamaño y precio mientras, de manera simultánea, crecen en capacidad. (Cortesía de Intel Co1poration)

En términos simples, un circuito integrado es una colección de transistores, diodos, resistores y capacitores interconectados que se fabrican sobre un solo pedazo de silicio, conocido como chip. Los chips más avanzados contienen fácilmente varios millones de componentes en un área de 1 cm2 (Fig. 43.35), con el número de componentes por pulgada cuadrada duplicándose cada año desde que el circuito integrado fue inventado. La figura 43.36 ilustra los avances dramáticos realizados en la tecnología de chips en los pasados 30 años.


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Figura 43.36 Esta gráfica ilustra los avances dramáticos en la tecnología de chips: el número de componentes que caben en un solo chip de computadora contra año de manufactura.

Los circuitos integrados fueron inventados en parte para resolver el problema de interconexión generado por el transistor. En la era de los tubos de vacío, las consideraciones de potencia y tamaño de componentes individuales impusieron modestos límites sobre el número de componentes que podrían interconectarse en un circuito dado. Con la llegada del diminuto transistor de baja potencia y alta confiabilidad, los límites de diseño sobre el número de componentes desaparecieron y fueron sustituidos con el problema de alambrar juntos cientos de miles de componentes. La magnitud de este problema puede apreciarse cuando se considera que las computadoras de segunda generación (compuestas por transistores discretos en lugar de circuitos integrados) contenían varios cientos de miles de componentes que requerían más de un millón de uniones que debían soldarse y probarse en forma manual. Web: Para mayor información visite www.intel.com Además de resolver el problema de interconexión, los circuitos integrados poseen las ventajas de miniaturización y rápida respuesta, dos atributos fundamentales para las computadoras de alta velocidad. La respuesta rápida es producto de la miniaturización y del empaque compacto de los componentes, ya que el tiempo de respuesta de un circuito depende del tiempo que tardan las señales eléctricas en viajar a casi 0.3 m/ns para pasar de un componente a otro. Este tiempo se reduce por el empaque compacto de los componentes.

43.8.

SUPERCONDUCTIVIDAD

En la sección 27.5 aprendió que existe una clase de metales y compuestos conocidos como superconductores cuya resistencia eléctrica disminuye virtualmente a cero bajo una cierta temperatura TC llamada temperatura crítica (tabla 43.6). Ahora se apreciarán en mayor detalle estos sorprendentes materiales, usando lo que se acaba de aprender acerca de las propiedades de los sólidos para ayudarlo a comprender el comportamiento de los superconductores. ) TABLA 43.6. Temperaturas críticas para varios superconductores Material TC (K) Zn 0.88 Al 1.19 Sn 3.72 Hg 4.15 Pb 7.18 Nb 9.46 Nb3Sn 18.05 23.2 N−b3Ge 92 YBa2Cu3O7 105 Bi−Sr−Ca−Cu−O 125 TI−Ba−Ca−Cu−O

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Comience examinando el efecto Meissner, descrito en la sección 30.8 como la exclusión de flujo magnético del interior de los superconductores. Argumentos simples, basados en las leyes de la electricidad y el magnetismo se pueden, usar para mostrar que el campo magnético dentro de un superconductor no puede cambiar con el tiempo. De acuerdo con la ecuación 27.8, R = ∆V/I, y ya que la diferencia de potencial ∆Va través de un conductor es proporcional al campo eléctrico dentro del conductor, se ve que el campo eléctrico es proporcional a la resistencia del conductor. En consecuencia, ya que R = 0 para un superconductor a o bajo su temperatura crítica, el campo eléctrico en su interior debe ser cero. Ahora recuerde que la ley de Faraday de la inducción se puede expresar en la forma mostrada en la ecuación 31.9:

∫

→

→

E • d s

=−

d Φ B d t

(43.30)

Esto es, la integral de línea del campo eléctrico alrededor de cualquier espira cerrada es igual al negativo de la rapidez de cambio en el flujo magnético ΦB a través de la espira. Puesto que E es cero en cualquier parte dentro del superconductor, la integral sobre cualquier trayectoria cerrada dentro del superconductor es cero. Por tanto, d ΦB / dt = 0; esto indica que el flujo magnético en el superconductor no puede cambiar. A partir de esta información se puede concluir que B(= ΦB A) debe permanecer constante dentro del superconductor. Antes de 1933 se supuso que la superconductividad fue una manifestación de conductividad perfecta. Si un conductor perfecto es enfriado bajo su temperatura crítica en la presencia de un campo magnético aplicado, el campo estaría atrapado en el interior del conductor incluso después de que el campo externo se removiera. Además, el estado final del conductor perfecto dependería de qué ocurra primero, la aplicación del campo o el enfriamiento por abajo de T C. Si el campo se aplica después de que se enfría el material, el campo seria expulsado del superconductor. Si el campo se aplica antes de que el material se enfríe, el campo no seria expulsado una vez que el material se ha enfriado. Sin embargo, en 1933 W. Hans Meissner y Robert Ochsenfeld descubrieron que, cuando un metal se vuelve superconductor en la presencia de un campo magnético débil, el campo es expulsado. En consecuencia, se logra el mismo estado final B = 0 siempre que el campo sea aplicado antes o después de que el material se enfría abajo de su temperatura critica. Web: Para un análisis más detallado sobre el campo de la superconductividad visite la página en Internet para este libro www.saunderscollege.com/physics/ El efecto Meissner se ilustra en la figura 43.37 para un material superconductor en la forma de un largo cilindro. Advierta que el campo penetra el cilindro cuando su temperatura es mayor que T C (Fig. 43.37a) Sin embargo, conforme la temperatura disminuye debajo de T C, las líneas de campo son expulsadas espontáneamente del interior del superconductor (Fig. 43.37b), por tanto, un superconductor es más que un conductor perfecto (resistividad ρ = 0); también es un diamagneto perfecto (B = 0). La propiedad de que B = 0 en el interior de un superconductor es tan fundamental como la propiedad de resistencia cero. Si la magnitud del campo magnético aplicado excede un valor critico BC, definido como el valor de B que destruye las propiedades superconductoras de un material, el campo de nuevo penetra la muestra. Ya que un superconductor es un diamagneto perfecto que tiene una susceptibilidad magnética negativa, repele un imán permanente. De hecho, uno puede realizar una demostración del efecto Meissner haciendo flotar un pequeño imán permanente sobre un superconductor y logrando levitación magnética, como se vio en la figura 30.34. Usted debe recordar, a partir de su estudio de la electricidad, que un buen conductor expulsa campos eléctricos estáticos mediante el movimiento de las cargas sobre su superficie. En efecto, las cargas superficiales producen un campo eléctrico que cancela de manera exacta el campo externo aplicado dentro del conductor. En una forma similar, un superconductor expele campos magnéticos mediante la formación de corrientes superficiales. Para ver por qué ocurre esto, considere de nuevo al superconductor mostrado en la figura 43.37. Suponga que la muestra inicialmente está a una temperatura T > T C, como se ilustra en la figura 43.37a, de modo que el campo magnético penetra el cilindro. Conforme el cilindro se enfría a una temperatura T < T C, el campo es expulsado, como se muestra en la figura 43.37b. Las


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corrientes superficiales inducidas sobre la superficie del superconductor producen un campo magnético que cancela con exactitud el campo externo aplicado dentro del superconductor. Como usted esperaría, las corrientes superficiales desaparecen cuando se remueve el campo magnético externo.

Figura 43.37 Un superconductor en la forma de un largo cilindro en la presencia de un campo magnético externo. a) A temperaturas sobre T C, las líneas de campo penetran el cilindro porque están en su estado normal. b) Cuando el cilindro se enfría a T < T C y se vuelve superconductor, el flujo magnético es excluido de su interior mediante la inducción de corrientes superficiales.

Un importante desarrollo en la física que produjo mucha excitación en la comunidad científica fue el descubrimiento de los superconductores con base en óxido de cobre de alta temperatura. La excitación comenzó con una publicidad en 1986 de J. Bednorz (n. 1950) y K Alex Müller (n. 1927), científicos del IBM Zurich Research Laboratory, en Suiza. En su informe 5 Bednorz y Müller reportaron fuerte evidencia de superconductividad a 30 K en un óxido de bario, lantano y cobre. Se les otorgó el premio Nóbel de física en 1987 por su extraordinario descubrimiento. Poco tiempo después, una nueva familia de compuestos fue abierta para su estudio, y la actividad de investigación en el campo de la superconductividad avanzó vigorosamente. A comienzos de 1987, grupos en la Universidad de Alabama en Huntsville y de la Universidad de Houston anunciaron superconductividad a casi 92 K en un óxido de itrio, bario y cobre (YBa 2Cu3O7). Más tarde en dicho año, equipos de científicos de Japón y Estados Unidos reportaron superconductividad a 105 K en un óxido de bismuto, estroncio, calcio y cobre. Más recientemente, los científicos han reportado superconductividad a temperaturas tan altas como 150 K en un óxido que contiene mercurio (véase la Fig. 27.13). En la actualidad, no se puede descartar la posibilidad de superconductividad a temperatura ambiente, y los mecanismos responsables del comportamiento de superconductores de alta temperatura todavía están bajo investigación. La búsqueda de nuevos materiales superconductores continúa tanto por razones científicas como porque las aplicaciones prácticas se vuelven más probables y se expanden conforme la temperatura crítica se eleva. 5

J. G. Bednorz y K. A. Müller, Z. Phys. B 64:189, 1986.

RESUMEN DE MOLECULAS Y SOLIDOS Dos o más átomos se combinan para formar moléculas debido a una fuerza atractiva neta entre los átomos. Los mecanismos responsables del enlace molecular pueden clasificarse como sigue:

• • • •

Los enlaces iónicos se forman debido principalmente a la atracción de Coulomb entre iones con carga opuesta. El cloruro de sodio (NaCl) es un ejemplo. Los enlaces covalentes se forman cuando los átomos constituyentes de una molécula comparten electrones. Por ejemplo, los dos electrones de la molécula de H 2 están compartidos igualmente entre los dos núcleos. Los enlaces de van der Waals son enlaces electrostáticos débiles entre átomos que no forman enlaces iónicos o covalentes. Estos enlaces son responsables de la condensación de átomos de gas inertes y de moléculas no polares en la fase líquida. Los enlaces de hidrógeno se forman entre el centro de la carga positiva en una molécula polar que incluye uno o más átomos de hidrógeno y el centro de la carga negativa en otra molécula polar.

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La energía de una molécula de gas está compuesta por contribuciones de la energía electrónica en los enlaces y de los movimientos traslacional, rotacíonal y vibratorio de la molécula. Los valores permitidos de la energía rotacional de una molécula diatómica son: E rot

=

h

2

J ( J + 1)

J = 0,1,2,

2 I

(43.6)

donde I es el momento de inercia de la molécula y J es un entero denominado número cuántico rotacional. La regla de selección para las transiciones entre estados rotacionales está dada por ∆J = ± l. Los valores permitidos de la energía vibratoria de una molécula diatómica son: E vib

1 =   v + 

h

k

v = 0,1,2,...

2  2 π µ



(43.10)

donde v es el número cuántico vibratorio, k es la constante de fuerza del “resorte efectivo" que enlaza la molécula, y µ es la masa reducida de la molécula. La regla de selección para las transiciones vibratorias permitidas es ∆v = ± 1, y la diferencia de energía entre cualesquiera dos niveles adyacentes es la misma sin importar cuáles dos niveles están involucrados. Los mecanismos de enlace en los sólidos pueden ser clasificados de manera similar a los esquemas para moléculas. Por ejemplo, los iones Na+ y Cl − en el NaCl forman enlaces iónicos, mientras que los átomos de carbono en el diamante forman enlaces covalentes. El enlace metálico se caracteriza por una fuerza atractiva neta entre los núcleos de ión positivo y los electrones móviles libres de un metal. En un sólido cristalino los niveles de energía del sistema forman un conjunto de bandas. Los electrones ocupan los estados de más baja energía, con no más que un electrón por estado. Las energías de desdoblamiento están presentes entre las bandas de estados permitidos. En la teoría de electrones libres de metales los electrones libres llenan los niveles cuantizados en concordancia con el principio de exclusión de Pauli. El número de estados por unidad de volumen disponibles para los electrones de conducción con energías entre E y E + dE es: 1 / 2

E

N ( E ) dE = C e

dE

( E − E ) / k BT F

+1

(43.22)

donde C es una constante, y E F es la energía de Fermi. En T = 0 K, todos los niveles debajo de E F están llenos, todos los niveles arriba de EF están vacíos, y:

 3 ne    E F (0) = 2 me  8 π  h

2

2 / 3

(43.25)

donde ne es el número total de electrones de conducción por unidad de volumen. Sólo aquellos electrones que tienen energías cercanas a EF contribuyen a la conductividad eléctrica del metal. ) Un semiconductor es un material que tiene una energía de desdoblamiento de aproximadamente 1 eV y una banda de valencia que está llena en T = 0 K Debido a su pequeña energía de desdoblamiento, un número significativo de electrones puede excitarse térmicamente desde la banda de valencia hacia la banda de conducción. Las estructuras de banda y las propiedades eléctricas de un semiconductor pueden modificarse, ya sea agregando átomos donadores que contienen cinco electrones de las capas exteriores (como el arsénico) o átomos aceptores que contienen tres electrones de las capas exteriores (como el indio). Un semiconductor dopado con átomos impuros donadores recibe el, nombre de semiconductor de


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tipo n, en tanto que uno dopado con átomos impuros aceptores se conoce como semicondoctor de tipo p. Los niveles de energía de estos átomos de impurezas caen dentro de la energía de desdoblamiento del material. PREGUNTAS 1.

Analice las tres principales formas de excitación de una molécula (además del movimiento traslacional) y las energías relativas asociadas con las tres excitaciones.

2.

Explique el papel del principio de exclusión de Pauli en la descripción de las propiedades eléctricas de metales.

3.

Analice las propiedades de un material que determinan si es un buen aislante eléctrico o un buen conductor.

4.

La tabla 43.5 muestra que .la energía de desdoblamiento para semiconductores disminuye con la temperatura creciente. ¿Qué es lo que usted supone que explica este comportamiento?

5.

La resistividad de metales aumenta con la temperatura en aumento, en tanto que la resistividad de un semiconductor intrínseco disminuye con la temperatura creciente. Explique.

6.

Estudie las diferencias en las estructuras de bandas de metales, aislantes y semiconductores. ¿Cómo el modelo de estructuras de banda le permite a usted comprender mejor las propiedades eléctricas de estos materiales?

7.

Analice los modelos responsables de los diferentes tipos de enlaces que forman moléculas estables.

8.

Reflexione sobre las propiedades eléctricas, físicas y ópticas de los sólidos enlazados iónicamente. Compare sus estimaciones con las propiedades tabuladas para tales sólidos.

9.

Estudie las propiedades eléctricas y físicas de sólidos enlazados en forma covalente. Compare sus estimaciones con las propiedades tabuladas para tales sólidos.

10.

Analice las propiedades eléctricas y físicas de los metales.

11.

Cuando un fotón es absorbido por un semiconductor se crea un par electrón−hoyo. Proporcione una explicación física de este enunciado empleando el modelo de bandas de energía como la base para su descripción.

12.

Los átomos pentavalentes, como el arsénico, son átomos donadores en un semiconductor, como el silicio, en tanto que los átomos trivalentes, como el indio, son aceptores. Estudie la tabla periódica en el apéndice C y determine qué otros elementos podrían ser buenos donadores o aceptores.

13.

¿Cuáles son las suposiciones esenciales hechas en la teoría de electrones libres de metales? ¿Cómo el modelo de bandas de energía difiere de la teoría de electrones libres al describir las propiedades de los metales?

14.

¿Cómo los niveles vibratorio y rotacional de las moléculas de hidrógeno pesado (D2) se comparan con los de las moléculas de H2?

15.

¿Qué es más fácil de excitar en una molécula diatómica, el movimiento rotacional o el vibratorio?

16.

La energía de la luz visible varía entre 1.8 y 3.1 eV. ¿Esto explica por qué el silicio, con una energía de desdoblamiento de 1.1 eV (véase la tabla 43.5), aparece opaco, en tanto que el diamante, con una energía de desdoblamiento de 5.5 eV, aparece transparente?

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17.

¿Por qué un emparedado pnp o npn (cuyas regiones centrales son muy delgadas) es esencial en la operación del transistor?

18.

¿Cómo puede el análisis del espectro rotacional de una molécula llevar a una estimación del tamaño de esa molécula?

PROBLEMAS Sección 43.1 Enlaces moleculares 1.

Problema de repaso Un ión K+ y uno Cl − están separados una distancia de 5.00 x 10 −10 m. Suponiendo que los dos iones actúan como cargas puntuales, determine: a) la fuerza que cada ión ejerce sobre el otro y b) la energía potencial de atracción en electronvolts.

2.

El cloruro de potasio es una molécula enlazada iónicamente, y se vende como un sustituto de la sal para uso en dietas bajas en sodio. La afinidad electrónica del cloro es 3.6 eV. Se requiere una entrada de energía de 0.7 eV para formar iones separados K + y Cl− de átomos de K y Cl separados. ¿Cuál es la energía de ionización de K?

3.

Una descripción de la energía potencial de una molécula diatómica está dada por el potencial de Lennard−Jones, U =

A 12

r

− B6 r

donde A y B son constantes. Encuentre, en términos de A y B, a) el valor r 0 al cual la energía es un mínimo y b) la energía E requerida para romper una molécula diatómica. c) Evalúe r 0 en metros y E en electronvolts para la molécula H2. En sus cálculos, considere A = 0.124 x 10−120 eV · m12 y B = 1.488 x 10 −60 eV · m6. (Nota: aunque este potencial sigue usándose extensamente para modelar, se sabe que tiene serios defectos. Por ejemplo, su comportamiento tanto en pequeños como en grandes valores de T representa grandes errores.) 4.

Una fuerza de dispersión van der Waals entre átomos de helio produce un potencial de pozo muy poco profundo, con una profundidad del orden de 1 meV. ¿Alrededor de cuál temperatura usted esperaría que el helio se condense?

Sección 43.2 La energía y espectros de moléculas 5.

La molécula de yoduro de cesio (CsI) tiene una separación atómica de 0.127 nm. a) Determine la energía del estado rotacional de excitación más bajo y la frecuencia del fotón absorbido en la transición J = 0 a J = l. b) ¿Cuál sería el cambio fraccionario en esta frecuencia si la separación atómica estimada es inferior por 10 %?

6.

La molécula de CO hace una transición del estado rotacional; J = 1 a J = 2 cuando absorbe un fotón de 2.30 x 10 11 Hz de frecuencia. Encuentre el momento de inercia de esta molécula a partir de estos datos.

7.

Una molécula de HCl se excita hasta su primer nivel de energía rotacional, correspondiente a J = l. Si la distancia entre sus núcleos es de 0.127 5 nm, ¿cuál es la rapidez angular de la molécula alrededor de su centro de masa?

8.

Una molécula diatómica se compone de dos átomos que tienen masas m1 y m2 separadas por una distancia r. Muestre que el momento de inercia alrededor del eje por el centro de masa de una molécula está dado por la ecuación 43.3, I = µ r2.


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9.

a) Calcule el momento de inercia de una molécula de NaCl en torno a su centro de masa. Los átomos están separados una distancia r = 0.28 nm. b) Calcule la longitud de onda de la radiación emitida si una molécula de NaCl experimenta una transición del estado J = 2 al estado J = l.

10.

El espectro rotacional de la molécula de HCl contiene líneas con longitudes de onda de 0.060 4, 0.069 0, 0.080 4, 0.0964 y 0.120 4 mm. ¿Cuál es el momento de inercia de la molécula?

11.

Si la constante de fuerza efectiva de una molécula vibratoria de HCl es k = 480 N/m, estime la diferencia de energía entre el estado base y el primer nivel vibratorio excitado.

12.

Emplee los datos en la tabla 43.2 para calcular la mínima amplitud de vibración de a) la molécula HI y b) la molécula HF. ¿Cuál tiene el enlace más débil?

13.

Los núcleos de la molécula de O2 están separados por 1.2 x 10 −10 m. La masa de cada átomo de oxígeno en la molécula es de 2.66 x 10 −26 kg. a) Determine las energías rotacionales de una molécula de oxígeno en electronvolts para los niveles correspondientes a J = 0, 1 y 2. b) La constante de fuerza efectiva k entre los átomos en la molécula de oxígeno es 1 177 N/m. Determine las energías vibratorias (en electronvolts) correspondientes a v = 0, 1 y 2.

14.

La figura P43.14 es un modelo de una molécula de benceno. Todos los átomos se encuentran en un plano, y los átomos de carbono forman un hexágono regular, como lo hacen los átomos de hidrógeno. Los átomos de carbono están separados 0.110 nm de centro a centro. Determine las energías de rotación permitidas alrededor de un eje perpendicular al plano del papel a través del punto central O. Los átomos de hidrógeno y carbono tienen masas de 1.67 x 10 −27 kg y 1.99 x 10−26 kg, respectivamente.

Figura P43.14 15.

Si la molécula de CO fuera rígida, ¿qué transición rotacional del estado J podría absorber el fotón de la misma longitud de onda que el de la transición vibratoria de 0 a 1? (Utilice la información que proporciona la tabla 43.2.)

16.

¿Fotones de qué frecuencias pueden ser emitidos espontáneamente por moléculas de CO en el estado con v = 1 y J = 0?

17.

La mayor parte de la masa de un átomo está en su núcleo. Modele la distribución de masa en una molécula diatómica como dos esferas, cada una de 2.00 x 10−15 m de radio y 1.00 x 10 −26 kg de masa, localizadas en puntos a lo largo del eje x como se muestra en la figura 43.9 y están separadas 2.00 x 10−10 m. La rotación en torno al eje que une los núcleos en la molécula diatómica por lo general es ignorada ya que el primer estado excitado tendría una energía que es demasiado grande de alcanzar. Para ver por qué calcule la proporción entre la energía del primer estado excitado de rotación alrededor del eje x, y la energía del primer estado excitado para la rotación alrededor del eje y.

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Sección 43.3 Enlaces en sólidos 18.

Use un lente de aumento para mirar la sal de mesa que sale de un salero. Compare lo que ve con la figura 43.14a. La distancia entre un ión sodio y un ión cloro vecino más cercano es de 0.261 nm. Realice la estimación del orden de magnitud del número N de átomos en un grano de sal típico. Suponga que usted tiene un número de granos de sal igual a este número N. ¿Cuál sería el volumen de esta cantidad de sal?

19.

Emplee la ecuación 43.17 para calcular la energía cohesiva iónica para el NaCl. Considere α = 1.7476, r0 = 0.281 nm y m = 8.

20.

La distancia entre los iones K+ y Cl− en un cristal de KCl es de 0.314 nm. Calcule las distancias desde un ión K+ hasta su ión K+ vecino más cercano, a su segundo ión K + vecino más cercano y a su tercer ión K+ vecino más cercano.

21.

Considere una cadena unidimensional de iones alternantes positivo y negativo. Muestre que la energía potencial asociada con un ión en este cristal hipotético es: U ( r ) = − k e α

e

2

donde la constante de Madelung es α = 2 In 2, y r es el espaciamiento interiónico. [Sugerencia: use la expansión en serie para ln (l + x).] Sección 43.4 Teoría de bandas de sólidos Sección 43.5 Teoría de electrones libres de metales 22.

Muestre que la ecuación 43.25 puede expresarse como EF = (3.65 x 10 −19) n 2/3 eV donde EF está en electronvolts cuando n está, en electrones por metro cúbico.

23.

La energía de Fermi para la plata es de 5.48 eV. La plata tiene una densidad de 10.6 x 103 kg/m3 y una masa atómica de 108. Con esta información muestre que la plata tiene un electrón libre por átomo.

24.

a) Encuentre la velocidad común de un electrón de conducción en cobre cuya energía cinética es igual a la energía de Fermi, 7.05 eV. b) ¿Cómo se compara esto con la rapidez de arrastre de 0.1 mm/s?

25.

El sodio es un metal monovalente que tiene una densidad de 0.971 g/cm3, y una masa molar de 23.0 g/mol. Emplee esta información para calcular a) la densidad de los portadores de carga, b) la energía de Fermi y c) la rapidez de Fermi para el sodio.

26.

Cuando la plata sólida comienza a fundirse, ¿cuál es la fracción aproximada de los electrones de conducción que son térmicamente excitados sobre el nivel de Fermi?

27.

Calcule la energía de un electrón de conducción en plata de 800 K si la probabilidad de encontrar el electrón en ese estado es 0.950. La energía de Fermi es 5.48 eV a esta temperatura.

28.

Considere un cubo de oro de 1.00 mm por lado. Calcule el número aproximado de electrones de conducción en este cubo cuyas energías estén en el intervalo de 4.000 a 4.025 eV.

28.

Muestre que la energía cinética promedio de un electrón de conducción en un metal a 0 K es: E promedio

=

3 E 5 F


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(Sugerencia: en general, la energía cinética promedio es: E promedio

=

1 ne

∫ E N ( E ) dE

donde n, es la densidad de electrones, N(E) dE está dada por la ecuación 43.22 y la integral es sobre todos los valores posibles de la energía. 30.

Problema de repaso Un electrón se mueve en una caja tridimensional de longitud de lado L y volumen L3. Si la función de onda de la partícula es:

ψ = A sen (kx x)sen(ky y)sen(kz z), muestre que su energía está dada por la ecuación 43.19: E =

h

2

π 2 2

2 me L

(n 2 + n 2 + n 2 ) x

y

z

donde los números cuánticos (n x ny y nz son enteros?: (Sugerencia: la ecuación de Schrodinger en tres dimensiones puede escribirse:

∂ 2 ψ ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ h 2 (U − E )ψ . + + = ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2 2 me Para confinar al electrón dentro de la caja, considere U = 0 en el interior y U = ∞ en el exterior.) 31.

(a) Considere un sistema de electrones confinado en una caja tridimensional. Calcule la proporción entre el número de niveles de energía permitidos a 8.50 eV y el número a 7.00 eV. (b) El cobre tiene una energía de Fermi de 7.0 eV a 300 K. Calcule la proporción entre el número de niveles ocupados a una energía de 8.50 eV y el número a la energía de Fermi. Compare su respuesta con la obtenida en el inciso a).

Sección 43.6 Conducción eléctrica en metales, aislantes y semiconductores 32.

La energía de desdoblamiento para el silicio a 300 K es 1.14 eV. a) Encuentre el fotón de más baja frecuencia que asciende un electrón desde la banda de valencia a la banda de conducción. b) ¿Cuál es la longitud de onda de este fotón?

33.

Luz de un tubo de descarga de hidrógeno incide sobre un cristal de CdS. ¿Cuáles líneas espectrales de la serie de Balmer se absorben y cuáles se transmiten?

34.

Un diodo emisor de luz (LED) hecho del semiconductor GaAsP emite luz roja (λ = 650 nm). Determine la banda de energía de desdoblamiento Eg en el semiconductor.

35.

La mayor parte de la radiación solar tiene una longitud de onda de 1 µm o menos. ¿Qué energía de desdoblamiento tendría el material en una celda solar para absorber esta radiación? ¿El silicio es apropiado? (Véase la tabla 43.5.)

36.

Suponga que usted construirá un instrumento científico que está térmicamente aislado de su entorno, pero tal que usted pueda usar un láser externo para elevar la temperatura de un blanco dentro de él. (Puede ser un calorímetro, pero este criterio de diseño podría aplicarse también a otros dispositivos.) Dado que usted sabe que el diamante es transparente y un buen aislante térmico, usted decide usar una ventana de diamante en el aparato. El diamante tiene una energía de desdoblamiento de 5.5 eV entre sus bandas de valencia y conducción. ¿Cuál es la longitud de onda más corta del láser que usted puede usar para calentar la muestra en el interior?

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Sección 43.7 Dispositivos semiconductores Nota: El problema 71 en el capítulo 27 también se aplica a esta sección. 37.

¿Para qué valores del voltaje de polarización ∆Ven la ecuación 43.29 a) I = 9.00 I 0? b) I = − 0.900 I0? Suponga T= 300 K.

38.

El diodo mostrado en la figura 43.30 está conectado en serie con una batería y un resistor de 150 Ω. ¿Qué fem de la batería se requiere para una corriente de 25,0 mA?

39.

Usted coloca un diodo en un circuito microelectrónico para proteger el sistema en caso de que una persona no entrenada instale la batería invertida. En la situación correcta de la polarización directa, la corriente es de 200 mA con una diferencia de potencial de 100 m V a través del diodo a temperatura ambiente (300 K). Si la batería se invirtiese, ¿cuál sería la magnitud de la corriente a través del diodo?

Sección 43.8 Superconductividad Nota: El problema 26 en el capítulo 30 y los problemas 76 al 79 en el capítulo 32 también se aplican a esta sección. 40.

Una delgada barra de material superconductor de 2.50 cm de largo se coloca en un campo magnético de 0.540 T con su eje cilíndrico a lo largo de las líneas de campo magnético. a) Bosqueje las direcciones del campo aplicado y la corriente superficial inducida. b) Encuentre la magnitud de la corriente superficial sobre la superficie curva de la barra.

41.

Determine la corriente generada en un anillo superconductor de niobio metálico de 2.00 cm de diámetro si un campo magnético de 0.020 0 T en una dirección perpendicular al anillo es repentinamente disminuido a cero. La inductancia del anillo es 3.10 x 10 −8 H. 42. Una demostración convincente de la resistencia cero. Una demostración directa y relativamente sencilla de la resistencia cero de cd puede realizarse usando el método de la sonda de cuatro puntos. La sonda mostrada en la figura P43.42 consta de un disco de YBa 2Cu3O7 (un superconductor de elevada T C) al cual se unen cuatro alambres mediante soldadura de indio o algún otro material de contacto adecuado. La corriente se mantiene a través de la muestra mediante la aplicación de un voltaje de cd entre los puntos a y b, y se mide con un amperímetro de cd. La corriente puede variarse con la resistencia variable R La diferencia de potencial ∆Vcd entre c y d se mide con un voltímetro digital. Cuando la sonda se sumerge en nitrógeno líquido, la muestra rápidamente se enfría a 77 K, bajo la temperatura crítica del material, 92 K. La corriente permanece casi constante, pero ∆Vcd cae abruptamente a cero. a) Explique esta observación sobre la base de lo que usted sabe acerca de los superconductores. b) Los datos en la tabla P43.42 representan valores reales de ∆Vcd para diferentes valores de I tomados sobre la muestra a temperatura ambiente. Dibuje una gráfica I−∆V de los datos y determine si la muestra se comporta en una forma lineal. A partir de los datos obtenga un valor para la resistencia de cd de la muestra a temperatura ambiente. c) A temperatura ambiente se encuentra que ∆Vcd = 2.234 mV para I = 100.3 mA, pero después de que la muestra se enfría a 77 K, 6. ∆Vcd = 0 e I = 98.1 mA. ¿Qué cree usted que puede causar la ligera disminución en la corriente?

TABLA 943,42. Corriente versus diferencia de potencial ∆Vcd medida en una muestra cerámica a granel de YBa2Cu3O7 a temperatura ambientea I (mA) ∆Vcd (mA) 57.8 1.356 61.5 1.441 68.3 1.602 76.8 1.802 87.5 2.053 102.2 2.398 123.7 2.904 155 3.61


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a

La corriente fue suministrada por una batería de 6 V en serie con un resistor variable R. Los valores de R variaron de 10 a 100 Ω. Los datos son del laboratorio del autor (RAS).

Figura P43.42 Diagrama de circuito usado en la medición de la sonda de cuatro puntos de la resistencia de cd de una muestra. Un amperímetro digital de cd se usa para medir la corriente, y la diferencia de potencial entre c y d se mide con un voltímetro digital de cd. Advierta que no hay fuente de voltaje en la espira interior del circuito donde se mide ∆Vcd

PROBLEMAS ADICIONALES 43.

Como usted aprenderá en el capítulo 44, el carbono−14 (HC) es un isótopo del carbono. Tiene la misma estructura electrónica química del mucho más abundante isótopo carbono −12 ( 12C), pero tiene diferentes propiedades nucleares. Su masa es de 14 u, más grande porque tiene dos neutrones adicionales en su núcleo. Suponga que el potencial molecular del CO es el mismo para ambos isótopos de carbono y que las tablas y ejemplos en la sección 43.2 se refieren a monóxido de carbono con átomos de carbono−12. a) ¿Cuál es la frecuencia vibratoria del 14CO? b) ¿Cuál es el momento de inercia del 14CO? c) ¿Cuáles longitudes de onda de la luz pueden ser absorbidas por HCO en el estado (v = O, J = 10) que provocaría que terminara en el nivel v = 1?

44.

La constante de resorte efectiva asociada con los enlaces en la molécula N2 es de 2 297 N/m. Cada uno de los átomos de nitrógeno tiene una masa de 2.32 x 10 −26 kg, y sus núcleos están separados 0.120 nm. Suponga que la molécula es rígida y está en el estado de vibración base. Calcule el valor J del estado rotacional que tendría la misma energía que el primer estado vibratorio excitado.

45.

La molécula de hidrógeno se separa (disocia) cuando es excitada internamente por 4.5 eV. Suponiendo que esta molécula se comporta como un oscilador armónico que tiene frecuencia angular clásica ω = 8.28 x 1014 rad/s, encuentre el número cuántico vibratorio más alto para un estado debajo de la energía de disociación de 4.5 eV.

46.

Bajo presión, el helio líquido se solidifica cuando cada átomo se enlaza con otros cuatro, y cada enlace tiene una energía promedio de 1.74 x 10−23 J. Encuentre el calor latente de fusión del helio en joules por gramo. (La masa molar del He es 4 g/mol.)

47.

Muestre que la energía cohesiva iónica de un sólido enlazado iónicamente está dada por la ecuación 43.17. (Sugerencia: empiece con la ecuación 43.16 y observe que dU/dr = 0 a r = r 0.)

48.

La energía de disociación del hidrógeno molecular en estado base es 4.48 eV, mientras que sólo toma 3.96 eV disociarla cuando está en el primer estado vibratorio excitado con J = 0. Usando esta información determine la profundidad de la función de energía potencial del H2 molecular.

49.

Una partícula se mueve en un movimiento unidimensional en una región donde su energía potencial es: U ( x) =

A x

3

− B donde A = 0.150 eV · nm3 y B = 3.68 eV · nm. La forma general x

de esta función se muestra en la figura 43.15, donde x sustituye a r. a) Encuentre la posición de equilibrio estático x0 de la partícula. b) Determine la profundidad U0 de este potencial de pozo. c)

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Al moverse a lo largo del eje x, ¿qué fuerza máxima hacia la dirección x negativa experimenta la partícula? 50.

Una partícula de masa m se mueve en un movimiento unidimensional en una región donde su energía potencial es: U ( x) =

A x

3

B

− donde A y B son constantes con las unidades apropiadas. x

La forma general de esta función se muestra en la figura 43.15, donde x sustituye a r. a) Encuentre la posición de equilibrio estático x0 de la partícula en términos de m, A y B. b) Determine la profundidad U0 de este potencial de pozo. c) Al moverse a lo largo del eje x, ¿qué fuerza máxima hacia la dirección x negativa experimenta la partícula? 51.

Como una alternativa a la ecuación 43.1, otro modelo útil para la energía potencial de una molécula biatómica es el potencial Morse U ( r ) = B e

−α ( r − r 0 )

−1

donde B, a y r 0 son parámetros usados para ajustar la forma del potencial y su profundidad. a) ¿Cuál es la separación de equilibrio de los núcleos? b) ¿Cuál es la profundidad potencial de pozo, esto es, la diferencia en energía entre el valor mínimo del potencial y su asíntota conforme r tiende al infinito? c) Si µ es la masa reducida del sistema de dos núcleos, ¿cuál es la frecuencia vibratoria de la molécula diatómica en su estado base? (Suponga que el potencial es casi parabólico alrededor del pozo mínimo.) d) ¿Qué cantidad de energía necesita ser suministrada a la molécula de estado base para separar los dos núcleos hasta el infinito? 52.

La función de distribución de Fermi-Dirac puede escribirse como: f ( E ) =

1 e

( E − E F ) / k BT

+1

=

1 e

( E − E F −1)T F / T

+1

Prepare una hoja de cálculo que le permita calcular y graficar f(E) versus E/E F a una temperatura fija T. Examine las curvas obtenidas para T = 0,1 T F, 0.2 TF y 0.5 T F donde TF = EF /kB. 53.

La constante de Madelung puede encontrarse sumando una serie infinita de términos alternantes que dan la energía potencial electrostática entre un ión Na+ y sus seis vecinos Cl − más cercanos, sus doce vecinos Na + que siguen en cercanía, y así sucesivamente (Fig. 43.14a). a) A partir de esta expresión muestre que los primeros tres términos de la serie producen a = 2.13 para la estructura NaCl. b) ¿Esa serie converge rápidamente? Calcule el cuarto término como una comprobación.

RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS SORPRESA 43.1

Este valor máximo es la energía necesaria para separar infinitamente los ión es de sodio y cloro. Éste en ocasiones se denomina energía de activación y, como se hizo notar con antelación, es de 1,4 eV.

43.2

El espaciamiento entre picos adyacentes es de aproximadamente 0.08 x 1013 Hz. Puesto que estas líneas están separadas en frecuencia por ħ /2πI, el momento de inercia es 1.05 x 10−34 J · s/(2 π) (0.08 x 1013 Hz) = 2.1 x 10−47 kg · m2, lo cual no es muy diferente del valor para la molécula de CO calculada en el ejemplo 43.1.

43.3

A cualquier temperatura sobre el cero absoluto, la energía interna kBT (= 0.025 eV cerca de una temperatura ambiente = 300 K) está disponible, y esta energía provoca que algunos de los electrones tengan energías mayores que E F. La función de distribución Fermi −Dirac f(E) proporciona la probabilidad de encontrar un electrón en un nivel de energía particular. En la figura 43.21b, dicha probabilidad no suele ser de 1.0 para electrones que tienen energías iniciales ligeramente menores EF porque dichos electrones pueden absorber algo de la energía interna


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disponible y ahora tienen energías mayores que E F. Esto produce un valor distinto de cero de f(E) para energías ligeramente mayores que EF. 43.4

En la frontera azul−amarillo en la banda 35. Algunos electrones en el área azul 3s tienen suficiente energía para moverse dentro del área amarilla 3s. En consecuencia, la frontera horizontal en la figura 43.20 y la parte curva de la figura 43.21b representan la misma cosa.

43.5

No. Si la ley de Ohm se obedeciera, la corriente I sería directamente proporcional a la diferencia de potencial ∆V a través del dispositivo (véase la Ec. 27.8, I = ∆V/R). En vez de ello la curva en la figura 43.30 tiene una pendiente que varía con ∆V:

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APENDICE 1 Teoría de Schrodinger de la mecánica cuántica 1.

Introducción

En este capítulo iniciamos nuestro desarrollo de la teoría de Schrodinger de la mecánica cuántica. Esta, y su aplicación a varios casos típicos, ocupará nuestra atención en la mayor parte del resto del libro. Además, la discusión de la física atómica y nuclear que sigue a la presentación de la mecánica cuántica estará basada, en su mayor parte, en la teoría de Schrodinger. Por esta razón, nuestro estudio de la teoría, particularmente de los detalles matemáticos, será considerablemente más completo que el que hemos realizado anteriormente. Esto es necesario, ya que frecuentemente es más sencillo pensar en términos de las matemáticas de la mecánica cuántica que en términos de imágenes físicas más o menos alusivas que están representadas por las matemáticas y, por otra parte, las matemáticas son lo suficientemente complicadas que un estudio resumido, podría ocasionar confusión. Sin embargo, como es nuestra costumbre, cuando sea aconsejable estaremos dispuestos a sacrificar rigor en favor de claridad. Antes de analizar la teoría de Schrodinger debemos mencionar que, casi simultáneamente, Heisenberg desarrolló un enfoque alternativo. En su teoría no se consideran ondas piloto. En su lugar maneja cantidades dinámicas tales como x, p x, E representadas por matrices. Los aspectos cuánticos se introducen en la teoría por medio del principio de incertidumbre y se refleja en las condiciones de conmutación sobre las matrices. El principio de incertidumbre es equivalente al postulado de De Broglie. Las teorías de Heisenberg y Schrodinger son idénticas en contenido aunque de forma muy distinta. Debido a que la teoría de Schr6dinger se presta más para un tratamiento introductoria de la teoría, dejaremos a la de Heisenberg fuera de consideración.

2.

La ecuación de Schrodinger

El lector aceptará que el postulado de De Broglie es esencialmente correcto. Asimismo, estará convencido de que éste no ofrece una teoría completa del comportamiento de una partícula sino que solamente constituye un primer paso. El postulado afirma que el movimiento de una partícula está gobernado por la propagación de sus ondas piloto asociadas, aunque no dice cómo se propagan estas ondas. Sólo para el caso simple de una partícula libre pudimos aprender algo sobre la propagación de las ondas piloto.* Para tratar el caso de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza, es necesario tener una ecuación que nos diga cómo se propagan las ondas piloto en estas circunstancias más generales. Además, debemos tener una relación cuantitativa entre las ondas piloto y la partícula asociada; esto es, debemos saber exactamente cómo estas ondas "gobiernan" el movimiento de la partícula. La ecuación de propagación para las ondas piloto, la ecuación de Schrodinger, fue desarrollada en 1925, y la relación cuantitativa entre estas ondas y la partícula asociada se desarrolló al año siguiente. * Sabemos que la velocidad de un grupo de ondas piloto asociado con una partícula libre es igual a la velocidad de ésta [vea la ecuación (6-13)] y que el grupo se difunde al correr el tiempo de manera que su longitud ∆x es proporcional a t [vea la ecuación (6-29)]. Schrodinger, siguió, aunque con varias excepciones, las ideas de De Broglie. No empleó el pintoresco término de "ondas piloto", sino que tanto a las ondas como a la función matemática Ψ(x, t) que las representa, las denominó función de onda. Adoptaremos esta terminología. El cambio más serio consistió en que Schrodinger sólo intentó desarrollar una teoría válida solamente en el intervalo no relativista de velocidades, aunque el postulado de De Broglie era consistente con la teoría de la relatividad, como se vio en la sección 2 del capítulo 6. Schrodinger adoptó las dos ecuaciones de De Broglie: y

λ = h / p f =

E h

(7-1)

(7-2)


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Por otra parte, no consideró la definición que para E daba De Broglie como la energía relativista total. De la teoría presentada en el capítulo 1 (vea la ecuación 1-22), es claro que, cuando se tiene un potencial V, en el límite no relativista v / c → 0 la expresión para la energía total toma la forma: Etotal relativista → p2 /2m0 + V + m0c2 En su teoría no relativista, Schrodinger no consideró el término m 0c2 y tomó para E la definición clásica para la energía total: p

E =

2

+ V

2m

(7-3)

donde m = m0 es la masa en reposo. De la ecuación (7-2) observamos que un cambio en la definición de E cambiará el valor de f . Recordemos, por otra parte, que los experimentos descritos en capítulos anteriores comprobaban la validez de la ecuación (7-1) aunque no la de la ecuación (7-2). Veremos posteriormente que el valor real de f carece de importancia en la teoría de Schrodinger. Sin embargo, un punto se debe investigar inmediatamente: aceptando la ecuación (7-3) ¿podremos aun obtener como resultado necesario que la velocidad de grupo g de la función de onda para una partícula libre sea igual a la velocidad v de esta partícula? , tomemos: p 2 f =

E h

=

2m

+ V

h

=

p

2

2mh

+

V h

y k ≡

1 λ

= p h

Para una partícula libre la energía potencial V es una constante (vea posteriormente el número 3), de manera que: df =

2 p dp 2mh

También tenemos dk =

de donde obtenemos que

g

=

dp h

df d k

=

2 p dp 2mh d p

=

p m

=v

dk

Empezaremos nuestro desarrollo de la ecuación de Schrodinger alistando tres requisitos que a priori sabemos se deben satisfacer: l.

Debe ser consistente con las ecuaciones (7-1), (7-2) Y (7-3).

2.

Debe ser lineal en Ψ(x, t). Esto es si Ψ1 (x, t) y Ψ2 (x, t) son soluciones a la ecuación, una combinación lineal de estas funciones Ψ(x, t) = a1 Ψ1 (x, t) + a2 Ψ2 (x, t), también debe ser una solución para cualesquiera valores de a 1 y a2. Este requisito asegura que podremos sumar funciones de onda para reproducir los fenómenos de interferencia que se observan, por ejemplo,

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en el experimento de Davisson y Germer. En capítulos anteriores hemos supuesto que se pueden sumar las funciones de onda (vea la ecuación 6-9). 3. En general, la energía potencial es una función de x y t . Cuando V(x, t) = V 0 es una constante, el impulso de la partícula debe ser constante ya que dp / dt = F y : F = −

∂ V ∂ V ( x, t ) =− 0 =0 ∂ x ∂ x

También en este caso la energía total es constante. Esta es la situación de una partícula cuyos valores de k = p / h y f = E / h son constantes, como se discutió en el capítulo anterior. Entonces, es necesario que la ecuación de Schr6dinger tenga soluciones de ondas viajeras oscilatorias con número de onda y frecuencia constantes; semejante a las funciones de onda empleadas en ese capítulo. Escribiendo las ecuaciones (7-1) y (7-2) en términos de los parámetros: K = 2 π k

ω = 2 π f

(7-4)

E = h ω

(7-5)

+ V ( x, t ) = h ω

(7-6)

tenemos p

= h K

y combinando las ecuaciones (7-3) y (7-5): h

2

2

K

2m

Para satisfacer el requisito 1, la ecuación de Schrodinger debe ser consistente con la ecuación (7-6). El requisito 2 exige que cada término de la ecuación sea lineal en Ψ(x, t). En consecuencia, cada término debe contener a Ψ(x, t) o una derivada de Ψ (x, t) como*

∂ Ψ ( x, t ) ∂ 2 Ψ ( x, t ) , ,…. ∂ x ∂ x 2

ó

∂ Ψ ( x, t ) ∂ 2 Ψ ( x, t ) , ,…. ∂ t ∂ t 2

La ecuación no puede contener términos independientes de Ψ(x, t), o términos como [Ψ(x, t)]2. *Una derivada de Ψ, tal como ∂Ψ / ∂x, es lineal en Ψ ya que si: Ψ = a1 Ψ1 + a2 Ψ2 entonces:

∂Ψ ∂ Ψ2 ∂Ψ ∂ = (a1 Ψ1 + a2 Ψ2 ) = a1 1 + a2 ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x Nos valdremos del requisito 3 para encontrar la forma de la ecuación de Schrodinger. Tomamos una de las funciones de onda Ψf (x, t) para la partícula libre y construimos una ecuación consistente con (7-6) que sólo contenga términos en esta función y sus derivadas. Esta ecuación nos dará una ecuación diferencial que tenga como solución la función de onda para la partícula libre cuando V(x, t) = V 0 es una constante. Entonces, daremos como postulado que aun cuando el potencial V(x, t) no sea constante, las soluciones de esta ecuación diferencial son las funciones de onda correctas asociadas con la partícula que se mueve bajo el influjo de una fuerza que corresponde a ese potencial. Consideremos la función de onda más simple para una partícula libre Ψf = sen 2π (kx − f t ), que ya se discutió en el capítulo anterior. En términos de K y ω ésta es:

Ψ f = sen ( K x − ω t )

(7-7)


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Calculemos algunas de sus derivadas recordando que K y ω son constantes ya que V(x, t) = V 0 es constante. Encontramos que:

∂Ψ f = K cos ( K x − ω t ) ∂ x

∂ 2 Ψ f = − K 2 sen ( K x − ω t ) 2 ∂ x (7-8)

∂Ψ f = −ω cos ( K x − ω t ) ∂ t

∂ 2 Ψ f = −ω 2 sen ( K x − ω t ) 2 ∂ t

La ecuación debe ser consistente con: h

2

2m

2

K

+ V 0 = h ω

(7-9)

Al derivar dos veces con respecto a x se obtiene el factor K2 . Y al derivar una vez con respecto a t se obtiene el factor ω. Esto sugiere que ensayemos la ecuación:

∂ 2 Ψ f ∂ Ψ f α β + Ψ = V 0 f ∂ t ∂ x 2

(7-10)

donde α y β son constantes que se deben determinar. Insertando (7-7) y (7-8) en esta ecuación, encontramos:

− α sen ( K x − ω t ) K 2 + sen ( K x − ω t ) V 0 = − β cos ( K x − ω t ) ω

(7-11)

Aun cuando disponemos de las constantes α y β, es obvio que esta ecuación no concordará con (7-9) para todos los valores posibles de x y t , de manera que hemos fracasado en nuestro intento. Al observar que en el proceso de derivación el sen ( Kx − ω t) se transforma en cos ( Kx −ω t), y viceversa, se sugiere que intentemos nuevamente de construir la ecuación diferencial partiendo de una combinación de dos funciones de la forma (7-7), siendo una de ellas un seno y la otra un coseno. Esto es:

Ψ f = cos ( K x − ω t ) + γ sen ( K x − ω t )

(7-12)

donde γ es una constante que se debe determinar y que nos da una cierta libertad que necesitaremos. Al calcular algunas derivadas encontramos:

∂ Ψ f = − K sen ( K x − ω t ) + K γ cos ( K x − ω t ) ∂ x

∂ 2 Ψ f = − K 2 cos ( K x − ω t ) − K 2 γ sen ( K x − ω t ) 2 ∂ x

(7-13)

∂ Ψ f = ω sen ( K x − ω t ) − ω γ cos ( K x − ω t ) ∂ t Suponemos que la forma de la ecuación diferencial está dada por la ecuación (7-10) y si substituimos allí estas derivadas se obtiene:

APUNTES DE FISICA

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− α 2 K 2 cos ( K x − ω t ) − α K 2 γ sen ( K x − ω t ) + V 0 cos ( K x − ω t ) + V 0 γ sen ( K x − ω t ) = β ω sen ( Kx − ω t ) − β ω cos ( K x − ω t )

[− α 2 K 2 + V 0 + β ω γ ]cos ( K x − ω t ) + [− α K 2 γ + V 0 γ − β ω ]sen ( K x − ω t ) = 0 Para que esta ecuación sea válida para todos los valores de x y t , se deben cancelar tanto los coeficientes del seno como los del coseno. Esto es:

− α 2 K 2 + V 0 = − β γ ω

− α K 2 + V 0 =

β ω γ

(7-14) (7-15)

lo que es sumamente estimulante: tenemos que satisfacer tres ecuaciones (7-9), (7-14) Y (7-15) con tres constantes libres α, β y γ . Substrayendo (7-15) de (7-14) se tiene:

0 = − β γ ω + γ = − γ 2

β ω γ

1 γ

= −1

γ = ±

−1 = ± i

(7-16)

y substituyendo en la ecuación (7-14):

− α K 2 + V 0 = m i β ω Al compararla con la ecuación (7-9) observamos que: α = − m i β

h

2

2m

=h

β = m

h

i

= ± ih

(7-17)

Existen dos conjuntos de soluciones posibles que dependen del valor que se tome para γ . Ordinariamente se elige γ = + i Así, β = + i ħ y la ecuación diferencial (7-10) es:

−

h

2

2m

∂ 2 Ψ f ∂ Ψ f h + Ψ = V i 0 f 2 ∂ t ∂ x

Esta ecuación es consistente con los tres requisitos a priori.

(7-18)


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Se ha obtenido la ecuación (7-18) para el caso especial cuando el potencial V(x, t) = V 0, partiendo de una función de partícula libre Ψf semejante a las empleadas para este caso en el capítulo anterior. Supondremos que, aun cuando V(x, t) no sea constante, la ecuación diferencial que controla la propagación de la función de onda es de la forma (7-18). Esto es, establecemos el postulado que la ecuación es:

−

h

2

2m

∂ 2 Ψ ( x , t ) ∂ Ψ ( x , t ) h ( , ) ( , ) + Ψ = V x t x t i ∂ t ∂ x 2

(7-19)

Esta es la famosa ecuación de Schrodinger. Es una ecuación de segundo orden en derivadas parciales para Ψ como función de x y t . En muchos aspectos es semejante a otras ecuaciones en derivadas parciales que surgen en la física clásica.* Sin embargo, una de las características de la ecuación de Schr6dinger la distingue de las ecuaciones de la física clásica: contiene el número imaginario i. En consecuencia, sus soluciones son necesariamente funciones complejas. Ya se nos presentó un caso al ser obligados a tomar la función compleja:

Ψ f = cos ( K x − ω t ) + i sen ( K x − ω t )

(7-20)

para el caso de la partícula libre. * Vea la ecuación (7-58) para la propagación de ondas transversales en una cuerda tensa. ,

3.

Interpretación de la función de onda -

La función de onda Ψ(x, t) tiene un carácter inherentemente complejo. No lo sabíamos en el capítulo 6 cuando desarrollamos algunas de las propiedades cualitativas de las funciones de onda de la partícula libre. Sin embargo, cada uno de los argumentos de ese capítulo se pueden reformular substituyendo la expresión "función de onda" por la frase "la parte real de la función de onda" **... En cada caso el argumento permanecerá válido y la conclusión será la misma. Recuerde que en la sección 2 del capítulo 6, al discutir la diferencia entre las velocidades de grupo y la de onda, describimos los resultados de una medida hipotética del valor de la función de onda al tiempo lo para varios valores de la coordenada x. Esto se hizo para tener algo concreto de que hablar. Si repitiésemos esa discusión, estaríamos ahora suficientemente familiarizados con la idea de una función de onda para considerar innecesario tal artificio. Nos damos cuenta que no existen los instrumentos hipotéticos que medirían el valor de una función de onda, ya que es imposible medir con un instrumento físico y real el valor de una cantidad compleja. ** R(x , t), definida por la ecuación (7-22), es la parte real de la función Ψ(x , t). No se debe considerar un punto débil de la teoría de la mecánica cuántica el hecho de que las funciones de onda sean unciones complejas. Esta es, de hecho, una característica deseable, ya que nos impide inmediatamente atribuir a las funciones de onda una existencia física del mismo modo que la tienen las ondas en el agua. Esto es, no debemos intentar contestar, o incluso formular, las preguntas: exactamente ¿qué es lo que ondula? y ¿dónde ondula? Recuerde el lector que la consideración de esas preguntas respecto a la naturaleza de las ondas electromagnética llevo a los físicos del siglo XIX al falaz concepto de éter. Puesto que las funciones de onda son complejas, no existe la posibilidad de cometer el mismo error. Por el contrario, es inmediatamente claro que las funciones de onda son instrumentos de cómputo que sólo tienen existencia −o, por lo menos, significado − en el contexto de la teoría de Schrodinger de la que son parte. Este punto es subrayado por el hecho de que en la teoría de Heisenberg nunca aparecen las funciones de onda, aunque en sus resultados finales, esta teoría es equivalente a la de Schrodinger. Estos comentarios no deben dar la idea de que las funciones de onda carecen de interés físico. En ésta y en la sección 8 veremos que la función de onda contiene efectivamente toda la información compatible con el principio de incertidumbre sobre la partícula asociada.

APUNTES DE FISICA

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Para obtener esta información debemos relacionar cuantitativamente Ψ (x, t) con las cantidades dinámicas que describen la partícula asociada. Como se ha indicado en el capítulo anterior, debe existir una relación entre una medida de la intensidad de Ψ (x, t) en la región de coordenada x al tiempo t y la probabilidad por unidad de longitud, o densidad de probabilidad, P(x, t) de encontrar a la partícula en esa región y en ese instante. Es obvio que Ψ (x, t) no se puede, simplemente, igualar a P (x, t), ya que la densidad de probabilidad es una cantidad real mientras que la función de onda es compleja. Sin embargo, un tipo de asociación fue propuesta en 1926 por Born en la forma de un postulado: Si, al tiempo t , se efectúa una medida para ubicar la partícula asociada con la función de onda Ψ (x, t), entonces la probabilidad P(x, t) dx de que el valor de la coordenada se encuentre entre x y x + dx es: P(x, t) dx = Ψ*(x, t) Ψ (x, t) dx

(7-21)

El símbolo Ψ*(x, t) es el complejo conjugado de Ψ (x, t). Para ilustrar el significado de este término, considere la función compleja

Ψ (x, t) = R (x, t) + i I (x, t)

(7-22)

donde R(x, t) y I(x, t) son funciones reales. (Siempre se puede descomponer de esta manera una función compleja.) Así, se define el complejo conjugado de esta función como:

Ψ* (x, t) = R(x, t) − i I (x, t)

(7-23-)

Una función que encontraremos frecuentemente es:

Ψ (x, t) = e i (K x − ω t)

(7-24)

Esta es una forma conveniente de escribir la función de onda de la partícula libre (7-20) ya que eiz = cos z + i sen z.* De esta relación y de la definición (7-23) se puede demostrar fácilmente que:

Ψ (x, t) = e−i (K x − ω t)

(7-25)

* Se puede mostrar fácilmente esta igualdad teniendo en cuenta los desarrollos en series de estas funciones:

(iz ) (i z ) 2 (i z ) 3 (i z ) 4 (i z ) 5 + + + + + ..... e =1+ 1! 2! 3! 4! 5! iz

cos z = 1 −

sen z

z

= z −

2

2! z

3

3!

+

z

+

4

4! z

5

5!

6

−

z

−

z

6!

+ ......

7

7!

....

Calculemos ahora Ψ*Ψ a partir de las ecuaciones (7-22) y (7-23). Esto es:

Ψ * Ψ = ( R − i I ) ( R + i I ) = ( R 2 + i R I − i R I − i 2 I 2 ) = R 2 − i 2 I 2 = R 2 + I 2 ya que i2 = −1. Observamos que Ψ* Ψ siempre es una función real y el postulado de Born no es inconsistente al igualar Ψ*(x, t) Ψ(x, t) con P(x, t). Por supuesto que esto no prueba que las dos cantidades deban ser iguales, ya que hay otras funciones de Ψ (x, t), tales como su valor absoluto |Ψ(x, t)|, que también son reales. Alguna justificación de que Ψ*(x,


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t) Ψ(x, t) dé la densidad de probabilidad se puede encontrar en el argumento siguiente: considere Ψ y Ψ* que son, respectivamente, soluciones a la ecuación de Schrodinger:

−

h

2

2m

∂Ψ ∂ 2Ψ h + Ψ = V i ∂ t ∂ x 2

(7-26)

y al complejo conjugado de la ecuación de Schr6dinger,* * Tome el complejo conjugado de cada término de la ecuación (7 -26): *

 h 2 ∂ 2 Ψ   ∂ Ψ  *  −   i h ( ) + Ψ = V 2   ∂ 2 m t ∂ x    

*

A partir de la definición (7-23) se puede mostrar fácilmente que el complejo conjugado de un producto es igual al producto de los complejos conjugados de sus factores. Así,

 h 2   −  2 m  

*

*

 ∂ 2 Ψ   ∂ Ψ   2  + V *ψ * = (i h ) *    ∂ t ∂    x 

*

Conforme a la ecuación (7 -23), el complejo conjugado de una cantidad real, tal como (−ħ2 /2m) o V, es igual a esa cantidad. El complejo conjugado de una cantidad imaginaria, tal como ( i ħ), es igual al negativo de la cantidad. Además, de (7 -23) y de la definición matemática de la derivada, se puede mostrar que el complejo conjugado de la derivada de una función es igual a la derivada del complejo conjugado de la función. Teniendo en cuenta estas propiedades, obtenemos inmediatamente la ecuación (7-26').

−

h

2

2m

∂Ψ* ∂ 2Ψ * + Ψ = − h V i ∂ t ∂ x 2

(7-26')

Multiplique la ecuación (7-26) por Ψ* y (7-26') por Ψ y substráigalas. Esto es: 2  ∂ 2 Ψ  ∂ Ψ ∂ Ψ *  ∂ Ψ *   Ψ * 2 − Ψ − = i h  Ψ * +Ψ 2  2 m  ∂ t ∂ t  ∂ x ∂ x  

h

2

lo que se reduce a: 2  ∂ 2 Ψ ∂ Ψ *  ∂  Ψ * 2 − Ψ − = ih Ψ*Ψ 2  2 m  ∂ t ∂ x ∂ x 

h

2

h

2

y, posteriormente, a:

−

2m

∂ ∂ x

 ∂ Ψ ∂ Ψ *  ∂  Ψ * h −Ψ = Ψ*Ψ i  x x t ∂ ∂ ∂  

Al integrar ambos miembros entre x1 y x2, encontramos:

−

h

2

2m

x2

∫

x1

∂ ∂ x

2  ∂ Ψ ∂ Ψ *  ∂  Ψ *  dx = i h ∫ −Ψ Ψ * Ψ dx ∂ ∂ ∂ x x t   x1

x

lo que es igual a x2

∂Ψ ∂ Ψ * ∂ x + Ψ* −Ψ = Ψ * Ψ dx ∂ x ∂ x  x ∂ t x∫ 2 m  ih 

1

2

1

Sea Ψ la función de onda para la partícula libre (7-24). Entonces:

(7-27)

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Ψ = e i ( K x−ω t )

Ψ = e − i ( K x−ω t )

y

Al derivar respecto a x se tiene

∂Ψ = i K e i ( Kx−ω t ) = i K Ψ ∂ x y

∂Ψ* = −i K e i ( Kx −ω t ) = − i K Ψ * ∂ x Substituyendo en la ecuación (7-27), tenemos

∂ x − [K Ψ * Ψ ] = ∫ Ψ * Ψ dx ∂ t x m 2

h

1

De la ecuación (7-5), ħK/m = p / m = v, donde v es la velocidad de la partícula. En consecuencia:

(vΨ * Ψ ) x= x2 − (v Ψ * Ψ ) x= x1

∂ x = ∫ Ψ * Ψ dx ∂ t x 2

(7-28)

1

Realmente, esta ecuación no es muy interesante en el caso de una partícula libre, donde V(x, t) es constante, ya que Ψ*Ψ = e −i(kx −ωt) ei(kx −ωt) = 1, v = constante, y la ecuación se reduce a la identidad 0 = 0. Sin embargo, al considerar un caso donde V(x, t) es una función que varía muy lentamente con respecto a x y t (casi una constante), entonces, por lo menos dentro de un intervalo restringido del eje x, la función de onda se puede escribir como:

Ψ = A e i ( Kx− ω t ) donde A, K y ω son funciones que varían muy lentamente con respecto a x y t. En este caso Ψ*Ψ = A 2 y también v no son constantes, aunque aun obtendremos la ecuación (7-28) ya que podemos ignorar las derivadas de A, K y ω al evaluar ∂Ψ* / ∂x y ∂Ψ / ∂x. Bajo estas circunstancias podemos emplear la ecuación (7-28) para confirmar la identificación de Ψ*Ψ con la densidad de probabilidad al comparar esta ecuación con la ecuación de conservación en una dimensión en el caso de líquidos en movimiento:

(v ρ ) x= x2 − (v ρ ) x= x1

∂ x = ∫ ρ dx ∂ t x 2

(7-29)

1

o

(S ) x = x2 − (S ) x= x1

∂ x = ∫ ρ dx ∂ t x 2

(7-29’)

1

En la figura 7-1 se ilustra esquemáticamente esta ecuación. La cantidad ρ es la densidad de masa del líquido y v su velocidad; vρ = S es el flujo de masa del líquido, que es la masa que pasa por el punto x por unidad de tiempo, de manera que el miembro izquierdo de la ecuación es igual a la masa del líquido que pasa por unidad de tiempo a través de x 1 menos la masa de líquido que pasa por unidad de tiempo a través de x2. La integral es la masa total de líquido contenida entre x 1 y x2, de manera que el miembro derecho es precisamente el cambio de masa por unidad de tiempo en esa región. Así, la ecuación establece simplemente que en la región comprendida entre x 1 y x2 no se genera ni se destruye líquido: se conserva. En el siguiente párrafo mostraremos que se debe aplicar el mismo tipo de ecuación de conservación a la


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probabilidad en mecánica cuántica. Al comparar las ecuaciones (7-28) y (7-29), veremos que esto será cierto si aceptamos el postulado de Born.

Figura 7-1. Ilustración de la ecuación de conservación en una dimensión.

Se puede encontrar fácilmente por qué la probabilidad se conserva. Considere la integral: ∞

∫−∞Ψ * ( x, t ) Ψ ( x, t ) dx Esta nos da la probabilidad total de que al tiempo t el valor de la coordenada de la partícula se encuentre entre − ∞ y + ∞. Es claro que debemos tener que: ∞

∫−∞Ψ * ( x, t ) Ψ ( x, t ) dx = 1

(7-30)

lo cual deberá ser cierto para todo tiempo t. Así que se debe conservar la probabilidad total. A menos que aceptemos algunas hipótesis muy especiales, esto podrá obtenerse si se conserva la probabilidad en cada región limitada por x1 y x2. O sea, debemos tener una ecuación de conservación de la forma (7-29). Antes de abandonar este argumento, obtengamos a partir de él la expresión para el flujo de probabilidad S(x, t). Esta cantidad es la probabilidad por unidad de tiempo de que la partícula asociada con la función de onda Ψ (x, t) pase por el punto x. Comparando las ecuaciones (7-28) y (7-29') vemos que cuando V(x, t) es una función que varía lentamente, S(x, t) es precisamente v Ψ*(x, t)Ψ(x, t). Se puede encontrar una expresión para S(x, t) con validez general considerando la ecuación (7-27), que se ha obtenido sin aproximación alguna. Si establecemos el postulado de que el flujo de probabilidad es: S ( x, t ) = −

ih 

Ψ * ( x, t )

2m 

∂Ψ ( x, t ) ∂ Ψ * ( x, t )  − Ψ ( x, t ) ∂ x ∂ x 

(7-31)

entonces la ecuación (7-27) se transforma en una ecuación de validez general para la conservación de la probabilidad en la mecánica cuántica. Esto lo consideramos como justificación del postulado. Fácilmente se puede demostrar que S(x, t) siempre es real.

4.

La ecuación de Schrodinger independiente del tiempo.

La ecuación de Schrodinger (7-19) es una ecuación en derivadas parciales para Ψ en función de x y t. La técnica normal para resolverla es proponer soluciones que sean el producto de una función de x por una función de t, esto es, soluciones que tengan la forma:

Ψ ( x, t ) = ψ ( x) φ (t )

(7-32)

Veremos que este tipo de soluciones son posibles si la energía potencial sólo es una función de x. Veremos que este procedimiento reduce al problema a la solución de dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Al substituir (7-32) en (7-19), suponiendo que V(x, t) = V(x), obtenemos:

∂2 ∂ ψ ( x) φ (t ) + V ( x) ψ ( x) φ (t ) = i h ψ ( x) φ (t ) − 2 ∂ t 2 m ∂ x h

2

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ahora bien 2 d ψ ( x) ∂2 ∂2 ψ ( x) φ (t ) = φ (t ) 2 ψ ( x) = φ (t ) 2 ∂ x 2 ∂ x dx

La notación ∂2ψ (x)/ ∂x2 es inadecuada ya que ψ (x) es una función de x solamente. De modo semejante tenemos:

∂ d φ (t ) ψ ( x) φ (t ) = ψ ( x) ∂t dt y la ecuación se puede escribir como:

−

h

2

2m

2

φ (t )

d ψ ( x) d x

2

+ V ( x)ψ ( x) φ (t ) = i hψ ( x)

d φ (t ) dt

Dividiendo ambos miembros entre ψ (x) φ(t), obtenemos:

 1  h 2 d 2ψ ( x) 1 d φ (t ) h ( ) ( ) ψ + = V x x i −  ψ ( x)  2 m d x 2 φ (t ) d t  El miembro izquierdo depende solamente de la variable x y el derecho solamente de la variable t. Ya que x y t son variables independientes, ambos miembros deben ser iguales a una cantidad que no dependa ni de x ni de t de manera que sea cierta la igualdad para todos los valores de las variables. Así, ambos miembros deben ser iguales a la misma constante C de separación. Esto es:

 1  h 2 d 2ψ ( x) ψ V x x ( ) ( ) + −  = C ψ ( x)  2 m d x 2 

(7-33)

y ih

1 d φ (t ) = C φ (t ) d t

(7-33’)

La ecuación (7-33') es una simple ecuación diferencial de primer orden para φ como función t. Su solución es: φ (t ) = e − i C t / h

(7-34)

Podemos verificarla derivando respecto a t y substituyendo en la ecuación (7-33'): d φ (t ) d t

=−

i C −i C t / h e h

=−

i C h

φ (t )

con lo que se tiene que ih

1 d φ (t ) 1 = ih φ (t ) d t φ (t )

 i C  φ t ( ) −  h  = C

La función φ(t) en una función compleja oscilatoria del tiempo:


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φ (t ) = e −i Ct / h


C t = cos    − i

 h 

 C t   h  

sen 

con la frecuencia f dada por 2 π f = C/ ħ. O sea, f = C/2πħ = C/ h. Conforme a las ecuaciones (7-2) y (7-3) debemos tener que f = E/ h, donde E es la energía total de la partícula, ya que φ(t) contiene la dependencia respecto a t de Ψ(x, t). Así, C debe ser igual a la energía total E. Tomando esto en cuenta, podemos escribir la ecuación (7-33) en la forma:

−

h

2

2m

2 d ψ ( x)

d x

2

+ V ( x)ψ ( x) = E ψ ( x)

(7-35)

Poniendo C = E en la ecuación (7-34), podemos escribir la solución a la ecuación de Schrodinger como:

Ψ ( x, t ) = ψ ( x) e −i Et / h

(7-36)

donde ψ (x) es una solución a la ecuación (7-35), la que recibe el nombre de ecuación de Schródinger independiente del tiempo. Otra forma de escribir la ecuación de Schrodinger en estado estacionario es: En una dimensión:

∂ 2ψ 2 m + ( E − V )ψ = 0 ∂ x 2 h 2 En tres dimensiones:

∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 2 m + + + ( E − V )ψ = 0 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2 h 2 Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden para ψ en función de x. No contiene números imaginarios y, en consecuencia, sus soluciones ψ (x) no son necesariamente funciones complejas.* En la sección 7 mostraremos que esta ecuación está íntimamente relacionada con la ecuación diferencial independiente del tiempo para el movimiento ondulatorio clásico. Las soluciones ψ (x) reciben el nombre de funciones propias. Se advierte al lector que recuerde la diferencia entre las funciones propias ψ (x) y las funciones de onda Ψ (x, t), y también la diferencia entre la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo y la ecuación de Schrodinger. * Por supuesto que, si así los deseamos, pueden ser complejos. La ecuación diferencial es lineal en ψ (x), de manera que siempre podemos tomar una solución que es la suma de una solución real más i veces una segunda solución real, siempre que las dos soluciones correspondan al mismo valor de E, como se muestra en la nota al pie de la página 193. Se puede poner como ejemplo la función (7-24), que es una solución con el potencial V(x, t) = 0. Puede escribirse como:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x) φ (t ) donde

φ (t ) = e −i ω t = e −i Et / h

y ψ ( x ) = e iKx

= cos K x + i sen K x

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APENDICE 2 LA TEORIA CUANTICA DEL ATOMO DE HIDROGENO La teoría mecánico- cuántica del átomo, que se desarrolló poco después de la formulación de la mecánica cuántica, representa una contribución trascendental para el conocimiento del universo fisico. A la vez que cambia nuestro conocimiento de los fenómenos atómicos, esta teoría ha permitido comprender, por ejemplo, cómo interactúan entre sí los átomos para formar moléculas estables, el origen del sistema periódico de los elementos, y el porqué los sólidos tienen propiedades eléctricas, magnéticas y mecánicas características. Todo ello será examinado en los siguientes capítulos. Por el momento, nos centraremos en la teoría cuántica del átomo de hidrógeno y de cómo se pueden interpretar los resultados matemáticos en función de conceptos conocidos.

6.1

ECUACION DE SCHRODINGER PARA EL ATOMO DE HIDROGENO

Un átomo de hidrógeno está formado por un protón, partícula que tiene carga eléctrica +e, y un electrón, que tiene una carga -e y que es 1 836 veces más ligero que el protón. Por conveniencia, consideraremos el protón en estado estacionario y que el electrón se mueve a su alrededor, pero sin posibilidad de escapar debido al campo eléctrico del protón. (Como en el caso de la teoría de Bohr, la corrección para el movimiento del protón simplemente se obtiene al sustituir la masa m del electrón por la masa reducida m'.) La ecuación de Schrodinger para el electrón en tres dimensiones, que es la que debemos emplear Para el átomo de hidrógeno es:

∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 2 m + + + ( E − V )ψ = 0 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2 h 2

(6-1)

La energía potencial V, a causa de la energía potencial electrostática de una carga −e a una distancia r de otra carga + e, es: V = −

e

2

4 π ε 0 r

(6-2)

Puesto que V es una función de r en vez de serlo de x, y, z, no podemos sustituir la Ec. 6.2 directamente en la Ec. 6.1. Hay dos posibilidades: expresar V en función de las coordenadas cartesianas x,y,z sustituyendo a r por x 2 + y 2 + z 2 , o expresar la ecuación de Schrodinger en función de las coordenadas polares esféricas r, θ , φ, definidas en la Fig. 6-1. Haciendo esto último debido a la simetría de la situación física, el problema se simplifica considerablemente.

FIGURA 6-1 Coordenadas polares esféricas.


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Las coordenadas polares esféricas r, θ, φ del punto P de la Fig. 6-1 tienen la siguiente interpretación: r = longitud del radio vector desde el origen O al punto P r = x 2 + y 2 + z 2 θ = ángulo entre el radio vector y el eje + z θ = ángulo cenital z

θ = cos −1 x

2

+ y 2 + z 2

φ = ángulo entre la proyección del radio vector en el plano xy y el eje + x medido en el sentido señalado φ = ángulo azimutal φ = tan −1

y x

Sobre la superficie de una esfera cuyo centro está en O, las lineas de un ángulo cenital constante θ son como los paralelos de latitud sobre un globo (notemos que el valor de θ de un punto no es lo mismo que su latitud; θ = 90° está en el ecuador de la esfera, por ejemplo, pero la latitud geográfica del ecuador es 0°) y las lineas del ángulo de azimut constante φ son como meridianos de longitud (aquí las definiciones coinciden si se toma como eje del globo al eje +z y el eje +x está en φ = 0°). En coordenadas polares esféricas, la ecuación de Schrodinger es:

1 ∂  2 ∂ψ 

2   ψ  1 ψ 2 m  e 2 ∂ ∂   = 0     θ r sen E + + + + 2 2 2 2 2 2      θ π ε r r 4 ∂ ∂ ∂ h  r   r senθ   r sen θ ∂φ 0 

1

(6-3)

Sustituyendo la energía potencial V de la Ec. 6.2 y multiplicando toda la ecuación por r2 sen2θ, se obtiene:

 ∂ψ  ∂ 2 ψ 2 m r 2 sen 2 θ   e 2 ∂   2 ∂ψ  ∂   ψ = 0 θ θ + + + + sen θ r sen sen E 2 2      ∂ r  ∂ r  ∂ θ  ∂ θ  ∂ φ h  4 π ε 0 r  2

(6-4)

Esta ecuación es la ecuación diferencial parcial de la función de onda ψ del electrón en un átomo de hidrógeno. Junto con las diversas condiciones que X debe cumplir, que se estudiaron en el capitulo 5 (por ejemplo, ψ tiene un solo valor para cada punto r, θ, φ), esta ecuación especifica totalmente el comportamiento del electrón. Para ver cuál es este comportamiento resolveremos la ecuación 6.4 para ψ . Al resolver la Ec. 6.4 resulta que se requieren tres números cuánticos para describir al electrón en un átomo de hidrógeno en lugar del único número cuántico de la teoría de Bohr. (En el próximo capitulo veremos que se necesita un cuarto número cuántico para poder describir el spín del electrón.) En el modelo de Bohr, el movimiento del electrón es básicamente unidimensional, ya que la única cantidad que varía con el movimiento es su posición en una órbita definida. Un número cuántico es suficiente para especificar el estado del electrón, de la misma manera que un número cuántico es suficiente para especificar el estado de una partícula en una caja de una dimensión. Para describir a una particula en una caja tridimensional se necesitan tres números cuánticos, ya que en ese caso la función de onda ψ de la partícula debe obedecer tres conjuntos de condiciones limites: ψ debe ser 0 en las paredes de la caja, independientemente en las direcciones x, y y z. En un átomo de hidrogeno, el movimiento del electrón está restringido por el cuadrado inverso del campo eléctrico del núcleo en lugar de las paredes de una caja; no obstante, el electrón se puede mover libremente en tres dimensiones; por tanto, no debe sorprender que su función de onda este gobernada por tres números cuánticos. Los tres números cuánticos revelados por la solución de la Ec. 6.4, junto con sus posibles valores, son los siguientes:

APUNTES DE FISICA

FISICA MODERNA


Número cuántico principal = n = 1, 2, 3, . . . Número cuántico orbital = ℓ = 0, 1, 2, . . . , n - 1 Número cuántico magnético = mℓ = 0, ± 1, ±2, ±3, …. ±ℓ El número cuántico principal n gobierna la energía total del electrón, y corresponde al número cuántico n de la teoría de Bohr. El número cuántico ℓ orbital gobierna a la magnitud del momenturn angular del electrón en tomo al núcleo, y el número cuántico magnético mℓ gobierna a la dirección del momenturn angular.

6.2.

SEPARACION DE VARIABLES

Lo verdaderamente valioso de escribir la ecuación de Schrodinger en coordenadas esféricas para el problema del átomo de hidrógeno está en que de esta forma se puede separar fácilmente en tres ecuaciones independientes, cada una de ellas con una sola coordenada. El procedimiento consiste en buscar las soluciones en que la función de onda ψ (r, θ, φ) tiene la forma de un producto de tres funciones diferentes: R(r) , que depende solamente de r; Θ (θ) que depende solamente de θ; y Φ (φ) que sólo depende de φ. Esto es, suponemos que:

(r , θ , φ ) = R (r ) Θ (θ ) Φ (φ )

(6-5)

La función R(r) describe la variación de la función de onda ψ del electrón a lo largo de un radio vector desde el núcleo, siendo θ y φ constantes. La variación de ψ con el ángulo cenital θ a lo largo de un meridiano de una esfera centrada sobre el núcleo está descrita por la función Θ ( θ) para r y φ constantes. Finalmente, la función Φ(φ) describe cómo varía ψ con el ángulo azimutal φ a lo largo de un paralelo de una esfera centrada sobre el núcleo, siendo r y θ constantes. La Ec. 6.5 se puede escribir más fácilmente como:

= R Θ Φ donde vemos que

∂ψ ∂ R = ΘΦ ∂ r ∂ r ∂ψ ∂Θ = R Φ ∂ θ ∂ θ

∂ 2ψ ∂2 Φ = R Θ 2 ∂ φ 2 ∂ φ Por tanto, cuando se sustituye R ΘΦ n la ecuación de Schrodinger para el átomo de hidrogeno y se divide la ecuación total entre RΘΦ se encuentra que: sen 2θ R

 ∂ Θ  1 ∂ 2 Φ 2 m r 2 sen 2θ   e 2 ∂   2 ∂ R  sen θ ∂    = 0 θ + + + + r sen E 2  4 π ε r ∂ r  ∂ r  Θ ∂ θ  ∂ θ  Φ ∂ φ 2 h 0  

(6-6)

El tercer termino de esta ecuación sólo es función del ángulo φ, mientras que los otros dos son funciones de r y θ. Volviéndola a escribir, tenemos: sen 2θ R

 1 ∂ 2Φ ∂ Θ  2 m r 2 sen 2θ   e 2 ∂   2 ∂ R  sen θ ∂   + + r senθ 2  4 π ε r + E  = − Φ ∂ φ 2 ∂ r  ∂ r  Θ ∂ θ  ∂ θ  h 0  

(6-7)


FISICA MODERNA


Esta ecuación solamente puede ser correcta si sus dos miembros son iguales a la misma constante, ya que son funciones de variables diferentes. A esta constante es conveniente llamarla ml2 . La ecuación diferencial para la función Φ s, por lo tanto:

−

1 d 2 Φ

Φ

2

d φ

= m2 l

(6-8)

Si se sustituye ml2 en el segundo miembro de la Ec. 6.7, se divide la ecuación resultante entre sen 2 θ y se reagrupan términos, se tiene: 2  m 1 ∂  2 ∂ R  2 m r 2  e 2 1 ∂   ∂ Θ     r  + θ E sen + = − 2   4 π ε r  sen 2 θ Θ senθ ∂θ  θ R ∂ r  ∂ r  ∂ h   0   l

(6-9)

Se tiene otra vez una ecuación n que aparecen variables diferentes en cada miembro, requiriéndose que ambas sean iguales a la misma constante. A esta constante se le llamará, por razones que veremos más adelante, ℓ (ℓ + 1). Las ecuaciones para las funciones Θ y R, por tanto: 2

ml

2

sen θ

−

∂   ∂ Θ  θ sen = l (l + 1) Θ senθ ∂θ  ∂ θ  1

(6-10)

 1 ∂  2 ∂ R  2 m r 2  e 2   = l (l + 1)  r  + E + 2  4 π ε r R ∂ r  ∂ r  h 0  

(6-11)

Las ecuaciones 6-8, 6-10 y 6-11 se escriben normalmente: 2

d

Φ 2

d φ

+ m2 Φ = 0

(6-12)

l

2 ml  d Θ   d   sen θ  + l (l + 1) −  2 sen θ d θ  d θ   sen θ 

1

Θ = 0

 l (l + 1)  1 d  2 d R   2 m  e 2   −   + + r E   =0 2 r 2 d r  d r   h 2  4 π ε 0 r r  

(6-13)

(6-14)

Cada una de estas ecuaciones es una ecuación diferencial ordinaria de una función con una sola variable. Con ello se ha conseguido simplificar la ecuación de Schrodinger para el átomo de hidrógeno que, al principio, era una ecuación diferencial parcial de una función ψ de tres variables.

6.3

LOS NUMEROS CUANTICOS

La Ec. 6.12 se resuelve fácilmente para encontrar

Φ (φ ) = A e i m φ l

(6-15)

donde A es la constante de integración. Una de las condiciones establecidas previamente que debe cumplir una función de onda −y por tanto Φ, que es una componente de la función completa ψ− es que tenga un único valor para cada punto del espacio. De la Fig. 6.2 se observa que φ y φ + 2 π se identifican en el mismo plano meridiano. Por tanto, debe ser cierto que Φ(φ) = Φ (φ + 2π), o bien:

APUNTES DE FISICA

Ae

i ml φ

FISICA MODERNA


= A e i m (φ + 2π ) l

lo que solamente puede ser cuando mℓ sea 0 o un número entero positivo o negativo ( ±1, ±2, ±3, …). La constante mℓ se conoce como el numero cuántico magnético del átomo de hidrogeno

FIGURA 6.2 Los ángulos φ y φ + 2π Identifican al mismo plano meridiano. . La ecuación diferencial 6-13 para Θ(θ) tiene una solución más complicada. Viene dada por las funciones asociadas de Legendre. Para nuestro propósito, lo más importante de estas funciones es que existen solamente cuando la constante ℓ es un numero entero igual o mayor que mℓ, que es el valor absoluto de mℓ . Esta exigencia se puede expresar como una condición de m ℓ en la forma: ml

= 0, ± 1, ± 2,....., m l

La constante ℓ es el número cuántico orbital La solución de la ecuación final, la ecuación 6-14, para la parte radial R(r) de la función de onda ψ del átomo de hidrogeno también es complicada, y viene dada por las funciones asociadas de Laguerre. La ecuación 6-14 sólo se puede resolver cuando E es positivo o tiene uno de los valores negativos E n (lo que significa que el electrón está unido al átomo), dados por: E n

=−

me

32 π

2

4

ε 02 h 2

 1   2   n 

(6-16)

donde n es un numero entero. Vemos que ésta s la misma fórmula que obtuvo Bohr para los niveles de energía del átomo de hidrogeno. Otra condición que se debe cumplir para resolver la ecuación 6-14 es que n, conocido como numero cuántico principal, sea igual o mayor que ℓ + 1. Esto se puede expresar como una condición para ℓ en la forma: l

= 0,1, 2, ...., (n − 1)

Por tanto, podemos tabular los tres números cuánticos n, ℓ mℓ como sigue: Numero cuántico principal: n = 1,2,3,… Numero cuántico orbital: ℓ = 0,1,2,3,…, (n-1)

20161114201122

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