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tema

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MATEMÁTICAS Desigualdad de Tchebyschev. Coeficiente de variación. Variable Variabl e normalizada. Aplicación al análisis, interpret interpretación ación y comparación de datos estadísticos.

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matemáticas

1.

LA DESIGUALDAD DES IGUALDAD DE TCHEBYSCHEV

2.

EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN

3.

VARIABLE NORMALIZADA

4.

APLICACIÓN AL ANÁLISIS, INTERPRETACIÓN Y COMPARACIÓN DE DATOS

















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matemáticas

INTRODUCCIÓN

Tchebyschev es uno de los célebres matemáticos del siglo XIX, creador de varias escuelas matemáticas en Rusia y cuyos trabajos matemáticos, a modo de resumen, podemos clasiclasi car en las cuatro ramas siguientes: Mecanismos y Teoría de la Aproximación de Funciones, Teoría de los Números, Teoría Teoría de Probabilidades y Teoría de Integración, aunque escribió acerca de muchos otros temas: formas cuadráticas, construcción de mapas, cálculo geométrico de volúmenes, etc. En lo que se reere al trabajo de Tchebyschev Tchebyschev sobre la teoría de Probabilidades, es sabido que se le atribuyen las leyes principales de esta teoría, como la ley de los grandes números y el teorema central del límite, aunque quizás su contribución más conocida a la teoría de la probabilidad es la llamada desigualdad de Tchebyschev. Estos trabajos dieron un fuerte impulso a la escuela probabilística rusa, siendo especicados sus resultados por sus alum nos, en particular A. A. Márkov y Liapunov. En este tema comenzaremos estudiando la desigualdad de Markov y la desigualdad de Tchebyschev chebyschev,, viendo previamente los motivos que propiciaron dichas desigualdades, para continuar con los conceptos de coeciente de variación y normalización o tipicación de una variable aleatoria. Por último veremos la aplicación al análisis, interpretación y comparación de datos es tadísticos mostrando ejemplos de los conceptos descritos.









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1

LA DESIGUALDAD DE TCHEBYSCHEV El concepto de probabilidad de un suceso aleatorio surgió de modo intuitivo y experimental y se ha ido desarrollando a lo largo del tiempo mostrando diversas formas de presentación. Uno de los enfoques iniciales fue la noción frecuencial de la probabilidad que considera la probabilidad de un suceso como el número al que se aproxima su frecuencia relativa al repetir el experimento un número elevado de veces. La interpretación frecuencial de la probabilidad se basaba por tanto en la repetición de un experimento bajo las mismas condiciones pero este concepto era muy impreciso por lo que fue necesario determinar en qué grado la frecuencia relativa de un suceso se aproximaba a su probabilidad cuando el experimento se realizara un número determinado de veces, es decir; si consideramos un suceso S de un espacio muestral y repetimos el experimento n veces: ¿con que grado de conanza se vericará

m n

− p < ε ?

siendo m el número de veces veces que se verica el suceso S y p=P(S) Esta pregunta, de vital importancia para aplicar la probabilidad a situaciones reales, nos lleva a plantearnos otras cuestiones: ¿Cuál deberá ser el número de experimentos que tenemos que realizar, n, para que

m n

− p < ε se cumpla con una probabilidad mayor que una cota dada

k? Es decir; ¿n/P

  

m n

 − p < ε  > k? 

A partir de este momento el estudio se centró en calcular

  

m n

 − p < ε  . 

Tras los estudios llevados a cabo por Moivre, (en respuesta a las preguntas plan teadas por jugadores profesionales como el caballero De Meré), y posteriormente por Gauss y Laplace se obtuvieron las primeras fórmulas para aproximar esta probabilidad, pero las estimaciones del error fueron insatisfechas durante mucho tiempo. La introducción de los conceptos de variable aleatoria, esperanza y varianza por parte de Tchebyschev fue fundamental para aclarar estas cuestiones.











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y Markov, discípulo de Tchebyschev, desarrolló completamente la solución en su tesis, resolviendo las lagunas del razonamiento de Tchebyschev Tchebyschev y ampliándolo con éxito a la demostración del teorema central del límite en la teoría de la pro babilidad. En este apartado vamos a demostrar las desigualdades de Markov y Tchebyschev. Tchebyschev. La desigualdad de Markov nos permite acotar la probabilidad de una una función no negativa de una variable aleatoria. El caso de una función particular en la desigualdad de Markov nos ayudará a demostrar la desigualdad desi gualdad de Tchebyschev. Tchebyschev. X

Desigualdad de Markov Dada una función no negativa g de la variable aleatoria X , ∀ a > 0 se verica:

P ( g ( X ) ≥ a )

≤

E  g ( X )  a

Demostración: Para ver la demostración vamos a distinguir dos casos, el caso discreto y el caso continuo.

1. Caso discreto: Sea A = {i: g ( x = xi), entonces: xi) ≥ a} y pi = P ( X X =

E [ g ( X )]

= ∑ g ( xi ) pi = ∑ g ( xi ) pi + ∑ g ( xi ) pi ≥ i

=

a

i∈A

p = a ⋅ P( g ( X ) ≥ a) ∑ ∈

i∈A

a p = ∑ g( x ) p ≥ ∑ ∈

i∈A

i

i

i

i A

i

i A

Y por tanto tenemos que:

P ( g ( X ) ≥ a )

≤

E  g ( X )  a

2. Caso continuo: La demostración demostración en el caso continuo es totalmente paralela a la del del caso discreto, veámosla.










X

La desigualdad de Tchebyschev Tchebyschev Sea X una una variable aleatoria sobre un espacio muestral con media X y desviación típica σ. Sea k ∈ , k > 0, entonces:

P ( X

1

− kσ < X < X + k σ ) ≥ 1 −

2

k

Esta desigualdad es conocida como la desigualdad de Tchebyschev. Tchebyschev.

Demostración: Consideramos la variable aleatoria Y =  X

− E [ X ]

2

Vamos a aplicar la desigualdad de Markov 1 para el caso concreto de la función )=  X g ( X X )=

− E [ X ]

P ( X

2

y la constante a = (k σ)2.

− kσ < x < X + kσ ) = P (

X

(

− X < kσ ) =

P Y

< ( k σ )2 ) =

por el complementario:

= 1 − P ( Y ≥ ( k σ ) ) ≥ 1 − 2

E [Y ]

( k σ )

2

= 1−

σ

k

2

2

σ

2

Por tanto:

P ( X

− kσ < x < X + k σ ) ≥ 1 −

1 2

k

= 1−

1 k 2









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2

EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN La dispersión de una distribución de una variable aleatoria o estadís tica puede estudiarse a partir de la media y de la desviación típica, pero si nos limitamos a estos dos parámetros nos podemos encontrar con algunos inconvenientes que pueden incluso derivar en conclusiones erróneas. Si queremos vericar que, por ejemplo, las desviaciones típicas de dos muestras del mis mo tamaño son diferentes, no hay más que compararlas entre sí, puesto que ambas muestras se reeren a una misma variable pero cuando queremos realizar comparaciones entre dos variables surgen los siguientes problemas: 

No podemos comparar la dispersión o variabilidad relativa de dos distribuciones que estén expresadas en medidas no comparables. Por ejemplo, no es posible comparar, en el sentido de señalar qué dispersión es mayor o menor, 50 metros con 60 €.



Además, si comparamos los datos de dos variables y consideramos únicamente los valores de las desviaciones para concluir que distribución es más o menos dispersa podemos cometer errores ya que no podemos compara una variación de 5 km en distancias entre las provincias de España con una variación de 1 km entre las viviendas de una zona rural de una localidad. Es decir, podemos tener una distribución con una desviación menor que otra y sin embargo embargo ser una distribución con mayor dispersión.



Otro factor que hay que tener en cuenta es el sistema de medida utilizado ya que la desviación típica y la media dependen de la unidad elegida y esto puede llevar también a comparaciones engañosas. Por ejemplo este problema se plantea al medir el peso de dos poblaciones diferentes como puede ser una población de elefantes, que mediremos en toneladas, con el peso de una población de mosquitos, que mediremos en miligramos. Además, el problema no se resuelve pasando, mediante un cambio de escala, los datos a las mismas unidades ya que la variabilidad del peso de los mosquitos será prácticamente nulo por las medidas que tenemos de ellas aunque hay mosquitos que llegan a pesar hasta 100 veces más que otros.

Los inconvenientes explicados crean la necesidad de introducir una herramienta que permita realizar las comparaciones con la seguridad de que no llegaremos










ciente de variación solo se consideran las observaciones positivas. También por este motivo es por lo que podemos ver denido el coeciente de variación como:

C.V. =

σ

X

Señalar que el coeciente de variación suele expresarse en forma de porcentaje, multiplicando por 100 el resultado anterior:

C.V. =

σ

X

⋅100%

También se observa que el coeciente de variación no se ve inuido si multiplicamultiplica mos todos los valores de la variable por una constante ya que:

C.V. =

k σ k X

=

σ

X

pero si se altera, como consecuencia inmediata de las propiedades de la media, si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante. Por último, es importante destacar que los coecientes de variación sirven para comparar las variabilidades de dos distribuciones mientras que si deseamos, por ejemplo, comparar a dos individuos de una distribución, es necesario usar los valores normalizados ya que la normalización ( conceptos todos estos que de sarrollamos en el siguiente apartado) facilita la comparación de la forma de las distribuciones gracias a que elimina los factores posición y dispersión.









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VARIABLE NORMALIZADA Son muchas las situaciones, como describiremos en el siguiente apartado de aplicaciones, en las que nos encontraremos con la necesidad de usar una variable aleatoria que tenga media 0 y desviación típica 1. Es ta variable se denomina variable normalizada, tipifcada o estandarizada . En general, tendremos una variable aleatoria X con con media μ y desviación típica σ, a partir de la cual podemos denir, mediante relaciones lineales, otra variable con media 0 y desviación típica 1. Este proceso se denomina normalización o Z con tipicación de la variable X . Sea X ( ( μ, σ) es decir, decir, una variable aleatoria con media media μ y desviación típica σ denimos la variable normalizada y la denotamos Z (0, 1) como:

Z =

X − μ σ

Antes de comprobar que efectivamente la variable Z arriba arriba denida tienen media 0 y desviación típica 1 es necesario neces ario recordar algunas de las propiedades de la media y de la varianza que aplicaremos en la comprobación:

1. E[k ] = k para para toda k constante. constante. 2. E[ X X + Y ] = E[ X ] + E[Y ], para todo par de variables aleatorias X,Y X,Y.. 3. E[kX ] = k E[ X X ], para toda constante k y variable aleatoria X. 4. Var ar [[ X X ]=  X

− E [ X ]

2

= E[ X X 2] + E[ X ]2, para toda variable aleatoria X.

Cálculo de la media y desviación típica de una variable normalizada:

E [ Z ]

=

 X − μ  E  

σ



=

1 σ

E [ X

− μ ] =

1 σ

( E [ X ] − E [ μ ]) =

1 σ

( μ − μ ) =

Var ar [[ Z Z ] = E[(Z – E[Z]) 2] = E[ Z 2] (ya que E[ Z ] = 0)

 X − μ  2  = E    =  σ  

1 σ

2

2 E ( X − μ )  =  

1 σ

2

Var [ X ] =

σ σ

2

2

=

1

0












4

4.1.


APLICACIONES DE LA DESIGUALDAD DE TCHEBYSCHEV Son muchos los contextos en los que se utiliza la desigualdad de Tchebyschev. Esta desigualdad nos permite calcular el tamaño de la muestra para que la proba bilidad pedida tenga una cotas determinadas respondiendo respondiendo a problemas que generalmente se plantean en situaciones reales como por ejemplo: Se tiene un lote grande de artículos y se desea estimar la fracción defectuosa usando muestreo aleatorio simple. Con la desigualdad de Tchebyschev, Tchebyschev, podemos encontrar el tamaño de muestra n para que la probabilidad de que la fracción defectuosa no diera de la verdadera fracción defectuosa en no más de un, por ejemplo, 0’5, sea al menos del 95% . Con la desigualdad de Tchebyschev respondemos también a problemas como: El espesor de la película protectora en un proceso de fabricación de un cierto tipo de tubos tiene una media de 0,10 milímetros con una desviación estándar de 0,01 milímetro. Acotar la probabilidad de que el espesor sea mayor que 0,06 o menor que 0,14 milímetros.

Solución: Aplicamos la desigualdad de Tchebyschev:

P ( X

k

< X < X + k ) ≥

1

1









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Nº Me Medio de ventas

Desviación Típica

Producto A

500 ventas

20 ventas

Producto B

6000 ventas

360 ventas

Para verlo utilizamos el coeciente de variación de Pearson: Así, en la distribución de ventas del producto A tenemos:

C.V. =

20 500

⋅100% = 5%

y en la del producto B de

C.V. =

360 6000

⋅100% = 6%

de lo que se deduce que la distribución de ventas del producto B es más dispersa que la distribución de ventas del producto A. Es importante indicar también que en algunas ciencias usan el inverso del coe ciente de variación, esto es:

C.V. inverso

=

X σ

Por ejemplo, para medir el ruido algunas ingenierías usan este coeciente, deno minándolo, en este caso concreto, coeciente señal-ruido.










desviación típica obtenidas empíricamente). Si el ajuste es bueno podemos utiuti lizar la distribución normal para el cálculo de probabilidades sobre la variable que estamos estudiando. 

Para realizar estos cálculos de probabilidad con la función de densidad de la variable normal deberíamos resolver complicadas integrales mediante técnicas de cálculo numérico y esto para el estudio del caso particular de cada variable ajustada por una distribución normal. Esta dicultad queda resuelta gracias a que las probabili prob abilidades dades se determ determinan inan media mediante nte áreas bajo la curva curva de la la función función de densidensidad y la curva normal permite, mediante relaciones lineales, pasar de una variable cualquiera a otra que se toma como variable Standard y cuyas probabilidades están tabuladas. Como variable Standard se toma la variable tipicada X ∼ N(0, 1).



Para calcular las áreas bajo la curva de la normal con media 0 y desviación típica 1 se utilizan las tablas de áreas acumuladas pero antes de ver como se aplican estas tablas al análisis y comparación de datos estadísticos vamos a justicar la propiedad que acabamos de nombrar y que nos permite estudiar las probabilidades de cualquier distribución normal conocida la distribución N(0,1).

Defnición

La función de densidad para el caso particular de la distribución normal con μ=0 y =1 es:

f ( x) = Proposición:

1 2π

− x2

e

2

y se denomina función tipificada









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Veamos cómo calcular el resto de probabilidades a partir de las probabilidades tabuladas. positivo, entonces: P( z ≥ k ) = 1 – P( z ≤ k ): ): 1. Sea k positivo,

2. Sea k positivo, positivo, entonces: P( z ≤ – k ) = P( z z ≥ k ) por la simetría de la función:

3. Sea k positivo, positivo, entonces: P( z ≥ – k ) = P( z z ≤ k ) por la simetría de la función:










BIBLIOGRAFÍA KOLMOGOROV.: La Matemática: su contenido, métodos y significados, Alianza Universidad. DEVORE, JAY L.: Probabilidad y Estadística para Ingenieria y Ciencias. Ed.Thomson Paraninfo, S. A. 2006. LUQUIN, F.: Historia de las matemáticas. Matemáticos | P. L. CHEBYSHE CHEBYSHEV. V. http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Chebyshev.asp RÍOS, S.: Métodos Estadísticos. Ed. del Castillo, 1985.











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RESUMEN Desigualdad de Tchebyschev. Coeficiente de variación. Variable Variabl e normalizada. Aplicación al análisis, interpretación y comparación de datos estadístic estadísticos. os.

1. 1

LA DESIGUALDAD DE TCHEBYSCHEV En este apartado se demuestran las desigualdades de Markov y Tchebyschev. La desigualdad de Markov nos permite acotar la probabilidad de una función no negativa de una variable aleatoria y la desigualdad de Tchebyschev nos indica la dispersión de los valores de la variable aleatoria alrededor de su media tomando la varianza como medida de la dispersión de la variable










3. 3

VARIABLE NORMALIZADA Se denomina variable normalizada, tipicada o estandarizada a una variable aleatoria con media 0 y desviación típica 1. Sea X ( (μ, σ) una variable aleatoria con media μ y desviación típica σ, denimos la variavaria ble normalizada Z (0, 1) como: Z =

X − μ σ

4. 4

4.1.


APLICACIONES DE LA DESIGUALDAD DE TCHEBYSCHEV Son muchos los contextos en los que se utiliza la desigualdad de Tchebyschev. Tchebyschev. Por ejem plo nos permite acotar una probabilidad determinada o calcular el tamaño de la muestra

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