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MATEMÁTICAS Introducción a las geometrías no euclídeas. Geometría esférica.
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1.
NACIMIENTO DE LA GEOMETRÍA NO EUCLÍDE A
1.1.
OTROS ENUNCIADOS EQUIVALENTES AL AXIOMA DE LAS PARALELAS
1.2.
INTENTOS DE DEDUCCIÓN DEL AXIO MA DE LAS PARALELAS
2.
GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEA S
2.1.
GEOMETRÍA HIPERBÓLICA DE LOBACHÉVSK I
2.2.
GEOMETRÍA ELÍPTICA DE RIEMANN
2.3.
COMPARACIÓN COMP ARACIÓN ENTRE LAS GEOMETRÍ AS EUCLÍDEAS Y NO EUCLÍDEA S
3.
IMPORTANCIA DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEA S
4.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA ESFÉRIC A
5.
LÍNEAS GEODÉSICAS SOBRE UNA SUPERFICI E
5.1.
DEFINICIÓ N
5.2.
LÍNEAS GEODÉSICAS SOBRE LA SUPERFICIE ESFÉRICA
6.
RELACIONES MÉTRICAS ENTRE FIGURAS TRAZADAS SOBRE UNA SUPERFICIE ESFÉRICA
7.
POLÍGONOS ESFÉRICOS
8.
TRIÁNGULOS ESFÉRICO S
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INTRODUCCIÓN
Las geometrías euclídeas fueron durante muchos siglos consideradas como la verdad absoluta, basadas en diez axiomas innegables. Lobachevski demostró que el quinto de estos axiomas no se podría deducir a partir de los demás y estableció las bases para las geometrías no euclídeas. La geometría esférica nos dice que una gura será esférica siempre que todos sus puntos estén en una supercie esférica. Precisamente el punto de partida para el estudio de la geo -
metría esférica está constituido por la geometría no euclídea.
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NACIMIENTO DE LA GEOMETRÍA NO EUCLÍDEA
Antes de comenzar, es importante señalar la conveniencia de relacionar esta primera parte del tema con el tema 34, que trata sobre el análisis y formalización de los conceptos geométricos intuitivos. Sobre todo, la parte dedicada a Euclides. La geometría no euclídea fue el resultado de siglos de estudio en el campo de la geometría euclídea. Los axiomas (5 postulados y 5 nociones comunes) adoptados por Euclides en Los Elementos, se consideraron, durante cientos de años, verdades evidentes acerca del espacio físico y de las guras que en él hay. Sin embargo, el axioma de las
paralelas, en la forma enunciada por Euclides, era demasiado complicado y poco elegante en comparación con el resto. X
Axioma de las paralelas (postulado 5)
Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una misma parte, menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indenidamente se encontra rán en el lado en que los ángulos son menores que dos rectos. El mismo Euclides retrasó todo lo que pudo la utilización de este postulado, y lo empleó por vez primera en la proposición 29. Dicha proposición estudia los ángulos que forma una secante al cortar a dos paralelas. La historia de la geometría no euclídea comienza con los esfuerzos realizados para eliminar las dudas dudas sobre el axioma axioma de las paralelas. Desde los tiempos de los griegos, hasta principios del siglo XIX, se marcaron dos caminos:
Reemplazar el axioma de las paralelas por otro más sencillo y evidente.
Tratar de deducirlo de los restantes nueve axiomas.
Estudiemos a continuación estos dos caminos que son el germen de la geometría no euclídea. 1.1.
OTROS ENUNCIADOS EQUIVALENTES AL AXIOMA DE LAS PARALELAS La búsqueda de argumentos más sencillos que el quinto postulado, comienza con Ptolomeo, y continúa aún en nuestros días. He aquí una lista de algunas equiva lencias:
Dadas dos rectas paralelas en un plano, si otra recta del plano corta a una de ellas, corta a la segunda. (Proposición 30 de Euclides). Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas
entre sí.
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(Axioma de Playfair). Dados, en un plano, un punto P y una recta r , tales que P no está en la recta r , existe una única paralela a r que que pase por P.
(Axioma de Fenn.) Dos líneas rectas intersecándose no pueden ser ambas paralelas a una tercera. Dados tres puntos no alineados, siempre existe una circunferencia que pasa por los tres.
La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos.
Rectas paralelas a una misma recta, son también paralelas entre sí.
Existe un triángulo tal que la suma de sus ángulos es igual a dos rectos.
(Hipótesis de Saccheri). Existe un cuadrilátero que tiene sus cuatro ángulos
rectos. La formulación más empleada actualmente, por su claridad y sencillez, es la dada por el británico John Playfair (1748-1819), (1748-1819), y es la que suele aparecer en los libros
de texto. 1.2.
INTENTOS DE DEDUCCIÓN DEL AXIOMA DE LAS PARALELAS El segundo camino que provocará la aparición de la geometría no euclídea, es el afán de deducir el axioma de las paralelas de los restantes nueve axiomas de Euclides. Si se hubiera conseguido, dicho axioma pasaría a ser un teorema t eorema y todas las dudas quedarían aclaradas. Sin embargo, Hilbert demostró que es imposible
deducirlo de los demás. Entre todos los esfuerzos por obtener alguna deducción, hay que destacar los estudios de Saccheri. Girolamo Saccheri (1667-1733), jesuita italiano, trabajó del modo siguiente:
A = B
AC
= 90
= BD
Cuadrilátero de Saccheri
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Sea ABCD un cuadrilátero que tiene ángulos rectos en A y B, y en el que sus lados AC y y BD son iguales. Saccheri demuestra, empleando los 4 primeros postulados de Euclides, que los ángulos C y y D han de ser iguales. De esta manera, aparecen tres opciones: ^ ^ 1. Hipótesis del ángulo agudo: C y y D son agudos. ^ ^ 2. Hipótesis del ángulo recto: C y y D rectos. ^ ^ 3. Hipótesis del ángulo obtuso: C y y D son obtusos.
Saccheri intenta demostrar que las hipótesis 1 y 3 conducen a absurdos, y así, de
manera indirecta, aceptaría como válida la hipótesis del ángulo recto, que equivale al quinto postulado de Euclides. Saccheri probó fácilmente que la hipótesis 3 entraba en contradicción con el postulado 2, y la rechaza. Pero a la hora de buscar contradicciones en la primera
hipótesis, no le fue tan fácil. De hecho, no encontró nada inconsistente, pero los resultados obtenidos le parecieron tan «repugnantes», que acabó rechazándola. En verdad, lo que estaba haciendo era construir una geometría no euclídea, pero sus ideas preconcebidas no la aceptaron.
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GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS
A principios del siglo XIX, tres matemáticos comparten el privilegio de crear las geometrías no euclídeas, es decir, geometrías que sustituyen el quinto postulado de Euclides por otro distinto. Estos tres matemáticos fueron Gauss, Lobachévski y Bolyai. Y su gran novedad fue la de caer en la cuenta de que la geometría euclídea no es la única geometría que describe las propiedades del espacio físico. De esta manera, aparecen dos tipos de geometrías no euclídeas:
La geometría hiperbólica de Lobachévski y Bolyai.
La geometría elíptica de Riemann.
Vamos a abordar estas dos geometrías, primero por separado y luego de manera conjunta.
2.1.
GEOMETRÍA HIPERBÓLICA DE LOBACHÉVSKI Esta geometría se basa en la hipótesis del ángulo agudo. Y el axioma de las paralelas se sustituye por: dados en un mismo plano una recta r y y un punto P que no pertenece a r , entonces existen al menos dos rectas paralelas a r y y que pasan por el punto P. La pseudoesfera nos proporciona un modelo de supercie en el que la geometría hiperbólica es válida. La pseudoesfera es la supercie de revolución engendrada
por la tractriz al girar alrededor de su asíntota. asíntota.
Tractriz es la curva que
cumple que: PT
= constante
OT
Siendo PT tangente tangente a la curva. Pseudoesfera
En este modelo se dene recta como la línea más corta que une dos puntos cuales -
quiera, es decir, las rectas son las geodésicas. Otro modelo de esta geometría nos lo proporciona el interior de un círculo en el plano euclídeo. Y se dene la recta hiperbólica como el intervalo abierto de la recta euclídea que pasa por esos puntos y está en el interior del círculo. Y se llaman rectas paralelas a las que no se cortan.
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2.2.
A’, B’). Recta que pasa por A y B: ( A’
Los puntos de la circunferencia no pertenecen al modelo.
Hay innitas paralelas a (A’, B’) que pasen por C : r y A’, B’). y s son paralelas a ( A’
GEOMETRÍA ELÍPTICA DE RIEMANN Esta geometría se basa en la hipótesis del ángulo obtuso. Y el axioma de las paralelas se sustituye por: dados en un mismo plano una recta r y y un punto P que no pertenece a r , entonces no existe ninguna paralela a r que que pase por el punto P. Un modelo para esta geometría nos lo da la esfera. Basta con denir recta elíptica como círculo máximo. Y punto elíptico como un par de puntos diametralmente
opuestos. Como se observa fácilmente, dos rectas, es decir, dos círculos máximos siempre se cortan.
Recta = círculo máximo: A y B son rectas.
Punto = par de puntos diametralmente opuestos: aa’ y bb’ son dos puntos.
La recta A pasa por el punto aa’.
Dos rectas (círculos máximos) siempre se cortan.
Por motivos obvios, a esta geometría también se le llama esférica.
Es muy importante señalar que la aparición de estos modelos para las geometrías no euclídeas, fue la prueba clave para asegurarse de que la geometría de Euclides no era la única válida de nuestro entorno físico. Para completar nuestro estudio, vamos a presentar una visión conjunta de las geo -
metrías euclídeas y no euclídeas.
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2.3.
COMPARACIÓN ENTRE LAS GEOMETRÍAS EUCLÍDEAS Y NO EUCLÍDEAS He aquí una tabla que compara algunos resultados en las distintas geometrías de
Euclides, Lobachévski y Riemann.
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IMPORTANCIA DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS
Al considerar nuestro universo esférico, es evidente la relevancia que adquiere la geometría elíptica o esférica en el campo de la astronomía. Incluso en algunos problemas de de tipo terrestres, como los de la navegación, se emplean los resultados resultados de dicha geometría. Un estudio más profundo de la geometría esférica se verá más adelante. Sin lugar a dudas, el mayor logro de las geometrías no euclídeas se debe a Riemann, que se dedicó a estudiar espacios métricos curvos en general (sin modelos físicos concretos, incluso de cualquier dimensión). Esto hizo posible, nalmente,
la aparición de la teoría general de la relatividad. Así, Riemann consideraba a la geometría euclídea un caso intermedio entre la geometría hiperbólica y la elíptica, ya que observó que la curvatura de la pseudoesfera es constante y negativa (c = −1/r 2); la curvatura de la esfera es constante y positiva (c = r 2); y la curvatura del plano es también constante e igual a cero. A continuación, vamos a profundizar en la geometría esférica, utilizando las herramientas de la geometría diferencial.
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CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA ESFÉRICA Clásicamente se ha denido la esfera en 3 como el lugar geométrico de los l os puntos del espacio que distan de uno jo 0, llamado centro, una distancia r llamada llamada
radio. Toda recta y todo plano que pasen por el centro se llaman diametrales. Llamarecircunferencia cia máxima de una esfera a la intersección de ésta con un plano mos circunferen diametral. Elegida una recta diametral cualquiera, todas las secciones de la supercie esféri -
ca con los planos que pasan por la recta son circunferencias máximas; por tanto, podrán hacerse coincidir mediante un giro giro alrededor de la recta elegida. La supercie esférica puede, pues, ser engendrada por el giro de una circunferen -
cia máxima cualquiera alrededor de uno cualquiera de sus diámetros. En el estudio de Geometría Diferencial, consideremos la siguiente parametrización de la supercie esférica:
x = r ⋅ cos θ ⋅ cos ϕ f (θ , ϕ ) = y = r ⋅ cos θ ⋅ sen ϕ z = r ⋅ sen θ siendo r el r radio de la esfera, 0<ϕ
≤π
y
0 ≤θ
≤ 2π
Los parámetros θ y ϕ son independientes, es decir, la matriz A:
∂ x ∂θ A = ∂ x ∂ϕ
∂y ∂θ ∂y ∂ϕ
∂z ∂θ ∂z ∂ϕ
tiene característica 2, excepto en un punto. En efecto:
∂ f cos θ ) = ( −r ⋅ sen θ ⋅ cos ϕ , − r ⋅ sen θ ⋅ sen ϕ , r ⋅ co ∂θ
∂ f cos θ ⋅ cos ϕ , 0) = ( −r ⋅ cos θ ⋅ sen ϕ , r ⋅ ⋅ co ∂ϕ
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Luego, A
−r ⋅ sen θ ⋅ cos ϕ = −r ⋅ cos θ ⋅ sen ϕ
− r ⋅ sen θ ⋅ sen ϕ r ⋅ cos θ ⋅ cos ϕ
r ⋅ cos θ
0
la característica de A es 2, pues:
−r ⋅ sen θ ⋅ cos ϕ
− r ⋅ sen θ ⋅ sen ϕ
−r ⋅ cos θ ⋅ sen ϕ
r ⋅ cos θ
⋅ cos ϕ
=
= − r 2 ⋅ sen θ ⋅ cos θ ⋅ cos 2ϕ − sen θ ⋅ cos θ ⋅ sen2ϕ = = −r 2 ⋅ sen θ ⋅ cos θ ⋅ ( cos 2ϕ + sen 2ϕ ) = −r 2 ⋅ sen θ ⋅ cos θ que sólo se anula para θ
= π ⇒ sen θ = 0
θ
=
π ⇒ cos θ 2
=0
Para θ = π se toma cualquier otro menor y la característica seguirá siendo 2. Para θ
=
π la característica es 1, luego estamos ante un punto singular. 2
Evidentemente, esta circunstancia es debida a la elección de los parámetros: 1. Si en la representación paramétrica de la esfera hacemos θ = a, siendo «a» una
constante, obtenemos:
= r ⋅ cos a ⋅ cos ϕ = k ⋅ cos ϕ , donde k = r ⋅ cos a ntes k y p constantes y = r ⋅ cos a ⋅ sen ϕ = k ⋅ sen ϕ , d donde onde k = r ⋅ cos a z = r ⋅ sen a = p , donde p = r ⋅ sen a 0 < ϕ ≤ π x
encontrándonos con la ecuación de una circunferencia situada sobre la esfera. Por consiguiente, la curva paramétrica o coordenada correspondiente a θ = cte. es una circunferencia paralela al plano X 0Y , y a una distancia «r · · sen a» de él. 2. Si hacemos ϕ = cte. = b
= r ⋅ cos b ⋅ cos θ = k ′ ⋅ cos θ y = r ⋅ sen b ⋅ cos θ = p ′ ⋅ cos θ 0 ≤ θ ≤ 2π z = r ⋅ sen θ = r ⋅ sen θ x
siendo: k’ = r · ·
cos b = cte. p’ = r · · sen b = cte. La curva así obtenida es una línea circular (semicircunferencia) situada sobre la esfera. Es la curva paramétrica correspondiente a ϕ = cte.
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La primera fórmula fundamental de una supercie f = f (u, v) en viene dada por la expresión:
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ds 2 = E · · du 2 + 2F · · du · dv + G · dv 2
donde ds es un elemento de longitud. E =
∂ f (u , v ) ∂ f (u , v ) ⋅ ∂u ∂u
F =
∂ f (u , v ) ∂ f (u , v ) ⋅ ∂u ∂v
=
∂ f (u, v ) ∂ f (u , v ) ⋅ ∂v ∂v
G
Vamos a obtener la primera fórmula fundamental de la supercie esférica. = (−r · E = · sen θ · cos ϕ, − r · · sen θ · sen ϕ, r · · cos θ) · · (−r · · sen θ · cos ϕ, − r · · sen θ · sen ϕ, r · · cos θ) =
= r 2 · sen2 θ · cos2 ϕ + r 2 · sen2 θ · sen2 ϕ + r 2 · cos2 θ = = r 2 · sen2 θ + r 2 · cos2 θ = r 2 = (−r · · sen θ · cos ϕ, −r · · sen θ · sen ϕ, r · · cos θ) · (−r · · cos θ · sen ϕ, r · · cos θ · F = · cos ϕ, 0) =
= r 2 · sen θ · cos θ · sen ϕ · cos ϕ − r 2 · sen θ · cos θ · cos ϕ · sen ϕ = 0 (−r · · cos θ · sen ϕ, r · · cos θ · cos ϕ, 0) · (−r · · cos θ · sen ϕ, r · · cos θ · cos ϕ, 0) = G = (−
= r 2 · cos2 θ · sen2 ϕ + r 2 · cos2 θ · cos2 ϕ = r 2 · cos2 θ Y así obtenemos la primera fórmula fundamental de la supercie esférica: ds 2 = r 2 · d θ 2 + r 2 ·
cos 2 θ · d ϕ2
Como sobre cualquier otra supercie (subvariedad diferencial de dimensión 2) de 3, la métrica euclídea que se tiene en el espacio subordina en la supercie esférica una métrica que permite establecer sobre dicha supercie los conceptos de distancias, ángulos, etc., mediante los cuales queda denida una geometría métrica sobre la supercie esférica, subordinada por la geometría métrica que se
tiene en el espacio. Estudiemos ahora cómo se calcula el plano tangente a la supercie esférica: Para cada punto P ( θ1, ϕ1) obtenemos la siguiente base natural para el plano tangente:
∂ f (θ , ϕ ) = ( −r ⋅ sen θ1 ⋅ cos ϕ1, − r ⋅ sen θ1 ⋅ sen ϕ1, r ⋅ cos θ1 ) ∂θ 1 1 ∂ f ϕ ) = ( −r ⋅ cos θ1 ⋅ sen ϕ1 , r ⋅ cos θ1 ⋅ cos ϕ1, 0) (θ , ϕ ∂ϕ 1 1
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Referida a dicha base, la métrica que el espacio subordina en la supercie esférica
viene dada por la matriz:
g ij
g = 11 g 21
∂ f ∂f ∂θ ⋅ ∂ θ g12 = g 22 ∂ f ∂ f ⋅ ∂ϕ ∂θ
∂f ∂f ⋅ r 2 ∂θ ∂ ϕ = ∂f ∂f 0 ⋅ ∂ϕ ∂ϕ ϕ
r 2 ⋅ cos 2 θ 0
(gij) nos describe, evidentemente, una forma bilineal denida positiva. El plano tangente a la supercie esférica en un punto (θ0, ϕ0) de ella, viene dado por la expresión:
x
= f (θ 0 , ϕ 0 ) + λ
∂f ∂f (θ 0 , ϕ 0 ) + µ (θ 0 , ϕ 0 ) ∂θ ∂ϕ
Ecuación vectorial
en virtud de que, tal y como anteriormente señalamos,
∂ f (θ , ϕ ) ∂θ 0 0
y
∂f (θ , ϕ ) ∂ϕ 0 0
forman una base del plano tangente a la esfera en el punto (θ0, ϕ0) f
= ( f1 , f 2 , f 3 )
En forma matricial, podemos expresarlo con la condición: x − f1 (θ 0 , ϕ 0 ) y − f 2 (θ 0 , ϕ 0 ) z
∂ f1 (θ , ϕ ) ∂θ 0 0 ∂ f1 (θ , ϕ ) ∂ϕ 0 0
∂f 2 (θ , ϕ ) ∂θ 0 0 ∂f 2 (θ , ϕ ) ∂ϕ 0 0
− f 3 (θ 0 , ϕ 0 ) ∂ f f 3 (θ , ϕ ) ∂θ 0 0 = 0 ∂f 3 (θ , ϕ ) ∂ϕ 0 0
Sustituyendo en el caso particular de la parametrización de la supercie esférica
que veníamos usando, resulta: x − r ⋅ cos θ 0
⋅ co s ϕ 0
−r ⋅ sen θ 0 ⋅ cos ϕ 0 − r ⋅ co s θ 0 ⋅ s en ϕ 0
− r ⋅ cos θ 0 ⋅ sen ϕ 0 z − r ⋅ sen θ 0 − r ⋅ sen θ 0 ⋅ sen ϕ 0 r ⋅ cos 0 0 =0 r ⋅ cos θ 0 ⋅ cos ϕ 0 0 y
Operando, obtenemos otra ecuación del plano tangente de la forma: Ax + By + Cz + D = 0
donde A, B, C y y D son constantes dependientes del punto P (θ0, ϕ0) tomado.
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La normal a la supercie esférica en un punto P (θ0, ϕ0) es una recta que pasa por P y es perpendicular al plano tangente. Como vector unitario sobre esta normal tomaremos:
∂ f (θ , ϕ ) ∂f (θ , ϕ ) ∧ ∂ ∂ϕ θ N = ∂ f (θ , ϕ ) ∂f (θ , ϕ ) ∧ ∂θ ∂ϕ Operando resulta:
∂ f (θ , ϕ ) ∂f (θ , ϕ ) ∧ ∂θ ∂ϕ = ( −r 2 ⋅ cos 2θ ⋅ cos ϕ , − r 2 ⋅ cos 2θ ⋅ sen ϕ , − r 2 ⋅ sen θ ⋅ cos θ ) ∂ f (θ , ϕ ) ∂f (θ , ϕ ) ∧ = r 2 ⋅ cos θ ∂θ ∂ϕ Por consiguiente:
N = ( −cos θ
c os θ ⋅ sen ϕ , −sen θ ) ⋅ cos ϕ , −co Podríamos, también, haber tomado − N como vector normal unitario, puesto que el sentido de N depende del orden que asignemos a las curvas coordenadas. Por medio de los coecientes de la primera fórmula fundamental E , F y y G, podemos expresar el ángulo α de dos direcciones tangentes a cualquier supercie. Sea la supercie dada por x denir la supercie.
Sean
du dv
y
δ u δ v
= x (u, v), siendo u y v los parámetros elegidos para
las direcciones tangentes.
Se tiene que: dx
δ x
dv = xu ⋅ du + xv ⋅ dv = xu ⋅ δ u + xv ⋅ δ u
donde xu y x v son las derivadas parciales con respecto a u y v, respectivamente.
cos α =
d x ⋅ δ x
( xu ⋅ du + xv ⋅ dv ) ( xu ⋅ δ u + xv ⋅ δ v )
= d x ⋅ δ x ⋅ δ x ( x ⋅ x ) du ⋅ δ u + ( xu ⋅ xv ) ( du ⋅ δ v + dv ⋅ δ u ) + ( xv ⋅ xu ) ⋅ dv ⋅ δ v = u u = d x ⋅ δ x E ⋅ du ⋅ δ u + F ( du ⋅ δ δ v + dv ⋅ δ u ) + G ⋅ dv ⋅ δ v = = E ⋅ du 2 + 2 F ⋅ du ⋅ dv + G ⋅ dv 2 ⋅ E ⋅ δ u 2 + 2F ⋅ δ u ⋅ δ v + G ⋅ δ v 2 du δ u du δ v dv δ u dv δ v = E ⋅ ⋅ + F ⋅ + ⋅ + G ⋅ ⋅ ds δ s ds δ s ds δ s ds δ s dx
=
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Para α
π = se tiene la condición de ortogonalidad de dos direcciones sobre la
2 supercie: E E du du δ u + F ( (du δv + dv δu) + G dv δv = 0.
El ángulo β formado por las curvas paramétricas u = cte. (por consiguiente, du = 0, dv arbitrario) y v = cte. (δu arbitrario y δv = 0) viene dado por:
cos β =
F ⋅ dv ⋅ δ u G ⋅ dv 2
E ⋅ δ u 2
=
F EG
= 0. Es evidente, pues, que dos curvas paramétricas son ortogonales si y sólo si F = Vamos a particularizar esta teoría al caso concreto de la supercie esférica. es férica.
Supongamos la ecuación de la esfera dada por f = f (θ , ϕ ) , tal como venimos utilizando. Sean las curvas ϕ = h (θ) y ϕ = g (θ) dadas sobre dicha supercie y que se cortan en un punto (θ, ϕ). Las curvas podemos representarlas por:
= f (θ , h(θ )) ϕ 2 = f (θ , g (θ ) ) ∂f ∂f v1 = d θ + dh (θ ) ∂θ ∂ϕ ∂f ∂f v2 = d θ + d g (θ ) ∂θ ∂ϕ ϕ1
Calculamos E , F y y G: E = = r 2
= 0 F = G = r 2 · cos2 θ
En este caso: du = d θ, dv = dh(θ), δu = d θ, δv = dg (θ). Por consiguiente:
cos α =
r 2 ⋅ dθ r 2 ⋅ dθ 2
+ r 2 ⋅ cos 2 θ ⋅ dh(θ ) ⋅ dg(θ )
+ r 2 ⋅ cos 2θ ⋅ dh(θ ) 2 ⋅
r 2 ⋅ d θ θ 2
+ r 2 ⋅ cos 2θ ⋅ dg(θ ) 2
dividiendo numerador y denominador por r 2 · d θ2
dh(θ ) h′(θ ) = 1 + cos θ ⋅ h′(θ ) ⋅ g ′(θ ) d θ cos α = 2 2 1 + cos 2θ ⋅ h′(θ ) ⋅ 1 + cos 2θ ⋅ g ′(θ ) g ′ θ = dg(θ ) ( ) d θ 2
= 0, las curvas paramétricas θ = cte. y ϕ = cte. (paralelos y meridianos) Como F = son ortogonales entre sí.
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5.1.
LÍNEAS GEODÉSICAS SOBRE UNA SUPERFICIE
DEFINICIÓN Cuando sobre una supercie tenemos una métrica como la que sobre la supercie esférica induce la matriz (gij), existen dos propiedades equivalentes que caracterizan a un tipo muy interesante de curvas sobre dicha supercie. Estas propiedades
son: a) La curva γ da el camino de mínima distancia sobre la supercie entre dos pun -
tos cualesquiera por los que pase. b) La curva γ tiene curvatura tangencial nula en todos sus puntos, es decir: en un
entorno de cada punto su proyección sobre el plano tangente, según la normal a la supercie, es una línea recta.
Las curvas que gozan de estas dos propiedades, que son equivalentes, reciben el nombre de líneas geodésicas. Es evidente que en un plano las geodésicas son las líneas rectas en virtud de la propiedad a). Podemos considerar que las geodésicas juegan el papel de líneas rectas dentro de la geometría subordinada por el espacio en la supercie, aunque consideradas en el propio espacio no lo sean, salvo casos de supercies particula res, como el plano y las supercies cilíndricas.
La determinación de estas curvas se hace mediante los símbolos de Christoffel
( Γ ijik j )i , j , k =1, 2 de la supercie, los cuales se determinan, a su vez, en función de la matriz (gij)i,j = 1,2. Dada una supercie x = x ( u1 , u 2 ), la curva u2 = u2 (u1) es una geodésica cuando verica la ecuación diferencial:
d 2u 2 du12
3
2
du du du = Γ 22 2 + ( 2 ⋅ Γ112 − Γ 222 ) 2 + ( Γ111 − 2 ⋅ Γ122 ) 2 − Γ 112 du1 du1 du1 1
viniendo determinados los símbolos de Christoffel por la fórmula
Γ = k ij ij
1
2
2
∑ h =1
g kh
∂g hj ∂g hi ∂g ij ∂u + ∂u − ∂uh i i
= 1, 2. para i, j, k =
Donde (g jk ) j,k = = 1,2 es la matriz de la métrica y (gkh)k , h = 1,2 es su inversa.
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5.2.
X
LÍNEAS GEODÉSICAS SOBRE LA SUPERFICIE ESFÉRICA Teorema Las geodésicas de la supercie esférica son las circunferencias máximas.
Una vez demostrado el teorema, podremos considerar que las circunferencias máximas son en la supercie esférica lo que las rectas en el plano.
Demostración:
Anteriormente hemos calculado la matriz de la métrica:
r 2 0 ( g jk ) = 2 2 0 r ⋅ cos θ 1 0 r 2 ( g jk ) = 1 0 r 2 ⋅ cos 2θ Vamos a obtener los símbolos de Christoffel mediante la fórmula que expresamos en el apartado anterior, siendo u1 = θ, u2 = ϕ.
Γ = 1 11 11
=
1
2
1
2
2
∑
g 1h
h =1
∂g h1 ∂g h1 ∂g11 ∂θ + ∂ϕ − ∂u = h
∂g11 ∂g11 ∂g11 1 12 ∂g 21 ∂g 21 ∂g11 + − + 2 g ∂θ + ∂ϕ − ∂ϕ ∂ ∂ ∂ θ ϕ θ
g 11
Teniendo en cuenta que: 1
g 11
=
g 12
=0
2
r
,
g11
= r 2
,
g 21
=0
tenemos que todas las derivadas parciales que aparecen son nulas. Por consiguiente,
Γ 111 = 0.
Análogamente:
Γ 222 = Γ 112 = Γ112 = Γ121 = 0 2 ∂g ∂ g h 2 ∂g 21 1 2 g 2 h h1 + Γ 21 = − = 2 h =1 u u u ∂ ∂ ∂ h 1 2 ∂g ∂ g ∂g 1 ∂g ∂g ∂g 1 = g 21 11 + 12 − 21 + g 22 21 + 22 − 21 2 ∂θ 2 ∂ϕ ∂ϕ ∂θ ∂ϕ ∂θ
∑
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Como g21 = 0, resulta:
∂ ( r 2 ⋅ cos 2θ ) ∂g 22 1 1 Γ 2121 = g = ⋅ ⋅ = 2 ∂θ 2 r 2 ⋅ cos 2θ ∂θ −2r 2 ⋅ cosθ ⋅ sen θ = = − tgθ 2r 2 ⋅ cos 2θ 2 Análogamente, Γ 12 12 = − tg θ . Calculemos por último Γ 122 1
2
Γ 12222 = como g12 = 0 y
Γ 2222 = 1
1
2
g
11
1
2
22
∂g12 ∂ g12 ∂g 22 1 12 ∂g 22 ∂g 22 ∂g 2222 + − + − + g ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂θ 2 ∂ϕ
g 11
∂g12 = 0, tenemos: ∂ϕ 2 2 1 1 ∂ ( r ⋅ cos θ ) 2 ⋅ r 2 ⋅ cos θ ⋅ sen θ ∂g 22 =− ⋅ 2⋅ = = cos os θ ⋅ sen θ ∂θ 2 r 2r 2 ∂θ
Y así hemos calculado los ocho símbolos de Christoffel:
Γ 222 = Γ 111 = Γ121 = Γ112 = Γ121 = 0 Γ122 = Γ 221 = − tgθ Γ 122 = cos θ ⋅ senθ Para calcular las geodésicas utilizaremos la ecuación diferencial (expuesta en el apartado anterior) que ha de vericar:
d 2u 2 du12
3
2
du du du = Γ 22 2 + ( 2Γ112 − 2Γ 222 ) 2 + ( Γ111 − 2Γ122 ) 2 − Γ 112 du1 du1 du1 1
Introduciendo en esta expresión los símbolos de Christoffel calculados resulta: 3
d 2ϕ
d ϕ + 2tgθ ⋅ d ϕ cos s e n θ θ = ⋅ ⋅ d θ d θ 2 d θ 3 d 2ϕ d ϕ d ϕ − 2tgθ ⋅ = cos θ θ ⋅ sen θ ⋅ d θ 2 d θ d θ Ésta es una ecuación diferencial del tipo «Bernouilli». Integrándola resulta: d ϕ d θ
=
1 + tg 2θ k 2
− tg 2θ
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tema 50 matemáticas
Si ahora hacemos los cambios v = sen ϕ, w = tg θ, queda:
dv dw
=
dv
d ( sen ϕ ) d ϕ
d θ dw
d ϕ d θ d ( tgθ )
⋅
=
d θ
1 − sen ϕ
d θ 1 + tg 2θ
=
1 + tg 2θ k 2
− tg 2θ
1 + tg 2θ
=
d θ
1 − sen 2ϕ k 2
cos ϕ
2
d ϕ
− tg 2θ
=
1 − v2 k2
− w2
Luego: dv dw
=
1 − v2 k2
− w2
⇒
dv
1 − v2
=
dw k2
− w2
e integrando resulta:
arc sen v + C = arc sen
w k
Y deshaciendo los cambios:
arcc se senn ϕ + C = ar tg θ k
tgθ k
⇒
= sen (ϕ + C ) = sen ϕ ⋅ cos C + cos ϕ ⋅ sen C
que podemos expresar de una manera general como: B1 · sen ϕ + B2 · cos ϕ + B3 · tg θ = 0
donde:
= cos C B2 = sen C B1
B3
=−
1 k
Eliminando los parámetros (θ, ϕ) entre esta ecuación y las ecuaciones de la supercie esférica, resulta la expresión implícita de las geodésicas sobre la supercie
esférica. x2 + y2 + z2 = r 2 A1 x + A2 y + A3 z = 0
Las geodésicas son las curvas que resultan de la intersección de la esfera con planos pasando por por el centro (diametrales). Por consiguiente, concluimos con que las líneas geodésicas de una supercie esférica son circunferencias máximas, tal
como se enunció en el teorema.
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tema 50
matemáticas
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RELACIONES MÉTRICAS ENTRE FIGURAS TRAZADAS SOBRE UNA SUPERFICIE ESFÉRICA A continuación estudiaremos las relaciones métricas entre guras trazadas sobre una supercie esférica dada, que supondremos invariable.
X
Distancia esférica
Dados dos puntos A y B de la supercie esférica, llamaremos distancia esférica entre ambos y la designaremos por AB, a la longitud del menor de los arcos de circunferencia máxima que tenga por extremos estos puntos. Esta circunferencia máxima es la sección producida en la supercie esférica por el plano A0 B.
Si los puntos fuesen diametralmente opuestos, hay innitas circunferencias máxi mas que pasan por ellos y todos los arcos AB serían iguales a una semicircunferen-
cia que se toma, en este caso, también como distancia esférica. Como suponemos invariable la supercie, también lo será el radio de todas las
circunferencias máximas y, por tanto, las distancias esféricas serán proporcionales a los ángulos que las proyectan desde el centro de la esfera. Expresaremos, por tanto, la medida de AB por la del ángulo A0 B. X
Ángulos esféricos
Dos circunferencias máximas se cortan en los extremos del diámetro común, AA’, por pasar sus planos por el centro 0, y dividen la esfera en cuatro regiones, lla ll a madas husos o ángulos esféricos, cada una de ellas comprendida en uno de los cuatro diedros en que sus planos dividen al espacio. La medida de estos diedros se toma también como medida del ángulo esférico o abertura del huso correspondiente. X
Perpendicularidad
Dos circunferencias máximas se dirán perpendiculares cuando formen un ángulo recto. Se llaman polos de un círculo máximo c, los extremos del diámetro perpendicular a él. En el polo concurren todas las circunferencias máximas perpendiculares a c, ya que todos los planos perpendiculares al plano de c por el centro pasan por el diámetro perpendicular. perpendicular.
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tema 50 matemáticas
Desde un punto A de la supercie esférica, exterior a una circunferencia máxi ma c y distinto de los polos, se puede trazar una única circunferencia máxima perpendicular.. Esta circunferencia máxima perpendicular es la que pasa por los perpendicular polos P y P’ de c, es decir, contenida en el plano perpendicular al de c que pasa por A. Si B y B’ son las intersecciones de esta perpendicular con c, el menor de los arcos AB , AB ′ se llama distancia de A a c, por ser menor que cualquier arco AC de la
circunferencia máxima que une A con un punto de c, ya que A0B < A0C
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tema 50
matemáticas
7
POLÍGONOS ESFÉRICOS Denición s upercie esférica por un Se llama polígono esférico a la sección producida en la supercie ángulo poliedro con vértice en el centro. La intersección del poliedro con la supercie esférica está limitada por arcos de
circunferencia máximos. Estos arcos limitados por las intersecciones se llaman lados del polígono esférico. Un polígono esférico se llama convexo cuando está situado todo él en un mismo hemisferio de los dos que determinan los círculos máximos de que forman parte sus lados. Un polígono esférico será cóncavo en caso contrario. El contorno de un polígono esférico se llama línea poligonal esférica cerrada. Si le faltase un lado, recibiría el nombre de poligonal esférica abierta. La clasicación y denominación de los elementos de los polígonos esféricos se
hace como en los polígonos planos (triángulos, cuadriláteros, etc.). X
Relación entre los polígonos esféricosy los ángulos poliedros
A todo polígono esférico le corresponde un ángulo poliedro que tiene por vértice el centro de la esfera y por aristas los radios que unen el centro con los vértices del polígono. A dicho ángulo poliedro se le denomina denomina ángulo sólido correspondiente al polígono esférico.
Las caras A0 B, B0C , ... y los diedros del ángulo poliedro tienen, respectivamente, la misma medida que los lados y los ángulos del polígono. Y, Y, recíprocamente, todo ángulo poliedro que tenga por vértice el centro de la esfera, corta a ésta según un polígono esférico que guarda con con él las relaciones anteriores. liedro, le corresponde la misma propiedad relativa a los lados o a los ángulos del polígono esférico correspondiente. correspondiente. Por tanto, a toda propiedad relativa a las caras o a los diedros de un ángulo po
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tema 50 matemáticas
Como consecuencia de esta relación y de las propiedades de los triedros podemos, pues, enunciar las siguientes proposiciones para polígonos esféricos. Propiedades 1. En todo polígono esférico cualquier cualquier lado es menor que la suma de los otros. 2. Si un polígono esférico convexo convexo es interior a un polígono esférico esférico cualquiera,
el perímetro del polígono exterior es mayor que el del polígono interior. interior. 3. En todo polígono esférico la suma suma de sus lados es menor que cuatro rectos. Particularizamos ahora para el caso de triángulos.
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matemáticas
8
TRIÁNGULOS ESFÉRICOS Denición
A todo ángulo central corresponde una distancia esférica y a cada diedro un ángulo esférico. Por tanto, un triedro de vértice en el centro será cortado por la su percie esférica según una porción de dicha supercie limitada por tres arcos de circunferencia máxima, llamado triángulo esférico.
Las intersecciones de las aristas del triedro, A, B, C , son los vértices del triángulo. Las secciones de las caras son los arcos de circunferencia máxima AB, AC , BC , llamados lados del triángulo esférico, que se miden por sus ángulos centrales.
A los diedros del triedro corresponden, pues, los ángulos del triángulo esférico ABC , formados por cada dos lados y que designaremos por letras griegas: α, β y γ, que son los opuestos a BC , AC y AB respectivamente.
Como las caras de un triedro son ángulos convexos (menores que un llano), los lados de un triángulo esférico son menores que una semicircunferencia. Los tres planos de las caras de un triedro dividen al espacio en ocho triedros, por tanto, las circunferencias de los lados de un triángulo esférico esférico ABC dividen dividen a la supercie esférica en ocho triángulos que son, llamando A’, B’, C’ los puntos diametralmente opuestos a A, B, C : ABC: triángulo dado. ABC’, AB’C , A’BC: triángulos llamados adyacentes al ABC por por tener con él
un lado común. respecto de 0. A’B’C’: triángulo simétrico del ABC respecto A’B’C , A’BC’, AB’C’: triángulos adyacentes del A’B’C’ o simétricos de respecto de 0. ABC’, AB’C , A’BC respecto Clasicación
El triángulo esférico se llama: isósceles si tiene dos lados iguales, equilátero si tiene los tres lados iguales. Se llama rectángulo si tiene un diedro recto, birrectángulo si tiene dos; en este caso, tiene también rectos los lados opuestos por concurrir éstos en el polo del tercer lado.
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De la misma forma, se llama trirrectángulo si tiene tres diedros rectos, sus lados serán, por tanto, tres cuadrantes de circunferencia máxima. Los triángulos esféricos trirrectángulos se llaman también octantes de la supercie esférica, por estar
ésta constituida por ocho iguales a él. X
Triángulos esféricos polares
Dos triángulos esféricos ABC y y A1 B1 C 1 se llaman polares cuando cada vértice del uno es el polo de un lado del otro y las distancias esféricas AA1, BB1 y CC 1 son todas menores o todas mayores que un cuadrante. Si recordamos las nociones de triedros suplementarios, vemos que el triedro correspondiente al triángulo ABC es es suplementario o polar del triedro correspondiente al triángulo A1 B1 C 1.
Con lo que podemos decir:
Si un triángulo esférico es polar de otro, éste es el polar de aquél.
Los lados de cada uno son suplementarios de los diedros del otro, y viceversa.
A toda relación métrica entre los lados del uno corresponderá, pues, otra entre los diedros del otro. X
Propiedades de los triángulos esféricos 1. En todo triángulo esférico un lado es menor que la suma de los otros dos y
mayor que su diferencia. 2. La suma de los lados de un triángulo triángulo esférico es menor que cuatro rectos.
Esta propiedad es consecuencia inmediata del resultado de la propiedad análoga para las caras de un triedro; sin más que considerar que en un triedro también se verica la propiedad de que cada cara es menor que la suma de las
otras dos.
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matemáticas
3. La suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor que dos rectos y
menor que seis. Consecuencia del resultado análogo para triedros: la suma de los tres diedros de un triedro está comprendida entre dos y seis rectos.
Demostración:
Consideremos un triedro de aristas a, b y c, y caras α, β y γ; y un triedro polar de aristas a*, b* y c* y caras α*, β* y γ*. Por las propiedades antes enunciadas al denir los triángulos esféricos polares tendremos que si a, b y c son los tres ˆ
ˆ
ˆ
ángulos diedros se vericará:
= 180 − α * b = 180 − β * c = 180 − γ *
a
con lo que la suma de los tres diedros es: a + b + c
= 3 ⋅ 180 − (α* + β* +γ *)
y como como la suma de las caras caras era menor menor que que cuatro rectos, tendremos:
2 ⋅ 90 < a + b + c < 6 ⋅ 90 , como queríamos demostrar
4. El menor de los ángulos de un triángulo esférico diere de la suma de los otros
dos en menos de dos rectos. Es consecuencia inmediata de la propiedad que para triedros dice: «El menor de los ángulos diedros diere de la suma de los otros dos en menos de dos rectos»,
y con su aplicación al triedro polar, obtenemos el resultado que buscamos. 5. En todo triángulo esférico a mayor lado se opone mayor ángulo.
Demostración:
Si es AB > AC llevamos AD = AC sobre AB. Si C’ es el simétrico de C , en el triángulo DBC’ se tendrá:
(180˚ – β) + γ’ + δ > 180˚
pero γ’ + δ = γ. De donde obtenemos: γ > β Corolario:
De la propiedad anterior se deduce que: En todo triángulo esférico a mayor ángulo se opone mayor lado. Ya que si γ > β ha de ser AB > AC , pues si fuese AB ≤ AC por la propiedad anterior se vericaría que γ ≤ β en contra de la hipótesis.
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X
Igualdad de triángulos esféricos A partir de las deniciones dadas y basándonos en los casos correspondientes de
los triedros, podemos enunciar: Dos triángulos esféricos son iguales si: 1. Tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido. 2. Tienen iguales un lado y los dos ángulos adyacentes. adyacentes. 3. Tienen respectivamente iguales los tres lados. 4. Tienen iguales los tras ángulos. Hemos podido observar a lo largo de este tema la similitud de ciertas propiedades
que esta Geometría presenta con la Geometría plana, traduciendo ángulo plano por ángulo esférico, semiplano por hemisferio, segmento por arco de circunferencia, etc. Así, las relaciones de igualdad y desigualdad de lados de un triángulo, los tres primeros criterios de igualdad de triángulos, etc. se enuncian en términos similares Sin embargo, en otras propiedades, la discordancia es maniesta. Estas propie -
dades son aquéllas en las que interviene la consideración de los puntos comunes a dos rectas y la noción de paralelismo. Así, mientras en el plano dos rectas sólo pueden tener un punto común, en la esfera dos circunferencias máximas tienen siempre dos puntos comunes. Dos perpendiculares a una recta en el plano son paralelas, mientras que en la esfera dos circunferencias máximas perpendiculares a otra se cortan en los polos de ésta. Y, en general, todas las propiedades que sean consecuencia del axioma de paralelismo, dieren en las dos geometrías. Por tanto, la Geometría que puede cons truirse modicando los axiomas fundamentales y suprimiendo el de paralelismo, constituye un ejemplo de Geometría no euclídea.
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BIBLIOGRAFÍA
BOYER, C.: Historia de la Matemática. Alianza Editorial. Madrid, 2003. DAVIS, P. y HERSH, R.: Experiencia matemática. Ed. Labor, Barecelona, 1989. KLINE, M.: El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, III. Alianza Editorial, Madrid, 1992 LÓPEZ DE LA RICA, A.: Geometría Diferencial. Ed. Clag. Madrid, 1997. HUTCHINSON, M. W.: Geometría, un enfoque intuitivo. Ed. Trilla. México, 1985.
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matemáticas
RESUMEN
Introducción a las geometrías no euclídeas. Introducción Geometría esférica.
1. 1
NACIMIENTO DE LA GEOMETRÍA NO EUCLÍDEA
Los axiomas de Euclides fueron considerados una verdad absoluta, sin embargo el axioma delas paralelas era en principio complicado. 1.1.
OTROS ENUNCIADOS EQUIVALENTES AL AXIOMA DE LAS PARALELAS Debido a la dicultad de su enunciado se ha optado por encontrar otros equivalentes, desde Ptolomeo hasta nuestros días.
1.2.
INTENTOS DE DEDUCCIÓN DEL AXIOMA DE LAS LA S PARALELAS PARALELAS Otros trataron de convertir el axioma en teorema, algo que fue imposible. Es el inicio de la geometría no euclídea.
2. 2
2.1.
GEOMETRÍA NO EUCLÍDEA
GEOMETRÍA HIPERBÓLICA DE LOBACHEVSKI Basada en la hipótesis del ángulo agudo y en la existencia de al menos dos paralelas por un puno exterior a otra recta dada. Ejemplo: pseudoesfera (tractriz revolucionada sobre su asíntota), o el interior de un círculo (deniendo recta hiperbólica como el intervalo abierto
comprendido entre los dos puntos). 2.2.
GEOMETRÍA ELÍPTICA DE RIEMANN Basada en la hipótesis del ángulo obtuso y en la inexistencia de paralelas. Ejemplo: esfera (deniendo recta elíptica como círculo máximo y punto elíptico como par de puntos dia-
metralmente opuestos). 2.3.
3. 3
COMPARACIÓN ENTRE LAS GEOMETRÍAS EUCLÍDEAS Y NO EUCLÍDEAS
IMPORTANCIA DE LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS
Astronomía: el universo es esférico; Física: teoría de la relatividad. La geometría euclídea tiene curvatura cero, la hiperbólica negativa y la elíptica positiva.
4. 4
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA ESFÉRICA Fórmula fundamental de la supercie esférica:
ϕ2 ds2 = r 2 · d θ2 + r 2 · cos2 θ · d ϕ
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Plano tangente en el punto (θ0, ϕ0): x
= f (θ0 , ϕ0 ) + λ
∂f ∂f (θ0 , ϕ0 ) + µ (θ 0 , ϕ 0 ) ∂θ ∂ϕ
Recta normal en un punto ( θ0, ϕ0) tiene por vector director:
(−cos θ ⋅ cos ϕ, −cos θ ⋅ senϕ, −senθ)
5. 5
5.1.
LÍNEAS GEODÉSICAS SOBRE UNA SUPERFICIE
DEFINICIÓN Es una curva que da la mínima distancia sobre la supercie entre dos puntos y con curvatu-
ra tangencial nula en todos sus puntos. La determinación de estas curvas se hace mediante los símbolos de Christoffel:
( Γ ijik j )i , j , k =1, 2 de la supercie, que se determinan a través de la métrica. 5.2.
LÍNEAS GEODÉSICAS DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA Son las circunferencias máximas y resultan de la intersección de la esfera con planos que pasan por el centro.
6. 6
RELACIONES MÉTRICAS ENTRE FIGURAS TRAZADAS SOBRE UNA SUPERFICIE ESFÉRICA
Distancia esférica: longitud del menor de los arcos de circunferencia máxima que tenga por extremos los dos puntos. Ángulos esféricos: dos circunferencias máximas se cortan en los extremos del diámetro común y dividen la esfera en cuatro regiones llamadas ángulos esféricos.
Perpendicularidad: dos circunferencias máximas son perpendiculares si forman ángulo
recto. Se llama polos de una circunferencia máxima a los extremos del diámetro per pendicular a él.
7. 7
POLÍGONOS ESFÉRICOS
Sección producida a la supercie esférica por un ángulo poliedro con vértice en el
centro. Lados (arcos de circunferencia máxima), convexo (si está todo en un mismo hemisferio) o cóncavo. Línea poligonal esférica abierta o cerrada. A todo polígono le corresponde un ángulo poliedro con vértice en el centro y con aristas los radios que unen el centro con los vértices del polígono. En todo polígono: un lado es menor que la suma de los otros, la suma de sus lados es
menor de 360º y si el polígono es interior a otro, el perímetro del exterior es mayor que
el del interior.
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8. 8
TRIÁNGULOS ESFÉRICOS
Corte de la supercie esférica con un triedro de vértice el centro. Lados.
Se clasican en isósceles, equilátero, rectángulo, birrectángulo y trirrectángulo (u octante).
Dos triángulos son polares si cada vértice de uno es el polo del lado del otro y las distancias esféricas entre vértices «homólogos» son todas menores o mayores que un cuadrante. En un triángulo: un lado es menor que la suma de los otros y mayor que su diferencia. La suma de sus lados es menor de 360º y la suma de sus ángulos está comprendida entre 180º y 540º. A lado mayor se le opone ángulo mayor mayor..
Dos triángulos son iguales si: tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido, o si tienen un lado y los dos ángulos adyacentes iguales, o si tienen los tres lados iguales, o si tienen los tres ángulos iguales.
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