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MATEMÁTICAS Homotecia y semejanza en el plano.
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1.
HOMOTECIAS EN EL PLAN O
1.1.
DEFINICIÓ N
1.2.
PROPIEDADE S
1.3.
ELEMENTOS INVARIANTE S
1.4.
COMPOSICIÓN DE HOMOTECIA S
2.
SEMEJANZA EN EL PLANO
2.1.
DEFINICIÓ N
2.2.
PROPIEDADE S
2.3.
DETERMINACIÓN DE UNA SEMEJANZ A
2.4.
COMPOSICIÓN DE SEMEJANZA S
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matemáticas
INTRODUCCIÓN
La proporcionalidad constituye uno de los conceptos más antiguos de la historia de las matemáticas, junto a la noción de número natural. Surge de manera imprecisa en todas las civilizaciones antiguas y se fue formalizando en la Grecia Clásica con la nalidad de fun damentar la semejanza de guras planas. La primera referencia a la proporcionalidad de segmentos data del siglo IV a.C. y se debe a Euclides de Rodas, un pitagórico dis cípulo de Aristóteles, aunque se atribuyen los primeros trabajos a Thales de Mileto (s. VI a.C.). Euclides (s. III a.C.) utiliza en el Libro I de Los Elementos el concepto de proporción general, aunque la mayoría de los ejemplos que proporciona son de proporcionalidad de segmentos. En los Libros V y VI desarrolla la teoría de la proporción y la semejanza e incluye el conocido teorema de Thales. La teoría griega de la proporción fue la dominante en este campo, hasta que en el siglo XIX, al plantearse el problema de los fundamentos de las Matemáticas, David Hilbert (1862-1943) establece las bases axiomáticas y Richard Dedekind (1831-1916) formula la actual teoría de proporciones.
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HOMOTECIAS EN EL PLANO Si transformamos una gura plana mediante un movimiento rígido, obtenemos otra gura exactamente igual a ella, pero si lo que se quiere es obtener otra gu ra con la misma forma pero distinto tamaño, se requiere de una transformación geométrica adicional: la homotecia.
1.1.
DEFINICIÓN Dado un punto O del plano, y un número real k no no nulo, se dene la homotecia H de centro O y razón k como como una aplicación del plano afínen sí mismo, tal que si A es un punto cualquiera del plano y A’= H ( ( A), entonces OA ' = k ·OA . Al punto A’ le llamaremos homotético de A. De la denición se deduce que los puntos O, A y A’ están alineados. Además, si k > 0, A y A’ están en la misma semirrecta de origen O, mientras que si k < 0, A y A’ están separados por O. En el caso particular en que k = 1, la homotecia es la aplicación identidad, pues transforma cada punto en sí mismo, y si k = –1, la homotecia es una simetría central de centro O. Una homotecia es una biyección del plano afín consigo mismo, ya que todo punto tiene t iene una única imagen y cada punto tiene t iene una y sólo una antiimagen. Basta ver que la homotecia H centro centro O y razón k , y la homotecia H –1 centro O y razón 1/ k son son inversas. Veamos cuáles son las ecuaciones de una homotecia. Sea O(a,b) el centro de la homotecia y k su su razón. Si A( x , y) se transforma en A’( x H y x y x’, y y’), entonces, como OA = ( x − a, y − a) , OA ' = ( x '− a, y '− a) y OA ' = k ·OA , las ecuaciones son:
x '− a = k ( x − a) y '− b = k ( y − b) o equivalentemente:
x ' = kx + (1 − k ) a y ' = ky + (1 − k )b
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1.2.
PROPIEDADES Una transformación geométrica H del del plano afín en sí mismo es una homotecia si y sólo si existe k ≠ 1 real no nulo de modo que para cada par de puntos A, B se
verica que si A’ = H ( A A), B B’ = H ( B B) entonces A ' B ' = k · AB . Supongamos primero que H es una homotecia de centro O y de razón k , entonces, para todopar de puntosse verica que si A '= H ( A) ,B ' = H ( B) , en tonces A' B ' = OB ' − OA ' = k ·OB − k ·OA = k·( OB − OA) = k · AB , por lo que A ' B ' = k · AB . Sean ahora puntos del plano y tales que . Sobre la recta BB’ se halla el punto encontrarse siempre de manera sencilla. O de modo que OB'= k·O B que puede Entonces OA ' = OB ' − A ' B ' = k ·OB − k· AB = k·( OB − AB) = k ·OA , por lo que es una homotecia de centro O y de razón k . H es Hemos excluido el caso k = 1, porque sipara cada par de puntos A B ,B se verica que si A ' = H ( A), B ' = H ( B) entonces A ' B ' = AB , lo que tenemos es que H es es una traslación.
Las homotecias transforman cada recta en otra recta paralela
Sea H una una homotecia de centro O y razón k . Veamos primero que si A, B y C son son puntos alineados, entonces A ' = H ( A), B ' = H ( B), C ' = H ( C ) también lo son.
Como están alineados existe es una homo AB = λ AC y como H es R tal que λ ∈ tecia, entonces A ' B ' = k AB y A ' C ' = k AC , por lo que: 1 A ' C ' = λ A ' C k y por tanto A’, B’, C ’ están alineados. Por otro lado, como:
A ' B ' = k AB = k λ AC
OA ' OA
=
= k λ
OB ' OB
= k
B’ son paralelas. por el recíproco del teorema de Thales, las rectas AB, A’ B
Las homotecias transforman puntos no alineados en puntos no alineados
Sean A, B B y C no alineados. Por la desigualdad triangular se tiene que
AC < AB + BC
y
por
tanto,
k AC AC
<
k AB AB + k BC BC ,
es
decir
B’,C ’ A ' C ' < A ' B ' + B ' C ' con A ' = H ( A), B ' = H ( B), C ' = H (C ) , por lo que A’, B
no están alineados. Esto asegura que las únicas guras que se transforman en una recta son las rectas , es decir, una gura es una recta si y sólo si su transformada por una homotecia es una recta paralela.
Dos triángulos homotéticos tienen sus ángulos homólogos iguales
Sean ABC A dos triángulos homotéticos como en la gura 1. S e verica que ,A’ B B’C ’ dos A ' B ' = k AB, B ' C ' = k BC , C ' A ' = k CA .
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Figura 1
Trazando por C ’ una paralela a AA’ se obtiene el punto C ’’ ’’ al hacer intersección con la recta AC. Trazando por B’ una paralela a AA’ se obtiene el punto B’’ haciendo intersección con la recta AB, de modo que AB '' = A ' B ' y AC '' = A ' C ' . Entonces:
AB '' AB
=
AC '' AC
=
k
Por tanto, B’’ y C ’’ ’’ son loshomólogos de B y C por por una homotecia de centro A y razón k , por lo que B '' C '' = k BC y por tanto B '' C '' = k BC = B ' C ' . En consecuencia, los triángulos AB’’C ’’, A A’ B B’C ’ son iguales, por lo que los ángulos BAC = B’’ AC ’’ ’’ = B’ A ’. A’C ’. Análogamente se prueba la igualdad de los otros ángulos. Además, obsérvese que esto también demuestra que las homotecias conservan la amplitud y la orientación de los ángulos, es decir, son isogonías directas.
Las homotecias transforman circunferencias en circunferencias
Sea una circunferencia de centro C y y de radio r . Su transformada por la homotecia de centro O y razón k es es otra circunferencia de centro C ‘ = H (C ) y de radio k r . H de Esto es obvio, pues si P es un punto de la circunferencia, y P’ = H (P), se verica que C ' P ' = k CP = k r . Además, dadas dos circunferencias cualesquiera, existe una homotecia H de razón ’< –1 respecto de las cuales las circunferencias k > 1 y una homotecia H ’ de razón k ’< son homotéticas. Sean las circunferencias de centros C y y C ’ y radios r < r ’ respectivamente. Trazamos un radio cualquiera CP y el radio paralelo C ’P’ y su opuesto C ’P’’, como en al gura 2.
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Figura 2
La recta CC ’ y la PP’ se cortan en O. Como PC y y P’C ’ son paralelas, entonces:
OP ' OP
=
OC ' OC
= k > 1
y por tanto la homotecia H de de centro O y de razón k transforma transforma la primera circunferencia en la segunda. Por otro lado, las rectas CC ’ y PP’’ se cortan en O’. Como C ’P’’ y CP son paralelas, entonces:
O ' P '' O'P
=
O ' C ' O ' C
= k '' > 1
y por tanto la homotecia H ’ de centro O’ y de razón k ' = − k '' < −1 transforma la primera circunferencia en la segunda. Dados dos segmentos AB y CD paralelos que no tengan la misma longitud, existen dos homotecias que transforman uno en el otro (con el valor absoluto de la razón mayor que 1). Supongamos que AB < CD . Trazando las rectas AC y y BD hallamos el punto O de corte entre ambas, que será el centro de una homotecia de razón:
OC OA y trazando las recta AD y BC se se obtiene O’, centro de la homotecia de razón:
−
O ' C O'B
(véase la gura 3).
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Figura 3 1.3.
ELEMENTOS INVARIANTES Como ya hemos visto, una homotecia de razón k = 1 tiene todos los puntos dobles, por lo que es la aplicación identidad. Si k ≠ 1, el único punto doble es el centro de la homotecia. En efecto, ya que si es unahomotecia es de centro O y razón entonces H k ≠ 1, y A es un punto doble, OA = k ·OA OA , y por tanto (1 − k )OA = 0 , y como k ≠ 1, entonces OA = 0 y por tanto A ≡ O . Las rectas que pasan por el centro de la homotecia son invariantes globalmente. A) con H una ,A A Es obvio, pues si A’ = H ( A una homotecia de centro O, entonces O A , A’ están alineados.
1.4.
COMPOSICIÓN DE HOMOTECIAS La operación habitual entre transformaciones geométricas es la composición (o producto). Estudiamos a continuación varias posibilidades de composición y analizaremos la estructura algebraica que se genera en cada caso. Sea H una una homotecia de centro O y razón k , y sea H ’ otra homotecia de mismo centro y razón k ’. ’. Veamos que su composición es otra homotecia de centro O y razón k · k ’. ’. Sea cualquiera del plano, y sean A ' = H ( A), A un punto ), A '' = H '( A ') . Entonces OA '' = k '· OA OA ' = k '· k·OA = ( k· k ')· OA , y por tanto H ' H es una homotecia de centro O y razón k · k ’. ’.
(
)
El conjunto de las homotecias de centro O con la composición tiene estructura de grupo abeliano: composición n de homotecias de centro O es una ley de composición interna. 1. La composició Acabamos de ver que es así.
2. Propiedad asociativa. Se verica en general para la composición de aplicaciones.
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3. Existencia de elemento neutro. Es la homotecia H 0 de centro O y razón 1, ya que al componerla en cualquier orden con una homotecia H de de centro O y razón k resulta resulta la homotecia de centro O y razón 1· k = = k , es decir, H .
4. Existencia de elemento simétrico. Dada una homotecia H de de centro O y razón k , su inversa es una homotecia H –1 de centro O y de razón 1/ k , ya que H H ’ y H ’ H son son homotecias de centro O y de razón: °
k ·
1 k
°
=1
es decir, H 0.
5. Propiedad conmutativa.
Como k · k ’ = k ’ · k , al componer en los dos órdenes dos homotecias de centro y k ’ respectivamente, respectivamente, resulta la misma homotecia. O de razones k y
Sea ahora H una una homotecia de centro O y razón k , y sea una homotecia de centro Veamos que su composición es otra homotecia de razón y cuyo centro O’ y razón . Veamos está alineado con O y O’. B puntos cualesquiera del plano, y sean A’ = H ( A), B B’ = H ( B), Sean A, B
A’’ = H’( A’ A’), B B’’ = H’( B’ B’). Se verica que A ' B ' = k · AB y A '' B '' = k '· A ' B ' , por
lo que A '' B '' = ( k ·k ')· AB y la composición tendrá razón k · k ’. ’. El centro de la homotecia es el punto O’’ de corte entre las rectas AA’ y BB’. Si k · k ’ = 1, la composición es una traslación, por lo que la composición de homotecias (en general) no es una ley de composición interna, y no tiene sentido hablar de una estructura algebraica. Sean, por último, H una una homotecia de centro O y razón k , y T una una traslación de Veamos que su composición en cualquier orden es una traslación o una vector u . Veamos homotecia. B dos puntos cualesquiera del plano, A B’ = H ( B), Sean A, B y sean ’ = H ( A ), B ( A’ ( B’ A’’ =T A’), B B’’ =T B’). Entonces, como A ' B ' = k · AB y A '' B '' = A ' B ' , se tiene que A '' B '' = k · AB . Por tanto, T H es es una homotecia de razón k . El centro de esta homotecia es el punto O’ de corte de las rectas AA’’ y BB’’. °
Realicemos ahora la composición inversa. Sean A’ = T ( A ( B = H’( A’ A), B B’ =T B), A’’ A’), B’’ = H’( B’ B’). De la misma manera que antes, se verica que A '' B '' = k · AB , y por tanto, H T es es una homotecia de razón k y y de centro el punto O’’ de corte de las rectas AA’’ y BB’’ (distinto a O’). Si la homotecia es H 0, al componer queda la traslación T . °
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El conjunto de las homotecias y las traslaciones con la composición es un grupo no abeliano:
1. La composición de homotecias, traslaciones o ambas es una ley de composición interna. 2. Propiedad asociativa. Se verica en general para la composición de aplicaciones. neutro. 3. Existencia de elemento neutro.
Sería la homotecia H 0 de centro O y razón 1, o la traslación T 0 de vector 0 .
4. Existencia de elemento simétrico. Dada una homotecia H de de centro O y razón k , su inversa es una homotecia H –1 de centro O y de razón 1/3, y dada una traslación T de de vector u , su inversa es una traslación T –1 de vector −u .
5. Propiedad conmutativa. En general, no se verica, como hemos visto, por ejemplo, en el caso de la composición de una traslación y una homotecia.
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2
SEMEJANZA EN EL PLANO En este apartado se ven las semejanzas, que son las transformaciones geométricas que conservan la forma, independientemente de que conserven el tamaño. Necesitaremos para ello manejar las homotecias que se acaban de estudiar, est udiar, y los movimientos en el plano o isometrías, de los cuales, consideramos simples las traslaciones, los giros y las simetrías si metrías axiales, dado que todo movimiento se puede descomponer como composición de éstas. Además, las traslaciones y los giros son movimientos directos pues conservan la orientación de los ángulos, y las simetrías axiales son inversas pues modican dicha orientación.
2.1.
DEFINICIÓN Se llama semejanza en el plano a toda aplicación del plano en sí mismo que pueda descomponerse como composición de una homotecia y un movimiento (isometría) o viceversa. Si el movimiento es directo, la semejanza se llama directa, y si el movimiento es inverso, la semejanza se llama inversa. Como las isometrías y las homotecias son biyecciones del plano consigo mismo, las semejanzas también los son. Veamos cuáles son las l as ecuaciones de una semejanza. Sea un movimiento M de de ecuaciones:
x ' a y ' = c
b x
e + d y f
con:
a
b
c
d
= ±1
(según sea directo o inverso respectivamente) y una homotecia H de de ecuaciones
x0 x ' x k ( 1 k ) = + − y y ' y 0 siendo O( x su razón. x0, y0) el centro de la homotecia, y k su La composición M H tiene tiene por ecuaciones: °
x ' a y ' = c
b
x0 e a x k + (1 − k ) + = k d y y0 f c
b x
a + (1 − k ) d y c
b x0
e + d y0 f
La composición H M tiene tiene por ecuaciones: °
x ' a y ' = k c
x0 a e 1 + + − ( k ) = k y = d y f 0 c b x
x0 e ( 1 k ) + − y + k f d y 0 b x
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2.2.
PROPIEDADES Una biyección S del del plano consigo mismo es una semejanza si y sólo si existe k > 0 tal que para cada par de puntos A B ,B y A’ = S ( A A), B’ = S ( B B) se verica que A ' B ' = k · AB . Si S es es una semejanza, es obvio, pues S es es composición de un movimiento M y y una homotecia H de de razón k . Si A’ = M ( A A), B’ = M ( B B), A’’ = H ( A A’), B’’ = M ( B B’), entonces A ' B ' = AB y A '' B '' = k · A ' B ' , por lo que A '' B '' = k · AB . Si la composición fuera M H sería sería análogo. °
Sea ahora S una una biyección del plano consigo mismo tal que existe k > 0 que verica que para cada A, B y A’ = S ( A A), B’ = S ( B B) se cumple que A ' B ' = k · AB . Sea A’’ B B’’ un segmento paralelo a AB de modo que A '' B '' = A ' B ' y de modo que AA ’’ BB BB ’’ es un paralelogramo. Existe un movimiento M tal que
( A’’), B’ = M ( B’’), y como AB y A’’ B A’ = M ( B’’ son paralelos y tales que tal que H ( A A '' B ' ' = k · AB , entonces existe una homotecia H tal A) = A’’, H ( B B) = B’’. Por tanto, como A’ = S ( A )( A A) y A’ = M ( A A’’) = ( M H )( A) (análogamente B), se tiene que S = M H y por tanto es una semejanza como se quería demostrar. °
°
Una biyección S del del plano consigo mismo es una semejanza directa si y sólo si existe α tal que para cada A B , B y A’ = S ( A A), B’ = S ( B B) se verica que el ángulo AB, A ' B ' = α .
(
)
Si S es es una semejanza directa, se descompone en una homotecia H (que (que podemos considerar de razón k > 0) y un movimiento directo M . Sean A B , B dos puntos cualesquiera y sean A’ = H ( A es una A), B’ = H ( B B), A’’ = M ( A A’), B’’ = M ( B B’). Como H es
(
homotecia, A ' B ' = k · AB y por tanto AB, A ' B '
es un movimiento ) = 0 . Como M es
directo, puede ser una traslación, que transforma vectores en vectores paralelos,
(
un giro, que verica que A '' B '', A ' B '
(
sición, por lo que AB, A '' B ''
) = α con α el ángulo de giro, o la compo-
) = α con α constante.
Recíprocamente, sea S una una biyección tal que existe
α con
(
AB, A ' B '
) = α para
todo A, B de B y A’ = S ( A A), B B’ = S ( B B). Sea k > 0 tal que A ' B ' = k · AB . La homotecia H de
(
centro A y razón k nos nos da B’’ = H ( B B) y se sigue vericando que AB '', A ' B '
) = α ,
y como los vectores AB '' y A ' B ' tienen el mismo módulo, existe un giro de án A) = A’ y M ( B B’’) = B’. gulo α y una traslación cuya composición M verica verica que M ( A Como H ( A )( A A) = A y M ( A A) = A’, entonces ( M H )( A) = A’, y como H ( B) = B’’ y )( B M ( B B’’) = B’, entonces ( M H )( B) = B’, al igual que S ( A A) = A’ y S ( B B) = B’, por lo que S = M H es una semejanza directa como queríamos demostrar. °
°
°
Las semejanzas transforman rectas en rectas y puntos no alineados en puntos no alineados. Es evidente, pues los movimientos y las homotecias transforman puntos alineados en puntos alineados y puntos no alineados en puntos no alineados. Las semejanzas transforman ángulos en ángulos de la misma amplitud, con la misma orientación si la semejanza es directa y con distinta orientación si es inversa. También También es evidente, pues esta característica la poseen los movimientos, y las homotecias conservan la amplitud y orientación de los ángulos.
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Las semejanzas transforman circunferencias en circunferencias. Se deduce fácilmente de que tanto las homotecias como los movimientos transformen circunferencias en circunferencias. Teniendo en cuenta todo lo anterior, se dice que dos guras poligonales son seme jantes cuando tienen los ángulos correspondientes iguales y los lados homólogos proporcionales. 2.3.
DETERMINACIÓN DE UNA SEMEJANZA Una semejanza de la que sabemos si s i es directa o inversa, queda determinada dando dos pares de puntos homólogos. A), B’ = S ( B). Sea S una semejanza y sean A B , B dos puntos del plano y A’ = S ( A Dado un punto cualquiera C distinto distinto de A y B, hallemos su imagen C ’ = S (C ). ). Si la semejanza es directa, sobre el segmento A’ B B’ se construye el triángulo A’ B B’C 1’ de modo que los ángulos A’ B y B’ A y con la misma orien B’C 1’ = ABC y A’C 1’ = BAC y tación. Entonces C 1’ = S (C ). ).
Análogamente, si la semejanza es inversa, se construye el triángulo A’ B B’C 2’ sobre el segmento de modo que los ángulos ángulos A’ B y B’ A pero con B’C 2’ = ABC y A’C 2’ = BAC pero la orientación opuesta. Entonces C 2’ = S (C ). ). Determinemos a continuación el centro de una semejanza directa que se descom pone en un giro G de centro y una homotecia H de de mismo centro. Sean A, B B dos puntos cualesquiera y sean A’ = S ( A A), B’ = S ( B B). Sea P el punto de corte de las rectas AB y A’ B , A’ y B,P B , B’ como B’. Tracemos las circunferencias que pasan por A,P A en la gura 4. Estas circunferencias se cortan en P y en O, que es precisamente el centro buscado.
B
P B'' A' A A''
B' Figura 4
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En efecto, los ángulos OBA = OB’ A A’ por ser inscritos en la misma circunferencia y abarcar el mismo arco. Por otro lado, los ángulos OAB = OA’ B B’ por ser ambos suplementarios de PA’O. Por tanto, los triángulos ABO y A’ B B’O son semejantes por tener dos ángulos iguales. Entonces, la semejanza se descompone en un giro de centro O y ángulo B’OB que
transforma A ' B ' en A '' B '' y una homotecia de centro O que transforma A '' B ''
en AB .
Si A '' B '' es paralelo a AB , el giro tendría una amplitud nula, y el centro sería la intersección de las rectas AA’ y BB’.
2.4.
COMPOSICIÓN DE SEMEJANZAS Veamos que la composición de dos semejanzas S y S ’ de razones k y k ’ es otra semejanza de razón k · k ’. ’. Sean A, B B dos puntos cualesquiera del plano, y sean A’ = S ( A), B’ = S ( B), ’( A ’( B A’’ = S ’( A’), B’’ = S ’( B’). Sabemos que A ' B ' = k · AB y que A '' B '' = k '· A ' B ' , por lo que A '' B '' = ( k ·k ')· AB , y por tanto S ’ S es es una semejanza de razón. °
El conjunto de las semejanzas con la composición forma un grupo no abeliano, al que se le denomina grupo equiforme, ya que las semejanzas conservan la forma.
1. La composición de semejanzas es una ley de composición composición interna. Se acaba de demostrar.
2. Propiedad asociativa. Se verica, pues las aplicaciones en general la verican.
3. Existencia de elemento neutro. neutro. El elemento neutro es la semejanza S 0 identidad, que transforma cada punto en sí mismo.
4. Existencia de elemento simétrico. Dada una semejanza S , se puede descomponer en un movimiento y una homotecia, S = S 1 S 2, con S 1, S 2 un movimiento y una homotecia (respectivamente o no). Entonces, la semejanza inversa es S –1 = S 2 –1 S 1 –1, como en la composición de aplicaciones en general. °
°
5. Propiedad conmutativa. No se verica en general. general. Basta observar, observar, por ejemplo, que la composición composición de homotecias de distinto centro no es conmutativa. El conjunto de las semejanzas directas, el conjunto de las homotecias y traslaciones, y el conjunto de los movimientos, son algunos de los subgrupos principales del grupo equiforme.
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BIBLIOGRAFÍA ABELLANAS, P.: Introducción a la Matemática. Ed. Saeta. 1960. ALSINA, C., PÉREZ, R., RUIZ, C.: Simetría Dinámica. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Ed. Síntesis. 1989. BOYER, C.B.: Historia de la matemática. Alianza Editorial. 2003. BURGOS, J.: Curso de álgebra y geometría. Ed. Pearson Educación. 1992. GHYKA, M.C.: Estética de las proporciones en la naturaleza y en el arte. Poseidón. 1983. PUIG ADAM, P.: Curso de Geometría Métrica. Ed. Biblioteca Matemática. 1975.
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RESUMEN
Homotecia y semejanza en el plano.
1. 1
1.1.
HOMOTECIAS EN EL PLANO
DEFINICIÓN H O ,k :
OA ' = k ·OA .
Ecuaciones:
x ' = kx + (1 − k ) a y ' = ky + (1 − k )b con O(a,b) el centro. 1.2.
PROPIEDADES es una homotecia H es
⇔∃
, B se verica A ' B ' = k· AB . k ≠ 1 tal que para cada A B
Transforman rectas en rectas paralelas, puntos no alineados en puntos no alineados y circunferencias en circunferencias. Dos triángulos homotéticos tienen su ángulos homólogos iguales. Conservan la amplitud y la orientación de los ángulos. Dadas dos circunferencias existe H de razón k > 1 y H ’ de razón k <–1 respecto de las cuales las circunferencias son homotéticas. Dados dos segmentos paralelos que no tengan l a misma longitud, existen dos homotecias que transforman uno en el otro. 1.3.
ELEMENTOS INVARIANTES Si k = 1 todos los puntos dobles. Si k ≠ 1, el único punto doble es el centro. Las rectas que pasan por el centro son invariantes globalmente
1.4.
COMPOSICIÓN DE HOMOTECIAS La composición de homotecias de centro O y razones k y y k ’ es otra homotecia del mismo centro y razón kk ’. ’. Las homotecias con centro O forman un grupo abeliano. La composición de una homotecia de centro O y razón k , con una homotecia de centro O’ y razón k ’ es otra homotecia de razón k · k ’ y cuyo centro está alineado con O y O’. Si k · k ’ = 1, la composición es una traslación. La composición de una homotecia y una traslación es una traslación o una homotecia. El conjunto de homotecias y traslaciones es un grupo no abeliano.
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2. 2
2.1.
SEMEJANZA EN EL PLANO
DEFINICIÓN Toda To da aplicación que pueda descomponerse en una homotecia y un movimiento
2.2.
PROPIEDADES es una semejanza si y sólo si existe k > 0 tal que para cada A, B S es B se verica que A ' B ' = k· AB . Es una semejanza directa si y sólo si existe ángulo
α tal
que para cada A B , B se verica que el
( AB, A ' B ') = α . Las semejanzas transforman rectas en rectas y puntos no alineados
en puntos no alineados, ángulos en ángulos de la misma amplitud y circunferencias en circunferencias. 2.3.
DETERMINACIÓN DETERMINACIÓ N DE UNA SEMEJANZA Basta decir si es directa o inversa y dar dos pares de puntos homólogos.
2.4.
COMPOSICIÓN DE SEMEJANZAS La composición de dos semejanzas de r azones k y y k ’ es otra semejanza de razón k · k ’. ’. Las semejanzas forma un grupo no abeliano llamado grupo equiforme.
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