tema
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MATEMÁTICAS Movimientos en el plano. Composición de movimientos. Aplicación al estudio de las teselaciones del plano. Frisos y mosaicos.
3 1 3 3 8 3 1 4 2
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matemáticas
1. 1.1.
1.2.
MOVIMIENTOS EN EL PLANO
TRASLACIONES TRASLAC IONES EN EL E L PLAN O 1.1.1.
Definición
1.1.2.
Propiedade s
1.1.3.
Elementos invariantes
GIROS EN EL PLAN O 1.2.1.
Definición
1.2.2.
Propiedade s
1.2.3.
Elementos invariantes
1.3.
SIMETRÍAS CENTRALES EN EL PLAN O
1.4.
SIMETRÍAS AXIALES EN EL PLAN O
2.
1.4.1.
Definición
1.4.2.
Propiedade s
1.4.3.
Elementos invariantes
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTO S
2.1.
COMPOSICIÓN DE TRASLACIONE S
2.2.
COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS AXIALE S
2.3.
COMPOSICIÓN DE GIRO S
2.4.
COMPOSICIÓN DE UNA TRASLACIÓN Y UN GIR O
2.5.
ESTRUCTURA DE LOS MOVIMIENTOS EN EL PLAN O
3.
APLICACIÓN AL ESTUDIO DE LAS TESELACIONES DEL PLANO
4.
FRISOS Y MOSAICO S
4.1.
FRISOS
4.2.
MOSAICOS
3
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INTRODUCCIÓN
Los movimientos en el plano, al igual que muchas otras transformaciones geométricas, han sido estudiados a lo largo de toda la historia de las matemáticas, como por ejemplo en Los Elementos de Euclides (s. III a.C.). En el siglo XIX, los movimientos volvieron a tener especial importancia, gracias a Felix Klein (1849-1925) y su clasicación de las geometrías. En su disertación inaugural al acceder al puesto de profesor en Erlangen en 1872, Klein denió cada una de las geometrías aparecidas a lo largo de todo el siglo XIX como un es pacio y un grupo de transformaciones, dado que cada geometría estudia es tudia los elementos de ese espacio invariantes por ese grupo de transformaciones. En este tema trataremos los movimientos rígidos o isometrías en el plano, que son las transformaciones geométricas que dejan invariantes las longitudes. Como consecuencia inmediata de esta invarianza, también conserva la amplitud de los ángulos, pero no necesariamente la orientación de los mismos, por lo que llamaremos movimiento o isometría directa a las que conservan la orientación de los ángulos y movimiento o isometría inversa a los que cambian la orientación. Las isometrías directas son transformaciones del tipo:
x ' a y ' = c
b x
e con + d y f
a
b
c
d
=1
Según el Programa Erlangen de Klein, el plano con este grupo de transformaciones forma la geometría euclídea, encargada de estudiar las guras planas, incluyendo sus longitudes y áreas. Si consideramos las transformaciones como antes pero con: a
b
c
d
≠0
tendremos la geometría afín, donde las guras se pueden deformar, pero las cónicas se transforman en cónicas del mismo tipo. Una tercera generalización sería considerar las transformaciones del tipo: x ' =
ax + by by + c dx + ey + f
,
y ' =
Ax + By + c dx + ey + f
que constituye la geometría proyectiva.
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1
MOVIMIENTOS EN EL PLANO En este apartado estudiaremos los movimientos rígidos o isometrías en el plano, sus propiedades y sus elementos invariantes. Llamaremos movimiento a cualquier isometría, aunque algunos autores utilizan este término únicamente para las iso metrías directas, dado que para transformar una gura en su homóloga por una isometría inversa habría que «levantarla» del plano.
1.1.
TRASLACIO TRAS LACIONES NES EN E N EL PLANO P LANO Comencemos con este apartado donde se tratarán las traslaciones en el plano, que, de una manera intuitiva, son las transformaciones geométricas que consisten en desplazar una gura plana de un lugar a otro sin cambiarla de posición.
1.1.1.
Definición r
Una traslación de vector u es la transformación que a cada punto A del plano le r r asigna otro punto A ' de modo que AA ' = u . r
Analíticamente, si u
= (a, b) , la traslación sería: x ' 1 0 x a y ' = 0 1 y + b
por lo que:
1
0
0 1
=1
es una isometría directa, es decir conserva distancias y la orientación de ángulos. 1.1.2.
Propiedades Una transformación geométrica T es una traslación si y sólo si transforma cada vector en un vector equipolente al dado. r
r
r
Para demostrarlo, veamos primero que si T es una traslación de vector u y ABr= v r r otro vector, el vector v ' = A ' B ' con A ' = T ( A), B ' = T ( B) es equipolente a v .
Figura 1
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r
r
r
r
r
r
Como se ve en la gura 1, AB ' = AB + u y también AB ' = u + A ' B ' , entonces r r A ' B ' = AB como vectores libres, por lo que son equipolentes. La proposición estará demostrada si vemos que si una transformación T que envía cada vector a uno equipolente a él, entonces T es una traslación. Sea A un punto cualquiera del plano, y sea A ' = T ( A) . Veamos que T es una r r traslaciónr de vector u = AA ' . Sea otro punto B cualquiera y B ' = T ( B) . Basta r observando de nuevo la rgura 1 anterior, se ve que como ver que u = BB' ,rpero r r r r r r A ' B ' = AB y AB + BB ' = u + A ' B ' entonces u = BB ' . Esta propiedad nos da una demostración inmediata de que toda traslación T es una isometría, pues evidentemente, si A ' = T ( A) y B ' = T ( B) , entonces d ( A, B) = d ( A ', B ') . Además es una isometríadirecta, pues un ángulo ABC sertransformará en otro r r r A ' B ' C ' cuyos vectores B ' A ', B ' C ' son paralelos a BA, BC , y por tanto, conserva la amplitud y orientación de los ángulos. Las traslaciones transforman cada recta en una recta paralela a ella. r
r
Sea r la la recta denida por el punto A y el vector v y T la traslación de vector u. r r r Sea A ' = T ( A) y X ∈ r de modo quer X ' = T ( X ) . Como A ' X ' = AX = λ v , entonces la recta r ' denida por A ' y v es la transformada de r por por T , y por tener el mismo vector director, r y y r ' son paralelas. Las traslaciones transforman cada circunferencia en otra circunferencia del mismo radio. Es evidente, pues al ser una isometría los puntos equidistantes del centro C de una circunferencia se transforman en puntos equidistantes al punto C ' = T (C ) . 1.1.3.
Elementos invariantes El estudio de los elementos invariantes de cada uno de los movimientos rígidos o isometrías, tiene especial importancia pues los puntos dobles (puntos que per manecen invariantes por dicho movimiento) y las guras que permanecen global mente invariantes (los puntos de esa gura se transforman en otros puntos diferen tes de la misma gura) determinan el tipo de movimiento del que se trata. La única traslación que deja algún punto invariante (punto doble) es la traslación r r r de vector 0 , ya que si A = A ' = T ( A) , entonces AA ' = 0 . r
Las rectas paralelas al vector de traslación u permanecen invariantes (globalmente) por dicha traslación T . r
Es obvio, pues si la recta r es es paralela al vector u estará denida por un punto A r y el vector ur , mientras que la transformada r ' estará denida por A ' = T ( A) ∈ r y el vector u , por lo que r = r '.
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1.2.
GIROS EN EL PLANO Continuemos con los giros o rotaciones en el plano, que, de una manera no rigurosa, consisten en trasladar una gura plana mediante un movimiento circular alrededor de un punto prejado.
1.2.1.
Definición Llamaremos giro G de centro O y ángulo α (orientado) a la transformación geométrica que a cada punto A del plano le asigna el punto A ' = G ( A) de modo que d (O , A ) = d (O , A ') ') y que en ángulo AOA ' = α . En general, consideraremos ángulos menores que 2π, pues evidentemente, el giro de centro O y ángulo α es equivalente al giro de centro O y ángulo α + 2π k con k ∈ Z . Veamos cuáles son las ecuaciones de un giro de centro O y ángulo α. Elijamos un sistema de referencia donde O sea el origen de coordenadas.
Figura 2
El punto A = (r cos θ , rsenθ ) y el punto A ' = ( r cos(θ que:
+ α ), rsen(θ + α )) , por lo
x ' = r cos(θ + α ) = r cosθ cos α − r sen θ sen α = x cosα − y senα y ' = r sen(θ + α ) = r sen θ cos α + r cosθ sen α = x sen α + y cosα
Las ecuaciones son, por tanto,
x ' cos α − sen α x y ' = sen α cos α y que como se ve 1.2.2.
cos α
− sen α
sen α
cos α
= 1 (por tanto será una isometría directa).
Propiedades Una transformación geométrica si existe un ángulo α de G es un giro si y sólo r r modo que cada vector v se transforme en un vector v ' de mismo módulo y con r r (v, v ') = α . r
α y veamos que si v ' es el transforSea primero G un giro de centro rO y ángulo r r r r mado de un vector v , entonces v = v ' y (v, v ') = α .
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r
r
r
r
Sea v = AB y A ' = G ( A), B ' = G( B) , por lo que v ' = A ' B ' . Por la denición de giro, resulta que
= d (O, A '), d (O, B) = d (O, B ') y los ángulos AOA ' = BOB ' = α . d (O, A)
Esto implica (véase la gura 3) que los triángulos AOB, A ' OB ' son iguales, pues su ángulo en O es igual y los lados que lo forman son iguales a sus homólogos. Es evidente entonces que el tercer lado debe ser igual, por lo que r r AB = A ' B ' . El la gura 3 se observa también, completando los ángulos del r r cuadrilátero que se forma, que el ángulo ( AB, A ' B ') es el rsupler mentario de 2π − (α + β + (π − β ) ) = π − α , por lo que (v, v ') = α .
Figura 3
r
Demostremos el recíproco, es decir, que si existe α tal que para cada vector v su r r r transformado v ' tiene el mismo módulo que él, y (v, v ') = α , entonces la transformación G es un giro. r
r
r
r
Sea v = AB y v ' = A ' B ' con A ' = G ( A), B ' = G( B) . Sea O el punto de intersección de las mediatrices de AA ', BB ' (véase la gura 4). Por la propia construcción de O, es inmediato que d (O, A) = d (O, A '), d (O, B) = d (O , B ') ') y por un razonamiento similar al que se utilizó anteriormente, se ve que los ángulos AOA ' = BOB ' = α , por lo que la transformación es un giro de centro O y ángulo α. Como corolarios directos de esta proposición, se tiene que r
los giros son isometrías (pues AB
=
r
A ' B ' ) directas, pues
un ángulo ABC se transforma en un ángulo A ' B ' C ' y r r
como los lados B ' A ', B ' C ' forman el mismo ángulo con r r
los lados BA, BC , los ángulos ABC y A ' B ' C ' tienen la Figura 4
misma amplitud y orientación. Los giros transforman rectas en rectas. Sean A B , B,C tres tres puntos alineados, por lo que pertenecen a una recta r . Los transformados por el giro G son A ' = G ( A), B ' = G( B), C ' = G(C ) . Por la propiedad r r
r r
r r
anterior, ( AB, A ' B ') = ( AC, A ' C ') = α y como A B , B,C están alineados, AB, AC r r
r r
r r
son proporcionales y por tanto ( AB, A ' B ') = ( AB, A ' C ') , por lo que A ' B ', A ' C ' también son proporcionales y A ', B ', C ' están alineados, es decir, pertenecen a una recta r ' . Los giros transforman cada circunferencia en una circunferencia del mismo radio. Es inmediato, ya que al ser una isometría, los puntos equidistantes del centro C se se transforman en puntos equidistantes al transformado C ' = G (C ) y dicha distancia es la misma.
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1.2.3.
Elementos invariantes Los giros de ángulo 2πk con con k ∈ dejan invariantes todos lo puntos, o equivalentemente, todos los puntos del plano son dobles. Un giro G de centro O y ángulo α ≠ 2πk con con k ∈ deja invariante el centro O, que sería el único punto doble. En general, los únicos elementos que permanecen globalmente invariantes son las circunferencias centradas en O, pues se transforman en sí mismas como vimos anteriormente. Para algunos ángulos particulares hay otros elementos invariantes, como por ejemplo un polígono regular de n lados centrado en O permanece invariante por 2k π un giro de centro O y ángulo con k ∈. n
1.3.
SIMETRÍAS CENTRALES EN EL PLANO Una simetría respecto a un punto O transforma cada punto A del plano en otro punto A ' de modo que esos tres puntos están alineados y la distancia de A a O es la misma que de A ' a O y están en semirrectas opuestas por O. Se dene una simetría central de centro O como la transformación geométrica S tal que a cada punto A del plano le asigna el punto A ' = S ( A) de modo que O sea el punto medio del segmento AA ' . Una simetría central de centro O no es más que un caso particular de un giro de centro O y ángulo (2k + + 1)π con k ∈, por lo que no realizaremos un estudio detallado de las mismas. Además de las propiedades que verican los giros en general, las simetrías cen trales son involutivas, lo que signica que la composición de una simetría central consigo misma es la identidad. Es inmediato, pues sería un giro de ángulo 2πk con con k ∈. También, rcada recta se transforma en una recta paralela. Es consecuencia de que r el vector v director de la recta y el vector v ' director de la recta transformada forman un ángulo de (2k + + 1)π con k ∈, por lo que son proporcionales. Entre los elementos invariantes de una si metría central, que no lo sean de un giro general, destacan las rectas que pasan por el centro del giro O.
1.4.
SIMETRÍAS AXIALES EN EL PLANO Las simetrías axiales en el plano son el último tipo de movimientos simples. Re presentan matemática matemáticamente mente la noción de simetría especular física, es decir, el transformado de un elemento cualquiera sería el reejo de dicho elemento a través de un espejo que matemáticamente se representa mediante una recta.
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1.4.1.
Definición A una transformación geométrica S , que asigna a cada punto A otro punto A ' = S ( A) tal que la mediatriz del segmento AA ' es una recta prejada e, se le llama simetría axial de eje e. Calculemos cuáles son las ecuaciones de una simetría axial de eje e.
Simetría respecto al eje OX :
x ' 1 0 x y ' = 0 −1 y con
0
0
−1
= −1
Simetría respecto al eje OY :
x ' −1 y ' = 0
1
0 x
con 1 y
−1
0
0
1
= −1
Simetría respecto a una recta que pase por el origen de coordenadas:
{
r r
}
Sea R = O, i, j un sistema de referencia ortonormal con O ∈ e siendo er el r eje de la simetría. Si la recta e es como en la gura 5, los transformados de i, j son: r
r
π − 2α , − sen π − 2α = (sen 2α , − cos 2α ) 2 2
i ' = (cos 2α , sen 2α ), j ' = cos
Figura 5 r
r
r
Sea A un punto cualquiera y A ' = S ( A) su transformado, y sea OA = xi + y j , r
r
r
entonces OA ' = x ' i + y ' j
r
r r
= xi ' + y j ' , por lo que: xi ' + y j ' = x(cos 2α i + sen 2α j ) + y (sen 2α i − cos 2α j ) r
r
r
r
r
r
y por tanto:
x ' cos 2α sen 2α x y ' = sen 2α − cos 2α y con
cos 2α
sen 2α
sen 2α
− cos 2α
= −1
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1.4.2.
Propiedades
Las simetrías axiales son isometrías inversas Sean A, B dos puntos del plano y A ' = S ( A), B ' = S ( B) los transformados por la simetría S de de eje e. Para ver que d ( A, B ) = d ( A ', B ') , basta comprobar que los triángulos rectángulos ABP, A ' B ' Q son iguales.
Figura 6
Los cuadriláteros APMN , A ' NMQ son iguales, pues son rectángulos por ser PA, QA ' perpendiculares a AA ', BB ' (que son paralelos) y además
d ( A, N ) = d ( A ',', N ) y el lado MN es común. Entonces d ( M , P) = d ( M , Q ) y por tanto d ( P, B) = d (Q , B ') y también d ( A, P) = d ( A ',', Q) por lo que los triángulos ABP, A ' B ' Q son iguales. Por tanto son isometrías. Falta demostrar que son inversas. Para ello, debemos demostrar antes la siguiente propiedad:
− Una simetría axial transforma rectas en rectas. Dados tres puntos alineados A,B,C cuyos cuyos transformados sean
A ' = S ( A), B ' = S ( B), C ' = S (C ) se tiene que
d ( A, B) + d ( B, C ) = d ( A, C ) por estar alineados, y como es una isometría,
d ( A ', B ') = d ( A, B), d ( B ', C ') = d ( B, C), d ( A ', C ') por lo que
d ( A ', B ') + d ( B ', C ') = d ( A ', C ') y por tanto A ', B ', C ' también están alineados.
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= d ( A, C) ,
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transforman cada ángulo ángulo en un ángu− Las simetrías axiales transforman lo de la misma amplitud y orientación opuesta, por lo que son isometrías inversas.
Sea r una una recta secante con el eje e de la simetría en O y r ' su transformada. Como el punto O y el eje e son invariantes, el ángulo entre el eje y la recta cambia de orientación.
− Las simetrías axiales son involutivas. Es evidente, pues si A ' = S ( A) , entonces A = S ( A ') y por tanto la composición consigo misma es la identidad.
− Una simetría transforma cada circunferencia en una circunferencia del mismo radio.
Figura 7
De nuevo es inmediato a partir de la condición de isometría, pues los puntos que equidistan una longitud r de de un punto C se se transforman en puntos que equidistan esa misma longitud r de de C ' = S (C ) . 1.4.3.
Elementos invariantes Una simetría axial de eje e deja invariante todos los puntos del eje, es decir, si A ∈ e entonces A es un punto doble. Además, toda recta perpendicular al eje permanece globalmente invariante. Muchas otras guras permanecen invariantes, como una circunferencia cuyo cen tro pertenezca al eje, todos los polígonos regulares, etc.
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2
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS En el apartado anterior hemos estudiado cada uno de los movimientos rígidos simples que existen en el plano. En el conjunto de los movimientos posibles en el plano, podemos considerar la operación «composición de movimientos», que denotaremos por . Veremos que constituye una ley de composición interna y estudiaremos la estructura algebraica del conjunto de los movimientos con la composición, que es de grupo no abeliano, y estudiaremos también sus subgru pos principales, algunos de los cuales ya han sido mencionados en los apartados anteriores. Para ello, detallaremos primero las composiciones de los movimientos simples, de modo que si M y y M ' son dos movimientos simples, en cada subapartado se estudiarán los resultados de M M ' y de M ' M .
2.1.
COMPOSICIÓN DE TRASLACIONES r
r
Sea T una traslación de vector u y sea T ' una traslación de vector u ' . Tanto r r T T ' como T ' T es otra traslación de vector u + u ' . Sea cualquiera del plano, A ' = T ( A) y A '' = T '( A ') , por lo que A un punto r r r r AA ' = u y A ' A'''' = u ' . r
r
r
r
r
) ) = T '( A ') = A '' y AA '' = AA ' + A ' A '' = u + u ' , por Entonces (T ' T )( A) = T '(T ( A)) r r lo que T ' T es una traslación de vector u + u ' . El mismo razonamiento es válido para ver que T T ' es una traslación de vector r r u +u '. El elemento neutro de la composición de traslaciones es la traslación T 0 de vector r r −1 de vector u es otra traslación T 0 , y el elemento simétrico de una traslación T de r de vector −u . Se comprueba fácilmente entonces que el conjunto de las traslaciones con la composición es un grupo conmutativo.
2.2.
COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS AXIALES Ya hemos visto cómo la composición de dos simetrías axiales de mismo eje deja invariantes todos los puntos del plano, y por tanto es la identidad. Veamos ahora qué resulta de la composición de una simetría S de de eje e y otra simetría S ' de eje e ' , con e ≠ e ' . Si e y e ' son paralelas, entonces S S ' y S ' S son traslaciones de vectores opuestos. Veámoslo: sea A un punto cualquiera del semiplano denido por e que no contiene a e ' , A ' = S ( A) y A '' = S ( A ') . Entonces el punto medio M del del segmento AA ' pasa por e y el punto medio M ' del segmento A ' A '' pasa por
e ' . Si está en la franja que determinan los dos ejes (véase gura 8), entonces r
r
r
r
AA '' = AA ' + A ' A '' = 2 MM ' , que no depende de A, y si A ' no está en la franja
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r
r
r
r
que determinan los dos ejes, entonces AA '' = AA ' − A ' A '' = 2MM ' , que tampoco r
depende de A, por lo que S ' S es una traslación de vector 2 MM ' . Un razonamiento similar sirve si A un punto cualquiera del semiplano denido por e que contiene a e ' .
Figura 8
Un proceso análogo sirve para ver que S S ' es una traslación de vector r r 2 M ' M = −2MM ' . Si e y e ' no son paralelas, entonces S S ' y S ' S son giros concéntricos de ángulos opuestos. En efecto: sean α el ángulo que forma e con e ' , O el punto de corte de e y e ' , A un punto cualquiera del plano, A ' = S ( A) y A '' = S '( A ') . Entonces, por ser e mediatriz del segmento AA ' , el ángulo que forma e con OA ' α es , y por tanto, AOA ' = α (véase gura 9). Por el mismo motivo, A ' OA '' = α , 2 y por tanto AOA '' = 2α , con d (O, A) = d (O, A ') = d (O, A '') por lo que S ' S es un giro de centro O y ángulo 2 α.
Figura 9
Haciendo un razonamiento análogo se ve que S S ' es un giro de centro O y ángulo – 2α.
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2.3.
COMPOSICIÓN DE GIROS Estudiemos primero la composición de giros de mismo centro O. Sea G un giro de centro O y ángulo α, y sea G ' un giro de centro O y ángulo β. Veamos que, tanto G G ' como G ' G , es otro giro de centro O y de ángulo α + β. Sea A un punto cualquiera del plano, A ' = G ( A) y A '' = G '( A ') . Por denición de giro, d (O, A) = d (O, A ') = d (O, A '') y AOA ' = α y A ' OA '' = β , por lo que d (O, A) = d (O, A '') y AOA '' = α + β , es decir, G ' G es un giro de centro O y de ángulo α + β. El mismo razonamiento es válido para ver que es un giro de centro O y de ángulo α + β. El elemento neutro de la composición de giros de centro O es el giro G0 de ángulo 0, y el elemento simétrico de un giro G de centro O y ángulo α es otro giro G –1 de centro O y ángulo – α. Se comprueba fácilmente entonces que el conjunto de los giros de centro O con la composición es un grupo conmutativo. Veamos ahora cuál es la composición de un giro G de centro O y ángulo otro giro G ' de centro O ' y ángulo β, con O ≠ O ' .
α y de
Por lo visto en el apartado anterior, podemos descomponer el giro G en dos simeα trías S 1,S 2 de ejes e1,e2 respectivamente, secantes en O y formando un ángulo 2 de , y del mismo modo, podemos descomponer el giro G ' en dos simetrías
S '1 , S '2 de ejes e '1 , e '2 respectivamente, secantes en O ' y formando un ángulo de β . Es decir, G = S1 S 2 y G ' = S '1 S '2 . Por tanto G ' G = S '1 S '2 S1 S 2 . 2 Se puede tomar e1 = e '2 la recta que pasa por O y O ' (véase la gura 10). EnEn tonces S '2 S 1 es la identidad, y por tanto G ' G = S '1 S 2 , que como se ve en la gura, si e2 y e '1 se cortan en O '' , corresponde a un giro de centro en O '' y de ángulo α + β.
Figura 10
16
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Si e2 y e '1 son paralelas, G G ' es una traslación, como se vio en el apartado anterior. Por otro lado, repitiendo el proceso, se ve que G G ' es, en general, diferente a G ' G , pues al cambiar de orden la composición, cambian los ejes e2 y e '1 .
2.4.
COMPOSICIÓN DE UNA TRASLACIÓN Y UN GIRO r
Sea T una una traslación de vector u y G un giro de centro O y ángulo α. Realicemos primero la composición G T . Como sabemos, podemos descomponer los giros y las traslaciones en composición de dos simetrías. r
Si es una recta perpendicular a u que pasa por O y e ' es la transformada de e por r
una traslación de vector
−u , la traslación T = S
S ' , siendo S la la simetría de eje e
2 y S ' la simetría de eje e ' (véase gura 11). Si además e '' es la recta que resulta de aplicar un giro de centro O y ángulo la simetría de eje e '' .
α 2
a la recta e, el giro G = S '' S , siendo S ''
Figura 11
Por tanto, G T = S '' S S S ' = S '' S ' , que es un giro de centro el punto O ' intersección de e ' y e '' , y de ángulo α. Realicemos ahora la composición T G . Sean dos simetrías S y y S ' r de ejes e y e ' respectivamente, con e una recta perpendicular a u que pase por O y e ' la transformada por una traslación de vector r
u
. Entonces T = S ' S . Si ahora e '' es la transformada de e por un giro 2 α de centro O y ángulo − (véase gura 12), entonces G = S S '' . 2 Por tanto, T G = S ' S S S '' = S ' S '' que es un giro de centro el punto O ' intersección de e ' y e '' , y de ángulo α.
Figura 12
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2.5.
ESTRUCTURA DE LOS MOVIMIENTOS EN EL PLANO Veamos primero que los únicos movimientos o isometrías en el plano son las tras tras-laciones, los giros, las simetrías axiales y sus composiciones. Sean
x ' a y ' = c
b x
e + d y f
las ecuaciones de una transformación geométrica cualquiera. Se ve que se puede r descomponer como composición de una traslación de vector u = (e, f ) y una transformación geométrica de ecuaciones:
a Si llamamos A = c vericar que:
x ' a y ' = c
b x
d y
b , para que la transformación sea una isometría, se debe d
( x ', y ')
2
= ( x '
x ' y ' ) = ( x y '
x 2 t y ) A A = ( x, y ) y
t
por lo que A A debe ser igual a la matriz identidad, y por tanto debe ser una matriz ortogonal (por tanto su determinante es ±1 ). Entonces:
a 2 + c 2 = 1 a c a b 1 0 b d c d = 0 1 ⇒ ab + cd = 0 2 + 2 = 1 b d De la primera ecuación, se deduce que existe θ con −π ≤ θ ≤ π tal que a = cos θ , c = sen θ . Sustituyendo en la segunda, tenemos que b cos θ + d sen θ = 0 ⇒ b = −d tg θ y sustituyendo esta expresión en la tercera, 2 2 se obtiene que d = cos θ . Resultan, por tanto, dos opciones: cos θ − sen θ
sen θ
cos θ sen θ cos θ sen θ − cos θ y
La primera matriz (de determinante 1) corresponde a un giro centrado en el origen de coordenadas y de ángulo θ, y la segunda (de determinante –1) es una simetría axial de eje una recta que pasa por el origen y forma un ángulo con el ej e de absci θ sas de , por lo que todo movimiento rígido rígido o isometría en el plano es una 2 traslación, un giro, una simetría axial o composición de ellas. Veamos a continuación que el conjunto de los movimientos directos en el plano con la composición tiene estructura de grupo no abeliano.
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1. La composición de movimientos directos directos forma una ley de composición interna Ya hemos hemos visto en los los apartados anteriores qué resulta de componer dos movimovimientos simples directos:
− La composición de traslaciones es otra traslación. − La composición de dos giros es otro giro o una traslación. − La composición de una traslación con un giro es otro giro. − La composición de un giro con una traslación es otro giro. Por tanto, como todo movimiento directo es composición de traslaciones, giros o giros y traslaciones, la composición de movimientos directos forma una ley de composición interna.
2. Propiedad asociativa Se verica, pues la composición de aplicaciones la verica, y los movimientos no son más que un caso particular de aplicaciones.
3. Existencia de de elemento neutro En los apartados apartados anteriores hemos visto cuál es el elemento neutro. Se trata de la aplicación identidad, que podemos considerar como una traslación de vector nulo o un giro de cualquier centro y ángulo múltiplo entero de 2 π.
4. Existencia de elemento elemento inverso inverso Ya se vio vio cuál es el elemento inverso de una traslación o un giro en los apartados correspondientes. Si ahora tenemos un movimiento directo M = M 1 ... M n con M 1 ,..., M n traslaciones o giros (o ambos), su inverso será M −1 = M n−1 ... M 1−1 como en la composición habitual de aplicaciones.
5. Propiedad conmutativa La propiedad propiedad conmutativa no se verica como ya se vio, por ejemplo, al comcom poner una traslación y un giro. Por último, veamos que el conjunto de los movimientos (directos e inversos) con la composición tiene estructura de grupo no abeliano.
1. La composición de movimientos movimientos forma una ley de composición interna interna Para verlo, verlo, basta observar que todo movimiento se puede descomponer en un número nito de simetrías axiales, ya que toda traslación y todo giro se descomponen como composición de dos simetrías, y todo movimiento se puede descomponer en traslaciones, giros y simetrías. Es decir, si M es un movimiento, M = M 1 ... M n , con M 1 ,..., M n traslaciones, giros y simetrías. Si cada traslación M i = Si S i y cada giro M j = S j1 S j2 , entonces 1 2 M = M 1 ... M n = S1 ... S r .
2. Propiedad asociativa Se verica, porque la composición de aplicaciones la verica.
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3. Existencia de de elemento neutro El elemento neutro es la aplicación identidad, que podemos considerar como una traslación de vector nulo o un giro de cualquier centro y ángulo múltiplo entero de 2π.
4. Existencia de elemento elemento inverso inverso Ya se vio cuál es el elemento inverso inverso de una traslación, un giro o una una simetría axial (recuérdese que toda simetría axial es involutiva, y por lo tanto inversa de sí misma). Si ahora tenemos un movimiento M = M 1 ... M n con M 1 ,..., M n −1 −1 −1 traslaciones, giros y simetrías, su inverso será M = M n ... M 1 .
5. Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa no se verica en general.
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APLICACIÓN AL ESTUDIO DE LAS TESELACIONES DEL PLANO Vamos a exponer brevemente cómo se puede aplicar la composición de movi mientos al estudio de las teselaciones del plano. Entendemos por teselaciones la composición de una gura plana o varias que repitiéndose con regularidad pueden llenar el plano. La forma de llenar el plano se efectúa por transformaciones euclídeas por medio de:
a) Simetrías axiales (también llamadas reexiones). b) Traslaciones. c) Giros. d) Deslizamientos. Los deslizamientos son el resultado de componer una simetría axial o reexión con una traslación en la dirección del eje de la simetría (eje de reexión), o vi ceversa. Si la simetría es S e y la traslación T u , denotaremos al deslizamiento por d e, u , vericando: r
r
r
r
d e, u = T u
r
r
S e = S e T u , con u
e
Lo podemos representar en el plano de la siguiente manera:
Una aplicación práctica a las teselaciones las tenemos en frisos y mosaicos.
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4
4.1.
FRISOS Y MOSAICOS
FRISOS Los frisos, también llamados cenefas, son guras donde el ingeinge nio geométrico se pone al servicio de crear belleza con repetición y ritmo, siendo el el reejo de un proceso dinámico. Los frisos evolucionan desde la hilera de dólmenes prehistóricos a las nas decoraciones pintadas de los egipcios, las bandas esculturales del templo griego, la decoración textil romana, los márgenes de los libros medievales, etc. En los frisos se reconoce el origen y la periodicidad, el motivo inicial puede ser muy diverso y ello induce a pensar en una innidad de combinaciones, pero el método de generar frisos res ponde a una perfect perfectaa sincron sincronía ía de movimientos geométricos en número muy limitado. Actualmente encontramos frisos en ropas, papeles pintados, marcos de cuadros, etc., y en mil detalles que nuestra cultura de la imagen y el diseño sigue inventando, día a día. Como el primer paso en el estudio de frisos es el descubrirlos a través de los movimientos y huellas humanas, con dedos pulgares, manos y pies, podemos dibujar los diferentes tipos de frisos que luego el hombre ha de materializarlos culturalmente en mil manifestaciones artísticas. Esta gura ilustra siete frisos de huellas que se corresponden con los siete tipos de frisos diferentes que hay. (Del libro: Simetría Dinámica. C. Alsina y otros. Ed. Síntesis). Hay otros frisos más etéreos y audaces, como los auditivos: la repetición rítmica de determinados fragmentos musicales, a veces deriva de la geometría curiosa del propio pentagrama musical. Ahora bien, nosotros sólo nos centraremos en los frisos dibujados en el plano.
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X
Simetría de los frisos En la gura siguiente se observa la posibilidad de repetirse indenidamente el dibujo en ambos sentidos, se ve un ritmo, es decir, una traslación que va marcando la generación de la gura. Por lo tanto, se tienen que dar las cualidades de repetirepeti ción y de ritmo para obtener un friso.
Analicemos el friso anterior: r
En la siguiente gura se aprecia una traslación del vector u que indica cómo se va repitiendo un trozo de gura para dar toda la gura. De la misma manera, cual r quier múltiplo de u hacia la izquierda o derecha deja todo el friso invariante, pero r cualquier otra traslación que no sea de forma n · u con n entero no permite encajar globalmente el friso con sí mismo. exis La recta e’ es eje de simetría o reexión, pero la recta e no lo es. Como existe la simetría o reexión S e’ , entonces también hay las simetrías axiales de r r las rectas trasladadas de e’ según n · u ó 1/2 n · u . Si se hace el deslizamiento determinado por la simetría axial S e seguida de una traslación del vector r 1/2 n · u , la gura también permanece invariante.
X
Definición de friso Sea la gura F y (F ) el grupo de simetría de F , es decir, las isometrías que dejan y S ( la gura F invariante. invariante. Se dirá que F es es un friso o cenefa si cumple las siguientes condiciones: 1.
Existe una recta e (dibujada o no) que indica la dirección de desarrollo del friso (F ). ). y que debe quedar invariante por todas la isometrías del grupo S ( r
2. Existe una traslación T u de vector u no nulo y dirección igual a la de la recta e, que indica el ritmo del friso hasta tal punto que cualquiera otra traslación T v que r v r deje el friso invariante será múltiplo entero de u , es decir, v = n · u (n ∈ ). r
v
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X
Tipos de movimientos movimientos para hacer frisos Analicemos todas las posibilidades referentes a simetrías axiales, giros y deslizamientos (ya que las traslaciones del tipo T n · u con n ∈ , siempre estarán en S ( (F ). ). r
Simetrías axiales en frisos Aparece la simetría axial S e respecto de la recta del friso e, y cualquier simetría axial S e’ respecto de una recta e’ perpendicular a e. Por supuesto, si hay una simetría axial de eje e’ perpendicular a e, entonces también existirán todas las simetrías axiales respecto de ejes obtenidos al trasladar e’ según todas las trasr r laciones de vector n u y 1/2 nu , con n entero.
Giros en frisos Todo giro que se integre en el grupo de simetría de un friso deberá dejar la recta e invariante, el centro de giro estará so bre ella y el ángulo será π. En los grupos de simetría deben coexistir las traslaciotraslacio nes T n · u con los demás movimientos, si existe un giro Gc, π con C en e también existirán todos los giros de π y centros en los puntos trasladados de C por las traslaciones T n · u y, además, los de π y centros en los puntos medios de la serie r de puntos C + + nu , con n entero. r
r
Deslizamientos en frisos Los únicos deslizamientos que pueden aspirar a estar en un friso son los que resultan de combinar la simetría axial respecto de la recta del friso e, S e, con las traslaciones T 1 n · u r
2
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X
Clasificación de frisos La clasicación se efectuará según el conjunto de movimientos que se efectúen, traslaciones, simetrías axiales, giros y deslizamientos.
1. Tipo F1: el friso de las traslaciones Una gura irregular se desplaza a derecha e izquierda mediante una traslación y sus múltiplos, sin que exista ninguna otra transformación en juego.
2. Tipo F11: el friso de traslaciones y la simetría axial respecto a un eje horizontal El friso se crea con la traslación básica , sus múltiplos y la simetría axial resres pecto a un eje horizontal.
Este tipo resultaría dibujando el tipo F 1 y doblando el papel para lograr el efecto mariposa.
3. Tipo F12: el friso de las traslaciones y las simetrías axiales verticales Las traslaciones se combinan con una simetría axial S e’ respecto a la recta e’ perpendicular a e. Aparecen las innitas simetrías correspondientes al traslatrasla dar el eje e’ según las traslaciones básicas del friso.
4. Tipo F13: el friso de las traslaciones y el deslizamiento Con la traslación T u y el deslizamiento d e, 1 u se genera el friso correspondiente. r
r
2
Carece de giros y simetrías axiales y será invariante por todas las traslaciones T n · u , así como por todos los deslizamientos T 1 + n u S e. r
r
2
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5. Tipo F2: el friso de las l as traslaciones y las rotaciones El giro Gc, π con C en en e y la traslación T u genera el friso. r
En este tipo de de frisos no hay posibilidad de de que existan simetrías axiales ni deslizamientos.
6. Tipo F21: el friso más completo Consiste en un friso F 2 al que se le añade la simetría axial S e. Posee todas las transformaciones posibles: traslaciones, giros, simetrías y deslizamientos.
7. Tipo F22: el friso de los giros y los deslizamientos Posee la combinación de giro, deslizamiento y traslación. Surgen simetrías axiales respecto a ejes verticales quedando excluida la simetría S e.
La clasicación de frisos lleva implícito formular una serie de preguntas sobre la existencia o no de las diversas transformaciones geométricas que aparecen en el friso. Un tipo curioso de friso bicolor en una banda es el denominado de Escher. Un friso escheriano debe satisfacer determinadas condiciones. De los frisos escherianos escherianos sólo existen tres tres tipos como indica la gura siguiente y pertenecen a decoraciones populares siberianas.
(Del libro: Simetría Dinámica. C. Alsina y otros)
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matemáticas
4.2.
MOSAICOS Es curioso y sorprendente cómo se ha decorado el plano a lo largo de la Historia utilizando alrededor de media docena de diseños básicos. El uso de ajedrezados, escenas zig-zag, ruedas solares en la decoración de tejidos, muebles o utensilios domésticos, suelos y paredes produciendo diseños diseños periódicos. Fue Fedorov, cristalógrafo ruso, quien hizo el primer tratamiento matemático de estos aspectos (1981) y demostró que sólo hay 17 estructuras básicas en mosaicos periódicos. G. Polya y P. Niggli en nuestro siglo, redescubrieron la existencia de 17 grupos de isometrías del plano. A pesar de este redescubrimiento, por ejemplo H. Weyl asegura, en su obra «Simetría” que ya existían estas 17 posibilidades en los artesanos del viejo Egipto y Fejes Toth en Regular Figures asegura que en La Alhambra de Granada hay una representación geométrica de cada uno de los 17 modelos posibles. Otros autores como B. Grünbaum, contradicen diciendo que los egipcios sólo utilizaban 12 posibilidades y que en La Alhambra llegaron a obtenerse 13 variantes. La decoración del plano continúa, unas veces sin aplicaciones de leyes matemámatemáticas y otras con conocimiento pleno. Al observar los planos que nos rodean nos sorprendemos al ver tantos diseños periódicos con los que nos encontramos.
X Tipos de mosaicos mosaicos
Si intentamos hacer un suelo, evidentemente llano, recubierto completamente con baldosas, no habrá agujeros ni solapamientos. Para ello, será necesario ver qué forma han de tener las baldosas, es decir, qué aceptaremos por baldosa. En la siguiente gura hay diversas formas válidas para una baldosa.
Hexágono; Pentágono irregular; Estrella de David; Cruz Latina; Rueda Solar; Triángulo; Polígono irregular cóncavo; Octógono con agujero. Del libro: Simetría Dinámica. (Alsina y otros).
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Mosaicos regulares y cuasirregular cuasirregulares es
Mosaicos regulares son los constituidos por baldosas iguales con forma de polígono regular. Las situaciones más elementales son:
a) Mosaicos (también llamados redes) de triángulos equiláteros. b) Mosaicos o redes de cuadrados. c) Mosaicos o redes de hexágonos regulares.
Estas situaciones elementales compuestas como se sabe por triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares encajan bien y son los únicos con esta propiedad. Para que baldosas regulares e iguales encajen bien, es necesario que rodeen completamente a un vértice. Matemáticamente hablando decimos que hemos girado un polígono regular, haciendo centro en un vértice cualquiera y con amplitud igual al ángulo interior del polígono, un número nito de veces hasta que coincida exactamente en la posición inicial, y la suma de sus ángulos ha de ser 2π. Como el ángulo interior de un polígono se obtiene de π (1 – 2/ n), siendo n el número de lados del polígono, para que sea un divisor de 2 π deberá existir un número entero m que cumpla:
2 1 − = ⋅ = π / m 2 n
π
de donde resulta la ecuación equivalente: (n – 2) ( m – 2) = 4 cuyas soluciones enteras son: n = 3 n = 4 n = 6
⇒ ⇒ ⇒
m = 6 m = 4 m = 3
que nos demuestran lo visto anteriormente, es decir, que 6 triángulos equiláteros o 4 cuadrados o 3 hexágonos regulares rodean completamente un vértice, sin haber otros polígonos con tal propiedad.
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Así pues, si decoramos el plano con baldosas sin solapamientos ni agujeros, diremos que hemos hecho un mosaico. Si las baldosas son todas de la misma forma (un polígono regular) y del mismo tamaño, diremos que se trata de un mosaico regular y, y , por tanto, sólo hay tres mosaicos regulares posibles. Ahora bien, no sólo se pueden hacer mosaicos colocando las baldosas de forma que rodeen vértices como, por ejemplo, puede apreciarse en la siguiente gura:
Sin embargo, en cada uno de estos mosaicos hay una regla invariante de colocación de las baldosas que produce un conjunto en el que hay un ritmo. También nos podemos referir a paralelogramos y triángulos isósceles con una determinada equiangularidad y equilateralidad para extender el campo, hasta ahora restringido a los cuadrados y triángulos, formando mosaicos como los de la gura siguiente:
Mosaicos de paralelogramos.
Mosaicos de triángulos isósceles.
Observando dicha gura, vemos que se pueden hacer dos grupos: los que agru pan los polígonos alrededor de un vértice y en aquéllos en los que aparecen bandas trasladadas t rasladadas unas de otras. Pero ésta no es la única forma de hacer las l as dos agrupaciones.
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Si unimos los centros de los polígonos que forman parte de un mosaico, obte nemos los llamados polígonos en los centros. Redes superpuestas de polígonos en los centros (Del libro: Simetría Dinámica. C. Alsina y otros).
Si se unen los puntos medios de los lados de los polígonos de cualquier mosai co, se obtienen los llamados polígonos en los puntos medios. Se dirá que un mosaico plano es cuasirregular si está hecho con baldosas iguales y los polígonos en los puntos medios o en los centros son polígonos regulares. (Ver (Ver gura siguiente). Redes superpuestas de polígonos en los puntos medios.
Mosaicos semirregulares Se llama mosaico semirregular a las composiciones formadas por dos o más tipos de polígonos regulares en las que hay un solo tipo de polígonos en los puntos medios. Observando la gura siguiente, vemos que se trata de un mosaico semirregular, ya que únicamente hay un tipo de polígono en los puntos medios puesto que la distribución de los polígonos regulares al rededor de un vértice es siempre la misma (se van alterando dos triángulos equiláteros y dos hexágonos). Otra manera de denir los mosaicos semirregulares es la siguiente: Se llaman mosaicos semirregulares a las composiciones formadas por dos o más tipos de polígonos regulares en las que la distribución de los polígonos regulares alrededor de cualquier vértice del mosaico es siempre la misma. Ya se ha dicho dicho de modo implícito que el menor número de polígonos polígonos regu regu lares necesarios para rodear un vértice es tres y el máximo seis.
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Con un razonamiento análogo al caso de los mosaicos mosaicos regulares, regulares, se llega a que sólo existen ocho mosaicos semirregulares.
Los 8 mosaicos semirregulares posibles.
Mosaicos pararregular pararregulares es Otro tipo de mosaicos son los pararregulares. Son los mosaicos formados por polígonos no regulares. Por ejemplo:
− Pentágono casita, que pueden llegar a tener tres ángulos rectos.
− Pentágono esfnge.
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− Pentágono en hexágonos, a partir del hexágono regular se puede obtener un hexágono equiángulo y luego dividir éste en cuatro pentágonos iguales.
y se puede hacer un mosaico.
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BIBLIOGRAFÍA ALSINA, C., PÉREZ, R., RUIZ, C.: Simetría Dinámica. Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Ed. Síntesis. 1989. BOYER, CARL B.: Historia de la matemática. Alianza Editorial. 2003 BURGOS, J.: Curso de álgebra y geometría. Ed. Pearson Educación. 1992. JAIME PASTOR, A.; GUTIÉRREZ RODRÍGUEZ, A.: El grupo de las isometrías en el plano. Síntesis. 1996. PUIG ADAM, P.: Curso de Geometría Métrica. Ed. Biblioteca Matemática, Matemática, 1975. WONG, W.: Fundamentos del diseño: bi y tri dimensional. Ed. Gustavo Gili. 1992.
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RESUMEN
Movimientos en el plano. Composición de movimientos. Aplicación al estudio de las teselaciones del plano. Frisos y mosaicos.
1. 1
1.1.
1.1.1.
MOVIMIENTOS EN EL PLANO
TRASLACI TRAS LACIONES ONES EN EL PLA PLANO NO Definición r
Una traslación de vector u es la transformación que a cada punto A del plano le asigna r
r
otro punto A ' de modo que AA ' = u . Ecuaciones:
x ' 1 y ' = 0 1.1.2.
0 x
a + 1 y b
Propiedades Una transformación geométrica T es es una traslación si y sólo si transforma cada vector en un vector equipolente al dado. Las traslaciones son isometrías directas, transforman r ectas en rectas paralelas y circunfe rencias en circunferencias de mismo radio.
1.1.3.
Elementos invariantes r
r
Si u = 0 todos lo puntos son dobles. r
r
Si u ≠ 0 ningún punto es doble. r
Las rectas paralelas a u son invariantes globalmente. 1.2.
GIROS EN EL PLANO Continuemos con los giros o rotaciones en el plano, que, de una manera no rigurosa, consisten en trasladar una gura plana mediante un movimiento circular alrededor de un punto prejado.
1.2.1.
Definición Si A ' = G ( A) de modo que d (O , A ) = d (O , A ') ') y que en ángulo AOA ' = α . Ecuaciones:
x ' cos α − sen α x y ' = sen α cos α y 1.2.2.
Propiedades r
r
r
G es un giro ⇔ ∃ α tal que si v ' = G( v ) entonces v
=
r
r r
v ' y (v, v ') = α .
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Los giros son isometrías dir ectas, transforman rectas en rectas y circunferencias en circun ferencias de mismo radio. 1.2.3.
Elementos invariantes Si α = 2πk , todos los puntos son dobles. Si α ≠ 2πk , sólo O es doble. Las circunferencias centradas en O son invariantes globalmente.
1.3.
SIMETRÍAS CENTRALES EN EL PLANO Si A ' = S O (A) entonces O es el punto medio del segmento AA ' . S O = GO, (2k+1)π
Son involutivas, transforman rectas en rectas paralelas y las rectas que pasan por O son invariantes globalmente. 1.4.
1.4.1.
SIMETRÍAS AXIALES EN EL PLANO Definición Si A ' = S e (A) entonces e es la mediatriz del segmento AA ' . Ecuaciones:
1.4.2.
Propiedades
x ' cos 2α sen 2α x y ' = sen 2α − cos 2α y
Las simetrías axiales son isometrías inversas, son involutivas, transforman rectas en rectas y circunferencias en circunferencias de mismo radio. 1.4.3.
Elementos invariantes Los únicos puntos dobles son los del eje. Las rectas perpendiculares a e y las circunferencias con centro en e son globalmente invariantes.
2. 2
2.1.
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
COMPOSICIÓN DE TRASLACIONES Tu Tu ' r
r
= Tu ' r
Tu
r
= Tu + u ' r
r
Las traslaciones forman un grupo conmutativo. 2.2.
COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS AXIALES
⇒ Se Se ' e ' no son paralelas ⇒ Se
Si e y e ' son paralelas Si e y 2.3.
, Se ' Se son translaciones de vectores opuestos. Se ' , Se ' Se son giros concéntricos de ángulos opuestos.
COMPOSICIÓN DE GIROS GO,α º GO,β = GO,β º GO,α = GO,α+β
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matemáticas
Los giros concéntricos forman un grupo conmutativo. La composición de giros de distinto centro y ángulos
α y βes un giro de ángulo α+β o una
traslación. No es commutativa. 2.4.
COMPOSICIÓN DE UNA TRASLACIÓN Y UN GIRO La composición de una traslación y un giro del mismo ángulo o una traslación.
2.5.
ESTRUCTURA DE LOS MOVIMIENTOS EN EL PLANO Los únicos movimientos son las traslaciones, los giros, las simetrías axiales y sus compo siciones. Los movimientos directos forman un grupo no abeliano. Los movimientos forman un grupo no abeliano.
3. 3
APLICACIÓN AL ESTUDIO DE LAS TESELACIONES DEL PLANO Entendemos por teselaciones la composición de una gura plana o varias que repitiéndose con regularidad pueden llenar el plano. La forma de llenar el plano se efectúa por transformaciones euclídeas por medio de: a) Simetrías axiales (también llamadas reexiones). b) Traslaciones. c) Giros. d) Deslizamientos.
Una aplicación práctica a las teselaciones las tenemos en frisos y mosaicos.
4. 4
4.1.
FRISOS Y MOSAICOS
FRISOS Los frisos, también llamados cenefas, son guras donde el ingenio geométrico se pone al ser ser vicio de crear belleza con repetición y ritmo, siendo el el reejo de un proceso dinámico.
X
Simetría de los frisos Se tienen que dar las cualidades de repetición y de ritmo para obtener un friso. Poseen en general varios ejes y centros de simetría.
X
Definición de friso Se dirá que F es es un friso o cenefa si cumple las siguientes condiciones: 1.
Existe una recta e que indica la dirección de desarrollo del friso.
2. Existe una traslación T u que indica el ritmo del friso. r
X
Tipos de movimientos para hacer hacer frisos
Simetrías axiales en frisos.
Giros en frisos.
Deslizamientos en frisos.
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X
Clasificación de frisos 1. Tipo F1: el friso de las traslaciones. 2. Tipo F11: el friso de traslaciones y traslaciones y la simetría axial respecto a un eje horizontal. 3. Tipo F21: el friso de las traslaciones y traslaciones y las simetrías axiales verticales. 4. Tipo F31: el friso de las traslaciones y traslaciones y el deslizamiento. 5. Tipo F2: el friso de las traslaciones y traslaciones y las rotaciones. 6. Tipo F12: el friso más completo. 7. Tipo F22: el friso de los giros y giros y los deslizamientos.
4.2.
MOSAICOS Sólo hay 17 estructuras básicas en mosaicos periódicos.
X
Tipos de mosaicos
Mosaicos regulares y cuasirregulares Constituidos por baldosas iguales con forma de polígono regular.
a) Mosaicos de triángulos equiláteros. b) Mosaicos o redes de cuadrados. c) Mosaicos o redes de hexágonos regulares. Un mosaico plano es cuasirregular si está hecho con baldosas iguales y los polígonos en los puntos medios o en los centros son polígonos regulares.
Mosaicos semirregulares Se llama mosaico semirregular a las composiciones formadas por dos o más tipos de polí gonos regulares en las que hay un solo tipo de polígonos en los puntos medios.
Mosaicos pararregulares Son los mosaicos formados por polígonos no regulares.
− Pentágono casita. − Pentágono esnge. − Pentágono en hexágonos.
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