tema
38
MATEMÁTICAS Trigonometría Trigonome tría plana. Resolución de triángulos. Aplicaciones.
3 1 0 3 8 3 1 4 2
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1.
TRIGONOMETRÍA PLANA
1.1.
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN SEGMENTO SOBRE UN EJ E
1.2.
FÓRMULAS GENERALES DE LA TRIGONOMETRÍA PLAN A
1.3.
RELACIONES ENTRE LOS LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
1.4.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS SEMIÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE LOS LADOS
1.5.
SUPERFICIE DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE LOS LADOS
2.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
2.1.
FÓRMULAS PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS REC TÁNGUL TÁNGULO OS
2.2.
FÓRMULAS PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS OBLI CUÁNGULOS
3.
APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA A L A TOPOGRAFÍ A
3
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INTRODUCCIÓN
Trigonometría signica medida del triángulo. Es la parte de la Matemática que trata de la
resolución analítica, o sea del cálculo de los elementos, de los triángulos tanto planos como esféricos. Surgió directamente de la Astronomía. La trigonometría plana es la parte de la trigonometría que estudia los triángulos y demás guras planas (a través de triangulaciones). De las guras esféricas se ocupa la Trigono metría esférica. Por tanto, la trigonometría plana tiene por objeto relacionar y efectuar cálculos con las medidas de los lados y los ángulos de un triángulo. Entre las relaciones más utilizadas están las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, y las relaciones entre sus tres lados (teorema de Pitágoras), que suponemos conocidas, por ser desarrolladas especícamente en el tema correspondiente.
5
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1
1.1.
X
TRIGONOMETRÍA PLANA
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN SEGMENTO SOBRE UN EJE Teorema
La proyección de un segmento es igual en cantidad y signo al producto del módulo del segmento, por el coseno del ángulo que forma con el eje de proyección, en sentido positivo. Se entiende por tal ángulo el formado por el segmento con una paralela al eje trazada por el origen del segmento en el sentido positivo siempre. Observando la gura 1, vemos que:
cos α = cos β = cos γ =
C ′D′ CD A′ B′ AB
E ′F ′ EF F
⇒ C ′D′ = CD ⋅ cos α ⇒ A′ B′ = AB ⋅ cos β ⇒ E′F ′ = EF ⋅ cos γ
Como se ve:
Cuando el ángulo es agudo positivo o negativo, el coseno y la proyección son positivos. Cuando el ángulo es obtuso positivo o negativo, el coseno y la proyección son negativos. La proyección es, pues, siempre del signo del coseno.
Figura 1
6
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Cuando el segmento es paralelo al eje de proyección y de sentido positivo, su ángulo es nulo; el coseno de 0o es 1; y la proyección igual al segmento y de su mismo signo. Cuando el segmento es paralelo al eje de proyección y de sentido negativo, su ángulo es de 180o, su coseno es -1, y la proyección igual al segmento y de signo negativo. Cuando el ángulo es π/2 el coseno es nulo, y la proyección también nula, puesto que se reduce a un punto: proy = seg · 0, luego siempre es: proy = seg · cos.
Proyección ortogonal de una poligonal plana , sobre un eje, es la distancia en
cantidad y signo, desde la proyección del origen de su primer lado hasta la del extremo de su último lado. De donde se sigue:
X
La proyección de una poligonal cerrada es nula. Las proyecciones de todas las poligonales que empiezan y terminan en los mismos puntos son iguales.
Teorema
La proyección de una poligonal es igual en cantidad y signo a la suma de las proyecciones de todos sus lados, supuestos engendrados por un punto que recorre la poligonal desde su origen a su extremo. Y, por tanto, igual a la suma de los productos de sus lados por los cosenos de los ángulos de éstos con el eje de proyección (gura 2). La proyección de la poligonal ABCDEFG es el segmento A’G’ con orientación positiva, es decir: A′ G′ = A′ B′ + B′C′ − C ′D′ + D′E′ + E ′F ′ − F ′G′
La proyecciones negativas C ′D′ y F ′G′ son las de los segmentos CD y FG cuyos ángulos con el eje, γ y ϕ, son obtusos; por tanto, sus cosenos negativos y podemos poner:
proy ABCDEFG = A′ G′ = AB ⋅ cos α + BC ⋅ cos β + CD ⋅ cos γ + DE ⋅ cos δ +
+ EF ⋅ cos ε + + FG ⋅ cos ϕ
Figura 2
7
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1.2.
X
FÓRMULAS GENERALES DE LA TRIGONOMETRÍA PLANA Coseno del ángulo de dos rectas Cosenos directores de una recta son los de los ángulos que dicha recta forma con
la parte positiva de cada eje de coordenadas. Observemos la gura 3. Los de OU son: cos α, cos β Los de OV son: cos α’, cos β’ Sea M un punto de una de las rectas M(x, y):
cos α = cos β =
x OM y OM
⇒ x = OM ⋅ cosα ⇒ y = OM ⋅ cos β
Las proyecciones de OM y y de OPM sobre sobre la recta OV son son iguales por tener los mismos extremos O y M . Así: + QS = OQ OS = OQ + OS = = OM cos cos (α’ – α),
siendo (α’ – α) el ángulo VOU (ángulo que forman las rectas).
OQ = OP cos α’ = OM cos cos α cos α’ QS = =PM cos cos β’ = OM cos cos β cos β’
Obtenemos: OM cos cos (α’ – α) = OM cos cos α cos α’ + OM cos cos β cos β’.
Figura 3
8
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Dividiendo los dos miembros por OM nos queda cos (α’ – α) = cos α cos α’ + cos β cos β’ β es el complementario de α
π
⇒ β = − α , de donde: 2
π
cos β = cos − α = sen α 2 β’ es el complementario de α ′ ⇒ β ′ =
π 2
− α , de donde
cos b′ = cos 2 - a′ = sen a′ p
por lo tanto nos queda como resto resto el ángulo de dos rectas:
cos (α ′ − α ) = cos α ′ cosα + sen α ′sen α Haciendo: cos [α’ - (-α)] = cos α’ cos (-α) + sen α’ sen (-α) = (las razones trigonométricas del ángulo (-α) son las del ángulo (2π -α)) = cos α’ cos α − sen α’ sen α Quedando:
cos (α ′ − α ) = cos α ′ cosα − sen α ′sen α Calculemos ahora, a través de las anteriores, sen (α’ + α) y sen (α’ - α).
π 2
sen (α ′ + α ) = cos − (α ′ + α ) = cos − α ′ − α = π
2
π cos α + sen π − α ′ sen α = ′ α = cos − 2 2 = sen α ′ cos α + cos α α ′ sen α
s en (α ′ − α ) = sen α ′ cos α + cos α ′sen α
π 2
π 2
sen (α ′ − α ) = cos − (α ′ − α ) = cos − α ′ + α = π π = cos 2 − α ′ cos α − sen 2 − α ′ sen α = α ′ sen α = sen α ′ cos α − cos α
quedando:
s en (α ′ − α ) = sen α ′ cos α − cos α ′sen α
9
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X
Tangentes y cotangentes de la suma y diferencia de dos ángulos
tg (α ′ + α ) =
sen α ′ cos α + cos α ′ sen α cos α ′ cos α − sen α ′ sen α
dividiendo numerador y denominador por cos α cos α’ obtenemos:
sen α ′ cos α cos α ′ sen α + tg α ′ cos cos cos α cos α ′ = tg α ′ + tg α α tg (α ′ + α ) = cos α ′ cos α sen α ′ sen α 1 − tg α ′ ⋅ tg α − cos α cos α ′ cos α cos α ′ Análogamente tenemos:
sen α ′ cos α cos α ′ sen α − tg α ′ cos cos cos α cos α ′ = tg α ′ − tg α α tg (α ′ − α ) = cos α ′ cos α sen α ′ sen α 1 + tg α ′ ⋅ tg α + cos α cos α ′ cos α cos α ′ Si en
tg (α ′ + α ) =
sen α ′ cos α + cos α ′ sen α cos α ′ cos α − sen α ′ sen α
dividimos numerador y denominador por sen α’ sen α, obtenemos:
sen α ′ cos α cos α ′ sen α + ′ sen sen sen α ′ sen α = ctg α + ctg α ′ α α tg (α ′ + α ) = cos α ′ cos α sen α ′ sen α ctg α ⋅ ctg α ′ − 1 − sen α ′ sen α sen α ′ sen α y:
tg (α ′ + α ) =
ctg α − ctg α ′ ctg α ⋅ ctg α ′ + 1
es decir, la tangente de la suma y diferencia de dos ángulos en función de las cotangentes.
ctg (α ′ − α ) =
1
tg (α ′ − α ) 1 ctg (α ′ + α ) = tg (α ′ + α )
10
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Razones trigonométricas del ángulo doble
Si en las fórmulas donde aparece α’ + α hacemos α’ = α se tienen las siguientes:
sen 2α = 2 sen α cos α cos 2α = cos 2α − sen 2α 2tg α tg 2α = 1 − tg 2 α Haciendo el cambio:
cos α 1 − sen 2 α obtenemos las fórmulas anteriores en función sólo del seno:
sen 2α = 2sen α ⋅ 1 − sen 2 α cos 2α = 1 − sen 2 α − sen 2 α = 1 − 2sen 2 α
2sen α
2sen α
2 2sen α 1 − sen 2 α n α 1 se − cos α tg 2α = = = sen 2 α sen 2 α 1 − 2sen 2 α 1− 2 1− cos α 1 − sen 2 α
Las fórmulas anteriores en función del coseno:
sen 2α = 2cos α ⋅ 1 − cos 2 α cos 2α = 2cos 2α − 1 2cos α ⋅ 1 − cos 2 α tg 2α = 2cos 2 α − 2 − 1
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Si en las fórmulas anteriores hacemos: 2α
= A ⇒ α =
A
2
y consideramos:
sen 2α + cos 2α = 1 obtenemos:
(1) sen A = 2sen
( 2 ) 1 = cos2
A
2
2
cos
+ sen 2
( 3) cos A = cos
A
A
2
2
A
2
A
2
− sen
A
2
2
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2tg
( 4 ) tg A =
A
2
1 − tg
A
2
2
( 2 ) + ( 3) 1 + cos A = 2cos 2
( 2 ) − ( 3) 1 − cos A = 2sen
A
Despejando sen sen
cos
A
2
2
=±
y cos cos
1 + cos A
2
A
A
2
A
2
2
, obtenemos:
2
; sen
A
=±
2
1 − cos A
2
1 − cos A A 1 + cos A tg = ± ; ctg = ± 2 2 1 + cos A 1 − cos A A
Transformación en producto de la suma y diferencia de senos y cosenos
Si en las igualdades: sen (α’ + α) + sen (α’ - α) = 2 sen α’ cos α sen (α’ + α) - sen (α’ - α) = 2 cos α’ sen α cos (α’ + α) + cos (α’ - α) = 2 cos α’ cos α cos (α’ + α) - cos (α’ - α) = -2 sen α’ sen α hacemos: α ′ + α = p
α ′ − α = q 2α ′ = p + q ⇒ α ′ = 2α
= p − q ⇒ α =
p+q
2 p−q 2
Sustituyendo en las igualdades anteriores obtenemos las siguientes fórmulas:
sen p + sen q = 2 sen sen p − sen q = 2 cos cos p + cos q = 2 cos cos
p+q 2 p+q 2 p+q
cos p − cos q = −2 sen
12
cos sen cos
2 p+q 2
p −q 2 p −q 2 p −q
sen
2 p−q 2
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Las cuales nos dicen: − La suma de dos senos es igual al doble producto del seno de la semisuma por el coseno de la semidiferencia de los mismos arcos. − La diferencia de dos senos es igual al doble producto del coseno de la semisuma por el seno de la semidiferencia de los mismos arcos. − La suma de dos cosenos es igual al doble producto del coseno de la semisuma por el coseno de la semidiferencia de sus arcos. − La diferencia de dos cosenos es igual a menos al doble producto del seno de la semisuma por el seno de la semidiferencia de sus arcos. − Para hallar la suma o diferencia de un seno y de un coseno se cambia uno de éstos por el coseno o por el seno de su complementario. Así: π 2
sen p + sen − q = 2sen
π p + − q 2 2
cos
π p − − q 2 2
es decir:
sen p + cos q = 2 sen + π
p − q
4
p + q π cos 2 − 4
2
Podemos hacer lo mismo con las siguientes. X
Cuadrado del seno de un ángulo igual o suplementario de la suma de otros dos
(
)
A = B + C ó A = π − B + C
sen A = sen ( B + C ) ó sen A = sen π − ( B + C ) = sen ( B + C )
sen 2 A = sen 2 ( B + C ) = ( sen B cos C + cos B sen C )
2
sen 2 A = sen 2 B cos2 C + cos 2 B sen 2 C + 2sen B cos C cos B sen C
Sacando factor común y dejando cos 2 C y cos 2 B en función del seno, obtenemos:
sen 2 A = sen 2 B (1 − sen 2 C ) + (1 − sen 2 B ) sen 2 C + 2sen B cos C cos B sen C =
= sen 2 B − sen 2 B sen 2 C + sen 2 C − sen 2 BB sen 2 C + 2sen B cos C cos B sen C = = sen 2 B + sen 2 C − 2sen 2 B sen 2 C + 2sen B cos C cos B sen C = = sen 2 B + sen 2 C + 2sen B sen C (cos B cos C − sen B sen C ) =
= sen 2 B + sen 2
C + 2sen B
sen C ⋅ cos ( B + C )
13
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Que nos dice: el cuadrado del seno de un ángulo igual o suplementario de la suma de otros dos es igual a la suma de los cuadrados de los senos de estos dos, más el doble producto de los mismos por el coseno del ángulo suma, y recíprocamente. Ésta relación se verica entre los ángulos de tres rayos de un mismo haz y entre los ángulos de un triángulo rectilíneo. En otro momento o tema estudiamos el problema de la resolución de triángulos. Ahora deduciremos los teoremas que relacionan los lados y los ángulos de un triángulo. 1.3.
X
RELACIONES ENTRE LOS LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO Teorema del coseno
Sea el triángulo ABC (gura 4) y sea h la altura correspondiente al lado c. En los triángulos rectángulos AHC y HBC se verica:
= b2 − x2 2 2 a 2 = h 2 + ( c − x ) ⇒ a 2 = b2 − x 2 + (c − x ) = b2 − x 2 + c 2 + x 2 − 2cx = b2 + c 2 − 2cx h2
En el triángulo AHC se verica: x
cos A = ⇒ x = b cos A
b
Sustituyendo en la igualdad anterior obtenemos: a
2
= b2 − c 2 − 2bc cos A
Mediante una permutación circular de letras resultan las igualdades:
= a 2 + c 2 − 2ac cosB 2 2 2 c = a + b − 2ab cosC b2
Figura 4
14
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Si el triángulo es obtusángulo (gura 5), trazamos la altura h correspondiente al lado c. En los triángulos rectángulos A’ AC y A’ BC (rec (rectos tos en A’)
obtenemos las relaciones siguientes:
= b2 − x 2 2 2 a 2 = h 2 + ( c + x ) ⇒ a 2 = b2 − x 2 + (c + x ) = b 2 − x 2 + c 2 + x 2 − 2cx a 2 = b 2 + c 2 + 2cx h2
En el triángulo A′ AC , α
= π − A
x
cos α = cos (π − A) = − cos A = ⇒ x = −b cos A
b
Quedando así: a2
= b 2 + c 2 − 2bc cos A
Permutando las letras obtenemos las restantes. Estas fórmulas constituyen el Teorema del Coseno: el cuadrado de un lado de un trián gulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del del ángulo que que forman. X
Figura 5
Teorema del seno
Sea el triángulo ABC (gura 6); trazamos la altura h correspondiente al lado c. En los triángulos rectángulos AHC y HBC (rectos en H)
se verica que: h = a sen B
h=b
sen A
a
sen B = b sen A ⇒
a
b
=
sen A sen B
Trazando, por ejemplo, la altura h’ correspondiente al lado a se verica que: b sen C
= c sen B ⇒
b
sen B
=
c
sen C
Figura 6
15
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De las dos, y por la propiedad transitiva, obtenemos: a
b
=
=
sen A sen B
c
sen C
Esta relación nos dice que: en un triángulo cualquiera la razón de un lado l ado al seno del ángulo opuesto es constante. Esta razón es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Demostración:
Observamos atentamente la gura 7. Hemos visto que: a
b
=
sen A sen B
=
c
; B =
sen C
π
2
El ángulo A = A , pues son ángulos inscritos que abarcan el mismo arco BC Obtenemos, por tanto:
a
a
=
sen A sen A′
Pero en A’BC, A’BC, que es rectángulo en B, puesto que es inscrito y abarca media cir cunferencia, resulta: a
sen A′
=
⇒
a
2 R π sen 2 b
=
sen A sen B
a
⇒
sen A
= 2 R
=
c
sen C
= 2 R
siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. X
Teorema de la tangente
De la igualdad a
=
b
sen A sen B
y aplicando la propiedad de las proporciones: suma de antecedentes es a su diferencia como suma de consecuentes es a su diferencia, obtenemos: A + B
a+b a −b Figura 7
16
=
sen A + sen B = sen A − sen B
tg
2 A − B
tg
2
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1.4.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS SEMIÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE LOS LADOS Habíamos visto anteriormente que:
1 + cos A = 2 cos
A
2
2
; 1 − cos A = 2sen
A
2
2
y el teorema del coseno:
cos A =
1 + cos A = 1 +
2 cos
A
2
2bc + b
=
2
b
2
b2 + c 2 − a 2 2bc
+c −a 2
2
2 2 2bc + b + c
=
2bc
− a2
2bc
2
+ c 2 − a 2 ( b + c ) − a 2 ( b + c − a ) (b + c + a ) = =
2
2bc
2bc
2bc
Si llamamos 2p al perímetro del triángulo, resulta que: a + b + c = 2 p – 2a 2a = 2 ( p – b + c – a = 2 p p – p – a)
Sustituyendo en lo anterior: 2 cos
A
2
2
=
2 p ⋅ 2( p − a) 2bc
A
p( p − a)
2
bc
⇒ cos =
Permutando letras obtenemos:
cos
B
2
=
p ( p − b) ac
; cos
C
2
=
p ( p − c) ab
De:
1 − cos A = 2sen
A
2
2
obtenemos: A
2sen
=
2
2
1−
b
2
+ c 2 − a2
2bc (a + b − c)(a − b + c) 2bc A
sen
2
2
=
= =
( p − b) ⋅ ( p − c ) bc
2bc − b
2
− c2 + a 2
2bc 2 ( p − c ) ⋅ 2 ( p − b )
=
a2
− ( b − c )2 2bc
=
2bc A ⇒ sen 2
=
( p − b ) ⋅ ( p − c ) bc
17
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Permutando letras obtenemos:
sen
B
2
=
( p − a)⋅( p − c) ac A
tg
2
=
sen cos
; sen
A
C
2
=
( p − a) ⋅ ( p − b) ab
2 A
( p − b ) ⋅ ( p − c ) p ( p − a )
=
2
Permutando letras obtenemos las otras dos fórmulas de la tangente:
=
( p − a) ⋅( p − c) p ( p − b )
C tg = 2
( p − a) ⋅( p − b) p ( p − c )
B
tg
2
Terminaremos la trigonometría plana aplicando todo lo estudiado a calcular la supercie del triángulo. 1.5.
SUPERFICIE DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE LOS LADOS Sea el triángulo ABC, y h la altura relativa al lado AB. Observando la gura 8, para el triángulo ABC, se tiene.
1
S
=
h
⇒ h = a sen B
2
c⋅h
Como
sen B =
a
Tenemos como supercie del triángulo: S
=
1 2
a ⋅ c ⋅ sen B
Figura 8
18
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matemáticas
Hacemos:
sen B = sen 2
B
2
cos
B
= a ⋅ c ⋅ sen
B
= 2 sen
B
2
2
Luego: S
=
1 2
a ⋅ c ⋅ 2 sen
B
2
cos
B
2
cos
B
= a ⋅ c ⋅ sen
B
2
2
En la fórmula de la supercie del triángulo S
=
1 2
a ⋅ c ⋅ sen B =
1 2
a ⋅ c ⋅ 2 sen
B
2
cos
B
2
2
cos
B
2
obtenemos: S
=
1 2
a ⋅c ⋅ 2
p ( p − c ) ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b ) a2 ⋅ c2
=
p ( p − a ) ⋅ ( p − b ) ⋅ ( p − c )
Consideremos la circunferencia inscrita en el triángulo de radio r y centro I (gura 8), obtenemos los triángulos AIB, BIC, AIC AIC de supercies respectivas:
Sabc
=
1 2
S1
=
S2
=
S3
=
1 2
1 2
1 2
cr ar br
r ( a + b + c ) =
1 2
p ⋅r
siendo p el semiperímetro del triángulo ABC. ABC.
19
tema 38 matemáticas
2
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Resolver un triángulo consiste, conociendo algunos de sus elementos, en averiguar los elementos desconocidos mediante razonamientos, fórmulas o construcciones. Un triángulo está resuelto cuando se conocen sus tres ángulos ( A , B y C ), y sus tres lados (a,b,c).
Vamos a sintetizar la resolución de triángulos a dos tipos: resolución de triángulos rectángulos y la de oblicuángulos. Para ello nos apoyaremos en todo lo relativo a la trigonometría así como, en algunos casos (triángulos semejantes) podremos hacer uso de las propiedades de la l a semejanza de triángulos. 2.1.
FÓRMULAS PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS En el triángulo rectángulo ABC (gura 9), tenemos: A =
π 2
B y C ángulos complementarios;
a = hipotenusa, y b y c los catetos.
Las deniciones de las razones trigonométricas nos dan:
sen B =
b
cos B =
c
tg B =
a b
(1)
⇒ a = a ⋅ cos B
⇒ b = c ⋅ tg tg B
c c
ctg B =
a
⇒ b = a sen B
b
⇒ c = b ⋅ ct ctg B
Figura 9
20
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matemáticas
Y teniendo en cuenta que:
π − C 2
B =
utilizando la relación que existe entre las razones trigonométricas de un ángulo y su complementario, las fórmulas anteriores dan: b = a ⋅ cos C
; c = a ⋅ sen C
b = c ⋅ c tg C
; c = b ⋅ tg C
(2)
Añadiendo a estas fórmulas la que da el teorema de Pitágoras y la de la suma de los ángulos; esto es:
= b2 + c2 2 2 2 c = a − b = (a + b ) (a − b ) a
2
y B + C = π
(3)
2
Las (1), (2) y (3) nos permiten resolver todos los casos de triángulos rectángulos. Como siempre es conocido el ángulo: π A = 2
con dos datos que no sean y es suciente para determinar el triángulo. Estos datos pueden ser: a, b; a, C ; b, C ; y b, c.
Primer caso
Datos: hipotenusa y un cateto (a, b). c = a2 − b2
sen B =
C
π
b a
⇒ B = arc sen
b a
= −B
2
Segundo caso
Datos: hipotenusa y un ángulo (a, C ).
B =
π 2
− C
sen B =
b a
⇒ B = a sen B
c = a 2 − b2
21
tema 38 matemáticas
Tercer caso
Datos: un cateto y un ángulo (b, C ).
B =
π 2
− C
tg C =
c
b
a= b
2
⇒ c = b tg C
+ c2
Cuarto caso
Datos: los dos catetos (b, c).
a = c2 tg B =
C
2.2.
π
b c
+ b2 ⇒ B = arctg
b c
= −B
2
FÓRMULAS PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS En el caso de triángulos oblicuángulos necesitamos tres datos, uno de ellos tiene que ser necesariamente un lado. Con esto podemos calcular los otros tres elementos del triángulo.
Primer caso
Datos: a, b, c, los tres lados de un triángulo. Utilizando el teorema del coseno:
cos A =
cos B =
C
− a 2 + b 2 + c 2 2bc a
2
− b2 + c 2 2ac
= π − ( A + B )
La solución del problema es única y existe siempre que la suma de dos lados cualesquiera sea mayor que el tercero.
22
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Segundo caso
Datos: dos lados y el ángulo comprendido (a, b, C ).
Calculamos c por el teorema del coseno:
c= a
2
+ b 2 − 2ab cos C
Calculamos ahora el ángulo B opuesto al lado más pequeño:
b s en B
=
c
⇒ s en B =
s en C
b c
s en C
Esta ecuación tiene dos soluciones: una α y otra (π - α), pues los senos de los ángulos suplementarios son iguales; pero como a mayor lado se opone mayor ángulo y en un triángulo sólo puede haber un ángulo obtuso, por ser b < c, la solución es la que corresponde al ángulo agudo. El ángulo C se obtiene de la igualdad
C
= π − ( A + B )
Este caso siempre tiene solución y ésta es única.
Tercer caso (llamado caso dudoso)
Datos: dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (a, b, B ).
Calculamos el ángulo A por el teorema del seno:
a s en A
=
b s en B
⇒ s en
A=
a b
⋅ s en
B
Estudiemos las soluciones de esta ecuación: a)
a b
⋅ s en
B = 1 ⇒ s en A = 1 ⇒ A =
π 2
En este caso el problema tiene solución si B < π y es única.
Si B ≥
π 2
2
el problema no tiene solución ya que A + B + C = π
23
tema 38 matemáticas
b)
a b
⋅ sen B > 1
El problema problema no no tiene solución, pues el seno seno de de un ángulo está comprendido comprendido entre -1 y 1. a c) ⋅ sen B < 1
b
La ecuación tiene dos soluciones: A1 y A2 suplementarios. Si se verica alguna de las dos desigualdades:
A1 + B < π
A2
+ B < π
La solución es única. Si se verican las dos desigualdades, son dos las soluciones. Si no se verica ninguna, el problema carece de solución. Calculado B , C se obtiene de: C = π − ( A + B )
2 2 El lado c: c = a + b − 2ab cos C
Cuarto caso
Datos: un lado y dos ángulos cualesquiera (a, B , C ).
(
)
A = π − B + C
Para calcular los otros dos lados utilizamos el teorema del seno:
a s en A
=
a s en A
b s en B
⇒b =
=
c s en C
24
s en A
⋅a
⇒c=
El problema tiene solución si B + C < π y esta solución es única.
s en B s en C
⋅ a
s en A
tema 38
matemáticas
3
APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA A LA TOPOGRAFÍA
Uno de los campos de mayor aplicalción de la trigonometría es la topografía. Podemos denir la Topografía como la Ciencia que tiene por objeto el estudio de los métodos de representación sobre un plano de los accidentes (naturales o producidos por el hombre) hombre) de un terreno, y el de los instrumentos necesarios para lograrlo. Muchos de los problemas que se presentan en la medición de las magnitudes no se pueden resolver directamente porque alguno de los puntos necesarios para tal medición no es accesible. Para llevar a cabo los cálculos se necesita un teodolito, instrumento empleado para medir ángulos horizontales y verticales. X
Aplicaciones
Cálculo de una altura de pie accesible
Sea HC la la distancia a medir (gura 10). Se visa la cúspide con el teodolito colocado a cierta distancia, en P, se pone luego el teodolito horizontal y se restan ambas lecturas, lo cual nos da el ángulo. Se mide la distancia PI , obteniendo: tg α
=
IC c
⇒ IC = c ⋅ tg α Figura 10
La altura será por tanto CH
= h = HI + c ⋅ tg α
Calculo de una altura de pie inaccesible
No se puede abordar el problema directamente pues el punto H es es inaccesible. Para calcular h elegimos dos puntos D y E alineados alineados con H (gura (gura 11).
Figura 11
25
tema 38 matemáticas
Se mide directamente la distancia DE = d . Con el teodolito situado en D y E se se miden los ángulos D = α , E = β , respectivamente. Con todo, se obtienen dos triángulos:
CHD y CDE
En el triángulo rectángulo CHD se verica h = CD ⋅ sen α
En el triángulo CDE se verica:
CD sen β
d
=
sen γ
peroo γ = π − β + (π − α ) = α − β per
luego CD = Figura 12
sen β
⋅ d
sen (α − β )
sseen α sen β ⋅ d h= sen (α − β )
Este caso también se conoce como el método de la doble observación.
Cálculo de la distancia entre dos puntos, donde uno de ellos es inaccesible
Sean dos puntos C y H, donde C es un punto inaccesible. Se elige un punto D cuya distancia a H es d (gura 12). HD = d
Con el teodolito se miden los ángulos D = α , y H = β , C = π
− (α + β )
En el triángulo CHD , aplicando el teorema del seno, se obtiene:
h sen α
=
d sen C
⇒h=
sen α sen C
⋅ d
Cálculo de distancias entre puntos inaccesibles. Distancia entre dos puntos inaccesibles
Se quiere calcular la distancia d que existe entre dos puntos inaccesibles A y B (gura 13).
Figura 13
26
tema 38
matemáticas
Para ello, se eligen dos puntos accesibles A′ y B′ , cuya distancia A′ B′ = d ′ se ha medido. Con el teodolito situado en A′ y B′ se miden los ángulos α , α ’ , β, β’ . En los triángulos AA′ B′ y BB′A′ , aplicando el teorema de los senos, se obtiene:
AB′
En AA′ B′ :
En BB′A′ :
sen (α + α ′ ) B′B
sen α ′
=
=
d ′ sen (π
−α −α ′ − β )
d ′ sen (π
− β − β ′ − α ′ )
Sabemos que:
− α − α ′ − β ) = sen α ′ ) = sen (π − β − β ′ − α
sen (π sen
π − (α + α ′ + β ) = sen (α +α ′ + β ) π − ( β + β ′ + α ′) = sen ( β + β ′ + α ′)
por la relación que existe entre las razones trigonométricas de un ángulo y su suplementario. Despejando AB′ y BB′ en las fórmulas anteriores:
+ α ′) ⋅ d ′ sen (α + α ′ + β ) sen α ′ ⋅ d ′ BB′ = sen ( β + β ′ + α ′ ) AB′ =
sen (α
En el triángulo, AB′B utilizando el teorema del coseno:
d
=
AB′
2
+ BB′2 − 2 AB′ ⋅ BB′ cos β ′
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tema 38 matemáticas
BIBLIOGRAFÍA
ALCAIDE, A.: Geometría y Trigonometría. GUZMÁN, M. y CÓLERA, J.: Matemáticas 3. Bachillerato. Ed. Anaya. LÓPEZ BARRIUSO, J.: Matemáticas. 3º B. U. P. Ed. Edelvives. JIMÉNEZ OSUNA, J.: Geometría. PUIG ADAM, P.: Curso de Geometría Métrica, Tomo I. Ed. Biblioteca Matemática. VIZMANOS-ANZOLA.: Funciones 3. Matemáticas 3 B. U. P. Ed. S. M.
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tema 38
matemáticas
RESUMEN
Trigonometría plana. Resolución de triángulos. Aplicaciones.
1. 1
1.1.
TRIGONOMETRÍA PLANA
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN SEGMENTO SOBRE UN EJE La proyección de un segmento es igual i gual al producto del segmento por el coseno del ángulo que forma con el eje de proyección. La proyección de una poligonal es igual a la suma de las proyecciones de todos sus lados.
1.2.
X
FÓRMULAS GENERALES DE LA TRIGONOMETRÍA PLANA Coseno del ángulo de dos rectas
Coseno director. Fórmulas trigonométricas para la suma y diferencia de dos ángulos sen (α + α ') = senα cosα '+ co cosα senα ' , co c os(α + α ') = cosα cosα '− senα se nα ' X
Tangentes Ta ngentes y cotangentes de la suma y diferencia de dos ángulos tgα + tgα ' ctgα + ctgα ' tg (α + α ') = , tg (α + α ') = ctg ct gα ct ctg gα '− 1 1 − tgαtgα '
Razones trigonométricas del ángulo doble 2 2 sen 2α = 2 senα cos α , cos 2α = cos α − sen α Razones trigonométricas del ángulo mitad sen
α 2
1 − cos α
=±
2
, cos
X
1 + cos α
2
2 α +α ' 2
2
cos
α
−α ' 2
, cos α − cos α ' = −2sen
2 α +α ' 2
sen
2 α
−α ' 2
ó A = π − ( B + C ) ⇒ sen 2 A = sen 2 B + sen 2C + 2senB cos C cos(B + C )
RELACIONES ENTRE ENTR E LOS LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO Teorema del coseno a
X
2
=±
Cuadrado del seno de un ángulo igual o suplementario de la suma de otros dos A = B + C
1.3.
α
Transformación en producto de la suma y diferencia de senos y cosenos α +α ' α −α ' α +α ' α −α ' senα + senα ' = 2 sen sen cos , senα − senα ' = 2 cos cos α + cos α ' = 2 cos
X
2
= b2 + c2 − 2bc cos A
Teorema del seno a senA
=
b senB
=
c senC
29
tema 38 matemáticas
X
Teorema de la tangente A + B tg a+b 2 = A − B a −b tg 2
1.4.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRIC AS DE LOS SEMIÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE LOS LADOS cos
1.5.
2
=
p( p − a) bc
, sen
A 2
=
( p − b)( p − c ) bc
,
SUPERFICIE DE L TRIÁNGULO TRIÁNGU LO EN FUNCIÓN DE LOS LADOS S
2. 2
A
=
1 2
rp
donde r es el radio de la circunferencia inscrita..
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Consiste en averiguar sus elementos (lados y ángulos) desconocidos. 2.1.
FÓRMULAS PARA LA RESOLUCIÓN RE SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECT REC TÁNGULOS
Primer caso
Dados la hipotenusa y un cateto.
Segundo caso
Dados la hipotenusa y un ángulo.
Tercer caso ca so
Dados un cateto y un ángulo.
Cuarto caso
Dados los dos catetos. 2.2.
FÓRMULAS PARA LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Primer caso
Dados los tres lados.
Segundo caso
Dados dos lados y el ángulo comprendido.
Tercer caso (llamado caso dudoso)
Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Cuarto caso
Dados un lado y dos ángulos cualesquiera.
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tema 38
matemáticas
3. 3
APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA A LA TOPOGRAFÍA
Ciencia que estudia los métodos de representación sobre un plano de los accidentes de un terreno y el delos instrumentos necesarios para lograrlo. X
Aplicaciones − Cálculo de una altura de pie accesible. − Cálculo de una altura de pie inaccesible. − Cálculo de la distancia entre dos puntos donde uno de ellos es inaccesible. − Cálculo de distancias entre puntos inaccesibles. Distancia entre dos puntos inacce sibles. − Razones trigonométricas de los ángulos complementarios.
31
