tema
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MATEMÁTICAS La relación de semejanza en el plano. Consecuencias. Teorema de Thales. Razones trigonométricas.
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1.
LA RELACIÓN DE SEMEJANZ A EN EL PLANO. CONSECUENCIA CONSECUENCIAS
1.1.
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTO S
1.2.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
1.3.
POLÍGONOS SEMEJANTES
1.4.
HOMOTECIA EN EL PLANO
1.5.
SEMEJANZA EN EL PLAN O
2.
TEOREMA DE THALES
2.1.
TEOREMA DE THALE S
2.2.
SEGMENTOS PROPORCIONALES PRODUCIDOS POR UN HAZ DE RECTAS
2.3.
APLICACIONE S
3.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
3.1.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
3.2.
REDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICASAL PRI MER CUADRANTE
3.3.
3.2.1.
Razones trigonométricas de ángulos suplementarios
3.2.2.
Razones trigonométricas de los ángulos cuya diferencia es π/2
3.2.3.
Razones trigonométricas de los ángulos que difieren en π
3.2.4.
Razones trigonométricas de ángulos que suman 2 π
3.2.5.
Razones trigonométricas de los ángulos complementario s
3.2.6.
Razones trigonométricas de ángulos mayores que 2 π
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN MISMO ÁNGULO
3
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matemáticas
INTRODUCCIÓN
Vamos a comenzar este tema dando unas ideas generales sobre la proporcionalidad de segmentos para desarrollar, posteriormente, la semejanza en el plano a través de la seme janza de triángulos. También tratamos la homotecia en cuanto se trabaja con segmentos
proporcionales y guras semejantes (homotéticas). El teorema de Thales, pilar básico de la geometría elemental, amplía el campo de triángulos semejantes y, nalmente, estudiaremos las razones trigonométricas como razones que se establecen entre los lados de un triángulo rectángulo.
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1
1.1.
LA RELACIÓN DE SEMEJANZA EN EL PLANO. CONSECUENCIAS
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
Definición 1 Llamamos valor numérico de un segmento rectilíneo al número que expresa
la relación entre dicho segmento y otro tomado como unidad. Es el resultado de la medida de un segmento.
Definición 2 Se llama razón de dos segmentos , a la razón de sus valores numéricos referidos a la misma unidad. De esta forma, si el segmento AB mide 5 m y el CD , 4 m, la razón de dichos segmentos será
AB CD
=
5 4
= 1, 25.
Definición 3 Dos segmentos rectilíneos a y b son proporcionales a otros c y d cuando cuando lo son sus valores numéricos. La proporción es directa si existe correspondencia directa entre los valores de a y c y b y d . Entonces escribiremos que:
a b
=
c d
Si la razón de los dos primeros es igual a la inversa de la de los dos segundos, la proporción es inversa:
a b
=
d c a
La proporción es recíproca cuando
c
=
d . b
A cualquiera de los segmentos de la proporción: a b
6
=
c d
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matemáticas
se le llama «cuarto proporcional». Si en dicha proporción fueran iguales el se-
gundo y el tercero, obtendríamos: a b
=
b d
que se llama «proporción continua» y al segmento repetido, en este caso, se le llama «media proporcional» entre los dos restantes y a cada uno de los otros dos se les llama «tercera proporcional» a los dos restantes.
proporcional nal entre dos segmentos, a otro segTambién se suele llamar media proporcio s egmento cuyo cuadrado es igual al producto de los dos primeros.
Es decir: b2 = a · d ⇒ b = a d sería la media proporcional (que coincide con la de la primera denición).
Teorema Sean dos rectas r y s en
AB
el plano. En r tomamos dos segmentos iguales
= CD .
Si trazamos por los extremos de los segmentos rectas paralelas entre sí, que corten a la recta s, determinarán en ella dos segmentos también iguales.
Demostración
Para la demostración de este teorema hemos de considerar dos casos: y s son paralelas. En este caso los − Las rectas r y l os segmentos A′ B′ y C ′D′ sobre la recta s son iguales entre sí e iguales a los segmentos AB y CD de la recta debido a que son lados opuestos de paralelogramos. r debido
− Las rectas r y s no son paralelas. En este caso, trazamos paralelas por los puntos A y C a a la recta s y obtenemos los puntos H y L en la intersección con las rectas BB’ y DD’. Los triángulos ABH y y CDL obtenidos son iguales, pues tienen un lado igual y los ángulos adyacentes también por estar com prendidos entre paralelas. Por tanto, AB y CD por la misma razón que en el primer caso.
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tema 37 matemáticas
Corolario Para dividir un segmento en n partes iguales se traza una recta a partir de un extremo del segmento y formando ángulo agudo con él. Se toman en la recta n partes iguales a partir del mismo extremo y consecutivos. Se une el último extremo con el extremo libre del segmento y se trazan rectas paralelas a esta recta de unión, saliendo de cada una de las n partes iguales.
1.2.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Estudiaremos la relación de semejanza basándonos en la semejanza de triángulos.
Definición
Dos triángulos se llaman semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente
iguales y los lados homólogos proporcionales. Se llaman: − Ángulos homólogos: los ángulos respectivamente iguales. − Lados homólogos: los opuestos a ángulos homólogos. − Razón de semejanza: la relación constante entre dos lados homólogos.
Podemos escribir, la proporcionalidad de lados de la siguiente manera: AB AC
=
A′ B′ A′ C ′
;
AB BC
=
A′ B′ B′C ′
Podemos, entonces, enunciar que la razón entre dos lados cualesquiera de uno de los triángulos es igual a la razón entre sus homólogos.
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matemáticas
Según lo expuesto, dos triángulos semejantes ABC y y A’B’C’ satisfacen las condi-
ciones siguientes: A = A′ , B
AB A′ B′
=
= B′ , C = C ′
BC B′C ′
=
CA C ′A′
Representaremos a los triángulos semejantes escribiendo ABC ~ ~ A’B’C’. X
Criterios de semejanza de triángulos Para evitar tener que comprobar la igualdad de ángulos y la proporcionalidad de lados, se dan los criterios o casos de semejanza de triángulos, que son unas reglas que nos permiten saber si dos triángulos son semejantes si n necesidad de considerar las condiciones dadas.
Primer criterio Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, son semejantes.
Demostración Sean los triángulos ABC y y DEF en en los que se verica: A
= D y B = E
Para que los dos triángulos sean semejantes es preciso que tengan iguales los terceros ángulos y que los lados homólogos sean proporcionales.
Es evidente que C = F por ser suplementarios de la suma de los otros dos.
Para probar la proporcionalidad de los lados, jémonos en dos homólogos, por ejemplo AB y DE . Si estos fuesen iguales, lo serían los triángulos y, por tanto, semejantes, siendo la razón de semejanza la unidad. Si no son iguales, tracemos en el mayor de ellos, DE , un segmento D G = AB y por G tracemos GH , paralela a EF . semejante al DEF en Esta paralela determinará un triángulo DGH semejante en este orden:
DGH ~ DEF , e igual al triángulo ABC , en este otro: DGH ~ ABC , por tener igual un lado y los dos ángulos adyacentes. De donde se deduce inmediata-
mente la proporcionalidad de los lados y la semejanza de los triángulos dados:
~ DEF . ABC ~
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Consecuencias 1. Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a uno de los otros dos lados, esta paralela pasará por el punto medio del tercer lado y es igual a la mitad del segundo.
Es evidente, ya que que la razón de semejanza de los triángulos que resultan es igual a 1/2.
2. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual. 3. Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen el mismo ángulo desigual.
Segundo criterio Si dos triángulos tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos iguales, son semejantes.
Demostración Sean los triángulos ABC y y DEF en en los que se verica:
A = D y
AB D E
=
AC D F
Veamos que ABC ~ ~ DEF .
Tomemos en DE un un segmento, D G = AB , y trazando por G una paralela a EF , los triángulos resultantes, DGH y y DEF , serán semejantes y, por consiguiente,
tendremos: DG D E Como D G
=
D H D F
= AB , si se tiene presente la proporción anterior y la que sirve de
hipótesis, se tendrá: AB D E
=
D H D F
=
AC D F
de donde D H = AC , y los triángulos ABC , DGH serán serán iguales, por tener dos lados iguales y el ángulo comprendido también igual; pero acabamos de ver que el triángulo DGH es es semejante al DEF ; luego el triángulo ABC también también lo
será, y por tanto, ABC ~ ~ DEF . 10
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matemáticas
Consecuencia Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales los catetos.
Tercer criterio Si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales, son semejantes.
Demostración: Sean los dos triángulos ABC y y DEF que que por hipótesis verican:
AB D E
=
AC D F
=
BC E F
Tomemos, como anteriormente, sobre DE el el segmento D G = AB y tracemos y DEF son son semejantes. Como conseGH , paralelo a EF . Los triángulos DGH y
cuencia tendremos: DG D E
=
D H D F
=
G H E F
Comparando estas razones con las que sirven de hipótesis, se ve que tienen los
= AB , por construcción, también los otros antecedentes serán iguales, resultando, por consiguiente: AC = D H y BC = G H consecuentes iguales y como D G
y DGH , por tener sus lados resvericándose la igualdad de los triángulos ABC y pectivamente iguales. Además, según hemos visto, el triángulo DGH es es semejante al triángulo DEF; luego el triángulo ABC también lo será.
Consecuencias: 1. Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen proporcionales las bases y otro lado, siendo la base el lado desigual. 2. Todos los triángulos cuyos lados sean proporcionales a tres números dados son semejantes entre sí.
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tema 37 matemáticas
1.3.
POLÍGONOS SEMEJANTES
Definición Se llaman polígonos semejantes los polígonos de igual número de lados que tienen los ángulos respectivamente iguales y los lados homólogos proporcionales. Cuando nos referimos a lados homólogos, queremos expresar los lados cuyos extremos están en vértices homólogos; por vértices homólogos, los vértices de ángulos homólogos, y por ángulos homólogos, los ángulos respectivamente iguales e igualmente dispuestos. Los ángulos homólogos pueden tener todos el
mismo sentido o sentido contrario. En el primer caso se dice que los polígonos son directamente semejantes y en el segundo, inversamente semejantes.
Los polígonos ABCDE y y A’B’C’D’ A’B’C’D’E’ E’ de la gura serán semejantes si se verica
que: A = A′
B
= B ′ C = C ′ D = D ′ E = E ′
AB BC CD D E EA = = = = A′B ′ B ′C ′ C ′D ′ D ′E ′ E ′A′ donde AB y A′ B ′, BC y B ′C ′... son los lados homólogos. Suponiendo que AB sea k veces A′ B ′, tendremos que la razón de semejanza de dichos polígonos será
AB A′ B ′
= k
Los puntos M y M’ serán homólogos si los triángulos AME y A’M’E’, a los cuales pertenecen, son semejantes y semejantemente dispuestos. Análogamente sucede con L y L’, que pertenecen a los triángulos ALE y y A’L A’L’E’ ’E’, semejantes y
semejantemente dispuestos, cumpliéndose además que: AL A′ L ′
= k
Los segmentos MN y M ′N ′ serán homólogos cuando los puntos M y y M’ y N y N’ sean homólogos. Las diagonales de polígonos semejantes son también líneas homólogas.
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X
Teoremas importantes
Teorema 1
En dos polígonos semejantes, la razón de los perímetros es igual a la razón de semejanza.
Demostración: Sean Q y Q’ dos polígonos semejantes cuyos perímetros son q y q’ y sea k la la razón de semejanza.
a)
Polígono Q
b)
Polígono Q’
De la semejanza de los l os polígonos resulta: a a′
=
b b′
=
c d = c ′ d ′
Ahora bien, en las series de proporciones de razones iguales se verica que la suma de antecedentes es a la suma de consecuentes como un antecedente es a
su consecuente. Por tanto: a+ b+ c + d a = a′ + b′ + c′ + d′ a′
= k ⇒
p p′
= k ⇒
q q′
= k
y el teorema queda probado.
Teorema 2 Si dos polígonos convexos se pueden descomponer, por medio de diagonales que unen vértices homólogos, en el mismo número de triángulos semejantes y semejantemente dispuestos, los polígonos son semejantes.
Demostración:
Polígono Q
Polígono Q’
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tema 37 matemáticas
Sean los polígonos Q y Q’. Si los triángulos G, H , L, M del del primer polígono son semejantes respectivamente a los G’, H’, L’, M’ del segundo, entonces Q y Q’ son semejantes. De la semejanza de G y G’ podemos escribir:
F E F ′E ′
=
FA F ′A′
F = F ′ EA y E ′A′ F E A = F ′E ′A′
=
De la semejanza de H y y H’ se deduce:
EA E ′A′
=
ED E ′D ′
AE D = A′ E ′D ′ DA y D ′A′ E D A = E ′D ′A′
=
Unicando los dos resultados anteriores, se tendrá: F
= F ′; F E A + AE D = F ′E ′A ′ + A ′E ′D ′ ⇒ E = E ′
y
F E F ′E ′
=
FA F ′A′
=
ED E ′D ′
Análogamente se establecerían las igualdades de los demás ángulos de los polígonos Q y Q’, así como la proporcionalidad de sus lados homólogos, y, por consiguiente, los polígonos son semejantes.
Teorema 3 Dos polígonos semejantes pueden descomponerse en un mismo número de triángulos semejantes y semejantemente dispuestos.
Demostración: Sean los polígonos Q y Q’ de la gura anterior. Trazando en el polígono Q las diagonales EA, AD, DB y las diagonales homólogas en el polígono Q’, se tendrá:
1. Los triángulos G y G’ son semejantes, ya que tienen un ángulo igual, F
= F ′ ,
comprendido entre dos lados proporcionales al vericarse por hipótesis que: F E F ′E ′
=
FA F ′A′
Por consiguiente, F E A = F ′E ′A ′; F AE
= F ′A ′E ′ y
EA E ′A′
=
FA . F ′A′
2. Los triángulos H y y H’ son semejantes, pues se tiene que AE D = A′ E ′D ′, como diferencia de ángulos iguales, E − F E A = E ′ − F ′E ′A ′ , y también:
EA E ′A′
=
ED E ′D ′
Siguiendo un razonamiento similar demostraríamos la semejanza de los triángulos L y L’, M y y M’, etc. 14
tema 37
matemáticas
Teorema 4 Si por los vértices de un polígono se trazan rectas que concurran en un mismo punt O, y trazamos rectas paralelas a los lados del polígono, formando otros polígonos que tengan sus vértices en las rectas del haz y ordenados sobre los mismos rayos que el polígono dado, los polígonos que resultan son semejantes al primero, y la razón de la semajanza de estos polígonos es la misma que la razón de las distancias que hay desde el punto de concurrencia O a dos puntos homólogos de dichos polígonos.
Demostración: Por razones de paralelismo los polígonos ABCD y abcd tienen sus ángulos ~ Odc, se deduce respectivamente iguales. Además, por vericarse que ODC ~
que: OC D C = Oc dc
~ Odc resulta: y de vericarse que ODC ~
OC C B D C , de donde: = Oc cb dc
=
CB . cb
De la misma forma hallaríamos que son iguales a estas razones las l as otras dos: BA AD y . ba ad OC
con lo que queda probada la semejanza de los polígonos, siendo Oc razón de semejanza.
= k , la
hubiéseEl teorema se demostraría análogamente si en lugar del polígono abcd hubiésemos tomado el a’b’c’d’.
Resulta evidente que también se verica el recíproco de este teorema, es decir, «las rectas que unen los puntos homólogos de dos polígonos semejantes, cuyos lados homólogos son paralelos, concurren en un mismo punto».
15
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1.4.
HOMOTECIA EN EL PLANO
Definición Sea O un punto del plano y k un un número real distinto de cero. Llamaremos homotecia de centro O y razón k, y la designaremos H O, k a la aplicación del plano en sí mismo que hace corresponder a cada punto A otro punto A’, tal que:
OA′ = k ⋅ OA Al punto A’ se le llama homotético de A y se escribe: H O, k ( A A) = A’
Si k > > 0, A y A’ están en la misma semirrecta de origen O y la homotecia se llama directa. Si k < < 0, A y A’ están a distinto lado de la semirrecta de centro O y la homotecia se llama inversa.
Cuando k = 1, OA′ = OA OA , es decir, A y A’ coinciden. La homotecia es entonces la identidad.
Cuando k
= − 1, OA′ = OA, y la homotecia es una simetría central de centro O.
De la propia denición se desprende que los puntos O, A y A’ están alineados. Puntos invariantes: a) Si k = = 1, todos los puntos son invariantes. b) Si k ≠ 1, el único punto invariante es el centro de homotecia.
En efecto, si A es un punto invariante y A’ su homotético, tal que A = A’:
OA = k ⋅ OA ⇒ OA − k ⋅ OA = 0 ⇒ (1− k ) OA = 0 ⇒ OA = 0
por ser k ≠ 1. Pero
OA = 0 ⇒ A ≡ O
c) Las rectas que pasan por el centro de la homotecia son invariantes globalmente. X
Teoremas importantes
Teorema 5
En dos guras homotéticas los segmentos homólogos son paralelos y su razón es igual a la razón de homotecia considerada en valor absoluto, (es decir, la razón es igual al valor absoluto de la razón de homotecia). Demostración:
16
tema 37
matemáticas
el centro y la razón de homoSean las dos guras homotéticas (P) y (P’), O y k el tecia; A y B dos puntos cualesquiera de (P), A’ y B’ los puntos homólogos de la gura (P’). Por hipótesis tendremos que:
OA′ OA
=
OB ′ OB
= k
de donde se deduce que OA’ B’ ~ OA B, siendo k la razón de semejanza de estos triángulos.
A′ B ′
= k , con lo que el teorema queda
Luego, A′ B ′ y AB son pa paral ralelos elos y AB probado.
Los segmentos A′ B ′ y AB tendrán el mismo u opuesto sentido según que la homotecia sea directa o inversa.
Consecuencias:
1. La gura homotética de un vector AB es otro vector A′ B ′ tal que
A′ B ′ = k ⋅ AB , es decir, paralelo a AB y del mismo sentido o de sentido contrario según que la homotecia sea directa o inversa.
2. La gura homotética de un ángulo AB ABC C es otro ángulo A′ B ′C ′ de igual amplitud y sentido que AB ABC C , ya que sus lados son respectivamente paralelos y del mismo sentido si k > > 0, o paralelos y de sentido contrario si k < < 0.
es otro triángulo A’B’C’ seme3. La gura homotética homotética de un triángulo ABC es jante a ABC , ya que los ángulos son respectivamente iguales y del mismo
sentido y los lados homólogos proporcionales (teorema 5). 4. La gura homotética de de un polígono es otro polígono semejante al primero y semejantemente dispuesto, ya que los ángulos de ambos son respectivamente iguales y del mismo sentido y los lados homólogos paralelos y proporcio-
nales (teorema 5). 5. La gura homotética de una circunferencia es otra circunferencia y la razón de los radios es igual al valor absoluto de la razón de homotecia.
Demostración:
En efecto, sea O el centro de la circunferencia dada y A un punto cualquiera de ella. Sean O’ y A’ sus homólogos por la homotecia H C,k .
Ten Te nemos
C A′ CA
OA Lue ego, O ′A′ = k ⋅ OA = = ′ ′ = k. Lu OA
Cte Ct e.
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tema 37 matemáticas
Por consiguiente, cuando A describa la circunferencia dada, A’ describe otra circunferencia de centro O’ y radio O’A’. Si el centro C de de homotecia coincide con el centro O de la circunferencia dada, O’ coincidirá también con O y la circunferencia homotética es concéntrica con la dada.
Teorema 6 Dos circunferencias cualesquiera son a la vez directa e inversamente homotéticas.
Demostración: Sean las circunferencias de centros O y O’ y radios respectivos R y R’. Tracemos los radios OA y O ′A′ paralelos y del mismo sentido y la secante AA’ que corta a la línea de los centros en el punto C .
Los triángulos COA y CO’A’ son semejantes, por lo que:
CO CO ′
=
CA CA ′
=
OA O ′A′
=
R R′
Pero sobre la prolongación del segmento OO’ existe un solo punto C (según (según la
división de un segmento en una razón dada) tal que: CO C O′
=
R R′
Luego C es es un punto perfectamente determinado y las circunferencias dadas son homotéticas en la homotecia H C,R/R’. Si consideramos los radios OA y O’A’ paralelos y de sentido contrario, la secante AA1 corta a la línea de los centros en el punto C’.
Como C’OA ~C’O’A1 resulta:
C ′O C ′O ′
18
=
C ′A C ′A1
=
R R′
tema 37
matemáticas
Además, el punto C’ es único. Luego las circunferencias dadas son inversamente homotéticas en la homotecia H C’ . C’,, – R/R’ Los centros de homotecia C y C’ se llaman también centros de semejanzas directa e inversa. Las tangentes exteriores comunes a las circunferencias, cuando existen, pasan por el centro C de de homotecia directa y las tangentes interiores comunes, cuando existen, pasan por el centro C’ de homotecia inversa.
Teorema 7 Las tangentes a dos curvas homotéticas en dos puntos homólogos son paralelas.
Demostración: Sean A y B dos puntos de la curva C , y A’ y B’ sus correspondientes homólogos de la curva C’, homotética de C .
Por ser C y y C’ homotéticas, las cuerdas AB y A’B’ son paralelas. Si el punto B se aproxima al punto A, permaneciendo siempre sobre la curva C , el punto B’ se aproximará al punto A’, permaneciendo las cuerdas AB y A’B’ constantemente paralelas en este desplazamiento, incluso en la posición límite, cuando sus sos o portes lleguen a ser las tangentes AT y y A’T’.
Corolario 1: Si dos curvas C 1 y C 2 son secantes en P y admiten en P como tangentes respectivas las rectas PT 1 y PT 2 formando entre sí el ángulo α, las curvas C’1 y C’2, homotéticas de C 1 y C 2, en la homotecia H O,k son secantes en P’, homotético de P, admiten tangentes P’T’1 y P’T’2, que son homólogas de PT 1 y PT 2, y forman entre sí un ángulo α’ igual a α, de suerte que T1′P ′T2 = T1P T2 . Ello es debido a que estos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos. A consecuencia de esta propiedad se dice que la homotecia conserva los ángulos.
Teorema 8
Para que dos guras F y F’ sean homotéticas es necesario y suciente que existan en el plano de ellas dos puntos jos B y B’, tales que el vector que una el punto B con un punto A cualquiera de la primera gura y el vector que una el punto B’ con otro A’, homólogo de A, de la segunda, sean paralelos y de razón constante.
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tema 37 matemáticas
Demostración:
Veamos que la condición es necesaria. Sean en la gura adjunta B y B’ dos puntos jos. La condición es evidente, pues ya sabemos que en dos guras homotéticas los segmentos homólogos B A y B ′A′ son paralelos y tienen razón constante. Luego: BA BA B ′ A′ y = constante. B ′A′
La condición es suciente: Sean B y B’ dos
puntos jos, A y A’ dos puntos cualesquiera semejantemente y F’. dispuestos de las guras F y
Si B ′A′ y B A son paralelos y tienen razón constante k , probemos que F’ y F
son homotéticas. Consideremos, para ello, los dos casos siguientes:
1. Sea k ≠ 1. En este caso, las rectas B’B y A’A concurrirán en el punto O; de lo contrario serían paralelas y tendríamos B ′A′ = B A en contra de la hipótesis de que k ≠ 1. Tenemos, pues, por hipótesis,
B ′A′ BA
= k ≠ 1.
De la siguiente semejanza: OB’ A’ ~ OB A resulta: B ′A ′ BA
20
=
OA′ OA
=
OB ′ OB
= k
tema 37
matemáticas
de donde se deduce que el punto O divide al segmento BB’ según una relación constante k . Por consiguiente, este punto O es un punto jo de la recta ja BB’ y cualquiera que sea el punto A, tendremos que:
OA′ OA
= k
y, en consecuencia, las guras F y y F’ son homotéticas. 2. Sea k = = 1. En este caso las rectas BB’ y AA’ serán paralelas y el centro de homotecia O estará en el innito, llegando las guras F y y F’ a coincidir mediante una traslación. Si k = = –1, entonces el centro de homotecia está entre las dos guras, punto de corte de los segmentos AA’ y BB’ (además es el punto medio de los segmentos AA’ o BB’).
Serán, por consiguiente, guras homotéticas cuyo centro de homotecia estará en el innito. Corolario 2: Dos polígonos semejantes que tienen sus lados paralelos son homotéticos.
En efecto, pues si tomamos como puntos jos dos puntos homólogos en los dos polígonos semejantes, los segmentos que unen estos puntos con los demás puntos homólogos de los polígonos son segmentos paralelos cuya razón de semejanza es constante.
Teorema 9 F’’ homotéticas de una tercera F son homotéticas entre sí. Dos guras F’ y F’’
Además, los tres centros de homotecia están alineados.
Demostración: Sean A y B dos puntos de F ; A’ y B’ sus homólogos de F’ en la homotecia H O, k ; A’’ y B’ B’’’ sus homólogos de F’ F’’’ en la homotecia H O’, k . 1
2
Por el teorema 8: A′ B ′ pa parel rele elo a AB , y A′ B ′ = k1 ⋅ AB A′′ B ′′ pa paral ralelo elo a AB , y A′′B ′′ = k2 ⋅ AB . Por consiguiente, A′ B ′ y A′′ B ′′ son pa paral ralelas, elas, y
A′ B ′ A′′ B ′′
=
k 1 . k 2
Luego, por el teorema 8 las guras F’ y F’ F’’’ son homotéticas en la homotecia . H O’ O’’’, k /k 1
2
Veamos que el centro O’ O’’’ está alineado con O y O’: La recta OO’ de la gura F es es doble en la homotecia H O, k pues coincide glo1 balmente con ella misma. La recta OO’’ de la gura F es es doble en la homotecia H O’ pues también coincide globalmente con ella misma. Luego las O’,, k 2 rectas OO’ y OO’’ son homólogas y coinciden globalmente en la homotecia y, por consiguiente, los puntos O, O’ y O’ H O’ O’’’ están alineados. O’’’, k /k 1
2
21
tema 37 matemáticas
Veamos, por último, la posición de O’ O’’’ con respecto a O y O’: Supongamos que O1 es el homólogo de O en la homotecia H O’ . O’,, k 2
Tendremos: O ′O1 = k2 ⋅ O ′O. Como: O′O1 = O′O + OO O O1 resulta: O ′O1 + OO1 = k2 ⋅ O ′O ⇒ OO1 = (k2 − 1) ⋅ O ′O
(1)
Por otro lado: O ′′O O ′′O1
=
O ′′B O ′′B′′
=
A′ B ′ A′′ B ′′
=
k 1 k 2
⇒ O ′′O1 =
k 2 O ′′O k 1
y como O’’O1 = O’’O + OO1 tenemos:
O ′′ O + OO1 =
k k 2 ⋅ O ′′O ⇒ OO1 = 2 k 1 k 1
− 1 ⋅ O ′′ O
(2)
Igualando las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:
k 2 ⋅ O ′′O = (k2 − 1) ⋅ O ′O k 1 − 1 k − 1 2 O ′′O = k 2 ⋅ OO ′ k 1 − 1 Operando: OO ′′ = Si llamamos k =
k1 (k 2 − 1) ⋅ OO ′. k2 − k 1
k1 (k 2 − 1) , esta constante k podrá podrá ser positiva o negativa, k2 − k 1
mayor o menor que 1. De acuerdo con esto tenemos: Si k > > 1 ⇒ O’ O’’’ es exterior al segmento OO ′ y del lado de O’. Si 0 < k < < 1 ⇒ O’ O’’’ se encuentra en el interior del segmento OO ′ . Si k < < 0 ⇒ O’ O’’’ es exterior al segmento OO ′ y del lado de O.
22
tema 37
matemáticas
Transformandoo sucesivamente una gura mediante dos homotecias con el mismo Transformand centro O y cuyas razones sean k y y k’ se obtiene una homotecia de razón k · · k’. Pues si un punto cualquiera A se transforma sucesivamente en A’ y A’ A’’’, A’ A’’’ está en la recta OA y se tendrá:
OA′ OA
= k ,
OA′′ OA′
= k ′ ⇒
OA′′ OA
= k ⋅ k ′
Con esta operación, el conjunto de todas las homotecias con el mismo centro forman un grupo.
1.5.
SEMEJANZA EN EL PLANO Una vez estudiada la homotecia, denimos la semejanza en el plano como toda aplicación del plano en sí mismo, que puede descomponerse en producto de una homotecia por un movimiento o de un movimiento por una homotecia. s A2 → A2
OA → k ⋅ OA, tal que k e s la raz n de se sem mejanza ejanza.. Si el movimiento es directo, la semejanza se llama directa, y si el movimiento es inverso, la semejanza se llama inversa.
Fijándose en la denición vemos que las homotecias conservan las formas de las guras y las longitudes son proporcionales; la semejanza atiende únicamente a la forma sin atender para nada a la posición.
En consecuencia, la semejanza conserva todas las propiedades de la homotecia que son independientes de la posición, es decir, invariantes en un movimiento. X
Propiedades de la semejanza 1. Los segmentos homólogos son proporcionales. 2. Las semejanza transforman puntos alineados en puntos alineados en el mismo orden y, como consecuencia, rectas en rectas. 3. Las semejanzas transforman ángulos en ángulos iguales, del mismo sentido si la semejanza es directa y de sentido contrario si es inversa. Las homotecias conservan los ángulos y el sentido, por tanto, basta considerar que si la semejanza es directa, el movimiento es directo y conserva los ángulos y el sentido. Si la semejanza s emejanza es inversa, el movimiento también lo es y cambia el sentido de los ángulos.
4. La razón de semejanza es igual a la razón de homotecia.
En consecuencia, la gura transformada de un polígono cualquiera es otro polígono cuyos ángulos son respectivamente iguales a los del polígono dado, y sus lados son, respectivamente, proporcionales a los de aquél.
23
tema 37 matemáticas
En términos generales, suele denirse: Dos guras son semejantes cuando tienen los ángulos correspondientes iguales y los lados homólogos proporcionales. Las semejanza tienen estructura de grupo respecto a la composición o producto de semejanzas (no entramos en su desarrollo por considerarlo objetivo funda-
mental del estudio de los movimientos en el plano).
24
tema 37
matemáticas
2
2.1.
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES Sean dos rectas r y s de
un plano. En r tomamos dos segmentos cualesquiera
AB , BC y trazamos por sus extremos rectas paralelas entre sí de manera que corten a la recta s, determinando en s dos segmentos proporcionales a los primeros y,
por tanto, se vericará: AB BC
=
A′ B′ B′C ′
Otra forma de enunciar el teorema de Thales es la siguiente: Si dos rectas r y y s se cortan por un sistema de paralelas, los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a los determinados por los puntos correspondientes en la otra.
Vamos a considerar dos casos para demostrar este teorema:
Los segmentos AB y B C tienen una medida común l, de manera que AB la contiene n veces y BC , m. Con lo cual, la razón de ambos segmentos será:
AB BC
=
nl ml
=
n m
25
tema 37 matemáticas
Si llevamos estas medidas referidas a una común, sobre AB y BC , obtenemos n divisiones en AB y m en BC . Por éstas, trazamos paralelas a la recta AA’ y
dichas paralelas sabemos que cortan o dividen a A′ B ′ en n segmentos iguales entre sí y proporcionales a los de AB . Lo mismo ocurre en B’C’. Por tanto:
A′B ′ B ′C ′
=
nl ′ n = , y de esto y lo lo anteri anterior or deduci deducim mos que que: ml′ m
AB A BC
=
A′B ′ B ′C ′
Los segmentos AB y BC no
tienen una medida común. En este caso dividi-
mos AB en n partes, y la n-ésima parte de AB la tomamos como unidad y la llamamos l ⇒ AB = nl. Supongamos ahora que 1 está contenida en BC más de m veces, pero menos de m + 1 ⇒ ml < BC < (m + 1) l ⇒
⇒
ml nl
<
BC AB
<
(m + 1) nl
⇒
m BC < n AB
<
(m + 1) n
De igual manera que antes, por el mismo método, obtenemos en este caso: A′B ′ = nl ′ y ml ′ < B ′C ′ < ( m + 1) l ′ ⇒
⇒
ml′ nl ′
<
B ′C ′ A′B ′
<
( m + 1) l′ m B ′C ′ ( m + 1) ⇒ < < nl′ n A′B ′ n
y comparando esta desigualdad con la obtenida para
BC AB
2.2.
B C AB A′ B ′ = ′ ′⇔ = A′ B ′ BC B ′C ′
BC obtenemos que: AB
SEGMENTOS PROPORCIONALES PRODUCIDOS POR UN HAZ DE RECTAS
Teorema Las rectas de un haz cortan a dos rectas paralelas cualesquiera en segmentos proporcionales, y recíprocamente, si varias secantes AA’, BB’, CC’, ... cortan a dos rectas paralelas produciendo sobre ellas segmentos proporcionales, dichas secantes concurren en un mismo punto.
26
tema 37
matemáticas
Demostración: Sean AD y A’D’ dos paralelas cortadas por un haz de rectas que concurren en 0,
entonces los triángulos semejantes que forman con las concurrentes verican: OA AB = OA′ A′B ′ OB OB ′
=
=
OB OB ′
BC OC = B ′C ′ OC ′
OC CD OD = = OC ′ C ′D ′ OD ′ y de estas estas relaci relaciones ones podemos deduci deducirr que:
AB A′B ′
=
BC B ′C ′
=
CD C ′D ′
Demostremos ahora el recíproco. Sean AD y A’D’ paralelas cortadas por AA’, BB’,CC’,... tal que:
AB A′ B ′
=
BC B ′C ′
=
CD C ′D ′
Supongamos que AA’, BB’ concurren en el punto O, pero no CC’, Entonces trazamos por C una una recta OC que que corta a A’D’ en C’ C’’’ y en virtud de la primera
parte se verica: AB A′ B ′
=
BC B ′C ′
27
tema 37 matemáticas
Considerando esta relación y la anterior se tiene: BC = BC ⇒ B ′C ′ = B ′C ′ ′ B ′C ′′ B ′C ′ que es una igualdad absurda a no ser queC ′′ coi coinci ncida da con C ′. con C’. Por tanto, CC’ = CC’’ y concurre con las demás en el punto O.
Corolario. Como los triángulos que se forman por las rectas concurrentes y las paralelas son semejantes, entonces los segmentos OA, OA′ OB, OB ′ ... son proporcio-
nales, es decir: OA OA′
2.3.
X
=
OB OB ′
=
OC OC ′
=
OD OD ′
.... = ..
APLICACIONES Construcción del cuarto proporcionala tres segmentos dados Vamos a ver cómo se construye el segmento x tal que dados otros tres a, b, c, ve-
rica que
a c = , y que se le llama cuarto proporcional. b x
Se llevan a y b sobre un lado de un ángulo a partir del vértice y c sobre el otro lado. Unimos los extremos A y C de de a y c, y trazamos por B, extremo de b, una paralela a AC . El punto X donde donde dicha paralela corta al lado l ado OC es es el extremo del segmento x medido a partir de O. Además, como todos los cuartos proporcionales a tres segmentos dados son iguales, la solución es independiente del ángulo elegido. Si c = b se obtiene el segmento llamado tercero proporcional entre a y b.
28
tema 37
matemáticas
La construcción será:
X
División de un segmento en partes proporcionalesa segmentos dados
El teorema de Thales nos permite asimismo dividir con gran sencillez un segmento dado AB en partes proporcionales a otros varios m, n, p. Llevando, en efecto, estos segmentos consecutivamente sobre una semirrecta concurrente con el segmento dado en uno de sus extremos A, y uniendo el extremo P de la suma m + n + p, con el extremo del segmento, las paralelas a PB por los puntos de división M y y N determinarán en el segmento dado los segmentos x, y, x proporcionales a m, n, p, y cuya suma es AB . Como caso particular de esta construcción puede verse también la división del segmento en partes iguales.
29
tema 37 matemáticas
3
3.1.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
Sea α el ángulo de vértice O y lados OX y y OZ . Sobre él construimos el triángulo rectángulo OAB. Defniciones:
a) Se llama seno de α a la razón entre el cateto opuesto AB y la hipotenusa OB :
sen α =
AB OB
b) Se llama coseno de α a la razón entre el cateto adyacente OA y la hipotenusa
OB : cos α = c) Se llama tangente de
OA OB
a la razón entre el cateto opuesto AB y el cateto
α
adyacente OA:
tg α =
AB OA
Si se construyen otros triángulos rectángulos, OA’B’; OA’’B’’; etc., aplicando el
Teorema de Thales a la gura anterior obtenemos: AB OB
=
A′B ′ OB ′
OA OB
=
OA′ OA′′ = OB ′ OB ′′
AB OA
=
A′B ′ OA′
=
=
A′′B ′′ OB ′
= ... = sen α
.... = cos α = ..
A′′B ′′ OA′′
= ... =
tg α
Esto nos dice que las razones trigonométricas de un ángulo son independientes de las longitudes de sus lados.
30
tema 37
matemáticas
Veamos que relación existe entre seno, coseno y tangente del mismo ángulo.
1.º Dividiendo miembro a miembro a) y b):
sen α cos α
=
AB OA : OB OB
=
AB OA
=
tg α ⇒ tg α =
sen α cos α
2.º Sumando miembro a miembro los cuadrados de a) y b): 2
2
AB OA AB 2 + OA2 = 1⇒ (sen α) + (cos α) = + = 2 OB OB OB 2
2
(sen α)2 + (cos α)2 = 1
→
sen2 α + cos2 α = 1 fórmula fundamental de la
trigonometría.
Denamos ahora las razones inversas a las anteriores: c’) Se llama cotangente de α a la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.
OA AB
ctg α =
1 tg α
=
b’) Se llama secante de α a la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
sec α =
OB OA
=
1 cos α
a’) Se llama cosecante de α a la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
cosec α =
OB AB
=
1 sen α
Estudiemos lo anterior sobre un sistema de ejes cartesianos (OX , OY ). ). Consideremos la circunferencia de centro O y radio 1: circunferencia goniométrica.
31
tema 37 matemáticas
Sea P ( x x, y) un punto de la circunferencia. De las anteriores deniciones obtene-
mos: sen α = y
ctg α =
x y
cos α = x
sec α =
1 x
tg α =
y x
cosec α =
1 y
Con esto, podemos estudiar los signos de las razones trigonométricas de un án-
gulo:
3.2.
a)
α
b)
α
c)
α
d)
α
comprendido entre O y π/2, el ángulo está en el primer cuadrante y las razones son positivas. comprendido entre π/2 y π, el ángulo está en el segundo cuadrante; el seno es positivo, coseno y tangente negativos. comprendido entre π y 3 π/2, el ángulo está en el tercer cuadrante; el seno y coseno son negativos, la tangente positiva. comprendido entre 3 π/2 y 2 π, el ángulo está en el cuarto cuadrante; el seno y la tangente son negativos, el coseno positivo.
REDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICASAL PRIMER CUADRANTE Dado un ángulo cualquiera comprendido entre π/2 y 2 π, existe un ángulo en el primer cuadrante cuyas razones trigonométricas son iguales en valor absoluto a las del ángulo dado.
32
tema 37
matemáticas
3.2.1.
Razones trigonométricas de ángulos suplementarios
Sea el ángulo AOP’. Dibujemos el punto P simétrico del P’ respecto del eje OY . Los triángulos rectángulos PQO y P’Q’O son iguales; por tanto AOP y AOP ′
son suplementarios. Si AOP
= α, AOP ′ = π − α .
Las razones trigonométricas son: sen (π
− ) = y = sen
cos (π
− ) = − x = − cos
tg (π 3.2.2.
α
α
α
− )=− α
y x
= − tg
α
α
Razones trigonométricas de los ángulos cuya diferencia es π/2
Sean pues los ángulos α y
π + α según vemos en la gura anterior. 2
33
tema 37 matemáticas
De la igualdad de los triángulos rectángulos PQO y P’Q’O, y teniendo en cuenta que AOP
= α,
y que AOP ′ =
π
2 + α, deducimos que:
π + α = x = cos α 2
sen
π + α = − y = − sen α 2
cos
π + α = − ctg α 2
tg
3.2.3.
Razones trigonométricas de los ángulos que difieren en π
Consideramos:
= α; AOP ′ = π + α AOP
Los triángulos rectángulos PQO y P’Q’O son iguales; de esta igualdad deducimos:
sen ( π + α) = − y = cos ( π+α) = − x = tg ( π + α) = 3.2.4.
− cos α
− y y = = tg α − x x
Razones trigonométricas de ángulos que suman 2 π
= α; po porr tant tanto: o: AOP ′ = 2 π − α AOP
34
− sen α
tema 37
matemáticas
P’ es el simétrico del punto P respecto del eje OX . Los triángulos rectángulos PQO y P’Q’O son iguales. De esta igualdad deducimos:
sen (2 π − α) = − y =
− sen α
cos (2 π − α) = x = cos α tg (2 π − α) = 3.2.5.
−
y = − tg α x
Razones trigonométricas de los ángulos complementarios
Sea: AOP
= α ; en consecuenci cia: a:
P ′OP
=
π
2
− α
Los triángulos rectángulos PQO y PP’O son iguales. De esta igualdad deduci-
mos:
π − α = x = cos α 2
sen
π − α = y = sen α 2
cos
π − α = x = ctg ctg α 2 y
tg 3.2.6.
Razones trigonométricas de ángulos mayores que 2 π
Sean dos ángulos que dieren en un número entero de 2 π radianes. Si uno de ellos es α (en radianes), la medida del otro será α + 2k π, k ∈ Z . Estos ángulos tienen el mismo origen y el mismo extremo. Por lo tanto tendrán las mismas razones trigonométricas.
sen ( α + 2k π) = sen α cos ( α + 2k π) = cos α tg ( α + 2k π) = tg α
35
tema 37 matemáticas
3.3.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN MISMO ÁNGULO En el triángulo rectángulo PQO, aplicando el teorema de Pitágoras, tendremos
como: y 2 2 2 r ⇒ r ⋅ sen α = y x cos co s α = 2 ⇒ r 2 ⋅ cos2 α = x 2 r
sen α =
obtenemos: r 2 (sen2 α + cos 2 α) = r 2 ⇒ sen2 α + cos2 α = 1
llamada relación fundamental de la Trigonometría (expresión que ya habíamos obtenido con anterioridad). Esta relación nos permite, dada una razón trigonométrica de un ángulo, conocer las restantes razones trigonométricas de ese ángulo.
sen α = y r
sen α ⋅ cosec α = 1 cosec α = r y cos α = x r
cos α ⋅ sec α = 1
sec α = r x
tg α = y x
tg α ⋅ ctg α = 1
ctg α = x y
36
tema 37
matemáticas
BIBLIOGRAFÍA GRUPO BET BE TA: Proporcionalidad Geométrica y Semejanza. Col. Semejanza. Col. Matemáticas: cultura y aprendizaje. Ed. Síntesis, 1990. PUIG ADAM, P.: P.: Curso de Geometría Métrica. T Métrica. Tomo omo I. Ed. Biblioteca Biblioteca Matemática, 1975. ROSA DEL BARRO, A.: Matemáticas: geometría y trigonometría. Ed. Ingelek, 1987.
37
tema 37
matemáticas
RESUMEN
La relación de semejanza en el plano. pl ano. Consecuencias. Teorema de Thales. Razones trigonométricas.
1. 1
1.1.
LA RELACIÓN DE SEMEJANZA EN EL PLANO. CONSECUENCIAS
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Valor numérico de un segmento rectilíneo: número que expresa la relación entre dicho segmento y otro tomado como unidad.
Razón de dos segmentos: razón de sus valores numéricos referidos a la misma unidad. Segmentos proporcionales: existen correspondencia directa entre los valores. Proporción:
Directa: a/b = c / d Inversa: a / b = d / / c Recíproca: a / c = b / d
Cuarto, media y tercera proporcional. 1.2.
X
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Definición Dos triángulos son semejantes si tienen ángulos iguales y lados homólogos proporcionales. A la razón de lados homólogos se le llama razón de semejanza.
X
Criterios de semejanza de triángulos
Primer criterio: si tienen dos ángulos respectivamente iguales. Segundo criterio: si tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos iguales. Tercerr criterio: si tienen los tres lados proporcionales. Terce 1.3.
X
POLÍGONOS SEMEJANTES Definición Son polígonos de igual número de lados que tienen ángulos respectivamente iguales y lados homólogos proporcionales. Según el sentido de ángulos homólogos, los polígonos son directa o inversamente semejantes.
39
tema 37 matemáticas
X
Teoremas importantes
Teorema 1
En dos polígonos semejantes la razón de los perímetros es igual a la razón de semejanza.
Teorema 2 Si dos polígonos convexos se dividen en el mismo número de triángulos semejantes y semejantemente dispuestos, los polígonos son semejantes.
Teorema 3 Dos polígonos semejantes pueden descomponerse en un mismo número de triángulos semejantes y semejantemente dispuestos.
Teorema 4 Polígonos homotéticos son semejantes.
1.4.
X
HOMOTECIA EN EL PLANO Definición Llamaremos homotecia de centro O y razón k , a la aplicación H O,k ( A) = kOA . Puede ser directa o inversa. Puntos invariantes.
X
Teoremas importantes
Teorema 5
En dos guras homotéticas los segmentos homólogos son paralelos y su razón es igual a la de la homotecia en valor absoluto.
Teorema 6 Dos circunferencias cualesquiera son a la vez directa e inversamente homotéticas.
Teorema 7 Las tangentes a dos curvas homotéticas en dos puntos homólogos son paralelas.
Teorema 8
Dos guras son homotéticas si y sólo si existen P, P ' tales que P A, P ' A ' son paralelos y de razón constante, con A perteneciente a la primera gura y A’ su homólogo en la segunda.
Teorema 9
Si dos guras son homotéticas de una tercera, son homotéticas entre sí. Además los tres centros de homotecia están alineados. 1.5.
SEMEJANZA EN EL PLANO Es la composición de una homotecia y un movimiento. Transforma rectas en rectas y con serva ángulos y su orientación.
Dos guras son semejantes cuando tienen los ángulos correspondientes iguales y los lados homólogos proporcionales. Las semejanza tienen estructura de grupo respecto a la composición o producto de seme janzas.
40
tema 37
matemáticas
2. 2
2.1.
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES Si dos rectas se cortan por paralelas, los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a los determinados por los puntos corres pondientes a la otra.
2.2.
SEGMENTOS PROPORCIONALES PRODUCIDOS POR UN HAZ DE RECTAS Las rectas de un haz cortan a dos rectas paralelas en segmentos proporcionales y recí procamente, si varias secantes cortan a dos paralelas produciendo sobre ellas segmentos proporcionales, dichas secantes concurren en un punto.
2.3.
2.3.1.
APLICACIONES Construcción del cuarto proporcional a tres segmentos dados Construcción de un segmento x tal que dados a, b, c se verica: a b
2.3.2.
=
c x
División de un segmento en partes proporcionales a segmentos dados
El teorema de Thales nos permite asimismo dividir con gran sencillez un segmento dado AB en
3. 3
3.1.
partes proporcionales a otros varios m, n, p.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
Seno de α razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno de α razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente de α razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente
Cotangente de α razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.
Secante de α a la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Cosecante de α razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
Signos de las razones trigonométricas:
Si el ángulo está en el primer cuadrante, las razones son positivas.
Si el ángulo está en el segundo cuadrante, el seno es positivo, coseno y tangente negativos.
Si el ángulo está en el tercer cuadrante, el seno y coseno son negativos, la tangente positiva.
Si el ángulo está en el cuarto cuadrante, el seno y la tangente son negativos, el coseno positivo.
41
tema 37 matemáticas
3.2.
3.2.1.
REDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS AL PRIMER CUADRANTE Razones trigonométricas de ángulos suplementarios − ) = sen
sen(π
3.2.2.
π
+ ) = cos α
2
− ) = sen α
α
− ) = − sen
π
α
α
− ) = cos α
2
cos(
+ ) = − sen α
2
tg (
α
cos(π − α ) = − cos α
α
π
2 π
+ ) = −ctg α
2
α
π
tg (π
cos(2π − α ) = cos α
+ ) = tg α
tg (2π
α
cos(
π
− ) = sen α
2
tg (
α
+ ) = sen α
α
cos(2π k + α ) = cos α
α
− ) = −tg α
π
− ) = ctg α
2
tg (2π k
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN MISMO ÁNGULO Relación fundamental de la Trigonometría: sen 2 + cos 2 = 1 α
42
α
α
α
Razones trigonométricas de ángulos mayores que 2 π sen( 2π k
3.3.
α
π
− ) = −tg
Razones trigonométricas de los ángulos complementarios sen(
3.2.6.
tg (π
Razones trigonométricas de ángulos que suman 2 π sen( 2π
3.2.5.
cos(π − α ) = − cos α
Razones trigonométricas de los ángulos que difieren en sen(π
3.2.4.
α
Razones trigonométricas de los ángulos cuya diferencia es sen(
3.2.3.
α
α
+ ) = tg α
α
