tema
36
MATEMÁTICAS Proporciones notables. La razón áurea. Aplicaciones.
3 1 8 2 8 3 1 4 2
tema 36
matemáticas
1.
PROPORCIONES NOTABLES
1.1.
PROPORCIONALIDA D
1.2.
PROPORCIONES NOTABLES
2.
LA RAZÓN AÚREA
2.1.
LA SERIE DE FIBONACC I
2.2.
EL NÚMERO ÁURE O
3.
APLICACIONES
3
tema 36
matemáticas
INTRODUCCIÓN
Uno de los principales defectos que se le han achacado siempre a las Matemáticas es su falta de conexión con el Mundo, la realidad cotidiana y la Naturaleza en general. A pesar de que el concepto utilitarista de las Matemáticas es relativamente reciente, cada vez está más extendida la idea de que también hay que enseñar aquello que nos puede ayudar a descubrir la belleza que existe en tantas cosas de nuestro entorno. Se debe intentar evitar en lo posible, la formalización excesiva en este sentido, para conseguir que, poco a poco, vaya desapareciendo la aversión que muchos estudiantes sienten por las Matemáticas, ayudando a comprender que, como decía Galileo, «el libro de la Naturaleza está escrito en el lenguaje matemático». De entre los muchos temas que hacen patente la relación entre las Matemáticas y otras disciplinas, las proporciones y, en especial, la sección áurea es uno de los más apropiados.
5
tema 36 matemáticas
1
1.1.
PROPORCIONES NOT NOTABLES ABLES
PROPORCIONALIDAD El concepto de proporción es uno de los más intuitivos de la matemática, y aparece en multitud de ocasiones: relación gasto/compra, relación espacio/velocidad, relación lado del cuadrado/área del mismo, y así podríamos abarcar todos los campos posibles. Matemáticamente, llamamos proporción a la igualdad de dos razones o cocientes, es decir: A C = , y se lee «A es a B como C es a D» B D Y también decimos que cuatro números A, B, C y D forman una proporción cuando: A C = B D
Al valor de ese cociente
A C = = k se le llama constante de la proporción. B D
Por último, los términos A y D se llaman extremos de la proporción, y los B y C son los medios de la proporción. Todas las propiedades de las proporciones se deducen lógicamente de las propiedades de la igualdad de fracciones. Para terminar este apartado, deniremos la
proporcionalidad directa e inversa de de magnitudes. X
Proporcionalidad Proporci onalidad directa de magnitudes
Dos magnitudes se dicen directamente proporcionales si existe una relación entre ellas de tal forma que al multiplicar cualquier cantidad de una de ellas por un número, el valor correspondiente de la otra queda multiplicado por dicho número. De igual manera, podemos añadir que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando la razón entre dos cantidades cualesquiera de una magnitud es igual a la razón entre las cantidades correspondientes de la otra magnitud. Podemos citar como ejemplo de magnitudes directamente proporcionales los siguientes casos:
6
Longitud del radio de una circunferencia y la longitud de ella.
Sueldo de una obrera y tiempo trabajado.
Peso de una mercancía y su coste correspondiente.
tema 36
matemáticas
X
Número de boletos de lotería comprados y probabilidad de que toque algún premio.
Proporcionalidad Proporcio nalidad inversa de magnitudes A B Se llama razón inversa de a la razón . B A Dos magnitudes se dicen inversamente proporcionales si están relacionadas de manera que al multiplicar una cantidad de la primera por un número, la correspondiente de la otra queda dividida por ese número.
Podemos concluir, pues, que si dos magnitudes son inversamente proporcionales, la razón entre dos cantidades cualesquiera de una de ellas es igual a la razón inversa de las cantidades correspondientes de la otra. He aquí algunos ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales:
1.2.
Velocidad y tiempo empleado en recorrer una distancia.
Número de participantes en un sorteo sorteo y probabilidad de obtener premio. premio.
Número de grifos de una bañera y tiempo que tarda en llenarse.
PROPORCIONES NOTABLES La teoría de las proporciones es una de las ramas más antiguas de la matemática y su importancia ha sido fundamental para el desarrollo de la misma. El libro V de Los elementos de Euclides (300 a. de C.) está dedicado íntegramente a la teoría de las proporciones y es uno de los más admirados. Pero la primera aplicación de las proporciones se le atribuye a Thales de Mileto. Se sabe bastante poco de la vida de Thales (aproximadamente 640-550 a. de C.), pero hay muchas leyendas en torno t orno a él. Una de ellas nos cuenta cómo estando Thales en Egipto se le preguntó si podría calcular la altura de la pirámide de Keops. Se dice que, entonces, Thales se tumbó sobre la arena y dejó marcada la huella de su cuerpo, después se colocó de pie sobre un extremo de la marca y esperó a que su sombra coincidiera exactamente con su huella. En ese justo momento mandó medir la longitud de la sombra de la gran pirámide y sentenció que ésa era la altura buscada. Esta leyenda ilustra una de las primeras proporciones conocidas por el hombre: la altura de los objetos y la longitud de sus sombras son directamente proporcionales. Otra de las proporciones notables más importantes es el Teorema de Thales, que ya se tratará con detenimiento en otro tema. Ejemplos de proporciones los encontramos en muy variadas ocasiones: reglas de tres, porcentajes, repartos proporcionales, interés simple, música, cuerpo humano, arte, etc.
7
tema 36 matemáticas
En este tema vamos a restringirnos a las proporcionalidades geométricas. Dentro de este campo tenemos que destacar los segmentos cuarto, tercero y medio pro porcional a otros dados. X
Segmento Cuarto Proporcional a otros tres dados
Dados tres segmentos a, b y c, se trata de construir otro x, que forme con ellos proporción, es decir, decir, que verique la igualdad:
a c = b x La construcción del segmento cuarto proporcional está basada en el Teorema de Thales y se entiende bastante bien:
a c = . b x Decimos entonces que x es el cuarto proporcional a a, b y c.
El segmento x así construido, cumple que
X
Segmento Tercero Tercero Proporcional a otros dos dados
Cuando los dos medios o los dos extremos de una proporción son iguales, los extremos o los medios distintos se denominan terceros proporcionales. Es decir, a b = . b x El trazado geométrico del tercero proporcional también se basa en el Teorema de Thales, y se hace así:
a b = b x Decimos entonces que x es el tercero proporcional a a y b. El segmento x así construido, verica que
8
tema 36
matemáticas
X
Segmento Medio Proporcional a otros dos dados
Cuando los dos medios o los dos extremos de una proporción son iguales, cada uno de ellos se llama medio proporcional entre los dos extremos o medios diferentes. Veamos Veamos tres procedimientos distintos para hallar el medio proporcional.
Basado en el teorema de la altura
Es claro que la altura del triángulo así construido, es un segmento x que cumple:
x b = a x Decimos entonces que x es el medio proporcional a a y b.
Basado en el Teorema del cateto
Gracias al teorema del cateto sabemos que a = b b x
Basado en la potencia de una circunferencia Según la denición de potencia, sabemos que a · b = x 2,
es decir, se cumple
que:
x b = a x
9
tema 36 matemáticas
Pero, sin lugar a dudas, la proporción más importante de toda la geometría es la proporción áurea . Esta «divina proporción» se conoce desde la antigüedad y nos encontramos con ella en multitud de campos, ya sea de las matemáticas o no. A continuación hacemos un estudio detallado de ella.
10
tema 36
matemáticas
2
2.1.
LA RAZÓN AÚREA
LA SERIE DE FIBONACCI Fibonacci es el seudónimo de Leonardo de Pisa , matemático italiano que nació
en 1175 (d.C.) y es autor del libro Liber Abaci (el libro del Abaco) por el que se introduce nuestro actual sistema de numeración. El origen de la famosa serie numérica fue el famoso problema de los conejos: Fibonacci supuso que cada pareja de conejos al cabo del segundo mes de vida, produce una nueva nueva pareja de conejos conejos cada mes, que a su vez puede reproducirse reproducirse a partir del segundo mes. Se obtiene sin dicultad que la solución de este problema es la serie numérica:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...
en la que se observa que cada término es la suma de los dos anteriores. Fibonacci descubrió esta serie en el año 1202. Otro problema que nos conduce a la serie de Fibonacci es el del número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano: según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de otro en jambre), jamb re), aquél aquélla la se queda en su colmena y ya no sale más, dedicándose a la puesta de huevos que ella misma va fecundando o no, dando origen así a abejas obreras o reinas en el primer caso, y machos o zánganos en el segundo. Si observamos el árbol genealógico (gura 1)
de un zángano, podemos ver como el número de abejas en cada generación, es uno de los términos de la serie de Fibonacci.
Figura 1
Deteniéndonos en, por ejemplo, la sexta generación, y representando mediante una tecla blanca a la hembra y una negra al macho, obtenemos curiosamente los 13 semitonos de la escala cromática (8 blancas de la escala principal y 5 negras de la escala pentatónica).
11
tema 36 matemáticas
Figura 2
La serie de Fibonacci se puede encontrar también en Botánica. Así, por ejemplo, ciertas ores tienen un número de pétalos que suelen s er miembros de dicha serie,
y así tenemos con 3 pétalos el lirio, con 5 y 8 algunos ranúnculos y delphiniums, y las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 u 89 pétalos. La parte de la Botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las plantas, se llama Filotaxia. En la mayoría de los casos esta disposición es tal, que permite a las hojas una captación uniforme de luz y aire, siguiendo normalmente una trayectoria ascendente y en forma de hélice. Si tomamos una hoja de un tallo de una planta y contamos el número de hojas consecutivas (n) hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es, por regla general, un término de la serie de Fibonacci. Además, si mientras contamos dichas hojas vamos girando el tallo (en el sentido contrario al de las agujas del reloj, por ejemplo), el número de vueltas (m) que hay que darle al tallo para llegar a otra hoja con la misma orientación, es también un término de la serie, llamándose «orden o característica» de dicho tallo a la fracción m/n, y que como muestra la gura 2, por ejemplo, en el olmo es 1/2, en el álamo es 2/5, en el sauce
llorón 3/8 y en el almendro es 8/13. Asimismo se puede observar cómo las «hojas» de una piña de pino tienen por regla general una característica de 5/8 u 8/13, presentando propiedades similares las hojas de las lechugas, los pétalos de las ores, las ramas de las palmeras, el cus, etc., ejemplos que son susceptibles
de ser comprobados experimentalmente (gura 3).
Figura 3
12
La serie de Fibonacci puede ser útil tam bién para resol resolver ver proble problemas mas relacio relacionados nados con la combinatoria y la probabilidad.
tema 36
matemáticas
2.2.
EL NÚMERO ÁUREO Otro número, íntimamente relacionado con la serie que hemos estudiado anteriormente, es el llamado Númer Númeroo de Oro o Número Áure», cuyo origen hay que buscarlo al tratar de dividir un segmento en dos dos partes desiguales desiguales de la forma más general y directa posible. Dado el segmento:
podemos formar seis razones con las medidas medidas a, b y c. Después Después de estudiar los 15 casos posibles de proporción que se pueden formar igualando dos razones cualesquiera de ellas, llegamos a la conclusión de que dicha división consiste en hacer que «la parte mayor (a) sea a la menor (b) como el segmento total (c) es a la mayor (a), división de un segmento que ha tomado los nombres de «extrema y media razón» (Euclides), «Sección Áurea» (Leonardo Da Vinci) o «Divina proporción» (Fray Luca di Pacioli). Vamos a estudiar el valor de la razón a/b.
a a+b a = , llamando x = y di b a b vidiendo los dos términos del segundo miembro por b, obtenemos la ecuación: Teniendo en cuenta que ha de cumplirse que x2 − x − 1 = 0, cuyas soluciones son: φ= φ′ =
1+ 5 = 1, 61 61803 80339 39... 2
1− 5 = − 0, 61 6180 8033 3399... 2
A estas raíces se les suele notar con la letra griega φ (phi) en honor de Phidias, escultor griego que utilizaba mucho este número en las proporciones de sus esculturas. Este número lo podemos obtener de diversas formas:
Como límite del cociente de dos términos consecutivos de la serie de Fibonacci:
Fn +1 =φ n →∞ F n lim donde
Fn es el n-simo término de la serie.
13
tema 36 matemáticas
Mediante:
lim 1 + 1 + 1 + 1 + = φ 1
1 + lim
1
1+
1+
=φ
1 1+
Este número posee curiosas e importantes propiedades matemáticas. Como muestra señalaremos que φ · φ’ = −1 y que φ + φ’ = 1, lo que nos permite ar mar que si a este número se le disminuye en una unidad, se convierte en su recíproco: 1 φ −1 = φ
Pero lo más interesante de este número de cara a la enseñanza, quizás no sean tanto sus propiedades como su presencia en la Naturaleza, la Música y, en general, las Artes, que conecta las Matemáticas con algo tan cercano a nosotros como es la propia vida. X
El número áureo en la naturaleza
Es muy conocido el grabado de Leonardo Da Vinci para ilustrar los trabajos de Vitrubio acerca de las proporciones humanas (gura 4). Según Vitrubio, si se co loca la punta de un compás en el ombligo de un hombre y tomamos como radio la distancia que hay entre la planta de los pies (juntos) y el ombligo, entonces los dedos de las manos y de los pies tocarán la circunferencia así trazada. Además, podemos encontrar un cuadrado donde esté encerrado el cuerpo humano, ya que si medimos la distancia desde la planta de los pies hasta la punta de la cabeza, y luego aplicamos esta misma medida a los brazos extendidos, encontramos que la anchura es igual a la altura. Pues bien, según estudios efectuados por Zeysing, entre otros, y que están de acuerdo con los criterios de Leonardo Da Vinci y Vitrubio Vitrubio acerca de las proporciones en el hombre, el ombligo divide a la altura de éste según la sección áurea, lo que signica que el grabado de Leonardo consiste
en un hombre «inscrito en un círculo de radio el número de oro.
Figura 4
14
tema 36
matemáticas
He aquí los datos en media obtenidos por Zeysing, donde h representa la altura total, n la distancia vertical entre el ombligo y la planta de los pies y m, la distancia entre la cima del cráneo y el ombligo: h ( e n m)
Edad (años)
h/n
n/m
0,485
0 2 1 1 1,90 1,11 0,836 2 1,84 1,17 3 1,79 1,26 4 1,75 1,34 5 1,70 1,42 6 1,68 1,46 7 1,67 1,50 8 1,65 1,54 --------------------------------------------------------------------17 1,59 1,70 1,731 21 1,625 1,60 Otros resultados que nos conrman la presencia de φ en
el cuerpo humano, son
los siguientes:
La punta de los dedos medios de las manos dividen la estatura del cuerpo en extrema y media razón, pero con la parte menor hacia abajo. El rostro (gura 5) está normalmente enmarcado en un rectángulo áureo, y se
cumple entre otras relaciones que: EB DH AB FD CB DB = = = = = =φ HB DE BD DE EB EB
AB AD DB 5 +1 = = =φ= BC FD EB 2 FD DH EB = = =φ DE DE HB
Figura 5
15
tema 36 matemáticas
Las tres falanges del dedo medio o del anular dan tres términos consecutivos de una serie en φ: φ, φ2, φ3, siendo esta serie (1, φ, φ2, φ3, φ4 ....) la única que goza de la doble condición de ser aritmética y geométrica con la misma razón.
Estos datos podrían completar algunas otras proporciones que Vitrubio encuentra en el cuerpo, tales como que la cara es la l a décima parte de la altura total, la cabeza (desde la barbilla a la coronilla) supone la octava parte de la estatura, la longitud del pie es una sexta parte, la longitud del antebrazo y la anchura del pecho, son ambas una cuarta parte de la altura de una persona. Existen numerosos estudios estadísticos efectuados sobre estatuas y esqueletos que proporcionan una cantidad enorme de relaciones entre medidas en las que interviene de forma principal el número áureo, conrmando así los criterios de
Vitrubio. Con este mismo objetivo podemos efectuar tam bién diversas medidas de los ejes mayores (longitudinal (a) y transversal (b)) de huevos de gallina. Podemos llegar a la conclusión que el cociente entre ambas medidas oscilará entre φ = 1,272 y φ = 1,618, y que el eje transversal corta al longitudinal (gura 6) según la proporción áurea, o sea, el círcu lo de hinchazón máxima del huevo se encuentra más cerca del casquete aplastado y determina una razón φ sobre el eje de simetría. Además, en el perl del huevo se encuentra una cono -
cida curva, la catenaria, que es la que formaría un hilo pesado inextensible entre dos puntos de suspensión, y que engendra, además, una supercie mínima al girar
en torno a un eje dado, y que, como se sabe, tiene una relación muy directa con el «principio de mínima acción».
Figura 6
Sería lógico que si en Botánica se presenta la serie de Fibonacci y ésta se encuentra íntimamente relacionada con el número φ, éste lo encontraremos en las plantas, de alguna forma. Efectivamente, las hojas y ramas de las plantas y árboles que tratan de encontrar un máximo de luz, se disponen según un ángulo llamado ideal que ha sido medido experimentalmente por Wiesner y Zeysing, encontrándose el valor medio de 137o 30’ 27’’ = a, que es el ángulo que divide a la circunferencia en extrema y media razón, o sea:
b a + b = = φ donde b = 360° a b Éste ha sido el ángulo encontrado precisamente para que las hojas no se solapen nunca exactamente y toma el valor:
a = 360 − b =
16
b φ
=
360 φ
2
= 137 30 ' 27 '' donde hemos utilizado que 1 + φ = φ
2
tema 36
matemáticas
X
El número áureo en la música
La relación de este número con la Música, merecería un tratamiento exclusivo, pero por citar un ejemplo, el músico ruso ruso Mauratev, en su afán de encontrar leyes objetivas que expliquen «la armonía» del Universo, no sólo lo ha encontrado en la Apassionata de Beethoven, sino también en el Sistema Solar, ya que si se colocan todos los planetas en la, se ve cómo cada uno divide las distancias entre dos pla netas vecinos, y sólo la Tierra se halla en el punto que se expresa por el número de sección áurea. Y Mauratev se pregunta: ¿Tiene alguna relación este fenómeno con el hecho de que sea la Tierra el único planeta de nuestro Sistema Solar con vida? X
El número áureo en arquitectura
El hombre, como producto de la Naturaleza, ha tratado siempre de imitarla, teniendo una muestra de ello en la aparición de nuestro número áureo en los más famosos edicios de la antigüedad,
como Notre Dame, el Partenón, la Catedral de Colonia e incluso en algunos cromlechs, como el de Chartres con dimensiones áureas casi exactas. Pero el ejemplo más interesante quizás, lo encontremos en la famosa pirámide de Keops, estudiada desde el
Figura 7
punto de vista matemático por numerosos cientícos.
La Gran Pirámide es de base cuadrada de lado 2a = 232,805 m. y de altura h = 148,208 m., y de la que Herodoto nos relata que «los sacerdotes egipcios le habían enseñado que las proporciones establecidas para la Gran Pirámide entre el lado de la base y la altura eran tales, que el cuadrado construido sobre la altura era exactamente igual al área de una de las caras triangulares de la pirámide», lo que traducido al lenguaje algebraico (gura 7) signica que h 2 = c · a, y como
c2 = h2 + a2, de estas dos ecuaciones haciendo:
x=
c a
obtenemos la conocida ecuación x2 – x – 1 = 0, que nos llevó a la obtención del número de oro: φ=
c a
Si efectuamos los cocientes h/a y c/h obtendremos que:
h c = φ a h lo que nos dice que los lados a, h y c están en progresión geométrica de razón φ y, por consiguiente, las áreas de los cuadrados construidos sobre dichos lados a2, h2, c2 estarán en progresión geométrica de razón φ.
17
tema 36 matemáticas
Además de esto se cumple que el área total de la pirámide está dividida según las sección áurea, de modo que:
A t Al = =φ A l A b donde: At= área total, Al=área lateral y A b = área de la base del triángulo. Asimismo se cumple que el perímetro de la base es igual a la longitud de la circunferencia de radio la altura, lo que explica que muchos estudiosos interpretaran la construcción de esta pirámide como un intento de cuadrar el círculo, problema éste que está relacionado estrechamente con φ, ya que los arquitectos han utilizado este número para hacer cuadraturas aproximadas de círculos. A todas estas propiedades y muchas más, habría que añadir las fascinantes propiedades astronómicas y geodésicas que presentan:
Su situación es tal que el meridiano de orientación (plano meridiano que contiene al eje de paso de entrada) es el que atraviesa más continentes y menos mares y divide en dos partes iguales las tierras de la supercie terrestre.
El paralelo 300 N, sobre el que se encuentra el centro de la Gran Pirámide, es también el que atraviesa el máximo de tierras. Multiplicando la altura h por 109 obtenemos, aproximadamente, la cifra de 148.208.000 Km., aproximándose mucho a 149.400.000 Km., que es la distancia de la Tierra al Sol, con una oscilación de 70.000 Km. Si dividimos el lado de la base por el número de días del año, obtenemos:
2a = 0, 63 6373 7399 9911 m. 365, 242 llamado metro piramidal, que multiplicado a su vez por 107 nos da la cifra de 6.374 Km., que es el radio medio de la Tierra. Todo esto nos muestra el grado de perfección desde el punto de vista cientíco
al que llegaron los egipcios, así como su afán por imitar y seguir las leyes naturales, ganando, al mismo tiempo, en ecacia, pues cabría añadir que la pirámide
así construida ofrece la máxima resistencia, lo que concuerda con el principio de mínima acción, íntimamente relacionado con el número áureo.
18
tema 36
matemáticas
3
X
APLICACIONES
Construcción geométrica geométrica de la división áurea de un segmento
Dado un segmento AB de longitud c. Se toma BD = AB/2.
sobre
BY
(perpendicular
a
AB)
un
segmento
Uniendo A y D obtenemos DE = DB = c/2. Entonces, con centro en A y radio AE, se obtiene el punto C, que es el punto que divide AB en extrema y media razón, según indica la gura 8.
Figura 8 Figura 9 X
Polígonos regulares y cuerpos platónicos
De entre todos los polígonos, donde más relaciones áureas podemos encontrar, es en el pentágono regular y en el pentágono estrellado, este último utilizado por la sociedad pitagórica como símbolo de identicación y de salud (gura 9).
Algunas relaciones áureas, son las siguientes: Si R y r son los radios de los círculos circunscritos a los pentágonos A’B’C’D’E’ A’B’C’D’E’ y P Q R S T respectivamente, y si tomamos PQ como unidad de longitud, se cumple: A'P = φ R 2 OA ' =φ = r r OA φ = r 2 OA ' = 2φ OA SX PX B ' X = = =φ PX XR Xt B ' V B ' Q B ' X B 'S = = = =φ VA ' QP XT SD ' 19
tema 36 matemáticas
Cualquier diagonal como SQ = φ
La longitud del lado de pentágono A’B’C’D’E’ es φ2.
Doblando los triángulos A’PQ A’PQ sobre PQ así como los demás triángulos similares, de forma que A’B’C’D’ y E’ se encuentran en H’, obtenemos una pirámide de altura OH que cumple:
OH OH = 2 y =φ OA r Es curioso observar cómo el átomo de carbono que es básico en la vida, tiene una estructura atómica que hace que sus compuestos adopten una estructura tetraédrica con el átomo de carbono en el centro (gura 10) al igual que
la estructura del carbono puro cristalizado (diamante), la más fuerte y estable de la naturaleza. Pues bien, esta estructura tetraédrica con un átomo en el centro, es:
Lado del pentagono estrellado estrell ado ´ =φ Lado del pentagono regular ´ topológicamente equivalente al pentágono estrellado, donde la presencia de φ es tan frecuente. Todo esto, además de sernos útil para conectarlo con la simetría pentámera que se encuentra en abundancia en la naturaleza (estrellas de mar, ores, semillas de frutos, etc.) nos servirá
para tratar tratar el teorema de Gauss, Gauss, que nos deterdetermina qué polígonos se pueden construir euclídeamente con regla y compás y estudiar nuevas relaciones entre ellos, como por ejemplo que el lado del decágono está en proporción áurea con el radio del círculo circunscrito, y pasar a estudiar el tema de las particiones del plano con polígonos regulares, donde tendremos Figura 10 ocasión de hablar de la partición hexagonal de los panales de miel (con menor perímetro obtenemos máxima supercie) y su indudable relación de nuevo con φ y el principio de mínima acción. Un tratamiento parecido cabe darle al estudio de los cinco cuerpos regulares, tan estudiados por Platón y donde encontraremos relaciones áureas en abundancia. El más claro ejemplo de estos cuerpos platónicos en la naturaleza, lo podemos encontrar en los esqueletos de los radiolarios.
20
tema 36
matemáticas
X
El número áureo y las espirales
Existen en la naturaleza multitud de ejemplos que adoptan la forma de espiral, desde la mayoría de las galaxias a las telas de araña, pasando por los remolinos, colmillos de animales, cuernos, etc. Existe una relación muy directa entre el número φ y algunas espirales, y, sobre todo, con las formas de crecimiento, tanto en el reino animal como vegetal. La llamada espiral logarítmica la podemos obtener a partir de un rectángulo áureo: b = φ sus lados están en proporción áurea a Según pruebas efectuadas por psicólogos alemanes, ha resultado el más preferido por la gente desde el punto de vista estético, de entre multitud de rectángulos, incluyendo el cuadrado. Si en un rectángulo de oro (gura 11) construimos un cuadrado ABCD, de lado la
altura del rectángulo, nos queda otro rectángulo BCHG que resultará ser también áureo y que es susceptible de ser descompuesto análogamente, obteniendo una sucesión de cuadrados y de rectángulos áureos, de forma que si vamos trazando arcos de circunferencia circunfere ncia con centros C,K,L,P C,K,L, P, ... y radios los respectivos respecti vos lados de los cuadrados de los cuadrados, obtendremos la espiral logarítmica, gura que la pode mos encontrar en multitud de conchas marinas (gura 12), el Anmonites (gura 13)
y siendo, quizás, el animal más representativo y cuya concha se ajusta más a esta curva, el Nautilus, del que podemos ver una radiografía en la gura 14.
Figura 12
Figura 11
Figura 14 Figura 13
21
tema 36 matemáticas
En Botánica, además de las plantas enredaderas, presentan esta forma la disposición de las semillas de las margaritas y los girasoles, disponiéndose en el sentido de las agujas del reloj y en sentido contrario en forma de espirales logarítmicas en un número que además suele ser miembro de la serie Fibonacci. Parece ser que la naturaleza ha elegido esta forma de desarrollo en algunos de sus miembros, por estar relacionado de nuevo con una de sus leyes, como es el principio de mínima acción, y así se presenta esta forma además en el oído medio del hombre, el cordón umbilical, la estructura del DNA, intestinos y pared del corazón de animales, huesos largos, etc. En la siguente página presentamos tres maneras diferentes para la construcción de un rectángulo áureo. 1. De una forma aproximada con rectángulos cuyos lados son números de Fibonacci (gura 15), apreciando que es cierta la propiedad de poderse descompo -
ner en cuadrados y rectángulos que, a su vez, siguen siendo de lados números de Fibonacci. 2. Uniendo a un rectángulo cualquiera un cuadrado de lado el lado mayor del rec-
tángulo. Reiterando el proceso, nos iremos acercando con más precisión cada vez a un rectángulo de oro (gura 16).
3. La construcción formal de este rectángulo (gura 17) consiste en tomar un
cuadrado de lado AB, y con centro en M (punto medio de AB) y radio MC trazamos un arco que corta a la prolongación de AB en E, siendo AEFD un rectángulo áureo, cuya comprobación no resultará muy difícil.
Figura 15
Figura 16
22
Figura 17
tema 36
matemáticas
BIBLIOGRAFÍA AMERICAN MA MATHEMATICAL THEMATICAL MONTLHY. ARCHJIBAL, R.C.: The Golcen Section. BARAVALLE, H.: The Geometry of the pentagon and de Golden Section. BEARD ROBERT, S.: The Golden Section and Fibonacci numbers. FIBONACCI QUARTERLY: Revista de la Fibonacci Association. Universidad de Santa Clara. California. GHYKA, M.: The Geometry of art and life. Ed. Poseidon. El número de oro. Ed. Poseidon. GUILLEMINOT, H.: La matière et la vie. HUNTLEY, H.E.: The Divine Proportion: a study in Mathematical beauty. Dover. New York. Natu raleza. RUÍZ LÓPEZ, F.: Las Matemáticas en la Naturaleza.
23
tema 36
matemáticas
RESUMEN
Proporciones notables. La razón áurea. Aplicaciones.
1. 1
1.1.
PROPORCIONES NOTABLES
PROPORCIONALIDAD Se dene como la igualdad de dos razones. Constante de proporcionalidad, extremos y
medios. X
Proporcionalidad Proporciona lidad directa de magnitudes
Si multiplicamos a una de las magnitudes por un número, la otra queda multiplicada por dicho número. X
Proporcionalidad Proporciona lidad inversa de magnitudes
Si multiplicamos a una de las magnitudes por un número, la otra queda dividida por dicho número. 1.2.
PROPORCIONES NOT NOTABLES ABLES Thales de Mileto (pirámide de Keops); Euclides en su libro V de «Los Elementos».
X
Segmento cuarto proporcional a otros tres dados
Conocidos tres segmentos, construir otro que forme proporción con ellos. Construcción: Thales. X
Segmento tercero proporcional a otros dos dados
A igualdad de extremos (o medios), los medios (o extremos) se dicen terceros proporcional. Construcción: Thales. X
Segmento medio proporcional a otros dos dados
A igualdad de extremos (o medios), cada uno de ellos es medio proporcional entre los dos medios (o extremos). Construcción: Teorema de la altura, teorema del cateto, potencia de una circunferencia.
2. 2
2.1.
LA RAZÓN AÚREA
LA SERIE DE FIBONACCI Leonardo de Pisa (Fibonacci), autor de «Liber Abaci», introdujo el actual sistema de numeración. Además encontró la serie que lleva su nombre en un problema reproductivo sobre conejos. También se encuentra: descendencia en cada generación de abejas zángano, número de pétalos de ores, disposición de hojas a lo largo de tallos, escamas de piña de
pino…
25
tema 36 matemáticas
2.2.
EL NÚMERO ÁUREO Este número lo podemos obtener como:
X
División de un segmento en dos partes desiguales. Límite del cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Solución de la ecuación de segundo grado.
El número áureo en la naturaleza
Distintas proporciones en el cuerpo humano, en huevos de gallina, en el ángulo que toman las plantas para optimizar sus recursos, en la posición de la Tierra en el Sistema Solar X
El número áureo en la música.
X
El número áureo en la arquitectura.
3. 3
APLICACIONES
X
Construcción geométrica de la división áurea de un segmento
X
Polígonos regulares regulares y cuerpos platónicos
El cociente entre el lado del pentágono estrellado y el pentágono regular es el número áureo. Esto nos ayuda a ver aún más relaciones áureas en la natualeza debido a la simetría pentámera tan habitual. X
El número áureo y las espirales
La espiral logarítmica se obtiene a partir de un rectángulo áureo y se encuentra en: conchas como la del Nautilus, en la disposición de semillas cuyo número además suele ser miem bro de la sucesión Fibonacci, oído medio humano, ADN... Construcción de rectángulos r ectángulos áureos: con rectángulos cuyos lados son números de Fibonacci/uniendo a un rectángulo arbitrario un cuadrado de lado el lado mayor del rectángulo/ mediante trazo de arcos.
26
