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MATEMÁTICAS Polinomios. Operaciones. Fórmula de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones Frac ciones algebraicas.
3 1 5 0 8 3 1 4 2
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matemáticas
1.
POLINOMIOS
2.
OPERACIONE S
2.1.
ADICIÓN DE POLINOMIOS
2.2.
PRODUCTO POR UN ESCALAR
2.3.
PRODUCTO DE POLINOMIOS
2.4.
POTENCIA DE UN POLINOMIO 2.4.1. Triángulo de Tartaglia 2.4.2. Producto de varios binomios 2.4.3. Potencia de un binomio: Fórmula de Newto n 2.4.4. Potencia de un polinomio: Fórmula de Leibni z
3. 3.1.
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS CON UNA INDETERMINAD A
DIVISIBILIDAD EN �A�X�, +, �� 3.1.1. Relación de divisibilidad 3.1.2. División euclídea 3.1.3. Caso particular: División por (x – a ) 3.1.4. Descomposición factorial en K[x]
3.2.
4.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS FRACCIONES ALGEBRAICA S
4.1.
DEFINICIÓ N
4.2.
EL CUERPO DE LAS FRACCIONES ALGEBRAICA S 4.2.1. Suma de razones algebraicas 4.2.2. Producto de razones algebraicas
4.3.
DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLE S
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INTRODUCCIÓN
Los polinomios, como se trabaja en la primera sección del tema trece, son un conjunto de coecientes y variables (indeterminadas) que pueden sustituirse por cualquier número ra cional y pueden estar elevados a un exponente. Esta denición algo informal de polinomio se completa si hablamos de la función poli nómica. El polinomio es la expresión algebraica de la función polinómica. Esta se puede denir como una aplicación que otorga una correspondencia entre dos conjuntos en la que cada elemento del conjunto inicial le asignamos un solo elemento del conjunto nal. A lo largo del tema se estudian con detalle las operaciones que se pueden llevar a cabo con polinomios, así como los anillos, espacio vectorial y divisibilidad con una indeterminada. indeterminada.
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POLINOMIOS Sea K un cuerpo. Llamaremos funci función ónpoli polinóm nómicaenK o o función polinómi-
ca de coefici cientes entesenK a toda toda funci función: ón: f : K → K n 2 3 x → f ( x x ) =a0 +a1 x +a x +a x +... +a x n 2 3
a0, a1, ..., an ∈ K y sellaman coeficientes de la función. Se denomina indeterminada a x. El mayor valor n ∈ para el cual an ≠ 0, recibe el nombre de grado de una funfun ción y el coeciente an se denomi na co coe efici cie ente pr pr i nci ncipa pall. La imagen asociada a una función polinómica de coecientes en K se denomina
poliinomio decoefici pol ficie entesen K. K. Se simboliza por: a0 + a1 x + +a2 x 2 +... + an x n ; donde a0, a1, a2 ,..., an ∈ K se
an coeficiente principal o director del po p olino linom mio y n∈ grad grado o del polino linom mi o. denominan coecientes del polinomio, Observamos que la expresión
a0 + a1 x + +a2 x 2 +... +an x n se deja en función de
la variable independiente, x . De aquí que tal tales es expresi xpresione ones s reciban reciban el nombre de poliinomios en pol en una una indetermi indeterminad nada a con coefici coeficien entes tes en K .
P x (x ), (x ), (x ), ), Q x ), R x ), etc., y al conj conjunt unto o detodos [x ]. los polinom poli nomios en en unaindete terminada rminadacon coefici coeficie entes en en K por K[ K x ]. (Se entiende que se utiliza x como como indeterminada. Si fuese t , sería K[t ], ], pero es frecuente el empl pleo eo de la x ). Cada polinomio se suele designar por
Otra forma de denir y representar los polinomios es: Sea K un cuerpo; un polinomio de una variable con coecientes en K es una su cesión de elementos de K que tiene, a partir de uno de ellos, todos sus términos nulos:
P = (a0, a1,..., an, 0, 0,...); ai ∈ K , ∀i = 0,1, ..., n La equivalencia de ambas deniciones de polinomio quedará justicada una vez denamos en el apartado 2 las operaciones de suma de polinomios, producto de un polinomio por un escalar y producto producto de polinomios, por lo siguiente: Si se considera x = (0, 1, 0, 0, 0, …) tendremos que: x2 = (0, 0, 1, 0, 0, 0, …) x3 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, …) xn = (0, 0, 0, …, 1, 0, 0, 0, …), (1 (1 en la posición n+1) Entonces, dado el polinomio
P =( a0, a1, ..., an , 0 ,0 ,0 ,… ) lo lo podemos esc scri rib bir:
P=a0·(1, 0, 0, 0, …)+ a1·(0, 1, 0, 0, 0, …)+ a2·(0, 1, 0, 0, 0, …)+...+ an·(0, …, 1, 0,…) E identicando 1 = (1, 0, 0, 0, …) se tiene que: P = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn
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Un polinomio que tiene un único coeciente es distinto de cero se denomina n monomio. Su forma general es: a x con an ≠ 0, n ∈ . n
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Un polinomio que tiene únicamente dos coecientes distintos de cero se denomi n na binomio. Su forma general es: am x m +a x m, n,m ∈ . con an ≠ 0, am ≠ 0; n · m, n
Un polinomio queda determinado unívocamente al conocer su grado, sus coe cientes y la indeterminada.
Un polinomio está ordenado en orden creciente de sus exponentes, cuando és tos están colocados de menor a mayor. Si la ordenación es de mayor a menor, diremos que es decreciente.
polinom nomio cero al que tiene todos sus coeficientes nulos. Se simL lamaremos poli x ) =0. Este polinomio no tiene grado. boliza por 0 =(0, 0, 0,...), o bien 0( x polinom nomio unidad al que tiene todos sus coeficientes nulos a exL lamaremos poli x ) =1. cepción de a0 =1. Se simboliza por 1 =(1, 0, 0, 0,...), o bien 1( x
Todo polin To lino omio de grado cero se reduce a una constante, es decir ir,, to todos sus coeficientes son nulos a excepción de a0 ≠ 0. Polinomio completo de gradon es el que tiene todos los términos distintos de Polinom cero desde el de grado cero hasta el el de grado n, ambos inclusive. Se dice que dos polinomios P ( x x ) =(a0, a1 ,..., an) y Q ( x x ) =(b0, b1 ,..., bm) sobre
x ) =Q( x x ), el mismo cuerpo K son son iguales, y se escribe P ( x ), si n =m y ai = bi ∀i .
Muchos autores realizan el estudio partiendo de un anillo unitario conmutativo A, en cuyo caso A [x] representa representa el conjunto de los polinomios en la indeterminada x con coeficientes en el anillo A. La razón por la que se define en un anillo es que, como veremos en el apartado 2, se definen unas operaciones (suma de polinomios, +, y producto de polinomios, ·, de manera que (K[x], +, ·) tiene estructura de anillo y no de cuerpo. La continuación lógica es definir polinomios en 2 indeterminadas, que no es otra cosa que definir el conjunto de polinomios sobre K[x], que es anillo y no cuerpo, es decir:, son polinomios cuyos coeficientes están en el anillo K[x], esto es: K[x,y]=K[x][y].
Vamos, pues, a considerar
K x [x ] o A x [x ] y definir en tales conjuntos unas operacio-
nes para dotarles, dotarles, según lo lo casos, de determi terminada nadas s estr structur ucturas. as.
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2.1.
OPERACIONES
ADICIÓN DE POLINOMIOS
(x ), (x ) tal que: Dados los polinomios P x ), Q x P ( x) = ( a0, a1 ,..., an). Q ( x) = ( b0, b1 ,..., bm).
a0 ,..., an, b0 ,..., bm ∈ A, definimos la adición de polinomios de la forma siguiente: Si n ≥ m, P x x ) =(a0 +b0, a1 +b1 ,..., am +bm, am +1 ,..., an) ( x ) +Q ( x Si n
(A[x], +) grupo abeliano 1. La adición adición es interna: (P ( x x) + Q ( x x)) ∈ A [ x x]
2. Asociativa:
(x ) +Q x (x )) (x ) =P x (x ) +(Q x (x ) +R x (x )) (P x )) +R x )) 3. Existe elemento neutro:
x 2 +... Que es el polinomio 0 = (0, 0, 0, ...) = 0 + 0 x + 0 ...+ + 0 x n +..., (x ) +0 ==P x (x ) =0 +P x (x ). ya que P x ). 4. Existe elemento simétrico: n (x ) =(a0 ,..., an) =a0 +a x (Opuesto). En efecto, ∀P x +...+a x +...+ existe 1 n n (x ) =(–a0, –a1 ,..., –an) =–a0 –a x – P x –...– a x –...– 1 n
tal que:
P( x x) + (– P( x x)) = 0 = (– P( x x)) + P(x)
5. Conmutativa: P( x x) + Q( x x) = Q( x x) + P( x x) Por tanto A ], +) es grupo abeliano. (A x [x ],
Con la exi xiste stenci ncia a de dell ele elemento si sim métri trico co la sustra sustracci cción ón de pol poliinomios seredu redu-ce a la adición de un polinomio con el simétrico (opuesto respecto a la suma) del sustraendo.
(x ) – Q x (x ) =P x (x ) +(–Q x (x )) )) Simbólicamente: P x Se verica: El grado de la suma de dos polinomios polinomios es menor o igual que el mayor o máximáxi mo de los grados de los sumandos. Esto es: grad [P x (x ) +Q x (x )] ≤ máx {grad [ P x (x )], (x )]} )], grad [Q x
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2.2.
PRODUCTO POR UN ESCALAR Vamos a denir una operación externa en A x [x ], ], siendo el dominio de operadores
el propio anillo A. (Por comodidad de escritura simbolizaremos por P , Q, ... los [x ].) elem el ementos de A x ].)
A x A x [x ] → A x [x ] (λ, P ) → P
x ] x λ ∈ A, y P ∈ A[
P =(a0, a1, ..., an) =a0 +a x +...+an x n ⇒ λP =(λa0, λa1, ..., λan) = +...+ 1 =λa0 +λa1 x +...+ +...+λ an x n. X
El espacio vectorial de los polinomios en una indeterminada La ley denida verica:
( λ + µ ) P = λ P + µ P λ ( P + Q ) = λ P + λ Q 1P = P
( λµ ) P = λ ( µ P )
∀λ , µ ∈ A; ∀P, Q ∈ A[ x]
[x ], Con estas cuatro propiedades y debido a que además ( A x ], +) es un grupo abelia (A x [x ], A x [x ] es unA-módul dulo. o. L no, A Lo o denotaremos A ], +, · A). K x [x ], ], siendo el dominio de operadores el pro [x ] definimos una operación externa; pio cuerpo K , de la la misma manera que en A x Consideremos ahora el conjunto
es decir:
K ×K [x] → K [ x x ] ( λ, P ) x ] → λP ∀∈ K , ∀P ∈ K [ x P =(a0, a1, ..., an) ⇒ P = (λa0, λa1, ..., λan) Tal operación, conocida como el producto de un número o elemento de
K por por un
polinomio, verifica, como se puede comprobar sin dificultad, las leyes expuestas anteriormente:
( λ + µ ) P = λ P + µ P λ ( P + Q ) = λ P + λ Q 1P = P
( λµ ) P = λ ( µ P )
K [ x] ∀λ , µ ∈ K ; ∀P, Q ∈ K
En consecuencia, el conjunto K x [ x ] con la suma de polinomios y el producto de un
x ], número por un polinomio es un espacio vectorial. Se denotará por (K [ x ], +, ·K ) cio o vector ctoriial de los poli polinom nomios en la la inde indeterminada x y de denomina el espaci sobre el cuerpo K .
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2.3.
PRODUCTO DE POLINOMIOS En A x [x ] definim definimos el producto depol poliinomios dela sigui guien ente for orm ma:
A x x ] → A[ x x ] [ x ] · A[ x (P(x),Q(x) ) → P x ( x ) · Q x ( x ) =(c 0, c 1 ,..., c n +m) =c 0 +c 1 x +c 2 x 2 +.....+ .+c n +m x n +m
tal que: tal que: ck
=
∑ ab
i j
i + j = k
], +, ·) anillo unitario conmutativo X (A[ x ], Teniendo presente la denición del producto de polinomios, fácilmente deduci mos que: ∀P ( x x ), x ), x ) ∈ A[ x x ] se verifica: ), Q( x ), R( x resul 1. La multiplicación de polinomios es una una operación interna, ya que el resultado de multiplicar dos o más polinomios es siempre un nuevo polinomio.
2. Conmutativa: P( x x) · Q( x x) = Q( x x) · P( x x)
3. Asociativa: (P ( x x ) · Q( x x )) x ) · (Q x )) · R x ( x ) =P ( x ( x ) · R x ( x )) ))
4. Exi xiste steelemento neutr utro o, que viene dado por el polinomio unidad, simbolizado
por 1 =(1, 0, 0, 0,...) de forma que P( x x) · 1 = 1 · P( x x) = P( x x)
Por cumplir estas propiedades podemos garantizar que ( A A [ x x ], ], ·) ·) esun semigr migrupo upo
conmutativo conmutati vo (abeli (abeliano) ano) con elemento neutr utro o ouni unidad. dad. Sintetizando las propiedades de A[ x x ] respe respecto a la la suma y al al pro producto ducto tenemos: ( A A[ x x ], ], +): grupo abeliano. ( A A[ x x ], ], ·): semigrupo abeliano con elemento unidad. Se verica la distributiva de la multiplicación respecto a la suma, es decir: P( x x) · (Q( x x) + R( x x)) = P( x x) · Q( x x) + P( x x) · R( x x) sean cuales sean los polinomios P ( x x ), x ]. ), Q x ( x ), ), R x ( x ) de A[ x ]. Por tanto ( A A [ x x ], ], +, ·) es un anil anillo conmutati utativo vo con elemento unidad unidad, que se
anilllo de los poli polinom nomios en la inde indeterminada x con con conoce con el nomb conoce nombre re de anil coeficiente en el anil anilllo A .
x ], Ejemplos de anillos de polinomios en una indeterminada son: ([ x ], +, ·): anillo de los polinomios en la indeterminada x con con coeficientes enteros. En todo anillo entero, el grado del producto de dos polinomios es la suma de los grados; esto es: grad [P ( x x ) · Q( x x )] x )] )] =grad [P ( x )] +grad [Q x ( x )] )]
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Si trabajamos con el cuerpo K, entonces (K [ x x ], ], +, ·) esun domini nio o deintegridad
(se llama dominio de integridad a un anillo conmutativo sin divisores de cero) tal que las operaciones (+) y (·) son la suma y el producto de polinomios definidas anteriormente.
x ], Para comprobarlo, partiendo de que (K [ x ], +, ·) es un anillo, es suficiente poner de x ] no tiene divisores de cero. mani anifiesto fiesto que K [ x x ) =(a0, a1 ,..., an) y Q x En efecto, sean P ( x ( x ) =(b0, b1 ,..., bm) dos polinomios no nulos; por tanto, ∃i , j tal tal que ai ≠ 0. Luego:
P( x)·Q( x) =
n+ m
n+ m
∑c x = ∑ ab x k
k
k = 0
i
i+ j
j
≠ 0 ya que ck = aib j ≠ 0, k = i + j
i + j =0
Así pues, (K [ x x ], ], +, ·) es un dominio de integridad. [ x ], x ], x ], Ejemplos son: ([ x ], +, ·) ; ([ x ], +, ·) ; ( x ], +, ·) al considerar el cuerpo de los números racionales, reales o complejos, respectivamente.
Todavía podemos habla To larr de de otra estru ruc ctura si con consid ide eramos nuevamente A[x A[x]. ]. A x Como ( A [ x ], ], +, ·) ·) es un ani nilllo conmuta utati tivo vo y unitari unitario o y se cum cumpl ple e tambi bién én que (A x hablar ar de que A [ x ], ], +, ·, · A) es un A-álgeλ·(P · Q) =(λP ) · Q =P · (λQ), se puedehabl álg gebr bra a delospoli polinom nomiosen la la inde indeterminada x so sobre el anil anilllo A . bra: el ál 2.4.
POTENCIA DE UN POLINOMIO Dada la importancia que juegan los números combinatorios en el desarrollo de las potencias de un binomio y, y, en general, de un polinomio, vamos vamos a exponer en este punto alguno de los conceptos básicos para su uso. Recordemos que el número combinatorio de base m y orden n es:
m! m = n n ! ( m − n) ! Cumple las siguientes propiedades:
m = 1 0 m = m n m − n m = m − 1 + m − 1 + n n − 1 n m − 2 n − 1 m = m − 1 + n + + + +.........+ n n − 1 n − 1 n − 1 n − 1
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2.4.1.
Triángulo de Tartaglia Dispongamos de la forma siguiente los números combinatorios.
1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 ............................................... ........................................... En virtud de la fórmula de Stiefel, cada número resulta igual a la suma de los dos que están inmediatamente sobre él, se obtiene así la siguiente tabla:
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ..................... conocido como el triángulo de Tartaglia, que se forma inmediatamente una vez que se han descrito las dos oblicuas 1, 1, 1, ... Además, en cada la, los números equidistantes de los extremos son iguales. Una aplicación de interés práctico de este triángulo consiste en facilitar el cálculo rápido de los números combinatorios de índice superior m cuando se conocen los de índice (m – 1), pues aplicando la fórmula de Stiefel, sabemos que:
m = m − 1 + m − 1 + n n − 1 n Por ejemplo, para calcular los elementos de 3.ª la sería:
3 = 1 0 2 3 = 2 + + 1 0 1 2 3 = 2 + + 2 1 2
3 = 1 3
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Triángulo más general que el de Tartaglia es el de Pascal. Está formado por l a mismis ma ley, pero partiendo de una primera oblicua a la izquierda formada por números iguales cualesquiera: a, a, ..., y como última oblicua, a la derecha, una formada por b, b, ..., a estas dos oblicuas y a sus paralelas las llamaremos diagonales. El triángulo de Pascal es:
a
b a+ b
a
2a + b a + 2b
a a
b
3 a + b 3 a + 3b a + 3 b
b b
Para a = b = 1, se obtiene el triángulo de Tartaglia. 2.4.2.
Producto de varios binomios Consideremos los siguientes casos:
a) Producto en el que todos los binomios son diferentes:
(a1 + b1) (a2 + b2) ... (am + bm), (ai, b j denotan monomios cualesquiera) Aplicando las propiedades del producto de varias sumas indicadas, en nuestro desarrollo se vericará que en cada término del desarrollo gurará como factor un elemento de cada uno de los paréntesis. Esto permitirá agrupar los términos de la siguiente forma:
1. Términos en los que no entra b: a1 a2 ...am. 2. Términos en los que entra b. Entonces para cada bi (i = 1, 2, ..., m), se obtenobtendrá multiplicando bi por todos los a j con i ≠ j. Es decir, los términos en los que entra n-veces b, se obtendrán multiplicando cada uno de los productos n-arios de los bi (i = 1, 2, ..., m) por los ( m – n) números a j tal que i ≠ j.
Así: (a1 + b1) ( a2 + b2) ( a3 + b3) = a1, a 2, a 3 + b1, b 2, a 3 + b1, b 3, a 2 + b2, b 3, a 1 + + b1, a3, a2 + + b2, a1, a3 + b3, a1, a2 + b1, b2, b3.
b) Producto del tipo:
(a + b1) (a + b2) ...(a + bm) Siguiendo los pasos del caso anterior, anterior, en este desarro desarrollo llo podemos podemos agrupar los términos que contengan la misma potencia de a. Por tanto: (a + b1) (a + b2) ... ( a + bm) = am + am – 1 · S 1 + am – 2 · S 2 +...+ a · S m – 1 + S m
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tal que:
S 1 = b1 + b2 + .... bm S 2 = b1 b2 + b1 b3 + ... + bm – 1 bm ................................................ ................................................
S m = b1 b2 b3 ... bm
Así: (a + b1) (a + b2) (a + b3) = a3 + a2 S 1 + a · S 2 + S 3, en donde S i (i = 1, 2, 3) toma los siguientes valores:
S 1 = b1 + b2 + b3 S 2 = b1 b2 + b1 b3 + b2 b3 S 3 = b1 b2 b3 2.4.3.
Potencia de un binomio: Fórmula de Newton Consideremos (a + b)m. Aplicando el caso b) del producto de varios binomios, se tiene:
m S1 = b + b + .. .... + b = m⋅ b = ⋅ ⋅ b 1 m S2 = ⋅ ⋅ b2 2 m S3 = ⋅ ⋅ b3 3 .... ....................... ....................... .......................... m Sm = ⋅ ⋅ bm = bm m Luego: m m m m−1 m ⋅ ⋅ am ⋅ b0 + ⋅ a ⋅ b + ... + ⋅ ⋅ a ⋅ bm−1 + (a + b) 0 1 m − 1
m 0 m m m−1 m m− 2 2 + ⋅ a ⋅ b = am + ⋅ ⋅ a ⋅ b + ⋅ a ⋅ b + .. .... + m 1 2 m + ⋅ ⋅ a ⋅ bm−1 + bm m − 1
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Por tanto, podemos garantizar que la potencia n-ésima de un binomio viene dada por: n n ⋅ ⋅ an−1 b + n ⋅ ⋅ an− 2 b2 + .. n ⋅ ⋅ a bn−1 + bn .... + (a + b) = an + 1 2 n − 1
fórmula llamada binomio de Newton, aún cuando ya era conocida por Tartaglia. Tartaglia. La manera más práctica de obtener los coecientes de este desarrollo es utilizar el triángulo de Tartaglia y, como en él los elementos equidistantes de los extremos son iguales, resulta que en el desarrollo de la potencia de un binomio son ig -
uales los coecientes de los términos equidistantes de los extremos. En resumen, el desarrollo de ( a + b)n posee las propiedades siguientes:
1. Es un polinomio homogéneo completo de grado n, por lo cual tiene ( n + 1) términos. Los exponentes de « a” van disminuyendo una unidad desde n hasta cero, y los exponentes de « b” aumentan desde cero hasta n. 2. Los coecientes son números combinatorios.
n n n ........... n 0 n 1 2 Por consiguiente, los elementos de la la n-ésima del triángulo de Tartaglia y, por tanto, los equidistantes de los extremos son iguales.
Ejemplos: 1. Haciendo a = 1, b = x en la fórmula de Newton, se obtiene: n
n x + n x 2 + ... + x n = n x p (1+ x ) = 1+ 1 p 2 p= 0 n
∑
2. n n n n n n + + + + + + ... + =2 (1+ 1) = 0 1 2 n
Si se tratase del desarrollo de (a – b)n obtendríamos: n n n an−1 −b + n an− 2 −b 2 + .. .... + (−b) = (a − b) = an + 1 ( ) ( ) 2
n n−1 n n− 2 2 = an − a b + a b + .. .... + (−1)nbn 1 2 Es decir, el desarrollo de ( a – b)n coincide con el de ( a + b)n, cambiando de signo los términos en que entra b con exponente impar impar..
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2.4.4.
Potencia de un polinomio: Fórmula de Leibniz La aplicación más importante de las permutaciones con repetición es el desarrollo de la potencia de un polinomio. A continuación vamos a obtener la forma de desarrollar la potencia n-ésima de un polinomio formado por m términos, donde a, b, c, etc., son monomios cualescuales quiera. (m
n
(a + b + c + ... + I ) =
= (a + b + c + ... + I ) (a + b + c + ... + I ) ... (a + b + c + ... + I ) n-factores
Aplicando reiteradamente la propiedad distributiva resulta que cada término del desarrollo es un producto que se forma tomando un sumando del primer parén tesis, otro del segundo, ..., y otro del n-ésimo. Como pueden repetirse algunos factores, un término genérico de dicho desarrollo será de la forma:
a α b β ... I λ
(1)
donde los exponentes de aquellas letras que no entren en el producto son nulos, vericándose:
α + β + ... + λ = n
(2)
Entonces hemos de ver:
1. Las veces que aparece repetido cada uno de los términos (1), es decir, el coecoe ciente que le corresponde en el desarrollo. 2. Cómo se obtienen todos los distintos términos de la forma forma (1), y que cumplen la condición (2). Para responder a la primera cuestión notemos que el término a α b β ... I λ proviene de una permutación de los m-elementos a, b, ..., I , en la que aparecen repetidos α, β, ... λ veces, respectivamente. Cada una de estas permutaciones, por la pro piedad conmut conmutativa ativa de de la multiplicac multiplicación, ión, da lugar al al mismo término a α b β ... I λ. Entonces el número de dichas permutaciones que es:
n! α ! β ! ...λ ! constituirá el coeciente del término a α b β ... I λ considerado.
Para responder a la segunda cuestión se comienza por descomponer el nú mero n en m sumandos de todos los modos posibles. Esto se consigue de una manera sistemática, tomando como primer sumando el número n, y todos los demás nulos..
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3
3.1.
3.1.1.
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS CON UNA INDETERMINADA
DIVISIBILIDAD EN �A�X�, +, �� Relación de divisibilidad Sean P ( x que P ( x x) divide a Q ( x x) si existe C ( x x), Q ( x x), ∈ A[ x x]. Se dice que P x) ∈ A [ x x] tal que: Q ( x x) = P ( x x) | C ( x x)
Se simboliza P ( x x) | Q ( x x) En este caso decimos que P ( x x) divide a Q ( x x), o que Q ( x x) es múltiplo de P ( x x), o bien, que Q ( x x) es divisible por P ( x x). La relación de divisibilidad en A [ x x] es de orden parcial. En efecto: a) Reexiva: P ( x x) | P ( x x), ∀ P ( x x) ∈ A [ x x], ya que existe 1 ∈ A [ x x], tal que P ( x x) · 1 = P ( x x).
b) Antisimétrica: Si P ( x x) | Q ( x x) y Q ( x x) | P ( x x), entonces se diferencian en el producto por uni dades. (Tales polinomios se denominan asociados.) En efecto: x) ⇒ ∃ C ( x x) ∈ A[ x x] / Q( x x) = P( x x) · C ( x x) Si P(x) | Q( x x) | P( x x) ⇒ ∃ C’( x x) ∈ A[ x x] / P( x x) = Q( x x) · C’( x x) Si Q( x Q( x x) = Q( x x) · C’( x x) · C ( x x) ⇒ C’( x x) · C ( x x) = 1
x] ∈ A[ x
que por ser A[ x x] un anillo hace que sólo tengan inverso las unidades, por lo que C ( x x) y C’( x x) son las unidades de A[ x x] que coinciden con las de A.
c) Transitiva: Si P( x x) | Q( x x) y Q( x x) | R( x x) ⇒ P( x x) | R( x x)
Veamos:
Si P ( x ) | Q ( x ) ⇒ ∃ C ( x ) ∈ A [ x] / Q ( x ) = P ( x ) ⋅ C ( x ) ⇒ Si Q ( x ) | P ( x ) ⇒ ∃ C ′ ( x ) ∈ A [ x] / P ( x ) = Q ( x ) ⋅ C ′ ( x )
R ( x) = P ( x ) ⋅ C ( x ) ⋅ C ′ ( x ) = P ( x x ) ⋅ S ( x ) ⇒ P ( x ) | R ( x ) S (x) ∈ A[x ]
Queda así probado que la relación de de divisibilidad es de orden parcial sobre ( A A[ x x], +, ·). Veamos algunas propiedades de demostración inmediata (por este motivo son omitidas).
1. ∀P( x x), Q( x x), R( x x) ∈ A[ x x] si
P( x) | Q(x ) ⇒ P( x x) ± R( x x) P x | R x x) | Q( x ( ) ( )
17
tema 13 matemáticas
· Q( x 2. Si P( x x) | Q( x x) ⇒ P( x x) | k · x), ∀k ∈ A, ∀P( x x), Q( x x) ∈ A[ x x]
3. Si P( x x) | Q( x x) ⇒ P( x x) | Q( x x) · R( x x), ∀P( x x), Q( x x), R( x x) ∈ A[ x x] 3.1.2.
División euclídea De ahora en adelante haremos A[ x cuerpo conmutativo. Esto nos per x] = K [ x x], K cuerpo mitirá utilizar el algoritmo de la división de Euclides.
Proposición 1. Sean P ( x x), Q ( x x) ∈ K [ x x]; Q ( x x) ≠ 0. Entonces existen C ( x x) y R ( x x) únicos, ambos pertenecientes a K [ x x], tales que:
a ) P ( x x) = Q ( x x) · C ( x x) + R ( x x). ) grad b ) grad [ R R ( x x)] < grad [ Q ( x x)], pudiendo ser R ( x x) = 0.
Demostración: Probemos primeramente la existencia. Sea:
P ( x x) = a0 + a1 x + ... + an xn; an ≠ 0 ⇒ grad [P ( x x)] = n Q ( x x) = b0 + b1 x + ... + bm xm; bm ≠ 0 ⇒ grad [ Q ( x x)] = m Hagámoslo por inducción sobre el grado de P( x x): Para n = 0 ⇒ C ( x x) = 0; R ( x x) = P ( x x) Supuesto probado para n – 1, sea P ( x x) de grado n. Si Q ( x x) es de grado mayor que n, hacemos C ( x x) = 0; R ( x x) = P ( x x). Si grad [Q ( x)] = m ≤ n, sea P1 ( x x) = P ( x x) – an b –1 xn – m Q ( x x). m Entonces se anula el término
an xn y grad [P1 ( x x)] < n ⇒ P1 ( x x) = Q1 ( x x) Q ( x x) + R ( x x) / grad [ R R ( x x)] < grad [Q ( x x)]. Sustituyendo,
P ( x x) = an b –1 xn – m Q ( x x) + Q1 ( x x) Q ( x x) + R ( x x) = Q ( x x) C ( x x) + R ( x x) m Veamos a continuación la unicidad. Nota: En lo sucesivo simplificaremos la notación adoptando P, Q, R, ... para simbolizar los elementos de K [x].
Procederemos por reducción al absurdo: Sea P = Q C + + R = Q C’ + R’ ⇒ R – R’ = Q (C’ – C ) al ser grad [ R – R’] ≤ máx (grad [ R], grad [ R’]) < grad [ Q], y a su vez grad [ R )] ≥ grad [ Q] si C’ – C ≠ 0 ⇒ R – R’] = = grad [ Q (C’ – C )]
C ′ − C = 0 C = C ′ ⇒ R − R ′ = 0 R = R ′ divide dend ndo o P : divi Q: divi ivis sorr En este sentido cociient nte e C : coc R: re resto/R = 0 ⇒ divisi n exacta
18
tema 13
matemáticas
En la práctica, para calcular
P( x ) se ordenan decrecientemente P( x x) y Q( x x). Si: Q( x )
C ( x ) = 0 R( x) = P( x)
a) grad [ Q( x x)] > grad [ P( x x)] ⇒
P( x x) = Q( x x) · 0 + P( x x), y se cumple grad [ R( x x)] = grad [ P( x x)] < grad [Q( x x)]
b) grad [ Q( x x)] ≤ grad [ P( x x)], entonces si
.... + a0 P( x) = an xn + .. Q x = b xm + .. .... + b0 ( ) m
tomando los monomios dominantes de ambos: an xn y bm xm
an x n + ... bmx m + ... an n− m x bm Si llamamos
m0 =
an n − m x , el paso siguiente es multiplicar m0 (bm xm +...) y bm
restarlo de an xn + ... Obtenemos así el polinomio P – m0Q = P1. Pueden ocurrir dos cosas: P1 = 0 ⇒ C = m0 y R = 0 y nos resultaría P = m0 · Q; o bien, P1 ≠ 0. En este caso, si grad [P1] < grad [ Q] ⇒ P = m0 · Q + P1, y C = = m0, R = P1. Pero si, por el contrario, grad [ P1] ≥ grad [Q] continuamos la división, dividivi diendo el monomio dominante de P1 entre el monomio dominante de Q. ObteObtenemos así m1. Vuelve a ocurrir lo mismo que antes: P1 – m1 Q = P2, puede ser 0 ⇒ C = = m0 + m1 y R = 0. O bien, P2 ≠ 0, en cuyo caso, grad [ P2] < grad [Q] o grad [ P2] ≥ grad [Q]. Así, sucesivamente, hasta terminar la división. Vamos a hacerlo con un ejemplo:
P = 3x 4 − 2x3 + x 2 + x − 1
2x + 4 = Q
m0 Q = −3x 4 −6x3 P1 = P − m0 Q =
− m1 Q = P2 = P1 − m1 Q =
−8x3 + x 2 + x − 1
3 3 x − 4x 2 2 || || m0
8x3 + 16x 2
m1
+ 17x 2 + x − 1
Si en vez de estar en un cuerpo, estamos en un anillo A[ x x], se puede hablar de división euclídea de P y Q, siempre que Q sea un polinomio con coeciente dominante inversible en A.
19
tema 13 matemáticas
Caso particular: División por (x – a)
3.1.3.
Es un caso particular de la división entre polinomios, donde Q = x – a. En este caso, el coeciente dominante de Q es 1, que siempre es inversible y a ∈ K . Por lo tanto, P = an x n +...+ a0 = ( x + R donde R ha de ser cero o de un x – a) C + grado menor que Q. Como grado Q = 1 grado R ⇒ 0 = R es una constante o el polinomio cero.
an xn +...+ a0 = ( x x – a) (cn – 1 xn – 1 + cn – 2 xn – 2 + ... + c0) + R an = cn – 1 an – 1 = cn –2 – a cn – 1 . . .
an – h = cn – h – 1 – a cn – h . . .
a0 = R – a c0 Despejamos y obtenemos los coecientes de C :
cn – 1 = an cn – 2 = an – 1 + a cn – 1 cn – 3 = an – 2 + a cn – 2 . . . También se puede aplicar para este tipo de divisiones la llamada Regla de Rufni que consiste en lo siguiente:
an a) an
an
20
= cn-1
a n-1
a n2 n-2
...
a0
a·cn-1
a·cn-2
...
a·c 0
a n-1 + a·c n-1
a n-1 + a·c n-1
a n-2
+
a·cn-2
a0
+ a· c 0
= cn-2
a 0 + a·c0 = R
tema 13
matemáticas
3.1.4.
Descomposición factorial en K[x] Valor numérico de un polinomio en una indeterminada es el valor que se obtiene al sustituir la variable por su valor correspondiente. Si calculásemos el valor numérico de P ( x x) = x3 – 3 x2 + 2 x + 5 ∈ [ x x], para x = 3 obtendríamos:
P(3) = 3 3 – 3 · 3 2 + 2 · 3 + 5 = 11 = resto de [( x3 – 3 x2 + 2 x + 5): ( x x – 3)] Esto se resume en términos generales bajo el siguiente enunciado:
Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio en x por el binomio ( x x – a) coincide con el valor numérico del polinomio dividendo cuando se susti tuye en él x por el valor de a. Demostración: Sea P ( x x): polinomio dividendo. Aplicando la división euclídea tenemos:
P ( x x) = ( x x – a) C ( x x) + R/grad [ R R] 0 si R ( x x) ≠ 0 Sustituyendo x por a obtendremos:
P(a) = (a – a) C (a) + R(a) ⇒ P(a) = R Dado un polinomio P( x x) se llaman ceros del polinomio a los valores de la indeter minada x para los cuales el valor numérico de P( x x) es cero. También se le llaman raíces del polinomio. X
Propiedades generales
Teorema 1 Si K es es anillo conmutativo unitario, a IP( x x)
∈
K , a es raíz de P
∈
K [ x x]
⇔
( x x – a)
(Es decir: P( x También se llama teorema del factor) x) = ( x x – a) · C ( x x). También
Demostración: «⇒» Si a es raíz de P( x x) ⇒ P(a) = 0
Aplicamos el teorema del resto ⇒ P( x x) = ( x x – a) C ( x x) + P(a) «⇒» Supongamos que ( x – a) IP( x x) ⇒ P( x x) = ( x x – a) h( x x) Para x = a, tenemos: P(a) = (a – a) h(a) = 0 ⇒ a es raíz de P
Teorema 2 Si el polinomio P( x x) = an xn + an – 1 xn – 1 +...+ a0 de coecientes elementos del cuerpo K , y an ≠ 0, admite m-raíces distintas x1, x2, ..., xm con m ≤ n, entonces:
P( x x) = ( x x – x1) ( x x – x2) ... ( x x – xm) · h( x x) siendo h( x x) = an xn – m +...
21
tema 13 matemáticas
Demostración: Si x1 es una raíz de P ( x x) ⇒ P ( x x) = ( x x – x1) h1 ( x x), siendo
h1 ( x x) = an xn – 1 +... Por ser x2 otra raíz de P ( x x) ⇒ P ( x x2) = 0 = ( x2 – x1) · h1 ( x x2). Al vericarse x2 ≠ x1 ⇒ h1 ( x x2) = 0; es decir, x2 es raíz de h1 ( x x) y, por tanto:
h1 ( x x) = ( x x – x2) h2 ( x x) / h2 ( x x) = an xn – 2 +... Por consiguiente:
P ( x x) = ( x x – x1) ( x x – x2) h2 ( x x) Continuando el proceso de la misma forma hasta la raíz xm, obtendremos:
P ( x x) = ( x x – x1) ( x x – x2) ... ( x x – xm) · hm ( x x) / hm ( x x) = an xn – m +... Si n = m, hm ( x x) = an, y será el caso en que P ( x x) tenga n-raíces. Por consiguiente:
P( x x) = an( x x – x1) ... ( x x – xn)
Teorema 3 Todo P ( x x) de grado n admite a lo sumo n-raíces.
Demostración: En efecto, en virtud de la proposición anterior, si P ( x x) = an xn + ... + a0 admite por raíces los valores x1, x2, ..., xn se verica:
P ( x x) = an ( x x – x1) ( x x – x2) ... ( x x – xn) Veamos que no puede tener otras raíces. Admitimos que r ≠ xi, fuese raíz de P ( x x). Se vericaría:
∀i =
1,..., n,
– x1) (r – – x2) ... (r – – xn) P (r ) = an (r – El segundo miembro es no nulo, por ser un producto de factores distintos de cero y en K no no hay divisores de cero. Por consiguiente: no puede ser cero o raíz de P ( x P (r ) ≠ 0 ⇒ r no x). Solamente el polinomio nulo 0 ( x) = 0 admite innitas raíces. Por consiguiente: Si un polinomio P ( x x) = an xn + ... + a1 x + a0 de coecientes ai = 0, ..., n, desconocidos, admite innitas raíces, entonces ai = 0, ∀i = 0, 1,..., n. (Es decir, P ( x x) es el polinomio cero).
22
tema 13
matemáticas
3.2.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR DIVI SOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS Sean los polinomios
P x (x ) y Q x (x ), ),
Máximo común divisor (m.c.d.) El máximo común divisor de dos polinomios P ( x x) y Q ( x x) de los cuales al menos uno es no nulo, se dene como el polinomio mónico de grado máximo que es divisor común de P ( x x) y Q ( x x). Se simboliza:
m.c.d. (P ( x x), Q ( x x)) Un polinomio P ( x x ) ∈ K [ x x ] de deci cim mos quees irr irre educibl ducible e o prim primo sobre el cue cuerpo rpo
K si no se puede descomponer en producto de polinomios de grado inferior perteneciente perteneci entes a K x [ x ]. ]. En caso contrario, el polinomio es reducible. x – a) es un polinomio primo. Por ejemplo, en un cuerpo cualquiera ( x Es importante dejar claro que el carácter reducible o irreducible del polinomio depende del cuerpo base elegido. Es decir, por ejemplo: x 2 +8 es irreducible en el cuerpo de los números reales, pero, sin embargo, en es reducible. x) y Q ( x x) son primos entre sí si el m.c.d.( P ( x x), Q ( x x)) = 1 Dos polinomios P ( x
Para calcular el m.c.d. de dos polinomios se suele usar el siguiente algoritmo: X
Algoritmo de euclides Es una forma práctica de calcular el m.c.d. de dos polinomios P ( x x) y Q ( x x), que simbolizaremos en este punto por p y q, respectivamente. Consiste en dividir p entre q:
p q r1 c1
q r1 r2 c2
⇒
r1 r 2 r3 c3
Así se continúa hasta obtener un resto nulo. Entonces, el máximo común divisor de p y q es el último resto no nulo. Se dispone de la siguiente manera: c 1
c 2
p
q
r 1
r 1
r 2
c n + 1
...
c n – 1
r n
0
(p, q) =r n Se verica: m.c.d. p
23
tema 13 matemáticas
Mínimo común multiplo (m.c.m.) El mínimo común múltiplo de dos polinomios P ( x x) y Q ( x x) es el polinomio mónico de grado mínimo que es múltiplo común de P ( x x) y Q ( x x). Se simboliza:
m.c.m. (P ( x x), Q ( x x)) Para dos polinomios P x x ) cualesquiera se verifica: ( x ) y Q ( x
P x (x ) · Q x (x ) =m.c.d. (P x (x ), (x )) (x ), (x )) ⇒ ), Q x )) · m.c.m.( P x ), Q x m.c.m.( P( x), Q( x)) =
P( x ) ⋅ Q ( x) m.c.d .( P( x), Q( x))
La teoría expuesta para dos polinomios se generaliza al cálculo del m.c.d. de va-
rios ri os pol polino nom mios os..
24
tema 13
matemáticas
4
4.1.
FRACCIONES ALGEBRAICAS
DEFINICIÓN Llamamos fracción algebraica a un par de polinomios A( x x), B( x) ∈ K [ x x], con B( x x) ≠ 0. El primero de ellos recibe el nombre de numerador, y el segundo de denominador. Se representa por
A( x ) . B( x )
En el conjunto K [ x x] × K [ x x]*, donde K [ x x]* = K [ x x] – {0}, denimos la relación de equivalencia R dada por
A( x ) A′( x ) R ⇔ A( x) ⋅ B ′(x ) = B(x ) ⋅ A′(x ) B( x ) B ′( x ) Se comprueba fácilmente que la relación así denida es de equivalencia, es decir, verica las propiedades reexiva, simétrica y transitiva. Cada clase de K [ x x] × K [ x x]* / R recibe el nombre de razón algebraica, siendo K [ x x] × K [ x x]* / R el c onjunto de razones algebraicas.
4.2.
4.2.1.
EL CUERPO DE LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS Suma de razones algebraicas En K [ x x] × K * [ x x]/ R R denimos la operación:
A (x ) C ( x ) A (x) D (x ) + B (x) C (x ) + = B ( x ) D (x ) B ( x ) D ( x ) Pues bien, vamos a demostrar que con esta operación el conjunto de las razones algebraicas tiene estructura de grupo aditivo conmutativo o abeliano.
1. La operación está bien defnida, es decir, no depende de los representantes elegidos. 2. Propiedad asociativa.
A (x ) + C ( x ) + E (x ) = A (x ) + C ( x ) + E (x ) F ( x ) B ( x ) D ( x ) F ( x ) B ( x ) D ( x ) F 3. Existe elemento neutro. En efecto, dada una razón algebraica
A (x ) M ( x ) tal que: existe otra N ( x ) B ( x )
25
tema 13 matemáticas
M ( x ) + A (x ) = A (x ) + M ( x ) = A (x ) x ) B ( x ) B ( x ) N ( x ) B ( x ) N( (I)
(I)
(II)
M ( x ) A (x ) M (x) B (x) + N ( x ) A (x ) = + = N (x ) B (x ) N ( x ) B ( x )
A (x ) M ( x ) A (x) N (x) + B ( x) M (x ) (II) = = + N (x ) B (x ) B ( x ) N ( x ) que son evidentemente iguales. Luego, por tanto, existe elemento neutro, y vamos a calcularlo,
A (x) N (x ) + B ( x) M (x ) N (x ) B (x )
A (x ) = B ( x )
de lo cual se deduce que el elemento neutro es polinomio cero.
4. Existe elemento simétrico. En efecto, dada una razón algebraica
0 ( x ) , siendo 0 ( x) elllamado B ( x )
A (x ) R ( x ) existe otra S x tal que: ( ) B ( x )
R ( x ) A (x ) A (x ) R ( x ) S x + S x = S x + S x = neutro ( ) ( ) ( ) ( ) Se deduce que el elemento simétrico viene dado por opuesta de la dada.
− A (x ) , llamada razón B ( x )
5. Propiedad conmutativ a.
A (x ) C ( x ) C ( x ) A ( x ) + = + B ( x ) D ( x ) D ( x ) B ( x ) concluimos que el conjunto de las razones razones algebraicas con la operación de suma de razones es un grupo aditivo abeliano. 4.2.2.
Producto de razones algebraicas En K [ x x] × K * [ x x] / R denimos la siguiente operación llamada producto de razo nes algebraicas:
A (x ) ⋅ C ( x ) = A (x) ⋅ C ( x ) B ( x ) D (x ) B ( x) ⋅ D ( x)
26
tema 13
matemáticas
Pues bien, vamos a ver a continuación que el conjunto de las razones algebraicas, con esta nueva operación de producto de razones, tiene también estructura de grupo abeliano. 1. La operación está bien defnida, esto es, no depende de los representantes elegidos.
2. Se verica la propiedad asociativa , esto es:
A (x ) C ( x ) E (x ) A (x ) C ( x ) E (x ) ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ F ( x ) B ( x ) D ( x ) F ( x ) B ( x ) D ( x ) F 3. Existe elemento neutro.
Dada una razón algebraica
H ( x ) H ( x )
A (x ) , existe otra H ( x ) llamada razón unidad B x H x ( ) ( )
tal que:
A (x ) H (x ) H (x ) A ( x ) A (x ) ⋅ = ⋅ = B ( x ) H ( x ) H ( x ) B ( x ) B ( x )
luego,
H ( x ) 1( x ) siendo 1( x) el llamado polinomio unidad. = H ( x ) 1( x )
4. Existe elemento simétrico.
A (x ) B ( x ) pues es tal que B ( x ) es , ⋅ A x ( ) B ( x ) A (x )
En efecto, el elemento simétrico de
A (x ) A (x ) B ( x ) H H ( x ) ⋅ = ⋅ = B ( x ) B ( x ) A (x ) H ( x ) y se le llama inverso. Y además se verica la
5. Propiedad conmutativa.
A (x ) ⋅ C ( x ) = C ( x ) ⋅ A ( x ) B (x ) D ( x ) D ( x ) B ( x ) por lo cual concluimos que (K [ x x] × K * [ x x] / R, ·) es un grupo multiplicativo abeliano. Además de todas las propiedades citadas hasta ahora en el conjunto K [ x x] × K [ x x]* / R se verica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, esto es:
A (x ) ⋅ C ( x ) + E (x ) = A (x ) ⋅ C ( x ) + A (x ) ⋅ E (x ) B ( x ) D ( x ) F ( x ) B ( x ) D ( x ) B ( x ) F ( x ) 27
tema 13 matemáticas
Por tanto el conjunto ( K [ x x] × K [ x x]* / R, +, ·) tiene estructura de cuerpo conmuta tivo. Recibe el nombre de cuerpo de las razones algebraicas o cuerpo de las fracciones racionales con coefcientes en K y y se representa por K ( ( x x).
4.3.
DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES Debido a su extensión, las demostraciones necesarias para llegar al resultado nal de esta sección han sido omitidas, pero el lector interesado las puede consultar en la bibliografía recomendada.
Proposición.
A
∈ K ( x) , si P = m.c.d .( A( x), B( x)) se verica Dada una fracción algebraica B que: A B
=
PA ' PB '
=
A ' B '
con m.c.d .( A ', B ') = 1
Corolario. Para cada
A B
x] tales que: ∈ K ( x) existen dos únicos polinomios A’, B’ de K [ [ x
A B
=
A ' B '
, m.c.d .( A ', B ') = 1 , con B’ mónico
Defnición:
Sea
A B
∈ K ( x) con
. ( A, B) = 1 , con B mónico Dicha razón recibe el nomm.c.d.( nom -
bre de fracción simple o forma reducida.
Proposición. Todo elemento en forma reducida se puede escribir de forma forma única como
A =P+R B donde P
∈
K [ x x] y
R=
′ B
es una fraccion racional en forma reducida con
grad ( A’ A’) < grad ( B B) si R ≠ 0.
El polinomio P se llama parte entera de
28
A . B
tema 13
matemáticas
Teorema de descomposición. X TEOREMA. Teorema Sea
A ∈ K ( x ) en forma reducida. Supongamos que E es es su parte entera y que B
B = λQ1αr ...Qr αr es su descomposición en factores primos con λ ∈ K . Entonces la descomposición:
L A L = E + α α11 + ... + 1 + Q1 B Q1
+
M α2 M 1 + + + . .. Q1 α2 Q2
+.......................... ........ + +
S αr S1 + + . .. Q αr r Qr
Es única, donde Lα ,..., L1, M α ,..., M 1 ,..., S α ,..., S 1 son polinomios nulos o de 1 2 r grados estrictamente inferiores a sus respectivos Qi, 1 ≤ i ≤ r . Dicha descomposición se llama descomposición en fracciones simples de
A . B
La demostración de este teorema es consecuencia de los lemas que enunciamos a continuación pero de los que no presentamos demostración por no extender el tema.
Lema 1. Sea
B
A) < grad ( B B) si A ≠ 0. Sea B = B · B2 con B y B2 primos ∈ K ( x ) con grad ( A 1
entre sí. Entonces
B
descompone de forma única como
grad ( N N i) < grad ( B Bi) si N i ≠ 0, i = 1,2.
1
A N 1 N 2 = + con B B1 B 2
Lema 2. Sea
B
A) < grad ( B B) si A ≠ 0. Sea B = B · B2 ·...· B ∈ K ( x ) con grad ( A 1
primos entre sí si i ≠ j. Entonces
B
p
con Bi y B j
descompone de forma única como
N A N 1 = + .. .... + p B B1 B p con grad ( N N i) < grad ( B Bi) si N i ≠ 0, i = 1,..., p p.
Lema 3.
A A) < grad ( B Bm) si A ≠ 0. ∈ K ( x ) con grad ( A m B A N 1 N 2 N A + + + . .. Entonces descompone de forma única como m = B B B2 Bm Bm Sea
siendo grad ( N N i) < grad ( B B) si N i ≠ 0, i = 1,...,m.
29
tema 13 matemáticas
= =
Nota: En el caso de que K sea sea un cuerpo algebraicamente cerrado, por ejemplo, K todas las formas reducidas son de la forma:
A
( x − a)r
∈
∈
donde A, a , r lo que simplifica mucho la notación en este teorema. No obstante hemos ofrecido la forma general del teorema ya que cuando trabajamos en K las formas reducidas no son tan simples.
= =
Ejemplo:
x3 x
30
2
+3
= x +
−3 x x 2 + 3
en ( x )
tema 13
matemáticas
BIBLIOGRAFÍA moderna. Ed. Vicens-Vives. Barcelona, 1985. BIRKHOFF, G.; MAC LANE, S.: Álgebra moderna. GODEMENT, R.: Álgebra. Ed. Tecnos. Madrid, 1983. LANG, S.: Álgebra. Ed. Aguilar. Madrid, 1971. HILTON, P.; CHIANG WU, Y.: Curso den Álgebra moderna. Ed. Reverté. Barcelona, 1982.
31
tema 13
matemáticas
RESUMEN Polinomios. Operaciones. Fórmula de Newton. Divisibilidad Divisibilida d de polinomios. Fracciones algebraicas.
1. 1
POLINOMIOS Llamaremos función polinóm poli nómica en K o función función pol polinómica de de coe coefici ficien ente tes s en en K a toda toda
función: f : K → K n 2 3 x → f x ( x ) =a0 +a1 x + +a x +a x +... +a x n 2 3
La imagen asociada a una función polinómica de coecientes en K se denomina polinomio
de coefici ficien entes tes en K. K. Definiciones:
2. 2
2.1.
X
Monomio.
Binomio.
Polinomio ordenado.
Polinom Poli nomio cero. cero.
Polinomio unidad.
Polinomio completo de grado n.
Polinom Poli nomios igu igua ales.
OPERACIONES
ADICIÓN DE POLINOMIOS (A[x], +) grupo abeliano 1. La adición es interna: 2. Asociativa: 3. Existe elemento neutro: 4. Existe elemento simétrico: 5. Conmutativa: Por tanto ( A [ x ], ], +) es grupo abeliano. A x
2.2.
X
PRODUCTO POR UN ESCALAR El espacio vectorial de los polinomios en una indeterminada
A[ x x ] es un (A x un AA-módulo. L o denota denotaremos A [ x ], ], +, · A).
33
tema 13 matemáticas
El conjunto K x [ x ] con la suma de polinomios y el producto de un número por un polinomio
es un espacio vectorial. Se denotará por (K x [ x ], ], +, ·K ) y de denomina el espacio vectorial de los polinomios en la indeterminada x sobre sobre el cuerpo K . 2.3.
PRODUCTO DE POLINOMIOS P x ( x ) · Q x ( x ) =(c 0, c 1 ,..., c n +m) =c 0 +c 1 x +c 2 x 2 +...+c n +m x n +m tal tal que: que:
X
ck
=
∑ ab
i j
i + j = k
(A[x], +, ·) anillo unitario conmutativo 1. La multiplicación de polinomios es una operación interna. 2. Conmutativa 3. Asociativa 4. Existe elemento neutro.
( A x A [ x ], ], ·) es un semigrupo conmutativo (abeliano) con elemento neutro o unidad. Se verica la distributiva de la multiplicación respecto a la suma.
A (A x [ x ], ], +, ·) es un ani nilllo conmutativo conmutativo con con elem elemento uni unida dad d, que se se conoce con el el nombre de anillo de los polinomios en la indeterminada x con con coeficiente en el anillo A. Si trabajamos con el cuerpo K, entonces (K [ x x ], ], +, ·) es un dominio de integridad. 2.4.
POTENCIA DE UN POLINOMIO Dada la importancia que juegan los números combinatorios en el desarrollo de las poten cias de un binomio y, en general, de un polinomio, s e exponen en este punto alguno de los conceptos básicos para su uso.
2.4.1.
Triángulo de Tartaglia
2.4.2.
Producto de varios binomios a) Producto en el que todos los binomios son diferentes: a)
(a1 + b1) (a2 + b2 ) ... (am + bm), (ai, b j denotan monomios cualesquiera) b) Producto del tipo: b) .... (a + bm) (a + b1) (a + b2) ..
2.4.3.
Potencia de un binomio: Fórmula de Newton ⋅ ⋅ an−1 b + ⋅ ⋅ an− 2 b2 + .. ⋅ ⋅ a bn−1 + bn .... + (a + b) = an + 1 2 n − 1 n
2.4.4.
n
n
n
Potencia de un polinomio: Fórmula de Leibniz La aplicación más importante de las permutaciones con repetición es el desarrollo de la potencia de un polinomio.
34
tema 13
matemáticas
3. 3
3.1.
3.1.1.
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
DIVISIBILIDAD EN � A� X �,�, +, �� Relación de divisibilidad Sean P ( x x), Q ( x x), ∈ A[ x x]. Se dice que P ( x x) divide a Q ( x) si existe C ( x x) ∈ A [ x x] tal que: Q ( x) = P ( x x) | C ( x x)
Se simboliza P ( x) | Q ( x x) La relación de divisibilidad es de orden parcial sobre ( A[ x x], +, ·). 3.1.2.
División euclídea Sean P ( x x), Q ( x x)
∈
perteK [ x x]; Q ( x x) ≠ 0. Entonces existen C ( x x) y R ( x) únicos, ambos perte-
necientes a K [ x x], tales que:
a) P ( x a) x) = Q ( x x) · C ( x) + R ( x). b) grad [ R ( x b) x)] < grad [ Q ( x x)], pudiendo ser R ( x x) = 0. 3.1.3.
Caso particular: División por ( x – – a) Estudio de la división entre polinomios donde el divisor es de la forma x – – a. Es un caso particular de la división entre polinomios, donde Q = x – a. También Ta mbién se puede aplicar para este tipo de divisiones la llamada Regla de Rufni.
3.1.4.
Descomposición factorial en K [ x ] El resto de la división de un polinomio en x por el binomio ( x – a) coincide con el valor numérico del polinomio dividendo cuando se sustituye en él x por el valor de a. Dado un polinomio P( x) se llaman ceros del polinomio a los valores de la indeterminada x para los cuales el valor numérico de P( x) es cero. También se le llaman raíces del poli-
nomio. X
Propiedades generales Teorema Teore ma de factorización de un polinomio a partir de sus raíces, siendo el grado una cota superior del número de estas.
3.2.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO MÍNI MO COMÚN MÚLTIPLO MÚLTIPLO DE POLINOMIOS El máximo común divisor de dos polinomios P ( x x) y Q ( x x) de los cuales al menos uno es no nulo, se dene como el polinomio mónico de grado máximo que es divisor común de P ( x x) y Q ( x). Se simboliza: m.c.d. (P ( x x), Q ( x x))
Dos polinomios P ( x x) y Q ( x) son primos entre sí si el m.c.d.( P ( x x), Q ( x x)) = 1 El mínimo común múltiplo de dos polinomios P ( x x) y Q ( x x) es el polinomio mónico de grado mínimo que es múltiplo común de P ( x x) y Q ( x). Se simboliza: m.c.m. (P ( x x), Q ( x x))
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tema 13 matemáticas
4. 4
4.1.
FRACCIONES ALGEBRAICAS
DEFINICIÓN Se denen los conceptos de fr fracción acción y razón algebr braica aica Llamamos fracción algebraica a un par de polinomios A( x x), B( x x) ∈ K [ x x], con B( x x) ≠ 0. El primero de ellos recibe el nombre de numerador, numerador, y el segundo de denominador. denominador. Cada clase de K [ x x] × K [ x x]* / R recibe el nombre de razón algebraica,
4.2.
4.2.1.
EL CUERPO DE LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS Suma de razones algebraicas En K [ x x] × K * [ x]/ R R denimos la operación:
A (x ) + C ( x ) = A ( x) D ( x) + B (x) C (x ) B x D x B ( x ) D ( x ) ( ) ( ) 1. La operación está bien denida. 2. Propiedad asociativa. 3. Existe elemento neutro. 4. Existe elemento simétrico. 5. Propiedad conmutativa. El conjunto de las razones algebraicas con la operación de suma de razones es un grupo aditivo abeliano. 4.2.2.
Producto de razones algebraicas
La operación está bien denida.
Se verica la propiedad asociativa.
Existe elemento neutro.
Existe elemento simétrico.
Propiedad conmutativa.
(K [ x] × K * [ x] / R, ·) es un grupo multiplicativo abeliano. Se verica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, esto es: Por tanto el conjunto ( K [ x x] × K [ x x]* / R, +, ·) tiene estructura de cuerpo conmutativo. Recibe el nombre de cuerpo de las razones algebraicas o cuerpo de las fracciones raciona les con coecientes en K y y se representa por K ( ( x x). 4.3.
DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES Concepto de fracción simple o forma reducida. Toda To da fracción algebraica se puede descompone como suma de fracciones simples.
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