tema
06
MATEMÁTICAS Números reales. Topología de la recta real.
3 1 7 9 7 3 1 4 2
tema 6
matemáticas
1. 1.1.
2. 2.1.
2.2.
2.3.
3.
CONSTRUCCIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALE S
SUCESIONES DE CAUCH Y 1.1.1.
Definición y propiedades de las sucesiones d e Cauchy
1.1.2.
Sucesiones de Cauchy equivalentes: Número rea l
EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALE S
EL GRUPO ADITIVO DE LOS NÚMEROS REALES 2.1.1.
Adición de sucesiones regulares: propiedade s
2.1.2.
El grupo aditivo (, +)
PRODUCTO DE NÚMEROS REALE S 2.2.1.
Producto de sucesiones regulares: Propiedade s
2.2.2.
Inversa de una sucesión regular (no convergente a cero) propiedade s
EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALE S CARACTERÍSTICAS DEL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALE S
3.1.
ORDEN EN
3.2.
INMERSIÓN DE EN
3.3.
VALOR ABSOLUTO
3.4.
ES COMPLETO �COMPLETITUD DE � 3.4.1.
3.5.
4.
Teorema: es completo
ES ARQUIMEDIANO
TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL
4.1.
DEFINICIONES GENERALES
4.2.
TOPOLOGÍA USUAL EN
5.
4.2.1.
Intervalos en
4.2.2.
Conjuntos abiertos y cerrados en
4.2.3.
Interior de un conjunto. Propiedades
4.2.4.
Adherencia de un conjunto. Propiedade s
4.2.5.
Frontera de un conjunto. Propiedade s
4.2.6.
Exterior de un conjunto. Propiedade s
CONJUNTOS ACOTADOS EN
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tema 6
matemáticas
INTRODUCCIÓN
Los griegos detectaron ya la insuciencia de los números racionales para medir magni tudes. En particular observaron que no existe ningún número racional cuyo cuadro sea 2 cuando aplicaron el teorema de Pitágoras al tratar de medir la diagonal de un cuadrado de
lado 1. Además existen sucesiones (de Cauchy) de números racionales que no son convergentes en (y por tanto no es completo). Por ejemplo la sucesión siguiente:
xn +1
=
xn
2
+
1 xn
con x1>0 denida por recurrencia es de Cauchy
Si convergiera su límite, u, cumpliría:
u=
u
2
+
1 u
o equivalentemente u2 =2 que, como ya hemos comentado , no tiene solución en . Es por ello que necesitamos construir un conjunto que amplíe y que resuelva todas estas carencias. A este conjunto lo llamaremos de los números reales y lo denotaremos por . Para su construcción seguiremos la misma idea que utilizó Cantor, que se basa en la si guiente idea: Si queremos calcular un número x tal que x2 = 2 mediante un algoritmo (pues por no ser racio nal su expresión decimal tendrá innitos decimales no periódicos), por ejemplo el de la raíz cuadrada, un primer cálculo nos dará un valor racional x1, un segundo cálculo nos dará un valor racional x2,… Si xn son aproximaciones cada vez mejores de x estas diferirán cada vez menos entre ellas, esto es, si ε ∈ , ε > 0 entonces ∃k ∈ : n, m ≥ k ⇒ xn − xm < ε . Se dice que { xn} es de Cauchy. Por otra parte, el mismo número x puede denirse a partir de diferentes algoritmos o sucesiones, por ello se ve la necesidad de no ligar un número a una sucesión sino a toda sucesión que “converja” a él.
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1
1.1.
1.1.1.
CONSTRUCCIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
SUCESIONES DE CAUCHY Definición y propiedades de las sucesiones de Cauchy Una sucesión { y n} ⊆ se dice regular o de Cauchy (en ) si:
∀ε > 0, ε ∈ , ∃ µ (ε) ∈ N; ∀ p, q > µ ⇒ | y y p – yq| < ε Denotaremos por X
C [] el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy en .
Teorema Toda sucesión de números racionales convergente en es de Cauchy.
Demostración: Sea por hipótesis { yn} una sucesión convergente en , tal que lim y n n →∞
= 1 ⇒ ∀ε > 0,
ε ∈ , en particular ε/2 > 0, ∃ µ (ε/2) ∈ N/∀n ≥ µ, se verica y |yn – 1| < ε/2. Entonces, tomando p, q > µ ( ε/2) tales que y p e yq estén denidos, y teniendo en cuenta la denición de sucesión de Cauchy, |y p – yq| = y y |y p – 1 + 1 – yq| ≤ | y y p – 1| + |1 – yq| ≤ ε/2 + ε/2 = ε
El recíproco no es cierto: una sucesión regular o de Cauchy puede no tener como límite un número racional (ver el ejemplo de la introducción), es decir, no todas las sucesiones de Cauchy tienen como límite un número racional. Defnición:
Diremos que una sucesión de números racionales { x n} es un infinitésimo si converge a cero, es decir, si ∀ε > 0, ε ∈ , ∃µ (ε) ∈ N; ∀n >µ ⇒ | x n| <ε. 1.1.2.
Sucesiones de Cauchy equivalentes: Número real Consideramos el conjunto C [ [ ] de todas las sucesiones regulares o de Cauchy de números racionales. Se dene en C [] una relación de equivalencia equi valencia como sigue: { xn} ∼ { yn} ⇔ { xn – yn} es un innitésimo (Esto es: ∀ε > 0,
ε ∈ , ∃µ (ε) ∈ N: ∀n >µ ⇒ | x n – y n| <ε).
Se trata, en efecto, de una relación de equivalencia, porque porque verica las propiedades:
a) Reflexiva: { x n} ∼ { x n} ya que { x n – x n} ={0} ={0} (es la la sucesi sión ón constantemente igual a cero) que obviamente es un infinitésimo. b) Simétrica: { x n} ∼ { y n} ⇒ { y n} ∼ { x n} En efecto: { x n} ∼ { y n} ⇔ { x n – y n} es un infinitésimo ⇔ { y n – x n} lo es ⇔ { y n} ∼ { x n}
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c) Transitiva: { x n} ∼ { y n} ⇒ { x n} ∼ { z n} { y n} ∼ { z n} En efecto:
Dado ε > 0,
ε
ε ∈ , sea µ1 (ε) ∈ N: ∀n >µ1 ⇒ | x n – y n| < y sea: 2
µ2 (ε) ∈ N: ∀n >µ2 ⇒ | y n – z n| <
ε 2 ε
Entonces ∀n > >m max{µ1, µ2} x | n – y n| <| x n – y n| +| y n – z n| < 2
ε
+ = ε . 2
Hemos dividido, así, C [] en clases de equivalencia disjuntas, que constituyen un conjunto cociente, el cual por definición se llamará el conjunto de los números reales, simbolizándolo con la letra : = C []/ ∼
Con lo cual un número real es una clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales. Lo denotaremos por: xn] = [{ xn}] [ x
Queda, pues, denido un número real, dando una sucesión de Cauchy de números racionales. En el siguiente punto vamos a denir operaciones denir operaciones en C [] que induci rán operaciones sobre el conjunto , y le conferirán estructura de cuerpo. Pero antes, vamos a ver algunas propiedades sobre sucesiones de Cauchy que emplearemos posteriormente. Defnición:
Una sucesión { x n} de números racionales se dice acotada superi uperior orme mente > 0, tal que: inferiormente) si ∃ M ∈ , M > (resp. acotadainfe ∀n x n ≤ M (resp. ∀n – M ≤ x n ).
sii ∃ M ∈ , Y se dic ice e acotada si es acotada superior e inferiormente, i.e., s > 0, tal que x | n| ≤ M ∀n. M > LEMA 1. «Toda «T oda sucesión de Cauchy está acotada.» En efecto: Cauchy. Tomando Tomando en la denición ε = 1 tenemos Sea { x n}⊆ una sucesión de Cauchy. que ∃µ ∈ N: ∀n, p >µ ⇒ | x n – x | <1. Sea k =µ =µ +1. Entonces ∀n >k p
x | n| ≤ x | n – x k | +| x k | <1 +| x k | | 1|, x Sea M = max { x | 2|, …, x | µ|, 1 +| x k |}. Se Se si sigue que que x | n| ≤ M ∀n.
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LEMA 2. «Toda sucesión de Cauchy no convergente a cero está acotada inferiormente en «Toda valor absoluto, a partir de cierto término.» En efecto:
Sea { x n}⊆ una sucesión de Cauchy no convergente a cero. Entonces, dado ε ε ∈ +, por ser de Cauchy ∃µ ∈ N: ∀n, p > >µ µ ⇒ | x n – x | < . Si { x n} no estu p 2 ε ε vie vi eseacotadainf nferi eriorme ormenteen valor valor absol soluto, uto, entoncesdados y µ, ∃q >µ : | x q| < . 2 2 Pero entonces, ε ε ∀n>µ x |xn| ≤ | x xn – xq| + x |xq| < + = ε 2 2 lo que contradice que { x n} no sea co convergente nvergente a cer cero. o. | n| ≥ M ∀n > µ. Así ∃ M ∈ + y ∃µ ∈ N: x
LEMA 3.
«Se obti «Se obtiene eneuna sucesi sucesión ón deCauchy {ξn} equivalente equivalentea una sucesi sión ón dada {xn} suprimiendo en ésta un número k arbitrario, pero fijo y finito, de términos iniciales.» En efecto: efecto:
= { x n+k }. Entonces es claro que { ξ } es de C auch chyy, po por serlo serlo { x } . Sea { ξ } n n n Además son equivalentes ya que dado:
ε ∈ +, ∃µ (ε) ∈ N: ∀n, p >µ ⇒ | x n – x p| <ε luego |xn – ξn| = x x |xn – xn+k | < ε ∀n > µ
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2.1.
2.1.1.
EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES
EL GRUPO ADITIVO DE LOS NÚMEROS REALES Adición de sucesiones regulares: propiedades Dadas dos sucesiones regulares { xn} e { yn} se dene su suma como la sucesión: {sn} = { xn} + { yn} = { xn + yn}
1. La sucesión suma es regular. Demostración:
Hay que ver que
∀ε > 0, ε ∈ , ∃ µ (ε) ∈ N ; ∀ p, q > µ ⇒ |s p – sq| < ε |x p – xq + y p – yq| ≤ | x x p – xq| + y |y p – yq| Sea ε > 0 ⇒ |s p – sq| = x ↓ ε∈
Como ∀ε > 0, ε ∈ , se puede elegir, en particular, ε/2 > 0,
(1)
por ser: { xn} regular ⇒ ∀ ε/2 > 0, ∃ µ1 (ε/2) ∈ N; ∀n, p > µ1 ⇒ | x x p – xn| < ε/2 { yn} regular ⇒ ∀ ε/2 > 0, ∃ µ2 (ε/2) ∈ N; ∀n, p > µ2 ⇒ | y y p – yn| < ε/2 entonces para n, p > máx ( µ1 (ε/2), µ2 (ε/2)) se verica: x p – xn| + y |y p – yn| < ε/2 + ε/2 ⇒ {sn} regular |s p – sn| ≤ | x
2. Se obtiene una sucesión { σ n} equivalente a { sn} si { xn} e { yn} se reem plazan plaza n por sucesion suc esiones es equivalen equi valentes tes { ξn} y { ηn} (la suma es estable para l a equivalencia). Demostración:
Sea pues, { xn} ∼ { ξn}
⇒ { σ n} = { ξn + ηn} { yn} ∼ { ηn} veamos que { σ n} ∼ {sn}, es decir que { sn – σ n} es equivalente a cero:
|sn – σ n| = x |xn + yn – ηn| ≤ | x xn – ξn| + y |yn – ηn| Considerando (1), como: { xn} ∼ { ξn} ⇒ ∀ ε/2 > 0, ∃ µ1 (ε/2) ∈ N; ∀n > µ1 ⇒ | x xn – ξn| < ε/2 { yn} ∼ { ηn} ⇒ ∀ ε/2 > 0, ∃ µ2 (ε/2) ∈ N; ∀n > µ2 ⇒ | y yn – ηn| < ε/2 entonces para n > máx ( µ1, µ2) ⇒ |sn – σ n| < ε/2 + ε/2 = ε ⇒ {sn} ∼ { σ n}
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xn} y es regular y además, 3. La opuesta de una sucesión regular { xn} es {–
{ ξn} ∼ { xn} ⇒ { ξn} ∼ {– xn} La diferencia de sucesiones regulares se dene por la adición de la opuesta; esta operación es también estable para la equivalencia. 2.1.2.
El grupo aditivo (, +) El conjunto de las sucesiones regulares constituye un grupo abeliano con res pecto a la adición, ya que la asociatividad asociati vidad y la conmutatividad son evidentes; el elemento neutro es la sucesión nula, {0}, que es regular, así como el opuesto de todo elemento. Si de las sucesiones regulares se pasa a las clases de equivalencia, la estabilidad de la ley estudiada induce en éstas una adición que posee las mismas propiedades y, como además el elemento opuesto es estable para la equivalencia, (, +) tiene estructura de grupo abeliano . Pongamos de maniesto estas características. Denimos la adición en de la siguiente forma: [{sn}] = [{ xn}] + [{ yn}] = [{ xn + yn}] o bien, en notación más abreviada:
[sn] = [ x xn] + [ y yn] = [ x xn + yn] Esta operación es estable, es decir, no depende de los representantes elegidos, como se ha puesto de maniesto al denir la suma de sucesio nes regulares.
Asociatividad ([ x xn]) + [ yn]) + [ zn] = [ x xn] + ([ yn] + [ z zn]), ∀ [ x xn], [ y yn], [ z zn] ∈
Conmutatividad
[ x xn] + [ y yn] = [ y yn] + [ x xn], ∀ [ x xn], [ y yn] ∈
Existencia de elemento neutro Es la clase que contiene a la sucesión constantemente cero y la deno taremos por [0]. Así pues:
∀ [ x xn] ∈ , [ x xn] + [0] = [ xn] = [0] + [ xn]
Existencia de elemento simétrico u opuesto
∀ [ x xn] ∈ , ∃ [– xn] ∈ ; [ x xn] + [– xn] = [0] = [– xn] + [ x xn] Todas estas propiedades, repetimos, son consecuencia inmediata de las propieda des que llevan el mismo nombre en C [ consi guiente, probado que []. Queda, por consiguiente, (, +) tiene estructura de grupo abeliano .
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2.2.
PRODUCTO DE NÚMEROS REALES Vamos a denir sobre C [], una nueva operación, «el producto», estable respecto a la relación de equivalencia ∼ anteriormente denida la cual inferirá un producto en , que gozará de las mismas propiedades que aquélla.
2.2.1.
Producto de sucesiones regulares: Propiedades Se dene el producto de dos sucesiones regulares {x n} e {yn} como la sucesión { pn} = { xn · yn} ↓ (en )
1. La operación es cerrada, es decir, {p n} es regular.
Demostración: Para ello será suciente poner de maniesto que: { pn} = { xn} { yn} = { xn · yn} ∈ C [] Aplicando la denición de sucesión regular,
x p ⋅ y p − xq ⋅ yq = x p y p − x p yq + x p yq − x q y q ≤
≤ x p ( y p − yq ) + yq(x p − x q) = = x p y p − yq ) + yq x p − x q ) < ∧
↓
∧
↓
A
∧
B
∧
p, q > µ1, ε/2A
< A ⋅
↓
ε
2 A
p, q > µ2, ε/2B
+B
ε
2B
=ε
p ,q > máx( µ1, µ µ2)
donde A y B son cotas superiores de {xn} e {yn}, respectivamente, que existen por el lema 1. Luego el producto así denido en C [] es una operación interna.
2. Estabilidad de la operación para la equivalencia.
Demostración: Si tomamos: { x’n} ∼ { xn}
Hay que ver { x’n · y’n} ∼ { xn · yn} { y’n} ∼ { yn} 11
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En efecto: |x’n · y’n – xn · yn| = x’ x’ |x’n y’n – x’n yn + x’n yn – xn yn|
≤
≤ | x’ x’n ( y’ y’n – yn)| + y |yn ( x’ x’n – xn)| = = x’ |x’n| y’ |y’n – yn| + y |yn| x’ |x’n – xn| La demostración se naliza como en el caso anterior introduciendo las cotas cotas A y B de { x’n} y de { yn}, respectivamente. Nota: El siguiente paso será definir la inversa de una sucesión regular y no equivalente a cero. Veamos primero la siguiente propiedad.
3. a) El producto de dos sucesiones no equivalentes (o no convergentes) conver gentes) a cero no es equivalente (convergente) a cero. De donde resulta que que si el producto de dos sucesiones es convergente a cero lo es al menos una de ellas (caso b).
Demostración: En efecto, por ser { xn} e { yn} de Cauchy no convergentes a cero acotadas inferiormente a partir de un cierto número por el lema 2:
⇒ están
|xn| > a para n > µ1 x |yn| > b para n > µ2 y
Entonces, |pn| = x p |xn · yn| = x |xn| · y |yn| > a · b, para n > máx ( µl, µ2) ⇒ { xn · yn}→ / 0
b) Si una de ellas converge a cero
xn ⋅ yn = xn ⋅ yn < A ⋅
⇒ { xn · yn} → 0, pues: ε
A
=ε
↑↓ xn < A por Lem L ema 1 yn < ε/A si y n → 0 2.2.2.
Inversa de una sucesión regular (no convergente a cero) propiedades Sea { xn} una sucesión regular no convergente a cero: | xn| > a para n > µl. Denimos una nueva sucesión { yn} tal que:
yn = 0 para todo n ≤ µ1 y n =
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1 para todo n > µ1 x n
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es decir,
{ xn} = x1, x2, ..., x µ , x µ +1, ... 1
1
{ yn} = 0, 0, ..., 0, 1/x µ +1, ... 1
{ xn ⋅ y n} = 0, 0, ...0, 1, 1, 1, ... ↑ µ1
por tanto, la sucesión producto tiene sus µl primeros términos nulos, siendo los otros iguales a 1, entonces { xn · yn} ∼ {1}. Por denición, la sucesión { yn} se llama inversa de { xn}
1. La inversa de una sucesión de Cauchy y no convergente a cero posee estos mismos caracteres. Es decir { yn} es regular y no equivalente a cero.
Demostración:
Por ser { x n} regular ⇒ jado ε a2 >0, ∃µ(ε a2) ∈ N: ∀n, p >µ x | n – x | <ε a2 p Por otro lado x | n · x | =| x n| · x | p| >a · a =a2, ∀n, p >µl (siendo a l la a cota cotainfe nferi rior or p dada por el lema 2). Entonces para n, p > máx ( µ, µ1) ⇒
xn − x p 1 1 = − xn ⋅ x p x p x n
∧
εa2
a2
=ε
Es decir,
1 1 − < ε ⇒ { y n} regular x p x n { yn} no puede ser nula, pues si lo fuese, su producto { xn · yn} también lo sería y no podría ser equivalente a {1}.
2. La sucesión inversa es estable respecto a la relación de equivalencia. Es decir:
Sea { ξn} ∼ { xn}; si:
{ ηn} inversa de { ξn}
⇒ { ηn} ∼ { yn} { yn} inversa de { xn} (Para demostrarlo se procede de forma análoga que anteriormente.)
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2.3.
EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES Acabamos de ver que el producto de sucesiones regulares es una ley de com posición interna estable respecto a la relación de equivalencia, lo que dene un producto sobre el conjunto , de la siguiente forma:
[{ x n}] · [{ y n}] = [{ x n · y n}] o más abreviadamente:
[ x xn] · [ y yn] = [ x xn · yn] Esta operación verica las propiedades:
Asociativa: ([ x xn] · [ y yn]) · [ zn] = [ x xn] · ([ yn] · [ z zn]); ∀ [ x xn], [ y yn], [ zn] ∈
Conmutativa:
[ x xn] · [ y yn] = [ y yn] · [ x xn], ∀ [ x xn], [ y yn] ∈ Existencia de elemento neutro (unidad): Es la clase de las sucesiones equivalentes a la sucesión {1}
[ x xn] · [1] = [ xn] = [1] · [ xn]; ∀ [ x xn] ∈ Todo elemento no nulo de inverso . cero) admite un inverso.
(correspondiente
a sucesiones no equivalentes equi valentes a
1 1 1 ∀ [ x n ] ∈ − [0] , ∃ ∈ ; [ x n ] ⋅ = [1] = ⋅ [ x n ] x n xn x n respecto pecto Además, se verica la propiedad doblemente distributiva de (+) res (·).. a (·)
([ xn ] + [ yn ]) ⋅ [zn] = [xn] ⋅ [zn] + [ yn ] ⋅ [z n] ∀ [ xn ] , [ yn ] , [ z n] ∈ [ xn ] ⋅ ([ yn ] + [ zn ]) = [ xn ] ⋅ [ y n ] + [ xn ] ⋅ [z n ] Las demostraciones de estas propiedades son consecuencia inmediata de las mis mas en C []. En resumen: – [0] = * es un grupo multiplicativo conmutativo. Como (, +) es un grupo abeliano, podemos sintetizarlo diciendo que (, +, ·) es
un cuerpo conmutativo. conmutativo . En lo sucesivo, designaremos por una letra cualquier elemento de . Veamos una serie de propiedades que caracterizan el cuerpo de los números
reales.
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3
3.1.
CARACTERÍSTICAS DEL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES
ORDEN EN Una vez que hemos construido el conjunto , vamos a dotarle de un orden y va mos a ver que ese orden es total. Defnición
Una sucesión de Cauchy se dice que es positiva si
∃a > 0, a ∈ y ∃n0 (a) ∈ N / xn > a, ∀n ≥ n0 Análogamente, una sucesión de Cauchy es negativa si
∃b > 0, b ∈ y ∃n0 (b) ∈ N / xn < – b, ∀n ≥ n0 LEMA. «Toda «T oda sucesión de Cauchy es o positiva o negativa o equivalente equivalente a cero.»
En efecto:
Sea { x n}∈ C [] no equivalente a cero. Veamos que todos los términos a partir de uno de ellos tienen el mismo signo. Si no fuese así, la sucesión tendría un número innito de términos positivos x p1 , x p2 , y un número innito de términos nega tivos xq1 , xq2 , pero entonces ya no sería de Cauchy ya que:
∀ε ∈ + ∃i, j : x p − xq < ε i
j
Defnición
Sea Se a x ∈ . Diremos que: positiva va quedefine a x . − x es positivo, y escribiremos x ∈+, si ∃ { x n} positi − x es negati gativo, vo, y escribiremos x ∈−, si ∃ { x n} negati tiva va que define a x . Por el lema, todo número real es, o de + o de – o es {0}, es decir, = − ∪ {0} ∪ + Defnición
En denimos la relación ≤ como sigue: ∀ x , y ∈ x ≤ y ⇔ y – x ∈ + ∪ {0} Esta relación ≤ es una relación de orden, pues cumple las propiedades:
1.
Reexiva: x ≤ x , ∀ x ∈
, ya que x – x =0 ∈ + ∪ {0}.
2. Antisimétrica: Si x ≤ y , y a la vez y ≤ x ⇒ x = y .
Decirr que x = y ⇔ y – x ∈ + ∪ {0}. Deci Sea { x n} unasucesi sucesión ón positi positiva va o equi quival valente entea cero que defina defina a y – x ; entonces
{– x n} será una sucesi sucesión ón negati tiva va o equival equivalente entea cero que define a x – y . Pero al al
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tema 6 matemáticas
cess {– x n} tam ser y ≤ x entonce tambi bién én ha de ser una sucesi sucesión ón positi positiva va o equi quival valente ente a cero. L uego {– x n}, y por tanto también, { x n} deben deben ser equival equivalente entes a cero. Así x = y . 3. Tr Trans ansitiva: Si x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z .
Decir que x ≤ y ⇔ y – Decir – x ∈ + ∪ {0}, ∃ { x n} positiva o equivalente a cero de racionales raci onales que define al número y – x . Decir que y ≤ z ⇔ z – – y ∈ +
∪ {0},
racionales que define al número z – y .
∃ { y n} positiva o equivalente a cero de
Entonces { x n + y n} es es una suces sucesiión positi positiva va o equi equival valen ente te a cero de racionales racionales que + define a z – x , luego z – x ∈ ∪ {0} ⇒ x ≤ z . La relación de orden que hemos visto es, además, de orden total (todos los ele mentos son comparables mediante dicha relación). En efecto, sea x , y ∈ y consideremos el número y – x ∈ y sea { x n} unasucesi sucesión ón denúm números eros racional raci onales esque
x lo define. Dicha sucesión será positiva, negativa o equivalente a cero y, por tanto, x ≤ y o y ≤ x o y = x , lue ación ón deor orde den total. l uego, go, en efecto, se tr trata ata de una relaci Propiedades a) b)
∀ x, y, z ∈ / x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z. ∀ x, y, z ∈ / x ≤ y ⇒ xz ≤ yz, z ∈ + ∪ {0}.
Demostración a) Que x + z ≤ y + z ⇔ ( y y + z) – ( x x + z) ∈ + ∪ {0}. x ≤ y
( y y + z) – ( x x + z) = y – x ⇒ y – x ∈ + ∪ {0}, luego x + z ≤ y + z b) Que xz ≤ yz ⇒ yz – xz ∈ + ∪ {0} ⇔ z ( y y – x) ∈ + ∪ {0}. z ∈ + ∪ {0} luego xz ≤ yz.
3.2.
⇒ z > 0 y como x ≤ y ⇒ y – x > 0, luego z ( y – x) ∈ + ∪ {0},
INMERSIÓN DE EN Veamos a continuación que es una extensión efectiva de . Para ello vamos a establecer un monomorsmo de cuerpos. Denimos: i: → a → [{a}]
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Proposición La aplicación anterior i, llamada inclusión, verica las siguientes propiedades:
a) Es inyectiva b) i(a + b) = i(a) + i(b)
c) i(ab) = i(a) i(b) d) a ≤ b ⇔ i (a) ≤ i(b) Demostración a) Si i (a) =i (b), es decir, si [{a}] =[{b}], entonces la sucesi sucesión constante [{a – b}]
tiene límite cero y, por tanto, a =b b) i(a + b) = [{a + b}] = [{a}] + [{b}] = i(a) + i(b)
c) i (ab) =[{ab}] =[{ =[{a}] · [{b}] =i (a) · i (b) d) a ≤ b ⇔ [{b – a}] =[{ =[{b} – {a}] ∈ + ∪ {0} ⇔ [{a}] ≤ [{b}] ⇔ i (a) ≤ i (b) Por tanto es isomorfo a un subcuerpo de . Cada elemento de de la forma [{a}] resulta de esta manera identificado con el número racional a del cual es
imagen por el monomorfi onomorfism smo i , y ambos ambos se des desiigna gnarán rán a par parti tirr de ahora con la la misma letra letra a, de manera que, cuando cuando se considere considere a perteneci perteneciente entea , se tratará del número racional a, y cuand cuando o se conside considere re a perteneci perteneciente entea , se tratará de la clase de equivalencia que tiene por representante la sucesión constante [{ a}]. Nota: La propiedad d) establece que el orden definido en extiende el orden en . Nota: La
3.3.
VALOR ABSOLUTO Se llama valor absoluto de un número real a la aplicación:
|.|: → x → | x x| =
x si x ≥ 0 − x si x < 0
El valor absoluto de un número real también es un número real, ya que si { x n} es
la sucesi sión ón de Cauchy quedefine aun número rea real x , entonces x | | esel número rea real definido por la sucesión {| x n|} que tambi bién én es de Cauchy. Cauchy. Las propiedades fundamentales son: 0,∀ ∀ x ∈ y x a) x | | =0 ⇔ x =0 | | ≥ 0, =0..
b) x | + y | ≤ | x | +| y |. c) xy | | =| x | y | |. d) x | | =|– x |. e) I m (|.|) =+ ∪ {0}. f) | x | | – y | || ≤ x | – y |. g) x | | ≤ Μ ⇔ −Μ ≤ x ≤ M . Las propiedades a), b) y c) coneren a estructura de espacio normado .
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3.4.
X
ES COMPLETO �COMPLETITUD DE �
Proposición 1: es denso en Dados dos elementos α y β de tales que α < β, entonces existe siempre un c ∈ tal que α < c < β. Dicho con otras palabras, entre dos números reales, existe siempre un número racional.
Demostración:
Sean α = [{ xn}] y β = [{ yn}]. Como α < β, existe un número racional ε > 0 y un número natural n0 (que depende de ε) tales que: yn – xn > ε, para n ≥ n0
Por otra parte, como { xn} e { yn} son sucesiones de Cauchy, existe un número na tural m0 ≥ n0 tal que:
xn − xm <
ε
4
y yn − ym <
y, en pa parti rticul cular, ar, xn − xm0 <
xm0 −
Sea c =
ε
4
< xn < xm + 0
ε
4 ε
4
ε
4
para n, m ≥ m0
y yn − ym0 < y ym0 −
ε
4
ε
4
para pa ra n ≥ m0, es de deci cir, r,
< yn < ym + 0
ε
4
para n ≥ m0
1 ntonces, s, pa para ra n ≥ m0 se veri veriffican: ( xm + ym0 ) . Entonce 2 0
c − xn >
ε 1 ε ε ε ε 1 xm0 + ym0 ) − xm0 − = ( ym0 − xm0 ) − > − = ( 2 4 2 4 2 4 4
y 1
e
yn - c > ym0 -
4
-
2
(x
m0
1
+ ym0
)= (y 2
m0
)
- x m0 -
e
4
e
>
2
e
-
4
e
=
4
Por tanto: [{ xn}] < [{c}] < [{ yn}], es decir: α < c < β. X
Proposición 2 Toda sucesión { an}n ∈ N de Cauchy en es convergente en y su límite es el elemento α ∈ , que tiene por representante la sucesión { an}n ∈ N.
Demostración:
Sea α = [an] el número real determinado por la sucesión {an} ⊆ . Queremos demostrar que la sucesión { i(an)}⊆ converge a α, α, donde hacemos uso confusiones.. Dado ε ∈ +, de la aplicación inclusión de en para evitar confusiones por la proposición 1, ∃ε’ ∈ +: 0 < ε’ < ε. Por ser {an} de Cauchy, para este ∃µ( µ(’) ∈ N: ∀m, p >µ : |am – a p| <ε’. ε’ > 0 ∃
18
tema 6
matemáticas
Entonces dado m > µ se sigue que ∀ p ≥ m : |am – a p|<ε’. Como {an}n ∈ N ∼ {an}n ≥ m ambas determinan el mismo número real, α, y lo anterior implica que:
|i(am ) – α| < ε’ < ε Así hemos visto que: ∀ε > 0, ε ∈ , ∃ ∃µ( µ(ε) ∈ N: ∀m > µ |i(am) – α| < ε
c.q.d.
Nota: La proposició proposición n anterior establece que la inclusión inclusión no no es sobreyectiva, sobreyectiva, puesto que que la sucesión dada en la introducción de números racionales es de Cauchy pero no es convergente en .
3.4.1.
Teorema: es completo Toda sucesión de Cauchy en es convergente.
Demostración: Sea { αn}n ∈ N ⊆ sucesión de Cauchy. Por la proposición 1, para cada número
natural n existe un número racional an tal que αn < an < αn +
1 n
Como { αn}n ∈ N es una sucesión de Cauchy en , para cada ε > 0 de existe un número natural n0 (que supondremos mayor que
ε
) tal que
3 ε α n − α m < , ∀n, m ≥ n0 3
Por consiguiente, para todo n, m ≥ n0 se tiene:
an − am ≤ an − α m + α m − am <
1 ε 1 ε ε ε + + < + + =ε n 3 m 3 3 3
luego {an}n ∈ N es una sucesión de Cauchy en . Sea α el elemento de que admite como representante la sucesión { an}n ∈ N. Por la proposición 2, la sucesión { an}n ∈ N de Cauchy en es convergente en y su límite es α. Nos queda, pues, por probar que lim αn = α. n
→∞
Como lim an = α, para cada δ > 0 de existe un número natural m0 (que podemos n
→∞
suponer mayor que 2/ δ) tal que:
an − α <
δ
2
para todo n ≥ m0
Entonces, para todo n ≥ m0 se tiene:
α n − α
≤
α n − an
1 n
+ an − α < +
δ
2
<
δ
2
+
δ
2
=δ
luego, en efecto lim αn = α. n
→∞
19
tema 6 matemáticas
3.5.
ES ARQUIMEDIANO es arquimediano; esto es: ∀ x, y ∈ con 0 < x < y, existe n ∈ N tal que x · n > y
Demostración:
Supongamos x, y ∈ denidos por las sucesiones { xn}, { yn}. Como { xn} es regular y positiva, entonces ∃k’ ∈ + tal que x |xn| > k’ (o xn > k’).
Por tanto tenemos que k’ <| x xn| < y |yn| < k . Como es arquimediano, existe n ∈ N tal que: n · k’ > k
La relación xn > k’ implica x > k’ ⇒ n · x > n · k’
(2)
Análogamente yn < k implica implica y < k
(3)
De (1), (2) y (3) tenemos
> y ⇒ n · x > y n · x > n · k’ > k >
20
(1)
tema 6
matemáticas
4
TOPOLOGÍA DE LA REC TA REAL Antes de centrarnos en , daremos unas deniciones básicas de topología.
4.1.
DEFINICIONES GENERALES Supongamos el conjunto X ≠ φ. Defnición 1.
C P ( X ). Diremos que T es es una topología en X ⇔ X ). Sea T C
a) φ, X ∈ T . b) Al, A2 ∈ T ⇒ A1 ∩ A2 ∈ T .
α ∈ Ω. cualquier familia { A α} α ∈ Ω de conjuntos de T ⇒ ∪ A α ∈ T α c) Dada cualquier Defnición 2.
Dado un conjunto X y y una topología T en ). en X , se llama espacio topologico al par ( X , T ). A los conjuntos que integran la topología t opología T se se les denomina conjuntos abiertos del espacio topológico.
4.2.
TOPOLOGÍA USUAL EN Consideremos ahora X =.
4.2.1.
Intervalos en Defnición 1
Sean a, b ∈ , a < b. Denimos (a, b) como el conjunto { x ∈ ; a < x < b} Al conjunto (a, b) le denominamos intervalo abierto de extremos a y b. Análogamente, podemos denir los siguientes intervalos abiertos: (– ∝, b) = { x ∈ ; x < b} (a + ∝) = { x ∈ ; x > a} (– ∝ +∝) = . Defnición 2
Sean a, b ∈ , a ¯ b. Denimos (a, b) como el conjunto { x ∈ ; a ¯ x ¯ b} El conjunto (a, b) recibe el nombre de intervalo cerrado de extremos a y b. Análogamente, podemos denir los siguientes intervalos cerrados. (a, +∞) = { x ∈ ; x > a} ( – – ∞, b) = { x ∈ ; b > x}
En el caso de a = b, el intervalo cerrado [ a, b] queda reducido a un solo punto.
21
tema 6 matemáticas
Denición 3
abierta de centro en x y radio ε al conjunto Sea x ∈ , ε > 0. Se llama bola abierta de ( x x – ε, x + ε)
La notación de bola abierta es la siguiente:
B ( x, ε) = {z ∈ /x − ε < z < x + ε} = {z ∈ / z − x < ε}
De esta forma, el lim xn = I ⇔ ∀B (I , ε) ∃k ∈ N tal que n→∞
∀n > k ⇒ x n ∈ B ( I , ε) 4.2.2.
Conjuntos abiertos y cerrados en Defnición
Sea A ⊂ ; A es un conj conjunto unto ab abiierto ⇔ ∀x ∈ A, ∃ B ( x, ε) ⊂ A. Proposición: Todo intervalo abierto es un conjunto abierto.
Proposición: La colección de los conjuntos abiertos de la recta real es una topología.
Demostración: 1. φ, son conjuntos abiertos.
− Supongamos que φ no es un conjunto abierto ⇔ ∃ x ∈ φ tal que ∀ B° ( x, ε), ° x, ε) ⊄ φ en contradicción con que el conjunto vacío no tiene elementos. ( x B
x – 1, x + 1) ⊂ ⇒ es abierto. − ∀ x ∈ , consideremos ε = 1 ⇒ ( x 2. Si Al, A2 son conjuntos abiertos ⇒ A1 ∩ A2 es un conjunto abierto.
Distinguimos dos posibilidades:
a) Al ∩ A2 = φ, que, según lo demostrado anteriormente, es un conjun to abierto. b) A1
∩ A
2
≠ φ.
x ∈ A1 ∀ x ∈ A1 ∩ A2 ⇒ ∧ Def. inters. x ∈ A 2 ∃ B (x, ε1) ⊂ A1 Por se serr A1 y A2 conj conjun untos tos abi bie ertos ⇒ ∃ B (x, ε2) ⊂ A2 °
°
°
B ( x x, ε1) ∩ B ( x x, ε2) = B ( x x, ε) siendo ε = mín {ε1, ε2}.
22
tema 6
matemáticas
Y por tanto,
⇒ B ( x, ε) ⊂ B ( x, ε2) ⇒ B ( x, ε) ⊂ A2
B ( x, ε) ⊂ B ( x, ε1) ⇒ B ( x, ε) ⊂ A1
⇒ B ( x, ε) ⊂ A1 ∩ A2 ⇒ A1 ∩ A2 es conjunto abierto 3. { A α} α ∈ Ω familia de abiertos en ⇒ ∪ A α abierto en . α ∈ Ω
∀ x ∈ ∪ A α ⇒ ∃ β ∈ Ω / x ∈ Aβ ⇒ ∃ B ( x, ε) ⊂ Aβ ⇒ ⇒ B ( x, ε) ⊂ ∪ Aα ⇒ ∪ Aα es abie abi e erto rto en . α∈Ω
α∈Ω
Corolario: El conjunto formado ( , T ) ) es un espacio topológico, siendo T la la topología topología estudiada anteriormente, que llamamos usual usual..
Defnición
Sea B ⊂ . Diremos que B es cerrado si su complementario \ B es abierto. Proposición: Se verica: a) φ y son conjuntos cerrados.
⇒ B1 ∪ B2 es cerrado. c) Si{ B α} α ∈ Ω familia cualquiera de conjuntos cerrados ⇒ ∩ B α es conjunto ceb) Si B1 y B2 son conjuntos cerrados
α ∈ Ω
rrado.
Las demostraciones son consecuencia inmediata de la denición de conjunto ce rrado y del hecho que los conjuntos abiertos son una topología. 4.2.3.
Interior de un conjunto conjunto.. Propiedades Defnición
Sea S ⊂ . Llamamos interior de S a la unión de todos los conjuntos abier tos contenidos en S . ° Se denota como S = ∪ { A / A es abierto, A ⊂ S }. }. También podemos denotarlo como Int ( S ). ).
Propiedades: ° 1. S es un conjunto abierto. ° 2. S es el mayor conjunto abierto contenido en S . ° 3. S es es conjunto abierto ⇔ S = = S .
4. 5.
( A ∩ B ) = A ∩ B .
A ∪ B ⊂ A ∪ B .
23
tema 6 matemáticas
Defnición
° interior a S ⇔ x ∈ S . Sea S ⊂ , x ∈ , x es un punto interior a Proposición:
° Sea S ⊂ , x ∈ S , x es un punto interior a S ⇔ ∃ B ( x x, ε) ⊂ S . 4.2.4.
Adherencia de un conjunto. Propiedades Defnición
Sea S ⊂ . Llamamos adherencia de S a la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a S . – Lo denotamos por S = ∩ { B / B es cerrado y S ⊂ B} Lógicamente, siempre ∃ un conjunto cerrado que contiene a S , ∀S ⊂ .
Propiedades:
–
1. S es un conjunto cerrado.
–
2. S es el conjunto cerrado más pequeño que contiene a S .
–
3. S es es cerrado ⇔ S = = S .
– –
4. A = A. 5.
A ∪ B = A ∪ B .
6.
A ∩ B ⊂ A ∩ B .
Las demostraciones son inmediatas a partir de la denición. Defnición
– Sea S ⊂ , x ∈ , x es un punto adherente a S ⇔ x ∈ S . Proposición:
° ° Sea S ⊂ , x ∈ , x es un punto adherente a S ⇔ ∀ B ( x x, ε) ⇒ S ∩ B ( x x, ε) ≠ φ. 4.2.5.
Frontera de un conjunto. Propiedades Defnición
–
°
Se llama frontera del conjunto S, S ⊂ y se representa por ∂ (S ) a S – S , es decir, – ∂ (S ) = S – S °. Defnición
Sea S ⊂ , x ∈ S . ). x es un punto frontera del conjunto S ⇔ x ∈ ∂ (S ).
Proposición:
Sea S ⊂ , x ∈ .
S ∩ B x , ε ≠ φ ( ) x ∈ ∂ (S ) ⇔ ∀ B ( x , ε) ⇒ − S ∩ B x ≠ ( , ε) φ ( )
24
tema 6
matemáticas
4.2.6.
Exterior de un conjunto. Propiedades Defnición
Sea S ⊂ . Llamamos exterior de S al conjunto − S , y se representa también por Ext ( S ). ).
Proposición:
Sean S ⊂ , x ∈ . °
°
x es un punto exterior al conjunto S ⇔ ∃ B ( x x, ε) / S ∩ B ( x x, ε) = φ.
Proposición:
°
Sea S ⊂ . Se verica: = S ∪ ∂ ( S )
∪
− S siendo estos tres subcon juntos
disjuntos dos a dos.
25
tema 6 matemáticas
5
CONJUNTOS ACOTADOS EN
X verifica el axioma del supremo
orme mentesi ∃k ∈ tal que ∀ x ∈ A Sea A ⊂ , diremos que A está acotadosuperior A x x ≤ k Un número k ∈ con esta propiedad diremos que es una cota superior de A. Si además k es es la menor de las cotas superiores diremos que k es es supremo de A, denotado sup( A).
Teorema: Todo conjunto A ⊂ , no vacío y acotado superiormente tiene supremo.
Demostración:
Sea x ∈ A y sea sea a ∈ tal que x – – 1
∀ε ∈ + ∃μ ∈ : b
−a
2 μ
< ε y ∀ p, q > μ : x p − xq < b
−a
2μ
Veamos que el número real [ xn] es justamente el supremo de A: yn] ∈ A: [ x − [ xn] es cota superior de A, pues en otro caso ∃[ y x n] <[ y y n]. Entonces ∃ε∈+, ∃μ∈N: y n – x n > ε ∀n> μ . Por ser {yn} de Cauchy dado: ε ε > 0 ∃μ’∈N: y | p – y n| < ∀n, p> μ’ 2 2 ε − Se Sea a m > max{ μ, μ’} jo entonces ∀n ≥ m yn – xm = yn – ym + ym – xm > 2 Se sigue que el número re rea al { i(i(x x m )} < y [ y n], lo que contradice la elección de x m − Sea [ zn] una cota superior de A. Si fuese [ z zn] < [ x xn], ∃ε∈+, ∃μ∈N: x n – z n > ε ∀n> μ C omo 0 < ε entonces: − ∃λ ∈ : b λ a < ε 2
Si m > max { μ, λ} entonces ∀n ≥ m tendremos:
zn
26
< xn − ε < xn −
b−a
2λ
≤ xλ −
b−a
2λ −1
tema 6
matemáticas
Entonces:
[{ zn}n≥m] = [ z zn] < i xλ −
b − a
2λ −1
lo que contradice que el extremo izquierdo del intervalo [ ,x λ], que es justamente:
xλ −
b−a
2λ −1
, no sea cota superior de A. Así [ xn] ≤ [ z zn].
Por tanto, [ xn] = sup( A).
27
tema 6 matemáticas
BIBLIOGRAFÍA
APÓSTOL: Análisis Matemático. Ed. Reverté. Barcelona, 1976. LINÉS ESCARDÓ: Principios de Análsis Matematico. Ed. Reverté. Barcelona, 1988. SPIVAK: Cálculo Infinitesimal . Ed. Reverté. Barcelona, 2003. RUDIN: Principios de Análisis Matemático. Ed. McGraw-Hill. Madrid, 1987.
28
tema 6
matemáticas
RESUMEN
Números reales. Topología de la recta real.
1. 1
1.1.
1.1.1.
CONSTRUCCIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
SUCESIONES DE CAUCHY Definición y propiedades de las sucesiones de Cauchy Una sucesión { y n} ⊆ se dice regular o de Cauchy (en ) si:
∀ε > 0, ε ∈ , ∃ µ (ε) ∈ N; ∀ p, q > µ ⇒ | y y p – yq| < ε Denotaremos por C [] el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy en . 1.1.2.
Sucesiones de Cauchy equivalentes: Número real En el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy se establece una relación de equivalen cia cuyo conjunto cociente es simbolizado con la letra . = C []/ ∼
2. 2
2.1.
2.1.1.
EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES
EL GRUPO ADITIVO DE LOS NÚMEROS REALES Adición de sucesiones regulares: propiedades La suma natural de sucesiones determina sobre el conjunto de sucesiones de Cauchy una operación estable respecto a la relación de equivalencia denida anteriormente.
2.1.2.
El grupo aditivo ( , +) El conjunto de las sucesiones regulares constituye un grupo abeliano con respecto a la adición y la estabilidad de dicha ley con la relación de equivalencia induce en el conjunto de número reales estructura de grupo abeliano.
2.2.
PRODUCTO DE NÚMEROS REALES Análogamente se dota a * de estructura de grupo deniendo sobre el conjunto de sucesio nes de Cauchy una nueva operación llamada producto que será estable respecto a la rela ción de equivalencia anteriormente denida la cual inferirá un producto en , que gozará de las mismas propiedades que aquélla. Para ello s e siguen los pasos siguientes:
2.2.1.
Producto de sucesiones regulares: Propiedades Se dene el producto de dos sucesiones regulares {x n} e {yn} como la sucesión
{ pn} = { xn · yn} ↓ (en )
29
tema 6 matemáticas
1. La operación es cerrada, es decir, {p n} es regular. 2. Estabilidad de la operación para la equivalencia. 3. a) El producto de dos sucesiones no equivalentes (o no conver gentes) a cero no es equivalente (convergente) a cero. converge a cero ⇒ { xn · yn} → 0. b) Si una de ellas converge 2.2.2.
Inversa de una sucesión regular (no convergente a cero): propiedades Sea { xn} una sucesión regular no convergente a cero: | xn| > a para n > µl. Denimos una nueva sucesión { yn} tal que:
yn = 0 para todo n ≤ µ1 y n =
1 para todo n > µ1 x n
Por denición, la sucesión {y n} se llama inversa de { xn}.
1. Es regular y no equivalente a cero. 2. La sucesión inversa es estable respecto a la relación de equivalencia. 2.3.
EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES Se demuestra la propiedad distributiva del producto respecto respecto la adición y, junto con los resultados de 2.1 y 2.2, se sigue que (, +, ·) es un cuerpo conmutativo.
3. 3
3.1.
CARACTERÍSTICAS DEL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES
ORDEN EN Se dota a la recta real de una relación de orden total.
3.2.
INMERSIÓN DE EN Los números reales son una extensión efectiva de los racionales.
3.3.
VALOR ABSOLUTO Se llama valor absoluto de un número real a la aplicación:
|.|: → x → | x x| =
x si x ≥ 0 − x si x < 0
El valor absoluto de un número real también es un número real. 3.4.
ES COMPLETO �COMPLETITUD DE � Toda To da sucesión de Cauchy es convergente.
30
tema 6
matemáticas
3.5.
ES ARQUIMEDIANO
es arquimediano; esto es: ∀ x, y ∈ con 0 < x < y, existe n ∈ N tal que x · n > y.
4. 4
TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL Estudio de las propiedades topológicas en la recta real.
4.1.
DEFINICIONES DEFINICIO NES GENERALES
Denición 1.
Sea T C C P ( X ). Diremos que T es es una topología en X. X ).
Denición 2. Dado un conjunto X y y una topología T en ). en X , se llama espacio topologico al par ( X , T ).
4.2.
4.2.1.
TOPOLOGÍA USUAL EN Intervalos en
Denición 1
Sean a, b ∈ , a < b. Denimos (a, b) como el conjunto { x ∈ ; a < x < b} Al conjunto ( a, b) le denominamos intervalo abierto de extremos a y b.
Denición 2
Sean a, b ∈ , a ¯ b. Denimos (a, b) como el conjunto { x ∈ ; a ¯ x ¯ b} El conjunto ( a, b) recibe el nombre de intervalo cerrado de extremos a y b.
Denición 3
Sea x ∈ , ε > 0. Se llama bola abierta de centro en x y radio ε al conjunto ( x – ε, x + ε) 4.2.2.
Conjuntos abiertos y cerrados en
Denición
Sea A ⊂ ; A es un conj conjunto unto ab abiierto ⇔ ∀x ∈ A, ∃ B ( x, ε) ⊂ A.
Denición
Sea B ⊂ . Diremos que B es cerrado si su complementario \ B es abierto. 4.2.3.
Interior de un conjunto. Propiedades
Denición a la unión de todos los conjuntos abiertos abier tos contenidos Sea S ⊂ . Llamamos interior de S a ). en S . Se denota Int ( S ).
4.2.4.
Adherencia de un conjunto. Propiedades
Denición a la intersección de todos los conjuntos cerrados Sea S ⊂ . Llamamos adherencia de S a – que contienen a S . Lo denotamos por S .
31
tema 6 matemáticas
4.2.5.
Frontera de un conjunto. Propiedades
Denición Se llama frontera del conjunto S, S ⊂ y se representa por
– ∂ (S ) = S – S °. 4.2.6.
– ∂ (S ) a S – S °, es decir,
Exterior de un conjunto. Propiedades
Defnición
Sea S ⊂ . Llamamos exterior de S al al conjunto − S , y se representa también por Ext ( S ). ).
5. 5
5.1.
CONJUNTOS ACOTADOS ACOTADOS EN VERIFICA EL AXIOMA DEL SUPREMO Es decir, todo conjunto A ⊂ , no vacío y acotado superiormente tiene supremo.
32
