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MATEMÁTICAS Números enteros. Divisibilidad. Números primos. Congruencia
3 1 6 9 7 3 1 4 2
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1. 1.1.
NÚMEROS ENTEROS CONSTRUCCIÓN DE Z 1.1.1. Equivalencia de pares de números naturale s 1.1.2. El conjunto de los números enteros 1.1.3. Representación gráfica de los números entero s
1.2.
EL GRUPO ADITIVO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 1.2.1. Adición de números enteros: propiedade s 1.2.2. Estructura de grupo: el grupo aditivo de los números entero s 1.2.3. Sustracción de números entero s
1.3.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: PROPIEDADE S
1.4.
EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTERO S
1.5.
ORDEN EN Z: PROPIEDADES
1.6.
VALOR VAL OR ABSOLUTO DE UN NÚ MERO ENTERO: PROPI EDADES
1.7.
ISOMORFISMO DE N CON UNA PARTE DE LOS NÚMEROS ENTEROS
2.
DIVISIBILIDAD
2.1.
DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS ENTEROS
2.2.
DIVISIBILIDAD EN EL ANI LLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 2.2.1. Definiciones generale s 2.2.2. Relación de divisibilidad en ( Z, +, ·) 2.2.3. Máximo común divisor 2.2.4. Mínimo común múltipl o 2.2.5. Algoritmo de Euclides
3.
NÚMEROS PRIMOS
3.1.
DEFINICIÓN DE NÚMERO PRIMO: PROPIEDADES
3.2.
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO
4.
CONGRUENCIAS
4.1.
CONGRUENCIAS EN EL ANILLO DE LOS ENTEROS
4.2.
RESTOS POTENCIALES
5.
RESULTADOS FUNDAMENTALES DE LA TEORÍA ELEMENTAL DE NÚMERO S
5.1.
CRITERIO GENERAL DE DIVISIBILIDAD
5.2.
CRITERIOS ELEMENTALES DE DIVISIBILIDA D
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INTRODUCCIÓN
En el desarrollo de este tema podemos distinguir tres grandes epígrafes. En primer lugar, la construcción del conjunto de los números enteros para dar respuesta a determinados problemas que no tienen solución en N. Seguidamente haremos el estudio de la divisibilidad, empezando con unas ideas generales sobre la divisibilidad en el conjunto de los números naturales para extenderla a continuación a la divisibilidad en el conjunto de los números enteros, centrando toda nuestra atención en el estudio de la divisibilidad en el anillo de los números enteros. Finalmente haremos un estudio de las congruencias, clases de restos potenciales y sus aplicaciones a los criterios de divisibilidad.
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1
1.1.
NÚMEROS ENTEROS CONSTRUCCIÓN DE Z En el conjunto de los números naturales N la operación a – b, no es posible más que en el caso de que a ≥ b. Dicho en otros términos, una ecuación de la forma a + x = b no siempre tiene solución, ya que su solución × = b – a sólo tendría sentido en N si b ≥ a. Supondremos desde el principio conocida la existencia y las propiedades del con junto de los números naturales (N, + , ·), tomando 0 ∈ N. Construiremos el conjunto de los números enteros, Z, considerando pares ordenados de elementos de N y una relación de equivalencia, que determinará en N × N una partición en clases de equivalencia, cada una de las cuales será un número entero.
1.1.1. Equivalencia de pares de números naturales
Consideremos el conjunto N × meros naturales. Esto es:
N formado
N × N=
por todos los pares ordenados de nú-
{(a, b) / a ∈ N, b ∈ N}
Sobre este conjunto se dene la relación R de la siguiente forma:
(a, b) R (c, d ) ⇔ a + d = b + c Se suele simbolizar también: (a, b) ~ (c, d ). ). Se lee: el par (a, b) equivalente ). a (c, d ). Con la denición de equivalencia de pares fácilmente se demuestra que se trata de una relación de equivalencia (ha de vericar simultáneamente las propiedades reexiva, simétrica y transitiva). En efecto: − Reexiva: ∀ (a, b) ∈ N × N, (a, b)
~ (a, b) ya que a + b = b + a (por la pro piedad conmutativa de la adición de números naturales).
− Simétrica: Si (a, b)
~ (c, d ) ⇒ a + d = b + c ⇒ c + b = a + d ⇒ (c, d ) ~ (a, b).
− Transitiva: Si (a, b)
~ (c, d ) y si (c, d ) ~ (e, f ) ⇒ (a, b) ~ (e, f ) ⇓
⇓
(a + d = b + c) y (c + f = d + e) ⇓
⇓
(a + d + f = b + c + f ) y (b + c + f = = b + d + e) ⇒ a + d + f = b + d + ∈ ⇒ a + f = b + ∈ ⇒ (a, b) ~ (e, f )
Clases de equivalencia son cada uno de los subconjuntos de N × N formados por
todos los pares de números naturales equivalentes entre sí.
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Se simboliza: [(a, b)] = {( x x, y) ∈ N × N / (a, b) ~ ( x x, y)} = {( x x, y) ∈ N × N / ( x x, y) ~ (a, b)} (simética)
Así, [(2, 4)] = {(a, b) ∈ N × N / a + 4 = b + 2} = {(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5)...} Cada uno de los elementos de la clase es un representante de dicha clase. En el caso de la clase [(2, 4)] son representantes de la misma: (0, 2), (1, 3), (2, 4),... 1.1.2. El conjunto de los números enteros
Se llama número entero cada una de las clases de equivalencia obtenidas en N × N al denir la equivalencia de pares de números naturales.
El conjunto cociente N × N / R está formado, por denición de conjunto cociente, por todas las clases de equivalencia obtenidas, es decir, por todos los números enteros y se denomina conjunto de los números enteros. Se simboliza por Z = N × N / R R.. Aunque toda clase de equivalencia queda determinada dando un representante cualquiera de la misma, suele utilizarse para ello los llamados representantes canónicos. No obstante, veamos algunas propiedades generales antes de enunciar el método general del cálculo de los representantes canónicos de un número entero. X
Proposición 1 Todo elemento (a, b) ∈ N × N dene un número entero m, tal que m = a – b – b. Demostración:
si (a, b) ~ (c, d ) ⇒ a + d = c + b ⇒ a – b = c – d
X
||
||
m
= m
Proposición 2 Si (a, b) ~ (c, d ), ), entonces a = c equivale a b = d . Demostración: si (a, b) ~ (c, d ), ), entonces: a + d = b + c, y si a = c, podemos escri bir: a + d = a + b de donde se sigue que d = b (ley de simplicación de la adición en N). En consecuencia, el conjunto de los pares de la forma (a, a) es un número entero que se designa por 0 (cero). En particular, para a = 0, obtendremos uno de sus representantes: el par (0, 0).
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X
Proposición 3 Si (a, b) ~ (c, d ), ), entonces a = c + h implica que b = d + h, y si c = a + h implica que d = b + h. Demostración: Si (a, b) ~ (c, d ) entonces se verica: a + d = b + c. Por hipótesis: a = c + h ⇒ (c + h) + d = b + c
⇓ por la asociatividad de la adición en N c + (h + d ) = b + c
⇓ por la conmutatividad de la adición en N
(h + d ) + c = b + c ⇓ por la ley de simplicación de la adición en N
(h + d ) = b ⇓ por la conmutatividad de la adición en N
(d + + h) = b Análogamente se demostraría la otra posibilidad. Por tanto, se sigue que para cada número natural «a» el conjunto de elementos de la forma (a + h, h) es un número entero que se designa por (+a). En particular, si h = 0, se sigue: (a, 0) = +a (entero positivo). Z+ simboliza
el conjunto de los enteros positivos.
De forma análoga, el conjunto de los elementos de la forma (h, a + h) para cada valor de h es un entero que se representa por (– a). En particular, si h = 0 se sigue que (0, a) = – a (entero negativo). Z – simboliza
el conjunto de los enteros negativos.
Se llama representante canónico de un número entero al par de su clase de equivalencia que tiene al menos una de sus componentes nula. Veamos cómo se calcula el representante canónico de cada número entero: Sea (a, b) un representante de un número entero, a, b ∈ N. Puede ocurrir: – b, b – b) = (a – b – b, 0) = (m, 0) = m 1. a > b, entonces (a, b) ~ (a – b ↓
haciendo a – b – b = m
– a, b – a) = (0, b – a) = (0, n) = – n 2. a < b, entonces (a, b) ~ (a – a ↓
3. a = b, entonces (a, b) ~ (a, a) ~ (0, 0) = 0
8
haciendo b – a – a = n
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Así pues, los representantes canónicos posibles son: (m, 0) para el entero positivo (+m) = m.
(0, m) para el entero negativo (– m) = – m. (0, 0) para el entero cero.
En virtud de lo anterior, adoptaremos, en lo sucesivo, nombrar a las clases por sus representantes canónicos. De esta forma: [(a, 0) ] = a
[(0, a)] = – a [(0, 0)] = 0
Abreviadamente: {[(a, 0)], ∀ a ∈ N} ⇒ Z = Z+ ∪ Z – y Z+ ∩ Z – = {0} Z – = {[(0, a)], ∀ a ∈ N} Se dice que dos números enteros son del mismo signo si ambos pertenecen a Z+ o Z – , y son de distinto signo si uno pertenece a Z+ y otro a Z – , o viceversa. Z+ =
1.1.3. Representación gráfica de los números enteros
× N viene representado en el plano por un conjunto de puntos situados en el primer cuadrante, en el que sus dos coordenadas son números naturales, de forma tal que los puntos que representan pares equivalentes, que denen un número entero, están situa dos en semirrectas paralelas a la bisectriz (diagonal) de dicho cuadrante. El punto origen de cada semirrecta representa el representante canónico de cada número entero, situados sobre OX los enteros positivos y sobre OY los enteros negativos. N
Si prolongamos las semirrectas situadas en la parte superior de la bisectriz hasta que corten al eje horizontal determinan en los puntos de corte la posición de los números enteros negativos. Se obtiene así, la represent representación ación lineal de Z.
·
·
–5 –4 –3
·
· –2
· –1
· 0
· 1
· 2-
· 3
· 4
· 5
· 6
· 7 z
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Se observa que la representación lineal de Z no llena toda la recta real. Observación:
Otra forma de obtener la representación lineal de Z es girando 90º el eje vertical N de la representación cartesiana de N × N.
1.2.
EL GRUPO ADITIVO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Vamos a dotar a Z de la estructura de grupo y luego, mediante un orden denido en Z, veremos que se trata de un grupo ordenado.
1.2.1. Adición de números enteros: propiedades Se dene la adición de números enteros a través de la aplicación: Z × Z
−−+→ Z
[(a, b), (c, d )] )] → [(a, b)] + [(c, d )] )] = [(a + c, b + d ) Es decir: Llamaremos suma de dos números enteros de representantes (a, b) y (c, d ) al número entero de representantes (a + c, b + d ). ). Se simboliza: ( a, a, b b)) + ( c, c, d ) = ( a a + c c,, b + d )
Veamos que la adición de números enteros no depende de los l os representantes elegidos. Demostración:
Supongamos: (a, b) ~ (a’, b’) ⇒ a + b’ = a’ + b
(1)
(c, d ) ~ (c’, d’) ⇒ c + d’ = c’ + d
(2)
Para poner de maniesto que:
[(a, b) + (c, d )] )] ~ [(a’, b’) + (c’, d’)], tendremos que probar: (a + c, b + d ) ~ (a’+ c’, b’+ d’) ⇒ (a + c) + (b’+ d’) = (a’+ c’) + (b + d ) En efecto, sumando miembro a miembro (1) y (2): a + b’+ c + d’ = a’ + b + c’ + d
Por la propiedad conmutativa y asociativa de la adición de números naturales, obtendremos: (a + c) + (b’ + d’) = (a’ + c’) + (b + d ) En virtud de la propiedad anterior (uniformidad) en lo sucesivo trabaja-remos, siempre que sea posible, con los representantes canónicos. Veamos qué casos se pueden distinguir en la l a adición de números enteros: − Suma de enteros positivos:
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) → Resultado positivo
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− Suma de enteros negativos:
(0, a) + (0, b) = (0, a + b) → Resultado negativo − Suma de un entero positivo y otro negativo (o viceversa):
(a, 0) + (0, b) = a – b ↓ dene
X
{
Resultado positivo si a > b Resultado negativo si a < b
Propiedades de la adición de números enteros Además de la uniformidad, cualesquiera que sean los números enteros de repre), (m, n), respectivamente, se verica: sentantes (a, b), (c, d ), − Interna:
[(a, b)] + [(c, d )] )] ∈ Z − Asociativa:
[(a, b) + (c, d )] )] + (m, n) = (a, b) + [(c, d ) + (m, n)] − Conmutativa:
(a, b) + (c, d ) = (c, d ) + (a, b) − Existe elemento neutro:
∃ (0, 0) / (a, b) + (0, 0) = (a, b) = (0, 0) + ( a, b),∀ (a, b) ∈ Z − Existe elemento simétrico para cada c ada número entero:
∀ (a, b) ∈ Z, ∃ (b, a) ∈ Z tal que: (a, b) + (b, a) = (0, 0) = (b, a) + (a, b). Esta última propiedad equivale a decir que la suma es simetrizable. Las demostraciones son inmediatas, teniendo presentes las propiedades de la l a adición de números naturales y la denición de la adición en el conjunto Z, por lo que sólo nos limitaremos a demostrar alguna de ellas, por ejemplo, la asociativa. Demostración de la asociativa: elijamos números enteros cualesquiera, que admitan, pues, respectivamente (a, b), (c, d ) y (m, n) por representantes. Tenemos: Tenemos:
[(a, b) + (c, d )] )] + (m, n) = (a + c, b + d ) + (m, n) = adición en Z
adición en Z
= [(a + c) + m, (b + d ) + n] = [a + (c + m), b + (d + + n)]= asoc. en N
adición en Z
en cada componente
= (a, b) + (c + m, d + n) = (a, b) + [(c, d ) + (m + n)]
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X
Proposición El simétrico de cada número entero es único. Demostración: [La existencia ya está puesta de maniesto al garantizar que para todo entero de representante (a, b) existe otro entero, que admite como representante (b, a), vericando (a, b) + (b, a) = (0, 0) = (b, a) + (a, b)].
En efecto, elijamos un número entero que admita un representante de la forma (a, b) y supongamos (b, a) y (c, d ), ), dos simétricos de ( a, b). Por denición de elemento simétrico ha de vericarse:
[(a, b) + (b, a)] ~ [(a, b) + (c, d )] )]
⇓
⇓
(a + b, b + a) ~ (a + c, b + d )
⇓ a + b + b + d = a + c + b + a
⇓ por la ley de simplicación de N b + d
= a + c ⇒ (b, a) ~ (c, d)
En general, ∀ n ∈ Z se designa su simétrico por (– n) que se conoce con el nombre de opuesto. Además: Si n ∈ Z+ ⇒ (– n) ∈ Z – Si n ∈ Z – ⇒ (– n) ∈ Z+ Así, por ejemplo, (–6) ∈ Z – ⇒ opuesto (–6) = 6 ∈ Z+ (7) ∈ Z+ ⇒ opuesto (7) = (–7) ∈ Z – 1.2.2. Estructura de grupo: el grupo aditivo de los números enteros
Para poder garantizar que Z posee estructura de grupo respecto a la operación (+), recordemos los axiomas que caracterizan tal estructura. Sea E un conjunto arbitrario y * una operación interna sobre E. Se dice que E tiene estructura de grupo respecto a la operación *, o bien que (E, *) es un grupo, si la operación * además de ser interna verica las propiedades aso ciativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento simétrico para todo elemento de E. Si además se verica la propiedad conmutativa se dice que (E, *) es un grupo
conmutativo o abeliano. En consecuencia, y teniendo en cuenta las propiedades de la adición en Z, podemos garantizar que Z posee la estructura de grupo abeliano o conmutativo respecto a la adición. En otros términos:
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(Z, +) es un grupo abeliano, que se denomina «el grupo aditivo de los números enteros».
Como consecuencia de la denición de la adición y por ser ( Z, +) un grupo, la suma de números enteros verica la propiedad cancelativa. Esto es:
∀ p, q, r ∈ Z, si p + q = p + r ⇒ q = r Demostración: p) ∈ Z / p + (– p) = 0 Por ser p ∈ Z ⇒ ∃ (–
Por tanto, operando con (– p) obtendremos: p) + ( p p + q) = (– p) + ( p p + r ) ⇒ [(– p) + p] + q = [(– p) + p] + r (– por la de la adición de Z
De donde: 0 + q = 0 + r ⇒ q = r (Esta propiedad también se conoce diciendo que en un grupo todos los elementos son regulares; en particular, en el grupo aditivo (Z, +) todos los elementos son regulares o todos los números enteros son regulares respecto a la suma). Enunciemos otras propiedades válidas para el grupo (Z, +): −
La ecuación a + x = b, ∀ a, b ∈ Z es resoluble en Z y admite solución única: x = (–a) + b
−
Por ser (Z, +) un grupo, existe en él una operación inversa de la adición.
En efecto, si a + x = b ⇒ x = (– a) + b = b – a Estudiemos con detalle esta operación en Z. 1.2.3. Sustracción de números enteros
En virtud de la existencia de elemento simétrico para todo entero respecto a la adición, la sustracción o resta de dos números enteros se reduce a la suma del primero con el opuesto del segundo. Se simboliza:
∀ m, s ∈ Z
m – s = m + (– s) = d
Los términos de esta operación reciben el nombre de minuendo, sustraendo y diferencia, respectivamente. Por reducirse la sustracción a una adición de números enteros, también puede ser denida en función de pares de números naturales.
Elijamos, por ejemplo, dos números enteros que admitan por representantes los ). Se verica: pares (a, b) y (c, d ). (a, b) ~ (c, d ) = (a, b) + (d , c) = (a + d , b + c) Esto nos permite denir la sustracción como una aplicación de: – Z × Z →Z
[(a, b), (c, d ) ] → (a + d , b + c)
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Se deduce, entonces, que: −
La sustracción de números enteros no depende de los representantes elegidos (uniformidad).
−
La sustracción de números enteros es una operación interna. m ≠ Z Se simboliza, ∀ n, m ∈ Z ⇒ n – m
− La sustracción de dos números enteros no verica la propiedad
conmutativa. m ≠ m – n Con símbolos, ∀ n, m ∈ Z ⇒ n – m
En efecto, sea: n = (a, b) y m = (c, d ) n – m m = (a, b) – (c, d ) = (a, b) + (d , c) = (a + d , b + c) ≠ (c + b, d + a) = m – n (en función de sus representantes)
− La sustracción de números enteros no verica la propiedad asociativa.
Es decir, (m – n) – s ≠ m – (n – s), ∀ m, n, s ∈ Z 1.3.
MULTIPLICACIÓN MUL TIPLICACIÓN DE NÚMEROS NÚMER OS ENTEROS: PROPIEDADES una operación que llamaremos producto, tal que (Z, +, .) sea un anillo conmutativo con elemento unidad y, además, prolongue el producto en N; esto es, la restricción del producto de Z a N es el producto que se ha denido en el conjunto de los números naturales. Vamos a denir en el conjunto de los números enteros
Z,
Se dene la multiplicación de números enteros a través de la aplicación: · Z × Z →Z
[(a, b), (c, d )] )] → [(a · c + b · d , a · d + b · c)] Es decir: Llamaremos producto de dos números enteros de representantes ( a, b) y ( c, d ) al número entero de representante (ac + bd , ad + + bc). Se simboliza: ( a, + bc) a, b b)) · ( c, c, d ) = ( ac + ac + bd bd , ad + bc
Por tratarse de una aplicación, está garantizada la l a existencia de tal producto. VeaVeamos ahora la unicidad. Demostración:
El producto de dos números enteros no depende de los representantes elegidos. (Propiedad uniforme). Es decir: (a, b) · (c, d ) ~ (a’, b’) · (c’, d’)
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u
(a, b) ~ (a’, b’) (c, d ) ~ (c’, d’)
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Esto se reduce a probar: (a · c + b · d , a · d + b · c) ~ (a’ · c’ + b’ · d’, a’ · d’ + b’ · c’) ⇒
⇒ a · c + b · d + a’ · d’ + b’ · c’ = a · d + b · c + a’ · c’ + b’ · d’ Hagámoslo en dos partes: −
Si: (a, b) ~ (a’, b’) ⇒ (a, b) · (c, d ) ~ (a’, b’) · (c, d ) (c, d ) ~ (c, d )
−
Si: (a’, b’) ~ (a’, b’) (c, d ) ~ (c’, d’)
⇒ (a’, b’) · (c, d ) ~ (a’, b’) · (c’, d’)
Veamos: ), es que: ⇒ Si (a, b) · (c, d ) ~ (a’, b’) ~ (c · d ), (ac + bd , ad + + bc) ~ (a’c + b’d , , a’d + + b’c) lo que lleva a probar que: + a’d + + b’c = ad + + bc + a’c + b’d ac + bd + En efecto: ac + bd + a’d + b’c = ( a + b’) · c + ( b + a’) · d = (a + b’) · c + (a + b’) · d = = (a + b’) (c + d ) ad + bc + a’c + b’d = (a + b’) · d + (b + a’) · c = (a + b’)(c + d )
⇒ Si (a’, b’) · (c, d ) ~ (a’, b’) · (c’, d’) ⇒ (a’c + b’d , a’d + + b’c) ~ (a’c’ + b’d’, a’d’ + b’c’) ⇒ obliga a que
a’c + b’d + a’d’ + b’c’ = a’d + b’c + a’c’ + b’d’
Veamos: a’c + b’d a’c + b’d + a’d’ + b’c’ = a’ (c + d’) + b’ (d + + c’) = (c + d’) (a’ + b’) a’d + b’c + a’c’ + b’d’ = a’(d+c’)+b’(c+d ’)=(a’+b’)(d+c’)=
= (c + d ’) (a’ + b’) Así pues, de lo anterior, por la propiedad transitiva de la relación de equivalencia, deducimos la igualdad deseada. En virtud de la uniformidad, en lo sucesivo, se pueden denir, si se desea, todas
las propiedades en términos de los representantes canónicos.
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Regla de los signos: − Producto de dos enteros positivos
(a, 0) · (b, 0) = (ab, 0) → Resultado positivo. − Producto de dos enteros negativos:
(0, a) · (0, b) = (ab, 0) → Resultado positivo.
− Producto de un entero positivo por otro negativo, o viceversa:
(a, 0) · (0, b) = (0, ab) → Resultado negativo. X
Propiedades Además de la uniformidad, condición esencial para que la multiplicación esté bien denida, el producto de números enteros verica las siguientes propiedades: − Interna:
El resultado de multiplicar dos números enteros es siempre otro número entero.
∀ x,y ∈ Z ⇒ ( x x · y) ∈ Z Demostración:
Sean (a, b), (c, d ) representantes, respectivamente, de tales números: (a, b) · (c, d ) = (ac + bd , ad + + bc) = (m, n), representante de un número ↓ ↓ z ∈ Z; z = x · y m∈
N
n∈N
− Asociativa:
∀ x, y, z ∈ Z; ( x x · y) · z = x · ( y y · z) − Conmutativa:
∀ x, y ∈ Z, x · y = y · x Observación: Omitimos las demostraciones anteriores por ser una aplicación directa de la de -
nición del producto de números enteros y seguir un proceso análogo al que se ha puesto de maniesto en (Z, +). − Existe elemento neutro (o unidad):
∃ e ∈ Z,∀ x ∈ Z / x · e = x = e · x, siendo e = 1 ∈ Z
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Demostración:
Sea (a, b) un representante del número x ∈ elemento neutro.
Z y
sea (el, e2) un representante del
Por denición:
(a, b) · (el, e2) = (a, b) = (el, e2) · (a, b) ae1 + be2 = a ⇒ (ael + be2, ae2 + bel) = (a, b) ⇒ be + ae = b 1 2
{
{
⇒
2
a2e1 + abe2 = a 2 b2e1 + bae2 = b
}⇒
}
e1 (a2 – b2) = a2 – b2 ⇒ e1 = 1; e2 = 0
Por la conmutativa, (a, b) · (e1, e2) = (e1, e2) · (a, b) Luego e = (1, 0) = 1 ∈ Z. En virtud de estas propiedades, podemos garantizar que (Z, .) es un semigrupo multiplicativo con elemento neutro (se suele denominar «elemento unidad») y conmutativo.
Además de las propiedades citadas anteriormente, cabe citar: − Ley de simplifcación (cancelativa):
∀ n si n · · m = n · p n,, m m,, p ∈ Z0, si n n · p ⇒ m = p (Z0 = Z – {0}) En otros términos: Todos los números números enteros, enteros, a excepción del cero, son regulares para el producto. − El cero es un elemento absorbente,
es decir, todo entero multiplicado por
cero da resultado cero.
Simbólicamente:
∀ m ∈ Z, m · 0 = 0 Demostración:
Sea (a, b) un representante del entero m. (a, b) · (0, 0) = (a · 0 + b · 0, a · 0 + b · 0) = (0, 0)
↓
↓
N
N
(Sin embargo, el cero no es absorbente para la suma: m + 0 ≠ 0, ∀ m ∈ Z) −
Propiedad distributiva del producto respecto a la adíción: Al igual que sucede en el conjunto de los números naturales, en Z se relacionan las operaciones de la adición y multiplicación a través de la propiedad distributiva del producto respecto a la adición.
∈ Z siempre se verica: En términos generales, ∀ p, q, r ∈ p · (q + r ) = p · q + p · r (por (por la izquierda).
( p = p · r + + q · r (por (por la derecha). p + q) · r =
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1.4.
EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Para poner de maniesto que el conjunto de los números enteros posee estructura
de anillo respecto a la adición y multiplicación, comencemos por enunciar los axiomas que caracterizan tal estructura. Sea A un conjunto arbitrario, y sean (*) y (⊥) dos operaciones internas denidas sobre A. Se dice que A tiene estructura de anillo respecto a las operaciones (*) y (⊥), o bien que ( A A, *, ⊥) es un anillo, si y sólo si: −
(A, *) es un grupo conmutativo (abeliano).
−
(A, ⊥) es un semigrupo.
distributiva (por ambos lados) de ( ⊥) respecto a (*). − Se verica la propiedad distributiva
Si además la segunda operación posee elemento neutro (se suele de-nominar «unidad» para diferenciarlo del neutro de la primera) se dice que (A, *, ⊥) es un anillo unitario. Todo anillo (A, *, ⊥), en el que la operación (⊥) sea conmutativa, se dice anillo conmutativo. La existencia de elemento unidad y propiedad conmutativa de un anillo son pro piedades independientes. Si ambas se verican en un anillo, se dice anillo unitario
conmutativo. Entre los muchos ejemplos que se pueden citar de este tipo de estructura algebraica, cabe resaltar el anillo de los números enteros (Z, +, ·). En efecto: (Z, +): Grupo conmutativo (abeliano). (Z, ·): Semigrupo conmutativo con elemento unidad. Se verica la distributiva, por ambos lados, de (·) respecto a (+).
Por tanto, (Z, +, ·) es un anillo conmutativo unitario. Recibe el nombre de «anillo de los números enteros». enteros».
Enunciemos algunas propiedades características del anillo (Z, +, ·). − El anillo de los números enteros no posee divisores de cero
Es decir: ∀ n, m ∈ Z, si m · n = 0 ⇒ m = 0 ó n = 0 Dicho en otros otros términos, términos, el producto de dos dos números números enteros enteros es nulo si si y sólo si al menos uno de los factores es nulo. (Para su demostración es su ciente aplicar la denición de producto ∈ igualdad de pares). − (Z, +, ·) es un dominio de integridad.
En efecto, se dene: dene: anillo de integridad como todo anillo conmutativo y sin
divisores de cero. En consecuencia (Z, +, ·) es un anillo de integridad. Además, todo anillo de integridad con elemento unidad se dice dominio de integridad. En virtud de las propiedades de (Z, ·), que hacían de (Z, +, ·) un anillo conmutativo y unitario, queda probado que el anillo de los números enteros es un dominio de integridad.
18
tema 4
matemáticas
Por otra parte, todas las propiedades vericables en un anillo arbitrario ( A, +, ·)
son válidas para el caso del anillo de los números enteros (Z, +, ·). Así pues: − a · 0 = 0 – a = 0, ∀ a
∈Z
Demostración:
∀ b ∈ Z, por ser (Z, +) grupo abeliano ⇒ b + 0 = b ⇒ ⇒ ab = a · (b + 0) = ab + a · 0 ⇒ a · 0 = 0 ley cancelativa en (Z, +)
Por la propiedad conmutativa a – 0 = 0 – a ⇒ 0 – a = 0, ∀ a ∈ Z −
∀ a, b ∈ Z ⇒ a · (– b) = –(a · b) = (– a) · b Demostración:
Por ser (Z, +) grupo ⇒ ∀ b ∈ Z, ∃ (– b) ∈ Z / b + (– b) = 0 Por la propiedad anterior, ∀ a ∈ Z ⇒ a · 0 = 0
↓
a [b + (– b)] = ab + a (– b) = 0 ⇒
distributiva
a (– b) = –(ab)
Análogamente se demostraría: (– a) · b = –(ab)
−
∀ a, b ∈ Z, (– a) (– b) = a · b. Demostración: aplicando reiteradamente la propiedad anterior: (– a) · (– b) = – [a – (– b)] = – [–(ab)] = ab por 2.
−
∀ a, b, c ∈ Z
por 2.
{( · –( ) –· )== a a
b c b c
ab – ac ac – bc
c = b + (– c)]. [Su demostración es inmediata, sin más que considerar b – c
Esto viene a garantizar: garantizar: «En «En el anillo de de los números enteros se verica la
propiedad distributiva del producto respecto respecto a la sustracción o diferencia». −
1.5.
Por ser (Z, +, ·) un dominio de integridad la ecuación a · x = b, si admite solución, ésta es única.
ORDEN EN Z: PROPIEDADES Dados dos números enteros a y b se dice que a es menor o igual que b que b, y se es+ cribe a ≤ b, si y sólo si (b – a) ∈ Z . Se simboliza: a ≤ b ⇒ (b – a) ∈ Z+
19
tema 4 matemáticas
Fácilmente se comprueba que es una relación de orden total, por vericar las
propiedades: − Reexiva: ∀ a ∈ Z, a ≤ a
≤ b y si b ≤ a ⇒ a = b. Transitiva: Si a ≤ b y si b ≤ c ⇒ a ≤ c.
− Antisimétrica: Si a −
− Todos los elementos de Z son comparables. Es decir ∀ a, b ∈ Z+ se verica
a ≤ b, o bien, b ≤ a.
En efecto, elegidos dos elementos a, b c= Z puede ocurrir: 1. a – b ∈ Z+ ⇒ b ≤ a 2. a – b ∈ Z – ⇒ b – a ∈ Z+ ⇒ a ≤ b
Resumimos: La relación ≤ defnida sobre Z es de orden total y el conjunto Z está totalmente ordenado por la relación ≤.
La representación lineal de Z es una sola cadena.
· ... –5 –4
· –3
· –2 –1
·
· 0
· 1
· 2-
· 3
· 4
· 5
· 6
·
...
En términos de representantes: (a, b) ≤ (c, d ) ⇔ a + d ≤ b + c, transformándose en la relación de orden denida en N, al ser a, b, c y d números naturales. X
Propiedades − La relación de orden denida en Z,
es independiente de los representantes
elegidos. Demostración:
Sean (a, b), (a’, b’) representantes del entero m, y (c, d ), ), (c’, d’) representantes del entero n. Si: m ≤ n ⇒ (a, b) ≤ (c, d ) ⇒ (a’, b’) ≤ (c’,d’)
Por ser: (a, b) ~ (a’, b’) ⇒ a + b’ = a’ + b (c, d ) ~ (c’, d’) ⇒ c + d’ = c’ + d Ahora bien: (a, b) ≤ (c, d ) ⇒ a + d ≤ b + c ⇒ a + d + b’ + d’ ≤ b + c + b’ + d’ ⇒ ↓
por la equivalencia de los pares
d + a’ + b + d’ ≤ c’ + d + b + b’ ⇒ a’ + d’ ≤ c’ + b’ ⇒ (a’, b’) ≤ (c’, d’)
− El orden total denido en Z
es compatible con la adición.
Esto es:
∀ n, m, p, q, ∈ Z sí
20
{
n ≤ m ⇒ n + p ≤ m + q p≤q
tema 4
matemáticas
Demostración: p1, p2), (q1, q2), representantes respectivos de los núSean (n1, n2), (m1, m2), ( p meros enteros elegidos.
}
Si (n1, n2) ≤ (m1, m2) n1 + m2 ≤ n2 + m1 ⇒ p1, p2) ≤ (q1, q2) p1 + q2 ≤ p2 + q1 ( p ---------------------n1 + m2 + p1 + q2 ≤ n2 + m1 + p2 + q1 ⇒ por la asociatividad de Z.
⇒ (n, + p1) + (m2 + q2) ≤ (m1 + q1) + (n2 + p2) ⇒ n + p ≤ m + q
Queda así probado que (Z, +, ≤) es un grupo aditivo ordenado. −
La multiplicación en Z es compatible con la relación ≤ si se multiplica por un entero positivo y se invierte si el entero es negativo:
∀ n, m ∈ Z, si n ≤ m ⇒
{
n · p ≤ m · p si p ∈ Z+ n · p ≥ m · p si p ∈ Z –
En consecuencia, (Z, +, ·, ≤) es un anillo conmutativo unitario totalmente ordenado. − (Z, ≤) no está bien ordenado:
En efecto, se dice que una relación de orden R sobre A dene un buen orden en A, o que A está bien ordenado, si todo subconjunto de A tiene primer elemento respecto a R. En el caso de (Z, ≤) hemos visto que ≤ es de orden en Z, pero Z – ⊂ Z y Z – no tiene primer elemento. Esto lleva a garantizar que (Z, ≤) no tiene un buen orden. Sin embargo, (Z+, ≤) está bien ordenado. − (Z, +, ·, ≤) es un dominio de integridad ordenado:
Se dice dice que un dominio dominio de integridad integridad está ordenado si existen existen en él ciertos elementos, llamados positivos, que verican las leyes de: − Adición: suma de positivos es positivo. − Multiplicación: producto
de positivos es positivo. positivo.
− Tricotomía: cualquier elemento del dominio verica una de las condicio -
nes siguientes: es positivo, es nulo, o su opuesto es positivo. En virtud de lo anterior se verica: 1. (Z, +, ·) es un dominio de integridad ordenado.
2. El cero es anterior a cualquier entero positivo.
posterior a cualquier entero negativo. 3. El cero es posterior 4. Todo entero negativo es anterior a cualquier entero positivo.
21
tema 4 matemáticas
1.6.
VALOR VAL OR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO: ENTE RO: PROPIEDADES || La aplicación Z −−→ N n, n −−→ |n| = – n,
{
si n > 0 si n < 0 si n = 0
0,
recibe el nombre de valor absoluto de un número entero. A la vista de la denición se deducen las siguientes propiedades:
∀ n ∈ Z, |n| ≥ 0 y |n| = 0 ⇔ n = 0 si n ∈ Z+ ⇒ n = |n| b) ∀ n ∈ Z, n ≤ |n| tal que: si n ∈ Z – ⇒ – n = |n| a)
{
c) |– n| ≤ |n|, ∀ n ∈ Z. (Esta propiedad de uso frecuente, garantiza que dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto). d ) Si |n| ≤ a ⇔ – a ≤ n ≤ a.
(Esta propiedad tiene gran gran aplicación aplicación en el estudio estudio de de sucesiones sucesiones y manejo manejo de de intervalos, ya que decir |n| ≤ a quiere decir que los valores de n están comprendidos en el intervalo cerrado [– a, a]). A partir de estas cuatro propiedades fundamentales se deduce:
|
|
1. ∀ a, b ∈ Z se verica: |a| – |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| 2. El valor absoluto de un producto de dos enteros cualesquiera es igual al producto de sus valores absolutos.
Simbólicamente:
∀ a, b ∈ Z, |a · b| = |a| · |b| 1.7.
ISOMORFISMO DE N CON UNA PARTE DE LOS NÚMEROS ENTEROS Consideremos, nuevamente, el conjunto Z+ de los enteros positivos, y denamos la aplicación f: N → Z+ (n) = (n, 0) = +n n → f ( Esta inmersión de N en Z equivale a probar que el conjunto de los l os números enteros es una extensión algebraica del conjunto de los números naturales. Veamos que se trata de un homomorsmo biyectivo de ( N, +, ·) en (Z+, +, ·), es decir, de un isomorsmo.
En efecto: a) Es homomorfsmo porque ∀ n, m ∈ N : f (n + m) = (n + m, 0) = (n, 0) + (m, 0) = f (n) + f (m) f (n · m) = (n · m, 0) = (n, 0) · (m, 0) = f (n) · f (m)
22
tema 4
matemáticas
b) f es es inyectiva y sobreyectiva a la vez (esto es, biyectiva):
es inyectiva, pues ∀ n, m ∈ N, si f (n) = f (m) ⇒ f es
↓ ↓ ⇒ (n, 0) = (m, 0) n + 0 = m + 0 ⇒ n = m ∀ (+n) ∈ Z+ ⇒ +n = (n, 0) ⇒ n ∈ por consiguiente, al menos existe existe n ∈ N / f (n) = (n, 0) = +n ∈ Z+.
f es sobreyectiva, porque
N
y,
En virtud de este isomorsmo, las estructuras ( N, +, ·) y (Z+, +, ·) son isomorfas, y por lo tanto, los conjuntos N y Z+ son isomorfos, pudiéndose identicar tales
conjuntos. Dicho en otros términos, el conjunto de los números naturales es isomorfo al con junto de los enteros positivos, por por medio del isomorsmo anteriormente anteriormente denido,
lo que permite garantizar que N ≡ Z+ ⇒ N ⊂ Z.
23
tema 4 matemáticas
2
2.1.
X
DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS ENTEROS Definición Sean a, b ∈ Z. Decimos que a divide a b, a es divisor de b o b es múltiplo de a, y lo denotamos por a | b, si existe un c ∈ Z tal que a · c = b. a|b ⇔ ∃c ∈ Z / a · c = b
Esta relación, así denida en el conjunto Z de los números enteros, ya no es una relación de orden parcial, es un preorden. (Verica (Verica simultáneamente las propieda des reexiva y transitiva.)
La propiedad antisimétrica que necesitamos para tener un orden no se cumple, pues por ejemplo, 1 | –1 y –1 | 1 pero 1 ≠ –1. En general: Si a | b ⇒ ∃ m ∈ Z / a · m = b ⇒ a · m · n = b · n = a ⇒ m · n = 1 Si b | a ⇒ ∃ n ∈ Z / b · n = a Esta ecuación en Z admite las soluciones: m = n = 1, entonces a = b
Antisimétrica.
m = n = –1, entonces a = – b.
No antisimétrica.
Para salvar esta dicultad, vamos a considerar conjuntos binarios formados por un número y su opuesto, mediante el procedimiento llamado de los números asociados.
Para ello recordemos que los únicos números enteros que poseen inverso en Z son 1 y –1 y, que respecto de la multiplicación, tienen estructura de grupo abeliano. X
Definición Sean a, b ∈ Z. Decimos que a y b están asociados, y lo denotamos por a Rb, si existe un u ∈ U = = {–1, 1} tal que a · u = b. tal que a · u = b aRb ⇔ ∃u ∈ U tal
X
Proposición La relación ser asociados es una relación de equivalencia en Z. (Es evidente que verica las propiedades reexiva, simétrica y transitiva, y la de mostración es aplicación directa de la propia denición de la relación).
Por el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia, la relación ser asociados produce una partición de Z en clases de equivalencia.
24
tema 4
matemáticas
A estas clases las llamamos números asociados y las representamos por – a, y al R. conjunto cociente por Z/ R – a = {b ∈ Z / a · u = b con u · c = U } – Si a = 0, 0 = {0} a = {– a, a} Si a ≠ 0, – X
Definición Sean – a, b ∈ Z/ R R. Decimos que – a divide a b, y lo denotamos por – a | b, si existe un – – c ∈ Z tal que a · c = b. –
–
– |b⇔ a –
X
–
∃ c ∈ Z / a– · c =b –
Proposición La relación de divisibilidad en Z/ R R es un orden. En la práctica, al hablar de divisibilidad se identica Z y Z/ R R. En consecuencia, la relación denida determina también en Z un orden parcial, siendo suciente considerar como elementos canónicos de cada clase los números
positivos, quedando así englobada englobada la divisibilidad en N.
2.2.
DIVISIBILIDAD EN EL E L ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
2.2.1. Definiciones generales
divisores de cero se denomia) Un anillo conmutativo con elemento unidad y sin divisores na dominio de integridad. Esto es:
∀ a, b ∈ A, a · b = 0 ⇔ a = 0 ó b = 0 b) Sea ( A no vacío de A es un ideal de A si: A, +, ·) un anillo. Un subconjunto I no
( I I , +) es un subgrupo de ( A A, +). Para todo x ∈ I y y para todo a ∈ A se verica: a · x ∈ I y y x · a ∈ I . Ejemplo:
En el anillo de los números enteros, los ideales son de la forma aZ = ( a); esto es, son los múltiplos de cualquier entero a. A los ideales de este tipo, engendrados por un único único elemento del anillo se les llama ideal principal. Al elemento a generador se le llama base del ideal = (a). I , y se expresa I = c) Sea A un anillo conmutativo. Si todo ideal de A es principal, diremos que A es un anillo principal.
Así pues, el anillo Z es principal, ya que todo ideal de Z es principal.
25
tema 4 matemáticas
2.2.2. Relación de divisibilidad en (Z, +, ·) X
Definición Sean a, b ∈ Z. a divide a b, a | b ⇔ (b) ⊂ (a).
X
Proposición Las deniciones
1
a | b ⇔ ∃ c ∈ Z tal que a · c = b 2
a | b ⇔ (b) ⊂ (a) son equivalentes.
Demostración: 1 ⇒ 2. a · c = b. Por ser Z anillo principal ⇒ (b) ⊂ (a). 2 ⇒ 1. (b) ⊂ (a) ⇒ b ∈ (a). Por ser Z anillo principal ⇒ ∃ c ∈ Z
tal que, a · c = b X
Propiedades de la divisibilidad
∀ a, b, c ∈ Z: 1. a | 0. (El cero es múltiplo de todo número entero no nulo.) 2. 1 | b, –1 | b. (1 y –1 son divisores de todo número entero.)
(Todo número entero es múltiplo y divisor de sí mismo.) 3. a | a. (Todo 4. Si a | b y a | c, entonces a | (b + c) y a | (b – c), b > c. 5. Si a | b, entonces a | b · c. 6. Si a | b, entonces a | bn con n ∈ N*. 7. Si a | b, entonces a | |b|. 8. Si a | b, entonces |a| | |b|. 9. Si a | b y b ≠ 0, entonces |a| ≤ |b|.
2.2.3. Máximo común divisor
Recordemos que el conjunto de los ideales de Z con las operaciones suma e intersección tiene estructura de retículo distributivo. Sean (a), (b) ∈ | (Z). (a) + (b) = { x + y ∈ Z / x ∈ (a), y ∈ (b)} (a) ∩ (b) = { x ∈ Z / x ∈ (a), x ∈ (b)} y por ser Z anillo principal, todo ideal de Z es de la forma (a) = aZ con a ∈ Z, luego (a) + (b) = (d ) M ) (a) ∩ (b) = ( M
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tema 4
matemáticas
Recordemos que la base positiva de un ideal es el menor número positivo distinto de cero que genera dicho ideal. X
Definiciones Sean a, b ∈ Z. Llamamos ideal máximo común divisor de a y b al ideal (a) + (b) = (d ). ). Llamamos máximo común divisor de a y b a la base positiva del ideal (a) + (b) = (d ), ), y lo designamos por m. m. c. d. (a, b) = d .
X
Proposición El m. c. d. (a, b) = d es el mayor de los divisores comunes de a y b. Demostración: −
Veamos que d es divisor de a y b: (a) = { x + 0 / x ∈ (a), 0 ∈ (b)} ⊂ (a) + (b) = (d ) ⇒ d | a (b) = {0 + y / 0 ∈ (a), y ∈ (b)} ⊂ (a) + (b) = (d ) ⇒ d | b
−
Veamos que d es el mayor de los divisores comunes de a y b. Sea d’ un divisor cualquiera de a y b. d’ | a ⇒ (a)
⊂ (d’)
d’ | b ⇒ (b)
⊂ (d’)
Sumando, d ) = (a) + (b) ⊂ (d’) + (d’) = (d’) (ldempotente) ⇔ d’ | d Consecuencia: a | b ⇔ m. c. d. (a, b) = a
Demostración: a | b ⇔ (b) ⊂ (a) ⇔ (a) + (b) = (a) ⇔ m. c. d. (a, b) = a X
Teorema de Bezout Si m. c. d. (a, b) = d , entonces ∃ λ , µ ∈ Z tales que λ · · a + µ · b = d . Demostración:
Si m. c. d. ( a , b) = d ⇒ ( a) + ( b ) = ( d ) ⇒ x + y = d con Base
· a + µ · b = d . x ∈ (a), y ∈ (b) ⇒ ∃ λ , µ ∈ Z tales que λ ·
27
tema 4 matemáticas
X
Definición Sean a, b ∈ Z. Decimos que a y b son primos entre sí, si y sólo si m. c. d. (a, b) = 1. Consecuencias:
1 ad bd 2
d d 2. Si m. c. d. (a, b) = 1, entonces ∃ λ , µ ∈ Z tales que λ · · a + µ · b = 1. (Relación de Bezout.) 1. Si m. c. d. (a, b) = d , entonces m. c. d. — , — = — = 1
X
Teorema de Euclides Si a | b · c y m. c. d. (a, b) = 1, entonces a | c. Demostración:
Si a | b · c ⇒ ∃m ∈ Z tal que a · m = b · c Si m. c. d. (a, b) = 1 ⇒ ∃λ , µ ∈ Z tal que:
λ · · a + µ · b = 1 ⇒ c · (λ · · a + µ · b) = c ⇒ ⇒ λ ac ac + µbc = c ⇒ λ ac ac + µam = c ⇒ a (λ c + µm) = c ⇒ ∃(λ c + µm) ∈ Z tal que a (λ c + µm) = c ⇒ a | c X
Propiedades del m · c · d 1. Si m. c. d. (a, b) = d , entonces m. c. d. (a · c, b · c) = d · c a b d — = — 2. Si m. c. d. (a, b) = d y c|a, c|b, entonces m. c. d. — , c c c
1
2
2.2.4. Mínimo común múltiplo X
Definiciones Sean a, b ∈ Z. Llamamos ideal mínimo común múltiplo de a y b al ideal (a) ∩ (b) = ( M ). M ). Llamamos mínimo común múltiplo de a y b a la base positiva del ideal (a) ∩ (b) = ( M ), y le designamos por m. M ), m. c. m. (a, b) = M .
X
Proposición El m. c. m. (a, b) = m es el menor de los múltiplos comunes de a y b, no nulo. Demostración −
Veamos que m es múltiplo de a y b: ( M M ) = (a) ∩ (b) ⊂ (a) ⇒ a | M M ) = (a) ∩ (b) ⊂ (b) ⇒ b | M ( M
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tema 4
matemáticas
−
Veamos que m es el menor de los múltiplos comunes de a y b. Sea M’ un múltiplo cualquiera de a y b. a | M’ ⇔ ( M’ M’) ⊂ (a) b | M’ ⇔ ( M’ M’) ⊂ (b)
Intersección: ( M’ M’)
( M’ M’) ∩ ( M’ M’) ⊂ (a) ∩ (b) = ( M M ) ⇔ m M’ |M’
= ⇓
idempotente
Consecuencia: a | b ⇔ m. c. m. (a, b) = b.
Demostración: a | b ⇔ (b) ⊂ (a) ⇔ (a) ∩ (b) = (b) ⇔ m. c. m. (a, b) = b X
Definición Sean a, b ∈ Z. Decimos que a y b son primos entre sí, si y sólo si m. c. m. (a, b) = a · b
2.2.5. Algoritmo de Euclides
Si r es es el resto de la división entera de a por b, entonces m. c. d. (a, b) = m. c. d. (b, r )
Demostración: a = q · b + r , 0 ≤ r < b ⇒ r = a – q · b ⇒ r ∈ ∈ (a) + (b) = (d ) ⇒ (r ) ⊂ (d ) ⇒
⇒ d | r ⇒ m. c. d. (a, b) = d = m. c. d. (b, r ) Llamamos algoritmo de Euclides al proceso de divisiones sucesivas que permite calcular el m · c · d de dos números. Así: a = q1 b + r 1
;
0 ≤ r 1 < b ⇒ m. c. d. (a, b) = m. c. d. (b, r 1)
Si r 1 ≠ 0 ⇒ b = q2 · r 1 + r 2 ; 0 ≤ r 2 < r 1 ⇒ m. c. d. (b, r 1) = m. c. d. (r 1, r 2) Si r 2 ≠ 0 ⇒ r 1 = q3 · r 2 + r 3 ; 0 ≤ r 3 < r 2 ⇒ m. c. d. (r 1, r 2) = m. c. d. (r 2, r 3) ....................................................................... .................................. ......................................................................... .................................................. .............. (Como 0 ≤ ... < r 3 < r 2 < r 1 < b, después de un número nito de divisiones tendre mos que r n + 1 = 0.) ....................................................................... .................................. ......................................................................... .................................................. .............. Si r n – 1 ≠ 0 ⇒ r n – 2 = qn · r n – 1 + r n ; 0 ≤ r n < r n – 1
⇒ m. c. d. (r n – 2, r n – 1) = =
Si r n ≠ 0 ⇒ r n – 1 = qn + 1 r n + 0
m. c. d. (r n – 1, r n)
⇒ m. c. d. (r n – 1, r n) = =
m. c. d. (r n, 0) = r n
luego, el último resto distinto de cero es el m. c. d. (a, b).
29
tema 4 matemáticas
X
Regla práctica
X
Teorema [m. c. d. (a, b)] · [m. c. m. (a, b)] = a · b Demostración: −
Si a = 0 ó b = 0 ⇒ m. c. m. (a, b) = 0 ⇒ [m. c. d. (a, b)] · [m. c. m. (a, b)] = a · b = 0.
· a’ a = d · con m. c. d. (a’, b’) = 1 − Si a ≠ 0 y b ≠ 0, sean m. c. d. (a, b) = d ⇒ · b’ b = d · Veamos que el m. c. m. (a, b) = d · a’ · b’.
Sea x un múltiplo cualquiera de: = b · s = (d · a’) · r = (d · b’) · s ⇒ a y b ⇒ x = a · r =
⇒ a’ · r = = b’ · s ⇒ a’ r | b’ s a’ | a’ · r | b’ · s a’ · r |
} ⇒ a’ | b’ · s
m. c. d . (a’, b’) = 1 a’ | b’ · s
(Propiedad transitiva)
} ⇒ a’ | s ⇒ s = a’ · t
(Teorema de Euclides)
luego: x = b · s = b · (a’ · t ) = (d · b’) · (a’ · t ) = t · (d · a’ · b’) ⇒ m. c. m. (a, b) = = d · · a’ · b’
⇒
Por tanto: [m. c. d. (a, b)] · [m. c. m. (a, b)] = d · d · a’ · b’ = a · b X
Corolario Las deniciones dadas de números primos entre sí son equivalentes, es decir: a y b son primos entre sí ⇔ m. c. d. (a, b) = 1 ⇔ m. c. m. (a, b) = a · b.
30
tema 4
matemáticas
3 3
3.1.
NÚMEROS PRIMOS DEFINICIÓN DE NÚMERO PRIMO: PROPIEDADES Sean p ∈ Z – {–1, 0, 1}. Decimos que p es un número primo, si los únicos divisores de p son –1, 1, – p, p. Sea x ∈ Z –{–1, 0, 1}. Decimos que x es un número compuesto, si x no es número primo.*
X
Definición Sea p ∈ Z. Decimos que p es un número primo, si p es base de un ideal primo distinto del ideal cero.
X
Propiedades de los números primos p es número primo. − p es número primo si y sólo si – −
Sean p, q números primos. Si p | q, entonces p, q son números asociados.
−
p, a) = 1. Sea p un número primo. Si p | a, entonces m. c. d. ( p
Demostración: p número primo ⇔ los únicos divisores de p son –1, 1, – p, p. 1
Si p | a ⇒ – p | a, entonces los únicos divisores comunes de p y a son –1, 1 ⇒
⇒ m · c · d · ( p p, a) = 1 −
Sea p un número primo. Si p | a · b, entonces p | a ó p | b.
Demostración:
Si p | a, ya está probado. 3
p, a) = 1. Por el Teorema de Euclides, si Si p | a ⇒ m. c. d. ( p p | a · b y m · c · d · · ( p p, a) = 1, entonces p | b. − El conjunto de los números primos es innito (Euclides).
Demostración: Absurdo (1)
Supongamos que es fnito, es decir, { p1, ..., pn} Consideremos el número p1 · ... · pn + 1. Veamos que es un número primo. * Los números números –1, 0, 1 ni son primos, ni son compuestos. compuestos. Recordemos que en Z los ideales primos son los generados por el 0 y los números primos: (0), (2), (3), (5), ...
31
tema 4 matemáticas
Absurdo Absurd o (2)
Supongamos que p1 ... pn + 1 no es número primo ⇒ posee al menos un divisor primo pi ∈ { p1, ..., pn} ⇒ p1 | p1 ... pn + 1 ⇒ ∃ c ∈ Z tq pi · c = p1 ... pn + 1 ⇒ p ... p + 1
... p .. / . p
1
1
i
i
i n—— —–— n 1 ————— — — = —–—— + — ⇒ c = ——— p p/ p ⇒ p ∈ Z ⇒ p1 | 1 y p i i
i
número primo. Contradicción (2). Luego p1 ... pn + 1 es un número primo. Contradicción (1), ya que p1 ... pn + 1 ∈ { p1, ..., pn}. Luego, el conjunto de los números primos es innito. Criba de Eratóstenes
Consiste en obtener todos los números primos inferiores a uno dado. Para ello escribimos la sucesión de los números naturales hasta el número dado. A continuación tachamos todos los múltiplos de 2 a partir del 22 = 4. Como el primer número que queda sin tachar después del 2 es el 3, tachamos todos los múltiplos de 3 a partir del 32 = 9. Como el primer número que queda sin tachar después del 3 es el 5, tachamos todos los múltiplos de 5 a partir de 52 = 25, ... Repetimos este proceso hasta llegar al máximo número sin tachar tal que su cuadrado no sea mayor que el número dado.
3.2.
X
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL FACTORIAL DE UN U N NÚMERO Definición Llamamos números primarios a las potencias pn con p número primo y n ∈ N* = N – {0}. Si hacemos n = 1, tenemos que todo número primo es primario. En Z los ideales primarios son los generados por el 0 y las potencias positivas de los números primos (bn con b número primo y n ∈ N*): (0), (2), (22), ..., (3), (32), ..., (5), (52), ...
X
Definición Llamamos números primarios a las bases de los ideales primarios de Z distintos del ideal cero.
X
Proposición El menor divisor de un número compuesto es un número primo. Demostración: Sea x ∈ Z un número compuesto y sea p el menor divisor de x.
Procedamos por reducción al absurdo. Supongamos que p no es número primo ⇒ admite al menos un divisor p’, es decir, p’ | p.
32
tema 4
matemáticas
Tenemos que: p’ | p
⇒ p’ | x (Propiedad transitiva) p | x
Contradicción con la hipótesis de que p es el menor divisor de x ( p’ p’ | p), luego p es un número primo. X
Teorema fundamental de la aritmética a) Todo número compuesto se puede descomponer en un producto de factores
primos. b) Esta descomposición es única salvo el signo de los factores; es decir, la des-
composición es única considerando números asociados. Demostración: a) Sea x un número compuesto y sea p1 el menor divisor de x, que por la proposición anterior es un número primo ⇒ x = p1 · x1 con x1 ∈ Z.
Si x, es un número primo, ya queda probado el teorema. Si x, no es número primo, es compuesto y podemos escribir: x1 = p2 · x2 con p2 menor divisor primo de x1 y x2 ∈ Z, x1 > x2.
Luego, x = p1 · x1 = p1 · p2 · x2 Repitiendo el proceso un número nito de veces ya que x1 > x2 > ... > xn – 1
Tenemos que: x = p1 · p2 ... pn – 1 · xn – 1
con xn – 1 número primo o unidad; es decir,
x = p1 · p2 ... pn – 1 · 9n
con xn – 1 = pn número primo o
x = p1 · p2 ... pn – 1
con xn – 1 = 1
b) Por reducción al absurdo, supongamos dos descomposiciones descomposiciones distintas del número x:
x = p1 ... pn = q1 ... qm con pi, q j números primos y n < m. p1 | q1 ... qm
primo o p1 prim ⇒
∃ j ∈ {1, ... , m} tal que p1 | q j
primo o q j prim ⇒
p1 = q j · u j con u j ∈ {–1, 1}
Podemos suponer j = 1, cambiando el orden de los q j por la propiedad conmutativa del producto, luego: p1 = q1 · u1 ⇒ q1 = p1 · u –1 1 p1 · ( p p2 ... pn) = p1 · (u –1 · q2 ... qm) ⇒ p2 ... pn = u –1 . q2 ... qm 1
Como n < m, repitiendo el proceso anterior llegamos a que: pn = u –1 . u –1 ... u –1 · qn ... qm 1 2 n – 1
33
tema 4 matemáticas
aplicando una vez más dicho proceso tenemos que: ... u –1 · u –1 · qn + 1 ... qm = q’n + 1 · qn + 2 ... qm ⇒ pn | qn ⇒ 1 = u –1 1 n – 1 n
{ q’n + 1
⇒ q’n + 1, qn + 2, ... , qm son unidades. Contradicción, pues en la hipótesis son números primos. Luego: x = p1 ... pn X
Corolarios 1. La descomposición de un un número compuesto en factores primos puede hacerse
en cualquier orden. factores primos aparecen 2. Si en la descomposición de un número compuesto en factores repetidos algunos factores primos, el número se escribe: x = p1 1 · p2 2 ... pn n tal que α1, α2, ..., αn es el número de veces que se repite el factor primo p1, p2, ..., pn, respectivamente. α
α
α
descomponer de forma única (salvo asocia3. Todo número compuesto se puede descomponer dos) en un producto de factores primarios. 4. Todo ideal propio de Z se puede escribir de forma única como inter-sección nita de ideales primarios, es decir,
( x x) = ( p p1 1) ∩ ( p p2 2) ∩ ... ∩ ( p pn ) α
α
αn
Demostración:
Sea ( x x) un ideal propio de Z ⇒ x ∈ {–1, 0, 1} ⇒ posee una descomposición única en factores primarios ⇒ x = p1 1 · p2 2 ... pn ⇒ α
α
αn
⇒ ( x x) = ( p p1 ) ∩ ( p p2 ) ∩ ... ∩ ( p pn ) α1
X
α2
αn
Proposición (Criterio general de divisibilidad) La condición necesaria y suciente para que un número distinto de –1, 0, 1, sea
divisible por otro distinto de –1, 0, 1 es que el primero tenga todos los factores primos del segundo con exponentes iguales o mayores. Demostración:
⇒ Sean a, b ∈ {–1, 0, 1} Si a | b ⇒ ∃ c ∈ Z, tal que a · c = b ⇒ la descomposición en factores primos de b tiene todos los factores primos de la descomposición de a con exponentes iguales o mayores.
⇐ Si la descomposición en factores primos de b tiene todos los factores primos de la descomposición de a con exponentes iguales o mayores ⇒ a | b, pues cada factor primario de la descomposición de a divide a otro factor primario de la descomposición de b.
34
tema 4
matemáticas
Consecuencias:
Sabemos que:
El m. c. d. (a, b) = d es el mayor de los divisores comunes de a y b. El m. c. m. (a, b) = m es el menor de los múltiplos comunes distinto de cero de a y b. Por lo tanto: −
El m. c. d. ( a, b) = d se obtiene multiplicando los factores primos comunes que aparecen en las descomposiciones de a y b con el menor exponente.
−
El m. c. m. (a, b) = M se obtiene multiplicando los factores primos comunes y no comunes que aparecen en las descomposiciones de a y b con el mayor ex ponente.
35
tema 4 matemáticas
4 4
CONGRUENCIAS Centraremos el estudio de este apartado en el anillo de los números enteros.
4.1.
X
CONGRUENCIAS EN EL ANILLO DE LOS ENTEROS Definición Sean (Z, +, ·) el anillo de los enteros, (m) un ideal de Z y sean a, b ∈ Z. Decimos que a es congruente con b módulo m, a = b (mod m) ⇔ a – b ∈ (m) ⇔ m | a – b
X
Proposición La relación ser congruente módulo m es una relación de equivalencia en Z. (Omitimos la demostración por ser inmediata.) Por el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia, la relación ser congruente módulo m produce una partición de Z en clases de equivalencia. A estas clases las llamamos clases congruentes módulo m y las representamos por a + (m) y al conjunto cociente por Z/(m).
X
Proposición a ≡ b (mod m) ⇔ a y b dan el mismo resto positivo al dividirlos por m.
Demostración:
⇒ Si a ≡ b (mod m) ⇒ m a – b ⇒ ∃ c ∈ Z / m · c = a · b Si dividimos b por m con 0 ≤ r < < m. m tenemos que b = m · q + r con Veamos que en estas condiciones, si dividimos a por m m el resto también es r : Si a ≡ b (mod m) ⇒ m · c = a – b ⇒ a = m · c + b = m · c + (m · q + r ) = = m (c + q) + r ⇒ r es es el resto de dividir a por m, ya que 0 ≤ m.
⇐ Si a y b dan el mismo resto al dividirlos por m ⇒ a = m · q + r y b = m – q’ – q’ + r con 0 ≤ r < m ⇒ a – b = m · (q – q’) ⇒ ∃(q – q’) ∈ Z tal que m · (q – q’) = a – b ⇒ ⇒ m | a – b ⇒ a = b(mod m) Consecuencia:
Las clases congruentes módulo m módulo m son los m distintos restos que obtenemos al dividir los números enteros por m. Es decir, – – — — — Z / (m) = {0, 1, ... , (m – 1)} por esto esto,, Z / (m) se llama el conjunto de las clases de restos (residuales) módulo m. – – — — — 0 = 0 + (m) = (m); 1 = 1 + ( m); ... ; m – 1 = m – 1 + (m)
36
tema 4
matemáticas
(Z / (m), +, ·) es un anillo conmutativo con elemento unidad, en el que: [a + (m)] + [b + (m)] = a + b + (m) [a + (m)] · [b + (m)] = a · b + (m) Sin embargo, y a diferencia de Z, el anillo conmutativo con elemento unidad Z / (m) no es en general dominio de integridad. Por ejemplo, Z / (6) posee diviso – – – – – – – – res de cero, pues 2 ≠ 0, 3 ≠ 0 y 2 · 3 = 6 = 0. X
Propiedades de las congruencias −
La relación ser congruente módulo m es compatible con la suma de Z, es decir, Si
a ≡ a’ (mod m) b ≡ b’ (mod m)
}
entonces a + b ≡ a’ + b’ (mod m)
Demostración:
Si a ≡ a’ (mod m) ⇒ m | a – a’ Si b ≡ b’ (mod m) ⇒ m | b – b’
}
⇒ m | (a – a’) + (b – b’) ⇒
⇒ m | (a + b) – (a’ + b’) ⇒ a + b – a’ + b’ (mod m) Consecuencia:
Si a ≡ a’ (mod m) ⇒ ∀n ∈ Z, a + n ≡ a’ + n (mod m) −
La relación ser congruente módulo m es compatible con el producto de Z, es decir,
Si
}
a ≡ a’ (mod m) b ≡ b’ (mod m)
entonces a · b ≡ a’ · b’ (mod m)
Demostración:
Si a ≡ a’ (mod m) ⇒ m | a – a’ ⇒ m | (a – a’) – b Si b ≡ b’ (mod m) ⇒ m | b – b’ ⇒ m | a’ (b – b’)
}
⇒
⇒ m | (a – a’) · b + a’ (b – b’) ⇒ m | ab – a’b’ ⇒ a · b ≡ a’ · b’ (mod m) Consecuencia:
Si a ≡ a’ (mod m) ⇒ ∀n ∈ Z, a · n ≡ a’ · n (mod m) − Propiedad cancelativa (de simplicación) respecto de la suma.
Si a + n ≡ a’ + n (mod m), entonces a ≡ a’ (mod m) Demostración:
Si a + n ≡ a’ + n (mod m) ⇒ m | (a + n) – (a’ + n) ⇒ m | a – a’ ⇒
⇒ a – a’ (mod m)
37
tema 4 matemáticas
Sin embargo, la propiedad cancelativa no se cumple en general para el producto. Por ejemplo, 3 · 2 ≡ 3 · 4 (mod 6) y 2 Ú 4 (mod 6), pues trabajamos en Z / (6) que no es dominio de integridad. −
Si m. c. d. (m, n) = 1 y a · n ≡ a’ · n (mod m), entonces a ≡ a’ (mod m).
Demostración:
Sí a · n ≡ a’ · n (mod m) ⇒ m | an – a’n ⇒ m | n (a – a’) Si m. c. d. (m, n) = 1
}⇒
Teorema de Eudides
↓
⇒ m | a – a’ ⇒ a ≡ a’ (mod m) X
Proposición
1
m m. c. d. ( m , n)
2
———— ———— ———— —— a · n ≡ a’ · n (mod m) ⇔ a ≡ a’ mod ——
a ≡ a’ (mod m1, m2, ..., mk ) ⇔ a ≡ a’ [mod m. c. m. (m1, m0, ..., mk )]. 4.2.
X
RESTOS POTENCIALES Definición Sea n ∈ N* = N – {0}. Llamamos restos potenciales de n módulo m, a los restos que se obtienen al dividir las sucesivas potencias de n (n0, n1, ...) por el módulo m. Ejemplo: Los restos potenciales de 5 módulo 3 son: 50 = 1 z 3 , 51 = 5 z 3 , 52 = 25 z 3 , 53 = 125 z 3 ]] ]] ]] ]] 1 0 2 1 1 8 2 41 (
r 0
(
r 1
(
r 2
···
(
r 3
Consecuencias: 1. r 0 = 1. 2. El número de restos potenciales distintos es fnito, pues los restos tienen que ser menores que el módulo m (divisor en la división). 3. Dividendo ≡ resto (mod divisor).
Si llamamos r k al resto potencial que se obtiene al dividir nk por el módulo m, +1 ≡ r k · n (mod m), luego: entonces nk ≡ r k (mod m) ⇒ nk +1 Regla práctica: Para hallar cualquier resto potencial de n módulo m, multiplicamos el resto anterior por n y dividimos el producto por el módulo m,
obteniendo el resto deseado.
38
tema 4
matemáticas
Ejemplo: Restos potenciales de 4 módulo 11. r 0= 1, r 1 = 1 · 4 = 4, r 2 = 4 · 4 – 11 = 5, r 3 = 5 · 4 – 11 = 9, r 4 = 9 · 4 – 33 = 3, r 5 = 3 · 4 – 11 = 1, r 6 = r 1 = 4, r 7 = r 2 = 5, ...
4. Si algún resto potencial es nulo, entonces son nulos todos los siguientes. 5. A partir del primer primer resto que se repita, se reproducen en igual orden orden los mismos restos indenidamente. 6. Si n = m· + r , r < < n tememos que n ≡ r (mod (mod m) ⇒ nk ≡ r k (mod m). Luego: Regla práctica: Si n = m· + r , r < < n, entones los restos potenciales de n (mod m) coinciden con los restos potenciales de r (mod (mod m).
39
tema 4 matemáticas
5 5
5.1.
X
RESULTADOS FUNDAMENTALES RESULT FU NDAMENTALES DE LA TEORÍA TEO RÍA ELEMENTAL ELEME NTAL DE NÚMEROS CRITERIO GENERAL DE DIVISIBILIDAD Proposición Sea x = a · n0 + b · n + c · n2 + ... + d · nk un número escrito en base n. Sí r 0, r 1, r 2, ... , r k son los restos potenciales de n (mod m), entonces · r k (mod m). x = a · r 0 + + b · r 1 + c · r 2 + ... + d · Demostración: n0 ≡ r 0 = 1 (mod m) n1 ≡ r 1
(mod m)
n2 ≡ r 2
(mod m)
· · · nk = r k
(mod m)
}
}
a · n0 = a · r 0 (mod m) b · n1 = b · r 1 (mod m) c · n2 = c · r 2 (mod m)
⇒
· nk = d · · r k (mod m) d ·
⇒
⇒ x = a · n0 + b · n + c · n2 + ... + d · nk = a · r 0 + b · r 1 + c · r 2 + ... + ... + + d · r k (mod m) X
Aplicación al sistema decimal Calculemos los restos potenciales de 10 módulos 2 y 5, 3 y 9, 4 y 8, 11 y, por último, 7. −
Restos potenciales de 10 módulos 2 y 5: r 0 = 1
Como 10 es múltiplo de 2 y de 5 ⇒ 0 = r 1 = r2 =... −
Restos potenciales de 10 módulos 3 y 9: r 0 = 1
· 10 = 3 + 1 · 10 = 9 + 1
40
}
Los restos potenciales de 10 coinciden con los de 1, que son todos iguales a 1. Luego 1 = r 1 = r 2 = ...
tema 4
matemáticas
−
Restos potenciales de 10 módulos 4 y 8: r 0 = 1
· 10 = 4 + 2 ⇒Los restos potenciales de 10 coinciden con los de 2. · 10 = 8 + 2
- Restos potenciales de 2 módulo 4: r 1 = 1 · 2 = 2, r 2 = 2 · 2 – 4 = 0. Luego, r 1 = 2, 0 = r 2 = r 3 = ...
- Restos potenciales de 2 módulo 8: r 1 = 1 · 2 = 2, r 2 = 2 · 2 = 4, r 3 = 4 · 2 – 8 = 0.
Luego, r 1 = 2, r 2 = 4, 0 = r 3 = r 4 = ... −
Restos potenciales de 10 módulo 11: r 0 = 1, r 1 = 1 · 10 = 10, r 2 = 10 · 10 – 99 = 1, ...
−
Restos potenciales de 10 módulo 7: r 0 = i
· 10 = 7 + 3 ⇒ Los restos potenciales de 10 coinciden con los de 3. r 1 = 1 · 3 = 3, r 2 = 3 · 3 – 7 = 2, r 3 = 2 · 3 = 6, r 4 = 6 · 3 – 14 = 4, r 5 = 4 · 3 – 7 = 5, r 6 = 5 · 3 – 14 = 1, ...
Consecuencia: (criterio general de divisibilidad) x es divisible por m, si y sólo si el número a · r 0 + b · r 1 + c · r 2 + ... + d · r k es divisible por m.
5.2.
CRITERIOS ELEMENTALES DE DIVISIBILIDAD Apliquemos el criterio general de divisibilidad para determinar los criterios más elementales.
Criterios de divisibilidad por 2 y por 5
Sea x = a · 100 + b · 10 + 9 · 10 2 + ... + d · · 10k = d ... ... cba. es divisible por 2 ⇔ a es divisible por 2. x es x Es decir, condición necesaria y suciente para que un número sea divisible por
2 es que termine en cero o cifra par. es divisible por 5 ⇔ a es divisible por 5. Esto es, condición necesaria y su x es x
ciente para que un número sea divisible por 5 es que termine en cero o en 5.
Criterio de divisibilidad por 3 y por 9 x es divisible por 3 ⇔ a + b + c + ... + d
es divisible por 3.
x es divisible por 9 ⇔ a + b + c + ... + d
es divisible por 9.
Es decir, condición necesaria y suciente para que un número sea divisible por
3 o 9 es que lo sea la suma de sus cifras, respectivamente.
41
tema 4 matemáticas
Criterio de divisibilidad por 4 x es divisible por 4 ⇔ a + 2b es divisible por 4. O sea, condición necesaria y suciente para que un número sea divisible por
4 es que lo sea la suma de la cifra de las unidades más el duplo de la de las decenas.
Criterio de divisibilidad por 8 x es divisible por 8 ⇔ a + 2b + 4c es divisible por 8. Es decir, para que un número sea divisible por 8 es necesario y suciente que lo
sea la suma de la cifra de las unidades más el duplo de la l a de las decenas más el cuádruplo de la de las centenas.
Criterio de divisibilidad por 11
Tendremos a + 10b + c + 10d + + ... Como 10 = 11 – 1 queda: 11b – b + c + 11 11d – – d + + ... = a – b + c – d + + ... + 11, a + (11 – 1) · b + ... = a + 11 luego: x es divisible por 11 ⇔ (a + c + ...) – (b + d + ...) es divisible por 11. Condición necesaria y suciente para que un número s ea divisible por 11 es que
la suma de las cifras del lugar impar menos la suma de las cifras del lugar par dé cero, 11 o múltiplo de 11.
Criterio de divisibilidad por 7
Tendremos a + 3b + 2c + 6d + + 4e + 5 f + + g + ... Como 6 = 7 – 1,5 = 7 – 2, 4 = 7 – 3 queda: a + 3b + 2c + 7d – d + 7e – 3e + 7 f – – d – 2 f + + g + ... =
· = (a + 3b + 2c) – (d + + 3e + 2 f ) + (g + 3h + 2i) – ... + 7, luego: x es divisible por 7 si y sólo si: j + 3k + (a + 3b + 2c) – (d + + 3e + 2 f ) + (g + 3h + 2i) – ( j + 2i) + ...
es divisible por 7.
42
tema 4
matemáticas
BIBLIOGRAFÍA matemático. Barcelona: Reverte. APOSTOL (1999): Análisis matemático. Matemáticaa discreta. Barcelona: Vicens-Vives BIGGS (1998): Matemátic Vicens-Vives.. moderna. Barcelona: Vicens-Vives. BIRKHOFF, MAC LANE (1985): Álgebra moderna. Vicens-Vives. GODEMENT (1983): Álgebra. Madrid: Tecnos.
infinitesimal.. Barcelona: Reverte. SPIVAK (2003): Cálculo infinitesimal
43
tema 4
matemáticas
RESUMEN Números enteros. Divisibilidad. Números primos. Congruencia
1. 1
1.1.
NÚMEROS ENTEROS CONSTRUCCIÓN DE Z
1.1.1. Equivalencia de pares de números naturales Relación de equivalencia: ( a, b) R (c, d ) ⇔ a + d = b + c − Reexiva: ∀ (a, b) ∈ N × N, (a, b) ~ (a, b) ya que a + b = b + a − Simétrica: Si (a, b) ~ (c, d ) ⇒ a + d = b + c ⇒ c + b = a + d ⇒ (c, d ) ~ (a, b) − Transitiva: Si (a, b) ~ (c, d ) y si (c, d ) ~ (e, f ) ⇒ (a, b) ~ (e, f )
1.1.2. El conjunto de los números enteros El conjunto cociente N × N / R se denomina conjunto de los números enteros. Se simboliza por Z = N × N/ R R. − Z+ simboliza el conjunto de los enteros positivos − Z – simboliza el conjunto de los enteros negativos − Se llama representante canónico de un número entero al par de su clase de equiva-
lencia que tiene al menos una de sus componentes nula.
1.1.3. Representación gráfica de los números enteros Representación lineal de Z. 1.2.
EL GRUPO ADITIVO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
1.2.1. Adición de números enteros: propiedades Se dene a través de la aplicación: Z × Z
−−+→ Z
[( a, b), (c, d )] )] → [( a, b)] + [( c, d )] )] = [(a + c , b + d ) − Suma de enteros positivos. − Suma de enteros negativos. − Suma de un entero positivo y otro negativo (o viceversa). X
Propiedades Además de la uniformidad, cualesquiera que sean los números enteros de representantes ), (m, n), respectivamente, se verica. (a, b), (c, d ), − Interna. − Asociativa.
45
tema 4 matemáticas
− Conmutativa. − Existe elemento neutro. − Existe elemento simétrico para cada número entero.
1.2.2. Estructura de grupo: el grupo aditivo de los números enteros (Z, +) es un grupo abeliano, que se denomina «el grupo aditivo de los números enteros».
1.2.3. Sustracción de números enteros ∀m, s ∈ Z : m – s = m + (– s) = d 1.3.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: PROPIEDADES Se dene la multiplicación de números enteros. · →Z Z × Z
[(a, b), (c, d )] )] → [(a · c + b · d , a · d + b · c)] Regla de los signos: − Producto de dos enteros positivos resultado positivo. − Producto de dos enteros negativos: resultado positivo. − Producto de un entero positivo por otro negativo, o viceversa: resultado negativo.
Propiedades : − Interna. − Asociativa. − Conmutativa. − Existe elemento neutro (o unidad):
(Z, .) es un semigrupo multiplicativo con elemento neutro y conmutativo. Además cabe citar: − Ley de simplicación (cancelativa). − El cero es un elemento absorbente, es decir, todo entero multiplicado por cero da
resultado cero. − Propiedad distributiva del producto respecto a la adíción. 1.4.
EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Por tanto, (Z, +, ·) es un anillo conmutativo unitario. Recibe el nombre de «anillo de los números enteros».
1.5.
ORDEN EN Z: PROPIEDADES a es menor o igual que b. a ≤ b ⇒ (b – a) ∈ Z+
Es una relación de orden total y el conjunto
46
Z
está totalmente ordenado por la relación ≤.
tema 4
matemáticas
1.6.
VALOR VAL OR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO: PROPIEDADES PROPI EDADES || La aplicación Z −−→ N n
n, si n > 0 | n|= – n, n, si n< 0 0, si n = 0
recibe el nombre de valor absoluto de un número entero. 1.7.
ISOMORFISMO DE N CON UNA PARTE PARTE DE LOS NÚMEROS ENTEROS EN TEROS f: N → Z+ (n) = (n, 0) = +n n → f ( Es un homomorsmo biyectivo de ( N, +, ·) en ( Z+, +, ·), es decir, de un isomorsmo.
2. 2
2.1.
DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS ENTEROS divisor de b o b es múltiplo de a, y lo − Sean a, b ∈ Z. Decimos que a divide a b, a es divisor de denotamos por a | b, si existe un c ∈ Z tal que a · c = b. a|b ⇔ ∃c ∈ Z / a · c = b − Sean a, b ∈ Z. Decimos que a y b están asociados , y lo denotamos por a Rb, si existe
un u ∈ U = = {–1, 1} tal que a · u = b. tal que a · u = b aRb ⇔ ∃u ∈ U tal
Proposición:
La relación ser asociados es una relación de equivalencia en
Z.
– − Sean – a, b ∈
– – Z/ R R. Decimos que – a divide a b, y lo denotamos por – a | b, si existe un – c ∈ Z tal que – a · c = b. – – – a | b ⇔ ∃ c ∈ Z / – a · c = b
Proposición:
La relación de divisibilidad divisibilidad en en Z/ R R es un orden. 2.2.
DIVISIBILIDAD EN EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
2.2.1. Definiciones generales a) Dominio de integridad. b) Ideal de un anillo.
c) Anillo principal.
2.2.2. Relación de divisibilidad en ( Z, +, ·) Sean a, b ∈ Z. a divide a b, a | b ⇔ (b) ⊂ (a).
47
tema 4 matemáticas
2.2.3. Máximo común divisor Llamamos máximo común divisor de divisor de a y b a la base positiva del ideal ( a) + (b) = (d ), ), y lo designamos por m. m. c. d. (a, b) = d . X
Teorema de Bezout Si m. c. d. (a, b) = d , entonces ∃ λ , µ ∈ Z tales que λ · · a + µ · b = d .
X
Teorema de Euclides Si a | b · c y m. c. d. (a, b) = 1, entonces a | c.
2.2.4. Mínimo común múltiplo Llamamos mínimo común múltiplo de a y b a la base positiva del ideal ( a) ∩ (b) = ( M ), y M ), le designamos por m m · c · m · (a, b) = M . Defnición
Sean a, b ∈ Z. Decimos que a y b son primos entre sí, si y sólo si m. c. m. (a, b) = a · b
2.2.5. Algoritmo de Euclides Llamamos algoritmo de Euclides al proceso de divisiones sucesivas que permite calcular el m · c · d de dos números.
3. 3
3.1.
NÚMEROS PRIMOS DEFINICIÓN DE NÚMERO PRIMO: PROPIEDADES Sean p ∈ Z – {–1, 0, 1}. Decimos que p es un número primo, si los únicos divisores de p son –1, 1, – p, p. Sea x ∈ Z –{–1, 0, 1}. Decimos que x es un número compuesto, si x no es número primo. Propiedades : − p es número primo si y sólo si – p es número primo. − Sean p, q números primos. Si p | q, entonces p, q son números asociados. − Sea p un número primo. Si p | a, entonces m. c. d. ( p p, a) = 1. − Sea p un número primo. Si p | a · b, entonces p | a ó p | b. − El conjunto de los números primos es innito (Euclides).
Criba de Eratóstenes
Consiste en obtener todos los números primos inferiores a uno dado. Para ello escribimos la sucesión de los números naturales hasta el número dado. 3.2.
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO Llamamos números primarios a las potencias pn con p número primo y n ∈ N* = N – {0}.
X
Teorema fundamental de la aritmética Todo do número compuesto se puede descomponer descomponer en un producto de factores primos. a) To
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tema 4
matemáticas
decir, la descomposib) Esta descomposición es única salvo el signo de los factores; es decir, ción es única considerando números asociados. X
Proposición (Criterio general de divisibilidad) La condición necesaria y suciente para que un número distinto de –1, 0, 1, sea divisible
por otro distinto de –1, 0, 1 es que el primero tenga todos los factores primos del segundo con exponentes iguales o mayores.
4. 4
4.1.
CONGRUENCIAS CONGRUENCIAS EN EL ANILLO DE LOS ENTEROS Sean (Z, +, ·) el anillo de los enteros, ( m) un ideal de Z y sean a, b ∈ Z. Decimos que a es congruente con b módulo m, a = b (mod m) ⇔ a – b ∈ (m) ⇔ m | a – b
X
Propiedades de las congruencias − La relación ser congruente módulo m es compatible con la suma de Z, es decir. − La relación ser congruente módulo m es compatible con el producto de Z. − Propiedad cancelativa (de simplicación) respecto de la suma. − Si m. c. d. (m, n) = 1 y a · n ≡ a’ · n (mod m), entonces a ≡ a’ (mod m).
4.2.
RESTOS POTENCIALES Sea n ∈ N* = N – {0}. Llamamos restos potenciales de n módulo m, a los restos que se obtienen al dividir las sucesivas potencias de n (n0, n1, ...) por el módulo m.
5. 5
5.1.
X
RESULTADOS FUNDAMENTALES RESULT FU NDAMENTALES DE LA TEORÍA ELEMENTAL DE NÚMEROS CRITERIO GENERAL DE DIVISIBILIDAD Consecuencia (criterio general de divisibilidad) x es divisible por m, si y sólo si el número a · r 0 + b · r 1 + c · r 2 + ... + d · r k es divisible
por m. 5.2.
CRITERIOS ELEMENTALES DE DIVISIBILIDAD − Criterios de divisibilidad por 2 y por 5. − Criterio de divisibilidad por 3 y por 9. − Criterio de divisibilidad por 4. − Criterio de divisibilidad por 8. − Criterio de divisibilidad por 11. − Criterio de divisibilidad por 7.
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