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MATEMÁTICAS Fundamentos y aplicaciones de la Fundamentos teoría de grafos. Diagramas en árbol.
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1.
GRAFOS: CONCEPTOS BÁSICOS
1.1.
DEFINICIÓN DE GRAFO
1.2.
REPRESENTACIÓN REPRESENTA CIÓN GRÁF ICA
1.3.
ALGUNOS TIPOS DE GRAFO S
1.4.
DEFINICIÓN DE SUBGRAFO
1.5.
PRIMER TEOREMA DE LA TEORÍA DE GRAFO S
2.
ISOMORFÍA Y HOMOMORFÍA DE GRAFOS
3.
GRAFOS EULERIANOS
4.
GRAFOS HAMILTONIANOS
5.
FORMA MATRICIAL DE REPRESENTACIÓN DE GRAFO S
6.
MAPAS Y COLORACIONES
7.
DIAGRAMAS EN ÁRBOL
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INTRODUCCIÓN
La Teoría de Grafos es un campo de las Matemáticas cuyo desarrollo ha estado motivado siempre por sus aplicaciones. Así, desde sus orígenes se utilizó para la resolución de juegos matemáticos, para el estudio de circuitos eléctricos y en diversas aplicaciones en Química, Psicosociología y Economía. En la actualidad la Teoría de Grafos se sigue aplicando dentro y fuera de las Matemáticas. Así, las aplicaciones a la informática (para representación de datos o de diseño de redes) han despertado interés en aspectos concretos de la Teoría, destacando la búsqueda de algoritmos en la exploración de grafos. El primer artículo sobre Teoría de Grafos fue escrito por Euler y publicado en 1736. A partir de esta fecha muchos matemáticos importantes han realizado contribuciones; entre los siglos XVIII y XIX se puede citar a Cauchy, Vandermonde, Hamilton, Cayley y Kruskal. Durante el presente siglo los estudios en este campo no han cesado, otro hito de la historia de la Teoría de Grafos fue la aparición en 1936 del primer texto sobre este tópico escrito por D. König.
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GRAFOS: CONCEPTOS BÁSICOS Vamos a introducir el lenguaje y los conceptos básicos acerca de grafos.
1.1.
DEFINICIÓN DE GRAFO Geométricamente un grafo es un conjunto de puntos (vértices) en el espacio, que están conectados por un conjunto de líneas (aristas). La denición formal es: Un grafo consta de un conjunto V y un conjunto E de pares no ordenados de elementos distintos de V. El conjunto V se llama conjunto de vértices, siendo sus elementos los vértices. El conjunto E se llama conjunto de aristas (“edges” en inglés) y sus elementos aristas. Se escribe G = (V, E) o bien, dado un grafo G, se denota V(G) y E(G). Sea un grafo G = (V, E), y sean u, v ∈ V. Si e = {u, v} ∈ E, se dice que los vértices u y v son adyacentes, y designaremos la arista por uv simplemente. También llamaremos a los vértices u y v extremos de la arista uv. Cuando en una arista coinciden los vértices, u = v, la arista se denomina lazo.
1.2.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA Todo grafo se representa geométricamente (o se dibuja) mediante una gura cons truida del siguiente modo: a cada vértice se le hace corresponder un punto, y si dos vértices son adyacentes, se dibuja una línea uniendo los puntos correspondientes a dichos vértices. Un mismo grafo puede representarse de distintas formas.
Denotaremos por #V el número de vértices y #E el número de aristas de un grafo G(V, E). Un grafo es nito si #V es nito, y en este tema sólo estudiaremos los grafos nitos. Ejemplos:
1. Sea G un grafo que tiene por conjunto de vértices:
V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7}, #V=7 y como conjunto de aristas:
E = {v1v2, v2v3, v1v3, v1v4, v4v7, v7v6, v6v5, v5v4, v5v7}, #E=9. Una posible representación gráca es:
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2. Tenemos tres casas a, b y c y tres fábricas que producen bienes necesarios para dichas casas: g(gas), w(agua) y e(electricidad). El siguiente grafo muestra cómo las tres casas deben estar conectadas con las tres fábricas de modo que cada casa reciba los productos de cada una de las fábricas:
El grafo G está denido por: V = {a, b, c, g, w, e}, #V=6 E = {ag, aw, ae, bg, bw, be, cg, cw, ce}, #E=9
3. Supongamos que una empresa tiene cinco empleados e1, e2, e3, e4, e5 y que de ben realizar cuatro tareas diferentes t1, t2, t3, t4. Cada empleado está cualicado para realizar una o más tareas. Podemos representar el problema con un grafo cuyos vértices son las tareas y los empleados, y si un empleado es adyacente a una tarea signica que se halla cualicado para realizarla:
Así, este grafo es G=(V, E) con V = {e1, e2, e3, e4, e5, t1, t2, t3, t4}, #V=9 E = {e1t1, e2t1, e2t3, e3t1, e3t2, e3t3, e4t2, e5t3, e5t4}, #E=9 Y signica que el empleado e1 sólo puede realizar la tarea t 1, el e2 puede realizar t1 y t 3 y así hasta llegar a la última arista que signica que e 5 puede realizar la tarea t4 o la t3. X
Definiciones Sea G un grafo y u un vértice de G:
a) Se llama grado de u en G, y se escribe gr(u), al número de aristas de G que tienen por extremo al vértice u. Se considera que un lazo cuenta dos veces al determinar el grado de su vértice. b) Se dice que el vértice u es aislado si gr(u) = 0.
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c) Se dice que el vértice u es terminal si gr(u) = 1. Ejemplos:
1. En el ejemplo de las casas y las fábricas el grado de cada vértice es 3. 2. En los grafos nulos todos los vértices son aislados.
1.3.
ALGUNOS TIPOS DE GRAFOS
Grafo simple Un grafo simple es un grafo que verica que para todo par de vértices existe a lo sumo una única arista que los une. Ejemplo: La gura
representa un grafo simple con conjunto de vértices V = { u 1, u2, u3 } y conjunto de aristas E = { u 1u2, u1u3, u2u3 }.
Multigrafo Un multigrafo o grafo general es un grafo con (posiblemente) varias aristas entre dos vértices; por tanto, en la de nición formal de multigrafo, el conjunto de aristas puede contener algunas aristas distintas con el mismo par de extremos. Ejemplo: La gura
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Representa un multigrafo con conjunto de vértices V = {v 1, v 2, v 3} y conjunto de aristas E = {v1v2, v1v2, v2v3, v1v3, v1v3}.
Pseudografo Un pseudografo es un grafo en el cuál aparecen lazos. Ejemplo: La gura
representa un pseudografo con V = {u 1, u2, u3} y E = {u 1u1, u1u2, u2u2, u2u3}. Los lazos son las aristas u1u1 y u2u2.
Grafo orientado, dirigido o digrafo Un grafo orientado, dirigido o digrafo es un grafo donde a cada arista se le asigna un orden de sus extremos, es decir, el conjunto de aristas está formado por pares ordenados de elementos distintos del conjunto de vértices. El orden se indica en el dibujo con una echa. Se llama origen al primer vértice de una arista y n al segundo. Ejemplo: En las siguientes guras tenemos dos digrafos
VA = {v1, v2, v3}
VB = {v1, v2, v3}
EA = {v1v2, v2v3, v3v1}
EB = {v2v1, v2v3, v3v1}
Comentario.
Pueden aparecer multitud de variaciones de los conceptos anteriores como:
− Multidigrafos: son grafos dirigidos con varias aristas entre sus vértices. − Pseudomultidigrafos: además de ser multidigrafo, aparecen lazos.
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Grafo nulo Se denomina grafo nulo a un grafo donde el conjunto de aristas es vacío. El grafo nulo de n vértices se designa por N n.
Grafo regular Un grafo es regular si todos sus vértices tienen el mismo grado. Si dicho grado es k, entonces el grafo se llama k-regular, o regular de grado k. Ejemplo:
1. El grafo no es regular:
2. El grafo si es regular:
gr(v1)=3 ≠ 2=gr(v2)
es 3-regular
Grafo completo Un grafo completo es un grafo en el que cualquier par de vértices son adyacentes, y si #V = n se designa por K n. Observaciones:
− Un grafo completo de n vértices tiene
n n ⋅ ( n − 1) aristas. 2 = 2
− Todo grafo completo con n vértices es un grafo (n – 1)-regular. Ejemplos:
1. Grafo completo K 3
2. Grafos completos K 4
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3. Grafo completo K 5
− Todo grafo completo es regular, pero no todo grafo regular es completo: por ejemplo, el ejemplo 2 de grafos regulares.
− Podemos representar K n, n>2, mediante los vértices de un polígono regular Pn de n lados, siendo las aristas de K n los lados y todas las diagonales de P n. 1.4.
DEFINICIÓN DE SUBGRAFO Sea G=(V(G), E(G)) un grafo. Un subgrafo de G es cualquier grafo H = (V(H), E(H)) de modo que V(H) ⊂ V(G) y E(H) ⊂ E(G), y E(H) está formado por algunas de las aristas de G que unen los vértices de G que está en H. Observación:
Los subgrafos se obtienen “borrando” o eliminando algunas aristas y vértices de G, de modo que si suprimimos un vértice, hemos de borrar todas las aristas que tienen tal vértice como extremo. Ejemplo:
H es un subgrafo de G (Grafo del ejemplo 1 del apartado 1.2.)
Observación:
Se tiene que si H es un subgrafo de G, y v∈V(H), entonces grH(v) ≤ grG(v).
1.5.
PRIMER TEOREMA DE LA TEORÍA DE GRAFOS Sean G = (V, E) un grafo, V(G) = {v 1,..., v p} su conjunto de vértices y #E el número de aristas. Entonces: p
∑ gr(v ) = 2 # E i
i =1
Por tanto todo grafo contiene un número par o cero de vértices de grado impar.
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Demostración:
Al realizar la suma de los grados de todos los vértices, ya que cada arista tiene dos extremos, se cuenta exactamente dos veces, y por tanto tenemos la igualdad: p
∑ gr(v ) = 2 # E i
i =1
Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que v 1,..., vt son los vértices con grado par, y que vt+1,... v p son los que tienen grado impar.
2#E es un número par. p
∑ gr(v ) es un número par, puesto que el grado de cada vértice es par. i
i =1 p
p
t
p
t
∑ gr(v ) = ∑ gr (v ) + ∑ gr (v ) = 2 # E ⇒ ∑ gr (v ) = 2 # E − ∑ gr(v ) i
i
i =1
i
i =1
i
i =t +1
i =t +1
i
i =1
es un número par.
Como gr(vi), i=t+1,....,p es impar, podemos poner gr(v i)=2ni+1, y así: p
p
p
p
p
i =t +1
i =t +1
∑ gr(v ) = ∑ (2n + 1) = 2 ∑ n + ∑ 1 =2 ∑ n + p − t i
i = t +1
i
i = t +1
i
i =t +1
i
p
que es un número par. Como 2
∑ n es par, entonces p – t tiene que ser par, i
i = t +1
y p – t = número de vértices con grado impar.
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ISOMORFÍA Y HOMOMORFÍA DE GRAFOS En Matemáticas el término isomorsmo se usa para expresar que dos objetos son «fundamentalmente iguales», o bien que su estructura matemática coincide, mientras que posiblemente existen aspectos no esenciales que son diferentes (como nombres de sus partes). Veamos que se entiende por isomorfía de grafos en la siguiente denición:
X
Definición de isomorfía de grafos Sean G1=(V1, E1) y G2=(V2, E2) dos grafos y sea una biyección entre los conjuntos de vértices tal que uv ∈ E1 ⇔ f(u) f(v) ∈ E2. La biyección f se denomina isomorsmo de G1 a G2. Se dice entonces que los grafos G 1 y G2 son isomorfos. Ejemplo:
Vamos a construir un isomorsmo entre los grafos G 1 y G2 con:
Obsérvese que el cruce entre las aristas u1u3 con u2u4 no es un vértice. Un isomorsmo entre G1 y G2 viene determinado por la siguiente biyección: f: V(G 1) → f: V(G2)
x → u1 y → u2 z → u3 t → u4 Para demostrar que f es un isomorsmo hay que comprobar que dos vértices adyacentes en G1 se transforman en dos vértices adyacentes en G 2, y que las preimágenes por f de dos vértices adyacentes en G2 son dos vértices adyacentes de G1:
xy ∈ E(G1) ⇒ f(x) f(y) = u1u2 ∈ E(G2) u1u2 ∈ E(G2) ⇒ f –1(u1) f –1(u2) = xy ∈ E(G1) Y así habría que comprobarlo con todos los vértices. Observaciones:
− Con este ejemplo observamos que dos grafos isomorfos pueden ser representados por guras muy diferentes.
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− Por supuesto pueden existir varios isomorsmos diferentes entre dos grafos isomorfos. Así en el ejemplo podríamos haber denido:
f(y) = u1 f(x) = u 2 f(t) = u3 f(z) = u 4 y entonces el conjunto de aristas sería:
E2 = {u1u2, u1u3, u1u4, u2u4, u2u3, u3u4} X
Teorema de isomorfía Sean G1 y G2 dos grafos y f un isomorsmo entre G 1 y G2. Si u es un vértice de G1 entonces grG1 (u ) = grG 2 (f (u )) . Demostración:
Sean G1 = (V 1, E 1) y G2 = (V 2, E 2) los dos grafos isomorfos, y f: V 1 → V2 un isomorsmo entre ellos. Sea u un vértice de G 1; puesto que f preserva la adyacencia, f dene una biyección entre los vértices adyacentes a u y a f(u) . Por tanto el número de aristas con extremo u coincide con el número de aristas con extremo f(u), es decir, gr(u) = gr(f(u)). Observaciones:
− Como consecuencia del primer teorema demostrado en el tema, la propiedad de regularidad se conserva por isomorsmo.
− Evidentemente, dos grafos completos con el mismo número de vértices son isomorfos. X
Definición de homomorfía de grafos Dos grafos son homomórcos (o idénticos salvo vértices de grado 2) si ambos pueden ser obtenidos a partir del mismo grafo insertando nuevos vértices de grado 2 en sus aristas. Ejemplo:
Estos dos grafos son homomorfos puesto que el segundo se ha obtenido a partir del primero insertando un nuevo vértice de grado dos, u 5.
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GRAFOS EULERIANOS Los grafos son usados con frecuencia para representar redes de transporte o de comunicación. En un grafo que represente una de estas redes es importante conocer la existencia de caminos que recorran todas las aristas o todos los vértices y que, en cierto modo, sean los más económicos.
X
Definiciones Sea G un grafo a) Un camino o trayectoria en G es una sucesión nita en la que aparecen alter nadamente vértices y aristas de G: v0, v0v1, v1, v1v2, v2,...., vn-1, vn–1vn, vn donde cada arista tiene por extremos los vértices adyacentes en la sucesión. A los vértices v0 y vn se les denomina extremos del camino , o vértice inicial y nal respectivamente. También se dice que el camino conecta v 0 con vn, o que va de v 0 a vn. La longitud del camino es el número de aristas que contiene dicho camino. En un grafo un camino puede ser especicado solamente por la sucesión de sus vértices v0, v1, v2,...., vn–1, vn, que también se suele indicar:
v0 → v1 → v2 → .... → vn–1 → vn b) Un camino se dice que es cerrado si sus extremos coinciden: v 0 = vn. c) Un camino se dice que es simple si en la sucesión de vértices no hay ninguno repetido; por lo tanto todas las aristas son distintas. d) Un ciclo es un camino cerrado donde los únicos vértices que se repiten son el primero y el último. e) Un circuito es un camino cerrado que no repite aristas.
Ejemplo:
a → b → c → a → b → d es un camino de longitud 5. a → b → c → d → b → a es un camino cerrado de longitud 5. a → b → d → c es un camino simple de longitud 3. a → b → d → c → a es un ciclo de longitud 4. a → b → d → e → b → c → a es un circuito de longitud 6.
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X
Grafo conexo Un grafo G es conexo si para cada par de vértices u, v, existe un camino cuyos extremos son u y v. En caso contrario decimos que G es desconexo. Ejemplos:
1. Grafo conexo
2. Grafo desconexo
X
El problema de los puentes de königsberg A continuación vamos a ver el problema que la mayoría de los autores señalan como el origen histórico de la Teoría de Grafos: En la siguiente gura está esquematizado un plano de la antigua ciudad de Kö nigsberg, en la Prusia oriental, mostrando el río Pregel que pasa por la ciudad, y los siete puentes que lo atravesaban en el S XVIII. (En la actualidad es la ciudad lituana de Kaliningrado y el río es llamado Pregolya).
Muchos habitantes de Königsberg se plantearon el reto de encontrar una ruta en la ciudad que recorriera los siete puentes, cruzando cada uno de ellos una sola vez, y volviendo al punto de partida. Puesto que todos los intentos resultaron fallidos, se comenzó a pensar que era imposible encontrar tal recorrido. Este problema no fue tratado matemáticamente hasta 1736 por Euler, que escribió un artículo donde probó que no existía tal ruta. Además Euler en su artículo desarrolló una teoría que podría ser aplicada a otras muchas situaciones.
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La primera gran idea de Euler fue reducir el problema de los puentes de Königsberg a una cuestión de Teoría de Grafos, tal como estamos desarrollando el tema. Para tal n representó el mapa de la ciudad por un multigrafo donde cada sector terrestre de la ciudad venía representado por un vértice, y cada puente por una arista que unía los vértices correspondientes a los sectores unidos por dichos puentes.
El resultado es el siguiente multigrafo:
Para conseguir un grafo simple basta añadir un vértice en el punto medio de cada arista, obteniéndose:
Y así, el problema de los puentes de Königsberg se puede enunciar del siguiente modo: ¿existe un circuito en el grafo G que contenga todas las aristas? X
Definiciones Sea un grafo G. a) Un camino euleriano es un camino que contiene todas las aristas del grafo G, apareciendo cada una de ellas exactamente una vez. b) Un circuito euleriano es un circuito que contiene todas las aristas de G. c) Un grafo que admite un circuito euleriano se denomina grafo euleriano.
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Una manera fácil de entender qué es un camino euleriano en un grafo G es un modo de dibujar el grafo G sin levantar el lápiz del papel y sin pintar dos veces la misma arista. Ejemplo:
Este grafo tiene el camino euleriano a → b → f → a → e → f → d → b → c → d → e X
Proposición 1 Sea G un grafo. Si G es euleriano, todo vértice de G tiene grado par. Demostración:
Sea V un vértice de G. Podemos contar las aristas que tiene v siguiendo un circuito euleriano g en G. Si v no es el primer vértice de g, cada vez que tal circuito pasa por v contribuye con 2 al grado de v, pues las aristas que preceden y siguen a v en g tiene por extremo a v. Si v es el primer (y por lo tanto el último) vértice de g, el circuito g contribuye con 2 al grado de v en todas las visitas a v, salvo en la primera y en la última en que añade 1 cada vez. En cualquier caso v tiene grado par en G. Ejemplo:
El grafo del ejemplo anterior admite un camino euleriano, como hemos visto, pero no un circuito euleriano porque gr(a)=3 que no es par, luego no es un grafo euleriano. X
Proposición 2 Sea G un grafo. Si G tiene un camino euleriano, entonces: o bien todo vértice de G tiene grado par o bien exactamente dos de los vértices tienen grado impar.
Demostración:
Sea G = (V, E) un grafo con un camino euleriano g. Si tal camino es cerrado, por la proposición 1, todos los vértices de G tienen grado par. Supongamos ahora que g no es cerrado, y sean u y v sus extremos. Sea un grafo G1=(V1, E1) tal que V 1=V ∪ {w} y E1= E ∪ {wv, wu}, donde w no pertenece a V. Si g es el camino euleriano v → v1 → v2 → .... → vr → u, entonces: g1= w → v → v1 → ... → vr → u → w
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es un circuito euleriano en G 1, y por la proposición 1, todos los vértices de G 1 tienen grado par. Como ∀x∈V, x∉{u, v} se verica que grG ( x ) = grG1 ( x ) par, y grG (u ) = grG1 (u ) − 1 grG ( v) = grG1 ( v ) − 1 son pares –1, luego estos dos tienen grado impar.
X
Así pues, la proposición 1 nos da una condición necesaria para que un grafo sea euleriano, y como en el grafo del problema de los puentes el vértice d tiene grado 3, se concluye que el problema de Königsberg no tiene solución, tal como sospechaban sus ciudadanos.
Además Euler enunció que la condición de paridad en los grados de los vértices de un grafo conexo es suciente para que el grafo se euleriano (sin embargo no lo probó en su artículo original, y la primera prueba publicada es de C. Hierholzer en 1873).
Lema Sea H un grafo tal que todo vértice de H tiene grado par. Si u y v son dos vértices de H que son adyacentes, entonces existe un circuito g que contiene a la arista uv. Demostración:
Comencemos un camino g por u y la arista uv. El camino se continúa siguiendo la siguiente regla: cada vez que el camino llega a un vértice w distinto de u se continúa el camino usando una arista que no aparezca con anterioridad en g; si w=u damos por terminado el circuito. El proceso es siempre posible gracias a que los grados de los vértices son pares, y cada vez que g «visita» un vértice utiliza dos aristas con un extremo en tal vértice. Como el número de aristas y vértices es nito, g acaba por regresar a u, y por construcción g es un circuito. X
Teorema Un grafo conexo es euleriano si y sólo si cada vértice tiene grado par. Demostración:
Por la proposición 1 basta probar que si G es un grafo conexo tal que todos sus vértices tienen grado par, entonces G es euleriano. Sea G = (V, E) un grafo conexo de modo que cada vértice tiene grado par. Supongamos que #V>1, y sean u y v dos vértices adyacentes de G. Por el lema enunciado, existe un circuito g que contiene a la arista uv. Sea ahora G1 = (V1, E1) el subgrafo de G que se obtiene eliminando las aristas de g, es decir, E1 = E – {aristas de g}. El subgrafo G 1 sigue teniendo todas las aristas de grado par. Si E 1 = ∅, entonces g es un circuito euleriano. Si E1 = ∅, entonces existe un vértice x con grado distinto de 0 en G 1. Por ser G conexo, podemos encontrar un vértice de g, y, con grado también distinto de 0 en G 1.
Si x∈g, ya tendríamos que el vértice y buscado es x.
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Si x∉g, sea un y∈g cualquiera; como G es conexo construimos un camino C en G con extremos x e y. Sea zy la primera arista de C que satisface zy∉g; entonces zy∈E1 e y es un vértice de g con grado mayor que cero.
Sea zy∈E1, y vértice de g. Aplicamos el lema a G1 y zy, y obtenemos un circuito g’ en G1 conteniendo a zy.
Podemos unir g y g’ en y del siguiente modo: de u a y seguimos el circuito g, a continuación recorremos g’ y nalmente acabamos g desde y. De este modo obte nemos un circuito g1 con más aristas que g.
Si E2 = E – {artistas de g1} ≠ ∅, volvemos a repetir el proceso tantas veces como sea necesario para construir un circuito euleriano en G; como #E(G) es nito, y en cada construcción el número de aristas del circuito aumenta, el proceso naliza obteniéndose un circuito euleriano. La demostración de este teorema nos da un algoritmo para encontrar un circuito euleriano en un grafo euleriano. En el siguiente ejemplo se ilustra tal algoritmo, que se llama Algoritmo de Fleury. Ejemplo:
Un cartero tiene asignadas para el reparto una red de calles que está representada así:
El reparto de cartas del cartero debe comenzar y acabar en la estafeta de correos que se encuentra en el vértice a. Por el teorema, como todos los vértices tienen grado par, el cartero puede efectuar su reparto sin recorrer dos veces la misma calle, utilizando un circuito euleriano. Comenzamos obteniendo un circuito que parte de a: elegimos la arista ab, y aplicamos el lema: γ = (a, b, c, d, a).
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siguiendo las instrucciones de la demostración del teorema, borramos las aristas recorridas por γ, y obtenemos el grafo G 1:
En el grafo G1 elegimos una arista que tenga un extremo en γ, por ejemplo af, y aplicamos de nuevo el proceso de buscar circuito: δ = (a, f, e, b, i, c, h, i, j, e, a)
Uniendo δ a γ obtenemos: γ1 = (a, f, e, b, i, c, h, i, j, e, a, b, c, d, a) Borrando las aristas de γ1 obtenemos el grafo G2:
Tomamos la arista fd, ya que f está en γ1, para repetir el proceso: η = (f, d, h, g, f) Como ya no quedan más aristas, el circuito euleriano que podría utilizar el cartero es (a, f, d, h, g, f, e, b, i, c, h, i, j, e, a, b, c, d, a), que podemos representar:
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GRAFOS HAMILTONIANOS Otro famoso problema en la Teoría de Grafos es determinar cuando un grafo admite un ciclo que contiene a todos sus vértices.
X
Definiciones Sea un grafo G:
a) Un camino simple en G que contiene todos los vértices de G se denomina camino hamiltoniano . b) Un ciclo que a su vez es un camino hamiltoniano se denomina ciclo hamiltoniano. c) Un grafo que contiene un ciclo hamiltoniano se denomina grafo hamiltoniano. Comentario:
El problema de conocer si un grafo es hamiltoniano, y en tal caso, encontrar un ciclo hamiltoniano, es uno de los más antiguos de la Teoría de Grafos. Se suele atribuir al famoso matemático Sir William R. Hamilton el origen del problema en cuestión. Sin embargo hay que señalar que fue el matemático T. P. Kirkman el primero en estudiarlo. El motivo de la atribución a Hamilton fue que éste diseñó un juego llamado «El dodecaedro del viajero» o «El viaje alrededor del mundo». Tal juego constaba de un dodecaedro sólido donde los vértices del poliedro representaban veinte ciudades importantes de la época: Bruselas, Cantón,..., Zanzíbar. El juego consistía en encontrar un camino o recorrido a través de las aristas del dodecaedro pasando una única vez por cada ciudad, y tal recorrido se denominaba «viaje alrededor del mundo». Con la terminología de ahora, el juego consiste en encontrar un ciclo hamiltoniano en al grafo G:
No se conoce un criterio para decidir si un grafo es hamiltoniano, aunque si existe una condición necesaria.
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X
Definición Sea G un grafo, y u, v ∈ V(G). Se dice que u y v están conectados en G si existe un camino de u a v. Resultado:
En un grafo G la relación en el conjunto de vértices dada por «estar conectado con» es una relación de equivalencia. X
Definición Las clases de equivalencia que dene esta relación se denominan componentes conexas. Ejemplos:
1. El grafo G:
tiene dos componentes conexas. 2. El grafo G´
tiene cinco componentes conexas X
Teorema Sea G = (V, E) un grafo tal que #V > 2. Si G es hamiltoniano, entonces ∀ U⊂V, el subgrafo de G cuyos vértices son los de V – U, y sus aristas son todas las de G que tienen extremos en V – U, tiene a lo más #U componentes. Ejemplo:
El grafo G no es hamiltoniano
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porque al borrar a y b obtenemos tres componentes conexas.
X
Definición Sea G = (V, E) un grafo conexo. Se llama punto de corte a un vértice v de V de modo que el subgrafo G V de G con vértices V – {v} y cuyas aristas son aquellas de E cuyos vértices están en V – {v} no es conexo. Se llama un istmo a una arista de G de modo que el grafo (V, E – {a}) no es conexo. Ejemplo:
− a y b son puntos de corte. − La arista ab es un istmo. Resultado:
Todo grafo con un punto de corte no es hamiltoniano. X
Problema del camino mínimo A continuación vamos a estudiar otro problema de tipo económico: supongamos que una persona vive en la ciudad donde trabaja. La siguiente gura da un esque ma de las calles que conducen de la vivienda al lugar de trabajo, incluyendo un etiqueta que representa los kilómetros de longitud del tramo de calle representado:
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Por razones económicas obvias queremos obtener la longitud del camino más corto entre el vértice «Vivienda» y el vértice «Trabajo». Para formalizar el problema introducimos nuevas deniciones: X
Definiciones Un grafo o un digrafo G se dice que es un grafo etiquetado (o digrafo etiquetado) si sus aristas tienen asignado un número. Es decir, existe una aplicación d: E(G) → C, donde C es un conjunto nito de números. A la etiqueta de una arista a de G se le suele designar longitud de a: puede tener varios signicados como por ejemplo, distancia entre dos vértices, tiempo empleado en recorrerla o coste de la misma. Dado un camino en G cuyas aristas son a 1,a2,...,ar , se denomina longitud de tal camino a: d(a1) + d(a2) + ... + d(a t). Dados dos vértices de un grafo etiquetado, se denomina distancia entre tales vértices a la longitud del camino de longitud mínima entre dichos vértices. A continuación daremos un algoritmo para encontrar tal distancia (y tal camino) siempre que nos hallemos en un digrafo. Es decir, si por ejemplo las calles de la gura fueran de dirección única, el digrafo sería:
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FORMA MATRICIAL DE REPRESENTACIÓN DE GRAFOS Hemos visto que los grafos son utilizados frecuentemente para representar vías y redes de comunicación. En un grafo de una red de comunicación es importante saber cuando un vértice se puede comunicar con otro, o en una red de transporte es interesante conocer cuál es le camino más corto entre dos vértices. Vamos a ver una forma matricial de representar un grafo. Este modo de representación es útil, sobre todo para trabajar con grafos en un ordenador.
X
Definición. Sea G = (V, E) un grafo con V = {v 1, v2, ... v p}. Se denomina matriz de adyacencia a la matriz M = (mij) de orden p×p cuyas entradas son unos o ceros siguiendo la siguiente ley: mij = 1 si v iv j ∈ E mij = 0 si v iv j ∉ E Ejemplo:
Para el grafo
La matriz de adyacencia es
0 1 1 0
1 1 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0
Observación: es claro que la matriz de adyacencia de un grafo contiene toda la información necesaria para a partir de ella reconstruir el grafo. Por tanto la matriz de adyacencia puede ser usada como un método de representación de grafos. En términos más matemáticos tenemos el resultado: X
Proposición Sean G y G’ dos grafos con la misma matriz de adyacencia, entonces G y G’ son isomorfos.
− Sin embargo puede ocurrir que dos grafos isomorfos estén representados por matrices diferentes: basta permutar el orden de los vértices
− Puesto que en un grafo la arista v iv j es la misma que la arista v jvi, la matriz de adyacencia de un grafo es una matriz simétrica.
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matemáticas
X
Teorema Sea M la matriz de adyacencia de un grafo G con p vértices, p > 1. Entonces la entrada (i, j) de la matriz Mn es el número de caminos de longitud n con extremos vi y v j. Ejemplo:
En la siguiente gura hemos representado el recorrido de una línea de autobu ses y por los vértices sus paradas:
La matriz de adyacencia del grafo es:
0 0 0 M = 1 1 0 0
1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
Y la matriz que nos dará el número de caminos de longitud dos es:
0 1 0 M2 = 0 0 1 1
0 1 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Nos encontramos en la parada P6 y tenemos que ir hasta P 2.Ya que la entrada de M en el lugar (6, 2) es cero no existe ningún camino de longitud 1 que conecte P6 con P2.
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Por otro lado:
2 0 1 M3 = 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 0 0 0
0 1 2 1 0 0 0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
De nuevo la entrada (6, 2) sigue siendo nula, así tampoco existe un camino de longitud dos entre P6 y P2. Ahora m6,2 = 1, luego existe un camino de P 6 a P2 de longitud tres que es P 6, P6P4, P4, P4P1, P1 , P1P2 ,P2. Además tal camino es único. Obsérvese que la entrada (1, 1) de M3 es 2; por tanto existen dos caminos distintos cerrados con origen en P1 y longitud 3 que son: P1 , P2 , P5 , P1 y P1 , P6 , P4 , P1
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6
X
MAPAS Y COLORACIONES
Definición Un grafo se dice que es plano si admite una representación gráca en el plano de modo que cada arista corta únicamente a otra arista en un vértice que sea extremo de ambas. Ejemplo:
El grafo K 4 es plano pues admite una representación plana, tal como vimos anteriormente en un ejemplo. X
Definición Se llama mapa a cualquier representación de un grafo plano de modo que cada arista corte únicamente a otra en un vértice que sea extremo de ambas. Diremos que el mapa es conexo si el grafo que representa es conexo. Un mapa divide al plano en varias partes que se denominan regiones y su número lo representaremos por #R. Ejemplo:
El mapa de la gura
divide al plano en cuatro regiones. Cada región del mapa está bordeada por un camino cerrado en el grafo que no siempre es un circuito. X
Definición Se denomina grado de una región a la longitud del camino que la bordea.
− Existe un resultado análogo al Primer Teorema de la Teoría de Grafos para mapas: «La suma de los grados de las regiones de un mapa es igual al doble del número de aristas del grafo que representa».
− Un poliedro regular (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro o icosaedro) de ne un mapa del grafo formado por sus vértices del siguiente modo: tomemos un modelo de cada poliedro construido en alambre y sin caras o con caras
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transparentes y proyectemos su sombra con un foco de luz sobre una pantalla, de modo que el grafo obtenido en la pantalla sea un mapa que represente el grafo de los vértices y aristas del poliedro. En las siguientes guras hemos dibujado aproximadamente los mapas que resultan:
Es bien conocida la fórmula para tales poliedros:
Número de caras – número de aristas + número de vértices = 2
Como el número de caras de cada uno de los poliedros coincide con el número de regiones del mapa correspondiente, para los mapas de los poliedros se verica que: Número de regiones – número de aristas + número de vértices = 2
El matemático suizo Euler demostró que tal fórmula es válida para cualquier mapa que sea conexo.
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X
Teorema: Fórmula de Euler Sea M un mapa conexo con #R regiones que represente el grafo G = (V,E), entonces #V – #E + #R = 2
X
Corolario 1 Sea G=(V, E) un grafo plano conexo, con #V>2. Entonces: #E ≤ 3#V-6.
Demostración:
Sea un mapa que representa G con #R regiones. Por ser G un grafo y no un multigrafo, ni un pseudografo, las regiones de M tienen grado al menos tres:
Por el teorema que dice que «La suma de los grados de las regiones de un mapa es igual al doble del número de aristas del grafo que representa», la suma de los grados de la región es 2#E, pero como el grado de cada región es al menos tres: 2#E ≥ 3#R luego # R
≤
2 3
# E . Por el teorema de la fórmula de Euler, tenemos: 1 2 = #V− #E + #R ≤ #V − #E 3
luego 6 ≤ 3#V – #E ⇒ #E ≤ 3#V – 6 Ejemplo:
En la gura hemos representado el grafo completo K 5:
K 5 tiene 5 vértices y 10 aristas, y como 10 > 3, 5 – 6 = 9, por el corolario que acabamos de demostrar, K 5 no es un grafo plano.
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tema 2 matemáticas
X
Corolario 2 Sea G = (V, E) un grafo plano, conexo, con #V > 2. Supongamos que en G no existe ningún subgrafo isomorfo a K 3. Entonces: #E ≤ 2#V – 4. Demostración:
Sea M un mapa que representa G con #R de regiones. Por ser G un grafo y no tener ningún subgrafo isomorfo a K 3 las regiones de M tienen grado al menos cuatro (véase la gura); si hubiera una región con grado 3 el subgrafo con vértices {u, v, w} y con aristas {uv, vw, wu} es isomorfo a K 3 en contra de las hipótesis. Entonces tenemos por el teorema análogo al Primer Teorema de la Teoría de Grafos que: 2#E ≥ 4#R y por el teorema que nos da la Fórmula de Euler:
2≤ V−
1 2
#E
Ejemplo:
El grafo de la gura se llama K 3,3 y ya apareció anteriormente
El grafo K 3,3 tiene 6 vértices y 9 aristas; además no tiene ningún ciclo de longitud tres (cada arista conecta el conjunto de vértices {a, b, c} con el conjunto de vértices {g, w, e}, por tanto todo ciclo tiene longitud par y mayor o igual a cuatro). Como 9 > 12 – 4, por el corolario que acabamos de demostrar, el grafo K 3,3 no es plano. Los grafos K 5 y K 3,3 son muy importantes a causa de la famosa caracterización de grafos planos debida a K. Kuratowski efectuada en 1930. Para enunciar el teorema de Kuratowski necesitamos la noción de subdivisión de un grafo.
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tema 2
matemáticas
X
Definición Sea G = (V, E) un grafo, u, v∈V. Una subdivisión elemental del grafo G es un grafo G’= (V∪{w}, E – {uv}) ∪ {uw, wv}) donde w ∉V. Es decir, se trata de sustituir una arista uv de G’ por un nuevo vértice w unido con los extremos de la arista suprimida por dos nuevas aristas. En un mapa se trata simplemente de añadir un vértice sobre el interior de una arista existente ya. Una subdivisión de un grafo G es el grafo obtenido efectuando un número nito (puede ser cero) de subdivisiones elementales sucesivas. Ejemplo:
El grafo de la gura es una subdivisión de K 4:
X
Teorema de kuratowski Un grafo G es plano si y sólo si no contiene ningún subgrafo que sea isomorfo a una subdivisión de K 5 o de K 3,3. La demostración de este teorema es bastante complicada y escapa a los objetivos de este tema de Teoría Elemental de Grafos; a continuación veremos un ejemplo sencillo de aplicación: Ejemplo:
El grafo de la gura:
no es plano pues contiene al subgrafo de la gura:
que es una subdivisión de K 3,3
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tema 2 matemáticas
La noción de mapa nos permite enunciar uno de los problemas más famosos en la Historia de las Matemáticas: el problema de los cuatro colores. Este problema apareció por primera vez en una carta enviada por Augusto DeMorgan a Sir William R. Hamilton con fecha de 23 de octubre de 1852. En su carta, DeMorgan se reere a una cuestión que le preguntó uno de sus estudiantes. Como él no había conseguido una respuesta satisfactoria trasladaba la pregunta a su colega Hamilton. La pregunta era la siguiente: «En un mapa se dice que dos regiones distintas son adyacentes si en los caminos cerrados que denen sus bordes hay alguna arista en común. ¿Se puede colorear cualquier mapa plano con cuatro colores diferentes de modo que no haya dos regiones adyacentes con el mismo color?». Durante más de 100 años se hicieron muchos intentos para resolver el problema, algunos de tales intentos dieron lugar a falsas soluciones siendo publicadas como ciertas y originando ideas matemáticas interesantes y útiles. En 1977, K. Appel, W. Haken y J. Koch publicaron una prueba de que todo mapa plano se puede colorear con, a lo más cuatro colores ( Teorema de los Cuatro Colores). Sin embargo la demostraciópn de Appel, Haken y Koch ha generado grandes controversias pues se apoya esencialmente en cálculos efectuados por un ordenador. Más concretamente, unos dos mil casos tuvieron que ser analizados por un ordenador que tardó más de 1200 horas. Sin embargo después de más de quince años los matemáticos que han analizado la prueba han dado crédito a los autores. De todos modos una prueba más directa de este resultado es un sueño que muchos matemáticos anhelan y no pierden la esperanza de encontrar.
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matemáticas
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X
DIAGRAMAS EN ÁRBOL
Definición Un árbol es un grafo conexo sin ciclos. Ejemplo:
El siguiente grafo “en forma de árbol” es un árbol
X
Teorema Sea T un grafo con n vértices. Los siguientes enunciados son equivalentes:
1) T es un árbol. 2) T no contiene ningún circuito y posee n−1 aristas. 3) T es conexo y tiene n−1 aristas. 4) T es conexo y cada arista es un istmo. 5) Cada dos vértices de T están conectados por una única trayectoria. 6) T no contiene ningún circuito pero la adición de cualquier nueva arista crea exactamente un circuito. Demostración:
Supondremos n > 1 puesto que si n = 1 el teorema es trivial.
(1 ⇒ 2) T es árbol y por tanto no contiene ningún circuito. La eliminación de cualquier arista divide a T en dos grafos cada uno de los cuales es un árbol. Por tanto el número de aristas en cadauno de los árboles es menor, enunaunidad, que el número devértices quetieneenel grafo total. Así, T posee n−1 aristas.
(2 ⇒ 3) Por reducción al absurdo. Si T fuera inconexo, cada componente de T sería un grafo conexo sin circuitos y, por la implicación anterior, el número de vértices de cada componente sería igual a el número de aristas +1. Por tanto el número total de vértices de T sería al menos 2 más queel número total de aristas y esto contradice queT tenga n−1 aristas.
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tema 2 matemáticas
(3 ⇒ 4) Si eliminamos cualquier arista obtenemos un grafo inconexo con n vértices y n−2 aristas. (4 ⇒ 5) Por reducción al absurdo. Al ser T conexo, cada par de vértices están conectados por al menos una trayectoria. Así, si dados dos vértices estuvieran conectados por 2 trayectorias, entre ellos habría un circuito, lo que contradice que toda arista es un istmo.
(5 ⇒ 6) Por reducción al absurdo. Si T tuviese un circuito cualquier par de vértices del circuito estarían conectados por al menos dos trayectorias, lo que contradice que cada dos vértices deT están conectados por una única trayectoria.
(6 ⇒ 1) Por reducción al absurdo. Si suponemos que T no es un árbol, entonces es inconexo. Si le añadimos cualquier arista que una un vértice de una componente a un vértice de otra, no se creará ningún circuito lo que contradice que la adición de cualquier nueva arista crea exactamente un circuito. X
Definición Sea G un grafo conexo. Se llama árbol generador de G a cualquier árbol que contenga a todos los vértices de G.
X
Aplicación: El problema del conector mínimo Sea G un grafo conexo ponderado. En algunos problemas interesa conocer un árbol generador de G de peso total mínimo, por ejemplo, si tenemos que construir una red de gas de enlace entre n ciudades con coste mínimo.
X
Algoritmo de Kruskal Paso 1. Ordenamos las aristas en orden creciente de peso. Paso 2. Elegimos la arista a1 de peso mínimo. Paso 3. Formamos una sucesión de aristas a 2, a3, ... an–1 eligiendo en cada iteración la de menor peso posible (no elegida anteriormente) de modo que no forma un circuito con las previas seleccionadas. Paso 4. Terminamos cuando tengamos n–1 aristas así elegidas. El árbol generador es el grafo A de aristas a 1, a2, ... an–1 y vértices de G.
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tema 2
matemáticas
Ejemplo:
Solución:
Arista elegida
X
CA
→
3
AB
→
5
BK
→
6
BD
→
8
AJ
→
10
JI
→
12
KH
→
13
KL
→
15
DE
→
17
HG
→
18
EF
→
22
Proposición Sea G un grafo conexo. Entonces G admite un árbol generador. Observación: Cayley, en 1889, demostró que el grafo K n tiene nn–2 árboles generadores.
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BIBLIOGRAFÍA
BUJALANCE, COSTA, MARTÍNEZ: Elementos de Matemática Discreta. Ed. Sanz y Torres. Madrid, 1997. CHARTRAND, LESNIAK: Graphs and Digraphs. Ed. Chapman and Hall. Londres, 1996. DIESTEL: Graph Theory. Ed. springer-Verlag. Nueva York, 2000. PELEGRIN, CANOVAS, FERNÁNDEZ: Algoritmos en grafos y redes. Ed. PPU. Barcelona, 1993. WILSON: Introducción a la teoría de grafos. Alianza Editorial. Madrid, 1983.
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RESUMEN
Fundamentos y aplicaciones de la teoría de grafos. Diagramas en árbol.
1. 1
GRAFOS: CONCEPTOS BÁSICOS Un grafo consta de un conjunto V y un conjunto E de pares no ordenados de elementos distintos de V. El conjunto V se llama conjunto de vértices, siendo sus elementos los vértices. El conjunto E se llama conjunto de aristas y sus elementos aristas. Se escribe G = (V, E) o bien, dado un grafo G, se denota V(G) y E(G). En este apartado se denen y desarrollan los conceptos básicos de:
Representación gráca de grafos Vértices adyacentes, arista y lazo y se denen los conceptos: grado de un vértice, vér -
tice aislado y terminal.
Tipos de grafos
Grafo simple, multigrado, pseudografo, grafo orientado, grafo nulo, grafo regular, grafo completo. Subgrafo
Teorema
Todo grafo contiene un número par o cero de vértices de grado impar.
2. 2
ISOMORFÍA Y HOMOMORFÍA DE GRAFOS
Isomorfía de grafos
Sean G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) dos grafos, se dice que los grafos G1 y G2 son isomorfos si existe una bisección, f, entre los conjuntos de vértices tal que:
uv ∈ E1 ⇔ f(u) f(v) ∈ E2.
Homomorfía de grafos Dos grafos son homomórcos (o idénticos salvo vértices de grado 2) si ambos pueden
ser obtenidos a partir del mismo grafo insertando nuevos vértices de grado 2 en sus aristas.
3. 3
GRAFOS EULERIANOS
Deniciones
− Camino o trayectoria. − Camino cerrado. − Camino simple. − Ciclo. − Circuito.
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tema 2 matemáticas
Denición de grafo conexo.
El problema de los puentes de Königsberg.
Deniciones
− Camino euleriano. − Circuito euleriano. − Grafo euleriano.
Proposición 1
Si G es euleriano, todo vértice de G tiene grado par.
Proposición 2 Si G tiene un camino euleriano, entonces: o bien todo vértice de G tiene grado par o
bien exactamente dos de los vértices tienen grado impar.
Teorema
Un grafo conexo es euleriano sí y sólo si cada vértice tiene grado par. Algoritmo de Fleury.
4. 4
GRAFOS HAMILTONIANOS
Deniciones
− Camino hamiltoniano. − Ciclo hamiltoniano. − Grafo hamiltoniano.
Denición
− Sea G un grafo, y u, v ∈ V(G). Se dice que u y v están conectados en G si existe un camino de u a v.
Denición
− Componentes conexas.
Teorema
− Condición necesaria para que un grafo sea hamiltoniano.
Denición
− Punto de corte. − Itsmo.
Problema del camino mínimo. Defniciones:
− Grafo etiquetado o digrafo etiquetado. − Longitud de tal camino. − Distancia entre tales vértices.
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tema 2
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5. 5
FORMA MATRICIAL DE REPRESENTACIÓN DE GRAFOS Sea G = (V, E) un grafo con V = {v1, v 2, ... v p}. Se denomina matriz de adyacencia a la matriz M = (mij) de orden p×p cuyas entradas son unos o ceros siguiendo la siguiente ley: mij = 1 si v iv j ∈ E y mij = 0 si v iv j ∉ E.
Teorema
Sea M la matriz de adyacencia de un grafo G con p vértices, p > 1. La entrada (i, j) de la matriz Mn es el número de caminos de longitud n con extremos v i y v j.
6. 6
MAPAS Y COLORACIONES
Deniciones
− Grafo plano. − Mapa. − Región. − Grado de una región.
Fórmula de Euler
− M mapa conexo. Entonces #V - #E+#R=2
Corolario 1
− G grafo plano conexo, #V>2. Entonces #E≤3#V-6.
Corolario 2
− G grafo plano, conexo, #V>2 y no conteniendo ningún subgrafo isomorfo a K 3. Entonces #E≤2#V-4.
7. 7
Denición de subdivisión elemental de un grafo .
Teorema de Kuratowski.
Comentar el “problema de los cuatro colores” .
DIAGRAMAS EN ÁRBOL Un árbol es un grafo conexo sin ciclos.
Teorema Sea T un grafo con n vértices. Los siguientes enunciados son equivalentes:
1. T es un árbol 2. T no contiene ningún circuito y posee n-1 aristas 3. T es conexo y tiene n-1 aristas 4. T es conexo y cada arista es un istmo 5. Cada dos vértices de T están conectados por una única trayectoria 6. T no contiene ningún circuito pero la adición de cualquier nueva arista crea exac-
tamente un circuito
Sea G un grafo conexo. se llama árbol generador de G a cualquier árbol que contenga a todos los vértices de G.
Aplicación: el problema del conector mínimo.
Algoritmo de Kruskal.
41
