tema
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MATEMÁTICAS Números naturales. Sistemas de numeración.
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matemáticas
1.
LOS NÚMEROS NATURALES
2.
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES
2.1.
ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES: PROPIEDADES
2.2.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES: PROPIEDADES
2.3.
OTRAS PROPIEDADES DE LA SUMA Y DEL PRODUCTO DE NÚMEROS NATURALE S
3.
ORDEN EN N
4.
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES
5.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
5.1.
DEFINICIÓN Y TIPOS
5.2.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓ N
5.3.
PROPIEDADES DE LA NUMERACIÓN
5.4.
CAMBIO DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN A OTR O
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matemáticas
INTRODUCCIÓN
La investigación matemática se centró en sus orígenes en los conceptos de número, magnitud y forma. El número natural responde a la necesidad humana de contar y es el tipo de número más antiguo. Obviamente un descubrimiento tan relevante como este no ha sido obra de un solo hombre sino que se ha desarrollado gradualmente desde hace aproximadamente unos 400.000 años, es decir, en época tan temprana como el uso del fuego. La aparición del lenguaje y su desarrollo fue evidentemente esencial para el nacimiento del pensamiento abstracto matemático, pero a pesar de ser posterior la escritura al lenguaje, es probable que los signos para representar números fueran anteriores a las palabras para expresarlos, seguramente debido al hecho de que es más sencillo contar muescas en un palo que establecer una palabra para identicar un número concreto. Los hombres primitivos
contaban, y lo anotaban mediante muescas en los palos o huesos Los hombres empezaron a contar utilizando los dedos de las manos, de los pies, y otras partes del cuerpo (los pigmeos siguen contando así). En cierto modo, el cuerpo es la base de la Aritmética. Cuando la sociedad evoluciona (intercambios, comercio, ...) se hace necesario expresar cantidades más grandes. Y así se inventaron los símbolos y sistemas de numeración más complejos. La necesidad de realizar operaciones no posibles dentro del campo de los números naturales y de resolver los problemas que se van presentando, plantea la necesidad de ampliar el conjunto de números conocidos hasta el momento. Con el paso del tiempo los símbolos y los sistemas de numeración evolucionan a la vez que se van introduciendo los distintos números. A nales del siglo XIX, una de las cuestiones que más preocupaban a los matemáticos
profesionales era la validez de todas las deducciones y teoremas que se habían obtenido a lo largo de la historia. En el proceso de revisión de las demostraciones de ciertos teoremas, se encontraron con ciertos problemas. Para resolver estos problemas se intentó fundamentar las matemáticas en axiomas enunciados con completa exactitud y demostraciones explícitas de todos los resultados aun de aquellos que podían parecer enormemente obvios para la intuición. Comenzó la formalización de toda la matemática, en especial de los conjuntos numéricos conocidos, en el siguiente orden: los naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos y los cuaterniones; aunque desde un punto de vista histórico no fuera éste su orden de aparición y aceptación.
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Así, el matemático alemán Frege define el número cardinal deun conjunto, finito o infinito, como la clasede todos los conjuntos queson semejantes al conjunto dado, entendiendo como semejantes que los elementos delos dos conjuntos pueden ponerse en correspondencia biunívoca. Y a partir de esta denición, se introducen la suma a partir de la unión de conjuntos, y el
producto a partir del producto cartesiano de conjuntos. Por ejemplo:
5=
X X
X
X X
,
,
, ...
Pero será Giuseppe Peano (1858-1932) quien ponga las bases de la aritmética con sus axiomas para la denición de los números naturales. Su método axiomático consiguió un nivel de precisión nuevo e inédito en el cual no había ninguna ambigüedad en el signicado
ni hipótesis escondidas.
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matemáticas
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LOS NÚMEROS NATURALES El conjunto de los número naturales, N, puede: a) Construirse cómo clases de equivalencia obtenidas por la relación de coordina-
bilidad entre conjuntos. b) Denirse mediante los axiomas de Peano (1889).
La vía que elegimos en este tema para introducir y posteriormente estudiar las propiedades de los números naturales es la segunda, los axiomas de Peano, pero antes de comenzar, veamos brevemente, cómo se construyen a partir de la relación de coordinabilidad. X
Construcción de los números naturales mediante la relación de coordinabilidad Se dice que dos conjuntos A y B son coordinables y se escribe A~B, si hay tantos
elementos en uno como en el otro. De la denición se deducen las siguientes propiedades que demuestran que la
relación de coordinabilidad es una relación de equivalencia: 1. Todo conjunto es coordinable consigo mismo (propiedad reexiva). 2. Si A~B entonces B~A (propiedad simétrica). 3. Si A~B y B~C entonces A~C (propiedad transitiva). 4. Dos ordenaciones diferentes de un mismo conjunto nito son coordinables
entre si. Para poder comparar entre si los conjuntos nitos y nombrar las clas es de equiva lencia, conviene elegir un conjunto N jo como tipo de comparación entre todos
ellos. Este conjunto está formado por entes abstractos, llamados números naturales, cada uno de los cuales recibe un nombre y se representa por un símbolo: N ={0, 1, 2, 3, 4, ...}
X
Definición axiomática del conjunto de los números naturales Empezamos nuestra construcción con un conjunto
N formado
por un núme-
ro innito de indenidos, pero distintos, objetos llamados números naturales. Se especica: N
={0, 1, 2, 3, 4, ...}
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en el que cada símbolo, excepto el primero, es el siguiente de cada uno que le precede. Sobre el conjunto se verican los siguientes axiomas (desarrollados primeramente
por el matemático italiano Peano) y, consecuentemente, denominados «postulados de Peano». Axioma 1: el número 0 es un número natural (0 ∈ N). Por tanto, N es no vacío. Axioma 2: a cada número natural «a» se le asigna un siguiente S (a) que también
es un número natural. Axioma 3: no existe ningún número natural cuyo siguiente sea el 0; esto es:
∀ a, a ∈ N ⇒ S (a) ≠ 0 Axioma 4: si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces los
números mismos son iguales. Es decir:
∀ a, b ∈ N, si S (a) = S (b) ⇒ a =b Axioma 5: si una parte K de N contiene al 0 y si el siguiente de todo elemento de K pertenece a K , entonces K es igual a N (axioma de inducción). Esto es: K ∈ N
tal que: 0 ∈ K ⇒ K = N ∀ a, a ∈ K ⇒ S (a) ∈ K
}
También es posible la construcción de los números naturales estableciendo el uno, 1, como primer número natural. Los axiomas son análogos. Nota: en lo sucesivo emplearemos la notación a* para designar el siguiente de a.
Así: 0* = 1 (1 es el siguiente de 0), 1* = 2, ... Veamos algunas propiedades que se deducen de los axiomas anteriores. X
Teorema 1 ∀a, b, a*, b* ∈ N si a ≠ b ⇒ a* ≠ b* Demostración: es inmediata, puesto que si a ≠ b, y admitimos a* = b*, por axioma 4, obtendríamos a = b, que es una contradicción.
X
Teorema 2 ∀a ; a ∈ N ⇒ a ≠ a* Demostración: hacemos uso del axioma de inducción matemática o inducción
completa. Consideremos el conjunto
K ={a / a ∈ N y a ≠ a*}
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Vemos que K ⊆ N
0 ∈ K , por el axioma 3 Supongamos a ∈ K . Entonces a ≠ a*
⇒ (a*) ≠ (a*)* ⇒ a* ∈ K ⇒ K ≡ N
por el t eore ma 1
X
por definici ón de K
por axioma 5
Teorema 3 ∀a ; a ∈ N y a ≠ 0 ⇒ ∃ b, b ∈ N, y a = b* Demostración: construimos el conjunto auxiliar
K ={0} ∪ {a ∈ N ; ∃ b ∈ N ∧ a =b*} Por denición de K , K ≠ φ, ya que al menos 0 ∈ K y, por consiguiente, supongamos a ∈ K . Entonces, como K contiene todos los siguientes a* ∈ K ⇒ K = N.
Esto es, todo número natural distinto de 0 es el siguiente de otro número natural.
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2.1.
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES: PROPIEDADES Sea la aplicación f : N × N → N tal que para todo par
( x, y) ∈ N × N → f ( x, y) ∈ N, vericando: (1)
f ( x, 0) = x, ∀ x ∈ N
(2)
f ( x, y*) = [ f (x, y)]* para todo x, y ∈ N
Veamos que esta aplicación existe y es única. 1.º Demostración de la existencia: consideremos el conjunto M denido por: M es el conjunto formado por todos los elementos x ∈ N para los cuales existe una aplicación f x: { x} × N → N que cumple: f x ( x, 0) = x f x ( x, y*) = [ f x ( x, y)]*, ∀ y ∈ N
Que 0 ∈ M es evidente. Pues denimos f 0: {0} × N → N tal que f 0 (0, y) = y, ∀ y ∈ N.
Entonces f 0 verica las condiciones exigidas en M , puesto que es una aplicación y cumple también que: f 0 (0, 0) = 0 f 0 (0, y*) = y* = [ f 0 (0, y)]*, ∀ y ∈ N
Admitamos, pues, que x ∈ M ; es decir, existe f x: { x} × N → N vericando: f x ( x, 0) = x f x ( x, y*) = [ f x ( x, y)]*
¿ x* ∈ M ? Para ello ha de existir f x*: { x*} × N → N vericando f x* ( x*, 0) = x* f x* ( x*, y*) = [ f x* ( x*, y)]*
Pero es suciente denir la aplicación f x*: { x*} × N → N tal que f x* ( x*, y) = [ f x ( x, y)]*, para que f x* ( x*, 0) = x* f x* ( x*, y*) = [ f x ( x, y*)]* = [ f x ( x, y)*]* = [ f x* ( x*, y)]* ⇒ x* ∈ M
y, por tanto, M = N
Como esto se verifica para cada x ∈ N, siempre existe ( f x: { x} × N → N ); ∀ x ∈ N; o sea, podemos garantizar que existe f : N × N → N
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2.º Demostración de la unicidad: consideremos, pues, que existen dos aplicaciones f y g, ambas de N × N → N, que satisfacen las condiciones (1)
y (2). Denimos el conjunto M x = [ y ∈ N / f ( x, y) = g ( x, y)} para x ∈ N
¿0 ∈ M x? En efecto, pues f ( x, 0) = x = g ( x, 0) Si y ∈ M x, f ( x, y) = g ( x, y), ¿se cumplirá y* ∈ M x? Veamos: f ( x, y*) = [ f ( x, y)]* = [g ( x, y)]* = g ( x, y*) ⇒ y* ∈ M x; luego, M x = N
Como este razonamiento es válido para cada x ∈ ∀ x ∈ N, ∀ y ∈ N, f ( x, y) = g ( x, y); es decir, f = g
N,
podemos concluir que
Por tanto, ∀ ( x, y) ∈ N × N, podemos averiguar f ( x, y). Esta aplicación se conoce con el nombre de adición de números naturales. Simbolizándola por «+» obtendremos: Defnición axiomática: +
La adición de números naturales es una aplicación N × N → N, tal que para cada par, de números naturales existe un único número, llamado x + y = + ( x, y), tal que: (1)
+ ( x, 0) = x + 0 = x
(2)
+ ( x, y*) = x + y* = ( x + y)*
}
∀ x, y ∈ N
El número natural x + y se denomina suma de x con y. Con esta denición se verica:
X
a)
∀ x ∈ N, x + 1 = x*
b)
x + y = 0 ⇔ x = 0 ∧ y = 0
Propiedades
Asociativa
Para todo a, b, c ∈ N se verica:
(a +b) +c =a +(b +c ) Demostración: a) Sea el conjunto M de
números naturales x tales que:
(a + b) + x = a + (b + x), para todo par a, b ∈ N
Simbólicamente, M = { x ∈ N / (a + b) + x = a + (b + x)}
Vemos que 0 ∈ M , ya que: (a + b) + 0 = ( a + b) = a + (b + 0) cond. (1) de adición
Es decir: 0 ∈ M .
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b) Sea ahora un número z
∈ M , luego: (a + b) + z = a + (b + z). ¿ z* ∈ M ?
Veamos: (a + b) + z* = ((a + b) + z)* = (a + (b + z))* = a + (b + z)* = a + (b + z*) z ∈ M
cond. (2) de adición
cond. (2) de adición
Así, pues, hemos llegado a la igualdad: (a + b) + z* = a + (b + z*) propiedad que expresa que si z ∈ M también z* ∈ M . Según esto, por el axioma 5 de Peano, el conjunto M coincide con el de los números naturales ( M = N).
Existencia de elemento neutro ∃ 0 ∈ N / ∀ x ∈ N, x + 0 = 0 + x = x
Demostración: Aplicamos el axioma de inducción. x + 0 = x, evidente por la condición (1)
¿ x + 0 = 0 + x? Denamos M = { x ∈ N / x + 0 = 0 + x} a) ¿0 e M ? b) Sea x
Evidente.
∈ M ⇒ x + 0 = 0 + x ¿ x* ∈ M ? x* + 0 = x* = ( x + 0)* = (0 + x)* = 0 + x* ⇒ x* ∈ M .
Por tanto, M = N por el axioma de inducción.
Conmutativa
Para todo par a, b de números naturales se verica:
a +b =b +a Demostración: a) Sea A el
conjunto de los números naturales x tales que:
1 + x = x +1
Simbólicamente:
A ={ x | x ∈ N, x +1 =1 + x } ¿0 ∈ A? En efecto: se verica: 0 + 1 = 1 + 0 por ser el elemento neutro b) Supongamos que z
∈ A. Se verica entonces: z + 1 = 1 + z.
¿ z* ∈ A? Veamos:
z * +1 =( z +1) +1 =(1 + z ) +1 =(1 + z )* =1 +( z +1) =1 + z * cond. (2) de adición
z ∈ A
cond. (2) de adición
Es decir: si z ∈ A ⇒ z* ∈ A. Conclusión: Como 0 ∈ A y si z ∈ A, también z* ∈ A, por el axioma 5: A = N.
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Queda así probado que todos los números naturales conmutan con el 1 ∈ N. c) Sea ahora el conjunto B = { x | x
∈ N, a + x = x + a}
0 ∈ B, ya que a + 0 = 0 + a
Evidentemente
(1 ∈ B, ya que a + 1 = 1 + a) Supongamos que z ∈ B, se verica entonces: a + z = z + a. ¿ z* ∈ B? En efecto: a + z*
= a + ( z + 1) = (a + z)* = ( z + a)* = z + (a + 1) = ↓ cond. (2) adición
z ∈ B
↓ cond. (2) adición
= z + (1 + a) = ( z + 1) + a = z* + a
Asociativa
Es decir: a + z* = z* + a, probando que z* ∈ B Conclusión: hemos demostrado que 0 ∈ B; que si z ∈ B, entonces también z* ∈ B; y por el axioma 5 de Peano B = N.
Luego, (N, +) es semigrupo conmutativo con elemento neutro. Se denomina semigrupo aditivo de los números naturales.
2.2.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES: PROPIEDADES Sea la aplicación f : N × N → N, tal que para todo par
( x, y) ∈ N × N → f ( x, y) ∈ N, vericando: a) f ( x,
0) = 0 para todo número natural x.
b) f ( x, y*)
= f ( x, y) + x, para todo x, y ∈ N.
Con un procedimiento análogo a la adición, se demuestra que esta aplicación existe y es única. Simbolizándola por « · » en lugar de f , tendremos: X
Definición axiomática de multiplicación de números naturales A cada par, x e y de números naturales se le asocia uno y sólo un número natural, que designaremos por x · y = ( x, y), y que se llama el producto de x por y, tal que: a) x · 0 = 0 (para todo x b) x · y*
∈ N).
= x · y + x (para todo par x e y y de números naturales).
Teorema 4 x · 1 = x, ∀ x ∈ N
Demostración:
En efecto, x · 1 = x · 0* = x · 0 + x = 0 + x = x
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X
Propiedades
Distributiva de la multiplicación respecto a la edición
∀ a, b, c ∈ N se verica: (a + b) · c = a · c + b · c
(distributiva por la derecha)
Más adelante probaremos que también se verica: c · (a + b) = c · a + c · b = a · c + b · c
(distributiva por la izquierda)
Demostración: Sea el conjunto M = { x | x ∈ N, (a + b) · x = a · x + b · x}
0 ∈ M , ya que: (a + b) · 0 = 0 y,
(por denición de multiplicación)
a · 0 + b · 0 = 0 + 0 = 0
Sea z ∈ M . Entonces:
(a + b) · z* = (a + b) · z + (a + b) Pero: (a + b) · z = a · z + b · z
(denición de multiplicación).
(Por ser z ∈ M ).
De donde: (a + b) · z* = (a + b) · z + (a + b) = a · z + b · z + a + b = z ∈ M
= a · z + a + b · z + b = a · z* + b · z* conmutativa y asociativa de la adición
En resumen: 0 ∈ M , z ∈ M = z* ∈ M , luego M = N
(Axioma 5)
Existencia de elemento absorbente en (N, · )
El cero es elemento absorbente en (N, · ), pues:
∀ b ∈ N, b · 0 = 0 = 0 · b Demostración:
En efecto: a · b + 0 = a · b = (a + 0) · b = a · b + 0 · b ⇒ 0 · b = 0 como b · 0 = 0 (condición 1 de la multiplicación), entonces b · 0 = 0 · b
Existencia de elemento neutro en (N, · ) ∃ 1 ∈ N / ∀ x ∈ N, 1 · x = x = x · 1
Demostración: Sea M = { x ∈ N / 1 · x = x · 1}
0 ∈ M , pues 1 · 0 = 0 · 1 (por ser 0 elemento absorbente).
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Sea x ∈ M ⇒ 1 · x = x · 1
¿ x* ∈ M ? Veamos: 1 · x* = 1 · x + 1 = x · 1 + 1 = x + 1 = x* = x* · 1 x ∈ M
(Recordemos que x · 1 = x, ∀ x N)
Por tanto x* ∈ M ; luego ∀ x ∈ N, 1 · x = x = x · 1
Conmutativa ∀ a, b ∈ N, a · b = b · a
Demostración:
Consideremos el conjunto B = { x ∈ N | a · x = x · a} 0 ∈ B, ya que: a · 0 = 0 = 0 · a (por ser 0 elemento absorbente). Si z ∈ B, resulta: a · z = z · a. Entonces: a · z* = a · z + a = z · a + a = z · a + 1 · a = ( z + 1) · a = z* · a ↓
z ∈ B
↓ distributiva
Por tanto: z* ∈ B En resumen: (0 ∈ B y z ∈ B) ⇒ z* ∈ B; luego, B = N. Como consecuencia de la propiedad conmutativa tenemos que: (a + b) · c = c · (a + b) c · (a + b) = a · c + b · c
(distributividad por la izquierda)
Asociativa ∀ a, b c ∈ N, (a · b) · c = a · (b · c)
Demostración: Sea el conjunto M { x | x ∈ N, (a · b) · x = a · (b · x)} Evidentemente se verica que 0 ∈ M , ya que:
(a · b) · 0 = 0
(denición de multiplicación)
a · (b · 0) = a · 0 = 0
Si z ∈ M se verica: (a · b) · z = a · (b · z). Veamos si z* ∈ M .
(a · b) · z* = (a · b) · z + a · b
(denición de multiplicación)
y, (a, b) · z + a · b = a · (b · z) + a · b
(por ser z ∈ M )
Pero: a · (b · z) + a · b = a · (b · z + b)
(por la propiedad distributiva)
y,
(denición de multiplicación)
a · (b · z + b) = a · ( b · z*)
O sea: ( a · b) · z* = a · ( b · z*) ⇒ z* ∈ M
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En resumen: (0 ∈ M y z ∈ M ) ⇒ z* ∈ M , luego M = N, por el axioma 5 de Peano. Teniendo en cuenta las propiedades de la adición y multiplicación de números naturales, podemos garantizar que (N, + , ·) es un semianillo conmutativo con elemento unidad.
Teorema 5
En (N, · ) no existen divisores de cero; es decir: m ≠ 0, n ≠ 0 ⇔ m · n ≠ 0
Demostración:
En efecto. Apliquemos el método de reducción al absurdo. Admitamos m · n = 0 ⇒ n = 0
(denición de multiplicación)
n · m = 0 ⇒ m = 0
(denición de multiplicación)
}
que es
absurdo pues n ≠ 0, m ≠ 0 Sea ahora m ≠ 0, n ≠ 0. Luego existe x ∈ N, x* = n m · n = m · x* = m · x + m ≠ 0 (pues m ≠ 0)
En resumen, m · n = 0 ⇔ m = 0 ó n = 0, o bien, m ≠ 0, n ≠ 0 ⇔ m · n ≠ 0
2.3.
OTRAS PROPIEDADES DE LA SUMA Y DEL PRODUCTO DE NÚMEROS NATURALES Vamos a enunciar una serie de propiedades ya conocidas: 1. Ley de simplifcación Si a + b = a + c ⇒ b = c, ∀ a ∈ N
a)
Para la adición:
b)
Para la multiplicación:
Si a · b = a · c ⇒ b = c, ∀ a ∈ N, a ≠ 0
2. Ley de monotonía Si a = b ⇒ a + c = b + c, ∀ c ∈ N.
a)
Para la adición:
b)
Para la multiplicación:
Si a = b ⇒ a · c = b · c, ∀ c ∈ N.
3. Sustracción Una vez denida la adición en el conjunto de los números naturales tenemos la
posibilidad de plantear estas ecuaciones: 3 + x = 8; ecuación que tiene solución en
N.
8 + x = 3; ecuación que no tiene solución en
N.
Si la ecuación a + x = b con a, b ∈ N tiene solución, dicha solución la escribiremos
b – a y la leeremos “b” menos “a” o sustracción de b y a.
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Para hacer posible la sustracción para cualesquiera a y b se ampliará el concepto de número introduciendo los números enteros. 4. División exacta Una vez denido el producto en el conjunto de los números naturales tenemos la
posibilidad de plantear estas ecuaciones: 2 · x = 8; ecuación que tiene solución en
N.
8 · x = 2; ecuación que no tiene solución en Si la ecuación a · x = b con a, b
b a
∈ N tiene
N.
solución, dicha solución la escribiremos:
y la leeremos “b” dividido entre “a”
5. Potencias
La idea de exponente es una notación convencional que adoptamos para facilitar los cálculos. Si el número natural n se multiplica por si mismo k veces, el producto obtenido se representa por nk y se lee base n y exponente k.
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ORDEN EN N Dados dos números naturales a y b cualesquiera, se dice a menor que b, y se escribe a < b, si y sólo si existe un número natural c diferente de 0, tal que a + c = b. Esto es:
a
N*
y a +c =b
en lugar de a < b, se puede también escribir b > a, y se dice que b es mayor que a.
Nota: N* =N – {0} X
Teorema 6
∀ n ∈ N, n ≠ 0 ⇒ 0
n =n + 0 > 0 pues n ≠ 0 ⇒ n > 0 ó 0
Teorema 7 ∀ m, n ∈ N, una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera: a) m = n
b) m < n
c) n < m
Demostración:
Fijemos m ∈ N. Definamos Mm ={n / m =n o m
n ⇒ n* >m, o sea, m m, pues p* ≠ 0. Luego n* >m, o sea, m
Si se cumple c ), n
↓
n + ( x + 1) = n + (1 + x) = (n + 1) + x = n* + x = m > n*
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Puede ocurrir que:
x =0⇒ n* =m (se cumple a)) x ≠ 0 ⇒ n*
Entonces, en cualquier caso, n* ∈ Mm. Por el axioma de inducción, Mm =N; o sea, ∀ m, n ∈ N ⇒ m =n o m
m
}
m + p +q =m ⇒ p +q =0⇒ p =0 y q =0
que es absurdo. Luego sólo una de las condiciones es válida. Análogamente se demostrarían los otros casos.
La relación «<» es de orden estricto (verifica las propiedades antirreflexiva, antisimétrica y transitiva). Se dice, entonces, que N es un conjunto estrictamente ordenadopor la relación «<». La relación «menor o igual que», simbolizada por «≤» se define:
a ≤ b ⇔ a
o
a =b
Esta propiedad es de orden total sobre N porque verica las propiedades reexiva, antisimétrica, transitiva y todos los elementos o números naturales son compara bles. En efecto:
Reflexiva: ∀ a ⇒ N, a ≤ a, pues severifica a =a Antisimétrica: Si a ≤ b y b ≤ a ⇒ a =b
Si a ≠ b, por definición, a
Basta considerar a =b y b =c ⇒ a =c . Luego, a =b y b
Si a ≤ b ⇒ a +c ≤ b +c , ∀ c ∈ N Si a ≤ b ⇒ a · c ≤ b · c , ∀ c ∈ N* En resumen, (N, +, ·, ≤) es un semianillo totalmente ordenado, que se denomina el semianillo ordenado de los números naturales.
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DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES En la siguiente sección se probará el teorema fundamental de la numeración. Para ello es necesario denir y demostrar la existencia de la división de números na turales.
X
Proposición Sea n ∈ N*. Para cada m ∈ N, existen q, r ∈ N tales quem =q · n +r , con r
Consideramos el conjunto Mn ={m ∈ N / ∃q, r ∈ N, r
Queremos ver r 1 =r 2. Supongamos r 1
De aquí se concluye que r 2 ≥ n +r 1 ≥ n, y esto es falso. Así r 2 =r 1 y por tanto q2 · n =q1 · n, es decir, q2 =q1.
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5.1.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN DEFINICIÓN Y TIPOS La serie de los números naturales es infinita, es por tanto imposible representar los números naturales por símbolos o signos diferentes. Desde la antigüedad se han ideado diversas formas de representar los números naturales mediantecombinaciones de un conjunto finito de distintos símbolos. Defnición: un sistema de numeración es un conjunto de reglas y convenios que se emplean para expresar gráca y verbalmente los números mediante un conjunto limitado de palabras y signos. Los símbolos se llamas cifras o dígitos, y el cardinal del conjunto de símbolos base del sistema de numeración .
Hay dos tipos de sistemas de numeración: sistemas aditivos y sistemas posicionales. X
Sistemas aditivos no posicionales Son aquellos que se basan en el principio aditivo: el número representado por un
conjunto particular de símbolos es la suma de los valores que cada símbolo de dicho conjunto representa. Ejemplos:
Sistema de representación simple Es el sistema de representación más arcaico y consiste simplemente en líneas rectas, verticales u horizontales, es decir, en un único símbolo que representa el número 1 y que se repite tantas veces como indique el número. Este sistema es extremadamente engorroso para manejar grandes números y para hacer operaciones por lo que se idearon otras formas. La cultura maya es un ejemplo. Representaban el número 1 con una punto, el 2 con dos puntos, y así hasta el 5, que lo representaban con una raya, el 6 con una raya y un punto, etc.
Ya en el año 3400 a.C. en Egipto y en Mesopotamia se utiliza un símbolo especíco para representar el número 10.
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Sistema de jeroglíficos egipcio Data de 3.000 a.C., y fue usado durante 2.000 años aproximadamente.
Un palote vertical aislado representa una unidad. Un arco se usa para el diez. Una especie de lazo representa el 100. Una or de loto para el 1.000.
Un dedo doblado para el 10.000. Un tipo de pez parecido a un renacuajo para el 100.000. Y una gura humana de rodillas y con los brazos en alto para representar un
millón. Estos símbolos se utilizan para representar un número de la misma forma que las monedas se usan para formar una suma de dinero: = 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 = 132
El orden en el que aparecen los símbolos no importa.
Sistema jónico-griego Consta de 24 letras del alfabeto más otros tres símbolos, p.e.:
La barra horizontal se utilizaba para distinguir en un texto las letras numéricas de las letras ordinarias. Los números se representan como en el sistema egipcio.
22
tema 1
matemáticas
X
Sistemas aditivos posicionales Se basan en el principio del valor relativo: cada símbolo adquiere distinto valor
según la posición que ocupa. Los distintos lugares que puede ocupar un símbolo se llama órdenes o categorías de unidades. Ejemplos:
Sistema romano Data de la época del imperio romano, y fue utilizado en los países europeos para contabilidad hasta el s. XVIII. Se sigue utilizando en la actualidad para
numerar siglos, escribir fechas, capítulos de libros, etc. Es un sistemaaditivo que tuvo el mérito de ser capaz de expresar los número del 1 al 1.000.000 con solo siete símbolos: I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1.000
Limitándonos a la denición dada de sistema posicional, este sistema no lo es,
pero para leer o escribir los números romanos hay que seguir unas reglas en las que se demuestra que el orden de los signos en él ya no es irrelevante. Estas reglas son las siguientes: 1. Sólo las letras I, X, C, M se pueden escribir dos o tres veces seguidas . 2. Si una letra se pone a la derecha de otra de mayor valor, se suman sus valores: XVII = 10 + 5 + 2 = 17
3. Sólo las letras I, X, C se pueden poner a la izquierda de otra de mayor valor,
y entonces se restan sus valores: IV = 5 – 1 = 4
4. Una raya encima de una o varias letras multiplica por mil su valor: IV =4.000 M =1.000.000
Sistema de numeración decimal Inventado por los hindúes e introducido en Europa por los árabes en la Edad
Media, es el más completo y útil, estando adoptado universalmente en la actualidad. Está basado en los siguientes convenios. − Es un sistema de base 10: se utilizan diez símbolos diferentes llamados cifras, dígitos o guarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. − Cada 10 unidades de un orden determinado constituyen una unidad de orden inmediato superior.
Diez unidades de primer orden o unidades simples forman una unidad de segundo orden llamada decena. Diez decenas constituyen una unidad de tercer orden que se llama centena. Diez centenas constituyen una unidad de cuarto orden llamada millar o unidad de millar , y así sucesivamente.
23
tema 1 matemáticas
Cada unidad puede expresarse como una potencia de la base del sistema: Decena = 10 unidades simples Centena = 10 decenas = 102 unidades simples Unidad de millar = 10 centenas = 103 unidades simples Y, en general, una unidad de orden n es igual a 10n –1 unidades simples − El número de unidades de cada orden no puede exceder de nueve. − Principio del valor relativo: una cifra escrita a la izquierda de otra represen-
ta unidades de orden inmediato superior.
Otros sistemas Además del sistema de numeración decimal, en la actualidad se utilizan otros: − El sistema binario: sólo se utilizan dos símbolos, el 0 y el 1. Es el sistema
utilizado por los ordenadores para representar la información. − El sistema octal: utiliza ocho símbolos (del 0 al 7). − El sistema hexadecimal: usa dieciseis símbolos: 0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F, donde A representa 11 unidades simples, B = 12, ..., F = 15. Se pueden utilizar otros sistemas de numeración tomando como base cualquier
número entero mayor que uno, pero sólo los anteriores tienen interés práctico.
5.2.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN Si n ∈N y n > 1, entonces todo m ∈N se puede expresar de forma única, del si guiente modo: m = r 0 n0 +r 1 n1 +r 2 n2 +... +r k n ,k con r 0, r 1, ..., r k ∈N y r 0, r 1, ..., r k
Existencia. Consideremos dos casos:
1.er caso:
Si m ≤ n, entonces, m =m · n0 de forma única.
2.o caso:
Si m > n, entonces dividimos m por n, y si el cociente c1 es mayor que n, volvemos a dividir y reiteramos el proceso hasta obtener un cociente ck < n. Es decir:
m r 0
n c1 r 1
n c2
. .
luego . ck– 1 n r k –1 ck = r k
m = c1 · n + r 0 ; c1 = c 2 · n + r 1 ; · · · · · · · · ck -1 = ck · n + r k -1 ; ; ck = r k
r 0 < n r 1 < n
r k -1 < n r k < n
Sustituyendo estos valores en m = c1 · n + r 0 se obtiene la expresión deseada.
24
tema 1
matemáticas
Unicidad. Supongamos que existen dos escrituras diferentes r 0·n0 + r 1·n1 + r 2·n2 + ... + r k ·nk = r’ 0·n0 + r’ 1·n1 + r’ 2·n2 + ... + r’s·ns
con r i, r’i < n y r k , r’s = 0 Veamos en primer lugar que k = s. Supongamos por ejemplo que k < s. Entonces,
r 0 +r 1·n +...+r k ·nk ≤ (n – 1)(1+n +...+nk ) =nk +1 – 1
(En la primeradesigualdad utilizamos quer i
Ambos miembros se pueden leer como divisiones de m entre nk y por lo tanto, por unicidad del cociente y el resto resulta r k = r’ k y
r 0 + r 1·n + ... + r k -1·nk -1 = r’ 0 + r’ 1·n + ... + r’ k -1·nk -1
Reiterando el proceso se concluye que r i =r’i ∀i =0...k . Consecuencia: Principio del valor relativo.
Por el teorema fundamental de la numeración r 0, ..., r k < n, siendo n la base del sistema de numeración, luego r 0, ..., r k tienen una sola cifra en el sistema de numeración de base n. Entonces, para escribir el número natural m, en dicha base escribiremos ordenamente sus cifras, así: m = r k r k –1 ... r 1 r 0(n
teniendo en cuenta que «el orden de las unidades que representa una cifra determinada viene dado por el lugar que ésta ocupa en el número» (Principio del valor relativo).
Ejemplo: 145 en base 3 será: 145 = 12101(3 porque:
145 25 1 = r 0 0 = r 1
3 48 18 1 = r 2
3 16 5 2 = r 3
3 3 1 = r 4
25
tema 1 matemáticas
5.3.
PROPIEDADES DE LA NUMERACIÓN Veamos una serie de propiedades que se derivan del teorema fundamental. En lo que sigue se considera m ∈ N.
X
Propiedad 1 m = r k r k –1 ... r 1 r 0(n entonces
p
m · n p = r k r k –1 ... r 1 r 0 0 ... 0
Demostración:
Pasando m a forma polinómica: m = r k nk + r k –1 nk –1 + ... + r 1 n + r 0
Multiplicando por n p: m · n p = (r k nk + r k –1 nk –1 + ... + r 1 n + r 0) · n p =
= r k nk + p + r k –1 nk + p –1 + ... + r 1 n p+1 + r 0 n p = p veces
= r k nk + p + r k –1 n
k + p –1
p –1
+ ... + r 1 n p+1 + r 0 n p + 0 n + ... + 0 n0
Luego: p veces
m · n p =r k r k –1 ... r 1 r 0 0........................ 0 Siguiendo, por ejemplo, con 145 = 12101 (3, se tiene: 145 · 3 2 =1210100(3 X
Propiedad 2 m en base n tiene k +1 cifras ⇔ nk ≤ m
m =r k nk +r k –1 nk –1 +... +r 1 n +r 0 ⇒ m ≥ nk Como r 0, ..., r k < n tenemos:
r 1 n +r 0
..................................................................... m =r k nk +r k –1 nk –1 +... +r 1 n +r 0
26
tema 1
matemáticas
Si nk ≤ m
casos:
1. m tiene más de k +1 cifras, entonces por la implicación anterior de esta propiedad, tenemos que m ≥ nk +1 contra la hipótesis. 2. m tiene menos de k +1 cifras, entonces por la implicación anterior de esta propiedad, tenemos que m
Si nk ≤ m
Propiedad 3 Sean m y m’ dos números en base n que tienen k y k’ cifras, respectivamente. Si k’ < k, entonces m’ < m.
Demostración:
Si k’
Luego, m’
Propiedad 4 Sean m y m’ dos números en base n que tienen el mismo número de cifras k; m’ < m ⇔ la primera cifra de m’, que es distinta de su correspondiente en m, es menor que ésta. Demostración:
− Si m’ < m, y tienen el mismo número de cifras, evidentemente, existe al me-
nos una cifra de m’ que es menor que su correspondiente en m. − Sea r’i la primera cifra de m’ distinta de su correspondiente r i en m. Suprimiendo las cifras iguales de la izquierda de r’ i y r i en m’ y m, respectivamen-
te, y pasando a expresiones polinómicas lo que queda, tenemos: r’ i ni + r’ i –1 ni –1 + .... + r’ 1 n + r 0
y r i ni + r i –1 ni –1 + ... + r 1 n + r 0
Por hipótesis, r’i
≤ r i ni +r i –1 ni –1 +... +r 1 n +r 0, es decir, m’
27
tema 1 matemáticas
5.4.
X
CAMBIO DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN A OTRO Caso 1 Dado el número m en el sistema de base n, pasarlo al sistema decimal. Sea m = r k r k –1 ... r 1 r 0(n, que en forma polinómica es m = r k nk + r k –1 nk –1 + ... + r 1 n + r 0
Para pasarlo al sistema decimal basta con efectuar las operaciones indicadas en la expresión polinómica de m. El método práctico para efectuar estas operaciones es el del cálculo del valor numérico de un polinomio. Ejemplo: Pasar 123(5 al sistema decimal.
1 5 1 X
2 5
3 35
7
38
123 (5 = 38 (10
Caso 2 Dado el número m en el sistema decimal, pasarlo al sistema de base n. El número m en base n será de la forma: m = r k nk + r k –1 nk –1 + ... + r 1 n + r 0
Luego, el problema consiste en calcular los coecientes r k , ..., r 0 y para resolverlo,
basta con aplicar el teorema fundamental de la numeración. Ejemplo: Pasar 38(10 al sistema de base 6.
38 2
X
6 6 0
6 1
38 (10 = 102 (6
Caso 3 Dado el número m en el sistema de base n, pasarlo al sistema de base n’. Basta con pasar m del sistema de base n al sistema decimal (caso 1), y a continuación pasar del sistema decimal al sistema de base n’ (caso 2).
Ejemplo: Pasar 123(5 al sistema de base 6. Caso 1
↑
Caso 2
↑
123(5 = 38(10 = 102(6
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matemáticas
BIBLIOGRAFÍA ABELLANAS CEBOLLERO: Introducción a la Matemática . Ed. Saeta. Madrid, 1987. BOYER: Historia de la Matemática. Ed. Alianza. Madrid, 1986. FERNÁNDEZ VIÑA: Análisis Matemático. Ed. Tecnos. Madrid, 1992. QUEYSANNE: Álgebra básica. Ed. Vicens-Vives. Barcelona, 1975. MARTÍNEZ, BUJANDA, VELLOSO: Matemáticas 1. Ed. SM. Madrid, 1981.
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matemáticas
RESUMEN Números naturales. Sistemas de numeración.
1. 1
LOS NÚMEROS NATURALES El conjunto de los número naturales puede: − Construirse cómo clases de equivalencia obtenidas por la relación de coordinabili-
dad entre conjuntos. − Denirse mediante los axiomas de Peano. X
Definición axiomática del conjunto de los números naturales
Axioma 1: el número 0 es un número natural (0 ∈ N). Por tanto, N es no vacío.
Axioma 2: a cada número natural «a» se le asigna un siguiente S (a) que también es un
número natural.
Axioma 3: no existe ningún número natural cuyo siguiente sea el 0; esto es:
∀ a, a ∈ N ⇒ S (a) ≠ 0
Axioma 4: si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces los números
mismos son iguales: es decir: ∀ a, b ∈ N, si S (a) = S (b) ⇒ a = b
2. 2
2.1.
Axioma 5: axioma de inducción.
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES: PROPIEDADES (N, +) es semigrupo conmutativo con elemento neutro. Se denomina semigrupo aditivo de los números naturales.
2.2.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES: PROPIEDADES (N, + , ·) es un semianillo conmutativo con elemento unidad
2.3.
OTRAS PROPIEDADES DE LA SUMA Y DEL PRODUCTO DE NÚMEROS NATURALES 1. Ley de simplicación. 2. Ley de monotonía. 3. Sustracción. 4. División exacta. 5. Potencias .
31
tema 1 matemáticas
3. 3
ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES N
es un conjunto estrictamente ordenado por la relación « < ».
N
es un conjunto totalmente ordenado por la relación « ≤ ».
(N, +, ·, ≤ ) es el semianillo ordenado de los números naturales.
4. 4
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES En esta sección se demuestra el teorema fundamental de la numeración, para ello es necesario denir y demostrar la existencia de la división de números naturales. Sea n ∈ N*. Para cada m ∈ N, existen q, r ∈ N tales que m = q·n + r, con r < n.
(q y r son únicos. A q se le llama cociente y a r resto de la división de m entre n)
5. 5
5.1.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN DEFINICIÓN Y TIPOS Sistemas aditivos no posicionales
− Sistema de representación simple. − Sistema de jeroglícos egipcio. − Sistema jónico-griego. Sistemas aditivos posicionales
− Sistema romano. − Sistema de numeración decimal. − Otros sistemas (binario, octal, hexadecimal). 5.2.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN Si n ∈N y n >1, entonces todo m ∈N se puede expresar de forma única, del siguiente
modo: m = r 0 n0 + r 1 n1 + r 2 n2 + ... + r k nk , con r i ∈N, r i < n ∀i 5.3.
PROPIEDADES DE LA NUMERACIÓN Se demuestran una serie de propiedades derivadas del teorema fundamental.
X
Propiedad 1 m = r k r k –1 ... r 1 r 0(n
X
entonces
p
m · n p = r k r k –1 ... r 1 r 0 0 .......... 0
Propiedad 2 m en base n tiene k + 1 cifras ⇔ nk ≤ m < nk+1
X
Propiedad 3 Sean m y m’ dos números en base n que tienen k y k’ cifras, respectivamente. Si k’ < k, entonces m’ < m.
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matemáticas
X
Propiedad 4 Sean m y m’ dos números en base n que tienen el mismo número de cifras k; m’ < m ⇔ la primera cifra de m’, que es distinta de su correspondiente en m, es menor que ésta.
5.4.
CAMBIO DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN A OTRO − Dado el número m en el sistema de base n, pasarlo al sistema decimal. − Dado el número m en el sistema decimal, pasarlo al sistema de base n. − Dado el número m en el sistema de base n, pasarlo al sistema de base n’.
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