UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CICLO 2014
– III
“Corpo nato della prospettiva di Leonardo Vinci discepolo della sperientia”
ALGEBRA
Funciones”
“
I)
DEFINICION: Sean A y B dos subconjuntos de R = <- , +> y “F una relación binaria de A en B”, es decir: F A x B Notación Notación F es una función para cada x A existe un único y B, tal que y = f(x) Donde las siguientes notaciones son equivalentes: y = f(x)
(x,y) f
Se lee: “y es función de x” o “y es la imagen imagen de x por f” F(-2) = 3 (-2, 3) F. II) Definición Simbólica: “f” es una función de A en B si [(x1 , y) f (x1 , z) f] y = z
FUNCION DE APLICACIÓN DEFINICION. Una función “f” se llama APLICACIÓN de A en B Si y solo si Dom F = A IV) CLASES DE FUNCIONES FUNCION INYECTIVA (UNIVALENTE) Dado F: A B una funció n de A en B, se dice que “f” es una FUNCION INYECTIVA O UNIVALENTE si cada elemento f(a) del rango f(A) es la imagen de solamente un elemento elemento a es el Dominio de F. [Dom F = A]. Es decir, si para cada par de elementos x 1 , x2 Dom F, DISTINTOS, x1 x2, sus imágenes también son DISTINTAS.
III) Definición Geométrica: “f” es una función cualquier recta vertical perpendicular al eje “x” corta al gráfico de “f” en un solo punto. Es decir: decir: graf (f) (f) L = {1 punto}
A
02.
si
B 1 2
b
3
c
4
F(x1) F(x2)
P
OBSERVACION Una función “f” no es inyectiva, si existen dos elementos distintos x1, x2, x1 x2, en el dominio de f, que tengan la misma imagen. F(x1) = F(x2)
P
01.
f
a
Ejemplos: P
Semana Nº 14
No
P
A
f
B 1
a o
2
03.
Si
Propiedad Importante: Toda función es una relación, pero toda relación no necesariamente es una función.
Conjunto de Partida
B
c
4
F(x1) = f(x2)
Conjunto de llegada
Dominio de F: Es el conjunto de las 1ras componentes de los pares: ( x , f (x) )
Rango de F: Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ( x1 f (x) ) Nota Una forma muy sencilla de reconocer que un conjunto de pares ordenados es una función, es observando que todas sus primeras componentes deben ser diferentes.
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DEFINICION FORMAL Una función “F” es INYECTIVA, sí para cada x 1 , x2 Dom f.
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION Sea la función función f : A
b
1
x1 = x2
“F” es INYECTIVA si para cada par de elementos x 1 , x2 Dom f: x1 x2 f(x1) f(x2) 2. FUNCION SURYECTIVA O SOBREYECTIVA Una función F : A B una función de A en B, se dice que f es una función sobreyectiva si el rango de “f” coincide con el conjunto de llegada B; es decir, si es que:
Rang (f) = B, donde Ran (F) = F(A) Nota De la definición de FUNCION SOBREYECTIVA, se sigue que toda función de la forma f : A Ran(f), siempre será subyectiva, pues el rango (F) coincide
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INTERPRETACION GEOMETRICA “F” es sobreyectiva toda recta “l” paralela al eje “x” corta al gráfico de f. Es decir: graf(f) l FUNCION BIYECTIVA: La función f: A B es BIYECTIVA , “F” es a la vez: a) Inyectiva y b) Sobreyectiva ACLARACION: A la función INYECTIVA, también se le llama,
b Gráfico: Parábola con vértice en V b ; f 2a 2a
Si: a 0 , La parábola se abre hacia arriba. Si: a 0 , La parábola se abre hacia abajo. 06. Función Cúbica Regla de correspondencia: f (x) x 3 Dom (f) = IR Ran (f) = IR Gráfico: Se muestra a continuación:
función BIONIVOCA.
II. FUNCIONES NOTABLES O ELEMENTALES 01. Función Lineal * Regla de correspondencia f (x) ax ; a 0 * Dom (f) = IR * Ran (f) = IR * Gráfico: Recta inclinada que pasa por el origen.
√
Caso Especial: (cuando a = 1) Función Identidad Regla de correspondencia f(x) = x Dom (f) = IR Ran (f) = IR Gráfico: Recta que pasa por el origen y forma un ángulo de 45° con el semieje positivo de las x. 02. Función Afin Lineal Regla de correspondencia: f (x) ax b ; a 0 Dom (f) = IR Ran (f) = IR Gráfico: Recta inclinada que no pasa por el origen, y cuya ordenada en el origen es b. 03. Función Constante Regla de correspondencia f (x) c ; c IR Dom (f) = IR Ran (f) = {c} Gráfico: Recta paralela al eje x desplazada en “c” unidades. 04. Función Raíz Cuadrada * *
Regla de correspondencia: f (x) x Dom (f) = 0;
*
Rang (f) =
*
Gráfico: Curva semejante a una semiparábola.
07. Función Valor Absoluto Regla de correspondencia: f (x) x Y se define como:
Dom (f) = IR Ran (f) = 0 ;
Gráfico: Se muestra a continuación (tiene forma de V) con el vértice en el origen.
08. Función Signo Regla de correspondencia: f (x) sgn(x) Y se define como:
Dom (f) = IR Ran (f) = 1 ; 0 ; 1 Gráfico: Se muestra a continuación:
Propiedad: | x | x sgn(x) ; x IR 09. Función Escalón Unitario Regla de correspondencia: f (x) Ua (x)
Dom (f) = IR Ran (f) = 0 ; 1 Gráfico: Se muestra a continuación:
Propiedad: U(x) Ua (x a ) ; Ua(x) U(x a )
bx c ; a 0
Dom (f) = IR Ran (f) =
- 1 ; x 0 y sgn(x) 0 ; x 0 1;x 0
1 ; x a 0 ; x a
05. Función Cuadrática 2
x ; x 0 y x x ; x 0
Y se define como: y Ua (x)
0;
Regla de Correspondencia: f (x) ax
En general podemos extender las definiciones previas y definir la FUNCIÓN POTENCIA ELEMENTAL:
10. Función Máximo Entero
b y F ; ;a 0 2a - b ; a 0 y ; F 2a
Regla de correspondencia: f (x) Se define el MÁXIMO ENTERO de x como el mayor de todos lo números enteros menores o iguales que x y se denota por x es decir: x n n x n 1 n Z x
con lo cual: Dom (
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) = IR ; Ran (
) =Z
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A) 2;2, 6;3 B) 6;5, 2;4 C) 2;4, 6;8
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Sean
los
conjuntos:
A 4;6;9 B a;2b;3c
Si
AxB=BxA
calcule el mayor valor de " a b c" Considere que: a; b; c enteros.
A) 8
B) 13
C) 10
D) 11
grafica de la función f x x. Indique la alternativa correcta. A) Q está en el 2º cuadrante B) Q está en el 4º cuadrante. C) m es un número negativo D) m + 2 < 0 E) m – 2 > 0
f x mx b B) 0
función
D) 2
lineal.
D) ; 0
E) ; 2
el
B) (1/4;1/4) E) (1/4;-1/8)
la
función: 1
16 x
2
C) 4; 5
B) 3; 4
es
D) 10
f 5;6, 6;3, 2;2, 1;4
E) 13
2
x x 20 3;
D)
4,3 5; 0;1
E)
y Ranf 0;
C) 4;3 0;1
4,3 5; 1
.
f si f x
2 A) ;2 3
B) 0; 2
D) 2;
2 E) ; 3
2
x 1 x 2 x 1
C) 0;
11. Si el rango de la función g , tal que Halle
f f . ( f es la inversa de f ).
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5 4 3 2 x 5 x 7 x 3 x
A) 4,3 5; B)
inyectiva, calcule el valor de f 2 .
6. Sea
de
10. Halle el rango de la función función:
C) 5
dominio
C) (1/4;1/8)
la
B) 4
C) 2;0
9. Determinar el dominio de la función f siendo f x
E) 1/2
m n;3, 5;3m 2n , 2 2 2m n;3, 5;8, 2; m n
A) 3
, si
D) 3;5 4 E) ; 3 5;
2
f
B) 0;
A) 4, 3
función f x 2 x x
5. Si
h
; x 1
2
4. Halle las coordenadas del vértice de la grafica de la A) (1;1/2) D) (-1/4;-1/8)
x 1
g x x 3 x 15 3 2 x 1
una
C) 1
x 2 1
A) ,0
8. Halle
f 1 2 f 0, calcule f 1. A) -1
7. Determinar el rango de la función h x
E) 14
2. Si el punto Q m 8;4m 2 pertenece a la
3. Sea
D) 2;4, 6;9 E) 5;9, 2;4
g x
x 2013 x 2012 1
es a; b b;
Calcule el valor de b 2 a 2 A) 0 B) 3 C) 1 3
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D) -1
E) 4025
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12. De la función f 1 2t ; t 2 t / t 0 , halle su regla de correspondencia y su dominio. A) f x x
2
1; x 1
B) f x x 2 x 1; x 1 C)
f x
D) f x E)
f x
2
x 1 4 2
x 1 4
15. El valor mínimo de la función f x x 2 x 1 es y
"a"
el
valor
máximo
A)
3
B)
4
3
3
C)
2
2
D)
8
a b
función "
E)
2
3 3
;x 1
16. Halle
el
dominio
;x 1
de
la
f x x sg n x 1 1
2
la
g x 3 x 2 6 x 1 es "b" . Calcule: "
2
x 1
de
1
función
f
.
f
.
4 4x
;x 1
A) ;1 1; 4 B)
13. Halle el rango de la función h con regla funcional
D) 4;
E)
,1
C)
1,4
1;
h x x 2 x
1
E) ; 4
inversa
de
la
f x 5 x x 5 1 x
A) B) C) D) E)
20 x
2
36 180 x
2 x 20
36
36 x 180
2
está dada por.
x 1 x x 1
de
x 2 x 3
A) 4,5
B) 4;5
D) 4; 5
E)
la
función
7x 3 1;7
C)
18. Del gráfico: y g f
; x 0 -2
; x 0
2 x 180
36
función
dominio
; x 0
2
36
siguiente
el
f x 4
1
D) ; 4 14. La
17. Halle
1 1 1 B) ; C) ; 4 4 4
1 A) ; 4
x
Calcule (m + n), si: F(x) = mx2 ; g(x) = nx + 2 A) 0 B) 1 C) 2 D) - 1 E) 4
; x 0
19. Calcule la suma de valores de “x” tal que la relación:
; x 0
F 1;2, 2;3, 3;4,4;5,5;6, x;5
No sea una función: a) 15 b) 13 c) 7
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d) 20
e) 11
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20. La gráfica de la parábola dada por f(x) = x 2 – mx + m + 15 es como se muestra en la figura.
f(x
y
25. Hallar el rango de la función: F(x) = x2 - 4x + 7; si x <0; 5> a) [1;5[ b) [3;12[ c) [7;9] d) [1;+ [ e) [7;12[ 2 26. Dada las funciones: f ( x) 2 x x 1 ; 2 x 3 x
x
y
g ( x) x 3 x , hallar la suma de los valores
enteros positivos de: Dom (f) Rang(g) Rpta.: ............... Calcular E = m 2 – m + 1.
A) 63
B) 73
C) 91
27. Calcular (a+b) para que: f[a,b] D) 111
E) 133
Rpta.: ...............
de: F x x 5 5 x 2 x 4 A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 6
22. El dominio de la función:
A) [0;4]
B) R
1 6 x
29. Un carpintero puede producir carpetas a un costo unitario de S/. 50. Si las vende a “k” soles c/u; podrá vender aproximadamente (120-k) carpetas al mes. La utilidad mensual del carpintero depende del precio de ventas de las carpetas. Calcule el precio de venta si la utilidad es máxima. Rpta.: ...............
C) [1;5] D) [2;5] E) [1;6[
b) [2;+ [ e) [2;5]
c) [-2;+ [
24. Obtener el rango de la función: F ( x) A) R D) R-
C) R-
B) R+ E) R -
28. f(x) = 3x 2 - 12x + 13, x [3,5]. Hallar el valor de verdad de cada función: 1. f es inyectiva 2. Rang(f) = [4, 28] 3. x, x Dom(f) tal que f(x)=0 Rpta.: ...........
es :
23. Hallar el rango de la siguiente función: F(x) = x2 - 4x + 9; x R a) [5; + [ d) [7;+ [
[-1,5] definida por
f(x) 3 x - 1 sea biyectiva.
21. Obtener el número de elementos enteros del dominio
F(x) = x 1 +
30. Hallar el área de la intersección de las relaciones definidas por:
3 x 1
R1 {( x, y) R / x | y | 1} 2
2 x 1
2 R2 {( x, y) R / y 2}
3
2
Rpta.: ...............
1 1 ; 3 2
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EXAMENES UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA 01. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I Determinar el dominio de la siguiente función f ( x)
x 1 4 x
a) 17
b) 19
c) 21
d) 23
e) 25
2 x 6
a) 1,3 3,4 d) 1,4
05. SEGUNDO EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – II Si : g ( x 4) 5x 2 1 , hallar g (6) .
b) 1,4
06. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I Dados los conjuntos L = {2, 3, 5} y M = {3, 6, 7, 10}. Escriba V ó F, si los siguientes conjuntos: R1 {( x, y) L M / x y}
c) 1,3 3,4
e) 1,3 4,5
02. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función exponencial, si M 2a3 donde “a” es la base de esta función, entonces el valor de M es igual a:
R2 {( x, y) L M / y 2 x} R3 {( x, y) L M / x 5}
Son relaciones de L en M. Considere el orden correlativo de las relaciones dadas para dar su respuesta.
a) VVV
a) 16 b) 54 c) 1/4 d) 2/27 e) 1/9
b) VFV c) FVV d) VVF e) FFV
07. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I Dada la función f ( x) x 1 , 3 < x <4. su rango x 2 está dado por:
03. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I El conjunto solución de la inecuación log 1 ( x 1) 2 es: 3
a) 1 ; 2
b) 3 ; 4
d) 1 ; 5
e) 2 ; 3
5 5
5 6
a) 1; 10 9
d) 1;3
b) 1; 9
10
e)
5 5
c) 4 ; 5 5 6
5 5
c) 0;1 08. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2013 – I El gráfico que corresponde a f(x), si se tiene que:
9 10 ; 10 9
2 f ( x) 33 x
5 x2
3
8(31x ) 2 , es:
04. SEGUNDO EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – II Halla el valor de S en el sistema decimal: S 12(3) 23( 4) 34(5) 45(6) ... 20 sumandos
a) 3519
b) 3520 c) 3521 d) 3580 e) 3600
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11. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2012 – II El dominio de la función h( x) 2 x 8 , es:
a) [3,+∞> d) [1/2,+∞>
b) [2, +∞> e) <2,+∞>
c) [1/3, +∞>
12. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2012 – I Sea la función f cuya regla de correspondencia está 09. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2013 – I Sea F ( x) ax 1 , a 0 ; hallar a y b tal que F 2 x b = F* Dom(F*) = IR – {2}. Dar como respuesta a – b. a) -4
b) -2
c) 0
d) 4
dada por f ( x) x 2 . De las siguientes afirmaciones: 1. f no tiene inversa en 2;2
2. f tiene inversa en 0;2 3 f no tiene inversa en 2;0 Son ciertas:
e) 8
10. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2012 – II La gráfica que representa a la función inversa de la figura
a) Solo 1 b) Solo 2 d) 2 y 3 e) 1 y 2
c) Solo 3
13. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2012 – I Siendo a > 0 a 1, resolver: 1 log a (ax) log x (ax) loga2 y señale una a
de sus soluciones. a) 1 b) a c) a2
d) a-1
e) a-2
14. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – III Si F(x) = x 2 – x – 2 es una función con dominio Df
5 9 , 2 2
, entonces, la regla de correspondencia
de su inversa f*(x), si existe, está dada por:
a) f * ( x) 1 x 9 2
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b) ,2 9 ,
b) f * ( x) 1 x 9 2
4
4
c) ,2 9 ,
c) f * ( x) 1 x 9 2
4
4
d) , 9 2, 4
d) f * ( x) 1 x 9 2
e) ,2 2,
4
e) f * ( x) no existe 19. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – I 15. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – III La suma de los cuadrados de las soluciones de: x2
e
3 , es:
Si log 3 x 16 4 , evaluar log x 2 x
a)
3 4
a)
ln 3
d) 0
b) 2 ln 3 e)
c) 2 ln 3
2 ln 3
16. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – II Si f(n) es la suma de “n” miembros de una progresión aritmética, entonces el valor de S = f(n+3) – 3f(n+2) + f(n+1) – f(n), es: a) -2 b) -1
c) 0
d) 2
b)
4
c)
3
1 2
d)
1
e) N.A
4
20. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – I Si f(x) es una función cuadrática tal que: f(2)=6 f(0)=4, f(-1)=7, entonces, la suma de los coeficientes de f es: a) 4
b) 11
5
3
c) 6
d) 7
e) 8
e) 7
17. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – II Si
19 32 log 2 x
a) 8
19 , el valor de x, es:
b) 1/8 c) 2 31 d) -1
e) 1
18. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – I Si D f ,3 3,1 es el dominio de la función f ( x) 2 x 7 , entonces, el dominio de la x 3
inversa de f es:
a) 2,
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