2. Osilator Harmonik
Pada mekanika klasik, salah satu bentuk osilator harmonik adalah sistem pegas massa, yaitu suatu beban bermassa m yang terikat pada salah satu ujung pegas dengan konstanta pegas k . Persamaan gerak beban adalah
∑= −= = − = − ≡ dengan
(1) (2)
adalah frekuensi anguler osilasi
Persamaan (2) adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar bilangan kompleks yang berlainan, solusinya adalah
() =sin+cos =sin+cos () = 12 () = 12
(3)
dan energi potensial sistem adalah
()
Lalu bagaimana bagaimana tinjauan osilator osilator harmonik dalam dalam mekanika kuantum? Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang dari osilator harmonik diperoleh dengan memecahkan persamaan Schrödinger dengan potensial
() = 12 ( ) !− 2 "() + ()"() = # "()
Oleh karena
( )
berbentuk
tidak bergantung waktu, maka kita dapat menggunakan
persamaan Schrödinger Schrödinger tak bergantung waktu bentuk satu dimensi, yaitu
Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
!− 2 "() + 12 "() =# "() ( )
($)
Gambar 1. Potensial osilator harmonik Untuk menyelesaikan persamaan (5), kita gunakan metode aljabar, bentuk persamaan (5) dapat ditulis menjadi
12 %!& ' "() + 12 "() =# "() 12 %!& ' +"() =# "() + = (−&)(+&)
(*)
dengan menggunakan sifat aljabar bahwa
maka ruas kiri persamaan (6) kita nyatakan dalam bentuk perkalian dua faktor, yaitu
12 %!& ' +"() , 21 %!& −&'%!& +&'"() 12 %!& ' +"(), - 21 %!& −&' - 21 %!& +&'"() 12 %!& ' +"(),./ "() . / dengan
dan
adalah suatu operator yang didefinisikan sebagai berikut
Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
. ≡ - 21 %!& −&' / ≡ - 21 %!& +&' . / dan
(0) ()
adalah operator, dan bukan bilangan biasa. Pada umumnya operator
tidak bersifat komut (aopbop
bopaop) sehingga perlu dicek produk dari
. /
jika
() ./ () = - 21 %!& −&' - 21 %!& +&'() ./ () = 21 %!& −&'4!& () +& ()5 2 2 1 ! ./ ()= 2 6% & ' (2) +! 7 ()8 −! () + ()2 ()9 2 2 1 ! ./ () = 2 6% & ' ()2 +! () +! () −! () + ()2 (): 2 2 1 ! ./ ()= 2 6% & ' ()2 + ()2 () +! ()9 2 1 ! ./ () = 2 6% & ' + ()2 +!9() () . / 2 1 ! (;) ./ = 2 6% & ' + ()29 + !2 12 6%!& ' +()9 =−+ − !2 (1<) bekerja pada suatu fungsi, misalnya
dengan mengeliminasi
.
maka didapatkan produk dari
, yaitu
dengan mensubstitusikan persamaan (9) ke persamaan (6), didapatkan bentuk persamaan Schrödinger baru, yaitu
%./ − !2'"() =# "() Wayan Suana, M.Si.
(11) Pendidikan Fisika Universitas Lampung
./"()=%#+ !2'"() >?"() =#"() >? =./ − !@ " ( ) #
(12) (13)
Persamaan (11) dapat dituliskan dengan
dengan
, adalah bentuk satu dari operator Hamiltonian untuk
osilator harmonik. Persamaan (13) merupakan persamaan nilai eigen, dengan adalah fungsi eigen (yaitu solusi dari persamaan Schrödinger) dan nilai
eigennya
.
Perhatikan kembali uraian untuk mendapatkan produk dari serupa, akan didapatkan produk dari
/ .
, yaitu
. /
1 ! /. = 2 6% & ' +()9− !2 12 6%!& ' +()9= +− + !2
! Dengan cara
(1) (1$)
dengan mensubstitusi persamaan (15) ke persamaan (6), diperoleh bentuk persamaan Schrödinger lain, yaitu
%/. + !2'"() =# "() /."() =%# − !2' "() >?"() =#"() >? =/. + !@
(1*) (10) (1)
Persamaan (16) dapat dituliskan dengan
dengan
, adalah bentuk dua dari operator Hamiltonian untuk
osilator harmonik
Selanjutnya kita lihat bagaimana sifat dari operator eigen
"()
. Misalkan suatu fungsi,
bekerja pada
A()
, menghasilkan
Wayan Suana, M.Si.
A()≡."()
.
jika bekerja pada fungsi
maka jika
>? =./ − !2
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
>?A()=>?."() >?A()=%./ − !2'."() >?A()=./."() − !2 ."() >?A()=. %# − !2' "() − !2 ."() >?A()=%# − !2'."() − !2 ."() >?A()=%# − !2 − !2'."() >?A()= (# −!)A() (1;) ( ) " ( ) # A #−! ( ) A ( ) ! " ! . "() . . 2! B()= −−− C −"() B()= D−"() >?B() = (# −D!)B() (2<) dengan mensubstitusikan persamaan (17), diperoleh
Bandingkan persamaan (19) dengan persamaan (13)! Persamaan (19) adalah juga persamaan nilai eigen. Jika fungsi eigen Schrodinger dengan nilai eigen
maka fungsi eigen
dari persamaan Schrödinger dengan nilai eigen turun sebesar
juga merupakan solusi
. Namun, nilai eigen dari
dibandingkan dengan nilai eigen dari
menunjukkan bahwa operator jika operator
adalah solusi bagi persamaan
menurunkan energi sebesar
bekerja pada
. Hal ini
. Demikian juga
maka akan menurunkan energi sebesar
, dan seterusnya.
Jika
maka
Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
( ) / " A()≡/"() >? =/. + !2 A() >?A()=>?/"() >?A()=%/. + !2'/"() >?A()=/./"() + !2 /"() >?A() =/ %# + !2'"() + !2 /"() >?A()=%# + !2 + !2'/"() (21) >?A()= (# +!)A() A() #+! ! / / / " ( ) 2! Lalu bagaimana sifat dari operator Misalkan suatu fungsi,
jika bekerja pada fungsi eigen
maka jika
?
bekerja pada
, menghasilkan
dengan mensubstitusikan persamaan (12), menghasilkan
Terlihat bahwa operator
memiliki nilai eigen
bersifat menaikkan energi sebesar
bekerja pada
. Hal ini menunjukkan bahwa . Demikian juga jika operator
maka akan menaikkan energi sebesar
, begitu
seterusnya.
Sehingga jika
B()= +++ C+"() B()=/E"() >?B() = (# +D!)B() maka
Sampai saat ini, kita belum memperoleh bentuk spesifik dari perhatikan kembali persamaan (19). Jika kita operasikan
"()
" () .
(22)
. Untuk itu, kita
berkali-kali pada
maka suatu saat akan dicapai suatu keadaan dengan energi terendah.
Keadaan dengan energi terendah biasa disebut dengan keadaan dasar ( ground state). Misalkan
"F ( )
Wayan Suana, M.Si.
adalah solusi untuk keadaan dasar maka pengoperasian
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
. "F ( ) ."F() =< 1- 2 %!& −&'"F()=< 1- 2 4!& "F() −&"F()5=< !& "<() =&"<() "<() =− !"<() ""<(()) =− ! < G ""<<(()) =− ! G Hn "F()=− 2! 2 +I "F()=J.2!2+I "F() =FJ. 2! 2 operator
pada
akan menghasilkan nol karena tidak ada lagi keadaan
dengan energi yang lebih rendah.
(23)
Persamaan (23) merupakan fungsi gelombang dari osilator harmonik pada keadaan dasar yang belum ternormalisasi. Setelah fungsi gelombang untuk keadaan dasar diperoleh maka kita dapat menentukan fungsi gelombang pada
"E() "E() = (/)E"F() "E() = (/)E KEJ. 2! 2L "E() =E(/)EJ.2!2 keadaan tereksitasi ke n,
Wayan Suana, M.Si.
dengan bantuan operator
/
, yaitu
(2) Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Selanjutnya kita cari berapa energi osilator harmonik pada keadaan dasar. Caranya adalah dengan memecahkan persamaan Schrödinger pada persamaan
"!() "F ( ) %/. + 2 '"F()=#F "F() /."F() + !2 "F() =#F "F() ."F()=< !2 "<() =#< "<() #F = !2 (16) untuk
sama dengan
oleh karena
.
maka
(2$)
Ternyata energi pada keadaan dasar dari osilator harmonik juga tidak nol sama seperti kasus partikel dalam sumur potensial tak hingga. Kemudian untuk mendapatkan energi pada keadaan tereksitasi ke n, persamaan (22), diperoleh
#E =#F +D! #E =D!+ !2 #E =%D + 12' !
#E
kita diturunkan dari
(2*)
Akhirnya kita peroleh solusi umum dari persamaan Schrödinger yang bergantung waktu, yaitu
V .QRSTU! ( ) M(N) =OP " J E E EWX V 1 2 .Q K E + . E 2L!TU! 2! (M N) =OP ( ) J J E E / EWX Contoh 1
Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Tentukan fungsi gelombang ternormalisasi bentuk tak bergantung waktu dari osilator harmonik yang berada pada keadan dasar! Solusi
Fungsi gelombang tak bergantung waktu dari osilator harmonik yang berada pada keadan dasar adalah
"F() =FJ.2!2 V G.VY"F()Y =1 V G.V"FZ() "F()=1 V 2 . . 2! G.V FJ FJ 2! 2 =1 V F G.V J.!2 =1 V . F 2 GF J ! 2 =1 F 2 [12 \ ]! ^=1 XU_ F =K ]! L XU_ "F()=K ]! L J.2!2 Syarat normalisasi adalah
Dengan demikian, fungsi gelombang ternormalisasinya adalah
Contoh 2
Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Tentukan fungsi gelombang tak bergantung waktu dari osilator harmonik pada keadaan tereksitasi pertama, kemudian lakukan normalisasi terhadap fungsi gelombang tersebut! Solusi
Fungsi gelombang tak bergantung waktu untuk keadaan tereksitasi ke n adalah
"E() =E(/)EJ.2!2 . "X() =X/J 2! 2 ! 1 . "X() =X - 2 %& +&'J 2! 2 "X()= - 2X %!& J.2!2 +&J.2!2' ! 2 X . . 2! "X() = - 2 %& K− ! J L+&J 2! 2' "X() = - 2X K&J.2!2 +&J.2!2L 2& X . "X()= - 2 KJ 2! 2L "X()=& X- 2 J.2!2 "X() =IJ. 2! 2N ``anbn I≡ & X- 2 " X ( ) V G.VY"X()Y =1 V G.V"XZ() "X()=1 V G.V KIJ.2!2L IJ.2!2=1
maka untuk keadaan tereksitasi pertama, n =1 sehingga
Melakukan normalisasi terhadap
Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
I G.VV 2J.!2 =1 I 2GFV 2J.!2 =1
I d2 ! \ ]! e =1 I \ ] %! 'f =1 I = \ ] K!Lf XU_ f I=g] K ! L h "X() XU_ f . "X()=g] K ! L h J 2! 2 Dengan demikian,
Wayan Suana, M.Si.
,
V GF 2J.2 = 1 ]
ternormalisasinya adalah
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
