2 Método Gráfico

PROGRAMACIÓN LINEAL

MÉTODO GRÁFICO

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

PROGRAMACIÓN LINEAL: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON EL “MÉTODO GRÁFICO”

JOSÉ E. VÁZQUEZ ARÉVALO

PROCESOS TECNOLÓGICOS E INDUSTRIALES ITESO PROGRAMACIÓN LINEAL: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON EL “MÉTODO GRÁFICO” JEVA / PTI 1


MÉTODO GRÁFICO

Existen dos metodologías para solucionar un problema modelado en Programación Lineal: el Método Gráfico y el Método Simplex. El Método Gráfico se utiliza para ilustrar tres conceptos básicos: la metodología para la resolución de un problema de dos variables de decisión, la interpretación de la solución del problema modelado y la observación observación gráfica de como afectan los cambios a la solución del problema. El Método Gráfico es poco poderoso ya que está limitado a resolver resolver problemas problemas de dos o máximo máximo tres variables variables de decisión. Sin embargo, embargo, su importanci importancia a radica en que permite visualizar los conceptos matemáticos implicados en la Programación Lineal. Por su parte, el Método Simplex es utilizado para resolver problemas más complejos de Programación Lineal. Es un método poderoso, utilizado para resolver problemas de "n" variables de decisión, aunque también se puede emplear para resolver problemas de dos variables como lo hace el Método Gráfico. El enfoque propuesto aquí, es utilizar la computadora como una herramienta de apoyo para resolver problemas de Programación Programación Lineal de cualquier cualquier tamaño. Sin embargo, se deben estudiar estudiar primero primero los fundamentos fundamentos de estos métodos de solución para posteriormente utilizar la computadora para este fin. El uso de la computadora en la solución de problemas en Programación Lineal, implica utilizar cualquiera de estas dos alternativas: primera, usar una hoja electrónica como puede ser Excel, donde el usuario hace directamen directamente te la programación programación para solucionar solucionar el problema problema modelado; segunda, segunda, el uso de un paquete de software comercial, que ya está diseñado para la resolución del Método Gráfico y d el Simplex. Algunos de los paquetes de software comercial más conocidos son: el Storm, el WinQSB, Lindo, Eureka, etc.. Estos tipos de software han evolucionado de acuerdo a los avances tecnológicos de la época, con la tendencia de tener una herramienta más poderosa pero con cierta perdida de hacer usuarios más pensantes y no solo manipuladores de la misma. Es obvio que el uso de la computadora permite un gran ahorro de tiempo en el procesamiento de los datos y que hace posible la solución de problemas más complejos a los que normalmente se hacen dentro del aula. Sin embargo, el uso de cualquier paquete de software requiere tener el problema ya modelado, para ser capturado en el formato requerido por dicho software. En esta forma, se puede obtener la solución óptima del problema problema como un reporte de salida de la computadora computadora pero esta solución matemática matemática requiere requiere de una interpretación por parte del usuario para la toma de decisiones. El ciclo completo a realizar en la solución de un problemas es: modelar el problema, solucionar el problema modelado e interpretar la solución obtenida. De estas tres partes, las que más desarrollan las habilidades del pensamiento son la modelación del problema y la interpretación de la solución encontrada. En este caso, se considera considera de menor contribuci contribución ón a la etapa de la solución solución del problema, problema, que se puede hacer a través de la computadora. Sin embargo, el enfoque de este capítulo es fundamentar los conceptos básicos de la Programación Lineal a través del Método Gráfico. Para esta finalidad, se han desarrollado dos ejercicios, el primero está enfocado a mostrar "la metodología y los conceptos conceptos básicos" del Método Gráfico y el segundo, segundo, presenta el "ciclo completo" que se sigue en la solución de un problema de Programación Lineal.

Ejercicio 1. Metodología y conceptos básicos del “Método Gráfico”. Se presenta la metodología utilizada por el Método Gráfico para encontrar la solución óptima de un problema modelado modelado y los conceptos conceptos básicos de la Programación Programación Lineal que se pueden visualizar visualizar a través del él. Se presenta el siguiente problema:

Función Objetivo:

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Máx. Z = 3X1 + 6X2

PROGRAMACIÓN LINEAL Restricciones:

a. c. d. e. f. g. h.

MÉTODO GRÁFICO X1 ≤ 10

b. X2 ≤ 10 X1 + X2 ≤ 16 6X1 + 4X2 ≥ 48 X1 + X2 ≤ 20 2X1 + 4X2 ≥ 16 X1 - X2 ≤ 0 No negatividad: X1, X2 ≥ 0

1.1. Metodología. El Método Gráfico utiliza la siguiente metodología para encontrar la solución óptima de un problema: a. b. c. d. e. f.

Calcular Calcular los puntos puntos para para graficar graficar cada restricci restricción. ón. Graf Grafic icar ar las las restr restric icci cion ones es.. Determ Determina inarr la la regi región ón factib factible. le. Calcular Calcular las las coordenada coordenadas s de los vérti vértices ces de la región región factib factible. le. Calcular Calcular el el valor valor de la la Función Función Objeti Objetivo vo en dichos dichos vértic vértices. es. Encont Encontrar rar la solu solució ción n óptim óptima a del del probl problema ema..

Calcular los puntos para graficar cada restricción. Para graficar una restricción, primero se le considera como una recta, es decir como si fuera una igualdad, y luego se encuentra el espacio solución que cumple con la condición de dicha restricción, poniendo una pequeña flecha para indicarlo. En este problema se presentan tres variantes q ue se pueden encontrar al graficar una restricción: cuando es paralela a alguno de los ejes de coordenadas, coordenadas, cuando cruza los dos ejes de coordenadas y cuando pasa por el punto de origen (0,0). A continuación se presentan las variantes: Las restricciones "a" y "b" del problema son paralelas a los ejes X 1 y X2. Se reconoce que una restricción es paralela cuando solo tiene una de las variables, por ejemplo la restricción "a" solo tiene la X 1 por lo que es paralela al eje X 2. Otro tipo de restricciones restricciones son las que cruzan cruzan por los dos ejes ejes como las restricciones "c", "d", "e" y "f". Existen también restricciones que pasan por el punto (0,0) como la restricción "g" . Para graficar una recta existen diferentes métodos, uno de ellos es el "método de los dos puntos". En dicho método se establece que, para graficar una recta es necesario conocer al menos dos puntos pertenecientes a ella. Para calcular las coordenadas de los dos puntos P 1 y P 2, se elige arbitrariamente una de las variables de la restricción, por ejemplo X 1 y se hace igual a cero, calculándose la otra variable X 2; luego se proceda a la inversa, se hace X 2 = 0 y se calcula calcula X 1. Si la restricción es paralela a uno de los ejes, simplemente se fija la coordenada y se traza la recta. A continuación se muestra los puntos calculados para cada restricción: Restricciones

Puntos para graficar la recta: P1 (X1,0) P2 (0,X2) a. X1 10,0 ≤ 10 b. X2 ≤ 10 0,10 c. X1 + X2 ≤ 16 16,0 0,16 d. 6X1 + 4X2 ≥ 48 8,0 0,12 e. X1 + X2 ≤ 20 20,0 0,20 f. 2X1 + 4X2 ≥ 16 8,0 0,4 g. X1 - X2 ≤ 0 0,0 0,0 Graficar las restricciones. A continuación se explica como graficar cada una de las variantes de las restricciones:

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MÉTODO GRÁFICO

Para graficar una restricción paralela a uno de los ejes, como lo es "a", se marca el punto (10,0) que está sobre el eje X 1 y se traza paralelamente al eje X 2. El espacio de solución es evidente para este tipo de restricciones, que en este caso, el sentido de la restricción es hacia la izquierda como se puede ver en el gráfico de la Figura 1 . Para graficar una restricción que cruza los dos ejes, como sería "d", se marca el punto uno (8,0) en el eje X1 y el punto dos (0,12) en el eje X 2 y se unen trazando una recta. Para determinar el espacio de solución, se puede hacer directamente observando el tipo de desigualdad que tiene la restricción, sin embargo, se recomienda probar el sentido de la restricción con el punto (0,0). Al sustituir estos valores en la restricción, se checa si cumple o no con la condición impuesta por dicha restricción. Si cumple con la condición, entonces el espacio solución será de la recta hacia el origen (0,0), que fue el punto que se probó. Si no cumple la condición, el espacio solución será en sentido contrario. Por ejemplo, si sustituimos este punto en la restricción "d, se tendrá 0 ≥ 48 que no cumple con la restricción, por lo que su sentido será en dirección contraria al origen (0,0) como se puede ver en el gráfico de la Figura 1 . Para graficar una restricción que pasa por el punto de origen (0,0), como lo es "g", se requiere generar un "punto auxiliar". Este punto auxiliar, se calcula dando un valor arbitrario a una de las variables para sustituirla en la ecuación de la restricción y poder despejar la otra variable, por ejemplo, si consideramos X1 = 2 se tiene que: 2 - X2 = 0 X2 = 2 El punto auxiliar es (2,2). Ahora se tienen dos puntos, el (0,0) y el (2,2) por donde pasará la recta. Para determinar el espacio solución es necesario probar con cualquier punto separado de la recta, ya sea por arriba o por abajo de ella. Si el punto probado satisface la restricción, el espacio de solución será en esa dirección sino será en sentido contrario. Por ejemplo, si se prueba con el punto (10,2) que está por abajo de la recta, al sustituir en la restricción, se tendrá 8 ≤ 0 que no cumple con la restricción, por lo que el espacio solución será hacia arriba (ver Figura 1), es decir en sentido contrario al punto probado. Si se hubiera probado un punto por arriba de la recta como el (2,20) se llegaría a la misma conclusión.

Determinar la región factible. Para determinar la región factible en la gráfica de la Figura 1, es importante atender el sentido de las restricciones para encontrar el área común a todas. Para hacer esto, nos podemos auxiliar de las pequeñas flechas que indican el sentido de cada restricción. Cuando se tienen muchas restricciones graficadas, una forma simple de encontrar la región factible, es considerar a cada restricción como el corte que se hace en un pastel. Se regala la rebanada que no cumple con el sentido de la restricción y dejamos la que si cumple. Al seguir haciendo los demás cortes, la rebanada que queda se hará cada vez mas pequeña. La parte que queda al final será la región factible. Esta concepción propuesta, se puede visualizar considerando que cada restricción divide el espacio en dos partes. La parte que cumple con el sentido de la restricción está señalada por una pequeña flecha. A continuación se presenta la gráfica de las restricciones del problema y l a región factible:

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MÉTODO GRÁFICO

Figura 1. Gráfica de las restricciones y de la región factible.

Calcular las coordenadas de los vértices de la región factible. En el gráfico de la Figura 1, se marcaron los vértices que forman la región factible. La importancia de calcular las coordenadas de estos vértices, es que ayudan a calcular el valor de la Función Objetivo en cada uno de ellos y en base a este listado, se encuentra la solución óptima del problema. Una forma sencilla de calcular las coordenadas de un vértice, es leerlas directamente en la gráfica, pero la precisión de la lectura dependerá de la calidad que se tenga en dicha gráfica. Otra forma que no depende de la precisión de la gráfica, es ver qué restricciones forman al vértice y solucionar este sistema de dos ecuaci ecuacione oness por algún algún método método algebr algebraic aico. o. Sin embar embargo, go, se pueden pueden reduci reducirr los cálcul cálculos os si clasificamos los vértices en dos tipos: los que están sobre uno de los ejes de coordenadas y los que están fuera de los ejes. Cuando un vértice está sobre uno de los ejes, se pueden leer directamente sus coordenadas en el gráfico o en los puntos calculados para graficar la restricción. Si el vértice está fuera de los ejes, se requiere calcul calcular ar sus coorde coordenad nadas as a través través de un sistem sistema a de ecuaci ecuacione oness simult simultáne áneas, as, dado dado por las dos restri restricci ccione oness que se cruzan cruzan para para formar formar dicho dicho vértic vértice. e. Si una de las restri restriccio cciones nes es parale paralela, la, simplemente se sustituye el valor de esa variable en la otra restricción. Analizando la gráfica, se verá que todos los vértices de la región factible están fuera de los ejes. El vértice "A" esta formado por la intersección de las restricciones "d" y "g", el vértice "B" por "b" y "d", el "C" por "b" y "c" y el "D" por "c" y "g". A continuación se calculan las coordenadas de cada vértice: Vértice "A":

Restricción "d" Restricción "g"

6X1 + 4X2 = 48 4( X1 - X2 = 0) 10X1 = 48 X1 = 4.8

Vértice "B":

Restricción "b"

X2 = 4.8

X2 = 10

Sustituyendo en la Restricción "d" se tiene: 6X1 + 4(10) = 48 X1 = 1.3 Vértice "C":

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Restricción "b" X2 = 10 Sustituyendo en la Restricción "c" se tiene: X1 + X2 = 16 X1 = 6


Vértice "D":

Restricción "c" Restricción "g"

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X1 + X2 = 16 X1 - X2 = 0 2X1 = 16 X1 = 8 X2 = 8

Calcular el valor de la Función Objetivo en dichos vértices. Para calcular el valor de la Función Objetivo en un vértice, simplemente se sustituye en ella el valor de X 1 y X2 dado por las coordenadas de dicho di cho vértice. A continuación se da una tabla con las coordenadas de los vértices de la región factible y el valor de la Función Objetivo en cada uno de ellos: Vértice A B C D

Coordenadas (X1 , X2) 4.8, 4.8 1.3, 10.0 6.0, 10.0 8.0, 8.0

Z = 3X1 + 6X2 43.2 63.9 78.0 72.0

←

Máx. Z

Encontrar la solución óptima del problema. En la tabla anterior, se presentaron los valores de la Función Objetivo en cada uno de los vértices de la región factible, de éstos se escoge aquel valor que cumple con lo establecido en la Función Objetivo, en este caso la Máx. Z. Al seleccionar en la tabla el renglón de la Máx. Z, se puede leer directamente los valores de la solución óptima del problema y el vértice donde está. La solución óptima del problema está en el vértice "C" de la región factible y sus valores son: X1 = 6 X2 = 10 Máx. Z = 78 En este problema, si la Función Objetivo hubiera sido de minimización, se habría escogido el 43.2 que es el valor mínimo de la tabla. Entonces, la solución óptima hubiera sido localizada en el vértice "A" con los siguientes valores: X1 = 4.8 X2 = 4.8 mín. Z = 43.2 Como se ha observado, la solución óptima del un problema, depende de la región factible que se forme con el conjunto de restricciones y de la inclinación que tenga la Función Objetivo que le permite alcanzar su valor óptimo, así sea de maximización o de minimización.

1.2. Conceptos básicos. Algunos conceptos básicos de la Programación Lineal que se pueden visualizar a través del Método Gráfico son: a. b. c. d.

Regi Región ón fact factib ible le.. Restricci Restricción ón activa activa y Restricció Restricción n redunda redundante. nte. Demo Demost stra rarr que: que: Máx Máx.. Z = mín.( mín.(-Z -Z)) Demos emosttrar rar qu que: "La solución óptima de cualquier problema de Programación Lineal, siempre estará en uno de los vértices o en todo un lado de su región factible". e. Vértic Vértices es fuera fuera de de la región región factib factible. le.

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PROGRAMACIÓN LINEAL f.

MÉTODO GRÁFICO

Análi Análisis sis de camb cambios ios que que afecta afectan n al model modelo o del probl problema ema..

Región factible. La región factible es formada por las restricciones del problema y en alguno(s) de sus vértices se localiza la solución óptima. La forma de la región factible depende del tipo de restricciones que se tengan. Aún así, se pueden considerar dos tipos básicos: la región factible "cerrada" y la "abierta". La región factible cerrada se tiene cuando las restricciones, incluyendo las de "no negatividad", delimitan la región factible del problema. En el tipo abierto, se tiene una región factible no acotada que solo permite la minimización. A continuación se presentan los gráficos de estos tipos de región factible:

Figura 2.

Región factible cerrada: a. Apoyada en los 2 ejes. b. Apoyada en un eje. c. Sin apoyo en los ejes.

Región factible abierta: a. Hacia la derecha. b. Hacia arriba.

Cuando un problema modelado no tiene región factible, es debido a que algunas de sus restricciones son contradictorias entre si. Este tipo de problemas son "infactibles", es decir, que el problema modelado no tiene solución. En estos casos es necesario revisar el modelo del problema, ya que existe alguna inconsistencia en las restricciones que no permite tener una región factible.

Restricción activa y Restricción redundante. Las restricciones que forman parte de la región factible son las "restricciones activas" mientras las que no la forman son las "redundantes". Las restricciones activas son las realmente forman la región factible donde está la solución óptima. Estas restricciones son la esencia del problema modelado, de tal forma que, si se quita alguna de ellas se cambia la solución óptima. Las restricciones activas que se tienen en el problema son "b", "c", "d" y "g". Una restricción redundante no tiene ningún efecto en la solución óptima del problema, es una restricción ficticia que da lo mismo dejarla en el modelo o quitarla. Las restricciones redundantes que se tienen en el problema son "a", "e" y "f".

Demostrar que: Máx. Z = mín.(-Z) Al demostrar que Máx. Z = mín.(-Z), también se está demostrando que lo contrario es verdadero, es decir que mín. Z = Máx. (-Z). Este principio principio es muy poderoso poderoso en la solución solución de problemas problemas de minimización minimización mediante mediante el Método Simplex, método que se estudiará posteriormente para solucionar problemas de cualquier tamaño. Esto JEVA / PTI 7


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permite que un problema de minimización sea transformado y solucionado como un problema de Maximización, cambiando solamente los signos de su Función Objetivo. Un ejempl ejemplo o de como como puede puede ser transf transform ormado ado un proble problema ma modela modelado do de minimi minimizac zación ión para para ser solucionado a través del Método Simplex, es el siguiente: min. Z = 30X 1 + 10X2

→

Máx. Z = - 30X 1 - 10X2

Restricciones

2X1 + 4X2 ≤ 80 X1 + X2 = 25 8X1 + 6X2 ≥ 120

Ahora se tiene un problema modelado de Maximización, donde solo se cambió de signo a la Función Objetivo y las restricciones siguieron iguales. Este problema se soluciona con el Método Simplex para encontrar la solución óptima y el valor de la Máx. Z, valor que siempre será negativo. La solución al problema original de minimización, será la misma solución que se encontró para el problema resuelto de Máx (-Z) y el valor de la min. Z será el mismo que la Máx. Z pero con signo positivo. Regresando Regresando a la demostración demostración pedida, la podemos podemos hacer en una forma muy simple. Aprovechando Aprovechando las coordenadas de los vértices de la región factible que se tienen en la tabla, se pueden sustituir en la Función Objetivo que quedó transformada como mín. Z = -3X1 -6X2. A continuación se presenta el análisis que permite hacer la demostración: Vértice A B C D

Coordenadas (X1, X2) 4.8, 4.8 1.3, 10.0 6.0, 10.0 8.0, 8.0

Z = 3X1 + 6X2 43.2 63.9 78.0 72.0

Z = -3X1 + 6X2 -43.2 -63.9 -78.0 -72.0

←

Máx. Z

Comparando los valores de la solución óptima del problema, se puede concluir que: Máx. Z = mín(-Z) y consecuentemente que mín. Z = Máx.(-Z)

Demostrar que: "la solución óptima de cualquier problema de Programación Lineal, siempre estará en uno de los vértices o en todo un lado de su región factible". La solución óptima de un problema de Programación Lineal puede ser de dos tipos: solución "puntual o única" y la solución en forma de "rango". La solu soluci ción ón del del tipo tipo punt puntua uall siem siempr pre e esta estará rá en uno uno de los los vért vértic ices es de la regi región ón fact factib ible le,, como como consecuencia de la pendiente que tiene la Función Objetivo al cruzar dicha región. Si se desplaza paralelamente la Función Objetivo a través de la región factible, se verá que la solución óptima estará en uno de los vértices. Cuando la Función Objetivo es paralela a una de las restricciones que forman la región factible, se provoca un "rango óptimo" de soluciones. Este rango óptimo es consecuencia de que la Función Objetivo cruza la región factible por todo un lado, desde un vértice hasta el otro. Este rango de soluciones óptimas significa que se puede generar al menos una "solución óptima alterna" para el problema, o bien, una gama de "soluciones óptimas múltiples". Para demostrar que la solución óptima está en uno de los vértices de la región factible, se puede ver en la tabla anterior, el listado de valores que adopta la Función Objetivo al cruzar por cada uno de los vértices y simplemente seleccionar el máximo valor que es la Máx. Z. Se observará que dicha solución óptima está en el vértice "C". Otra forma que se tiene de hacer esta demostración, es que al graficar la Función Objetivo con el valor de la Máx. Z deberá pasar por el vértice "C". El graficar la recta de la Función Objetivo es exactamente JEVA / PTI 8


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igual que graficar la recta de una restricción. La ecuación de la Función Objetivo que se debe graficar es la siguiente: 78 = 3X1 + 6X2 Con esta ecuación, se puede calcular los dos puntos sobre los ejes por donde pasa la Función Objetivo quedando P1(26,0) y P2(0,13). Al graficar la recta, se observa que efectivamente pasa por el vértice "C" como lo muestra la gráfica de las restricciones. Con la intenc intención ión de mostra mostrarr un proble problema ma que tenga tenga "soluc "solucion iones es óptima óptimass múltip múltiples les", ", se modifi modificó có ligeramente el problema actual. Se dejaron las mismas restricciones y se cambió la Función Objetivo a: Máx. Z = 6X 1 + 6X2 Como las restricciones no cambiaron, se tiene la misma región factible con los mismos vértices y coordenadas que se pueden utilizar para sacar los valores de la Función Objetivo que se muestran en la siguiente tabla: Vértice A B C D

Coordenadas (X1 , X2) 4.8, 4.8 1.3, 10.0 6.0, 10.0 8.0, 8.0

Z = 6X1 + 6X2 57.6 67.8 96.0 96.0

} Rango Óptimo

Al buscar en la tabla anterior la solución óptima del problema, se encuentra dos soluciones óptimas, es decir una de ellas será la solución óptima y la otra será una solución óptima alterna, quedando en la siguiente forma: Solución Óptima (Vértice "C") X1 = 6 X2 = 10 Máx. Z = 96

Solución Óptima Alterna (Vértice "D") X1 = 8 X2 = 8 Máx. Z = 96

Al tener dos soluciones óptimas se puede calcular el "rango óptimo" para el problema, quedando en la siguiente forma: 6 ≤ X1 ≤ 8 8 ≤ X2 ≤ 10 Máx. Z = 96 Conociendo el rango óptimo, se pueden generar múltiples soluciones óptimas para el problema. Por ejemplo, para calcular otra solución óptima, que sea diferente a las que ya conocemos, se puede dar un valor arbitrario a una de las variables siempre y cuando este dentro de su rango. Si consideramos X 1 = 7 entonces, sustituyendo este valor en la Función Objetivo, queda: 96 = 6(7) + 6X 2 X2 = 9 Esta nueva solución óptima del problema fue sacada del rango óptimo, quedando como: X1 = 7 X2 = 9 Máx. Z = 96 En esta forma, se pueden generar diferentes soluciones óptimas para el problema, pero todas ellas tendrán como característica el mismo valor de Máx. Z = 96. Algunas otras soluciones óptimas que se pueden sacar del rango óptimo son: JEVA / PTI 9


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X1 = 6 X1 = 8 X2 = 10 X2 = 8 Máx Z = 96 Máx. Z = 96 Una advertencia, si se fijan las dos variables al mismo tiempo, aún con valores que estén dentro de sus rangos, no necesariamente ésto será una solución óptima para el problema. Por ejemplo, considere X 1 = 6 y X 2 = 9. Esta solución no es óptima, ya que sustituyendo en la Función Objetivo se tiene una Máx. Z = 90 pero no de 96. La razón se puede ver gráficamente, si se ubica este punto, se observará que está dentro de la región factible pero no sobre la recta que une los vértices "C" y "D", por lo que este punto es una solución factible pero no óptima. Solo los puntos que están exactamente sobre la recta que une los vértices "C" y "D" darán soluciones óptimas.

Vértices fuera de la región factible. Anteriormente, se estableció que la solución óptima está en algún vértice de la región factible. También se pueden ver en la gráfica, vértices que están fuera de la región factible, por lo que podemos preguntar: ¿Qué significado tiene el vértice vértice formado por el cruce de las restricciones "a" y "c" ?

Este vértice está formado por la restricción "a" que es redundante y por la restricción "c" que es activa ya que forma parte e la región factible. Además, este vértice está fuera de la región factible como lo muestra la gráfica, lo que significa, que ese punto no cumple con todas las restricciones del problema modelado y que tiene algún recurso sobrante. El recurso sobrante estará en la restricción redundante por lo que se puede calcular su valor. La restricción activa indica que el recurso ha sido utilizado completamente por lo que no hay sobrantes. Si quiere conocer todas las restricciones que el vértice puede cumplir y las que no, es necesario calcular sus coordenadas para tener un valor de X 1 y de X2. Resolviendo las ecuaciones de las restricciones "a" y "c", se tiene que X 1 = 10 y X 2 = 6. Al sustituir estos valores en cada una de las restricciones restricciones del problema modelado, se podrá decir si cumple o no con la restricción particular. Haciendo esto, nos damos cuenta que este vértice no cumple con la restricción "g" pero si con todas las demás. Además de identificar la restricción con la que no cumple el vértice, también se puede hacer un "análisis de los recursos". Para hacer este análisis, se debe sustituir los valores de la solución óptima (X 1=6 y X2=10) en las restricciones que forman el vértice. A continuación se muestra el análisis: Restricción "a":

X1 ≤ 10 6 ≤ 10

Restricción "c":

X1 + X2 ≤ 16 6 + 10 ≤ 16 No sobra nada.

Sobran 4.

Se concluye que sobran 4 del recurso utilizado en la restricción "a" ya que se gastaron 6 de los 10 disponibles. Por otra parte, se gastó totalmente el recurso de la restricción "c" que forma parte de la región factible. ¿Qué significado significado tiene el vértice formado formado por las restricciones restricciones

"a" y "e"?

Es un vértice fuera de la región factible donde sus dos restricciones son redundantes ya que no forman parte de la región factible. Al sustituir los valores de la solución óptima en las dos restricciones, se puede hacer el siguiente análisis de los recursos: Restricción "a": Restricción "e":

X1 ≤ 10 6 ≤ 10

Sobran 4

X1 + X2 ≤ 20 6 + 10 ≤ 20 Sobran 4

Se concluye que, un vértice fuera de la región factible siempre tendrá recursos sobrantes en cada restricción redundante que tenga. JEVA / PTI 10


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Análisis de cambios que afectan al modelo del problema. Un problema modelado de Programación Lineal, que experimente algún tipo de cambio, puede o no cambiar su solución óptima dependiendo del cambio. Existen dos tipos básicos de cambio: el cambio de un coeficiente de contribución de la Función Objetivo o el cambio en la disponibilidad de los recursos de las restricciones. Un cambio en alguno de los coeficientes de la Función Objetivo, equivale a rotar dicha Función Objetivo. Cuando se quiere provocar una solución óptima alterna, se rota la Función Objetivo hasta quedar paralela a una restricción activa. Dependiendo del sentido de la rotación que se haga en la Función Objetivo así será el cambio que tenga su ecuación. Anteriormente, se trabajó un problema de rotación de la Función Objetivo donde se modificó la ecuación de una Máx. Z = 3X 1 + 6X 2 a Máx. Z = 6X 1 +6X2. Más adelante se presentan los pasos que se siguieron para calcular esta "nueva Función Objetivo" que tiene una solución óptima al terna. Si el cambio realizado afecta a la "disponibilidad del recurso" de la restricción, es decir al término independiente, entonces la recta se moverá paralelamente. Si el término independiente aumenta de valor, hará que la recta se mueva paralelamente hacia arriba o hacia la derecha. Por el contrario, si disminuye de valor, la recta se moverá paralelamente hacia abajo o hacia la izquierda. Existen otros tipos de cambios que puede experimentar el modelo del problema, por ejemplo, quitar una restricción, agregar una nueva restricción, cambiar el sentido de una restricción. Dependiendo del tipo de cambio será el efecto que tenga en la solución óptima del problema. Estos cambios se analizan a continuación con las siguientes preguntas: ¿Qué pasa con la solución solución óptima del problema si se "quita" la restricción "a"?

Como la restricción "a" es una restricción redundante, al quitarla del modelo no afecta en nada a la región factible por lo que la solución óptima sigue siendo la misma. ¿Se modifica la región región factible del problema problema al quitar la la restricción "b"?

Si en el modelo del problema se quita solo la restricción "b" que es una restricción activa, si se modifica la región factible y en consecuencia cambia la solución óptima del problema. ¿Cambia ¿Cambia la solución óptima óptima del problema problema si se agrega al problema problema una nueva restricción restricción,, por ejemplo X 2 <= 7? 2

Esta nueva restricción disminuye la región factible que se tenía anteriormente, consecuentemente cambia la solución óptima del problema. ¿Se afecta la solución óptima del problema si se cambia el "sentido" de la restricción "e"?

Al hacer este cambio, el problema modelado no tiene una solución óptima ya que se vuelve "infactible" a consecuencia de que no tiene una región factible que cumpla con todas las restricciones. ¿Cómo se puede modificar la ecuación de una Función Objetivo para que tenga una solución óptima alterna?

Es posible hacer intencionalmente que un problema tenga una solución óptima alterna como en el caso que se presen presentó. tó. Para Para calcul calcular ar una nueva nueva Función Función Objetivo Objetivo que sea parale paralela la a alguna alguna de las restricciones del problema modelado, es necesario rotar la Función Objetivo que se tiene hasta lograr esto.

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MÉTODO GRÁFICO

La Función Objetivo del problema original (Máx. Z = 3X 1+ 6X 2) se forzó a rotar hasta que fuera paralela a la restricción "c" para generar una solución óptima alterna. Una condic condición ión indisp indispens ensabl able e para para hacer hacer que dos rectas rectas sean sean parale paralelas las es que tengan tengan la misma misma pendiente. Uno de los métodos que existen para calcular la pendiente de una recta, es ponerla en el formato y = mx + b, donde la "m" es la pendiente de la recta. Utilizando este método, se calcula la pendiente de la restricción "c" y la pendiente que debe de tomar la nueva Función Objetivo. Se expresan ambas ecua ecuaci cion ones es con con el form format ato o requ requer erid ido o desp despej ejan ando do la mism misma a vari variab able, le, en este este caso caso X1 (variable dependiente). El coeficiente de la X 1 en la Función Objetivo cambiará de valor, por lo que se deja expresado como una variable "a" que es necesario calcular. A continuación se presentan los cálculos: Restricción "c"

Nueva Función Objetivo

X1 + X2 = 16 X1 = -X2 + 16

Z = aX1 + 6X 2 X1 = (-6/a)X2 + Z/a

m = -1

m = -6/a

Para hacer estas dos rectas paralelas se igualan sus pendientes quedando: -1 = -6/a a=6 Conociendo que a = 6, se puede sustituir este valor para dar la ecuación de la nueva Función Objetivo que será: Máx. Z = 6X 1 + 6X2. Se puede establecer que, si la rotación d e la Función Objetivo es en el sentido de las manecillas del reloj, el coeficiente de la variable dependiente (en nuestro caso X 1) incrementará su valor. Por el contrario, si la rotación es en contra de las manecillas del reloj, el coeficiente de la variable independiente (en nuestro caso X2) aumentará su valor. En ambos casos se tendrá una ecuación modificada por la rotación de la Función Objetivo. En el problema desarrollado, el coeficiente de la X 1 (variable dependiente) pasó de 3 a 6, es decir que se rotó la Función Objetivo en el sentido de las manecillas del reloj. Esta rotación se puede visualizar fácilmente en la gráfica.

Ejercicio 2. Modelación, solución e interpretación para un problema de Programación Lineal. Partiendo de un problema, se presenta el desarrollo de cada una de las partes que conforman el ciclo completo de la solución de un problema de Programación Lineal: la modelación del problema, la solución del mismo y la interpretación de la solución óptima obtenida: Fabricación de Fertilizantes. Una empresa de productos químicos fabrica, entre otros artículos, dos tipos de fertilizantes que requieren de la combinación de ciertos ingredientes que son comprados a proveedores extranjeros. Como cada mes se tiene que planear las toneladas que se deben de producir de cada fertilizante, se debe de considerar para hacer el programa de producción, el precio de venta de los fertilizantes, el costo de los ingredientes, cualquier pedido que se deba surtir y las restricciones propias de la fabrica como son la disponibilidad de mano de obra, la disponibilidad de materias primas en el almacén y los tiempos requeridos en el proceso de fabricación. Otro Otro aspec aspecto to a cons consid ider erar ar es, es, que que la empr empres esa a está está impl implem emen enta tand ndo o una una nuev nueva a estr estrat ateg egia ia de mercadotecnia que consiste en vender sus fertilizantes mediante un mayorista en vez de hacerlo ella JEVA / PTI 12


MÉTODO GRÁFICO

misma. Esto ha cambiado la forma normal de programar la producción, ya que ahora solo se deben considerar las restricciones de producción pero no las de ventas. Uno de los fertilizante fabricado es el 5-5-10, indicando con estos números, la mezcla de los ingredientes que utiliza el fertilizante, en este caso es 5% de Nitrato, 5% de Fosfato, 10% de Potasio y el resto es un estabilizador formado por un relleno de tierra. El otro fertilizante llamado 5-10-5, tiene 5% de Nitrato, 10% de Fosfato, 5% de Potasio y resto es el relleno de tierra. El mayorista pagará a $715 la tonelada del 5-510 y $690 por el 5-10-5. La disponibilidad y los costos de las materias primas para el próximo mes son: 1,100 toneladas de Nitrato a $2000 por tonelada, 1,800 toneladas de Fosfato a $800 cada una y 2,000 toneladas de Potasio a $1600 cada una. La tierra está disponible en cantidades ilimitadas a un costo de $100 por tonelada. Considere que no hay restricciones por la capacidad de producción pero si existe un costo de mezclado de $150 por tonelada para cualquiera de los fertilizantes. La empresa quiere desarrollar un modelo, que le ayude a utilizar correctamente los ingredientes que importa, para elaborar su programa de producción mensual de tal forma que permita maximizar su utilidad. Desp Despué uéss de cono conoce cerr el prob proble lema ma,, es conv conven enie ient nte e orga organi niza zarr los los dato datoss que que se dan dan en el mism mismo o para para posteriormente modelarlo. En la siguiente tabla se presentan los datos del problema ya estructurados:

Tabla de Datos. Ingredientes Nitrato Fosfato Potasio Relleno Precio Venta ($/ton)

Fertilizante (%) 5-5-10 5-10-5 5 5 5 10 10 5 80 80 715 690

Disponibilidad (ton/mes) 1,100 1,800 2,000 ilimitado

Costo ($/ton) 2000 800 1600 100

El costo de mezclado de cualquiera de los fertilizantes es de $150 por tonelada.

Modelación. Variables de Decisión.

Xi = Toneladas del Fertilizante "i" a fabricarse por mes (ton/mes)

Función Objetivo.

Para hacer la Función Objetivo, primero se debe calcular el margen de utilidad por tonelada de cada uno de los fertilizantes en base a la siguiente ecuación: Utilidad = Precio Venta - Costo Total ($/ton) ($/ton) ($/ton) Se calcula el costo total por tonelada de fertilizante en base a la siguiente ecuación: Costo Total = Costo de Materia Prima + Costo de mezclado ($/ton) ($/ton) ($/ton)

Fertilizante 5-5-10: Costo Materia Prima = 0.05(2000)+0.05(800)+0.10(1600)+0.80(100) = $380/ton Costo de Mezclado = $150/ton Costo Total = $530/ton Margen de Utilidad = 715 - 530 = $185/ton Fertilizante 5-10-5: Costo Materia Prima = 0.05(2000)+0.10(800)+0.05(1600)+0.80(100) JEVA / PTI 13


MÉTODO GRÁFICO

= $340/ton Costo de Mezclado = $150/ton Costo Total = $490/ton Margen de Utilidad = 690 - 490 = $200/ton La Función Objetivo quedará: Máx. Z = 185X1 + 200X2 $/mes ($/ton)(ton/mes) = $/mes Restricciones.

1. Materia Prima. Nitrato 0.05X 1 + 0.05X2 ≤ 1,100 Fosfato 0.05X 1 + 0.10X2 ≤ 1,800 Potasio 0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2,000 % (ton/mes) = ton/mes ton/mes 2. No negatividad.

Xi ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado.

Solución por Método Gráfico. Aplicando la metodología del Método Gráfico tenemos: Calcular los puntos para graficar cada restricción.

Nitrato Fosfato Potasio

0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1,100 0.05X1 + 0.10X2 ≤ 1,800 0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2,000

Puntos a graficar: (X1,0) (0,X2) 22,000 22,000 36,000 18,000 20,000 40,000

Graficar las restricciones y la región factible.

Calcular las coordenadas de los vértices de la región factible y el valor de la Función Objetivo.

Los vértices "A" y "D" están en los ejes por lo que se pueden leer directamente de la gráfica, de la tabla de los puntos para graficar o bien se puede calcular. A continuación se ejemplifica el cálculo del vértice "A":

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MÉTODO GRÁFICO

0.05X1 + 0.10 X2 = 1,800 X1 = 0 Como X1=0 ya que está sobre el eje X 2, entonces sustituyendo en la ecuación, se tiene que X2=18,000, luego las coordenadas del vértice "A" son (0,18000). Se pueden leer directamente las coordenadas del vértice "D" que son (20000,0). El vértice "E" tiene d e coordenadas (0,0). Los vértices "B" y "C" están fuera de los ejes por lo que es necesario resolver las dos ecuaciones que forman cada uno de los vértices y resolverlas por simultáneas. Vértice "B":

Fosfato 0.05X1 + 0.10X2 = 1,800 Nitrato -(0.05X 1 + 0.05X2 = 1,100) 0 0.05X2 = 700 X2 = 14,000

Sustituyendo X2 en una de las ecuaciones originales se tiene: Fosfato 0.05X1 + 0.10(14,000) = 1,800 X1 = 8,000 Las coordenadas del vértice "B" son (8000,14000). Vértice "C":

Potasio 0.10X1 + 0.05X2 = 2,000 Nitrato -(0.05X 1 + 0.05X2 = 1,100) 0.05X1 0 = 900 X1 = 18,000

Sustituyendo X1 se tiene: 0.10(18,000) + 0.05X 2 = 2,000 X2 = 4,000 Las coordenadas del vértice "C" son (18000,4000). En la siguiente tabla, se tiene un resumen de las coordenadas de cada vértice de la región factible y el valor de la Función Objetivo: Vértice A B C D E

Coordenadas (X1, X2) 0 18,000 8,000 14,000 18,000 4,000 20,000 0 0 0

Z = 185X1 + 200X2 ($/mes) 3600,000 4280,000 4130,000 3700,000 0

←

Máx. Z

Encontrar la solución óptima del problema.

Con base en la tabla anterior, se determina que la solución óptima está en el vértice "B" y es: e s: X1 = 8,000 X2 = 14,000 Máx. Z = $4280,000

Interpretación de la Solución Óptima. En la interpretación, es importante fijarse en el tipo de variables que maneja el problema. Las variables pueden ser de dos tipos: discretas y continuas. Las "variables discretas" se pueden expresar solo en valores enteros, mientras que las "variables continuas" se pueden expresar en cualquier valor, entero o fraccionado. Este problema tienen variables continuas por lo que se puede hacer la siguiente interpretación: JEVA / PTI 15


MÉTODO GRÁFICO

El programa de producción para el siguiente mes será 8,000 toneladas del fertilizante 5-5-10 (X 1 = 8,000) y 14,000 toneladas del fertilizante 5-10-5 (X 2 = 14,000) para tener la máxima utilidad de $4280,000 (Máx. Z = 4280,000). Después de hacer este programa de producción se tendrán 500 toneladas sobrantes de Potasio.

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2 Método Gráfico

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