2-II-Water Influx.pdf

BAB II: WATER INFLUX

(Versi 1 November 2004)

Jika reservoir berhubungan dengan aquifer (aqua = water , ferre = to bear , bearing) maka reservoir tersebut akan mendapat tambahan tekanan ( pressure support ) karena adanya water influx dari aquifer. Water influx terjadi sebagai reaksi (respons) aquifer terhadap penurunan tekanan di reservoir karena reservoir diproduksikan. Reaksi aquifer tersebut dapat berupa: 1. Ekspansi air 2. Pengurangan volume pori batuan aquifer

kom kom resi resibi bili lita tass

3. Aliran artesis (jika puncak aquifer berada di atas reservoir atau berhubungan dengan outcrop) 4. Ekspansi akumulasi hidrokarbon di aquifer yang tidak diketahui.

Besar kecilnya pressure support dari aquifer tergantung pada: 1. Ukuran aquifer 2. Bentuk aquifer 3. Permeabilitas batuan di zona aquifer. Oleh karena itu, besar-kecilnya pressure support dan jumlah water influx akan mempunyai tingkat (kekuatan) yang berbeda-beda untuk berbagai sistem reservoir-aquifer. Perbedaan tersebut dinyatakan oleh besaran yang disebut dengan konstanta aquifer yang dalam hal ini seringkali dinyatakan sebagai strength of aquifer .

Dengan demikian, jika reservoir berhubungan dengan aquifer, maka untuk dapat meramalkan kinerja reservoir tersebut perlu menghitung jumlah water influx. Namun, umumnya perhitungan ini seringkali sulit karena pada umumnya hanya sedikit informasi dan data yang berkaitan dengan karakteristik aquifer yang diketahui. Padahal, laju water influx tersebut akan tergantung pada besar pressure drop, interval waktu, volume aquifer, dan sifat fisik batuan dan fluida. Dengan kata lain, perhitungan jumlah water influx tersebut bersifat tidak pasti karena sifat fisik aquifer (ukuran, bentuk, porositas, permeabilitas) tidak diukur secara langsung; dalam hal ini tidak ada sumur yang sengaja menembus aquifer. Metode yang tersedia pada saat ini umumnya mendasarkan diri pada data atau sejarah produksi dengan asumsi karakteristik aquifer diketahui. Namun, pada kenyataannya asumsi tersebut juga seringkali tidak dapat dipenuhi (karakteristik aquifer tidak diketahui secara pasti).

Water Influx, hal. 1

Terdapat 5 (lima) model yang dapat digunakan untuk menghitung water influx dan dibahas pada bab ini, yaitu: 1. Model material balance 2. Model steady-state (Schilthuis) 3. Model unsteady-state • Edge water drive model (van Everdingen-Hurst) • Bottom water drive model (Coats dan Allard-Chen) • Unsteady tanpa superposisi (Carter-Tracy)

4. Model pseudo-steady state (Fetkovich) 5. Model empirik, yaitu dengan menggunakan metode perhitungan FCM untuk menghitung integral konvolusi yang dikandung suatu model aquifer (Leung). Model yang paling penting dan secara analitik yang paling benar adalah solusi analitik terhadap persamaan difusivitas yang dikembangkan oleh van Everdingen-Hurst (lihat Bab I: Teori dan Aplikasi Persamaan Difusivitas). Selain model yang dikembangkan oleh van Everdingen-Hurst, model-model lainnya dikembangkan dengan kasus yang khusus atau pendekatan. Model Carter-Tracy dan Fetkovich, misalnya, adalah cara pendekatan supaya tidak menggunakan prinsip superposisi untuk menghitung penurunan tekanan yang seringkali tidak sederhana. Akan tetapi, hasil yang diperoleh oleh kedua metode tersebut umumnya sangat dekat dengan hasil dari model van Everdingen-Hurst.

Model Material Balance

Jika aquifer compressibility dapat diperkirakan (atau diasumsikan) maka berdasarkan definisi kompresibilitas, berlaku persamaan berikut: Pengurangan volume = volume awal x c x Δ p We = ct Wi (pi – p) dimana: We = water influx (RB) Wi = volume awal air di aquifer (RB) pi = tekanan reservoir awal, psia p = tekanan reservoir, psia ct = cw + cf = kompresibilitas total aquifer (psia-1)

Perlu dicatat di sini bahwa model ini:


Terdapat 5 (lima) model yang dapat digunakan untuk menghitung water influx dan dibahas pada bab ini, yaitu: 1. Model material balance 2. Model steady-state (Schilthuis) 3. Model unsteady-state • Edge water drive model (van Everdingen-Hurst) • Bottom water drive model (Coats dan Allard-Chen) • Unsteady tanpa superposisi (Carter-Tracy)

4. Model pseudo-steady state (Fetkovich) 5. Model empirik, yaitu dengan menggunakan metode perhitungan FCM untuk menghitung integral konvolusi yang dikandung suatu model aquifer (Leung). Model yang paling penting dan secara analitik yang paling benar adalah solusi analitik terhadap persamaan difusivitas yang dikembangkan oleh van Everdingen-Hurst (lihat Bab I: Teori dan Aplikasi Persamaan Difusivitas). Selain model yang dikembangkan oleh van Everdingen-Hurst, model-model lainnya dikembangkan dengan kasus yang khusus atau pendekatan. Model Carter-Tracy dan Fetkovich, misalnya, adalah cara pendekatan supaya tidak menggunakan prinsip superposisi untuk menghitung penurunan tekanan yang seringkali tidak sederhana. Akan tetapi, hasil yang diperoleh oleh kedua metode tersebut umumnya sangat dekat dengan hasil dari model van Everdingen-Hurst.

Model Material Balance

Jika aquifer compressibility dapat diperkirakan (atau diasumsikan) maka berdasarkan definisi kompresibilitas, berlaku persamaan berikut: Pengurangan volume = volume awal x c x Δ p We = ct Wi (pi – p) dimana: We = water influx (RB) Wi = volume awal air di aquifer (RB) pi = tekanan reservoir awal, psia p = tekanan reservoir, psia ct = cw + cf = kompresibilitas total aquifer (psia-1)

Perlu dicatat di sini bahwa model ini:


1. Menganggap respons aquifer segera (instantaneous) terhadap perubahan tekanan di reservoir 2. Bersifat time-independent 3. Berlaku untuk ukuran aquifer kecil, jika respons aquifer segera (instantaneous). Jika data produksi dan initial hydrocarbon in place (IHIP) tersedia maka metode ”persamaan garis lurus” dari Havlena-Odeh dapat digunakan. Sebagai contoh untuk reservoir tanpa gas cap (m = 0), ekspansi connate water dan pengurangan volume pori diabaikan (E f,w = 0), maka persamaan berikut dapat digunakan: F = N E o + We

Persamaan Material Balance dan Metode Least Square Persamaan material balance disesuaikan dengan kondisi awal reservoir. Berikut adalah formulasi material balance untuk beberapa kondisi reservoir. 

Reservoir dengan tenaga pendorong kombinasi N =

N p B o B g (R si

+

R p

− R s

Bg

+ W p B w − We

− R s ) − (B oi − B o ) + m

B oi B gi

(B g − Bgi )

Bila dibagi atas withdrawal, expansion, dan influx, maka persamaan material balance tersebut terdiri dari unsur-unsur: Withdrawal = N p B o

+

R p

⎡

Expansion = N ⎢B g (R si

− R s

Bg

+ W p B w

− R s ) − (B oi − B o ) + m

⎢⎣

B oi B gi

⎤

(B g − Bgi )⎥ ⎥⎦

Influx = We 

Kondisi awal dimulai (sebenarnya atau mulai perhitungan) p = p b; tidak ada tudung gas. N =

N p B + R p

− R s B g + W p B w − We B g (R si − R s ) − (B oi − B o )

Dibagi atas unsur-unsur withdrawal, expansion, dan influx: Withdrawal = N p B o

+

Expansion = N B g (R si Influx = We 

R p

− R s

Bg

+ W p B w

− R s ) − (B oi − B o )

= B ∑ ΔP j Q A t n − t j−1

Reservoir tidak jenuh dan evaluasi kinerja pada p ≥ p b Water Influx, hal. 3

N =

N p Bo + W p B w − W e c oe B oi ( p i − p )

Dibagi atas unsur-unsur withdrawal, expansion, dan influx: Withdrawal = W p B w + N p B o Expansion = D = Coe B oi (Pi Influx = We

= ∑ ΔP j Q

A tn

− P)

− t j−1

Model aquifer yang cocok akan memberikan kepastian harga B, R e/R w dan tD = At (lihat penjelasan tentang unsteady state model). Dengan kata lain, perlu dicari harga B disamping harga N berdasarkan persamaan material balance. Sebagai contoh dalam penentuan B dan N tersebut, tinjau persamaan material balance untuk reservoir yang tidak jenuh sebagai berikut: N =

Withdrawal − W e D

= N p B o

+ W p B w − We

B oi We ( p i − p )

Atau Withdrawal = ND + B ∑ Δ p j Q(t D ) tD = A Δt Jadi, persamaan material balance pada tekanan p j tersebut berbentuk: z j = Nx j + By j Sehingga diperoleh: N

=

B=

( ∑ xz)(∑ y 2 ) − ( ∑ xy)(∑ yz) (∑ x 2 )(∑ y 2 ) − ( ∑ xy)(∑ xy) (∑ x 2 )(∑ yz) − (∑ xy)(∑ xz) ( ∑ x 2 )(∑ y 2 ) − ( ∑ xy)(∑ xy) 1⎧ ⎪n

⎪ 2⎫ Dev = ⎨ ∑ (Z j − Nx j − By) ⎬ n⎪ ⎪⎭ ⎩ j =1

0.5

Cara penentuan harga konstanta N dan B seperti di atas disebut dengan metode least square. Dengan demikian, persamaan untuk mencari N dan B akan berbeda bila persamaan material balance berbeda bentuk (lihat pengembangan metode least square berikut). Sebagai contoh, suatu persamaan material balance dapat saja berbentuk:


y j = N + Bx j maka dengan metode least square dapat dikembangkan persamaan untuk memperoleh N dan B sebagai berikut: 2

(∑ x j y j )(∑ x j ) − (∑ x j )(∑ y j )

N =

B=

2

(∑ x j )(∑ x j ) − n (∑ x j ) ( ∑ x j )(∑ y j ) − n (∑ x j y j ) ( ∑ x j )(∑ x j ) − n ( ∑ x j2 ) 1⎧ ⎪n

⎫ σ = ⎨ ∑ (y j − N − Bx j )2 ⎪⎬ n⎪ ⎪⎭ ⎩ j=1

0.5

Jadi persamaan linier dalam bentuk z = Nx + By akan memberikan jawaban yang berbeda dengan bila persamaan linier dalam bentuk y = N + Bx.

Persamaan z j = Nx j + By j akan memberikan tabulasi x j, y j dan z j sesuai dengan tekanan p j. Variabel itu dapat dihitung bila data produksi dan PVT diketahui untuk tiap harga p j. Bentuk tabulasi data x, y, z, xz, yz, x2 dan y2 adalah sebagai berikut:

2

2

P

z

x

y

xz

xy

yz

x

y

P1

z1

x1

y1

x1 z1

x1 y1

y1 z1

x12

y12

P2

z1

x2

y2

x2 z2

x2 y2

y2 z2

x22

y22

z j

x j

y j

x j z j

x j y j

y j z j

x j2

y j2

∑ x j z j

∑ x j y j

∑ y jz j

∑ x j2

∑ y j2

. . . P j

n

j=1

Jadi, dengan metode least square dapat dicari N dan B secara simultan. Prosedurnya dimulai dengan menggunakan harga R e/R w tertentu (dimulai dengan anggapan aquifer berukuran tak terhingga) dan harga A tertentu. Harga A disini adalah konstanta untuk t D = At. Kemudian diteruskan dengan mencari harga

∑ Δ p Q(t D ) = y j . Harga x j dan z j dihitung berdasarkan data

produksi dan PVT. Tabulasi ini digunakan untuk menghitung menghitung N dan B. Atas dasar kedua harga tersebut dihitung deviasi ( σ). Selanjutnya dicoba dengan menggunakan harga A yang


lain untuk mendapat harga N, B dan

σ yang lain. Harga A yang memberikan σ yang terkecil

adalah anggapan yang memadai seperti ditunjukkan oleh gambar skematik berikut.

σ A

Bila diperlukan dapat pula dilakukan perhitungan untuk harga R e/R w yang berbeda-beda dengan harga A yang sama. Pegangannya sama yaitu perhitungan dianggap benar bila perhitungan tersebut memberikan σ terkecil.

Pengembangan Metode Least Square Untuk Menentukan N dan B Metode ini digunakan untuk menentukan konstanta persamaan linier yang berasal dari persamaan material balance dalam bentuk: a) z j = Nx j + By j b) y j = N + Bx j Jika diketahui data produksi dan tekanan, maka dapat dihitung z j, x j dan y j serta y j dan x j untuk setiap waktu untuk masing-masing bentuk persamaan linier di atas.

Persamaan material balance yang dicerminkan oleh kedua bentuk persamaan linier di atas untuk reservoir yang tidak jenuh adalah sebagai berikut: a) N p B o

+ W p B w = NB oi Coe ( p i − p ) + B∑ Δ p Q(t D )

dimana: z j = N pBo + W pBw B

B

x j = Boi Coe ( p i − p ) y j = b)

∑ Δ p Q(t D )

+ W p B w ∑ Δ p Q(t D ) = N + B NB oi Coe ( p i − p ) B oi Coe ( p i − p ) N p B o

dimana:


y j

+ W p B w = NB oi Coe ( p i − p )

x j

=

N p B o

∑ Δ p Q(t D ) B oi Coe ( p i − p )

Penentuan N dan B secara simultan dengan metode least square untuk jenis persamaan linier. z j = Nx j + By j, j = 1, 2, 3, ………, n dapat dijelaskan sebagai berikut. Metode least square adalah cara untuk membuat sisa atau residue (R) memberikan harga yang minimu,, dimana: R =

2

n

∑

j =1

(z j − Nx j − By j )

Pengecilan sisa (R) tersebut dilakukan dengan membuat:

∂R =0 ∂ N

dan

∂R =0 ∂B

Karena 2

R = (z1 − Nx1 − By1 )

+ (z 2 − Nx 2 − By 2 )2 + . . . + (z n − Nx n − By n )2

maka

∂R = 2(z1 − Nx j − By j )(− x1 ) + 2(z 2 − Nx 2 − By 2 )(− x 2 ) + ∂ N . . . + 2(z n − Nx n

− By n )(− x n )

∂R = −2∑ x jz j + 2N ∑ x j2 + 2B∑ x j y j = 0 ∂ N atau

∑ x jz j = N∑ x j2 + B∑ x j y j

(1)

dan

∂R = 2(z1 − Nx1 − By j )(− y1 ) + 2(z 2 − Nx 2 − By 2 )(− y 2 ) + ∂B . . . + 2(z n − Nx n

− By n )(− y n )

∂R = −∑ z j y j + N ∑ x j z j + B∑ y j2 ∂B atau

∑ z j y j = N ∑ x j y j + B∑ y j2

(2)


Dari dua persamaan, Persamaan (1) dan (2), dengan dua variabel tidak diketahui, N dan B, maka dapat diperoleh harga N dan B dengan cara sebagai berikut: Persamaan (1) dan (2) masing-masing dikalikan dengan

∑ x j y j

dan

∑ x j2 untuk

mendapatkan konstanta B.

Sedangkan bila Persamaan (1) dan (2), masing-masing dikalikan dengan

∑ y j2 dan

∑ x j y j dapat dihitung harga N. ( ∑ x j z j )( ∑ x j y j ) = N(∑ x j2 )(∑ x j y j ) + B(∑ x j y j )(∑ x j y j ) ( ∑ z j y j )(∑ x j2 ) = N( ∑ x j y j )(∑ x j2 ) + B(∑ y j2 )(∑ x j2 ) B=

( ∑ y j z j )(∑ x j2 ) − ( ∑ x j z j )(∑ x j y j ) ( ∑ y j2 )(∑ x j2 ) − ( ∑ x j y j )(∑ x j y j )

Untuk mencari harga N maka persamaan (1) dan (2) masing-masing dikalikan dengan

∑ y j2 dan ∑ x j y j . Hasilnya adalah: ( ∑ x j z j )(∑ y j2 ) = N( ∑ x j2 )(∑ y j2 ) + B(∑ x j y j )(∑ y j2 ) ( ∑ y j z j )(∑ x j y j ) = N(∑ x j y j )(∑ x j y j ) + B(∑ y j2 )(∑ x j y j ) N

=

σ=

( ∑ x j z j )(∑ y j2 ) − ( ∑ y j z j )(∑ x j y j ) (∑ x j2 )(∑ y j2 ) − ( ∑ x j y j )(∑ x j y j ) 0.5 { ∑ (z j − Nx j − By j )2 } n

1

Hal yang sama dapat dilakukan untuk mencari harga N dan B jika persamaan material balance berbentuk persamaan linier berikut: y j = N + Bx j, j = 1, 2, 3, ………, n dengan sisa (residue) R: R =

n

∑

j =1

(y j − N − Bx j )2

Dengan mencari turunan pertama R terhadap N dan B, diperoleh harga N dan B dengan penjabaran sebagai berikut: Karena


R = (y1 − N − Bx1 )

2

+ (y 2 − N − Bx 2 )2 + . . . + (y n − N − B x n )2

maka

∂R = 2(y1 − N − Bx1 )(− 1) + 2(y 2 − N − Bx 2 )(− 1) + . . . ∂ N

∂R = −2∑ y j + 2nN + 2B∑ x j = 0 ∂ N atau

∑ y j = nN + B∑ x j

(3)

dan

∂R = 2(y1 − N − Bx1 )(− x1 ) + 2(y 2 − N − Bx 2 )(x 2 ) + . . . ∂B ∂R = −2∑ x j y j + 2 N∑ x j + 2B∑ x j2 = 0 ∂B atau

∑ x j y j = N ∑ x j + B∑ x j2

(4)

Lagi, kita dapatkan dua persamaan dengan dua variabel tidak diketahui. Maka dengan menggabungan Persamaan (3) dan (4) dengan terlebih dahulu dikalikan dengan variabel yang tepat dapat dihitung N dan B. Persamaan untuk menghitung N: ( ∑ x j )(∑ x j y j ) = N(∑ x j )(∑ x j ) + B(∑ x j2 )(∑ x j ) ( ∑ y j )(∑ x j2 ) = nN(∑ x j2 ) + B(∑ x j)(∑ x j2 ) 2

N =

(∑ x j )(∑ x j y j ) − (∑ y j )(∑ x j ) 2

(∑ x j )(∑ x j ) − n (∑ x j )

Sedangkan persamaan untuk menghitung B: ( ∑ y j )(∑ x j ) = nN(∑ x j ) + B(∑ x j )(∑ x j ) n( ∑ x j y j ) = nN(∑ x j ) + nB(∑ x j2 ) B=

σ=

(∑ y j )(∑ x j ) − n ( ∑ x j y j ) ( ∑ x j )(∑ y j ) − n ( ∑ x j2 ) 0.5 { ∑ (y j − N − Bx j )2 } n

1


Contoh 1: Perhitungan Metode Least Square Contoh ini diambil dari Ref. Smith, Tracy, dan Farrar, Vol. 2, hal. 12–37. Reservoir water drive untuk p ≥ p b memiliki pi = 3000 psia dan p b = 2100 psia. Data produksi, PVT dan data petrofisik ditunjukkan berikut ini: Data petrofisik:

φ = 0.16, Cf = 4 x 10-6 psi-1 R w = 2000 ft, Swi = 0.25, p b = 2100 psia, co = 10 x 10-6 psi-1, Pi = 3000 psia, cw = 3 x 10-6 psi-1, Bw = 1.0 bbl/STB, μw = 0.3 cp, k = 500 mD. Data produksi dan PVT:

t (tahun)

P (psia)

Bo (bbl/STB)

N p (10 STB)

3

W p (10 STB

0

3000

1,3100

0

0

1

2870

1,3117

952,92

10

2

2810

1,3125

2346,80

37

3

2760

1,3131

3919,25

153

4

2720

1,3137

5687,65

272

B

3

Penyelesaian: Persamaan material balance untuk p > p b: Withdrawal = N D + B ∑ Δ p j Q(t D ) N p B o

+ W p B w = N B oi Coe( p i − p ) + B ∑ Δ p j Q(t D )

D = Boi Coe( p i − p ) Sehingga variabel persamaan linier: z j = N p Bo + W p Bw x j = D y j =

∑ Δ p j Q(t D )

Hitung parameter yang diperlukan: A = 0.00633

= 0.190

(30) k φ μ w C e R 2w k

φ μ w C e R 2w

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ bulan ⎠


= 0.190

C o So

C oe =

= C we

1 (500 ) 70,6 = bulan (0,16)(0,3)(3 + 4)10 − 6 (2000)2

+ C w S w + C f So

{10 (0,75) + 3 (0,25) + 4}10 −6 0,75

= (3 + 4)10 − 6

= 16,33 x 10 − 6

1 psi

1 psi

Sebagai anggapan pertama R e/R w = ∼ dan A = 10, sehingga diperoleh tabulasi berikut ini:

t (tahun)

tD

Q(tD)

∑ Δ p Q(t D )

0

-

-

-

1

120

49,97

3248

2

240

88,06

10471

3

360

123,40

19135

4

480

157,184

29032

Berdasarkan data produksi dan PVT dihitung z j dan x j, sedangkan y j

= ∑ Δ p Q(t D ) . Hasilnya

adalah sebagai berikut:

j

x j2 (10-6)

x j

y j

y j2

z j

0

-

-

-

-

-

1

0.002781

7,734

3248

1259,95

10.548.854,4

2

0.004064

16,516

10471

3117,18

109.641.841,0

3

0.005134

26,358

19135

5299,37

366.159.706,1

4

0.005950

35,880

29032

7743,87

842.874.433,3

Σ

86,488

1.329.244.844,8

(Lanjutan) j

x j z j

y j z j

x j y j

0

-

-

-

1

3,5039

4.092.191,6

9,0324

2

12,6682

32.639.991,8

42,5541

3

27,2070

101.405.034,8

98,2406

4

46,3858

244.822.357,0

173,9035

Σ

89,7694

362.959.575,2

323,7306


Dengan demikian N dan B dapat dihitung sebagai berikut: N

=

= N

( ∑ x j z j )(∑ y j2 ) − ( ∑ y j z j )(∑ x j y j ) (∑ x j2 )(∑ y j2 ) − ( ∑ x j y j )(∑ x j y j ) (89,7649 )(1,329 x 10 9 ) − (323,731)(3,6296 x 108 ) (86,488x10 − 6 )(1,3293 x 10 9 ) (323,731)(323,731)

−

= 178,7 x 10 6 STB

B=

(∑ y j z j )(∑ x j2 ) − (∑ x j z j )(∑ x j y j ) (∑ y j2 )(∑ x j2 ) − ( ∑ x j y j )(∑ x j y j )

(86,488) 10 −6 (3,62960) 108 − (89,7649 )(323,731) = (86,488)(10 − 6 )(1,3292 )(10 9 ) − (323,731)(323,731) B = 229,5 bbl/psi

Untuk menghitung deviasi

σ =

0.5 { ∑ (z − Nx − By )2 } n

1

Digunakan tabulasi berikut:

j

(z j – Nx j – By j)

(z j – Nx j – By j)2

0

-

-

1

17,5005

306,267

2

-12,2854

150,931

3

-9,7966

95,973

4

10,3465

107,050

Σ

660,221

sehingga: 1

σ = (660,221)0,5 = 6,424 4

Perhitungan di atas didasarkan pada anggapan A( Δt) = 120 dimana

Δt

= 12 bulan. Untuk

kasus yang lain dimana hanya A( Δt) berbeda-beda menghasilkan harga berikut ini:


198,3 x 10 6

B (bbl/psi) 57,29

0,298

68,464 x 10 9

203,7 x 10 6

31,14

2,615

26,718 x 10 9

199,8 x 10 6

50,05

0,164

(A)(Δt)

∑ (y)(z )

∑ (x)(y)

Σy2

N (STB)

600

14,235 x 10 8

1267,42

20,46 x 10 9

1200

26,037 x 10 8

2317,08

700

12,267 x 10 8

1448,12

σ

Berdasarkan harga σ maka A(Δt) yang terbaik terletak pada selang 600 < A( Δt) < 1200 16,169 x 10 8

720

1483,88

28,056 x 10 9

200,0 x 10 6

48,83

0,241

51,34

0,084

Coba lagi: 600 < A( Δt) < 700 dengan menggunakan A( Δt) = 680 15,863 x 10 8

680

1412,23

25,409

199,5 x 10 6

Jadi harga A(Δt) yang terbaik adalah 680 dengan harga: N = 199,5 x 106 STB B = 51,34 bbl/psi A=

680

= 56,67

12

1

bulan

Model Steady-State (Schilthuis)

Implikasi dari anggapan aliran steady-state dari aquifer ke reservoir adalah: 1. Laju water influx berbanding lurus dengan pressure drop, yaitu dWe dt

≈

(pi – p)

pi = tekanan @ batas luar aquifer p = tekanan @ OWC (batas reservoir-aquifer) 2. pi harus dianggap konstan. Jadi: dWe dt

= k’ (pi – p)

(1)

dimana k’ adalah konstanta water influx (bbl/day/psi). Bbl di sini adalah reservoir barrels. Integrasi Persamaan (1) menghasilkan: t

We = k’

∫

(pi – p) dt

0


Jika k’ diketahui maka W e dapat dihitung. Konstanta k’ dapat dihitung dari data produksi dan tekanan atau dengan cara menggabungkan persamaan Darcy dengan prinsip superposisi untuk mendekati penurunan tekanan aquifer.

Menghitung k’ dari persamaan Darcy dan superposisi Persamaan Darcy: q

=

d We dt

=

2πkh ( p e − p o)

⎛ θ ⎞ ⎜ ⎟ μ B w ln(r e / r o) ⎝ 360 ⎠

Jika k ' =

⎛ θ ⎞ STB/day/psi, ⎜ ⎟ μ B w ln(r e / r o) ⎝ 360 ⎠ 0.00708 kh

yang dalam hal ini sama dengan konsep atau definisi productivity index untuk menggambarkan kemampuan suatu sumur, maka t

We = k’

∫

(pe – po) dt = k '

0

t

∑ Δ pΔt , STB

t =0

Menghitung k’ dari data produksi Adalah dimungkinkan untuk menghitung konstanta aquifer jika hubungan tekanan-laju produksi stabil, yaitu aliran dalam keadaan steady state. Untuk menghitung k’ dalam keadaan ini dapat dilakukan jika data tekanan dan produksi diketahui. Dari persamaan di atas, harus berlaku: k ' =

d W e / dt ( p e − p o)

Dengan menggunakan material balance, maka k’ dapat ditentukan sebagai berikut: Seperti disebutkan di atas, implikasi steady state adalah bahwa produksi dan tekanan reservoir (dapat dianggap) konstan.

Maka laju water influx akan sama dengan laju

withdrawal reservoir, yaitu: d We dt

= oil withdrawal rate + free gas withdrawal rate + water withdrawal rate

= Bo

d N p dt

+ (R – R so) Bg

daily oil rate STB/day

d N p dt

+

d W p dt

Bw

daily free gas rate SCF/day


Dengan menambahkan [+ R soi B g

d N p dt

- R soi B g

d N p dt

] pada ruas kanan dan Bt = Bo + (R soi

– R so) Bg, maka: d We dt

= Bt

d N p dt

+ (R – R soi)Bg

d N p dt

+

d W p dt

Bw

(2)

Dari (1) dan (2)

k ' =

Bt

d N p dt

+ (R − R soi) B g

d N p dt

+

d W p dt

Bw

( p i − p)

Jika tekanan reservoir stabil (konstan), tetapi laju produksinya tidak konstan pada selang waktu Δt maka dari (2):

ΔWe

= Bt Δ N p + (ΔG p – R soi Δ N p) Bg + Bw ΔW p

Sehingga: k ' =

B t Δ N p + (Δ G p − R soi Δ N p) B g + Δ W p B w

Δt ( p − p stabil)

Contoh 2: Perhitungan Steady State Water Influx Dengan k’ dari Persamaan Darcy Tinjau gambar skematik berikut. Tekanan pada reservoir-aquifer boundary turun sebesar 10 psi. Jika dianggap terjadi steady-state water influx , hitung cumulative water influx (dalam STB) setelah 90 hari.

boundary

aquifer

reservoir r R o

95

Data reservoir dan aquifer: r R (atau R w) = 2000 ft, h = 30 ft,

μw = 0.6 cp, r e (atau R e) = 1,000,000 ft, k w = 100 md, φ =

0.12, c t = 6 x 10 -6 psi-1, Bw = 1.03 rb/STB.


Hint: Steady state artinya laju water influx, dWe/dt, berbanding lurus dengan (p i – p). Saudara dapat menggunakan formulasi steady-state-radial productivity index sebagai konstanta aquifer.

Penyelesaian: Steady state water influx: d We dt

= k ( p i − p ) t

W e = k ∫ ( p i − p )dt

t

= k ∑ Δ pΔt

0

0

Steady state Productivity Index: lihat Craft & Hawkins hal. 227 Persamaan 7.19: q

= J( p e − p w ) , jika

J

=

0.00708 kh r μB ln e r w

Maka konstanta aquifer: k =

=

0.00708kh ⎛ θ ⎞ ⎜ ⎟ r a ⎝ 360 ⎠ μB ln r R

⎛ 95 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 10 6 ⎞ ⎝ 360 ⎠ ⎟ (0.6)(1.03) ln⎜ ⎜ 2000 ⎟ ⎝ ⎠ 0.00708(100)(30)

= 1.459 STB / psi / day Sehingga W e = (1.459 STB / psi / day )(10 psi )(90 day ) = 1313 STB

Contoh 3: Perhitungan Steady State Water Influx Dengan k’ dari Data Produksi Tekanan suatu reservoir stabil pada harga 2090 psia setelah tiga tahun berproduksi. Laju produksi minyak dapat dikatakan konstan pada harga 44100 STB/day dan producing GOR juga stabil pada harga 825 SCF/STB. Tidak ada produksi air. Pada tekanan stabil 2090 psia diketahui Bg = 0.00693 RCF/SCF, Bw = 1.0 RB/STB, Bt = 1.340 RB/STB, Rsi = 600 SCF/STB. Sejarah tekanan ditunjukkan pada tabel berikut:


t (bulan)

p(t), psia

0

2275

14

2121

16

2119

18

2107

20

2111

Hitung kumulatif water influx setelah 20 (dua puluh) bulan produksi.

Penyelesaian: Langkah Pertama: Tentukan laju water influx pada kondisi konstan. d We dt

dW e dt

Bw =

d N p dt

[Bt + (R – R soi)

⎧ ⎩

44100⎨1.34 +

=

Bg 5.615

]+

d W p dt

Bw

(825 − 600)(0.00693) ⎫

⎬+0 ⎭ = 71351 STB/day

5.615 1.0

Langkah Kedua: Hitung konstant aquifer. k ' =

k ' =

d W e / dt ( p e − p o) 71351 ( 2275 − 2090)

= 385.7 STB/day/psi

atau jika 1 bulan = 30.4 hari, maka

k’ = 11725 STB/bulan/psi. Langkah Ketiga: Gunakan prinsip superposisi untuk menghitung kumulatif water influx (tentang aplikasi prinsip superposisi akan dijelaskan lebih lanjut pada bagian unsteady state model), dimana: W ej = k ' ( Δ p j)( t − t j) dimana ( t − t j) disebut dengan waktu efektif, yaitu lamanya (interval waktu/elapsed time) pressure drop instantaneous telah mempengaruhi water influx. Jadi, t (bulan)

p(t), psia

0 14 16 18 20

2275 2121 2119 2107 2111

Δ p, psia (superposisi) 77 78 7 4

Waktu efektif (bulan) 20 6 4 2


Kumulatif water influx pada akhir bulan ke 20 adalah: We1 = (11725 STB/bulan/psi) (77 psi) (20 bulan) = 18,056,500 STB We2 = (11725 STB/bulan/psi) (78 psi) (6 bulan) =

5,487,300 STB

We3 = (11725 STB/bulan/psi) (7 psi)

(4 bulan) =

328,300 STB

We4 = (11725 STB/bulan/psi) (4 psi)

(2 bulan) =

93,800 STB

Jadi We pada 20 bulan = 18,056,500 + 5,487,300 + 328,300 + 93,800 = 23,965,900 STB.

Model Unsteady State

a. Edge Water Drive Model (van Everdingen-Hurst) Van Everdingen-Hurst menggunakan solusi persamaan difusivitas untuk aliran radial dimana reservoir dianalogikan sebagai sumur dan aquifer sebagai reservoir. r e

Water influx

r R

Reservoir

Aquifer

Persamaan difusivitas dalam satuan lapangan:

μ φ ct ∂ 2 p 1 ∂ p ∂ p + = ∂r 2 r ∂r 0.0002637 k ∂t Untuk kasus/sistem reservoir-aquifer akan berguna/cocok jika menggunakan constant pressure solution, yaitu menggunakan kondisi awal dan kondisi batas sbb: I.C.

p(r, t = 0) = pi

I.B.C.

p(r = r R, t) = pi – Δ p = konstan

O.B.C.

∂ p = 0 untuk finite (bounded) aquifer ∂r r = re, t p(r = ∞ , t) = pi untuk infinite aquifer.


Seperti ditunjukkan pada Bab I: Teori dan Aplikasi Persamaan Difusivitas, agar solusi tidak tergantung pada dimensi maka persamaan difusivitas ditulis dengan menggunakan variabel tak berdimensi sehingga berbentuk:

∂ 2 p D 1 ∂ p D ∂ p D + = 2 r r ∂ ∂t D ∂r D D D dimana: tD

=

0.0002637 k t

r D

=

r

p D

=

; t dalam jam

C t r R 2

φμ r R

p i − p p i − p wf

Solusi persamaan difusivitas tersebut (constant pressure solution) adalah: qμ

q D (t D ) =

2 π k h Δ p

Integrasi terhadap waktu: tD

∫

q D (t D )

0

dt dt D

=

dt D

μ

t

∫ q dt

2π k h Δ p 0

yaitu: W eD ( t D )

φ μ ct

2

r R

k

= We

μ 2π k h Δ p

atau: 2 W e = 2 π φ h ct r R Δ p W eD ( t D )

atau: W e = B' Δ p W eD dimana, dalam satuan lapangan: 2

B' = 1.119 φ ct r R h

θ 360

(RB/psi)

dengan θ = sudut encroachment (derajat)

Untuk aquifer dengan geometri linier maka B' = 0.178 w Lh φ c t


Solusi van Everdingen-Hurst tersedia dalam bentuk tabulasi atau grafik We D sebagai fungsi tD dan r D. Sebagai contoh, lihat referensi Craft and Hawkins Table 8.1 untuk infinite aquifer dan Table 8.2 untuk finite aquifer. Juga lihat Dake Fig 9.3.

r e

r R

Water influx

θ

Sistem reservoir-aquifer bergeometri radial

Reservoir

Aquifer

Reservoir

h

Sistem reservoir-aquifer bergeometri linier

Aquifer

L w

Dengan menggunakan konsep superposisi maka perubahan tekanan yang terjadi pada r D = 1 menghasilkan persamaan perembesan air yang bersifat additive karena aplikasi prinsip superposisi menunjukkan bahwa solusi yang dihasilkan dari persamaan difusivitas bersifat additive. Untuk menghitung tekanan digunakan persamaan berikut: Δ p j = 0.5 (p j-2 - p j) untuk j > 1 Δ p1 = 0.5 (p 0 – p1) untuk j = 1 Oleh karena itu, diperoleh: We = B Σ Δ p Q(tD) = B [Δ p0 Q(tDn - tD0) + Δ p1 Q(tDn - tD1) + … + Δ pn-1 Q(tDn - tDn-1)] = B

n −1

∑ Δ p j Q( t Dn − t Dj )

j = 0


Atau: n −1

=B ∑

We

tD

j = 0

=

k t

μφ

[

Δ p j Q A( t n

2 c t r R

− t j )]

=At

dimana A

=

0.006327 k

=

0.0002637 k

2 μ φ c t r R

(1/hari) jika t dalam hari

atau A

2 μ φ c t r R

Untuk menentukan

(1/jam) jika t dalam jam.

∑ Δ pjQ( t D ) digunakan

cara tabulasi antara

Δ p j dan

Q j(tD) yang

masing-masing merupakan baris dan kolom. Satu tabulasi tergantung pada harga j = 1, 2, 3 … n. Bila j = n, maka tabulasi ini terdiri n baris dan n kolom. Sebagai contoh, bila digunakan n = 4, kolom dan baris disusun sebagai berikut:

∆ pj

Q(tD)

∆ p1

Q1(tD)

Δ p1 Q1(tD)

∆ p2

Q2(tD)

Δ p1 Q2(tD) + Δ p2 Q1(tD)

∆ p3

Q3(tD)

Δ p1 Q3(tD) + Δ p2 Q2(tD) + Δ p3 Q3(tD)

Δ p1

Σ Δ p Q(tD)

Q1

Q2

Q3

Q4

Δ p1Q1

Δ p1Q2

Δ p1Q3

Δ p1Q4

Q1

Q2

Q3

Δ p2Q1

Δ p2Q2

Δ p2Q3

Q1

Q2

Δ p3Q1

Δ p3Q2

Δ p2

Δ p3

Q1

Δ p4

Σ

Δ p4Q1

Δ p1Q1

Δ p1Q2 + Δ p2Q1

Δ p1Q3+ Δ p2Q2+ Δ p3Q1

Δ p1Q4+ Δ p2Q3+ Δ p3Q2+ Δ p4Q1+


b. Bottom Water Drive Model Model aquifer menggunakan persamaan difusivitas yang dihasilkan oleh van EverdingenHurst tidak mengandung aliran tegak lurus (vertikal) dari aquifer ke arah zone minyak seperti yang terjadi pada kasus bottom water drive (yaitu bila aquifer berada di bawah reservoir). Oleh karena itu, model matematika untuk menggambarkan fenomena bottom water drive diperoleh dengan menggunakan persamaan diferensial parsial (persamaan difusivitas) yang sebenarnya memodelkan aliran fluida dalam arah radial (lihat gambar skematik berikut). Aliran vertikal ini dipengaruhi oleh permeabilitas vertikal (k v) dan oleh karenanya ”modifikasi” persamaan aliran radial tersebut dilakukan dengan menambahkan unsur aliran vertikal, yaitu aliran pada arah-z.

WOC Minyak

Air

Minyak

Air

Model matematika radial flow

Bottom water drive

Jika faktor aliran vertikal dimasukkan ke dalam persamaan difisivitas maka:

φ μ Ct ∂ p ∂ 2 p 1 ∂ p ∂ 2 p Fk + + = ∂r 2 r ∂r ∂z 2 0.0002637 k ∂t dimana:

Fk =

k v k h

dengan: tD, r D, dan pD seperti sebelumnya dan zD

=

z 1/ 2

r R Fk

maka persamaan difusivitas menjadi

∂ 2 p D 1 ∂ p D ∂ 2 p D ∂ p D + + = 2 2 r r ∂ ∂t D r z ∂D ∂ D D D

(1)


Solusi untuk persamaan (1) telah tersedia dengan kondisi batas dalam berbeda: 1. Constant rate solution dengan infinite aquifer (Coats) 2. Constant pressure solution (Allard-Chen) Untuk menghitung We dilakukan dengan cara yang sama sehingga diperoleh: We = B' Δ p We D dimana B’ sekarang adalah 2

B' = 1.119 φ h ct r R

WeD untuk bottom water berbeda dengan edge-water karena merupakan fungsi dari permeabilitas vertical. WeD disajikan dalam bentuk tabel yang merupakan fungsi dari r D’ dan zD’, dimana: r r D ' = e r R zD '=

h 1/ 2

r R Fk

Hasil simulator ditampilkan dalam bentuk WeD sebagai fungsi dari tD untuk berbagai harga parameter r D’ dan zD’. Sebagai contoh, untuk dimensionless water influx, W eD, untuk r D’ = ~ (infinite aquifer) sebagai fungsi dari tD pada reservoir bottom water adalah (lihat Ref. Craft dan Hawkins, Tabel 8.6):

tD

zD’ 0,05

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

1,0

0,1

0,700

0,677

0,508

0,349

0,21

0,195

0,176

0,5

1,158

0,155

1,059

0,918

0,764

0,631

0,569

1,0

1,743

1,726

1,581

1,347

1,181

1,020

0,932

6,837

6,816

6,583

6,214

5,792

5,344

5,080

. . . 10 dst. Contoh 4: Perhitungan Perembesan Bottom Water Suatu reservoir bottom water memiliki data reservoir dan tekanan sebagai berikut:


R w = 2000 ft, R e = ~, h = 200 ft, k = 50 mD, F k = 0,04, φ = 0,10, μ = 0,395 cp, dan c t = 8 x 10 6

(psi)-1. Dengan menggunakan model influx untuk bottom water, hitung W e jika diketahui

sejarah tekanan sebagai berikut.

Waktu t (hari) 0

pBoundary psia 3000

30

2956

60

2917

90

2877

120

2844

Penyelesaian: r D’ = ~ h

200

z 'D

=

tD

=

B'

= 1,119φhc t (R w )2

0.5

R w (Fk )

=

0,5

2000 (0,04 )

0,000264(50 ) (0,10)(0,395)8(10)− 6 (2000)2

= 0,5 = 0,0104 t ( jam )

bbl

= 1,119(0,1)(200)(8)(10 − 6 )(2000)2 = 716

psi

Waktu t (hari) 0

∑ Δ pWeD

W 103 bbl

5,038

110,8

79,3

41,5

8,389

393,6

281,8

2877

39,5

11,414

798,3

571,5

2844

36,5

14,263

1302,7

932,7

Δ p

0

pBoundary psia 3000

30

7,5

2956

22

60

15,0

2917

90

22,5

120

30,0

tD

WeD

0

Contoh 5: Perhitungan Unsteady State Water Influx Jika water influx ke reservoir pada Contoh 2 dianggap unsteady state, hitung cumulative water influx tersebut (dalam STB) dengan menggunakan van Everdingen-Hurst solution.

Hint: Perhatikan harga r eD!


Penyelesaian: Unsteady state water influx menggunakan van Everdingen-Hurst solution: W e = B∑ Δ pQ(t D ) Dengan konstanta aquifer, B: 2

⎛ θ ⎞ rb / psi ⎟ ⎝ 360 ⎠

B = 1.119φc t r R h⎜

⎛ 95 ⎞ = 25.5132 rb / psi − B = 1.119(0.12)(6.10 6 )(2000) 2 (30)⎜ ⎟ ⎝ 360 ⎠ ⎛ 25.5132 rb / psi ⎞ ⎟⎟ = 24.77 STB / psi 1 . 03 rb / STB ⎝ ⎠

B = ⎜⎜

dan variabel waktu tak berdimensi: tD

=

0.0002637kt

tD

=

0.0002637(100)(t ) 6 2 (0.12)(0.6)(6.10 − )(2000)

2 φμc t r R

= 0.01526 t (t dalam jam)

t = 90 hari, maka tD

= (0.01526 )(90)(24) = 32.962

Untuk mendapatkan Q(tD) diperlukan r eD, dimana: r eD

=

r e r R

=

1,000,000 2,000

= 500

Tidak ada Q(tD) yang dapat dibaca pada tabel untuk r eD = 500. Hal ini mengindikasikan air dari aquifer masih mengalir dalam periode infinite acting. Gunakan Tabel 8.1 Craft & Hawkins hal. 285 dan lakukan interpolasi:

tD

Q(tD)

32

17.590

32.962

17.995 (interpolasi)

33

18.011

Maka : W e = (24.77 STB / psi )(10 psi )(17.995) = 4457.36 STB


Contoh 6: Perhitungan Unsteady State Water Influx Dengan Sejarah Tekanan Jika untuk reservoir pada Contoh 2 kemudian diketahui sejarah tekanan pada reservoiraquifer boundary sebagai berikut:

t (hari)

p(t), psi.

0

5000

300

4700

600

4500

1000

4750

1200

4300

Hitung cumulative water influx (dalam STB) pada t = 1200 hari. Gunakan van EverdingenHurst solution dan tabulasi perhitungan prinsip superposisi dan elapsed time:

Penyelesaian: Hitung kumulatif water influx menggunakan van Everdingen-Hurst solution dengan sejarah tekanan pada reservoir-aquifer boundary diketahui: B = 24.77 STB/psi tD

=

0.0002637)(100)( t ) (0.12)(0.6)(6.10 − 6 )(2000) 2

= 0.01526 t (t dalam jam)

Tabel hasil perhitungan:

WeD (Interpolasi)

ΣΔ pWeD*)

We(t) (STB)

-

-

-

150

46.57

6,986.10

173,046.38

220.00

250

78.90

23,478.50

581,564.72

4750

366.67

-25

125.47

37,380.45

925,917.38

4300

440.00

100

146.06

55,960.83 1,386,155.28

t (hari)

p (psi)

tD

Δ p

0

5000

0

0

300

4700

110.00

600

4500

1000 1200

*) Penentuan ΣΔ pWeD dengan prinsip superposisi menggunakan cara tabulasi sehingga diperoleh:


tD \ WeD 150

46.57

78.90

6,986.10

125.47

146.06

11,835.00

18,819.80

21,909.60

11,643.50

19,725.00

31,366.33

-1,164.35

-1,972.50

250

x

-25

x

x

100

x

x

ΣΔ pWeD

6,986.10

x

23,478.50

4,657.40

37,380.45

55,960.83

Jika menggunakan cara elapsed time, maka diperoleh tabulasi perhitungan sebagai berikut:

t (hari)

p (psi)

t efektif (hari)

0

5000

-

-

-

300

4700

1200

439.49

600

4500

900

1000

4750

1200

4300

tD

Δ p

WeD (Interpolasi)

We(t) (STB)

-

-

150

145.92

-

329.62

250

114.63

-

600

219.74

-25

81.89

-

200

73.25

100

33.61

1,284,553

Kumulatif water influx pada akhir bulan ke 20 adalah: We1 = (24.77 STB/psi) (150 psi) (145.92) = 542,166 STB We2 = (24.77 STB/psi) (250 psi) (114.63) = 709,846 STB We3 = (24.77 STB/psi) (-25 psi) (81.89)

=

-50,710 STB

We4 = (24.77 STB/psi) (100 psi) (33.61)

=

83,252 STB

Jadi We pada 20 bulan = 542,166 + 709,846 – 50,710 + 83,252 = 1,284,553 STB.

c. Model Carter-Tracy Asumsi yang digunakan adalah: 1. Constant terminal rate case 2. Finite dan infinite aquifer 3. Aliran radial Sejarah produksi dapat dinyatakan sebagai serial constant rate seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Untuk kasus constant rate tersebut berlaku definisi berikut:


q1 Laju q2 q3 q0 t0

t1

t3

t2

Waktu Dimensionless water influx: Q pD = qDtD Dimensionless water influx: W e = q t Tinjau kembali tD =

0.00633kt

φμ c t r o2

atau t

=

φμ c t r o2 t D 0.00633k

, sehingga

φμ c t r o2 q t D

We = q t =

0.00633k

Jika q

*

=

φμ c t r o2 q 0.00633k

, maka

*

W e = q t D Untuk suatu serial constant rate production seperti digambarkan di atas, maka * * * * W e ( t D3) = q 0 ( t D1 − t D0) + q1 ( t D 2 − t D1) + q 2 ( t D3 − t D 2) + q 3 ( t D 4 − t D3)

atau dapat pula dituliskan sebagai berikut W e ( t Dj) =

j −1

∑ q*n ( t Dn +1 − t Dn )

n =0

atau W e ( t Dj) =

j −1 * ∑ q n ( t Dn +1 − t Dn) + ∑ q*n ( t Dn +1 − t Dn) n =0 n =i i −1

dimana suku pertama pada ruas kanan menyatakan kumulatif water influx dari t D0 sampai tDi, yang merupakan definisi We yang dicapai sampai waktu t Di, dan ruas kedua menyatakan


kumulatif water influx dari t Di sampai tDj. Dengan demikian, persamaan tersebut dapat pula ditulis sebagai: W e ( t Dj) = W e ( t Di) +

j −1

∑ q*n ( t Dn +1 − t Dn )

n =i

dimana We(tDi) = kumulatif water influx dari t D0 sampai tDi. j −1

∑ q*n ( t Dn +1 − t Dn ) = kumulatif produksi dengan serial constant rate dari t Di sampai tDj.

n =i

Langkah di atas adalah bagian yang paling penting dalam penurunan persamaan. Diasumsikan bahwa karakteristik dari respons tekanan-influx pada ruas pertama tidak diketahui. Hanya harga dari kumulatif water influx selama i sampai j yang harus dihitung. Oleh karena itu, hanya ruas kedua dari persamaan yang harus ditentukan. Jika i = j – 1, maka *

W e ( t Dj) = W e ( t Dj −1) + q j −1 ( t Dj − t Dj −1) Atau, jika persamaan tersebut ditulis dalam bentuk integral konvolusi: W e ( t Dj −1) = k '

t Dj

∫ Δ p(λ) Q pD ' ( t Dj −1 − γ )dλ

0

dimana λ adalah dummy variable dari integrasi.

pD slope = m =

y 2 − y1 x 2 − x1

tD Dengan menggabungkan kedua persamaan, mengambil Laplace Transform, menyelesaikan, dan menggunakan n sebagai index hitung, lalu menggunakan step function untuk menghitung superposisi, Carter-Tracy mendapatkan: W en

= W en −1 + ( t Dn − t Dn −1)

k ' Δ p n − W en −1 p' Dn p Dn − t Dn −1 p' Dn


dimana p’Dn adalah slope dari kurva p D vs. tD.

Dari persamaan yang dihasilkan di atas, terlihat bahwa metode Carter-Tracy: 1. Tidak memerlukan prinsip superposisi. Metode ini memang dikembangkan untuk menghindari perhitungan superposisi. Namun, hasilnya cukup memuaskan baik untuk finite maupun infinite aquifer. 2. Kumulatif pressure drop dapat digunakan menggantikan pressure drop dari tekanan ratarata, Δ pn = pi – pn.

Contoh 7: Perhitungan Menggunakan Metode Carter-Tracy Hitung ulang kumulatif water influx untuk kasus pada Contoh 5 dengan menggunakan metode Carter-Tracy.

Penyelesaian: Telah diketahui pada contoh di atas bahwa: k = 24.8 STB/psi, t D = 32.9, r eD = 500, dan Δ p = 10 psi. Maka dengan menggunakan persamaan dari Carter-Tracy, yaitu: W en

= W en −1 + ( t Dn − t Dn −1)


dan interpolasi menggunakan tabel solusi van Everdingen-Hurst (lihat solusi van EverdingenHurst pD vs. tD pada Bab I: Teori dan Aplikasi Persamaan Difusivitas):

dan p' ( t Dj) =

2.2824 − 2.1470 40 − 30

tD

pD(tD)

30

2.1470

32.962

2.186 (interpolasi)

40

2.2824

= 0.0135 , sehingga kumulatif water influx pada 90 hari (ingat

bahwa kumulatif water influx = 0 pada awalnya): W e = 0 + (32.962)

(24.8)(10) − 0 2.186 − 0

= 3733 STB

Kumulatif water influx pada t = 0 adalah nol pada langkah pertama prosedur Carter-Tracy. Oleh karena itu, tidak ada masalah dalam menghitung turunan pada titik data pertama dalam kurva pD vs. tD dimana slopenya paling akurat.


Contoh 8: Perhitungan Menggunakan Metode Carter-Tracy Dengan Sejarah Tekanan Hitung kumulatif water influx untuk Contoh 6 (dengan sejarah tekanan yang sama) di atas menggunakan metode Carter-Tracy.

Penyelesaian: Telah diketahui pada contoh di atas bahwa: k’ = 24.77 STB/psi, t D = 0.01526 t (t dalam jam), dan r eD = 500. Tabulasi berikut menghitung W en (lihat solusi van Everdingen-Hurst p D vs. tD pada Bab I: Teori dan Aplikasi Persamaan Difusivitas):

t (hari)

p (psi)

tDn

Δ pn

pDn (Interpolasi)

0

5000

-

-

-

300

4700

109.87

300

600

4500

219.74

1000

4750

1200

4300

p' Dn (dari tabel)

We(t) (STB)

-

-

2.762

0.003958

295,598

500

3.107

0.002180

745,449

366.24

250

3.361

0.001326

993,815

439.49

700

3.452

0.001168

1,385,668

Untuk menghitung We(t), digunakan persamaan Carter-Tracy untuk masing-masing time step sebagai berikut: W en

= W en −1 + ( t Dn − t Dn −1)


Time step pertama: 0 – 300 hari W e1 = 0 + (109.87 − 0)

(24.77)(300) − (0)(0.003958) 2.762 − (0)(0.003958)

= 295,598 STB Time step kedua: 300 – 600 hari W e 2 = 295,598 + (219.74 − 109.87)

(24.77)(500) − (295,598)(0.002180) 3.107 − (109.87)(0.002180)

= 745,449 STB Time step ketiga: 600 – 1000 hari W e3 = 745,449 + (366.24 − 219.74)

(24.77)(250) − (745,449)(0.001326) 3.361 − (219.74)(0.001326)

= 993,815 STB Time step keempat: 1000 – 1200 hari


W e 4 = 993,815 + (439.49 − 366.24)

(24.77)(700) − (993,815)(0.001168) 3.452 − (366.24)(0.001168)

= 1,385,668 STB

Model Pseudosteady State (Fetkovich)

Model unsteady state dari van Everdingen-Hurst merupakan metode yang paling benar untuk menghitung water influx. Tapi metodologi perhitungannya tidak sederhana. Oleh karena itu, Fetkovich membuat model pseudosteady state dengan tujuan agar metodologi perhitungan water influx lebih sederhana. Model pseudosteady state menggunakan analogi yang sama seperti model steady state yaitu reservoir dianalogikan sebagai sumur dan aquifer sebagai reservoir. Analogi tersebut dapat digambarkan secara skematik sebagai berikut: r e p a Water influx

r R Reservoir

Aquifer

Finite aquifer tapi cukup besar r e > 3 x r R

Untuk model tersebut maka berlaku: a. Inflow equation: qw

=

d We dt

= J( p a − p R )

(1)

dimana: qw = Laju water influx J

= Productivity index aquifer

p a = Tekanan rata-rata di aquifer pR = Tekanan reservoir (reservoir-aquifer bounding) b. Material balance, berdasarkan definisi kompresibilitas: Pengurangan volume = c x volume awal x Δ p W e = c t W i ( p i − p a )


dimana: pi = tekanan awal di aquifer. Susun ulang persamaan tersebut untuk mencari p a p a = p i (1 −

= p i (1 −

We ) p ct Wi i We W ei

)

dengan Wei = ct Wi pi, yaitu ekspansi maksimum dari aquifer. Maka diferensiasi terhadap t menghasilkan: d We dt

= − W ei

d p a

p i

dt

sehingga Persamaan (1) menjadi:

− W ei p i

d p a dt

= J( p a − p R )

atau: d p a p a − p R

=−

J p i W ei

dt

Dengan integrasi maka diperoleh: ln ( p a − p R ) = −

J p i t W ei

+C

dimana pada t = 0, harga-harga berikut berlaku We = 0, p a = pi, Δ p = pi – p pada r = r R Pada t = 0, p a = pi maka ln ( p i − p R ) = C

sehingga ln ( p a − p R ) = −

J p i t W ei

+ ln ( p i − p R )

atau p a − p R = ( p i − p R ) e − J pi t / W ei Sehingga (1) menjadi qw

=

d We dt

= J ( p i − p R ) e − J pi t / W ei

Integrasi lagi menghasilkan


W ei ( p i − p R ) 1 − e − J pi t / Wei p i

(

We =

)

Persamaan di atas menggunakan asumsi bahwa tekanan di batas reservoir-aquifer, p R , dan tekanan rata-rata di aquifer, p a , konstan. Jika pR dan p a tidak konstan maka digunakan prinsip superposisi. Namun dengan menghitung step-by-step pressure drop untuk Δt yang kecil (yaitu agar anggapan p R dan p a konstan berlaku) superposisi tidak diperlukan.

Jika n adalah indeks interval, p a , n −1 adalah tekanan rata-rata aquifer pada akhir interval n-1, dan p R , n adalah tekanan pada batas reservoir-aquifer rata-rata pada interval n, maka W e = ∑ Δ W en

dimana

Δ W en = W ei ( p a , n − i − p R , n )(1 − e − J pi Δ t n / W ei ) p i

= p i (1 −

p a , n − i

=

p R , n

We W ei

) dengan W e =

n −1

∑ Δ W ej

j =1

p R , n − i + p R , n 2

Catatan: J akan tergantung pada geometri aliran (radial atau linier) dan kondisi batas luar aquifer. Lihat Tabel 8-11 pada referensi Craft and Hawkins hal. 327.

Contoh 9: Perhitungan Pseudosteady State Water Influx Ulangi perhitungan cumulative water influx pada Contoh 2 dengan menggunakan metode Fetkovich, yaitu jika menggunakan anggapan aliran pseudosteady-state.

Penyelesaian: Perhitungan dengan menggunakan metode Fetkovich: Hitung Wei:

W ei =

⎛ θ ⎞(r 2 − r 2 )hφ p ⎟ e R i ⎝ 360 ⎠

c t π⎜

5.615

⎛ 95 ⎞(1012 − 4 6 )(30)(0.12)(5000) ⎟ ⎝ 360 ⎠

6.10 − 6 )(π)⎜ W ei =

5.615


W ei = 1.5946 E + 10 bbl Hitung Productivity Index, J, untuk kondisi pseudosteady state :

⎛ θ ⎞ ⎟ 360 ⎝ ⎠ J= ⎡ r ⎤ μ ⎢ln e − 0.75⎥ ⎣ r R ⎦ 0.00708kh ⎜

⎛ 95 ⎞ ⎟ ⎝ 360 ⎠

0.00708(100)(30)⎜ J

=

0.6[ln 500 − 0.75]

J = 1.7094852 bbl/day/psi Maka untuk suatu penurunan tekanan di reservoir-aquifer boundary, kumulatif water influx pada periode tersebut adalah:

⎛ − Jp i Δt n ⎞ ⎜ ⎟ Δ W en = W ei ( p a , n −1 − p R , n )⎜1 − e Wei ⎟ p i ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Δ Wen =

1.5946E + 10 5000

⎛ −1.7094852)(5000)(300) ⎞ ⎟ 1.5946 E +10 ( p a,n −1 − p R ,n )⎜⎜1 − e ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Δ W en = 512.804327 p a , n −1 − p R , n Dengan

⎛

p a , n −1 = p i ⎜⎜1 −

⎝

∑ Δ W en ⎞ ∑ Δ W en ⎞ ⎟⎟ = (5000)⎛ ⎜1 − ⎟ = 5000 − 3.13564E − 07 ∑ Δ W en Oleh W ei ⎠ ⎝ 1.5946E + 10 ⎠

karena itu diperoleh hasil perhitungan sebagai berikut:

t (hari)

pR

p R , n

p a , n −1 – p R , n

0 5000

5000

0

300 4700

4850

600 4500

ΔWen

We (res bbl)

We (STB)

p a , n

0

0

0

5000

150

76921

76921

74680.2

5000

4600

400

205122

282042

273827.6 4999.9759

1000 4750

4625

375

192302

474344

460528.2 4999.9357

1200 4300

4525

475

243582

717926

4999.8

Model Empirik (FCM)

Model perhitungan water influx dari aquifer yang telah dijelaskan di muka umumnya bersifat akurat (khususnya yang menggunakan model unsteady state dari van Everdingen-Hurst) Water Influx, hal. 35

namun tidak efisien dalam prosedur perhitungannya (misalnya prosedur perhitungan superposisi). Upaya untuk menyederhanakan prosedur perhitungan telah pula dilakukan, namun dipandang masih panjang dan lambat serta dalam kasus tertentu dapat tidak akurat. Suatu model empirik yang disebut dengan metode konvolusi cepat ( fast convolution method , FCM) dapat digunakan sebagai metode alternatif dalam perhitungan menggunakan model aquifer unsteady state baik untuk finite dan infinite aquifer dalam bentuk sirkular atau linier. Metode ini diusulkan oleh W.F. Leung yang dipublikasikan pada tahun 1986.

Terdapat 4 (empat) model aquifer yang dapat menggunakan metode FCM, yaitu: 1. Pseudosteady state (PSS) 2. Modified pseudosteady state (MPSS) 3. Transient 4. Infinite-aquifer model. Tiga model pertama dapat digunakan untuk finite aquifer sedangkan model yang terakhir hanya untuk infinite-acting aquifer. Dalam diktat ini akan dibahas model PSS, model transient-finite aquifer, dan model infinite-acting aquifer.

Konsep FCM: Model Pseudosteady State Untuk dapat memahami metode FCM, tinjau konsep PSS terlebih dahulu. Ketika t > t p, dimana t p adalah waktu untuk mencapai periode PSS, maka gradient rata-rata tekanan pada boundary: (∇ p a )

= s

dp dr ave at r = r

R

≅

p a ( t ) − p s ( t )

δ∞

;

δ ∞ = radius pengurasan pada PSS (konstan).

Dengan demikian, dengan menggunakan hukum Darcy, maka laju water influx: q =

=

−∫

k (∇ p a ) dA s

Aμ

−

kA

μ

(∇ p a )

s

= J ( p a ( t ) − p s ( t ))

(1)

dimana J

=

kA

μ δ∞

Kumulatif water influx diperoleh dengan mengintegralkan laju influx sehingga:


t

We = ∫ qdt 0

= U( p 0a − p a ( t ))

(2)

dan

ΔWe = U( p ja − p ja+1)

(3)

dimana aquifer capacity, U, adalah: U = cφV sehingga, misalnya, untuk aquifer sirkular:

⎛ θ ⎞ ⎟ ⎝ 360 ⎠

U = cφ2π(R e2- R w2)h ⎜

Jika Persamaan (3) yang merupakan persamaan material balance untuk

ΔWe di

atas ditulis

dalam bentuk diferensial sebagai q

= − (cφV ) a

d p a ( t ) dt

(4)

maka substitusi Persamaan (4) ke dalam Persamaan (1) menghasilkan: d p a ( t ) dt

≅ α( p s ( t ) − p a ( t )) ; p 0a = p s0 pada t = 0

dimana α didefinisikan sebagai

α≅

J (cφV) a

=

A

k

V

φμc δ ∞

Solusi terhadap persamaan di atas, yang dapat diperoleh melalui integrasi langsung atau transformasi Laplace, berbentuk integral konvolusi atau superposisi, yaitu: p a ( t )

= p 0a e − αt

t

+ α ∫ p s (θ) e − α( t − θ) dθ

(5a)

0

atau jika diintegrasikan (by parts) diperoleh

[

p a ( t ) = p a e − αt + p s (θ) e − α ( t − θ) 0

p a ( t )

= p 0a e − αt

t d p t s − α ( t − θ) dθ − e 0 ∫ dθ 0

]

t d p − α − ( t 0 ) + p s ( t ) − p s (0) e − ∫ s e − α( t − θ) dθ ; pa = ps pada t = 0 0 dθ t

d p s − α ( t − θ) dθ e d θ 0

p a ( t ) = p s ( t ) − ∫

(5b)

Dengan demikian, laju alir influx, q, dan kumulatif influx, W e, dapat dihitung dengan menggunakan Persamaan (5a) atau (5b) dalam Persamaan (1) dan Persamaan (2). Namun,


prosedur perhitungannya tidak sederhana karena integrand pada integral konvolusi berupa perkalian dua fungsi dimana satu fungsi dihitung pada variabel waktu, θ, dan lainnya pada variable (t - θ) dengan θ berharga 0 sampai t. Dengan demikian, integral pada t n+1 tidak sama dengan integral pada t n ditambah harga integral dalam periode

Δt = tn+1 - tn. Prosedur inilah

yang dilakukan jika menggunakan prinsip superposisi, yaitu untuk suatu timestep, integral harus dihitung dari t = 0 sampai timestep tersebut. Metode FCM diusulkan untuk menghindari prosedur perhitungan yang kompleks tersebut dengan cara sebagai berikut. Sebut integral pada Persamaan (5a) sebagai I(t), sehingga: t

I( t ) = ∫ p s (θ) e − α ( t − θ) dθ 0

dan pada timestep tn+1, integral tersebut disebut In+1sehingga: I

n +1 =

+ tn 1

∫

0

p s (θ) e − α ( t

tn

= ∫ p s (θ) e − α ( t

n +1 − θ)

dθ

n +1 − n + n − θ)

t

t

t n +1

dθ +

∫

0

t

n

p s (θ) e − α ( t

Dengan menggunakan sifat fungsi eksponensial dan definisi I

n +1

tn

t n +1

0

tn

n = ∫ p s (θ) e − αΔt e − α ( t − θ) dθ +

tn

= e − αΔt ∫ p s (θ) e − α ( t

n − θ)

dθ +

0

∫

p s (θ) e − α ( t

+ tn 1

∫

t

n

p s (θ) e − α ( t

n +1− θ)

dθ

Δt = tn+1 - tn, maka diperoleh:

n +1 − θ)

dθ

n +1 − θ)

dθ

= I n e −αΔt + ΔI

(6)

Yang berarti bahwa integral konvolusi pada waktu t n+1 adalah sama dengan integral pada waktu tn dikalikan faktor e-αΔt ditambah dengan penambahan integral selama periode

Δt = tn+1

- tn. Oleh karena itu, sejarah tekanan sebelum tn tidak diperlukan dalam menghitung I n+1. Dengan menggunakan FCM seperti ditunjukkan Persamaan (6), maka Persamaan (5a) dan (5b), masing-masing dapat ditulis sebagai Persamaan (7a) dan (7b) berikut: n +1 n p a = p a e − αΔt

t n +1

+α ∫ t

n

p s (θ) e − α ( t

n +1 − θ)

dθ

(7a)

− α ( t n +1− θ) dθ

(7b)

dan n +1 n +1 n p a = p s + e − αΔt ( p a

− p sn ) −

t n +1 d p

∫

t

n

s

dθ

e


Persamaan (7a) relatif lebih mudah untuk dihitung dibandingkan dengan Persamaan (7b) karena tidak menyangkut pressure derivative dalam integrand-nya. Untuk menghitung integral konvolusi pada Persamaan (7a) diperlukan interpolasi data tekanan. Metode interpolasi berikut dapat digunakan: Linear Interpolation (LI):

⎛ p n +1 − p n ⎞ s ⎟ ( t − t n ) + p sn ; p LI ( t ) = ⎜ s ⎜ Δt ⎟ ⎝ ⎠

tn ≤ t

≤ t n +1

Step Interpolation (SI): p SI ( t ) =

p sn + p sn +1 2

;

tn

< t ≤ t n +1

Sehingga Persamaan (7a) dapat ditulis masing-masing jika menggunakan LI dan SI, sebagai berikut: Dengan LI: n +1 − p sn − αΔt n +1 n +1 n n − αΔt p s (e + − 1) p a = p s + ( p a − p s ) e

α Δt

(8)

Dengan SI: n +1 n p a = p a e − αΔt

+

p sn + p sn +1 2

(1 − e − αΔt )

(9)

Model Transient – Finite Aquifer Seperti telah dijelaskan di muka, penyelesaian perembesan air dari aquifer ke reservoir yang bersifat transient diperoleh dari penyelesaian (solusi) persamaan difusivitas yang dihasilkan oleh van Everdingen-Hurst. Cara ini membutuhkan sejarah tekanan pada boundary yang dinyatakan dalam bentuk superposisi. Sedangkan metode FCM menghasilkan persamaan, dimana data yang diperlukan adalah tekanan pada n j+1 dan n j (atau disebut di atas sebagai tn+1 dan tn) saja.

Untuk kasus transient – finite aquifer, persamaan dengan menggunakan FCM dijabarkan dari persamaan analitis diffusivitas yang sama seperti yang dihasilkan oleh van Everdingen-Hurst dengan prosedur seperti untuk model PSS. Untuk suatu sejarah tekanan pada boundary tertentu, persamaan water influx dapat dituliskan dalam bentuk integral konvolusi sebagai berikut:


W e = −U

'

tD

dp s ˆ Q(t − θ)dθ ∫ d θ 0

(10)

dimana untuk aquifer sirkular:

⎛ θ ⎞ hR 2cφ = ⎟ w ⎝ 360 ⎠

U’ =2π ⎜

2U 2 −1

; R =

R

R e R w

dan t D

=

kt

φμc R w 2

Sedangkan untuk aquifer linier U’ = U = c φV dan t D

=

kt

φμcL2

ˆ , telah diketahui sebelumnya oleh van Everdingen-Hurst Fungsi laju alir dimensionless, Q (sirkular) dan Carslaw and Jaeger (linier). Persamaan (10) dihitung dengan menggunakan prinsip superposisi yang memerlukan sejarah tekanan pada boundary. Cara ini sifatnya tidak sederhana karena memerlukan tabulasi atau korelasi analitik.

Untuk dapat menggunakan metode FCM, tinjau solusi persamaan difusivitas untuk aquifer ˆ , sebagai berikut: sirkular untuk suatu perubahan tekanan pada boundary, Q M →∞ 2 R 2 − 1 − am tD ˆ − 2 ∑ H m (R )e Q= 2 m =1

(11)

1

H m (R ) = (a m )

⎛ 2 ⎜ J 0 ( a m)

⎞ − 1⎟ ⎜ J (a R ) 2 ⎟ ⎝ 1 m ⎠ 2

dimana: am = akar ke-m dari persamaan Bessel: J1 (a m R )Y0 (a m ) − J 0 (a m ) Y1 (a m R ) = 0 J0 dan J1 = Fungsi Bessel jenis pertama, masing-masing orde ke-0 dan ke-1 Y0 dan Y1 = Fungsi Bessel Jenis kedua, masing-masing orde ke-0 dan ke-1 Substitusi Persamaan (11) ke Persamaan (10) menghasilkan persamaan berikut: We =

t D d p ⎡t D d p s ⎡ R 2 − 1⎤ ⎤ 2 s − a m ( t D − θ) − 2 ⎢∫ e dθ ⎥ ⎢ ⎥ − 2H m (R )∑ ∫ d 2 d θ θ ⎢ ⎥⎦ ( R − 1) ⎣ 0 0 ⎣⎢ ⎦⎥

=

⎡ R 2 − 1 t D ⎤ M t D d p 2 s − a m ( t D − θ) − 2 d 2 H ( R ) e d θ⎥ ⎢ ∑ ∫ ∫ p s − m θ d ( R − 1) ⎢⎣ 2 m 1 = ⎥⎦ 0 0

=

M ⎤ − 2 U ⎡ R 2 − 1 t D 2 ∑ C m ( t )⎥ − p s ⎢ 0 R 2 − 1 ⎣⎢ 2 m =1 ⎦⎥

2U

2U


=

M ⎡ ⎤ 4 0 U ⎢− p s ( t ) − p s + ( t ) ∑ C m ⎥ 2 R − 1 m =1 ⎣ ⎦

(

⎡

)

⎧ ⎩

= U ⎢ p s0 − ⎨ p s ( t ) −

⎣

(12)

⎫⎤ C m ( t ) ⎬⎥ ∑ R 2 − 1 m =1 ⎭⎦ M

4

We = U( p s0 − p a ( t )) dimana p a ( t ) = p s ( t ) −

4 2

R

M

∑ C m (t)

− 1 m =1

Fast convolution method digunakan pada waktu menghitung integral konvolusi C m(t). Untuk aquifer sirkular: C m ( t ) = H m ( R )

tD

d p s − a 2 ( t − θ) e m D dθ d θ 0

∫

Dengan FCM, yaitu menggunakan Persamaan (6), diperoleh: n 1 C m+

=

−a C nm e m

2

t D n +1

Δt D + H m ( R ) ∫

tDn

d p s − a 2 ( t n +1 − θ) e m D dθ dθ

Seperti halnya pada metode PSS, maka dengan LI dan SI diperoleh: Dengan LI: 2

n +1 = C n e − a m Δt D Cm m

− a m 2 Δt D ⎞ Δ p LI ⎛ 1 e − ⎜ ⎟ + H m (R ) ⎜ ⎟⎟ 2 Δt D ⎜ am ⎝ ⎠

Δ p LI = p sn +1 − p sn Dengan SI:

(

n +1 = C n Cm m

)

2 + H m (R )Δ p SI e − a m Δt D

⎧⎪( p1 − p 0) / 2, n = 0 Δ p SI = ⎨ s s ⎪⎩( p sn +1 − p sn −1) / 2, n = 1,2,... N − 1 Laju alir influx dapat dihitung dengan diferensiasi Persamaan (12), yaitu: q(t ) =

d We dt

=−

4πkh ⎛ θ o ⎞M → ∞

⎜ ⎟ ∑ μ ⎜⎝ 360 ⎠⎟ m =1

2

a m C m (t)

(13)

Pada umumnya penjumlahan pada FCM cukup sampai m = 2 atau C 1(t) + C2(t). Harga am dan Hm(R) untuk m = 1 dan m = 2 adalah:


R = (R e/R w) = 5

m

R = (R e/R w) = 10

am2

Hm

am2

Hm

1

0.0797

5.5841

0.0122

23.7107

2

1.2978

0.2104

0.2479

0.5496

3

3.7597

0.0693

0.7448

0.1651

Contoh 10: Perhitungan Menggunakan FCM untuk Finite Aquifer Suatu reservoir minyak memiliki aquifer yang sirkular dengan data reservoir dan tekanan sebagai berikut: Data reservoir: R w = 9200 ft, c = 7 x 10 -6 1/psi, R = R e/R w = 5, k = 200 md, θ = 140°, h = 100 ft, φ = 0.25, μ = 0.55 cp. Data tekanan:

t (tahun)

ps (psia)

0

2740

1

2500

2

2290

Tentukan tekanan rata-rata di aquifer dan kumulatif water influx untuk waktu seperti tersebut dalam tabel di atas. Gunakan m = 2.

Penyelesaian: Dengan menggunakan FCM, maka integral konvolusi dapat dihitung dengan

⎛ 1 − e − am 2 Δt D ⎞ 2 p Δ ⎟ − Δ a t LI ⎜ n +1 n C m ( t ) = C m e m D + H m (R ) ⎟⎟ 2 Δt D ⎜⎜ am ⎝

⎠

Tekanan rata-rata di aquifer: p a ( t ) = p s ( t ) −

4 2

R

m=2

∑ C m (t)

− 1 m =1

Water influx: We

= U p 0a − p a ( t )

Δt = 1 tahun:


Δt D = 2.309 4 2

R

−1

k Δt

φμC R w 2

4

=

25 − 1

2.309( 200)(1) (0.25)(0.55)(7 x10 − 6 ) (9200 ) 2

=

= 5.67

= 0.1667

m = 1 → a12 = 0.0797, H 1 = 5.5841 e−

a12Δt D

= 0.636

⎛ ⎝

H 1 ⎜1 − e a1

2

−a12Δt D ⎞

⎟ −636 ⎠ = 5.5841 1 − e = 4.493

Δt D

(

)

(0.0797)(0.1667 )

m = 2 → a22 = 1.2978, H 2 = 0.2104 e

−a 22 Δt D

= e −1.2978(5.67) = 0.000637

⎛ a 2 2Δt D ⎞ − H 2 ⎜1 − e ⎟ ⎝ ⎠ = 0.2104(1 − 0.000637 ) = 0.02857 2 (1.2978)(5.67) a 2 Δt D Perhitungan: C1n dan C2n pada saat t = 0 keduanya sama dengan 0. Yang perlu dihitung adalah pada t = 1 yaitu C11 dan C21 dan pada t = 2 yaitu C 12 dan C22. Pada t = 1

1 C1

=0+

⎛ ⎝

H1 ⎜ 1 − e −

a 1 2 Δt D ⎞

a1

1 C2 =

0+

⎛ ⎝

H 2 ⎜1 − e

2

Δt D

⎟(−240) ⎠ = 4.493(−240) = −1078.32

− a 2 2 Δt D ⎞( −240)

a2

⎟ ⎠

2

Δt D

= −(0.02857)(240) = −6.86

Sehingga: p a

1

= 2500 − 0.1667{(−1078.32) + (−6.86)} = 2680.9

2

= C11e a1

Pada t = 2 C1

2

−a Δt Δt D + H1 1 − e 1 D ( −240) ( ΔP) 2 a 2 Δt D

= (−1078.32)(0.636) + (4.493)(−210) = −1629.34


C 22

= (−6.86)(0.000637 ) + (0.02857)(−210) = −6.005

Sehingga: p a

2

= 2290 − 0.1667{− 1629.34 − 6.005} = 2563

Model Infinite-Aquifer Persamaan korelasi laju perembesan air yang tak berhingga atau infinite (R = ∞) mirip dengan persamaan untuk aquifer berukuran terhingga (finite). ˆ =η Q 0

M

− ∑ ηm e − ξ m t D m =1

; R = tak terhingga

M R 2 − 1 a m2tD − ˆ Q= ; R = terhingga − 2 ∑ H m (R )e 2 m =1

Sehingga dapat dinyatakan bahwa:

ηo =

R 2

−1

2

η m = 2 H m (R ) Hasil superposisi integral menghasilkan persamaan tekanan rata-rata aquifer: p a = p s −

2

M

∑ C (t) ηo m =1 m

M ⎧ ⎡ o ⎤⎫ = η − + U ' ( ( t )) 2 ( t ) p p ∑ We C m ⎥⎬ ⎨ o⎢ s s m =1 ⎦⎭ ⎩ ⎣

dimana Cm =

ηm 2

tD

d p s − ξ ( t − θ) e m D dθ ∫ d θ 0

Dengan menggunakan fast convolution method diperoleh persamaan untuk menghitung integral tersebut dengan menghitung C mn+1, sebagai berikut: n +1 Cm

=

n − ξ Δt Cme m D

− ξ Δt η m ⎛ Δ p LI ⎞⎛ 1 − e m D ⎞⎟ ⎜ ⎜ ⎟ + ⎟ 2 ⎜⎝ Δt D ⎠⎟⎜ ξm ⎝ ⎠

dimana

Δ p LI ( t ) =

n 1 n p s + − p s

Δt

n

( t − t n ) + p s ;

tn

≤ t ≤ t n +1

Faktor ηo, ηm dan ξm diberikan dalam selang harga t D sebagai berikut:


10-6

≤ tD ≤ 10-3

10-4

≤ tD ≤ 10-1

10-2

≤ tD ≤ 10

1

≤ tD ≤ 1000

102

≤ tD ≤ 105

104

≤ tD ≤ 107

Contoh: untuk 1 ≤ tD ≤ 1000

m

ξm

ηm

0

-

0.15970 x 10 4

1

0.093359 x 10 -2

14.623

2

0.19038 x 10 -3

0.15780 x 10 4

3

0.10331

3.4930

Prosedur perhitungan C mn+1 sama seperti untuk penentuan C m(t) untuk aquifer terbatas.

Contoh 11: Perhitungan Menggunakan FCM untuk Infinite Aquifer Jika reservoir pada Contoh 10 di atas mempunyai infinite aquifer, tentukan water influx dan tekanan rata-rata di aquifer pada waktu dan tekanan pada boundary seperti diberikan pada tabel berikut. Untuk contoh kasus ini, gunakan m = 3.

t (tahun)

ps (psi)

0

2740

1

2500

2

2290

3

2109

Penyelesaian: Dengan menggunakan FCM, maka integral konvolusi dapat dihitung dengan n 1 C m+ =

n − ξ Δt Cm e m D

+

ηm 2

⎛ 1 − e − ξ m Δt ⎞ ⎟ ( Δ p LI )⎜ ⎜ Δt D ξ m ⎟ ⎝ ⎠

Tekanan rata-rata di aquifer:


p a ( t ) = p s −

2

M

∑ C (t) ηo m =1 m

Water influx: We = U( p s0 − p a ( t )) Dengan U

= 1.119 f φ h c R w2 = 1.119 (140/360)(0.25)(100)(7 x 10 -6)(9200)2 = 6446 bbl/psi.

Parameter yang digunakan untuk t D = 1 sampai 10 3:

m

ηm

ξm

0.15970 x 10 4

0 1

0.093359 x 10 -2

14.623

2

0.19038 x 10 -3

0.15780 x 10 4

3

0.10331

3.4930

Dengan menggunakan m = 3: Pada t = 1 tahun, p s = 2500 psi. m = 1:

t e − ξ1 Δ D

− 0.93359 x10 −2 (5.67 ) =e

= 0.948442

η1 1 − e −ξ1Δt 14.623 (1 − 0.948442) = = 7.1213 2 2 5.67(0.93359x10 − 2 ) Δt D ξ1 m = 2:

e

− ξ 2 Δt D

= e − 0.19038x10

−3 (5.67 )

η2 1 − e −ξ 2 Δt 0.15780x10 4 = Δt D ξ 2 2 2 m = 3:

e

− ξ 3 Δt D

= 0.998921

(1 − 0.99981) 5.67(0.19038x10 − 3 )

= 788.574

= e −0.10331(5.67) = 0.556678

η3 1 − e −ξ 3 Δt 3.4930 (1 − 0.556678 ) = = 1.322 2 2 5.67(0.10331) Δt D ξ 3 Maka: C1 = 0 + (-240) (0.948422) = -1709.04 C2 = 0 + (-240) (788.574) = -18907.76 C3 = 0 + (-240) (1.322) = -317.28


Sehingga:

∑ C m ( t ) = −191044 .08 p a1 = 2500 −

2 0.15970x10 4

(−191044 .08)

= 2739.55 We = U ( p s

0

− p a ( t ) = 6446(2740 − 2739.25) = 0.75(6446) = 4834.5 bbl .

Pada t = 2 tahun, p s = 2290 psi. e − ξ1 Δ

tD

m = 1:

= e − 0.93359 x10

−2 (5.67 )

= 0.948442

η1 1 − e −ξ1Δt 14.623 (1 − 0.948442 ) = = 7.1213 2 2 5.67(0.93359x10 − 2 ) Δt D ξ1 C1 =

− 1709.04(0.948442) + 7.214(−210) = −1620.93 − 1514.94

= -3135.87 m = 2:

e

− ξ 2 Δt D

C2 =

= e − 0.19038x10

−3 (5.67)

= 0.998921

− 189017.76(0.948442) + 788.574(−210) = −179272.38 − 165600.54

= -344872.92 m = 3: C3 =

− 317.28(0.948442) + 1.322(−210) = −300.92 − 277.62

= -578.54 Sehingga:

∑ C m ( t ) = −3135.87 − 344872 .92 − 578.54 = −348587 .23 p a ( t ) = 2290 +

2 0.1597 x10

4

(348587.2) = 2290 + 436.55

= 2726.55 W e = 6446( 2740 − 2726 .55) = 86682 Jika diteruskan dengan langkah selanjutnya untuk t = 2 dan 3 tahun, maka diperoleh hasil seperti ditunjukkan dalam tabel berikut:

t (tahun)

p a ( t ) , psi

We(t), bbl

0

2740

-

1

2739.55

4834.5

2

2726.55

86682

3


Peramalan Kinerja Reservoir Dengan Water Influx

Peramalan ini menggunakan persamaan material balance untuk reservoir minyak yang memiliki aquifer yang sudah didapat model analitisnya. Hal ini berarti konstanta perembesan air (B), ukuran aquifer (R e/R w) dan konstanta waktu tak berdimensi (A) sudah diperoleh dengan menggunakan salah satu metode dari beberapa metode yang telah disampaikan di muka.

Salah satu contoh persamaan material balance untuk reservoir minyak yang jenuh tanpa tudung gas awal sehingga m = 0 adalah: N =

N p B o

+

(B o

− R s B g + W p B w − We − B oi ) + (R si − R s )B g

R p

Penentuan kinerja reservoir, yaitu dalam hal ini menentukan harga N p, memerlukan informasi yang menyangkut W e, W p, dan R p di kemudian hari. Penyelesaian masalah reservoir dengan menggunakan satu persamaan yang mengandung beberapa variabel yang tidak diketahui membutuhkan cara coba-coba (trial and error ). Prosedur berikut yang diambil dari Ref. Smith, Tracy, dan Farrar menunjukkan cara coba-coba tersebut.

Prosedur Peramalan Peramalan dilakukan untuk selang waktu dari t j sampai t j+1. Ini berarti semua variabel pada t j sudah diketahui dan batas air-minyak akan bergerak dari posisi (WOC) j ke (WOC) j+1 seperti ditunjukkan pada gambar skematik top view berikut.

(WOC) j pada t j (WOC) j+1 pada t j+1 R ej+1

R ej


1. Perkirakan tekanan (rata-rata) pada zona minyak (uninvaded zone) pada t j+1, yaitu p j+1. Berdasarkan anggapan ini hitung tekanan pada batas minyak-air awal (yaitu p ej+1) dengan menggunakan persamaan: qw

=

ΔWe k = 0,00708 w Δt μw

p ej +1 = p j +1 +

h p ej+1 − p j +1 ln r e r w

ΔWe μ w ln r e r w Δt 0,00708 k w h

dimana

ΔWe Δt

dalam bbl/hari dan gunakan

ΔWe Δt

j

pada selang

ft, dievaluasi pada t j h dalam ft, p e dan p dalam psi,

Δ

j−1

, k w dalam md, r e dan r w dalam

μw dalam cp, dan Δt dalam hari.

2. Berdasarkan harga pej+1 hitunglah Wej+1 pada akhir periode tj sampai tj+1 menggunakan metode yang tersedia (Schilthuis, van Everdingen-Hurst, Carter-Tracy, atau Fetkovich). j +1

Wej+1

= B ∑ Δ p Q (t D ) 1

3. Tentukan sumur-sumur mana yang masih diproduksi berdasa rkan pegangan: 

Untuk edge water drive dengan lapisan yang tipis maka biasanya sumur ditutup bila WOC mencapai perforasi terbawah.



Untuk bottom water drive dengan lapisan minyak yang tebal maka penutupan sumur tidak didasarkan pada WOC yang telah mencapai perforasi terbawah (karena tidak realistic), melainkan berdasarkan interval produksi yang masih belum tersapu oleh air (uninvaded ), misalnya 5ft dari puncak.

4. Perkirakan N pj+1 berdasarkan ekstrapolasi grafik N p vs. t 5. Perkirakan W pj+1 berdasarkan WOR rata-rata W pj +1

= W pj +

(WOR s ) =

)

WOR s Δ N p

(WOR s ) j + (WOR s ) j+1 2

⎛ Bo ⎞ ⎟⎟ B ⎝ w ⎠

(WOR s ) = (WOR )⎜⎜

Harga (WOR) j+1 dapat ditetapkan berdasarkan: a) Ekstrapolasi grafik WOR vs. t b) Persamaan empiric (lihat Peramalan WOR di bawah).


6. Evaluasi saturasi minyak pada zone yang belum didesak oleh air (uninvaded zone), S o UN

j+1

=

volume oil pada uninvaded zone

(PV ) uninvaded zone We B w W p

( N − N p )Bo − SoBY ( 1 − SoBY − S wc ) = NB oi (We − W p B w ) 1 − S wc 1 − SoBY

− S wc

dimana SoBY adalah saturasi minyak rata-rata di belakang front, yang biasanya ditentukan dengan metode Buckley-Leverett. Persamaan di atas berlaku untuk reservoir yang tidak memiliki tudung gas awal. 7. Tentukan kemampuan sumur dengan jalan menentukan indek produktivitas per sumur (J). Kemudian tentukan penambahan produksi minyak Δ N p. J

= Ji

k ro

(k ro

μ o Bo μ o B o )i

⎛ h ⎞ J cor = J⎜⎜ o ⎟⎟ ⎝ h t ⎠ J=

(J cor ) j + (J cor ) j+1 2

Jcor = Indeks produktivitas terkoreksi ho

= Total tebal perforasi di atas batas WOC j, dari sumur yang aktif

ht

= Total tebal perforasi semua sumur aktif

⎛ p j + p j +1 ⎞ Δ N p = J⎜⎜ − p w ⎟⎟Δt ⎝ 2 ⎠

(sesuai sumur aktif)

pw = tekanan alir dasar sumur rata-rata. Dalam kasus laju produksi total dari sumur dibuat tetap (walaupun q o dan q w berubah), misalnya dengan menggunakan constant volume pump dan WOR rata-rata dapat ditentukan dari Langkah 5, maka:

Δ N p =

1

(WOR + 1)

⎛

⎞ ⎟⎟ B ⎝ o ⎠

(q oi B oi )⎜⎜

1

(# sumur aktif)

dimana Bo = dievaluasi pada tekanan rata-rata

p j + p j +1 2

8. Hitung kumulatif produksi minyak pada t j+1 N pj +1

HT

= N pj + Δ N p


Bandingkan harga (N pj+1)HT dengan anggapan pada Langkah #4 yaitu (N pj+1)Ang. Bila keduanya tidak memenuhi kriteria berikut:

( N pj+1 )HT − ( N pj +1 )Ang ( N pj +1 )Ang

<ε

maka gunakan anggapan baru

( N pj+1 ) =

N pj +1

Ang

+ N pj +1

HT

2

dan ulangi prosedur mulai dari Langkah #4. 9. Setelah

N pj+1

G pj+1

cocok

= G pj +

R j

antara

+ R j+1 2

hitungan

dengan

anggapan

maka

hitunglah:

Δ N p

dengan menggunakan persamaan berikut: R

⎛ k g ⎞⎛ μ ⎞⎛ B ⎞ = R s + ⎜⎜ ⎟⎟⎜ o ⎟⎜ o ⎟ ⎝ k o ⎠⎜⎝ μ g ⎠⎟⎜⎝ B g ⎠⎟

dimana R = producing GOR (yaitu free gas ditambah gas yang keluar dari solution) dan R s = solution GOR. Untuk keperluan perhitungan ini harga (k g/k o) ditentukan berdasarkan harga (SoUN) j+1 dengan anggapan saturasi air tetap sehingga: S g = 1 − S wc − SoUN 10. Hitung WeMB berdasarkan persamaan material balance dengan asumsi N diketahui. WeMB

= N p B o + B g

G p − N p R s

+ W p B w − N B g (R si − R s ) + (B o − B oi )

11. Bandingkan W eMB dengan We,awal Bila WeMB < We,awal , pilih anggapan p j+1 yang lebih besar dan ulangi perhitungan mulai Langkah #1 Bila WeMB > We,awal , pilih anggapan p j+1 yang lebih kecil dan mulai perhitungan dari Langkah #1

PeramalanWOR Masa Datang Perkiraan WOR di masa yang akan datang dari water-drive reservoir ini dilakukan dalam rangka peramalan kinerja di atas. Metode peramalan dibagi 2, yaitu untuk: 1. Kasus WOR

≤ 5.0

2. Kasus WOR > 5.0.


Pembagian ini perlu dilakukan karena untuk harga WOR yang tinggi (yaitu WOR > 5.0) maka WOR tidak tergantung pada posisi WOC terhadap interval perforasi. Untuk kasus ini efek dari water coning tidak dihitung.

Jika WOR ≤ 5.0 maka harga WOR dipengaruhi oleh hubungan struktural antara posisi batas minyak-air dengan interval perforasi. Penentuan WOR dalam kasus ini menggunakan anggapan bahwa di zona water-invaded mengalir 100% air dan di zona uninvaded mengalir hanya minyak, sehingga:

⎛ k ⎞⎛ h ⎞⎛ μ ⎞ WOR = ⎜⎜ rw ⎟⎟⎜⎜ w ⎟⎟⎜⎜ o ⎟⎟ ⎝ k ro ⎠⎝ h o ⎠⎝ μ w ⎠ dimana: k rw = permeabilitas relatif pada daerah minyak yang didesak oleh air (invaded atau bypassed zone) k ro = permeabilitas relatif minyak pada daerah minyak yang belum didesak oleh air (uninvaded zone) hw = ketebalan formasi yang ditembus oleh air (flowing water zone) ho = ketebalan formasi yang masih dialiri oleh minyak (flowing oil zone); h o = 1 - h w.

μw, μo = masing-masing viskositas air dan minyak, cp. Terlihat pada persamaan WOR di atas bahwa, disamping viskositas yang tergantung pada tekanan, hanya hw dan ho yang berubah. Oleh karena itu harus ditentukan terlebih dahulu. Penentuan harga-harga hw dan ho dilakukan dengan tiga langkah dengan bantuan dua grafik korelasi yang berkenaan dengan kedudukan batas air-minyak dan volume pori-pori formasi minyak di atas batas minyak-air. Ketiga langkah tersebut adalah: 1. Hitung pore volume dari zona oil yang uninvaded, yaitu zona oil di atas WOC:

− W p B w (PV )above = (PV ) t − (1 − S WC − S o BY ) We

SoBY = Sor 2. Tentukan ketinggian WOC sekarang di atas WOC awal, yaitu (WOC)i, berdasarkan (PV)above. Gunakan gambar hubungan ketinggian suatu batas minyak-air dari batas minyak-air awal (habove

WOCi)

terhadap volume pori-pori di atas ketinggian tersebut

(PVabove height) seperti ditunjukkan oleh gambar berikut dengan menggunakan data struktur dan isopach.


Height above (WOC)i

(PV)above height

3. Tentukan rasio (hw/ho) berdasarkan harga ketinggian di atas (WOC) i. Gunakan gambar hubungan antara jumlah tebal perforasi masing-masing sumur di bawah ketinggian batas minyak air tertentu (Σh perf.

below)

dibagi dengan jumlah tebal perforasi masing-masing

sumur (Σh perf.) terhadap ketinggian batas minyak air tertentu di atas batas minyak-air awal (habove

WOCi).

Berikut adalah contoh gambar tersebut. Perhatikan masing-masing harga h w

dan ho. 1.0 ho

∑ h perf . below ∑ h perf . hw

0 Height above (WOC)i

Contoh 12: Penentuan h w/ho Enam sumur menembus formasi berisi minyak dan aquifer. Keenam sumur tersebut masih aktif berproduksi. Perforasi masing-masing sumur tersebut adalah 50% dari ketebalan formasi minyak yang mengandung minyak tersebut. Data sumuran yang berkaitan dengan kedalaman puncak formasi, WOC, perforasi terbawah, dan ketebalan perforasi ditunjukkan pada tabel berikut.


Kedalaman Puncak Formasi

WOCi

Dasar Perforasi

Tebal Perforasi (ft)

1

3000

3300

3150

150

2

3020

3300

3160

140

3

3080

3300

3190

110

4

3240

3300

3270

30

5

3190

3300

3245

55

6

3240

3300

3270

30

No. Sumur

515 Pada suatu kedalaman WOC = 3200 ft.ss (subsea), maka ketebalan perforasi di bawah kedalaman 3200 ft.ss adalah:

No. Sumur

H perf. below

1

0

2

0

3

0

4

30

5

45

6

30 105



∑ h perf below 105 . = = 0.20 515 ∑ h perf .



h above WOCi

= 3300 − 3200 = 100 ft

Untuk kasus WOR > 5.0, efek dari hubungan struktural antara posisi WOC dengan interval perforasi dianggap tidak signifikan. Smith, Tracy, dan Farrar berpendapat bahwa metode empirik yang digunakan dalam decline curve analysis dapat digunakan untuk melakukan peramalan WOR yang tinggi. Terlepas dari itu, hubungan WOR terhadap volume pori-pori pada zone minyak yang telah didesak umumnya berupa semilogaritmik dan hubungan tersebut linier antara titik { 5, (PV )flooded } dengan {100, (PV )t } seperti ditunjukkan oleh gambar berikut. Dalam kasus ini (PV) t adalah total pore volume di atas (WOC) i.


2-II-Water Influx.pdf

Recommend Documents