UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
ASIGNATURA
MECANICA VECTORIAL
CAPITULO
1
Vectores
Ing Juan Osiel Flores Ramos
Huancayo, 2010
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Juan Osiel Flores Ramos
CONTENIDO
Introducción 1. Vectores y escalares
4
2. Suma vectorial de fuerzas
4
3. Componentes rectangulares de un vector
6
4. Suma y resta de vectores cartesianos
7
5. Vector de posición
7
6. Vector unitario
8
7. Producto de vectores
8
Producto escalar de dos vectores
8
Producto vectorial de dos vectores
9
8. Ejercicios
11
Bibliografía
20
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Juan Osiel Flores Ramos
INTRODUCCION En estática, muchos son los temas que tienen base vectorial, la necesidad de tener un conocimiento claro de este tema, exige que los temas vectoriales se resuelvan al detalle. La complejidad vectorial se presenta cuando no se guarda un orden de solución, ordenándose desde un inicio se simplificará el estudio vectorial En este capítulo se definirá el concepto de fuerza y se proporcionara los procedimientos para las suma de fuerzas, representación de las mismas por medio de sus componentes y su proyección a lo largo de un eje. Debido a que la fuerza es una cantidad vectorial, se debe usar las reglas del algebra vectorial para su estudio Se empieza el presente estudio definiendo los conceptos de magnitudes escalares y vectoriales, suma vectorial de fuerzas mediante los métodos del paralelogramo, triangulo y polígono, Componentes rectangulares de un vector tanto en el plano como en el espacio, suma y resta de vectores cartesianos, vector de posición, vector unitario, producto de vectores, tanto producto escalar como producto vectorial y para afianzar los conocimientos se propone trentinueve ejercicios de aplicación. Esperando que este folleto sea de gran ayuda a los estudiantes, he tratado de que sea lo más didáctico posible, pero eso sí, sin descuidar la rigurosidad que se requiere para el estudio de los vectores.
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2. VECTORES DE FUERZA
2.1. VECTORES Y ESCALARES En la mecánica, la mayoría de las cantidades físicas pueden ser expresadas matemáticamente por medio de escalares o vectores
a) Escalar: es una cantidad que se representa solo por un número, son ejemplo de escalares; la longitud, el volumen, la masa, etc.
b) Vector: es una cantidad que posee tanto una magnitud (módulo) una dirección, en estática las cantidades vectoriales mas comunes son: la posición, la fuerza y el momento.
Gráficamente un vector se representa mediante un segmento de recta orientado (Fig. 2.1) y
a
: vector “a” a a a : módulo del vector “a”
a
θ
:dirección del vector “a” (giro antihorario)
θ x
Fig. 2.1: Representación de un vector a
2.2. SUMA DE VECTORIAL DE FUERZAS a) Método del paralelogramo Se forma un paralelogramo, tomando como lados los dos vectores, con origen común, la diagonal que sale del origen común es la resultante.
Vector Resultante R
a
R a b
R a b
θ
Módulo
b
R
a
2
b
2
2.a.b. cos
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b) Método del triangulo Se pone un vector a continuación del otro, la unión del origen del primero con el extremo libre del otro es la resultante
b
Ley de senos
α
δ
a
a
β
sen
R a b
b sen
R sen
c) Método del polígono Es utilizado para sumar más de dos vectores, se coloca un vector a continuación de otro, el vector que une el origen del primero con el extremo libre del último es la resultante.
d
c
R a b c d
R
b
a
RESTA DE VECTORES La resta o diferencia de vectores se define como “un caso especial de la suma , aplicando el método del polígono se puede escribir como: ”
a
D
θ
b
b D a
luego: modulo:
D
D a b
a 2 b 2 2a.b. cos
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Observaciones: ra
1 : La resultante máxima de dos vectores es cuando son paralelas y del mismo sentido (θ = 0º) R máx. = a + b da
2 : La resultante mínima de dos vectores es cuando son paralelas y de sentido contrario (θ = 180º) R min. = a – b
2.3. COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR a) En el plano: del gráfico se tiene las componentes: y
a x = a.cos θx a y = a.cos θy El vector sera:
a y
a
a a x i a y j El módulo
y
2
a
x
j
a x
(a x ) (a y )
2
x
i
b) En el espacio: del gráfico se tiene las componentes ax = a . cos θ x ay = a . cos θ y az = a . cos θ z
a z
a
El vector a será
Z X
a a x a y a z
Y
a y
a a x i a y j a z k
a x
El módulo de a será:
a (a x )
2
(a y )
2
(a z )
2
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Observaciones 1ra Ángulos directores Son los ángulos ( θ x; θ y; θ z) que forma un vector con cada uno de los ejes coordenados 2
da
Cósenos directores Son los cósenos de los ángulos directores
cos x
a x
cos y
a
a y
cos z
a
a z a
2.4. SUMA Y RESTA DE VECTORES CARTESIANOS Se suman o restan componente por componente, por ejemplo:
a a x i a y j a z k
b b x i b y j b z k
c c x i c y j c z k
Resultante:
R F ( F x ) i ( F y ) j ( F z ) k
Modulo
R ( F x ) ( F y ) ( F z ) 2
2
2
2.5. VECTOR DE POSICION ( r ) Es un vector fijo, cuyo origen coincide con el origen de coordenadas y se utiliza para ubicar un punto en el espacio, en relación a otro punto z
r x i y j z k
r x
y
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2.6. VECTOR UNITARIO Es un vector que tiene por módulo la unidad e indica la dirección y el sentido del vector dado. El vector unitario de un vector a será:
a
ua
a
ua
a x a
i
a y
az
j
a
a
k
También:
a cos x i cos y j cos z k Como el módulo del vector unitario es uno se tiene: 2
2
2
cos x cos y cos z 1
2.7. PRODUCTO DE VECTORES a) PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES (punto) El producto escalar, es un escalar y se define como:
a
a . b a.b. cos
θ
a.cosθ
Donde 0° ≤ θ ≤ 180°
b
Angulo entre vectores :
cos
a.b a.b
Leyes de operación 1) Ley conmutativa 2) Ley distributiva
a.b b.a
a .(b d ) a . b a . d
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Formulación vectorial cartesiana
i.i
i . j
1
j . j
j . k 0
1
k . i Producto escalar de vectores cartesianos
0
k . k 1
0
a a x i a y j a z k
b b x i b y j b z k
a . b a xb x a yb y a z b z
luego
b) PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES (aspa) El producto vectorial es un vector perpendicular al plano que forman los dos vectores y el sentido corresponde a la regla de la mano derecha.
a x b
b
u
b.senθ
θ
a x b (a.b.sen .) u
Donde 0° ≤ θ ≤ 180°
a
Leyes de operación: 1) La ley conmutativa no es valida
ax b b x a
2)
a x b b x a
Ley distributiva
ax( b c ) a x b a x c
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Formulación vectorial cartesiana
i x j
k
i x k j
i x i 0
j x k i
j x i k
j x j 0
j
k x j i
k x i
k x k 0
ó también:
i
j
k
Producto vectorial de vectores cartesianos Si se tiene los vectores
a a x i a y j a z k
b b x i b y j b z k el producto vectorial, se puede expresar como el determinante de una matriz
i
j
k
a x b a x
a y
a z
b x
b y
b z
Observaciones
ra
1
Dos vectores son paralelos si
: a x b 0
da
2 Dos vectores son perpendiculares si
: a.b 0
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EJERCICIOS Vectores en el plano 1. Determinar el módulo de la suma y diferencia de los vectores F 1= 3 N y F2= 5 N
Rpta: 19 N y 7 N unidades 2. Si la resultante del sistema mostrado es cero. ¿Cuánto mide el ángulo θ ?
Rpta: 45° 3. Determinar el módulo de la resultante de los tres vectores mostrados
Rpta: 5 unidades 4. Si la resultante de las dos fuerzas es 700 lb en forma vertical,. Determinar las magnitudes de los ángulos α y β
Rpta: 55,9° y 45,5° 5. Determinar el módulo de la resultante de los cinco vectores mostrados. Si A = 5 unidades y E = 3 unidades
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Rpta: 17,5 unidades 6. Dos vectores, tienen como resultante máxima 8 unidades y como resultante mínima 2 unidades. Calcular la resultante cuando los vectores formen 60° Rpta: 7 unidades 7. El ángulo entre dos vectores es 150°, si uno de ellos mide 10 unidades, ¿determinar la resultante, sabiendo que es el mínimo posible? Rpta 5 unidades 8. Determinar el valor del ángulo θ, de modo que la resultante de los tres vectores sea mínima
Rpta: 22,5° 9. En el paralelogramo mostrado, determinar la resultante de los vectores en términos de a
Rpta: 3. a
10. Si el vector x , tiene como origen el punto medio de la diagonal
menor del paralelogramo, expresarlo en términos de A y B
Rpta:
A 4
B 2
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11. Expresar el vector x , en función de los vectores A y B . Si M y N son los puntos medios de los lados del paralelogramo
Rpta:
2 3
( A B)
12. Expresar el vector x , en función de los vectores a y b , si G es el baricentro del triángulo
Rpta:
1 3
(2 a b )
13. Determinar la resultante del conjunto de vectores mostrados
Rpta 90 cm 14. Descomponer la fuerza de 100 unidades en dos componentes, una paralela a AB y la otra paralela a BC
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Rpta: 55,9 u y 111,1 u 15. Descomponer la fuerza F= 100u en dos componentes, una perpendicular a AB y la otra paralela a BC
Rpta: 59,029 u y 63,015u 16. Descomponer la fuerza de 100 unidades en dos componentes, una paralela a la ranura mostrada y la otra en la dirección vertical
Rpta 36,397 u y 81,520 u
17. Calcular a b ; si se sabe que a b = 24 unidades y los módulos de los vectores son a =13 unidades, b = 19 unidades Rpta: 22u
18. Qué condiciones debe satisfacer los ángulos entre dos vectores a y
b , para que:
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a) a b = a b
Rpta: θ =90°
b) a b > a b
Rpta: 0 < θ < 90°
c) a b < a b
Rpta: 90° < θ < 180°
19. Los módulos de dos vectores son 12 y 8 unidades respectivamente. ¿Entre cuanto estará comprendido el módulo del vector diferencia? Rpta: entre 4 y 20 unidades
Vectores en el espacio
20. Hallar el módulo de los vectores:
a 2 i 3 j 7k
a)
b 5 i 3 j 4 k
b)
c) c, vector que une P 1(3; 4; 5) con P 2(1 ;-2; 3) Rpta: a) 7,874 b) 7,071 c) 6,63 21. Un vector de posición se extiende hasta el punto (3; 3; 6) m. determine los ángulos directores respectivos Rpta: θx = 73º23`54 θx = 73º23`54 22. Dados los vectores:
a 2 i 3 j k
b 3 i 5 j 9 k
c, que une P 1(3; 4; 5) con P 2(1; -2 3))
a) demostrar que a y b son perpendiculares
b) hallar el menor de los ángulos formados por a y c
c) hallar el menor de los ángulos formados por b y c
d) hallar los ángulos directores de b Rpta: b) 165°14' c) 85°10'
d) 73°45', 117°47, 32°56'
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23. Dado el vector a 4 i 12 j z. k ; cuyo módulo es unidades. Calcular el valor numérico de z
a = 13
Rpta: ± 3 24. Hallar las coordenadas del punto B que coincide con el extremo del
vector a 3 i 2 j 4 k , si dicho vector tiene como origen el punto A(2; 3; 1) B(5; 5; -3) 25. Un vector, cuyo módulo es 10 unidades, forma con el eje x un ángulo de 45° y con el eje y 120°. Determinar el ángulo que forma con el eje z y el vector
Rpta: 60°; 5 2 i 5 j 5 k 26. Hallar la expresión cartesiana de un vector, cuyos ángulos directores son θ x = 120°, θ z = 60°, siendo su módulo 4 unidades
Rpta: 2 i 2 2 j 2 k 27. Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante
de los vectores a 5 i 2 j 5 k y b 2 i 4 j 7 k
3 6 2 Rpta: i j k 7 7 7
28. Siendo a i j , b i 2 k , c 2 i 3 j 4k , calcular:
a) a x b 2 i 2 j k
a) b x c 6 i 8 j 3 k
b) c x a 4 i 4 j k
c) ( a b ) x( a b ) 4 i 4 j 2 k
d) a .(a x b ) 0
e) a .(b x c ) 2
f) a x( b x c ) 3 i 3 j 14 k
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g) c x( a x b ) 11 i 6 j 10 k
29. Sean A(l; 2; 3), B(2; -1; 5) y C(4; 1; 3) tres vértices del paralelogramo ABCD. Hallar: a) las coordenadas de D b) el área de ABCD Rpta: a) D(3; 4; 1) b) 10,189 30. Hallar los ángulos interiores del triángulo ABC, cuyos vértices son A(1; 0; 1), B(2; -1; 1) y C(-2; 1; 0) Rpta: 148°31', 22°12', 9°16' 31. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son A(1; 2; 3), B (2; -1; 1), C (-2; 1; -1). Rpta: 86,6 32. Hallar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son OA, OB, OC siendo A(1; 2; 3), B(1; 1; 2), C(2; 1; 1) Rpta: 2. 33. Determinar el vector unitario de P y el ángulo ABC
34. Determinar un vector unitario perpendicular al plano inclinado sombreado
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35. En la pirámide mostrada, E(20;32;20), determinar: a) la magnitud del ángulo AEB b) un vector unitario perpendicular al plano AED c) el área del triangulo BEC z
y
x
Rpta: a) 19º27´46,62”
b) u 0 529 j 0 848 k ,
,
c) 102,45 u
2
36. Dado un cubo de arista unidad, hallar: a) el ángulo formado por su diagonal principal y una arista b) el ángulo formado por su diagonal principal y la de una cara Rpta: a) 54°44', b) 35°16' 37. Determinar un vector unitario perpendicular al plano inclinado y el ángulo BAC
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38. En la figura mostrada, determinar la magnitud del ángulo BAC
Rpta: 21º53´3,93”
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39. En el sistema mostrado, determinar el ángulo CAO
40. Hallar un vector unitario perpendicular al plano inclinado. z
y x
3 4 Rpta: u j k 5 5
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BIBLIOGRAFIA &
Mecánica para ingeniería, Estática. USA
1
BEDFORD FOWLER (1996)
2
BEER & JHONSTON (2002)
3
BELA SANDOR (1993)
4
HIBBELER R. C. (2002)
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5
MERIAM, J. L. (1998)
“Estática” México
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RILEYSTURGES (1996)
Ingeniería Mecánica - Estática. Edit. Reverte S.A. México
I.
Mecánica vectorial para ingenieros, Estática, editorial Mc Graw Hill, Bogotá, Colombia Ingeniería Mecánica-Estática. Prentice Hall. México.
editorial
Edit.
Jhon Willey.
