CAPITULO I: MATRICES PARTE I
1. Si 2. Si la matriz. 3. Si
[[ ]] [ ] ) )
y esta definida por y esta definida por
escribir los elementos de la matriz. escribir los elementos de
es una matriz cuadrada. La traza da
a) Calcule la traza de
b) Calcule la traza de 4. Si A (aij) y
( (
se define como:
.
.
B (bij ) son matrices de orden 5 definidas por:
i 2 j si i j bij si i j j
a ij 5i 3 j, Calcular sus trazas. 5. Dadas las matrices:
( ) ( )( )
Calcular: a) c) e)
b)
.
.
. d)
.
f)
1 4 2 3 1 1 1 6. Dadas matrices A , B 2 0 y C , determine: 0 2 5 3 4 3 1 t t a) La matriz en la ecuación Y ( 2A B ) C
b) La matriz que satisface la ecuación 7. Considere las matrices 1 0 3 y 5 1 , , A B C 1 0 3 2 (3 z )
p 1 E 2 p p se cumple que:
2(AB X)t C2 . 2
p
6
0
, D
p 1
1 0
,
. Sabiendo que AB Ct determine la matriz p 1 p 1 p 1 y 4
y3 2
sí
D E X z 2 z 4
8. Encuentre la forma característica que tienen todas las matrices que conmutan con la matriz
Félix Vega Benavidez
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CAPITULO I: MATRICES 2 1 . A 1 2
(Obs.- La matriz B conmuta con A si y solo si AB=BA )
1 3 2 1 2 y B 2 1 , determine: 2 0 1
9. Considerando las matrices: A
a a) Los valores de a, b y c de modo que 3 0
0
BAt . c
b
b) usando los valores de a, b, c calculados anteriormente, obtenga la matriz X que satisface:
donde
10. Sean
t 5 b 2 A A 5 a
t 2 B I2 X c 4 2
es la matriz identidad.
A
1 2 1
1
2
3 1 . ¿Existe una matriz C tal que CA B ? Si 4 4
y B
0
existe, determínela. 11. Calcule la inversa de las siguientes matrices:
( )( )
12. Calcule la inversa de las siguientes matrices, utilizando las operaciones elementales con las filas de la matriz.
0 0 2 0 1 1 4 1 d) 1 0 0 2 1 0 1 1 k 1 1 0 es invertible? la matriz A k 3 3 5 1
1 1 1 0 3 5 1 a) 0 2 1 b) 2 1 1 c) 2 3 2 2 0 0 0 1
13. ¿Para que valores de
3
1
0
0
1 1
14. Calcule la inversa de la matriz A (aij ) , de orden 4, definida por: i j 1 si a ij a si j i 1 0 si otros
donde
15. Resuelva para X la ecuación matricial AX Bt
Félix Vega Benavidez
1 2
,
A 2 si
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CAPITULO I: MATRICES 2 2 4 2 y B . 5 4 8 6 1 1 1 16. Resuelva para X la ecuación (AX 1B) t AB , si A 0 1 2 y 3 1 0 A
0 B 1 1
0
1
2
0 .
1
0
17. Mediante un modelo matemático el departamento de adquisiciones controla el stock H de tres artículos. El procedimiento consiste en ingresar diariamente las cantidades vendidas, las cantidades cotizadas por los clientes y el número de artículos defectuosos (actualización). Sabiendo que en cierto día la matriz de actualización es 2 A 0 1
0
1
2
1
1
1
calcule el stock H mediante la ecuación (3 I 3 A) H B t AC t , en donde B =
30
28 42 y C 1
3
4.
1 1 1 1 1 18. Considere las matrices A 1 para obtener la matriz X y B 0 2 0 1 1 2 tal que
t
X AB
Bt A t . ¿Es BA invertible?
2 A t X Y Bt 19. Resuelva para X e Y el sistema t t 1 0 X Y B
si A, B M n () .
20. Sea X una matriz de orden 3x2; determine si A I X(Xt X)1Xt es idempotente. k 1 0
21. Para k , se define A k k 1 0 0
k 2 . Demuestre que k , 2
1
A k es
1 invertible y calcule A k . 22. Un mueblero fabrica sillas y mesas, que deben pasar por un proceso de armado y uno de acabado. Los tiempos necesarios para estos procesos están dados (en horas) por la matriz A. El fabricante tiene una planta en Cochabamba y otra en Santa Cruz. Las tarifas por hora de cada proceso están dadas (en dólares) por la matriz B.
¿Qué le dicen al fabricante las entradas del producto de matrices AB? Armado Acabado
A
2
2
3
4
Sillas Mesas
Armado Acabado
B
9
10
10
12
Cochabamba Santa Cruz
23. Un fabricante elabora los productos P y Q, en las plantas M y N. Durante la fabricación, se producen los contaminantes: bióxido de azufre, óxido nítrico y Félix Vega Benavidez
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CAPITULO I: MATRICES partículas suspendidas. Las cantidades de cada contaminante están dadas (en kilogramos) por la matriz A. Los reglamentos estatales y federales exigen la eliminación de estos contaminantes. El costo diario por deshacerse de cada kilogramo de contaminante esta dado (en dólares) por la matriz B. ¿Qué le dicen al fabricante las entradas del producto AB? Bióxido de azufre Oxido nítrico
Partículas suspendida s
300
100
150
200
250
400
A
Planta M
B
Pr oducto P Pr oducto Q
Planta N
8
12
7
9
15
10
Bióxido de azufre Oxido nítrico Partículas suspendidas
24. Un proyecto de investigación nutricional comprende adultos y niños de ambos sexos. La composición de los participantes está dada por la matriz A. El número de gramos diarios de proteínas, grasa y carbohidratos que consume cada niño y adulto está dado por la matriz B. Pr oteínas
Adultos Niños
80 A 100
a)
120 Hombres 200 Mujeres
Grasa Carbohidra tos
20
20
20
10
20
30
B
Adulto Niño
¿Cuántos gramos de proteínas ingieren diariamente todos los hombres del proyecto? ¿Cuántos gramos de grasas consumen a diario todas las mujeres?
b)
25. Una empresa de fotografía tiene una tienda en cada una de las siguientes ciudades: La Paz, Cochabamba y Santa Cruz. Cierta marca de cámara está disponible en los modelos automático, semiautomático y manual. Además, cada una tiene una unidad de flash correspondiente, la cual se vende por lo general junto con la cámara. Los precios de venta de las cámaras y de las unidades de flash están dados (en dólares) por la matriz A. El número de equipos (cámara y unidad de flash) disponibles en cada tienda está dado por la matriz B. Automático Semiautomático Manual
200
150
50
40
A
120
Cámara
25 Unidad de flash
La Paz Cochabamba Santa Cruz
220 B 300 120 a) b)
180
100
250
120
320
250
Automático Semiautomático Manual
¿Cuál es el valor total de las cámaras en La Paz? ¿Cuál es el valor total de las unidades de flash en Santa Cruz?
26. Una empresa de consultaría tiene oficinas en Jalisco y Oaxaca. Esta última tiene 5 sillas, 7 escritorios y 4 máquinas de escribir. La oficina en Jalisco posee 12 sillas, 16 escritorios y 8 máquinas de escribir. Si las sillas tienen un costo de $10 cada una, las mesas de $15 y las máquinas de escribir $200cada una, exprese las cantidades
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CAPITULO I: MATRICES gastadas en éstos artículos en las dos oficinas en términos de productos de matrices. 27. Una pequeña empresa constructora cobra $6 la hora por cada camión sin conductor, a $20 la hora por un tractor sin conductor y a $10 la hora por cada conductor. La empresa utiliza la matriz A para diversos tipos de trabajo. Tipo de trabajo I
II
III
IV
1 A 2 3
1
1
2
0
1
1
1
3
4
Camión Tractor Conductor
a)
Si P denota la matriz de precios que la empresa fija, con P 6 20 10 , determine el producto matricial PA e interprete sus elementos.
b)
Suponga que en un pequeño proyecto la empresa utilizó 20 horas de trabajo del tipo I y 30 horas de trabajo del tipo II. Si ST 20 30 0 0 denota la matriz oferta, determine e interprete los elementos del producto de matrices: AS.
c)
Evalúe e interprete el producto de matrices: PAS.
PARTE II 1. Suponga que A es una matriz simétrica cualquiera y que B es una matriz tal que t
B AB
está definida. Demostrar que
t
B AB
es simétrica.
2. Suponga que A, B Mnxn conmutan y son tales que A es simétrica y B es antisimétrica. Demuestre que AB es antisimétrica. 3. Supongamos que
Para todo
4. Demuestre que si
.
( )
son tales que
entonces si
es una matriz cuadrada tal que:
5. Si A es una matriz anti simétrica, demuestre que matriz simétrica, ¿qué puede decir de 6. Demuestre que A Mnxn , la matriz
A
2
A
2
entonces existe
es simétrica. Si A es una
?
1 1 t ( A A t ) es simétrica y la matriz (A A ) 2 2
es antisimétrica. Use estos resultados para demostrar que toda matriz cuadrada A se puede escribir como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica. 7. Se dice que A Mnxn es involutiva si A2 In , que es idempotente si
A
2
A y
que es ortogonal si AA t In . ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? (Justifica tu respuesta) a)
Si A es involutiva y ortogonal, entonces A es simétrica.
b)
Si A es simétrica e involutiva, entonces A es ortogonal.
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CAPITULO I: MATRICES c)
Si A es simétrica y ortogonal, entonces A es involutiva
d)
Si A es idempotente, entonces 2A In es involutiva
8. Si A y B son matrices cuadradas tales que A=AB y B=BA demuestre que A y B son matrices idempotentes. 9. Si entonces demuestre que:
[ ]
a) b) c) d) e) Si
.
entonces
.
10. Si demuestre que: Si entonces . 11. Muestre que si son matrices diagonales, entonces . 12. Si , y, , demuestre que la matriz A conmuta con la matriz B, donde
13. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño. Demuestre que si A es invertible y A y B conmutan entonces y B conmutan.
( ) ∑ ( ) ∑
14. Considere la matriz a) b)
Determina Determina
con
. .
15. Considere la matriz a) b)
Determina Determina
16. Demuestre que
con
.
, la matriz
es invertible y que
.
17. Si A Mnxn es una matriz idempotente, demuestre que 2A – I es invertible y que su inversa es ella misma Los estudiantes de segundo semestre, de los paralelos: A, B, C, D, E. F. G. I, J, deben resolver y entregar los ejercicios IMPARES, en la semana del 20 de agosto del 2012, en los horarios de práctica. Se les recuerda que cuando se entrega una práctica, ésta debe ser defendida.
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