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Matemáticas I (Aritmética y álgebra) Para Bachillerato Tercera edición

AUTORES Arturo Ylé Martínez José Alfredo Juárez Duarte Armando Flórez Arco

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS PREPARATORIAS

Plan de estudios 2009

Plan de estudios 2009

Matemáticas I (Aritmética y álgebra) Para Bachillerato

AUTORES Arturo Ylé Martínez José Alfredo Juárez Duarte Armando Flórez Arco

Primera edición: junio de 2008 Segunda edición: julio de 2009 Tercera edición: junio de 2011 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS PREPARATORIAS

Diseño interior: Leticia Sánchez L. Diseño de portada: Ángel Guillermo Zárate Pacheco

Edición con fines académicos, no lucrativos

Impreso en Culiacán, Sinaloa, México

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Aritmética y Álgebra para Bachillerato

Presentación El presente texto está destinado a los estudiantes que cursan el primer grado de las preparatorias, con Plan de Estudios 2009, del bachillerato de la Universidad Autónoma de Sinaloa. Los contenidos del mismo cubren el primer semestre del ciclo escolar, en correspondencia con las exigencias del Programa de Matemáticas I (Aritmética y Álgebra). Considerando que el bachillerato universitario tiene carácter propedéutico, el contenido tratado en este texto es de nivel elemental, así, los conocimientos teóricos que aparecen en cada capítulo constituyen los mínimos que se requieren para la comprensión del contenido y el desarrollo de las competencias y habilidades matemáticas fundamentales. Mientras que, didácticamente, se desarrollan de manera intuitiva e informal, hasta donde sea matemáticamente posible, por lo cual se enfatiza en la visualización geométrica de los conceptos y operaciones, y en aplicaciones sencillas. Los contenidos tratados abordan ampliamente la terminología y simbología matemática y el trabajo algorítmico. La ejercitación que se propone en todos los temas es amplia y variada y resulta suficiente para el nivel de profundidad y complejidad con que se deben cumplir los objetivos del programa. Los ejercicios están dirigidos en lo fundamental al desarrollo de habilidades básicas y a través de ellos se propicia la integración del contenido. En cada uno de los apartados, en que se dividen los capítulos, se presentan ejemplos completamente desarrollados de los problemas y ejercicios típicos correspondientes a los conocimientos teóricos tratados, con el propósito de contribuir al desarrollo de habilidades en los procedimientos y estrategias de trabajo y para fijar los conocimientos. Para cada uno de los temas tratados hay una gran variedad de actividades de aprendizaje dedicadas a la resolución de problemas, lo que requiere habilidad para traducir del lenguaje común al matemático y viceversa, o sea, para la elaboración de modelos matemáticos. El contenido del libro se ha estructurado y organizado en tres capítulos, en función de lograr una mejor sistematización e integración de los conocimientos. De esta manera, en el primer capítulo, se estudian los elementos de los conjuntos y los números reales en el contexto de la aritmética. Esto en razón de que el Álgebra elemental resulta de una generalización de la aritmética, y por ende es natural y conveniente que el alumno reactive sus conocimientos de aritmética, en el contexto de los diferentes sistemas numéricos, para que se posibilite un mejor aprendizaje de esta rama de las matemáticas. Así pues, esta unidad ofrece magníficas oportunidades para reactivar los conocimientos y las habilidades aritméticas sobre operaciones combinadas con números reales, expresados de diferentes formas. En el segundo capítulo se inicia, sobre la base de la Aritmética, el estudio formal del Álgebra Elemental. La unidad principia con el estudio del lenguaje algebraico, y se hace

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teniendo siempre presente que el desarrollo y comprensión del lenguaje matemático constituye una premisa esencial y básica para lograr el nivel de abstracción, generalidad y aplicación que la matemática ha alcanzado. Ya que el uso formal y correcto de la simbología y reglas de operación, así como el logro funcional (o útil) del conocimiento algebraico, solamente es posible si se comprende el significado del trabajo con la simbología y las operaciones con las variables (especialmente la traducción del lenguaje común al algebraico y viceversa), en consecuencia, en la unidad se enfatiza en los aspectos sintáctico y semántico del lenguaje algebraico. Después de estudiarse los fundamentos del lenguaje algebraico, en esta misma unidad, se estudian los conceptos, definiciones y operaciones relativos a las expresiones algebraicas más sencillas como son los polinomios. Por cuestiones didácticas los cálculos algebraicos se limitan de inicio a los polinomios de una, dos o tres variables. Posteriormente, en el tercer capítulo de este texto, y en el curso de Matemáticas II, los cálculos algebraicos se extienden a expresiones algebraicas más complicadas. Por último, en el tercer capítulo, se estudia la factorización de polinomios y los conceptos y operaciones fundamentales de las fracciones algebraicas. En aras de lograr la funcionalidad del conocimiento algebraico y del desarrollo de habilidades en el estudiante, una vez estudiada la factorización de polinomios inmediatamente se pasa a sus aplicaciones en la simplificación de fracciones algebraicas y a la resolución de ecuaciones. En este mismo sentido, se estudian los conceptos y operaciones algebraicas básicas de las fracciones algebraicas, tratando de que el estudiante adquiera particularmente habilidades en la simplificación de sus resultados, y en la aplicación de sus conocimientos. Antes de cerrar esta presentación queremos sugerir y advertir a los profesores y estudiantes de matemáticas del bachillerato, que usen este material como lo que es: un material de apoyo didáctico. Ningún texto, por sí solo, resuelve todos los problemas que conlleva el proceso de enseñanza/aprendizaje de la Matemática. Por lo cual, el maestro deberá aplicar toda su experiencia y competencias docentes para el uso planificado, crítico y selectivo del texto, mientras que el estudiante deberá desarrollar, con disciplina y con la guía del profesor, su mayor esfuerzo para su comprensión. Es pertinente decir que este texto pasó primeramente por una fase de pilotaje en la forma de Notas de Clases de Matemáticas I, por lo cual manifestamos nuestro más sincero agradecimiento a los profesores que trabajaron con ellas y que nos hicieron llegar sus críticas y recomendaciones. Gracias a su colaboración se pudieron realizar muchas correcciones y mejoras a dichas notas. Estimables lectores, aunque este texto fue revisado con sumo cuidado en su escritura y edición, desgraciadamente siempre se presentan errores involuntarios, por lo cual les agradecemos de antemano que nos hagan llegar sus comentarios, críticas y propuestas de cambio a la Academia de Matemáticas de la DGEP-UAS (o a la dirección electrónica [email protected]), para así poder mejorarlo, conjuntamente con ustedes, en futuras ediciones. Agradecemos las facilidades que para esta publicación brindaron los directivos de la Dirección General de Escuelas Preparatorias de la Universidad Autónoma de Sinaloa.

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Finalmente les deseamos respectivamente a los alumnos y profesores muchos éxitos en el aprendizaje y enseñanza del Álgebra y esperamos que este libro les ayude en este empeño.

Muchas gracias. LOS AUTORES

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Dedicatoria Dedicamos esta modesta obra a todos los estudiantes y maestros que hacen el esfuerzo cotidiano por mejorar la calidad del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas en las aulas del bachillerato de la Universidad Autónoma de Sinaloa. Y, por supuesto, también la dedicamos con cariño a nuestras familias y amigos, que sin saber en ocasiones de matemáticas, se sienten orgullosos de nuestra obra. Gracias a todos por su confianza y apoyo.

LOS AUTORES

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Índice

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Capítulo 1 Números Reales y Aritmética

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Objetivos específicos En este capítulo debe lograrse que los alumnos sean capaces de: 1) Conocer y aplicar el concepto, la simbología y las operaciones de los conjuntos en el estudio de los números reales, y de las matemáticas en general. 2) Conocer, identificar y aplicar los diversos sistemas numéricos que componen los números reales, así como sus operaciones y propiedades y diversas representaciones, en los cálculos y en la formulación y resolución de problemas aritméticos y algebraicos. 3) Reactivar la aritmética a través de la realización de cálculos aritméticos y algebraicos en los diversos sistemas numéricos que componen los números reales, y de su aplicación en contextos problemáticos donde aparecen factores y divisores, razones y proporciones, porcentajes, así como sucesiones y series aritméticas y geométricas elementales. Observaciones: Como el Álgebra elemental resulta de una generalización de la aritmética, es natural y conveniente que el alumno reactive sus conocimientos de aritmética en el contexto de los diferentes sistemas numéricos para que se posibilite un mejor aprendizaje del Álgebra. Este capítulo ofrece magníficas oportunidades para reactivar las habilidades aritméticas sobre operaciones combinadas con números, expresados de diferentes formas.

Contenidos temáticos: 1.1 Elementos de Conjuntos. Concepto y notación de conjuntos. Conjuntos finitos e infinitos. Conjunto vacío. Conjunto universal. Subconjuntos. Operaciones elementales entre conjuntos: unión, intersección, diferencia y complemento. Diagramas de Venn. Aplicaciones de los conjuntos al estudio de los números reales. 1.2 Sistemas Numéricos y Aritmética. Concepto de número. Números naturales: definición, operaciones, potencias con exponentes naturales y sus leyes de exponentes, factorización, números primos y compuestos, máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (mcm). Números enteros: definición, operaciones y regla de los signos, propiedades, potencias con exponentes enteros y sus leyes de los exponentes. Números racionales: definición, representaciones, operaciones y propiedades, potencias de racionales y sus leyes de exponentes, razones, porcentajes y proporciones, variación directamente e inversamente proporcional. Números irracionales: definición, representaciones y operaciones, radicales (con radicandos números racionales) y raíces. Números reales: definición y representación geométrica, operaciones y propiedades de campo de los números reales, distancia y valor absoluto, propiedades de orden en los números reales, desigualdades e intervalos, operaciones y leyes de exponentes para potencias y radicales. 1.3 Sucesiones, Progresiones y Series Matemáticas. Conceptos y definiciones de sucesión, progresión y serie matemática. Sucesiones y series elementales diversas. Progresiones aritméticas. Series aritméticas. Progresiones geométricas. Series geométricas.

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Capítulo 2 Lenguaje Algebraico y Polinomios

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Objetivos específicos En este capítulo debe lograrse que los alumnos sean capaces de: 1) Identificar las fórmulas, las ecuaciones, las funciones y las expresiones algebraicas en general como representaciones simbólicas (modelos matemáticos) de situaciones y problemas concretos de las ciencias, la ingeniería y la vida cotidiana. 2) Calcular el valor numérico de expresiones algebraicas (evaluando para -y con- números enteros, fraccionarios, decimales, positivos y negativos); así como, determinar para qué valores está definida una expresión algebraica. 3) Diferenciar el lenguaje común del lenguaje matemático. Además de traducir, en diversos contextos, del lenguaje común al algebraico y viceversa. 4) Definir, identificar y diferenciar los conceptos: término algebraico, expresión algebraica y polinomio. Definir y reducir términos semejantes. 5) Dominar los algoritmos para las cuatro operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación y división) con polinomios. Además de Identificar, calcular y aplicar los productos notables en los cálculos algebraicos. 6) Desarrollar habilidades en la simplificación de expresiones que contengan paréntesis superpuestos, así como expresiones donde aparezcan en forma combinada las distintas operaciones básicas con términos y polinomios.

Contenidos temáticos: 2.1 Modelación y lenguaje algebraico. Ejemplos contextualizados de modelos matemáticos: fórmulas, ecuaciones, funciones, expresiones algebraicas y variables. Cálculo del valor numérico de expresiones algebraicas. Determinar para qué valores de sus variables está definida una expresión algebraica. Conceptos de variable y expresión algebraica. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico y viceversa. Término algebraico: concepto, definición y componentes. Clasificación de expresiones algebraicas: polinomiales (monomios, binomios, trinomios, etc.), racionales e irracionales. 2.2 Polinomios (de una y varias variables). Definición de términos semejantes. Simplificación de expresiones algebraicas con términos semejantes. Suma y resta de polinomios. Producto de monomio por monomio. Producto de monomio por polinomio. Producto de polinomio por polinomio. Símbolos de agrupación. Operaciones combinadas de suma, resta y multiplicación de polinomios que tienen símbolos de agrupación. 2.3 Productos notables. Binomio al cuadrado. Binomio al cubo. Teorema del binomio para exponentes enteros positivos. Producto de dos binomios con un término común. Producto de binomios conjugados. 2.4 División de polinomios. Monomio entre monomio. Polinomio entre monomio y polinomio entre polinomio.

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Capítulo 3 Factorización y Fracciones Algebraicas

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Objetivos específicos En este capítulo debe lograrse que los alumnos sean capaces de: 1) Desarrollar habilidades en la identificación y factorización de polinomios, siempre que sea posible realizarlo por aplicación de los procedimientos elementales estudiados; así como descomponer en factores expresiones polinomiales donde aparezcan combinaciones de los casos tratados. 2) Reconocer que las reglas de cálculo con fracciones algebraicas constituyen una generalización de las reglas de cálculo con números racionales considerados como cocientes de números enteros. 3) Desarrollar habilidades en la realización de las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división, simplificación) con fracciones algebraicas simples y complejas, y en la simplificación o reducción de sus resultados.

Contenidos temáticos: 3.1 Factorización de polinomios. Factorización por extracción de un factor común (monomio y/o polinomio). Factorización de binomios que son: diferencia de cuadrados, suma y resta de cubos. Factorización de trinomios: cuadrados perfectos, con un término cuadrático e irregulares. Factorización completando un trinomio cuadrado perfecto. Factorización por agrupación. 3.2 Aplicaciones de la factorización. Simplificación de fracciones algebraicas. Resolución de ecuaciones cuadráticas inmediatas por factorización. 3.3 Operaciones con fracciones algebraicas. Multiplicación y división de fracciones algebraicas. Adición y sustracción de fracciones algebraicas. Ejercicios combinados y fracciones complejas.

EDUCAR Y APRENDER ES CONSTRUIR

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Bibliografía de consulta para el

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1. Flórez Arco, A, Ylé Martínez, A. y Juarez, Duarte, J.A. Álgebra. DGEPUAS, México, 2001. 2. Filloy Eugenio y Rojano Teresa. ÁLGEBRA. Grupo Editorial Iberoaméricano, México, 2001. 3. De Oteyza, Elena. Conocimientos fundamentales de matemáticas: ÁLGEBRA. UNAM, México, 2006. 4. Cuéllar, C. Juan Antonio. Matemáticas I para bachillerato. McGrawHill, México, 2006. 5. Ortiz Campos, F.J. Matemáticas I. Publicaciones Cultural. México, 2006. 6. Gobran, Alfonse. Álgebra Elemental. Grupo Editorial Iberoamérica, Colombia, 1992. 7. Sada García, M.T. Matemáticas I (Aritmética y Álgebra). DGETI. México, 2001. 8. De la Peña, J.A. ÁLGEBRA EN TODAS PARTES. Colección la ciencia para todos, No. 166, México, 1999. 9. Varios Autores. Las matemáticas y su entorno. Siglo XXI, México, 2004. 10. Pimm, D. El lenguaje matemático en el aula. Ediciones Morata, S.L. España, 1999. 11. Varios Autores. Matemáticas y educación. Graó, España, 2000. 12. Azuela Arturo. El matemático. IPN, México, 1999. 13. Bosch, Gascón y Chevallard. Estudiar matemáticas. SEP, México, 1998. 14. Varios Autores. La actividad matemática en el aula. Graó, España, 2004.

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MATEMÁTICAS I (ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA PARA BACHILLERATO)

Se terminó de imprimir en Junio de 2008 en los talleres gráficos de Once Ríos Editores, sito en calle Río Usumacinta 821 Col. Industrial Bravo Tel. 712-2950, Culiacán, Sinaloa, México. la edición consta de 4,000 ejemplares

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