1_Manual_AC_2014_I

UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y TURISMO

RICARDO TOLEDO QUIÑONES

HUARAZ – PERÚ - 2 014

UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y TURISMO

ANÁLISIS CUANTITATIVO PARA DECISIONES I CUARTA EDICIÓN

:

JULIO 2 014

DERECHOS RESERVADOS  2 014 MSc. Ricardo Enrique Toledo Quiñones EDICIONES ESTUDIO XXI Ciudad Universitaria Shancayan – Telefax (043) - 425119 Impreso en Huaraz – Perú.

PRESENTACIÓN La enseñanza de un curso proyectado para durar un ciclo académico (70 horas), con un contenido diverso y ambicioso planteó la necesidad ya en el año 1 994, de un texto que permita cumplir con promover el conocimiento. El fondo de los temas a la fecha, conserva en gran medida lo desarrollado inicialmente, los alumnos y las herramientas informáticas, se encargaron de contribuir a su enriquecimiento. Es difícil asumir la responsabilidad total de generar un texto, para una distribución a poca escala, sin apoyo institucional, lo que explica en gran medida ocho años para poder llegar a una presentación aceptable, sujeta a continuas mejoras. En lo posible se relacionan los temas con software existente en el medio, prefiriendo los más comerciales aún signifiquen una mayor dificultad en el aprendizaje pero garanticen su existencia futura. En esta Edición, se conserva el criterio de fijar un nivel de los contenidos básicos, si bien se dan pautas para aplicaciones reales, falta mucho camino por recorrer. Aun así, se decide por su mayor difusión en búsqueda de sugerencias que serán agradecidas. La experiencia nos señala que es posible enseñar sin llegar a la complejidad matemática a efectos que un mayor número de personas salga beneficiada. La mayoría de los problemas cuentan con sus respuestas al final de cada Capítulo. Una buena opción es que a partir de los conocimientos que se logren, incentivar al alumno a que desarrolle problemas más complejos guiándolos en la bibliografía adecuada. Mi agradecimiento sincero a todos los alumnos, en especial para aquellos que pese a grandes limitaciones económicas dan sus mejores esfuerzos por aprender y constituyen fuente de enseñanza para quien trata de enseñar. HUARAZ, AGOSTO DE 2 014.

A : THANIA Y MARIELA

CONTENIDO CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS GENERALES 1. MÉTODOS CUANTITATIVOS EN LA ADMINISTRACIÓN 2. POSIBILIDADES Y LIMITACIONES 3. LOS MÉTODOS CUALITATIVOS 4. EL PAPEL DE LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS CAPÍTULO 2 TEORÍA DE LAS DECISIONES 1. GENERALIDADES 2. LOS SISTEMAS 3. LOS MODELOS 4. TIPOS BÁSICOS DE PROBLEMAS DE DECISIÓN 4.1. CONDICIONES DE CERTIDUMBRE 4.2. CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE 4.3. CONDICIONES DE RIESGO 4.3.1. EL ÁRBOL DE DECISIÓN 4.3.2. INCERTIDUMBRE Y RIESGO 4.3.3. SIMULACIÓN 4.3.4. LA TEORÍA BAYESIANA 4.3.5. VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN PERFECTA (VEIP) 4.4. CONDICIONES DE CONFLICTO PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS ORIENTACIÓN PARA RESPUESTAS A PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO 3 PROGRAMACIÓN LINEAL 1. CONCEPTO 2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 3. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS 4. INGRESO DE DATOS PARA EL EXCEL 5. CASOS PRESENTADOS EN PROGRAMACIÓN LINEAL PROBLEMAS RESUELTOS () PLANTEAMIENTO Y RESPUESTAS - PROBLEMAS RESUELTOS ANEXO 1 INFORMES DEL SOLVER PARA PROGRAMACIÓN LINEAL - EXCEL 1. INFORME DE RESPUESTAS 2. INFORME DE SENSIBILIDAD 3. INFORME DE LÍMITES ANEXO 2 ASPECTOS BÁSICOS SOBRE EL LINGO CAPÍTULO 4 EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE 1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA 2. MÉTODOS PARA HALLAR UNA SOLUCIÓN FACTIBLE 3. CASOS PRESENTADOS PROBLEMAS RESUELTOS ()

-1-1-1-2-2-3-4-4-4-4-5-5-6-6- 16 - 17 - 18 - 19 - 21 - 23 - 25 - 26 - 29 - 42 - 49 - 49 - 49 - 49 - 50 - 51 - 53 - 55 - 65 - 77 - 77 - 77 - 78 - 81 - 82 - 82 - 89 - 89 - 89 - 89 - 89 - 90 -

PROBLEMAS PROPUESTOS RESPUESTAS - PROBLEMAS RESUELTOS CAPÍTULO 5 EL PROBLEMA DE LA ASIGNACIÓN 1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA 2. MÉTODOS PARA DETERMINAR UNA SOLUCIÓN FACTIBLE 3. CASOS PRESENTADOS PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS RESPUESTAS - PROBLEMAS RESUELTOS CAPÍTULO 6 TEORÍA DE JUEGOS 1. OBJETIVO 2. NÚMERO DE PARTICIPANTES 3. PREMIO O PAGO 4. ESTRATEGIAS 5. MATRIZ DEL JUEGO O MATRIZ DE PREMIOS 6. VALOR DEL JUEGO 7. SUPUESTOS PARA UN JUEGO 8. PUNTOS MINIMAX (O DE SILLA) 9. JUEGOS DE DOS OPONENTES Y DOS ESTRATEGIAS 9.1. JUEGOS ESTRICTAMENTE DETERMINADOS DE 2 X 2 9.2. JUEGOS NO ESTRICTAMENTE DETERMINADOS DE 2 X 2 10. DOMINACIÓN 11. JUEGOS DE m x n MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL 11.1. LA DUALIDAD EN LA PROGRAMACIÓN LINEAL 11.2. FORMULACIÓN EN PROGRAMACIÓN LINEAL 11.3. PROCEDIMIENTO SUGERIDO PROBLEMAS RESUELTOS () PROBLEMAS PROPUESTOS RESPUESTAS - PROBLEMAS RESUELTOS RESPUESTAS - PROBLEMAS PROPUESTOS SELECCIONADOS CAPÍTULO 7 PROGRAMACIÓN DINÁMICA 1. GENERALIDADES 2. EL PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA 3. CASO DEL ÁRBOL DE EXTENSIÓN MÍNIMA 4. CASO DEL FLUJO MÁXIMO 5. EL PROGRAMA TORA 6. CASO DEL AGENTE VIAJERO 7. EL INVOP PROBLEMAS PROPUESTOS BIBLIOGRAFÍA

- 91 - 94 - 100 - 100 - 100 - 100 - 100 - 101 - 103 - 106 - 108 - 108 - 108 - 108 - 108 - 108 - 108 - 109 - 109 - 109 - 110 - 110 - 110 - 111 - 111 - 112 - 112 - 113 - 114 - 116 - 117 - 120 - 123 - 123 - 123 - 123 - 123 - 124 - 125 - 127 - 128 - 129 - 138 -

ANÁLISIS CUANTITATIVO PARA DECISIONES I

CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS GENERALES 1.

MÉTODOS CUANTITATIVOS EN LA ADMINISTRACIÓN

La Investigación Operativa (también conocida como Investigación Operaciones)1, es una rama de las Matemáticas consistente en el uso modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar proceso de toma de decisiones. Frecuentemente, trata el estudio complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) funcionamiento del mismo.

de de un de el

Las matemáticas son en esencia, tan antiguas como la historia escrita, y sus aplicaciones a los negocios se remontan a los inicios del comercio. Contar fue probablemente la primera aplicación cuando los primeros mercaderes llevaban sus libros. La influencia del método científico se dejó sentir a partir de la Primer Revolución Industrial, con las primeras fábricas vinieron las necesidades de coordinación y eficiencia ante el alto volumen de operaciones. En los Estados Unidos Federick Taylor fue quien más contribuyó a popularizar el enfoque científico en la administración. Taylor era partidario de la toma de decisiones basada en el análisis exhaustivo, la experimentación cuidadosa y los hechos objetivos en lugar de las reglas como recetas. A principios de la Segunda Guerra Mundial, la participación de los Estados Unidos y sus aliados en acciones militares en Europa y el Pacífico creó problemas nunca antes vistos de asignación de recursos, programación de la producción, control de calidad y logística. La intuición y la experiencia no podían solucionar los problemas planteados, de allí que se formaron equipos de especialistas en ciencias naturales, matemáticas e ingeniería para estudiar tales problemas y recomendar soluciones. Para entender los enormes problemas los científicos adoptaron el punto de vista matemático, que tenía la ventaja de poner en claro relaciones comprendidas intuitivamente. Pasada la guerra, quedaron algunas técnicas que siguieron utilizándose en tiempo de paz dentro de la empresa. Surgió la Escuela Matemática en la Administración que establecía que sólo a través de las relaciones matemáticas se podría llegar a una Administración Científica. La experiencia inicial ante el uso indiscriminado de las técnicas matemáticas dentro de la administración no han tenido mucho éxito, un problema dentro de la empresa es algo más que relaciones matemáticas, siempre se debe tener en cuenta que éstas sirven para apoyar o auxiliar el proceso de la toma de 1

Sólo por cuestiones prácticas el curso adopta el nombre de Análisis Cuantitativo. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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decisiones. Si no todo buen matemático sería buen administrador. Actualmente existen diversos términos para referirse a las técnicas matemáticas para la toma de decisiones: investigación de operaciones, análisis de las decisiones, análisis de sistemas, etc. La búsqueda es hallar la mejor solución posible, si bien se trata de ser lo más objetivo posible, esto en los negocios significa ser un optimizador económico: maximizar los beneficios económicos y minimizar los costos económicos. Herbert Simón que propugna la Escuela de la Decisión argumenta que la principal función del administrador es la toma de decisiones, y que estos más que buscar soluciones óptimas, buscan soluciones satisfactorias, esto es, satisfacen más que optimizan, ya que se adecuan a limitaciones o restricciones. Lo óptimo es un ideal que se pretende alcanzar. Tanto a nivel mundial como nacional varias organizaciones promueven la Investigación de Operaciones, así tenemos, la International Federation Of Operational Research Societies (http://www.ifors.org/) o la Sociedad Peruana de Investigación de Operaciones y Sistemas (http://sopios.org/). En el Perú se estudia como carrera profesional o a nivel de postgrado en la Universidad Nacional de “San Marcos”, definiendo dentro del perfil profesional que el Investigador de Operaciones puede desarrollarse en diferentes tipos de organizaciones relacionadas con la Industria, Comercio, Banca, Salud, Transportes, Municipios, Telefonía, Minería , Centros de Investigación y Docencia Universitaria entre otras y para resolver los problemas, el Investigador de Operaciones desarrolla estudios integrales utilizando el enfoque general de sistemas y el método científico. 2.

POSIBILIDADES Y LIMITACIONES

El uso de formas matemáticas en la administración se justifica, si los beneficios exceden a los costos. Los costos incluyen el tiempo para la formulación de las relaciones, la recopilación de datos y el desarrollo de su aplicación. Los casos planteados se originan en datos que se suponen conocidos, los cuales se ajustan a la resolución por determinada técnica. Así, en la teoría de juegos se supondrá que se conoce monetariamente la cantidad que se podría ganar o perder, en la programación lineal se puede hablar de una demanda determinada para un bien o servicio pero se debe preguntar ¿De dónde vienen esos datos?¿Corresponden a una situación aceptable?¿Son resultados de una buena investigación? Siempre recordar que si los datos califican como basura, se podría procesar un resultado, pero que al igual que el insumo corresponderá a basura. 3.

LOS MÉTODOS CUALITATIVOS

Para poder adelantarse a las previsiones del futuro se requiere preferentemente medirlo cuantitativamente, esto constituye un deseo no un requisito indispensable. Los métodos cualitativos se valen del juicio del administrador, de la experiencia, de los datos relevantes, de un modelo matemático implícito. Debido a que el modelo es implícito, dos administradores distintos que usan métodos cualitativos, con frecuencia llegan a pronósticos completamente RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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diferentes. Dentro de los métodos cualitativos se tiene por ejemplo el Método Delphi o las Encuestas de Mercado. El Método Delphi, consiste en pedir opinión a un grupo de expertos sobre un tema específico, el cual será desarrollado en forma individual para evitar influencias del grupo, luego analizar las respuestas, se retroalimenta al grupo con información sobre el tema, pidiéndoles seguidamente que efectúen nuevamente una respuesta, así cuatro a seis veces, hasta llegar a una convergencia satisfactoria. Basu y Schroeder (1977) dan un ejemplo de su aplicación para el pronóstico de ventas por parte de una empresa, inicialmente se les proporcionó información a 23 administradores sobre el PBI, las ventas del sector industrial y las ventas de la compañía, datos que fijaban interrelaciones entre la economía, la industria y la compañía. En la segunda vuelta del proceso existían gran variabilidad de estimaciones pero obtenidos los resultados de la tercera vuelta, se alcanzó a la administración tres posibilidades de pronósticos: Utilizando el Análisis de Regresión, el pronóstico por suavización exponencial y el obtenido por el Método Delphi. La parte Directriz optó por los resultados del Método Delphi, el efecto fue que el primer año las ventas estuvieron en un rango de 0,3% (menos del 1%) y para el primer año y para el segundo dentro de un rango de 4% del pronóstico. En el pasado habían sido comunes errores de estimación de ± 20%. En general se puede establecer que se debe tener mucho cuidado en la utilización de las formas matemáticas en las decisiones. El Método Delphi puede ser muy costoso pero fundamentalmente es apropiado cuando se trata de pronósticos a largo plazo. 4.

EL PAPEL DE LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS

Los métodos cuantitativos juegan un papel importante en la administración, su uso se está extendiendo. Se emplean de tres maneras: a. Como guía en la toma de decisiones: Es la aplicación más extensa pero la menos tangible. Al aprender los métodos y modelos para manejar problemas administrativos en forma cuantitativa, se gana práctica y experiencia en el pensamiento racional. b. Como ayuda en la toma de decisiones: Muchas veces no existirá un modelo que se adapte a los datos o a los requerimientos de quien decide, pero puede proporcionar información útil. Así una empresa que desea pronosticar sus ventas efectuará análisis estadísticos de series de tiempo, junto con las estimaciones las complementará con opiniones de otros ejecutivos y personal experto. c. Para automatizar la toma de decisiones: Es la más sencilla y la más impresionante. Si se puede modelar con exactitud un problema específico, entonces se puede desarrollar una fórmula o un conjunto de fórmulas para su solución. Si el problema no cambia, las fórmulas permanecen válidas y pueden programarse en una computadora. Ejemplo: Los inventarios respecto a cuánto y cuándo ordenar, de obedecer a variables cuya interrelación está predefinida se puede hacer con una computadora, esto alivia a la administración de una toma de decisiones rutinarias. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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CAPÍTULO 2 TEORÍA DE LAS DECISIONES 1.

GENERALIDADES

La teoría de la toma de decisiones o el estudio de la toma de decisiones, que puede definirse como el proceso mediante el cual se salvan obstáculos. Los obstáculos constituyen problemas que requieren solución. Los problemas son oportunidades para mejorar, por eso se dice que son necesarias e útiles para la administración. El proceso de solución exigirá ir de la identificación del problema, a la puesta en práctica de la mejor alternativa con su revisión constante. Se tienen diversos métodos para solucionar problemas, el rutinario o producto de la experiencia sería por ejemplo uno de ellos, el cuantitativo otro. La habilidad del administrador permitirá combinaciones múltiples para situaciones diversas. La Escuela de la Decisión ha tomado ímpetu gracias a los trabajos de Herbert Simon que veía el proceso decisorio como sinónimo de administración. Actualmente se da gran atención al proceso decisorio con herramientas cuantitativas, los adelantos de la tecnología de la información cada vez más nos permiten obtener mejores resultados a través de un campo que se está perfilando y que se ha dado en llamar Sistemas de Información Gerencial (SIG). Los equipos y programas facilitan la tarea cuantitativa, pero la administración está rebasando los cánones cuantitativos. Se ha discutido en todos los tiempos cómo debe actuarse para tomar una decisión, enmarcado dentro de la búsqueda de la verdad, el resultado del amplio debate es un enfoque general conocido como el método científico, que para resolver problemas en la administración fija los pasos generales siguientes: a. b. c. d. e. f. g. 2.

Definición del Problema. Recolección de datos. Definición de alternativas. Evaluación de alternativas. Selección de la mejor alternativa. Puesta en práctica. Retroalimentación. LOS SISTEMAS

Por sistema se entiende cualquier conjunto de partes relacionadas. Ejemplo: una compañía, una mesa, un procedimiento contable, un motor. Los modelos pueden obedecer a diversos niveles de complejidad (jerarquía de complejidad de los sistemas según Boulding), que van desde los estáticos RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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(armazones), que se conocen como estructuras, hasta otros sistemas dinámicos dentro de los cuales están: el hombre y las organizaciones sociales. Un hombre vivo es un sistema dinámico, mientras que ese mismo hombre muerto, es simplemente una estructura. La empresa constituye una organización no estática, se puede interpretar como un sistema. La información es el elemento que convierte un sistema estático en otro dinámico, es decir la información dinamiza las estructuras. Se puede concluir que todo sistema dinámico es un sistema de información. En todo sistema existen componentes tales como los recursos humanos, naturales, materiales y financieros y canales que comunican a éstos. A través de los canales fluye la información. Adicionalmente, puede adquirirse un mejor conocimiento de los sistemas administrativos si se entienden como un sistema abierto, es decir aquel que interactúa con su medio ambiente, un sistema cerrado, no tiene tal ínter actuación. Un sistema abierto tiene infinidad de contactos tanto internos como con su medio ambiente, como no se puede analizar lo infinito, se utilizan MODELOS, que puedan limitarlos a factores "relevantes". 3.

LOS MODELOS

Los modelos son abstracciones de la realidad cuya situación se quiere pronosticar. Un problema a resolver es complejo si se considera todos los elementos que influyen, el hacer una fabrica sin un diseño previo producirá pérdidas de no adecuarse a los requerimientos del proceso productivo, éstas pueden evitarse si se utilizan modelos. Se encuentran diversas clases de modelos: físicos: son representaciones físicas, ejemplo el diseño de un edificio; gráficos, representan variables mediante líneas, ejemplo el flujo del tráfico representado en un diagrama; pictóricos: imágenes que transmiten una idea, un cigarrillo con una aspa; esquemáticos: muestran el flujo de información y de corrientes, un organigrama; matemáticos: representan relaciones mediante fórmulas matemáticas, ejemplo si la eficiencia de una persona en un día de labor primero se incrementa, pero a medida que transcurre el tiempo llega a un punto de saturación donde empieza a descender, podría fijarnos un modelo del tipo Y = 60X - 10X2 donde Y es el porcentaje de la eficiencia y X las horas corridas trabajadas. Los modelos matemáticos actualmente tienen gran utilidad en los negocios, su ventaja es poner al descubierto el carácter exacto de relaciones entre factores. 4.

TIPOS BÁSICOS DE PROBLEMAS DE DECISIÓN

En el campo de la Administración los Modelos de toma de decisiones, han definido que al efectuar una selección, el problema caerá en una de cuatro categorías generales, dependiendo de la habilidad personal para predecir las consecuencias de cada alternativa.


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En la Tabla 2.1 se esquematiza la Categoría de los Problemas de Toma de Decisiones, en la vida real mayormente se afrontará situaciones de incertidumbre y riesgo.

TABLA Nº 2.1 CATEGORÍA DE LOS PROBLEMAS DE TOMA DE DECISIONES CATEGORÍAS Certidumbre Incertidumbre Riesgo Conflicto 4.1.

CONSECUENCIAS (EFECTOS) Deterministas Desconocidas Probabilísticas Influidas por un oponente.

CONDICIONES DE CERTIDUMBRE

La certidumbre se produce cuando quien decide conoce anticipadamente los resultados que generará su decisión. Las relaciones funcionales, es decir los parámetros del modelo, se saben con certidumbre. Ejemplo 1: Evaluar el depósito de dinero en tres bancos de garantía e igual riesgo, que nos ofrecen a plazo fijo en 1 año el pago de intereses siguientes: Banco A: 9,5% Banco B: 12,0% Banco C: 10,0% Respuesta.- Resulta fácil la elección de B, por pagar la mayor tasa de interés. Ejemplo 2: En la Tabla Nº 2.2 se muestran datos de costos y utilidad para los artículos X1 y X2. Decidir cuántas unidades de cada artículo se deben producir, si no se desea incurrir en costos que sean mayores que $ 20 000. ARTICULO X1 X2

TABLA 2.2 COSTOS 5 7

UTILIDAD 2 3

En este caso el problema se enmarca dentro de una decisión en condiciones de certidumbre, siendo como se muestra a continuación sus coeficientes de contribución $ 2 y $ 3 que se conocen con seguridad. (MAX) U = 2X1 + 3X2 5X1 + 7X2  20 0000 El resultado (podrá ser solucionado posteriormente como un problema de programación lineal), indica que debe producirse 0 unidades de X1 y 2 857 Unidades de X2, lo que significa una utilidad máxima de $ 8 571. 4.2.

CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE

La incertidumbre se presenta cuando no se tienen antecedentes sobre el tema RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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a decidir, el problema resulta nuevo, se ignoran las probabilidades de ocurrencia de los diversos estados de la naturaleza (que son externos y sobre los cuales no se tiene control). Ejemplo: Decidir por la venta de un nuevo producto que no tiene similares en el mercado. Una decisión en condiciones de incertidumbre puede realizarse a partir de una matriz o tablas de doble entrada, en las filas figuran las acciones (a1, a2, a3,..., am) que representan los cursos de acción o alternativas que posee quien decide y que fundamentalmente está en disposición de escoger y se tiene control sobre ellos, por lo mismo que tiene libertad para elegir, lo que contrasta con las columnas de la matriz donde figuran los estados de la naturaleza (s1, s2, s3, ... sn), que son los factores que influencian con el problema y que representan situaciones sobre las cuales quien decide no puede influenciar. Los valores asignados por quien decide a la tabla pueden ser expresados guiados por una relación lógica. Suponiendo que se tiene la siguiente Tabla, los números negativos representan una pérdida, el 0 indica ni ganancia ni pérdida y los números positivos ganancia. Estrategias a1 a2 a3

Estados de la Naturaleza s2 s3 2 4 0 5 -5 2

s1 -1 -3 -2

Se puede tener tres clases de Tablas: •

Tabla de Ordenamiento Lógico de Valores, la misma que resulta de asignar números enteros a partir del 1 hasta un número igual a: número de estrategias x N° de Estados de la Naturaleza, así, en la tabla anterior 3 x 3 = 9, de modo tal que el menor valor (=1) sea asignado al que corresponda al peor resultado y así sucesivamente (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) hasta el número mayor que corresponderá al mejor resultado. Con ello se logra que la Tabla de Rendimiento este organizada por la lógica (ver Problema presentado a continuación).

•

Tabla de Rendimiento, hallada como resultado de la contrastación de las filas con las columnas, asignando valores (monetarios por ejemplo) mediante un análisis lógico de su relación (fila vs. columna = valor). Los números positivos indican una ganancia, los negativos una pérdida y el 0 ni pérdida ni ganancia. En ocasiones se integra a la matriz el llamado costo de escasez o agotamiento, que se produce cuando hay demanda de un artículo que no se posee en existencia lo cual genera una pérdida.

•

Tabla de Pérdida de Oportunidad, resultado de asumir que por haber escogido una estrategia determinada (a1, a2, a3, am) se incurre en una pérdida de no haber optado por la mejor. De haberlo hecho no se perderá nada (0). Su construcción es el resultado de restar en cada columna de la Tabla de Rendimientos el mayor valor del resto, con lo que se obtendrá 0 para la mejor alternativa y valores positivos para el resto, lo que indica cuánto se perdería. Esta tabla no contiene valores negativos.

Ejemplo 3: Raúl Medina es el administrador de ventas para la compañía manufacturera de vehículos recreacionales. Raúl está intentando decidir qué RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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cantidad de vehículos introducir este año entre dos nuevos modelos posibles. Si los ingresos de los consumidores suben en menos de 5%, Raúl simplemente deberá seguir con los modelos del año anterior. Si el ingreso de los consumidores se incrementa más del 20% Raúl piensa que los dos modelos nuevos pueden tener éxito. Elaborar: a) La lista de acciones y estados de la naturaleza. b) Una Tabla de Ordenamiento Lógico de Valores. c) La Tabla de Rendimiento suponiendo que la ganancia o pérdida sería de $: 60, 15, 3, 2, 0, -5, -20, -30, -50.

a) Acciones

Estados de la Naturaleza

a1: No introducir los modelos nuevos.

s1: Los ingresos del consumidor se incrementan en menos del 5%

a2: Introducir un modelo nuevo.

s2: Los ingresos del consumidor se incrementan entre 5 y 20%.

a3: Introducir los dos modelos nuevos. s3: Los ingresos del consumidor se incrementan en más del 20%.

b) Tabla de Ordenamiento Lógico de Valores: Observar que para su construcción, se puede proceder a lo siguiente: i.

Ordenar las acciones considerando que respondan a primero las de menor esfuerzo o menor uso de recursos (así se efectúa para el caso, cumplen el requisito codificándolos como a1, a2 y a3) y los estados de la naturaleza ordenándolos, primero lo menos favorable hasta llegar lo que más podría favorecer a la empresa (así se ha efectuado para el caso, cumplen el requisito codificándolos como s1, s2 y s3).

ii.

Identificar los extremos, lo peor es la celda (a3, s1), lo mejor es la celda (a3, s3).

iii. Tiene una celda de equilibrio, donde no se ganaría ni se perdería o en todo caso que la pérdida o ganancia no tendría un valor significativo, es la celda (a1, s1). iv. Existe un área de Ganancia, que estaría en el cuadrante de las celdas (a2, s2) y (a3, s3). v. Existe un área de Pérdida no contable sino administrativa que castiga el hecho de no adoptar una buena decisión, de darse un estado de la naturaleza propicio para actuar, que son las celdas (a1, s2) y (a1, s3). vi. Finalmente se identifica un área de Pérdida contable, es decir que se puede expresar efectivamente como tal, son las celdas (a2, s1) y (a3, s1), ésta última ya identificada también como lo peor que podría pasar. vii. Hecha la identificación se procede a numerar del 1 al 9 por tener 9 celdas al ubicarse los beneficios (ganancias o pérdidas) en una matriz de 3 x 3. Estrategias a1 a2 a3

Estados de la Naturaleza s1 s2 s3 Equilibrio Área de Pérdida Área de Área de Ganancia Pérdida


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El resultado es: Estrategias a1 a2 a3

s1 5 2 1

Estados de la Naturaleza s2 s3 4 3 7 8 6 9

s1 0 -30 -50

Estados de la Naturaleza s2 -5 3 2

c) Tabla de Rendimiento: Estrategias a1 a2 a3

s3 -20 15 60

Ejemplo 4: Para el Ejercicio 3 construir la Tabla de Pérdida de Oportunidad. Estrategias a1 a2 a3

s1 0 30 50


Sobre qué decidir, se han desarrollado diversos criterios, que el administrador los puede utilizar, dependiendo de las circunstancias particulares y de su actitud optimista o pesimista respecto al futuro. Siendo los criterios: a. Criterio MAXIMAX. Se escoge el máximo del máximo de una Tabla de Rendimientos, con el criterio de qué es lo mejor que puede pasar. El administrador escoge la acción que maximiza los rendimientos máximos bajo cada una de las diversas estrategias. Este criterio se concentra sólo en el intento de adquirir la ganancia más grande posible e ignora las pérdidas posibles o los rendimientos bajos, es un criterio muy optimista. b. Criterio MAXIMIN (o de Wald). Se escoge el máximo del mínimo de una Tabla de Rendimientos, con el criterio de qué es lo mejor que pudiera pasar de entre lo peor que pudiera pasar. El administrador escoge la acción que maximiza los rendimientos mínimos, es demasiado conservador o demasiado pesimista. c. Criterio de castigo MINIMAX. Llamado también Criterio de Deploración Minimax de SAVAGE. Se escoge la acción que minimiza la pérdida máxima a partir de la Tabla de Pérdida de Oportunidad (llamada también Tabla de Pérdidas Relativas). Lleva con frecuencia a soluciones más realistas que las dos anteriores, aunque no está garantizado que siempre lo haga así. d. Criterio de HURWICZ. Considera los rendimientos máximos y mínimos de la Tabla de Rendimientos y los pondera asignando un coeficiente de optimismo  = Alfa de Hurwics, y otro de pesimismo (1 - ). La limitación podría ser la asignación del coeficiente de optimismo que es completamente subjetiva, como también obedecer al convencimiento de RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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tener la suficiente experiencia para establecerlo. El rango para que fijar para éste criterio el valor asignado al optimismo es:: 0 <  < 1, se puede comprobar que si  = 1, la decisión es la misma que el criterio MAXIMAX y si es 0, es la misma que el criterio MAXIMIN, esto debido a que al ser uno, al efectuar la ponderación por la fila, se anula los valores mínimos de la Tabla de Rendimientos y al ser 0, el valor máximo de la fila de la Tabla de Rendimientos, a utilizar para la ponderación, igualmente se anula. e. Criterio de LAPLACE. Utiliza el principio de la razón insuficiente, que esencialmente dice que de no tener información acerca de la posibilidad de ocurrencia de una condición dada, entonces se debe suponer que todas las condiciones tienen la misma posibilidad de ocurrencia, posibilidad uniforme de ocurrencia (son equiprobables aunque muy bien podrían llamarse equiposibles para no relacionarlos con la probabilidad). Al aplicar el principio, el administrador calcula un rendimiento ponderado para cada acción y escoge la acción que maximice estos valores ponderados. Los pesos para las varias condiciones son 1/m, en donde m es el número de estados de la naturaleza. Ejemplo 5: Para el Ejemplo 3, identifique la mejor decisión, de acuerdo a los diversos criterios definidos y comente; suponga un alfa de Hurwicz  =0,7. CRITERIO MAXIMAX Acción

Rendimiento máximo

Decisión

a1 a2 a3

0 15 60

Raúl escogerá a3

CRITERIO MAXIMIN Acción

Rendimiento mínimo

Decisión

a1 a2 a3

-20 -30 -50

Raúl escogerá a1

CRITERIO DEL CASTIGO MINIMAX Acción

Castigo máximo

Decisión

a1 a2 a3

80 45 50

Raúl escogerá a2

CRITERIO DE HURWICZ Acción

Rendimiento máximo

Rendimiento mínimo

a1 a2 a3

0 15 60

-20 -30 -50


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Acción

Rendimiento máximo

Decisión

a1 a2 a3

0,7( 0) + 0,3(-20) = -6,0 0,7(15) + 0,3(-30) = 1,5 0,7(60) + 0,3(-50) = 27,0

Raúl escogerá a3

CRITERIO DE LAPLACE Se tiene 3 estados de la naturaleza: s1, s2 y s3 por lo que m = 3. Acción

Rendimiento máximo

Decisión

a1 a2 a3

1/3 (0 - 5 - 20) = -8,33 1/3 (-30 + 3 + 15) = -4,00 1/3 (-50 + 2 + 60) = 4,00

Raúl escogerá a3

En el caso desarrollado, los criterios MAXIMIN, MINIMAX, y de CASTIGO MINIMAX, se contradicen, los criterios de HURWICZ y LAPLACE, coinciden, lo que no siempre es así, pueden contradecirse al variar el coeficiente de optimismo. En general el administrador debe adaptar las condiciones particulares antes de decidir. El decidir sin utilizar ninguno de los criterios estudiados sino más bien como resultado de un análisis lógico, a veces podrá conducir a escoger una alternativa más racional. CASO: INCERTIDUMBRE DE UN PERÍODO DE INVENTARIO Ejemplo 6: Un vendedor vende diariamente entre 6 a 10 periódicos. Los compra cada uno a 15,00 unidades monetarias (u.m.) y los vende a 20 u.m. Establecer las Tablas de Rendimiento para las siguientes situaciones: a) b) c) d)

Los vende sin considerar el remate de los periódicos sobrantes ni el costo de escasez. Puede vender los periódicos sobrantes a 5,00 u.m. Vende los periódicos sobrantes a 5,00 u.m. y considera que tiene un costo de escasez de 2,00 u.m. Decidir (considerar que las situaciones de incertidumbre son equiprobables).

SOLUCIÓN: a) Utilidad = 5, Por columna: Pérdida por no venta = 15, Por fila: Escasez = 0 . Calcular primero valores para diagonal principal de la matriz. s1 s2 s3 s4 s5 Venta 6 7 8 9 10 Equiprobable a1 6 30 30 30 30 30 30.00 a2 7 15 35 35 35 35 31.00 a3 8 0 20 40 40 40 28.00 a4 9 (15) 5 25 45 45 21.00 a5 10 (30) (10) 10 30 50 10.00 RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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b)

Utilidad = 5, Por columna: Pérdida por no venta = Costo – Remate = 15 – 5 = 10, Por fila: Escasez = 0 s1 s2 s3 s4 s5 Venta 6 7 8 9 10 Equiprobable a1 6 30 30 30 30 30 30.00 a2 7 20 35 35 35 35 32.00 a3 8 10 25 40 40 40 31.00 a4 9 0 15 30 45 45 27.00 a5 10 (10) 5 20 35 50 20.00 c) Utilidad = 5, Por columna: Pérdida por no venta = Costo – Remate = 15 – 5 = 10, Por fila: Escasez = 2 s1 s2 s3 s4 s5 Venta 6 7 8 9 10 Equiprobable a1 6 30 28 26 24 22 26.00 a2 7 20 35 33 31 29 29.60 a3 8 10 25 40 38 36 29.80 a4 9 0 15 30 45 43 26.60 a5 10 (10) 5 20 35 50 20.00 d)

Considerando que todos los casos son posibles (venta equiprobable) se decide por comprar en la situación a) 7 periódicos (31.00 u.m.), en la b) 7 periódicos (32.00 u.m.) y en la c) 8 periódicos (29.80 u.m.). Dependerá de qué información o situación se tiene, si por ejemplo es posible rematar los periódicos lo más adecuado sería guiarse por la situación b), y se desea integrar el costo de escasez se guiaría por la situación c).

CRÍTICA A LOS CRITERIOS SOBRE INCERTIDUMBRE CRITERIO MAXIMAX: Al utilizar el criterio maximax las pérdidas pueden ser elevadas si no se presenta el estado de la naturaleza adecuado. Además, en ocasiones puede conducir a decisiones pobres o poco convenientes. Por ejemplo, consideremos la siguiente tabla de decisión, en la que se muestran los niveles de optimismo de las diferentes alternativas. Estrategias

Estados de la Naturaleza s1 s2

a1

100

-10 000

a2

99

99

El criterio MAXIMAX seleccionaría la alternativa a1 (100 vs 99), aunque lo más razonable parece ser elegir la alternativa a2, ya que evitaría las enormes pérdidas de a1 en el caso desfavorable, mientras que en el caso favorable la recompensa sería casi similar. CRITERIO MAXIMIN: En ocasiones, el criterio MAXIMIN puede conducir a decisiones poco adecuadas. Consideremos la siguiente tabla de decisión, en RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 12 -


la que se muestran los niveles de seguridad de las diferentes alternativas. Estados de la Naturaleza Estrategias

s1

s2

a1

1000

99

a2

100

100

El criterio MAXIMIN seleccionaría la alternativa a2 (99 vs 100), aunque lo más razonable parece ser elegir la alternativa a1, ya que en el caso más favorable proporciona una recompensa mucho mayor, mientras que en el caso más desfavorable la recompensa es casi similar. CASTIGO MINIMAX: El criterio de Savage puede dar lugar en ocasiones a decisiones poco razonables. Para comprobarlo, consideremos la siguiente tabla de resultados: Estados de la Naturaleza Estrategias

s1

s2

a1

9

2

a2

4

6

La tabla de Pérdida de Oportunidad es la siguiente: Estados de la Naturaleza Estrategias

s1

s2

a1

0

4

a2

5

0

La alternativa óptima es a1 (4 vs 5). Supongamos ahora que se añade una alternativa, dando lugar a la siguiente tabla de resultados: Estados de la Naturaleza Estrategias

s1

s2

a1

9

2

a2

4

6

a3

3

9

La nueva tabla de Pérdida de Oportunidad será:


- 13 -


Estados de la Naturaleza Estrategias

s1

s2

a1

0

7

a2

5

3

a3

6

0

El criterio de Savage selecciona ahora como alternativa óptima a2 (7 vs 5 vs 6), cuando antes seleccionó a1. Este cambio de alternativa resulta un poco paradójico: supongamos que a una persona se le da a elegir entre A y B, y prefiere A. Si posteriormente se la da a elegir entre A, B y C, ¡esto equivaldría a decir que ahora prefiere B! CRITERIO DE HURWICS: El criterio de Hurwicz puede conducir en ocasiones a decisiones poco razonables, como se muestra en la siguiente tabla: Estados de la Naturaleza Estrategias

s1

s2

s3

a1

1

0

1

a2

0

1

0

Según el criterio de Hurwicz ambas alternativas son equivalentes, aunque racionalmente la alternativa a1 (1 tiene mayor frecuencia de ocurrencia) es preferible a la alternativa a2. Más aún, se elige la alternativa a2 cuando a2 s2 = 1,001, lo cual parece poco razonable. CRITERIO DE LAPLACE: La decisión debe ser correcta tras sucesivas repeticiones del proceso de toma de decisiones. Sin embargo, en aquellos casos en que la elección sólo va a realizarse una vez, puede conducir a decisiones poco acertadas si la distribución de resultados presenta una gran dispersión, como se muestra en la siguiente tabla: Estados de la Naturaleza Estrategias

s1

s2

a1

15000

-5000

a2

5000

4000

Este criterio seleccionaría la alternativa a1 (5000 vs 4500), que puede ser poco conveniente si la toma de decisiones se realiza una única vez, ya que podría conducirnos a una pérdida elevada (-5000).


- 14 -


DOMINACIÓN Una Tabla de Rendimiento puede ser reducida, de ser posible se eliminan filas, entonces se dice que una acción domina a otra, siendo la acción dominada, la que es posible descartar antes de evaluar las alternativas, con esto se reduce el problema de toma de decisiones y previene la consideración de acciones obviamente inferiores. La regla es: •

Si entre dos filas, de una de ellas los valores son iguales o mayores, ésta domina a la otra que puede ser excluida de la evaluación. (MEJOR O IGUAL)

No se aplica el criterio de dominación a las columnas (ver dominación en el capítulo de Teoría de Juegos) debido a que los Estados de la Naturaleza no actúan racionalmente. Ejemplo 7: A partir de la siguiente Tabla de Rendimientos, identificar cada acción dominada. Estados de la Naturaleza Estrategias a1 a2 a3 a4

s1 -1 -3 -2 -5

s2 2 0 -5 0

s3 4 5 2 2

s4 2 6 8 5

La acción a2 domina la acción a4, por lo tanto la acción a4 puede ser eliminada. Estados de la Naturaleza Estrategias a1 a2 a3

s1 -1 -3 -2

s2 2 0 -5

s3 4 5 2

s4 2 6 8

EL CASO DE LOS COSTOS En los casos anteriores para casos de incertidumbre se trató problemas que involucraban BENEFICIOS NETOS (Beneficios - Costos), se puede desarrollar los criterios de decisión para el caso en que la matriz para tomar una decisión contenga valores que represente COSTOS, en dicho caso comparativamente se tendrían los criterios mostrados en la Tabla 2.3. Se puede notar que en este caso quien decide tratará de obtener los mínimos costos, por lo que se preferirá los casos que impliquen una menor salida de dinero. Al igual que con los beneficios, no se posee para el caso de incertidumbre RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 15 -


criterios únicos de decisión, los que estarán muy relacionados con las actitudes del que debe de elegir un curso de decisión. A los criterios podemos denominarlos: MINIMIN MINIMAX CASTIGO MINIMAX CRITERIO DE HURWICS. CRITERIO DE LAPLACE. TABLA 2.3 CRITERIOS EN LOS CASOS DE BENEFICIOS O COSTOS CRITERIOS EN CASO DE BENEFICIOS NETOS CRITERIO MAXIMAX MAXIMIN

CASTIGO MINIMAX

HURWICS

LAPLACE

4.3.

REGLA DE DECISIÓN Se refiere al máximo beneficio entre los máximos beneficios. Se refiere al máximo beneficio entre los mínimos beneficios. Se refiere la mínima pérdida de oportunidad entre las máximas pérdidas de oportunidad. CELDA EN TABLA DE PERDIDA DE OPORTUNIDAD = VALOR MÁXIMO EN COLUMNA – VALOR DE COLUMNA Se refiere al máximo beneficio ponderado. (Alfa = Grado de Optimismo) Se refiere al máximo beneficio ponderado. (1/m, m= N° de Estados de la Naturaleza)

CRITERIOS EN CASO DE COSTOS CRITERIO MINIMIN MINIMAX

CASTIGO MINIMAX

HURWICS

LAPLACE

REGLA DE DECISIÓN Se refiere al mínimo costo entre los mínimos costos. Se refiere al mínimo costo entre los máximos costos. Se refiere a la mínima pérdida de oportunidad entre las máximas pérdidas de oportunidad CELDA EN TABLA DE PERDIDA DE OPORTUNIDAD = VALOR DE COLUMNA – VALOR MÍNIMO EN COLUMNA Se refiere el mínimo costo ponderado. (Alfa = Grado de Optimismo) Se refiere al mínimo costo ponderado. (1/m, m = N° de Estados de la Naturaleza)

CONDICIONES DE RIESGO

Como resultado de la existencia de datos sobre el problema o de la experiencia del administrador se pueden asignar probabilidades a los cursos de acción. Las decisiones en condiciones de riesgo, se refieren así, a la situación que se presenta cuando hay varias alternativas posibles y quien decide puede asignar probabilidades de ocurrencia de cada una de ellas. Cuando la suma de las probabilidades de los eventos posibles es igual a 1, se dice que las probabilidades son exhaustivas. Las probabilidades pueden ser asignadas bajo dos modalidades: a) Probabilidad Objetiva.- Se refiere a los valores de probabilidad que pueden ser determinados sobre alguna base objetiva, tales como las medidas de una observación. Ejemplo: Si se observa que 10 unidades de un artículo son vendidas en 14 de cada 100 días, basándose en un gran RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 16 -


número de observaciones de las ventas diarias, se puede suponer que la probabilidad de que la demanda iguale a 10 es 0,14. Distintos administradores usando la misma información asignará las mismas probabilidades. b) Probabilidades Subjetivas.- Se refiere a la asignación de una medida de probabilidad cuya observación y/o medida no es posible o no se tienen datos para establecerlos. Esta clase de probabilidad representa el grado de creencia del administrador de que suceda un evento particular. Si se desea fijar la probabilidad de ganar en una operación en la bolsa, con la compra de acciones de la Empresa "X", un corredor de bolsa puede fundamentar su decisión en su opinión personal. Distintos administradores podrán llegar a asignaciones de probabilidad distintas. Ejemplo 8: Hallar la probabilidad de ganar apostando por una cara o cruz con una moneda no "cargada". La probabilidad es 0,5. 4.3.1. EL ÁRBOL DE DECISIÓN Es un método que permite estudiar por etapas varias alternativas, una de las cuales debe escogerse. Ayuda a observar el aspecto secuencial de la toma de decisiones. La desventaja de este método es que no toma en cuenta los valores de cada posibilidad, sino sólo la esperanza matemática, la cual representa el valor medio conjunto de posibilidades. La resolución del problema usualmente se presenta en un gráfico con ramificaciones por lo que recibe el nombre de Árbol de Decisión, lo que no deja de lado el poder efectuarlo mediante Tablas de Rendimiento. Debe distinguirse entre las acciones y los estados de la naturaleza, ambos conceptos tienen semejanza con lo que plantea la situación de incertidumbre, es decir que las acciones corresponde a las decisiones alternativas que puede elegir quien decide y sobre las cuales puede influir, no así los Estados de la Naturaleza. La diferencia se da en tanto para estos últimos es posible asignarles probabilidades, ya sean objetivas o subjetivas. Las acciones gráficamente se muestran como un cuadrado y los estados de la naturaleza como círculo. El Cuadrado nos indica la etapa o punto de decisión y el círculo el evento aleatorio consignado como "nudo" o "nodo". Ejemplo 9: Simón Rodríguez un experimentado empresario, tiene un problema de decisión. Él puede ya comprar su propio equipo o alquilarlo de otra Empresa. Su acción estará influenciada por alguno de los tres estados que afectan al ambiente de la decisión. Para el primer año, él siente que el volumen de los negocios será bajo, mediano o alto; y ha determinado de los rendimientos de cada combinación acción-estado. Estos son: Acciones a1: Comprar ($) a2: Alquilar ($)

Estados de la Naturaleza s1: Bajo s2: Mediano s3: alto -1 000 0 1 500 500 500 1 000


- 17 -


Supóngase que Simón Rodríguez asigna a los tres estados posibles las siguientes probabilidades: Estado

Probabilidad de Ocurrencia

s1: Bajo

0,2

s2: Mediano

0,4

s3: Alto

0,4

Prob. acumulada

1,0

a) Diseñar el Árbol de Decisión para encontrar la mejor acción. b) Resolver con una Tabla de Rendimiento. c) Decidir si a2-s1 = 100, a2-s2 = 300, a2-s3 = 650. SOLUCIÓN a) ÁRBOL DE DECISIÓN: 400

s1: 0,20 * (1 000)

(200)

s2:: 0,40 * 0

a1

700 a2

0

s3: 0,40 * 1 500

600

s1: 0,20 * 500

100

s2: 0,40 * 500

200

s3: 0,40 * 1 000

400

Basándose únicamente en el factor económico, la elección se adopta bajo el criterio de la esperanza matemática de ingreso que representa el valor medio del ingreso más probable. Desarrollando el Árbol de Decisión se encuentra que la decisión óptima es Alquilar el Equipo, cuya posibilidad de ingresos es mayor ($ 700). b) Mediante una Tabla de Rendimiento:

Acción a1: Compra a2: Alquila

Estado de la Naturaleza s1: Baja s2: Mediana s3: Alta 0,20 0,40 0,40 -1 000 0 1 500 500 500 1 000

Esperanza Matemática 400 700

c) Ambas opciones son indiferentes. 4.3.2. INCERTIDUMBRE Y RIESGO Para la toma de decisiones es preferible enfrentar una situación de riesgo que una de incertidumbre. Esto conduce a recomendar que si se tiene una situación de incertidumbre, se debe evaluar si es posible convertirla a una de RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 18 -


riesgo y en el caso extremo convertirla a una situación de certidumbre. Ejemplo 10: Para convertir la situación planteada del vendedor de periódicos del Ejemplo 6, de incertidumbre a riesgo, se toma datos durante 60 días, los resultados se muestran a continuación: Periódicos Vendidos 6 7 8 9 10

Días Observados 6 14 22 10 8

Probabilidad Ocurrencia 0,10 0,23 0,37 0,17 0,13

Total

60

1,00

Con la información adicional, conocidas las probabilidades, se está en una situación de riesgo, adoptándose una decisión a partir del valor de la esperanza matemática: = 6*0,10 + 7*0,23 + 8*0,37 + 9*0,17 + 10* 0,13 = 8 periódicos 4.3.3. SIMULACIÓN Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos en este modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema. La simulación resulta útil para generar una decisión en la que se conocen las probabilidades de ocurrencia de eventos. Ejemplo 11: Realizar 100 simulaciones para el caso tratado en el Ejemplo 10, para lo cual se debe activar el complemento del Excel: “Herramientas para análisis” que figurará dentro del menú Datos, dentro del mismo se halla la opción “Generación de números aleatorios” y señalándole que se requiere: Número de variables = 1, Cantidad de números aleatorios = 100, el Rango de entrada de valores y probabilidades = (señalar los periódicos vendidos y sus probabilidades): 6 7 8 9 10

0,10 0,23 0,37 0,17 0,13

Luego indicarle dónde se deben obtener las simulaciones: “Rango de salida”, se obtendrá 100 valores simulados. Para decidir bajo esta técnica obtener el valor promedio de las 100 simulaciones, el que puede variar de una simulación a otra, como ejemplo en la que se efectuó la decisión sería que el RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 19 -


vendedor debe adquirir 8 periódicos. Número de Simulación 1 2 3 ... ... 98 99 100

Valor Simulado 9 8 8 ... ... 8 7 7

Promedio

7,98

CASO: RIESGO DE UN PERÍODO DE INVENTARIO En el Ejemplo 6, se trató la incertidumbre de un período de inventario, caso en el cual no se conoce las probabilidades asociadas a los Estados de la Naturaleza, de conocerse éstas, se está en condiciones de riesgo. Bajo este conocimiento adicional es posible calcular la Esperanza Matemática y decidir. Ejemplo 12: Calcular la esperanza matemática para el Ejemplo 6, considerando que las probabilidades son las señaladas en el Ejercicio 10. SOLUCIÓN: (Multiplicar las Probabilidades por cada valor monetario y acumular) a)

6 7 8 9 10

s1 0.10 6 30 15 0 (15) (30)

s2 0.23 7 30 35 20 5 (10)

s3 0.37 8 30 35 40 25 10

s4 0.17 9 30 35 40 45 30

s5 0.13 10 30 35 40 45 50

6 7 8 9 10

s1 0.10 6 30 20 10 0 (10)

s2 0.23 7 30 35 25 15 5

s3 0.37 8 30 35 40 30 20

s4 0.17 9 30 35 40 45 35

s5 0.13 10 30 35 40 45 50

Probab. a1 a2 a3 a4 a5

Esperanza Matemática 30.00 33.00 31.40 22.40 10.00

b) Probab. a1 a2 a3 a4 a5


- 20 -



c) Probab. a1 a2 a3 a4 a5 d)

6 7 8 9 10

s1 0.10 6 30 20 10 0 (10)

s2 0.23 7 28 35 25 15 5

s3 0.37 8 26 33 40 30 20

s4 0.17 9 24 31 38 45 35

s5 0.13 10 22 29 36 43 50


Considerando que se conoce las probabilidades de los Estados de la Naturaleza, se decide por comprar en la situación a) 7 periódicos (33.00 u.m.), en la b) 8 periódicos (33.55 u.m.) y en la c) 8 periódicos (32.69 u.m.). Dependerá de qué información o situación se tiene, si por ejemplo es posible rematar los periódicos lo más adecuado sería guiarse por la situación b), y se desea integrar el costo de escasez se guiaría por la situación c).

4.3.4. LA TEORÍA BAYESIANA En muchos problemas administrativos se puede empezar con probabilidades de ocurrencia, pero estar en una posición de revisarlas (mejorarlas) conforme se obtiene nueva información. El Teorema de Bayes proporciona un mecanismo para utilizar la nueva información para perfeccionar estimaciones de probabilidad. El Teorema de Bayes, trata sobre la probabilidad condicional que ocurra el evento A, dado que ha ocurrido el evento B y la Fórmula más simple en que se puede expresar es: P(A|B) = P(A y B) P(B) Ejemplo 13: Supóngase que existe un proceso en el que, cuando se prepara correctamente se ha visto que produce artículos que son 95% buenos. Por otro lado, cuando se prepara incorrectamente, sólo 20% de los productos son aceptables. Datos previos indican también que el 90% de las veces los procesos han sido efectuados correctamente en el pasado. Supóngase que se define el evento A como "una preparación correcta" y A’ como "una preparación incorrecta", B “artículo bueno”, B’ “artículo malo” ¿Qué nos indica P(PIB)? ¿Cuáles son los casos probabilísticos que se podrían presentar utilizando la Teoría Bayesiana? ¿Cuál sería la probabilidad relacionada con cada uno de los casos? P(PIB) nos indica que se tiene una probabilidad del 0,977 o 97,7% que el artículo que aleatoriamente se sacó y se catalogó como bueno haya sido producido dentro de un proceso correctamente preparado.


- 21 -


CASOS: a) Probabilidad de que haya sido elaborado en un proceso correctamente preparado, dado que es bueno (P(AIB)). b) Probabilidad de que haya sido elaborado en un proceso incorrectamente preparado, dado que es bueno (P(A’IB)). c) Probabilidad de que haya sido elaborado en un proceso correctamente preparado, dado que es malo (P(AIB’)). d) Probabilidad de que haya sido elaborado en un proceso incorrectamente preparado, dado que es malo (P(A’IB’)). o) en bu B ( 0,95 to) rec cor ( A 0,90

0,05 B' ( mal o)

o) uen B (b 0,20

A' ( 0,10 inc orr ect o)

0,80 B' ( ma lo)

Del árbol antes presentado, se puede deducir lo siguiente: CASO

Caso a.

FÓRMULA / RESOLUCIÓN P( A).P( B | A) P( A | B)  P( A).P( B | A)  P( A' ).P( B | A' ) 0,90 * 0,95 = 0,90 * 0,95  0,10 * 0,20



0,977

P( A' ).P( B | A' ) P( A' ).P( B | A' )  P( A).P( B | A)

P( A' | B) 

Caso b.



0,10 * 0,20 0,10 * 0,20  0,90 * 0,95

Probabilidad acumulada

Caso c.

RESULTADO

= =

0,023 1,000

P( A).P( B' | A) P( A | B' )  P( A).P( B' | A)  P( A' ).P( B' | A' )  P ( A' | B ' ) 

Caso d.

0,90 * 0,05 0,90 * 0,05  0,10 * 0,80

=

0,360

P( A' ).P ( B' | A' ) P( A' ).P ( B ' | A' )  P ( A).P( B' | A)



0,10 * 0,8 0,10 * 0,80  0,90 * 0,05

Probabilidad acumulada RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 22 -

= =

0,640 1,000


4.3.5. VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN PERFECTA (VEIP) Una situación de certidumbre es preferible que una de riesgo, entre ambas situaciones, en la segunda el decisor actúa con menos información. Supongamos que estando en riesgo se quiere conseguir información adicional por ejemplo referida a qué Estado de la Naturaleza ocurrirá deseando mejorar una situación de riesgo, aún no se llegue a la absoluta certeza, lo que se obtenga la llamaremos información perfecta. El valor de la información perfecta nos muestra cuál es la máxima cantidad de dinero que un individuo u organización debe estar dispuesta a pagar por obtener una información que le indica, sin absoluta certeza, qué ocurrirá con determinada variable. Matemáticamente, se define el Valor Esperado de la Información Perfecta, denotado por VEIP, a la diferencia entre la ganancia esperada con información perfecta y la esperada careciendo de ella. Hay que tener en cuenta que con mayor información la ganancia esperada será mayor. Su cálculo se efectúa del modo siguiente: a)

Para cada columna de la Tabla de Rendimiento seleccionar el mayor valor, tomando así para cada estado la mejor opción.

b)

Hallar la suma producto de las probabilidades con los valores hallados en a).

c)

Hallar en la Tabla de Rendimiento, el valor máximo entre los promedios de los beneficios de cada Acción o Estrategia.

d)

Hallar el VEIP = Valor hallado en b) – Valor hallado en c).

EJEMPLO 14: Si Ud. puede ganar en un negocio 20 000 unidades monetarias (u.m.) con la información con que cuenta pero si viene una persona y le establece que tiene información privilegiada que le permitirá ganar 25 000 u.m. se puede deducir que lo máximo que podría pagar por esa información es el monto adicional de ganancia (25 000 – 20 000 = 5 000) ya que si paga por ejemplo 6 000 u.m. su ganancia con la nueva información se habría reducido de 20 000 a 19 000. Para este ejemplo el VEIP = 5 000. La mayoría de las personas o empresas estarían dispuestos a pagar por pronósticos y otra información útil para predecir con mayor seguridad qué condición ocurrirá. Lo que se halla es un límite superior, de superar a éste límite la persona o empresa no saldrá beneficiada de dicha información ya que podría disminuirlas, se ser exactamente igual al límite superior no se ganará ni perderá con la nueva información, sólo de pagar menos de dicho límite habrá ganancia. EJEMPLO 15: a) Hallar el Valor Esperado de la Información Perfecta para VEIP para la Tabla de Rendimiento para el caso c) del Ejemplo 12. b) Interpretar los resultados. c) Comprobar que el VEIP se puede hallar a través RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 23 -


del criterio del castigo MINIMAX (con la Tabla de Pérdida de Oportunidad), correspondiendo al mínimo valor esperado. Si la información fuera perfecta para los Estados de la Naturaleza, se obtendría la máxima ganancia (s1 = 30, s2 = 35, s3 = 40, s4 = 45, s5 =50, en el mejor de los casos se podría considerar que se ganará 50 u.m. y si se esperaría ganar con a3 32.69 u.m. la cantidad máxima que se esperaría pagar por información adicional sería 50,00 – 32.69 = 17.31, pero considerando que no se tiene control sobre los Estados de la Naturaleza un límite superior más realista es el rendimiento esperado dado lo mejor que podría suceder, lo que conduce a fijar otro límite superior, que se restará a 32,69 para obtener el VEIP (40,00 – 32,69 = 7,31) y que se halla así: Rendimiento esperado = 0,10*30 + 0,23*35 + 0,37*40 + 0,17*45 + 0,13*50 = 3,00 + 8,05 + 14,80 + 7,65 + 6,50 = 40,00 a) Probab.

s1

s2

s3

s4

s5

Valores

0.10

0.23

0.37

0.17

0.13

Esperados

6

7

8

9

10

a1

6

30

28

26

24

22

26.00

a2

7

20

35

33

31

29

31.30

a3

8

10

25

40

38

36

32.69

a4

9

0

15

30

45

43

27.79

a5

10

-10

5

20

35

50

20.00

Cálculo del VEIP Información perfecta Rendimiento esperado

30

35

40

45

50

3.00

8.05

14.80

7.65

6.50

Mejor valor esperado entre las acciones (a1, a2, a3, a4, a5) Valor esperado de la Información Perfecta (VEIP)

A

40.00

B

32.69

A–B

7.31

b)

El VEIP de 7.31 unidades monetarias, establece la cantidad máxima que el vendedor de periódicos debe estar dispuesto a pagar por obtener información adicional, sobre qué Estado de la Naturaleza va a ocurrir. Cuando conoce qué Estado de la Naturaleza ocurrirá ganaría como 40 u.m., por ausencia de ésta información ganará fundamentado en el valor esperado monetario de la decisión óptima 32.69 u.m. la diferencia entre ambos valores es el VEIP.

c)

Castigo MINIMAX (con la Tabla de Pérdida de Oportunidad), se calculan los valores esperados por ejemplo: Valor esperado a1 = 0.10*0 + 0.23*7 + 0.37*14 + 0.17*21 + 0.13*28 = 14.00


- 24 -


Se selecciona el Mínimo entre dichos valores y es exactamente el mismo que se calculó en b) para el VEIP.

Probab. a1 a2 a3 a4 a5

s1

s2

s3

s4

s5

Valores

0.10

0.23

0.37

0.17

0.13

Esperados

0 10 20 30 40

7 0 10 20 30

14 7 0 10 20

21 14 7 0 10

28 21 14 7 0 Mínimo

4.4.

14.00 8.70 7.31 12.21 20.00 7.31

CONDICIONES DE CONFLICTO

Se da cuando quien decide debe tomar en cuenta las acciones de un competidor u oponente. Ejemplo 16: Concursar en una Licitación, ofreciendo los servicios de asesoría, sabiendo que existen otras empresas que también presentarán sus propuestas. Es posible diseñar una matriz de acciones que podría relacionarse a las acciones o estrategias de los demás oponentes. Las condiciones que debe cumplirse así como su resolución se verán en el Capítulo sobre Teoría de Juegos.


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PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Una empresa de venta de comida rápida está considerando el alquilar un stand en una feria Regional. De acuerdo al área ocupada, los stands se alquilan en tres tamaños: grande, mediano y chico. Por ser nuevos para ese mercado, la aceptación por el público podría ser alta o baja, considera que los posibles resultados que podría obtener son: $ 150 000; $ 20 000; ($ 20 000); $ 100 000; $ 60 000 ó $ 200 000. Se solicita: a) Plantear las estrategias posibles y los estados de la naturaleza. b) Elaborar las Tablas de: Ordenamiento Lógico de Valores, Rendimiento y Pérdida de Oportunidad. c) Decir si la Tabla de Rendimientos puede ser reducida por dominación d) Resolver el Problema bajo los criterios de incertidumbre, considerar  = 0,80.

2.

Iguana Film, está considerando producir una nueva serie de películas de terror para un circuito grande de TV. El circuito puede rechazar la serie o puede comprarlos por uno o dos años. Iguana Film puede decidir ya sea producir la serie o no, puede aceptar una oferta para transferir los derechos de la serie de películas a un competidor. Las acciones pertinentes para Iguana Film pueden ser expresadas como sigue: a1: Producir la serie. a2: Vender los derechos a un competidor. a3: No producir la serie, tampoco vender a un competidor. Los estados de la naturaleza o condiciones más importantes en este problema dependen de la acción del circuito. Estas condiciones pueden ser expresadas así: s1: El circuito rechaza la serie. s2: El circuito compra la serie por un año. s3: El circuito compra la serie por dos años. Se solicita: a) Elaborar una Tabla de Rendimiento Considerar los siguientes valores: -10, 0, 5, 200, 5, 0, 5, 0, 90 y  = 0,65. b) Evaluar y decidir por la mejor acción bajo todos los criterios estudiados.

3.

El gerente de ventas de una tienda tiene el problema de fijar cuántos relojes de pared pedir. El gerente estima que la demanda de relojes estará entre 0 y 3 unidades. Cuesta $ 15,00 comprar 1 unidad la que se vende a $ 20,00. El gerente sabe que si no hay demanda para una unidad ésta puede ser vendida a precio de remate en $ 2,00. El gerente también aumenta $ 1,00 al costo de cada reloj que es pedido pero que no se encuentra normalmente en existencia (costo de escasez). Se solicita: a) Construir la tabla de rendimientos adecuada. b) Encontrar las estrategias maximax., maximin, del castigo minimax, de Hurwicz utilizando un coeficiente de optimismo de 0,75 y de Laplace.

4.

Costos.- Una instalación recreativa debe decidir acerca del nivel de abastecimientos que debe almacenar para satisfacer las necesidades de


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sus clientes durante uno de los días de fiesta. El número exacto de clientes no se conoce, pero se espera que esté en una de las cuatro categorías: s1: 200, s2: 250, s3: 300 o s4: 350 clientes. Se sugieren por consiguiente cuatro niveles de abastecimiento: a1, a2, a3 y a4. La relación entre el número de clientes y los costos que se pueden incurrir se detallan en la matriz siguiente: El número de clientes llegará a ser Nivel de abastecimiento para: 200 Clientes 250 Clientes 300 Clientes 350 Clientes

s1: 200 a1 a2 a3 a4

5 8 21 30

s2: 250

s3: 300

COSTOS 10 18 7 8 18 12 22 19

s4: 350 25 23 21 15

Se considera que, α =0.5, los niveles de abastecimiento son las Estrategias que están en disposición de poder ser influidas por quien decide y el número de clientes que podrían llegar o no son los Estados de la Naturaleza. 5.

Un agricultor está preocupado ante la posible presencia de una sequía. Fundamentado en su experiencia el agricultor conoce que en épocas normales gana $. 2 000 por hectárea sembrada y considera que debe asumir como castigo en caso de no haber tomado la mejor decisión un costo de $800 por hectárea no sembrada. En caso de darse fenómenos naturales negativos perdería por todo concepto $ 1 100 por hectárea sembrada. Posee 80 hectáreas para sembrío y considera que de él depende adoptar acciones que se podrían catalogar como optimista, intermedia o pesimista, aunque según expresa tiene igual posibilidades de ganar que de perder. Se solicita: a) Establecer sus posibles niveles de ganancia o pérdida en forma cuantificada. b) ¿Cuál debería ser su decisión de acuerdo a los criterios estudiados? c) ¿A qué categoría pertenece el problema (ver Tabla 2.1)? ¿Por qué? d) Si de acuerdo al análisis efectuado por un especialista meteorólogo existe un 25% de posibilidad que se presente una sequía cuál sería la decisión y a que tipo o categoría de problema se enfrentaría el agricultor. e) Cómo convertir el problema en un caso de certidumbre.

6.

Dos personas viven en una casa muy grande, el problema que se enfrentan, es tener que regresar a abrir o cerrar su puerta en las noches, ya que no saben si deben de cerrarla para evitar que se pueda abrir de afuera y sufrir robos. No saben si al llegar una de ellas la otra ya está en el interior. a) Analizar el problema desde el punto de vista de la incertidumbre, riesgo y certidumbre. b) Fijar cuál sería su aplicación práctica para resolver problemas.


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7.

Tres socios de una compañía minera están tratando de decidir en incertidumbre, sobre la forma de construir una vía que permita unir el lugar donde queda ubicada la mina con una carretera ya existente. Conocen que podría ser de pavimento flexible, pavimento rígido o pavimento articulado (a1, a2 y a3 respectivamente). Los costos que implicará su construcción y mantenimiento estarán sujetos al material utilizado y al tipo de terreno predominante que puede variar constructivamente de acuerdo a los siguientes estados de la naturaleza: Tipo I: Baja ventaja, Tipo II: Mediana ventaja o Tipo III: Buena ventaja (s1, s2 y s3 respectivamente). Los costos en una Tabla de Ordenamiento Lógico de Valores, es la mostrada a continuación, se han calificado desde el menos favorable = 1 al más favorable = 9, siendo expresado en miles de nuevos soles (S/.): 88 200, 77 900, 74 500, 70 000, 66 800, 63 300, 59 800, 56 200 y 40 900. Se solicita elaborar: a) La lista de acciones y estados de la naturaleza. b) La Tabla de Rendimiento. c) Encontrar las decisiones con los criterios aplicables a una situación de incertidumbre (tomar en cuenta que se trata de costos), para el criterio de Hurwicz α =0.65. d) Si todos los socios concuerdan que las condiciones de ocurrencia de los estados de la naturaleza son todas igualmente posibles, ¿cuál sería el criterio adoptado y que decisión adoptarían? Tabla de Ordenamiento Lógico de Valores: Estrategias a1 a2 a3

8.

s1 5 4 1


A partir de la siguiente tabla de rendimiento: a1 a2

s1 1 000 2 000

s2 500 1 500

s3 2 000 -500

a) Construya el árbol de decisión que corresponda a la tabla. b) Usando el árbol de decisión anterior encontrar la mejor acción, si los estados s1, s2 y s3 tienen las probabilidades 0,70, 0,20 y 0,10 respectivamente. 9.

El lanzamiento de un nuevo producto según las posibilidades de estudios realizados son introducirlo a nivel nacional o regional, pudiendo darse que la demanda sea alta, media o baja. Si se decide lanzar el producto regionalmente, es posible posteriormente hacerlo a nivel nacional, siempre y cuando el resultado regional así lo recomendara. Los resultados posibles en miles de dólares son: 1 400, (3 500), 15 600, 4 200, (7 100), 14 100, 9 800, (5 000), 12 600, 7 000, (700). Los posibles resultados relacionadas con el mercado son que se podría tener:


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Acción Introducción Regional Introducción Nacional Ampliación luego de Introducción Regional Continuar a nivel Regional, luego de Introducción Regional

Probabilidad Demanda Alta Media Baja 0,70 0,10 0,20 0,50 0,20 0,30 0,60 0,10 0,30 0,60 0,10 0,30

Se solicita: a) Establecer las acciones y los estados de la naturaleza. b) Elaborar una Tabla de Ordenamiento Lógico de Valores. c) Evaluar y resolver mediante Tablas de Rendimiento. d) Resolver en un Árbol de Decisión. 10. Una empresa procesadora de alimentos está considerando decidir cuánto producir. Prevé que la demanda de su producto podría ser 100 200 o 300 unidades. Elabore: a) Las Tablas de Ordenamiento Lógico de Valores y de Rendimiento si los resultados a que podría arribar en unidades monetarias son: -1000, -400, -200, -100, 200, 500, 700, 800 y 1 600. c) Para cada criterio en incertidumbre ¿Cuáles serían las opciones que se elegiría? 11. Un analista de una empresa fotográfica estima que la probabilidad de que una empresa competidora "XY" tenga planes para empezar a fabricar equipo fotográfico instantáneo dentro de los próximos tres años es 0,40 y 0,60 de que no los tenga. De tener la firma "XY" tales planes se construirá definitivamente una nueva planta manufacturadora de equipo fotográfico instantáneo. Si "XY" no tiene esos planes, todavía hay una oportunidad de 50% de que se construirá la nueva planta manufacturadora para otros fines. Se solicita: a) Calcular los eventos posibles. b) Representar los eventos posibles por medio de un diagrama de árbol. c) Si la firma competidora ha iniciado el trabajo para la nueva planta ¿Cuál es la probabilidad de que ésta haya decidido entrar al campo de la fotografía instantánea? PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Para el problema 3, identificar y analizar la lógica de las áreas de ganancia y pérdida y la celda de equilibrio para generar la Tabla de Ordenamiento Lógico de Valores.

2.

Miguel Arce es un empresario que invierte en negocios diversificados, actualmente tiene incertidumbre respecto a la duración de un trámite en la Administración Pública, para la Autorización de un nuevo Canal de Televisión. Sabe que podría durar un mes en el mejor de los casos o podría extenderse a tres meses en el peor de los casos, el resultado a la vez podría serle favorable o desfavorable. Actualmente y sólo por un mes el Gobierno ha dado una Ley para permitir importar equipo sin pago de aranceles, ante lo cual puede no invertir, comprar parte de la maquinaria o adquirir toda la maquinaria. Miguel manifiesta que su grado de optimismo es de 0.80. Se solicita:


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a) Establecer las Acciones y los Estados de la Naturaleza. b) Fijar en una Matriz, el Área de Ganancia, el Área de Pérdida y la Celda de Equilibrio, luego elaborar la Tabla de Ordenamiento Lógico de Valores. c) La Tabla de Rendimiento que se sabe que en el peor de los casos es -35 000 y de allí se incrementa consecutivamente de S/. 5 000 en S/. 5 000 (está en consecuencia entre -30 000 y 20 000). d) Hallar la solución para cada uno de los criterios bajo incertidumbre, indicando la acción seleccionada y el valor de ganancia o pérdida esperado. 3.

Elaborar un caso referente a un minero exportador de minerales que está en incertidumbre respecto a los precios internacionales de los metales.

4.

Elaborar un caso referente a una empresa que prevé por primera vez a un Concurso para abastecer con varios productos a una entidad pública.

5.

En un país, se presentan a la Presidencia de la República, tradicionalmente dos partidos políticos: “A” y “B”, sin embargo a raíz de un marcado descontento de la población, viene surgiendo una tercera opción: “C”, liderado por Juan Medina. Ante ello tanto A como B le ofrecen a C, ir en alianza. “A” le ofrece ir como Vicepresidente, B a su vez le ofrece ir como candidato oficial a la Presidencia. Juan Medina considera que también podría ir solo, aunque su nivel de optimismo es de solo 35% pero a su vez los beneficios de ganar con un partido propio serían mejores. Sabe que si bien los costos monetarios de campaña son grandes, estos vistos con una previsión de los 5 años que durará la campaña no lo son tanto. Su contador calcula los costos que en millones de dólares serían: 400, 320, 200, 180, 100, 0. Se solicita hallar la Tabla de Rendimiento.

6.

Un minero informal tiene fundados temores sobre la expedición de nuevas normas por parte del Estado a fin combatir la actividad por los daños causados al ambiente, el Estado ésta vez ha potenciado adecuadamente su acción controladora. Considera que en los próximos tres años una opción es que no se expida la norma, que ésta otorgue un plazo de hasta 3 años para poder adecuarse a ella o que fije su obligatoriedad inmediata. Podría a su vez dejar la actividad inmediatamente, continuar como informal o efectuar inversiones para poder cumplir con los estándares de calidad que se sabe exigirá la norma. Sólo tiene conocimiento de los costos que le significaría cada acción, de darse cada uno de los estados de la naturaleza, éstos son en miles de soles: S/. 0, S/. 50, S/. 80, S/. 100, S/. 130, S/. 150, S/. 250, S/. 300, S/. 400 y su grado de optimismo es 0,50. Se solicita hallar: a) La relación de acciones o estrategias y estados de la naturaleza. b) La Tabla de Ordenamiento Lógico de Valores (asignar 1 al costo menor y 9 al costo mayor). c) La Tabla de Rendimiento con las acciones y sus costos previstos bajo condiciones de incertidumbre. d) Al minero qué acción relacionada con qué estado de la naturaleza le significará: El menor costo y de manera similar el mayor costo; al tener ambos extremos qué es lo que le convendría más. e) ¿Qué acción le convendría adoptar al Estado, asumiendo que tendrá una acción efectiva en controlar sus disposiciones? ¿por qué? f) Expedida la norma y de no tener el Estado


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una acción efectiva para controlar sus disposiciones, ¿qué sucederá? g) Se formalizará o no el minero ¿por qué? h) Para que la norma considere una sanción pecuniaria al minero ¿a cuánto debiera ascender para que sea coercitiva? ¿por qué? i) Calcule las acciones y valores relacionados con los criterios bajo incertidumbre y establezca bajo la situación planteada, ¿tendrá resultado en el minero la acción del Estado? j) ¿Se puede concluir que el Estado no debe expedir la norma? 7.

Los propietarios de una empresa deben decidir bajo incertidumbre si construyen una Planta Grande o una Planta mediana dado que las ventas pueden ser Altas, Medias o Bajas y los valores de los beneficios o pérdidas a obtener son: -3,00; 0,25; 1,00; 3,00; 6,00 o 12,00 millones de unidades monetarias, α = 0,65. Se solicita: a) Hallar la Tabla de Ordenamiento Lógico de Valores. b) Estructurar la Tabla de Rendimientos. c) Resolver el problema e interpretar sus resultados.

8.

Una empresa debe realizar trabajos de construcción en una zona endémica afectada por el dengue ya que las personas son atacadas por el mal. Los costos que implican su tratamiento son asumidos por la empresa, lo que le disminuye las utilidades a obtener. La empresa puede optar por no aceptar el contrato, subcontratar a otra empresa cubriendo en parte los gastos de tratamiento de los trabajadores (ejecución indirecta) o efectuar directamente la construcción, siempre adoptando de ser el caso, las medidas preventivas para evitar el dengue. Los efectos combinados del dengue en los trabajadores a su vez podrían ser de grado bajo, medio o grave, el Alfa de Hurwics es de 0,75 y los valores de los beneficios son en miles de unidades monetarias (u.m.): -800, -500, 200, -100, 0, 700, 950, 1 100 y 1 400. Resolver: a)

Bajo una situación de incertidumbre.

b)

Bajo una situación de riesgo en la que las probabilidades asociadas a los Estados de la Naturaleza referidos a los trabajadores son: -

c)

9.

No contraen dengue, probabilidad 0,20. Contraen el dengue en grado medio, probabilidad 0,50. Contraen el dengue en grado grave, probabilidad 0,30.

Si la empresa desea efectuar un estudio previo sobre los Estados de la Naturaleza ¿cuál sería el monto máximo a pagar por dicho estudio?

La cadena de Farmacias SaludFarma S.A.C, nunca ha realizado campañas publicitarias agresivas, considera que el presente año, podría no invertir en ellas, realizar alternativamente una campaña por 40, 44.80 o 56 millones de unidades monetarias (u.m.), el resultado de las mismas podría significar que la actual utilidad de 900 millones de u.m. pueda tener un incremento medio o alto, en resumen el Departamento de Comercialización con un optimismo empresarial de 0,60, y previendo que su castigo por no hacer al menos debieran ser las mínimas ganancias previstas para el caso, ha desarrollado la siguiente proyección:


- 31 -


Costo campaña publicidad 40.00

44.80

56.00

Incremento Utilidad Cualitativo

Cuantitativo

Medio

6%

Alto

8%

Medio

12%

Alto

15%

Medio

25%

Alto

30%

Se solicita: a) Hallar la Tabla de Rendimiento. b) En una tabla mostrar el resumen de las decisiones que se adoptarían y los montos que se relacionan a ellas. IMPORTANTE: Para el caso no se solicita la Tabla de Ordenamiento Lógico de Valores debido a que no hay relación que pueda anticiparse dado que se debe calcular cada uno de los valores de la Tabla de Rendimiento y si se cambian los datos posiblemente la relación existente de un ordenamiento lógico ya no se cumpla. 10. A José, coleccionista aficionado, le visita un comerciante desconocido, le ofrece según él una pieza arqueológica de la época de los incas. Él podría comprar o no la reliquia, aun sabiendo que no hay garantía que sea auténtica o falsa ya que tiene un nivel de optimismo de 0,70 que pueda ganar con la compra y que de su decisión dependa que pueda tener cuatro posibles resultados monetarios: -500, -300, 0, 900. Se solicita: a) Elaborar la Tabla de Rendimiento donde se especifique las Acciones y Estados de la Naturaleza. b) Resolver y establecer qué Acciones se deben realizar y cuál sería su resultado monetario. c) Encuentre alguna explicación si para otro caso similar pueda tener en la misma ubicación de su Tabla de Rendimiento el valor de -300 con signo cambiado. d) ¿Cómo hacer que la situación sea de certidumbre? e) Se mantendría la matriz si en vez de no comprar la Acción sería que el comerciante lo deje en hipoteca? 11. Hoy en la madrugada robaron por un monto de 80 mil u.m. a una Empresa que está en incertidumbre sobre la conveniencia de presentar o no la denuncia policial, por todos los costos y problemas que implicaría hacerlo. Ésta institución del Estado podría recuperar o no las pertenencias o efectuar una recuperación sólo parcial. Los montos previstos de pérdidas o ganancias (en miles de u.m.) son: -100, -80, -40, 0. 40, 80. Se solicita: a) Establecer la Matriz de Ordenamiento Lógico de Valores y la Tabla de Rendimientos. b) Resolver y dar en síntesis las Acciones y montos que implican. 12. Un científico cree que podría encontrar una nueva medicina la cual RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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podría sanar una enfermedad, sólo tener un efecto paliativo o no tener ningún efecto. Su investigación la podría o no realizarla, de realizarla podría efectuarla asociado con un laboratorio de prestigio o de manera independiente. Se solicita: a) Establecer la relación de Acciones y Estados de la Naturaleza. b) Deducir la Tabla Lógica de valores. 13. El Jefe de Mantenimiento de la empresa ha comunicado que un componente de una máquina principal debe ser cambiada, que su duración máxima podría ser de 60 días, periodo en el cual puede dejar de operar o su rendimiento ser medio o normal. La empresa piensa que puede adquirir el repuesto en el mercado local, mercado nacional o internacional en los que existe una significativa diferencia de precios. Se solicita: a) Establecer la relación de Acciones con los Estados de la Naturaleza. b) Deducir la Tabla Lógica de valores. 14. Escoger un problema de los Propuestos que sea de incertidumbre y resolverlos a partir del planteamiento que de acuerdo a su criterio efectúe, como una situación de riesgo, en algunos casos tal vez pueda formular una posible situación de certidumbre. 15. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar. Determine: la probabilidad que sea una niña, dado que la infante sea menor de 24 meses. a) b) c) d)

Probabilidad de que sea un niño, dado que el infante tenga menos de 24 meses (P(AIB)). Probabilidad de que sea una niña, dado que la infante tenga menos de 24 meses (P(A’IB)). Probabilidad de que sea un niño, dado que el infante tenga más de 24 meses (P(AIB’)). Probabilidad de que sea una niña, dado que la infante tenga más de 24 meses (P(A’IB’)).


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RESPUESTAS - PROBLEMAS RESUELTOS 1. a. ACCIONES a1: Alquilar tamaño grande. a2: Alquilar tamaño mediano. a1: Alquilar tamaño chico.

ESTADOS DE LA NATURALEZA s1: Alta aceptación del público. s2: Baja aceptación del público.

b. Matriz de Ordenamiento Lógico de Valores. s1 s2 a1 6 1 a2 5 2 a3 4 3 Tabla de rendimientos. s1 a1 200 000 a2 150 000 a3 100 000

s2 (20 000) 20 000 60 000

Tabla de Pérdida de Oportunidad. s1 a1 0 a2 50 000 a3 100 000 c.

s2 80 000 40 000 0

No puede ser reducida al no existir alguna acción que domine a otra.

d. CRITERIO MAXIMAX MAXIMIN CASTIGO MINIMAX HURWICS LAPLACE

ACCIÓN a1 a3 a2 a1 a1

VALOR 200 000 60 000 50 000 156 000 90 000

2. a.

Acciones

a1 a2 a3

s1 (10) 5 0

Estados s2 90 5 0


- 34 -

s3 200 5 0


b. CRITERIO MAXIMAX MAXIMIN CASTIGO MINIMAX HURWICS LAPLACE 3. a.

MEJOR ACCIÓN a1 a2 a1 a1 a1

VALOR 200,00 5,00 15,00 126,50 93,33

TABLA DE RENDIMIENTOS

Pedido

a1 a2 a3 a4

0 Relojes 1 Reloj 2 Relojes 3 Relojes

Demanda s2 s3 1 Reloj 2 Relojes -1 -2 5 4 -8 10 -21 -3

s1 0 Relojes 0 -13 -26 -39

s4 3 Relojes -3 3 9 15

b. MAXIMAX = a4, con un rendimiento de $ 15. c. MAXIMIN: = a1, con un rendimiento de $ -3 d. CASTIGO MINIMAX = a2, con una pérdida mínima de $ 13. e. ESTRATEGIA DE HURWICS = a4 CON UN RENDIMIENTO ESPERADO DE $ 1,5. f. LAPLACE: = a2 CON UN RENDIMIENTO ESPERADO DE $ -0,25. 4. CRITERIO MINIMIN MINIMAX CASTIGO MINIMAX HURWICS LAPLACE

ACCIÓN a1 a3 a2

VALOR 5 21 8

a1 a2 a2

15 11,5

5. a. Estados de la Naturaleza

Acciones

s1

s2

No se produce

Se produce

sequía

sequía

Sembrar 80 hectáreas

a1

160 000

(88 000)

Sembrar 40 hectáreas

a2

48 000

(44 000)

No sembrar

a3

(64 000)

0


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a1 con s1 = 2 000 * 80 = 160 000 a2 con s1 = 2 000 * 40 – 800 * 40 = 48 000 a3 con s1 = (800) * 80 = (64 000) a1 con s2 = (1 100) * 80 = (88 000) a2 con s2 = (1 100) * 40 = (44 000) a3 con s2 = 0 b.

Coeficiente de Optimismo  = 0,50 (deducido de los datos) CRITERIO

ACCIÓN

MAXIMAX MAXIMIN CASTIGO MINIMAX HURWICS LAPLACE c.

a1 a2 a1 a1 a1

VALOR 160 000,00 ( 44 000,00) 88 000,00 36 000,00 36 000,00

Incertidumbre.

d.

Acciones Sembrar 80 hectáreas Sembrar 40 hectáreas No sembrar

a1 a2 a3

Estados de la Naturaleza s1 s2 No se produce Se produce Sequía sequía 0,75 0,25 160 000 (88 000) 48 000 (44 000) (64 000) 0

Esperanza Matemática 98 000 25 000 (48 000)

De acuerdo a la Tabla anterior la esperanza matemática más favorable (98 000) se inclina por la opción sembrar 80 hectáreas, enfrentándose a una situación de riesgo. Note que puede llegar al mismo resultado utilizando el Árbol de Decisión, lo que cambia es la forma de presentación. e.

Si el clima es lo que genera la incertidumbre, la forma de poder superar este inconveniente sería el optar por el riego tecnificado por ejemplo con riego por goteo. Esta opción en la vida real tiene que ser sujeta a evaluaciones de costo / beneficio. Para un agricultor el riesgo de una mala cosecha, podría aminorarse si se dedica a varios tipos de cultivos y no solamente a uno. Además de adquirir terrenos en varios lugares en vez de tener la misma extensión de terreno en un solo sitio. También dentro del sistema financiero el riesgo por precios podría enfrentarse concertando en forma anticipada ventas de sus productos o compras de insumos.

6. a.

Las acciones o estrategias serían cerrar y no cerrar la puerta, los estados de la naturaleza la otra persona está y la otra persona no está. Se da una condición de incertidumbre si las personas asumen que no se conoce


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nada para enfrentar los estados de la naturaleza, con un poco de esfuerzo se podría plantear probabilidades ya sea objetivas o subjetivas para los estados de la naturaleza, y finalmente si se acuerda que el que entre primero deje una señal que pueda indicar al otro que este hecho, el “problema” sería de certidumbre. Para el caso de probabilidades las subjetivas podría ser analizadas, así de llegar por ejemplo a una probabilidad de 0,50 para los estados de la naturaleza la decisión de cerrar o no cerrar debiera tomarse aleatoriamente o al azar y no entenderlo como un día cerrar y el otro no, la decisión correcta podría ser por ejemplo utilizando una moneda (cara y cruz), asignando para lo que resulte la acción a tomar, así cara podría ser cerrar la puerta. Para el caso de probabilidades objetivas se podría generar por ejemplo para 30 días de observación una tabla de frecuencias, que permita elaborar las probabilidades correspondientes, tal como se muestra seguidamente: Estado de la Naturaleza Esta No está TOTALES

Número de veces 24 06 30

Probabilidad 0,80 0,20 1,00

Se reitera que para el caso también la decisión de cerrar o no cerrar debe ser tomada aleatoriamente, por ejemplo con una bolsa con papeles que tengan números del 1 al 30 de modo que de sacar un número que esté entre el 1 al 24 se asegure por dentro la puerta y de estar entre 25 al 30 se opte por no asegurarla. b.

A nivel práctico se debe señalar que muchas veces un problema puede ser mejor resuelto si luego de analizado se logra que la incertidumbre pueda convertirse en riesgo y en lo óptimo en certidumbre.

7. a) Acciones a1: Construir de pavimento flexible a2: Construir de pavimento rígido a3: Construir de pavimento articulado

Estados de la Naturaleza s1: Tipo I: Baja ventaja s2: Tipo II: Mediana ventaja s3: Tipo III: Buena ventaja

b)

a1 a2 a3

Tabla de rendimiento s1 s2 66 800.00 77 900.00 70 000.00 59 800.00 88 200.00 63 300.00


- 37 -

s3 74 500.00 56 200.00 40 900.00


c) CRITERIO

ACCION

VALOR

MINIMIN

a3

40 900.00

MINIMAX CASTIGO MINIMAX

a2 a2

70 000.00 15 300.00

HURWICS

a3

57 455.00

LAPLACE

a2

62 000.00

d) Adoptarían el criterio de Laplace (de la razón insuficiente) y la decisión sería: construir la carretera de pavimento rígido, esperando que los costos de construcción y mantenimiento sean de S/. 62 000 000. 8. a.

1 000 a1

1 650 a2

b.

s1: 0,70 * 1 000

700

s2:: 0,20 * 500

100

s3: 0,10 * 2 000

200

s1: 0,70 * 2 000

1 400

s2: 0,20 * 1 500

300

s3: 0,1 * (500)

(50)

La mejor acción es: a2.

9. a. Acciones

Estados de la Naturaleza

a1: Introducción Regional

s1: Demanda alta.

a2: Introducción Nacional

s2: Demanda media. s3: Demanda baja.

De darse s1, luego de a1: a3: Ampliar a nivel Nacional. a4: Continuar a nivel Regional.


- 38 -


b.

Tabla de Ordenamiento Lógico de Valores. Acción

Descripción del efecto


Resultado ($)


Resultado ($)

Acción

Estado de la Naturaleza s1: Alta

11


s2: Media

s3: Baja 5

3

6

1


s2: Media

s3: Baja

a3: Ampliar a Nivel. Nacional.

Resultado ($)

10

8

2

a4: Continuar a Nivel Reg.

Resultado ($)

9

7

4

c.

Tabla de Rendimientos:

Acción




Acción

a4: Continuar a Nivel Reg.

s2: Media

Esperanza

s3: Baja

Probabilidad

0,70

0,10

0,20

Resultado ($)

8 050 (1)

1 400

(3 500)

Probabilidad

0,50

0,20

0,30

Resultado ($)

15 600

4 200

(7 100)


a3: Ampliar a Niv. Nacion.



s2: Media

Matemática 5 075

6 510

Esperanza

s3: Baja

Probabilidad

0,60

0,10

0,30

Resultado ($)

14 100

9 800

(5 000)

Probabilidad

0,60

0,10

0,30

Resultado ($)

12 600

7 000

(700)

Matemática

(1) Resultado calculado, se relaciona con esperanza matemática de a4 La mejor decisión resulta a2: Introducir el producto a nivel nacional. d.

Árbol de decisión


- 39 -

7 940

8 050


Demanda Alta: 0,60 x 14 100 Ampliar Nivel Nacional

Demanda Alta: 0,70

7 940

C

Demanda Media: 0,10 x 9 800

980

Demanda Baja: 0,30 x (5 000)

(1 500)

Demanda Alta: 0,60 x 12 600

7 560

2 Continuar 8 Nivel Region.

050

D

Demanda Media: 0,10 x 7 000 Demanda Baja: 0,30 x (7 00)

INTRODUCCIÓN REGIONAL

8 460

700 (210)

5 075 Demanda Media: 0,10 x 1 400

A

1

140


(700)

Demanda Alta: 0,50 x 15 600

7 800

6 510 INTRODUCCIÓN NACIONAL

Demanda Media: 0,20 x 4 200

B

840


(2 130)

10.

Producción

100 200 300

100 6 2 1

Demanda 200 5 8 3

300 4 7 9

11. a. Si A = Tiene Planes y B = Planta competidora se construye: P( A | B) 

0,40 * 0,10  0,40 * 0,10  0,60 * 0,50

0,571

P ( A' | B) 

0,60 * 0,50  0,60 * 0,50  0,40 * 0,10

0,428


1,000

P( A | B' ) 

0,40 * 0,00  0,40 * 0,00  0,60 * 0,50

0,000

P ( A' | B ' ) 

0,60 * 0,50  0,60 * 0,50  0,40 * 0,00

1,000


1,000


- 40 -


b.

B

ne ie ) (T nes A la 0,40 P

0,60 A' (N pla o tie nte ne s)

c.

se or a tid pe om uye) c tr ta an cons (Pl 1,00

0,00 B' (Pla nta com petidor a no se constru ye)

B(

do eti mp ) co ruye nta onst a l c P

B' ( Pla n

ra

se

0,50

0,50 ta c o con mpetid stru o ye) ra no se

Si la firma competidora ha iniciado el trabajo para la nueva planta, la probabilidad de que ésta haya decidido entrar al campo de la fotografía instantánea es P (A|B) = 0,5714. Para el caso no se considera la adición de P(A’|B), en tanto esta establece que la empresa competidora no tiene planes para fabricar equipo fotográfico y la segunda ramificación a partir de P(A’|B).corresponde a una decisión que se tomaría en forma posterior a la construcción.


- 41 -


ORIENTACIÓN PARA RESPUESTAS A PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

a1 a2 a3 a4

s1 0 Relojes Equilibrio

0 Relojes 1 Reloj 2 Relojes 3 Relojes

s2 s3 s4 1 Reloj 2 Relojes 3 Relojes Área de Pérdidas

Área de Pérdidas

Área de Ganancias

2. a) Acciones: a1: No invertir. a2: Adquirir una parte a3: Adquirir todo lo requerido Estados de la Naturaleza s1: No se aprueba trámite en 60 días. s2: No se aprueba trámite en 30 días. s3: Se aprueba trámite en 60 días. s4: Se aprueba trámite en 30 días. Es importante denotar que se asume que el inversionista por tener su dinero sin utilizar, esperando a que se apruebe su trámite será afectado por el tiempo de inmovilización que incurra por la demora para obtener una respuesta. b)

Tabla de Ordenamiento Lógico de Valores s1

s3

CELDA EQUILIB.

a1 a2

s2

ÁREA DE PÉRDIDA

s4

ÁREA DE PÉRDIDA ÁREA DE GANANCIA

a3 Estados de la naturaleza

Acciones o Estrategias

s1

s2

s3

s4

a1

7

8

6

5

a2

3

4

10

11

a3

1

2

9

12


- 42 -


c)

Tabla de Rendimiento Estados de la naturaleza s1

Acciones o Estrategias

a1

( 5000)

a2

( 2 5000)

a3

( 3 5000)

s2 0 (2 0000) (3 0000)

s3

s4

(1 0000)

( 1 5000)

1 0000

1 5000

5000

2 0000

d) RESUMEN DE CRITERIOS CRITERIO

ACCION

MAXIMAX MAXIMIN CASTIGO MINIMAX HURWICS LAPLACE

a3 a1 a2 a3 a2

VALOR 20 000.00 ( 15 000.00) 20 000.00 9 000.00 ( 5 000.00)

3.

(A modo general): Un minero, exportador de minerales se enfrenta a los precios internacionales de los metales que produce, estos pueden disminuir con respecto a los precios actuales, mantenerse o incrementarse, ante lo cual sus decisiones alternativas son: dejar de producir, producir al 50% de su capacidad de planta o producir al 100% de su capacidad de planta.

4.

(A modo general): Una empresa está considerando presentarse a un concurso público de precios ante una entidad pública, siendo la primera vez que lo hace, podría desistir de hacerlo, presentarse con 5 de sus productos o presentarse con 10 de ellos, los estados de la naturaleza son están referidos que podría no ser seleccionado, seleccionan parte de sus productos o seleccionan todos sus productos.

5.

A partir de los costos y con perdón de los que gobiernan con ética: TABLA DE RENDIMIENTO

Se presenta con A Se presenta con B Se presenta con C

a1 a2 a3

No gana elecciones

Gana elecciones

s1 200.00 320.00 400.00

s3 180.00 100.00 0.00


- 43 -


6. a) Acciones: a1: Dejar la actividad. a2: Continuar como informal. a3: Invertir para cumplir normas. Estados de la Naturaleza: s1: Sale la norma y es obligatoria inmediatamente. s2: Sale la norma y da plazo de hasta 3 años. s3: No se expide la norma. b) s1

s2

s3

a1

3

7

9

a2

4

2

1

a3

6

5

8

s1

s2

s3

a1

80

250

400

a2

100

50

0

a3

150

130

300

c)

d)

El menor costo le significará el no formalizarse relacionada con que no se expida la norma (a2, s3) y el mayor costo a nivel administrativo el dejar la actividad y que no se expida la norma en tres años (a1, s3). Al tener ambos extremos se verá ante dos acciones donde se ubican estos valores: dejar la actividad inmediatamente (a1) o continuar como informal (a2), optando por la que le implique de manera conjunta el menor costo, es decir optará por continuar siendo informal (a2).

e)

Al Estado le conviene expedir la norma pero a su vez para poder tener mayor posibilidad de convencimiento adoptar el menor costo de la línea a3, es decir dictar la norma otorgando el plazo de 3 años para la formalización o cumplimiento de las normas ambientales.

f)

Si el estado no tiene una acción efectiva de control la informalidad se


- 44 -


incrementará o mantendrá sin cambio. g)

El minero finalmente no se formaliza, por el criterio de dominación: a2 domina a a3, por lo tanto no se formaliza.

h)

Para una acción coercitiva por parte del Estado, la sanción pecuniaria debe ser mayor a S/. 130 000 que es el máximo costo que le implica al minero el invertir para formalizarse (considerando que la norma da un plazo de 3 años).

i)

Los criterios relacionados con las acciones y sus respectivos valores bajo incertidumbre se muestran a continuación. Para el minero la acción en todos los criterios corresponde a a2: continuar como informal. RESUMEN DE CRITERIOS CRITERIO

ACCION

MINIMIN MINIMAX CASTIGO MINIMAX HURWICS LAPLACE j)

a2 a2 a2 a2 a2

VALOR 0.00 100.00 20.00 50.00 50.00

No, el caso es en todo caso el análisis de un solo minero, note además que los criterios para el Estado podrían ser los que figuran como Estados de la Naturaleza ya que están bajo su control y que los criterios o estrategias del minero pueden ser para el Estado lo que no tiene control, es decir Estados de la Naturaleza. La tabla que oriente al Estado será en todo caso con distintos valores y la técnica a utilizar podría ser distinta: Teoría de Juegos, para un análisis de riesgo con probabilidades.

7.

Se listan las dos tablas solicitadas, corresponde al lector la resolución del problema a partir de las mismas. TABLA DE ORDENAMIENTO LÓGICO DE VALORES Ventas Bajas

Ventas Medias

Ventas Altas

s1

s2

s3

Se construye Planta Grande

a1

1

4

6

Se construye Planta Mediana

a2

2

3

5


- 45 -


TABLA DE RENDIMIENTO Ventas Bajas

Ventas Medias

Ventas Altas

s1

s2

s3

Se construye Planta Grande

a1

-3.00

3.00

12.00

Se construye Planta Mediana

a2

0.25

1.00

6.00

8. a)

La Tabla de Rendimiento es la siguiente. TABLA DE RENDIMIENTO Dengue en grado grave

Dengue en grado medio

Dengue en grado bajo

s1

s2

s3

No acepta contrato

a1

0.00

-100.00

-200.00

Ejecución indirecta

a2

-500.00

950.00

1100.00

Ejecución directa

a3

-800.00

700.00

1400.00

RESUMEN DE CRITERIOS EN INCERTIDUMBRE

CRITERIO

ACCION

VALOR

MAXIMAX

a3

1 400.00

MAXIMIN

( 200.00)

CASTIGO MINIMAX

a1 a2

HURWICS

a3

850.00

LAPLACE

a2

516.67

500.00

Para el caso de la incertidumbre el Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIM) es de 266.67 (783.33 – 516.67). b)

En caso de Riesgo, el valor de la mayor Esperanza Matemática corresponde a la acción a2, con 705 u.m.

c)

El VEIM es de 190 (895 – 705).


- 46 -


9.

Sólo se presenta la Tabla de Rendimiento:

Utilidades no se incrementan

Incremento medio de utilidades

Incremento alto de utilidades

s1

s2

s3

No realiza campaña

a1

0.00

-14.00

-32.00

Realiza campaña por 40 mil

a2

-40.00

63.20

90.20

Realiza campaña por 44.8 mil

a3

-44.80

32.00

169.00

Realiza campaña por 56 mil

a4

-56.00

14.00

214.00

10. a)

Se muestra la Tabla de Rendimiento: Es falsa

Es auténtica

s1

s2

No compra pieza arqueológica

a1

0

-300

Compra pieza arqueológica

a2

-500

900

b)

Para el lector.

c)

La explicación podría ser que José se pone de acuerdo con un precio y luego él sin comprarlo, lo ofrece a otra persona ganando 300 u.m.

d)

Para que sea una situación de certidumbre, tendría que someterlo a evaluación por un especialista que pueda definir con conocimiento si se está frente a una pieza arqueológica falsa o auténtica y a partir de ello decidir.

e)

No, porque si se acepta en hipotética al ser falsa se tendrá una pérdida y no un cero como lo planteado en las respuestas.

11. Sólo se lista la Tabla de Ordenamiento Lógico de valores. Policía no recupera nada

Policía recupera parte de lo robado

Policía recupera todo lo robado

s1

s2

s3

No hace denuncia

a1

4

3

2

Formula denuncia

a2

1

5

6


- 47 -


12. Medicina no tiene ningún efecto

Medicina es sólo paliativo

Medicina sana la enfermedad

s1

s2

s3

No realiza la investigación

a1

5

4

3

Investigación asociada

a2

2

7

8

Investigación independiente

a3

1

6

9

13. Tabla de Ordenamiento Lógico de Valores llega a ser similar a la del Ejercicio anterior.

14. Se requiere asignar probabilidades a los Estados de la Naturaleza.

15.

TEOREMA DE BAYES 0.35 0.40

B B'

A

0.65 0.20

A' 0.60 Nro. 1 2 3 4

B B' Caso P(AIB) P(A’IB) P(AIB’) P(A’IB’)

0.80 Probabilidad 0.5385 0.4615 0.3514 0.6486


- 48 -

Total 1.00 1.00


CAPÍTULO 3 PROGRAMACIÓN LINEAL 1.

CONCEPTO

Es una técnica matemática que permite asignar recursos limitados tales como dinero, personal, materiales, equipos, espacio, tiempo, etc. Un problema de Programación Lineal, es un problema de optimización, para lo cual se efectúa lo siguiente: a. Se trata de maximizar (ejemplo beneficios) o minimizar (ejemplo costos) una función lineal de variables de decisión. La función que se pretende maximizar o minimizar se llama función objetivo. b. Los valores de las variables de decisión tienen que satisfacer un conjunto de restricciones. Cada restricción tiene que ser una ecuación lineal (relacionada con el signo =) o una desigualdad lineal (relacionada con el signo <= ó >=). c. Hay una restricción de signo para cada variable. Para cualquier variable Xn la restricción de signo especifica que Xn tiene que ser no negativo Xn >= 0 o que Xn puede ser una variable sin restricción de signo. Para los casos a estudiar sólo se utilizará la restricción de no negatividad. d. De acuerdo a las unidades utilizadas para las variables la exigencia podría tratarse de que los resultados sean enteros. La programación lineal se ha usado para resolver problemas de optimización en industrias tan diversas como la banca, la educación la silvicultura, la agricultura, el petróleo el transporte, etc. En una Encuesta en los EE.UU., se estableció que el 85% de las Empresas utilizaron ésta técnica. Su uso para optimizar la mezcla de gasolinas en la Texaco, le significó un ahorro de más de 30 millones de dólares anuales, en el diseño de las rondas de los oficiales de policía de San Francisco se logró un ahorro de 11 millones de dólares anuales, el reemplazo de equipo en Phillips Petroleum le significó un ahorro de 90 mil dólares anuales. 2.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

a)

Método gráfico.- Utilizado cuando el modelo sólo contiene dos variables de decisión.

b)

Algoritmo Simplex.- Utilizado cuando el problema tiene muchas variables. El algoritmo de resolución fue desarrollado por George Dantzig en 1947. Algoritmo es un conjunto de procedimientos que, cuando se siguen en forma ordenada, proporcionan una solución óptima a un problema.

c)

Algoritmo Karmarkar.- Utilizado cuando el problema tiene muchas variables. Ha sido desarrollado en los años 80 y paulatinamente está cobrando importancia.


- 49 -


Si se desea comparar el Algoritmo Simplex y Algoritmo Karmarkar se ha demostrado que para problemas grandes, el método Karmarkar puede ser hasta 50 veces más rápido que el algoritmo simplex, su importancia radica en que actualmente los diseños de los problemas exigen un elevado número de variables, el Military Airlift Command ha utilizado el método de Karmarkar para determinar cuántas veces hay que volar diferentes rutas y con qué avión, el modelo tenía 150 000 variables y 12 000 restricciones y se resolvió en una hora con una computadora. Con una estructura similar, con 36 000 variables y 10 000 restricciones, se resolvió mediante el método simplex, en 4 horas con una computadora. d)

Computadora.- Existen diversos programas de computadora como son el Lindo, Lingo, LPT1, Tora, etc. En las hojas de Cálculo como el Excel se posee una alta eficacia para resolverlos.

3.

PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS

Para resolver un problema de programación lineal el orden más conveniente para plantear el problema es seguir el orden siguiente: a. Sintetizar los datos del problema en una Tabla. b. Definir verbalmente lo que se desea alcanzar. c. Definir las Variables (incógnitas). d. Definir la Función Objetivo (lo que se desea alcanzar, un MAX o un MIN). e. Plantear las Restricciones (limitaciones a los recursos). f.

Unificar Función Objetivo y Restricciones para plantear todo el problema.

El formato de la Tabla de síntesis del problema es generalmente: FILAS: entradas tales como materias primas, plantas de fabricación, recursos humanos, centros mineros, etc. y utilidad o costo. COLUMNAS: salidas tales como artículo 1, artículo 2, producto A y producto B, servicios A, B, etc. En algunos casos se invierte, llegando a ser las filas las columnas y las columnas las filas, por una situación de comodidad de manejo de la información.

ENTRADAS

SALIDAS PRODUCT. 1

PRODUCT. 2

RECURSO I RECURSO II UTILIDAD O COSTO


- 50 -

DISPONIBILIDADES (RESTRICCIONES)


4.

INGRESO DE DATOS PARA EL EXCEL

En el EXCEL 2010, en caso de no figurar en el Menú “Datos”, el complemento Solver, debe activarse ingresando a “Personalizar barra de Herramientas de acceso rápido/ Más comandos/ Complementos, si no figurara o si no lograra activarlo, tendrá que instalarlo. A modo de ejemplo práctico del uso del Solver (que tiene también otras aplicaciones por ser un optimizador), ver el primer Problema Resuelto de programación lineal, sobre las bicicletas y motonetas. Asumiendo que se ingresó la información en la forma que aparece en la Figura 3.1. FIGURA 3.1 INGRESO DE DATOS AL EXCEL

El proceso luego del ingreso de los datos es: MOVER A

:

D2 (CELDA DE FUNCIÓN OBJETIVO)

ESCRIBIR

:

=SUMAPRODUCTO(B2:C2,$B3:$C3) (2)

COPIAR

:

CELDA D2 EN D4 Y D5 ( + C)

MOVER A

:

D2

IR A

:

Datos / Solver. De no estar activada la opción Solver, ir a Archivo / Opciones / Complementos / Ir …. seleccionar allí el Solver, de no aparecer la opción tendrá que instalarlo desde el CD del Office.

INGRESAR

:

Los datos que requiere la ventana del Solver (Ver Figura 1.2.).

(Utilizando Cursor)

Para cumplir con la restricción de No Negatividad, dejar marcado “Convertir variables …”, puede “Agregar” restricciones, cambiarlas o eliminarles, restablecer todos los parámetros del Solver para ingresar un nuevo problema o Cargar / Guardar, útil para el caso de resolver varios problemas, quede guardado en la generación de la solución.

(2) F4 permite fijar con “$”, determinadas celdas para facilitar el proceso. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 51 -


FIGURA 3.2 VENTANA DEL SOLVER

Luego de ingresar la información activará el botón de Resolver, se mostrará la siguiente ventana: FIGURA 3.3 OPCIONES DEL SOLVER

Leer en la parte inferior, en este caso indica que se encontró una solución, “Aceptar”, con lo que obtendrá diversos resultados de la optimización: Luego de ingresar la información activará el botón de Resolver, con lo que obtendrá diversos resultados de la optimización figuran en las celdas B3 y C3, RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 52 -


se pueden interpretar de la manera siguiente: Se debe producir 10 Bicicletas y 15 Motonetas., la máxima ganancia será de $ 1275 y se utilizarán el total de horas disponibles tanto en la Central 1 como en la 2. Se puede advertir que el problema no permitiría resultados no enteros, si bien para lo resuelto el problema está diseñado para cumplir este requisito, debe integrarse a las restricciones que las celdas B3 y C3 deben adoptar valores enteros.

Para solucionar otro problema previamente dentro de la ventana del Solver activar Restablecer todo. Podrá luego de estar familiarizado con el planteamiento y solución de problemas con el Solver, explorar otras opciones que le permitirán grabar y recuperar el planteamiento de los problemas, así como modificar determinados parámetros. Cargar modelo.- Muestra el cuadro de diálogo Cargar modelo, donde puede especificarse la referencia del modelo que desee cargar. Guardar modelo.- Muestra el cuadro de diálogo Guardar modelo, donde puede especificar la ubicación en que desee guardar el modelo. Haga clic únicamente cuando desee guardar más de un modelo con una hoja de cálculo; el primer modelo se guardará de forma automática. 5.

CASOS PRESENTADOS EN PROGRAMACIÓN LINEAL

Los casos presentados en un problema de programación lineal son: a)

El problema tiene una solución óptima única. Ejemplo: Los problemas planteados para su resolución en este Capítulo.

b)

El problema tiene soluciones óptimas alternativas o múltiples: dos o más puntos extremos son óptimos, y el problema tendrá un número infinito de soluciones óptimas. Ejemplo: (MAX) Z = 3X1 + 2X2 Restricciones: (1) 1/40X1 + 1/60X2 <= 1 (2) 1/50X1 + 1/50X2 <= 1 X1, X2 >=0

c)

El problema no es factible: la región factible no tiene puntos comunes. Ejemplo: (MAX) Z = 3X1 + 2X2 Restricciones:


- 53 -


(1) (2) (3) (4) d)

1/40X1 + 1/60X2 <= 1 1/50X1 + 1/50X2 <= 1 X1 >= 30 X2 >= 20 X1, X2 >=0

El problema es no acotado: hay puntos en la región factible con valores para la función objetivo, arbitrariamente grandes (en casos de maximización) o arbitrariamente pequeños (en casos de minimización). Ejemplo: (MAX) Z = 2X1 + X2 Restricciones: (1) (2)

X1 - X2 <= 1 2X1 + X2 >= 6 X1, X2 >=0


- 54 -


PROBLEMAS RESUELTOS (3) 1.

Un fabricante produce bicicletas y motonetas, las cuales deben procesarse a través de dos Centrales de producción mecánica. La Central 1 tiene un máximo de 120 horas disponibles, y la Central 2 tiene un máximo de 180 horas disponibles. La manufactura de una bicicleta requiere 6 horas en la Central 1 y 3 horas en la Central 2; la fabricación de una motoneta requiere 4 horas en la Central 1 y 10 horas en la Central 2. Si la utilidad por bicicleta en unidades monetarias es $ 45 (dólares por ejemplo), y por motoneta es de $ 55, establecer el número de bicicletas y de motonetas que se deberían fabricar para obtener la máxima utilidad. (Weber: Pág. 721).

2.

Suponiendo que se cuenta con dos alimentos: pan y queso; cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en diversas proporciones. Un kilogramo de pan contiene 2 000 calorías y 50 gramos de proteínas, y un kilogramo de queso contiene 4 000 calorías y 200 gramos de proteínas. Suponiendo que una dieta normal requiere cuando menos 6 000 calorías y 200 gramos de proteínas diariamente. Por tanto, si el kilogramo de pan cuesta $ 6 y $ 21 el queso. ¿Qué cantidades de pan y queso se debe comprar para satisfacer los requisitos de la dieta normal, gastando la menor cantidad de dinero? (Espinosa: Pág. 25).

3.

Un fabricante de juguetes que está preparando un programa de producción para dos nuevos artículos A y B, requiere utilizar en su fabricación las Máquinas X, Y y un tiempo adicional para su acabado final. Cada Juguete A requiere 2 horas de uso de la Máquina X, 1 de Y y 1 para su acabado final. El juguete B requiere 1 hora de X, 1 de Y y 3 horas para su acabado. Las horas disponibles de los empleados, por semana son: máquina X, 70 horas; máquina Y, 40 horas y para el terminado 90 horas. Si las utilidades del juguete A son $ 4 y de B $ 6. ¿Cuántas unidades de cada uno deben fabricarse por semana con el objeto de maximizar las utilidades? ¿Cuál sería la utilidad máxima? (HAEUSSLER: Pág. 329).

4.

Una compañía minera extrae dos tipos de minerales A y B de dos minas. La cantidad de mineral que se puede extraer por tonelada procesada de la mina I es 100 kilos de A y 200 de B; de la mina II 200 kilos de A y 50 de B. El costo por tonelada en la mina I es de $ 50 y en la II de $ 60. Si la compañía debe fabricar cuanto menos 3000 kilos de A y 2 500 de B. ¿Cuántas toneladas de cada mina se deben procesar para minimizar los costos? ¿Cuál es el costo mínimo? (HAEUSSLER: Pág. 330).

5.

Un mueblero dispone de dos diferentes tipos de madera; tiene 1 500 pies de tabla del tipo A y 1 000 del tipo B, también dispone de 800 horas hombre para efectuar el trabajo. La demanda que ha estimado es la siguiente: cuando menos: 40 mesas, 130 sillas y 30 escritorios; y no más de 10 libreros. Las cantidades de madera A y B y las horas-hombre que requiere la elaboración de cada unidad de artículo, están indicadas en el Cuadro siguiente: (Espinosa: Pág. 30).

(3) Ver al final del presente Capítulo, respuestas y planteamientos. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 55 -


MADERA ARTICULO MESA SILLA ESCRITORIO LIBRERO

A

B

HORAS HOMBRE

5 1 9 12

2 3 4 1

3 2 5 10

DEMANDA ESTIMADA (*)

UTILIDAD POR UNIDAD ($) 12 5 15 10

DISPONIBILIDAD (*) (*) Información debe ser completada por lector. 6.

Una fábrica de automóviles y camiones consta de los departamentos que a continuación se enumeran: 1. Estampado de planchas metálicas; 2. Armado de motores; 3. Montaje de automóviles; 4. Montaje de camiones. El Departamento 1 puede estampar por mes, las planchas necesarias para 25 000 automóviles o 35 000 camiones, o las correspondientes combinaciones de automóviles y camiones. El Departamento 2 puede armar, por mes, 33 333 motores de automóviles o 16 667 motores de camión, o las correspondientes combinaciones de motores de automóvil y camión. El Departamento 3 puede montar y terminar 22 500 automóviles y 15 000 camiones el Departamento 4. Si cada automóvil deja una utilidad de 300 dólares y cada camión de 250. ¿Qué cantidades de automóviles y camiones deben producirse, de manera que las utilidades que se obtengan sean las máximas posibles? (Espinosa: Pág. 37).

7.

Reddy Mikks Company posee una pequeña fábrica de pinturas para interiores y exteriores de casas para su distribución al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos, A y B, para producir las pinturas. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas diarias; la de B es de 8 toneladas por día. La necesidad diaria de materia prima por tonelada de pintura para interiores y exteriores se resume en la tabla siguiente: (TAHA: Pág. 18)

Materia Prima A Materia Prima B

Toneladas de Materia Prima por tonelada de pintura Exterior Interior 1 2 2 1

Disponibilidad máxima (Toneladas) 6 8

Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la pintura para exteriores en más de una tonelada. Asimismo, el estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos toneladas diarias. El precio al mayoreo por tonelada es de $ 3 000 para la pintura de exteriores y de $ 2 000 para la pintura de interiores. Responder: (Ayuda: Ver Anexo 2)


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a. ¿Cuánta pintura para exteriores e interiores debe producir la compañía todos los días para maximizar el ingreso bruto? b. Imprima los Informes de respuestas, sensibilidad y límites que genera el Excel, interprételos y efectúe un informe que establezca líneas de acción para mejorar el desempeño de la empresa. c. Describa el significado del gradiente reducido (llamado también costos reducidos). d. Describa el significado del precio sombra (llamado también precios duales). e. Realice las pruebas para los valores máximos y mínimos, tanto de los coeficientes como de las restricciones (Nota: en el Excel aparecen los valores en el Informe de sensibilidad). f.

Para el Informe de límites efectúe las pruebas para demostrar el significado de los límites inferior y superior de las variables.

8.

TAHA: Un hombre de negocios tiene la opción de invertir su dinero en dos planes. El Plan A garantiza que cada dólar invertido retornará 70 centavos por año, mientras que el Plan B garantiza que cada dólar invertido retornará $ 2 en dos años. En el Plan B sólo se invierte para períodos que son múltiplos de dos años ¿Cómo se invertirá $ 100 000 para maximizar los retornos al final de los 3 años?

9.

TAHA: Para una jornada de 24 horas, una cafetería está requiriendo mozos (ver Tabla). Cada mozo trabaja 8 horas consecutivas por día. El objetivo es encontrar el número menor de mozos que cumplan con los requerimientos. Número mínimo de mozos 04 08 10 07 12 04

Tiempo del día 2 6 10 14 18 22

-

6 10 14 18 22 2

-

Se trabajan 6 Turnos de acuerdo al horario siguiente: Turno

Horario

1

2 a 10 horas

2

6 a 14 horas

3

10 a 18 horas

4

14 a 20 horas

5

18 a 2 horas

6

22 a 6 horas


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10. HILLIER: Una empresa manufacturera ha descontinuado la producción de cierta línea de productos no provechosa. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. El gerente está considerando dedicar esta capacidad en exceso a uno o más de tres productos, llamémoslos 1, 2 y 3. La capacidad disponible de las máquinas en horas máquina por semana, es limitada: Fresadora 500, Torno 350 y Rectificadora 150. El número de horas de máquina requeridas por cada unidad de los productos respectivos es: Producto 1: 9 horas en la Fresadora, 5 en el Torno y 3 en la rectificadora. Producto 2: 3 horas en la Fresadora, 4 en el Torno y 0 en la rectificadora. Producto 3: 5 horas en la Fresadora, 0 en el Torno y 2 en la rectificadora. El departamento de ventas indica que el potencial de ventas para los productos 1 y 2 es mayor que la tasa de producción máxima y que el potencial de ventas para el producto 3 es de 20 unidades por semana. La utilidad unitaria será de $ 30, $ 12 y $ 15, para los productos 1, 2, y 3 respectivamente. Se requiere maximizar la utilidad. 11. La empresa “El Pino" fabrica diversos muebles para oficina (mesas, sillas, sofás, camas, escritorios y lámparas). Desea maximizar su utilidad diaria considerando sus restricciones de disponibilidad máxima de recursos, los que se muestran a continuación. Resolver con el Solver, sin generar ecuaciones y responder: a)

¿Cuál sería la cantidad de cada producto a producir?

b)

¿A cuánto asciende la utilidad máxima?

c)

¿Cómo cambiaría a) y b), si se sabe que tiene que fabricar mínimamente tres camas por ser un atractivo por el cual los clientes vienen a la tienda de exhibición?

d)

¿Qué decisiones adoptaría respecto a los inventarios?

e)

El administrador debe comprender que un resultado matemático fijado por criterios de optimización deben ser contrastados en la realidad para fijar su conveniencia. Así, en el problema resuelto de darse que algunos productos no se producirán con lo que se obtendrá la máxima utilidad puede ser contradictorio con una política de marketing que establezca que se requiere fabricar algunos productos que son a su vez atractivos para posibilitar la venta de los más rentables (en una tienda la venta de pan puede ser más que una ganancia, el atractivo para mantener clientes o que éstos vengan a comprar a la vez del pan otros productos). Como ejemplo de esto volver a resolver el ejercicio, asuma que se requiere mínimamente de: sofás 5 unidades, de camas 3 unidades y de escritorios 2 unidades, además no más de 15 banquetas.


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REQUERIMIENTO DE RECURSOS, COSTOS Y PRECIO DE VENTA POR UNIDAD PRODUCIDA

Recursos

Dispon. Máxima

Mesas

Sillas

Sofás

Camas

Escritorios

Banquetas

Carpinteros (H/H)

4

2

5

6

5

2

240

Supervisores (H/H)

1

2

1

2

1

1

120

Administración (H/H)

2

1

1

1

2

1

120

Madera (m)

6

5

3

4

4

2

500

Pintura / Barniz (G)

2

1

1

4

5

1

220 250

Tornillos (Un)

3

2

2

4

4

3

Costos

98

45

150

250

180

75

104.50

49.0

157.0

259.50

185.00

79.00

Precio de Venta

12. Un comerciante en su línea de productos dirigidos a la limpieza, tiene 56 unidades de 10 productos distintos. Para la línea de productos un especialista en Gestión de Precios, le ha recomendado que sus Precios estén entre S/. 6 y S/. 10. El comerciante aceptará lo recomendado siempre que el precio promedio sea de S/. 9 y que las ventas totales previstas superen el costo de adquisición que fue de S/. 440, en un 10%. Resolver y decidir utilizando el Solver, sin generar ecuaciones. N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Producto A B C D E F G H I J Totales

Cantidad 6 4 8 6 6 4 4 4 6 8 56


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Precio ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Venta ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?


PROBLEMAS PROPUESTOS (4) 1.

El Cuadro siguiente muestra el número de kilos de cada uno de los dos ingredientes en una unidad requeridos para elaborar dos compuestos químicos. a)- ¿Cuántas unidades X1 y X2 de los dos compuestos deberán producirse? b)- Que sucedería si se requiriera un tercer material C, cuya obtención está restringida por 6X1 + 5X2  150. (Ullmann: Pág. 69 - 70).

INGREDIENTE 1 INGREDIENTE 2 UTILIDAD ($/POR UNIDAD)

COMPUESTO 1 8 2

COMPUESTO 2 4 6

3

4

DISPONIBILIDAD 160 60

2.

La Empresa "Descart" está tratando de encontrar la mejor manera de cortar platos de papel del rollo estándar. Tiene dos pedidos de platos: uno por 100 000 platos de 9 pulgadas, el otro por 178 000 platos de 7 pulgadas. Se ha propuesto dos métodos de corte. El corte "A" da 5 platos de 9 pulgadas y 10 de 7, más 4 pulgadas de desperdicio por cada rollo de material. El corte "B" da 8 platos de 9 pulgadas y 5 de 7, más 6 pulgadas de desperdicio por cada rollo de material. a)- ¿Cuántos cortes de cada tipo deben hacerse para minimizar el desperdicio? b)- A cuánto asciende la Función Objetivo y qué significa? (Gallagher: 187)

3.

La Compañía "Fértil" S.A. tiene tres parcelas de tierra con 50, 100 y 200 Hectáreas, respectivamente. Existen tres cosechas posibles que la compañía puede plantar, pero el Ministerio de Agricultura ha establecido límites en el tamaño de cada cosecha a)- Cosecha 1, 50 hectáreas como máximo b)- Cosecha 2, 125 Hectáreas como máximo. c)- Cosecha 3, 225 hectáreas como máximo. En términos de lo que se desea, "Fértil" S.A. cree que su ganancia variará con la cosecha y la parcela debido a las variaciones en las condiciones del suelo. Se han estimado las siguientes ganancias por hectárea para cada combinación: PARCELA 1 2 3

COSECHA 1 87 94 92

COSECHA 2 89 92 89

COSECHA 3 91 88 91

a)-¿Qué cosechas se deben plantar en cada parcela? b)- ¿A cuánto asciende la Función Objetivo y qué significa? (Gallagher: 187). 4.

(4)

Un inversionista dispone de 500 000 dólares para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A, de bastante riesgo, tiene un interés anual del 10%, y el tipo B, bastante más segura, tiene un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo 300 000 dólares en A, y como mínimo 100 000 dólares en B. Además decide invertir en A por lo menos lo mismo que en B. a) ¿Cómo debería invertir los 500 000 dólares para maximizar Ver al final del presente Capítulo las respuestas y/o planteamientos.


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sus ganancias anuales? b) ¿Cuál sería su ganancia por la acción A, por la acción B y la ganancia total máxima? c) ¿Cuánto en total invirtió? d) ¿Cuánto más invirtió en la acciones tipo A en comparación con las del tipo B? e) ¿Cuánto dinero en total poseería al final del año, considerando que, si de quedarle un saldo no invertido, este se acumula al monto producto de la operación de inversión? 5.

Un fabricante de camisas está tratando de decidir cuántas camisas debe producir durante el mes próximo. Pueden hacerse siete estilos. Los estilos varían en las horas de mano de obra que requieren, en la utilidad y en las ventas potenciales que el departamento de comercialización estima. Los datos se dan en seguida. (Gallagher: 187). ESTILO 1 2 3 4 5 6 7

HORAS HOMBRE 0,50 1,00 0,25 1,50 0,70 0,90 1,20

VENTAS MÁXIMAS 3 000 1 000 5 000 2 000 1 500 1 500 1 600

UTILIDAD POR UNIDAD 1,00 2,00 1,00 1,50 1,10 1,20 1,20

Se dispone de un total de 7 500 horas de mano de obra, se solicita maximizar la utilidad total. 6.

La Empresa XYZ produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos cuesta $ 2 por unidad, mientras que la materia prima para cada clavo cuesta $ 2,50. Los requerimientos para estos productos en mano de obra son: clavo 2 horas en el Departamento 1 y 3 horas en el Departamento 2, mientras que un tornillo necesita 4 horas en el Departamento 1 y 2 horas en el Departamento 2. El jornal por hora en ambos departamentos es de $ 2. Ambos productos se venden a $ 18 y el número de horas de mano de obra disponibles por semana en el Departamento 1 es de 160 y en el Departamento 2, 180. Resuelva el problema e interprete los resultados obtenidos para la función objetivo, variables y restricciones.

7.

Ud. ha sido designado para la atención a un congresista durante 90 minutos. Se conoce que tiene el mal hábito de tomar bebidas alcohólicas en exageración. Se le ha entregado $ 5 000 y se ha recabado la siguiente información: •

• •

El congresista toma cualquier bebida alcohólica y no tiene reparos en combinar distintos tipos de licor, pero siempre bebe en cantidades iguales o menores que 8 vasos de cerveza, 10 de ginebra, 12 de whisky y 24 de martinis. El tiempo que emplea para beber es de 15 minutos por cada vaso de cerveza, 6’ por vaso de ginebra, 7’ por vaso de whisky y 4’ por martini. Los precios de las bebidas son $ 100 el vaso de cerveza, 200 el de


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•

•

ginebra, 200 el de whisky y 400 el martini. Las unidades alcohólicas de las bebidas por vaso son: Cerveza 17, ginebra 15, whisky 16 y martini 7, se considera que el objetivo en este caso es maximizar el consumo alcohólico durante los 90’ que debe entretenerse al huésped. El congresista siempre bebe un mínimo de 3 whiskys.

a) Establezca el planteamiento del problema para programación lineal. b) Cuánto se prevé gastar en bebidas alcohólicas por consumo del congresista. c) ¿Cuál sería el consumo en unidades alcohólicas? d) ¿Cuántos minutos el congresista del total de 90’ que dure su atención no tendrá a su disposición un vaso de bebida alcohólica? 8.

La Empresa “Medical”, produce Osciloscopios y Voltímetros, de los análisis de mercado se conoce que no se tiene restricciones para vender el total de unidades de osciloscopios producidos, sin embargo los voltímetros no se pueden vender más de 200 unidades. El proceso productivo se efectúa en tres (3) departamentos: Armazones, bases de Circuitos y Ensamble, que poseen 2 000, 2 500 y 3 000 horas disponibles por mes. Los osciloscopios requieren en el Departamento de Armazones 4,5 horas, en el Departamento de Bases de Circuitos 6,3 horas y en el Departamento de Ensamble 7,0 horas. Los Voltímetros requieren en el Departamento de Armazones 2,0 horas, en el Departamento de Bases de Circuitos 1,5 horas y en el Departamento de Ensamble 3,0 horas. Los precios y costos son los siguientes: FLUJO Precio de Venta

OSCIL. 170

VOLT. 55

20 50 40

5 10 10

COSTOS: Mano de Obra Materiales Gastos Generales

a) Cuántos Osciloscopios y Voltímetros se deben producir. b) ¿Cuál es la ganancia máxima que se obtendría? c) ¿Cuál es el significado del valor obtenido en las restricciones? 9.

(MAX) Z = 5X1 - 6X2 + 10X3 (Weber: Pág. 742). Restricciones: X1 + X2 + X3  15 2X1 + 3X2 + 4X3  35 3X1 - 4X2 + 6X3  30 X1 - X2  0 X1, X2, X3  0

10. (MIN) C = 6X1 + 3,5X2 + 5X3 + 3X4 + 6X5 (Schneider: Pág. 235). Sujeto a:

4X1 + 8X2 + 6X3 + 6X4 + 4X5  480 2X1 + 10X2 + 2X3 + 10X4 + 3X5  700


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X1, X2, X3, X4, X5  0 11. (MAX) Z = -X1 + 2X2 + 4X3 (Espinosa: Pág. 74). Con las Condiciones: X1 + X2 X1 - X2 X3

 6  3  4

12. (MIN) C = 3X1 + 5X2 + X3 (Weber: Pág. 743). Restricciones: X1 + X2 + X3  6 3X1 + 8X2 +9X3  50 6X1 + 7X3  12 12X2 + 4X3  15 X1, X2, X3  0 13. Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cada paquete pesa por lo menos 2 kilos. Tres tamaños de tuercas y tornillos componen el paquete y se compran en lotes de 200 kilos. Los tamaños 1, 2 y 3 cuestan respectivamente $ 20, $ 80 y $ 12. Además: a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete. b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1,6 kilos. c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos 10% del paquete total. ¿Cuál será la composición del paquete que ocasionará un costo mínimo? 14. Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustibles: A y B. El combustible A tiene 25% de gasolina de grado 1, 25% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. El combustible B tiene 50% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. Disponibles para la producción hay 500 gal./hr. de grado 1 y 200 gal./hr. de los grados 2 y 3. Los costos son de 30 ctv. ($ 0,30) por galón de grado 1, $ 0,60 por galón de grado 2 y $ 0,50 por galón de grado 3. La clase A puede venderse a $ 0,75 por galón, mientras que la clase B alcanza $ 0,90 por galón ¿Qué cantidad puede producirse de cada combustible? 15. Un agente vendedor maneja dos productos y no espera vender más de 10 unidades/mes del producto 1 o 39 unidades/mes del producto 2. Para evitar una multa debe vender al menos 24 unidades del producto 2. Recibe una comisión de 10% sobre toda las ventas y debe pagar sus propios gastos, que se estiman en $ 1,50 por hora gastada en hacer visitas. Trabaja sólo una parte del tiempo y debe trabajar hasta un máximo de 80 horas/mes. El producto 1 se vende en $ 150 por unidad y requiere un promedio de 1,5 horas por cada visita; la probabilidad de hacer una venta es 0,5. El producto 2 se vende en $ 70 por unidad y requiere un promedio de 30 minutos por cada visita; la probabilidad de hacer una venta es 0,6 ¿Cuántas visitas mensuales debe hacer a los RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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clientes de cada producto? 16. Una compañía de transporte de carga tiene 10 camiones con capacidad de 40 000 lbs. y 5 camiones de 30 000 lbs. de capacidad. Los camiones grandes tienen costos de operación de $ 0,30 / km y los más pequeños de $ 0,25 / km. En la próxima semana, la compañía debe transportar 400 000 lbs. de malta para un recorrido de 800 km. La posibilidad de otros compromisos impone que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. Se pregunta ¿Cuál es el número óptimo de camiones de ambas clases que deben movilizarse para transportar la malta? (Nota: resolver, ignorando el que la respuesta deba darse en números enteros y luego considerando ésta restricción). 17. Una compañía de transporte dispone de $ 400 000 para comprar nuevo equipo y está considerando tres tipos de vehículos. El vehículo A puede transportar 10 toneladas y se espera que promedie 35 km por hora. Su costo es de $ 8 000. El vehículo B tiene una capacidad de 20 toneladas y se espera que promedie 30 millas por hora. Su costo es de $ 13 000. El vehículo C es un modelo modificado de B, tiene un sitio para que duerma el chofer, lo cual reduce su capacidad a 18 toneladas y eleva su costo a $ 15 000. El vehículo A requiere una tripulación de un hombre y se opera durante tres turnos por día, puede trabajar un promedio de 18 horas por día. Los vehículos B y C requieren una tripulación de dos hombres cada uno, pero mientras que B puede trabajar 18 horas por día en tres turnos, C puede promediar 21 horas diarias. La compañía, que dispone de 150 choferes al día, tendría muchas dificultades para obtener tripulaciones adicionales. Las facilidades de mantenimiento son tales que el número total de vehículos no puede exceder de 30. Determinar cuántos vehículos de cada tipo deberán comprarse, si la compañía desea hacer máxima su capacidad en toneladas km por día. 18. Un agricultor tiene dos planes de inversión: en tierras de riego o tierras de secano. El primer programa regresa un 30% de la inversión anualmente, mientras que el segundo plan regresa un 65% de la inversión, pero al término de dos años. Los intereses recibidos en ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Se solicita maximizar la inversión total en un sexenio, la inversión anual es de $ 100 000. 19. Investigar sobre los programas LINDO y LINGO. 20. Resolver todos los Problemas Resueltos y Propuestos con el LINGO.


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PLANTEAMIENTO Y RESPUESTAS - PROBLEMAS RESUELTOS Para los Diez (10) problemas resueltos, se dan a continuación el Planteamiento y las respuestas obtenidas. 1. MEDIOS O RECURSOS Central 1 Central 2

PRODUCTO Bicicletas Motonetas 6 4 3 10

UTILIDAD

45

RESTRIC. 120 180

55

X1

= N° de Bicicletas

X2

= N° de Motonetas

45 X1

+

Horas Central 1

6 X1

+

4 X2

<=

120

Horas Central 2

3 X1

+

10 X2

<=

180

X1, X2

>=

0

(MAX) U = Restricciones:

55 X2

No Negatividad

∈ 𝑍 Respuesta.- Se deben producir 10 Bicicletas y 15 Motonetas, obteniendo así, una Utilidad Máxima de $ 1 275. X1, X2

Entero

2. PRODUCTO Pan (1 kg) Queso (1 kg) 2 000 4 000 50 200

CONTENIDO Calorías Proteínas COSTO

6

>= 6 000 >= 200

21

X1

= Kilogramos de pan

X2

= Kilogramos de queso

6 X1

+

21 X2

2 000 X1

+

4 000 X2

>=

6 000

50 X1

+

200 X2

>=

200

X1, X2

>=

0

(MIN) C = Restricciones: Calorías

RESTRIC.

Proteínas No Negatividad

Respuesta.- 2 Kg de Pan y 1/2 Kg de Queso, con un gasto mínimo de $ 22,50 3. MEDIOS O RECURSOS Maquina X Maquina Y Acabado Final

A 2 1 1

B 1 1 3

UTILIDAD

4

6

X1

ARTICULO

= Unidades del Artículo A


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RESTRIC. <= 70 <= 40 <= 90


X2

= Unidades del Artículo B


4 X1

+

6 X2

Horas Máquina X

2 X1

+

X2

<=

70

Horas Máquina Y

X1

+

X2

<=

40

Horas Acabado Final

X1

+

3 X2

<=

90

No Negatividad

X1, X2

>=

0

Entero

X1, X2

∈

𝑍

Respuesta.- Juguete A = 15 Unidades; Juguete B = 25 Unidades; (MAX) U = 210. 4. MEDIOS O RECURSOS Mina I Mina II

PRODUCTO A 100 200

RESTRIC.

>= 3 000 X1 X2

COSTO POR TM 50 60

B 200 50 >= 2 500

= Toneladas procesadas en Mina I = Toneladas procesadas en Mina II

50 X1

+

60 X2

TM Producto A

100 X1

+

200 X2

>=

3 000

TM Producto B

200 X1

+

50 X2

>=

2 500

X1, X2

>=

0

(MIN) C = Restricciones:

No Negatividad

Respuesta.- Mina I: 10 Toneladas; Mina II: 10 Toneladas; (MIN) C = 1 100. 5. X1 =

N° de Mesas.

X3 =

N° de Escritorios.

X2 =

N° de Sillas

X4 =

N° de Libreros.

12 X1

+

Madera A

5 X1

Madera B

2 X1

Horas Hombre

3 X1


Demanda Mesas

5 X2

+

15 X3

+

10 X4

+

X2

+

9 X3

+

12 X4

<=

1 500

+

3 X2

+

4 X3

+

X4

<=

1 000

+

2 X2

+

5 X3

+

10 X4

<=

800

X1 X2

Demanda Sillas

X3

Demanda Escritorios

>=

40

>=

130

>=

30

X4

<=

10

No Negatividad

X1, X2, X3, X4

>=

0

Entero

X1, X2, X3, X4

∈

𝑍

Demanda Libreros

Respuesta.- Nº Mesas = 130; Nº Sillas = 130; Nº Escritorios = 30; Nº Libreros = 0; Máxima Utilidad = $ 2 660.


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6. Departamento

Automóviles

Camiones

Restricción

1. Estampado de planchas metálicas

25 000

35 000

o (Excluyente)

2. Armado de motores

33 333

16 667

o (Excluyente)

3. Montaje de automóviles

22 500

<=

4. Montaje de camiones

15 000

X1

= Cantidad de automóviles

X2

= Cantidad de camiones

<=

300 X1

+

250 X2

Capac. Util. Dpto. 1

1/25000 X1

+

1/35 000 X2

<=

Capac. Util. Dpto. 2

1/ 33 000 X1

+

1/16 667 X2

<=

1

N° autom. Armados

X1

<=

22 500 15 000


1

X2

<=

No Negatividad

X1, X2

>=

0

Entero

X1, X2

∈

𝑍

N° camion. Armados

Respuesta.- Nº de Automóviles = 20 371; Nº de Camiones = 6 480; Máxima Utilidad = $ 7 731 300 7.

Si: Xe = Toneladas de pintura para exteriores producidas diariamente y Xi = Toneladas de pintura para interiores producidas diariamente, el planteamiento es: (Max) U = Restricciones:

3000Xe Xe 2Xe - Xe

+ 2000Xi + + +

2Xi Xi Xi Xi Xe, Xi

<= <= <= <= >=

6 8 1 2 0

Respuesta.- Se deben producir diariamente 3,33 Toneladas de pintura para exteriores y 1,33 Toneladas de pintura para interiores, la función objetivo es de $ 12 667. Los Informes de Respuestas, Sensibilidad y Límites para éste ejercicio en particular se pueden consultar en el Anexo 1: INFORMES DEL SOLVER PARA PROGRAMACIÓN LINEAL EN EL EXCEL ya que se toman como ejemplo para el desarrollo de éste tema. RECOMENDACIÓN: Los Informes del Excel se pueden imprimir, resolver RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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el Problema en el TORA, imprimir sus informes y con ayuda del Anexo 2 y del libro de Investigación de Operaciones – Taha desarrollar las interpretaciones, ya que gran parte de los análisis con diferentes software, son equivalentes, cambia sólo la forma de presentación. 8.

En muchos problemas de Programación Lineal, una buena visualización del problema, basta para hacer una formulación adecuada. Se tiene la siguiente gráfica: 100 000 XB0

0

XA0

1

XA1

2

XA2

3

XB1

Variables: XA0 XA1 XA2 XB0 XB1

= Cantidad invertida en Plan A en el Año 0 = Cantidad invertida en Plan A en el Año 1 = Cantidad invertida en Plan A en el Año 2 = Cantidad invertida en Plan B en el Año 0 = Cantidad invertida en Plan B en el Año 1

La anterior gráfica y variables permiten plantear las siguientes Tablas: Inversión posible: Período

0

1

2

Inversión posible

XA0 + XB0

XA1 + XB1

XA2

Disponibilidad de dinero (montos incluidos los intereses ganados y posibles de invertir o salir) Período Disponibilidad

0 100 000

1 1,7 XA0

2 1,7 XA1 + 3 XB0

3 1,7 XA2 + 3 XB1

Se puede plantear con los datos anteriores la Función Objetivo y las Restricciones: Función Objetivo: Está expresada como una función del dinero que se dispone al final del año 3: (Max) Z = 1,7 XA3 + 3 XB2


- 68 -


Restricciones: Inversión posible <= Disponibilidad de dinero (la cantidad que se invierte no puede superar a la cantidad que se tiene). XA0 + XB0 <= 100 000 XA1 + XB1 <= 1,7 XA0 XA2 <= 1,7 XA1 + 3 XB0 El problema queda entonces del siguiente modo: F.O. (MAX) G = Restricciones: Inv_Año_0 Inv_Año_1

1.7 XA2 XA0

-

1.7 XA0

Inv_Año_2

+ +

XA1

-

1.7 XA1

+

XA2

-

+

3 XB1

+

XB1

XB0 3 XB0

XA0, XA1, XA2, XB0, XB1

<=

100 000

<=

0

<=

0

>=

0

Respuesta.- Se debe invertir inicialmente al inicio (Período 0) la suma de $ 100 000 en el Plan A: XA0 = 100 000 Que se convertirá en un año en 170 000 (al inicio del Período 1) dado que: XB1 = Inversión + Intereses = 100 000 + 0.7*100 000 = 1.7*100 000 = 170 000 Monto que invertido al inicio del Período 1 en el Plan B, generará al final del año 3: Inversión + Intereses = 170 000 + 2*170 000 = 3*170 000 = 510 000 9.

Sea: Xi = El número de mozos que ingresan en el turno i (i = 1, 2, ..... 6) Variable X1 X2 X3 X4 X5 X6

Turno

Tiempo del día 2 6 10 14 18 22

-

6 10 14 18 22 2

-

Número mínimo de mozos 04 08 10 07 12 04

Horario

X1

= Cantidad de mozos que trabajan en el Turno de 2 a 10 horas

X2


X3


X4


X5


X6


En la gráfica siguiente se visualiza este problema, por el efecto de duración de 24 horas de un día, el último turno pasa de un día al RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 69 -


siguiente, generando que “se encuentre” con los que ingresan más temprano a trabajar: 2

6

10

14

18

22

2

6

1 X1

2 X2

3 X3

4 X4

5 X5

6 X6

La Función Objetivo que minimizará el total de mozos es: (Min) M = X1 + X2 + X3 + X4 +X5 + X6 Luego, el problema tendrá el siguiente conjunto de restricciones: NÚMERO DE MOZOS EN UN TURNO ≥ NÚMERO MÍNIMO Turno 1

X1

Turno 2

X1

+ +

X2

Turno 3

X6

X2 +

X3 X3

Turno 4

+

X4 X4

Turno 5

+

X5 X5

Turno 6

+

X6

≥

4

≥

8

≥

10

≥

7

≥

12

≥

4

Esto es así por cuanto en cualquier turno, hay quienes están cumpliendo sus primeras 4 horas (los que han ingresado en el turno) y quienes están cumpliendo sus últimas horas (los del turno anterior). Y como siempre, la condición de NO NEGATIVIDAD: Xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, ..... ,6 Respuesta.- Se requiere un mínimo de 26 mozos, según los siguientes Turnos: Turno 1: 4 Mozos; Turno 2: 10 Mozos; Turno 3: 0 Mozos; Turno 4: 8 Mozos; Turno 5: 4 Mozos y Turno 6: 0 Mozos. 10. Si X1, X2 y X3 es la cantidad a producir de 1, 2 y 3. El modelo quedaría planteado como: (Max) U = Restricciones: Fresadora Torno Rectificadora

30 X1

+

12 X2

+

15 X3

9 X1 5 X1 3 X1

+ +

3 X2 4 X2

+

5 X3

+

2 X3 X3 X1, X2 X3 X1, X2 X3


- 70 -

≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ∈

500 350 150 20 0 𝑍


Respuesta.- La utilidad máxima asciende a $ 1 740, debiendo producirse 26 unidades del Producto 1, 55 unidades del Producto 2 y 20 unidades del Producto 3. 11. NOTA: El ejercicio se adecúa para ser resuelto directamente con el Solver, sin efectuar el planteamiento matemático. Un formato propuesto para ingresar los datos es el siguiente: Banquetas

Disponibilidad Máxima

Utilización

Disponibilidad o inventario

5

2

240

240

0

1

1

120

118

2

1

2

1

120

120

0

3

4

4

2

500

374

126

1

1

4

5

1

220

120

100

2

2

4

4

3

250

250

0

98.00

45.00

150.00

250.00

180.00

75.00

104.50

49.00

157.00

259.50

185.00

79.00

6.50

4.00

7.00

9.50

5.00

4.00

28

26

0

0

0

38

Recursos

Mesas

Carpintero (H/H)

4

Supervisores (H/H)

1

Administración (H/H)

Sofás

Camas

2

5

6

2

1

2

2

1

1

Madera (m)

6

5

Pintura / Barniz (G)

2

Tornillos (Un)

3

Costos Precio de venta

Utilidad

Unidades a producir

Utilidad total

Sillas

Escritorios

438.00

La utilidad por unidad se deduce de la resta del precio de venta menos el precio de venta, la columna de Utilización describe las restricciones por lo tanto debe estar multiplicando el requerimiento de cada recurso por las unidades a producir y el inventario es la resta de la disponibilidad máxima y la utilización. La utilidad total es el resultado de sumar la multiplicación de la utilidad por unidad por las unidades a producir. Los resultados de la producción, deben ser enteros. a)

Los resultados son: Mesas Sillas Sofás Camas Escritorios Banquetas

Unidades a producir

28

26

0

0

b)

La utilidad máxima es S/. 438.00

c)

Varían las unidades a generar, siendo por producto:

0

38

Mesas Sillas Sofás Camas Escritorios Banquetas Unidades a producir

23

26

0

3

0

39

La utilidad máxima es: S/. 438.00 d)

Se disminuiría el monto de los inventarios, evaluando si algunos requerirían tenerse con el almacén a partir de los costos del inventario y costos de adquisición al significar capital inmovilizado.


- 71 -


Lo que muestra el resultado es que luego del proceso productivo se tienen horas sin utilizar de administración, que se podrían racionalizar, en almacén queda la madera representando un 40% de la madera utilizada (142 m), aparentemente excesiva y pintura 97 galones también para evaluarse su necesidad. La máxima ganancia es S/. 413, con una producción de 21 Mesas, 36 Sillas, 6 Sofás, 3 Camas, 2 Escritorios y 13 Banquetas.

e)

12. El problema plantea varias condiciones, pero la condición que si supera el costo de adquisición de S/. 440 en un 10% (440*1.10= 484), no constituye un dato para solucionarlo, se tomará en cuenta como criterio de decisión, luego de obtenidos los resultados. Se soluciona con el Excel, inicialmente los precios pueden ser Ceros (0), se generan las fórmulas para las Ventas = Cantidad * Precio, los Totales son la suma de las columnas y el Promedio de los Precios = ∑ Precios / N° Total de Artículos (función Promedio del Excel). N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cantidad (a) A 6 B 4 C 8 D 6 E 6 F 4 G 4 H 4 I 6 J 8 Totales 56 Promedio

Producto

Precio (b) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Venta (a)*(b) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

La Tabla mostrada a continuación luego de seguir el proceso con el Solver del Excel lista los resultados, que podrían tener variantes a nivel de Precios, no así en el Promedio de Precios. Finalmente se opta por aceptar la estructura de Precios al cumplirse que el promedio sea Nueve (9) y al ser la utilidad superior al 10%. Para plantear la Función Objetivo (F.O.) y Restricciones (valores del lado derecho de la expresión: 484, 9, 10 y 6 deben ser ingresadas directamente en el Solver), se debe tener en cuenta: Componente del problema

Expresión

Para el Solver

Objetivo

(MAX) V =

Celda del total de ventas

Restricción 1

Total ventas >= 484 (400*1.1)

Celda del total de ventas

Restricción 2

Promedio precios = 9

Celda del promedio de precios

Restricción 3

Precios <= 10

Celdas de precios

Restricción 4

Precios >= 6

Celdas de precios


- 72 -


Los resultados después de utilizar el Solver son: N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Producto

Cantidad (a)

A 6 B 4 C 8 D 6 E 6 F 4 G 4 H 4 I 6 J 8 Totales 56 Promedio

Precio (b)

Venta (a)*(b)

10 8 10 10 10 6 6 10 10 10

60 32 80 60 60 24 24 40 60 80 520

9

La decisión finalmente es aprobar la estructura de precios y los resultados para las ventas (en este caso, que no se constituye en una buena práctica, se ha optimizado las ventas, lo que debe optimizarse son los resultados finales tales como beneficios). Efectuando un resumen del proceso seguido, se tiene: Condición Evaluación Costo total 440 Utilidad 10% Valor venta total 484 Se cumple = 520 Promedio de precios 9 Se cumple = 9 Precios Entre 6 y 10 Se cumple Decisión Se acepta estructura de precios


- 73 -


RESPUESTAS - PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

a) Utilidad máxima = $ 70, con 18 unidades del compuesto 1 y 4 del compuesto 2. b) No se afecta los resultados. Planteamiento para a) X1 = Unidades del Compuesto 1. X2 = Unidades del Compuesto 2. X1 X2 (Max) U = 3 4 Restricciones: 8 4 2 6 X1, X2 Planteamiento para b) X1 X2 (Max) U = 3 4 Restricciones: 8 4 2 6 6 5 X1, X2

<= <= >=

160 60 0

<= <= <= >=

160 60 150 0

2.

X1 = 16 800; X2 = 2 000 FUNCIÓN OBJETIVO: 79 200

3.

Función Objetivo = 32 025. X11 0

X12 0

X13 50

X21 25

X22 75

X23 0

X31 25

X32 0

X33 175

4. X1= Monto a Invertir en las Acciones Tipo A X2 = Monto a Invertir en las Acciones Tipo B X1 X2 0,1 0,07 44 000 300 000 200 000 1 1 500 000 <= 1 300 000 <= 1 200 000 >= 1 -1 100 000 >= X1, X2 >=

500 000 300 000 100 000 0 0

a) Monto a Invertir en Acciones Tipo A: $ 300 000, en Acciones Tipo B: $ 200 000. b) Ganancias por la Acción Tipo A: $ 30000, por la Acción Tipo B $ 14 000, Ganancia Total Máxima: $44 000. c) Monto total invertido $ 500 000. d) En las acciones A invirtió $100 000 más que en B. e) Total de dinero que poseería al final del año $ 544 000. 5.

Estilo 1 = 3 000, estilo 2 = 1 000, estilo 3 = 5 000, estilo 4 = 0, estilo 5 = 1 500, estilo 6 = 1 500 y estilo 7 = 1 125. Utilidad Máxima 14 875 UM.


- 74 -


6. (MAX) U = 4X1 + 5,5X2. Con las Condiciones: 4X1 + 2X2  160 2X1 + 3X2  180 X1, X2  0 X1 = 15, X2 = 50 7.

Planteamiento y resultados en el Excel: CER GIN WHIS MART (MAX) A = 17 15 16 7 0 10 4,29 0 1 1 1 1 15 6 7 4 100 200 200 400 1

218,57 0,00 10,00 4,29 0,00 90,00 2857,14 4,29

<= <= <= <= <= <= >=

8 10 12 24 90 5000 2

a. b. c.

Se prevé gastar $ 2 857,143 El consumo alcohólico se calcula en 218,57 unidades. Cero (0), deducido de la restricción del tiempo, de los 90’, los 90’ estará con un vaso a su disposición.

8.

Osciloscopios = 345; Voltímetros = 195; Utilidad Máxima = 26 550.

9.

(MAX) Z = 51,76 ; X1 = 13,53; X2 = 2,65 ; X3 = 0.

10. (MIN) C = 225 ; X1 = 0 ; X2 = 30 ; X3 = 0 ; X4 = 40 ; X5 = 0 11. (MAX) Z = 28; X1 = 0; X2 = 6 ; X3 = 4 12. (MIN) C = 7,3333 ; X1 = 0,6667 ; X2 = 0 ; X3 = 5,3333 13. Planteamiento: (Min) Z = 0,1 X1 + 0,04X2 + 0,06X3 Restricciones: X1 + X2 + X3 X1 X2 + X3 X1 + X2 0,9X1 - 0,1X2 - 0,1X3 -0,1X1 + 0,9X2 - 0,1X3 -0,1X1 - 0,1X2 + 0,9X3 X1, X2, X3 14. Planteamiento: (Max) Z = 0,275X1 + 0,35X2 Restricciones:

≥2 ≥ 0 ≤ 1,6 ≥ 0 ≥0 ≥ 0 ≥ 0


- 75 -


0,25X1 ≤ 500 0,25X1 + 0,50X2 ≤ 200 0,50X1 + 0,50X2 ≤ 200 X1, X2 ≥ 0 15. Planteamiento: (Max) Z = 5,25X1 + 3,45X2 Restricciones: 39X1 + 12X2 X2 1,5X1 + 0,5X2 X1, X2

≤ 780 ≥ 40 ≤ 80 ≥ 0

16. Planteamiento: (Min) Z = 240X1 + 200X2 Restricciones: X1 X2 4X1 + 3X2 2X1 X2

≤ ≤ ≥ ≤

X1, X2

10 5 40 15

≥ 0

17. Planteamiento: (Max) Z = 6 300X1 + 10 800X2 + 11 340X3 Restricciones: 3X1 + 6X2 + 6X3 X1 + X2 + X3 8 000X1 + 13 000X2 + 15 000X3 X1, X2, X3 18. Planteamiento: (Max) Z = 1,3XA6 + 1,65XB5 Restricciones: XA1 + XB1 XA2 + XB2 XA3 + XB3 XA4 + XB4 XA5 + XB5 XA6 Xij

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥

100 1,3XA1 1,3XA2 + 1,3XA3 + 1,3XA4 + 1,3XA5 + 0

≤ 150 ≤ 30 ≤ 400 000 ≥ 0

1,65XB1 1,65XB2 1,65XB3 1,65XB4

19. Se proporciona en el Anexo 2 instrucciones básicas sobre los programas LINDO y LINGO, debe por su parte, investigar adicionalmente. 20. En el Anexo 2 se Plantea con el LINGO, los Problemas Resueltos, el alumno debe por su parte plantear los Problemas Propuestos.


- 76 -


ANEXO 1 INFORMES DEL SOLVER PARA PROGRAMACIÓN LINEAL - EXCEL Al finalizar una optimización, se pueden tener en el Excel tres tipos de informes: • • •

Respuestas. Sensibilidad. Límites.

La ventana que aparece para los informes es (seleccionar presionando la tecla MAY):

Si en la anterior figura los Informes se muestran de manera difusa, que no permite activar los informes indica que los resultados no son posibles de hallar debido a errores en el planteamiento o no tiene resultados factibles o acotados (ver ítem 6 de la presente unidad). No se generan Informes de sensibilidad y límites para los modelos que fijen restricciones de valores enteros para las variables. Para una explicación práctica, seguidamente se trata sobre los Informes basados en el Problema resuelto 7 (Reddy Mikks Company). 1.

INFORME DE RESPUESTAS

Muestra una lista con la celda objetivo y las celdas ajustables (CELDAS DE LAS VARIABLES O INCÓGNITAS) con sus valores originales (si por ejemplo se trata de cuántas unidades producir y estaban con un valor de cero = 0, así se mostrarán en el Informe) y sus valores finales, las restricciones y la información acerca de las mismas, luego de la optimización. Ejemplo: Para el Problema resuelto 7 (Reddy Mikks Company) en la página siguiente figura la salida del Informe de respuestas, a partir del cual, se puede establecer los resultados siguientes: -

La columna que figura como “Valor Original” indica cuál era el valor al inicial antes de resolver el problema con el Solver.

-

En las restricciones, el “Valor de la Celda” indica cuál es el valor que adopta la restricción con la optimización. En el “Estado” de ser “Obligatorio” no existirá divergencia entre el resultado de la optimización del recurso o situación enfrentada (por ejemplo mercado) y la disponibilidad o límite con el que se cuenta.

-

Así, el valor del lado derecho de la restricción se puede deducir, sumando el “Valor de la celda” con la “Divergencia de tener una relación <= o restando ambos valores de tener una relación >=.


- 77 -


Microsoft Excel 12.0 Informe de respuestas Hoja de cálculo: [Ejer_Informes.xlsx]Hoja3 Informe creado: 12/04/2011 07:30:22 a.m.

Celda objetivo (Máximo) Celda Nombre $E$3 (Max) U =

Celdas cambiantes Celda Nombre $C$4 TN Pintura TN Pintura A $D$4 TN Pintura TN Pintura B

Valor original

Valor final 0 12666.66667

Valor original

Valor final 0 3.333333333 0 1.333333333

Restricciones Celda Nombre Valor de la celda Fórmula $E$5 Disponibilidad A 6 $E$5<=$G$5 $E$6 Disponibilidad B 8 $E$6<=$G$6 $E$7 Demanda Int. - Demanda Exter. -2 $E$7<=$G$7 $E$8 Demanda Max. Pintura Int. 1.333333333 $E$8<=$G$8

2.

Estado Divergencia Obligatorio 0 Obligatorio 0 Opcional 3 Opcional 0.666666667

INFORME DE SENSIBILIDAD

Proporciona información acerca de la sensibilidad de la solución a que se realicen pequeños cambios en la fórmula definida en el cuadro Definir celda objetivo del cuadro de diálogo Parámetros de Solver o de las restricciones. No se genera este informe para los modelos que tengan restricciones enteras. En modelos no lineales, el informe facilita los valores para las gradientes y los multiplicadores de Lagrange. En los modelos lineales, el informe incluye costos reducidos, otros precios, coeficiente de objetivos (con aumentos y disminuciones permitidos) y rangos de restricciones hacia la derecha. Ejemplo: Para el Problema resuelto 7 (Reddy Mikks Company) si se genera el Informe de Sensibilidad el resultado es el siguiente: Microsoft Excel 12.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [Ejer_Informes.xlsx]Hoja3 Informe creado: 12/04/2011 08:01:16 a.m. Nota: Corregir es Disminución y no Aumento Celdas cambiantes Celda Nombre $C$4 TN Pintura TN Pintura A $D$4 TN Pintura TN Pintura B

Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminución Igual reducido objetivo permisible permisible 3.333333333 0 3000 1000 2000 1.333333333 0 2000 4000 500

Restricciones Celda $E$5 $E$6 $E$7 $E$8

Nombre Disponibilidad A Disponibilidad B Demanda Int. - Demanda Exter. Demanda Max. Pintura Int.

Valor Igual 6 8 -2 1.333333333

Sombra Restricción Aumento Disminución precio lado derecho permisible permisible 333.3333333 6 1 2 1333.333333 8 4 2 0 1 1E+30 3 0 2 1E+30 0.666666667

El Informe, facilita información acerca de la sensibilidad cuando se cambian los coeficientes de la función objetivo (3000 X1 + 2000 X2), ante lo cual los RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 78 -


valores de la solución para las variables (X1, X2 ... etc.) pueden variar o no (NOTA: No se refiere a que el valor de la función objetivo varíe o no, su valor óptimo será verdadero sólo para la función objetivo originalmente planteada). Similar es el análisis para los valores de las restricciones. En los modelos lineales, el informe incluye costos reducidos, otros precios, coeficiente de objetivos (con aumentos y disminuciones permitidos) y rangos de restricciones hacia la derecha. Para facilitar el análisis, se efectúa a partir del Informe de Sensibilidad, la siguiente Tabla: (los Límites de coeficientes han sido calculados exprofesamente del modo siguiente: INFERIOR = 3 000 – 2 000 = 1 000; 2 000 – 500 = 1 500 SUPERIOR = 3 000 + 1 000 = 4 000; 2 000 + 4 000 = 6 000 Celda Nombre $C$4 TN Pintura TN Pintura A $D$4 TN Pintura TN Pintura B

Coeficiente Aumento Disminución LIMITE DE COEFICIENTES objetivo permisible permisible INFERIOR SUPERIOR 3000 1000 2000 1000 4000 2000 4000 500 1500 6000

La interpretación que se puede efectuar para el Ejemplo es: a)

b)

Si uno de los COEFICIENTES OBJETIVO (UTILIDAD DE X1 o X2) es a) IGUAL o MENOR AL LÍMITE INFERIOR o b) MAYOR o IGUAL que el LÍMITE SUPERIOR, X1 Y X2 VARÍAN. Ejemplo: Varía si la Función Objetivo (F.O.) sería 1000 X1 + 2000 X2. Si uno de los COEFICIENTES (UTILIDAD DE X1 o X2) está dentro de los límites pero no son IGUALES a los mismos, X1 Y X2 NO VARÍAN. Ejemplo X1 y X2 NO variarán si la Utilidad de Pinturas para Exteriores está entre 1 001 y 3 999. LÍMITE INFERIOR <= SÍ VARÍAN LOS VALORES DE LAS VARIABLES

NO VARÍAN LOS VALORES DE LAS VARIABLES O INCÓGNITAS

>= LÍMITE SUPERIOR SI VARÍAN LOS VALORES DE LAS VARIABLES

Ejemplo: Como aplicación de los criterios antes establecidos, se muestra la Tabla siguiente: VALOR DEL COEFICIENTE Utilidad Pint. Ext. Utilidad Pint. Int. 1 000 2 000

EFECTO X1 y X2, varían

3 000

1 500

X1 y X2, varían

1 001

2 000

X1 y X2, no varían

3 000

1 501

X1 y X2, no varían

999

2 000

X1 y X2, varían

3 000

1 499

X1 y X2, varían

4 000

2 000

X1 y X2, varían

3 000

6 000

X1 y X2, varían

3 999

2 000

X1 y X2, no varían

3 000

5 999

X1 y X2, no varían

4 001

2 000

X1 y X2, varían

3 000

6 001

X1 y X2, varían


- 79 -


COSTO O GRADIENTE REDUCIDO Existen casos en los cuales la optimización determina que un artículo no se debe producir, en este caso los COSTOS superan a los rendimientos. El GRADIENTE REDUCIDO indica la cuánto tendría que mejorarse cada uno de los coeficientes de la función objetivo, antes que la correspondiente variable pueda tomar un valor positivo en la solución óptima. Ejemplo si maximizamos cantidad a producir teniendo como dato determinados precios, de tener un resultado del costo reducido tal como 2, indica que el precio debe subir en 2 para que se haga elegible de ser producido. PRECIO SOMBRA Es el cambio en el valor de la FUNCIÓN OBJETIVO, por un aumento unitario en el valor de una RESTRICCIÓN. La interpretación es este caso del precio sombra de la Materia Prima A que asciende a 333,333 es que la empresa puede aumentar su Ganancia Total en 333,333 si dispone de una unidad (Tonelada) adicional de Materia Prima A. Aumentado de 12 667 a 13 000 (12 667 + 333), si dispone de 7 unidades de Materia Prima A (6 + 1). La cantidad de 333,33 también es el precio máximo que debe pagar la empresa por una unidad adicional de Materia Prima A. INFORME DE SENSIBILIDAD - RESTRICCIONES Para el caso de las restricciones, de manera similar que para los valores de las variables o incógnitas, se elabora la Tabla siguiente: No es reportado por el Excel

Celda $E$5 $E$6 $E$7 $E$8

Valor Igual

Nombre Materia Prima A 6 Materia Prima B 8 Demanda Int. - Demanda Exter. -2 Demanda Max. Pintura Int. 1.333333333

Sombra Restricción Aumento Disminución LÍMITES DISPONIBILIDAD precio lado derecho permisible permisible INFERIOR SUPERIOR 333.3333333 6 1 2 4 7 1333.333333 8 4 2 6 12 0 1 1E+30 3 -2 1E+30 0 2 1E+30 0.666666667 1.33333333 1E+30

Como regla de los límites de las restricciones se tiene: Si una de las disponibilidades varía entre los valores de los límites inferior y superior, la proporcionalidad dada por el precio sombra no varía, en caso contrario, varía. Ejemplo: Si la disponibilidad de Materia Prima A es igual a 4, sin variar la disponibilidad de los otros recursos, la Utilidad Total (Función Objetivo), disminuirá en $ 666,66 (333,33 * (6-2)), si es igual a 3 variará el precio sombra. Se mantendrá la proporcionalidad si ésta materia prima varía entre 4 y 7. Esquemáticamente lo anterior se puede representar del modo siguiente: LÍMITE INFERIOR < SÍ VARÍA PROPORCIONALIDAD PRECIOS SOMBRA

NO VARÍA PROPORCIONALIDAD DE PRECIOS SOMBRA


- 80 -

> LÍMITE SUPERIOR SI VARÍA PROPORCIONALIDAD PRECIOS SOMBRA


3.

INFORME DE LÍMITES

Muestra una lista con la celda objetivo y las celdas ajustables con sus valores correspondientes, los límites inferior y superior así como los valores del objetivo. No se genera este informe para los modelos que tengan restricciones enteras. El límite inferior es el valor mínimo que puede tomar la celda ajustable (CELDAS DE LAS VARIABLES O INCÓGNITAS) mientras se mantienen todas las demás celdas ajustables fijas y se continúa satisfaciendo las restricciones. El límite superior es el valor máximo. A continuación se muestra el Informe para el problema en análisis: Microsoft Excel 12.0 Informe de límites Hoja de cálculo: [Ejer_Informes.xlsx]Informe de límites 4 Informe creado: 16/04/2011 11:00:21 a.m.

Celda objetivo Celda Nombre $E$3 (Max) U =

Igual 12666.66667

Celdas cambiantes Celda Nombre Igual $C$4 TN Pintura TN Pintura A 3.333333333 $D$4 TN Pintura TN Pintura B 1.333333333

Límite Celda inferior objetivo 0.333333333 3666.666667 0 10000

Límite Celda superior objetivo 3.333333333 12666.66667 1.333333333 12666.66667

Nos indica que el límite inferior para la variable del resultado para las toneladas a producir de pinturas exteriores no puede ser menor a 0,33333, manteniendo el otro valor obtenido en la maximización de 1,333 toneladas de pintura para interiores. De ser menor a 0,33333, no se cumplirían las restricciones. Ejemplo: De ser menor a 0,33333, excedería la disponibilidad que se tiene de recursos, no cumpliendo con los límites de la RESTRICCIÓN. Recordar que no podrían ser números negativos (no negatividad). Para el caso de las pinturas interiores el límite sería cero. Los límites superiores corresponden a los óptimos obtenidos.


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ANEXO 2 ASPECTOS BÁSICOS SOBRE EL LINGO (SOFTWARE PARA PROGRAMACIÓN LINEAL) Generalidades El LINGO (Linear INteractive and General Optimizer), es una herramienta para formular problemas lineales y no lineales, resolverlos y analizar su solución. Uno de los rasgos más poderosos de LINGO es su aplicación en el lenguaje de modelo matemático. El cual permite expresar un problema de una manera muy similar a la anotación matemática normal. Los archivos generados por LINGO tienen la extensión. LG4. Sintaxis La sintaxis que se utiliza en este programa es muy sencilla. Para el nombre de las variables se establece que deben tener 32 caracteres como máximo, Deben comenzar con una letra seguido de letras, dígitos o _. El compilador de LINGO no distingue entre mayúsculas y minúsculas. Para ingresar los datos o resolver un problema, se debe tomar en consideración lo siguiente: a)

Cuando se deben efectuar comentarios, se inician con un signo de exclamación (!), y terminan en un punto y coma. El Lingo los resaltará en verde. Son de uso opcional.

b)

Cada instrucción LINGO debe terminar en un punto y coma (;).

c)

No se puede escribir en caso de multiplicación el valor numérico junto con la variable, debe incluirse necesariamente el “*”, así: 5*X1. La elevación a una potencia se señala con “^”.

d)

Los nombres de variables no distinguen entre mayúsculas y minúsculas y deben comenzar con una letra (AZ). Otros caracteres en el nombre de la variable pueden ser letras, números (0-9), o el carácter de subrayado (_). Los nombres de variable pueden tener hasta 32 caracteres de longitud. No se deben usar los acentos o separaciones en blanco entre palabras.

e)

Para darle un nombre a la función objetivo o a las restricciones, estos se deben colocar entre corchetes “[ ]”. Son de uso opcional. Los nombres NO PERMITEN ACENTOS ORTOGRÁFICOS.

f)

Para declarar la función objetivo debemos colocar las palabras reservadas MAX o MIN, seguidas del signo =, el LINGO lo resaltará en azul.

g)

Los archivos generados por LINGO tiene la extensión. LG4.

h)

A menos que se especifique lo contrario, el valor de las variables por defecto en un modelo de LINGO son no-negativas y continuas. Más específicamente, las variables pueden asumir algún valor real desde cero a infinito positivo. En muchos casos, este dominio de valor, por defecto puede ser impropio. Por ejemplo, se puede querer que una variable asuma valores negativos, o que una variable restringida adopte puramente valores enteros. LINGO proporciona cuatro funciones de variables dominio que permiten sustituir el dominio predefinido de una variable. Los nombres de estas funciones y una descripción breve de su uso son:


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@GIN restringe una variable para comenzar con valores enteros. @BIN hace una variable binaria (es decir, 0 o 1). Por ejemplo @BIN( X). @FREE permite que una variable pueda asumir algún valor real, positivo o negativo. Por defecto, las variables en LINGO tiene un límite inferior de cero y un límite superior de infinito. @FREE quita el límite inferior cero y permite que la variable tome valores negativos. @BND limita una variable dentro de un rango finito. La sintaxis para @BND es: @BND (lower_bound, variable_name, el upper_bound); donde la variable_name es la variable a ser limitada debajo por el lower_bound y limitado superiormente por el upper_bound. Lower_bound y upper_bound deben ser valores numéricos o variables cuyos valores han sido fijados en la sección de datos. i)

Las restricciones van relacionadas con los signos <, >, que son tomados como <=, >=, además se puede utilizar el =. Por lo descrito en el punto anterior, no es necesaria la restricción de no negatividad y se puede definir determinado dominio para las variables.

j)

LINGO le da la posibilidad de definir dos tipos de variables enteras, una general y otra binaria. Una variable entera general requiere ser un número entero. Una variable entero binaria requiere ser cero o uno. Cualquier modelo que contiene uno o más variables enteras, es requerido para un modelo programación entera. En muchos proyectos de modelos, se requiere adoptar tipos de decisiones (si/no). Algunos ejemplos incluirían Produce/No Produce, Abre un Plan/Cierra un Plan, etc. Las variables binarias son el método normal usado por modelar estas decisiones de si/no.

k)

LINGO proporciona varias funciones y operadores al modelo matemático. Los Operadores Normales: Aritmética, lógicos, y correlativos según prioridad, tales como: ^, *, /, +, -, =, <=, >=. Entre otros operadores se tiene #NOT# (negación), #EQ#, #NE#, #GT#, #GE#, #LT#, #LE# #AND#, #OR#. Se tienten también funciones matemáticas Trigonométricas y generales. Ej @ABS( X) y funciones financieras.

l)

Solución de un modelo de LINGO: Una vez que el modelo de LINGO se hayan incorporado en el modelo de ventana de LINGO, el modelo puede ser resuelto haciendo clic en el botón Resolver sobre la barra de herramientas, seleccionando LINGO / Solve, en el menús en la figura de una flecha que dio en el blanco, o usando las teclas Ctrl + U como atajo de teclado.

m) LINGO notifica cualquier error que ha encontrado, le indicará en pantalla el lugar donde se detectó un error, es común que no se haya incluido el “;”. En el mismo Software como ayuda (siempre en ingles), se puede obtener información sobre estos errores o en todo caso consultar la sección de mensajes de error en el tutorial de propiedad del software. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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Reporte de la solución Al establecer que le LINGO resuelva un problema, de no existir errores en el planteamiento, inicialmente aparecerá la ventana ‘STATUS’ de LINGO (ventana de estado) se puede monitorear el proceso de resolución y las dimensiones del modelo. De tener errores señalará el lugar del error. Una descripción básica de los reportes de la solución son: a)

Value, es el valor que adoptan las variables con la optimización.

b)

Reduced Cost, es el COSTO o GRADIENTE REDUCIDO para cualquier variable que se incluye en la solución óptima es siempre cero. Indica cuánto tendría que mejorarse cada uno de los coeficientes de la función objetivo, antes que la correspondiente variable pueda tomar un valor positivo en la solución óptima. Para variables no incluidas en la solución óptima, la reducción de costos muestra hasta qué punto el valor de la función objetivo se reduciría (por un problema de maximización) o aumentaría (por un problema de minimización) si una unidad de esa variable sería incluida en la solución. Por ejemplo, si el costo reducido de una cierta variable fue de 5, entonces el valor óptimo del problema MAX se reduciría en 5 unidades, si se agregara 1 unidad de la variable. Cuando se desarrolla un problema de programación ENTERA Reduced Cost señalará el precio o costo incluido en la Función Objetivo. Para los casos de estos resultados con programación ENTERA, al igual que lo establecido para el Excel, se recomienda no darles mayor interpretación.

c)

Slack o surplus, es la columna de holgura o superávit (sobrante), esta parte del informe de solución nos dice cuan cerca estamos de satisfacer una restricción como una igualdad. Si la restricción es menor-igual nos referimos a variables de slack y si es mayor-igual nos referimos a variables surplus. Si una restricción es completamente satisfecha como una igualdad, entonces holgura / superávit es cero. Si holgura / superávit es positivo, entonces esto le explica cómo muchas más unidades de la variable podría ser añadido a la solución óptima antes que la restricción se convierte en una igualdad. Si holgura / superávit es negativo, entonces la limitación ha sido violada.

d)

Dual Price, corresponden a los PRECIOS SOMBRA es la cantidad en que mejora el valor óptimo de la Función Objetivo –incremento en un problema de maximización y disminución en un problema de minimización- si el lado derecho de la restricción aumenta en uno. Es aplicable sólo si el cambio en el lado derecho de la restricción es óptima. El término mejorar es relativo. En un problema de maximización, mejorar significa que el valor objetivo aumentaría por ejemplo sus utilidades de disponer una unidad adicional de un recurso. Sin embargo, en un problema de minimización, el valor objetivo disminuiría. En el caso de uso de recursos por ejemplo materia prima, es el precio máximo que debe pagar la empresa por una unidad adicional de materia prima.

A continuación se presenta el Planteamiento en el LINGO para los Problemas Resueltos. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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PLANTEAMIENTO LINGO - PROBLEMAS RESUELTOS 1. ! PROBLEMA RESUELTO 1 ! X1 = "Bicicletas" ! X2 = "Motonetas"; [FUNCION_OBJETIVO] MAX= 45*X1+55*X2; ! RESTRICCIONES; [Horas_Central_1] 6*X1+4*X2 <=120; [Horas_Central_2] 3*X1+10*X2 <= 180; END Nótese que no se incluyó la restricción de Entero, de incluirse (@GIN(X1);@GIN(X2);), el planteamiento sería como el que aparece a continuación, comparativamente se puede establecer que para el caso los Precios Sombra no serían Cero por cuanto la interpretación de éstos se restringe a problemas de Programación General y no a la entera (ver explicación similar para los reportes en el Excel). ! PROBLEMA RESUELTO 1 ! X1 = "Bicicletas" ! X2 = "Motonetas"; [FUNCION_OBJETIVO] ! RESTRICCIONES; [Horas_Central_1] [Horas_Central_2]

MAX= 45*X1+55*X2; 6*X1+4*X2 <=120; 3*X1+10*X2 <= 180; @GIN(X1);@GIN(X2); END

2. ! PROBLEMA RESUELTO 2 ! X1 = "Kilogramos de pan" ! X2 = "Kilogramos de queso"; [FUNCION_OBJETIVO] ! RESTRICCIONES; [Calorias] [Proteinas]

MIN= 6*X1+21*X2; 2000*X1+4000*X2 >=6000; 50*X1+ 200*X2 >= 200; END

3. ! PROBLEMA RESUELTO 3 ! X1 = "Unidades del artículo A" ! X2 = "Unidades del artículo B"; [FUNCION_OBJETIVO] MAX= 4*X1+6*X2; ! RESTRICCIONES; RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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[Horas_Maquina_X] [Horas_Maquina_Y] [Horas_Acabado_Final]

2*X1+X2 <= 70; X1+X2 <= 40; X1+3*X2 <= 90; @GIN(X1);@GIN(X2); END

4. PROBLEMA RESUELTO 4 ! X1 = "Unidades del artículo A" ! X2 = "Unidades del artículo B"; [FUNCION_OBJETIVO] ! RESTRICCIONES; [TM_Producto_A] [TM_Producto_B]

MIN= 50*X1+60*X2; 100*X1+200*X2 >= 3000; 200*X1+ 50*X2 >= 2500; END

5. ! PROBLEMA RESUELTO 5 ! X1 = "N° de mesas" ! X2 = "N° de sillas" ! X3 = "N° de escritorios" ! X4 = "N° de libreros"; [FUNCION_OBJETIVO] MAX= 12*X1+5*X2+15*X3+10*X4; ! RESTRICCIONES; [Madera_A] 5*X1+ X2+9*X3+12*X4 <= 1500; [Madera_B] 2*X1+3*X2+4*X3+ X4 <= 1000; [Horas_Hombre] 3*X1+2*X2+5*X3+10*X4 <= 800; [Demanda_Mesas] X1 >= 40; [Demanda_Sillas] X2 >= 130; [Demanda_Escritorios] X3 >= 30; [Demanda_Libreros] X4 <= 10; @GIN(X1);@GIN(X2);@GIN(X3);@GIN(X4); END 6. ! PROBLEMA RESUELTO 6 ! X1 = "Cantidad de automóviles" ! X2 = "Cantidad de camiones"; [FUNCION_OBJETIVO] MAX= 300*X1+250*X2; ! RESTRICCIONES; [Capac_Utiliz_Dpto_1] 1/25000*X1+1/35000*X2 <= 1; [Capac_Utiliz_Dpto_2] 1/33000*X1+1/16667*X2 <= 1; [Nro_Autom_Armados] X1 <= 22500; [Nro_Camiones_Armados] X2 <= 15000; @GIN(X1);@GIN(X2); END


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7. ! PROBLEMA RESUELTO 7 ! X1 = "Toneladas pintura para exteriores" ! X2 = "Toneladas pinturas para interiores"; [FUNCION_OBJETIVO] MAX= 3*X1+2*X2; ! RESTRICCIONES; [Materia_Prima_A] X1+2*X2 <= 6; [Materia_Prima_B] 2*X1+ X2 <= 8; [Demanda_Pinturas_Inter] -X1+ X2 <= 1; [Demanda_Maxima_Pint_Interiores] X2 <= 2; END

8. PROBLEMA RESUELTO 8 ! X_A1 = "Inversión en Plan A Período 0-1: Año 1" ! X_A2 = "Inversión en Plan A Período 1-2: Año 2" ! X_A3 = "Inversión en Plan A Período 2-3: Año 3" ! X_B1 = "Inversión en Plan B Período 0-2: Años 1-2" ! X_B2 = "Inversión en Plan B Período 1-3: Años 2-3"; [FUNCION_OBJETIVO] ! RESTRICCIONES; [Inversion_Periodo_0_1] [Inversion_Periodo_1_2] [Inversion_Periodo_2_3]

MAX=1.7*X_A3+3*X_B2; X_A1+X_B1 <= 100000; -1.7*X_A1+X_A2+X_B2 <= 0; -1.7*X_A2+X_A3-3*X_B1 <= 0; END

9. ! PROBLEMA RESUELTO 9 ! X1 = "N° de mozos que ingresan en el Turno 1" ! X2 = "N° de mozos que ingresan en el Turno 2" ! X3 = "N° de mozos que ingresan en el Turno 3" ! X4 = "N° de mozos que ingresan en el Turno 4" ! X5 = "N° de mozos que ingresan en el Turno 5" ! X6 = "N° de mozos que ingresan en el Turno 6"; [FUNCION_OBJETIVO] MIN=X1+X2+X3+X4+X5+X6; ! RESTRICCIONES; [Turno_1] X1 +X6 >= 4; [Turno_2] X1+X2 >= 8; [Turno_3] X2+X3 >= 10; [Turno_4] X3+X4 >= 7; [Turno_5] X4+X5 >= 12; [Turno_6] X5+X6 >= 4; END RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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10. ! PROBLEMA RESUELTO 10 ! X1 = "Cantidad Fabricada Producto 1" ! X2 = "Cantidad Fabricada Producto 2" ! X3 = "Cantidad Fabricada Producto 3"; [FUNCION_OBJETIVO]MAX=30*X1+12*X2+15*X3; ! RESTRICCIONES; [Fresadora] 3*X2+5*X3 <= 500; [Torno] 5*X1+4*X2 <= 350; [Rectificadora] 3*X1+2*X3 <= 150; [Potencial_Ventas] X3 <= 20; @GIN(X1);@GIN(X2);@GIN(X3); END


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CAPÍTULO 4 EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE 1.

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

El Problema del Transporte se origina en la necesidad de establecer un esquema óptimo de distribución desde lugares donde se tiene en existencia conocida de determinado producto para llegar a lugares que requieren una cantidad preestablecida, minimizando los costos de transporte. Los centros de producción reciben el nombre de orígenes y los centros de recepción son llamados destinos. 2.

MÉTODOS PARA HALLAR UNA SOLUCIÓN FACTIBLE

Los métodos para resolver este tipo de problemas son: La Esquina Noroeste, Método de la Matriz Mínima Método de Vogel, Método de Russell, etc. Métodos que se aproximan a una solución óptima. Se puede resolver mediante programación lineal utilizando algún programa de cómputo como el Tora, Excel, los resultados a que se arriba son los óptimos, ocasionalmente y puesto que algunos problemas así lo permiten se puede llegar a soluciones que distribuyen de manera distinta las mercancías, pero tienen el mismo valor mínimo de la función objetivo, dependiendo del programa de computo utilizado o del hardware. Lo que interesa en estos casos es que se cumpla con el requisito buscado del costo mínimo. 3.

CASOS PRESENTADOS

CASO 1: DISPONIBILIDAD TOTAL IGUAL QUE LA DEMANDA El caso se presenta cuando por ejemplo se tiene 37 unidades de mercancías y la demanda en diversos lugares asciende a 37, existiendo la relación Oferta = Demanda. En el Problema del Transporte si la Disponibilidad Total es igual a la Demanda, el número de ecuaciones será m + n - 1 (Nº de Filas + Nº de Columnas - 1), por lo cual se procede a eliminar una de las ecuaciones para obtener los resultados. CASO 2: DISPONIBILIDAD TOTAL MAYOR QUE LA DEMANDA TOTAL Se presenta cuando por ejemplo se tiene 450 unidades de mercancías y la demanda en diversos lugares asciende a 360, siendo Oferta > Demanda. Se resuelve utilizando las relaciones de desigualdad. La posible igualdad o desigualdad () será para las ecuaciones que representan las filas, que simboliza la Oferta y las ecuaciones derivadas de las columnas tendrán la relación igual (=), que simboliza a la Demanda. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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CASO 3: DISPONIBILIDAD TOTAL MENOR QUE LA DEMANDA TOTAL El caso se presenta cuando por ejemplo se tiene 500 unidades de mercancías y la demanda en diversos lugares asciende a 600, existiendo la relación Oferta < Demanda. Se resuelve utilizando las relaciones de desigualdad. Las ecuaciones derivadas de las filas tendrán la relación igual (=), por representar a la Oferta y la posible igualdad o desigualdad () será para las ecuaciones que representan las Columnas, que simboliza a la Demanda. PROBLEMAS RESUELTOS (5) CASO 1: DISPONIBILIDAD TOTAL IGUAL QUE LA DEMANDA TOTAL 1.

Una fábrica cuenta con 4 almacenes situados en diferentes partes del país. Las existencias, las cantidad que deben abastecerse a los centros de consumo y los costos en que se incurren, se muestran a continuación: (Espinosa: Pág. 186). CENTROS DE CONSUMO EXISTENCIA DE ALMACENES MERCANCÍAS 1 2 3 4 5 1 4 2 5 5 1 10 2 2 1 4 1 4 12 3 3 4 1 2 1 5 4 2 2 3 4 2 10 DEMANDA

6

8

3

9

11

El costo de enviar una unidad del almacén 3 al centro 2 es de 4 unidades monetarias. Si el envío se hace del almacén 4 al centro 3, el costo es de 3, y así sucesivamente. Se trata de hallar el programa de transporte cuyo costo sea mínimo. ¿Cómo se resolvería el problema si se asume que el Almacén 2 no puede por alguna razón abastecer al centro de consumo 2? CASO 2: DISPONIBILIDAD TOTAL MAYOR QUE LA DEMANDA TOTAL 2.

Se trata de transportar mercancía con el mínimo costo, de 3 orígenes con disponibilidades de 180, 120 y 150 unidades a 3 centros de consumo que demandan 170, 90 y 100 unidades respectivamente, con los costos de transporte por unidad siguientes: ¿Cuál sería la respuesta si el Almacén 2 no puede abastecer al centro de consumo 2? (Espinosa: Pág. 217). CENTROS DE CONSUMO EXISTENCIA DE ALMACENES MERCADERÍAS 1 2 3 1 1 4 3 180 2 3 2 5 120 3 2 2 2 150 DEMANDA

170

90

100

(5) Ver planteamientos al final del presente Capítulo. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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CASO 3: DISPONIBILIDAD TOTAL MENOR QUE LA DEMANDA TOTAL 3.

Se trata de transportar mercancía de 3 almacenes a 4 mercados. Cada almacén cuenta con 140, 160 y 200 unidades y los mercados demandan 100, 250, 100 y 150. Estos datos y los costos de transporte por unidad, aparecen en el Cuadro siguiente (Espinosa: Pág. 221). ¿Cuál sería la respuesta si el Almacén 3 no puede abastecer al centro de consumo 1? CENTROS DE CONSUMO 1 2 3 4 1 2 8 6 4 4 3 5 2 9 7 8 100 250 100 150

ALMACENES 1 2 3 DEMANDA

EXISTENCIA DE MERCANCÍAS 140 160 200

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Resolver la siguiente matriz Origen (O) - Destino (D): (ÁLVAREZ: 247) O1 O2 O3 DEMANDA

2.

D1 17 15 15 50

D3 13 26 15 70

D4 12 25 17 95

CAPACIDAD 70 90 115

Una Empresa tiene actualmente ubicada su fábrica en la Planta_1, con una capacidad de producción de 300 000 unidades, debe ampliar su capacidad con una Planta_2 en 200 000 unidades adicionales, para lo cual se debe elegir una entre la Alternativa_1, Alternativa_2 o la Alternativa_3. Qué lugar se debiera escoger para la Planta_2, si la demanda y costos son: (Tawfik: 116) D1 2,25 2,30 2,50 2,30

D2 2,50 2,60 2,35 2,40

D3 2,90 3,25 2,75 3,00

250 000

165 000

85 000

Planta_1 Alternativa_1 Alternativa_2 Alternativa_3 DEMANDA 3.

D2 20 21 14 60

OFERTA 300 000 200 000 (una de ellas) 500 000 \ 500 000

Una compañía siderúrgica tiene 3 hornos y 5 laminadores. Los costos de producción en los hornos más los costos de transporte a los laminadores por unidad producida se indican a continuación. a) ¿Cuál es el programa de trabajo adecuado? b) ¿Si no se pudiera utilizar H1 con L1? (ÁLVAREZ: 284) H1 H2 H3 Requerim.

L1 4 5 6 4

L2 2 4 5 4

L3 3 5 4 6


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L4 2 2 7 8

L5 6 1 3 8

CAPACIDAD 8 14 14


4.

Caso de Maximización Una empresa que fabrica un solo producto tiene tres plantas y cuatro clientes. Las tres plantas podrán producir seis, ocho y cuatro unidades, respectivamente, durante el siguiente periodo. La empresa se ha comprometido a vender cuatro unidades al cliente 1, seis unidades al cliente 2 y por lo menos dos unidades al cliente 3. Tanto el cliente 3 como el 4 desean comprar tantas unidades como sea posible de las restantes. La utilidad neta asociada con el embarque de una unidad de la planta i para venderla al cliente j está dada por la siguiente tabla: Planta 1 Planta 2 Planta 3

Cliente 1 6 7 9

Cliente 2 3 5 8

Cliente 3 2 4 6

Cliente 4 4 6 3

El gerente desea saber cuántas unidades debe vender a los clientes 3 y 4, y cuántas unidades conviene mandar de cada planta a cada uno de los clientes, para maximizar las utilidades (que están en miles de dólares). 5.

Caso de los aviones: Una empresa construye aviones comerciales para varias líneas aéreas en todo el mundo. La última etapa del proceso de producción consiste en fabricar los motores de turbina e instalarlos (operación sumamente rápida) en la estructura del avión terminado. La compañía tiene varios contratos y debe programarse la producción para los próximos cuatro meses. Mes 1 2 3 4

Motores requeridos 10 15 25 20

Producción máxima 25 35 30 10

Costo unitario (millones de $) Producción Almacenamiento $ 1,08 $ 0,015 $ 1,11 $ 0,015 $ 1,10 $ 0,015 $ 1,13

La segunda columna de la tabla indica la cantidad de motores que deben estar listos para su instalación. Así, el número acumulado de motores que deben producirse para fines de los meses 1, 2, 3 y 4 deben ser por lo menos 10, 25, 50 y 70, respectivamente. Las diferencias mensuales que resultan en cuanto al número máximo que se pueden producir y el costo unitario de producción (en millones de dólares) se dan en la tercera y cuarta columna de la tabla. Dadas las variaciones en los costos de producción, podría valer la pena producir algunos motores un mes o dos antes de su fecha de instalación y se está estudiando esta posibilidad. El inconveniente es que esos motores deberán almacenarse hasta que sean instalados (la estructura de los aviones no estará lista antes). El costo de almacenamiento es de $ 15 000 por mes (se incluye el interés sobre el capital invertido) y para propósitos de cálculo supóngase que se incurre en este costo de almacenamiento al final del mes sólo para aquellas unidades que se guardan todo el mes siguiente. El gerente de producción desea la programación del número de motores que se deben fabricar en cada uno de los cuatro meses de manera que se minimicen los costos totales de producción y almacenamiento.


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6.

Una empresa que trabaja sobre pedidos, tiene el requerimiento mensual (demanda) para los tres siguientes meses, para su atención la planta puede producir en horario regular y horario extra, el horario extra tiene un costo unitario superior en $ 1,50, el costo de almacenamiento unitario por producir anticipadamente en el mes es de $ 1,00. Se solicita hallar la programación de la producción (adaptado de: Gallagher, pág. 307). Horario

Horario

Regular

Extra

Regular

Extra (*)

Almacenam.

20 000

20 000

10 000

3,00

1,50

1,00

40 000

20 000

10 000

3,00

1,50

1,00

30 000

20 000

10 000

3,00

1,50

Mes

Demanda

1 2 3

Costo unitario ($)

(*) Costo adicional al previsto para la producción en el horario regular.


- 93 -


RESPUESTAS - PROBLEMAS RESUELTOS 1. MATRIZ DE RESPUESTAS CENTROS DE CONSUMO 1 2 3 4 5 10 4 8 3 1 1 6 4

ALMACENES 1 2 3 4 DEMANDA

6

8

3

9

11

EXISTENCIA DE MERCANCÍAS 10 12 05 10 37

Costo Mínimo = 48 2. MATRIZ DE RESPUESTAS ALMACENES 1 2 3 DEMANDA

CENTROS DE CONSUMO 1 2 3 170 40 50 100 170

90

100

EXISTENCIA DE MERCADERÍAS 170 40 150 360

Costo Mínimo = 550 3. MATRIZ DE RESPUESTAS ALMACENES 1 2 3 DEMANDA

CENTROS DE CONSUMO 1 2 3 4 140 110 50 100 50 50 100

250

100

Costo Mínimo = 1 820


- 94 -

50

EXISTENCIA DE MERCANCÍAS 140 160 200 500


PLANTEAMIENTO DE LOS PROBLEMAS DE TRANSPORTE 1. (Min) C = 4X11 + 2X12 + 5X13 + 5X14 + X15 + 2X21 + X22 + 4X23 + X24 + 4X25 + 3X31 + 4X32 + X33 + 2X34 + X35 Restricciones X21 + X22 + X23 + X24 + X25 X31 + X32 + X33 + X34 + X35 X11

+ X21 X12

+ X31 + X22

X13

+ 2X41 + 2X42 + 3X43

+

X41 X41

+ X32 + X23

X33

+ X24 X15

+ X42 + X43

4X44 + 2X45

+

4X12

+

3X13

X11

+

X12

+

X13

X11

+

3X21

+

2X22

+

5X23

X21

+

X22

+

X23

+

X22

X21

X12

+

+

X13

+

2X31

X44

+ X35

X31 X31

+

2X32

+

X32

+

X32

De

X11

X23

+ X45

+

2X33

+

X33

+

X33

<= <= <= = = =

180 120 150 170 90 100

a

X33

>=

0

+

2X31

+

9X32

+

7X33

+

8X34

+

X32

+

X33

+

X34

+

X31 X31

+

X32 +

X33 + a

3. (Min) C = Restricciones:

X11

+

2X12

+

8X13

+

6X14

X11

+

X12

+

X13

+

X14

X11

+

+ X12

4X21

+

4X22

+

3X23

+

5X24

X21

+

X22

+

X23

+

X24

X21 +

X13

X22 +

X23

X14

+

X24 De


- 95 -

0

+

+ X43 + X34

+ X25

+

a X45 >=

X44 + X45

De X11 X11

12 5 10 6 8 3 9 11

+

2, (Min) C = Restricciones:

= = = = = = = =

+ X42 +

X14

+

X11

X34

= = = <= <= <= <=

140 160 200 100 250 100 150

X34

>=

0


RESPUESTAS - PROBLEMAS PROPUESTOS 1. D1

D2

O1 O2 O3

50

DEMANDA

50

D3

D4

40 20

70

25

CAPACIDAD 70 90 115

60

70

95

275 \ 275

70

Costo mínimo: 4 185 2.

La Alternativa_3 domina a la Alternativa_1, al ser al menos igual o de menor costo en todos los casos, se podría descartar la Alternativa_1 y no entrar al proceso de selección. Aun así se comprueba considerando el planteamiento.

Alternativa_1

Origen

Demanda D2

D1

Planta_1

Oferta

D3

50 000

165 000

85 000

Alternativa_1

200 000

0

0

200 000

Demanda

250 000

165 000

85 000

500 000 \ 500 000

Costo mínimo =

300 000

1 231 500.00

Alternativa_2

Origen

Demanda D2

D1

Planta_1

Oferta

D3

250 000

50 000

0

Alternativa_2

0

115 000

85 000

200 000

Demanda

250 000

165 000

85 000

500 000 \ 500 000

Costo mínimo =

300 000

1 191 500.00

Alternativa_3

Origen

D1

Planta_1

Demanda D2

Oferta

D3

215 000

0

85 000

Alternativa_3

35 000

165 000

0

200 000

Demanda

250 000

165 000

85 000

500 000 \ 500 000

Costo mínimo =

1 206 750.00


- 96 -

300 000


Se selecciona ubicar la Planta_2 en la Alternativa_2, por ser la de menor costo comparativo: Costo

Selección

Alternativa_1

1 231 500.00

Alternativa_2

1 191 500.00

Alternativa_3

1 206 750.00

Alternativa_2

3. a)

H1

L1

L2

2

4

L3

L4 2

H2

6

H3

2

Requerim.

4

L5

8 8

6 4

6

CAPACIDAD

14 8

8

8

30 \ 30

L4

L5

CAPACIDAD

Costo mínimo 76 No se utiliza de H3 una capacidad de 6. b) L1 H1

L2

L3

4

4

H2

2

H3

2

6

4

6

Requerim.

4

4

8 8

14 8

8

8

30 \ 30

Costo mínimo: 82 No se utiliza de H3 una capacidad de 6. 4.

El planteamiento se efectúa considerando igualando los requerimiento de los clientes 1 y 2 (= 4, = 6 respectivamente), haciendo >= 2 para el cliente 3 y >= 0 para el cliente 4. Los resultados indican que al cliente 3 y 4 se les deben vender 2 y 6 unidades respectivamente, los orígenes y destinos que conviene tener se muestran en la Tabla siguiente y a continuación las utilidades generadas por planta y por cliente que se maximizan en 106 miles de dólares.


- 97 -


MATRIZ DE RESPUESTAS - VENTAS (UNIDADES)

Cliente 1 Planta 1

Cliente 2

4 2

Planta 3

4 4

Cliente 4

2

Planta 2

Total

Cliente 3

Total 6

6

8 4

6

2

6

18 \ 18

MATRIZ DE RESPUESTAS - VENTAS (MILES $)

Cliente 1 Planta 1

Cliente 2

24 10

Planta 3

32

5.

24

Cliente 4

4

Planta 2

Total

Cliente 3

Total 28

36

46 32

42

4

36

106 \ 106

El problema se convierte a uno de transporte, en el cual existe una oferta POR MES limitada por la capacidad de producción, a la vez que una demanda POR MES limitada por el requerimiento que se tiene de motores. En la Tabla que se muestra a continuación si bien el costo unitario de producción (en millones de soles) por ejemplo para el Mes 1 es 1,080, de producir una unidad éste mes y tenerlo almacenado costará al Mes 2, 1,095 (1,080 + 0,015), a este resultado si se le suma consecutivamente 0,015 se obtendrá el costo unitario del producto incluido el costo de su almacenamiento. Los costos de producción en el mes, sin incluir el costo del almacenaje, se ubican en la diagonal principal de la matriz, a su vez como sería imposible producir un mes posterior para abastecer un mes anterior, ejemplo no se puede producir el Mes 2 para cubrir el requerimiento del Mes 1, se ha considerado un valor alto de modo que el programa no seleccione éstas opciones que no son válidas, para lo cual se incluye en las celdas respectivas de la matriz el valor 100,00.


- 98 -


Origen

Mes 1 1,080 100,000 100,000 100,000 10

Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Demanda

Costos unitarios Mes 2 Mes 3 1,095 1,110 1,110 1,125 100,000 1,100 100,000 100,000 15 25

Oferta

Mes 4 1,125 1,140 1,115 1,130 20

25 35 30 10 70 \ 100

Siendo un caso en el cual la Oferta supera a la Demanda, se resuelve bajo ésta característica, el resultado se muestra a continuación e indica que el mes 1 se debe producir 25 unidades, el mes 2, 5 unidades, etc. Se llega a cubrir la totalidad de requerimientos de motores de turbina a un costo mínimo de 77,30 millones de dólares. MATRIZ DE RESPUESTAS - PRODUCCIÓN (UNIDADES)

Origen

Mes 1 10

Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Demanda 6.

10

Demanda Mes 2 Mes 3 10 5 5 20 15

25

Mes 4

Producción Total

10 10 20

25 5 30 10 70 \ 70

La matriz de Origen-Destino se muestra a continuación. Su solución es similar a la estudiada para un Problema de Transporte. El valor de 100,00 es un costo alto que podría ser otro, con el objeto que esa opción no sea seleccionada.

Mes 1_Reg Mes 1_Ext Mes 2_Reg Mes 2_Ext Mes 3_Reg Mes 3_Ext

Mes 1 3,00 4,50 100,00 100,00 100,00 100,00

Costos unitarios Mes 2 4,00 5,50 3,00 4,50 100,00 100,00

Mes 3 5,00 6,50 4,00 5,50 3,00 4,50

Demanda

20 000

40 000

30 000

Origen


- 99 -

Oferta 20000 10000 20000 10000 20000 10000 90 000 \ 90 000


CAPÍTULO 5 EL PROBLEMA DE LA ASIGNACIÓN 1.

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

El Problema de Asignación se desprende de la necesidad de dar destino a distintos recursos. En sentido estricto, el problema a resolver es buscar dedicar un grupo de recursos a diferentes fines, de manera que todos los fines se logren y a cada uno de ellos se destine un recurso solamente. Puede consistir en efectuar una minimización (Ejemplo: Cuando se trata de horas de labor) o de maximización (Ejemplo: Cuando se trata de calificaciones obtenidas). 2.

MÉTODOS PARA DETERMINAR UNA SOLUCIÓN FACTIBLE

En la resolución del problema se puede encontrar que existen dos o más respuestas, es decir que la respuesta hallada a un problema podría no ser única. El métodos utilizados para resolver este tipo de problemas es el Método Húngaro (Ver: Ullmann, John "Métodos Cuantitativos en Administración"), siendo laborioso el encontrar la respuesta, sobre todo si intervienen gran número de datos. Mediante programación lineal se pueden resolver esta clase de problemas de manera eficiente. El número de restricciones para el caso corresponde a la fórmula: Nº DE RESTRICCIONES = m + n DONDE: m = Número de recursos que requieren ser asignados. (Demanda) n = Número de “puestos” que requieren ser ocupados. (Oferta). El recurso evaluado puede o no ser asignado a un “puesto”, lo cual queda definido según la respuesta sea un 1 o un 0. Si la respuesta que fija una solución con programación lineal es 1, entonces el recurso es asignado a la tarea, si es 0 se excluye de la selección, pudiendo deberse a que se le asigna otra tarea o función o es descartado. El problema puede ser considerado como una forma particular del problema de transporte (m = orígenes que ofertan cada uno una cantidad como 1 y n = destinos que demandan cada uno una cantidad como 1. 3.

CASOS PRESENTADOS

CASO 1: RECURSOS IGUAL A REQUERIMIENTOS El caso corresponde por ejemplo cuando se trata de seleccionar entre 5 trabajadores (recursos) para la realización de 5 tareas (requerimientos), debiendo necesariamente ser asignado un trabajador a una tarea, existiendo la relación Recursos = Requerimientos. En este caso puesto que existe igualdad entre recursos y requerimientos, las restricciones se relacionan con una igualdad (=). RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 100 -


CASO 2: RECURSOS MAYORES QUE REQUERIMIENTOS El caso corresponde por ejemplo cuando se trata de seleccionar entre 10 trabajadores (recursos) para la realización de 6 tareas (requerimientos), debiendo necesariamente ser excluidos de la selección algunos trabajadores, existiendo la relación Recursos > Requerimientos. Ya que existe desigualdad entre recursos y requerimientos, las restricciones se relacionan con el signo <= a 1 para las ecuaciones que representen a los recursos, ya que puede ser o no seleccionado (pudiendo resultar en un 1 o un 0). Para las ecuaciones que representen los requerimientos (las tareas por ejemplo), la relación será = 1, ya que necesariamente la tarea será cubierta por alguno de los trabajadores. Finalmente quedarán algunos recursos excluidos o descartados. CASO 3: RECURSOS MENORES QUE REQUERIMIENTOS El caso corresponde por ejemplo cuando se trata de seleccionar entre 6 trabajadores (recursos) para la realización de 10 tareas (requerimientos), debiendo necesariamente quedar tareas sin cobertura, existiendo la relación Recursos < Requerimientos. Puesto que existe desigualdad entre recursos y requerimientos, para las ecuaciones que representen los recursos (trabajadores por ejemplo), la relación será = 1, ya que necesariamente algún trabajador será asignado a una tarea y las restricciones que representa los requerimientos (tareas por ejemplo) se relacionan con el signo <= a 1, en vista que puede ésta ser o no coberturada (pudiendo resultar en un 1 ó un 0). Finalmente quedarán algunas tareas sin cubrir. PROBLEMAS RESUELTOS CASO 1: RECURSOS IGUALES A REQUERIMIENTOS 1.

Se trata de efectuar tareas diferentes y se cuenta para tal efecto con 5 equipos. Se quiere conocer qué tarea debe realizar cada equipo productivo empleando el mínimo de tiempo en conjunto, si el tiempo que tarda cada equipo en realizar cada tarea es el siguiente (Espinosa: Pág.: 155). EQUIPOS 1 2 3 4 5

A 12 07 05 14 12

B 17 01 03 03 12


- 101 -

TAREAS C 04 03 01 01 04

D 10 10 09 11 04

E 11 01 16 16 16


CASO 2: RECURSOS MAYORES QUE REQUERIMIENTOS 2.

Un supervisor está seleccionando a 4 nuevos operarios de 5 postulantes que han quedado después de las evaluaciones que han tenido dentro del proceso de admisión. Para tal fin y basado en su amplia experiencia, ha elaborado la tabla que aparece a continuación, en la cuál se muestran los tiempos de proceso de cada uno de los 5 operarios en las 4 labores que necesita cubrir. Ayúdelo a decidir. OPERARIO

LABOR 2 3 06 05 05 07 10 04 07 08 08 06

1

1 2 3 4 5

05 04 03 02 06

4 10 10 09 08 12

CASO 3: RECURSOS MENORES QUE REQUERIMIENTOS 3.

Sally es ejecutiva de publicidad para un fabricante de herramientas. Actualmente a Sally le gustaría desarrollar una campaña publicitaria para tantos como sea posible de las cinco líneas de productos de los cuales ella es la responsable. Desafortunadamente, sólo están disponibles tres personas creativas, cada una de las cuales puede ser asignada a una sola línea de productos. Puesto que Sally no tiene una lista de prioridades para las cinco líneas de productos, le gustaría desarrollar campañas para aquellos productos que podrían minimizar el costo total de usar a las personas creativas. Los costos expresados en cientos de unidades monetarias son los siguientes: PERSONA CREATIVA 1 2 3

LÍNEA DE PRODUCTOS A

B

C

D

E

07 09 13

06 05 03

17 23 30

04 09 15

03 07 12

RESPONDER: a)- La persona creativa I, será asignada a la línea de productos: __________ b)- La persona creativa II, será asignada a la línea de productos: __________ c)- La persona creativa III, será asignada a la línea de productos: __________ d)- Las líneas de productos ______ y ______ no tendrán campaña publicitaria. e)- El costo total determinado por la función Objetivo es de: $ _____________


- 102 -


PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Caso de asignación de camiones.- Se deben enviar cuatro camiones a las oficinas de cuatro clientes. Las asignaciones y las distancias que recorre cada camión para realizar el viaje son las que se muestran a continuación: Camión 1 2 3 4

ClienteA 130 120 125 150

ClienteB 125 110 120 150

ClienteC 120 100 x 140

ClienteD 135 120 140 x

Obsérvese que hay dos asignaciones prohibidas, debido a que el camión correspondiente no está equipado para transportar la clase de carga de la que se trata. Las asignaciones prohibidas tienen una x en lugar de la distancia. ¿Qué asignaciones de camiones a clientes minimizan la distancia total que los cuatro camiones recorren? 2.

Cuatro empleadas de una compañía prestan servicios para cuatro tareas distintas por las cuales generan beneficios (ingresos) diferenciados, tal como se muestra seguidamente. ¿Cuál sería la asignación óptima? ¿Cómo se resolvería el problema si se asume que la Empleada 2 no puede realizar el trabajo para el cual fue seleccionada?

Empleada 1 Empleada 2 Empleada 3 Empleada 4 3.

A 1 5 3 3

B 8 7 5 1

TAREA C 4 6 4 6

D 1 5 2 3

Cinco personas acaban de terminar el curso de ventas de la compañía y se les va asignar a cuatro distritos diferentes. Basándose en su experiencia, actuación en el curso, conocimiento del producto y los clientes potenciales, la administración ha hecho estimaciones del éxito esperado de cada uno en zonas distintas. Las estimaciones en la escala del 1 (bajo) al 10 (máximo) son: ZONA Vendedor 1 Vendedor 2 Vendedor 3 Vendedor 4 Vendedor 5

A 7 8 7 6 7

B 9 7 10 8 10

¿Cómo debe ser la asignación a cada zona? RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 103 -

C 10 9 9 8 6

D 9 9 8 7 7


4.

El Director de Escuela de la Facultad de Ciencias Económicas, debe asignar a los docentes los cursos. Se ha realizado previamente la evaluación de desempeño, en la que se ha incluido la calificación efectuada por los estudiantes. a) Asignar los cursos para que se logre los mejores desempeños. b) ¿Qué ocurriría si en el curso D no se llega a tener el mínimo de alumnos matriculados? (Gallagher: 327)

Profesor 1 Profesor 2 Profesor 3 Profesor 4 Profesor 5 5.

A 4,2 2,8 3,8 3,5 4,3

CURSO C 3,8 2,6 4,6 4,3 4,0

D 4,5 3,5 3,5 3,8 4,2

E 3,5 2,5 3,0 4,3 4,3

En un concurso de precios se han recibido las propuestas de cinco proveedores para cuatro productos, las bases indican que sólo se asignará un producto por proveedor. Los precios unitarios ofrecidos son los que se muestran a continuación. ¿A quiénes comprar? ¿Cuánto sería el costo total? Conociendo que se requiere 100 de A, 150 de B, 500 de C y 800 de D. ¿Cuál sería la asignación si al proveedor a que se le asignó el producto A desiste de concursar?

Proveedor 1 Proveedor 2 Proveedor 3 Proveedor 4 Proveedor 5 6.

B 3,6 3,2 2,5 4,2 4,2

A 8 10 12 15 8

PRODUCTO B C 5 16 14 10 6 19 17 10 7 12

D 16 10 17 12 18

Caso de asignación de lugar.- La Sidrera Tunuyán ha comprado tres máquinas nuevas de diferentes tipos. Existen cuatro sitios disponibles dentro del taller en donde se podría instalar una máquina. Algunas de estas localizaciones son más adecuadas que otras para una máquina en particular por su cercanía a los centros de trabajo que tendrían un flujo intenso de trabajo hacia estas máquinas y desde ellas. Por tanto, el objetivo es asignar las nuevas máquinas a los lugares disponibles de manera que se minimice el costo total del manejo de materiales. En la siguiente tabla se proporciona el costo estimado por unidad de tiempo del manejo de los materiales en cuestión con cada una de las máquinas en las respectivas localizaciones. El lugar 2 no se considera adecuado para la máquina 2. ¿Dónde conviene ubicar cada máquina? Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3

Lugar 1 13 15 5

Lugar 2 10 x 7


- 104 -

Lugar 3 12 13 10

Lugar 4 11 20 6


7.

El Gran DT.- De acuerdo con la performance alcanzada por 10 jugadores en los 3 últimos torneos, la revista deportiva el Tráfico asignó los siguientes puntajes para los distintos puestos de Fútbol 5: 1(Arq) 10 0 3 0 0 7 6 6 0 5

FRANCO CAMBIASSO RIQUELME AYMAR QUINTANA PLACENTE SERRIZUELA CUFRÉ ROMEO SAMUEL

2 5 0 4 3 4 7 9 8 2 3

3 3 9 2 6 3 9 9 8 3 8

4 1 2 9 3 9 6 7 6 7 5

5 0 7 4 10 5 7 4 1 10 7

Se trata de formar el equipo (5 jugadores) con puntaje global máximo. 8.

Caso de asignación de especialista en impuestos PLS es una empresa de servicios que tiene un especialista en impuestos en cada una de sus oficinas en Sanso, Tamarín, Losuan y Atise. La oficina central ha recibido una solicitud para un especialista en impuestos de cada uno de sus 4 clientes. Los costos de viaje son proporcionales a las distancias, que se dan en kilómetros en la siguiente tabla: DESDE Sanso Tamarín Losuan Atise

HACIA Cliente1 Cliente2 Cliente3 Cliente4 431 659 342 247 140 533 248 129 214 174 259 393 585 246 501 683

Determine cómo enviar un especialista a cada ciudad para minimizar los costos totales de viaje. 9.

Caso de asignación de máquinas.- A fin de asignar las máquinas A, B y C a los trabajos 1, 2 y 3, se construyó una matriz de índices de rendimiento (a mayor índice, mejor rendimiento): Trabajo 1 2 3

A 41 63 85

Máquina: B 10 28 74

C 98 42 25

Determine qué trabajo debe asignársele a cada máquina.


- 105 -


RESPUESTAS - PROBLEMAS RESUELTOS 1. EQUIPOS 1 2 3 4 5 Tiempo mínimo = 17

MATRIZ DE RESPUESTAS TAREAS A B C X

D

E X

X X X

2. MATRIZ DE RESPUESTAS LABOR OPERARIO 1 2 3 1 2 X 3 X 4 X 5 NO SELECCIONADO Tiempo mínimo = 21 3. a. b. c. d. e.

4 X

La persona creativa I, será asignada a la línea de productos: ____D_____ La persona creativa II, será asignada a la línea de productos: ____E_____ La persona creativa III, será asignada a la línea de productos: ____B_____ Las líneas de productos ___A__ y __C___ no tendrán campaña publicitaria. El costo total determinado por la función Objetivo es de: $ 14,00.

Las respuestas se pueden entender también como:

PERSONA CREATIVA I II III

MATRIZ DE RESPUESTAS LÍNEA DE PRODUCTOS A B C D X

E X

X

En la matriz, se puede notar que las líneas de productos A y C no están cubiertas.


- 106 -


PLANTEAMIENTO DE LOS PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN 1. (Min) T = 12X1A +17X1B +4X1C +10X1D +11X1E +7X2A +X2B +3X2C+10X2D +X2E +5X3A +3X3B +X3C +9X3D +16X3E +14X4A +3X4B +X4C +11X4D +16X4E +12X5A +12X5B +4X5C +4X5D +16X5E : Restricciones X1A +X1B +X1C +X1D +X1E X2A +X2B +X2C +X2D +X2E X3A +X3B +X3C +X3D +X3E X4A +X4B +X4C +X4D +X4E X5A +X5B +X5C +X5D +X5E X1A +X2A +X3A +X4A +X5A X1B +X2B +X3B +X4B +X5B X1C +X2C +X3C +X4C +X5C X1D +X2D +X3D +X4D +X5D X1E +X2E +X3E +X4E +X5E De X1A a X5E 2. (Min) T = 5X11 +6X12 +5X13 +10X14 +4X21 +5X22 +7X23 +10X24 +3X31 +10X32 +4X33 +9X34 +2X41 +7X42 +8X43 +8X44 +6X51 +8X52 +6X53 +12X54 Restricciones: X11 +X12 +X13 +X14 <= 1 X21 +X22 +X23 +X24 <= 1 X31 +X32 +X33 +X34 <= 1 X41 +X42 +X43 +X44 <= 1 X51 +X52 +X53 +X54 <= 1 X11 +X21 +X31 +X41 +X51 = 1 X12 +X22 +X32 +X42 +X52 = 1 X13 +X23 +X33 +X43 +X53 = 1 X14 +X24 +X34 +X44 +X54 = 1 De X11 a X54 >= 0 3. (Min) C = 7X1A +6X1B +17X1C +4X1D +3X1E +9X2A +5X2B +23X2C +9X2D +7X2E 13X3A +3X3B +30X3C +15X3D +2X3E Restricciones: X1A +X1B +X1C +X1D +X1E = 1 X2A +X2B +X2C +X2D +X2E = 1 X3A +X3B +X3C +X3D +X3E = 1 X1A +X2A +X3A <= 1 X1B +X2B +X3B <= 1 X1C +X2C +X3C <= 1 X1D +X2D +X3D <= 1 X1E +X2E +X3E <= 1 De X1A a X3E >= 0


- 107 -

= = = = = = = = = = >=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

ANÁLISIS CUANTITATIVO PARA LA TOMA DE DECISIONES I

CAPÍTULO 6 TEORÍA DE JUEGOS 1.

OBJETIVO

La Teoría de Juegos se desarrolló con el objeto de analizar situaciones competitivas en las que intervienen intereses en conflicto y opciones o estrategias posibles de identificarse y optimizarse. La mayoría de las competiciones recreativas como el ajedrez, el póquer, las damas pueden considerarse juegos de estrategia. Juegos de apuesta tales como los dados y la ruleta no son juegos de estrategia por "jugar contra la suerte" y no contra un oponente racional. Se estudiará sus aplicaciones para la administración. En todo enfrentamiento las partes tratan de ganar, los obstáculos deben vencerse, la teoría modela la forma cómo interactúan las fuerzas en conflicto. 2.

NÚMERO DE PARTICIPANTES

Actualmente el desarrollo de la teoría de juegos trata de encuentros entre dos oponentes (que se identificarán como Jugador X y Jugador Y). Con más de dos oponentes resulta difícil, pero para un desarrollo aplicativo se podría considerar el "juego de X" y "el de los demás” que sería asumido como el “juego de Y”. 3.

PREMIO O PAGO

La mayoría de los estudios realizados en la teoría del juego son de suma cero, esto significa que lo que gane un jugador será la pérdida del otro y la suma de la ganancia y la pérdida será cero. En caso de no ser de suma cero se podría optar por el artificio de crear un jugador inexistente que sea quien absorba las diferencias, pero el análisis bajo esta modalidad es más complejo y no se realiza en el Curso. 4.

ESTRATEGIAS

Las estrategias son los planes o acciones que se espera adopten los jugadores. Las estrategias de un jugador X en número se pueden representar como "m" y el número de estrategias del jugador Y como n, entonces se dice que el juego es de m x n. El número de estrategias puede ser finito o infinito. El análisis a efectuarse cubre un número de estrategias finito. 5.

MATRIZ DEL JUEGO O MATRIZ DE PREMIOS

Por lo general un problema de Teoría de Juegos se expresa en la forma de una matriz denominada Matriz de Juego o matriz de premios pues presentan los pagos o premios, en el siguiente Cuadro se tendrá una matriz de m x n, los RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 108 -


valores positivos representarán la ganancia para el jugador X y consecuentemente la pérdida del Jugador Y, un valor negativo tendrá la interpretación contraria, es decir ganancia para el jugador Y y pérdida para el jugador X.

JUGADOR X

6.

1 2 3 m

1 v11 v21 .... vm1

JUGADOR Y 2 3 v12 v13 v22 v23 .... .... vm2 vm2

.... .... .... .... ....

n v1n v2n .... vmn

VALOR DEL JUEGO

El valor del juego es el pago promedio o esperado por partida jugada, en una larga serie de estas, considerando que ambos jugadores aplican sus estrategias óptimas consistentemente. Un juego puede estar a favor de uno de los participantes, por lo tanto si el valor del juego es positivo indicará que la ventaja es para el Jugador X y si es negativo, la ventaja será para el jugador Y. En caso que el juego tenga un valor de cero el juego está equilibrado, cualquiera puede ganar (se considera que a la larga uno ganará), en este caso se conoce como un Juego justo. 7.

SUPUESTOS PARA UN JUEGO

Los supuestos son: a. Hay dos o más participantes con objetivos diferentes, cuya acción influye, pero no determina completamente, el resultado de un juego. b. Que cada jugador conoce los objetivos del oponente. c. Se puede enumerar la ganancia o pérdida para cada jugador. d. La solución va orientada a que cada uno de los jugadores pueda maximizar su ganancia mínima (X), o en forma equivalente, minimizar su pérdida máxima esperada (Y). Este criterio conservador se llama criterio MAXIMIN ó criterio MINIMAX. El estudio que se abordará versará sobre juegos finitos, de suma cero y entre dos oponentes (representados como Jugador X y Jugador Y). 8.

PUNTOS MINIMAX (O DE SILLA)

Se dice que un juego está estrictamente determinado si tiene un punto MINIMAX. En este caso el Punto Minimax indicará la estrategia óptima para ambos jugadores. Para comprobar si existe un punto MINIMAX usualmente se escribe el mínimo de las filas al lado de cada fila y el máximo de las columnas al pie de cada columna. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 109 -


Luego se determina el máximo de los mínimos (MAXIMIN) y el mínimo de los máximos (MINIMAX), y si fueran iguales, se habría encontrado un punto MINIMAX. Si se encuentra alguno, el juego queda resuelto, si no se halla exigirá un mayor análisis. También puede fijarse examinando una anotación que sea simultáneamente el mínimo de la fila en la cual ocurre, y el máximo de la columna en la cual aparece. 9.

JUEGOS DE DOS OPONENTES Y DOS ESTRATEGIAS

Los juegos de dos estrategias o de 2 x 2, son aquellos para los cuales cada jugador sólo tiene dos estrategias posibles. Para solucionar estos juegos se puede presentar dos casos: a. Que el juego esté estrictamente determinado. b. Que el juego no este estrictamente determinado. 9.1.

JUEGOS ESTRICTAMENTE DETERMINADOS DE 2 X 2

Si el juego está estrictamente determinado, el punto MINIMAX fija la estrategia óptima de ambos jugadores. 9.2.

JUEGOS NO ESTRICTAMENTE DETERMINADOS DE 2 X 2

En este caso la estrategia que consiste en utilizar más de una estrategia pura por lo que se denomina estrategia mixta. Si el juego no está estrictamente determinado, para hallar la estrategia óptima de los jugadores, que será de tipo probabilístico ya que no hay una estrategia óptima, para que cada jugador la use consistentemente, además el jugar en forma consistente u obvia haciendo uso de una estrategia particular, puede ser capitalizado por el otro jugador. Así lo mejor en este caso es jugar seleccionando aleatoriamente la estrategia, de modo tal que el oponente no conozca la estrategia que se proyecta usar. Cada estrategia debe tener una probabilidad de ocurrencia, por lo cual en un juego de 2 x 2 no estrictamente determinado existirán probabilidades p(X1) y p(X2) (p(X2) = 1 – p(X1)), con las cuales el jugador X selecciona al azar sus estrategias 1 y 2, igualmente para el jugador Y existirá un par de probabilidades p(Y1) y p(Y2) (p(Y1) = 1 – p(Y2)). El cálculo probabilístico de las estrategias, en caso que la matriz no tenga un punto MINIMAX puede ser hallado mediante fórmulas, a partir de la siguiente notación para la matriz de premios: Y X

a c


- 110 -

b d


ESTRATEGIAS MIXTAS PROBABILÍSTICAS PARA EL JUGADOR X: p(X1) =

d-c a-b-c+d

p(X2) = 1 – p(X1) =

a-b a-b-c+d

ESTRATEGIAS MIXTAS PROBABILÍSTICAS PARA EL JUGADOR Y: p(Y1) =

d-b a-b-c+d

p(Y2) = 1 - p(Y1) =

a-c a-b-c+d

VALOR DEL JUEGO: v= ad - bc a-b-c+d 10.

DOMINACIÓN

A partir del criterio que un jugador preferirá la mejor opción una fila o columna que puede representar comparativamente en todos sus pagos una alternativa mejor o al menos igual que otra, puede excluirse la opción que le paga menos o lo mismo. En una matriz de juego m x n se dice que una mayoriza o bien domina a otra, si cada pago en la primera fila es igual o mayor que la segunda fila. Del mismo modo se dice que una columna minoriza, o bien es dominada por otra, si cada pago en la primera tiene un valor igual o menor que el correspondiente pago en la segunda columna. La fila o columna dominada puede omitirse de la matriz de juego sin afectar su solución. Las reglas para aplicar la dominación son: • •

11.

Fila: Si entre dos filas, de una de ellas los valores son iguales o mayores, ésta domina a la otra que puede ser excluida de la evaluación. (MEJOR O IGUAL). Columnas: Si entre dos columnas, de una de ellas los valores son iguales o menores, ésta domina a la otra que puede ser excluida de la evaluación. (PEOR O IGUAL). JUEGOS DE m x n MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL

Mediante programación lineal se puede resolver los Juegos de m x n, inclusive que tengan puntos MINIMAX o que sean reducibles a uno de 2 x 2. Para los casos en que el valor MAXIMIN sea negativo se utilizará la siguiente propiedad de una Matriz de Juegos: "La estrategia óptima no se afecta al agregar una constante positiva. El valor del juego resulta afectado por la misma transformación que se aplica a los pagos de la matriz del juego”. La constante positiva se conoce como K.


- 111 -


11.1. LA DUALIDAD EN LA PROGRAMACIÓN LINEAL Una propiedad de los problemas de programación lineal es la DUALIDAD, que consiste en que a cada problema inicial de programación lineal llamado PRIMAL o primario le corresponde un segundo problema de tal programación que recibe el nombre de DUAL o secundario. Tienen la propiedad que el valor de la Función Objetivo es el mismo para el caso de las soluciones primal y dual. Resolviendo por programación lineal un problema de Teoría de Juegos, los resultados del Planteamiento PRIMAL ((MAX) w), se hallan las probabilidades de uso de estrategias del Jugador Y y el valor del Juego. Los resultados del Planteamiento DUAL ((MIN) z) hacen lo propio para el jugador X. 11.2. FORMULACIÓN EN PROGRAMACIÓN LINEAL De manera práctica a través de programación lineal un problema de Teoría de Juegos entre dos oponentes se resuelve del modo siguiente: a)

De tener la Matriz de Juegos valores negativos (ganancia de Y), se halla el valor de la constante positiva K (valor absoluto del mínimo de los valores de la Matriz de Juegos). En el Excel se puede hallar fácilmente el valor mínimo con la función =–MIN(...), entre los paréntesis deben figurar la referencia de las celdas de pagos de la Matriz de Juegos, el signo inicial negativo en la función posibilita que se halle el mínimo de los valores en términos de valor absoluto (valor positivo). Sumando K a cada uno de los valores de pago de la Matriz de Juegos, se obtiene una nueva Matriz que será la que se utilizará para resolver el Problema PRIMAL y DUAL.

b)

Para hallar las estrategias de Y se formula el Problema PRIMAL, por el mismo que se hallará el valor máximo ((MAX) w), de la Función Objetivo el que se compondrá como coeficientes en tantos Unos (1) como estrategias tenga el Jugador Y (número de columnas de la Matriz de Juego). Las restricciones se plantean con los valores de la Matriz de Juego, manteniendo la ubicación de las filas y columnas, es decir tal como aparecen si se ordenan las estrategias del Jugador X en las filas comparativamente a las estrategias del Jugador Y en las columnas, el signo de relación y el valor de comparación para las restricciones son <= 1 respectivamente (Ver Cuadro N° 6.1). Luego de utilizar en el Excel el Solver, relacionando cada valor (Ym) de las variables obtenidas como resultado, con el valor (w) de la función objetivo se obtienen las probabilidades de uso de determinada estrategia para el Jugador Y (p(Ym) = Ym/w y el valor del juego resulta de resolver la fórmula v= 1/w – K, donde K = 0 en caso que no se haya requerido hallarse la constante positiva K (ver ítem a) (Ver Cuadro N° 6.1).

c)

Para hallar las estrategias de X se formula el Problema DUAL, por el mismo que se hallará el valor mínimo ((MIN) z), de la Función Objetivo el que se compondrá de coeficientes en tantos Unos (1) como estrategias tenga el Jugador X (número de filas de la Matriz de Juego). Las restricciones se plantean transponiendo los valores de la Matriz de Juego, lo que se logra copiando dicha Matriz con la opción del Excel: Edición/Pegado Especial/Transponer, el signo de relación y el valor de comparación para las restricciones son >= 1 respectivamente (Ver Cuadro N° 6.1).


- 112 -


Luego de utilizar en el Excel el Solver, relacionando cada valor (Xn) de las variables obtenidas como resultado, con el valor (z) de la función objetivo se obtienen las probabilidades de uso de determinada estrategia para el Jugador X (p(Xn) = Xn/z y el valor del juego resulta de resolver la fórmula v= 1/z – K, donde K = 0 en caso que no se haya requerido hallarse la constante positiva K (ver ítem a) (Ver Cuadro N° 6.1). d)

El valor del juego debe ser el mismo para la solución PRIMAL y DUAL. El Cuadro N° 6.1 resume la notación y el proceso para resolver un problema de Teoría de Juegos con programación lineal. CUADRO N° 6.1 CUADRO DE FÓRMULAS PARA PROBLEMAS DE TEORÍA DE JUEGOS CON PROGRAMACIÓN LINEAL CONCEPTO

FÓRMULA

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA:

JUGADOR Y: (Problema PRIMAL) (MAX) w = 1Y1 + 1Y2 ... + 1Ym

PROBLEMA PRIMAL: Define valores para calcular las probabilidades de las estrategias del Jugador Y. PROBLEMA DUAL: Define valores para calcular las probabilidades de las estrategias del Jugador X.

v12 v22

v13 v23

… …

v1n v2n

vm1

vm2

vm3

…

vmn

ESTRATEGIAS PARA JUGADOR Y: (p(Ym))

EL

ESTRATEGIAS PARA JUGADOR X: (p(Xn))

EL

VALOR DEL JUEGO (v): Es el pago promedio o esperado por partida jugada, en una larga serie de estas, considerando que ambos jugadores aplican sus estrategias óptimas consistentemente.

v11Y1 + v12Y2 ....

<= 1

v21Y1 + v22Y2 .... .......... vn1Y1 + vn2Y2 ....

<= 1

w = Valor máximo de la Función Objetivo para el primal en programación lineal. z = Valor mínimo de la Función Objetivo para el dual en programación lineal.

<= 1 PROPIEDAD DE LA DUALIDAD w = z

JUGADOR X: (Problema DUAL) (MIN) z = 1X1 + 1X2 ... + 1Xn

SEA LA MATRIZ DE JUEGOS: v11 v21

SIMBOLOGÍA

v11X1 + v21X2 ....

>= 1

v12X1 + v22X2 .... .......... v1mx1 + v2mX2 ...

>= 1

p(Ym) = Ym/w

>= 1

vnm= Pago por el juego en la fila m, columna n. Ym = Y1, Y2, Y3 .....Ym Xn = X1, X2, X3 .....Xn Ym o Xn = Variables, resultan de haber resuelto con el Solver un Problema Dual o Primal. p(Ym) = Probabilidad de uso de la Estrategia 1, 2, ...m para el Jugador Y.

p(Xn) = Xn/z

p(Xn) = Probabilidad de uso de la Estrategia 1, 2, ... n para el Jugador X.

v= 1 w

v = Valor del Juego.

= 1 z

NOTA: w = z

11.3. PROCEDIMIENTO SUGERIDO Para resolver una matriz de juegos se sugiere que se siga el siguiente procedimiento: a. Buscar un punto MINIMAX. b. Tratar de reducir la matriz de juegos, si logra una matriz de 2 x 2, verificar RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 113 -


nuevamente si no tiene punto MINIMAX, de no ser así, resolver con fórmulas (ver ítem 9.2). De obtenerse probabilidades inconsistentes con una matriz de 2 x 2, por ejemplo que éstas sean mayores a 1, significa que existe un punto MINIMAX, lo que puede comprobarlo en el Problema Propuesto 1. c., de no detectar que al reducir la matriz a {9;5\10;2} posee un punto MINIMAX, encontrará que p(X1) = 2 p(X2) = -1. Esta inconsistencia no se obtendrá si resuelve la misma matriz con programación lineal. c. De tener una matriz de juegos con m x n mayor a 2 x 2, resolver con programación lineal. PROBLEMAS RESUELTOS (6) 1. a.

c.

2.

Investigar si en los siguientes juegos existen puntos MINIMAX. De ser así ¿Cuál es el valor del juego (v)? 12 16 -2 14 -3 6 3 5 0

2 3 -1 -4 2 1 10 0 -4

25 4 26 8 4 3 12 -2 6

JUGADOR X

2 -14

-15 -3 -2

0 -2

6 0

b.

1 2

JUGADOR Y 1 2 0 1 -3 10

d.

1 2

JUGADOR Y 1 2 2 0 0 2

c. JUGADOR X

a.

d.

b.

22 4 3

-4 14

10 -6 4

8 9

8 0 10

10 12

6 -4 -1

25 15

-14 22 0

-10 0

12 -10

-8 -10 -6

14 -3

Para los siguientes juegos establecer: a) Cuál sería la estrategia óptima del jugador X y del Jugador Y, cuál es el valor del juego. b) Identificar los estrictamente determinados y si alguno sería un juego justo.

a.

3.

-10 10 0 6

JUGADOR X

JUGADOR X

1 2

JUGADOR Y 1 2 0 1 2 0

1 2

JUGADOR Y 1 2 5 2 -7 -4

Para los siguientes casos, bajo el criterio de dominación, omitir de la matriz la fila o columna dominada, luego solucionar: 1 4 3 5

5 3 6 4

b.

-6 7

4 -5

1 6

4 3

7 -2

(6) Ver al final del presente capítulo los planteamientos en el Excel. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 114 -

-1 -6

3 7


4

4

JUEGOS DE m x n MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL (7) 4. 5. 6. a.

Resuelva mediante programación lineal el Problema 1 y 2, sin reducir para el primer caso las matrices por dominación. Resuelva mediante programación lineal el Problema 3. Resuelva los Juegos Siguientes con programación lineal: 3 -3 -4

-1 3 -3

-3 -1 3

b.

-1 1 3

2 -2 4

-1 2 -3

c.

3 -9 2

10 -8 0

20 46 17

18 10 18

0 4 0

7.

A un fabricante de automóviles le han propuesto 5 modelos para nuevos vehículos. De tales diseños, la elección del que puede tener mejor venta depende en gran parte de que el modelo estándar de su competidor principal sea clasificado como "excelente", "bueno", "regular" o "malo". Si dicho modelo es "excelente", su utilidad neta mensual (en millones de dólares) será 100, 150, 50, 125 y 90, del modelo 1 al 5, respectivamente; si el modelo es "bueno" su utilidad será 80, 55, 55, 60 y 70, respectivamente; si el modelo es "regular", su utilidad será 150, 100, 100, 100 y 125 respectivamente; si es "malo" la utilidad será 50, 80, 25, 80 y 75 respectivamente. ¿Cuál diseño deberá escoger el fabricante con el fin de maximizar su mínima utilidad esperada?.(Weber JEAN Pág. 762).

8.

Un organismo gubernamental de defensa nacional planea construir un Centro de Esparcimiento Militar en una de dos localidades A o B. Un negociante en bienes raíces intenta invertir en la adquisición de terrenos considerándolos todos en la localidad A, todos en la B, o la mitad en cada lugar. Si compra en A y si se construyera ahí el Centro de Esparcimiento, el terreno tendrá un precio de $ 10 000 dólares por unidad de superficie, o de 3 000 si se edifica en B. Si comprara en la localidad B, el terreno valdría $ 8 000 si allí se instalara el Centro, pero el precio sería $ 4 000 si las instalaciones se efectuaran en A. Si compra en ambas localidades, el terreno podría valer $ 6 000 si el Centro quedara en A o bien $ 5 000 si quedara en B. Con el fin de maximizar la mínima ganancia que espera. ¿Qué debería hacer el citado negociante? (Weber: Pág. 763).

9.

El señor Saúl ha decidido apostar $ 5 en un partido de fútbol entre Argentina y Brasil. El Sr. Javier y Pedro han aceptado apuestas. El Sr. Javier es partidario de Brasil y pagará al señor Saúl $ 10 si gana Argentina, en tanto que cobrará $ 5 si gana Brasil. El Sr. Pedro es partidario de Argentina, pagará al Sr. Saúl $ 4 si gana Brasil y le cobrará $ 5 si gana Argentina. ¿Qué debe hacer el Sr. Saúl para maximizar las mínimas ganancias esperadas? (Weber: Pág. 768).

10. Un contratista va a construir un gran número de casas en un sistema de desarrollo urbano. Se han considerado cuatro tipos de casas: colonial, campestre, dúplex y estándar; el Comité Directivo seleccionará dos de estos (7) Planteamiento y respuestas en Excel de algunos problemas seleccionados se muestran al final del Capítulo. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 115 -


tipos para la construcción. El contratista tiene la oportunidad de comprar materiales a granel (por cargas de camión), por lo que puede ahorrar así mucho dinero, pero debe formular los pedidos anticipadamente a la decisión del comité; además puede pedir sólo un tipo de material. Si el Comité elige los tipos colonial y campestre, el contratista obtendrá una utilidad (extra) en miles de dólares de 125, 120, 60 y 50 si hace pedidos de materiales para los tipos colonial, campestre dúplex y estándar, respectivamente. Si el comité selecciona los tipos colonial y dúplex, sus utilidades serán de 90, 40, 80 y 75 respectivamente; su elige los tipos colonial y estándar serán de 150, 30, 75 y 100 respectivamente; si elige los tipos campestre y dúplex ganará 70, 70, 75 y 65, respectivamente; si elige los tipos campestre y estándar, el contratista ganará 90, 80, 80 y 120 respectivamente; pero si escoge los tipos dúplex y estándar, el contratista ganará 80, 40, 130 y 80, respectivamente. ¿Cómo debe formular sus pedidos el contratista para maximizar la mínima ganancia extra esperada?. (Weber: 767). 11. Suponga que para el caso del Problema 7 los competidores entrarán en conflicto durante 12 meses. Cómo diseñaría X sus estrategias. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Resolver las siguientes matrices de juegos

a. 10 8 6 2 15 12 2 4 -4 6 -3 1 12 -2 8 -6 16 13 7 12 2.

b. 12 -10 8 18 2 -3 5 12 14 3 12 16 -15 16 12

7 -11 8 10 -10 -12 8 2 9 -9

c. 7 9 3 7 10

4 5 4 5 2

d. 8 10 16 4

10 8 12 6 18 9 9 18

16 9 15 10 13 25 20 6

Dos compañías comparten el grueso del mercado para cierto tipo de producto. Cada una está haciendo nuevos planes de comercialización para el próximo año con la intención de arrebatar parte de las ventas a la otra compañía. (Las ventas totales del producto son más o menos fijas, por lo que una compañía puede incrementar sus ventas sólo si disminuyen las de la otra.) Cada una está considerando tres posibilidades: 1) un mejor empaque del producto, 2) un aumento en la publicidad y 3) una pequeña reducción en el precio. Los costos de las tres opciones son comparables y lo suficientemente grandes como para que cada compañía elija sólo una. El efecto estimado de cada combinación de alternativas sobre el aumento en el porcentaje de las ventas para la compañía 1 es: (Hillier: 489)

Mejor empaque X Aumento public. Peq. reduc. precio 3.

-6 -4 1 1 -1

Mejor empaq. 1 1 3

Y Aum. public. 3 4 -2

Peq. var. prec. 2 0 -1

El propietario de un hotel se enfrenta a la siguiente decisión: La Federación Médica querría utilizar su hotel para su congreso anual; los participantes ocuparían prácticamente todas las instalaciones del hotel (por lo tanto, todos los ingresos provenientes de otras fuentes serían despreciables), y pagarían


- 116 -


$ 20 000 por este privilegio. Normalmente el hotel percibiría $ 10 000 durante el tiempo que se efectuara la convención; sin embargo, existe la posibilidad de que se lleve a cabo el campeonato Mundial de fútbol en la ciudad en esa época; y en tal caso el hotel obtendría ingresos por $ 50 000. ¿Debería el dueño del hotel aceptar o declinar la oferta de la Federación Médica con el fin de maximizar el ingreso mínimo esperado? (Weber: 768). 4.

Un empleado de comercio debe decidir acerca de la compra de un seguro para su automóvil. Definitivamente adquirirá el seguro contra pérdida de su vehículo, pero el auto ya es viejo y no tiene la certeza de que el seguro de daños por colisiones valga la pena. Esta persona puede hacer también lo siguiente: no tomar un seguro contra choques, pero adquirir por $ 60 una póliza con cargos deducibles de $ 50. O bien comprar por $ 70 una póliza contra todo riesgo. El empleado usa su auto solamente para ir y volver de su trabajo, y piensa que una de tres cosas puede ocurrir durante el año: Que no tenga ningún accidente; que sólo tenga un accidente menor cuyos daños no pasen de $ 50; o bien que le ocurra un accidente más grave cuyos daños no excedan de $ 250 (el auto vale $ 400, por lo tanto, no tiene un optimismo exagerado). Dicha persona está consciente de que es posible que le pase más de un accidente durante el año, pero con base en su experiencia puede suponer que no ocurrirá así. ¿Qué deberá hacer para minimizar el máximo costo esperado? (Weber: 769).

5.

Elabore Tres (3) matrices de juegos, que sean de 4 x 4 cada una y entre ellas: Una tenga un punto MINIMAX. Una pueda ser reducida por dominación a una matriz de 2 x 2. Una no pueda ser reducida por dominación quedando como de 4 x 4.

a. b. c.

RESPUESTAS - PROBLEMAS RESUELTOS 1. 2. a.

a) Punto MINIMAX 3, v = 3 b) Punto MINIMAX –6, v = -6. Estrategias y valor del juego.- Para: a) p(X1) = 1 p (X2) = 0; p(Y1) = 1, p(Y2) = 0; v = 0; b) p(X1) = 2/3, p(X2) = 1/3 p(Y1) = 1/3 p(Y2) = 2/3; v = 2/3; c) p(X1) = 1/2 p(X2) = 1/2; p(Y1) = 1/2, p(Y2) = 1/2; v = 1. d) p(X1) = 1, p(X2) = 0; p(Y1) = 0, p(Y2) = 1; v = 2. a) y d) son juegos estrictamente determinados, a) es un juego justo por ser el valor del juego = 0.

3. a.

b.

p(X3) p(X4) X: 1/4 3/4 p(Y1) p(Y2) Y: 1/2 1/2 Valor del Juego = 4,50 4.

ΣP(X) 1 ΣP(Y) 1

p(X1) p(X2) 5/7 2/7 p(Y1) p(Y6) Y 5/18 13/18 Valor del Juego = -2,39 X

Parte de respuestas ver antes. 1. c. v = 4,75; 1.d. v = -5,38.


- 117 -

ΣP(X) 1 ΣP(Y) 1


5. 6. a.

Respuestas dadas antes.

p(Y)

Y1 0,3111

Y2 0,2444

Y3 0,4444

Total p(Y) 1

p(X)

X1 0,4444

X2 0,2444

X3 0,3111

Total p(X) 1

Valor Juego

-0,6444

b. p(Y)

Y1 0,0526

Y2 0,4211

Y3 0,5263

Total p(Y) 1

p(X)

X1 0,4474

X2 0,4737

X3 0,0789

Total p(X) 1

Valor Juego

0,2632

c. p(Y)

Y1 0,2500

Y2 0,0000

Y3 0,0000

Y4 0,0000

p(X)

X1 0,8125

X2 0,1875

X3 0,0000

Total p(X) 1

Valor Juego

Y5 0,7500

Total p(Y) 1,0000

0,75

7. Matriz de Juegos Inicial (puede ser reducida) Modelo de Y califica como "Excel" "Bueno" "Regul" Modelo 1 100 80 150 Modelo 2 150 55 100 X Modelo 3 50 55 100 Modelo 4 125 60 100 Modelo 5 90 70 125 MATRIZ SOLUCIÓN ESTRATEGIA Y1 Y2 PROBAB. p(Yn) 0 0,71429 Valor del Juego = 71,42857 ESTRATEGIA X1 X2 PROBAB. p(Xn) 0,14285 0 Valor del Juego = 71,42857

Y3 0 X3 0

X4

"Malo" 50 80 25 80 75

Y4 0,285714

TOTAL p(Y) 1

X5 0 0,85714

TOTAL p(X) 1

Jugador Y: Debe utilizar su estrategia Y2 y Y4, consistente en buscar que su modelo califique como bueno o malo, con probabilidades de 0,71 y 0,29 respectivamente, con lo cual contra la jugada óptima realizada por su contendiente minimizará su máxima pérdida esperada. En promedio por mes perderá $ 71,43 millones de dólares. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 118 -


Jugador X: Debe utilizar su estrategia X1 y X5, consistente en fabricar los modelos 1 y 5, con probabilidades de 0,14 y 0,86 respectivamente, con lo cual contra la jugada óptima realizada por Y, maximizará su mínima ganancia esperada. En promedio ganará por mes $ 71,43 millones de dólares. Obsérvese que en este problema todos los pagos son positivos, Y debe tener alguna razón especial (como tratar de ingresar en el mercado) para fabricar con una pérdida inevitable. Esto es cierto si se supone que la matriz literalmente representa ganancias netas y no algún tipo de ingreso adicional. 8.

Todo en A X Todo en B La Mitad A - B

Y Organismo Gubernamental Const. A Const. B 10 000 3 000 4 000 8 000 6 000 5 000

MATRIZ SOLUCIÓN ESTRATEGIA Y1 PROBAB. p(Yn) 0,454545 Valor del Juego = 6 181,82 ESTRATEGIA X1 PROBAB. p(Xn) 0,363636 Valor del Juego = 6 181,82

Y2 0,545454

X2 0,63636

X3 0

TOTAL p(Y) 1 TOTAL p(X) 1

El negociante debe invertir su dinero en la localidad A con probabilidad de 0,36 y el lugar B con probabilidad de 0,64. 9. MATRIZ SOLUCIÓN ESTRATEGIA PROBAB. p(Yn) Valor del Juego = 0,625 ESTRATEGIA PROBAB. p(Xn) Valor del Juego = 0,625

Y1 0,375

Y2 0,625

TOTAL p(Y) 1

X1 0,375

X2 0,625

TOTAL p(X) 1

10.

X

Apuesta por Argentina Apuesta por Brasil

Y (Sr. Javier) Gana Argentina 10 -5

(Sr. Pedro) Gana Brasil -5 4

p(Y1)= 0,07143; p(Y4)= 0,92857; p(X1)=0,214286; p(X3)= 0,78571; VALOR DEL JUEGO (v) = 73,93. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 119 -


11. La elección de las estrategias por X deben ser aleatorias, de modo que Y no conozca con certeza la que elegirá. Para lo cual basados en las probabilidades podría elaborar los cuadros siguientes: (Nota: La generación de números aleatorios varían por lo que se da a modo de ejemplo, se ha utilizado la función del Excel: =aleatorio.entre(1;100). Estrategia del Jugador X Fabrica Modelo 1 Fabrica Modelo 5

Probabilidad 0,14 0,86

Probabilidad Acumulada 0,14 1,00

MES

N° Aleatorio

Estrategia

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 83 45 85 60 44 12 31 34 30 30 22

Fabrica Modelo 1 Fabrica Modelo 5 Fabrica Modelo 5 Fabrica Modelo 5 Fabrica Modelo 5 Fabrica Modelo 5 Fabrica Modelo 1 Fabrica Modelo 5 Fabrica Modelo 5 Fabrica Modelo 5 Fabrica Modelo 5 Fabrica Modelo 5

N° aleatorio entre 01 - 14 15 - 100

RESPUESTAS - PROBLEMAS PROPUESTOS SELECCIONADOS 1. a. 4 5 v=

3 8 7

4 -6 12 7,26

c. (Rptas. para X) Sin punto Minimax X: p(X4) = 0,26 X: p(X5) = 0,74 v = 7,26

c. Punto Minimax: X: p(X2) = 1 Y: p(Y2) = 1 v= 5

2.

Valor del juego = 1,4.

3.

Aceptar la oferta de la Federación.

4.

Comprar el seguro de cobertura completa.

5.

La respuesta está de acuerdo a quién lo plantee.


- 120 -

d. 3 4 v=

1 3 16 9 4 18 12


JUEGOS: PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN EN EL EXCEL PROBLEMA 4. (Referido a 1. a) K=

10

PLANTEAMIENTO PARA PROGRAMACIÓN LINEAL: JUGADOR Y (PROBLEMA PRIMAL) (Max) w =

Y1 22 Y1 26 Y2 8 Y1 24 Y1

+

Y2

+ 12 Y2 + 13 Y2 + 9 Y2 + 6 Y2

+

Y3

+

Y4

+ 35 Y3 + 0 Y4 + 14 Y3 + 20 Y4 + 36 Y3 + 10 Y4 + 18 Y3 + 16 Y4 Y1, Y2, Y3, Y4

<= <= <= <= >=

1 1 1 1 0

>= >= >= >= >=

1 1 1 1 0

JUGADOR X (PROBLEMA DUAL) (Min) z =

X1 22 X1 12 X2 35 X1 0 X1

+ + + + +

X2 26 X2 13 X2 14 X2 20 X2

+

X3

+

Y4

+ 8 X3 + 24 Y4 + 9 X3 + 6 Y4 + 36 X3 + 18 Y4 + 10 X3 + 16 Y4 X1, X2, X3, X4

PLANTEAMIENTO PARA EL EXCEL Y1 1 0 22 26 8 24

(Max) w =

Y2 1 0,0769 12 13 9 6

Y1 P(Y)

Y2 0 v=

X1 P(X)

Y3

Y4

0,0769 0,9231 1,0000 0,6923 0,4615

<= <= <= <=

1 1 1 1

>= >= >= >=

1 1 1 1

ΣP(Y)

1

0

0

X2 1 0,0769 26 13 14 20

X3 1 0 8 9 36 10

X4 1 0 24 6 18 16

X2 0 v=

Y4 1 0 0 20 10 16

1

3

X1 1 0 22 12 35 0

(Min) z =

Y3 1 0 35 14 36 18

X3 1

X4 0

3


- 121 -

0,0769 2,0000 1,0000 1,0769 1,5385 ΣP(X)

0

1


PROBLEMA 4. (Referido a 1. c) K=

4

PLANTEAMIENTO PARA PROGRAMACIÓN LINEAL: JUGADOR Y (PROBLEMA PRIMAL) (Max) w =

Y1

+ Y2

Y1 10 Y1 7 Y1 9 Y1 4 Y1

+ + + + +

+ Y3

6 Y2 + 8 Y3 5 Y2 + 7 Y3 4 Y2 + 6 Y3 4 Y2 + 2 Y3 0 Y2 + 10 Y3 Y1, Y2, Y3, Y4

<= <= <= <= <= >=

1 1 1 1 1 0

JUGADOR X (PROBLEMA DUAL) (Min) z =

X1

+ X2

+ X3

X1 6 X1 8 X1

+ 10 X2 + 5 X2 + 7 X2

+ 7 X3 + 14 X3 + 16 X3

+ X4

+ X5

+ 9 X4 + 4 X5 + 4 X4 + X5 + 2 X4 + 10 X5 X1, X2, X3, X4, X5

>= >= >= >=

1 1 1 0

PLANTEAMIENTO PARA EL EXCEL (Max) w =

P(Y)

Y1 1 0,0857 1 10 7 9 4

Y2 1 0,0286 6 5 14 4 0

Y1 0,75

Y2 0,25

v= (Min) z =

Y3

0,2571 1 1 0,8857 0,3429

<= <= <= <= <=

1 1 1 1 1

ΣP(Y) 1

X4 1 0 9 4 2

4,75 X2 1 0,0667 10 5 7

X3 1 0,0476 7 14 16

0

X2 0,5833

X3 0,4167

v=

0,1143

0

X1 1 0 1 6 8 X1

P(X)

Y3 1 0 8 7 16 2 10

4,75


- 122 -

X4

X5 1 0 4 0 10 X5

0

0,114 1 1 1,229 X6

0

0

>= >= >= ΣP(X) 1

1 1 1


CAPÍTULO 7 PROGRAMACIÓN DINÁMICA 1.

GENERALIDADES

La Programación Dinámica es un método de solución de problemas que permite descomponer un modelo matemático de gran magnitud, en diversos problemas más pequeños. Se fijan etapas, por lo que se ha aplicado a problemas de decisión que partes múltiples que facilitan su solución. Los signos convencionales son: NODO: Se usa para indicar un lugar en particular, que puede ser el origen o destino dentro de una trayectoria o camino a recorrer. LÍNEA: En esta técnica, sirve para indicar la interconexión entre nodos. Indica usualmente una dirección definida por lo que toma esa forma. 2.

EL PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA (CICLIC/ACICLIC SHORTEST ROUTE

Tiene que ver con la determinación de los caminos conectados en una red de transporte que constituyen en conjunto la distancia más corta entre un origen y un destino. Ejemplo 1.- Un camión debe llevar productos agrícolas desde el lugar de producción denominado 1, hasta el mercado de consumo, denominado 7, en la Red 1 se presentan las rutas disponibles, los números en los nodos indican "nombres" de poblados y las distancias que están en km, figuran sobre las líneas. Se solicita: Hallar la ruta más corta entre el origen 1 y el destino 7. RED 1

2

15 1

17

6

3 10

7

4

3

3.

5

4

4

5

6 2

CASO DEL ÁRBOL DE EXTENSIÓN MÍNIMA (MINIMAL SPANNING TREE


- 123 -

6


Estos casos comprende la minimización de redes, que es la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red de modo que la suma de las longitudes de los ramales sea la mínima posible. Ejemplo 2.- La Telefónica, está planeando una red para dar servicio de Telefonía por cable a cinco nuevas áreas de desarrollo habitacional. La red del sistema se resume en la red 2. Los números dentro de los nodos indican el nombre de las áreas de desarrollo y sobre las flechas se representan la longitud de cable necesaria en km. Se solicita: Establecer las áreas que deben estar interconectadas con cables y la longitud de cable que se requeriría. RED 2 3 2

5 6

9

1 8

5

1

3

4

10

5

7

3

6

4

4.

CASO DEL FLUJO MÁXIMO (MAXIMAL FLOW)

Considera la situación en la que se enlazan un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos unidirigidos (o de un solo sentido). Cada parte o ramal tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es el de obtener la máxima cantidad de flujo entre la fuente y el destino. Ejemplo 3.- Una conjunto de refinerías de petróleo (orígenes), representadas por nodos numerados del 1 al 6, se conectan con un puerto marítimo de embarque (destino), numerado como nodo 7, a través de una red de oleoductos. La capacidad en m3 como flujo máximo admisible se representa numéricamente sobre las flechas. Se solicita: Establecer la capacidad máxima, capacidad no utilizada y el flujo máximo admisible en la línea de conducción.


- 124 -


RED 3

3 2

5

5

2 6

1

7

3

5

8

1

3

3

7

6

7

5 4

5.

EL PROGRAMA TORA

Este Programa permite resolver problemas cuantitativos de diversa índole, el interés particular estará en la resolución de problemas de Redes. Ejemplo 1: Ruta Mínima ESCRIBIR IR A IR A IR A ESCRIBIR ESCRIBIR ESCRIBIR ESCRIBIR

: : : : : : : :

ESCRIBIR

:

TORA NETWORK MODELS (Modelos de Redes). CICLIC/ACICLIC SHORTEST ROUTE (Ruta Mínima). ENTER NEW PROBLEM (Ingresar Nuevo Problema) CASO 1 (Para dar nombre al problema). 7 (Para indicar que el problema tiene 7 nodos). N (No se asigna nombre a nodos). Y (Para indicar que no es un problema con rutas de ida y vuelta. Las relaciones entre nodos (números); en caso que no se relacionen , en caso que datos ya ingresados aparezcan nuevamente en la pantalla debe ignorarlos pasándolos con , mas no debe borrarlos, el ingreso de datos es el siguiente:

NODOS ARCS FROM N1 ARCS FROM N2 ARCS FROM N3 ARCS FROM N4 ARCS FROM N5 ARCS FROM N6

N1

N2 15

N3 10 3

N4

N5

N6

PRESIONAR

:

ESCRIBIR ESCRIBIR

: :

IR A

:

(Si antes el Programa le mostró el mensaje ERROR, no se preocupe, le está indicando que ya culminó con ingresar los datos y debe solicitar su resolución). (y/n) (Y = Yes si desea grabar el problema en un archivo. A:\CASO1 (Si lo grabará en la Unidad A, no debe darle extensión). Solve Problem (Resolver problema).

6

N7 17

4 4

5 2 6


- 125 -


IR A PRESIONAR

: :

PRESIONAR IR A IR A PRESIONAR

: : : :

PRESIONAR IR A IR A PRESIONAR PRESIONAR PRESIONAR

: : : : : :

View Optimun Solution Summary (Ver Solución). esta tecla debe presionarla en forma consecutiva varias veces hasta que aparezca el indicativo ERROR, que muestra que ya no es necesario seguir buscando la ruta óptima, al final tendrá el resultado al problema: (Irá al Menú del Optimizador). Print Optimun Solution (Para Imprimir Solución). Write to a Printer (Para que lo Imprima). Cualquier tecla para empezar a imprimir, que le mostrará las soluciones parciales y la solución final. (Irá al menú del optimizador). Print Original Data (Imprimir datos Originales). Write to a Printer (Escribir en Impresora). Cualquier tecla para comenzar impresión. (Para ir al menú del optimizador). (Para salir del TORA).

SOLUCIÓN DEL Ejemplo 1: La solución es: Camino Optimo: N1 --> N3 --> N5 --> N6 --> N7 Mínima Distancia = 22 metros. Ejemplo 2: Árbol de Extensión Mínima El ingreso de datos al TORA, es similar al Caso 1, que se ha descrito en la página anterior con detalle. La diferencia fundamental radica en que al ingresar al programa en vez de ir a NETWORK MODELS (Modelos de Redes), debe ir a MINIMAL SPANNING TREE (Árbol de Extensión Mínima). De: A: N1 N2 N2 N5 N2 N4 N4 N6 N1 N3 Total de Mínima Extensión

Mínima Extensión 1,00 3,00 4,00 3,00 5,00 16,00 Km

Ejemplo 3: Flujo Máximo El ingreso de datos al TORA, es similar al Caso 1, que se ha descrito en la página anterior con detalle. La diferencia fundamental radica en que al ingresar al programa en vez de ir a NETWORK MODELS (Modelos de Redes), debe ir a MAXIMAL FLOW (Flujo Máximo). La solución al problema se podrá identificar en el TORA por salir la relación de nodos en otro color, los nodos que no tienen esta característica, o no están relacionadas en la red del problema o no son necesarias para lograr el flujo máximo entre dos puntos (en este caso entre 1 y 6). Para este caso cuando algunos nodos no están interrelacionados el flujo aparece como CERO (0). Flujo Máximo por Minuto:

14 m3


- 126 -


6.

DE:

A:

N1 N1 N1 N2 N2 N3 N3 N4 N4 N5 N6 N6

N2 N3 N4 N3 N5 N5 N6 N3 N6 N7 N5 N7

Capacidad (Datos del Problema) 5,00 6,00 5,00 2,00 3,00 3,00 7,00 3,00 5,00 8,00 1,00 7,00

Capacidad Utilizada 4,00 6,00 4,00 1,00 3,00 3,00 5,00 1,00 3,00 7,00 1,00 7,00

Capacidad No Utilizada 1,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 2,00 2,00 2,00 1,00 0,00 0,00

CASO DEL AGENTE VIAJERO

TRAVELING SALESMAN PROBLEM (TSP) En el agente viajero, se parte de un nodo origen, y deben recorrerse todos los nodos de la red, volviendo al origen, de modo de minimizar la longitud del viaje. Este problema también se conoce con el nombre del Viajante de Comercio, y en inglés, Traveling Salesman Problem (TSP). En el agente viajero, se tiene una red de nodos, que pueden ser ciudades o simplemente lugares de una ciudad. Se parte de un lugar inicial, y deben recorrerse todos sin pasar más de una vez por cada lugar, volviendo al lugar inicial. Para cada arco, se tiene un valor Cij, que indica la distancia o el costo de ir del nodo i al nodo j. Se trata de encontrar en qué orden recorrer los nodos de la red, de modo de minimizar la distancia total recorrida. Dado que en definitiva se busca un circuito o tour completo, es indiferente el lugar que designemos como origen. Es ciertamente sin sentido para algunas aplicaciones la restricción de que no debe pasarse más de una vez por cada ciudad. Sin embargo, si los nodos representan lugares de una ciudad, no hay razón para pasar dos veces por el mismo lugar, y el problema del viajante de comercio se puede aplicar con todo éxito. El problema del agente viajero es la base para muchas aplicaciones de reparto de mercadería en una ciudad (vea el problema del reparto en los ejercicios propuestos). Las situaciones reales suelen complicarse con: más de un vehículo de reparto; horarios de reparto impuestos por los clientes; demoras en los lugares de entrega; capacidades en los vehículos, que limitan los recorridos, etc. Ejemplo 4: Un agente viajero que vive en C1 parte de su casa y debe recorrer las ciudades: C2, C3, C4 y C5 Y C6 para hacer sus ventas. Finalmente, debe regresar a su casa. Como tiene varias alternativas para recorrer las ciudades, se quiere encontrar en qué orden debe hacer su recorrido para minimizar el trayecto total recorrido. En el mapa se muestran las ciudades, las rutas existentes y las distancias entre ciudades. A partir de este mapa se construye la matriz de distancias en kilómetros, indicándose con una X (equis) los casos en que no hay rutas que conecten dos ciudades. Obsérvese que en este caso la matriz es simétrica. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 127 -


DE

A C1 0 8 X 3 X 4

C1 C2 C3 C4 C5 C6

C2 8 0 1 5 9 X

C3 X 1 0 7 2 21

C4 3 5 7 0 X 3

C5 X 9 2 X 0 35

C6 4 X 21 3 35 0

RED 4 C2 8 5 1

C4

3

C1

9

7 3 C3 4

21

2

C5

C6 35

Al resolver este problema con INVOP (8) resulta: Solución óptima o cercana al óptimo: C1, C2, C5, C3, C4, C6, C1. Mínimo Recorrido = 33. Es decir, que para recorrer todas las ciudades sin pasar más de una vez por cada una, debe recorrer 33 kilómetros. 7.

EL INVOP

Constituye un aporte importante a la Investigación Operativa llevada a cabo por Beatriz Loubet de la Universidad de Cuyo – Argentina. Permite resolver los problemas siguientes: • Asignación. • Transporte. • Distancia. • Flujo. Su uso es muy sencillo, más si se ha utilizado previamente el TORA, razón por lo cual no se incide en detalles. Los problemas de Distancia, comprenden: • Ruta más corta. • Árbol de Extensión Mínima. • Viajante de Comercio. En el agente viajero se incluye las posibilidades para resolver: El caso del reparto, el caso de la fábrica de llantas, secuencia de producción y el caso de las pinturas (ver Problemas Propuestos). (8) Ver detalles del INVOP en el siguiente ítem. Con este nombre lo puede ubicar en Internet donde está a disposición el software. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 128 -


PROBLEMAS PROPUESTOS RUTA MÁS CORTA 1.

Taxis: La Taxi´s ha identificado 10 lugares principales para pasajeros que abordan y descienden de los taxis en la ciudad de Los Álamos. En un esfuerzo para minimizar el tiempo de viaje, mejorar el servicio a los clientes y mejorar la utilización de la flota de taxis de la compañía, a los administradores les gustaría que los conductores de los taxis tomaran la ruta más corta entre estos diversos lugares, cuando sea posible. Aplicando la red de caminos que se muestran en seguida en la tabla (cada valor muestra los tiempos de viaje en minutos),

a.

Realice una red del problema donde cada arco muestre los tiempos del viaje en minutos. ¿Cuál es la ruta que debería tomar un taxi que sale del lugar 1 y debe llegar al lugar 10? ¿Cuánto dura el viaje? ¿Cuál es la ruta que debería tomar un taxi que sale del lugar 5 y debe llegar al lugar 2? ¿Cuánto dura el viaje?

b. c.

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

8 13 15 10 x x x x 8 5 x x x 15 x x 13 5 6 x 5 x x x 15 x 6 4 3 x x x 10 x x 4 9 x x 12 x x 5 3 9 4 2 5 x 15 x x x 4 4 x x x x x x 2 4 5 x x x x 12 5 x 5 x x x x x x 4 7 5

X X X X X X 4 7 5

La Producción: Una firma ha ganado un contrato para producir puertas. El contrato tiene una duración de 4 años. El proceso de producción requiere de una máquina que carece la firma. Ésta puede comprarla, mantenerla durante los 4 años del contrato y luego venderla en el valor de su rescate, o puede reemplazarla por un modelo, al final de cualquier año dado. Los nuevos modelos requieren menos mantenimiento que los antiguos. En la tabla se indica el costo neto estimado (precio de compra + mantenimiento - precio de compra) para una máquina comprada al inicio del año i y vendida al inicio del año j. Se trata de establecer en qué momento conviene remplazar la máquina. Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5

Año 1 X X X X X

Año 2 12 X X X X

Año 3 19 14 X X X


- 129 -

Año 4 33 23 16 X X

Año 5 49 38 26 13 X


Año 1

Año 2

12

Año 3

14

19

Año 4

16

Año 5

13

26

23 33

38 49

Este problema puede verse como un problema de ruta más corta, donde se trata de decidir de qué manera "voy" desde el año 1 al año 5. Obsérvese que la matriz es no simétrica, ya que puedo 'ir' del año 1 al año 3, pero no puedo volver, como lo indica la ruta prohibida. 3.

Constructora: La Compañía Constructora UPS tiene diversos proyectos de construcción distribuidos en un área de tres ciudades. En ocasiones los sitios de las construcciones se ubican hasta 50 kilómetros de distancia de la oficina general de la empresa. Como se efectúan varios viajes al día para llevar personal, equipos y suministros, hacia y desde los lugares de construcción, los costos relacionados con las actividades de transporte son importantes. En la siguiente tabla se muestran las alternativas de viajes entre la oficina y cinco de los lugares de construcción de la compañía. Oficina 2 3 4 5 6

Oficina 0 15 10 X X X

2 15 0 6 5 X X

3 10 6 0 X 10 X

4 X 5 X 0 4 6

5 X X 10 4 0 3

6 X X X 6 3 0

Determinar la ruta más corta entre la oficina (nodo 1) hasta cada uno de los lugares en donde se encuentran las obras. 4.

El estudiante: Un estudiante que está a punto de ingresar a la universidad, lejos de su casa, ha decidido que necesitará un automóvil durante los próximos 4 años, pero como sus fondos son muy limitados, quiere tenerlo de la manera más barata posible. En vista del precio inicial de compra y de los costos de operación y mantenimiento, no le queda claro si debe cambiar este auto al menos una vez durante los próximos 4 años antes de que los costos sean muy altos. Considere que en el quinto año, revenderá el auto que posea para comprar un cero kilómetro. Suponga que el precio de compra del auto es de $2000. Los datos de interés para este problema son: 1 año Costo de operación y mantenim. por año que se posee Valor de reventa por año que se posee

2 años

3 años

4 años

1 900

2 200

2 500

2 800

600

400

200

0

Necesita entonces con estos datos determinar cuál es el plan de cambio RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 130 -


durante los próximos 4 años que minimice el costo neto total. Este problema se puede resolver con un modelo de ruta más corta, encontrando la matriz de datos correspondiente. 5.

Rápida del Oeste: La Compañía Rápida del Oeste ofrece un servicio especial de entregas y recolecciones rápidas entre Casilda y otras 10 ciudades ubicadas en un área urbana. Cuando la compañía recibe una solicitud de servicio, envía un camión desde Casilda hasta la ciudad en la que se solicita el servicio, tan pronto como sea posible. Tanto el servicio rápido como el costo mínimo es objetivo para la Rápida del Oeste, es importante que los camiones que se envían vayan por la ruta más corta desde Casilda a la ciudad especificada. En el siguiente cuadro se resumen las distancias en kilómetros desde Casilda a las ciudades y entre las ciudades entre sí. Casilda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Casilda 0 35 20 20 30 X X X X X X 1 35 0 20 X X X X 70 X X X 2 20 20 0 10 X 40 X X X X X 3 20 X 10 0 X 35 30 X 60 X X 4 30 X X X 0 X 40 X X 60 40 5 X X 40 35 X 0 X 50 30 X X 6 X X X 30 40 X 0 X 50 40 X 7 X 70 X X X 50 X 0 20 X X 8 X X X 60 X 30 50 20 0 10 X 9 X X X X 60 X 40 X 10 0 15 10 X X X X 40 X X X X 15 0 Obtenga las distancias para las rutas más cortas desde Casilda hasta cada una de las 10 ciudades. ¿Cuál es la ruta más corta a la ciudad 7? ¿Y a la ciudad 9?

EXTENSIÓN MÍNIMA 6.

Compañía minera: La empresa minera Golden Inc., hará estudios de prospección en ocho zonas de la misma área. Para esto debe desarrollar un sistema de caminos de tierra para tener acceso a cualquier zona desde cualquier otra. El costo en pesos de cada camino entre cada par de zonas es: COSTO DEL CAMINO Zona 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1,3 2,1 0,9 0,7 1,8 2,0 1,5

2 1,3 0,9 1,8 1,2 2,6 2,3 1,1

3 2,1 0,9 2,6 1,7 2,5 1,9 1,0

4 0,9 1,8 2,6 0,7 1,6 1,5 0,9


- 131 -

5 0,7 1,2 1,7 0,7 0,9 1,1 0,8

6 1,8 2,6 2,5 1,6 0,9 0,6 1,0

7 2,0 2,3 1,9 1,5 1,1 0,6 0,5

8 1,5 1,1 1,0 0,9 0,8 1,0 0,5


El problema es determinar los caminos que deben construirse para conectarlas todas con un costo mínimo. 7.

Fábrica de jabón: En una fábrica grande de productos de jabón, los inspectores de control de calidad obtienen muestras de diversos productos, en diversas áreas de producción, y después entregan las muestras para su análisis en el laboratorio. El proceso de inspección es lento, y los inspectores invierten una cantidad considerable de tiempo transportando las muestras desde las áreas de producción hasta el laboratorio. La compañía está evaluando la instalación de un sistema conductor mediante tubos neumáticos que se podría utilizar para transportar las muestras entre las áreas de producción y el laboratorio. En la siguiente tabla se muestra las ubicaciones del laboratorio y las áreas de producción en donde se recolectan las muestras y las distancias en metros entre las mismas. ¿Cuál es la longitud mínima del diseño del sistema de conducción que permitiría que todas las áreas de producción envíen sus muestras al laboratorio, sabiendo que si una muestra llega a otra área de producción ésta se puede reenviar al laboratorio? Lab. Lab. 2 3 4 5 6 7 8

8.

600 700 800 X X X X

2 600 800 X 500 600 X X

3 700 800 500 X 400 600 X

4 800 X 500 X X 600 X

5 X 500 X X 300 X 400

6 X 600 400 X 300 500 200

7 X X 600 600 X 500

8 X X X X 400 200 400

400

Compañía de cómputo: Una compañía de cómputos debe instalar líneas especiales para comunicación computacional, a fin de conectar a cinco usuarios satélite con una nueva computadora central. La compañía telefónica local es la que instalará la nueva red de comunicaciones. Sin embargo, la instalación es una operación costosa. Con el propósito de reducir los costos, el grupo de administración del centro desea que la cantidad de estas nuevas líneas de comunicación sea lo más pequeña posible. Aunque se podría conectar la computadora central en forma directa a cada usuario, parece que sería más económico instalar una línea directa hacia algunos usuarios, y permitir que otros se enlacen con el sistema a través de los usuarios ya conectados. En la siguiente tabla se muestran las alternativas de conexión posibles y las correspondientes líneas de comunicación que se requieren entre los distintos lugares. Establecer el diseño de este sistema de comunicaciones.


- 132 -


Central Central Nodo 2 Nodo 3 Nodo 4 Nodo 5 Nodo 6

Nodo 2 20 000

20 000 40 000 30 000 50 000 40 000

X X 40 000 X

Nodo 3 40 000 X 10 000 30 000 30 000

Nodo 4 30 000 X 10 000

Nodo 5 50 000 40 000 30 000 X

X 20 000

Nodo 6 40 000 X 30 000 20 000 40 000

40 000

FLUJO MÁXIMO 9.

Caminos del camping: La Ciudad de Mendoza ha planeado un camping provincial. Las personas que están elaborando los planes para el camping han identificado las ubicaciones ideales para el club (1), las cabañas (2), las churrasqueras (3), el muelle para embarcaciones (4) y los puntos de interés turísticos (5, 6, 7, 8). Si los diseñadores del camping desean minimizar el total de kilómetros de caminos que se deben construir y al mismo tiempo, ofrecer acceso a todas las instalaciones, ¿qué caminos se deben construir? En la siguiente tabla se muestran los lugares y las posibles alternativas de caminos (las distancias están expresadas en kilómetros). 1 1 2 3 4 5 6 7 8

4 2 X X X X X

2 4 X X 2 5 X X

3 2 X 2 4 X X X

4 X X 2 3 X X 7

5 X 2 4 3 X 3 5

6 X 5 X X X 3 X

7 X X X X 3 3

8 X X X 7 5 X 2

2

10. Flujo de expedientes: Este ejemplo se desarrolla en una obra social del medio, cuya misión es brindar cobertura médica a sus clientes. Su estructura está formada por una Dirección General de la cual dependen dos direcciones: la de Servicios Administrativos y la de Servicios Asistenciales. La información circula entre los distintos sectores a través de expedientes. Se analizará el flujo de expedientes que circula en la Dirección de Servicios Asistenciales, para determinar cuáles son los cuellos de botella, que impiden un servicio más rápido. •

• • •

En Mesa de Entradas se arman expedientes de reintegros a clientes (trámite iniciados por el cliente) o de Compras de bienes o servicios (trámite iniciado por clientes o sector interno de la Institución). Si es de reintegro se remite a Secretaría, sino a Compras. Secretaría recibe expedientes para su firma y sello (valida o autoriza la operación). Se remiten los expedientes a Auditoría para su control. Compras confecciona el pliego y envía luego el expediente a Auditoría. Auditoría controla expedientes. Si el expediente es de reintegros lo envía a Servicios Asistenciales para su autorización. Sino manda los expedientes a Contabilidad para su liquidación.


- 133 -


• • •

Servicios Asistenciales autoriza el pago y lo envía a Contabilidad para su facturación. Contabilidad (Liquidaciones o Facturación) recibe expedientes, liquida o factura y manda a Tesorería para su pago. Tesorería paga a proveedores o clientes. Serv. Asist. Autorizar

Auditoría Control Compras Pliego

30

Mesa de Entradas Armar Exped.

A

B

90

D

80

60

E

Liquidación 50

60

C

60

F

80

G

Facturación

90

H

Tesorería Secretaria Firma y Sella

En el gráfico se muestra un diagrama de red con el flujo de expedientes, representándose cada tarea con un arco. Los números indican la capacidad de trabajo del lugar, es decir, la cantidad de expedientes por día que se pueden procesar. Encuentre la capacidad de la red, y los cuellos de botella que hacen que no puedan circular más expedientes. 11. Producción: Una línea de producción puede verse como una red donde los nodos representan estados de la materia prima o de productos semiterminados y los arcos los procesos a los que se someten. Cada proceso de esta red tiene su capacidad, y la capacidad de la línea de producción corresponde al flujo en la red. Suponga que la siguiente red representa una línea de producción y los números de los arcos las capacidades de cada proceso: B

D

9

6 5 4

A

E 8

2

C

En este problema, lo que se busca es encontrar la capacidad de producción de la línea. 12. Red Telefónica: Una compañía de teléfonos de larga distancia utiliza una red de líneas subterráneas de comunicación para ofrecer servicio de audio de alta calidad entre dos ciudades importantes. Las llamadas se conducen mediante diversas líneas de cable y diversos nodos de conexión en la red, según se muestra en seguida en la tabla. Se muestra también el número de RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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llamadas telefónicas que pueden ocurrir simultáneamente en cualquier punto del tiempo. CiudadA

CiudadA Nodo1 Nodo2 Nodo3 Nodo4 Nodo5 CiudadB

0 0 0 0 0 0

Nodo1

Nodo2

Nodo3

Nodo4

Nodo5

CiudadB

4 000 3 000 4 000 2 000 0 2 000 3 000 0 3 000 0 1 000 2 000 3 000 2 000 0 0 0 0

0 0 1 000 2 000

0 3 000 2 000 0 0

0 0 0 5 000 2 000 3 000

0 0

0

¿Cuál es el número máximo de llamadas telefónicas que se pueden trasmitir simultáneamente entre dos ciudades? ¿Cuáles son los nodos de conexión y los flujos sobre los cables cuando el sistema opera a toda su capacidad? AGENTE VIAJERO 13. El Reparto: La firma Mauro & Co. tiene una casa Matriz y 5 sucursales. Con un solo camión de reparto, debe recorrer, comenzando con la casa Matriz, todas las sucursales y finalizar en la casa Matriz. ¿En qué orden debe recorrerse las sucursales de modo de minimizar la distancia total recorrida? DE: Suc0 Suc1 Suc2 Suc3 Suc4 Suc5

A:

Suc0 0 10 2 34 18 12

Suc1 10 0 20 9 11 3

Suc2 2 20 0 12 4 11

Suc3 34 9 12 0 21 5

Suc4 18 11 4 21 0 10

Suc5 12 3 11 5 10 0

14. La fábrica de llantas: Gomas S.A., fabrica llantas en su planta y tiene almacenes a lo largo del país, uno de los cuales está ubicado en Santa Brígida. De este almacén regional, se hacen entregas semanales a cinco tiendas locales minoristas mediante un camión. Los tiempos de manejo en minutos entre cualquier dos tiendas y entre el almacén regional y cualquier tienda se dan a continuación: Almacén Almacén Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Tienda 4

Tienda 1 40

Tienda 2 55 60

Tienda 3 45 55 55

Tienda 4 60 60 70 50

Tienda 5 65 50 90 70 70

Determinar si el conductor del camión puede hacer todas las entregas y RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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regresar al almacén en 8 horas, permitiendo 30 minutos para descarga en cada tienda. 15. Secuencia de producción: Química S.A. fabrica seis compuestos diferentes. Debido a economías de escala, cada compuesto es producido una vez durante un día de 24 horas. La ganancia obtenida depende no sólo del compuesto que se produce, sino también del siguiente compuesto producido. Esto ocurre debido a que cada compuesto deja algunas impurezas que afectan la calidad del siguiente compuesto producido. Las ganancias (en dólares) se indican en la siguiente tabla: COMPUESTO A B C D E F

A 250 300 100 X 170

B 250 160 X 270 150

SEGUIDO DE C D 300 100 160 X 230 230 X 220 140 X

E X 270 X 220

F 170 150 140 X 100

100

El problema es determinar una secuencia para la producción de los diferentes componentes, de tal modo que la ganancia se maximice. Suponga que también se necesita producir un nuevo compuesto, G, que no puede producirse inmediatamente antes o después de A. Las ganancias asociadas con los compuestos posteriores a G son las mismas que cuando esos compuestos son posteriores a A. Modifique adecuadamente el problema y determine la nueva secuencia en la cual producir los compuestos que maximicen las ganancias diarias. 16. Pinturas: Una empresa de pinturas produce cinco colores de pinturas cada mes. Al cambiar de uno a otro color, la máquina mezcladora debe limpiarse y prepararse para el siguiente color. Este tiempo de disposición depende del color que acaba de producirse y del color que se producirá a continuación. Los tiempos de disposición, en segundos, al cambiar entre todas las parejas de colores se muestran en la siguiente tabla: DE Blanco Amarillo Naranja Rojo Negro

Blanco 0 170 200 220 300

Amarillo 150 0 170 190 210

A Naranja 120 110 0 100 180

Rojo 100 90 80 0 130

Negro 110 100 100 90 0

Señalar la secuencia en la cual producir los cinco colores con el fin de minimizar el tiempo de disposición total. 17. El oleoducto: Una compañía es propietaria de una red de oleoductos que se utiliza para transportar petróleo desde el pozo hasta diversos lugares de almacenamiento. En la siguiente tabla se indica el pozo, 6 lugares de RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 136 -


almacenamiento y la cantidad de metros cúbicos de petróleo que fluyen por hora por los conductos: Pozo Pozo Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Alm.5 Alm.6

0 0 0 0 0 0

Alm.1

Alm.2

Alm.3

Alm.4

Alm.5

Alm.6

6 000

0 2 000

6 000 0 3 000

0 3 000 2 000 0

0 0 2 000 1 000 0

0 0 0 2 000 5 000 5 000

2 000 0 3 000 0 0

3 000 2 000 2 000 0

0 1 000 0

0 0

0

Debido a los diversos diámetros de los caños, también son variables las capacidades de flujo. Al abrir y cerrar selectivamente las diversas secciones de la red de oleoductos, la empresa puede abastecer cualquiera de los puntos de almacenamiento. Si la empresa desea abastecer el punto de almacenamiento 6 y utilizar en forma completa la capacidad del sistema, ¿cuánto se necesitará para satisfacer la demanda de 100 000 metros cúbicos de este punto? ¿Cuál es el flujo máximo para este sistema de oleoductos? Si se presenta una ruptura entre los puntos de almacenamiento 1 y 2 y se cierra, ¿cuál es el flujo máximo para el sistema? ¿Cuánto se requerirá para abastecer al punto 6 de almacenamiento?


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la

Producción.

Operaciones

México,

México,

Alfa

Administración.

Después de muchos años de distribución para los alumnos de la Escuela de Administración de la FAT, se opta por publicar “ANÁLISIS CUANTITATIVO PARA DECISIONES” con un contenido más completo que facilita el aprendizaje y a su vez permite compartirlo. Queda a consideración de toda persona que con sentido crítico pueda aportar a su mejora.

FAT AGOSTO 2 14

1_Manual_AC_2014_I

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