INVESTIGACION DE OPERACIONES Generalidades, Programación Lineal
Mathumbi Guía del Estudiante
Contenido 1
Generalidades........................................................................................................................................... 2
Descripción breve El presente documento es el desarrollo de las preparaciones de clase del docente, por lo cual se constituye en una Guía de aprendizaje del estudiante de la Universidad Cooperativa de Colombia, con el fin de aumentar su capacidad de análisis lógico-deductivo y comprensión de problemas reales, planteando un modelo matemático que permita dar soluciones óptimas. Contiene un desarrollo teórico de los temas, con ejercicios modelo y talleres para desarrollar en clase y fuera de ella.
HUMBI
[email protected]
2
Programación lineal................................................................................................................................... 3 2.1 2.1.1
Introducción a la programación lineal............................................................................................... 3 Generalidades............................................................................................................................... 3
1 MATHUMBI 2.1.2 2.2
Investigacion
de operaciones
Desigualdades Lineales................................................................................................................ 3 Modelos y solución de problemas de programación lineal................................................................6
2.2.1
Métodos de solución. Procedimiento............................................................................................ 6
2.2.2
Método Gráfico............................................................................................................................. 6
2.3
Problemas con múltiples soluciones no acotados y degenerados..................................................11
2.4
Ejercicios y Talleres........................................................................................................................ 13
2.5
El Método Simplex Primal............................................................................................................... 15
2.6
Análisis de sensibilidad y dualidad.................................................................................................. 29
2.6.1
Introducción y objetivos............................................................................................................... 29
2.6.2
Análisis de sensibilidad con método gráfico................................................................................30
2 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
1 Generalidades El principal objetivo de esta área de conocimientos consiste en formular y resolver diversos problemas orientados a la toma de decisiones. La naturaleza de los problemas abordados puede ser determinística, como en los Modelos de Programación Matemática, donde la teoría de probabilidades no es necesaria, o bien de problemas donde la presencia de incertidumbre tiene un rol preponderante, como en los Modelos Probabilísticos. Hoy en día, la toma de decisiones abarca una gran cantidad de problemas reales cada más complejos y especializados, que necesariamente requieren del uso de metodologías para la formulación matemática de estos problemas y, conjuntamente de métodos y herramientas de resolución, como los que provee la Investigación de Operaciones.
3 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
2 Programación lineal 2.1 Introducción a la programación lineal 2.1.1 Generalidades La Programación Lineal se considera como una parte de la Investigación de Operaciones. En este capitulo se resuelven problemas que contienen dos variables. Para ello es necesario partir de funciones e inecuaciones lineales, por lo que procederemos a revisar su concepto y sus gráficas, con el propósito de hallar regiones factibles compuesta de puntos que satisfacen unas restricciones y poder optimizar la función objetivo.
2.1.2 Desigualdades Lineales Una línea recta queda determinada por la unión de dos puntos, manteniendo la misma dirección
B
A
Una función lineal puede ser expresada de las siguientes formas
y=mx +b
Ecuación pendiente ordenada en el orígen
ax +by +c=0
Ecuación general
Ejemplo: La ecuación de la recta
2 x +3 y=6 y=
−2 x+ 2 3
Donde
2 x +3 y−6=0 , puede expresarse asi:
4 MATHUMBI
m=
Investigacion
−2 3
b=2
de operaciones
Pendiente de la recta Punto de corte de la recta con el eje
y
Con esta breve explicación procederemos a graficar en el mismo plano varias desigualdades en dos variables, que corresponden a un problema práctico que veremos más adelante: Ejemplo La función objetivo y las restricciones para cierto problema de producción son:
Max Z=5 x 1+ 6 x2 Sujeta a:
x 1+ x 2 ≤80 3 x1 +2 x 2 ≤ 220 2 x 1 +3 x 2 ≤ 210 x1 , x2 ≥ 0
Graficar la región del plano que representa las restricciones en forma de desigualdades
5 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
A B
ESPACIO PARA REALIZAR COMENTARIOS Y OPERACIONES
Cálculos y Operaciones:
x 1+ x 2 ≤80 3 x1 +2 x 2 ≤ 220 2 x 1 +3 x 2 ≤ 210
A continuación podemos observar la gráfica de la región que cumple simultáneamente con todas las restricciones en forma de inecuaciones y que da origen a una región del plano cartesiano.
6 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
2.2 Modelos y solución de problemas de programación lineal 2.2.1 Métodos de solución. Procedimiento Establecer modelos matemáticos basados en la vida real es uno de los temas más atractivos de las ciencias administrativas y de ingeniería y su objetivo está basado en tomar decisiones óptimas. De esta forma, formulamos un modelo de programación lineal, así la “carreta” se convierte en inecuaciones o ecuaciones. La programación lineal hace uso de un modelo matemático para describir un problema de la vida real. Como todo modelo es ideal, basado en funciones lineales, una de ellas es la función objetivo a optimizar (maximizar o minimizar), sujeta a restricciones. La formulación de un modelo lineal requiere realizar los siguientes pasos: 1. Lea cuidadosamente el problema 2. Realice un cuadro matriz donde se encuentren los datos de la “carreta” 3. Defina las variables de decisión 4. Establezca la función objetivo ( Maximizar o Minimizar) 5. Defina las restricciones 6. Formule el modelo matemático 7. Grafique y establezca la región factible 8. Determine los vértices de la región factible
7 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
9. Evalúe los vértices en la función objetivo 10. Seleccione la solución óptima del problema 11. Si el problema contiene más de dos variables, resulta conveniente utilizar otros métodos 12. Resuelva el problema e interprete el resultado y sea obediente en realizar estos pasos
El modelo general de programación lineal se presenta en la siguiente forma
Max o Min Z :c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 3 x3 +¿ ……. +c n x n Sujeto a:
a11 x 1+ a12 x 2 +a13 x3 + …+ a1 n x n ≤≥
¿ b1
a21 x 1 +a 22 x2 + a23 x 3 +…+a 2 n x n ≤ ≥
¿ b2
a31 x 1 +a32 x2 +a 33 x 3+ …+a3 n x n ≤ ≥
¿ b3
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
am 1 x 1+ am 2 x 2 +am 3 x 3+ …+a mn x n ≤ ≥
⋮
¿ b3
Con x i ≥ 0 ; para i=1,2,3 … … … . n 2.2.2 Método Gráfico Es aplicable a problemas de programación lineal, donde intervienen dos variables únicamente. Por este método se busca maximizar o minimizar una función objetivo, sujeto a ciertas restricciones expresadas en forma de desigualdades o inecuaciones lineales que pueden ser horas disponibles en mano de obra o máquinas, recursos financieros, cantidades de materia prima. Para realizar el procedimiento descrito anteriormente, debemos previamente definir algunos términos que se utilizan en su desarrollo: Región factible. Es el conjunto de todos los puntos del plano cartesiano, considerados en el primer cuadrante y que satisfacen simultánemaente todas las restricciones del problema. Punto de esquina o vértice de la región factible. Es un punto de intersección de dos rectas que son frontera de la región factible del problema. Pasos para resolver el problema con el método gráfico.
1. Definir variables de decisión 2. Plantear el modelo matemático, el cual debe contener la función objetivo y las restricciones. 3. Graficar cada restricción, primero como una linea recta y luego la región correspondiente a la inecuación planteada, con el propósito de hallar la región factible. 4. Determinar las coordenadas de los puntos de esquina o vértices
( x1 , x2 )
del área hallada.
5. Sustituir las coordenadas obtenidas en la función objetivo, mediante un proceso tabular. 6. Seleccionar la solución óptima del problema. En un problema de maximización el mayor “Z” producido y en uno de minimización el menor valor.
8 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
Ejemplo 1 Guía La constructora Moraría Ltda., va a construir apartamentos de dos tipos: dos y tres alcobas, la empresa constructora dispone para ello de $2.100 millones de peso. Siendo el costo de 20 y 26 millones respectivamente. Una norma distrital no permite que el número total de apartamentos sea superior a 90. La utilidad por la venta para un apartamento de 2 y 3 alcobas es de 5 y 6 millones respectivamente. Qué cantidad de apartamentos de cada clase debo construir para obtener la máxima utilidad. La anterior “carreta” se puede condensar en la siguiente tabla
Las variables de decisión:
x 1 : No de apartamentos a construir de dos alcobas x2 :
No de apartamentos a construir de tres alcobas
La función objetivo, consiste en construir una cantidad óptima de apartamentos de cada tipo para obtener la máxima utilidad:
Max Z=5 x 1+ 6 x2 Sujeto a:
x 1+ x 2 ≤90 20 x1 +26 x 2 ≤ 2100 x1 , x2 ≥ 0 La región factible básica y la función solución se grafican de la siguiente forma:
9 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
La región factible básica está definida por los vértices A,B,C,D. Si hallamos las coordenadas de dichos puntos y se reemplazan en la función objetivo, el valor máximo que nos arroje tal función es la solución del problema. Este procedimiento lo plasmamos en la siguiente tabla:
Puntos A B C D
x1 0 0 40 90
x2 0 80,77 50 0
Z 0 484,62 500,00 450,00
En consecuencia, se deben construir 40 apartamentos de dos alcobas y 50 de tres alcobas. De otra parte se observa que la función Z (objetivo) igual a 500 millones de pesos pasa por el punto (40,50) y que las rectas paralelas, a pesar de pertenecer a la región no son óptimas puesto que arrojan una utilidad menor. Ejemplo 2 Guía En el jardín infantil “Delta” se ha establecido que a cada niño en la semana se le debe proporcionar máximo 480 miligramos de vitaminas, mínimo 180 miligramos de hierro y mínimo 180 miligramos de minerales. Para lograr estos requisitos vitamínicos en el jardín se dispone de leche y fruta para los cuales se ha establecido un costo de $400 por un vaso de leche y $500 por una porción de fruta. Establezca que cantidad de leche y fruta, con costo mínimo se le debe administrar diariamente a cada niño, si sabe que un vaso de leche contiene 6 miligramos de vitaminas, 3 miligramos de hierro y 6 miligramos de minerales, mientras que una porción de fruta contiene 8 miligramos de vitaminas, 6 miligramos de hierro y 3 miligramos de minerales.
10 MATHUMBI
Investigacion Ejemplo 2 Dieta Jardín Inf
de operaciones
Mezcla Alimentos Vasos de porción de leche fruta
VARIABLES Vitaminas mgr Hierro mgr Minerales mgr Costos Unitarios
x1 6 3 6 $ 400
x2 8 6 3 $ 500
Disponibili dad 480 180 180
Variables de decisión
x1
vasos de leche
x2
porción de fruta
Modelo matemático de solución:
Min Z=400 x 1 +500 x 2 Sujeta a:
6 x 1+ 8 x 2 ≤ 480 3 x1 +6 x 2 ≥ 180 6 x 1+3 x 2 ≥ 180
miligramos de vitamina, Recta BC miligramos de hierro, Recta AB miligramos de minerales, Recta BA
x1 , x2 ≥ 0
Siguiendo los pasos anteriores obtenemos:
11 MATHUMBI
Investigacion
Puntos A B C D
x1 20 0 80 60
x2 20 60 0 0
de operaciones
Z 18.000 30.000 32.000 24.000
La solución está dada por el punto A (20,20) que nos arroja el menor valor. Se interpreta diciendo que a cada niño se le debe suministrar 20 vasos de leche y 20 porciones de fruta en la semana, para lograr que los costos sean mínimos y que no se vayan a enfermar y a crecer desnutridos estos cabezones.
12 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
2.3 Problemas con múltiples soluciones no acotados y degenerados CASO 1. Soluciones óptimas - múltiples.
1
Cuando la función objetivo alcanza el valor óptimo en más de un vértice de la región factible. En tal caso se concluye que el problema tiene múltiples soluciones alternativas. Ejemplo 3
Max Z=2 x 1+ 4 x 2 Sujeto a:
−x 1 +4 x2 ≥ 8 x 1 +2 x 2 ≤16 x1 , x2 ≥ 0
B
C
A
Puntos x1 A 0 B 0 C 8 CASO 2. No factibilidad. 2
x2 2 8 4
Z 8 32 32
El problema tiene infinitas soluciones a lo largo de la recta BC
Se presenta cuando no existe region factible básica, es decir, la intersección de las regiones determinadas por las restricciones es vacía. Ejemplo 4
Max Z=3 x 1+ 4 x 2 Sujeto a:
x 1+ x 2 ≤ 40 1 Bibliografía Algebra Lineal y Programación Lineal. Francisco Soler y otros. Pag. 282 con ciertas modificaciones. 2 Bibliografía Algebra Lineal y Programación Lineal. Francisco Soler y otros. Pag. 283 con ciertas modificaciones.
13 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
x 1 +2 x 2 ≥100 x1 , x2 ≥ 0
Conclusión: No existe solución. La región central entre las dos rectas es vacía, no poseee elementos comunes. CASO 3. No acotamiento. 3 La solución de un problema de programación lineal se puede extender hasta el infinito, o sea, hasta donde se quiera, por tal motivo la región no tiene cotas superiores. Ejemplo 5
Max Z=40 x 1 +20 x 2 Sujeto a:
x 2 ≤ 10 x1≥ 4 x1 , x2 ≥ 0
3 Bibliografía Algebra Lineal y Programación Lineal. Francisco Soler y otros. Pag. 283 con ciertas modificaciones.
14 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
La función objetivo aumenta indefinidamente cuando x1, tiende infinito, mientras que x2 crece hasta alcanzar un valor máximo de 10, cualesuiera de puntos ordenados dentro de la región máximiza la función objetivo.
15 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
2.4 Ejercicios y Talleres I.
La línea Recta
Dados los siguientes puntos de coordenadas
A ( 2,5 ) B ( 6,1 ) C ( 2,2 ) D ( 4,6 ) 1. Hallar la ecuación general
(forma : ax+ by=c ) de la recta que pasa por los puntos A y
B 2. Hallar la ecuación general
(forma : ax+ by=c )
de la recta que pase por el punto C y
que sea perpendicular a la recta AB. 3. Hallar la ecuación general
(forma : ax+ by=c )
de la recta que pase por el punto D y
que sea paralela con la recta AB. 4. Hallar las coordenadas de los puntos de intersección entre rectas (Donde se presenten) 5. Graficar las tres rectas en un plano cartesiano
II.
Método Gráfico
Hallar el valor de Z y las soluciones al modelo de programación lineal 1.
Max Z=5 x 1+ x 2
Sujeta a
3 x1 + x 2 ≤ 7 x1 + x2 ≤ 3 x 1 +2 x 2 ≤5
x1 , x2 , ≥ 0 2.
Min Z=x 1+ x2 Sujeta a
x 1 +3 x 2 ≥ 6
2 x 1 + x 2 ≥7 x1 , x2 , ≥ 0 3.
Max Z=3 x 1+ 2 x 2
16 MATHUMBI
Investigacion Sujeta a
de operaciones
2 x 1 −8 x 2 ≤ 16 2 x 1 + 4 x 2 ≤ 32
x1 , x2 , ≥ 0 4.
Min Z=−10 x 1−8 x 2 Sujeta a
x 1 +2 x 2 ≥ 4
5 x1 +2 x 2 ≥12 x1 , x2 , ≥ 0
Problema práctico 1. 4 Una fábrica de muebles produce dos tipos de escritorios, Tipo I y Tipo II, en los departamentos de corte, armado y acabado. El número de horas disponibles en cada departamenro son de 80 h, 220 h y 210 h respectivamente. La utilidad para cada unidad de escritorios del Tipo I y del Tipo II son US$5 y US$6 y las horas que se requierenen la producción de cada departamento para cada tipo de escritorio se da en la siguiente tabla.
Tipo I Tipo II
Corte 1 1
Armado 3 2
Acabado 2 3
Cuántas unidades de cada tipo se deben fabricar mensualmente para maximizar la utilidad y cuál es dicha utilidad? ¿Cuántas horas no se utilizan en los respectivos departamentos? R/ se deben fabricar 30 de Tipo I y 50 de Tipo II Problema práctico 2. 5 Una compañía farmacéutica necesita tres productos químicos A, B, C, con el fín de producir un medicamento para la hepatitis B. Las necesidades mínimas son de 80 unidades de A, 160 de B y 200 de C. Según la lista de proveedores de la compañía eligen dos marcas de preferencia, por su calidad y bajo precio. La marca “MIPEPA” cuesta US$ 2 la unidad y contienen 1 unidad de A, 3 de B y 5 de C; mientras que la marca “SEDOPA” cuesta US$2 la unidad y contiene 2 unidades de cada producto. ¿Cuántas unidades deben comprar de cada marca con el fin de minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo?
4 Bibliografía Algebra Lineal y Programación Lineal. Francisco Soler y otros. Pag. 262 5 Bibliografía Algebra Lineal y Programación Lineal. Francisco Soler y otros. Pag. 272 con ciertas modificaciones.
17 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
R/ Se deben comprar 40 unidades a MIPEPA y 20 unidades a SEDOPA para un costo mínimo de US$120 sobrando 40 unidades del producto C, y utilizando 80 de A y 160 de B.
18 MATHUMBI
2.5
Investigacion
de operaciones
El Método Simplex Primal
La investigación de operaciones en general y la programación lineal en particular recibieron un gran impulso gracias al uso de la informática y los computadores. La importancia radica en la utilización del método simplex, desarrollado por G.B. Dantzig en 1947, que consiste en la utilización de un proceso con el objetivo de optimizar la función objetivo mediante la utilización de iteraciones, sujeta a ciertas restricciones. En particular es un procedimiento algebraico, basado en la solución de sistemas de ecuaciones, el que implica cálculos extensos, lo que permite que la computadora sea una herramienta esencial para resolver problemas de programación lineal. Por lo tanto, las reglas computacionales se adaptan para el cálculo automático.6 Para explicar el procedimiento de una manera entendible, tomamos como base, con algunas modificaciones necesarias (proteger las marcas), el ejemplo prototipo con dos variables del texto de Hillier y Lieberman 7 así: Ejemplo 3 Guía La fábrica NO SEVEUN… SC., “produce artículos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera en la planta 2; la 3 produce el vidrio y ensambla los productos. Debido a una reducción de las ganancias, la alta administración ha decidido reorganizar la línea de producción de la compañía. Se discontinuarán varios productos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos nuevos cuyas ventas potenciales son muy prometedoras: Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 por 6 pies El producto 1 requiere parte de la capacidad de producción en las plantas 1 y 3 y nada en la planta 2. El producto 2 sólo necesita trabajo en las plantas 2 y 3. La división de comercialización ha concluido que la compañía puede vender todos los productos que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, competirían por la misma capacidad de producción en la planta 3, no está claro cuál mezcla de productos sería la más rentable.” Por lo anterior, se ha decidido conformar un equipo de altos Ingenieros, preferiblemente de la UCC, para estudiar este problema. Así es que se reunieron 5 de los más “excelsos vagos”, ingenieros de Sistemas, Industriales, Telecomunicaciones y/o Electrónica, con la seguridad de que a un corto plazo tendrían la respuesta óptima. La obtención de estimaciones, fue suministrada por los distintos departamentos de producción, comercialización y distribución, condensados en la Tabla 1. Podemos partir del método gráfico, como para saber la respuesta, posteriormente comprobamos con el método simplex a “pura mano” y remataremos nuestra faena con la utilización de un software( Excel en la función solver ) y el Win QSB con diferentes funciones, las cuales desarrollaremos a continuación. El método se desarrolla siguiendo los siguientes pasos:
1. Planteamiento del modelo de programación lineal A. Resumen tabular de datos. La información se resume en la siguiente tabla:
6 Hamdy A. Taha (2004). Investigación de operaciones (7ª ed.). México: Pearson Educación. pp 71. 7 Introducción a la Investigación de Operaciones. Novena Edición. Página 22
19 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
Tabla 1. Datos del Problema Tiempo de Producción por lote, horas Producto
B.
Tiempo de producción disponible a la semana, horas
Planta
X1
X2
1
1
0
4
2
0
2
12
3
3
2
18
Ganancia por lote
$ 3.000
$ 5.000
Formulación como un problema de programación lineal. La definición implica que las variables de decisión, se expresan de la siguiente manera:
x 1=¿
Número de lotes del producto 1 que se fabrican por semana
x 2=¿
Número de lotes del producto 2 que se fabrican por semana
Z =¿
Ganancia semanal total (en miles de dólares) que generan estos dos productos
En lenguaje matemático, el problema consiste en calcular los valores de
x 1 , y x 2 , tales que:
Max Z=3 x 1+ 5 x 2 Sujeta a las siguientes restricciones:
x1 ≤ 4 2 x 2 ≤12 3 x1 +2 x 2 ≤18 x1 , x2 , ≥ 0 2. Transformar las inecuaciones de las restricciones en ecuaciones. Cuando las restricciones son del tipo
(≤) , agregamos una nueva variable no negativa llamada variable de holgura
coeficientes 0 en la función objetivo y coeficientes 1 en cada una de las restricciones. Forma aumentada del problema:
Max Z=3 x 1+ 5 x 2 +0 h1 +0 h2 +0 h3 Sujeta a las siguientes restricciones:
(hi )
con
20 MATHUMBI
Investigacion
x1
Tabla 0
x2
h1
h2
h3
Cj
Base
de operaciones
Bi
B i /aij
h1 h2
Tabla 1
h3
Cj
Base
x1
x2
h1
h2
h3
3
5
0
0
0
Bi
-
Zj h1 C j−Z j h2
0
1
0
1
0
0
4
0
0
2
0
1
0
12
h3
0
3
2
0
0
1
18
Zj
0
0
0
0
0
0
C j−Z j
3
5
0
0
0
B i /aij
-
x 1+ h1=4 2 x 2 +h2 =12 3 x1 +2 x 2 ++h3=18 x 1 , x 2 , h1 , h2 ,h 3 ≥ 0 3. Identificar las variables básicas y no básicas. En el caso de tener “n” variables (Incluyendo las de holgura) y “m” ecuaciones, para hallar una solución básica, se igualan a cero “n-m” variables, las cuales se denominan no básicas, y las restantes se denominan variables básicas. El número de variables básicas es igual al número de restricciones (ecuaciones). Por lo tanto el número de variables no básicas es igual al número total de variables (5) menos el número de restricciones (3), total (2).
Tabla modelo
4. Elaborar una tabla inicial, ésta se presenta en general con el anterior formato, por lo que será útil para resolver otros problemas, y en la cual se colocan los coeficientes del sistema de ecuaciones.
La solución y tabla inicial, nos arroja los siguientes resultados expresados en forma matricial
( x 1 , x 2 , h1 , h2 , h3 )=( 0,0,4,12,18 )
21 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
Prueba de Optimalidad. La solución básica para un problema de maximización es óptima si y sólo si todos los coeficientes del renglón
C j−Z j son negativos o ceros. Como se observa en la tabla ésta no es la
solución óptima. 5. Determinar la variable no básica que entra y la variable básica que sale y que ahora será no básica. En nuestro ejemplo modelo entra y sale
x 2 (En la última fila toma un valor de 5 el mayor de todos ellos)
h2 (En la última columna el cociente es el menor, o sea 6).
x1
x2
h1
h2
h3
Cj
3
5
0
0
0
Bi
B i /aij
h1
0
1
0
1
0
0
4
h2
0
0
2
0
1
0
12
No existe 6
h3
0
3
2
0
0
1
18
9
Zj
0
0
0
0
0
0
C j−Z j
3
5
0
0
0
Tabla 2 Base
A continuación, mediante operaciones de fila o renglón, vistas en algebra lineal como eliminación Gaussiana, transformamos la matriz original en matrices equivalentes hasta encontrar la solución, teniendo en cuenta la Prueba de Optimalidad.
Sale h2
[
[][] ][
0 0 entra x2 → 2 = 1 2 0
Ver Tabla 2
1 0 10 0 4 1 0 1 0 0 4 0 2 0 1 0 12 → 0 1 0 1/2 0 6 3 2 0 0 1 18 3 0 0 −1 1 6
Entonces, la Tabla 2 se transforma en
]
22 MATHUMBI
Investigacion
x1
x2
h1
h2
h3
Cj
3
5
0
0
0
Bi
B i /aij
h1
0
1
0
1
0
0
4
4
x2
5
0
1
0
1/2
0
6
No poder
h3
0
3
0
0
-1
1
6
2
0
5
0
5/2
0
30
Tabla 3 Base
Los
de operaciones
Zj ( 0 ) ( 1 )=0 C j−Z j ( 5 ) ( 0 )=0
( 0 ) ( 0 )=0 3
( 0 ) ( 3 )=0 Total =0 para x1 coeficientes del renglón
( 0 ) ( 00)=0
( 0 ) ( 0 )=0
( 5 ) (1 )=5
( 0 ) ( 10)=0 -5/2 ( 5 ) ( 0 )=0
( 5 ) (1 /2 ) =5/2
( 5 ) ( 0 )=0
( 0 ) ( 0 )=0
( 0 ) ( 0 )=0
( 0 ) (−1 ) =0
( 0 ) ( 1 )=0
Total = 5 para x2
0
Total = 0 para h1
Total 5/2 para h2
Total 0 para h3
Z j se hallan multiplicando cada C j por el coeficiente de cada variable y
sumar
Por lo que se observa en la última fila de la tabla, debe entrar la variable
h3 que es el valor realizable mínimo en la columna
debe salir
B i /aij . Los vectores columnas tendrán
la forma
[][]
1 0 Sale h3 entra x1 → 0 = 0 3 1
[
][
x 1 que es la mayor y positiva y
]
1 0 1 0 0 4 0 0 1 1/3 −1/3 2 0 1 0 1/2 0 6 → 0 1 0 1/2 0 6 → 3 0 0 −1 1 6 1 0 0 −1/3 1/3 2
23 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
La solución se puede dar en esta última tabla por cuanto todos los valores del último renglón son ceros o menores que cero
( x 1 , x 2 , h1 , h2 , h3 )=( 2,6,2,0,0 ) Graficamente se muestra también esta solución
Tabla 4
Cj
Base
Con el WINQSB se obtiene resultado
x1
x2
h1
h2
h3
3
5
0
0
0
Bi
h1
0
0
0
1
1/3
-1/3
2
x2
5
0
1
0
1/2
0
6
x1
3
1
0
0
-1/3
1/3
2
Zj
3
5
0
3/2
1
36
C j−Z j
0
0
0
-3/2
-1
Tabla Inicial Iteración 1
B i /aij
Método paso a paso el mismo
24 MATHUMBI
Investigacion
Tabla Iteración 2
TablaFinal Iteración 3. Todos los valores en el último renglón son ceros o negativos
B
C
D
E
A Puntos A B C D C
x1 0 0 2 4 8
x2 0 6 6 3 4
Z 0 30 36 27 32
de operaciones
25 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
La solución está dada en el punto D, por tanto, se deben fabricar 2 lotes del producto 1(Puertas) y 6 lotes del producto 2(Ventanas) para obtener una utilidad máxima de $ 36.000.oo Ejemplo 4. Un problema de maximización Resolver el siguiente problema utilizando el Método Simplex Una fábrica de muebles produce: pupitre unipersonal, bipersonal y mesas para los cuales ha establecido que rinden una utilidad unitaria de $3, $2, y $5. Para la producción de dichos artículos la compañía cuenta con una disponibilidad semanal de 430 metros de madera, 460 metros de tubo y 420 metros de fórmica. ¿Qué cantidad de cada uno de los artículos se debe fabricar a fin de incrementar las ganancias si se sabe que para producir un pupitre unipersonal se requiere un metro de madera, 3 metros de tubo y un metro de fórmica, que para producir un pupitre bipersonal se requiere de 2 metros de madera y 4 metros de fórmica; mientras que para producir una mesa se necesita un metro de madera y 2 metros de tubo? Analice sus resultados Solución: Matriz de datos y planteamiento PU
PB
M
Madera Tubo Fórmic a
1 3
2 0
1 2
1
4
0
Utilidad
3
2
5
Max Z=3 x 1+ 2 x 2 +5 x3 Disponibilida d 430 x 1 +2 x 2 + x 3 ≤ 430 460 420
3 x1 +2 x 3 ≤ 460 x 1 +4 x2 ≤ 420
El sistema se transforma en:
Max Z=3 x 1+ 2 x 2 +5 x3 +0 h 1+0 h2+ 0 h3 Sujeta a:
x 1 +2 x 2 +x 3 +h1=430 3 x1 +2 x 3+ h2=460 x 1+ 4 x 2+ h3=420 x 1 , x 2 , x 3 , h1 , h2 ≥ 0
El modelo inicial tabulado se presenta en la siguiente forma:
De acuerdo con lo anterior, las operaciones en las matrices se realizan de la siguiente manera:
26 MATHUMBI
Investigacion
Tabla 2
x1
x2
x3
h1
h2
h3
de operaciones
Base
Cj
3
2
5
0
0
0
Bi
B i /aij
h1
0
-1/2
2
0
1
-1/2
0
200
100
x3
5
3/2
0
1
0
1/2
0
230
M
h3
0
1
4
0
0
0
1
420
105
Zj
3/2
0
1
0
1/2
0
C j−Z j
-9/2
2
0
0
-5/2
0
Tabla inicial en WINQSB (se observa la similitud con la manual)
Tabla 1 Cj
Base
x1
x2
x3
h1
h2
h3
3
2
5
0
0
0
Bi
B i /aij
h1
0
1
2
1
1
0
0
430
430
h2
0
3
0
2
0
1
0
460
230
h3
0
1
4
0
0
0
1
420
-
Zj
0
0
0
0
0
0
0
C j−Z j
3
2
5
0
0
0
Iteración 1
[][]
1 0 entra x3 → 2 = 1 0 0
Sale h2
[
][
1 2 1 1 0 0 430 −1/2 2 0 1 −1/2 0 200 3 0 2 0 1 0 460 = 3 /2 0 1 0 1/2 0 230 1 4 0 0 0 1 420 1 4 00 0 1 420
]
La nueva tabla manual y la iteración 2 en WIN QSB se presenta asi:
Se observa que esta tabla no contiene la solución óptima, ya que no todos los coeficientes del último renglon son negativos o ceros, por lo cual debemos realizar una nueva iteración, realizando los mismos procesos. por lo tanto se debe elegir la columna x2 con la fila h1, sale h1 entra x2.
27 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
[][]
2 1 ingresa x 2 y sale h1 → 0 = 0 4 0
Tabla 3
Cj
Base
x1
x2
x3
h1
h2
h3
3
2
5
0
0
0
Bi
x1
2
-1/4
1
0
1/2
-1/4
0
100
x3
5
3/2
0
1
0
1/2
0
230
h3
0
2
0
0
-2
1
1
20
Zj
7
2
5
1
2
0
1350
C j−Z j
-4
0
0
-1
-2
0
[
−1/4 3/2 2
1 0 1/2 −1/4 0 100 0 1 0 1/2 0 230 0 0 −2 1 1 20
B i /aij
]
Tablas Iteración 3
Como todos los coeficientes de la última fila son ceros o negativos, entonces esta última tabla arroja la solución:
x 1=100 Pupitres unipersonales x 3=230 Mesas x 2=0 Pupitres bipersonales h3=20 Nos queda un sobrante de 20 metros de fórmica y se obtiene una ganancia máxima de $1350
28 MATHUMBI
Tabla 1
Investigacion
Vitami nas
Alimento
de operaciones
Alimento
1
2
3
Unidad
Carne
50
20
10
mg.
Papa Habichue la
30
10
50
mg.
20
30
20
mg.
x1 Vitaminas 1 2 3 Costos/on za
x2
Carne Papa 50 30 20 10 10 50 0,10
0,15
Ración x3 mínima Habichue la mg. 20 290 30 200 20 210 0,12
Ejemplo 5. Un problema de minimización Resolver utilizando el Método Simplex Una nutricionista está planeando la alimentación para un batallón. Se sirven 3 alimentos principales: carne, papa y habichuela. Todos ellos con distinto contenido vitamínico. La nutricionista quiere suministrar tres vitaminas en la alimentación, con un tamaño de la porción total de 9 onzas por lo menos. Los costos por onza de carne, papa y habichuela son en US $ de 0,10; 0,15; y 0,12 respectivamente. En las siguientes tablas se muestran las cantidades de vitaminas que proporciona cada onza de alimento. Determinar el número de onzas que se requiere para cada alimento, con el objeto de minimizar el costo, si una persona requiere raciones mínimas diarias, en mg. de 290, 200 y 210, para las vitaminas 1, 2 y 3 respectivamente. Un problema de minimización se convierte en uno de maximización, multiplicando por (-1) la función objetivo, en ella agregamos las variables de holgura una por cada restricción, con coeficientes 0 y restamos las variables artificiales de exceso con coeficientes M, una por cada restricción del tipo
≥ . A su vez para
29 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
convertir las inecuaciones en ecuaciones restamos la variable de holgura y sumamos la variable artificial una por cada restricción, de la siguiente manera:
Min Z=0.10 x 1+ 0.15 x 2 +0.12 x3 50 x1 +30 x 2 +20 x 3 ≥ 290 20 x1 +10 x 2 +30 x 3 ≥ 200 10 x1 +50 x 2 +20 x 3 ≥ 210 MaxW =−0.10 x1 −0.15 x2 −0.12 x 3 +0 h1 +0 h2 +0 h 3−M a1−M a2−M a3 50 x1 +30 x 2 +20 x 3−h1 +a 1=290 20 x1 +10 x 2 +30 x 3−h2 +a 2=200 10 x1 +50 x 2 +20 x 3−h3 +a 3=210 x 1 , x 2 , x 3 , h1 , h2 , h3 , a 1 , a2 , a3 ≥0
30 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
La primera tabla del método simplex ( Manual y WINQSB) se presenta de la siguiente manera
x1 Cj
Base
x2
x3
h1
h2
h3
a1
a2
a3
-0.10
-0.15
-0.12
0
0
0
-M
-M
-M
Bi
B i /aij
a1
-M
50
30
20
-1
0
0
1
0
0
290
9.67
a2
-M
20
10
30
0
-1
0
0
1
0
200
20
a3
-M
10
50
20
0
0
-1
0
0
1
210
4.2
-80M
-90M
-70M
M
M
M
-M
-M
-M
Zj C j−Z j
-0.10 +80M
-0.15 +90M
-0.12 +70M
-M
-M
-M
0
0
0
Iteración 1
Prueba de Optimalidad. La solución básica para un problema de minimización es óptima si y sólo si todos los coeficientes del renglón
C j−Z j
son positivos o ceros, pero como al aplicar el método simplex, un
problema de minimización lo convertimos en uno de maximización, es lógico suponer que seguimos la misma regla o sea que sean negativos o ceros. Como se observa en la tabla ésta no es la solución óptima. Podemos continuar el proceso hasta encontrar la solución óptima.
[ ][]
30 0 ingresa x 2 y sale a 3 → 10 = 0 50 1
[
] [
50 30 20 −1 0 0 1 0 0 290 20 10 30 0 −1 0 0 1 0 200 → 10 50 20 0 0 −1 0 0 1 210 x1
x2
x3
44 0 8 −1 0 3 /5 1 0 −3/5 164 18 0 26 0 −1 1 /5 0 1 −1/5 158 1 /5 1 2/5 0 0 −1/50 0 0 1/50 21/5
h1
h2
h3
a1
a2
a3
]
31 MATHUMBI
Investigacion
Cj
Base
Bi
B i /aij
a1
-M
44
0.1 5 0
x3
0,1 2 0,1 5
18
0
26
0
-1
1/5
0
1
-1/5
158
6.08
1/5
1
2/5
0
0
-1/50
0
0
1/50
21/5
10,5
Zj
(63/5) M
-M
(172/5)M
M
M
(39/50)M
-M
-M
(39/50) M
C j−Z j
-0.10 +(63/5) M
-0.15M
-0.12 +(172/5)M
-M
-M
(39/50)M
0
0
h2
h3
x2
-0.10
de operaciones
x1 Cj
Base
a1
-M
x3
0,1 2 0,1 5
x2
-0.10
-0.12
0
0
0
-M
-M
-M
8
-1
0
3/5
1
0
-3/5
164
20,5
x2 0.1 5
x3 -0.12
h1
a1
(11/50)M
a2
a3
0
0
0
-M
-M
-M
0
-1/26
1/300
0
1/26
-1/300
0 9/13
0
1
0
Zj C j−Z j
[ ][] [
3 8 44 0 8 −1 0 5 0 26 18 0 26 0 −1 1 ingresa x 3 y sale a 2 → =1 → 2 1 2 5 1 0 0 0 5 5 5 −1 50
[
¿ ¿ ¿0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ → 9/13 0 1 0 −1/26 1/ 300 0 1/26 −1 /300 79/ 13 $ $0 $ $ $ $ $ $ $
C j−Z j
Bi
−3 5 164 −1 158 01 5 21 1 5 00 50 10
]
]
79/1 3
B i /aij
32 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
C j−Z j
Base
Cj
x1
x2
x3
h1
-0.10
0.1 5
-0.12
0
h2 0
h3 0
a1 -M
a2 -M
a3 Bi
-M
x1
3
x3
4
x2
2
Zj
1,08
C j−Z j
C j−Z j NOTA: Dejamos a inquietud del estudiante juicioso, curioso o acucioso, para culminar este ejercicio, cuya solución es
x 1=3 ; x2=2; x 3=4 ; Z =1,08 ; Como se puede apreciar el procedimiento requiere de un gran número de engorrosas operaciones algebraicas, en el cual debemos estar lo suficientemente concentrados. Con el WINQSB paso a paso se comprueba el procedimiento para un PL de minimización haciendo uso del método Simplex. Iteración 1
Iteración 2
Iteración 3
B i /aij
33 MATHUMBI
Iteración 4
Investigacion
de operaciones
34 MATHUMBI
2.6
Investigacion
Análisis de sensibilidad y dualidad
2.6.1 Introducción y objetivos
de operaciones
35 MATHUMBI
2.6.2 Análisis de sensibilidad con método gráfico Cambios en la función obejtivo
Investigacion
de operaciones
36 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
1 MATHUMBI
Investigacion
de operaciones
