Rodolfo Ventocilla Arias
Capitulo I ELASTICIDAD Importancia del tema
La elasticidad es una de las propiedades mecánicas de la materia, que se debe tener en cuenta en la ingeniería para el diseño y uso de maquinarias, edificios, dispositivos electrónicos, etc. También se toma en cuenta en la propagación de las ondas mecánicas. Objetivos
Al final del capitulo, los alumnos deben ser capaces de: o o
o
o
Describir el comportamiento elástico y plástico de la materia sólida. Defi Defini nirr y clas clasif ific icar ar a los los esfu esfuerz erzos os y las las defo deform rmac acio ione ness que les les producen a los cuerpos. Describir a los diferentes tipos de módulos de elasticidad que caracterizan a la materia. Resolver los problemas de aplicación.
Elasticidad y Plasticidad
Cuando se le aplican fuerzas o cargas a un objeto, éste se deforma. Si se eliminan las fuerzas y el objeto recupera su forma original, se dice que su comp compor orta tami mien ento to es elás elásti tico co;; en camb cambio io si la defor deforma maci ción ón persi persist ste, e, el comp compor orta tami mien ento to es plás plásti tico co.. Si las las fuerz fuerzas as apli aplica cada dass son son dema demasi siad adas as intensas, el objeto puede sufrir fractura. Todos los materiales como por ejemplo el acero, son elásticos en cierto grado. Esfuerzo ( ) y deformación El esfuerzo es una medida medida de la intensidad intensidad del agente que causa la deformación de un objeto. Si una fuerza F es aplicada a una superficie de área A, el esfuerzo es σ
F A
(1)
Los esfuerzos se evalúan puntualmente. Unidades del esfuerzo en el S.I. : σ = [N/m2] = [Pa] El esfuerzo es de carácter tensorial (matriz de 3x3), pero en una dimensión es un número o escalar.
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Clases de esfuerzos: normal, tangencial o de corte, de torsión y flexión. 1. Esfuerzo normal (
)
n
Esta clase de esfuerzo puede ser de tensión o de compresión 1.1 Esfuerzo normal de Tensión La siguiente figura 1, muestra una barra sometida a fuerzas de tensión F y –F, que le producen un esfuerzo normal de tensión σn. La barra sufre una Deformación o estiramiento ∆L en su longitud . La fuerza aplicada debe estar distribuida en toda la sección transversal.
Cálculo del esfuerzo normal: n
= F/A
(2)
donde F es perpendicular al área A. En el esfuerzo normal de tensión, la sección transversal disminuye su área, pero esta variación es pequeña en algunos metales o concretos y se desprecia en el calculo de σn. La deformación unitaria
es definida como = L/L0
(3)
1.2 Esfuerzo normal de Compresión
La figura nos indica que el esfuerzo de compresión σn = F/A le disminuye la longitud a la barra en ∆L = L – L 0 < 0
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2. Esfuerzo tangencial o de corte ( t) La siguiente figura 3 nos muestra un paralelepípedo sólido bajo la acción de una fuerza tangencial F que actúa en su cara superior, mientras que en su cara inferior actúa una fuerza -F, tangente a la superficie de área A, lo cual origina el desplazamiento x y el ángulo φ.
El esfuerzo de corte tiene el valor: t
= F/A
(4)
y la deformación de corte o deformación de forma esta dado por x/h. El ángulo φ, es pequeño para metales y concretos, por lo cual se tiene: x/h = tg φ ≅ sen φ ≅ φ
(5)
Módulos de Elasticidad
Los módulos de elasticidad relacionan proporcionalmente los esfuerzos con las deformaciones. Estas cantidades dependen del material y se determinan experimentalmente. Módulo de Young (Y)
Mide la resistencia de un sólido a un cambio en su longitud. En los materiales el módulo de Young es la constante de proporcionalidad entre el esfuerzo normal y la deformación. A esta relación lineal se le llama ley Hooke: (6) n = Y donde σn = F/A , ∈= ∆L/L0 e Y es el modulo de Young del material
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La siguiente figura muestra el grafico experimental de esfuerzo σ versus deformación unitaria ∈ para un sólido metalico. El módulo de Young es la pendiente del segmento OA.
L imi te
elástico
Es el menor valor del esfuerzo requerido para producir una deformación plástica en un cuerpo. En la figura anterior es el esfuerzo correspondiente al punto B TABLA I. Módulos de elasticidad de algunos materiales Material
Y(x 1010 N/m2)
S(x 1010 N/m2)
B(x 1010 N/m2)
Aluminio Latón Cobre Acero Vidrio Agua
7,0 9,0 11,0 20,0 5,4 -
2,4 3,5 4,0 8,4 2,3 -
7,0 6,1 12,0 16,0 5,0 0,21
Resistencia máxima o esfuerzo de ruptura
Es el valor de esfuerzo requerido para producir la rotura del objeto. Factor de seguridad n. Si el esfuerzo de fractura de un objeto es σC, algunas veces por seguridad se recomienda aplicar un esfuerzo menor: σaplicado = σC / n donde n es un entero entre 3 y 10.
TABLA 2. Resistencias Máximas (Fractura) Material Aluminio
De tensión (x 108 Pa) 2,0
De compresión (x 108 Pa) 2,0
De corte (x 108 Pa) 2,0
Rodolfo Ventocilla Arias
Laton Acero
2,5 5,0
2,5 5,0
2,0 2,5
Módulo de rigidez o de corte (S)
Mide la resistencia del sólido a la deformación de corte o de cizalladura. La relación entre el esfuerzo de corte y la deformación que produce es: σt = S φ
(5)
donde σt = F/A , φ = x/h y S es el modulo de rigidez. Módulo volumétrico o de Compresibilidad
El volumen de un cuerpo sólido, liquido o gaseoso puede variar cuando se le incrementa la presión estática que actúa en toda su superficie. Por ejemplo, en la siguiente figura 4(a) se muestra un paralelepípedo sólido de volumen V0, bajo la presión atmosférica. En la figura 4(b) el mismo cuerpo esta dentro de un cilindro con un liquido al cual se le aplica la presión ∆ p = F/Ae , por acción de la fuerza F que actúa en el émbolo móvil de área A e . Este incremento de presión ∆ p, se transmite a todos los puntos de la superficie del cuerpo, de tal modo que produce un esfuerzo volumétrico, lo cual le disminuye su volumen (∆V < 0). La relación entre el esfuerzo ∆ p y la deformación ∆V es: p = −B ∆
∆V
V0
siendo B el modulo volumétrico del material. Figura 4. a) Un cuerpo de volumen Vo esta bajo la presión de la atmósfera po. b) El mismo cuerpo se encuentra dentro de un cilindro con un Liquido, sometido a un incremento de presión Δp = F/A
Ejemplos 1. Un tronco uniforme de 100 kg de masa,
4m de longitud y de 12 cm de radio,
(6)
Rodolfo Ventocilla Arias
cuelga de un alambre de acero y se mantiene en equilibrio estático, a punto de resbalar hacia la derecha. Si θ = 60º, determine: a) La tensión del cable y la fuerza fricción. b) La sección transversal del alambre para que no sobrepase el límite de linealidad (3,6 x 108 Pa). c) El estiramiento ∆L. L0 = 5m Solución. a) Por
( ∑τ i ) A = 0 ,
se calcula la tensión T: 4 (T sen 10º ) = 2(W cos 20º) , W = 100(10) N T = 2705,74 N
Aplicando ∑Fix =0 , se calcula la fricción f: f = T sen 60º = 2343,23 N b) Como
σ =
entonces c)
∆L =
σ
L0
Y
T A
= 3,6
x 108 Pa ,
A = T/σ = 7,516 x10-6 m2 = 7,516 mm2 =
3,6 x 10 8 x (5) 20 x 10
10
=9
x 10 -3 m = 9 mm
2. Una barra AB de peso despreciable, esta suspendida mediante dos alambres como indica la figura. El alambre de la izquierda es de acero (A1 = 0,5 cm2, L1 = 1,5 m, Y1 = 2,0 x 1011 N/m2), el alambre de la derecha es de aluminio (A2 = 1,0 cm2, L2 = 2,5 m, Y2 = 0,7 x 1011 N/m2). Si se coloca una carga W = 12000N en la posición mostrada, donde x1 = 0,25 m y x2 = 0,5 m, halle: a) Las tensiones en cada alambre. b) Los alargamientos ∆L en cada alambre. Solución
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a)
Para deformaciones pequeñas, los ángulos son de 90º . Se aplican las condiciones de equilibrio para calcular las tensiones:
∑Fiy
=0 :
T1 + T2 = W = 12000
( ∑τ i ) A = 0 :
(x1 + x2) T2 = x1W Resolviendo ambas ecuaciones se hallan: T2 = 4000N y T1= 8000 N. b) Para calcular los estiramientos, se conocen: A1 = 0,5 cm2, L1 = 1,5 m , Y1 = 2,0 x 1011 N/m2, A2 = 1,0 cm2, L2 = 2,5 m y el modulo Y 2 = 0,7 x 1011 N/m2. ΔL
Se aplica σ = Y L
0
