5
de
f
E XE X E RC R C IC I C ES ES
soit relativement compact
x)
25
dans^; alors on peut peut extraire de
( f n ) une suite convergeant uniformément dans
5.
E X E R C IC IC E S
T PROBLEME
ti e r n 2 0 , s o i t tait e n ti
Pour
pu
g,(t)
et
g,
par les conditions
a fonction continue continue définie dans dans
t>2/n,
g,(l/n) g , ( t) t)
es t
m
la
g,
c h o i s is is d e t e l e s o r t e q que l rer que
suite
(g,) converge sinpl-t
O,+co[CIR,
r q e
s'il
t &quico &quiconti ntinue nue dans E
Soit X.
a) Si
b)
t e t soi
s A , a lo rs l a su it e (f e
es t ccmp ccmpac ac , al ors l
-+
un espace topologique; Soit
c m er ge s i m p l m
s points de de
est limite uniforme d'une suite de fonctiwis
puisse s'exprimer
carme
un polynâne
te ll e qu
dans Y. b n t r e r
dans
converge
dire
vers une fonction
suite (fn) converge unifo&nt
Soit S une partie de C(E,R) qui sépare
dans E;
(E ,R ). (Montr (Montrerer-que
la limite LimMco fn(x) existe, ( c ' e s t
dans
ve rs
dans E vers 0).
une suite &quicontinue de fonctiwis de
ur tait
plan planon ontt
e convergwait convergwait u
e & tr tr iq iq ue ue
un
Soit (f
t converge simp simpll-tt
pas une partie relativaii-nt ccmpacte dans
t ai ns i,
nu ile dans dans
tout n, soit
a s ui u i te te ( f e
sont
a conv conver erge genc nce e n'e st pas m i f o m .
x
q u 'e ' e il il e
où
vers la fonc tion identi identiququ-tt
sin
f (x)
Ln
t contin continue ue
que, dans tait i n t e r v a ll ll e c o n t e x n - So it
1
dans chaque intervalle [O
dans
X+
vers f.
, a lo rs taite fonction continue
(g,)
e que chaq chaque ue fonction fonction
g,
c o e f f i c i e n t s réels par rapport aux fonctiwis de S.
5 S é p a r a b i l i t é d e C o( E 7 3 ) . ccnpct séparable. (Par exenple
So it E n espace espace &t riq ue local-t
%(El (resp. Cc(E)), Cc(E)), l'ensemble des fon cti wis co ntinu es de de E dan infini II
(resp. la qu el le
support ccmpact) o(E) o(E)
t
Q1
nmit ces espaces espaces de l
n ccmplét6 ccmplét6 de Cc(E Cc(E). ).
2.3.5).
T?).
Q1
note
qui scnt nulles de convergence mifor-
2 ,
c
APPL ICA TION S
. D'ap D' aprè rès s 4.3. 4.3.5, 5,
27
le proj pr ojec ecte teur ur p
E-F
est con-
tinu et uopF est un prolongement qui convient. (Vérifiez-le Cette Cette preuve preuve reste valable si E est est un espace de Banach Banach et si si E = avec
6.2
et G
er és
f
APPL APPLICATIONS ICATIONS
Pour Pour un espace espace normé E sur K, on note E e E. 1
f 1. .5
(E,K) le dual topologique
t 2.6. 2.6.5) 5)
Sép ara tio n des points de E par par des for mes linéaires. linéai res. a) Pour tout x dans
{O}, il exist e f dans E' E' avec f(x)
l
t (I
Preuve. a) On prend F
et g(Yx)
~ l l x1, x 1, alors g est continue et de norme
et on prend pour
un prolongement de g avec 6.1.1.
) r ésulte de a), en con sidérant
-
REMARQUE. Il exi ste des espac es vectoriels vector iels topolo top olo giq ues
(01.
dont le dual topologique est réduit 1
,
non réduits
Ce qui montre que le théo rème
n'est pas pa s vrai pour les esp ace s vec tor iel s topologiques. topolog iques. Par exem-
ple, on peut montrer montre r que
)
muni mun i de la dist di stan ance ce
est un espa ce vectori el topologique dont le dual est nul 3
10
L'isométrie d'un es pace pa ce norm no rmé é E dans da ns son so n bidual. Soient Soient E un espace espace n a) Pour chaque
dans da ns
,
t son dual et Etl:Yc( Etl:Yc(Et,K Et,K
, l'application l'app lication
est une forme linéaire continue sur n
so n bidual. bidual.
donc c (x)
Elt.
isorné nétr trie ie lin éai re de E dans da ns x) est une isor
6 QUELQUES GRAN DS CLASSIQUES Preuve. a) L'application c (x) est évid emmen t linéaire. De plus on a
Iu(x)(
lcE(x)(u)(
pour tout x.
J ( u l /lxll
Donc c (x) est continue avec ((cE(x) Supposons x U(X)
((~(1;
, d'apr d' apr ès 6.2.1 6.2.1, , donc (cE(x)(u)(
La linéarité de c d7 ap rè s
.
Pour
=
llx(/.
il exis ex is te u da ns E' ave c
et
( / x ( Jt Jt ceci cec i mont mo ntre re que q ue l(cE l(cE(x (x)l )l
/(XII
est évidente et on a ((cE(x
I(xl(.
pour pour tout tout
, cette relation est triviale triviale et la preuve preuve est terter-
minée., Remar quon s qu'on qu'on a donc (lx( (lx(1 1
u(x)
su pu
pour tout x dans E.
llull=l 4
Remarque. C ompl om pl été ét é d'un d'un espa ce normé. Comme Com me K est compl com pl et, et , Et' st de Banach Ban ach
;
donc l'adh éren ce
cE(E)
de c (El (El dans est aussi un espace de Bana Banach. ch. Donc (E ,c est un comE plété de E au sen s de . Ce qui donne une nou vel le preuve de l'exis tenc e d du u complété. 5
Caracté risatio n de l'adhér ence d'un d'un sou s-e spa ce vectori el.
Soit
un sous-espace vectoriel d'un espace normé
Alors
ssi to ute forme liné linéaire aire continue, nulle sur F, s'annule en
Preuve. Preuve. Si f : su
et X E E .
K
est continue et nulle nulle sur
Réciproquement, Réciproquement, soit soit x
, alors f est est aussi nulle
. On va montre montrer r qu'il qu'il existe une forme
linéaire linéaire continue, nulle sur F mais pas en x , ce qui suffira. suffira. Comme x$ la somme somme
x est direct directe e et pour pour y dans F et
u: y+px
est linéaire, nulle sur
tinue car
d(x,F)>O
, avec u(x u(x
6
1.
De plus u est con-
et on C.Q.F.D.
U ( ~ + ~ X ) D'aprè D'après s 6.
dans K l'application
, u se prol prolong onge e en
, ulle ulle sur
, et qui qui vaut vaut
n
Caracté risatio n des famil les totales
Une famille famille
d'éléments d'éléments d' n
espace esp ace no rm
est totale dans
ssi
toute forme linéaire qui s'ann s'annul ule e sur tou t les les x. esti denti queme nt nul nulle le
