Act. 1 ‐ Revisión de Presaberes miércoles, 18 de agosto de 2010 09:10 p.m.
Pagina 1. Revisando Algunos Conceptos de investigación de Operaciones INTRODUCCION Los cambios revolucionarios originaron gran aumento en la división de trabajo y la separación de la responsabilidad es administrativa en las organizaciones. Sin embargo esta revolución creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es la tendencia de muchos de los componentes a convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas de valores. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el surgimiento de la Investigación de Operaciones. La Investigación de Operaciones aspira determinar la mejor solución (optima) para un problema de decisión con la restricción de recursos limitados. En la Investigación de Operaciones utilizaremos herramientas que nos permiten tomar una decisión a la hora de resolver un problema, tal es el caso de los modelos de Investigación de Operaciones que se emplean según sea la necesidad. Actualmente la investigación de operaciones a incursionado en la administración con muy buenos resultados en este campo pues el ambiente de negocios al que se está sometido y los múltiples cambios que ellos generan, los ciclos de vida de los productos se hacen más cortos, la abrumadora y acelerada era de la nueva tecnología y la internacionalización creciente, son razones suficientes para desarrollar modelos que optimicen los resultados en estos campos del saber
ANTECEDENTES Y ORIGEN DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES La investigación de operaciones se originó en la segunda guerra mundial como una necesidad de dar solución a los problemas de carácter militar, los primeros interesados en estos aspectos fueron los británicos y los americanos quienes asignaron esta tarea a un grupos de físicos, matemáticos, biólogos, estadísticos, psicólogos entre otros para emplear el método científico en la solución de problemas estratégicos y tácticos.
Después de la guerra atrajo la atención de la industria que buscaba soluciones a problemas de complejidad y especialización ascendente en las organizaciones. Los primeros esfuerzos se dedicaron a desarrollar modelos apropiados y procedimientos correspondientes para solucionar problemas que surgían en áreas tales como: la programación de refinerías de petróleo, la distribución de productos, la planeación de productos, el estudio de mercados y la planeación de inversiones. Un factor importante de la implantación de la Investigación de Operaciones en este periodo es el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Muchos de los científicos que participaron en la guerra, se encontraron a buscar resultados sustanciales en este este campo; un ejemplo sobresaliente es el método Simplex para resolución de problemas de Programación Lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas utilizadas en la Investigación de Operaciones como la Programación Lineal, la Programación Líneas de Espera y Teoría de Inventarios fueron desarrolladas al final de los años 50. En la década de los 80 con la invención de computadoras personales cada vez más rápidas y acompañadas de buenos paquetes de Software para resolver problemas de Investigación de Operaciones esto puso la técnica al alcance de muchas personas. Hoy en día se usa toda una gama de computadoras, desde las computadoras de grandes escalas como las computadoras personales para la Investigación de Operaciones. De la lectura que desarrollaste de los conceptos de La investigación de operaciones y sus antecedentes, se puede deducir que un segundo factor importante para el desarrollo de este campo fue el advenimiento de la revolución de las computadoras. Para manejar los complejos problemas relacionados con esta disciplina, generalmente se requiere un gran número de cálculos que llevarlos a cabo a mano es casi imposible. Por lo tanto el desarrollo de la computadora digital, fue una gran ayuda para la Investigación de Operaciones. Se dice que la investigación de operaciones se ajusta al método científico porque: • Busca una solución factible • Busca una solución optima comienza por la la observación cuidadosa y la y la formulación formulación del problema problema incluyendo la recolección de datos pertinentes. datos pertinentes. • comienza por
• Resolver los conflictos de interés entre los componentes de la organización
Una de las limitaciones de la investigación de operaciones consiste en • Seleccionar modelos parametrizados • seleccionar solo variables cuantitativas considerar todas las restricciones • no considerar todas
• Seleccionar solo variables cualitativas
Pagina 3.¿QUE ES LA INVESTIGACION DE OPERACIONES? La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización. Esta definición fue
proporcionada por Churchman, Churchman, Ackoff y Ackoff y Arnoff. Algunos aspectos relacionados con la definición: • Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no. • La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común. • La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través de modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo. La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. Un enfoque de la investigación de operaciones abarca: Construir un modelo simbólico que por lo general es un modelo matemático, pretende extraer los elementos fundamentales de un ○ problema de decisión que es complejo e incierto de tal manera que pueda optimizar una solución viable para la consecución de los objetivos de acuerdo al analista. Examinar y analizar las relaciones que determinan las consecuencias de la decisión realizada y comparar el método relativo de acciones ○ alternas con los objetivos de quien va a tomar la decisión. Desarrollar una técnica de decisión que comprenda teorías matemáticas y que conduzca a la optimización de los resultados. ○ La investigación de operaciones se aplica tanto a problemas tácticos como estratégicos de una organización. Los primeros tienen que ver con actividades diarias y los segundos tienen una orientación y una planeación organizada generalmente se apoyan en operaciones de carácter indirecto.
Pagina 4.DEFINICION Y FORMULACION DEL PROBLEMA Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio. La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución Depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema. La selección del método de solución. Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan presentar .
En la metodología de la investigación de operaciones uno de los pasos que es incorrecto es: • Formulación de un modelo • Definición del problema la formulación • Establecimiento de controles sobre la formulación
• Recolección de datos
"La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre‐máquina), a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización. Esta definición fué propuesta por: Ackoff y Arnoff Arnoff • Churchman, Ackoff y
• Kambe • Dantzing
• Hallman
LIMITACIONES DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES 1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y detener una solución. 2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos múltiples. 3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales. 4. Casi nunca se realizan análisis costo‐beneficio de la implantación de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se van superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo.
RIESGO AL APLICAR LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Al aplicar la I de O al estudio de sistemas y a la resolución de problemas se corre el riesgo de tratar de manipular los problemas para buscar que se ajusten a las diferentes técnicas, modelos de algoritmos establecidos en lugar de analizar los problemas y buscar resolverlos obteniendo las soluciones mejores, utilizando los métodos apropiados, es decir resolver el problema utilizando los métodos que proporcionan las mejoras soluciones y no buscar ajustar el problema a un método específico. Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodología para resolver los problemas, así como así como los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.
COMO SE TRABAJA EN INVESTIGACION DE OPERACIONES La Investigación de Operaciones busca el óptimo resultado en la utilización de recursos escasos y usa el método científico. El orden habitual de las investigaciones que se realizan con este instrumental es el siguiente: 1. Se define el problema que se desea resolver en la forma más completa y clara que sea posible. 2. Se construye un modelo apropiado que represente al sistema o al proceso en estudio (matematización del problema). 3. Se deduce una o varias soluciones a partir del modelo construido. 4. Se hace una prueba del modelo y de la solución obtenida, contrastando esto con la realidad, si es que existe información suficiente, de lo contrario el contraste se hace con modelos secundarios. 5. Se ajusta el modelo y se monitorea el resultado. 6. Se implementa la solución, esto es, se pone a trabajar al modelo y sus soluciones. Veamos en detalle cada una de las partes que acabamos de enumerar: 1. Definición del problema. No es posible iniciar la búsqueda de la solución de un problema si no está claro ¿cuál es el problema? Al investigador no le debe caber la menor duda de que sabe correctamente lo que busca, de lo contrario cualquier cosa que encuentre está bien y está mal, lo cual es una contradicción. Siempre nos debemos responder cuestiones tales como: ¿Cuáles son los objetivos? ¿Cuáles las acciones a tomar y cuáles sus alternativas? ¿Cuáles son las restricciones? ¿Cómo se medirán los resultados? La definición del problema debe ser clara, concisa y con palabras sencillas que no dejen lugar a varias interpretaciones. 2. Construcción del modelo apropiado que represente al sistema o proceso en estudio. Un modelo, desde el punto de la Investigación de Operaciones, es una representación de una realidad (o de una idealidad). Estos pueden ser: - Icónicos (representaciones físicas como los aeromodelos, las maquetas, los carritos, los muñecos, etcétera); - análogos, la mayoría de los cuales son más dinámicos que los icónicos y pueden mostrar comportamientos derivados de acciones, como las superficies y las curvas de oferta y demanda, - los nomogramas de ingeniería que describen fenómenos de deformación de estructuras o comportamientos de todas las variables de una caldera, etcétera; - Redes gráficas, como las redes CPM‐PERT, Project, Harvard y otras, que se utilizan para la planificación, ejecución y control de proyectos; - Matemáticos o Simbólicos, los cuales se describen generalmente por medio de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas o en forma matricial: A*x = b, donde A es un matriz, y, x y b son vectores de los espacios vectoriales Rm y Rn, respectivamente. Es habitual que la función llamada función objetivo y que es la que se desea optimizar, se escriba en forma separada como f(x) = z. Existen otras clasificaciones pero consideramos que para los fines de este artículo es suficientemente claro si nos referimos sólo a estos cuatro. Por otro lado, se dice que los modelos son Determinísticos, como los de Programación Lineal y Transporte; y, Probabilísticos, como las Cadenas de Markov, los de Teoría de Juegos, Teoría de Decisiones, las líneas de Espera y otros. 3. Deducción de una o varias soluciones. Cuando el modelo ha sido bien escogido o construido, se espera que la solución del problema real sea teórico. Algunas veces no es posible obtener soluciones exactas para el problema original, entonces aceptaremos soluciones aproximadas o bien usamos soluciones alternas en la construcción del modelo. Es posible y no es nada raro que podamos detectar varias soluciones alternas. 4. Pruebas del modelo y contraste con la realidad. Comparaciones de soluciones con las de modelos secundarios. Usando información histórica, ésta se mete al modelo y se observa si los resultados son coincidentes con los resultados reales que fueron observados a través del tiempo, luego se hace lo mismo con información del período ex post (la información obtenida durante la época de construcción) y se compara con el funcionamiento real del proceso. 5. Ajustes del modelo y monitoreo de resultados. En este momento ya tenemos a nuestro modelo dándonos resultados aceptables (parecidos, si no iguales a los observados), se hace un balance y se ve si vale la pena hacer ajustes a los coeficientes y organización de la
estructura del modelo para obtener mejores resultados o si por el contrario es necesario hacer reingeniería. Debe seguirse haciendo comparaciones con varias generaciones de resultados para lograr afinar el modelo. 6. Implementación de la solución. Una vez pasadas todas las pruebas que dan seguridad sobre el funcionamiento del instrumento, se da la capacitación necesaria a las personas que tendrán a su cargo la operación del modelo, preparando todas las herramientas de cómputo para que se elaboren automáticamente los reportes que permitirán a los tomadores de decisión hacer su trabajo.(F) La expresion ‐Matematizacion del problema‐ En el contexto de la lectura se refiere a: • Comprobar el modelo • a la definición del problema del modelo • La construcción del modelo
• El control del modelo La información Histórica se usa para: Contrastar la realidad • Contrastar la
• Formular el problema a investigar • Redactar el informe final de la Investigación • Implementar el modelo Una de las limitaciones que a menudo se presentan en la IO es • No contratar personas idóneas • No hay limitaciones en la IO • Los costos de operación tomar todas las restricciones que intervienen en el problema problema • No tomar todas
PRINCIPALES HERRAMIENTAS EN LA IO Cuando hablamos de herramientas en IO, nos estamos refiriendo a los diferentes modelos teóricos (como por ejemplo, modelos de transporte y teoría de colas), y a otras disciplinas (como matemática, administración, economía, etcétera), que se utilizan como instrumentos de trabajo habitual para el profesional de la Investigación de Operaciones. Debe quedar claro, sin embargo, que cada día se agregan más tipos de modelos y otras disciplinas imposibles de enumerar en este momento. De la misma manera la Investigación de Operaciones es considerada, ella misma como una herramienta al servicio de otras disciplinas (tal como reza el título de nuestros artículos). Es bien conocido que la Administración de Negocios se ha estado beneficiando grandemente de la Investigación de Operaciones ahora que se ha iniciado toda una revolución con el uso de Planificación Estratégica, Reingeniería y los programas de Calidad Total, para mencionar algunos. Cuando hablamos de herramientas en la IO nos referimos a: • El uso de computadores • El uso de asesores • El uso de documentos El uso de diferentes modelos teóricos • El uso
Pagina 5. METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES El uso de métodos cuantitativos para solucionar problemas, generalmente implica a mucha gente de toda la organización. Los individuos de un equipo de proyectos proporcionan información de sus áreas respectivas respecto a diversos aspectos del problema. El proceso de aplicar métodos cuantitativos requiere de una sucesión sistemática de pasos Existen tres formas de validar un modelo, indique cual no corresponde a estas
• Experiencia • Pruebas sicotécnicas • Pruebas Estadísticas • Prueba retrospectiva Uno de los enfoques tradicionales de la administración operativa operativa para interpretar y resolver problemas es:
• La validación
• .El establecimiento de controles • La observación • La evaluación Pegado de >
Act. 3 ‐ Reconocimiento Unidad 1 miércoles, 18 de agosto de 2010 11:59 p.m.
INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL Muchas personas clasifican el desarrollo de la programación lineal entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX, su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. En la actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado miles o millones de pesos a muchas compañías o negocios, incluyendo empresas medianas en los distintos países industrializados del mundo; su aplicación a otros sectores de la sociedad se está ampliando con rapidez. Una proporción muy grande de los cálculos científicos en computadoras está dedicada al uso de la programación lineal. ¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipos de problemas puede manejar. Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma óptima). Con más precisión, este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas. Después, los niveles de actividad elegidos dictan la cantidad de cada recurso que consumirá cada una de ellas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda muy grande, y va desde la asignación de instalaciones de producción a los productos, hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la selección de una cartera de inversiones, hasta la selección de los patrones de envío; desde la planeación agrícola, hasta el diseño de una terapia de radiación, etc. No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles de las mismas.
Cual es la finalidad de un modelo de Programación lineal • plantear un problema • solucionar problemas de variables únicamente enteras • relacionar todas la variables encontrar la solución óptima • encontrar la
Cuál es la importancia de emplear el enfoque de la Investigación de Operaciones resolver un problema problema a través de una secuencia de pasos de pasos • resolver un
• Resolver problemas por etapas • Dar soluciones en términos de la experiencia • resolver un problema en forma directa La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución. Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, la programación lineal tiene muchas otras posibilidades. de hecho, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de programación lineal es un problema de programación lineal. Aún más, se dispone de un procedimiento de solución extraordinariamente eficiente llamado método simplex, para resolver estos problemas, incluso los de gran tamaño. Estas son algunas causas del tremendo auge de la programación lineal en las últimas décadas
Que significa Programación en el termino de Programación Lineal? • organización de actividades • planeación de actividades • programas de aplicación • programar en una computadora el modelo
Método empleado para resolver modelos de programación Lineal • Método de Lagrange • Método de Branch • Método Runge Kutta • Método Simplex En programación lineal el termino programación significa que viene del uso de computadoras. Esta afirmación es: • Totalmente verdadera • Inconsistente
• Verdadera • Falsa En programación lineal el adjetivo de lineal hace referencia a: ser exclusivamente de carácter lineal carácter lineal • Las restricciones deben ser exclusivamente
• Las restricciones pueden o no ser de carácter lineal • El tomador de decisiones es unilateral a la hora de hallar una solución • Los trazos son líneas rectas Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Algunos ejemplos de recursos son dinero y tipos especiales de maquinaria, equipo, vehículos y personal. Los ejemplos de actividades incluyen inversión en proyectos específicos, publicidad en un medio determinado y el envío de bienes de cierta fuente a cierto destino. En cualquier aplicación de programación lineal, puede ser que todas las actividades sean de un tipo general (como cualquiera de los ejemplos), y entonces cada una correspondería en forma individual a las alternativas específicas dentro de esta categoría general. El tipo más usual de aplicación de programación lineal involucra la asignación de recursos a ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso está limitada, de forma que deben asignarse con todo cuidado. La determinación de esta asignación incluye elegir los niveles de las actividades que lograrán el mejor valor posible de la medida global de efectividad.
Que pretende la Función objetivo de un modelo de PL • Calcular valores factibles maximizar o minimizar una minimizar una función función lineal • maximizar o
• consumir todos los recursos • resolver el problema de una empresa
SUPOSICIONES DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PROPORCIONALIDAD La contribución de cada actividad al valor de la función objetivo Z es proporcional al nivel de actividad xj, como lo representa el término cjxj en la función objetivo. De manera similar, la contribución de cada actividad al lado izquierdo de cada restricción funcional es proporcional al nivel de la actividad xj, en la forma en que lo representa el término aijxj en la restricción. En consecuencia, esta suposición elimina cualquier exponente diferente a 1 para las variables en cualquier término de las funciones (ya sea la función objetivo o la función en el lado izquierdo de las restricciones funcionales) en un modelo de programación lineal. ADITIVIDAD Establece que la entrada y salida de un recurso en particular al conjunto de actividades, deben ser la misma cantidad; o sea, que las actividades transforman los recursos y no los crean o destruyen. Esta suposición garantiza que la contribución total tanto a la función objetivo como a las restricciones, es igual a la suma de las contribuciones individuales. Cuando en un problema dado no se tenga la aditividad puede recurrirse al empleo de otras técnicas de la programación matemática, dependiendo de cada caso en particular. Cada función en un modelo de programación lineal (ya sea la función objetivo o el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individuales de las actividades respectivas. DIVISIBILIDAD Las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que las actividades se pueden realizar a niveles fracciónales.
Cada función en un modelo de programación lineal (ya sea la función objetivo o el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individuales de las actividades respectivas. Este enunciado corresponde a principio de: • Direccionalidad • Aditividad • Involución • proporcionalidad Las actividades se pueden realizar a niveles fracciónales. Esta afirmación esta basada en el principio de: • Proporcionalidad • Equidad • Divisibilidad • Fractalidad
Las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier valor • cualquier valor
• valores cualitativos • Valores únicamente enteros • valores de cero o de uno Pegado de >
Act. 4 ‐ Lección evaluativa 1 miércoles, 08 de septiembre de 2010 10:25 p.m.
IMPLEMENTACION DE LA SOLUCION
El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones. Después de determinar la validez de una solución y verificar su consistencia con el criterio global, se podría pensar que la decisión es automática. Esto en verdad en un sentido pero no en otros. El proceso de hacer y manejar modelos en investigación de operaciones puede verse como proporcionando una información de entrada al sujeto responsable de decidir, pero éste recibe otras informaciones que pueden ser igualmente importantes incluyendo incluyendo las puramente cualitativas o de naturaleza subjetiva. De hecho muchos resultados de la investigación de operaciones se tratan como planes iniciales que se pueden modificar. LA SOLUCION DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL Y SU IMPLEMENTACION
ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES DE SOLUCION Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema. Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como AN LISIS DE SENSIBILIDAD. SENSIBILIDAD. Considere un futuro profesional con intereses y aptitudes que están lejos del campo de las técnicas cuantitativas. La razón de que estudie un curso de formulación de modelos cuantitativos es: • Todas las respuestas son
verdaderas
• familiarizarlo con la clase de
apoyo que una computadora puede proporcionar
• proporcionarle nuevos modos para observar el • darle la oportunidad de llegar a una
ambiente
aceptación o rechazo conscientes del uso de instrumentos cuantitativos
Determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema es una función de la fase de: • Control de la solución • Implementación • Planeación • Formulación
Los modelos • juegan papeles papeles diferentes en en los diversos niveles niveles de la empresa empresa • raras veces se usan ni
siquiera como entradas en los procesos de planeación estratégica
• son una manera costosa de tomar decisiones de la
rutina diaria
• todo lo anterior
CONCEPTO:
El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo. La programación lineal es una técnica de investigación de operaciones para la determinación de la asignación optima de recursos escasos cuando la función objetivo y las restricciones r estricciones son lineales. Es una manera eficiente de resolver estos problemas cuando se debe hacer una elección de alternativas muy numerosas que no pueden evaluarse intuitivamente por los métodos convencionales. FORMULACION DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL
Aunque se ponga en duda, la parte más difícil de PL es reconocer cuándo ésta puede aplicarse y formular el problema matemáticamente. Una vez hecha esa parte, resolver el problema casi siempre es fácil. Para formular un problema en forma matemática, deben expresarse afirmaciones afirmaciones lógicas en términos matemáticos. Esto se realiza cuando se resuelven “problemas hablados” al estudiar un curso de álgebra. Algo muy parecido sucede aquí al formular las restricciones. Por ejemplo, considérese la siguiente afirmación: A usa 3 horas por unidad y B usa 2 horas por unidad. Si deben usarse todas las 100 horas disponibles, la restricción será: 3A + 2B = 100 Sin embargo, en la mayoría de las situaciones de negocios, no es obligatorio que se usen todos los recursos (en este caso, horas de mano de obra). Más bien la limitación es que se use, cuando mucho, mucho , lo que se tiene disponible. Para este caso, la afirmación anterior puede escribirse como una desigualdad: 3A + 2B <= 100 Para que sea aceptable para PL, cada restricción debe ser una suma de variables con exponente 1. Los cuadrados, las raíces cuadradas, etc. no son aceptables, ni tampoco los productos de variables. v ariables. Además, la forma estándar para una restricción pone a todas las variables del lado izquierdo y sólo una constante positiva o cero del lado derecho derecho.. Esto puede requerir algún reacomodo de los términos. Si, por
ejemplo, la restricción es que A debe ser por los menos el doble de B , esto puede escribirse como: A >= 2B ó A - 2B >= 0 El cambio o modificación en los parámetros del problema se conoce con el nombre de: • Análisis de control • Análisis de variables • Análisis de variabilidad
sensibilidad • Análisis de sensibilidad EL MODELO DE PROGRAMACION LINEAL
Los términos clave son recursos y actividades actividades,, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Z = valor de la medida global de efectividad. actividad j j (para j = 1,2,...,n). 1,2,...,n). Xj = nivel de la actividad la actividad actividad j. j. Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m). actividad j. actividad j. aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PROGRAMACION LINEAL 1. Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades
del problema, la función objetivo se maximizar o minimiza.
2. Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en los
niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.
3. Restricciones Estructurales . Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas
restricciones pueden ser de capacidad, capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc.
4. Condición técnica. técnica . Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen
valores negativos.
Cualquier modelo que contenga función objetivo, restricciones y variables de decisión es un programa lineal • No es posible determinarla • Es una afirmación totalmente falsa • Es una afirmación verdadera • Es una afirmación complicada de analizar
Todas las restricciones de un PL son • Desigualdades cuadráticas • Ecuaciones cubicas • Desigualdades o ecuaciones • Desigualdades menor o igual a 0
En un problema de programación lineal las restricciones son: • Desigualdades o igualdades lineales • Igualdades de cualquier forma
• Desigualdades cuadráticas • Desigualdades de cualquier forma
DIFERENTES FORMAS DE MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL
Supóngase que existe cualquier número (digamos m) de recursos limitados de cualquier tipo, que se pueden asignar entre cualquier número (digamos n) de actividades competitivas de cualquier clase. Etiquétense los recursos con números (1, 2, ..., m) al igual que las actividades (1, 2, ..., n). Sea x j (una variable de decisión) el nivel de la actividad j, j, para j = 1, 2, ..., n, y sea Z la medida de efectividad global seleccionada. Sea c j el incremento que resulta en Z por cada incremento unitario en x j (para j (para j = 1, 2, ..., n). Ahora sea b i la cantidad disponible del recurso i (para i = 1, 2, ..., m). Por último defínase a ij como la cantidad de recurso i que consume cada unidad de la actividad j (para i = 1, 2, ..., m y j = 1, 2, ..., n). Se puede formular el modelo matemático para el problema general de asignar recursos a actividades.. En particular, este modelo consiste en elegir valores de x 1, x2, ..., xn para: actividades Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + ... + c nxn, sujeto a las restricciones: a11x1 + a12x2 + ... + a 1nxn ? b1 a21x1 + a22x2 + ... + a 2nxn ? b2 am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ? bm
y
x1 ? 0,
x2 ?0, ... ..,, x n ? 0
FORMA ESTANDAR Ésta se llamará nuestra forma estándar (porque estándar (porque algunos libros de texto adoptan otras formas) para el problema de PL. Cualquier
situación cuya formulación matemática se ajuste a este modelo es un problema de PL. En este momento se puede resumir la terminología que usaremos para los modelos de PL. La función que se desea maximizar, c1x1 + c2x2 + ... + c nxn, se llama función objetivo. objetivo . Por lo general, se hace referencia a las limitaciones como restricciones. restricciones. Las primeras m restricciones (aquellas con una función del tipo a i1x1 + ai2x2 + ... + a inxn, que representa el consumo total del recurso i) reciben el nombre de restricciones funcionales. r estricciones x j ? 0 se llaman restricciones de no negatividad. funcionales . De manera parecida, las restricciones negatividad. Las variables x j son las variables de decisión. decisión . Las constantes de entrada, a ij, bi, c j, reciben el nombre de parámetros del modelo. modelo .
OTRAS FORMAS DE MODELOS DE PL
Es conveniente agregar que el modelo anterior no se ajusta a la forma natural de algunos problemas de programación lineal. Las otras formas legítimas son las siguientes: 1. Minimizar en lugar de maximizar la función objetivo: Minimizar Minim izar Z = c1x1 + c2x2 + ... + c nxn, 2. Algunas restricciones funcionales con desigualdad en el sentido mayor o igual: ai1x1 + ai2x2 + ... + a inxn, ³ bi, para algunos valores de i, 3. Algunas restricciones funcionales en forma de ecuación: ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn, = bi, para algunos valores de i, 4. Las variables de decisión sin la restricción de no negatividad: x j no restringida en signo para algunos valores de j. j. Cualquier problema que incluya una, varias o todas estas formas del modelo anterior también se clasifica como un problema de PL, siempre y cuando éstas sean las únicas formas nuevas introducidas. Puede ser que la interpretación que se ha dado de asignación de recursos limitados entre actividades que compiten no se aplique, pero independientemente de la interpretación o el contexto, lo único que se necesita es que la formulación matemática del problema se ajuste a las formas permitidas. Se verá que estas otras cuatro formas legales se pueden reescribir en una forma equivalente para que se ajuste al modelo que se presentó. Entonces, todo problema de PL se puede poner en nuestra forma estándar si se desea. Se llaman parámetros a: • a las restricciones del problema • las igualdades del problema • las constantes del problema • las variables del problema
FORMULACION FORMULACIO N A LGEBRAICA
Todo problema de PL puede representarse como: Max (z) =c1x1+c2x2+...+cnxn =c1x1+c2x2+...+cnxn sujeto a: a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn ? b1 a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn ? b2 ... am1x1 + am2x2 +...+ amnxn ? bm x1, x2, ...,xn ? 0 siendo: xj: Nivel de actividad de la variable xj cj: Contribución unitaria de xj a función objetivo aij: Coeficiente técnico, unidades unidades de recurso i que que se cons consumen umen por unidad de variable j bi: Cantidad disponible de recurso i Otra representación:
Pegado de
En forma matricial: Max (z) = C x sujeto a: Ax ? b x ?0 A esta forma se la denomina forma canónica En un programa lineal puede decirse que: • Algunas veces hay restricciones • No hay restricciones • Siempre hay ecuaciones • Siempre debe haber restricciones
Las condiciones de no negatividad significan que: • todas las variables de decisión deben ser positivas o nulas • todas las restricciones de decisión deben ser positivas • todas las desigualdades no pueden tener coeficientes negativos • todas las ecuaciones no
deben tener coeficientes negativos
Pegado de
Act. 5 ‐ Quiz 1 viernes, 04 de marzo de 2011 10:43 p.m.
1 Puntos: 1 Un modelo puede ser pensado como un sustituto de la realidad y por lo general no hay una manera correcta de construir un modelo de un problema real Respuesta: Verdadero Falso 2 Puntos: 1 El método gráfico de pr ogramación lineal:
Seleccione una respuesta. a. Tiene la función objetivo que es no acotada. b. Puede restringirse solo a una variable. c. Obtiene como resultado un análisis de las pendientes de las restricciones. d. Por lo general se usa con la definición de dos o tres variables de decisión. 3 Puntos: 1 Un modelo es:
Seleccione una respuesta. a. Una forma optima b. Una prospectiva c. Un representación selectiva de la realidad d. Una idealización 4 Puntos: 1
Las actividades de los trabajos colaborativos del curso inician
Seleccione una respuesta. a. Una vez termine el quiz de reconocimiento del curso b. Despues de los quices de cada unidad c. Después de la actividad de revisión de presaberes d. Desde el inicio del curso 5 Puntos: 1 Las restricciones, generalmente son impuestas Seleccione una respuesta. a. Porque representan la única manera correcta de formular el problema b. Para permitirnos usar la poderosa herramienta de la optimización restringida c. Por consideraciones prácticas d. Todas las respuestas son verdaderas 6 Puntos: 1 Para resolver un problema en 2 variables rápidamente es necesario optar por métodos rápidos tal. Uno de los métodos que se utiliza generalmente es:
Seleccione una respuesta. a. gráfico b. Por grafos c. Simplex d. Por partes 7 Puntos: 1 Un problema de programación lineal está formado estructuralmente por:
Seleccione una respuesta.
a. Restricciones y pruebas b. Variables de decisión y restricciones c. Función objetivo y condición técnica de no negatividad d. Condición técnica de no negatividad y pruebas 8 Puntos: 1 La investigación de operaciones, tiene métodos de optimización aplicables a diferentes tipos de problemas
Seleccione una respuesta. a. METODOS HEURISTICOS: como la teoría de inventarios b. METODOS DETERMINISTICOS: DETERMINISTICOS: Ej, Programación lineal, programación entera, probabilidad de transporte, programación no lineal, teoría de localización o redes, probabilidad de asignación, programación por metas, teoría de inventarios, etc. c. METODOS PROBABILISTICOS: Ej. Metodo Grafico d. METODOS HIBRIDOS: Tienen que ver con los métodos determínisticos y probabilísticas Ej, Programación lineal, programación entera, probabilidad de transporte, programación no lineal, teoría de localización o redes, probabilidad de asignación, programación por metas, teoría de inventarios, etc 9 Puntos: 1 El Portafolio de Grupo (Wiki) y el Glosario se encuentran después de: Seleccione una respuesta. a. Agenda del curso. b. Foro General del curso c. Noticias del Aula d. Contenido en línea 10 Puntos: 1 El Número de pasos necesarios para realizar el método gráfico es Seleccione una respuesta. a. son 3 b. son 7 c. son 4 d. son 6 11 Puntos: 1 La programación lineal es: Seleccione una respuesta. a. una tecnica estocastica b. una tecnica matematica c. una tecnica de modelado o construccion de modelos d. una tecnica heuristica 12 Puntos: 1 Cuanto más complicado es un modelo, generalmente es más útil Respuesta: Verdadero Falso 13 Puntos: 1 La fase más importante de metodología de la investigación de operaciones es el planteamiento del problema Respuesta: Verdadero Falso 14 Puntos: 1 Un modelo de programación lineal:
Seleccione una respuesta. a. Puede contener funciones con variables elevadas al cuadrado. b. Solo puede generarse con 2 o 3 variables
c. Está compuesto por variables con restricciones y una función objetivo. d. Es considerado como un modelo gráfico 15 Puntos: 1 La Fase de Reconocimiento del curso se compone de Revisión de Presaberes y Reconocimiento del curso. Respuesta: Verdadero Verdadero Falso
Act. 5 ‐ Quiz 1 viernes, 04 de marzo de 2011 11:08 p.m.
Act. 7 ‐ Reconocimiento unidad 2 sábado, 16 de abril de 2011 03:27 p.m.
Ac t 7: Reco no ci mi ent o de l a un id ad 2
Aun cuando la programación lineal surgió especialmente para dar respuesta a cuestiones de carácter logístico y militar, es en la industria y en la economía donde posteriormente ha encontrado sus aplicaciones más interesantes En los problemas prácticos con los que nos encontramos en el mundo actual intervienen multitud de factores (materia prima, mano de obra, transporte, recursos disponibles, niveles económicos, tiempo, etc. ) sujetos a múltiples restricciones, con los que se desea obtener unos beneficios máximos o unos costes mínimos La parte de la matemática con la que se resuelven este tipo de problemas se llama programación lineal... La programación lineal nació como disciplina independiente poco antes de 1950 y, desde entonces, ha contribuido enormemente a mejorar la productividad productividad de los procesos industriales y al empleo óptimo de los recursos en los servicios y en la administración. De hecho, es una de las pocas disciplinas modernas incorporadas a los programas de matemáticas en el nivel secundario -en la mayor parte de los sistemas educativos- y ha merecido honores de portada en los principales diarios del mundo, que han dado a conocer los principales descubrimientos que se han producido en este campo En qué año se constituyó la Programación lineal como disciplina independiente? • 1967 • 1953 • 1945 • 1950
Una de la mayores contribuciones de la programación lineal es: • La optimización de recursos • La administración industrial • El conteo de variables extensas • La determinación de
inconsistencias inconsistencias administrativas
Hagamos un recorrido histórico por los autores de técnicas y métodos utilizados utilizados para la solución de problemas de programación lineal, No sin antes recordar que existen tres métodos para solucionar problemas de PL: el grafico, analítico, simplex. Leonid V. Kantorovich Nacido en 1912 en Leningrado (entonces San Petersburgo) recibe, junto a Koopmans, el premio Nobel de Economía en 1975. Graduado en matemáticas en esa misma ciudad, pronto compatibiliza su trabajo como profesor con sus investigaciones investigaciones en Análisis Funcional y Matemáticas aplicadas. En 1938 comienza sus trabajos sobre economía, planteándose el problema de optimizar la distribución de distintas materias primas entre varios centros de producción, bajo ciertas restricciones. restricciones. Se trataba de maximizar una función lineal, dentro de un poliedro convexo. El método general de resolución, consistente consistente en comparar el valor que toma la función en cada uno de los vértices no resultaba conveniente, debido debido al gran número de ellos que se obtienen incluso La Maximización de una función lineal, dentro de un poliedro convexo fueron objeto de estudio por parte de: • Stigler • Koopmans • Kantarovich • Neumann
George J. Stigler
Nacido en Seattle (Washington) en 1911, recibió el Nobel de Economía en 1982. Atraído por distintos temas económicos, son conocidos sus estudios sobre la teoría de los precios "Readings in Price Theory". En 1946 publica su trabajo de programación lineal, denominado "El coste de la subsistencia", en el que desarrolla el llamado " problema de la dieta" dieta" y encuentra una solución aproximada al mismo Tjalling C. Koopmans
Nacido en 1910 en Graveland (Holanda) recibió junto a Kantorovich el premio Nobel de Economía en1975. En 1942, de forma paralela, pero independiente, ambos formulan el llamado problema del transporte consistente en planificar el transporte de cierto producto entre varios centros de producción y varios centros de consumo. Se le considera una de las figuras claves de la economía moderna, ya que sus trabajos fueron de gran trascendencia en los desarrollos posteriores de la teoría de la asignación de recursos escasos y en el desarrollo de métodos estadísticos aplicados a la economía.
Durante la segunda guerra mundial Koopmans trabajó como estadístico para la British Merchant Shipping Mission en Washington. Durante esos años se plantea investigar acerca del análisis económico de las rutas de transporte. El problema de la determinación del plan de embarques que minimice el coste total, conociendo de antemano las disponibilidades y las demandas de cada puerto se conoce como el "problema " problema del transporte". transporte". Hoy en día es un problema sencillo de Programación Lineal, pero en 1942 Koopmans no podía saber que el suyo era un caso particular de un problema más general Se le debe a este economista la optimización de la distribución de distintas materia primas entre varios centros de producción • Dantzing • Stigler • Koopmans • Kantorovich
Desarrolló el problema de la dieta • Kantorovich • Stigler • Koopmans • Dantzing
Recibió en 1975 el premio nobel de economía • Stigler • Dantzing • Kantorovich • Koopmans
George Dantzig
Nacido en Oregón en 1914, hijo de inmigrantes de origen ruso, estudia matemáticas en la Universidad de Maryland. Maryland. Poco después de doctorarse por la Universidad de Berkeley, en 1947, formula el enunciado estándar de un problema general de Programación Lineal y desarrolla el método del simplex. De hecho, estos estudios son una consecuencia de su trabajo como experto en métodos de planificación planificación para las Fuerzas Aéras estadounidenses, que resolvía utilizando calculadoras de mesa. El nombre de "programación" proviene, en realidad, del término militar "programa", que se refiere a la organización de la planificación o los protocolos de instrucción, suministro de materiales o despliegue de tropas. Una de las primeras aplicaciones de sus estudios fue la resolución del llamado "puente aéreo de Berlín". A mediados de 1948, en plena guerra fría, la URSS bloqueó las comunicaciones comunicaciones terrestres con Berlín. Utilizando la Programación Programación Lineal, se diseñó un plan de abastecimiento aéreo que en pocos meses consiguió igualar a los anteriores suministros realizados por carretera y ferrocarril. La aplicación del método del simplex ha estado siempre ligada al desarrollo de los ordenadores. En 1951 el ordenador SEAC (Standards Eastern Automatic Computer) resolvía problemas con 48 restricciones y 72 variables, si bien con cierta lentitud (William Orchard-Hays, refiriéndose a esa época, comentaba: "Una vez empezada una iteración, nos íbamos a comer y volvíamos antes de que acabara") En 1963 el IBM 7090 resolvía problemas con 1024 restricciones y 10 años más tarde otro IBM, el modelo 360, era ya capaz de utilizar 32000 restricciones. La contribución de Dantzig ha sido reconocida con numerosos premios, entre los que destaca el premio Von Neumann de la Sociedad Americana de Investigación Operativa del año 1975. Durante la guerra fría en 1948 la programación lineal fue utilizada para resolver problemas de estrategia militar conocido con el nombre de: • El problema de optimización de las comunicaciones • El problema de recursión • El problema del puente de Berlín • El problema de las dos fases
Janos Von Neumann
Los fundamentos matemáticos de la Programación Lineal se deben a al matemático Janos Von Neumann, nacido en Budapest en 1903 y discípulo de Hilbert en Gotinga durante los años 1926 y 27. En su libro Theory of Games and Economic Behavior sistematiza, junto con Oskar Morgenstern, la teoría de juegos en la que venía trabajando desde 1928, en particular, los denominados juegos de dos personas de suma cero, en los que la ganancia de un jugador es una pérdida para el otro, estableciendo la solución denominada "mini-max". "mini-max". Estos juegos pueden resolverse como problemas de programación lineal. En la página http://www.egw http://www.egwald.com/operationsres ald.com/operationsresearch/gametheory. earch/gametheory.php3 php3 puede verse un ejemplo de esta resolución. Narendra Karmarkar
En 1984 Narendra Karmarkar, un matemático hindú de 28 años establecido en Estados Unidos publicó el artículo "A New Polynomial-Time Algorithm
for Linear Programming", que marcó un hito en la Programación Lineal. A partir del trabajo de Karmarkar se reactivó la investigación en esta rama matemática, en especial en métodos de barrera y de punto interior. Este nuevo método se utiliza actualmente para la resolución de problemas con un gran número de variables. Recientemente un problema con 800.000 variables fue resuelto por este algoritmo. Su resolución necesitó 10 horas de trabajo de ordenador. Parece ser que utilizando el método del simplex su tiempo de resolución hubiera sido de varias semanas Dantzing es considerado el desarrollador de: • Método de programación lineal • Método Simplex • Modelo de transporte • Modelo Húngaro
Los métodos de barrera y de punto interior se deben a: • Karmarkar • Dantzing • Stigler • Neumann
Vonn Neuman realizó estudios valiosos sobre: • Evaluación de proyectos • Teoría de colas • Programación lineal • Teoría de Juegos
Act. 8 ‐ Lección Evaluativa 2 domingo, 07 de noviembre de 2010 08:42 p.m.
INTRODUCCION AL METODO GRAFICO Antes de entrarnos por completo en los métodos analíticos de la investigación de operaciones es muy conveniente ver un poco acerca de las desigualdades de una ecuación lineal.
Por ejemplo tenemos la ecuación 2X + 3Y = 60 en donde X, Y >= 0 Es decir que para que se cumpla la igualdad de la ecuación nos tocaría adquirir 15 unidades de X y 10 unidades de Y respectiva mente: 2(15) + 3(10) = 60
Y la solución se daría por la misma línea recta.
Pero por otra parte si en la ecuación no se quiere llegar a la totalidad del resultado se dará la ecuación en una forma diferente llamada inecuación: 2X + 3Y <= 60 en donde X, Y >= 0 Dándose como solución factible un área sombreada que depende del signo de la desigualdad. Si el signo es el <= la solución será el área inferior esa se sombreará o si por el contrario el sigo es >= el área a sombrear será la de todos los puntos por encima de la línea obtenida.
En la anterior grafica la solución más factible es la de los puntos más cerca del eje X (bajo la recta de la solución lineal ya que la ecuación es precedida por el signo ?. La función que se desea maximizar o minimizar se le denomina: • Función acotada • Función objetivo • Función principal • Función lineal El método grafico es de mucha utilidad en la solución de problemas de programación lineal en los que intervienen: • Una variable • tres variables • Dos variables • Múltiples variables
DEFINICION Y CONCEPTO GENERAL DE METODO GRAFICO Ahora se considerara la forma en que se pueden resolver problemas de tipo lineal, en donde la función dada se tendrá que maximizar o minimizar. Una
función lineal en x y y tiene la forma:
Z = ax + by Donde a y b son constantes. También se requerirá que las restricciones correspondientes estén representadas mediante un sistema de desigualdades lineales o ecuaciones en x y en y y que todas las variables sean no negativas. A un problema en el que intervienen todas estas condiciones se le denomina problema de programación lineal. La programación lineal fue desarrollada por George B. danzing a fines de la década de 1940 y se utilizo primero en la fuerza aérea de losa estados unidos como auxiliar en la toma de decisiones. En la actualidad tiene amplia aplicación en el análisis industrial y económico. En un problema de programación lineal a la función que se desea maximizar o minimizar se le denomina función objetivo. Aunque por lo general existe una cantidad infinitamente grande de soluciones para el sistema de restricciones (a las que se denomina soluciones factibles o puntos factibles), el objetivo consiste en encontrar una de esas soluciones que represente una solución óptima (es decir una solución que del valor máximo o mínimo de la fusión objetivo).
En conclusión con lo que acabamos de revisar en la parte anterior sobre las inecuaciones nos da para definir literalmente el método grafico y el método algebraico dentro del ámbito de la programación lineal. Entonces el método grafico en la programación lineal es simplemente sacar de una situación (problema) ecuaciones lineales y convertirlas en desigualdades o inecuaciones para poder graficarlas y así sacar así sacar la región mas optima dependiendo del signo de la desigualdad esa área se sombreara y esa será la solución mas optima del problema. Para llegar a una solución óptima en el método grafico se requiere seguir con una serie de pasos que podemos dar a continuación: 1. formulación del problema El primer paso para la resolución por método grafico es expresar el problema en términos matemáticos en el formato general de la programación lineal (desigualdades) con un solo fin maximizar la contribución a la ganancia. 2. graficar las restricciones El próximo paso de la solución por método grafico es la graficación de las restricciones en el plano cartesiano para establecer todas las posibles soluciones .3. obtención de la solución optima: para encontrar la solución óptima, se grafica la función objetivo en la misma gráfica de las restricciones. Se graficara siempre la función objetivo del problema y se dará la solución de acuerdo con el símbolo que este presente en las restricción de la función objetivo.
EJEMPLO: Maximizar la función objetivo: Z= 3x + y Sujeto a las restricciones: 2x + y ? 8 2x + 3y ? 12 x, y? 0 A continuación graficamos las desigualdades planteadas en las restricciones así: 2x + y ? 8 x=0; y=8 x=0; x=4 2x + 3y ? 12 x=0; y=4 y=0; x=6 x, y? 0
Se observa que la región factible esta conformada por los puntos A(0,0); D(0,4); B(4,0) y el punto C que es el resultado de la intersección de las 2 inecuaciones cuyo valor aproximadamente en el plano esta dado por las coordenadas (3,2). Ahora bien el problema solicita la maximización de Z = 3x + y que se obtiene precisamente en el punto C(3,2).
La región factible es • conjunto de puntos externo a la intersección de los planos de las restricciones dadas • conjunto de puntos que satisfacen por lo menos dos de las restricciones dadas de puntos formado formado por por la la intersección de los planos los planos de las restricciones dadas • conjunto de puntos • el conjunto de todos los puntos que satisfacen al menos una restricción. La graficación de las restricciones en el plano cartesiano tiene por objeto: • Establecer la solución optima • Establecer cruce de variables Establecer todas las posibles las posibles soluciones • Establecer todas • Establecer el grado de degeneramiento de la función Considere un punto cualquiera sobre la frontera de una región factible. • Dicho punto no satisface las restricciones dadas. Dicho punto satisface todas las restricciones. • Dicho punto • Dicho punto satisface una sola restricción • Dicho punto satisface la función objetivo.
METODO ALGEBRAICO INTRODUCCIÓN En ocasiones nos encontramos con problemas de índole magnitud, a los cuales se desea maximizar o minimizar una función sujeta a ciertas restricciones. Muchas personas califican al método algebraico, como uno de los métodos más importantes en el campo de la programación lineal. En la actualidad es una herramienta común, que se ha prestado para resolver problemas de gran magnitud; por su simplicidad, sencillez y estilo de uso cientos de empresas, compañías de todo el mundo han ahorrado miles y miles de pesos. En este capitulo se tratara la formulación de problemas utilizando el método algebraico para la solución de problemas de programación lineal. Se hace un enfoque a la variedad de aplicaciones del método para que el estudiante interesado pueda tener una visión y ejercitar sus conocimientos. El método algebraico contempla en su desarrollo al método grafico y de la misma manera el método grafico no estaría completo sin la rigurosidad del método algebraico pues la apreciación visual que da el grafico en la solución óptima puede estar sujeta a error por parte del analista.
PASOS PARA UTILIZAR EL METODO ALGEBRAICO Dado que tenemos un problema de dos variables, podemos graficar las soluciones posibles y comprender algunos puntos interesantes respecto a las relaciones lineales. Veremos la siguiente manera de obtener gráficamente las soluciones al problema planteado y luego veremos como obtenerlas algebraicamente. 1. Exprésense los datos del problema como una función objetivo y 2. Graficar las restricciones. 3. Definir el conjunto factible. 4. Encontrar la solución óptima
restricciones.
A continuación se presentan el análisis algebraico y grafico de algunos problemas de programación lineal:
PROBLEMA 1: Supóngase una compañía fabrica 2 tipos de artefactos, manuales y eléctricos. Cada uno de ellos requiere en su fabricación el uso de 3 maquinas: A, B y C. un artefacto manual requiere del empleo de la maquina A durante 2 horas, de una 1 en B y una 1 en C, un artefacto eléctrico requiere de 1 hora en A, 2 horas en B y 1 hora en C. supóngase además que el numero máximo de horas disponible por mes para el uso de las tres maquinas es 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad que se obtiene con los artefactos manuales es de 4000 pesos y de 6000 pesos para los eléctricos. Si la compañía vende todos los artefactos que fábrica, ¿Cuántos de ellos de cada tipo se deben elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual?
Para un modelo de programación lineal de maximización • la regla de entrada garantiza que la función objetivo crecerá en cada recorrido. • la regla de entrada garantiza que la función objetivo no crecerá en cada recorrido. • la regla de entrada garantiza que la función objetivo decrecerá en cada recorrido. la función objetivo no decrecerá en cada recorrido. • la regla de entrada garantiza que la función En un problema de programación lineal se tiene la siguiente restricción:
y > ‐2x + 3 Cuál de las siguientes parejas de puntos pertenece a la región factible de la desigualdad: • x= 0; y= 0 • x=4; y= 4 • y=0; x= 3/2 • x =0; y =3
METODO SIMPLEX En las lecciones anteriores vimos como resolver problemas de programación lineal a través del método grafico y el método algebraico, surgen grandes limitaciones a la hora de trabajar con estos dos métodos, es decir que no es posible darle óptima solución a un problema. Esto se debe a que el método grafico no resulta práctico cuando el número de variables se aumenta a tres, y con más variables resulta imposible de utilizar. Por otra parte el método algebraico tarda demasiado tiempo aun para problemas de pocas variables y restricciones.
El mejor método para resolver un problema de programación lineal es el método simplex, ya que es un método de fácil aplicación, de tipo algorítmico y conduce a una eficiente solución del problema.
PASOS PARA EL DESARROLLO DEL METODO SIMPLEX 1. Elaborar la tabla simplex inicial.
Existen cuatro variables de holgura, S1, S2, S3, y S4; una para cada restricción. 1. Si todos lo indicadores del último renglón son no negativos, entonces Z tiene un máximo cuando X1=0, X2=0 y X3=0. El valor máximo es 0. Si existen indicadores negativos, localizar la columna en la que aparezca el indicador más negativo. Esta columna señala la variable entrante. 2. Dividir cada uno de los elementos de la columna de b que se encuentran por encima de la recta punteada entre el correspondiente elemento de la columna de la variable entrante. Se debe realizar esta división solo en los casos en los que el elemento de la variable que entra sea positivo. 3. Encerrar en un círculo el elemento de la columna de la variable entrante que corresponde al menor cociente del paso 3. Este es un elemento pivote. La variable saliente es la que se encuentra al lado izquierdo del renglón del elemento pivote. 4. Utilizar operaciones elementales sobre renglones para transformar la tabla en otra tabla equivalente que tenga un 1 en donde se encuentra el elemento pivote y 0 en las demás posiciones de esa columna. 5. La variable entrante debe reemplazar a la variable saliente en el lado izquierdo de esta nueva tabla. 6. Si todos los indicadores de la tabla nueva son no negativos, ya se tiene una solución óptima. El valor máximo de Z es el elemento del último renglón y la última columna. Ocurre esto cuando las variables se encuentran del lado izquierdo de la tabla son iguales a lo elementos correspondiente de la última columna. Todas las demás variables son ceros. Si cuando menos uno de los indicadores es negativo, se debe repetir el mismo proceso con la nueva tabla, comenzando con el paso 2.
EJEMPLOS DESARROLLADOS
La columna entrante se determina: • Con el indicador de menor negatividad • Con el indicador de mayor valor positivo el indicador de de mayor negatividad mayor negatividad • Con el indicador • Con el indicador de menor valor positivo Toda tabla del método simplex • Corresponde a un punto extremo del conjunto factible • Muestra un conjunto de ecuaciones transformadas • Muestra una solución básica factible de las ecuaciones en la forma estándar con restricciones de igualdad del modelo • Muestra una solución de las ecuaciones originales Las variables artificiales • Se usan en la fase I • Se usan como ayuda en la búsqueda de una solución inicial Se pueden usar para para encontrar los encontrar los precios precios óptimos duales en el cuadro el cuadro final final • Se pueden • Todo lo anterior
Act. 9 ‐ Quiz 2 ‐ Pésimo resultado miércoles, 03 de noviembre de 2010 01:25 a.m.
1 Puntos: 1 El primal es un modelo de maximización con m restricciones de igualdad y n variables no negativas. El dual tendrá: Seleccione una respuesta. a. las dos opciones presentadas opciones presentadas son validas b. es un modelo de minimización c. n restricciones y m variables no negativas
2 Puntos: 1 Una solución óptima degenerada Seleccione una respuesta. a. tiene de m variables positivas( siendo m el número de restricciones) b. puede no proporcionar información sobre el rango completo de aumento y disminución admisible de los coeficientes en función objetivo c. no proporcion no proporciona a información sobre óptimos alternativos d. todas las opciones dadas son validas
3 Puntos: 1 El análisis de sensibilidad Seleccione una respuesta. a. puede aumentar nuestra confianza en un modelo b. puede debilitar nuestra confianza en las recomendaciones de un modelo c. puede hacerse gráficamente en dos dimensiones d. todo las opciones dadas
4 Puntos: 1 En la programación lineal, el análisis de sensibilidad Seleccione una respuesta. a. puede a. puede tratar de los cambios en los coeficientes de la función la función objetivo b. puede referirse a cambios en el lado derecho c. todas las opciones dadas
5 Puntos: 1 Una restricción redundante
Seleccione una respuesta. a. siempre debe ser eliminada del modelo b. puede no ser fácil de reconocer c. puede c. puede ser no ser no muy fácil de fácil de reconocer y dejar y dejar de de serlo si se si se cambian los datos d. puede dejar de ser redundante si se cambian los datos
6 Puntos: 1 Un cambio en los coeficientes de la función objetivo, puede afectar la solución encontrada ya que Seleccione una respuesta. a. Puede cambiar únicamente cambiar únicamente el valor el valor de de la Función Objetivo. b. Conduce a un infinito número de soluciones c. No puede cambiar los precios duales. d. No puede conducir a que sea óptima la solución.
7 Puntos: 1 En el desarrollo de la tabla inicial simplex, las variables básicas que entran son: Seleccione una respuesta. a. Las variables que sean iguales a cero en el modelo. b. Las variables que definen la función la función objetivo. c. "Las variables formadas por La matriz identidad que ha sido agregada. d. Las variables definidas por el modelo.
8 Puntos: 1 Al Maximizar Z = 3 X1 + 2 X2; Sujeto a: X1 menor o igual 6; X2 menor o igual 7; X1 + 2 X2 menor o igual 8; X1, X2 mayor o igual a 0. La solución del problema es: Seleccione una respuesta. a. X1 = 2, X2 = 6 b. X1 = 6, X2 = 1 c. X1 c. X1 = 3, X2 3, X2 = 0 d. X1 = 0, X2 = 1
9 Puntos: 1 En El Desarrollo de la tabla Simplex inicial, las variables de Las Básicas hijo que Entran son: Seleccione una respuesta. a. Las variables definidas por el modelo. b. Las variables que sean iguales a cero en el modelo. el modelo. c. Las variables formadas por La matriz identidad que ha sido agregada. d. Las variables que definen la función objetivo.
10 Puntos: 1 Toda tabla del método simplex Seleccione una respuesta. a. Corresponde a un punto extremo del conjunto factible b. Muestra una solución de las ecuaciones originales c. Muestra un conjunto de ecuaciones transformadas d. Muestra una solución básica factible básica factible de las ecuaciones de la forma la forma estándar con restricciones de igualdad del igualdad del modelo modelo
11 Puntos: 1 El siguiente problema esta formulado como un problema de programación lineal: Función Objetivo Minimizar Z = 70 X1 + 350 X2 + 700 X3 Sujeto a: 1X1 + 2 X2 + 3 X3 mayor que 100 2X1 + 3 X2 + 1 X3 mayor que 200 3X1 + 2.5 X2 + 4 X3 mayor que 600 X1, X2, X3 mayor que 0 Seleccione una respuesta. a. S2 y X1 X1 b. X3 y S3 y S1 ‐ Usado en el quis del 2011 c. X1 y S1 d. S1 y X1
12 Puntos: 1 El dual es un problema de PL que se obtiene matemáticamente de un modelo primal de PL dado. Los problemas dual y primal están relacionados a tal grado, que la solución símplex óptima de cualquiera de los dos problemas conduce en forma automática a la solución óptima del otro. Es necesario potencializar el metodo Seleccione una respuesta. a. Mediante el análisis el análisis de sensibilidad b. La dualidad y el análisis de sensibilidad c. La dualidad y método grafico d. Mediante el método dual
13 Puntos: 1 Qué de lo siguiente no es verdad en el método simplex? Seleccione una respuesta. a. En cada iteración, el valor objetivo queda igual o bien mejora b. Converge en la mayoría de m pasos, siendo m el número el número de restricciones c. Indica si el problema es no acotado o factible d. Señala la optimalidad
14 Puntos: 1 En el sistema de ecuaciones 2x + 3y +6; 4x ‐2y +8; 5x +y+1;7x‐4y +2, Los coeficientes independientes son: Seleccione una respuesta. a. 2, 1, 1, 1 ‐ Usasa en el Quiz de 2011 b. 3,2, 0, 0 c. 6, 8, 1, 2 d. 1, 2, ‐1, 0
15 Puntos: 1 Se puede resolver con el método simplex Seleccione una respuesta. a. el dual b. tanto el primal como primal como el dual el dual c. el primal d. uno de los dos pero no ambos
Act. 9 ‐ Quiz 2 miércoles, 04 de mayo de 2011 08:00 a.m.
