Geometría Oscar Chapital Colchado Boleta: AL12506877 Unidad 3 Actividad 2 Utiliza las definiciones, postulados, teoremas y propiedades estudiados hasta el momento para resolver los siguientes ejercicios. Es necesario que justifiques cada resultado para que tu respuesta sea tomada como válida.
1. ¿Cuál de los ángulos de un triángulo de 30-60-90 está opuesto al cateto menor?
Se tiene un triángulo rectángulo como se muestra en la figura 1. Se tiene los segmentos AC = 4u y AB= 7u, el cateto menor es el segmento AC el ángulo opuesto es el ABC, para poder calcular la medida de ese ángulo recurrimos a la función trigonométrica de tangente que es: Tang α =
en este sentido el cateto opuesto es AC y el
cateto adyacente es AB, así tenemos:
Tang α =
=
= 0.571428
Para saber el ángulo, con el valor usamos tablas trigonométricas o con la inversa de la calculadora y tenemos que el resultado es 29.744856°. Por lo mostrado anteriormente el ángulo opuesto al cateto menor es de 30°.
2. Si se tiene la longitud del cateto mayor, de un triángulo de 30-60-90, ¿cómo se encuentra la longitud del cateto menor?
Se tiene un triangulo ABC como se muestra en la figura 2, donde el ángulo CAB = 90°, el ángulo ABC = 30° y el ángulo ACB = 60°. El cateto mayor es el segmento AB = 7u. para este problema usamos la función trigonométrica tangente y tenemos que:
Tang α =
y por el problema mostrado anteriormente,
sabemos que el ángulo de 30° es opuesto al cateto menor, entonces tenemos lo siguiente: Tang 30° =
al sustituir tenemos:
Tang 30° = para encontrar la longitud del cateto menor despejamos “Y” y tenemos: Y = (Tang 30°)(7) = (0.577350)(7) = 4.041451u Por lo tanto la medida del cateto menor es de 4.041451u. 3. Una Carreta que viaja por un camino de terracería tiene ruedas de 40 centímetros de radio y giran a una razón de 30 revoluciones por minuto. Si marcamos un punto en una rueda en el borde exterior y lo alineamos con el camino, entonces qué distancia recorre el punto en la rueda en un segundo de trayecto por el camino.
Tenemos una conferencia S como se muestra en la figura 3, el punto “A” que está en la carretera está alineado con el punto “A´”. Ahora se para facilitar el análisis, el sabe que la rueda gira en razón de problema nos pide el desplazamiento por segundo, entonces hacemos una conversión. Si un minuto tiene 60 segundos entonces tenemos:
=
=
.
Esto significa que da media revolución por un segundo, entonces habría que calcular el perímetro de la circunferencia y tomar la mitad que equivaldría a la media revolución, entonces tenemos: P = D ; entonces tenemos que el diámetro es de 80 cm P = (80)(3.1416) = 251.3274cm, lo que es el perímetro de la rueda, pero como en 1 segundo da media revolución entonces tenemos que la distancia que recorre es de 125.6637 cm.
4. Un superautopista en una de sus curvas tiene un arco que mide 150 metros de longitud. Determina el radio de la circunferencia que contiene al arco si el ángulo del arco mide 4 radianes. Tenemos que el arco mide 150m y se tiene que el ángulo del arco es de 4 radianes; lo primero por hacer es transformar los radianes a grados, si 1 radian es de 180° entonces 4 radianes es equivalente a 720°, ahora usamos la fórmula para el cálculo del arco de una circunferencia y tenemos: !
L= ; donde α = 720°, L = 150m, π = 3.1416. despejamos r que es le radio y tenemos: r= r=
"(
) !
sustituimos y tenemos:
(% )( ( .% % )(
°) °)
=
.'(
%
= 11.9366m
por lo que el radio de esa circunferencia que contiene al arco es de 11.9366m
5. Un automóvil se mueve a 40 km/h por una a carretera que tiene una curva cuyo radio es de 30 metros. ¿Qué medida tiene el ángulo en un minuto de trayecto?
Se tiene que la velocidad del vehículo es de 40 km/hr y dado a que el problema pide la respuesta en metros y minutos, entonces hacemos la conversión; sabemos que una hora consta de 60 minutos y que 1km es igual a 1000 metros, entonces tenemos: (
) % *
) (
%
% *
) (
% )
)=(
) = 666.666 m/min
Por lo que la medida del arco en un minuto es de 666.666m, usando la fórmula del ejercicio 4 tenemos: !
L= += +=
; donde despejamos α y tenemos:
"(
(
)
.
sustituimos y tenemos: )(
( .% % )(
°) )
=
((((. %''. (
(
= 1273.2382°, que equivale a 7.07π.
6. Considera los ángulos de un triángulo rectángulo distintos del ángulo recto; demuestra las siguientes equivalencias. Sea los ángulos y distintos de 90º, entonces: a. sen ( α) = cos (β )
Tenemos que α ≠ 90° y β ≠ 90° como se muestra en la figura 4, ahora por funciones trigonométricas tenemos que para α: Sen α =
.
=
Para el cálculo de β usamos las funciones trigonométricas (para esto rotamos la figura como lo muestra la figura 5), entonces tenemos: Cos β =
.
=
Por igualación tenemos que: sen ( α) = cos (β )
b. sen (β) = cos (α)
Tenemos que α ≠ 90° y β ≠ 90° como se muestra en la figura 5, ahora por funciones trigonométricas tenemos que para β:
Sen β =
.
=
Para el cálculo de α usamos las funciones trigonométricas (para esto rotamos la figura como lo muestra la figura 4), entonces tenemos: Cos α =
.
=
Por igualación tenemos que: sen (β) = cos (α)
