E R T I P A H C
1
Suites
ACTIVITÉS
(page 20)
Ac ti vi té 1 1. ) u1 = 2 ; u2 = 4 ; u3 = 8 ; u4 = 16 ; u5 = 32 ; u6 = 64 ; u7 = 128 ; u8 = 256 ; u9 = 512 ; u10 = 1 024. ) On passe de un à un+1 en multipliant par 2. ) (un) est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u1 = 2. ) un = u1 × qn–1 = 2 × 2 n–1 = 2n. 2. ) S = 2 + 2 2 + 23 + … + 2 64.
EXERCICES
m
0,005
= un(1 + 0,005) – m – =
m
0,005
m m 1v + 0,005 2(1 + 0,005) – m – 0,005 n
= 1,005vn. (vn) est une suite géométrique de raison r aison 1,005 et de premier terme v0 = u0 –
m
0,005
.
m 1u – 0,005 2 × (1,005) . m ) u = 1u – (1,005) + m 2 0,005 0,005
Donc vn = n
n
0
n
0
= u0 × 1,005n +
m
2 Poids total : 5 × 10 –2 × (265 – 2) ≈ 1,84 × 1018 grammes, soit 1,84 × 1012 tonnes. Le grenier devrait avoir un volume de 1,84 × 10 12 m3, ce qui correspond à un cube d’environ 12 164 mètres de côté soit 12,164 kilomètres.
Travaux dirigés (page 32)
16 a 1. ) Au bout d’un mois le capital a augmenté de 0,5 %, il a donc été multiplié par 1,005 et on lui l ui retranche le montant de la mensualité remboursée. ) Même explication que ). ) Il désire rembourser en 48 mensualités fxes donc le capital restant au bout de 48 mois, soit u48, sera nul. 2. ) vn+1 = un+1 –
2S = 2 × 2 + 2 × 2 2 + 2 × 2 3 + … + 2 × 2 64, donc 2S = 2 2 + 23 + … + 265. ) 2S – S = 22 + 23 + 24 + … + 264 + 265 – (2 + 22 + 23 + 24 + … + 2 64) = 265 – 2.
11 – (1,005)n2.
0,005 0,005 × u0 × (1,005)48 ) On a u48 = 0, donc m = . –1 + (1,005)48 On sait que u0 = 10 000 ; la calculatrice nous donne m ≈ 235 e.
b 1. B1 donne u0, D1 donne 0,5 % soit 0,005,
1 + D1 = 1 + 0,005, F1 donne 48. On retrouve alors la ormule du a 2.). 2. Dans B6 on afche u0 qui est en B1. Dans B7 on afche u1 = u0 × (1 + 0,005) – m, or m est en C3. (Le dollar permet de bloquer cette cellule.) Dans C7 on afche la diérence entre l’ancien et le nouveau capital, donc la part du capital qui est remboursée. Dans D7 on afche la diérence entre la mensualité et la part du capital, donc le montant de l’intérêt. 3. On obtient un total d’intérêts égal à 1 272,81 e. 4. ) Mensualité : 993,5 e. Coût total du crédit : 19 225,99 e. ) Mensualité : 711,32 e. Coût total du crédit : 63 395 e. 17 a 1. ) I a pour coordonnées (2 ; 2). 1 ) A’ est sur d , donc ses coordonnées sont 2 ; × 2 + 1 ; 2 soit (u0 ; u1). B” est sur d’, donc son ordonnée et son abscisse sont égales et il a la même ordonnée que A’, A’, donc ses coordonnées sont (u1 ; u1). B a la même abscisse que B”, donc B a pour coordonnées (u1 ; 0), etc. ) On trouve u4 très proche de 2.
1
Chapitre 1 ●
2
Suites
1
L S E . m r e T h t a m s n a r T – 2 1 0 2 n a h t a N ©
) Il semble que lim ( un) = 2. 2. ) La calculatrice répète toujours la même séquence de
calcul à partir du dernier résultat obtenu. On obtient donc les termes successis de la suite. ) On obtient : u0 = 5 ; u1 = 3,5 et u2 = 2,75. ) On obtient ensuite successivement : 2,375 ; 2,187 5 ; 2,093 75 ; …, puis, à partir d’un certain rang (environ 20 suivant les calculatrices), l’afchage donne 2, ce qui laisse à penser que la limite est 2.
EXERCICES
18 u11 = u10 × 2 = 32. u8 = u10 × 2–2 = 4. 19 q = 20
u1 u0
21 q =
= 3.
u24 ≠
u2 u1
u6 u5
.
= 2 ; u7 = 12 ; u8 = 24.
gÉnÉralitÉs sur les suites 22 1. u0 = 0 ; u1 = 8 ; u2 = 26 ; u3 = 54 ; u4 = 92. 2. u100 = 50 300. 3. u99 = 49 302. 4. un+1 = 5(n + 1)2 + 3(n + 1) = 5n2 + 13n + 8. u2n = 5 × 4 n2 + 6n = 20n2 + 6n. 23 1. u0 = 1 ; u1 = 5 ; u2 = 10 ; u3 = 17 ; u4 = 28. 2. u9 = 539. 3. un+1 = 2n+1 + 3n + 3. un+2 = 2n+2 + 3n + 6. 24 1. u0 = –1 ; u1 = 4 ; u2 = 11 ; u3 = 20. 2. On construit les points M 0(0 ; –1), M1(1 ; 4), M2(2 ; 11), M3(3 ; 20). 3. un+1 – un = 2n + 5 > 0. L S E . m r e T h t a m s n a r T – 2 1 0 2 n a h t a N ©
25 1. u0 = 3 ; u1 = 2 ; u2 = –0,5 ; u3 = –2,375 ; u4 = 0,320 312 5. 2. On place les points M 0(0 ; 3) ; M1(1 ; 2) ; M2(2 ; –0,5) ; M3(3 ; u3) ; M4(4 ; u4). 26 1. u0 = –2 ; u1 = –3 ; u2 = –4 ; u3 = –5 ; u4 = –6. 2. On place les points M 0(0 ; –2) ; M1(1 ; –3) ; M2(2 ;–4) ; M3(3 ; –5) ; M4(4 ; –6). 27 1. u0 = v0 = 3 ; u1 = v1 = 4 ; u2 = v2 = 6. 2. u3 = 23 + 2 = 10 ; v3 = 6 + 2 + 1 = 9. Jean a donc tort. 2
Chapitre 1 ●
1 u + 1 – 2 = 1 (v + 2) + 1 – 2 2 n 2 n
= 1 vn. 2 (vn) est donc une suite géométrique de raison 1 et de pre2 mier terme v0 = u0 – 2 = 3. 1 n. 2. ) vn = 3 × 2 1 n + 2. ) un = 3 × 2 n 1 ) lim = 0, donc : lim un = 2. 2
1 2 1 2
1 2
Entraînement (page 34) de tête
u25
b 1. vn+1 = un+1 – 2 =
Suites
28 1. u0 = –5 ; u1 = –2 ; u2 = 1 ; u3 = 4 ; u4 = 7. 2. un = –5 + 3 n. 3. u50 = 145. 29 1. r = u1 – u0 = 4. 2. un = 5 + n × 4. 3. u100 = 405. 30 1. –4 = 2 + 3 r ; r = –2. 2. un = 2 – 2 n. 3. u10 = –18. 31 un+1 – un = 3, donc ( un) est strictement croissante.
1 , donc (un) est strictement 32 un+1 – un = (n + 1)(n + 2) croissante. 33 un+1 – un = 3, donc ( un) est strictement croissante. 34 un+1 – un = –15, donc ( un) est strictement décroissante.
Étude de suites gÉomÉtriques 35 ) un+1 = 2 un, donc (un) est une suite géométrique de 3 raison 2 . 3 5 ) un+1 = un, donc (un) est une suite géométrique de raison 2 5. 2 36 ) un+1 = 3 un, donc (un) est une suite géométrique de 2 3 raison . 2 5 ) un+1 = un, donc (un) est une suite géométrique de raison 3 5. 3 37 ) un+1 = (5 × 3) un, donc (un) est une suite géométrique de raison 15. ) un+1 = (2 × 3) un, donc (un) est une suite géométrique de raison 6.
38 ) un+1 = 2 un, donc (un) est une suite géométrique de 5 raison 2 . 5 1 ) un+1 = un, donc (un) est une suite géométrique de raison 4 1. 4 39 ) un+1 = 3 un, donc (un) est une suite géométrique de 2 3 raison . 2 2 ) un+1 = – un, donc (un) est une suite géométrique de 5 2 raison – . 5
1 2
40 ) un+1 = –2un, donc (un) est une suite géométrique de raison (–2). 8 u , donc (u ) est une suite géométrique de ) un+1 = n 15 n raison 8 . 15 41 42 43
u1 u0 u1 u0 u1 u0
= 5; 3
u2 u1 u2
= 1 2; =
u2 u1
u1
= 25 = 5 (un) peut être géométrique. 3×5 3 = 2 ; ( un) n’est pas géométrique.
6 ; (u ) peut être géométrique. = 1 n 3
1 2 + 1 ; (u ) peut être géométrique. = 1 44 n 1 2–1 1 45 46
u1 u0 u1 u0
=
u2 u1
= –4 ; ( un) peut être géométrique.
= –6 ;
u2 u1
≠
–6 ; (un) n’est pas géométrique.
47 1. q2 = 25 et q > 0, donc q = 5 et u1 = 10. 2. un = 2 × (5) n. 48 1. q3 = 27, donc q = 3. u1 = –3 ; u2 = –9. 2. un = –(3)n. 3. u9 = –(3)9 = –19 683. 4. u10 = –59 049. 49 1. q3 = –125, donc q = –5. u1 = 10 ; u2 = –50. 2. un = –2 × (–5) n. 3. u6 = –2 × (–5) 6 = –31 250. 4. u7 = –156 250. 50 1. q2 = 9 et q < 0, donc q = –3 et u1 = 7 × (–3) = –21. 2. un = 7 × (–3) n. 51 un+1 – un = u0 × qn+1 – u0qn = u0 × qn × (q – 1). ) un+1 – un = 2 × 3 n × 2 = 4 × 3 n. (un) est croissante. ) un+1 – un = –3 × 2n × 1 = –3 × 2 n. (un) est décroissante. 52 un+1 – un = u0 × qn × (q – 1).
1 n × – 2 = – 10 × 3 3 3 (un) est décroissante. 1 n× –1 = 7 × ) un+1 – un = –7 × 2 2 2 (un) est croissante. ) un+1 – un = 5 ×
1 2 1 2
1 2 1 2
1 n. 3
1 2
1 n. 2
1 2
53 un+1 – un = u0 × qn × (q – 1). ) Ici u0 = 5 et q = 3, donc un+1 – un = 5 × 3n × 2 = 10 × 3 n, donc (un) est croissante. 1 1 1 ) Ici u0 = et q = 3, donc un+1 – un = × 3n × 2 = × 3n, 4 4 2 donc (un) est croissante. 54 un+1 – un = u0 × qn × (q – 1). 1 ) Ici u0 = 10 et q = , 2 n n donc un+1 – un = 10 × 1 × – 1 = –5 × 1 , 2 2 2 donc (un) est décroissante. 1 1 ) Ici u0 = et q = , 3 2 n n donc un+1 – un = 1 × 1 × – 1 = – 1 × 1 , 3 2 2 6 2 donc (un) est décroissante.
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
55 un+1 – un = u0 × qn × (q – 1). 1 ) Ici u0 = –5 et q = , 5 n n donc un+1 – un = –5 × 1 × – 4 = 4 × 1 , 5 5 5 donc (un) est croissante. 1 1 2n ) Ici u0 = – et q = 2, donc un+1 – un = – × 2n × 1 = – , 3 3 3 donc (un) est décroissante.
1 2 1 2
1 2
56 1. ) À chaque étape, un est divisé par 2, donc on défnit une suite géométrique de raison 2. 1 n. ) un = u0 × qn = u0 × 2 n0 n0 u 1 2. ) On veut : u0 × < 0 , soit 1 < 1 . 100 2 2 100 On obtient n0 = 7. ) C’est donc entre 6 et 7 demi-vies, soit environ 50 jours, que la quantité résiduelle sera inérieure à 1 % de la quantité d’origine. 3. ) Voir 1.). 1 n. ) vn = v0 × 2 4. C’est entre 6 et 7 demi-vies, soit environ 200 ans, que la quantité résiduelle sera inérieure à 1 % de la l a quantité d’origine.
1 2 1 2
1 2
1 2
57 1. u0 = 30 ; u1 = 60 ; u2 = 120 ; u3 = 240. 2. (un) est une suite géométrique de raison 2. 3. un = 30 × 2 n. 5 On veut : 30 × 2 n > 10 × 10 5, soit 2n > 10 . 3 5 215 = 32 768 ; 216 = 65 536 et 10 ≈ 33 333,33. 3 Il audra eectuer au moins 16 manipulations pour avoir une bande de papier de plus de 10 km de long. Chapitre 1 ●
Suites
3
L S E . m r e T h t a m s n a r T – 2 1 0 2 n a h t a N ©
58 1. u1 = 1,04 × 10 000 = 10 400 ;u2 = 10 816 ; u3 = 11 248,64. 2. ) (un) est une suite géométrique de raison 1,04. ) un = 10 000 × (1,04) n. ) u10 = 14 802, donc au 1 er janvier 2020, Louis disposera de 14 802 e. 59 1. Pn+1 = 19 Pn, donc (Pn) est une suite géométrique 10 19 de raison . 10 19 n. 2. Pn = P0 × 10 19 n > 50. 3. On veut 10 1,96 ≈ 47,04 ; 1,97 ≈ 89,39. Au bout de 7 semaines, le poids de la larve aura été multiplié par plus de 50. 60 1. ) On a : pn+1 = 1 – 1 pn = 0,99 pn. 100 ( pn) est une suite géométrique de raison 0,99. ) pn = p0 × (0,99)n. 2. On a maintenant : pn = 1 013 × 0,99 n. ) À 1 000 mètres, p10 = (0,99)10 × 1 013 ≈ 916 hPa. ) On veut : 900 = (0,99) n × 1 013, soit (0,99)n = 900 ≈ 0,888 45. 1 013 On trouve (0,99) 11 ≈ 0,895 3 et (0,99)12 ≈ 0,886. L’observateur est donc entre 1 100 m et 1 200 m.
1 2 1 2
1
2
Pour les exercices 61 à 65 La boucle « Pour » ou la boucle « Tant que » permet de passer d’un terme au suivant en multipliant par une constante. On a donc une suite géométrique. 61 Ici, la raison est 3 et le premier terme u0 est égal à 2 ; 2 3 le dernier terme calculé est u3, égal à 3 × 2 = 27 . 2 4 4 62 Ici, la raison est et le premier terme u0 est égal à –3 ; 3 5 le dernier terme calculé est u5, égal à 4 × (–3) = – 1 024 . 3 81 63 Ici, la raison est 2 et le premier terme u0 est égal à 10 ; le dernier terme calculé est u4, égal à 2 4 × 10 = 160.
1 2
1 2
u6 = 26 = 64. Au bout de deux heures, il y a 64 bactéries.
3. 219 = 524 288.
220 = 1 048 576. Au bout de 400 min, soit 6 h 40 min, le nombre de bactéries dépassera 1 000 000. 10 1– 1 2 = 200 1 – 1 10 = 200 – 100 68 S = 100 × 1 2 29 2 = 200 – 100 ≈ 199,805. 512 69 S = – 3 (1 – 510) = 7 324 218. 218. 4
1 2
1 1 22
1 – 1 1 2 210 1 1 –31 70 S = 1 × = × = 1 + 1 2. 31 31 1 – 1 2 1 – 1 2 2 71 S = – 3 1 – 1 2 3
1 1 22 10
≈
–4,5.
72 S = 5 11 – (–3)102 = –73 810. 4 12 1– 1 2 = 25 1 – 1 = 25 – 1 = 4 095 . 73 S = 16 × 212 27 128 1– 1 2
1 2
1
2
8 8 74 S = 1 × 1 – 3 = 1 3– 3 = 3 280 . 27 1 – 3 –3 × 2 27 7 7 75 S = 1 × 1 – 5 = 5 – 1 = 78 124 . 25 1 – 5 100 100
1– –1 3 76 S = 9 × 1 1+ 3
1 2
6 3 = 3 1 – 16 = 182 . 4 3 27
1
2
n+1 77 1 – 2 = 63 ; 2 n+1 = 64 ; n + 1 = 6, n = 5. 1–2
78 2 × 1 – 3 = 2 186 ; 1 – 3 n+1 = –2 186 ; n + 1 = 7, n = 6. 1–3 n+1
79 1.
P
U
S
Initialisation
0
4
4
Étape 1
1
3×4
12 + 4
65 Ici, la raison est 0,5 et le premier terme u0 est égal à 4. n On a : un = 4 × 1 et on arrête au premier terme inérieur 2 6 à 0,1, c’est-à-dire u6 = 4 × 1 = 0,062 5. 2
Étape 2
2
12 × 3 16 + 36
Étape 3
3
36 × 3
160
Étape 4
4
324
484
Étape 5
5
972
1 456
66 1. un+1 = 2un. On a donc une suite géométrique de raison 2. 2. En 2003, u16 = 216 × 2 300 = 150 732 800.
Afchage
64 Ici, la raison est 2 et le premier terme u0 est égal à 5. On a un = 5 × 2 n et on arrête au premier terme supérieur à 100, c’est-à-dire u5 = 5 × 2 5 = 160. L S E . m r e T h t a m s n a r T – 2 1 0 2 n a h t a N ©
2. u3 = 23 = 8. Au bout d’une heure, il y a 8 bactéries.
1 2
1 2
67 1. un+1 = 2 un, ( un) est donc une suite géométrique de raison 2. 4
Chapitre 1 ●
Suites
1 456
2. S = 4 + (3 × 4) + (3 × 4) × 3 + (3 × 4 × 3) × 3 + 4 × 3 4
+ 4 × 35 somme des six premiers termes de la suite géométrique de premier terme 4 et de raison 3.
3.
90 ) lim (Sn) =
Initialisation
Donner Donner Donner Donner
à à à à
N P 4 S
la la la la
valeur valeur valeur valeur
19 0 –1 –1
1 = 10. 1 – 0,9 7 91 ) lim (Sn) = 1 = . 3 1– 4 7 1 = 11 . ) lim (Sn) = 2 1– 9 11 ) lim (Sn) =
Traitement
Tant que p < N Donner à P la valeur P + 1 Donner à U la valeur 2U Donner à S la valeur S + U Sortie
Afcher S
Pour les exercices 80 à 82 À chaque boucle on ajoute à S le terme suivant de la suite. Attention à l’ordre des calculs. 80 Premier terme u0 = 3, dernier terme u3. S contient 4 termes. S = 1 970. 81 Premier terme u0 = 8, raison 3 , dernier terme u4. 2 S = 105,5.
limites 83 ) lim (un) = + ∞. ) lim (un) = 0 (ici 0 < q < 1).
3,14 > 1 . 3 ) lim (un) = + ∞ (ici q ≈ 1,15 > 1). 36 – 35 = 1 , donc 0 < < 1 . 85 ) lim (un) = 0 ici q = q 42 42 45 > 1 . ) lim (un) = + ∞ ici q = 44 86 lim (1,1)n = + ∞, donc lim ( un) = – ∞.
1
2
1
1
87 lim
92 ) lim (Sn) = + ∞. ) lim (Sn) = + ∞. 93 ) lim (Sn) = + ∞. ) lim (Sn) = + ∞. n+1 94 1. Sn = 90 × 1 – q . 1–q 2. Si lim Sn = 150, alors 0 < q < 1 et lim S n =
82 Premier terme u0 = 3, raison 2. S = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 186. L’algorithme s’arrête car S > 100.
84 ) lim (un) = + ∞ ici q ≈
1 = 10 . 1 – 0,1 9
2
2
1 1 23 2 = 0, donc lim ( u ) = 0. n
n
88 lim (0,99)n = 0, donc lim ( un) = 0.
Pour les exercices 89 à 93 Sn+1 – Sn = qn+1 > 0 donc (S n) est strictement croissante. De n+1 plus, ici, Sn = 1 – q , donc si 0 < q < 1 alors lim ( qn+1) = 0 1–q et lim (Sn) = 1 . 1–q Si q > 1 alors lim (qn+1) = + ∞, lim (1 – qn+1) = – ∞, 1 – q < 0 donc lim (S n) = + ∞. 89 ) lim (Sn) = 1 = 2. 1– 1 2 1 = 3. ) lim (Sn) = 2 1– 1 3
90 , 1–q
d’où : 150 = 90 . Soit q = 0,4. 1–q 95 1. r = 3,236 236 236… = 3 + 0,236 + 0,000 236 + 0,000 000 236 + … –3 = 3 + 236 × 10 + 236 × 10–6 + 236 × 10–9 + … 2. On a un+1 = un × 10–3 ; donc (un) est une suite géométrique de raison 10–3. 1 – (10–3)n . 3. Sn = u1 + u2 + … + un = 236 × 10 –3 × 1 – 10–3 n+1 –3 4. Ici : q = 10 , donc 0 < q < 1 et lim ( q ) = 0, donc –3 lim Sn = 236 × 10–3 = 236 . 1 – 10 999 236 = 3 233 . 5. On a : r = 3 + 999 999
suites arithmÉtic arithmÉtico-gÉomÉtriques o-gÉomÉtriques 96 1. u1 = –1 ; u2 = –5 ; u3 = –13 ; u4 = –29. 2. ) vn+1 = (2un – 3) – 3 = 2(vn + 3) – 3 – 3 = 2 vn. Donc (vn) est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme v0 = u0 – 3 = –2. ) vn = –2 × 2 n = –(2n+1). 3. un = vn + 3 = 3 – (2 n+1). 4. lim 2n = + ∞, donc : lim vn = – ∞. 97 1. u1 = 6,5 ; u2 = 7,25 ; u3 = 7,625 ; u4 = 7,812 5. 1 u + 4 – 8 = 1 (v + 8) + 4 – 8 = 1 v . 2. ) vn+1 = 2 n 2 n 2 n Donc (vn) est une suite géométrique de raison 1 et de pre2 mier terme v0 = u0 – 8 = –3. 1 n. ) vn = –3 × 2 1 n. 3. ) un = vn + 8 = 8 – 3 × 2 ) u10 ≈ 7,997. 1 n = 0, donc : lim u = 8. 4. lim n 2
1
2
3
4
1 2
1 2
1 2
Chapitre 1 ●
Suites
5
L S E . m r e T h t a m s n a r T – 2 1 0 2 n a h t a N ©
98 1. u1 = –1 ; u2 = 2 ; u3 = 11 ; u4 = 38. 2. ) vn+1 = un+1 + a = 3un + 5 + a. ) vn+1 = 3(vn – a) + 5 + a = 3vn + 5 – 2 a. 5 ) (vn) est géométrique lorsque 5 – 2 a = 0, soit : a = . 2 On a alors : vn+1 = 3vn, la raison est 3 et le premier terme 5 5 = 1. v0 = u0 + = –2 + 2 2 2 5 1 3. ) a = , donc, d’après 2.), vn = × 3n. 2 2 1 5 n ) un = vn – a = × 3 – . 2 2 1 5 ) u10 = × 310 – = 29 522. 2 2
102 1. u1
2.
= 2 ; u2 = 8 ; u3 = 29 . 3 9
y d ∆
u0
O
99 1. u1 = 0 ; u2 = 6 ; u3 = –6 ; u4 = 18. 2. ) vn+1 = un+1 + a = –2un + 6 + a. ) vn+1 = –2(vn – a) + 6 + a = –2vn + 6 + 3 a. ) (vn) est géométrique pour 6 + 3 a = 0, soit : a = –2. On a alors : vn+1 = –2un, la raison est –2 et le premier terme v0 = u0 – 2 = 1. 3. ) D’après 1. ), on a vn = (–2)n. ) un = vn + 2 = (–2) n + 2. ) u15 = –32 766.
= 16 ; u2 = 7 ; u3 = 11,5 ; u4 = 9,25. 1 2. ) vn+1 = – un + 15 – 10. 2 = – 1 (vn + 10) + 5 = – 1 vn. 2 2 (vn) est donc une suite géométrique de raison – 1 et de pre2 mier terme v0 = u0 – 10 = –12. 1 n. ) vn = (–12) × – 2 1 n+1 . ) S’n = –8 1 – – 2 1 n + 10. 3. ) un = (–12) × – 2 ) Sn = S’n + (n + 1)10. 1 n = 0, donc : ) lim – 2 lim S’n = –8 et lim S n = + ∞. 100 1. u1
3
4
1 2 1 1 2 2 1 2
1 2
101 10 1
y d d’
L S E . m r e T h t a m s n a r T – 2 1 0 2 n a h t a N ©
4
1 O
6
1 M0
Chapitre 1 ●
M1
Suites
M2 M3
x
u1 u2 u3
4
x
On peut penser que lim un = 4. 2un + 4 3. ) vn+1 = – 4. 3 2(vn + 4) + 4 – 12 = 2 vn, donc (vn) est une suite vn+1 = 3 3 2 géométrique de raison . v0 = u0 – 4 = –3. 3 n 2 ) vn = –3 × 3 2 n. un = 4 – 3 × 3 n 2 lim = 0, donc : 3 lim un = 4.
1
2
1 2 1 2
1 2
103 1. ) un +
1 = (0,85 an + 18) – 120 = (0,85(un + 120) + 18) – 120 = 0,85 un, donc (un) est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme u0 = –70. ) On a : un = –70 × (0,85) n, donc an = 120 – 70 × (0,85) n. ) an+1 – an = 70 × 0,85 n(1 – 0,85) = 70 × (0,85) n × 0,15 = 10,5 × (0,85) n. an+1 – an > 0, donc la suite est croissante. ) a20 ≈ 117,27 et ( an) croissante, donc pour n > 20 on a an > 117 ; de plus : 120 – 70 × (0,85) n < 120. Donc pour n > 20, 117 < an < 120. Au bout de 20 ans, l’eecti est « stable ». 2. ) On note gn le nombre d’heures de gymnastique à prévoir par semaine pour l’an 2006 + n : 60 a + 2 × 40 a = 14a . gn = n 100 n 100 n Donc gn = 14(12 – 7 × (0,85) n). ) Le nombre de séances par semaine est égal à : n gn = 14(12 – 7 × (0,85) ) . 20 20 14(12 – 7 × (0,85) n) > 8. On cherche alors n tel que 20 n Soit : 14 × 12 – 7 × 14 × (0,85) > 160 ou 168 – 160 > 7 × 14 × (0,85)n, c’est-à-dire 8 > 98 × (0,85) n. On peut résoudre à l’aide des logarithmes ou grâce à la calculatrice. On obtient n = 16. C’est donc à partir de 2006 + 16 = 2022 qu’il audra prévoir plus de 8 séances par semaine.
) En 2015, r 5 ≈ 31 856 tonnes. 3. r 6 > 30 000 et r 7 < 30 000.
104 1. y
À partir de 2010 + 7 = 2017, l’entreprise réussira à respecter son engagement.
12
106 1.
8 1 , + x 5 8 0 , y = x
=
y 1
O
1
u0 u1 u2 u3
12 x
On peut penser que lim un = 12. 2. ) vn+1 = (0,85un + 1,8) – 12 = 0,85(vn + 12) – 10,2 = 0,85 vn, donc vn est une suite géométrique de premier terme v0 = –4 et de raison q = 0,85. ) vn = –4 × (0,85) n. un = vn + 12 = 12 – 4 × (0,85) n. ) vn+1 – vn = –4(0,85)n (0,85 – 1) = 0,6 × (0,85) n > 0. Donc (vn) est croissante. un+1 – un = ( vn+1 + 12) – ( vn + 12) = vn+1 – vn, donc ( un) est aussi croissante. ) lim (0,85)n = 0, donc lim un = 12. u8 ≈ 10,9 et ( un) croissante, donc si n > 8, on a : un > u8 > 10. un = 12 – 4 × (0,85) n, donc un < 12. Donc pour n > 10, on a : 10 < un < 12. 3. ) D’une année sur l’autre, 85 % des abonnés se réabonnent, soit 0,85un et 1,8 millier d’abonnés sont nouveaux. D’où : un+1 = 0,85un + 1,8. ) Le nombre d’abonnés en 2020 est 1 000u10, soit environ 11 212 suivant cette estimation. = 38 200 ; r 2 = 36 490. 2. L’entreprise réduit de 5 % la quantité de déchets qu’elle rejette, il en reste 0,95 r n, mais il s’ajoute 200 tonnes de 100 nouveaux déchets. Donc r n+1 = 0,95r n + 200. 2. ) sn+1 = (0,95r n + 200) – 4 000 = 0,95(sn + 4 000) – 3 800 = 0,95sn, donc (sn) est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme v0 = 40 000 – 4 000 = 36 000. ) sn = 36 000 × (0,95) n ; r n = 36 000 × (0,95) n + 4 000. ) r n+1 – r n = 36 000 × 0,95 n(0,95 – 1) = –1 800 × (0,95) n. r n+1 – r n < 0, donc ( r n) est décroissante. La quantité de déchets diminue d’une année sur l’autre. ) r n = sn + 4 000 ; 0 < 0,95 < 1, donc lim sn = 0 et lim r n = 4 000. 105 1. r 1
Janv Janvier ier 2012 2012 Févrie Févrierr 2012 2012 Mars Mars 2012 2012 0 1 Rang du mois 2 300 2 323 2 346,23 Recette 800 820 840,5 Coûts 1 500 1 503 1 505,73 Bénéfce 2. ) (Rn) et (Cn) sont des suites géométriques de raisons respectives 1,01 et 1,025. Rn = 2 300 × (1,01) n. Cn = 800 × (1,025) n. ) Bn = Rn – Cn = 2 300 × (1,01) n – 800(1,025)n. 3. ) Bn+1 – Bn = (Rn+1 – Rn) – (Cn+1 – Cn) = (2 300 × (1,01) n × (1,01 – 1) – (800 × (1,025) n × (1,025 – 1). D’où : Bn+1 – Bn = 2 300 × (1,01) n × 0,01 – 800 × (1,025) n × 0,025 = 23 × (1,01) n – 20 × (1,025) n. 23 > (1,025)n ) 23 × (1,01) n – 20 × (1,025) n > 0 ⇔ 20 (1,01)n 1,025 n < 23 . ⇔ 1,01 20 n 1,025 La suite (vn) défnie par vn = est croissante car 1,01 1,025 > 1. 1,01 À l’aide de la calculatrice, on obtient : v9 < 23 et v10 > 23 . 20 20 Donc la suite (B n) est croissante pour n ∈ {0 ; 1 ; 2 ; … 9}, puis décroissante. 4. À partir du mois de novembre l’artisan aura une baisse de bénéfce par rapport au mois précédent. 1 2 = 1 + 3 = 7. 107 a 1. A2 = 1 + 3 × 2 4 4 2 A3 = 7 + 9 × 1 = 7 + 9 = 37 . 4 4 4 16 16
1 2
1
2
1 2
1 2
2. )
Afchage
Initialisation 1re boucle 2e boucle 3e boucle
1 7 4 43 16
N
U
1
1 7 4 43 16 309 16
2 3 4
L’algorithme s’arrête car N > 3. ) Proposition 1, vraie (pour n = 2). Proposition 2, ausse : u3 ≠ A3. b 1. ) B1 = A1 – 4 = –3. 3 3 3 ) Bn+1 = An – 3 = (Bn + 4) – 3 = Bn. 4 4 4 3 ) (Bn) géométrique de raison et de premier terme B 1 = –3. 4 n–1 3 ) Bn = × (–3). 4
1 2
Chapitre 1 ●
Suites
7
L S E . m r e T h t a m s n a r T – 2 1 0 2 n a h t a N ©
2. 0 <
1 34 2 < 1 et lim A = lim B + 4 = 4. n
n
Au bout d’un grand nombre d’étapes, pratiquement toute la surace est colorée bien qu’il y ait de plus en plus de petits carrés non coloriés. In = Rn – Cn = Rn – (aRn–1 + b). D’où : Rn – (aRn–1 + b) = c(Rn–1 – Rn–2). Soit Rn = cRn–1 – cRn–2 + aRn–1 + b. Rn = (a + c)Rn–1 – cRn–2 + b. 2. ) Si a = 1 et b = 0, alors, on a R n = (1 + c)Rn–1 – cRn–2. D’où : Rn+2 = (1 + c)Rn+1 – cRn = Rn+1 + c(Rn+1 – Rn) (1), donc : Rn+2 – Rn+1 = c(Rn+1 – Rn) (2). De (1) on peut aussi obtenir : Rn+2 = Rn+1 + cRn+1 – cRn ; soit Rn+2 – cRn+1 = Rn+1 – cRn (3). ) On a un+1 = cun, donc (un) géométrique de raison c. ) un = u0cn, d’où Rn+1 – Rn = (R1 – R0)cn. ) vn+1 = Rn+2 – cRn+1. D’après (3), on a : vn+1 = Rn+1 – cRn = vn, donc ( vn) est constante et pour tout naturel n, vn = R1 – cR0. ) un – vn = (Rn+1 – Rn) – (Rn+1 – cRn) = Rn(c – 1), d’où (R1 – R0)cn – (R1 – cR0) = Rn(c – 1), d’où Rn = 1 3(R1 – R0)cn – (R1 – cR0)4. c–1 Si R0 = 100 et R 1 = 110, alors Rn = 1 3(110 – 100c) – 10cn4. 1–c n 1 Si c = , alors Rn = 4 85 – 10 1 . 4 3 4 108 1.
1
1 22
À chaque étape, le nombre de triangles non coloriés est multiplié par 3, donc ( un) est géométrique de raison 3. ) un = 3n. 2. ) À chaque étape, on ajoute autant de triangles coloriés qu’il y avait de triangles non coloriés à l’étape précédente, donc : v1 = u0, v2 = u0 + u1, …, vn = u0 + u1 + … + un–1. 1 – 3n = 3n – 1 . ) vn = –2 2 3. On a 3 > 1, donc lim (3 n) = + ∞. Donc lim (un) = + ∞ et lim (vn) = + ∞. 4. ) À chaque étape, dans les triangles non coloriés, on colorie un quart de la surace, donc il reste trois quarts de la surace non coloriée. n n On a donc wn = w0 × 3 = 3 . 4 4 3 3 n = 0, d’où lim ( w ) = 0. ) On a 0 < < 1, donc lim n 4 4 L 3. 1 110 0 1. x 0 = 3 ; ,0 = 1 ; p0 = 3 ; A 0 = S 11 E 4 . 1 ; p = 4 ; m r x = 12 ; , = 1 1 e T 3 1 h t 1 × 1 3 × 1 = 1 3 + 1 3 = 1 3. a m A1 = A0 + 3 × s 3 2×3 2 4 12 3 n a r 1 ; p = 48 × 1 = 16 ; T – x 2 = 48 ; ,2 = 9 2 9 3 2 1 0 1 3 1 2 A = A + 12 × × ×1 2 1 n 9 2×9 2 a h t a 3 = 1 3 + 1 3 = 10 1 3. N = A1 + 1 © 27 3 27 27 109 1. )
1 2 1 2 11 2 2
8
Chapitre 1 ●
Suites
2. x n+1 = 4 x n, d’où ( x n) est une suite géométrique de raison 4
et x n = x 0 × 4n = 3 × 4 n. 1 3.,n+1 = ,n, d’où (,n) est une suite géométrique de raison 3 1 et , = l0 × 1 n = 1 n. n 3 3 3 1 n = 3 × 4 n. 4. pn = x n × ,n = 3 × 4 n × 3 3 4 > 1 d’où : lim 4 n = + ∞, donc : lim( p ) = + ∞. n 3 3 5. À l’étape ( n + 1) on a rajouté x n triangles équilatéraux de côté ,n+1, donc l’aire est augmentée de : 3 , × 1 = 3 × 4n × 1 n+1 × 1 3 × 1 n+1 × 1 1 x n × ,n+1 × 2 n+1 2 3 2 3 2 1 × 1 n × 1 × 1 n × 4n × 1 3 nombre ba se se hauteur = 3 × de triangles 3 3 3 3 4 nouveaux n n 3 = 1 × 1 × 1 × 4n × 1 3 3 3 4 n 3 × 1 × 4n = 1 3 × 4 n. = 1 12 9 12 9 3 × 4 n. Donc : An+1 = An + 1 12 9 n–1 3 4 . An = An–1 + 1 12 9 3 4 n–2. An–1 = An–2 + 1 12 9
1 2 1 2 1 2 11 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
3 4 . A2 = A1 + 1 12 9 3. A1 = A0 + 1 12 En additionnant membre à membre on obtient, après simplifcation : 3 + 1 3 × 4 1 + … + 1 3 × 4 n–2 + 1 3 × 4 n–1. An = A0 + 1 12 12 9 12 9 12 9 n–1 2 3 1+ 4 + 4 +…+ 4 Soit : An = A0 + 1 12 9 9 9 n 3 × 1 – 4 × 9. ou An = A0 + 1 12 9 5 n On a : 0 < 4 < 1, donc lim 4 = 0, 9 9 3 × 9 = 1 3 + 9 1 3 = 2 1 3. d’où : lim A n = A0 + 1 12 5 4 60 5 1
1 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 22 11 2 2
Pour la logique (Non ) : il existe un entier naturel p et un entier naturel q tels que p < q et u p > uq. 2. ) () signife que la suite ( un) est croissante. ) (Non ) signife que la suite ( un) n’est pas croissante. 1 ) Si ∈ ]2 ; + ∞[, alors 0 < < 1. Donc : 111 1.
112 11 2
q
q
n lim 1 = 0. L’afrmation est vraie. q 3 1 2 1 n = 0. ) Si q = , alors = et lim 2 3 q q Donc l’afrmation est ausse.
1 2
1 2
113 ) u5 = 3u4. Donc :
u5 u4
= 3. Afrmation vraie.
) Si u4 = 1, u5 = 3 et u6 = 5, alors
(un) n’est pas géométrique. Afrmation ausse.
EXERCICES
u5 u4
= 3 et
u6 u5
≠
3. Donc
Ici la raison est q = 0,9 et on sait que un = u0 × qn. 2. S = u0 + u1 + u2 + … + u100 = 1 500 + 1 500 × 0,9 + 1 500 × 0,9 2 + … + 1 500 × 0,9 100. 3. Ici q = 0,9, u0 = 1 500 et n = 100. 101 101 Donc : S = 1 500 × 1 – 0,9 = 1 500 × 1 – 0,9 . 1 – 0,9 0,1 116 11 6 1. et 2. Voir 115, 1. et 2. 3. Ici q = 1,1, u0 = 1 000 et n = 120. 121 121 Donc : S = 1 000 × 1 – 1,1 = 1 000 × 1 – 1,1 . 1 – 1,1 –0,1 117 11 7 Ici q = 0,8, u0 = 500 et n = 50. 51 51 Donc : S = 500 × 1 – 0,8 = 500 × 1 – 0,8 1 – 0,8 0,2 = 2 500 × (1 – 0,851) ≈ 2 499,97. 115 1.
aPProfondissement 1. ) Si n = 1 : x + 1 = 0 donne x = –1.
) Si n = 2 : x 2 + x + 1 = 0. Ici
∆
= –3, il n’y a donc pas de
solution réelle. 2. ) Le premier terme est 1 et la raison x . 1 – x n+1 . ) 1 + x + … + x n = 1 – x 3 Si n = 2, alors 1 + x + x 2 = 1 – x . 1 – x 3 1 – x = 0 s’annule pour x = 1, mais ici x ≠ 1, il n’y a donc pas de solution.
EXERCICES
) ∀n ∈ N, un ∉ N.
1 – x n+1 = 0. 1 – x • Si n est pair, alors n + 1 est impair. La onction x x n+1 ne prend qu’une seule ois la valeur 1, pour x = 1. Or ici x ≠ 1, il n’y a donc pas de solution. • Si n est impair, alors n + 1 est pair. La onction x x n+1 est strictement décroissante sur ]– ∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; + ∞[. Elle vaut 1 pour les seules valeurs x = –1 et x = 1. Or ici x ≠ 1, il y a donc une seule solution x = –1. • Si x = 1 alors 1 + x + … + x n = n + 1 et ne s’annule pas. 1 – 216 = 216 – 1, 119 1. 1 + 2 + 2 2 + … + 2 15 = 1–2 donc A < 216. 1 – 2n+1 = 2n+1 – 1, 2. 1 + 2 + 2 2 + … + 2 n = 1–2 n n+1 donc 1 + 2 + … + 2 < 2 . 1 – qn+1 = qn+1 – 1 . 3. 1 + q + q2 + … + qn = 1–q q–1 n+1 Or q > 2 donc q – 1 > 1 et q – 1 < qn+1 – 1. q–1 n n+1 D’où : 1 + q + … + q < q . 3. On suppose x ≠ 1 alors (E) devient
120 12 0
1. vn+1 = un+1 + c = a × un + b + c.
Or un = vn – c, donc vn+1 = a(vn – c) + b + c = avn + b + c(1 – a). 2. Si c =
b a–1
alors vn+1 = avn + b – b = avn.
(vn) est donc une suite géométrique de raison a et de premier terme v0 = u0 + b . a–1
Le jour du BAC (page 48)
Vrai ou faux 122 12 2
) ∃n ∈ N, un < 0.
Accompagnement personnalisé (page 47)
soutien
118 11 8
114
1. Vrai. Voir défnition.
2. un+1 = 2un – 1, donc u1 = 2 × 2 – 1 = 3 et u2 = 2 × 3 – 1 = 5. Donc vrai.
3. un+1 = 3un + 1, donc u1 = 3 × 2 + 1 = 7, u2 = 3 × 7 + 1 = 22 et u3 = 3 × 22 + 1 = 67. Donc vrai.
4. un+1 = un + b. Vrai, (un) est arithmétique de raison b. 5. un+1 = un + b. Si b ≠ 0 alors (un) n’est pas géométrique.
Donc aux. 6. un+1 = aun, donc vrai, ( un) est géométrique de raison a. 7. Faux, on a un = u0 × an = 2 × an. 8. un+1 = un + b, (un) arithmétique de raison b, donc un = u0 + nb = 2 + nb. Donc vrai. 9. Vrai : un+1 = un + 1, donc un+1 > un. Chapitre 1 ●
Suites
9
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Problèmes 123 12 3
124 12 4
1. u2 = 0,8 × 1 000 + 300 = 1 100 ; u3 = 1 180.
2. 80 % des donateurs renouvellent leur don, soit 0,8 un et
on a 300 nouveaux donateurs. Donc un+1 = 0,8un + 300. 3.
y
P a
1. u1 = 14 760, u2 = 15 550,4. 2. ) v0 = 19 000. ) vn+1 = (1,04un + 200) + 5 000 = 1,04( vn – 5 000) + 5 200
= 1,04vn. (vn) est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme v0 = 19 000. ) vn = 19 000 × (1,04) n. ) Donc un = 19 000 × (1,04) n – 5 000.
P b 1. En 2020 le salaire est noté u8. u8 ≈ 21 003.
2. Avec la calculatrice, on cherche la plus petite valeur de n
telle que 19 000 × (1,04) n – 5 000 > 28 000. On trouve n = 15. Le salaire aura doublé à partir de 2027.
0 3 0 + 8 x 0 , = y
125 12 5 x
) On ore 5 % de plus que la veille, soit 1,05 un et on
=
y
O
u0 u1 u2
x
La représentation graphique permet de penser que ( un) est croissante et converge vers 1 500. 4. ) vn+1 = 1 500 – (0,8 un + 300) = 1 500 – 10,8(1 500 – vn) + 3002 = 0,8vn, donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme v0 =1 500 – u0 = 500. ) lim vn = 0, donc lim un = 1 500. Le nombre d’adhérents, au bout d’un certain temps, se stabilisera vers 1 500. 500.
L S E . m r e T h t a m s n a r T – 2 1 0 2 n a h t a N ©
10
Chapitre 1 ●
Suites
1. ) u2 = 1,05 × 100 + 20 = 125.
ajoute 20. Donc un+1 = 1,05un + 20. 2. ) v1 = v1 + 400 = 500. ) vn+1 = (1,05un + 20) + 400 = 1,05( vn – 400) + 420 = 1,05 vn. Donc (vn) est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme v1 = 500. ) vn = 500 × (1,05) n–1 et un = vn – 400 donc un = 500 × (1,05) n–1 – 400. 1 – 1,05n = 10 000 (–1 + 1,05 n). v1 + v2 +…+ vn = 500 × 1 – 1,05 u1 + u2 + … + un = v1 – 400 + v2 – 400 + … + vn – 400 = v1 + v2 + … + vn – n × 400. Donc u1 + … + un = 10 000(–1 + (1,05) n) – n × 400. On utilise la calculatrice et on trouve 22 jours.
