iTAKAAN JIPAN
ATIMUR
]
KALKULUS DIFERENSIAL
MuHAMMAD Rnznu MnUMUD N, SrnEenB FnnronwAw MnnpAUNG
$u.*[]:,il51^
Kalkulus Diferensial Copl,right@Muhammad PtazaJJ, Mahmud N. Siregar, Faridawaty N{arpaung
Hak Cipta dilindungi oleh Undang-Undang Nomor 19 Tahun2002. Dilarang memperbanyak/menyebarluaskan dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari penerbit Ghalia Indonesia.
Penerbit Ghalia Indonesia, Agusrus 2010 Jl. Rancamaya Km. 1 No. 47, Nangka, Ciawi - Bogor 16120
'Warung
Telp.: (0251) 8240628 (runting) Fax.: (0251) 8243617 e-mail: editorialperti@gmail. com
Perpustakaan Nasional Katalog Daiam Terbitan (KDT) Muhammad Raza)s,, Mahmud N. Siregar, Faridawaty Marpaung
I(alkulus Diferensial, Cet. 1 Bogot: Penetbit Ghalia Indonesia, 2010 x + 246 hlm; 175 mm x 250 mm ISBN: 97 B-97 9 -450-581 -6
I
t
Kalkulus merupakan mata kuliah keahlian dasar yang dipelajari oleh mahasiswa jurusan matematika, sains dan teknik. Ia merupakan mata kuliah utama yang mengantarkan mahasiswa untuk dapat memahami cabang-cabang matematika tingkat tinggi, mengingat perannya sebagai fundamen yang menopang keahlian matematika lanjut dan keahlian keteknikan.
Materi kalkulus terdiri atas dua cabang utama, yaitu kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Masing-masing cabang dibangun dengan uraian teori dan aplikasi yang cukup banyak dan buku ini membahas khusus tentang kalkulus diferensial. Pemaparan buku ini disusun secara rinci, menyertakan beragam contoh aplikasi kalkulus diferensial pada berbagai bidang, seperti fisika, kimia, bisnis, ekonomi, demografi, sosiologi, dan lain-lain. Buku ini memuat lebih dari 160 contoh soal dan penyelesaiannya. Solusi-solusi soal yang melibatkan angka dan simbol semaksimal mungkin disertai dengan penjelasan yang mudah dipahami. Di samping itu, buku ini mengupayakan agar pembuktian teorema dan rumus-rumus tidak terlalu mendominasi, sehingga buku ini dapat menjadi acuan bagi mahasiswa selain jurusan matematika. Dari sisi struktur sususannya, buku ini disusun dalam lima bab. Bab satu hingga bab tiga merupakan pengantar awal yang sangat diperlukan untuk memasuki bab empat yang membahas tentang turunan, teorema-teorema turunan dan teknik-teknik menentukan turunan beragam fungsi. Bab satu merupakan pengantar yang bersifat membuka wawasan pembaca seputar topik-topik yang dibahas dalam kalkulus. Bab
7 dua dikhususkan pada pembahasan fungsi mengingat mayoritas topik kalkulus terkait dengan fungsi. Bab tiga memberi penjelasan lengkap tentang konsep limit yang merupakan fundamen yang mendasari kalkulus. Bab empat secara khusus membahas tentang turunan, definisinya, teorema-teorema turunan, dan teknikteknik untuk mencari turunan sebarang fungsi. Bab lima membahas penafsiran dan contoh aplikasi kalkulus diferensial.
Kepada mahasiswa, penulis menyampaikan bahwa cara baik belajar kalkulus adalah Anda haruS membacanya sambil menggoreskan pulpen pada kertas dan ikut terlibat mencoba menyelesaikan setiap contoh soal dan latihan yang diberikan. Jika jawaban rinci bagi setiap contoh soal telah tersedia, Anda disarankan untuk tetap mencoba menyelesaikan kembali jawabarurya dengan goresan pulpen Anda sendiri, kemudian bandingkan jawaban Anda dengan jawaban yang tersedia. Gunakan kalkul4tor sebagai alat bantu komputasi dan bahkan jika memungkinkan, jangan ragu-ragu menggunakan perangkat lunak (software) seperti Mathematica, Maple, atau Matlab untuk berkesperimen dengan soal yang diberikan. Latihan soal sebanyak mungkin adalah kunci sukses yang akan mengantarkan Anda pada keberhasilan dalam mempelajari kalkulus. Penulis berhutang budi kepada para pakar matematika di sepanjang abad hingga abad ini, yang pemikiran dan ide-ide brilian mereka telah menjadi dasar pemikiran yang memenuhi buku ini.
Penulis menyadari masih banyak materi yang belum dibahas di sini dan juga pada kekurangan di dalam buku ini, menjadi harapan untuk terus berkarya lebih baik di masa yang akan datang.... Semoga!
Muhammad Razali
Mahmud N. Siregar Faridawaty Marpaung
=
Daftar Isi
V
ix
BAB
1.
A. B.
PENGANTAR MENUJU KALKULUS Apakah Kalkulus
itu..............
Fundamen yang Dibutuhkan Untuk Memulai Pelajaran
C. Himpunan Bilangan... D. Variabel
E. Selang F. Pertaksamaan............ G. Nilai Mutlak ................ H. Rumus Jarak ........ [. Koordinat Titik Tengah Garis Lurus J. Persamaan Lingkaran K. Trigonometri.............. BAB 2 FUNGSI
A. Pendahuluan............... B. Definisi Fungsi.......
1
Kalkulus...........
3
4 6 6 7
'12 16 17 17 18
25 25
27
7 C. Fungsi Sebagai Proses lnput-Output................ D. Penyajian Fungsi E. Jenis-Jenis Fungsi
F.
Linier........ G. Menggambar Grafik Fungsi dengan Mathematica............... Lebih Lanjut dengan Persamaan
BAB 3 LIMIT DAN KONTINUITAS.........
A. Pendahuluan .............. B. Limit Fungsi C. Limit Arah Kiri dan Limit Arah Kanan................. D. Syarat Keberadaan Limit Fungsi....... E. Menentukan Limit Fungsi dengan Grafik
30 30 34 54 60 69 69 69 71.
/J 75
F.
Menentukan Limit Fungsi dengan Substitusi Langsung..
77
G. H.
Menentukan Limit Fungsi dengan Manipulasi Aljabar
79
Sifat dan Aturan Dasar Penghitungan Limit....
84
I. I.
Limit Fungsi Trigonometri
..............
87
Definisi Formal tentang Limit..........
95
K.
Limit yang Melibatkan Bentuk Tak Hingga................. L. Menghitung Limit dengan Mathematica ............... M. Kontinuitas Fungsi ...............
N. Masalah Garis Singgung O. Laju Perubahan..{......
dan Laju Perubahan..{................
BAB 4 TURUNAN
97 101
102 107 111
125
A. Pendahuluan.............. B. Turunan.... C. Langkah-Langkah Menetukan Turunan... D. Beberapa Notasi Turunan E. Eksistensi Turunan...
127
F.
130
Turunan G. Menyatakan Turunan dengan Notasi Leibniz H. Persamaan Implisit dan Turunannya I. Turunan Kedua atau Lebih Tinggi........ I. Turunan Fungsi Trigonometri .............. K. Turunan Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma. Aturan-Aturan dalam Menentukan
125
126
128 129
1,40 1,41,
L46 1,47
152
L.
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
M.
Fungsi Hiperbolik dan
N.
Menentukan Turunan Fungsi yang Dinyatakan Secara
BAB
5
A. B.
C.
................
159
Turunannya
762
Numerik...
TURUNAN Pendahuluan.............. Aplikasi 1 : Penafsiran Turunan Aplikasi 2:Laju Perubahan Terkait Waktu.......
PENAFSIRAN DAN APLIKASI
766 171.
177 1,71,
200
D. Aplikasi 3 : Hampiran Linier dengan Memanfaatkan Caris Singgung..... 204 E.
Aplikasi 4 : Memahami Makna Diferensial
dy...............
207
Aplikasi 5 : Metode Newton untuk Pencarian Akar Persamaan f(x) = 6.. G. Aplikasi 6 : Turunan untuk Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum F.
Fungsi H. Aplikasi 7: Aplikasi Turunan pada Masalah Optimisasi I.
I.
21.0
217
............
224
Aplikasi 8 : Aplikasi Turunan pada Aturan L'Hopital.................. 230 .. 23L Aplikasi 9 : Ekspansi Fungsi ke Deret Maclaurin.
DAFTAR
PUSTAKA
239
GLOSARIUM............... TENTANG
241,
PENULIS
245
Daftar Isi
BAB
PENGANTAR MENUJU KALKULUS
A.
APAKAH KALKULUS ITU?
Para ahli mengatakan, bahwa salah satu sumbangan yang paling besar bagi ilmu matematika, sains, dan rekayasa modern ialah penemuan kalkulus menjelang akhir abadl7. Dikatakan bahwa tanpa cabang utama ilmu matematika ini, banyak prestasi teknologi, seperti pendaratan manusia di bulan, tentunya akan sulit atau tidak mung-
kin dicapai. Sehari-hari kita sering mendengar dan menyebut kata "mengkalkulasi" yung artinya menghitung. Kata "mengkalkulasi" adalah kata yang dekat dengan kata "kalkulus". Kalkulus berasal dari bahasa latin yang berarti "batu ketikil". Nama ini barangkali asalnya ialah karena batu kerikil dipergunakan beribu-ribu tahun yang lalu untuk menghitung dan mengerjakan soal hitungan.
Dua orang yang hidup dalam abad ke-17 berjasa sekali dengan Penemuan kalkulus, yaitu Sir Isaac Newton dari Inggris dan Gottfied Wilhelm von Leibniz dari Jerman. Ide pokok kalkulus dikembangkan secara sendiri-sendiri oleh mereka selama
bertahun-tahun. Newton yang merupakan ahli ilmu alam yang sangat terkenal, menerapkan kalkulus pada teori gerak dan gravitasi. Teori ini yang sering disebut sebaf,ai hukum Newton memungkinkan dia menggambarkan secara matematis semua benda dalam jagadraya, daripelemparan bola sampai kepada perputaran bumi dan planet-planet lain dalam tata surya di sekeliling matahari.
Sebelum era Newton dan Leibniz, ilmu matematika yang dipergunakan untuk memecahkan soal adalah semacam matematikayangdiajarkan di sekolah menengah
modern. Matematika itu meliputi mata pelajaran seperti ilmu hitung, aljabar, geometri, dan trigonometri. Prinsip dasar mata pelajaran ini dikenal paling tidak 1.500 tahun sebelum Newton dan Leibniz. Meskipun prinsip matematika yang dipelajari dalam mata pelajaran ini berguna untuk memecahkan bermacam-macam soal tertentu, namun prisip-prinsip itu tidak semuanya cocok untuk memecahkan soal-soal mengenai jumlah yang berubah-ubah atau bervariasi. Adalah dengan
.i 1';ia:
maksud menghitung kuantitas yang berubah-ubah dan bervariasi dalam kehidupan kita sehari-hari, maka ditemukan kalkulus. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa kalkulus adalah matematika perubahan,l Di mana terdapat gerak dan perubahan, maka kalkulus menjadi alatyangpaling tepat untuk memodelkannya secara matematis.
Tujuan utama kalkulus adalah analisis masalah-masalah perubahan yang dibangun dari penyelidikan garis singgung kurva dan perhitungan luas dan isi bangun geometri. Dua masalah ini sangat mendasar, sebab kita hidup di dunia yang terus berubah, bergerak dan fenomena pasang surut. Demikian juga sangat banyak tema dalam matematika tingkat tinggi yang memanfaatkan ide-ide kalkulus. Oleh sebab itu, dikatakan kalkulus merupakan pintu gerbang menuju hampir semua cabang matematika tingkat tinggi. Hingga saat ini kalkulus tetap menjadi topik hangat, karena teknik penghitungan dalam kalkulus masih tetap berfungsi sebagai bahasa kuantitatif utama dari ilmu pengetahuan dan teknologi. Tak hanya itu, penerapan kalkulus penerapan kalkulus merambah semakin luas hinggapada cabang ilmu sosial seperti bisnis, ekonomi dan psikologi. Kalkulus terbagi dalam dua cabang, yaitu kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Kalkulus diferensial berurusan dengan gradien garis singgung kurva yang merupakan bentuk geometri dari turunan yang sering ditafsirkan sebagai laju perubahan, seperti laju perubahan jarak terhadap n aktu, laju perubahan kecepatan terhadap waktu, laju perubahan temperatur, laju perubahan muatan listrik, laju perubahan populasi dan sebagainya. Ia juga berurusan dengan penentuan nilai maksimum atau minimum yang dapat dicapai oleh suatu fungsi kontinu. Adapun kalkulus integral berurusan dengan penentuan sebuah fungsi asal yang fungsi turunannya diketahui. Misalnya, kecepatan dari sebuah benda yang bergerak adalah merupakan fungsi turunan dari fungsi asal, yaknijarak yang ditempuh oleh benda tersebut pada sebarang waktu. Artinya jika sebuah rumus bagi kecepatan sebuah benda diketahui sebagai fungsi dari waktu, maka kita dapat menggunakan integral untuk mendapatkan rumus yang menjelaskan sejauh mana jarak yang ditempuh benda tersebut dari titik berangkatnya pada sebarang waktu. Ia juga berurusan dengan
L
Dari artikel Murray Spiegel
d'
IH
;;,,.,ti,,i:::l'," 2 ttttitttttttttttt,ll,,,,ll',]]',,: .' ::::::::::::::::::::::::::).:):.:1:a:aaaaaa:l:aLaaa:a:aaaa:
IL
l(alkulus Diferens:lal
pada
llmu Pengetahuan Populer Jld. 2, Grolier Intemational, Inc. 1988
penentuan panjang lintasan sebuah kurva,luas area bidang datar tak beraturan yang dibatasi oleh beberapa kurva, volume-volume bangun dimensi tiga yang dibatasi oleh selubung (kurva) permukaan, pusat gravitasi dari sebuah benda, nilai rata-rata suatu fungsi, kerja atau usaha yang dilakukan oleh sebuah gaya yang beraksi pada sebuah benda, dan sebagainya.
Diferensial dan integral merupakan dua sisi yang saling melekat dalam kalkulus. Satu sisi merupakan proses balikan dari yang lain. Satu dan lainnya tidak bisa dipisahkan dan saling berdiri sendiri. Sains dan rekayasa modern menggunakan diferensial dan integral secara bersamaan untuk menyatakan beragam hukum alam dengan memanfaatkan bahasa matematika dan menjelaskan dampak dari hukumhukum tersebut.
B. FUNDAMEN YANG DIBUTUHKAN UNTUK MEMUTAI PELAJARAN KALKUTUS Secara umum, beberapa cabang matematika seperti aljabar, geometri analitik, fungsi dan trigonometri merupakan fundamen yang dibutuhkan untuk menguasai kalkulus. Selain itu, beberapa istilah berikut ini akan sering kita jumpai pada kalkulus. "rril:
Himpunan bilangan. Perhitungan pada kalkulus didasari oleh sistem bilangan real. Oleh sebab itu, kita akan mengawali fundamen dengan membahas sistem himpunan bilangan.
'i.." Variabel. Kalkulus dan matematika tidak terlepas dari penggunaan simbol-simbol untuk menyatakan sebuah besaran yang nilainya berubah-ubah. Besaran seperti ini dinamakan oariabel. Oleh karena nilai sebuah variabel dapat menjelajahi angka-angka dalam wilayah bilangan real, maka kita perlu memahami tentang selang interval dan pertaksamaan.
.:3
Fungsi dan grafik fungsi. Mayoritas bagian dari kalkulus terkait dengan fungsi dan grafik fungsi. Hal ini karena fungsi atau persamaan merupakan alat yang paling tepat untuk menyatakan hubungan antara dua buah variabel atau lebih. Fungsi atau persamaan merupakan dasar dari setiap pemodelan matematika. Grafik sebuah kurva juga merupakan salah satu alat untuk mengamati perilaku hubungan antara dua variabel atau lebih. Grafik kurva merupakan visualisasi dari fungsi atau persamaan. Pembahasan tentang fungsi akan selalu terkait dengan grafik atau kurva. Hal ini disebabkan karena grafik dapat dipakai untuk mempelajari persamaan dan demikian pula sebaliknya.
d:
Kontinuitas. Fungsi atau persamaan yang dibahas dalam kalkulus biasanya bersifat kontinu. Dalam perhitungannya, kalkulus diferensial dan integral sering mensyaratkan adanya sifat kontinuitas pada fungsi. Oleh sebab itu, konsep
Menuju ffil-.
rry
lGlkulns r
3
-'5-.-r'--*i
kontinuitas merupakan salah satu aspek penting yang harus dipahami dengan baik manakala kita ingin mempelajari kalkulus.
'$ rl .r
ril
Limit. Konsep limit fungsi merupakan tulang punggung yang mendasari kalkulus diferensial dan integral. Definisi-definisi yang dibangun serta pembuktian rumus-rumus dan teorema-teorema dasar dalam diferensial dan integral selalu menggunakan ide limit. Oleh sebab itu, pemahaman yang baik mengenai kalkulus akan sulit dicapai manakala konsep limit tidak dipahami dengan baik.
C. HIMPUNAN BILANGAN Bilangan dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa himpunan:himpunanbilangan bulat, himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan irasional, himpunan bilangan real, himpunan bilangan khayal (bilangan imajiner) dan himpunan bilangan komplek. Perhitungan dalam kalkulus berdasarkan sistem bilangan real.
Bilanganbulat terdiri dari semua bilangan bulat positif dan negatif. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai hasilbagi dari dua buah bilangan bulat seperti:
1,2=
u, -1.1= -1\' +=!
5102
Himpunan bilangan rasional terdiri dari semua bilangan bulat dan sebagian bilangan pecahan.
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua buah bilangan bulat. Ia merupakan kebalikan dari bilangan rasional dan tak satu pun bilangan bulat yang merupakan bilangan irasional. Berikut ini beberapa contoh bilangan irasional:
Ji
=1.,41.421g562... ;1og 12=1,079181.2...; e=2,778281828...; sin210=0,358368...
Titik'...'bermakna angka dibelakang koma terus dapat ditulis tanpa batas. Bilangan rasional dan irasional memiliki perbedaan yaitu: angka di belakang koma pada bilangan irasional tidak pernah habis dan tidak mempunyai pola berulang. Sedangkan angka di belakang koma pada bilangan rasional selalu mempunyai pola berulang. Misalnya bilangan berikut ini adalah rasional, karena angka dibelakang koma mempunyai pola berulang:
L
0,77777777...
= 911
ar.t
E
= 1,1818181818....
Bilangan real rneliputi semua bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan irasional. Jika diilustrasikan secara skematis maka keadaannya seperti berikut:
-l bilangan irasional bilangan real
bilangan bulat
sebagian dari bilangan pecahan
Bilangan khayal atau bilangan imajiner muncul akibat mengambil akar bilangan negatif. Bilangan khayal adalah bilangan yang satuannya i di mana i = J-7 . Misalnya: 2i, -34i,0,6i,dan lain-lain. Himpunan bilangan khayal berdiri sendiri di luar himpunan bilangan real. Perhitungan dalam kalkulus tidak melibatkan himpunan bilangan khayal.
Bilangankomplek dinyatakan dengan simbol zterdiri dari dua komponen,yattu komponen real dan komponen khayal. Bilangan komplek biasa ditulis z = x + yi di mana x merupakan komponen real dari z dan y merupakan komponen lchayal z. Misalnya z=3+2i atauz=-45-l2idanlain-lain.Jikadiilustrasikansecaraskematis, maka keadaannya seperti berikut bilangan khayal
bilangan real
Dari skema ini, tampak bahwa bilangan komplek meliputi semua himpunan bilangan yang ada. Namun, kembali kita ingatkan bahwa bilangan komplek tidak menjadi bilangan dasar perhitungan dalam kalkulus. kalkulus menggunakanbilangan real. Sebelum kita lanjutk ant, ada dua hal penting yang selalu harus diingat dalam kalkulus, yaitu:
pertama, tidak diijinkan membagi dengan nol. Pernyataan-pernyataan seperti:
1,-9 11
2' o'2'2'
x+3
2+7-9
dianggap sebagai t ak-t er ilefinisi (undet'ined). kedua, akar dari bilangan negatif adalah tak-terdefinisi.Misalnya,
fi
adalahtak-teilefinisi
Ini karena perhitungan kalkulus berdasarkan sistem bilangan real.
Sementara
akar dari bilangan negatif terdefinisi hanya pada himpunan bilangan khayal.
:i :l
D. VARIABEL Dalambanyak masalahpemodelanmatematik, seringkali kita harus menggunakan notasi, misalnya a,b, x, untuk menyatakan besaran yang belum diketahui nilainya seperti waktu, volume, kecepatan, percepatan t gaya. Besaran yang belum diketahui nilainya ini disebut oariabel. Dalam memilih notasi sebuah variabel, dapat digunakan huruf-huruf seperti fl, b, c, ffir /t, x, y dan sebagainya. Tetapi dalam beberapa kasus adalah lebih baik menggunakan huruf awal dari besaran yang dimaksud. Misalnya notasi t (time) untuk menyatakan variabel waktu, zt (volume) untuk menyatakan volume, F (force atau gaya) untuk menyatakan variabel gaya dan sebagainya.
Variabel adalah besaran yang nilainya tidak tetap dan dimungkinkan untuk berubah-ubah. Kebalikan dari pengertian ini dinamakan konstanta. Peubah adalah nama lain yang sering digunakan untuk menyatakan variabel. Misalkan x adalah sebuah variabel yang menyatakan umur atau daya tahan bola lampu merk tertentu. Jika dianggap bahwa umur tertingginya adalah 3500 jam, maka selang atau jelajah nilai yang mungkin bagi x adalah setiap bilangan real yang berada pada Dalam contoh ini, r disebut variabel yang menyatakan umur atau daya tahan bola lampu, Akan sebab nilainya dimungkinkan untuk berubah-ubah dalam selang maka di x dinamakan jlkax misalnya3200jam, sini nilainya, ditetapkan telah tetapi, konstanta, bukan variabel. Mengapa disebut konstanta? Karena nilai r telah ditetapkan pada satu harga saja dan tidak berubah-ubah lagi.
E.
SETANG
Selang merupakan himpunan bilangan real yang sering digunakan dalam kalkulus untuk menyatakan garis bilangan. Nama lain bagi selang adalah interval di mana padanya terdapat bilangan tertentu yang menjadrbatasbawah danbatas atas. Secara umum selang terbagidua,yakni selang terbuka dan selang tertutup. Selainnya adalah kombinasi salah satu di antara keduanya. Misalkan a dan b adalah bilangan real di mana a
Gambar
1.1
tt
Adapun selang tertutup dari a ke b dinyatakan dengan lambang [a , b] atau dalam notasi pembentuk-himpunan {* I a
Gambar 1.2
Ingat bahwa pada selang terbuka dan selang tertutup terdapat perbedaan tanda kurung, yakni tanda kurung biasa ( ) untuk selang terbuka dan tanda kurung siku [ ] untuk selang tertutup. Seringkali kita menggabungkan kedua tanda ini sekaligus, misalnya (a, b] untuk menyatakan selang a < x < b atau [a, b) untuk menyatakan a < x < b. Tabel berikut ini menampilkan beragam selang yang sering muncul dalam kalkulus. Lambang
Notasi Pembentuk-Himpunan
Tipe
(a,b)
{xla
Selang terbuka
la,bl
{xla(x(bi {xla
Selang tertutup Selang semi terbuka
{xlx(a1
Selang semi terbuka
{xlx
a}
Selang terbuka
(a,bI
a,b) (-co, al
cco,
a)
(a, m) [a, co)
{xlx
)
a}
*
Selang terbuka Selang semi terbuka
Himpunan semua bilangan real Selang terbuka
t-m.oo) Tanda
Selang semi teibuka
oO menyatakan "tak terhingga" baik itu positif atau negatif.
F. PERTAKSAMAAN Sebuah ekspresi matematika disebut pertaksamaan jika di dalamnya terlibat simbol-simbol seperti : <, >, 3, 2. Ketika berurusan dengan pertaksamaan, kita harus mengingat kaidah-kaidah berikut ini.
1. 2.
Jika a < b, menambah atau mengurangkan kedua ruas dengan sebuah bilangan c, tidak mengubah tanda pertaksamaan. Jika a <
b, mengalikan kedua ruas dengan
sebuah bilangan positif c tidak meng-
ubah tanda pertaksamaan.
3.
b, mengalikan kedua ruas dengan sebuah bilangan negatif c akan mengubah tanda pertaksamaan (yakni dari < menjadi > atau sebaliknya)
Jika a <
r 4. Jika0
maka 1,/a > 1,/b
Contohl: selesaikanpertaksamaan (a)
2x+3>x-5 (b)4-9x<6+7x
Penyelesaian:
(a) 2x+3>x-5 ir
I I
1'. i
l
x+3>-5 x>-8
(b) 4-9x<6+7x -9x <2 + 7x -2x <2
x>-L
-
kurangkan kedua ruas dengan
x
(
kaidah 1);
Tambahkan kedua ruas dengan -3 (kaidah 1);
Jadi penyelesaiannya adalah himpunan semua bilangan real yang lebih.besar dari -8. Dalam notasi pembentuk himpunan ditulis {x I x > -8};
-
Tambahkan kedua ruas dengan - 4 (kaidah
i);
Kurangkan kedua ruas dengan 7x (kaidah 1); Kalikan kedua ruas dengan-1/z (kaidah4); Perhatikan bahwa tanda < berubah menjadi > ketika kedua rnas dikalikan dengan bilangan negatif r/2. Ini adalah konsekuensi kaidah 4 . Jadi, penyelesaiannya adalah semua bilangan real yang lebih besar dari -1.
Selain mengikuti kaidah-kaidah tersebut, kita juga dapat menyelesaikan pertaksamaan dengan memindah ruas suku-sukunya atau koefisien suku-suku tersebut. Cara ini lebih cepat. Lihat contoh-contoh berikut.
>x-5 (d) - 9x < 18
Contoh2:selesaikanpertaksamaan: (a) 2x+3
(b)
9x<18
(c)9x>18
(e) 18 < -9x
Penyelesaian:
(a) 2x+3>x-5
2x-x>-5-3 x>-8
-
pindahkan +3 yang ada di ruas kiri ke ruas kanan dan x yang ada di ruas kanan ke ruas kiri;
-
sederhanakanmasing-masing ruas;
- jadi penyelesaiannya adalah
himpunan semua bilangan real yang lebih besar dari -8. Dalam notasi pembentuk himpunan ditulis {x I x > - 8}.
Untuk soal b hingga e, kita sengaja memberi angka yang sama, namun hanya dibedakan oleh tanda positif, negatif dan arah pertaksamaan. Tujuannya adalah agar jelas bagi kita bahwa pemindahan ruas bagi koefisien suku tidak akan mengubah tanda pertaksamaan jika koefisien yang dipindah-ruas bernilai positif. Sebaliknya, jika
koefisien yang dipindah-ruas bernilai negatif akan mengubah tanda pertaksamaan (dari < menjadi > atau sebaliknya). Mari kita perhatikan penyelesaiarurya:
(b)
-
pindahkan +9 yang ada diruas kiri ke ruas kanan;
pindahkan +9 ke ruas kanan;
x>2
-
(d) - 9x < 18 x> 18/ -9
-
9x < 18
< 78/2 x<2 x
(c)
9x > 18
x>
18/2
18 <
Perhatikanbahwatanda < tidakberubahmenjadi > karena koefisien x yakni 9 bernilai positif. sederhanakan masing-masing ruas;
perhatikanbahwa tanda > tidakberubah menjadi < karena koefisien x yakni 9 bernilai positif. pindahkan -9 ke ruas kanan; perhatikan bahwa tanda < berubah menjadi > karena koefisien x yang di pindah-ruas, yakni -9 bernilai negatif;
- solusi akhir. - pindahkan -9 ke ruas kiri; - perhatikan bahwa tanda < berubah menjadi > karena
x> -2
(e)
sederhanakan masing-masing ruas;
-9x
L8/-2 >x
koefisien x yang di pindah-ruas dari ruas kanan, yal
-
-2> x
solusi akhir. Solusi ini dapat ditulis menjadi x < -2.
Terkadang kita berhadapan dengan pertaksamaan yang bentuknya:
122. O, 1 ,
O,
a.b < 0 atau a.b >
0. Untuk menyelesaikan pertaksamaan seperti ini
maka kita harus mengingat aturan-aturan berikut ini:
i. Jika '2 1 .O,maka ii.
1
lika
;2
>
a<0danb >0 atausebaliknya:a>0danb <0
0,makaa> 0danb>
0
atausebaliknya: a < 0danb <0
iii. Jika a.b < 0, maka a < 0 danb > 0 atau sebaliknya:a > 0 danb < 0 iv. Jika a.b > 0, maka a > 0 danb > 0 atau sebaliknya:a < 0 danb < 0 Contoh 3: Selesaikan pertaksamaan-pertaksamaan berikut ini.
(a) **5 ,o 4x-72
(b) ',**! x+2
.,
Penyelesaian:
(a) Menurutaturan(ii),pecahar,
i1l
,g
bernilaipositif (>0) jikapembilangdan
penyebut lebih besar dari nol atau sebaliknya pembilang dan penyebut samasama lebih kecil dari nol. Jadi, terdapat dua kasus bagi pertaksamaan ini:
7' $. kasusl:x+5>0 dan 4x-12>0. $ kasus2:x+5<0 dan 4x-12<0 kasus 1 mengakibatkan: x > -5 dan x > 3. Kedua pertaksamaan ini diwikili oleh x>3 kasus 2 mengakibatkan: x <
-5
dan x < 3. Kedua pertaksamaan ini diwikili oleh
x<-5 I
akhirnya, jawaban kasus 1 dan kasus 2 dapat digabungkan menjadi: x < -5 atau
I
I
x>3. Kesimpulannya: x+5 ^ ' " >0 akan benar jika x < -5 atau x > 3 4x-12
(b)
q+ x-2
<
2x+3
x+2
1.
Pindahkan
1
yang ada di ruas kanan ke ruas kiri menjadi:
- 1- < 0 samakan penyebut ruas kiri menjadi:
nakan menjadi:
tJ1 x+2
1
4:+ + x+1 x+2
< 0. sederha-
g
Untuk pertaksamaan terakhir ini, selesaikan dengan calayarrg sama sePerti soal (3a). pertaksamaan ini akan bernilai negatif atau nol jika memenuhi salah satu dari dua kasus berikut.
$ kasusl;
x+ 1 < 0 dan x+2>0. Selesaikanmenjadi:
x(-1danx>-2. Kedua pertaksamaan ini (yaitu: x
-2
$ kasus2:
(
-1 dan x > -2) dapat digabung menjadi:
-1.
x+ L > 0dan x+2<0. Selesaikanmenjadi:
x>-1danx<-2 Tak satupun nilai x yang secara beirsamaan iebih besar dari -1 dan sekaligus ia 2 lebih kecil d.ari -2,karena di sini kita menggunakan hubung "dar." ' Artinya kasus tidak memberi solusi bagi soal yang dimaksud. Kesimpulallnya, pertaksamaan ini hanya dipenuhi oleh jawabankasus 1. Jadi: adalahbenar jlka -2
Penyelesaian:
(a)
-2 + 3x > 8x +18
pindahkan 8x ke ruas kiri dan
3x-8x>L8+2
sederhanakan kedua ruas menjadi:
-
2 ke ruas kanan menjadi:
pindahkan -5 ke ruas kanan sehingga arah pertaksamaan berubah menjadi < (ingat bahwa yang dipindahkan adalah bilangan negatif sehingga mengubah > menjadi < ):
-5x > 20
x <20/ -5
sederhanakan menjadi:
x<-4
inilah penyelesaiannya!
(b) 5<4x-6<1.2 - tambahkan
masing-masing ruas dengan 6 lagor suku ruas tengah menjadi 4x saja) menjadi:
11<4x<18 1.1./4
-
bagilah masing-masing ruas dengan 4 (agar suku ruas tengah menjadi x saja) menjadi:
- inilah penyelesaiannya!
Contoh 5: Selesaikan pertaksamaan (a)
*' > 9
(b) x2
<9
Penyelesaian:
(a)
x' x2
>9
- 9 > 0. Faktorkan ruas kiri menjadi:
(x + 3)(x - 3) > 0. Menurut aturan 4, hasil kali kedua faktor (x + 3)(x positif jika memenuhi salah satu dari dua kasus berikut.
{i
kaszs
1:
-
3) akan
x +3 > 0danx-3 > 0
x >-3danx>3. Penggabungan kedua pertaksamaan ini akan benar
*
kasus
2:
jika
x>3
x + 3 < 0danx-3 < 0
x<-3danx<3 Penggabungan kedua pertaksamaan ini akan benar jika x < -3
Jikakitagabungkanjawabankasus l dankasus2,makapenyelesaianpertaksamaan xz > 9 adalah x > 3 atau x < -3.
(b) x' x2
<
9. Penyelesaiannya seperti soal sebelumnya.
-9<0.
(x + 3)(x
-
3 ) < 0. Dari sini muncul dua kasus:
7 $ kasusT: x+3 <0 danx-3
>0.
x <-3danx >3 Pada saat yang sama, tak satu pun bilangan x yang secara bersamaan lebih kecil dari -3 dan sekaligus lebih besar dari 3. Jadi, kasus 1 tidak memberikan solusi.
$ kasus2: x+3>0danx-3<0 x>-3danx<3. Pada saatyangsama,x penyelesaiannya. Jadi:
) -3
dan x < 3 dapatditulismenjadi-3 < x <3. Inilah
x2<9jika:-3
((Algebra' Inegual i tySolve' InegualitySolvel-2 + 3 x ) 8 x * 18,x1 x<-
4
((Algebra' f nequal i tySolve' InequalitySolve [5 < 4 x - 6 1 L2,xl 11 9
42 Solusi untuk soal4a dan 4b berturut-turut adalah
x
<
-4
dan
11 12
9
G. NILAI MUTLAK Nilai mutlak dari suatu bilangan a dinyatakan oleh iambang la l, menyatakan jarak a dari titik asal0 pada garis bilangan rea1. Karena jarak senantiasa positif atau nol,maka
lul > 0 untuksetiapbilanganreala.Misalnya l-5 l=5 dan llZl=12
Definisi Nilai Mutlak: Nilai mutlak dari suatu bilangan a dinyatakan oleh lambang la I adalah:
rur=lu iil'u=9...ti1 r..r jikaa<0 {_a
: Penjelasan lengkap tentang Mathematica dapat dibaca pada buku "Carq Mudah Menyelesaikan Matemalika dengan Mathemotica" oleh penulis, diterbitkan oleh penerbit Andi..
Bilangan a jaraknya adalah la I satuan ke arah kanan dari titik asal 0 jika a > 0 dan a satuan ke arah kiri dari titik asal 0 jika a < 0.
Nilai mutlak digunakan untuk menyatakan jarak antara dua bilangan (titik) pada garis bilangan. Artinya, jarak antara bilangan x, dan bilangan x, pada sebuah garis bilangan dinyatakan oleh rumus:
l*, - *,
I
... (ii)
Contoh 6: Tentukan jarak antara dua bilangan ini.
(a) 3dan-4 (b)-3dan-4 Penyelesaian:
(a) Denganrumus (ii)
maka jarak antara 3 dan
- 4 adalah
l- 4-3 I = | -7 | =Z
l-4-(-3) l= l-4*3 l= l-11=t ft)
Secara geometri masing-masing soal
ini digambarkan sebagai berikut.
7
-4Gambar 1.3.b
Gambar 1.3.a Gambar 1.3
Contoh 7: Nyatakanlah soal berikut tanpa menggunakan tanda nilai mutlak
@)lax-71 (b)le+5xl
(c)
13*nl
(d)
ln-sl
Penyelesaian:
(a)
soal (i),
ini,
|
4x
-7 | , lnilangkan
tanda mutlaknya dengan rumus (i). Menurut rumus r,r
:{ i
iif::j
Dari soal ini kita ar.ggap a = 4x - 7 . Dengan rumus (i) diperoleh: lt\a 4x-7 >0 selesaikan masing-masingbaris pada ruas kanan lax-7 | = { - .!x-zz) iika 4x-7
ilka 4x>7 I 7+*-7 jlka 4x <7 -ax | _ t +"-z jlka x>7 /4 l7 -4x jika x<7/4
=
b.
ini, l9 + 5x l, diselesaikan dengan cara yang sama seperti soal (a). Jadi, selesaikanmasing-masingbarispadaruaskanan 19 + 5xl ""t: { .?*l*. iif'?.:'>! jika 9+5x
Soal
[-(9+5x)
9+5x jika5x>-9 _l - i-l-s* iitu s*.-o 9+5x jika x>-9/5 _l - | -o-sx jika x<-9/5 Untuk soal (c) dan (d), cukup melihat apakah bilangan yang berada dalam tanda mutlak lebih besar atau lebih kecil dari nol. Untuk soal (c) : l3 - n l, bilangan dalam tanda mutlak lebih kecil dari nol, maka dengan rumus (i) kita peroleh:
13-n
l=-(3-n)=n-3
Untuk soal (d) : I r -3 l, bilangan dalam tanda mutlak lebih besar dari nol, maka dengan rumus (i), kita hilangkan tanda mutlaknya, diperoleh:
ln -31 = n -3 Sifat-sifat Nilai Mutlak Misalkan a dan b sembarang bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif, maka berlaku:
L. labl=lullbl 2. lgl = lul:dimanab+o
lul
3.
lbl
la"l = lal"
Misalkan a > 0 maka berlaku:
4. l*l =u jikax= *a 5. l*l <, jika-aujikax>a ataux< -a Adanya sifat 4,5 dan 6 akan memudahkan kita ketika berurusan dengan persamaan atau pertaksamaan yang melibatkan tanda mutlak. Contoh8:Selesaikan (a). 14x-51
=3
(b).
l3-2*l <6
Penyelesaian:
(a) Gunakan sifat 4: l4x-51 =8 jika 4x-5=
*8.
Iniartinya:
(c).
l-6*-31 >4
4x-5=8atau4x-5=-8 4x=1,3 atau4x =-3 x=13/4 ataux =-3/4 O)
Gunakan sifat 5:
l3 -2x | < 6
- 6 <3 -2x
<
jika -
6
-9 <-2x <3 9
<3-2x<6.
Selesaikanpertaksamaan ini
-
kurangkan masing-masing ruas dengan 3 (agar suku ruas tengah menjadi 1x saja) menjadi:
-
bagilah masing-masing ruas dengan -2 (agar suku ruas tengah menjadi x saja) dan baliklah arah pertaksamaannya:
/2 > x > 3/2 -
Jawaban
6
inilahpenyelesaiannya!
ini dapatjuga ditulis sebagai 3/2 < x < 9/2
(c) Gunakan sifat 6: I -6*-3 I > 4 jika -6x -g > 4atau -6x -3 < -
4.
Ini artinya:
-6x-3>4atau-6x-3<-4 -6x>7atau-6x<-1 x < -7 / 6 atau x > 1/ 6
(ingat! arah pertaksamaan berubah)
Menyelesaikan Masalah Nilai Mutlak dengan Mathematica
Lihatkembali contoh 8a : l4x-5 | = 8 Solve [Abs [4 x-5] ==$,11
( n l{*-r-9},
[
4
{x-+
13 I a}l
4)
Solusinya adalah x =
-3
/ 4dan x =
1,3
/4
Pertaksamaan Segitiga
Salah satu sifat penting lainnya dari nilai mutlak adalah srfat pertaksamaan segitiga. Sifat ini seringkali muncul dan dipakai tidak hanya dalam kalkulus, tetapi dalam matematika pada umufirnya. Pertaksamaan segitiga menyatakan bahwa:
la+bl < lul* lbl Dari pertaksamaan segitiga ini, jika a dan b kedua-duanya adalah bilangan negatif, atau kedua duanya bilangan positif, maka nilai ruas kiri akan sama dengan ruas kanan.
7 Nilai Mutlak sebagai
Batas Toleransi
pengukuran(nrcasurement) rrtaka Ketika nilai mutlak diapiikasikan pada masalah pengukuran' Batas toleransi ia dapat dipandang sebugai batas toliransi pad,a hasil (deviasi) pengukuran dari standar yang mengijinkan adrnya sedikit penyimpangan
ditetapkan. jika
kemasannya tertera beratnya
pada contoh g: saat kita membeli satu sak semen, pas 40 kg, namun bervariasi tidaklah beratnya 40 kg t 1, artinya pada satu sak semen hat ini dapat tulis sebagai berikut' antara 39 kg hingga 41 kg. Dalam nilai mutlak
misalkanw=beratsatusaksemen(dalamkg)'maka:
40-L
lw-a0l
<
1
H. RUMUS JARAK
jarak antara dua buah titik pada Nilai mutlak iuga digunakan untuk menyatakan pada gamb ar 1.4, P(x, , y,) dan Q(x, ,yr) adalah dua titik sistem koordinat kartesius. be,g"tui dari titik P ke Q' terjadi perubahan pada sistem koordinat kartesius. saat kita Perubahan dalam arah x dinyatakan dengan koord inat dalam arah x dan dalam arah y. dengan simbol A y' Jadi' simbol A x dan perubahan dalam arah y dinyatakan x Ax = xr- x.. Perubahan dalam = AY = Yz' Yt Perubahan dalam Y =
BesarpertrbahanAxdanAydapatbernilaipositif,negatifataunol.
Gambar 1.4
Dengan dalil Phytagoras, jarak
d antara P dan Q dinyatakan
oleh rumus
rumus ini disebut rumus jarak. Contoh 10: Tentukan jarak antara (a) P(-3,5) dan Q(4,
-2)
(b) A(2,3) dan B(-1,7)
Penyelesaian:
(r)
lpal
=@=rF,*(,zf
Jadi, jarak antara (b)
titik P(-3,5) dan Qe,
-2) adarahT
Ji
J,
Jal=rf .(? if = ,,[3F *(4F = J2s = 5 Jadi, jarak antara
I.
=Jq9+49 = J98 =7
titik A(2 , 3) dan
B(,1.
,7)
adalah 5.
KOORDINAT TITIK TENGAH GARIS LURUS
Koordinat titik tengah M dari sebuah garis lurus yang titik ujungnya P (x,, y,) dan Q (x,yr) dapat ditentukan dengan rumus:
,(!+,r*, ,t
Contoh 11: Tentukan koordinat titik tengah dari garis lurus yang titik-titik ujungnya adalah:
(a)
P (-3 ,5) dan Q
(4,
-2)
(b) A
(2
,3) danB (-1 ,7)
Penyelesaian:
(a) 141-3+4, 5+(-z) )=M(1,
2
2
3
22 )
16) *,2+C1),112 1=vr11,st '2 '2 2'
J. PERSAMAAN LINGKARAN Dari rumus jarak menuju persamaan lingkaran hanyalah sebuah langkah kecil. Jika P(a, b) adalah titik pusat lingkaran dan Q(x, y) adalah sebarang titik yang terletak di lingkaran, maka jarak dari P ke Q sama dengan panjang jari-jari r. |adi
IPQI =r=
(* - u)2
Kuadratkan kedua ruas persamaan menjadi: (x
-
a)' + (y -
b)'
=
r'
... (i)
a Persamaan (i) merupakan persamaan lingkaran dengan
jarijari r dan pusat di (a, b).
Jika koordinat pusat lingkaran (0,0), maka persamaan (i) menjadi:
*'
+
Y'= 12 "'ii) Persamaan (ii) merupakan persamaan lingkaran dengan koordinat pusat (0, Khususnya jika r = L, maka persamaan (ii) menjadi:
0).
x2+y2-1 yang disebut sebagai lingkaran satuan (unit circle), yakni lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 1.
Contoh 12: Tentukan persamaan lingkaran yang koordinat pusat dan jari-jarinya adalah:
a.
b.
(-g,4) dan r = 5
(2,
-7)
dan r =
.,6
c.
(2,\) d,anr =9
Penyelesaian:
a.
Masukkan a=-3, b =4danr = 5kedalampersamaanlingkaran
(x-a)'+(y-b)'=r' (x+3)2+(y-4)'=25
b.
Seperti jawaban a
b'(x- 2)'+(Y+7)'-
c. (x-2)'
+ (y
-
1)2
=
Jl'
=3
,'
t
81
K. TRIGONOMETRI Trigonometri merupakan cabang matematika yang membahas hubungan antara sudut dan sisi-sisi suatu segitiga. Kita akan sering menjumpai persamaan maupun fungsi trigonometri dalam kalkulus. Oleh sebab itu, sangat bermanfaat untuk menyegarkan kembali ingatan kita tentang beberapa topik trigonometri, terutama mengenai operator-operator dasar trigonometri, seperti sinus, cosinus, dan tangen suatu sudut.
y = sisi depan
x = sisi apit
Gambar 1.5
Dari gambar L.5, kita memiliki segitiga siku-siku dengan panjang sisi x, y dan r dan sudut 0. Dalam hubungannya dengan sudut 0, maka sisi x disebut 'sisi apit' karena sisi x adalah salah satu sisi yang mengapit sudut 0. Sisi y disebut'sisi depan' karena ia berada didepan sudut 0 sedangkan sisi r disebut'sisi miring'.
Dalam trigonometri, rasio (perbandingan) panjang sisi depan 0 dan sisi miring disebut sebagai sinus 0. Jadi, sinus, cosinus, tangen, cotangent, secan dan cosecan sudut 0 didefinisikan oleh: sisi deoan
sin 0
cot 0
sisi miring sisi apit
cos 0
1
sec 0
sisi miring sisi deoan
foA
srcr
aplt
cos 0
=-sin0
cos0
X
V
cosec 0
1
sin0
]ika posisi sudut 0 pada gambar 1.5 di atas diubah seperti pada gambar 1.6 berikut ini maka nilai sinus, cosinus, dan lain-lain akan tetap mengikuti prinsip di atas.
y = sisi apit
x = sisi depan
Gambar 1.6
Oleh karena itu, sisi x menjadi sisi depan, dan sisi y menjadi sisi apit sehingga
sin0 cos 0
=
x
s$r mlrlng sisi aoit sisi miring
deoan tg0 = sisi_--rsrsl aplt
=_r V
=-r
x
v
r
Dua Segitiga Istimewa Terdapat dua segitiga siku-siku istimewa dalam trigonometri. Dikatakan demikian karena, sudut-sudut yang ada pada masing-masing segitiga tersebut sering digunakan dalam perhitungan trigonometri. Dua segitiga tersebut adalah segitiga dengan kombinasi sudut-sudut:450, 450, 900 dan 300, 600, 900 seperti pada gambar 1..7.a danl-.7.b
Gambar 1.7b
Gambar 1.7a
Dari gambar 1.7.a dan 1.7.b kita peroleh nilai trigonometri bagi masmg-masmg sudut ini. sin 450 =
sin 300 =
1
o
cos3oo-
€ ='Ji 22
=l
tg3oo=#=].n
1
a 1
tg45o : -.)--
li
1
=t
'1T:1_
..6_ 1r
2
I
cos 900 = 0
-J3 2
2
I 2
tg
600 =
t; vr
l;
1 -=vJ
I tg eOo = tak
terdefinisi (6
)
'
Ukuran Derajat dan Radian
Ukuran sudut biasa dinyatakan dengan dua cara: derajat dan radian. Sudut dalam pembahasan trigonometri terkait erat dengan lingkaran. Ukuran sudut 1 ileraiat (10) adalah fr revolusi lingkaran, di mana satu revolusi (perputaran) penuh setara dengan 360 derajat. Putaran sudut positif dilakukan berlawanan dengan arah perputaranjarumjamdanputaransudutnegatif dilakukansearahdenganperputaran jarum jam. Perhatikan gambar 1.8, sebuah sudut positif 1 derajat dibentuk oleh sumbu x positif dan segmen anak panah yang berpusat di titik asal (0, 0). Ini adalah representasi sudut dalam derajat.
\ A
1 putaran penuh 3600
/ 270,
+ Gambar 1.8
(1 rad) adalah setara dengan 190 revolusi lingkaran di mana n = 3,14159. Oleh karena itu, L radian = 180 = 57,2960'.'Perhatikan gambar 1,.9.
llkuran sudut 1 radian
Diberikan sebuah lingkaran satuan, yaitu ling[
1 putaran penuh 360o
2700
* Gambar 1.9
7 l
Rumus Konversi Derajat ke Radian Kita dapat mengubah satuan derajat ke radian dan sebaliknya dengan menggunakan rumus berikut: 0derajat _x radian
180
Contoh L3: Ubahlah sudut
450
TE
ke dalam radian!
Penyelesaian:
Dari soal ini diketahui 0 = 45 dan mau dicari x = ... radian. Masukkan ke dalam rumus di atas:
x 180 rE 45
+kalisilangmenjadi 180x= "
45n
= r=9=Iradian. 180 4
Jadi45o =TE/Aradian.
Contoh 14: Ubahlah sudut 1,5 radian ke dalam derajatl Penyelesaian:
Di sini diketahui x = atas, lakukan kali silang:
1,5
radian dan mau dicari e - ... derajat. Gunakan rumus di
0 - 1'5 .tralisilangmenjadi )o 180 Tt -T Jadi, 1,5 radian = 85,94370
Contoh 15: I-Ibahlah
180(1,5)=ltr0=
0-
180(1'5) T
=85,94870.
.
ftradian ke dalam derajat
Penyelesaian:
Di sini diketahui x =
-0=== 180 Jadi,
ft
ft
dan mau dicari e - ... derajat. Dengan rumus di atas
/'o j=kalisilangmenjadi 180=100+ 0 = 18-0 =1g0. e =*= ' Tc 180 10 10
radian=18o.
Latihan Bab
1
Tentukan interval nilai x yang memenuhi pertaksamaan pada soal
1. -4x+7 <2 3. -8<4x<0 5. 3<-x<8 7. l*-81<0,001 o/'
1
-
10!
2. -5(3-x)>3x-1 4.
-4
6.(x-3)(2x+5)>0 8. l-3x+51 >12
3x+1 _ ^
10.x2+5x-6<0
x-2
-\Z 11. Tentukan jarak antara (a) P(-3,5) dan Q(3, 13) (b) ,4(6,-3) dan B(12,3)!
12. Tentukan koordinat titik tengah garis lurus yang titik-titik ujungnya (2 ,5) dan (6,L1). 13. Tentukan persamaan lingkaran yang koordinat pusat dan jari-jarinya adalah:
a.
(-1,2) dan r = 3
14. Ubahlah sudut
650
b. (3, 0) dan r = 2
c. (0
ke dalam satuan radian!
15. Ubahlah sudut 2,5 rudianke dalam satuan derajat! 16. Ubahlah
f
radian ke dalam satuan derajat!
, 1.5) dan r = 0.25
BAB
FUNGSI
A.
PENDAHULUAN
Para peneliti terkadang ingin mengamati hubungan antara dua buah besaran atau lebih. Misalnya:
S
seorang insinyur elektro mengamati bagaimana hubungan tegangan dan arus yang melewati sebuah tahanan (resistor) pada sebuah rangkaian;
S
seorang ahli mikrobiologi melihat bagaimana perubahan populasi suatu koloni bakteri pada selang waktu tertentu setelah koloni tersebut diberi toksin;
$
seorang ahli pemasaran melihat dampak biayaiklan (promosi) terhadap tingkat penjualan sebuah produk.
Dari contoh-contoh di atas, studi matematis untuk melihat hubungan antara besaran atau variabel yang terkait, akan melibatkan konsep matematikayang dikenal dengan nama fungsi. Hampir semua bagian dari kalkulus dan matematika pada umumnya berhubungan dengan fungsi, karena fungsi merupakan alat yang paling tepat untuk menyatakan hubungan antara dua buah variabel atau lebih. Lazimnya fungsi dinyatakan dengan salah satu dari tiga cara berikut ini, yaitu:
S O *
persamaan eksplisit; tabel nilai data berpasangan;
grafik.
Ketiga cara tersebut merupakan fungsi yang sering kita temui. Mari kita perhatikan beberapa contoh berikut.
a.
y = 2x2 + 20x- log 10x t"-
-5t+rZ b. h- /t'+8 2-t \
c. d.
v. t dimana s = jarak, v = kecepatanbenda, t = waktutempuh V = I. R dimanaV = tegangan,I = arus listrik, danR= tahanan s=
Empat persamaan masing contoh di atas.
di
atas adalah fungsi. Berikut adalah penjelasan masing-
a.
Pada contoh a, nilai variabel y bergantung (dipengaruhi) pada nilai x yang di berikan. Misalnya jika di berikan nilai x = 1 maka y menjadi 21. Kita katakan y adalah fungsi dari variabel x. y dinamakan oariabel tak-bebas (dependent o ari ab I e) sedang x dinamak an a ari ab el b eb a s (in ilep en dent o ari ab I e),
b.
Pada contohb, nilaivariabelhbergantung (dipengaruhi)pada variabel t. Misalnya jika anda berikan nilai t = 0, maka nilai h menjadi 14 atau 10 (ingat bahwa nilai suku yang memiliki tanda 'akar'adalah 2 atau - 2). Kita katakan h adalah fungsi dari variabel t. h dinamakan oailabel tak-bebas sedang t dinamakan aariabel bebas,
c.
Pada contoh (c), nilai variabel jarak s tergantung pada dua variabel lain, yaitu variabel kecepatan v dan waktu t. Misalnya, suatu benda bergerak dengan kecepatan tetap v = 50 km/jam selama t = 2 jam, maka jarak s yang ditempuhnya adalah s = 50 .2 -- 1.00 km. Di sini kita katakan s adalah fungsi variabel v dan t. s dinamakan oariabel tak-bebas sedangkan v dan t dinamakanoariabelbebas.
d.
Sama seperti contoh c, tegangan
V adalah fungsi dari dua variabel I dan R. V dinamakan oariabel tak-bebas sedangkan I dan R ztariabelbebas.
Contoh (a) dan (b) merupakan fungsi yang memiliki satu variabel bebas, sedangkan (c) dan (d) merupakan fungsi yang memiliki dua variabel bebas. Untuk sementara pembahasan kita batasi pada fungsi satu variabel bebas.
Dalam matematika, cara simbolik untuk mengatakan'y adalah fungsi dari aariabel r'cukup dengan menulis: Y = f(x)
yang kita b aca'y sama dengan fungsi dari x'. Cara simbolik ini diperkenalkan pertama kali oleh Leonhard Euler (1707 - 1783), seorang ahli matematika Prancis.
Demikian juga untuk mengatakan 'V adalah fungsi dari variabel I dan R' cukup dengan menulis
V=f(I,R) yang kita baca'V sama dengan fungsi dari I dan R'.
B. DEFINISI FUNGSI Definisi fungsi z Sebuah fungsi f dengan nilai real yang didet'inisiknn pada himpunan bilangan real D adalah aturan yang memetakan setiap bilangan x yang berada dalam D ke tepat satubilangan real, dinyatakan denganf(x). Himpunan D yangberanggotaknn seluruh bilangan di mana f(x) didet'inisikan disebut domain atau daerah asal fung.i r Bilangan f(x) yang merupakan fungsi dari x disebut nilai f pada bilangan (titik) x. Sedangkan himpunan semlta nilai y = f(x) disebut range (jelajaD dari f. Gambar 2.1 mengilustrasikan apayang dimaksud oleh kalimat di atas
Gambar 2.1. llustrasi lungsi
Nilai Suatu Fungsi Nilai suatu fungsi f(x) untuk x = a dinyatakan oleh simbol f(a). Jika
Y=f(x)=x2+10x+5 maka nilai f(x) untuknilaixberturut-turut di mana x =
0,2,-3, h,
(a +
h) adalah:
(0) = 0 + 0+5=5 f(2) =22+10(2)+5=29 (-3) = (-3)'+10(-3)+5= -L6 f(h) = h2+10h+5 f(a+h)=
(a +h)'z+ 10(a
+h) + 5=a2 +Zah+h3+
10a +
10h+5
Kita akan sering menggunakan variabel y untuk mewakili nilai fungsi f(x) dengan menyatakan y = f(x). Jadi, untuk f(0) = 5, f(2) = 29, f(3) = -16 kita katakan juga sebagai
y=5, y=29, y=-16.
Domain dan Range Fungsi Di atas telah dijelaskan pengertian domain (daerah asal) dan range (daerah hasil) fungsi. Hal ini penting untuk dipahami dengan baik. Domain: Himpunan D yang beranggotakan seluruh bilangan real x (variabel bebas) yang untuknya f(x) didefinisikan disebut domain (daerah asal) fungsi f. Range: Range (daerah hasil) adalah himpunan semua nilai y = f(x) dari fungsi f. Contoh L: Tentukan domain dan range dari fungsi!
y=f(x)= x2+10x +5; dimana
-3 < x < 4
Penyelesaian:
Domain fungsi ini adalah semua nilai x yang terletak antara -
3
hingga 4. Artinya,
kitamendefinisikanfungsif(x)=12+10x+5dalamselang-3(x<4.Untukmelihat rangefungsiini,buatlahtabelnilaixdanY=f(x),dimanaxberadadalamselang-3 ( x ( 4. Hasilnya sebagai berikut: x
-3
-2
-1
0
'I
2
3
4
y = f(x)
-16
11
-4
5
16
29
44
61
Dari tabel di atas, kita iihat bahwa nilai y terkecil adalah -16 yaitu ketika x = -3 dan nilai y terbesar adalah 61. Jadi, range fungsi ini adalah semua nilai y yang berada antara -16 dan 61 atat dalam notasi himpunan ditulis {y | -t0 < y ( 61}. Selain dengan tabel, kita juga dapat mengetahui range fungsi ini dengan membuat grafiknya dan melihat nilai y terkecil dan terbesar pada sumbu vertikal. Kita gambarkan grafik fungsi f(x) = az + 10x + 5 . Hasilnya seperti pada gambar 2'2 Dari gamb ar 2.2. dan dengan bantuan tabel nilai x dan y, kita lihat jejak kurva
Gambar 2.2
dalam jelajah nilai y pada sumbu vertikal bergerak dari y = -16 hinggay = 61. Maka range fungsi f(x) = x2 + 10x + 5; untuk -3
{yl't0
adalah:
Contoh 2: Tentukan domain dan range fungsi y =
1/x
agar y
bernilai real!
Penyelesaian: Persamaan Y = sebab
1/x akan menghasilkan nilai y real untuk semua x kecuali x = 0,
untuk x = 0 maka y tak terdefinisi
(oo ).
Dari sini dapat dikatakan bahwa:
-
domain bagi x adalah: x < 0 atau x > 0, yakni semuabilanganreal kecuali nol.
-
range bagi nol.
y adalah: y < 0 atatt y > 0, yakni semua bilangan real kecuali
Contoh 3: Tentukan domain xagar fungsi y =
-2x+6 bernilai
real.
Penyelesaian:
Agar fungsi ini bernilai real, maka suku dalam tanda akar harus lebih besar atau sama dengan nol (sebab akar bilangan negatif tidak didefinisikan dalam himpunan bilangan real, kelqali dalam bilangan komplek. Coba hitung dengan kalkulator anda nilai dari V-4 ? Kalkulator Anda akan menjawab E (error). Mengapa? Karena jawaban pada kalkulator (kecuali tipe tertentu) diprogram hanya untuk bilangan real). Artinya
-2x+6>0 -2x
x
> -6
(3
(domain atau daerah asal x)
Contoh 4: Tentukan domain fungsi-fungsi berikut!
a.
f(x) = 45
-3x
b. g(x) = x2 + 3xs + 2
c. h(x)
(3x+2)(-2x-5) =
x+9
Penyelesaian:
a.
Berapa pun x yang disubstitusikan pasti akan menghasilkan f(x) yang terdefinisi (ada). Jadi, domainnya adalah semua x elemen bilangan real atau ditulis .
b. c.
Sama seperti jawaban a.
Karena h(x) terdefinisi untuk semua nilai x bilangan real kecuali -9.
*
-9 maka domainnya adalah semua
C. FUNGSI
SEBAGAI PROSES INPUT.OUTPUT
Fungsi atau persamaan dapat juga dipandang sebagai proses input-outpuf. Jika diberikan fungsi Y = f(x), maka x yang merupakan oariabel bebas dapat dipandang sebagai variabel masukan atau input, sedangkan y yar.g merupakan aariabel tak-bebas dapat dipandang sebagai variabel keluaran atauoutput dan f dapat dipandang sebagai ruang-proses yang mengolah input menjadi output. Diagramnya adalah sebagai berikut.
Flo,ees !
Misalnya diberikan sebuah fungsi I = f(x) = 3x2 - 5. Jika diberikan input x = 10 maka ruang-proses f akan mengolah input ini dan menghasilkan output y sebagai berikut.
' .*
tnput O0 = 1o ) I----------t/
.,.
,,..',.rhsee.f:
,.
.
fikan,]Nasiatl,lrp ui
dengr4q I,kunudian,,: ri,,ku{anghqn :hasilnp,,, , dawa11',5"'::.:a''.:' t,
D. PEI{YAJIAN FUNGSI Sebelumya telah kita singgung bahwa fungsi dapat dinyatakan dalam tiga cara, yaitu:
'il.'
dalam bentuk persamaan eksplisit;
* {}
dalam bentuk tabel nilai berpasangan; dalam bentuk visual atau grafik;
Ketiga cara ini sering digunakan secara bersamaan tatkala kita ingin melihat hubungan dua variabel atau lebih. Kita telah melakukan hal ini sebelumnya pada contoh L, di mana kita memiliki:
S
sebuahPersamaan:Y=f(x)
=
x2+ 10x +5;domain-10
(
x (10
Dan dari persamaan ini kita buat:
*
tabel nilai x dan y dengan memasukkan beberapa nilai real x untuk mendapatkan nilai-nilai y seperti dalam tabel berikut.
-10 < x <0...
1< x <10
Dari tabel nilai (x ,y) diatas kita buat: grafik persamaannya:
PLotlx^2 * 10 x * 5, tx ,-L0,10),p1otsty1e--+{Thicknesst0.01l
Gambar 2.3. Grafik fungsi y =
f
$)
= x2
+
}l
70x + S
Demikianlah ketiga cara ini (persamaan, tabel nilai dan grafik) sering digunakan secara bersamaan yang tuiuannya adalah untuk mendafatkan informali
#ngenai hubungan antara variabel-variatel terkait yang terlibrt'drlam sebuah fungsi atau persamaan. Grafik Fungsi Pada dasarnya, membuat sketsa vgrafik fungsi butuhkan hanya dua langkah saja.
$ *
y = f(x) tidaktah sulit, yang kita
Langkah 1: Tetapkan beberapa nilai x untuk mendapatkan nilai y. susunlah nilainilai tersebut dalam sebuarrtabel n,ai yang memuat x dan y yang bersesuaian serta buatlah pasangan koordinat (x,y); Langkah2: Nyatakan letak titik-titik koordinat (x,y) dalam sistem koordinat kartesius, kemudian tarik garis yang menghubungkar-, semua titik (x,y) tersebut;
Contoh 5: Buatlah sketsa grafikfungsi y = f(x) = x2 + 10x + 5 ; domain -10 < x <10! Penyelesaian:
Kita ikuti prosedur langkah L dan langkah
2.
Langkah 1 :Kita ambilbeberapahargax = -10, -9, -8,..., 8, 9,10. Masukkannilai-nilai x ini ke dalam fungsi y = f(x) = x2 + 10x + 5. Buatlah tabel untuk memuat pasangan nilai x dan y yang telah diperoleh!
$
tabel nilai x dan y
-10
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
1
0
v
5
-4
11
-16
-19
20
-19
-16
11
-4
5
...lanjutan:
1
X
'1
2
3
4
5
6
7
I
I
10
v
16
29
44
61
80
101
124
149
176
205
Langkah 2:Dari tabel ini kita memiliki 21 pasang koordinat (x,y). Nyatakan letak titik-titik tersebut dalam sistem koordinat Cartesius. Hasilnya pada gambar 2.4.
*
plot koordinat (x,y). Plotnya adalah:
f [x_] :=x^2 * 10 x * 5 a=Tab1e[{x,f [x] ], {x,-10,10}l ListPlot Ia, PlotStyle-+PointSize t0.02] l
Gambar 2.4
Setelah dibuat plotnya, tarik garis untuk menghubungkan semua 2.4. Grafikyang diinginkan tampak pada gambar 2.5.
titik dalam gambar
Gambar 2.5. Grafik tungsi y = f (x) = x2 + 10x + 5
Uii Garis Vertikal Menurut definisi fungsi, untuk setiap bilangan x dalam domain D, terdapat tepat satu bilangan y di dalam range f(x) yang menjadi pasangan bagi x. Secara geometri, ini berarti bahwa sebuah garis vertikal x = a akan memotong grafik fungsi f(x) paling banyak sekali. Pengamatan geometri ini akan membawa kita pada sebuah kriteria penting yang disebut uji garis aertikal. Sebuah kuraa pada bidang datar disebut grafik fungsi f(x) jikn dan hanya jika uji garis aertikal x = a memotong kuraa itu tepat di satu titik.Perhatikan beberapa kurva berikut.
grafik fungsi, garis vertikal memotong kurva di satu titik
bukan grafik fungsi, garis memotong kurva di tiga
vertikal
titik
bukan grafik fungsi, garis vertikal memotong kurva di dua titik
Gambar 2.6 Garis vertikal untuk menguji gralik fungsi
E. JENIS-JENIS FUNGSI Fungsi memiliki beragam jenis dan bentuk. Di sini kita akan menyajikan beberapa jenis fungsi yang sering muncul dalam kalkuius dan matematika pada umumnya. Fungsi-fungsi tersebut di antaranya adalah: fungsi polinomial (meliputi fungsi konstan, fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi kubik), fungsi komposit, fungsi invers, fungsi trigonometri, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi hiperbolik, fungsi gunjit dan fungsi genap. Berikut ini kita terangkan sebagian dari fungsi di atas.
Fungsi Polinomial Fungsi polinomial adalah fungsi yang bentuknya:
f(x) = 4r,," + a,,-rxt-1 + "'+arx' + a1x + a0
di mana n adalah bilangan bulat positif dan dn , ?n-1 ,... ,?2 ,d1 ,?g adalah konstanta' Secara )ika a,, + 0,makabilanganbulatndisebutderajatdarifungsipolinomialf(x). khusus fungsi konstan, fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi kubik dan fungsi kuartik, berturut-turut merupakan fungsi polinomial derajat nol, derajat satu, derajat dua, derajat tiga, dan derajat emPat.
Fungsi Konstan Fungsi f(x) = a di mana a adalah konstanta disebut fungsi konstan, misalnya: f(x) = -4 atau f(x) = 10 atau selainnya Pada fungsi konstan f(x) = a,berapa pun input x yanS dimasukkan maka hasiinya
tetapa.Misalnya,untukfungsikonstanf(x)=lgdalamdomain|-2,1,3),makaf(-2)= f(3) = i13,6; = ...= f(13) = 10.
Grafikfungsikonstanf(x)=nadalahgarislurusyangsejajardengansumbuxdan memotong sumbu y di titik y = a. Jadi, untuk f(x) = 10 maka grafiknya seperti pada gambar 2.7
Gambar 2.7
Fungsi Linier Fungsi polinomial derajat satu disebut fungsi linier. Bentuk fungsi linier adalah:
f(x)=alx+ao di mana
dan a, konstanta. Boleh juga ditulis f(x) = ax + b di mana a dan b adalah konstanta. Grafik fungsi linier adalah sebuah garis lurus yang memotong sumbu x di titik x = -38- dan memotong sumbu y di titik y = oo. ao
Contoh 6: Gambarkan sketsa grafik fungsi linier y = f(x) = 2x- 4l Penyelesaian:
Di sini
= -4 dan a, = 2. Untuk menggambar grafiknya, kita tentukan dulu koordinat titik potong fungsi ini pada sumbu x dan sumbu y. Grafik fungsi linier ini do
memotong sumbu x di
titik +,- = I \Z
=
2.ladi,koordinat titik potong di sumbu x
adalah (2,0). Titik potong dengan sumbu y adalah di y = do= -4. Jadi, koordinat titik potong di sumbu y adalah (0, -4).Kemudian tarik garis lurus yang melewati kedua titik ini. Hasilnya pada gambar 2.8:
Gambar 2.8
Fungsi linier termasuk jenis fungsi yang sederhana, namun kesederhanaannya justru menjadi alat ampuh dalam pemodelan matematik. Sangat banyak kasus alamiah yang pemodelan matematiknya dihampiri dengan baik oleh fungsi linier. Kelak, diakhir bab ini, kita akan membahas lebih lanjut mengenai fungsi linier.
Fungsi
Kuadrat
I
\,
Fungsi polinomial derajat dua disebut fungsi kuadrat. Bentuk fungsi kuadrat adalah:
f(x)= a2x2+&1x*&6 di mana ao, a, dan a, adalah konstanta. Boleh juga ditulis f(x) = axz +bx + c di mana a, b dan c adalah konstanta. Grafik fungsi kuadrat adalah sebuah kurva parabola terbuka ke atas (jika a, > 0) atau terbuka ke bawah (jika a, < 0) seperti gambar 2.9
3r'0
3r'
0
Gambar 2.9
Gambar 2.10 a dan b menampilkan grafik persamaan kuadrat f(x) = x2 - 3x dan f(x) = 1 - * yang terbuka ke atas dan terbuka ke bawah. Grafik fungsi kuadrat memiliki " satlt belokan" . 4l 3l 2l
.,I
Gambar 2.10.a f (x)
- x2 -
3x
Gambar 2.10.b t(x) =
7
-,x2 -t'i
.: t'
,
Fungsi Kubik
Fungsi polinomial derajat tiga disebut fungsi kubik. Bentuk fungsi kubik adalah:
f(x) = arva + arx'+ a1x + ao di mana a's, dy a, dan a, adalah konstanta. Boleh juga ditulis f(x) = axz + bxz + cx + d di mana a,b, c dan d adalah konstanta. Grafik fungsi kubik memiliki paling banyak "duabelokan" .Misalnya grafik fungsi f(x) = 13 - 2x2 - 5x + 6 seperti pada gambar 2.11
15
-5
belokan pertama
-10 I
-15
I
belokan kedua
-2011
,q!
-1
Gambar 2.11 Fungsi kubik dengan dua belokan pada kurvanya
Sementara grafik fungsi polinomial derajat empat yang disebut fungsi kuartik memiliki paling banyak tigabelokanpadakurvanya. Misalnya grafik fungsi kuartik:
f(x) = 1a + 3x3 - 13xz -14x+24
memiliki tigabuahbelokan pada kurvanya seperti pada gambar 2.12:
Gambar 2.12 Gratik fungsi kuartik dengan tiga belokan pada kurvanya
Fungsi Komposisi Terkadang kita mempunyai sebuah fungsi pertama f(x), di mana fungsi f(x) ini digunakan sebagai variabel bebas (input) dari fungsi kedua, misalnya fungsi g(x), sehingga kita menulis fungsi kedua g(x) sebagai g[f(x)]. Notasi g[f(x)] artinya f(x) adalah variabel bebas dari fungsi g. Hal sebaliknya juga dapat terjadi yaitu f tg(x)l di mana fungsi g(x) menjadi variabel bebas dari f. Inilah yang dimaksud dengan fungsi komposisi.
Fungsi komposisi yang dinyatakan dengan notasi
f o g didefinisikan
oleh:
(f'gX*)=flg(x)I Notasi
f . g dibac a "f ilari fungsi g"
Sebaliknya, fungsi komposisi yang dinyatakan dengan notasi g o f didefinisikan oleh:
(g"fXx)=g[f(x)l Notasi Contoh
I' f
dibaca "g dari fungsi
f'
7: Jlkaf(x)= x2+2x+5dang(x)=
Jx,
tentukanlahf
og
dan g of
Penyelesaian:
f " g didefinisikan oleh f[g(*)]
sehingga:
flg(x)l = f(Ji) = (J* )' + 2( J* ) * 5 = x + g . f didefinisikan oleh g[f(x)] sehingga: glf(x)l = Blx'+ 2x + 5l =
x2
zJi + 5
+2x+5
ContohS:Jikaf(x)=2*-5 dang(x)=10x2+ 3x -e', tentukanlahf oB dangol Penyelesaian:
f og
didefinisikan oleh f[g(*)] sehingga:
ftg(")l =f[10x2+ 3x -e.] = 2(10x2+ 3x -e')- 5 g " f didefinisikan oleh gtf(x)] sehingga: g[f(x)]
=
= 2Ox2 +6x-2e.-5
gl2x-51 = 10(2x-5)'? + 3(2x-5)-s(2x-5) =
40x2
-194x-
g(zx-s) '+
fJ$
Contoh 9: Aplikasi Fungsi Komposisi
Polusi udara merupakan masalah bagi kebanyakan daerah metropolitan. Misalkan sebuah penelitian yang dilakukan di suatu kota metropolitan memberi indikasi bahwa pada saat jumlah penduduk kota adalah p, maka rata-rata kadar karbon monoksida per hari diberikan oleh formula: L(p) = 0.7
E 4
(dalam p.p.m) ... (1)
Penelitiankeduamemperkirakanbahwapadattahundarisekarang, jumlahpenduduk p pada kota tersebut merupakan fungsi waktu t yang didefinisikan oleh: p(t) = 0.02t3 + 1 (dalam ratusan ribu orang) ... (2)
]ika diasumsikan bahwa kedua formula tersebut adalah benar, berapakah kadar polusi udara pada saat 4 tahun ke depan?
Penyelesaian:
Perhatikan kembali formula (1) dan formula (2). Pada Formula (1), L adalah variabel kadar polusi udara yang dipengaruhi oleh variabel p (jumlah penduduk). Melihat formula (2), p bukan variabel tunggal, namun ia masih dipengaruhi oleh variabel waktu t. Jadi formula (1) yang mengandung variabel p masih terkait dengan formula (2) di mana p pada formula (2) merupakan fungsi waktu t. Keadaan ini adalah salah satu contoh dari kasus fungsi komposit, /aitu L o p. Kadar polusi udara adalah L(p) = 0.7 E +3 di mana p(t) = 0.02t3 + 1. Oleh karena itu, kadar polusi udara pada waktu t merupakan fungsi komposit L o p yang diberikan oleh:
(L. pXt) = Llp(t)l = L[0.02f + 1] = 9.97
(0.02t3 +1)2 +3
Sedangkan untuk t = 4, maka (L. p)(a) = 0.07J(0.02(4)3 +1)2 +3 = 2.00 p.p.m Cara Singkat. Cara lain yang lebih singkat adalah sebagai berikut.
Ini adalah kasus fungsi komposit (L.p)(t) = L[p(t)]. Pada
saat
t = 4,maka:
P(0 = P@) = 0,02(4)3 + 1 = 2,28.
rtp(a)l = 0.7 tfr28'
*3
= 2,oo43p.p.m.
Hasil ini cukup dekat dengan jawaban sebelumnya. Fungsi Invers Pertimbangkan fungsi f(x). Anggaplah f ini menerima input x dan kemudian menghasilkan output f(x). Sekarang anggap pula output f(x) ini dibuat menjadi input fungsi g(x), dan output g(x) ini kembali ke x, yakni:
g[f(x)] = a
Kita dapat memandang g(x) sebagai proses (pekerjaan) balikan dari f(x). Pada situasi seperti ini fungsi g(x) disebut sebagai invers dari f dan ditulis sebagai f -'(*) . Karena f-'(*) adalah pekerjaan balikan dari f(x) maka dapat ditulis menjadi: f1f 11x;; = f-',(f(x)) = x Cambar 2.L3 mengilustrasikan situasi ini.
s(f(x)) = x
Gambar 2.13
lftqgs,
. i: .,j l'l i :: ''i:t;r:-':
3s
:',:.1.: , ::.:Fi:**rr.r
.- r.
,
l:, :
Contoh 10: ]ika f(x) = 7*,periksalah bahwa invers dari fungsi f ini adalah
f-l1x; = x 1
Penyelesaian:
Fungsi f menerima input x dan menghasilkan outpr.tt 7x. Dafi sini kita anggap fungsi invers f-l menerima input 7x danmenghasilk an otiput x. Ini dapat ditulis f-l17x7 = Sekarang kita perkenalkan variabel
Y
baruz di mana z
=7x
,Z makax= 7 sehingga f-l12x; = x dapat ditulis menjadi:
f-|(r)=*Jadi, f-l
Z 7
(z) =
lika inpti-.f-l f-l(x) = 1. 7
Hasil ini telah memperlihatkan bahwa invers dari fungsi f(x) = 71 adalah f-l1x; =
x .
7
Contoh 11: Iika f(x) = 3x - 5 tentukanlah f-1(x). Penyelesaian:
Fungsi f menerima inpttt x dan menghasilkan output 3x - 5. Jadi ketika fungsi invers f-l menerima input 3x - 5 maka ia akan menghasilkan output x. Artinya adalah: f -1 13x
-
5) =
x
..... (i)
Kembali kita perkenalkan variabel baru z = 3x - 5, maka
z+5 J
sehingga (i) menjadi:
f-l(z\-*-ZE. o J
Jadi, f-r (r) =
*...(ii). J
lnput d.arifungsi invers
gantilah z dengai x. Akhirnya fungsi invers
f-l(*) = " 1 5 . Inilahfungsi inversnya. J
f-l
f-l
pada (ii) adatah z. Sekarang
pada (ii) menjadi:
Penting untuk diingat bahwa tidak semua fungsi mempunyai invers. Misalnya fungsi: f(x) = 1z dalam selang -oo < x <
oo
Fungsi ini memiliki aturan 'kuadratkan input'. Karena nilai positif dan nilai negatif x dalam selang (-@,@ ) akan tetap menghasilkan output x2 yang sama, maka aturan invers diberikan oleh 'ambil plus atau minus akar kuadrat input'. Karena aturan ini adalah pemetaan dari satu-ke-banyak (one-to-many), maka pemetaan seperti ini jelas bukan fungsi. Sebab yang dinamakan fungsi itu adalah pemetaan dari satu-ke-satu (one-to-one). Jadi, fungsi f(x) = x2 dalam selang (-oo,oo ) dikatakan tidak mempunyai invers. Jelaslah bahwa tidak semua fungsi memiliki fungsi invers. Namun, jika kita pandang kembali fungsi f(x) = az, tetapi dengan mengambil domain x2 0, maka fungsi ini mempunyai invers, karena ia merupakan pemetaan dari satu-kesatu. Fungsi inversnya adalah f*'(*) diberikan oleh: f-I (x) = + J* Kita hanya mengambil bagian positif dari akar di atas karena domain Jelaslah
x3 0.
bahwa f-l1f1x;; = f-l(x') = x di mana x, adalah bagian positif dari akar x2.
Uji Garis Horisontal Mirip seperti uji garis vertikal untuk menguji apakah sebuah kurva merupakan grafik fungsi, maka untuk menguji apakah sebuah fungsi f(x) mempunyai invers f-t(*), kita dapat melakukannya dengan cara yang hampir sama, yakni dengan uji garis horisontal.
Uji Garis Horisontal Fungsif(x) mempunyai inaers grat'ikf(x) tepat di satu titik.
f-t(*)
jika danhanya jika sebuah garishorisontal memotong
Perhatikan contoh berikut.
Contoh 12: Grafik fungsi f(x) = x2 dalam domain (-*,* ) seperti diperlihatkan oleh gambar 2.14. U)i garis horizontal memotong grafik f(x) = x2 di dua titik (lebih dari satu titik). Oleh karena itu, fungsi f(x) = x2 dalam domain (-*,*) tidak memiliki invers.
garis horizontal memotong grafik dua titik
/\
Contoh L3: Grafik fungsi f(x) = x2 dalam domain [0,-) seperti diperlihatkan oleh gambar 2.15. Uji garis horizontal memotong grafik f(x) = x2 di satu titik. Oleh karena itu, fungsi f(x) = 1z dalam domain [0,m ) memiliki invers. nI
'f
garis horizontal memotong grafik satu titik
:l .f -l
-3
\
0.5 1
1.5
2.5
Gambar 2.75
Grafik Fungsi Invers
f-1
Kita akan melihat bagaimana sifat grafik fungsi f(x) dari grafik fungsi invers . Jika (a, b) adalah sebuah titik yang teletak pada grafik f(x), maka b = f(a) dan a = f-l (b) sehingga titik (b, a) akan terletak pada grafik invers f-'(*) . Kita melihat bahwa kedua titik ini, yakni (a, b) dan (b, a) adalah "saling bayangan" jika dicerminkan (direfleksikan) terhadap garis y = x. Ini berarti bahwa grafik f(x) dan f-'(lr) saling simetri terhadap garis y = x. Gamb ar 2.16 mengilustrasikan sifat simetri f(x) terhadap f-'(*) pada pencerminan terhadap garis y = 1
f-'(^)
Gambar 2.16
Teknik Menggambarkan Grafik
f-1
Jika f-l ada, maka grafiknya dapat digambarkan dengan mencerminkan grafik fungsi f terhadap garis y = a. Fungsi Trigonometri Pada bab 1 telah dibahas beberapa materi dasar trigonometri. Kini kita bahas sekilas tentang fungsi trigonometri. Fungsi trigonometri adalah fungsi yang variabel bebasnya melibatkan operator-operator trigonometri, seperti sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan, dan cosecan. lnput pada fungsi trigonometri adalah sudut (dalam derajat atau radian) dan outpuf-nya adalah bilangan real. Berikut ini beberapa fungsi trigonometri dasar:
a. f(x) = sin
x
b. f(x) = cos r
c. f(x) = tg x
sin x dan cos r adalah dua fungsi trigonometri dasar di mana kombinasi keduanya menghasilkan fungsi trigonometri lainnya, seperti tg x, cotg N, sec x dan cosec r.
Nilai Fungsi Trigonometri Jikaf(x)adalahfungsitrigonometri,makanilaif(x) diperolehdenganmemasukkan x ke dalam fungsinya.
Contoh 14: Jika f(x) = si1-, 2x + cos x maka untuk x = nilai f(x) menjadi: X
f(t)=sin2ft+cosf, =sinf +cosf, =r*1
2
'[i
=7,70711
Penting untuk diingat, jika sudut x dinyatakan dalam derajat, maka suku-suku dalam
variabel x pada fungsi f(x) yang tidak memiliki operator trigonometri (sin, cos dan selainnya) harus dihitung dalam satuan radian, misalnya seperti contoh berikut. Contoh 1,5: Tentukan nilai dari f(x) =2x+
x2
+
sin 2r + cos x untukx = 450.
Penyelesaian: Di sini x = 450 dinyatakan dalam derajat (bukan dalam radian). Fungsi f (x) memiliki dua suku yang tidak mengandung operator trigonometri, yakni suku 2x dan x2. jika kita masukkan langsung x = 450 ke dalam f(x) = 2v + x2 + sin2x + cos r, masalah tidak muncul di suku ketiga dan keempat : sin 2(450) + cos 450. Tetapi masalah muncul di suku pertama dan kedua : 2x dan x2. Jika kita masukkan langsung x = 450 pada suku pertama dan kedua, hasilnya menjadi : 2(450) + (450)'z = 900 + 202500. Tentunya besaran 202500 membingungkan. Dengan substitusi x = 450 menghasilkan:
f(x) = 21 + x2 + sin 2x + cos.1, f(x) = 960 +
202500
+ sin 900 + cos
f(x) = ggtr +
2025oo
* t *!Ji
450
.
2
Kita tentu dibuat bingung oleh satuan "derajat-derajat"pada 2025 dan jumlah keempat suku ini tidak mungkin dilebur manjadi satu. Artinya, mem.asukkan langsung sudut derajat akan mengacaukan proses aritmatik, sehingga nilai fungsi tidak dapat diperoleh. Masalah ini diatasi dengan terlebih dahulu mengonversisudut derajnt menjadi sudut radian. Setelah konversi derajat ke radian selesai, maka proses substitusi nilai x ke dalam fungsi f(x) dapat dilakukan. Untuk soal ini, ubah dahulu x = 450 ke dalam radian dengan formula: 0 dalamderajat _ x dalamradian
180
!adi,
x=450 Sekarang masukkan x =
f
n
=!
radian
radian ke dalam f(x)
:
f(x) = 2x + x2+ sin 2x + cos x
(,) = 2(t)*(t)'
f$)=
*2
;*T*sin
+ sm
z(i)+ cosf
1+.o, n ldenganr=3,\4)
f(x) = 1,57 + 2,4649 + 1+ 0,707 = 3,89385 Untuk lebih aman bekerja dengan sudut, sebaiknya satuan yang digunakan adalah radian, dan lazimnya dalam kalkulus, pembahasan yang menyangkut trigonometri dan sudut lebih banyak menggunakan satuan radian daripada derajat.
Grafik Fungsi Trigonometri Berikut ini kita tampilkan grafik sin x dan cos
r dalam selang l0,2nl grafik f(x) = cos x
grafik f(x) = sin x
Gambar 2.17
Bagaimana kita membuat sketsa grafik trigonometri ini? Perhatikan bagaimana kita membangun sketsa grafik sin x dalam selang 10,2P1t. Pertama: ambil beberapa nilai x dalam selang l0,2pl untuk mendapatkan nilai fungsi y = f(x) = sin x Akibatnya, kita akan mendapat beberapa pasang koordinat (x, y), seperti dalam kolom 4pada tabel berikut. -0
x radian
koordinat (x, y)
Y=stnx
0 =0
0
(0,0)
30
n/ 6 = 0,5236
0,5
(0,5236,0,5)
60
0,866
90
n/3 = 1.,0472 n/2 = 1,5708
120
2n/3 = 2,0944
0,866
(2,0944,0,866)
150
5n/ 6 =
2,6179
0,5
(2,6179,0,5)
180
n = 3,74
0
(3,r4,0)
210
7n/ 6 = 3,6652
-0,5
(3,6652 , -0,5)
240
-0,866
(4,1888 , -0,866)
270
4n/3 = 4,1.888 3n/2 = 4,7124
300
5n/3 = 5,2359
-0,866
(5,2359 , -0,866)
330
11.n/ 6 = 5,7596
-0,5
(5,7596 , -0,5)
0
(6,2832,0)
0
360
1
1
2n = 6,2832
(1,0472 ,0,866) (1,5708
,1)
(4,7124 ,
-1.)
Kedua: Buat plot koordinat (r, , y) pada sistem koordinat kartesius. Hasil plotnya seperti gambar 2.18 berikut.
[, IK '{.:r:.!:. i',.
ilr}iBail
t i: rsi !:s;n
is,r';a 'i'imu!
Gambar 2.18 Plot lungsi sin x
2.18' Hasilnya Ketiga.,tarik garis untuk menghubungkan semua titik pada gambar tampak pada gambat 2.19.
456
Gambar 2-19. Grafik f(x) = sin x
titik data Berikut ini adalah plot grafik f(x) = sin 2x d'alamselang lO'2nl dengan 61 (*, y).
Grafik gambar 2.20 ditampilkan dengan Mathematica dengan perintah:
f[ x_] ::Sin[ 2 x] a:Tabfe[ { x, f[ x] ],{ x,0,2 Pi,Pi /30}) / /N; ListPlot[ a, PlotStyle-+PointSize[ 0 . 02) ] Berikut ini adalah grafik f(x) = 6er x . sin x2 dalam selang [0,2n]
PIot[ Sin[ x^2] Cos[ x] ,{x,0,2Pi})
Gambar 2.21 Grafik l(x) = cos x . sin
Jika selangnya diperluas menjadi
10,
x2
4n), grafik gambar
2.21
menjadi seperti
gambar 2.22.
Gambar 2.22
Ketika selangnya diperluas menjadi [0, 8n] maka gelombang grafik ini akan semakin padat seperti tampak pada gambar 2.23.
lit,, i
rll
'r
f 'rlllli
Gambar 2.23
Fungsi dengan Aturan Berbeda Jenis
fungsiyang telah kita bahas sejauh ini adalah fungsi-fungsi dengan satu
aturan yang sama yang didefinisikan dalam domainnya, seperti
a. b.
f(x) = f(x)
=
az +
x3 dalam [a, b]
sin x + cos
3r
dalam [c, d] dan sebagainya.
Fungsi f(x) pada a memiliki satu aturan yang sama di dalam seluruh domainnya, yakni i x2 + x3. Sementara fungsi f(x) pada b memiliki satu aturan yang sama: sin x + cos 3r , ]ika grafik kedua fungsi ini tidak pernah terputus di dalam domainnya, maka fungsi ini dikatakanfungsi kontinu dalam domainnya. Terkadang kita dihadapkan pada fungsi dengan lebih dari satu aturan di dalam domainnya. Misalnya:
l2x+1, ;-3 I
f(x)=l
S x <0
x2+5;0
l1r0 ;3(x(8
Fungsi ini berada dalam selang [-3 , 8], tetapi memiliki tiga aturan berbeda dalam tiap sub-selangnya:
aturan 1 : f(x) = 2x + 1 jika x berada dalam sub-selang [-3, 0) aturan 2 : f(x) = x2 + 5 jika x berada dalam sub-selang [0, 3) aturan 3 : f(x) = 10 jika x berada dalam sub-selang [3,8] Fungsi seperti ini dinamakan fungsi dengan aturan berbe da.
Menentukan Nilai Fungsi dengan Aturan Berbeda Pandang kembali fungsi
(2x+1 ;-3 < x <0 f(x)=lx2+5;0
'1.10 ;3(xS8
Untuk menentukan nilai f(x) ketika x = a, p€rhatikan contoh berikut! Contoh 16 : Tentukan f(3), f(-1), f(2), f(3), f(5), f(- ) dan f(9) Penyelesaian: f(-3) = 2(-3) + 1 = -5 (gunakan aturan 2x + lkarena x = -3 berada dalam [-3, 0)) f(-1) = 2(-1) + 1 = -1 (gunakan aturan 2x + f(2) =
(2)'z
1,
karena x = -3 berada dalam [-3, 0))
+ 5 = 9 (gunakan aturan x2 + 5 karena x = 2 berada dalam [0, 3))
f(3) = 19 (gunakan aturan 10 karena x = 3 berada dalam [3,8]) f(5) = 19 (gunakan aturan 10 karena x = 3 berada dalam [3,8]) f(-4) dan f(9) tidak terdefinisi (tidak ada) karena nilai x berada diluar domain [-3, 8]
Grafik Fungsi dengan Aturan Berbeda
]ika fungsi f(x) pada contoh di atas digambarkan grafiknya, maka kita akan memiliki tiga buah jejak grafik yang berbeda satu dari lainnya di dalam domain [-3, 8]. Dalam subselang [-3,0) jejak grafik berupa garis lurus, karena aturan 2x + 1 adalah fungsi linier dengan grafik berupa garis lurus. Dalam subselang [0, 3) jejak grafik berupa parabola kuadrat dan dalam subselang [3, 8] jejak grafik berupa garis horisontal f(x) = 10. Sketsa grafik fungsi f(x) diperlihatkan oleh gambar 2.24. Pada gambar 2.24 kita gunakan noktah o disalah satu ujung grafik untuk menyatakan bahwa x meliputi ujung selang tersebut, dan noktah o di salah satu ujung grafik untuk menyatakan bahwa r tidak meliputi ujung selang dimaksud. Grafik fungsi ini tidak kontinu menyeluruh dalam selang [-3, 8] karena ia terputus di x = 0 dan di x = 3, namun ia kontinu dalam tiap-tiap sub-selangnya. Grafik seperti ini dinamakan sebagai grafik kontinu sep otong- sep ot ong (piecewise continuous).
Grafik f(x) dapat juga digambarkan dengan Mathematica. Programnya sebagai berikut, dan hasilnya diperlihatkan pada gambar 2.25.
a=P1otl2x+L, {x, -3, 0} ] ;b=PlotIx^2*5, {x,0,317 ;c=Plot[10, I ) I ; show [a,b, c] .
Gambar 2.24
{x,3,
Gambar 2.25
2x+1
| f(x)=lx2 lLto
+
;-3
< x <0
5 ;0 < x
<3
;3
Contoh sederhana dari fungsi dengan aturan berbeda adalah grade nllai mahasiwa (A,8, c, D, E) yang ditentukan dalam selang x antara 0 hingga 100 sebagai berikut.
f(x)=
A ;80
fE ;0
Contoh 16: Tentukan aturan fungsi yang menghasilkan grafik berikut! = f(x)
y = f(x)
t
ol
t/ t/
26 Gambar 2.26a
Gambar 2.26b
Penyelesaian: Jejak grafik dalam selang 10,2) adalah garis lurus yang melewati dua
titik
(0, 0)
dan (2,4) yang persamaannya f(x) = 2x. Sedangkan jejak grafik dalam selang [2, 6l adalah garis horisontal yang persamaannya f(x) = 4. Oleh karena itu, aturan fungsi dalam selang [0,6] adalah:
l.z* ;0
f(x) = I
Jejak grafik dalam selang [0, 1) adalah garis lurus yang persamaannya f(x) = -x + 2. Sedangkan jejak grafik dalam selang [1, 8] adalah garis lurus yang persamaannya
f(x) =
-1. . 9. 77
Oteh karena itu, aturan fungsi dalam selang [0,8] adalah:
[-r*2 f(x)=l 1
;0
l+-i"*, ;1(xs8
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Sebuah fungsi terkadang dapat dikelompokkan sebagaifungsi genap ataufungsi
ganjiljika ia memenuhi sifat-sifat fungsi genap atau fungsi ganjil. Fungsi Genap: Sebuah fungsi f(x) dikatakan fungsi genap jika memenuhi f(-x) = f(x) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Fungsi Ganjil: Sebuah fungsi f(x) dikatakan fungsi ganjil jika memenuhi f(-x) = -f(x) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya.
Contoh 17: Tentukan apakah fungsi-fungsi f(x) berikut termasuk kelompok fungsi genap, fungsi ganjil atau tidak keduany
a.
b.
f(x) = 4x3 - 3x
f(x) = 1a - *z
c.
f(x) =
az
Penyelesaian:
Kita akan menggunakan* rumus definisi fungsi genap dan fungsi ganjil, yaitu jika f(x) memenuhi:
. .
f(-x) = f(x) maka f(x) adalah fungsi genap f(-x) = -f(x) maka f(x) adalah fungsi ganjil
Jadi:
a.
Jika f(x) =
4x3
- 3x maka:
f(-x) = 4(-x)'-3(-x) = 4x3 + 3x = - (4xu-3x) = -i1*;
kesimpulannya,karena fungsi f(x) = 4x3 - 3x memenuhi hubungan f(-x) = -11r;, maka fungsi f(x) = 41a - 3x adalah fungsi ganjil.
'3. Jika f(x) = x3 - x2 maka:
f(-x) = (-x)'-(-x)'
=-x3- (x') = -x3- x2 =-(x3 +x2).
Kesimpulannya adalah, karena dari hasil di atas f(-x) * - f(x) dan juga f(-x) + (x) maka fungsi f(x) = 1a - x2 tidak termasuk fungsi genap maupun fungsi ganjil.
..
Kita uji sebagai berikut.
f(-x)=(-x)'=
x2
= f(x).
Karena f(-x) = f(x) maka f(x) = x2 adalah fungsi genap.
Contoh 18: Tunjukkan apakah
ff.l=J*t7
fungsi genap atau ganjil.
Penyelesaian:
f(-x)=
-x3
(-x)3 + 3(-x)
(-r)n - 3(-x)2 +4
=
-3x
xo -3x2
+4
Karena dari hasil uji diperoleh fungsi ganjil. -
x3
+3x
xn -3xz +4
a/-.\
^\'\/
f(-x)=- f(x), maka f1*;=-& t-
x* -3x'+4
Contoh 19: Apakah fungsi f(x) = az + 2x + 5 fungsi genap atau ganjil
merupakan I
?
Penyelesaian:
Ini adalah satu contoh di mana fungsi ini bukan fungsi genap dan bukan juga fungsi ganjil. Artinya, pengelompokan fungsi tidak harus bersifat dikotomi (jika tidak fungsi genap maka dia harus fungsi ganjll, atau sebalik yr, tidak demikian !). Mari kita uji. f(-x) = (-x), + 2(-x) + 5 = x2 -2x +5 = -(x, + 2x -5) Dua bagian terakhir, yakni x2 - 2x + 5 = -(x' + 2x - 5) bukan f(x) dan bukan pula -f(x). Artinya pengujian kita tidak sampai pada keadaan f(-x) = f(x) atau keadaan f(-x)= -f(x). Jadi, fungsi ini bukan fungsi genap dan bukan pula fungsi ganjil.
Mengamati Grafik Fungsi Genap dan Fungsi Ganiil Grafik Fungsi Genap
visual, fungsi genap dapat diketahui dengan melihat grafiknya yang simetri (setangkup atau simetri lipat) terhadap sumbu y. Jika sumbu y dianggap sebagai cermin, maka jejak kurva untuk x > 0 akan memiliki bayangan pada wilayah di mana x < 0. Gambar 2.27.a - d menampilkan grafik fungsi genap. Kita melihat jejak Secara
grafik di x> 0 setangkup dengan jejaknya di x < 0 pada pencerminan terhadap sumbu y. Inilah ciri-ciri grafik fungsi genap.
Gambar 2.27.a Gratik f(x) =
f - x2
Gambar 2.27.c Grafik l(x) = x2 cos x2
Gambar 2.27b Grafik f(x) = cos x
Gambar 2.27.d Gratik f(x) = sech x
Fungsi Ganjil
Secara visual, fungsi ganjil dapat diketahui dengan melihat grafiknya yang simetri (setangkup) terhadap titik asal. Gambar 2.28.a- d menampilkan grafik fungsi ganjil. Kita melihat jejak grafik di x > 0 setangkup dengan jejaknya di x < 0 pada pencerminan terhadap titik asal. Inilah ciri-ciri grafik fungsi ganjil.
Gambar 2.28.a Gralik f (x) = x3 sech
x2
Gambar 2.28.b Gralik t(x) = stn x dalam [ -n,n
]
Gambar 2.28.c Grafik t(x) =196 y
Gambar 2.28.d Gralik f(x) =
llx
Setelah kita melihat grafik fungsi genap dan fungsi ganjil, berikut ini perhatikan
pula dua contoh grafik yang bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil, seperti pada gambar 2.29. Keduanya tidak simetri terhadap sumbu y dan terhadap titik asal.
Gambar 2.29.a Gratik tungsi l(x) = x'? d
Gambar 2.29.b Gratik lungsi f(x) = x2 + 2x
-
3
F. LEBIH LANJUT DENGAN PERSAMAAN LINIER Model matematika dari sebuah persamaan linier dua variabel x dan y adalah
y = mx + c. Bentuk grafiknya adalah garis lurus, sehingga
persamaan linier dua variabel disebut juga sebagai persamaan garis lurus. Koefisien m pada persamaan ini dinamakan gradien (kemiringan) dan c adalah ordinat titik potong garis tersebut dengan sumbu-y. Ciri utama persamaan linier adalah dia berubah dengan laju yang tetap sebesar m. Misalnya, persamaan y =2x-3 adalah persamaan linier (garis lurus) dengan rasio perubahan y terhadap x bernilai tetap, yakni 2 (karena persamaan ini memiliki gradien m = 2).Grafik persamaan ini adalah:
Gambar 2.30
Sebuah garis lurus yang melewati
persamaannya dengan
titik P(x, , y,) dan Q(x, , yr)
rumus:
.:.
Y
-Yt=
in(x
daPat ditentukan
- x,) "' (i)
di mana:
.rr=
A' Ax -Yz-Yr Xz-Xr
adalah gradien garis tersebut.
Contoh 20: Tentukan persamaan garis lurus yang melewati
a. b.
titik:
(2 , 3) dan (-3
,7) C5,5) dan titik asal.
Penyelesaian:
a.
Menggunakan rumus (i) kita peroleh
Jadi,
Xr=2, Yr=3 dan x, = -3, Yr= 7' Sehingga
,n= 7-3 --4 -3-2 5 persamaan garis ini adalah: y_yt=
m(x_xr) A
y
-3 = -;
(x-2).
Y=-i'* t23 Di sini kita bebas menentukan manapun dari pasangan titik-titik tersebut yang menjadi (x, , y1) atau (xr,yr).
b.
Titik asal adalah titik pangkar koordinat (0, 0). Di sini gradien Jadi, Persamaan garis ini adalah:
* =
5
_-
-5-
_0-
0
= _1
y-yt= m(x-xr) y-0 =_1(x_0). Y=-x Kemiringan sebuah garis lurus Diberikan sebuah garis lurus seperti gambar dibawah. Titik p(x,, yr) dan terletak pada garis tersebut.
e(x*yr)
Gambar 2.31
Kemiringan m garis tersebut didefinisikan
oleh:
:
*=9Ax _yz-yr...(ii) Xz_Xr di mana A (dibaca'delta') adalah simbol yang menyatakan perubahan. Dari rumus kemiringan garis lurus pada (i) dan gambar 2.31 di atas, dapat dikatakan bahwa kemiringan atau gradien garis lurus adalah sama dengan: o hasil bagi perubahan dalam arah vertikal (arah sumbu y, yaitu ay terhadap ) perubahan dalam arah horizontal (arah sumbu x, yaitu Ax);
o
nilai tangensial dari sudut 0, di mana 0 adalah sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu-x arah positif.
]adi, nilai gradien sebuah garis lurus dapat dihitung dengan tiga cara: r jika kita mengetahui koordinat dua buah titik yang terletak pada garis lurus tersebut, maka kita dapat menggunakan rumus (i);
' '
menghitung hasil bagi panjang perubahan dalam arah y dan arah x (gunakan
penggaris);
Menghitung nilai tangen dari sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan
sumbu-x arah positif (garis horisontal) dan berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. Contoh 21: Hitunglah gradien (kemiringan) garis lurus yang melewati titik-titik:
(a)
(-2
,4) dan
(b)
(9 , -3)
(2
,6)
dan
(5 , 7)
Penyelesaian: Karena kita mengetahui dua buah titik yang terletak pada garis lurus tersebut, maka, rumus (1.8.1) dapat digunakan:
(a)
Av **_*, v"-vr 4-(-g) m=ft= =7 = = X=h=-;. negatif
(-7
/tl)
'7
|adi, gradien garis tersebut adalah
karena garis tersebut'miring ke arah
kiri'
(b) m = 1y = Yz-Yt =
Ax
itu'miring
Xz
T+ = 1 .1rdi, gradien garis tersebut positif karena garis -Xr 5-2 3
ke arah kanan'.
Contoh 22: Hitunglah kemiringan garis lurus yang diberikan pada gambar di bawah ini:
Gambar 2.32.b
Gambar 2.32.a
Penyelesaian:
titik koordinat A dan B pada garis tersebut, sehingga rumus (i) tidak dapat digunakan.Jadi, di sini kita dapat menggunakan cara dua dan cara tiga, yaitu dengan menggunakan penggaris atau busur (untuk menghitung nilai tangen sudut 0 dan cx, ). Pada soal ini tidak diberikan
(a) Kita gunakan penggaris untuk mengukur dan dalam arah sumbu y.
+4 Gambar 2.33
besar perubahan dalam arah sumbu-x
Perubahan dalam arah sumbu x = Ax = + 4 (diberi tanda positif karena perubahannya ke arah sumbu x positif/arah kanan). Perubahan dalam arah sumbu y = Ay = * 3 (diberi tanda positif karena perubahannya ke arah sumbu y positif/arah atas). Jadi, nilai kemiringan m untuk garis ini adalah:
-=
9 =0,7s 4
jika kita gunakan busur untuk mengukur besar sudut 0, kita peroleh 0 =
300,
Sehingga nilai kemiringan m adalah:
m=tB0=
=
tB30o
(b) Kita gunakan busur untuk menghitung sudut
0,75
yakni sudut yang dibentuk oleh garis itu dengan sumbu x arah positif dan berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. cx,
Sudut
/l---\
V-\
B
)
Y1
o,n,n sudut ini
Gambar 2.34
Setelah diukur, misalnya, diperoleh sudut
cr
= 1500, sehingga m = tg 1500 = -0,578.
Kemiringan garis horizontal dan garis vertikal Kemiringan m =
4I
drri
Axa
sebuah garis lurus horisontal (sejajar sumbu-x) adalah
nol, sebab nilai Ay = 0. Sehingga m
- -L =0. Kemiringan Ax-Ax
m=
$
au.i sebuah garis
lurus yang vertikal (sejajar sumbu y) adalah'tak terdefinisi (tak terhingga), sebab nilai Ax = 0 sehingga m
=
?0
=oo. Jadi sebuah garis
vertikal tidak memiliki kemiringan.
Garis sejaiar dan garis tegak lurus Jika diberikan dua buah garis lurus dengan persamaan:
yr = ffirX + c,l dan yz=
r:rt2x
kita katakan bahwa:
.
kedua garis tersebut saling sejaiar jika m, = m,
+
cz
r
kedua garis tersebut saling tegak lurus (ortogonal) jika m,.m, = -1 yl
// ($r -
m"= -1/g Gambar 2.35.a. Dua garis saling sejajar
Gambar 2.35.b Dua garis saling tegak lurus
Contoh 23: Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan sejajar dengan garis.
2x-5v=1,0.
Penyelesaian: Garis 2x-Sy = 10 dapat dinyatakan dalambentuk y =
*,
)
;"
- 2. Garis inimemiliki
= ?. Agar garis yang melewati titik (2,3) sejajar dengan garis 2x - 5y = 10 maka kemiringan garis itu juga harus !, sehingga persamaan garis yang kita
kemiringan
cari adalah: Y
-Yr=
m(x
- xr) dengan Xr=2
dan y, = 3 dan
*=
?
]adi: y
-3
=
?<*-rl
y = ?* +
$
atau dalam bentuk lain: 2x
- 5y = -11
Contoh 24: Tunjukkan bahwa garis 3x - 5y = 4 tegak lurus dengan garis 5x + 3y = 9 Penyelesaian:
Garis 3x- 5y = 4 dapatditulis dalambentuk y = 1x - +.Jadi, kemiringan garis ini adalah -, = *. Garis 5x + 3y = 9 dapatditulis dalambentuk y = +x + 3. ]adi,
*,
?. Kedua garis ini akan saling tegak lurus jika ffir.ffi2 = -1. Karena m1.m2 = ? f ?) = -\,maka terbuktibahwa kedua garis ini saling kemiringan garis ini adalah
tegak lurus.
=
Aplikasi Persamaan Linier Banyak persoalan yang pemodelan matematikanya dinyatakan dalam bentuk persamaan linier atau garis lurus. Berikut ini diberikan contoh Contoh 25: Manajemen: Total penjualan sebuah perusahan kecil pada tahun kedua sejak perusahaan itu mulai beroperasi adalah $ 27.000 dan total penjualan di tahun kelima adalah $ 63.000. Jika diasumsikan bahwa data penjualan per tahun dapat dihampiri oleh model linier (garis lurus), tentukan total penjualan perusahaan itu pada tahun keempat dan tahun ketujuh! Penyelesaian:
Misalkan t adalah variabel bebas yang menyatakan tahun dan y adalah variabel tak-bebas yang menyatakan total penjualan pada tahun t. Kita mengasumsikan bahwa data tersebut dapat dihampiri oleh model persamaan linier dengan persamaan:
Y=mt+b di sini kita mempunyai dua titik (t, , y,) = (2 , 27 .000) dan (t, nilai gradien m adalah:
m=
63.000-27.000
5-2
, y r) = (5 , 63.000), maka
= 12.000
kemudian gunakan rumus (1.8.2), (dengan mengganti x menjadi t) kita peroleh:
y-27.000=12.000(t-2) y = 12.000t + 3.000 ...(.) Persamaan (*) adalah persamaan linier yang menyatakan model matematik dari total penjualan perusahaan itu pada tahun ke-t. Dengan menggunakan persamaan ini, kita dapat memperkirakan (menduga) total penjualan di tahun keempat dan ketujuh masing-masing adalah:
t= 4-+ y = 12.000 (a) + 3.000 = $ 51.000 (tahunke-4) t =7 _+ y = 12.000 (7) + 3.000 = $ 87.000 (tahunke_7)
G. MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI DENGAN MATHEMATICA Mathematica merupakan suatu sistem
interaktif yang diciptakan oleh Wolfram
Researchyangmengintegrasikanfasilitaskomputasisimbolikdannumerik,visualisasi, grafik dan bahasa pemrograman dalam suatu lingkungan yang mudah digunakan.
Di sini kita gunakan Mathematica un|uk menggambar beragam grafik fungsi. Untuk sementara kita hanya menggunakan sintak program yang sederhana, yaitu:
Plot[fungsi, {x, xmin, xmaks}I. xmin dan xmax menyatakan domain yang dipilih. Contoh 25: Gambarlah grafik fungsi di bawah ini dengan Mathematica!
(c) y=:, Xr+l
(a) y=x3-3x+1 (b) y=xJxi Penyelesaian:
a.
Grafik Y = x3 - 3x + L pada gambar 2.36 Plot[x^3 - 3 x +L,{x,-3,3}l
Gambar 2.36
b.
Grafik y
=
xlxi
pada gamb ar 2.7
Plot[x Sqrt[x+2J, {x,-2,3}l
Gambar 2.37 a
c.
Grafik y =
1
-= x-+l
pada gambar2.38
Plot[3/(xn2+1), {r-3,3}]
x (d) \-/ y= t Xr+9
Gambar 2.38
d.
pada gamb ar 2.39 ' -+x'+9 '
Grafik y =
PlotIx/(x^2+9), {x,-3,3}]
Gambar 2.39
Berikut ini beberapa fungsi yang sering muncul dalam kalkulus dan bagaimana bentuk grafik fungsi tersebut. Kita gunakan Mathematica dengan sintaks: Plot[f(x), {x, a, b}, Gridlines->Automatic, Frame->True, Axesl-abel->yl 3 2 1
-1
-2
-3
v =X
Y=x2
0.6 2.5
0.4
2
0.2
1.5 1
-0.2 -o.4
-0.6
y= lrl
I=x3
1.75 1.5
1.25 1
0.75 0.5 0.25
Y= Jx
Y=1/x
456
10
8 6
4 2 -1
Y=coshx
Y=sinhx
Y=ex
Gambar 2.40 Koleksi beberapa grafik lungsi
Latihan Bab 2
1.
2.
Tentukan domain dari fungsi-fungsi berikut ini!
a. f(x)=31-5
b. g(x)=2x-1.;x*-3 c.
d.
d.
H(x)=
(2x-1)(x+3)
e. f(x) = (x-5) Tentukan nilai fungsi berikut ini untuk harga x yang diberikan! I(x) =
2-cosx
P(x) =
a. f(x) = 2t + 3 ; f(2), f(-1), f(0) b. f(x) = 3x2 + 5x-2; f(0), f(2), f(a + h) c' f(x) = x+1/x ; f(-1),f(1),f(2) d. f(x) = (2x - L)-t rz ' f(1) , f(l / 2) , (13) lz ; jikax <-5 e. f(x)=l x2 +1. ; jika-5 < x ( 5 ; f(-6), f(-5), f(5), f(6)
tfi 3.
]ika f(x) = x2 + 2x, tentukanlah!
a. f(x') 4.
;jikax>5
b.
f(x2 + 4)
c.
f(-x) +
f(x)
dl
f(a+h) - f(a)
Misalkan total biaya (dalam dolar) untuk memproduksi q unit produk tertentu diberikan oleh persamaan: C(q) =
a. b.
q'-
30q'+ 400q + 500
Hitunglah besarnya biaya memproduksi 20 unit produk tersebut! Hitunglah biaya untuk memproduksi unit ke-20 dari produk tersebut!
Diberikan grafik berikut, tentukan mana dari grafik tersebut yang merupakan grafik fungsi I = f(x) dan mana yang bukan!
Untuk soal6
-
10
tentukan fungsi komposisi
f " g dan g o
11
6. f(x) = 1z + 2 dan 8(x) = -3x 7. f(x)=sinx dan 8(x)=2-x2 8. f(x) = ../" dan g(x) = 12 9. f(r) = *-1 da.rg(x)= x+1 x-1 x+1 10. f(x) = I dan 8(x) = tan x 1
x
" gX3) untuk soal6 (g " fX2) untuk soal9 -
11. Hitunglah nilai dari (f
8!
12. Hitunglah nilai dari
11!
13. Klasifikasikan fungsi-fungsi berikut ini, apakah termasuk fungsi ganjil, fungsi genap atau bukan keduanya!
a. d.
f(x)=xa+2
b.
f(x) =
f(x) =
e.
f(x) =
(x3 + 5)2
J1
c. f(x)=1s**
(x3 + x)2
f.
f(x)= lxl
14. Jika f(x) = 3;. - 4, temukanlah inversnya, f{ jika ada! 15. ]ika f(x) = az + 5x - 9. Untuk nilai x berapakah sehingga f(2x) = f(3x)
?
16. Tentukan nilai dari f(x) = 2x + x2 + sin 2x + cos x untuk x = 4 (ingat untuk terlebih dahulu mengubah mode kalkulator kepada mode RAD)!
17. Tentukan aturan fungsi yang menghasilkan grafik berikut, beserta domain masing-masing fungsi! y = f(x)
y = f(x)
18. Tenfukan persamaan garis lurus yang melewati:
a.
titik
(-5
,2)
dan (3,
-8)
b.
(-6 ,12) dan
titik
asal.
19. Hitunglah gradien (kemiringan) garis lurus yang melewati titik-titik:
(a) (-3 ,2) dan (1, ,2)
(b)
(1
,2)
dan (3,4)
20. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (L,4) dan sejajar dengan garis
6x-2Y =$g' 21. Tunjukkan bahwa garis 3x - 5y = 4 tegak lurus dengan garis 5x + 3y = !! 22. Sebuah pabrik membeli mesin produksi dengan harga $20.000 dan dianggap bahwa penyusutan harga mesin tersebut setelah 10 tahun merupakan fungsi linier, dan harga mesin itu L0 tahun ke depan adalah $10.000.
a. Nyatakan harga mesin tersebut sebagai fungsi waktu t dan gambarkan grafiknya!
b.
Hitunglah harga mesin tersebut 4 tahun setelah dibeli!
illilllllllilillillrllltriiiiiiiiiiiitiririiril'lii.:.'.:'i'ir
I
rr
'r '
,.:i:ir.iiir,i.:ri.il:r:il:lll]..ri,r.:..ii:,...,.4.' r:|lr,lrilirlli:.:irrt::.r... rrr':,r'...,.r,i r':
..i
i r.,...
H
t .
.rlti..!.iiall'l .:. :.
UryHggy$gg*jll*.*riuj"
DN$$,i)sjiil\rr;ffi
:iii:]
I
iii:
"'1r:
llllllllllllllllllillll1lllllllllllSllllllllllllrilillllllillilr(rllli!llilllllllllli;irllllliiilfii
BAB LIMIT DAN KONITINUITAS
A.
I l
PENDAHUTUAN
Konsep limit fungsi merupakan fundamen yang mendasari kalkulus diferensial dan integral. Definisi-definisi yang dibangun serta pembuktian teorema-teorema dasar dalam kalkulus selalu menggunakan pendekatan limit. Itulah sebabnya mengapa semua buku kalkulus menempatkan pembahasan tentang limit pada bab-bab awal. Kita pun akan mengikuti tradisi tersebut. Mari kita mulai pembahasan tentang
limit.
B. LIMIT FUNGSI Salah satu aspek penting pada kalkulus adalah menganalisis bagaimana nilai suatu fungsi berubah ketika nilai input (variabel bebas) fungsi tersebut berubah. Kalimat ini: "Analisis mengenai perubahan nilai fungsi ketika input fungsi itu bergerak mendeknt semakin deknt tetapi tidak pernah sampni kepada nilai tertentlt A" , rrrerl)pakan kalimat pengantar yang tepat untuk mengawali pembahasan tentang limit. Kita akan memulai pembahasan limit dengan mengulang kembali ide tentang fungsi, karena pembahasan limit akan terkait erat dengan fungsi. Kita telah mengetahui bahwa sebuah fungsi dapat dinyatakan dalam tiga bentuk: persamaan, tabel nilai data berpasangan dan grafik. Ketiga bentuk penyajian fungsi ini akan kita gunakan silih berganti saat menjelaskan ide limit.
:
Jika diberikan sebuah fungsi:
f(x) = 4113
Kita tahu jika input (variabel bebas) x = 3 maka nilai fungsi f(x) = 15. Sekarang jika dibuat nilai x terus berubah mendekat semakit dekat kepada 3 (tetapi x I 3). Bagaimanakah pengaruhnya terhadap output fungsi f(x). Tabel nilai di bawah ini memperlihatkan perubahan output f(x) = 41 + 3 ketika x bergerak menuju 3 dari arah kiri (x < 3) dan dari arah kanan (x > 3).
V-arialel x bergerak rnerdekati 3 dari arah kanan
VariaUel x bergerakmendet
x
1
2
2.5
2.9
2.99
2.999...3.001
3.01
3.1
3.5
4
5
f(x)
7
11
13
14.6
14.96
14.996...15.004
15.04
15.4
17
19
23
Nilai tungsi f(x) bergarak mendekali 15
Nllai fuagsil(x) ber$erak mendskati 15
Dari tabel nilai di atas, kita lihat bahwa ketika x bergerak semakin dekat menuju 3, baik dari arah kiri maupun dari arah kanan, maka nilai f(x) akan semakin dekat kepada 15. Jadi secara ringkas dikatakan: "Ketika x mendekati 3, maka f(x) mendekati 15"
Kala "mendekati" merupakan kata kunci dalam memahami konsep limit. Oleh sebab itu tanda panah "-->" setirl1 digunakan untuk menyatakan kata "mendekati", Jadi pernyataan:
"Ketika xmendekati 3, maka f(x) = 4* + 3 mendekati15" dapat ditulis menjadi:
ketika x-+3 maka 4x + 3 -+15
Angka 15 disebut sebagai limit dari f(x) = 4x + 3 ketika x mendekati 3. Kita dapat meringkas pernyataan ini sebagai:
ltq (4x+3) = 15 Pernyataan adalah 15."
lim (4x + 3) = 15 dibaca: "limit fungsi f(x)
x->3
= 4x + 3 ketika x mendekati 3
Di sini kita harus tetap menyadari bahwa x selamanya tidak akan pernah sama dengan 3 karena simbol x-+3 tidak sama artinya dengan x = 3. Pada simbol x--+3 kita hanya boleh mengganti x dengan sebarang angka yang sangat dekat dengan 3 dari arah kiri (misalnya x = 2,99999999....) atau dari arah kanan (misalnya x = 3,0000000. ..1), tetapi bukan x = 3. Demikian juga dengan angka L5 yang merupakan limit bagi fungsi f(x) = 4x + 3. Di sini f(x) = 4x + 3 tidak pernah sama dengan 15, namun angka yang sangat dekat dengan 15 (misalny a 14,99999...atau 15,000.. .1). Contoh 1: Tentukan nilai limit dari
fungsi f(x)=x2 +4x-12 , ^ ketika x mendekati 2!
Penyelesaian: Soal
ini dapat ditulis menjadi:
,.
x'+4x-12
lglt-2'
Kita akan menggunakan tabel nilai untuk mencari nilai limit dari fungsi
f(x)=x2 +4x-12 ketika x-+2. Hasilnya adalah sebagai berikut. xr
r*
x
-)
2* dari arah kanan
x -->2 dari arah kiri
x
f(x)
x
2,5
3,4
1,5
5,0
2,1
3,857142857
1,9
4,157894737
2,01
3,985074627
1,99
4,015075377
2,001
3,998500750
1,999
4,001500750
2,0001
3,999850007
1,9999
4,000150008
2,00001
3,999985000
1,99999
4,000015000
f(x)
Dari sini tampak, ketika x mendekati2 dari arah kiri dan dari arah kanary maka
X*l=#*
f(x) mendekati 4. Kita katakan
limit
Lalu bagaimanakah nilai fungs
i t1x1=t!!x:12 x"
-2x
ketika x-->2 adatah;. ketika x = 2?
Jawabannya adalah: tak terdefinisi, sebab saat x = 2 maka f(x) = f(2) = adalah menjaga agar x +2.
9. ,.rrrny,
C. LIMIT ARAH KIRI DAN LIMIT ARAH KANAN Kita telah membahas simbol x-+a diartikan x mendekati a dari arah kiri dan dari arah kanan. Untuk x bergerak menuju a dari arah kiri, dinyatakan dengan simbol
x-+a. Sedangkan untuk x menuju a dari arah kanan, dinyatakan dengan simbol x-+a*.
Definisi limit arah
kiri: Kita nyatakan lim f(x)
x-)a
= t-
limit arah liri aa.i fungsi f(x) ketika x mendekati kiri adalah L. sebagai
a dari arah I
-t Contoh 2: Tentukan limit fungsi
(*) =
ketika x-+0 dari arah kiri!
fi
Penyelesaian: Ini adalah masalah limit arah kiri, yakni untuk nilai-nilai x < 0 dan kita tidak perlu memikirkan nilai-nilai x > 0. Dalam notasi limit, soal ini ditulis:
Iim 1 -.....? *-o- lx I
Limit arah kiri untuk fungsi ini dapat diperoleh dengan melihat tabel nilai berikut ini. Tabel limit arah kiri nol x r(x)
-2 -1 -0,1 -0,01
-0,0001
-l
-1
-l
-l
-l
.
Dari perilaku nilai f(x) pada tabel ini, tampakbahwa limit fungsi f(x) = x-+0 dari arah
kiri
-Ilxl
adalah -1. Contoh lain misalnya,kitakembali pada contoh 1. Dari
tabel nilai tampak bahwa adalah4, yakni:
limit fungsi tf*l=#5f
,'+14*-12 lim x+2- X'-2X Inilah yang kita maksud dengan limit arah kiri.
'
ketika x--+2 dari arah kiri
=4
Definisi limit arah kanan: Kita nyatakan:
]1pf(x) sebagai
ketika
=L
limit arah kanan dari ftrngsi f(x) ketika x mendekati
kanan adalah L.
a dari arah
Contoh 3: Tentukan limit fungsi f(x) =
-a l*l
ketika x-+0 dari arah kanan!
Penyelesaian: Ini adalah masalah limit arah kanan, yakni untuk nilai-nilai x > 0 dan kita tidak perlu memikirkan nilai-nilai x < 0. Dalam notasi limit, soal ini ditulis:
.9.fi
-....?
Nilai limit arah kanan bagi fungsi ini dapat diperoleh dengan melihat tabel nilai berikut. Tabel limit arah kanan nol x
2 1 0,1 0,01
f(x)
11111
0,0001
Dari tabel ini tampak bahwa limit fungsi f(x) adalah 1.
x
lxl
..
ketika x-->0 dari arah kanan
Contoh lain misalnya, kita kembali pada contoh 1. Dari tabel nilai tampak bahwa
limit
fung si
f(4=+5:ketika ,r^
x-+2 dari arah kanan adalah 4, yatcni: x2
+_4x-12 _ n
x+2t x" -2x
Inilah yang kita maksud dengan limit arah kanan.
D.
SYARAT KEBERADAAN
LIMIT FUNGSI
Setelah kita membahas tentang pengertian limit arah kiri dan limit arah kanan, kini kita akan membahas syarat keberadaan limit suatu fungsi. Limit suatu fungsi f(x) dikatakan ada dan nilainya adalah L jika nilai limit arah kiri fungsi itu sama dengan
nilai limit arah kanannya. Jadi nilai limit fungsi f(x) ketika x-+a adalah sama dengan L jika dan hanya jika nilai limit arah kiri fungsi tersebut sama dengan nilai limit arah kanannya. Ringkasnya adalah: ,,liiii
lim f(x) x+a
=
l
L iika dan hanya jika lim f(x) = lim f(x) ' *-"x-+a*
't:t..1:
=
I
Contoh 4 : Kita gunakan kembali contoh
li^*'+-4*_12
x+2 X'-2X
1
untuk menunjukkan bahwa:
=4
Dengan mengamati tabel limit arah kanan dan arah kiri:
limit arah kiri
limit arah kanan
Lihat di sini f(x) menuju
4-
2.5
3.4
1.5
5.0
2.1
3.857142857
1.9
4.157894737
2.01
3.985074627
1.99
4.015075377
2.001
3.998500750
1.999
4.001500750
2.0001
3.999850007
1.9999
4.000150008
2.00001
3.999985000
1.99999
4.000015000
Lihat di sini
f(x) menuju 4
Tampak bahwa limit arah kiri = nilai limit arah kanan = 4
.. h
x'
+4x-12 ,. =
l-^
*2
*9. *'- r*
Maka dengan terpenuhinya syarat limit arah katakan bahwa:
..
+4x-12
=
kiri = limit arah kanary maka kita
x'+4x-12
ls *2,. =* Contoh 5: Di sini kita akan melihat contoh di mana limit arah lim x =...? x-+o
+
kiri I limit
arah kanan:
lxl
Penyelesaian:
Kita akan menghitung limit arah kiri dan limit arah kanan fungsi f(x)
=
x
lxl
ketika x-+0. Dari contoh 2,kLta ketahui bahwa limit arah kiri fungsi ini adalah:
,1?; =
',
Sedangkan limit arah kanannya adalah:
.liT ,n
=
,
Dari kedua jawaban di atas tampak bahwa nilai limit arah
kiri # nilai limit
aruh
kanan di mana -1, # 1,. Jadi, karena syarat limit arah kiri = limit arah knnan trdak terpenuhi maka kita katakan bahwa: fir4 *+o
-Ilxl
= tak terdefinisi (tidak ada)
E. MENENTUKAN LIMIT FUNGSI DENGAN GRAFIK Jika diberikan grafik sebuah fungsi, lalu kita harus menentukan limit fungsi itu ketika variabel bebasnya mendekati angka tertentu a. Bagaimanakah cara menentukan iimit grafik fungsi itu? Caranya tidak sulit. Kita masih tetap menggunakan prinsip: limit arah kiri sama dengan limit arah kanan. Telusuri jejak grafii. -,.--gsi itu dari arah kiri a dan dari arah kanan a dan lihat apakah nilai fungsi itu menuju kepada satu angka tertentu L.Jika demikian, maka L adalah limit bagi grafik fungsi itu ketika x mendekati a.Jika tidak demikian, maka fungsi itu tidak mempunyai timit ketika x mendekati a.
Contoh 6: Jika diberikan grafik g(x) yang kontinu seperti gambar 3.1 berikut ini
2.5
Gambar 3.1
maka limit g(x) ketika x + 2 adalah sama dengan 4. Jika x-+2- maka g(x) akan bergerak turun menuju 4 (lihat di sumbu y di mana nilai g(x) 'bergerak turun' dariT menuju 4). Demikian juga jika x-+2* maka nilai g(x) akan 'bergerak naik' dari 1 menuju 4. Jadi tampak bahwa nilai limit arah kiri = nilai limit arah kanan = 4, sehingga kita katakan:
l.g1S(*) = +
Contoh 7: Contoh lain, perhatikan grafik g(x) pada gambar 3.2 berikut ini!
-1
-2
-3 -4 -5
Gambar 3.2
Dari grafik ini tampak bahwa nilai limit arah kiri, yakni
S(*) = 2, sedangkan *1]l_ nilai limit arah kanan.lT. S(*l= 2. Karena limit arah kiri = limit arah kanan = 2, maka limit fungsi g(x) ketikax-+-4 adalah sama dengan2, atau ditulis:
]11s(')
=z
Contoh 8: Perhatikan grafik fungsi f(x) paga gambar 3.3 berikut ini
:
(1,4) 3 2 'l
-1
-2
(1,-2)
-3 -4 -5
Gambar 3.3
tf.l fiilak ada, sebab limit arah kiri tidak sama dengan 1T, nilai limit arah kanan. Lihat grafik pada gambar 3.3, ketika x mendekati 1 dari arah Kita katakan bahwa
kiri, maka nilai f(x) mendekati 4. Sedangkan, ketika x mendekati 1 dari arah kanan, maka nilai f(x) mendekati angka -2.Di sini tampak bahwa nilai limit arah kiri tidak sama dengan nilai limit arah kanan, sehingga:
iT rl*l = tidak ada Contoh 9: Gambar 3.4 merupakan grafik fungsi f(x) = ketika x =3.
GrafiknYa tak terdefinisi
Z
Gambar 3.4
a.
Tentukan nilai lim x-+3
b.
f(x)
Tentukan nilai lim x-+0
f(x)
Penyelesaian:
a.
Dari grafik tampak bahwa nilai limit arah kiri, yakni
nilai limit arah kanan, yakni
l* ;}=+
oo
:+
. Karena
=- co sedangkan
limit- arah kiri tidak
sama
dengan limit arah kanan, maka:
riry
= tak ada (tak terdefinisi)
a-l 2x^ Dari grafiktampakbahwanilailimitarahkiri,yakni lim =0 danlimitarah x-+o- X-3 2X kanan Iim ---:^ =0. Karena limit arah kiri = limit arah kanan = 0, maka: x-+3
b.
ji
x-+o+
x-3
2x Iim =o x-+0 1-l
F. MENENTUKAN LIMIT T'UNGSI DENGAN SUBSTITUSI LANGSUNG Kita telah melihat bagaimana cara menentukan limit fungsi f (x) dengan menyusun tabel nilai x dan f(x). Kita juga telah mengetahui bahwa limit fungsi f(x) dapat juga ditentukan secara grafis, tentunya dengan terlebih dahulu menggambarkan grafik f(x). Sekarang kita akan menentukan limit dari:
1g
rr,.l
dengan cara substitusi langsung, yakni dengan memasukkan nilai x = a ke dalam lungsi f(x). Cara ini persis seperti saat kita menentukan nilai fungsi f(x) ketika x
c. Iim
.te-"' v
x-+4 X-3 Penyelesaian:
a. lim5x-6=5(4)-6=1.4 C.
...8*t' L I1ITI
x-+4 X-3
=
d.
.. 5x2 llm_ -2x3+l x-+10 X - 8
b.
Iim x->5
-5
d. lim
-1-,0)t- = 1- t0
x)5
5x2 -2x3
+l
x-8
x-+10
= -9,4
= -749,5
Demikian jawabannya. Cara ini sangat mudah. Kita dapat memastikan kebenaran jawaban ini dengan cara menggambarkan grafik fungsi masing-masing soal dan mengamati nilai limitnya. Kita akan menuliskan program Mathematica untuk menampilkan grafik fungsi untuk soal a dan soal d. Inilah hasilnya
Grafik soal a di mana f(x) = 51- 6 adalah: Plot[S x-6,1x,0,6]l
Gambar 3.5
Dari grafik ini terlihat bahwa limit f(x) ketika x mendekati 4 adalah 1.4.
Untuk soal d di mana f(x)=
a1:23 +l , dengan mengambil interval x-8
sempit di sekitar x = 10, yakni interval :9,9 1 x
I
70,2.
yang
Ini dilakukan agar pengamatan
kita terhadap kecenderungan nilai f(x) di sekitar x = 10 dapat terlihat jelas. Hasilnya adalah:
Plot[(S x^2 - 2 x^3 +1)i(x-8), {x, 9.9,L0.2}l
Arah kiri 10
-+-745
Gambar
3.6
3
Dari grafik ini tampak jelas bahwa nilai limit f(x) ketika x mendekati L0 adalah -749,5
G. MENENTUKAN LIMIT FUNGSI DENGAN MANIPULASI ALJABAR Kita telah melihat bagaimana mudahnya menentukan limit fungsi dengan cara substitusi langsung. Saat kita masukkan nilai x = a ke dalam fungsi yang bersangkutan dan diperoleh bilangan real tertentu L, maka L adalah jawabannya dan hasil yang diberikan oleh cara substitusi langsung dapat kita benarkan. Namun, terdapat banyak soal di mana hasil yang diberikan oleh cara substitusi langsung justru tidak dapat dibenarkan. Situasi ini muncul manakala kita berusaha menyelesaikan soal limit yang bentuknya:
,S# dan
9 -,.rr,.rl akibat penerapan
substitusi langsung.
9 brkr.,luh sebuah
bilangan tert\ntu, ia 'tak-terdefinisi' dan disebut sebagai bentuk tak-tentu. Untuk menghindari hql ini, kita dapat menempuh cara 'manipulasi aljabar' yakni dengan langkah aLjabar sehingga fungsinya menjadi lebih sederhana. melakukan bebe r dapat dilakukan, misalnya dengan memfaktorkan fungsi Penyederhanaan alj (jika mungkin) kem ian mencoret suku-suku sejenis, atau dengan melakukan rasionalisasi (khusus untuk fungsi yang memiliki bentuk akar) atau menyamakan
,.
]
ril +rS
,:+]!
:'::*
.
ffi
penyebut dari beberapa pecahan atau cara-cara lainnya. Perhatikan beberapa contoh berikut. Contoh 11: Hitunglah 11* "11!119 x-+-2 X+2
PenYelesaian: Fungsi yang akan dihitung limitnya adalah f(x) =
x2
+5x+6
;
_ . Fungsi
ini tidak
terdefinisi di x = -2, sebab substitusi langsung nilai x = -2 ke dalam fungsi itu akan menghasilkrr', ao
9
Kita dapat mencari nilai limit ini dengan membuat tabel nilai limit
arah kiri dan limit arah kanan seperti pada contoh 4. Tetapi bukan ini tujuan kita, sebab kita akan menerapkan manipulasi aljabar. Cara manipulasi aljabar akan jauh lebih baik (dan lebih mudah) daripada membuat tabel nilai. Pada
lim
x
x2 + 5x+ 6
;-2
X+2
,
faktorkan bagian pembilang sehingga menjadi:
(x+3)(x+2) (x+2) hasilnya menjadi:
lim#.Coretsukuyangsamapadapembi1angdanpenyebut x+-2 linq (x + 3)
Akhirnya, gunakan substitusi langsung pada fungsi
lim (x+3) =-2+3=L
x+-2
)--rJ^-ru
v_l\vlA
lim ^ Jadi, ' x+z
X+2
Contoh L2:Cari
m
hm (x+3) =-2+3=L = x>-2'
#
Penyelesaian:
Substitusi langsung x = 4 ke dalam soal akan menghasilkur,
9. 0
Karena soal ini
mengandung tanda akar, coba sederhanakan dengan cara rasionalisasi. Hasilnya:
ri_Ji-2 r14 x-4 =r^(&-zgj2l .-+[ x-4 Jx+2) = lim x->4
(x-4) (x-aXJx+2)
(x-4) x-+ (x _ aXVx + 2)
= lim *-+ --L(.r/x + 2)
=
penyederhanaan selesai, masukkan x I
11
d4+21 4 r- 2 "lx lim Iadi ' x+4 x-4 -1'4 Contoh 13: Hitung lim
./."
-J-
Penyelesaian:
./i+* -./ir--------r-
menghasilkrn 9. Untuk UO itu kita lakukan penyederhanaan aljabar. Karena fungsi ini memiliki tanda akar, kita pilih proses penyederhanaan dengan cara rasionalisasi, yakni mengalikan f(x) dengan Substitusi langsung x = 0 ke fungsi f(x) =
h;- -+ lt pecahan Vl+x Vr-x yang nilainya setara dengan 1. Jadi,
{r+x +{l-x
.,[+"
-Jf
x
_
.f-r' -.[_* J.,l ++-, x .r[.. +1tt-x (1+x)-(1-x)
x(Jt+x+Jt-x1 ,/
,1 lc,, ralx yang ada pada pembilang dan penyebut di luar tanda kurung) *k;*;,ili,
lni adalah hasil penyederhanan lungsi
(J..
+
semula
rtt-"1
Sehingga
ri*6;-fx->0
= lim *-o --2-_-(r/l+x * Jl-il
2-
- .I.0 + vti-o -_-t
]adi 1,*
@-F=,
^
=
(substitusikan nilai x = 0 ke dalam soal)
i_l
x4 Contoh 14: Cari lim x+4
x-4
Penyelesaian: Substitusi langsung x = 4 ke fungsi f(") =
1_r ;:t
menghasilku"
0
;
.Fungsi seperti
ini
disederhanakan dengan menyamakan dahulu suku-suku bagian pembilang, selanjutnya membagi pembilang dan penyebut. Lihat berikut ini!
4-x (4*) x4
1_1 x4
x-4
(a-x) (x-a)
4*
(4-x)
-l-(a-x).
4"
1_1
Jadi ' x-4
=+ (coret faktor yang sama)
1_1
,
=
--l-4x
sehingga
lim *
4
x-->4x-4
lim
^
x-+4 -4x
*4(4)
16
Dari contoh 11 hingga contoh 1.A,klta telah melihat bagaimana proses manipulasi (penyederhanaan) aljabar bekerja dalam menyelesaikan soal limit. Namun di sana terdapat pula fungsi-fungsi yang sulit diselesaikan dengan proses penyederhanaan/ sehingga kita kembali harus menggunakan cara tabel nilai untuk mendapatkan limit fungsinya. Misalnya seperti contoh 15. Contoh L5: Hitung
16 t:.t&I
x-+0 x'
Penyelesaian: Substitusi langsung nilai x = 0 menghasilkan
9. frngri ini sulit disederhanakan. U
Kita coba mencari limitnya dengan membuat tabel nilai limit arah kiri dan arah kanan. Kita akan melihat bagaimana perilaku numerik fungsi axJ f(x)
x = - -tgx ketika
x mendekati 0 dari arah kiri dan arah kanan. Kita akan mencoba menghitungnya dalam dua interval yang berbeda:
Pertama: kita amati nilai f(x) dalam interval nilai x yang memuat angka 0, yakni dalam interval -5 ( x < 5 dengan perubahan x pada kelipatan 1.
Kedua
:
kita amati nilai f(x) dalam interval nilai x yang lebih sempit lagi yang masih memuat angka 0, yakni dalam interval -0,01< x (0,01 dengan perubahan x pada kelipatan 0,001.
Dengan Mathematica hasilnya adalah sebagai berikut.
Interval pertama: -5 S x < 5 dengan kelipatan 1. Hasilnya: TableForm[Table[{x, (x - Tan[ xl)/x^3], {x, -5,5,1}ll//N
-5
0,0670441
-4
o,044409
-3
0,116391
-2
0,52313
-1
-0,557408
0
lndeterminate
1
-0,557408
2
0,52313
J
0,116391
4
0,044409
5
0.0670441
ketika x mendekati 0 dari arah kanan, hasilnya -0,557408
ketika x mendekati 0 dari arah kiri, hasilnya -0,557408
Hasil yang diberikan oleh tabel ini mengesankan bahwa ketika x mendekati nol, jawabannya -0,557408, sebab nilai limit arah kiri = limit arah kanan. Namun hasil ini belum dapat diterima karena di sini nilai x yang terdekat dengan nol adalah x dekat dengan nol. Untuk itu, mari kita lihat perilaku = +1.Nilai+lbelum ika x semakin dekat dengan nol dalam interval kedua yang numerik fungsi lebih sempit yakni -0,01< x <0,01. Interval k/draz -0, 0 1< x < 0, 0 1 dengan kelipatan 0,001. Hasilnya: TableFormlTable[{x, (x - Tan[ x])/x^3], {x,-0.0L, 0.01, 0.001}ll
-0,01
-0,333347
-0,009
-0,333344
-0,008
-0,333342
-0,007
-0,33334
-0,006
-0,333338
-0,005
-0,333337
-0,004
-0,333335
-0,003
-0,333335
-0,002
-0,333334
-0,001
-0,333333
0.
lndeterminate
0,001
-0,333333
0,002
-0,333334
0,003
-0,333335
0,004
-0,333335
0,005
-0,333337
0,006
-0,333338
0,007
-0,33334
0,008
-0,333342
0,009
-0,333344
0,01
-0,333347
Hasil yang diberikan oleh tabel ini meyakinkan kita bahwa
$=#
=-0,333333
=
-of
Walaupun kita belum mengakhiri bab ini, untuk sementara kita dapat menyimpulkan bahwa limit fungsi dapat dihitung dengan empat cara:
1. 2. 3. 4. H.
dengan substitusi langsung; dengan manipulasr aljabar; dengan tabel nilai arah kiri dan arah kanan; dengan cara grafis, namun cara ini membutuhkan perangkat lunak untuk menggambarkan grafik fungsinya.
SIFAT DAN ATURAN DASAR PENGHITUNGAN
LIMIT
Sekarangkitaakanmenguraikanbeberapasifatdasardanafuran-aturanmatematis terkait dengan langkah-langkah penentuan limit fungsi. berikut ini beberapa sifat dan aturan dasar dalam menghitung limit.
L.
Sifat dan Aturan Dasar Limit
Jika k adalah konstanta, x adalah variabel dan untuk sebarang bilangan real a, misalkan, bahwa fungsi f(x) dan g(x) kedua-duanya memiliki limit di X = d, maka berlaku:
Aturan konstanta
lim k= k
untuk sebarang konstanta k
x-)a Limit aturan & substitusi langsung Aturan perkalian dengan konstanta k
limx=a
x-)a
lim k.f(x) x-)a
= t< lim f(x) x-)a
(konstanta k boleh dikeluarkan dari proses limit)
Aturan penjumlahan
lim f(x) + lim g(x) lim [f(x) - + g(x)] = x-)a x-)a
x-+a
(limit dari jumlah fungsi Aturan selisih
=
jumlah dari limit fungsi)
hm f(x) - lim g(x) rm [f(x) - - g(*)] = x-)a x-)a
x-)a
(limit dari selisih fungsi = selisih dari limit fungsi) Aturan perkalian fungsi
lim
x-+a[f(x).g(x)]
= lim f(x) . lim g(x)
x-)a
x-)a
(timit darpperkalian fungsi = perkalian dari limit fungsi)
Aturan hasil bagi
lim f(x) t(*) ;;; ' ' = x-+a g(x) lim g(x)
li-
dengan
x-)a
ryr.rt lim g(x) * ^-d
o
(timit dari hasilbagi fungsi = hasilbagi dari limit fungsi)
Aturan pangkat
Iln lim [f(x)]n = | lim f(x;11 x-+a Lx+a ! dan
Co
ntoh4fr5eles aikan-timit
a. e.
lim
(-35)
x+5
lirn_3y +t2
y-+)
b. f.
Penyelesaian:
a. b.
lim (-35) x-+5
b
limit ruaskanan ada.
erikut ini !
c.
lim 3y+tz
x+5
lim x-+2
di mana n bilangan rasional
[3x5 _9x3 +3x2
-l5l
lim x2 d. lim l0x2 x-->2 x-+3
.. x2 -x s. llm x-+l 0 x-1 -
= -35 (aturan konstanta di mana k = -35)
Iim 3y+ t2 =3y + t2 (aturan konstanta, di sini konstantanya adalah
3yz +
t,sebab
x-+5
yang berperan sebagai variabel adalah x, karena ia yang bergerak menuju 5. y dan t dianggap konstan)
c. d.
lim x2 = (2)' = 4 (limit aturan x, substitusi langsung)
x-->2
lim 10x2 = 10 lim x2 = 10. (3)'z = 90 (aturan perkalian dengan konstanta k)
x-+3
x-+3
e.
lim_ y-+5
3y+t2 =
3(5) + t2 = 15 + t'z (di sini yang menjadi variabel adalah y)
f. lim [3x5 -9x3+4x2-15] = 1im3x5 - 1im9x3 + lim4x2 -lS x-+2 x-+2 x-+2 x-+2 (aturan penjumlahan dan selisih)
=
:[h-r') - ,[,,**' l* +[ri..,*Y - ru Ir-z] l.*-z) t.*-z] (aturan perkalian dengan konstanta) z15z13r'2
l-r[ h...*l*+lt*,. I -r 5 l.*-z] (.^-z) [*-z,l -'-'-/-
=:l h*, (aturan
=
3 (2)5
pangkat)
-9 (2)'
+
....-
4(2)'z-15 =
25
(limit aturan x, substitusi langsung)
r li* *2-* x -:x *ll0 g. lim = o lim x - .I x-+10 x-l
(aturanhasilbagi)
x-+1 0
_ lo2-lo 10-l
2.
=
1o
Limit Fungsi Polinomial
Jika kita lihat kembali limit fungsi pada contoh 1,6.f, sangat mudah bagi kita untuk melihat bahwa fungsi tersebut, yakni f(x) = 3x5 -9x3 +4x2 -15 adalah fungsi polinomial di mana limitnya ketika x-+2 dapal ditentukan langsung dengan mensubstitusikan x = 2 ke dalam f(x) = 3x5-9x3 +4x2_15. Dari sini dapat kita tetapkan suatu aturan khusus dalam menentukan limit fungsi polinomial:
Limit Fungsi Polinomial
. ,
:::.
Jika P(x) adalah fungsi polinomial, maka
Contoh 17: Hitunglah
lim x-->-2
Penyelesaian:
(x2 +
*3
- "5;
Ini adalah fungsi polinomial P(x) = ,2 + *3 -2)2 (-2)2
- =-l= +3(-2)-s 7 -
3?z)
,5
dengan c = -2 sehingga:
+(-8)-(-321=29
t** --**** Limit Fungsi Rasional I I(') : ]ika Ii* P(*) = P(c) ' Q(x) u6u1u1l fungsi rasional di mana Q(x) I o.' maka x-+c Q(x) Q(c) ' dengan syarat nilai limQ(x)*0 :
!
Contoh 18: Hitunglah
lim
-I . t,lx"
-3x-2
x-+-2Fx'+3x-5
Penyelesaian:
Ini adalah fungsi rasional di mana P(x) = nilai c = -2 dan lim Q(x)= -7 +0 .Jadi
dan Q(x)= x2+3x-5 dengan
x->-2
"r-;-
lim llx" -3x-2 x-+-2 x2 +3x-5
I. LIMIT
(-2)2
+3(-z)-s
FUNGSI TRIGONOMETRI -=
Limit fungsi trgon6'metri ditentukan dengan cara yang sama seperti contoh yang telah dibaha>ffielurrrnya. Kita dapat memilih cara substitusi langsung, manipulasi aljabar, tg6l nilai ataupun cara grafik. Teorema berikut ini akan memudahkan kita mern\il'ras limit fungsi trigonometri. Teorema: Limit fungsi trigonometri
]ika a adalah sebaiang bilangan,dalam daerah asal fungsi ya.g diberikan,
maka: I 7. I. [In SlnX=SIna ,
2.
x-+a
4. lim cscx=csca x-+a
5.
lim cosx=cosa x--)a . ,.'
3.
lim secx=seca
6.
x-+a
lim tgx =tg;a
x-+a
lim ctgx=ctga
x-+a
87
Perlu diingat kembali, bahwa dalam kalkulus, semua sudut dinyatakan dalam radian. Tabel berikut ini memberikan hubungan derajat dan radian Deralat
0
30
45
60
90
180
270
360
Radian
0
TEI6
Iv4
?v3
fl2
TI
3TLI2
2It
di mana rE=3,\4L592654 ... Rumus konversi derajat ke radian adalah: x0 -
Contoh: Ubah
200 ke
1n
radian.
180
dalam satuan radian!
I
/
Penyelesaian: x = 200+Jadi 200 =
Lnradian = 1n 9
180
/
radiarr =113,t+; radian = 0.g4906l radian
9'
Contoh 19 : Hitunglah limit berikut ini! 1_b. lim'^ a. lim x3 cosrx
c.
x-+0 CoSx
"++
I
,'u
lim (sin2y+l.gx
x-++
3
cos4x
Penyelesaian:
Ketiga soal ini dapat diselesaikan dengan substitusi langsung.
I rim x3cosnx = flI.orln= .l= a. *-+ \3/ 3 27 2 s4 2-x hm b. x+0 =Z=2 =2-o cos 0 cos x 1
1
c.
lim (sin2x
+
"+t
tgx-
J=l
COS4X
= sin2(t) +t1i
cos(a.f,)
=sin**l-
3
cos
7r
=1+1-3 (- 1) -5 Dua Limit Trigonometri yang Spesial
limit trigonometri yarrgpaparkan di atas, terdapat dua limit trigonometri yang spesial karena keduanya memainkan peran penting dalam kalkulus. Dua limit trigonometri yang spesial itu adalah: Selain
1. li* stt*
=
1
dan
2. li* "ot'-l
=o
x-+0 x x-+0 X Bukti: Sudah tentu nilai limit kedua fungsi ini ketika x-+0 tidak dapat dihitung dengansubstitusilangsungx=0dantidakjugadenganmanipulasialjabar. Olehkarena
itu, kita akan membuktikan limitnya dengan cara grafik, yakni dengan membuat grafik fungsinya dan mengamati perilaku nilai fungsi itu ketika x mendekati nol dari arah kanan dan arah kiri. Perhatikan apa yang ditampilkan oleh Mathematica: a.
.. sinx llm _ x-+0 X Fungsinya adalah f(x) =
$Y . Kita akan menggambar xx
f(x) =
llnl
dalam selang
-2n < x < 2n. Hasilnya: Plot[Sin[x)/ x, lx, -2Pi,2Pi]1
Gambar 3.7
Gambar 3.7
Dari gambag
tampak bahwa f1x;
=
sinx x
bergerak mendekati 1 ketika x
nol dari arah kanan dan dari arah kiri. Jadi, berdasarkan pendekatan grafik, tampak bahwa:
li* sh*
x-+0 cos x.. llffr b. x-+0 x
X
=
1
1
,
Fungsinya adalah f1x; =
S91I1. x
Plot[(Cos [xl-L\ I x, {x, -2 P i, 2 P i}l
Kita gunakan selang -2n
x< 2n. Hasilnya:
Gambar 3.8
Dari grafik gambar 3.8 tampak bahwa f(x)
=
cosx
-I
x
bergerak mendekati nol
ketikaxbergerakmenujunoidariarahkanandandariarahki@-----/ pendekatan grafik,tampak bahwa: li* tot'-1 = o x-+0 x Contoh 20: Buktikan bahwa
1 cosx lim -
x-+0
x
=0
Penyelesaian:
Substitusi langsung x = 0 tidak akan menghasilkan jawaban. Kita akan membuktikan masalah ini secara aliabar. Fungsinya adalah: f1x; =
!-
J91x
x
.
Kita rasionalkan dengan mengalikan pecahan ini dengan konjungsi
bagianpembilang, yakni
"
l-cos2x
I + cosx
.
Hasilnya adalah
l+cosx
'
1
- cosx -
x
1
-
cosx
x
.
1
+ cosx
l+cosx
ubah pembilang dengan identitas trigonometri : 1 - cos2x = sirLrx ='''""', x(1+ cos x) = sinx (sinx) sin2 x x(l+cosx) x(l+cosx)
Jadi, 1
-
cosx
sinx (sinx)
x
x(1+cosx)
Sehingga, 1 cosx sin x (sin x) ,: -- sin x (sin x) ,. llm _ llm = lrm = x-+0 x x-+0 x(l+cosx) x-+0 x (1+cosx)
.---*-.: I
r,*
tt^ *
\x+o x
x )-[,,/(x-+ol+cosxJ
',l
sin
Untuksukurkiri ambil'faita um fll1*,t, Unfuk suku kanan'lakuktn substi*Ut
langsungx=0 .,. r'
',,,,,,,
'
I
,
:
0 (terbukti) Contoh 21: Hitunglah
a.
tgx hm x-+0 x
rD.[mr. stnx x-+0 r/x
Penyelesaian:
.. C. Irm x-+0 -
sin 4x
Semua soal ini akan kita selesaikan dengan memanfaatkan rumus:
7x
lim
sln x
x
a. x-+0 rm tsx = ,,*[&'l = r,r, sinx x x-+01 x I x-+0xcosx \,,
=tsT[s*) =,*=, Kita dapat 9relnUutctitan jawaban ini dengan pendekatan grafik. Kita gunakan Matherya{cauntuk menggambar grafik f(*) = I dalam interval yang memuat x /nnx
=
O.
Pertama,
/'22
kitapilih interv
at:
-L < * < 1 . Perintah
PlotlTan [xl I x, {x,-P il 2,P il
2ll
dan hasilnya adalah:
-1.5 -1
-0.5
0.5
Gambar 3.9
1
1.5
/
Walaupun apayangditampilkan oleh jejak grafik tidak begitu jelas, kita r/enduga bahwa fungsi f(x) = IEx bergerak menuju 1 saat x--+0. Untuk lebih mg(rpe4elas x-l pandangan pada jejak grafik disekitar x = 0, kita perlu menggamb/r grafik ini dalam interval x dan interval y = f(x) yang lebih sempit lagi. Artin/a kita lakukan "zoom" di area yang di lingkari.
Gambar 3.10
Kita pilih interval -0,5 < x ( 0,5 dan 0,8 < y < 1,2 Dengan Mathematica, perintah dan hasilnya adalah: Show[%, PlotRange-+{G0.10.5},10.8,1.211, Frame->True,Gridlines-+Automatic]
1.15 1.1
0.95 0.9
-0.4
-0.2
0.4
0.2
0
Gambar 3.11
Dariarea "zoom" tampaknyatabahwa lim b.
(sinx fi ) sinx= ,. ,. lllTl: lllTll:.-.--:.l x-+o Jx r-+o I Jx J" )
t8x
x-->0
X
=
1
ri* [,F sinx'] = limJi ri* si^* = J0 .1=0 = x-+0\' x ) x-+0 x->0 x C.
fur f(x) = sin4x li- tit4* - ....? = ubah dahulu fungsi i x+0 7x sin4x 4 sin4x 7x74x\i
i
4
menjadi:
sino
II . ,. sin4x704
sinO
taol-=-.-semngsa: lTxTgaa
l
sin0 4 -| 4 sin4x ltm-.4 sin7 4 .. \' .. Itm = - llm= 7 e-+o 0 - -7 = -7 \ x-+o 7x o-+07 e filrit
Fungsi yang Kontinu Sepotong-Sepoto ng{Pieceuise Coutinuous Functionl
Pada bab dua telah dibahas tentang fungsi kontinu sepotong-sepotong di dalam domainnya. Sekarang kita akan membahas bagaimana menentukan limit fungsi yang
kontinu sepotong-sepotong. Perhatikan contoh-contoh berikut!
di mana: Contoh 22:Diberikan fungsi f(x) yang kontinu sepotong-sepotong l,x2 + z f(x) = j ll_4*
a. 15 rt,l
Hitunglah:
b.
lim x-+0-
jikax>0 jikax<0
f(x)
c. I'S tt*l
Penyelesaian:
Iim x2 +2 =02 +2 = 2 (kitagunakanaturanf(x)=12+2karena a. lim f(x) = x-)0* x->0* yakni x > 0 * -, O- bermakna ia dalam interval pertama'
)'
lim - 4x = -4' (0) = 0 (kita gunakan aturan f(x) = -4x karena b. lim f(x) = x-+0 x+0. - O- bermakna ia dalam interval kedua, yakni x < 0 )' = 0 tidak c. Dari interval daerah asalxyangberbeda (x > 0 danx < 0),makadixtitik x = 0' ikut serta dalam kedua interval ini. Artinya f(x) tidak didefinisikan tidak ada. Demikian juga karena nilai limit arah kanan sehingga nilai
lT;'r-l
tidak sama dengan limit arah kiri'
Contoh 2zJika f(x)=
Hitunglah:
a.
lim
I x+1 iika x>0 ,
I
llx- +t jika x<0
b. lim f(x)
f(x)
x-+0
x-+-3
c.
lim f(x)
x-+0
Penyelesaian:
a. lim
f(x) = (-3)'+ 1 = 10 x+-3 adalah x < 0 Kita gunakan aturan f(x) = az + 1 karena x-+-3 maknanya
b. lim f(x) =(0)2+1=1 x-->0-
c.
adalah x < 0 Kita gunakan aturan f(x) = 1z + 1 karena x-+0-maknanya kita uii nilai limit lim f(x) = ...? di sini f(x) tak-terdefinisi di x = 0, namun saat x-+0
kiri dan limit arah kanannya diperoleh: lim f(x) = lim x2 + 1 = 1 (limit arah kiri)
arah
.
x-+0-
x-+0-
. Iim f(x) = lim x+1 x-+0
=1(limitarahkanan)
x--+0-
)adi, karen,]t]It- f (x) =
I5.
ft).) = 1, maka kita simpulkan bahw"
lt$
f(x) = 1
Grafik fungsi f(x)=
jika x>0 , Ilx' + jika x<0 I x+1
I
1
tampak pada gambar 3.12. Jika dilihat dari arah kiri dan arah kanan nol maka nilai lim f(x) = 1 x-+0
Gambar 3.12
J.
DEFINISI FORMAL TENTANG TIMIT
ini kita telah memahami pengertian dan definisi limit secara intuitif (perasaan) dengan menggunakan definisi sementara: " jikn x mendekati a maka fungsi f(x) Sejauh
Lz.Definisi sementara ini, telah memberi kemudahan dalam memahami pengertian dan menghitung nilai limit fungsi dengan empat cara yang telah dibahas. Namun demlkian, kalimat: " jika x mendekati a makn fungsi f(x) akan mendekati L" adalah "definisi yang tidak tegas" secara matematika. akan mendekati
Pada abad ke-19, matematikawan Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857) dan Karl Weierstrass (1815 -1,897) memperjelas gagasan tentang limit dan membangun definisi naling tepat tentang limit. Inilah definisi formal yang tepat tentang limit:
\S
Pernyataan tentang
limit lim f(x)
.
x-}a
=1 l
bermakna bahwa untuk setiap bilangan t sepada yakni 6 > 0 sedemikian rupa sehingga
> 0, terdapat bilangan lain yang
I
f(x)-L
I<
c
bilamana 0< | x-a | <
E
Simbol e (epsilon) dan 6 (delta) merupakan abladYunani yangbiasa digunakan untuk menjelaskan definisi limit. Oleh karena itu definisi formal ini terkadang disebut sebagai definisi "epsilon-delta". Secara geometri, definisi "epsilon-delta" daPat dijelaskan oieh gambar 3.13 berikut ini:
-+t
7
L
L-t
Gambar3.13
I
l(x)
-
L I < atau area f(x)
disekitar L
a-t a a+t
0
contoh 24: Dengan menggunakan definisi formal buktikan bahwa:
lg
,*-
2
=t0
Penyelesaian:
\
Tujuan dari contoh ini adalah untuk menunjukkan langkah-langkah pembuktian dengan menggunakan definisi "epsilon-delta" (definisi formal). Kita cocokkan soal ini dengan definisi "epsilon-delta" maka: f(x) = 3x-2 ; a = 4 ; dan L = 10' Tugas kita adalah menunjukkan bahwa untuk setiap bilangan t ) 0, terdapat bilangan lain vang sepadan, yakni 6 > 0 yang memenuhi hubunganberiku'
f(x)-L | < e bilamana 0< I *-a I < 6 Tadi:
3x-2-10 I < a bilamana0< | x-4 | < 5 3x-\21 < e bilamanaO< | x-a | < 6
3 r-4 I
Bagiankeduadaripertaksamaanterakhir (*),yakni menjadi l*-4 | < 6. Jadipertaksamaan(*)menjadi: 3 I *-4 I < e bilamana I x- | < 6 I
,-4
0
< I * -4 |
bilamana I *-4 I < 6 ...(**) ;<9 J
Perhatikan bahwa ruas kiri kedua pertaksamaan pada (**) adalah 'sarr.a', maka dapat kita simpulkan bahwa sisi kanan (ruas kanan) dari kedua pertaksamaan (**) adalah sama,yakni
|J
=
A . Atau
dalambentuklain, e = 36 . Kita telahmemperoleh
bilangan 6 yang nilainya lebih kecil (sepertiga) dari
e,
sehingga hubungan berikut.
f(*)-L I < e bilamana 0< I *-a | < 6 akanterpenuhi. Memasukkan nilai nilai 6 = | t" dalam hubungan: I
J
\
I
\'
f(r)-L I
akan memenuhi hubungan tersebut. Inilah hasilnya:
l3x-2-10 l
(terbukti)
Di sini, ketika e = 36 , tampak bahwa untuk sebarang bilangan € ) 0, kita telah mendapatkan bilangan lain yakni 6 yang nilainya setara dengan sepertiga dari e sedemikian rupa sehingga: I
f(r,)-L I < e bilamana 0< I *-a I < 6 Jadi, begitulah cara kita membuktikan pernyataan
limit lim 3x-2=
10 secara
formal. Ringkasnya adalah: "andaikan kita memiliki sebarang bilangan positif e sehingga kita harus mencari (menemuknn) bilangan positif lainnya yakni 6 yang tnenyebabknn hubungan lf(*)-L I < e bilamana 0< I *-a | < 6 terpenuhi"
K. TIMIT
YANG MELIBATKAN BENTUK TAK.HINGGA
Pada bagian ini kita akan membahas limit fungsi yang melibatkan bentuk takhingga yang sirr,rbolnya oo. Di sini pembahasannya akan kita bagi menjadi dua:
1,. limit f(x) menjadi tak-hingga
(+ oo atau - co )
ketika x-+a dari arah kanan atau dari
arah kiri. Ringkasnya ditulis:
.!I; 2.
f{*)
atau lim f(x) = -oo
limit f(x) ketika x -) +oo atau ketika x -+ -oo. Ringkasnya ditulis: tim f(x) atau lim f(x) x-++oo
x-)-co
I,tntuk situasi pertama, kita pastikan bahwa limitnya tidak ada atau tak-terdefinisi,
limitnya menghasilkan *oo . Perhatikan contoh teiah cukup untuk menggambarkan situasi pertama.
25
sebab
Contoh 25: Hitunglah
hingga 27.Ked:ua contoh ini
lim l
x->o x/
Penyelesaian: I
4- . Ketika x -+ 0 maka nilai fungsi f(r) = * akan semakinmembesar x"rxri*^ 1 = .o =takterdefinisi=takada' tanpabatasmenuju m'Jadi, x-->o x' Di sini f(*) =
1
Tabel berikut ini memperlihatkan bagaimana nilai fungsi f(x) = ., terus memx" besar ketika x dibuat semakin dekat kepada nol. x
f(x) =
17xz
-0,1
-0,001
-0,000001
0
100
106
101'
tak terhingga
Jadi kita katakan bahwa nilai fungsi f(x)
Contoh 26: Hitunglah lim 4:: x-s2 x-2
1
x')
0,000001 1012
0,001
0,1
106
100
adalah divergen ketika x -+ 0.
Penyelesaian:
Di sini f(x) = 1-r?+ zx
4::. x-2
Ketika x -+
2- (dari arah kiri
2) maka nilai dari fungsi
(*)
=
-r x-2
akan menuju -oo . Sedangkan ketika x --> 2+ (dari arah kanan 2) maka nilai .-*q 2x+3 akan menuju +co . Jadi, kita katakan bahwa aa.i iur"rgsi f(x) =
l* -_,
+:
tidak ada. Contoh 27: Hltunglah limit arah kanan dari lim (lnx) Penyelesaian:
Jika kita ambil nilai x yang sangat dekat dengan nol dari arah kanan (yakni bilangan positif yang sangat kecil semisal x = 0,000...01), maka hasilnya adalah bilangan negatif yang terus membesar (divergen) menuju -a . Jadi,
lim (lnx) = -oo = tak ada
x-+0*
tlntuk situasi kedua,limitnya mungkin ada (terdefinisi) atau mungkin juga tidak ada (tak-terdefinisi), tergantung bentuk fungsi f(x). Perhatikan contoh 28 hingga 30.
4x3
a. lim
Contoh 28: Hitunglah:
+2x2
-7
b.
_7x3 +13
x-)00
5x2 +
2x-
c. rim . x-)oo 3x- 4
+2x-7 -JY+ +l3xt 4x3
-x-+a Iim
-
3
Penyelesaian: Semua fungsi pada contoh 28a
- c merupakan fungsi rasional di mana pembilang
dan penyebutnya adalah polinomial. Untuk kasus seperti ini, kunci penyelesaiannya
adalah dengan membagi semua suku pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x. a. Di sini f(x) = 4x3 +2x2 -7 Jika kita coba masukkan x = oo ke dalam f(x), maka -7x3 +13 hasil yang diperoleh adalah
@
yang merupakan salah satu dari bentuk t ak-t entu.
-@
Kita mungkin akan menganggap hasilnya'tak-terhingga' (karena pembilangnya sangat besar), atau nol (karena penyebutnya sangat besar) atau mungkin -1. Akan tetapi tidak satu pun dari ketiga anggapan ini benar. Jawaban yang benar adalah
{.
U.,r.rt mendapatkan jawaban ini, perhatikan caranya sebagai berikut:
lim
-7
4x3 +2x2
x-+00
-7x3 +13
4x3 zx2 = lim x' x-)co
!_
_
-x' x'
-7 xt
13
I
l'1
x-
x-
)'7 XX'
4+1= lim
x-)oo
b.
_
_'I lt L
4x3
7
.
4
-7
13
_
x'
+2x-7
rrrrr ----------------t x--+a: -JYa +13x"
T*;",*;;;;;;;;il*;;l ! I
penyebut merupakan polinomial, maka bagilah tiap suku pembilang dan penyebut dengan
427 4x3r 2x 7 '1L 'lim x x" lJ;;x lim *4 --*4 4^4 = x-)@ = ;;; a , -ixa t3x2 -ttj -L
l-
*4'x4
x-
=+
427 -+ @@@ _ -l+
13 oo
! I
-0
4^'!2*-1
ti^ Jadi x-+a
-J
Ya + I
q,,2r.r*_1 c.
=
3X'
g
Bag!!&hrtiap suku pernbilang dan penyebui dengan'panqkat tertirnggidarirx','
_
llm
x-+co 3x-4
5x2r-- 2x x-')') x'
-
= lim
3x4 x-)- x-)
x-)co
Tadi.
lim
-5xz
x-+co
)7 \+--- ) XX" = lim 34
J
7
x-+00
+2x-3
3x_ 4
)
)7 @@
34
=
5+0-0 5 0-0 =-0
=
@@
= oo (tidak ada)
lim
Contoh 29: Hitunglah
-xx'
5+
3x5
+
4x3
x-)oo
-
7x
Penyelesaian:
lim
3x5
+
4x3
- 7x
=
_A'7
x5Q*+a) X-+oo X' lim
X
= [,,* x-+co \
= ladi, lim x->co
3x5
+
4x3
-
Contoh 30:Hitung*n
Penyelesaian:
oo(3
7x =
11}
"')[l*('.#-+))
*4 -L) @@
=oo(3+0-0)=co
qt
(tak-terdefinisi)
o5x
-
ffi
o-3x
.o
kita masukkan langsung x = oo maka hasilnya adalah bentuk tak-tentu .: i tidak punya arti. Untuk menghindari hal tersebut, faktorkanlah pembilang dfn :,::','ebut dengan e8* (suku dengan pangkat tertinggi). Gunakan fakta bahwa e' = .o ::-- .-' = 0. Hasilnya adalah: Tika
o5x o-3x lim -= -'' , =lim *-+* gu* x-)co
- e-4' o5x
Iadi,
*Iim
- o--lx
e8l;4x
"8x
1"-3x * u-l
e8*(I
lx;
..
* "-llx x-+co l-e-lzx e-3*
-lrffi-
- "-12x;
e-- + e-* 0 -: I =0 l-e--
=o
L. MENGHITUNG LIMIT DENGAN MATHEMATICA Kita dapat dengan mudah menghitung limit fungsi lim f(x) menggunakan Mathematica. Perintahnya adalah sebagai
berikut:
x-+a
Limit[f(x), x-+a] Dalam Mathematica, tanda panah -+ ditampilkan dengan menekan berturutturut tombol-kemudian tombol > (jangan menekan keduanya bersamaan). Mari kita perhatikan beberapa contoh berikut. Contoh 3l-: Hitunglah lim 3x5 + 4x3
* 7x
x-+2
Penyelesaian:
Limit[3 x^5 + 4 x^3 - 7 x, x -> 2 ] (tekan tombol "Shift-Enter" untuk menampilkan hasilnya). Hasilnya adalah 114. Tombol ^ menyatakan pangkat. Perkalian dari 7 dan x ditulis dengan memberi spasi antara 7 dan x yang oleh Mathematica dianggap sebagai perkalian.
Contoh3l: Hitunglah lim (l+2x1t/* I \ x--+o Penyelesaian:
Limit[(1 + 2xl^{Llx), x -> 0l "2
Jadi, hasilnya e2
Contoh 33:
.
Hitung lim
2x+3
Penyelesaian:
Di sini x menuju -co yang di dalam Mathematica ditulis Infinity. Hasilnya: LimitlSqrt[xn2 - x-21I (2x+ 3), x -> -Infinityl
_,I Jadi hasilnya adalah
-l.2
lim- f(x), gunakan perintah: - :.:iik menghitung limit arah kiri, x-+a Limit[f(x), x-+a, Direction-+1] -\dapun limit arah kanan,
lim f(x),
Limit[f (x), x-+a, Direction-+-1] Contoh 34: Hitunglah
gunakan perintah:
x-+a
tanx
a. li* el'6
*-1*
tanx
du.t b. lim "16 *-]
Penyelesaian:
a.
timitlExplTanlxl/LoglCoslxll l, x->Pil2,Direction-> -1I @ tanx Jadi, hasil
b.
limit arah kanan
dari lim* el^(tosx) - *-+ I
timitlExPlTanlxl/LoglCoslxll
7,
x->Pil2,Direction->1I
o
tut'*
jadi, hasil limit arah kiri
M.
dari lim- el^(tosx) -
*)t
0
KONTINUITAS FUNGSI Sebuah fungsi dikatakan kontinu dalam selang a < x < b jika grafik fungsi tersebut
tersambung utuh dan tidak terputus dan tidak memiliki titik diskontinu di dalam selang tersebut.
Kontinuitas Iika x = c ad,alah sebuah titik yang berada di dalam selang a < x
a.
nilai f(c) terdefinisi b. lim f(x) ada;
(ada);
x-+c
c.
lim f(x)=
x->c
f(c).
f(x) dikatakan Jikalsalah satu dari ketiga syarat ini tak ierpendi, maka fungsi tidak kontinu aititit< c. Iika f(x) tidak kontinu dititik'c,'naka f(x) dikatakan
diskontinu di
102
i\
c
menampilkan tiga keadaan di mana fungsi f (x) tidak (diskontinu) kontinu di titik X = Cr sebagai lawan (kebalikan) dari syarat kontinuitas yang disebutkan di atas. Secara geometri, gambar 3.14
Gambar 3.14
Contoh 35: Tunjukkan bahwa fungsi f(x) =
2x2
+ 5x- 6 kontinu dititik x =
1
Penyelesaian:
Untuk menunjukkan bahwa f(x) = 2x2 + 5x - 6 kontinu di titik x = 1 (di sini kita ambil c = 1) maka kita harus menguji satu persatu ketiga syarat kontinuitas di atas, yakni.
o
Untuk syarat (a) nilai f(c) harus terdefinisi. Maka f(c) = 111; =2(7)' + 5(1) + 6 =13. Jadi syarat pertama, f(c=t; = 13 terpenuhi (ada).
r
Untuk syarat (b): lim f(x) harus ada. Maka lim f(x)= lim 2x2 +5x+6= x-)c x-+c x+l syarat kedua telah terpenuhi karena nilai lim f(x) ada, yakni 13.
o
Untuk syarat t.)'
lr*
13. Jadi
x-)c f(x) = 116;. Disini kita harus melihat apakah jawaban syarat
(a) sama dengan jawaban syarat (b). Kita teiah memperoleh bahwa jawaban syarat (a) sama dengan jawaban syarat (b), yakni: f(c) = 13 dan lim f(x) = 13. 1u4i, otomatis syarat (c) juga telah terpenuhi, yaknr,
1T
f(x) = 116; = 13. Karena ketiga
syarat kontinuitas ini terpenuhi, maka kita katakan bahwa fungsi f(x) = 2x2 + 5x
-6kontinudititikx=1. Begitulah caranya menguji kontinuitas fungsi f(x) di titik Contoh 35: Tunjukkan apakah fungsi X*)' =
4x+2
c.
kontinu dititik x= -2
Penyelesaian:
Di sini nilai c =
1,
mari kita uji satu per satu ketiga syarat kontinuitas ini:
Svarat (a): f(c
-
*-2+2 = 90
Karena satu dari tiga syarat = trk-terdefinisi. u2_L kontinuitas tak terpenuhi, yakni syarat (a), maka fungsi f(x) = tidak kontinu -2)
=
;
dititik x=
-2. Jadi, kita tak perlu lagi menguji syarat kedua dan ketiga.
Dalam soal ini, perlu diingat bahwa fungsi f(x) diskontinuitas di titik x = -2
sa)a.
=#
hanya mengalami
Adapun pada semua nilai x lainnya selain x = -2,
maka fungsi ini senantiasa kontinu .Jadi,f(x) =
Contoh 37: Diberikan grafik f(x)pada gambar
#
a
kontinu dengan syarat
x*
-2.
- d . Tunjukkan apakah f(x) kontinu
dititik x = c.
Gambar 3.15
Penvelesaian:
Hanya grafik f(x) pada gambar 3.15.d yang kontinu mengalami diskontuitas di x = c
di titik x = c. Selainnya
-* - --t Teorema nilai antara (lntermediate aalue
theorem)
:
Iika f(x) adalah fungsi yang kontinu dalam selang tertutup as , . b dan Madalah sebuah bilangan antara (A) dan f(b), maka akan terdapat paling sedikit satu bilansan c aniaia a dan'brsehtrgga berlaku f(c)=
[,4
I
I I
i
Teorema nilai antara secara implisit mengatakan bahwa setiap fungsi f(x) yang kontinu dalam selang tertutup a ( x < b pasti akan meliputi (mengambil) semua bilangan yang berada antara nilai f(a) dan f(b). Gambar 3.16 mengilustrasikan ide mengenai teorema nilai antara.
Gambar 3.16
.---___
Seperti terlihat pada gamb ar 3.1.6, jika kita pilih satu nilai M antara f(a) dan f(b) pada sumbu y, kemudian kita tarik garis lurus yang sejajar sumbu x dan melewati titik M, maka garis lurus itu akan memotong grafik f(x) pada beberapa titik x = C' C", c3 ...yang semuanya berada dalam selang [a, b]. Disini akan tampak nyata bahr,r'a f(c,) = f(cr)= f(cr)=M.
Contoh 38: Gunakan teorema nilai antara untuk menunjukkan bahwa fungsi
f(x)=x3-8x2+x+42 memiliki akar pada
titik c yang berada di dalam selang -3 < x < 8.
Penyelesaian: Yang dimaksud dengan akar fungsi f(x) = 1a - 8x2 + x + 42adalah nilai x = c antara -3 dan 8 y*g menyebabkan f(x) = 0. Jika c merupakan akar f(x), maka haruslah f(c) - 0. Dengan menggunakan teorema nilai antara, kita ambil M = 0. Di sini kita harus menunjukkan bahwa terdapat bilangan f(c) = 1y1 = 0 yang terletak di antara fC3) dan f(8).
Karena f(x) = 1a - 8x2 + x + 42, maka:
f(-3) = -6s f(8) = 59 Jadi, jelasbahwa -60 =
f(-3) < f(c) = M = 0 < f(8) = 50. Karena M = Oberada di
antara f(-3) dan f(8) maka akan terdapat paling sedikit satu bilangan c antara -3 dan sehingga berlaku f(c) = g.
8
Pertanyaan lain, berapakah nilai akar x = c yang menyebabkan f(x) = x3 - Bx2 + x + 42bernllai nol? Jawabannya.akan kita tampilkan dengan perintah Mathematica:
- 8 x^2 + x + 42== 0,x] x==-2f lx== 3llx==7 Hasilnya adalah x= -2 atau x = 3 atau x=7. Jadi, terdapat 3 akar (tiga nilai selang -3 S x < B yang menyebabkan f(x) = x3- 8x2 + x + 42bernllai nol. Roots[x^3
c) dalam
Selain menggunakan perintah Roots, dapat juga digunakan perintah Solve:
Solve[x^3
- 8 x^2 + x + 42== 0,x]
{{x-+-2},{x--+3},{x+7}}
Hasilnya tetap sama. Untuk lebih meyakinkan, kita gambarkan grafik fungsi
f(x) =
x3
-
8x2 +
x + 42 dalamselang -3 < x < 8. Dengan Mathematica, inilah
hasilnya: Plot[ (x+2X
x-31 (*.-71,{x,-3,8}]
Gambar 3.17
N. MASATAH GARIS SINGGUNG DAN LAJU PERUBAHAN Garis singgung kurva adalah garis lurus yang menyinggung kurva pada satu titik. Garis singgung merupakan masalah geometri yang telah dibahas oleh Archimedes, seorang ilmuwan Yunani kuno (abad 2 SM). Pertanyaan kita adalah: "Apa gunanya kita membicarakan tentang garis singgung?" Nanti kita akan melihat bahwa masalah garis singgung, yang merupakanpersoalan geometri, ternyata dapat ditafsirkan dalam bentuk lain sebagai masalah gerak, kecepatan dan laju perubahan yang merupakan masalah mekanik. Masalah garis singgung ini nanti juga akan memainkan peran penting dalam salah satu cabang utama kalkulus, yakni kalkulus diferensial.
Perhatikan gambar 3.18 berikut ini!
Gambar 3.18 a
Gambar 3.18 b
Gambar 3.18 a memperlihatkan garis L yang menyinggung kurva lingkaran di titik P. Garis L disebut garis singgungkurua. Gambar 3.18 b memperlihatkan garis L yang memotong kurva lingkaran di dua titik P dan Q. Di sini, garis L tidak disebut garis singgung, tetapi garis potong. Perhatikan juga gambar 3.19r.
Gambar 3.19
Garis lurus yang melewati titik P1 dan P, disebut garis singgung kutaa, karena kedua garis ini menyinggung kurva masing-masing di titik P1 dan P.. Sedangkan garis yang melewati titik P2 dan P, tidak disebut garis singgung kurva, sebab kedua garis ini memotong kurva. Secara geometri akan tampak jelas mana garis yang menyinggung kurva dan mana garis yang memotong kurva. Setelah kita memahami pengertian garis singgung kurva, sekarang kita akan
berusaha untuk menentukan nilai kemiringan (gradien) garis singgung kurva tersebut. Pada bab dua kita telah membahas bagaimana menentukan gradien sebuah
iaris lurus. Jika diketahui dua titik (x, , 1z,) dan (*, ,yr) yang terletak pada garis :ersebut, maka gradien garis itu adalah m:
,
=9 Ax -y2-yt x2-xt
... (t)
Dari rumus (1), untuk dapat menentukan gradien sebuah garis lurus, kita membutuhkan minimal dua titik yang terletak pada garis lurus itu. Lalu bagaimana cara menentukan gradien garis singgung, karena di sini kita hanya memiliki satu titik saja yang terletak pada garis itu yakni titik singgung. Perhatikan gambar 3.201
S ((x + h), f(x + h))
Gambar 3.20
Titik
koordinat (x, f(x)) terletak pada kurva y = f(x). Garis L adalah garis singggung kurva f(x) di titik R, sedangkan h adalah jarak horisontal dari titik R dan S yang merupakan lebar selang antara x dan (x + h). h disebut juga perubahan dalam x. Untuk menentukan gradien garis L, yakni mL, kita membutuhkan dua titik yang terletak pada L, tetapi kenyataannnya titik R merupakan satu-satunya titik terletak pada garis L. Di sini, rumus (1) tidak dapat dipakai untuk untuk menentukan gradien garis singgung L. Mengapa? Karena rumus (1) menghendaki dua titik. Agar gradien garis L dapat dihitung, kita membutuhkan garis lurus lainnya, yakni garis RS. Garis RS adalah garis yang memotong kurva y = f(x) di dua titik yang terletak pada kurva, yakni titik R dan titik S. Koordinat titik R dan S berturut-turut adalah: R(x, f(x)) dan S((x+h), f(x+h)). Gradien garis RS adalah: R dengan
mRS
=
f(x+h)-f(x)
(x+h)-x
_
f(x+h)-f(x) h
...(2)
Jika kita buat posisi titik R tetap, sementara posisi titik S bergerak di sepanjang kurva f(x) ke arah S, S, S, dan seterusnya semakin mendekati titik R, maka gradien garis RS akan terus mengalami perubahan, sehingga ketika titik S berada pada posisi S" yang sangat dekat dengan titik & maka nilai gradien garis RS akan sama (secara
Iimit) dengan gradien garis L (yakni m.). Ketika titik S bergerak mendekati titik R maka lebar h akan semakin kecil. Jadi ketika S+R maka lebar h--+0. Secara limit, ketika h-+0, garis RS akan semakin mendekati garis L. Pada posisi di mana titik Ssangat dekat dengan titik R maka gradien mo, pada rumus (2) akan menjadi:
m-,(b= lim h-+o
f(x+h)-f(x)
Pada situasi seperti ini, gradien m* akan mendekati gradien m., sehingga nilai gradien garis singgung L yang semula tidak dapat dihitung, pada akhirnya dapat diketahui dengan cara hampiran, menggunakan gradien garis RS ketika h-+0. Jadi :
ffio"
= lim
f(x+h)-f(x)
h-+0
Gradien
=mL
--...----l G
aris Singgung Kuro a
]ika diberikan kunra kontinu y = f(x),'66Lu gradien garis smggung L 'Da81 kurva f{x) di titik P(x , (x)) adalah: .t....
m, = ,. [m
f(x+h)-f(x)... (J/ ,^\
h-+o
'
!
_-
h
dengan syarat lirrrit ter$ebut
ada
,
Contoh 39: Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = x2 di titik P(-2,4) Penyelesaian:
Titik singgungnya adalah P(-2,4). Substitusikan nilai x = -2 ke dalam rumus m-
"
lim = h--o
(3):
f(-2+h)-f(-2)
Dengan mengingat kembali persamaan kurvanya adalah f(x) = az, kita selesaikan
limit ini.
m- = lim f(-2+h)-f(-2) h h-o " = lim
h-+0
= lim
h-+0
(-2+h)2 -(-D2 h
4-+h+l'? -4
,. -4h+h' ,. h(-4+h) h-+o h h-+o h = lim(-a+h) - -4 h-+0 Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x2 di titik P(-2,4) adalah -4. Gambar 3.21. menunjukkan situasi geometri garis lurus yang menyinggung kurva f(x) = 1z di titik (-2,4). Gradien garis singgungnya sama dengan- 4. v
\
f(x)=x'
15
titik si ggung
10
(
t,4)
\
-5
-5-4-3-2-101 Gambar 3.21 Kurva f(x) = x2 dan garis singgungnya di (-2,4)
Contoh 40: (Gradien garis singgung kurva f(x) di sebarang titik): tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = 1z di sebarang titik P(x, y) Penyelesaian:
Contoh 40 menggunakan kurva yang sama dengan contoh 39. Tetapi tujuan kita di sini lebih umum dari contoh 39, yakni menentukan gradien garis singgung kurva tersebut di sebarang titik P(x, y). Dengan rumus (3) diperoleh:
,. f(x+h)-f(x) mL =iTt h lim = h-+0 lim h-+0
lim
h-+0
(x+h)2 h x2
-
x2
+2xh+h2 h
2xh+h2
h
lim (2x+h) =
h-+0
p,.irr
-
*2
= llm
h-+o
2x
h(2x+h) h
Jadi gradien garis singgung dari kurva f(x) = x2 di sebarang titik p(; 2x. Jawaban contoh 40 memberikan formula yang lebih umum dari jaw; 39. Dengan begitu, kita bisa menentukan gradien garis singgung kurv; titik manapun. Misalnya, jikakita gunakan formula ini untuk menyelesarr"*- __ 39, maka gradien garis singgung di titik P(-2, 4) adalah 2x = 2(-2) = -4 yang haslln-,--ra sama sePerti jawaban contoh 39. Jika diberikan titik lainnya seperti P(10, 100), maka gradien f(x) = 1z di titik ini adalah adalah 2x = 2(10) = 20, demikian seterusnya.
O.
LAJU PERUBAHAN
Satu dari sekian banyak aplikasi penting dari kalkulus adalah menentukan bagaimana satu variabel mengalami perubahan dalamhubungannya denganvariabei lain. Misalnya, seorang ahli marketing ingin mengetahui bagaimana keuntungan (variabel-1: keuntungan) perusahaannya mengalami perubahan (meningkat) dalam hubungannya dengan biay a iklan (vari ab er-2 : biay a iklan) yang dikeluarkan. Pembahasan mengenai laju perubahan berhubungan dengan masalah kecepatan, yakni rasio perubahan dari variabel tak-bebas suatu fungsi terhadap variabel be-
basnya. Di sini kita akan memusatkan perhatian pada dua macam laju perubahan: laiu perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat. Jenis pertama berhubungan dengan perubahan variabel bebas dalam selang yang cukup lebar, sedangkan jenis kedua berhubungan dengan perubahan variabel bebas dalam selang yang sangat sempit.
Definisi laiu perubahan rata-rata Jika y = f(x) maka laju perubahan rata-rata y terhadap x dinyatakan oleh
rasio
3Y,,; Vr -Vr Ax
x2-xl
Perhatikan bahwa: x, dan yr = nilai awal x, dan yz = nilai akhir
Perhatikan gambar 3.22. Jika titik P(x,, y,) bergerak di sepanjang kurva f(x) ke titik Q(xr,yr), maka laju perubahan rata-rata fungsi f(x) dari p ke Q adalah
yz-yt _ f(xz)-f(xr)=
x2-xt
x1-xl
Ay Ax
., :,:
ttr
xr) - f(x,) = Ax
Xr-X,=A1 Gambar 3.22
Dari rumus
di atas, laju perubahan rata-rata dapat diartikan
sebagai rasio lain, variabel bebas. Di sisi pada bab dua bebas terhadap perubahan variabel tak kita telah mempelajari tentang gradien garis lurus. Kita melihat bahwa rumus laju perubahan rata-rata ini adalah sama dengan rumus gradien garis lurus. Jika y adalah variabel "jarak tempuh" dan x adalah variabel "waktu" , maka rumus di atas akan bermakna kecepatan rata-rata, sehingga laju perubahan rata-rata dapat diartikan sebagai kecepatan rata-rata.
Contoh 41: Sebuah tangki air yang berisi 1000 liter air memiliki keran penutup pada bagian dasar lantainya. Pada jam 12.00, keran penutupnya dibuka sehingga air mengalir keluar dari tangki. Tepat pada jam 12.15, keran penutupnya ditutup kembali dan air yang tersisa di dalam tangki 750liter. Hitunglah laju perubahan ratarata volume air dalam tangki tersebut selama keran penutupnya dibuka. Penyelesaian:
Dalam kasus ini ada dua variabel yang berhubungan yakni waktu t (menit) dan volume air V (liter) di mana V merupakan fungsi waktu (Mengapa? Karena perubahan volume air dalam tangki tergantung pada berapa lama keran penutup dibuka). Jadi, V = f(t). V, (volume awal di jam 12.00) = 1000liter V, (volume akhir L5 menit kemudian) = 750liter x, (waktu awal) = 0 (jam 12 dianggap sebagai menit ke-0)
x, (waktu akhir) = 15 (jam 12.15 dianggap sebagai menit ke-15) Maka laju perubahan rata-rata volume air selama 15 menit (dari jam 12 hingga 12.15) adalah
vz-Y x2-xl
=
750liter-l000liter -250liter --::jj:::: = -50liter/menit. l5menit- 0 menit= l5menit
Kesimpulan: dalam selang 15 menit air dalam tangki berkurang dengan laju (kecepatan) rata-rata 50 liter per menit. Kita dapat mengartikan laju perubahan rata-rata sebagai kecepatan rata-rata, Tanda negatif pada hasil perhitungan artinya 'berkurang'.
Contoh 42:Jika diberikan fungsi kontinu y = f(x) = x2, hitunglah besar laju perubahan rata-rata y terhadap x ketika:
a. b.
xberubahdari2ke6 xberubahdaril0keS
Penyelesaian:
a.
Ketika Xr= 2 maka yr= f(2) = 22 = 4 Ketika xr= 6 maka Yr= f(6) = 62 = 36 Jadi laju perubahan rata-ratanya adalah
'
Yz-Yt
4-2 = *2 x2-xr=':-:
=
rc
Kita tidak memberi satuan apapun pada hasil tersebut karena pada soal ini tidak ada pernyataan mengenai satuan y dan x.
b.
Ketika xr = 10 maka y, = f(10) =
1"02
= 100
KetikaXr= 8 makayr=f (8) =82 =64 Jadi,laju perubahan rata-ratanya adalah
' Yz-Yr = ul-]:o = 16 = tg x2-xt 8-10 -2
Laju Perubahan Sesaat Jika diberikan sebuah fungsi kontinu y = f(x), maka yang dinamakan dengan laju perubahan sesaat adalah limit dari rasio perubahan y terhadap perubahan x di mana besarnya perubahan x adalah sangat kecil. Misalnya, nilai awal variabel bebas adalah x dan nilai akhirnya adalah (x + h) dengan h adalah bilangan yang sangat kecil. Jika diberikan nilai awal x = 5 dan ia mendapat tambahan h yang sangat kecil, misalnya h = 0,00001, maka nilai akhir x adalah (x + h), yakni (5 + 0,00001) = 5,00001. Di sini kita katakan x berubah dengan pertambahan yang sangat kecil, sebesar h = 0,00001. Namun, seberapa pun kecilnya perubahan variabel bebas x, maka variabel tak-bebas y iuga akan mengalami perubahan sebagai dampak berubahnya x. Dalam masalah yang berkaitan dengan gerak dan kecepatan, laju perubahan sesaat sering kali ditafsirkan sebagai kecepatan sesaat.
Definisi laju perubahan sesaat ! 1ika y = f(x), maka laju perubahan sesaat dinyatakan oleh:
y
terhadap x pada saat
x = Xo
f(ro +h)-f(xo) ,,_^ A\ ... t(+) IIm -h h-+0 dengan syarat limitrya ada
Definisi laju perubahan sesaat yang dinyatakan oleh rumus (4) adalah sama dengan definisi gradien garis singgung yang dinyatakan oleh rumus (3). Kita telah melihat ternyata masalah garis singgung merupakan masalah yang identik dengan laju perubahan sesaat (kecepatan sesaat). Mari kita perhatikan contoh 43 dan memberi perhatian khusus pada bagian c. Contoh 43: Jarak y (meter) yang ditempuh oleh sebuah benda yang bergerak jatuh bebas dari ketinggian tertentu di atas permukaan tanah x detik setelah dijatuhkan dinyatakan oleh rumus V = 10 m/detik2.
lS*'
di mana g adalah konstanta gravitasi yang besarnya
Tentukanlah:
a. b.
jarak yang ditempuh benda itu 5 detik setelah dijatuhkan;
c.
kecepatan benda itu pada saat x = 7 detik.
kecepatan rata-rata benda tersebut dalam selang waktu x = 3 detik hingga x= 7 detik;
Penyelesaian:
Di sini, jarak tempuh y benda itu merupakan fungsi waktu x yang dinyatakan oleh persamaan gerak V = \Z*t . a. Untuk x = 5 detik, makl jarak yang ditempuh benda itu adalah:
7'tl
t = )2"' = ,tto)s2 = 125 meter
b.
Untuk X, = 3 detik, maka yr= (1/2) (10)
3'z
= 45 meter
Untuk xr=7 detik, maka yr= (1/2) (7q7'z = 245 meter Sehingga, kecepatan rata-rata benda itu dalam selang 3 hingga 7 detik ketika ia dijatuhkan adalah:
Ly _yz-yr
Ax x2-xl
_
245rn-45rn 7 detik-3 detik
2oom - 4detik = 5o m/detik
c.
Soal ini merupakan masalah laju perubahan sesaat. Kita diminta menentukan kecepatan jatuh benda itu pada saat x = 7 detik. Sekilas hal ini tidak mungkin dihitung, karena kita hanya memiliki data satu nilai waktu X, = 7 detik dan sahr posisi benda yr= 245 meter. Artinya, kita membutuhkan data posisi benda lebih dari satu waktu yakni n. Untuk menyelesaikan masalah kecepatan sesaat iru yang perlu dilakukan adalah menghampirinya dengan pendekatan limit, vakni menentukan nilai x2yang dipandang cukup dekat dengan Xr=7 detik. Misalnr-a kita ambil X, = 8 detik, sehingga dalam selang waktu 7 < x < 8 diperoleh kecepatan rata-rata:
Yz-Yt x2-xr
_ 320-245
8-7
=75 m/det
Kecepatan 75 m/ detlk masih merupakan kecepatan rata-rata dalam selang 7 < x < 8 dan belum dapat dikatakan sebagai kecepatan sesaat di x = 7 detik. Mengapa ? Karena selang waktu x yang kita gunakan, yakni 7 < x < 8, masih terlaiu lebar untuk dikatakan cukup dekat ke x = 7 detik. Agar kecepatan rata-rata berubah menjadi kecepatan sesaat, maka kita perlu membuat selang waktu x yang lebih sempit lagi sehingga selang tersebut semakin mendekati x = 7 detik. Berikut ini kita berikan tabel selang x yang terus bergerak menyempit menuju nilai x = 7 bersamaan dengan nilai kecepatan benda pada tiap interval. No 1.
2. 3.
4. 5. 6.
Selang waktu x (detik)
7
Kecepatan jatuh (m/detik) 75 72,5 70,5 70,05 70,005 70,0005
Dari tabel di atas, perhatikan bagaimana perubahan kecepatan jatuh, secara limit, terus bergerak menuju angka 70 m/ detikketika kita mempersempit selang waktu
x, sehingga selang tersebut menuju kepada nilai x = 7 detik. Pada selangT . x < 7,0001 dan seterusnya (jika ingin menambah selang waktu berikutnya), kita akan memperoleh fakta bahwa selang berikutnya akan terus bergerak menuju x = 7 detik. Pada saat itu, kita akan melihat bahwa kecepatan jatuh akan semakin dekat kepada 70 m/detik Hingga pada tahap interval waktu sesempit inilah kita layak mengatakan bahwa kecepatan rata-rata telah berubah menjadi kecepatan sesaat. Jadi, kecepataan sesaat (laju perubahan sesaat) ketika x = 7 detik adalah sama dengan 70 m /detik.
Kita dapat juga mendekati x =7 dari arah kiri. Hasilnya diperlihatkan pada tabel berikut. Kecepatan jatuh dihitung dari arah kiri 7 adalah 70mldetik. Selang waktu x (detik)
No.
Kecepatan jatuh (m/ detik)
6
1.
2. 3.
65 67,5
69,5
5.
6,99sx<7 6,999sxs7
69,995
6.
6,9999s x < 7
69,9995
4.
69,95
Dari kasus soal43 c, untuk selang x yang semakin sempit, besarnya perubahan x, yakni h (di mana h adalah simbol yang sama artinya dengan Ax) secara limit akan terus bergerak menuju nol. Dari tabel nilai di atas kita mempunyai nilai h berturutturut:h=1; h=0,5; h=0,1; h=0,01; h=0,001; dan h=0,0001. Misalnyadalam selang 7 < x < 7,0001., kita katakan bahwa X,.=7 dan x, =7,0001,. Kita mempunyai : h = Xz-Xr = 0,0001. Nilai h = 0,000L adalah nilai yang sangat dekat dengan nol. Itulah sebabnya mengapa definisi laju perubahan sesaat harus dinyatakan dalam persepsi limit h -r 0 sebagai berikut.
Iim
f(x+h)-f(x)
h-+0
Dalam memahami definisi laju perubahan sesaat (kecepatan sesaat) ingatlah karena y = f(x), maka:
. . o
f(x)
di atas,
= nilai awal y,
f(x + h) = nilai akhir y,
h = xz- xr- perubahan dalam x, sehingga simbol h+ 0 bermakna bahwa perubahan dalam x begitu kecilnya, sehingga selisih dari x, dan x, begitu kecil menuju nol. Ingat bahwa simbol h dan simbol Ax memiliki pengertian yang sama.
Dalam perhitungan praktis, sering kali indeks o pada xo dihilangkan sehingga cukup ditulis x. ]adi rumus laju perubahan pada (4) cukup ditulis sebagai:
lim h-+0
f(x+h)-f(x)
Menyelesaikan Contoh 4.c Menggunakan Rumus (5) Persamaan geraknya adalah:
y=f(x) =(\/2)gx2=Sxz Dengan menggunakan rumus (5): lim
h-+0
f(x+h)-f(x) :I_jiI h
kita diperoleh,
5(x+h)2 -5x2 h h+0
= lim
lim = h-+0 lim = h-r0
= lim
5(x2 +Zr.h+ln21-sxz
h 5x2
5h2
-
5x2
h 1Oxh+5h2
h
h-+0
= lim
+loxh+
h(l0x+5h)
h+0
-
(10x+5h) = .lim h-+0
LOx + 5(0) = 1Ox
Kita peroleh bahwa laju perubahan sesaat disembarang waktu x adalah L0x. Sehingga laju perubahan sesaat di x = 7 detik adalah 10x = 10(7) = T}meter / detik.
Untuk lebih memperluas pemakaian rumus (5), dengan tetap menjaga prinsip dasarnya, kita dapat menggunakan variabel lain selain x (misalnya t untuk waktu, v untuk kecepatan) dan simbol lain seperti s atau lainnya sebagai pengganti simbol fungsi f. Berikut ini kita akan menggunakan rumus limit laju perubahan sesaat untuk menyelesaikan contoh M yang berhubungan dengan masalah gerak benda. Di sini kita menggunakan variabel t (waktu) sebagai pengganti x dan s (jarak) sebagai pengganti fungsi f.
Contoh
Jarak s (daIam satuan kaki) yang ditempuh oleh sebuah benda yang bergerak pada waktu t (dalam detik) dinyatakan oleh persamaan: 442
s(t)=29-5t+40 Tentukanlah kecepatan benda tersebut pada saat t = 4 detik!
Penyelesaian:
Ini adalah masalah menghitung kecepatan sesaat (laiu perubahan sesaat), ketika t = 4 detik. Kita mengetahui bahwa jarak yang ditempuh benda itu ditentukan dengan memasukkan nilai t = 4 ke dalam persamaan gerak s(t): s(4) = 2
(4)'-
5(a) + 40 = 52 kaki.
Untuk menghitung kecepatan benda itu saat t = 4 detik, kita gunakan rumus limit laju perubahan sesaat (kecepatan sesaat): 1im
f(x+h)-f(x)
h-+0
Di sini kita ganti f dengan
s
dan x dengan t = .Jadi, rumus di
lim
s(t+h)-s(t)
h+0
karena s(t) = 29
-
atas menjadi:
h
5t + 40 maka:
. s(4+h) =2(4+h)'
5(4+h)+40
=2(16+8h+W)-20-5h+40
o
=32+ 16h+ 2h2-5h+20 =2W+11h+52 dan s(4) = 2 (4)'- 5( ) + 40 = 52
c
Maka
.
s(4+h)-s(4) = (2h2+ 11h+ 52)-52=2hr+
11h
Sehingga kecepatan sesaat di t = 4 adalah:
2hz + llh s(t+h)-s(t) .. .. llm = llm--
rr-+o
h
=
h+o h ,. h(2h+11) h+0 h
= Ir5b (2h+l t) = 2 (0) + 11 = 11 kaki/detik. ]adi, kecepatan benda tersebut pada saat t = 4 detik adalah 11 kaki/detik. Konsep laju perubahan selain dapat ditafsirkan sebagai kecepatan dari benda yang bergerak, juga dapat diperluas penafsirannya pada sebarang fungsi lainnya. Misalnya:
kita ingin mengamati tentang laju perubahan jumlah populasi suatu jenis hewan terhadap waktu;
.
kita ingin mengetahui laju perubahan arus listrik yang mengalir dalam sebuah rangkaian terhadap waktu; mengetahui laju perubahan tekanan air di bawah permukaan laut terhadap kedalamannya dihitung dari permukaan air;
' i
seorang ahli metereologi ingin mengetahui laju perubahan kelembaban udara terhadap suhu udara; seorang ahli ekonomi ingin mengamati biaya marjinal, yaitu biaya untuk memproduksi secara tambahan satu satuan barang.
Dari beberapa contoh di atas, maka kita memandang laju perubahan sebagai suatu konsep yang sangat penting dan dapat diterapkan pada beragam cabang ilmu alam, ilmu rekayasa dan ilmu-ilmu sosial. Mari kita perhatikan contoh 45 dengan menafsirkan laju perubahan untuk bidang manajemen. Contoh 45: (manajemen): Sebuah perusahaan manufaktur memperkirakan bahwa braya C yang harus dikeluarkan (dalam juta rupiah) untuk memproduksi x unit barang tertentu dapat dinyatakan oleh fungsi: C(x) = -0,2x2+8x+40; (0
40)
a.
Tentukanlah biaya produksi rata-rata perunit untuk memproduksi barang antara 5 hingga 10 unit!
b.
Tentukan laju perubahan sesaat dari biaya produksi perunit ketika perusahaan itu memproduksi tepat sebanyak 5 unit barang!
c.
Tentukan laju perubahan sesaat dari biaya produksi perunit ketika perusahaan itu memproduksi tepat sebanyak 10 unit!
Penyelesaian:
a.
Gunakan rumus laju perubahan rata-rata. Di sini persamaan untuk fungsi biaya adalah:
C(x)= -0'2x2 +8x+40
Ketikax = 5 unitmaka: C(x) = C(5) = -0.2 (s)'? + 8(5) + 40 =75. ladi,biaya untuk memproduksi 5 unit barang adalah Rp 75 juta. Ketika x = 10 unit maka : C(x) = C(10) = -0.2
(1.0)'z
+ 8(10) + 40 = 100
Jadi,biaya untuk memproduksi 10 unit barang adalah Rp 100 juta. Sehingga biaya produksi rata-rata perunit untuk memproduksi barang antara 5 hingga 10 unit adalah:
- C(5) 100juta - 75 juta _ 25 juta _I(p.ciuta/unit _ n- tr:., *IU-5 = l0unit-5unit =_-_ 5unit t '
C(10)
)adi secara rata-rata,biaya produksinya meningkat dengan laju Rp. s juta/unit jika barang yang diproduksi ditingkatkan antara 5 hingga 10 unit.
b.
Laju perubahaan sesaat dari biaya produksi perunit ketika perusahaan itu memproduksi tepat sebanyak x = 5 unit barang dapat dihitung dengan rumus limit laju perubahan sesaat:
-- C(x+h) - C(*)
i5l ,.
n
ambil x = 5, sehingga rumus diatas menjadi:
lim
C(s+h)-C(5)
h-+0
Karena C(x) = -0,2x2 + 8x + 40 maka: C(5 + h) = -0,2 (5 + h)'z + 8 (5 + h) + 40 = 6h -0,2h2 +75
dan
C(5) = 75
Sehingga:
C(s+h)-C(s)
li5;
lim = h-+0
(6h-0,2h2 +75) -
6h l'm -o'2h2 = hm h(6 - 0'2h) = h-+o h h+o h
75
hm (6 - 0,2h) =
h-+o'
6
Hasilnya adalah Rp. 6 juta/unit. Artinya, ketika perusahaan itu memproduksi 5 unit, maka biayanya meningka! dengan laju Rp. 6 juta per unit.
c.
Laju perubahan sesaat dari biaya produksi per unit ketika perusahaan itu memproduksi tepat sebanyak 10 unit barang. Di sini x = 10. Teknik perhitungannya sama saja dengan bagian b. ]adi: ,, -- C(I0+h)-C(I0) I1III-
h-+0
lim [-0, = h+0
h
2
(l 0 + h)2 + 8 (1 0+ h)+ a0]
-
[-0,
2 (1
0)2 +
8 (1
0) +
40]
h
.. 4h--- 0,2h2 -'--- = lim h(4- o,2h) = rim (4-0,2h) = 4 lim = h-+o h h h-+0 h-+o' Hasilnya adalah Rp. 4 juta/unit. Artinya, ketika perusahaan itu memproduksi 10 unit barang, maka biayanya meningkat dengan laju Rp. 4 juta per unit. Dengan
membandingkan hasil jawaban b dan c, kita melihat bahwa biaya produksi barang per unit akan makin turun ketika jumlah barang yang diproduksi semakin besar. Laju perubahan fungsi biaya seperti contoh ini dinamakan biaya marjinal yaitu biaya unfuk memproduksi secara tambahan satu satuan barang.
Latihan Bab 1.
3
Jelaskan dengan kalimat Anda, apa yang dimaksud dengan persamaan
lim f(x) = 19
x-+4
Jelaskan pula apa yang dimaksud dengan f(4) = 19 2.
Jelaskan dengan kalimat Anda, apayang dimaksud dengan:
lim f(x) dan lim
x+4-
f(x)
x-)4*
Jelaskan pula apa yang terjadi pada
3.
Jika diberikan fungsi a f(x) =
t:
lg
tt.l
ketika fim_ f(x)
,trl
,hitunglah
dengan cara membuat
x_2 l5; tabel nilai limit arah kiri dan arah kanan (lihat contoh 1)!
Untuk soal4 -
9,
4.
2x2 + 3)
lim (x3 -
hitunglah limit yang dimaksud dengan substitusi langsung: 5.
x-+2
r---
6. JT, rJ*' - 2)(Jx + I 8. ,|potz*'-x+k2) Untuk soal
L0
-
15,
*3
L4. tim *3-3*2-x+3 x-+3
7.
..
Irm
x -2x2
x-+2
x-4
.. 2x+l
llm- _
-4 2x+l ,. llm y-+-2 3x - 4 x-->-2 3x
9.
-
hitunglah limitnya dengan manipulasi (penyederhanaan) aljabar:
-8 x-+2 x- 2 ) x'-x-6 12. lim x-+-2 x+ 2
10. li*
* lim f(x)
x-3
11.
13.
15.
llm
x-+16
J*x-
+
16
.. _Ji-.6
Irm
x-+5 x- 5 lim U/(x+3)l-r/3
x-+0
Untuk soal 16 - 25, gttnakan kalkulator untuk memperkirakan nilai limitnya di sekitar nilai yang didekati oleh x. Nyatakan nilai-nilai tersebut dalam tabel nilai (arak kiri dan arah kanan). lika fungsi yang diberikan melibatkan bentuk trigonometri, pastikan dahulu agar kalkulator Anda berada (diset) dalam mode radianlRADl.
3,&+1-x-3
1,6. lim x+0 18.
20.
22.
24. 26.
lim
,2 sinex
x-+1
.. lrm
17. li- ti^3' x-+0 x 1- x 19. lim x-+1 x-1 1
x-1 2x-n
21.. lim
x+0 ex -1 tut 5*
x-+% cosx
I cosx ,. lrm x+0 sinx
lTl a.
x
2g. li*
x-+0 tan2x
lnx 25. lim _ x-+1 x-1
(. - ln lx l)
Buatlah sketsa grafik fungsi dengan aturan berbeda berikut ini.
[, -* jikax< -2 f(x)=lx+2 jika-2 2 kemudian hitunglah:
b. lim f(x) x-+-2
Untuk soal27
d. lim f(x)
c. lim f(x) x-+
x-+
1
2
lim f(x) = 16 dan lim g(x) = 8. Gunakan sifat dan - 32, dlberikan x-+4 x-+4
aturan dasar limit untuk menjawab soal-soal yang diberikan
30
[f(x).g(x)]
[f(x)-S(x)] x-->4
28.
lS+#
st 1'5ilm).;I"x
27. lim
lim
x-+4
2e.
li-
32.
lim [f(x) g(x)]a
x-+4
8"(')
f'(y)
33. Nilai penjualan mingguan (dalam ribuan rupiah) pada sebuah supermarket minggu setelah kegiatan promosi berakhir dinyatakan oleh P(t):
P(t)=sooo
+
#
Tentukanlah:
a'
P(2)
b. |,i nttl
c. ,1$u n(tl
34. Biaya produksi jam dinding merk tertentu dinyatakan oleh: c(x)=20'000 +5x di mana x adalah jumlah unit jam dinding yang diproduksi. Biaya produksi rata-
rata perunit adalah
c(x), di mana clxi diperoleh dengan cara membagi
dengan x.
Tentukanlah:
a. (1000)
b.
c(100.000)
c. lim
c(x)
x-+10.000
ffi.;rdli?t, t1\'$rc$+
l
#:,i
,1iri,
.ffi::,r.
:]]]*::\l
ffil$s,,i'iii ...,si:r:,ri:1@
c(x)
BAB
TURUNAN
A.
PENDAHULUAN
Hampir semua ide kalkulus dibangun oleh konsep fungsi dan limit. Kedua tema penting ini, yakni fungsi dan limit telah kita bahas, sehingga pemahaman tentang keduanya telah memadai unfuk mengantarkan kita pada pembahasan cabang pertama kalkulus, yakni kalkulus diferensial. Fokus utama pembahasan kalkulus diferensial berkisar pada masalahperubahan atauaariasi. Pada bab tiga, kitd telah rnelihatbahr.t a persoalan utama yang dibahas dalam masalah garis singgung dan laju perubahan adalah masalah perubahan. Tiap kali kita berbicara tentang dua masalah penting ini, yakni masalah garis singgung dan masalah laju perubahan fungsi f(x), sebuahlimit
unik,yakri: lim
f(x+h)-f(x)
h-+0
akan senantiasa muncul sebagai substansi utama pada dua masalah tersebut. Oleh sebab itu, kita perlu memberi nama khusus bagi limit unik ini. Limit seperti ini (jika limibrya ada) dinamakanturunan.Pernbahasanbab ini ditekankanpadapemahaman mengenai pengertian furunan dan teori-teori yang perlu dikuasai untuk dapat menenfukan turunan sebarang fungsi. Adapun mengenai penafsiran turunan dan aplikasinya akan di bahas pada bab lima.
B. TURUNAN Kita mulai pembahasan turunan dengan mendefinisikannya secara matematis.
Definisi Turunan Unfuk fungsi Y = f(x) maka turunannya di titik x didefinisikan oleh:
f
(x)
=
f(*+l)-f(r) ... (1) ti* h-+0 h
asalkan limit ini ada. Jika
f
(x) ada, maka kita katakan fungsi f{x) terdiferensialkan (dapat
diturunkan) di titik x
Jadi, sekali
lag|
yang dinamakan turunan adalah
limit unik yang bentuknya:
,. f(x+h)-f(*)
iil
r"'
Kita menggunakan notasi f' (x) (dibaca: "f aksen x") untuk menyatakan turunan yang didefinisikan oleh limit tersebut. Proses penentuan turunan fungsi f(x) disebut pendiferensialan. Sedangkan cabang kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial. ]adi sekarang cukup jelas bagi kita mengapa turunan merupakan konsep utama dalam kalkulus diferensial. Sekarang, mari kita coba menghitung turunan beberapa fungsi dengan menggunakan definisinya. Contoh 1: Tentukan turunan fungsi f(x) = 3*z + 5x - 25 Penyelesaian: Gunakan definisi turunan
f'(x)
f'
(x)
=
t'- f(x+!)-f(x) .
h--+0
Di sini f(x) = 312 + 5x - 25, maka:
h
3(x+h)2 +5(x+h)-2 5 -(3xz + 5x - 25) h h-+0
= lim
= lim
3(x2
h-+0
= lim
3x2
+2xh+h2)+ 5x+5h-25 h
-
3x2
-
5x + 25
+6xh+3h2 + 5x+5h .25
-
3x2
-
5x + 25
h-+0
= lim
h-+0
= lim
h-->0
6xh+3h2 + 5h
h h(6x+3h+5)
lim (6x+3h+5) =
h-+0
6x + 5
Jadi, turunannya adalah
fl (x) = 6x + 5.
Jika kita ingin memperoleh nilai numerik dari f' (x) di sebarang titik x, cukup masukkan nilaixke dalamf' (x) = 6x + 5. Misalnyaturunanf(x) di x=7 adalahf (x = 7)=6(7) +5=47.
C. LANGKAH.LANGKAH MENENTUKAN TURUNAN Untuk membantu kita dalam menentukan turunan
f'
(x), ikutilah empat langkah berikut
m1.
S $ S
Langkahl Tentukan f(x
+ h)
Langkah2 Tentukan selisih f(x + h) - f(x) Langkah3 Bagilah dengan h untuk mendapatkur', Langkah 4 : Ambil limit h -+ 0,lalu hitung
f'
(x)
=
f(x+h)-f(x) h
g+3
H
Mari kita gunakan empat langkah di atas untuk menetentukan turunan fungsi f(x) pada contoh berikut. Contoh 2: Hitunglah turunan fungsi berikut ini.
a.
c.
b. (r)=*
f(x) =1z-3
f(x) =
fi
Penyelesaian:
a.
Fungsinya f(x) =
az
-
3. Dengan meneraPkan empat langkah
di atas:
.
Langkahl: f(x+h)=(x+h)2-3=
.
Langkah2:f(x+h)-f(x)=(x2 + 2xh + hr -3)-(x'-3)= 2xh+h2
.
Langkrnr.
.
Langkah 4 : Ambil h -+0, jadi f '(x) = lim
f(x+!)-f(x)
hhh -
x2
2xh+h2
+ 2xh + h2 -3
-
h(2x+h)
= 2x+h
f(x+h)-f(x)
h-+0
h-+0
Jadi, ttrrunan f(x) = x2 - 3 adalah
b. . .
f
LangkahL :Tentukanf(x+h)
= lim (2x+h) -
(x) = 2v.
=,'0, 3(x+h)
Langkah2:Tentukan:f(x+h)-f(x) = ^,10,. 3(x+h)
l0 3x
10(x+h)
,)-
10x-10x-10h -10h ==-3x(x+h) 3x(x+h) .
Langkah.3 : Bagilah hasil langkah 2 dengan h, hasilnya:
-10h.-10h1-10 .' -= :x(x+h)'" = -3x(x+h) -h .L_
.
=
3x(x+h)
Langkah -:n 4 : Ambil limit hasil langkah 3 untuk h -+ 0. Hasilnya:
f(x+h)-f(x) .. -10 IlIfl-_---:-_
lim-.-=
ilb
h
Jadi, turunannya
f
rlib:x1x+rr;
(*) =
-10 3x2
#. 3x' $
c.
t' i
. Langkahl:f(x+h)= Jx+h . Langkah 2: f(x + h) - f(x = .Fr -Jn f(x+h)-f(x) {E;r-Jx . Langkah3r-= n
(rasionalisaikan bagian pembilang)
ff+n+J, I =- _!!h1:h(!&lT + Ji ) (ffilEl
=-hr-F;TJ .
=
IF-;TJ
Langkah 4:,Hitung limit hasil langkah 3 untuk h -+ 0. Hasilnya
1
2J* |adi, turunannya adalah
f'
(x) =
I
2rl*
D.
BEBERAPA NOTASI TURUNAN (x)' Selain itu' Kita telah menyatakan turunan fungsi Y = f(x) dengan notasi f' turunan, di terdapat beberapa notasi lain yang sering digunakan untuk menyatakan antaranva adalah:
y,
ff, r 1*1, fi[r1x)], D,.[r1x)], D,v, #
Kita bisa memakai notasi-notasi ini untuk menyatakan turunan dan semua notasi ini populer digunakan pada buku kalkulus. Huruf d atau D yang digunakan pada notasi di atas di baca sebagai "diferensial". Semua notasi ini mewakili ekspresi limit
unik hm f(x+!)-f(x) h h-r0
S1P4 h
1h-+0
yang disebut turunan. jadi:
=r,(x) =y,
=:l = ftrt.ll
= D*[f(x)] = D*y = #
=turunan
E. EKSISTENSI (KEBERADAAN) TURUNAN Suatu fungsi f(x) dikatakan terdiferensialkan pada titik x = c jika nilai limit unik tersebut ada (terdefinisi). Tetapi jika limitnya tidak ada, maka fungsi f(x) dikatakan tidak-terdiferensialkan di x = c. lJmumnya, terdapat tiga situasi di mana fungsi f(x) gagalmemiliki turunan di x = c di dalam domainnya. Tiga situasi tersebut secara geometri dapat diilustrasikan oleh gambar 4.1' a- c.
a. titik pojok
b. garis singgung
c. titik diskontinu
vertikal
Gambar 4.1
Contoh 3: Tunjukkan bahwa fungsi f(x)
= | x I tidak mempunyai turunan di titik x
-0. Penyelesaian:
Grafikfungsinilaimutlak f(x) = I x I ditunjukkanolehgambar 4.2.Kltagunakan software Mathematica untuk menampilkan grafiknya dengan perintah Plot: Plot[Ab s [xl,{x,'4, 4}, Axe
sL ab
el-){" x",
"f
(x)"
17
Gambar 4.2. Grafik t(x) = | x
I
Perhatikan, bahwa jejak grafik fungsi f(x) = | x I merupakan dua buah garis yang bertemu di titik x = 0, kedua garis ini memiliki gradien yang berbeda. Gradien garis singgung kurva tersebut di sebelah kiri x = 0 adalah -1, dan gradien garis singgung di sebelahkanan x = 0 adalah +1. Grafik fungsi ini memilikititik suilut di titik asal (0, 0) sehingga mencegahnya untuk memiliki turunan di x = 0. Mari kita buktikan masalah ini dengan definisi turunan. Kita ambil x = 0.
'{lr
Langkah
{r
Langkah 2
{,
Langkah
{l\
Langkah4
1
3
f(0+h)= l0+h | = lh f(0+h)-f(0)= lh I - l0l = lh I
f(0+h)-f(0)
lhl
h
h
lim
h+0
f(0+h)-f(0)
=
6* lhl
h-+0 h
I
= tidak ada.
Limit pada langkah 4 tidak ada (tidak eksis atau tak terdefinisi). Jadi fungsi f(x) = lx I tidak terdiferensialkan (tidak mempunyai turunan) di titik x = 0.
F.
ATURAN-ATURAN DALAM MENENTUKAN TURUNAN
Kita telah membahas bagaimana menentukan turunan fungsi y = f(x) dengan menggunakan definisi turunan, yaltu dengan limit empat langkah yang telah dibahas. Proses penentuan turunan dengan cara seperti ini seringkali membutuhkan banyak manipulasi allabar, sehingga memakan waktu dan tidak praktis. Untuk mengatasinya, kita perlu mengembangkan aturan-aturan yang bersifat umum yang dapat diterapkan pada beragam fungsi. Masing-masing aturan akan menjadi teorema tersendiri yang memudahkan kita dalam menentukan turunan. Sebagian dari teorema ini kita buktikan dan sebagian lain dibiarkan untuk anda buktikan sendiri.
Teorema 1 (Aturan Fungsi Konstanta)
I
I Jit u
(*)
= c, di mana c adalah konstanta, maka untuk sebarang x berlaku
**--*.,.,
f
(x) = g
Jadi, untuk setiap fungsi konstan, maka turunannya pada sebarang x adalah sama dengan nol.
Bukti: Kita buktikan teorema
fl
(x)
1 dengan
definisi turunan:
f(x+h)-f(x) = t',,' h-+0 h
f, (x)=
r.*f(x+h)-f(x) = limc-c = lim 9 = 0. h h-+o h h-+o h
t'-o
Jadi, terbukti jika f(x) =
g maka f' (x) = I
Contoh 4: Tentukan turunan fungsi f(x) = 15 Penyelesaian:
Berdasarkan teorema 1, karena f(x) turunannya sama dengan nol.
= 15 merupakan fungsi konstan, maka
r-'------**
i
Teorema 2 (Aturan Pangkat)
!
! litu f(x) = xn di mana n sebarang bilangan rasional, maka turunannya
adalah:
Bukti: Gunakan definisi turunan
.
Langkah
1:
f(x + h) = (x + h)"
=
uraikan dengan rumus binomial, diperoleh
= x^ + ,r*.-1n*
r
2!
Langkah 2: f(x + h) - f(x) = [xn + .rr,^-l h*
- .rr.-1n* .
n(n-1)
Langkah3:
f(x+h)-f(x)
,..,r.-1n*
+h'
t) "(:,2l rn-l 62 +...+ nxht-l +ht1-x'
n(n-1) 2l
n(n-1) 2l
*n-162 +...+nxh'-l
*n-162 +...+ nxh.-l + h^ *n-162 +...+ nxhn-l + h. h
h [nx^-l '2t
*"(1, l) *t-1h *...+ nxht-2 + h"-1]
= nxn-l *
.
n(n-l) 2l
*.-l
h +...+ nxh.-2 + h^-1
Langkah 4 : Ambil limit h -+ 0 untuk hasil akhir langkah 3 diperoleh:
f(x+h)-f(x) h h-+0 f, (x)= lim (nxt-l * "(1;1) *^-1h +...+ nxh'-2 + hd-l) ... (i) 2l h+0' f' (x)= ,,.*t-l fl (x)=
,'-
Perhatikan (i), semua suku yang mengandung h akan menjadi nol sehingga )rang tersisa hanya suku nxt-l . |adi, jika f(x) = x^ maka fl (x) = nxn-'
Dari pembuktian teorema L dan teorema 2, tampak jelas bahwa limit sangat berperan dalam proses pembuktian teorema-teorema turunan. Untuk memahami pemakaian teorema 2, contoh 5 menampilkan tabel yang memuat fungsi dan turunannya.
Contoh 5: Kolom 2 pada tabel berikut menampilkan 5 macam fungsi dan kolom memuatturunanmasing-masingfungsi.Turunannyadiperolehdenganmemanfaatkan
3
teorema 2. Pangkat n
Fungsi f(x)
Turunan f'(x)
3
x3
3x2
10
x1o
1Oxe
-7
x7
-7xB
1
x1
atau
0,7
llx
x0,7
1x2atau-1I^ tv. 0,7x0,7
-1=0,7x-0,3
jadi, dengan teorema 2 kita tak perlu lagi menentukan turunan
dengan
menggunakan definisinya (eveluasi limit). Cara ini jelas lebih mudah. Teorema 3rr(Atufrn Perkaliah,Fungsi dBn$aittr Koncttnta)-,1,,,1,,,
Misalkan k adalah sebarmg !rygsi f(x),; k; g(i)iradalahi
bil$n riil' ]ika
f
gt. (x),.ada
...
,..,
maka
h
ltary,,dart
(x)=kg,,F)
(Aitinvai turunad:darirper iimr,konstantal,k d*r$an fUxgsi g($ adalah'sama denganperk*iiankoxan-ta kldengan n$',, },r) Contoh 5: Tentukan turunan fungsi f(x) = 191-z
Penyelesaian:
Di sini k = 10, g(x) = x-' dv
#
,{
(x) = -7x-a sehingga:
=f (x)=kg (")
+ =f dx
(x) = 1o (-7x-8) = -70 x-8
Untuk menyatakan turunan, kita dapat menggunakan notasi Iainnya.
!dx
ata,t? (x) atau
Contoh 7: Tabel berikut menampilkan lima macam perkalian konstanta dengan fungsi. Kolom 2 memuat turunannya. Turunan tersebut diperoleh langsung dengan memanfaatkan teorem a 2 dan teorema 3. Fungsi f(x)
Turunan f'(x)
25x3
(25)(3x'?) = Tsxz
-15x10
(-i5 \6
.6x'
t.6
X-z*') = -2.,6
x-g
(0,9)(-1 x2 ) = -0,9 x2
0,9 x1 43
)(10x'g) = -'15sxs
(43)(0,7x0'?-1) = 30,1 x{'3
xo'7
Cukup mudah, kita tinggal mengalikan konstanta tersebut dengan turunan fungsinya. ,,,,,,1;o1emra,4,{Aiumn,tumlah,;, rrrrlikl'
dib$k
ft$gsi f{x}.*
gsfsihl'
gk),,,,,,},,,rh(t}
di Aaffii.rr.$r)
f,,,,1(x),,,xr,'g (x),, x,lhi.,
**th(x}rrrbidi$eit
lkfi
(xl...l,l',l.,l
&atrau,i lr igsi,adal aerig ,iadarr ,'1 ,. i a)*( ri,( ,r6D.t; id ..i1tlii Atulal:t ini tetap berlqku-pada,@-ryi .aia*l&ih);r
Bukti: Kita ambil kasus jumlah dua fungsi: f(x) = g(x) + h(x). Dengan menggunakan definisi turunan:
f' (x) = li6
h-+0
f(x+h)-f(x)
untuk f(x) = g(x) + h(x), maka:
. . .
f(x+h)=g(x+h)+h(x+h)
Langkah 1
-f(x = =
Langkah2 f(x+h)
f(x+h)-f(x)
Langkah 3
hh
[g(x+h) +h(x +h)] -[g(x) +h(x)] [g(* + h) - g(x)] + [h(x + h) - h(x)]
_
[g(x + h) - g(x)] + [h(x + h) -h(x)]
f(x+h)-f(x) _
[g(x + h) - g(x)]
,
hh
Kemudian, ambil limit h
.
lim
Langkah4
+
h
h-+0
[h(x+h)-h(x)]
0, diperoleh:
h-+0
lim lh(x+h)-h(x)l
h
h
h-+0
I I
I
t
I
g'(x)
f'(x)
h'(x)
Dengan definisi turunan, kita telah membuktikan teorema 4. Untuk pembuktian kasus selisih dua fungsi, caranya sama seperti di atas. Pada contoh 8, kita akan memanfaatkan empat teorema yang telah dibahas.
Contoh 8: Tabel berikut memuat fungsi, turunan dan teoremayang digunakan. Turunan
Fungsi f(x) 25x3
^'
*
0,9 x-' + 6xB
4x1;
-
digunakan
1,2,3,
75x2-4x+0'
-2x2 + 4
-
3x2
13
-
11
-t Ji -0,9 x-2
1,2,3,4
,-" + 6,8x0'7 + 0
+
48x7
-
4
2,3,4
5x4 + 150xs
xs +1Sx'o
J1
Nomor teorema yang
f'(x)
6x
-
0
1,2,3,4
* Catatan: Di sini kita tetap menulis angka nol dengan tujuan untuk menjelaskan langkah-
langkah dalam proses diferensiasi. Hal ini nantinya tak perlu dilakukan lagi, cukup
ditulis
75x2
- 4x
I
Teorema 5 (Aturan Perkalian) I / \ l. / \ I 1 / \ -1-.-,r,lrr-----,--1,------l-^L-]ika f(x) = g(x) . h(x) di mana g(x) dan h(x) dapat diturunkan, maka turunan dari f(x) adalah:
g" (x) . h(x)
Contoh 9: Tentukan turunan fungsi f(x) = (8** -
3x'z)
(-x3 + 7)
Penyelesaian:
Misalkan: g(x) = (8*n - 3x2)
= h(x) = (-x3 + 7) =
g' (x) = 32x3 - 6x
h' (x) = -312
Kita telah mendapatkan empat suku yang diperlukan untuk disubstitusikan ke dalam rumus teorema 5. ]adi turunannya adalah: e (x) = g(x) .h' (x) + g' (x) . h(x)
e(x) = (8xa-3x').(-3x') + (32x3-6x).(-x3+7) 1I
h-
g(x)
(x)
g'(x)
h(x)
Hasil di atas kita uraikan dengan Mathematica, menggunakan perintah Expand. Programnya adalah: Expand[(8 x^4 - 3 x^2)G3 x^2) + (32 x^3 - 5 x)Gx^3 + 7)]
-
42 x + 224 x3 + 15 xa - 56 x6 (output Mathematica)
Jadi,turunanftrngsif(x) =(8xa-3x2)(-x3+7)adalah
f
(x)= -56x6 +15xa +224x3-42x.
Teorema 6 tAturan Pembagian) v
*h(x)Or*.u d*n"t; adalah:'
|ika,,diberikan f(x)'=
'
g(x) dan h(x) terdiferensialkan maka tu-
h(x)s'(x)' - g-(x) h'(x) f' (x) \"/= Ih(*)12
''= -'\'*'J' t:-Ji
Contoh 10: Tentukan turunan fungsi f(x) Penyelesaian:
Ini adalah fungsi rasional. Turunannya dicari dengan teorema g(x)
=
-3x3 + 2x2 , jadi
g' (x) =-
9x2 + 4x
6.
Misalkan:
-l h(x)=13- Jx , jadi h, (x;=
-!*-, 2
Masukkan nilai-nilai g(x), h(x), teorema 6, hasilnya:
dan [h(x)], = (13-
{
fi),
(x), h, (x) dan [h(x)], di atas ke dalam rumus
t t_.\ _ h(x)g'(x). - g(x) h'(x) I\^/_[hE)P 1
t, r \t-.\,r -
(13-J;X-g
x2
+4x)- (-3*3 +z*2 1g!*i 2
1
Menurunkan fungsi pecahan seperti contoh 10 harus dilakukan dengan teorema 6. Secara manual (dengan pulpen) akan memakan waktu lebih lama. Sekarang, mari kita gunakan Mathematica untuk mencari turunan fungsi pada contoh 10. Kita gunakan perintah D[fungsi,x]. Program dan hasilnya adalah: y = G3 x^3 + 2x^2ll(13 - Sqrtlxl);
D[y,xl
4x-9x2 13-
Jx
2x2 -3x3 203 - Jx )r Jx
hasil ini disederhanakan dengan perintah Simplify, maka: Jika -r-(OUtOut)
Simplify[%l
x(1oa-6Ji -zzqxntx%)
z1-t:+Ji)2
(output)
Contoh 1t: Tentukan turunan fungsi f(x) =
(x2 + 3x)12
Penyelesaian:
Disinikitaanggap:
n=12;
3x)ll sehingga:
f'
(x)
= n . [g(x)] (" -1) . g'
(x)
g(x)
=x2+3x; g'(x)=2x+3 dan [g(x)]"-t-(x2+
f
(x)
= f' (x) =
12 (x2 + 3x)11 . (2x + 3)
(24x +36) . ( x2 +
3x)11
Jadi turunan fungsi f(x) = (x2 + 3x)12 adalah f' (x) = (24x + 36). ( xr + 3x)11. Irri adalah polinomial derajat 23. lika f' (x) = (24x + 36) . ( x2 + 3x)11 diuraikan suku demi suku dengan Mathematica, hasilnya adalah: Expand[(24 x + 35Xx^2 + 3 x)^11] 637j292x1 + 2j634932xt2 + 54561276xt3 + 64953900x14 + 51963120x15 + 294457 68xt6
+ l2l2472gxt1 +
3656664x1s + g0lg00x'e
Contoh 12: Tentukan turunan f1*1 =
+
124740x20
t['*
*
+
13068x21
+ 828x22 +
t
Penyelesaian:
1
Tuliskan fungsi ini dalam pangkat pecahan : f(x) = Kita
ambil: n=L/2;
24x23
,-,\ B'(x)= -.r /-.\ g(x) =(2x-3+x); ra---3
(2x-3 + x)2
, 1 dan a^^ [g(*)]"-'= r-t (2x-3+ x) -6x-a+1 t-.-4
'zI
Jadi
fl (x) = n.[g(x)]1"-tr . gr (x)
I -l f' (x)= I', (Z*-'+ x) 2. (-6x-a+ 1) _,
f, (x) = (-3*-4 +1/2).(2^-3 + x)
2
Di samping cara di atas, terdapat cara lain yang lebih mudah. Fungsi f(x) berikut: I
f(x)= (2x-3+x)z kita bagi dua menjadr "fungsi luar" dan "fungsi dalam" sebagai berikut
rTg't'{
uz
f(x) = (2x-3 +1)funesiluar
Untuk mendapatkan f' (x), lurunkanfungsi luar dengan membiarkanfungsi " tetap" . Jadi, kita hanya menurunkan pangkat / 2 saia. Hasilnya: 1.
rl
I2 Q"-'+ x) 2
... (hasil turunan fungsi luar)
Kemudian turunkan/rz ngsi dalam,yakni 2x-3 + x . Turunannya adalah:
-6x-4 + I
... (hasil turunan fungsi dalam)
dalanr
Akhirnya, kalikan turunan fungsi luar dengan turunan fungsi dalam. Jadi:
r,_l
1
f' (x) = - (2x-'+ x)
2'
.
2
(-6*-a
+l)=
(-3*-* +1/2).(2*-3+x)
i
Lebih Laniut dengan Aturan Rantai
Aturan rantai sangat sering digunakan untuk menetukan turunan fungsi, terutama fungsi komposit, yaitu fungsi yang variabel bebasnya didefinisikan dalam bentuk fungsi lain. Untuk itu, kita perlu memaparkan beberapa ide lain berkaitan dengan aturan rantai.
Aturan Rantai
Misalkan terdapat dua fungsi Y = f(u) dan u = f(x) yang diferensiabel (dapat diturunkan), maka turunan y terhadap x adalah:
dy=dydu dx du dx Contoh 13:Jika y adalah fungsi u dan u adalah fungsi x di mana:
_ dv tentukan r
y=u3+2u-a dan u-3x1/3-5x
dx Penyelesaian:
Dengan aturan rantai, kita tentukan dahulu: 3u2 3(3x1/3-Sx)r- 8(3112:- 5x)-s aur., $ + du = -8u-5 = dx dy=dydu dx du dx
= y-2/3- 5 sehingga:
= 3(3x1/3 _ 5x)'_ g(3xtza _ Sx)-s (x -rl3 _ 5)
Kita telah menguraikan tujuh teorema untuk mencari turunan beragam fungsi. Dengan memanfaatkan teorema-teorema tersebut, turunan sebarang fungsi dapat ditentukan dengan mudah.
.
Turunan f(x) di titik (a, b)
Kita telah memanfaatkan teorema-teorema di atas untuk menghitung turunan fungsi f(x) pada sebarang titik x. Turunan f(x) pada contoh sebelumnya, semuanya dinyatakan dalam bentuk fungsi. Sekarang, kita akan menentukan turunan f(x)
pada sebuah titik (a,b). Turunan fungsi f(x) pada titik (a, b) dinyatakan oleh simbol
e
(x)l
atau ditulis langsung
lx=a
f'
(x = a).
Sebagai contoh, pertimbangkan kembali contoh T.Jlkakita ingin mencari turunan fungsi pada tabel berikut di titik tertentu, misalnya di x = 2, maka turunan di x = 2 adalah | (2).Hasilnya kita nyatakan pada kolom 3. Fungsi f(x)
Turunan
1
Nilai turunan di
(-15)(1Ox'g) = -150xs
5x1o
t; !J x'
tJi
0,9 x-'
-t
x-2)=-0,9x2
(a3X0,7x 0,7-1) = 30,1 x -o
43 xol
'(x
= 2)
-150(2)'g = -76800
x-t* '; = -7 "'[ r-'
(0,9X-1
f
75(2)'z = 300
(25)(3x'?) = 75x'?
25x3 -
f'(x)
Ji
el8 =
-0,e
12;-z
30,1 (2) 4'3
3
-0.0473608
= -0.225 = 24.4488
Jadi, untuk menentukan f (x) di titik (a,b), kita tinggal memasukkan x = a ke dalam f' (x). Artinya f' (x) menjadi f' (a). Notasi f' (a) ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kuraa f(x) di titik x = a. Bllangan pada kolom ketiga tabel di atas ditafsirkan sebagai gradien garis singgung masing-masing fungsi f(x) di titik x = 2. Contoh lain, pertimbangkan kembali contoh 10 di mana annya menurut perhitungan Mathematica adalah fl (x) = maka turunan f(x) di titik (4,
fl
1x
:4)
:
4
(ro4- 6J 4
-]!q) ll
=
-3"'f
dan turun-
l3-Jx x (1oa- 6Ji - zt+x+tsxli) 2eB+Ji)2
adalah:
- nag) + t sg1) z
zl rj,+J4)2
61*1
1
1448
t2l
Hasil tersebut dihitung dengan Mathematica. Terlebih dahulu, definisikanlah fungsi f(x) dengan program berikut. f[x_]:=x(104-6 Sqrt[x]-234 x + 15 x^(3 /2)) / (2(-13+Sqrt[x])^2) Selanjutnya kita hitung turunarLnya dititik x = 4 dengan menulis perintah f[4]. Hasilnya adalah:
fl4l 1448
r21
Program Mathematica berikut ini menampilkan nilai turunarrnya di x = 5, x = 10
danx=1: {f[s], f[L0],
ftllyiN
{-19.6723, -97.9931, -0.420139\ Jadi, hasilnya berturut-turut adalah: -19,6723, -91,9931 dan -0,420139
G. MEI{YATAKAN TURUNAN DENGAN NOTASI LEIBNIZ Sejauh ini,
kita gunakan notasi f'
(x) untuk menyatakan turunan. Sekarang, kita
akan menggunakan notasi lain, yakni
fl.
*orrri ini diperkenalkan
pemakaiannya
pertama kali oleh seorang matematikawan besar dari Jerman, Gottfried Wilhelm von
Leibniz (1.642 - 1727).Itulah sebabnya mengapa notasi
Leibniz. Notasi
fl
at.,u*akan sebagai notasi
$dx ru.,gut populer digunakan untuk menyatakan
turunan fungsi y
= f(x).
Jika diberikan fungsi dinyatakan oleh:
y = f(x), maka turunan fungsi ini dengan notasi Lelbniz
dy ---L= dx
Ay ltm ,. hm '= ,.
Ax-+0
Ax Ax-+0
Limit pada ruas kanan yakni ri*^
'
f(x+h)-f(x)
f(x+Ax)-f(x)
I!1YLI!
ax-+o
h
h
memiliki arti yang sama dengan
,. -r-----.1------ . Artinya, perubahan kecil h, digantikan oleh simbol Irm h-+0 h 9Y
Ax.
Pada
d dibaca "diferensia 1". 'Jadi $ arUr., : diferensial y terhadap dx r. Dalam notasi rni, aariabel tak-bebas diletakkan di bagian pembilang, dan ztariabel simbol
bebasnya
dx',
6.1111
diletakkan di bagian penyebut. Sebagai contoh, jika diberikan fungsi s = f(t)
maka: s = variabel
sehingga turunannya gai berikut
ditulis
tak-bebas dan t = variabel bebasnya
$. dt
Outu*bentuk limit, notasi turunan
$dt
dit.rlir r"bu-
ds .. As = lim f(t+At)-f(t) _-lrm_ dt At-+o At At-+0 At Untuk fungsi z = f(s) maka turunannya adalah
dz
E , demikian seterusnya.
Contoh 14: Nyatakan turunan fungsi berikut ini dengan notasi LeLbntz.
b. Y=xa-x3+x2+5
a. Y=f(x)=3x6
c. y=(x'+2x)1/t
Penyelesaian:
dy b.
dx
d(:x6 dx
dy=
d(ra - x3 + x2 +5)
dx
dy= dx
H.
)
dx d(x2 + 2xl/t = dx
= 4x3 -3x2 +2x
!$' 4'
3
+ 2x)
a .(2x
+ 2)
PERSAMAAN IMPTISIT DAN TURUNANI{YA
Sebagian besar fungsi yang telah kita bahas selalu dinyatakan dalam bentuk persamaan y = f(*), di mana y dinyatakan secara eksplisit (tegas/jelas) dalam x. Fungsi eksplisit adalah fungsi yang variabel bebas (x) dan variabel tak-bebasnya (y) dapat dikenali secara langsung, karena y sebagai variabel tak-bebas selalu ditulis diruas kiri persamaan, sedangkan x sebagai variabel bebas selalu dituliskan diruas kanannya. Namun, dalam kebanyakan persoalan, kita akan sering menghadapi persamaan yang tidak dinyatakan secara ekspisit, di mana variabel bebas dan variabel tak-bebasnya ditulis secara bercampur baur dalam satu ruas yang sama pada sebuah persamaan. Kondisi ini akan menyulitkan kita untuk memastikan mana variabel bebas dan variabel tak bebasnya. Sebagai contoh, perhatikan persamaan berikut ini.
*'+y'=4,
x3
-3ry *y'=12,x2Y3 -7
=2Y3
+x
Dari tiga persamaan ini, kita tidak bisa mengatakan bahwa y = f(x) atau sebaliknya x = f(y). Persamaan seperti ini disebut persamaan implisit, karena kesamaran 'rr.ar:.a' variabel yang berperan sebagai variabel bebas dan 'mana' yung berperan sebagai variabel tak bebas. Pada persamaan implisit, biasanya variabel bebas dan variabel tak-bebas ditulis secara bercampur baur dalam satu ruas yang sama. Walaupun untuk persamaan implisit seperti:
x2+71=4 kita dapat menyatakannya sebagai fungsi eksplisit dengan mengubahnya menjadi: (ekspisit karena y = f(x))
atau menjadi (ekspisit karena x = f(y))
Namun, persamaan lainnya seperti:
x3-3xy
*y'=12
dan
,'y'-7
=2y3
+x
adalah persamaan implisit, karena tidak dapat dinyatakan secara eksplisit dalam bentuk Y = f(x) mauPun dalam bentuk x = f(y).
Untuk mencari turunan fungsi eksplisit y = f(x) tidaklah sulit, sebagai misal, jika diberikan fungsi eksplisit y = f(x) sebagai berikut.
maka turunannya, Jadi,
dy dx
, diperoleh dengan memanfaatkan aturan rantai (chain rule).
dvI1 ' 2' dx -(4-x'l
-r_ 1
Tetapi untuk mencari turunan sebuah persamaan implisit tidaklah semudah itu. Demikianlah kesan yang ditampilkannya, tetapi untunglah kita memiliki cara praktis untuk mengatasi kesan sulit yang ditampilkannya. Untuk memahami cara praktis dalam menentukan turunan persamaan implisit, mari kita perhatikan contoh 15 bersama penyelesaiannya.
Contoh 15: Turunan persamaanl impiisit Tentukan
$ox
arri fungsi implisit y' +
Zyu -3x7
= -9x2
Penyelesaian: Karena kita diminta menentukan turunarl
gy, maka anggap y sebagai variabel dx
tak-bebas (karena y diletakkan pada bagian pembilang
!I dx
; aun x kita anggap sebagai
variabel bebas (karena x diletakkan pada bagianp"ny"brt semua suku persamaan
d(y5) dx I
itu terhadap *.
uurilyu'
* d(2y') _ d(3x7) _ d(-qx2) dx dx dx
9I dx
;.
f"-rdian turunkan
... (i)
Kita lebih memilih kata persantaan implisit daripadafungsi inpli.sit. Alasannya karena kebanyakan persamaan implisit
::Jlk memenuhi syarat unfuk disebut sebagai fungsi. Uji garis vertikal seringkali menunjukkan bahwa garis vertikal memotong
r:n
a
142
implisit dilebih dari satu ritik..
Sekarang kita tentukan turunan masing-masing suku (i) sebagai berikut. = u., .9r dx'dxl
d(ys)
-)
d(2y3)=6v,.9_
dx 'dx
!
tul
t
d(r7)
-7*,4 -7*o dxdx) d(-gx2) _1gx 4 oun dx = dx
I
= _1gx
Kemudian substitusikan hasil turunan pada (ii) ke dalam (i), kita peroleh:
5#.gI + 'dx'dx (sy'
6v2.
dY
+ ofl* 'dx
dy
dx =
(zx6
-
7xb
=
-r8x
=7xo -78x
-lsx)
(sya + 6y2)
-
adalah
+dx
untuk persamaan imptisit pada contoh
15.
Jadi, turunan persamaan implisit yu
+
2y'
3x7
=-
9x2
=
- t8x; (sy4 * 6y')' 1zx6
Contoh 16: Carilah turunan
$oy
Penyelesaian: Karena kita akan mencari turunan
" $dy')
(karena x sebagai pembilang
$dy , *uku anggap x sebagai variabel tak-bebas
dan y sebagai variabel bebas (karena y sebagai
penyebutnya). Kemudian turunkan semua suku persamaan itu terhadap y. Hasilnya:
d(ys)
d(2y3
.,.'|..
d(:x7) d(-0x21 ) -?=.;;
(ii)
Kita hitung dahulu turunan masing-masing suku (ii) terhadap y yaitu:
d(v5) \i '
=5Vr.
dv r-5V*
dy"dy"dy'dyr
dan
d(zv3) ,
dv
=6V-.---L=$yz
d(*7) dy
dx ----
dy
= 7x6
d(-lx2)
dan
dy
= -1Bx
dx dy
Kemudian, substitusikan turunan masing-masing suku Hasilnya adalah:
qfl
-dey3)
dy St' +
dY
6y'
-
di
atas ke dalam (i)'
d(-ex2) dY dY
_ d(3x7)
7x6+
dy =
-rax
$dY
...
(iii)
41 kumpulkan suku-suku yang mengandung dy hingga (iii) menjadi
5f +6Y'=-,t**dy
+
7xu
t"
dalam satu ruas yang sama, se-
!
dy
(-18x + 7xb)* =Uy' + 6y' oy
d*
sra +6Y2.
dy= -18x + 7x6 ladi, dx/ dy dari persamaan implisi t ys +
d*
= dy -
sYa + 6Y2-
-l8x
+ 7x6
2y3
-
3x7
= - 9x2 adalah:
.'
sebenarnya, secara singkat, kita dapat langsung mengitung membalik
Karena
ff
a".,srn
cara
telah diperoleh pada contoh 15. Perhatikanberikut ini' fl ,u",
dy
(7x:
18I)
= dx (Sy" + 6y')
kita tangsung memperoteh
ContohlT: Hitungrun
maka dengan membalik pembilang menjadi penyebut,
dx = 5Ya + 6Y2 _G;Ai *
$dt au. $ds
.
daripersamaanimplisit
s2
+
3sat7
+
f
= t2-8
!&
Penyelesaian:
Kita sengaja memilih persamaan dalam s dan t. Mana dari kedua variabel ini yang berperan sebagai variabel bebas? Ini tergantung apakah kita menghitung ds ataukah S. t,tu t tta menghitung ds ;,
maka yang menjadi variabel tak-bebas adalah
s (karena ia sebagai pembilang) dan yang menjadi variabel bebas adalah
sebagai penyebut). Demikian juga sebalik
mencari
.
$
t (karena ia
-dt yr, ketika kita menentukan . Untuk ds
in r, langkah-langkah berikut ini. $, dt'
Langkah 1: Turunkan semua suku persamaan implisitnya terhadap
t.
Kita
peroleh: s2
d(rr
dt
)
d(3sat7
dt
)
) dt
+
d(t2 '
d(t3
f
----:-----1
3sat7
dt
=
+ t3= t2-8
)
d(8) ,:\ "' \r/ -
Untuk memudahkan, kita hitung dahulu turunan masing-masing suku (i) di atas:
d(rr)
d(t3)
, dt =2rE dt' dt =3tr4 dt =3p:
q+A dt
=
3so. 7t6
+ t2s3y.
+dt
d(t2)
2t94 dt dt = dt =Zt,d(8)
=0
... (ii)
Untuk mengetahui proses penurunan suku (ii), kita cari dengan rumus aturan hasil kali (teorema 5), yakni: d(:sat7
)
dt d(:sat7 )
dt d(zs4t7
dt
)
=
3sa.
d(t7)
d(3s4) dt
dt
=3s4. 7to.
dt * dt
=3sa. 716 +
91. t, dt
12sr.
12s3 t7.
L7
ds
dt
Langkah 2: Masukkan nilai turunan masing-masing suku pada langkah 1ke dalam (i).
ladi,
d(r2)* d(:sat7) * d(tt) d(t') _ d(8) = dt dt dt dt dt
zr!9 * dt
3sa. 7t6 + r2ss
tz.9! + 3t, = Zt-o dt
* rzs, t'. E = 2t - 3s4 7t6 - 3t2 dt dt ds (2s + 72s3t1 ' 'dt = 2t- 21s4t6-3t2
zr!9
(2s+ 12s1Y)E 'dt = 2t- 21.s4t6-3t ' 2t-2lsat6 -3t2 2s + l2s3t7
fadi, kita telah memperoleh turunan Kemudian, untuk mencari turunan
barik "*""
I.
S. Kita peror"n 4 ds
2t
-
2t_ 2lsat6 -3t2
=
-
2s
+ l2s3t7
Urgt fungsi yang sama, kita cukup mem-
fl
2s
dt
ds
+ l-2s3t7
2ls4t6
3t2
-
TURUNAN KEDUA ATAU YANG LEBIH TINGGI sejauh ini kita telah membahas turunan fungsi Y = f(x) dengan sekali Proses
penurunan yang kita beri simbol
y
'
atauF (x) atau
$dx
.
,,r.r.,an
seperti ini dinamakan
turunan pertama, yang biasa disebut turunan saja. Adapun yang dinamakan turunan kedua adalah turunan dari turunan pertama. Artinya, kita melakukan dua kali proses penurunan terhadap fungsi y = f(x). Simbol turunan kedua dari fungsi Y = f(x) adalah
y" atau f "(x) ataq Q.
dx2'
|adi, jika Y = f(x) maka:
y'
atatf'
(x) atau
*
= turunan Pertama
y" atau f "(x) = turunan y"' atau f "'(x) atau y(')atau 1r"r(x)
utu,
dan seterusnya.
gl dxr
dl"I dx'
kedua = turunan ketiga = turunan ke-n.
Contoh 18: Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi berikut
a.
y=xa +4x3-3x2+1.2
b.
y=3(2xa+5x)10
Penyelesaian:
a. y' = x3 + 4x3 + 12x2 - 6x dan y" = 1,2x2 + 24x- 6 Jika kita ingin menentukan turunan ketiga, maka turunkan turunan ked.uanva Turunan ketiganya adalah:
Y"'=24x+24
b. y' = 3(10)(2xa + 5x)e (8x3 + 5) = 30(Bx3 + 5)(2xa + 5x)e Jadi, turunan pertama / = 30(8x3 + 5)(2xa + 5x)e Untuk mencari turunan kedua, kita turunkan
y' dengan memanfaatkan
teorema
5 (aturan perkalian). Pada persamaan turunan:
y' = 30(Bx3 + 5)(2xa + 5x)'... (i) Kita misalkan:
+
g' (x) = 30(24x'?) = 720x2 h(x) = (2xa + 5x)e +h, (x) = 9(2xa + 5x)8 (8x3 +5) = (72x3 + Dengan teorema 5, turunan (i) menjadi turunan kedua : g(x) = 30(8x3 + 24)
y"
= g(x)
Y"
= 30(8x3 + 5) (72x3 + 45) (2xa + 5x)8 + 720x2 (2xa +
45) (2xa +5x)8
h, (x) + g, (x) h(x) Sx)e
J. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Sekarang kita akan membahas mengenai turunan dari enam macam fungsi trigonometri: sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan, dan cosecan. Satu dari fungsi trigonometri ini, yakni fungsi sinus akan kita turunkan dengan menggunakan definisi turunan (limit unik), dan yang lain akan diturunkan dengan memanfaatkan teorema
6 (aturan pembagian). Kali ini kita menggunakan simbol
turunan. Kita mulai dengan turunan y = sin
r
Turunany=sinx Jika y = sin x maka turunannya l
*i dx
$clx
untuk menyatakan
Bukti: fungsinya adalah y = f(x) = sin .x. Dalam proses penurunan sinus dan cosinus, kita membutuhkan tiga rumus berikut ini'
a. b. c.
sin(x+h) =sinx. cosh + cosx. sinh
{} s
Langkah 1: f(x + h) = sin(x + h)
x. cosh-sinx. sinh cosx-1 = 0 (dua limit trigonometri = 1 dan t'rn
cos(x + h) = cos
Hm
x+0
sit' x
x-+0 x
Langkah 2: f(x + h)- f(x) = sin(x + h) = sin
x.
cos
= sinx (cos
h + cosx
h-
.
sinh-
-
sin x
+
spesial di bab tiga)
(uraikan dengan rumus a)
sin x
x. sinh
1) + cos
f(x+h)-f(x) Langkah3,= h
sinx(cosh-l)+cosx.sinh h
+ cos*.ti'h = ,ir*.(toth-1) hh Kemudian, kita ambil limit h -+ 0, diperoleh:
f(x+h)-f(x) \r Langkah4: lim h-+0 =
sinh .. t . (cosh-l) * COSX. l, h ! h h-+o[
=
ri.'*[,',. -
I
l1m I S[lX.-
(cos-h-l)
Lti-o h ]I
* .or*[r,*
+il+ Ln-oh.l
lsel"rrikan dengan rumus c)
Dengan menggunakan rumus c, maka limit pada langkah 4 menjadi:
gIdx Jadi, terbukti jika Y = sin
jikA
y,ll
=
=sinx (o) + cosr (1) = q.t,
r
maka
eO$,s,,
*dx = .o, ,
m4ka furunannya
il*"
=,,,:sin
r
Pembuktiannya mengikuti cara yang sama seperti pembuktian turunan y = sin x. Gunakan rumus b dan rumus c untuk membantu langkahJangkah pembuktian.
Bukti: Karena y = tan
misalkan: B(x) = sin r = h(x) = cos1 =
, = T1, cosx
maka dengan menggunakan teorem a 6, kita
g' (x) = cos /
h' (x) = -sin
r
Masukkan keempat fungsi ini ke dalam rumus teorema 6 untuk mendapatkan:
dy _ ,, r,.., _ h(r)g'(x). -
g(x) h'(x)
d"-r\^/-E
Jadi:
dy
cos x(cos
dx
x)- sin x(- sin x) [cosx]2
cos2
x+sin2 x
aor2
l, = - ''
cos" x
*
+
(
ingat bahwa cos2 x + sin 2 x = 1)
=sec''tr
Jadi,terbuktijikay =tanx maka
+dx
= sec2/
Untuk membuktikan turunantiga fungsi trigonometri lainnya,yaitu cot x, sec r dan csc x gunakanlah cara yang sama seperti pembuktian y = tan x. Ingat bahwa:
.otr= tlt* sin x
,".r-
1 cosx
cscx=
I
sin x
Selengkapnya, turunan fungsi-fungsi trigonometri tersebut dirangkum dalam tabel
berikut ini.
Tabel Turunan Fungsi Trigonometri Dasar
fungsi (y)
sin x
cos
dv turunan /
cos .r
-sln
dx
x
tanx 1
-x
sec".r
cot x a
-csc- x
csc
sec.r
sec x tan
x
x
-csc2 x cot x
Contoh L9: (turunan fungsi trigonometri dengan teorema 5): Tentukan turunan y
=
x2sin
r
kemudian tentukan nilai
t..-^ *dx'x=-:
Penyelesaian: Fungsi y = x2 sin r berasal dari perkalian dua fungsi : g(x) = x2 dan h(x) = sin Turunannya ditentukan dengan menggunakan teorema 5 :
dv
#
= g(x)
.h' (x) + g' (x) . h(x)
,.
...(i)
di mana: g(x) = x2 dan h(x) =
9
(x) =
sin,
2x danh' (x) = g651
Kemudian masukkan nilai g(x), h(x) dan turunan keduanya ke dalam (i). Hasilnya adalah:
9dx = *'. cos x + 2x.sin x ... (ii) x=
Kita telah memperoleh turunarurya. Selanjutnya, untuk mendapatkan 4r dx n/ 4, masukkan x= nl4 ke dalam (ii). Hasilnya:
fl'.=o
= @/ 4)2. cos @/ a) + 2(x/ 4)
4
=
=
[;)t;r).(;)(ir) !a("' *l) 2) 2 [16
sin(n/4)
a,,mr
Plotlx^2 Sin[x], {x,0,2 Pi}l
l i
-5 -'10
-15
-20
Gambar 4.3 Grafik fungsi y = x2 sin x dalam selang 0s xs 2n
Plot[x^2 Cos[x]+ 2 x Sin[x], {x,O,2Pi}l 40 30
20 10
Gambar 4.4 Menampilkan grafik turunan tungsi y = x2 sin x dalam selang 0 s x s 2n
K.
TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN FUNGSI LOGARITMA
Fungsi eksponesial dan fungsi logaritma dengan basis e (e = 2,7L828... adalah bilangan natural) memainkan peranan sangat penting dalam kalkulus. Dari semua kelompok fungsi eksponensial, maka fungsi eksponensial natural e' adalah yang terpenting di antara mereka, demikian juga dengan fungsi logaritma. Di antara kelcmpok fungsi logaritma, maka fungsi logaritma dengan basis e, yakni ln r, adalah termasuk yang terpenting di antara mereka. Sekarang, kita akan membahas rumus untuk menentukan turunan fungsi eksponensial dan fungsi logaritma.
Turunan Fungsi Eksponensial y = s*
Untuk mendapatkan rumus turunan fungsi eksponensial f(x) = e' kita perlu menggunakan definisi turunan:
f' (x) = ]ip
f(x+h)-f(x)
h-+0
Mari kita mulai langkah-langkah untuk mendapatkan turunan f(x) = s* Langkah 1 f(x + h) = ex+h = e* . eh Langkah 2
f(x+h)-f(x) = e*.eh -e*
Langkah 3
f(x+h)-f(x) _
Langkah 4
e* .eh
-e* _
e* (eh
-t)
h Hitung limit langkah 3 untuk h -+ 0. Hasilnya adalah:
f(x+h)-f(x) ,. f' (x)= 1i* = Ilm
e* ("h
h-+0
h-+0
li-.*
-t)
h
/
ri* r"hh-rt ) [n-o )
f, (x) = [ ]l ( n-+o /
|
untuk suku pertama, karena yang menjadi variabel adalah h, sedangkan x dipandang sebagai konstanta, maka limitnya adalah:
lgex =
e.
untuk suku kedua, limitnya kita hitung dengan tabel limit arah kiri dan arah kanan'. h
-1
"h h
-0,001
-0,0001
-0,0000'l
0,99950
0,999950
0,9999950
0
0,00001
0,0001
0,001
1,0000050
1,000050
1,00050
Dari tabel tersebut tampak bahwa limitnya
L. Jadi,
limit suku kedua:
igl#=' Hasil akhir langk ah 4, y altu:
f, (x) =
(r,,' )[,,,,' -G1-!] "* i[n-o h ) \n--'o
f'(x) = e*.1 = e" Kesimpulannya, jika f(x) = e* maka
f' (x)
= g.
Contoh 20: Tentukan turunan fungsi berikut ini.
a.
f(x) = x2 . e'
b.
y=(3x5+4e*)6
Penyelesaian:
a.
Gunakan aturan hasil kali (teorema 5), dengan memisalkan g(x) = x2 dan h(x) = s' maka g' (x) = 2x dan h' (x; = e. sehingga turunannya:
f
= g(x) .kr (x) + g' (x) . h(x) fl (x) = x2' e'+ 2x.e* f' (x) = e. (x2. + 2x)
b.
(x)
Untuk menurunkan
y = (3x5 + 4e.)6, kita gunakan
aturan rantai:
6(3x'+ ae^;u. $1:xs + 4e*) + dx = dx
=
6(3xs + 4e*)5'. (15x4 + 4e.)
Contoh 21,:l1ka f(x) = x2 . e'. Tentukan nilai-nilai x yang menyebabkan fl (x) = Q Penyelesaian:
Untuk menentukan nilai-nilai x yang menyebabkan fl (x) = kita tentukan f' (x). Nilai f (x) adalah
0,
terlebih dahulu
fl (x) = e" (x2' + 2x) (x) = 0, maka e* (x'. + 2x) = Q. Dari persamaan e" (x'. + 2x)
Karena f simpulkan:
e*=0 atanx2+2x=0
- 0, kita
Karena e'+ 0 untuk berapapun nilai x, maka hanya x2 + 2x = 0 yang dapat memenuhi kesimpulan ini. Jadi karena xz + 2x = 0 maka, nilai-nilai x yang menyebabkan f' (x) =
x= 0ataux=-2
0adalah
Turunan fungsi eksponensial y = ss{*) Untuk menentukan turunan fungsi eksponensial yang pangkatnya adalah fungsi x, seperti y = ss(x) di mana g(x) adalah fungsi x, gunakanlah aturan rantai'
Jika y
- eg('r maka
dv Il-
--=
gg(xt .Dot
(x)I
I t
Contoh 22: Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini.
a. / - gx'-5x
b. Y= e"i'z*
Penyelesaian:
a.
1,
-
y
= e*'-5^ = g sc) . Jadi, turunarurya adalah:
dv :L clx
g b.
sx'-5x. Misalkan g(x) = x3-5x,maka g' (x) = 3x2-5 sehingga:
=
"sr^r.
g, (x)
= .x'-5x. (3xr-5)
dx y = e "i"k. Misalkan Misalkan g(x) = sirt2x, maka
I
.
:
sehingga y = e "i'z' =
dv
# +dx
=
=
"sr,r
"
.
ss(x)
Jadi, turunannya adalah
(*) = 2. cos2x
g, (x)
snzr (2. cos 2x)
Turunan fungsi eksponesial
y= "*
Sekarang kita akan menentukan turunan fungsi eksponensial dengan basis a yakni y = a'. Di sini a adalah sebarang bilangan real yang nilainya lebih besar dari nol
danale. [ikay=a^ rnaka
dy =a*. lna dx
Kemudian
,
Jita Y = 4e(x) maka
S=1u*,
tna).g'S)
i
berikut ini' Contoh 23: Tentukan turunan fungsi-fungsi c. Y = 10"i"r' b. y= 4x'+e'
a' Y=2*
Penyelesaian:
a. b.
dY 2=0,692(2") Disini a=2.Jadr,turunandariy = 2. adalah dx =2,.ln (x) = 2x + e' , sehingga turunan dari Di sini a = 4, g(x) = x2 + e" dan g' y
- 4*'+t' adalah
dY dx
(x) = (as{*) In a) . g,
_ ( +*r*".
\/
c.
Sama seperti soal b' maka turunan 10, g(x) = sin 4x dan g'(x) = 4'cos 4x' 10sh4x adalah'
Di sini
Y=
dY dx
) . 0n4) . (2x + e.)
a=
(x) = (astxr 1r, a) . g, 4x) = fgsinax . (ln 10) (4.cos
Turunan fungsi logaritma Y = ln x e' logaritma dengan basis bilangan natural Fungsi logaritma Y = in x adalah
dv1
jikaY=lnx maka * =; Turunan fungsi logaritma y = ln [g(x)] \
q_=
I
i litu I
Y=
ln Is(x)l maka turunannya adalah dx
i.. g(x),' t-l
i i
Contoh 24: Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini.
a. y=e'.lnx
b. y=1n(x2+3x)
c. y=ln3(sinx)
Penyelesaian:
a.
Gunakan aturan perkalian, misalkan 8(x) = e* dan h(x) = ln
x
maka 8' (x) =
dan h' (x) = :, sehingga x dv = g(x) .h, (x) + S (x) . h(x) 1
#
dvl e.. -l :L =
+ e^. InX
dxx dv e^(.1 ::L +Inx) = CI.X
X
Gambar 4.5 menampilkan grafik fungsi asal y = e*.ln
Plot[E^x Log[xl, {x,0.L,2}, Axeslabel-+ {"x"
x
dalam domain
10,1,
,27
/'y"}l
Gambar 4.5
Gambar 4.6 menampilkan grafik fungsi turunannya,yaitu
Plot[E^x (Llx + Log[x]), {x, 0.1, 2}, Axeslabel -+
1
Gambar 4.6
l"x","y"ll
dvl +lnx) ' dxx-e^(-
e*
Untukfungsiy=
In1*z + 3x), misalkan g(x) = x2 +
3x dang' (x) = 2x + 3, sehinggga
turunannya menjadi:
dvl.
---L =
dx
g(x)
g, (X)
a
-.
I
= x'+3x , (2x+ 3) =-
2x+3
x2 +3x
c.
y = ln 3(sin r) = [ln(sin x)]3. Untuk menurunkannya, perhatikan langkah-langkah berikut ini.
o
Langkah 1 : Turunkan terhadap pangkat 3 saja danbiarkan semua suku dalam kurung seperti semula. Turunannya adalah: 3[ln(sin
.
... (i)
Langkah 2 : Turunkan terhadap bagian logaritma ln(sin membiarkan suku dalam kurung sin x. Turunannya adalah : 1
. .
r)]'
x)
saja dengan
... (ii)
Langkah 3 : Terakhir turunkan bagian paling dalam dari fungsi itu, yakni sin x. Turunannya adalah: .l
cos
o
x
...
(iii)
Langkah 4 : Kalikan semua hasil turunan pada langkah 1,2 dan 3. Hasilnya adalah: 3[ln(sin *)], (.-l- ) (cos x) + ox = srn x
3.t:t* + ox = slnx
+ dx
[ln(sin
x)]'z
= 3.cotx.ln'z(sinx)
Jadi, jika y
maka = ln 3(sin x)'dx
+ = 3.cot x . 1n'?(sin r)
Turunan fungsi logaritma dengan basis
a
Fungsi logaritma ln x yang telah kita jelaskan di atas adalah logaritma dengan basis e = 2,718... Sekarang kita akan menentukan turunan fungsi logaritma dengan basis a.
u Turunan fungsi logaritma y = log[g(x)]
Jika diberikan fungsi logaritma y =
u
log[g(x)] maka turunarurya adalah:
I e,(x) = dx g(x).ln a" '
dY
Contoh 25: Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini.
a. Y=
Slogx
b.y=
5log(x3+2sinx)
Penyelesaian:
a.
Di sini a = 8 maka
= -+^ . ]ika kita hitung dengan Mathemati.u, *uku 9I +o"x'ln8raadx
=l*".,,u*, x.lnS ' 1/(x Log[8])//N 0.480898
x
Jadi,turunany=
b.
81og*
adalah
0.480898
*
=
s Untuk menentukan turunan y = log(r,3 +2sinx), kita gunakan rumus turunan fungsi logaritma y = a log[g(x)]. Turunannya adalah:
dY
dx =
I B(x).ln
s,(x) a" ' '
tlog(x3 +2sinx) kita anggap g(x) = x3 + 2sin x, maka Misalkan pada fungsi y = g' (x) = 3x2 + 2 cos x. Sehingga:
gy.=
dx x3"__!_ +2sinx
(3x2 +2cosx)
dy dx =
+2cosx x3 +2sinx
3x2
Terakhir, untuk lebih memudahkan, kita buat ringkasan rumus-rumus furunan fungsi eksponensial dan fungsi logaritma di atas sebagai berikut.
Turunan Fungsi Eksponengial dan Logaritrna
'w Jikay=e*maka
.dy " maka
S
Jikay=ec(x)
*
]ikay=a* maka
S " ]ikay
#=". gc(.). gr(x)
dx
=a'.lna
#
=,,6s(xl,maka
;,
fr=
(ast.r
l--
|ikay=lnx
L.
maka
ln a) . gr(x)
r
?dxx= ' r=
gx
*
]ika
*
]ika y *''ulog* *uUu'
S
ka Jika y =ralog[g{x)] maK
f = ln [g(x; maka
dx
w di
s61
s'{*;
..1...
..'.
x.lna
!Idx = -;i, g'(x) g(x).ma I
T'UNGSI,INVERS TRIGONOMETRI DAN TURUNANT{YA
Sekarang kita akan membahas turunan fungsi invers trigonometri. Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang saling invers, maka akan berlaku:
8'(x)' = -:^ f '(g(x)) Dua fungsi adalah saling invers jika f(g(x)) = x dan g(f(x)) = y.
Invers Sinus Berikut ini merupakan definisi fungsi invers sinus:
y = sin-1x <+ sin y = x untuk
-Irt rZ
Perhatikan, bahwa -1 pada sin-lx tidak boleh dipahami sebagai "pangkat -1." namun -1 tersebut hanyalah simbol semata yang menyatakan fungsi invers.
Contoh 26: Hitungtah y =
'
si^-lf+)
\2)
Penyelesaian: Jika soal rrli,
y= sin-l[]J f.t" '= ,f"f, r',ifui *
!.
,2 * = ].
cocokkan dengan definisi fungsi invers sinus di Tudi,menurut definisinva, t 'r v = sin-l
y yanghasil sinus sudut y dalam selang kita mengetahuibahwa siny = x =
rir,-,[1,) = I
\2)
6
uaufun
\2)
Ini bermakna bahwa kita diminta mencari sudut
setara (sama) dengan sin y =
adatah
[1.'I
1
-,Ir t < L
ad.alah sama dengan
bilu-u.ra nilai y = 300 =
1.
1/2.Jadi
Kesimpularurya
=3oo.
Invers Cosinus Berikut ini merupakan definisi fungsi invers cosinus
'','Y = to'.-l *
<+ cos-y =
x
.untuk
:
0<
y
s'
/ [ 2./
Contoh 27: Hitunglah y = .or-11 -Y^)
'
I
Penvelesaian:
Di
6
-Y2
sini, = -' -' 2
sehingga y
""
-+ dapat dinyatakan \ 2.)|
= cos-ll
Kita harus menemukan besar sudut y dalam selang
- -+
cos y ,2atJ4
0<
Dari hubungan ini kita dapatkan besar sudut y =
sebagai cos
d..-r
+
=
1350.
dx' -(s11r-
sin-lx, maka turunannya adalah:
'X) = :
I
lt - r, v'-'
=
y < n di mana nilai
Turunan Fungsi Invers Trigonometri Jika diberikan fungsi invers sinus y =
y
I
l
l
|ika diberikan fungsi invers cosinus y = cos-l x maka turunannya adalah:
d-r 'x) =--*(cos
I
r/1-
Jika diberikan fungsi invers tangen y = tan-t
*'
r
maka turunannya adalah:
= 9(tu,,-'*; -L-dx 1+x'
Untuk melengkapinya dengan turunan fungsi invers cotangen, secan dan cosecan, tabel berikut ini menampilkan turunan enam fungsi invers trigonometri.
Tabel Rumus Turunan Fungsi Invers Trigonometri
d,. -r^X) :: I dx' _ -(sllr ,1,
d, -r'vl : - I '11 dx' -lcos {l-*' d.(cot -1x): _+ , dx l+ x'
",
: 9(o.-'x) ' --1dx' l+ x2 9(r"c-r*) ox
d.
:
dx' -(csc
Contoh 28: Tenfukan turunan fungsi invers trigonometri berikut ini.
a. Y=2 cos-lx -4csc-1x b' Y=x2' sin-lx Penyelesaian:
a. dY dx= z.e-Ll
Jr_"r'
dv
-2
dx il=
L-f-
-+t--!1 x{x' I
4
-2x+ 4
.,['J ,,[=
b.
Untuk turunan fungsi y = x2. sin-l x misalkan: f(x) = az sehingga g(x) = sin-l
x
f'
(x) =2x
sehingga g' (x)
l-x2
Dengan menerapkan aturan hasil kali, maka turunan dari fungsi y = x2. sin-l x adalah:
dy dx
=
f' (x).g(x) + f(x).g'
(x)
= 2x. sin-1x + x'?. ---1f-1 r/1- *'
=
-_l stn 2x.
'x +
,2 x
l-x2 -
Catatan: Selain notasi "-1." yang kita gunakan, terdapat notasi lain yang populer untuk menyatakan fungsi invers trigonometri, yakni dengan mengawali sin x, cos x dan lain-lain dengan huruf "arc".Jadi: sin-1 x = arcsin r; aor-l x = arccos x; tan -1x = arctan x cot -1x = arccot x; sec -lx = arcsec x; csc -1x = arccsc x
M.
FUNGSI HIPERBOLIK DAN TURUNANI{YA
Sekarang kita akan membahas fungsi hiperbolik dan turunannya. Dalam banyak masalah sains, kombinasi antara fungsi eksponensial ex dan e-* seringkali muncul.
Karena kombinasi kedua fungsi eksponensial ini seringkali muncul, maka kita perlu memberi nama khusus bagi kombinasi kedua fungsi eksponensial tersebut dengan nama fungsi hiperbolik. Jika x dipandang sebagai variabel bebas, maka dua fungsi hiperbolik yang utama adalahfungsi sinus hiperbolik, ditulis sinh x danfungsi cosinus hiperbolik, ditulis cosh x. sinh x =
= l.*- l.--...(r) l*"" -e-*)'22
coshx= 1("'+e-*) = 1"*+1e-*...(z)
2'22"
Empat macam fungsi hiperbolik lairurya, yakni tanh x, coth x, sech x dan cosech x, berasal dari kombinasi rasio sinh x dan cosh x serta kebalikan dari sinh x dan cosh x. Ide dasar rumus-rumus identitas pada fungsi hiperbolik sangat mirip dengan fungsi trigonometri. Dengan memanfaatkan definisi sinh r dan cosh r pada (1) dan (2), kita peroleh: I
slnnx +,{e*-e-*) tanhr coshx I ,(e*+e-") rt
coth x
sech x =
cosech
coshx sinhx
1(u* *
_2' -
1r". 2'
I
"-'
)
-"1
-
e*
-e-*
e*
+e-*
e* + e-* e*
- e-*
2
."rh. =-e' + e-* I
sinhx
e* - e-*
Perhatikan bahwa fungsi hiperbolik tidak sama dengan fungsi trigonometri. Argumen x pada fungsi trigonometri (misal, sin 3) menyatakan sudut dalam derajat atau radian, sedangkan x = 3 pada fungsi hiperbolik (misal, sinh 3) adalah sebarang bilangan real yang bukan sudut. Jadi,
sinh3=
= !12,118283-2,7t828-3) l("3-u-') 2' 2'
= 20,0855
sedangkan, sin 3 = 0,14712 (dalam radian) dan sin
30
= 0,052336 (dalam derajat)
Contoh lain, misalnya kita menghitung nilai cosech 3: cosech3
= sinh3 .] - = 1/20,0855 = 0.0497872
Gambar 4.7 berikut ini adalah grafik masing-masing fungsi hiperbolik di atas
f(x) = 3i15 x
f(x) = se56 x
f(x) = 6e16 *
f(x) = ss66 x
f(x)
-
cosech x
Gambar 4.7 Gratik Fungsi Hiperbolik
Sifat Identitas Fungsi hiperbolik Sama seperti pada fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik juga
memiliki beberapa persamaan identitas yang berguna saat kita menyelesaikan persoalan yang melibatkan fungsi-fungsi hiperbolik, yaitu:
S S $ S
sinh(-x) = -sinh
x
(lihat grafik sinh x meruPakan fungsi ganjil)
cosh(-x) = cosh x (tihat grafik cosh x meruPakan fungsi genap) cosh 2x - sinh 2x = 1
-tanh
2x
L
= sech2x
Turunan Fungsi Hiperbolik Karena fungsi hiperbolik dinyatakan dalam suku-suku fungsi eksponensial, maka proses menentukan furunannya tidaklah sulit. Sekarang, kita mulai proses penurunan fungsi hiperbolik sinh x'
d..
d(r"*_1"-.)
*(sinhx)=d*[,
2
l"-* = 1ul 22* = cosh x
)
|adi, turunan f(x) = sinh x adalah
f
(x) = cosh x
Kita dapat menentukan turunan fungsi hiperbolik lainnya dengan cara yang hampir sama seperti di atas. Tabel berikut ini memuat ringkasan masing-masing turunan fungsi hiperbolik.
! sinh'x
- coshx *(ri.n*) ctx $1,r.nr1 clx
..:... a:.. 1...... . .'....,
'' -r*fu'1';gi6 a
*t,.'';,r,
=:iosedrrxcothx
Contoh 29: Tentukan turunan fungsi hiperbolik berikut ini.
a. b. c.
f(x) = ar sinh x h(x) = cosh a(2x5 tanhx c(x) = 2+sinhx
-
13)
Penyelesaian:
a.
Untuk menentukan turunannya, gunakan aturan hasil kali
f Anggaplah
B(x) =
x',
(x)
= g(x) .h' (x) + g' (x) . h(x).
g, (x) = 3x', h(x) = sinh x, ftl (x) = cosh x
sehingga:
f
(x)
= x3. cosh x +
3x2. sinh x
= x2 (x.cosh x + 3.sinh x) Jadi, turunan f(x) =
b.
x3
sinh
x adalah fl (x) = x2 (x.cosh x + 3.sinh x)
Gunakan aturan rantai. Jadi:
h (x) = [4.cosh 3(2x5 - 13)].[sinh(2x5 - 13)].[10x4] =
c.
40x4. sinh(2xs
-
13). cosh 3(2xs
-
13)
Gunakan aturan hasil bagi
c' (x) =
h(x)g'(x).
- g(x) h'(x)
lh(*)12
dengan memisalkan
g(x) =tanhx; g (x)=sech2xi h(x)=2+sinhx; h'(x)=coshx c'
(x)
(2+sinhx).sech2x =
-
maka
tanhx coshx
[2+sinhx]2
N. MENENTUKAN TURUNAN FUNGSI YANG DII{YATAKAN SECARA NUMERIK Seluruh fungsi yang telah kita bahas adalah fungsi-fungsi yang dinyatakan dalam bentuk persamaan matematis, sehingga turunannya dapat diperoleh dengan memanfaatkan teorema-teorema yang tersedia. Misalnya, fungsi dengan Persamaan y = x3 + 3x2 +9 mempunyai turunan dy / dx = 3x2 + 6x. Sekarang, kita akan membahas bagaimana mencari turunan fungsi yang diberikan secara numerik dalam bentuk tabel nilai. Misalnya, jika kita memiliki data mengenai perubahan konsentrasi (kadar) obat dalam aliran darah t menit setelah obat itu disuntikkan ke dalam tubuh pasien. Dianggap logis bahwa t menit setelah obat disuntikkan ke dalam tubuh maka konsentrasi obat (dalam mg/ cc) di dalam aliran darah akan berubah dengan berubahnya waktu. Datanya adalah sebagai berikut. t (menit)
c(t) (dlm mg/cc)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,s
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,84
0,89
0,94
0,98
1,00
1,00
0,97
0,90
0,79
0,63
0,41
Tabel ini adalah fungsi di mana t variabel bebas dan c(t) variabel tak bebas.
Contoh 30: Berdasarkan tabel di atas, tentukan turunan c' (t). Penyelesaian
Kita akan menaksir nilai turunan c menggunakan data dalam tabel ini. Untuk melakukannya, datavariabel bebas (t) harus dibuat dalam selang yang cukup sempit agar tidak menimbulkan 'fluktuasi liar' dalam data variabel tak bebasnya. Jadi, kita asumsikan interval/selang t cukup kecil dan perubahan nilai c(t) antara selang r ang saling berdekatan tidak terlalu tajam. Dari tabel ini, kita melihat konsentrasi c meningkat antara t = 0 hingga t=0,4. Kita katakanbahwa turunan c' (t) dalam selang ini adalah positif. Namun, karena peningkatan c dalam selang t = 0 hingga t = 0,4 cukup kecil maka kita katakan bahwa nilai turunan c' (t) cukup kecil. Konsentrasi c tidak mengalami perubahan dalam selang t = 0 ,4 hingga t = 0,5, sehingga turunan c' (t) dalam selang ini adalah nol. Dari t = 0,5 hingga t = 1,0 konsentrasi c mulai mengalami penurunan dengan laju penurunan yang semakin membesar. Dalam selang ini kita mengharapkan turunan c' (t) bernilai negatif yang terus membesar hingga t = 1,0.
Kita dapat memperkirakan turunan c' (t) dari data ini dengan menggunakan rumus:
c'(t)
=
c(t+h)- c(t)
-
n
... (
i
)
dengan h = 0,1. Sebagai contoh untuk t = 0, maka c(O+h)
- c(0)
c(0,1)
- c(0)
0,89
-
0,84
Jadi, taksiran kita untuk turunan c di t = 0 adalah c' (t) =
Q,5.
Demikian juga, ketika menaksir turunan c di t = 0,1 maka hasilnya adalah: c, (0,1)
-
c(0'l+h)- c(0'1)
h
c(0'2)- c(0'l)
-
0,1
=
9Y 0,1
=O,s
Untuk memperoleh c' (0,2), c' (0,3), c' (0,4) ,..., C' (0,9) gunakan rumus ( i
):
c'
c'
Turunan c' (t) selengkapnya untuk data tabel nilai di atas ditampilkan oleh tabel turunan di bawah ini. Tabel turunan c(t) t
c'
(t)
0
0,5
0,1
0,5
0,2
0,4
0,3
0,2
0,4
0,0
0,5
-0,3
0,6
-0,7
0,7
-1,1
0,8
-1,6
0,9
-2,3
Latihan Bab 4
Untuk soal 1 - 4, gunakan definisi turunan untuk menghitung turunan fungsi f(x) berikut.
1. 2. 3. 4.
f(x)=21:-3x+1
5.
Dengan menggunakan teorema-teorema turunan, hitunglah kembali turunan fungsi f(x) pada soal L - 4.
6.
Gunakan teorema-teorema turunan untuk menentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini.
t1"7
= ,f2x +
f(x) =
3
2x-l
x+4 .| --- 1 * f(x) = x-
a.
f(x) = (2xa + 5x2) 1-vz,e
-
b. gt^i =
7x)
1 71 x'+x-'' -------Vx + 15 _/-
c. h(x) = (x2o + 3x2)10
d. i(x) = fl2*-3 + *s
e.i(x)=lz* * *'\u ,l [: -:x' ]
f. k(x)
(
.r/ * *t)"
=
7.
Gunakan notasi Leibniz untuk menyatakan turunan fungsi pada soal 6a- d.
B.
]ika y adalah fungsi u dan u adalah fungsi x di mana
y
=li
+ 2uq dan u
- 2x1/2 -
4x3
Tentukanlah:
b. du/dx
a. dy/du 9.
Tentukan
c. dy/dx
d. dx/dy e.
dy/dx dari persamaan implisitberikut ini.
a. yu-4t'*'+x4=x3-10
t* f =, rc. "169916
b.
*%*y%=lO%
d.
8-2)2
10. Tentukan dx/ dy dari persamaan implisit soal 11. Carilahnilai
$l ,.,( dx'e,'\')
daripersamrrr,
'
*
9
{9 * 44 =,
(Y -3)2
-,
du/dy
12. Tentukan turunan kedua dan turunan ketiga,
padasoalL-4. Untuk soal 13
-
L9 berikut
ini, diberikan
y" dan Y"' ,
dati fungsi-fungsi
fungsi-fungsi trigonometri dan
transenden. Hitunglah turunannya!
13.
c. y=
b. y=cos(2x-x3)
a. y = sin 3x
c. y=
a. y=sin3(x3-2x) b. y= $inxTcos5x b. y=(3xs+4e-x)1/2 15. a. Y=x3.es'
1.4.
1,6.
-'-"^ a. Y= e^*l-ao,*
17.
a. y = sin-l 2x - tg-tx
18.
a. y = (cosh 4x +2x)7 + x2. sinh x
1,9.
a. y= (tnr-e*.sin2^)-3
c'
tg (2x) . csc (2x) x2 + sin2x
cotx
-
cos4x
Y=eltz* 7log(ex+lnx)
c. Y=
b. Y= 5tg+"
b.
+ csc -1x
-b.
cos 'x 2x + sechx I
Y = e2.
-----------;' = l_ cosh'x (/,,sinhx + -2x r4\
V
b. v=Inl
'
I sinx-2x ]
20. Diberikan data berikut, di mana y adalah fungsi x (y = f(x))'
-l
t (menit)
c(t) (dlm mg/cc)
0
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
0,78
0,75
0,74
0,71
0,69
0,67
0,70
0,64
0,66
0,62
0,57
Buatlah tabel turunan y'(x) yang berasal dari tabel data di atas, (Petunjuk: lihat contoh 30 pada bab 4)!
BAB PENAFSIRAN
DAN APLIKASI TURUNAN
A.
PENDAHULUAN
Pada bab empat kita telah membahas tentang definisi turunan dan teori-teori untuk menentukan turunan sebarang fungsi. Sekarang kita akan memusatkar^. perhatian kita pada dua aspek utama yang berhubungan dengan turunan, yakn:: penafsiran turunan dan aplikasinya. Kedua aspek ini sangat penting dan menarrk untuk dibahas, karena dengan mengenal keduanya, kita akan melihat lebih luas dar. mendalam aplikasi kalkulus. Sekaligus melihat bahwa dy / dx bukan sekedar simbol turunan yang tidak memiliki penafsiran yang menarik.
APLIKASI-1
B. PENAFSIRAN TURUNAN Pada bagian akhir bab dua, kita telah membahas dua tema penting yakni: gradien
garis singgung kurva f(x) dan laju perubahan sesaat fungsi f(x). Kedua masalah yang berbeda ini pada akhirnya bertemu dan memunculkan satu limit unik yang sama, yaitu:
lim
h-+0
f(x+h)-f(x)
yang kita namakan turunan. Dari fakta ini, kita dapat menyimpulkan beberapa interpretasi penting mengenai turunan yaitu:
1. 2. 3.
turunan dy / dx ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva f(x) di turunan dy / dx ditafsirkan sebagai laju perubahan dari fungsi f(x) di
titik
x.
titik x.
turunan dy / dx ditafsirkan sebagai kecepatan sesaat dari sebuah persamaan gerak
f(x) di titik x. Penafsiran pertama bersifat geometri, sedangkan penafsiran kedua dan ketiga lebih dekat kepada sifat "perubahan atau variasi". Itulah sebabnya mengapa kalkulus diferensial disebut juga sebagai kalkulus perubahan. Sekarang kita akan melihat beragam contoh di mana turunan ditafsirkan sebagai salah satu dari tiga penafsiran di atas.
,.:
Penafsiran Turunan Sebagai Gradien Garis Singgung
Contoh 1: (Masalah Geometri): Tentukanlah persamaan garis L yang menyinggung
kurva Y=4xa-1Lx2
-5x-3 dititik P(-1.5,0)
Penyelesaian: Persamaan garis lurus L yang memiliki gradien m dan melewati
titik P(x,, yr)
adalah:
Y-Yr= m(X-xr) ...(i) Di sini, titik P(x,, y,) = (-1.5, 0). Jadi Xr = -1,5 dan y, = 0. Titik P terletak pada kurva y = 4xa - 1Lx2 - 5x - 3 dan pada garis singgung L. Dari penafsiran turunan, kita :rrengetahui bahwa dy / dx = m = gradien garis singgung kurva y = 4xa - 11x2 - 5x - 3. Oleh sebab itu, persamaan (i) dapat ditulis menjadi:
y-o=
Idx
fr+1,5) ...(ii)
:
Untuk menyelesaikan persamaan (ii), kita tinggal mencari nilai dy / dx di titik x = -i,5.Karena y=4xa-1.1x2 -5x-3 maka dy/dx=L6x3-22x-5 dan
q dxl*=-r,s
= 16(-1,5)3
-22(-1,,b)-s = -26= jadi m=-26
-hingga persamaan (ii) menjadi: Y = -26 (X + 1,5)
atau
Y
=-26X-39
Persamaan pada baris terakhir merupakan persamaan garis lurus yang me:.-,lnggung kurva y = 4xa - 11x2 - 5x - 3 di titik P.
y=
4xa
- 1.1.x2 - 5x - 3 di titik P(-1.5 , 0).
Dengan Mathematica, kita gambarkan grafik Y = 4xa -1'1x2 - 5x - 3 dalam selang : l-2,3lbeserta garis singgungnya di titik P(-1.5,0). Program dan hasilnya adalah a=Plot[4 x^4-].1 x^2 - 5 x - 3,{x,'2,3}l;
b=Plot[-26 x - 39,{x,-2,3}l; Show[a,b]
Gambar 5.1. Kurva dan garis singgungnya di P(-1'5 ,0)
*
Rumus Persamaan Garis Singgung Kurva Y = f(x) Di titik (a, b)
Dari contoh 1 dapat kita buat sebuah persamaan garis singgung yang melalui kurva y = f(x) di titik (a, b) adalah:
Y-b = t
(a).
(X-a)
...............'....'(1)
Di sini kita menyatakan gradien m dengan notasi
f
(a).
contoh 2 (Masalah Geometri) : Tentukan persamaan garis singgung kurva: y = f(x) "
'= l+x'
di titik (0.45, 0.9742).
Penyelesaian: Dengan rumus (1) kita peroleh
f(x)= x- makafllx;= *(1+x')' l+x'
nilai a = 0,45 dan b = 0,3742, dan karena fungsi sehingga
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:
f
(0,45)=0,551519.
y-b =f (a).(X-a) Y
-0,3742
Y
(X-0,45)
= 0,551519.
=0,551519X +0,126016
Dengan Mathematica, kita tampilkan grafik kurva singgungnya di titik (0.45, 0.g742).
y = f(x) =
* dan garis l+x', _
ClearIk,s]
k =Plot[x / ( 1+x^2),1x,-3,31]; s = Plot[0.551519 x + 0.126016,1x,-0.5,2]l;
Show[k,s] 1.25 1
gans srnggung
0.75
Gambar 5.2 Kurva dan garis singgungnya di titik (0.45, 0.3742)
Contoh 3: Persamaan garis singgung fungsi trigonometri. Tentukan persamaan garis singgung kurva trigonometri y = 661x - 2 csc x di
X=
)-
titik
T.
Penyelesaian:
Ketika, = +, maka kita mempunyai y = cot !
+3
- Z.rc f --3 -Jl
-f).
.Jadi,kita telah memperoleh titik singgung kurva diP(+ , -s.A
-,(+)= Persamaan
garis singgung kurva di titik P tersebut diperoleh dengan rumus:
y_yt=m(x_xr) Kita telah memperoleh nilai x,
=
2n .,
dan y, =
<1,
+.
Sementara, nilai gradien
garis singgung kurva di titik P adalah m = dy / dx. Kita dapatkan m dengan mencari dy/dxdi titik x= +. Jadi, untuk:
y=cot
! -zcsc!
maka, dy
=
/ dx= alcotx-2cscx) dx'
-
dy /
maka gradien garis singgung di
m=
dr, ,, = 2csc f +l dx I
Kita peroleh m = garis
singgung:
l.r
dx
cot
-
2 (-csc
xcotx))
= 2 csc x cot x
x= +
lx=a
: , (*)(d)-(r)':
csc2,x
-
csc2
x
adalah:
f -csc'f
+
SrUrrttusikan nilai m dan x,, dan y, ke dalam persamaan
y_yr=m(x_xr) kita peroleh:
-s.,6 -8 , 1r ' v_ J)3) ;' -_(x_z+) 24x+9y + 15..6 -16n =O atau Y = -2,667x +2,698 Inilah persamaan garis singgung kurva y = cot x- 2 csc x di titik x= + . Jika kita gunakan Mathematica untuk menghitung turunan y = cot x - 2 csc x di titik x = +,caranya adalah sebagai berikut. D[Cot[x]-2 Csc[x],xll.x -+ 2Pi/3
-8 J
Hasilnya sama dengan perhitungan yang telah kita kerjakan. Contoh 4 (turunan persamaan implisit): Carilah sebuah titik yang terletak pada kurva 3f garis singgung pada titik tersebut adalah horisontal.
-
3xy + x2 = 1 di mana gradien
Penyelesaian:
Persamaankurvapadasoaliniadalahpersamaanimplisit. Dalampenyelesaiannya,
kita membutuhkan turunan persamaan implisit. Kita akan mencari titik pada kurva ini di mana gradien garis singgung di titik tersebut adalah horisontal. Mari kita uraikan pengertian ini satu per satu.
. .
Gradien garis singgung m sama artinya dengan dy / dx dari kurva implisit itu. Jadi, m = ly/dx Dikatakan bahwa gradien garis singgung di titik-titik tersebut adalah horisontal. Ini berarti bahwa s= ly / dx = 0. Ingat kembali bahwa garis horisontal memiliki gradien sama dengan nol.
Dari kedua pengertian di atas, kita harus mencari dy / dx dan menyamakan nilainya dengan nol. Hasil dari persamaan dy / dx = 0 akan menuntun kita kepada titik (x, y) yang hendak dicari. Dengan turunan fungsi implisit, maka dy / dx dari 3y2
-3ry+x2=ladalah:
* d(*') = d(t) dx dx dx
d(zy2) _ d(3xy)
dx
eu
9-(391.v
' dx
dx'
9
+2x =
=
o
o
- g*)P 'dx =-2x + 3Y
(6Y
J
dy=
-2x +3y
dx
6y-3x
dy=
-2x + 3y -3x+ 6y
dx Karena
*2x.4 dx
dx'
3v- g*.4I
'dx'dx-
or
+ 3x. {,
g = 0, maka lV dx -3x+ 6y -?^x +
= 0. Pecahan
ini akan bernilai nol ketika bagian
pembilang sama dengan nol. Jadi,
-2x+
3Y = 0
2x
Masukkan y =
2x
;J
Y
=I
"'(1)
ke dalam persamaan implisit semula, diperoleh: 3Y2
/^
-3xY + x2 =L
12
3(4Y-r*f4)-x2=l \3i
. \3/
+J - 2x2 + x2 = 1. (kalikan dengan 3) -3x2 = x2= 3 4x2
,=aE
3
I Kita telah mendapatkan nilai 1-
diperoteh V =
iJl
* = ..6. Masukkan x (-
.
Jadi, titik yang dicari adalah
=
"v5
ke dalam (i), sehingga
2.6 )
[J3, -1. 3)
Kurva fungsi implisit dapat digambarkan dengan Mathematica. Caranya dengan 'memanggil' (mengetik) perintah <
ImplicitPlot[3 y^2-
3
* y + x^2
: :1.,1x,-2,21)
Gambar 5.3
Contoh 5 (masalah geometri dengan persamaan implisit): Misalkan kita menjatuhkan (meletakkan) lingkaran berjari-jari 1 ke dalam parabola y = 2x2. Pada titik manakah lingkaran akan menyentuh parabola? Penyelesaian:
Masalah ini akan lebih mudah dipahami jika kita buat sketsa lingkaran dan parabola tersebut. Sketsanya adalah sebagai berikut.
I
Gambar 5.4
Dari gamba r 5 .4 , anggap bahwa koordinat titik pusat lingkaran adalah (0, b). Maka persamaan lingkaran ini adalah x'? + (y - b)' = 1. Hal paling penting untuk diamati adalahbahwa gradien garis singgung lingkaran dan gradien garis singgung parabola adalah sama di titik di mana keduanya saling bersentuhan. Ini berarti bahwa:
turunan persamaan parabola = turunan Persamaan lingkaran Turunan persamaan parabola adalah
+dx
= 4x ... (i)
Turunan persamaan lingkaran adalah 2x + 2(y- b)
"dx +
Substitusi nilai
$dx
= 0 ....(ii)
= 4x ke dalam (ii) menghasilkan:
2x + 2(y-b)(ax) =
0'...(iii)
Kita bagi persamaan (iii) dengan dua:
x+4x(Y-b)=0 x(1 + 4(y-b)) = 0 ....(iv) Lingkaran ini terlalu besar untuk dapat dimasukkan ke dalam parabola hingga menyentuh titik (0, 0). Jadi, untuk persamaan (iv), kita asumsikan bahwa x * 0 dan dianggap:
1+ 4(Y -b) = 0
y=b-]...r"1 4
Substitusikan nilai y pada (v) ke dalam persamaan lingkarannya, x2 + (y - b)' = Hasilnya
x'z+(b-+-b)'=1 4
*. (-i) = ,
1.
X=
+JE 4
Substitusikan nilai * =
y,g=
+. Jadi koordinat
di
tf
ke dalam persamaan parabola y
,."J
dua titik:
= 2xzdiperoleh nilai
[ngkaran dan parabola saling bersentuhan adalah di
( ,\i rs) , ('tE rs) [- + 'T.,J "u"I o 'tJ
Contoh 6 (Masalah Geometri): Untuk fungsi
, = -1r' + 6x2 - 11x - 50, tentukan-
lah titik P(x, y) di mana gradien garis singgung fungsi tersebut di titik P sama dengan nol! Penyelesaian:
Dikatakan bahwa gradien garis singgung di titik P sama dengan nol. Artinya,
- = $dx = 0. Jadi untuk mendapatkan titik P, kita harus menurunkan fungsi y = * 6x2 -l lx - 50 dan menyamakan turunannya dengan nol. -1r' J +dx
=
-x2
Jadi, x, =
+ 12x-11= 0; faktorkan menjadi
(x
*
1)(x
- 11) = I
1 dan xr= 1L.
Masukkanx=
L
danx=
11 ke
diperoleh koordinat titik P, yaitu : gradien garis singgung kurva
dalamfungsiy =
p(t,
+ 6x2 -llx - 50,sehingga -1r, J
334 Pada kedua ). -166 )dan P(11,
33
titik inilah
, = -1*' + 6x2 _ 1lx - 50 bernilai nol.
Berikut ini kita tampilkan program Mathematica untuk menampilkan grafik fungsi tersebut beserta kedua garis singgungnya. Plot[{G1l3) x^3 + 6 x^2 - L1 x - 50, -16613,
3341
3},{x,-2,1.4}l
=
-166/3
Gambar 5.5. Kurva dan kedua garis singgung horisontalnya
Kedua garis singgung tersebut adalah garis horisontal dengan Persamaan y = 334/3 dan y = -166/3- Kedua garis ini memiliki gradien nol'
$
Penafsiran Turunan Sebagai Laiu Perubahan
Penafsiran turunan yang berikutnya adalah sebagai laju perubahan, yaitu laju perubahan variabel tak-bebas terhadap variabel bebasnya. Kita akan memilih contoh pada beragam bidang ilmu agar dapat memperluas sisi pandang kita terhadap pemakaian turunan (kalkulus).
Contoh 7 (Sosiotogi): Diperkirakan bahwa x bulan dari sekarang, jumlah populasi penduduk suatu kota kecil dapat dipredisi dengan Persamaan: P(x) = x2 +20x + 8'000
a. b. c.
Tentukan laju pertumbuhan penduduk
15
bulan dari sekarang!
Tentukan pertumbuhan rata-rata jumlah penduduk selama 15 bulan dari sekarang! Tentukan banyaknya pertumbuhan penduduk antara bulan ke 15 hingga bulan ke 16!
Penyelesaian:
a.
Kalimat laju pertumbuhan penduduk dapat ditafsirkan sebagai laju perubahan jumlah penduduk P(x) terhadap waktu x. Laju perubahan jumlah penduduk P(x) terhadap waktu x dapat dikatakan sebagai turunan P terhadap x. Secara matematis, hal ini kita tulis sebagai P' (x) atau
$. dx
Orrrr,yu,
Laju pertumbuhan penduduk = P' (x) = 2x + 20.
Jadi, laju pertumbuhan penduduk kota tersebut pada sebarang x bulan dinyatakan
oleh persamaan turunan P' (x; = 2x + 20. Sehingga laju pertumbuhan penduduk pada saat x = L5 bulan dari sekarang adalah: P' (x = 15) = p' (15) = 2 (15) + 20 = 50 orang per bulan.
Hasil ini menyatakan laju pertumbuhan penduduk di bulan ke 15 adalah
50
orang per bulan.
b.
Pertumbuhan rata-rata jumlah penduduk selama 15 bulan dari sekarang dihitung dengan rumus rata-rata pertumbuhan:
AP _ P(x2)-P(xr)
x2-xl
Ax
dimanax,=O dan x, = Sehingga
15.
- P(x1) x2-xl
P(x2)
P(15)
-
P(0)
l5-0
-
8525- 8000 15
= 35 orangperbulan.
Hasil ini menunjukkan pertumbuhan rata-rata selama 15 bulan dari sekarang. Perhatikan perbedaan kalimat antara soal a dan b, dengan kata-kata: di bulan ke 15 dan selama 15 bulan.
c.
Banyaknya pertumbuhan penduduk antara bulan ke 15 hingga bulan ke 16 dihitung dari selisih nilai P(16) - P(15) = 8.576 - 8.525 = 51 orang. Jadi, daribulan ke 15 hingga bulan ke L6, penduduk kota itu bertambah sebanyak 51 orang.
Contoh 8 (Ekonomi): Pendapatan bruto nasional (GNP = Gross National Product) pada sebuah negara dinyatakan (secara prediksi) oleh model matematika:
N(t) = t2 + 5t + 106 (dalam milyar dollar AS)
t tahun setelah tahun
1980. Tentukan laju perubahan GNP Negara
itu pada tahun
1990.
Penyelesaian: Tahun 1980 bersesuaian dengan t = 0 dan tahun 1990 bersesuaian dengan t = 10. Maka laju perubahan GNP pada tahun 1990 adalah turunan dari N(t) untuk t = 10, ditulis N' (t = 10). N' (t) = 2t + 5. Sehingga N' (10) = 2 (10) + 5 = 25 milyar dollar AS per tahun
Kita dapat menyatakan laju perubahan pada contoh 8 ini dalam persentase. Rumusnya adalah:
Persentase Laiu Perubahan
]ika y = f(x) maka persentase laju perubahan y terhadap x dinyatakan'oleh formula
P
Persentase Laiu 'erubahur,
= t(x) ,loo7o : f,11)
dYld'too% v
Contoh (Ekonomi): Berapa persenkan besarnya laju perubahan GNP negara pada contoh 18 di tahun 1990? Jadi, jika jawaban contoh 8 kita nyatakan dalam persentase, maka hasilnya adalah
sebagai berikut.
Penyelesaian:
Tahun 1990 =t = 10 (10 tahun dari 1980). Dengan menggunakan rumus Persentase laju perubahan, kita tentukan dahulu nilai N' (10) dan N(10), yaitu: N'(10) = 25 milyar dollar AS per tahun
N(10) = 256 milyar dollar AS Jadi, persentase
laju perubahan (laju pertumbuhan) GNP di tahun 1990 adalah:
*'i'9).rooz,
N(10) =
2s6
=
9,71 ohper tahun
-2Ltoo'6
Contoh 9 (Ekonomi/Manajemen): Sebuah perusahaan manufaktur memperkirakan bahwa biaya C yang harus dikeluarkan (dalam juta rupiah) untuk memproduksi x unit barang tertentu dapat dinyatakan oleh fungsi: C(x) =
-0,2x2+8x+40; (0 < x <
40)
a.
Tentukanlah biaya produksi rata-rataper unit untuk memproduksi barang antara 5 hingga L0 unit!
b.
Tentukan laju perubahan sesaat dari biaya produksi perunit ketika perusahaan itu memproduksi tepat sebanyak 5 unit barang!
c.
Tentukan laju perubahan sesaat dari biaya produksi perunit ketika perusahaan itu memproduksi tepat sebanyak 10 unit!
Penyelesaian:
a.
Gunakan lumus laju perubahan rata-rata. Di sini fungsi biaya adalah:
C(x)= -0,2x2 +8x+40
Ketika x = 5 unit, maka:C(x) = C(5) = -0.2(S)'z + 8(5) + 40 =75. Jadi,biaya untuk memproduksi 5 unit barang adalah Rp 75 juta Ketika x = 10 unit, maka : C(x) = C(10) = -0.2(10)'? + 8(10) + 40 = 100 Jadi biaya untuk memproduksi 10 unit barang adalah Rp 100 juta. Artinya biaya produksi rata-rata per unit untuk memproduksi barang antara 5 hingga 10 unit adalah: C(10)
- C(s) _
l00juta
10-5
-
75
juta _ 25iuta _
l0unit-5unit
Rp. 5
iuta/unit
5unit antara 5 hingga 10 unit, maka ditingkatkan rata-rata,jika produksi secara Jadi, biaya produksinya meningkat dengan laju Rp. 5 jutalunit
b.
Laju perubahaan sesaat dari biaya produksi perunit ketika memproduksi tepat sebanyak x = 5 unit barang ditentukan dengan mencari nilai C' (5) :
C' (x) = -0,4x + 8
C'(5)=-0,4(5)+8=6 Hasilnya adalah Rp. 6 jutalunit. Artinya, ketika perusahaan itu memproduksi 5 unit, maka biayanya meningkat.dengan laju Rp. 6 jtfia per unit.
c.
Laju perubahan sesaat dari biaya produksi perunit ketika perusahaan itu memproduksitepatsebanyak 10 unitbarang. Disinix = 10. Teknikperhitungannya sama saja dengan bagian b. Jadi:
C' (x) = -0,4x + 8
C'(10)=-0,4(10)+8=4 Hasilnya adalah Rp. 4 juta/unit. Artinya, ketika perusahaan itu memproduksi 10 unit barang, maka biayanya meningkat dengan laju Rp. 4 juta per unit. Dengan membandingkan jawaban b dan c, kita melihat bahwa biaya produksi barang per unit akan semakin menurun ketika banyaknya (umlah) unit barang yang diproduksi semakin besar. Laju perubahan fungsi biaya seperti contoh ini dinamakan biaya marjinal, yaitu biaya untuk memproduksi secara tambahan satu satuan barang.
Contoh 10 (Biomedik): Berdasarkan penelitian biomedik, peyuntikan sebanyak x (dalam satuan cc) dosis obat tertentu ke dalam tubuh seorang pasien akan memberi pengaruh pada tekanan darah pasien. Misalkan, bahwa tekanan darah pasien B(x) dapat diprediksi oleh model matematik: B(x) = 0'05x2 -0'3x3 Gambarkan kurva dosis versus tekanan darah, beri komentar. Tentukanlah laju perubahan tekanan darah terhadap dosis obat yang diberikan! Gambarkan kurva laju perubahan tersebut!
Penyelesaian:
Kurva dosis versus tekanan darah adalah: Plot[0.05 x^2-0.3 x^3,{x,0,5},Axeslabel
){"
dosis x",
"Tekanan darah B")I Tekanan darah B
Gambar 5.6. Grafik dosis versus tekanan darah
ini
mengindikasikan bahwa tekanan darah pada tubuh pasien akan menurun secara drastis, jika dosis obat (hingga kadar tertentu) yang disuntikkan ke dalam tubuhnya semakin tinggi.
Grafik
Laju perubahan tekanan darah terhadap pemberian x dosis obat ke dalam tubuh pasien dapat ditentukan dengan mengambil turunan B(x) terhadap dosis x, yakni:
B' (x) = 0'7x-0'9x2 Kurva laju perubahan ini adalah: Plot[0.1 x - 0.9 x^2, {x,0, 5L Axeslabel+{"dosis x","Tekanan darah B"}, Grid-
Lines-+Automaticl Tekanan darah B
-5 -10 -15
-20 Gambar 5.7 Kurva laju perubahan tekanan darah terhadap dosis obat
Contoh 11 (Elektro/Fisika): Besarnya muatan listrik Q (dalam satuan Coloumb) yang mengalir pada suatu rangkaian pada waktu t (dalam satuan detik), dinyatakan oieh Persamaan:
Q(t): 1S -1rz+lot+3; dimana o < t < 62
10
Carilah:
a. b.
besarnya arus yang mengalir pada t = 3 detik dan t = 8 detik!
nilai arus terendah di dalam selang 0 <
t < 10
Penyelesaian:
a.
Menurut hukum fisika, arus rata-rata (I,^,^) yang mengalir pada suatu rangkaian dari waktu t, hingga t, adalah: I,.,. = rara
4
(rasio \ Iperubahan muatan dalam selang At =
At
tz
-
tr)
Rumus ini adalah menyatakan laju perubahan rata-rata muatan Q yang ditafsirkan sebagai arus rata-rata yang mengalir selama waktu At. ]ika kita ambil limit At -+ 0 maka rumus laju perubahan rata-rata ini akan berubah menjadi laju perubahan sesaat pada saat t = ti, yaitu:
1* 4Q = arus I yang mengalir pada saat t
At-+0 At
ini, lirr, AQ, artinya sama dengan a 49 dt
atau Q'(t). Jadi, kita dapat At-+0 At mengatakan bahwa persamaan arus I(t) = Q'(t). Karena turunan Q'(t) adalah sama dengan besarnya arus I(t), maka untuk menentukan berasnya arus pada saat t = 3 dan t = 8, terlebih dahulu kita cari Q'(t):
Limit
Q' (t)
7 : I(t): !t2 -
5t +
lo
...
(i)
Jadi, pada t = 3, maka:
I(t) = 113; -
' t - 5t + r0 = lof -t 2.
Dan ketika t-= 8,
_
5(3) +
r0 =26,5Ampere.
*uku'
I(t) =113; =!t'-5t+to = 1(s)2-s(8)+10 = 194Ampere.
22"
b.
Untuk menentukan nilai arus
I terendah di dalam
selang
0<
t < 10, kita
penyelidikan secara graf:,s, dengan menggambarkan grafik persamaan (i) sebagai berikut. PLotIOl2l t^2 - 5 t + L0,{1 0,L0},Axeslab g--s{"t" ," Arus I"}I
Arus
I
300
250 200 150 100 50
246810 Gambar 5.8. Grafik Arus I terhadap waktu t
Arus I dinyatakan pada sumbu vertikal (sumbu y). Dari gambar 5.8, kita melihat bahwa arus terendah berada dalam selang t = 0 hinggat = 2. Untuk memperjelas nilai arus terendah I dalam segmen grafik di antara t = 0 hingga t = 2, mari kita perbesar segmen grafik dalam daerah yang dilingkari pada gambar 5.9. Kita gunakan Mathematica: Arus
I
300
250 200 150 100
46 Gambar'5.9
Hasil 'perbesaran' grafik yang dilingkari pada gambar 5.9 ditampilkan oleh gambar 5.10.
Plotl7 I2l t^2 - 5 t + 10,{t 0,1},Gridlines-+Automatic,Frame->Truel 9.2
I 8.8 8.6 8.4 8.2
0
0.2
Hasit"zoomins',
0.4
0.6
""nH:fi#ffii
0.8
1
puo" sambar 3.10
Dari gambar 5.10 tampak bahwa arus I terendah + 8,2 Ampere, teriadi dalam selang t = 0,7 hingga t = 0,75. Lebih jelas, perhatikan segmen grafik ini dalam selang yang lebih sempit, yakni: 0,7 < t < 0,75. Hasilnya adalah: Pl ot[O I 2)
t^2 - 5 t + 10,1t,0.7,0. 75], Gri d Lines-+Automati c,Frame-+Tru el
8.2't65 8.216 8.2155
8.215 8.2145 0.7
0.71
0.72
0.73
0.74
Gambar 5.11. Hasil "zooming" segmen grafik dalam selang 0,7
0.75
O,7S
Tampak bahwa arus I terendah sekitar 8,21.40 Ampere.
selain cara grafis, Mathematica menyediakan perintah yang dapat digunakan rlntuk mencari nilai terendah I pada persamaan: 7
I(Q=11:-5t+10 2
yaitu dengan perintah Minimizelpersamaary variabeU//N. Inilah hasil eksak yang ditampilkan oleh Mathematica dengan menggunakan perintah tersebut: Minimize[(7 / 2) t^2- 5 t + 10,t]//N {8 .21
429,|t
-->0 .7 1
428 6}J
Dari hasil di atas, nilai arus terendah adalah
I = 8.21,429
Ampere, terjadi saat
t = 0.7L4286 detik.
Kita dapat menggunakan turunan langsung (tanpa bantuan grafik) untuk memastikan nilai terendah arus I pada persamaan I(0 di atas, namun tema ini akan di bahas nanti pada bagian aplikasi turunan (masalah optimisasi/maksimum dan
minimum). Contoh 12 (masalah perubahan volume air): Misalkan bahwa volume air (dalam liter) yang berada di dalam tangki setelah t menit dinyatakan oleh: V(0 = 2P -16t + 35 Jawablah pertanyaan ini!
a.
Apakah volume air dalam tangki bertambah atau berkurang pada saat
t=L
menit?
b. c.
Apakah volume air bertambah atau berkurang pada t = 5 menit?
Apakah volume air dalam tangki berubah lebih cepat ketika t = 1 atau ketika
t=5?
d.
Pernahkanvolume air dalam tangki tetap (tidakberubah) itu?
?
Jika pernah, kapankah
Penyelesaian:
a.
Bertambah atau berkurangnya volume air pada waktu t diketahui dengan melihat tanda aljabar (positif atau negatif) dari laju perubahan atau turunan V(t), yaitu:
V' (t) = 4t -1'6 Ketika t = 1 maka V' (1) = 4(1) - L6 = -12 liter/menit. Jadi, karena tanda aljabar V'(1) negatif maka kita katakan volume airnya berkurang ketika t = 1 menit (air berkurang dengan lajul2liter/menit).
b.
V'
= 4 liter/menit. Jadi, karena tanda aljabar V' (5) positif maka kita katakan volume airnya bertambah ketika t = 5 menit (air bertambah dengan laju4liter/menit). c. Untuk menjawab apakah air berubah lebih cepat di t = 1 atau di t = 5, abaikan Sama seperti soal a,
(5) = 4(5)
-
1.6
tanda aljabar (+ atau -) jawaban a dan b. Yang penting adalah melihat mana dari kedua angka V' (1) atau V' (5) yang lebih besar. Kita peroleh bahwa Y' (11 = 12
adalah lebih besar dari menit.
d.
V' (5) = 4. Jadi, volume air lebih cepat berubah di t =
-
Volume tidak akan berubah pada saat laju perubahan V '(t) = 0. ]adi,
v'
(t) = 4t-1,6 = 0 =t=4menit.
Artinya, volume air dalam tangki tidak berubah (untuk sementara waktu) per:is padasaatt=4menit.
{,}
Penafsiran Turunan Sebagai Kecepatan Sesaat
Sekarang kita akan menafsirkan turunan sebagai kecepatan sesaat, r'akni kecepatan sebuah benda yang bergerak pada satu waktu tertentu t. Pada benda vanq sedang bergerak, ada tiga hal yang menjadi perhatian, yaitu:
s Waktu t
: Seberapa
Jarak
Kecepatan
jauh benda itu bergerak/berpindah dari posisi semula?
: Berapa lamakah perjalanan yang
v
ditempuhnya?
: Berapa kecepatannya?
Tiga hal tersebut adalah variabel jarak (s), waktu (t) dan kecepatan (v). Biasanr a, kecepatan rata-rata v ditentukan oleh rasio:
s _ At waktut At
perubahan jarak perubahan
.
Misalnya, jika diketahui jarak yang ditempuh oleh sebuah mobil yang melajtr selama 2 jar.rr (dari jam 9.00 - 11.00) adalah 120 km, maka kecepatan rata-rata mobil itu dalam selang waktu tersebut adalah: vrata-rata=
As At
=
l20km = ,j^^
bU
Km/Jam'
Angka ini hanyalah angka kecepatan rata-rata selama 2 jarn. Jelas bahn-a kecepatan mobit itu akan bervariasi di atas atau di bawah 60 km/jam, tergantung pada kondisi jalan yang dilaluinya. Rumus kecepatan rata-rata sama sekali tidak memberi informasi tentang berapa besar kecepatan mobil pada saat tepat jam 9.20, atau pada saat jam 10.30 atau pada waktu tertentu lainnya. Tetapi dengan memanfaatkan kalkulus, yakni konsep turunan, dengan menggunakan pendekatan limit unik, masalah ini dapat kita pecahkan. Masalah seperti ini kita sebut sebagai masalah kecepatan sesaat, atau laju perubahan sesaat. Jika diberikan persamaan gerak s = f(t) dengan s adalah jarak dan t adalah waktrl, maka kecepatan sesaat v(to) pada waktu tertentu to adalah sama dengan turunan:
lim
f(to
+h)-f(to)
h-+0
I
189
I
l
I
I
I
I
Jadi, turunan yang pada situasi tertentu ditafsirkan sebagai gradien garis singgung dan laju perubahan, kini ditafsirkan sebagai kecepatan sesaat pada waktu to. Kesimpulannya:
Percepatan Percepatan a(t) pada sebarang waktu
t merupakan laju perubahan kecepatan terhadap
waktu.
"(*)
=
lS*
,,,.;y, (t)
Artinya, percepatan merupakan turunan dari fungsi kecepatan.
Contoh
1-3
(Fisika): Misalkan bahwa posisi s (dalam kilometer) dari sebuah benda yang
bergerak setelah t jam dinyatakan oleh persamaan gerak:
s(t)=
-t t+1
Jawablah tiga pertanyaan berikut ini!
a. b. c.
Apakah benda itu bergerak ke arah kanan atau ke arah kiri ketika t = 2 jarn? Apakah benda itu pada suatu waktu akan berhenti bergerak? Berapa besar percepatarurya ketika t = 4 jam?
Penyelesaian: Sebelum menjawab ketiga pertanyaan ini, kita perlu menentukan persamaan turunan s(t). Dengan menggunakan teorema 6 (aturan pembagian), kita peroleh turunan dari: s(t)
t
= t+l
adalah
s' (t) =
(t +
= kecepatan sesaat. 1)2
Persamaan turunan s' (t) menyatakan kecepatan benda pada saat t.
Untuk menentukan apakah benda itu bergerak ke kanan atau ke kiri pada saat t = 2, kita harus memasukkan nilai t = 2 ke dalam persamaan kecepatan s'(t). Jika nilai kecepatan s' (t) positif maka benda itu bergerak ke kanan, dan jika nilai kecepatan s' (t) negatif maka benda itu bergerak ke kiri. Mengapa demikian? Karena kecepatan sesaat di t = 2 adalah sama artinya dengan gradien garis singgung fungsi kecepatan s' (t) di titik t = 2. ladi ketika t = 2 kita peroleh:
s'(2)=--= = 1k*/iu(2+l)' 9 Karena kecepatan sesaat di t = 2 adalah positif, maka kita simpulkan bahwa benda itu bergerak ke arah kanan pada saat t = 2. Untuk memperkuat fakta ini, kita tampilkan grafik fungsi jarak s(t) versus waktu t. Gradien garis singgung di t = 2iamditunjukkan oleh garis panah yang mengarah ke kanan. Ini membuktikan bahwa pada saat t = 2,benda itu bergerak ke arah kanan. Grafiknya ditampilkan pada gambar 5.12: Plot[U(t+l),1t,0,12],AxesLabel-+ {"waktu t"," jarak s"}, Gridlines-+Automaticl
jarak
s
0.8 0.6 0.4
waktu
I
Dari gambar di atas, jika kita berjalan dari titik pangkal koordinat menelusuri jejak kurva yang menanjak ke arah atas, jelas bahwa dari selang waktu t = 0 hingga t = 12, kita akan tetap bergerak ke arah kanan.
b.
Benda itu akan berhenti bergerak jika kecepatarurya = 0. Persamaan kecepatan pada sebarang waktu t adalah:
s' (t) =
(t + 1)2
Dari persamaan ini, kecepatannya tidak akan pernah bernilai nol untuk berapapun nilai t, karena bagian penyebut pecahan ini tidak pernah bernilai negatif. Artinya,
benda ini tidak pernah berhenti bergerak. Perhatikan grafik kecepatan versus waktu t pada gambar 5.13. Lihat, ketika t makin (besar) nilai kecepatan v secara limit mendekati nol tetapi tidak pernah sama dengan nol. Plot[1/(t+1) ^\,{t,0,12},AxesLabel-+{"waktu t","kecep atan"}] kecepatan
waktu t
68 Gambar 5.13
Perhatikan gambar 5.14, jika kita amati jejak grafik ketika t semakin besar, misalnya t = 100 jam hingga t = 1000 jam, maka nilai kecepatannya tetap tidak nol, meskipun nilai kecepatan tersebut memang secara limit semakin kecil menuju nol, tetapi kecepatannya tidak pernah sama dengan nol. Plot[1/(t+1)
^
1,{t,100,1000},AxesLabel->{"waktu t"," kecepatan"}] kecepatan
0.008 0.006 0.004 0.002
400
200 Kecepatan
c.
*
800
600
waktu 1000
Gambar 5.14. 0 meskipun t makin besar
Percepatan a(t) = Turunan dari kecepatan:
s' (t) =
(t +
1)2
Dengan teorema 6, turunan persamaan kecepatan s' (t) ini adalah:
,rtt = e\r/
j-
(t +
r)3
Jadi, percepatan benda itu pada sebarang waktu t adalah a(t)
percepatannyapad.asaatt=4adalah: a
a(4) =
(4 + l)3
=
= . 2 -, (t + 1)-
sehingga
., -km/lam'
-125
Tanda negatif pada percepatan menunjukkan bahwa benda 'perlambatan' (yakni kecepatannya menurun).
itu
mengalami
Contoh 14 (fisika): Sebuah bola dilemparkan secara vertikal dari atas permukaan tanah dengan kecepatan awal v = 64 kaki per detik. larakyang ditempuh bola itu t detik setelah ditembakkan dinyatakan oleh:
s(t)=-1612*Unt
a. b. c.
berapakah kecepatan bola itu 1 detik setelah ditembakkan? berapa lama bola itu mencapai ketinggian maksimumnya? berapa kaki ketinggian maksimum yang dicapai bola itu?
Penyelesaian:
a.
Kecepatan bola
itu adalah v(t) = s' (t) = -32t + 64, sehingga kecepatannya pada t
-1. v(1) = -32(1) + 64= 32 kaki/detik
b.
Pada saat bola mencapai ketinggian maksimum, kecepatannya = 0. Artinya,
v(t) = -32t+64=0 32t = 64 t = 2detik. Jadi, bola itu akan mencapai ketinggian maksimum dua detik setelah dilemparkan
c.
Dari jawaban b, ketinggian maksimum terjadi 2 detik setelah bola dilemparkan, maka jarak yang ditempuh bola itu ketika t = 2 adalah:
s(t)=-1612*Unr s(2)
=
-1.6(2)2 +
6aQ) = 64 kaki.
Jadi, ketinggian maksimum yang dicapainya adalah 64 kaki.
't93
s
.
Beberapa Contoh Aplikasi Turunan Fungsi Eksponensial dan Logaritma
Berikut ini di berikan beberapa contoh aplikasi turunan fungsi eksponensial dan logaritma pada bidang manajemen, sosial, psikologi, dan ilmu alam. Contoh 15: (Kimia fislk/physical chemistry) Misalkan jumlah A(t) radioaktif yang tersisa pada suatu unsur kimia tertentu setelah waktu t (bulan) dinyatakan oleh model eksponensial negatif:
A(t) = 500.e-0'2st (dalam satuan gram) Tentukanlah besarnya laju perubahan jumlah radioaktif unsur tersebut ketika:
a. t=1 b. t=4 c. Apakah unsur itu meluruh (berkurang)
lebih lambat atau lebih cepat dengan
bertambahnya waktu? Penyelesaian: Persamaan A(t) adalah fungsi eksponensial yang menyatakan jumlah radioaktif yang tersisa pada saat t. Ingat kembali bahwa laju perubahan = turunan. Jadi, laju perubahan jumlah radioaktif diperoleh dengan menurunkan A(t) terhadap t:
dA ::-: dt
= 500.e-o,2st .(-0,25)
dA
;
=
-125
e-o,25t
Setelah kita peroleh persamaan laju perubahan jumlah radioaktif unsur tersebut
pada sebarang waktu t, maka sekarang kita dapat menentukan besarnya laju perubahan pada saat t = 1, t = 4 dan t = 10 bulan sebagai berikut.
a.
Ketika t =
1
maka besar laju perubahan jumlah radioaktif adalah:
S
f
'=
t =
-725e-o'2s(1)
=
-97'35o1gram/bulan'
Tanda negatif artinya adalah'berkurang atau meluruh'
b.
Ketika t = 4, maka besar laju perubahan jumlah radioaktif adalah:
*dt l,=. 't=4 = c.
-125e-0'25(4)
=
-45,9849sram/bulan.
Untuk melihat apakah unsur itu meluruh lebih lambat atau lebih cepat dengan bertambahnya waktu, maka dapat kita amati dengan melihat jejak grafik persamaan A(t) = 500.e-0'2st. Lakukan dengan bantuan grafik, sebagai berikut.
Plot[500 E^ (-0.25 t),{1 0,30},Axeslab el-+ {" t'," At' l)
10
15
20
Gambar 5.15
Dari grafik gambar 5.15 kita lihat bahwa kadar radioaktif dalam unsur tersebut meluruh "cepat" dalam selang waktu 0 hingga 11 bulan (lebih kurang), dan setelah t > L1 kecepatan peluruhan lebih lambat dan semakin lambat (grafiknya landai) dengan bertambahnya waktu. Kita juga dapat menampilkan besar laju perubahan (kecepatan) kadar radioaktif unsur tersebut dengan mengarnati nilai turunan dA/dt, misalnya dalam selang 0 < t < 20, seperti yang dihasilkan oleh perhitungan Mathematica berikut ini. w=Table[{t,-125 E^(-0.25 0},{t 0,20}] TableForm[w,TableHeadings-+{Automatic,l"tbttlan","nilai t bulan
Nilai laju peluruhan A
1
0
-125
2
1
-97.3501
3
2
-75.8163
4
3
-59.0458
5
4
-45.9849
6
5
-35.8131
7
6
-27.8913
8
7
-21.7217
I
8
-16.9169
10
9
-13.1749
11
10
-10.2606
12
11
-7.99098
13
12
-6.22338
14
13
-4.84678
laju peluruhan A"}}]
15
14
-3.77467
16
15
-2.93972
17
16
-2.28945
18
17
1.78303
19
18
-1.38862
20
19
-.1.08146
21
20
-0.842243
Kolom pertama menyatakan nomor urut data, kolom kedua adalah waktu t dan kolom ketiga adalah nilai laju peluruhan A(t). Secara geometri, nilai-nilai laju peluruhan A(t) pada kolom ketiga menyatakan gradien (kecuraman) garis singgung kurva A(t) pada gambar 5.15. Nilai-nilai laju peluruhan A(t) tersebut terus mengalami penurunan (dengan mengabaikan tanda negatifnya) dengan bertambahnya waktu t. Kesimpulannya adalah unsur itu meluruh lebih lambat dengan bertambahnya waktu.
Contoh 16 (ekonomi/marketing): Sebuah perusahaan ingin meningkatkan unit penjualan produknya dengan cara mengeluarkan biaya tertentu untuk pemasangan iklan atau promosi. Misalkan bahwa model matematik berikut ini menyatakan pengaruh biaya iklan (dalam juta rupiah) terhadap banyaknya unit produk yang terjual: N(a) = 3000 + 600 ln
a'
a >1'
di mana:
N(a)
a a.
= banyaknya produk yang terjual = jumlah biaya yang dikeluarkan untuk iklan (dalam juta rupiah)
Berapa banyak produk yang terjual setelah perusahaan
itu mengeluarkan dana
100?
b.
Tentukan N' (a) dan N' (100)
Penyelesaian:
a.
Untuk a =
100, maka
banyaknya unit produk yang terjual adalah: N(a) = 3000 + 600,n a N(100) = 3000 + 600' ln (100)
=
5763,1
=
5.763
unit (dibulatkan)
Jadi, diprediksi bahwa produk akan terjual sebanyak 5.763 untt manakala biaya iklan yang dikeluarkan sebanyak Rp. 100 juta. Gambar 5.1'6 jumlah produk yang laku: Plot[3000+600 Log[al,{a,1,100},Axeslabel-+ {"biay a a"," unit terjual N"}]
unit terjual N
4500 4000 3500
2A
40
60
80
biaya a 100
Gambar 5.16
Dengan melihat grafik 5.16, secara kasar kita mengatakan bahwa pengaruh btaya iklan dalam selang 1. < a < 20 jt:ta tampak sangat nyata dalam meningkatkan jumlah produk yang terjual. Ini tampak dari tajamnya tanjakan (gradien) kurva dalam selang tersebut. Sedangkan dampak biaya ketika a > 80 juta (lebih kurang) tidak memberi pengaruh besar terhadap penjualan.
b. N' (a) diperoleh
dengan menurunkan model matematik N(a) = 3000 + 600 ln a
HasiLrya adalah:
N' (a) Kemudian, nilai
N' (100) = 999 = 100
600 a
U
Contoh 17 (Fisika-masalah gerak): Misalkan posisi S (dalam meter) dari sebuah benda yang bergerak setelah t detik dinyatakan oleh persamaan:
S(t)=1"' ; t>0 Apakah benda itu akan berhenti pada suatu waktu ataukah ia akan terus bergerak tanpa pernah berhenti? Penyelesaian:
Pertama kita membutuhkan informasi tentang turunan S(t). Kita mengetahui bahwa turunan
$dt
airutrirkan sebagai kecepatan benda itu pada saat t. Benda itu
akan berhenti pada waktu t =
a
jika kecepatan benda itu sama dengan nol, yaitu jika
dS = 0. Kita akan menunjukkan dapatkah kecepatannya bernilai nol pada waktu dt
t=
a?.
Jadi:
9= dt ",+tet=e,(1+t) Persamaan turunan (kecepatan ) yang dihasilkan adalah S' (t) = et(1 + t) . Untuk t > 0, nilai kecepatan et(1 + t) tidak akan pernah bernilai nol, sebab berapapun nilai t yang kita masukkan tidak akan pernah membuat nilai kecepatan et(1 + t) menjadi nol. Gambar 5.17 menampilkan grafik kecepatan S'(t) versus waktu t.
Plot[E^t(1+t),tt 0,3],Axeslabel+{ " t',"
5'
(t)'l7
sr
Gambar 5.17 Semakin besar nilai t maka kecepatan S' (t) makin tinggi
Dari gambar 5.17, yang terjadi adalah kecepatan,benda itu makin tinggi dengan bertambahnya waktu. Ini menujukkan benda itu terus bergerak. Contoh 18 (DemografilKependudukan): Misalkan pada suatu kota tertentu, berdasarkan data sensus tahun 1980 hingga saat ini, jumlah populasi penduduk kota itu pada waktu t dinyatakan oleh model matematika: P(t) = 50.000(1 + 0,2t)e-0'0at ; (0
di mana t = 0 berkorespondensi dengan tahun
40)
1980.
Tentukanlah jawaban pertanyaan-pertanyaan berikut!
a. b.
Berapa laju perubahan populasi pada tahun t?
Apakah populasi penduduk kota itu akan bertambah atau berkurang pada tahun 1985,1995, dan 2005?
Penyelesaian:
a.
dP Laju perubahan populasi pada tahun ke-t diberikan dengan mencari turunan dt dengan Mathematica, hasilnya adalah:
t),t]
D [50000(1+0.2 t)E^C0.04
10.000
e_0,04t
ladi: 'dt I
b.
_ 2.000
= 10.000
e_0,041
e-0,04t
-
(l + 0,2t) 2.000
e-0,04t
(r + O,2t)
Untuk mengetahui apakah populasinya akan bertambah atau berkurang pada tahun tertentu t = d, kita cukup memasukkan nilai t = a ke dalam persamaan turunan pada jawaban poin a. ]ika nilai turunannya positif, maka jumlah populasi meningkat. Sebaliknya, jlka turunannya negatif, maka populasinya berkurang. Lihat hasil berikut ini,
Untuk tahun 1985, nilai t = 5, maka:
+l dt
-
= 10.000
e-0,04(5)
lt=5
-
2.000
e-0,04(s)
(1 + 0,2 (s)) = agtz,z8 (positif)
Jadi, populasi penduduk pada tahun 1985 bertambah. Hasil perhitungan tersebut
dapat dengan dihitung dengan Mathematica. Perintahnya adalah: D[50000(L+0.2 t)E^(-0.04 t),t]/.t-+ 5
Untuk tahun 1995, nilai t = dPl I
dt lt=ts
= 10.000
e-0,04
(15)
-
15, maka
2.000
e-0,04
(1s)
(1 + 0,2 (15)) = 1,097,62 (positif)
Jadi populasi penduduk pada tahun 1995 jugabertambah
Untuk tahun 2005, nilai t = 25, maka:
gtl dt lt=zs
= 10.000
e-0,04(25)
-
2.000
e-0'04(25) (1.
+ 0,2(25))
=
-735,759(negatif.l
Jadi, populasi penduduk pada tahun 2005 berkurang. Kesimpulan kita pada poin b diperkuat oleh gambar 5.18. yang menampilkan grafik jumlah populasi P(t) pada saat t. Dari grafik, kita melihat bahwa jumlah populasi P(t) meningkat dari tahun 1980 hingga tahun 2000 (bersesuaian dengan t = 20) dan kemudian mengalami penurunan setelah tahun 2000. Plot[50000(7+0.2 0E^('0.04 Automaticl
tl,
{t,0,40}, Axeslabel-s{"t","P"}, Gridlines--+
Gambar 5.18
APLIKASI.2
C. LAJU PERUBAHAN TERKAIT WAKTU Kebanyakan fenomena perubahan di alam semesta ini terkait dengan waktu. Oleh karena itu, sekarang kita akan membahas tentang laju perubahan yang terkait dengan waktu. Dalam pembahasan ini kita akan melihat aplikasi menarik lainnya dari kalkulus diferensial. Untuk pembahasan ini, perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh L9: Udara dipompakan ke dalam balon berbentuk bola dengan laju 7 cm3 / menit. Tentukan laju pertambahan panjang jari-jarinya ketika diameter balon adalah 20 cm!
Penyelesaian:
Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah mengidentifikasi informasi yang terkandung di dalam soal ini dan menetapkan apa yang akan cari. Kita harus ingat bahwa volume V dan jari-jari r balon akan berubah dengan bertambah lamanya waktu pemompaan. Jadi, keduanya adalah fungsi waktu t. Dari soal, kita ketahui bahwa udara dipompakan ke dalam balon dengan lajuT cm3/menit. Ini merupakan informasi tentang laju pertambahan volume balon. Kita mengetahui bahwa laju pertambahan (laju perubahan) volume V dapat diartikan sebagai turunan V' (t), sehingga informasi ini dapat ditulis sebagai:
Y' (t) =7 Sekarang kita ingin menentukan laju perubahan jari-jarinya ketika diameter d = 20 cm. Sekali lagi, laju perubahan jari-jari adalah sama dengan turunan oariabel jarijari r terhadap waktu t. Jadi, masalah ini dapat ditulis sebagai:
/(t)=? ketika.=9=4=fi
22
Hingga di sini, kita telah memaparkan informasi-informasi yang terkanJ'-::: dalam soal dan kita telah menetapkan apa yang ingin dituju, yakni menentukan / : pada sebarang waktu t ketika r = L0 cm. Sekarang, masalahnya adalahbagaimana menghubungkan antara V dan r sebaga. fungsi waktu t agar kita dapat menggunakan data V, (t) = 7 untuk menetapkan nila: r' (t)? Kita dapat menggunakan rumus volume bola (karena balonnya berbenhrk bola): 4x
v(t)
lr(t)l'
J
Kita turunkan V(t):
V' (t) = 4nr2 r'(t) Substitusikan nilai
V' (t) = 7 danr
... (i)
= 10 ke dalam (i) diperoleh:
n_ 4n(10)2
r'(t)
... (ii)
Persamaan (ii) dapat ditulis menjadi:
r' (t) =
7
400n
cm/menit
Jadi, laju pertambahan jari-jarinya ketika diameter balon 20 cm adalah
menit.
7
400n
Kita menetapkan satuan cm/menit untuk laju perubahan ini karena mengingat:
r'
1t;
= 9r dt
Kita mengetahui bahwa satuan bagian pembilang 'dr' adalah cm dan satuar bagian penyebut'dt' adalah menit, sehingga satuan untuk turunan r, (t) menjadi cm menit. Ini adalah cara yang paling mudah dalam menetapkan satuan bagi sebuah turunan.
Contoh 20: Sebuah tangga yang panjangnya 7 meter disandarkan pada tembok vertikal. Kaki tanggayang mula-mula berada pada jarak 5 meter dari dasar tembok, kemudian didorong ke arah tembok dengan kecepatan
l
meter/detik, menyebabkan
ujung tangga yang menempel di tembok bergerak naik ke atas. Seberapa cepatkah ujung tangga bergerak naik 8 detik setelah didorong?
Penyelesaian:
Hal pertama yang perlu kita lakukan adalah membuat sketsa yang menggambarkan situasi masalahnya, seperti tampak pada gambar berikut.
v':?
{r:-{ Dari sketsa ini kita telah nyatakan bahwa:
. . o
x adalah jarak kaki tangga ke tembok;
y adalah tinggi ujung tangga dari dasar tembok;
x' (g =
-+3
adalah kecepatan bergesernya kaki tangga x (diberi tanda negatif
karena jarak x mengalami pengurangan). Sekarang kita ingin mencari laju ujung tangga yang bergerak ke arah atas tembok, yakni f .lngat, bahwa y' harus bertanda positif, karena nilai y bertambah. Sama seperti contoh sebelumnya, kita perlu membangun hubungan antara x dan y. Ini dapat dilakukan dengan dalil Phytagoras:
x' + Y' = (7)2 = 49 ... (i) Karena x dan y adalah fungsi yang terkait dengan waktu t, maka yang perlu dilakukan adalah mendiferensialkan masing-masing ruas persamaan (i) terhadap t. Hasilnya adalah:
2x.x' +2Y.Y'
=0
...(ii)
Persamaan (ii) memiliki dua besaran yang tidak diketahui nilainya dan kita harus menemukan nilai kedua besaran agar persamaan ini dapat diselesaikan. Kita perlu menentukan nilai x dan y. Kita mengetahui nilai awal x = 5 dan dan kaki tangga didorong ke arah tembok dengan laju x' (0 =
-+ meter/detik, dan kita ingin -')
mengetahui apa yang terjadi setelah 8 detik kemudian. Ini berarti bahwa:
*=5-+(8) =Zmeter JJ Untuk mendapatkan nilai y, -r---o-^---' dengan J'agunakan kembali dalil Phytagoras, ---'o*^'"* = Z,
sehingga:
3'
= 6,59966 =
6,6 '7
Setelah itu, masukkan nilai
y = 6,6 dan laju x,
J
=
I
-iJ
ke dalam persamaan
(ii) untuk memperoleh y':
zQl
e!) + 2(6,6).y' = s +
Jadi,
+12,2y, =O
14/
/
(t) =
#=o'117845meter/detik
Perhatikanbahwatanday'(12)adalahpositifkarenanilaiybertambah. Andaikan hasilnya negatif, maka ada yang salah dalam perhitungannya, sehingga kita harus mengulang kembali dari awal. Contoh 2L: Seorang pria tinggi 6 kaki berjalan lurus menjauhi iampu jalan yang tingginya 20 kaki dengan lajuT kaki/detik. Tentukanlah laju pertambahan panjang bayangan pria tersebut! Penyelesaian: Kita buat sketsa yang menggambarkan situasi tersebut.
Gambar 5.19
Di sini ada dua variabel yang berubah, yakni bayangan pria itu x, dan jarak pria itu y dari lampu jalan. Keduanya adalah variabel yang tergantung pada waktu t. Kita
memPunyai informasi bahwa pria itu bergerak lurus menjauhi lampu jalan dengan laiu
7 kaki per
,r*, 'dt( $.
detik.Ini berarti
!
= , . Kita harus mencari laju pertambahan bayangan,
Suturang lihat ,k"1t, di atas, perhatikan bahwa AABC dan ADEC adalah
sebangun, sehingga dapat dinyatakannya dalam bentuk kesamaan perbandingan:
x+y_x 206
,
..(i)
Persamaan (i) dapat ditulis menjadi: Y
=
]x "'(ii;
Sekarang, turunkan masing-masing suku persamaan (ii) terhadap t:
dy= 7dx ... (iii) dt 3dt Substitusikan nilai
dy =7 ke dalam (iii) sehingga diperoleh: dt
- 7dx
(kalikan dengan3/7)
Kita peroleh nilai laju bayangan dx/ dt = 3 kaki/detik. Jadi, jika pria itu berjalan lurus menjauhi lampu jalan dengan laju 7 kaki/detik, maka laju pertambahan bayangan pria tersebut adalah 3 kaki/detik.
APTIKASI-3
D. HAMPIRAN LINIER DENGAN MEMANFAATKAN
GARIS
SINGGUNG Pada bagian ini kita akan melihat aplikasi tak langsung dari turunan, yakni dengan memanfaatkan persamaan garis singgung sebagai alat untuk menghampiri (mengaproksimasi) fungsi. Tentu saja untukmendapatkanpersamaan garis singgung fungsi f(x), kita harus mengambil turunan fungsi itu terlebih dahulu.Itulah sebabnya mengapa kita mengatakannya sebagai aplikasi tak langsung dari turunan. Jika diberikan fungsi f(x), maka persamaan garis singgungnya, yakni L(x), di x = a adalah:
L(x) = f(a) + t (a) (x - a) ... (1)
titik
Secara geometri, masalah ini diilustrasikan oleh gambar 5.20. Gambar ini memperlihatkan grafik fungsi f(x) dan garis singgung L(x) di titik x = a.
(a, f(a))
Grafik f(x)
.".ixl3il?n'3nn.ru
di x = a
Dari grafik di atas, kita melihat bahwa pada titik-titik yang dekat dengan x = a (disekitar a), maka grafik f(x) akan hampir sama bentuknya dengan garis singgung L(x). Artinya, penggalan kurva f(x) di sekitar x = a akan menyerupai bentuk garis singgung L(x). Fakta ini memberi kita satu manfaat bahwa fungsi f(x) di sekitar x = a dapat dihampiri atau diaproksimasi oleh garis singgung L(x). Dalam kasus ini, garis singgung L(x) pada rumus (i) di katakan sebagai hampiran linier (linear approximation) bagi fungsi f(x) di x = a. Lalu apa manfaat rumus hampiran linier ini? Perhatikan contoh berikut! Contoh 22: Tentukan hampiran linier untuk fungsi f(x) = W hampiran linier untuk menghampiri nilai dari {8,07 dan VE.
A x = 8. Gunakan
Penyelesaian:
Untuk menentukan hampiran linier bagi fungsi
W ai x = 8, kita gunakan
rumus: L(x) = f(a) + f' (a) (x - a)
12
Disinif(x)= {v = 1i
e (8) = dan a=8 sehinggafl (x) = It f(8)=2 }*-'; Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus L(x), sehingga diperoleh rumus hampiran linier bagi fungsi f(x) = {>< di sekitar x = 8 adalah:
r14 L(x)=2+--(x-8)--x+12 12'
3
Jadi, hampiran liniernya adalah:
L(x)=lx +-4 t2
J
Sekarang kita akan menggunakan rumus
ini untuk menghampiri nilai
dar.w.
llW
Karena:
L(x)=
!^*! 123
maka: L(8,07)
=
I
4
-(8,07)+
L(25\ =
;J
= 2,00583 sedangkan
l,ru, * ;4 12 J
nilai aktual V8"07 =2,00582
=3,4L667 sedangkan nilai
aktual
W
=2,92402
Jadi, untuk nilai x yang cukup dekat dengan a = 8, yakni di x = 8,07 rumus hampiran L(x) bekerja sangat baik dalam menghampiri nilai aktual Sr? . Namun ketika x cukup jauh dari a = 8, yakni ketika x = 25 maka hampiran L(x) tidak begitu memuaskan untuk menghampiri nilai aktual dari W. Fakta ini menunjukkan bahwa hampiran linier bagi sebarang fungsi f(x) bekerja dengan baik hanya bila x cukup dekat dengan a.
Contoh 23: Tentukan hampiran linier bagi
?,19
Penyelesaian:
Di sini kita ambil f(x) =
-? ffi ' fl (x) = 11 J 3
dengan x = 9) sehingga f(8) = 2 dan
f'
(x) =
I
; pilih
a = 8 ( karena a = 8
cukup dekat
.Jadi,
12
L(x)=f(a)+f (a)(x-a)
L(x)=Z+!(x-8)= 1r*4 12' t2 3 Oleh karena itu, nilai hampiran L(x) untuk 1/9 adalah:
L(9)=1,r,* !=z,ogzgg
t2'3
sedangkan nilai aktual V9 = 2,08008. Hasil ini memperlihatkan rumus hampiran linier L(x) bekerja cukup memuaskan dalam menghampiri nilai fungsi (r) = W = W . Catat, bahwa metode hampiran linier bekerja dengan baik tergantung pada
bentuk/jenis fungsinya dan juga pada bagaimana kita memilih nilai
a.
Contoh 24: Tentukan nilai hampiran dari tan
460
Penyelesaian:
Ingat bahwa perhitungan sudut dalam kalkulus selalu dilakukan dalam satuan radian. Jadi, kita terlebih dahulu mengubah 460 ke dalam satuan radian. Catat, bahwa 460
=
4So+ 10
ambilfungsif(x)=1nnx --
* ( kita 4 Ll8o='+.Sekarang 90 danambil u=|,sehingga f (x)=sec2x dan f til=""r'I
bersesuaian dalam satuan radian sebagai --- --o--- I
2 danf(1) '4' = tanl 4
= 1. Jadi, hampiran linier L(x) bagi tan 460 adalah:
L(x)=f(a)+f (a)(x-a) 11. ..ft. ..11, L(x)=f(o)*r \+). (*-Z)
L(x) = 1+ 2(x-
7r.
-) 4'
Oleh karena itu, 23n L(460)
=L(
*
)=1
23n_ _) ft +2(_ 904
n
=1.+2. 180=t+!-90 3.t4t59?1 = 1 q 7-!l-' 11'1- = L,034906585 90
Tampak bahwa nilai hampiran L(460) = 1',034906585' Jika nilai hampiran ini kita bandingkan dengan nilai tan 460 = 1.,035530314 (yang dihitung dengan kalkuiator hingga 10 digit), maka hampiran yang diperoleh cukup memuaskan.
Dalam fisika optik, persamaan atau formula yang rumit sering kali diselesaikan dengan menggunakan hampiran iinier. Hampiran linier juga digunakan untuk menjelaskan gerak pendulum dan vibrasi (getaran) pada dawai/senar'
APTIKASI-4
E. MEMAHAMI MAKNA DIFERENSIAL dY Bagian ini akan kita fokuskan untuk membahas pengertian diferensial. Ini penting agar kita tidak tumpang tindih dalam memahami perbedaan (dan simbol yang digunakan) antara turunan dan diferensial. Sebagian mahasiswa, sering kali menyangka bahwa turunan sama artinya dengan diferensial. Seperti sebagian yang mengatakan bahwa dy / dx adalah diferensial. Jelas, ini adalah sebuah kekeliruan karena dy / dxadalah simbol turunan, di mana ia didefinisikan dalambentuk limit dan
memiliki beberapa penafsiran fisik seperti yang telah kita singgung pada pembahasan sebelumnya. Diferensial y ditulis dengan simbol dy, sedangkan diferensial x ditulis dengan simbol dx. Sebelum kita jelaskan lebih lanjut tentang pengertian diferensial dy, ada baiknya kita ingat kembali simbol Ay yang telah di gunakan untuk menerangkan "perubahan dalam y". Sebelum ini kita telah menggunakan simbol Ax dan Ay untuk menyatakan perubahan dalam x dan perubahan dalam y. Misalnya jika diberikan fungsi:
Y=f(x)=x2+3x Jika x berubah (bertambah) dari 4 ke 4,2 maka Lx = 4,2 - 4 = 0,2. Variabel tak y yang merupakan fungsi x mengalami perubahan akibat berubahnya nilai x dari 4ke 4,2
bebas
,r '..'
ketikax =4maka y =42 +3(4)=28 ketika x= 4,2 maka y = 4,22 + 3(4,2) = 30,24
Jadi, perubahan dalam y adalah sebesar Ly = 30,24 - 28 = 2,24. Simbol Ay menyatakanperubahan sebenarnya (aktual) dari y akibat berubahnya x. Kemudian, bagaimana hubungan antara diferensial dy dengan Ly? Jawabannya, Ay merupakanperubahan sebenarnya (aktual) dalam f , dania tidak mengandung galat atau kesalahan nilai, sedangkan dy merupakan alat untuk menghampiri perubahan sebenarnya dalam y. Jadi:
Ly =
dy
(kita baca: "nilai Ay dihampiri oleh dy").
Kita dapat membangun hubungan antara diferensial dy dan turunan dengan menggunakan fakta bahwa: dvJ dx
_LI
(x)
kalikan kedua ruas persamaan ini dengan dx diperoleh:
!
I
o'= r
l
(x)'dx
I
... (i)
..1
Rumus dy ini dapat digunakan untuk menghampiri perubahan sebenarnya Ay ketika x mengalami perubahan. Contoh 25: Mari kita gunakan kembali fungsi y = f(x) = x2 + 3x. Ketika x mengalami perubahan dari(ke 4,2 maka perubahan dalam x adalah Ax = dx = 0,2.Karertax= 4 dan f' (x) = 2x + 3 maka:
dy = f' (x).dx
dy = (2x + 3).(0,2) = (2.4 + 3)(0,2) = 2,2 Coba bandingkan nilai hampiran dy = 2,2 dengan nilai perubahan sebenarnya Ay
= 2,24.Ini adalah sebuah pendekatan yang cukup baik. Hampiran dy bagi Ay akan bekerja dengan baik jika perubahan Ax atau dx cukup kecil dan juga tergantung pada bentuk fungsi f(x) nya. Tetapi ketika dx besar, maka nilai hampiran dy akan meleset cukup jauh dari nilai Ay yang sebenarnya.
Contoh 26: Hitung dy dan Ay jika y = sin(x2 + 2) - 2x dengan x berubah dari 3 ke 2,97
Penyelesaian: Pertama kita hitung nilai Ay: Ay = sin(2,972 + 2) -2(2,97)
-
(sin(3'? + 2)
-
2(3)) = 0,075207
Kemudian, kita hitung hampiran dy. Manfaatkan fakta bahwa x = 3, dx = -0,03 dan f' (x) = Y' = 2x.cos(x2 + 2) -2. Jadi:
dy = f' (x).dx dy = (2x.cos(x2 + 2) -2)(-0,03) dy = (2.3. cos(32 + 2) - 2)(-0,03) = 0,0592034 Berapa besar kesalahan e hampiran dy ini? Kita hitung dengan mengambil mutlak selisih dy dan Ay sebagai berikut. e
= I dy-Ay I =
10,0592034-0,075207
nilai
I = 0,0160036
Jadi, kesalahan hampiran dy adalah 0,0160036. Sekilas kita tertipu karena nilai kesalahan hampiran ini cukup kecil. Tetapi benarkah demikian? Jika kita hitung nilai kesalahan e = 0,0160036 dalam bentuk persen, maka kita akan terkejut karena dalam kasus ini, dy bukanlah hampiran yang baik bagi Ay. Berapa nilai kesalahan e jika dihitung dalam persen? Inilah iawabannya: o/oe
= ldY-aYl .rc,% Ay
.100"/o = 21,,2794'/" - 0'0160036 0,075207
Ternyata, setelah kita lihat persentase kesalahan hampiran dy, walaupun dx cukup kecil, tetapi kesalahan hampiran dy sangat besar melampaui 20%. Mengapa? Kemungkinan karena pengaruh bentuk fungsinya, yakni Y = sin(x2 + 2) - 2x. Ini menunjukkan bahwa selain dx yang 'kecil', bentuk (definisi) fungsinya turut mempengaruhi baik atau buruknya sebuah hampiran dy'
iP..: 209 a
i,1-
iii::..:..,.,
Contoh 27: Sebuah bola diukur panjang jari-jarinya 50 inci dengan kemungkinan kekeliruan maksimum 0,01 inci pada kesalahan pengukuran jari-jarinya. Tentukan kemungkinan kesalahan maksimum pada taksiran volumenya jika menggunakan jari-jari itu sebagai penentu volume bola. Penyelesaian: Pertama kita ingat kembali rumus volume bola:
V(r) =
1nr'
J
Sekarang, dengan mengambil r = 50 dan Ar = dr = 0,01, kita hampiri AV dengan menggunakan diferensial volume dV. Ingat bahwa:
V,(r)= dV
*;aV=V,(r).dr
Karena
V' (r) = 4fi12 dan r = 50 dan dr = 0,01, maka nilai dV menjadi: dY = 4n 12 dr = 4n
(50)2 (0,01) = 314,159
inci3
Jadi kesalahan maksimum dalam taksiran volume adalah 314,159 inci3. Jika dilihat sekilas angka kesalahan taksiran volume dV ini sangat besar. Namun, jika kita bandingkan dengan ukuran volume bola yang sebenarnya yakni Y = 523.599 inci3 (dengan r = 50) maka perbandingan kesalahan dV = 3L4,159 inci3 terhadap volume Y = 523.599 inci3 adalah sebuah kesalahan yang relatif kecil. Hal ini bertolak belakang dengan kasus di contoh 26.Jika kita hitung persentase kesalahan dV dalam mengampiri nilai LY = 31.4,222maka hasilnya adalah: ouo
kesalahan dv =
xroo% -ltt+):q-l.]_+,zzzl x r00z = o,o2oo5o/o l'u,.lul 3t4,222 I AV I
I
I
sebuah persentase kesalahan yang sangat kecil. Hampiran muaskan.
dV = AV cukup me-
APTIKASI-5
F.
METODE NEWTON UNTUK PENCARIAN AKAR PERSAMAAN F(X) = g
Seringkali dalam kebanyakan perhitungan matematika, kita harus menentukan akar-akar dari suatu persamaan f(x) = O. ]ika persamaannya mudah seperti persamaan linier atau persamaan kuadrat, kita dapat menyelesaikannya dengan mudah melalui Proses faktorisasi atau dengan rumus abc. Namun, jika f(x) adalah polinom derajat
tiga atau lebih, atau jika f(x) merupakan fungsi transenden, maka kesulitan iaiam menemukan akar-akar persamaan f(x) = 0 akan tampak nyata. Sekarang, kita akan membahas sebuah metode yang ampuh untuk mencari
:r.:r-
akar persamaan f(x) = 0. Metode ini dinamakan metode Newton, karena meto,fe ri dikembangkan oleh Isaac Newton. Metode ini merupakan contoh lain dari ap.11}..;.i turunan, karena kita akan melihat turunan digunakan dalam metode ini. Misair.:: kita mempunyai sebuah persamaan f(x) = 0. Persamaan ini mempunyai sebuah aL.: x = r sebagaimana yang diilustrasikan oleh gambar 5.21.. Kita mulai dengan set u::tebakan a7.0al, xo, untuk menaksir akar sebenarnya x = r.
Gambar 5.21
Sekarang, kita mempunyai tebakan x, yang lebih baik (lebih dekat nilainya dengan
r). Untuk mendapatkan x1, kita tarik garis singgung kurva f(x) di titik xo, kemudian tarik garis singgung ini hingga memotong sumbu x di titik x,. Titik x, di mana garis singgung ini memotong sumbu-x, biasanya lebih dekat ke akar r yang sebenarnya. Kemudian, kita lanjutkan kembali dengan menarik garis singgung kedua bagi kurva f(x) di titik xr. Garis singgung f(x) di titik x, ini kita tarik hingga memotong sumbu-x di titik xr. Titik x, akan lebih dekat lokasinya ke akar r yang sebanarnya. Demikian proses ini kita ulangi berkali-kali (iterasi) hingga kita memperoieh akar hampiran x. yang semakin dekat ke akar r yang sebenarnya.
Mari kita lanjutkan dengan melihat bagaimana rumus metode Newton ini kita konstruksikan secara aljabar. Kita tahu bahwa kemiringan garis singgung kurva f(x) di titik xo pada saat tebakan awal xo adalah sama dengan fl (xo). Oleh karena itu, persamaan garis singgung di titik xo menjadi:
, - f(xo) = f, (xo).(x - xJ ... (i) Pada titik di mana garis singgung ini memotong sumbu-x, kita memiliki y = g dan x = x, sehingga (i) menjadi:
O
-
f(xo) =
f,
(xo).(x,
- xr)
... (ii)
Selesaikan untuk x, kita peroleh
#q
X = Xo..... (iii) f '(xo) Anggap bahwa f' (xo) + 0, proses untuk mendapatkan x, pada persamaan (iii) kita ulangi lagi sehingga diperoleh tebakan akar xr'
X2=X'-#d ' f'(xt) Secara ringkas, jika proses iterasi ini diulangi kembali, maka untuk rt = 0,1.,2, 3, ...kita berhasil mengkonstruksi rumus metode Newton untuk pencarian akar g Persamaan f(x) = sebagai berikut. l
Metode
I l
*:*t,.
I
l
..
^n+l-Ar--
'
f(x,,) f '(*r, )
dengan anggapan bahwa f '(xrr)+ 0
Contoh 28: Gunakan metode Newton untuk menaksir akar dari V23
.
Penyelesaian:
Untuk menggunakan metode Newton, kita perlu membentuk persamaan f(x) = I
11
di mana 235 menjadi salah satu akarnya. Karena 235 adalah akar dari xs = 23 atau x5 - 23 = 0, maka kita anggap fungsi f(x) nya adalah f(x) = xs - 23 = 0. Akar pangkat 5 dari persamaan ini tidak akan lebih dari 2 ( karena 25 = 32, melampaui 23). Oleh sebab itu, kita pilih tebakan awal kita adalah Xo = 2. Sekarang f'(x) = 5x4. Jadi dari dua data ini (xo = 2 dan f'(x) = 5x4), kita dapat membentuk metode Newton sebagai berikut: xn+1 = Xn-
Xn+l =
4x1n
+
5*l
*?^
- zl
s*X 23
....(i)
Dengan menetapkan tebakan awal xo = 2 (di sini n = 0), kita gunakan persanlaar: terakhir secara berulang (dengan iterasi), maka diperoleh nilai tebakan x,
Xl
axl +
=
23
-
s*6
4(2)s +.23 5(2)*
= 1,gg75
Kita peroleh tebakan xr = 1,8875. Ulangi kembali rumus (i) dengan mengambil tebakan x, sebagai dasar untuk memperoleh tebakan akar berikutnya x,. Jadi, unttrk xr = 1,8875 (di sini n = 1) kita peroleh x,
*,= - 6-i3-
4(l'8875)s + 23
5xi
5(1,887s)"
=r,872418793
Pertanyaannya adalah, sampai kapan proses ini terus berulang ? Salah satu jawabannya adalah hingga dua tebakan berturut-turut (x" dan x. *,) menghasilkan nilai yang hampir sama dan hingga nilai f(x") semakin kecil/dekat dengan nol. Tabel berikut ini menyajikan hasil perhitungan di atas hingga tebakan ke-5 (dengan n hingga 4). Metode Newton dengan Xn=2 n
x
f(x")
0
Z
I
1
1,8875
0,9571 30661
2
't,872418193
0,015173919
.J
1,872171296
0,000004020
4
1,872171231
0,000000027
Kita lihat untuk n = 3 dan 4, nilai tebakan ke-4 dan ke-5 (x, dan xn) hampir berdekatan dan nilai f(xr) dan f(xr) semakin kecil menuju nol. Jadi, tebakan ke-5 bagi soal ini adalah xs= 1,872171231. Untuk dengan tebakan awal xo, kita bebas memilih nilai/angka tertentu sebagai dasar tebakan awal. Namun, dalam keleluasaan memilih nilai tebakan awal, kita tetap harus secara rasional memilih angka yang dipandang cukup dekat dengan akar r yang sebenarnya. Sekarang, kita akan memberi sebuah tebakan awal xo = 10 bagi soal ini. Apa yang terjadi? Jika kita gunakan tebakan awal xo = 10 (sebagai pengganti tebakan awal xo = 2), kemudian melakukan proses perhitungan dengan persamaan (i)' Xn+l =
+"
JXn
maka hasilnya dapat dilihat pada tabel berikut.
Metode Newton dengan x
n
xo
= 10 xn
n
0
10
6
2,679422313
1
8,000460000
7
2,232784753
2
6,401419079 5,123931891
I I
1,971312452
3 4
4,105818871
10
1,872266333
5
3,300841811
11
1,872171240
1,881654220
Tabel ini menunjukkan bahwa tebakan awal xo = 10 yang terlalu jauh dari akar r yang sebenarnya akan menjadikan proses iterasi perhitungan berjalan lamban dan hasil yang baik baru dapat dicapai pada iterasi ke 11. Hasil ini, walaupun benar namun, jelas tidak efisien dibanding hasil yang diberikan dengan tebakan awal Xo= 2'
Contoh 29: Gunakan metode Newton untuk menentukan titik potong pertama dari fungsi y = sinx dan fungsi Y = e-' Penyelesaian:
Grafik kedua fungsi ini pada gambar 5.22 Plot[{Sinlx],E^-x},{x,-1,,8}I
Gambar 5.22
Dari gambar 5.22 kita lihat bahwa titik potong pertama kedua kurva ini terjadi disekitar x = 0,5 hingga x = 0,75. Pada titik potong ini, nilai x dan y kedua kurva adalah sama' Jadi: sin
x: e-x atau sin x - e-* = 0
Di sini kita anggap f(x) = 5in x - e-x = 0 dan Pilih tebakan awal gunakan metode Newton: f(x''t) Xn+l = '^n *^f'(xr.,)
xo = 0,5.
Kemudian
Turunan
f'
(x) adalah:
f'(x)=cosx+e-* Jadi,
Xn+l = Xn-
sinxr,
- e-Xn cosxn'+e ^.
Dengan tebakan awal xo = 0,5 kita lakukan Proses perhitungan seperti contoh sebelumnya. Hasilnya pada tabel berikut. Tebakan awal xo= 0,5 n
xn
0
0,5
1
0,585644
2
0,588s29
3
0,588533
4
0,58-8533
Untuk n = 4 kita peroleh tebakan xs = 0,588533. Jadi dengan metode Newton, titik potong kurva Y = sin x danY = e-x adalahx = 0,588533. Mencari Akar Persamaan f(x) = 0 dengan Mathematica Mathematica menyediakan fungsi built-in untuk menyelesaikan persoalan seperti ini. Perintahnya adalah dengan menggunakan fungsi built-in FindRoot sebagai berikut.
FindRoot[persamaan, {variabel tebakan, nilai tebakan}] Jadi untuk soal ini, dengan tebakan awal xo = 0,5 kita peroleh
FindRootlSinlxl
--
E^Gx), {x,0.5}l
{x-+0,588533} (ini adalah hasib:rya)
Contoh 30: Gunakan metode Newton untuk menentukan taksiran akar real dari Persamaan.
x3+x+1=0 Penyelesaian: Pertama kita harus menetapkan fungsi f(x) = g. Dari soal ini kita anggap:
f(x)=x3+x+1=0 Tujuan kita adalah menerapkan metode Newton untuk mencari taksiran salah
satu akar real darif(x) = aa + x + 1 = 0. Turunannya adalah f' (x) = 3x2 + 1. Kemudian kita tentukan tebakan awal. Berapakah nilai yang pantas bagi tebakan awal kita? Jika kita pilih Xo = 1 maka f(17 = 3, sebuah nilai yang jauh dari nol. Kita coba tebakan iain yang lebih dekat ke angka nol. Pilihan tebakan awal xo = -1 akan menghasilkan f(-1) = -1. Angka ini cukup dekat ke f(x) = 0. Jadi, tebakan awalnya adalah Xo = -1. Karena kita telah mendapatkan:
f(x) = a: + x + 1, dan
f'
(x) = 3x'+ 1, dan
Xo
= -1
maka:
x-
f(x) f '(x)
x3+x+1
=x-
3x2
Sekarang kita tambahkan indeks membentuk metode Newton:
r-]-
t
)(_rr3-
...
+l
... (i)
3x2 +1
n disetiap x pada persamaan (i), sehingga
J(*r') = 1'3; t (xn)
Xn-r = *n Jadi, untukn = 0, 1-,2,3,4, hingga (ii) menjadi:
2x3-l
3x"n
+
I I
...
rtl
danmengambiln = 0 diperoleh X. =
X0
= -1, se-
r
X,=T=#=_O,7=(gunakantebakanx,=-0,75untukmempero1eh ' 3xfi+l 3(-t)'+l x, dst). ")
"
Ar-
zx?-t I 1
3xf+1 zx1" L
-
t
3xj+t
2(-0,713
-
3(-0,75)2 +
1
= -0,6860465
1
2(-0,6860465)3
-
1
3(-0,6860465\2 + I
=-0,6823396
dan seterusnya. Jika kita cukup puas dengan tebakan hingga 2 angka di belakang koma, maka taksiran kita untuk akar persamaan di atas adalah x" = -0,68. Kita cukupkan iterasi hingga x, karena untuk dua angka dibelakang koma, nilai taksiran x, dan x, telah sama. Menggunakan Mathematica untuk Menyelesaikan Persamaan Persamaan x3 + x + 1 = 0 adalah polinom derajat tiga yang mempunyai tiga buah akar, baik real maupun imajiner. Kita dapat menggunakan perintah Solve untuk menyelesaikan persamaan f(x) = g(x). Sintaknya adalah:
Solvelf(x) = = g(x), xl//N
Jadi akar-akar persamaan x3 + x + 1 = 0 adalah: Solve[x3 + x + ]. = = 0, x]//N
{{x-+-0,6823281, {x-->0.341,1,64 -1,L61.54i1, lx-->O,341164 +1,t6l14il) lusinya!)
Dari hasil yang diberikan Mathematica, akar realnya hanya satu yakni x = -0,682328. Dua sisanya adalah akar-akar imajiner lx-+0.341L64 -l,r61s4i) dan lx-+0,3 477 64
+ 1.,1
615|r
APLIKASI.6
G. TURUNAN UNTUK MENENTUKAN NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI Jika diberikan sebuah fungsi f(x), ada beberapa pertanyaan mengenai nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x), di antaranya:
1.. Apakah f(x) mempunyai nilai maksimum?
2. 3.
Jika f(x) mempunyai nilai maksimum, berapakah nilai maksimumnya? Jika f(x) mempunyai nilai maksimum, di manakah nilai maksimum
itu terjadi?
Pertanyaan yang sama dapat kita ajukan mengenai nilai minimum f(x). Terkadang pertanyaan seputar niiai maksimum dan minimum fungsi f(x) dibatasi dalam interval tertentu, seperti berikut ini.
1.
apakah f(x) memiliki nilai maksimum atau minimum dalam interval tertutup [a, b] ? atau dalam interval terbuka (a,b)? atau dalam interval (0, +oo );
2.
jika f(x) memiliki nilai minimum dalam interval tertutup la, bl, berapakah nilainya;
3.
jika f(x) memiliki nilai minimum dalam interval [10, nilai minimum itu terjadi?
+oo
),pad.atitik x manakah
Contoh 31: Grafik fungsi f(x) pada gambar 5.23berada dalam selang terbuka (-1,7). Fungsi f(x) tidak memiliki nilai maksimum (karena kedua ujung selangnya adalah terbuka). Fungsi f(x) memiliki nilai minimum 2 dannilai minimum ini terjadi di x = 3.
Gambar 5.24
Contoh 32: Grafik fungsi f(x) pada gambar 5.24 memiliki nilai maksimum dan minimum dalam selang tertutup 14,101. Nilai maksimum f(x) =5te4adisaatx=4 dan x = 9, sedangkan nilai minimum f(x) = 1 terjadi dix = 7. nila maksimum
/ /
\ \
Gambar 5.24
Contoh 33: Grafik f(x) = 2x + 1 dalam selang (0, 3l memiliki nilai maksimum f(x) = 7 di x = 3 dan tidak memiliki nilai minimum, karena selangnya terbuka di bawah.
Gambar 5.25
l Contoh 34: Grafik fungsi f(x) = x3 - 12x dalam selang [-5, 5] diperlihatkan dalam gambar 5.26
Gambar 5.26
Nilai minimum dan maksimum terjadi dikedua ujung selangnya, x = -5 dan x = 5. Namun, di titik x = -2 dan x = 2, fttngsi f(x) juga berturut-turut mencapai nilai maksimum dan nilai minimum. Dalam kasus ini, terdapat dua nilai maksimum dan dua nilai minimum, yakni maksimum multak, maksimum relatif, dan minimum mutlak, minimum relatif.
S S
Di titik x = -5, fungsi f(x) mencapai nilai minimum mutlak
q3
Di titik x = 2, fungsi f(x) mencapai nilai minimum relatif Di titik x = 5, fungsi f(x) mencapai nilai maksimum mutlak
$
Di titik x= -2, fungsi f(x) mencapai nilai maksimum relatif
Pertanyaannya adalah apa beda antara maksimum mutlak dengan maksimum relatif? Perbedaannya sangat jelas. Misalkan c adalah sebuah titik di dalam domain fungsi f(x). Maka f(c) disebut nilai maksimum mutlak dari fungsi f(x) pada domainnya jika untuk semua x dalam domain tersebut berlaku f(c) > f(x). Sedangkan f(c) disebut nilai maksimum relatif dari fungsi f(x) jika dalam suatu selang terbuka x yang sempit yang memuat c berlaku f(c) < f(x). Pengertian yang sama berlaku untuk minimum mutlak dan minimum relatif.
Perhatikan gambar 5.27. Fungsi f(x) kontinu dan diferensiabel dalam selang tertutup [a, b]! Di titik x = c, fungsi f(x) mencapai nilai maksimum mutlak sementara di titik x = e dan g, fungsi f(x) mencapai nilai maksimum relatif. Di titik x = f, fungsi f(x) mencapai nllai minimum mutlak sedangkan di titik x = d, grafik f(x) mencapai nilai minimum relatif .
Gambar 5.27 Sketsa gratik f(x) dalam selang [a, b]
Selanjutnya, perhatikan garis singgung di titik di mana f(x) mencapai nilai maksimum dan minimum ( di x= c, d, e, f dan g). Garis singgung f(x) pada titik-titik tersebut semuanya horisontal. Gradien garis singgung pada titik-titik ini adalah: m
=f,(x) =0 Ini memiliki arti yang sangat penting, yakni bahwa pada kondisi disebarang titik b] di mana f' (x) = 0 sering kali1 dapat dijadikan sebagai petunjuk bahwa f(x) mencapai nilai maksimum atau minimum di titik xu tersebut. Dari sini, kita dapat memanfaatkan turunan untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum (mutlak maupun relatif) fungsi f(x) di dalam domainnya. Kita cukup menurunkan f(x) dan menyamakan turunarurya dengan nol. Persamaan turunan: f' (x) = 0 akan memberitahu kita di mana f(x) akan mencapai nilai maksimum dan minimum. Titik x = xk yang merupakan solusi darif (x) = 0 disebut titik ekstrim. Nilai maksimum atau nilai minimum fungsi f(x) terkadang disebut nilai ekstrim. X = Xk dalam interval [a,
Contoh 35: Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi fungsi f(x) = x2 - 5x + 6 dalam selang [1,5] dan tentukan titik ekstrimnya. Penyelesaian:
Nilai maksimum dan minimum dapat terjadi di titik ujung selang [1,5] dan di titik ekstrim di mana f' (x) = 0. Kita cari titik ekstrim dengan menyelesaikan persamaan
fl (x) = 0. Jadi,
f'
(x)
=
2x
-
5 = 0. Iadi x = 2,5
(titik ekstrim)
' Kita pilih kata 'seringkali', karena terkadang terdapat kasus tertentu di titik x: xu di mana fl (x) :0 tidak menyebabkan f(x) maksimum/minimum di titik x = x*. Ini disebabkan karena, salah satunya, x : xu adalah titik belok fangsi f(x).
Kemudian, kita uji nilai maksimum dan minimum f(x) = berikut:
o .
x2
-
5x +
6 di titik-titik
Titikujungselangx = l danx = 5 Titik ekstrim x = 2,5
untukx=Lmakaf(1)=2 untuk x = 5 maka f(5; = 6- maksimum untuk x=2,5 maka f(2,5) = -0,25-+minimum Kesimpulan: nilai maksimum f(x) = 6 terjadi di ujung selang x = 5 dan nilai minimumnya f(x) = -0,25 terjadi di titik ekstrim x = 2,5. Nilai maksimum dan minimum dapat diketahui langsung jika grafik f(x) diberikan. Untuk f(x) = 1z - 5x + 6 maka grafiknya seperti pada gambar 5.28.
3
Gambar 5.28
Tampak bahwa nilai maksimum mutlak terjadi diujung selang di x = 5 dan nilai minimum mutlak terjadi di titik ekstrim x = 2,5
Uji Turunan Kedua untuk Nilai Maksimum dan Minimum di Titik Ekstrim Seperti telah disebutkan bahwa titik ekstrim x = c sebagai solusi persamaan f' (x) = 0 adalah nilai ekstrim (maksimum atau minimum) fungsi f(x). Namun kita tidak mengetahui apakah titik ekstrim c menyebabkan f(x) menjadi maksimum atau minimum? Untuk memastikan apakah titik ekstrim x = c menyebabkan f(x) maksimum atau minimum, maka kita dapat memanfaatkan turunan kedua :
$'
jika c adalah titik ekstrim fungsi f(x) dan jika f "(c) < 0 maka c adalah titik ekstrim maksimum (f(x) maksimum);
S
jika c adalah titik ekstrim fungsi f(x) dan jika f "(c) > 0 maka minimum (f(x) minimum);
S
jika c adalah titik ekstrim fungsi f(x) dan jika f "(c) = 0 maka c adalah titik fungsi f(x).
c
adalah titik ekstrim belok
Contoh 35: Tentukan titik ekstrim maksimum dan ekstrim minimum fungsi:
(")
=+ - 3x2 +8x dalamselang 11,5,4,51
Penyelesaian:
Titik ekstrim diperoleh dengan menyelesaikan
f'
fl (x)= *2 -6*+8 = (x-2)(x -4)=0 x=2; x=4
(x) = 0. Jadi: 0
Diperoleh dua titik ekstrim x = 2 dan x = 4. Pertanyaannya, apakah f(x) mencapai nilai maksimum di x = 2 danmencapai nilai minimum di x = 4 atau sebaliknya? Kita tidak mengetahuinya hingga menguji turunan kedua f "(x) di masing-masing titik ekstrim ini.
f"(x) = 2x-
6
- 6 = -2 < 0 maka x = 2 adalahtitik ekstrimmaksimum fungsi f(x). Karena f "(4) = 2(4) - 6 = 2 > 0 maka x = 4 adalah titik ekstrim minimum fungsi f(x). Karena f"(2) =2(2)
Sekarang untuk memastikan apakah maksimumnya adalah mutlak atau relatif (demikian juga pada minimum), buatlah tabel nilai f(x) =
X".:-3x' + 8x unfuk hargaJ
harga x = 1,5,2,4, dan 4,5 (titik-titik ujung selang dan titik-titik ekstrim) sebagai berikut. x
1,5
2
4
4,5
f(x)
6.375
6.66667
5.33333
5.625
Dari tabel di atas, nilai maksimum mutlak f(x)= 6,65667 terladi di titik ekstrim x=2 dan nilai minimum mutlak f(x) = 5,33333 terjadi di titik ekstrim x = 4. Grafik fungsi f(x) seperti pada gambar 5.29.
--t
*{
2.5
3
Gambar 5.29
Contoh 37: Misalkan f(x) = x2 + px + q. Tentukan nilai p dan e, demikian sehingga f(1) = 3 adalah nilai ekstrim f(x) dalam selang [0, 2]. Kemudian tentukan apakah nilai ekstrim tersebut minimum atau maksimum. Penyelesaian:
Ada dua hal yang harus kita pertimbangkan:
: kedua : pertama
f(1) =3=12+p(1) +
q
+p
+ q=
2
...(1)
karena f(1) = 3 adalah nilai ekstrim f(x), maka x = 1 adalah titik ekstrim f(x). Ini berarti bahwa x = 1 merupakan penyelesaian dari f' (x) = 0. Jadi,
f'(x) =2x+p=g ...(2) Karena x = 1 merupakan solusi dari persamaan (2), maka kita dapat memasukkan x = 1 ke dalam persamaan (2) sehingga (2) menjadi:
2(1)+P=0
= P=-2
Kita telah memperoleh nilai p = -2. Kemudian masukkan p = -2ke dalam persamaan (
1).
P+q=2 sehingga: -2
* q= 2 = q= 4
Kita telah mendapatkan p = -2 dan g= 4. Selanjutnya, masukkan nilai p dan q ke dalam fungsi semula f(x) = x2 + px + q. Jadi, fungsi tersebut adalah f(x) = x2 -2x + 4. Untuk mengetahui apakah nilai ekstrim f(1) = 3 adalah minimum atau maksimum, kita harus melakukan uji turunan kedua di x = 1 dengan ketentuan sebagai berikut.
o o
Jika f "(1) < 0 maka f(1) adalah nilai maksimum Jika f "(1) > 0 maka f(1) adalah nilai minimum
Karena f' (x) = 2x-2 dan f "(x) = 2 dan f "(l) = 2 > 0 maka kita simpulkanbahwa f(1) = 3 adalah nilai minimum. Grafik f(x) = x2 -2x + 4 ditampilkan oleh gambar 5.30 100
v 11
10
nilai mtntmum mutlak I
\
3b
\i -t
\ 1
Gambar 5.30
APLIKASI.T
H. APLIKASI TURUNAN PADA MASALAH OPTIMISASI Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan pada situasi memilih strategi/keputusan yang akan menghasilkan nilai maksimum atau minimum dari variabel keputusanyangkita tetapkan. Misalnya menetapkan strategiuntukmencapai keuntungan terbesar, menetapkan strategi untuk mengeluarkan biaya terkecil, atau rute perjalanan terpendek, atau mendisain bahan dengan ukuran maksimum tetapi dengan pemakaian material yang sesedikit mungkin dan sebagainya. Ini adalah beberapa contoh kecil dari begitu banyak kasus pada masalah optimisasi. Ini semua kita sebut sebagai masalah optimisasi. Pembahasan kita dalam masalah optimisasi tidak membahas masalah optimisasi dalam cabang ilmu operation research (linear programming, nonlinear programming, integer programming atau optinisasi kombinatorika) tetapi hanya membahas masalah optimisasi yang melibatkan kalkulus diferensial. Sebagai dasar pemikiran mengapa turunan dapat diaplikasikan pada masalah optimisasi fungsi Y = f(x), perhatikan grafik fungsi f(x) pada gambar 5.31.
m=0
Gambar 5.31 Sketsa grafik l(x) dalam selang [a, b]
Jika y = f(x) adalah fungsi kontinu dan diferensiabel dalam interval [a, b] maka f(x) pasti memiliki nilai maksimum dan minimum (mutlak maupun relatif) dalam interval [a, b]. Di titik x = Cr e dan g, fungsi f(x) memiliki nilai maksimum (secara khusus maksimum mutlak di x = c dan maksimum relatif di x = e dan g). Sementara di titik x = d, grafik f(x) memiliki nilai minimum relatif dan nilai minimum mutlak tqrjadi di x = f. Garis singgung di mana f(x) mencapai nilai maksimum dan minimum (relatif mauPun mutlak, kecuali dikedua titik ujung selangnya) adalah garis horisontal yang gradiennya adalah m = f' (x) = dy/dx = 0. Jadi, kondisi disebarang titik x = xr dalam interval [a, b] di mana f, (x) = 0 seringkali dapat dijadikan sebagai petunjuk bahwa f(x) mencapai nilai maksimum atau minimum di titik xo tersebut. Inilah ide dasar mengaPa turunan dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah optimisasi. Untuk memahaminya, kita berikan beberapa contoh.
Contoh 38: Tentukan dua buah bilangan bulat tak-negatif yang jumlahnya 30 dan hasil kali keduanya sebesar mungkin. Penyelesaian: Pada soal ini kita harus menentukan dua buah bilangan bulat tak-negatif yang jumlah keduanya adalah 30 dan hasil kali mereka sebesar mungkin. Ini adalah masalah optimisasi maksimum. Kedua bilangan tersebut pasti berada dalam interval [0,30]. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita misalkan kedua bilangan itu adalah x dan y. Karena:
x*y=30...(i) dan P = x.y... (ii)
Tujuan kita adalah memaksimumkan nilai P yang merupakan hasil kali x dan y. Di sini P merupakan fungsi 2 variabelx dan f , atauP = f(x, y). Nyatakan P sebagai fungsi L variabel saja (dalam x atau y saja) dengan memanfaatkan persamaan (i), di
manaY=30-x.Jadi: P(x, y)
-
P(x)
= x (30
x.y
- x) = 30x - x2 di mana x dalam interval [0,30]
Nilai optimum P(x) terjadi jika P' (x) = O. Karena:
P'(x)=30-2x=0 maka x = 15, sehingga y = 30 - x = 15. Jadi, agar hasil kali kedua bilangan tersebut adalah sebesar mungkin dengan syarat jumlah keduanya harus 30, maka kedua bilangan tersebut haruslah sama, yakni x = y = 15.
Contoh 39: Sebuah kawat lurus yang panjangnya 80 cm ditekuk (dibengkokkan) siku-siku hingga membentuk huruf L. Tentukan pada jarak berapa dari salah satu ujungnya kawat itu ditekuk agar diperoleh jarak terpendek antara kedua ujung kawat itu. Penyelesaian:
Misalkan ujung-ujung kawat kita beri simbol A dan B, seperti gambar berikut.
80-x Misalkan x menyatakan jarak titik tekuk dari ujung A, maka jarak titik tekuk ke ujung B adalah 80 - x. Jarak ujung A dan B dihitung dengan dalil Phytagoras. Jika L menyatakan jarak A ke B, maka L adalah fungsi x di mana: L(x) =
(80
-x)1
L(x) = (2*2 -160x+3600),
I Tugas kita adalah menentukan nilai x yang akan meminimumkan panjang L(x). Dengan memanfaatkan turunan U (x)=0kitaperoleh:
L'(x):
2x-80
-0
I
(z*' *too*+:ooo)z ini bernilai nol jika suku pembilangnya nol, sementara suku penyebut tak perlu dihiraukan (karena tidak menjadi penentu yang menjadikan pecahan ini Pecahan
bernilai nol). Jadi:
2x-80=0 = x=40cm Kesimpulan: Agar diperoleh jarak terpendek antara ujung A dan B, maka kawat itu harus ditekuk pada jarak 40 cm dari ujung A. Contoh 40 : Sebuah kawat lurus yang panjangnya 30 inci dipotong menjadi dua bagian. Potongan bagian pertama dibengkokkan menjadi bujur sangkar dan potongan bagian kedua menjadi lingkaran. Tentukan di mana kawat harus dipotong agar jumlah luas area yang dibatasi oleh kedua potongan itu sekecil mungkin. Penyelesaian:
Untuk memahami masalah ini, kita gambarkan situasinya ke dalam
sketsa
berikut.
x
I
,/an
30-x
,'.'.'..}
1 titik potong
Gambar 5.32
bujur sangkar = x / 4 dan luas bujur sangkar = x2 / 16 Keliling lingkaran = 30 - x. Jika d adalah diameter lingkaran, dan keliling lingkaran = fid, maka: Sisi
30-x d- _
sehingga luas lingka
,un=
f = +t30-x)2 *4 =:(30:" 4n\ 4[ n .) /
l
Jika A = luas area bujur sangkar + luas area lingkaran, maka:
A(x)
*2 L1:o-*)2 di mana o < x < 30 ... (i) = te * +n\ ,
Agar luas A(x) minimum, maka turunkan
A,
(x)= x - !(:O-*) 82rc\/
A' (x) = 0. Jadi:
=O
xx15 - -u 82xn (1 , I \I _ ls --t xt f 2x) \8 (x+4 \ -.tt-
n
ts
(8n )
r 15.tt_(n+4 \
n \8ru
)
120
x+4
x = 16,803 inci.
Kesimpulan.' untuk memperoleh jumlah luas bujur sangkar dan lingkaran terkecil (minimum), maka kawat harus dipotong pada jarak x = 16,803 inci dari salah satu ujungnya. Substitusi nilai x = 16,803 ke dalam fungsi jumlah luas pada (i) akan menghasilkan nilai A(x) sebagai berikut. A(16,803) =
O*
.
|t30-16,803)2
= 31,5056 inci2
Gambar 5.33 menampilkan grafik fungsi luas A(x) terhadap x PlotIf Ix],{x,0,30},Frame-+True,GridLines-+Automaticl
10
15
20
Gambar 5.33
30
____!i
Contoh 41: Sebuah perusahaan farmasi memproduksi penisilin dalam bentuk cairan. Penisilin itu dijual dengan harga $ 200 perunit. Jika biaya produksi untuk x unit penisilin dinyatakan oleh persamaan: C(x) = 500.000 + 80x + 0,003x2 dan jika kapasitas produksi harian (paling banyak) adalah 30.000 unit perhari, berapa
unit penisilin harus diproduksi perhari agar diperoleh keutungan yang maksimal? Penyelesaian: Jika O(x) menyatakan omset penjualan untuk x unit per hari, dan K(x) menyatakan
keuntungan dari x unit penilisin yang terjual, maka: O(x) = 200x dan K(x) = O(x)
-
C(x)
Sehingga keuntungan K(x) adalah:
K(x) = 200x - (500.000 + 80x + 0,003x2)
K(x) = 200x-
500.000
-
80x
-
0,003x2
Karena kapasitas produksi maksimum adalah 30.000 unit, maka x harus berada dalam interval [0, 30.000]. Keuntungan maksimum K(x) dapat diperoleh dengan menyelesaikan K' (x) = 0. Jadi:
K' (x) = 200 -
80
-
0,006x = 0
120-0,006x=0 x = 20.000 Karena titik kritis terletak dalam interval [0,30.000], maka keuntungan maksimum akan terletak pada salah satu dari titik-titik berikut.
x=0 atau x=20.000
atau x=30.000
Substitusikan nilai-nilai x ini ke daiam persamaan keuntungan K(x):
K(x) =
200x
-500.000-80x-
0,003x2
diperoleh: K(0) = -500.000,
K(20.000) = 700.000,
K(30.000) = 400.000
maka keutungan maksimum terjadi di x = 20.000 unit dengan nilai keuntungan $700.000. Artinya, perusahaan itu harus memproduksi sebanyak 20.000 unit penisilin per hari agar diperoleh keuntungan maksimum.
APTIKASI-8
I.
APLIKASI TURUNAN PADA ATURAN THOPITAL
ini kita akan membahas tentang sebuah aturan untuk menentukan limit suatu fungsi. Aturan ini digunakan dengan sukses untuk menentukan limit fungsi yang substitusi langsung x = a ke dalam fungsi itu akan menghasilkan bentuk Pada bagian
tak-tentu (indeterminate form) seperti berikut.
f
*2-16
'T) x-4
ar" a. ctan
Subugui misal, perhatikan dua
limit
.. 4x2-5x
i*f -p
- Substitusi langsung x = 4 pada limit pertama menghasilkan bentuk tak tentu aurl yang kedua menghasilkan a. Guillaume Francois Antoine De L'Hopital I0'aoc
(matematikawan) Prancis 1,661,-1704) memperkenalkan sebuah aturan untuk menyelesaikan masalah seperti ini. Aturan ini kemudian dinamakan aturan L'hopital. Dalam aturannya, L'hopital memanfaatkan turunan. Secara ringkas, aturan L'hopital menyatakan jika kita memiliki limit berbentuk:
" f(x)= o l* tfrl a
utuu
li* f(*) = t* x-+a g(x) +co
dengan a adalah sebarang bilangan real ataupun *oo, maka berlaku:
ti,,' f(*) = 1*
x-+a
g(x)
f '(x)
x-+a g'(x)
Intinya, aturan L'hopital mengatakan jika kita memiliki limit fungsi yang dengan -r'- --substitusi langsung, menghasilkan bentuk tak tentu ! ut.-,, * -maka yang perlu
-,
0
dilakukan hanyalah menurunkan suku pembilang dan menurunkan suku penyebut secara terpisah (tidak menggunakan teorema aturan pembagian) dan kemudian mengambil limitnya. Perhatikan contoh berikut! Contoh 42: Hitung limit a.
d.
*2 _ 16 ,. llm _ x-+4 x-4
b.
.. llm
e. lim
4x2
x-+co I
-
sx o
- 3x'
lim x-+1
- 4x2 -l l0-x-9x3
5x4
c.
.. _slnx x+0 x Irm
e* ) x-)oo x-
\
Penyelesaian:
a.
Substitusi langsung x = 4 menghasilkan bentuk tak tentu L'hopital, turunkan pembilang dan penyebut:
*2x-->4 ''"'
b.
16
x-4
= 1im
x-+4
2x
1 -2()I -r
Turunkan pembilang dan penyebut:
Iim
x-+l
- 4x2 -l = lim x-+l l0-x-9x3
5x4
x
20x3 - 8x -1-n7
x
,. ,. cos c. Ilm_=Ilm_=_=I x-+0xx-->0 1 sin
d.
0/0. Gunakan aturan
2o(l)3
-r
-
8(1)
t2
- 27$)2
28
cos 0
I
Substitusi langsung x = oo menghasilkan oo / oo . Gunakan aturan L'hopital, turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah lalu ambil limitnya. 4-*' 8* 5 h= ?' - . Namun limit ini masih menghasilkan bentuk *. x-+)c I - ^3x' x-rco -6x Ini tidak masalah, terapkan kembali aturan L'hopital pada , turunkan bagian
ri-
pembilang dan bagian penyebut menjadi
fim ]
x-)co -
=
-8/6.
Ringkasnya adalah:
O
,'rr",4xj-5x = lim 8x-5 = lim 8 =-g/6 x-+x x-+co x-+c. | - 3xt
-6
-6x
Dari soal d, proses aturan L'hopital boleh diulangi lebih dari sekali sampai dihasilkan jawaban yang bukan bentuk tak tentu.
e.
Bagian
ini
sama saja dengan soal d, kita menerapkan aturan L'hopital dari
sekali. 6x lm l'=
X-))o X-
hm X-+:C
e* 2x
lim x-+oo
e*e-oo 222 -=-=-
=OO
i
\
APLIKASl.9
J.
EKSPANSI F'UNGSI KE DERET MACTAURIN Aplikasi lain dari turunan adalah pada ekspansi (pengembangan) fungsi ke
dalam deret pangkat. Secara khusus, deret pangkat yang akan kita bahas adalah deret Maclaurin. Kita menggunakan banfuan turunan untuk dapat mengeksapansikan fungsi f(x) ke dalam deret pangkat dengan menggunakan deret Maclaurin.
]ika sebuah fungsi f(x) kontinu di x = 0 dan semua turunannya hingga ordo ke-n juga ada (terdefinisi) di x = 0, maka fungsi f(x) pasti dapat diekspansikan ke dalam deret Maclaurin. Deret Maclaurin: f(x) '\"/
"(0)x2
xn = f(0)+f' - ,(0)x+f I r(n)to) = /_t^ ,",'- ' n! 21 n=u
+
f
"'(0)x3+f ""(0)x4+...
31
4l
i)
... (\ r
,f
Syarat Agar Fungsi f(x) Dapat Diekspansikan ke Dalam Deret Maclaurin
Dari rumus di atas, ada dua syarat agar sebuah fungsi f(x) dapat diekspansikan ke dalam deret Maclaurin:
1. 2.
f(x) adalah fungsi yang kontinu di x = 0 nilai-nilai f '(0), f (0), f u'(0),.... ada (terdefinisi)
Langkah-langkah Ekspansi Fungsi ke Dalam Deret
Macaurin: -
Untuk memudahkan ekspansi fungsi ke dalam deret Maclaurin, ikuti langkahlangkah berikut.
Pertama : Tentukannilai-nilai f(x), f '(x), f "(x), f "'(x),.... Kedua :Masukkan x = 0 ke dalam f(x),f'(x),f"(x),f"'(*),...., sehingga diperoleh nilai:
f(0), f (o), f '(o), f ''(o),....
Ketiga
: Masukkan nilai-nilai f(0), f '(0), f '(0), f u'(0),....ke dalam rumus deret Maclaurin di atas.
Contoh 42: Uraikan fungsi f(x) = sin x ke daiam deret Maclaurin. Penyelesaian:
Kita akan menyelesaikannya dengan langkah-langkah di atas. Langkah satu dan langkah dua dilakukan sekaligus sebagai berikut. Langkah 1:
Langkah
f(x) =sinx -) f '(x) = cos x -) f "(r) -+ x -sin = f "'(x) = -cos x -+ -+ f ""(x) = sin x -+ ltsl (x) = cos x -+ f
f(0) - 0 f '(o) -
2:
1.
f"(0;
"'(0) f""(0) f6) (0) f(6) (0) f(7) (0) f
=
g
- -L =I =1 =0 = _1
Langkah 3: Masukkan nilai-nilai f(0), f '(0), f "(0), f "'(0),.... ke dalam rumus deret Maclaurin: f(x)
= i 41E n!
xn
-^
(,0)*:*f""(0)*o*... * f' = f(0)+f'(0)x+!--(0).*, 2! 3! 41.
n=U
f(x)=sinx =0+t.*+
f(x)=sinx=x
* lr'* 9*o * lrs* 9*u * ]*'*... l*2 2! 3! 4! 7t 5! 6l
-{.3! f5! 7l4.
Ini adalah hasil ekspansi sin x ke dalam deret Maclaurin. Contoh 43: Uraikan fungsi f(x) = g. ke dalam deret Maclaurin! Penyelesaian:
Lakukan langkah-langkah seperti pada contoh 42! Langkah 1:
f(x) = f '(x) = f "(x) = f "'(x) = f ""(x) -
Langkah 2: e'
-+
e^
-)
e*
-+
e^
-+
e'
-+
(0) f(0) f\0) f*(0) f "(0)
Langkah 3:
-1 -
1 1 1 1
Kemudian, masukkan semua nilai-nilai f(0), f '(0), f "(0) yang telah kita peroleh ke dalam rumus deret Maclaurin! f(x)
*f = I':)"'r" i 41U x. == f(0)+f ,10;x+li(0),*, 2l
'-!0) 3!
*: *
f "'l(0)
4!
r+ *...
Hasilnya:
f(x)=s. =1+1.x
* *1' * i*'
* L*o *....
Jadi e' = 1 + 1.x
+ 2!-L*' *lr' 3!
*
l*o 4t
*
....
Untuk fungsi f(x) = s6s x maka ekspansi deret pangkatnya adalah @uktikan sendiri).
)t68
f(x)=6ss1=1 -5* I- :*:-..... 21 4! 61 8! Sejauh ini kita telah mencoba menguraikan tiga fungsi ke dalam deret Maclaurin,
yakni:
sinx:x CoSX=1
e*
x_+ 3!
\1 x-x 5!
_-_J
7t
x')
*4
2!
4t 6!
,6
lrlrld + =1+x + -x' 2! -x3!
f--
+
*8 8!
-x' 4l
+....
Sekarang, bagaimana dengan fungsi f(x) = ln x? Apakah fungsi ini dapat diekspansikan ke dalam deret Maclaurin? Jawabnya, tidak! karena f(0) = ln 0 = tak terdefinisi, dan demikian juga dengan f (0), f '(0), f '(0), f ''(0),....di mana semuanya tak terdefinisi di x = 0. Menggunakan Cara Substitusi untuk Mendapatkan Deret Lain yang Mirip dengan Ketiga Deret di Atas Perhatikan contoh berikut!
Contoh 44: Uraikan f(x) = sin 2x ke dalam deret Maclaurin dengan cara substitusi! Penyelesaian:
Kita telah mempunyai deret dasar untuk sin x sebagai berikut.
.x3t5*7 --+ slnx:x Dengan memanfaatkan deret dasar sin hingga:
sin2x= 2x
- Qi3 *
3!
5l- 7l*... x di
atas, kita ganti
(2x)5
- ('*)' *
5!
7l
x dengan 2x, se-
...
srnZx==2x 8x3+ 32xs 128x7 5! 7l 3! ---+.'.. Contoh 45: Uraikan f(x) = .*' k" dalam deret Maclaurin dengan cara substitusi.
Penyelesaian:
Kita gunakan deret dasar e'=
x
1+
12 13 la -x-+-x"+-x 21 3! 4!
+
Sehingga:
f(x)=sx'=1+x2
* *"0 **ru *i"t
Contoh 45: Gunakan lima suku pertama deret Maclaurin cos r untuk menghampiri nilai cos 620 Penyelesaian:
Lima suku pertama cos
x
adalah:
cosx=I --**2
*4 - *6 * T 6!
,8 g!
Kita akan menghitung nilai hampiran cos 620 dengan memanfaatkan lima suku deret cos x di atas. Ubah dahulu x = 620 ke dalam radian. Setelah itu, masukkan ke dalam deret cos r di atas. x = 620 =
62
lg0'
radian = L,082L radian.
Jadi: (1,0821)2 cos620=1 _ 2t
+
(1,0821)4 4!
Kesimpulan: Nilai hampiran bagi cos
-
620
(1,0821)6
+
(1,0821)8
=0.469476
hingga lima suku adalah 0,469476
Latihan Bab 5
1.
Tentukanlah persamaan garis yang menyinggung kurva Y = 3xa - \6x3 - 18x2 di titik P(2, -8)!
2.
Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x2tz (5 - x) di titik (5 ,0)!
J.
Tentukan satu titik dalam selang [2 , 6) di mana gradien garis singgung kurva - _1L
y= ' #x"+3 bernilainol!
Berikut ini adalah grafik fungsi y = sin 3x + x. cos 2x dalam selang [0 ,2nl
Dari grafik di atas, berapa kali gradien garis singgung kurva ini bemilai nol? titik-titik x yang menyebabkan gradien garis singgung kurva
Secara kasar, tentukan
ini bernilai nol!
5.
Udara dipompakan ke dalam balon berbentuk bola dengan laju 12 cm3/menit. Tentukan laju pertambahan panjang jari jarinya ketika diameter balon adalah 30 cm!
6.
Sebuah tangga yang panjangnya 8 meter disandarkan pada tembok vertikal. Kaki tangga yang mula-mula berada p
adajarakll
'4
meter dari dasar tembok, kemudian
didorong ke arah tembok dengan kecepatan meter/detik, menyebabkan ujung tangga yang menempel di tembok bergerak naik ke atas. Seberapa cepatkah ujung tangga bergerak naik 4 detik setelah didorong?
7.
Pertimbangkan sebuah bola dengan jari-jari 10 cm
a.
Hitung besar perubahan volumenya blla jari-jarinya bertambah menjadi
10,1
cm!
b. 8.
Berapa besar perubahan rata-rata volumenya bila jari-jarinya bertambah dari L0 cm ke 10,2 cm?
Jumlah populasi penduduk suatu kota x bulan dari sekarang dapat dipredisi dengan persamaan!
P(x)=x2+10x+5.000 a.
Tentukan laju pertumbuhan penduduk 10 bulan dari sekarang!
b.
Tentukan pertumbuhan rata-rata jumlah penduduk selama 10 bulan dari sekarang!
c.
Tentukan banyaknya pertumbuhan penduduk antara bulan ke 10 hingga bulan ke 15
9.
Misalkan bahwa volume air (dalam iiter) yang berada di dalam tangki setelah t menit dinyatakan oleh:
V(t)=t2-10t+35 Jawablah pertanyaan ini!
a.
Gambarkan sketsa kurva yang menyatakan hubungan volume air V dengan
waktu t!
b. c.
Berapa volume mula-mula air dalam tangki tersebut?
Apakah volume air dalam tangki bertambah atau berkurang pada saat t = 2, 4, dan 6 menit?
d.
Kapan air dalam tangki itu berada dalam volume terendah dan berapa volume air pada saat itu?
e.
Pada menit ke berapakah volume air akan kembali seperti volumenya semula? Kemudian, setelah berapa menitkah volume air akan melebihi volume mulamula?
10. Tentukan nilai maksimum lokal dan minimum lokal dari fungsi: f(x) =x3-3x2
+2x+2 ;
[-1.,31
11. Tentukan nilai ekstrim lokal untuk masing-masing fungsi berikut.
a. f(x)=(x+2)/(x-6) b. f(x) =1 + \/x c. f(x) = x3 (1 + x) d. f(x)=1/(1,+x2) e. f(x) = cos 2x = 2 cos x untuk 0 3x<2n 12. Misalkan jumlah A(t) radioaktif yang tersisa pada suatu unsur kimia tertentu setelah waktu t (bulan) dinyatakan oleh model eksponensial negatif:
A(t) = 200.e-0'4t (dalam satuan gram) Tentukanlah besarnya laju perubahan jumlah radioaktif unsur tersebut ketika:
a. t=2 b. t=5
c.
Apakah unsur itu meluruh (berkurang) lebih lambat atau lebih cepat dengan bertambahnya waktu ?
13. Seorang pria dengan tinggi 5 kaki berjalan lurus menjauhi lampu jalan yang tingginya 18 kaki dengan laju 5 kaki/detik. Tentukanlah laju pertambahan panjang bayangan pria tersebut!
1.4.
15.
Tentukan hampiran linier untuk fungsi f(x) = linier untuk menghampiri nilai dari +[16,06 | Tentukan hampiran linier bagi V28
16. Hitung dy dan Ay jika y = cos(x2
fi
ai x =
Gunakan hampiran
16.
!
+2x) -4x dengan xberubah dari 5 ke 5,1!
bola diukur panjang jari-jarinya 40 inci dengan kemungkinan kekeliruan maksimum 0,03 inci pada kesalahan pengukuran jari-jarinya. Tentukan kemungkinan kesalahan maksimum pada taksiran volumenya jika menggunakan jari-iari itu sebagai penentu volume bola.
17. Sebuah
18.
Gunakan metode Newton untuk menaksir akar dati
19. Gunakan metode Newton untuk menentukan
W
I
titik potong pertama dari fungsi
y = cos x dan fungsi y = e-* ! 20. Gunakan hampiran linier untuk mengestimasi nilai dari b. ln 1,3 a. tan 3Lo Untuk masing-masing kasus, bandingkan jawaban Anda dengan hasil yang diberikan oleh kalkulator 21. Hitung soal limit berikut ini dengan menggunakan aturan L'hospital!
a. lrm
b. li* ttt* x
d. ,'- 1-cosx x-+0 x
e.
..
sin4x x-+0 sinTx
x-+0
lim
x-+0
xlnx
c.
.,X hm--
x-+0 t.
.. llm
tan 4x
x-+o tan11x
Gunakan cara substitusi untuk menguraikan fungsi f(x) Maclaurin! 23. Carilah nilai x yang memenuhi Persamaan berikut'
22.
sinx
2
-= ex ke dalam deret
cosx-2x=x2+1 petunjuk: uraikan terlebih dahulu suku cos x ke dalam deret Maclaurin hingga2 suku pertama saja! nilai cos 24. Gunakan lima suku pertama deret Maclaurin cos x untuk menghampiri 6101.
25. Gunakan lima suku pertama deret Maclaurin e'untuk menghampiri nilai
e3!
Daftar Pustaka
Bittinger, Morel., App
lie
d Cal culu s, 199 4, Addison Wesley
Dass, H.K., Engineering Mathematics, 2002, S.Chand and Company
Dawkins,
P
., Calculus
L, http: / / tutorial.math.lamar.edu
Edwards., Penney., Calcultrs toith Analytic Geometry,Str'ed., Prentice Hall Inc. Hughes, D., Hallet., Gleason et al., Cctlculus,JohnWiley and Sons.
Hoffman., Bradley., Cnlculus for business, economics and the social and life sciences, 5thed, 1992., McGraw Hill
Ilmu Pengetahuan Populer, )ilid 2, Grolier International Inc, Diedarkan oleh
PT.
Widyadara. Lial., Hungerford., Miller., Mathematics zuith Applications, Harper Collins
Razali,M., Cara Mudalt Menyelesaikan Matematika dengan Mathematica,2007., Penerbit Andi Jogjakarta Stewart, 1., Kalkulus.
jilid
1, edisi 4, Penerbit Erlangga, 2008.
; +
I
Glosarium
I
Biaya marjinal: biaya untuk memproduksi secara tambahan satu satuan barang.
a
Bilangan rasional: bilangan yang dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua buah bilangan bulat seperti0,66666... = 2/3 ; 7,2 = 12/1,0 ; -0,8 = -8/10 = 4/ -5 ; 12 =
24/2= 36/3
Bilangan irasional: kebalikan dari bilangan rasional yaitu bilangan pecahan yang tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua buah bilangan bulat seperti
Ji
= 1,414213562...;log12 = 7,0791812...; e =2,718281828... ; sin 210 = 0,358368... Bilangan real: disebut juga bilangan nyata yakni bilangan yang kita gunakan sehari-hari untuk menghitung (menghasilkan bilangan bulat) maupun mengukur (menghasilkan bilangan bulat maupun pecahan desimal). Bilangan real meliputi semua anggota bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan irasional.
Bilangan ktpyal: disebut juga bilangan imajiner, yakni bilangan yang satuannya adalah i = J- t seperti : 2i ; -3i ;204i ; 0,07i dan lain-lain. Bilangan khayal muncul karena menarik akar bilangan negatif.
Domain: disebut daerah asal yaitu himpunan bilangan real yang memuat semua bilangan x yang menjadi inputbagi fungsi f. Definisi epsilon-delta: istilah lain untuk membuktikan limit fungsi secara formal dengan menggunakan pendekatan bilangan e (epsiion) dan 6 (delta). Definisi ini merupakan definisi limit yang paling tepat secara matematis, diperkenalkan
,{
$
*
I
v
pertama kali oleh Chaucy dan Karl Weierstrass. Sebab sebelum mereka, pengertian dan limit dinyatakan secara intuitif. Fungsi: secara teknis dapat dikatakan sebagai sebuah proses yang memetakan (memasangkan) satu buah masukan/input ke tepat dengan satu buah keluaran/ output. Secara definsi matematisnya: sebuah fungsi f dengan nilai real yang didefinisikanpadahimpunanbilangan real D yang disebut domain adalah aturan yang memetakan setiap bilangan x yang berada dalam D ke tepat satu bilangan real yang dinyatakan dengan f(x). Fungsi ganjil: sebuah fungsi f(x) disebut fungsi ganjil jika berlaku f(-x) = -f(x). Grafi sebuah fungsi ganjil akan simetri/setangkup terhadap titik asal (0,0) Fungsi genap: sebuah fungsi f(x) disebut fungsi genap jika berlaku f(-x) = f(x). Grafik sebuah fungsi genap akan simetri/setangkup terhadap sumbu vertikal y Fungsi invers: dua fungsi f(x) dan g(x) dikatakan saling invers jika
f [g(x)] = x
dan g [f(x)] = x. Jika f(x) dan g(x) saling invers maka berlaku g'(x) = I I
Fungsi komposit sebuah fungsi yang inputnya adalah output fungsi "-h lain. Garis singgung: garis lurus yang menyentuh kurva pada satu titik. Titik tersebut terletak pada kurva, disebut titik singgung Gradien: gradien diartikan sebagai kemiringan garis lurus yaitu sebuah bilangan yang diperoleh dari rasio perubahan dalam arah vertikal dan perubahan dalam arah horisontal dari sebuah garis lurus.
Kontinuitas: suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu pada sebuah titik x = c di mana c berada dalam selang af,xf,b jika lim f(x) = f(c) . Diskontinu adalah kebalikan dari istilah kontinu. Jika sebuah ffintisi f(x) kontinu dalam interval f, x f,b maka grafik f(x) akan berjalan mulus/tersambung utuh dalam interval kontinuitasnya. Sebaliknya, jika fungsi f(x) diskontinu di titik x = c dalam interval f, x f,b maka grafik f(x) akan terputus (atau mengalami lompatan) di titik c. Titik c disebut titik diskontinuitas f(x) f
Laiu Perubahan: secara teknis dapat diartikan sebagai kecepatan rata-rata
I
Laju Perubahan Sesaat: limit hasil bagi dari perubahan variabel tak bebas terhadap perubahan variabel bebas suatu fungsi, di mana perubahan nilai variabel bebasnya terjadi dalam selang yang sangat sempit. Laju perubahan sesaat merupakan penafsiran teknis dari turunan. Istilah laju perubahan sesaat dapat ditafsirkan sebagai kecepatan sesaat. Limit fungsi: dalam perspektif matematika, secara teknis limit fungsi merupakan alat matematis untuk mengamati kecenderungan nilai fungsi f(x) ketika variabel bebas atau input fungsi f , yaltu x bergerak mendekati sebuah bilangan tertentu.
Nilai mutlak: dinyatakan dengan simbol lx l, menyatakan jarak x dari titik 0 pada garis
asal
bilangan.
Pertaksamaan: sebuah ekspresi matematik yang melibatkan simbol-simb ol1,
I
,
>dan) Range: disebut daerah hasil, yaitu himpunan bilangan real yang memuat output f(x) dari fungsi f Selang: himpunan bilangan x yang dibatasi oleh sebuah atau dua buah bilangan tertentu yang berperan sebagai batas bawah dan atau batas atas himpunan bilanagn tersebut, seperti:x < a ;x> a;xf'a;x3 a; af,xf,b ,dimana a danb adalah bilangan yang berperan sebagai batas bagi himpunan bilangan x Teorema nilai antara (intermediate value theorem): teorema ini secara implisit mengatakan bahwa setiap fungsi f(x) yang kontinu dalam selang tertutup f,xf,b pasti akan meliputi/mengambil bilangan yang berad a antara nilai f(a) dan f(b). Trigonometri: cabang matematik a yarrg membahas hubungan antara sudut dan sisi-sisi pada sebuah segitiga.
Turunan: turunan merupakan substansi utama dalam kalkulus diferensialTurunan fungsi f(x) di definisikan dengan limit sebagrt
r(x+h]-f(x) lrS
. Jitca
limit ini ada,makahasil limit ini dinamakan turunan fungsi f(x). Variabel: sesuatu besaran yang nilainya dapat berubah, ia dapat menerima nilai yang berbeda seperti biaya, umur, suhu udara, konsumsi, investasi dan sebagainya. Variabel biasa dinyatakan dengan sebuah simbol seperti x, Y,P dan sebagainya. Istilah lain untuk variabel adalah perubah. Konstanta adalah kebalikan/lawan dari variabel yaitu sesuatu yang nilainya tetap (tidak berubah dan tidak bisa menerima nilai yang berbeda). Variabel bebas dan variabet tak-bebas: pada fungsi Y = f(x) maka x disebut variabel bebas dari fungsi f karena nilainya dapat ditentukan secara bebas di dalam domainnya untuk kemudia menghasilkan nilai fungsi f yakni y atau f(x). variabel bebas x disebut juga variabel input. Sedangkan y atau f(x) dinamakan variabel tak-bebas dari fungsi f. Dinamakan variabel tak-bebas karena kita tidak dapat menentukan/mengontrol nilainya. Variabel tak-bebas y atau f(x) disebut juga variabel output. Nilai y atau f(x) tidak dapat ditentukan secara bebas, tetapi tergantung kepada nilai input/ variabel bebas x yang diberikan pada fungsi
f
Tentang Penulis
Muhammad Razali, S.Si., M.Si. Lahir di Kutacane, Aceh, pada tahun 1970. Menyelesaikan pendidikan S-1 dari |urusan Matematika, IJniversitas Brawijaya, Maiang pada tahun 1996 dan lulus dari Program Magister Matematika (konsentrasi Optimisasi dan Riset Operasi) Universitas Sumatera Utara, Medan, pada tahun 20L0. Setelah lulus S-1, bekerja di perusahaan riset pemasaran di Jakarta hingga tahun 1998. Memulai karier sebagai staf pengajar Matematika pada Institut Teknologi Medan (ITM) pada tahun 1998. Pada tahun 2005, beliau menjadi dosen Kopertis Wilayah I Sumut-NAD dengan penempatan pada Institut Teknologi Medan. Hingga saat ini, beliau aktif mengajar mata kuliah Knlkulus, Aljabar Linier, Matematika Teknik, Teori Probabilitas dan Statistika,, serta Metode Numerik di Jurusan Teknik Elektro ITM dan pada jurusan lainnya di beberapa kampus. Beliau juga aktif menulis pada jurnal ilmiah berkala. Buku lain yang pernah ditulisnya adalah Cara Mudah Menyelesaiknn Matematikn dengan Mathematica, Penerbit Andi, Yogyakarta.
Drs. Mahmud N. Siregar. Menyelesaikan pendidikan kesarjanaannya dari Jurusan Matematika, Universitas Sumatera Utara, pada tahun 1985. Beliau adalah dosen PNS Kopertis Wilayah I DPK pada Sekolah Tinggi Teknik Harapan (STTH) Medan, mengajar mata kuliah Knlkulus dan Matematika Teknik pada Jurusan Teknik Elektro STTH dan mengajar mata kuliah Matematikn Diskrit pada Jurusan Teknik Informatika STTH.
uqrur L-U. Ivleoan Pada tahun 1971' Lulus s-1 2008,luius dari Program dari ]urusan Matematit a usu pada tahun l996.Padatahun (USU), Medan' Saat ini, beliau Magister Matematika, Universitas Sumatera Utara Negeri Medan (Unimed) adalah staf pengalar pada Jurusan Matematika, Universitas d'anBahasa Pemrograman Pascal' dan mengajar mata kuliah Kalkulus,Teori Bilangan,
Faridawaty
LIK
I,,T I !3i!(!;:t, i '+r1r'it i:rl
