CAMPOS: OPERADOR NABLA !
!
Representar los campos vectoriales A = x i + y j , B y i " x j . Hallar la divergencia y el rotacional de cada uno de ellos y explicar el significado físico fí sico de los resultados obtenidos. ˆ
ˆ
=
ˆ
ˆ
Solución: I.T.I. 00, 03, 06, I.T.T. 95, 97, 00, 01, 03, 05, 06, I.I. 94
!
!
!
" # A
2
=
!
!
" $ A
=
!
" # B
0
!
=
!
" $ B
0
=
%2 ˆ k
!
es un campo irrotacional o conservativo (rotacional nulo) con una divergencia o “fuente” de campo constante en todo el espacio. B es un campo solenoidal (divergencia nula) y rotacional o de vórtice (rotacional no nulo) con un rotacional constante en todo el espacio.
A
!
!
Dado el campo vectorial: A = x
ˆi
2
ˆ + sen y j
ˆ + zx k ,
!
hallar:
!
!
(
!
!
) y " # A !
!
" # A , " " # A
Solución: I.T.I. 96, 00, 03, 06, I.T.T 95, 00, 03, 06, I.I. 94 !
$ A x
!
"# A =
!
(
!
!
+
$ x
)
" " # A
!
=
!
" # A =
Física
+
$ y
" 3 x
"
!
(
$ A y
+
$ A z
cos y
"
3 x
=
$ z
)
(
$ 3 x =
+ cos y
+
cos y
$ x
) ˆ i
(
$ 3 x +
+
cos y
$ y
) ˆ j
(
$ 3 x +
+
cos y
$ z
) ˆ k
=
i " sen y ˆ j 3 ˆ
"
i
j
k
$ $ x
$ $ y
$ $ z
A x
A y
A z
& $ A z $ A y ) % = ( +i ' $ y $ z *
ˆ
& $ A y $ A x ) & $ A x $ A z ) % + j + ( % +( +k= ' $ z $ x * ' $ x $ y *
Tema
ˆ
ˆ
" z j
Página 1
ˆ
Dado el campo vectorial: A = 2 x z ˆi " xy z ˆ j + 3 yz ˆk , hallar: !
2
2
2
!
!
!
!
!
" # A , " " # A
!
y
!
" # A
Solución: I.T.T. 96, 02, 05 !
$ A x
!
"# A =
!
(
!
!
+
$ x
)
!
" " # A
" # A =
$ A z
4 xz " 2 xyz
=
$ z
(
(
2 z 2 " y
"
!
$ y
+
" 4 xz $ 2 xyz + 6 yz
=
=
!
$ A y
)i
!
)
=
%(…) ˆi % x
z ( 3 " x ) j
!
+ 2
+
j
k
$ $ x
$ $ y
$ $ z
A x
A y
A z
Dado el campo vectorial: A
(
!
%(…) ˆ j % y
( 4 x " 2 xy
+
%(…) ˆ
k
% z
=
y ) k
!
+ 6
& $ A z $ A y ) & $ A x $ A z ) % % + (' + +( $ y $ z * ' $ z $ x *
=
!
!
+
"
"
i
(3 z
=
!
+ 6 yz
ˆ = z sen z i
2
+
xy ) ˆi + 2 x ˆ j " y z ˆ k 2
+
& $ A y $ A x ) % (' += $ x $ y *
ˆ + z cos z j
+
2
x
2
+
2
y
2
ˆ k,
!
hallar:
!
!
!
!
!
!
" " # A
Solución: I.T.I. 97, 03, 06, I.T.T. 97, 00, 03, 06 !
!
A = A " A !
" A
!
=
# A
i
ˆ
# x
!
"# A =
x
=
+
$ A x $ x
# A
2
j
ˆ
# y
+
$ A y $ y
+
y
+
+
2
# A
z
+
k
ˆ
# z
$ A z $ z
2
!
x ˆi + y ˆ j + z ˆ k
=
x
2
+
y
+
z
2
= ˆ
r
2
=
) # ) x %$ x
(
!
!
)
" " # A
!
=
& ) # ( + ) y % $ x + y + z '
" (0)
x
2
)# + ) z %$ x Física
2
0
!
2
2
!
=
# x ˆi + y ˆ j + z ˆ k& " (" A) = " % ( $ x + y + z ' !
r
=
2
2
& (= + y + z '
& (+ + y + z ' y
2
z
2
2
2
Tema
0
=
2
2
2 x
2
+
y
2
+
z
2
( ),
" A , " # A , " " A
) , " # A y " # (" A) !
!
=
2 r
Página 2
!
ˆ
i
ˆ
ˆ
$ $ x
$ $ y
$ $ z
A x
A y
A z
!
" # A =
j
k
=
& $ A z $ A y ) & $ A x $ A z ) % % + ( + +( ' $ y $ z * ' $ z $ x *
2
2
"
( )
!
k
$
$
$
$ x
$ y
$ z
x
y
z
x 2 + y 2 + z 2
x 2 + y 2 + z 2
2 2 yz ˆi " x y ˆ j
Siendo A = !
j
=
+
xz
2
ˆ k
y
"
2
2
=
0
"
"
i !
" # " A
!
& $ A y $ A x ) % ( += ' $ x $ y *
# y & # & x ˆ j " cos z + z sen z( i + % sen z + z cos z " % ( ˆ x + y ' $ x + y ' $
=
!
+
x 2 + y 2 + z 2
2
=
2 x yz
3
!
, hallar:
!
"# ,
!
" # A ,
!
!
!
" # A ,
!
"# "$
!
" " # A
Solución: I.T.I. 98, I.T.T. 99, 01, 04 $#
!
"#
!
=
$ x
!
"# A =
!
+
$ A x
!
" # A =
=
Física
$#
i
ˆ
+
$ x
j
ˆ
$ y
$ A y $ y
$# +
+
j
k
ˆ
$ z
$ A z $ z
=
ˆ
i
ˆ
ˆ
$ $ x
$ $ y
$ $ z
A x
A y
A z
2
" x
+
2 x
z ˆ j + 6 x yz ˆ k
2
3
2
2
+ 2 xz
k
(2 y " z ) ˆ j " (2 xy 2
3 4 xyz ˆi
=
=
+
& $ A z $ A y ) & $ A x $ A z ) % % + ( + +( ' $ y $ z * ' $ z $ x *
+
& $ A y $ A x ) % ( += ' $ x $ y *
k 2 z ˆ
)
Tema
Página 3
, y
( )
!
!
" # "$
!
(
3 " 4 xyz ˆ i
=
+
2 3 j 2 x z ˆ
6 x
+
2
%
+
!
(
!
!
)
" " # A
!
=
(
" $ x
2
+
)
2 xz
Dado el campo escalar
( 4 xyz ) % x
=
(6 x yz ) % z
=
("2 x
(
)
! x, y, z
%
)
yz ˆ k
2
=
2
+
4 yz
2
i 2 z ) ˆ
%
3
=
3
+
(2 x z ) % y
+ 12 x
2
3
+
2
yz
k 2 x ˆ
+
2
x yz + 3 x
2
calcular su gradiente, la divergencia del
gradiente y el rotacional del gradiente.
Solución: I.T.I. 04, I.T.T. 05 $#
!
"#
=
$#
i
+
ˆ
$ x
j
ˆ
$ y
$# +
k
ˆ
$ z
=
( 2 xyz
ˆ ˆ + x 2 y k x ) ˆi + x 2 z j
+ 6
! "( !# ) = ! $%( 2 xyz + 6 x ) ˆi + x z j ˆ + x y k ˆ &' = !
!
!
2
2
( ( ( ( 2 xyz + 6 x ) + ( x z ) + ( x y ) = ( x ( y ( z 2
2 yz + 6
=
( )
!
ˆ i
ˆ j
ˆ k
$
$
$
$ x
$ y
$ z
2 xyz + 6 x
x 2 z
x 2 y
!
! " !#
=
2
=
0
…=
(Se puede demostrar que cuando se calcula el rotacional del gradiente de un campo escalar el resultado siempre es nulo)
Si
"
=
+
x y
3 yz
+
5
determinar
( )
!
!
2
"# ,
!
" # "$
!
y
( ). !
" # "$
¿Cuál sería su derivada
direccional en el punto (1, 1, 0) según la dirección determinada por el vector unitario (0.6, 0.8, 0)?
Solución: I.T.I. 99, 02, 05, I.T.T. 02, 04 $#
!
"#
Física
=
i
ˆ
$ x
$# +
j
ˆ
$ y
$# +
k
ˆ
$ z
=
i 2 xy ˆ
+
( x
2
+
)
j 3 z ˆ
Tema
+
k 3 y ˆ
Página 4
( )
!
!
!
"# "$
( )
!
[
" 2 xy ˆi
=
!
" # "$
=
+
( x
)
j 3 z ˆ
2
+
+
k 3 y ˆ
ˆ i
ˆ j
ˆ k
%
%
%
% x
% y
% z
2 xy
x
2
3 z
+
]
% =
(2 xy)
% x
%
+
( x % y
2
+
3 z
)
% +
% z
(3 y )
2 y
=
0
=
3 y
!
La derivada direccional en el punto que nos dan y según el vector unitario u del enunciado será igual al producto escalar del gradiente en dicho punto por dicho vector unitario: d " dl
!
$ ˆ u
#"
=
(1,1, 0 )
2
=
ˆ calcular la divergencia del vector y su ˆ + xyz k Dado el campo vectorial: A = xy ˆi ! z 2 j rotacional, así como el gradiente de la divergencia. !
Solución: I.T.I. 01, I.T.T. 02 !
# A x
!
! " A
!
=
+
# x
# A y # y
+
# A z
ˆ
i
ˆ
ˆ
$ $ x
$ $ y
$ $ z
A x
A y
A z
!
" # A =
y
=
# z
j
+
xy
k
=
& $ A z $ A y ) & $ A y $ A x ) & $ A x $ A z ) i j % + % + % ( + (' + (' + k= ' $ z $ y $ z * $ x * $ x $ y * ˆ
( xz + 2 z) ˆi " yz ˆ j " x ˆk
=
!
(
!
!
)
" " # A
!
=
"
( y
+
x y ) =
Dada la función escalar U
(
$ y
+
x y )
i
ˆ
$ x
(
$ y +
ˆ
ˆ
+
x y )
$ y
j +
ˆ
(
$ y
+
x y )
$ z
k
ˆ
=
y ˆi + (1 + x ) ˆ j
z
=
xy e hallar la divergencia del gradiente del campo.
Solución: I.T.I. 01, I.T.T. 02 !
" U =
Física
#U
i
ˆ
# x
+
#U
j
ˆ
# y
+
#U
k
ˆ
# z
=
z ˆ
y e i
+
z ˆ
z ˆ
x e j + xy e k
Tema
Página 5
!
( ) !
"# " U
(
!
=
z ˆ
" y e
z ˆ
)
z ˆ
i + x e j + xy e k
$
( y e ) $ x
=
Dado el campo escalar " ( x , y , z ) = 2 xz # 3 x
z
2
+
$
( x e ) $ y
+
z
xy hallar
$
( xy e ) $ z
+
z
z
xy e
=
su derivada direccional en el punto
(1,0,–3) según la dirección determinada por el vector unitario
!
u
("0.6, 0, 0.8)
=
Solución: I.T.I. 01, 03, 04, 06, I.T.T. 01, 03, 05, 06 La derivada direccional en la dirección y sentido de un vector unitario es la proyección del gradiente en esa dirección y sentido, es decir su producto escalar por dicho vector unitario:
[
!
(
" # x, y, z
)](1,0,–3)
"
$u
=
[(2 z % 6 x
+
y ) ˆi + x ˆ j + 2 x ˆ k
]
(1,0,–3)
(
"
$ ˆ u = %12 i
j
) $ ˆu
"
"
+
+
2k
8.8
=
!
r
Calcular el rotacional de
!
donde r = x i 3
ˆ
+
r
y j + z k es el vector de posición. ˆ
ˆ
Solución: I.T.I. 98, 99, 04, 05, I.T.T. 99, 01, 04 Expresando todo en función de las coordenadas x, y, y z: x ˆi + y ˆ j + z ˆ k
!
r r3
=
( x
"#
r r3
=
( x
2
+
+
y
2
+
z
2
3 2
)
ˆi
ˆ j
ˆ k
$
$
$
$ x
$ y
$ z
x
y
z
!
!
2
y
2
z
+
2
)
3 2
( x
2
+
y
2
+
z
2
3 2
)
( x
2
+
y
2
=
z
+
2
)
0
…=
3 2
( ) " # (" $ A) !
Demostrar que el rotacional del gradiente de un campo escalar siempre es nulo:
" # "$
!
y que la divergencia del rotacional de un campo vectorial siempre es nula:
!
!
!
independientemente de cuales sean los campos
" y A .
Solución: I.T.T. 97, 00, 02
Física
Tema
Página 6
=
0
!
=
0
& %$ %$ ˆ %$ ˆ) j + k+ " # ("$) = " # ( ˆi + ' % x % y % z * !
!
ˆ i
ˆ j
ˆ k
% % x
% % y
% % z
%$ % x
%$ % y
%$ % z
!
2
2
=
2
2
2
=
2
& % $ % $ ) ˆ & % $ % $ ) ˆ & % $ % $ ) ˆ , , , = ( +i +( + j + ( +k = ' % y% z % z% y * ' % z% x % x % z * ' % x % y % y % x *
0
Suponiendo que " tiene segundas derivadas parciales continuas con lo que el orden de derivación no importa.
- ' % A % A * ' % A y % A x * ˆ 0 ' % A % A * j + ) " # (" $ A) = " # / ) z & y , ˆi + ) x & z , ˆ & ,+ k 2 = ( + ( + ( y z z x x y % % % % % % . 1 !
!
!
!
' % A z % A y * ' % A x % A z * ' % A y % A x * = )( % x% y & % x% z ,+ + )( % y% z & % y % x ,+ + )( % z% x & % z% y ,+ 2
2
2
2
2
2
0
=
!
Suponiendo que A tiene segundas derivadas parciales continuas con lo que el orden de derivación no importa.
d #
!
Demostrar que
"#(r)
=
dr
r,
ˆ
donde r es la distancia radial al origen, y hallar
( r ) para el
"
!
r
!
caso particular en que
"#(r )
=
5
r
y
()
"1
=
0 .
Solución: I.T.I. 06, I.T.T. 95, 03, 06, I.I. 94 Si el campo escalar sólo depende de la distancia radial r (lo que significa que tiene simetría esférica), al derivar respecto de cualquier coordenada x, y, o z, deberemos utilizar la regla de la cadena: primero derivaremos respecto de r y luego derivaremos r respecto a la coordenada en cuestión: "#( r) " x
=
d # (r) dr
Igualmente:
"r " x
=
d #( r) dr
"#( r ) " y
=
…
=
"
x 2 + y 2 + z 2
d #( r) y dr r
=
" x
,
d #( r) dr
"#( r ) " z
x x 2 + y 2 + z 2
=
d #( r) x dr r
d #( r ) z =
…
=
dr
r
Calculando el gradiente del campo escalar:
Física
Tema
Página 7
$# (r) i "#(r) = $ x !
$# (r) j + $ y
"
d # (r ) % x $#(r) k= i + dr & r $ z "
"
y j + r
"
"
z ' k + r (
d # (r ) r dr r
!
"
=
d #( r) r dr
"
=
Como se ha demostrado, el resultado es equivalente a derivar el campo escalar respecto de la variable radial r y multiplicar por el vector unitario radial. En el caso particular que nos proponen:
¡Error!Marcador no definido.
"
=
1$ 1& 1# 3 3% r '
!
Demostrar que si un campo escalar tiene simetría esférica el operador dicho campo es equivalente al operador
" d $ # dr% r donde
!
( r )
tomando como origen el centro de simetría. Aplicarlo a
actuando sobre
es el vector de posición del punto
r
ˆ
"
"
n =
r
Solución: I.T.T. 96, 00, 04, 05 Si el campo escalar tiene simetría esférica eso significa que sólo depende de la distancia radial r, es decir se puede escribir de la forma "( r ) . Derivando utilizando la regla de la cadena: "#( r) " x
=
d # (r) dr
Igualmente:
"r " x
=
d #( r) dr
"#( r ) =
" y
=
…
"
x 2 + y 2 + z 2 =
" x
d #( r) y dr r
,
d #( r) dr
x x 2 + y 2 + z 2
"#( r )
=
d #( r) x dr r
d #( r ) z =
" z
…
=
dr
r
Calculando el gradiente del campo escalar: !
!" ( r ) =
#" ( r ) i # x
ˆ
#" ( r ) #" ( r ) d " ( r ) $ x j + k = + & i # y # z dr % r ˆ
ˆ
ˆ
+
z ' j + k ) r r (
y
ˆ
ˆ
d " ( r ) r
!
=
dr
r
=
d " ( r )
r
ˆ
dr
Como se ha demostrado, el resultado es equivalente a derivar el campo escalar respecto de la variable radial r y multiplicar por el vector unitario radial. Aplicando esta demostración al campo escalar
!
( )
!" r
Física
( )
d " r =
r
ˆ
dr
( )r
d r =
( r )
"
n =
r
n
ˆ
dr
n
=
n r
!1
ˆ r
Tema
Página 8
!
Demostrar que Laplace
"#
=
!
" # "$
%$ ,
=
( r )
y demostrar que
"
1 =
r
es una solución de la ecuación de
0
Solución: I.T.T. 96 Operando:
& %$ %$ ˆ %$ ˆ) j + k+ "# ("$) = " # ( ˆi + ' % x % y % z * !
!
!
2
& % = ( ' % x
2
% + % y
2
2
2
&% $ = ( ' % x
2
% $ % $) + + += % y % z *
2
2
2
2
% ) + $ = ,$ % z +*
2
2
Con lo cual vemos que calcular la divergencia del gradiente de un campo escalar es equivalente a aplicarle el operador laplaciana ! .
( )=
Para la segunda parte del problema derivamos
2
"# " x
" r
=
$
x
( x
2
2
+
2
+
y
z
3 2
)
2
igualmente:
" y
$
r
3 y
" # 2
=
=
…
=
r
3
2
$
5
" x
=
…
r
" z
5
3 z =
2
x
=
" #
3
r
2
2
1 r
2
1
=
3 x
" #
x
1
…
=
r
r
$
+
y
2
+
z
2
1
$
2
5
2
3
1 3
r
con lo cual:
# 1% "$ & r
Física
=
3 x r
5
2
'
1 r
3
+
3 y r
5
2
'
1 r
3
+
3 z r
2
5
'
3 x
1 r
3
2
+
y
=
r
Tema
5
2
+
z
2
'
3 r
3
=
3r r
2
5
'
3 r
3
=
0
Página 9
