Actividad 3. Relaciones y funciones Al finalizar finalizar esta actividad actividad podrás plantear y resolver problemas problemas y ejercicios sobre relaciones y funciones, resuelve lo siguiente: 1) Una pareja ordenada cumple la siguiente propiedad si y sólo si cartesiano de dos conjuntos y como * ⁄ +. Resuelve lo Resuelve lo siguiente: a) Si * + *+ *+ * + Calcula
y , definimos el producto
* ++ ** ++ * + * ++ ** ++ * + * + * ++ ** ++ * + * + * + * + * + *+ *+ * + * + * + * ++ * ++ * ++ * ++ ** ++ * + 2) Sean A y B conjuntos de una relación R de A en B que se define como cualquier subconjunto de , el dominio de R se define como el subconjunto * ⁄ + y al conjunto B se le llama el contradominio de la relación, la imagen de una relación se define como el subconjunto de B que satisface: * ⁄ + Como notación se suele escribir . Si A=B, decimos A=B, decimos que R es una relación sobre A. Resuelve los Resuelve los siguientes ejercicios: a) Sea D la relación definida sobre el conjunto *+ + como si divide a . Escribe explícitamente los miembros de D, así como el dominio, contradominio e imagen de D. Como si se define de esta manera queda
Se obtiene la relación D que es
* + El dominio,contradominio e imagen es
*+ * ++ Para buscar su imagen hacemos un diagrama de Venn y queda entonces
* +
b) Definimos R sobre el conjunto de números enteros como si y dejan el mismo residuo cuando se dividen entre . Describe el dominio, contradominio e imagen de esta relación. Sea el conjunto de los números enteros
* + Considerando las clases de equivalencia que se define como que son 3 y son: ,- * + ,- ,- * + ,- * + ,- ,- * + ,- * + ,- ,- ,- * + La relación se define como tiene el mismo residuo al dividir entre 3 y es:
* + El dominio,contradominio e imagen es
*+ * + Explicando ahora la clase de equivalencia respectivamente a los residuos de la división antes de buscar la imagen Definimos la relación si a y b dejan el mismo residuo al dividirse entre 3, así a) Los que dejan residuo cero
b) Los que dejan residuo uno
c) Los que dejan residuo dos
Su correspondencia el conjunto de números enteros como si a y b dejan el mismo residuo cuando se dividen entre3. entonces si representamos su imagen por medio de Diagramas de Euler queda
Su imagen es:
* + 3) Una relación R sobre A se dice que es reflexiva si , se dice que es simétrica si dice que es transitiva si . Contesta lo siguiente: a) Califica a las relaciones definidas en 4) como reflexivas, simétricas o transitivas. 1) Reflexiva
, se
2) Simétrica
3) Transitiva
b) Una relación sobre un conjunto A se dice que es de equivalencia si cumple con ser reflexiva, simétrica y transitiva, da tres ejemplos de relaciones de equivalencia.
2)
3)
4) Una función f de A en B, es una relación de A en B que cumple lo siguiente: y se denota como , el dominio, el contradominio y la imagen de f se definen igual que para una relación. También se usa la notación: . a) Determina si las siguientes relaciones son funciones y determina su imagen: i) * ⁄ + No es una función pues para una x el valor de y no es único pues √
( √ )√ están en la relación ii) * ⁄ + Es una función a razón de que y de tal forma que la podemos escribir mediante elipsis * + y entonces decimos que la imagen de f es el conjunto de los Porque ambos puntos
cuadrados perfectos iii) * ⁄ + Si es una función a razón de que cada valor de x le corresponde un solo valor de y en los números naturales y su imagen por lo tanto es todo número natural. b) Si *+ y *+, lista cuatro funciones de en . Las cuatro funciones son las siguientes
* + Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:
* +
*+ *+
Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:
* +
*+ *+
Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:
* +
*+ *+
Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes:
*+ *+
5) Investiga las definiciones de inyectividad, suprayectividad y biyectividad entre funciones.
a) Determina si las siguientes funciones son biyectivas i) . No es biyectiva a razón de que 1) Si es biyectiva
2) No es suprayectiva
Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y de hecho ningún entero impar es imagen bajo f de algún elemento. ii) . No es biyectiva a razón de que 1) SI es biyectiva 2) No es suprayectiva
√ Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y además debe ser un único número entero iii) . Evidentemente es biyectiva a razón de que
Y además también es imagen de
A razón de que si iv) . Es biyectiva a razón de que a) Es inyectiva
b) Es suprayectiva
c) Si existe una función biyectiva de un conjunto A en un conjunto B podemos definir la función inversa como , tal que , da tres ejemplos de funciones biyectivas y escribe sus inversas.
Es una función biyectiva y tiene inversa que es:
Es una función biyectiva y tiene inversa que es:
Es una función biyectiva y tiene inversa que es:
d) Se dice que un conjunto A tiene cardinalidad finita si existe una función biyectiva entre A y el conjunto *+. Si un conjunto no tiene cardinalidad finita se dice que es infinito. i) Da una definición de cardinalidad 0 para un conjunto. El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al único conjunto vacío: (La cardinalidad del conjunto vacío es cero.) ii) Da tres ejemplos de conjuntos de cardinalidad finita
J
x| x es el n úmero de un día del mes de jun io
K
x|
L
x| x es la cant idad de autos en la ciudad de M é xico
4
iii) Da tres ejemplos de cardinalidad infinita.
N
1,3,5,7,9,11,
M
2,4,6,8,10,12,
Q
x| x es la cant idad de pun tos en una l ínea iv) Da dos ejemplos de funciones entre conjuntos de cardinalidad finita e infinita.
* + * + e) Se define la composición de dos funciones y como la función definida como * ⁄ +, se denota como y . i) ¿Es inyectiva la composición de dos funciones inyectivas? Prueba o da contraejemplo. Si y si Por demostrar es inyectiva entonces
( ) ( ) Por lo tanto g y f inyectivas ii) ¿Es sobreyectiva la composición de dos funciones sobreyectivas? Prueba o da contraejemplo.
Si y si Por demostrar entonces por medio de la deifiniciones mencionadas queda
Por realizando operaciones correspondientes
( ) Por lo tanto y finalmente es sobreyectiva iii) ¿Es biyectiva la composición de dos funciones biyectivas? Prueba o da contraejemplo. Sean biyectivas entonces se dividen en dos casos: Caso 1 SI son inyectivas es inyectiva como se demostró en i) Caso 2 Si son sobreyectivas es sobreyectiva como se demostró en ii) Por lo tanto es biyectiva
