16112_Matematika 9_Megoldások

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit

MATEMATIKA 9. Az érthetõ matematika

tankönyv feladatainak megoldásai A megoldások olvasásához Acrobat Reader program szükséges, amely ingyenesen letölthetõ az internetrõl (például: adobe.la.hu weboldalról). A feladatokat fejezetenként külön-külön fájlba tettük. A fejezetcímmel ellátott fájl tartalmazza a fejezet leckéinek végén kitûzött feladatok részletes megoldásait. A feladatokat nehézségük szerint szinteztük: K1 = középszint, könnyebb; K2 = középszint, nehezebb; E1 = emelt szint, könnyebb; E2 = emelt szint, nehezebb feladat.

Lektorok: dr. Jelitai Árpád, Pálmay Lóránt Szakábra: Szalóki Dezsõ lllusztráció: Urmai László Tipográfia: Bajtai Zoltán Felelõs szerkesztõ: Szloboda Tiborné © Juhász István, Orosz Gyula, Paróczay József, Szászné dr. Simon Judit, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 2009 Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt. www.ntk.hu Vevõszolgálat: [email protected] Telefon: 06 80 200 788 A kiadásért felel: Jókai István vezérigazgató vezérigazgató Raktári szám: RE 16112 Mûszaki igazgató: Babicsné Vasvári Etelka Mûszaki szerkesztõ: Marcsek Ildikó Grafikai szerkesztõ: Görög Istvánné Terjedelem: 23,69 (A/5) ív 1. kiadás, 2009

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

















































































TARTALOM Fontosabb jelölések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.

Halmazok, kombinatorika

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

A szá számok mok átt átteki ekinté ntése se – bev beveze ezetés tés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Halm Ha lmaz azok ok,, ré rész szha halma lmazo zokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mûve Mû vele lete tekk hal halma mazo zokka kkall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egysze Egy szerû rû öss összes zeszám zámolás olásii fel felada adatok tok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Halm Ha lmaz azok ok el elem emsz szám ámaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pont Po ntha halm lmaz azok ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Neveze Nev ezetes tes pon pontha thalmaz lmazok ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Számokról és halmazokról (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.

Geometria – sokszögek

8–9. A hároms háromszögre zögre vonat vonatkozó kozó ismer ismeretek etek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10–11. Pitagorasz-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–13. A háromszögek nevezetes pontjai, pontjai, vonalai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A háromszögek oldalait érintõ körök (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Négysz Nég yszöge ögekk átte áttekin kintés tése, e, osz osztál tályoz yozása ása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. A soks sokszög zögekr ekrõl õl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.

Algebra

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

Mûveletek Mûvele tek rac racion ionáli áliss szám számkör körben ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Összet Öss zetett ett mûve mûvelet letek ek rac racion ionáli áliss szám számkör körben ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A hat hatván ványoz yozás ás fog fogalmá almának nak kit kiterj erjesz esztés tésee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A hat hatván ványoz yozás ás azo azonos nosság ságai, ai, a perm permane anenci nciael aelvv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Számok Szá mok nor normál málala alakja kja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A számológépek számábrázolása (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egy-- és töb Egy többvá bválto ltozós zós alg algebr ebrai ai kif kifeje ejezés zések, ek, hel helyet yettes tesíté ítési si ért érték ék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egynem Egy nemûû kif kifeje ejezés zések ek szo szorzá rzása, sa, öss összev zevoná onása, sa, poli polinom nomok ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polino Pol inomok mok fok fokszá száma, ma, egy egyenlõ enlõség sége, e, zér zérush ushely elyee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mûvele Mûv eletek tek pol polino inomok mokkal kal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Néhány Néh ány nev neveze ezetes tes szo szorza rzatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az azo azonos nosság ságok ok alk alkalma almazás zásaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polino Pol inomok mok szo szorza rzattá ttá ala alakít kításá ásának nak mód módsze szerei rei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Szorza Szo rzattá ttá ala alakít kítás ás nev neveze ezetes tes szo szorza rzatok tok fel felhas haszná ználás lásáva ávall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebr Alg ebrai ai tör törtki tkifej fejezé ezések sek egy egysze szerûs rûsíté ítése, se, szo szorzá rzása, sa, osz osztás tásaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebr Alg ebrai ai tör törtki tkifej fejezé ezések sek öss összev zevoná onása, sa, mûve mûvelet letek ek tör törtki tkifej fejezé ezések sekkel kel . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV.

Oszt Os ztha ható tósság ág,, a szá szám mel elm mél élet et ala lap pja jaii

31. 32. 33. 34. 35. 36.

A mar maradé adékos kos osz osztás tás,, az osz osztha thatós tóság ág fog fogalm alma, a, tul tulajd ajdons onsága ágaii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Osztha Osz thatós tósági ági sza szabál bályok yok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prímsz Prí mszámo ámok, k, a szá számelm melméle élett ala alapté ptétel tele, e, osz osztók tók szá száma ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Legnag Leg nagyob yobbb köz közös ös osz osztó, tó, euk euklid lidesz eszii alg algori oritmu tmus, s, leg legkis kisebb ebb köz közös ös töb többsz bszörö öröss . . . . . . . . . . . Polino Pol inomok mok osz osztha thatós tósága ága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Számre Szá mrends ndszer zerek ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

5 9 13 18 23 28 31 36

38 40 43 45 46 47

48 50 51 54 56 58 59 61 63 65 66 68 71 74 76 79

82 84 86 88 90 92









































TARTALOM

43. 44.

A másod másodfok fokúú függ függvén vényy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Racion Rac ionáli áliss tört törtfüg függvé gvénye nyekk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az egészrész-, törtrész- és az az elõjelfüggvény (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI.

Statisztika

45–46. Adatok és ábrázolásuk. A statisztika tárgya, feladata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47–48. Középértékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108 111 114

117 121

VII.

Geometria – tükrözések

50–51. 52–53. 54–55. 56. 57–58.

Tengelyes tükrözés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Thalész-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Középpontos tükrözés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Középv Köz épvona onalak lak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A háromszögek nevezetes nevezetes pontjai, vonalai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VIII.

Egyenletek, egyenlõtlenségek, egyenletrendszerek

59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67.

Az egy egyenl enlet, et, egy egyenlõ enlõtle tlensé nségg foga fogalma lma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyenl Egy enlet, et, egy egyenl enlõtl õtlens enség ég meg megoldá oldási si mód módsze szerei rei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyenl Egy enlet, et, egy egyenl enlõtl õtlens enség ég meg megoldá oldása sa szo szorza rzattá ttá ala alakít kításs ással al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A legál legáltal taláno ánosab sabbb módsz módszer: er: a mérl mérlege egelv lv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abszol Abs zolút út ért értéke ékett tar tartal talmaz mazóó egye egyenlet nletek, ek, egy egyenlõ enlõtle tlensé nségek gek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paramé Par améter teres es egy egyenl enlete etek, k, egy egyenlõ enlõtle tlensé nségek gek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elsõfok Elsõ fokúú egye egyenle nletre trends ndszer zerek ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gyakor Gya korlat latii alkal alkalmaz mazáso ásokk 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gyakor Gya korlat latii alkal alkalmaz mazáso ásokk 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX.. IX

Geom Ge omet etri riaa – to tová váb bbi eg egyybe bevá vág gós ósáágo gokk

68. 69. 70. 71–72. 73. 74. 75. 76.

A pont pont kör körüli üli elf elforg orgatá atáss szár származ maztat tatása ása és tul tulajd ajdonsá onságai gai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 A közé középpo pponti nti szö szögg és és a hoz hozzá zá tar tartoz tozóó körí körívv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 A körív körív hos hossza sza,, a kör körcik cikkk terül területe ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Eltolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 A vekt vektor or foga fogalma lma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Vektor Vek torok ok össz összegz egzése ése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Két vek vektor tor külö különbsé nbsége ge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Egybev Egy bevágó ágóság ság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

X.

Függvények – transzformációk

77.

Egyenlete Egyenl etekk és és egye egyenlõ nlõtle tlensé nségek gek gra grafik fikus us meg megold oldása ása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Függvénytranszformációk (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123 125 128 130 131

134 137 141 145 150 155 159 163 166

177 181









































FONTOSABB JELÖLÉSEK Az A pont és az e egyenes távolsága: d( A; e) vagy Ae vagy Ae

A pozitív, a negatív negatív egész számok halmaza: halmaza: Z+, Z– {1; 2; 3; …}, {–1; –2; –3; …}

Az A és B pont távolsága: AB vagy AB vagy d( A; B)

A racionál racionális, is, az irracio irracionális nális számok halmaz halmaza: a: Q, Q*

Az A és B pont összekötõ egyenese: e( A; B) vagy AB Az f 1 és f 2 egyenesek szöge: B (f1; f 2) vagy (f1; f 2) B A B csúcspontú szög, melynek egyik szárán az A, másik szárán a C pont található: ABCB

A pozitív, a negatív negatív racionális számok halmaza: halmaza: Q+, Q– A valós számok halmaza: R A pozitív, a negatív negatív valós számok halmaza: halmaza:

R+, R–

Eleme, nem eleme a halmaznak: !, "; 5 ! N, -2 g Z

+

A C csúcspontú szög: CB

Részhalmaz, valódi részhalmaz: 3, 1; A 3 R , N 1 Q

Szög jelölése: a, b, c, f

Nem részhalmaza a halmaznak: j;

ZY 1Q

Az A, B és C csúcsokkal rendelkezõ háromszög:

Halmazok uniója, metszete: ,, +;

A , B,

ABC9

Halmazok különbsége: \;

Az ABC9 területe: T ( ABC) vagy T ABC =

A+B

A \ B

Üres halmaz: Q, {}

Az a, b és c oldalú háromszög fél kerülete: s

+

Az A halmaz komplementere: A

a+b+c

2

Az A halmaz elemszáma:

A derékszög jele: * Az e egyenes merõleges az f egyenesre: e = f Az e egyenes párhuzamos az f egyenessel: Egybevágóság:

e < f

,; ABCO , A B C O

A

;

"0; 1; 2,

=

3

Zárt intervallum: [a; b] Balról zárt, jobbról nyílt intervallum: [ a; b[ Balról nyílt, jobbról zárt intervallum: ] a; b] Nyílt intervallum: ] a; b[

Az A pontból a B pontba mutató vektor: AB

Az x szám abszolút értéke:

A v vektor: v vagy v vagy

Az x szám egész része, tört része: [ x], { x}; [2,3] = 2, {2,3} = 0,3

v

"

Egyenlõ, nem egyenlõ: =, !; Azonosan egyenlõ: / ; Közelítõleg egyenlõ: .;

a

a + b / a .

=

2, b ! 5

;

-3,1 =

Az a osztója b-nek, b többszöröse a-nak:

5

2,3;

x

8,54 . 8, 8,5 5

3,1

a b;

Az a és b legnagyobb közös osztója: (a, b); (4, 6) = 2

Kisebb, kisebb vagy egyenlõ: <, #; 2 < 3, 5 # x

Az a és b legkisebb közös többszöröse: [a, b]; [4, 6] = 12

Nagyobb, nagyobb vagy egyenlõ: >, $; 6 > 4, a $ 2

Az f függvény hozzárendelési szabálya: f: x ; f: x 2x + 3

A természetes számok halmaza: N; {0; 1; 2; …}

Az f függvény helyettesítési értéke az x0 helyen: f (x0) ; f (5), ha x0 = 5

Az egész számok halmaza: Z {…; –2; –1; 0; 1; 2; …}

2 8

7

7



















































































I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA 1. A SZÁMOK ÁTTEKINTÉSE – BEVEZETÉS 1. K1

Az alábbi kifejezések értékét próbáljuk „fejben” (azaz íróeszköz és számológép nélkül) meghatározni! a) A = 32 + 87 – 26 + 68 – 97 + 36; b) B = 439 + 243 – 437 – 1057 – 244 + 2999; c) C = 1 + 5 - 5 + 2 - 19 + 4 + 2 ; 6 9 12 12 12 9 3 d) D = 2 + 6 9

11

5 6 3 3 1 + + ; 9 16 22 8 3

-

e) E = 2 $ 9 7 $ 2 $ 2 5 ; f) F = 67 $ 51 518 + 518 $ 33 33 .

Megoldás a) –26 + 36 = 10; 87 – 97 = –10; tehát ezen számok összege 0. A = 32 + 68 = 100. b) 439 – 437 + 243 – 244 = 2 – 1 = 1; 1 + 2999 = 3000. B = 3000 – 1057 = 1943. c) 5 + 4 = 1; 1 + 2 = 1 + 4 = 5 = 10 ; - 5 + 2 - 19 + 10 = - 12 = -1; C = 1 – 1 = 0. 9 9 6 3 6 6 6 12 12 12 12 12 12 d) 2 - 5 + 1 = 2 - 5 + 3 = 0 ; 9

9

3

9

9

9

+

e) E = 2 $ 97 97 $ 2 $ 25 = 2 $ 2 $ 25 $ 97 97 f) F = (67 + 33) ⋅ 518 = 51 800.

2. K1

6 3 16 8

= 100

=

$ 97 97

0;

6 3 11 22

= 9700

=

12 3 22 22

=

9 ; 22

D=

9 . 22

.

A 2. 2 . példa p élda a)–c) feladataiban háromféleképpen zárójeleztük a kifejezést, s három különbözõ eredményt kaptunk. Számítsuk ki az alábbi d)– g) kifejezések értékét, s a kapott értékeket hasonlítsuk össze a korábbi a)–c) eredményekkel! d) - 2 - 5 - 3 : 3 ; 3

6

2

5

e)

b

-

2 5 3 6

l

-

3 3 : ; 2 5

f)

-

b 32 65 l -

-

3 3 : ; g) 2 5

b

-

l

2 5 3 3 : . 3 6 2 5









































I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA A különféle módon zárójelezett kifejezések értékei: a) 1; b) –4; c) 94 ; d) –4; e) –4; f) - 73 ; g) –5. A b) - 32 - 65 -

b 32 : 35 l, a d)

-

2 5 3 3 : 3 6 2 5

és az e)

b

-

2 5 3 6

l

-

3 3 : 2 5

kifejezések egyenlõségének az az

oka, hogy a zárójelek használatával elõírt mûveleti sorrend lényegében nem befolyásolja a végeredményt.

3. K1

Végezzük el a következõ mûveleteket! a)

-

b

2 1 5 3 2 6

l;

b)

b

-14

4

-

-3

8

l : c 35 b 254 lm;

b 12

l

c) - 2 + 2 $ 5 : 10 .

+ -

5

3

Megoldás Törtek összeadása és kivonása a közös nevezõre hozás segítségével történhet; szorzás esetén a számlálót a számlálóval, nevezõt a nevezõvel szorozzuk; végül törttel úgy osztunk, hogy az osztó reciprokával szor zunk.

b 21 65 l 23 b 63 65 l 3 l c 3 b 4 lm b b) b 14 : 5 4 8 25 a)

-

2 3

-

=-

c)

4. K1

-

-

-

-

=-

-

-

+ -

-

=

=-

2 3

- 28

8

b 62 l 3l b3 : 5 8

- -

+

=-

-

2 2 + 3 6

4 25

l

=-

=-

2 1 1 + =- ; 3 3 3

b

25 15 4 : 8 25 25

l

=-

25 11 : = 8 25

25 25 625 ; $ =8 11 88

b

2 5 10 : +2$ 5 12 3

l

=-

b

2 5 $ 3 +2$ 5 12 10

l

=-

2 30 + 5 120

=-

8 20

+

5 20

=-

3 . 20

Az alábbi állítások között hány igaz van? (Indokoljunk!) (Indokoljunk!) a) Bármely szám kétszerese kisebb, mint a háromszorosa. b) Bármely szám fele kisebb, mint maga a szám. c) Bármely szám négyzete nagyobb, mint maga a szám. d) Bármely szám reciproka kisebb, mint maga a szám. e) Nagyobb számnak kisebb a reciproka. f) Minden számhoz található olyan szám, hogy a két szám összege 0. g) Minden számhoz található olyan tõle különbözõ szám, hogy összegük éppen 1. h) Van olyan egész szám, amelynek a reciproka is egész szám.

Megoldás a) Hamis; ellenpélda a 0 vagy bármely negatív szám. b) Hamis; ellenpélda a 0 vagy bármely negatív szám. c) Hamis; ellenpélda bármely 0 és 1 közötti szám (a határokat is beleértve). d) Hamis; ellenpélda x, ha x ≤ –1 vagy 0 < x ≤ 1. e) Hamis. Például –2 < 3, de - 1 2 1 nem igaz. 2 3 f) Igaz; megfelel a szám ellentettje.









































1. A SZÁMOK ÁTTEKINTÉSE 6. K2

Figyeljük meg az alábbi sorozatok tagjait! Mit állíthatunk az egymást követõ tagok nagyságrendi viszonyairól? a) 2; 3; 4; 5; f

b) 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; f 6 7 8 9

3 4 5 6

c) 3; 5; 7 ; 9; f 2 3 4 5

Megoldás a) 2 = 1 - 1; 3 3

3

4

=

1 - 1; 4

vannak az 1-hez). b) Hasonlóan: 4 = 1 - 2; 6 6

4 5 5 7

=

=

1 - 1; 5

1 - 2; 7

f

6 8

A tagok egyre nagyobbak (hiszen egyre közelebb

=

1 - 2; 8

f

A tagok egyre nagyobbak, mert egyre

kisebb számot vonunk ki az 1-bõl. c) A sorozat általános k-adik tagja 2k + 1 alakú (k = 1, 2, 3, …). k+1

2k + 1 2]k + 1g - 1 2 1 . Egyre kisebb számot vonunk ki 2-bõl, tehát a tagok egyre = = k+1 k+1 k+1

nagyobbak.

7. K1

Adjuk meg az alábbi racionális számokat tizedes tört alakban (számológépet ne használjunk)! A = - 7 ; B = 17 ; C = 17 ; D = 17 ; E = 37 ; F = 433 . 7 4 20 9 30 330 Megjegyzés: A számológépes megoldás nem adhat minden esetben pontos értéket, hiszen álta-

lában csak 10 számjegyet ír ki a gép 1.

Megoldás Az osztás hagyományos algoritmusával: A = –1,75; B = 0,85; C = 2,428571;

D = 1, 8o ;

E = 1, 23o ;

Megjegyzés: Például a hagyományos, 10 jegyet kiíró zsebszámológépeken 17 7

=

F = 1, 312 . 2,428571429 ,

ami nem a helyes eredmény.

8. K2

Adjunk meg olyan közönséges törtet, amelynek egész számú többszöröse a) 3 és 7; b) 2 és 3 ; c) 2 és 4 ! 5 4 3

Megoldás Többféle megoldás lehetséges. a) A 3 és 7 egész számú többszöröse az 1-nek, így megfelelõ szám például 1, vagy minden 1

1

k









































I. HALMAZOK, KOMBINATOR KOMBINATORIKA IKA Megoldás a) Az a alakú racionális szám (a, b egész számok, b ≠ 0) felírható 2a , -3a stb. alakokban is. b 2b -3b b) Bármely a alakú racionális számnál (a, b pozitív egész számok) könnyû kisebb számot megadni: például b a , a stb. b + 1 2b a c + a c c) és közé esik például a két szám átlaga b d . Ha ugyanis a 1 c , akkor egyszerûen adódik, hogy 2 b d b d a c c c a a + + + b b 1 b d 1 d d. 2

2

2

Más megoldási lehetõségek:

Elegendõ a pozitív racionális számokat vizsgálni. (Két negatív szám esetén a bizonyítás ehhez az esethez hasonlóan történhet; ha a két szám különbözõ elõjelû, közrefogják a 0-t; ha pedig az egyik szám 0, akkor például a másik szám fele megfelelõ.) Legyen a 1 c , ahol a, b, c, d pozitív egész számok; közös nevezõre hozás után ad 1 cb . b

d

bd

bd

Ha cb – ad > 1, akkor ad + 1 megfelelõ. Ha cb – ad = 1, akkor bõvítsük a törtet k > 1 egész számmal; bd

az adk

cbk számok közé esik adk + 1. bdh bdk bdk Végül általában megmutatható, hogy a és c közé esik a + c is. b d b+d 1

d) Az állítás a c) feladat megoldásából következik.









































2. HALMAZOK, RÉSZHALMAZOK

2. HALMAZOK, RÉSZHALMAZOK 1. K1

Az alábbi alábbi meghatároz meghatározások ások egy egy adott adott osztály tanulóira vonatkoznak vonatkoznak.. A definíci definíciók ók közül közül melyek melyek határoznak meg egyértelmûen egy halmazt? a) az osztályba járó fiúk; b) a magas tanulók; c) a barna hajú lányok; d) a budapesti lakosok; e) akiknek tavaly év végén 5-ös matematikaosztályzatuk volt; f) akik szeretnek iskolába járni.

Megoldás Bármilyen elemrõl egyértelmûen el kell tudnunk dönteni, hogy beletartozik a halmazba, vagy sem. Ezért nem határoznak meg halmazt a b), c), f) körülírások. Például a b) esetben egy szõkésbarna hajú lányról nem dönthetõ el egyértelmûen, hogy a halmazba tartozik, vagy sem. 2. K1

Az alábbi A, B és C halmazokat megadhatjuk felsorolással, körülírással és képlettel is. Pótoljuk a hiányzó megadásokat, és ábrázoljuk a halmazokat a Venn-diagramon! ha l m a z

felsorolás

A

{1; 3; 5; 7; 9}

körülírás

képlet

egyjegyû, pozitív prímszámok

B

C = { x | 4 # x # 9 és x ! N }

C

Megoldás A prímszámokra vonatkozóan még nem találtak egyszerû képletet. képletet. Egy lehetséges megoldás: ha l m a z

felsorolás

A

{1; 3; 5; 7; 9}

B

{2; 3; 5; 7}

körülírás képlet egyjegyû, pozitív páratlan A = { x | x = 2k – 1, 1 # k # 5 és k ! N } számok egyjegyû, pozitív prímB = { x | 2 # x # 7 és x prím} számok











































I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA 3. K2

Az alábbi táblázat táblázatban ban egy osztály tanulói tanulóitt két-két csoportra osztottuk a nemük szerint, valamin valamintt attól függõen, hogy év végi matematikaeredményük „jó” (4-es vagy 5-ös), illetve „gyenge” (2-es vagy 3-as) volt. A táblázat mezõibe írt számok a megfelelõ megfelelõ tulajdonságú tanulók számát jelentik. jók (4-es, 5-ös érdemjegy) gyengék (2-es, 3-as érdemjegy) F (fiúk) L (lányok)

8

7

10

7

Értelmezzük a táblázat adatait! a) Mennyi az osztálylétszám? b) Az összes tanuló hány százaléka „jó” matematikából? c) Az összes fiú hányad része „gyenge” matematikából? d) Ábrázoljuk az adatokat az F (fiúk) és J („jók”) halmazok Venn-diagramján! (Az alaphalmaz az osztály tanulóinak a halmaza; az egyes tartományokba a megfelelõ elemszámot írjuk.)

Megoldás a) Az osztálylétszám 8 + 7 + 10 + 7 = 32 fõ. b) 8 + 10 = 18 tanuló „jó” matematikából. Ez az összes tanuló c) Az összes fiú

7 7 = 7+8 15

része „gyenge” matematikából.

d) J

F

7

8

10

7

18 32

= 0,5625-öd része, azaz 56,25%-a.











































2. HALMAZOK, RÉSZHALMAZOK 6. K1

Fogalmazzunk meg a következõ számhalmazok között néhány tartalmazáskapcsolatot (melyik halmaz melyiknek részhalmaza, valódi részhalmaza, vagy nem része)! Igaz-e, hogy: a) N + 3 Z +; b) N + 1 Z +; c) Q+0 3 R +; d) R – j Q stb.

Megoldás a) Igaz; N+ = Z+. b) Hamis; az elõzõ pont megoldása alapján. c) Hamis; 0 " R +. d) Igaz. Bizonyítható, hogy például – r irracionális szám; vagyis – r ! R –, de –r " Q . 7. K2

Tekintsük az A = {3-mal osztható egész számok}, B = { x | x = 10k – 3, k ! Z +}, C = {négy zetszámok} halmazokat. Melyik igaz, melyik hamis az alábbi állítások közül? a) Az A halmaznak négy olyan eleme van, amelyik egyjegyû szám. b) Van olyan egyjegyû szám, amelyik mindhárom halmaznak eleme. c) Van olyan kétjegyû szám, amelyik két halmaznak is eleme. d) Van olyan kétjegyû szám, amelyik mindhárom halmaznak eleme. e) Van olyan 2-esre végzõdõ szám, amelyik két halmaznak is eleme. f) Van olyan 4-esre végzõdõ szám, amelyik két halmaznak is eleme. g) 0 ! A. h) 0 " C. i) {0; 576; 1296} 3 C. j) {0; 576; 1296} 1 A. k) {0; 576; 1296} j B. l) 0 3 A. m) {0} 3 A. n) Q 1 B. o) { } 3 C. p) A 3 A. q) B 1 B.

Megoldás A halmazokat felsorolással is megadhatjuk: A = {… –9; –6; –3; 0; 3; 6; 9; …}, B = {7; 17; 27; 37; 47; 57, …}, C = {0; 1; 4; 9; 16; 25; …}. a) Hamis. b) Hamis. c) Igaz; például 27 vagy 36. d) Hamis. A négyzetszámok nem végzõdhetnek 7-re, így B-nek és C-nek nincs közös eleme. e) Hamis. A négyzetszámok nem végzõdhetnek 2-re, így 2-es végzõdésû szám csak az A hal-











































I. HALMAZOK, KOMBINATOR KOMBINATORIKA IKA 9. E1

Igazoljuk a következõ állításokat! a) Minden halmaz része önmagának. b) Ha H1 3 H2 és H2 3 H3, akkor H1 3 H3 is teljesül. c) Ha H1 3 H2 és H2 1 H3, akkor H1 1 H3 is teljesül. d) Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. e) Egyetlen üres halmaz van.

Megoldás a) A 3 B, ha minden x ! A esetén x ! B is fennáll. Emiatt A 3 A is teljesül: a definícióban B-t A-val helyettesítve „ha x ! A, akkor x ! A”. b) Minden x ! H1 esetén x ! H2, és minden x ! H2 esetén x ! H3; vagyis H1 3 H3. c) Az elõzõ meggondolásunk annyiban módosul, hogy H2 ≠ H3 miatt H1 = H3 sem teljesülhet. d) Q j A, ha van olyan x ! Q, amelyre x " A. De az üres halmaznak ilyen eleme nincs, ezért az üres hal-

maz minden halmaznak részhalmaza. e) Legyen például A = {a Földön élõ marslakók}, B = {5 méter magas emberek}. Jelenlegi tudásunk szerint mindkét halmaz üres halmaz: A = Q, B = Q. Két halmaz akkor különbözõ, ha legalább az egyik halmazban van olyan elem, amelyik nincs benne a másikban. Az A és B halmazokban – és általában az üres halmazban – nincs ilyen elem, ezért A = B; és hasonló okok miatt bármely két üres halmaz is egyenlõ.

10. K2

A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5; 6; 7}. a) Hány részhalmaza van A-nak? b) Hány valódi részhalmaza van A-nak? c) Hány 2 elemû részhalmaza van B-nek? d) Hány 4 elemû részhalmaza van B-nek? e) Hány olyan halmaz van, amelyik A-nak és B-nek is részhalmaza?

Megoldás a) 8 darab. 0 elemû 1, 1 elemû 3, 2 elemû 3 és 3 elemû 1. b) 7; nem valódi részhalmaz az {1; 2; 3}, azaz A önmaga. c) 15. A 2 öt részhalmazban szerepel; a 3 további négy részhalmazban (a {2; 3} lehetõséget már számoltuk); a 4 további három részhalmazban; az 5 kettõben; végül a 6 egyben (ez a {6; 7} részhalmaz). Ösz-











































3. MÛVELETEK HALMAZOKKA HALMAZOKKALL

3. MÛVELETEK HALMAZOKKAL 1. K1

Legyen A = {egyjegyû páros természetes számok}, B = {5-nél nem nagyobb természetes számok}, s a H alaphalmaznak tekintsük az egyjegyû természetes számok halmazát. a) Szemléltessük a halmazokat Venn-diagrammal! Adjuk meg – például felsorolással – az alábbi halmazokat! b) A + B; c) B + A; d) A , B; e) B , A; f) A \ B; g) B \ A; h) A ; i) B ; j) A + B ; k) A , B ; l) A \ B ; m) B \ A ; n) A + B ; o) A + B ; p) A , B ; q) A , B . A kapott eredmények között vannak-e egyenlõk?

Megoldás a)

H A

B 0

6

1

2 8 7

4

3 5 9

{0; 2; 4}; c) {0; 2; 4}; {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}; f) {6; 8}; {1; 3; 5; 7; 9}; i) {6; 7; 8; 9}; {7; 9}; l) {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7; 9}; {1; 3; 5}; o) {7; 9}; {1; 3; 5; 6; 7; 8; 9}. Egyenlõ halmazok: b) és c); d) és e); g) és n); k) és o); m) és p) b) e) h) k) n) q)

d) g) j) m) p)

{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}; {1; 3; 5}; {1; 3; 5; 6; 7; 8; 9}; {0; 2; 4; 6; 7; 8; 9}; {0; 2; 4; 6; 7; 8; 9};











































I. HALMAZOK, KOMBINATOR KOMBINATORIKA IKA Megoldás a)

H A

4

B

6 2

8

9

0

14

15

10

1

11

5 13

b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

3

12

C

7

{0}; {0}; {0; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15}; {0; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15}; {2; 4; 8; 14}; {0; 2; 4; 8; 10; 14}; {0; 10; 15}; {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 15}; {2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 14}; {0; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14}; {6; 12};

m) {6; 12}; m){6; n) {2; 4; 8; 14}; o) {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14}; p) {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14}; q) {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}; r) {1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14}; s) {0; 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15}; t) {5; 10}; u) {1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14}; v) {0; 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15}; z) {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}.

A bonyolultabb bo nyolultabb feladatokat érdemes részekre rés zekre bontással megoldani, azaz a mûveleteket lépésenként végezni. Például: g) A \ (B (B \ C): Elõször meghatározzuk a B \ C halmazt: {0; 3; 6; 9; 12; 15} \ {0; 5; 10; 15} = {3; 6; 9; 12}. Ezután a kapott halmazt kivonjuk A kivonjuk A-ból: -ból: {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14} \ {3; 6; 6 ; 9; 12} = {0; 2; 4; 8; 10; 14}. Egy másik példa: t) B + C : Elõször meghatározzuk a B halmazt: B = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14}. Ezután a két halmaz metszetét állapítjuk meg: B + C = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14} + {0; 5; 10; 15} = {5; 10}.













































3. MÛVELETEK HALMAZOKKA HALMAZOKKALL Egy másik példa: j) példa: j) A \ ^ B \ Ch: Elõször meghatározzuk a B

B

halmazt (lásd elõzõ feladat):

= {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14}.

= {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14} \ {0; 5; 10; 15} = {1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14}; végül: A \ ^ B \ Ch = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14} \ {1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14} = {0; 6; 10; 12}. B \ C

Egy másik megoldási út (szemléltetési lehetõség) a megfelelõ tartományok lépésenként, más-más színnel történõ színezése.

4. K1

A H alaphalmazon adott az A az A és B halmaz (azaz A (azaz A 3 H H,, B 3 H H). ). Határozzuk meg az alábbi halmazokat! a) A + B B,, ha A ha A = Q; b) A , B B,, ha A ha A = Q; c) A \ B, ha A ha A = Q; d) B \ B \ A A,, ha A ha A = Q; e) A , ha A ha A = Q; f) A + B B,, ha A ha A 3 B B;; g) A , B B,, ha A ha A 3 B B;; h) A \ A \ B, ha A ha A 3 B B;; i)

B \ A ,

ha A 3 B ha A B;;

j)

A ;

k)

A .

Megoldás a) Q;

b) B; B;

c) Q;

d) B; B;

e) H; H;

f) A; A;

g) B; B;

h) Q;

i) Q;

j) A; A;

k) A .

A j) és k) feladatok alapján általánosíthatunk: ha egy A A j) egy A halmaznak n-szer vesszük a komplementerét, akkor az eredmény n paritásától függõen A függõen A vagy A . Az A Az A j B kapcsolatot fogalmazzuk meg a metszet, illetve a különbség mûvelete segítségével!













































I. HALMAZOK, KOMBINATOR KOMBINATORIKA IKA b) A + B: (2), (3), (4) tartományok. A , B: (2), (3), (4) szintén; ezzel az állítást igazoltuk. H A

B (2)

(5)

(6)

(1) (4)

(3) (7) (8)

C

A H alaphalmaz, valamint A, B és C Venn-diagramján (1), (2), …, (8)-cal jelöltük az egyes tartományokat. (Például (2) jelenti az ( A A + B) \ C részhalmazt.) A c) és d) feladat által meghatározott tartományok: c) A (A + B) , C: (1), (2), (3), (4), (7); ( A A , C) + (B , C): (1), (2), (3), (4), (7); vagyis az egyenlet két oldala valóban azonos. áll ítás is igaz. d) A (A , B) + C: (1), (3), (4); ( A A + C) , (B + C): (1), (3), (4). Ez az állítás

8. K2

Adott a H alaphalmaz, valamint két halmaz, A és B. Venn-diagramjukon (1), (2), (3), illetve (4)-gyel jelöltük az egyes tartományokat. (Például (2) jelenti az A \ B részhalmazt.)













































3. MÛVELETEK HALMAZOKKA HALMAZOKKALL 9. K2

Tekintsük az A = {egyjegyû páros természetes számok} és B = {egyjegyû (pozitív) prímszámok} halmazokat, s a H alaphalmaznak tekintsük az egyjegyû természetes számok halmazát! H B

A (2)

(1)

(3)

(4)

Fogalmazzuk meg, hogy mi jellemzi az alább felsorolt tartományok elemeit, s ezeket adjuk meg az unió és kivonás halmazmûveleteivel is! a) (1); b) (2); c) (4); d) (2), (3); e) (2), (4); f) (1), (4); g) (1), (3), (4); h) (2), (3), (4).

Megoldás A tartomány (vagy tartományok) elemei olyan egyjegyû egyjegyû természetes számok, a) amelyek páros számok és prímszámok; b) amelyek páros számok, de nem prímszámok; c) amelyek sem páros számok, sem prímszámok;













































I. HALMAZOK, KOMBINATOR KOMBINATORIKA IKA

4. EGYSZERÛ ÖSSZESZÁMOLÁSI FELADATOK 1. K1

A Magyar Értelmezõ Kéziszótár (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1972) 197 2) címszavakat tartalmazó oldalai 1-tõl 1550-ig számozottak. Az oldalak sorszámozása közben összesen hány számjegyet nyomtattak a lexikon lap jaira?

Megoldás 1-tõl 9-ig 9 darab egyjegyû számot nyomtattak; 10-tõl 99-ig 90 darab kétjegyût; 100-tól 999-ig 900 darab háromjegyût; 1000-tõl 1550-ig 551 darab négyjegyût. Az összes leírt számjegy száma 9 ⋅ 1 + 90 ⋅ 2 + + 900 ⋅ 3 + 551 ⋅ 4 = 5093 darab. 2. K1

Az A vagy B összeg a nagyobb? a) A = 101 + 103 + 105 + … + 801, b) A = 201 + 204 + 207 + … + 801,

B = 100 + 102 + 104 + … + 800; B = 200 + 203 + 206 + … + 800 + 803.

Megoldás a) A B összeg minden tagja 1-gyel kisebb, így az A összeg a nagyobb. (801 – 101 = 700; 700 : 2 = 350; tehát az A és B összeg is 351 tagból áll. A – B = 351.) b) Az A összeg 201 tagú, a B 202 tagú; B a nagyobb. (A különbség: 803 – 201 = 602.)













































4. EGYSZERÛ ÖSSZESZÁMOLÁ ÖSSZESZÁMOLÁSI SI FELADATOK Megoldás darab részhalmaz részhalmazban ban szerepel: szerepel: {1; 2}, {1; 3}, …, {1; 100}. A 2 további 98 részrésza) Az 1 elem 99 darab halmazban, mert az {1; 2} lehetõséget már számoltuk: {2; 3}, {2; 4}, …, {2; 100}. A 3 további 97 részhalmazban; a 4 további 96-ban és így tovább. Végül a 99 elem egy részhalmazban (ez a {99; 100} részhalmaz). Összesen 99 + 98 + 97 + … + 1 = 4950 a 2 elemû részhalmazok száma. (Ez utóbbi összeget legegyszerûbben a párosítás módszerével határozhat juk meg. meg. 99 + 1 = 100; 98 + 2 = 100; 97 97 + 3 = 100stb. Mivel 49 pár képezhetõ, a keresett összeg 49 ⋅ 100 + 50.) b) 4950. Minden 98 elemû részhalmaz párosítható a kimaradt két elembõl álló részhalmazzal. A 98 és 2 elemû részhalmazok száma megegyezik. c) Az elõzõ pontban leírt szimmetriatulajdonság miatt a kétfajta részhalmaz száma ugyanannyi. 7. K1

Egy összejövetelen 5 fiú és 5 lány vesz részt. A táncoló pároknak hányféle összetétele lehetséges, ha mindenki táncol, és a lányok egymással, illetve a fiúk egymással nem táncolnak?

Megoldás Állítsuk sorba a fiúkat! Ehhez a rögzített sorrendhez a lányok bármilyen sorrendje egy-egy lehetséges (különbözõ) táncrendet ad. Az öt lányt 5! = 120-féleképpen állíthatjuk sorba. 8. K2

Feldobunk egyszerre egy piros és egy fehér dobókockát. a) Hányféle eredménye lehet a dobásnak?















































I. HALMAZOK, KOMBINATOR KOMBINATORIKA IKA 9. K1

Hányféle különbözõen kitöltött, hagyományos totószelvény van? (A klasszikus totószelvényen 13 + 1 mérkõzés végeredményére tippelhetünk, mindegyik tipp lehet 1, 2 vagy X.)

Megoldás Mindegyik tipp 3-féle lehet, a különbözõ kitöltések száma 3 14 = 4 782 969. 10. K2

A 2-es számrendszerben hány a) legfeljebb 6 jegyû; b) pontosan 6 jegyû természetes szám van?

Megoldás















































4. EGYSZERÛ ÖSSZESZÁMOLÁ ÖSSZESZÁMOLÁSI SI FELADATOK Harmadik gondolatmenet: Hiába egyforma külsõre a két kocka, azért csak különböznek egy-

mástól. Így az elõzõ táblázat módosul: 2 3 4 5 1+1 1+2 1+3 1+4 2+1 2+2 2+3 3+1 3+2 4+1 db:

1

2

3

4

6 1+5 2+4 3+3 4+2 5+1 5

7 1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1 6

8 2+6 3+5 4+4 5+3 6+2 5

9 10 11 12 3+6 4+6 5+6 6+6 4+5 5+5 6+5 5+4 6+4 6+3 4

3

2

1















































I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA 14.

Egy szabályos játékkockával három dobást végzünk, a kapott számokat egymás mellé írjuk, s így egy háromjegyû számot kapunk. K2 a) Hányféle számot kaphatunk? K2 b) Hányféle számot kaphatunk, amelyben legalább az egyik számjegy 6-os? K2 c) Hányféle számot kaphatunk, amelyben a számjegyek szorzata páros? E1 d) Hányféle számot kaphatunk, amelyben van 1-es és 6-os számjegy is? Megoldás a) 63 = 216. b) Nincs 6-os: 53 = 125 lehetõség. Van 6-os: 216 – 125 = 91. c) Ha minden számjegy páratlan: 3 3 = 27 eset. A komplementer leszámolás módszerével az eredmény

216 – 27 = 189. (Ekkor a számjegyek között van páros.)















































5. HALMAZOK ELEMSZÁMA

5. HALMAZOK ELEMSZÁMA 1.

Legyen a H = {1; 2; 3; … , 50} alaphalmaz három részhalmaza A = {páros számok}, B = {3mal osztható számok}, C = {négyzetszámok}. Határozzuk meg az alábbi halmazok elemszámait! K1 a) K1 a) C ; K1 K1 b) b) B + C; K1 K1 c) c) A , C; K1 K1 d) d) A \ C; K2 K2 e) e) B , C ; K2 K2 f) f) B \ C ; K2 K2 g) g) C + A ; K2 h) K2 h) C \ A .

Megoldás = {2; 4; 6; …; 50}, = {3; 6; 9; …; 48},

= {1; 4; 9; 16; 25; 36; 49}.















































I. HALMAZOK, KOMBINATOR KOMBINATORIKA IKA 4. E1

Melyik igaz az elõzõ feladat állításai közül, ha A, B végtelen halmazok, és az állításokban az elemszámok helyett halmazok számossága szerepel?

Megoldás Egyik állítás sem fog teljesülni. a) Ellenpélda: A = Z+, B = N. Most az A és A , B = B halmazok számossága megegyezik az 1 ↔ 0, 2 ↔ 1, 3 ↔ 2 stb. megfeleltetés miatt, de B j A. b) Az elõzõ ellenpélda most is megfelelõ. c) Legyen fordítva az ellenpélda: A = N, N, B B = Z+. Ekkor A és A + B számossága megegyezik, és A j B. d) Az elõzõ c) ellenpélda most is megfelelõ. e) Ellenpélda az A = {1; 3; 5; 7; …} és B = {2; 4; 6; 8; …} halmaz.

















































5. HALMAZOK ELEMSZÁMA Megoldás a) Az A (A , B) , C halmazba szemléletesen azok az elemek tartoznak, ahol az elsõ három sor va-

















































I. HALMAZOK, KOMBINATOR KOMBINATORIKA IKA Megoldás Vezessük be

A \ B

B \ A

b

A+B

jelöléseket. ( b, c ! N.)

















































5. HALMAZOK ELEMSZÁMA 2. megoldás: A

A \ B

+

A+B

8 +3

11 A , B

A

+

B

A + B innen

















































I. HALMAZOK, KOMBINATOR KOMBINATORIKA IKA

6. PONTHALMAZOK

















































6. PONTHALMAZOK 1. Megoldás Az egyes ponthalmazok az ábrán láthatók.





















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































III. ALGEBRA c) Az f számnál 15-tel kisebb szám négyzetének harmada. 2 Megoldás: ]f -315g , f ! R .

d) A p és q számok összegének reciproka. 1 Megoldás: p + , p ! R, q ! R, p ! -q . q

e) A r és s számok reciprokának összege.

Megoldás: 1r + 1s , r ! R, s ! R, r ! 0, s ! 0 .









































22. EGYNEMÛ KIFEJEZÉSEK SZORZÁSA, ÖSSZEVONÁSA, ÖSSZEVONÁSA, …

22. EGYNEMÛ KIFEJEZÉSEK SZORZÁSA, ÖSSZEVONÁSA, POLINOMOK 1. K1

Melyek az egynemû kifejezések a következõ egytagú kifejezések között? a) -2ab2 ; 3,2ab ; 5 a2 b; 17ab; 9a2 b; -7ab; 9 ab2; -5a2 b. 6 13 9 ab2 . 13

Megoldás: Egynemûek: -2ab2 ,

b) 3 x yz ; 2

3 xyz ;

Egynemûek: 3,2ab ,

17ab ,

Egynemûek: 65 a2 b ,

9a2 b ,

xy z ; 5,3 xyz ; 2

-4

xyz2

-

3

;

5 xy 2 z ;

-5

ab .

a2 b .

2,4xy2 z ; 72 $ x2 yz ; 5

b 32 l

2

$

xyz2;

x2 yz;

-15

xy2 z .

-3,6

Megoldás: Egynemûek: 3 x2 yz ,

72 $ x 2 yz ,

Egynemûek: 5,3 xyz, Egynemûek:

b 32 l

2

x2 yz .

-15

2,4xy 2 z , 5 xy2 z , 5

Egynemûek: -4 xy2 z ,

2. K1

-7

xy2 z .

-3,6

3xyz .

xyz2 ,

$

xyz2

-

3

.

Válasszuk ki az alábbi kifejezések közül az egytagúakat! Határozzuk meg az egytagú kifejezések k ifejezések együtthatóját! a) 2a + b ; -5 x3 ; 0,6 x $ x ; - 1 + y ; a2 - b2. 3

Megoldás: Egytagú: -5 x3 , együttható: –5. Egytagú: 0,6 x2, együttható: 0,6. b) 3a2 + b $ b ; 10 xcyy ; 4

Megoldás: Egytagú:

x3 + y ;

-

xyxy ; 5xy .

-

10 xcyy , együttható: 10 . 4 4

Egytagú: - xyxy , együttható: –1. Egytagú: 5 xy , együttható: 5. c) ab + c ; e $ f ; 2a + 2b; 3xxb + c2; 2

ab2 c .

-3

Megoldás: Egytagú: e2$ f , együttható: 21 . Egytagú: -3ab2 c , együttható: –3.

3.

Végezzük el az alábbi egytagú kifejezések szorzását! 3 5 Megoldás: K1 a)

8









































III. ALGEBRA

4. K1

K2

e) ^-4 x5h $ ^-7x 4h ^3x3h ;

K2

f) ^6a2 bh $ ^-3a3b 5h ;

Megoldás: -18a5 b6 .

K2

g) ^-5bc2h $ ^4b2 ch ;

Megoldás: -20b3 c3 .

K2

h) 21 x8 y 4 $ 132 x 5y 8 ;

K2

i)

K2

j) 4d2 e3 $ ^-8e 2 d 5h ;

K2

k) ^-5 x nh $

-

2 n+3 ; x 5

Megoldás: 2x2n 3.

K2

l) ^ x2n

-

3 n+ 1 x 4

Megoldás: - 3 x3n .

9

11

a6 $ 6a 4 $

-2

b h$b

-1

b

-

Megoldás: 84x12.

l

5 3 a ; 24

13 1 2 Megoldás: 28x 13 y .

Megoldás: 5 a13.

2

Megoldás: -32e5 d7 .

l l.

+

4

Végezzük el az összevonásokat a következõ kifejezésekben! a) 5 x - 4x - 9x ; Megoldás: -8 x . b) 6a - ]-12ag + 21a - 7a ; Megoldás: 32 32a. a.

_

i

c) 11 y2 - -5y2 - 25y 2; d) 8 xy - 5xy + 12xy ;

Megoldás: -9 y 2 . Megoldás: 15 xy.

e) 1,4 x2 z - 3,6 x2 z + 5,7 x2 z - _-6, 4 x2 zi ; f) 15abaa - 17a 3b - 5a 2ab + 21ba 3;

Megoldás: 9,9 x2 z . Megoldás: 14a3 b .

g) 5a3 b2 + 7b 2a 3 - 4a 2b 2a + 3ab 2a 2 + 175ba 2ab . Megoldás: 186a3b 2.









































23. POLINOMOK FOKSZÁMA, EGYENLÕSÉGE, ZÉRUSHELYE

23. POLINOMOK FOKSZÁMA, EGYENLÕSÉGE, ZÉRUSHELYE 1. K1

Határozzuk meg a polinomok fokszámát! a) 1 a ; 7 3 b) 4 x ;

5

Megoldás: fokszám: 3.

c) 14a5 + 7a 4 - a; 3

d) p q

2. K1

4

+

3p

5

4q

-

2

Megoldás: fokszám: 5. Megoldás: fokszám: 7.

.

Keressük meg a polinomok zérushelyeit! a) a] xg = 4 - 3x ;

Megoldás: a polinom zérushelye: 34 .

b) b] xg = 2 x ;

Megoldás: a polinom zérushelye: 0.

5

c) c] xg = x2 - 1.

3. K1

Megoldás: fokszám: 1.

Megoldás: a polinom zérushelyei: 1; –1.

Határozzuk meg az alábbi polinomokban a hiányzó együtthatókat úgy, hogy az egyenlõség két oldalán álló polinomok egyenlõek legyenek! a) x2 + 3x - 5 = 3x - 5 - ax 2; a=

Megoldás: a = -1. b)

x 4 + 6x3 - 4x + 1 = 6 x 3 - ax 4 + bx 2 - 4 x + 1;

a=

-3

b=

Megoldás: a = 3, b = 0 . 4. K2

Számítsuk ki az alábbi polinomok helyettesítési értékét a megadott helyeken! a) 5 x2 - 3y2 + 8- x 2 - 2xy + y 2 + 5 x 2 - 5 xy + 2 y 2 B ; x = 1; y = 2.

_

i

_

i _

i

Megoldás

_5 x

2

-

i

3y 2

8

+ -

_x

2

-2

i _5x

xy + y 2

A helyettesítési érték: –5. b)

b

-

+

2

-5

i

xy + 2 y 2 B = 9 x 2 - 3 xy - 2 y 2.

l bx y

-

1 2 2 x y + 1 xy - 4 3 12

l bx y

-

1 2 2 x y + 1 xy - 4 3 12

1 2 2 2 x y - xy + 5 x2 y 2 + 2 2 3 6

-

2 2

l;

x = - 4; y = 1 . 2

Megoldás

b

-

1 2 2 2 x y - xy + 5 x2 y 2 + 2 2 3 6

A helyettesítési érték:

5. K1

-

2 2

l

=

1 2 2 3 x y - xy + 6 . 3 4

37 . 6

Döntsük el, hogy az alábbi polinomoknak a megadott számok közül melyik zérushelye! a) p] xg = x2 - 5x + 6 ; x = 0 ; 2; 4; 3.

Megoldás: x1 = 2; x2 = 3.









































III. ALGEBRA 6. K1

Tekintsük a következõ polinomot: p] xg = x 4 + x3 + 2x2 + x + 20 . Igaz-e rá az állítás? A p( p(x) x) polinom bármely pozitív valós számra pozitív értéket vesz fel. Megoldás Az állítás igaz, mert ekkor az összeg minden tagja pozitív.











































24. MÛVELETEK POLINOMOKKA POLINOMOKKALL

24. MÛVELETEK POLINOMOKKAL 1. K1

2.

Végezzük el a következõ összevonásokat! a) 32a - ]17a + 22bg; b) 12 x - ^8y + 5 xh ; c) ]23a + 45bg - ]18 a - 7 bg; d) ^9a2 - 5ah - ^11a 2 - 7ah .

Megoldás: 15a - 22b . Megoldás: 7x - 8y . Megoldás: 5a + 52b . Megoldás: -2a2 + 2a .

Bontsuk fel a zárójelet, és végezzük el a lehetséges összevonásokat! 2 2 2 K1 a) _1,1 xy - 2x y + 7,5 xy i - _1,8 xxy - 5 ,7 y x + 2 ,5 xy i .

Megoldás xy - 3,8 x2 y + 13,2 xy 2 .

-1,4

K1

b) ^3a3 b - 13b 2h - ^7a 3b + 6b 2h .

Megoldás a3b - 19b 2 .

-4

K1

c) ^2 xy - 31xz - 23 yzh - ^7 yz - 16 xy + 12 xzh .

Megoldás 18 xy - 43xz - 30 yz . K2

1 3rsh + ^3r 2s - 6 sr 2h - ^-7 sr + 5 r 2s - 11 rs 2h . d) ^4r2 s + 8rs 2 - 13

Megoldás r2 s + 19rs 2 - 6rs .

-4

K1

e) ^8 x - 3y h - 5 ^4 x - 3 y h + 2 ^3 y - 7 xh .

Megoldás

^8 x - 3yh - 5^4x - 3yh + 2 ^3 y - 7 xh = 8x - 3 y - 20 x + 15 y + 6 y - 14 x = -26 x + 18 y . K2

f) ^3 x3 - 2x2 + 4x - 3h + 2^-3 x 3 + 5 x2 - 9x + 7 h - 3 ^2 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 1h .

Megoldás









































III. ALGEBRA

25. NÉHÁNY NEVEZETES SZORZAT 1. K1

Végezzük el a következõ mûveleteket! a) x + y 2 ; b) ]a + 3g2 ; 2 c) y - 1 ; d) ]2b - 3g2 ; e) ]5d + 1g2 ;

^ h ^ h

b 2a 2l ; 2

f)

2 h) ^3a2 - 5h ; 2 i) ^4b2 + 3bh ; 2

-

2 k) ^7m2 n - 5mn2h ;

b 53 x y m) b 11 z s 7 l)

3

+

4 2

2.

l;

3 2 xy 5

-

Megoldás: x2 + 4x + 4 . Megoldás: 9a4 - 30a2 + 25. Megoldás: 16b 4 + 24b3 + 9b 2. Megoldás: 25x4 y2 - 10x 2y + 1. Megoldás: 49m4 n2 - 70 m3n3 + 25 m 2n 4.

_5 x y 1i ; 2

2 Megoldás: a4 - 2a + 4 .

-

g) ]- x - 2g2 ;

j)

Megoldás: x2 + 2xy + y2. Megoldás: a2 + 6a + 9 . Megoldás: y2 - 2y + 1. Megoldás: 4b2 - 12b + 9 . Megoldás: 25d2 + 10d + 1.

2

l.

14 2 3 zs 3

2

Megoldás:

25 6 2 x y + 2x 4 y 3 + 9 x 2y 4. 9 25

Megoldás:

121 8 4 44 6 5 196 4 6 z s - z s + z s. 49 3 9

Alakítsuk át az alábbi háromtagú összegeket kéttagú összeg vagy különbség négyzeteként! 2 Megoldás: ] x - 1g2 . K1 a) x - 2x + 1; 2 Megoldás: y + 3 2 . K1 b) y + 6y + 9 ; 2 Megoldás: ]m - 10g2 . K1 c) m - 20m + 100 ; 2 Megoldás: ]3z - 8g2 . K1 d) 9 z - 48z + 64 ; 2 2 Megoldás: 5j + 2i 2 . K1 e) 25 j + 20ij + 4 i ;

^ h

^

K2

f) 36 a2 - 9 ab + 9 b2 ; 7

K1

g) y 4 - 8y 2 + 16 ;

K2

h) x6 + x3 + 1 ;

K2

i) 9 n2 - 6 n $ m + 4 m2 .

49

16

5

3

2

-

2

25

b 76 a 34 bl . Megoldás: _ y 4i . Megoldás: b x 21l . Megoldás: b 32 n 52 ml . Megoldás:

4

4

h

-

2

2

+

2

-









































25. NÉHÁNY NEVEZETES SZORZAT 4. K1

A tanult nevezetes azonosságok felhasználásával bontsuk fel a zárójelet! zárójelet! Megoldás: x2 - 1. a) ] x - 1g ] x + 1g; Megoldás: y 2 - 25. b) y + 5 y - 5 ; Megoldás: 4a2 - 9 . c) ]2a - 3g ]2 a + 3g; Megoldás: 4x2 - 25y 2. d) 2 x - 5y 2x + 5y ; Megoldás: 49m4 - 4 . e) ^7m2 - 2h ^7m 2 + 2h;

^ h^ h ^ h^ h

f)

b 43 y

+

l b 43 y

3 2 y 5

-

l;

3 2 y 5

g) ^4 x3 - 5xh ^4x3 + 5 xh ;

Megoldás:

16 2 y - 9 y 4 . 9 25

Megoldás: 16x6 - 25x2.

h) 1 a - 2 b 1 a + 2 b ; 7 7

l

4 2 Megoldás: 91 a2 - 49 b.

i) _2, 5 + a2i _2, 5 - a 2i ;

Megoldás:

Megoldás: 36x4 y 2 - 1.

b3

_

lb3

i_

i

j) 6 x2 y + 1 6x2 y - 1 .

25 4 -a . 4









































III. ALGEBRA

26. AZ AZONOSSÁGOK ALKALMAZÁSA ALKALMAZÁSA 1.

Számítsuk ki a tanult azonosságok felhasználásával a következõ szorzásokat, kivonásokat, osztásokat! K1 a) 98 $ 10 102 2; 75 $ 65; 51 $ 49 .

Megoldás ]100 - 2g ]100 + 2g = 100 2 - 2 2 = 9996 ; 75 $ 65 = ]70 + 5g ]70 - 5g = 70 2 - 5 2 = 4875 ; 51 $ 49 = ]50 + 1g ]50 - 1g = 50 2 - 1 2 = 2499 . 98 $ 102

=

b) 0, 8 $ 1, 2 ;

K1

307 30 7 $ 29 293 3;

9, 9 $ 10, 1.

Megoldás Az elõzõ, a) feladat alapján: 99,99. 0,96; 89 951; c) 482 - 38 2;

K1

165 2 - 35 2.

Megoldás Az elõzõ, a) feladat alapján: a2 - b2 = ]a + bg ]a - bg. 482 - 38 2 = 860 ; 2 2 d) 31 2 - 29 2 ;

K2

43

-

41

165 2 - 35 2 = 26 000 . 768 2 - 542 2 . 458 2 - 232 2

Megoldás ]31 + 29g ]31 31 - 29g 120 5 ; ]43 + 41g ]43 - 41g = 168 = 7 2 2 ]768 + 542g ]76 768 - 542 768 - 542g 1310 13 10 $ 22 226 6 = 2 2 = 690 69 0 $ 22 226 6 ]458 + 232g ]45 4 58 - 232g 458 - 232 2

2

31 - 29 432 - 41 2

2. E1

=

=

131 . 69

Végezzük el a következõ mûveleteket! Megoldás: x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2 xz . a) x + y + z 2 ;

^ b) ^ x

h

+

h

2 2y + z ;

c) ] x + b + 5g2 ;

b

l 2

2

Megoldás: x2 + 4y2 + z2 + 4xy + 4yz + 2xz . Megoldás: x2 + b2 + 25 + 2bx + 10b + 10 x .

d) ay - bx + 1 ;

Megoldás: a2 y2 + b 2x 2 + 41 - 2abxy - bx + ay .

e) ]2m

Megoldás: 4m2 + 9n2 + 1

3n + 1g2 ;

12 mn

6n + 4m









































26. AZ AZONOSSÁGOK ALKALMAZÁSA 4. K1

Két szám összege 10, szorzatuk 21. Mennyi a két szám négyzetének az összege?

Megoldás Jelöljük a számokat a-val és b-vel. Ekkor: a + b = 10 és ab = 21. a2 + b2 = ]a + bg2 - 2ab = 10 2 - 2 $ 21

5. K1

=

58 .

Két szám összege négy, szorzata 15 . Mennyi a két szám négyzetének az összege? 4

Megoldás Jelöljük a számokat a-val és b-vel. Ekkor: a + b = 4 , ab = 15 . 4

a2 + b2 = ]a + bg2 - 2ab = 4 2 - 2 $ 15 = 8,5 . 4

6. K1

Két szám szorzata 12, különbsége 16 . Mennyi a két szám összegének négyzete? 3

Megoldás Jelöljük a számokat a-val és b-vel. Ekkor: a - b = 16 , ab = 12. 3

]a + bg2 = ]a - bg2 + 4ab = 256 + 48 = 688 . 9

7. K2

9

A zárójelek felbontása után írjuk egyszerûbb alakba a következõ kifejezéseket! kifejezéseket! 2 2 a) ]3 - xg + ]3 - xg ]3 + xg + 6 ] x + 1g .

Megoldás ]3 - xg2 + ]3 - xg ]3 + xg + 6] x + 1g2 = 9 - 6 x + x2 + 9 - x2 + 6 x2 + 12 x + 6

^

h^

=6

h 4^y 2h .

b) 2 y - 3 2y + 3

-

2

-

Megoldás

^2 y 3h ^2y 3h 4^y 2h -

+

-

-

2

=

4 y2 - 9 - 4 y2 + 16 y - 16

= 16

y -25 25 .

c) 3]2 - xg2 + 4 ] x - 5g2 .

Megoldás 2 2 3]2 - xg + 4 ] x - 5g = 12 - 12 x + 3x2 + 4 x2 - 40 x + 100

^

h^

d) 5 1 - y 1 + y

h 8 ^1 yh ^2 y h . -

-

2

-

-

2

=7

x2 - 52 x + 112 .

x2 + 6 x + 24 .











































III. ALGEBRA g) 5a]a - 3g2 - 5 ] a - 1g3 + 15 ] a + 2g] a - 2g.

Megoldás 5a]a - 3g

2

=

-

5 ] a - 1g

3

+ 15

]a + 2g] a - 2g =

5a3 - 30 a2 + 45 a - 5 a3 + 15 a2 - 15 a + 5

^ h y^ y h ^ y h _ y

h) y + 2

3

-

3

+1

2

+

2

+1

4

+ 15

a2 - 60

=

30 a - 55 . 30

i

2

-2

y + 1 .

2

-2

y + 1

Megoldás

^ y h y^ y h ^ y h _ y +

=

2

3

-

3

+1

2

+

2

+1

4

i

=

y3 + 6y2 + 12y + 8 - 9 y3 - 6 y 2 - y + 8 y 3 - 4 y 2 + 2 y + 4 y 2 - 2 y + 1

= 11

y + 9 .











































27. POLINOMOK SZORZATTÁ ALAKÍTÁSÁNAK MÓDSZEREI

27. POLINOMOK SZORZATTÁ ALAKÍTÁSÁNAK MÓDSZEREI 1. K1

Milyen mûveleti sorrendet kell figyelembe venni az alábbi mûveletek elvégzésekor? Ennek segítségével határozzuk meg, melyik összeg és melyik szorzat az alábbi kifejezések közül! 2 a) 2 xy + z ; d ;

-

5

^ h

7 x x + y ; 5

c5 d2; aaxayy ; 3 + xx +

yyy 3

Megoldás: 2 xy + z : összeg; d2 : szorzat; 5

-

^ h

7 x x + y : szorzat; 5

c5 d 2: szorzat; aaxayy : szorzat; yyy : összeg. 3 + xx + 3

b3 2 l

b) x $ a + b ; ^ x2 + 2h y 3; 2x]1 - xg; 2

b

l

Megoldás: x2 $ 3a + 2b : szorzat; ^ x2 + 2h y 3: szorzat; 2 x]1 - xg: szorzat; -

5 4 a : szorzat; 3

25b 2 - 16a 2 : összeg.

-

5 4 a ; 3

25b 2 - 16a 2.

.











































III. ALGEBRA x

Megoldás: ] x + 3g

3

^ yh 5+

=

by + 5x + 5 $ 3 + ] x + 3 - bgy .

5

y

b

Megoldás: ] x + 3g ] x + 2g = x2 + 2 $ x + 3 ] x + 2g.

x 2

x

3

3.

Kiemeléssel alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket! k ifejezéseket! Megoldás: 3]4a - cg. K1 a) 12a - 3 c ; Megoldás: b]a + cg. K1 b) ab + bc ; Megoldás: 3a 5x - 9y . K1 c) 15ax - 27 ay ; 2 Megoldás: xy] x - zg. K1 d) x y - xzy ; Megoldás: 6]1 - 2xg. K1 e) 6 - 12 x ; 3 Megoldás: 6a^4a2 - 9h . K1 f) 24a - 54 a ; 3 4 2 Megoldás: ab2 ^ a2b2 - 1h . K1 g) a b - ab ; k k 1 Megoldás: xk ]1 + xg. ; K1 h) x + x ^ h

^

+

h











































27. POLINOMOK SZORZATTÁ ALAKÍTÁSÁNAK MÓDSZEREI E1

c) x2 - 8x + 15.

Megoldás: ^ x2 - 6x + 9h + ]- 2x + 6g = ] x - 3g2 - 2 ] x - 3g = ] x - 3g] x - 5g. E1

d) x2 - 3x + 2.

Megoldás: ^ x2 - 2x + 1h - ] x - 1g = ] x - 1g2 - ] x - 1g = ] x - 1g] x - 2g. E1

e) x2 - x - 12.

Megoldás: ] x - 4g ] x + 3g. E1

f) x2 - 2x - 8 .

Megoldás: ] x - 4g ] x + 2g.











































III. ALGEBRA

28. SZORZATTÁ ALAKÍTÁS NEVEZETES SZORZATOK FELHASZNÁLÁSÁVAL Alakítsunk szorzattá a tanult módszerek együttes együ ttes alkalmazásával! alk almazásával! (kiemelés, nevezetes azonosságok felhasználása)

1. K1

f) 8a 4 b2 - 98a 2 b 4;

Megoldás: 2]a - bg ]a + bg. Megoldás: 10] x - 1g ] x + 1g. Megoldás: 3x] x + 1g] x - 1g. Megoldás: mn]m - ng ]m + ng. Megoldás: 2]3a + 5bg]3 a - 5 bg. Megoldás: 2a2 b2 ]2a + 7bg]2a - 7bg.

g) 8 x5 y3 - 2 xy 3.

Megoldás: 2xy3 52 x2 + 71

a) 3a2 - 6ab + 3 b2 ;

Megoldás: 3^a2 - 2ab + b2h = 3]a - bg2 . Megoldás: 7]c + dg2 . Megoldás: 15a]b - 1g2 . Megoldás: -] x + 1g2 . Megoldás: - y - 2 2 .

a) 2a2 - 2b 2 ; b) 10 x2 - 10 ;

c) 3 x3 - 3x ;

d) m n - mn ; 3

3

e) 18a2 - 50b 2;

25

2. K1

49

b) 7c2 + 14cd + 7d2 ;

c) 15ab2 - 30ab + 15 a;

d) - x2 - 2x - 1; e) - y

3. K2

2

+

b

4y - 4 .

a) a2 + 2ab + b2 - 1.

Megoldás: ]a + bg2 - 1 = ]a + b + 1g ]a + b - 1g. b)

2

2

2

9

^ h

l b 52 x

2

-

1 7

l.













































28. SZORZATTÁ ALAKÍTÁS NEVEZETES SZORZATOK FELHASZNÁLÁSÁVAL 4. K2

Alakítsuk teljes négyzetté, majd ennek felhasználásával szorzattá az alábbi kifejezéseket! a) a2 + 6a + 8 .

Megoldás: ]a + 3g2 - 1 = ]a + 4g]a + 2g. b) a2 - 5a + 6 .

Megoldás: ^ a - 2, 5h2 - 0, 25 = ^ a - 2, 5h2 - 0, 5 2 = ]a - 3g] a - 2g. c) a2 - 7a + 12.

Megoldás: ]a - 3g]a - 4g. d) a2 + 2a - 15.

Megoldás: ]a + 5g ]a - 3g. e) a2 - 3a - 10 .

Megoldás: ]a - 5g ]a + 2g. f) a2 + 8a + 12.

Megoldás: ]a + 6g]a + 2g.













































III. ALGEBRA

29. ALGEBRAI TÖRTKIFEJEZÉSEK EGYSZERÛSÍTÉSE, SZORZÁSA, OSZTÁSA 1. K1

Mely számok esetén értelmezhetjük az alábbi törteket? Megoldás: Törtkifejezéseknél a nevezõ vizsgálatával tehetjük meg a kikötést. a) x - 8 ;

Megoldás: Minden valós szám esetén értelmezhetjük a törtet.

b) 10 ; y - 4 c) x + 3 ; x - 8

Megoldás: y - 4 ! 0

Megoldás: x ! R; x ! 8 .

12

2 d) x + 36 ; x + 6 y y - 7 ; e) y f) 5 x - 5 ; 6 x + 3 g) 6 x .

+

1

y ! 4 , ezért y ! R; y ! 4.

Megoldás: x ! R; x ! -6 .

Megoldás: y ! R; y ! 0 .

^ h

2

&

Megoldás: x ! R; x ! - 21 .

Megoldás: Minden valós szám esetén értelmezhetjük a törtet.













































29. ALGEBRAI TÖRTKIFEJEZÉSEK EGYSZERÛSÍTÉSE, … 4.

Egyszerûsítsük a következõ törteket! K2

a)

6 x2 - 12xy + 6 y 2 15 x2 - 15 y 2

Megoldás: K2

b)

c)

15

-

2

=

+

2

-

5

+

, x ! ! y .

3]a - 3g , 7 ]a + 3g

a ! -3.

3 x - 3y + cx - cy . 4c + 12

Megoldás: E1

^ h ^ x y h ^ x yh ^ x y h ^ x y h 6 x - y

3a2 - 27 . 7a2 + 42 a + 63

Megoldás: K2

.

^ h c^ x y h ^ x yh ]

3 x - y

+

4]c + 3g

2 d) a2 + 3a + 2 . a + 6a + 5

a+2

-

=

-

3 + cg

4]c + 3g

=

x - y 4

,

c ! -3.













































III. ALGEBRA K2

2 2 3 2 f) a b + ab $ a 2- a b . ab a + ab 2 2 3 2 Megoldás: a b + ab $ a 2- a b ab a + ab

K2

a]a - bg, a ! 0, b ! 0, a ! -b.

=

5 , 2

2 2 g) 2a - 2b2 $ 5a + 5b . 4a - 4b ]a + bg 2 2 Megoldás: 2a - 2b2 $ 5a + 5b 4a - 4b ]a + bg

6. E1

=

a ! ! b.

Végezzük el a kijelölt mûveleteket! 5 x3 - 5y 3 10 x 2 - 10 y 2 a) 2 . $ 2 x + 2y x - 2xy + y 2 Megoldás:

b)

7 x2 - 7y 2 2 x3 + 2y 3

:

5^ x - y h _ x2 + xy + y 2i

^ x - y h x3 - x2 y . 4 x2 + 4xy

^

h

2

$

10^ x - y h ^ x + y h 2 ^ x + y h

=

25 _ x2 + xy + y2i,

x ! ! y .













































30. ALGEBRAI TÖRTKIFEJEZÉSEK ÖSSZEVONÁSA, …

30. ALGEBRAI TÖRTKIFEJEZÉSEK ÖSSZEVONÁSA, MÛVELETEK TÖRTKIFEJEZÉSEKKEL 1. K1

Végezzük el a következõ törtek összevonását! a) 2a - 3 + a + 1. 6 10

Megoldás:

10a - 15 + 3a + 3 30

=

13a - 12 . 30

b) 4a - 3 - 5a - 7 . 4

Megoldás:

15

60a - 45 - 20 a + 28 60

=

40a - 17 . 60

c) 2a + 3b - 5 $ a - 7b + 2 $ a - b . 3

Megoldás:

2

5

10]2a + 3bg - 75 ]a - 7 bg + 12 ] a - bg 30

=

-43

a + 543 b . 30















































III. ALGEBRA 3. K1

Végezzük el a kijelölt mûveleteket! a)

5 x - 2

+

3

.

x

Megoldás: b)

5 x

-

4

5 x + 3 ] x - 2g x] x - 2g

=

5] x - 1g - 4x x] x - 1g

=

2]4 x - 3g , x ! 0, x ] x - 2g

x ! 2.

.

x-1

Megoldás:

x - 5 , x ] x - 1g

x ! 0,

x ! 1.















































30. ALGEBRAI TÖRTKIFEJEZÉSEK ÖSSZEVONÁSA, … e)

K2

5 2a + 1 3a - 2 . + 2 - 2 a + 4a + 4 a -4 a - 4a + 4 2

Megoldás 5 2a + 1 3a - 2 + 2 - 2 a + 4a + 4 a -4 a - 4a + 4 2

3

=

5. E

5]a - 2g

2

=

+

]2a + 1g]a + 2g]a - 2g - ]3a - 2g ]a + 2g2 = ]a + 2g2 ]a - 2g 2

2

-a -

4a - 32a + 24 , ]a + 2g2 ]a - 2g2

a ! ! 2.

Bizonyítsuk be, hogy az alábbi kifejezések értéke független x-tõl!

b

a) 1 -

2 x - 1 3 x - 2

l b3 $

-

1 1 - x

l.















































IV. OSZTHATÓSÁG, A SZÁMELMÉLET ALAPJAI















































31. A MARADÉKOS OSZTÁS, AZ OSZTHATÓSÁG FOGALMA, … 4.

Legyenek a és b egész számok, valamint a + b = 120 . Helyesek-e az alábbi következtetések? (A feladatban szereplõ összes betû pozitív egész számot jelöl.) akkor or 4 | b. Igaz az,, mive mivell 4 | 12 120. 0. Megoldás: Ig K2 a) Ha 4 | a, akk akkor or c | a + b. Megoldás: Igaz. K2 b) Ha c | 120, akk Megoldás: Hamis, például a = 10, b = 110, akkorr d | a vagy d | b. K2 c) Ha d | 120, akko d = 30. 1200 – a, akkor k | 12 1200 – b. Megoldás: Hamis, például a = 78, b = 42, E1 d) Ha k | 12 k = 7. Mive vell 3 | 12 120, 0, ez ezér értt 3 | a. Megoldás: Hamis, például a = 10, b = 110. E1 e) Mi akkorr 10 | b. Igaz, z, miv mivel el 10 | 120. Megoldás: Iga E1 f) Ha 10 | a, akko
















































32. OSZTHATÓSÁGI SZABÁLYOK 1. K1

Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor osztható kettõvel.

Megoldás: Ig Igaz, az, me mert rt 2 | 4. b) Ha egy szám osztható 9-cel, akkor osztható 3-mal.

Megoldás: Ig Igaz, az, me mert rt 3 | 9. c) Minden olyan szám, amely osztható 2-vel és 3-mal, osztható 6-tal is.

















































32. OSZTHATÓSÁGI SZABÁLYOK 7. E1

Hány darab egymást követõ természetes számot kell összeszoroznunk ahhoz, hogy 12-vel osztható számot kapjunk? Indokoljuk a választ!


















































33. PRÍMSZÁMOK, A SZÁMELMÉLET ALAPTÉTELE, OSZTÓK SZÁMA

















































33. PRÍMSZÁMOK, A SZÁMELMÉLET ALAPTÉTELE, OSZTÓK SZÁMA 5. K1

Határozzuk meg a számok prímtényezõs felbontásának segítségével, melyik osztható a) 9-cel! b) 4-gyel!


















































34. LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ, EUKLIDESZI ALGORITMUS,

















































34. LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ, EUKLIDESZI ALGORITMUS, … 5. E2

Melyik az a két pozitív egész szám, amelyre igaz: a) lnko ( x x; y ) = 6 és x $ y = 2520 ?





















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































VI. STATISZTIKA 6. K2

Ez a térkép és a kördiagramok az Európai Unió országainak erdõs területeirõl készült adatokat mutatják. Értelmezzük! (Forrás: Eurostat honlap.) Hol a legnagyobb az erdõk aránya (narancssárga) a többi földterülethez (rózsaszín) képest? A térkép színezése szerint milyen határok közt van az erdõs terület nagysága Spanyolországban, Romániában és Portugáliában? Erdõk az EU-ban (1000 ha) < 5000 5000 – 10 000 10 000 00 0 – 15 000 0 00 15 000 00 0 – 20 000 > 20 000 Erdõk

Többi földterület

Megoldás

Finnországban (kb. 75%) és Svédországban (kb. 66%). Spanyolországbann 15 000 és 20 000 ha között, Romániában 5000 és 10 000 ha között, Portugáliában 5000 Spanyolországba ha alatt.









































47–48. KÖZÉPÉRTÉKEK

47–48. KÖZÉPÉRTÉKEK 1. K1

Az osztályzatai melyik középértékét érdemes kérnie a jó tanulónak, aki egyszer elfelejtette megcsinálni a feladatát, és kapott egy 1-est? És a rossz tanulónak, akinek pontokból összejött egy 5-öse? Megoldás A jó tanuló inkább a móduszt vagy a mediánt kérje, mert azt egy szélsõséges jegy kevésbé módosítja, míg a rossz tanulón sokat segít, ha az átlagot választja, ami érzékenyebb a kiugró értékekre.

2. K1

Számítsuk ki annak az osztálynak az átlagát átlagát matematikából, amelyben 6 db 5-ös, 7db 4-es, 9 db 3-as, 3 db kettes kettes és egyet egyetlen len elégtelen elégtelen volt! Megoldás 5 6

4 7

3 9

2 3

1 1

Az osztályba tehát 26-an járnak, és az átlaguk: X =

3. K1

.

3, 54 .

Az évfolyamon kémiából az a osztály átlaga 3,65; a b osztály átlaga 4,02; a c osztály átlaga 3,86, míg a d osztály átlaga 3,54 volt. Mennyi az évfolyam átlaga kémiából, ha az egyes osztályokba rendre 28; 25; 32 és 30 gyerek jár? Megoldás X =

4. K2

6 $ 5 + 7 $ 4 + 9 $ 3 + 3 $ 2 + 1 $ 1 92 = 26 6+7 +9 +3 +1

28 $ 3, 65 + 25 $ 4 , 02 + 32 $ 3 , 86 28 + 25 + 32 + 30

+ 30

$ 3 , 54

.

3, 76 .

Egy 10 elemû pozitív egészekbõl álló mintában a medián 19. Ha az utolsó, legnagyobb elem értékét 20-szal megnöveljük, hogy változik a medián értéke? Változhat-e a módusz? Változik-e és mennyivel az átlag? Megoldás A medián nem változik. A módusz változhat, ha a legnagyobb érték volt a módusz. Az átlag 2vel nõ.

5. K2

Ha az utolsó tesztemet angolból 89 pontra írom, akkor 82 pont lesz az átlagom, ha csak 57 pontra, akkor az átlagom 78 pont lesz. Hány tesztet írtam az idén? Megoldás Legyen n a tesztek száma, és az eredményüket jelölje x1 , x2 ,, x3 …xn–1. A feltétel szerint X 1 =

x1 + x2 + f + xn - 1 + 89 n

=

82

és

X 2 =

x1 + x2 + f + xn - 1 + 57 n

=

78 .

A két egyenletet ki-

vonva egymásból és n-nel átszorozva: 89 – 57 = 82 n – 78n, ahonnan n = 8.

6. K2

Adjunk meg olyan pozitív természetes számokból álló 10 elemû mintát, amelynek mediánja 2, és egyetlen módusza 4! Mennyi az átlaga?









































VI. STATISZTIKA a hatodik helyen 3-as áll, de ekkor az elsõ öt hely mindegyikén 1-es kell álljon. Ebben az esetben viszont nem lehet az egyetlen módusz a 4.

7. K1

Számítsuk ki az elõzõ lecke feladatsorának 4. feladatában az éves középhõmérsékletet mint a havi kö zéphõmérsékletek átlagát! Vegyük figyelembe, hogy az egyes hónapokban hány nap van. A február legyen 28 napos. Megoldás Az éves középhõmérséklet a hónapok középhõmérsékleteinek súlyozott átlaga. X . 12,6

8. E1

cC

.

Egy diáknak 7 jegye van matematikából. Ha még egy ötöst kapna, az átlaga 0,125-del nõne. Hány 4-ese lehet eddig, ha a két leggyengébb jegyének átlaga 2? Megoldás Megoldhatjuk például egyenlettel: Jelöljük az elsõ 7 jegy átlagát X -gal. 7 $ X + 5 8

= X +

0,125,

ahonnan

X =

4.

Mivel ebbõl következik, hogy az elsõ 7 jegy összege 7 $ 4 = 28, a

két legrosszabb jegy összege hasonlóan 4, így az öt darab jobb osztályzat összege 24. Ez azonban csak úgy jöhet ki, ha 4 darab 5-ös és egy darab 4-es jegye van.

9. E1

Hány fõs az az évfolyam, ahol ha az osztályzatom eggyel jobb, mint a többiek átlaga, akkor hozzávéve az én jegyem, az átlag 0,02-vel emelkedik? Mennyi volt az átlag az én jegyem nélkül? Megoldás Hasonlóan számolunk, mint az elõzõ feladatban. ]n - 1g $ Xn+ ^ X + 1h = X + 0, 02. Innen n = 50. Látszik, hogy a második kérdésre nem egyértelmû a válasz, mivel X kiesett. Ezért ]1 # X 1 5.g

X

értéke akármennyi lehetett.









































VII. GEOMETRIA – TÜKRÖZÉSEK 50–51. TENGELYES TÜKRÖZÉS 1. K1

Tükrözzünk egy háromszöget a) az egyik oldalegyenesére; b) az egyik szögfelezõ egyenesére; c) a sík egy, a háromszöget nem metszõ egyenesére! Megoldás

B

c)

e

C B’

A C’ A’

2. K1

3. K2

4. K2

Tükrözzünk egy kört az a) egyik átmérõjére; b) egyik húr egyenesére; c) egyik érintõjére! Megoldás

c)

Szerkesszünk egyenlõ szárú háromszöget, ha adott a szimmetriatengelye, az azon lévõ csúcs és a másik két csúcson átmenõ a) egy-egy egyenes; b) egy-egy kör; c) egy kör és egy egyenes! Megoldás a)–c) Legyen a háromszög A csúcsa a szimmetriatengelyen! Mivel a B csúcs tükörképe a C csúcs, így a B-n átmenõ alakzat (egyenes, illetve kör) tükörképe átmegy a C csúcson. Ennek a tükörképnek és az eredetileg is C-n átmenõ alakza alakzatnak tnak a metszéspontj metszéspontjaa megadja C-t, és ezt visszatükrözve B-t kapjuk. A megoldások száma a metszéspontok számától függ.

c)

Bizonyítsuk be, hogy az egyenlõ szárú háromszög szárához tartozó magasságának az alappal bezárt szöge fele a szárszögnek! Megoldás Jelölje az alapszöget a , a szárszöget b b. Ekkor 2a + b = 180c , ahonnan b

Mivel az alap végpontjából induló magasság által levá-

e

O’

O

A

e

e’

B2

C2

C1

B1 t

C

b b

2









































VII. GEOMETRIA – TÜKRÖZÉSEK 5. K2

Egy egyenlõ szárú háromszög alapjának egyik végpontjából induló indul ó belsõ szögfelezõje a háromszöget két egyenlõ szárú háromszögre vágja szét. Mekkorák a háromszög szögei? Megoldás Az alap egyik végpontjá végpontjából ból induló szögfelezõ akkor vágja két egyenlõ szárú háromszögre az eredeti háromszöget, ha a szárszög fele az alapszögnek. Ebben az esetben a háromszög szögeinek összegét felírva a szárszögre 36°, az alapszögekre 72° adódik.

C

b

b A

6. K2

b

2 b

B

Bizonyítsuk be, hogy ha egy szimmetrikus szimmetrikus trapéz átlója felezi a trapéz egyik szögét, akkor a szára valamelyik alappal egyenlõ! C D c Megoldás b=c a Ha a trapéz alapjai AB és DC, és az AC átló felezi a trapéz DAB szögét, b akkor DAC ] = ACD ], mivel BAC ] = ACD ], mert váltószögek. b Ebbõl következik, hogy a CDA háromszög CA oldalán lévõ szögei a egyenlõk, tehát AD = DC. a A

a

B











































52–53. A THALÉSZ-TÉTEL

52–53. A THALÉSZ-TÉTEL 1. K1

Igazoljuk, hogy egy egyenlõ szárú háromszög szára mint átmérõ fölé rajzolt kör átmegy az alap felezõpontján!

C

Megoldás Az alap felezõpo felezõpontja ntja rajta van az alap felezõme felezõmerõlegesé rõlegesén, n, ezért ebbõl a pontból a szár derékszögben látszik. Az összes ilyen pont viszont illeszkedik a Thalész-körre.

2. K1

A

Hol metszi egy hegyesszögû háromszög tetszõleges oldala mint átmérõ fölé rajzolt kör a másik két oldalt?

B

F

C

Megoldás

T A T B

Az oldal végpontj végpontjaiból aiból induló magasság magasságok ok talppont talppontjaiban, jaiban, hiszen ezekbõl a pontokból látszik az adott oldal derékszögben.

B

A

3. K1

Egy kör egyik húrjának egyik végpontját kössük össze a középponttal. Bizonyítsuk be, hogy ennek a sugárnak a Thalész-köre felezi a húrt!

Megoldás A húr felezõmerõlegese átmegy a középponton, ezért a középponközéppontot a húr végpontjával összekötõ sugár a húr felezõpontjából derékszögben látszik, tehát rajta van a Thalész-körön.

4. K1

A F R K

C2

Szerkesszünk háromszöget háromszöget egy oldalából és a két másik oldalhoz tartozó magasságából! C1

Megoldás Legyen adott az AB oldal és az A-ból és B-bõl induló ma és mb magasságok. A vázlatból látható, látható, hogy a magasságok közül vagy mindkettõ kisebb kell legyen, mint az oldal, vagy az egyik kisebb, a másik

E D1

ma mb









































VII. GEOMETRIA – TÜKRÖZÉSEK 6. K2

Adott A és B pont, amelyek távolsága 6 cm. Szerkesszünk B-n át olyan egyenest, amely A-tól 3 cm-re halad! Mekkorák a szögei annak a háromszögnek, melynek csúcsai A, B és az egyenesen az A-hoz legközelebb esõ pont? Megoldás Átfogalmazhatjuk a feladatot úgy, hogy húzzunk B-bõl érintõt az A kö zéppontú 3 cm sugarú körhöz. Ha E1-gyel és E2-vel jelöljük az érintési pontot a körön, akkor azt látjuk, hogy az ABE háromszög egy szabályos háromszög fele, tehát szögei 30°–60°–90°.

7. K1

E1 3 cm

A

60°

30°

60° 6 cm

30°

B

E2

Hol metszi a háromszög AC és AB oldalát az AM szakasz Thalész-köre? (M a háromszög magasságpontját jelöli.) Megoldás A C-bõl és B-bõl induló magasságvonalak talppontjaiban. C

C

T B

M

A

T C

T B

A

B M

8. K2

B

T C

Bizonyítsuk be, hogy a háromszög AB oldalának felezõpontja és a BC és AC oldalon lévõ magasságtalppontok egyenlõ szárú háromszöget határoznak meg! Megoldás Az állítás igaz, mert az oldalfelezõ pontot bármelyik említett magasságtalpponttal összekötve a Thalész-kör egyik sugarát kapjuk.

9. E1

Bizonyítsuk be, hogy egy körön kívül fekvõ P pontot összekötve összekötve a kör egy átmérõjének átmérõjének A és B végpontjaival, az APB szög hegyesszög! hegyesszög! Mit mondhatunk, mondhatunk, ha P a Thalész-körön belül van? C B

P

A

B









































52–53. A THALÉSZ TÉTEL 10. E2

11. E1

Le lehet-e fedni egy tetszõleges konvex négyszög alakú teraszt az esõ ellen az oldalak fölé befele húzott félkör alakú ernyõkkel? Megoldás Igen, le. Bizonyítsuk indirekt módon! Tegyük fel, hogy van olyan pont, amit egyetlen Thalész-kör sem fed le. Ez a pont akkor minden Thalész-kör külsõ pontja, ezért ebbõl a pontból minden oldal hegyesszögben látszik. Ez azonban lehetetlen, mert ez a négyszög belsõ pontja, ezért az oldalak látószögeinek összege 360°. Négy hegyesszög összege viszont biztosan kisebb 360°-nál.

D C

P

A

B

Bizonyítsuk be, hogy egy érintõhatszögben a + c + e = b + d + f ! E Megoldás x x Külsõ pontból húzott érintõszakaszok érintõszakaszok egyenlõk. Ha az A-ból induló x x érintõszakaszokat x1-gyel, a B-bõl indulókat x2-vel… stb. jelöljük, D F akkor a megfelelõ oldalakat alkotó érintõszakaszokat összeadva x adódik az állítás. x 5

5

6

4

4

6

x3 x1

C x3

A x 1 x2

x2 B









































VII. GEOMETRIA – TÜKRÖZÉSEK

54–55. KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS 1. K1

Tükrözzünk egy háromszöget a) az egyik csúcsára; b) az egyik oldal felezõpontjára; c) egy háromszögön kívül esõ pontra; d) a háromszög egy belsõ pontjára! Megoldás: A megoldást az olvasóra bízzuk.

2. K1

Adott egy konvex kon vex szög és szárai s zárai közt egy pont. p ont. Szerkesszünk olyan egyenest, amely átmegy a ponton, és a szögszárak közti szakaszát az adott pont felezi! Megoldás Mivel az adott pontra vonatkozóan a szögszárakon lévõ pontok tükrösek, ezért ha az egyik szögszárat tükrözzük a megadott pontra, a tükörkép kimetszi a másik szögszárból a keresett egyenes egy pontját. Ezt összekötve a szögszárak közti ponttal, adódnak a szögszárak közé esõ szakasz végpontjai és a keresett e egyenes.

3. K1

a B a



P O A e

b

Adott egy konvex konvex szög és szárai szárai közt közt egy egy pont. pont. Szerkesszünk Szerkesszünk olyan rombuszt, rombuszt, amelynek középpontja a megadott pont, és két szemközti csúcsa a szögszárakon van! Megoldás Az elõzõ feladat szerint megszerkesztjük a rombusz két szemközti csúcsát. Az ezeket összekötõ ös szekötõ szakasz a rombusz átlója. Mivel a rombusz átlói merõlegesek egymásra, ezen a merõleges egyenesen a megadott pontra szimmetrikusan felvett két pont a szögszárakon felvett két ponttal rombuszt határoz meg. Egyrészt középpontosan szimmetrikus, tehát paralelogramma, és átlói merõlegesek, ezért rombusz. Végtelen sok megoldás van.

4. K2

Bizonyítsuk be, hogy a szabályos hatszög középpontosan szimmetrikus sokszög! Minden szabályos sokszög középpontosan szimmetrikus? Megoldás Mivel két szemközti oldala párhuzamos és egyenlõ, ezért paralelogramma. Az átlók egyenlõ hosszúak (két oldalhossznyi), ezért téglalap. Az ötödik és hatodik csúcs is az átló felezõpontjára tükrösen helyezkedik el, tehát az állítás igaz. Nem, például szabályos háromszög. Megjegyzés: Általában az igaz, hogy hogy a páros oldalszámú szabályos sokszögeknek sokszögeknek van, a páratlan oldalszámú szabályos sokszögeknek nincs szimmetria-középpontja.









































54–55. KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS oldalból és a két átló felébõl szerkess szerkesszünk zünk háromsz háromszöget, öget, ezt tükrözzü tükrözzükk arra arra a csúcsra csúcsra,, amelyamelyc) Az oldalból ben a két félátló találkozik (ez a paralelogramma középpontja). A két képpont és az eredetileg szerkesztett háromszög másik két csúcsa a keresett paralelogramma. d) A két átló és az átlók szöge ugyanazt a háromszöget határozza meg, mint az elõbb, így a befejezés is ugyanaz. e) Legyen mondjuk adva az AB oldal és az AC átló. Vegyünk fel két párhuzamos egyenest egymástól m távolságra. Jelöljünk ki tetszõlegesen az egyik párhuzamoson egy pontot, legyen ez C. C középpontú AC sugarú kör kimetszi a másik párhuzamosból az A pontot. (Feltétel: m ≤ AC. Egyenlõség esetén az AC átló merõleges az AB oldalra. Más esetben két AC átló lehet.) Ezután az A-t tartalmazó egyenesre A-ból felmérjük AB-t. (Vigyázat, kétfelé mérhetjük fel! Egy AC átlóhoz két megoldást kaphatunk.) f) Vegyünk fel két párhuzamos egyenest egymástól m távolságra. Szerkesszük meg a középpárhuzamosukat. Ennek tetszõleges pontja legyen a paralelogramma középpontja. Ebbõl a pontból mindkét átló felével kört szerkesztünk. A középpontra tükrös két-két metszéspontot választva kapjuk a paralelogrammákat.











































VII. GEOMETRIA – TÜKRÖZÉSEK

56. KÖZÉPVONALAK 1. K1

Szerkesszünk trapézt, ha adott a) m magassága, k középvonala és az egyik alapon fekvõ két szöge: a és b; b) a középvonala, a két szára és a magassága! Megoldás Vegyünk fel két párhuzamos egyenest egymástól m távolságra. Szerkesszük meg a középpárhuzamosukat. Ennek tetszõleges pontjából mérjük fel a középvonalat. Ennek végpontjaiban mérjük fel az a és b szögeket. Ezek kimetszik az egyik párhuzamosból a trapéz két csúcsát, a szögszárak egyenesei pedig a másik két csúcsot. b) Vegyünk fel két párhuzamos egyenest egymástól m távolságra. Szerkesszük meg a középpárhuzamosukat. Ennek tetszõleges pontjából mérjük fel a középvonalat. Ennek végpontjaiban szerkesszünk szerkesszünk rendre a szárak felével köröket. Ezek kimetszik a párhuzamosokból a trapéz csúcsait. A megfelelõket kössük össze. a)

2. K2

Adott egy konvex négyszög. négyszög. Szerkesszünk Szerkesszünk olyan paralelogrammát, amelynek csúcsai csúcsai a négyszög egy-egy egy-egy oldalára esnek! (A diszkussziótól tekintsünk el.) Megoldás Tudjuk, hogy az oldalfelezõ pontok paralelogrammát adnak, tehát ez például jó megoldás.

3. K1

Mit mondhatunk arról a négyszögrõl, amelynek oldalfelezõ pontjai a) rombuszt; b) téglalapot alkotnak? Megoldás a) b)

4. K2

Ha rombuszt alkotnak, akkor a négyszög átlói egyenlõk. Ha téglalapot alkotnak, akkor a négyszög átlói merõlegesek .

Bizonyítsuk be, hogy a trapéz átlóinak felezõpontjait összekötõ szakasz egyenlõ az alapok különbségének felével!











































57–58. A HÁROMSZÖGEK NEVEZETES PONTJAI, VONALAI

57–58. A HÁROMSZÖGEK NEVEZETES PONTJAI, VONALAI 1.

Szerkesszünk háromszöget, ha adott K1 a) egy oldala, a hozzá tartozó magasság és egy másik magasság; K1 b) egy oldala, a hozzá tartozó súlyvonal és magasság; K1 c) egy oldala és a másik két oldalhoz tartozó súlyvonala; K1 d) egy oldala és a hozzá tartozó súlyvonal és egy másik súlyvonal; K2 e) két oldala és a közbezárt súlyvonal; E1 f) három súlyvonala!

C1

mc

C2

T 1 ma c

A

B

ma T 2

Megoldás Használjuk az ábra jelöléseit! a) Vegyünk fel két párhuzamos egyenest egymástól mc távolságra. Az egyik egyenesen vegyük fel az AB szakaszt. Az AB szakasz Thalész-köre és az A középpontú ma sugarú körök metszéspontjaiadják pontjai adják ma talppontját, T 1 , T 2-t. A BT 1 és BT 2 egyenesek és a másik párhuzamos metszéspontja C1 ,C2. b) Az A1 AA2 háromszög megszerkeszthetõ ( AA AA2 Thalész A körét kell A középpontú, m sugarú körrel metszeni). a

Mivel A2 B

=

A2 C

BC =

2

, ezért A2 körül húzott

BC

2

su-

garú kör kimetszi A1 A2 egyenesbõl a B és C pontokat. A feladatn feladatnak ak nincs megoldá megoldása, sa, ha ma > sa ; ma = sa esetén egyenlõ szárú háromszög alapja és magassága adott.

ma

B

A1

sa

A2

a

C











































VII. GEOMETRIA – TÜKRÖZÉSEK e)

Legyen adott a c; b; sa. Tükrözzük a háromszöget BC felezõpontjára. A tükörké tükörképet pet jelölj jelöljük ük A’-vel. Az ABA’ háromszög szerkeszthetõ három oldalából (cBA’ = b; AA’ = 2sa ). AA’ felez felezõpontjá õpontjára ra tükrözve B-t, kapjuk C-t. A szerkeszthetõség feltétele, hogy a c; b; 2sa szakaszokra teljesüljön a háromszög-egyenlõtlenség.

A

b

c

sa A1

B

C

sa

b

A



Megoldás f) D, E, F pontok az oldalak felezõpontjait jelölik. Legyen G a BS szakasz felezõpontja. Ekkor GD = 21 SC = 21 $ 32 SC = 31 SF . Így DGS há-

A

romszög mindhárom oldala egy-egy adott súlyvonal harmada, tehát DGS háromszög szerkeszthetõ . S tükörképe G-re B; B tükörképe D-re C. Mivel AS = 2SD, így A is szerkeszthetõ. DGS háromszögbõl látszik, hogy a három súlyvonalra teljesülnie kell a háromszögegyenlõtlenségnek.

E

F 1 s 3 b

G

B

S 1 s 3 a

1 s 3 c

D

C

2. E1

Bizonyítsuk be, hogy a háromszög súlyvonala kisebb, mint a közrefogó oldalak számtani közepe! Megoldás Tükrözzük a háromszöget a harmadik oldal felezõpontjára, így paralelogrammát kapunk. A kapott ábráról leolvasható az állítás a háromszög-egyenlõtlenség miatt.

3. E1

Bizonyítsuk be, hogy a háromszög súlyvonalai hosszának összege kisebb, mint a háromszög kerülete! Megoldás











































57–58. A HÁROMSZÖGEK NEVEZETES PONTJAI, VONALAI 5. E1

Jelölje egy ABC hegyesszögû háromszög magasságpontját M, és körülírt körének A-val átellenes pontját A’ . Bizon Bizonyítsu yítsukk be, hogy hogy BMCA’ paralelogramma! Megoldás A Thalész-tétel szerint ABAl ] = 90c, tehát BA’ párhuzamos CM-mel, mert mindegyik = AB-re. Hasonlóan bizonyítható, hogy BM párhuzamos CA’-vel. Ha egy négyszögben van két párhuzamos oldalpár, akkor az paralelogramma.











































VIII. EGYENLETEK, EGYENLÔTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK 59. AZ EGYENLET, EGYENLÕTLENSÉG FOGALMA 1. K1

Tekintsük a következõ kijelentõ mondatokat. Ha eldönthetõ, akkor döntsük el, hogy az állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Tizenhat négyszerese négyzetszám. Megoldás: Igaz. b) Tegnap délután sütött a nap.

Megoldás: Nem dönthetõ el. c) Mai napon lesz biológiaóránk.

Megoldás: Nem dönthetõ el.













































59. AZ EGYENLET, EGYENLÕTLENSÉG FOGALMA 3. K1

Válasszuk ki az azonosságokat a következõ egyenletek közül! a) 2 x + 3 + x - 5 = x - 8 + 4 x + 3 - x .

Megoldás Összevonás után azt kapjuk, hogy 3 x - 2 = 4 x - 5 , melybõl x = 3 megoldás, más nem, ezért nem azonosság. b) 11 - 2 x = 7 x + 29 - ]9 x + 18 g.

Megoldás Összevonás után azt kapjuk, hogy 11 - 2 x = - 2x + 11, mely azonosság, tetszõleges szám esetén igaz. c) 5 x + 3 = 15x + 1, 5. 2

6

Megoldás Rendezve az egyenletet: 15 x + 9 15x 1, 5 / ⋅6 = + 6 6 15 x + 9 = 15 x + 9

azonosság, tetszõleges szám esetén igaz.













































VIII. EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK EGYENLETRENDSZEREK 5.

Mely számok esetén értelmezhetjük az alábbi egyenleteket? K1 a) 2 x 4- 5 = 3.

Megoldás Minden valós szám esetén értelmezhetõ az egyenlet. K1 b) x5 = x 8 1. Megoldás Akkor nem értelmezhetõ, ha a nevezõ 0. Azaz x ≠ 0; x ≠ 1 kikötést kell tennünk. Az egyenlet tehát értelmezhetõ 6 x ! R , kivéve x = 0; x = 1. 3 x + 4 1. +1 K1 c) x + = x x - 1 5 - 5 5

Megoldás Az egyenlet értelmezhetõ 6 x ! R , kivéve x = 1. x 2 x - 1 K1 d) x 1. + 2 5 x - 5x =













































60. EGYENLET, EGYENLÕTLENSÉG MEGOLDÁSI MÓDSZEREI

60. EGYENLET, EGYENLÕTLENSÉG MEGOLDÁSI MÓDSZEREI 1.

Oldjuk meg grafikusan az alábbi egyenleteket! 3 K1 a) 21 x + 2 ==- x + 6. 2

Megoldás y

1 0

x

1 2

Az ábráról leolvasható a metszéspont x koordinátája, ez lesz az egyenlet megoldása. = 2.













































VIII. EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK EGYENLETRENDSZEREK E1 d)

2 - x - 3

=

2

x - 2

.

Megoldás y

1 0

1

3 4

x

Az egyenletnek három megoldása van: x1 = 0; x2 = 3; x3 = 4 .

2. K2

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a) x - 2 = 1 - x .

Megoldás













































60. EGYENLET, EGYENLÕTLENSÉG MEGOLDÁSI MÓDSZEREI 3.

Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! K2 a) x - 3 + y + 5 = 0 .

Megoldás Két abszolút érték összege csak úgy lehet 0, ha mindkét abszolút érték 0. Ezért az egyenlet megoldása: x megoldása: x = 3; y 3; y = = –5.

K2 b) ] x + 1g2 + ^ y - 2h2 = 0 . Megoldás Mivel minden szám négyzete nemnegatív, ezért két négyzetszám összege csak úgy lehet 0, ha mindkét tag 0. Ezért az egyenlet megoldása: x = –1; y –1; y = = 2.

E1 c)

] x + 7g2 $ ^ 2y - 3h = 0 .

Megoldás Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezõje 0. Ha ] x + 7g2 = 0 x = -7, ekkor 2 y - 3 tetszõleges, ezért ezért y y is is tetszõleges valós szám lehet. &

Ha 2 y - 3 = 0

&

y =

3 , akkor akkor x x tetszõleges. 2















































VIII. EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK EGYENLETRENDSZEREK E1 b) x2 - 6x + 7 1 - 3

x+1

-4

.

Megoldás Alakítsuk át a bal oldalt: 2

2

= ] x - 3g - 2

, ebbõl látható, hogy a bal oldal ≥ –2. Az egyenlet jobb oldala ≤ –4, ezért nincs olyan x olyan x érték, melyre a két oldal egyenlõ lenne, tehát az egyenlõtlensége egyenlõtlenségeknek knek nincs megoldása.

x

-

6x + 7

c) Nem érettségi tananyag.

] g x - 2

2

+

1

=

! x+ .

Megoldás Az egyenlet bal oldala legalább 1, a jobb job b oldal kisebb, mint 1, ezért nincs megoldása az egyenletnek.















































61. EGYENLET, EGYENLÕTLENSÉG MEGOLDÁSA SZORZATTÁ SZORZATTÁ …

61. EGYENLET, EGYENLÕTLENSÉG MEGOLDÁSA SZORZATTÁ ALAKÍTÁSSAL 1.

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! A megoldás során felhasználjuk, hogy egy szorzat pontosan akkor akkor 0, ha valamelyik tényezõje 0.

K1 a) ] x - 5g ] x + 3g = 0 . Megoldás x

=

5;

x

=

3















































VIII. EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK EGYENLETRENDSZEREK 3. eset:

Ha 0 < x < 3, akkor x > 0; 6 – 2 x > 0; 5 + 2 x > 0, ezért a szorzat pozitív. 4. eset: Ha x > 3, akkor x > 0; 6 – 2 x < 0; 5 + 2 x > 0, ezért a szorzat negatív.

Az egyenlõtlenség megoldáshalmaza: @-3; -2,56 , @0; 36 .

K2 f)

] x g] x 2

-

4 5

g ] x - 6g 1 0 .

+8

Megoldás Egy többtényezõs szorzat akkor negatív, ha a negatív tényezõk száma páratlan.















































61. EGYENLET, EGYENLÕTLENSÉG MEGOLDÁSA SZORZATTÁ SZORZATTÁ … 3. K2

Oldjuk meg az alábbi egyenlõtlenségeket! a)

x x

4 +2

-

2

0.

Megoldás Egy tört akkor pozitív, ha a számlálója és nevezõje azonos elõjelû. I.

4 x + 2

2

3

0 , 20

x

-

x

2

x

2 -2

x

2

4

II.

3, melybõl adódik

4.

A feladat megoldása:

@

6 @4 6

2

,

4 x + 2

1

-

x

1

x

1 -2

x

1 -2.

4

3

0 , 10

x

3, amelybõl kapjuk, hogy















































VIII. EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK EGYENLETRENDSZEREK 7 -1 E1 c) x x 2 + 1. 3 x - 1

:. Megoldás: Az egyenlõtlenség megoldása @-3; 16 , D3; 19 5 3 x - 2 . -1 E1 d) x x 1 3 3 x

Megoldás:

@

-3;

6 D 34; 3:.

0

,

Két egész szám összegéhez hozzáadjuk a két szám szorzatát, eredményül 23-at kapunk.

















































62. A LEGÁLTALÁNO LEGÁLTALÁNOSABB SABB MÓDSZER: A MÉRLEGELV

62. A LEGÁLTALÁNO LEGÁLTALÁNOSABB SABB MÓDSZER: A MÉRLEGELV

















































VIII. EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK EGYENLETRENDSZEREK K2

c)

5 x + 3 10 - 3x 3x + 7 = -6 5 8 3

.

















































62. A LEGÁLTALÁNO LEGÁLTALÁNOSABB SABB MÓDSZER: A MÉRLEGELV 4.

A változók lehetséges értékeinél van-e megoldása az alábbi egyenleteknek? egyenleteknek? K1 a) x 5 4 - 2 = x 3 4 .

















































VIII. EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK EGYENLETRENDSZEREK 2

x - 2 2 x + 5x - 6 . -3 K2 f) x x + 2 + x - 3 = x2 - x - 6

















































62. A LEGÁLTALÁNO LEGÁLTALÁNOSABB SABB MÓDSZER: A MÉRLEGELV K2 g) 4] x3+ 2g + 4 -2 3x 2 5x 4+ 1.





















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































X. FÜGGVÉNYEK – TRANSZFORMÁCIÓ TRANSZFORMÁCIÓK K 4. K2

Gyõr és Miskolc távolsága autópályán 300 km. Reggel egy idõben elindul két személyautó egymással szemkm km ben. A Gyõrbõl indulónak 70 óra, a Miskolcról indulónak pedig 80 óra az átlagsebessége. Az indulás után mennyi idõvel találkoznak? Oldjuk meg grafikusan a feladatot! Megoldás A fizikából fizikából ismert ismert s = v $ t összefüggés alapján felírhatjuk felírhatjuk a két személygépkocsi személygépkocsi út–idõ függvényét. Gyõrbõl szemlélve az eseményeket: az eltelt idõt x-szel jelöljük, a megtett utat pedig f x ( x)-szel, ami egyben a Gyõrtõl x) = 70 x. A második gépkocsi Gyõrtõl mért távolságát g x (x)-szel jelöljük. mért távolságát is mutatja. f ( x g x (x) = 3 0 0 – 8 0 x. Egy koordináta-rendszerben ábrázolva a két függvényt, láthatjuk, hogy két óra elteltével találkoznak. 300 30 0

f(x) (km)

300  80x 200

70 x

140

M(2;140)

100

20 0

1

2

3

x (óra)

Két óra elteltével az elsõ autó 140 km-t, a második pedig 160 km-t tesz meg. Tehát éppen találkoznak.









































A FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCI FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK ÓK

A FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK (OLVASMÁNY) 1.

Ábrázoljuk a következõ függvényeket függvényeket a megfelelõ transzformációs lépések segítségével! segítségével! Keressük meg a tengelypontok koordinátáit! K1 a) f] xg = ] x + 2g2 - 9 .

Megoldás ( x + 2)2 – 9. Az x x2 grafikonját el kell tolnunk 2-vel balra, és utána 9 x2 x (x + 2)2 x cel kell lefelé eltolni. A tengelypont a T (–2; (–2; –9) pont lesz. "

"

7

y

x2

2 ( x + 2)

1 0

5

1

x

( x + 2)2  9

T (2;9)

K2 b) g] xg = x2 - 6x + 6 . Megoldás Elõször teljes négyzetté alakítjuk: x2 – 6 x + 6 = x2 – 6 x + 9 – 9 + 6 = ( x x2 – 6 x + 9) – 3 = ( x x – 3)2 – 3. Így már leolvashat juk a transzformációkat. x2 x (x – 3) 2 x (x – 3) 2 – 3. Az alapfüggvényt eltoljuk 3-mal jobbra, majd 3-mal lefelé. (3; –3). T (3; "

"

y

x2 ( x  3)2

1









































X. FÜGGVÉNYEK – TRANSZFORMÁCIÓ TRANSZFORMÁCIÓK K K2 c) h] xg = - x2 + 8x - 12. Megoldás Elõször teljes négyzetté alakítjuk: – x2 + 8 x – 12 = –( x x2 – 8 x + 12) = –( x x2 – 8 x + 16 – 16 + 12) = –[( x x2 – 8 x + 16) – 4] = = –[( x x – 4)2 – 4] = –( x x – 4)2 + 4. x2 – x2 –( x x – 4) 2 –( x x – 4) 2+4. A normálparabolát elõször tükrözzük az x tengelyre, eltoljuk jobbra néggyel, majd felfelé néggyel. T (4; (4; 4). "

"

"

x2

y

2

( x  4) + 4

T (4;4) (4;4)

1 0

1

x

2  x

( x  4)

2

E1 d) i] xg = 0, 5x2 + 3x + 3, 5 . Megoldás Elõször teljes négyzetté alakítjuk: 0,5 x2 + 3 x + 3,5 = 0,5( x x2 + 6 x + 7) = 0,5( x x2 + 6 x + 9 – 9 + 7) = x2 + 6 x + 9) –2] = 0,5[( x x + 3)2 – 2] = 0, x + 3)2 – 1. = 0,5[( x 0,5( 5( x x2 0,5 x2 0,5( x x + 3)2 0,5( x x + 3)2 – 1. A normálparabolát felére zsugorítjuk, majd balra toljuk 3-mal, végül eggyel eltoljuk lefelé. T (–3; (–3; –1). "

"

"

y

x2

0,5( x  3)2 0,5 x2

1









































A FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCI FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK ÓK 2.

3 K1 a) f] xg = x - 3. 3

Megoldás 1

1 x alapfüggvényt elõször háromszorosára nagyítjuk, majd eltoljuk hárommal jobbra job bra (így a függõleges aszimptota az x = 3 egyenes lesz), majd hárommal lefelé (a vízszintes aszimptota az y = –3 lesz).

x

"

3

x

3

"

x-3

"

3

x-3-

3.

Az x

7

y

3 x 1 x

3 x   3 3

1 0

1

x 3  3 x   3 3

-1 . K2 b) g] xg = x x 1 +

Megoldás Elõször leválasztjuk az egész részt: x - 1 x + 1 - 1 - 1 ] x + 1g - 2 x + 1 2 2 2 1 1. = x + 1 = x + 1 x + 1 = x + 1 - x + 1 = - x + 1 = - x + 1 + 1

x

"

Az x

2

x

"

7

-

1

x

2

x+1

"

-

2

x + 1+

1.

alapfüggvényünket kétszeresére nyújtjuk, nyúj tjuk, tükrözzük az x tengelyre, ezután el-

toljuk eggyel balra és végül eggyel felfelé. y

3 x

2  x   1 1 +1

1 0

2 x 1 x

1

x 2









































X. FÜGGVÉNYEK – TRANSZFORMÁCIÓK K2

3 x + 13 . x - 4

c) h] xg = -

Megoldás Elõször leválasztjuk az egész részt: 1 -3 x + 13 -3 x + 12 - 12 + 13 -3] x - 4g + 1 -3] x - 4g = = = x - 4 x - 4 x - 4 x - 4 + x - 4 = -3 +

1

x

1

x - 4

1 "

Az x

1

x

1

x-4 -

1

x-4 7

=

x-4 -3

"

=

3.

.

alapfüggvényünket elõször eltoljuk néggyel jobbra, utána pedig hárommal lefelé. y

1

x  4

1 0

1

1  3 x  4

1

x

x

3. K1

a) f] xg = x - 2

-2

.

| x|

| x  2| y

Megoldás x x-2 x - 2 - 2. Az x elõször eltoljuk kettõvel jobbra, x alapfüggvényünket elõször utána pedig kettõvel lefelé. "

"

1

7

0

1

x

| x  2|  2

b) g] xg = -3 x + 3

-3

.

Megoldás

y

3| x

x 3 x -3 x -3 x + 3 -3 x + 3 - 3. Az x x alapfüggv alapfüggvényt ényt elõször megnyújtjuk háromszor háromszorosára, osára, tükrözzük az x tengelyre, eltoljuk hárommal balra, majd hárommal lefelé. "

"

"

"

| x 

7

1 0

1

x

3| x + 3 3| x











































A FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCI FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK ÓK c) h] xg = 0,5 x - 4

-4

.

Megoldás . Az x x alapfüggvényt elõször zsugorítsuk felére, majd toljuk el néggyel jobbra és végül néggyel lefelé. x

"

0, 5 x

"

0, 5 x - 4

"

0, 5 x - 4

-4

7

y

| x  0,5| x  0,5| x  4

1 0

1

x

0,5| x  4  4

4.

Nem érettségi tananyag.

a) f] xg = 3 $ ! x+ - 1.

Megoldás Elõször az x { x} függvényt nyújtsuk háromszorosára, majd toljuk el eggyel lefelé. { x} 3{ x} 3{ x} – 1. 7

"

"

y 3{ x}

1

{x}

0

1 3{ x}  1

x

16112_Matematika 9_Megoldások

Recommend Documents