16-isolamento

Analisi sismica di un sistema lineare viscoso a un grado di libertà isolato alla base

Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture

1

Isolamento alla base

1/2

Un sistema di isolamento alla base consiste nell’interporre tra la struttura in elevazione e le fondazioni una serie di dispositivi di rigidezza laterale molto piccola. Il periodo fondamentale si allunga, diventando molto più grande di quello dell’analoga struttura su base fissa. La pseudoaccelerazione spettrale si riduce, così come le forze indotte dal sisma. La richiesta di spostamento aumenta, ma è concentrata al livello degli isolatori. Un sistema di isolamento è efficace anche se la struttura è non smorzata. Tuttavia, lo smorzamento riduce ulteriormente le forze nella struttura e diminuisce lo spostamento degli isolatori.

Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture

2

Isolamento alla base


2/2

3

Sistema isolato

1/2

Si vuole mettere in evidenza il perché un sistema di isolamento alla base riduce le forze sismiche negli edifici. Per questo scopo si considera un edificio a un piano, con un sistema di isolamento interposto tra la sua base e il terreno. Si assume che il legame forze-deformazioni del sistema di isolamento sia lineare.

m

m

c

c

k Sistema di isolamento

mb

k

Soletta di base

kb, cb

Siano m, k e c rispettivamente la massa, la rigidezza e la costante di smorzamento del sistema in elevazione. Per il sistema su base fissa, privo cioè del sistema di isolamento, la frequenza, il periodo e il rapporto di smorzamento risultano rispettivamente

ωf =

k m

Tf =

2π ωf


ξf =

c 2mω f

4

Sistema isolato

2/2

m c

m c


mb

k

Soletta di base

kb, cb

L’edificio è vincolato a una soletta di base di massa mb, a sua volta sostenuta da un sistema di isolamento di rigidezza laterale kb e costante di smorzamento viscoso cb. Il sistema di isolamento è caratterizzato dai parametri

ωb =

kb m + mb

Tb =

2π ωb

ξb =

cb 2 ( m + mb )ω b

Tb e ξb possono essere interpretati come il periodo naturale e il rapporto di smorzamento viscoso dell’edificio isolato, con la parte in elevazione assunta rigida.

Affinché il sistema di isolamento sia efficace nel ridurre le forze sismiche, Tb deve essere molto maggiore di Tf.


5

Equazioni del moto

Il sistema di isolamento trasforma l’edificio su base fissa a un grado di libertà in un sistema a due gradi di libertà, caratterizzato dalle seguenti matrici di massa M, di rigidezza K e di smorzamento C.

u

m c

m c


mb

u2

k

Soletta di base

u1

kb, cb

⎡ mb M=⎢ ⎢⎣ 0

0 ⎤ ⎥ m ⎥⎦

⎡ kb + k −k ⎤ K=⎢ ⎥ k ⎥⎦ ⎢⎣ −k

⎡ cb + c −c ⎤ C=⎢ ⎥ c ⎥⎦ ⎢⎣ −c

Le equazioni del moto si scrivono

 + Ku(t) = −M1 M u(t) + Cu(t) u g (t)


6

Frequenze e modi naturali di vibrazione

1/5

Le frequenze naturali del sistema a due gradi di libertà si calcolano dalla relazione

K − ω 2M = 0 cioè

( kb + k ) − ω 2 mb

−k

−k

k −ω m 2

=0

da cui si ottiene

mb mω 4 − ⎡⎣ m ( kb + k ) + mb k ⎤⎦ ω 2 + k ( kb + k ) − k 2 = 0 mb mω 4 − ⎡⎣ mkb + ( m + mb ) k ⎤⎦ ω 2 + kb k = 0 ⎛ kb k⎞ kb k mb mω 4 − m ( mb + m ) ⎜ + ⎟ ω 2 + m ( mb + m ) =0 mb + m m ⎝ m + mb m ⎠ m2

(

)

mb 4 ⎛m ⎞ ⎛m ⎞ ω − m 2 ⎜ b + 1⎟ ω b2 + ω 2f ω 2 + m 2 ⎜ b + 1⎟ ω b2ω 2f = 0 ⎝ m ⎠ ⎝ m ⎠ m

(

)

mb 4 ⎛ mb ⎞ 2 ⎛m ⎞ ω −⎜ + 1⎟ ω b + ω 2f ω 2 + ⎜ b + 1⎟ ω b2ω 2f = 0 ⎝ m ⎠ ⎝ m ⎠ m Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture

7


2/5

…

(

)

mb 4 ⎛ mb ⎞ 2 ⎛m ⎞ ω −⎜ + 1⎟ ω b + ω 2f ω 2 + ⎜ b + 1⎟ ω b2ω 2f = 0 ⎝ m ⎠ ⎝ m ⎠ m mb 4 1 ⎞ 2 ⎞⎛ 1 ⎛m ⎞ 1 1 2 ⎛ mb ω − 4π ⎜ + 1⎟ ⎜ 2 + 2 ⎟ ω + 16π 4 ⎜ b + 1⎟ 2 2 = 0 ⎝ m ⎠ ⎝ Tb T f ⎠ ⎝ m ⎠ Tb T f m

(

)

mb 2 2 4 ⎛m ⎞ ⎛m ⎞ T f Tb ω − 4π 2 ⎜ b + 1⎟ T f2 + Tb2 ω 2 + 16π 4 ⎜ b + 1⎟ = 0 ⎝ m ⎠ ⎝ m ⎠ m A titolo di esempio, ponendo

mb 2 = m 3

T f = 0.4 s

Tb = 2.0 s

si ha

1.28ω 4 − 83.20π 2ω 2 + 80π 4 = 0

2 ω 1,2

2 2 41.60  41.60 2 − 1.28 × 80 2 41.60  40.35 2 ⎧⎪ ω 1 = 0.976 π = π = π =⎨ 2 2 1.28 1.28 ⎪⎩ ω 2 = 64.024 π


8


3/5

…

⎧ ω 2 = 0.976 π 2 2 41.60  41.60 − 1.28 × 80 41.60  40.35 ⎪ 1 2 ω 1,2 = π2 = π2 = ⎨ 2 2 1.28 1.28 ⎪⎩ ω 2 = 64.024 π da cui si ricava

⎧⎪ T1 = 2.024 s ⎨ T = 0.250 s ⎩⎪ 2

⎧ ω = 0.988 π s −1 ⎪ 1 ⎨ −1 ⎪⎩ ω 2 = 8.001 π s

Le componenti dei modi si ricavano dalle equazioni del moto in vibrazioni libere

( K − ω M ) uˆ 2 j

⎡ (k + k) − ω 2m j b ⎢ b ⎢ −k ⎣

j

=0

con j = 1, 2

⎤ ⎡ uˆ ⎥ ⎢ 1, j k − ω 2j m ⎥ ⎢ uˆ2, j ⎦⎣ −k

⎤ ⎡ ⎤ ⎥=⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎦

Dalla seconda equazione si ha …


9


(

…

4/5

)

−kuˆ1, j + k − ω 2j m uˆ2, j = 0 ⎛ ω 2j ⎞ − uˆ1, j + ⎜ 1− 2 ⎟ uˆ2, j = 0 ⎝ ωf ⎠ ⎛ T f2 ⎞ − uˆ1, j + ⎜ 1− 2 ⎟ uˆ2, j = 0 ⎝ Tj ⎠ − uˆ1, j +

T j2 − T f2 T

Ponendo uˆ1, j = 1 , si ha

uˆ2, j =

2 j

uˆ2, j = 0

T j2 T j2 − T f2

Risulta

T12 2.024 2 uˆ21 = 2 = = 1.041 T1 − T f2 2.024 2 − 0.4 2

T22 0.250 2 uˆ22 = 2 = = − 0.641 2 2 2 T2 − T f 0.250 − 0.4


10

Frequenze e modi naturali di vibrazione I modi assumono la forma

Normalizzando si ha

⎡ ⎤ ˆu1 = ⎢ 1.000 ⎥ ⎣ 1.041 ⎦

⎡ ⎤ ˆu 2 = ⎢ 1.000 ⎥ ⎣ − 0.641 ⎦

⎡ 0.961 ⎤ φ1 = ⎢ ⎥ 1.000 ⎣ ⎦

⎡ 1.000 ⎤ φ2 = ⎢ ⎥ − 0.641 ⎣ ⎦

m

5/5

1.000

Tf = 0.4 s Tb = 2.0 s

1° modo

(2/3)m

T1 = 2.024 s

0.641 2° modo

0.961

T2 = 0.250 s

1.000

Nel primo modo gli isolatori si deformano, ma la struttura in elevazione si comporta quasi come se fosse rigida. Il suo periodo di vibrazione, 2.024 s, è solo leggermente maggiore del periodo del sistema di isolamento, pari a 2.0 s, a causa della flessibilità della struttura. Nel secondo modo si deformano sia gli isolatori, sia la struttura in elevazione. Come sarà mostrato in seguito, questo modo contribuisce molto poco alle forze indotte dal sisma sulla struttura. Il suo periodo è pari a 0.25 s e risulta decisamente minore del periodo della struttura su base fissa, pari a 0.4 s.


11

Calcolo dei vettori di eccitazione modale

1/2

Le forze sismiche efficaci sono date dalla relazione

⎡ 2 3 0 ⎤⎡ 1 ⎤ ⎡ 2 3 s = M1 = m ⎢ ⎥⎢ ⎥ = m⎢ 1 ⎢⎣ 0 1 ⎥⎦ ⎣ ⎢⎣ 1 ⎦

⎤ ⎥ ⎥⎦

Il generico vettore di eccitazione modale sn assume la forma

s n = Γ n M φn con

φnT s φnT s Γn = T = φn Mφn M n Le masse modali sono pari a

⎡ 2 3 0 ⎤ ⎡ 0.961 ⎤ ⎡ ⎤ M 1 = φ Mφ1 = ⎣ 0.961 1.000 ⎦ m ⎢ ⎥⎢ ⎥ = 1.616 m 1.000 ⎢⎣ 0 1 ⎥⎦ ⎣ ⎦ T 1

⎡ 2 3 0 ⎤ ⎡ 1.000 ⎤ ⎡ ⎤ M 2 = φ Mφ2 = ⎣ 1.000 − 0.641 ⎦ m ⎢ ⎥⎢ ⎥ = 1.078 m − 0.641 ⎢⎣ 0 1 ⎥⎦ ⎣ ⎦ T 2


12

Calcolo dei vettori di eccitazione modale Risulta quindi

2/2

⎡ 2 3 ⎤ φ1T s 1 ⎡ ⎤ Γ1 = = 0.961 1.000 ⎦ ⎢ ⎥ = 1.015 ⎣ M 1 1.616 ⎣⎢ 1 ⎥⎦ ⎡ 2 3 ⎤ φ2T s 1 ⎡ ⎤ Γ2 = = 1.000 − 0.641 ⎦ ⎢ ⎥ = 0.024 M 2 1.078 ⎣ ⎢⎣ 1 ⎥⎦

e i vettori di eccitazione modale valgono

⎡ 2 3 0 ⎤ ⎡ 0.961 ⎤ ⎡ 0.651 ⎤ s1 = Γ 1M φ1 = 1.015m ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥m 1.000 1.015 ⎢⎣ 0 1 ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 2 3 0 ⎤ ⎡ 1.000 ⎤ ⎡ 0.016 ⎤ s 2 = Γ 2 M φ2 = 0.024m ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥m − 0.641 − 0.015 ⎢⎣ 0 1 ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ m =

+ st b1

st

V =1.015m (2/3)m

0.015m

1.015m

Vb2=-0.015m 0.651m


0.016m 13

Calcolo delle risposte statiche modali m

1/2

0.015m

1.015m =

+ st b1

st

V =1.015m

Vb2=-0.015m 0.651m

(2/3)m

0.016m

Questo risultato indica che le forze relative al primo modo, s1, sono essenzialmente le stesse di quelle totali s, e che quelle relative al secondo modo, s2, sono molto piccole. L’analisi statica della struttura sollecitata da queste forze fornisce le risposte statiche modali. In particolare i contributi modali al taglio alla base e allo spostamento della base risultano

Vb1st = 1.015m

Vb2st = − 0.015m

st ub1 = 0.101

st ub2 = 6.08 ⋅10 −5

In generale, è chiaro che le quantità relative al secondo modo sono trascurabili rispetto a quelle relative al primo modo. Questo risultato e la circostanza che il periodo naturale di vibrazione del primo modo è molto maggiore del periodo della struttura su base fissa rappresentano le ragioni dell’efficacia del sistema di isolamento sismico.

Queste considerazioni prescindono dall’entità dello smorzamento del sistema di isolamento: la dissipazione di energia è un fattore secondario riguardo alla riduzione della risposta strutturale.


14

Calcolo delle risposte statiche modali

2/2

Calcolo degli spostamenti statici modali del sistema di isolamento

u = st j

1T s j kb

1T s j

T T T 1T s j Tb2 3 1 s j 3Tb2 1 s j 3⋅ 2.0 2 1 s j = = = = = 0.061 2 2 2 2 m ( m + mb )ω b 4π 5 m 20π m 20π m

⎡ 1.015 ⎤ ⎡ ⎤ u = 0.061 ⎣ 1 1 ⎦ ⎢ ⎥ = 0.101 0.651 ⎣ ⎦ st b1

⎡ − 0.015 ⎤ st −5 ub2 = 0.061 ⎡⎣ 1 1 ⎤⎦ ⎢ ⎥ = 6.08 ⋅10 ⎣ 0.016 ⎦ m =

+ st b1

st

V =1.015m (2/3)m

0.015m

1.015m

Vb2=-0.015m 0.651m


0.016m

15

Calcolo dei rapporti di smorzamento modali

1/2

Su assuma che per il sistema su base fissa e per il sistema di isolamento i rapporti di smorzamento valgono

c cb ξf = = 0.02 = 2% ξb = = 0.10 = 10% 2mω f 2 ( m + mb )ω b Le costanti di smorzamento sono quindi pari a

4πξ f

4π ⋅ 0.02 m = 0.628m Tf 0.4 5 4πξb 5 4π ⋅ 0.10 cb = 2 ( m + mb )ω bξb = m= m = 1.047m 3 Tb 3 2.0 e la matrice di smorzamento si scrive

c = 2mω f ξ f =

m=

⎡ cb + c −c ⎤ ⎡ 1.675 − 0.628 ⎤ C=⎢ ⎥=⎢ ⎥ − 0.628 0.628 −c c ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦ Le costanti di smorzamento modali risultano

⎡ 1.675 − 0.628 ⎤ ⎡ 0.961 ⎤ ⎡ ⎤ C1 = φ Cφ1 = ⎣ 0.961 1.000 ⎦ ⎢ ⎥m⎢ ⎥ = 0.968 m − 0.628 0.628 1.000 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ T 1

⎡ 1.675 − 0.628 ⎤ ⎡ 1.000 ⎤ ⎡ ⎤ C2 = φ Cφ2 = ⎣ 1.000 − 0.641 ⎦ ⎢ ⎥m⎢ ⎥ = 2.739 m − 0.628 0.628 − 0.641 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ T 2


16

Calcolo dei rapporti di smorzamento modali

2/2

I rapporti di smorzamento modali sono quindi pari a

ξ1 =

C1 0.968m = = 0.0965 = 9.65% 2M 1ω 1 2 ⋅1.616m ⋅ 0.988π

ξ2 =

C2 2.739m = = 0.0505 = 5.05% 2M 2ω 2 2 ⋅1.078m ⋅ 8.001π

Si osserva che lo smorzamento relativo al primo modo, pari al 9.65%, è molto simile a quello del sistema di isolamento, pari al 10%. Lo smorzamento nella struttura influenza ben poco lo smorzamento del primo modo, dato che la struttura rimane pressoché rigida in quel modo.

Al contrario, l’elevato smorzamento del sistema di isolamento determina un aumento dal 2% al 5.05% del secondo modo, che rappresenta il cosiddetto modo strutturale.


17

Calcolo delle risposte massime modali

1/3

Il valore massimo del generico contributo modale alla risposta si ottiene mediante la relazione

rn = rnst An dove

An = An (Tn , ξn )

è l’ordinata dello spettro di progetto in termini di pseudo-accelerazione al periodo Tn che corrisponde a un rapporto di smorzamento ξn.

Per il taglio alla base e per la deformazione degli isolatori, si ha

Vbn = Vbnst An

st st ubn = ubn An = ω n2ubn Dn

in cui Dn è l’ordinata dello spettro in termini di spostamento.


18


2/3

Si considerano gli spettri di progetto allo stato limite di danno per la città di Reggio Calabria, corrispondenti agli smorzamenti del 2%, 5% e 10%.

0.4

0.369

An g

2% 5%

T2 = 0.25 s Tf = 0.4 s

0.2 0.1

T1 = 2.024 s

0.309

0.3

! = 10% 1.0

0.0

0.055 3.0

2.0

T (s)

4.0

Modo

An/g

Vbnst / m

Vbn/w

Dn (cm)

st ω n2ubn

ubn (cm)

1

0.055

1.015

0.056

5.702

0.975

5.559

2

0.309

- 0.015

- 0.005

0.480

0.024

0.012

SRSS

0.056

5.559

Si sono indicati con w il peso della struttura in elevazione e con g = 981 cm/s2 l’accelerazione di gravità.


19


3/3

Per la struttura su base fissa si ha

cioè

(

)

Vbf = mA T f , ξ f = m ⋅ 0.369g = 0.369w Vbf w

= 0.369

Risulta

Vbf Vb

=

0.369 = 6.59 0.056

Il taglio alla base della struttura su base fissa risulta 6.59 volte più grande rispetto a quello della struttura isolata.


20

Efficacia del sistema di isolamento

1/4

L’efficacia del sistema di isolamento nel ridurre le forze sismiche è strettamente legata all’allungamento del periodo fondamentale di vibrazione della struttura. A tal fine il rapporto Tb/Tf deve essere il più grande possibile.

Nel caso dell’esempio precedente, il periodo della struttura su base fissa corrispondeva al valore massimo dello spettro di progetto. Per effetto del sistema di isolamento, il periodo fondamentale risultava traslato nella regione dello spettro con valori di pseudo-accelerazione molto più bassi. Di conseguenza, il valore del taglio alla base era ridotto dal 36.9% del peso della struttura in elevazione a solo il 5.6%.

Nel caso di strutture con un periodo su base fissa relativamente lungo, l’efficacia del sistema di isolamento è molto inferiore. A tale proposito si consideri una struttura simile alla precedente, ma con un periodo su base fissa Tf = 2.0 s. I parametri che caratterizzano il sistema sono quindi

T f = 2.0s

ξ f = 2%

mb =

2 m 3

Tb = 2.0s

ξb = 10%

Seguendo lo stesso procedimento si ottiene …


21

Efficacia del sistema di isolamento …

2/4

m

0.291

1.000

Tf = 2.0 s Tb = 2.0 s

1° modo

(2/3)m

T1 = 2.664 s

m

2° modo T2 = 0.949 s

1.000

0.145m

1.145m =

+ st b1

st

V =1.145m (2/3)m

0.436

Vb2=-0.145m 0.333m

0.333m

Le frequenze e i rapporti di smorzamento modali risultano ω1 = 0.751π, ω2 = 2.107π, ξ1 = 4.50% e ξ2 = 12.64%.

Al contrario del caso precedente, si osserva che:

(1)  la struttura non si comporta rigidamente nel primo modo e il relativo periodo di vibrazione è influenzato dalla flessibilità della struttura;

(2)  il contributo del secondo modo alle forze sismiche non è più trascurabile;

(3)  lo smorzamento del primo modo, pari al 4.5%, non è più simile allo smorzamento del sistema di isolamento, pari al 10%.


22


3/4

Per il calcolo delle risposte massime modali si ha

0.3 0.2 0.1

5%

2%

Tf = 2.0 s

T2 = 0.949 s

An g

T1 = 2.664 s

0.4

0.089

0.116

0.047

! = 10% 1.0

0.0

3.0

2.0

T (s)

4.0

Modo

An/g

Vbnst / m

Vbn/w

Dn (cm)

st ω n2ubn

ubn (cm)

1

0.047

1.145

0.054

8.283

0.501

4.150

2

0.116

- 0.145

- 0.017

2.597

0.482

1.252

SRSS

0.057


4.335

23


4/4

Per la struttura su base fissa si ha

cioè

(

)

Vbf = mA T f , ξ f = m ⋅ 0.089g = 0.089w Vbf w

Risulta

Vbf Vb

=

= 0.089

0.089 = 1.59 0.056

Il taglio alla base della struttura su base fissa risulta 1.59 volte più grande rispetto a quello della struttura isolata.

Come si può facilmente notare, questa volta il beneficio dell’isolamento è minore. Per questa ragione l’isolamento alla base è usato raramente nel caso di sistemi strutturali con periodo fondamentale alto, come accade per esempio nel caso degli edifici alti.


24

16-isolamento

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