Índice I Bimestre Capítulo 1
Razones
8
Capítulo 2
Serie de razones geométricas equivalentes
13
Capítulo 3
Proporciones
18
Capítulo 4
Promedios y medias
24
Capítulo 5
Repaso: Razones y proporciones
30
Capítulo 6
Regla de mezcla
33
Capítulo 7
Proporcionalidad
39
Capítulo 8
Reparto proporcional
46
Capítulo 9
Regla de tres simple
54
II Bimestre Capítulo 10
Regla de tres compuesta
59
Capítulo 11
Tanto por ciento - I
64
Capítulo 12
Tanto por ciento - II
71
Capítulo 13
Regla de interés
75
Capítulo 14
Lógica matemática
81
Capítulo 15
Teoría de conjuntos - I
89
Capítulo 16
Repaso
98
Capítulo 17
Teoría de conjuntos - II
101
Capítulo 18
Estadística - I
105
III Bimestre Capítulo 19
Estadística - II
118
Capítulo 20
Análisis combinatorio I
124
Capítulo 21
Análisis combinatorio II
129
Capítulo 22
Numeración
133
Capítulo 23
Repaso
141
Capítulo 24
Probabilidades
145
Capítulo 25
Conteo de números - I
152
Capítulo 26
Conteo de números - II
158
Capítulo 27
Cuatro operaciones - I
161
Capítulo 28
Cuatro operaciones - II
164
IV Bimestre Capítulo 29
Divisibilidad - I
167
Capítulo 30
Divisibilidad II - Criterios de divisibilidad
171
Capítulo 31
Repaso
176
Capítulo 32
Números primos
179
Capítulo 33
MCD - MCM - I
186
Capítulo 34
MCD - MCM - II
191
Capítulo 35
Números racionales
194
Capítulo 36
Números decimales
200
Aritmética
Introductorio
Introductorio 01. Un ganadero compró 80 cabezas de ganado a $ 40 cada una. Vendió 30 a $45 y 25 a $48. ¿Cuánto debe obtener de las que quedan para que la ganancia total sea de $400? a) $ 1050 b) $ 550 c) $ 750 d) $ 2150 e) $ 2500 02. Juan gana $6 por día de trabajo y trabaja 5 días a la semana. Si gasta $21 semanales, ¿cuántos $ puede ahorrar en 8 semanas? a) 64 b) 70 c) 72 d) 84 e) 48 03. Compré 115 caballos a $70; 15 se murieron y el resto lo vendí a $80 cada caballo. ¿Cuánto gané o perdí? a) gané $ 50 b) perdí $ 50 c) gané $ 60 d) perdí $ 60 e) no gané ni perdí 04. Se compran 216 docenas de lapiceros a $5 la docena. Si se venden a razón de $1 cada 2 lapiceros. ¿Cuál es el beneficio obtenido? a) $ 216 b) $ 220 c) $ 250 d) $ 180 e) $ 215 05. En 3 kilos de naranjas vienen de 10 a 15 naranjas; entonces el máximo peso de 30 naranjas sería: a) 6 kilos b) 9 kilos c) 12 kilos d) 15 kilos e) 10 kilos 06. Juan compró siete billetes de lotería de una misma serie, los cuales salieron premiados. Él recibiría como premio S/. 240 000, si hubiese comprado un billete menos. ¿Qué cantidad recibió Juan? a) S/. 350000 b) S/. 280000 c) S/. 460000 d) S/. 580000 e) S/. 380000 07. Un regalo envuelto cuesta 13 soles y sin envolver cuesta 11 soles más de lo que cobra por envolverlo. ¿Cuánto cobran por envolverlo? a) 1,50 soles b) 0,75 soles c) 1 sol d) 2,00 soles e) 0,50 soles 08. Un comerciante asiste a una feria para vender sus gallinas, si vende cada una a S/.35, podría comprar un cerdo y sobrarle S/.120, luego al analizar dicha operación comercial decide vender cada gallina a S/.32 compra el cerdo y ahora sólo le sobran S/.15 ¿Cuánto costó el cerdo? a) S/. 1060 b) S/. 1090 c) S/.1095 d) S/. 1105 e) S/.1120 09. En una casa de un pueblo del Cuzco, un estudiante de "TRILCE" se hospeda notando que en el corral habían 60 animales entre patos; gallos y conejos, además observa que el total de patas es 150, determinar. ¿Cuántos gallos hay si el número de conejos excede en 5 al número de patos? a) 35 b) 22 c) 20 d) 18 e) 16 10. Asumiendo que no se trata de un año bisiesto. ¿Qué día del año indicará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas excede en 2 a los 3/8 del número de hojas que quedan? a) 9 de abril b) 11 de abril c) 13 de abril d) 10 de abril e) 12 de abril
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Introductorio Regla de tres 11. Si 14 libros cuestan $84 ¿Cuánto costarán 9 libros? a) $45 b) $54 d) $72 e) $84
c) $62
12. Si 25 trajes cuesta $250. ¿Cuánto costará 63 trajes? a) $120 b) $220 d) $720 e) $340
c) $630
13. Si 19 sombreros cuesta $57 ¿Cuántos sombreros podría comprar con $108? a) 36 b) 48 c) 60 d) 72 e) 84 14. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos. Si ahora marca las 5h 2 min y hace 4 horas que se adelanta, la hora correcta sería: a) 4h 48 min b) 4h 28 min c) 4h 30 min d) 4h 32 min e) 4h 52 min 15. Manuel es el triple de rápido que Juan y juntos realizan una obra de doce días. Si la obra la hiciera solamente Manuel. ¿Cuántos días demoraría? a) 20 b) 16 c) 18 d) 14 e) 48
Porcentaje 16. Compré 90 libros y vendí el 60%. ¿Cuántos me quedan? a) 36 b) 60 d) 45 e) 27
c) 50
17. Una deuda de 850 soles se reduce a 816, ¿qué porcentaje de rebaja se ha hecho? a) 2% b) 4% c) 6% d) 8% e) 9% 18. Del total de conferencistas, el 60% son mujeres. De ellas el 30% disertan por primera vez; mientras que de los varones, el 50% lo hace por primera vez. El tanto por ciento de los conferencistas que disertan por primera vez. a) 30% b) 42% c) 30% d) 45% e) 38% 19. Cuando un número disminuye en 15% se convierte en 680. Hallar dicho número. a) 700 b) 750 c) 800 d) 850 e) 900 20. ¿El 14% de qué número es 168? a) 1200 d) 1500
b) 500 e) 2000
c) 900
Problemas adicionales 21. En un campeonato de tiro, un aspirante gana dos puntos por cada disparo acertado y pierde medio punto por cada desacierto. Si al hacer 120 disparos obtuvo 130 puntos, el número de disparos acertados fue: a) 76 b) 78 c) 72 d) 74 e) 70 22. Contando frutas de 6 en 6, de 8 en 8, de 9 en 9 y de 12 y en 12, siempre sobran Hallar el número mínimo de frutas pero mayor que 100. a) 292 b) 220 c) 364 d) 436 e) 148
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Aritmética 23. En una canasta hay entre 50 y 60 huevos. Si los cuento tomándolos de tres en tres me sobran dos, pero si los cuento tomándolos de cinco en cinco me sobran 4, ¿cuántos huevos hay en la canasta? a) 55 b) 59 c) 57 d) 56 e) 58 24. Un tanque puede ser llenado en un número exacto de minutos por cualquiera de tres grifos que vierten 45; 50 y 40 litros por minuto, respectivamente. ¿Cuál es la menor capacidad que debe tener el tanque? a) 1750 litros b) 1200 litros c) 1500 litros d) 1800 litros e) 1900 litros 25. Un granjero tenía algunas tierras. Un tercio lo destinaba al cultivo de trigo, un cuarto al cultivo de guisantes, un quinto al cultivo de cebada, y en las veintiséis hectáreas restantes cultivaba maíz. ¿Cuántas hectáreas tenía en total? a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 150 26. Una araña teje su tela en el marco de una ventana. Cada día duplica la superficie hecha hasta el día anterior. De esta forma tarda 30 días en cubrir el hueco de la ventana. Si en vez de una araña, fueran dos. ¿Cuánto tardarían en cubrir dicho hueco? a) 15 días b) 30 días c) 60 días d) 29 días e) 5 días 27. El precio de un artículo se rebajó en 20%. Para volverlo al precio original, el nuevo precio se debe aumentar en: a) 20% b) 15% c) 18% d) 25% e) 30%
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Capítulo 01
1
Razones
Introducción En nuestra vida diaria, aparecen con mucha frecuencia algunas afirmaciones como: • Las edades de Juana y Rosa son 18 años y 16 años respectivamente. • Tengo 2 vinos: Uno de 800 ml y el otro de 640 ml. • El sueldo de Víctor el mes pasado fue S/. 1500 y este mes será S/. 1800 Podemos observar que las edades, los volúmenes y el dinero pueden ser medidos o contados, a los cuales se les llama magnitudes escalares.
Observación Hay magnitudes no medibles como la alegría, la memoria; por lo tanto no pueden expresarse numéricamente, por ello no las consideraremos en este texto.
Cantidad Es el resultado de la medición del estado de una magnitud escalar. Ejemplo: la altura del edificio Trilce Arequipa es de 24 metros. Magnitud: Longitud Cantidad: 24 metros Se llama magnitud a todo aquello que puede ser medido o cuantificado; además, puede definirse la igualdad y la suma de sus diversos estados.
Razón Es la comparación que existe entre dos cantidades de una magnitud, mediante las operaciones de sustracción y división.
Razón aritmética
Razón geométrica
Ejemplo: dos toneles contienen 20 litros y 15 litros respectivamente, al comparar sus volúmenes tenemos:
Ejemplo:
Razón aritmética
Se comparan dos terrenos, cuyas superficies son: 80m2 y 48m2 así obtenemos: 80m2 = 5 48m2 3
Antecedente Consecuente
20, - 15, = 5, Antecedente Valor de la razón Consecuente
Valor de la razón
Razón geométrica
En conclusión: Sean a y b dos cantidades:
Razón
Aritmética
Geométrica
a-b=d
a =k b
a: antecedente b: consecuente d y k: valores de las razones
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Aritmética
Problemas resueltos 01. 500 pobladores votaron dos veces por una moción sin abstenerse. En la primera votación por cada 2 votos a favor había 3 en contra. En la segunda votación por cada 4 votos a favor hubo 1 en contra. ¿Cuál es la diferencia entre los votantes en contra de la primera y de la segunda votación?. UNMSM 1999
Resolución Analizando los datos tenemos: • 1era votación:
a favor = 2k en contra 3k
2k + 3k = 600 k = 100 Luego: en la 1era. votación a favor: 200 y en contra 300. • 2da. votación: a favor = 4n en contra 1n 4n + 1n = 500 & a favor: 400 n = 100 en contra: 100 • Nos piden: 300 - 100 = 200
02. A - B y B - C están en relación de 1 a 5, C es siete veces A y sumando A, B y C obtenemos 100. ¿Cuánto es (A - C)2?. UNMSM 2000
Resolución • Del problema podemos asignar: A =a, C = 7a Luego: A - B = 1 & 5A - 5B = B - C B-C 5 5A = 6B - C • Reemplazando: 5a = 6B - 7a ⇒ 2a = B Dato: A + B + C = 100 a + 2a + 7a = 100 a = 10 Entonces: A = 10; B = 20 y C = 70 • Nos piden: (A - C)2 (10 - 70)2 = 3600
03. Dos números son proporcionales a 2 y 5, respectivamente. Si se suma 175 al primero y 115 al otro, se obtiene cantidades iguales, ¿cuál es el número menor?. UNMSM 2005 - I
Resolución • Sean los números: A y B Dato: A = 2k B 5k También: 2k + 175 = 5k + 115 60 = 3k 20 = k • El número menor:
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A = 2(20) A = 40
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Capítulo 01
Práctica 01. Adolfo tiene 30 años y su hijo 12, ¿dentro de cuántos años la relación de sus edades será de 5 a 3? a) 15 b) 12 c) 16 d) 14 e) 17 02. La razón geométrica de dos números es 5 , si la suma 2 de dichos números es 91, hallar su razón aritmética. a) 13 d) 26
b) 39 e) 65
c) 35
03. La cantidad de dinero que tienen Alvaro y Bruno se encuentran en la relación de 4 a 7. Si Bruno le prestase S/. 9 a Alvaro, ambos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero debe prestar Alvaro a Bruno, para que éste tenga el doble que él? a) S/. 2 b) S/. 5 c) S/. 6 d) S/. 10 e) S/. 12 04. En un colegio se sabe que la cantidad de aprobados es al total de alumnos como 7 es a 12 y la diferencia entre la cantidad de aprobados y desaprobados es 60. Calcule la relación entre la cantidad de aprobados y desaprobados, si se retiran 30 de cada uno de ellos. c) 3 a) 1 b) 2 2 2 d) 3 4
e) 2 3
05. Dentro de 5 años las edades de Juana y María sumarán 90 años. Si la relación de las edades hace 5 años era de 2 a 5 respectivamente, halle la diferencia de edades. a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 06. En una reunión hay 84 personas, por cada 4 varones hay 3 mujeres, además por cada 10 personas que bailan 4 mujeres no bailan. Calcule la cantidad de varones que no bailan. a) 24 b) 28 c) 32 d) 36 e) 40 07. En una reunión se observa que por cada 7 hombres hay 5 mujeres. En un determinado momento los hombres sacan a bailar a todas las mujeres y se quedan sin bailar 18 hombres. Si más tarde llegaron 3 mujeres y 9 hombres. Hallar la nueva relación entre hombres y mujeres. b) 5 c) 7 a) 4 3 2 4 d) 3 2
e) 6 5
08. En una granja en la que hay pollos y conejos, éstos se encuentran en la relación de 8 a 7, y el número de patas es 880. Se muere una cierta cantidad de pollos y la nueva relación es de 4 a 5. ¿Cuántos pollos se murieron? a) 39 b) 42 c) 48 d) 50 e) 54 09. En una fiesta en un determinado momento, el número de hombres que esta bailando es al número de mujeres que no esta bailando como 7 es a 4. Además, el número de mujeres que bailan es al número de hombres que no bailan como 6 es a 5. Si en ese momento habían 715 personas, ¿cuántas mujeres no bailan? a) 48 b) 64 c) 72 d) 81 e) 120 10. En una carrera de 200 metros, Alberto gana a Bruno con una ventaja de 20 metros. Si se sabe que en otra carrera de 240 metros, Bruno ganó a Carlos con una ventaja de 40 metros. Entonces si compitieran Alberto y Carlos en una carrera de 300 metros, ¿quién ganaría y por cuánto? a) Alberto, por 80 metros b) Bruno, por 60 metros c) Carlos por 70 metros d) Alberto, por 75 metros e) Carlos, por 90 metros 11. En una reunión por cada 4 niños hay 5 adultos. De los niños la tercera parte son varones y 56 son mujeres. Y de los adultos; hombres y mujeres se encuentran en la relación de 8 a 13. Hallar el número de mujeres adultas. a) 28 b) 84 c) 105 d) 74 e) 65 12. En una academia la relación de hombres a mujeres es de 5 a 7, la relación entre los hombres que postulan a ciencias y los hombres que postulan a letras es de 8 a 3. Hallar el total de alumnos, si los hombres que no postulan a ciencias son 75. a) 572 b) 660 c) 760 d) 484 e) 352 13. En un aeropuerto se observó, a lo largo de una semana, que de cada 12 naves que aterrizan 5 eran vuelos comerciales y el resto eran vuelos de carga, además el número vuelos de carga excedió en 16 al número de vuelos comerciales. Si en la semana siguiente los vuelos comerciales aumentaron en 20% y los vuelos de carga disminuyeron en 25%. Entonces el total de vuelos semanales: a) Aumentó en 10 b) Disminuyó en 8 c) Aumentó en 7 d) Disminuyó en 6 e) No varía
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Aritmética 14. De un grupo de 180 personas, los hombres menores de edad y las mujeres mayores de edad se encuentran en la relación de 2 a 3, y por cada 13 hombres, 7 son mayores de edad. Hallar el número de adultos, si hay 26 mujeres menores de edad. a) 86 b) 128 c) 112 d) 92 e) 104 15. En una reunión de año nuevo se observa que; el número de hombres casados es al número de hombres solteros como 3 es a 2; el número de mujeres solteras es al número de mujeres casadas como 4 es a 3. Además por cada 2 hombres habían 7 mujeres. Hallar el número de personas solteras, si el número de personas casadas es 126. a) 144 b) 126 c) 50 d) 180 e) 96
Problemas adicionales 16. El dinero de Darwin es al de María como 11 es a 9, si entre las dos tienen 260 soles. ¿Cuánto tiene la que menos tiene? a) 126 b) 117 c) 138 d) 143 e) 112 17. En un restaurante la relación entre el número de hombres y mujeres es de 4 a 3, después de dos horas han salido 11 hombres y 4 mujeres y han entrado 3 hombres y 9 mujeres con lo cual la nueva relación es de 2 a 7. ¿Cuántas mujeres quedan en el restaurante? a) 9 b) 12 c) 11 d) 17 e) 14 18. Las edades de un padre y su hijo se encuentra en la relación de 11 a 4. Si se sabe que el padre tenía 28 años cuando el hijo nació. Hallar dentro de cuantos años sus edades estarán en la relación de 9 a 5. a) 12 años b) 16 años c) 19 años d) 21 años e) 7 años
20. En un concurso de matemática, los participantes deben pasar por tres pruebas eliminatorias. En la primera prueba de cada 5 participantes pasaron 3. En la segunda por cada 2 que pasaron, 3 no lo lograron. Y en la última paso 1 de cada 6 participantes. Si los que no pasaron la segunda prueba exceden a los que no pasaron la tercera prueba en 36. ¿Cuál fue el total de participantes? a) 96 b) 120 c) 130 d) 200 e) 225 21. Sabiendo que la razón geométrica de dos números cuya diferencia de cuadrados es 180 se invierte al sumar 6 al menor y restar 6 al mayor. Hallar su producto. a) 180 b) 216 c) 270 d) 396 e) Hay 2 respuestas 22. Se ha mezclado 100 decímetros cúbicos de cemento con 0,3 metros cúbicos de arena. La cantidad de arena que debe añadirse para que el cemento sea 1 de 6 la mezcla es: b) 0,2m3 c) 0,3m3 a) 0,1m3 d) 0,5m3 e) 1m3 23. Un asunto fue sometido a votación de 600 personas y se perdió; habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto, fue ganado el caso por el doble de votos por el cual se había perdido la primera vez, y la nueva mayoría fue con respecto a la anterior como 8 es a 7. El número de personas que cambiaron de opinión es: a) 100 b) 110 c) 120 d) 140 e) 150 24. Si la razón de 2 números es 3 y los 2 de su producto 4 3 es 1152; entonces, el menor de ellos es: a) 24 b) 86 c) 42 d) 48 e) 36
19. En una reunión se observó que por cada 7 hombres habían 8 mujeres, la razón entre el número de personas casadas y el número de personas solteras es 10 , y las personas que fuman y las que no lo hacen 11 están en la proporción de 29 a 6. ¿Cuántas personas asistieron a dicha reunión si fueron menos de 200? a) 195 b) 140 c) 105 d) 95 e) 80
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Capítulo 01
Tarea domiciliaria 01. La razón de dos números es 3 y su suma es 480. 17 El menor de los números es: a) 18 b) 36 c) 48 d) 72 e) 84
09. Se tienen 3 números A, B y C que suman 1425, si se sabe que los 2 primeros están en relación de 11 a 3 y que su diferencia es 600. Hallar el tercero. a) 325 b) 345 c) 225 d) 375 e) 475
02. José y Juan tienen S/.700 entre ambos, lo que tiene José es a lo que tiene Juan como 4 es a 3. ¿Cuánto tiene José? a) S/.400 b) S/.300 c) S/.1000 d) S/.100 e) S/.600
10. Las edad de Sonia es a la edad de Jorge como 7 es a 8. Si la diferencia de los cuadrados de sus edades es 135, dentro de cuántos años la edad de Jorge será 35 años. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
03. Dos números están en la relación de 2 a 7, agregando a uno de ellos 73 y 138 al otro se obtienen cantidades iguales. Hallar la suma de los números. a) 117 b) 65 c) 92 d) 148 e) 168 04. A una fiesta asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas, la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que quedan en la fiesta es: b) 4 c) 1 a) 2 3 5 3 d) 3 4
e) 5 3
05. En un salón hay 40 varones y 30 mujeres, ¿cuántas parejas deben retirarse para que los números de varones y mujeres que quedan sean como 7 es a 5? a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 06. Si en una caja se tienen 15 bolas blancas y 12 bolas rojas; entonces el número de bolas blancas que se deben aumentar para que la relación entre bolas blancas y rojas sea de 3 a 2, es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07. Se tiene 200 bolas de las cuales 160 son negras y las restantes blancas. Las bolas blancas que se deben añadir para que por cada 7 blancas se tenga 4 negras; es: a) 120 b) 240 c) 180 d) 210 e) 360 08. Dos clases de vino están mezclados en 3 recipientes. En el primero en la razón 1:1, en el segundo en la razón 1:2, y en el tercero en la razón 1:3. Si se saca el mismo volumen de todos los recipientes para formar una mezcla que contenga 39 litros de la primera calidad. El número de litros que se extrae de cada recipiente es: a) 34 b) 35 c) 36 d) 37 e) 38
11. Dos números están en la razón de 3 a 2. Si la suma de dichos números excede a la diferencia de los mismos en 80, hallar el mayor de los números. a) 45 b) 60 c) 75 d) 90 e) 120 12. La razón geométrica de dos números se invierte cuando al mayor se le quita 40 y al menor se le añade 40. Encuentre la razón aritmética de dicho número. a) 20 b) 40 c) 60 d) 10 e) 80 13. Se observa tres grupos de panes en cantidades proporcionales a 6, 7 y 11. Para que todos los grupos tengan la misma cantidad de panes, se saca 12 del grupo que tiene más panes y se distribuye entre los otros dos. La razón del número de panes que se pasan al primer grupo con respecto a los que se pasa al segundo, es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. El jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B en la proporción de 4 a 3. Cuando B planta x rosas en 1 hora, A planta x +2 rosas. ¿cuántas rosas planta B en 4 horas? a) 6 b) 8 c) 32 d) 24 e) 12 15. En una universidad la relación de hombres a mujeres es de 5 a 7, la relación de hombres en ciencias y hombres en letras es de 8 a 3. La relación de hombres en ciencias y el total de alumnos es: a) 5 : 7 b) 10 : 33 c) 7 : 4 d) 8 : 3 e) 5 : 3 16. Si se aumenta una misma cantidad a los números 20; 50 y 100 se forma una progresión geométrica cuya razón es: b) 4 a) 1 c) 2 2 3 d) 1 3
12
e) 5 3
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Aritmética
Serie de razones geométricas equivalentes
2
Series de razones geométricas equivalentes Sean: a1 a2 a3 a = = = ... n = k cn c1 c2 c3
De donde: a1 = c1k ; a2 = c2k ; ... ; an = cnk Se cumple las siguientes propiedades: I. a1 + a2 + ... + an a1 a2 a = = = ... n = k cn c1 + c2 + ... + cn c1 c2 II. a1 $ a2 $ ... $ an = kn c1 $ c2 $ ... $ cn III. m m a1m + am 2 + a3 + ... + an m m c1m + cm 2 + c3 + ... + cn
= km
Observación: donde "n" nos indica el número de razones. Ejemplo: Sea la siguiente serie: 4 = 12 = 18 = k se cumple: 6 18 27 I. k = 4 + 12 + 18 = 34 = 2 51 3 6 + 18 + 27 II. k3 = 4 # 12 # 18 simplificando 6 # 18 # 27 k3 = 8 " k = 2 27 3 5 5 5 25 (25 + 65 + 95) III. k5 = 4 + 12 + 18 = 65 + 185 + 275 35 (25 + 65 + 95) 5 k5 = 2 " k = 2 3 35
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Capítulo 02
Problemas resueltos 01. Si: a = b ; a + b + c = 28 y ` 1 j + ` 1 j + ` 1 j = 7 . Hallar: b b c a b c 16
Resolución • Del dato:
• Reemplazando: • Entonces:
a = b " ac = b2 b c a + b + c = 28 ⇒ a + c = 28 - b 1+1+1= 7 a b c 16 c+a + 1 = 7 ac b 16 28 - b b = 7 & 28 = 7 + 2 16 b2 b b2 16 b2 = 64 b=8
02. Juan, Pedro y Luis tienen dinero en cantidades proporcionales a 8; 5 y 3 respectivamente. Juan da la mitad de lo que tiene a Luis; Luis da S/.100 a Pedro, resultando Pedro y Luis con igual cantidad de soles. ¿Cuánto tenía Juan inicialmente?
Resolución • De los datos del problema: • Inicio: Luego del primer cambio Luego del segundo cambio • Dato:
Juan = 8k; Pedro = 5k; Luis = 3k
Juan = 4k; Pedro = 5k; Luis = 7k Juan = 4k; Pedro = 5k + 100; Luis = 7k - 100 Pedro = Luis 5k + 100 = 7k - 100 100 = k
03. En la serie: f = 6 = c = 10 se tiene que f, r, a y c forman una proporción aritmética. Calcule: f + a + c + r 65 a 35 r
Resolución • Del dato: f - r = a - c → f + c = a + r • Por propiedad: f + c = 6 + 10 a+r 65 + 35 Entonces: (f + c) (a + r) = 16 x 100 • Reemplazando: (f + c)2 = 1600 f + c = 40 • Además: f + c = a + r = 40 • Luego: f + a + c + r = 80
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Aritmética
Práctica 01. Sabiendo que: 105 = 168 = 231 . A B C 2 2 2 Además: A + B + C = 3360, determine "A". a) 18 b) 20 c) 24 d) 25 e) 30
(a + a ) a a a a 09. Sea: 1 = 2 = 3 = ... 10 . Calcule: P = 5 9 2 4 6 20 a7 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
02. ¿Cuál es la mayor de las tres partes que se puede dividir 2050 de tal manera que la primera sea a la segunda como 2 es a 5 y la segunda sea a la tercera como 3 es a 4? a) 900 b) 960 c) 1000 d) 1200 e) 1080 03. En una serie de 4 razones geométricas iguales, la suma de los antecedentes es 16 y la de los consecuentes es 32. Si el producto de los 8 términos es 176 400. Hallar el producto de los antecedentes. a) 75 b) 80 c) 90 d) 105 e) 110 04. En una serie de 3 razones geométricas iguales, cuyos consecuentes son 5; 8 y 10; se cumple que el producto de los 2 mayores antecedentes es 320. Halle la suma de los 2 menores antecedentes. a) 26 b) 30 c) 40 d) 52 e) 60 05. El peso de Rosa es al peso de Manuel como 7 es a 6 y el peso de Manuel es al de Evelyn como 3 es a 4. Si Rosa y Evelyn pesan juntas 105 kg, calcule el peso de Rosa. a) 48 b) 49 c) 55 d) 56 e) 58 06. El número de soles que tiene Luis es al número de soles de Carlos como 2 es a 3; y el de Carlos es al de Pedro como 5 es a 4. Sabiendo que entre los tres juntos tienen 37000 soles. ¿Cuánto tiene Carlos? a) 12000 b) 15000 c) 10000 d) 9000 e) 14000 07. En una serie de 3 razones geométricas equivalentes al dividir el producto de antecedentes entre el producto de consecuentes se obtuvo 64 Si la suma de conse125 cuentes es 95, ¿cuánto vale la suma de antecedentes? a) 56 b) 63 c) 69 d) 76 e) 80 08. En una serie de 4 razones geométricas continuas, cuya razón es 2 , la diferencia de la suma de los con3 secuentes y los antecedentes es 195. Halle la suma de los consecuentes y dé como respuesta la suma de sus cifras. a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 21
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2 2 10. Si: a = c , halle el valor de: E = a b + c d además: 2 b d ab + cd2 ac = 9 bd 16
a) 1 2
b) 3 4
d) 2 3
e) 7 8
c) 5 6
a a a a 11. Si: 1 = 2 = 3 = ... 10 , además: a3+a7+a9=76. 1 2 3 10 Calcule: E = a1 + a2 x a4 + a5 x a6 a) 216 d) 534
b) 345 e) 625
c) 612
12. Dada la siguiente serie de razones: a2 + 1 = b2 + 4 = 15 30 Halle: a.b.c, si: a + b + c = 6 a) 6 b) 9 d) 15 e) 18
c2 + 9 45 c) 12
13. Si: ab = bc = ac . Determine "b", si: a + c = (4!)2.4 10! 11! 12! a) 8 d) 20
b) 12 e) 24
c) 16
14. Las cantidades de dinero que tienen 3 personas están en la relación de 5; 6 y 8; si se le disminuye 10, 12 y 16 soles a cada una respectivamente se observaría que la relación de las dos menores cantidades de dinero (de menor a mayor) sería la misma en que está la mayor de las cantidades con 96. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero en soles? a) 80 b) 60 c) 50 d) 40 e) 70 15. En una serie de 3 razones geométricas iguales, la diferencia entre los términos de cada razón son 8, 14 y 22 respectivamente. Si la suma de los cuadrados de los antecedentes es 1674 y la razón es menor que 1. ¿Cuál es la suma de los consecuentes? a) 120 b) 130 c) 115 d) 125 e) 110
Problemas adicionales 16. Tres números enteros son entre sí como 4; 7 y 12, si la diferencia de dos de ellos es 55 Hallar el otro número. a) 22 b) 33 c) 44 d) 66 e) 77
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Capítulo 02
17. En la serie: a = c = d = f . Se cumple: bg = 160; b d e g af=90 Si además: e-c = 35 Hallar: "d" a) 80 b) 75 c) 60 d) 50 e) 45 18. En un corral se observa que por cada 2 gallinas hay 3 patos, y por cada 5 conejos hay 2 patos. Si se aumentaran 33 gallinas estas serían igual a la cantidad de conejos. Hallar cuántos patos hay en el corral. a) 15 b) 13 c) 12 d) 16 e) 18 19. Un granjero tiene 1365 animales entre conejos, gallinas y patos. El número de gallinas y conejos están en la relación de 2 a 5, y el número de patos y gallinas están en la relación de 7 a 3. ¿Cuántos conejos hay en la granja? a) 115 b) 117 c) 230 d) 585 e) 675 20. Un frutero cuenta su mercadería y observa que por cada 4 naranjas tiene 7 manzanas, y por cada 3 manzanas tiene 2 peras. Los precios unitarios de naranjas, manzanas y peras son de S/.0,60; S/.0,40 y S/.0,50; respectivamente. Una persona le compra la mitad de las peras y la tercera parte de las naranjas, pagando por ellas S/. 29,50. Si otra persona le compra la séptima parte de las manzanas, ¿cuánto pagó por ellas? a) S/.5,60 b) S/.6,00 c) S/.6,40 d) S/.5,20 e) S/.7,20
21. En una serie de 20 razones geométricas equivalentes, los consecuentes son los 20 primeros números impares. Calcular el mayor promedio del menor y mayor antecedente si la suma de los antecedentes excede a la suma de los 10 menores de estos en 13200. a) 110 b) 330 c) 660 d) 440 e) 880 22. Si se cumple: a + 7 = 3b + 1 = c = 2 a-7 3b - 1 b + 1 Hallar: a+b+c a) 16 b) 40 c) 26 d) 80 e) 23 23. Si: a+n = c+n = a-e = c+e = 8 b+m d+m b-f d+f Calcular: a + b + c + d a-b c-d a) 23
b) 19
d) 8
e) 18 7
c)
7 18
24. En una serie de "n" razones geométricas equivalentes continuas de razón 3, se observa que la suma del mayor y menor de sus términos es 1220. Determine la suma de todos los términos de la serie. a) 3980 b) 4280 c) 4285 d) 3985 e) 2420
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Aritmética
Tarea domiciliaria 01. Los ángulos de un triángulo son entre sí como los números 4; 7 y 9 Hallar el menor de los ángulos. a) 20º b) 24º c) 28º d) 32º e) 36º 02. Se tiene 3 números proporcionales a 5, 3 y 2; si la suma de los dos mayores es 168. Hallar el otro número. a) 30 b) 60 c) 50 d) 42 e) 24 03. La suma, diferencia y producto de 2 números están en la relación 7; 5 y 216. Hallar el menor. a) 36 b) 200 c) 216 d) 140 e) 18
10. Si: x = m = b ; x 4 + xb = 288 4 x m 16 Hallar: "m". a) 10 d) 16
b) 11 e) 15
11. Dada la siguiente: serie: a = c = d = k ; k ! Z+ d d e Además: c+e = 15; b+d=14 Calcular: (a+b+c) a) 25 b) 30 c) 36 d) 42 e) 28 12. Dado: a2 = b2 = c2 = d2 28 63 112 175
04. Si: 16 = P = E = Z P E Z 81 Hallar: P+E+Z a) 120 d) 80
b) 118 e) 141
Además: a-b+c =42 Hallar: a+b+c+d a) 196 b) 225 d) 121 e) 169
c) 114
05. La suma, diferencia y producto de 2 números están en la relación de 5; 1 y 24 respectivamente. Hallar el mayor de dichos números. a) 12 b) 40 c) 36 d) 28 e) 24 06. Si: a = b = c , además: 2a+b+c=54 3 5 7 Calcular: E = a+2b+c a) 60 b) 64 c) 70 d) 72 e) 80
13. En una serie de razones equivalentes los antecedentes son: 2; 3; 7 y 11. El producto de los consecuentes es 37422. Hallar la suma de los consecuentes. a) 60 b) 59 c) 63 d) 69 e) 72
15. Si: a+b = b+c = c-a = k 8 a 28
08. Si: 64 = a = b = c = d a b c d 2 b) 4 e) 32
Calcular: a) 4 d) 7
c) 6
a b) 5 e) 8
c) 6
16. Si:
09. Si: 5; b; 20; d y e; forman una serie de razones equivalentes continuas; entonces, el valor de e, es: a) 50 b) 60 c) 70 d) 75 e) 80
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c) 144
14. Se tiene tres R.G.E. donde las razones aritméticas de los términos de cada razón son: 9; 15; 33 respectivamente; además el producto de los dos primeros consecuentes es 60. Hallar el mayor consecuente si la constante es mayor que uno. a) 15 b) 12 c) 184 d) 22 e) 27
07. Si: 2 = 3 = 6 se cumple que: U+N+A=44 U N A Calcular: (UN+UA+NA) a) 400 b) 576 c) 324 d) 126 e) 180
Hallar: "d" a) 2 d) 8
c) 12
17
a = c = e =2 ; b d f
a#e = 6 a+e 13
Además: b × f = 144 Calcular: "c" sabiendo que: b+d+f=30 a) 7 b) 8 c) 6 d) 5 e) 4
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Capítulo 03
3
Proporciones
Proporción: Es la igualdad de dos razones de una misma especie. Proporción aritmética Ejemplo: las edades de 4 hermanos son: 24 años, 20 años, 15 años y 11 años; podemos decir: 24 años - 15 años = 9 años 20 años - 11 años = 9 años Se puede establecer la siguiente igualdad: Medios 24
-
15
=
20
-
11
Extremos A la cual se le llama proporción aritmética.
Proporción geométrica Ejemplo: Se tiene 4 terrenos cuyas superficies son 9m2; 12m2; 15m2 y 20m2 al comprarlos se tiene:
Se puede establecer la siguiente igualdad:
9m 2 = 3 4 12m2
15m2 = 3 4 20m2
/
9 = 15 12 20 A la cual se le llama proporción geométrica "9 es a 12, como 15 es a 20" De donde: (9) (20) = (12) (15) Extremos
Medios
Nota: "Cuando los medios son diferentes, la proporción se llama discreta, pero cuando los medios son iguales se llama continua"
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Aritmética
Proporción aritmética
Discreta
Continua
a-b=c-d
a-b=b-c
d: cuarta diferencial
b: media diferencial c: tercera diferencial
Proporción geométrica
Discreta
Continua
a = c b d
a = b b c
d: cuarta proporcional
b: media proporcional c: tercera proporcional
Propiedades de las proporciones Sea a = c se cumple: b d I. a+b = c+d ; a+b = c+d d a c b II. a-b = c-d ; a-b = c-d d a c b III. a+b = c+d a-b c-d
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Capítulo 03
Problemas resueltos 01. Los antecedentes de una proporción están en la relación de 8 a 5 y la suma de los consecuentes es 156. Calcule la diferencia de los términos medios, si los extremos están en la relación de 4 a 3.
Resolución • Dato: 8a = 5a b c • Además los extremos están en la relación de 4 a 3 → c = 6a y la suma de consecuente es 156. 8a = 5a " a = 10 156 - 6a 6a • Reconstruyendo la proporción: 80 = 50 96 60 • Nos piden: 96 – 50 = 46 02. En una proporción geométrica, la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia 16. ¿Cuál es su media proporcional?
Resolución • Si nos piden media proporcional es porque la proporción es continua. • Tenemos: a = b & b = ac b c • Dato: a + c = 20 a = 18 3 c=2 a - c = 16 • Entonces b = 18 # 2 b=6 03. En una proporción geométrica continua, la suma de los términos es 105 y la diferencia de extremos es 63. Halle la razón si es mayor que la unidad.
Resolución • Sea la proporción: • Dato: ak2 + 2ak + a = 105 • Factorizando a:
ak2 = ak ; k > 1 ak a a (k2 + 2k + 1) = 105... 1 44 2 44 3 TCP
• Además:
• Luego:
a(k + 1)2 = 105 ...(a) ak2 - a = 63 a(k2 - 1) = 63 ... (b) (a) ÷ (b) a (k + 1) (k + 1) 105 = 63 a (k + 1 ) (k - 1 ) k+1 = 5 k-1 3 k=4
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Aritmética
Práctica 01. 15 es la media proporcional de "a" y 25; "2a" es la tercera proporcional de 8 y "b". ¿Cuál es la cuarta proporcional de "a"; "b" y 15? a) 15 b) 161 c) 18 d) 20 e) 24
09. Si: a = b ; a2 + b2 = 360 ; a + c = 20 b c Halle: b a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
02. Si: • "p" es la tercera diferencial de 28 y 20
10. Sea la proporción: a = c = k ; a-b = 9 ; c-d = 15, b d además: b×d = 60, calcule la cuarta diferencial de d, b y a. a) 11 b) 14 c) 16 d) 18 e) 13
• "q" es la cuarta proporcional de 16; "p" y 36. Halla la media proporcional de "p" y "q". a) 36 b) 24 c) 27 d) 18 e) 54 03. Los números A, B y C son entre sí como los números 18; 9 y 12. Sabiendo que la cuarta diferencial de A, B y C es igual a 15, halle la cuarta proporcional de A, B y C. a) 26 b) 30 c) 35 d) 41 e) 45
11. En una proporción geométrica continua, la suma de los cuatro términos es 112 y la diferencia de los extremos es 56. Halle la raíz cuadrada del producto de los cuatro términos. a) 256 b) 343 c) 441 d) 504 e) 512
04. Si c es tercera proporcional de a y b, además: ab+bc+ac=114. Hallar la razón aritmética de a y c. a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
12. El producto de los extremos de una proporción aritmética es 105 y la suma de los términos medios es 22. Halle el mayor valor posible que puede tomar un término de la proporción. a) 16 b) 19 c) 21 d) 20 e) 18
05. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 1296. Si el cuarto término es la tercera parte del segundo término, calcular el primer término. a) 12 b) 18 c) 32 d) 26 e) 35
13. En una proporción geométrica discreta se cumple que la suma de los cuadrados de sus términos es 221. Halle la suma de dichos términos, si éstos y la constante de proporcionalidad son enteros positivos. a) 25 b) 28 c) 32 d) 35 e) 36
06. Si 8 es la cuarta proporcional de a, 6 y b, y a es la cuarta proporcional de b; 16 y 48. Hallar el valor de (b - a). a) 8 b) 150 c) 20 d) 24 e) 44
14. En una proporción geométrica continua, la suma de las raíces cuadradas de los extremos es 7. Si la diferencia de los extremos es 7. Hallar la media proporcional. a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16
07. Se tiene una proporción geométrica continua donde el primer término es 1 del cuarto término. Hallar el 16 término medio de dicha proporción, sabiendo que la suma de las raíces cuadradas de los extremos es 10. a) 12 b) 20 c) 16 d) 18 e) 15 08. Se tiene una proporción aritmética continua donde la suma de los cuatro términos es 112 y la diferencia de sus extremos es 18. Hallar dichos extremos. a) 37 y 19 b) 44 y 26 c) 40 y 22 d) 53 y 35 e) 45 y 27
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15. En una proporción aritmética. Se sabe que: la suma de los términos medios y la diferencia de los términos extremos son 66 y 6 respectivamente. Determinar la razón de esta proporción sabiendo que esta es 1 de 6 uno de los extremos. a) 11 b) 8 c) 4 d) 6 e) 3
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Capítulo 03 Problemas adicionales 16. Sabiendo que: "b" es la media proporcional de "a" y 2 2 "c"; a+b+c=93 y además: a + b = 1 2 2 25 b +c Hallar: a×b a) 36 b) 40 c) 45 d) 48 e) 55 17. Si "a" es a "b" como "c" es a "d". 2 2 2 2 Hallar: b - d , si: a - c = 1 b+d a+c 7 a) 1 2
b)
1 35
d) 1 7
e)
1 49
c) 1 6
18. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 81. Hallar el valor de la media proporcional. a) 1 b) 3 c) 6 3 d) 9 e) 27 19. Se tienen dos recipientes con vinos de distintas calidades. Si intercambiamos 20 litros obtendremos vino de la misma calidad. Indicar la suma de las inversas de dichas cantidades. a) 1 b) 1 c) 1 10 20 30 d)
1 40
e)
20. La razón de una proporción geométrica es un número entero, los términos extremos son iguales y la suma de los términos de la proporción es 192. Halle el menor término medio. a) 9 b) 21 c) 3 d) 147 e) 63 21. En una proporción geométrica continua, la mayor diferencia positiva que existe entre 2 de sus términos es igual a la menor suma que se tiene entre 2 de ellos; si el extremo mayor excede en 6 a la media proporcional. Hallar el extremo menor. a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 5 22. En una proporción geométrica la suma de los extremos es 21 y la suma de los medios es 19. Hallar el mayor de los términos de dicha proporción; si la suma de los cuadrados de los cuatro términos es 442. a) 10 b) 16 c) 15 d) 12 e) 20 23. Sabiendo que: a - 8 = 2b = a + b + 4 b + 4 a + 12 a + b + c Determine el valor de: b + 12 ; sabiendo que: a+c-4 a+2c=52 b) 2 c) 3 a) 2 5 3 5 d) 3 e) 4 4 5
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Aritmética
Tarea domiciliaria 01. Los antecedentes de varias razones equivalentes son: 3, 4, 5 y 6. Si la suma de los dos primeros consecuentes es 28, entonces, los dos últimos son: a) 20 y 22 b) 20 y 24 c) 22 y 24 d) 20 y 26 e) 20 y 30
10. La suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua es 18. Hallar la diferencia de los extremos. a) 6 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2
02. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 1296 y el producto de los antecedentes es 24. Hallar la tercia proporcional. a) 9 b) 12 c) 15 d) 16 e) 8
11. Si: a = b = K y ab + ac = 320 ; siendo a, b, c, k, b c naturales y distintos entre sí; entonces, a+b+c, es igual: a) 542 b) 1046 c) 1156 d) 545 e) 1092
03. Si el producto de los 4 términos de una proporción geométrica continua es 4096; entonces, su media proporcional, es: a) 6 b) 8 c) 12 d) 4 e) 16 04. La suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua es 9. Si la diferencia de sus extremos es 3. Hallar el producto de los 4 términos. a) 9 b) 8 c) 81 d) 27 e) 16 05. La suma de los cuadrados de los términos de una proporción geométrica es 65. Calcular la suma de los antecedentes, si los términos son cantidades enteras. a) 23 b) 10 c) 13 d) 19 e) 20 06. Dos números están en la relación de 2 a 5. Si la cuarta parte del mayor es igual a la tercera proporcional entre 12 y la mitad del otro número, determinar la suma de dichos números. a) 95 b) 105 c) 135 d) 150 e) 160 07. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción geométrica continua, si la suma de sus cuatro términos es 150 y la razón entre la suma y la diferencia de los dos primeros términos es 5 . 3 a) 60 d) 90
b) 75 e) 100
c) 80
08. En una proporción geométrica continua la diferencia de los extremos es 40 y la suma de raíces cuadradas de los mismos es 10. Calcular la media proporcional. a) 24 b) 21 c) 27 d) 15 e) 12 09. En una proporción geométrica la suma de los dos primeros términos es 20 y la suma de los dos últimos términos es 25. Calcular el menor de los términos medios, si la suma de los consecuentes es 27. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 Central 6198 - 100
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12. Se tiene una proporción geométrica continua. Hallar el término medio de dicha proporción sabiendo que la suma de sus términos es 81 y que la diferencia de los extremos es la mayor posible. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 13. Se tiene que: a = b y donde a×b×b×c=6561. b c Si: 3 a - 3 c = 8 b Calcular el valor de: (a+b+c) a) 87 b) 89 c) 91 d) 93 e) 95 14. Si se cumple que: a -3 = b -5 = c -7 69 115 161 Halle: (a-b+c), si: a×b=3600 a) 66 b) 99 d) 132 e) 164
c) 121
15. Si: a = c = K ; a+c=4; ab + cd = 20 ; entonces, K b d es igual a: a) 25 b) 20 c) 4 1 1 e) d) 4 25 16. En una proporción geométrica continua se sabe que la diferencia de los extremos es 40 y la suma de sus términos es 100. Calcular la media aritmética de los extremos e indicar la suma de sus cifras. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 8 (a2) 5 1bc 11c = = bc ba 1 (a2) y que además la constante de proporcionalidad es entera. Halle: a + b2 × c2, si: a+b+c=10 a) 83 b) 86 c) 102 d) 103 e) 124
17. Sabiendo que:
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Capítulo 04
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Promedios y medias
Introducción El promedio aritmético es una medida de tendencia central, que tiene importancia en el caso en que los datos se junten aditivamente para obtener un total. De hecho, puede interpretarse como un valor que podría sustituir a cada uno de los datos para obtener la misma suma total. El promedio geométrico por su parte, es relevante cuando los datos se usan multiplicativamente para obtener un resultado. Es así que puede interpretarse como un valor, que puede sustituir a cada dato, para producir el mismo producto total. El promedio armónico tiene importancia cuando usamos los datos sumando los recíprocos de cada uno de los datos y se puede interpretar con un valor que puede sustituir a cada dato para producir la misma suma de los recíprocos.
Promedio Dado un conjunto de datos diferentes es frecuente calcular un valor representativo de ellos, que este comprendido entre el menor y el mayor de ellos; a dicha cantidad se le llama: promedio o valor medio o simplemente media de los datos. Sean "n" cantidades en sucesión monótona creciente: a1 ; a2 ; a3 ; ... ; an El promedio de ellas será "p" si: a 1 < p < an
Promedios más utilizados Promedio aritmético o media aritmética (M. A.) a + a + a + ... + an M.A. = 1 2 3 n Aplicación: un vendedor independiente ganó en el verano pasado: enero S/. 800; febrero S/. 1200 y marzo S/. 1300. ¿Cuál fue su promedio mensual?
Resolución El promedio mensual viene a ser la Media Aritmética (M.A.) de dichas cantidades. M.A. =
S/.800 + S/.1200 + S/.1300 = S/.1100 3
Promedio geométrico o media geométrica (M.G.) M.G. = n a1 $ a2 $ ... $ an
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Aritmética Aplicación: En los últimos 5 meses, el gobierno actual registró una tasa de inflación mensual de 2%, 5%, 20%, 20% y 25%. Encuentre la tasa de inflación mensual promedio durante ese tiempo.
Resolución El promedio de dichas tasas viene a ser la media geométrica (M. G.) de dichas tasas. M.G. = 5 2% # 5% # 20% # 20% # 25% M.G. = 10%
Promedio armónico o media armónica (M.H.) M.H. =
n 1 1 1 ... 1 + + + + a1 a2 a3 an
Aplicación: Un ama de casa gasta S/. 30, cada mes, durante 3 meses consecutivos, en la compra de aceite. El primer mes compró a S/. 10 el galón, el segundo mes lo compró a S/. 6 el galón y el tercer mes lo compró a S/. 3 el galón; diga entonces ¿cuál fue el costo promedio mensual?
Resolución Costo Promedio = Costo Total # galones Entonces el costo promedio es: S/.30 + S/.30 + S/.30 S/.90 = = S/.5 S/.30 S/.30 S/.30 18 + + S/.10 S/.6 S/.3 Podemos observar que el costo promedio es la media armónica de S/.10, S/.6 y S/.3 es decir: M.H. =
3 =5 1 1 1 + + 10 6 3
Para dos cantidades a y b M.A. = a + b 2
M.G. = a $ b
M.H. = 2ab a+b
Propiedades a. Para "n" cantidades se cumple: M.A. $ M.G. $ M.H.
b. Para dos cantidades a y b se cumple: M.A. (a, b) $ M.H. (a, b) = 6M.G. (a, b)@2
c. El error que se comete al tomar la media aritmética (M.A.), como media geométrica (M.G.) para dos números es: M.A. - M.G. =
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(a - b) 2 4 (M.A. + M.G.)
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Capítulo 04 Promedio ponderado (P. P.) Es un caso particular del promedio aritmético, donde una o más cantidades se repiten dos o más veces. Aplicación: Al final del semestre académico, un alumno de la universidad observa su récord de notas: Curso
Nº de créditos
Nota
Matemática I
6
12
Química I
4
14
Física I
3
15
Economía
2
13
Determine su promedio.
Resolución El número de créditos indica las veces que se repite cada nota. Entonces el promedio ponderado es: ! P.P = 6 # 12 + 4 # 14 + 3 # 15 + 2 # 13 = 13, 26 6+4+3+2 En general: Datos: a1; a2; a3; ...; an Pesos: p1; p2; p3; ...; pn El Promedio Ponderado (P.P.) es: a p + a p + ... + an pn P. P. = 1 1 2 2 p1 + p2 + ... + pn Nota: Cuando no nos mencionen qué tipo de promedio se ha tomado y sólo se diga promedio de ..., consideraremos al Promedio Aritmético.
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Aritmética
Problemas resueltos 01. El promedio de 5 números es x, si el promedio de dos de ellos es x , ¿cuál es el promedio de los otros tres? 2
Resolución • Sean: a, b, c, d y e los números. • Dato: a + b + c + d + e = x " a + b + c + d + e = 5x 5 • Dato: a + b = x " a + b = x 2 2 • Reemplazando: a + b +S c + d + e = 5x S x
• Nos piden: 4x 3
4x
02. Juan viaja de A a B, recíprocamente, de B a A con velocidades medias de 30 y 60 millas por hora, respectivamente, la velocidad media en el viaje completo es:
Resolución • Mediante un gráfico:
V=30 millas/h d
A
B
V=60 millas/h 2d Vpromedio = dis tan cia total = tida + tregreso tiempo total 2d Vpromedio = = 40 millas/h d d + 30 60 03. Un alumno en un curso dio tres exámenes cuyas notas son: 08; 11 y 10, con peso 3; 2 y 4, respectivamente. ¿Cuál es la mínima nota que tendrá, que obtener en el cuarto examen, de peso 2, para aprobar el curso si la nota aprobatoria es 11?
Resolución • Por dato: Notas
Peso
8
3
11
2
10
4
x
2
• Entonces, el promedio ponderado es: 8 (3) + 11 (2) + 10 (4) + x (2) = 11 11 86 + 2x = 121 x = 17,5
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Capítulo 04
Práctica 01. Hallar: x + 1 , si el promedio geométrico de los números 9x ; 27x y 81x es 19683. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 02. La media aritmética de 40 números es 80. Si quitamos 5 de ellos aumenta a 84. ¿Cuál es la media aritmética de los números eliminados? a) 52 b) 82 c) 76 d) 90 e) 50 03. La edad promedio de 25 personas es 22. ¿Cuántas personas de 25 años deberán retirarse para que el promedio de las restantes sea 20? a) 2 b) 8 c) 10 d) 3 e) 5 04. El promedio de 50 números es 62,1. Hallar la variación de dicho promedio si se eliminan 5 números cuyo promedio es 18 a) 1,8 b) 4,9 c) 3,6 d) 2,0 e) 4,0 ! 05. Si la M.H. de 2 números pares consecutivos es 14, 93. Hallar la M.H. de sus inversas. c) 1 b) 2 a) 0,142 15 15 d) 3 e) 1 4 9 06. La M.G. de 20 números es 8 y la M.G. de otros 20 números es 18. ¿Cuál es la M.G. de los 40 números? a) 8 b) 13 c) 26 d) 18 e) 12 07. La M.G. de 4 números pares distintos es 6 3 . Hallar el promedio aritmético de los dos mayores. a) 54 b) 18 c) 38 d) 20 e) 36 08. El promedio de las notas de una prueba rendida por 60 alumnos fue 104. Los primeros 12 obtuvieron un promedio de 160 y los últimos 20 sacaran 62. Calcular el promedio de los restantes alumnos. a) 110 b) 100 c) 105 d) 104 e) N.A. 09. En una clase de 12 alumnos el promedio de las notas de los 6 más aplicados es 18 y el de los restantes 15. El promedio del tercio superior es 18,5 y del tercio inferior 14,5. Hallar el promedio del tercio intermedio. a) 11 b) 16,5 c) 12,5 d) 15,5 e) N.A.
10. Un estudiante de la "SAN MARCOS" ha obtenido 13; 14; 16; 12 y "x", en sus 5 exámenes, si este último tiene el doble de peso que los otros, determinar el valor de "x", sabiendo además que el promedio ponderado del estudiante es 13,5 a) 12 b) 12,5 c) 13 d) 13,5 e) 14 11. En un club de tiro, de 20 personas el mínimo porcentaje de aciertos que puede tener cada una es 25%, en un campeonato el promedio de los 20 es 28% ¿Cuál es el máximo porcentaje que pudo hacer una de ellas? a) 75 b) 70 c) 65 d) 85 e) 96 12. En un grupo de 6 personas, ninguno de ellos es menor de 15 años. Si el promedio aritmético de las edades es de 18 años. ¿Cuál es la máxima edad que puede tener una de ellas? a) 33 b) 32 c) 34 d) 35 e) 31 13. La edad promedio de 30 personas es 28. ¿Cuántas personas de 30 años deben retirarse para que el promedio de las personas que quedan sea 18? a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 14. El promedio de edad de un grupo de 6 hombres es 23; el promedio de edad de un grupo de 4 mujeres es 15. El promedio de la mitad de personas es 19,6 Hallar la edad promedio de la otra mitad. a) 21 b) 20 c) 19,5 d) 19 e) 20,5 15. De una muestra de "n" personas el promedio de edades de los casados es "a" años, de los solteros es "a+8" años y el promedio de las edades de las personas es "a+4" años. ¿Cuántas personas son solteras? a) n b) n c) 2n 2 d) 2n+2 e) 2n+1
Problemas adicionales 16. La M.G. de dos números es 10 6 y su media armónica y aritmética son dos números consecutivos. Hallar los números e indicar el menor. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 15 17. Si la edad promedio del 25% de un grupo de personas es 40 años. ¿Cuál es la edad promedio del resto, si la edad promedio de todos es 30 años? a) 25 b) 28 c) 35 e) 26 d) 26 2 3 28
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Aritmética
Tarea domiciliaria 01. El promedio de 4 números es 12. Si la suma de los tres primeros es 30, el último número es: a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 02. El promedio aritmético de las edades de 5 personas es 38. Si ninguna de ellas es mayor de 43 años. La menor edad posible en una de las personas es: a) 19 b) 20 c) 21 d) 17 e) 18 03. El promedio aritmético de 60 números es 12,5. Si cada uno de los números se multiplica por 2,4; el nuevo promedio será: a) 30 b) 31 c) 32 d) 29 e) 28 04. La media aritmética de dos números es 5 y la media armónica es 16 . La media geométrica será: 5 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 05. La media geométrica de los números 8; 27 y 125 es: a) 27 b) 26 c) 28 d) 30 e) 29 06. La media armónica de 20 números es 30; mientras que la media armónica de otros 30 números es 20. La media armónica de los 50 números, es: a) 22 b) 23 c) 23 1 13 d) 24 e) 25 07. El promedio aritmético de 40 números es 80. Si eliminamos 5 de estos aumenta a 84. El promedio aritmético de los números eliminados es: a) 51 b) 52 c) 53 d) 54 e) 55 08. El promedio de las edades diferentes de 5 personas es 20. Si ninguno de ellos es menor de 14 años; entonces, la máxima edad que podría tener uno de ellos, es: a) 33 b) 36 c) 38 d) 22 e) 39 2x;
09. Hallar: "x", si el promedio geométrico de es 1024. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
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22x
y
8x
10. El promedio aritmético de las edades de 12 personas es 29 años. Si se retiran 4, el promedio de las edades que quedan es 25 años. El promedio de las 4 personas que se retiraron, es: a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39 11. El promedio de los números 15; 40; "n" y 15 es 20. Hallar: "n". a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 12. El promedio aritmético de 5 números es 85. Si consideramos un sexto número y el promedio aumenta en 15. El sexto número, es: a) 175 b) 171 c) 172 d) 163 e) 134 13. El valor de uno de 3 números que tienen como promedio "2x", si el promedio de los otros dos es "y", será: a) 6x-2y b) x-y c) 3x-y d) x-2y e) x+y 14. El promedio aritmético y armónico de 2 números están en la relación de 25 a 16. Si la diferencia entre el promedio aritmético y geométrico es 20; entonces, la diferencia de los números, es: a) 130 b) 140 c) 120 d) 300 e) 200 15. La media armónica de 20 números es 12 y de otros 10 números diferentes es 36. Hallar la media armónica de todos los números. b) 21 3 c) 22 3 a) 15 3 7 7 5 d) 18
e) 18 2 7
16. Si la media aritmética de dos números es 10 y su media geométrica es 4 6 ; entonces, su media armónica, es: a) 4,8 b) 6,9 c) 9,6 d) 8,4 e) 10,1 17. Calcular el promedio aritmético de los términos de la siguiente progresión aritmética 12, 16, 20, ..., 68. a) 36 b) 40 c) 44 d) 42 e) 38 18. El mayor promedio de 2 números es 10, mientras que el menor promedio es 5,1. Calcular la diferencia de dichos números. a) 14 b) 21 c) 8 d) 4 e) 6
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Capítulo 05
5 Repaso: Razones y proporciones 01. La razón de dos números es 3 y los 2 de su produc4 3 to es 1152 Hallar la suma de ellos. a) 84 b) 70 c) 63 d) 91 e) 77 02. Una persona A dispone de 180 soles más que otra B. Si por cada 5 soles que tiene A, B tiene 3 soles. ¿Cuánto tiene A? a) 500 b) 540 c) 450 d) 600 e) 480 03. Dos números son entre si como 10 es a 9. Si la suma de la mitad del mayor y la tercera parte del menor es 72. Hallar el número mayor. a) 45 b) 54 c) 63 d) 90 e) 72 04. En una reunión, por cada 5 varones hay 4 mujeres, la cantidad de personas que bailan es a la que no bailan como 8 es a 3. De lo que bailan, ninguno fuma. De los varones, los que fuman son al total como 1 es a 3. Si hay 48 mujeres que no bailan. ¿Cuántos varones fuman? a) 110 b) 200 c) 550 d) 45 e) 56 05. En una fiesta se observa que en cierto momento, el número de varones que no bailaban es al número de personas que están bailando como 7 es a 2 y el número de varones que bailan es el número de damas como 1 es a 4. Hallar cuántas personas no bailaban sabiendo que en total asistieron 384 personas. a) 320 b) 300 c) 240 d) 200 e) 352 06. Un jugador de billar A, da a otro B, 30 carambolas para 90 B da a C 10 carambolas para 40. ¿Cuántas carambolas dará A a C ó C a A para una partida de 48 carambolas? a) 24 b) 20 c) 45 d) 25 e) 30 07. Un barman debe preparar un cóctel de gaseosa, vino y naranja en la proporción de 4, 2 y 5 respectivamente, pero para ello le faltan 4 litros de gaseosa y 6 litros de naranja, los cuales reemplaza por cierta cantidad de vino, siendo la proporción final de 5, 7 y 6 respectivamente. Determinar cuántos litros de vino se utilizó.
a) 20 d) 28
b) 25 e) 35
c) 30
08. Indique verdadero (V) o falso (F): I. Si la razón entre A y B es de 9 a 4, entonces A=36 y B=16. II. Si: A es "n" veces más que B, entonces A=(n+1) B. III. Si la razón entre A y B es 4 , entonces la razón 3 entre A+B y A-B es 7. IV. Si la razón aritmética y geométrica A y B es 15 y 4 respectivamente, entonces A×B y (A+B) tiene como razón a 6. a) VVVV b) VVFV c) VFVV d) VVVF e) FVVF 09. Un granjero tiene 1365 animales entre conejos, gallinas y patos. El número de gallinas es al número conejos como 2 es a 5, el número de patos es al de gallinas, como 7 es a 3. ¿Cuántos conejos hay en la granja? a) 115 b) 117 c) 230 d) 585 e) 675 10. Se tienen 3 recipientes de vino cuyos volúmenes están en la misma relación a los números 13; 17 y 19. Si la suma de los volúmenes de los más pequeños excede al volumen del mayor en 44 litros, calcule el volumen del intermedio. a) 52 L b) 68 L c) 72 L d) 76 L e) 85 L 11. Los consecuentes de varias razones equivalentes son 3; 4; 5 y 6. Si la suma de los 2 primeros antecedentes es 35, hallar los 2 últimos antecedentes. a) 25 y 24 b) 20 y 24 c) 25 y 36 d) 25 y 30 e) 20 y 30 12. Se tiene la siguiente serie de razones geométricas equivalentes y continuas: a = b = c = k . b c d Donde: 64a = 27d, además: a+b+c = 222. Calcule el valor de "d". a) 128 b) 64 c) 32 d) 84 e) 121
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Aritmética 13. En una serie de 4 razones geométricas equivalentes continuas, se observa que la suma de tres de las razones es 6 . Hallar el quinto término de la serie, 5 sabiendo que la razón aritmética de la suma de los dos primeros términos y la suma de los dos primeros consecuentes es 420. a) 350 b) 400 c) 450 d) 500 e) 550 14. Sabiendo que: a = b = c = d y a × b + c × d = 396. 3 8 4 5 Hallar: "a+b+c+d". a) 40 b) 45 c) 60 d) 72 e) 89 15. En una serie de 3 razones geométricas iguales y continuas cuya razón no es entero, se sabe que uno de los términos extremos es 8 veces el valor del otro extremo, si el antecedente central es 10. ¿Cuánto vale su consecuente? a) 30 b) 40 c) 25 d) 20 e) 10 a 16. Si se cumple que: 1 = b1
a2 a3 = = K ; (K ∈ Z+) y que b2 b3
a2 - a2 a además: 1 + 2 3 = 6 b1 b2 - b2 2 3 Determine el valor de "k". a) 2 b) 3 d) 5 e) 6
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c) 4
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17. Se tiene la siguiente serie de razones geométricas iguadonde A+B+C=1587 les: A = B = C a! ( a + 1 ) ! ( a + 2 ) ! Determine el valor de C. a) 1502 b) 1518 c) 1524 d) 1538 e) 1500 18. Se tiene las siguientes razones equivalentes: m = n = p ; si sumamos a los antecedentes 21; 12 3 4 5 y 3 respectivamente para que la proporcionalidad se mantenga el orden de los consecuentes se debe invertir. Hallar la suma de cifras de "p". a) 9 b) 11 c) 6 d) 15 e) 12 19. Determine: a×b, si: a 3 + b3 = a2 + b2 = a2 - b2 = K 7 182 25 a) 12 d) 48 a 20. Si: 1 = b1
b) 24 e) 42
c) 36
a2 a3 = = ... = K b2 b3
Además: a1a2 a3 a2 a3 a 4 + + ... = m! b1b2 b3 b2 b3 b 4 Si existen 92 razones, entonces el valor de (k + m) es: a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 24
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Capítulo 05
Tarea domiciliaria 01. En una reunión, el número de hombres es al total de personas como 3 es a 8 y la diferencia de hombres con mujeres es 24. Calcule la relación entre mujeres y hombres si se retiran 33 mujeres. b) 3 c) 1 a) 2 3 4 5 d) 2 e) 1 5 6 02. En una proporción geométrica continua, los términos extremos son entre sí como 4 es a 25, además la suma de los 4 términos de la proporción es 245. Calcule la diferencia de los extremos. a) 75 b) 105 c) 100 d) 110 e) 120 03. En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es igual a la suma de los medios más 1; si el producto de los términos es 1296. Determinar la suma de los términos. a) 23 b) 25 c) 17 d) 19 e) 31
08. En una serie de tres razones geométricas equivalentes se cumple que las diferencias entre los términos de cada razón son 15; 25 y 40 respectivamente. Si el producto de los consecuentes es 61 440; hallar el valor de la razón, si es menor que la unidad. b) 2 c) 3 a) 1 2 5 8 d) 5 e) 3 8 5 09. La magnitud A es inversamente proporcional al cuadrado de la magnitud B, cuando A disminuye 36 unidades el valor de B varía en 1 de su valor, encuentre 4 el valor inicial de A. a) 120 b) 130 c) 150 d) 100 e) 20 10. ¿Cuántos pares de números enteros positivos, cumplen que el producto de su M.A., M.G. y M.H. resulta 216? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
04. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 164. Si uno de los extremos es el cuádruple del otro. Hallar el menor de los extremos. a) 6 b) 8 c) 12 d) 24 e) 16
11. Una cierta cantidad de azúcar que cuesta $120 el kilo se mezcla con 100 kilos de azúcar de $180 el kilo, si el precio medio de la mezcla es $142,5 Hallar dicha cantidad. a) 133 kg b) 166 kg c) 166 kg d) 160 kg e) 100 kg
05. Cuatro vendedores A; B; C y D tienen naranjas en la relación de 3; 5; 6 y 11 respectivamente. Si "D" le diera a "A" 120 naranjas, ambos tendrían igual número de naranjas. ¿Cuántas naranjas más tiene "B" con respecto a "A"? a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80
12. ¿Qué cantidad de alcohol puro habrá que agregar a una mezcla que contiene 90 litros de alcohol y 10 litros de agua para obtener una mezcla de 97,5% de pureza? a) 200 litros b) 300 litros c) 320 litros d) 220 litros e) 150 litros
06. Si: a = b = c y a # b # c = 27 m n q m#n#q 40 40 40 Hallar: a + b + c 40 40 m + n + q40
13. Se mezcla alcohol de 60º, alcohol puro y agua en la proporción de 4; 3 y n. Hallar n, si el grado de la mezcla es igual al grado de uno de los ingredientes. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
a) 3 d) 340
b) 320 e) 380
c) 330
g 07. Si la serie de razones: a = c = e = tiene como rab d f h zón k; a que es igual: abcd + acfh + b deg + efgh a) b) c) d) e)
k k(bd + fh) k+1 k(bd + fh + ac) k2(bd + fh)
14. Si "p" es la razón de personas enfermas de SIDA en una ciudad y si "q" es la razón de los que no están enfermos. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar pq? b) 1 c) (pq)2 a) 0 4 e) 1 d) 1 2
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Aritmética
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Regla de mezcla
Introducción La atmósfera es una mezcla de gases que rodea un objeto celeste (como la Tierra) cuando éste cuenta con un campo gravitatorio suficiente para impedir que escape. La atmósfera terrestre está constituida principalmente por Nitrógeno (78%) y Oxígeno (21%). El 1% restante lo forman el Argón (0,9%), el Dióxido de Carbono (0,03%), distintas proporciones de vapor de agua, y trazas de Hidrógeno, Ozono, Metano, Monóxido de Carbono, Helio, Neón, Kriptón y Xenón. También existen otros tipos de mezcla, la que realizan los comerciantes con la finalidad de obtener utilidades, la forma de calcular el precio común a ellos será motivo de estudio en el presente capítulo.
Mezcla Es la reunión o agregación de 2 o más ingredientes o sustancias entre las cuales no hay interacción química.
Precio unitario: Es el costo de cada unidad de medida del ingrediente. Precio medio: Es el precio de costo de una unidad de medida de mezcla. Se obtiene dividiendo el costo total de los ingredientes entre la cantidad total de unidades de medida de mezcla. Pm =
Costo Total Cantidad Total
Ejemplo: se mezclan a tipos de arroz, según la siguiente relación: Arroz tipo A: 9 Kg de S/. 3 Arroz tipo B: 5 Kg. de S/. 2,2 Arroz tipo C: 6 Kg. de S/. 1,5 Calcule el precio medio de la mezcla.
Resolución El precio medio es el precio de costo de un Kg. de mezcla, que se obtiene dividiendo el costo total de los ingredientes entre la cantidad de mezcla obtenida. 9 # S/.3 + 5 # S/.2, 2 + 6 # S/.1, 5 = S/.2, 35 9+5+6 Se puede observar que el precio medio es el promedio ponderado de los precios unitarios. Pm =
En general, para "n" ingredientes: Precios
:
P1
P2
P3
...
Pn
Cantidad :
C1
C2
C3
...
Cn
Pm =
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C1P1 + C2 P2 + C3 P3 + ... + Cn Pn C1 + C2 + C3 + ... + Cn
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Capítulo 06 Regla del aspa Se utiliza para determinar la proporción en la que deben mezclarse los ingredientes para obtener un determinado precio medio. Ejemplo: ¿En qué relación se debe mezclar café de S/. 20 el kg. con café de S/. 30 el kg. para obtener café de S/. 23?
Resolución Cantidades
Precios
Diferencias
C1
20
30 - 23 23
30
C2
23 - 20
C1 30 - 23 C & 1=7 = C2 23 - 20 C2 3 Se deben mezclar en la relación de 7 a 3. Se cumple:
Propiedad Cuando los precios de los ingredientes son diferentes se cumple que: Precio menor < Precio medio < Precio mayor Observación: Como el precio medio es el precio de costo; lo que se gana en algunos ingredientes, se pierde en los otros. Ganancia aparente = Pérdida aparente
Mezcla alcohólica: es una mezcla de alcohol y agua. Grado de una mezcla alcohólica: Es el tanto por ciento de alcohol puro presente en la mezcla. Se obtiene utilizando la siguiente expresión: Grado = Vol. alcohol # 100% Vol. total También se puede expresar en grados.
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Aritmética
Problemas resueltos 01. Se han mezclado dos vinos, 22 Hl de S/. 0,30 el litro con 78 Hl de S/. 0,25 el litro. Si se desea obtener una mezcla de S/. 0,20 el litro, la cantidad de agua que se debería agregar a la mezcla será:
Resolución • Recordemos: Hl = 100l; costo del agua = 0 • Datos: Cantidad en litros
precio
2200
0,30
7800
0,25
x
0
• Promedio ponderado:
2200 (0, 30) + 7800 (0, 25) + x (0) = 0, 20 10000 + x x = 3050 l
02. Se mezclan vinos de S/. 15; S/. 20 y S/. 25 el litro en cantidades que están en la relación de 1; 2 y 7, respectivamente. Si se sabe que al realizar la venta se obtuvo una ganancia del 10%, halle el precio de venta por litro.
Resolución • Datos: Cantidades
precios
1K
15
2K
20
7K
25
• Promedio ponderado: Pm =
• Precio de venta: Pm + 10% Pm
1K (15) + 2K (20) + 7K (25) 10K Pm = 23 PV = 1,1(23) PV = 25,3
03. Se tiene dos tipos de café: 50 kg de S/. 15 el kilogramo y el otro de S/. 10 cada kilogramo. Si se vende el kilogramo de la mezcla a S/. 15,6 y se gana el 30%. Determine la cantidad de kilogramos del segundo tipo de café.
Resolución • Del dato: PV = S/. 15,60 • Sabemos:
• Datos:
• Luego:
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PV = Pm + ganancia 15,60 = Pm + 20%Pm 15,60 = 1,3 Pm S/. 12 = Pm Cantidad (kg)
Precio
50
15
x
10 50 (15) + x (10) = 12 50 + x x = 75 kg
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Capítulo 06
Práctica 01. Renzo tiene 25kg de café de 8 soles el kilo, José tiene 15kg de café de 10 soles el kilo, y Guillermo tiene 10kg de café de 10 soles el kilo. A cuánto deberán vender el kilo si lo mezclan y no quieren ganar ni perder. a) 6 soles b) 7 soles c) 8 soles d) 9 soles e) 10 soles
08. Se mezcla 1kg de café de S/.2, con 2kg de café de S/.3 y con 3kg de café de S/.4, y así sucesivamente hasta lograr un precio unitario de S/.8. Si se malogra la quinta parte de la mezcla. ¿A qué precio se debe vender lo que queda para ganar el 20%? a) 5 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12
02. Se han mezclado 400 litros de vino de 20 soles el litro con 300 litros de vino de 30 soles el litro y con 100 litros de 40 soles el litro. Hallar el precio medio de la mezcla. a) S/. 25,00 b) S/. 26,00 c) S/. 26,75 d) S/. 26,50 e) S/. 26,25
09. Si en un recipiente se echaron 20 litros de alcohol de 82º, 30 litros de alcohol de 75º, 10 litros de alcohol puro y 15 litros de agua; ¿Cuál será el grado de la mezcla? a) 71,3º b) 65,2º c) 60,5º d) 72º e) 63º
03. Hallar los pesos de dos clases de café, cuyos precios son 18 y 16 soles el kilo, sabiendo que al mezclarlo resultan 480 kilos a 17,55 el kilo. a) 372 y 108 kg b) 374 y 106 kg c) 380 y 100 kg d) 370 y 110 kg e) 200 y 280 kg
10. ¿Cuál debería ser la pureza de alcohol que se deberá añadir a 80 litros de alcohol de 96º de pureza para obtener un hectolitro de alcohol de 90º de pureza? a) 72 b) 60 c) 80 d) 66 e) 75
04. Vanesa tiene 60kg de avena por valor de S/. 480, sabiendo que dicha avena es la mezcla de dos tipos de avena cuyos precios son S/. 5 y S/. 9 el kilo. ¿Qué cantidad de cada uno se utilizó? a) 5 y 10 b) 20 y 40 c) 45 y 15 d) 55 y 5 e) 45 y 10 05. Se mezclaron 90 litros de aceite de S/.5 el litro con 60 litros de aceite de mayor precio. Obteniéndose una mezcla con un precio promedio de S/.6. Hallar el precio del litro de aceite de mayor precio. a) S/.7,00 b) S/.7,20 c) S/.7,50 d) S/.8,00 e) S/. 8,50 06. Si los precios de las sustancias de una mezcla cuyo precio medio es S/.12 son S/.9 y S/.10 y S/.15 respectivamente. Si se utilizan 24kg de la sustancia de mayor precio. ¿Cuántos kilos tendrá la mezcla si la cantidad de primero es a la del segundo como 2 es a 3? a) 50 b) 62 c) 54 d) 50 e) 60 07. Un personaje aficionado a las bebidas hace el siguiente experimento, mezcla vinos de S/.6 y S/.5 el litro con agua vendiendo el producto a S/. 5,5 el litro. Hallar la relación entre los volúmenes de vino, si la cantidad de agua utilizada es el 20% de la de vino de S/.5 b) 18 c) 16 a) 22 9 7 7 d) 18 5
11. Un comerciante mezcla dos clases de avena, uno le cuesta S/.18 el kg y el otro S/.24 el kg. Si vende 60kg de esta mezcla a S/.1449 ganando el 15%. ¿Qué cantidad de avena de cada tipo se mezclo? a) 30 y 30 b) 25 y 35 c) 40 y 20 d) 15 y 45 e) 10 y 50 12. Se mezclan dos clases de café en la proporción de 1 a 2, y la mezcla se vende con el 5% de beneficio sobre el precio de compra después se mezclan en la proporción de a 2 a 1 y se vende con el 10% de beneficio siendo el precio de venta en los dos casos iguales. Calcular la relación que están los precios de compra de los dos ingredientes. b) 19 c) 18 a) 17 23 21 19 21 20 d) e) 23 23 13. Se mezclan 1; 2; 3; ... kg de un mismo producto donde sus precios por kg son 2; 3; 4; ... respectivamente. ¿Cuántas calidades se utilizaron, si al vender la mezcla de S/. 11 se gana el 10%? a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 7 14. Se tienen 5 litros de alcohol al 80%. ¿Cuántos litros de agua se necesitan aumentar para rebajarlo al 25%? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
e) 16 5
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Aritmética 15. Se mezclan 45 litros de vino de S/.40 el litro con vino de 24 y 36 soles el litro, resultando un precio medio de 34 soles el litro. Hallar la cantidad total de la mezcla, sabiendo que por cada 5 litros del segundo, hay 7 litros del tercero. a) 110 litros b) 117 litros c) 134 litros d) 135 litros e) 160 litros
19. Se quiere obtener 100 litros de alcohol de 74º mezclando 30 litros de alcohol de 80º con cantidades convenientes de alcohol puro y agua, pero por error estas cantidades se intercambian. ¿Cuál es el grado de la mezcla resultante? a) 40º b) 42º c) 44º d) 45º e) 48º
Problemas adicionales
20. Se tiene café sin tostar cuyo precio ha sido de S/.30 cada kg. El café al tostarse pierde x% de su peso. Hallar x, si para no ganar ni perder se vendió el kilogramo de café tostado a S/. 37,5 a) 15 b) 20 c) 16 d) 18 e) 24
16. Se tienen dos recipientes con iguales cantidades de alcohol; uno de alcohol de 40º y el otro con alcohol de 60º. Se toma la cuarta parte de uno de los recipientes, para mezclarlo con la sexta parte del otro. Hallar el mayor grado de pureza que podría tener la mezcla. a) 48º b) 60º c) 56º d) 52º e) 34º 17. Con alcohol de 40º; 30º y 20º se quiere obtener 60 L de alcohol de 25º. Si en la mezcla el volumen de alcohol de 40º es la cuarta parte del volumen de alcohol de 20º. ¿Cuántos litros entrará de 30º? a) 10 litros b) 15 litros c) 12,5 litros d) 20 litros e) 18 litros 18. Se mezclan 3 litros de un ácido al 30% con 9 litros a 70% y al resultado se le agrega un diluyente hasta obtener una concentración al 50%. ¿Cuántos litros de diluyente se empleó? a) 3 litros b) 2 litros c) 2,5 litros d) 4 litros e) 2,4 litros
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21. Se tienen dos recipientes con iguales cantidades de alcohol; uno con alcohol de 40º y el otro con alcohol de 60º. Se toma la cuarta parte de uno de los recipientes, para mezclarlo con la sexta parte del otro. Hallar el mayor grado de pureza que podría tener la mezcla. a) 48º b) 60º c) 56º d) 52º e) 34º 22. ¿Cuántos litros de agua debe agregarse a una mezcla de 5 litros de vino y agua, al 80% de pureza; con la finalidad de rebajarla al 25%? a) 10 litros b) 11 litros c) 12 litros d) 13 litros e) 14 litros 23. Se tienen 30 litros de alcohol al 30%, se extraen 10 litros de esta mezcla y se vierten en un recipiente que contiene cierta cantidad de agua de modo que se obtiene alcohol al 20%. ¿Cuántos litros de agua contenía ese recipiente? a) 10 litros b) 2 litros c) 4 litros d) 6 litros e) 5 litros
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Capítulo 06
Tarea domiciliaria 01. Juan mezcla 40 litros de alcohol de S/. 6 el litro, con 60 litros de alcohol de S/. 11 el litro. ¿Cuál será el precio promedio de la mezcla? a) S/. 8 b) S/. 9 c) S/. 8,5 d) S/. 9,5 e) S/. 10 02. Enrique tiene 100 litros de una mezcla que contiene vino de S/. 4 y S/. 8 el litro. Si el precio medio de la mezcla es de S/. 6,60. ¿Cuántos litros del vino más barato hay en la mezcla? a) 40 b) 35 c) 45 d) 52 e) 30
10. Una mezcla contiene agua y alcohol al 60%. ¿Cuál será la concentración de una nueva mezcla si el volumen de agua se triplica y el volumen de alcohol se duplica? a) 40% b) 55% c) 50% d) 60% e) 70% 11. ¿Qué volumen de alcohol puro hay que agregar a 80L de una mezcla de agua y alcohol al 60% para aumentar la concentración en 20%? a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 140
03. Se mezclan 40 litros de alcohol de 50º, con 60 litros de alcohol de 20º. Determinar el grado de la mezcla resultante. a) 18º b) 16º c) 32º d) 28º e) 19º
12. Si mezclamos 48 litros de agua con 12 litros de alcohol. Determinar la pureza de la concentración. a) 10% b) 15% c) 20% d) 18% e) 25%
04. Un depósito contiene 20 litros de vino al 60%. ¿Cuántos litros de agua deben agregarse para que la pureza sea del 50%? a) 8 b) 4 c) 12 d) 3 e) 5
13. Se mezclan 25 litros de alcohol de 50º con 100 litros de alcohol de 25º. ¿Cuál es la pureza de la mezcla resultante? a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50%
05. Una mezcla contiene 18 litros de agua y 42 litros de alcohol. ¿Cuál es la concentración de alcohol? a) 50% b) 60% c) 70% d) 80% e) 72%
14. María vierte 40 litros de alcohol de 35º en un recipiente que contiene alcohol. ¿Cuál deberá ser la pureza de éste último, si de ella se obtiene 100 litros de alcohol de 39,2º? a) 34º b) 36º c) 38º d) 43º e) 42º
06. ¿Qué volumen de alcohol hay en 60 litros de una mezcla de agua y alcohol al 45%? a) 20 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28 07. Un recipiente contiene 8 litros de agua; 10 litros de alcohol y 22 litros de vino. ¿Cuál es la concentración de vino? a) 20% b) 25% c) 40% d) 55% e) 60% 08. Con los datos del problema anterior, determinar la concentración del alcohol. a) 20% b) 25% c) 40% d) 55% e) 60% 09. Una mezcla de 1080 litros contiene agua y alcohol al 60% y otra mezcla de 120 litros contiene agua y alcohol al 80%. Al juntar ambas mezclas, ¿cuál es la concentración final de alcohol? a) 62% b) 72% c) 78% d) 68% e) 66%
15. Seis litros de una solución de alcohol y agua al 20% son mezclados con 4 litros de un 60% de alcohol y agua. ¿Cuál es la concentración de alcohol en la mezcla? a) 80% b) 50% c) 36% d) 40% e) 24% 16. A César se le pide que baje el grado de alcohol de un recipiente de 3 litros de 57º, para lo cual agrega 2 litros de alcohol de 20%. ¿Cuántos grados disminuye la mezcla original? a) 14,8º b) 15,8º c) 16,8º d) 13,6º e) 13,8º 17. Se tiene una mezcla de vino y agua de 200 litros al 90% de vino. ¿Qué cantidad de agua habrá que añadir a la mezcla para rebajarla al 75% de vino puro? a) 40 litros b) 60 litros c) 50 litros d) 80 litros e) 30 litros
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Proporcionalidad
Introducción Existen distintas magnitudes, algunas de las cuales se pueden contar, otras se pueden medir. Cuando preguntamos ¿Cuántos? pensamos en la cantidad de objetos de un conjunto discreto y cuando preguntamos ¿Cuánto? pensamos en medir, es decir, el objeto es un conjunto continuo. En este capítulo, estudiaremos las dos maneras más comunes de relacionar los valores de 2 magnitudes.
Magnitud Propiedad de la materia o de un fenómeno físico o químico susceptible de variación, es decir puede aumentar o disminuir.
Magnitudes directamente proporcionales Suponga que dos magnitudes están relacionadas de modo que al duplicar el valor de una de ellas, el valor de la otra también se duplica; al triplicar la primera, la segunda también queda multiplicada por tres, etc. Siempre que sucede esto, decimos que existe entre ambas magnitudes, una relación de proporción directa. Por ejemplo, si contamos la cantidad de panes que se pueden comprar con cierta cantidad de soles: Soles
Número de panes
1 sol
8 panes
2 soles
16 panes
3 soles
24 panes
4 soles
32 panes
Además, se cumple que el cociente de los valores correspondientes de las magnitudes es constante # panes = 8 = 16 = 24 = 32 = 8 (constante) soles 1 2 3 4 Si graficamos los valores correspondientes de las magnitudes en el plano se tiene que: (# de panes) 32 24 16
Tga=8
8 a
1 2 3 4
(S/.)
Los puntos se encuentran sobre una recta que pasa por el origen. Observación: La pendiente de la recta es igual a la constante de proporcionalidad. Este valor se puede calcular como la tangente del ángulo agudo que forma la recta con el eje x+.
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Capítulo 07 En general: A D.P. B " Valor de A = constante Valor de B Observación: A A
D.P. B 3 se lee A es directamente proporcional a B a B
Se puede afirmar que el valor de una de las magnitudes depende linealmente de la otra: Constante (pendiente de la recta) f(x) = Kx Valor de A
Valor de B
Es importante observar que, al aplicar un modelo matemático para analizar una situación concreta, debemos tener en cuenta los límites de la validez del modelo. En particular, cuando afirmamos que una magnitud A es proporcional a otra magnitud B, debemos dejar claro (explícita o tácitamente) que esto se da dentro de ciertos límites de variación para x e y. Por ejemplo la conocida "Ley de Hooke" dice que la deformación sufrida por un cuerpo elástico (por ejemplo, un resorte) es directamente proporcional a la (Intensidad de la fuerza empleada). Deformación = K × (fuerza) La validez de esta ecuación como modelo matemático para representar al fenómeno está sujeta a restricciones la fuerza no puede ser muy pequeña porque entonces aún siendo positiva, no sería suficiente para deformar el resorte; en este caso tendríamos deformación = 0 con una fuerza > 0, luego no valdría el modelo d = K . F, tampoco se puede tomar F muy grande porque el resorte se destruiría y poco antes de eso su deformación no sería proporcional a F.
Magnitudes inversamente proporcionales Supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil en una distancia de 180km. entre una ciudad y otra. Sea V la velocidad constante del auto y t el tiempo transcurrido en el viaje. V(Km/h)
t(h)
30
6
45
4
60
3
90
2
Se puede observar que al duplicar la velocidad, el tiempo se divide entre 2, y al triplicar la velocidad, el tiempo se reduce a su tercera parte. Además se cumple que el producto de los valores correspondientes de las magnitudes es constante. V × t = 30 × 6 = 45 × 4 = 60 × 3 = 90 × 2 = constante
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Aritmética La gráfica de los valores correspondientes de las magnitudes en el plano es: V(Km/h) 180
El área de cada rectángulo que se genera con un punto de la curva es igual a la constante de proporcionalidad.
90 60 45 30
1 2 3 4
6
t(h)
Los puntos se encuentran sobre una rama de hipérbola equilátera. En general: A I.P. B → (Valor de A) (Valor de B) = constante Esta relación se puede expresar: f (x ) = K x
Constante Valor de B
Valor de A
Propiedades I. Si: A I.P. B ⇒ A D.P. 1 B II. Si: A D.P. B ∧ B D.P. C A D.P. B
∧
A
I.P.
B
∧
A
I.P.
B
∧
⇒ B I.P. C ⇒ B D.P. C ⇒ B I.P. C ⇒
A D.P. C A
I.P.
C
A
I.P.
C
A D.P. C
III. Si: A D.P. B
⇒ An D.P. Bn ; n ! Q - "0, A I.P. B ⇒ Am I.P. Bm ; m ! Q - "0,
IV. Si: A DP B (cuando C es constante) y A I.P. C (Cuando B es constante) Se cumple: A # C = cons tan te B
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Capítulo 07
Problemas resueltos 01. Sean: A, B y C magnitudes, se sabe lo siguiente: • A DP C (B: cte.) • A IP B (C: cte.) Si cuando A aumenta en 60%, C aumenta en 44%, ¿qué pasa con B?
Resolución Establecemos la relación de proporcionalidad entre los valores de las magnitudes: Tenemos: A x B = cte C Luego podemos asumir valores conveniente para A; B y C. Como se trata de tanto por ciento nos conviene 100 como valor inicial para cada magnitud. +60%
A = 100 B = 100 C = 100
160 B1 = 144 +44%
160 x B1 Reemplazando: 100 x 100 = 100 144
B1 = 75
Por lo tanto B disminuye en 25%
02. A y B son dos magnitudes que cumplen la siguiente regla de proporcionalidad: A DP B cuando B≤8 por otro lado A IP B cuando 8≤B≤15 asimismo A IP B2 cuando B≥15. Si cuando B=4, A=15. Calcular el valor de A cuando B=30.
Resolución Graficando los valores de las magnitudes. A
• Para B ≤ 8: A DP B " A = cte B Reemplazando el dato:
A1=30
• Para 8 ≤ B ≤ 15: A IP B → A . B = cte Reemplazando: 30 . 8 = A2 x 15 → A2 = 1
A2=16 15
• Para 8 ≥ 15: A IP B2 → A x B2 = cte Reemplazando: 16 x 152 = A3 x 302 → A3 = 4
A3=4
• Luego: cuando B = 30, el valor de A es 4. 4
8
15
30
B
03. La magnitud A es DP a la inversa de B3 cuando la magnitud C permanece constante y C es IP a B2 cuando A es constante. Si C se cuadruplica mientras B se mantiene constante, entonces:
Resolución Si: A DP 1 también ⇒ A IP B3 o B IP 3 A ...(a) B3 Dato: C IP B2 → B IP C ... (b)
Condición C se cuadruplica
De (a) y (b)
A12 = A22 64 A A2 = 1 8 Se divide entre 8.
Bx
3
A x C = cte
Dato: B se mantiene constante: 3 A x C = cte & elevando a la sexta A2 . C3 = cte
A12 C3 = A2 (4C) 3
A12 x C3 = A22 64 C3
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Práctica 01. Los gráficos que aparecen a continuación describen el comportamiento de las magnitudes A; B; M y N. Analice ambos y calcule el valor de: (a + b + m + n). B M 24
m
10
20
b
12
a) 25 d) 52
a 12 30 A b) 46 e) 30
3 n 8 c) 16
N
02. A continuación se muestra dos tablas que indican los valores que toman las magnitudes M; N; P y Q. M 9 12 21 m 42 N 15 20 35 45 n P 3 4 p 2p 54 Q 36 27 18 q r Encuentre el valor de: (m + n + p + q + r). a) 93 b) 100 c) 103 d) 116 e) 114 03. La sombra proyectada por un cuerpo es directamente proporcional a su altura normal, Fernando de 1,80m proyecta una sombra de 1,20m, si está de pie frente a un gran árbol que proyecta una sombra de 4m. Hallar la altura del árbol. a) 5,40m b) 4,80m c) 6,40m d) 6m e) 7,20m 04. El número de días que demora la construcción de un muro es inversamente proporcional al número de obreros que laboran. Si 10 obreros demoran 16 días en construir un muro, ¿cuántos días más emplearán 8 obreros en construir el mismo muro? a) 1 día b) 2 días c) 4 días d) 5 días e) 6 días 05. El espacio recorrido por un cuerpo en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo que demora en recorrerlo. Si un objeto es soltado recorre 18m en 1,5 segundos. Hallar la altura de un edificio, si una piedra soltada desde su azotea demoró 4 segundos en llegar al primer piso. a) 120 m b) 144 m c) 150 m d) 108 m e) 128 m
07. Se sabe que el precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Se tiene un diamante cuyo precio es S/.3000 el cual es cortado en dos partes cuyos pesos se encuentran en la relación de 2 a 3, si estos se venden por separado entonces: a) Se ganan S/. 1280. b) Se pierden S/. 1440. c) Se ganan S/. 1360. d) Se pierden S/. 15 e) No se gana ni se pierde. 08. Se tienen tres engranajes A; B y C, A tiene 24 dientes y está engranado con B que tiene 36 dientes y éste a su vez engrana con C que tiene 45 dientes. ¿Cuántas vueltas habrá dado el engranaje B, cuando la diferencia entre el número de vueltas dadas entre A y C es 168? a) 210 b) 180 c) 240 d) 270 e) 200 09. El precio de un auto es directamente proporcional a la potencia de su motor e inversamente proporcional a su antigüedad. Si un auto cuesta $4500 y su motor tiene una potencia de 120 HP. ¿Cuánto costará otro auto cuyo motor tiene una potencia de 50 HP y de la mitad de años de antigüedad que el primero? a) $ 3750 b) $ 4250 c) $ 6000 d) $ 7500 e) $ 7000 10. La producción de una fábrica es directamente proporcional al número de máquinas e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la antigüedad de ellas. Inicialmente había 15 máquinas con 9 años de uso, si se consiguen 7 máquinas más con 4 años de uso de cada una. Calcular la nueva producción, si la producción inicial era de 3500 unidades. a) 3750 b) 2840 c) 5200 d) 4850 e) 5950 11. En cierta empresa la eficiencia de un trabajador se mide en puntos y es directamente proporcional a sus años de experiencia, e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su edad. Carlos, de 25 años de edad, tiene 1 año de experiencia y 2 puntos de eficiencia. ¿Cuál será la eficiencia de Carlos a los 36 años? a) 15 b) 20 c) 24 d) 30 e) 36
06. La pensión de dos jubilados es proporcional al número de años de servicio de cada uno. Si el primero sirvió 25 años y recibe una pensión de S/. 1800, ¿cuántos años sirvió el segundo, sabiendo que recibe una pensión de S/. 1440? a) 20 años b) 16 años c) 28 años d) 32 años e) 36 años
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Capítulo 07 12. La magnitud A es directamente proporcional a la magnitud B; y A es inversamente proporcional a la magnitud C. Hallar: x+y, si: A 6 1 24 y B
2
27
8
8x
C
1
x
1
y
a) 18 d) 12
b) 16 e) 15
c) 10
a) 32 d) 64
b) 49 e) 72
c) 54
19. Se sabe que la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud B, y es inversamente proporcional a la magnitud C. Además: A=8 cuando B=2 y C=4. Calcular A cuando B=3 y C=12 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. A; B; C y D son cuatro magnitudes tales que A es inversamente proporcional a 1/B2; A es inversamente proporcional a C; y A2 es directamente proporcional a D. Si: A=8 cuando B=2; C=4 y D=16. Hallar el valor de A, cuando B=8; C=2 y D=4 b) 2 c) 24 a) 22 d) 26 e) 28
20. El costo de un terreno es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia que lo separa de la ciudad, y es directamente proporcional a su área. Un cierto terreno cuesta 5000 dólares. ¿Cuánto costará otro terreno del doble de área y situado a una distancia tres veces mayor que el anterior? a) 1000 b) 730 c) 320 d) 250 e) 625
14. Las magnitudes A; B y C son tales que:, A es inversamente proporcional a B, y A2 es directamente proporcional a C. Si cuando A aumenta en 60%, C aumenta en 44%. ¿Qué pasa con B? a) Disminuye en 75% b) Aumenta en 25% c) Disminuye en 25% d) Aumenta en 75% e) No varía.
21. Doce obreros inicialmente pensaban hacer una obra en "n" días. Si después de haber hecho la mitad de la obra, 8 de los obreros aumentaron su rendimiento en un 25%, con lo cual el tiempo total de trabajo fue de 13 días. Hallar "n" a) 18 b) 23 c) 14 d) 26 e) 19
15. Dadas las magnitudes A, B, C y D tales que A es directamente proporcional a B, y C2 es inversamente proporcional a D. Además A=8 cuando B=5 y C=4 cuando D=2. Si hacemos D=4C y A=2D, cuánto valdrá B. a) 2,5 b) 10 c) 3 d) 1,2 e) 0,5
22. El sueldo de un empleado es proporcional a la raíz cuadrada de sus años de servicio y a la raíz cúbica de su eficiencia, ¿cuál es la relación entre los sueldos de los dos empleados, si el primero tiene 1,44 veces los años de servicio que el segundo y la eficiencia del primero es 19 mayor que la eficiencia del segundo? 8 b) 9 c) 8 a) 7 5 5 3
Problemas adicionales 16. El área que cubre una pintura es proporcional al número de galones que se utiliza. Si para pintar 200m2 se necesitan 25 galones, ¿qué área se pintará con 15 galones? a) 100 b) 50 c) 120 d) 250 e) 80 17. Del gráfico, hallar: a + b A a+16 a a - 24 24 32 b) 85 e) 108
a) 112 d) 74
b B c) 96
18. La siguiente tabla muestra los respectivos valores de las magnitudes A y B. Hallar: x. A 144 36 16 9 B
8
16
24
x
d) 9 7
e) 8 5
23. El precio de una refrigeradora es directamente proporcional a su tamaño e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la energía que consume. ¿Qué fracción es el precio de una refrigeradora respecto de otra cuyo tamaño e 5 de la primera y su consumo de 3 energía es 9 más que la primera? 16 b) 9 c) 12 a) 10 13 13 25 d) 11 e) 3 25 4 24. Un hombre, una mujer y 3 niños pueden hacer un trabajo en 65 días. Si se hubiera empezado con 2 mujeres y 2 niños más, ¿cuánto tiempo se habría ahorrado en terminar dicho trabajo, sabiendo que la eficiencia de una mujer es a la eficiencia del hombre como 7 es a 10 y la eficiencia de la mujer es a la de un niño como 5 es a 3?. a) 18 días b) 13 días c) 20 días d) 28 días e) 25 días
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Tarea domiciliaria 01. Si A es directamente proporcional a B, y cuando A vale 6, B vale 8, determinar B cuando A es 18 a) 24 b) 20 c) 18 d) 16 e) 12
09. Si A es D.P. a B2; B I.P. a C y C D.P. a D. Entonces: b) A I.P. D9 c) A I.P. D3 a) A I.P. D2 2 3 5 3 d) A I.P. D e) A D.P. D
02. Si la magnitud A es inversamente proporcional a la magnitud B y cuando A = 15, B = 24 Hallar el valor de B cuando A es 120 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. Si una vara de 2,15 m de longitud da una sombra de 6,45 m, ¿cuál será la altura de una torre cuya sombra, a la misma hora, es de 51 m? a) 14m b) 23m c) 153m d) 69m e) 17m
03. Las magnitudes A y B son D.P., cuando A vale 20, B es 18 ¿Qué valor toma A cuando B vale 72? a) 8 b) 12 c) 20 d) 40 e) 80
11. Diez peones se demoran 15 días a 7h/d de trabajo en sembrar un área de 50m2. ¿Cuántos días de 8 h/d se demorarán en sembrar 80m2, 15 peones doblemente hábiles? a) 7 b) 15 c) 10 d) 12 e) 6
04. Si la magnitud A es D.P. a la magnitud B; y al mismo tiempo A es I.P a la magnitud C; y cuando A es 15; B es 18 y C es 8; determinar C, cuando A es 20 y B es 9 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 05. El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si los pesos de dos diamantes están en la relación de 2 a 3, ¿en qué relación están sus precios? b) 4 c) 4 a) 2 9 3 9 d) 9 e) 3 4 2 06. Si "A" es proporcional a la suma de B y C, e inversamente proporcional a D2. Si cuando A=2, B=3, D=6 entonces C=5 Hallar el valor de "C", cuando A=9, B=10 y D=4 a) 3 b) 2 c) 8 d) 4 e) 6 07. Se tienen tres magnitudes A, B y C, tales que: A es 1
D.P. a B 2 ; A es I.P. a C2, y cuando A = 8, B = 16 yC=6 Calcular: B2, si: A = 9 y C = 4 a) 14 b) 16 c) 13,2 d) 15 e) 18 08. Si A varía directamente proporcional a B y C, e inversamente proporcional al cuadrado de D. Si: A = 420 cuando B = 24, C = 40 y D = 16, hallar: A, cuando B = 54, C = 12 y D = 6 a) 504 b) 1996 c) 2016 d) 508 e) 2040
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12. En una fábrica la cantidad de sillas producidas es directamente proporcional al número de trabajadores y a la raíz cuadrada del número de horas que trabajan. La fábrica produce 2400 sillas con 200 trabajadores, durante 9 horas diarias. ¿Cuántas sillas producirán 150 trabajadores, laborando 16 horas diarias? a) 5400 b) 2700 c) 2400 d) 3200 e) 5700 13. Una magnitud P es directamente proporcional al cuadrado de una magnitud Q. Si la magnitud Q se duplica, ¿en cuántas veces aumenta P? a) 1 vez b) 2 veces c) 4 veces d) 3 veces e) 5 veces 14. 8 hombres han cavado en 20 días una zanja de 50m de largo; 4m de ancho y 2m de profundidad. ¿En cuánto tiempo hubieran cavado la zanja 6 hombres menos? a) 48 días b) 80 días c) 31 días d) 52 días e) 56 días 15. Trece obreros trabajando durante 21 días pueden construir 270m2 de una pared. ¿Cuántos días tardarían 13 obreros dos veces eficientes que los anteriores para construir 900m2 de pared? a) 18 b) 28 c) 14 d) 29 e) 35 16. Dos personas hacen un trabajo en 18 y 24 días. El primero aumenta su rendimiento en 10% y el segundo en 20%, si en estas condiciones trabajan juntos, ¿en cuántos días harían el trabajo? a) 13 b) 9 c) 16 d) 6 e) 10
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Capítulo 08
8
Reparto proporcional
Introducción El 29 de Junio fueron de pesca Pedro, Juan y Pablo. Consiguieron 8, 9 y 10 pescados, respectivamente, que compartieron en partes iguales con Jesús, el cual muy bondadoso, entregó 27 panes para que se repartan entre ellos. ¿Cuántos panes le corresponden a Pedro? (No se apresure, la respuesta no es 8) Cuando se tiene un circuito resistivo en serie como : R1
R2 B
A
La tensión entre los puntos A y B se reparte directamente proporcional a los valores de las resistencias R1 y R2. En cambio si se tiene un circuito en paralelo. A
I
R2
R1 B
La corriente I se reparte inversamente proporcional a los valores de las resistencias R1 y R2 Así como este ejemplo, el reparto proporcional tiene su aplicación en la Economía, Ingeniería, Medicina, Agricultura, etc.
Concepto Consiste en repartir una cantidad en forma proporcional a ciertos números denominados índices de reparto.
Clases de reparto Reparto proporcional simple Es aquel reparto que se realiza en forma proporcional a un solo grupo de índices, este reparto puede ser de dos tipos :
a. Reparto simple directo: al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son directamente proporcionales a los índices. En general repartir N D.P. a los índices Se cumple que las partes obtenidas : P1; P2; P3; ...; Pn son D.P. a los índices. Constante P1 P2 P3 P = = = ... = n = K an a1 a2 a3 Como: N = P1 + P2 + ... + Pn
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144424443
Partes a1K a2K
&N
a3K anK
⇒ N = (a1 + a2 + a3 + ... + an)K ∴
K=
N (a1 + a2 + ... + an)
La constante de reparto es igual a la relación de la cantidad a repartir y la suma de los índices. Ejemplo: repartir S/. 2500 DP a las edades de 3 hermanos que son : 6 , 7 y 12 años.
Resolución Partes A 2500 *B C
D.P. : 6 : 7 & 6K + 7K + 12K = 2500 : 12
La constante: K= Luego:
2500 = 100 (6 + 7 + 12)
A = 6(100) = 600 B = 7(100) = 700 C = 12(100) = 1200 NOTA: Si los índices de reparto se multiplican por una constante, se obtienen las mismas partes, o sea el reparto no varía. 200 Ejemplo: si repartimos 200 D.P. a 2 , 3 y 5; la constante es = 20 entonces las partes son: ( 2 + 3 + 5) 2(20) = 40 ; 3(20) = 60 y 5(20)=100 Multipliquemos por 2 a todos los índices y hagamos de nuevo el reparto. La constante sería ahora: 200 = 10 (4 + 6 + 10) (es la mitad de la constante anterior) Calculemos las partes: 4(10)=40 ; 6(10)=60 ; 10(10)=100 Se puede observar que las partes no han variado.
b. Reparto simple inverso: Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son inversamente proporcionales a los índices. En general repartir N I.P. a los índices. a1 ; a2 ; ... ; an Se cumple que las partes obtenidas: P1; P2; P3; ...; Pn son I.P. a los índices. P1 × a1 = P2 × a2 = P3 × a3 = ... constante ... = Pn × an = K
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Capítulo 08 Como: N = P1 + P2 + P3 + ... + Pn Partes Z1 ] $K ] a1 ] 1 ]a $K ] 2 & N[ 1 $ K ] a3 ] ]h ] 1 $K ]a \ n
& N = K + K + K + ... + K an a1 a2 a3
&K= Ejemplo:
N 1 1 1 ... 1 + + + + m ca a an a 1 2 3
Repartir 6300 en partes I.P. a 1 ; 1 y 1 4 7 10
Resolución Z ] ] ] 6300 [ ] ] ] \
Partes I.P. < > D.P. A
:
1 4
4
B
:
1 7
7
C
:
1 10
10
⇒ 4K + 7K + 10K = 6300 Luego: A = 4(300) = 1200 B = 7(300) = 2100 C = 10(300) = 3000
c. Reparto proporcional compuesto Este tipo de reparto se realiza proporcionalmente a varios grupos de índices. Los repartos proporcionales compuestos pueden ser: • Directos: si el reparto se realiza en partes directamente proporcionales a los índices. • Inversos: si el reparto se realiza en partes inversamente proporcionales a los índices. • Mixtos: si el reparto se realiza en partes directamente proporcionales a algunos índices e inversamente proporcionales a otros. Para efectuar un reparto compuesto se siguen los siguientes pasos: 01. Se convierte las relaciones IP a DP invirtiendo los índices (si los hubiera) 02. Se multiplican los índices correspondientes de cada grupo. 03. Se efectúa el reparto proporcional simple directo resultante.
Regla de compañía Las grandes empresas y negocios no se constituyen, en general, con la iniciativa y el dinero de una sola persona. El capital y la técnica que puede aportar una persona determinada resultan en determinados casos insuficientes. Por esta razón, se hace necesaria la reunión de los capitales y técnicas de varias personas para hacer factible la explotación de un gran negocio. Una agrupación de personas que aportan capitales y técnicas con la finalidad antes mencionada es lo que se llama una compañía o sociedad mercantil. Los beneficios o pérdidas de la compañía se han de repartir entre sus socios. El estudio de estos problemas de repartos es lo que se conoce como regla de compañía, que se estudiará en este tema. 48
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Aritmética Es un caso particular del reparto proporcional, consiste en repartir las ganancias o pérdidas que se producen en una sociedad mercantil o compañía, entre los socios de la misma en forma D.P. a los capitales y a los tiempos que los mismos permanecen en el negocio. Ejemplo: 01. Tres amigos se asocian para comprar un camión aportando capitales de 16000; 14000 y 10000 dólares. Si por cada mes de alquiler del camión perciben 3700 dólares. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
Resolución Como el tiempo es el mismo para todos, entonces se reparte la ganancia D.P. a los capitales aportados. G3 G1 G2 = = = 16000 14000 10000 G1 + G2 + G3 = 3700 16000 + 14000 + 10000 40000 G1 = 16000 ` 3700 j = 1480 40000 G2 = 14000 ` 3700 j = 1295 40000 G3 = 10000` 3700 j = 925 40000 02. Dos profesores de Aritmética: Javier y César escriben un libro para lo cual trabajan en distintos horarios. Si el primero trabaja 9 horas diarias en el proyecto y el segundo 6 horas más. ¿Cuál será el beneficio que obtiene el segundo si en total percibieron 900 soles?
Resolución Notamos que el beneficio de cada uno de ellos es proporcional al tiempo. G1 G2 G1 + G2 900 & G1 = 9 ` 900 j = 337, 5 / G2 = 15 ` 900 j = 562, 5 = = = 9 15 9 + 15 24 24 24 Es decir Javier recibe S/. 337,50 y César recibe S/. 562,50
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Capítulo 08
Problemas resueltos 01. Al repartir 3210 en 4 partes que sean directamente proporcionales a: x; 3 ; 5 y 7 se obtuvo que la parte que le 2 3 4 corresponde al primero es 1440. Hallar: x
Resolución
Z DP ] ] x # 12 ]] 3 # 12 3210 [ 2 5 ] # 12 3 ]7 ] # 12 4 \
Estableciendo proporciones:
DP 12x 18 20 21
Pr imero Total 12x 12 x 18 + + 20 + 21 = 1440 3210 x=4 02. Al repartir 1240 en partes que sean DP a 2n; 2n-1; 2n+1 e IP a 3n-1; 3n+1 y 3n, ¿cuál es la suma de cifras de la mayor parte?
Resolución
Z DP IP ] ] 2n = 2n - 1 # 2 3n - 1 = 3n - 1 # 1 1240 [ n - 1 = 2n - 1 # 1 3n + 1 = 3n - 1 # 32 ]] 2 n 1 + 2 3n = 3n - 1 # 3 = 2n # 22 \ DP Partes 2 # 32 = 18k 1 1 # 3 2 = 1k 32 4 # 32 = 12k 3 31k
Luego:
31k = 1240 k = 40 Mayor parte = 18(40) = 720 Suma de cifras: 7 + 2 + 0 = 9 03. Dos personas se asociaron para formar una empresa, el socio A aportó S/. 2000 y el socio B aportó S/. 3000, después de 8 meses ingresó un tercer socio C quien aportó x soles y cuatro meses después terminó el negocio. Hallar x si hubo una ganancia de S/. 3800 y A ganó S/. 1200
Resolución De los datos del problema se deduce que el negocio duró 12 meses. Capital
Tiempo (m)
Socio A
2000
12
Socio B
3000
12
Socio C
x
4
Estableciendo las proporciones: Socio A
Total
6 44 7 44 8 6 4444444 7 4444444 8 1200 = 3800 2000 # 12 2000 # 12 + 3000 (12) + x (4) x = 4000
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Práctica 01. Si se reparte 6510 en forma directamente proporcional a los números 2, 6, 8 y 15, entonces, la mayor de las partes que se obtiene, es: a) 3150 b) 2400 c) 2500 d) 3200 e) Más de 3200 02. Repartir 154 en partes directamente proporcionales a 2, 1, 1 y 1 3 4 5 6 a) 80; 34; 20; 19 b) 80; 32; 24; 18 c) 80; 34; 22; 18 d) 80; 30; 20; 18 e) 80; 30; 24; 20 03. Dividir el número 70 en tres partes, cuyos cuadrados sean directamente proporcionales a 1 ; 1 y 2 ; e in5 2 5 versamente proporcionales a 3, 6 y 8 . Dar como 5 3 respuesta la mayor parte. a) 14 b) 35 c) 21 d) 15 e) 40 04. Si tres amigos se reparten S/.4500 soles, de manera que la mitad de lo que le corresponde al primero es igual a la tercera parte de lo que le corresponde al segundo e igual a la cuarta parte de lo que le corresponde al tercero, entonces, la cantidad, en soles, que le corresponde al tercer, es: a) 2000 b) 1500 c) 1800 d) 1200 e) 1000 05. Repartir 8720 en forma D.P. a los números 3242; 1442; 3962. Hallar la menor de las partes. a) 520 b) 540 c) 580 d) 620 e) 640 06. Se distribuye una cantidad de dinero entre tres personas proporcionalmente a 3, 4 y 5 pero si lo hubiera hecho proporcionalmente a 7; 12 y 5 uno recibiría S/.290 menos. Calcular cuánto le corresponde a los dos restantes. a) S/.700 b) S/.600 c) S/.703 d) S/.406 e) S/.812 07. Dividir el número 7700 en partes D.P. a 142, 702 y 212 e IP a 2, 100 y 1 . Dar la mayor de las partes 3 como respuesta. a) 6930 b) 6500 c) 2516 d) 6660 e) 6666 08. Repartir 750 en forma directamente proporcional a: 3 16a3 ; 3 54 ; 3 128 . Si la primera parte más la última suman 600. Determinar el valor de "a" a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1
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09. Un industrial empezó un negocio, a los nueve meses admitió un socio y 3 meses después de éste, entró un tercer socio, cada uno de ellos aportó en el negocio la misma cantidad. Si el negocio duró 16 meses, al cabo de los cuales la utilidad fue de 81000, entonces, a cada uno le tocó: a) 48000; 21000; 12000 b) 40000; 29000; 1200 c) 45000; 24000; 12000 d) 50000; 19000; 12000 e) 50000; 15000; 16000 10. El profesor de aritmética desea repartir S/.1155 entre sus tres sobrinos en forma proporcional a sus edades e inversamente proporcional al número de veces que faltaron al colegio. ¿Cuál es la mayor diferencia entre las partes? Edad # faltas
a) 575 d) 300
Leonardo
10
2
Alejandrina
12
5
Angie
8
1
b) 420 e) 560
c) 308
11. Se divide el número 747 en tres partes tales que sus raíces cuadradas sean proporcionales a los números: 3; 5 y 7. La suma de los dígitos de la parte menor es: a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 12. Se hizo un reparto I.P. a ciertos números obteniéndose: 18000; 14400 y 12000. Si el reparto hubiera sido D.P. a los números. Una de las partes es: a) 11860 b) 14700 c) 17760 d) 11480 e) 14880 13. Tres ciclistas deben recorrer una misma distancia y se ponen de acuerdo para distribuirse $94500 en forma D.P. a sus velocidades. Efectuando el recorrido resulta que el primero tardó 3 horas; el segundo 5 horas y el tercero 6 horas. ¿Cuánto recibió el más veloz? a) $35000 b) $55000 c) $45000 d) $40500 e) $50500 14. Juan Carlos inicia un negocio con $3000 y cuatro meses después ingresa Miguel aportando el mismo capital. Por último, a los 7 meses de iniciado el negocio, se asocia Emilio aportando el mismo capital que sus socios. Si al cabo de un año se obtiene una ganancia neta de $50000; entonces, la ganancia que le corresponde a Emilio, es: a) $10000 b) $11000 c) $12000 d) $9000 e) $14000
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Capítulo 08 15. Tres negociantes pensaban ganar S/.9000 soles, correspondiéndole al primero S/.3000 soles, al segundo S/.2400 y al tercero S/.3600. Después de terminado el negocio la ganancia que finalmente se obtuvo fue de S/.4800 soles. La ganancia, en soles, que le correspondió al segundo negociante, es: a) 1280 b) 1300 c) 1400 d) 1250 e) 1150
Problemas adicionales 16. Descomponer 3510 en 3 sumandos que sean D.P. a los cuadrados de 2; 3 y 4 e I.P. a los cubos de 2; 3 y 4. Indicar el mayor de los 3 sumandos. a) 1520 b) 1680 c) 1490 d) 1720 e) 1620 17. Se reparte una cantidad en cuatro partes directamente proporcionales a 4; 12; 3 y 5 e inversamente proporcionales a 7; 14; 3 y 7. Si las dos últimas partes juntas, exceden a las dos primeras partes juntas en 485. La cantidad repartida es: a) 5665 b) 5115 c) 5225 d) 5335 e) 5445 18. Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6, y a la vez en forma I.P. a 3 y 9. Dar como respuesta la parte menor. a) 432 b) 360 c) 240 d) 216 e) 200 19. Dos hermanos se reparten una herencia de la siguiente manera: Un quinto del total directamente proporcional a 2 y 3. Los 2 del resto inversamente 5 1 1 proporcionales a y y el resto directamente pro3 5 porcional a 5 y 7. Si la menor cantidad repartida es 120000. ¿Cuál es la mayor cantidad? a) 240000 b) 150000 c) 300000 d) 180000 e) 210000 20. Un padre deja una herencia que será repartida a sus 4 hijos en forma D.P a los números 3, 2, 1 y 5. Pero en el momento de hacer dicho reparto, lo hacen en forma I.P por lo cual el que resultó más beneficiado recibió S/.8070 más. Calcula cuál fue el valor de la herencia? a) S/.10075 b) S/.20120 c) S/.20130 d) S/.5070 e) S/.24210
22. Para explotar un negocio por 2 años se asociaron tres personas: A; B y C. "A" empezó con S/.60 y a los 8 meses aumentó su capital en su cuarta parte. "B" empezó con S/.180 y a los 12 meses disminuyó su capital en su cuarta parte. "C" empezó con S/.100 y a los 18 meses retiró su capital. Si al liquidar la sociedad la utilidad neta fue de S/.3630, ¿qué utilidad le corresponde a "C"? a) S/.700 b) S/.800 c) S/.900 d) S/.980 e) S/.1200 23. Una sociedad duró 16 meses, con tres socios P; Q; R. "P" aportó S/.2000 y 6 meses después aumentó en S/.500 su aporte. "Q" aportó S/.3 000, pero 4 meses después retira S/.1000. "R" entrega S/.5000, pero 1 mes después retira la mitad de lo invertido. Si se obtiene una utilidad de S/.92400, ¿cuánto le toca a "Q"? a) S/.29600 b) S/.34000 c) S/.28800 d) S/.34800 e) S/.28000 24. Se reparte una herencia en forma proporcional a las edades consecutivas de 7 hermanos, el tercero de los mayores recibe un 25% más que el tercero de los menores. Si el menor recibió S/. 10 000, ¿cuánto percibe el mayor? a) S/.15000 b) S/.17000 c) S/.19000 d) S/.20000 e) S/.50000 25. Cuatro amigos forman una sociedad : el segundo aportó los 2 del primero, el tercero tanto como los 3 dos primeros juntos y el último la mitad del tercero. Al liquidarse la sociedad, reciben sus aportaciones más utilidades, retirando el primero S/.1620. ¿Qué capital aportó el primero, si el segundo recibe S/.900 menos de utilidad que el tercero? a) S/.720 b) S/.480 c) S/.1200 d) S/.360 e) S/.960 26. Una empresa constituida por 3 socios ha producido S/.11700 de ganancia. Uno de los socios obtuvo como ganancia S/.2600. Si los otros dos socios recibieron como monto S/.6000 y S/.8000, respectivamente, ¿cuál sería el monto a obtener si el capital impuesto por la primera persona mencionada se depositara al 5% semestral, capitalizable anualmente, durante 4 semestres? a) S/.1540 b) S/.1720 c) S/.1694 d) S/.2329 e) S/.2725
21. Dos socios "A" y "B" forman una empresa por 24 meses con S/.4500 y S/.4000. Tiempo después un tercer socio "C" pide ingresar a la empresa aportando S/.6000 resultando que al final él recibía 1 de las 3 utilidades de la empresa. ¿A los cuántos meses de formada la empresa ingresó el socio "C"? a) 5 meses b) 4 meses c) 6 meses d) 7 meses e) 10 meses
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Aritmética
Tarea domiciliaria 01. Repartir 7200 en forma D.P. a 200 ; 392 y 288 . Dar como respuesta la menor de las partes. a) 2000 b) 2800 c) 1200 d) 2400 e) 3200 02. Efectuar el reparto 7227 en forma I.P a 4; 8 y 12. Dar la diferencia entre la mayor y menor de las partes que se obtienen. a) 2828 b) 2728 c) 2628 d) 2840 e) 2943 03. Dividir 156 en tres partes de modo que la primera sea a la segunda como 5 es a 4 y la primera sea a la tercera como 7 es a 3. ¿Cuál es la segunda cantidad? a) 50 b) 56 c) 60 d) 62 e) 68 04. Repartir 9610 directamente proporcional a 540; 541; 542. Dar como respuesta la razón aritmética entre las cantidades mayor y menor. a) 310 b) 1550 c) 7440 d) 7750 e) 6460 05. Dos socios reunieron un capital de S/.10 000 para hacer un negocio. El primero dejó su capital durante 1 año y el otro durante 8 meses. Si las ganancias fueron iguales, hallar la diferencia de los capitales aportados. a) S/.200 b) S/.1000 c) S/.1200 d) S/.2000 e) S/.2400 06. Repartir 42900 en 3 partes, cuyas partes sean inversamente proporcional a los siguientes números 75 ; 147 ; 243 . Indicar como respuesta la menor cantidad repartida. a) 18900 b) 10500 c) 13500 d) 11111 e) 12500 07. Tres personas acuerdan repartirse un premio en partes inversamente proporcional a 15, 10 y 6, pero luego por un nuevo acuerdo deciden hacerlo proporcionalmente a 10; 30 y 50, motivo por el cual una de las personas devuelve S/. 1600. Hallar a cuánto equivale el premio total. a) S/.5000 b) S/.18000 c) S/.2000 d) S/.27000 e) S/.9000 08. Un tío antes de morir repartió su fortuna entre sus tres sobrinos en partes D.P. a 7; 6 y 5. Por un segundo testamento cambió su disposición y el reparto lo hace en forma D.P. a 4; 3 y 2; de tal manera que uno de los sobrinos recibe S/.720 más. Halle el valor de la herencia. a) S/.12960 b) S/.12840 c) S/.12780 d) S/.11690 e) S/.12690
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09. Se reparte (N3 - N) en forma D.P. a 2; 4; 6; 8; ...; 2N. Si la menor de las partes obtenidas es (N+5), halle: "N" a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 10. Dos amigos se asociaron y formaron un negocio aportando cada uno S/.4000 y S/.2500, respectivamente, luego de 3 meses aceptaron a un tercer socio que aportó S/.5000. Al finalizar el primer año el negocio dejó una utilidad de S/.9840. ¿Cuánto le corresponde al tercer socio? a) S/.3600 b) S/.2000 c) S/1500 d) S/.4000 e) S/.4800 11. Dos campesinos poseen Am2 y Bm2 de terrenos de cultivo, respectivamente, siendo B = 4A. Cuando al primero le falta 2 y al segundo 4 para terminar de 5 5 labrar sus terrenos, acuerdan contratar un peón por S/.360 y terminar el resto del trabajo entre los 3 en partes iguales. Al final el campesino del terreno "A" aduce que no debe pagar y al contrario reclama un pago al campesino del terreno "B". ¿Cuánto es el pago que reclama? a) S/.180 b) S/.210 c) S/.250 d) S/.220 e) S/.240 12. Se repartió una cantidad proporcionalmente a 5 números; el primero es al segundo como 1 es a 2; el segundo es al tercero como 3 es a 4; el tercero es al cuarto como 5 es a 6 y el cuarto es al quinto como 7 es a 8. Si la última cantidad repartida es S/.5760. ¿Cuál es la segunda? a) S/.2460 b) S/.4200 c) S/.3150 d) S/.4600 e) S/.1080 13. Se repartió una cierta herencia en forma inversamente proporcional a las edades de 3 hermanos. El contador al momento de hacer los documentos, se olvidó de una de las edades recordando sólo dos: 16 y 24 años, pero observó que la cuarta parte de lo que le tocó al de la edad desconocida, es igual a la diferencia de las partes de los otros dos. ¿Cuál es la edad desconocida? a) 10 años b) 12 años c) 14 años d) 16 años e) 18 años 14. Tres fruteras llevan 4; 5 y 6 manzanas respectivamente, se encuentran con una humilde anciana y comparten con esta anciana las 15 manzanas en partes iguales. Si la anciana en agradecimiento les da 300 pesos, ¿cuánto le correspondería a cada frutera?. Dar como respuesta la menor cantidad recibida por una de las fruteras a) 20 pesos b) 30 pesos c) 100 pesos d) 180 pesos e) 40 pesos
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Capítulo 09
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Regla de tres simple
Introducción Una de las aplicaciones de proporcionalidad más antigua es la Regla de Tres que resulta al comparar dos o más magnitudes. Cuando cuatro cantidades forman una proporción y una de ellas es desconocida, la operación que tiene por objeto determinar esta incógnita en función de las cantidades conocidas lleva el nombre de Regla de Tres Simple.
Regla de tres simple Es cuando se comparan dos magnitudes proporcionales. Pueden ser directas o inversas.
Directa: cuando las magnitudes comparadas son directamente proporcionales. Esquema: 1era. magnitud
2da. magnitud
a
b
x
c
Si son magnitudes directamente proporcionales se cumple: a = x " bx = ac b c Ejemplo: Un grifo arroja en 12 minutos 640 litros de agua. ¿Cuántos litros arrojará en 75 minutos?
Resolución Minutos
# litros
12
640
75
x
Es una R3SD
12x = 75(640) x = 4000 L
Inversa: cuando las magnitudes comparadas son inversamente proporcionales: Esquema: 1era. magnitud
2da. magnitud
a
b
x
c
Si son magnitudes inversamente proporcionales se cumple: ab = cx
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Aritmética
Problemas resueltos 01. Se disuelven 360 gramos de azúcar en 8 litros de agua, ¿cuántos litros de agua se debe agregar, para que un litro de esta nueva mezcla solo contenga, 18 gramos de azúcar?
Resolución Observación: Los 360 g de azúcar no varían. Mezcla (l)
Azúcar (g)
1
18
8+x
360 # 360 1 8+x = 18 x = 12 litros
02. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 15 días, después de 4 días de trabajo se accidentan 5 obreros, los que quedan siguieron trabajando por x días luego de los cuales se contrata 22 obreros adicionales, cuyas eficiencias son la mitad con respecto a los primeros, cumpliendo de esta manera con el plazo fijado. Hallar: x
Resolución Observación: 22 nuevos obreros < > 11 obreros
15 obreros
14243
1442443
20 obreros
142431442443 1442443 4 días x 11 - x 1444444442444444443 15 días
→ parte que dejó de hacer los 5 que se accidentaron en x días y que luego es efectuada por "6 nuevos trabajadores" en (11 - x) días. Luego podemos plantear # de obreros # días 5 6
x 6(11 = x) = 5x 66 = 6x = 5x 6=x
11 - x
03. Si un alumno resuelve una prueba a razón de 3 preguntas por minuto. ¿En cuánto debe aumentar su velocidad (preguntas / minuto) para resolver una prueba de 480 preguntas en 2 horas?
Resolución # de problemas resueltos
Tiempo (min)
480
120
3+x
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3 + x = 480 # 1 120 x=1
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1
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Capítulo 09
Práctica 01. Para cosechar un campo cuadrado de 18 metros de lado se necesitan 12 días. ¿Cuántos días se necesitan para cosechar otro campo cuadrado de 27 metros de lado? a) 18 b) 2 c) 22 d) 27 e) 30
09. Quince obreros han hecho la mitad de una obra en 20 días. En ese momento abandonan la obra 5 obreros, ¿cuánto tardaran los obreros restantes en terminar el trabajo? a) 24 días b) 26 días c) 28 días d) 30 días e) 32 días
02. Un ciclista tarda 27 minutos en subir una colina a una velocidad de 20 km/h. ¿Cuántos minutos tarda en bajar si su velocidad se incrementa en un 125%? a) 10 b) 12 c) 15 d) 21 e) 45
10. En una hacienda, 4 hombres y 1 mujer, cultivan un terreno en 24 días. Si se aumenta un hombre y una mujer cultivan; el mismo terreno en 6 días menos, ¿cuántos días cultivarían el mismo terreno los 4 hombres sólo? a) 24 b) 27 c) 23 d) 25 e) 22
03. Para pintar un cubo de 10cm de arista se gastó 12 soles, ¿cuánto se gastará para pintar otro cubo de 15cm de arista? a) 22 b) 20 c) 11 d) 27 e) 10 04. Un reloj que da la hora por campanadas demora 6 segundos en dar las 4, ¿cuántos segundos tardará en dar las 8? a) 15 b) 16 c) 14 d) 10 e) 12
11. Una sierra eléctrica puede cortar un trozo de madera en 6 minutos y un hombre usando una sierra de mano lo puede hacer en 18 minutos. Después de 4 minutos, hay una pérdida de potencia en la sierra eléctrica y la madera necesariamente debe ser cortada a mano. ¿Cuántos minutos debe el hombre trabajar para completar la tarea? a) 12 min b) 6 min c) 8 min d) 5 min e) 3 min
05. En una granja un caballo está atado a un poste, con una cuerda de 2 metros de longitud, el cual puede comer todo el pasto que está a su alcance en 5 horas. ¿En cuánto tiempo comerá el pasto a su alcance si la cuerda tuviese el triple de largo? a) 15 b) 25 c) 45 d) 20 e) 30
12. Doce costureras pueden hacer un tejido en 23 días trabajando 3 horas diarias. Después de 5 días se retiran 2 costureras y 6 días después de esto se contratan "x" costureras adicionales, para terminar a tiempo. Hallar el valor de "x". a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
06. Si en 80 litros de agua de mar hay 2 libras de sal ¿cuántos litros de agua pura se debe añadir a estos 80 litros, para que por cada 10 litros de mezcla haya 1 de libra de sal? 6 a) 20 b) 35 c) 40 d) 60 e) 50
13. Hallar el ancho de un río; sabiendo que para medirlo se usan 2 estacas colocadas en una orilla de él y se mide las sombra que hacen en tierra en el otro lado, con los siguientes resultados, con la estaca de 2m de alto se midieron 3m de sombra en tierra, y para una estaca de 3,5m se midieron 12m sombra en tierra. a) 10,5m b) 8,5m c) 13,5m d) 9m e) 8m
07. Un grupo de 14 obreros puede terminar una obra en 117 días, si 8 de éstos aumenta su rendimiento en un 20%, ¿en cuánto tiempo terminarían la obra? a) 105 días b) 80 días c) 125 días d) 98 días e) 101 días 08. Si una tubería de 16 cm de radio arroja 640 litros por minuto. ¿En qué tiempo llenara un depósito de 54m3 otra tubería de 12 cm de radio? a) 2h b) 5h 30min c) 3h 20min d) 2h 30 min e) 5h
14. Mario compra naranjas, la mitad a 5 por 6 soles y la otra mitad a 6 por 7 soles. Vende los 3/5 del número total a 3 por 5 soles y las demás a 4 por 7 soles. ¿Cuántas naranjas habrá vendido si se sabe que ganó 930 soles? a) 1800 b) 1750 c) 1500 d) 1850 e) 1900 15. Tres brigadas de obreros, pueden hacer una zanja, la primera en 9 días, la segunda en 10 días y la tercera en 12 días. Se emplean a la vez 1/4 de la primera, 1/3 de la segunda y 3/5 de la tercera. ¿Cuánto tiempo se hará la zanja? a) 9 días b) 8 días c) 7 días d) 10 días e) 12 días 56
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Aritmética Problemas adicionales 16. Una cuadrilla de 30 obreros puede hacer una obra en 12 días ¿cuántos días serán necesarios para otra cuadrilla de 20 obreros, de doble eficiencia que los anteriores, para hacer la misma obra? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 17. Ángel es el doble de eficiente que Benito, pero la tercera parte que Carlos. Si Ángel puede hacer un trabajo él solo en 45 días ¿En cuántos días harán el trabajo si trabajan los tres juntos? a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 25 18. Nueve obreros pueden terminar una obra en 24 días. Si después de 4 días de trabajo llegan 6 obreros más. ¿Cuántos días antes terminaron la obra? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 19. Un barco lleva víveres para una travesía de 100 días y una tripulación de 140 hombres. Después del día 49, el capitán recibe 30 náufragos de otro barco. Se desea saber para cuántos días más alcanzaran los víveres. a) 34 b) 36 c) 38 d) 40 e) 42
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20. En una obra se observa que faltando 54 días para su culminación fueron despedidos 10 obreros; pero a 12 días para la culminación debe contratarse "x" obreros para cumplir con el plazo estipulado. Determinar la suma de cifras de "x". a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 21. 30 albañiles pensaban hacer una obra en 84 días, después de haber trabajado 60 días se retiran algunos de ellos, por lo cual se demoraron 16 días más, ¿cuántos albañiles se retiraron? a) 16 b) 18 c) 10 d) 12 e) 6 22. En 27 días se hace una obra con 35 obreros. Luego de un cierto tiempo se contrata 14 obreros, más y 15 días después se termina la obra. ¿A los cuántos días aumentó el personal? a) 6 días b) 2,5 días c) 5 días d) 3 días e) 3,5 días 23. Para pintar un cubo de madera se gastó 4 galones de pintura, ¿cuánto se gastará para pintar otro cubo de triple arista? a) 12 g b) 36 g c) 18 g d) 24 g e) 54 g 24. Por quince docenas de naranjas me cobran S/.30, ¿cuánto me cobrarán por 9 decenas de naranjas? a) S/.10 b) S/.12 c) S/.15 d) S/.16 e) S/.20
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Capítulo 09
Tarea domiciliaria 01. Si 20 obreros hacen una obra en 80 días. ¿Cuántos días menos necesitarán para hacer la misma obra 50 obreros? a) 32 b) 48 c) 42 d) 38 e) Absurdo 02. Si "a" hombres hacen un trabajo en "d" días entonces "a + r" lo harán en: b) ad a) ad c) a - d a+r a-r r d)
d a-r
e) ad a
03. Se ha enrollado un cable en un carrete de 1 m de diámetro dándole 100 vueltas. Si el mismo cable es enrollado en otro carrete dándole 50 vueltas, su diámetro es: a) 2,00m b) 1,50m c) 1,75m d) 1,15m e) 1,25m 04. Si un tanque se llena en 10 minutos al abrir un caño que vierte 80 litros por minuto, en qué tiempo se llenaría, si vertiera sólo 50 litros por minuto. a) 12 min b) 13 min c) 14 min d) 15 min e) 16 min 05. Una tripulación de "n" hombres tiene víveres para "d" días, si se reduce a la tercera parte el número de días. ¿Cuántos hombres más podrán viajar? a) n b) 2n c) 3n n e) d) 10 3 06. Cuatro obreros pueden hacer una obra en 22 días. Si después del 4to. día se contratan 2 obreros más. ¿Con cuántos días de anticipación entregaran la obra? a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7 07. Doce hombres se comprometen a terminar una obra en 8 días. Luego de trabajar 3 días juntos se retiran 3 hombres. ¿Con cuántos días de retraso terminan la obra? b) 1 2 c) 2 1 a) 1 1 4 3 3 d) 1 día e) 2 días 08. Una cierta cantidad de obreros puede hacer una obra en 48 días, después de hacer la mitad de la obra se retiran la quinta parte de los obreros, más 1; motivo por el cual la obra se entrega con 8 días de retraso. Hallar la cantidad de obreros que terminaron la obra. a) 20 b) 18 c) 16 d) 15 e) 12
09. Un taxi cobra S/.0,30 por los primeros 200m y S/.0,05 por cada 100m adicionales, el costo por viajes de "D" metros será: (Sugerencia trabajar con céntimos) a) 35 + 5 (D - 1) b) 36 + 5 (D - 2) c) 36 + 35D (D + 400) d) 20 e) 36 + 5(D + 1) 10. A una esfera de reloj se le divide en 1 500 partes iguales a cada parte se le denominará "nuevo minuto", cada "nueva hora" estará constituida por 100 "nuevos minutos". ¿Qué hora indicará el nuevo reloj, cuando el antiguo indique las 3 horas, 48 minutos? a) 4h 75 min b) 2h 80 min c) 3h 75 min d) 3h 80 min e) 2 h 45 min 11. 15 obreros tenían que hacer una obra en 20 días; al cabo de 6 días 4 de ellos se retiran y 6 días después se contrata "x" hombres; con lo cual se termina el trabajo a tiempo. Dar "x". a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 12. A un obrero por "x" días de trabajo de 10 horas diarias le pagan S/.430. ¿Cuántos días ha trabajado si otro obrero por trabajar 15 días de 14 horas diarias y doblemente hábil que el anterior recibe S/.1505? a) 20 b) 16 c) 14 d) 12 e) 10 13. Un albañil se demora en construir una esfera de 30 cm de radio, 4 horas 30 min. El tiempo que se demorará en construir otra esfera de 50 m de radio, es: a) 20h 30min b) 18h 40min c) 16h 20min d) 20h 50min e) 15h 40min 14. 250 marinos tienen víveres para 20 días. Si al terminar el octavo día, en una tempestad desaparecen 50 marinos; entonces, el número de días adicionales que durarán los alimentos, es: a) 3 días más b) 4 días más c) 5 días más d) 8 días más e) 9 días más 15. "a" obreros pueden terminar una obra en 20 días, pero con 4 obreros adicionales del mismo rendimiento pueden terminar la obra en 16 días. Dar "a". a) 14 b) 16 c) 18 d) 15 e) 20 16. Un grupo de excursionistas lleva víveres para 24 días, pero en el inicio del camino se suman 3 personas más, y por ello, los víveres no alcanzan sino para 20 días. ¿Cuántos eran los excursionistas al principio?. a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11
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Aritmética
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Regla de tres compuesta
Es cuando se comparan más de dos magnitudes es decir al menos 3 magnitudes (6 valores correspondientes)
Método de las proporciones I. Trasladar la información a la hoja de cálculo. II. Se ubica la magnitud de la incógnita, la cual se compara con c/u de las otras magnitudes (deberá considerar que las otras magnitudes que no intervienen permanecen constantes) III. En caso que la comparación determine que las magnitudes son D.P., cambie la posición de los valores, escribiéndolos como una fracción. IV. En caso que la comparación determine que las magnitudes son I.P., mantenga la posición original de los valores (en fracción). V. La incógnita se determina del siguiente modo: I.P. A
B
C
D
A1
x
C1
D1
D.P.
D.P.
Se cumple: x = A1 # C # D1 B A C1 D Ejemplo 1 50 peones siembran un terreno de 500m2 de superficie en 6 días de 6h/d; entonces, el número de días que necesitan 20 peones doblemente rápidos para sembrar un terreno de 800m2 de superficie trabajando 4h/d es:
Resolución I.P. Peones
m2
horas
50(1)
500
6(6)
20(2)
800
x(4) D.P.
Luego: 4x = 50 36 40 x=
#
800 500
36 (5) (8) 4 ( 4 ) (5 )
x = 18 días
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Capítulo 10
Problemas resueltos 01. Se emplearon m obreros para ejecutar una obra y al cabo de "d" días hicieron 1 de ella. ¿Cuántos obreros se k aumentaron para terminar la obra en p días más?
Resolución obreros
obra
días
m
1 k
d
m+x
1- 1 k
p
DP
IP
k-1 ` k j d # m+x = m 1 p k m + x = m (k - 1) d p m x = (dk - d - p) p 02. Para transportar una carga de 320 kilogramos a 336 kilómetros de distancia se ha pagado S/. 540. El costo en soles de transportar 609 kilogramos de la misma carga a 1280 kilómetros es:
Resolución Carga (kg)
Distancia (km)
Costo (S/. )
320
336
540
609
1280
x
DP
DP x = 540 # 609 # 1280 320 336 x = S/. 3915
03. 2 varones y 3 mujeres pueden hacer un trabajo en 6 horas y 3 varones y 2 mujeres pueden hacer 1 de dicha obra 3 ! en 2, 6 horas. ¿En cuántas horas harán la mitad de dicha obra 4 varones y 1 mujer?.
Resolución • Sea: ev = eficiencia del varón em = eficiencia de la mujer ! 2, 6 = 2 6 = 24 = 8 horas 9 3 9
• En la pregunta: Trabajadores
Obra
Tiempo (h)
6
2ev + 3(6ev)
1
6
1 3
8 3
4ev + 1(6ev)
1 2
x
DP
IP
IP
DP
Trabajadores
Obra
Tiempo (h)
2ev + 3em
1
3ev + 2em
3e v + 2em = (2e v + 3em) #
1 3 1
#
20e v x = 6# 10e v
6 8 3
#
1 2 1
x = 6 horas
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Aritmética
Práctica 01. Una obra la pueden hacer 27 hombres en cierto tiempo. ¿Cuántos obreros se necesitaran para hacer 1 de 3 3 la obra en un tiempo del anterior, trabajando la 7 mitad de horas diarias? a) 15 b) 17 c) 13 d) 18 e) 42 02. Para hacer un tabladillo se emplearon 3 carpinteros durante 5 días y el costo de la mano de obra $2250 ¿Cuánto debía costar, sabiendo que se pudo hacer con un carpintero menos y en un día menos? a) $900 b) $1400 c) $1500 d) $1000 e) $1200 03. Con 8 obreros se pueden hacer una obra en 20 días, con 10 obreros 4 veces más rápido que los anteriores. ¿En cuántos días harán una obra 9 veces más difícil que la anterior?. a) 25 b) 31 c) 28 d) 32 e) 24 04. Un grupo de 15 obreros abrieron una zanja de 2m de ancho, 1,2m de alto y 100m de largo, en 28 días. Luego, otro grupo de 12 obreros del triple de rapidez que los anteriores, en 21 días abrieron otra zanja de 1,8m de ancho y 1,5m de alto; entonces la longitud de la segunda zanja es: a) 110m b) 120m c) 140m d) 150m e) 160m 05. Seis obreros se comprometieron a hacer una obra en 6 días trabajando 6 horas diarias. Si después de 2 días de trabajo se retiran 2 obreros. ¿En qué porcentaje debe aumentar la eficiencia de cada uno de los obreros restantes para que puedan entregar la obra en el plazo fijado? a) 50% b) 40% c) 60% d) 45% e) 36% 06. Una obra se encontraba avanzada en un 70% al finalizar el 14vo. día de trabajo. ¿En qué tiempo total concluirán la obra si el número de obreros que trabajó a partir del día 15 es el doble y los nuevos obreros son 50% menos eficientes que los primeros? a) 19 días b) 18 días c) 17 días d) 21 días e) 20 días 07. Se emplearon "M" obreros para ejecutar una obra. Al cabo de "D" días hicieron 1 de ella ¿cuántos obreros R hubo que aumentar para terminar el resto de la obra en "B" días? b) M (DR - D) c) MBD a) M (DR - B) B B R d) M (DR - D - B) e) R (DR - D - B) B B
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08. Un reservorio cilíndrico de 8m de radio y 12m de altura, abastece a 75 personas durante 20 días. ¿Cuál deberá ser el radio del recipiente de 6m de altura que abastecería a 50 personas durante 2 meses?. a) 8 b) 24 c) 16 d) 18 e) 11 09. Un grupo de 15 máquinas pueden completar un trabajo en 24 días. ¿Cuántas máquinas adicionales cuya eficiencia es el 60% de las anteriores se necesitan si el trabajo aumenta en un 80%, pero se sigue teniendo 24 días para completarlo? a) 12 b) 20 c) 16 d) 18 e) 10 10. Ocho carpinteros demoran 7 días de 6h/d para hacer 3 mostradores, 5 mesas y 12 sillas ¿en cuántos días de 8h/d, 7 carpinteros podrán hacer 5 mostradores, 10 mesas y 15 sillas? sabiendo que el trabajo para hacer un mostrador es el doble que el de una mesa y el de una mesa el triple de una silla. a) 10 días b) 11 días c) 12 días d) 13 días e) 14 días 11. Veinticinco obreros hacen 5 de una obra en 10 días. 8 A partir de ese momento se contratan "n" obreros más cada día, terminándose 2 días antes de la fecha en que terminarían los 25 obreros, si hubieran continuado la obra solos. Halle "n". a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 12. Dos grupos de pintores empiezan a pintar los lados opuestos de una pared. El primer grupo acaba su trabajo en 42 días, cuando el segundo grupo ha hecho las 3 partes del suyo. Si del primer grupo se pasan 4 todos al segundo grupo para ayudarlos. ¿En cuántos días antes de lo previsto se terminó la obra correspondiente al segundo grupo? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 13. Doce hombres en 15 días hacen 3 de una obra ¿En 8 cuántos días 25 hombres harían el resto de la obra? a) 10 b) 12 c) 16 d) 8 e) 15 14. Si 25 vacas podrían comer la hierba de un prado en 30 días y 15 vacas podrían comer la hierba del mismo prado en 60 días. ¿Cuántas vacas serán necesarias para que coman la hierba del prado en 40 días, si el crecimiento de la hierba es constante?. a) 18 b) 20 c) 21 d) 24 e) 27
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Capítulo 10 15. Se sabe que 30 carpinteros en 6 días pueden hacer 90 mesas o 150 sillas. Hallar "x, sabiendo que 20 de éstos carpinteros en 15 días han hecho 120 mesas y "x" sillas. a) 50 b) 42 c) 48 d) 36 e) 30
Problemas adicionales 16. La cantidad necesaria para vivir en un pueblo, A, es los 3 de la que se necesita para vivir en otro pueblo, 4 B. Según esto, si 7 personas gastan en A, durante 9 meses, 90720 soles, entonces, 5 personas, durante 8 meses, gastarán en B: a) 76800 b) 71250 c) 72500 d) 76000 e) 74200 17. El número de días, d, necesarios para construir un edificio varía inversamente con el número de obreros, p, que trabajan en la obra y con el número de horas, h, que laboran cada día. Si para construir un edificio se requieren 45 días con 80 obreros que trabajan 8 horas diarias, entonces, el tiempo, en días, necesario para construir el mismo edificio con 60 obreros que trabajarían 10 horas diarias, es: a) 40 b) 48 c) 30 d) 42 e) 45 18. Una cuadrilla de 15 obreros construirá una obra en 26 días, trabajando 8 horas diarias. Al cabo de 10 días, de iniciado el trabajo, se despiden 5 obreros y después de 6 días se contratan nuevos obreros. ¿Cuántos obreros se tendrá que contratar para terminar la obra en el plazo fijado? a) 10 b) 12 c) 8 d) 9 e) 15 19. Si dos hombres y 6 niños, consumen diariamente 2kg de pan, entonces, el consumo diario de pan, en kilogramos, de 3 niños y 2 hombres, sabiendo que un niño come la mitad de un hombre es: a) 2,5 b) 1,2 c) 1,4 d) 1,3 e) 1,1 20. Una cuadrilla de 35 obreros construirá una obra en 30 días, trabajando 8 horas diarias. Al cabo de 8 días, de iniciado el trabajo, se retiran 6 obreros y después de 10 días se contratan nuevos obreros, trabajando todos 10 horas diarias. ¿Cuántos obreros se tendrá que contratar para terminar la obra en el plazo fijado? a) 4 b) 3 c) 6 d) 7 e) 5
21. Una obra ha de ser realizada por 27 obreros, en 12 semanas, trabajando 8h/d. A las 2 semanas se van a la huelga pidiendo un aumento del 20% en su jornal diario. El contratista a la semana de huelga, les aumenta y contrata 3 más, con la condición de que todos laboren 9h/d, gastando así S/. 3150 más de lo pensado. ¿Cuál era el jornal diario inicialmente? a) S/.20 b) S/.35 c) S/.27 d) S/.25 e) S/.30 22. 20 hombres trabajaron durante 30 días a 6 horas diarias para levantar un edificio de 25 m de altura, 12 m de largo y 10 m de ancho. Al terminar este edificio, la cuadrilla con 4 hombres menos pasó a construir otro edificio de 20 m de alto, 14 m de largo y 10 m de ancho trabajando 7 horas diarias y con el doble de dificultad. ¿Cuántos días necesitaron para construirlo? a) 15 b) 30 c) 45 d) 60 e) 75 23. Si una cuadrilla de 20 hombres pueden hacer un trabajo en 15 días. Otra, formada por 10 hombres, hacen el mismo trabajo en 30 días. ¿Cuántos hombres más se necesitarán para realizar el trabajo en las 3 5 partes del tiempo empleado por los 30 hombres? a) 30 b) 20 c) 15 d) 25 e) 18 24. En el llano, 100 obreros pueden hacer 150km de carretera en 40 días trabajando 9h/d, en una zona cuya dificultad se puede representar por la unidad. ¿Cuántos días demorarán 200 obreros con una eficiencia 50% mayor que los anteriores en hacer 350km de carretera en una zona rocosa, cuya dificultad se puede representar por 3, trabajando 8h/d?. a) 110 b) 103 c) 105 d) 120 e) 112 25. Un grupo de obreros se comprometen a hacer una obra en 15 días trabajando 6h/d. Los primeros 9 días sólo trabajó la tercera parte de los obreros; si lo que faltó puede ser terminada por 27 obreros cuya habilidad es la sexta parte de los anteriores en 17 días de 8h/d de trabajo. ¿Cuántos obreros componen el primer grupo? a) 306 b) 459 c) 51 d) 38 e) 64 26. Una sierra eléctrica puede cortar un trozo de madera en 6 minutos y un hombre usando una sierra de mano lo puede hacer en 18 minutos. Luego de 4 minutos hay una perdida de potencia en la sierra eléctrica por lo que el hombre debe terminar el trabajo con la sierra de mano. ¿Cuántos minutos más debe trabajar el hombre? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
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Tarea domiciliaria 01. Para hacer 600m de una obra, 30 obreros han trabajado 12 días a razón de 10 horas diarias, ¿cuántos días de 6 horas, necesitarán 36 obreros de igual rendimiento para hacer 900m de la misma obra? a) 25 d b) 35 d c) 26 d d) 20 d e) 30 d
08. Si 60 hombres pueden cavar una zanja de 800m3 en 50 días, ¿cuántos días necesitarán 100 hombres 50% más eficientes para cavar una zanja de 1200m3 cuya dureza del terreno es 2 veces más que la anterior? a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
02. 10 obreros trabajando en la construcción de un puente hacen 3 de la obra en 9 días. Si se retiran 6 hom5 bres.
09. Un grupo de 21 obreros han hecho en 12 días de 8h/d "L1"m de una carretera, otro grupo de 40 obreros, 20% más eficientes que los anteriores, han hecho "L2"m de la misma carretera en 7 días trabajado 10h/d. L Hallar la relación 1 L2
¿Cuántos días emplearán los restantes para terminar la obra? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 03. Doce campesinos trabajando 9 horas diarias durante 15 días siembran una parcela, ¿cuántos campesinos de rendimiento 25% superior a los anteriores será necesario contratar, para que en 6 días de 8 horas diarias de trabajo siembren una parcela similar? a) 20 b) 27 c) 18 d) 24 e) 30 04. En 12 días, 8 obreros han hecho las 2 partes de una 3 obra. Se retiran 6 obreros. ¿Cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra? a) 36 b) 12 c) 48 d) 24 e) 15 05. Con 8 obreros se puede hacer una obra en 20 días, con 10 obreros 4 veces más rápidos que los anteriores. ¿En cuántos días harán una obra 9 veces más difícil que la anterior? a) 25 b) 31 c) 28 d) 32 e) 24 06. Dieciocho obreros pueden hacer una obra en 42 días pero 12 de ellos aumentan su eficiencia en por lo cual al obra terminó en sólo 36 días. ¿En qué fracción aumentaron su eficiencia dichos obreros? b) 1 c) 3 a) 1 5 4 10 d) 7 e) 3 20 20 07. Un trabajo puede ser hecho por 13 personas en 28 días a razón de 6h/d. Si 5 de ellas aumentan su rendimiento en 20%. ¿Cuántos días tardarán si trabajan 12h/d? a) 11 b) 12 c) 13 d) 15 e) 17
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a) 1 5 d) 4 5
b) 3 5 2 e) 7
c) 2 5
10. Se sabe que 30 carpinteros en 6 días pueden hacer 90 mesas o 150 sillas. Hallar "x" sabiendo que 20 de estos carpinteros en 15 días han hecho 120 mesas y "x" sillas? a) 25 b) 50 c) 100 d) 200 e) 150 11. Una brigada de 40 obreros se compromete a cavar una zanja de 40 m en 40 días. 8 días después se decide alargar la zanja en 48 m por lo que se contrata 16 obreros más, 50% más eficientes que los anteriores. ¿Cuánto tiempo tomará hacer todo el trabajo? a) 28 días b) 68 días c) 58 días d) 48 días e) 41 días 12. 24 obreros de un mismo rendimiento se comprometen a hacer una obra en 28 días pero cuando han hecho los 4 de la obra, 18 de ellos abandonan. ¿Qué 7 rendimiento con respecto a los primeros deben tener los 12 nuevos obreros que se contratan para terminar la obra en le plazo establecido? a) 3 b) 4 c) 1,5 d) 7 e) 2,5 13. Si podemos hacer una obra en 30 días con "p" máquinas y con (p + 4) se hace una obra del doble de dificultad que la anterior en 40 días, ¿en cuánto tiempo harán (p + 2) máquinas una obra de igual dificultad a la inicial? a) 20 b) 21 c) 24 d) 25 e) 28 14. ¿En cuántos días se atrasará una obra si faltando 10 días los obreros bajan su rendimiento en un 25%?. La jornada diaria es de 9 horas. a) 3 días 3 horas b) 11 días 3 horas c) 13 días 3 horas d) 15 días e) 16 días 4 horas
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Capítulo 11
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Tanto por ciento - I
"En la inauguración de un centro comercial, se ofrece un artículo en $ 300, con dos descuentos sucesivos del 30 por 70 y el 11 por 25. Podría Ud. decirnos ¿A qué precio lo puedo comprar?" Una de las aplicaciones más utilizadas de la proporcionalidad es el porcentaje, que tiene su origen en el tanto por ciento. Es muy frecuente escuchar estas expresiones : • Banco del Porvenir ofrece a sus clientes una tasa de ahorros del 25% (Veinticinco por ciento) anual. • La inflación acumulada en los últimos ocho meses llega al 20% (Veinte por ciento). • La tasa de mortalidad, en niños menores de 1 año, alcanza el 10% (Diez por ciento). Pero ... ¿qué significan las palabras "por ciento"? Significan una cierta parte de cada ciento de una cantidad cualquiera. Así el 4 por ciento significa 4 de cada 100 y puede ser 4 soles de cada 100 soles, 4 kilos de cada 100 kilos, 4 personas de 100 personas y se puede escribir. 4 = 1 100 25 Cuando la parte fraccionaria de un total se expresa en centésimas, se dice que es un porcentaje del total. La palabra porcentaje se emplea para referirse al método del cálculo por cientos.
Tanto por cuanto El 5 por 8 de una cantidad, significa dividir dicha cantidad en 8 partes iguales y tomar 5 de ellas. Ejemplo: El 5 por 8 de 120. 8 partes iguales 120 lo dividimos en 8 partes iguales, tomando 5 de ellas o sea: 5 c 120 m = 5 # 120 = 75 8 8 Es decir, el A por B de N es: A $N B Cuando B = 100 se lee A por 100 de N y se denota por A% de N y se escribe: A $N 100 Ejemplo: El 20% de 75 es: 20 $ 75 = 15 100 123 123
Tanto por Porcentaje ciento
Tanto por ciento expresado en fracción • 10%.................. 10 = 100 • 25%.................. 25 = 100
1 10 1 4
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Aritmética • 50%.................. 50 = 1 100 2 • 100%................ 100 = 1 100
Un número racional en tanto por ciento 3 ...................... 3 . 100% = 75% 4 4 • 6 ...................... 6 . 100% = 120% 5 5 • 4.......................4 . 100% = 400% •
Observación Es muy frecuente aplicar Regla de Tres Simple para problemas de tanto por ciento. Ejemplo: ¿de qué número; 92 es el 15% más?
Resolución El número representa el 100%, entonces el 15% más, será: 100% + 15% = 115% Es decir: 92
115%
x
100% x=
92 (100%) = 80 115%
Asuntos comerciales • Se compra un artículo en ; para luego venderlo en entonces: I. Si PV > PC hay ganancia y se cumple: PV = PC + G PC
G PV
G: ganancia o utilidad
II. Si PV < PC hay pérdida y se cumple: PV = PC - P PV
P PC
P: pérdida
• Generalmente, al realizar un negocio, que nos va a dar una utilidad, ocasiona gastos (movilidad, alquiler, viáticos, etc.), entonces se cumple: Ganancia bruta = Ganancia neta + gastos • Al precio fijado para la venta de un artículo se le llama Precio de Lista al cual casi siempre se le hace una rebaja y por consiguiente se cumple: PL - R = PV
Importante Generalmente, los aumentos se realizan sobre el precio de costo; mientras que los descuentos se hacen sobre el precio de lista.
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Capítulo 11 Operaciones frecuentes I. a%N + b%N = (a + b)%N Ejemplo: 15%(60) + 25%(60) = 40%(60) = 24 II. a%N - b%N = (a - b)%N Ejemplo: 72%(30) - 37%(30) es: 35%(30) = 10,5 III. n(a%N) = (na)%N Ejemplo: 15(2% de 40) = 30% de 40 = 12
Aumentos sucesivos Aplicación: dos aumentos sucesivos del 30% y 40%. ¿A qué aumento único equivalen?
Resolución Cantidad inicial: N; le aumentamos el 30%, obtenemos: 100%N + 30%N = 130%N al cual le aumentamos el 40%, para obtener el (100% + 40%) del 130%N. Es decir, al final tengo: 140 $ 130%N = 182%N 100 Aumento único . 182%N - 100%N = 82%N Método Práctico: Aumento: +30% ; +40% Nueva cantidad: 130 $ 140%N = 182% 100 Aumento único: 182% - 100% = 82%
Descuentos sucesivos Aplicación: dos descuentos sucesivos del 30% y 12%. ¿A qué descuento único equivalen?
Resolución Cantidad inicial: N, le descontamos el 30%, queda 100%N - 30%N = 70%N Volvemos a descontar el 12% pero al 70%N entonces obtenemos: (100% - 12%) del 70%N = 88 $ 70%N = 61, 6%N 100 Descuento único = 100%N - 61,6%N= 38,4%N Método práctico: Descuentos: -30% y -12% Queda: 70 - 88% = 61, 6% 100 Descuento único= 100% - 61,6% = 38,4%
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Problemas resueltos 01. El a por ciento de P habitantes de un cierto país son hombres. Si el b por ciento del número de mujeres sabe leer y escribir, entonces el número de mujeres sabe leer y escribir, entonces el número de mujeres que no saben ni leer ni escribir es: UNMSM 1995
Resolución Recuerda que: 100% < > 1 De P habitantes
Mujeres
Hombres
(1 - a)%P
a%P
Leen y escriben
Ni leen y ni escriben
b% (1 - a%)P
(1 - b%) (1 - a%) P 1 444 2 444 3 Nos piden: `1 - a j`1 - b j P 100 100
02. Tenía 40 cuadernos. A mi amigo Julio le di el 20%, a mi primo Pedro el 30% y a mi hermana Julia el 40%. ¿Cuántos cuadernos me quedan? UNMSM 1996
Resolución Reparto a: Julio
:
20%
Pedro :
30%
Julia
:
40%
Total
:
90%
Me queda: 10% de 40 10 $ 40 = 4 100 03. Una empresa consume 40% de su materia prima disponible, lo que le queda excede en 57 kg a lo gastado. ¿Cuántos kilogramos de materia prima disponible tenía la empresa? UNMSM 1997
Resolución Total de materia prima: 100% de MP • Consumo: 40% de MP • Por lo tanto queda: 60% de MP La diferencia entre lo que queda y el consumo es 57 kg. 60% MP - 40%MP = 57 20% MP = 57 1 20 MP = 57 100 5 MP = 285 kg
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Capítulo 11
Práctica 01. Si al 15% del 20% de 5N le sumamos el 30% del 50% de 2N, obtenemos 270. Hallar el 60% del 35% de N. a) 110 b) 600 c) 458 d) 126 e) 265 02. El 40% del 50% de "a" es el 30% de "b". ¿Qué tanto por ciento de (2a+7b) es (a+b)? a) 20% b) 40% c) 25% d) 35% e) 50% 03. El 30% de lo que tengo equivale al 50% de lo que tú tienes. Si entre los dos tenemos S/.560. ¿Cuánto tengo que darte para que ambos tengamos lo mismo? a) 30 b) 50 c) 20 d) 70 e) 60 04. En una reunión de profesionales en la que hay abogados, ingenieros y economistas. El número de abogados es 112, el de ingenieros es 64, y los economistas son el 45% del total. ¿Cuántos economistas se tendrían que aumentar para que éstos sean el 60% del total? a) 85 b) 64 c) 128 d) 110 e) 120 05. A una reunión asistieron 450 personas. Si se retiran el 30% de los hombres y el 20% de las mujeres, habría tantas mujeres como hombres. ¿Cuánto hombres deben retirarse para que éstos sean el 40% del total de personas? a) 50 b) 75 c) 100 d) 135 e) 120 06. Si en una reunión social, el 75% de los hombres es igual al 45% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del total de personas son mujeres? a) 37,5% b) 62,5% c) 56,5% d) 43,5% e) 36% 07. En un corral el 40% son patos, el 35% conejos y el resto pavos. Si el número de patos se triplica y se duplican la de los otros dos, ¿qué porcentaje del nuevo total son pavos? ! a) 20, 83% b) 40,6% c) 29,16% d) 50%
e) 21,4%
08. Al sueldo de un empleado se le hace un aumento del 20% al comenzar el año, y en el mes de julio un aumento del 10% sobre el total. ¿Qué porcentaje de su sueldo del año anterior estaría recibiendo en agosto? a) 128% b) 130% c) 103% d) 125% e) 132%
09. Una señora va a una tienda, donde al comprar manzana le regalan el 5% de las que compró, pero en el camino pierde el 7%, obteniendo así 1953 manzanas. ¿Cuántas manzanas compró? a) 21545 b) 20000 c) 2000 d) 10002 e) 1545 10. En una granja el 20% del número de conejos es igual al 30% del número de pavos; si se venden 150 conejos el número de pavos será el 60% del total. Hallar el número de pavos. a) 40 b) 75 c) 180 d) 125 e) 80 11. En un determinado momento de una fiesta a la que asistieron 80 personas se observó que las mujeres eran el 40%, y que del total de personas solo el 30% bailaba.. • ¿Qué tanto por ciento de los hombres no bailan? • ¿Qué porcentaje del total son las mujeres que si bailan? • ¿Qué tanto por ciento son los que no bailan respecto de las mujeres? Dar como respuesta la suma de los resultados obtenidos. a) 155% b) 220% c) 265% d) 285% e) 175% 12. Tú tienes 25% menos de lo que yo tengo. Si yo tuviera 20% más de lo que tengo y tú tuvieras 20% menos de lo que tienes, yo tendría 12 soles más de lo que tú tendrías. ¿Cuánto tengo? a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 25 13. En un colegio el 40% de los alumnos son mujeres. Si el número de mujeres aumentó en 30% y el de hombres disminuyó en 10% ¿en qué porcentaje a variado el total de alumnos del colegio? a) 6 b) 10 c) 16 d) 21 e) 27 14. En una fiesta en un determinado momento los hombres sacaron a bailar a todas las mujeres, y se quedaron sin bailar el 20% de los hombres. ¿Qué porcentaje del total de hombres deberá retirarse para que al volver a la pista se quede sin bailar el 10% de las mujeres? a) 28 b) 25 c) 32 d) 35 e) 42
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Aritmética 15. Fernando reparte S/.175 entre sus hijos Ana, Benjamín y César. Ana recibe el 24% del total, el 40% de lo que recibió Benjamín es igual a lo que recibió Ana, ¿qué porcentaje del total le corresponde a César si recibió el dinero restante? a) 15% b) 18,2% c) 16% d) 13,3% e) 20%
19. En una reunión se observa que el 60% son casados y los hombres representan el 40% del total de asistentes. Si de los solteros el 62,5% son mujeres ¿qué porcentaje del total representan los hombres casados y las mujeres solteras? a) 50% b) 40% c) 35% d) 70% e) 0%
Problemas adicionales
20. En una granja el 20% son patos, el 45% gallinas y el resto conejos. Si el número de gallinas fuera el doble y el número de conejos fuera el cuádruple ¿qué tanto por ciento del nuevo total serían los patos? a) 8% b) 10% c) 20% d) 40% e) 25%
16. En un colegio nacional se matricularon 7500 estudiantes. Si el 87% de las mujeres y el 12% de los hombres se retiran, el 12% de los que quedan serían mujeres. ¿Cuántos varones se han retirado? a) 360 b) 370 c) 290 d) 390 e) 468 17. En una reunión: * El 40% votó por A * El 30% votó por B * El 20% votó por C * El resto se abstuvo Se hizo una segunda votación, esta vez sólo se podía votar por A o B. El 80% de las personas que votaron por C, votaron esta vez por A; el 20% restante se abstuvo. Si, junto con las que se abstuvieron por primera vez, en total se abstuvieron 28 personas, en esta segunda votación, ¿cuántas personas votaron por A? a) 120 b) 110 c) 100 d) 118 e) 112 18. Si a una cantidad se le aumenta su 20% y a la nueva cantidad se le disminuye también su 20% se puede afirmar con respecto a la cantidad inicial que: a) Aumenta 10% b) Disminuye 10% c) No varía d) Disminuye 4% e) N. A.
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21. En un Instituto Superior, el departamento de servicio social decide rebajar las pensiones de enseñanza a los estudiantes de menores recursos económicos en un 20% y aumentar en 30% al resto. Si el monto total de las pensiones queda disminuido en un 10% con esta política. ¿Qué tanto por ciento de la pensión pagada por los estudiantes de menores recursos es la nueva recaudación del Instituto? a) 140,6% b) 140,7% c) 140,8% d) 140,9% e) 141% 22. Un mineral tiene una concentración de 25%. ¿Qué cantidad de este mineral se deberá tomar para obtener una tonelada de mineral de 95% de concentración? a) 3,80 T b) 3,60 T c) 3,33 T d) 3,00 T e) 4,00 T 23. En una ciudad el 56% de la población bebe el 32% de la población fuma y el 25% de los que fuman beben y fuman. Si hay 1 800 personas que no fuman ni beben. ¿Cuál es la población de dicha ciudad? a) 18000 b) 9000 c) 12000 d) 3200 e) 5600 24. De un grupo de personas, el 80% tiene casa propia; el 70% tiene automóvil, el 60% tiene tarjeta de crédito. ¿Cuál es el menor porcentaje de personas con casa propia, automóvil y tarjeta de crédito? a) 5% b) 1% c) 10% d) 15% e) 12%
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Capítulo 11
Tarea domiciliaria 01. Hallar el 30% del 40% de 500. a) 6 b) 600 d) 60 e) 0,06
c) 0,6
02. Hallar el 20% del 30% del 80% del 4 por 8 de 500. a) 12 b) 30 c) 15 d) 17 e) 500 03. En una fiesta, el 60% del total son hombres y el resto son mujeres, luego llegan 20 hombres cada uno con 2 mujeres y de esta manera todos quedan en parejas. ¿Cuántos hombres habían inicialmente? a) 70 b) 60 c) 80 d) 40 e) 10 04. ¿Qué porcentaje del 15% del 8% de 600 es el 20% de 1 de 14,4? 2 a) 8% b) 10% c) 20% d) 7% e) 5% 05. En una oficina hay 16 personas de las cuales 1 son 4 mujeres y las demás, hombres. Si se desea que el 40% del personal sean mujeres, ¿cuántas se tendrían que contratar? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 06. Un hombre al morir dispone que su fortuna que asciende a $20000, se entregue el 35% a su hermano mayor y; el 40% del resto a su hermano menor, y lo restante a un asilo. ¿Cuánto correspondió al asilo? a) $6000 b) $6300 c) $6900 d) $7200 e) $7800 07. El 15% del área de un círculo es igual al 60% de la longitud de su circunferencia. Hallar el valor del radio. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 08. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría, perdería $ 156. ¿Cuánto tengo? a) $1000 b) $1200 c) $1500 d) $1630 e) $1560 09. Hugo, Luis y Paco han hecho 234 m de una zanja, el rendimiento de Hugo es el 120% de Luis y el de Paco es el 140% del de Luis. ¿Cuántos metros hizo Paco? a) 78m b) 65m c) 91m d) 60m e) 85m
10. Un tirador debe acertar en total el 60% de los disparos que realiza. Le dan 85 balas y ya ha disparado 45, consiguiendo sólo 19 aciertos. ¿Qué porcentaje de las balas que quedan debe acertar para cumplir el porcentaje requerido? a) 60% b) 70% c) 80% d) 85% e) 75% 11. El presidente de un club ve que por partido en promedio un tercio de las entradas se quedan sin vender. Si las entradas se rebajasen en 30% todas se venderían. En ese caso : a) La recaudación aumentará. b) La recaudación será la misma. c) La recaudación disminuirá. d) F.D. e) Depende. 12. En un salón de clase el número de hombres equivale al 80% del total, si se retiran el 20% de los hombres, ¿qué porcentaje del resto son mujeres? a) 24% b) 23% c) 12% d) 16,2% e) 23,8% 13. El 80% de 175 por mil de "N", ¿qué porcentaje es de 36% del 4 por 9 de "N"? a) 27,5 b) 17,5 c) 82,5 d) 87,5 e) 90 14. Un fabricante disminuye el precio de sus artículos en un 20%. ¿En qué porcentaje deberá aumentar el volumen de sus ventas para que su ingreso bruto aumente en un 30%? a) 62,5% b) 55% c) 50% d) 60% e) 44% 15. A 600 kg de agua salada que contiene el 7,5% de sal se ha añadido agua pura para reducir la proporción de sal al 3%. ¿Cuál será el peso de la nueva mezcla? a) 900 b) 1500 c) 1400 d) 1200 e) 1000 16. Un pequeño pueblo consta de dos distritos: San Pedro y San Pablo, los pobladores de San Pedro constituyen el 40% del total. Debido a una fuerte lluvia, parte de éstos deciden trasladarse a San Pablo. Si luego de la migración, los habitantes de San Pedro constituyen el 56,25% de la población de San Pablo. ¿Qué porcentaje de los habitantes de San Pedro decidió emigrar? a) 8% b) 10% c) 15% d) 12,5% e) 9%
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Tanto por ciento - II
01. Vendo un artículo en S/.868 ganando el 24% del precio de costo más el 10% del precio de venta. Si lo hubiese vendido en S/.700, ¿hubiese ganado o perdido y cuánto? a) No se sabe c) Ganó S/. 70 e) Perdió S/. 68
b) No ganó ni perdió d) Perdió S/. 100
02. Un comerciante vende las últimas 2 bicicletas que le quedan en S/. 600 cada una. En una ganó el 25% y en la otra perdió el 25%. ¿Cuál afirmación es correcta? a) No ganó ni perdió b) Ganó S/.80 c) Perdió S/.80
d) Ganó S/.60
e) Perdió S/.60 03. En un supermercado, para determinar el precio de lista de los artículos se les multiplica los costos por un cierto factor k, de tal manera que puedan descontar 20% más 20% y aún así ganar el 80% del costo. Hallar el factor k. b) 45 c) 45 a) 45 12 13 14 45 45 d) e) 15 16 04. Una persona compró cierto número de pares de zapatos ortopédicos a $80 cada par. Si los vendió con una ganancia neta de $510 y los gastos ascendieron al 15% de la ganancia bruta, ¿cuántos pares de zapatos compró, si en total recibió $3800? a) 40 b) 50 c) 30 d) 60 e) 20 05. El número de productos que se puede comprar con una suma de dinero aumentaría en 500, si se variase en 20% el precio de compra de cada producto. ¿Cuál es dicho número de productos? a) 2080 b) 2008 c) 2000 d) 4000 e) 5200 06. El precio de un saco de arroz ha quedado en S/.158,4 al final de año pasado; luego de haber sufrido durante el año dos aumentos sucesivos del 10% y 20% y una baja del 25%, ¿qué precio tenía al empezar el año pasado? a) 160 b) 200 c) 180 d) 196 e) 175
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07. Para fijar el precio de venta de un artículo se aumentó su costo en 30%. Al venderse se hizo una rebaja del 10% sobre su precio fijado. ¿Qué tanto por ciento de su precio de costo se ganó? a) 14% b) 17% c) 20% d) 18% e) 27% 08. El beneficio neto, que se obtiene al vender un objeto en $2200, con el 10% de ganancia sobre el precio de compra es $150. ¿Cuál es el gasto que produce la venta? a) $35 b) $40 c) $ 50 d) $ 60 e) $ 65 09. En la venta de un artículo se ha observado que el precio fijado, el precio de venta y el precio de costo están en relación de 15; 12 y 4 respectivamente. ¿Qué porcentaje representa la rebaja, respecto a la ganancia? a) 10% b) 30% c) 50% d) 75% e) 37,5% 10. Para fijar el precio de un artículo se incrementó su costo en cierto porcentaje, pero al venderse se hizo una rebaja porcentual numéricamente igual al incremento, resultando una pérdida equivalente al 5,29%. Dicho porcentaje es: a) 18 b) 19 c) 21 d) 23 e) 24 11. Un comerciante vende un artículo en $224 ganado el 16% de los 3 de su costo. ¿A cuántos dólares se 4 debería vender dicho artículo para ganar el 1 por 5 del precio de venta? a) 200 b) 220 c) 225 d) 240 e) 250 12. ¿En cuánto debe aumentar el precio de venta de un artículo si se desea obtener el doble de ganancia, si se sabe que el costo es 4 veces la ganancia original? a) 16,6% b) 20% c) 25% d) 83,3% e) 120% 13. El precio de venta de un artículo se reduce a la mitad obteniéndose una pérdida igual a la ganancia que se hubiera obtenido si no se modificaba el precio de venta ¿Qué porcentaje del costo se pensaba ganar? a) 75% b) 25% c) 33,3...% d) 133,33...% e) 70%
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Capítulo 12 14. La venta de un artículo produce cierto gasto. Si vende el artículo en $3300, en el cual se está ganando el 10% del costo, si la ganancia neta fue de $240. ¿Cuántos dólares fue el gasto? a) 50 b) 60 c) 65 d) 70 e) 75
21. A un cliente se le hace un descuento del 25% seguido de un aumento del 20% y posteriormente un descuento del 10%. ¿Qué sucede? a) Ahorra 19% b) Ahorra 10% c) Ahorra 5% d) Ahorra 8% e) Ahorra 15%
15. Para fijar el precio de un artículo un comerciante eleva el precio de sus productos en un determinado porcentaje. Pero al venderlos hace dos descuentos sucesivos del 20% y 20% y un posterior aumentó del 20% con lo cual todavía gana el 20% del precio de venta. Si el precio de costo es 768 soles, entonces el precio fijado al inicio era: a) S/.1200 b) S/.2100 c) S/.1250 d) S/.1300 e) S/.2700
22. Una persona consigue, en la compra de una tela, un primer descuento del 20% y sobre el precio rebajado otro descuento del 30%. Si al final paga S/.3 360. ¿Cuál es el precio original de la tela? a) S/.5040 b) S/.4368 c) S/.6000 d) S/.6720 e) S/.5000
Problemas adicionales 16. Se vendió 4 artículos en S/.9100 cada uno; en el primero se ganó el 30% del costo, en el segundo se perdió el 30% del precio de venta, en el tercero se ganó 30% del precio de venta y en el cuarto se perdió el 30% del costo. ¿Se ganó o se perdió y cuánto? a) Se perdió S/.1800 b) Se ganó S/.300 c) Se perdió S/.300 d) Se ganó S/.600 e) Se ganó S/.1800 17. En qué porcentaje se debe aumentar el precio de costo de un artículo, para fijar su precio de venta al público; tal que si luego se hacen 2 descuentos sucesivos del 20% y 20% aún se gane el 60% del precio de costo. a) 160% b) 150% c) 140% d) 130% e) 120% 18. Un comerciante vende un artículo ganando el 20% del costo y pagando un impuesto del 10% del precio de venta. Pero si lo hubiera vendido ganando el 20% del costo y pagando un impuesto del 10% del precio de costo, este precio de venta sería S/. 300 menos que el primero ¿A qué precio vendió el artículo? a) S/.10000 b) S/.12000 c) S/.15000 d) S/.16000 e) S/.18000 19. La ganancia neta que se obtiene al vender un artículo en $ 28000 es $ 4000. Si la ganancia bruta que se obtiene al hacer esta venta es igual al 15% del precio de venta. ¿Cuál es el gasto que produce esta venta? a) $100 b) $200 c) $300 d) $400 e) $450 20. En la venta de un artículo los gastos fueron el 20% del costo y la ganancia neta fue el 20% del precio de venta. ¿Qué porcentaje del costo representa la ganancia neta? a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50%
23. En un pedido por valor de $10000 un comerciante puede escoger entre 2 alternativas descuentos sucesivos la primera : 20%, 20% y 10% y la segunda 40%, 5% y 5%. Escogiendo la mejor opción, puede ahorrar: a) Nada b) $ 400 c) $ 370 d) $ 345 e) $ 450 24. Un comerciante compró cierta cantidad de motos pagando el tercio de estas a razón de S/.1000 cada 3 de ellas y el resto a S/.1000 cada 5 de ellas. Si regalo 50 motos y vendió las restantes a S/.300 cada una, obteniendo un beneficio de 9 1 % . ¿Cuántas motos compró? 11 a) 450 b) 800 c) 620 d) 600 e) 499 25. Juan encarga vender un objeto a José y éste se lo encarga a su vez a Julio, quien logra hacer la venta quedándose con un 20%. José recibe el resto pero a su vez retiene el 10% de lo que recibe y entregó el resto que asciende a $ 3240. ¿En cuánto se vendió? a) $4500 b) $3500 c) $4000 d) $3000 e) $3800 26. A una persona le ofrecen dos formas de pago : 1ra. forma: 2 descuentos sucesivos del 20% y 25% o 2da. forma: un descuento del 39%. Eligiendo la mejor forma de pago, ¿qué porcentaje del pago que debía realizar canceló en caja? a) 60% b) 59% c) 40% d) 41% e) 39% 27. Un comerciante compra una mercancía con un descuento del 25% del precio de lista. De tal manera que pueda dar un descuento del 20% del precio fijado y obtener una ganancia del 25% sobre el precio de venta. ¿Qué porcentaje del precio de lista debe fijar para la mercancía? a) 80% b) 125% c) 130% d) 70% e) 135% 28. Un comerciante razonaba; actualmente gano el 20% de mi inversión, pero si quiero que mi ganancia aumente un 75%, debo poner un precio en vitrina que sea n% más que el costo y luego vender haciendo 2 descuentos sucesivos de 10% más 25%. El valor de "n" es : a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 150
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Problemas resueltos 01. Al sueldo de un docente se le hace un primer aumento del 30% en enero y en el mes de Julio un aumento del 10% sobre el sueldo de mayo. ¿Qué porcentaje del sueldo del año anterior recibirá en agosto?
Resolución • Asumiendo que sea S/. 100 el sueldo del año anterior. • Se hacen 2 aumentos: (30% en enero y 10% en mayo) • En agosto tendrá: 110% × 130% (S/. 100) = S/. 143 • En agosto ganará S/. 143 que es el 143% de S/. 100
02. Un artículo se vende en S/. 390 ganándose el 30% del costo, por efecto de la inflación el costo ha aumentado en 10%. Para seguir ganando el mismo porcentaje el artículo debe venderse en:
Resolución • Sabemos: Precio de venta = Precio de costo + Ganancia 390 = PC + 30% PC 390 = 130% PC 300 = PC • El costo aumenta 10% PC1 = 110% (300) PC1 = 330 • Nuevo precio de venta: PV1 = 330 + 30% 330 PV1 = S/. 429
03. Si la longitud de la base de un triángulo aumenta en un 20% y la longitud de la altura disminuye en 30%,m ¿en qué porcentaje varía el área?
Resolución Área del triángulo al inicio
Área del triángulo al final
A = b$h 2
A1 =
(120%b) (70%h) 2
A1 = 84% bh 2
A = 100% b # h 2 Luego el área del triángulo disminuye en 16%.
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Capítulo 12
Tarea domiciliaria 01. Si "S" es el 150% de "T". ¿Qué tanto por ciento de "T" es (S + T)? a) 100% b) 150% c) 200% d) 250% e) 300% 02. El precio de venta de un objeto es de S/.897, el comerciante ganó en esta operación el 15%. Si el beneficio neto fue de S/.97; calcula los gastos que produce la venta. a) S/.10 b) S/.15 c) S/.20 d) S/.25 e) S/.30 03. Al precio de una tela se le hace un descuento del 20%. Luego se hace un descuento del 30% pagando por la tela S/.3360. ¿Cuál era el precio original de la tela? a) S/.8400 b) S/.6450 c) S/.6000 d) S/.5400 e) S/.6400 04. En el mes de Febrero José ganaba una cierta cantidad de dinero con la cual podía comprar 231 calculadoras de bolsillo. En Marzo le aumentaron su sueldo en 20%, pero las calculadoras aumentaron su precio en 10%. En Abril aumentó su sueldo en 30% con respecto a los que ganaba en Marzo, pero las calculadoras aumentaron su precio en 40% con respecto a Marzo. ¿Cuántas calculadoras podrá comprar en Abril? a) 224 b) 231 c) 234 d) 264 e) 254 05. Una persona compra un objeto con un descuento del 30% en una tienda comercial y luego lo vende ganando el 20% entonces el tanto por ciento respecto al precio de lista que lo vendió fue : a) 60% b) 80% c) 84% d) 86% e) 88% 06. Al tostar café se pierde el 20% de su peso. Un señor vende café tostado a S/.8 el kg, ganando el 15% sobre el precio de compra. ¿A qué precio ha comprado el café sin tostar? a) S/.5,00 b) S/.5,30 c) S/.5,50 d) S/.5,56 e) S/.5,70 07. Si una parte de la mercadería (todos del mismo costo) se vende con una pérdida del 8% y el resto se vende ganando el 7%, ¿qué tanto por ciento de la mercadería se vendió en la primera venta, si en total se ganó el 4%? a) 25% b) 30% c) 20% d) 15% e) 10%
08. Un comerciante adquirió arroz de un mayorista y vendió la cuarta parte con un 5% de beneficio, otro cuarto con un 15% de beneficio, y el resto con un 6% de pérdida. Si en total ganó S/.31 200. ¿Cuánto cobró el mayorista por el arroz? a) S/.1560000 b) S/.1650000 c) S/.1340000 d) S/.1680000 e) S/.1720000 09. Treinta ejemplares del primer volumen del libro "Análisis Matemático" y 35 ejemplares del segundo volumen cuestan en total S/.390. Sin embargo, un descuento del 15% en los ejemplares del primer volumen y del 10% de los ejemplares del segundo reduce el precio a un total de S/.342. ¿Cuál es el precio inicial de 2 ejemplares, uno de cada volumen? a) 14 b) 12 c) 10 d) 11 e) 13 10. Un comerciante vende el 40% de los artículos que compró ganando el 40% del costo, el 20% del resto perdiendo el 20%, la cuarta parte de lo que le quedaba la regaló y el resto lo vendió sin ganar ni perder. Si en toda la venta ganó S/.480. ¿Cuántos artículos compró si cada uno costaba S/.10? a) 4000 b) 3000 c) 2000 d) 3200 e) 3800 11. Si un artículo es vendido con un 30% de descuento, se está ganado el 20% del precio de venta, además observa que si al precio inicial se le hace un descuento del x% se está ganando el 30% del precio de venta. Hallar la suma de las cifras de x. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Un señor produce zapatos cuyo costo se distribuye así: 20% en materia prima, 3 del resto en mano de 8 obra y el resto en gastos generales. Vende esta mercadería al mayorista ganando un 20% de su costo, y éste a su vez al minorista ganando el 30% de lo que le costó a él, y éste lo vende al público en S/.524,16 ganando el 40% de su costo. ¿Cuánto gastó dicho señor en gastos generales? a) S/.120,00 b) S/.116,50 c) S/.112,40 d) S/.124,75 e) S/.124,00
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Regla de interés
En los bancos, el interés del capital se suma al depósito cada cierto tiempo. Si la adición se hace con más frecuencia, el capital crece más de prisa, por lo que el interés es cada vez mayor. Tomemos un sencillo ejemplo, puramente teórico. Admitamos que se depositan 100 soles en un banco al 100% anual. Si se acumula el interés al depósito, al cabo del año sumarán 200 soles. Veamos ahora qué ocurre si el porcentaje se va sumando al capital inicial cada medio año. Al finalizar el primer semestre llegará a 150% de S/.100 = S/.150. Al finalizar el segundo semestre 150% de S/.150 = S/.225. Si la adición se realiza cada 3 meses ( 1 de año), a fin de 4 año se tendrá (125%)4 de S/.100 soles que es S/.224,10 soles aproximadamente. Si se acumula el interés cada 1 10 de año a fin de año se tendrá (110%)10 de S/.100 soles que es S/.259,40 soles aproximadamente. Si hacemos más frecuentes los plazos de acumulación del interés al capital depositado cada 1 de año; 1 de año, etc. 100 1000 ¿Crecerá indefinidamente el capital?
Conceptos elementales Capital (C): Designa un conjunto de bienes o una cantidad de dinero de los que se puede obtener ingresos en el futuro.
Interés (I) : Es la ganancia que produce el capital durante un cierto tiempo con la condición de que cien unidades de dinero produzcan una cierta cantidad anual. Ejemplo:
• Si se depositan $1000 en un banco y, después de cierto tiempo y se retira en total $1200, significa que se ha ganado un interés de $200
Tasa de interés (r%): Expresa el tanto por ciento del capital que se paga por la utilización de éste durante un tiempo. Ejemplos: • Una tasa de 12% mensual significa que se gana el 12% del capital por cada mes. • Una tasa de 25% bimestral significa que se gana el 25% del capital por cada dos meses. Observación:
Tiempo (t): Intervalo durante el cual se presta o utiliza el capital. • • • • •
1 año < > 12 meses. 1 mes comercial < > 30 días 1 año comercial < > 360 días 1 año común < > 365 días 1 año bisiesto < > 366 días
Monto (M): Es la suma del capital y el interés generado. Monto = Capital + Interés Ejemplo: Si un capital de 3000 soles, genera un interés de 500 soles, el monto es: 3000 soles + 500 soles = 3500 soles
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Capítulo 13 Clases de interés Interés simple: en este caso, el capital es constante durante todo el tiempo, el interés es proporcional al tiempo y a la tasa. Ejemplo: César prestó 4000 soles a Fiorella durante 5 años con una tasa de 2% anual. Calcule el interés generado.
Resolución Como la tasa es 2% anual, por cada año que pasa se gana el 2% de S/.4000 = S/.80, entonces en 5 años se gana 5 veces S/.80 = S/.400
Observación:
Algunas fórmulas para el cálculo del interés simple: I = C . r% . t Cuando la tasa y el tiempo están en las mismas unidades de tiempo.
Interés compuesto: en este caso el interés generado pasa a formar parte del capital cada cierto tiempo denominado periodo de capitalización, o sea que el capital aumenta cada cierto tiempo. Ejemplo: César prestó 40000 soles a Fiorella durante 4 años con una tasa de 20% anual capitalizable anualmente. Calcule el interés generado.
Resolución Como la tasa es 20% anual, por cada año que pasa se gana el 20% del capital acumulado al comenzar el año. En 4 años se han realizado 4 aumentos sucesivos del 20%. 1er. año: 120% de S/.40000 = S/.48000 2do. año: 120% de S/.48000 = S/.57600 3er. año: 120% de S/.57600 = S/.69120 4to. año: 120% de S/.69120 = S/.82944 Al finalizar el 4to. año, el monto es de S/.82944; que también se puede calcular: 120% 120% 120% 120% S/.40000 = S/.82944 Entonces el interés en los 4 años es: S/.82944 - S/.40000 = S/.42944
Interés continuo: El interés continuo se obtiene cuando la capitalización es en cada instante, es decir, fraccionando la tasa y el tiempo en un número de partes infinitamente grande. El monto que se obtiene con un capital C, durante un tiempo t a una tasa r% (r% y t en las mismas unidades de tiempo, o sea, si r% es anual, t en años, etc.) M = C . er%t
Donde: e = 2,71828182...
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Problemas resueltos 01. El capital de Pedro gana 6%, el de Juan 8% de intereses anuales. La diferencia de capitales es S/. 4000 pero después de un año reciben el mismo interés. Los capitales suman:
Resolución Para Pedro
Para Juan
Capital : P
Capital : J
Tasa : 6%
Tasa : 8%
Tiempo : 1 año
Tiempo : 1 año
Diferencia de capitales S/. 4000 4k - 3k = 4000 k = 4000 Nos piden suma de capitales: 7k = 28000 02. Dos capitales que se obtienen al dividir 36000 dólares son colocados al 6% y 15% anual, respectivamente. La parte colocada al 15% genera un interés que duplica el interés generado por la otra parte. ¿Qué porcentaje representa el mayor capital?
Resolución C1 = x
C2 = 36000 - x
r1 = 6%
r2 = 15% I2 = 2I1 (3600 - x) 15% = 2x . 6% x = 20 000 ← mayor capital
` 20000 # 100% = 55, 5% 36000
03. Pedro y Luis depositaron sus ahorros al 5% y 6% de interés anual, respectivamente. La diferencia de ahorros, al momento de hacer los depósitos, era de S/. 12000 y, al cabo de un año, los intereses obtenidos por ambos resultaron iguales. ¿Cuánto dinero depositaron Pedro y Luis juntos?
Resolución Capital Tasa anual Tiempo
Para Pedro
Para Juan
P
L
5%
6%
1 año
1 año
Dato: Los intereses son iguales:
La diferencia de capitales : S/. 12000 Capital total:
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P#5#1 = L#6#1 100 100 P = 6k L 5k 6k – 5k = 12000 k = 12000 11k = 11(12000) 11k = 132000
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Capítulo 13
Práctica 01. Se coloca S/.6000 al 8% trimestral, durante 4 años 2 meses. ¿Que interés produce? a) S/.5000 b) S/.6000 c) S/.8000 d) S/.12000 e) S/.13000 02. Un capital impuesto al 15% trimestral de interés simple produce de interés anualmente S/.3000 más que si se impusiese al 55% anual. ¿Cuál es dicho capital? a) S/.40000 b) S/.30000 c) S/.50000 d) S/.60000 e) S/.20000 03. Si a un capital se le suma los intereses producidos en 26 meses se obtiene un número que es al capital prestado como 63 a 50. ¿A qué tasa fue colocado? a) 9% b) 10% c) 12% d) 15% e) 18% 04. Elmer se prestó S/.5000 al 15% trimestral pero acordando pagar el interés cada cuatro meses con respecto al saldo deudor de cada cuatrimestre. Al final del primer cuatrimestre amortizó S/.1500 (incluido interés y parte de la deuda); el segundo cuatrimestre no amortizó nada; el tercer y cuarto cuatrimestre amortizó cantidades que están en la relación de 2 a 3 respectivamente, terminando así de cancelar su deuda. ¿Cuánto amortizó en el tercer cuatrimestre? a) S/.1440 b) S/.2600 c) S/.2480 d) S/.2880 e) S/.2620 05. Hallar un capital, tal que al imponer sus 5 al 6% y 11 el resto al 5%, retira anualmente $80 menos que si los 5 los colocara al 5% y el resto al 6%. 11 a) $80000 b) $88000 c) $90000 d) $98000 e) $99000 06. Se imponen 2 capitales al 5% durante 10 años; si la diferencia de ellos es $4000 y la suma de los intereses es $14000, hallar el mayor de los capitales. a) $13000 b) $21000 c) $17500 d) $16000 e) $25000 07. El 30% de un capital se impone al 3% anual, el 25% al 4% anual y un 35% al 6% anual. ¿A que porcentaje se deberá imponer el resto para obtener en un año un monto igual al 105% del capital? a) 20% b) 16% c) 15% d) 12% e) 10% 08. Un capital colocado a interés simple por 8 meses produjo un monto de S/.92400. Si el mismo capital se hubiera impuesto al mismo rédito por un año el monto sería S/.103600. Halle la tasa de interés. a) 12% b) 36% c) 4% d) 48% e) 30%
09. Una persona impuso la cuarta parte de su capital al 4% durante 5 años y el resto al 5% durante 6 años. La suma de los intereses producidos es igual a la ganancia que hubiera producido un capital de S/.6446 al 6% durante 4 años. ¿Cuál es el capital impuesto por esa persona? a) S/.1036,6 b) S/.1406,2 c) S/.5625,6 d) S/.1040,5 e) S/.2812,8 10. Un capital al cabo de cierto tiempo produce un interés, en el cual se observa que la diferencia entre el capital y el interés equivale al 42% de dicho capital. ¿Qué interés produce un capital de S/.30000 en la tercera parte del tiempo anterior y con una tasa 50% menor? a) S/.2900 b) S/.3700 c) S/.4500 d) S/.7220 e) S/.4720 11. La tercera parte de un capital se coloca al 9% anual de interés simple. ¿A qué tanto por ciento deberá colocarse el resto para obtener un beneficio total del 11% anual de dicho capital? a) 10% b) 12% c) 15% d) 13% e) 14% 12. El monto de un capital impuesto durante 8 años es S/.12400. Si el mismo capital, se hubiera impuesto al mismo rédito durante 9 años 6 meses, el monto sería S/.12772. ¿Cuál es el capital? a) S/.11080 b) S/.10416 c) S/.9896 d) S/.10226 e) N. A. 13. Se prestó un capital por 3 años y el monto fue S/.51000. Si se hubiera prestado por 5 años, se recibiría en total S/.75000. ¿Cuál fue la tasa semestral? a) 20% b) 80% c) 40% d) 50% e) 16% 14. Los 2 de un capital se han prestado al 1,5% bimes5 tral durante 5 meses; los 3 del capital se han presta8 do al 0,25% trimestral durante medio año y el resto del capital se ha prestado a una tasa de interés, tal que en un año y medio ha generado un interés que es igual a la suma de los otros 2 intereses, obtenidos. Determinar dicha tasa de interés. a) 5% b) 6% c) 7% d) 10% e) 8% 15. Un capital de S/.20000 colocado al 2% mensual. ¿Qué interés genera en 10 meses, si se capitaliza cada 5 meses? a) S/.3000 b) S/.4000 c) S/.3800 d) S/.6700 e) S/.4200
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Aritmética Problemas adicionales 16. Una persona ha impuesto S/.10000 a interés simple, si hubiera estado 30 días más, el interés habría aumentado en S/.50 y si el tanto por ciento hubiera disminuido en 0,8% los intereses habrían disminuido en S/.150. Hallar el tiempo que duró la imposición. a) 600 d b) 615 d c) 645 d d) 675 d e) 685 d
21. Se divide un capital en 3 partes, de manera que la primera es quíntuplo de la tercera parte y la segunda es igual al promedio de las tres partes. Si se coloca la primera al 24% durante 5 meses, la segunda al 2% mensual durante un trimestre y la tercera al 14% durante 6 meses, se obtiene un monto de 39000 soles. ¿Cuál es el capital total? (en soles). a) 9000 b) 36000 c) 18000 d) 45000 e) 27000
17. Los 2 de un capital se imponen al 6% anual, los 3 3 del resto al 1,5% bimestral y el resto al 1% men4 sual. Si al cabo de 2 años 1 mes, se recibe en total S/.8287,5, ¿cuál era el capital original? a) S/.7200 b) S/.4500 c) S/.4800 d) S/.5000 e) S/.5100
22. Se impone un capital al 40% anual capitalizable semestralmente, durante 1 año y medio produce interés igual al que produciría el mismo capital, pero impuesto a interés simple durante 182 días y una tasa determinada. Calcule dicha tasa mensual. a) 6% b) 7% c) 8% d) 10% e) 12%
18. Un señor divide su capital en 3 partes iguales y los impone al 1% mensual, 5% trimestral y 4% semestral respectivamente, logrando una renta anual de S/.10000. ¿Cuál era su capital? a) S/.29000 b) S/.75000 c) S/.62000 d) S/.32000 e) S/.45000
23. Si deseamos colocar un capital en una financiera al 20% capitalizable semestralmente, observamos que gana en 1 año y medio S/.580 menos que si lo colocamos al 4% bimestral de interés simple en el mismo tiempo. ¿Cuánto fue el capital? a) 26000 b) 58000 c) 24000 d) 20000 e) 16000
19. Halle el monto que produce un capital de S/.2000 al ser impuesto al 5% trimestral capitalizable semestralmente durante año y medio. a) S/.2662 b) S/.2472 c) S/.2962 d) S/.2772 e) S/.3412 20. Se invierte S/.1800 en dos financieras, una parte al 8% y la otra al 6%, obteniéndose un beneficio anual de 131 soles. Calcular la relación de las partes en que se dividió el capital. a) 21 17 d) 45 47
b) 23 13 e) 27 45
c) 15 16
24. Un capital prestado a un cierto tiempo y a una cierta tasa genera un interés que es el 16,6% del monto obtenido. Si esa tasa de interés fuese el 1% menos, al mismo tiempo, el interés sería el 9,09% del monto que se obtendría, determinar la suma de los valores numéricos de esa tasa de interés original y del tiempo. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 25. Un capital "C" se divide en 3 partes los cuales se imponen al x%, y% y z% anual de interés simple, siendo x; y; z proporcionados a 6; 8 y 9 respectivamente. Si los intereses que producen son iguales, en qué relación está la tasa a la que se impuso la mayor de las partes, con respecto a la tasa que aplicada a todo el capital produce igual beneficio que dividiendo el capital en 3 partes. b) 29 c) 17 a) 17 24 36 36 d) 29 48
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e)
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Capítulo 13
Tarea domiciliaria 01. Un capital prestado a una tasa dada produce cierto interés en un año. Si el capital fuese S/.10000 mayor el interés aumentaría S/.300. ¿Cuál fue la tasa? a) 5% b) 3% c) 4% d) 8% e) 11% 02. Carlos colocó la mitad de su capital al 6%, la tercera parte al 5% y el resto al 4%, ganando una renta anual de S/.52. ¿Cuál es este capital? a) S/.579 b) S/.597 c) S/.795 d) S/.675 e) S/.975 03. Los 2 de un capital se imponen al 8% anual y el 3 resto al 2,5% trimestral. Si al cabo de 2 años los intereses son S/.6240. Hallar el capital original. a) S/.24000 b) S/.30000 c) S/.36000 d) S/.42000 e) S/.50000 04. Se prestó un capital por un año y el monto fue de S/.5500, si se hubiera prestado por 2 años el monto será S/.6000. ¿Cuál fue la tasa? a) 15% b) 10% c) 25% d) 20% e) 5% 05. Juan divide su capital en 3 partes iguales y las impares al 1% mensual, 5% trimestral y 4% semestral respectivamente, logrando una renta anual de S/.10000 ¿Cuál era su capital? a) 25000 b) 35000 c) 45000 d) 55000 e) 75000 06. Durante cuánto tiempo habrá que depositar un capital al 40% anual para que dicho capital sea el 20% del monto total. a) 2 años b) 4 años c) 6 años d) 8 años e) 10 años 07. Javier desea comprar un automóvil en S/.25000, el cual se desvaloriza uniformemente en S/.1000 al año. Si el 11 de octubre del 97 depositó la suma de S/.15000 en un banco a la tasa del 6%; con el monto obtenido comprará el auto el: a) 02/12/02 b) 15/01/03 c) 04/02/03 d) 25/02/02 e) 07/01/03 08. Dos capitales han sido colocados a interés simple durante el mismo tiempo, el 1º al 8% y el 2º al 11%. El 1º ha producido $728 y el 2º que le excede en $4800 ha producido $1309. Hallar el tiempo. a) 6 1 meses b) 200 días c) 2 años 2 d) 7 meses e) 0,7 años
09. Se tiene dos capitales tal que 3 del primero es igual 4 4 2 a los del segundo. Si los del primero y la mitad 5 3 del segundo se colocan al 9% trimestral durante 4 meses dando S/.1526 de ganancia total. Indique el capital menor. a) S/.16400 b) S/.12500 c) S/.10500 d) S/.11200 e) S/.9800 10. Hace 8 meses se impuso cierto capital y actualmente su monto es 4650. Si dentro de un año el monto será 4875. ¿Cuál fue el rédito (%) a que fue impuesto dicho capital? a) 5% b) 8% c) 10% d) 7% e) 12% 11. ¿A qué tasa anual se ha prestado un capital, para que en 45 días produzca un interés que es igual al 6% del capital prestado? a) 60% b) 4% c) 12% d) 40% e) 48% 12. Si S/.162 000 han producido S/.162 de interés a una tasa de interés simple del 1% trimestral. ¿Cuántos días estuvo impuesto el capital? a) 128 días b) 18 días c) 90 días d) 9 días e) 8 días 13. El interés producido por S/.4200 durante 8 meses es de S/.70. ¿Cuál es la tasa de interés a la que fue impuesto el capital? a) 2,5% b) 2% c) 3% d) 3,5% e) 1,5% 14. Se impuso un capital de S/.648 000 a interés simple durante 1 año y 4 meses, una tasa del 1,8% mensual. ¿Cuál es el monto que se obtiene? a) S/.734624 b) S/.834580 c) S/.834000 d) S/.834900 e) S/.834624 15. Respecto al interés simple ganado por un capital se puede : I. El monto es D.P. al capital. II. Si el tiempo aumenta 20% el monto también aumenta 20%. III. Si la tasa aumenta 10% el interés aumenta menos del 10%. Son verdaderas : a) Sólo I b) I y II c) Sólo II d) I y III e) Todas
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Aritmética
14
Lógica matemática
La lógica estudia la forma de razonamiento. Es una disciplina que se utiliza para determinar si un argumento es válido, tiene aplicación en todos los campos del saber; en la filosofía, para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones; sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. Los matemáticos usan la lógica, para demostrar teoremas e inferir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación, para revisar programas y crear sus algoritmos, es utilizada en el diseño de computadoras. Existen circuitos integrados que realizan operaciones lógicas con los bits, gracias a estos se han desarrollado las telecomunicaciones (telefonía móvil, internet, ...)
Enunciado
Es cualquier frase u oración que expresa una idea.
Proposición
Son oraciones aseverativas que se pueden calificar como verdaderas o falsas. Se representan con las letras minúsculas del abecedario: p ; q ; r ; s Ejemplo: • Túpac Amaru murió decapitado. • 9 < 10 • 45 = 3 - 2
Enunciado abierto Son enunciados que pueden tomar cualquiera de los 2 valores de verdad. Ejemplo: Si: P(x) : x > 6 Se cumple que: P(9): 9 > 6 es verdadero P(2) : 2 > 6 es falso El valor de verdad de P(x) depende del valor de x, también, se le conoce como función proposicional.
Clases de proposiciones
Proposición simple: Son proposiciones que no tienen conjunciones gramaticales ni adverbio de negación. Ejemplo: • Cincuenta es múltiplo de diez. Proposición compuesta: Formada por dos o más proposiciones simples unidas por conectivos lógicos o por el adverbio de negación. Ejemplo: • 29 es un número primo y 5 es impar.
Conectivos lógicos
Símbolos que enlazan dos o más proposiciones simples para formar una proposición compuesta. Los conectores lógicos que usaremos son: Símbolo
Operación lógica
Significado
~ ∧
Negación
No p
Conjunción
pyq
∨
Disyunción
poq
→
Condicional
Si p, entonces q
↔
Bicondicional
p si y solo si q
D
Disyunción exclusiva
"o ... o ..."
Observación: La negación es un conector monádico, afecta solamente a una proposición.
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Capítulo 14 Operaciones lógicas y tablas de verdad La validez de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen y se determina mediante una tabla de verdad.
Conjunción: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "y". Tabla de Verdad p q p / q V V
V
V F
F
F V
F
F F
F
Disyunción: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "o". Tabla de Verdad p q p 0 q V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
Disyunción exclusiva: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: "o ... o ..." Tabla de Verdad p q p T q V V
F
V F
V
F V
V
F F
F
Condicional: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: "Si ..., entonces ..." Tabla de Verdad p q p → q V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
Bicondicional: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: "... si y sólo si ..." Tabla de Verdad p q p ) q V V
V
V F
F
F V
F
F F
V
Negación: Afecta a una sola proposición. Es un operador monádico que cambia el valor de verdad de una proposición: Tabla de Verdad p ~p V
F
F
V
Observación La cantidad de filas en una tabla es: # filas = 2n Donde n es la cantidad de proposiciones simples. 82
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Aritmética Importante • Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos se dice que el esquema molecular es tautológico. • Se dirá que el esquema molecular es contradictorio si los valores del operador principal son todos falsos. • Si los valores del operador principal tiene por lo menos una verdad y una falsedad se dice que es contingente o consistente.
Leyes de álgebra proposicional
Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir esquemas moleculares complejos y expresarlos en forma más sencilla. Las demostraciones de dichas leyes se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso.
Principales leyes a. Ley de Idempotencia
p 0 p / p p / p / p
b. Ley Conmutativa
c. Ley Asociativa
d. Ley Distributiva
p 0 q / q 0 p p / q / q / p (p 0 q) 0 r / p 0 (q 0 r) (p / q) / r / p / (q / r) p 0 (q / r) / (p 0 q) / (p 0 r) p / (q 0 r) / (p / q) 0 (p / r)
e. Ley de la Doble Negación f. Leyes de Identidad
~(~p) / p p 0 V / V ; p 0 F / p p / V / p ; p / F / F
g. Leyes del Complemento
p 0 ~ p / V p / ~ p / F
h. Ley del Condicional i. Ley de la Bicondicional
j. Ley de Absorción
k. Leyes de "De Morgan"
p " q /~ p 0 q p ) q / (p " q) / (q " p) p ) q / (p / q) 0 (~p / ~q) p ) q / ~(p T q) p p p p
0 / 0 /
(p (p (~p (~p
/ 0 / 0
q) q) q) q)
/ / / /
p p p 0 q p / q
~ (p 0 q) / ~ p / ~ q ~ (p / q) / ~ p 0 ~ q
Cuantificadores a. Cuantificador Universal: sea la función f(x) proposicional sobre un conjunto A, el cuantificador ∀ ("para todo") indica que todos los valores del conjunto A hacen que la función proposicional f(x) sea verdadera. ∀ se lee: "Para todo" Ejemplo: Sea: f(x) : x3 + 2 > 5 donde x ∈ N La proposición cuantificada es: ∀ x ∈ N ; x3 + 2 > 5 es falsa.
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Capítulo 14 b. Cuantificador existencial: sea f(x) una función proposicional sobre un conjunto A el cuantificador ∃ (existe algún) indica que para algún valor del conjunto A, la función proposicional f(x) es verdadera. ∃ se lee: "Existe algún" Ejemplo: Sea: f(x): x2 - 5 < 8, donde: x ∈ Z+, la proposición: x ∈ Z+/ x2 - 5 < 8 es verdadera.
Circuitos lógicos Un circuito conmutador puede estar solamente en dos estados estables: cerrado o abierto, así como una proposición puede ser verdadera o falsa, entonces podemos representar una proposición utilizando un circuito lógico:
a. Circuito serie: Dos interruptores conectados en serie representan una conjunción. p
q
<>p / q
b. Circuito paralelo: Dos interruptores conectados en paralelo representan una disyunción. p <>p 0 q q
Lógica binaria La lógica binaria trata con variables que toman 2 valores discretos y con operaciones que asumen significado lógico, para este propósito es conveniente asignar los valores de 1 y 0.
Principales compuertas lógicas • Compuerta AND de dos entradas. p q
p/q
• Compuerta OR de dos entradas p q
p0q
• Compuerta NOT p q
+p
• Compuerta NAND de dos entradas p q
+ (p / q)
• Compuerta NOR de dos entradas p q
+ (p 0 q)
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Aritmética
Problemas resueltos 01. Evaluar el siguiente esquema molecular y diga cuántas verdades tiene el resultado: 6 + p " + (q / r)@ T 6(r " ` q) 0 p@
Resolución
[~ p " ~ (q / r @ T
p
q
r
[(r " ~q) 0 p]
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
Contradicción Luego: Ninguna verdad 02. Si la proposición q → r es falsa, el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. r ∧ (p ∨ r) II. ~ (q ∧ r) III. (r ∧ ~q) → p IV. p ∧ (q → r)
Resolución Sabemos que:
V. (r / + q) " p / V F F F V F V
q " r V F ` q / V;r / F F Luego:
VI. p / (q " r) / F V F F F
III. r / (p 0 r) / F F F V F IV. + (q / r) / V V F
03. La proposición equivalente a: "No es un buen estudiante, sin embargo destaca en el fútbol", es:
Resolución • Sean las variables proposicionales: p = es un buen estudiante q = destaca en el fútbol • Formalizando: • Simbolizando:
No p, sin embargo q ~p ∧ q ~ (p ∨ ~q) , por Morgan
• Resulta: No es cierto que, sea un buen estudiante o no destaca en el fútbol.
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Capítulo 14
Práctica 01. Sabiendo que p → (q → r) es falsa, determine el valor de verdad de p; q y r respectivamente. a) FVF b) VVF c) FFV d) VFV e) VVV 02. Sabiendo que ~[(p ∧ ~q) ∨ q] es verdadera determine el valor de verdad de: I. p → q II. q → p III. p ↔ q a) VFV b) VVV c) VFF d) FVV e) VFF 03. Si la proposición: (p → ~q) ∨ (~s → r) Es falsa, determine el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares: I. q → (~q ∧ ~p) II. (p ∧ s) ∨ q III. q → ~p a) FVV b) VVF c) FVF d) FFF e) VVV 04. Se define el operador ">" por la siguiente tabla: p
q p > q
V V
V
V F
V
F V
F
F F
V
Simplifique: (p > p) ∨ ~p a) p b) ~p d) F e) p
c) V
2
I. ( 7 > 5 ) / (23 > 1024) II. (42≥24) ∨ (34≤43) Si: 4 > 16 , entonces 12 > 15 24 + 42 = 25 si y sólo si 23 + 32 = 24 + 1 FVFV b) VFFV c) FVFV FVVV e) FFVF
06. Indique los valores de verdad de p; q y r, respectivamente. p: 2 2 < 5 3
q: p entonces ( 3 > 5) r: q si y sólo si p a) FVF b) VFF d) FFV e) VFV
08. Dadas las proposiciones: p(x) : x2 = 625 q(x) : (x - 1)(x - 2) (x - 3) = 0 Halle el valor de verdad de: I. 6 p(25) 0 q(2)@ " p(20) II. q(1) ∨ q(2) ∨ q(3) ∨ ... ∨ q(25) III. ~q(-2) → p(-25) a) FFV b) FVF d) VFV e) FVV
c) VVF
09. Si: ~p ∨ [(p ∧ r) → (r ↔ q)] es falso, halle el valor de verdad de: [(p → q) ∨ r] ↔ (p ∧ r) a) V b) F c) V o F d) V y F e) No se puede determinar 10. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son tautológicas? I. "6(p / q) 0 + (p 0 q)@ / (q 0 p), " (p / q) II. "6(p " q) / (+ p " q)@ 0 (q 0 p), ) (+ p / + q) a) Sólo a b) Sólo b c) a y b d) Ninguno e) a o b
05. Determine el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados:
III. IV. a) d)
07. Sabiendo que p(x): x2 – 1000 ≥ 9000. Señale el valor de verdad de: I. p(95) II. p(100) III. p(105) a) FFV b) FVV c) VFV d) FFF e) VVV
c) VVF
11. ¿Qué conectivo lógico debe aparecer en el cuadro indicado de modo que se cumpla: p (p ∧ q) ≡ ~p ∨ q a) ∨ b) ∧ c) → d) ↔ e) D 12. Si la proposición: (q → p) → (r ∨ p) es falsa obtener el valor de verdad de las proposiciones: I. (p ∧ s) → (t ↔ u) II. (r ↔ p) → (w ∧ q) III. (s ∨ ~s) → (p ∧ r) Donde: s; t; u y w son proposiciones arbitrarias. a) FFF b) VVV c) VFF d) FVV e) FVF 13. Si: (p → ~q) ∨ [(r ↔ ~p) ∨ (q ↔ ~s)] es falsa, halle el valor de verdad de: (p → q) ∨ (r ↔ s) a) V b) F c) V o F d) V y F e) No se puede determinar
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Aritmética 14. Si las proposiciones: + 6(p 0 + q) / + p@ 0 (r ) s) y (r " s) son equivalentes a F, entonces determine el valor de verdad de: + (p T p) 0 (q ) q) y 6(p 0 q) / + (p " q)@ ) (+ r / s) a) VV b) FF c) VF d) FV e) No se puede determinar 15. Al simplificar: 6(p " F) 0 (p " V)@ 0 (p " p) , se obtiene: a) F b) V c) p d) ~ p e) p 0 V
Problemas adicionales 16. Si la proposición representada por: 6 p 0 (+ p / q)@ 0 (p " q) se simplifica, se obtiene: b) p c) F a) p 0 q d) V e) ~q
p
~p
q p a) p d) ~q
q b) q e) p / q
q c) ~p
21. Si: + "6 + (p " q) " s @ " (+ q 0 t), es verdadera, halle el valor de verdad de: 6(p 0 q) " r @ 0 6(p / r) " (+ q 0 t)@ a) Verdadero b) Falso c) V ó F d) V y F e) No se puede determinar 22. Si: 6 + (p " q) / + r @ " 6 p / (q 0 r)@ es falsa, halle los valores de verdad de "p" ; "q" y "r". a) VFF b) VVF c) VVV d) FVV e) FFF
17. Determine el valor de verdad de las proposiciones: p: 6 x ! N , x 2 < x q: 6 x ! Z, x2 - 1 $ - 1 r: 7 x ! R/x2 ! x a) FVV b) FFV c) VVF d) VFF e) VFV
23. Si la proposición: (p ∅q) / + (q " r) es verdadera, halle los valores de verdad de: (s / r) " (p 0 s) y (s " q) ∅(p 0 s) a) VF b) FF c) VV d) FV e) No se puede determinar
18. Simplifique la siguiente proposición compuesta: (p 0 q) / 6(p " q) 0+ (q " p)@ a) p c) q b) p 0 q d) p / q e) p " q
24. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones es siempre falsa? I. 6 + (p / q) " p@ / + p II. + 6 + (p " q) " (p 0 + q)@ III. 6(+ p " q) ) + (p " q)@ / + (p " q) a) Sólo a b) Sólo b c) Sólo c d) a y c e) a y b
19. Si definimos a f mediante f(x) = x2 + 2x Para los enteros, donde: * f(x) es par f(x) = V f(x) = F * f(x) es impar Simplificar la proposición: 6 f(2) 0 f(1)@ T 6 f(- 1) / f(- 2)@ Nota: D disyunción exclusiva a) V b) F d) f(-1) e) f(3)
20. Exprese la fórmula y reduzca el siguiente circuito:
25. Si la proposición: 6 + (p " q) / (+ r 0 s)@ " r es falsa, halle los valores de verdad de "p"; "q" y "r" a) VVV b) FFF c) VVF d) FVV e) VFF
c) f(1)
26. Al evaluar la tabla de verdad de: 6(p / q) 0 q @ / + q obtenemos una: a) Tautología b) Contradicción c) Contingencia d) Equivalencia e) Conjunción
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Capítulo 14
Tarea domiciliaria 01. ¿Cuántas proposiciones lógicas hay en los siguientes enunciados? I. El Perú tiene 24 departamentos. II. ¿Qué hora es? III. La matemática es una ciencia inexacta. IV. El número atómico del oxígeno es 16. V. ¡Viva la libertad de expresión! a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 02. Hallar la tabla de verdad de: p q (p 0 q) "
a) VVFF d) VVVV
V
V
V
F
F
V
F
F b) VFFV e) FFFF
(p / q)
c) VFVF
03. Cuántos "V" y "F" tiene la matriz principal de: + 6(+ p 0 q) " r @ / r En ese orden: a) 2 y 6 b) 3 y 5 c) 8(V) d) 8(F) e) 6 y 2 04. Si:
+ p 0 6(p / r) " (r ) q)@ es falso, halle el valor de verdad de: 6(p " q) 0 r @ ) (p / r) a) V b) F c) V o F d) V y F e) No se puede determinar
05. Si: (p " + q) 0 6(r ) + o) 0 (q ) + s)@ es falsa, halle el valor de verdad de: (p " q) 0 (r ) s) a) V b) F c) V o F d) V y F e) No se puede determinar 06. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. (5 + 2 = 8) ∨ (4 < 5) II. (2 < - 2) ↔ (3 + 8 < 4 + 6) III. (6 × 0 = 0) → (4 × 1 = 1) a) VVF b) FFF c) FVF d) VFF e) VFV 07. Si las proposiciones p, q y r son respectivamente: V, F, F. Hallar el valor de verdad de: I. (+ p 0 q) / + r II. (p / + q) " r III. (p 0 q) " (p / + r)
a) VVF d) FFV
b) VFF e) FFF
c) VVV
08. Dadas las proposiciones: p: 6 es un número impar. q: El ángulo recto mide 90º. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. (p " q) / (p 0 + q) II. (p ) + q) " (+ p / q) III. (+ p 0 q) / (+ q ) p) a) FFF b) FVF c) VVF d) VFV e) FVV 09. De la falsedad de la proposición: (p " + q) 0 (+ r " s) se deduce que el valor de verdad de los esquemas: I. (+ p / + q) 0 (+ q) II. (+ r 0 q) ) 6(+ q 0 r) / s @ III. (p " q) " 6(p 0 q) /+ q @ Son respectivamente: a) VFV b) FFF c) VVV d) VVF e) FFV 10. Si la proposición: (p "+ q) 0 (+ r " s) es falsa, deducir el valor de verdad de: (+ p / + q) 0 + p a) V b) F c) V o F d) No se puede determinar e) Ninguna 11. Si: (p / + q) " r falsa, determinar los valores de verdad de "p", "q" y "r" a) VVF b) VFF c) VVV d) VFV e) FFF 12. Si las proposiciones: + 6(p 0 + q) / + p@ 0 (r ) s) y (r " s) son equivalentes a F, entonces determine el valor de verdad de: + (p ∅ p) 0 + (q ) q) y 6(p 0 q) / + (p " q)@ ) (+ r / s) a) VV b) FF c) VF d) FV e) No se puede determinar 13. Si: 6(p / q) / r @ " + p es falso y además "q" es verdadero. Determine los valores de verdad de "p", "q" y "r". a) FVF b) FVV c) VVV d) VVF e) FFF 14. La siguiente proposición compuesta (p 0 + q) " (p / q) es una: a) Tautología b) Contradicción c) Contingencia d) Equivalencia e) Conjunción
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Aritmética
15
Teoría de conjuntos - I
George Ferdinand Cantor, el creador de la teoría de conjuntos, nació en 1845 en Rusia. Vivió, estudió y enseñó en Alemania donde murió en 1918. Publicó trabajos sobre funciones de variable real y las series de Fourier, introdujo conceptos de potencia de un conjunto, conjuntos equivalentes, tipo ordinal, número transfinito; que aportaron para el inicio del estudio de los problemas del infinito y la teoría de conjuntos.
Noción de conjunto Concepto primitivo que no tiene definición, pero que nos da la idea de agrupación de objetos a los cuales llamaremos elementos del conjunto.
Relación de pertenencia Si un objeto es elemento del conjunto, se dirá que pertenece (∈) a su conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece (∉) a dicho conjunto. Ejemplo: A = {4 ; 9 ; 16 ; 25} ∈
A
16 ∈
A
4
10 ∉ 21 ∉
A A
Cardinal de un conjunto Es la cantidad de elementos de un conjunto y se denota: n(A), así en el ejemplo anterior n(A)=4
Determinación de un conjunto Por extensión o en forma tabular: Es cuando se indican los elementos del conjunto. Por compresión ó en forma constructiva: Es cuando se indica alguna característica particular y común a sus elementos.
Diagrama de Venn - Euler Figuras geométricas planas cerradas que se utilizan para representar a los conjuntos, gráficamente.
Relaciones entre conjuntos Inclusión (⊂) Se dice que un conjunto A está incluido en B; si todos los elementos de A, están en el conjunto B. Es decir: A1B+6x!A"x!B Diagrama lineal
A B
B
x
• A es subconjunto de B • B incluye a A (B 2 A)
A
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Capítulo 15 Igualdad Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Es decir: A=B+A1B / B1A
Principales conjuntos Conjunto vacío: Aquel que no tiene elementos, también se le llama nulo y se denota f o { } Conjunto unitario: Aquel que tiene un solo elemento, también se le llama singleton. Conjunto universal: Conjunto referencial que se toma como base para el estudio de otros conjuntos contenidos en él y se denota por U.
Conjunto potencia: Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de otro conjunto A y se denota por P(A). Ejemplo: A = {2 ; 8} P(A) = {f ;{2} ; {8} ; {2 ; 8}} Observación: La cantidad de subconjuntos de un conjunto A es igual a . Ejemplo: A = {3 ; 5 ; 9} ; n(A) = 3 Entonces hay 23 = 8 subconjuntos que son: f ; {3} ; {5} ; {9} ; {3 ; 5} ; {3 ; 9} ; {5 ; 9} y {3 ; 5 ; 9} "A todos los subconjuntos de A, excepto A se les llama subconjuntos propios"
Conjuntos numéricos Conjunto de los números naturales (N) N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; .......}
Conjunto de los Números Enteros (Z) Z = {........ ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; .........}
Conjunto de los Números Racionales (Q) Q = $ m /m ! Z / n ! Z , n ! 0. n
Conjunto de los Números Irracionales (I)
Son aquellos que tienen una representación decimal infinita no periódica y no pueden ser expresados como el cociente de 2 enteros.
Conjunto de los Números Reales (R) Es la reunión de los racionales con los irracionales. R = QjI
Conjunto de los Números Complejos (C) C = "a + bi / a ! R / b ! R, i =
- 1,
Operaciones con conjuntos Unión (∪) A , B = " x/x ! A 0 x ! B, A
B
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U
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Aritmética Intersección (∩) A + B = " x/x ! A / x ! B, A
B
U
Diferencia (-) A - B = " x/x ! A / x g B, A
B
U
Observación: A - B también se denota: A \ B
Diferencia Simétrica (∆) A ∅B = " x/x ! (A , B) / x g (A + B), A
B
U
Complemento (AC , A') A' = " x/x g A , U
A
Observación: El complemento de A, se puede realizar respecto a cualquier conjunto, tal que A ⊂ B y se denota: A B-A CB = Se lee complemento de A respecto a B.
Importante Conjuntos Disjuntos: Cuando no tienen elementos comunes: A
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B 2
5
4
8
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Capítulo 15 Conjuntos Comparables: Cuando uno de ellos está incluido en el otro. B A
Conjuntos Equivalentes: Cuando tienen la misma cantidad de elementos. A es equivalente a B entonces: n(A) = n(B)
Conjunto Producto: También llamado producto cartesiano. A # B = "(a; b) / a ! A / b ! B, Par ordenado Ejemplo: A = {1 ; 4 ; 5} B = {8 ; 11} A × B = {(1;8) ; (1;11) ; (4;8) , (4;11) ; (5;8) ; (5;11)}
Algunas propiedades y leyes 01. Leyes distributivas Unión - Intersección: A , (B + C) = (A , B) + (A , C) A + ( B , C ) = ( A + B ) , (A + C ) 02. Leyes de Morgan: (A , B) ' = A' + B' ( A + B ) ' = A' , B ' 03. A ∅B = (A , B) - (A + B) A ∅ B = ( A - B ) , ( B - A) 04. n (A , B) = n (A) + n (B) - n (A + B) 05. n (A # B) = n (A) # n (B) 06. A - B = A + B' 07. A' - B' = B - A 08. n 6P (A) + P (B)@ = n 6P (A + B)@
09. n 6P (A) , P (B)@ = n 6P (A)@ + n 6nP (B)@ - n 6P (A) + P (B)@ o también: n 6P (A) , P (B)@ = 2n (A) + 2n (B) - 2n (A + B) 10. A , f = A A+f = f 11. A , U = U A+U = A 12. (A')' = A 13. A , A' = U A + A' = f 14. n (A ,, C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A + B) - n (A + c) - n (B + C) + n (A + B + C) 92
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Aritmética 15. Ley de Absorción * A , (A + B) = A *
A + (A , B) = A
*
A , (A' + B) = A , B
*
A + (A' , B) = A + B
Gráfico especial para conjuntos disjuntos Aplicación: En un salón de clases se observa a 60 alumnos entre varones y mujeres; con las siguientes características: • • • •
Algunos tienen 15 años. 18 tienen 16 años. 12 tienen 17 años. 40 postulan este año a la Universidad. V
M
A
P
B C D Leyenda: V : Conjunto de los varones. M : Conjunto de las mujeres. P : Conjunto de los que postulan. A : Conjunto de los alumnos con 15 años. B : Conjunto de los alumnos con 16 años. C : Conjunto de los alumnos con 17 años. D : Conjunto de los alumnos con otra edad.
Nota Este tipo de diagramas especiales reciben el nombre de "Diagramas de CARROLL"
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Capítulo 15
Problemas resueltos 01. Si los conjuntos A y B son iguales, hallar la suma de los elementos del conjunto C, tal que: A = {8y-1 ; 9z+1}, B={64 ; 81} y C = {2x/x ∈ N ∧ z ≤ x ≤ y} UNMSM 1998
Resolución • Si: A = B, luego sus s elementos son iguales, tenemos: * 8y-1 = 64 = 82 ⇒ y - 1 = 2 ∴ y = 3 * 9z+1 = 81 = 92 ⇒ z + 1 = 2 ∴ z = 1 • Pero: C = "2x/x ! N / z # x # y , • Reemplazando: C = "2x/x ! N / 1 # x # 3, C = {2 ; 4 ; 6} • Suma de elementos: 2 + 4 + 6 = 12 02. Si: A = {x ∈ Z / x5 - 5x3 = 36x} ∧ B = {x ∈ Z / x - 3 ∈ A} Halle: (A , B) - (A + B) UNMSM 2004 - I
Resolución
• A = {x ∈ Z / x5 - 5x3 = 36x} • Tenemos: x5 - 5x3 = 36x • Simplificando x (x = 0)
x4 - 5x2 = 36
x 4 - 5x2 - 36 = 0 -9 x2 x2 4 (x2 - 9) (x2 + 4) = 0 (x + 3) (x - 3) (x2 + 4) = 0 • • • •
Soluciones enteras: x ∈ Z x = - 3; x = 3. Luego: A = {-3 ; 0 ; 3} Entonces: B = {3 ; 0 ; 6} Piden:(A , B) - (A + B)
{0 ; -3 ; 3 ; 6} - {0 ; 3} ∴ {-3 ; 6}
03. Si: T = [-7 ; 20], A = {x ∈ Z / x - 8 ∈ T} y B = {x ∈ Z |x - 2|≤ 5}, entonces el número de elementos de A ∩ B es: UNMSM 2004 - I
Resolución • Sea: T = [-7 ; 20] • Para A:
- 7 # x - 8 # 20 / x ! Z 1 # x # 28 / x!Z
Entonces: A = {1; 2; 3; ...; 28} • Para B:
x-2 # 5 / x ! Z -5 # x - 2 # 5 -3 # x # 7 / x ! Z Entonces: B = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} • Luego: A + B = "1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, n (A + B) = 7
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Aritmética
Práctica 01. ¿Cuántos elementos tiene "A", si: A = " x / (3x + 1) ! N : x < 2, a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
09. Si A es unitario; y además B=C Hallar: (m+n+p) A = {m + 1; 3p} B = {n + 1; m} C = {n + 2; 2p} a) 8 b) 9 d) 11 e) 12
02. Sea el conjunto: A = {3 ; 4; {2} ; 6} Coloque el valor de verdad en: a) 4 ! A b) "4 , 1 A c) " 2, ! A e) f ! A f) f 1 A d) "3 ; 6, 1 A
10. En una fiesta encargaron a José que prepare los tragos; para esto disponía de 10 clases de licor. La única condición que le impusieron fue que los combine a partes iguales pero no lo sirva puro. ¿Cuántos tragos distintos puede servir José? a) 32 b) 31 c) 1013 d) 1024 e) 1023
03. Diga usted, cuántos subconjuntos propios tiene: C = {2 ; 6 ; 12 ; 20 ; ... ; 110} a) 1023 b) 1024 c) 1025 d) 9 e) 10 04. Si: A = " x/x ! N / 5 < x < 15, B = " y + 8/y ! N / (2 y + 1) ! A , ¿Cuál es la suma de los elementos de B, si además: N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}? a) 116 b) 118 c) 130 d) 139 e) 125
11. Dados los conjuntos: A = " x/x ! Z, 0 < x # 4 , B = " x/x ! N, 0 < x < 3, C = " x/x ! Z, 1 # x < 5, D = " x/x ! N, 2 < x < 3,
05. Hallar (b + c - a), sabiendo que los conjuntos A, B y C son conjuntos iguales. A = {a + 2 ; 3 - a} B = {a - 1; 6 - a} C = {1 ; b + c} a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 06. Si: U = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, A = {1 ; 2} y B = {2 ; 3} Indique cuales de las siguientes igualdades son verdaderas I. (A')'=A II. (A , B) ' = A' + B' III. (A + B) ' = A' , B' a) Sólo II b) Sólo III c) I y II d) I y III e) Todas 07. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto? M = " x/2x ! Z; - 7 < 4x + 1 < 21, a) 63 b) 1023 c) 8191 d) 127 e) 4095 08. A = {r; e; c; o; n; o; c; e; r} ¿Cuántos subconjuntos ternarios tendrá el conjunto A? a) 10 b) 84 c) 64 d) 20 e) 25
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c) 10
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E = " x/x ! Z, 2 # x # 4 , ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? * B es subconjunto de E * D esta incluido en A * B es subconjunto de C * D está incluido en B * A es subconjunto propio de C * E es subconjunto propio de A * D es subconjunto propio de E a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
12. Si: n[P(A)] = 64 ¿Cuántos subconjuntos binarios tiene "A"? a) 15 b) 12 c) 18 d) 10 e) 20 13. Hallar la suma de elementos de A A = ' x/ x - 1 ! N; x < 731 2 a) 111 d) 117
b) 116 e) 119
c) 115
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Capítulo 15 14. Sean los conjuntos: A = " x ! N/30 < x! < 50000, B = " x ! N/5 < 2 x < 300, C = " x ! N/20 < x x < 4000, Y las proposiciones: I. A + C = C II. A , C = B III. B + C = C IV. A + B = A V. A=B - C Indicar cuántas son correctas a) 2 b) 3 d) 1 e) 4
21. Dados los conjuntos: A = " x/x ! Z , 14 < 6x - 4 < 44 , B = " x + 4/x ! N , 5x + 8 > x + 24 , C = " x - 2/x ! N , 4 # x < 12, ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? • A 1 B • A 1 C
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
17. Si A es un unitario; y además B=C Hallar: (m+n+p) A = {m + 1; 3p} B = {n +1 ; m} C = {n + 2 ; 2p} a) 8 b) 9 d) 11 e) 12 18. Si: A = {f ; {0 ; f} ; a ; b} Señale la expresión incorrecta: b) "f ; a, 1 A a) "0 ; f, ! A e) f ∈ A d) "a ; b, ! A
• C 1 A
• C 1 B b) 3 e) 6
• "6 , ! A
• "6 , 1 A
• 8 ! A
• f 1 A
• f ! A
• "3 ; 8, 1 A
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
C = {x/x ∈ Z, x2+1=0} ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? • A ⊂ B • A ⊂ C • B ⊂ C
• B ⊂ A
• C ⊂ A
• C ⊂ B
a) 2 d) 5
c) ""f ; 0,, 1 A
c) 4
23. Dados los conjuntos: A = {x/x ∈ Z+, 6 ≤ x2 – 3 < 46} B = {x+3 / x ∈ N, 3x+6≤2x+11}
c) 3
c) 10
c) 1
22. Dado el conjunto: A = {3 ; 4 ; {6} ; 8} ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? • " 3, 1 A • "4 , ! A
Problemas adicionales 16. Sea el conjunto: A = {{4 ; 5 ; 6} ; {2 ; 3} ; {1} ; 0} Cuántas de las siguientes proposiciones son falsas: * "2 ; 3, 1 A * n(A)=4 * "1, ! A * "1 ; 2 ; 3 ; 4 , 1 A * 0 ! A
• B 1 A
a) 2 d) 5
c) 5
15. Sean los conjuntos: A = $ x = r /r, s ! Z, 1 < r < 3 / 0 < s < 3. s B = " x ! R/1 < x < 2, determine (A , B) b) 1 ; 2@ c) 61 ; 2 a) 1 ; 2 d) [1;2] e) 62 ; 3
• B 1 C
b) 3 e) 6
c) 4
24. Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de: B = {x2/x ∈ Z, 8 < 3x ≤ 20} a) 4 d) 32
b) 8 e) 64
c) 16
25. ¿Cuál de las alternativas representa la región sombreada? C A
19. Sea el conjunto: A = '3x/ 2x11 ! N / x < 51 encuen3 tre el cardinal de A a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
I. II. III. a) d)
20. Si un conjunto tiene 128 subconjuntos ¿cuántos subconjuntos binarios tendrá? a) 18 b) 21 c) 10 d) 15 e) 14
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B
(C ∩ A' ∩ B') ∪ (A ∩ B) C ∩ (A ∆ B)' [(C∩A'∩B')] ∪ [(C∩A'∩B') ∪ B] Sólo I b) Sólo II c) Sólo III I y II e) I, II y III
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Aritmética
Tarea domiciliaria 01. Determinar por extensión el conjunto "A" e indicar el número cardinal de dicho conjunto. 3 A = ' x - x /x ! Z / - 3 < x < 4 1 x-2 a) 2 d) 6
b) 4 e) 5
c) 3
02. Si el conjunto "A" es unitario A = {a+b ; b+c ; a+c ; 6} Calcular: a2 + b3 + c4 a) 28 b) 72 c) 96 d) 258 e) 117 03. Dados los conjuntos iguales: A = {a2 + 9 ; b + 2} B = {-9 ; 10} Hallar: a + b a) - 11 b) - 10 d) b y c e) a y c
b) 4 e) 7
c) 5
05. ¿Cuál de los siguientes determina por comprensión al conjunto? A = {2 ; 4 ; 6 ; 8} a) {x/x es un número par} b) {x/x ∈ Z, 1 < x < 9} c) {2x/x ∈ Z, 1 < x <9} d) {x/x ∈ Z, 1 ≤ x ≤ 4} e) {2x/x ∈ N, 1 ≤ x ≤ 4} 06. Dados los conjuntos: A = {x/x ∈ Z, 7
• {2; 6} ⊂ A
• {3; 4} ⊂ A
• {2; {3}} ⊂ A
• f ⊂ A
a) 2 d) 5
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b) 3 e) 6
• B ⊂ A
• C ⊂ A
• C ⊂ B b) 3 e) 6
c) 4
09. Si todos los elementos del conjunto A son elementos también del conjunto B. ¿Cuál de las siguientes relaciones es correctas? a) A⊂B b) A = B c) A⊄B d) B⊂A e) A≠B
c) - 12
• {3} ⊂ A
• B ⊂ C a) 2 d) 5
04. Calcular n(A) sabiendo que: A {a+b/a, b ∈ N, 0
08. Dados los conjuntos: A = {1 ; 2 ; 3} B = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} C = {1 ; 3 ; 5} ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? • A ⊂ B • A ⊂ C
10. A; B y C son tres conjuntos tales que: * A está incluido en B. * Ningún elemento de B está fuera de C. * C es un subconjunto de A. ¿Cuál de las siguientes relaciones es falsa? a) B⊂C b) A ⊂ C c) A = C d) C⊄B e) B = C 11. Si los conjuntos A y B poseen respectivamente 64 y 16 subconjuntos. Hallar: n(A) – n(B) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Dados dos conjuntos A y B, se sabe que: n(A) + n(B) = 10 Si A posee 31 subconjuntos propios. Hallar el número de elementos de P(B). a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 6 13. Dados los conjuntos: A = {a2 ; 2b + 4} B = {x2+7 / x ∈ N; x<4} Hallar: a + b. Si: A ⊂ B Además: a, b ∈ N ; a > b a) 4 b) 6 d) 9 e) 12
c) 7
c) 4
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San Marcos
Capítulo 16
16
Repaso
01. Un burro atado a un poste con una cuerda de 3m, se demora 5 horas en comer toda la hierba que está a su alcance, ¿cuántas horas más se demoraría si decidiéramos duplicar el tamaño de la cuerda? a) 10h b) 12h c) 13h d) 15h e) 16h 02. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días, ¿cuántos obreros hay que añadir para que la obra se termine en 8 días? a) 20 b) 18 c) 14 d) 16 e) 15 03. Una cuadrilla de obreros puede construir un muro de 300m2 en 40 horas, ¿cuántas horas necesitarán para construir un muro de 15m2 cuyo espesor es 5 del 2 anterior? a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 04. Veinte obreros pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días, ¿cuántos operarios pueden producir 160 pares de zapatos en 24 días? a) 16 b) 14 c) 20 d) 8 e) 6 05. En 24 horas, 15 obreros han hecho 1 de una obra, 4 ¿cuántas horas empleará otra cuadrilla de 30 hombres doblemente hábiles para terminar la obra? a) 28 b) 26 c) 24 d) 18 e) 20 06. Un agricultor puede arar un terreno rectangular en 8 días, ¿qué tiempo empleará en arar otro terreno también rectangular, pero el doble de dimensiones? a) 32 b) 36 c) 40 d) 42 e) 48 07. 40 obreros pueden hacer 500 m de una obra en 30 días, ¿cuántos de estos obreros se requiere contratar para que en 24 días se realicen 200m de la misma obra? a) 10 b) 12 c) 20 d) 16 e) 18 08. Si 3 monos comen 3 plátanos en 3 minutos, entonces 6 monos comen 6 plátanos en: a) 3 min b) 2 min c) 4 min d) 5 min e) 8 min
09. Si 40 máquinas pueden fabricar 1500 polos. ¿Cuántos polos fabricarán 24 máquinas en el mismo tiempo? a) 400 b) 600 c) 800 d) 900 e) 450 10. 25 obreros construyeron un muro en 8 días. Si hubieran sido 5 obreros menos, ¿cuántos días se demorarían? a) 20 b) 16 c) 12 d) 10 e) 15 11. Se sabe que el 40% de hombres de un salón de Trilce y el 20% de las mujeres también asisten al ICPNA. Si el 20% de los alumnos de Trilce son mujeres, ¿qué porcentaje de los alumnos de Trilce asisten al ICPNA? a) 10% b) 20% c) 18% d) 36% e) 24% 12. Hallar un número de tres cifras, tal que al invertir el orden de sus cifras y agregarle la unidad, aumenta en un 100% de su valor. a) 397 b) 485 c) 469 d) 458 e) 379 13. A un examen se presentan 32 alumnos. Se observa que todos los alumnos que desaprobaron representan el 37,5% de los alumnos que se presentaron. ¿Cuántos alumnos aprobaron el examen? a) 17 b) 18 c) 16 d) 20 e) 15 14. Si cada una de las dimensiones de un paralelepípedo aumentaran en 20%, 50% y 40%. ¿En cuánto aumentará su volumen? a) 52% b) 30% c) 48% d) 148% e) 152% 15. "a" es igual al 10% del 25% del 30% del 40% de 7000 y "b" es el 80% del 3 por 8 del 5 por 1000 de 12000 Calcule el a% del b% de 5000 a) 145 b) 178 c) 215 d) 189 e) 165 16. En una oficina hay 16 personas de las cuales el 25% son mujeres. Si se desea que el 60% del personal sean hombres. ¿Cuántas mujeres se deben contratar? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4
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Problemas resueltos 01. Se disminuye el ancho de un afiche rectangular en 10% y el largo en 30%. ¿Qué porcentaje del área original representa el afiche?
Resolución • Asignando valores convenientes al ancho y largo del rectángulo original: ancho: 10u largo: 10u • Efectuando las variaciones: ancho = 9 largo = 7 A1 = 63u2 • A1 es el 63% del área original. 02. Al vender un artículo se hacen dos descuentos sucesivos del 25% y 20% y aún se gana el 20%. ¿Qué tanto por ciento del precio de venta inicial, se debe descontar para no ganar ni perder?
Resolución PL: precio de lista; PC: precio de costo
d d DU = ;d1 + d2 - 1 2 E % 100 # 20 25 DU = 825 + 20 % 100 B DU = 40% Dato: Descontando el 40% del PL se gana 20% PC. 60% PL = 120% PC PL = 2PC Se desea descontar "x%" para no ganar ni perder: (100 - x) % (2PC) = PC S Plista
x = 50% 03. Al vender un artículo se puede ganar el 30% de su costo o el 30% de su precio de venta, ganándose en un caso 54 soles más que en el otro. El precio de costo del artículo es:
Resolución • Sea PC el precio de costo * 1ero. ganando el 30% del PC
PV1 = PC + 30% PC PV1 = 130% PC → PV1 = 13 PC 10
* 2do. ganando el 30% del Pventa
• Se observa que PV2 > PV1
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PV2 = PC + 30% PV2 70% PV2 = PC PV2 = 10 PC 7 10 P - 13 P = 54 7 C 10 C PC = S/. 420
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Capítulo 16
Tarea domiciliaria 01. Un poste telefónico de 8m de altura a cierta hora proyecta una sombra de 3m. A esa misma hora una persona de 1,60m ¿qué sombra proyectará? a) 0,2 b) 0,8 c) 0,6 d) 0,4 e) 0,9 02. Una fábrica de conservas tiene una producción mensual de 9100 latas trabajando con 13 máquinas. Si se malogran tres máquinas, ¿en cuánto disminuye la producción mensual? a) 1800 b) 2000 c) 2200 d) 1900 e) 2100
09. Seis profesores demoran 48 minutos en realizar 3 separatas de 12 problemas cada una. ¿Qué tiempo necesitarán 9 profesores en realizar 6 separatas con 18 problemas cada uno? a) 18min b) 36min c) 72min d) 96min e) 104min 10. En 18 días, 5 obreros han hecho los 3 de una obra. 5 Si en ese momento se retiran 2 obreros, ¿cuántos días demoraron los obreros restantes en terminar la obra? a) 12d b) 15d c) 16d d) 18d e) 20d
03. Un barco tiene víveres para 33 días; pero al inicio de la travesía se suman 4 personas más y por ello los víveres sólo alcanzan para 30 días. ¿cuántas personas había inicialmente en el barco? a) 60 b) 55 c) 50 d) 40 e) 30
11. Sabiendo que: A = 10% del 20% del 30% de 2000 B = 5 del 12% del 8% de 30000 24 Hallar el valor de 2(A + B) a) 50 b) 48 c) 60 d) 70 e) 168
04. 6 obreros trabajando 16 días de 10h/d pueden asfaltar 1200 m de una autopista. ¿Cuántos días emplearán 8 obreros trabajando 8h/d para asfaltar 1600 m de la misma autopista? a) 50 b) 35 c) 40 d) 20 e) 30
12. ¿Qué porcentaje es 156 de 650? a) 21% b) 24% d) 22% e) 25%
05. Un grupo de obreros tendía que hacer un trabajo en 20 días, pero debido a que tres de ellos faltaron los restante tuvieron que trabajar 4 días más. ¿Cuántos obreros trabajaron? a) 12 b) 18 c) 14 d) 15 e) 16 06. La habilidad de dos trabajadores es como 5 es a 13. Cuando el primero haya realizado 280m3 de cierta obra, ¿cuánto habrá realizado el otro? b) 287m3 c) 782m3 a) 278m3 3 3 d) 728m e) 827m 07. Seis obreros pueden hacer 30m de una zanja en 8 días. ¿Qué tiempo emplearán 10 obreros para hacer 150m de la misma zanja? a) 21d b) 22d c) 23d d) 24d e) 30d 08. Nueve persona trabajando 8h/d pintan una casa en 15 días. ¿Cuántos días demoran 20 personas en pintar la misma casa trabajando 6h/d? a) 9d b) 8d c) 6d d) 12d e) 15d
c) 23%
13. ¿De qué número es 240 el 20% más? a) 200 b) 180 c) 160 d) 190 e) 170 14. En una reunión el 42% de los asistentes son mujeres. Si el número de hombres es 87. ¿Cuántas personas en total asistieron a la reunión? a) 130 b) 120 c) 160 d) 150 e) 200 15. Un círculo disminuye en 36% su área. ¿En qué tanto por ciento habrá disminuido su radio? a) 10% b) 12% c) 16% d) 18% e) 20% 16. ¿Cuánto costó un televisor, si al venderlo en S/. 480 deja una ganancia del 20%? a) 400 b) 450 c) 440 d) 460 e) 500 17. ¿Cuánto costó un DVD, si se sabe que al venderlo en S/.130 se está perdiendo el 35%? a) 100 b) 200 c) 180 d) 165 e) 185 18. ¿Qué precio se fijó a un televisor si al venderlo con un descuento del 30% se paga por él S/.490? a) 500 b) 600 c) 650 d) 680 e) 700
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Teoría de conjuntos - II
01. De un grupo de estudiantes se sabe que 49 no llevan sociología, 53 no llevan computación y 27 no llevan ninguno de los dos cursos. ¿Cuántos llevan exactamente un curso? a) 42 b) 44 c) 46 d) 48 e) 50
05. En un salón de clases el 60% de los alumnos trabajan, el 32% son mayores de edad y la quinta parte de los que trabajan son mayores de edad. Calcular que porcentaje son menores de edad y no trabajan. a) 20 b) 10 c) 40 d) 80 e) 60
02. Sean A, B y C tres conjuntos tales que: * A – C = {4 ; 6}
06. En un corral donde se encuentran 90 pollos, se observa que: los que comen maíz son el doble de los que comen solo trigo, los que comen maíz y trigo son la tercera parte de los que comen solo maíz. Hallar cuántos pollos comen uno y solo uno de estos alimentos. a) 30 b) 75 c) 20 d) 60 e) 45
* B ∩ C = {1; 3} * C – B = {2 ; 5} * A ∩ C = f * A ⊂ B Halle n(C) a) 5 d) 3
b) 1 e) 4
07. De un grupo de 95 personas se observa que: * 15 son atletas que practican el fútbol y la natación.
c) 2
03. Si A y B son 2 conjuntos no disjuntos y además: * n [P(A ∪ B)] = 256
* 55 son nadadores. * Todos los futbolistas son atletas y 10 son deportistas que sólo practican el atletismo.
* n(A) – n(B)=1 * n (A ∩ B) = 3 Halle n(B) a) 6 b) 5 d) 3 e) 2
c) 4
04. En el control de calidad de 500 productos se encontraron 3 defectos A, B y C tal que: * 280 productos tienen el defecto A. * 120 productos tienen el defecto B. * 100 productos tienen el defecto C. * 20 productos tienen el defecto B y C. * 50 productos tienen el defecto A y C.
08. En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. Si todos hablan por lo menos un idioma. Determinar cuántas personas del grupo hablan exactamente 2 de estos idiomas. a) 25 b) 26 c) 32 d) 12 e) 40 09. En una clase de 96 alumnos: 36 participan en natación, 40 básquet y 48 fútbol. Si 7 practican los 3 deportes y 3 no practican estos deportes. Calcular cuántos practican uno y sólo uno de estos deportes. a) 72 b) 17 c) 20 d) 69 e) 45
* 25 productos tienen el defecto A y B. * 83 producto no tienen defecto alguno. Se deduce: I. 15 tienen los 3 defectos. II. 217 tienen sólo el defecto A. III. 71 tienen sólo 2 defectos. Son verdaderas: a) Todas b) Sólo II c) Sólo III d) II y III e) I y III
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* 15 personas no practican los deportes mencionados. Determinar cuántos deportistas son futbolistas. a) 30 b) 40 c) 35 d) 32 e) 42
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Capítulo 17 10. En un salón de clase formado por 70 alumnos entre hombres y mujeres; 14 hombres aprobaron Matemática, 12 hombres aprobaron Lengua, 10 hombres y 16 mujeres no aprobaron ninguno de los cursos, 10 aprobaron los 2 cursos y 22 aprobaron sólo Matemática. Si hay 32 hombres en el salón. Calcular cuántas mujeres aprobaron sólo Lengua. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 11. De 190 personalidades, entre americanos y europeos que asistieron a un congreso, se supo que 110 eran varones, 100 eran americanos y 16 mujeres eran europeas. Calcular cuántos varones europeos asistieron. a) 86 b) 84 c) 80 d) 76 e) 74
16. Una muestra de 200 votantes reveló información concerniente a 3 candidatos A, B y C, de cierto partido, que postulaban a diferentes cargos: 42 votaron a favor de "B" pero no de A ó C, 122 votaron a favor de B o C pero no de "A", 14 votaron a favor de A y C pero no de "B", no hubo ningún voto en blanco, 98 votaron a favor de A ó B pero no de "C". Los que votaron a favor de los tres candidatos fueron: a) 6 b) 8 c) 12 d) 15 e) 18
Problemas adicionales 17. La región sombreada en el diagrama adjunto corresponde a: A
12. En las tres primeras prácticas de un salón de la academia se observó que 48 aprobaron la tercera práctica, 39 la segunda y 40 la primera; 10 alumnos aprobaron las tres prácticas, 9 aprobaron las dos primeras pero no la tercera, 19 no aprobaron las dos primeras prácticas pero sí la tercera. Calcular cuántos aprobaron por lo menos dos prácticas. a) 19 b) 28 c) 40 d) 38 e) 39 13. En una encuesta realizada entre 100 personas todos los hombres tienen más de 20 años, en el grupo hay 50 mujeres, hay 60 personas de más de 20 años; 25 mujeres casadas, 15 personas casadas con más de 20 años y 10 mujeres casadas con más de 20 años. Determinar la cantidad de hombres solteros. a) 35 b) 40 c) 45 d) 50 e) 55 14. De un aula de 40 alumnos: 4 mujeres tienen 17 años, 12 mujeres no tienen 18 años, 16 mujeres no tienen 17 años, 8 varones no tienen ni 17 ni 18 años. Hay tantos estudiantes de 17 como de 18 años. Los varones de 18 años son: a) 6 b) 4 c) 8 d) 12 e) 10 15. De una reunión de 200 invitados: 20 mujeres visten de negro, 60 mujeres no visten de rojo, 80 mujeres no visten de negro, 40 hombres no visten ni de negro ni de rojo. Hay tantos invitados de negro como de rojo. Los hombres que visten de rojo son: a) 40 b) 36 c) 32 d) 24 e) 20
B
C a) (A – B) ∪ C b) c) d) e)
(C ∩ A) ∪ (C – B) (C – B) ∪ A' (B ∩ C) ∪ (C – A) ((A ∩ B) ∩ C) ∪ C
18. En un Instituto de investigación científica trabajan 67 personas. De éstas, 47 conocen inglés, 35 conocen alemán y 23 ambos idiomas. Las personas del Instituto que no conocen ni el inglés ni el alemán son: a) 12 b) 8 c) 10 d) 6 e) 4 19. En un conjunto que forman 40 personas, hay algunos que estudian o trabajan, y otras, que ni estudian ni trabajan. Se sabe que: 15 personas no estudian ni trabajan, 10 personas estudian, 3 personas estudian y trabajan. Los que trabajan son: a) 15 b) 12 c) 7 d) 18 e) 9 20. A una reunión asistieron 16 damas con falda, 20 varones con bigotes, 26 portaban casaca, 20 damas no llevaban casaca, 5 damas portaban casaca pero no falda, 13 varones de bigotes no tenían casaca. ¿Cuántos varones que tenían casaca, no tenía bigotes, si 12 damas no llevaban falda ni casaca? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
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Problemas resueltos 01. En una ciudad se publican los periódicos A y B, el 58% de la población lee A, el 36% lee B y el 24% lee ambos. ¿Qué porcentaje no leen estos periódicos?
Resolución • De los datos: Sea P la población: U=100% de P
24%P 12%P A(58%P)
B(36%P)
• Se tiene:
n(A ∪ B) = 58%P + 12%P n (A ∪ B) = 70%P • Entonces las personas que no leen A ni B son el 30% de P.
02. Del total de conferencistas, el 60% son mujeres. De ellos el 30% disertan por primera vez; mientras que los de los varones, el 50% lo hace por primera vez. El porcentaje de los conferencistas que disertan por primera vez es:
Resolución • Asumiendo: el total = 100 personas Total : 100 6 44444 7 44444 8 Mujeres Hombres 60% 40% 60 40 30% (60) 50% (40) Diser tan por primera vez 'S S 18 20 + = 38 ` 38 de 100 es 38% 03. En un salón de 50 alumnos, la mitad de los hombres aprobó Matemática, los 2 de los hombres aprobaron Litera3 tura y 1 de los hombres aprobó Historia. ¿Cuántas mujeres hay? 7
Resolución • Sea: V = # de varones: M = # de mujeres Dato: V + M = 50 • Donde: o Aprobó Matemática: 1 V " V = 2 2 o 2 Aprobó Literatura: V " V = 3 3 o Aprobó Historia: 1 V " V = 7 7 • Luego:
o o
o
V = 2;3 y7 o
V = 42 • Único valor para V es 42, entonces las mujeres son: 8
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Capítulo 17
Tarea domiciliaria 01. Si : U = {1 ; 2 ; 3 ; 4} A = {1 ; 2} y B = {2 ; 3} Indique cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas { } I. A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) II. A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A) III. A ∆ B = A' ∪ B' a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) Todas 02. Simplificar la expresión : (A' ∪ B') ∪ (A ∩ B') a) A∪B' b) A'∩B c) (A∩B)' e) f d) (A∪B)' 03. En una encuesta tomada el último verano a un grupo de 600 chicas bañistas se supo que: 250 usan tanga, 220 usan hilo dental y 100 usan ambas prendas. ¿Cuántas no usan tanga ni hilo dental? a) 100 b) 250 c) 220 d) 230 e) 240 04. De un total de 200 personas se sabe que a 130 les gusta el reggaeton, a 90 les gusta la salsa. Si a 50 personas no les gusta ninguno de los dos. ¿A cuántas personas les gusta el reggaeton y también la salsa? a) 40 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90 05. De un grupo de 30 personas, 20 van al teatro, 5 solo van al cine, 18 van al cine o al teatro pero no a ambos sitios. ¿Cuántos van a ambos sitios? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
09. De un grupo de 200 turistas se determinó que: 64 eran norteamericanos, 86 eran europeos y 90 eran abogados, de estos últimos 30 eran norteamericanos y 36 europeos. ¿Cuántos no eran norteamericanos, ni europeos, ni abogados? a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 30 10. Simplificar: a) (A∩B)' d) A∩B'
08. En un salón donde hay 43 alumnos, 5 son mujeres que estudian biología, 28 son hombres, y el número de hombres que no estudia biología es el doble del número de mujeres que no estudia biología. ¿Cuántas personas estudian biología? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
c) A'∪B
11. Se tienen tres conjuntos: "A", "B" y "C"; tal que se cumple: * A ∩ C = C * n(A' ∩ B') = 100 * n(C')=190 Calcule: n(U) a) 200 d) 208
* n[(A∪B)–C]=6n(C) b) 205 e) 206
c) 210
12. Dados los conjuntos "A", "B" y "C" contenidos en un universo de 98 elementos de modo que: * n(A – B) = 21 * n(B – C) = 25 * n(C – A) = 32 * 3n (A ∩ B ∩ C) = n [(A ∪ B ∪ C)'] Calcule: n [A ∩ B ∩ C] a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 13. Si: n (A ∪ B ∪ C) = 94 n(A) = n(B) = 41 n(C) = 46 n [(A ∩ B) – C] = 9
06. De un grupo de estudiantes se sabe que: 49 no llevan psicología, 53 no llevan computación y 27 no llevan ninguno de los dos cursos. ¿Cuántos llevan exactamente un curso? a) 42 b) 44 c) 46 d) 48 e) 50 07. En una fiesta a la cual asistieron 70 personas; 10 eran hombres que no les gusta la salsa, 20 eran mujeres que gustan de esta música. Si el número de hombres que gustan de la salsa es la tercera parte de mujeres que no gustan de ésta. ¿A cuántos les gusta la salsa? a) 20 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30
[(A'–A) ∪ (B'–B)]' b) A' e) A ∩ B
n [(B ∩ C) – A] = 7 n [A – (B ∪ C)] = 18 Hallar: n (A ∩ B ∩ C) a) 15 b) 16 d) 18 e) 4
c) 17
14. Se sabe que un grupo de personas solo ve dos tipos de películas: de acción y de suspenso. De estas 50 personas ven películas de acción, 60 ven películas de suspenso, y de estos 20 ven ambos tipos de película. ¿Cuántas personas hay en total? a) 110 b) 130 c) 100 d) 90 e) 80 15. De un grupo de 120 personas se sabe que: 45 no estudias ni trabajan, 30 estudian, 9 estudias y trabajan. ¿Cuántas personas trabajan solamente? a) 30 b) 45 c) 9 d) 39 e) 21
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Estadística - I Los antecedentes de la Estadística son tan remotos como la propia sociedad humana. La Estadística Descriptiva tiene su origen mil o dos miles años antes de Cristo, remontándose a las primeras civilizaciones en Egipto, China y Mesopotamia, donde se hacían censos para la administración de los imperios. Al parecer, los datos más antiguos corresponden a los censos chinos ordenados por el emperador Yao (hacia el año 2238 a.c.), así como otros censos de población y riqueza encontrados en Egipto y relacionados con la construcción de las pirámides. También en Egipto, Ramsés II elaboró un censo de tierras para establecer una nueva política de reparto de las mismas. Nilómetro
Los egipcios tuvieron el barómetro económico más antiguo: un instrumento llamado "Nilómetro", que medía el caudal del Nilo y servia a definir un índice de fertilidad, a partir del cual se fijaba el monto de los impuestos. Posteriormente, hacia el año 555 a.C., podemos citar los censos del Imperio Romano, destinados a la organización política y guerrera. En la Edad Media, se produce un considerable estancamiento de la Estadística y hay que esperar al nacimiento de las escuelas mercantilistas de los siglos XVI, XVII y XVIII. En 1660, apareció la llamada “Aritmética Política”, destinada a la descripción de sucesos propiamente políticos. Esta ciencia, que nació en la universidad alemana de Haltustadt y pronto se extendió por distintas universidades alemanas y suizas, fue ya denominada Estadística por el alemán Schmeitzel. En principio, esta ciencia tenía por objeto la mera descripción numérica de las cuestiones políticas del Estado, faltándole aún la búsqueda de leyes generales. La gran transformación de la Estadística surge de su vinculación al Análisis Matemático a través del Cálculo de Probabilidades, cuyos orígenes se sitúan hacia mediados del siglo XVII y cuyos principales impulsores fueron los matemáticos franceses Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (16011665), junto con el holandés Christian Huygens (1629-1695). Es entonces cuando aparecen las primeras aportaciones significativas al Cálculo de Probabilidades como disciplina puramente matemática. A partir de esta fecha, esta ciencia fue constituyéndose como tal y vinculándose fuertemente a la teoría de funciones durante los siglos XVIII, XIX y principios del XX, gracias a los logros de figuras notables entre las que cabe destacar a Bernoulli, Leibnitz, Bayes, Laplace, Chebychev, Kolmogorov o Markov.
Introducción El estudio de la Estadística es de carácter indispensable para cualquier profesional debido a que es una herramienta que le será de gran utilidad para la toma de decisiones sobre asuntos diversos, tiene aplicación en todos los campos del saber y profesiones. Es muy difícil establecer una cronología exacta de los orígenes de la estadística. Parece ser que los datos más antiguos que se conocen son los censos chinos ordenados por el emperador Tao antes del año 2200 a.C. A lo largo de la Edad Media y hasta principios del siglo XVII, la Estadística era puramente descriptiva, Bernouilli (1654 - 1705) y sobre todo Laplace (1749 - 1827) desarrollaron conceptos matemáticos fundamentales para la teoría estadística. El primero formuló la famosa ley de los grandes números y el segundo puso en evidencia las ventajas que podría aportar el cálculo de probabilidades en el estudio de los fenómenos naturales de causas complejas.
Estadística descriptiva Es una rama de la Matemática aplicada que nos proporciona los métodos para realizar un estudio de un grupo de datos en cuanto a su recopilación, clasificación, presentación y descripción para poder tomar decisiones o hacer conclusiones. Central 6198 - 100
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Capítulo 18 Etapas Recopilación
Clasificación
Presentación
Descripción
Conceptos previos Población Es el conjunto universal o referencial para realizar el estudio estadístico, cuyos elementos poseen la característica que se va a estudiar.
Muestra Es un subconjunto de la población, los muestreos se realizan cuando es difícil o complicado estudiar toda la población, también se realiza con la finalidad de obtener resultados en menor tiempo y a menor costo, para ello es indispensable elegir una muestra adecuada, que represente a la población, de acuerdo a la característica que se estudia. Ejemplo: Conjunto de alumnos del colegio TRILCE → Población Conjunto de alumnos de 5to de secundaria → Muestra Ejercicio: Cite algunos ejemplos en los cuales sea conveniente tomar una muestra en vez de toda población debido a la dificultad que presenta su estudio.
Población Muestra
Tipos de variables Variable cualitativa Son aquellas que indican una cualidad: Ejemplos: La variable cualitativa sexo puede ser solamente masculino o femenino. La variable cualitativa turno puede ser mañana, tarde o noche. Son también variables cualitativas: la profesión de tus padres, el color de tus ojos, la universidad en la que piensas estudiar, etc.
Observación: A este tipo de variables, se les puede asignar valores numéricos de acuerdo a la manera de utilizar los datos. Por ejemplo, si estamos evaluando personal para trabajar en una mina a la variable sexo se le puede asignar 0 si es femenino y 1 si es masculino, indicando que se prefiere personal masculino para dicho trabajo. Variable cuantitativa Son aquellas que pueden tomar valores numéricos: Por ejemplo: Edad, número de hijos, tiempo de servicio, el coeficiente intelectual, notas, vida media, carga electrónica, hematocrito, etc.
a. Variable cuantitativa discreta: Toma valores que están en correspondencia biunívoca con los números naturales. Ejemplo: La cantidad de hijos, cantidad de ingresantes a la UNI, el número de empleados de una fábrica, la cantidad de glóbulos rojos en una gota de sangre, etc. 106
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Aritmética b. Variable cuantitativa continua: Toma todos los valores en algún intervalo. Ejemplo: Temperatura de un gas, longitud de una pared, estatura de un estudiante, etc.
Etapas del estudio estadístico Recopilación Esto se realiza mediante encuestas y cuestionarios. Cuando se estudia toda la población, se denomina censo y cuando se realiza sobre un subconjunto de la misma, se denomina muestreo.
Clasificación Cuando la cantidad de datos es grande, conviene clasificarlos y para simplificar su estudio. Esta clasificación debe realizarse teniendo en cuenta la finalidad del estudio y en muchos casos dependerá del criterio del profesional que hace dicho análisis. A continuación, se presentan las edades de un grupo de 20 personas. 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 12 ; 14 ; 16 ; 16 ; 16 ; 18; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 27 ; 29 ; 32
a. Tamaño de la muestra (n): es la cantidad total de datos. n = 20
b. Alcance (A): intervalo cerrado cuyos límites son el menor y mayor de los datos. A = [2 ; 32]
c. Rango o recorrido (R): es la longitud del alcance, se calcula restando el menor dato del mayor dato. R = 32 - 2 = 30
d. Intervalo de clase (Ii): Es un intervalo que se obtiene al dividir el alcance, para formar grupos de menor tamaño. Por ejemplo, dividamos el alcance en 6 intervalos de clase del mismo tamaño. 62 ; 7 67 ; 12
612 ; 17 617 ; 22 622 ; 27 627 ; 32@
2
32
e. Número de intervalos de clase (K): es la cantidad de intervalos de clase en que se divide el alcance, esto depende de la aplicación que tiene el estudio de los datos. Por ejemplo, si se desea conocer la cantidad de alumnos aprobados y desaprobados en el colegio TRILCE bastará formar dos intervalos de clase. Observación: existen algunas reglas que se pueden tomar como referencia para determinar el número de intervalos de clase. —— Regla de Sturges: K = 1 + 3,3 Log(n) —— Regla de Joule: K = n Ejemplo: Para n = 30 Apliquemos la regla de Sturges: K = 1 + 3,3 Log(30) = 5,87 Que se puede aproximar: K ≅ 6 Ejercicio: Discuta en clase las ventajas y desventajas de agrupar los datos en intervalos de clase.
f. Ancho de clase (wi): Es la longitud del intervalo de clase. Si todos los anchos de clase son iguales, se dice que el ancho de clase es constante y se puede calcular de la siguiente manera: w= R K
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Capítulo 18 Tabla de distribución de frecuencias
Ii
fi
62 - 7
4
67 - 12
1
617 - 22
2
627 - 32
3
612 - 17
6
622 - 27
4
Presentación Se pueden presentar los datos en tablas de frecuencias o en gráficos.
a. Presentación Tabular
—— Marca de clase (xi): es un valor que representa a los datos del intervalo de clase, se calcula como la semisuma de los límites inferior y superior del intervalo de clase y está ubicado en el punto medio del mismo. xi =
Linf + Lsup 2
—— Frecuencia absoluta simple (fi): es la cantidad de datos u observaciones en el i - ésimo intervalo de clase. Se cumple que: k
/ fi = n
i=1
—— Frecuencia absoluta acumulada (Fi): es la suma de todas las frecuencias absolutas simples desde el primer intervalo hasta el i - ésimo intervalo. Se cumple: Fi =
Fk = n
i
/
j=1
fj
—— Frecuencia relativa simple (hi): indica qué parte del total de datos se encuentran en el i - ésimo intervalo. Se calcula como el cociente de la frecuencia absoluta y el total de datos. Para obtener el tanto por ciento basta multiplicar esta valor por 100. Se cumple que: k
f hi = i n
/ hi = 1
i=1
—— Frecuencia relativa acumulada (Hi): indica qué parte del total de datos se encuentran desde el primer intervalo de clase hasta el i - ésimo intervalo. Se calcula como el cociente de la frecuencia absoluta acumulada y el número total de datos. Para obtener el tanto por ciento basta multiplicar esta valor por 100. Se cumple que: F Hi = i n
Hi =
i
/ hj
j=1
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Hk = 1
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Aritmética Ejemplo: La tabla con los datos del ejemplo anterior, es: Intervalo
xi
fi
Fi
hi
Hi
62 - 7
4,5
4
4
0,20
0,20
9,5
1
5
0,05
0,25
612 - 17
14,5
6
11
0,30
0,55
617 - 22
19,5
2
13
0,10
0,65
622 - 27
24,5
4
17
0,20
0,85
627 - 32
9,5
3
20
0,15
1,00
67 - 12
b. Presentación Gráfica Los gráficos son muy utilizados por los periodistas para presentar datos en la televisión y periódicos, son de utilidad para los médicos, ingenieros, administradores, economistas, psicólogos, profesores, etc. ya que permite observar el comportamiento de una muestra con respecto a alguna característica, de un solo vistazo. Algunos de los gráficos más usados son: Diagrama de barras, histogramas, pirámides de población, polígonos de frecuencias, diagrama de sectores, pictogramas. —— Diagrama de barras: en este tipo de gráfica, sobre los valores de las variables se levantan barras estrechas de longitudes proporcionales a las frecuencias correspondientes. Se utilizan para representar variables cuantitativas discretas. Por ejemplo: el siguiente diagrama de barras gráfica la cantidad de problemas propuestos para este libro por los profesores de Aritmética.
Cantidad de problemas 50 40 30
Cantidad de problemas
20 10 0
Fernando Calvo
Javier Carranza
Abraham Larico
Max Tejero
—— Diagrama de sectores: en un diagrama de este tipo, los 360º de un círculo se reparten proporcionalmente a las frecuencias de los distintos valores de la variable. Resultan muy adecuados cuando hay pocos valores, o bien cuando el carácter que se estudia es cualitativo.
Cantidad de problemas 10
Max Tejero 40
20
Abraham Larico Javier Carranza Fernando Calvo
30 —— Histogramas: los histogramas se utilizan para representar tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. Si los intervalos son todos iguales, cada uno de ellos es la base de un rectángulo cuya altura es proporcional a la frecuencia correspondiente. Central 6198 - 100
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Capítulo 18 —— Polígono de frecuencias: si se unen los puntos medios de la base superior de los rectángulos, se obtiene el polígono de frecuencias. fi 12 10 7 Polígono frecuencias
5 4 2
0 5 10 15 20 25 30
Intervalos
Observación: El área de la superficie limitada por el polígono de frecuencias y el eje horizontal es igual a la suma de las áreas de los rectángulos que forman el histograma. —— Diagrama Escalonado: (Histograma de frecuencias acumuladas) Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados, se obtiene el histograma de frecuencias acumuladas. Ojiva: Se obtiene al unir los extremos superiores de las barras de un histograma de frecuencias absolutas acumuladas. Fi 40 38 28 Ojiva 16 11 4 0 5 10 15 20 25 30
Intervalos
Descripción La descripción de los datos se realizará mediante las medidas de tendencia central.
a. Media: Para datos no agrupados: es la media aritmética de los datos. Para datos agrupados: k
/ fi xi
x=
x = i=1 n
k
/ fi hi
i=1
b. Mediana: Para datos no agrupados: la mediana es aquél dato que ocupa la posición central, cuando los datos están ordenados y si la cantidad de datos es par la mediana es el promedio de los dos datos centrales. Ejemplos: La mediana de los datos: 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 8 , 9 ; 20 ; 24 ; 25 es 6
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Aritmética La mediana para los datos: 4 ; 5 ; 12 ; 20 ; 100 ; 132 es la media aritmética de 12 y 20 que son los dos términos centrales, es decir la mediana es 16. Para datos agrupados: n -F me - 1 p fme
1 -H me - 1 p hme
Me = Linf + w f 2
Me = Linf + w f 2
Donde: Linf : Límite inferior de la clase mediana. w : Ancho de clase Fme-1 : Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase mediana. fme : Frecuencia absoluta simple de la clase mediana.
c. Moda: Para datos no agrupados: Es el valor que aparece con más frecuencia. Si son dos los números que se repiten con la misma frecuencia, el conjunto tiene dos modas y se denomina bimodal. Otros conjuntos no tienen moda. Ejemplo: La moda para los datos: 3 ; 4 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 10 ; 21 es 6 Para datos agrupados: mo = Limf + w e
∅1 ∅1 + ∅2 o
Donde: Linf : Límite inferior de la clase modal. w : Ancho de clase ∅1 = fmo - fmo - 1 ∅2 = fmo - fmo + 1 fmo : frecuencia absoluta simple de la clase modal. fmo+1 : frecuencia absoluta simple de la clase posterior a la clase modal. fmo-1 : frecuencia absoluta simple de la clase anterior a la clase modal.
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Capítulo 18
Problemas resueltos 01. En el desarrollo de un software trabajan 80 profesionales, cuyos salarios mensuales, en miles de soles se dan en la siguiente tabla: Salarios en miles de S/.
Número de profesionales
6 0, 5 - 1
20
61 - 2
15
62 - 3
25
63 - 4
20
¿Qué porcentaje de los profesionales perciben un salario igual o superior a los S/. 1000?
Resolución • Superior o igual a 1000 sería: f2 + f3 + f4 15 + 25 + 20 = 60 • En tanto por ciento: 60 # 100% = 75% 80 02. Los resultados de un estudio para determinar los casos de sarampión en un grupo de 100 niños de 1 a 5 años, se presentan en la siguiente tabla. Calcule: F3 + h2 Edades
fi
1
20
2
30
3
15
4
25
5
10
Resolución • Elaborando la tabla de frecuencias: Edades
fi
Fi
hi
Hi
1
1
20
20
0,20
0,20
2
2
30
50
0,30
0,50
3
3
15
65
0,15
0,65
4
4
25
90
0,25
0,90
5
5
10
100
0,10
0,10
100 • De la tabla se observa: F3 = 65 y h2 = 0,30 F3 + h2 = 65,3
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Aritmética
Práctica 01. Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso de Estadística recogiéndose los siguientes datos: 3; 4; 8; 2; 7; 11; 10; 12; 16; 15. 7; 11; 13; 10; 6; 9; 9; 10; 13; 18. Agrupe los datos en intervalos de ancho común igual a 4 y elabore la tabla de frecuencias. Dar como respuesta F3 + H4 + X2 . f2 a) 66 d) 75
b) 56 e) 44
c) 76
02. Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias relativas de 300 empleados según su edad. Edades hi [19 ; 21]
0,15
[22 ; 24]
0,25
[25 ; 27]
0,40
[28 ; 30]
0,10
[31 ; 33]
0,10
I. ¿Cuántos empleados tienen edades de 22 a 33 años?
04. ¿Cuántos empleados ganan menos de 800 soles? a) 25 b) 35 c) 40 d) 50 e) 80 05. ¿Cuántos empleados ganan entre 800 y 1200? a) 15 b) 25 c) 35 d) 40 e) 80 06. ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada de los trabajadores que ganan hasta 1200 soles? a) 0.25 b) 0.35 c) 0.45 d) 0.55 e) 0.85 07. Calcular: E = f2 + f3 - f5 a) 15 b) 20 d) 30 e) 50
c) 10
08. Calcular: G = H1 + H4 - H2 a) 0.55 b) 0.65 d) 0.95 e) 1.10
c) 0.35
09. La siguiente distribución muestra el peso en gramos de 300 paquetes en un determinado producto. Peso (g) hi
Rpta: II. ¿Qué porcentaje de los empleados tienen 25 años a más? Rpta: III. ¿Cuántos empleados tienen 27 años o menos? Rpta: IV. ¿Qué porcentaje de los empleados tienen 24 años o menos? Rpta: Enunciado para los problemas 3 al 8
Xi
fi
0 - 400
200
25
400 - 800
600
800 - 1200
1000
1200 - 1600
1400
1600 - 2000
1800
Fi
K 2
[15 ; 19]
0,17
[20 ; 24]
2K
[25 ; 29]
K
[30 ; 35]
0,13
I. ¿Cuántos paquetes tienen pesos que van desde 15 hasta 29 gramos?
Completa el siguiente esquema y luego contesta las preguntas: Salario
[10 ; 14]
hi
40
Hi
Rpta: II. ¿Cuántos paquetes tiene 22 gramos a más? Rpta: III. ¿Cuántos paquetes tiene 27 gramos o menos?
0,40
Rpta:
0,15
Enunciado para los problemas 10, 11 y 12 Dado el tablero incompleto de la distribución de la frecuencia de las notas de 25 alumnos.
0,80 20
Completar el tablero con un ancho de clase constante e igual a 2.
03. ¿Cuántos empleados ganan igual o más a 800 soles? a) 30 b) 40 c) 60 d) 80 e) 90
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Capítulo 18
Ii
xi
fi
Fi
6 ;
15
6 ;6
14. En la tabla se muestran los resultados de un estudio con amplitud constante: Ii xi fi Fi hi Hi 610 ;
20
6 ;
6 ;
xi f i
11
6 ;
14
6 ;
10. Si la nota aprobatoria es 11 ¿Qué porcentaje de alumnos desaprobados existe? a) 72% b) 74% c) 76% d) 78% e) 80% 11. Determinar la clase en la cual se encuentra el mayor porcentaje de alumnos y hallar dicho porcentaje. b) 4to ; 32% c) 3ero ; 44% a) 1ro ; 20% e) 3ero ; 32% d) 4to ; 76%
a) 72,7 d) 70,1
6 6 6
4
6 40 ; 50
4
650 ; 70
n
670 ; 80
g
e) 3 4
n
;
m
;
p
682 ;
60
a) 150 d) 202
b) 201 e) 101
0,20 0,70
c) 241
12a 0,15 0,125 0,075
Si se sabe además que: h1 = h5 y h2 = h4 Determinar la suma: h5 + h2
d) 1 5
30
16. Del histograma ¿qué tanto por ciento de las familias ganan menos de S/. 200? Si el ancho de clase es común. hi
100
b) 1 4
c) 70,5
20
;
6 40 ;
13. Dada en la siguiente distribución de frecuencias. Ii fi
m
b) 71,9 e) 70
15. Del siguiente cuadro. Halle m+n+p si los intervalos de clase presentan una amplitud común. Ii xi fi Fi hi Hi
12. ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas menores que 8? a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11
620 ; 40
27,5
Halle: x2 + f3 + h4
25
a) 1 3
0,375 0,8
6 ;
22
610 ; 20
75
6 ;
8
6 ;
30
a 120
c) 12 25
a) 85,55 d) 95%
114
b) 88,7% e) 66,5%
S/. 220 c) 90,5%
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Aritmética Problemas adicionales 17. Se tienen los promedios ponderados de 10 estudiantes de la UNMSM en el curso de Matemática I. 10,2
10,8
12,6
11,2
14,4
16,4 13,6 14,9 12,5 11,5 Si se clasifica las datos en 4 intervalos de clase. Halle: h2 + H3 a) 50% b) 75% c) 84% d) 42% e) 100%
5
610 ; 20
20
630 ; 40
650 ; 56
6
656 ; 62
6
668 ; 74
12
662 ; 68
18. Dada la siguiente distribución de frecuencias según el mismo número de empleados por empresa. Número de Frecuencia empleados (fi) 60 ; 10
19. La tabla muestra la distribución del peso en kg de 40 estudiantes de la academia Trilce: Nº alumnos Peso (kg) (fi)
674 ; 80
4
¿Qué tanto por cierto de los estudiantes pesa entre 60 y 67 kg? a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60% 20. La siguiente información representa la composición de una dieta alimenticia. Gramos Calorías
620 ; 30
35 40
Carbohidratos
500
1050
6 40 ; 60
50
Proteínas
100
410
660 ; 80
30
Grasas
100
930
680 ; 100
20
6100 ; 140
20
6140 ; 180
15
6180 ; 200
15
TOTAL
250
¿Qué porcentaje del total de calorías de la dieta se debe a las proteínas. a) 71,4% b) 14,2% c) 16,4% d) 12,9% e) 17,15%
I. Determinar el porcentaje de empresas que tienen un número de empleados entre 50 y 90. Rpta: II. Determinar el porcentaje de empresas con número de empleados inferior a 35. Rpta:
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Capítulo 18
Tarea domiciliaria 01. Al preguntar acerca del número de hijos de 25 familias se obtuvo la información que se da en la siguiente tabla: Nº de hijos Frecuencia (fi) 0
1
1
3
2
4
3
8
4
5
5
2
6
2
Distancia recorrida Frecuencia (fi) (miles de km) [0 ; 20]
El porcentaje de familias que tienen 2 o 3 hijos, es: a) 12% b) 25% c) 36% d) 42% e) 48% 02. Si se tiene la siguiente distribución de frecuencias sobre las estaturas en metros de un grupo de 50 jóvenes. Intervalo fi Fi hi Hi de clase 61, 55 ; 1, 60 61, 60 ; 1, 65 61, 65 ; 1, 70 61, 70 ; 1, 75
5
0,96
61, 75 ; 1, 80
Determine qué porcentaje de jóvenes poseen una estatura no menor de 1,70 m. Se sabe que: h1 = h5 y h2 = h4 a) 12% d) 20%
b) 14% e) 24%
04. La siguiente tabla muestra la edad de un grupo de 25 estudiantes tomados al azar. Frecuencia Frecuencia Edad simple (fi) acumulada (Fi) 16 18
22
100 ; 120@
12
16
80 ; 100@
24
120 ; 140@
8
a) 0,1 d) 0,3
b) 0,2 e) 0,4
c) 0,25
08. Con los datos del ejercicio anterior, halle: F3 + F4 a) 66 b) 69 c) 73 d) 78 e) 82 09. El gráfico muestra la producción (en toneladas) de dos productos agrícolas, en tres años consecutivos. ¿En qué porcentaje desciende la producción de café entre el 2002 y 2003? Toneladas 35 30 25
6 23
20 Hallar: f3 + f5 a) 5 d) 8
60 ; 80@
40 ; 60@
07. Los puntajes de una prueba de aptitud se tabularon en una distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud. Si se tienen las frecuencias relativas: h1 = h6; h3 = h5; h4 = 0,25; h2 = h4 - h1; h3 = h1 + 0,10 y F6 = 60 Halle: h2 + h4
13
19
12
06. Considerando los datos del ejercicio anterior, ¿qué porcentaje de los automóviles hacen un recorrido mayor a 100 Km, antes de tener su primera falla? a) 12% b) 16% c) 20% d) 24% e) 40%
3
17
20 ; 40@
La marca de clase del cuarto intervalo de clase y su amplitud, son respectivamente: a) 70 ; 15 b) 60 ; 15 c) 60 ; 10 d) 70 ; 20 e) 80 ; 20
c) 18%
03. Considerando los datos del ejercicio anterior determine f2. a) 2 b) 5 c) 6 d) 36 e) 15
6
20
Café
15
Maíz
10 b) 6 e) 9
5
c) 7
0 a) 20% d) 32%
05. Suponga que la distancia recorrida por un automóvil marca DACE, antes de que presente la primera falla mecánica es dada en la siguiente tabla:
116
2002
2003 2004 b) 25% e) 36%
Año c) 28%
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Aritmética 10. Considerando los datos del ejercicio anterior, ¿cuál fue la producción de maíz (en toneladas) en los tres años? a) 25 b) 35 c) 50 d) 62 e) 70 11. En el siguiente gráfico se observa el resultado de un proceso electoral: Considerando el universo de votantes a los que votaron por los partidos A, B y C (excluyendo el rubro "Blancos y viciados"), ¿qué porcentaje de este universo alcanzó el partido B? Blancos y viciados 4
Partido A 42
30
16. Se tomaron 10 muestras de cierto mineral para determinar el porcentaje de hierro que este contiene. Los porcentajes obtenidos fueron: 20,18 ; 20,16; 20,23 ; 20,25 ; 20,43 ; 20,55 ; 20,23 ; 20,28 ; 20,23 ; 20,30. Para estos resultados, la mediana y la moda, son respectivamente: a) 20,24 ; 20,23 b) 20,225 ; 20,20 c) 20,25 ; 20,28 d) 20,23 ; 20,55 e) 20,225 ; 20,23 17. En el cuadro se muestra la distribución de frecuencias de las notas de 100 alumnos, ¿cuántos alumnos sacaron un puntaje mayor a 35? Ii Xi fi Fi hi 610 ;
Partido C
24 Partido B a) 24,3% d) 26%
b) 25% e) 28,5%
c) 25,2% a) 40
12. Los datos siguientes representan la temperatura del fluido de descarga de una planta para el tratamiento de aguas negras durante varios días consecutivos. Determine la mediana. 43
47
51
48
52
50
46
49
45
52
46
51
44
49
46
51
49
45
44
50
a) 47,5 d) 49
b) 48 e) 49,5
;
6
;
6
;
6
;
0,22 34 45
b) 43
c) 45
6
;
6
;
6240 ;
14. Las siguientes cantidades proporcionan los pesos en libras (datos redondeados) de los bebés nacidos durante un cierto intervalo de tiempo en un hospital: 4, 8, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 10, 9, 7, 6, 10, 8, 5, 9, 6, 3, 7. Determine la moda. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 15. De las edades de cuatro personas, se sabe que la media es igual a 24 años, la mediana es 23 y la moda 22. La diferencia entre la mayor y menor edad, es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
117
d) 48
e) 50
18. En la tabla que se muestra la distribución es simétrica y de ancho de clase constante. ¿Cuántos datos habrá en el intervalo de [240–300>? Ii fi Fi hi
c) 48,5
13. Suponga que se tienen las duraciones en horas de un cierto tipo de focos incandescentes: 612, 623, 666, 744, 883, 898, 964, 970, 983, 1003, 1016, 1022, 1029, 1058, 1085, 1088, 1122, 1135, 1197. Determine la mediana. a) 898 b) 983 c) 1000 d) 1003 e) 1004
Central 6198 - 100
6
18
6
a) 26
24 0,2
;
6360 ;
10
b) 24
c) 22
d) 21
e) 20
19. En la Tabla que se muestra el 74% del total son mayores de 25, si el ancho de clase es constante, ¿cuántos tienen por lo menos 24 años? Ii fi Fi 616 ; 20
620 ; 24
624 ; 28
2n 5n
628 ; 32
a) 254 d) 248
632 ; 36
b) 252 e) 244
10n 300 c) 250
20. Las notas de 7 alumnos son: 08 ; 08 ; 10 ; 11 ; 08 ; 12 ; 14 Un alumno aprueba si su nota es mayor que la media o que la mediana. ¿Cuántos aprobaron? a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
San Marcos
Capítulo 19
19
Estadística - II
01. Suponga que se tienen las duraciones en horas de un cierto tipo de focos incandescentes: 612, 623, 666, 744, 883, 898, 964, 970, 983, 1003, 1016, 1022, 1029, 1058, 1085, 1088, 1112, 1135, 1197. Determine la mediana. a) 898 d) 1003
b) 983 e) 1004
b) 6
c) 7
d) 8
b) 6
61200 ; 1800
c) 7
d) 8
e) 9
a) 1670 d) 2000
a) 30 d) 60
b) 40 e) 65
a) 1
0,05
b) 1860 e) 1900
b) 2
c) 1680
c) 3
d)
e)
2
3
09. Halle la desviación estándar de los siguientes datos: 3; 3; 4; 6; 6; 6; 7; 8; 8; 9 a) 4
b) 3
c) 2
d)
e)
3
2
10. Un alumno de la UNMSM obtuvo los siguientes promedios al término del primer ciclo. Curso
Promedio
Peso
Matemática - I
11
4
Química
12
3
Física - I
14
2
Halle la varianza: ! b) 1,3 a) 1, 3
c) 2
d) 2,1
! e) 2, 1
11. Se muestra las frecuencias absolutas de los sueldos anuales en miles de soles de un grupo de trabajadores. Calcule: El sueldo promedio
c) 50
06. Un hombre tiene seis hijos, de los cuales 3 son trillizos y 2 son mellizos. Si al calcular la media, mediana y moda de estas edades son 10, 11 y 12, respectivamente. Halle la diferencia entre la máxima y mínima edad. a) 10 c) 8 e) 9
0,75
08. Halle la varianza de los siguientes datos: 5; 6; 6; 8; 8; 9
b) 1000 d) 1053
05. La media aritmética de las edades de 6 personas es 22,5 su moda y su mediana son iguales a 19. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener alguno de ellos, si ninguno es menor de 14 años?
hi
62400 ; 3000
04. Se tienen cuatro cantidades positivas donde su mediana es 9, su media es 8 y su moda es 9. Determine el producto de dichas cantidades, si es el mínimo posible. a) 1100 c) 472 e) 1134
xi
61800 ; 2400
e) 9
03. De las edades de cuatro personas, se sabe que la media es igual a 24 años, la mediana es 23 y la moda 22. La diferencia entre la mayor y menor edad, es: a) 5
Intervalo de sueldos
c) 1000
02. Las siguientes cantidades proporcionan los pesos en libras (datos redondeados) de los bebés nacidos durante un cierto intervalo de tiempo en un hospital: 4, 8, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 10, 9, 7, 6, 10, 8, 5, 9, 6, 3, 7. Determine la moda. a) 5
07. Indique el sueldo promedio de un trabajador de la empresa del siguiente cuadro.
b) 6 d) 7
118
Sueldo (miles de soles)
fi
40 - 50
2
50 - 60
8
60 - 70
4
70 - 80
10
80 - 90
6
a) 200 3
b) 68
d) 70
e) 205 3
c) 195 3
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Aritmética
12. La media aritmética de cuatro números pares consecutivos es 19. Calcular su varianza. a) 3 d) 20
b) 0 e) 5
c) 4
13. La suma de los cuadrados de cuatros números es 186. Determine la varianza de dichos número, sabiendo que su media es 6. a) 10 d) 11
b) 10,5 e) 10,2
c) 9,8
b) 6,4 e) 8
c) 7
a) 14,5 y 14 d) 16 y 15
fi
12
2
14
5
15
6
18
7
b) 15 y 15 e) 16,5 y 15
61, 65 ; 1, 70 61, 70 ; 1, 75 61, 75 ; 1, 80
c) 15,5 y 15
16. El gráfico muestra la producción (en toneladas) de dos productos agrícolas, en tres años consecutivos. ¿En qué porcentaje desciende la producción de café entre el 2006 y 2008? Toneladas 35 30 25 Café
15
Maíz
a) 55% d) 40%
2008
b) 50% e) 45%
c) 60%
Central 6198 - 100
b) 45% e) 60%
c) 18%
Fi
6 45 ; 50
2
2
8
x
655 ; 60
10
20
6
y
Total
m
660 ; 65
a) 42
b) 52
c) 62
d) 72
e) 76
20. En la siguiente tabla, se presenta información acerca de las edades de 50 niños que fueron atendidos por f f f un pediatra en dos días. Si 1 = 1 , 2 = 2 y 2 = 2 f3 2 f3 5 f4 3 entonces la moda, la mediana y la media de los datos son, respectivamente:
Año
17. Considerando los datos del ejercicio anterior, ¿en qué porcentaje desciende la producción de maíz entre el 2006 y 2008? a) 40% d) 55%
b) 14% e) 24%
fi
5 2007
Hi
0,6
Peso en kilogramos
10
2006
hi
5
650 ; 55
20
Fi
19. Un estudiante de una sección elabora una tabla de distribución de frecuencias considerando como variable el peso de sus amigos. Calcule "x+y+m".
Problemas adicionales
0
fi
61, 55 ; 1, 60
a) 52% d) 50%
15. Los datos acerca de las edades de un grupo de personas se organizó en la siguiente tabla. La media y la mediana son respectivamente: Edades
Intervalo de clase
61, 60 ; 1, 65
14. La varianza de tres números enteros cuya media es 4 es 2/3, y la varianza de otros dos números enteros cuya media es 9 es 4. Hallar la varianza de los cinco números. a) 6 d) 7,5
18. Se tiene la siguiente distribución de frecuencias con datos sobre la estatura en metros de un grupo de 50 jóvenes. ¿Qué porcentaje de jóvenes poseen una estatura mayor o igual a 1,70m?
a) 4, 4 y 4, 5 c) 5, 5 y 4, 68 e) 4, 5 y 4, 68
Edades
fi
3
f1
4
f2
5
f3
6
f4 b) 5, 4 y 4, 6 d) 5, 5 y 4, 6
c) 50%
119
San Marcos
Capítulo 19
Problemas resueltos 01. La tabla muestra algunos datos sobre las edades de 80 alumnos. Calcule la media. Edades
fi
hi
11
0,25
12
8
13
0,20
14 15
0,35
Resolución • Como n = 80; tamaño de la muestra, se puede calcular: f1 = n . hi = 80(0,25) = 20 → f1 = 20 f2 = n . h3 = 80 (0,20) = 16 → f3 = 16 f5 = n . h5 = 80 (0,35) = 28 → f5 = 28 Como f2 = 8 y n = 80 → f4 = 8 20 (11) + 8 (12) + 16 (3) + 8 (14) + 28 (15) x= 80 x = 13, 2 02. Hallar la mediana de los números x x
frecuencia
60 ; 5
70
65 ; 10
40
615 ; 20
40
610 ; 15
50
Resolución • De los datos: n = 200 • Por tanto: n = 100 2 • Elaboramos el cuadro de frecuencias: Intervalos 1 2 3 4 • F2 > n , luego: 2
60 ; 5
fi
Fi
70
70
65 ; 10
40
110
610 ; 15
50
615 ; 20
40
5 ` 200 - 70j 2 40 Me = 8,75
Me = 5 +
120
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Aritmética
03. A partir de la siguiente información Intervalos
fi
610 ; 20
Fi
hi
Hi
0,1
620 ; 30
630 ; 40
0,3
6 40 ; 50
24
650 ; 60
0,85
30
Calcular la mediana.
Resolución
• Del cuadro se observa: H4 = 0,85 → h5 = 0,15 • De f5 = 30 y h5 = 0,15 n = 30 = 200 0, 15 • Se calcula: f1 = n . h1 = 200 (0,1) = 20 f3 = n . h3 = 200 (0,3) = 60 f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 200; f2 = 66 • Completamos el cuadro de frecuencias: Intervalos 1 2 3 4 5
fi
610 ; 20
20
630 ; 40
60
650 ; 60
30
620 ; 30
66
6 40 ; 50
24
200
5 ` 200 - 70j 2 Me = 5 + 40 Me = 8,75
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121
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Capítulo 19
Tarea domiciliaria 01. Las edades de un grupo de personas asistentes a una reunión, tiene la siguiente distribución de frecuencias: xi Edades fi 18
11
19
15
20
12
21
10
22
6
04. La siguiente tabla muestra la distribución del ingreso anual (en miles de soles) de un grupo de 50 trabajadores. Hallar la mediana. Soles fi hi Fi 620 ; 6
;
6
;
6
¿Cuál es la moda? a) 10 b) 12 d) 18 e) 15
a) 56,5 ! d) 69, 3
c) 19
02. Se tiene el siguiente histograma de frecuencias relativas: Frecuencia relativa 8x
6
8 0,20 15
;
45
; 120 b) 67,4
c) 72,1
e) 62,8
05. Del gráfico del problema 4, encuentre el valor de: F2 + f3 + F4 a) 61 b) 78 c) 72 d) 79 e) 81 06. De la tabla del problema 4, hallar la moda. a) 70,2 b) 72,3 c) 72,5 d) 75,2 e) 73,6
5x 3x 2x a b c d e f g Rangos ¿Cuántas observaciones hay en el rango [b ; f], si la población es de 300? a) 290 b) 252 c) 260 d) 279 e) 245 03. La siguiente tabla corresponde a la distribución de las edades de un grupo de 80 personas. Hallar qué porcentaje del número de personas tienen a lo más 30 años. Edades fi hi Fi Hi 610 ; 20 6
6
6
;
08. Los datos de la siguiente tabla se refieren a la estatura de un grupo de 12 jóvenes. Estatura (metros) Frecuencia
24
; 40
0,30
;
0,25
650 ;
a) 25% d) 40%
16
07. Los siguientes datos representan la cantidad de minutos que una persona debió esperar para tomar el autobús hacia su trabajo en 14 días laborales: 10, 0, 13, 9, 5, 10, 2, 10, 3, 8, 6, 2, 10 y 15. La suma de la moda y mediana de los datos obtenidos, es: a) 16 b) 16,5 c) 17 d) 17,5 e) 18,5
b) 30% e) 45%
1.60
1
1.65
1
1.70
5
1.71
2
1.85
1
1.87
1
1.93
1
Determine la moda. a) 1.65 b) 1.70 d) 1.85 e) 1.87
c) 35%
c) 1.71
09. De los datos del problema 8 encuentre la mediana. a) 1.70 b) 1.71 c) 1.72 d) 1.85 e) 1.65
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Aritmética
10. La siguiente tabla, muestra la distribución de lo que gastan semanalmente un grupo de alumnos del colegio TRILCE en la cafetería del colegio. Hallar el gasto promedio. Soles xi fi hi
a) 28,4 d) 31,4
6
;
6
; 40
0,20
620 ;
15
6
6
; b) 30,5 e) 27,2
0,30
15. Se tienen los promedios ponderados de 10 estudiantes del curso de Matemática: 10,2 12,6 11,2 14,4 10,8 16,4
14,9
12,5
Si se clasifican los datos para 4 intervalos de clase. Calcular: h2 + H3 a) 50% b) 75% c) 84% d) 92% e) 100%
c) 29,2
17. Determine la varianza de los siguientes datos: xi fi
2
2
10
18
7
4
20
19
8
7
30
20
2
9
20
21
2
22
3
35
1
17
Determine la mediana. a) 18 b) 18.5 d) 19.5 e) 20
11,5
16. Se tiene 4 cantidades positivas donde su mediana es 9, su media es 8 y su moda es 9. Determine el producto de dichas cantidades si es mínimo. a) 1100 b) 1000 c) 472 d) 1053 e) 1134
11. La siguiente tabla muestra la edad de un grupo de 25 postulantes a la UNMSM. Edad Frecuencia (fi)
a) 4 d) 2,366
b) 5 e) 5,609
c) 2,25
18. Considere la Tabla siguiente, completarla e indicar la marca de clase de la clase mediana. Ii fi Fi hi Hi
c) 19
610 ; 20
0,1
630 ; 40
0,16
620 ; 30
12. De los datos del problema 11, determine la media. a) 19,7 b) 19,1 c) 19,4 d) 19,6 e) 19,8
6 40 ; 50
13. De los datos del problema 11 determine la moda: a) 21 b) 18 c) 22 d) 19 e) 20 14. De una tabla simétrica de distribución de frecuencias se sabe que: H7=1, x3=18, f5=30, h3=3h6, f1=3x2, x6=39, h1=0,15 Determine: F4 + F2 a) 180 b) 210 c) 190 d) 195 e) 205
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13,6
123
a) 55 d) 15
650 ; 60
20
0,6
40 b) 45 e) 25
c) 35
19. Con los datos del problema anterior, calcule el total de datos: a) 60 b) 80 c) 90 d) 100 e) 95 20. Con los datos del problema 18, indique: F3 + F5 a) 120 b) 140 c) 180 d) 110 e) 160
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Capítulo 20
20
Análisis combinatorio I
Formas de contar Números para contar En el estudio de situaciones matemáticas de enumeración o conteo habrá que responder a cuestiones como las siguientes: ¿cómo podemos realizar una tarea que nos proponemos?. ¿de cuántas formas diferentes puede realizarse la tarea que nos proponemos? En los casos en los que los objetos a manejar sean pocos, podemos intentar formarlos todos y, a la vez contarlos. Cuando el número de objetos es grande, la formación de todos los casos posterior recuento será problemático y pocas veces podemos hacerlo directamente. Para las situaciones en las que no es posible contar directamente, habrá que acudir a los procedimientos diversos que describe la parte de las Matemáticas denominada combinatoria, la cual nos ayuda de forma planificada y ordenada. La combinatoria es un conjunto de procedimientos y resultados que estudian las diferentes formas en que puede llevarse a cabo una tarea de ordenación o agrupamiento de ciertos objetos, siguiendo unas reglas prefijadas. Dentro del enorme cúmulo de resultados y situaciones que describe la combinatoria, destacaremos los principios básicos para contar, a saber: adición, multiplicación, inclusión – exclusión y distribución o del palomar.
Principio de adición Para dos o más conjuntos que no tengan elementos comunes dos a dos, el número de elementos que existen en todos los conjuntos es la suma de los elementos que tiene cada uno de ellos por separado. Si lanzamos al aire dos dados y observamos el resultado de la caras superiores, ¿de cuántas formas se puede obtener un siete o un ocho? Asociando a cada lanzamiento una pareja de números que se correspondan con la puntuación obtenida en el primero y en el segundo dado, y llamando A y B a los conjuntos de resultados que dan siete y ocho respectivamente, tenemos. A={(1;6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1)} y B={(2,6); (3,5); (4,4); (5;3); (6,2)} Las formas de obtener un siete o un ocho son 6+5=11 En el lanzamiento de tres monedas al aire, ¿de cuántas formas se pueden obtener una, dos o tres caras? Describiendo los resultados con C para la obtención de cara y X, para la obtención de cruz, tenemos: • Obtenemos una cara en: CXX, XCX Y XXC. • Obtenemos dos caras en: CCX, CXC Y XCC. • Obtenemos tres caras en: CCC. Por tanto las formas de obtener una, dos o tres caras son: 3+3+1=7
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Aritmética
Principio de multiplicación Consideramos que el principio de adición descrito posee un número de aplicaciones muy restringidas. No va a ocurrir así con el principio de multiplicación o regla del producto. Este nuevo principio es el que nos permitirá resolver la mayoría de las situaciones problemáticas de enumeración con las que nos vamos a encontrar. Antes de definirlo, y para que puedas familiarizarse con el, lee con atención los siguientes ejemplos: Una casa de comidas tiene para la casa un menú que ofrece: tres primeros platos, dos segundo platos y tres postres. ¿Cuántas comidas distintas pueden confeccionarse? Cada primer plato puede combinarse con cada uno de los segundos platos, obteniendo 3.2=6 formas distintas de combinar los primeros y segundos platos. Cada una de estas situaciones puede combinarse con cada uno de los tres postres, Las posibles comidas distintas que pueden confeccionarse son 3.2.3=18. Lanzando cuatro monedas al aire, ¿cuál es el número de resultados posibles que podemos obtener? Para cada uno de los cuatro lanzamientos tenemos dos resultados posibles, cara y cruz. Combinando unos con otros, en total podemos obtener: 2.2.2.2=24=16 resultados Estas situaciones nos llevan a definir el principio de multiplicación. Si un procedimiento se puede separar en n etapas o pruebas, tales que el resultado de una de ellas no influya en el resultado de las otras, y estas etapas o pruebas tienen n1, n2, ..., nr resultados, posibles. 01. ¿Cuántos números naturales existen que sean mayores que 5 000 y menores que 10 000, con todas las cifras diferentes? En la escritura de los números buscados observamos que la cifra de las unidades de millar debe ser 5, 6, 7, 8 ó 9. La cifra de las centenas puede ser ocupada por uno de los nueve dígitos y para la de las unidades, siete. Podemos formar 5.9.8.7= 2 520 números con todas la cifras diferentes. 02. Se dispone de una baraja de 40 cartas y se extraen 4 cartas por dos procedimientos diferentes: a) Sin devolución de cada carta extraída. b) Con devolución de cada carta extraída Calcula en cada caso el número de formas diferentes de obtener cuatro cartas. a) En este caso disponemos para la primera extracción de 40 cartas diferentes. Como la carta extraída no se devuelve, para la segunda extracción disponemos de 39 cartas y, por tanto, de 38 y 37 para las otras dos extracciones. Así pues, el número buscado será: 40.39.38.37= 2 193 360 b) En este caso la carta extraída se devuelve al mazo. Para las cuatro extracciones disponemos de 40 cartas. Por tanto, el número buscado será. 40.40.40.40= 2 560 000 03. Supongamos que las placas de matrículas de los vehículos de un cierto país consisten en cuatro letras seguidas de tres números, por ejemplo, BPHT994. ¿Cuántas placas distintas pueden formarse con este procedimiento? Observamos que para la elección de la primera letra disponemos de 26 letras del alfabeto, e igualmente para la segunda, tercera y cuarta elección. Para las tres últimas disponemos de los dígitos 0, 1, 2, ..., 9. Aplicando el principio de multiplicación, obtenemos: 16.26.26.10.10.10 = 453 976 000 matrículas distintas.
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125
San Marcos
Capítulo 20
04. Una empresa produce cerraduras de combinación. Cada combinación consta de tres números enteros del 0 al 99, ambos inclusive. Por el proceso de construcción de las cerraduras, cada número no puede aparecer más de una sola vez en la combinación de cada cerradura. Por ejemplo 27-9-6 es una combinación posible, pero 27-9-27 no. ¿Cuántas cerraduras con combinaciones diferentes pueden construirse? Consideramos cada combinación como un conjunto de tres casillas en las que se pueden introducir números del 0 al 99. Hay 100 formas de elegir los números de la primera casilla (0-99). Puesto que están prohibidas las repeticiones, hay 99 formas de elegir el número de la segunda casilla y, por lo tanto, 98 para la última. Por el principio de multiplicación habrá: 100.99.98= 970 200 combinaciones distintas. 05. ¿Cuántos números capicúas hay de seis cifras? Un número capicúa de seis cifras responde al siguiente esquema: abccba. Si obtenemos las ordenaciones de las tres primeras cifras (a, b, c), las otras tres vienen obligadas, de tal forma que tenemos un número capicúa por cada ordenación de las tres primeras cifras. Teniendo en cuenta que las cifras 0, 1, 2, 3 ..., 9 pueden repetirse y que en la primera posición no puede ir la cifra cero, el número total de números capicúas de seis cifras, aplicando el principio de multiplicación, será: 9.10.10= 900
Práctica 01. Un juguete se vende en tres mercados, en el primero 3 tiendas lo tienen disponible, en el segundo 5 tiendas lo tienen y en el tercero 6 tiendas. ¿ Cuántas formas tiene la persona para adquirir un juguete? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 02. Para ir de Lima a Tumbes dispongo de cuatro líneas terrestres y dos lineas aéreas. ¿De cuántas maneras diferentes podré realizar el viaje de lima a Tumbes? a) 8 b) 6 c) 12 d) 4 e) 10 03. Según el enunciado de la pregunta anterior, ¿de cuántas maneras diferentes podré realizar el viaje Lima – Tumbes – Lima (considere que existen las mismas líneas disponibles para el viaje de retorno a Lima)? a) 16 b) 32 c) 26 d) 36 e) 24 04. En cierto sistema telefónicos se utilizan 4 letras diferentes P, R, S y T y los dígitos: 3, 5, 7 y 8 para designar a los abonados. Hallar el máximo de números telefónicos de que cada uno está formado por una letra seguida de un número de 4 cifras. a) 1024 b) 15 c) 45 d) 20 e) 60
De donde la vocal puede ser cualquiera de las conocidas, la consonante puede ser cualquiera de 12 seleccionadas y el número podría ser 01 a 99. Si los premios ascienden a 7 500 000 soles y los gastos suman 1 200 000, cual fue la utilidad, si se logró vender la tercera parte de los boletos a S/. 10 000 cada boleto? a) S/. 11 110 000 c) S/. 8 700 000 e) S/. 2 970 000
06. Daniela alista la ropa que usará para ir al concierto de Nelly Furtado. Se sabe que entre sus opciones cuenta con tres pantalones, cinco faldas, cuatro polos, tres chompas, tres pares de zapatillas y cuatro pares de botas. ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse?. Considere que no puede usar un pantalón y una falda a la vez y, adicionalmente, deberá usar un polo y una chompa a la vez. a) 672 d) 1 152
Número
b) 2 160 e) 576
c) 392
07. En una carrera participan nueve caballos. ¿De cuántas maneras diferentes podrían ser ocupados los cuatro primeros lugares si "campeón" ocupó el tercer lugar? a) 504 d) 336
05. El formato de la numeración de los boletos de una lotería escolar es el siguiente: Vocal
b) S/. 11 100 000 d) S/. 19 800 000
b) 3 024 e) 168
c) 1 680
08. "n" personas van a formarse formando una fila india. ¿De cuántas maneras podrán hacerlo si 2 de ellas deben estar siempre juntas? a) 2(n–1)! d) n!
Consonante
126
b) 2(n–2)! e) N.A
c) 2!.n!
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09. Las placas de automóviles tienen el siguiente formato: 1º
2º
3º
4º
5º
6º
En el primer casillero pueden colocarse las letras A, B, C, D, E, F, G, H, I en el segundo: J, K, L, M, N y en los casilleros 3º; 4º; 5º y 6º se colocan números asumiendo que no pueden asignarse el cero y el 9 en ningún casillero. ¿De cuántas placas de automóviles puede disponerse? a) 45.84 d) 54.104
b) 45.94 e) N.A
c) 45.104
10. Tres muchachos y dos muchachas escogen un lugar de trabajo. En la ciudad hay tres fábricas en las que son necesarios obreros en los talleres de fundición (donde se admiten solamente hombres), dos fábricas de tejido (en las que se aceptan solo mujeres) y dos fábricas en las que se necesitan hombres y mujeres ¿De cuántas maneras diferentes podrán elegir su centro de trabajo? a) 1200 d) 1440
b) 2000 e) 1320
c) 2400
11. Los equipos de la UNI y UNMSM participan en un torneo que consiste en una serie de varios partidos, la regla del torneo considera que no haya empates y campeona el equipo que gana dos partidos seguidos o un total de tres partidos. ¿De cuántas formas se puede desarrollar la serie de partidos? a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
12. Una bandera esta formada por cuatro bandas verticales que deben ser pintadas, usando los colores amarillo, blanco y verde, no debiendo tener bandas adyacentes el mismo color. De cuántos modos puede ser pintada dicha banda. a) 15 d) 24
b) 18 e) 25
c) 20
13. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar todas la letras de la palabra TANGOS de modo que comiencen y terminen con una consonante? a) 248 d) 384
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b) 288 e) 380
Enunciado (prob: 14, 15, 16) Una persona puede jugar a la ruleta sólo hasta cinco veces, gana o pierde un dólar en cada juego. Empieza con dos dólares y dejará de jugar si pierde todo su dinero o si gana tres dólares. Según éstas condiciones responder las siguientes preguntas. 14. Determine las posibilidades que puede ocurrir: a) 12 d) 20
b) 15 e) 24
c) 18
15. ¿Cuántas son las posibilidades en total de ganar y cuantas las de perder? a) 12 y 8 d) 15 y 5
b) 10 y 5 e) 8 y 4
c) 15 y 3
16. ¿Cuántas son las posibilidades de obtener el máximo de utilidades? a) 4 d) 6
b) 3 e) 2
c) 5
17. Si se tiene un pentágono regular en cuyos vértices se tiene 3 focos (rojo, azul y verde) y sólo se enciende un foco. ¿Cuántas señales diferentes se pueden observar si se encienden al menos dos vértices? a) 270 d) 42006
b) 5040 e) 4200
c) 1008
18. Cuatro caballos toman parte de un concurso. ¿De cuántas maneras diferentes pueden llegar a la meta? a) 256 d) 69
b) 96 e) N.A
c) 24
19. Con las cifras 1, 2, 3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números de tres cifras diferentes podré formar? a) 216 d) 60
b) 90 e) 180
c) 120
20. Con las cifras 2, 4, 6, 9 y 0, ¿cuántos números de cuatro cifras diferentes podré formar? a) 120 d) 125
b) 96 e) 144
c) 72
c) 196
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Capítulo 20
Tarea domiciliaria 01. Un grupo escolar formado por 12 niñas y 13 niños debe elegir su delegado. Cuántos posibilidades de tendrá para elegir el delegado. a) 25 d) 30
b) 26 e) 32
c) 27
02. Una persona desea viajar al Cuzco, si lo hace por tierra puede elegir entre 7 empresas de transporte y si va por vía aérea puede elegir entre 5 compañías de aviación. De cuántos modos puede realizar el viaje dicha personas. a) 10 d) 14
b) 12 e) 15
b) 15 e) 60
b) 24 e) 64
c) 63
05. De cuántas maneras se pueden ubicar a 4 estudiantes de un grupo de 8 estudiantes en una carpeta de cuatro asientos. a) 1 200 d) 1 540
b) 1 240 e) 1 680
c) 1 340
06. En una carrera participan 10 atletas, de cuántos modos podrán premiar a los tres primeros en llegar, si llegan uno tras otro. a) 510 d) 720
b) 512 e) 750
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
a) 8 d) más de 12
c) 3
a) 5 d) 8
b) 14 e) 24
b) 12 e) 6
c) 10
b) 6 e) 9
c) 7
12. Si lanzamos tres dados y dos monedas. ¿Cuántos resultados posibles podemos obtener?. Dar por respuesta la suma de las cifras del número. a) 18 d) 16
b) 14 e) 20
c) 17
13. Fernando tiene 10 soles y decide participar e un juego que consiste en lanzar una moneda cuatro veces como máximo. En cada lanzamiento debe apostar 10 soles, si sale cara gana 10 soles más y si sale sello, pierde 10 soles. ¿De cuántas maneras diferentes pueden realizarse los juegos sabiendo que si se queda sin dinero ya no puede seguir jugando? a) 6 d) 7
b) 8 e) 10
c) 9
14. Con las cifras 1, 2, 3, 5, 7, 8 y 0, ¿cuántos números capicúas pares de cinco cifras se podrá formar? a) 98 d) 126
b) 84 e) 120
c) 147
15. Un trabajador transmite una orden a tres colegas a las 9.00 a.m. utilizando 10 minutos, si cada trabajador transmite la orden a otros tres cada 10 minutos. ¿Cuántos trabajadores saben de la orden hasta las 9.30 a.m.? a) 36 d) 64
08. Un examen consta de 12 preguntas con tres alternativas cada una. ¿De cuántas maneras se podrá contestar todas las preguntas? Dar por respuesta la suma de las cifras del número. a) 18 d) 17
c) 796
11. Tengo dos monedas de un sol, dos soles y dos de cincuenta céntimos de sol. Si tomo tres de las seis monedas, ¿cuántas suma diferentes podré obtener?
c) 600
07. Un partido de fútbol termina "2–1". ¿De cuántas maneras diferentes se pudieron haber ido metiendo los goles?
b) 288 e) 672
10. Dos amigos juegan al tenis y acuerdan que ganará el partido el que gane dos sets seguidos o tres alternados (no hay posibilidad de empate en cada set). ¿De cuántas maneras diferentes puede desarrollarse el juego?
c) 45
04. Se dispone de 6 focos de luz colocados en fila, prendiendo unos y apagando otros se pueden codificar señales, según esto. ¿Cuántas señales diferentes se pueden emitir? a) 120 d) 240
a) 576 d) 1 152
c) 13
03. Una dama dispone de 3 pares de zapatos, 4 minifaldas, 5 blusas y 3 carteras, éstas últimas de los colores respectivos de los zapatos. De cuántas maneras se puede vestir, considerando dichas prendas, si los zapatos y las carteras deben ser del mismo color. a) 180 d) 20
09. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse cuatro hombres y cuatro mujeres en una fila de un teatro si desean estar alternados?
b) 37 e) 97
c) 49
c) 20
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21
Análisis combinatorio II
Técnicas
Definición
Definición
básicas
Aplicaciones
Tipos Sí
No
¿Influye el orden?
¿Intervienen todos los elementos?
¿Intervienen todos los elementos? Sí
No
¿Repetición?
¿Repetición? Sí
Número
No
Sí
Número
Número
Aparecen
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No ¿Repetición? No
No
Número
Número
Aparecen
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Capítulo 21
Práctica 01. Julia desea preparar un postre con tres ingredientes principales. Si dispone de siete ingredientes, ¿de cuántas maneras diferentes pondría escoger sus tres ingredientes principales? a) 210 d) 120
b) 35 e) 42
b) 1440 e) 1152
b) 12540 e) 17280
c) 20160
04. En un plano se han colocado doce puntos, de tal manera que no existen tres o más puntos colineales. ¿Cuántos cuadriláteros se podrá formar tomando los puntos como vértices? a) 495 d) 11880
b) 640 e) 13200
c) 3240
05. Siete amigos se sientan alrededor de una mesa circular con 7 asientos distribuidos simétricamente. Si dos de ellos siempre se sientan juntos, ¿de cuántas maneras diferentes podrán ocupar los asientos?. Dar por respuesta la suma de las cifras del número. a) 10 d) 8
b) 11 e) 9
c) 6
06. A una reunión se presentan 11 hombres y 3 mujeres. En la puerta, el organizador les dice que solo permitirá el ingreso de 4 hombres y 2 mujeres. ¿De cuántas maneras diferentes podrá realizar la elección de las personas? a) 660 d) 240
b) 333 e) 495
c) 990
07. A una cena acuden 11 personas. Al llegar al restaurante advierten que la mesa solo tiene espacio para 6 personas, por lo cual las 5 restantes se quedarán paradas esperando una mesa vacía. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ocupar los asientos de la mesa?. Dar por respuesta la suma de las cifras del número. a) 18 d) 24
b) 21 e) 20
c) 14
b) 196 e) 336
c) 182
09. Jaime ha decidido crear una juguería y se especializará en el uso de las siguientes frutas: plátano, papaya, melón, piña, manzana y mango. ¿Cuántos jugos diferentes podrá preparar? a) 64 d) 63
c) 72
03. Con todas las letras de la palabra AMIGABLE, ¿cuántas palabras con o sin sentido de podrá formar? a) 40320 d) 5040
a) 144 d) 224
c) 48
02. Siete amigos acuden a una conferencia y observan que solo quedan cinco asientos disponibles. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ocupar los asientos? a) 21 d) 2520
08. Una persona debe elegir a cuatro niños de un grupo de 10 y sabe que Lucero nunca podría estar en el grupo con Javier. ¿De cuántas maneras diferentes se puede realizar dicha elección?
b) 31 e) 57
c) 127
10. Una empresa ha producido un lote de 20 televisores y se sabe que 4 de ellos son defectuosos. Si el encargado de control de calidad selecciona 5 de los televisores y los revisa y acepta el lote en caso de que no encuentre ningún defectuoso, ¿de cuántas maneras podrá realizar dicha selección para que se acepte el lote? a) 2648 d) 12348
b) 4368 e) 4328
c) 5824
11. Según el enunciado de la pregunta anterior, el gerente de control de calidad decide cambiar a 7 el tamaño de la muestra a analizar pero aceptará el lote si hay máximo un artículo defectuoso, ¿de cuántas maneras podrá realizar dicha selección para que se acepte el lote? a) 41284 d) 43472
b) 48234 e) 20736
c) 56232
12. En una fila se van a ubicar ocho amigos teniendo en cuenta que Sofía estará junto a Pedro y Raquel, y Juliana estará junto a Marco. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las personas en la fila? a) 480 d) 240
b) 1440 e) 2520
c) 720
13. Dados los números: 1, 2, 4, 7, 9, 12, 15, 18, 24 y 30. ¿De cuántas maneras se podrá elegir cuatro de los números, de tal manera que su suma sea un número par? a) 94 d) 106
b) 112 e) 105
c) 124
14. 9 personas, 4 hombres y 5 mujeres, acuden a una discoteca. El encargado de la boletería les indica que solo hay la posibilidad de vender 5 entradas, y además, que tienen que ingresar más mujeres que hombres. ¿De cuántas maneras diferentes podrán elegirse a las 5 personas que entrarán a la discoteca? a) 124 d) 76
130
b) 88 e) 72
c) 81
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15. Sobre los lados de un hexágono se debe dibujar 6 de las siguientes figuras regulares: un triángulo, un cuadrado, un pentágono, un hexágono, un nonágono, un decágono o un icoságono. Además también se considera a una semicircunferencia. ¿De cuántas formas diferentes se podrá obtener el dibujo? a) 28 d) 20160
b) 4320 e) 6720
c) 3360
16. Una señorita que acaba de hacer la primera comunión, desea repartir las 9 estampas que le quedan de la siguiente manera: 4 a su profesora, 3 a su prima y 2 a su amiga. ¿De cuántas maneras lo puede hacer? a) 1460 d) 1580
b) 1610 e) 5040
c) 1260
17. Se tiene 10 problemas de los cuales hay un problema difícil. ¿De cuántas formas se podría dejar como tarea 5 problemas a un alumno de modo que siempre se incluya el problema difícil? a) 144 d) 72
b) 126 e) 32
18. Se tiene 5 cajas en las cuales se deben colocar 12 bolas diferentes. ¿De cuántas maneras se pueden colocar si en la primera caja se deben colocar 3, en la última 4 y las bolas restantes en las demás cajas? a) 7920×35 d) 23760×35
b) 15840×35 e) 31680×35
c) 27720×35
19. ¿De cuántas maneras pueden sentarse cuatro parejas de esposos alrededor de una fogata, si dichas parejas desean estar siempre juntas? a) 90 d) 16
b) 98 e) 48
c) 96
20. Se dispone de 8 banderas, donde 2 son rojas, 2 son blancas y 4 azules. ¿De cuántas maneras diferentes se puede izar las 8 banderas en un mástil? a) 112 d) 64
b) 240 e) 420
c) 56
c) 108
Tarea domiciliaria Enunciado (pgts. 01, 02) En una fuente de soda BIG BURGUER ofrece la posibilidad de que uno arme su sándwich en base a los siguientes ingredientes: Tocino, jamón, milanesa, queso, hamburguesa, chorizo, lomito ahumado. Adicionalmente, se sabe que se deberá pagar tres soles por ingrediente, los ingredientes no se pueden repetir en un sándwich y como mínimo el sándwich debe tener dos ingredientes. 01. ¿Cuántos sándwiches de tres ingredientes se podrá formar? a) 28 d) 48
b) 35 e) 42
c) 24
02. Si se decide seleccionar cinco ingredientes, uno de los cuales es Chorizo, ¿cuántos sándwiches diferentes se podrá preparar? a) 15 d) 28
b) 35 e) 24
c) 30
03. Una cuatrifecta es una apuesta en el hipódromo que consiste en acertar el orden de llegada de los cuatro primeros puestos. El costo de un boleto es de dos soles. Si en una carrera participan 9 caballos, ¿cuánto dinero tendrá que invertirse para asegurar que se tendrá una cuatrifecta ganadora? a) 4832 d) 252
131
c) 3096
04. A un concurso para elegir a un ingeniero, un contador y un publicista, se han presentado 3 ingenieros de la Universidad Católica, 4 ingenieros de la UNI, 2 contadores de la Universidad Católica, 3 contadores de la Universidad Ricardo Palma, 5 publicistas de la Universidad Católica y 6 publicista de la UPC. ¿De cuantas maneras se realizará la elección si solo uno de los elegidos deberá ser de la Universidad Católica? a) 144 d) 196
b) 128 e) 120
c) 162
05. Se tienen dos caramelos de limón, uno de fresa, uno de piña, uno de chicha morada y uno de manzana. ¿De cuantas maneras diferentes se podrá elegir dos de los caramelos? a) 15 d) 12
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b) 6048 e) 20736
b) 11 e) 20
c) 13
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Capítulo 21
06. A una academia llegan ocho alumnos nuevos. Se sabe que hay dos aulas disponibles para ellos. En cada una de estas aulas hay cuatro asientos libres en la primera fila. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar en los asientos de dichas aulas? a) 40320 d) 576
b) 20160 e) 1152
c) 5040
07. Disponemos de 9 colores para pintar un mural dividido en 3 columnas; cada una de dichas columnas deberá ser pintada de un color distinto. ¿Cuántos murales diferentes se podrá confeccionar si debe utilizarse el color amarillo? a) 224 d) 168
b) 72 e) 144
b) 112 e) 336
c) 108
09. Se dispone de 4 billetes de 100 soles, 3 de 50 soles, 5 de 20 soles y 4 de 10 soles, los cuales serán colocados en fila. ¿De cuántas maneras se podrá ordenar si los billetes de igual nominación deben estar juntos? a) 20 d) 18
b) 23 e) 24
a) 15 d) 8
c) 17
a) 10875 d) 12100
b) 196 e) 720
c) 10
b) 11025 e) 12600
c) 12400
14. Una fábrica produce lotes de 20 televisores. Se elige una muestra de 6 televisores y se acepta el lote si máximo hay dos defectuosos, caso contrario se envía el lote a reparaciones. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá devolver el lote a reparaciones si este tiene 4 defectuosos? a) 1840 d) 7860
b) 25480 e) 25200
c) 2360
15. Responda lo mismo que en la pregunta anterior pero considere que el lote tiene 30 televisores, que se aceptará el lote si no hay ningún defectuoso en la muestra tomada y que en el lote hay 5 defectuosos. El tamaño de la muestra será el mismo. a) 236 435 d) 342 240
10. En una fila del cine hay seis asientos consecutivos libres, en los que se sentarán seis amigos con la única condición de que Lucía no estará junto a Gustavo ni a Roberto. ¿De cuántas maneras diferentes podrán sentarse? a) 360 d) 288
b) 12 e) 20
13. Se desea elegir cinco camisas de siete que hay; cuatro pantalones de un total de seis; y tres pares de zapatos de siete posibles. ¿De cuántas maneras se podrá realizar la selección de todos los artículos deseados?
c) 504
08. A una reunión acuden ocho chicas con sus respectivos esposos. Si cada persona saluda a las restantes con un abrazo, ¿cuántos abrazos se han dado en la reunión? a) 120 d) 96
12. En un partido de Fútbol, el equipo de Universitario metió el cuarto gol justo antes de que el árbitro tocara el silbato para dar por concluido el partido. Si el partido terminó 4 a 2, ¿de cuántas maneras diferentes se pudo haber movido el score del partido?
b) 354 234 e) 342 420
c) 416 675
c) 480
11. Según el enunciado de la pregunta anterior, si Lucía no puede sentarse junto a Gustavo ni Roberto ni a Lucero, ¿de cuántas maneras diferentes podrán sentarse? a) 96 d) 114
b) 126 e) 120
c) 144
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22
Numeración
Introducción Se puede decir que la Matemática tomó forma de ciencia en la antigua Mesopotamia, donde los sumerios crearon la escritura cuneiforme (3,200 a.C.) La civilización de Babilonia desarrollada en la antigua Caldea creó el sistema sexagesimal, aunque no conocían el cero utilizaban 2 símbolos P = 1 y ' = 10. Hasta que mucho tiempo después aparecieron los sistemas de numeración que utilizaban los dedos (decimal, quinario, duodecimal, vigesimal, etc). Pero podemos decir que recién en el siglo V d.C. se fraguaron los orígenes de nuestro sistema de numeración (decimal). El principio de posición; ocasionó las nueve cifras y el cero aparece en la obra del matemático indio Brahmagupta. Es decir, los hindúes crearon las cifras 0, 1, 2, 3, ....., 9; pero fueron los árabes los que difundieron estos símbolos por Europa.
Numeración Parte de la aritmética que se encarga de la forma correcta de expresar y representar a los números.
Número Es un ente matemático que nos permite cuantificar a los objetos que nos rodean.
Numeral Es la representación simbólica del número. Mayas: = 1; — = 5;
= 20
Romanos: I ; V ; X ; L ; C ; D ; M Hindúes - Árabes: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 Ejemplo: "Cinco" se puede representar así: ;
; V ; — ; 5 ; P P P P P ; ... etc
Sistema de numeración Conjunto de reglas y principios convencionales para representar un número.
Principios Del orden: toda cifra en un numeral, tiene orden, por convención, se enumera de derecha a izquierda. Por ejemplo: Orden
4 3 2 8
1er. orden (unidades) 2do. orden (decenas) 3er. orden (centenas) 4to. orden (millares) Observación: también podemos encontrar el lugar que ocupa una cifra y se toma de izquierda a derecha.
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Capítulo 22
4 3 2 8 4to. lugar 3er. lugar 2do. lugar 1er. lugar
De la base: todo sistema posicional de numeración tiene una base, que es un número natural mayor que la unidad, el cual indica la cantidad de unidades necesarias para pasar de un orden al orden inmediato superior. En forma sencilla, la base nos indica la forma como debemos agrupar. De sus cifras: las cifras son números naturales que siempre son menores que la base. En base "n" las cifras pertenecen al conjunto: {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...... ; (n - 1)} Observación: Valor de sus cifras Va : Valor Absoluto VR : Valor Relativo Va = 4 Va = 3 Va = 2 Va = 8 4 3 2 8 VR = 8 unidades VR = 2 decenas VR = 3 centenas VR = 4 millares
Algunos sistemas posicionales de numeración Base
Sistema
Cifras a utilizar
2
Binario
0, 1
3
Ternario
0, 1, 2
4
Cuaternario
5
Quinario
0, 1, 2, 3, 4
6
Senario
0, 1, 2, 3, 4. 5
7
Heptanario
8
Octanario
9
Nonario
0, 1, 2, 3, 4. 5. 6, 7, 8
10
Decimal
0, 1, 2, 3, 4. 5. 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4. 5. 6 0, 1, 2, 3, 4. 5. 6, 7
Representación literal de un número • Numeral de 2 cifras base 10: ab ∈ {10; 11; 12; .... 99} • Numeral de 3 cifras base 5: abc(5) ∈ {100(5); 101(5); 102(5); ...444(5)}
Numeral capicúa Aquel cuyas cifras equidistantes de los extremos del numeral son iguales. Ejemplo: a ; aa; aba; abba; abcba
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Aritmética
Descomposición polinómica Consiste en expresar un número como la suma de sus valores relativos Ejemplo: 4326(7) = VR(4) + VR(3) + VR(2) + VR(6) 4326(7) = 4 · 73 + 3 · 72 + 2 · 71 + 6 · 70 En general: N = ak - 1ak - 2 ak - 3 ...a2 a1a0 (n) numeral de "k" cifras de la base "n" N = ak - 1 $ nk - 1 + ak - 2 $ nk - 2 + ... + a1 $ k1 + a0
Por bloques Consiste en descomponer un numeral tomando convenientemente las cifras de 2 en 2, 3 en 3, etc. Ejemplos:
Cambio de base • De base n a base 10 Ejemplo: Expresar 2132(6) en base 10 "El método, consiste en descomponer polinómicamente el número" 2132(6) = 2 · 63 + 1 · 62 + 3 · 6 + 2 2132(6) = 432 + 36 + 18 + 2 2132(6) = 488 Rpta Otro método: (Ruffini) 2
1
6 #
2
3
2
12
78
486
13
81
488
+
Rpta.
• De base 10 a base n Ejemplo: Expresar 435 a base 7 "El método consiste en dividir sucesivamente entre 7, los residuos que van quedando, indican las cifras del orden respectivo". 435
7
1
62
7
6
8
7
1
1
⇒ 435 = 11617 • De base n a base m Ejemplo: Expresar 416(8) a base 9 "El método, consiste en expresar primero en base 10 y luego dicho resultado a base 9". 4
1+
8 4
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135
6+
32
264
33
270
San Marcos
Capítulo 22
Luego 270 a base 9 270
9
0
30
9
3
3
⇒ 416(8) = 330(9) Observación: "A mayor numeral aparente, menor base" 416 > 330 → 8 < 9
Límite de un numeral N(n) de "k" cifras nk - 1 # N(n) < nk Ejemplos: 104 ≤ abc < 103 63 ≤ abcd(6) < 64
Propiedades • Numeral de k cifras máximas (n - 1) (n - 1) ... (n - 1) 1 4444 2 4444 3 k cifras
•
= nk - 1
(n)
Ejemplo: 777(8) = 83 - 1 1a1
= a1 + a2 + a3 + ... + ak + n 1a2 1a3j 1ak (n )
Ejemplo: = 2 + 3 + 4 + 8 = 17 12 + + 13 + 14 (8) •
4
1
ab
ab
= ak n + ak - 1b + ak - 3 b + ... + a2 b + a1b + b
4
4 2
ab
k veces
4
ab(n)
3
Cambio de base directo Expresar 133(1000) en la base 1001. • 1000 - 1001 = - 1 1 -1 1 -1
3
3
-1
-2
2
1
-1 1
1
⇒ 133(1000) = 111(1001) ¿Por qué se puede aplicar el método de Ruffini para realizar el cambio de base directo?
136
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Aritmética
Ejercicios • Expresar 2531(5000) en base 5002. • Expresar 3001(2500) en base 2503.
Casos especiales de cambio de base De base n a base nk: se toma el numeral de la base "n" y se separa de derecha a izquierda grupos de "k" cifras. Enseguida, a cada grupo se aplica descomposición polinómica. Ejemplo: 11011011101(2) a base 8
Resolución Base 2 a base 8 = 23 " k 11|011|011|101(2) Luego: 11(2) = 1 × 2 + 1 = 3 011(2) = 1 × 2 + 1 = 3 101(2) = 1 × 4 + 1 = 5 Entonces: 11011011101(2) = 3335(8) Rpta
Ejercicio • Convertir 2120110122(3) a base 9
De base nk a base n: se toma cada una de las cifras de la base nk y se convierte a base n, tratando de obtener grupos de "k" cifras, si algún grupo no tiene "k" cifras se completa con ceros a la izquierda. Ejemplo: 72416(8) a base 2 Base 8 = 23 a base 2 Cada una de las cifras de la base 8, se convierten a base 2. 7
2
1
3
2
1
1
111(2)
2
2
4
2
0
1
0
2
2
0
1
010(2)
100(2)
1
2
6
2
1
0
0
3
2
1
1
001(2)
110(2)
Luego: 72416(8) = 111010100001110 (2)
Ejercicio Convertir (15)3482(16) a base 4
Descomposición polinómica para números positivos menores que la unidad a a a a = 11 + 22 + 33 + ... + nn (k) k k k k
0, a1a2 a3 ...an Ejemplos: • 0, 24(5) = 2 + 4 51 52 • 0, 371(8) = 3 + 7 + 1 81 82 83
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137
San Marcos
Capítulo 22
Problemas resueltos 01. Si a un número de tres dígitos que empieza en 7 se le suprime este dígito, el número resultante es 1 del número 26 original. ¿Cuál es la suma de los tres dígitos de dicho número? UNMSM 2000
Resolución • Sea: 7ab • Le suprimimos 7: ab = 1 (7ab) 26
26ab=700+ab 25ab=700 ab=28
• Luego: 7ab=728 • Nos piden: 7 + 2 + 8 + 17 02. Dados los números binarios: m = 11; n = 111 y p = 1111, entonces: m3 + n2 + p en binario es: UNMSM 2004 - I
Resolución • Tenemos: m = 11(2) = 3 n = 111(2) = 7 p = 1111(2) = 15 • Luego:
• Finalmente:
m3 = 27 n2 = 49 p = 15 m3 + n2 + p = 91 91 2 (1) 45 2 (1) 22 2 (0) 11 2 (1) 5 2 ( 1) 2 2 (0) 1 1011011(2)
03. ¿En qué sistema de numeración se cumple que: 201 - 45 = 112? UNMSM 2005 - I
Resolución se "presta" un grupo igual a la base n n 2 0 1(n) 4 5(n) 1 1 2(n) n+1-5=2 n=6 ∴ en base 6
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Aritmética
Práctica 01. Si: 121(n)=169. Hallar "n" a) 9 d) 12
b) 10 e) 13
10. Si un número se escribe en base 10 como xxx y en base 6 como aba, entonces: a+b+x es igual a: a) 6 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4
c) 11
02. Hallar el número de 2 cifras tal que al sumarle el mismo número pero con las cifras invertidas se obtiene 11 veces la diferencia de dichos números. Dar como respuesta el producto de sus cifras. a) 18 b) 20 c) 24 d) 30 e) 32 03. El número 856 se expresa en cierto sistema de numeración como un número capicúa de 4 cifras. Dar la suma de las dos primeras cifras de dicha representación. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 04. El mayor número de 3 cifras diferentes de la base "n" se representa en el sistema nonario como 250. Hallar "n" a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
11. Hallar un número de 2 cifras que sea igual a 6 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta la diferencia de sus cifras. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. ¿En cuántas unidades aumenta 2357 si su cantidad de centenas enteras se duplicara? a) 3 b) 6 c) 600 d) 23 e) 2300 13. Si: abcabc=kabc. Hallar: k a) 11 b) 101 d) 1001 e) 1100
c) 1010
14. Si: ab0ab = kab. Hallar "k" a) 11 d) 1010
b) 101 e) 110
c) 1001
05. ¿En qué sistema de numeración, el número 807 se escribe 573? Dar la base. a) 8 b) 9 c) 11 d) 12 e) 15
15. Si: mn(p) = np(m+2) Hallar: m × n × p Sabiendo además que: m+n+p=24 a) 405 b) 504 c) 720 d) 524 e) 726
06. En qué sistema de numeración el número de la forma 2341(6) se expresa como 1065? a) Eptario b) Octanario c) Nonario d) Decimal e) Duodecimal
Problemas adicionales
07. Si: 213x(n) = 103x(9) Dar como respuesta la cifra de mayor orden del número expresado en base 10, si se sabe que el número es el mayor posible. a) 5 b) 2 c) 6 d) 7 e) 4 08. Si: 3x4(n) = 2y2(7) La suma de x+y+n será a) 17 b) 18 d) 20 e) 21
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
17. ¿Cuál es el máximo valor de "n" que satisface la igualdad: ab(n) = ba(8)? a) 7 d) 9
b) 6 e) 50
c) 8
18. En que sistema de numeración el número de la forma 303034 se expresa con 3 cifras iguales? a) Nonario b) Octario c) Duodecimal d) Hexadecimal e) Binario
c) 19
09. El cuádruplo de un número es de la forma ab, pero si al número se le multiplica por 3; y luego se le divide entre 2, se obtiene ba. Hallar: (a-b) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
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16. Si: abc(7) = cba(9). Hallar: a+b+c
139
19. Hallar a+b+n, sabiendo que: aabb(n)=318 a) 7 d) 12
b) 9 e) 13
c) 10
20. Como se escribe en base 6 el menor capicúa de 4 cifras del sistema octal, cuya suma de cifras sea 20? b) 12042(6) c) 13043(6) a) 10341(6) d) 13243(6) e) 11043(6)
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Capítulo 22
Tarea domiciliaria 01. ¿Cómo se representa el menor número de 3 cifras del sistema nonario a la base 6? a) 312(6) d) 123(6)
b) 231(6) e) 321(6)
b) 204(5) e) 240(5)
Calcular: ca(7) + ba(8)
c) 213(6)
02. ¿Cómo se representa el menor número de 3 cifras del sistema octanario a la base 5? a) 224(5) d) 402(5)
10. Si: 2a(b)+2b(c)=22(a)+2c(6)
a) 64 d) 78
b) 302(6) e) 102(6)
c) 422(5)
c) 214(6)
De como respuesta la cifra de tercer orden más la cifra de segundo orden. a) 5 d) 8
b) 3 e) 17
c) 4
b) 5 e) 3
a) 3 d) 6
b) 5 e) 8
b) 7 e) 10
c) 5
13. Si: 234(n) + 76(n) = 321(n) 123(n) – 45(n) = xy(n) Hallar: x + y
c) 6
c) 6
a) 10 d) 13
c) 8
b) 11 e) 14
c) 12
14. Si: 242(a) = 1b2(8) Expresar en base 4 el valor de (a + b) a) 121(4) d) 131(4)
07. Dar "x" si: 23(x) + 52(x) + 25(x) = 312(5) a) 6 d) 9
b) 4 e) 7
Entonces:
06. Dar "n" si: aaaaa(2) = aaa(n) a) 4 d) 7
c) 7
Hallar el valor de: a + b
05. Convertir el mayor número de la forma a(a+b)b(8) a la base 6. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 4 d) 7
b) 6 e) 9
12. Sabiendo que: aab(6) = aba(5)
04. Convierta al sistema ternario, el mayor numeral de 3 cifras diferentes del sistema senario. Indique por respuesta la suma de cifras del número ternario. a) 2 d) 5
c) 73
11. ¿Cuál es el mayor número de 4 cifras, cuya suma de cifras es 15?.
03. Expresar en base 6; el menor numeral de 4 cifras diferentes de la base 4. a) 203(6) d) 135(6)
b) 67 e) 86
b) 13(4) e) 22(4)
c) 31(4)
15. Si: 23a9 = 36ap = 27b(n) Hallar el máximo valor de: n + p + b + a
08. Halle la suma de cifras de expresar: (n+4)(n–4)n(9)
a) 18 d) 24
En el sistema undecimal: a) 8 d) 12
b) 10 e) 13
b) 19 e) 15
c) 20
c) 11
09. Si los siguientes numerales están correctamente escritos: xay(b); 3xy(a); yxc(7); ybx(c) Hallar: a + b + c a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
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Aritmética
23
Repaso
01. Expresar (a–4)(2b–1)(a+1)(b–3)(7) en base (a+b), y dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 02. Hallar la suma de todos los valores que puede tomar "a", si a6b(n)=ba2(9) donde a>b. a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
k cifras
a) 13 d) 14
b) 15 e) 16
1415 (7)
04. Un numeral de cuatro cifras de la base 5 que empieza con la cifra 3, es tal que si este 3 se suprime, el numeral resultante es 1 del original. Determine dicho 16 número en el sistema decimal. a) 400 b) 425 c) 512 d) 482 e) 396 05. Al convertir un número al sistema octal y al sistema quinario este se representa como ab00 y como c0c. Hallar: a+b+c a) 9 b) 8 c) 7 d) 11 e) 10 06. Calcular E en el sistema decimal E=aaa(2)+bbb(3)+ccc(4) Sabiendo que a, b y c son diferentes entre sí. a) 101 b) 96 c) 44 d) 82 e) 36
1330(b) = S aa...a
a) 2 d) 5
= 111(x)
b) 3 e) 6
11. Encuentre el valor de "n" si: 1 14 n
c) 4
1 4n1n 2 j 4 "n" veces 431n(8)
a) 3 d) 6
= 112(n)
b) 4 e) 7
c) 5
12. Hallar: a+b, si: (n–1)(n–1)(n–1)(n)=7ab a) 8 d) 12
b) 10 e) 9
c) 7
13. Si "k" es el máximo posible, hallar: n+k, sabiendo además que: 18 1 418 4 18 2 4
"k" veces a) 13 d) 14
07. El mayor número de cuatro cifras de la base "n" se escribe como 1160 en la base 8. Convertir nnn(6) al sistema decimal, y dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 12
c) 12
10. Hallar: "x", si 1213
03. Si a0b(5) = b0a(n). Halle el máximo valor que podría tomar "n". a) 6 b) 10 c) 8 d) 9 e) 7
08. Hallar: a+b, si
09. Calcular: a+b+c+k, si: (a - 1) (a - 1) ... (a - 1) = (a - 5) bc0 1 4444 2 4444 3(a)
= 342(5) 4 18 3
(n)
b) 15 e) 16
c) 20
14. Convertir 254(2008) a la base 2009. Dar como respuesta su cifra segundo orden. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15. Hallar "n", si 1564(n) = 1192(n+1) a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
(2) 9 cifras
a) 9 d) 8
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b) 12 e) 10
c) 7
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San Marcos
Capítulo 23
16. Si el mayor numeral de tres cifras de la base "x", se convierte a la base x+1, su cifra de mayor orden es 4. ¿Cómo se escribe dicho número en la base 9? a) 258 b) 425 c) 555 d) 215 e) 627
23. Si: aa+bb+cc=abc. Hallar a+b+c, sabiendo además que a letras diferentes corresponden valores diferentes y ninguna es cero. a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
17. Si: 211312(n) = 9ab(n2)
24. Hallar: a+b+n, si: abab(n)=221
Hallar: a+b+n a) 15 d) 18
b) 16 e) 19
c) 17
18. Al llevar el numeral 34001100010003 de la base "n" a la base n4, la suma de cifras es 25. Hallar "n" a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 19. Un número se escribe en base 4 como abcabc....abc y en base 64 como (4n+2)(6n–12).... Hallar el valor de: a+b+c+n. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 20. Si: N = 888887(9)
b) 5 e) 8
b) 10 e) 9
c) 7
25. ¿En qué sistema de numeración se cumple que el mayor numeral capicúa de tres cifras es igual a 31 veces la mayor cifra de dicho sistema? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 88........8 en el sistema temario. De 26. Como se escribeS 20 cifras
( 9)
cómo respuesta la suma de sus cifras. a) 96 b) 72 c) 80 d) 64 e) 56
27. Calcular m+n+k. Si se cumple que: (n + 2) (n + 1) n(5) = (k - 1) (k - 1) ... (k - 1) - 7 1 4444 2 4444 3(k) m veces
147(N) = [abba(80)]2 + nn(2) Hallar: a+b+n a) 4 d) 7
a) 8 d) 5
a) 15 d) 96
c) 6
Problemas adicionales 21. Calcular 10a(4)+2bc(a)+bb(c) y expresar en base a+b+c a) 121 b) 113 c) 142 d) 122 e) 123
c) 127
28. Hallar "n". Si: nnnn(n+1) = 212(6) a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
29. Hallar: a × b, si: 1414
1414 ( 8)
a) 5 d) 15
= ab(6)
b) 8 e) 0
c) 6
30. Si: aba = nnn(7), además: an
= pqr(a + n)
an an
4
1
22. Si a un número de tres cifras que empieza con 9 se le agrega un número igual a su cantidad entera de decenas se obtiene 1030. Hallar el producto de las otras dos cifras. a) 21 b) 18 c) 24 d) 20 e) 27
b) 64 e) 10
j
3
4
2
"b" veces
Hallar "x", si es mínimo a) 6 b) 2 d) 4 e) 5
142
an(x)
c) 3
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Aritmética
Problemas resueltos 01. Si k + 1 es un número impar, ¿cuál de las siguientes expresiones representa un número impar? UNMSM 2004 - I
Resolución Si k + 1 es impar, entonces k es par, analizando cada alternativa: a) k (k - 1) < > par (impar) = par b) (k + 1) (k - 1) < > (impar) (impar) = impar 02. Sean: T = $ x ! Z/ 60 = n; n ! N. x H = {x ∈ R / x =5m; m ∈ N} Halle el número de elementos de T ∩ H.
Resolución De: T: 60 = n; n ! N x Entonces x tiene que ser un divisor positivo de 60. De H: x = 5m; m ∈ N entonces x es múltiplo natural de 5. T ∩ H = divisores de 60 ∧ múltiplos de 5. T ∩ H = {5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60} n (T ∩ H) = 6
03. Si un número se escribe en base 10 como xxx, y en base 6 como aba, entonces: a + b + x es igual a:
Resolución Descomposición polinómica:
xxx = aba(6); a y b < 6 111x = S 37a + 6b S 1 44 4 2 44 43 o 37
Luego:
o 37
También tiene que o ser 37, entonces b=0
111x = 37a + 6b . . . 1 3 0 111 = 111 + 0 a = 3; b = 0; x = 1 a+b+x=4
Central 6198 - 100
143
San Marcos
Capítulo 23
Tarea domiciliaria 01. Si: ac(b) = cb(a+2) a + b + c = 24 Hallar acb en la base cinco. b) 3035 a) 3045 d) 3015 e) 3005
c) 3025
02. El mayor número de tres cifras diferentes en base n se expresa como 140 en base 9. ¿Cómo se expresa en base n + 2? Dar como respuesta la suma de cifras. a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 03. ¿Cuántas cifras tiene 128200 al ser expresado en base 8? a) 555 b) 467 c) 457 d) 589 e) 634 04. Un número escrito en el sistema binario tiene 12 cifras. ¿Cuántas cifras puede tener en el sistema nonario? a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 5 05. Al convertir un numeral de 3 cifras consecutivas crecientes de la base 8, a la base "11" se obtiene 311. ¿Cuál es la mayor cifra al convertir el numeral que resulta de invertir el orden de sus cifras de la base 8 a la base "11"? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 06. Hallar un numeral comprendido entre 100 y 200 tal que sea igual a la suma de los cubos de sus cifras. Dar el producto de sus cifras. a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18 07. Hallar "a". Si: ab = b . (a + b) a) 4 b) 5 d) 7 e) 8
c) 6
08. Se tiene un número de 2 cifras si se le agrega un dos a la izquierda del número se convierte en un número igual a 5 veces el número original. Hallar la suma de las cifras de dicho número. a) 5 b) 10 c) 7 d) 6 e) 4
13. Si a un número de tres cifras se coloca la cifra 2 a la izquierda se obtiene la tercera parte del número que resulta si se hubiera colocado la cifra 1 a su derecha. Indicar la suma de cifras del numeral. a) 18 b) 20 c) 22 d) 23 e) 27 14. Los números 402(x); abc(y); 242(z) son consecutivos crecientes tales que sus bases son también consecutivos crecientes. Hallar el valor de (a + b + c) a) 12 b) 11 c) 10 d) 15 e) 16 15. Cumpliéndose que:
4 2n 3
Calcular le valor de "n" a) 5 b) 6 d) 8 e) 9
17. Sabiendo que: abba = ` a j` a j (2b) (2b) 2 2 2 Hallar: a × b a) 2 b) 6 c) 10 d) 4 e) 8 18. Si: a45m = bb43n y a50m = bb44n Calcular el valor de: a + b + m + n a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 19. Si: abb ab = 7b(9) ab(c) Hallar: a + b + c a) 4 b) 6 d) 10 e) 12
10. Hallar a × b, si: aba = 28 (a+b+a) b) 12 e) 18
c) 14
11. Hallar: n + x Si se cumple: 1333(n)=5ax a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 7
16. El doble de abcdef es cdefab. Indique la suma de todos los valores que puede tomar "c". a) 15 b) 16 c) 17 d) 14 e) 13
09. ¿En cuántos sistemas de numeración 230, se escribe con 3 cifras? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 a) 10 d) 16
= 2176
11n 4 2n 4 2n 4 2 2n 4 4 "n" veces
c) 8
20. Dar el mayor valor de "n" en: ab(12) = ba(n) a) 144 d) 122
c) 12
b) 12 e) 101
c) 25
12. ¿En qué sistema de numeración se cumple que el mayor número de 3 cifras es igual a 31 veces la mayor cifra que existe en ese sistema? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 144
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24
Probabilidades
todos los posibles resultados es el
cada subconjunto es un operaciones
Clases
con propiedades forman
sobre ella se define
algunas propiedades
algunas propiedades
algunos resultados importantes
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Capítulo 24
01. Estas jugando CARA – CRUZ con una moneda y las diez últimas tiradas han salido cara. ¿Por qué apostarías en la próxima tirada? Razonas la repuesta. 02. La probabilidad de que nazca un varón es 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de que, entre cuatro nacimientos, dos sean hembras? a) 1/2 d) No puede saberse
b) 3/8
c) 3/4
03. En un experimento se lanzan al aire cuatro monedas juntas. Si el experimento se repite muchas veces. ¿Cuál de los siguientes resultados se producirá más a menudo? a) 2 caras y 2 cruces
b) 1 cara y 3 cruces
c) 3 caras y 1 cruz
04. María y Carlos juegan con un dado. María gana un duro si sale 2; 3, 4 ó 5. Si sale un 1 gana Carlos. ¿Cuánto deberá ganar Carlos cuando obtiene un 1, para que el juego sea justo? 05. En una curso, el 90% de los alumnos estudian inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés y el 40% de los que estudias francés son chicos. Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
Experimentos aleatorios. Espacio muestral Coma ya es conocido, denominados fenómenos o experimentos deterministas a aquellos en los cuales los resultados producidos se pueden prever de antemano. A veces, a éstos se les llama también fenómenos causales, porque la causa determina el efecto. Por contra, existen muchas situaciones (el tiempo que hará mañana, el volumen de agua de un embalse, la duración de un televisor, las preguntas del próximo examen, el ganador del próximo partido, etc) en las que no puede saberse el resultado con antelación. Todos ellos provienen de los fenómenos o experimentos aleatorios.
Aleatorio y azar Aleatorio: que depende de la suerte o en el azar. En latín, alea, significa dado y, también, suerte o azar. La palabra azar proviene del vocablo árabe zahr, que significa flor, por lo que solía pintarse una flor en una de las caras de un dado.
Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento. A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se les llama espacio muestral. Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra E o Ω .
01. Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a) Lanzar tres monedas. b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos. c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro blancas y tres negras. Resolviendo: a) Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral: E={(CCC), (CCX), (CXC), (XCC), (CXX), (XCX), (XXC), (XXX)}. b) En este caso el espacio muestral es: E={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}. c) Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos: E={BB, BN, NN}
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Sucesos En la actividad anterior acabamos de ver que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es: E={3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo: Salir múltiplo de 5:
A={5, 10, 15}
Salir número primo:
C={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}
Salir mayor o igual que 12:
D={12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}
Todos estos subconjuntos del espacio muestral E de los llamados sucesos. Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjunto del espacio muestral E o Ω. Para designar cualquier suceso, también llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas Algunos tipos de sucesos
Analicemos los tipos más frecuentes de sucesos Sucesos elementales: son los que están formados por un solo resultado del experimento. Sucesos compuestos: son los que están formados por dos o más resultados del experimento; es decir, por dos o más sucesos elementales. Suceso seguro: es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral. Suceso imposible: es el que nunca se verifica. Se representa por Ø . 01. Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor es una hembra, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones. ¿Cuáles son loa elementos de A y B? Llamando V a ser varón y H a ser hembra, el espacio muestral está formado por los sucesos elementales: E={(VVV), (VVH), (VHV), (VHH), (HVH), (HHV), (HHH)}. Los sucesos A y B son compuestos y están formados por los siguientes sucesos elementales: A={(HHH), (HHV), (HVH), (HVV)};
B={(VVV), (HVV)}.
Operaciones con sucesos Álgebra de Boole de sucesos En el espacio de sucesos S asociado muestral E correspondiente a un experimento aleatorio cualquiera, las operaciones unión, intercesión y complementación (contrario) verifican las propiedades. Unión
Intersección
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
03. Idempotente
A∪A=A
A∩A=A
04. Simplificación
A ∪ (B ∩ A) = A
A ∩ (B ∪ A) = A
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
06. Elementos neutros
A∪Ø=A
A∩Ø=Ø
07. Absorción
A∪E=E
A∩Ø=Ø
01. Conmutativa 02. Asociativa
05. Distributiva
A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina álgebra de Boole. Por tanto, el espacio de sucesos S con las operaciones unión, intersección y complementación se les llama álgebra de Boole de los sucesos aleatorios.
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Capítulo 24
En el álgebra de Boole anterior, se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes De Morgan: 01. El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios: A∪B=A∩B 02. El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sucesos contrarios. A∩B=A∪B 01. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A={salir un número primo} y B={salir un número cuadrado}. Responde a las cuestiones siguientes: a) Calcula los sucesos A ∪ B y A ∩ B b) Los A y B, ¿son compatibles o incompatibles? c) Encuentra los sucesos de A y B. Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales que pueden verse a continuación: A={2, 3, 5, 7} y B={1, 4, 9}. A partir de estos conjuntos tenemos: a) La unión e intersección de A y B son: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9} y A ∩ B = Ø b) Al ser A ∩ B = Ø , los sucesos A y B son incompatibles. c) El suceso contrario de A es: A = {1: 4; 6; 8; 9} El suceso contrario de B es: B = {2; 3; 5; 6; 7; 8}
Probabilidad El concepto de probabilidad admite varias definiciones, según el punto de partida que se tome. La definición que vamos a adoptar es la que dio el matemático rudo Andrei Kolmogorov (1908 - 1987), en el año 1933, basando sus axiomas en las propiedades de las frecuencias relativas de los sucesos. Sea E el espacio muestral de un cierto experimento aleatorio y S el álgebra de Boole de los sucesos aleatorios asociados a dicho espacio muestral. Llamamos probabilidad a toda aplicación P definida entre los conjuntos S y R (conjunto de los números reales). P: S A
R P(A)
Verificando los axiomas siguientes Axioma 1: La probabilidad del suceso seguro o espacio muestral es 1.
P(E)=1
Axioma 2: Cualquiera que sea el suceso A, su probabilidad es un número no negativo.
P(A)≥0
Axioma 3: Si A y B son dos sucesos incompatibles, A∩B=Ø, entonces la probabilidad del suceso unión es la suma de las probabilidades.
P(A∪B)=P(A)+P(B)
01. ¿Cuál de las siguientes funciones definen una probabilidad en E={A,B,C}? a) P(A)=1/4, P(B)=1/3, P(C)=1/2 c) P(A)=1/6, P(B)=1/3, P(C)=1/2
b) P(A)=2/3, P(B)=–1/3, P(C)=2/3 d) P(A)=0, P(B)=1/3, P(C)=2/3
a) P no es una posibilidad, ya que P(E)=P(A)+P(B)+P(C)=1/4+1/3+1/2=13/12≠1 b) P no es una probabilidad, al ser P(B)=–1/3 y no cumplir el axioma 2. c) P es una probabilidad. Puede comprobarse sin dificultad que cumple los tres axiomas. d) Ocurre la misma circunstancia que en el caso anterior. 02. Sea P una probabilidad definida en E={A,B,C}. Encuentra P(A) en los casos: a) P(B)=1/3 y P(C)=1/4 c) P(C)=2P(B) y P(B)=3P(A)
b) P(A)=2P(B) y P(C)=1/4
a) Según los axiomas 1 y 3 debe ser: P(A)=1–1/3–1/4; luego P(A)=5/12. b) Si llamamos P(A)=x, la aplicación de los axiomas 1 y 3 nos lleva a la ecuación: x+x/2+1/4=1. La solución es x=1/2 y, por tanto, P(A)=1/2 c) Procediendo como en el caso anterior, llamando P(A)=X, las condiciones del enunciado llevan a x = 1 , por 10 tanto P(A)= 1 10
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Práctica Un juego consiste en lanzar un dado hasta obtener un 4 para ganar y un número 2 o 5 para perder. Calcular la probabilidad de ganar en: 01. Dos lanzamientos a) 1/12 d) 1/24
b) 1/6 e) 1/8
c) 1/4
b) 1/18 e) 1/6
c) 1/24
02. Tres lanzamientos a) 1/12 d) 1/36
10. Si un lote tiene 2 productos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que sea aceptado?. Dar la respuesta en un % aproximado. a) 94% b) 95% c) 97% d) 99% e) 90%
03. Cualquier número de lanzamientos a) 1/6 d) 1/3
b) 1/4 e) 1/12
c) 1/2
04. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El espacio muestral es un conjunto finito. II. El resultado de un experimento aleatorio no se puede predecir. III. El elemento c pertenece al espacio muestral asociado al experimento que consiste en lanzar una moneda dos veces; (siendo c: cara y s: sello) a) FVV d) FVF
b) VVF e) FFF
c) VVV
05. Se lanzan cuatro monedas y dos dados y se observa la cara superior de cada moneda y dado. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral asociado con el experimento aleatorio anterior? a) 144 d) 864
b) 576 e) 1296
c) 216
06. Es una carrera de caballo el caballo Santorín tiene las apuestas 3: 1 a su favor, mientras que el caballo Müller las tiene 4:1 en su contra.¿Cuál es la probabilidad de que cualquiera de estos caballos gane? a) 1/12 d) 9/20
b) 1/15 e) 19/20
c) 7/20
07. La probabilidad de que un estudiante apruebe matemática es 2/3 y la probabilidad de que apruebe física es 4/9. Si la probabilidad de aprobar al menos una de las materias es 4/5. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe ambos cursos? a) 22/45 d) 11/45
b) 16/45 e) 7/45
c) 14/45
08. En un puesto de jugos me han preparado un jugo surtido. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de tres frutas?. Considere que el puesto solo tiene naranjas, plátanos, papayas, melones, piñas y manzanas. a) 13/63 d) 11/63
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b) 20/63 e) 5/16
El departamento de control de calidad de una empresa textil tiene lotes de 20 productos, de los cuales escoge al azar cuatro de los productos y los analiza. Si dos o más de ellos fallan, se rechaza todo el lote de producción. 09. Si un lote tiene 4 productos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que sea rechazado?. Dar la respuesta en una % aproximado. a) 14% b) 16% c) 19% d) 21% e) 10%
c) 20/57
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En un supermercado, por compras mayores a 200 soles los clientes tiene derecho a elegir un regalo entre cuatro posibles. Se sabe que de 9 a 10 am hubo cuatro clientes que gastaron más de 200 soles en su compra y, por ello seleccionaron un regalo. Determinar la probabilidad de que: 11. Los cuatro clientes eligieron el mismo regalo a) 1/16 b) 1/256 c) 1/24 d) 1/12 e) 1/64 12. Los cuatro clientes eligieron regalos diferentes a) 3/32 b) 3/16 c) 5/64 d) 7/64 e) 3/16 La probabilidad de que me saque 20 en un examen de matemática es 0.8 y la probabilidad de que me saque un 20 en Historia es 0.6. Además, la probabilidad de que saque 20 en Matemática e Historia es 0.5. 13. ¿Cuál es la probabilidad de que saque 20 solo en Matemática? a) 0,8 b) 0,5 c) 0,4 d) 0,3 e) 0,2 14. ¿Cuál es la probabilidad de que no saque 20 ni en Matemática ni en Historia? a) 0,2 b) 0,1 c) 0,25 d) 0,15 e) 0,18 Un juego de dados consiste en lanzar dos dados y si, en el primer lanzamiento, la suma e 7 u 11, gano; pero si es 2, 3 o 12, pierdo. Si saco una suma diferente a las cinco anteriores, cual llamaremos x, seguiré lanzando el dado hasta obtener o x para ganar o 7 para perder. 15. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en un solo lanzamiento? a) 4/9 b) 1/3 c) 5/12 d) 2/9 16. ¿Cuál es la probabilidad de perder en un solo lanzamiento? a) 1/9 b) 5/36 c) 2/9 d) 7/36
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Capítulo 24
17. Si en el primer lanzamiento obtuve 4, ¿cuál es la probabilidad de que gane en el segundo lanzamiento? a) 1/9 d) 5/36
b) 1/18
c) 1/12
18. Si en el primer lanzamiento obtuve 6, ¿cuál es la probabilidad de que gane en el tercer lanzamiento?. Dar la respuesta en un % aproximado. a) 10% d) 8%
b) 15%
19. Si en el primer lanzamiento obtuve 9, ¿cuál es la probabilidad de que gane?. Dar la respuesta en %
c) 12%
a) 25% d) 40%
b) 30%
c) 50%
20. Tres jugadores de baloncesto, tienen las posibilidades de encestar: 0,2; 0,3 y 0,5 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellos puedan encestar y el otro no? a) 0,10 d) 0,22
b) 0,12 e) 0,30
c) 0,20
Tarea domiciliaria 01. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones I. El espacio muestral del experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda en forma sucesiva hasta que aparezca cara tienen infinitos elementos. II. Se lanzan dos dados simultáneamente, y definidos los eventos. A=(el primer dado muestra el número 3, en su cara superior) B=(el segundo dado muestra el número 6, en su cara superior), luego A y B son independientes III. Sean el experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda 3 veces; A el evento en que todos los resultados son iguales y B el evento en que dos sellos aparecen consecutivamente, entonces los eventos A y B son mutuamente excluyentes a) VVV c) VVF e) VFF
b) FFF d) FVF
02. Si se lanza 5 veces un dado, ¿cuántos elementos tiene el espacio muestral y en cuántos resultados se obtiene los 5 números diferentes? a) 1296 y 720 c) 7776 y 1440 e) 7766 y 1440
b) 7776 y 720 d) 7766 y 729
03. De un lote de computadoras se extraen éstas de una en una hasta obtener cuatro computadoras o hasta obtener una con desperfectos. Halle el número de elementos del espacio muestral de dicho experimentos aleatorio. a) 4 c) 6 e) 8
b) 5 d) 7
04. Se lanzan 3 monedas iguales sobre una mesa. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras? a) 5/8 c) 1/4 e) 1/8
b) 3/8 d) 3/4
05. En un ánfora se colocan diez bolas numeradas del 1 al 10, y luego se extraen tres de ellos. Si un jugador escribe los tres números que piensa saldrán elegidos, ¿cuál es la probabilidad de que acierte los tres números? a) 1/60 c) 1/90 e) 1/24
b) 1/30 d) 1/120
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06. Según el enunciado de la pregunta anterior, ¿cuál es la probabilidad de que solo acierte uno de los números? a) 1/40 c) 21/40
b) 43/80 d) 7/40
07. La probabilidad de que gane en el juego A es del 10% y la probabilidad de que gane en el juego B es del 20%. Si la probabilidad de que gane ambos juegos es del 5%. ¿Cuál es la probabilidad de que no gane ni A ni B? a) 65% c) 70%
b) 55% d) 75%
08. En una reunión el 40% son hombres. Además, el 20% de las mujeres usan lentes y el 70% de las personas presentes en dicha reunión no usan lentes, Si se elige un hombre al azar, ¿cuál es la probabilidad de que este tenga lentes? a) 40% c) 30%
b) 45% d) 50%
09. La probabilidad de que una manzana pese al menos 400g es 0,15 y la probabilidad de que pese entre 200g y 400g es 0,72. ¿Cuál es la probabilidad de que una manzana pese máximo 200g? a) 0,23 c) 0,03 e) 0,13
b) 0,17 d) 0,17
10. En un examen hay cinco preguntas de verdadero y falso que valen dos puntos cada una. Si marco al azar las cinco respuestas, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga diez puntos a) 1/32 c) 1/64
b) 1/16 d) 1/10
11. Según el enunciado de la pregunta anterior, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga seis puntos? a) 5/16 c) 1/4
b) 3/16 d) 5/12
12. Se van a ordenar todas las letras de la palabra MARTE. ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra formada tenga una vocal al centro? a) 3/5 c) 1/3
b) 2/5 d) 1/4
13. La probabilidad de que gane un premio en una rapitinka es del 20% . ¿Cuál es la probabilidad de que al jugar tres rapitinkas gane en dos de ellas? a) 60% c) 9,6%
b) 12% d) 10%
14. Cola Loca realiza una promoción que consiste en regalar diversos premios, los cual es aparecen en la chapita de la gaseosa. Si la probabilidad de obtener un premio en una chapita es del 10%, ¿cuál es la probabilidad de que al comprar cuatro gaseosas Cola Loca, las cuales estén premiadas? a) 1% c) 0,01%
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b) 0,1% d) 1,1%
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Capítulo 25
25
Conteo de números - I
Introducción Contar significa establecer una relación entre dos colecciones de objetos de tal modo que a cada objeto de una colección se le haga corresponder uno de otra colección. Por ejemplo, cuando un alumno cuenta los días de la semana que asiste a clases a su colegio hace corresponder a cada día un dedo de su mano, estableciéndose así una aplicación, es decir a cada día le corresponde un dedo.
Conjunto de días
Conjunto de dedos
Lunes
Meñique
Martes
Anular
Miércoles
Medio
Jueves
Índice
Viernes
Pulgar
Sucesión Se llama sucesión a toda aplicación del conjunto de números enteros positivos en el conjunto de los números reales R. Sus elementos se representan: a1; a2; a3; ...; an donde nos indican el primero, segundo, el tercero y así sucesivamente. Si aparece el último término se dice término enésimo y la sucesión es finita, si no aparece es infinita.
Números en sucesión numérica Progresión aritmética 18
;
20
+2
;
22
+2
;
24
+2
;
26
+2
Es una sucesión numérica de 5 términos donde el primero es 18 y los siguientes se obtienen aumentando 2 al anterior; a esta sucesión se le llama sucesión aritmética o progresión aritmética. El término de lugar "n" será: an = 16 + 2n
Progresión geométrica 9
; ×5
45
;
225
×5
;
1125
×5
Es una sucesión numérica donde cada término se obtienen multiplicando por 5 al término anterior; a esta sucesión, se le llama sucesión geométrica o progresión geométrica. El término de lugar "n" será: an = 9 · 5n-1
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Sucesión aritmética de primer orden o lineal (progresión aritmética) Se llama así a aquella sucesión donde la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma; es decir cada término se obtiene agregando una cantidad constante al término que le precede, a dicha cantidad se le llama razón de la progresión aritmética. Ejemplos: •
8
;
17
+9 •
94
;
;
26
;
...
;
206
86
;
...
;
14
+9 90
-4
; -4
En general: a1
; r
a2
;
a3
;
...
;
an
r
Se deduce que:
Razón (r): es la diferencia de dos términos consecutivos de la progresión aritmética. r = ak - ak-1
Término enésimo (an): la siguiente fórmula se utiliza para hallar un término cualquiera de la progresión. an = a1 + (n - 1)r "n" es el lugar que ocupa el término que se quiere calcular.
Número de términos (n) a -a n = n 1 +1 r Donde: an : término de lugar n
a1 : primer término
r : valor de la razón
Aplicación: En la siguiente sucesión aritmética, calcule la razón, su cantidad de términos y los términos de lugar 23 y 37. S: 23 ; 30 ; 37 ; ... ; 506 Resolución: • r = 30 - 23 = 7 • n = 506 - 23 + 1 = 70 7 • a23 = 23 + 22(7) = 177 • a37 = 23 + 36(7) = 275
Conteo de cifras
Consiste en calcular el número de cifras de una sucesión numérica. Ejemplo: Calcule el número de cifras de: 37 ; 40 ; 43 ; ...... ; 214 Resolución: • Del 37 al 97 hay 97 - 37 + 1 = 21 números de dos cifras tenemos: 21 × 2 = 42 cifras 3 • Del 100 al 214 hay 214 - 100 + 1 = 39 números de tres cifras tenemos 39 × 3 = 117 cifras 3 Entonces en total hay 42 + 117 = 159 cifras Central 6198 - 100
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Capítulo 25
Paginación Al imprimir un libro, periódico, etc. antiguamente se utilizaba en la tipografía por cada letra o símbolo un tipo de imprenta. Ejemplo Diga Ud. la cantidad de tipos de imprenta que se utilizan para enumerar las páginas de un libro de 248 páginas. Resolución: Del 1 al 9 hay 9 páginas, del 10 al 99 hay 90 páginas, de 100 al 248 hay 149 páginas entonces en total hay: 9 × 1 + 90 × 2 + 149 × 3 = 636 cifras Nota: Para un libro de "p" páginas el número de cifras o tipos de imprenta utilizado es:
Nc cifras = (p + 1) k – 111...111 1 44 2 4 43 k cifras
k: número de cifras de "p" En el ejemplo anterior p = 248 y k = 3 entonces el Nº de cifras es: (248 + 1) . 3 - 111 = 636 Rpta
Números condicionados Son aquellos que presentan algunas características entre sus cifras.
Principio de la Multiplicación: Si un evento ocurre de "n" maneras diferentes y otro evento ocurre de "m" maneras diferentes, entonces ambos eventos pueden ocurrir de formas diferentes. Ejemplo de Aplicación: ¿Cuántos números pares de 3 cifras empiezan con 8 ó 5? Resolución:
14444244443
Valores que toma cada cifra
a
b
c → Par (c = par)
↓
↓
↓
5
0
0
8
1
2
2
4 6 8
9 2 # 10 # 5 = 100 números
Ejercicio ¿Cuántos números de "k" cifras existen en base n? Resolución: Como la primera cifra toma (n - 1) valores y las restantes (k - 1) cifras toman "n" valores hay (n - 1) $ n $ n $ ... $ n = (n - 1) $ nk - 1 números. 1 44 2 44 3 (k - 1)
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Problemas resueltos 01. En la siguiente progresión aritmética: 10; x; z; ... se sabe que la suma de los primeros 6 términos es 270. Determine el valor de (x + z)
Resolución
÷ 10; x; z; a4; a5; a6
10 + a6 m 6 = 270; a6 = 80 2 Recuerda: an = a1 + (n - 1)r Se conoce: S6 = c Reemplazando: a6 = 80 = 10 + (6 - 1)r r = 14 Luego: 10; x; z; a4; a5; 80 Es: 10; 24; 38; 52; 66; 80 x = 24 z = 38 x + z = 62 02. Sean: a, b, c, d y e cinco términos consecutivos de una progresión aritmética. Si a + e = 30, entonces el valor de c2 es:
Resolución Observación: En toda progresión aritmética de cantidad impar de términos, se cumple que el término central es la semisuma de los términos extremos. Piden c2 ∴ 152 = 225
c = a + e " c = 30 & c = 15 2 2
03. En la siguiente sucesión: 11; 22; 33; 44; ...abcabc, se han empleado 594 cifras luego abc es:
Resolución Se observa dos progresiones aritméticas iguales: las bases y los exponentes para cada una se habrá utilizado la mitad de las cifras: 594 = 297 2 Luego: (abc+1) 3 – 11 = 297 (abc + 1) 3 = 408 (abc+1) = 136 abc = 135
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Capítulo 25
Práctica 01. Determine el número de términos: ab17; ab26; ab35; ....; a(b+1)88 a) 16 b) 18 c) 19 d) 20
e) 21
02. Si los términos de lugar "x" y "x+1" de una progresión aritmética son 251 y 259 respectivamente. Halle la suma del primer y último término de la progresión sabiendo que antes del término de lugar "x" hay 30 términos y después del término de lugar x+1 hay 45 términos. a) 330 b) 339 c) 397 d) 630 e) 679 03. Determine el número de términos de la siguiente progresión: 8; 18; 38; 68; .............; 1908 a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 04. Determine el término que ocupa el lugar 15 de la siguiente progresión aritmética: 12; 8; 4; ..... a) 44 b) -42 c) -43 d) -44 e) -46 05. Una P. A. se compone de 15 términos, donde la razón es 0,5 y el último término es 8 ¿Cuánto vale el primero? a) 0,8 b) 1 c) 1,2 d) 1,4 e) 1,6 06. Determine el término de lugar 21 de una P.A. si se cumple: a5 + a10 = 99 a3 + a6 = 57 Nota an : término de lugar "n" a) 120 d) 128
b) 133 e) 154
c) 144
07. La suma del tercer y octavo término de una P.A. es 41, y la relación del quinto al séptimo término es 19 a 25. El segundo término es: a) 8 b) 11 c) 9 d) 10 e) 12 08. Una P. A. tiene un número impar de términos, el término central es 22 y el producto de los extremos es 259. Determine la diferencia entre el mayor y menor término. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 09. La suma de los "n" primeros términos de una P. A. es 117; la razón es 2 y el primer término es 5. El valor de "n" es: a) 9 b) 10 c) 12 d) 11 e) 13 10. En la siguiente progresión aritmética: aaa; ab4; ac1; ... Calcule la suma de cifras del término de lugar 30. a) 15 b) 17 c) 20 d) 12 e) 9
11. ¿Cuántas cifras se emplean en la siguiente sucesión?: 18; 21; 24; ...............; 324 a) 280 b) 281 c) 282 d) 283 e) 284 12. Sea la progresión aritmética: a; b; c; d Determine el valor de: M = b2 + c2 - (b - c)2 si el producto de los términos centrales es 37. a) 34 b) 24 c) 86 d) 64 e) 74 13. Dadas las 2 progresiones aritméticas siguientes: 150; 147; 144; ... -5; -3; -1; ... Dos términos del mismo lugar son iguales cuál es el lugar que ocupan ellos. a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 14. Cuántos números se escriben con 3 cifras, tanto en base 5 como en base 7? a) 43 b) 53 c) 72 d) 76 e) 81
Problemas adicionales 15. ¿Cuántos tipos de imprenta se emplearon para imprimir la siguiente sucesión? 10077 ; 10078 ; 10079 ; ... ; 100300 a) 491 b) 1321 c) 1426 d) 1584 e) 2403 16. Al escribir todos los números naturales del ab al ab0 se empleo 1163 cifras. Halle a y b e indique el valor de a × b. a) 12 b) 15 c) 20 d) 24 e) 28 17. Si 4ab y ab7 son el primero y el último término de una progresión aritmética cuya cantidad de términos es 22. Calcule el décimo séptimo término. Si a+b=11 a) 682 b) 574 c) 520 d) 286 e) 746 18. Se tiene un libro que tiene 4520 páginas numeradas, si se arrancan todas las páginas que terminan en 5. ¿Cuántas páginas numeradas quedan? a) 3014 b) 3016 c) 3616 d) 1617 e) Más de 3617 19. ¿Cuántos números se escriben con 3 cifras tanto en base 8 como en base 9? a) 420 b) 430 c) 460 d) 431 e) 425 20. ¿Cuántos números tienen 4 cifras en las bases 5; 6 y 7? a) 250 b) 280 c) 281 d) 282 e) 312
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Tarea domiciliaria 01. ¿Cuántos términos hay en la siguiente P.A.? 3d; , 39 , c3 , ... , 1dc7 a) 379 b) 524 c) 418 d) 215 e) 418
11. Se escribe en una sola línea y sin separar, todos los números que empiezan en 1. ¿Cuál es la cifra que ocupa el lugar 5002? a) 2 b) 1 c) 3 d) 5 e) 6
02. En la siguiente P.A. 1a7, 1(2a)7, (a–1)(a–1)7 Hallar el vigésimo término. b) 607 c) 1267 a) 547 d) 1247 e) 1147
12. ¿Cuántas cifras se emplearon en escribir la siguiente progresión aritmética? 52 ; 55 ; 58 ; ...... ; 331 a) 265 b) 267 c) 268 d) 269 e) 266
03. Una progresión aritmética empieza en 43 y termina en 120. Calcular el valor de la razón si es un número comprendido entre 1 y 10. a) 6 b) 9 c) 5 d) 3 e) 7
13. Encuentre la base del sistema de numeración, en el que los números 479; 698 y 907 están en progresión aritmética. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
04. Determinar el total de términos en la siguiente progresión: 1240 ; 1236 ; 1232 ; ... ; 8 a) 309 b) 310 c) 312 d) 320 e) 308
14. Calcular (a + b), si para escribir todos los números enteros positivos desde 1ab hasta ab2 se han empleado 1ab1 cifras. a) 13 b) 15 c) 12 d) 14 e) 16
05. Hallar el valor del término que ocupa el cuadragésimo lugar en la siguiente sucesión: 4 ; 19 ; 34 , ... a) 595 b) 593 c) 591 d) 589 e) 587 06. Encontrar el término de lugar 61 en la siguiente progresión aritmética: 48 ; 56 ; 64 ; ...... a) 686 b) 588 c) 586 d) 528 e) 520 07. Hallar el número de términos en: 100 ; ... ; 12 ; 8 ; 4 ; 8 ; 12 ; ... ; 100 a) 48 b) 49 c) 50 d) 51 e) 52 08. Determinar el total de términos en la siguiente progresión: 1240 ; 1236 ; 1232 ; ...... ; 80 a) 309 b) 310 c) 312 d) 320 e) 291 09. Para numerar las páginas de un libro se usó en total 171 cifras. Halle la suma de cifras de la última página del libro. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 10. Se escribe la serie de los enteros positivos empezando en 1. ¿Qué cifra ocupa el lugar 134? a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
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15. Al escribir los 5ab primeros numerales a partir de 1; se han empleado 15ab cifras. Hallar (a +b) a) 7 b) 15 c) 11 d) 13 e) 9 16. ¿Cuántos enteros hay entre 1127 y 2115? a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4 17. Encuentre la cantidad de números impares desde 17 hasta 211? a) 96 b) 97 c) 98 d) 99 e) 95 18. Encuentre la suma de los términos de lugar 23 y 31 en: 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; ...... a) 165 b) 170 c) 180 d) 190 e) 210 19. En una P.A. de 40 términos el primero es 22 y el último es 334. Dar la razón común. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5 20. Del problema 19, ¿cuál es el término de lugar 20? a) 162 b) 116 c) 184 d) 174 e) 112
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Capítulo 26
26
Conteo de números - II
01. ¿Cuántas cifras se utilizan al enumerar la secuencia? 12; 16; 20; ....... 980 a) 712 b) 707 c) 2412 d) 2716 e) 2832
11. Determinar cuántos números de la siguiente forma (a+b)ab(9) existen. a) 48 b) 44 c) 36 d) 90 e) 24
02. Cuántas cifras se utilizan al enumerar: 1, 2, 3, 4, ...... 486? a) 1260 b) 1410 c) 1134 d) 1890 e) 1350
12. Calcular cuántos números pares de la forma ababab(5) existen. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
03. ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes tienen una sola cifra "5" en su escritura? a) 1792 b) 1848 c) 1904 d) 1862 e) 1884 04. Para escribir todos los números enteros y positivos hasta el número ab5 se han empleado una cantidad de cifras que es igual a un número de 3 cifras consecutivas y crecientes halle (a+b). a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) más de 7 05. Para enumerar las páginas de un libro se usaron 768 cifras, si se malogró la cifra "6" y se tuvo que usar el "9" invertido. Determinar cuántas veces se tuvo que usar la cifra "9". a) 213 b) 170 c) 111 d) 160 e) 106 06. Calcular cuántos números impares de tres cifras, comienzan con cifra par. a) 110 b) 200 c) 160 d) 180 e) 120 07. Calcular cuántos números de cuatro cifras, todas impares existen. a) 625 b) 405 c) 360 d) 750 e) 120 08. Calcular cuántos números capicúas de tres cifras del sistema nonario son pares. a) 40 b) 32 c) 36 d) 42 e) 38 09. Calcular cuántos números capicúas de tres cifras del sistema quinario, utilizan por lo menos una cifra 2. a) 6 b) 8 c) 4 d) 15 e) 10 10. Calcular cuántos números de 4 cifras existen tales que al invertir el orden de sus cifras resulten mayores que 1994. a) 9725 b) 5475 c) 6225 d) 7205 e) 7000
13. Determinar cuántos números de 3 cifras tienen como producto de sus cifras un número par. Considere al cero como cifra par. a) 100 b) 125 c) 775 d) 850 e) 625 14. Calcular cuántos numerales existen de la forma: (10 - n) (n + 5) ` n j` m j m (p + 2) (5 - p) 2 3 a) 64 d) 81
b) 72 e) 90
c) 84
15. Determinar cuántos números de tres cifras de base 6 usan por lo menos un 4. a) 60 b) 80 c) 81 d) 42 e) 90
Problemas adicionales 16. Determinar cuántos números de 3 cifras tienen al menos un cero en su escritura. a) 625 b) 171 c) 725 d) 840 e) 120 17. Determinar cuántos números de cuatro cifras del sistema senario usan por lo menos un 2 y un 5 en su escritura pero no usan cifra 4. a) 500 b) 422 c) 330 d) 192 e) 170 18. Calcular la cantidad de cifras que se usan al escribir los primeros 724 números enteros positivos. a) 1528 b) 2064 c) 2058 d) 1520 e) 2052 19. Al numerar las páginas de un libro se han empleado 1476 cifras, calcular la cantidad de hojas que tiene el libro. a) 263 b) 264 c) 266 d) 271 e) 260 20. ¿Cuántas cifras se utilizan en la secuencia: 1213 ; 1314 ; 1415 ; ... ; 180181 a) 841 b) 791 c) 839 d) 816 e) 847
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Problemas resueltos 01. ¿Cuántos números existen, mayores que 100, de la forma a(2a)b y que sean divisibles por 5?
Resolución a (2a) b > 100 1 0 2 5 3 4 4 # 2 = 8 02. ¿Cuántos números de la forma (a–6)(b+2)(a+2)(11) existen?
Resolución (a-6) 1 2
(b+2) (a+2) (11) 0 1 2 3 h 10 2 x 11 = 22 números (b+2) es cifra por tanto puede tomar los valores desde 0 hasta 10 porque estamos en base 11. (a - 6) es primera cifra por eso no puede ser 0; puede ser 1 ó 2 no 3 porque para eso a tendría que ser 9 y en (a + 2) = (9 + 2) = 11 cifra 11 en base 11 no puede ser. 03. ¿Cuántos números pares de tres cifras se pueden formar utilizando los dígitos 1; 3; 6; 7; 8, 9?
Resolución a b c 1 1 3 3 6 6 6 8 7 7 8 8 9 9 6 × 6 × 2 = 72 números
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Capítulo 26
Tarea domiciliaria 01. ¿Cuántos números de 4 cifras existen tal que sus cifras de orden par son mayores en 1 que las cifras de orden precedente? a) 64 b) 90 c) 81 d) 72 e) 56 02. El número de páginas de un libro está comprendido entre 400 y 500. ¿Cuál es este número de páginas, si en total se necesitan 1188 tipos de imprenta para escribirlos? a) 429 b) 430 c) 431 d) 432 e) 433 03. Si la siguiente P.A., tiene 31 términos. Determinar el primer término en base 10. ab67 ; ax27 ; ax57 ; ........ b357 a) 144 d) 135
b) 141 e) 132
c) 198
04. ¿Cuántos números mayores que 300 pero menores que 800 se pueden formar utilizando solo las siguientes cifras? 0;2;3;5;6;7y9 a) 169 b) 196 c) 168 d) 195 e) 190 05. El primer y último término de una progresión aritmética es 36a y aa. Si la razón es "a" y el número de términos es 51. Determinar la suma de los términos de dicha serie. a) 10424 b) 10966 c) 11016 d) 11452 e) 12364 06. Hallar el término medio en: 761 ; 860 ; 959 ; ... ; abab Dar como respuesta la suma de las cifras del exponente y de la base del número que se obtiene. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 07. ¿Cuántos números de la forma (a + 2) b` a j (b + 1) (13) 2 existen? a) 60 d) 48
b) 72 e) 96
c) 55
08. ¿Cuántos números de la siguiente forma existen? (a+4)(4–a)(4b)(3–b)(18) a) 20 d) 63
b) 32 e) 72
c) 48
09. ¿Cuantos números de 3 cifras empiezan y terminan en cifra par? a) 180 b) 200 c) 120 d) 125 e) 250
10. ¿Cuántos números impares, de 4 cifras son mayores que 7000? a) 1500 b) 1000 c) 1800 d) 1275 e) 775 11. ¿Cuántos números pares mayores que 300 pero menores que 800 se pueden formar con las cifras 0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9? a) 140 b) 111 c) 112 d) 118 e) 139 12. Hallar el término central en la siguiente P.A. (a + 3) ; 5a ; (8a - 1) ; ...... ; (a + 103) a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60 13. Diga Ud. cuántos términos tiene la secuencia: 13 ; 17 ; 23 ; 27 ; 33 ; ........ ; 487 a) 93 b) 96 c) 100 d) 13 e) 26 14. ¿Cuántos numerales capicúas pares de 5 cifras existen en base 9? a) 243 b) 729 c) 360 d) 810 e) 324 15. ¿En cuántos sistemas de numeración 1234 se escribe con 3 cifras? a) 30 b) 23 c) 25 d) 19 e) 18 16. ¿Cuántos números de 3 cifras de la forma a(a+b)b(7) existen? a) 28 b) 21 c) 42 d) 56 e) 30 17. ¿Cuántos números de 3 cifras emplean algún "dos" en su escritura?. a) 90 b) 105 c) 270 d) 252 e) 414 18. ¿Cuántas cifras se utilizarán para enumera todos los capicúas de 5 cifras de la base 7? a) 294 b) 1050 c) 1820 d) 1240 e) 1470 19. ¿Cuántos numerales de 4 cifras tiene por lo menos dos cifras no significativas? a) 1251 b) 279 c) 270 d) 128 e) 252 20. ¿Cuántas cifras entran en la escritura de los números naturales menores que 3000 y que terminan en 3 o 7? a) 2174 b) 2178 c) 2190 d) 2176 e) 2180
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Cuatro operaciones - I
01. Si:
a) 12
1 3 2 (6) + 2 4 5 (6) 2 2 4 (6) J E S U(6) Halle el valor de: J+E+S+U+S a) 10 b) 11 c) 12 d) 13
e) 14
02. Indique la cifra de mayor orden de la suma: 83 + 80 + 77 + ... + a(3a) a) 0 b) 9 c) 3 d) 1 e) 2 03. Una sustracción se realiza en el sistema nonario. La suma de los tres términos es 1403(9) y el sustraendo es la tercera parte del minuendo. Halle la suma de cifras de la diferencia. a) 8 b) 9 c) 5 d) 10 e) 9 04. Encuentre la suma de: 15; 16; 19; 18; 23; 20; ... de 50 términos a) 2575 b) 2425 c) 3125 d) 2850 e) 1490
07. La suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética es 2n(n+3), indique el término vigésimo primero de dicha progresión. a) 88 b) 89 c) 78 d) 68 e) 58 08. Hallar el valor de ANA, si: 1A + 4A + 9A + .... + 256A = 150NA b) 787 e) 757
c) 656
09. Hallar el valor de S, sabiendo que los sumandos son términos de una progresión aritmética. S = 21n + 24n + 30n + ... + 645n a) 12450 b) 13175 c) 15245 d) 17955 e) 17605 10. La diferencia entre los complementos aritméticos de un número de 4 cifras y otro de tres cifras es 5380. Si la suma de dichos números es 4780. Hallar la suma de las cifras del menor. Central 6198 - 100
12. Si CA(abc) = 3(cba–10)–1; hallar a+b+c. a) 8 b) 7 c) 10 d) 12
e) 11
e) 11
13. ¿Cuántos números de tres cifras existen tales que al restarle su CA dan como diferencia un número de dos cifras que termina en cero? a) 7 b) 12 c) 6 d) 9 e) 10 14. Calcule el CA de a × b , si: N = 118
4 18 4 18 2 4 72 veces 43 18 abb
Además: CA(N) = bba Donde: a<4 a) 5
b) 7
c) 9
d) 8
15. Si: abc–cba=5nm; abc+cba=d15e Calcule: (a+b+c+d+e+m+n) a) 23 b) 25 c) 28 d) 30
c) 216
06. Sabiendo que: m1n4(9)–1p7q(9)=545(9) Hallar: "m+n+p+q" a) 17 b) 18 c) 16 d) 15 e) 14
a) 464 d) 121
d) 21
e) 10
Problemas adicionales
05. Si: a × b × c es 990; calcular el valor de: S=123+234+345+...+abc en base 10. b) 429 e) 213
c) 25
11. Si: abcde + 81972 = edcba Además: a+b+c+d+e=19 y las cifras de orden impar están en progresión aritmética. De como respuesta: (a+c+e) – (b+d) a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
4 3 4 (6)
a) 526 d) 168
b) 13
161
e) 31
16. Sabiendo que: 2143(n) + 3451(n) = abcd0(n) – 5512(n) Calcule: a+b+c+d+n a) 12 b) 15 c) 17 d) 22 e) 25 17. A un número de tres cifras se le suma otro número de tres cifras que empieza en 6 y el resultado es un número que tiene las mismas cifras del número original pero dispuestas en orden inverso. Halle el número original si la suma de sus cifras es 19. a) 298 b) 378 c) 397 d) 496 e) 289 18. ¿En que cifra termina la suma de todos los números de 23 cifras cuyo producto de cifras es 5? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 0 19. Si: C.A. abc(8)=bac(8); además: ab(9)–ba(9)=26(9) Halle: a × b × c a) 60 b) 35 c) 40 d) 48 e) 42
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Capítulo 27
Problemas resueltos 01. Un regalo envuelto cuesta 13 soles y sin envolver cuesta 11 soles más de lo que cobran por envolverlo. ¿Cuánto cobran por envolverlo?
Resolución Regalo: # mayor envoltura: # menor Suma: 13 Diferencia: 11 # menor = S - D 2 Reemplazando: 13 - 11 = 1 2 La envoltura cuesta: S/. 1 02. Si a y b son dígitos tales que (a + b)2 = 144. Hallar: ab + ba
Resolución Si: (a + b)2 = 144 a + b = 12 Nos piden: ab + ba Descomposición polinómica
10a + b + 10b + a 11a + 11b 11(a + b)
Reemplazando: 11(12) = 132
03. Halle el menor de dos números si los complementos aritméticos de su suma y su diferencia son, respectivamente, 530 y 830.
Resolución Sean A y B los números con A > B Se tiene CA (A + B) = 530 CA (A - B) = 830 A + B y A - B deben tener 3 cifras por lo menos puesto que su complemento aritmético tiene 3 cifras. 10k - (A - B) = 830 10k - (A + B) = 530 10k
-
2 A + B = 830
- 10k + A + B = - 530 2B = 300 B = 150 El menor B = 150
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Aritmética
Tarea domiciliaria 01. Calcular: M = 8 + 11 + 16 + 23 + ...... + 407 a) 2870 b) 2920 c) 2910 d) 3010 e) 2770
12. Si a un número de 3 cifras se le suma 2 veces su cifra de centenas más 2 veces su cifra de decenas se obtiene su complemento aritmético. Calcule la cifra de decenas de dicho número. a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
02. Si: d3d + d4d + d5d + ... + d9d = a0p6 Calcular: (a + p + d) a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23
13. Si: abc(n)–cba(n)=pqr(n); además p + q + r = 12. ¿Cuánto vale "n"? a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5
03. Hallar: S = 5 + 6 + 7 + 9 + 9 + 12 + 11 + 15 + ... 1 44444444 4 2 44444444 43 100 sumandos
a) 6285 d) 3125
b) 6575 e) 6675
c) 3245
14. El complemento aritmético de un número de 3 cifras es igual a la suma de ellas. Halle su cifra de menor orden. a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 9
04. Si: 1+2+3+4+...+n=aaa El valor de (a + n) es: a) 39 b) 40 d) 42 e) 43
c) 41
15. Si: abc(9) = cba(9) + 2xy(9) Hallar: a - c + x + y a) 16 b) 18 d) 17 e) 15
05. Hallar "x", si: abc+b0a+ac+cb=1x17 a) 5 d) 2
b) 3 e) 4
c) 0
16. Calcule el minuendo de una sustracción sabiendo que las sumas de sus términos al tomarlos de 2 en 2 son: 830 , 620 y 1030 a) 960 b) 840 c) 760 d) 620 e) 580
06. Hallar la siguiente suma: S = 9 + 12 + 17 + 24 + .... + 177 a) 923 b) 233 c) 523 d) 823 e) 833
17. Calcule el mínimo valor de: C.A.(abcd) + C.A. (mnp) Tal que: a , b , c , d , n , n y p son diferentes entre sí. a) 181 b) 5812 c) 381 d) 383 e) 248
07. Hallar el valor de "x" si se cumple que: 1+2+3+4+...+40=...xy a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 0 08. Si: a83+5b9+64c=1659 Hallar el valor de: a + b + c a) 10 b) 11 d) 13 e) 14 09. Hallar el valor de: C + E + R Si: ECR + ERC + EC = CER a) 11 b) 12 d) 14 e) 15
c) 12
18. Si: x + y + z = 15 y CA(x) = z Hallar el valor de: yyy + xyz + zyx a) 1865 b) 1765 c) 1565 d) 1665 e) 1465
c) 13
19. Determinar la suma de las cifras del complemento aritmético de: 1020 + 9 × 1012 a) 76 b) 72 c) 24 d) 26 e) 28 20. Teresa es hija de Rita y Juan es hijo de Teresa, cuando Juan nació, la edad de Rita era exactamente el doble de la edad de Teresa. Hoy durante la reunión del décimo cumpleaños de Juan. Rita dice tener 45 años y Teresa dice tener 27 años. Si la suma de las edades de Rita, Teresa y Juan es de 90 años. ¿Cuántos años oculta cada una de la señoras?
10. Si: A = 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 40 B = 1 + 4 + 9 + 16 + ...... + 625 C = 1 + 8 + 27 + 64+ ...... + 1000 Calcular: A + B + C a) 8430 b) 8980 c) 9370 d) 9420 e) 9640 11. Si: abc – cba = xyz Calcular: a - c + x + y + 2z a) 24 b) 26 d) 30 e) 28
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c) 14
c) 18
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Rita
Teresa
a)
5
5
b)
5
3
c)
4
4
d)
4
3
e)
3
4
San Marcos
Capítulo 28
28
Cuatro operaciones - II
01. Si: 27abc × CA(63) = ....653 Halle: CA (a × b × c) a) 16 b) 84 c) 347 d) 742 e) 653 02. Si: 243(a) × 454(a)=jesu45(a) Calcule: j+e+s+u+s+a a) 23
b) 19
c) 21
d) 18
e) 15
03. Halle la suma de cifras del producto de abc × 248, sabiendo que la media geométrica de sus productos parciales es 900. a) 13 b) 18 c) 17 d) 19 e) 15
10. En una división inexacta la suma del dividendo y el divisor es 119, el cociente es 13 y el residuo es el más grande posible. Hallar el dividendo. a) 111 b) 104 c) 98 d) 101 e) 87 11. En una división inexacta al residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por exceso y el divisor forman una progresión aritmética de razón 7. Hallar el dividendo. a) 384 b) 625 c) 962 d) 451 e) 959
04. Si: mcdu × a=48411 ; mcdu × b = 37653 Halle el producto de mcdu por el menor capicúa de tres cifras que se puede escribir con "a" y "b". De cómo respuesta la suma de cifras de dicho producto. a) 30 b) 29 c) 28 d) 32 e) 25
12. El resto por exceso de una división es el triple del resto por defecto. Hallar el divisor, si el cociente es 15 y la suma del dividendo con el divisor es 520. a) 28 b) 32 c) 24 d) 36 e) 40
05. Halle el valor de la cifra "a", si: CA (abc) = *4* abc × 3 = ***1 abc × 9 = *9** a) 3 b) 4 c) 5
13. El cociente en una división es 156 y el residuo es 6. Si se agregan 1000 unidades al dividendo y se repite la división, el nuevo cociente es 173 y el resto 54. Calcule el dividendo inicial. a) 4458 b) 8645 c) 8742 d) 2045 e) 5478
d) 6
e) 8
06. Si se cumple que: (a+1)a(a–1) × 9 + (b–7) = abbb Calcule: a+b a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 16 07. Si: abc × (10–a) = 1960 abc × (9–b) = 1225 abc × (9–c) = 980 Calcule la suma de cifras de: abc × (1000–cba) a) 22 b) 13 c) 7 d) 18 e) 17 08. Halle la suma de cifras del producto en: * 9 * * * * * * *
* (×) 8 *
15. En una división la suma de los cuatro términos es 423. Si se multiplica el dividendo y el divisor por 3 la nueva suma es 1225. Hallar el dividendo. a) 321 b) 379 c) 314 d) 355 e) 347
Problemas adicionales
*
(Cada asterisco es una cifra) a) 21 b) 19 c) 12
14. Se dividen los números 1435 y 216. Calcular entre que límites se encuentra "n", si al disminuir el dividendo en "n" el cociente se reduce en 2 unidades. a) 355
d) 13
e) 15
09. Halle un número de 4 cifras que sea igual 1037 veces el producto de sus cifras. De cómo respuesta la suma de cifras. a) 4 b) 6 c) 18 d) 32 e) 12
16. Hallar a+b+c+d, si: abcd × 7 = 1cddd a) 12 b) 14 c) 16 d) 19
e) 21
17. Sabiendo que: abc × a = 426 abc × b = 213 abc × c = 639 Hallar la suma de cifras de abc × cba a) 24 b) 25 c) 26 d) 27
e) 28
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Aritmética
Problemas resueltos 01. Si al dividir 368 por un número entero positivo, el cociente excede en dos unidades al duplo del divisor y el resto es 4; hallar el producto de los dígitos del divisor:
Resolución Tenemos: 368
d 2d+2
4 Algoritmo de la división: 368 = (2d + 2)d + 4 364 = 2(d + 1)d 182 = (d + 1)d S 14 × 13 = (d + 1)d d = 13 Nos piden: 1 × 3 = 3 02. La suma de dos números es 323. Al dividir el mayor de los números por el otro; se tiene 16 de cociente y residuo máximo. El número mayor es:
Resolución Sean: D = 323 - d, d = d 323 – d
d
Residuo máximo → (d – 1) 16 Algoritmo de la división: 323 - d = 16d + (d - 1) d = 18 El mayor: 323 - 18 305 03. En una división el dividendo es 1081, el residuo y el cociente son iguales entre sí y el divisor es el doble del cociente. ¿Cuál es el divisor?
Resolución Tenemos: 1081 2q q q 1081 = 2q2 + q 23 × 47 = q(2q + 1) q = 23 divisor = 2q divisor = 46
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Capítulo 28
Tarea domiciliaria 01. La suma de los términos de una multiplicación es 89. Si al multiplicando se le multiplica por 3, la nueva suma de términos es 257. Dar el valor del multiplicador. a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 02. Si se sabe que : ab × ba = 1855 Dar el valor de : a + b a) 9 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 03. Calcular : E + V . Si: EEVV × 77 = ....041 a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8 04. Si: abc × a=1916; abc × b = 3353 y abc × c = 4311 Hallar: abc × cba a) 466564 b) 466546 c) 654654 d) 546554 e) 655422 05. Dos números naturales consecutivos son tales que su suma y su producto son también números consecutivos. Hallar el cuadrado de la suma del menor con el doble del mayor. a) 49 b) 16 c) 25 d) 64 e) 81 06. Hallar el complemento de un número de 4 cifras, si éste es el menor posible y que el producto de sus cifras es 315. a) 4831 b) 8421 c) 6643 d) 249 e) 8643 07. Si: abc × (10–a) = 1960 abc × (9–b) = 1225 abc × (9–c) = 980 Hallar: abc × (1000 – cba) a) 132790 b) 231790 d) 60052 e) 112210
c) 60025
08. Si a uno de los factores de una multiplicación se le suma 16, el producto aumenta en 432. Si en lugar de hacer esto, el otro factor se le resta 25, el producto disminuye en 925. Calcule la suma de cifras del producto inicial. a) 27 b) 30 c) 32 d) 33 e) 36 09. Al multiplicar un número de cuatro cifras por 99, se obtiene un producto que termina en 1366. Calcule la suma de las 4 cifras del multiplicando. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 10. Hallar el producto de abc por 248 sabiendo que el producto de sus productos parciales es 9003. a) 50800 b) 52600 c) 55800 d) 57500 e) 56800
12. ¿Cuántos números de 3 cifras pueden ser dividendo en una división inexacta de cociente 15 y residuo 12? a) 60 b) 61 c) 65 d) 59 e) 53 13. Al dividir abc entre 13, se obtiene bc de cociente y un residuo máximo. ¿Cuántos números cumplen esta condición? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. Se divide un entero positivo entre 93, se obtiene un cociente que es la cuarta parte del residuo. Calcular la suma de todos los valores del dividendo. a) 25668 b) 25772 c) 26668 d) 26772 e) 28668 15. En una división inexacta se observa que el divisor es 4 veces más que el residuo y si al residuo se le disminuye 17 éste sería mínimo. Hallar la suma de cifras del dividendo si el cociente es los 5 del residuo. 3 a) 18 b) 12 c) 22 d) 14 e) 9 16. ¿Cuántos enteros al dividir entre 1000 dan un residuo que es el doble del cuadrado del cociente? a) 20 b) 21 c) 19 d) 18 e) 22 17. En una división de números enteros el resto es 7. Al multiplicar el dividendo por 3, se obtiene 5 como nuevo resto. Hallar el mayor valor del divisor. a) 16 b) 8 c) 40 d) 21 e) 11 18. Si se divide el numeral 3EV6 entre "M" se observa que el producto de los cocientes por defecto y por exceso es 552 y el residuo fue 24. ¿Cuántos valores puede tomar el divisor? a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 19. El dividendo en una división entera es un número de 3 cifras, el divisor es el complemento aritmético del dividendo, el cociente es 65 y la razón aritmética del divisor y el resto es 5. Hallar la suma de cifras del dividendo. a) 22 b) 21 c) 20 d) 19 e) 18 20. ¿Cuántos números menores que 350 pueden ser dividendo de una división donde el cociente es 12 y el residuo es 14? a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 18
11. En una división entera el dividendo es 1102. Si el cociente y el resto son iguales y el divisor es el triple del cociente. Calcular el cociente. a) 17 b) 18 c) 20 d) 21 e) 19 166
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Aritmética
29
Divisibilidad - I
Introducción La divisibilidad numérica puede realizarse en los naturales, enteros, racionales ..., es por ello que presenta distintos grados de dificultad ya que muchos conceptos corresponden a una Aritmética Superior, llamada Teoría de Números, la cual se podría decir surge desde Euclides (Algoritmo para MCD); Fermat, Euler, Legendre, Gauss que con su aporte (Discusiones aritméticas) contribuye al enriquecimiento de dicha teoría; llegando luego otros matemáticos como Dirichlet, Kronecker, Riemann, Dedekind, entre otros que siguen aportando y muestran la importancia que ahora tiene dicha teoría. Nosotros nos limitaremos a trabajar en el conjunto numérico de los enteros. Sabemos que la suma, diferencia y producto de dos números enteros es siempre entero, es decir las operaciones de Adición, Sustracción y Multiplicación son cerradas en Z. Pero el cociente de dos enteros puede ser o no entero, se hace necesario hablar de números divisibles y no divisibles.
Números divisibles
Números no divisibles
Dos números enteros a y b son divisibles si :
a y b no son divisibles si la división de a por b es inexacta.
a
b
0
c
Ejemplo: c: entero
Por división entera b > 0, entonces b ∈ Z+ (módulo); de la división se obtiene: a = b × c
37
7
2
5
En la cual diremos que "a" es múltiplo de "b" y lo o
denotaremos:
o
o
35
42
37 = 7 + 2 = 7 - 5
Principios de la divisibilidad
a=b
• Operaciones con múltiplos
También se utilizan las notaciones : a = mb
o
o
o
I. n + n = n o
Si a es divisible entre b, se puede decir que "b" divide a "a" esto se denota : b|a 13
0
7
o o
o
III. n $ n = n
o
n
o
oK
; (k ! Z+)
o
n$K o
V. ^nh = n ; (k ! Z+) o
o
K
VI. ^n + rh = n + rK ; (k ! Z+)
o
o
También diremos 91 = 13 porque 91 = 13 # 7
o
o
VII. `n + r j`n + r j = n + r1 $ r2
Nota:
• Si:
0 ; 12 ; 24 ; ...
o
o
IV. n $ K =
Ejemplo: 91 es divisible entre 13 porque. 91
o o
II. n - n = n
a=b
1 o
2
N = a;
o
N = b;
...
;
o
N=w
entonces:
o
12 = 12K
N = MCM (a, b, ..., w) -12 ; -24 ; ...
o
• Sea A $ B = n ; si A y n no tienen divisores comunes, excepto la unidad (primos entre sí) entonces:
Entero
o
B=n
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San Marcos
Capítulo 29
Problemas resueltos 01. Sean: a; b; m; n ∈ N, y sean las proposiciones: I. a es divisor de m → a es divisor de (m . n) para todo n. II. a es divisor de m y b es divisor de m → a . b divide a m. III. a es divisor de m y b es divisor de n → a + b divide a m . n Son verdaderas:
Resolución o
I. m = a
o
m#n = a.n o
m#n = a Entonces a es divisor de m × n ∴ V II. Verifiquemos: 8 es divisor de 24. 4 es divisor de 24. 8 × 4 no es divisor de 24 ∴ F III. Verifiquemos: 3 divide a 6 8 divide a 24 (3 + 8) no divide a 144 ∴ F 02. La suma de los n primeros múltiplos de 5, mayores que 80, es 1075. Halle: n
Resolución Los múltiplos de 5 mayores de 80 son: 5 # 17 ; 5 # 18 ; 5 # 19 + ... + 5 # (n + 16) 1 4444444444 2 4444444444 3 n múltiplos de 5
S = 5(17 + 18 + 19 + ... + (n+16)) = 43 × 5 × 5 c
17 + (n + 16) m n = 43 # 5 2 (n + 33) n = 43 × 10 n = 10
03. Halle el número de múltiplos de 5 comprendidos entre 21 y 623.
Resolución Los múltiplos de 5 comprendidos entre 21 y 623 son: 5 × 5; 5 × 6 ; 5 × 7; ... ; 5 × 124 Cantidad de números de: 5; 6; 7; ...; 124 n = 124 - 5 + 1 = 120 1
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Aritmética
Práctica 01. Calcular cuántos múltiplos de 11 hay del 32 al 800. a) 72 b) 74 c) 80 d) 70 e) 76 02. Del 52 al 842, calcular cuántos múltiplos de 7 hay. a) 110 b) 114 c) 115 d) 113 e) 116 03. Calcular cuántos números de tres cifras son múltiplos de 17. a) 48 b) 56 c) 53 d) 50 e) 52 04. Del 425 al 1425, calcular cuántos números son múltiplos de 14 pero no de 10. a) 63 b) 55 c) 57 d) 59 e) 61 05. Calcular cuántos números de tres cifras son múltiplos de 18 pero no de 12. a) 25 b) 27 c) 29 d) 31 e) 33 06. Calcular cuántos número de cuatro cifras son múltiplos de 23 y terminan en la cifra 8. a) 39 b) 41 c) 43 d) 37 e) 45 07. En un barco viajaban 165 personas y ocurrió un accidente. De los sobrevivientes se sabe que los 5 son 12 niños y los 3 son casados. Calcular cuántos murie8 ron si lo sobrevivientes son más de 120. a) 24 b) 36 c) 21 d) 38 e) 41 08. El número de páginas de un libro está comprendido entre 850 y 950. Si se cuenta sus páginas de 4 en 4 sobra una página; de 5 en 5 sobran tres páginas y, de 9 en 9 sobran dos páginas. Calcular el número de páginas del libro. a) 891 b) 893 c) 853 d) 892 e) 873 09. Si a un número se le divide entre 11 se obtiene 7 de residuo y, cuando se le divide entre 10 se obtiene 5 de residuo. Calcular el residuo de dividir el número entre 110. a) 95 b) 90 c) 85 d) 80 e) 75 10. A un congreso médico asistieron entre 500 y 600 personas. Se observó que 5 de los asistentes son 16 ginecólogos, 1 son neurólogos y 7 son pediatras, 12 18 calcular cuántos asistentes no son pediatras. a) 354 b) 348 c) 352 d) 360 e) 372
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11. Del 29 al 420, calcular cuántos no son múltiplos de 4 ni de 6. a) 258 b) 265 c) 264 d) 260 e) 261 12. Si 4ab5 es divisible entre 19, determinar la suma de los valores que toma ab. a) 230 b) 249 c) 268 d) 211 e) 222 13. abab6 siempre será múltiplo de: a) 35 d) 13
b) 37 e) 6
c) 4
o
14. Si abab es 17 + 5 , calcular la suma de los valores de ab. a) 327 b) 332 c) 350 d) 358 e) 370 15. En un colegio hay matriculados 1220 alumnos. De los varones se sabe que los 2 son alumnos nuevos, 9 5 llevan un curso de cargo, y a 2 les gusta ma21 15 temática, calcular cuántos varones gustan de matemáticas si la cantidad de mujeres son menos de 290. a) 185 b) 164 c) 220 d) 140 e) 126
Problemas adicionales 16. Determine cuántos números de tres cifras del sistema heptanario son múltiplos de 15. a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23 17. Cuántos números de tres cifras que sean impares y múltiplos de cinco existen en el sistema decimal. a) 90 b) 93 c) 96 d) 99 e) 87 18. El número de enteros divisibles por 3 y también por 7 que hay entre 100 y 250 es: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 19. Cuántos números múltiplos de 5 existen, de modo que sus cuádruples sean mayores que 80 y menores que 180. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 20. De los números del 19 al 600, calcular cuantos son: a) Múltiplos de 3. b) Múltiplos de 5. c) Múltiplos de 7. d) Múltiplos de 21. e) Múltiplos de 3 pero no de 7.
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Capítulo 29
Tarea domiciliaria 01. ¿Cuántos números del 1 al 1800 no son múltiplos de 5 ni de 8? a) 540 b) 1260 c) 1215 d) 1360 e) 1775 02. ¿Porqué número será divisible todo número de la forma abba? a) 7 b) 9 c) 11 d) 12 e) 8 03. ¿Cuántos valores puede tomar "n" para que E sea divisible entre "n"? E=1n+2n+3n+...+9n a) 5 b) 6 c) 1 d) 4 e) 2 04. ¿Cuántos números impares de 3 cifras son divisibles por 21 pero no son múltiplos de 9? a) 9 b) 30 c) 15 d) 40 e) 27 05. El numeral abba siempre es múltiplo de: a) 17 b) 19 c) 13 d) 11
e) 6
06. ¿Cuántos números de 3 cifras de la base 7, son múltiplos de 7? a) 43 b) 42 c) 44 d) 45 e) 49 07. A una fiesta de aniversario asistieron un número de personas que es mayor que 200 pero menor que 300, en cierto momento se observó que los 2 de 11 los asistentes son varones que están bebiendo y 5 13 son mujeres que están bailando, luego si todos los varones están bailando o bebiendo, ¿cuántas mujeres no están bailando en dicho momento? a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 08. Sabiendo que el siguiente numeral 10a4a9 es divisible entre 19. Calcular el valor de "a". a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4 09. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 13? a) 67 b) 68 c) 69 d) 70 e) Más de 70 10. ¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en 1, son múltiplos de 7? a) 10 b) 9 c) 8 d) 12 e) 13 11. En el colegio TRILCE hay 690 alumnos matriculados en 5to. año, de los cuales los 5 de los hombres pos8 tulan a la UNMSM; los 3 son menores de 17 años 11 y los 2 son provincianos, ¿cuántos hombres no pos5 tulan a la UNMSM? a) 275 b) 135 c) 195 d) 165 e) 140
12. Al dividir el número "N" entre 7 da residuo "r", al dividir N3 entre 7 da residuo "r+1", ¿cuál es el residuo de dividir N2 entre 7? a) r - 1 b) 4 c) r2 e) 5 d) r + 1 r 13. ¿Cuántos números capicúas de 4 cifras de la base 6 son múltiplos de 8? a) Ninguno b) 1 c) 2 d) 3 e) Más de 3 o
14. Hallar el menor número "N"; si: N = 7 + 3 y o
4N = 15 + 13 . a) 52 d) 124
b) 65 e) 157
c) 137
15. ¿Cuántos números capicúas de cuatro cifras de la base nueve existen tales que su complemento aritmético sea divisible entre 7? a) 11 b) 12 c) 13 d) 9 e) 10 o
16. Calcule la suma de los 5 primeros términos 13 + 3 de la siguiente sucesión. 13 ; 17 ; 21 ; 25 ; ...... a) 620 b) 665 c) 653 d) 613 e) 605 o
17. Entre 1400 y 8400. ¿Cuántos números son 7 pero o
no 5 ? a) 742 d) 800
b) 760 e) 814
c) 785
18. Hallar la suma de los "k" primeros múltiplos de 7 positivos. b) 7K2 + 7 a) 7K2 + 7K 2 d) 3,5K2 + 3,5 c) 3,5K + 3,5K 2 e) 7K(K + 1) 19. Al estrellarse un avión que llevaba 150 personas se sabe que: de los sobrevivientes los 2 son peruanos y 9 los 13 son extranjeros. ¿Cuántos murieron? 14 a) 24 b) 21 c) 25 d) 30 e) 31 20. En una encuesta realizada a una cantidad de personas menor que 240 y mayor que 100; se observó que los 2 del total votarían por el candidato "A" y los 7 5 del total votarían por el candidato "B", ¿cuál es el 13 número de personas que no votarían por ninguno de los dos candidatos? a) 50 b) 60 c) 65 d) 70 e) 85
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Aritmética
30
Divisibilidad II - Criterios de divisibilidad
Criterios de la divisibilidad Son ciertas reglas prácticas que aplicados a las cifras de un numeral permiten determinar su divisibilidad respecto a un cierto número.
Principales criterios o
abcd = 2 + o
o
d=2
o
abcd = 4 + cd = 4 o
o
abcd = 8 + bcd = 8
o
o
o
o
abcd = 3 + a + b + c + d = 3 abcd = 9 + a + b + c + d = 9
o
abcde = 5 o
+
e = 5 ó0 o
abcde = 25 +
de = 25
abcde = 125 +
cde = 125
o
+-+-+
o
o
abcde = 11 + a - b + c - d + e
231231
o
o
abcdef = 7 + - 2a - 3b - c + 2d + 3e + f = 7
- +
431431
o
o
abcdef = 13 + 4a + 3b - c - 4d - 3e + f = 13 + -+
1(10) 1 (10) 1
o
o
o
o
a b c d e = 33 + a + 10b + c + 10d + e = 33 1(10) 1 (10) 1
a b c d e = 99 + a + 10b + c + 10d + e = 99
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171
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Capítulo 30
Complementos Divisibilidad en otra base o
abcde(n) = k ; por restos potenciales: Base n
: n0
Módulo k :
1
n1
n2
n3
n4
...
r1
r2
r3
r4
...
Entonces se cumple: o
r4 a + r3 b + r2 c + r1d + e = k
Divisibilidad por (n + 1) en base n -+-+
o
o
abcd(n) = (n + 1) + - a + b - c + d = (n + 1)
Divisibilidad por (n - 1) en base n o
o
abcd(n) = (n - 1) + a + b + c + d = (n - 1)
Propiedad o
n+e o
n2 + den o
abcden =
n3 + cden o
n 4 + bcden h
Congruencia Dos números a y b son congruentes respecto al módulo m si al dividir a y b entre m el resto es el mismo. o
o
Ejemplo: 17 y 32 son congruentes respecto al módulo 5 porque: 17 = 5 + 2 ; 32 = 5 + 2 Notación a / b (m) o a / b (mod m) o
Se verifica: a - b = m
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Problemas resueltos 01. Determine el producto de cifras a, b y c no nulas, sabiendo que el número abc es divisible por 9, el número bac es múltiplo de 5 y el número ca es divisible por 8.
Resolución
a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0
Nos piden: a×b×c 6 × 7 × 5 = 210
Dato: o
bac = 5 " c = 5 o
5a = 8 " a = 6 abc = 9 6b5 = 9 o
6+b+5 = 9 b=7 02. Si el número de cinco dígitos ab1ba, donde a > b, es divisible entre 11, calcule el valor de (a - b)
Resolución o
a b 1 b a = 11 +- + -+ o 2a - 2b + 1 = 11 o
2 (a - b) + 1 = 11 a>b a-b>0 a-b=5 03. Halle la suma de todos los números de tres cifras de la forma ba(2a) con b > a > 0, de manera que sean múltiplos de 4 y 11.
Resolución Criterio de divisibilidad por 4
o
b a ( 2 a) = 1 2 2 4 3 6 4 8
b + a = 11
o
4
Criterio de divisibilidad por 11 o
o
a=1
10 + 1 = 11
a=2
9 + 2 = 11
a=3
8 + 3 = 11
a=4
7 + 4 = 11
o o
o
Entonces los números son:
ba (2a) = 11 +- + o 2a + b - a = 11
924; 836; 748 Nos piden:
o
a + b = 11
924 + 836 + 748 = 2508
Para:
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Capítulo 30
Práctica 01. Calcular (a+b) sabiendo que el número a31ba es divisible por 45. a) 14 b) 9 c) 5 d) 18 e) 15 o
02. Determinar (a+b), sabiendo que 4a8a7b = 275 a) 9 b) 10 c) 12 d) 13 e) 7 03. Al dividir 28a13b entre 36 se tiene una división exacta. Calcular la suma de valores de (a+b). a) 17 b) 4 c) 11 d) 12 e) 13 04. Sabiendo que 4a8bc es múltiplo de 1125. Hallar (a+b+c). a) 14 b) 17 c) 15 d) 13 e) 16
12. Hallar la suma de todos los valores que puede tomar o
"a" en ababa = 39 a) 3 b) 12 d) 27 e) 45
13. Hallar un número capicúa de 3 cifras sabiendo que es múltiplo de 7 y al agregarle 3 unidades se convierte en múltiplo de 5 y al restarle 3 unidades se convierte en múltiplo de 2. Da como respuesta su cifra de las decenas. a) 2 b) 0 c) 7 d) a y b e) b y c 14. Hallar un número de cinco cifras que empieza con la cifra 7 y que es igual a 45 veces el producto de sus cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 22 b) 27 c) 23 d) 18 e) 19 o
05. Hallar "x" si 7x36y5 es divisible por 1375 a) 0 b) 1 c) 8 d) 49 e) 25
15. Si: (b + 5) 3ab (a - 4) = 13 , calcular el mayor valor de o
"c" en 17 (a + b) c = 4 a) 0 b) 2 d) 6 e) 8
o
06. Hallar "a" si 471a4432 = 7 a) 6 b) 7 d) 9 e) 0
c) 8 o
o
07. Hallar ab+c-d. Si aaa37b = 88 y bcad = 45 a) 14 b) 15 c) 16 d) 10 e) 13 o
08. Si: 30ab60 = 99 , hallar: a + b a) 8 b) 9 d) 13 e) 15
c) 10
09. Hallar el menor valor que puede tomar "x" en b) 1 e) 4
c) 4
16. ¿Cuántos números de la forma a(a+b)b son múltiplos de ocho? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 17. ¿Cuántos números de tres cifras existen tales que sumados con sus 3 cifras dan un múltiplo de once? a) 70 b) 80 c) 56 d) 90 e) 88 18. Hallar el resto que se obtiene al dividir S 444...4 entre 32 cifras 7. a) 1 d) 4
o
x9504y = 77 a) 0 d) 3
c) 18
c) 2
b) 2 e) 5
c) 3
19. Hallar el máximo valor que puede tomar a+b si o
7a2ab = 13 a) 9 d) 14
o
10. Cuántos valores toma "x" en 72 # 9 # 2 # = 26 a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 o
20. Hallar: a × b × c.
o
o
11. Si: 24ab8 = 9 y 8ab42 = 11. Calcule el residuo al dividir bbbb entre a. a) 0 b) 5 d) 7 e) 2
b) 10 e) 16 o
c) 12
o
Si : abc = 11; cba = 7 y bac = 9 a) 144 b) 162 d) 215 e) 186
c) 3
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c) 174
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Tarea domiciliaria 01. Hallar la suma de cifras del menor número de la forma a6b que es múltiplo de 28. a) 14 b) 15 c) 12 d) 16 e) 18 02. Si el número abc6bc es divisible entre 1125. Hallar el valor de "a". a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 4 03. Si 8xyx5y es divisible entre 88. Dar: x . y a) 6 b) 3 d) 5 e) 4
12. ¿Cuántos numerales de 3 cifras son tales que siendo múltiplos de 21, al invertir el orden de sus cifras resulta múltiplo de 5? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 o
13. ¿Cuántos capicúas de 4 cifras son 36 ? a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5
c) 2
04. Calcular: (n - x) si el número nx1xn es divisible entre 44. a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2
14. ¿Cuántos números divisibles entre 99 puede formarse al cambiar por cifras a las letras a y b en el número 7a5b63? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 15. ¿Qué resto se obtiene en la siguiente división? 4444...44 ' 7 1 44 2 44 3 32 cifras
a) 1 d) 4
05. Si el número de la forma: (a+1)(a–1)aa Es divisible entre 13. Hallar "a" a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 06. ¿Cuántos números de tres cifras divisibles por 11 tienen como suma de cifras 15? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 07. Ubica un número de 3 cifras, cuya quinta parte es equivalente al producto de sus cifras. a) 125 b) 155 c) 145 d) 180 e) 175 08. Calcular el valor de axa, si es divisible por 56. Indique la suma de cifras del número xax. a) 13 b) 15 c) 8 d) 12 e) 5 09. ¿Cuántos capicúas de 6 cifras son divisibles entre 63? a) 17 b) 18 c) 8 d) 9 e) 6 10. ¿Cuántos números de la forma 64a72b son divisibles entre 72? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
b) 2 e) 5
c) 3
16. ¿Cuántos numerales capicúas de 4 cifras son divisibles por 35? a) 1 b) 2 c) 8 d) 3 e) 7 17. ¿Cuántos números de 3 cifras al ser divididos entre 4 y entre 7 dan como residuo 2 en ambos casos? a) 31 b) 32 c) 30 d) 33 e) 34 18. ¿Cuántos de los números del 1 al 180 son múltiplos de 3 y 4 pero no de 7? a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 20 o
19. Sabiendo que: (2a) 9a39 = 7 Hallar: "a" a) 0 b) 1 d) 3 e) 4 o
c) 2
o
20. Si: ab = 5 + 4 y ba = 9 + 3 . Hallar el mayor valor de ab a) 64 b) 69 d) 39 e) 94
c) 84
o
11. Si: abc7a = 1375 y b ≠ 0. Calcular: a + b - c a) 3 b) 5 d) 8 e) 9
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c) 7
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San Marcos
Capítulo 31
31
Repaso o
01. Determine el valor de (a+b) si: a1a2a3a = 12 y o
abab = 6 a) 9 d) 15
b) 10 e) 16
c) 12
02. Sabiendo que a ≠ b ≠ c, determine el máximo valor o
o
de a+b+c; si abc = 6 y cba = 5 a) 12 b) 15 d) 21 e) 24
12. Determinar el residuo de dividir E entre 11: E = 32n+2 + 23n+1 46n+3 + 26n+1 Siendo "n" un número entero positivo. a) 1 ó 10 b) 2 ó 9 c) 4 ó 7 d) 3 ó 8 e) 5 ó 6 13. Calcular la suma de los posibles valores de "a" y "b" si o
el número 13a2ba es 63 a) 14 b) 16 d) 20 e) 22
c) 18
03. Cuántos números de la forma 5ba8b7 son múltiplos de 7. a) 15 b) 28 c) 30 d) 20 e) 10 o
04. Determinar el valor de (a+b) si: 1abababa = 77 a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 05. Si a un número de 4 cifras consecutivas decrecientes se le agrega 1223 se obtiene un múltiplo de 66, indique el producto de sus cifras. a) 24 b) 36 c) 48 d) 120 e) 360 06. Cuántos números de la forma ababa son múltiplo de 14. a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
14. Calcular "a+b". Si: (2a)3ba48 es divisible entre 91. a) 2 d) 10
o
o
8 $ 10ab + 9 ba = 72 + (a + b) a) 0 b) 1 d) 3 e) 4
o
09. Si aaaa = 9 + 7 y 4ab58a = 7 ; calcule: a + b a) 9 b) 11 c) 8 d) 10 e) 12 10. Halle el residuo al dividir 5aa5 entre 9, si el numeral 46(2a)2a es divisible entre 9. a) 7 b) 4 c) 6 d) 9 e) 5 11. Si a > b, además b es cifra significativa diferente de o
la unidad y a31b94 = 91. Calcule: a + b. a) 10 b) 12 d) 16 e) 11
c) 2
17. Calcular el mayor valor posible de "a+b" sabiendo o
que: 289abba = 13 + 9 a) 9 b) 12 d) 16 e) 13 o
c) 8
16. Hallar: a - b; si se sabe que ab = 7 y además
07. Determine el valor de a × b, si a4ba es 126 a) 12 b) 14 c) 54 d) 56 e) 63
o
b) 4 e) a y d
15. Cuál es la última cifra al expresar 68ab6 en el sistema undecimal a) 6 b) 4 c) 7 d) 9 e) 3
o
08. ¿Cuántos números de la forma 1a1bab son 63 ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
c) 18
c) 15
33322
18. El número 55555 4444 ; se escribe en base 3. Hallar las dos últimas cifras al ser escrito en base 3. b) 02(3) c) 21(3) a) 12(3) d) 01(3) e) 22(3) 19. Se divide: 11121314...8889 entre 11 . Calcular el residuo. a) 1 b) 2 c) 10 d) 9 e) 3 20. ¿Cuántos números de tres cifras que suman 21, son divisibles entre 25? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Ninguno
c) 14
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Problemas resueltos 01. Sea N el mayor número entero comprendido entre 3000 y 4000, tal que al ser dividido entre 18; 35 y 42, deja siempre un residuo igual a 11. ¿Cuál es la suma de cifras de N?
Resolución 3000 < Nmayor < 4000 _ N = 18 + 11b b o o N = 35 + 11`N = MCM (18; 35; 42) + 11 b o b N = 42 + 11a o
o
N = 630 + 11 N = 630(k) + 11 N = 630(6) + 11 N = 3791 Suma de cifras: 3 + 7 + 9 + 1 = 20 02. Halle el menor número que al ser dividido por 3; 5; 9 y 12 siempre da residuo 1.
Resolución _ o N = 3+1 b b o o N = 5 + 1 b N = MCM (3; 5; 9; 12) + 1 ` o N = 9+1 b b o b N = 12 + 1a o
N = 180 + 1 Nos piden el menor N = 180 + 1 N = 181 03. Al dividir el entero en N = 3a82 entre 9, su resto es 1. Halle el valor de a2 + 1.
Resolución Criterio de divisibilidad por 9 o
3a82 = 9 + 1 o
12 + a = 9 a=6 Nos piden:
a2
+1 (6)2 + 1 = 37
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Capítulo 31
Tarea domiciliaria 01. El número a26b es múltiplo de 11, entonces la diferencia entre el mayor y el menor de ellos es: a) 7997 b) 6798 c) 4004 d) 5533 e) 6534 02. Determine un número comprendido entre 70000 y 80000 sabiendo que es igual a 45 veces el producto de sus cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 12 b) 9 c) 18 d) 27 e) 36 03. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: o
o
I. abcd(7) = 6 & a + b + c + d = 6 o
o
II. abcde(8) = 9 & a + b + c + d + e = 9 o
III. Si: " x ; y , 1 Z+ y además: x y = 7 + 1 entonces: o
x = 7 + 1. a) VVV d) VFF
b) FFF e) FVF
c) VFV
04. Hallar: (a2 + b2) si el complemento aritmético de a1b8 es divisible entre 77. a) 37 b) 29 c) 32 d) 9 e) 5 05. Si se cumple: o
o
o
abcd = 23 ; cdab = 11 ; bacd = 9 Además: a, b, c y d diferentes entre sí. Calcular: a × b × c × d a) 128 b) 136 c) 144 d) 120 e) 140 06. ¿Cuántos de los números de 1 al 720 son múltiplos de 3 o múltiplos de 4 pero no de 5? a) 268 b) 278 c) 288 d) 298 e) 308 07. En un avión hay 150 personas, ocurre un accidente y muere un grupo de ellas. De los sobrevivientes los 2 9 eran extranjeros y los 3 eran peruanos. ¿Cuántas 14 personas murieron? a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26 08. ¿Cuántos números del 1 al 1000 son múltiplos de 3 ó 7? a) 475 b) 426 c) 427 d) 428 e) 429 09. Compré vacas en S/.450 c/u y caballos a S/.520 c/u. Si en total gasté S/.9390, hallar la diferencia entre el número de vacas y de caballos que compré. a) 6 b) 8 c) 10 d) 5 e) 4
10. Si 537 se convierte a base 11, ¿en qué cifra termina? a) 5 b) 3 c) 4 d) 9 e) 1 o
o
11. Si: abcd = 13 y 348abc = 7 + 6 , calcular "r" en abc
o
abc = 9 + r , sabiendo que abc es el mayor posible. a) 0 b) 1 c) 3 d) 5 e) 7 12. ¿Cuál es el residuo de dividir mm3nn1361 entre 22? a) 9 b) 12 c) 13 d) 11 e) 10 13. Determine la última cifra obtenida al expresar en base 7. E = (5558) 82 + (41327) 21 + (134126) 31 a) 0 b) 1 c) 3 d) 5 e) 2 14. Un conejo sale de su madriguera, en dirección a un huerto dando saltos de 15cm. cada uno y luego regresa dando saltos de 8 cm. Si se detiene después de haber recorrido 130 cm. ¿Cuántos cm. le falta para llegar a su madriguera? a) 28 b) 20 c) 80 d) 40 e) 50 15. Si x e y son números enteros, si 11 es un divisor de: 2x + 3y, entonces uno de los divisores de: 7x + 5y necesariamente es: a) 9 b) 10 c) 11 d) 2 e) 13 16. Resolver para x ∈ N, y ∈ N ; 24x + 37y = 2989 Dar la suma de los valores que toma "x". a) 212 b) 240 c) 270 d) 250 e) 124 17. Podría ahorrar S/.200 diarios pero cada mañana de sol gasto S/.90 en helados y cada mañana de frío gasto S/.60 en café. Si ya tengo ahorrado S/.2580, ¿cuántos días ahorré? a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23 18. Por S/.241 se han comprado cuadernos a S/.38 cada uno y lapiceros a S/.17 cada uno. ¿Cuántos objetos se han comprado? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 19. Encuentre el resto de dividir 82303 entre 11. a) 2 b) 3 c) 6 d) 4 e) 5 20. Porque número es divisible la suma de los números ana y nan. a) 13 b) 17 c) 23 d) 37 e) 41
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32
Números primos
Introducción Abogado de profesión, matemático aficionado, nació en la ciudad de Beaumont-de-Lomange el 17 de agosto del 1601. Pierre Fermat hizo importantes aportes a la matemática como por ejemplo en Geometría Analítica. El cálculo de probabilidades, el cálculo infinitesimal y la aritmética. Sus investigaciones se conocen, fundamentalmente, debido al intercambio de notas que mantuvo con matemáticos de la época, tales como Blaise Pascal (1623-1662); Rene Descartes (1596, 1650); M. Mersenne entre otros. Cabe destacar una carta dirigida a Pierre de Carcavi (1600; 1684) en la que expone sumariamente lo que el consideraba importante como por ejemplo el método del "descenso infinito". En 1679, su hijo mayor Clement-Samuel recopiló y publicó sus obras y cartas de su padre.
Pierre Fermat
En la copia de Bachet del libro de Diofanto, en la parte del mismo donde se plantea el problema de hallar cuadrados que son sumas de dos cuadrados, Fermat escribió. "Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitud ultra quadratum potestatem in duos eje dem nominis fase est dividere: cufus rei demostrationem mirabilem sane detexi. Han marginis non carpet". Que traducido señala: "Por otra parte, es imposible para un cubo ser suma de dos cubos, para una cuarta potencia ser suma de dos cuartas potencias o en general para un número que es potencia mayor que dos, ser suma de dos números que son de esta misma potencia. He descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación imposible de escribir en este estrecho margen". Simbólicamente, esa proposición, hoy llamada EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT establece que si "n" es un número natural mayor que dos, no existen números naturales x, y, z que satisfacen la ecuación: xn + yn = zn Pierre Fermat falleció en la ciudad de Castres el 12 de enero de 1665.
Clasificación de los números enteros positivos Al considerar los enteros positivos, observamos que la unidad es el único número que tiene un solo divisor los demás números tienen dos o más divisores según esto daremos las siguientes definiciones:
Número primo: Es aquel número entero positivo que posee sólo dos divisores: la unidad y el mismo número. Ejemplos • 3 es un número primo debido a que tiene sólo dos divisores: 1 y 3. • Son números primos: 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; ......
Número compuesto: Es aquel número entero positivo que tiene más de dos divisores. Ejemplo • 6 es un número compuesto debido a que tiene más de dos divisores: 1 , 2 , 3 y 6.
Número simple: Es aquel número entero positivo que no tiene más de dos divisores. Números primos entre sí (PESI): Son aquellos que tienen como único divisor común a la unidad. A dichos números, también se les llama primos relativos o coprimos. Central 6198 - 100
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Capítulo 32
Divisor propio: Son todos los divisores de N, menores que N. Ejemplo • Los divisores propios de 12 son: 1, 2, 3, 4 y 6.
Propiedades • • • • •
La sucesión de números primos es infinita. El único número primo par es 2. o Si N es un número primo mayor que 3, entonces N es 6 ! 1. Varios números consecutivos son PESI. Si un número primo absoluto no está contenido en un número compuesto, ambos son PESI.
Ejercicios 1. Demuestre que la sucesión de números primos es infinita. 2. Demuestre que el único número primo par es dos. o
o
3. Demuestre que si N es un número primo mayor que 3, entonces N es 6 + 1 ó 6 - 1. 4. La suma de dos números primos es 199, calcule el mayor. 5. Averigüe qué es un número perfecto, un número abundante, número defectuoso y números amigos.
Teorema Fundamental de la Aritmética Todo número entero positivo se puede descomponer como el producto de potencias de sus factores primos, esta descomposición es única y se conoce como descomposición canónica. Ejemplo: Descomponer canónicamente el número: 360 360 2 180 2 90 2
360= 2 # 2 # 2 × 3 # 3 × 5 S 14 424 3 × 32 × 51 360= 23
45 3 15 3 5 5 1
Ejercicio: Demuestre que la descomposición canónica de un número es única.
Estudio de los divisores de un número Tabla de Divisores Ejemplo: confecciona la tabla de divisores de 120. 120 = 23 # 31 # 51 20
21
22
23
1
1
2
4
8
3
3
6
12
24
5
5
10 20
40
15 30 60
120
Divisores de 23
Los divisores de 120 son: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 20 , 24 , 30, 40 , 60 , 120 ⇒ 120 tiene 16 divisores.
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Aritmética
Cantidad de divisores de un número Sea N = am . bn . cp la descomposición canónica de N; podemos calcular la cantidad de divisores de N sin necesidad de hacer la tabla de divisores, utilizando la siguiente fórmula: CD(N) = (m+ 1) (n + 1) (p + 1) Ejemplo: calcule la cantidad de divisores de 120. 120 = 23 # 31 # 51 & CD (120) = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16 SSS 4
2
2
Observación: También se cumple: CD(N) = CD (primos) + CD (compuestos) + 1
Suma de los divisores de un número SD (N) = c a
m+1- 1
a-1
mc b
n+1- 1
b-1
mc c
p+1- 1
c-1
m
Ejemplo: calcule la suma de los divisores de 120. 120 = 23 # 31 # 51 SD (120) = c 2
3+1- 1
2-1
1+1- 1
mc 3
3-1
1+1- 1
mc 5
5-1
m = 360
Producto de los divisores de un número PD (N) =
NCD (N)
Ejemplo: calcule el producto de los divisores de 120 como CD(120) = 16 & PD (120) = 12016 = 1208
Suma de las inversas de los divisores de N SID (N) =
SD (N) N
Ejemplo: calcule la suma de las inversas de los divisores de 120. SID (120) =
Indicador de un número o función euler
SD (120) 360 = =3 120 120 f(N)
La cantidad de números menores o iguales que N y PESI con N se puede calcular utilizando la expresión: f(N) = am - 1(a - 1) bn - 1(b - 1) cp - 1(c - 1) que también se puede escribir: f(N) = am bn cp `1 - 1 j`1 - 1 j`1 - 1 j a b c
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Capítulo 32
Ejemplo: ¿Cuántos números menores o iguales que 12 son primos relativos con 12? 1 , 5 , 7 , 11 1 44 2 44 3 4 números
Esta cantidad se puede calcular usando la función de Euler. Como: 12 = 22 × 31 (2 - 1) 31 - 1(3 - 1) = 4 f(12) = S 22 - 1S SS 1
2
o también
2
1
f(12) = 22 `1 - 1 j31c1 - 1 m = 4 2 S 3 SS S 4 1 3 2 3
2
Ejercicios 1. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 120 existen? Rpta: 32 2. Demuestre una fórmula para sumar todos los números menores o iguales que N que son primos relativos con N. 3. Hallar la suma de todas las fracciones propias e irreductibles cuyo denominador es 600. Rpta: 80
Teoremas adicionales Teorema de Wilson: si p es un número primo. o
(p - 1) ! = p - 1 o
Ejemplo: (5 - 1) ! = 5 - 1
Teorema de Euler: si a y b son PESI: o
af (b) = b + 1 Ejemplo: sea a = 3 y b = 8. Se cumple: o
3 f (8) S
= 8+1 o
34
= 8+1
Teorema de Fermat: si a y p son PESI y p es un número primo. o
ap - 1 = p + 1 Ejemplo: Sea a = 4 y p = 3 se cumple: o
43 - 1 = 3 + 1 S 42
o
= 3+1
Ejercicios 1. Demuestre el Teorema de Fermat. 2. Demuestre el Teorema de Wilson. 3. Demuestre que: si p es primo o
(a + b + c + ...) p = p + ap + bp + cp + ... Donde: a , b , c , ... son números enteros positivos. 182
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Problemas resueltos 01. Halle el valor de n si se sabe que el número (189)n tiene 133 divisores.
Resolución Efectuando la descomposición canónica de: (189)n = (33 × 7)n → 189n = 33n × 7n Cantidad de divisores de (189)n = (3n + 1) (n + 1) = 133 (3n + 1) (n + 1) = 19 × 7 n=6 02. Si el número M = 32 × 10n tiene 48 divisores positivos, entonces el valor de n es:
Resolución Descomposición canónica M = 32 × 2n × 5n CDM = 3 × (n + 1) (n + 1) = 48 (n + 1)2 = 16 n=3 03. Halle el número entero de la forma 2a × 7b, sabiendo que al multiplicarlo por 14 se duplica la cantidad de sus divisores y que al dividirlo entre 4,el número de sus divisores positivos se reduce a la tercera parte.
Resolución Sea: N = 2a × 7b CDN = (a + 1) (b + 1) Si a N se le multiplica por 14 14N = 2a+1 × 7b+1 (I) CD14N = (a + 2) (b + 2) = 2(a + 1) (b + 1) Si a N se le divide entre 4 N = 2α - 2 # 7β 4 (α + 1)(β + 1) (II) CD N = (α - 1)(β + 1) = 3 4 a=2 Reemplazando en (I) 4(b + 2) = 2(3) (b + 1) b=1 Entonces: N = 22 × 71 N = 28
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Capítulo 32
Práctica 01. Colocar el valor de verdad: I. La suma de los 3 primeros números primos es 10. II. 91 es primo. III. Un número es primo cuando es divisible por si mismo y por la unidad. a) VVV b) VFV c) VFF d) FFV e) FVV 02. ¿Cuántos divisores tiene 456 × 635? a) 954 b) 948 c) 932 d) 916 e) 966 03. Calcular la suma de los divisores compuestos de 1800. a) 6045 b) 6035 c) 6034 d) 6015 e) 6023 04. Hallar "n", Si: A = 28n · 50, tiene 150 divisores. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 05. Si: N = 15 · 30n, tiene 294 divisores. Hallar "n". a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8 06. Si ab es un número primo absoluto. ¿Cuántos divisores como mínimo tiene ab0ab? a) 8 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 07. ¿Cuántos divisores debe tener M = 6n · 34 para que su raíz cuadrada tenga 8 divisores? a) 18 b) 16 c) 20 d) 21 e) 24 08. Dado el número 720: A = ¿Cuántos divisores primos tienen? o
B = ¿Cuántos divisores son 6 ?
o
C = ¿Cuántos divisores no son 18 ? Hallar "A+B+C" a) 36 b) 39 d) 45 e) 52
c) 41
09. Si: E = 8n+2 + 8n, tiene x8 divisores múltiplos de 10. Calcular el máximo número de divisores que tiene "E". a) 140 b) 160 c) 120 d) 100 e) 180
11. ¿Cuántos rectángulos cuyos lados son números enteros en centímetros tiene un área de 2000cm2? a) 16 b) 15 c) 14 d) 10 e) 20 12. Hallar el residuo de dividir el producto de los 2000 primeros números primos entre 60? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 2 13. Si: A = 48n · 75, tiene 150 divisores múltiplos de 60. Hallar la cantidad de divisores de: B=48 × 75n a) 270 b) 160 c) 320 d) 135 e) 150 14. ¿Cuál es el exponente de 7 en la descomposición canónica de 300!? a) 49 b) 48 c) 74 d) 19 e) 51 15. ¿Cuántos de los divisores del número 144 · 625 · 113, son cuadrados perfectos? a) 27 b) 36 c) 54 d) 18 e) 81
Problemas adicionales 16. ¿Cuántos divisores tiene: E = 1410 - 148? a) 99 b) 42 c) 648 d) 1448 e) 110 17. ¿Cuántos divisores de 40500 son impares? a) 15 b) 20 c) 16 d) 18 e) 20 18. ¿Cuántos divisores no primos tiene el menor número cuya suma de cifras es 36? a) 10 b) 8 c) 9 d) 12 e) 14 19. Hallar el menor número que tenga 15 divisores. a) 120 b) 136 c) 72 d) 144 e) 324 20. ¿Cuántos números de la forma: aaa, tiene 8 divisores? a) 4 b) 5 c) 8 d) 3 e) 2
10. Calcular todos los números de 3 cifras que terminan en 5 y tiene 12 divisores. ¿Cuántos números cumplen dicha condición? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) Más de 7 184
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Tarea domiciliaria 01. ¿Cuántos divisores más tiene 1323 con respecto de 100? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 02. ¿Cuántos números de 2 cifras son divisores de 100? a) 4 b) 8 c) 7 d) 12 e) 3 03. ¿Cuántos ceros debe tener 200... 000 para que admita 132 divisores? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 6 04. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 13. 360? a) 40 b) 37 c) 36 d) 35 e) 43
06. ¿Cuántos divisores de 25.5436 son múltiplos de 3 y terminan en 5? a) 24 b) 144 c) 175 d) 42 e) 32 07. Si 64n tiene p divisores, ¿cuántos divisores tiene 512n? 3p + 1 2 3p - 2 d) 2
3p - 1 2 3p - 1 e) 4 b)
c)
13. Si abc–cba tiene 24 divisores, halle a+c a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 e) 8 14. ¿Cuántos números menores que 1240 tiene por lo menos un divisor común a 1240? a) 760 b) 480 c) 840 d) 759 e) 780 15. ¿Cuál es el menor perímetro que pueda tener un rectángulo cuya área es 396m2 sabiendo que sus dimensiones expresado en metros son número entero? a) 86 b) 90 c) 80 d) 74 e) 96
05. Si : 81k tiene 4 divisores más que M: M=(56)4 ¿Cuántos divisores tiene K-1? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
a)
12. Si: A=4x.25x+1.30x Tiene 27 divisores que no son múltiplos de 2. Calcular "x". a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
16. Si abc–cba tiene 16 divisores halle (a+c) a) 20 b) 12 c) 13 d) 15 e) 18 17. Halle el valor de ab para que N=48 × 64n × 27 × ab sea un número que tenga 136 divisores. a) 12 b) 21 c) 37 d) 27 e) 18 18. Determine la suma de cifras del menor número tal que su cuadrado posee 45 divisores. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 18
3p + 2 2
08. Hallar "n" si el número de divisores de "P" es los 2 3 del número de divisores de "Q". P=3.21n Q=98n a) 3 b) 5 c) 2 d) 4 e) 6 09. ¿Cuántos divisores primos tiene 18900? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
19. Calcule la cantidad de divisores múltiplos de 10 de un número, sabiendo que es el menor número que tiene 45 divisores propios. a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 20. Si se cumple que CA(abc)=2b0. Calcular la cantidad de divisores de a + b + c, b ≠ 0. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16
10. Si el número: P=2x+2x+1+2x+2+2x+3+2x+4 Tiene 20 divisores no primos. Calcule "x" a) 8 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9 11. Hallar el valor de "n" si el número de divisores de "M" es los 2 del número de divisores de "N". 3 "M"=3x39n N=18n a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
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Capítulo 33
33
MCD - MCM - I
Euclides fue un matemático griego que nació el año 365 a.C. en Alejandría, Egipto, y murió alrededor del 300 a.C. Probablemente estudió en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó Geometría en Alejandría y allí fundó una escuela de matemáticas. Su obra principal, Elementos de Geometría, es un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes que se ha utilizado como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana. En el volumen IX, Euclides demuestra que la cantidad de números primos es infinita.
Introducción Al considerar el conjunto de los enteros positivos, una de las partes de la Teoría de Números, es el cálculo del M.C.D. y el M.C.M. de varios números. Se sabe que ya antes de nuestra era, Euclides aportaba (en su obra Elementos) el algoritmo de la división que nos da la obtención del M.C.D. Este algoritmo tiene su aplicación en las fracciones continuas.
Nociones preliminares Divisor común: se llama divisor común de un conjunto de números enteros, a aquel número entero positivo que se encuentra contenido en todos ellos una cantidad entera y exacta de veces. Ejemplo: Los divisores de 12 ; 18 y 30 son: D(12) = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12} D(18) = {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18} D(30) = {1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30} Como Ud. observará los divisores comunes son: 1 ; 2 ; 3 y 6 Entonces llamaremos Máximo Común Divisor al mayor de los divisores comunes. En consecuencia el M.C.D. (12 ; 18 ; 30) = 6
a. MCD: El Máximo Común Divisor de dos o más números enteros (por lo menos uno distinto de cero) cumple dos condiciones. —— Es un divisor común positivo. —— Es el mayor posible Ejemplos: * M.C.D ( 8 ; 12) = 4 * M.C.D (- 8 ;12) = 4
* M.C.D (8 ; - 12) = 4 * M.C.D (- 8 ; - 12) = 4
Observación: * MCD(0 ; 0) no existe
* MCD (a ; 0) = |a|, a ≠ 0
Teorema Si a y b son enteros, no ambos cero, entonces el MCD de a y b es el menor entero positivo que puede ser expresado como una función lineal homogénea de a y b. MCD (a ; b) = xa + yb Donde: x , y enteros. Importante: Sean A y B dos enteros si el M.C.D (A ; B) = d o
o
Entonces: A = d / B = d
MÚLTIPLO COMÚN: Es aquel entero que contiene a otro un número entero y exacto de veces. Ejemplo: Los múltiplos positivos de 6 y 9 son: o
6 = {6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; ...}
o
9 = {9 ; 18 ; 27 ; 36 ; 45} 186
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Los múltiplos comunes a 6 y 9 son: { 18 ; 36 ; 54 ; ....} Entonces se llama Mínimo Común Múltiplo al menor de los múltiplos comunes positivos. En consecuencia el M.C.M (6 ; 9) = 18
Nota • Los divisores del M.C.D. de varios números, son los divisores comunes de estos números. • Los múltiplos comunes a varios números, son los múltiplos del M.C.M. de aquellos números.
Ejercicios de aplicación 1. Calcule (a + b + si el M.C.D. de 1ab7 y 1cb3 es 99. 2. ¿Cuántos números de 2 cifras son divisibles entre 8 y entre 12 simultáneamente?
Métodos para calcular el M.C.D. Y M.C.M. Por descomposición simultánea: Se colocan los números uno a la derecha del otro y luego se traza una línea
vertical, comenzando a extraer los factores primos comunes, cuando los números no contengan factores comunes o sea sean P.E.S.I. el producto de dichos factores comunes será el M.C.D. para el M.C.M. se sigue extrayendo los factores no comunes hasta que quede la unidad y el producto de los factores primos comunes y no comunes será el M.C.M. Ejemplo: calcule el M.C.D. y M.C.M. de los números 504 ; 756 y 1050
Por descomposición canónica: El M.C.D. de varios números viene a ser el producto de los factores primos comunes elevados a su menor exponente; mientras que el M.C.M. viene a ser el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados a su mayor exponente. Ejemplo: calcule el M.C.D. y M.C.M. de: A = 245 × 214 ∧ B=283 × 354 Por divisiones sucesivas (Algoritmo de Euclides) a. Fundamento Teórico: En toda división inexacta el b. Procedimiento: Dados dos enteros A y B con A > B M.C.D. del dividendo y el divisor es numéricamente igual al M.C.D. del divisor y el residuo que origina esta división: A
B
r
q
M.C.D.(A, B) = M.C.D.(B , r)
q1 q2 q3
...
qn-1
qn
Cocientes
r2
...
rn-2
rn-1
M.C.D
...
0
A
B
r1
r1
r2
r3
Residuos
Ejemplo: calcule el M.C.D. de: • 540 y 220
• 779 y 943
Propiedades del M.C.D y M.C.M • Si varios números son P.E.S.I. el M.C.D. de ellos es igual a la unidad. • Si a varios números los multiplicamos o dividimos por un mismo número entero, el M.C.D. y el M.C.M. de ellos quedarán multiplicados o divididos por dicho entero. • Si a varios números los dividimos entre su M.C.D. los cocientes obtenidos serán P.E.S.I. • El producto de 2 números será siempre igual al producto del M.C.D. y el M.C.M. de aquellos números. • Si un conjunto de enteros se reemplazan dos o más de ellos por su M.C.D. o su M.C.M. entonces el M.C.D. o el M.C.M. del conjunto de dichos enteros no se altera. • Si un número es múltiplo de otros, será múltiplo del M.C.M. de aquellos números. • Si el M.C.D.(a , b) = d y el M.C.M.(a , b) = m entonces el M.C.D. (an , bn) = dn y el M.C.M.(an , bn) = mn • Sean los números N = ap - 1 y M = aq - 1. Entonces el MCD (N ; M) = aMCD(p;q) - 1 ¡Demostrar cada una de estas propiedades!
Ejercicios 1. Si M.C.D. (3A ; 27= 12. Calcular el M.C.D. (5A ; 45 2. Si el M.C.M. de 2 números PESI es 40; encuentre las posibles parejas de números que cumplen tal condición. Calcule el M.C.D. de 324+180(ab4) y 324+180(ab3) o
o
o
3. Encuentre la suma de todos los números de 3 cifras menores que 600, tal que sean (5 + 1) ; (7 + 6) y 3 a la vez.
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Capítulo 33
Problemas resueltos 01. Hallar la diferencia de dos números sabiendo que su suma es 325 y su MCM es 1000.
Resolución Sean: A = dp; B = dq ; p > q Además: p y q son PESI y d = MCD (A, B) Datos: A + B = 325; MCM (A; B) = 1000 dp + dq = 325; dpq = 1000 dpq pq = 1000 ; = 40 d (p + q) 325 p + q 13 ∴ p = 8 y q = 5; d(p + q) = 325 d(13) = 325 d = 25 A = 25 × 8 = 200 B = 25 × 5 = 125 A - B = 75 02. Si el MCD de 36 y 120 es n, entonces el MCD de 24; 90 y n2 es:
Resolución MCD (36; 120) = n 36 = 22 × 32 120 = 23 × 3 × 5 MCD(36; 120) = 22 × 3 = n ⇒ n = 12 Nos piden MCD (24; 90; 144) 24 = 23 × 3 90 = 2 × 32 × 5 144 = 24 × 32 MCD (24; 90; n2) = 2 × 3 = 6 03. ¿Cuántos divisores positivos comunes tienen los números 3780; 5940 y 1080?
Resolución Los divisores comunes de un grupo de números positivos enteros son los divisores de su MCD. 3780 = 22 × 33 × 5 × 7 5940 = 22 × 33 × 5 × 1 1080 = 23 × 33 × 5 MCD (3780; 5490; 1080) = 22 × 33 × 5 CDMCD = 3 × 4 × 2 = 24
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Práctica 01. Si el M.C.D (a7a; 7b7) = 11 Calcule el valor de (a+b) a) 9 b) 10 d) 12 e) 13
c) 11
02. ¿Cuántos divisores tiene el M.C.M. de 1008 y 2100? a) 45 b) 90 c) 135 d) 80 e) 60 03. Hallar el M.C.D de 1147 y 713 a) 21 b) 23 c) 37
d) 31
e) 41
04. En la determinación del M.C.D de 2 números mediante el algoritmo de Euclides se obtuvo los siguientes cocientes sucesivos: 1; 3; 2 y 4; si el M.C.D. es 7. Dar el mayor. a) 140 b) 217 c) 308 d) 280 e) 252 05. ¿Cuál es el número de divisores del M.C.D de y 8440? a) 2560 b) 2673 c) 948 d) 1216 e) 1881
12032
06. Sean A y B dos números primos entre si. ¿Cuál será su M.C.D. y cuál su M.C.M.? a) No se puede saber b) AB; 1 c) A+B; A - B d) A - B ; A+B e) 1; A x B 07. Dar la suma de los residuos al calcular el M.C.D. por el algoritmo de Euclides de 1245 y 540. a) 165 b) 265 c) 145 d) 315 e) 255 08. Halle "x" Si: MCM` 2x ; 7x ; 9x j = 630 5 10 5 a) 100 d) 50
b) 70 e) 25
c) 80
12. Julio compró cierto número de trajes por S/.31500 y vendió unos cuántos en S/.15000, cobrando por cada traje lo mismo que le había costado. Hallar cuántos trajes quedan si el precio de este es el mayor posible. a) 9 b) 12 c) 11 d) 16 e) 15 13. Se desea construir un prisma rectangular recto de dimensiones 135; 189; 261 cm respectivamente con la menor cantidad de ladrillos cúbicos de dimensiones enteras de centímetros posible. ¿Cuántos ladrillos se usarán? a) 585 b) 21 c) 9135 d) 315 e) 10135 14. Hallar el M. C. D. de 1517 y 481 a) 31 b) 29 d) 81 e) 37
c) 23
15. ¿Cuántos números de 3 cifras al dividirlos entre 6, 7 ó 15 no dejan residuo. a) 3 b) 1 c) 4 d) 5 e) 6
Problemas adicionales 16. En un patio de forma cuadrada se desean acomodar losetas de 15 × 24 cm de tal manera que no sobre ni falte espacio. ¿Cuál es el menor número de losetas que se requieren? a) 15 b) 20 c) 40 d) 80 e) 120 17. Con ladrillos cuyas dimensiones son: 20 cm; 15 cm y 6 cm se desea formar un cubo compacto cuyo lado este comprendido entre 1,5 y 2m. ¿Cuántos ladrillos son necesarios? a) 1080 b) 3240 c) 1944 d) 1200 e) 2520
09. Halle "n" si el MCM de A=81 × 18n y B=18 × 81n es 16 × 318 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
18. ¿Cuántos divisores comunes poseen: A = 23 · 64 · 7 y B = 34 · 25 · 14 a) 52 b) 48 c) 36 d) 24 e) 70
10. Halle el valor de "n" si MCD (A ; B) = 162 Además: A = 6n+1 + 6n B = 9n+1 +9n a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
19. Halle "n" si el MCM (A,B) tiene 140 divisores. Además: A = 12n × 15 B = 12 × 15n
11. Se han plantado árboles igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular cuyos lados miden 144, 180 y 240 m. Sabiendo que hay un árbol en cada vértice y que la distancia entre 2 árboles consecutivos está comprendida entre 4m y 10m. Calcular el número de árboles. a) 88 b) 94 c) 90 d) 95 e) 96
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a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
20. La suma de 2 números es 12000. Determinar el mayor de ellos; sabiendo que los cocientes obtenidos al calcular el M.C.D. por el algoritmo de Euclides son: 3, 1, 4 y 5. a) 9180 b) 9486 c) 9504 d) 9846 e) 9882
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Capítulo 33
Tarea domiciliaria 01. Del siguiente conjunto de número: 12; 18; 30; 24 y 36. Calcular: I. El mayor divisor común menor que 6. II. El menor múltiplo común mayor que 1080. III. Dar la suma de ambos valores. a) 1283 b) 1385 c) 1443 d) 1831 e) 1461
10. Calcular el valor del M.C.M. de: 84; 36 y 60 a) 1260 b) 1360 c) 1620 d) 2160 e) 3160
02. Dos números son entre sí como 12 es a 21. Si el M.C.M. de dichos números es 448. Dar el mayor de ellos. a) 98 b) 84 c) 28 d) 112 e) 56
12. El M.C.M. de dos números es 630; si su producto es 3780. Determinar el valor de su M.C.D. a) 15 b) 12 c) 6 d) 10 e) 18
03. Cuántos divisores tiene el M.C.D. de: A = 304 × 284; B = 215 × 444 a) 270 d) 200
b) 160 e) 135
04. El M.C.D. (15A; 35B) = 40 Calcular el M.C.D. (21A ; 49B) a) 8 b) 28 d) 24 e) 21
c) 225
c) 56
05. Si: A = 23 × 3n × 5n+1; B = 22n × 3n+2 × 5n Y el M.C.M. de A y B tiene 48 divisores. Calcular el valor de "n" a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 06. Hallar el M.C.D. de 5863 y 6149. a) 181 b) 131 d) 91 e) 143
c) 271
07. El producto de dos números es 4743 y su M.C.D. es 3. Determinar la suma de las cifras de su M.C.M. a) 9 b) 18 c) 16 d) 15 e) 19 08. Hallar dos números enteros tales que su producto es 7425; sabiendo que uno de ellos es 120 unidades mayor que el otro y que su M.C.D. es 15. a) 165 y 54 b) 45 y 156 c) 165 y 45 d) 156 y 54 e) 165 y 64 09. Determinar el M.C.D. de 2227 y 2125 por el método del algoritmo de Euclides e indique la suma de los residuos obtenidos. a) 204 b) 17 c) 324 d) 96 e) 102
11. Hallar el valor de dos números, sabiendo que están en la relación de 5 y que su M.C.D. es 21. 16 a) 105 y 336 b) 115 y 216 c) 131 y 256 d) 96 y 435 e) 115 y 336
13. La suma de los residuos que se obtienen al calcular el M.C.D. de 1050 y 238 por el método de las divisiones sucesivas es: a) 154 b) 78 c) 308 d) 96 e) 98 14. ¿Cuál es el número más pequeño que tenga como divisores a 156; 168; 208 y 432? a) 2648 b) 4232 c) 28236 d) 42434 e) 39312 15. Si el M.C.D. de 6432 y 132 se disminuye en 8, entonces será igual a: a) - 6 b) 6 c) 2 d) 3 e) 4 16. Determinar el valor del M.C.M. de: 20n y 152n a) 450n b) 900n c) 480n n n d) 300 e) 600 17. El M.C.D. de dos números A y B es 4. Los cocientes obtenidos en su determinación por el método del algoritmo de Euclides fueron: 12; 1 y 6. Hallar el valor de: A + B a) 360 b) 388 c) 390 d) 420 e) 520 18. Un número es 13 veces otro número, sabiendo además que el M.C.M. es 559; calcular el valor de su M.C.D. a) 32 b) 34 c) 40 d) 43 e) 45 19. El M.C.D. de dos números es 51; los cocientes obtenidos en su determinación por el método del algoritmo de Euclides son: 2, 3 y 5. ¿Cuál es el mayor de los números? a) 1860 b) 1867 c) 1887 d) 1900 e) 1920
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34
MCD - MCM - II
01. Cuántos pares de números cumplen la condición de que su M.C.M es 60 veces su M.C.D. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 02. Si para dos números se cumple: M.C.D. · M.C.M.=84240 y además: M.C.M. = 65 . M.C.D. Halle la suma de dichos números. a) 648 b) 728 c) 548 d) 628 e) 845 03. Calcule el menor de 2 números cuyo M.C.D. es 50, si se sabe que uno de ellos tiene 9 divisores y el otro 14 divisores. a) 64 b) 81 c) 100 d) 121 e) 144 04. Un número entero de 3 cifras y su C. A. tienen como M.C.D a 100 ¿Cuántos números cumplen con dicha condición? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 05. Determinar la diferencia de dos números sabiendo que la suma de sus cuadrados es 3492 y su producto es 216 veces su M.C.D.. a) 30 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 06. La suma de 2 números es a su diferencia como 8 es a 3; el M.C.M. de los números es 55 veces su M.C.D.. Hallar la suma de dichos números sabiendo que son los mayores posibles y que tienen 2 cifras. a) 132 b) 144 c) 156 d) 127 e) 121 07. ¿Cuántos números de 4 cifras cumplen: al ser divididos entre 12, 18 y 20 dejan como resto 4 en todos los casos pero al ser divididos entre 7 dejan como resto 2?. a) 7 b) 10 c) 12 d) 5 e) Más de 7 08. Determinar el número de soluciones que tienen dos números sabiendo que el cociente de su suma por su M.C.D. es 8 y el cociente de su producto por su M.C.D. es 840. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
a) 46
b) 56
c) 66
d) 76
e) 86
12. Se divide dos números y el cociente exacto resulta ser igual a su M.C.D.; la suma del M.C.D. y el M.C.M. de dichos números resulta ser igual a 56. Determinar el producto de ambos números. a) 256 b) 289 c) 320 d) 343 e) 450 13. Se trata de llenar 3 cilindros de capacidades 120, 210, 105 litros respectivamente. ¿Cuál es la capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente si está comprendida entre 4 y 12? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 14. ¿Cuál es el menor número de losetas de 39 × 18cm necesarios para construir un cuadrado? a) 135 b) 189 c) 153 d) 184 e) 78 15. Para formar un cubo compacto ¿cuántos ladrillos como el mostrado se necesitan como mínimo? a a=4 b=8 c = 18 a) 648 d) 468
b c
b) 864 e) 684
c) 108
Problemas adicionales 16. Hallar dos números, sabiendo que su producto es igual a 8 veces su M.C.M. y que su suma es igual a 6 veces su M.C.D. a) 6 y 30 b) 8 y 30 c) 8 y 40 d) 6 y 48 e) 8 y 20
09. El M.C.D. de dos números es 18. Uno de ellos tiene 21 divisores y el otro 10 divisores. ¿Cuál es su M.C.M.? a) 5180 b) 5182 c) 5184 d) 5186 e) 5188
17. Encontrar el mayor número "N" tal que si 1200; 1671; 1985 y 3084 se dividen entre "N" dejan el mismo residuo. a) 314 b) 196 c) 441 d) 157 e) 126
10. El M.C.M. de 4 números consecutivos es 5460. Calcular la suma de los dígitos del menor de los números si este es un múltiplo de 3. a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
18. ¿En qué cifra termina el M.C.D. de los números: (756 - 1) ; (772 - 1) ; (7120 - 1) a) 0 b) 8 c) 2 d) 3 e) 6
o
o
11. Dos números A y B de dos cifras son 10 + 5 y 10 + 6 respectivamente. Si el valor del M.C.M. de ellos es 330. ¿Cuál es el valor de B? Central 6198 - 100
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19. Hallar "n"; si: M.C.D (A,B)=6000. Siendo: A = 20n · 30 y B = 20 · 30n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
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Capítulo 34
Problemas resueltos 01. En una pista circular tres atletas corren en una misma dirección. El primero demora 10 s en dar una vuelta, el segundo 11 s y el tercero 12 s. ¿Cuántos minutos tardan en pasar juntos por la partida por primera vez? UNMSM 2004 - I
Resolución MCM (10; 11; 12) 10 = 2 × 5 11 = 11 12 = 22 × 3 MCM (10; 11; 12) = 22 × 3 × 5 × 11 = 660 segundos = 11 minutos 02. Sea m y n enteros positivos que tienen los mismos divisores primos. Si el número de divisores positivos de n es 65 y el número de divisores positivos del MCD de m5 y n3 es 341, ¿cuántos divisores positivos tiene m3? UNMSM 2005 - II
Resolución
Por dato:
CDn = 65 = 5 × 13 exponentes 4 × 12 n = A 4 # B12 14243 D.C.
Luego:
n3 = A12 # B36 3 CDMCD (n3; m5) = 341 = 11 # 31 m5 = Aα # Bβ Exponentes 10 × 30 Entonces:
En conclusión: m5 = A10 × B30 m = A2 × B6
m3 = A6 xB18 CD x19 133 = m3 7=
03. La suma de dos números es 48. Si el producto del máximo común divisor con el mínimo común múltiplo de los números es 540, calcule la razón entre el menor y el mayor. UNMSM 2008 - II
Resolución Sean los números F y C; F < C Datos: I. F + C = 48 II. MCD(F; C) × MCM (F; C) = 540 Propiedad: MCD(F; C) × MCM (F; C) = F × C Reemplazando: F × C = 540 y F + C = 48 18 × 30 = 540 y 10 + 30 = 48 F = 18 y C = 30 Nos piden = F = 18 = 3 C 30 5
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Tarea domiciliaria 01. Calcular el M.C.D. de 1240 y 384 por el método del algoritmo de Euclides. Indique la suma de los cocientes obtenidos. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 10 02. Al calcular el M.C.D. de 2 números PESI, por el algoritmo de Euclides se obtuvo de cocientes sucesivos: 5; 4; 3; 2 y 3. Dar el mayor. a) 407 b) 539 c) 603 d) 719 e) 639 03. En un aeropuerto a las 3:00 a.m. se observa que salen tres aviones de las líneas A, B y C; si dichos aviones salen cada 50; 40 y 30 minutos respectivamente., ¿A qué hora coinciden, en su salida, por tercera vez? a) 21h b) 22h c) 24h d) 23h e) 25h 04. El M.C.D. de 2 números es 17 y los cocientes sucesivos logrados al calcular dicho M.C.D. por el algoritmo de Euclides fueron: 2; 3; 1 y 2. Indique el mayor de los números. a) 175 b) 450 c) 425 d) 525 e) 405 05. Si: M.C.D. (10A ; 14B) = 60 M.C.D. (14A ; 10B) = 420 Hallar el M.C.D. de A y B a) 20 b) 15 d) 60 e) 120 06. El M.C.D. (15A ; 35B) = 40. Calcular el M.C.D. (21A ; 49B) a) 8 b) 28 d) 24 e) 21
c) 132
11. ¿Cuántas mayólicas de 34 por 18cm son necesarias para formar un cuadrado? a) 120 b) 153 c) 150 d) 152 e) 160 12. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son: 18cm; 15cm y 10cm. ¿Cuántos de éstos ladrillos serán necesarios para formar el cubo compacto más pequeño posible? a) 160 b) 270 c) 180 d) 190 e) 100 13. Se tiene un terreno de forma rectangular, cuyas dimensiones son 312m y 429m; se debe parcelarlo en terrenos cuadrados e iguales, de tal manera que no sobre ni falte terreno. ¿Cuántas parcelas se obtendrán como mínimo? a) 66 b) 77 c) 88 d) 99 e) 100 14. El producto y el cociente del M.C.M. y el M.C.D. de dos números son 1620 y 45 respectivamente. ¿Cuál es el mayor de dichos números? a) 54 b) 48 c) 36 d) 32 e) 28 15. Si el M.C.M. de n y n+4 es 224. Entonces el valor de n es: a) 28 b) 32 c) 36 d) 42 e) 48
c) 30
16. La diferencia de dos números es 56 y su M.C.M. es 630. Hallar el menor de los números. a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80
c) 56
07. Se desea formar un cubo de las menores dimensiones posibles con cajas de frutas cuyas dimensiones son 30cm.; 42cm. y 63cm. Determinar el número de cajas. a) 3276 b) 2476 c) 2994 d) 3150 e) 4050 08. Un cerrajero cuenta las llaves que tenía de 45 en 45 faltándole 5 de 50 en 50 sobrándole 40. ¿Cuántas llaves tenía si cada una las vende a S/.0,02 y recibe entre 18 y 20 soles? a) 860 b) 910 c) 920 d) 940 e) 960 09. ¿Cuál es el mayor entero de 3 cifras tal que al ser dividido entre 8; 9; 12 y 15 den como residuos 6; 7; 10 y 13 respectivamente. Dar su cifra central. a) 3 b) 4 c) 5 d) 1 e) 6 10. Si reparto tantos caramelos a cada uno como alumnos hay en mi clase, me faltarían 10; pero si doy dos caramelos a cada uno me sobrarían 110 caramelos. Central 6198 - 100
¿Cuántos caramelos tengo en total? a) 124 b) 128 d) 134 e) 146
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17. La suma de dos números es 7740; si los cocientes sucesivos obtenidos al calcular el M.C.D., fueron: 2; 3; 1; 3 y 5. Determinar el mayor de los números. a) 3570 b) 5370 c) 7350 d) 7000 e) 5300 18. La diferencia de dos números es 230, si los cocientes sucesivos obtenidos al calcular el M.C.D. fueron: 1; 3; 1; 2 y 3. Determinar el menor de dichos números. a) 518 b) 581 c) 815 d) 851 e) 158 19. Si el M.C.M. de A y B es igual a "2A" y su M.C.D. es " A ". Hallar el valor de A, sabiendo que: A -B = 168 3 a) 405 b) 504 c) 554 d) 455 e) 544 20. Hallar dos números tales que su suma sea 8 veces su M.C.D. y que su producto sea 840 veces el mismo M.C.D. a) 840 y 120 b) 260 y 168 c) 280 y 168 d) a y b e) a y c
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Capítulo 35
35
Números racionales
El cálculo con fracciones sencillas para efectos fiscales debía ser frecuente. De igual manera, aparecían en el momento de describir las donaciones que debían efectuarse en los templos y su posible reparto con la particularidad de que encerraban la realización de algunas operaciones aritméticas. Un ejemplo de esto se encuentra en la estela Cairo JE 66285 en la que el faraón Sheshonk I (945 - 924) detalla las donaciones efectuadas para el culto funerario de su padre Nemrod. Algunas de las actividades frecuentes consistían en la erección de monumentos, construcción de templos, canales de riego, expediciones comerciales. Todo ello implicaba el alistamiento de campesinos en distintos puntos de Egipto, su traslado, alojamiento y manutención, labores que corrían a cargo de los escribas. Para calcular el volumen de piedra necesario para determinada tarea, se multiplican las dimensiones, longitud, anchura y grosor y, finalmente, por el número de unidades para llegar al volumen final de piedra. Sin embargo, cuando las medidas se realizaban en fracciones de codo, tal como sucede en las líneas restantes, ello obligaba a la multiplicación de enteros por fracciones y de fracciones entre sí.
Introducción Ya hemos visto en división exacta para números enteros, la condición necesaria para que el dividendo sea múltiplo del divisor. Pero en el caso de existir divisiones como: (11) ÷ (–5), los matemáticos trataron de solucionarlas creando una nueva clase de números, llamados números fraccionarios. Nuestra escritura decimal es consecuencia directa de la utilización de las fracciones decimales (denominador potencia de 10) cuyo defensor fue Francois Viete (1540 - 1603), aunque fue Simón Stevin quien en 1585 explicó con todo detalle y de manera muy elemental la utilización de las fracciones decimales. En 1616, en una obra del escocés John Napier los números decimales aparecen tal como lo escribimos hoy, con punto decimal para separar la parte entera de la decimal, aunque en algunos países la coma se sustituye por el punto.
Número racional Es aquel número que puede expresarse como: a donde a ! Z / b ! Z* . b El conjunto de los números racionales se denota con la letra Q.
Ejemplos: 4 ; 7 ; 12 ; 0 3 - 13 6 4 Ejercicio: Demuestre que
Q = $ a /a ! Z / b ! Z *.; Z * = Z - "0 , b
; 16 ; ... 10 3 no es racional.
Número fraccionario Es aquel número racional que no es entero. Ejemplos:
;
;
;
; ......
Fracción Una fracción es un número fraccionario de términos positivos. Ejemplos:
;
;
; ......
Clasificación de las fracciones Sea la fracción f = A (B ! 0) B Recuerde A y B ∈ Z+
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a. Por la comparación de sus términos: —— Propia: A es propia ⇔ A < B. Su valor es menor que la unidad. Ejemplos: 3 ; 7 ; 1 B 5 1000 2597 —— Impropia: A es impropia ⇔ A > B . Su valor es mayor que la unidad. Ejemplos: 5 ; 8 ; 125 B 2 3 7 Observación: Una fracción impropia A puede convertirse a número mixto efectuando la división entera: B A
B
r
q
& La número mixto es: q r B
Ejemplo: 15 es 2 1 Porque: 7 7
15
7
1
2
Toda número mixto q r se puede expresar como: q + r B B q r = q+ r B B
b. Por su denominador:
—— Decimal: Cuando el denominador es una potencia de 10. Ejemplos: 1 ; 3 ; 8 100 10 1000 —— Ordinaria: Cuando el denominador no es una potencia de 10. Ejemplos: 3 ; 4 5 7 6 2
c. Por grupos de fracciones:
—— Homogéneas: Cuando todas las fracciones de un grupo tienen el mismo denominador. Ejemplo: Las fracciones 5 ; 9 ; 11 son homogéneas 7 7 7 —— Heterogéneas: Cuando todas las fracciones de un grupo no tienen el mismo denominador. Ejemplos: 5 ; 7 ; 5 8 4 6
d. Por los divisores comunes de sus términos:
—— Reductibles: A es reductible ⇔ A y B no son PESI. Ejemplos: 20 ; 15 ; 80 B 12 75 30 —— Irreductible: A es irreductible ⇔ A y B son PESI. Ejemplos: 7 ; 6 ; 12 B 5 11 25
Fracciones equivalentes
Son aquellas fracciones que tienen el mismo valor; por ejemplo:
1 2
<>
2 4
Simplificación de una fracción Sea: f = A ¡Simplificar! B Bueno, primero calculemos al M.C.D. de A y B entonces:
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Capítulo 35
A M.C.D. (A, B) b fI = = q B M.C.D. (A, B)
PESI
Ampliación de una fracción Sea: f =
p pK irreductible, la fracción equivalente se obtiene: fe = con K ∈ Z+ qK q
Ejercicio: Obtener las fracciones equivalentes a 559 , cuyos términos son menores que 1000. 731
Propiedades 1. Si a ambos términos de una fracción propia se le agrega una misma cantidad positiva, la fracción resultante es mayor que la original. 2. Si a ambos términos de una fracción impropia se le agrega una misma cantidad positiva, la fracción resultante es menor que la original. 3. Sea : f1 = a y f2 = c entonces: b d * f1 > f2 ) a $ d > b $ c *
f1 < f2 ) a $ d < b $ c 6 a, b, c y d ! Z+
4. Si la suma de dos fracciones irreductibles resulta un número entero, entonces sus denominadores son iguales. ¡Demuestre cada una de las propiedades!
Fracciones continuas Una expresión de la forma: a+
b
c+
d e + ...
se denomina fracción continua.
Fracción continua simple Es aquella fracción continua de la forma: a1 +
1
a2 +
1 a3 + ...
La cual representaremos como: [a1 ; a2 ; a3 ; ...] Ejemplo 2+
1 3+
1
se representa [2 ; 3 ; 4 ; 5]
4+ 1 5
M.C.D. y M.C.M. para fracciones Sean a , c , e fracciones irreductibles. b d f M.C.D. (a, c, e) • M.C.D. = M.C.M. (b, d, f) • M.C.M. =
M.C.M. (a, c, e) M.C.D. (b, d, f)
Ejemplo: Encuentre el M.C.D. y el M.C.M. de: 27 , 12 , 18 35 25 50
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Problemas resueltos 01. Una fracción irreductible tiene denominador 2. Si a esta fracción le restamos 13 , se obtiene la inversa de la frac6 ción con signo opuesto. Determine el numerador de la fracción. UNMSM 2009 - I
Resolución Sea la fracción irreductible: F 2 Nos piden el valor de F. Dato: F - 13 = - 2 2 6 F 3F 13 = - 2 6 F F(3F - 13) = - 12 F(13 - 3F) = 12 F es divisor de 12 e impar ∴ F = 3 Luego el numerador F es 3. ! ! 0, 9 + 0, 12 02. Si: f = ! ! es una fracción irreductible, halle la suma de los dígitos del numerador. UNMSM 2009 - II 0, 8 + 0, 1
Resolución
Hallando la fracción generatriz 9 + 12 111 99 9 f= " f = 99 8+1 9 9 9 9 37 (Fracción irreductible) f= 33 Suma de dígitos del numerador. 3 + 7 = 10 03. Al repartir una cantidad de dinero, a Pedro le corresponde 3 de esta cantidad y sólo ha recibido 1 de la misma. 8 12 Si le falta recibir S/. 330, ¿cuál fue la cantidad inicial de dinero? UNMSM 2010 - II
Resolución Sea F la cantidad a repartir. A Pedro le corresponde 3 F 8 Sólo recibe: 1 ` 3 Fj = 1 F 12 8 32 Luego:
La cantidad inicial de dinero:
3 F - 1 F = 330 32 8 11 F = 330 32 F = 960 F = S/. 960
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Capítulo 35
Práctica 01. ¿Qué parte de los 3 de 6, es lo que le falta a 1 de 3 para 4 5 4 ser igual a 7 de los 4 del cuadrado del inverso de 2? 3 5 57 b) 19 c) 19 a) 200 270 90 21 e) 20 245 240 02. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 180 existen? a) 48 b) 36 c) 54 d) 18 e) 60
10. A hace una obra en 6 días, B hace el mismo trabajo en 12 días y C lo hace en un tiempo igual al promedio de los otros dos. ¿En cuántos días hacen el trabajo los 3 juntos?. b) 2 7 c) 3 10 a) 3 1 13 13 13
d)
03. ¿Cuántas fracciones propias de términos impares consecutivos menores de 0,95 existen? a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 17 04. Determinar una fracción equivalente a 0,8 sabiendo que su numerador está comprendido entre 25 y 40 y cuyo denominador está comprendido entre 41 y 58. Dar como respuesta la suma de los términos de dicha fracción. a) 72 b) 70 c) 63 d) 81 e) 90 05. Un depósito se puede llenar con 2 grifos. El primero por sí solo lo llenaría en 8 horas; el segundo por sí solo lo llenaría en 4 horas. ¿Qué fracción de la capacidad del depósito se llenará en una hora con los dos grifos a la vez?. b) 3 c) 1 a) 1 6 8 2 d) 5 8
e) 6 8
06. Indicar cuál de las siguientes relaciones entre x2 y x3 es cierta. 1 x2 = 1 ; x3 = 1+ 1 1+ 1 2 2+ 1 3 a) x2 > x3 b) x3 = 3x2 c) x3 = 1 + 1 x2 3
d) 1 + 1 > 2 x2 x3
e) Ninguna
07. Después de sacar de un tanque 1600 litros de agua, el nivel de la misma descendió de 2 a 1 . ¿Cuántos 5 3 litros habrá que añadir para llenar el tanque? a) 32000L b) 48000L c) 24000L d) 16000L e) 12000L 08. Dos fracciones irreductibles tienen como denominadores a 30 y 24 siendo su suma 83/120. Hallar la suma de los numeradores. a) 18 b) 20 c) 19 d) 16 e) 17 09. Se tienen 15 botellas de 4 de litro cada uno. Si se va3 3 cían los de las 15 botellas. ¿Cuántos litros quedan?. 5 a) 8L b) 10L c) 12L d) 9L e) 11L
d) 2 10 13
e) 4 7 13
11. Una propiedad es de 2 hermanos, la parte del primero es 7 y el valor de la parte correspondiente al otro 16 hermano es S/.63000. ¿Qué valor tiene la propiedad?. a) S/.120000 b) S/.112000 c) S/.150000 d) S/.140000 e) S/.108000 12. La compañía "El Rodillo" se compromete a construir una carretera y dispone de 3 máquinas y debe ocupar una sola de ellas. En este trabajo con sólo la máquina A puede construir la carretera en 6 días, con sólo B en ocho días, con sólo C en 12 días. Después de 2 días de trabajo la máquina A se malogra y es sustituida por la B y al cabo de 2 días es reemplazada por C. ¿Cuántos días emplea ésta para completar el trabajo? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 13. Aumentando el numerador de una fracción en sus 2 y el 5 denominador en sus 3 , la fracción aumenta en 17 unida10 des. ¿Cuál es el valor del numerador de la fracción original? a) 13 b) 17 c) 221 d) 231 e) 1 14. ¿Cuántas fracciones propias, cuyos términos son dos números consecutivos existentes, tales que sean menores a 73 ? 93 a) 2 b) 5 c) 4 d) 3 e) 1 15. Hallar una fracción ordinaria irreductible tal que si se le agrega su cubo, la suma que resulta es igual al cubo de la misma fracción multiplicada por 13 . Dar como 4 respuesta la suma de sus términos. a) 13 b) 7 c) 11 d) 5 e) 6 16. ¿Cuántas fracciones de numeradores primos que están comprendidas entre 7 y 9 existen, sabiendo 9 13 que sus denominadores son 117? a) 9 b) 2 c) 8 d) 3 e) 6 Problemas adicionales 17. Una persona realiza 3 apuestas consecutivas y en cada una de ellas pierde 1 de lo que tenía antes de apos3 tar más 200 nuevos soles quedándose al final con 200 nuevos soles ¿Cuántos nuevos soles perdió en total? a) 2100 b) 2000 c) 1800 d) 1900 e) 2200 198
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Aritmética
Tarea domiciliaria 01. Calcular los 2 de 42 más los 3 de 45. 3 5 a) 37 b) 41 c) 52 d) 49
13. Hallar el valor de B 2+3- 1 B = 5 4 10 2-1+5 3 6 2
e) 50
02. ¿Qué fracción de 84 es 48? b) 3 c) 4 d) 2 e) 7 a) 4 7 2 9 7 4 5 03. Los de qué número es igual a 450. 8 a) 640 b) 540 c) 720 d) 360 e) 840 04. Si gasto los 4 de mi dinero, ¿qué fracción de mi di9 nero es lo que aún me queda? b) 1 c) 5 d) 2 e) 1 a) 2 9 3 9 3 9 05. María fue al mercado y gasto los 2 de su dinero, si 5 aún le quedan S/.48. ¿Cuánto dinero tenía al inicio? a) 108 b) 72 c) 96 d) 80 e) 120 Enunciado para los problemas 6, 7, 8 y 9 Armando puede terminar una obra en 4 horas, y Benito puede terminar la misma obra en 12 horas. 06. ¿Qué parte de la obra hará Armando en una hora? a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 3 2 4 5 6 07. ¿Qué parte de la obra hará Benito en una hora? b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 a) 1 6 2 12 4 9 08. ¿Qué parte de la obra hará Armando y Benito trabajando juntos en una hora? b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 a) 1 3 2 4 5 6 09. ¿En cuánto tiempo terminará toda la obra trabajando juntos? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 10. Un caño A puede llenar un estanque en 20 minutos, y un caño B lo puede llenar en 30 minutos, ¿qué fracción del estanque quedará lleno en una hora, si el estanque este vacío y se abren los dos caños a la vez? a) 8 b) 9 c) 12 d) 15 e) 50
d) 14 e) 21 5 20 4 2 1 14. ¿Cuánto le falta a los de los de de 15, para 5 3 2 ser igual a los 2 de los 3 de 5 de 21. 9 2 7 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 a)
9 20
b)
7 10
c)
7 20
15. Un maestro albañil puede terminar una obra en 10 días, si su ayudante puede terminar la misma obra en 15 días. ¿Cuánto tardarán trabajando juntos? a) 4 días b) 5 días c) 6 días d) 7 días e) 8 días 16. Encuentre la relación correcta en ambas columnas: A. 0,2333... I. 5 11 II.
B. 0,454545...
6 25
C. 0,666...
III. 7 30
D. 0,24 a) IA, IIB, IIIC c) IC, IIA, IIIB e) IB, IIC, IIIA
b) IB, IID, IIIA d) ID, IIC, IIID
17. Hallar la fracción generatriz de: 0,144144144... a) 16 111
b) 144 100
d) 144 900
e) 32 25
c) 14 99
18. Hallar la fracción generatriz de: 0,23666... a)
71 333
b) 236 990
d)
71 300
e)
c) 236 999
236 1000
11. Hallar la raíz cuadrada de A. 2- 1 2 A= 3- 1 3
19. Convertir a fracción cada número y simplificar: ! 0, 1 # 0, 12 # 900 a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
a) 3 b) 9 c) 4 d) 3 e) 2 4 16 3 2 8 12. Hallar la suma de los términos de la fracción que se obtiene al reducir: E = 2+ 1 2+ 1 2
20. Hallar el valor de "x" en: ! 0, 5 = x 18
a) 8
b) 11
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c) 15
d) 9
a) 5 d) 10
b) 6 e) 9
c) 15
e) 17
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Capítulo 36
36
Números decimales
01. Hallar el valor de verdad de c/u de las siguientes proposiciones.
06. Al simplificar al máximo la expresión: ! ! 0, 19 - 1 + 0, 05 + 1 , se obtiene la fracción irreducti33 3 " a " ble . Hallar: "a+b" b
0, 1 + 0, 2 + 0, 3 + ... + 0, 8 9 I. ! ! ! != 0, 1 + 0, 2 + 0, 3 + ... + 0, 8 10 ! ! ! 211, 4 + 198, 3 + 102, 2 II. 8 214, 2483 - 206, 2483 = III.
a) 17 d) 31
0, 025 # 0, 0082 # 0, 0625 2 0, 41 # 0, 05 # 0, 0003125 =
a) VVV d) FFF
b) FVF e) VFF
c) VVF
02. Se tiene la siguiente condición:
b) 12 e) 11
b) 58 e) 66
c) 63
04. Encuentra los valores de "a" y "b" que cumplan la siguiente relación: ! ! ! a, 4 + 1, b = b, 1 a) a=3; b=1 d) a=7; b=4
c) 1/4
5 ; 7 ; 11 ; 3 ; 5 , ¿Cuántas dan lugar a fracciones 37 11 25 8 6 periódicas mixtas? a) 1 d) 0
b) 2 e) 4
c) 3
! ! ! 09. Si: p = 0, 5; q = 0, 05; r = 0, 005 , ¿cual de las siguientes expresiones tiene mayor valor? a) p/q d) pxq
b) p+q+r e) q/r
c) p/r
10. Hallar una fracción irreductible cuyo denominador es 37, que da origen a el número decimal periódico:
b) a=6; b=3 e) a=7; b=3
b) 1/3 e) 2/27
0,a(a+1)(a+2), dar el numerador.
c) a=4; b=6
a) 21 d) 16
05. ¿Cuánto le falta a la fracción decimal periódica 0,8787... para ser igual a la fracción decimal periódica 1,212121...? a) 1/7 d) 1/9
b) 1/5 e) 3/4
08. Dadas las siguientes fracciones irreductibles:
c) 13
! 03. Si a ∧ b ∈ N y se cumple que: a + b = 6, 027 , hallar 4 9 la suma de los valores de "a" a) 57 d) 65
! ! ! (2, 15) # 5 # (3, 5 - 1, 83) ! ! ! (3, 1) (0, 101) (71) (9, 7 - 6, 4)
a) 1/7 d) 2/3
! ! 0, 3 1 x 1 0, 8 22
a) 14 d) 15
c) 21
07. Simplificar: M=
¿Cuántos valores enteros puede tomar "x"?
b) 18 e) 41
c) 1/11
b) 22 e) 17
c) 23
11. Hallar dos fracciones que tengan denominador 13 y por numeradores 2 números consecutivos y que dichas fracciones comprendan entre ellas a la fracción decimal 0,15454... Dar como respuesta la suma de las fracciones. a) 2/13 d) 9/13
200
b) 4/13 e) 3/13
c) 5/13
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Aritmética 12. Obtener una fracción irreductible cuyo numerador es 675, tal que reducida a un número decimal se obtiene un número decimal periódico mixto con 2 cifras en la parte no periódica y 3 cifras en el periodo. a) 675/74 d) 675/168
b) 675/246 e) 675/146
b) 4 e) 1
b) 90 e) 72
c) 3
b) 7 e) 10
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b) 233 e) 233
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
¿Cuántos valores enteros de "a" hacen que la fracción a , genere decimales periódicos mixtos con una 1944 cifra en la parte no periódica? a) 163 d) 328
c) 21
b) 164 e) 1124
c) 628
ab! 19. Si la fracción a (b + a) ! genera dos citas en la parte periódica y dos cifras en la parte no periódica. Hallar el número de cifras periódicas que genera: ab + 1 ab + 2 a) 0 d) 3
c) 8
16. Dos números están en la razón de "a/b" genera una fracción decimal periódica para con 3 cifras en el periodo para con 3 cifras en el periodo y a+b=29. Hallar la suma de dichos números, si se sabe además que se diferencian en 175. a) 213 d) 193
1 1 2+ n
18. Si: 2 1 9 1 3 27 4 1944
15. Determinar cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 275 existe, tales que en su desarrollo decimal la parte no periódica excede en 12 a la parte periódica. a) 6 d) 9
1
m+
Calcular a+m+n
14. Hallar el periodo de un decimal periódico mixto, tal que su periodo sea el doble de la parte no periódica y que su generatriz es propia con 220 como denominador. a) 45 d) 42
a+
c) 675/132
! 13. ¿Cuántas fracciones a/b equivalentes a 0, 8 , se pueden formar si: 20
17. La representación decimal de un número racional es > ;;; ;? 0, 714285 , siendo su representación en fracción continua simple:
b) 1 e) 4
c) 2
ab = 0, 4 (d + 1) a (b + 4) , siendo ab y bc: primos bc entre si (P.E.S.I.). Calcular: "a+b+c+d"
20. Si:
a) 12 d) 15
b) 16 e) 17
c) 10
c) 203
201
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