PRINCIPIO DE ARQUIMEDES ARQUIMEDES •
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INGENIERIA CIVIL - MECANICA DE FLUIDOS
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EMPUJE •
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Sobre la sup. Superior actúa una fuerza F1 hacia abajo. Sobre la sup. Inferior actúa una fuerza F2 hacia arriba. Como F1
F1 es la fuerza peso de la columna que se encuentra por encima de h1.
El EMPUJE es el peso de la columna de líquido de igual volumen que el cuerpo sumergido.
F2 es la fuerza peso de la columna que se encuentra por encima de h2. INGENIERIA CIVIL - MECANICA DE FLUIDOS
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EMPUJE •
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Sobre la sup. Superior actúa una fuerza F1 hacia abajo. Sobre la sup. Inferior actúa una fuerza F2 hacia arriba. Como F1
F1 es la fuerza peso de la columna que se encuentra por encima de h1.
El EMPUJE es el peso de la columna de líquido de igual volumen que el cuerpo sumergido.
F2 es la fuerza peso de la columna que se encuentra por encima de h2. INGENIERIA CIVIL - MECANICA DE FLUIDOS
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EMPUJE •
EMPUJE:: EMPUJE
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E = F2 – F1 P2= .g.h2 y P1= .g.h1 F1=P1.A y F2=P2.A E=(P2.A) - (P1.A) E=( .g.h2.A) – ( .g.h1.A) E= .g.A.(h2-h1) = .g.A.L E= .g. .g.V = ( .V).g = m.g E=Peso del liquido
El EMPUJE es el peso de la columna de líquido de igual volumen que el cuerpo sumergido.
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Empuje = peso del liq. Desalojado E = mliq.g=
liq.Vliq.g =
E=
liq.Vliq = liq.Vcuerpo
liq.Vcuerpo
Importante: es el volumen del cuerpo, y no su peso, lo Importante: es que determina el empuje cuando está totalmente sumergido. – –
Un cuerpo grande sumergido recibirá un gran empuje; Un cuerpo pequeño, recibe un empuje pequeño.
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¿Porqué ¿Porqué algunos cuerpos flotan y otros no? •
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Sobre un cuerpo sumergido actúan 2 fuerzas. 1) su peso ( hacia abajo) y 2) empuje (hacia arriba). Puede ocurrir: E=d.g.Vliq –
–
–
E
liq< cuerpo):
E=P ( liq= aguas. E>P (
Pc=d.g.Vcuerpo cuerpo):
liq> cuerpo):
el cuerpo se hunde al fondo. el cuerpo queda flotando entre 2 el cuerpo flota.
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TABLA DE DENSIDADES
Densidad de algunas sustancias
aluminio agua cobre oro plata platino plomo sodio titanio uranio zinc
2.7 g/cm3 1 g/cm3 8.95 g/cm3 19.3 g/cm3 10.5 g/cm3 21.4 g/cm3 11.3 g/cm3 .968 g/cm3 4.5 g/cm3 19.1 g/cm3 7.1 g/cm3
S us tanci a
Densi dad en kg/m 3
Densidad en g/c.c.
Agua
1000
1
Aceite
920
0,92
Gasolina
680
0,68
Plomo
11300
11,3
Acero
7800
7,8
Mercurio
13600
13,6
Madera
900
0,9
Aire
1,3
0,0013
Butano
2,6
0,026
Dióxido de carbono
1,8
0,018
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Estabilidad de los cuerpos sumergidos •
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Un cuerpo en un fluido se considera estable si regresa a su posición original después de habérsele dado un giro pequeño sobre su eje horizontal. La condición de estabilidad para los cuerpos sumergidos por completo en un fluido es que su centro de gravedad esté por debajo de su centro de flotabilidad. El centro de flotabilidad de un cuerpo se encuentra en el centroide del volumen desplazado de fluido, y es a través de dicho punto que la fuerza de flotación actúa en dirección vertical.
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La condición para la estabilidad de los cuerpos flotantes es diferente de aquella para los cuerpos sumergidos por completo. Se muestra la geometría de un cuerpo sumergido parcialmente. En a) se observa el cuerpo flotante se encuentra en su orientación de equilibrio y el centro de gravedad (cg) está arriba del de flotabilidad (cb). Si el cuerpo gira, el cb cambia a una posición nueva debido a que se modifica la geometría del ´volumen desplazado. La fuerza flotante y el peso ahora producen un par estabilizador que tiende a regresar el cuerpo a su orientación original.
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Metacentro: (mc) es la intersección del eje vertical de un cuerpo cuando está en su posición de equilibrio, con una línea vertical que pasa a través de la posición nueva del centro de flotación cuando el cuerpo gira levemente. « Un cuerpo flotante es estable si su centro de gravedad está por debajo del metacentro ».
La distancia al metacentro a partir del centro de flotación es conocida como MB y se calcula: MB = I / Vd Vd es el volumen desplazado del fluido e I es el momento de inercia mínimo de una sección horizontal del cuerpo tomada en la superficie del fluido. Si la distancia MB sitúa al metacentro arriba del centro de gravedad, el cuerpo es estable.
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Ejemplo, con un caso práctico: ¿por qué los barcos no se hunden? •
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Los barcos no se hunden porque su peso específico es menor al peso específico del agua, por lo que se produce un empuje mayor que mantiene el barco a flote. Los barcos no se hunden porque su peso específico es menor al peso específico del agua, por lo que se produce un empuje mayor que mantiene el barco a flote.
Esto a pesar de que el hierro o acero con que están hechos generalmente los barcos es de peso específico mayor al del agua y se hunde (un pedazo de hierro en el agua se va al fondo), pero si consideramos todas las partes del barco incluyendo los compartimientos vacíos, el peso específico general del barco disminuye y es menor al del agua, lo que
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Un cubo con aristas que miden 0.50 m éstá hecho de bronce y tiene un peso específico de 86.9 KN/m³. Determine la magnitud y dirección de la fuerza que se requiere para mantener al cubo en equilibrio completamente sumergido a) en agua y b) en mercurio. La Gravedad específica del mercurio es 13.54
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Centro de Presión •
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ANALISIS GEOMETRICO: se entiende como centro de presión al punto en el que se considera están concentradas - teóricamente - todas las fuerzas debidas a presiones sobre un cuerpo. Se puede visualizar este concepto como el lugar geométrico donde se aplica la resultante de todos los diferenciales de fuerza a lo largo de la superficie del cuerpo. Se trata de un concepto que no necesariamente ha de coincidir con el centroide geométrico, el centro de masas o el centro de gravedad. La coincidencia o no de estos conceptos permite analizar la estabilidad de un cuerpo inmerso en un fluido
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Centroide, Centro de Masa, Centro de Gravedad
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CENTROIDES El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m. El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravdead que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.
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Centro de Gravedad
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Un objeto tiene forma irregular, que resulta difícil determinar su volumen por medios geométricos, utilice el principio de flotabilidad para encontrar su peso específico y su volumen. El peso del objeto es de 60 Libras, sin embargo su peso aparente es de 46.5 Libras
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Un cubo con aristas que miden 80 mm, está construido de hule de espuma y flota en agua, con 60 mm de su cuerpo bajo la superficie. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza que se requiere para sumergirlo por completo en glicerina; la cual tiene una gravedad específica de 1.26
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Un cilindro mide 3 Pies de diámetro, 6.0 pies de altura y pesa 1550 Lb. Si el cilindro estuviera puesto en aceite (dr = 0.9) a lo largo de su eje vertical, será estable.
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PROBLEMAS RESUELTOS
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CONTINUACION
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Determine la masa del bloque.
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Determine la presión manométrica sobre la superficie inferior del bloque.
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Determine la presión manométrica en la interfaz.
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Determine la presión absoluta en la interfaz.
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Determine la presión manométrica al fondo del recipiente.
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Determine la presión absoluta al fondo del recipiente. INGENIERIA CIVIL MECANICA DE FLUIDOS
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PROBLEMAS PROPUESTOS •
1. Un objeto pesa 289 N en el aire y 187 N en el agua. Determinar su volumen y su densidad relativa. Solución: 0.0104 m3; 2.83.
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2. Un cuerpo pesa 289.39 N en el aire y 187.08 N sumergido en aceite de densidad relativa 0.750. Determinar su volumen y su densidad relativa. Solución: 0.0139 m3; 2.12.
•
3. Si el peso específico del aluminio es 25.9 kN/m3, cuanto pesar a una esfera de 305 mm de diámetro sumergida en agua? Cuanto si está sumergida en aceite de densidad relativa 0.750? Solución: 238 N; 276 N.
•
4. Un cubo de aluminio de 15.24 cm de a rista pesa 54.35 N sumergido en agua. ¿Qué peso aparente tendrá al sumergirlo en un líquido de densidad relativa 1.25? solución: 45.6 N.
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5. Un bloque de piedra pesa 600 N y al introducirlo en un deposito cuadrado de 0.610 m de lado, lleno de agua, el bloque pesa 323 N. >A qu_e altura se elevara el agua en el deposito? Solucion: 76 mm.
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6. Un cilindro hueco de 0.905 m de diámetro y 1.525 m de altura pesa 3.829 kN. a) ¿Cuantos newton de plomo, de peso específico 109.99 kN/m3, deben unirse al fondo por su parte exterior para que el cilindro flote verticalmente con 1 m del mismo sumergido? (b) ¿Cuántos kilogramos se necesitaran si se colocan en el interior del cilindro? Solución: 2.27 kN; 2.07 kN.
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7. Un hidrómetro pesa 111.34 mN y el área de la sección recta de su vástago es 0.161 cm2. ¿Cuál es la diferencia de alturas sumergidas en dos líquidos de densidades relativas 1.25 y 0.90, respectivamente? Solucion: 21.9 cm.
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8. ¿Qué longitud debe tener un tablón de madera de 76,2 mm por 304.8 mm de sección y densidad relativa 0.50, para que en agua salada soporte encima a un niño que pesa 445 N? Solución: 3.72 m.
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9. Un cuerpo que tiene un volumen de 169.8 dm3 requiere una fuerza de 267.22 N para mantenerlo sumergido en el agua. Si para mantenerlo sumergido en otro líquido se necesita una fuerza de 160.29 N, ¿cuál es la densidad relativa de este último líquido? solución: 0.937.
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10. Un cubo de acero de 0.30 m de arista flota en mercurio. Utilizando como densidades relativas del acero y del mercurio 7.8 y 13.6 respectivamente, determinar la profundidad hasta la que se hunde el acero. Solucion: 0.172 m.
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PROBLEMAS PROPUESTOS •
11. Una gabarra de 3 m de profundidad tiene una sección recta trapezoidal de base superior e inferior 9 m y 6 m, respectivamente. La gabarra tiene 15 m de longitud y las caras de popa y proa son verticales. Determinar (a) su peso si la altura sumergida en agua es de 1.8 m y (b) la profundidad de calado si la gabarra transporta 86 toneladas de piedra. solución: 1.83 MN; 2.50 m.
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12. Una esfera de 122 cm de diámetro flota en agua salada (Peso específico = 10:05 kN/m3), la mitad de ella sumergida. ¿Qué peso mínimo de cemento ( Peso específico= 23:56 kN/m3), utilizado como anclaje, será necesario para sumergir completamente la esfera? solución: 8.34 kN.
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13. Un iceberg de peso específico 8.96 kN/m3 flota en el océano (10.06 kN/m3), emergiendo del agua un volumen de 594 m3. ¿Cuál es el volumen total del iceberg? Solución: 5 434 m3.
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14. Un cubo hueco de 1.0 m de arista pesa 2.4 kN. El cubo se ata a un bloque de hormigón que pesa 10.0 kN. El conjunto de estos dos objetos atados flotará o se hundirá en agua? (Exponer todos los cálculos necesarios y justificarlos). La densidad relativa del hormigón es 2.40. Solucion: Flotan. 15. Un flotador cubico de 122 cm de lado pesa 1.78 kN y se ancla mediante un bloque de cemento que pesa 6.67 kN en e l aire. La boya está sumergida 23 cm cuando la cadena que la une al bloque de cemento está tensa. ¿Qué subida del nivel de agua hará separarse del fondo al bloque de cemento? El peso específico del cemento es de 23.56 kN/m3. Solucion: 16.1 cm.
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16. Una gabarra, de forma paralelepipédica rectangular de dimensiones 6.1 m de anchura, 18.3 m de longitud y 3.1 m de altura, pesa 1.559 MN. Flota en agua salada (Peso específico = 10:055 kN/m3) y el centro de gravedad cargada está 1.37 m por debajo de la parte superior de la gabarra. a) Situar el centro de empuje cuando flota horizontalmente en agua tranquila, b) cuando a girado 10º alrededor del eje longitudinal, y (c) determinar el metacentro para la inclinación de 10º Solución: 69.5 cm del fondo y sobre el eje; 344 cm del eje; 127 cm sobre el CG.
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17. Un cubo de cemento de 0.5 m de arista se mantiene en equilibrio bajo el agua unido a una boya de esponja ligera. ¿Cuál es el mínimo volumen de la boya de esponja? El peso específico del cemento y de la esponja son, respectivamente, 23.58 kN/m3 y 0.79 kN/m3. Solución: 0.192 m3.
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18. Un cubo de aluminio de 125 mm de lado está suspendido de un resorte. La mitad del cubo está sumergida en aceite de densidad relativa 0.80 y la otra mitad en agua. Determinar la fuerza de tracción en el resorte si el peso específico del aluminio es de 25.9 kN/m3. Solución: 60.4 N.
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19. Si el cubo del problema anterior estuviera sumergido la mitad en aceite y la otra mitad en el aire, ¿qué valor tendrá la fuerza de tracción sobre el resorte? Solucion: 77.8 N.
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20. Un cilindro de madera solido tiene 0.610 m de diámetro y una altura de 1.220 m. La densidad relativa de la madera es de 0.60. ¿Será estable el cilindro si se coloca verticalmente en aceite (sg = 0:85)? Solución: No.
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Estabilidad
ESTABILIDAD DE LOS CUERPOS EN UN FLUIDO.- Un cuerpo en un fluido es considerado estable si regresa a su posición original después de habérsele girado un poco alrededor de un eje horizontal. Las condiciones para la estabilidad son diferentes, dependiendo de que si el cuerpo esta completamente sumergido o se encuentra flotando.
Principio de Arquímedes
F
gV desplazado j
“Todo cuerpo sumergido en
un líquido recibe un empuje vertical hacia arriba, igual al peso el líquido desplazado”
Cuerpos Totalmente Sumergidos CTS
•
Centro de Empuje B
•
Centro de Gravedad G
n
Condición de Estabilidad:
F i i
0
1
Centro de Gravedad G debajo del Centro de Empuje B
Cuerpos Parcialmente Sumergidos CPS
•
Metacentro
•
Centro de Gravedad
•
Centro de Empuje
Metacentro G = Centro de Gravedad B = Centro de Empuje M G B
B` Nuevo Centro de Empuje M Metacentro
Condición de Estabilidad CPS
n
F i i
MB
MB
MB
BG
BG
0
BG
0
0
0
1
Estable
Indiferente
Inestable MB=I/Vsum
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M FB
dF
Un cuerpo flotante es estable si su centro de gravedad esta por debajo del metacentro
x x dF
mg
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ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES: En la parte (a) de la figura el cuerpo flotante esta en su orientación de equilibrio y el centro de gravedad (cg) se encuentra por encima del centro de flotabilidad (cb). a la recta vertical que pasa por estos dos puntos se le conoce como eje vertical del cuerpo. En la figura (b) se muestra que si se gira el cuerpo ligeramente con respecto a un eje horizontal, el centro de flotabilidad se desplaza a una nueva posición debido a que la geometria del volumen desplazado se ha modificado. La fuerza boyante y el peso ahora producen un par de rectificación que tiende a regresar al cuerpo a su orientación original. Asi pues el cuerpo es estable.
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Con el fin de establecer la condición de estabilidad de un cuerpo flotante definir un nuevo termino El metacentro (mc) se define como el punto de intersección del eje vertical de un cuerpo cuando se encuentra en su posición de equilibrio y la recta vertical que pasa por la nueva posición del centro de flotabilidad cuando el cuerpo es girado ligeramente. INGENIERIA CIVIL MECANICA DE FLUIDOS
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Equilibrio Indiferente
MG
0
Equilibrio Inestable
MG
0
Equilibrio Estable
MG
0
F xdF
dF B
FB
x gdvolumen
0
por lo tanto Mg = W
W
x gxd dA
g
x 2dA
g
I yy
M por lo tanto
=
g
Iyy / W
FB
M
dF
x
x dF
B B
¨
sen = /MB por lo tanto = MB sen entonces MB = g Iyy / W por lo tanto MG = MB - BG = I/V sum . BG
MG 0 ESTABLE MG = 0 INDIFERENTE MG 0 INESTABLE
mg
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Es posible determinar analíticamente si un cuerpo flotante es estable, mediante el calculo de la posicion del metacentro . La distancia del metacentro al centro de flotabilidad se denota con MB y se calcula a partir de la ecuación: MB = I / Vd
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En esta ecuación Vd es el volumen desplazado de fluido es el mínimo momento de inercia de una sección horizontal del cuerpo, tomada en la superficie del fluido. INGENIERIA CIVIL MECANICA DE FLUIDOS
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Centro de Presión •
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ANALISIS GEOMETRICO: se entiende como centro de presión al punto en el que se considera están concentradas - teóricamente - todas las fuerzas debidas a presiones sobre un cuerpo. Se puede visualizar este concepto como el lugar geométrico donde se aplica la resultante de todos los diferenciales de fuerza a lo largo de la superficie del cuerpo. Se trata de un concepto que no necesariamente ha de coincidir con el centroide geométrico, el centro de masas o el centro de gravedad. La coincidencia o no de estos conceptos permite analizar la estabilidad de un cuerpo inmerso en un fluido
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