1.51 Un sistema de procesado procesado digital digital tiene el diagrama e bloques bloques mostrado en la figura figura 1.32. 1.32. Suponiendo que los convertidores A/D y D/A son ideales y que la frecuencia de muestreo es 3!". Determine la salida y#t$ si la entrada al sistema viene dada por la siguiente e%presi&n'
y (t )= 3cos (1100 πt ) + 2 sen ( 500 πt ) + sen ( 150 πt ) Si como etapa previa al conversor conversor A/D se (ubiera (ubiera colocado un filtro filtro antialiasing antialiasing que eliminase todas las frecuencias por encima de 1!". )*u+ se,al se tendr-a a la salida )y si el fluo antialiasing se colocase despu+s del A/D 0ustifique su respuesta.
A/D
%#t$
H (z)=1+Z-2
D/A
Ω1=1100 πt =2 π f 1 F 1= 550 Hz
Ω2=5 00 πt = 2 π f 2 F 2 =250 Hz
Ω3=15 0 πt = 2 π f 3 F 3 =75 Hz
x [ n ]= 3cos
(
x [ n ]= 3cos
((
x [ n ]= 3cos
(
1100 πn 300
)
+ 2 sen
950 + 150) πn 300
950 πn 300
+
)
πn 2
(
500 πn 300
)+ ( ( 2 sen
+2 sen
(
) ( + sen
150 πn 300
350 + 150 ) πn
350 πn 300
300
+
πn 2
)
)+ ( sen
) ( ) + sen
πn 2
150 πn 300
)
y#t$
x [ n ]=−3 sen
(
x [ n ]=−3 sen
( )+ ( )+
950 πn 300
19 πn 6
)
+ 2cos
2cos
(
350 πn 300
7 πn 6
)+
1
1
F a f = F m
F a 1 =f ∗ F m F a 1 =
19 6
∗300
F a 1 =950 Hz
7
F a 2 = ∗300 6
F a 1 =350 Hz
y ( t )=−3 sen ( 2∗950 πt )+ 2 cos ( 2∗350 πt ) + 1
y ( t )=−3 sen ( 1900 πt )+ 2cos (700 πt )+ 1
on lo que la ta"a de yquist es de 2ma%4 2554 11!". omo la ta"a de muestreo es de 3 !" y esta es menor que la frecuencia de yquist6 se producir7 aliasing.
1.85 9n este apartado vamos a estudiar el efecto del muestreo sobre el espectro de la se,al. :enere la serie obtenida al muestrear una sinusoide de 1!" y amplitud unidad con un periodo de muestreo de 1ms durante 1 segundo. ;epresente el espectro de la se,al usando la instrucci&n abs#fft#y$$. omente el resultado.
Sabemos que una se,al continua peri&dica puede escribirse como una suma ponderada de e%ponenciales compleas6 esto es f7cil de ver si consideramos se,ales sinusoidales6 ya que la f&rmula de 9uler
e
jΩ xt
=cos ( Ωt ) + jsen( Ωt )
nos permite escribir seno y coseno
como una suma de e%ponenciales compleas6 cada una de ellas con una amplitud mitad de la que tiene la se,al original.
F m F K = K , K =0,1 …… . N N Donde es el numero de muestras cnsideradas. >enemos que muestrear durante 1 segundo con un periodo de muestreo de 1ms lo qque supone que tenemos que tomar 1 muestras. 9l programa en =A>
Dado que el numero de puntos utili"ado para la fft es de 1 y la frecuencia de muestreo tambi+n es de 16 cada punto de fft obtenido se corresponder7 con un armonico de 1 !" Sabemos que cuando muestreamos con una frecuencia de 1!"6 las frecuencias anal&gicas que verifican el teorema del muestreose encuentran en el intervalo @
− F m F m 2
,
2
. Bara despla"ar el resultado de fft6 de manera que la frecuencia de continua
se encuentre en el centro6 (emos empleado la funci&n ffts(ift. 9l resultado son dos picos6 a las frecuencias de C1!" y 1!"6 como corresponde a una sinusoide de frecuencia
1!" #suma de 2 e%ponenciales compleas$.
9spectro de la se,al obtenida
