46
1
2
3
4
5
6
CAPÍTULO 1
ESFUERZO
1.6 Esfuerzo permisible Para diseñar correctamente un elemento estructural o mecánico es necesario limitar el esfuerzo en el material hasta un nivel que sea seguro. Por lo tanto, para garantizar esta seguridad se requiere elegir un esfuerzo permisible que restrinja la carga aplicada a un valor que sea menor a la máxima carga que el elemento puede soportar. Hay muchas razones para hacer esto. Por ejemplo, la carga para la que se diseña el elemento puede ser diferente a las cargas reales que se colocan sobre él. Las medidas propuestas de una estructura o máquina pueden no ser exactas debido a errores en la fabricación o en el montaje de las piezas que lo componen. También pueden ocurrir vibraciones, impactos o cargas accidentales desconocidos que no hayan sido tomados en cuenta para el diseño. La corrosión atmosférica, el desgaste o la exposición a la intemperie tienden a causar que los materiales se deterioren durante su uso. Por último, algunos materiales como la madera, el concreto o los compuestos reforzados con fibra, pueden tener una alta variabilidad en sus propiedades mecánicas. Un método para especificar la carga permisible en un elemento consiste en usar un número llamado factor de seguridad. El factor de seguri(F.S.) .S.) es una razón de la carga de falla F falla sobre la carga permisible dad (F F perm. Aquí F falla se determina mediante ensayos experimentales del material, y el factor de seguridad se selecciona con base en la experiencia, de modo que las incertidumbres mencionadas anteriormente se toman en cuenta cuando el elemento se usa bajo las mismas condic iones de carga y geometría. Escrito de manera matemática,
7
8
F.S.
=
Ffalla Fperm
(1-8)
Si la carga aplicada al elemento se relaciona linealmente con el esfuerzo desarrollado en dicho miembro, como cuando se usa s = P N A y tprom = V > A, entonces el factor de seguridad puede expresarse como una razón del esfuerzo de falla sfalla (o tfalla) sobre el esfuerzo permisible sperm (o bien tperm);* es decir,
9
F.S.
=
sfalla sperm
(1-9)
o 10
F.S.
11
=
tfalla tperm
(1-10)
*En algunos casos, como el de las columnas, la carga aplicada no se relaciona linealmente con el esfuerzo y, por ende, sólo puede usarse la ecuación 1.8 para determinar el factor de seguridad. Vea el capítulo 13.
1.7
47
DISEÑO DE CONEXIONES SIMPLES
En cualquiera de estas ecuaciones, el factor de seguridad debe ser ma yor que 1 a fin de evitar la posibilidad de falla. Los valores específicos dependen de los tipos de materiales m ateriales a utilizar y el propósito de la estructura o máquina. Por ejemplo, el F.S. F.S. usado en el diseño de componentes de aviones o vehículos espaciales puede estar cerca de 1 para reducir el peso del vehículo. O en el caso de una planta de energía nuclear, el factor de seguridad para algunos de sus componentes puede ser de hasta 3 debido a las incertidumbres en la carga o el comportamiento del material. Muchas veces, el factor de seguridad para un caso específico puede encontrarse en los códigos de diseño y manuales de ingeniería. Estos valores están destinados a formar un balance para proteger la seguridad pública y ambiental y para proporcionar una solución económicamente razonable en el diseño.
P
1
B
(�b)perm Distribución del esfuerzo normal, se supone uniforme
3
P A
(�b)perm El área de la placa B, que sirve como base de la columna, se determina a partir del esfuerzo de aplastamiento promedio para el concreto.
1.7 Diseño de conexiones simples Si se simplifican los supuestos sobre el comportamiento del material, con frecuencia se pueden utilizar las ecuaciones s = P > A y tprom = V > A para analizar o diseñar una conexión simple o un elemento mecánico. En particular, si un elemento está sometido a fuerza normal en una sección, el área requerida en su sección se determina a partir de A
P sprom
6
P
Esfuerzo cortante, se supone uniforme
Por otro lado, si la sección está sometida a una fuerza cortante promedio, entonces el área requerida en la sección es
tperm
l
A
7
P
�
————— d
tperm p
V
(1-12)
=
tperm
d P
Como se analizó en la sección 1.6, el esfuerzo permisible empleado en cada una de estas ecuaciones se determina ya sea al aplicar un factor de seguridad al esfuerzo de falla cortante o normal del material, o bien al determinar directamente estos esfuerzos con un código de diseño adecuado. En la figura 1-25 se muestran tres ejemplos en los que se aplican las ecuaciones anteriores
�
P
P
9
P
10
tperm
A
P
8
La longitud l de de esta barra empotrada en concreto puede determinarse usando el esfuerzo cortante permisible del pegamento de la unión.
Esfuerzo cortante, se supone uniforme V
4
5
(1-11)
=
2
P
P �
tperm
El área del perno para esta junta sobrepuesta se determina a partir del esfuerzo cortante, el cual es mayor entre las placas.
Figura 1-25
11
48
1
2
CAPÍTULO 1
ESFUERZO
Punto importante • El diseño de la resistencia de un elemento se basa en la selección de un esfuerzo permisible que le deje soportar con seguridad la carga para la que está destinado. Como hay muchos factores desconocidos que pueden influir en el esfuerzo real de un elemento, entonces se aplica un factor de seguridad que depende del uso que se dará al miembro, para obtener la carga permisible que el elemento puede soportar.
3
4
5
6
7
Procedimiento de análisis Cuando se resuelven problemas usando las ecuaciones del esfuerzo normal promedio y cortante promedio, primero debe hacerse una consideración cuidadosa para elegir la sección sobre la que actúa el esfuerzo crítico. Una vez determinada esta sección, debe diseñarse el elemento de forma que tenga un área suficiente en la sección para resistir el esfuerzo que actúa sobre él. Esta área se determina mediante los siguientes pasos.
Carga interna. • Seccione el elemento elemento a través del área área y trace un diagrama de cuerpo libre de un segmento del elemento. Después determine la fuerza interna resultante en la sección, mediante las ecuaciones de equilibrio.
Área requerida. • Siempre que el esfuerzo permisible se conozca o pueda determinarse, el área requerida necesaria para sostener la carga en la sección se determina a partir de A = P /sperm o A = V /tperm.
8
9
10
11
Al diseñar grúas y cables que se utilizan para trasladar cargas pesadas, deben considerarse factores de seguridad adecuados.
1.7
DISEÑO DE CONEXIONES SIMPLES
1.13
EJEMPLO
49
1
El brazo de control está sometido a la carga mostrada en la figura 1-26a. Determine el diámetro requerido, con una aproximación de 1¬4 pulg, para el pasador de acero en C si si el esfuerzo cortante permisible para el acero es tperm = 8 ksi. A
B
2
F AB
3 8 pulg
8 pulg
4
C C
C x
3
3 pulg 2 pulg
C
5 4
3 pulg 2 pulg
3
5 kip C y
3 kip (a)
5 4
5 kip
3 kip
5
(b)
Figura 1-26
SOLUCIÓN
Fuerza cortante interna.
En la figura 1-26 b se muestra un diagrama de cuerpo libre del brazo. Por equilibrio, se tiene
+ © MC = 0;
FAB18 pulg2 - 3 kip 13 pulg2 - 5 kip
A 35 B 15 pulg2
6
= 0
FAB = 3 kip
+ © F = 0; x
A 45 B 5 kip A 35 B
- 3 kip - Cx + 5 kip
:
+ c © Fy = 0;
Cy - 3 kip -
= 0
Cx = 1 kip
= 0
Cy = 6 kip
7 6.082 kip
El pasador en C resiste resiste la fuerza resultante en C , que es FC =
2 11 kip22
+
16 kip22
=
3.041 kip 3.041 kip Pasador en C
6.082 kip
Como el pasador está sometido a cortante doble, una fuerza cortante de 3.041 kip actúa sobre el área de d e su sección transversal entre el brazo y cada hoja de soporte para el pasador, figura l-26c.
Área requerida. A
=
ab d
p
>
8 kip pulg
tperm
2
2
d
=
=
(c)
9
Se tiene 3.041 kip V
=
8
2
=
0.3802 pulg 2
0.3802 pulg 2
10
0.696 pulg
Se usará un pasador con diámetro de d
=
3 4 pulg
=
0.750 pulg
Resp.
11
50
1
2
CAPÍTULO 1
EJEMPLO
ESFUERZO
1.14 La barra colgante está suspendida en su extremo por un disco circular rígidamente unido a ella, como se muestra en la figura 1-27 a. Si la barra pasa por un agujero con diámetro de 40 mm, determine el diámetro mínimo requerido de la barra y el espesor mínimo del disco necesario para soportar la carga de 20 kN. El esfuerzo no rmal permisible para la barra es sperm = 60 MPa y el esfuerzo cortante permisible para el disco es tperm = 35 MPa.
3 t
40 mm
40 mm
4 t
perm
A
d
5 20 kN
20 kN (a)
(b)
Figura 1-27
6
SOLUCIÓN
Diámetro de la barra. 7
Por inspección, la fuerza axial en la barra es de 20 kN. Así, el área requerida para la sección transversal de la barra es A
P =
sperm
8
p
;
4
2
d
2011032 N =
6011062 N> m2
de modo que d
=
0.0206 m
20.6 mm
=
Resp.
Espesor del disco. 9
Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la figura 1-27b, el material en el área seccionada del disco debe resistir un esfuerzo cortante para impedir el movimiento del disco a través del agujero. Si se supone que este esfuerzo cortante está uniformemente distribuido sobre el área seccionada, entonces, como V = 20 kN, se tiene
10 A
V =
tperm
11
;
2p10.02 m21t2
t
=
4.55 10
3
-
2011032 N =
3511062 N> m2
m
=
4.55 mm
Resp.
1.7
51
DISEÑO DE CONEXIONES SIMPLES
1.15
EJEMPLO
1
El eje de la figura 1-28 a se sostiene mediante el collarín en C , que está unido al eje y se sitúa del lado derecho del cojinete en B. Determine el mayor valor de P para para las fuerzas axiales en E y F de de manera que el esfuerzo de aplastamiento en el collarín no sea superior a un esfuerzo permisible de (sb)perm = 75 MPa, y el esfuerzo normal promedio en el eje no exceda un esfuerzo permisible de (st )perm = 55 MPa. 60 mm
A P
2P F
E
B
2
20 mm 80 mm C
3
P
2 P
3P
(b)
(a) Fuerza axial
4
3P 2P Posición (c)
5
Figura 1-28
SOLUCIÓN Para resolver el problema se determinará P para para cada posible condición de falla. Después se elegirá el valor más pequeño. ¿Por qué? 6
Esfuerzo normal.
Usando el método de las secciones, la carga axial dentro de la región FE del eje es 2P , siempre que la mayor fuerza axial, 3P , ocurra dentro de la región CE, figura 1-28b. La variación de la carga interna se muestra claramente en el diagrama de fuerza normal de la figura 1-28c. Como el área de la sección transversal de todo el eje es constante, la región CE está sometida al máximo esfuerzo normal promedio. Al aplicar la ecuación 1-11, se tiene P 3P 2 ; A p10.03 m2 sperm 5511062 N> m2 P 51.8 kN Ress . Re Esfuerzo de aplastamiento. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la figura 1-28d, el collarín en C debe debe resistir la carga de 3P , que actúa sobre un área de apoyo Ab = [p(0.04 m)2 p(0.03 m)2] = 2.199(10-3) m2. Por lo tanto, 3P P A ; 2.199110 32 m2 sperm 7511062 N> m2 =
7
=
8
=
=
-
3P C
(d)
9
=
55.0 kN Por comparación, la carga máxima que puede aplicarse al eje es P = 51.8 kN, ya que cualquier carga más grande que ésta, provocará que se exceda el esfuerzo normal permisible en el eje. P
=
10
NOTA: Aquí no se ha considerado una posible falla falla por cortante en el collarín como en el ejemplo 1.14.
11
52
1
CAPÍTULO 1
ESFUERZO
1.16
EJEMPLO
La barra rígida AB que se muestra en la figura 1-29 a la soporta una barra de acero AC que tiene un diámetro de 20 mm y un bloque de aluminio con un área transversal de 1800 mm2. Los pasadores de 18 mm de diámetro en A y C están sometidos a cortante simple. Si el esfuerzo de falla para el acero y el aluminio es (sac)falla = 680 MPa y (tal)falla = 70 MPa, respectivamente, y el esfuerzo cortante de falla para cada pasador es tfalla = 900 MPa, determine la carga máxima P que puede aplicarse a la barra. Aplique un factor de seguridad F.S. F.S. = 2.
C P
Acero
2 A
B
Aluminio
0.75 m
2m
3
(a)
SOLUCIÓN Mediante las ecuaciones 1-9 y 1-10, los esfuerzos permisibles son 1sac2falla 680 MPa 340 MPa 1sac2perm F.S. 2 1sal2falla 70 MPa 35 MPa 1sal2perm F.S. 2 tfalla 900 MPa 450 MPa tperm F.S. 2 En la figura 1-29b se muestra el diagrama de cuerpo libre para la barra. Existen tres incógnitas. Aquí se aplicarán las ecuaciones de equilibrio para expresar F AC y F B en términos de la carga P aplicada. aplicada. Se tiene (1) P11.25 m2 - FAC12 m2 = 0 + © MB = 0;
4
=
=
=
=
=
5 P
F AC
6
A
B
=
(b)
Barra AC .
Figura 1-29
FAC
=
Se requiere 1sac2perm1AAC2
Usando la ecuación 1, P
FB
=
34011062 N> m2 [p10.01 m22]
1106.8 kN212 m2 =
=
1.25 m
Bloque B .
8
9
=
FB12 m2 - P10.75 m2 = 0 0; (2) Ahora se determinará cada valor de P que que genera el esfuerzo permisible en la barra, el bloque y los pasadores, respectivamente.
FB
7
=
+ © MA =
1.25 m
0.75 m
=
=
171 kN
En este caso, 1sal2perm AB 3511062 N> m2 [1800 mm2 110 62 m2> mm2] Usando la ecuación 2, 163.0 kN212 m2
=
-
=
P
=
0.75 m
=
106.8 kN
=
63.0 kN
168 kN
Pasador A o C . FAC
=
V
=
Debido al cortante simple, 45011062 N> m2 [p10.009 m22] tprom A =
=
114.5 kN
A partir de la ecuación 1, 10
P
114.5 kN 12 m2 =
1.25 m
=
183 kN
Por comparación, cuando P alcanza alcanza su valor más pequeño (168 kN), el esfuerzo normal permisible se desarrollará primero en el bloque de aluminio. Por consiguiente, 11
P
=
168 kN
Resp.
1.7
55
DISEÑO DE CONEXIONES SIMPLES
PROBLEMAS
1
• 1-73. El elemento B está sometido a una fuerza de compresión de 800 lb. Si A y B están fabricados de madera y tienen 3¬8 de pulg de espesor, determine con una precisión de 1 ¬ de pulg la mínima dimensión h del segmento horizontal 4 de tal forma que no falle por cortante. El esfuerzo cortante promedio permisible para el segmento es tperm = 300 psi.
B
800 lb
* 1-76. El empalme empalme de de banda estará sometido a una fuerza de 800 N. Determine (a) el espesor t requerido de la banda si el esfuerzo de tensión permisible para el material es (st )perm = 10 MPa, (b) la longitud requerida dl del empalme si el pegamento puede soportar un esfuerzo cortante permisible (tperm)g = 0.75 MPa y (c) el diámetro requerido dr del pasador si el esfuerzo cortante permisible para éste es (tperm) p = 30 MPa.
3
800 N
13
4
45 mm
5
t
12
2
dl
h A
dr
800 N
Prob. 1-73 1-74. La palanca está unida al eje A por medio de una cuña que tiene un ancho d y una longitud de 25 mm. Si el eje está fijo y se aplica una fuerza vertical de 200 N en forma perpendicular al mango, determine la dimensión d si el esfuerzo cortante permisible para la cuña es tperm = 35 MPa. d a
a
A 20 mm
5
Prob. 1-76
•1-77. La probeta de madera madera está sometida a una fuerza de tensión de 10 kN en una máquina de ensayo de tensión. Si el esfuerzo normal permisible para la madera es (st )perm = 12 MPa y el esfuerzo cortante permisible es tperm = 1.2 MPa, determine las dimensiones requeridas b y t de modo que la probeta alcance estos esfuerzos de manera simultánea. La probeta tiene un ancho de 25 mm.
6
7
500 mm 200 N
Prob. 1-74 1-75. La junta se mantiene mantiene sujeta mediante dos pernos. pernos. Determine el diámetro requerido de los pernos si el esfuer esfuer-zo cortante de falla para éstos es tfalla = 350 MPa. Use un factor de seguridad para cortante F.S. = 2.5.
8
10 kN
t
A
9 30 mm
80 kN
b 30 mm
10 40 kN
40 kN
10 kN
Prob. 1-75
Prob. 1-77
11
56
1
2
CAPÍTULO 1
ESFUERZO
1-78. El elemento B está sometido a una fuerza de compresión de 600 lb. Si A y B son de madera y tienen 1.5 pulg de espesor, determine con una precisión de 1¬8 de pulg la menor dimensión a del soporte de tal forma que el esfuerzo cortante promedio a lo largo de la línea gris en a no exceda tperm = 50 psi. No tome en cuenta la fricción.
3
•1-81. El elemento a tensión se mantiene sujeto mediante dos pernos, uno a cada lado del elemento, como se muestra en la figura. Cada perno tiene un diámetro de 0.3 pulg. Determine la carga máxima P que que puede aplicarse a los elementos si el esfuerzo cortante permisible para los pernos es tperm = 12 ksi y el esfuerzo normal promedio permisible es sperm = 20 ksi.
600 lb
60
3
5
B
4
4
a
P
P
A
Prob. 1-81
Prob. 1-78
5
6
7
8
1-79. La articulación se utiliza para transmitir un momento de torsión T = 3 kN # m. Determine el diámetro mínimo requerido del pasador cortable A si está hecho de un material con esfuerzo cortante de falla de tfalla = 150 MPa. Aplique un factor de seguridad de 3 contra la falla. *1-80. Determine el máximo máximo momento de torsión permisible T que que puede transmitirse mediante la junta. El pasador cortante A tiene un diámetro de 25 mm y está fabricado de un material con esfuerzo cortante de falla tfalla = 150 MPa. Aplique un factor de seguridad de 3 contra la falla.
1-82. Los tres cables de acero se usan para para sostener la carcarga. Si los cables tienen un esfuerzo de tensión permisible de sperm = 165 MPa, determine el diámetro requerido para cada cable si la carga aplicada es P = 6 kN. 1-83. Los tres cables de acero se usan para sostener la carga. Si los cables tienen un esfuerzo de tensión permisible de sperm = 165 MPa y el cable AB tiene un diámetro de 6 mm, BC un un diámetro de 5 mm y BD un diámetro de 7 mm, determine la mayor fuerza P que que puede aplicarse antes de que cualquiera de los cables falle.
9 A 100 mm
C
T
45�
10
B
30�
A
D T
11 Probs. 1-79/80
P
Probs. 1-82/83
1.7
*1-84. El ensamble consta de tres discos A, B y C que que se usan para soportar la carga de 140 kN. Determine el diámetro más pequeño d1 del disco superior, el diámetro d2 dentro del espacio de apoyo y el diámetro d3 del agujero en el disco inferior inferior.. El esfuerzo cortante permisible para el material es ( sperm)b = 350 MPa y el esfuerzo cortante permisible es tperm = 125 MPa.
57
DISEÑO DE CONEXIONES SIMPLES
1-87. El poste de roble roble de 60 mm * 60 mm se sostiene sobre el bloque de pino. Si el esfuerzo de aplastamiento permisible para estos materiales es sroble = 43 MPa y spino = 25 MPa, determine la mayor carga P que que pueden soportar. Si entre estos materiales se usa una placa rígida de apoyo, determine su área requerida de tal forma que puedan soportar la carga máxima P . ¿Cuál es esta carga?
P
2
3
140 kN d1
1
20 mm A
10 mm
B C
4 d3 d2
Prob. 1-84
5 Prob. 1-87 •1-85. El aguilón aguilón se sostiene sostiene mediante un cable de malacate con un diámetro de 0.25 pulg y un esfuerzo normal permisible sperm = 24 ksi. Determine la carga máxima que se puede soportar sin ocasionar que el cable falle cuando u = 30° y f = 45°. No tome en cuenta el tamaño del malacate. 1-86. El aguilón aguilón se sostiene mediante un cable cable de malacate que tiene un esfuerzo normal permisible sperm = 24 ksi. Si se requiere que éste sea capaz de levantar lentamente 5000 lb, desde u = 20° hasta u = 50°, determine el diámetro 1 mínimo del cable con una precisión de ¬ 16 de pulg. El aguilón AB tiene una longitud de 20 pies. No tome en cuenta el tamaño del malacate. Considere que d = 12 pies.
6 *1-88. El bastidor está sometido sometido a una carga de 4 kN que actúa sobre el elemento ABD en D. Determine el diámetro requerido de los pernos en D y C si si el esfuerzo cortante permisible para el material es tperm = 40 MPa. El pasador C está sometido a cortante doble mientras que el pasador D está sometido a cortante simple.
4 kN 1m E
1.5 m C
8
45� D
B
1.5 m
u
9
B
20 pies A
7
10 1.5 m
f
A
d
11 Probs. 1-85/86
Prob. 1-88
