149_Faktorial_RAL

RANCANGAN FAKTORIAL

Pendahuluan Pada pembahasan sebelumnya kita sudah mendiskusikan mengenai pengaruh perlakuan tunggal terhadap respons tertentu. Perlakuan tunggal tersebut tersebut dinamakan faktor, dan taraf atau level dari faktor tersebut dinamakan taraf. Faktor disimbolkan dengan dengan huruf kapital sedangkan sedangkan taraf dari faktor tersebut disimbolkan dengan dengan huruf kecil. Apabila secara serempak kita kita mengamati pengaruh beberapa faktor dalam suatu penelitian yang sama, maka percobaan tersebut dinamakan dengan percobaan faktorial. Percobaan faktorial adalah suatu percobaan yang perlakuannya terdiri atas semua kemungkinan kombinasi taraf dari beberapa beberapa faktor. Percobaan dengan menggunakan menggunakan f faktor dengan dengan t taraf untuk setiap faktornya disimbolkan dengan percobaan faktorial f t. Misalnya, percobaan faktorial faktorial 22 artinya kita menggunakan 2 faktor dan taraf masing-masing masing-masing faktornya terdiri dari dari 2 taraf. Percobaan faktorial 22 juga sering ditulis dalam bentuk percobaan faktorial 2x2. Penyimbolan yang terakhir sering digunakan untuk percobaan faktorial dimana taraf dari masing-masing faktornya berbeda, misalnya 2 taraf untuk faktor A dan 3 taraf untuk faktor B, maka percobaannya percobaannya disebut percobaan percobaan faktorial 2x3. Percobaan faktorial 2x2x3 maksudnya percobaan faktorial yang terdiri dari 3 faktor dengan taraf untuk masingmasing faktornya berturut-turut berturut-turut 2, 2, dan 3. Dengan demikian, dalam percobaan faktorial, ada dua tahap yang perlu dilakukan, pertama yaitu rancangan perlakuannya, seperti yang sudah diuraikan sebelumnya, dan selanjutnya tahap pemilihan rancangan lingkungannya yaitu yang menyangkut bentuk desain percobaan seperti RAL, RAKL, RBSL, Split-plot, Split-Blok. Tujuan dari percobaan faktorial adalah untuk melihat interaksi antara faktor yang kita cobakan. Adakalanya kedua faktor saling sinergi terhadap respons (positif), namun adakalanya juga keberadaan salah satu faktor justru menghambat kinerja dari faktor lain (negatif).

Adanya kedua kedua mekanisme mekanisme

tersebut cenderung meningkatkan pengaruh interaksi antar ke dua faktor.

Interaksi mengukur

kegagalan dari pengaruh salah satu faktor untuk tetap sama pada setiap taraf faktor lainnya atau secara sederhana, Interaksi antara faktor adalah apakah pengaruh dari faktor tertentu tergantung pada taraf faktor lainnya? Misalnya apabila pengaruh sederhana N sama pada setiap taraf pemberian pupuk P maka kedua faktor tersebut saling bebas ( independent ) dan dikatakan tidak ada interaksi, sedangkan apabila pemberian N memberikan pengaruh yang berbeda pada setiap taraf dari P, maka dikatakan terjadi interaksi antara Faktor N dan Faktor P. Sebagai contoh, apabila kita ingin mengamati pengaruh pemberian Nitrogen (N) yang terdiri dari 2 taraf (n0, dan n1) dan pemberian fosfor (P) yang terdiri dari 2 taraf (p 0, p1) terhadap respons tertentu, dengan hasil sebagai berikut:

© 2011 http://www.smartstat.info | RANCANGAN FAKTORIAL

1

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





Tabel 1.

Pengaruh sederhana, pengaruh utama, dan pengaruh Interaksi

Faktor

Nitrogen (N)

Fosfor (P) p0 p1 Rataan N Pengaruh sederhana P (p1-p0)

n0 40 42 41 2 (se P, n0)

Rataan P

n1 48 51 49.5 3 (se P, n1)

44 46.5 45.25 2.5 (me P)

Pengaruh sederhana N n1-n0 8 (se N, p0) 9 ( se N, p1) 8.5 (me N)

Selisih n1 – n0 dan p1 – p0 dinamakan pengaruh sederhana ( simple effects ) disimbolkan dengan (se N) dan (se P). Rata-rata dari pengaruh sederhana dinamakan dengan pengaruh utama utama (main effects ), disimbolkan (me N) and (me P). Perkiraan pengaruh interaksi dan pengaruh utama dari rata-rata perlakuan dapat dihitung dengan formula berikut:

Pengaruh Sederhana (simple effect, se ):

se N pada p 0 = n1 p0 − n0 p0

se P pada n 0 = p1 n0 − p0 n0

= 48 − 40

= 42 − 40

=8

=2

se N pada p 1 = n1 p1 − n0 p1

se P pada n1 = p1 n1 − p0 n1

= 51 − 42

= 51 − 48

=9

=3

Pengaruh Utama (main effect, me):

me N = = =

1 2 1 2 1

(se N pada p0 + se N pada p1)

me P =

[(n1 p0 − n0 p0 ) + (n1 p1 − n0 p1 )]

=

[(48 − 40) + (51 − 42)] 2 = 8.5

=

1 2 1 2 1

(se P pada n0 + se P pada n1) [( p1 n0 − p0 n0 ) + ( p1 n1 − p0 n1 )]

[(42 − 40) + (51 − 48)] 2 = 2.5

Pengaruh Interaksi:

Interaksi N × P = =

1 2 1 2

[(n1 p0 − n0 p0 ) − (n1 p1 − n0 p1 )]

[(48 − 40) − (51 − 42)]

atau = =

1 2 1 2

[( p1n0 − p0 n0 ) − ( p1n1 − p0 n1 )]

[(42 − 40) − (51 − 48)]





pengaruh N pada setiap taraf pemupukan P, pengaruh sederhana N pada taraf p0 = 8 dan pada taraf p1 = 9. Perbedaan antara pengaruh sederhana dan interaksi secara grafis dapat divisualisasikan sebagai berikut:

Gambar 1.

Perbedaan antara pengaruh sederhana dan interaksi

Kemungkinan yang bisa terjadi antara pengaruh utama dan interkasi disajikan pada Gambar berikut:

Sumber Keragaman A B AxB

1 tn tn tn

2 * tn tn

3 tn * tn

4 * * tn

5 tn tn *

6 * tn *

7 tn * *

8 * * *









Keuntungan: 1. Lebih efisien dalam menggunakan sumber-sumber yang ada 2. Informasi yang diperoleh lebih komprehensif karena kita bisa mempelajari pengaruh utama dan interaksi 3. Hasil percobaan dapat diterapkan dalam suatu kondisi yang lebih luas karena kita mempelajari kombinasi dari berbagai faktor

Kerugian: 1. Analisis Statistika menjadi lebih kompleks 2. Terdapat kesulitan dalam menyediakan satuan percobaan yang relatif homogen 3. pengaruh dari kombinasi perlakuan tertentu mungkin tidak berarti apa-apa sehingga terjadi pemborosan sumberdaya yang ada

Percobaan Faktorial dalam Rancangan Acak Lengkap Percobaan faktorial dalam rancangan acak lengkap merupakan percobaan faktorial dengan menggunakan rancangan acak lengkap sebagai rancangan lingkungannya. Pada prinsipnya sama dengan rancangan acak lengkap, namun dalam hal ini faktor yang dicobakan lebih dari satu.

Pengacakan dan Denah Percobaan Faktorial dalam Rancangan Acak Lengkap Cara pengacakan sama seperti rancangan acak lengkap. Penempatan perlakuan-perlakuan yang merupakan kombinasi dari taraf faktor yang akan dicobakan dilakukan dengan cara yang sama seperti rancangan acak lengkap.

Perhatikan contoh kasus berikut.

Suatu percobaan ingin mempelajari

pengaruh pemupukan Nitrogen dan Varietas terhadap hasil produksi yang dilaksanakan di Rumah Kaca. Kondisi lingkungan diasumsikan diasumsikan homogen. Faktor pemupukan terdiri dari 2 taraf, yaitu yaitu 0 kg N/ha (n0) dan 60 kg N/ha (n1). Faktor Varietas terdiri dari dua taraf, yaitu Varietas IR-64 (v1) dan Varietas S-969 (v2). Percobaan dirancang dengan menggunakan menggunakan rancangan dasar RAL yang diulang diulang 3 kali. Percobaan tersebut merupakan percobaan faktorial 2x2 sehingga terdapat 4 kombinasi perlakuan: n0v1; n0v2; n1v1; dan n1v2.

Karena diulang 3 kali, maka satuan percobaannya terdiri dari 4x3 = 12 satuan

percobaan. Buat 12 petak (satuan percobaan) dan satuan percobaan tersebut diberi nomor dari 1 sampai 12. Langkah pengacakan sama dengan pengacakan pada RAL tunggal. sebagai berikut:

Misal hasil pengacakan adalah





Berdasarkan hasil pengacakan tersebut, maka tata letak percobaan adalah sebagai berikut: 1 = n1v1 5 = n1v1 9 = n0v1 Gambar 3.

2 = n0v2 6 = n1v2 10 = n0v2

3 = n0v1 7 = n1v2 11 = n0v2

4 = n1v2 8 = n1v1 12 = n0v1

Denah Percobaan Faktorial 2 x 2 dengan Rancangan Lingkungan RAL

Model Linier Rancangan Faktorial Dalam RAL Model linier aditif untuk rancangan faktorial dua faktor dengan rancangan lingkungannya rancangan acak lengkap adalah sebagai berikut : Yijk = μ + αi + β j + (αβ)ij + εijk dengan i =1,2…,a; j = 1,2,…,b; 1,2,…,b; c = 1,2,…,r

= pengamatan pada pada satuan percobaan percobaan ke-k yang yang memperoleh kombinasi kombinasi perlakuan perlakuan taraf ke-i dari dari faktor A dan taraf ke-j dari faktor B μ = mean populasi αi = pengaruh taraf ke-i dari faktor A β j = pengaruh taraf ke-j dari faktor B (αβ)ij = pengaruh taraf taraf ke-i dari faktor faktor A dan taraf ke-j dari faktor B 2 εijk = pengaruh acak acak dari satuan satuan percobaan percobaan ke-k yang yang memperoleh memperoleh kombinasi perlakuan ij. εij ~ N(0,σ ). Y ijk ijk







Asumsi: Apabila semua faktor (faktor A dan B) bersifat tetap

∑ α i

∑ β j = 0 ;

=0;

∑ (αβ )ij = ∑ (αβ )ij =0 ; i

j

Apabila semua faktor (faktor A dan B) bersifat acak

α i ~ N(0,σ α ) ; β j ~ N(0, σ β ) ; 2

2

bsi

ε ijk

~ N(0,σ 2 )

(αβ )ij ~ N(0,σ αβ ) ; 2

bsi

ε ijk ~ N(0, σ 2 )

Hipotesis: Hipotesis yang diuji dalam rancangan faktorial yang terdiri dari dua faktor dengan rancangan lingkungan rancangan acak lengkap adalah:

Hipotesis yang Model Tetap (Model I) Akan Diuji: Pengaruh Interaksi AxB (αβ)ij =0 (tidak ada pengaruh H0 interaksi terhadap respon yang diamati) minimal ada sepasang (i,j) H1 sehingga (αβ)ij ≠0 (ada pengaruh interaksi terhadap respon yang diamati) Pengaruh Utama Faktor A α1 =α2 =…=αa=0 (tidak ada H0 perbedaan respon di antara taraf faktor A yang dicobakan) minimal ada satu i sehingga αi ≠0 H1 (ada perbedaan respon di antara taraf faktor A yang dicobakan) Pengaruh Utama Faktor B H0 β1 =β2 =…=βb=0 (tidak ada

Model Acak (Model II)

2

σ αβ=0 (tidak ada keragaman dalam populasi kombinasi perlakuan) 2 σ αβ>0 (terdapat keragaman dalam populasi kombinasi perlakuan)

2

σ α=0 (tidak ada keragaman dalam populasi taraf faktor A) 2

σ α>0 (terdapat keragaman dalam populasi taraf faktor A)

2

σ β=0 (tidak ada keragaman





Analisis Ragam: Model linier percobaan faktorial dengan rancangan dasar RAL adalah sebagai berikut:

Y ijk = Model + Galat Y ijk = µ + α i + β j + (αβ ) ij + ε ijk Y ijk = Y ... + (Y i .. − Y ... ) + (Y . j . − Y ... ) + (Y ij . − Y i .. − Y . j . + Y ... ) + (Y ijk − Y ij . )

(Y ijk − Y ... ) = (Y i .. − Y ... ) + (Y . j . − Y ... ) + (Y ij . − Y i .. − Y . j . + Y ... ) + (Y ijk − Y ij . ) Apabila kedua ruas dikuadratkan, maka kita akan mendapatkan: Definisi

Pengerjaan

FK

2

Y ...

abr JKT

∑ ∑ ∑ (Y ijk − Y ...)

2 ijk

∑ Y

2

− FK

i , j ,k

i =1 j =1 k =1

JK(A)

∑ ∑ ∑ (Y i .. − Y ...)

∑

2

i =1 j =1 k =1

JK(B)

i

∑ ∑ ∑ (Y . j ... − Y ...)

2

∑

i =1 j =1 k =1

JK(AB)

j

∑ ∑ ∑ (Y ij . − Y i ... − Y .. j . + Y ...)

2

i =1 j =1 k =1

∑ i , j

JKG

∑ ∑ ∑ (Y

ijk

i =1 j =1 k =1

− Y ij . )

2

Y i ..

2

br Y . j .

2

ar Y ij .

− FK

− FK

2

r

− FK − JKA − JKB

JKT – JKA – JKB -JKAB





Tabel 2.

Nilai Harapan Harapan Kuadrat Kuadrat tengah tengah Rancangan Rancangan Factorial Dua Factor Factor Dalam Dalam Rancangan Rancangan Acak Lengkap

Sumber keragaman

Kuadrat Tengah

E(KT) Faktor A dan B tetap

Faktor A dan B acak

A

KT(A)

σ 2 + rb∑α i /(a − 1)

B

KT(B)

σ + ra ∑ β j /(b − 1)

AB

KT(AB)

σ + r ∑ (αβ )ij /(a − 1)(b − 1)

2

2

2

2

2

σ 2 + r σ αβ + rbσ α

i

2

2

σ 2 + r σ αβ + raσ β

j 2

2

σ 2 + r σ αβ

2

ij

Galat

KTG

σ 2

σ 2

Faktor A tetap dan B acak A

KT(A)

B

KT(B)

AB

KT(AB)

σ + r σ αβ

Galat

KTG

σ 2

2

Faktor B tetap dan A acak 2

σ 2 + r σ αβ + rb∑α i /(a − 1)

2

σ 2 + rbσ α

i

2

σ + raσ β

2

2

2

σ 2 + r σ αβ + ra∑ β j /(b − 1) j

2

2

2

σ + r σ αβ

2

σ 2

Dengan menggunakan nilai harapan kuadrat tengah di atas, kita bisa menyusun Tabel Analisis Ragamnya. Tabel analisis ragam percobaan faktorial dengan dua dua faktor dalam rancangan acak lengkap lengkap adalah sebagai berikut : Tabel 3.

Analisis Ragam Rancangan Factorial Dua Factor Dalam Rancangan Acak Lengkap

Sumber keragaman Perlakuan A B AB Galat Total

Derajat Bebas ab-1 a-1 b-1 (a-1) (b-1) ab(r-1) abr-1

Jumlah Kuadrat JKP JK(A) JK(B) JK(AB) JK(G) JKT

Kuadrat Tengah KTP KT(A) KT(B) KT(AB) KTG

F-hitung KTP/KTG KT(A)/KTG KT(B)/KTG KT(AB)/KTG

F-tabel F(α, db-P, db-G) F(α, db-A, db-G) F(α, db-B, db-G) F(α, db-AB, db-G)





Perbandingan dua rata-rata Faktor B: SED

=

S

2KTG Y

=

ra

Perbandingan interaksi dua rata-rata Faktor AxB: SED

=

S

2KTG Y

=

r

149_Faktorial_RAL

Recommend Documents