R
3
R3
Rn
R2 R3
3
R
P (2 P (2,, 1, 1) v = (2, (2, 3, 1)
−
P 1 (x1, y1 , z 1 ) P 1
v = 2 +3
P 2(x2 , y2 , z 2) P 2
−−→
P 1 P 2 = (x2
− x , y − y , z − z ) 1
2
1
2
1
−
R3
O
XY
P O
Z
(x,y,z ) x
y
X
Y
z
Z
x
Y Z
y
XZ
z
XY
X
(x, 0, 0) (x, y0 , z 0)
y0
z 0 Y Z
Y
(0, y, 0) (x0 , y , z0 )
x0
z 0 XZ
Z
(0, 0, z )
(x0 , y0, z )
x0
y0 XY
Q = (x,y,z )
{
S = [0, 1]
3
∈ R /0 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 3; z ≥ 0}
× [0, 1] × [0, 1]
R3
P 0 (x0 , y0 , z 0 ) R3
L
P 0
{
d
−−→
P (x,y,z )
L = P (x,y,z )/(x
d = (a,b,c)
P 0 P
d
− x , y − y , z − z ) = t(a,b,c); t ∈ R} 0
0
0
L
L :
x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct
t
∈R
R3
t
t
P 0 ( 1, 2, 4)
∈R
d = (2, 0, 2)
−
−
(3, 1, 1)
−
d = (1, 0, 1)
−
d = ( 1, 0, 1)
−
d = (3, 0, 3)
−
= (1, 0, 0)
= (0, 1, 0)
= (0, 0, 1)
a,b,c = 0
x
−x
0
a
=
y
−y
0
b
=
z
P 0 d = (a,b,c)
a,b,c
P (1, 2, 3)
Q(0, 2, 1)
−
− z
0
c
R3
x = 1 + 2t
L1 :
y =
−2 − 3t
t
L2 :
∈R
x
− 7 = y − 2 = 1 − z 3
2
2
z = 5 + 4t x = 6t
L1 :
x = 1 + 3u
y =
−4 − 4t z = 3 − 2t
t
L2 :
∈R
y = 1
− 2u z = 1 − u
u
∈R
(1, 2, 1); (2, 3, 3); (3, 2, 3)
−
R3
P 0 (x0 , y0 , z 0 ) R3
π
n = (a,b,c)
P 0
−−→
P (x,y,z )
π = P (x,y,z )/(x
{
n P 0 P
− x , y − y , z − z ) · (a,b,c) = 0} 0
0
0
n
P π
∈
a(x
− x ) + b(y − y ) + c(z − z ) = 0 0
0
0
P 0 n = (a,b,c) ax + by + cz + d = 0
d
P 0
d = 0
P 0 (3, 1, 1)
P 1(3, 1, 4) X
P 2 (0, 2, 1)
R3
π1 : 2x
− y + 3z = 2
π2 : x
− y − z = 0
2x + 4y + 6z 12 = 0
−
x + z = 1 y + z = 1
L1 :
x = 1 + 2t y =
−2 − 3t
z = 5 + 4t
t
∈R
L2 :
x
− 7 = y − 2 = 1 − z 3
2
2
R3
x = 6t
L1 :
x = 1 + 3u
y =
−4 − 4t z = 3 − 2t L :
2x
t
∈R
L2 :
y = 1
− 2u z = 1 − u
− 1 = 2 − y = 4 − 2z
4
3
u
∈R
(1, 1, 1)
−
2
π ax + by + cz + d = 0
P 0
d(P 0 , π) =
π
π
P 0
π
| ax √ + by + cz + d |
Q P 0
3
∈ R
0
0
0
a2 + b2 + c2
∈π
−−→
P 0 Q
−−→
P 0Q
π1 : 3x
− y + 2z − 6 = 0
π2 : 6x
− 2y + 4z + 4 = 0
x = 4 + t
L :
t
π :
∈R
−2x + y + 2z + 4 = 0
y=
−6 + 8t z = 7 − 3t L
R3
d
P 0
3
P 0
∈ R
−P −→Q × d d(P , L) = d 0
Q L
∈
0
−−→
Q L
P 0 Q
∈
P 0 P 0 Q
L
h d
L
R3
−−→ −P −→Q × d = −P −→Qdsen(θ)
h = P 0 Q sen(θ)
0
0
L :
L
(2, 1, 4)
−
L1
x = 1 + 2t y =
−−→ |
P 1 P 2 1 ×d2
|
x = 4 + 5t
L1 :
y = 5 + 5t z = 1
P 1
∈ L
1
P 2
∈ L
2
x = 4 + u
t
∈R
L2 :
− 4t
3 R
y =
−6 + 8u z = 7 − 5u
u
∈ R
d1
d2 d(L1, L2 ) = proyd
t
z = 5 + 4t
R3
L2
−2 − 3t
∈R
R3
R3
P (x,y,z ) ax2 +by 2 +cz 2 +dxy +exz +fyz +gx +hy +iz + j = 0 R
a,b,c
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + F z + E = 0
(x R
− h)
2
+ (y
2
− k)
+ (z
− l)
2
= R 2 (h,k,l)
R3
(x
− h) a2
2
+
(y
2
− k) b2
+
(z
2
− l) c2
= 1 (h,k,l)
a,b,c
(x
2
− h) a2
a,b,c
+
(y
2
2
− k) − (z − l) b c 2
2
= 1 (h,k,l)
R3
2
2
− −a h) − (y −b k) (x
2
+
2
(z
− l) c2
2
= 1 (h,k,l)
a,b,c
X (x
z
2
z l =
−
− (x −a h) 2
− h)
− l = a − (y − k) (h,k,l) 2
2
2
+
(y
2
− k) b2
b2
a, b
Y
R3
z
− l =
(x
2
− h) − (y − k) a b 2
2
2
(h,k,l)
a, b z = y 2
(x
2
− h) a2
+
(y
2
− k) − (z − l) b c 2
2
2
−x
2
= 0 (h,k,l) a,b,c
