ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CONTENIDO DEL CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE
MATG1001 A. IDIOMA Español B. DESCRIPCIÓN DEL CURSO Es un curso básico para los estudiantes de ingeniería que promueve la comprensión de conceptos fundamentales de coordenadas polares, límites y continuidad de funciones de una variable real, la interpretación de la derivada, la integral indefinida así como sus diferentes técnicas o métodos de integración; el estudio introductorio a las ecuaciones diferenciales; la integral definida o de Riemann con su interpretación geométrica y propiedades; las integrales impropias impropias en sus diferentes tipos; y, la aplicación de todos estos conocimientos en múltiples campos de la ciencia, ingeniería y tecnología Se adopta un compromiso entre la formalidad rigurosa del tratamiento de cada uno de los temas y la natural vinculación con las técnicas que fueron desarrolladas para resolver problemas de Física. Por lo tanto, a más de la estructura lógica deductiva se aportan visiones intuitivas y aplicaciones prácticas. C. CONOCIMIENTOS PREVIOS DEL CURSO Graficadores de funciones Procesadores de palabras Editores de Ecuaciones Aplicaciones como matlab, matemática, geogebra D. OBJETIVO GENERAL El alumno será capaz de apreciar la utilidad del cálculo diferencial e integral, como herramienta para la solución de problemas propios de las carreras de ingeniería, además de entender la importancia del cálculo diferencial e integral, como base teórica para el desarrollo teórico y práctico de otras materias de la malla curricular de las carreras de ingeniería. E. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE DEL CURSO El estudiante al finalizar el curso estará en capacidad de: 1 Aplicar los principios, leyes, teoremas sobre límites y continuidad, derivadas, integrales y coordenadas polares en la resolución de problemas propios de las carreras de ingeniería. 2 Plantear y resolver problemas de cálculo de una variable que requieran del uso de los conceptos de límites y continuidad, aproximación, razón de cambio, valores extremos, longitud de una curva, área y volumen, así como interpretar sus resultados. 3 Analizar y graficar lugares geométricos cuyas ecuaciones están dadas en coordenadas cartesianas y en coordenadas polares. 4 Enunciar y explicar las definiciones de límite, continuidad, derivadas, antiderivadas e integral definida. 5 Enunciar y demostrar las diferentes propiedades de límites, continuidad, derivadas e integral definida. 6 Usar un instrumento computacional como apoyo tanto en el aprendizaje como para la solución de problemas de Cálculo Diferencial e Integral. F. ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE Aprendizaje asistido por el profesor Aprendizaje cooperativo/colaborativo: Aprendizaje de prácticas de aplicación y experimentación: Aprendizaje autónomo:
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G. EVALUACIÓN DEL CURSO Actividades de Evaluación Exámenes Lecciones Tareas Proyectos Laboratorio/Experimental Participación en Clase Visitas Otras
DIAGNÓSTICA
FORMATIVA
H. PROGRAMA DEL CURSO UNIDADES 1.- FUNCIONES Y NOCIONES TOPOLÓGICAS 1.1.- Métricas y Espacios Métricos (1h) 1.2.- Elementos Topológicos (2h) 2.- LIMITES Y CONTINUIDAD 2.1.- Definición formal del límite (1h) 2.2.- Teorema de la unicidad del límite (0.5h) 2.3.- Límites unilaterales (0.5h) 2.4.- Teorema de la existencia del límite en un punto (0.5h) 2.5.- Propiedades de los límites (1h) 2.6.- Teorema del Emparedado (0.5h) 2.7.- Teorema de la Estricción (0.5h) 2.8.- Límites trascendentes: radical-polinómica, trigonométrica-polinómica, exponencial-polinómica, logarítmica-polinómica, número e. (1h) 2.9.- Definición de Continuidad en un punto (0.5h) 2.10.- Continuidad unilateral (0.5h) 2.11.- Continuidad por intervalos(0.5h) 2.12.- Propiedades de la Continuidad (1.5h) 2.13.- Teoremas de: Bolzano, Valor Intermedio y Weierstrass (1.5h) 2.14.- Límite de la composición de funciones (0.5h) 2.15.- Límites Infinitos (0.5h) 2.16.- Límites al Infinito (0.5h) 2.17.- Comportamiento Asintóticos: asíntotas horizontales, verticales, oblicuas y otros. (0.5h)
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SUMATIVA
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H. PROGRAMA DEL CURSO UNIDADES 3.- DERIVADAS Y APLICACIONES 3.1.- Introducción a la derivada: problema de la recta tangente y la velocidad de un objeto (1h) 3.2.- Definición de la derivada en un punto (0.5h) 3.3.- Definición de la función derivada (0.5h) 3.4.- Teorema de la derivabilidad y continuidad (0.5h) 3.5.- Cálculo de derivadas: teoremas, regla de la cadena, derivación de orden superior, derivación paramétrica, derivación implícita, derivación logarítmica y derivación de funciones inversas, derivadas de coordenadas polares (5.25) 3.6.- Razón de cambio (0.5h) 3.7.- Extremos Absolutos y Puntos Críticos: puntos singulares, puntos estacionarios y puntos de frontera (1h) 3.8.- Teorema del Valor Extremo (0.5h) 3.9.- Teorema de Valor Medio: Rolle, Lagrange, Cauchy y L’hopital (2h) 3.10.- Monotonía de funciones (0.25h) 3.11.- Teorema de Monotonía (0.5h) 3.12.- Concavidad de una función (0.25h) 3.13.- Puntos de Inflexión (0.25h) 3.14.- Teorema de concavidad (0.5h) 3.15.- Extremos relativos o locales (0.5h) 3.16.- Criterio de la primera derivada (1h) 3.17.- Criterio de la segunda derivada (1h) 4.- ANTIDERIVADAS Y TECNICAS DE INTEGRACION 4.1.- Definición de Diferenciales (0.25h) 4.2.- Propiedades de los Diferenciales (0.25h) 4.3.- Aplicación de los Diferenciales en Aproximaciones (0.5h) 4.4.- Definición de Antiderivadas (0.5h) 4.5.- Propiedades de las Antiderivadas (1h) 4.6.- Introducción a las Ecuaciones Diferenciales (0.5h) 4.7.- Integración por Sustitución (0.5h) 4.8.- Integración por partes (0.75h) 4.9.- Integración por Sustitución Trigonométrica (0.75h)
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H. PROGRAMA DEL CURSO UNIDADES 5.- INTEGRACIÓN DEFINIDA Y APLICACIONES 5.1.- Notación de las Sumatorias mediante el símbolo Sigma (0.25h) 5.2.- Propiedades de las Sumatorias (0.25h) 5.3.- Sumas relacionadas con los números naturales (0.25h) 5.4.- Introducción a la Integral Definida: cálculo del área regiones planas (1h) 5.5.- Suma de Riemman (0.5h) 5.6.- Definición de la Integral Definida o Integral de Riemman (0.5h) 5.7.- Propiedades de la integral definida: linealidad, aditiva, comparación, acotamiento, primer teorema fundamental del Cálculo, segundo teorema fundamental del Cálculo, teorema del valor medio, teorema de simetría, uso de la periodicidad (4.75h) 5.8.- Integralas Impropias limites infinitos e integrandos infinitos (1h)
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5.9.- Area de Regiones Planas en el Plano Cartesiano (0.5h) 5.10.- Area de Regiones Planas en el Plano Polar (0.5h) 5.11.- Volumen de Sólidos de Revolución método del disco (0.5h) 5.12.- Volumen de Sólidos de Revolución método de las capas cilíndricas (0.5h) 5.13.- Longitud de una curva en el plano cartesiano (0.5h) 5.14.- Longitud de una curva definidas en forma paramétrica (0.5h) 5.15.- Longitud de una curva en el plano polar (0.5h) I. RECURSO BIBLIOGRÁFICO Información del Libro (9702609194) Edwin Purcell, Dale Varberg y Steven E. 1 Rigdon,. CÁLCULO. (Novena).
Detalles Cálculo (2007) Autores: Edwin Purcell, Dale Varberg y Steven E. Rigdon, Novena Edición. Editorial Pearson, México. 5000 PROBLEMAS DE DEMIDOVICH
(8428308551) DEMIDOVICH. 5000 PROBLEMAS DE 2 ANÁLISIS MATEMÁTICO (Spanish Edition). (Paperback; 1992-02). (8429151567) Saturnino L. Salas, Einar Hille y Garret Edgen. Cálculo de una y varias variables (200) Autores: 3 CALCULO DE UNA Y VARIAS VARIABLES. (CUARTA). Saturnino L. Salas, Einar Hille y Garret Edgen, (6071502735) LARSON AND EDWARDS. CÁLCULO DE 4 UNA VARIABLE. (Perfect Paperback; 1900-01-01).
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(6074818819) STEWART JAMES. CALCULO DE UNA VARIABLE TRASCENDENTES TEMPRANAS. (SEPTIMA).
(6073201643) GEORGE THOMAS. CALCULO DE UNA 6 VARIABLE. (DECIMA SEGUNDA).
Cálculo (2011) Autores: Ron Larson, Bruce H. Edwards. Novena Edición. Editorial Mc5GrawHill, México. Cálculo de una variable trascendentes tempranas (2012) Autor: Stewart James, Séptima Edición, Editorial Cengage Learning Editores. S.A. de C.V., México. Cálculo de una variable (2010) Autor: George B. Thomas, Jr. Décima Segunda Edició, Editorial Pearson, México
J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES 1.- FUNCIONES Y NOCIONES TOPOLÓGICAS Introducción a la unidad Introducción y familiarización con respecto a la métrica, los elementos topológicos y conjuntos topológicos. Meta-Lenguaje métrica,elemento topológico,conjunto topológico Subunidades Página 4 de 10
J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES Subunidad 1.1.- Métricas y Espacios Métricos (1h) 1.2.- Elementos Topológicos (2h) Objetivos de Aprendizaje Objetivo 1.1.- Identificar funciones que definen una métrica sobre un conjunto 1.2.- Caracterizar topológicamente un elemento con respecto a un conjunto 1.3.- Caracterizar topológicamente un conjunto con respecto al espacio métrico Actividades 1.1.- Exposición teórica mediante una clase magistral se expondrá lo relacionado a esta unidad 1.2.- Aplicaciones informáticas usar recursos informáticos que ayuden a visualizar a los estudiantes los diferentes elementos y conjuntos topológicos 1.3.- Planteamientos de problemas plantear problemas de manera que los estudiantes puedan identificar elementos y conjuntos topológicos Recursos Bibliográficos adicionales 1.1.- (Otros) material elaborado por el profesor Otros Recursos 1.1.- aplicaciones informáticas (Laptops) las aplicaciones deben estar relacionadas con el tema 1.2.- usarlo para proyectar aplicaciones (Proyector) las aplicaciones relacionadas con el tema deben ser proyectadas en clases 2.- LIMITES Y CONTINUIDAD Introducción a la unidad En esta unidad se estudiará todo lo relacionado a límites y continuidad. Meta-Lenguaje límites,continuidad Subunidades
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J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES Subunidad 2.1.- Definición formal del límite (1h) 2.2.- Teorema de la unicidad del límite (0.5h) 2.3.- Límites unilaterales (0.5h) 2.4.- Teorema de la existencia del límite en un punto (0.5h) 2.5.- Propiedades de los límites (1h) 2.6.- Teorema del Emparedado (0.5h) 2.7.- Teorema de la Estricción (0.5h) 2.8.- Límites trascendentes: radical-polinómica, trigonométrica-polinómica, exponencial-polinómica, logarítmicapolinómica, número e. (1h) 2.9.- Definición de Continuidad en un punto (0.5h) 2.10.- Continuidad unilateral (0.5h) 2.11.- Continuidad por intervalos(0.5h) 2.12.- Propiedades de la Continuidad (1.5h) 2.13.- Teoremas de: Bolzano, Valor Intermedio y Weierstrass (1.5h) 2.14.- Límite de la composición de funciones (0.5h) 2.15.- Límites Infinitos (0.5h) 2.16.- Límites al Infinito (0.5h) 2.17.- Comportamiento Asintóticos: asíntotas horizontales, verticales, oblicuas y otros. (0.5h) Objetivos de Aprendizaje Objetivo 2.1.- Definir formalmente límites de funciones de variable real en un punto, al infinito y límites infinitos. 2.2.- Calcular límites de funciones de una variable en un punto, al infinito y límites infinitos 2.3.- Identificar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de las funciones de variable real 2.4.- Definir continuidad en un punto y por intervalos 2.5.- Determinar intervalos de continuidad de las funciones de variable real 2.6.- Bosquejar lugares geométricos en base a condiciones de límites y continuidad 2.7.- Demostrar propiedades relaciones con los límites y la continuidad. Actividades 2.1.- Exposición teórica mediante una clase magistral se expondrá lo relacionado a esta unidad 2.2.- Aplicaciones informáticas usar recursos informáticos que ayuden a visualizar a los estudiantes los diferentes tipos de límites y a entender continuidad 2.3.- Planteamientos de problemas Plantear problemas de manera que los estudiantes puedan identificar los diferentes tipos de límites y calcularlos. Diseñar problemas relacionados con la continuidad de funciones.
Otros Recursos 2.1.- aplicaciones informáticas (Laptops) se debe usar graficadores de funciones para ayudar a visualizar los diferentes de tipos de límites y entender lo que es 2.2.- proyectar las aplicaciones (Proyector) con esto se proyectarán las aplicaciones relacionadas con el tema Página 6 de 10
J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES 3.- DERIVADAS Y APLICACIONES Introducción a la unidad Esta unidad trata de lo que es la derivada, propiedades de las derivadas y sus aplicaciones. Meta-Lenguaje derivación,regla de la cadena,técnicas de derivación Subunidades Subunidad 3.1.- Introducción a la derivada: problema de la recta tangente y la velocidad de un objeto (1h) 3.2.- Definición de la derivada en un punto (0.5h) 3.3.- Definición de la función derivada (0.5h) 3.4.- Teorema de la derivabilidad y continuidad (0.5h) 3.5.- Cálculo de derivadas: teoremas, regla de la cadena, derivación de orden superior, derivación paramétrica, derivación implícita, derivación logarítmica y derivación de funciones inversas, derivadas de coordenadas polares (5.25) 3.6.- Razón de cambio (0.5h) 3.7.- Extremos Absolutos y Puntos Críticos: puntos singulares, puntos estacionarios y puntos de frontera (1h) 3.8.- Teorema del Valor Extremo (0.5h) 3.9.- Teorema de Valor Medio: Rolle, Lagrange, Cauchy y L’hopital (2h) 3.10.- Monotonía de funciones (0.25h) 3.11.- Teorema de Monotonía (0.5h) 3.12.- Concavidad de una función (0.25h) 3.13.- Puntos de Inflexión (0.25h) 3.14.- Teorema de concavidad (0.5h) 3.15.- Extremos relativos o locales (0.5h) 3.16.- Criterio de la primera derivada (1h) 3.17.- Criterio de la segunda derivada (1h) Objetivos de Aprendizaje Objetivo 3.1.- Definir e interpretar la derivada de una función en un punto 3.2.- Demostrar las diferentes propiedades de la derivada de una función de variable real 3.3.- Determinar las derivadas funciones definidas en forma paramétrica, polar e implícita 3.4.- Determinar derivadas de orden superior de funciones dadas de manera explícita, implícita y paramétricas 3.5.- Aplicar las propiedades de las derivadas en el cálculo de derivadas de funciones, en la solución de problemas de razón de cambio, en la resolución de problemas de optimización y en la graficación de funciones. 3.6.- Utilizar la regla de L´hopital para el cálculo de límites que tienen indeterminaciones de la forma 0/0, 00, 1, -, /, 0, 0, 0 Actividades 3.1.- Exposición teórica El maestro mediante las clases magistrales expondrá lo referente a esta unidad 3.2.- Aplicaciones Informáticas usar recursos informáticos que ayuden a entender el significado de la derivada, y también sus aplicaciones 3.3.- Planteamientos de problemas Página 7 de 10
J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES Diseñar ejerciciones para que el estudiante aplique las técnicas de derivación. Diseñar problemas de aplicación de las derivadas Otros Recursos 3.1.- aplicaciones informáticas (Laptops) debe contener el software que se utilizará para visualizar el significado de la derivada como sus aplicaciones 3.2.- mostrar las aplicaciones (Proyector) se usará para mostrar las aplicaciones informáticas utilizadas en el tema 4.- ANTIDERIVADAS Y TECNICAS DE INTEGRACION Introducción a la unidad Como su nombre lo indica en esta unidad se estudiarán las diferentes técnicas básicas de integración Meta-Lenguaje antiderivada,integral no definida,técnicas de integración Subunidades Subunidad 4.1.- Definición de Diferenciales (0.25h) 4.2.- Propiedades de los Diferenciales (0.25h) 4.3.- Aplicación de los Diferenciales en Aproximaciones (0.5h) 4.4.- Definición de Antiderivadas (0.5h) 4.5.- Propiedades de las Antiderivadas (1h) 4.6.- Introducción a las Ecuaciones Diferenciales (0.5h) 4.7.- Integración por Sustitución (0.5h) 4.8.- Integración por partes (0.75h) 4.9.- Integración por Sustitución Trigonométrica (0.75h) Objetivos de Aprendizaje Objetivo 4.1.- Determinar el diferencial de funciones de variable real 4.2.- Aproximar el valor de una función utilizando diferenciales 4.3.- Determinar polinomios de Taylor y Maclaurin 4.4.- Definir la antiderivas y establecer la relación con los diferenciales 4.5.- Resolver por variables separables una ecuación diferencial 4.6.- Aplicar las técnicas de integración, para determinar antiderivadas de funciones Actividades 4.1.- Exposición teórica mediante la clase magistral se expondrá lo relacionado a esta unidad 4.2.- Aplicaciones Informáticas uso de aplicaciones relacionadas con los diferenciales y antiderivadas 4.3.- Planteamientos de problemas elaborar problemas relacionados con el tema con diferentes grados de dificultad Otros Recursos 4.1.- recurso informático (Laptops) servirá par proyectar en clases las aplicaciones diseñadas por el profesor y relacionadas con el tema 4.2.- recurso informático (Proyector) se lo usará para proyectar las aplicaciones realizadas por el profesor Página 8 de 10
J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES 5.- INTEGRACIÓN DEFINIDA Y APLICACIONES Introducción a la unidad En esta unidad se estudiará la integral definida y sus diferentes aplicaciones geométricas Meta-Lenguaje integral definida,áreas de regiones planas,volumen de sólidos de revolución Subunidades Subunidad 5.1.- Notación de las Sumatorias mediante el símbolo Sigma (0.25h) 5.2.- Propiedades de las Sumatorias (0.25h) 5.3.- Sumas relacionadas con los números naturales (0.25h) 5.4.- Introducción a la Integral Definida: cálculo del área regiones planas (1h) 5.5.- Suma de Riemman (0.5h) 5.6.- Definición de la Integral Definida o Integral de Riemman (0.5h) 5.7.- Propiedades de la integral definida: linealidad, aditiva, comparación, acotamiento, primer teorema fundamental del Cálculo, segundo teorema fundamental del Cálculo, teorema del valor medio, teorema de simetría, uso de la periodicidad (4.75h) 5.8.- Integralas Impropias limites infinitos e integrandos infinitos (1h) 5.9.- Area de Regiones Planas en el Plano Cartesiano (0.5h) 5.10.- Area de Regiones Planas en el Plano Polar (0.5h) 5.11.- Volumen de Sólidos de Revolución método del disco (0.5h) 5.12.- Volumen de Sólidos de Revolución método de las capas cilíndricas (0.5h) 5.13.- Longitud de una curva en el plano cartesiano (0.5h) 5.14.- Longitud de una curva definidas en forma paramétrica (0.5h) 5.15.- Longitud de una curva en el plano polar (0.5h) Objetivos de Aprendizaje Objetivo 5.1.- Utilizar la notación sigma para expresar sumatorias y aplicar las propiedades en el cálculo de sumas relacionadas con los números naturales. 5.2.- Aplicar el método de polígonos inscritos y circunscritos en el cálculo de áreas de regiones planas 5.3.- Definir e interpretar la integral de Riemman 5.4.- Calcular la integral definida utilizando su defición, la interpretación geométrica o el teorema fundamental del Cálculo 5.5.- Enunciar, demostrar y aplicar correctamente las diferentes propiedades de la integral definida 5.6.- Identificar y calcular integrales impropias 5.7.- Utilizar la integral definida en el cálculo de: áreas de regiones planas en el plano cartesiano y polar, volumen de sólidos de sección conocida, volumen de sólidos de revolución, longitud de una curva en el plano cartesiano, forma paramétrica y en coordenadas polares. Actividades 5.1.- Exposición teórica Mediante la clase magistral se expondrán los temas 5.2.- Aplicaciones Informáticas Mediante recursos informáticos se diseñarán aplicaciones para que visualicen las propiedades de la integral definidad, su definición e interpretación geométrica como las aplicaciones geométricas de Página 9 de 10
J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES la misma 5.3.- Planteamientos de problemas El profesor diseñará problemas de diferentes grados de dificultad y que esté relacionado con cada tema Otros Recursos 5.1.- recurso informático (Laptops) el profesor usará aplicaciones informáticas para el mejor entendimiento de los temas 5.2.- recurso informático (Proyector) mediante este recurdo se proyectará en el aula las aplicaciones diseñadas por el profesor y relacionados con el tema K. RESPONSABLES DE LA ELABORACIÓN DEL CONTENIDO DE CURSO Profesor Correo
[email protected] VALDIVIEZO JANET PATRICIA MEDINA SANCHO JORGE ROILANDI VARGAS MIELES LUIS ANDRÉS BUSTAMANTE ROMERO EDGAR JOHNI TOLEDO TAPIA XAVIER ESTEBAN CROW SANTOS PAMELA VANESSA
[email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected]
Participación Coordinador de materia Colaborador Colaborador Colaborador Colaborador Colaborador
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