Cap´ıtulo 5 Estimaci´ on on 5.1. 5.1.
Ejer Ejerci cici cios os Resu Resuel elto toss
PROBLEMA 11
Sean X 1 , X 2 , . . . , Xn una m.a. de tama˜ no no n de una poblaci´on on con la siguiente funci´ on o n de densidad: (ln(xi )−µ) 1√ 1 (ln(x exp , xi > 0, > 0,ii = 1, . . . , n; n; 2 σ x σ 2 π i f ( f (xi ) = 0, e.o.c.
−
2
2
a) Encontrar el EM V de µ , con σ2 conocido. b) Si n = 3 y X 1 = e, e , X 2 = e 2 , X 3 = e 3 . Evaluar µEM V encontrado en (a). ´ SOLUCION
a) Sea
− √ − − − −
1 f ( f (x) = xσ√ exp 2π n
L =
i=1
=
1
exp
xi σ 2π
√ 1 σ 2π
ln x−µ 2 σ
1 2
1 2
ln xi µ σ n
n
n
1
exp
xi
1 2
i=1
i=1
Aplicando logaritmo a L a L se tiene la log-verosimilitud 1
I3 segundo semestre de 2000
Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo Ed uardo M. Rodr Rodr´ ´ıguez F.
2
ln xi µ σ
2
88
Cap´ıtulo 5. Estimaci´ on
ln L =
−n ln(σ√ 2π) − ln
n
⇒
∂ ln L ∂µ
=
1 σ
i=1
Luego
ln xi µ σ
−
n
⇒
1 σ
i=1
− n
n
1 2
xi
i=1
i=1
∂ ln L ∂µ
= 0
= 0
ln xi µ σ
−
ln xi µ σ
−
2
2
n
µ =
⇒
ln xi
i=1
n
b) Como X 1 = e, X 2 = e 2 , X 3 = e 3 , entonces ln X 1 = 1, ln X 2 = 2, ln X 3 = 3 Luego 3
i=1
µ =
=
ln xi 3
1+2+3 3
= 2 PROBLEMA 22
Suponga que X sigue una distribuci´ on de Pareto, su funci´ on de densidad esta dada por: f (x α, θ) = θα θ x−θ−1 , x v.a iid .
|
≥ α y θ ≥ 1. Asuma que α > 0 es conocido y que X , . . . , X son
a) Encuentre un estimador de momentos para θ. b) Determine el EM V de θ.
2
I3 segundo semestre de 2003
Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Ed uardo M. Rodr´ıguez F.
1
n
5.1 Ejercicios Resueltos
89
´ SOLUCION
a) Primero obtengamos el valor esperado de la distribuci´ on de Pareto
E [X ] =
∞
xθαθ x−θ−1dx
0
=
∞
θα θ x−θ dx
0
=θα
θ
∞
x−θ dx
0
x−θ+1 ∞ =θα θ + 1 α θ
−
=θα
=
=
θ
θ+1
−α− −θ + 1
−θα −θ + 1 θα θ
−1
luego el primer momento poblacional es µ1 = E [X ] = θθα −1 . Ahora despejando θ se µ tiene θ = h(µ1 ) = µ −α y adem´as se tiene que el primer momento muestral es M 1 = 1 xi = x, por lo tanto el estimador por momentos de θ es n 1
1
θ =
=
M 1 M 1 α
−
x x
−α
b) Determine el EM V de θ La funci´ on de verosimilitud L est´a dado por Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F.
90
Cap´ıtulo 5. Estimaci´ on
n
L(θ x1 , . . . , xn ) =
|
f (xi )
i=1
−θ −1
n
= θ nαnθ
xi
i=1
As´ı la log verosimilitud
−
n
l = ln L(θ x1 , . . . , xn ) = n ln θ + nθ ln α
|
− (θ + 1) ln
− −
xi
i=1
n
∂l ∂θ
=
n θ
+ n ln α
xi
ln
= 0
i=1
n
⇒
n θ
⇒
θ
= ln α = ln
− ln
xi
n ln α
i=1
n
n
xi −n ln α
i=1
PROBLEMA 33
Represente con X la proporci´ on de tiempo asignado que un estudiante seleccionado al azar emplea trabajando en cierta prueba de aptitud, y suponga que la funci´ on de probabilidad de X es (θ + 1)xθ 0 x 1 f X (x; θ) = 0 e.o.c.
≤ ≤
donde 1 < θ. Una muestra aleatoria de diez estudiante produce la siguiente informaci´ on: x1 = 0,92, x2 = 0,79, x3 = 0,9, x4 = 0,65, x5 = 0,86, x6 = 0,47, x7 = 0,73, x8 = 0,97, x9 = 0,94 y x10 = 0,77. Obtenga el estimador de m´ axima verosimilitud de θ y despu´es calcule la estimaci´on para los datos proporcionados.
−
3
I2 TAV 2004
Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Ed uardo M. Rodr´ıguez F.
5.1 Ejercicios Resueltos
91
´ SOLUCION n
L(θ x1 , . . . , xn) =
|
f (xi ; θ)
i=1 n
=
(θ + 1)xθi
i=1
n
= (θ + 1) n
θ
xi
i=1
Apliquemos logaritmo a lo anterior l(θ) = ln L(θ x1 , . . . , xn )
|
n
= n ln(θ + 1) + θ
ln xi
i=1
Ahora encontremos el m´ aximo n
⇒
∂l ∂θ
⇒
∂l ∂θ θ=θ
ln xi
i=1
n
n θ+1
⇒ ⇒
=
n + θ+1
+
= 0
ln xi = 0
i=1
− − − −
θ =
n
n
1
ln xi
i=1
La estimaci´ on por los datos proporcionados θ =
10
−2,429503
Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F.
1 = 3,116
92
Cap´ıtulo 5. Estimaci´ on PROBLEMA 44
Si X tiene distribuci´ on Gamma con par´ ametros α > 0 y β > 0,(X funci´on de densidad es de la forma
∼ G(α, β )), entonces se
xα−1 e−x/β f (x) = , β α Γ(α)
0 < x <
∞
Considere α conocido, calcular el EM V de β . ´ SOLUCION n
L(β x1 , . . . , xn ) =
|
f (xi ; β )
i=1 n
=
i=1
xαi −1 e−xi /β β α Γ(α)
n
=
xαi −1 e−
n i=1
1
xi /β
i=1
n
β α Γ(α)
i=1
n
=
xαi −1
i=1
n e− i xi /β β nα (Γ(α))n =1
Apliquemos logaritmo a lo anterior
l(β ) = ln L(β x1 , . . . , xn )
|
− n
= ln
xαi −1
i=1
n i=1
β
Ahora encontremos el m´ aximo 4
Examen segundo semestre de 2003
Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Ed uardo M. Rodr´ıguez F.
xi
− nβ ln β − n lnΓ(α)
5.1 Ejercicios Resueltos
93
∂l ∂β
⇒ ⇒ ⇒
−
∂l ∂β β =β
n i=1
xi
β 2
nα β
=
PROBLEMA 5
n i=1
xi
n i=1
xi
β 2
−
nα β
= 0 = 0
β =
⇒
nα
Sea X 1, X 2 una muestra aleatoria de tama˜ no 2 de X con distribuci´ on exponencial de par´ametro λ desconocido. Consideremos a θ1 = X y a θ2 = X 1 X 2 estimadores de µ = λ1 . En t´erminos del error cuadr´ atico medio, ¿cu´ al de los dos es mejor?
Para este problema ser´ a util considerar Γ(α) = (α y E ( X 1 X 2 ) = E ( X 1 )E ( X 2 )
√
√
√
√
− 1)Γ(α − 1);
Γ(1/2) =
´ SOLUCION
El EC M [θ1 ] = V [θ1 ] + B 2 Veamos si θ1 = X es insesgado respecto µ
X 1 + X 2 E [X ] = E 2
1 = (E [X 1 ] + E [X 2 ])] 2 =
1 2
× λ2
= µ
Esto implica que θ1 es insesgado respecto de µ,calculemos su varianza Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F.
√ π
94
Cap´ıtulo 5. Estimaci´ on
X 1 + X 2 V [X ] = V 2
1 = (V [X 1 ] + V [X 2 ])] 4
Luego E CM [θ1 ] = V [θ1 ] =
=
1 4
× λ2
=
1 2λ2
2
1 2λ2
Vemos ahora para θ2
− −
EC M [θ2 ] = V [ X 1X 2 ] + (E [
de donde
V [ X 1 X 2] = E [X 1X 2 ]
√
E [
X 1 X 2 ]
X 1 ]E [ X 2 ]
Calculemos ahora E [ X ] con X exponencial de par´ ametro λ
√
E [ X ] =
× ∞
x1/2 λeλx dx
0
=
1 Γ 12 2 λ1/2
π = λ
1/2
1 2
Por lo tanto V [
× −
1 X 1 X 2 ] = λ
1 λ
16 π 2 = 16λ2
−
Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Ed uardo M. Rodr´ıguez F.
µ)2
π 4λ
2
2
5.1 Ejercicios Resueltos
95
y B
2
− − − − X 1 X 2 =
=
π 4λ π
2
1 λ
2
4
4λ
De aqu´ı, el Error Cuadr´ atico Medio de θ2 est´a dado por 16 π2 EC M [θ2] = + 16λ2 =
Como 4 a θ1 .
π
4
2
4λ
4 π 2λ2
−
− π < 1 tenemos EC M [θ ] < ECM [θ ], y de acuerdo a este criterio, θ es preferido 2
1
2
PROBLEMA 65
Sea X 1 y X 2 una muestra aleatoria de tama˜ no 2 proveniente de una poblaci´ on X con media 2 µ y varianza σ . a) Si disponemos de dos estimadores para µ1 = es el mejor?
X 1 +X 2 2
y µ2 =
b) Para un estimador de la forma µ = aX 1 + (1 a)X 2 , con 0 de a que conduce al mejor estimador de esta forma.
c) Consideremos el estimador µ = a partir de este estimador.
X 1 +3X 2 . 5
−
a) Veamos el sesgo de los 2 estimadores
5
¿Cu´a l de los dos
≤ a ≤ 1. Determine el valor
¿Es insesgado? . Si no lo fuera encuentre uno
´ SOLUCION
•
X 1 +2X 2 . 3
X 1 + X 2 E [µ1 ] = E 2 1 = (µ + µ) 2 = µ
I3 segundo semestre de 2003
Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F.
96
Cap´ıtulo 5. Estimaci´ on
•
X 1 + 2X 2 E [µ2 ] = E 3 1 = (µ + 2µ) 3 = µ
Los dos estimadores son insesgado, veamos cual de ellos tiene menor varianza
•
X 1 + X 2 V [µ1 ] = V 2 1 = (σ2 + σ2 ) 4 1 = σ2 2
•
X 1 + 2X 2 V [µ2 ] = V 3 1 = (σ2 + 4σ2 ) 9 5 = σ2 9
Aqu´ı µ1 tiene menor varianza, y de acuerdo a este criterio, µ1 es preferido a µ2 .
b) Es insesgado para todo a, en efecto
E [µ] = E [aX 1 + (1
− a)X ]
= aE [X 1 ] + (1 = µ
Veamos su varianza Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Ed uardo M. Rodr´ıguez F.
2
− a)E [X ] 2
5.1 Ejercicios Resueltos
97
V [µ] = V [aX 1 + (1
− a)X ]
= a 2 V [X 1 ] + (1
2
2
− a) V [X ]
= a 2 σ 2 + (1
− a) σ
= σ 2 (2a2
2a + 1)
2
2 2
−∗ ( )
Determinemos el valor m´ınimo que puede tomar ( ), lo que implica que es de menor varianza
∗
f (a) = 2a2
− 2a + 1 4a − 2
f ′ (a) =
⇒
a =
= 0
1 2
Como f ′′ (a) = 4 > 0, entonces a = 21 es un m´ınimo. c)
1 E [µ] = E (X 1 + 3X 2 ) 5
1 = (E [X 1 ] + 3E [X 2 ]) 5 =
4µ 5
µ no es insesgado. Ahora tenemos E [µ] = 4µ , esto implica E 5 1 (X 1 + 3X 2 ) es un estimador insesgado para µ. 4
5 µ 4
= µ, luego µ = ˜ 45 µ =
PROBLEMA 76
Cierto tipo de componente electr´ onico tiene una duraci´ on Y (en horas)con funci´ on de densidad dada por 6
I3 recuperativa de 2001
Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F.
98
Cap´ıtulo 5. Estimaci´ on
f (y) =
y 1 ye − θ θ2
y > 0;θ > 0 e.o.c.
0
Suponga que tres de tales componentes, al probarlos de manera independiente, presentan duraci´on de 120, 128 y 130 horas.
a) Obtenga el estimador por m´etodo de momentos de θ, considerando una m.a. (n) b) Analice si el estimador encontrado en a) es insesgado. ¿Cu´ a l es la varianza de este estimador? c) Utilice los valores num´ericos que se dan para obtener la estimaci´ on de θ.
´ SOLUCION
a)
• Momento muestral : x • Momento Poblaci´on: E [X ] =
α β
=
2 1/θ
⇒ ⇒
= 2θ 2θ = x θ = x2
b)
E [θ] = E
1 = 2n = θ
Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Ed uardo M. Rodr´ıguez F.
x 2
n
i=1
E [xi ]
5.1 Ejercicios Resueltos
99
Por lo tanto θ es insesgado
V [θ] = V
x 2
1 = 2 V 4n 1 = 2 4n
=
⇒ x = 126
∴
θ =
xi
i=1
n
V [xi ]
i=1
1 (2nθ2 ) 2 4n
θ2 = 2n c) 120; 128; 130
n
x 2
Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F.
